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MÉMOIRES

L'ACADÉMIE IMPÉRIALE DES SCIENCES SAINT -PÉTERSBOURG.

SIXIÈME SÉRIE.

SCIENCES MATHÉMATIQUES, PHYSIQUES ET NATURELLES. TOME VII.

PREMIÈRE PARTIE: SCIENCES MATHÉMATIQUES ET PHYSIQUES. TOME VI.

SAINT-PÉTERSEOURC.

IMPRIMERIE DE L'ACADÉMIE IMPÉRIALE DES SCIENCES. 1857.

En vente chez MM. Eggers et Comp., libraires, Commissionnaires de l’Académie, Perspective de Nevsky N° l/o> et à Leipzig chez M. Léopold Voss.

Prix 6 Roub. 25 Cop. arg. pour la Russie; 6 Thir. 28 Ngr. pour l'étranger.

MÉMOIRES

L'ACADEMIE IMPÉRIALE DES SCIENCES SAINT -PÉTERSBOURG.

SIXIÈME SÉRIE.

SCIENCES MATHEMATIQUES ET PHYSIQUES. TOME VI.

Avec 13 planches.

SAIITT-PETERSEOURG. IMPRIMERIE DE L'ACADÉMIE IMPÉRIALE DES SCIENCES. 1857.

En vente chez MM. Eggers et Comp. libraires, Commissionnaires de l’Académie, Perspective de Nevsky N° Vo» et à Leipzig chez M. Léopold Voss.

Prix 6 Roub. 25 Cop. arg. pour la Russie; 6 Thir. 28 Ngr. pour l'étranger.

TABLE DES MATIÈRES.

Page Expéditions chronométriques de 1845 et 1846 par M. Otto Struve. Première partie : Expéditions chronométriques de 1845 ................................ 1 Beobachtungen des Bielaschen Cometen im Jahre 1852, angestellt am grossen Refractor der Pulkowaer Sternwarte von Otto Struwe. (Avec 2 planches lithographiées) .. 131 Expéditions chronométriques de 1845 et 1846 par M. Otto Struve. Seconde partie: Expédition chronométrique de 1846 ................................. 156 Sur l'intégration des différentielles qui contiennent une racine carrée d’un polynôme du troisième ou quatrième degré, par M. P. Tchébychev.................... 203 Positions géographiques déterminées en 1847 par le lieutenant-colonel Lemm dans le pays des Cosaques du Don. Mémoire de M. O. Struve. (Avec une planche) .... 233 Mémoire sur la théorie générale de la percussion, par M. Ostrogradsky........ -.. 207 Sur les diviseurs numériques invariables des fonctions rationnelles entières, par M. V. Bou- G CHRONO à RCE. CCE AO EEE 305 Positions géographiques déterminées en 1848 par le lieutenant-colonel Lemm dans le gouvernement de Novgorod. Mémoire de M. O. Struve ...............,... 431 Ueber die Russischen Topase, von N. v. Kokscharoff. (Avec 10 planches lithographiées). 357 Ueber den Einfluss der Wärme auf die elastische Kraft der festen Kôrper und ins- besondere der Metalle, von A. T. Kupffer. Eine von der Kônigl. Societät der Wissenschaften in Gôttingen gekrônte Preisschrift . ....................... 397 BbkoBbia Bo3Myinenia cemu Go1»muxr nianerTs. À. M. IleperomnKoBa. ......... 495

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1

EXPÉDITIONS CHRONOMÉTRIQUES

DE 1845 et 1546

PAR

M. OTTo STRUVE.

(Lu LE 13 NovemBre 1849.

Memoires #c. math. et phys. Th. VI.

PREMIÈRE PARTIE.

EXPÉDITIONS CHRONOMÉTRIQUES DE 21345.

L. EXPOSÉ HISTORIQUE DES OPÉRATIONS DE 1845. $ 1. Introduction.

Le but des expéditions chronométriques de 1845 était, en premier lieu, de déterminer exacte- ment, à l’aide du transport du temps, les différences en longitude entre l'Observatoire central de Poulkova et les observatoires de Moscou et de Varsovie. Les latitudes de ces deux lieux sont déjà connues de très près, et il y a lieu d'espérer que les puissants moyens instrumentaux dont actuellement peuvent disposer ces deux observatoires, nous fourniront sous peu ces quantités, avec le plus haut degré d’exactitude. Nous n'avions donc qu'à nous occuper de la détermination absolue du temps, sur les différents points, et du transport du temps d’un point à l’autre, à l’aide des chronomètres. Les méthodes générales, soit du calcul, soit des observations, que nous avons suivies, se trouvent exposées dans les rapports sur nos expéditions chronométriques de 1843 et 1844, qui ont mené à la connaissance exacte de la longitude de Poulkova comptée de Greenwich. Dans mon rapport actuel, je n'aurai donc qu'à donner les résultats des opéra- tions, en indiquant cependant en quels points elles différaient de nos opérations antérieures. Tant entre Poulkova et Moscou qu'entre Poulkova et Varsovie, le transport des chrono- mètres devait se faire entièrement par terre, tandis que, dans les expéditions antérieures, nous avions l'avantage de pouvoir envoyer nos chronomètres, d’un endroit à l’autre, au moins pour la plus grande partie de la distance, par mer à bord des bateaux à vapeur. Nous craignions d’abord que le transport des chronomètres par terre, en voitures, n’exerçât une influence désa- vantageuse sur la régularité des marches; mais l'expérience nous a prouvé que, tout au contraire, les marches des chronomètres, pendant les transports par terre, sont considérablement plus régulières, que dans les transports par mer. Ce résultat inattendu doit bien être attribué en partie aux soins particuliers que nous avions voués à l’emplacement des chronomètres, pour

4 O0. STRUVE.

les garantir contre les secousses et les tressail'ements de la voiture; de l’autre côté, il paraît hors de doute que les mouvements des vaisseaux, sur tout ceux qui les font tourner en direction horizontale, et les masses de fer plus ou moins magnétiques, n’exercent une influence beaucoup plus importante sur les résultats donnés par les chronomètres, que ne font les tressaillements de la voiture. Ceux-ci, en agissant d’une manière à peu près constante, peuvent bien altérer un peu la marche moyenne des chronomètres pendant le transport; mais, comme cette ac- tion a lieu tant en allant, qu’en revenant, les longitudes n’en seront point influencées. Des secousses fortes qui arrivent de temps à autre, dans un voyage par terre, pouvant pro- duire des sauts irréguliers dans la marche des chronomètres, devaient être soigneusement évi- tées, ou (puisqu'il est presque impossible de les éviter entièrement) il fallait tàächer au moins de mettre les chronomètres, autant que possible, à l'abri de leur influence pernicieuse. C'était donc un objet d'importance que de choisir une voiture dont les ressorts étaient en même temps très élastiques et assez forts. Dans notre voiture de voyage la partie antérieure fut matelassée, pour y placer les boîtes qui contenaient les chronomètres. Dans ces boîtes, les chronomèêtres, au nombre de 6 à 12, étaient fermement enchässés, sans détruire toutefois la pression élastique tant d'en haut que des côtés. Ces boîtes furent directement placées sur les matelas, et retenues dans leur position à l’aide de plusieurs coussinets convenablement appliqués. De cette manière nous pouvions être sûrs, que, si quelques secousses fortes de la voiture avaient lieu, au moins l'influence sur les chronomètres en devait être considérablement affaiblie. Heureusement l’état excellent des chaussées, tant entre Poulkova et Moscou, qu'entre Poulkova et Varsovie, n’admet- tait guère la crainte de secousses fortes, si ce n’était sur les rues pavées des villes qu'on devait passer, et dans la descente sur les radeaux à l’aide desquels on traverse plusieurs rivières. Dans ces endroits, pour affaiblir l'intensité des secousses, l’ordre strict était donné de ralentir la course de la voiture, et de n’avancer qu’au pas. Un conducteur que le Directeur du département des postes M. de Prianichnikov avait eu la bonté de mettre à notre disposition, avait à surveil- ler l’exécution de cet ordre, à veiller en outre sur le bon état de la voiture, et à nous assister en toutes occasions.

Tous les chronomètres furent montés régulièrement à une heure fixe, 7 heures du matin. Cette besogne fut conliée à deux officiers du Corps des Topographes, MM. Schvarev et Glo- tov, qui à tour de rôle ont conduit le transport des chronomètres dans les différentes courses. Is avaient à veiller que les chronomètres se trouvassent toujours bien placés et dans un arran- gement prescrit. En outre, ils avaient à comparer chaque matin, à l’heure où les chronomè- tres furent montés, un chronomètre non compensé, dont nous parlerons en bas plus en détail, avec plusieurs des autres chronomètres. Ce chronomètre nous devait rendre un double service, savoir de donner la somme des températures qui avaient agi, pendant les voyages, sur les chro- nomètres, et d'indiquer la marche des températures d’un jour à l’autre. Je remarque ici qu’à cause des matelas épais et des coussinets qui entouraient les chronomètres de tous côtés, les changements de température, dans l’intérieur de ces boîtes, devaient être considérablement moins rapides que dans l’atmosphère. C’est encore un avantage essentiel de notre manière d’emplacer

ExPÉDITIONS CHRONOMÉTRIQUES DE 1845. D

les chronomètres, et qui, à ce que je crois, a beaucoup contribué à l'exactitude et l'accord des résultats. D’après toutes nos expériences rien n’est plus préjudiciable à la marche régulière des chronomètres que les changements brusques de température.

Il était arrêté, d’exécutér, entre chaque couple de points à joindre, quatre voyages complets. La distance entre les observatoires de Poulkova et de Moscou est de 660 verstes. Cette distance est parcourue d'ordinaire dans l’espace de 60 à 70 heures. Or, les dé- parts de Poulkova étant fixés au vendredi soir de chaque semaine, les chronomètres arrivaient à Moscou le lundi suivant de bon matin. Puis, ils quittaient Moscou la nuit suivante, dès que la détermination du temps était achevée, et ils étaient de retour à Poulkova le jeudi. Un voyage complet entre ces deux points pouvait donc être fait dans le courant d’une semaine. Par con- séquent, pour toute la jonction des observatoires de Poulkova et de Moscou, quatre semaines nous ont suffi.

. Pour l’expédition entre Poulkova et Varsovie, dont la distance relative est de 106% vers- tes, les moments des départs et des arrivées des chronomètres ne pouvaient être fixés d'avance qu'approximativement. Le voyage plus long et le passage de la frontière de la Pologne pouvaient donner lieu à des retards imprévus. Mais les ordres émis de la part des gouvernements respec- tifs, ont produit que le passage de la frontière ne nous a jamais arrêté plus de deux ou trois heures. Un voyage entre Poulkova et Varsovie se faisait avec commodité dans l’espace de 5 jours; un voyage complet, en allant et retournant, durait moins de 10 jours, auxquels s’ajoutent un jour de repos à Varsovie et un ou deux jours de repos à Poulkova, temps qui était destiné à faire la révision soignée de la voiture. C’est ainsi qu'en moyenne nous pouvons accepter 12 jours, comme durée d’un voyage complet, de Poulkova à Varsovie et retour, y compris les sé- jours sur les deux stations, ce qui fait pour la durée totale de cette expédition, composée de quatre courses complètes, à peu près sept semaines.

Le nombre des chronomètres qui étaient à notre disposition pour le transport du temps, était de 40. J'en donnerai l’énumération détaillée dans un article suivant. De ce nombre, 28 devaient être montés tous les jours. Les 12 autres chronomètres, envoyés exprès par M. Dent de Londres, pour nos expéditions de cette année, nous furent remis par M. R. Rippon, neveu et fils adoptif de M. Dent.

Ces chronomètres (chronomètres hebdomadaires) étaient construits de sorte qu'ils devaient être montés une fois tous les huit jours. Cet arrangement nous fournit l’idée de gagner, à leur aide, une seconde détermination de la longitude de Moscou, entièrement indépendante de la dé- termination principale que nous devaient fournir les 28 autres chronomètres. Les chronomètres hebdomadaires n’ayant point besoin d’être montés en chemin, il était possible de les envoyer de Pétersbourg à Moscou par la malle - poste, sous la surveillance du conducteur de la poste. Or ce second envoi pouvait être exécuté sans qu'il réclamât une augmentation considérable ni des frais ni du personnel actif. Les malle-postes quittent les deux capitales deux fois par jour. Nous avions donc le choix libre des jours du départ, et nous les avons fixés de sorte qu'ils tombaient exactement au terme moyen entre deux départs consécutifs de l’envoi principal des autres chro-

6 O0. STRUVYE.

nomètres; ce qui fit que presque au même moment où l'envoi principal quittait Moscou pour retourner à Poulkova, le second envoi partait de Poulkova dans la direction opposée, et vice versa. Les moments des départs et des arrivées des malle - postes, dans les deux capitales, étant exactement réglés, un employé des observatoires respectifs se rendit à l'heure connue à l'hôtel des postes, soit pour y porter la boîte, qui contenait les chronomètres hebdomadaires qui devaient partir, soit pour la recevoir des mains du conducteur arrivé. Le même employé avait à surveiller que la boîte fut placée dans un endroit convenable de la voiture, où elle pouvait rester sans être touchée pendant le voyage. Cette boîte était également entourée de matelas épais pour garantir les chronomètres, tant contre les secousses fortes, que contre les changements ra- pides de température. Le nombre des voyages de ce second envoi devait être le même que pour l'envoi principal.

Par rapport à Varsovie il y avait des obstacles qui s’opposaient à l'exécution de ce second envoi. À la frontière du royaume de Pologne la malle - poste change de voitures et de conduc- teurs, et nous ne voulions point courir le risque d’un accident qui pouvait arriver aux chrono- mètres à cette occasion. Par cette raison, nous avons préféré de placer aussi les 12 chronomè- tres hebdomadaires dans la même voiture qui menait les autres chronomètres, et d'envoyer, sur cette seconde ligne de jonction, toute notre collection de 40 chronomètres toujours à la fois. De même que dans l'expédition entre Poulkova et Moscou, les chronomètres hebdomadaires ne furent montés qu’une fois pour chaque voyage entre Poulkova et Varsovie, aux moments de leurs départs de ces deux lieux.

Je passerai sous silence nombre de dispositions et d’arrangements préalables, qui, à ce qu'on sait, accompagnent toujours l'organisation des expéditions scientifiques. Toutes ces dispo- sitions ayant été prises pendant le mois d'avril et de mai 1845, rien ne nous empêcha de commencer les voyages. Le 29 mai les chronomètres quittèrent Poulkova pour la première fois, sur la route de Moscou. Le dernier retour des chronomètres, de Moscou, celui des chronomètres heb- domadaires envoyés par la malle-poste, eut lieu le 30 juin. Les courses de Moscou étant ache- vées, les voyages de Varsovie ne pouvaient point commencer immédiatement, parce qu'il fallait faire encore plusieurs arrangements pour cette seconde ligne de jonction. Déjà avant le com- mencement des voyages de Moscou, M. Baranovski, astronome de l'observatoire de Varsovie (directeur de cet établissement depuis la mort de M. Arminski), ayant promis sa coopération, s'était rendu à Poulkova, sur l'invitation de mon père, pour se familiariser avec nos méthodes d'observation, et pour déterminer son équation personelle par rapport à nous. Il resta à Poul- kova pendant toute la durée de l'expédition de Moscou. Les voyages de Moscou étant terminés, je me rendis avec M. Baranovski à Varsovie, pour y faire exécuter quelques changements in- dispensables dans l'instrument des passages de cet observatoire, et pour y prendre les disposi- tions nécessaires pour notre expédition. Ces arrangements retardèrent le commencement des opérations sur la seconde ligne, de deux à trois semaines, et ce retard fut encore augmenté par le transport des instruments de Valdai à Vilkomir, points intermédiaires situés sur les deux lignes, et dont je parlerai dans le second article; enfin par la construction du petit observatoire

ExPÉDITIONS CHRONOMÉTRIQUES DE 1845. 7

temporaire à Vilkomir. Le premier départ des chronomètres de Poulkova à Varsovie eut lieu le 25 juillet, et le dernier retour à l'observatoire central le 13 septembre.

En comptant le commencement de nos expéditions de l’année 1845, depuis le jour du premier départ d’un individu attaché à l'expédition, pour se rendre, de Poulkova, sur sa place d'activité, et en acceptant pour la fin le jour du dernier retour à Poulkova (le 1 octobre), nous trouvons que l’ensemble des opérations de cette année a duré exactement 5 mois.

Dans ma fonction de dirigeant des expéditions, je me rendis à Moscou avec le premier envoi des chronomètres, pour examiner, si dans ce lieu, ainsi qu’au point intermédiaire Valdai, tous les arrangements étaient pris conformément aux dispositions. Je restai à Moscou quelques jours pour y attendre l’arrivée du premier envoi des chronomètres par la malle-poste, et pour en arranger les envois futurs. Ce ne fut donc qu'avec le second retour des 28 chronomètres, que je pus retourner à Poulkova. J'ai mentionné déjà que plus tard je me rendis à Varsovie, où j'attendis également la première arrivée des chronomètres avant de retourner à Poulkova. Il s’en suit que j'ai été absent de l'observatoire de Poulkova pendant un temps considérable des opé- rations. Il fallait donc confier la détermination du temps à quelqu'un qui n’était pas obligé de quitter l'observatoire dans ce temps. Les autres astronomes de l'observatoire étant tous plus ou moins occupés d’autres travaux, mon père se chargea lui-même, pendant mon absence, de l’exé- cution des observations nécessaires pour notre but. Pour plus d’uniformité il continua la série d'observations jusqu’à la fin des deux expéditions.

M. Dôllen, mon ancien collaborateur dans l'expédition entre Altona et Greenwich, fut installé à Moscou, pour la durée de l'expédition, pour y faire les observations astronomiques. Enfin, comme il a été dit, M. Baranovski fut chargé de la détermination du temps à Varsovie.

Les comparaisons des chronomètres de voyage avec la pendule d'observation, furent exé- cutées à Poulkova par moi ou, dans mon absence, par MM. Sabler et Peters, à Moscou par M. Dôllen, à Varsovie par M. Prazmovski, adjoint de cet observatoire. Toutes ces compa- raisons se faisaient à l’aide du même chronomètre Kessels 1290, de treize battements en six secondes, qui nous avait servi, pour le même but, dans les expéditions antérieures.

Les observations faites en chaque lieu pour la détermination du temps absolu, ont été ré- duites une fois par l’astronome qui les avait exécutées. Un second calcul de réduction, ou une révision du premier a été fait, dans tous les cas, par mon père ou par moi. Dans le calcul des longitudes j'ai eu l'assistance de MM. W. Struve, Düllen, Baranovski et Alexandrov, de sorte que chaque longitude fut calculée deux fois. C'est ainsi que tous les calculs principaux des expéditions ont été soumis aux contrôles nécessaires.

$ 2. Les stations intermédiaires, Valdai et Vilkomir.

Il était convenu qu’à côté de notre but principal de fixer les longitudes des deux obser- vatoires, les positions de deux points intermédiaires, situés sur les routes de jonction à peu près à mi-chemin, devaient être déterminées par nos expéditions chronométriques de 1845.

8 O0. STRU V.E.

Le choix de ces deux points intermédiaires fut soumis à la condition qu'ils se trouvassent dans le voisinage d’un ou de plusieurs points qui forment les triangles de première ‘classe dans les grandes opérations géodésiques, exécutées par l’État Major Impérial. D'après une consultation avec M. le Général de Toutchkov, directeur du Dépôt Topographique, le choix tomba sur les deux villes de Valdai et de Vilkomir. La première de ces deux villes se trouve presqu’exactement à égale distance de Poulkova et de Moscou. Simultanément avec nos opéra- tions, le capitaine Voinov exécuta les opérations trigonométriques dans les environs de cette ville, et joignit notre lieu d'observation avec son réseau de triangles. L'autre point Vilkomir se trouve un peu plus près de Varsovie que de Poulkova, étant à la distance de #42 verstes du premier et de 622 du second de ces deux lieux. Le canevas des triangles de première classe, qui fait la base des grandes opérations géodésiques, exécutées depuis plus de trente ans sous la direction du Lieutenant-Général de Tenner, passe à une petite distance de Vilkomir. Un pont dans cette ville, l’ancienne église catholique, a été même lié par le Général Tenner, vers l'an 1820, avec son réseau trigonométrique. Mais d’un côté ce point n’était qu’un point de trosième classe, dans les opérations du Général Tenner, et par conséquent la jonction faite par lui avec le réseau des triangles de première classe, ne pouvait être regardée comme suffisamment exacte; de l’autre côté le point lui-même, l’ancienne église de St. Pierre n'existait plus et, après un laps de temps de près de trente ans, il était même difficile d'en vérifier exactement la position. Par ces raisons , il était nécessaire de faire une nouvelle jonction géodésique entre notre observatoire temporaire de Vilkomir et deux autres points de la triangulation du Général Tenner, et dont l'identité fut constatée. Cette opération devait être exécutée par l'astronome établi à Vilkomir pour le temps de notre expédition, dans les intervalles entre les différentes arrivées des chro- nomètres.

Les observations à faire à Valdai et Vilkomir, furent confiées à M. Alexandrowv, lieute- nant du corps des topographes et ancien élève de mon père. On verra dans ce rapport, que cet officier habile s’est acquitté de sa commission avec autant de zèle que d'intelligence *).

Avant de commencer les opérations, tous les observateurs se comparaient entre eux, pour évaluer leurs équations personelles. Il s'entend que M. Alexandrov était aussi du nombre. A cette occasion, les premières comparaisons faites avec lui, donnaient le résultat étrange que M. Alexandrov observait les passages en différents jours d’une manière très différente; la variation de son équation personnelle montait jusqu'à 1,2 secondes en temps. 1l est connu que presqu'au- cun astronome n’est parfaitement constant dans sa manière d'observer les passages, mais l’in- constance ne s'élève d'ordinaire, qu'à une très petite fraction de seconde, et s’élimine de très près dans la moyenne des observations de plusieurs nuits. Cependant l’inconstance des passages

) Pendant que ce rapport fut écrit, la nouvelle affligeante nous est parvenue que M. Alexandrov qui depuis était chargé des observations astronomiques de la triangulation qui se fait, sous la direction du Colonel Chodzko, dans les provinces Transcaucasiennes, y a succombé à l'influence du climat et aux efforts extraordinaires que réclame, dans ce pays montagneux, l'exécution des opérations géodésiques et astronomiques. C’est à l’occasion de la mémorable ascen- sion de l'Ararat, faite en 1850 sous les ordres du Colonel Chodzko, qu’il fut atteint par la maladie, à laquelle il suc- comba peu de mois après.

- EXPÉDITIONS CHRONOMÉTRIQUES DE 1845. 9

de M. Alexandrov nous parut trop forte, pour qu'on püt lui confier la détermination du temps à Valdai, où il s'agissait de fractions minimes de la seconde. Par ces motifs, en chargeant M. Alexandrov des observations à faire pour la détermination de la latitude, ainsi que des com- paraisons des chronomètres et de tous les arrangements nécessaires à Valdai, pour l'expédition, nous primes la résolution d'envoyer encore un astronome à Valdai pour l'observation du temps. Heureusement M. Liapounov, astronome de Kazan, séjournant à cette époque à Poulkova, eut, sur notre proposition, l’obligeance de se rendre à Valdai pour le but indiqué.

Après la fin de l'expédition de Moscou, nous fimes plusieurs nouvelles séries de comparai- sons avec M. Alexandrov. Les résultats de ces séries en s’accordant entre eux de très près pour les différents jours d'observation, nous portèrent à croire que l'inconstance des passages de M. Alexandrov n'avait existé que dans le premier temps de notre expédition. Cette opi- nion était fondée sur la remarque faite en plusieurs occasions que, pour les astronomes qui pendant un temps considérable ont été hors d'habitude d'observer les passages, il faut un cer- tain temps, au moins l'habitude de plusieurs soirs, pour s'approprier de nouveau une observa- tion constante. Or, comme ce cas avait eu lieu pour M. Alexandrov, nous avons cru superflu d'envoyer encore un autre observateur à Vilkomir. C’est donc lui qui a fait, dans cette seconde place, aussi les observations pour la détermination du temps.

Avant le commencement de nos opérations, un petit observatoire temporaire devait être construit à Valdai pour y placer l'instrument des passages auquel MM. Liapounov et Alexan- drov devaient observer. M. Alexandrov fut chargé de cette construction qui eut pour modèle la maisonnette que M. Air y avait fait construire à Greenwich, pour notre expédition chronomé- trique de 184%, et dont j'ai donné une description dans mon rapport sur la dite expédition. Après la fin de l'expédition de Moscou, tous les instruments qui avaient été employés à Valdai, devaient être transportés à Vilkomir, le point intermédiaire sur la route de Poulkova à Varso- vie. Ce transport ainsi que la construction de la maisonnette d'observation à Vilkomir furent également exécutés sous la surveillance de M. Alexandrov, et c'est à son zèle que nous som- mes redevables que l'intervalle entre la fin de l'expédition de Moscou et le commencement de celle de Varsovie, n’a pas été plus long que de quatre semaines.

La direction des postes avait donné l’ordre que la malle -poste qui portait les chronomè- tres hebdomadaires, devait s'arrêter pour une demie heure à chaque passage par Valdai, pour la comparaison des chronomètres avec les horloges d'observation. Cependant, étant persuadés que les 28 autres chronomètres, 8 fois comparés à Valdai, fourniraient une interpolation par- faitement exacte de la longitude de cette place, nous avons préféré de ne pas profiter de cette permission. À Vilkomir la comparaison des chronomètres hebdomadaires a été omise éga- lement.

Pendant mon séjour à Varsovie, j'avais l’occasion de consulter M. le Général Tenner sur les points de sa triangulation, qui seraient le plus favorablement situés pour l’exécution de la jonction géodésique entre notre observatoire temporaire de Vilkomir et son réseau de triangles.

M. de Tenner eut la bonté de m'indiquer pour ce but les églises paroissiales de Nidoki et de Memoires sc. math. et phys. Th. VI. 2

10 O0. STRUVYE.

Dseveltova. Le premier de ces deux points se trouve à une distance de 12 verstes, l’autre de 10 verstes à peu près de Vilkomir, et il y avait lieu de supposer que les deux édifices aux- quels se rapportaient les mesures du Général Tenner, existaient encore actuellement. Par des renseignements obtenus sur les lieux, M. Alexandrov s’est persuadé de l’exactitude de cette supposition. L'église de Nidoki étant un point de première classe, dans le réseau du Général Tenner, et celle de Dseveltova appartenant à un triangle de seconde classe, elles remplissaient les conditions stipulées. Pour l'exécution de la jonction géodésique entre Vilkomir et ces deux points, tous les instruments furent fournis à M. Alexandrov, de la part de l'Observatoire central.

$ 3. Les instruments et les chronomètres.

Tous les instruments astronomiques employés dans nos expéditions, à l'exception de ceux dont on s’est servi à Varsovie, appartiennent à l'Observatoire central, et sont décrits dans l'ou- vrage Description de l'Observatoire central de Poulkova. Il suffira donc, d’en faire l’énumé- ration et de les citer d'après cet ouvrage. Je commencerai par l’énumération des instruments et des horloges d'observation; suivra celle des chronomètres de voyage.

a) À PouLKkova.

La grande lunette méridienne de l'Observatoire étant constamment employée pour d’autres travaux scientifiques, c'était le second instrument des passages d’Ertel, de 3,0 pouces d’ouver- ture, qui fut employé pour la détermination du temps. On en trouve une représentation dans la Description de l'Observatoire central, planche XXI, fig. 3, et la description dans le même ouvrage pag. 209. 11 à son emplacement dans le petit observatoire détaché Sud-Ouest, et se trouve à une distance de 124, 3 pieds anglais du centre de l'Observatoire, dans la direction du parallèle, ce qui répond à une différence du temps de 0°,162.

Les observations des passages se firent à l’aide d’une pendule d'Utzschneïider, établie dans la même tour. Mais cette pendule, d’une qualité inférieure, étant exposée à des change- ments rapides de température, mon père eut la précaution de la comparer soigneusement avec la pendule normale de Kessels, établie dans la salle centrale. Cette comparaison des deux pen- dules se fit à l’aide du chronomètre Kessels 1294, réglé sur le temps moyen, par l'observation des coïncidences, tant avant le commencement, qu'après la fin de chaque série d'observations faites pour la détermination du temps, et quelquefois même, en sus, au milieu des observations, si elles avaient été continuées très long temps. La pendule normale de Kessels était destinée à garder le temps jusqu'à l’arrivée des chronomètres de voyage.

b) A Moscow.

Pour les observations à faire à Moscou, un des deux instruments des passages était de- stiné, dont nous nous étions servis dans l'expédition entre Altona et Greenwich. M. Düllen choisit celui qu'il avait employé lui même à l’occasion précédente. La description et une repré-

ExPÉDITIONS CHRONOMÉTRIQUES DE 1 845. 11

sentation de cet instrument se trouvent dans mon rapport sur la dite expédition. Mais il faut mentionner ici que les petits défauts dans la construction de cet instrument qui nous avaient produit tant de trouble dans l'expédition antérieure, furent soigneusement corrigés avant son nouvel usage. La suite en fut, que tous les résultats obtenus à l’aide de cet instrument, étaient d'un accord admirable; toute la variabilité de la collimation et les sauts irréguliers, observés antérieurement à différentes réprises dans l’inclinaison de l'axe, ayant entièrement dis- parus.

L'instrument des passages fut établi dans un petit pavillon de l'observatoire de Moscou, de 39 pieds seulement à l'Est du lieu de la lunette méridienne principale de cet établissement. Or, pour effectuer la réduction des temps observés dans notre instrument, sur le lieu de l'in- strument principal de l'observatoire de Moscou, nous n'avons qu’à ajouter — 0,045 aux cor- rections trouvées des horloges.

Au commencement, M. Düllen observait les passages à l’aide du chronomètre Kes- sels 1403, réglé sur le temps sidéral, et qui appartient à l'observatoire de Moscou. Plus tard il le trouvait plus exact et plus commode, d'observer les passages sur une pendule travail- lée dans l’atélier d'Utzschneider et Fraunhofer, et établie dans le même petit pavillon. L'observatoire de Moscou possède en outre une très belle pendule, travaillée par Kessels et réglée sur le temps sidéral. Par conséquent les horloges d'observation furent comparées, ayant le commencement, et après la fin de chaque série d'observations, avec cette dernière pendule, à l’aide d’un chronomètre de Dent réglé sur le temps moyen.

c) À VARSOVIE.

L'observatoire de Varsovie, construit par ordre de l'Empereur Alexandre I dans les an- , nées 1820 à 182%, se distingue, parmi les observatoires européens, par la beauté de son édi- fice. Malheureusement, lors de la construction, on a consulté trop la beauté architectonique, sans avoir assez égard aux besoins de la science. Cette faute dont l'histoire de l'astronomie nous présente plusieurs exemples, a produit de grands inconvénients et a nui extrêmement aux travaux scientifiques de cet établissement. Néanmoins il faut convenir que feu M. Arminski qui, comme directeur désigné de l'observatoire, fut consulté lors de l'érection, par rapport à la partie scientifique, s’est donné beaucoup de peine pour satisfaire, autant que possible, aux besoins de la science. C’est ainsi que l'observatoire de Varsovie réunit, dans sa construction, en même temps de très bonnes idées et, pour ainsi dire, des absurdités scientifiques, dans tous les cas où l'opinion de M. Arminski n’a pu se faire valoir.

Je m'éloignerais trop du but de ce rapport, si je voulais entrer dans une description dé- taillée de l'observatoire de Varsovie. Je me bornerai donc à donner ici quelques notices par rapport à l'établissement de la lunette méridienne, l'instrument dont il s’agissait en premier lieu, dans notre expédition.

Tous les instruments de cet observatoire sont provenus des deux atéliers mécaniques de Munic, de Reichenbach et d'Utzschneider et Fraunhofer. Trois de ces instruments, un

*

12 O0. STRUVE.

cercle méridien de trois pieds de diamètre (de la même construction que ceux de Dorpat et de Kônigsberg), un cercle vertical des mêmes dimensions, et la lunette méridienne ont leur em- placement dans la même salle centrale. Malheureusement cette salle se trouve au second. L'ob- servatoire étant situé au milieu du jardin botanique, où il est entouré de tous côtés d’arbres, c'était un inconvénient presqu'inévitable dès qu'on voulait donner aux lunettes une vue libre jusqu’à l'horizon. Pour éviter les variations dans l'ajustement des instruments, qui auraient pu provenir de cette position élevée, toutes les mesures nécessaires ont été prises. Les piliers des instruments reposent sur une maçonnerie solide qui sort du fondement, et qui est à l’abri de l’in- fluence des changements thermométriques rapides, parce qu'elle est à l'intérieur et séparé du mur épais extérieur. L'intervalle libre entre ce mur extérieur et le fondement des instruments est en outre rempli de paille ou de quelque autre mauvais conducteur de la chaleur.

Les piliers, sur lesquels reposent les instruments sont tous de marbre poli et très beaux; mais il est à regretter que, pour produire plus d'harmonie entre la hauteur des colonnes et celle de la salle, on les a fait beaucoup trop hauts. Cela se prouve déjà par le fait que, dans une direction verticale de la lunette méridienne, j'étais obligé de me tenir débout pour pouvoir ob- server les passages des étoiles. Quoique cette élévation ne nuise pas considérablement à la so- lidité de la position de la lunette, elle produit cependant un autre inconyénient très grave, en ce qu’elle rend le renversement de l’axe extrêmement incommode. I] fallait au moins deux hom- mes très exercés pour exécuter ce renversement, et il était impossible de le faire dans l'in- tervalle entre les passages de la polaire par deux fils consécutifs. Avant mon arrivée à Varsovie on n’avait pas même tenté de faire ce renversement pendant le passage de la polaire, et les’ ob- servalions se firent par longues périodes dans l’une ou dans l’autre position de l'instrument. Done, la collimation ne pouvait être déterminée que dans la direction horizontale de la lunette, par l’ob- servation d’une mire méridienne, établie à la distance d’une verste à peu près de l’observatoire, et qui n’était visible qu'en plein jour, mais assez distinctement dès qu'on diminuait le dia- mètre de l'objectif par un couvercle perforé qui ne donnait entrée qu'aux rayons centraux.

Tous les instruments de l'observatoire de Varsovie ont été construits en 1821. La lunette méridienne a quatre pouces et demi d'ouverture et six pieds de distance du foyer. En 1 845, cetinstru- ment était en très bon état de conservation. Avant de l’employer pour notre but, il fallait cependant exécuter plusieurs changements qui me paraissaient urgents. En premier lieu il fallait rempla- cer l’ancien niveau par un autre plus sensible. J'avais apporté de Poulkova, deux niveaux de très bonne qualité, et dont nous choisimes celui qui nous parut le plus parfait. Pour pou- voir diriger la lunette sur les étoiles, Reichenbach avait appliqué au tube près de l’oculaire, un petit cercle chercheur pourvu d’un index qui donnait les distances au zenith à l’aide d'un petit niveau mobile avec le porte-index. Cet arrangement ayant déplû aux astronomes de Var- sovie, parce qu'il ne donnait pas le moyen de fixer la lunette et de la faire mouvoir par une vis micrométrique, ils avaient ôté ce cercle et remplacé par un autre cercle travaillé par un mécanicien de Varsovie, et qui fut appliqué sur un des tourillons et fixé par trois vis contre le corps de l’axe. Quoique ce changement répondit parfaitement au but proposé, il se montra

ExPÉDITIONS CHRONOMÉTRIQUES DE 1845. 13

désavantageux à la détermination du temps absolu, en ce qu'il empêcha le nivellement facile de l'axe. Nous résolûmes d'ôter ce cercle et de rétablir l’ancien arrangement de Rei- chenbach.

Par un examen soigneux de l’état de l'instrument, il se manifesta que les coussinets, dans les endroits où les tourillons les avaient touchés, avaient souffert considérablement par l’usage de vingt ans. Or, avant de commencer les observations, il fallait limer et repolir les parties mé- talliques qui forment les coussinets, ce qui fut exécuté par un habile mécanicien de Varsovie.

Je passe sous silence nombre d’autres arrangements plus ou moins essentiels, et exécutés avant le commencement de nos observations, en mentionnant seulement qu’un soin particulier fut voué à l'appareil qui sert pour le renversement de l'axe, afin de le rendre plus solide et plus propre à une opération rapide. L'expérience a prouvé que nous avons réussi dans cette tâche, vu que, dans le journal d'observations de M. Baranovski, nous rencontrons plusieurs cas où il a exécuté le renversement dans le courant de cinq minutes.

Dans la même salle centrale, il y avait une pendule auprès de chaque instrument. Quoique les trois horloges, travaillées toutes par un horloger de Varsovie Gugenmus, ne se trouvent qu'à une distance de quelques pieds l’une de l’autre, les battements ne se confondent point, vu qu'ils sont si faibles qu'on n'entend que ceux de la pendule qui se trouve tout près de chaque instrument. Comme il n’était pas décidé d'avance, à laquelle des trois pendules il fal- lait donner la préférence, elles furent comparées entre elles tous les jours. Ces comparaisons, exécutées à l’aide du même chronomètre de Dent dont nous nous étions servis, pour ce but, à Moscou, se faisaient chaque jour à une heure fixe et, en outre, avant et après chaque série d'observations. Plus tard, une quatrième pendule, de Shelton, établie dans un endroit où la tem- pérature ne subissait point de changements rapides, fut ajoutée au nombre. Dans le calcul dé- finitif des longitudes, les corrections de nos horloges de voyage reposent cependant sur les in- dications de deux pendules seulement, sur celles de Gugenmus 3, pendule établie auprès de la lunette méridienne, et sur celles de la pendule de Shelton, parce qu'il se manifesta que ces deux pendules avaient des marches beaucoup plus régulières que les deux autres. Lors de la première arrivée de nos chronomètres de voyage, la pendule de Shelton n’était pas encore bien réglée, et c’est par cette raison que, dans ce cas, à côté des données fournies par la pendule Gugenmus 3, nous avons consulté encore les indications de la pendule Gugenmus A, établie auprès du cercle vertical. |

d) À VALDaAI.

L'instrument des passages dont MM. Liapounov et Alexandrov se sont servis à Valdai, est celui que nous trouvons décrit dans la Description de l'Observatoire central pag. 216, N. 11. Les observations des passages se faisaient à l’aide du chronomètre Hauth 26, réglé sur le temps sidéral. En outre, une pendule de Muston, réglée aussi sur le temps sidéral et établie dans une localité où la température changeait moins que dans l’observatoire temporaire, était destinée à garder le temps jusqu’à l’arrivée des chronomètres de voyage. Pour pouvoir exécuter

14 O. STRUVE.

une comparaison exacte entre l'horloge d'observation et cette pendule, qui, toutes les deux, in- | diquaient le temps sidéral, il était nécessaire de se servir d'un chronomètre réglé sur le temps moyen. Dans ce but, nous avons ajouté an nombre des horloges établies à Valdai, encore le chro- nomètre Arnold et Dent 1005. Plus tard, l'expérience nous a prouvé que les deux chrono- métres ont gardé le temps presqu’aussi exactement que la pendule. Par conséquent, dans le cal- cul des longitudes, nous avons pris la moyenne entre les résultats obtenus par les trois horloges. Le même instrument des passages qui servit pour la détermination du temps, fut employé par M. Alexandrov pour la détermination de la latitude de Valdai, par des observations faites dans la direction du premier vertical. e) À VILKOMIR.

L'instrument des passages et les horloges établis à Vilkomir, étaient les mêmes qui avaient servi à Valdai, à la seule exception près que le chronomètre Hauth 26 fut remplacé par le chrono- mètre Kessels 1297, également réglé sur le temps sidéral. En outre, pour l'opération géodé- sique dont il a été question dans le À 2, l'Observatoire central avait fourni à M. Alexandrov les instruments suivants: À) un petit instrument universel d’'Ertel (Description de l'Observatoire central pag. 216, N. 12, 2) une règle en fer de 5 pieds anglais de long, 3) un compas à verge, 4) une simple chaîne d’arpenteur pour la mesure provisoire de la base. La mesure exacte de la base devait se faire à l’aide de perches de bois, longues de 10 pieds, que M. Alexandrov fit exécuter sur le lieu. Ces perches, de bois sec de sapin, furent trempées d’huile, pour être moins sujettes à des variations psychrométriques. Elles portaient sur leurs extrémités des traits fins dont la distance réciproque de 10 pieds, fut vérifiée à l’aide de la règle en fer. Il s’entend que, dans la mesure de la base, les perches furent toujours bien nivelées, et que toutes les autres précautions étaient prises, pour rendre cette mesure aussi exacte que les circonstances le récla- maient.

Il me reste maintenant à faire l’énumération des chronomètres de voyage. Ils se divisent en deux groupes, le premier contenant les chronomètres montés chaque jour, l’autre les chronomètres hebdomadaires.

I. 28 Chronomètres qui devaient être montés chaque jour.

1) Kessels 1290

2) — 1297

DPTROEE Dent oui appartenant à l'Observatoire central

4) Hauth 11

5) — 18

6) — 52

7) Dent 1613

8) — 1687 } appartenant à la collection d'instruments de l’État-Major Impérial 9) — 1736

ExPÉDITIONS CHRONOMÉTRIQUES DE 1 845. 15

10) Dent 1739

11) 24774

19) — 1787 appartenant à la collection d'instruments de l'État-Major Impérial,

13) — 1808

14) Hauth 32, acheté par S. A. J. le Grand-Duc Constantin de la succession de l'Ami-

ral Greigh, 15) Dent 19%1 appartenant à M. l’Amiral Lutke,

16) — 1776

17) — 1778 chronomètres de l'observatoire de Moscou,

18) — 1798

A 0 drumoitd

20) — 1799 partément des arpenteurs,

DOM A TAT jan département des arpenteurs du Grand-Duché de Finlande, 22) — 41807

23) — 1630, de l'observatoire de Varsovie,

24) — 1821

25) — 1827.

Les deux derniers chronomètres appartiennent encore à M. Dent, mais du temps de notre expédition les chronomètres 16 à 23 étaient également propriété de l'artiste qui nous avait permis de nouveau, d'en faire usage dans nos opérations. Ce n'était qu'après la fin des expédi- tions de 1845, que ces chronomètres, dont la qualité supérieure avait été constatée de nouveau, furent achetés par les établissements auxquels ils appartiennent actuellement.

26) Kessels 1276, en dépôt à l'Observatoire central,

27) Hauth 30

28) — 32

Les trois derniers chronomètres sont les seuls chronomètres de poche, dont nous nous sommes servis dans nos expéditions de 1845. Nous avions un plus grand nombre de chronomè- tres de poche à notre disposition, mais l'expérience gagnée dans les expéditions antérieures nous décida à ne pas nous charger d’un plus grand nombre, vu qu'ils sont en général, par rapport à la régularité des marches, considérablement inférieurs aux chronomètres de boîte.

appartenant à M. P. de Tchihatchev.

II. 12 Chronomètres hebdomadarres.

29) Dent 1635 35) Dent 1913 30) — 1636 36) — 1978 die 11637 Sn = 1979 32) — 1794 38) — 1983 Sa = 1001 39) — 1985 34) — 1910 40) — 1986

16 O. STRUVE.

Ces chronomètres, comme j'ai déjà dit dans l'introduction, nous furent envoyés exprès par M. Dent, pour servir dans nos expéditions de 1845.

Voilà en tout 40 chronomètres qui devaient servir pour le transport du temps. Pour avoir le nombre total des chronomètres employés dans nos expéditions de 1845, il faut ajouter en- core ceux qui furent établis dans les différents lieux d'observation, pour le but des observations astronomiques ou des comparaisons des pendules, savoir:

Kessels 129% de la collection de l'Observatoire central

— 1403 — — de l'observatoire de Moscou Dent 1942 appartenant à M. Dent et établi à Moscou et à Varsovie Hauth 26 appartenant à l'État Major Impérial établis à Valdaï et Vilko- Arnold et Dent 1005 appartenant à l'observatoire de ANA mir.

Ainsi, le nombre total des chronomètres employés dans ces expéditions était 45. De ce nombre nous devons 23 ou la moitié à la libéralité de notre ami M. Dent qui nous a donné une nouvelle preuve de l'intérêt vif qu'il prend dans les progrès de la géographie de notre patrie.

Parmi les 40 chronomètres de voyage il n’y avait que trois, Kessels 1297, Hauth 11 et Hauth 18, qui furent réglés sur le temps sidéral. 36 des chronomètres marquent les demi- secondes, les trois chronomètres de poche, font 5 battements en 2 secondes, et notre chronomètre de comparaison Kessels 1290 fait 13 battements en six secondes.

Le chronomètre Arnold et Dent 951, très bon chronomètre d’après nos expériences an- térieures, est celui auquel nous avions fait ôter la compensation (voyez pag. 4). Dans le rap- port sur l'expédition chronométrique de 1843 pag. 28, mon père avait proposé l’usage d’un tel chronomètre à balancier non-compensé pour déterminer la valeur moyenne des températu- res qui ont eu lieu, pendant les différents voyages, dans l'intérieur des boîtes qui contenaient les chronomètres ; ou plutôt pour déterminer la moyenne des températures qui effectivement ont agi sur les marches des chronomètres durant les voyages. Cette proposition a été mise en exécu- tion, pour la première fois, dans nos expéditions de cette année.

IL DÉTERMINATION DU TEMPS ABSOLU.

& 4 Observations de Poulkova.

Il a été dit plus haut qu'en général, dans les déterminations du temps de l’année 1845, nous avons suivi les mêmes méthodes d'observation et de réduction, qui se trouvent exposées en détail dans nos rélations sur les expéditions chronométriques de 1843 et 1844. Cependant les méthodes d'observation exposées dans le dernier de ces rapports, se rapportaient principale- ment à l'usage des instruments transportables. Mais les instruments fixes, par leur construction plus parfaite et un établissement plus invariable, admettent en général la possibilité d'atteindre encore un plus haut degré d’exactitude par des méthodes simplifiées, quoiqu'iden-

EXPÉDITIONS CHRONOMÉTRIQUES DE 1845. 17

tiques dans le principe avec celles dont nous nous sommes servis pour les instruments trans- portables. Dans ce point de vue, mon père a cru devoir introduire plusieurs changements dans les méthodes soit d'observation, soit de réduction, à l'occasion des observations faites par lui, pour notre but, à l’aide de l'instrument des passages de quatre pieds de l'Observatoire de Poul- kova. Je crois qu'il serait assez intéressant de publier les séries détaillées de ces observations; mais, pour ne pas trop élargir les limites de ce rapport, il suffira de donner les résultats, en indiquant seulement en quels points les méthodes d'observation et de réduction ont différé de nos méthodes antérieures.

La cause principale qui nous permet de simplifier les méthodes d'observation et de réduction, dans les observations à faire avec des instruments fixes, c’est qu'en général nous devons admettre que les observatoires possèdent les moyens d'examiner et d'étudier ces instru- ments sous tous les rapports.

Dans l’usage des instruments transportables, il est presque toujours plus facile de trouver l'inclinaison de l’axe à chaque instant, que de déterminer exactement l’azimuth de la lunette. Par cette raison, dans toutes nos expéditions chronométriques, il a été arrêté que les déter- minations du temps absolu, devraient être basées principalement sur les observations des passages des étoiles zénithales, où tout dépend d’une connaissance exacte de l'inclinaison de l'axe, et dans lesquelles une petite incertitude de l’azimuth n'a qu’une influence subordonnée. Ce principe devant être suivi dans les observations de Moscou, de Varsovie etc., il parut favo- rable de choisir les mêmes étoiles zénithales pour la détermination du temps à Poulkova. Par conséquent il s'agissait pour mon père d'évaluer exactement les quantités qui mènent à la connaissance de l’inclinaison de l’axe, c. à d. de déterminer la valeur de la division du niveau et l'épaisseur relative des tourillons.

Pour la détermination de la division du niveau, M. W. Struve l'avait appliqué sur l'appareil construit pour ce but, et dont il y a une description et une représentation dans mon rapport sur l’expédition chronométrique de 184% pag. 18 et pl. IL. Voici les résultats des diffé- rentes séries d'observation :

Valeur d’une division Longueur moyenne de

Date. Pepe du niveau p. la bulle. 1 Juin {re série + 8,0R. 1609 45,6 div.

«) :2me -« + 8,0 1,611 44,5 «

6 « {re « + 12,5 1,638 40,6 «

« 2me « .—+ 12,5 1,626 40,3 «

8 « + 15,5 1,644 37,1 «

5 Juillet +- 20,0 1,634 32,2 «

7 Août + 20,0 1,606 34,8 «

Moyenne p — 1,624 39,3 « La valeur d’une division du niveau, employée dans les calculs de réduction, a été la moyenne des cinq premières séries d'observations — 1,626, et ne s’écarte que de 0,002 de la

Mémoires sc. math. et phys. T. VI. 3

18 O0. STRUVE.

valeur finale. On voit, dans le tableau précédent, que les changements produits dans la valeur des divisions par l'effet de la température, sont presque imperceptibles entre les limites de la température + 8,0 R. et + 20,0 R., ou des longueurs correspondantes de la bulle de 32 div. et 46 div. Ces limites ont été suffisamment larges, car dans la série d'observations astronomiques, faite à Poulkova pendant les deux expéditions, il n'existe pas un seul cas où la longueur ob- servée de la bulle ait dépassé ces limites.

L'angle formé par les coussinets de notre lunette méridienne, ainsi que celui des pieds du porte-niveau, dans les endroits où ils se placent sur l’axe, sont exactement de 90°. Par con- séquent, absolument le même résultat doit provenir, soit qu'on observe l’inclinaison de l'axe dans une direction verticale de la lunette ou dans une direction horizontale. Par cette raison, comme le niveau ne pouvait pas être placé sur l'axe, la lunette étant dirigée vers le zénith, le nivellement se faisait toujours dans sa direction horizontale. Pour plus de sûreté toujours deux nivellements ont été faits, la lunette étant tournée une fois vers le Sud, l’autre fois vers le Nord. Ces nivellements furent exécutés avant le commencement et après la fin de chacune des deux branches d'observations dans les deux positions de l’axe.

Une différence considérable dans les épaisseurs des tourillons s’est montrée du premier abord. Trois séries de nivellements exécutées par MM. W. Struve et Baranovski, en ren- versant la position de l’axe après chaque nivellement, ont donné les résultats suivants:

Différence des inclinaisons observées. 19 Jum C0. — CE. — + 3,039 div. — + 5,04 20 « + 3,190 + 5,18 21 Juillet + 3,011 + 4,90

Moyenne — + 3, 080 div. — + 5,04;

ce qui donne la correction à appliquer aux inclinaisons observées — + 1260 — + 0084, positive dans la position C. E. de l'instrument, négative dans la position opposée C. O. Dans la Description de l'Observatoire central pag. 209 nous trouvons, pour la même correction, la valeur + 0103, un peu plus grande. Sans doute notre valeur doit être regardée comme la plus exacte.

Ces nivellements, exécutés dans le but de déterminer les différences dans les épaisseurs des tourillons, ont été faits pendant deux jours dans une direction horizontale de la lunette. Dans la troisième série de nivellements, la lunette fut placée sous différents angles par rapport à l'horizon, pour examiner s’il y avait lieu de supposer quelque part une irrégularité considérable dans la forme des tourillons. L'accord des inclinaisons observées dans les différentes directions de la lunette a été tel, qu’il n’admettait pas le moindre soupçon d’une forme irrégulière des tourillons.

L'un des instruments des passages employés dans l'expédition entre Altona et Greenwich, avait montré une différence frappante entre les nivellements exécutés la lunette étant tournée vers le Nord ou vers le Sud. Dans le but d'examiner si quelque phénomène analogue se mon-

|

ExPÉDITIONS CHRONOMÉTRIQUES DE 1845. 19

trait dans l'instrument employé par mon père, j'ai comparé, pour chaque position de l’instru- ment, à peu près 20 nivellements exécutés dans la direction Nord de la lunette (N), avec les nivellements correspondants faits dans la direction Sud (S$). Ces comparaisons m'ont donné en moyenne:

dans la position C. E. N — S$ — 0,0057 div. — $ — 0,009

@ @ € CO N—S — 0,0325 div. — S — 0,053

c. à d. une différence absolument insensible, parce que les deux petites quantités indiquées ne dépassent guère les erreurs accidentelles des observations.

Les mêmes comparaisons m'ont fourni le moyen de former un jugement sur la précision des inclinaisons déterminées à chaque occasion. Dans la supposition qu'il n’y avait aucune différence constante dans les nivellements N et S, j'ai pu regarder chaque N — S isolé, comme une erreur accidentelle de la différence de deux nivellements partiels qui, combinés et corrigés pour l’effet de la différence dans les épaisseurs des tourillons, nous fournissent l'inclinaison de l'axe, employée dans la réduction des observations. Or, 97 comparaisons ayant donné l'erreur probable d'un seul N — S — 0,209, nous avons l'erreur probable de l'inclinaison déduite

d’un nivellement complet re — 0100510007.

Dès les premiers jours d'observation, M. W. Struve fit la remarque que tous les soirs les inclinaisons de l’axe variaient dans un sens constant. Il attribua ce phénomène à un état plus ou moins thermoscopique des deux piliers de granit ou des différentes parties métalliques de l'instrument qui supportent l'axe. Si cette explication était juste, l’inclinaison devait suivre en général la période thermométrique diurne. Le matin où, après le lever du Soleil, la tem- pérature augmente rapidement, le phénomène inverse, mais peut-être plus fort, devait avoir lieu de celui qui se produisait le soir. L'expérience s'accorde parfaitement avec cette conclu- sion, comme on peut voir dans le tableau suivant, où je donne les différences entre les incli- naisons de l'axe observées au commencement + et à la fin ” de chaque série d'observation, et exprimées en fractions de seconde en temps. A côté de chaque ? — ï” j'ajoute le nombre des heures auquel correspond le changement observé de l’inclinaison.

Observations du soir. Observations nocturnes. Observations du matin. Date. Heures. 5: Heures. à — à Heures. 40— :, Juin 2 3,0 — 0040 2,5 + 0036 6 3,0 — 0,120 7 2,0 — 0,055 8 2,5 — 0,094 9 2,5 — 0,082 2,5 - 0,153 10 3,0 — 0,093 11 2,5 — 0,115

12 1,0 — 0,014 2,3 — 0045

20 O0. STRUVE.

Observations du soir. Observations nocturnes. Observations du matin. Date. Heures. AE Heures. ME Heures. il — à. Juin 13 2,8 — 0043 14 2,5 — 0,107 15 2,0 — 0,079 17 3,2 — 0037 18 2,0 + 0028 19 2,5 — 0,022 275 + 0,084 20 2,8 — 0,020 2,0 + 0,107 21 4,8 — 0,156 22 3,6 — 0,053 23 1,9 + 0,088 24 4,0 — 0,077 29 0,8 + 0,026 30 1,8 — 0,049 2,0 + 0,040 Juillet 1 1,8 — 0,054 26 1,8 — 0,007 Août 4 3,7 — 0,125 6 5,0 — 0,048 6 3,0 + 0,199 7 3,0 — 0,124 3,1 — 0,006 18 3,6 + 0,012 3,0 — 0,045 20 29 2,0 — 0,053 30 5,5 — 0,063 Sept. 1 3,0 — 0,007 2 4,5 + 0,008 11 0,5 — 0,010 12 2,5 — 0,069 13 1,8 — 0,046

En prenant les moyennes des données précédentes nous déduisons le changement horaire de l’inclinaison,

pendant les observations du soir — — 00222 « « « de minuit — — 0,0123 « « « du matin — + 0,0396

Il s'accorde avec la périodicité thermométrique supposée, que les variations des inclinai- sons observées vers minuit, s’approchent plus des résultats trouvés pour le soir que de ceux du matin, d'un côté parce qu'à minuit en général le thermomètre continue encore à tomber, de l’autre

ExPÉDITIONS CHRONOMÉTRIQUES DE 1845. 21

côté parce que la majeure partie des observations nocturnes a été faite avant minuit. Si l'on regarde la série des à — à déterminés le soir, on remarque facilement, que les derniers jours d'observation, les différences sont considérablement plus petites qu'au commencement. Cela con- tribue aussi à confirmer l'hypothèse de l’origine thermoscopique de ces variations, vu que, dans notre climat, en automne, les différences entre les températures du jour et de la nuit sont plus petites qu'aux mois de Juin et de Juillet.

Des variations progressives de l’inclinaison étant reconnues, il s'entend que, dans Ja réduction des observations, l’inclinaison correspondante à chaque passage fut déduite par une interpolation entre les valeurs déterminées au commencement et à la fin de chaque branche de la série d'observations.

Pour l’uniformité de toutes les parties de son travail, M. W.Struve a voué également un soin particulier à la détermination de l’azimuth de la lunette et de la collimation de l’axe optique. Dans notre expédition de 184%, nous avions été obligés de déduire ces quantités, d’après la mé- thode des moindres carrés, du complet de tous les passages observés chaque jour. Dans le cas actuel, un moyen plus simple pouvait être employé. Mon père fit construire une mire méridienne, vers le Sud de l'instrument, à l’aide de laquelle il pouvait à tout instant vérifier l’azimuth de la lunette et, après avoir renversé la position de l'instrument, déterminer directement la collimation de l'axe optique. Cette mire consistait dans une plaque noire en fer, établie sur un fondement solide, au centre de laquelle un petit rectangle de 0,306 pouce de large fut peint d’une couleur blanche. La distance entre la mire et l'objectif de la lunette méridienne étant de 542 pieds — 6504 pouces, le diamètre horizontal du petit rectangle se présente à l’objectif sous un angle de 9,70. Le fil du milieu du réticule a coupé le rectangle pendant toute la durée des observations de cette année; mais s’il eût dévié, on avait le moyen de produire la bissection en mouvant l’un des coussinets de l’axe par sa vis micrométrique horizontale. En estimant le rapport mutuel des parties visibles de la mire, d’un côté et de l’autre du fil du milieu, on pouvait déduire la différence en azimuth entre l'axe optique de la lunette et la direction du centre de la mire. Les fils d’araignée du réticule avaient une épaisseur apparente de 270. Donc les deux portions visibles du rectangle présentaient à l’objectif ne somme de 9770 — 260 — 7:70 — 0513. Par conséquent, ayant trouvé le rapport

des deux parties visibles de la mire — «a : b, nous avons la différence en azimuth par a — b

EL = —— 2 (a + b)

05513 + c, où c signifie la collimation de l'axe optique.

Le foyer de la lunette méridienne étant reglé sur des objets infiniment éloignés, elle ne pouvait pas montrer distinctement le petit rectangle. Pour remédier à cet inconvénient, un second objectif, dont la distance du foyer était égale à la distance de la mire, pouvait être appliqué à chaque instant devant l'objectif de la lunette méridienne. Or, c'est la ligne qui joint le centre de ce second objectif avec le milieu du petit rectangle blanc, par rapport à laquelle nous déterminons la quantité & par le procédé précédemment donné, c. à d. c’est cette ligne qui nous sert de mire méridienne.

O0. STRUVYE.

[I 19

Supposons maintenant qu'après un renversement de l’axe, le centre de l’objectif auxiliaire n'occupe pas exactement le même lieu qu'avant le renversement. La suite eu sera que, dans les deux positions de l'instrument, nous aurons deux différentes mires méridiennes, et que la collimation déduite des indications du fil du milieu sur le rectangle, sera affectée de l'influence de ce déplacement en direction horizontale. L'objectif auxiliaire étant placé concentriquement dans sa monture il n’y avait qu'à examiner si la périphérie de la monture resta, après le ren- versement, à la même distance horizontale d’un objet invariable placé de côté. Cet examen trois fois répété, donne pour le déplacement de l'objectif auxiliaire, produit par le renversement de l'axe, les quantités: 0,0750 pouce

0,0758 « 0,0767 «

Moyenne 0,0758 pouce.

C'est de cette quantité que l'objectif auxiliaire se trouve plus à l'Est dans la position C. E. de l'instrument, que dans la position C. O. La moitié de cette quantité, ou 0,0379 pouce, se présente à la distance du rectangle, de 6504 pouces, sous l'angle de 1/20 — 0,080. Or, pour n'avoir affaire qu'à une seule mire moyenne, il fallait corriger, de + 0080, les & déduits du rapport des parties visibles du rectangle, en y employant la valeur réelle de la collimation; ou il n’y avait rien à changer dans l’«, si l’on le déduisait en y employant une valeur de la collimation altérée de la quantité indiquée. Il s'entend que, pour avoir la vraie collimation, la valeur déduite directement des indications du fil du milieu sur le rectangle, devait subir la correction de Æ 0080. Je remarque ici encore que l'axe de l'instrument, pour le faire occuper exactement le même lieu dans les deux positions de l'instrument, s’appuyait d’un côté contre une plaque métallique invariable, tandisque de l'autre côté il était poussé contre cette plaque par un ressort très fort.

Après avoir fixé ainsi, de quelle manière les différences en azimuth entre la ligne optique de la lunette et la direction moyenne de la mire devaient être évaluées, mon père pou- vait procéder à déterminer l’azimuth même du centre de la mire. Dans ce but il fit une série d'observations de l’étoile polaire dans ses deux passages, inférieur et supérieur, et en combina les résultats avec les indications correspondantes du fil du milieu sur la mire, ainsi qu'avec les inclinaisons effectives de l'axe, données par les nivellements. Pendant chaque passage de la polaire, l'axe de l'instrument fut renversé, pour éliminer la collimation et l'erreur sub- sistante peut-être dans la détermination de la correction constante Æ 0080, indiquée précé- demment. En combinant les résultats des passages supérieurs avec les résultats correspondants des passages inférieurs de la polaire, les valeurs suivantes de l’azimuth — a du centre de la mire furent déduites:

ExPÉDITIONS CHRONOMÉTRIQUES DE 1845. 23

Juin 2 a — — 0°156

4 — 0,226

5) — 0,180

4 — 0,152

8 — 0,179

8 — 0,212

14 — 0,172

15 — 0,161

18 — 0,154

18 — 0,149

19 — 0,154

19 — 0,175

20 — 0,166

Moyenne a — — 0,172 L'accord des valeurs isolées de a avec la moyenne donne l'erreur probable d'une seule détermination de l’azimuth — 0016 et celle de la moyenne — 00044. La valeur trouvée de a demande encore la correction de — 0022 qui répond à l'effet de l'aberration diurne. C'est ainsi que nous avons définitivement l’azimuth du centre de la mire — — 019% avec l'erreur probable — 00044. Le signe négatif indique ici que la mire se trouve à l'Ouest du

méridien de l'instrument des passages.

La valeur a — — 019% a été employée dans la réduction de toutes les observations

faites pendant l'expédition de Moscou. Plus tard, par l'addition de quelques nouvelles séries d'observations, l’azimuth de la mire fut fixé finalement à — 0189. Or la valeur adoptée dans la réduction des observations faites penäant l'expédition de Moscou n'était erronée que de 0005. L'influence de cette petite erreur dans l’azimuth, sur la déduction des corrections des horloges, peut être regardée comme absolument insensible, surtout si l’on n’a observé que des étoiles zénithales. Cependant, dans la réduction des observations faites pour le but de l'expédition de Varsovie, nous avons donné la préférence à la seconde valeur de a, comme étant la plus exacte.

La collimation de l'axe optique pouvait être déduite, soit des observations de la mire, soit de celles de l'étoile polaire. Je donnerai dans le tableau suivant les résultats obtenus par les deux méthodes pendant la durée de l'expédition de Moscou. Dans l'expédition de Varsovie, il n'était plus nécessaire de faire des observations régulières de l'étoile polaire, vu que, par les observations précédentes, on s'était déjà persuadé qu’elles pouvaient être parfaitement rem- placées, et même avec avantage, par les observations de la mire.

Les observations régulières de la mire, faites dans le but de déterminer la collimation de l'axe optique ne commencent que le 10 Juin. Avant ce temps la collimation fut déduite des seules observations de l’étoile polaire, et l'observation de la mire ne servait qu’à tenir l’in- strument constamment dans le même azimuth.

O. STRUVE.

Collimation de l’axe optique déduite des observations

de la mire. de l’étoile polaire. Juin 2 1" 9" — 0080 — 0060 13 4 — 0,079 « 4 1 4 — 0,091 « 6 13 4 — 0,053 CNT CAO — 0,029 « 8 13 4 — 0,025 «7 1 OM AB 4 — 0,042 @ 140 13 4% — 0,080 — 0,062 @ 11 13 1 — 0,080 — 0,038 « 12 1322 — 0,059 15 50 — 0,073 0 O0 — 0,080 « 13 1325 — 0,080 @ 1% 1259 — 0,084 — 0,049 « 15 13 16 — 0,080 0 57 — 0,055 — 0,038 « AT M6 19..02200043 19 14% — 0,074 « 18 1 1 — 0,080 — 0,064 « 49/43 0 —0,055 — 0,041 1 O0 — 0,038 — 0,068 @ 20 13 2 — 0,075 — 0,073 1423 — 0,080 0 58 — 0,080 — 0,060 « 21 1332 — 0,066 15 49 — 0,066 « 22 1528 — 0,082 « 23 0 57 — 0,087 — 0,079 € 2% 1357 — 0,126 15 1 — 0,105 € 29 1410 — 0,115 3 21 —0,110 « 30 13 1 — 0,095 — 0,095 14 13 — 0,080 1 3 — 0,094 — 0,110 Juillet 4 13 O0 — 0,123 — 0,100

ExPÉDITIONS CHRONOMÉTRIQUES DE 1845. 25

On reconnaît tout de suite qu'entre les observations du 23 et 2% Juin, la collimation s’est changée un peu. En prenant les moyennes des deux séries, avant et après cette époque, nous trouvons:

dans la première période

par les observations de la mire ec — — 05072

CM « de la polaire ce — — 0,056; dans la seconde période

par les observations de la mire c" — — 0107

€ « « de la polaire 0 —— 0,102.

Les deux résultats obtenus pour c dans la première période, différent entre eux plus qu'on ne devait s’y attendre. Peut-être une petite flexion latérale du tube s’y est prononcée, la- quelle a disparu dans la seconde période, en se confondant avec l'erreur accidentelle du résultat obtenu d’un trop petit nombre de passages de l'étoile polaire. Mais soit qu'une telle flexion latérale existe réellement, ou que la différence de 0016 entre les deux valeurs de € ait été pro- duite par quelque autre cause inconnue, il est évident que cette incertitude minime de la colli- mation sort entièrement de la détermination de la correction de l’horloge, déduite des obser- vations des étoiles zénithales, faites dans les deux positions de l'instrument. En prenant la moyenne entre les deux valeurs de c et de c”, et en appliquant la correction + 0011 due à l'aberration diurne, nous avons pendant l'expédition de Moscou,

avant le 24 Juim c — — 05075 dans la position de l'instrument C. ©. +007 0x « « « C. E. après le 24 Juinc——0115 « « CAR: « C. O. —= + 0,093 « « « « « C. E.

La supposition d'une flexion latérale du tube de notre lunette méridienne gagne un appui dans les déterminations de la collimation, faites pendant l'expédition de Varsovie. Les observa- tions de la mire, de cette période, ont donné les résultats suivants:

25 Juillet 16° 56" c —— 05115 20 Août 1? 2" c — — 05126 26 « 19 39 — 0,066 29 « 17 28 — 0,080 4 Août 16 35 — 0,080 29. «g18 12 — 0,097 DEC 211229 — 0,080 30 « 17 42 — 0,077 AT 0 19 — 0,043 30, « 19 2 — 0,075 6 « 5,32 — 0,099 90,0 «192,59 — 0,085 Et 15 41 — 0,069 1 Sept.13 4 — 0,080 TOME 16 46 — 0,074 1 @ 195, 9 — 0,088 18 « 17°27 — 0,078 Dre 13 00 — 0,090 18 « 19 12 — 0,084 Duc #15: 15 — 0,058 18. Cu 9e 27 — 0,099 11-0047, 33 — 0,102 20 « 0 0 — 0,114 2x CO | ER — 0,102

Mémoires sc. math. et phys. T. VI. 4

#5

26 O0. STRUVE.

12 Sept. 2° 16" c —— 0114 13 Sept. 19" 14° c — — 0080 13 « 18.15 — 0,098 13: :« 90 453 — 0,077 La moyenne de cette série est c — — 0;086.

Il a déjà été mentionné que, pendant l'expédition de Varsovie, les observations des étoiles circumpolaires n’ont pas été continuées avec régularité. Nous ne trouvons dans les journaux que trois observations complètes de l'étoile polaire et une de à Ursae min., qui ont donné:

Août 20 c — — 05077 Sept. 2 — 0,062 « 12 — 0,047 «243 — 0,070 La moyenne de ces quatre valeurs — — 006%, diffère dans le même sens du résultat

des observations de la mire, que pendant l'expédition de Moscou. En prenant la moyenne entre les résultats moyens obtenus par les deux méthodes, nous avons, pour l'expédition de Varsovie, eu égard à l’aberration diurne:

c — — 0086 dans la position de l'instrument C. ©.

c—#+0,064* &« « « « « CE.

Chaque série d'observations commençait par un nivellement de l’axe et l’adnotation de la position du fil du milieu sur la mire. Ensuite les étoiles zénithales furent observées au nombre de 4 à 6, après quoi on répétait le nivellement de l’axe et l'inspection de la mire. Cela étant fait, l'axe de l'instrument fut renversé et les observations se continuaient dans la même succession, pour la seconde position de l'instrument. Pendant tout le temps des deux expéditions, il n’y a pas un seul cas où l'état défavorable du ciel nous ait obligés à déduire la détermination du temps des observations faites dans une seule position de l'instrument. Très souvent, il a été possible de renverser l'axe deux fois, et dans plusieurs cas même trois et quatre fois.

Avant de commencer une série d'observations, et après sa fin, la pendule d'observation d'Utzschneider fut soigneusement comparée avec la pendule normale de Kessels. Si les observations se prolongeaient plus long temps que d'ordinaire, une troisième comparaison inter- médiaire des pendules fut ajoutée. Dans les tableaux suivants je donnerai les corrections des deux pendules U et N, déduites des observations de mon père, et réduites du lieu d'observation, au centre de l'Observatoire avec la différence connue en longitude de 0162 (voyez Description de l'Obs. centr. pag. 291).

L'instrument des passages de 4 pieds n'étant pas encore en complet état d'observation au commencement de nos expéditions, les deux premiers jours, le 29 et le 30 Mai, le temps fut déterminé à l’aide du grand instrument des passages de l'Observatoire, dont la construction et l'usage sont connus par la Description de l'Observatoire central et le Rapport sur l'expédition chronométrique de 1843. Ces observations se faisaient sur la pendule de Hauth et Wetzer qui fut directement comparée avec la pendule normale. Par celte raison, pour les deux premiers jours, ils nous manquent, dans le tableau suivant, les corrections correspondantes de la pendule d'Utzschneider.

ExPÉDITIONS CHRONOMÉTRIQUES DE 1845. 97

Plusieurs fois, pendant l’expédition de Moscou, mon père a été empêché de faire lui même les observations. Dans ces cas, il a été remplacé par M. Baranovski ou par moi. Les cor- rections des horloges déduites de nos observations, sont déjà corrigées, dans le tableau suivant, pour l’effet de l'équation personnelle qui existe dans la manière d'observer, entre mon père et nous, et qui a été de + 05210 pour les observations de M. Baranovski, et de + 0042 pour les miennes. Sur l'évaluation de ces équations personnelles nous traiterons plus en détail dans un article suivant. Pendant l'expédition de Varsovie toutes les observations ont été faites par M. W. Struve seul.

Corrections des horloges, déterminées à Poulkova pendant l'expédition de Moscou.

Date. Temps sid. U. N. Observateur. 1845 Mai 29 | 19° 58" 4058023 W. Struve. € 30 | 14 53 58,41 « « Juin 2/|12 17 + 0" 46525 98,89 « « « 2 1 48 48,33 58,97 « « CE 26 5 Or 49,83 58,90 « « «€ 4 141 9 54,08 59,19 « « « 611 492,.43 56,97 59,19 « « FOR LP SP 59,03 59,30 Baranovski. € __8|12 58 1 0,88 99,46 W. Struve. CIES dis 1,83 59,57 « « « 9:),49 458 2,34 59,58 « « «< 10113 4 3,99 59,64 « « Cu 412557 5,26 59,60 Baranovski. « 12 | 14 51 7,41 59,58 W. Struve. «421 10:17 8,36 59,77 « « « 13113 27 9,43 59,67 CET « 14] 12 57 11,40 59,73 Baranovski. «45:13:22 13,36 59,54 W. Struve. Ce L'ONU T 14,55 59,36 O. Struve. € 17117 44 19,33 09,45 W. Struve. CEST NE. 12 23,28 59,50 « « « 19112 55 24,67 59,51 « « € 19 1 4 25,98 99,43 0. Struve. « 20113 51 27,58 9,48 W. Struve. « 20% 1 3 28,75 99,58 « « « 21 | 14 19 29,74 | 59,33 « «

« 22/[15 S$ 31,94 59,09 « «

28 O0. STRUVE.

Date. Temps sid. U. N. Observateur. 1845 | Juin 23 | 1° 4" | + 1" 35504 | + 0" 58578 O. Struve. « 24 | 14 20 36,99 58,66 W. Struve.

« 29 1 29 91,13 58,00 « «

€ 30 | 13 42 92,16 57,84 « «

« 30 1:00 92,94 97,68 « «

Juillet 1 | 13 44 93,97 57,72 « «

Corrections des horloges, déterminées à Poulkova pendant l'expédition de Varsovie.

Date. Temps sid. U. N. Observateur. 1845 [Juillet 25 | 17" 17" | — 0" 34596 | + 0" 55513 W. Struve. « 26 | 19 35 32,86 99,04 « « Août #%# | 16 20 24,66 94,06 « « « 2,122 36 24,0% 93,80 « « «410 > 04 22,79 93,69 « « (CO 1 LL 22,63 93,47 « « « 18 | 20 38 10,71 53,48 « « € 20 0 32 6,40 50,83 « « « 29 | 17 54 + 0 9,66 20,39 « « € 30 | 19 10 11,17 90,21 « « Sept. 1 | 14 20 14,62 49,78 « « € _ 2 | 14 30 17,16 49,54 « « «UAL MT 42 44,01 48,71 « « « 12 1 44 48,15 48,64 « « « 13 | 19 26 90,37 48,70 « «

On voit dans ces tableaux, que la marche de la pendule normale a été vraiment admirable. Les sauts minimes qu’on recontre dans la série des corrections ont probablement trouvé leur origine dans l'effet de la variation barométrique.

Pour former un jugement sur les erreurs probables à craindre dans les déterminations des corrections des horloges, les résultats obtenus chaque jour dans la position C. O. de l’instru- ment furent comparés avec les résultats correspondants trouvés dans la position C. E.

C. O0. — C.E. Poids de la différence.

2 Juin — 05034 3,2 2 « + 0,054 2,2 x + 0,024 3,2 4% | — 0,105 1,2 6 « — 0,043 3,4

ExPÉDITIONS CHRONOMÉTRIQUES DE 1 845. 29

C. O. — C.E. Poids de la différence.

8 Juin — 0;083 3,2

8 « +- 0,006 2,5

SAC + 0,026 2,1

10 « — 0,016 2,7

12 « + 0,096 4,1

12 « — 0,065 0,7

13 « — 0,046 3,0

15 « — 0,043 3,0

15 « — 0,055 1,9

Ac — 0,063 4,4

18 « + 0,045 2,4

19 « + 0,042 2,9

19 « + 0,151 2,4

20 « — 0,076 3,1

21 « 0,000 4,1

22% « + 0,141 1,3

GAS SC — 0,124 2,2

2% « + 0,019 3,0

30 « — 0,047 2,4

30 « — 0,072 2,5

1 Juillet +- 0,044 2,5 Dans cette liste, les poids sont déduits du nombre correspondant d'étoiles observées dans chaque position de l'instrument. Eu égard à ces poids, la moyenne de tous les €. O0. — C.E. se trouve — — 0008, ce qui indique que la collimation moyenne employée dans la réduction des observations a été très exactement déterminée. En soustrayant — 0008 de chaque valeur isolée de .C. O. — C. E., et multipliant les différences restantes avec les poids relatifs, nous

pouvons déterminer l'erreur probable e qui convient à l’unité des poids, c. à d. à une déter- mination du temps déduite du passage observé d’une seule étoile dans une seule position de l'instrument. Cette quantité a été evaluée € — 0072.

Dans son mémoire: «Sur l'emploi de l'instrument des passages» pag. 17, M. W. Struve

donne la formule n — V 05072? +- ee .0$016secd)?, pour l'erreur probable de l’observa-

tion du passage d’une seule étoile par un seul fil du réticule. Dans cette formule, déduite d’un très grand nombre d'expériences faites à l’aide du cercle méridien de Reichenbach qui appar- tient à l'Observatoire de Dorpat, 05072 répond à l’erreur de l’ouïe, et le second terme sous le radical à celle de la vue, g étant le grossissement employé. Le grossissement de notre lunette méridienne de quatre pieds du foyer a été constamment de 114 fois. Or, en acceptant + 45° pour la déclinaison moyenne des étoiles qui ont servi à la détermination du temps, nous avons,

30 O0. STRUVE.

dans notre cas, n — 0080. Cette valeur de n doit être divisée par y 5 pour donner l'erreur combinée probable, de l'ouie et de la vue, qui convient à un passage observé par les cinq fils du réticule de notre lunette.

L'erreur probable e précédemment donnée pour la correction de l’horloge déduite du passage d'une seule étoile, est composée de l'erreur probable de l’ouïe et de la vue

0080 : à ! Sr , é n = 73; de celle de l'ascension droite de l'étoile observée, des erreurs accidentelles dans le

nivellement de l'axe et des petites variations dans la collimation de l’axe optique, qu’on a supposé constante dans les deux périodes d'observation, avant et après le 24 Juin. Les ascensions droites, tirées pour la plupart de notre catalogue M. IE, donné dans le rapport sur l’expédition chronométrique de 1843 pag. 46 — 53, sont sujettes à une erreur probable moyenne de 0035. Par conséquent, en désignant par x l'effet combiné des erreurs du nivellement et des variations de la collimation, dans l'erreur probable des corrections des horloges, nous avons 2? — €? — n? — 07035 — 0,002679 ou x — 0052.

L'inclinaison de l'axe a été déduite, dans tous les cas, au moins de deux nivellements complets. : Nous avons vu plus haut que l'erreur probable d'un seul nivellement ne monte qu’à 07104 — 00069. Or celle de l'inclinaison ne s’éléverait qu'à 0005. Cependant l'erreur probable de l’inclinaison employée dans la réduction des observations ne peut être supposée aussi petite. Elle dépend non seulement de l'exactitude avec laquelle on peut exécuter le nivellement, mais aussi de l'erreur dans la détermination des épaisseurs des tourillons, dans la valeur employée des divisions du niveau et des petites périodicités dans l’inclinaison. Prenant en considération les différentes sources d'erreurs, je crois qu'on peut accepter approximativement le double de l'erreur probable des nivellements, ou 0010, pour l'erreur probable à laquelle sont sujettes les valeurs employées de l'inclinaison. L'effet d’une erreur dans l’inclinaison de l’axe, sur les corrections des horloges, déduites des observations des étoiles zénithales, dans notre latitude de près de 60”, est le double de sa valeur ou dans notre cas — 0020. Par conséquent nous avons l'effet de la variabilité de la collimation, sur la détermination du temps faite dans une

seule position de notre instrument, Ë — V' x? — 0020? — 0048. D'après ce que nous venons d'exposer, l'erreur probable e d’une détermination du temps,

déduite des observations de n étoiles dans une seule position de notre instrument s'exprime par

aa ie TT 0 08 DER. la formule: = V (E2 + 050202 +- qe D QUE ).

Ayant observé n et n° étoiles dans les deux positions de l'instrument, la petite incertitude de la collimation s’élimine entièrement dans le résultat pour les corrections de l’horloge ou Ë

sort de la formule précédente. Dans ce cas nous avons e = V 05020? + 00,

n+n

Le nombre moyen d'étoiles observées par mon père, pour chaque détermination du temps, a été 6 dans chaque position de l'instrument. L'erreur probable moyenne qui convient aux cor- rections des horloges données dans les tableaux précédents, se trouve par conséquent e — 0,025.

ExPÉDITIONS CHRONOMÉTRIQUES DE 1 845. 31

& 5 Observations de Moscou.

M. Düllen a suivi strictement les méthodes d'observation et de réduction telles qu’elles se trouvent exposées dans mon rapport sur l'expédition chronométrique exécutée en 184% entre Altona et Greenwich. La seule déviation de ces règles qu'il s’est permise, c'est que, dans la déduction des résultats définitifs de la détermination du temps, il n’a pas jugé nécessaire de résoudre les équations de condition d’après la méthode des moindres carrés, dans les cas où, par l’arrangement de ses observations, les coefficients de de et de da se détruisaient presque entièrement dans la moyenne de toutes les observations faites dans les deux positions de l'instrument.

La lunette méridienne dont M. Düllen s’est servi à Moscou, a été la même à laquelle il avait observé pendant l'expédition de 18%4%4. Le niveau étant resté le même il aurait pu employer la valeur des divisions, p — 1,000, telle qu'il l'avait déterminée l’année précédente. Cependant M. Dôllen, désirant se convaincre que la courbure du niveau ne s'était point altérée dans l'intervalle, l'a examiné de nouveau plusieurs fois. Les résultats qu'il trouva étaient:

Juin 10 p — 0,968, la longueur de la bulle étant / — 32,3 div.

€ 11 0,916 « « € € « « 38,0 « € 18 0,877 « « € € « « 44,3 « € 23 0,980 « « EC « « 39,6 « € 23 0,976 « « € € « « 36,1 « « 25 0,960 « « € € « « 39,7 « € 26 0,916 « « CARE OT « 46,3 « « 30 1,000 « « CCE « 46,6 « Juillet 8 0,956 « « CCG « 46,1 « C0 0,838 « * € € « « 49,7 « Dans ses calculs de réduction M. Düllen a employé la valeur moyenne p — 0,944 qui,

à ce qu'on voit, vaut également bien pour les différentes longueurs de la bulle. La différence entre cette valeur moyenne de p et celle de 184% n'étant que de 0,056, il n'y a pas de raison pour supposer une altération sensible dans la courbure du niveau.

M. Dôllen a répété également l'examen de la différence des épaisseurs des tourillons.

Ayant fait 36 renversements de l'axe, il a trouvé en moyenne N°— N° — —0,140p. En 1844 nous avions obtenu pour le même instrument N°— N° — —0,19%p, valeur déduite de 35 renversements de l'axe. Or ces deux valeurs étant de très près de la même exactitude, il fallait prendre la moyenne, qu'on trouve N°— N° — —0,167p — — 0158. Par consé-

quent la correction qu'il fallait appliquer aux nivellements exécutés dans les différentes positions de l’instrument, est # 0,040. Lei le signe supérieur vaut pour la position C. E., l'inférieur pour la position C. O. de l'instrument.

Il était intéressant pour nous de constater de nouveau l'existence de la différence constante qui s'était montrée, en 184%, dans les nivellements exécutés par M. Dôllen à cet instrument, la

32 O0. STRUVYE.

lunette étant tournée vers le Nord (N) ou vers le Sud (S). Cette fois ci la comparaison des Net S nous a donné:

Cercle Est Cercle Ouest.

N — S — 060 N—S + 0,65 + 1,30 — 1,30 — 0,20 — 0,56 + 0,65 — 2,50 — 1,05 + 1,95 + 1,00 + 0,80 — 0,55 + 1,05

— 0,20 — 0,05 ' + 1,15 + 0,75 + 0,20 + 1,10 + 0,95 + 1,25 + 0,25 + 0,90 + 0,95 + 0,10 + 0,75 + 1,20 + 1,40 + 1,25 + 0,50 + 2,60 + 1,10 + 0,65 + 0,60 + 0,60 + 0,30 + 0,05 + 0,25 + 0,65 + 0,95 + 0,50 + 1,55 + 0,05 + 0,55 + 0,55 + 0,25 + 0,65 + 0,35 + 1,00 + 0,95 + 0,30 + 0,50 + 2,60 + 0,60 — 1,20 + 0,30 + 0,95 + 1,30 + 0,30 Moy. N = S + 0,535 + 0,75 + 0,96

Moy. N = S + 0,545

Les valeurs moyennes que nous avions trouvées en 1844, étaient, C.E., N—S + 0,520, C. O., N = S + 07/4992, sensiblement les mêmes que celles de 1845. Or il n’y a plus aucune

ExPÉDITIONS CHRONOMÉTRIQUES DE 1845. 33

doute sur la réalité de cette différence constante; les observations de 1845 cependant n’ont rien contribué à éclaircir son origine.

Par un grand nombre d'observations, M. Dôüllen a determiné pour sa lunette méridienne, les distances des fils latéraux au fil du milieu. En prenant la moyenne de ses observations il

trouva: 115 IT. II]. M. V. VI. VII. 52;493 35;380 17:905 0,000 175806 39;302 53071

En comparant ces valeurs avec les nombres donnés dans le rapport sur l'expédition de 1844 pag. 44, nous avons les différences suivantes: 1845 — 1844 I. Il. LL. M. \ VI. VIT. — 05063 —0093 —0087 0,000 + 0;010 <+0;066 + 0;093

Il s’en suit que, dans le courant d’une année, le fil du milieu a changé un peu de position, par rapport aux fils latéraux. En prenant la moyenne nous trouvons qu'il s’est rapproché de 0069 des trois premiers fils du réticule. Les autres fils sont restés sensiblement dans la même position, à la seule exception du fil V, pour lequel nous devons supposer également un rappro- chement, à peu près de 0:06, aux trois premiers fils.

Pour assurer l'exactitude des résultats, le nombre d'étoiles observées par M. Düllen, chaque soir, a été d'ordinaire très considérable. En moyenne le nombre était 16; mais d’après l'état de l’atmosphère il était tantôt plus grand, tantôt plus petit, en variant entre les extrêmes 7 et 25. Il s'entend que M. Düllen tâchait toujours d’arranger ses observations de sorte, qu'un nombre égal d'étoiles tomba sur chaque position de l’instrument. Parmi les étoiles observées il y a chaque soir au moins une étoile circumpolaire; mais il y a aussi des cas où le nombre des étoiles circumpolaires observées s'élève à 5.

En général le renversement de l’axe fut exécuté pendant les passages de ces étoiles bo- réales, de sorte que les passages de la même étoile par les mêmes fils, pouvaient être observés dans les deux positions de l'instrument. Dans ces cas, la collimation de l'axe optique pouvait être déduite directement. Dans d’autres cas, où différentes étoiles circumpolaires furent obser- vées dans les deux positions, il fallait combiner leurs résultats avec ceux des autres étoiles, pour parvenir à une connaissance exacte de la collimation. La même combinaison mena aussi à la connaissance de l’azimuth de la lunette. Dans le tableau suivant je réunirai les résultats obtenus par ces procédés, soit pour la collimation, soit pour l’azimuth de la lunette.

Date. Azimuth. Collimation. 1845 Juin 1 + 2545 + 0:08

€ 3 + 2,40 + 0,06

€ D + 0,06 + 0,06

er + 0,17 + 0,07

€ 8 + 0,18 + 0,14

Mémoires sc, math. et phys. T. VI. $

34

Date.

1845 Jum 9

11 12 13 14 15 16 18 19 19 20 22 24 27 28

O0. STRUVE.

Azimuth. + 014 + 0,23 + 0,43 + 0,33 + 0,29 + 0,37 + 0,65 + 0,50 + 0,33 + 0,55 + 0,40 + 0,33 + 0,45 + 0,40 + 0,38

Collimation. +- 0511 + 0,04 + 0,07 + 0,10 + 0,07 + 0,09 +- 0,01 +- 0,02 + 0,0% +- 0,02 + 0,03 + 0,02 + 0,12 + 0,07

0,00

Entre le 3 et 5 Juin M. Dôllen a rectifié l’azimuth de la lunette. Cela explique le saut apparent dans la série, sans cela très régulière des azimuths. Aussi la série des collimations ne laisse rien à désirer.

Il me reste maintenant à donner le tableau des corrections des horloges, déduites des ob- servations de M. Düllen. J'ajoute celles de la pendule normale de Kessels (N), obtenues par les comparaisons faites avec l’horloge d'observation dans le courant même des observations. Dans ce tableau, X désigne les corrections trouvées pour le chronomètre Kessels 1403, U celles de la pendule d’Utzschneider et Fraunhofer. Le nombre des étoiles observées dont les corrections correspondantes des horloges sont déduites, se trouve dans la troisième colonne.

Corrections des horloges déterminées à Moscou par M. W. Düllen.

Dates NAS

1845.

sidéral.

Juin 1115! 30"

3120 35 9114 15 7113 40 8113 38

Nombre d'étoiles.

21 16 25 16 18

+10" 2570 +

16,1%

Marche journal.

3:89 + 2,81 + 1,73 + 1,18 + 0,91

Marche journal.

+2" 1670

Marche œ journal.

+ 0565 + 0,58 + 0,38 + 0,34 + 0,28

18,14 19,14 19,90 20,24

ExPÉDITIONS CHRONOMÉTRIQUES DE 1 845.

35

ue, | Ten fuel ge) On [ml x | 2e

1845.

Juin 942 54) 13 |+10"21:60 +9 90:51 10118 31 | 14 0 564 20,63 | + 010 1116 50 | 8 + HU 20,77 | + 015 12) 1 20 | 12 64 Pr er 0 29,91 0 0710 1313 35 | 92 05 =0 078 21,09 | + 035 1413 52 | 8 112117 204 21,08| — 0,01 15114 30 | 19 12,68 1:47 21,05 | — 903 1616 8| 7 om. 20,96 | — 0:08 1818 30 | 22 20,831 264 D can 19117 57 | 11 Ne mn A 21,85 | + 0,22 19,117 | 7 26,10 ©00 21,79 2015 14 | 19 28,22|— 965 29,01 | + 0:58 22/14 40 | 19 35,651 977 92,39 | + 0.16 2414 29 | 21 12.05 |77 51 92,61 | + 915 27114 50 | 15 LE PR 22:64 | 77 0:01 2817 0 | 18 59.96 740 22,77 | + 0:12

Depuis le 10 Juin, M. Dôllen s'était servi, pour l'observation des passages, de la pen-

dule d'Utzschneider et Fraunhofer à la place du chronomètre Kessels 1403, dans la sup- position que la marche de la pendule serait plus régulière que celle du chronomètre. Le tableau précédent nous montre cependant que toutes les deux horloges étaient de qualité inférieure et qu’il n’a pas beaucoup gagné par le changement. Or, pour la réussite de nos travaux, la compa- raison de la pendule normale était d'urgence. La marche journalière de cette pendule, à ce qu'on voit, a été très satisfaisante.

De même que pour les observations de Poulkova, j'ai tàché d’évaleur les erreurs probables à attribuer aux corrections précédentes des horloges, de la comparaison des résultats obtenus dans les deux positions de la lunette. Ce procédé n'était point praticable dans les cas où M. Dôllen avait résolu les équations de condition d’après la méthode des moindres carrés. Ayant réduit, dans tous les autres cas, les corrections trouvées dans les deux positions de l’instrument, sur un moment identique, à l’aide des marches journalières données dans le tableau précédent, je suis parvenu aux différences suivantes:

C. O0. — C.E. Juin 3 — 0;021 5 + 0,049 7 + 0,024 8 + 0,021

36 O0. STRUVE.

C. O0. — C. E. Juin 9 + 0086 13 — 0,069 14 + 0,028 16 + 0,099 18 + 0,094 19 + 0,084 20 + 0,078 92 + 0,040 24 + 0,096 27 — 0,123 28 + 0,090

La valeur moyenne des C. O. — C. E. est +0;032. En soustrayant cette quantité des nombres précédents, nous avons les différences des résultats trouvés dans les deux positions de l'instrument, délivrées de la différence constante. De ces différences restantes nous avons déduit l'erreur probable d’un C. O0. — C. E. — 0043, ce qui donne l'erreur probable des corrections des horloges données dans le tableau, en moyenne — 0,030. La petitesse de cette valeur est certainement déjà très satisfaisante. Mais nous sommes convaincus que l'erreur probable trouvée est encore considérablement trop grande, vu que d'un côté les irrégularités dans les marches des horloges, d'autre côté l'influence des quantités négligées de de et da, ont dû avoir contribué à augmenter les C. O0. — C. E.

$ 6 Observations de Varsovie.

Il était notre intention d’arranger les observations de Varsovie d'une manière conforme à celle qu'avait employée M. W. Struve à Poulkova. Mais l'emplacement de la lunette méridienne de Varsovie n’admettait pas l’usage d’une mire méridienne pendant la nuit, où se font la majeure partie des observations. Par conséquent, M. Baranovski se trouva dans la nécessité de déterminer l’azimuth et la collimation de la ligne optique de sa lunette, par les observations directes des étoiles circumpolaires, en renversant l’axe de l'instrument pendant les passages. Heureusement, pendant toute la durée de l'expédition de Varsovie, le ciel a été telle- ment favorable, que M. Baranovski a pu observer en 23 nuits, entre 25, les passages de l'étoile polaire et de à Ursae min. Ce n’est qu'en deux jours qu'il les a dû remplacer par des étoiles un peu plus éloignées du pôle.

La réduction des observations de Varsovie a été faite en général sur les mêmes principes, que M. Düllen avait suivis pour celles de Moscou. Cependant, l’azimuth de la lunette et la collimation de l’axe optique étant toujours très exactement déterminés à Varsovie par les obser-

ExPÉDITIONS CHRONOMÉTRIQUES DE 1845. 37

vations des étoiles circumpolaires, et vu que l’étahlissement solide de l'instrument n’admettait pas la crainte d’un changement rapide de ces éléments de réduction, il n’y avait jamais la nécessité de recourir à la solution des équations de condition, pour en trouver les valeurs les plus probables. Au contraire la collimation de la ligne optique s’est tenue tellement constante qu’on a pu employer la même valeur moyenne pendant plusieurs semaines.

Le niveau que j'avais apporté de Poulkova a été examiné à différentes réprises, par M. Baranovski et par moi, sur un examinateur de niveaux fait pour l'observatoire de Varsovie par M. Brauer, mécanicien de l'Observatoire central. Ces examens ont prouvé que, dans toute son étendue, le niveau avait une courbure parfaitement uniforme. Les valeurs moyennes d’une division du niveau — p, que les différentes séries d'observations ont données, étaient:

18 Juillet {re série p — 0,944 pour la longueur de la bulle — 46,1 div.

2me « 0,916 « « « € € « 42,8 « 15 Août 1re « 0,92% « « « CE 61,1 « 2me « 0,965 « « « € € « 61,0 « 16 Aoùt {re « 0,939 « « « € € « 71,7 « 2me « 0,968 « « « CC « 70,5 » 29 Aoùût 1re « 0,952 « « « € € « 27,5 « 2mer« 0,953 « « « € € « 28,4 « La valeur moyenne p — 0,945 qui, à ce qu’on voit, vaut pour toutes les températures,

a été employée dans le calcul des inclinaisons de l'axe. La comparaison des nivellements exécutés dans les deux directions opposées de la lunette, vers le Nord (N) et vers le Sud (S), a mené aux différences suivantes:

C. O. C. E.

N = S — 0,72 p. N — S + 0,02 p. — 0,60 — 0,05 — 0,58 — 0,38 — 0,35 — 0,65 — 0,80 — 0,43 — 0,59 — 0,92 07 — 0,32 — 0,45 — 0,47 — 0,20 — 0,55

0,00 — 0,50 — 0,64 — 0,25 — 0,68. — 0,70 — 0,05 — 0,42 — 0,72 — 0,85

— 0,38 — 0,38

88 O0. STRUVE.

C. O. C. E. N—S — 0,28 p. N—S — 0,62 p.

— 0,68 — 0,22 — 0,48 — 0,65 — 0,25 — 1,25 — 0,40 + 0,07 — 0,58 . — 0,57 — 0,42 — 1,33 — 0,48 — 1,20 — 0,03 — 0,60 — 0,76 — 0,30 — 0,33 — 0,63 — 0,53 — 0,75 — 0,13 — 0,50 — 0,08 — 1,20 — 1,32 — 0,45 — 0,90 — 1,15 — 0,80 — 1,08 — 0,05 — 0,33 — 0,28 — 0,50 — 0,03 — 0,48 — 0,00 — 0,50 — 0,02 — 0,61 — 0,15 — 0,28 — 0,45 — 0,98 — 0,30 — 0,92 — 0,30 — 1,00 — 0,55 — 0,28 — 0,60 0,00 — 0,60 — 0,78 — 0,35 — 0,90 — 0,27 — 0,30 — 1,65 0,97 Moy. N = S — 0,454 p. — 0,45 — 0,52 — 0,75

Moy. N = S — 0,592 p.

Moyenne des deux séries — — 0,523p — — 0,494.

ExPÉDITIONS CHRONOMÉTRIQUES DE 1845. 39

Une différence sensible dans les résultats des nivellements exécutés dans les deux directions opposées de la lunette, est mise hors de doute par ces expériences. On pourrait croire que ce phénomène est de nature identique avec celui que M. Düllen avait rencontré dans ses nivelle- ments. Cependant les circonstances ne sont pas les mêmes, dans les deux cas. Dans l’instru- ment de Varsovie les crochets du porte-niveau ne touchent pas l'axe dans des points situés exactement dans le même plan vertical avec les points de contact entre les tourillons et les coussinets. Or ici l'explication donnée par Bessel pour des phénomènes de ce genre peut trouver son application, savoir que les deux tourillons sont tant soit peu inclinés l’un à l’autre. N'ayant pas des données exactes sur les distances entre les plans verticaux des différents points de contact, je me trouve hors d'état d'évaluer l’inclinaison relative des deux tourillons; mais sans cela il est clair que les inclinaisons observées et employées dans la réduction des observa- tions, sont parfaitement à l'abri de ce défaut dans la construction de l'instrument, parce que chaque nivellement complet de l'axe a été composé de deux nivellements dont l’un fut exécuté dans la direction Nord, l’autre dans la direction Sud de la lunette. Cette expérience nous montre de quelle importance a été pour Varsovie la règle générale, suivie dans toutes nos expéditions chronométriques, de niveler les axes toujours dans deux directions opposées de la lunette,

La liste précédente nous donne en même temps une idée de l'exactitude avec laquelle M. Baranovski a exécuté les nivellements de l’axe et qui ne laisse rien à désirer.

Pour déterminer les différences dans les épaisseurs des tourillons M. Baranovski à fait quatre séries d'observations. Dans chaque série, l'axe de l'instrument fut renversé dix fois. Ces différentes séries ont donné, avec un très bon accord des déterminations isolées, les différences

moyennes suivantes : CO. — CE. Sept. 8 — 2,604 p. CO 09 — 3,664 p. 14 — 2,991 p. « 21 == 3,196 P: Moyenne — — 3,114 p avec l’err. prob. — 0,149 p.

Les plans des coussinets de l’axe sont inclinés l'un à l'autre de 60°, tandisque l’angle des crochets par lesquels le porte-niveau est suspendu sur l'axe, est de 90°. Or la correc-

tion à appliquer aux inclinaisons observées, pour trouver les inclinaisons vraies de l’axe de 3,114 p

2+2 2°

il faut corriger les inclinaisons observées de == 0/609 — == 0;041 en temps, où le signe supé-

rotation, est + Par conséquent, en employant la valeur précédemment donnée de p,

rieur vaut pour la position C. O. de l'instrument, L'erreur probable de la correction déterminée n'est que de 0;002.

J'ai déjà mentionné plus haut, que la collimation de l’axe optique de la lunette méridienne a été très constante. Voici ce que donnent les différentes observations de l'étoile polaire et de à Ursae min., après avoir corrigé les passages observés, de l'influence de l’inclinaison de l'axe et de la différence dans les épaisseurs des tourillons:

40 O0. STRUVE.

Êt. polaire. à Ursae min. C —= Ci Juillet 22 + 0136 Juillet 21 + 0;059 25 + 0,184 26 + 0,265 29 + 0,176 27 + 0,182 Août 24 + 0,170 Août 2 + 0,010 25 + 0,165 8 + 0,197 26 —+ 0,292 11 —+ 0,224 Sept. 7 + 0,282 13 + 0,180 8 + 0,263 15 — 0,229 21 + 0,131 24 + 0,139 26 + 0,295 Sept. 3 + 0,234 4 + 0,228 6 + 0,270 7 + 0,244 8 + 0,327

On reconnaît du premier coup d'oeil qu'une altération considérable de la collimation a eu lieu dans l'intervalle entre les observations du 25 et du 26 Août. Nous en trouvons l’ex- plication dans le journal de M. Baranovski qui fait mention, qu'à l'occasion du renversement de l'axe, le soir du 25 Août, le bout de la lunette qui porte l’oculaire a éprouvé un choc. Cet accident divise les observations en deux périodes, pour lesquelles il faut accepter différentes valeurs de la collimation. En prenant les moyennes des déterminations faites dans les deux périodes, nous avons:

avant le 25 Août

par les passages de la Polaire c — + 0;166 Cr « de à Ursae min. + 0,174

Moyenne c — +-0,170

après le 25 Août

par les passages de la Polaire € — + 0279 € « « de à Ursae min. + 0,268

Moyenne ce — + 0,273

Or, eu égard à l’aberration diurne, nous devons employer, dans la réduction des observa- tions, les valeurs suivantes de la collimation:

ExPÉDITIONS CHRONOMÉTRIQUES DE 1 845. A |

Pér. I, dans la position de l'instrument €. O0. c — —0;182 « « « « « CE." c + 0,158

Pér. II, dans la position de l'instrument C. 0. €" — — 0286 (CR « « « C, Eve + 0,261

L'’azimuth de la lunette a subi avec le temps un petit changement progressif, conjoint à de petits sauts d'un côté et de l’autre. Par cette raison, on ne pouvait employer des valeurs moyennes de l’azimuth pour des périodes prolongées, mais il fallait prendre chaque jour telle valeur qui suivait de la comparaison des passages observés ce même jour, des étoiles circumpolaires, avec ceux des étoiles fondamentales. Voici la liste des azimuths déterminés:

21 Juillet a — + 0;135 13 Août a — + 05336 22. « + 0,026 15 « + 0,216 25 « + 0,148 26 « + 0,184 24 . < + 0,395 D « + 0,176 23 « + 0,498 24 « + 0,468 28 « + 0,184 25 :« + 0,364 29». « + 0,201 26 « + 0,342 30 « + 0,197 SLuic + 0,281 3 Sept. + 0,430 2 Août + 0,540 4% + 0,540 6 « DAS 0,520 8 « + 0,250 7 « + 0,530 10 « + 0,400 8 « + 0,600 11 « + 0,517

Ayant réuni, dans ce qui précède, tout ce qui concerne les éléments de réduction pour les observations de Varsovie, je puis procéder maintenant aux résultats déduits de ces observa- tions, pour les corrections des horloges. Quoique toutes les horloges de l'observatoire aient été régulièrement comparées avec la pendule d'observation Gugenmus 3, je ne donnerai, dans la liste suivante, que les corrections des pendules qui réellement ont servi à garder le temps jusqu'à l'arrivée des chronomètres de voyage, nommément des pendules Gugenmus 3, Gugenmus À et Shelton. Toutes les observations ont été faites par M. Baranovski, à la seule exception de celles du premier jour d'observation, que j'ai faites. Dans le tableau sui- vant, les corrections des horloges, pour ce jour, sont déjà réduites à la manière d'observer de

M. Baranovski, par l'application de l'équation personnelle. Mémoires sc. math. et phys. T. VE. 6

42

Date.

1845. Juillet21 C2 CMD « 26 (Ne 27 « 28 (009 «€ 30 « 31

TD TS © à Co

Temps sid.

Gugenmus 3.

179 49%) — 1" 30:97

13 16 138 18 21 16 19 15 18 138 19 18

6 18 18 18 16

6 17 17

2 18 13 18 18

7 18 17

43

30,83

28,20

27,29 26,30 25,27 24,70 23,82 23,44 21,51 17,00 15,48 14,94 14,25 13,93 13,04

6,50

5,26

4,73

4,04

3,68

3,58

2,75 48,32 16,88 40,98 39,33 38,12 36,01

O. STRUYE.

Marche

journalière.

+016 —+- 0,84 + 0,90 + 0,93 + 0,90 + 0,72 + 0,77 + 0,46 + 0,90 + 0,75 + 0,73 + 0,59

+ 0,50

+ 0,44 + 1,09 + 0,65

+ 1,15 +- 0,37 + 0,91

+- 1,80 + 1,44 + 2,68

+ 2,84 + 92,17

Gugenmus À.

— 0" 9:11 +0 0,91 2,31 3,19 4,25 4,95 5,87 6,49 8,46

Marche

journalière.

—+- 0:97 + 1,29 + 0,89 + 0,89

+ 0,89 |

+- 0,82 + 0,76 + 0,92

Corrections des horloges, déterminées à Varsovie par M. Baranovski.

Shelton.

+ 0" 4566

4,23 4,02 3,44 3,36 2,26 1,37 3,38 3,82 4,15 4,93 5,03 5,38 9,63 10,88 11,13 10,98 10,90 10,92

Marche

journalière.

— 0:21 — 0,23

— 0,33

— 0,54 — 0,60 — 1,05

10/72 — 0,79 — 0,44

— 0,53 — 1,25 — 0,12

+ 0,23 — 0,01

Aucune de ces trois pendules n’a eu la marche très régulière; la pendule Gugenmus A a bien montré une marche uniforme dans l’espace entre le 22 Juillet et le 2 Août, pour lequel nous l'avons employée, mais à partir de cette date elle a fait de si grands sauts qu'il la fallait entièrement rejeter. Heureusement les époques des comparaisons des chronomètres de voyage, à Varsovie, se trouvent en général si près des époques moyennes des observations,

ExPÉDITIONS CHRONOMÉTRIQUES DE 1845. 43

que les irrégularités dans les marches des pendules n'ont pu être de conséquence dans la déduction des longitudes.

La comparaison des corrections de l'horloge d'observation, déduites des observations faites les mêmes jours, dans les deux positions de l'instrument, a donné les différences suivantes:

C. O0. — C.E. CO. — C.E. Juillet 21 + 0:04 Août 13 + 002 « 22 + 0,07 € 15 + 0,23 « 26 — 0,03 CE | + 0,10 @ 121 — 0,09 «198 + 0,09 « 28 — 0,07 « 24 + 0,27 « 29 — 0,11 « 25 — 0,20 «€ 30 + 0,07 « 26 — 0,32 «91 — 0,05 ‘Sept. 3 — 0,05 Août 2 — 0,08 « 4 + 0,01 « 8 — 0,17 « 6 — 0,20 «10 + 0,10 « 4 — 0,08 € 11 + 0,11 « 8 — 0,24 La moyenne arithmétique de toutes ces différences n’est que — 002%, ce qui fait voir

que les valeurs moyennes de la collimation et de la différence dans les épaisseurs des touril- lons, ont été déterminées avec un haut degré d'exactitude. Si nous comparons les valeurs isolées de C. O. — C. E. avec cette moyenne, nous obtenons des différences qui nous donnent l'erreur probable d'un €. O. — C. E. isolé — 05095; d'où se déduit l'erreur probable des corrections précédentes des horloges, en moyenne — 0067. Cette erreur probable sur- passe en grandeur considérablement celles que nous avons évaluées pour les observations de Poulkova et de Moscou. J'ai montré plus haut que tous les éléments instrumentaux de réduc- tion, ont été déterminés par M. Baranovski avec un haut degré de précision; en outre les corrections de l'horloge, trouvées par les différentes étoiles observées les mêmes jours, dans la même position de l'instrument, sont d’un accord très satisfaisant, et le nombre d'étoiles obser- vées dans chaque position de l'instrument, est aussi plus que suffisant pour donner un résultat de la plus haute exactitude. La source de l'augmentation de l’erreur probable des résultats moyens ne doit donc être cherchée, que dans les irrégularités de la marche de la pendule d’obser- vation. Les marches des horloges employées aux observations de Moscou, ont été bien aussi peu satisfaisantes, mais d’un côté les observations de M. Dôllen se sont elles suivies dans les deux positions de l'instrument en général beaucoup plus vite, que celles de M. Baranovski; d'autre côté 1l y a lieu de supposer que les horloges de Moscou ont subi des irrégularités de longue période, tandisque celle de Varsovie, en gardant une marche moyenne plus régulière, a fait de petits sauts sans aucune loi apparente. Peut-être aussi les observations de Moscou ont elles montré un meilleur accord parce qu’on y a employé, dans la réduction, des valeurs de

+

-

44 O0. STRUVE.

la collimation déterminées chaque soir à part; tandisque, pour les observations de Varsovie, la réduction a été faite avec des valeurs moyennes pour certaines périodes. Cependant, l'accord des différentes déterminations de la collimation pendant ces périodes, a été tel, comme nous avons vu, qu'il n'y avait aucune raison à procéder autrement c. à d. cet accord nous força de supposer la collimation constante dans ces périodes, et de regarder les petites variations observées, comme provenues des erreurs accidentelles des observations isolées. Si cette suppo- sition était exacte, les valeurs moyennes de la collimation auraient dû mener à un meilleur accord des corrections des horloges, déterminées dans les deux positions de l'instrument, que les valeurs isolées de cet élément, déterminées les jours mêmes.

S 7 Observations de Valdaï.

Sur la construction de l'instrument transportable des passages, employé par M. Liapou- nov, voyez la «Description de l'Observatoire central» pag. 216 M 11. Quant à l'exactitude qu'on peut attribuer aux observations faites avec cet instrument, pour la détermination du temps, on trouve tous les détails dans le rapport de M. W. Struve sur l'expédition chrono- métrique de 1843, pag. 71—79. Or, en renvoyant aux lieux cités, je puis me dispenser d’entrer ici dans les détails des observations de M. Liapounov. Je remarque seulement que, dans ses observations, il a strictement suivi les règles générales, établies par nous et publiées dans les rapports sur les deux expéditions précédentes. Les observations de M. Alexandrovw, faites pour la détermination de la latitude de Valdai, feront l’objet d’un article spécial.

Corrections des horloges, déterminées à Valdari par M. Liapounov.

Date. Temps sid. | Chron. Hauth 26. |Marche journ. Pendule Muston. [Marche journ. 1845 Mai 30 | 14° 0" | —+ 0" 2818 4 2:03 + 0" 34539 +113 ‘ 31114 0 30,22 RE ie ARE Jun 2114 0 393,89 108 38,24 540 @ 6 |1# 30 41,86 su HE 42,48 +104 CE A AO 43,39 + 1,92 43,51 + 0,93 RE es rt Ed 00 Lo le Le € 1115 50 91,65 #10 47,59 Sin € 14114 30 97,88 50,93 + 0,79 « 15 | 19 10 1 4,9% 0,68 51,838 +06 € 1714 35 949 PS 04 : BA à) € 18116 35 11,99 MONET 94,89 + 1,07 « 21 | 19 48 19,13 TE 58,25 + 0,79 « 22 | 21 10 20,78 00 99,08 + 0,87 « 23 | O0 10 23,09 sr: 60,06 095 « 25 |18 15 26,83 61,72

ExPÉDITIONS CHRONOMÉTRIQUES DE 1 845. 45

Le 1% Juin, dans l'intervalle entre les observations de M. Liapounov, pour la détermi- pation du temps, et celles de M. Alexandrov, pour la détermination de la latitude, le chrono- mètre d'observation, Hauth 26, à fait tout d'un coup un saut de plusieurs secondes, comme c'est prouvé par les comparaisons répétées entre ce chronomètre, la pendule de Muston et le chronomètre auxiliaire Arnold et Dent 1005, reglé sur le temps moyen. Les astronomes de Valdai ne se souviennent plus d’un accident qui soit arrivé au dit chronomètre, dans cet intervalle, mais tout porte à croire qu'une perturbation a eu effectivement lieu. Il parait même que cette perturbation a eu encore une petite influence sur la marche du chronomètre dans l'intervalle entre le 15 et 17 Juin. Si nous faisons abstraction de la période Juin 14 — Juin 17, la marche du chronomètre s’est montrée presque aussi uniforme que celle de la pen- dule de Muston.

La marche du chronomètre de comparaison Arnold et Dent 1005 a été également très régulière, comme on peut voir dans le tableau suivant de ses corrections, déduites des com- paraisons directes avec l'horloge d'observation.

Corrections du chronomètre Arnold et Dent 1005 par rapport au temps moyen de Valdar.

Date. Temps moyen. A. et D. 1005. Marche journ. 1845 | Mai 30 8" 35" | 26" 4674 |

: + 1:94 Din Juin F , dé + 2,29 D Mn da a PS eos : “ se ler Don ee ee lé rer ne dr LES +- 2,86 ere no 17 | + 279 17 À 35 AE RS oi + 1,79

« 18| 10 44 35,53 21| 10 31 I en Ar ol 030

« 22 43:25 44,46 + 2,43

cn23|. 17: 6 7,26 + 2,54

« 25 | 10 #1 51,64 |

En plusieurs jours, M. Alexandrov a fait des observations indépendantes pour la détermi- nalion du temps à Valdai. Ces observations n'ayant pas été considerées dans la déduction des

longitudes, je ne donne ici que les corrections de l'horloge d'observation.

46 O0. STRUVYE.

Date. Temps sid. | Corr. de Hauth 26. Mai 30 | 17° 57" | + 0" 29559 Juin 2118 9 34,29

chylS 91 44,02

« 12 | 16 43 03,92

€ 16 | 16 57 1: 1:57

« 19] 16 21 14,66

€ 26 | 15 41 24,68

En réduisant les corrections de l’horloge, trouvées par M. Liapounov, sur les époques des observations de M. Alexandrov, avec les marches journalières données précédemment, nous avons les différences suivantes.

Mai 30 | Corr. AI. — Corr. L. + 1:07

Jun 2 + 0,07 «: PS7 + 0,32 « 12 + 0,07 € 16 + 0,20 « 19 + 0,43 «_ 26 + 0,23

La détermination du temps, le 30 Mai, a été la première série d'observations faites par M. Alexandrov après un long intervalle, et par cette raison elle ne peut pas prétendre au même degré d’exactitude, que les autres observations. En la négligeant, nous avons la diffé- rence moyenne entre les corrections de l'horloge déterminées par MM. Liapounov et Ale- xandrov — + 0220. C’est d'autant que le dernier des deux astronomes observe les passages plus tôt que le premier.

$ S Observations de Vilkomir.

Tout ce qui a été dit dans le paragraphe précédent sur les observations de M. Liapounov à Valdai, se rapporte également aux observations faites par M. Alexandrov à Vilkomir. La seule différence y est, qu'au lieu du chronomètre Hauth 26, M. Alexandrov s’est servi, pour les observations de Vilkomir, du chronomètre Kessels 1297, reglé également sur le temps sidéral. Il avait choisi ce chronomètre, parce que les battements lui paraissaient plus distincts que ceux de l’autre chronomètre. i

ExPÉDITIONS CHRONOMÉTRIQUES DE 1845. 47

Corrections des horloges, déterminées à Vilkomir par M. Alexandrov.

Date: Demphysid: Mal Fa res ORNE LITE Fan 1845 | Juillet 28 | 19° 20" | + 1" 18549 + 3:80 + 17 37527 + 9:82 « 2918 27 29,15 + A7 39,98 00 à 31 | 17 59 30,41 + 3,80 45,80 + 2,85 Août 2] 18 17 38,07 + AT 91,54 + 2,87 apres) Melle) mule ’ + 4,29 R ; + 2,50 «12922049 2 8,50 PT 10,64 + 2,59 € 11 23 16 17,98 st 16,02 +- 2,56 « 16! 18 49 38,74 #4 540 28,34 +- 9,59 € 19! 18 24 51,24 410 36,07 + 2,68 « 922) 20 7 3 4,75 08 44,31 + 2,86 < 23 | 19 16 8,86 +395 47,07 +9,71 « 26 | 18 56 20,65 + 3,69 ou + 247 « 27 | 18 47 24,31 nil 57,62 sad sbes) sus) mi $ + 4,24 Û + 92,37 en 191 29 4 0,93 6e 2991 + 2,91 « 9] 19 20 19,51 60 33,89 RER CAS) 23. 17 38,64 45,70 « 19/19 4 ANS

Le dernier jour, l'expédition chronométrique proprement dite étant déjà terminée, M. Alexandrov a omis la comparaison des autres horloges avec l'horloge d'observation. On voit, dans le tableau précédent, qu'à Vilkomir la marche de la pendule de Muston a été, sans con- testation, plus régulière que celle de l'horloge d'observation. C'est plus encore le cas par rapport au chronomètre qui a servi aux comparaisons. Voici le tableau des corrections de ce chronomètre.

Corrections du chronomètre Arnold et Dent 1005 par rapport au temps moyen de Vilkomr.

Date. An A. et D. 1005. ne * 1845 |Juillet 28 | 10! 55" | + 0" 11:51 + 3511 « 29 9 58 14,50 c + 3,24 «' 31 9092 20,89 + 2,73 Août 2 9 32 26,37

+ 3,23

48 O0. STRUVE. Date. RER AetD.1005. |, TE RE 1845 Août 4 8? 41" | + 0" 32571 + 3:04 020 Do Le « 9! 10 56 47,28 | in « 111 13 55 52/507 NR See « 16 9 9 1 2,99 me Ta « 19 S192 8,88 pas 1e « 22| 10 3 | 14,33 ; 23| 9 8 16180. dite " pie AIS « Sa 21,76 La «€ 27 8 24 23,92 él : ae + 2,70 « 8 8 48 26,27 :Potep Sept. 3 8 22 39,44 TES CN SUN NS 42,08 k 9 + 1,91 « 8 6 49,71 Son € 13 | 11 46 97,94

Les observations faites à Vilkomir pour la détermination de la latitude, seront données dans un article à part, comme pour Valdai. J'y ajouterai aussi les résultats de la triangulation exécutée par M. Alexandrov entre l'observatoire temporaire de Vilkomir et les points trigonométriques du réseau du général Tenner, Dseveltova et Nidoki.

S 9. Equations personnelles.

Les équations personnelles qui existent entre différents observateurs, dans la manière d'observer les passages des étoiles, affectent directement les longitudes déterminées à l’aide du transport du temps. Or c’est de la plus haute importance de les évaluer le plus exactement possible, dans tous les cas où l’on n’a pas l’avantage de les éliminer des résultats, par un changement des observateurs sur les différentes stations, avantage dont se réjouit notre déter- mination de la différence en longitude entre les observatoires d’Altona et de Greenwich. Dans les expéditions de 1845 au contraire, les mêmes observateurs restaient pendant tout le temps sur les mêmes stations. Par cette raison, nous devions tâcher de fixer les équations per- sonnelles par un grand nombre d'observations, en y variant les instruments, les grossissements et les horloges. Je donnerai ici, en premier lieu, les équations primitives formées directement par les résultats de chaque série d'observations faites en 1845, en y ajoutant, comme première équation, la valeur trouvée pour l'équation personnelle entre M. Dôüllen et moi par les obser- vations de l’année 1844. Nous regardons les resultats de chaque série d'observations comme d'égale exactitude c. à d. toutes les équations primitives ont le même poids. Je désigne ici

ExPÉDITIONS CHRONOMÉTRIQUES DE 1 845.

par a de combien M. par b « M. par € « M. par d « M. par e « M. 1 | 1844 2 | 1845 Mai 3 « 4 « 5 « 6 « 7 « 8 « 9 « 10 « 11 « 12 « 13 « 14 « 15 « 16 « 17 « 18 « 19 « 20 « 21 « 22 « 23 « 24 « 25 « 26 Juin 27 « 28 « 29 « 30 Juill.

Mémoires sc. math. et phys. T. VI.

Düllen..... observe les passages plus tard que O. Struve

W. Struve Baranovski

Liapounov Alexandrov

«

«

«

«

Equations primitives.

— 0:221 — 0,256 — 0,131 + 0,403

— + 0,494 — + 0,235

+ 0,203 —+ 0,372 + 0,363 — 0,063

— 0,112

— + 0,364

+ 0,425 — 0,281 + 0,315

+ 0,225 + 0,271 —+- 0,298

— + 0,231

+ 0,371 + 0,134

— + 0,477 — + 0,122

a — RE) a — d— a — d— a — d — d — d— a — d— a — A a — d — d— a — UE d— a — b— a — b— a — C— a — d — b — b— a — d — à — C— a —= d — b — C—a— CG c — b — cC— b — c — b — c— b —

+ 0,277 + 0,069

+ 0,225 + 0,212 + 0,181 + 0,237 — 0,130

(Expéd. chron. de 1844 pag. 30). (Grand réfracteur).

«

49

90

31 32 33 34 39

36 37 38 39 40

41 42 43 44 45

46 47 48 49 90

o1 92 93 4 55

56 97 98 59 60

61 62 63 64 65 66

1845

Juill.

4 7

O0. STRUVE.

— 0;092 — 0,083 + 0,157 + 0,214 + 0,128

— + 0,062 —1+ 0,330

+ 0,396 — 0,033 + 0,158

—%©1 0,999

+ 0,318 + 0,262

— +- 0,178

+ 0,129

= 0,518

+ 0,506 + 0,632 + 0,575 — 0,561

— 0,036 + 0,321

— + 0,318 — + 0,481

+ 0,528

— — 0,052

+ 0,108 — 0,090 — 0,188

— — 0,250

bd — = d — b — b— a — b—a— b—a— d— a — d— a — Ci CE c— b — c— b— cC— b — ce — b — C—= e — Ê—— C— 4 — E— a — (En C— 4 — Cl —= e—= CE— A —= C— a — = E— a — = 0—=Æ= e — C— a — e— b— — C— CIC E— C—

— 0,290 + 0,177 + 0,237 + 0,229 — 0,370 — 0,456

(Lunette mérid. de # pouces).

(Lunette mérid. de Varsovie).

« « «

(Lunette mérid. de # pouces).

(Grand instrument des passages).

« « «

(Grand réfracteur).

(Cercle méridien). « «

(Grand réfracteur).

(Grand instrument des passages). (Lunette mérid. de # pouces).

ExPÉDITIONS CHRONOMÉTRIQUES DE 1845. 51

On reconnaît d’abord, dans les équations 46 — 66 qui contiennent l’inconnue e, que la manière d'observer de M. Alexandrov a été très peu constante. Toutes ces équations devaient être rejetées dans la recherche des équations personnelles des autres observateurs. IL nous reste donc les 45 premières équations pour la déduction des valeurs des quatre quantités cherchées a, b, c, d. Ces équations mènent aux équations finales suivantes:

23a— 6b— 3c— 8d— — 6485 — 6a+9%1b— 8Sc— 4d— — 1,626 — 3a— 8b+15c — + 3,323 — 8Sa— bb + 15 d = + 4,545

et nous en tirons les valeurs définitives:

a — — 0:210 b — — 01043 = + 0,157 d — + 0,180

Ces quantités substituées dans les équations primitives donnent les erreurs suivantes de ces

dernières : 1) + 0011 16) — 0058 31) + 0;049 2) + 0,046 17) — 0,104 32) + 0,040 3) — 0,078 _ 18) + 0,069 33) + 0,066 4) — 0,013 19) — 0,008 34) — 0,047 5) — 0,104 20) — 0,204 35) + 0,039 6) — 0,055 21) + 0,089 36) + 0,105 7) — 0,023 22) — 0,110 37) + 0,060 8) + 0,018 23) + 0,101 38) — 0,006 9) + 0,027 24) + 0,090 39) + 0,190 10) — 0,147 25) + 0,088 40) — 0,001 11) — 0,098 26) — 0,025 41) — 0,135 12) — 0,184 27) — 0,012 42) — 0,118 13) — 0,035 28) + 0,019 43) — 0,062 14) + 0,071 29) — 0,037 44) + 0,022 15) + 0,075 30) + 0,087 45) + 0,028 L'erreur probable d'une seule équation primitive s’en suit — 0059, valeur sensible-

ment égale à celle que nous avons trouvée par les déterminations de 1844. Le plus petit nombre de comparaisons faites par chaque observateur, pour la détermination de son

Li

52 O0. STRUVE.

équation personnelle, s’élevant à 15, il est évident que l'erreur probable à craindre, dans les valeurs définitives précédentes, reste en dedans de 0020, limite que nous nous étions pro- posés d'atteindre dans cette recherche.

Passons maintenant à l'équation personnelle de M. Alexandrov, pour l’évaluation de laquelle nous avons les 21 équations primitives 46 à 66. Les 16 premières équations dépendent des observations faites avant son départ pour Valdai, les trois équations 62 — 6% des obser- vations faites dans l'intervalle entre les deux expéditions, et les deux dernières des observations faites après son retour de Vilkomir. En nous servant des valeurs précédentes de a, b et c nous pouvons changer toutes les 21 équations dans des équations qui donnent directement e ou la quantité dont M. Alexandrov observe les passages plus tard que moi. C’est ainsi que nous trouvons:

46) Mai 8 e—+0:518 53) Mai 10 e—+0:318 60) Mai 11 e— — 0250 ZT) T CUS + 0,506 °54) «10 + 0,271 61) ct — 0,500 48) « 8 +- 0,422 55) « 10 + 0,318 62) Juill. # + 0,134 49) « 8 0,365 0,56) cl0 0852, 63) C1 + 0,237 50) « 9 — 0,561 57) « 10 0 102 0 162) 7 + 0,229 EE CON 0,226 Mi5S CH — 0,090 65) Nov. 6 — 0,213 52) « 10 + 0,321 59) « 11 — 0,188 : 66) « 8 — 0,299

La variabilité extraordinaire dans la manière d'observer de M. Alexandrov se prononce très distinctement dans ce tableau; elle s’élève en différents jours au delà d’une seconde en temps. Évidemment cette variabilité ne peut pas être attribuée qu’en très petite partie aux astronomes qui se sont comparés avec M. Alexandrov, pour lesquels la constance dans la manière d'observer est prouvée par la petitesse des erreurs des 45 premières équations primitives. Il paraît que pendant peu d'heures de suite M. Alexandrov a conservé une certaine constance de l'observation; mais, dès que l'intervalle entre deux séries d'observation a été un peu prolongé, comme par exemple entre les observations du 10 Mai qui ont fourni les équations 55 et 56, sa manière d'observation s’est altérée. Il est donc presque impos- sible d'indiquer une valeur définitive de l'équation personnelle de M. Alexandrov. La moyenne arithmétique des 21 déterminations précédentes est: e — + 0054, quantité dont l’erreur probable, telle qu’elle suit de l’accord des déterminations isolées, s'élève à 0050 à peu près, et qui, par conséquent, augmente considérablement l’erreur probable que nous déduirons plus tard pour la longitude de Vilkomir. J'ai déjà dit plus haut pag. 9, par quelles considérations nous étions engagés à supposer que la variabilité dans la manière d'observer de M. Alexandrov avait cessé d'exister après le premier temps de ses observations. Réellement nous voyons que les trois équations 62 à 64, déduites des observations faites au commence- ment du mois de Juillet, dans l'intervalle entre les deux expéditions, s'accordent entre elles

ExPÉDITIONS CHRONOMÉTRIQUES DE 1845. 53

aussi bien, qu'on le peut attendre même des observateurs les plus expérimentés. Cependant les dernières deux équations ne viennent pas à l'appui de notre supposition, et il est à regretter, par rapport à l'exactitude de la longitude de Vilkomir, que nous n’ayons pas envoyé à cet endroit encore un second astronome, pour la détermination du temps absolu, de même que nous l’avions fait pour Valdaï.

IL COMPARAISONS DES CHRONOMÈTRES ET PREMIÈRE DÉDUCTION DES LONGITUDES.

$ 10. Comparaisons et corrections du chronomètre auxiliaire Kessels 1290.

Les comparaisons du chronomètre auxiliaire Kessels 1290, avec les horloges destinées à garder le temps, nous donnent par un simple calcul, pour les époques des comparaisons, les corrections de ce chronomètre par rapport au temps sidéral. La majeure partie de nos chronomètres de voyage étant réglés sur le temps moyen, il était convenable, pour sim- plifier les calculs, de changer les corrections trouvées par rapport au temps sidéral, en des corrections correspondantes au temps moyen. Cette réduction fut opérée à l'aide des données du Nautical Almanac. Ces éphémérides donnent le temps sidéral au midi moyen de Green- wich. Or, les longitudes approximatives de nos lieux d'observation étant supposées:

pour Poulkova — 2" 1" 19° à l'Est de Greenwich Moscou 2 90 11 « « « Varsovie 1 24 8 « « « Valdai 912758 « « « Vilkomir 1,359 5 « « «

nous devions appliquer aux temps sidéraux donnés pour les midis moyens de Greenwich, les réductions suivantes :

par rapport à Poulkova — 19:93 Moscou —2,69 Varsovie — 13,80 Valda —21,8%4 Vilkomir — 16,23

Dans les tableaux suivants, je rassemblerai les corrections du chronomètre auxiliaire Kessels 1290, relatives au temps moyen de chaque lieu, pour toutes les époques des comparaisons des

54 O. STRUVE.

chronomètres de voyage. Chaque nombre donné dans ces tableaux est le résultat au moins de deux comparaisons successives, entre le chronomètre auxiliaire et les horloges qui gardaient le temps. En général on trouve, pour chaque époque de comparaisons, trois valeurs des cor- rections du chronomètre auxiliaire, correspondantes la première au commencement, la seconde au milieu et la dernière à la fin de chaque série de comparaisons. des chronomètres de voyage. Ces valeurs nous conduisent à porter un jugement sur le degré de précision dont jouissent les comparaisons isolées.

En donnant les moyennes arithmétiques des corrections € du chronomètre auxiliaire, j'ajoute un terme qui indique les petites variations dans les centièmes de seconde, dues à la marche du chronomètre auxiliaire et déduites des différences entre les résultats de la première

et de la dernière comparaison, faites à chaque époque, entre ce chronomètre et les horloges qui gardaient le temps. Dans ce terme, t signifie le nombre de minutes écoulées depuis l’époque moyenne des comparaisons. Le signe presque constamment positif de ce terme nous prouve que la marche du chronomètre auxiliaire, quelque petite qu’elle était, s’est distincte- ment prononcée dans les intervalles comparativement brefs entre le commencement et la fin de chaque série de comparaisons, et que même la quantité de sa marche a été reconnue très exactement. En comparant, par exemple, la première et la dernière correction du chronomètre auxiliaire, déterminées à Poulkova pendant l'expédition de Moscou, nous déduisons la marche journalière de ce chronomètre — + 2/0, ce qui donnerait le coefficient moyen de t — + 0, 14. La moyenne arithmétique entre les différentes valeurs de ce coefficient, déduites des compä- raisons faites pendant cette expédition, donne ce coefficient — + 0,12, avec un accord qui ne laisse rien à désirer. É

A) A Poulkova.

PenduleNorm.| x 4290. C.

Date. de Kessels.

h m 5 h m 5 h ms Mai 29 22 93800 1612 56:77|+ 1 20 ST : 38 | {64 39m © — + 14 90m 87: u1 46,00! 51 38,30 57.49 Gr ne THE ESS Juin 3 [13 29 30,00! 713 S11|+ 1 21 11,69 huh 38,00! 28 13.61 11.72 14 19733| 845 0145 11.74

7 29 C—+1 21 11,71 + 0176

13 10 26,50! 50 11,31 12,24 2h 9,33] 7 3 51,84 12,30

6 49 C—+1 21 12,26 + 0,22 r

Juin 12 | 418 19,67121 31 43,23|+ 1 21 29,72 30 31,50| 43 53,08 29,71 khk 15,33| 57 34,61 29,77

Juin 6 112 51 49,67) 6 31 37,54|+ 1 21 ru | 1 hk C—+1 21 99,73 + 0,114

ExPÉDITIONS CHRONOMÉTRIQUES DE 1845. 55

Juin 27*) | 192343331738 8,77|+ 1 21 56,29 42 36,50] 56 58.84 56,30 59 12,00/18 13 31,5% 56,38

17 56 C— +1 21 56,32 + 0,25 t

Date. Re K. 1290. C. nm? h mm $

Juin 13 1$ 36 40, ‘00 8 48 12,16,+ 1 foi 729 773 54 92,00! 9 5 31,62 29 rm) 9% C—= + 1% 217 29575 + 0,14 &

16 536,00] 17 3,69 99.77

Juin 19 4 192 13,67120 57 52,99) + 1 921 43,51 25 k0,50121 11 17,54 43. 5) 91 11 C— +1 21 43,51 + 0,00 z

37 31,67 23 6,77 43,51

Juin 21 11645 6,00! 9 24 46,62 + 1 21 42,71 17 6 6,00 45 43,16 sara 9 45 C— +1 21 42,73 + 0,161

23 51,3310 3 25,53 42,77

Juillet 25 | 318 25,679 & 6,62/+ O0 01346 4, on »_. 2 dnuas 58 49,67| 44 24,00 - OR NT a + Net TC

Août 5 |19 28 42,67110 31 37,23|+ O0 0 40,33 20 957,00/11 13 4,77 40,55

32 8,67| 35 12,77 40,58

11 7 C—+0 0 40,55 + 0,08 «

16 19 16,00! 7 15 7,38 42,56, T 11 C—+0 0 4255 + 0,111

39 23,00! 35 11,08 k2,57

Août 18 **) [19 28 11,67| 4 2 39,69] + 5 38 18,00 97 56,00! 32 19,16 17,99 20 20 38,00! 54 57,35 18,02

k 30 C—+5 38 18,00 + 0,04

Août 19 | 7 4 36,67/21 11 14,62|+ 0 0 17,63 35 14,00| 41 46,92 17,64 8 219,6622 8 4815 17,63

Août 7 |15 45 17,00! 6 41 14,00/+ 0 0 v256) }21 h0 C—+0 0 17,63 + 0,00 #

*) La correction de la pendule normale, correspondante aux comparaisons du 27 Juillet, a été déduite des observations du 24 et du 30 Juin. Une interpolation simple entre les corrections trouvées pour ces deux jours, aurait donné, pour le 27 Juin, la correction — -1- 58 19. Eu égard à l’action de la pression variable de l’atmosphère, sur la marche de la pendule, cette correction se change en + 5814.

“*) Pendant le retour des chronomètres, de Varsovie à Poulkova, on a oublié un jour de monter le chronomètre auxiliaire. Par cette raison il s’est arrêté pendant 6 heures à peu près. Après la fin des comparaisons du 18 Août l'index du chronomètre fut de nouveau placé approximativement sur le temps moyen de Poulkova.

56 O0. STRUVE.

Pendule Norm.

paie de Kessels.

K. 1290. C.

h ms h ms h ms Août 30 | 0 32 59,0013 57 5,23|+ 0 0 37,65

56 39,00114 20 41,30 0) 146 18% CC — + 0% 07% 37:68 + 0,12

1 12 55,00 36 54,62 37,10

Sept. 1 5 57 18,33119 12 38,46|+ 0 0 38,27 6 30 0,00 45 14,77 sa | 19 45 C—+0 0 38,27 + 0,00 &

53 49,25/20 9 0,12 38,27

Sept. 13 |18 47 40,00! 7 17 23,38/+ 0 0 52,92 19 13 46,50 43 25,62 sas | 7 WM C—+0 0 52,92 + 0,00

33 58,67, 8 3 34,46 52,92

B) À Moscou. Date. ME LE K. 1290. c.

de Kessels. juni | 2122930419 4816854 1/50” 297 uIn , k + : B a LM à F. 55 19 00120 24 82 88 2.99 } 20 gm C— + 14 807 9:98 + 0,05 #

Juin 2 112 19 11,00! 5 47 19,38/+ 1 50 an 6

13 10 49,00! 6 38:48,92 3,35 18 C—+1 50 3,34 + 0,04

Juin 9 |22 25 35,00115 24 18,92)+ 1 50 20,33

23 3480016 2 25,62 2037} 145 57 C—+1 50 20,36 + 0,08

97 14,00! 25 47,77 20,38

Juin 16 |13 46 44,00! 6 19: 6,46|-+ 1 50 35,84 1418 38,33] 50 55,45 3586) 6 46 C—+1 50 35,87 + 0124

36 39,33| 7 8 53,54 35,90

Juin 16 [20 50 9,33/13 21 22.15l-+ 1 50 36,18 211857,00| 50 5,08 3620) 13 49 C—+1 30 36,19 + 0,00 &

43 51,67/14 14 55,69 36,18

Juin 24 [23 57 39,00/15 57 3,08|-+ 1 50 48,43 0 22 34,00|16 21 34,00 “88 16 920 C—+1 50 48,47 + Ok

43 1,67| 41 58,31 48,49

Juin 24 | 2 42 34,00|18 41 10,92|+ 1 50 48,63 310 6,3319 8 38,77 60} 19 3 C—+1 50 48,62 + 0,00 «

26 48,33| 25 18,00 48,63

Date.

ExPÉDITIONS CHRONOMÉTRIQUES DE 1845.

Pendule Pendule Gugenmus 3. | Gugenmus À

Juill.30 OUT 49:33

Juill. 31

Aoùût12

Aoùt13

Aoùt2#

h ms

0 50 27,50

1 30 20,00 1 34 7,00

6 34 59,00

6 38 36,00 7 30 34,00

735 0,50 Thk 5,33

915 5,00

9 15 44,50 9 30 38,50

9 31 58,00

18 2 6,67

18 7 15,66

1840 7,00 1840 4,50

1859 9,00 19 0 25,33

16 24 54,67

16 35 14,67 1736 9,33

1822 6,00

18 29 49,67 19 24 21,00

20 0 28,33

1 48 58,50

2 6 26,66

2 48 27,33

3 24 38,67

Mémoires sc. math. et phys. T. VI.

C) À Varsovie.

Pendule

Shelton. K,1200:

h m al h ms 16 48 49,08|— 0 36 44,74

52 56,31 17 32 42,23 33 39,00

29 35 1,69 &O 7,66 23 30 27,54 36 22,84 43 56,61

1 1% 41,30 16 50,31 30 12,23 33 1,15

10 1 46,00 5 24,46

38 10,38 39 37,61 57 9,23 59 53,08

7 35 50,92 40 56,61 46 9,23

8 46 53,84

9 28 29,08 32 42,92

mn S

k 16 28 43,00

18 16 33,33

9 36 28,31 43 41,38

10 30 50,62 1953 0,33/11 0 42,15 6 52,00

18 35 46,66

16 11 51,58 21 52,31 29 16,92

158 1,66

17 11 10,61 40 26,92 47 16,00

3 16 49,33

C.

Th

kh,67

kh,69

kh,h6 Ile, ll

44,39

Lh,34 Lh,35

— 0 36 44,24 44,26 44,21 44,23

k3,70

k3,71

3,64 43,68

k3,60 k3,64

— 0 36 16,48

16,31

16,48

16,39 16,35 16,31

— 0 36 14,67 14,67 14,57

14,45

14,52

— 0 36 #6,07 k5,77 k6,11

45,99 43,67 45,96

57

h m h ms 1712 C = — 0 36 44,71 +0,11€

23 13 C — — 0 36 44,40 +-0,164

124 C = — 0 36 44,24 +-0,19€

10 34 C =. —0 36 43,66 +0,15

8 28 C — — 0 36 16,42 +-0,154

40 24 C — — 0 36 14,58 +-0,224

58 O0. STRUVE.

Le 24 et le 25 Août, les c, déduits des comparaisons avec les deux pendules, diffèrent con- sidérablement entre eux. Or pour ne pas donner un poids inégal aux deux pendules, il fallait réunir à part les résultats offerts par chaque pendule, et les combiner ensuite. Nous avons ainsi,

par Gugenmus 3, pour 16% 55”, C — — 0" 36” 46:03 + 0,174 par Shelton, pour 17 1, C— —0 36 45,72 +0,131t Moyenne 16 58, C— —0 36 45,88 + 0,154 Dale te 8. Re ee Ke 200 C h m s Rk ms k ms Aoùt25 x 8 3 1,66,22 21 53,84|—0 36 43,76 8 8 47,50 ' 26 40,62 43,53 8 44 19,75 23 2 7,04 43,49 9 3 59,75 921 43,85 43,52 9 10 21,00 29 2,08 k3,13 Gugenmus 3 donne pour 22* 57" C — — 0" 36” 43:51 + 0,054 Shelton « € 22 56 C— —0 36 43,74 + 0,054 Moyenne 22 56 C——0 36 43,63 + 0,054 h ms k ms hk m_s Sept. 6, 9 7 53,33 LR 22 38 32,46|— 0 36 26,15 9 12 26,00 L3 32,46 26,11 9 16 52,33 47 30,00 26,15 Me PAR. 9 56 46,33 23 27 17,53 26,14 [ 2313 C — —0 36 26,14 — 0,02 10 16 59,00 47 54,92 26,13 10 23 34,00 54 0,92 26,19 Sept. 8,115 52 25,50 518 4,62/— 0 36 25,31 15 57 1,00 23 k,62 25,38 16 3 31,33 29 8,62 25,28 1636 5,33 6 1 37,39 25,34 ) 558 C — —0 36 25,35 +0,03 16 45 34,00 11 4,46]. 25,27 à 17 12 23,00 38 14,19 25,30 17 18 52,00 klk 17,08 25,30

D) À Valdai,

Dans les comparaisons suivantes, je désignerai les indications de la pendule de Muston par M, du chronomètre Hauth 26 par H, du chronomètre Arnold et Dent 1005 par AD.

Date. K. 1290. Horloge comparée. C. , h_ m s h ms k ms Mai 31 2 24 18,23] 8 32 4,00 M |-+1 32 41,93

27 31,08| 8 35 22,67 H 41,72 31 9,46| 3 37 3,00 AD ,76(

3 20 27,00| 9 28 22,00 M 1,98 2 55 C = +1 32" 41,8 +0,18: 22 0,46| 9 30 1,00 H 41,80

23 18,46| # 29 12,00 AD k1,83

Date. K. 1290.

h ms Mai 31) | 619 4,54 21 55,15 793 5,71 25 43,15

Juin 3 |22 18 56,31 20 39,46

24 3,00

2316 6,00

17 53,08

11 57,23

Juin 8 23 5 36,92 7 27,69

8 39,23

k3 52,62

LS 33,92

k7 59,31

Juin 11 [11 30 54,00 33 54,69

33 45,00

12 28 21,23

30 30,00

31 59,77

Juin 14*) 116 45 24,07 52 55,15

17 56 30,2

18 0 27,23

Juin 18 | 5 59 53,98 6 2 30,46 5 9,23 54 36,00 56 54,46

58 8,31

ExPÉDITIONS CHRONOMÉTRIQUES DE 1845.

Horloge comparée. k

12 28” 9,00 M 7 27 48,50 AD

13 31 40,50 M 8 31 36,50 AD

& 41 52,00 M 4k 43 38,00 H 23 29 57,00 AD 5 39 11,00 M 5 ki 1,00 H 0 17 51,00 AD

5 44 29,50 M 5 46 20,00 H 0 14 30,00 AD 6 22 51,50 M 6 24 32,50 H 0 53 50,00 AD

18 23 46,00 M 18 26 43,00 H 12 41 36,00 AD 19 21 22,50 M 19 23 27,50 H 13 37 50,50 AD

23 51 0,00 M 17 58 43,00 AD 1 218,00 M 19 6 15,00 AD

13 19 34,00 M 13 21 54,00 H 7 10 36,00 AD 14 18 25,00 M

14 16 27,00 H 8 3 55,00 AD

C. hk ms +1 32 42,13 k1,97

k2,04 42,06

+1 32 50,57 50,30 51,08 50,54 50,35 50,92

+1 32 57,71 87,73 57,81 57,16 87,13 57,81

+133 8,60 8,39 8,79 8,49 8,56 8,63

+1 33 14,72 14,82 14,72 14,87

+1 33 22,11 99,17 22,07 22,14 22,30 22,05

64 59» Ç — + 1?

22 48

26

17 2%

6 29

C—= +1 C— +1 C—= +1 C— +1 C—= +1

59

32m 42:05 + 0,00 &

32

33

33

33

50,62 — 0,09 4

57,15 +0,10 4

8,61 — 0,18 #

14,78 + 0,04 4

22,14 +- 0,07 4

*) Le chronomètre Hauth 26 étant employé pour les observations astronomiques pendant la durée des compa- raisons, la comparaison avec ce chronomètre a été omise cette fois.

*) Les observations ont constaté, pour ce jour, une irrégularité extraordinaire dans la marche du chronomètre Hauth 26. Par cette raison nous ne l’avons pas employé cette fois, dans la déduction de la correction du chronomètre

auxiliaire.

*

60 O0. STRUVYE. Date. K. 1290. Horloge comparée. C.

h m5 h_ m 5 h m_s Juin 22.923 [21 49 56,78! 5 28 0,00 M +1 33 27,63

59 28,85) 5 30 10,50 H 27.15

54 11,77/22 59 54,00 AD 27,71 99 39 53,38) 6 18 5,00 M 97,66 22° 16% C = +1} 337 27,72 + 0,094

38 6,92! 6 15 56,00 H 97,76 |

39 8,77/23 44 51,00 AD 97,19

Juin 26 | 8 8540816 0 33,00 M |-+1 33 35,15

11572316 3 10,50 H 35,18 13 54.00! 9 19 35,00 AD 208 sun ce tease pons

9 627,69/16 58 16,00 M 35,13

9138517 0 36,50 H 35,24

10 48,00/10 16 29,00 AD 35,19

E) À Vikomir.

Les trois horloges qui ont gardé le temps à Vilkomir, ont été la pendule de Muston — M, le chronomètre d'observation Kessels 1297 — K et le chronomètre Arnold et Dent 1005 — AD. En prenant les moyennes, j'ai donné le poids double à la pendule relativement à ceux des deux chronomètres.

Date. K. 1290. Horloge comparée. C. RISTLIESS ha TES Brres Juillet 28 12 1420020 3 52,00 M | — 0 21 53,63 2 5400120 5 23,00 K 53,58 k 2123111 42 16,00 AD 53,62 19 48,00/20 32 6,00 M 83 4 12 27m C — — 0% 217 53:54 + 0,29 c 51 54,00,20 54 31,00 K 33,50 33 42,6912 31 37,50 AD 53,47 Août 2 |17 39 30,46! 2 2 16,00 M | — 0 21 41,30 \ :0 53,30! 2 2 52,00 K L1,41 42 30,69117 20 22,00 AD 41,27 18 24 2515) 2 47 18,00 M EPA RSR EE 25 48,00! 2 48 54,00 K 11,35 27 11,7718 5 3,00 AD 41,25 Août 2 (2322 0,46! 7 45 42,00 M | — 0 21 40,87 23 12,46| 7 47 7,00 K 40,81 24 1800123 2 9,00 AD 40,82 je 871677 8 M 2,00 M 10.90 23 h1 C——0 21 40,84 +0,03 4 58 59,19! $ 22 59,50 K 40,81 24 0 18,00,23 38 9,00 AD 40,73

ExPÉDITIONS CHRONOMÉTRIQUES DE 1 845. 61

Date. K. 1290. Horloge comparée. C. À ms h ms h Om ss Août 10 | 3233724612 135200 M | — 0 21 2435 27 36,3512 19 32,00 K 94,67 30 4246| 3 8 29,00 AD 24.55 [LES 4153189013 7 2175 M 94.39 240 24,47 +0,03 € 18 43.27/13 10 4725 K 94,58 20 42,46| 3 58 29,00 AD 94,51 Août 15 1953383119 6 17,50 M 13.04 57 329219 10 4,33 K 19,79 10 0 3485| 9 38 21.00 AD 13,09 , r) 9 à 11 91346120 22 7,00 M 12.99 21 12,91 +0,11: 10 54,69/20 23 38,00 K 12.72 14197310 52 6,00 AD 12,79 Août 22 [14 51 55,04] 0 32 1,00 M 52.03 55 18,46| 0 35 4,00 K 52.28 56 482314 33 41.30 AD 82.05 ’ : 21 52 2 13 47 31,30| 1 27 46,50 M 52.03 1 52,10 +0,02: 49 28,69! 1 29 19,00 K 522 59 53,77/15 29 47,00 AD 52.01 / Aoùût 27 |22 14 1188| 815 8,50 M 2,1% s 15 58,16! 8 16 27,50 K 42,2% 17 20,77121 54 13,50 AD 12,11 37 1015! 8 58 13,75 M 1213 ALES + 0,034 89 20.65! 8 59 29,50 K 12.24 23 2 23122 38 55,00 AD 12,07 Sept. 4 |20 45 52,73) 7 17.536,50 M 31,35 49 19,38] 7 20 45,75 K 31,69 51 53,77/20 28 46,00 AD 31.89 91 99 40.61! 8 1 51,50 M 31.33 PPS 318777| 8 3 2100 K 31,67 34 k1,77121 11 29,00 AD 31,44 | Sept. 10 |10 58 19,15/21 52 17,00 M 2u 1% 11 05331121 54 8,50 K 93,90 3 3677110 40 41,00 AD 93.97 F1 5} r) 9 > 35 23.42/22 49 30,50 M 28.18 RU 57 5815/22 51 1833 K 23.83 12 148,00/11 38 32,00 AD 94,12

62 O0. STRUVE.

$S LIL Comparaisons et corrections des chronomeétres de voyage.

Les tableaux suivants contiennent:

dans la colonne I, la date des comparaisons «CM «II, le lieu d'observation. cn «II, l'indication du chronomètre auxiliaire € « «IV, l'indication correspondante du chronomètre comparé, dont le nom se trouve en tête de chaque série @ © «€ V, les corrections du chronomètre comparé, par rapport au temps moyen.

Pour abbréger, j'ai désigné, dans la colonne II, Poulkova, pendant l’expédition de Moscou par P, pendant l'expédition de Varsovie par $, Moscou par M, Varsovie par S, Valdai par v et Vilkomir par 9.

Le calcul des corrections données dans la colonne V est trop simple, pour réclamer des explications ultérieures. Elles reposent entièrement sur les nombres donnés dans les colonnes HI et IV et sur les corrections du chronomètre auxiliaire, données dans le ( 10, d’où elles se dé- duisent par de simples additions et soustractions. Je remarque seulement que chaque cor- rection est le résultat moyen de deux comparaisons successives entre le chronomètre respectif et le chronomètre auxiliaire.

Les chronomètres hebdomadaires qui, pour la longitude de Moscou, devaient fournir une détermination entièrement indépendante, et se trouvaient sur les deux lieux d'observation, à des époques où le chronomètre auxiliaire, faisant partie de l'envoi principal, était en voyage, ont été directement comparés avec les pendules normales des deux observatoires. C’est ainsi que, pour l'expédition de Moscou, nous trouvons, dans la colonne III du tableau des comparaisons des chronomètres hebdomadaires, les indications du chronomètre auxiliaire rem- placées par celles des horloges normales des deux observatoires. La même comparaison directe entre les chronomètres hebdomaires et la pendule normale a obtenu encore, dans l'expédition de Varsovie, pour l’époque du premier départ des chronomètres de Poulkova. — A cause de ces comparaisons directes, le calcul des corrections de ces chronomètres est un peu plus pro- lixe que dans les cas où tous les chronomètres sont comparés à l'aide du même chronomètre auxiliaire. Toutes les quantités dont elles dépendent, sont données dans les colonnes III et IV des tableaux suivants et dans les tableaux des $ 4, 5, 6.

Il parait que les comparaisons, à l’aide de coïncidences, entre deux horloges dont l’une est reglée sur le temps sidéral, l’autre sur le temps moyen, peuvent introduire, dans les longi- tudes à déterminer, de petites erreurs de nature constante, dès que ces comparaisons sont exécutées par différents observateurs. Ces erreurs ont leur origine dans le fait incontestable que différents observateurs notent difléremment les moments des coïncidences de deux hor-

EXPÉDITIONS CHRONOMÉTRIQUES DE 1845. 63

loges. L'un note la première bonne coïncidence, l’autre, par estime, la coïncidence moyenne, un troisième a l'habitude de noter la dernière bonne coïncidence ou plutôt le premier moment où les deux battements s’éloignent sensiblement l’un de l’autre. Ces différences varient encore d’après la nature et la précision des battements des deux horloges à comparer et, par consé- quent, il est presque impossible d'en évaluer la quantité exactement. Heureusement l'effet en est presque imperceptible dans les longitudes. Quoique l'existence de ces différences se soit prononcée distinctement dans nos comparaisons exécutées alternativement par deux astronomes, il a été prouvé en même temps que, pour deux observateurs exercés, les différences constantes ne s'élèvent qu'à 0:02 tout au plus. ;

Les comparaisons exécutées à l’aide d’un chronomètre auxiliaire qui fait 13 battements en 6 secondes, quoique sujettes à des erreurs accidentelles un peu plus grandes, ne sont pas exposées à ces erreurs constantes, parce que toutes les 6 secondes il n’y a qu’une seule coïncidence entre les battements des deux horloges. Il ne faut que de très peu d'habitude pour ne se tromper jamais d’un seul battement dans ces comparaisons. Naturellemment il y a des cas où les coïncidences sont moins exactes que dans d’autres, mais on voit facilement que les erreurs qui en résultent, comptent parmi les erreurs accidentelles et doivent s’éliminer dans la moyenne d’un grand nombre de comparaisons. C’est ce qui a été prouvé aussi, pour M. Düllen et moi, par des expériences directes (Voyez Exp. chron. de 1844 pag. 11).

I Date.

Mai 29

28

miLE TRES: TS ESS ESES<<T Lie.

O. STRUVE.

Dent 1747. hronomètr rr. d - En me Fe M Le

JOIN NS h om os h ms 16 16 42,6916 57 5,25|+ 0 40 34,84 9 33 5,31| 3 13 42,00 0 52 5,12 6 23 42,46| 7 & 21,00! O0 52 3,51 19 52 30,46,20 33 26,00 LOMME 5 56 42,00! 6 37 41,00 14 9 4,33 22 96 27,00/23 7 k4,00 0 51 33,64 7 14 12,23| 7 55 43,00] O0 39 40,82 6 33 12,00! 7 14 50,50 0 39 33,73 23 10 37,62,23 52 33,00 0 51 2,36 15 37 29,54116 19 43,00] 1 S 6,88 11 37 48,00112 20 20,00 0 50 36,65 21 32 59,54122 15 45,50| 0 38 43,76 8 49 42,23) 9 32 31,50 0 38 40,46 16 56 36,:6117 39 39,00 0 50 12,923 6 26 56,77| 7 10 15,50] 1 7 17,11 13 29 95,85/1% 12 47,001 1 7 15,03 6 8 30,00! 6 52 7,00! O0 49 45,12 20 59 15,23121 43 8,50] O0 37 50,24 9 926 39,2310 10 43,00| O0 37 38,93 921 57 43,85,22 42 3,00 0 49 8,55 16 2 39216 46 41,00 1 6 11,36 18 47 54,92119 32 33,00 4 6 10,55 8 18 12,00| 9 3 6,00! O0 48 41,1% 17 k0 20,54118 25 29,00 0 36 47,52 19 8 3,23118 35 11,00|/+ 0 33 5,69 12 5 50,08111 33 27,50|+ 0 10 28,98 16 58 4,62116 26 6,00! — O0 4 46,10 10 20 32,08, 9 #8 40,00! — O0 4 51,60 17 43 54,22/17 12 25,50|+ 0 9 47,38 23 25 6,4622 53 40,00, + 0 9 45,64 10 35 42,9210 4 k3,00\+ 0 31 40,15 6 44 34,15] 6 13 50,50) + 0 31 26,17 3 32 12,00! 3 1 58,00 +0 8 49,45 8 13 30,46! 7 43 40,00 — 0 6 25,97 9 37 57,46| 9 18 17,00|— O0 6 34,16 10 3 46,61! 9 34 27,00| + 0 8 6,71 k Lk 38,31! 9 13 0,50|/+ 0 29 55,80 91 14 24,92,90 44 58,50) + 0 29 44,05 14 58 45,0014 29 46,00 +0 7 6,84 16 35 9,6916 7 32,00 — O0 9 8,22 29 29 99292 1 44,50 — 0 9 18,24 29 18 27,23,21 50 23,00:+ 0 6 22,06 14 5 22,6213 37 47,00|+ 0 28 13,28 19 19 42,46118 52 96,50 + 0 27 54,93 20 54 30,23,20 27 46,00 +0 5 12,63 22 50 3,69 22 923 41,00|— 0 10 3,46 5 31 35,31) 5 5 24,75|— 0 10 14,76 11 5 53,770 40 7,00 4-0 4 22,79 7 20 54,46] 6 55 36,50|+ 0 26 10,88

Hauth 30. Chronomètre | Corr. du Chro- D comparé. nomètre. 5

h ms Roots k ms 16 18 49,38117 28 31,60 + 0 11 15,18 3 10 33,00! 4 20 18,00 22 56,86 7 13 46,15| 8 23 31,60 22 56,60 19 53 32,54121 3 19,40 kO 16,11 5 58 2,31| 7 7 49,00 LO 16,64 22 98 34,61123 38 22,00 233,95 7 15 22,38) 8 925 12,20 11 21,87 6 35 15,46! 7 45 6,40 11 24,29 23 12 18,93] 0 22 9,13 23% 7,54 15 40 24,92116 50 21,20 LkO 24,07 11 39 27,00112 #9 26,50 23 8,84 91 34 6,92,92 44 6,00 11 28,64 8 51 7,0810 1 8,00 11 28,81 16 58 9,00118 8 12,00 23 11,78 6 28 15,00! 7 38 22,60 LO 28,25 13 30 kh4,54114 kO 52,20 LO 28,52 6 10 3,00! 7 20 13,60 23 11,53 21 0 25,69,22 10 34,00 11 35,20 9 28 10,38110 38 17,00 11 36,08 22 0 29,76,23 10 37,20 23 20,27 16 3 9,46117 13 21,40 k0 36,50 18 49 7,3819 59 19,40 L0O 36,60 8 20 1,15, 9 30 16,80 23 19,50 17 41 30,69118 51 47,00 11 39,97 19 9 23,31118 58 93,80|+ 0 11 12,97 12 7 2h,00111 56 33,20|— 0 11 92,79 16 59 18,00116 48 33,20|— 0 925 59,97 10 22 14,0810 11 31,40), — 0 26 1,00 17 45 929,777 34 52,80|— 0 11 4,36 23 27 3,00,23 16 26,80) — 0 11 4,62 10 36 50,0810 26 20,20/+ 0 11 10,41 6 45 49,15, 6 35 22,20\+ 0 11 9,47 3 33 39,00! 3 23 19,00 — 0 11 4,55 7 55 48,00! 7 45 34,00! — 0 26 92,45 9 49 44,77] 9 39 33,40] — 0 26 3,25 10 6 9,00! 9 56 2,00, — 0 11 5,90 k 6 8,08, 9 33 17,00 + O0 11 9,07 21 16 11,54/21 5 20,00 + 0 11 9,17 45 1 5,54114 50 17,60 — O0 11 4,21 16 38 19,85116 27 33,80] — 0 95 59,85 29 31 17,31122 20 32,80! — 0 25 59,15 29 90 43,61122 10 2,60|— 0 11 1,16 1% 7 7,38113 56 32,40|+ 0 11 12,65 19 21 13,15119 10 39,00/+ 0 11 12,42 20 56 9,92,20 45 492,60!/— 0 11 4,28 929 5% 29,54192 44 9,k0\— 0 25 59,01 5 33 59,54| 5 23 32,60 — 0 25 58,38 11 7 39,00 10 57 12,00 — 0 10 56,98 7 22 48,92] 7 12 22,60|+ O0 11 19,24

Date. & = Mai 29) P. | 16 31! Y. 3 SV. 7 Juin 1 M. | 19 2] M. 5 3! v. | 22 5| P. 7 6 P. 6 Hllev. 193 9/M. | 15 41! v. | 11 12| P. | 21 13| P. 8 44! v. | 17 16! M. 6 16 M. | 13 18! Y. 6 49, P. | 21 21| P. 9 292| v. | 22 24| M. | 16 94| M. | 18 26| v. 8 27, P. | 17 Juill.25! PB. | 19 28| v. | 12 30! S. | 17 31! 3. | 10 Août 2| v. | 17 9| v. | 23 5| PB. | 10 TP. 6 10! v. 3 12) 3. rl 13! 3. 9 45! v. | 10 18 S. n 19 $. | 21 29| v. | 15 24| B. | 16 25| 3. | 22 97|1». | 22 30! 8. | 1# Sept. 1, P. | 19 k| v. | 20 6! 8. | 22 8 3. 5 10! v. | 11 13! P. 7

24

ExPÉDITIONS CHRONOMÉTRIQUES DE 1845.

Hauth 32.

Chronomètre comparé.

Mémoires sc. math. et phys. T. VI.

S 6,40

Corr. du Chro- nomètre.

Che heCOReERE OCR ES © EE me

.

Kessels 1276.

5

mo SORA DEEI

Chronomètre comparé.

m $S 31,40 3,80 7,60

51,60

16,00

_ DS

Corr. du Chro- nomètre.

h m ss +23 56 3686 0 8 8,06 0 8 6,30 0 25 10.00 0 95 0

O0. STRUVE.

DÉS RNSEESNNSÉ< VUS ES< «IT Lieu.

BrEBsEbBs BB EES BBSsBESEBEBEE

Hauth 52. Hauth 18.

Chronomètre | Corr. du Chro- K. 1290 Chronomètre | Corr. du Chro-

comparé. nomètre. comparé. nomètre.

h m ss: h ms h _m_s h om s h ms 39,69122 7 27,00, +19 37 10,11 | 16 24 29,54/922 14 18,50/+19 31 8,46 k3,38| 8 23 56,00! 19 43 29,19 2 36 47,08| 8 32 16,50 37 12,40 24,92112 15 14,50 19 42 52,47 6 27 6,0012 23 13,50 36 34,59 12,69! 1 55 0,25] 19 54 15,42 | 20 0 7,62] 2 92 9995 hT 41,35 54,#6112 0 16,75] 19 52 41,05 | 6 5 57,92112 9 5950 k6 1,76 0,00! 4 37 46,00! 19 29 4,64 | 22 35 18,46, 4 46 3,00 22 6,10 2,31113 27 1,25] 19 12 12,75 7 18 5492113 35 5,00 D 1,61 36,92112 53 17,25| 19 8 31,91 6 41 161513 1 17,25 1 11,1% 13,38| 5 37 21,00! 19 13 50,12 | 23 19 15,69, 5 #6 0,50 6 12,9% 37,15,22 11 16,75] 19 24 40,75 | 15 47 7,62,22 20 36,25 16 51,73

0,46118 24 43,00! 19 0 26,09 | 11 53 45,618 3% 33,00! 18 52 21,09 8,46! 4 15 8,75] 18 43 24,43 | 21 38 15,92] 4 24 38,75 35 6,89 21,46115 34 14,00! 18 41 37,19 8 54 55,62115 43 9,50 33 15,85 56,31) O0 0 57,00] 18 48 14,09 | 17 17 17,07) 0 10 53,00 39 38,86 20,08113 24% 20,25) 18 59 35,68 6 34 23,77113 34 10,75 90 48,87 39,22120 27 47,25| 18 58 28,86 | 13 37 18,69,20 38 15,50 L9 39,38 738113 14 49,00! 18 34 47,51 6 17 32,77113 25 13,50 25 k1,#0 36,69! 4 8 17,50| 18 17 2,70 | 21 4 7,38] 4 18 14,95 7 36,64 19,15116 44 45,75, 18 11 16,11 9 35 28,6216 55 35,25 1 36,08 18,46! 5 23 33,00! 18 17 13,17 | 22 8 10,15] 5 34 20,00 7 17,87 30,23123 30 29,25, 18 27 49,43 | 16 8 48,92,/93 k1 58,00 17 39,37 35,54k| 2 19 .1,95| 18 27 29,90 | 18 57 29,31| 2 31 6,25 17 11,67 56,77115 55 22,50] 18 4 9,42 8 27 10,3816 7 1,00! 17 53 44,5% 28,62! 1 20 11,00) 17 47 13,91 | 17 46 15,00! 1 31 37,00 36 34,30 30,00! 3 12 #4,50 +16 0 58,96 | 19 15 3,23] 3 29 8,00! +15 46 8,69 54,00120 22 36,00! 15 28 24,492 | 12 1% 6,00,20 38 57,00! 15 13 15,43 8,31] 1 22 20,50! 15 5 3,09 | 17 5 9,69] 1 38 47,00! 14 49 37,97 kh,54118 46 43,25) 15 2 17,62 | 10 26 29,31119 2 58,925] 14 46 47,39 93,71| 2 19 46,50, 15 8 25,93 | 17 51 11,54] 2 36 51,00! 14 52 39,21 50,77, 8 2 38,00! 15 7 31,95 | 23 32 50,77] 8 19 27,00| 1% 51 42,90 k5,92119 22 4,50| 15 20 21,94 || 10 43 9,00119 39 32,50| 15 4% 17,02 39,00115 44 1,75, 15 13 19,78 6 57 51,0016 1 32,25| 14 57 1,28 56,31112 36 23,00| 14 40 8,76 3 39 18,00112 5% 21,00] 14 23 32,46 16,38117 22 10,00! 1% 16 49,95 | 8 16 53,08,17 40 41,00! 13 59 55,63 28,62119 9 30,50! 14 12 43,51 | 10 0 32,31119 28 35,50] 13 55 42,20 30,00119 36 14,00! 1% 20 3,10 | 10 18 39,00119 54% 44,00! 1% 9 42,12 33,46119 17 53,25| 14 30 58,20 k 11 32,08119 36 40,25] 14 13 9,82 35,31| 6 57 33,75] 14 25 19,19 | 21 23 53,08) 7 16 52,50] 14 7 18,21 24,00! 0 52 49,00! 13 52 42,86 | 15 8 38,54) 1 12 30,50| 13 34 15,89 32,31| 2 37 48,50] 13 29 57,91 | 16 46 33,00! 2 58 39,00] 13 11 8,10 14,54! 8 37 16,00! 13 25 14,89 | 22 #1 29,54] 8 58 33,00| 13 6 12,89 20,77| 8 30 58,00| 13 32 40,60 | 22 27 4h,31| 8 52 43,00! 13 13 19,1% 3,92] 0 25 53,00] 13 4 48,59 | 14 10 27,23] 0 46 0,25) 13 25 4,65 38,54| 5 49 52,75] 13 36 24,06 | 19 27 52,77] 6 11 22,50] 13 16 18,54 50,31! 7 36 43,50] 13 2 35,22 | 21 2 33,69) 7 59 5,00! 12 40 57,10 55,38] 9 47 40,00! 12 39 49,24 | 23 4 4kh,08110 9 33,25] 12 18 44,68 k3,62116 30 17,25] 12 35 1,05 5 42 46,85116 52 39,75] 12 13 41,78 1615122 10 13,00! 12 41 39,17 | 11 1% 53,77,22 33 40,00! 12 19 49,79 42,46118 34 26,00! 12 53 9,38 | 7 27 27,23118 57 30,50] 12 30 49,65

BrBsBreEBs Beer PES BEBE

BESEBBES MISES TUSESEX UNS EX UNS EE < MT Lieu.

ExPÉDITIONS CHRONOMÉTRIQUES DE 1845.

Hauth 11.

s h _m

22

Chronomètre

comparé.

S 8,00

Corr. du Chro- nomètre.

h om ss +419 9% 163

19 30 5,37 19 29 27,55 19 40 33,83 19 38 52,80 19 1% 54,09 18 57 49,98 18 53 57,41 18 58 58,75 19 9 41,24 18 45 12,63 18 27 58,72 1826 7,36 18 32 31,51 18 43 44,06 18 42 34,56 18 18 36,45 18 O0 30,74 17 54 98,03 18 O0 8,83 18 10 33,83 18 10 6,17 17 &6 41,62 17 29 29,68

K. 1290.

Hauth 926.

Chronomètre comparé.

17,00 41,50 47,75

4,00 27,00 50,25 14,25 29,00 13,50 41,50 k7,00 59,25 kh,25 16,00 kh,50 28,25

67

Corr. du Chro-

nomètre.

2 u h m 0 22,95|+15 46 1313

15 13 16,90 14 &9 37,01 14 46 46,81 14 52 36,36 14 51 40,64 15 4 8,32 14 36 53,75 14 23 22,23 13 59 44,8% 13 55 32,98 1% 2 31,50 1% 12 57,97 14 7 8,69 13 34 3,86 13 10 55,92 13 6 2,65 1313 7,56 13 94 51,29 13 16 9,46 12 41 51,41 12 18 492,23 12 13 42,05 12 19 51,02 12 30 52,84

68

#

Be +

DLSES< DNS EST ES<TUs<ESES< <"T Lieu.

Br ss Ebe BE Es Br EES ss LE

Hauth 31.

Chronomètre comparé.

h 17 3 7 20 6 23

mm?

S 2 14,00

=

24,00 52,50 24,00 40,00 43,00 48,00

3,75 14,00 53,00

O0. STRUVE.

Corr. du Chro- nomètre.

h _m_s 4-0 447 29,3%

36 14,84 56 15,39 13 38,06 13 39,49 56 29,09 kh 51,38 kh 53,76 56 40,98 14 3,13 56 51,62 45 13,80 18,19 57 0,24 14 21,34 14 22,19 57 10,79 k5 33,78 45 36,95 57 22,91 14 hh,11 14 &4,38 57 31,62 &5 54,07

SO ObmBROCOOCOCnn COCO OC CCR = © © — ©

+

© = [°n]

50,38 24 43,45 9 53,14 9 55,41 24 59,87 25 0,49 47 23,60 kT 27,62 25 24,00

Dent 1778.

26,77116

Chronomètre comparé.

S 20,00

Corr. du Chro- nomètre.

h m +1 7

18 18 39 35 18

6

6 18 35 18

0,05 39.30 39:01 5213

BrBBr Ets BBs BE BBr PES SE BUEE VIE VUS ESS TES Es mms ESS < TS Lie.

ExPÉDITIONS CHRONOMÉTRIQUES DE 1845.

Dent

Chronomètre comparé.

K. 1290.

1613.

Corr. du Chro- nomètre.

S k ms h m ss 16 56 25,3815 41 16,50+92 7 6,31

10 59 415 8 51 7 4 20,08) 4 57 3 48 42,00! 1 41 8 36 11,54| 6 29 10 10 4823| 8 3 10 26 3,46| 8 19 4 20 4,62! 7 50 21 31 45,92119 24 15 1% 330013 7 16 52 34,46/14 43 292 47 43,38/20 40

5 48 28,69) 3 &1

26,00

45,50 |+- 2

D «a ©c = > > à à NO NO © F2 à mà NO NO à à mm RO NO mb me à md à

18

k8,84

69

Dent 1630. K. 1290 Chronomètre Corr. du Chro- comparé. nomètre.

h _m ss h ms h om ss 16 28 9,005 57 57,25|/+ 1 51 9,18 2 53 17,53| 2 23 12,00 2 9 47,37 6 54 14,77] 6 24 10,00 2 92 46,82 20 4 48,46119 3% 52,00 2 19 59,44 6 13 34,15! 5 43 39,00 2 19 58,49 29 46 20,77110 16 33,50| 2 2 37,89 7 23 59,54| 6 54 18,50] 1 50 52,74 6 45 47,54] 6 16 9,50 1 50 50,29 23 2h 30,:6122 55 0,00 2 2 2891 15 54 52,85115 25 32,00] 2 19 41,21 12 4 10,61111 34 59,00 2 2 20,19 21 42 0,23/21 12 55,00] 1 50 34,96 8 59 92,54| 8 29 58,50] 1 50 33,78 17 2% 53,77116 55 56,00 291955 6 40 8,31! 6 11 19,00! 2 19 25,16 13 43 4,38113 14 16,00 2 19 24,58 6 25 38,31] 5 56 57,00 2 2 3,45 21 7 762120 38 31,50] 1 50 19,63 9 41 15,23] 9 12 42,00 1 50 15,95 229 15 35,08121 47 9,00 2 1 53,81 16 15 22,38115 47 5,00 2 19 5,85 19 0 2%,92/18 32 8,00 2 19 5,53 8 31 51,46| 8 3 43,00 2 1 43,63 17 49 5,31117 21 3,00 1 49 58,61 19 22 55417 33 36,50|+ 1 48 42,50 12 17 47,54110 29 33,00 26 21,00 17 8 3,6915 20 1,00 11 17,998 10 28 31,38| 8 40 31,50 11 16,21 17 54 281516 6 39,50 26 7,33 23 36 3,:6/21 48 16,00 26 6,64 10 57 43,85| 9 10 8,00 48 16,39 7 3 17,85| 5 15 38,00 48 12,39 3 46 53,31! 1 59 36,50 95 52,28 8 23 17,23| 6 36 11,00 10 49,81 10 8 46,62] 8 21 45,00 10 47,02 10 2% 18,:6| 8 37 26,00 25 39,60 k 17 49,62! 8 8 21,50 47 46,12 21 30 36,23119 k3 12,00 47 hk1,86 15 12 43,16113 25 29,50 25 21,51 16 51 24,9215 4 20,00 10 19,03 22 #5 12,00120 58 13,00 10 15,36 22 31 16,61120 4% 26,00 25 8,k4 14 13 23,54/12 926 44,50 #7 16,71 19 33 34,85117 #7 2,00 47 11,12 21 9 18,46119 22 56,00 24 50,87 23 7 58,38/21 21 42,50 9 49,74 5 46 45,92] & O0 34,00 9 46,60 11 21 18,00] 9 35 13,00 2% 41,01 7 31 17,081 5 45 21,50 LG 48,50

70

RTE: TUSEX NUE ÉÉSX + Lieu.

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Arnold et Dent 951.

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1

19

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10 12 23

mn

Chronomètre comparé.

O0. STRUVE.

Corr. du Chro- nomètre.

h +-923

23

61638 16 24,33

k1 3,01 99 26,61

Dent 1687. Chronomètre | Corr. du Chro- comparé. nomètre.

h m ss h ms 15 41 0,50+2 9 59,70 2 6 37,00 21 40,39 6 8 17,50 21 40,2% 19 17 53,50 38 55,17 5 27 923,50 38 55,07 22 1 59,00 21 37,31 6 41 36,50 9 53,21 5 58 28,00 9 52,3% 22 38 6,00 21 32,36 15 9 39,00 38 45,99 11 18 58,00 21 26,73 20 56 35,75 9 43,13 8 12 9,50 9 42,62 16 38 4,00 21 22,78 5 53 37,50 38 36.66 12 56 44,00 38 36,28 > 38 58,00 21 15,14 20 20 28,00 9 35,59 8 54 55,00 9 33,65 21 28 54,00 21 13,64 15 29 0,00 38 27,24 18 16 37,00 38 27,07 8 3 18,00 21 7,:8 17 6 35,00 9 24,32 17 25 13,00 +2 8 38,53 10 1% 13,00 1 46 19,53 15 4 30,25 1 31 18,04 8 22 28,00 1 31 16,72 15 53 28,00! 1 46 8,68 21 31 40,50! 1 46 8,45 S 54 39,50] 2 8 18,13 k 58 10,50] 2 8 14,96 1 44 54,00 1 45 56,01 6 37 16,00 1 30 54,37 8 8 39,00| 1 30 33,03 8 23 11,00| 1 45 48,13 7 52 24,00 2 1:57,92 19 25 12,50] 2 7 55,21 13 19 31,00 1 45 37,32 1% 48 29,25] 1 30 38,18 20 42 49,50 1 30 36,55 20 33 16,00 1 45 31,23 12 7 58,25| 2: 441,28 17 29 38,00 2 71 38,35 19 6 16,00 1 45 24,41 DAN PT 1,95 1 30 27,53 3 44 29,25] 1 30 26,90 9 22 20,50 1 45 24,28 5 27 56,00| 2 7 35,92

L e2 = BErBBEEEE BEBE EE Br EEE SE EBEE DÉSOLÉE LUS ES LUS RES + Lieu.

ExPÉDITIONS CHRONOMÉTRIQUES DE 1845.

Dent 1730. Chronomètre | Corr. du Chro- comparé. nomètre.

s h om 5 h mm h8,23115 28 42,95|+ 2 93 54,46! 1 5% 45,00 34 30,00! 5 36 20,00 34 32,77119 5 22,00 52 32,31| 5 15 20,50 52 0,46121 50 46,00 35 55,38! 6 28 39,50 23 L7,54k| 5 45 29,50 23 L3,85122 25 24,00 39 51,23/14 56 392,50 52 58,15111 6 39,50 39 31,15120 43 11,50 23 57,46! 7 58 36,50 23 47,71116 26 26,00 39 34,62! 5 40 13,00 52 28,15,12 43 6,00 52 40,61! 5 26 16,00 39 52,85120 6 25,00 24 27,923| 8 h0 53,25 24 51,69,21 15 15,50 56 36,92115 14 59,50 53 56,08118 2 18,50 53 13,61! 7 49 35,00 36 1,38116 52 21,00 24 6,23117 9 21,00 + 2 95 83,77| 9 58 7,00! 2 3 31,38114 47 44,00 1 49 6,23! 8 5 18,00| 1 49 18,46115 36 29,00! 2 % 42,69/21 14 53,00! 2 4 9,00! 8 37 20,00 2 26 23,31| k 40 32,00 2 26 33,23| 1 28 41,00 2 4 19,85| 6 16 28,00 1 49 54,00! 7 51 1,00 1 49 32,77] 8 5 39,00 2 48,992] 7 34 5,00! 2 27 36,00119 6 48,50 2 97 18,46113 1 28,00! 2 45 14,31114 30 91,75 1 50 10,15/20 24 16,50 1 50 30,00/20 14 35,00! 2 5 28,38111 48 33,25] 2 97 13,38117 10 14,00 2 97 6,00116 47 1,00! 2 5 k6,85,20 48 36,00 4 50 5,31| 3 24 50,75] 1 50 54,00! 9 3 34,00! 2 5

20,77| 5 7 56,00

D D Co

Dent 1739.

Chronomètre

2 6

19

comparé.

h 15

71

Corr. du Chro- nomètre.

s h Om _s 5900|+2 3 2591

18,00 27,00 54,00 12,30

3,00 23,50 28,00 35,00 46,00

15

631 6,28 21,44 21,30 3,11 20,98 20,49 1,06 1,99 55.58 12,21 11,89 52,28 5,9% 5.38 6,60 h,61 3.73 44,0% 58,43 58.29 39,17 55,86

29,95 11,2% 10,91

9,80

=

9

[ol DULHIOMNDOS,

& ©] S = pervertEr verbes LUE Er SBBSE MAS Ur EEX DOUX EX NDUXEÉEÉX EXT Lieu.

O0. STRUVE.

Dent 1807. Dent 1799. K. 1290. Chronomètre Corr. du Chro- K. 1290. Chronomètre Corr. du Chro- comparé. nomètre. comparé. nomètre. TES Brno: h om ss k om, s h ms h ms 32 52,85115 58 48,25/+ 1 55 2,04 | 16 33 40,62116 27 44,50|+ 1 26 53,56 59 51,23| 2 25 52,00 2 6 41,08 3 3 21,23| 2 57 37,50 38 25,59 4 15,23) 6 27 16,50 2 6 40,78 7 2 25,84] 6 56 43,50 38 24,39 9 20,77119 35 29,00 2 93 54,75 | 20 10 15,69,20 4 47,50 59 31,17 20 1,38] 5 46 11,00 2 93 53,72 6 21 8,77| 6 15 44,00 + 55 928,11 55 45,6910 22 2,00 2 6 34,31 | 22 57 6,00 10 51 56,00 38 0,62 32 30,00! 6 58 51,50 14 54 50,22 1 33 5,31| 7 28 7,00 26 10,03 51 28,15, 6 17 52,00 1 54 48,41 6 52 12,93| 6 47 21,00 26 3,50 29 46,61122 56 17,00 2 6 27,36 | 23 31 2,07123 26 925,50 31 34,33 5 1,38115 31 41,00 2 23 40,75 | 16 6 5,54116 1 45,50 54 k0,41 11 42,16111 38 30,00 2 6 21,04 | 12 12 56,31112 8 52,00 37 12,89 47 0,00,21 13 53,00 1 54 36,23 | 21 47 4k6,62121 43 54,50 25 21,85 2 59,08! 1 29 53,25 1 54 35,57 9 6 47,5k| 9 2 58,50 25 18.79 34 18,00117 1 18,00 2 6 14,78 | 17 35 18,46117 31 41,00 36 52.24 kk 20,31] 6 11 28,00 2 93 928,17 6 45 20,31! G #1 57,50 53 58,67 52 57,23113 20 5,50 2 23 27,93 | 13 53 40,15113 50 19,50 53 56,85 34 30,00! 6 1 45,00 2 6 7,14 6 35 30,46! 6 32 24,00 36 28,60 12 42,93120 40 2,50 1 54 93,924 | 21 13 18,23121 10 24,50 24 37,9k4 47 38,54! 9 15 1,00 4 54 20,27 9 48 35,71| 9 45 51,75 24 26,76 22 5354121 50 22,00 2 5 59,26 | 22 24 6,00,122 21 35,00 35 58,72 26 38,54115 54 14,50 2 23 12,52 | 16 27 29,08116 25 13,50 53 4,06 11 21,993 18 38 57,50 2 23 12,23 | 19 12 10,15119 9 55,50 53 3,26 55 54,46, 8 23 37,00 2 5 52,63 8 57 36,00! 8 55 35,00 35 36,17 58 21,23 17 26 9,50 1 54 8,06 | 17 54 17,77117 54 28,75 23 45,35 36 39,23117 43 41,00,+ 1 53 11,68 | 19 37 3254118 17 14,00|+ 1 20 31,99 36 15,24110 43 30,50 30 51,22 | 12 37 29,77111 17 37,00 0 57 59,26 16 8,54115 23 34,25 15 49,58 | 17 17 24,00115 57 51,50 0 42 47,79 32 46,62! 8 40 14,50 15 48,47 | 10 33 32,54| 9 14 6,00 0 42 42,88 8 20,7716 15 58,50 80 40,96 | 18 9 18,00116 50 12,00 0 57 24,69 kk 6,k6/21 51 45,00 80 40,64 | 23 45 18,00122 26 14,00 0 57 23,18 k 51,00! 9 12 42,00 52 49,55 | 11 5 39,23! 9 46 59,00 1 19 20,78 7 51,23) 5 15 47,50 52 46,28 1 8 35,31 50 10,00 1 19 7,86 0 00,00, 2 8 10,00 30 925,47 k 1 0,46! 2 43 92,00 0 56 33,93 52 38,08! 6 0 58,00 15 23,69 8 56 12,00! 7 38 34,00 0 #1 21,61 91 52,38) 8 30 16,00 45 21,81 | 10 23 20,54] 9 5 51,50 O0 41 14,46 hG 36,:6| 8 55 8,00 30 15,63 | 10 #8 9,23| 9 30 58,00 0 55 58,40 24 41,77, 8 10 37,75 52 22,02 k 25 28,15| 8 45 56,00 4 17 50,15 35 23,1519 43 24,00 82 18,78 | 21 36 2,54/20 18 41,00] 1 17 39,17 30 30,00113 38 40,00 29 57,86 | 15 31 18,00114 14 21,00 0 55 4,86 14 52,62,115 10 11,00 44% 55,74 | 17 4 17,54115 47 38,50 0 39 53,17 53 27,00/21 1 50,25 14 53,12 | 22 54 24,4k6121 37 56,50 0 39 44,33 L3 16,15,/20 51 47,50 29 46,48 | 22 4G 42,00/21 30 32,00 0 54 27,83 16 37,85112 25 29,00 51 53,53 | 14 17 9,23113 1 24,50 1 16 292,41 38 51,23117 47 41,50 51 48,00 | 19 39 33,69118 24 6,00 1 16 5,96 16 55,85119 26 1,00 29 23,26 | 21 17 51,23,20 2 52,00 0 53 27,64 18 28,62,21 27 42,00 14 20,48 | 23 19 22,38/22 k 40,75 0 38 15,49 55 2,31, # k 20,00 1% 17,00 5 55 57,00! 3 41 25,75 0 38 5,94 37 45,69! 9 47 12,00 29 9,70 | 11 39 42,46,10 25 30,00 0 52 48,47 37 23,08) 5 47 1,00 51 15,00 | 7 38 11,08) 6 24 23,50] 1 1% 40,50

10 13

B.

sEBS EEE: LEE EPS BEBE EEE SE EBEE SES TUSEESDTS ÉLUS ESA TS Lie.

39

ExPÉDITIONS CHRONOMÉTRIQUES DE 1845.

k8.06

Dent 1798.

Chronomètre comparé.

20 1% 15 21 21 12 18 19 21

le 10

6

Mémoires sc. matb. et phys. T. VI.

m S 17,00

28,50 24,00 16,50 36,90 28,00

Corr. du Chro- nomètre.

h m +- 1 39

= NN Ee = = = NO I æ = me me NO ee ù me à |O 10 > à

Emo mOCOOCRR me CC

50 50

K. 1290.

où

19

19 PO OA D OAI O,,

D » = N © = D

= = © OO «I

6

3

©9 eo ©

12

24.00 0,00 86.77

Dent 1789.

Chronomètre comparé.

m

S 9 11,95

55,00 92,50 35,50 34,00 k0,00 k4,00

8,09 k1,00 38,00 18,00 18,50 32,50 23,00 23,00 96,50 58,50 1%,00

2.00

2,00 58,50 19,50 15,00

0,50

7,00 44,00 26,50

2,00 40,50 50,50 19,00 k5,50 30,06 54,00 k7,00 37,00 26,00

L 49,00

35,00 38,50 51,50 29 00 15,25 19,50 37,50

h,50 19,75

7,00

3,00

10

Corr. du Chro- nomètre.

PEErTeS + 1 47 10,20 58 46,86 38 46.32 15 57,94 13 36,57 58 34,61 46 48,72 16 46,04

BRNNMmE += mæ OO ES æ EE NO ER PE Em NO NO ee RUE — ; © ro) ù «© =

+ 1 44 96,15

:2 36,28 42 29,83 20 2,22 4& 57,05 k 53,02 19 43,32 1 45,30

74

EEBEE DS ESS NTSEES RSS ETS EES< < NT Lieu.

BrBBEBES BBE EEE US

12,46

Dent 1787.

Chronomètre comparé.

ÿ)

9

34

3,691 3 32

O0. STRUVE.

Corr. du Chro- nomètre.

Dee & & NO NOM + à D NO NO Em mb mè RO NO = mù ù eù à O9

(11 S 1,03

41,86 41,82 58,21 57,72

FES

[ee 19 DAWDSAS ED,

53,08 39,00 15,69 33,77

Dent 1776. Chronomètre | Corr. du Chro- comparé. nomètre. PO TILNNES À Om _s 16 14 48,00|+ 1 42 47,76 2 kG 13,50 1 54 25,13 6 45 40,50 1 54 24,62 19 52 3350] 9 11 37,33 . 6 4 49,00] 2 11 36,04 10 40 9,00 1 54 14,84 7 14 24,00 1 42 30,64 6 33 51,00 1 42 27,96 23 14 2,00 1 5% 5,91 15 48 19,00 2 11 19,83 11 57 15,00 4 5% 0,03 21 29 52,50] 1 42 15,09 8 49 6,25 1 42 14,27 17 20 39,00| 1 53 53,79 628 7,00] 211 7,17 13 37 3,00| 211 6,42 6 22 44,00! 1 53 44,61 20 55 50,00 1 42 0,20 9 32 1,00 1 41 56,28 22 8 40,00| 1 33 34,3% 16 10 32,00 2 10 47,63 18 55 21,00 2 10 47,23 8 43 29,00 1 53 26,72 17 43 42,00 1 41 40,88 18 0 21,50|+ 1 40 33,49 11 1 29,00 18 13,51 15 40 34,00 3 14,07 8 56 36,30 3 13,07 16 35 11,00 18 7,70 22 10 0,00 18 7,64 9 29 59,00 kO 18,47 5 32 37,00 kO 15,01 2 27 14,00 17 54,71 7 20 5k4,00 2 53,54 8 50 3,00 2 52,20 9 18 37,50 17 46,00 8 27 392,50 39 52,42 20 O0 6,50 39 49,44 13 56 46,00 17 27,87 15 29 42,00 2 25,91 91 20 46,75 2 2994 21 11 24,00 17 15,52 12 40 28,00 39 23,76 18 4 4,00 39 18,12 19 k4 4,00 16 52,10 21 46 37,50 41 49,44 k 21 27,00 1 46,69 10 6 12,00 16 39,70 6 4 2,00 38 44,69

Bebe bEs VIE VE BB ESS HSTE MLEE< ETS SESsS UNS ESA EUX ESS < Lie.

ExPÉDITIONS CHRONOMÉTRIQUES DE 1845.

Dent 1821.

h "1708115

37,39| 1

52,1512

21,23 46,62 38,11|2

6,46120 15,46|12 28,1517 10,15119 17,54|21 23,07| 4 50,77| 9

3,00! 5

72

o1

Chronomètre comparé.

Corr. du Chro-

nomètre.

s h Om 5 5,00 +2 8 9,54

Ver NNeRmReNNeRE EE NN Ee EE + æ

49,23 48,70

3,14

3,12 44,62

2,03

1,58 42,68 38,29 39,58 56,16 55,80 37,52 51,79 51,38 32,15

CN

© _ DAUDSONS

37,15 36,00 23,77

5,5% 12,00

96,31 |21

13,83 34,15 15,69

0,92 55,85 59,00 21,69

32,71|

38,08 31,85

28,15 |: 26,31 |:

43,62

9,46!

3,29

11,072

10,15 56,31 49,85

Dent 1827.

Chronomètre comparé.

17 10

15 2

29.00 2850

Corr. du Chro- nomètre.

k !

+ 1

= NN ND D Ne & D NN ND = » D ND ND = & ND ND D D ND

u

m S 31,46

13,09 13,03 29,1% 29,20 11,89 28,53 27,97

8,87 23,99

5,58 29,82 2218

2,19 18,22 17,96

0,49 17,93 16,32 57,88 12,80 12,65 54,5% 12,04

48,61 31,52 32,07 30,6% 24,70 2%,49 34,91 32,21 14,17 13,50 11,28

6,19 16,69 13,90 57,45 58,24 99,93 51,64

2,30 59,23 43,64 k5,9% 44,85 k1,32 92,77

76

Juil.25

DIERSTUSSESUU<E<NmS ESS + Lieu.

Dent 1941.

Chronomètre comparé.

=

1O IN DAS oO © & D OS,

No SD

12 ee

D = = À © © © 1 ND OO © D © © © =

20

O. STRUVE.

Corr. du Chro- nomètre.

+ 1

ROCCO R BR O0 COCA CCOCR RO OCCOO©O =

3513 10,09

9.43 1843 16,30 51.85

337 3916 3291 114 15/58 2718 25 03

0.25

32 6,92 6 20,77 38 25,15 58 50,08 39 32,77 1% 52,62 23 18,46 53 15,00 13 10,85 n9 6,00 55 52,38 2 41,54 48 54,00 18 55,15 57 7,38

33 492,00[<

34 8,08 18 40,62 37 59,84

8 23,081

Dent 1808.

Chronomètre

6 10 7 6 23 15 11 21 8 17

comparé.

Corr. du Chro- nomètre.

= = N NN æ = = æ |O IO 2 ee 2 me |O à à à æ NO ND DO NO

+

h _m_s L'48"33/67

7,88 7,05 15,99 16,27 48,88

36,88

& PrBBSEBEs BUrBEr Br EE SEULE MISE < VUS SES DTA Es CU <SS< + Lieu.

ExPÉDITIONS CHRONOMÉTRIQUES DE 1845. 7 4

Dent 1774. Kessels 1297.

Chronomètre Corr. du Chro- K. 1290. Chronomètre | Corr. du Chro-

comparé. nomètre. ; comparé. nomètre.

h om 5 k ms 19,15117 22 5,75|+ 0 40 10,86 45,00! 3 29 42,00! 0 51 44,83 24,00! 7 30 22,00| 0 31 44,05 57,6921 1 9,00! 1 8 51,68 83,08) 7 14 ‘7,00! 1 8 49,43 36,00111 49 3,00! 0 51 23,61 0,92, 8 20 38,75 0 39 33,90 k m 5 Roms RON 25,15] 7 #1 0,00! 0 39 28,43 7 0 2,77] 5 28 23,95|+ 2 52 51,80 k6,15| 0 22 43,50 0 51 0,41 | 23 42 5,53/22 17 3,00| 92 58 0,30 57,23116 58 10,50 41 8 7,11 | 16 17 16,85114 58 53,50| 3 8 13,73 216913 6 50,50! 0 50 39,76 | 12 25 30,00/11 1% 19,00! 2 4% 19,36 13,15122 36 53,00 0 38 49,89 | 21 54 48,00/20 49 4,95] 2 27 13,19 50,08! 9 36 3250] 0 38 47,34 | 9 1% 34,62] 8 10 40,25) 2 23 2813 18,46118 33 12,00 0 50 21,25 | 17 52 16,15116 53 40,50 2 31 50,45 6,69! 7 40 1#,00 1 7 28,56 6 57 53,31, 6 5 22,75] 2 43 6G,k4 32,54|14 47 hk2,00 4 7 26,73 | 14 5 27,00113 14 5,75] 2 41 57,4 56,31| 7 33 18,00 0 50 0,46 6 50 51,23! 6 6 7,00! 2 18 6,39 3392122 3 850| 038 8,93 | 21 20 9,23/20 #1 39,25) 2 0 13,19 1,15/10 41 43,00 0 38 0,901 9 58 53,31! 9 26 16,50 1 5% 19,56 kh,31123 18 38,50 0 49 33,54 | 22 35 50,77122 9 11,00 25: 0: 7,9 10,62117 19 19,50 1 6 39,61 | 16 36 21,23116 16 32,50| 2 10 37,22 31,85/20 3 41,50 1 6 38,97 | 19 20 28,859 1 6,75 2 10 10,72 36,46| 9 25 59,00 0 49 12,63 | 8 42 57,16] 8 29 40,00 1 46 52,6

77118 53 54,50| 0 37 22,62 | 18 10 39,00118 2 48,25] 1 99 #7,11 54,69118 52 36,50 + 0 3% 31,65 26,07112 1% 34,00 0 11 58,59 12,46116 52 41,50! 23 56 46,26 33,69/10 11 8,59, 23 56 41,54 15,23117 50 11,00| O0 11 22,94 55,84123 22 53,50 0 11 21,53 43,15\10 48 5,00 0 33 18,71 0,46! 6 47 37,50] 033 5,52 12,47| 3 k1 17,00 0 10 30,96 71, 8 0 41,00! 23 55 17,33

56,54110 8 32,50! 23 55 9,47 24,46110 36 19,00! O0 9 52,66 0,92! 9 45 34,00 0 31 44,92 277,21 17 46,50] 0 31 33,90 16,62115 13 2%,00 0 9 0,19 k0,1516 49 5,50! 23 53 48,79 12,69/22 38 49,00! 23 33 40,07 2516122 24 19,50| O0 8 23,19 54,69/13 54 14,00 0 30 18,37 37,85119 21 14,00 0 30 2,12 6,00/20 59 8,00! 0 7 26,42 14,0823 5 33,25| 923 592 14,70 27,69! 5 48 57,00] 23 52 5,39 0,00 111 22 49,00 0 6 47,00 27,00! 7 20 39,50 0 28 40,42

73

Date.

22

Lieu.

EE

æ

DOUTER TÉEST

O0. STRUVE.

Dent 1635.

Pendule Chronomètre | Corr. du Chro- normale. comparé. nomètre. Paso | 028" 000142 1’un0s 3 6 3 119 35 21,79 30 46,47 8 39 26 4 7 50,25 30 46,44 6 12 38 122 57 10,25 1 50,04 8 15 24,5 | 0 59 36,75 1 49,92 5 23 35 121 28 53,25 30 50,20 9 14 46 1 19 26,25 30 50,38 6 312 122 24 6,75 1 53,47 8 41 29 0 58 0,75 1 54,60 8 23 26 0 0 33,50 31 1,04 10 48 35 2 25 18,50 31 1,30 5 56 27,5 |21 49 37,25 2 7,67 9 4 20 0 53 0,75 2 4,72 6 30 24 21 40 5,50 31 14,92 9 57 36 1 2 45,50 31 17,16 k 57 28,5 [20 19 2,25 2 2h4,77 k 8 33,5 117 50 53,75+2 3 95,93

K. 1290.

1 20 55,85123 17 46,00 1 26 25,61 10 45 21,69] 8 42 11,50 1 26 26,54 11 23 38,31| 9 20 30,50 2 3 48,37 7 23 53,54! 5 20 41,50 2 3 54,60

6 48,69 7 3 36,00 1 26 56,31 10 42 27,92] 8 39 14,00 1 26 59,36

k 41 41,54! 8 15 32,50, 2 k 297,04 21 53 23,71119 49 9,00 2 k 32,h0 17 22 36,00115 18 1125] 1 27 38,90 23 10 1892121 5 51,50 1 27 43,81 14 24 24,232 19 51,00| 2 5 10,92 19 52 57,00117 48 15,00! 2 5 20,27 23 35 36,92191 30 33,00| 1 28 37,79

6 19 24,23] & 14 14,501 1 28 4h43 7 50 2,77) 5 44 34,00! 2 6 21,69

Dent 1636.

Pendule Chronomètre | Corr. du Chro-

normale. comparé. nomètre, TATais | 0 30 215042" d'31e7 3 12 0 119 42 40,95 29 23,99 8 46 55 4 16 40,75 29:23 71 6 17 21 23 3 19,75 0 22,77 8 19 48 1 5 26,75 0 22,70 5 34 11 21 41 0,75 29 16,97 9 20 49 12700170 29 16,89 6 926,5 [22 32 0,25 0 13,43 8 45 33,5 3 47,25 0 11,94 8 26 30 0 5 33,50 29 4,54 10 50 43 2 29 23,00 29 4,45 6 3 24,5 121 58 39,75 0 1,03 9 10 23 14 1 12,75] 1:59 59,73 6 31 27 21 43 30,50] 9 98 52,74 10 O0 1# 14 7 49,50| 9 98 50,73 5 242 |20 26 53,25] 1 59 46,42 k 15 25,5 118 2 5,75+1 59 4,81

K. 1290. 22 59 25,15/21 O0 57,00 91 43,74 0 46 1,85| 8 47 35,00 21 43,20 11 24 27,69] 9 26 21,00 58 47,25 7 2h 42,46! 5 26 41,00 58 44,02 9 8 15,92! 7 10 37,00 21 22,54 10 43 35,54] 8 46 0,00 21 20,98 k 42 35,71| 8 22 34,00 58 19,77 21 54 35,08119 56 36,50 58 16,21 17 24 1,38115 26 923,25 20 52,28 23 11 0,00,/21 13 26,00 20 50,39 14 925 9,23112 27 55,00 57 51,92 19 53 41,54117 56 32,50 57 417,31 23 36 45,23121 39 56,00 20 93,10 6 20 4,61| 4 23 19,00 20 20,31

50 53,08] 5 54 26,50 57 19,50

ExPÉDITIONS CHRONOMÉTRIQUES DE 1845.

Dent 1637.

: Pendule Chronomètre | Corr. du Chro- paie ë normale. comparé. nomètre. juin sl. | 72903 | d'aé"2050+2" d'3586

6IM. | 3 18 11 119 48 47,25 29 26,99 71M. | 8 52 15 1 21 57,25 29 26,35 9! P. | 6 2% 18,5 |23 10 13,75 0 25,12 10! P. | 8 24 85 123 9 44,95 0 24,99 121M. | 5 38 32 121 45 17,75 29 20,26 13, M. | 9 25 40 1 31 48,75 29 20,09 15| P. | 6 13 22 122 35 49,75 0 18,80 17] P. | 8 51 44,5 | 1 9 52,75 0 16,42 20| M. | 8 28 28 0 7 21,50 29 14,21 20! M. | 10 52 53 2 31 23,00 29 14,10 99] P. | 6 7 37,5 [22 2 42,25 0 10,83 DAbPII 9451225) 46619278 0 8,31 26/M. | 633 27 |21 45 20,50 29 2,42 28 M. | 10 2 30 1 9 56,00 28 59,86 30! P. | 5 746 120 31 46,75], 1 59 56,09 Juill.23| B. | 4 20 13,5 [18 7 17,25,+1 58 40,53 K. 1290. 31! 3. | 1 22 38,31,23 24 38,50 21 15,57 31! 3%. | 10 46 46,62) 8 #8 48,50 21 14,47 Août 5! B. | 11 29 17,08) 9 27 43,50 58 14,1% 7,5. | 7 25 24,6) 9 27 58,00 58 9,02 12! 3. | 9 9 34,85! 7 12 34,00 20 44,47 13/3. | 10 44 51,23| 8 #7: 56,00 20 40,67 18| R. | 4 43 18,92) 8 23 58,00 57 38,92 191 B. | 21 55 25,85,19 58 10,50 97 32,98 24| 3. | 17 25 831115 28 13,50 20 8,96 25| 9. | 23 11 33,23/21 14 45,00 20 4,62 30! B. | 14 95 50,31112 29 25,50 57 92,50 Sept. 1] B. | 19 54 48,00/17 58 32,00 96 54,27 6! %. | 23 37 56,31/21 #1 54,00 19 36,18 8! 3%. | 6 20 54,46] k 2% 58,00 19 31,16 131 B 7 51 51,23| 5 56 15,00 56 29,15

Dent 1794. Pendule Chronomètre normale. comparé. 13348 | O ué”u100!+1 3 2% 11 119 56 2,75| 2 9 0 7 |13111735| 2 6 30 34,5 [23 18 0,75] 1 8 28 58,5 | 1 16 575] 1 5 43 5k |21 52 20,75) 92 9 31 57 | 1 39 47,75) 2 6 17 39 |22 42 1,95) 1 8 56 4 116 5,75] 1 8 30 15 | 0 11 1200! 2 10 53 33 |2 34 7,00| 2 6 1149 |22 9 495) 1 9 19 47,5 | 1 12 5175) 1 6 34 4h |21 49 850] 2 10 3 41 1 13 41,50! 2 8 12 33 [20 39 17,75) 1 L 27 285 |18 20 51,25|+1 K. 1290. 1 23 28,62123 31 53,50 10 47 29,54] 8 55 56,00 11 26 4,15! 9 35 1,50 7 26 18,00! 5 35 9,50 9 10 37,85! 7 20 25,00 10 46 0,00! 8 56 5,00 h 44 3415] 8 32 30,00 21 56 19,8520 6 43,50 17 26 10,15/15 37 46,00 23 12 929,08/21 2% 29,50 14 26 20,54112 38 46,00 19 55 39,23/18 7 56,00 23 38 38,31121 51 1,00 6 22 19,83] # 34 45,00 7 52 46,62] 6 5 23,00

hr 59

28 238 58 58 27 27 58 58 27 27 57 97 26 26 97

79

Corr. du Chro- nomètre.

2 S k1,83

10,51

2,56 53,10 392,70 38,38 37,08 23,60 29,91 10,42

9,99 59,65 k3,69 31,21 25,16 11,31

20,33

50,88 49,89 43,22 31,07 56,47 40,45 292,16 53,98 38,31 15,97 12,93 21,50 11,18

9,53 16,52

80

Date.

Lieu.

ner tTErnR Es ner"

Dent 1901. Pendule Chronomètre | Corr. du Chro- normale. comparé. nomètre.

T8 9 | 0 52” 10012 d'2083 3 31 1 |20 1 49,75| 2 929 19,39 9 445 |1 34 39,75] 2 29 11,80 6 36 47,3 |23 23 0,75] 2 O0 5,08 8 3% 95 |1920 375) 2 O0 4,85 5 49 36 |21 56 44,25] 9 98 55,94 9 37 29 | 144 0,25) 2 98 55,67 6 22 23 |22 45 18,75| 1 59 49,33 9 048 | 119 2495] 1 59 46,94 8 31 2 | 0 10 29,00| 2 28 40,29 10 55 29 | 92 34 3230] 92 98 40,17

17 6 |22 12 44,75] 1 59 35,28

9 96 21,5 | 1 17 35,25] 1 59 33,11

36 7 |21 48 38,50| 9 28 23,98 10 5 6 |1 13 10,50] 2 98 20,93

5 18 42,5 |20 43 22,75] 1 59 14,80

k 33 46,5 |18 21 23,75|+1 58 2,80 K. 1290.

1 24 12,00,23 26 49,00 20 38,76 10 48 12,23) 8 50 51,00 20 37,58 11 26 54,92) 9 29 59,30 57 35,99

7 27 0,92 5 30 13,00 57 30,49 9 12 30,92| 7 16 7,00 20 7,55 10 47 54,69| 8 51 36,00 20 4,14 k 45 18,00| 8 26 32,00 87 4,01 21 57 73820 O0 23,50 56 59,51 17 27 2492115 31 2,95 19 36,83 23 13 221521 17 4,75 19 33,79 14 26 43115112 30 46,00 86 34,84 19 56 29,54118 © 40,00 86 27,81 23 39 19,38,21 43 50,25 19 3,00

6 23 14,31] & 27 50,00 18 59,01

7 53 36,00] 5 58 30,50 55 58,42

O0. STRUVE.

Pendule normale.

37

D © SE © O7 @ EE © À — ©

= (EN) NW © =

LE"

31 12 54 16,5 9,3 17 33 53 20 34

Dent 1910.

Chronomètre

comparé.

Corr. du Chro- nomètre.

22

h ms h s 0 55 57,0 +2 3 11,73

20 1 23

4 39 27,5 |18

K. 1290. 53,08123

1 2% 10 48 11 27 7 27 9 14 10 49 k 46 21 57 17 28 23 14 1k 27 19 57 23 k0 6 23 7 54

49,38 41,54 4,62 1,38 14,77 5,08

@ @ »I © ©

4615119 53,55115 21,22/21 19,15/12 8,08/17 7,38/21 58,62| 4 36,69! 5

b) 35 24 22 58

12

30

4,25 59,75

2,75 59,28 32,25 31,25 54,75

0,75

6,00 14,50

8,25 47,25 15,00 12,00 56,23

32,25

3,00

1,00 28,00 35,00 31,00 51,00 21,00

4,50 38,00 10,50 37,75 31,00 46,00 40,00 35,00

+9

32 32 3

20

7,87 7,12 1,43 1,39 18,18 8,11 42,43 41,37 35,04 34,91 24,11 17,47 3,9% 59,16 47,79

36,37

5,8%

k,73 54,11 48,19 14,01

9,22

2.09 59,28 29,71 27,12 19,09 15,35 55.25 53,32 54,61

Date.

13

Lieu.

3

TÉLÉS TEE EE"

BEBHÉLEEESEEERE

à D ©

dŒ © S © Où @ S © A,

ExPÉDITIONS CHRONOMÉTRIQUES DE 1845.

Pendule normale.

ll 13 47 h5 99 45 32 13 33 98

&6

89"

& 9 30 36,5 11

26 33,9

11,5

K. 1290.

25 &9 28 28 15 50 k6 58 39 14 27 57 40 25 99

34,62 51,00 34,62 21,69 29,62 26,77 L3,85

36,23 49,15 58,15 54,23 48,23 55,83 13,38 28,62

Dent 1913.

Chronomètre comparé.

k ms h m 1 2510012 3

20 1 23

22

22 5

17 21 le 6)

Mémoires sc. math. et phys. T. VI.

11 39

99,75 56,25

3,25 18,25 12,25 37,75 54,75 29,75 17,00

7,00 30,75 11,25 40,50 15,00 492,75

8,25|+- 2

37,50 54,00 40,50 28,50 31,00 36,00

4,50 56,00

7,00 18,00 13,00

6,00 11,00 28,00 39,00

D = À ND ND = = ND ND = À ND NO À =

32

Corr. du Chro- nomètre.

26,36 38,26 38,87 49,81

3 50,05

57,39 57,86

7,20

8,91 15,90 16,15 25,38 27,89 33,13 35,72 3,96

13,18

12,88 13,36 34,69 35,76 35,25 36,22

5 57,36

57,86 55,82 56,54 18,92 20,50 18,70 20,08 42,54

81 Dent 1978. Pendule Chronomètre | Corr. du Chro- normale. comparé. nomètre.

15618 |1 d's550l+9" 11846 3 48 36 120 18 14,75 30 19,51 9 20 52 1 49 36,75 30 19,16 6 53 3,5 [23 37 56,25 1 22,92 8 49 36 1 34 9,75 1 29,82 6 4 6 122 9 43,75 30 24,08 9 49 45 1 54 45,75 30 24,16 6 40 5,5 [23 1 19,75 1 27,92 JALOREL 1 35 52,75 1 28,45 8 35 10 0 12 45,00 30 31,61 11 1 40 2 38 51,00 30 31,67 6 32 37,5 [22 26 14,25 1 34,74 9 40 37 1 29 46,75 1 34,78 6 42 58 121 53 16,50 30 35,86 10 11 18 1 17 7,00 30 35,41 5 37 20,5 |20 59 34,75 1 37,74 k 51 6,5 118 35 27,75+—2 1 17,96

K. 1290.

1 26 6,00/23 25 15,25) 1 24 651 10 50 35,54! 8 49 45,50 1 2% 6,40 11 29 93,54| 9 28 47,00 2 AUTANT 7 29 7,15] 5 28 35,00! 2 1 14,72 9 16 33,46] 7 16 14,00 1 2% 3,09 10 51 24,00! 8 51 7,00 1 24 9,5 k 47 46,62! 8 2% 49,50 2 1 15,13 21 59 21,00119 58 24,00 2 1 14,63 17 29 57,69115 29 8,00 1 24 3,85 23 15 48,00191 15 1,50 1 24 2,89 14 28 21,69112 27 46,00! 2 1 13,38 19 58 55,62117 58 21,00| 2 1 12,89 23 h1 34,62191 41 3,00 1 24 5,9 6 23 56,77| 4 25 26,50] 1 2% 4,97

7 57 2,77] 5 56 39,00] 2 1 16,69

11

82

Date.

Lieu.

=

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8

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Dent 1979. Pendule Chronomètre | Corr. du Chro- normale. comparé. nomètre. & Pas | d'a sg 2" d'a750 3 53 42 20 23 42,25 29 47,17 9 24 9% 1 53 40,25 29 47,08 6 58 53,5 123 k4 11,25 0 56,96 8 54 55,5 | 1 39 54,25 0 56,95 6 12 38 22 18 40,75 29 57,68 95321 |1 58 47,75 29 57,57 6 44 55 23 6 33,15 1 2,63 9 26 35,5 | 1 43 54,25 4 0,21 8 38 11 0 16 19,50 29 57,63 11 2 30 2 k0 15,00 29 57,53 6 36 40 122 30 50,75 1 0,08 9 #5 51 1 35 36,75 Uu 58,02 6 46 10 |21 57 8,00 29 55,83 10 13 27 | 1 19 57,00 29 54,06 5 44 192,5 [21 7 7,25 0 56,12 & 57 515 [18 43 27,95/+2 O0 92,36 K. 1290. 1 26 48,46123 27 12,00| 1 22 52,22 10 51 14,54! 8 51 39,00 1 22 51,90 11 30 37,15] 9 31 9,00 201 8,72 7 29 41,54! 5 30 18,00 2 0 6,11 9 17 36,46] 7 18 27,00 1 22 53,09 10 52 37,62] 8 53 31,25 22 51,82 k 48 31,38] 8 26 52,00 09 57,39 21 59 53,77120 0 18,00 99 53,40 17 30 40,85115 31 22,25 22 32,76 23 16 34,15/21 17 21,00 22 29,54 14 29 4,62112 30 4,00 59 38,31 20 0 133818 1 21,00 59 30,65 23 42 30,00/21 43 59,50 22 4,37 6 26 k4,77| 4 28 20,00 21 59,47 56 16,85] 5 58 13,25 58 956,52

O0. STRUVE.

Pendule normale.

6 58 28

1 16 99

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27

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K. 1290.

1 27 d2 31 7 30

33,00 21,46| 8 22,85| 9

3413| 5

Lh,31| 7 : 18,92) 8

24,23| 8

37,85 47,55 17,77 45,69 9,23 22,85 58,85| 4 30 6,92] 6 0

18”

1983.

Chronomètre comparé.

16,30 3373 46,75 80,25 93,25 44,75

7,28 42,95 14,73 39,00 34,00 83,73 37,93 43,00 48,50 37,23

13,23

31,80 21,00 47,00

3,50 41,75 20,75

7,00 23,50 37,00 31,30 29,30 57,50 31,93 11,25 43,50

Corr. du Chro- nomètre.

} +- 2

+9

» R&B À NN ND = =

“

30

32,83 29,90 29,96 33,91 33,94 36,07 36,09 33,70 33,57 32,26 32,92

1 33,16 1 32,33

30 30

29,48 28,00 98,63

42,30

17,26 16,82 16,42 13,22 46,19 43,62 35,24 31,98

4,71

2,66 53,88 50,00 25,47 22,30 16,34

Lieu.

TESTÉES EÉEESTMESS

Pend

ExPÉDITIONS CHRONOMÉTRIQUES DE 1845.

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normale.

h

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m 10

87 y 52 17,5 26,5

5 10 43,5

K. 1290.

28 52 32 31 20

3,46 57,46

1,85 23,08 14,31

9,92 18,00 40,13 38,31

3,69 14,31 11.54 34,83 53,34 19,38

Dent 1985.

Chronomètre comparé. ,

Corr. du Chro- nomètre.

h mn S k LU S 1 23 2650+2 1 4,07

20

12 19 ee D À D ND © =

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18

23

D @ "1 © ©

20 15 21 12 18 21

n

5)

32 1 56

37,25 48,25 15,75

5,75 12,95 32,95 36,25 46,25 46,00 13,00 50,75 10,25 45,00 11,00 41,75

91,95|+ 2

31,00 26,00 39,50 4,00 8,00 7,00 38,50 4,00 12,00 42,00 4,00 7,50 41,25 3,15 40,50

D ee EE NN = = ND ND = À ND ND = =

30 30

8,70

870 14,43 14,40 17,23 17,25 29,43 29,36 23,83 23,81 28,36 28,10 28,98 28,27 32,12

57,15

48,22 47,82

2,99

1,65 49,95 48,38 57,51 53,78 40,47 38,09 48,01

0 42,31

23 23

97,47 24,49 31,80

Pendule normale.

D © A © # @,, C9 ee]

5 14

26 87 35 37,5 33,5

32,5

K. 1290. 1 28 34,62,93 31

10 53 11 33 7 32

33,46 5,31 L,85

41,92

21,23 2,31

Dent 1986.

Chronomètre comparé.

h

20 41 DUT 24 1 1 58 22 39 2 16 22 99 1 58 0 29 2 LS 22 k6 1 47 22 6 1 26 21 26

19 2

D © "1 © © C2 ©

#7,08120 6 18,00/15 37 50,54/21 93 4#5,0012 35 0,6918 8 18,00/21 50 8,54| 4 36 15,92) 6 5

55,25 40,75 1,25 40,25 45,25 95,23 7,25 26,25 35,00 40,50 86,73 54,75 27,00 45,00 32,75| 1

5,25|+- 1

19,00 20,75 23,00 34,00 43,50 31,00 51,00 42,50 38,00 19,25 43,50 10,00 39,50 35,50 57,25

29 29

83

Corr. du Chro- nomètre.

(1 s

m S h U 1 28 55,00 +2 1

3,67 56,19 55,27 48,29 47,89 39,77 39,29 33,16 30,41 28,0% 97,73 22,04 18,01 10,43

6,08 59,08

2,62

31,38 29,07 22.88 13,42 42,06 35,69

ÿ 29,39

22,21 54,16 47,69 39,20 29,96 12,37

7,74 11,59

84 O0. STRUVE.

8 12. Première évaluation de la longitude de Moscou.

Les règles que nous avons suivies dans le calcul des longitudes fournies par chaque chro- nomètre isolé, se trouvent exposées en détail dans le rapport sur l'expédition chronométrique de 1843 pag. 117— 122. Les poids à assigner aux résultats obtenus dans les différents

4 ï voyages, ont été calculés sur la formule g — ——,, pag. 126 de l’ouvage cité. K étant une Joe g TV TT pas 8

constante arbitraire, qu'on choisit telle que les poids résultants se prêtassent à un calcul com- mode, nous avons supposé, pour les voyages de Moscou, g' — 1 pour 7 — rt’ — 75 heures, et p — 15 heures, ce qui fait # — 12375. En désignant maintenant les différents voyages faits entre les deux observatoires, par P?, P/... ou M7, M”... d'après le lieu d’où ils ont été commencés, nous avons:

Pour l'envoi principal des chronomètres.

Voyage. T p. ré T. g'. h h h k 11 75,6 10,2 73,2 159,0 1,05 M |- 732 23,3 81,2 177,7 0,90 pz 81,2 0,0 77,6 158,8 0,98 MZ 77,6 11,3 69,7 158,7 1,06 PZZ | 697 7,1 79,3 156,1 1.07 M7 79,3 36,6 78,6 194,5 0,81 P74 78,6 2,7 70,8 152,1 1,09 3g' — 6,96 Pour les voyages des chronomètres hebdomadaires. Voyage. T. p. De T. g!. h h h k P’ 91,2 5,5 69,8 166,3 0,93 M’ 69,8 20 68,6 140,4 1,97 PA 68,6 3,8 69,1 141,5 1,27 - MZ 69,1 26,6 70,8 166,3 1,06 3 PZZ | 708 2 67,1 140,9 1,27 M7 67,7 27,0 68,5 163,2 1,11 pr 68,3 27,4 67,6 163,5 111 58:02

On voit qu'en général, pour chaque section de chronomètres, les poids des différents voyages ne varient pas considérablement entre eux, mais en même temps il est bien visible que le poids moyen des voyages des chronomètres hebdomaires est considérablement plus haut, que celui des voyages des autres chronomètres. Il fallait en conclure que les longitudes isolées, trou- vées par les chronomètres hebdomadaires, fourniraient relativement un beaucoup meilleur accord; ce que l’expérience n’a pas prouvé. Ce résultat défavorable s'explique par la circonstance que la majeure partie de nos chronomètres hebdomadaires n'avaient été confectionnés, par M. Dent, que quelques mois avant le commencement de nos voyages, et qu'ils n'avaient pas encore atteint cette uniformité de marche, qui se produit seulement après un usage plus prolongé. Les mêmes chronomètres hebdomadaires qui nous offrent ici des résultats très peu satisfaisants, après

EXxPÉDITIONS CHRONOMÉTRIQUES DE 1845. 85

avoir été en marche pendant deux ans, se sont tellement améliorés, qu’à l’époque actuelle ils peuvent ranger parmi les chefs-d’oeuvre de l’art chronométrique.

Les tableaux suivants donnent, pour chaque chronomètre, les longitudes trouvées dans chaque voyage isolé, et les moyennes de tous les voyages — À. J'ai ajouté les poids des chro-

nomètres y, calculés d’après la formule y — Sr La moyenne des résultats trouvés par tous les chronomètres, a été calculée par 4 — Si et le poids à assigner à cette moyenne, par L — 2G, où G — yXg’. 1. Tableau des longitudes de Moscou, fournies par l'expédition principale. 1. Kessels 1290. 2. Dent 1747. 3. Hauth 30. k. Hauth 32. ‘>yages. | Longitudes. v. Longitudes. v. Longitudes. Ve Longitudes. db h ms Ü h ms 9 hk ms Ü h ms s p7 028 58,43| +0,64 | 0 28 58,39) +0,41 | 0 28 57,80! — 0,42 | 0 28 58,82] — 0,66 M’ 59,45| — 0,38 59,55! — 0,75 57,15| + 0,23 58,34| — 0,18 pz 59,18! — 0,11 58,63) +0,17 57,56, — 0,18 58,26| — 0,10 MZ 58,50! —+- 0,20 58,58| —+- 0,22 57,55| — 0,17 58,50! — 0,34 pz7 59,83| — 0,76 59,13| — 0,33 56,58! —+- 0,80 57,62) + 0,54 M7 59,25! — 0,15 58,46| + 0,34 58,43] — 1,05 57,10! +- 1,06 pr 58,67| +- 0,40 58,88| — 0,08 56,89! <+- 0,49 58,33| — 0,27 km ss Rom NS h ms h m 5 NE — 0 28 59,07 0 28 58,80 0 28 57,38 0 28 58,16 1 — 4,09 6,13 2,87 3,22 5. Kessels 1276. 6. Hauth 52. 7. Hauth 18. 8. Hauth 11. Voyages. | Longitudes. ve Longitudes. v. Longitudes. v. Longitudes. v. h ms S h ms s h ms s h ms s Pp7 0 28 58,49! — 0,95 | 0 28 57,83] — 0,77 | 0 28 58,2%| + 0,55 | 0 28 59,31! + 0,95 M 57,23| +0,31 55,60! +1,46 59,18) — 0,39 62,23| — 1,97 p7 58,37| — 0,83 57,88| — 0,82 58,69! +0,10 59,21! +- 1,05 MZ 58,20! — 0,66 58,53| — 1,47 58,61| +- 0,18 59,41! —+- 0,85 pzr 86,08 +1,46 83,99| + 1,07 59,64] — 0,83 62,08| — 1,82 M2 56,18| +-1,36 55,43| + 1,63 58,62| +- 0,17 60,56, — 0,30 p” 57,96! — 0,42 57,14| — 0,68 58,54| +- 0,25 59,33| + 0,93 h_ ms Amis h ms h_m _s NT — 0 28 57,54 0 28 57,06 0 28 58,79 0 28 60,26 = 0,98 0,64 4,40 0,33 9. Hauth 31. 10. Dent 1778. 11. Dent 1613. 12. Dent 1630. Voyages. | Longitudes. v. Longitudes. v. Longitudes. Ve Longitudes. v. h_m k ms h ms h _m ss s pz |0 28 5825) +020 | 0 285917) — 0,71 | 0 28”5810| +0,38 | 0 285813| + 017 M! 7” 58,19) + 0,26 58,01! + 0,45 59,34! — 0,86 58,72] — 0,42 pZ 59,14! — 0,69 58,47| — 0,01 58,82) — 0,34 58,75) — 0,45 MZ. 58,84| — 0,39 88,65| — 0,19 88,42] —- 0,06 88,41| — 0,11 pz7 58,49! — 0,04 57,99! +- 0,47 58,63 — 0,15 57,72] +- 0,58 MZ 57,83| + 0,62 58,40! -+- 0,06 57,79| -+- 0,69 57,39) + 0,91 p7 58,30] +- 0,15 58,28| +- 0,20 58,851 — 0,55 km ss h_m 5 kms k_ ms À — 0 28 58,45 0 28 58,46 0 28 58,48 0 28 58,30

Vi 5,62 5,06 k,32 3,41

86

Voyages.

Voyages.

P ÿ 4

M7

Voyages.

p7 M’ pZ MZ PI

MZ P TV.

à Y

Il |

143. Arnold et Dent 951.

O0. STRUVE.

1%. Dent 1687.

145. Dent 1730.

Longitudes. v. Longitudes. v. Longitudes. v. km. s h ms s h ms s 0 28 45,22| , 0 28 58,72] — 0,69 | 0 28 58,76! — 0,36 30 36,73 57,97) + 0,06 57,63) -+- 0,77 29 95,73 58,35| — 0,32 59,06! — 0,66 29 4,02 58,21| — 0,18 58,71| — 0,31 30 25,96 57,15| + 0,88 97,92| +- 0,88 29 47,76 57,12! +- 0,91 58,14! + 0,26 29 15,23 58,411 — 0,38 58,82| — 0,42 ms h_ ms 0 28 58,03 0 28 58,40 2,83 2,64 17. Dent 1807. 18. Dent 1799. 19. Dent 1798. Longitudes. v. Longitudes. v. Longitudes. v. BOB s h ms G AMmS s 0 28 5819) +017 | 0 28 38,17! +0,18 | 0 28 58,36! — 0,51 58,21| +0,15 58,36! — 0,21 87,30| +0,53 58,56! — 0,20 88,19! +0,16 88,53| — 0,50 58,24| +0,12 5816! +0,19 58,06! — 0,01 88,26| +0,10 58,46| — 0,11 57,16) + 0,89 58,44| — 0,08 58,36| — 0,01 57,16| +- 0,29 58,55, — 0,22 98,66! — 0,31 58,67| — 0,62 h_ ms Pme PRAEMISS 0 28 58,36 0 28 58,35 0 28 58,05 34,89 24,19 2,82 21. Dent 1787. 22, Dent 1776. 23. Dent 1821. Longitudes. v. Longitudes. vs Longitudes. ve km s s h ms s heSras ss S 0 28 58,39! — 0,08 | 0 28 57,61| +1,06 | 0 28 57,41] +1,34 58,44| — 0,13 58,99! — 0,32 59,01! — 0,26 58,39| — 0,98 58,45| + 0,22 59,48! — 0,73 58,17| +0,14 58,50! +0,17 58,89! — 0,14 58,00! +- 0,31 59,14! — 0,47 58,99! — 0,24 57,89| +- 0,42 58,75| — 0,08 58,55| + 0,20 *58,77| — 0,46 59,24] — 0,57 58,94| — 0,19 km 5 RE erreRs RSmassess 0 28 58,31 0 28 58,67 0 28 58,75 11,43 3,23 2,29 25. Dent 1941. 26. Dent 1808. 27. Dent 1774, Longitudes. v. Longitudes. v. Longitudes. v. Rens s RES RESTES s 0 28 58,45| — 0,02 | 0 28 61,16 0 28 58,46! — 0,1% 58,38| —+- 0,07 63,17 58,07! +0,25 58,33| +0,12 59,11 58,39! — 0,07 55,39| + 0,06 58,36 98,25| + 0,07 58,32| +0,13 55,82 58,34| — 0,02 58,68! — 0,23 61,18 88,17| +0,15 58,65| — 0,20 63,26 58,51| — 0,19 h m5 Rome 0 28 58,45 0 28 58,32 k7,33 k1,67

16. Dent 1739.

Longitudes. v.

h ms 0 28 58,31

h_m 5 0 28 58,11

3,07 20. Dent 1789. Longitudes. v.

ROBES 0 28 57,96 59,22 58,34 58,24 59,06 58,71 58,78| — 0,17

Rens 0 28 58,61 LT 24. Dent 1827. Longitudes. v. hk ms 0 28 59,15 58,47 58,65 58,47 57,91 58,15 58,56

1066 + 0,02 — 0,16 —+- 0,02 + 0,58 + 0,34 — 0,07

h ms 0 28 58,49 6,37

28. Kessels 1297.

Longitudes. v.

h_ ms

0 28 58,81 57.98 57,05 87 80| +018 58,30| — 0,32

k ms 0 28 57,98 2,30

ExPÉDITIONS CHRONOMÉTRIQUES DE 1845.

87

Le calcul de À et de y a été omis pour le chronomètre non- compensé Arnold et Dent 951, qui n’était destiné qu'à nous indiquer les corrections thermométriques à ajouter aux longi- tudes isolées, obtenues à l’aide des autres chronomètres. Également, le calcul des mêmes quantités a été omis pour le chronomètre Dent 1808 dont la marche, à ce qu'on voit dans le tableau précédent, a été troublée extraordinairemeut pendant l'expédition de Moscou.

2. Tableau des longitudes de Moscou, obtenues à l'aide des chronomètres hebdomadaires.

Voyages.

P7 M? pZ MZ p27 M2 p7

À — M —

Voyages.

Y —

Voyages.

Y —

1. Dent 1635. 2. Dent 1636. 3. Dent 1637. k. Dent 1794. Longitudes. v. Longitudes. v. Longitudes. v. Longitudes. v. k ms Ü h ms Ü Rh ms 5 h ms 0 28 59,01! +1,02 | 0 28 58,12! + 0,05 | 0 28 57,72] +1,21 | O0 28 51,77 98,36! + 1,67 57,58) +0,59 58,22| +- 0,71 57,47 58,60) +1,43 58,34| — 0,17 58,27) -+- 0,66 59,54 61,61, — 1,58 58,09! +- 0,08 99,56! — 0,63 61,02 89,96! -+- 0,07 58,15| -+- 0,02 60,60! — 1,67 59.03 61,83), — 1,50 58,26] — 0,09 58,73| + 0,20 59,01 61,20| — 1,17 58,72| — 0,33 58,99! — 0,06 60,80 h_ ms km ss h_ ms 0 28 60,03 0 28 58,17 0 28 58,93 0,40 7,20 0,91 5. Dent 1901. 6. Dent 1910. 7. Dent 1913. 8. Dent 1978. Longitudes. v. Longitudes. v. Longitudes. v. Longitudes. v. h s s Rheimass 5 h ms s fans Ü 0 28 60,15! — 1,13 | 0 28 61,55] — 2,55 | 0 28 58,88] — 0,29 | 0 28 58,33) + 0,81 58,84| + 0,18 56,16! +2,84 58,28| +0,31 58,77| + 0,37 58,69! + 0,33 56,20| +- 2,80 59,03| — 0,44 58,76| +- 0,38 59,93] — 0,91 99,75! — 0,75 58,73| — 0,14 59,66! — 0,52 59,26! — 0,24 62,43| — 3,13 58,71! — 0,12 59,98! — 0,84 87,94| +1,08 58.71| + 0,29 57,97| +0,62 59,00! -+- 0,1% 58,50] + 0,52 59,00 0,00 58,46| +0,13 59,37] — 0,23 k ms hk_ ms kms Roms 0 28 59,02 0 28 59,00 0 28 58,59 0 28 59,1% 1,53 0,1% 6,45 2,68 9. Dent 1979. 10. Dent 1983. 11. Dent 1985. 12. Dent 1986. Longitudes. v. Longitudes. v Longitudes. GE Longitudes. v. h _m..5s s h ms s h ms 5 FD TLSS s 0 28 54,26! +2,48 | 0 28 55,36! +2,66 | 0 28 55,77) +9,14 | 0 28 60,75! — 0,56 53,48) +- 1,26 57,12) -+- 0,90 57,10) +- 0,81 59,40! + 0,79 S7,85| — 1,11 60,26| — 2,9% 58,84) — 0,93 58,95! + 1,2% 96,17] +0,57 98,96! — 0,54 58,11) — 0,20 61,89) — 1,70 97,44] — 0,70 57,90! +0,12 58,41, — 0,50 61,74! — 1,55 57,63| — 0,89 58,11! — 0,09 58,16. — 0,23 59,07! + 1,12 57,88| — 1,14 58,26] — 0,24 58,51) — 0,60 59,73] + 0,46 0 28" 56°7% 0 28"58 02 o'28"57 91 0 286019 0,48 0,42 + 0,85 0,56

En prenant la moyenne de tous les 37 À, eu égard aux poids des différents chronomètres, nous avons, comme première valeur de la différence en longitude entre les observatoires de Poulkova et de Moscou,

A — 0* 28" 58405, avec le poids L — 1771,7.

88 O0. STRUVE.

S 13. Première évaluation de la longitude de Varsovie.

Les longitudes de Varsovie ont été calculées, sous tous les rapports, comme celles de Moscou. Nous n'avons pas même changé la constante arbitraire k', dans le calcul des poids relatifs des différents voyages, afin de pouvoir comparer entre eux directement les poids des chronomètres, déterminés dans les deux expéditions. Or, les voyages de Varsovie étant d'une durée considérablement plus longue que ceux de Moscou, il s’en suit que les poids à assigner aux différents voyages sont beaucoup plus petits. En effet nous avons: j

Voyage. Te p. me T. g'. h h h h p7 117,7 17,3 120,5 255,5 0,41 DA 120,5 k3,9 121,9 286,3 0,36 p7 121,9 25,4 119,7 267,0 0,38 D 119,7 k1,2 115,5 276,4 0,38 PAT 115,5 29,8 111,4 256,7 0,43 LT 111,4 53,4 123,7 288,5 0,37 p7 123,7 30,6 121,8 276,1 0,37

Dans les tableaux suivants le calcul de Y et de À à été omis pour le chronomètre sans compensation Arnold et Dent 951 et pour le chronomètre Dent 179% dont la marche se montrait encore très dérangée. Il est bien remarquable que le chronomètre Dent 1808 qui. pendant l'expédition de Moscou, avait eu la marche très peu régulière, a fourni ici des résul- tats très satisfaisants, sans que, dans l'intervalle entre les deux expéditions, il ait été entre les mains de l'artiste. Il est donc bien probable qne l'irrégularité antérieure de sa marche, fût pro- duite par un corpuscule étranger qui s’était introduit dans ses rouages, et qui, dans l'intervalle entre les deux expéditions, s’est éloigné spontanément.

Tableau des longitudes de Varsovre.

1. Kessels 1290. 9, Dent 1747. 3. Hauth 30. 4. Hauth 32.

Voyages. | Longitudes. v. Longitudes. v. Longitudes. v. Longitudes. v.

k ms s PERS s h ms s k ms s p7 0 37 11,06! +0,92 | 0 37 12,32) — 0,62 | 0 37 12,19] — 0,41 | O 37 11,42] — 0,51 B7 11,61! +0,37 11,90! — 0,20 11,16! + 0,62 10,79| +- 0,12 p27 - 10,78! +0,92 12,12! — 0,34 10,58| <+- 0,33 BIT 11,92] — 0,22 10,55| +1,23 11,23| — 0,32 BI 12,57| — 0,59 11,22) +0,48 10,43| +1,35 11,60! — 0,69 QUI 13,31| — 1,33 12,42! — 0,72 11,63| + 0,15 9,33! + 1,58 © Lol 11,381 + 0,60 11,351 +0,35 14,541 — 2,76 11,27! — 0,36

R_ ms k_ ms k ms km ss

À 0 37 11,98 0 37 11,70 0 37 11,78 0 37 10,91

VE 3,00 7,09 1,33 k,39

ExPÉDITIONS CHRONOMÉTRIQUES DE 1845. 89

5. Kessels 1276. 6. Hauth 52. 7. Hauth 18. 8. Hauth 26. Voyages. | Longitudes. v. Longitudes. v. Longitudes. v. Longitudes. v. À m 5 S h m s s h Om 5 S Buime.s s p7 0 37 11,37! — 1,41 | O0 37 11,69] — 0,72 | 0 37 12,17] — 0,65 | 0 37 11,72] — 0,84 BI 11,24| — 1,28 12,09! — 1,12 12,56| — 1,04 11,88| — 1,00 77 13,781 — 3,82 15,16| — 4,19 9,17| +2,35 10,77| +0,11 BI 7,18] +9,78 9,09! +- 1,88 10,67| +- 0,85 11,14] — 0,26 DtELES 6,34| + 3,62 9,28| +- 1,69 11,71! — 0,19 11,49! — 0,61 BI 10,06! — 0,10 7,01! +- 3,96 12,87| — 1,35 8,16! +2,72 p7 10,20| — 0,24 12,70l — 1,73 11,54| — 0,02 9,83| + 1,05 h_m 5 h om s k m ss k m s M 0 37 9,96 0 37 10,97 0 37 11,52 0 37 10,88 Ÿ = 0,39 0,36 1,66 1,51 9. Hauth 31. 10. Dent 1630. 11. Dent 1613. 12. Arnold et Dent 951. Voyages. | Longitudes. v. Longitudes. v. Longitudes. v. Longitudes. k ms Ü R om s Ü h ms Ü h om os pZ | 0 37 12,3%] — 0,93 | 0 37 12,48] — 1,02 | 0 37 12,24) + 0,02 | 0 38 6,20 B/ 11,92! — 0,31 11,34| +0,12 13,61! — 1,35 | 38 15,85 7 11,09| +- 0,52 10,77| -+- 0,69 11,51| +0,75 | 35 32,51 qu 11,00! +- 0,61 11,18| +0,28 12,30! — 0.04 | 38 6,89 DLL 11,68! — 0,07 11,91! — 0,45 12,16) +0,10 | 38 40,76 QUI 11,76! — 0,15 10,85! + 0,61 12,71| — 0,45 | 40 34,78 pp 11,30! +0,31 11,56| — 0,10 . 11,39| +0,87 | 37 58,56 k om ss km ss k ms Ne 0 37 11,61 0 37 11,46 0 37 12,26 y = 8,96 6,89 L,88 13. Dent 1687. 14. Dent 1730. 15. Dent 1739. 16. Dent 1807. Voyages. | Longitudes. v. Longitudes. LA Longitudes. v. Longitudes. v. h ms s hk om 5 s k m 5 s hk ms Ü p7 0 37 11,06| — 0,44 | O 37 10,32] + 0,28 | 0 37 10,07! +1,35 | 0 37 11,71| + 0,29 B7 10,96| — 0,34 11,75| — 1,15 11,64| — 0,22 11,78| + 0,22 p'7 12,78| — 2,16 11,05! — 0,45 11,95| — 0,53 11,31| +0,69 DUT 11,08! — 0,46 10,74 — 0,14 10,44| +0,98 11,83| +0,17 p7 10,77! — 0,15 10,83| — 0,23 11,32! +0,10 11,53! +0,47 QUI 7,62| +- 3,00 8,64| +1,96 11,88! — 0,46 13,27| — 1,27 p7 9,91| +-0,71 10,841 — 0,24 12,72| — 1,30 12,64| — 0,6% h ms h om ss Rk om s km 5 N— 0 37 10,62 0 37 10,60 0 37 11,42 0 37 12,00 V—= 1,10 2,91 3,09 5,52 17. Dent 1799. 18. Dent 1798. 19. Dent 1789. 20. Dent 1787. Voyages. | Longitudes. v. Longitudes. v. Longitudes. v. Longitudes. v. AUTRES s h om ss s k ms 5 h ms s B7 | 0 37 11,45| +0,21 | 0 37 11,12] +0,39 | 0 37 11,86| +0,11 | 0 37 11,48| +0,02 g7 11,89! — 0,23 11,79| — 0,28 12,09! — 0,12 12,43| — 0,93 p/7 10,85| +0,81 12,26! — 0,75 10,51! + 1,46 10,60! + 0,90 gUI 11,48] +0,18 11,55| — 0,04 11,44| +0,53 11,35! +0,15 01924 11,44| -+- 0,22 11,51! — 0,00 11,84! +0,13 11,37| +0,13 DUT 12,39! — 0,73 10,46| +- 1,05 13,30! — 1,33 11,58! — 0,08 p77 12,211 — 0,55 11,931 — 0,42 12,38| — 0,41 11,78] — 0,28 h ms Bk ms k ms , kR ms = 0 37 11,66 0 37 11,51 0 37 11,97 0 37 11,50 — 9,55 7,63 3,89 9,02

Mémoires sc. math. et phys. T. VI. 12

90

Voyages.

Voyages.

7 DZ 7 DUT QUI

ZI

p7

NW =— Y —=

Voyages.

p7 PI DtY4 II QUI DUT

p#

To — Ÿ —=

Voyages.

21. Dent 1776.

O0. STRUVE.

22. Dent 1821.

Ve

=0:08 — 1,17 + 1,95 — 1,21 — 1,08 +- 0,81 +- 0,88

h Om ss 0 37 11,13

Longitudes. v. Longitudes. LE EU s ki: omins 0 37 12,49| +0,25 | 0 37 11,16 13,39! — 0,65 12,30 10,73! +2,01 9,18 12,44| —+- 0,30 12,34 12,63| + 0,11 12,21 14,4k1| — 1,67 10,32 13,211 — 0,47 10,25 h ms 0 37 12,74 2,09

25. Dent 1808.

Loncitudes.

ve

— 0,09 + 0,21 — 0,71 — 0,22 — 0,72 +1,58 + 0,11

k m s

0 37 11,27 k,k1

29. Dent 1637.

Longitudes.

km: :s 0 37 12,09

LA

LG — 1,61 — 0,83 — 0,90 — 0,26 + 3,00 +2,50

k ms 0 37 10,45 0,73

33. Dent 1913.

Longitudes.

Rk om s

0 37 11,00 10,88 10,92 11,43 12,41 12,65 12,22

Ve

S + 0,65 + 0,77 + 0,73 + 0,22 — 0,76 — 1,00 — 0,57

h ms 0 37 11,65 5,01

1,70

26. Dent 1774.

Longitudes. v. hk ms S 0 37 11,65| — 0,28 12,58| — 1,21 11,57| — 0,20 10,89| + 0,48 11,06! + 0,31 10,96! +0,41 10,89| +- 0,48 h ms 0 37 11,37 7,07 30. Dent 1794. Longitudes. Rk ms 0 37 11,07 23,84 17,83 29,51 35,21 2.92 8,63

34. Dent 1978.

Longitudes.

h ms

0 37 11,05 11,17 12,16 11,71 10,63 9,02 9,58

LA

— 0,28 — 0,40 — 1,39 — 0,94 +0,14 + 1,75 +1,19

k ms 0 37 10,77 2,13

23. Dent 1827. 24. Dent 19#1. Longitudes. v Longitudes. de. h ms s h ms s 0 37 10,48] +0,41 | 0 37 11,27] +0,07 11,47| — 0,58 11,14] +0,20 12,02! — 1,13 11,81| — 0,47 10,63| + 0,26 11,50! — 0,16 11,13| — 0,24 11,11! +0,23 9,86| +- 1,03 11,12| +- 0,22 10,59] +- 0,30 11,44] — 0,10 km ss h ms 0 37 10,89 0 37 11,34 5,21 39,14 27. Dent 1635. 28. Dent 1636. Longitudes. v. Longitudes. v. R ms Ü k ms S 0 37 11,27] — 1,04 | 0 37 12,48| — 0,58 10,11| +0,12 12,73 — 0,83 13,12] — 2,89 10,04! + 1,86 10,29! — 0,06 11,57| + 0,33 10,59! — 0,36 | 12,52| — 0,62 6,02| + 4,21 12,26| — 0,36 10,121 +- 0,11 11,591 + 0,31 k ms k m s 0 37 10,23 0 37 11,90 0,59 3,01 31. Dent 1901. 32. Dent 1910. Longitudes. v, Longitudes. v. hmiuss s s G 0 37 10,99) +0,47 | 0 37 9,60) +0,61 10,62! +0,84 11,68! — 1,47 11,30! +0,16 12,83| — 2,62 11,46 0,00 11,54| — 1,33 11,66! — 0,20 10,42! — 0,21 12,29! — 0,83 5,28| +4,93 12,00! — 0,54 10,10! +0,11 hk ms h ms 0 37 11,46 0 37 10,21 6,20 0,45 35. Dent 1979. 836. Dent 1983. Longitudes. v. Longitudes. v, k ms Ü h om ss € 0 37 13,53| +- 0,04 | 0 37 12,12] — 1,98 14,91! — 1,34 13,24k| — 3,10 9,26| + 4,31 9,15| +0,99 13,923| +0,34 9,74| +0,40 14,60! — 1,03 8,90| +1,24 17,95| — 4,38 8,77| + 1,37 11,53| +2,04 9,15| +0,99 h ms k om ss 0 37 13,57 0 37 10,14 0,36 0,83

ExPÉDITIONS CHRONOMÉTRIQUES DE 1 845. 91

37. Dent 1985 38. Dent 1986.

Voyages. | Longitudes. v. | Longitudes. v. La moyenne obtenue par le concours

k m5 s h ms Ü I E 24| — 1,9: j 3 0YS7 12,80 160/00nST 282% 1,93 de 36 chronomètres, eu égard à leur

D 13,41] — 1,65 19,49] — 9,18 PA 10,41! +1,35 192,321/="19;01 poids relatif, est: BU 11,26| +0,50 11,13] — 0,82 D'AA NE EYE qua 11,57| +0,19 9.42) + 0,89 FN LE QUI 12,28! — 0,52 3,86| +6,43 avee le poids F — 452,1 p7 11,05| + 0,71 10,66! — 0,35

kms k ms A — 0 37 11,76 0 37 10,31 LE 2,71 0,29

$ 14. Première évaluation de la longitude de Valdai.

Les longitudes des stations intermédiaires, Valdai et Vilkomir, devaient être chronométri- quement interpolées entre celles des points principaux Poulkova, Moscou et Varsovie. Or, en supposant que la différence en longitude entre les points principaux, soit déterminée avec une exactitude absolue, chaque voyage entre deux de ces points, dans lequel les chronomètres avaient été comparés à la station intermédiaire, devait fournir une détermination indépendante de la longitude de ce dernier point. C’est ainsi que les voyages de Moscou et retour nous offrent 8 déterminations de la longitude de Valdai; et le même nombre de déterminations résulte, pour Vilkomir, de l'expédition de Varsovie.

Le calcul de l’interpolation chronométrique des longitudes se fait simplement, en réduisant, à l’aide de la longitude connue du second point principal, les corrections des chronomètres, dé- terminées sur ce second point, sur les corrections correspondantes à la Iongitude du point de sortie, ou vice versa. On procède alors dans le calcul, d’après les méthodes connnes, comme si les chronomètres étaient retournés sur le point de sortie.

Dans l'application nous nous sommes servis d’abord, pour Valdai, d’une valeur approxi- mative de la longitude de Moscou. L'erreur dans cette valeur supposée, doit altérer la longi- tude déduite de Valdai dans chaque voyage, d’une quantité constante pour tous les chronomè-

. ; . L x von . 1 su tres. Cette influence s’exprime par dl! — ne d, où dÀ désigne la correction à ajouter à la

longitude supposée de Moscou, 7 l'intervalle de temps écoulé entre les comparaisons des chrono- mètres à Valdai et Poulkova, et FT l’intervalle entre les comparaisons de Valdai et de Moscou.

Les voyages entre Poulkova, Valdai et Moscou ayant été exécutés toujours à peu près avec la même vitesse, cette correction ne varie guères pour les différents voyages. En effet, en désignant par p’, p/... les voyages qui commencent à Poulkova, et par m/, m//... ceux dans

, Q Q . , Ê £: lesquels Moscou était le point de sortie, nous avons les durées suivantes +, T7 du transport du

temps, exprimées en heures:

92 O0. STRUVE.

Voyage. Te T’.

h k p’ 34,4 37,1 m? 32,6 40,6 p? 40,6 40,6 m?/ 33,6 44,1 D 32,9 DA UT 38,6 40,7 pu 36,6 42,1 m 33,0 SL

et, par conséquent, les corrections à ajouter aux longitudes calculées de Valdai, comptées de Poulkova, pour le voyage p” dl — +0,48 dà

m? + 0,45 dÀ p? + 0,50 dÀ mA + 0,44 dx p! + 0,47 dÀ m/7 + 0,49 dÀ p” +0,47 dX m7 + 0,47 dù

Il s’en suit que, dès que la longitude employée de Moscou a été exacte en dedans d’une seconde en temps, les corrections à ajouter aux longitudes de Valdai, déterminées par les diffé- rents voyages, ne varieront entre elles que dans les centièmes de seconde.

Les poids relatifs des longitudes obtenues par les différents voyages, calculés d’après la ;

k . L e » 4 Là LI formule g' — Poe varient assez considérablement entre eux. En assignant l’unité du poids

à un voyage dans lequel + — +’ — 37,5 heures et 9 — 0, et eu égard à ce que, dans le pre- mier voyage, les chronomètres se sont arrêtés à Valdai pendant 4 heures, nous trouvons les poids suivants des différents voyages: É

pour p/ gg — 1,04

m? 1,06 pa 0,85 m?/ 0,94 pa 1,15 m7 0,89 p7 0,90

m’7 1,13

ExPÉDITIONS CHRONOMÉTRIQUES DE 1 845. | 93

Malgré la diversité de ces g' nous avons cru devoir attribuer le même poids à toutes les déterminations de la longitude de Valdai, obtenues par les différents voyages. On verra plus tard qu'à cause de la brièveté des durées du transport du temps et de la haute qualité des chronomètres employés, l'exactitude du transport du temps est, pour Valdai, égale ou même supérieure à celle de la détermination absolue du temps. Toutes les déterminations du temps, faites à Valdai, peu- vent être supposées également sûres. Voilà pourquoi nous avons pris, pour chaque chrono- mètre, la moyenne arithmétique des longitudes fournies dans les différents voyages.

Les poids à assigner aux longitudes obtenues par les différents chronomètres, se déduisent des différences entre les déterminations isolées et leurs moyennes respectives. Ces différences augmenteront en général avec la durée du transport du temps. Par conséquent les poids des chronomètres se déduiront beaucoup plus exactement des déterminations de la longitude de Moscou, que de celles de Valdai, et seront, en même temps, moins influencées par les erreurs accidentelles dans les déterminations du temps. Donc, il sera plus juste de se servir, pour Valdai, des poids des chronomètres déduits, à la même époque, des longitudes de Moscou, que de ceux que nous auraient fournis les longitudes de Valdai.

Le tableau suivant donne les longitudes du lieu d'observation à Valdai, par rapport à Poulkova, telles qu’elles sont calculées directement, en y ayant employé la valeur approximative de la longitude de Moscou — 0* 28” 5820 à l’Est de Poulkova. Les À sont les moyennes

arithmétiques des longitudes trouvées par chaque chronomètre.

Tableau des longitudes de Valdai, déterminées par 28 chronomètres.

1. Kessels 1290.| 2. Dent 1747. | 3. Hauth 30. | 4. Hauth 32. |5. Kessels 1276. 6. Hauth 52. | 7. Hauth 18.

pt |otuoorl utru | u022 4117 1956 412 41:19 m? k1,84 k1 44 .. 49,91 41,65 41,73 k3,52 k1,79 D 40,53 k1,18 49,16 41,81 42,47 k3,69 41,14 . m7 42,16 492,04 k 1,41 kel 41,01 41,69 41,9% 2 41,37 h1,71 42,10 k1,97 k1,52 43,40 h1,6h m//77 41,32 492,28 38,72 k0,70 39,91 39,70 k1,8% p7 k1,48 41,59 43,16 12,31 42,53 43,65 k2,99 m7 k1,62 k1,77 k0,27 40,47 40,22 39,91 11,28 NM — O 11 41,41 41,72 k1,44 41 le! k1,49 42,10 k1,65 8. Hauth 11. | 9. Hauth 31. |10. Dent 1778. | 11. Dent 1613. |12. Dent 1630.|13.Arn.etD.951]| 14. Dent 1687. k ms 5 S ; s s k ms s p’ 0 11 41,54 40,73 42,03 Lk1,13 41,74 0 11 16,40 41,92 m? k0,29 42,22 492,37 k1,61 41,79 11 9,18 h2,17 p7 39,30 k1,63 492,20 41,08 41,57 10 51,1# 42,30 m’7 42,73 k1,66 k1,19 49,37 41,75 12 8,93 41,59 pis k0,92 k1,79 42,00 k1,95 41,9% 11 30,84 42,09 m7 42,30 k1,78 k0,80 41,27 k0,53 41 46,77 k1,3% p} k0,12 k1,79 42,62 k1,50 41,73 11 20,20 49,13 m” L3,k8 41,26 42,22 k0,92 12 11,09 41,04

1— 011 41,3% 41,61 1,89 k1,6% k1,50 11 31,82 k1,86

94 O0. STRUVE.

45. Dent 1730. |16. Dent 1739.117. Dent 1807. | 18. Dent 1799. | 19. Dent 1798. | 20. Dent 1789. | 21. Dent 1787.

h ms s s s s s s p’ O0 11 492,41 42,03 41,5% k1,39 41,70 k1, 44 41,30 m/ 49,23 41,84 41,73 41,74 k2,23 41,59 41,84 p7 L1,99 42,42 41,88 k1,48 42,19 k1,46 41,71 m?/7 41,51 41,39 49,07 42,2 k1,48 41,90 41,93 p7 Lk1,86 42,32 L1,82 42,00 41,67 L2,12 42,15 m//7 &0,85 L0,64 k0,74 k0,9k4 k0,47 k1,01 k1,08 p} 42,09 k1,9%4 41,76 k1,69 42,18 k1,92 41,92 m#” 41,15 41,29 41,74 k1,63 k1,34 k1,63 k1,49 A O0 11 41,75 41,75 41,66 k1,64 k1,66 41,63 &1,67

22. Dent 1776. | 23. Dent 1821.[24. Dent 1827.|25. Dent 1941.126. Dent 1808.27. Dent 1774. 128.Kessels1297.

RVSmes s s s s s

p’ 0 11 41,28 41,63 Lk1,86 41,73 k1,35 41,88 m? 40,99 41,30 42,26 L1,83 42,58 49,01 é pA 4112] 41,85 41,99 41,87 W1,71 41,75 42,20 m/ W212| 41,72 40,45 41,60 42,96 41,66 41,64 p7 42,00 42,75 k1,62 41,68 41,53 41,85 L92,63 m/177 k0,52 k1,13 41,67 41,55 39,33 42,01 40,99 p#7 k1,25 41,98 42,25 41,93 43,54 k1,72 42,15 m7 42,04 L41,68 41,36 k1,54 k1,08 k1,43 41,74

- O0 11 41,42 41,75 41,68 41,72 41,67 : k1,79 k1,89

En employant les poids des chronomètres tels qu'ils furent déduits des longitudes de Moscou, et en rejetant, dans la moyenne, comme pour Moscou, les deux chronomètres Arnold et Dent 951 et Dent 1808, nous avons pour Valdai, par 26 chronometres, 1 — 0” 11” 415698.

L'accord admirable des À obtenus par les différents chronomètres, indique que, dans ce cas, nous sommes presque indépendants de leurs poids relatifs. Réellement la simple moyenne arithmétique des 26 À nous donne 4 — 0” 11” 41657, quantité qui ne diffère que de 05041 de la valeur précédente, déduite à l’aide des poids relatifs des chronomètres.

815. Première évaluation de la longitude de Vilkomir.

Tout ce que nous avons dit, dans le paragraphe précédent, par rapport à la déduction de la longitude de Valdaï, s'applique également à celle de Vilkomir, à la seule exception près qu'il faut remplacer partout Moscou par Varsovie. Ici les poids des diffèrents voyages ne different pas autant entre eux, que pour Valdai. Nous avons:

approximative de Varsovie, employée dans les premiers calculs, se présentent ici

dans le tableau suivant, a été 0" 37" 11534 à l'Ouest de Poulkova.

ExPÉDITIONS CHRONOMÉTRIQUES DE 1845.

IT

h 65,3 59,4 68,9 71,2 65,9 63,5 73,6 68,0

5 6) 6) 4

x’

h 2,7 5,6 2,3 8,5

49,6

4 5) 5

7,8 0,1 3,5

g'

0,98 0,98 0,93 0,96 1,03 1,11 0,90 0,92

95

Dans le calcul des poids nous avons supposé l'unité des poids, pour un voyage dans lequel 7 — 67"; + — 50", 9 — 0, et par conséquent T — 117*. Nous avons pris en con- sidération que, dans le voyage v/, les chronomètres étaient restés à Vilkomir pendant 5,5 heures.

Les corrections dl de la longitude de Vilkomir, dues à une correction d) de la longitude

pour p? dl — +0,55 dà 0,52

p7 p”’

v27

0,57 dà 0,59 d 0,57 d) 0,57 dÀ 0,60 dx 0,56 d

La valeur de la longitude de Varsovie, employée dans le calcul des longitudes données

Tableau des longitudes de Vilkomir, obtenues à l’aide de 26 chronomètres.

1. Kessels 1290.| 2. Dent 1747.

h _m ss

0 2% 14.26 14,98 14,02

14,18 18,10 13,95 13,12

0 22 14,09

14,42 14,20 13,36 13.86 13,84 13,96 13,96 13,76

13,94

3. Hauth 30.

11:88 14:86 13,63 1443 14,65 13,52 16,62 19,77

18,42

4. Hauth 32. 15. Kessels 1276.| 6. Hauth 52.

18:70 14,88 14:93 13,97 1390 1346 14:76 13,30

14,27

7. Hauth 18,

13,87 1327 12,50 13,74 1336 13.88 13,69 1419

13,81

F0

96 O. STRUVE.

8. Hauth 26. | 9. Hauth 31. |10. Dent 1630. |11. Dent 1613. 112.Arn.etD.951|13. Dent 1687.14. Dent 1730.

h ms s s S h ms s S y | 0221383 14,70 14,23 1506 | 0 22"4084| 13,96 13,90 v/ 14,07| 14,70 13,16 18,01 29 47,61| 14,70 14,01 pa 14,03| 12,31 13,68 13,98 21 56,91| 13,66 1341 v/1 1443| 1373 13,88 12,39 21 5897| 13,67 13,77 pAI 1unu7| 14,07 13,76 14,86 22 15,33] 14,60 1419 vAl 1392| 13,86 13,93 13,62 92 3187| 13,19 13,41 y 1385| 1812 14,24 14,79 22 2394| 14929 1316 7 11,20| 13,28 12,84 12,32 22 18,62| 13,01 12,19 À— 09221410 13,87 13,97 13,84 922 17,91 13,88 13,78 45. Dent 1739.16. Dent 1807.|17. Dent 1799.|18. Dent 1798. | 19. Dent 1789. ! 20. Dent 1787. |21. Dent 1776. s w lool 1651 187 14,62 11,03 13:96 13,82 v/ 13:78| 14,04 14,08 13,66 14,13 14,62 13,86 pl 14,40| 14,39 14,12 14,28 13.82 1317 1451 v/ 1317| 13,07 13,02 13,60 13,67 13,43 13,08 pl 13,82| 14,19 14,48 14,29 14,51 14,25 1416 vAiI 1352| 13,26 13,51 13,36 13.87 13,61 13,81 NA 14,891 15,07 14,99 15,16 18,82 11,99 15,67 v7 12,95| 19,82 12,63 1234 12,69 12,73 12,51 à— 0221383 13,92 13,93 13,9% 13,95 13,84 14,14 29. Dent 1821. |23. Dent 1827.24. Dent 1941. | 25. Dent 1808. | 26. Dent 1774. Rem s s s s pr | 022 1891| 1491 11,08 14:94 14,20 v 1473| 13,96 14,15 14,26 14,09 pl 13,64| 13,79 13,83 13,30 13,36 vl1 13,41| 14,08 13,97 13,30 13,66 pli 1388 13,93 13,93 14,82 14,09 v/1 14161 13,24 13,71 14,01 13,71 p7 14,27| 14,40 14,23 1410 14,20 v7 13,13 13,43 13,97 13,74 13,80 n— 09221393 13,88 13,99 14,00 13,91

En employant les poids des chronomètres, tels qu'ils furent déduits de l'accord des longi- tudes de Varsovie, nous avons la longitude de Vilkomir, par 25 chronomètres, 4 — 022” 13954 à l'Ouest de Poulkova. La moyenne arithmétique aurait donné /1 — 0" 22” 13978.

IV. DÉDUCTION DÉFINITIVE DES RÉSULTATS DES DEUX EXPÉDITIONS.

$S 16. Recherches sur la compensation des chronomètres,.

En général la compensation d’un bon chronomètre peut être supposée exacte à un cen- tième près de sa valeur totale c. à d. l'effet produit par la température sur la marche d’un bon chronomètre, est environ un centième de celui qui se serait manifesté si la balance n’avait pas été compensée. Nous voyons, dans le tableau précédent des longitudes de Varsovie, que notre chronomètre non-compensé, Arnold et Dent 951, avait donné, pendant le voyage %/7, la longitude qui s’écarte le plus de la moyenne obtenue par tous les chronomètres compensés,

ExPÉDITIONS CHRONOMÉTRIQUES DE 1 845. 97

savoir de 203°. Par conséquent il fallait s'attendre à voir, pour ce voyage, dans les résultats fournis par les autres chronomètres, des différences de 2° environ. L'inspection superficielle de notre tableau montre que les oscillations des longitudes sont les plus fortes précisément dans ce voyage, et qu’elles s'élèvent en moyenne à la quantité indiquée de 2°, pour une longitude isolée. En examinant le tableau des longitudes de Varsovie de plus près, on remarque encore que, dans la majeure partie des chronomètres, les longitudes données par les voyages PS7? et 3/7 diffèrent dans un sens opposé de la longitude moyenne. Le chronomètre non-compensé ayant indiqué également, pour les mêmes deux voyages, des différences très fortes dans un sens opposé, nous parvenons à la conclusion que l'effet de la température s’est distinctement pro- noncé dans les longitudes fournies par les autres chronomètres. Il était donc d'urgence d'exa- miner de combien la température a pu agir sur les résultats, et d'en éliminer l'influence autant que possible.

En soustrayant des longitudes données dans chaque voyage isolé, par le chronomètre non- compensé, Arnold et Dent 951, les longitudes moyennes de chaque lieu, fournies par le con- cours de tous les chronomètres, nous avons les quantités x, par lesquelles les coeflicients de compensation des autres chronomètres doivent être multipliés, afin de donner les corrections thermométriques à ajouter aux longitudes isolées. Par ce procédé nous obtenons les longitudes telles qu'elles auraient été trouvées dans chaque voyage, si la température avait été constante pendant tout le voyage, ou plutôt si la somme des températures qui ont agi sur les chrono- mètres en allant, avait été égale à la somme des températures pendant le voyage de retour. Dans ce raisonnement, il a été supposé que l'effet de la température, sur la marche des chrono- mètres compensés, reste, pour toutes les températures, dans une proportion constante à l'effet qu'elle produit sur la marche du chronomètre non-compensé. Nous avons:

pour la longitude de Moscou pour la longitude de Varsovie Voyage. P/ x —= —13;2 Voyage. M7 x = +947 M’ + 98,3 V’ + 64,4 pa + 27,3 V7 — 99,0 M” + 5,6 D + 99,4 lus + 87,5 3 (ES + 89,3 M7 + 49,3 , 37 + 203,3 Ts + 16,7 D + 47,1

pour la longitude de Valdai pour la longitude de Vilkomur Voyage. p? x —= —95;3 Voyage. p/ x —= +26;5 m? 239,5 9? +3,06 pe — 50,6 p/? — 17,1 m// +272 9/7 —15,0 pa a 10,9 Vs pe 1,5 Me + 5,1 v/// + 17,9 p” — 21,5 p7 + 9,2 ne + 29,4 v/” + 4,6

Mémoires sc. math. et phys. T. VI. : T

98 O0. STRUVE.

Les x étant ainsi donnés, il ne restait qu'à déterminer, pour chaque chronomètre employé, le coefficient de compensation par rapport au chronomètre non-compensé, afin de pouvoir appliquer aux longitudes isolées, les corrections thermométriques — — xp Il parut d’abord le plus avantageux, de déterminer les coefficients de compensation, par des expériences directes faites en différentes températures. Dans ce but, M. Dôüllen exécuta, pendant l’hiver qui suivait nos voyages, une longue série de comparaisons entre la pendule normale de l'Observatoire et les chronomètres employés, en variant alternativement la température dans laquelle se mou- vaient les chronomètres, de zéro jusqu'à 35° R. Les chronomètres restaient exposés chaque fois à une de ces températures extrêmes pendant une semaine entière, et un jour fut employé pour produire le passage de la température, d’une extrémité à l'autre. Ces expériences étant continuées sans interruption pendant quatre mois, durant lesquels les chronomètres s'étaient trouvés 7 fois dans la température élévée et 8 fois dans une température voisine de zéro, il y avait lieu d’espérer qu'elles offriraient des résultats d’une haute exactitude. Cet espoir ne se réalisa pas, car un calcul soigneux de ces comparaisons nous montra, que les résultats à en déduire étaient exposés à des objections très graves. 1 fut reconnu que, pour la majeure partie des chronomètres, la marche devenait irrégulière, dès que la température s’abaissait au dessous de + 5°R. Des irrégularités analogues se manifestaient également, mais à un plus faible degré, dans les températures extrêmes supérieures au délà de + 25°R. Il y a lieu de supposer que, dans ces températures extrêmes, l'huile qui se trouve sur les pivots des chronomètres subit des changements dans son état de cohésion, qui produisent de si fortes anomalies dans la marche, qu’elles cachent entièrement l'effet de la température.

Par ces raisons, les résultats des expériences faites pendant l'hiver 1845 à 1846 nous parurent très douteux, et en effet les corrections thermométriques déduites de ces expériences et appliquées aux longitudes données dans les tableaux précédents, pour Moscou et Varsovie, n’augmentaient que très peu l'accord des différentes déterminations.

Pour approfondir la question, nous nous décidämes à répéter les expériences, en évitant les températures extrêmes. M. Düllen s’en chargea de nouveau pendant l'hiver 1846 à 1847, et en effet il obtint, dans cette seconde recherche, des résultats considérablement différents de ceux de la première série d'observations. Malheureusement, dans l'intervalle entre les deux séries d'expériences, un grand nombre de chronomètres employés pendant nos expéditions de 1845, avaient déjà quitté l'Observatoire. Par cette raison, les résultats des recherches du second hiver ne pouvaient trouver application que pour un petit nombre de chronomètres, et ce nombre ne suffisait pas pour décider, si réellement l'accord des longitudes avait subi un changement favorable. Il est vrai que, pour plusieurs chronomètres, cet accord avait augmenté considérable- ment, après l'application des corrections thermométriques déduites des expériences de la seconde année, mais il y avait aussi d'autres chronomètres, pour lesquels l'accord fut essentiellement troublé par ces corrections. La seconde série d'expériences n'étant plus sujette aux objections à faire à la première, il faut supposer que, dans les chronomètres pour lesquels les corrections thermométriques avaient troublé l'accord des longitudes, le degré de compensation avait consi-

ExPÉDITIONS CHRONOMÉTRIQUES DE 1845. 99

dérablement changé, dans l'intervalle d'un an et demi, écoulé entre nos voyages et les expé- riences. Un tel changement successif, dans l’état de compensation des chronomètres, a déjà été remarqué par plusieurs artistes, et M. Dent possède un grand nombre d'expériences sur ce phénomène, qui lui ont prouvé qu'en général la compensation des chronomètres diminue avec le temps, au moins pour les chronomètres qui n'ont pas encore été long temps en usage. Par cette raison cet artiste éminent, à ce que je sais par ses communications orales, a l'habitude de donner à tous les nouveaux chronomètres qu'il confectionne, au commencement une compen- sation un peu trop forte, de sorte qu'ils montrent une compensation très exacte à l'époque où ils entrent en usage.

Les expériences mentionnées quoqu'elles n’eussent point donné des résultats satisfaisants, dans le but pour lequel elles avaient été exécutées, nous ont été d’une grande utilité dans les recherches postérieures sur la compensation des chronomètres, en ce qu'elles nous apprirent nombre de petites règles à suivre dans les expériences et dans l'usage des chronomètres, afin d'obtenir des résultats qui fussent à l'abri de toute objection. Nous pouvons anticiper ici que, dans plusieurs voyages chronométriques exécutés après 1846, la compensation déterminée par les expériences directes, a produit un accord admirable, soit dans les longitudes données par différents chronomètres, soit dans les déterminations répétées de la longitude d'un mème point.

En abandonnant, par les raisons indiquées, l'espoir de pouvoir corriger les longitudes déterminées en 1845, à l’aide de coefficients de compensation déterminés par nos expériences directes, il fallait tâcher de les évaluer des données que nous fournissaient nos voyages eux- mêmes.

En comparant une longitude isolée — /, donnée par un chronomètre quelconque, avec la longitude du même lieu — 4, trouvée par le concours de tous les chronomètres, la différence 1— À divisée par la différence analogue x, trouvée dans le même voyage, par le chronomètre sans compensation, nous fournit une valeur du coefficient cherché de compensation. Nous avons donc, pour chaque chronomètre, autant d'équations de la forme xx — ! — A, pour la détermination du coefficient de compensation, qu'il y a de différentes déterminations de longi- tude, fournies par le chronomètre en recherche, et dont la quantité inconnue y doit être déduite par la méthode des moindres carrés. Dans ce procédé, il est supposé que la valeur de À soit déjà si exactement connue, que son incertitude fût une quantité négligeable vis à vis des effets de la température et des erreurs que produisent, dans les longitudes, les inégalités accidentelles dans les marches des chronomètres. Cette supposition paraît parfaitement justifiée pour nos expéditions de 1845, où les 1 sont fournis par 7 voyages de 40 chronomètres, en majeure partie de haute qualité. Peut-être nos 4 peuvent être incertains de quelques centièmes de seconde, mais ces quantités sont entièrement évanouissantes en comparaison avec les erreurs de secondes entières, auxquelles les longitudes isolées seront sujettes par l'effet combiné du défaut dans les compensations et des irrégularités accidentelles dans les marches des chronomètres.

En traitant les équations xp — ! — 4 d’après la méthode des moindres carrés, il fallait leur attribuer les poids relatifs g’, tels qu'ils sont déduits des durées des voyages (pag. 84 et 88).

À

100 O0. STRUVE.

Ces poids étant les plus grands pour les voyages de la plus courte durée, il pourrait paraître que les longitudes de Valdai et de Vilkomir devaient fournir les plus exactes valeurs des coefficients de compensation. Mais d'un côté, à ce qu'on voit de la liste des x donnée précé- demment (pag. 97), les effets thermométriques ont été en général beaucoup plus petits dans ces longitudes, que dans celles de Moscou et de Varsovie, de l’autre côté les erreurs à craindre dans les déterminations du temps, sur les stations intermédiaires, pouvaient être du même ordre que l'effet thermométrique. Cette dernière objection s'applique principalement aux longitudes de Vilkomir, où l'inconstance dans la manière d'observer de la part de M. Alexandrov, a dû produire des différences qui pouvaient cacher entièrement les effets produits par les inégalités des températures. Par ces raisons, j'ai cru devoir baser la recherche des coefficients de com- pensation uniquement sur les longitudes de Moscou et de Varsovie, en réservant celles de Valdai à une espèce de contrôle de l'exactitude des coefficients déduits.

Prenons pour exemple le chronomètre Dent 1747. Ce chronomètre nous a donné:

Voyage. pour Moscou Poids du voyage. Voyage. pour Varsovie Poids du voyage. PO Il 028" 58:39 1,05 PT 1 — 037 12:32 0,41 M’ 09,59 0,90 D’ 11,90 0,36 pe 58,63 0,98 gp 10,78 0,38 M’? 8,98 1,06 D Les 11,92 0,38 P72 99,13 1,07 A ‘11,22 0,43 M/7 58,46 0,81 DE 12,42 «+ 0,37 p7” 58,88 1,09 P7 11,35 0,37

En prenant les différences entre ces / et les 4 fournis en moyenne par tous les chrono- mètres, et qui sont pour Moscou — 0*28" 58:40 (pag. 87), pour Varsovie — 0*37” 1146, (pag. 91), nous avons les 14 équations suivantes:

par P? — 1352 — — 0:01 par PS’ + 5457 pu — + 0:86 M +98,3u — +1,15 En + 64,4 — +0,44 p7 + 27,3u — + 0,23 PF — 99,0ù — — 0,68 MZ = 5,6 EE + 0,18 Dress j + 59,41 = + 0,46 PT 487,5 — +0,73 PT +89,3u — — 0,24 MA —+49,3u — 0,06 BU —+9203,3u — + 0,96 PS A Te LENOES PA NT ut 0

En résolvant ces équations, avec les poids donnés par les voyages, d'après la méthode des moindres carrés, nous trouvons, pour ce chronomètre, jy — + 0,00673. Cette valeur substituée dans les équations précédentes, y laisse les erreurs suivantes v.

ExPÉDITIONS CHRONOMÉTRIQUES DE 1845. 101

pour P? v — + 0:08 pour $? v — +019 M’ + 0,49 y + 0,01 7 + 0,05 p/7 — 0,01 M + 014 p'! + 0,09 pr + 0,14 Je ea — 0,84 M/7 — 0,27 D trees — 0,41 p7 + 0,37 9 Éd — 0,43

d'où nous déduisons l'erreur probable de & — 0,00087.

J'ai traité de la sorte tous les autres chronomètres, en excluant, à côté du chronomètre hebdomadaire dérangé Dent 179%, seulement ceux qui n’avaient été employés que dans une partie des voyages de Moscou, nommément les deux chronomètres Dent 1778 et Kessels 1297, pour lesquels le petit nombre d'équations ne promettait pas de fournir des valeurs exactes du degré de compensation. Pour le chronomètre Dent 1808, dont la marche avait été extraordinairement troublée pendant l'expédition de Moscou, j'ai basé cette recherche, sur les seules longitudes de Varsovie. C'est ainsi que j'ai obtenu la liste suivante des x et de leurs erreurs probables — €. J'ai ajouté à cette liste les quantités y, qui nous donnent la variation de la marche journalière de chaque chronomètre, produite par un changement de + 1°R. dans la température, en acceptant, d’après un caleul approximatif, que le même changement de température ralentissait la marche journalière du chronomètre sans compensation de +- 13574.

Chron. Kessels 1290 Dent 1747 Hauth 30 « 32

Kessels 1276 .

Hauth 52 « 18

« 11

«: 26

« 31 Dent 1630 « 1613

« 1687

< 1730

€ 1739.

«1807

ms + 0,01092 + 0,00673 — 0,00708 — 0,00616 — 0,01965 — 0,02488 + 0,00922 + 0,03986 — 0,00882 + 0,00165 — 0,00087 + 0,00627 — 0,01336 — 0,00851 — 0,00433 + 0,00348

€ 0,00116 087

x + 05150 —+ 0,092 — 0,097 — 0,085 — 0,270 — 0,343 + 0,127 + 0,548 — 0,121 + 0,227 — 0,012 +- 0,086 — 0,184 — 0,117 — 0,060 + 0,048

102 O0. STRUVYE.

Chron. be €

x Dent 1799 + 0,00285 0,00068 + 0,039 « 1798 — 0,00656 109 — 0,090 « 1789 + 0,00812 066 + 0,112 « 1787 + 0,00061 096 + 0,008 « 1776 + 0,01216 142 +- 0,167 « 1821 + 0,00448 215 + 0,062 « 1827 — 0,00545 110 — 0,075 « 1941 — 0,00126 045 — 0,017 « 1808 — 0,00548 095 — 0,075 « 1774 — 0,00196 059 — 0,027 [ « 1635 — 0,02166 200 — 0,298 « 1636 + 0,00777 156 + 0,107 « 1637 — 0,01320 420 — 0,181 de « 1901 +- 0,00207 132 + 0,028 Fe « 1910 — 0,02259 313 — 0,310 à « 1913 + 0,00498 148 + 0,068 £ « 1978 — 0,01048 173 — 0,144 © « 1979 + 0,03141 231 + 0,432 « 1983 — 0,00855 528 — 0,118 « 1985 + 0,00583 204 + 0,080 « 1986 — 0,02431 492 — 0,334

On voit que, dans cette liste, l'erreur probable surpasse en deux cas la valeur de p, savoir pour les chronomètres Dent 1630 et Dent 1787, pour lesquels les p eux mêmes ont été très petits. Elle reste entre 0,5 pr et 1,0 y. pour 3 chronomètres, entre 0,25 y et 0,5 p pour 10, entre 0,125 & et 0,25 x pour 1#, et au dessous de 0,125 K pour 8 chronomètres. Il s’en suit qu'en moyenne nous pouvons estimer chaque y. exacte à la cinquième partie près de sa valeur. L'effet moyen d’un changement d’un degré dans la température, sur la marche jour- nalière d'un chronomètre de qualité moyenne, se déduit de la liste précédente des y — 0144.

$ 17. Longitudes corrigées pour l'effet de la température.

A l’aide des y et des x, donnés dans le paragraphe précédent, j'ai calculé, pour tous les chronomètres, les corrections thermométriques — xy1 à appliquer aux longitudes isolées. Ces longitudes corrigées (7) se trouvent dans les tableaux suivants. J'y ai ajouté les (À) (y) et (v) calculés d’après les mêmes règles, que nous avions suivies antérieurement dans le calcul des ‘ quantités analogues à, y et v. Pour les deux chronomètres Dent 1778 et Kessels 1297, pour lesquels le coefficient de compensation ne pouvait être déduit assez sûrement de nos voyages,

ExPÉDITIONS CHRONOMÉTRIQUES DE 1845. 103

je l'ai supposé — 0, de sorte que, dans ces deux cas, les tableaux suivants contiennent les mêmes valeurs, que dans la première déduction des longitudes.

Vu que, pendant l'expédition de Moscou, les chronomètres hebdomadaires ne faisaient point partie de l’envoi principal, il nous manque, pour ces chronomètres, la connaissance des valeurs correspondantes de x. Les résultats obtenus, pour Moscou, à l’aide de ces chrono- mètres ne pouvant être corrigés de l'effet de la température par la voie indiquée, feront l’objet d’une discussion particulière dans un article suivant.

A. Longitudes de Moscou, corrigées pour l'effet de la température.

Kessels 1290, Dent 1747. Hauth 30. Hauth 32. Voyages. U (0) @) (e) @) (o) () (e) hk ms s S Ü 5 S S s P7 0 28 58,57! +- 0,09 58,48 +- 0,07 STE — 0,06 58,74 — 0,3% M! 58,38| —+- 0,28 58,89 — 0,3% 57,85 — 0,20 58,95 — 0,55 Ppz7 58,88| — 0,22 58,45 + 0,10 57,75 — 0,10 58,43 — 0,03 M7 58,74| — 0,08 58,54 +- 0,01 57,59 + 0,06 58,53 — 0,13 pz7 58,88! — 0,22 58,54 + 0,01 57,20 + 0,45 58,16 + 0,2% M277 58,71! — 0,05 58,13 +- 0,42 58,78 — 1,13 57,40 + 1,00 pp” 58,49] + 0,17 58,78 — 0,23 57,01 + 0,64 58,43 — 0,03 N h_m ss s S : s () = 0 28 58,66 58,55. 57,65 58,40 (v) — 27,46 18,77 3,43 k,67 Kessels 1276. Hauth 52. Hauth 18. Hauth 11. Voyages. (t) (v) (1) (v) (2) (v) (2) (v) h_m ss s s s s s S s P7 0 28 58,23| +- 0,06 57,50 + 0,51 58,36 + 0,09 59,8% — 1,06 M7 59,16! — 0,87 58,05 — 0,04 58,27 +0,18 58,31 + 0,47 pz7 58,91| — 0,62 58,56 — 0,55 58,44 + 0,01 58,12 + 0,66 M7 58,31! — 0,02 58,67 — 0,66 58,56 — 0,11 59,19 — 0,41 Ppz1I 57,80! <+- 0,49 58,17 — 0,16 58,83 — 0,38 58,59 + 0,29 M27 57,15| +1,14 56,66 +1,35 58,17 —+- 0,28 58,60 + 0,18 p7 55,29 0,00 58,16 — 0,15 58,39 —+- 0,06 58,66 + 0,12 k ms s S s (Q) = 0 28 58,29 58,01 58,45 58,78 (y) 2 2,53 2,35 22,02 2,90 Hauth 31. Dent 1778. Dent 1613. Dent 1630. Voyages. (() (v) (2) (v) (2) (v) () (v) h_ ms s S S S Ü s Ü Pp7 0 28 58,27| +0,12 59,17 — 0,71 58,18 +- 0,07 58,12 + 0,21 M? 58,03! + 0,36 58,01 + 0,45 58,72 — 0,47 58,81 — 0,48 p77 59,09! — 0,70 58,47 — 0,01 58,65 — 0,40 58,77 — 0,44 M7 58,83! — 0,44 58,65 — 0,19 58,38 — 0,13 58,41 — 0,08 p277 98,34| +- 0,05 57,99 + 0,47 58,08 +0,17 57,80 —+ 0,53 M7 57,175| +- 0,64 58,40 + 0,06 57,48 + 0,77 57,43 —+- 0,90 P# 58,27| +- 0,12 8818 |+007| 3887 |—054 h_ ms s Ü s (1) = 0 28 58,39 58,46 58,25 58,33 (Y) — 5,14 5,06 6,71 3,48

10%

Voyages.

P7 M’ PZZ MZ pZZZ M p7

Dent 16587.

(2) Ames 0 28 55,54

59,28 58,71 58,28 58,32 57,178 56,63 RENTTINS 0 28 58,51 5,38

(v)

— 0,03 et y — 0,20 +- 0,23 + 0,19 +- 0,73 — 0,12

Dent 1799.

(1)

Lh ms 0 28 58,21 58,28 5611 58,14 58,21 58.29 58,61

Roms 0 28 55,26

33,61

(v)

+0,05 — 0,02 +0,15 + 0,12 + 0,05 +- 0,04 +0,35

Dent 1776.

(2)

h ms

0 28 57,11 57,19 58,12 58,43 58,08 58,15 59,04

h'Smuss 0 28 58,21 5,03

(v)

+0 + 0,12 + 0,99 — 0,22 +0,13 +- 0,06 — 0,83

Dent 1774.

(Q)

(v)

O0. STRUVE.

UE s 0 28 58,43| — 0,04 58,26! + 0,13 58,441 — 0,05 56,26! <+- 0,13 58,51| — 0,12 58,27| +0,12 58,54| — 0,15 RimnAis 0 28 58,39 67,58

Moyenne (4) = 0/28" 58;413; (1) — 2489,1.

Dent 1730. Dent 1739.

() (v) &) (v) 8865 |-+008| 58925 |+0:02 88u7 |-+0,926 | 3799 | +098 5929 |—0536| 8885 | — 058 8876 | —0,03| 3820 | +0,07 58926 |+0,47| S767 | +0,60 8836 |+017| 53803 |+02 5896 |—0,23 | 3884 | — 0.87 5873 88/27

8,66 5.05

Dent 1798. Dent 1789.

«) (v) () (v)

S: S $ $ Sur |—019| 5806 |+0%24 8818 |+014 | 5842 |—012 8873 | —045 | 3812 |+018 8810 |+0,18| 3819 |+0,11 8773 |4+085| 5835 | = 0:08 88,08 |-+0,20 | 5831 | — 0.01 8878 |—0,30 | 5864 | —0,34 5828 5830

6,34 94,30

Dent 1821. Dent 1827.

( (o) «) (v)

$ S S $ #27 |+4111| 5908 | —039 8887. |-+0,01 | 59,01 | — 0,32 89,36 | —078 | 8880- | —011 58,86 | —0928| 5850 |+019 88,60 | —0,02 | 5839 | +0,30 5833 |-+0925| 5842 | +0,27 88,87 | —0,29 | 53865 |+0,04 5858 58.69

9 84 13,07

Kessels 1297.

() (v)

S S$ 58,81 | — 0,33 57,98 0,00 87,05 | +0,93 87,80 | +-0,18 58,30 | — 0,32 57,98

9,30

Dent 1807.

( (v)

S $ 582% | — 0,02 8787 |+033 88,6 | — 024 58.22 0,00 5796 | +026 88,27 402005 5832 | — 030 5829 17,68

Dent 1787.

(2) (v)

S$ S 5840 | — 012 5838 | —010 5837 | — 0,09 88147 | +011 5793 | +033 87,86 | +0,42 8876 | +028 5898 10,80

Dent 1941.

(2) (v)

Si $ 5843 | +0,07 58.50 0,00 58,36 | +014 88,40 |+010 58,43 | +0,07 88,74 | — 0.28 88.67 : 017 5850 80.64

Voyages.

Voyages.

m7 DIY4 pu QUI p727

DIT p7 QE (r) —

ONE 0 37 12,45| — 0,92

ExPÉDITIONS CHRONOMÉTRIQUES DE 1845.

105

B. Longitudes de Varsovie, corrigées pour l'effet de la température.

Kessels 1290. (2) (v)

h om Ss s 0 37 10,46! + 0,5%

10,91! +- 0,09

11,66| — 0,66 11,09! — 0,09 10,87! +- 0,13 PINS 0 37 11,00 12,54

Kessels 1276. (t) (v)

BOT UNS S 0 37 1244] — 1,31

12,51! — 1,38 11,84! — 0,71 8,27| +- 2,86

8,10! +3,03 14,05| — 2,92 11,13 0,00 h ETS 0 37 11,13 0,51 Hauth 31.

() (v)

11,81! — 0,28 11,25) +0,28 10,91! +0,62 11,53| 0,00 11,42! +0,11 11,22| +0,31

LE S

À 0 37 11,53

10,15

Dent 1730. (1) (v)

RS S 0 37 10,79| +0,31

12,30| — 1,20 10,21| -+- 0,89 11,21| — 0,11 11,39| — 0,49 10,37| -+- 0,73 11,24| — 0,14

RETTDNS 0 37 11,10

513

Mémoires sc. math. et phys. T. VI.

Dent 1747. (2) (v)

1198 UGS 11487 | 017 1145 | 0:18 1185 | — 025

10,62 + 0,68 11,05 + 0,25 11,03 +0,27

AY 11,30 12,90

Hauth 52. (t) (v)

1305 | — 039 13,69 | — 193 1970 | —024

10,48 | +1,99 11,50 | +-0,96 12,07 | +0,39

13,87 — 1,41

S 12,46

1,76

Dent 1613.

(2) (v)

S! S 11,90 — 0,01 13,21 — 1,32 1213 — 0,24 11,95 — 0,06

11,60 | +0,29 Alu | +0,45 11,09 | +0,80

1189 6,05 Dent 1739. @) (o) LY is 10,314 | +1,36 1192 | — 0,25

1152 |+0,15 10,68 | +0,99

11,71 — 0,0%

12,76 — 1,09

12,92 — 1,25 S

11,67

2,15

Hauth 30. (2) (v)

1958 | — 038 11,62 | +0,58 1142 |-+078 10,9% | +196 1106 |+11%

1307 | — 0,87 14,87 | — 9,67

S 1920

1,3%

Hauth 18.

() (0) 1467 | — 069 1197 | — 099

11,00 | — 0,02 11,11 221015

S 10,98

5,36

Dent 1630.

@) (v)

$ S 1253 | —1,01

11,40 |+-0,12 10,68 | +-0,8% 1193 | +0,29

11,99 — 0,47 11,03 | +0,49 11,60 | — 0,08

KT 11,52

6,60

Dent 1807.

(1) (v)

S S 11,52 + 0,26

11,56 | -+-0,22 1165 |-+-013 11,6% | +0,13 11922 | -+0,56

12,56 — 0,78

12,48 — 0,70 $

11,78

10,00

Hauth 32.

(2) (v)

S S 11,76 — 0,18 11149 | +0,09

9,97 +1,31

11,57 — 0,29 12,13 — 0,87 10,58 + 0,70 11,56 — 0,28

S 11,28

k,69

Hauth 26.

(2) (v) 12.20 — 0,94 12,45 — 1,19

990 | +-1,36 11,63 nier 12,26 — 1,00

1196 1,95 Dent 1687. @) (o) 1479 | —038 1182 | —0u1 14246 1-2 0.08 1182 | — 01 1196 | 055

10,3% + 1,07 10,5% + 0,87

1141 5.62 Dent 1799. @) (2) 1129 | +020 1171 | — 022

1113 | +0,36 11,32 | +0,17 1119 | +-0,30

1181 | —0,32

12,08 | — 0,59 S

11,49

20,30

Dent 1798. (2) (v)

h om ss 0 37 11,48 42,21 11,61 11,91 12,10 14279 12,24| — 0,34

RMImISS

0 37 11,90 29,50 Dent 1821. (1) (v)

POITIERS s 0 37 10,91! — 0,06 12,01| — 1,16 9,62| + 1,23 12,09! — 1,24 11,81| — 0,96 9,41! +1,44 10,0%! + 0,81

RITES 0 37 10,85 1,96

Dent 1774. (2) (v)

RATES S

0 37 1176) — 098 12:71| — 193 1138| + 010 11,00! + 0,48 11,24! +0,24 11,36| +-0,12 10,98| +- 0,50

AUS 0 37 11,48 7,60

Dent 1901.

() (v)

RÉENIES S 0 37 10,88| —+- 0,47 10,49! +- 0,86

11,50! — 0,15 11,35 0,00 11,48] — 0,13 41,87! — 0,52 11,901 — 0,55 k ms 0 37 11,35 10,28

O0. STRUVE.

Dent 1789.

(2) (v)

S $ 1142 |+-0,01 11,57 — 0,1% 11,31 | +0,12 10,99 +0,44 114100885202 11,65 — 0,22 12,00 — 0,57

S 11,43 22,03

Dent 1827.

() (v)

$ S 10,78 + 0,13 11,82 — 0,61 11,48 — 0,27 10,93 + 0,28 11,62 — 0,41 10,97 | +0,24 10,85 + 0,36 1121 14,68

Dent 1635.

(?) (v)

S: S 12,46 — 0,92 11,50 + 0,04 10,98 + 0,56 11,49 | +0,05 12,52 — 0,98 10,42 | +1,12 11,1% + 0,40

S 11,5%

4,28 Dent 1910.

(1) (v)

S S 10,8% +0,71 13,13 — 1,58 10,60 | +0,95 12,79 — 1,24 12,4% — 0,89

9,87 | +1,68 11,16 + 0,39

S

11,55 1,71

(l

Dent 1787.

(2) (v)

S Es 11,45 +- 0,02 12,39 — 0,92 10,66 | +0,81 1132 |-013 1132 |+015 11,46 | +0,01 11,75 — 0,28

S$ 11,47

9,98

Dent 1941.

(2) (v)

{y S n 11,3% + 0,07 11,22 +0,19 11,69 | — 0,28 11,57 — 0,16 11922 | +0,19 11,38 + 0,03 11,50 — 0,09

S$ 11,81 81,87

Dent 1636.

(2) (v)

y S 12,06 — 0,63 12,23 — 0,80 10,81 | +-0,62 111% | +0,29 11,83 — 0,40 10,68 | +0,75 1192 | +0,21

$:

11,43 6,93 Dent 1913.

(2) (v)

S S 10,73 | +0,63 10,56 | +0,80 11,41 — 0,05 11,15 + 0,21 11,97 — 0,61 11,64 — 0,28 11,99 — 0,63

$ 11,36

8,03

Dent 1776.

(2) (v)

S S 11,82 + 0,20 12,61 — 0,39 11,93 |+0,09 1177 | +095 11,54 + 0,48 11,9% | +0,08 12,64 — 0,62

S 12,02 15,67

Dent 1808.

(2) (v)

S 7 S 11,66 — 0,07 11,41 + 0,18 11,44 + 0,15 11,79 — 0,20 12,48 — 0,89 10,80 + 0,79 1142 | +0,17

S 11,59 10,95

Dent 1637.

(2) (v)

S S 12,81 — 1,58 12,91 — 1,68

9,97 +1,26 12,08 | — 0,85 11,89 — 0,66 10143 | +1,10

8,57 + 2,66

S 11,23

0,97

Dent 1978.

() v.

S S 11,62 | — 0,22 11,84 — 0,4% 11,12 0,28 12,29 — 0,89 141,57 — 0,17 41,15 + 0,25 10,07 + 1,33

S 11,40

5,40

ExPÉDITIONS CHRONOMÉTRIQUES DE 1 845.

Dent 1979. Dent 1983. Dent 1985 Dent Voyages. (2) (v) (2) (v) (2) (v) (2) ATOS s s ç S s s pz |o 271181 —ono | 1259 |—198| 190% |—063 | 1357 p7 12,89) —118 | 1379 |—318| 1303 |--162 | 1406 pu 12,37| — 0,66 830 |+2938| 1099 |+042 9.91 DIT 11,49 +- 0,22 10,21 + 0,43 10,9% + 0,47 12,48 p/7 11,80! — 6,09 9,66 —+- 0,98 11,05 + 0,36 11,59 VIII 41,57! +0,14 10,51 +- 0,13 41,09 —+- 0,32 8,80 P7 10,05! +- 1,66 9,55 + 1,09 10,78 + 0,63 11,81 ROETILANS S S S Q)— 0 37 11,71 10,6% 11,1 11,76 (y) = 3,49 0,7% 4,00 0,73

Q) =

I P m?/

z II 111 mZZ w Li m Z

QE

P m ke

Moyenne (4) — 0*37*11;487; (T) — 930,8.

C. Longitudes de Valdai, corrigées pour l'effet de la température.

11. Kessels 1290. 2. Dent 1747. | 3. Hauth 30. | 4. Hauth 32. |5. Kessels 1276.| 6. Hauth 52. | 7. ROSTLES s s s S s 0 11 4125] n191 40,04 k1,01 42,06 40,52 4219! ‘41,66 42,68 h1,45 k1,09 492,71 k1,08| 41,39 42,10 k1,50 k1,48 42,43 k1,86 k1,86 k1,60 h1,61 k1,5% h9,37 k1,89 h1,77 42,32 k1,90 k1,31 L3,13 m1,926| 42,23 38,76 40,73 40,01 39,83 WT1| 41,73 3,01 12,18 42,11 3,11 41,30 k1,57 k0,48 40,65 40,80 k0,6% 0114132 41,78 41,33 41,34 41,30 41,8% 8. Hauth 11. | 9. Hauth 31. |10. Dent 1778.11. Dent 1613. |12. Dent 1630. | 14. Dent 1687.| 15. RATES s s s s s 0 11 42,55 h0,77 42,03 k1,29 k1,72 41,58 k1,39| 49,27 49,37 h1,81 1,76 42,0% k1,32 k1,71 42,20 41,80 k1,53 k1,62 41,65 41,62 41,19 42,20 41,77 41,95 k1,35 k1,81 k2,00 12,62 11,93 41,9% L210| 41,77 40,80 h1,24 40,53 k1,41 :0,98| 41,83 42,62 41,63 41,71 k1,84 49,31 41,21 &2,0k , k0,95 k1,:3 0 11 41,73 41,62 u1,89 11,70 41,49 41,73 46. Dent 1739.117. Dent 1807.18. Dent 1799. |19. Dent 1798. | 20. Dent 1789.|21. Dent 1787. | 22. AVES s 5 s s s 0 11 4192| 41,63 41,46 41,33 41,65 11,32 W1,70| 41,84 L1,83 42,02 1,85 41,35 42,920| 42,06 41,62 41,86 41,87 WA,74 41,51 k1,98 42,16 41,66 41,68 k1,91 42,927| 41,86 42,03 41,60 42,21 42,16 40,66 40,78 40,93 40,50 40,97 41,08 L1,83 k1,82 k1,75 42,04 42,09 41,93 W,42| 41,64 41,55 41,33 11,39 41,40 0 11 41,69 k1,69 k1,67 41,59 41,72 k1,68

0) =

107

1986.

v.

S — 1,81 — 9,30 + 1,85 — 0,72 + 0,17 —+- 2,96 — 0,05

Hauth 18.

ANE 12,09 1,91 41,69 1,54 11:79 12.49 11,01

k1,74 Dent 1730.

1919 11,95 11,86 A7 11,77 10,89 91 1,40

41,68 Dent 1776.

41:59 41,39 74 11,79 1213 10,46 41,51 41,68

41,54

108 O0. STRUuVvE. | 1

23. Dent 1821.|24. Dent 1827.]125. Dent 1941.[27. Dent 1774.|28.Kessels1297.

h im. s s s s

p |011"474| 417 41,70 1183

m/ WMu5| 49,08 41 79 41,95 ù pZ 42,08| 41,71 41,81 11,63 12.20 m// W1,60| 40,60 11,63 11:71 1,64 pl 12.80| 41,36 4167 11,83 12,63 m// W11| 4170 41,86 42,02 40,99 p# 12,08 4213 11,90 11,68 12.15 m# 41,55 h1,52 41,58 11,49 41,74 D)— 0114180 41,63 11,70 41,77 41,89

Moyenne (4) — 0/11" 41:689.

D. Longitudes de Vilkomir, corrigées pour l'effet de la température.

1. Kessels 1290.| 2. Dent 1747. | 3. Hauth 30. | 4. Hauth 32. |5. Kessels 1276.| 6. Hauth 52. | 7. Hauth 18.

NO 20e or Nanou 13,07 15:86 1520 13,03 13,64 y 1494] 1418 14,89 14,87 13,98 14,53 13,2% pl 18211 13,68 13,32 1412 13,32 14,38 12,66 v/1 13,96 11,32 13,88 13,76 12,99 13,88 pUT 14161 13,83 14,66 13,91 14,77 15,16 13:35 v/1 13901 13,8% 13,63 13,37 1418 13,01 13,71 pe 1385| 13,90 16,69 14,82 13,77 16,33 13,61 V4 1307| 13,73 12,80 13,33 13,33 10,89 14,15 Q)— 0 22 14,01 1392 14,45 14,29 14,31 14,09 13,78

8. Hauth 26. | 9. Hauth 31. |11. Dent 1613.]10. Dent 1630. |13. Dent 1687. |14. Dent 1730. |15. Dent 1739.

| 0 2%"1506 1666 11:89 1598 1831 1413 15:88 v/ 1#10| 14,69 13,99 15,16 14:75 14,0% 13,77 pl 1388l 1254 14,09 13,67 13,43 1326 14,33 v/ 1#30| 13,77 12.48 13.87 13,47 13,6% 1311 y 1448| 14,07 14,88 13.76 14,62 1413 13:83 v2I 14,08 13,83 13,51 1397 13,43 13,56 13,60 pF 1393| 1410 14,73 14,95 14,34 15,24 14,63 v7 1894] 13,27 12.29 12,8% 13,07 1223 ‘| 1297 D) = 0221415 001887 13,81 13,98 13,93 13,78 13,85 16. Dent 1807. |17. Dent 1799.|18. Dent 1798.19. Dent 1789. ]|20. Dent 1787. |21. Dent 1776.|22. Dent 1821. S S Oo se) 42120 14,79 1383 139% 13:20 14,09 ab 1403| 14.07 13.68 1419 14,62 13.89 1471 ya | - anus) 4817 1UAT 1396 1318 1479 13/72 y 1312] 13,06 13,30 13.79 13.44 1321 13.48 y 1418) 1448 14,30 1450 14,95 Lu 14 13,87 v7 1320| 13,6 13,18 13:72 13,60 1339 14,08 p7 15,04 1496 15,29 14,78 14,98 15/86 14,23 v/7 12.80| 12,64 1257 12,65 12,73 12.45 13,11

(A) — 0 22 13,90 13,92 13,96 13,92 13,84 14,09 13,91

ExPÉDITIONS CHRONOMÉTRIQUES DE 1845. 109

23. Dent 1827. 124. Dent 1941.|25. Dent 1808.|26. Dent 1774.

ANSmaRS s s SAS

p? 0 22 14,35 14,11 14,39 14,25 v/ 13,98 14,15 14,22 14,10 p/7 13,70 13,83 13,47 13,53 v{7 14,00 13,95 13,28 13,63 pl 1394| 13,93 14,83 14,09 v/21 1334| 13173 14,11 13,73 p7 1W45| 1894 1415 15,29 v7 1346] 1398 13,77 13,81 () = 0 22 13,90 13,99 14,03 13,92

Moyenne (4) — 0*22” 13962.

SES. Comparaisons des poids des chronomètres.

Afin de rendre comparables entre elles les valeurs de F et de (T), déterminées pendant l'expédition de Moscou, il faut soustraire de la première valeur les g Zy — 173,4 qui con- viennent aux chronomètres hebdomadaires. Par rapport aux voyages de Varsovie, les Pet (T') sont directement comparables entre eux, parce qu'ici tous les chronomètres se sont trouvés ensemble dans la même voiture. Nous avons donc:

pour Moscou. pour Varsovie. = 1598.93 I — 152,1 (T) — 2482,1 ()==9530;5

L'unité de ces poids correspond à l'erreur probable d’une seconde en temps. Par consé- quent, les erreurs probables de nos déterminations des longitudes, abstraction faite des équations personnelles, se déduisent: pour Moscou. pour Varsovie.

avant l’application des corrections thermométriques: 0017 0,032 après « « « « 0,014 0,022

La comparaison des poids évalués avant et après l'application des corrections thermo- métriques, nous montre d'abord qu’en moyenne l'accord des résultats obtenus par chaque chro- nomètre à part, a été augmenté très considérablement par l'introduction de ces corrections. Pour la majeure partie des chronomètres, il fallait bien s'attendre à une augmentation des poids, vu que les longitudes elles mêmes déterminées dans les différents voyages, avaient servi aussi à la déduction des coefficients de compensation. Mais une forte augmentation des poids n'était point de nécessité par suite de notre procédé. Car, les coefficients de compensation n'ont pas été déduits des différences entre les longitudes isolées et Les longitudes moyennes fournies par

110 O0. STRUVE.

chaque chronomètre à part, mais à l’aide des différences entre les longitudes isolées et la longi- tude moyenne de chaque lieu, obtenue par le concours de tous les chronomètres. Considérant en outre que, dans les deux expéditions, les valeurs de x avaient gardé presque toujours le méme signe, la forte augmentation des poids nous oblige à présumer que, par l'introduction des corrections thermométriques, aussi les différences entre les (à), et leurs moyennes respectives (4), ont dû diminuer très considérablement, en comparaison avec les différences analogues entre les À et les 4. En effet, en désignant ces différences respectivement par w, (w), ® et (w), et en les sommant, sans avoir égard au signe, nous avons:

pour Moscou. pour Varsovie. DL TS 209007 Z(w) — 4,96 2 (0)E==200/22

Ces résultats quelque satisfaisants qu'ils soient, ne servent pourtant qu'à prouver rigoureu- sement, que nos coeflicients de compensation conviennent en effet très bien aux longitudes dont uous les avons déduits. Pour obtenir la conviction que les valeurs trouvées représentent réelle- ment, de très près, les vrais coefficients de compensation, il fallait les examiner, en les appliquant à des longitudes qui n'avaient point servi à leur déduction. D’après ce que nous avons mentionné plus haut, cet examen pouvait se faire sur les longitudes de Valdai. Dans les voyages qui avaient fourni la longitude de cette ville, les x avaient été très différents de ceux qui avaient eu lieu pendant les voyages de Moscou et de Varsovie. En outre, ces x changeaient de signe et étaient assez grands pour ne pas laisser évanouir les effets thermométriques vis à vis des variations accidentelles dans les marches des chronomètres. Nous avions donc ici des données très favo- rables à un examen rigoureux de nos coefficients de compensation.

En comparant, pour Valdai, les déterminations isolées de la longitude avec les moyennes respectives fournies par chaque chronomètre, soit avant soit après l'application des corrections thermométriques, nous obtenons pour chaque chronomètre deux fois 8 différences que nous désignerons par v et (v). Les sommes des carrés de ces différences Zv° et Z(v)? sont en raison inverse des poids à attribuer à chaque chronomètre. J'ai réuni ces sommes des carrés dans le

2 . tableau suivant et j'y ai ajouté aussi les Sn ou le rapport entre les poids de chaque chrono-

mètre, déduits avant et après l’application des corrections thermométriques.

ExPÉDITIONS CHRONOMÉTRIQUES DE 1845. 111 Chron. ZSv? ZE (v)? S- Kessels 1290 1,774 0,894 1,98 Dent 1747 0,806 0,373 2,16 Hauth 30 18,340 15,280 1,20 CUS 2 2,781 1,986 1,40 Kessels 1276 7,580 3,280 291 Hauth 52 20,140 10,300 1,96 CE 0,987 1,392 0,70 « 11 14,400 2,045 7,04 [RS 1 | 1,200 1,424 0,84 Dent 1613 1,696 0,955 1,78 « 1630 1,733 1,661 1,0% « _ 1687 1,711 0,128 4,00 « 1730 2,079 1,114 1,87 CM 39 2,468 1,845 1,34 < 1807 1,052 1,242 0,85 « 1799 1,080 1,010 1,07 « 1798 2,428 1,661 1,46 « 1789 0,848 1,094 0,78 « 1787 0,938 0,934 1,00 « 1776 2,440 1,662 1,47 « 1821 1,670 1,862 0,90 «a 1827 2,409 1,945 1,56 « 1941 0,156 0,100 1,56 « 1774 0,262 0,207 197

Moyenne 1,73

Ce tableau montre d’abord que, dans 19 cas parmi 24, l'accord des différentes détermina- tions de la longitude a augmenté plus ou moins considérablement, par l'introduction des cor- rections thermométriques, et que dans 5 cas seulement, il a diminué un peu. Parmi les 5 chronomètres qui ont donné ce résultat négatif, il y a 3 dont les coefficients de compensation sont si petits, que les rapports des poids n'ont pu différer beaucoup de l'unité, vu qu'ici les erreurs accidentelles cachent entièrement les petits effets de la témpérature. Il n’y a donc que les deux chronomètres Hauth 18 et Dent 1789, pour lesquels la diminution de l'accord était inattendue, surtout si l’on considère que les déterminations de leurs coefficients de compensation ne laissent subsister que des erreurs probables comparativement très petites. Mais aussi dans ces cas, nous n'avons aucune raison de révoquer en doute l'exactitude de nos coefficients et il doit être admis que, dans ces cas aussi, l'accord des longitudes a été troublé un peu, par quelque

112 O0. STRUVE.

cause accidentelle et inconnue. En effet, il suffit, dans l’un et dans l’autre cas, de changer une seule détermination de la longitude, d’un quart de seconde, pour élever le rapport des poids à l'unité.

Zv? 5 ; E La valeur moyenne des STE — 1,73, comparée avec les valeurs de = — 1,55 pour NT) T : ; : ë Moscou et de - — 2,02 pour Varsovie, nous prouve en outre que l'accroissement des poids

a été, pour Valdai, à peu près égal à la moyenne de ceux, qui ont été trouvés pour les longitudes de Moscou et de Varsovie.

Les longitudes de Vilkomir, quoique appartenant à la même époque, ne pouvaient pas contribuer à contrôler l'exactitude de ces coefficients; car ici l'effet thermométrique était lui- même beaucoup plus petit, que pour Valdai et les deux points principaux, ainsi qu’on peut le voir dans nos tableaux des x (pag. 97), et en outre, les déterminations du temps absolu étaient sujettes à de si grandes incertitudes, par suite de l’inconstance dans la manière d'observer de M. Alexandrov, qu’elles auraient caché l'effet de la température, même si cet effet eût été aussi fort que pour les trois autres points.

Les résultats précédents suffisent déja pour faire ressortir toute l'importance qui s’attache, dans les déterminations chronométriques des longitudes, à une évaluation précise des coefficients de compensation des chronomètres employés et des températures dans lesquelles ils ont dû fonctionner. Cette évaluation est encore plus importante, si le nombre des chronomètres employés n’est pas assez grand, pour qu'on püt supposer que les effets thermométriques se soient détruits dans la moyenne des longitudes. Dans ce cas, l'usage d’un chronomètre non-compensé, et par rapport auquel les coefficients des autres chronomètres devront être déterminés à l'aide d'expériences directes, est une condition essentielle pour inspirer pleine confiance dans les résultats; au moins, tant qu'il ne sera pas permis de choisir les chronomètres à employer dans une grande collection, de sorte que, dans la moyenne, les coefficients de compensation se détruisent pour les chronomètres choisis. Ce dernier expédient ne pourra pourtant servir que dans les cas où les poids des chronomètres peuvent être supposés approximativement égaux, pour l’époque des voyages.

L’élévation considérable des poids, produite par l'introduction des corrections thermo- métriques, démontre que ce qu'on appelle ordinairement la qualité des chronomètres, dépend en premier lieu de leur degré de compensation. Mais, sans doute, l'exécution soignée et conve- nable des autres parties d’un chronomètre, constitue, à côté de la compensation de la balance, un élément très important pour en élever la qualité. On jugera encore mieux de cet objet, en regardant attentivement la liste des poids que nous avons déduits, et les changements qu'ont subis les poids et les longitudes moyennes, par l’application des corrections thermométriques. Pour faciliter cette inspection, je réunirai, dans le tableau suivant, les valeurs des 7, (y), et des #, (w), © et (W), rapportées dans les paragraphes précédents.

Chron.

Kessels 1290 Dent 1747 Hauth 30

«

32

Kessels 1276 Hauth 52

«

18 11 26 31

Dent 1778

1613 1630 1687 1730 1739 1807 1799 1798 1789 1787 1776 1821 1827 19%1 1808 1774

Kessels 1297 Dent 1635

1636 1637 1901 1910 1913 1978 1979 1983 1985 1986

ExPÉDITIONS CHRONOMÉTRIQUES PE 1845.

Expédition de Moscou.

Poids du chrono-

mètre.

1 (Y) 4,09 | 27,46 6,13 | 18,77 287 | 3,43 3,922 | 4,67 0,98 | 2,33 0,64 | 233 40 | 22,02 0,53 | 2,90 5,62 | 5,14 5,06 32 | 6,71 3,k1 | 3,48 2,83 | 5,38 2,64 | 8,66 3,07 | 5,05

34,89 | 17,68

2819 | 33,61 2,82 | 6,5% L,7k | 24,30

11,43 | 10,80 3,23 | 5,03 299 | 92,84 6,37 | 13,07

k7,33 | 50,64

k1,67 | 67,38 2,30

Mémoires sc. math. et phys. T. VI.

Déviation moyenne de la longitude.

2) + 067 + 0,40 — 1,02 — 0,24 — 0,86 — 1,34 + 0,39 + 1,86

+ 0,05 + 0,06 + 0,08 — 0,10 — 0,47

0,00 — 0,29 — 0,04 — 0,05 — 0,35 + 0,21 — 0,09 -+ 0,27 + 0,39 + 0,09 + 0,05

— 0,08 — 0,42

(a) + 0526 + 0,14 — 0,81 — 0,01 — 0,12 — 0,40 + 0,04 + 0,37

— 0,02

— 0,16 — 0,08 + 0,10 + 0,32 — 0,14 — 0,19 — 0,15 — 0,13 — 0,11 — 0,13 — 0,20 + 0,17 —+- 0,28 + 0,09

— 0,02

Expédition de Varsovie.

Poids du chrono-

mètre.

ï () 3,00 | 125% 7,00 | 12,90 1,33 1,3% 39 | 4,60 0,39 | 0,51 0,36 | 1,76 1,66 5,36 1,51 4,95 8,96 | 10,15 1,88 | 6,05 6,89 | 6,60 1,10 | 5,62 291 | 5,13 3,09 | 275 5,52 | 10,00 9,55 | 20,30 7,63 | 29,50 3,89 | 22,03 9,02 | 9,98 209 | 15,67 1,70 | 1,96 521 | 14,68

39,14 | 81,87 k41 | 10,95 7,07 | 7,60 0,59 Lk,28 3,01 6,93 0,73 | 0,97 8,20 | 10,28 0,45 | 1,71 5,01 | 8,03 213 | 5,10 0,36 | 3,49 0,83 | 0,7% 271 | 4,00 0,29 0,75

Déviation moyenne de la longitude.

tv + 0552 + 0,24 + 0,32 — 0,55 — 1,50 — 0,19 + 0,06

— 0,58 + 0,16

+ 0,80

0,00 — 0,84 — 0,86 — 0,04 + 0,54 + 0,20 + 0,05 + 0,51 + 0,04 + 1,28 — 0,33 — 0,57 — 0,12 — 0,19 — 0,09

— 1,93 + 0,44 +- 1,01

0,00 — 1925 + 0,19 — 0,69 + 2,11 — 1,32 + 0,30 — 1,15

15

(0) — 0;n9 — 0,19 + 0,71 — 0,13 — 0,36 + 0,97 — 0,51

— 0,23 + 0,0%

+ 0,10 +- 0,03 — 0,08 — 0,39 + 0,18 + 0,29 —+ 0,03 + 0,41 — 0,06 — 0,02 + 0,53 — 0,64 — 0,28 — 0,08 + 0,16 — 0,01

+ 0,05 — 0,06 — 0,26 — 0,1% +- 0,06 — 0,13 — 0,09 + 0,22 — 0,85 — 0,08 + 0,27

113

= ND æ N Co Nm NO NO æ æ C9 19 & C9 C9 Æ & & NO & 0 & + 19 NN

GG © © & & D + À © D +

11% O0. STRUVYE.

On voit d'abord que, par l'introduction des corrections thermométriques, les poids de presque tous les chronomètres ont augmenté, dans les deux expéditions. Mais il y a aussi des exceptions de cette règle. Le poids du chronomètre Hauth 31 par ex. a diminué pour les voyages de Moscou, et a augmenté pour ceux de Varsovie; et un exemple plus frappant de ce genre se présente dans le chronomètre Dent 1807. Pour ce dernier chronomètre, les corrections moyennes des longitudes n’ont pas été d'accord avec les variations dans les longitudes isolées, attribuées à l'effet de la température. Le cas inverse c. à d. une augmentation des poids pour les voyages de Moscou, combinée avec une diminution des poids pour les voyages de Varsovie, s'offre par les chronomètres Dent 1630 et 1739. Enfin le chronomètre hebdomadaire 1983, dont le poids a été déduit des seuls voyages de Varsovie, nous présente néanmoins l'exemple remar- quable d’une diminution du poids, produite par l'introduction des corrections thermométriques. C'est qu'ici la diminution de 0:47 dans l’erreur du résultat moyen, ne s'accorde nullement avec les corrections à appliquer aux longitudes isolées.

Le chronomètre Dent 1941 est, sans contestation, le plus parfait de notre collection. Ce résultat n’était point inattendu, car le même chronomètre avait déjà occupé, l'année précédente, dans les voyages entre Altona et Greenwich, une place incomparablement supérieure à tous les autres chronomètres employés à la même occasion (Rapport sur l'expéd. chron. de 1844, (6 15, 16). Nous avons donc ici un témoignage très favorable, que notre déduction des poids relatifs des chronomètres n’est point arbitraire, et que le meilleur accord des longitudes est réellement le produit de la plus haute perfection des chronomètres, même dans des cas où de très petites fractions de seconde pourraient déjà altérer considérablement les poids. Ce témoignage est confirmé encore par les poids élevés des chronomètres Dent 1774 et Dent 1787, dont le premier avait occupé la première place dans l'expédition entre Poulkova et Altona (Rapport sur l'expéd. chron. de 1843 pag. 145), et le dernier la seconde place dans l'expédition de 1844 (Rapport sur l'expéd. chron. de 184% pag. 202), au moins parmi les chronomètres qui avaient servi dans les deux expéditions, de 184% et de 1845.

Malgré l'accord satisfaisant que nous offre en général le tableau précédent, par rapport à la qualité relative des chronomètres, dans l’une et dans l’autre expédition, nous rencontrons, dans la liste des poids déduits dans les deux occasions, quelques différences frappantes. Le chronomètre Dent 177%, par exemple, a le poids 67,58 dans l'expédition de Moscou, tandisque son poids ne s'élève qu'à 7,60 pour les voyages de Varsovie. En revanche, pour le chronomètre Dent 1798 les voyages de Moscou ont offert (y) — 6,54, ceux de Varsovie (y) — 29,50, et le chronomètre Dent 1808 avait dans les voyages de Varsovie le poids assez élevé 10,95, tandisque les longitudes qu'il avait offertes pour Moscou, offraient de si grandes différences, qu'il fallait le rejeter entièrement à cette occasion. Par rapport à ce dernier chronomètre j'ai déjà énoncé plus haut l'opinion que, pendant l'expédition de Moscou, un corpuscule étranger se fût introduit dans ses rouages, lequel s’était éloigné spontanément dans l'intervalle entre les deux expéditions. Mais, par rapport aux autres chronomètres qui ont montré des différences plus

ExPÉDITIONS CHRONOMÉTRIQUES DE 1845. 115

fortes dans les poids déterminés aux deux occasions, faudra-t-il supposer que la qualité de ces chronomètres ait changé dans le bref intervalle qui sépare les deux expéditions? ou bien, doit on admettre que, dans les 7 longitudes que nous a fournies chaque expédition, les chances favorables et défavorables à l'élévation des poids, produites par des erreurs accidentelles, ne se soient pas encore assez compensées ?

La dernière explication me paraît la plus probable pour la majeure partie des chrono- mètres en question, et elle trouve un appui très fort dans la remarque, que les excellents chrono- mètres ont, en général, retenu leur position élevée après des intervalles même d’années entières. Cr, en adoptant cette explication, le même poids devait servir pour les longitudes déterminées dans les deux expéditions faites peu de semaines l’une après l'autre et dans des circonstances extérieures très semblables. Ces poids moyens ont été déduits d’une combinaison des résultats

offerts par les deux séries de déterminations. Cette combinaison s'effectue très simplement n — 2

Sg'&)2 + =g/(b

des voyages du chronomètre, v et 9 les différences entre les longitudes isolées de Moscou et de

d'après la formule p — EE dans laquelle p est le poids moyen, n le nombre total

Varsovie et leurs moyennes respectives, enfin q' et g” le poids relatif des différents voyages. Pour les chronomètres qui n'avaient servi que dans une seule expédition, il fallait garder les mêmes poids qu'auparavant. Je donnerai maintenant la liste de ces poids moyens p, que je regarde comme définitifs, en les rangeant dans l’ordre de leur poids.

Poips DÉFINITIFS.

Chronomètre p , Chronomètre p 1 Dent 1941 62,58 21: Dent 1978 hebd. 0,40 2 « 1799 25193 23. € 1778 5,06 3 « 1789 23,11 23. Hauth 32 4,61 4. Kessels 1290 18,60 24. Dent 1630 4,56 5. Dent 1747 15,30 25. € 1635 hebd. 4,28 6. « 1827 13,83 26. « 1985 hebd. 4,00 7 € 1774 13,66 27: « 1739 3,06 8. « 1807 12,77 28. € 1979 hebd. 3,49 9. « 1808 10,96 29. Hauth 11 2,90 10. € 1795 10,72 30. Dent 1821 2,4 11: € 1787 10,37 31. Kessels 1297 2,30 12. «€ 1901 hebd. 10,28 32. Hauth 52 2,02 49: Hauth 18 8,61 33. «26 1,95 14. Dent 1913 hebd. 8,03 34. € 30 1,92 15. € 1776 7,61 39. Dent 1910 hebd. 1574 16. € 1636 hebd. 6,93 36. € 1637 hebd. 0,97 17. Hauth 31 6,82 37. Kessels 1276 0,85 18. Dent 1730 : 6,44 38. Dent 1986 hebd. 0,75 19. < 1613 6,36 39. « 1983 hebd. 0,74

920. € 1687 9,49 Somme des poids 337,08

116 O0. STRUVYE.

En partant de ces poids, l'erreur probable de la longitude moyenne, produite par les seules irrégularités dans les marches des chronomètres, s'établit pour Moscou — 0015, pour Var- sovie — 0023.

La liste précédente nous donne encore un meilleur coup-d'oeil général sur les qualités relatives des chronomètres, et c’est avec une vraie admiration pour le talent éminent de l'artiste, que nous voyons ici la longue série d'excellents chronomètres provenus de l’atélier de M. Dent. Il est vrai qu'il y a, dans le grand nombre de chronomètres de Dent, aussi quelques uns qui sont de qualité inférieure. Mais ces derniers chronomètres appartiennent presque tous au nombre des chronomètres hebdomadaires, lesquels, à ce que nous avons déjà mentionné plus haut, n'avaient été confectionnés que peu de mois avant le commencement de nos voyages, et, par conséquent, n'avaient été assez long temps en usage, pour avoir adopté une marche uniforme.

La comparaison des poids trouvés dans les expéditions de Moscou et de Varsovie, nous

,

. , . / . donne encore le moyen de former un jugement sur l'exactitude de la formule g9 — Ty di 13

nous a servi à calculer le poids relatif des résultats obtenus par les différents voyages. Il y a eu, dans les deux expéditions, 23 chronomètres identiques, pour lesquels nous avons trouvé:

par les voyages de Moscou Z(y) — 347,74 € « « « Varsovie — 288,80

L'unité des poids ayant été la même dans les deux cas, ces deux chiffres auraient dû être égaux, si la formule avait été exacte et si les deux conditions suivantes étaient remplies, 1°) que, dans la somme des 23 poids, les eflets des erreurs accidentelles s'étaient complètement compensés et 2°) que les chronomètres n’avaient point changé de qualité d’une expédition à l'autre. Quant à la dernière condition, nous avons énoncé plus haut notre opinion, que l'intervalle qui sépare les deux expéditions nous paraît trop bref pour avoir produit des changements con- sidérables dans la qualité des chronomètres. Mais la première condition ne nous paraît pas suffisamment remplie. En effet nous n'avons besoin que de rejeter le seul chronomètre Dent 177% qui, par hazard, a eu un poids extraordinairement haut dans les voyages de Moscou, afin de produire un accord presque parfait dans les sommes des poids des 22 chronomètres restants, qui se trouvent ainsi 280, 16 et 281, 20.

Quoiqu'il en soit, l'accord approximatif des sommes des poids prouve que la formule qui nous a donné les poids des voyages, est approximativement exacte, et que l'erreur qui peut-être y subsiste encore, ne pourra exercer aucune influence sur les résultats à déduire pour les longi- tudes, dès que les durées des voyages qui ont fourni les différentes déterminations, ne sont encore considérablement plus différentes entre elles, qu'elles n’ont été dans les voyages de Moscou et de Varsovie. r

Parmi les chronomètres employés dans les deux expéditions de 1845, il y avait 20 qui nous avaient déjà servi, l’année précédente, dans l'expédition chronométrique exécutée entre

_ ExPÉDITIONS CHRONOMÉTRIQUES DE 1845. 117

Altona et Greenwich. Il paraît intéressant de comparer ici les poids qu’avaient offerts ces chro- nomètres à cette occasion antérieure, avec ceux que nous ont fournis les voyages de 1845. Dans l'expédition de 184% nous n'avions aucun moyen d'évaluer les corrections thermométri- ques; c’est pourquoi la comparaison devra être instituée entre les poids primitifs, trouvés avant l'application des dites corrections. En outre il faudra réduire les poids à la même unité. Dans les expéditions des deux années nous avions attribué l'unité du poids à un chronomètre qui, par un voyage normal, offrait l'erreur probable d'une seconde entière, pour une détermination isolée de la longitude; mais les durées des voyages normaux etaient différentes dans les deux

années. En 1844 nous avons pris pour norme un voyage, dans lequel + — +’ — 60 heures

et p — 24 heures; en 1845, au contraire, le voyage normal offrit rt — +’ — 75 heures et

e — 15 heures. Ces différentes durées des voyages normaux fixèrent la constante k’, en 1844 8640

à 8640, en 1845 à 12375, et c'est par le facteur RETrU qu'il faudra multiplier les poids dé-

duits des voyages de 184%, afin de les réduire à l’unité des poids de nos expéditions de Moscou et de Varsovie. Cette réduction faite, voici le tableau comparatif des poids:

1844. 1845. 1845.

Chronomètre. Alt. -Greenw. Poulk.- Mosc. Poulk.- Vars. Hauth 31 2,80 5,62 8,96 « 18 1,16 4,40 1,66 « 30 0,34 2,87 1,33 « 32 2,14 3,22 4,39 Dent 1613 1,58 4,32 4,88 « 1630 1,08 3,41 6,89 « 1687 2,06 2,83 1,10 € 1730 2,14 2,64 2,91 « 1739 1,95 3,07 3,09 « 1776 0,89 3,23 2,09 « 1787 3,34 11,43 9,02 « 1789 1,23 4,74 3,89 « 1798 1,29 2,82 7,63 € _1799° 0,90 24,19 9,55 « 1807 1,53 34,39 5,92 € 1774 1,47 41,67 7,07 « 1821 0,41 2,29 1,70 < 1827 0,88 6,37 »,21 € 1941 24,94 47,33 39,14 € _ 1747 1,20 6,13 7,09

Sommes des poids 53,93 217,47 134,12

118 | O0. STRUVYE.

Une infériorité très considérable se prononce ici pour les poids des chronomètres obtenus par les voyages de mer, en 1844. À ce que nous avons vu plus haut, la différence considé- rable entre les sommes des poids trouvés pour les voyages de Moscou et de Varsovie, s'explique par l’influence plus forte, qu'ont exercée les températures, dans les longitudes de Varsovie. Elle disparaît, en majeure partie, dès que les corrections thermométriques y sont appliquées. On pourrait croire d'abord, que ce fût aussi l'effet des températures très variables, qui ait diminué les poids pendant les voyages de 1844. Mais les températures moyennes, observées à l’aide des thermomètres, pendant les différents trajets entre Altona et Greenwich (ÆExpéd. chron. de 1844 pag. 20 — 26), n'étant aucunement sujettes à des variations aussi fortes, qu’elles sont accusées par la marche du chronomètre sans compensation pendant les voyages de Moscou (et en plus haut degré pendant ceux de Varsovie), cette explication devient inadmissible. En outre, le tableau précédent montre, que le poids de certains chronomètres qui ont un grand coefficient de compensation, par ex. Dent 1687 et Dent 1730, n’a pas changé d'autant, que celui de quelques autres chronomètres, qui offrent un coefficient très petit, comme Dent 1630, Dent 1807, Dent 1774. Ce tableau contient ainsi en lui-même la preuve, que ce n’est pas à l’effet des températures qu'il faut attribuer les différences des poids. Également, le soupçon qui aurait pu naître sur l'exactitude de la formule, à l’aide de laquelle nous avons réduit à la même unité les poids offerts par les différentes expéditions, est anéanti par la considération (pag. 116) des résultats obtenus par les voyages de Moscou et de Varsovie, dont les durées moyennes ont été beaucoup plus inégales que celles des voyages d’Altona à Greenwich et de Poulkova à Moscou.

L'origine de la marche moins uniforme des chronomètres, pendant les voyages par mer, reste donc un peu énigmatique, et nous pouvons faire là-dessus seulement des hypothèses assez vagues, comme, par exemple, que les battements des navires en direction horizontale ou l’action magnétique des grandes masses de fer dans les bateaux à vapeur, ont agi infavorablement sur la régularité de la marche des chronomètres. Quoiqu'il en soit, il paraît établi, par la compa- raison précédente, que, toutes précautions prises, la marche des chronomètres est en général beaucoup plus uniforme dans les voyages par terre, que dans les voyages de mer à bord des bateaux à vapeur.

S 19. Déduction définitive des longitudes, pour les différents lieux

d'observation.

Dans cette déduction finale des longitudes, je me suis servi, pour tous les quatre lieux d'observation, des mêmes poids moyens des chronomètres — p, qu'on trouve dans le tableau pag. 116. Chaque détermination isolée de la longitude d’un lieu quelconque, corrigée pour l'effet thermométrique, fut multipliée par le poids correspondant du chronomètre. Tous les pro- duits obtenus ainsi dans chaque voyage furent additionnés et les sommes trouvées furent divi-

ExPÉDITIONS CHRONOMÉTRIQUES DE 1845. 119

sées par les sommes correspondantes des poids. C’est ainsi que nous avons déduit les longitudes moyennes résultantes de chaque voyage à part. Il ne restait qu'à combiner, pour chaque lieu, les longitudes obtenues par les différents voyages à un seul résultat moyen. Dans cette combi- naison, il fallait avoir égard aux poids relatifs — g' des, différents voyages, indiqués précé- demment pag. 84 et 88.

Par rapport à Valdai et à Vilkomir, les résultats de tous les voyages ont été regardés comme du même poids. Nous nous aurions éloignés de la vérité, si nous avions attribué aux longitudes de ces lieux, des poids relatifs dépendants des durées du transport du temps, car ici, à cause des intervalles plus brefs, les erreurs à craindre par suite des irrégularités dans les marches des chronomètres, doivent être beaucoup plus petites, que celles qui ont leur origine dans les défauts des déterminations du temps absolu et dans l'inconstance des équations perso- nelles, quantités qu'il faut estimer à peu près égales pour tous les voyages.

* Dans tous les cas, les valeurs déduites des longitudes moyennes furent contrôlées d'après

la formule Se À étant la longitude moyenne fournie par chaque chronomètre à part.

A. Longitude de Moscou à l'Est de Poulkova.

Voyage. Longitude. g'- diff. de la moyenne. P? 02875820 1,05 + 0500% M? 58,124 0,90 + 0,008 pZ 58,476 0,98 + 0,060 M’ 08,378 1,06 — 0,038 pz1 58,308 1,07 — 0,108 MZ 58,300 0,81 01416 p7 58,582 1,09 + 0,166

Ces longitudes combinées entre elles, eu égard au poids relatif des différents voyages, donnent la moyenne générale — 0*28” 58416.

Les differences entre cette moyenne et les résultats des voyages isolés, fixent l'erreur pro- bable de la longitude obtenue par un voyage du poids 1,00, à 05065. La somme des poids de tous les voyages ou Z'g' étant — 6,96, nous en tirons l'erreur probable de la moyenne elle- même — 0;025.

L'erreur probable qu'il fallait attendre dans la longitude moyenne, par suite seulement des irrégularités dans les marches des chronomètres, a été trouvée (pag. 116) pour Moscou — 0;015. Nous avons donc, pour la moyenne, l'effet réuni des petites incertitudes dans la détermination du temps absolu, des irrégularités dans les marches des horloges qui gardaient le temps jusqu’à l'arrivée des chronomètres de voyage, et de l’inconstance dans la manière d'observer les pas-

120 O0. STRUVE.

sages, de la part des deux observateurs établis sur les deux lieux, — V0:025° —0:015?, — 0:020 et pour le résultat d'un seul voyage — V 0:065? — 0040? — 0:051.

Dans l'expédition de 184%, entre Altona et Greenwich, l’accord des longitudes fournies par les différents voyages avait donné l'erreur probable à craindre dans le résultat obtenu par un voyage normal — 0155. Ce chiffre doit être augmenté encore afin de correspondre à la durée plus longue d'un voyage normal, telle que nous l’avons acceptée dans les voyages de 1845. En considérant que le nombre des chronométres employés a été plus grand en 1844, qu'en majeure partie leur qualité n'était pas inférieure, en outre, que les déterminations du temps absolu ont été exécutées, dans les deux occasions, à peu près avec la même exactitude, et que les horloges qui gardaient le temps jusqu’à l’arrivée des chronomètres de voyage, avaient, à Altona et à Greenwich, la marche au moins aussi régulière que celles dont nous nous sommes servis en 1845, l'accord moins satisfaisant des longitudes fournies par les différents voyages de 1844, et qui se prononce dans la forte augmentation de l’erreur probable correspondante à un voyage normal, confirme le soupçon énoncé pag. 204 du ,,Rapport sur l'exp. chron. de 1844, savoir: que les masses de fer dans les bateaux à vapeur ou les ballotements des vaisseaux ont exercé une influence analogue sur les marches de tous les chronomètres pendant les mêmes trajets, mais variable dans les différents trajets.

La moyenne précédente de la longitude de Moscou a été déduite de notre expédition principale, où le temps fut transporté à l’aide des 28 chronomètres qui furent remontés chaque jour. Il s’agit maintenant de combiner, avec cette moyenne, les résultats obtenus par les chrono- mètres hebdomadaires. Les envois de ces derniers chronomètres n'ayant pas été accompagnés d'un chronomètre sans compensation, et les températures, dans lesquelles ils se sont müûs, n'étant point connues par une autre voie, nous n'avons pas le moyen de corriger rigoureuse- ment les différents résultats de l'effet thermométrique. Mais nous pouvons y remédier de quelque sorte, en déduisant de l'accord même des longitudes moyennes — À fournies par les différents chronomètres, et à l’aide des coefficients de compensation déterminés par les voyages de Varso- vie, la quantité g dont la longittide moyenne que nous aurait fournie, dans ces voyages, un chronomètre sans compensation, aurait été fautive. Désignons une valeur approximative de la longitude de Moscou par 4, la correction cherchée de Æ par 6, le coefficient de compensation

par , mettons 105 — ?, et nous aurons pour chaque chronomètre une équation de la forme: E + 100 pn = 1— 4.

À chacune des équations tellement formées, il faut attribuer le poids que nous avons déduit, des longitudes de Varsovie, pour le chronomètre respectif. C’est ainsi qu'ayant supposé 7; —= 028" 58;400, et en employant les coefficients de compensation donnés pag. 101, nous avons formé les 11 équations suivantes de condition, en y rejetant le 12"° chronomètre, Dent 179%, qui parait avoir été éntièrement dérangé.

ExPÉDITIONS CHRONOMÉTRIQUES DE 1845. 121

Chronomètre. (4 Équations de condition. Poids. Dent 1635 E —917n — + 1:63 4,3 « 1636 +0,78 n — — 0,23 6,9 € 1637 —1,32n — +0,53 1,0 « 1901 + 0,21 n — +0,62 10,3 « 1910 — 2,26 n — + 0,60 1,7 « 1913 +0,50 n — +0,19 8,0 «< 1978 — 1,05n — +0,74 5,4 « 1979 + 3,14n — — 1,66 3:59 « 1983 — 0,86n — — 0,38 0,7 «€ 1985 0,58 n — — 0,49 4,0 « 1986 —92,43n — +1,79 0,8

C’est ici un heureux accident que, parmi ces chronomètres, il y a 6 qui ont le signe négatif du coefficient de compensation, et 5 pour lesquels il est positif. Par cette circonstance la correction de la longitude que nous déduirons, sera libre à peu près de toute influence thermométrique.

Ayant traité les équations précédentes d’après la méthode des moindres carrés, j'ai déduit:

E — + 0;5329 avec l'erreur probable — 0;082 n—= —0,501 « « « — 0,019

Cette valeur de n nous donne g — — 501 avec l'erreur probable 159, ce qui signifie que, si les envois des chronomètres hebdomadaires avaient été accompagnés d’un chronomètre non-compensé, la moyenne arithmétique des longitudes fournies par ce chronomètre pour Moscou, aurait été trouvée de 50;1 plus petite que la vraie longitude.

En ajoutant la valeur trouvée de € à la longitude supposée 4 — 0/28” 58;400, nous avons, en moyenne, par les chronomètres hebdomadaires, la longitude de Moscou — 0/28” 58:729 avec l'erreur probable — 0;082. Cette valeur diffère plus qu'il ne fallait attendre, de la longi- tude obtenue par l'expédition principale. On reconnait facilement que la grande valeur posi- tive de & est due particulièremeut aux longitudes fournies par les deux chronomètres Dent 1901 et Dent 1913 qui avaient les poids les plus élevés. Il en faut conclure que, probable- ment par un accord accidentel des différentes longitudes fournies par ces deux chronomètres pour Varsovie, leur poids à été trouvé trop haut. En effet, si nous attribuons le même poids à toutes les 11 équations précédentes, la valeur de Ë aurait été trouvée — + 0;125, au lieu de + 0329, et par conséquent 1 +Ë — 0/28” 58:525, valeur qui s’accorderait entre les limites des erreurs probables avec le résultat de l'expédition principale.

Heureusement l'incertitude qui subsiste par rapport à la valeur de &, n’est pas de grande conséquence dans la moyenne générale, à cause de l’erreur probable plus forte de cette quantité 6. En adoptant la première valeur de £, comme étant déduite par une voie plus rationelle, et en combinant la longitude moyenne qui en résulte, avec celle que nous a donnée l'expédition princi- pale, nous avons en moyenne la longitude de Moscou — 0*28" 58;442 avec l'erreur probable

— 0024. L'autre valeur de £ n'aurait changé cette quantité que de 0017. Mémoires sc. math. et phys. T. VI 16

122 O0. STRUVE.

Ajoutons maintenant à la longitude trouvée l'équation constante dans la manière d'observer de M. W. Struve et de M. Dôllen et qui a été évaluée (pag. 51) a — b — — 05167 + 0020. Avec cette correction nous avons en définitive:

la longitude de Moscou, pavillon de l'observatoire, — 0/28" 58275 à l'Est de Poulkova,

avec l'erreur probable — 0;031.

B) Longitude de Varsovie, à l'Ouest de Poulkova.

Voyage. Longitude. g ' Diff. de la moy.

( PT 0137"11:453 0,41 + 0:001 7 11,695 0,36 + 0,243 pz 11,318 0,38 0134 p7 11,372 0,38 — 0,080 7 11,468 0,43 + 0,016 D EL 11,360 0,37 — 0,092 Pr 11,508 0,37 + 0,056

La moyenne de ces longitudes, eu égard aux poids relatifs des voyages, se trouve 0* 37” 115452 avec l'erreur probable — 0033.

A l'unité du poids c. à d. à la longitude fournie par un voyage normal, correspond ici l'erreur probable — 0,055, un peu plus petite même que l'erreur analogue dans les voyages de Moscou. — Par suite des seules irrégularités dans les marches des chronomètres, il y avait à craindre, dans la longitude définitive de Varsovie, une erreur probable — 0023. Nous avons donc V 0:033? — 0;023? — 0024 pour l'effet combiné des incertitudes dans la détermination du temps absolu et des autres sources d'erreurs qui agissent d’une quantité constante sur les longitudes fournies par tous les chronomètres, dans le même voyage.

M. Baranovski observe les passages de 0,223 = 0020 plus tard que M. W. Struve (pag. 51). Par cette raison la longitude occidentale de Varsovie doit être diminuée de l'équation indiquée, et nous avons finalement:

la longitude de Varsovie, lieu de l'instrument des passages, — 0*377 11229 à l'Ouest de Poulkova, avec l'erreur probable — 0;039.

C. Longitude de Valdai, à l'Est de Poulkova.

Dans l’interpolation chronométrique de la longitude de Valdai, entre celles de Poulkova et de Moscou, nous avons supposé la longitude de Moscou préalablement — 07 28” 58:20 (pag. 93). Mais, comme les corrections des horloges à Moscou sont affectées de l'équation personnelle de M. Dôllen, il fallait employer la longitude définitive de Moscou, changée également de l'effet de cette équation personnelle, ou 0° 28" 58442 (pag. 122). Par conséquent

ExPÉDITIONS CHRONOMÉTRIQUES DE 1845. 123

nous avons la quantité d) (pag. 91) — + 0,242, et les corrections à ajouter aux résultats obtenus pour Valdai, par les différents voyages, s'en déduisent:

pour p? dl = + 0116 ur

+ 0,109 p? + 0,121 m/7 + 0,106 p + 0,114 Tel + 0,119 Da + 0,114 m7 + 0,114

Avec ces corrections nous avons:

Voyage. Longitude. Diff, de la moy. p’ 0*117 415707 — 0083 m/ 41,992 + 0,202 p 41,840 +- 0,050 m7 41,822 + 0,032 p7 41,960 + 0,170 m//7 41,383 — 0,407 D 42,021 + 0,231 m/ 41,595 — 0,195

Ayant attribué le même poids à tous ces voyages, la moyenne arithmétique nous donne la longitude de Valdai — 011” 415790, avec l’erreur probable — 0;052.

L'accord des longitudes trouvées par les différents voyages conduit, pour le résultat d'un voyage isolé, à l'erreur probable — 0148. À cause de la courte durée des transports du temps, les erreurs probables produites par les irrégularités dans les marches des chronomètres, peuvent être regardées, dans la moyenne de tous les chronomètres, comme évanouissantes vis à vis de cette erreur probable 0148. En considérant en outre que, dans chaque voyage isolé de Moscou, l'effet combiné des erreurs dans la détermination du temps absolu et des irrégula- rités dans les marches des horloges qui gardaient le temps sur les deux lieux d'observation, Poulkova et Moscou, ne s'élève qu'à 0051, dont une partie seulement affecte les longitndes de Valdai, il est évident que presque toute l'erreur probable de 05148 doit être attribuée aux incertitudes des déterminations du temps absolu, exécutées à Valdai à l’aide d’une lunette de | plus petites dimensions, et aux irrégularités dans les marches des horloges qui, dans cet endroit, étaient destinées à garder le temps jusqu’à l’arrivée des chronomètres de voyage.

Pour l'équation personnelle entre M. Liapounov et M. W. Struve la longitude trouvée doit être augmentée de + 05200 + 0;020 (pag. 51). Nous avons, par conséquent, finalement ;

la longitude de Valdai, observatoire temporaire, — 0*11”"41:990 à l'Est de Poulkova, avec l'erreur probable — 0056.

124 O0. STRUVE.

D. Longitude de Vilkomir, à l'Ouest de Poulkova. La longitude de Varsovie, que nous avons employée à l’interpolation de celle de Vilkomir a été — 0*37"11;340 (pag. 95). Nous avons donc d\ — + 0;112 et par conséquent les corrections à ajouter aux longitudes obtenues par les différents voyages pour p? dl — +-0:062 y’

0,058 p/ 0,064 9/7 0,066 pli 0,064 777 0,064 D 0,067 v77 0,063

Dans la première déduction de la longitude de Vilkomir, M. Alexandrov n’était pas encore parti des valeurs définitives des corrections du chronomètre auxiliaire, que nous trou- vons consignées dans les tableaux pag. 60 — 62. Par cette raison les longitudes de cet endroit demandent encore une petite correction constante pour chaque voyage, que nous avons évaluée

pour p/ dl — —0;001 v’ — 0,001

p7 — 0,061

v/ + 0,051

A — 0,052

VzIr sn 0,026

pi — 0,032

»7 + 0,072 Moyenne d'! — — 0,006

On voit qu'en moyenne ces corrections sont très peu signifiantes, mais elles contribuent un peu à augmenter l'accord des résultats obtenus par les différents voyages. À . {2 . : . Q Eu égard aux corrections d! et d7, les différents voyages fournissent, pour le lieu

d'observation à Vilkomir, les résultats suivants:

Voyage. Longitude. Diff. de la moy. pe 0* 22" 145326 + 0:324 v’ 14,319 + 0,317 SE 13,824 — 0,178 v/7 13,747 — 0,255 pr 14,173 + 0,171 pu? 13,701 — 0,301 7 14,546 + 0,544 v/7 13,384 — 0,618

La moyenne arithmétique nous donne maintenant la longitude de Vilkomir — 022" 14;002, avec l'erreur probable 0:099.

ExPÉDITIONS CHRONOMÉTRIQUES DE 1845. ; 125

Les résultats offerts ici, par les différents voyages, varient entre eux encore beaucoup plus que pour Valdai. L'erreur probable de la longitude fournie par un seul voyage, se trouve ici — 0268, tandis que pour Valdai elle était évaluée — 0148. L'instrument des passages avait été le même dans les deux lieux, les horloges qui gardaient le temps avaient été les mêmes ou d’égale qualité et, par rapport au nombre des étoiles observées chaque soir et à l'accord des corrections des horloges, offertes, pour les mêmes jours, par les différentes étoiles, les obser- vations de M. Alexandrov ne sont point inférieures à celles de M. Liapounov. Il s’en suit que la diminution indiquée de l'accord, dans les résultats fournis, pour Vilkomir, par les différents voyages, doit étre attribuée, en premier lieu, à l’inconstance dans la manière d’ob- server les passages, de la part de M. Alexandrov, inconstance qui s'était déjà manifestée dans les déterminations directes des équations personnelles (pag. 52).

L’équation personnelle de M. Alexandrov, par rapport à moi, a été évaluée en moyenne e — + 0054 et l'erreur probable de cette équation a été estimée à environ 0,050 (pag. 52). En y ajoutant la quantité 0,042, dont mon père observe les passages plus tôt que moi, nous avons l’équation personnelle de M. Alexandrov par rapport à M. W. Struve

e— b — + 0;097. C'est d'autant que la longitude moyenne de Vilkomir doit être diminuée, et nous avons finale-

ment la longitude de Vilkomir, observatoire temporaire,

— 0227 13;905 à l'Ouest de Poulkova,

avec l'erreur probable — 0;111.

8 20. Détermination de la latitude des lieux d'observation.

Quoique la détermination des latitudes ne fût qu'un objet secondaire dans nos expéditions de 1845, il paraît convenable de réunir ici les résultats les plus exacts que nous possédons jusqu'ici sur cette coordonnée de nos lieux d'observation.

La latitude de l'observatoire de Moscou a été déterminée à différentes réprises par M. Pérévostchikov, par des officiers de l'État-Major Impérial et par moi, à l’aide d'instruments transportables de petites dimensions. Toutes ces déterminations concourent à assigner à cet endroit la latitude — 55° 4520”, avec des variations seulement de 1” ou de 2”. Un grand cercle méridien construit par MM. Repsold pour l'observatoire de Moscou et qui s’y trouve déjà depuis 1846, ne paraît pas être employé jusqu'ici à une détermination minutieuse de cet élément, mais, en revanche, M. Schweizer, ci-devant attaché à l’observatoire de Moscou et maintenant professeur d'astronomie à l'institut Constantin des arpenteurs, nous à fourni une excellente série d'observations faites, dans ce but, à l’aide d’un petit instrument des passages établi dans le premier vertical. Les résultats des observations de M. Schweizer, faites en 1845 et 1846, sont consignés dans un mémoire qu'il a publié dans le Bulletin de la Société des Naturalistes de Moscou pour 1850, sous le titre: ,,Ueber die Polhühe der Sternwarte in

126 O0. STRUVE.

Moscau von G. Schweizer‘. En renvoyant, pour les détails de ce travail soigné, à ce mémoire, il suffit de douner ici le résultat définitif, savoir:

latitude de l'observatoire de Moscou — 55° 45" 19783.

M. Schweizer assigne à ce résultat l'erreur probable — 0,075, telle qu’elle se déduit de l'accord de nombreuses observations de 9 différentes étoiles; mais il convient en même temps que les petites incertitudes dans les déclinaisons des étoiles employées, puisées dans les catalogues de MM. Airy, Argelander, Johnson, W. Struve et autres, devaient augmenter un peu cette erreur. Eu égard à cette circonstance, 1l y a lieu de supposer que la valeur donnée de la latitude de Moscou est exacte en dedans de 0/2.

Les défauts dans la construction de l'observatoire de Varsovie, dont nous avons fait mention dans le ( 3, ont empêché jusqu'ici les astronomes de cet établissement à se servir avec avantage du cercle méridien de Reichenbach, pour une détermination exacte de la latitude. Mais les opérations de la triangulation du royaume de Pologne ayant rendu cette détermination indispensable, le général Tenner en chargea l’astronome M. Prazmovski, en lui donnant à ce but un bel instrument universel d’'Ertel, dont le cercle vertical a 10 pouces de diamètre. A l’aide de cet instrument M. Prazmovski a fait, en 1846, une excellente série d'observations, en mesurant les distances des étoiles au zénith près des passages par le méridien. Dans ces observations, une flexion de la lunette se prononce très distinctement. M. Prazmovski la détermina à 113 à l'horizon, et en réduisant ses observations à l’aide de cette valeur de la flexion, il trouva la latitude de l'observatoire de Varsovie:

Diff. de la moy. par 2 observ. de « Ursae maj. (pass. inf.) — 52° 135,62 +- 0708

« 10 «de Polaris (pass. inf.) 6,32 — 0,62 @ 6 « de « (pass. sup.) 9,25 + 0,45 C2 « de &« Lyrae 4,52 + 1,18 « 5 « de & Bootis 4,81 +0,89 & 2 « de « Pegasi 4,91 + 0,79 « 2 « de « Aquilae 6,58 — 0,88 € 4 « de &« Aquari 6,93 — 1,23

Eu égard aux poids relatifs de ces déterminations, M. Prazmovski déduit en moyenne la latitude de l'observatoire de Varsovie — 52° 135,70, avec l'erreur probable — 0,22.

Aussi dans ce cas les déclinaisons des étoiles sont tirées des catalogues modernes les plus exacts. j

Les latitudes des observatoires temporaires de Valdai et de Vilkomir ont été déterminées par feu M. Alexandrov, pendant la durée même de nos expéditions chronométriques. Il se servit, dans ce but, de l'instrument des passages établi dans la direction du premier vertical. C'était le même instrument qui avait été employé, sur les mêmes lieux, à la détermination du

temps absolu. À ce qui paraît, ce double usage de l'instrument a nui un peu à l'exactitude de

\

ExPÉDITIONS CHRONOMÉTRIQUES DE 1 845. 127

la détermination des latitudes. Nous voyons dans les journaux d'observation que, pour achever plus vite les observations dans le premier vertical, M. Alexandrov n'a jamais observé les passages de la même étoile par les deux côtés opposés du vertical, en se contentant d'observer plusieurs étoiles de différentes déclinaisons, dont les passages se suivaient à brefs intervalles, tantôt à l'Est tantôt à l'Ouest. En calculant les observations faites par M. Alexan- drov, il m'a paru nécessaire d’exclure plusieurs observations plus ou moins douteuses. C'est ainsi quê nous n’avons que 5 jours d'observations pour la détermination de la latitude de Valdai et 4 pour celle de Vilkomir, dont les résultats me paraissent à l'abri de toute objection plus

grave. Voici les résultats:

Latitude de l'observatoire temporaire de Valda.

Juin 1 57° 58 2825 par 2 ét. à l'Ouest et 3 ét. à l'Est

« 8 25,88 « 2 « 1 « « 9 27101 3 « 3 « « 20 25,02 « 2 « 1 « € 2% 26,90 « 2 « 2 «

Moyenne 57 58 26,75

Latitude de l'observatoire temporaire de Vilkomur.

Août 12 55°15/19/78 par 2 ét. à l'Ouest et 2 ét. à l'Est

« 2% 24,70 « 2 « | « « 25 20,90 « 1 « 2 « Sept. 19 20,26 « 2 « 9 «

Moyenne 55 15 21,42

En comparant maintenant, pour chaque lieu, les déterminations isolées avec la moyenne respective, et en attribuant un poids égal à toutes les déterminations, nous trouvons l'erreur probable de la latitude de Valdai — 0740 et de celle de Vilkomir — 0,75. La petitesse de l'erreur probable trouvée pour la latitude de Valdai doit être attribuée en grande partie à un heureux hazard, car il n’y a pas de doute que les observations de Vilkomir, dont les résultats s'accordent moins bien, ne surpassaient considérablement, en valeur intrinséque, celles de Valdai. Par cette raison, il parait convenable d'assigner à la latitude trouvée de Valdai, au moins la même erreur probable, de 0,75, que nous avons déduite pour la latitude de Vilkomir.

& 21. Liaisons géodésiques entre les lieux d'observation et des points fixes.

Le centre du petit pavillon qui servait d’observatoire temporaire à Moscou pendant nos expéditions chronométriques, se trouva exactement sur le parallèle de l'instrument principal de l'observatoire, du cercle méridien de Repsold, à une distance seulement de 38 pieds plus à l'Est. Par cette raison la différence en longitude, trouvée précédemment pour le lieu

128 O0. STRUVE.

d'observation, ne subira qu'un changement de — 0045, afin de correspondre au lieu du cercle méridien.

A Varsovie l'instrument des passages, auquel M. Baranovski a fait ses observations, est l'instrument principal de l'observatoire. Par conséquent, pour cet endroit, la réduction du lieu d'observation est zéro.

Il à déjà été mentionné (pag. 8) qu'en 1845 le capitaine (actuellement colonel-lieute- nant) Voinov exécuta la levée trigonométrique du pays dans les environs de la ville de Valdai. A cette occasion il joignit notre observatoire temporaire avec le clocher de la cathédrale de la ville. La distance de ces deux points fut déterminée à 1480,6 pieds anglais et l’azimuth du clocher de la cathédrale, pris du centre de l'observatoire temporaire, à 21° 537,8, compté du Nord à l'Est. Avec ces données nous avons:

le clocher de la cathédrale de Valdai au Nord de l’obs. temp. de 13/54 « « « « à l'Est » de 0:682

Les opérations géodésiques qui devaient être exécutées, pour la jonction de l'observatoire temporaire de Vilkomir avec deux points de triangle du réseau trigonométrique du général Tenner, étaient plus compliquées. Un de ces points, nommément la flêche de l’église de Nidoki se voyait de l'observatoire temporaire. Par conséquent il était possible d’en déter- miner l’azimuth directement, à l’aide du cercle horizontal de l'instrument transportable des

passages. Voici la série des azimuths de Nidoki, déterminés par M. Alexandrov, et comptés du Nord à l'Est: ; 83° 22° 879

22 1,5 21 57,7 22 0,4 22 4,0 21 58,4 22 6,0 22 8,9 22 1,3

Moyenne 83 22 3,0

Cet azimuth peut donc être estimé exact en dedans d'un couple de secondes. En effet, l'accord des déterminations isolées avec la moyenne, donne l'erreur probable de cette dernière — 0/94. Mais il était plus difficile de déterminer exactement la distance linéaire entre l’obser- vatoire temporaire et l’église de Nidoki. Dans ce but, M. Alexandrov fut obligé d'exécuter une triangulation assez compliquée. Il mesura d’abord une base sur la chaussée, à l’aide de perches en bois, trempées d'huile et comparées soigneusement, avant et après l'opération, avec un étalon en fer. La chaussée étant un peu inclinée à l'horizon, M. Alexandrov détermina l'inclinaison moyenne de la base mesurée. Après avoir appliqué la correction correspondante à

ExPÉDITIONS CHRONOMÉTRIQUES DE 1845. 129

cette inclinaison et après avoir exécuté toutes les autres petites réductions nécessaires, la longueur totale de la base se trouva — 6523,6 pieds anglais. Cette opération achevée, M. Alexandroy joignit la base avec la ligne principale: Observatoire temporaire — Nidoki, par 6 triangles dont plusieurs avaient des angles très-aigus. Enfin 1l ajouta encore un triangle pour pouvoir déduire aussi la distance de Nidoki à Dseveltova, second point de triangle dans le réseau du général Tenner, distance qui devait servir de contrôle à l'exactitude de toute la petite opération géodésique. Cette distance, Nidoki — Dseveltova, fut trouvée — 8476,20 sa- jènes par M. Alexandrov, tandisque la triangulation rigoureuse du général Tenner la fait — 8481,28 sajènes, ou plus grande de 5,08 sajènes — 35,6 pieds. Cette différence est plus forte qu'il ne fallait l’attendre, d’après les précautions prises par M. Alexandrov, pour gagner un résultat sûr de ses opérations. Néanmoins l'accord peut être regardé comme suffisant pour prouver, qu'aucune grande erreur ne s'est glissée dans les distances linéaires. En outre, il y a lieu de supposer que la majeure partie de la différence doit être attribuée à l’in- certitude du triangle supplémentaire qui joignit Dseveltova avec l'autre réseau de triangles, et dans lequel il n’y avait que deux angles mesurés. La jonction de l'observatoire temporaire de Vilkomir avec l’église de Nidoki offre au contraire plusieurs contrôles assez satisfaisants. En tout cas la distance de ces deux lieux, trouvée — 37615,2: pieds — 5373,60 sajènes, est suffisamment bien établie pour notre but.

En combinant cette distance avec l’azimuth précédemment donné, et en nous servant des valeurs Besseliennes pour les dimensions du globe terrestre, nous déduisons:

l'église de Nidoki au Nord de l'observatoire temporaire de Vilkomir de 42783 CE COM CL ANT ESt « « « de 42996.

En dehors de cette jonction principale de l'observatoire temporaire de Vilkomir, M. Alexandrov le joignit encore avec l’église catholique de St. Pierre près de laquelle l’obser- vatoire était établi. Par des observations directes exécutées à l’aide de l'instrument transpor- table des passages, M. Alexandrov détermina l’azimuth de l'église à 152° 5° 1,4, compté du Nord à l'Est. La distance des deux lieux, mesurée à l’aide d’une corde se trouva de 126,5 pieds. Avec ces données nous avons:

l'église de St. Pierre à Vilkomir au Sud de l'observatoire temporaire de 1710 « « « | « à l'Est « « de 0:068.

S 22. Résultats définitifs fournis par les expéditions de 1815.

En combinant les quantités de réduction, données dans le paragraphe précédent, avec les coordonnées des lieux d'observation ((( 19, 20), nous parvenons enfin aux coordonnées

définitives des lieux dont nous avons voulu déterminer les positions. Mémoires sc. math. et phys. T. VI. 17

130

O0. STRUVE.

Moscow, observatoire, lieu du cercle méridien,

Latitude — 55° 45° 19/83

Longitude — 0” 28” 58;230 — 7° 1433245 à l'Est de Poulkova. Varsovie, observatoire, lieu de la lunette méridienne,

Latitude — 52° 13° 5/70

Longitude — 0° 37” 115229 — 9° 17° 48/44 à l'Ouest de Poulkova. Vazpar, clocher de la cathédrale, ;

Latitude — 57° 58’ 40,29

Longitude — 0” 11” 42:672 — 2° 55’ 40/08 à l'Est de Poulkova. Vizkomir, église de St. Pierre,

Latitude — 55° 15°20,32

Longitude — 0722" 13;837 — 5°33'27,56 à l'Ouest de Poulkova. Ninoxi, église,

Latitude — 55° 16° 4/25

Longitude — 0*21” 30909 — 5° 22’ 43/64 à l'Ouest de Poulkova.

Par les expéditions chronométriques de 1843 et 1844, la différence en longitude entre

l'Observatoire de Poulkova et celui de Greenwich a été trouvée — 2} 1” 18674, avec l'erreur

probable — 05057. En combinant ces quantités avec les longitudes précédentes et leurs erreurs probables données dans le paragraphe 19, nous avons:

Longitude à l’Est de Greenwich. Err. prob. Moscou, observatoire 2% 30” 16:904 0:065 Varsovie, observatoire 192% 7,445 0,069 Valdai, clocher de la cathédrale 213 1,346 0,080 Vilkomir, église de St. Pierre 139 4,837 0,125 Nidoki, église 1 39 47,765 0,125.

BEOBACHTUNGEN

DES

BIELASCHEN COMETEN

IM JAHRE 1852 ANGESTELLT AM GROSSEN REFRACTOR DER PULKOWAER STERNWARTE

VON

ÔTTO STRUXE.

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BEOBACHTUNGEN DES BIELASCHEN COMETEN

IM JAHRE 1852.

Der Bielasche Comet hat nach der Catastrophe vom Jahre 1846, welche ihn in zwei scheinbar getrennte Himmelskôrper theilte, so auflallende Zeichen eigenthümlicher in demselben wirksamer Kräfte offenbart, dass die Hoffnung, durch fortgesetzte Verfolgung derselben zu eini- gen Aufschlüssen über die bisher noch so räthselhafte Natur der Cometen überhaupt zu gelangen, nicht unbegründet erscheint. Aber nicht bloss das Beobachten der sichtbaren Veränderungen an den beiden Kôpfen des Cometen wird uns zu solchen Resultaten führen, sondern noch sichrere Resultate werden aus den relativen Bewegungen der beiden Kôpfe gefolgert werden kônnen. Um jedoch diese Folgerungen in aller Strenge zu ziehen, ist eine sorgfältige Bearbeïtung der Theorie der Bewegung dieses Cometen um die Sonne, in derselben Weise wie es von Encke für den nach ihm benannten Cometen geschehen ist, ein dringendes Bedürfniss. Zwar besitzen wir bereits mehrere werthvolle partielle Arbeiten über diesen Gegenstand, wie die von Gauss über die Er- scheinung von 1805, die von Clausen und andern über die Erscheinung von 1826, die von Baranowski unter Bessel's Leitung über die Beobachtungen von 1832 ausgeführten, ferner mehrfache Untersuchungen Santini’s, die neueste Arbeit des Amerikanischen Astronomen Hubbard und mehrere andere. Alle diese Bearbeitungen haben aber vorzugsweise zum Zweck gehabt, die während einer jeden Erscheinung angestellten Beobachtungen für sich môglichst scharf darzustellen oder die Auffindung des Cometen bei seiner erwarteten Wiederkehr zu erleichtern. Wie wenig dieselben den Anforderungen an eine strenge Theorie dieser Cometenbahn genügen, haben die Abweichungen der Santinischen Ephemeriden von den Beobachtungen während der letzten Erscheinungen 1846 und 1852 deutlich gezeigt. Wir bedürfen daher vorzugsweise einer strengen Bearbeitung der Theorie der Bewegungen dieses Cometen, die sich auf alle bisherigen Erscheinungen stützt und dieselben mit einem gemein- samen Bande umfasst. Erst wenn diese vollständig durchgeführt ist, werden wir beurtheilen kôünnen, ob die angeführten Differenzen einzig den Unvollkommenheiten der bisherigen Berech-

134 O0. STRUVE.

nungen zugeschrieben werden müssen, oder vielleicht durch eigenthümliche bisher noch uner- kannte, auf den Lauf des Cometen wirkende Kräfte hervorgebracht sind.

Auch werden wir, erst wenn eine solche Theorie vorliegt, zu genaueren Schlüssen über das gegenseitige Verhalten der beiden im Jahre 1846 von einander getrennten Cometenküpfe vorschreiten künnen. Vorläufig lassen sich solche Folgerungen offenbar nur aus der Vergleichung der Beobachtungen von 1846 mit denen, die das vergangene Jabr geliefert hat, ziehen. Leider waren aber bei der letzten Erscheinung dieses Cometen die Umstände, unter denen dieselbe geschah, einer genauen und fortgesetzten Beobachtung sebr ungünstig. Schon aus der von Santini vorausberechneten Ephemeride (A4str. Nachr. No. 756) war zu ersehen, dass, falls überhaupt der Comet sichtbar würde, dieses nur in den Monaten August und September 1852 geschehen künne und zwar in jeder Nacht nur auf sehr kurze Zeit, in geringer Erhebung über dem Horizonte, kurz vor dem Eintritt der hellen Morgendämmerung. Es stand aber selbst zu befürchten, dass die grosse Entfernung des Cometen von der Erde, die nach der genannten Ephemeride in jener Periode im Miaimo 1,37 Radien der Erdbahn betrug, das Auffinden des Cometen überhaupt hindern würde. Jedenfalls war nur von sebr kräftigen Fernrôhren eine erfolgreiche Beobachtung zu erwarten.

Aber gerade diese vorausgesehene Schwierigkeit der Beobachtung, verbunden mit dem hohen Interesse, das sich speciell an diesen Cometen knüpft, musste es wünschenswerth machen, dass alle den Astronomen zu Gebote stehenden kräftigeren Hülfsmittel auf seine Auffindung und Beobachtung verwandt würden. Sobald daher nur einige Aussicht auf Erfolg vorhanden war, gegen die Mitte August 1852, fingen auch meine Nachforschungen nach diesem Cometen, mit Hülfe des grossen Refractors der Pulkowaer Sternwarte an, bei deren Anstellung zunächst die Voraussetzung gelten musste, dass die Santinische Ephemeride näherungsweïse richtig war.

Die schwächste Vergrüsserung des Refractors hat ein Feld von nicht voll 12 Minuten Durchmesser; ich konnte daher das Suchen nach dem Cometen nur in Zonen von hôchstens 10° Breite vornehmen. Hieraus ergibt sich, dass eine aufmerksame Durchmusterung einer Zone von + 2° Breite und wenigstens ebenso vielen Graden Ausdehnung in gerader Aufsteigung, die ich mir als Gränze gesetzt hatte, vollkommen die Zeit in Anspruch nehmen würde, welche zwischen der Erhebung des Cometen aus den dichten Dünsten des Horizonts und dem Eintritt der helleren Morgendämmerung verstreichen konnte, indem dieselbe nach den Angaben der Ephemeride auf weniger als eine Stunde geschätzt werden musste. Eine weitere Ausdehnung der Nachforschungen war daher unmôglich, wenn man nicht gerade die Gegend, in welcher der Comet vorzugsweise gesucht werden musste, vernachlässigen wollte; auch musste, nach den Erfahrungen bei andern periodischen Cometen, angenommen werden, dass die angesetzte Gränze weit die Fehler der Ephemeride übersteigen würde, ja es konnte selbst eine so weite Gränze der Untersuchung, wie ich sie mir gesteckt hatte, nur durch die Annahme als gerecht- fertigt erscheinen, dass die Catastrophe vom Jahre 1846, über deren Ursprung wir michts wissen, auch mit ganz ungewühnlichen Stôrungen im Laufe des Cometen verbunden gewesen wäre.

BEOBACHTUNGEN DES BIELASCHEN COMETEN. 135

Meine Bemühungen, den Cometen in den mondfreien Nächten des August aufzufinden, blieben aber erfolglos. Da ich mir bewusst war, die ganze Gegend zwischen den angegebenen Gränzen sorgfältig durchmustert zu haben, so musste ich glauben, dass der Comet wegen seiner grossen Entfernung von der Erde in jener Periode noch zu schwach war, um selbst in unserem mächtigen Fernrohre mit Sicherheit erkannt zu werden. Diese Vermuthung hat sich aber nicht bestätigt, sondern es haben sich später als Grund der Erfolglosigkeit die grossen Fehler der Santinischen Ephemeride herausgestellt, die zu jener Zeit auf 6° stiegen und Veranlassung waren, dass der Rômische Astronom P. Secchi, als er am 25. August näherungsweiïse in der Gegend des Himmels, wo der Bielasche Comet erscheinen sollte, wirklich einen kleinen Come- ten fand, dessen Bewegung der Richtung und Grôsse nach auch näherungsweise mit der ange- gebenen des Bielaschen übereinstimmte, doch nicht gleich die Behauptung aufzustellen wagte, dass das von ihm aufgefundene Object einer der Kôpfe jenes Cometen sei. Erst als auch wäh- rend längerer Periode die Richtung und Grôsse der Bewegung des von Secchi aufgefundenen Cometen mit denen des Bielaschen nahezu übereinstimmend befunden wurde, konnte mit mehr Sicherheit die Identität der beiden Himmelskôrper angenommen werden, und diese Annahme wurde zur Gewissheit, als es später gelang den zweiten Kopf des Cometen aufzufinden *).

Sobald die erste Nachricht von Secchi’s Entdeckung hieher gelangt war, suchte ich auch in der von ihm angegebenen Gegend nach und fand am 18. September einen der Cometenkôpfe auf, den ich damals für identisch mit dem zuerst von Secchi beobachteten hielt. Später hat sich aber erwiesen, dass das letztere nicht der Fall gewesen ist, indem der von mir am 18. Sept. beobachtete Kopf der nürdlich vorangehende war, während P. Secchi im August nur den südlich nachfolgenden beobachtet hat. Erst am 20. September gelang es mir, auch den zweiten Cometenkopf aufzufinden und zu beobachten.

Meine Beobachtungen erstrecken sich auf den kurzen Zeïtraum von 10 Tagen zwischen dem 18. und 28. September. In dieser Zeit sind mir 5 Ortsbestimmungen des nürdlicheren Kopfes und 3 des südlicheren gelungen. So wenig zahlreich diese Beobachtungen sind, so müssen sie doch als ein wesentlicher Beitrag zu den Beobachtungen der letzten Erscheinung angesehen werden, wie sich aus folgender Zusammenstellung aller bisher bekasnt gewordenen Beobachtungen ergibt. In dieser Zusammenstellung, sowie auch später, bezeichne ich der Kürze wegen, den nôrdlich vorangehenden Kopf mit B, den südlich nachfolgenden mit 4, und richte mich in Bezug auf die Angaben welcher Kopf jedes Mal auf den andern Sternwarten beobachtet ist, nach den hierüber von Challis (4stron. Nachr. No. 836) angestellten Untersuchungen.

*) Dass die grossen Abweichungen der Santinischen Ephemeride nicht allein ausserordentlichen Stôrungen in der Bahn des Cometen zugeschrieben werden dürfen, ist neuerdings durch Hubbard’s Rechnungen nachgewiesen wordeu (Gould, Astron. Journal No. 50). Derselbe hat nämlich gezeigt, dass die von Santini seiner Rechnung zu Grunde gelegten Elemente der Bahn, die von Plantamour in Genf aus den Beobachtungen von 1846 abgeleitet waren, in Folge eines Versehens in Plantamour’s Rechnungen über die von den Planeten wäbrend der damaligen Erscheinung auf den Cometen ausgeübten Stôrungen, erheblich fehlerhaft waren. In wie weit diese Fehler der Elemente die Ab- weichungen der im vergangenen Jahre beobachteten Positionen des Cometen von der genannten Ephemeride erklären, ist bis jetzt noch nicht näher untersucht.

136 O0. STRUVE.

Datum. Cometenkopf. Beobachtungsort. |. 1852 Aug. 25 A Rom

CO A Rom

« 28 A Rom

Sept. 1 A Rom

« 8 A Cambridge

ULATS B Rom

« 16 À Cambridge

(COR LÉ B Berlin

« 18 B Pulkowa

« 19 A und B Rom

« 20 A und B Rom

«20 À und B Pulkowa

« 21 A Cambridge

«m2 B Berlin

«y 023 A und B Pulkowa

€ 25 A und B Pulkowa

« 28 B Pulkowa

Von 22 Ortsbestimmungen beider Kôpfe zusammengenommen sind daher 8, also mebr als ein Drittel, in Pulkowa ausgeführt und von den 10 Bestimmungen des Kopfes B gehôrt die Hälfte uns allein an. Aber nicht alleim dieses numerische Verhältniss macht unsere Beob- achtungsreihe für die letzte Erscheinung von Bedeutung, sondern wohl noch mehr die optische Ueberlegenheit unseres Refractors. Wenn wir die von den andern Beobachtern ihren Ortsbe- stimmungen beigefügten Bemerkungen vergleichen, so sehen wir, dass die Rômischen Positionen des Cometen alle auf Beobachtungen am Ringmicrometer oder an einem Kreuzmicrometer beruhen und daher unstreitig den Beobachtungen am Filarmierometer an Genauigkeit nach- stehen, dass ferner von den drei Cambridger Beobachtungen die beiden ersten von dem Beob- achter, Herrn Breen, als wenig zuverlässig und nur auf einmaliger Vergleichung beruhend aufgeführt sind. Ueber die Berliner Beobachtungen ist nichts näher angegeben, als dass die erste auf #, die letzte auf 2 Einstellungen beruht. Die Pulkowaer Bestimmungen dagegen, obgleich sie wegen der Ungunst der Umstände nicht zu den genauesten Arbeïten dieser Art gezählt werden dürfen, bieten doch in jedem einzelnen Fall vollständige Beobachtungs- reihen am Filarmicrometer dar. Es kônnen daher die Oerter der Cometenkôpfe wie sie aus den hiesigen Vergleichungen mit benachbarten Sternen hervorgehen, nur unerheblichen Unsicher- heiten unterworfen sein. Das letztere findet, wie späler gezeigt werden wird, seine vollkommene Bestätigung in der zum Theïl überraschend guten Uebereinstimmung der verschiedenen, in jeder einzelnen Nacht erhaltenen Beobachtungen unter einander.

Um den Astronomen ein Mittel zu geben, sich über die unter den obwaltenden ungünstigen Umständen hier erreichte Genauigkeit der Positionen ein Urtheil zu bilden, halte ich es für

BEOBACHTUNGEN DES BIELASCHEN COMETEN. 137

geeignet, mein bei dieser Gelegenheït geführtes Tagebuch ausfübrlich mitzutheilen. Es enthält, neben den zur Ortsbestimmung angestellten Beobachtungen, einige nähere Angaben über die Erscheinungen am Cometen selbst, wie ich sie während der Beobachtungen oder gleich nach dem Schluss derselben niedergeschrieben habe. Gewiss wäre es wünschenswerth, dass auch von den andern Astronomen, die im vergangenen Jahre den Bielaschen Cometen beobachtet haben, mehr Details über ihre Beobachtungen verôflentlicht würden, um dadurch den künftigen Rechnern es môglich zu machen, den einzelnen Bestimmungen die ihrer relativen Genauigkeit entsprechenden Gewichte beizulegen. Diess gilt ganz besonders in Bezug auf die Rômischen Beobachtungen, die der Zahl nach die Pulkowaer übertreffen und dadurch sowohl, wie durch den Umstand, dass sie zum Theil noch dem August angehôren, eine besondere Wichtig- keit erlangen.

Es ist zwar das Ertheilen von relativen Gewichten in Bezug auf Cometenbeobachtungen nicht als allgemein gültige Regel aufzustellen, indem in neuerer Zeit, auf einigen Sternwarten wenigstens, die Genauigkeit dieser Beobachtungen so weit gediehen ist, dass die Abweichungen derselben von der berechneten Bahn nicht sowohl eigentlichen zufälligen Beobachtungsfehlern, die von der Unvollkommenheit der angewandten Hülfsmittel abhängig sind, zugeschrieben werden müssen, als vielmehr dem an verschiedenen Tagen und bei verschiedenen Instrumenten sich verschieden gestaltenden Urtheile über die Lage des Kerns in der Nebelmasse oder auch vielleicht dem Umstande, dass der scheinbare Kern nicht genau mit der Richtung des Schwer- punktes des ganzen Cometen übereinstimmt. Vor Ertheilung von verschiedenen Gewichten wäre daher zu untersuchen, ob die Abweïichungen der Beobachtungen von einer bereits sehr nahezu richtigen Babn bloss zufälligen Beobachtungsfehlern zugeschrieben werden dürfen oder vorzugsweise durch jene constant auf alle Beobachtungen eines Abends wirkenden Umstände erklärt werden müssen. Ist das letztere der Fall, so ist es am richtigsten so viel als môüglich Beobachtungen mit gleichem Gewicht unter einander zu vereinigen, indem alsdann vorausgesetzt werden muss, dass im Mittel aus vielen verschiedenartigen Beobachtungen jene für den einzel- nen Beobachter und an einzelnen Abenden constant wirkenden Ursachen sich gegenseitig com- pensiren werden. Müssen wir dagegen annehmen, dass die zufälligen Beobachtungsfehler in Folge der verschiedenen befolgten Beobachtungsmethoden oder aus anderen Gründen in jenen Abweïichungen überwiegend sind, so müssen wir den einzelnen Beobachtungen oder wenigstens den einzelnen Beobachtungsreihen relative Gewichte beilegen.

In Betreff der Beobachtungen des Bielaschen Cometen vom vergangenen Jahre müssen wir, glaube ich, den letztern Fall voraussetzen. Es sind die Beobachtungen unter so ungünsti- gen Bedingungen angestellt, dass wir jeder einzelnen einen erheblichen zufälligen Fehler zu- schreiben müssen, deren Grüsse noch in jedem einzelnen Falle durch die Umstände der Beob- achtung, wie z. B. durch die günstigere oder ungünstigere Lage der Vergleichsterne, durch den Zustand der Bilder u. s. w., bedingt ist. Auch sind die Beobachtungen nicht zahlreich und mannigfaltig genug, um die Vereinigung mehrerer Beobachtungen zu Mittelwerthen zu gestatten,

und dadurch eine Verringerung der zufälligen Fehler in den der Rechnung zu Grunde zu legenden Mémoires sc. math. et phys. T. VI. 18

138 O0. STRUVYE.

Werthen herbeïzuführen, sondern jede einzelne Beobachtung wird hier von Bedeutung sein. Damit aber der einzelnen Beobachtung nicht ein ungebühbrlicher Einfluss auf die Rechnungsresultate eingeräumt werde, muss derselben ihr Gewicht ertheïlt werden. Kann vorausgesetzt werden, dass die in jedem einzelnen Falle befolgte Beobachtungsmethode eine vollkommen tadellose gewesen ist, und dass die Reductionselemente hinlänglich scharf bekannt gewesen sind, s0 bietet die Uebereinstimmung der einzelnen in jeder Nacht erhaltenen Beobachtungen mit ihrem Mittel, unter Berücksichtigung der Anzahl der Vergleichungen, den geeignetsten und vielleicht einzig rationellen Weg zu den relativen Gewichten zu gelangen. Dieses Verfahren wird aber sehr unsicher, wenn die Anzahl der Beobachtungen nur gering gewesen ist. In diesem Falle, der, wie es scheint, vorwiegend bei den vorigjährigen Beobachtungen des Bielaschen Cometen stattfindet, künnen allein die Angaben seitens der Beobachter, über die nähern Umstände ihrer Beobachtungen, dem Rechner eine Richtschnur für das den einzelnen Resultaten zu ertheilende Gewicht geben. Es ist daher hier besonders wünschenswerth, von den verschiedenen Beobach- tungen alle Details ihrer Beobachtungen zu erhalten.

Das Instrument, an dem ich beobachtet habe, der Pulkowaer Refractor, ist durch die Description de l'Observatoire de Poulkova hinlänglich bekannt, und die von mir befolgten Beob- achtungsmethoden sind bereits bei mehreren anderen Gelegenheiïten, speziell aber von meinem Vater in seiner Schrift über die 1835 in Dorpat von ihm angestellten Beobachtungen des Halleyschen Cometen in aller Umständlichkeit gegeben. Ich habe daher an allgemeinen Be- merkungen hier nur vorauszuschicken, dass alle Beobachtungen im dunkeln Felde mit erleuch- teten Fäden angestellt sind, und dass bei Beobachtung von Rectascensions- und Declinations- differenzen die Richtung der täglichen Bewegung so eingestellt wurde, wie sie im Meridiane bestimmt war. Es ergab sich aber später, dass die als im Meridiane stattfindend angenommene Richtung der täglichen Bewegung um einige Minuten von der wahren Richtung abwich. Die entsprechenden Correctionen sind dafür nachträglich angebracht. Indem ich somit zur Mitthei- lung der Copie meines Beobachtungsjournals übergehe, bemerke ich nur noch, dass die hier gegebenen Positionswinkel bereits für den Unterschied der Richtung der täglichen Bewegung im Meridiane von 270° verbessert sind. Alle Positionswinkel sind auf der Seite des Cometen abgelesen; und bei den Messungen der Distanzen wurde die Richtung der Micrometerfäden immer nach dem Augenmass senkrecht zur Richtung der beiden unter einander zu vergleichen- den Objecte gehalten.

BEOBACHTUNGEN DES BIELASCHEN COMETEN. 139

COPIE DES BEOBACHTUNGS-JOURNALS.

18523 September 18.

Nur ein Kopf des Cometen wurde erkannt. Wie es sich später gezeigt hat, war diess der nôrdlich vorangehende B. Sein scheinbarer Durchmesser beträgt wenigstens 30”. In der Nebel- masse zeigt sich eine erhebliche Zunahme der Helligkeit zum Centro hin, doch kein entschie- dener Kern, bei ausserordentlich unrubhiger Luft. Der Totaleindruck der Helligkeit des Cometen war nahezu gleich der des Vergleichsterns a, 8.9. Gr. Dieser Vergleichstern ging dem Cometen anfangs südlich, später nôrdlich voran. Vergrôsserung 207 Mal. Therm. + 3,1 R. Uhrcorrection auf Sternzeit — 0” 356.

Uhrzeit. Pos.-Winkel. Coincidenz. Micr.-Schraube. Distanz. 811711 86° 44’ 12%99 88 92 13 14 88 14 14 1 89 14

58,258 16 42 43,81 14144 — 1405 17 32 43,32 14,93 — 145,3 18 12 43,41 14,84 — 144,4 19 8 42,36 15,89 — 154,6 20 16 42,95 16,00 — 155,7 22 6 41,65 16,60 — 161,5 58,245 24 19 93 56 25 16 95 2 25 58 94 26 26 45 95 44 58,257 35 39 78,76 20,51 — 199,6 36 12 78,83 20,58 — 200,3 36 56 79,31 21,06 — 204,9 37 44 79,35 21,10 — 205,3 38 10 79,39 21,14 — 205,7 38 42 79,75 21,50 — 209,2 58,253

41759 98 56 41 44 100 26 42 35 100 2 44 20 100 38

140 O0. STRUVE.

September 20.

B befindet sich sehr genau an dem am 18. September bestimmten Orte, nach Anbringung der Bewegung nach Santini’s Ephemeride. Im Sucher wurde auch der Kopf À leicht erkannt. Beide Kôüpfe sind nahezu von gleicher Helligkeit, doch ist B wobl ein wenig heller und hat einen bestimmten Kern. Der Kern von À ist nicht so deutlich wie der von B:; von ihm aus- gehend erstreckt sich eine grôssere Helligkeit der Nebelmasse in der Richtung nach B hin. In derselben Richtung erscheint der ganze Kopf À weiter ausgedehnt. Diese Längenausdehnung beträgt ungefähr 1’, die Breite nur 40”. Der Durchmesser des kreisférmigen Nebels von B wird gleichfalls auf 40" geschätzt, doch sind schwache Nebelspuren auch noch weiter zu verfolgen. In B liegt die ganze Nebelmasse nahezu concentrisch mit dem fixsternartigen Kern (Fig. I). — A wird verglichen mit einem nürdlich vorangehenden Stern c, 7. Gr.; B mit einem gleichfalls nürdlich vorangehenden Stern b, 6. Gr. Vergrüsserung 138 Mal. Therm. + 3,6 R. Uhr- correction — — 0” 48.

A et e. Uhrzeit. A AR. Coincidenz. Micr.-Schraube. A Deci. 3977419" + 17458 31 9,0 39 5 4,9 17 9,0 41 9 9,4 29 0,4 % 1 10 63,56 — 5129 — — 515 4 25 63,92 5,65—=2055:0 7 9 64,51 6,24— 60,8 8 40 64,77 6,50— 63,3 58,266 19301 + 1 11,5 11 11,2 14 46 11,3 58 11,8 B et b. 3 43 15 + 0 51,2 29 91,7 44 50 92,2 45 3 52,0 46 30 52,4 42 52,4 58,282 53 45 73,66 — 15,38 — — 149,7 05 13 73,13 15,45 — 150,3 57 1 74,45 16,17—="1M15724 08 36 74,383 16,55— 161,0

4 16 47 +0 58,4 28 97,9

BEOBACHTUNGEN DES BIELASCHEN COMETEN. 141

September 23.

À ist heute erheblich schwächer als B und hat gar keinen Kern. Beï nicht vollständig durch- sichtiger Luft ist die länglichte Form von À nur schwer zu erkennen. Es ist aber doch augen- fällig, dass die Nebelmasse nicht gleichfrmig um den hellsten Punkt vertheilt ist. Die Nebel- masse von B liegt dagegen concentrisch und nach allen Richtungen in gleicher Intensität um

den Kern. A et d. À wird verglichen mit einem südlich vorangehenden Stern d, 9.10. Grüsse. Vergrüsse- rung 207 Mal. Therm. + 3,5 R. Uhrcorrection — — 0” 63. Uhrzeit. Pos.-Winkel. Coincidenz. Micr.-Schraube. Distanz. Bin 61 : «81489; 3 14 82 44 3 90 83 44 4 28 84 2 28,250 6 20 44,36 13:89 — 135,2 7 4 44,18 14,07 — 136,9 8 19 44,09 14,16 — 137,8 10 24 43,41 14,84 — 144,4 28,253 12 26 89 8 13: 4 90 26 13 23 89 38 14 12 90 14 B «te. B wird verglichen mit einem südlich folgenden Stern e, 10. Gr. Vergrüsserung 138 Mal. Therm. + 3,55R. Uhreorrection — — 0” 6;3. Uhrzeit. À AR. Coincidenz. Micr.-Schraube. A Decl. 4720" 39 — 0”25;3 51 25,0 21 53 24,5 22 4 25,0 22 55 25,0 23 7 24,7 26 58 79,79 +21:52—+209/4 28 0 79,84 21,57— 209,9 28 47 79,69 21,42— 908,4 30 20 79,46 21,149— 206,2 58,269

Der Comet verschwand in der hellen Dämmerung. Die Beobachtungen von B sind schon ein wenig unsicher wegen der Schwäche der verglichenen Objecte.

142 O. STRUVYE.

September 25.

À ist heute bedeutend schwächer als B. Der letztere Kopf konnte recht deutlich im Sucher des Refractors gesehn werden, während der Ort von À kaum geahndet wurde. Der Durch- messer von À auf 30" geschätzt, der von B betrug 50° bis 60”. Aist rund, B ein wenig oblong. Die hellste Stelle von À liegt nicht im Centro seiner Nebelmasse, sondern abgewandt von der Richtung nach B hin. Der Kern von B dagegen ist À zugewandt; der hellste Theïl des ungleichfôrmig um den Kern von B vertheilten Nebels, liegt in einer von À abgewandten Richtung. Der Positionswinkel dieser Richtung, der zugleich der grüssten Ausdehoung von B entspricht, wurde — 286° beobachtet, kurz vor Beginn der Micrometermessungen. S. Fig. II.

BB et B wird mit einem nôürdlich vorangehenden Stern f, 9. Grôsse verglichen. Vergrüsserung 207 Mal. Therm. — + 5,8R. Uhrcorrection — — 0” 73. Uhrzeit. À AR. ° Coincidenz. Micr.-Schraube. A Decl. 4} 538 +1*38;6 50 39,0 7 59 39,4 8 10 39,2 99,741 12 42 64,29 — 4154 —— 44,2 15 5 64,39 4,65— 45,3 13 0 65,05 5,30— 51,6 21 2 65,32, ,98— 94,3 59,749 24 42 +1 42,4 92 42,5 27 4 43,1 15 42,6 A et g. Der Vergleichstern g, 8. 9. Grüsse, folgt nürdlich auf 4. Vergrüsserung 207 Mal. Therm. — + 558R. Uhrcorrection — — 0” 7;3. Uhrzeit. Pos.-Winkel. Coincidenz. Micr.-Schraube. Distanz. 42952 196°56 30 27 198 20 SldSyy 197002 31 53 196 8 33 10 48,99 10777 — 104,8 34 25 48,71 11,05 — 107,5 35 8 48,97 10,79 — 105,0 36 6 48,76 11,00 — 107,0 36 57 48,28 11,48 — 111,7 59,761

39 47 183 14 40 32 182 38 41 26 183 14 42 16 178 20 Die beiden letzten Positionswinkel unsicher wegen Schwäche des Cometen bei der hellen Dämmerung.

BEOBACHTUNGEN DES BIELASCHEN COMETEN. 143

September 28.

Bei hellem Mondschein und starker Dämmerung konnte B nur mit Mühe erkannt werden, indem durch die zuvor vorläufig berechnete Lage zu Lalande 2022% sein Ort sehr genau bezeichnet war. Nach À wurde nicht streng gesucht, um die Zeit zur Beobachtung von B nicht zu versäumen.

B et In.

Der Vergleichstern h 6. 7. Grüsse folgt südlich auf B. Vergrôsserung 138 Mal. Therm.

— + 259R. Uhrcorrection — — 0” 953.

Uhrzeit. À AR. Coincidenz. Micr.-Schraube. À Decl. AASOTS RMC 0 20 17,2 39 21 16,4 34 16,0 à 41 28 16,4 42 16,1 45 39 27,10 + 30:97 — + 301% 48 34 26,89 81:22 4086305.8 51 31 27,88 30,19—= »,293,8 99 31 27,84 50,23 L4294,2 58,074 5 1 18 —1 12,0 31 12,2 3 22 11,8 36 11,9 5 27 11,0 71 11,5

Der Comet verschwand in der Dämmerung.

Bei der Beobachtung der Differenzen in gerader Aufsteigung wurden die Fäden am 20. und 23. September auf einem 8’ kleinern Positionswinkel eingestellt, als wie ihn die Rich- tung der täglichen Bewegung im Meridiane verlangte. Für den 25. und 28. September war diese Einstellung nur um 5” zu klein. Hiefür sind an die mitileren abgeleiteten AAR, für die entsprechenden Tage, folgende Correctionen anzubringen. Corr. À AR. Sept. 20 Aetc + 014 — + 0:009 B et b + 0,36 — + 0,024

Sept. 23 Bete — 0,50 — — 0,033 Sept. 25 Betf + 0,07 — + 0,005 Sept. 28 Beth — 0,44 — — 0,029

In Bezug auf die Differenzen in Declination sind die entsprechenden Correctionen als gänzlich verschwindend anzusehn.

144

O0. STRUVYE.

Obgleich mehrere von den Vergleichsternen bereits in der Histoire céleste vorkommen und auch von Bessel in seinen Zonen bestimmt sind, so schien es doch wünschenswerth, alle

Sterne von neuem zu bestimmen, um den wenigen Positionen des Cometen eine môglichst grosse Schärfe zu geben. Die Bestimmung der Vergleichsterne geschah am Repsold'schen Meridiankreise durch Herrn Sabler. Das folgende Verzeichniss enthält die Beobachtungen Sabler’s, nach Anbringung der instrumentellen Correctionen.

BEOBACHTETE POSITIONEN DER VERGLEICHSTERNE.

Stern. Datum. a 1853 Jan. « Febr. b Jan. « Febr. c Jan « Febr d Febr « « e Febr März « [ Jan. « Febr März g Jan. « Febr März h Jan « Febr.

. =

27 31 4

27 31 5)

Co 1

S Qt DO O à

LL) A

Grôüsse.

HN Lo

AR. 9230" 34:34

9 39

9 41

10 18

34,32 34,41

Decl.

—+10°19° 3873

+ 9 14

+ 4 40

38,3 40,6

97,6 29,9 97,1

97,9 6,2 97,2

20,6 18,1 99.5

PART

18,9 19,7 16,9

26,5 23,3 16,4 18,7

20,4 13,6 14,2 17,2

39,1 40,8 38,9

Herr Candidat Hübner, der sich gegenwärtig zu seiner

Anmerkungen.

Sebr schwach. Schwach. Schwach.

Sebr schwach, mehr taxirt. Sehr schwach, Decl. mehr taxirt.

Vielleicht etwas sicherer.

Sehr schwach. Schwach.

Ziemlich sicher.

Schwach.

Gut.

weiltern Ausbildung in der

praktischen Astronomie auf der Pulkowaer Sternwarte aufhält, übernahm die Reduction der Beobachtungen. Zuerst leitete er aus den beobachteten Positionen der Vergleichsterne die fol- genden mittleren Oerter derselben für den Anfang des Jahres 1853 ab.

Stern.

Mémoires sc. math. et phys. T. VI.

BEOBACHTUNGEN DES BIELASCHEN COMETEN.

h

AR. med. 1853,0

9:30” 33:84

10 1

10 1 10 5

10 18

33,717 33,81

33,81

28,36 28,38 28,46

28,40

4,12 4,21 4,02

4,12

3,84 4,01 3,90

3,92

94,99 54,63 54,63

94,75

98,32 58,50 98,65 58,62

98,92 28,33 28,48

28,40 28,38

28,41 31,21

31,39 31,37

31,32

Decl. med.

1853,0

+ 10° 19° 400

+ 10

13

13 40

40

40,4 12,9

1,1

99,3 07,9 99,5

98,8

99,2 58,2 59,5

99,0

22,9 20,4 25,0

22,8

21,3 23,5 20,7

21,8

27,9 25,1 18,7 29,8

23,6 21,8 15,4

16,4 21,3

18,7 40,2

42,4 41,0

41,2

19

145

146 O0. STRUVYE.

Indem man hier den Beobachtungen aller Sterne dieselbe Genauigkeit zuschreibt, ergibt sich aus der Vergleichung der einzelnen Bestimmungen mit ihren resp. Mittelwerthen, der wahrscheinliche Fehler einer einmaligen Beobachtang: in AR — 0075; in Decl. — 1:61. Augenscheinlich sind aber die schwächeren Sterne d, e, f, g viel weniger genau bestimmt, als die # helleren. Für die beiden Gruppen ergeben sich getrennt die wabrscheinlichen Fehler einer einmaligen Bestimmung :

für die helleren Sterne: in AR — 0051 ; in Decl. — 0/78 € _« schwächeren = 0,089 — 2,09 und folglich für’s Mittel aus 3 Beobachtungen: der wahrscheinliche Fehler für die helleren Sterne: in AR — 0029: in Decl. — 0/45

« « « « _« schwächeren —= 0,052 —11}118

Aus den vorstehend gegebenen mittleren Positionen der Vergleichsterne sind folgende scheinbare Oerter derselben für die Tage, an welchen der Comet mit jedem von ihnen verglichen ist, abgeleitet.

AR app. Decl. app. 1852 Sept. 18 a 9:30” 30:75 + 10° 19° 57/22 « 20 b 9 39 25,35 + 9 15 15,35 «20 C 9 41 1,08 + 8 59 15,65 € _ 23 d 9 56 0,91 + 7 18 40,16 C2 e 9 54 51,75 + 7 28 39,18 € 25 ff 10 155,55 + 6 26 41,26 @ 125 g 10 5 25,43 + 6 13 36,91 « 28 h 10 13 28,37 + 4 40 59,46

Nachdem die scheïnbaren Oerter der Vergleichsterne abgeleitet waren, ging Herr Hübner an die Reduction meiner Micrometermessungen auf ein mittleres Moment für jeden Beobachtungstag und an die Berechnung des Emflusses der Refraction auf dieselben. Zu dieser Reduction auf das mittlere Moment, muss die Bewegung des Cometen näherungsweise bekannt sein. Wegen der grossen Fehler der Santinischen Ephemeride durften aber die aus der- selben folgenden Bewegungen nicht ohne weiteres der Rechnung zu Grunde gelegt werden, sondern es musste erst untersucht werden, ob letztere nicht auch erhebliche Correctionen bedurften. Zu dem Zwecke wurden genäherte Oerter des Cometen berechnet und dieselben darauf mit der Ephemeride verglichen. Diese Vergleichung ergab die folgenden Correctionen der Santinischen Ephemeride:

GEGEN DEN Kopr EB

18 Sept. 13/32” Mittl.Greenw.Zeit, Corr. Eph. in AR— + 13”5352 in Decl. — — 1°47 49°

20 « 13 54 « + 13 36,0 — 1 46 37 DUT ENS « +13 12,3 — 1 44 16 DANCE « + 12 56,1 — 1 49 27

28 « 14 17 « +12 32,2 — 1 39 8

BEOBACHTUNGEN DES BIELASCHEN COMETEN. 147

GEGEN DEN Korr MA

20 Sept. 14* 4” Mittl.Greenw.Zeit, Corr.Eph.in AR — + 15*25;7 inDeel. — — 2° 0°47" 2300 TOI +14 59,4 —1 58 25 « 14 14 + 14 40,7 —1 56 2

Die Differenzen zwischen den auf einander folgenden Correctionen der Ephemeride führen durch Interpolation auf die Verbesserung der von Santini gegebenen zweitägigen Bewegungen des Cometen. Herrn Hübner’s Rechnung gab, den mittleren Epochen meiner Beobachtungen entsprechend, folgende Resultate:

FÜR DEN Korr HB

Correction der zweitägigen Bewegung.

in AR in Decl. Sept. 18 — 177 — — 4 925 +1 2” « _ 20 —16,5——4 8 + 1 20 (COURE LS | —161——%, 92 +1 43 € 25 —161——4 2 + 1 58 cas —15,4—= —3 51 +2 26

FÜR DEN Kopr A

Sept. 20 —170——4#4 15" —1' 42" CNE —18,92—— 24 33 — 1 56 (195 — 19,0 — — 4 45 —2 6

Nach Anbringung dieser Correctionen an die aus der Santinischen Ephemeride für die Beobachtungsepochen folgenden zweitägigen Bewegungen, folgt die Bewegung in einer Stunde mittlerer Sonnenzeit:

FÜR DEN Kopr EB

in AR in Decl. Sept. 18 3:95" Pulk. Sternzeit + 179/87 — 82,85 «20 3 96 « « + 177,67 — 83,27 « _ 23 4 26 « « + 173,92 — 83,14 € 25 RATE « + 171,35 — 83,21 « 28 4 50 « « + 167,73 — 82,29 FÜR DEN Korr A Sept. 20 4} 5" Pulk. Sternzeit + 177,50 — 82/81 « 23 4 8 « « + 173,27 — 83,17

CUPDD 4 35 « « + 170,42 — 83,04

CS

148 O0. STRUVYE.

Diese -stündlichen Bewegungen künnen offenbar nur um einen sehr kleinen Bruchtheil der Secunde unsicher sein. Es konnten daher mit Hülfe derselben die Beobachtungen, deren Dauer für jeden einzelnen Kopf in keinem Fall sich auf eine Stunde beläuft, auf ein mittleres Moment reducirt werden, ohne dass dabei zu befürchten war, dass durch diese Reduction, falls die Beobachtungen nicht symmetrisch zu dem zu wählenden mittleren Momente lagen, irgend merkliche Fehler in die abzuleitende Position hineingebracht würden, oder dass die Ueberein- stimmung der verschiedenen auf dieses mittlere Moment reducirten Messungen wesentlich gefährdet würde.

Bei der Reduction der Micrometermessungen auf ein mittleres Moment für jede Beobach- tungsreihe sind streng die Regeln befolgt, welche von W. Struve in seinen ,,Beobachtungen des Halley'schen Cometen‘‘ pag. 88 u. folg. gegeben sind.

In der nachfolgenden Zusammenstellung der Ergebnisse von Herrn Hübner’s Rech- nungen sind daher auch dieselben Bezeichnungen beibehalten wie in dem angeführten Werke. Die Bedeutung der einzelnen Grôssen ergibt sich übrigens auch leicht aus dem Zusammenhange. Es mag vielleicht auffallen, dass es Herrn Hübner jedes Mal gelungen ist, bei seinen Rech- nungen gleich von einer dem wabrscheinlichsten Werthe sehr nahen Hypothese auszugehn. Diess erklärt sich aber dadurch, dass er, der grüsseren Strenge wegen, die Rechnung nach der Methode der kleinsten Quadrate in allen Fällen, wo dieselbe in Anwendung kam, zwei Mal durchgeführt hat.

Auch die Berechnung des Einflusses der Refraction auf die Relationen des Cometen zu den Vergleichsternen ist nach den von meinem Vater in dem angeführten Werke gegebenen Formeln und Tafeln ausgeführt; unter Berücksichtigung jedoch der kleinen dort vernachlässig- ten Glieder, die in diesem Falle bei dem niedrigen Stande des Cometen von Bedeutung wurden. Diese Glieder sind, nach ,,Peters und O. Struve, Bestièmmung der Bahn des im December 1839 entdeckten Cometen, pag. 22“, in der Formel für dP eine Correction + 25 sin p tang d tangz und in der Formel für dA die Correction — D sec à tang à sin p tang z.

In der folgenden Zusammenstellung hat Herr Hübner auch den Einfluss der Parallaxe auf den Ort des Cometen, nach der Santinischen Ephemeride berechnet, angegeben. Bei einer künftigen Benutzung dieser Beobachtungen wird dieser Einfluss natürlich einer neuen Berech- nung nach genaueren Elementen der Bahn unterworfen werden müssen.

In Betreff der nachfolgenden Rechnungen ist nur noch anzuführen, dass ich je zwei bei unverrückter Stellung des Fernrohrs beobachtete Differenzen der geraden Aufsteigung immer in ein Resultat vereinigt habe. Es sind nämlich zwei kurz auf einander folgende Durchgänge durch die beiden Micrometerfäden nicht als von einander ganz und gar unabhängige Beobach- tungsresultate anzusehn, da dieselben oft durch die nämlichen Einflüsse, wie kleine Verstellun- gen im Instrumente, oder wie beim Durchgange eines Cometen das jedesmalige Urtheil über die Lage des Kerns, auf gleiche Weise afficirt werden. Sie dürfen daher zusammen nur für ein Resultat gelten, dessen zufälliger Fehler ein wenig kleiner ist, als wenn nur ein Faden beob-

achtet würe.

L

BEOBACHTUNGEN DES BIELASCHEN COMETEN. 149 September IS. Korr BB (0 — 325" 34" Uhrzæïit — 3:95" 3054 Sternzeit — 15/33” 3;8 mittl. Zeit in Pulkowa. Annahme für (t: a— 169,82; P —95°6,3 oder (4) — + 171,93; (D) — — 15:11 Refraction Sternzeit. z da dP 3° 12" 40° 83° 12’ + 24/8 18 55 82 26 + 076% 25 30 81 37 + 19,2 37 10 80 10 + 0,77 42 23 109M92 + 13,3 Gleichungen. aus den Richtungen Fehler aus den Abstanden Fehler — 1,60 — + 0,036n — 0,9998 + 1766 — 1795 — + 0,984n — 0,0208 + 1,96 — 0,53 — + 0,023 n — 1,0008 +0,59 +0,35 — +0,983n—0,0288 —0,34 — 1,28 — + 0,01 4n — 1,0006 +1,34 —2,53 — + 0,983n — 0,0340 +2,54 — 0,06 — + 0,006n — 1,0009 +0,12 +4,91 — + 0,983n — 0,0428 — 4,90 + 2,60 — + 0,982n — 0,0518 — 2,59 — 1,06 — — 0,079n— 0,9976 +1,12 +2,91 — + 0,982n — 0,0658 —2,90 + 1,07 = — 0,085n — 0,9968 — 1,01 — 1,50 — —0,090n— 0,9960 +1,56 —0,56 —+0,973n—0,1410 +0,58 +1,53 — — 0,095n —0,9950 —1,48 —1,58 —+0,973n—0,1470 +1,60 + 0,81 — + 0,973n—0,1508 — 0,79 — 1,86— —0,165n—0,9860 +1,80 — 1,30 — + 0,972n—0,1540 +1,32 + 3,36 — — 0,167n —0,9850 —3,30 —2,24 — + 0,972n—0,15606 +2,26 +1,10 — —0,170n— 0,985 —1,0%4 — 0,41 —+0,972n—0,1580 +0,43 +2,00 — — 0,177n— 0,980 —1,9%

Wabhrscheinlicher Fehler einer Gleichung — 1,37.

Endgleichungen. + 0/14—+11,615n— 0,1820

— 0,74 —— 0,182n + 11,9970. Endwerthe.

W.F. W.F. M +- 0701 0/40 O — — 0,06 0740

(4) = + 251,93 (D) ——0"15,11

Parallaxe — — 3,13 215,21

À = +2 48,81 D——0 9,96 Ort des Sterns a 142° 37 41,25 0,4% + 10°19 57,22 0,45 Ort des Kopf B 142 40 30,06 0,59 + 10 19 47,26 0,60

150 O0. STRUVE.

September 20. Korr A ()= 4524 Uhrzcit — 4" 5" 1952 Sternzeit — 16/4" 5453 mittl, Zeit in Pulkowa.

Refraction Sternzeit. 4 dA ie dD 3139" 19° 82° 33’ +011 4 5 19 79 16 — 0/32 13 54 78 11 + 0,14 Reduction A Abweichung Reduction D Abweichung auf (t) reducirt auf (é) vom Mittel auf (t) reducirt auf (f) vom Mittel Mm+T m +7! + 1° 22/67 417030 17 — 5,51 0,19 — 0° 57,67 — 0,31 + 1 17,46 31,71 — 1,06 — 1,44 56,46 — 1,52 + 1 11,31 32,31 — 1,65 + 2,09 98,67 + 0,69 +4,18 59,11 4543 — 0 22,58 27,67 + 2,99 Mittel — — 0 57,98 — 0 27,79 25,46 +5,20 Mittel — +17 30,66 Corr. für tägl. Bew. +0,14 Endwerthe. (4) = +17 30:80 1726 (D) = — 0" 57,98 0/40 Parallaxe — 3,08 + 5,14 A A7 70 D——0 52,84 Ort des Sterns c 145° 15 16,20 0,44 +8 59 15,65 0,45 Ort des Kopf 4 145 32 43,92 1,34 + 8 58 22,81 0,60 Korr F5 () = 3:56” 9" Uhrzeit = 3 564,2 Sternzeit — 15” 55/*40;8 mittl. Zeit in Pulkowa. Refraction Sternzeit. z dA aD 3 447 58° 81° 24" +- 0,62 56 9 80 0 — 0/97 4 16 52 77 93 + 0,40 Reduction À Abweichung Reduction A Abw. auf (t) reducirt auf () vom Mittel auf (, reducirt auf (4) vom Mittel Mm+r m'+r + 0 37,79 +13 29/54 2 10 — 4,29 09/53/93 "170 +0 33,17 34,67 — 3,03 — 2,26 32,98 — 2,98 + 0 28,24 34,24 — 2,60 + 0,23 37,11 + 1,95 +2,42 38,61 + 3,05 Lu ut 2840 +3,54 Mittel — —2 35,56

Mittel = + 13 31,64 Corr. für tägl. Bew.+ 0,36

BEOBACHTUNGEN DES BIELASCHEN COMETEN.

(4) = + 13° 32,00 Parallaxe — — 3,09

A= +13 28,91 Ort des Sterns b 144° 51 20,25

Ort des Kopf B 145 4 49,16

September 20.

Endwerthe. W.F. 1712 (D) = — 92" 3556 + 5,15 D——92 30,41 0,44 + 9°15 15,35 1,20 +9 12 44,94

September 23. Korr A

151

W.F. 0,9%

0,45 1,04

(= 4} 8" 0" Uhrzeit — 4/7” 5357 Sternzeit — 15/55” 40;6 mittl. Zeit in Pulkowa Annahme für (t): a— 138,91; P— 86° 50,3 oder (A(= + 139,84; (D) = + 7,66

Refraction Sternzeit z da ap MANIA TE D 82057. + 0,31 + 18,5 7 54 82 13 + 0,40 + 17,7 13 54 81 27 + 0,47 +- 16,2 Gleichungen. aus den Richtungen Febler aus den Abständen — 193 — + 0,125n— 0,9929 +1,91 +1,23 — + 0,989n + 0,0740 — 1,01 —+0,112n — 0,9940 +1,01 +0,98 — + 0,990 + 0,0660 + 0,18 — + 0,104n— 0,9948 —0,19 —1,60 — + 0,991 n + 0,0520 — 0,21 — + 0,096n — 0,99586 +0,20 —0,78 — + 0,991 n +-0,0300 — 0,03 — + 0,010n— 1,0008 —+ 0,03 + 2,61 — + 0,005n — 1,00086 — 2,61 — 0,03 — -+ 0,001 n — 1,0008 —+-0,0%4 + 0,46 — — 0,006n—1,0000 — 0,46

Wahrscheinlicher Fehler einer Gleichung — 0,89.

Endgleichungen.

— 0,52 — + 3,971 n — 0,228 0

— 0,01 — — 0,228 n + 7,9640. Endwerthe. W.F. 1 — 013 0/45 O — — 001 (4)=+ 219,84 (Dj—=+ 0 7,66 Parallaxe — — 3,05 + 5,13 A=+ 2 16,66 D = + 0 12,78 Ort des Sterns d 149°0 13,65 + 7°18 40,16 Ort des Kopf 4 149 2 30,31 +47 18 52,94

Febhler — 1,36 — 1,11 + 1,47 + 0,65

152 O0. STRUVE.

September 923.

Korr BB (6) = 4/25" 41° Uhrzeit — 4/25” 3457 Sternzeit — 16” 13” 18:7 mittl. Zeit in Pulkowa. Refraction Sternzeit z dA dD 421" 49° 80° 6° — 10777 28 25 79 16 +116 Reduction A Abweichung Reduction D Abweichung auf (t) reducirt auf (é) vom Mittel auf (t) reducirt auf (6) vom Mittel MT m + r! 1945 GT UD + 0722 + 2,98 310242 +118 + 9,68 1,57 — 2,31 + 4,38 34,30 — 0,70 + 6,78 5,97 + 2,09 + 9,49 33,91 — 0,31 Mittel — — 6 3,88 + 6,56 33,18 — 0,18 Corr. für tägl. Bew. — 0,50 Mittel = +3 33,60 Endwerthe. W.F. W.F. (4)=— 6 4,38 0/84 (D)—=+ 333,60 0/28 Parallaxe — — 3,03 + 5,10 A—=— 6 7,41 D = + 3 38,70 Ort des Sternse 148° 42 56,25 0,75 + 7°928 39,18 1,18 Ort des Kopf B 148 36 48,84 1,15 +7 32 17,88 1,21 September 925. Korr A () = 4735" 9" Uhrzeit — #4" 35” 157 Sternzeit — 16” 14" 5253 mittl. Zeit in Pulkowa. Annahme für (t): a—107,90; P—189°55,3 oder (4)—— 18,70; (D) — — 106,29. i Ù Refraction Sternzeit z da ap 4} 30" 45° 81° 27" + 0,52 87 35 2 80 55 + 0,61 — 15,7 40 3 80 17 + 0,69 — 12,8 Gleichungen. aus den Richtnngen Fehler aus den Abständen Fehler — 374 — —0,942n—+0,3200 +382 — 0/97 — — 0,226n — 0,9748 +0,93 + 0,64 — — 0,947n+0,3046 —0,56 —+—0,83——0,191n—0,9818 — 0,88 + 0,90 — — 0,954n—+0,2808 —0,82 —92,929— —0,172n—0,9858 +2,24 + 1,06 ——0,959n—+0,2638 —0,98 —1,10——0,145n—0,9890 +1,05 +2,74 — — 0,122 — 0,9926 — 2,79 + 0,40 — — 0,993n + 0,0496 — 0,33 + 1,39 — — 0,994n—+0,0308 — 1,32

Wabrscheinlicher Fehler einer Gleichung — 1:31.

BEOBACHTUNGEN DES BIELASCHEN COMETEN.

— 0,44 — + 5,7411n — 0,3460

September 25.

Endgleichungen.

+ 0,34 — — 0,346 n + 5,1900. Endwerthe. W.F. W.F. n— — 0,07 055 O— +006 0,58 (A)j— —18,70 (D) — — 1° 46,29 Parallaxe — — 3,00 —+- 5,09 pe À Ar dr D=— —1 41,14 Ort des Sterns g 151° 21° 21,45 0,67 + 6°13 36,51 1,02 Ort des Kopf À 151 20 59,68 0,87 + 6 11 55,37 1,17 Korr BB

153

(à = 416" 42: Uhrzeit — 4° 16” 3457 Sternzeit — 15/56” 284 mittl. Zeit in Pulkowa.

Sternzeit ANG AT, 16 35 25 52 Reduction | A auf (t) reducirt auf (6) Mm+Tr +31/52 +95 13/52 +- 24,87 14,37 — 22,74 14,01 — 29,53 13,22

Mittel — 1-25 13,78 Corr. für tägl. Bew. + 0,07

(4) = +25" 13/85

Parallaxe — — 3,02 A—= +25 10,83

Ort des Sternsf 150° 28 53,25 Ort des Kopf B 150 54 4,08

Mémoires sc. math. et phys. T. VI.

Refraction z dA dD 83° 56" + 0/28 82 42 051 81 32 + 0,28 Abweichung Reduction D vom Mittel auf (t) reducirt auf (t) m +7 +- 0/26 — 6/04 — 50/22 — 0,59 — 92,75 48,00 +- 1,29 50,28 — 0,23 + 5,48 48,82 —+ 0,56 Mittel — — 49,33 Endwerthe. W.EF. 017 (D) = — 49733 + 5,11 sD—= — 4,22 0,67 + 6° 26" 41,26 0,69 6 25 57,04

20

Abweichung

vom Mittel + 0:89 — 1,33 —+- 0,95 — 0,51

W.F. 0,38

1,02 1,08

154 O0. STRUVE. September 28.

Korr B (ÿ = #50" 19° Uhrzeit — #* 50” 957 Sternzeit — 16” 18” 102 mittl. Zeit in Pulkowa. Refraction Sternzeit. z dA dP 45 391 1° 83°15° 9 190 50 19 81 51 + 2/69 0100729 80 13 — 1,01 Reduction A Abweichung Reduction D Abweichung auf (t) reducirt auf (t) vom Mittel auf (t) reducirt auf (t) vom Mittel Mm+T m/ +7 + 3968 — 18593307 — 2707 — 3/69 PO ÉtTE) #5 3729 + 28,13 34,87 — 0,27 + 0,30 o 4,15 — 3,13 + 22,01 41,74 + 6,60 +4,33 . 4 58,16 + 2,86 + 9,80 5 4,02 — 3,00 — 32,01 33,91 — 1,63 Mittel — +5 1,02 — 37,72 39,47 + 0,33 — 43,32 32,18 — 2,96 Mittel — — 18 35,14 Corr. für tägl. Bew. — 0,44 Endwerthe. (4) = — 18" 35,58 0,96 (D)—+5 1,02 1,20 Parallaxe — — 2,95 +- 5,05 A—=—18 38,53 D— +5 6,07 Ort des Sterns h 154°37 5,55 0,44 + 4 40 59,46 0,45 Ort des Kopf B 154 18 27,02 1,06 +4 46 5,53 1,28

Indem wir nun, statt der berechneten Werthe der Parallaxe, die Horizontalparallaxen der beiden Kôpfe x und +’, die môglicherweise merklich verschieden sein kôünnen, mit den ihnen zustehenden Coefficienten einführen, lassen sich die Resultate meiner Beobachtungen folgender-

massen zusammenfassen :

SCHEINBARE OERTER DES BIELASCHEN COMETEN. Decl. Com. 10°19° 42/0 + 0,852 8 58 17,7 + 0,845x 9 12 39,8 + 0,847x 7 18 47,8+0,8537 7 32 12,8 + 0,849x 6 11 50,3—+ 0,852 6 2 4 4

Datum. | Mittl. Pulk. Zeit. AR Com.

1852 Sept. 1811533" 3:8 |Kopf B| 142°40° 33/2 — 0,5127 | + « 20116 4% 54,3 |Kopf 4] 145 32 47,0 — 0,507r | + « 20115 55 40,8 | KopfBl145 4% 52,2 — 0,509x | + © 23115 55 40,6 |Kopf 41149 2 33,4 — 0,503r | + « 23116 13 18,7 |Kopf B|148 36 51,9 — 0,504r | + « 25116 14 52,4 | Kopf 41151 21 2,7 —0,5027 | + € 25115 56 28,4 |Kopf B| 150 54 7,1 — 0,506x | + «€ 28116 18 10,2 |Kopf B| 154 18 30,0 — 0,500 | +

9 91,9 + 0,855r 6 0,5+0,8557

BEOBACHTUNGEN DES BIELASCHEN COMETEN. 155

Nehmen wir aus den, aus der Uebereinstimmung der Beobachtungen unter einander abgeleiteten, wahrscheïnlichen Fehlern das Mittel, so findet sich der mittlere wahrscheinliche Fehler einer vorstehend gegebenen Rectascension des Cometen — 0,975, einer Declination — 1,025. Es sind daher durchschnitilich beide Coordinaten nahezu mit gleicher Genauigkeit bestimmt worden. Bei der Betrachtung der einzelnen wahrscheinlichen Fehler sehen wir ferner, dass fast allen Positionen dieselbe Genauigkeit zugeschrieben werden darf, indem nur der Ort des Kopfes B vom 18. September, wegen der länger fortgesetzten Beobachtungsreihe, ein ent- schiedenes Uebergewicht hat. Auch lernen wir daraus, dass bei den schwächeren Vergleich- sternen die Genauigkeit der Verbindung zwischen Comet und Stern die der Ortshestimmung des Sterns übertrifft, während bei den helleren Vergleichsternen in der Regel der Sternort genauer ist als die Verbindung der beiden Gestirne.

Für die drei Tage, an welchen beide Kôpfe beobachtet sind, lassen sich jetzt auch ihre relativen Positionen näherungsweiïse ableiten. Indem ich dabeï die vorstehend (pag. 147) gege- benen stündlichen Bewegungen anwende, und die Parallaxe als auf beide Cometen gleich- mässig wirkend voraussetze, erhalte ich:

Sept. 20 16* 0” Pulk. mittl. Zeit AR A— AR B+927 275 Decl. À — Decl. B—14 9,3

Sept. 23 16 4 « CIC AR 4— AR B+926 32,5 Decl. À — Decl. B— 13 49,4 Sept. 25 16 5 « CN ARA—= ARB+926 53,3

Decl. À — Decl. B— 13 36,1.

Hiernach haben sich die Unterschiede der Declinationen beider Kôpfe sehr genau der Zeit proportional geändert. Die Aenderungen in den Differenzen der Rectascensionen sind dagegen in den ersten drei Tagen verhältnissmässig rascher gewesen, als in den letzten beiden; indessen genügt schon die Annahme eines Fehlers von 5° in der für die mittlere Epoche abgeleiteten Diffe- renz, um auch diese Aenderungen der Zeit proportional erscheinen zu lassen.

Leiten wir aus den gegebenen Differenzen die Distanz und den Positionswinkel des Kopfes À in Bezug auf den Kopf B ab, so haben wir:

Distanz. . Pos.-Winkel.

Sept. 20 16 0" Pulk. mittl. Zeit 30° 3521 117° 34/1 23 16 4 ic nr 29 43,7 117 49,5

25 16 RTE mul 29 15,1 117 42,5

und hieraus, mit Hülfe der Santinischen Ephemeride, die Distanz beider Kôüpfe von einander auf die Entfernung { von der Erde reducirt:

am 20. Sept. 43) 95 CDS ND 42 16,2 CADET 41 54,2.

156 O0. STRUVE.

Es ergibt sich also, dass sowohl die scheinbare Distanz der beiden Kôpfe, wie die auf die Einheit der Entfernung reducirte, sich in dieser Periode erheblich vermindert hat.

Für den 25. Sept. beträgt der Positionswinkel der beiden Cometenkôpfe zu einander 11757 oder 29797. Dieser Winkel stimmt bis auf 1157 mit dem von mir an jenem Tage für die Richtung der hellen Ausstrômung im Kopfe B zu 286° gemessenen Positionswinkel über- ein. Es folgt daraus, dass, scheinbar wenigstens, die Richtung dieser Ausstrômung nahezu mit der der beiden Kôpfe gegen einander zusammenfiel, und hieran knüpft sich dann sehr natürlich die Vermuthung, dass jene Ausstrômung selbst eine Folge der Wechselwirkung der beiden Kôpfe auf einander gewesen ist. Eine solche Wechselwirkung spricht sich übrigens auch

wieder, wie im Jabre 1846, durch die Variahilität im Glanze der beiden Kôpfe aus. Nach Secchi war nämlich:

am 15. Sept. À ausserordentlich schwach im Vergleich zu B; am 19. « B schwächer als 4.

Nach meinen Beobachtungen:

am 20. Sept. À und B nahezu von gleicher Helligkeit; am 23. « À erheblich schwächer als B; am 25. « À bedeutend schwächer als B.

Hiezu kommt, dass im August in Rom immer nur der Kopf À beobachtet ist, während doch auch B im Felde des Fernrohrs gewesen sein muss. Wir müssen daraus folgern, dass in jener Periode B ungemein viel schwächer gewesen ist wie À, und haben somit einen vollkom- menen Austausch der Helligkeiten zwischen den beiden Kôpfen während der Beobachtungen des vergangenen Jabres.

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EXPÉDITIONS CHRONOMÉTRIQUES

1845 et 18546

PAR

ÔTTO STRUVE.

Lu LE 4 NOVEMBRE 1853,

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SECONDE PARTIE.

EXPÉDITION CHRONOMÉTRIQUE DE 1846.

$ 1. Introduction historique.

La première partie de mon mémoire contient la relation sur les expéditions chronométri- ques de 1845. Ces expéditions avaient donné: la longitude de l'observatoire de Moscou — 0728” 58;230 à l’Est de Poulkova

avec l'erreur probable — 0;031 ; la longitude de l’observatoire de Varsovie — 0* 37” 11229 à l'Ouest de Poulkova avec l'erreur probable — 0039. En combinant ces deux résultats, nous avons: la différence en longitude entre les observatoires de Moscou et de Varsovie — 16"9:459, avec l'erreur probable — 0050.

Cette différence dont l'exactitude n'aurait guère pu être élevée, si nous avions opéré, de la même manière qu'en 1845, sur la ligne directe de jonction entre les deux observatoires, devait nous servir de base dans les opérations de 1 846. IL fut résolu de déterminer cette année, par une inter- polation chronométrique, les longitudes d'un nombre de points principaux situés entre Moscou, la Mer Noire, et la capitale de la Pologne, avec une exactitude suffisante pour qu'elles puissent servir de contrôles aux vastes opérations géodésiques exécutées par l'État-major Impérial, et de points d'appui pour les opérations astronomico-géographiques, que le même établissement avait en vue d'entreprendre, pour la confection exacte des atlas du pays, daus les gouvernements sur lesquels les opérations géodésiques ne devaient point s'étendre. A l'aide d’un grand nombre de chronomètres de haute qualité, nous espérions atteindre notre but, par un seul voyage en allant de Moscou à Varsovie et en revenant. Les résultats de l'expédition, sur laquelle j'ai à rapporter ici, prouveront que nous n’avons pas été trompés dans cet espoir.

Parmi les points à déterminer par ce voyage, les observatoires de Kharkov, de Nicolajev et de Kiev, occupaient le premier rang. Les longitudes de ces trois points devaient être déter- minées soit en allant de Moscou à Varsovie, soit en retournant. Pour les autres lieux, de seconde

160 O0. STRUVE.

classe, une seule détermination de la longitude parut suffisante, et il fut arrêté que seulement de tels points seraient déterminés, sur lesquels, lors de l’arrivée, l’état de l'atmosphère pro- mettrait de pouvoir gagner une bonne détermination du temps, sans obliger les voyageurs de rester plus d'un jour sur le lieu. Cette dernière restriction était essentielle, pour ne pas porter préjudice à l'exactitude de la détermination des longitudes des trois observatoires nommés, en étendant outre mesure les durées du transport du temps, par des séjours plus prolongés sur les stations moins importantes. C’est pourquoi le nombre des stations de seconde classe ne s'élève qu'à cinq. C'étaient les villes Orel, Poltava, Krementschoug, Odéssa et Jitomir. La dernière

seulement fut déterminée en allant de Moscou à Varsovie, les quatre autres pendant le voyage de retour.

L'Observatoire central me chargea de nouveau de l'exécution et de la direction du travail, De la part de l'État-major Impérial, M. Schvarev, officier du Corps des Topographes, le même qui, l'année précédente, avait déjà surveillé le transport des chronomètres entre Poulkova, Moscou et Varsovie, me fut donné pour aide, dans les comparaisons des chronomètres et les jonctions des lieux d'observation avec des points bien désignés. En outre, les astronomes des observatoires de Moscou, Nicolajev, Kiev et Varsovie furent invités à nous porter assistance, en nous fournissant, à l’aide des instruments fixes de ces établissements, les corrections des hor- loges pour les époques des comparaisons de nos chronomètres. Dans ces lieux, la comparaison faite, il restait donc seulement à déterminer les équations personelles des différents observateurs, par rapport à ma manière d'observer les passages.

À Kharkov et sur les points de seconde classe j'avais à déterminer moi-même le temps absolu. Pour ce but, j'étais muni d'un théodolithe astronomique d’Ertel, arrangé dans sa position verticale pour la mesure des distances au zénith. Le cercle de cet instrument a 9,6 pouces de diamètre, la lunette a une ouverture de 1,33 pouces avec une distance du foyer de 13,5 pouces. Le grossissement employé était toujours le même de 30 fois.

Là, où l’on peut vouer beaucoup de temps aux observations et où un instrument des pas- sages bien solidement établi est à la disposition de l’astronome, le théodolithe, employé comme cercle vertical, ne peut guères rivaliser, quant à l'exactitude des résultats, avec un instrument les passages d'égales dimensions. Mais cet avantage de l'instrument des passages disparaît com- »lètement, dès qu’il s’agit d'observer à la hâte et sans avoir le moyen d'établir l'instrument sur in fondement très solide. Dans ce cas l'instrument est d'ordinaire sujet à des variations dans les deux sens, de l’azinuth et de linclinaison de l'axe. Dès qu'on observe des distances au zénith, comme on le fait par le théodolithe, les variations dans le sens de l’azi- muth sont indiflérentes, el eelles qui se produisent dans l'inclinaison de l'axe vertical seront indiquées et éliminées par l’usage simultané du niveau fermement appliqué à la périphérie du cercle vertical. Au contraire, dans l'usage de l’instrument des passages au méridien, il n’est pas moins important de connaitre exactement l’azimuth de la lunette, que de déterminer l'inclinaison de l'axe. Par des observations fréquentes du niveau qu’on place sur l'axe, les variations de l'inclinaison peuvent être reconnues loujours avec une exactitude suffisante, mais les détermi-

ExPÉDITIONS CHRONOMÉTRIQUES DE 1846. 161

nations de l’azimuth ne peuvent se faire, en général, que par des périodes de plus longue durée, et dans ces périodes il faut supposer que les variations de l'azimuth se soient opérées en pro- portion du temps écoulé, supposition qui ne peut être rigoureuse pour un établissement peu solide de l'instrument. 1l y a donc des difficultés presque insurmontables qui s'opposent à une détermination exacte du temps absolu à l'aide de la lunette méridienne, dans des conditions comme elles devaient se présenter presque partout, pendant le voyage projeté, tandisque le cercle vertical devait fournir des résultats qui seraient à l'abri de toute objection basée sur l'emplacement moins solide de l'instrument. Telles étaient les considérations qui nous enga- gèrent à nous servir du théodolithe dans le but indiqué. Il faut ajouter que l'usage de cet instrument possède encore cet avantage, qu'il fournit des résultats d’une exactitude distinguée, dans un intervalle de temps comparativement bref, et sans obliger l’astronome d'attendre l'ap- proche de la nuit; car à chaque heure du jour il y a des étoiles assez luisantes dans le voisi- nage du premiér vertical, donc propres à la détermination du temps.

Je me suis servi du même instrument pour déterminer les latitudes des 5 points de seconde classe. Je l'ai employé également pour les déterminations des latitudes des observatoires de Kharkov et de Kiev, pour lesquels, à l’époque de notre voyage, cet élément n'était pas encore fixé avec exactitude.

Le nombre des chronomètres qui devaient servir au transport du temps fut fixé à en- viron 40. Ce nombre fut bientôt au complet par la coopération active de feu M. Dent qui nous envoya exprès, pour l'usage dans ce voyage, une collection de 20 de ses excellentes hor- loges marines. La majeure partie de ces chronomètres n'avaient été mis en mouvement, que peu de temps avant leur départ. C'est pourquoi nous reconnaissons, dans presque tous ces chronomètres, une accélération assez considérable de la marche. Néanmoins presque toutes ces horloges ont fourni des résultats bien satisfaisants, malgré les conditions très désavantageuses du voyage. Voici la liste des chronomètres que nous avions à notre disposition, pendant cette

expédition.

1) Kessels 1290 15) Dent 1739 29) Dent 1953 2) Dent 1818 16) « 1774 30) « 1954 3) Hauth 32 17) « 1776 31) « 1956 4) Kessels 1276 18) « 1787 32) « 1957 5) Hauth 11 19) « 1789 33) « 1963 6) Hauth 18 20) « 1798 34) « 1965 7) Arnold et Dent 951 DA ARNO EN 11,235) «' 1968 8) Kessels 1298 22) « 1808 36) « 1975 9) Kessels 1297 23) « 1732 - 87) « 1998

10) Dent 1828 24) « 1752 38) « 2000

11) « 1613 25) « 1761 39) « 2001

12) « 1687 26) « 1862 40) « 2022.

13) « 1705 27) « 1919

14) « 1730 28) « 1920

Mémoires sc. math. et phys. T. VI. 21

162 O0. STRUVE.

Dans ce nombre il y a le chronomètre comparateur Kessels 1290 qui fait 13 battements en 6 secondes, le chronomètre sans compensation Arnold et Dent 951, trois chronomètres réglés sur le temps sidéral Hauth 11, Hauth 18 et Kessels 1297, et deux chronomètres de poche Hauth 32 et Kessels 1276. Tout le reste sont des chronomètres de boîte réglés sur le temps moyen.

Le voyage fut exécuté dans la même voiture qui avait servi dans les expéditions de l’année précédente, et l'emplacement des chronomètres s’y faisait de la même manière qu’à l’occasion antérieure. Aussi le théodolithe pourvu d’un pied construit particulièrement pour ce but, fut transporté dans la même voiture. |

Nous partimes de Poulkova le 24 juin 1846, en nous dirigeant d'abord sur Moscou. Pendant ce voyage la température était en général très basse pour la saison, et dans les nuits elle tombait jusque près de zéro. Néanmoins la température moyenne dans laquelle se mou- vaient les chronomètres, et qui fut indiquée par le chronomètre sans compensation, restait au dessus de + 11°R.; mais si même parfois la température a été considerablement plus basse encore, pendant ce voyage, elle ne peut avoir produit aucun effet désavantageux sur les résul- tats à déduire, parce que ce ne fut qu'avec le départ de Moscou que commencèrent nos opéra- tions proprement dites. Notre départ de Moscou date du 30 juin. La marche ultérieure du voyage se voit le mieux dans le tableau suivant des époques où nous avons fait, bieñtôt après l'arrivée ou peu de temps avant le départ, dans les différents endroits, les comparaisons des chronomètres.

Moscou le 30 juin 1570

Kharkov le 6 juillet 21/4 et le 7 juillet 11 70 Nicolajev le 12 juillet 21/2 et le 14 juillet 2173 Kiev le 17 juillet 8/6 et le 18 juillet 975 Jitomir le 19 juillet 1475

Varsovie le 23 juillet 1473 et le 28 juillet 20/5 Kiev le 2 août 14/9 et le 3 août 14/9 Nicolajev le 5 août 2176 et le 7 août 20/6 Odessa le 9 août 9/3

Nicolajev le 11 août 1270

Krementschoug le 13 août 10/6

Poltava le 1% août 10/6

Kharkoy le 15 août 15/4

Orel le 18 août 11/0

Moscou le 21 août 1/2 et le 21 août 216 Poulkova le 25 août 20/6.

Il s’en suit que, pour aller de Moscou à Varsovie et pour retourner, nous avons employé le même nombre de 23 jours. La somme des distances parcourues dans ce voyage s'élève à environ 6000 verstes.

ExPÉDITIONS CHRONOMÉTRIQUES PE 1846. 163

Lorsque nous partimes de Moscou, la température était encore assez basse et des pluies à verse abîmaient les routes. Mais depuis l’arrivée à Kharkov l’état de l'atmosphère changeait tout d’un coup. La température s’éleva rapidement et acquit même une hauteur excessive d'environ 30° R. pendant notre voyage dans les steppes du gouvernement de Kherson, entre Krement- schoug et Nicolajev. Aussi pendant tout le reste du voyage la température de l'atmosphère restait- elle constamment très élevée, de sorte que la température moyenne dans laquelle se trouvaient les chronomètres ne s’abaissait aucun jour au dessous de 18°R

On voit, dans le tableau précédent, qu’en général nos séjours sur les lieux à déterminer n'étaient que de très courte durée. Dans les cas où ils étaient un peu plus prolongés, ces pro- Jlongations étaient nécessitées soit par l’état de l'atmosphère soit par une révision ou une répa- ration de la voiture. Ce n’est qu'à Varsovie que notre séjour s'étendit au delà de 5 jours, à cause d'une attaque de maladie produite par les fatigues du voyage et des observations, et par les chaleurs excessives auxquelles nous avions été exposés les jours précédents. C’est encore bien heureux que cet accident m'arriva à Varsovie même, dans l'intervalle entre la fin du premier voyage et le commencement du voyage de retour, de sorte que ce retard n’est d'aucune in- fluence sur l'exactitude du transport du temps.

La détermination de la longitude d'Odessa était, pour ainsi dire, un hors — d'oeuvre dans uotre expédition, parce que les routes qui joignent les trois observatoires à déterminer, d'un côté avec Moscou, de l'autre avec Varsovie, ne passent pas par cette ville. Mais la détermination exacte de la longitude du port principal de la Mer Noire nous parut bien digne d'une expédi- tion à part, à entreprendre en partant de Nicolajev, et la distance comparativement petite entre les deux lieux promettait que cette extension de notre expédition pourrait être exécutée sans augmenter considérablement la durée du transport du temps pour la détermination des points principaux. En outre si, par hazard, pendant ce voyage d'Odessa, quelques chronomètres avaient montré des irrégularités dans leur marche, elles pouvaient être éliminées de la marche générale pendant l'expédition principale, à l’aide des deux déterminations du temps absolu, faites à Nico- lajev, l'une avant le commencement, l’autre après la fin du voyage d'Odessa.

Par les soins de mon respectable ami M. Knorre, directeur de l'observatoire de Nico- lajev, le voyage d’Odessa devint en même temps une récréation pour les voyageurs fatigués par les chaleurs et le séjour continuel dans la voiture. Par son intercession, feu l'amiral Lasa- rev, alors commandeur en chef de la flotte de la Mer Noire, eut la bienveillance de mettre à notre disposition, pour ce voyage, un bateau à vapeur de la marine Impériale. En outre, M. Knorre, en nous accompagnant, élevait encore, par ses conseils et sa conversation instructive, le plaisir et l'utilité du voyage et nous rendit des services directes, en se chargeant, à Odessa, de la majeure partie des mesures nécessaires pour la jonction du lieu d'observation avec la cathédrale de la ville, jonction qui, par des circonstances particulières, offrait des difficultés extraordinaires. Je me permets d'exprimer ici à M. Knorre ma plus vive gratitude, pour la coopération active avec laquelle il seconda le but de notre expédition, dans toutes les occasions qui s’offraient.

164 à O0. STRUVE.

Pendant tout le voyage, dépuis le départ de Poulkova jusqu'au retour, les chronomètres furent soigneusement comparés entre eux, tous les deux jours, à 9 heures le matin. J'ai fait ces comparaisons dans l'intention de m'en servir pour une déduction des poids relatifs des chro- mètres, d’après la méthode que j'avais suivie dans le voyage de 1842; car ici la méthode basée sur des retours multiples sur les mêmes points ne pouvait trouver application. Cependant j'ai renoncé plus tard à l'exécution de ce travail, à cause de la quantité exorbitante de calculs qu'il aurait réclamée, et qui n'aurait été en aucune proportion avec le petit avantage en exacti- tude ou plutôt en rigueur de méthode, qu’on aurait gagné par ce procédé. Par cette raison, les comparaisons régulières des chronomètres ne m'ont servi que pour découvrir quelques fautes accidentelles d'écriture qui s'étaient glissées dans les comparaisons principales faites les jours voisins sur les lieux d'observations, et dont les longitudes de ces lieux ont été déduites.

Tous les calculs relatifs à ce voyage ont été faits, en premier lieu, par moi même. Pour les calculs de contrôle, j'ai eu recours à l'assistance de plusieurs jeunes astronomes attachés à Observatoire central et des officiers du Dépôt Topographique qui y font leur cours d’astro- nomie pratique. C'est pourquoi j'ose prétendre que tous les calculs sont aussi exactes que l'admettaient les données fournies par le voyage.

$ 2. Déterminations du temps absolu.

a) Moscou.

L'instrument dont nous nous sommes servis à Moscou, pour la détermination du temps, était le même instrument des passages qui avait été employé par M. Dôllen, dans les expédi- tions des deux années précédentes. L’horloge d'observation était la pendule d'Utzschneïder, établie dans le petit pavillon de l’observatoire de Moscou, près du dit instrument des passages. Tout ce qui regarde l’usage de cet instrument et les méthodes d'observation et de réduction, a été exposé en détail dans nos rapports sur les expéditions antérieures. Je ne donnerai donc ici que les résultats des observations.

Le 30 juin, avant les comparaisons des chronomètres, une série complète d'observations pour la détermination du temps, fut exécutée par moi même. Plus tard, après la fin des com- paraisons, M. Schweizer fit une seconde série d'observations pour le même but. Afin de pouvoir réduire les résultats des observations de M. Schweizer, sur ma manière d'observer les passages, nons avons déterminé, à la même époque, notre équation personnelle:

Schweizer — O. Struve +- 0040.

Eu égard à cette équation personnelle, nos deux séries d'observations combinées donnent le 30 juin, pour 22” 13” + { temps sidéral de Moscou, la correction de la pendule d'Utz- schneider — + 0* 022% — 01144, « étant le nombre d'heures écoulées depuis 22} 13”.

ExPÉDITIONS CHRONOMÉURIQUES DE 1846. 165

Après mon retour du voyage, M. Schweizer fit seul les observations le 20 et le 21 août. Après avoir appliqué également son équation personnelle par rapport à moi, ces observations

donnent: le 20 août 19” 3” temps sid. de Moscou, la correction de la pendule — + 0” 867 CC TE LCR « « « « — +0 8,30

ce qui fait la marche horaire de l'horloge, pour ce jour, — — 0;016.

b) Varsovie.

Les observations de Varsovie ont été faites de nouveau par M. Baranovski qui les avait déjà faites l’année précédente, à l’aide de la même lunette méridienne et de la même pen- dule d'observation, Gugenmus 3. Ces nouvelles observations de M. Baranovski donnent:

le 22 juillet 13° 30” temps sid. de Varsovie, la correction de la pendule — + 0” 3131

Mac u15:25 « « « « = 32,81 Ado « 3 0 « « « « — 33,48 « 28 « 19 0 « « « « — 40,63 «28 « 3 30 « « « « — 40,99.

Ces résultats sont déjà réduits à ma manière d'observer les passages, par l'application de l'équation personnelle: Baranovski — O. Struve + 05157, déterminée l’année précédente. A cause de la maladie dont j'ai été attaqué à Varsovie, cette équation personnelle ne pouvait être vérifiée en 1846; mais l'espace de temps qui sépare nos dernières déterminations de cette équation, de l’époque des observations, ne s’élevant guère à 8 mois, il n’y a pas lieu de craindre qu’elle ait changée d’une quantité sensible dans cet intervalle. Au moins l'expérience nous prouve que, pour des observateurs exercés, les changements de l'équation personnelle ne se font que très lentement.

c) Kharkov.

L'Université de Kharkov possède une belle collection d'instruments astronomiques, entre autres un grand cercle mural de Troughton et une lunette méridienne du même artiste, égale- ment de grandes dimensions. Ces deux instruments sont construits déjà en 1827, mais jusqu'à présent il manque encore à l'Université un édifice, où les placer et employer convenablement. En attendant le professeur actuel d'astronomie à cette Université, M. Schidlovsky, a fait ériger, dans le jardin botanique, un observatoire temporaire consistant en une petite maisonnette de bois, avec un toit mobil, au centre de laquelle se trouve un pilier maçonné. C'est dans cette maisonnette que les étudiants d'astronomie peuvent s'exercer dans l'usage des instruments transportables, dont la collection est très complète. En 1846 M. Schidlovsky avait établi sur le pilier, un instrument des passages. C’est le même instrument qui, dans notre expédition de 1843, avait servi aux observations faites à Lubeck, par feu M. Nehus. Les qualités supé-

166 O0. STRUVE.

rieures de cet instrument nous étaient donc bien connues, mais malheureusement, à cause de l'absence du professeur Schidlovsky, à l'époque de notre première visite de Kharkov, je ne pus en faire usage pour la détermination du temps. Par cette raison, pour le premier passage par Kharkov, j'étais obligé de déterminer les corrections des chronomètres, à l’aide du théodolithe, de la même manière que sur les points de seconde classe. Après avoir établi cet instrument tout près de l'observatoire temporaire, j'ai trouvé les corrections suivantes — c du chronomètre d'observation Kessels 1297. Par 8 hauteurs de « Lyrae à l'Est c—+24"51;71, pour 15/32” temps du chron. « 8 «. de n Ursae ma]. à l'Ouest c— + 2% 51,59, pour 16 18 « «

Moyenne c— +24 51,65, pour 15 55 temps du chron.

Lorsque nous passämes la seconde fois par Kharkov, M. Schidlovsky, de retour de son voyage, eut la complaisance de mettre à ma disposition, pour la détermination du temps, le dit instrument des passages, en me fournissant en outre les données nécessaires pour la ré- duction des observations, nommément la valeur angulaire d'une division du niveau et les distances des fils latéraux au fil du milieu. Avec ces données mes observations, continuées pendant trois heures, dans les deux positions opposées de l'instrument, donnent le 13 août la correction du chronomètre Kessels 1297: c— +27" 399, pour 22° 33” du chronomètre.

d) Micolajev.

Toutes les observations de Nicolajev ont été faites par M. Knorre, à l’aide de l'excellent cercle méridien de cet observatoire. Un extrait du journal d'observations, que M. Knorre m'a envoyé, contient, à côté des observations faites pour le but immédiat de notre expédition, une série complète de recherches qui fournissent tous les éléments nécessaires pour les réductions instrumentales. Le calcul de ces observations a été fait par moi, autant que possible d’après les règles exposées dans nos rapports sur les expéditions antérieures.

La méthode d'observation de M. Knorre différait de celles que nous avons suivies dans nos déterminations du temps absolu, dans ce point important que l'inclinaison ne fut pas dé- duite des indications du niveau placé sur l'axe, mais de la combinaison des observations directes des étoiles, surtout circompolaires, avec les passages réfléchis par un horizon artificiel. En n’employant que les passages de la Polaire et de à Ursae min., j'ai déduit, des obser- vations de M. Knorre, la liste suivante des inclinaisons de l’axe, exprimées en secondes de

temps. Cercle Ouest. Cercle Est. 5 juillet —+- 0;268 Duc + 0,266 8 « + 05365 8 « + 0,364 9 « + 0,398

ExPÉDITIONS CHRONOMÉTRIQUES DE 1846. 167

Cercle Ouest. Cercle Est. 9 juillet + 0;430 10 « + 0,383 10 « : + 0,403 Aide :« , + 0,408 » 11 « + 0,385 1 le Er + 0,461 14 « + 0246 16 « —+- 0,256 18 « + 0,307 18 « + 0,215 11 août + 0,372 dilius:ic —+- 0,601.

Abstraction faite de la dernière inclinaison observée le 11 août dans la position de l'instru- ment, Cercle Ouest, on voit que, pendant le mois de juillet, l’inclinaison a été admirablement constante. Or, en rejetant l'observation du 11 août, nous avons en moyenne:

Cercle Ouest 1 — + 0,260 Cercle Est i— + 0,397.

Evidemment il y a une différence constante entre les inclinaisons observées dans les deux positions de l'instrument, différence qu’il faut attribuer à une inégalité dans les épaisseurs des deux tourillons. L'inclinaison étant plus grande dans la position de l'instrument ,,Cercle Est‘ nous devons conclure que le tourillon qui se trouve du côté du cercle a le diamètre plus petit, que celui de l’autre bout de l'axe.

Toutes les observations de M. Knorre ont été réduites à l’aide des valeurs moyennes précédentes de l'inclinaison, à l'exception toujours de celles du 11 août. L'inclinaison plus forte observée ce jour, dans la seconde position de l'instrument, quoiqu'elle ne soit déduite que d’un seul fil de à Ursae min. observé directement et de deux fils réfléchis, n’en est pas moins réelle, à ce qui suit des observations directes et réfléchies de plusieurs étoiles zénithales obser- vées également dans la seconde position de l'instrument. Nous devons donc supposer que, ce jour là, l'opération du renversement de l’axe ait produit un changement dans l'inclinaison.

La collimation de l'axe optique a été déduite de la combinaison de plusieurs passages de la Polaire et de S Ursae min., observés dans les positions opposées de la lunette. La valeur moyenne de la collimation fut trouvée ainsi c— + 0141, pour la position Cercle Ouest de l'instrument, avec des différences seulement de quelques centièmes de seconde, pour les diffé- rentes combinaisons. Cette valeur de c est très exacte; mais si même il y a encore une petite incertitude, elle disparaît entièrement dans les résultats moyens des corrections des horloges, déduites d'observations faites dans les positions opposées de l'instrument.

L’azimuth de la lunette à été déduit chaque jour à part, tantôt de la combinaison des pas- sages supérieur et inférieur de la Polaire ou de à Ursae min., tantôt à l'aide d’un passage d’une

168 O0. STRUVYE.

des deux étoiles polaires, combiné avec celui d’une étoile équatoriale. Voici la série des azi- muth déterminés par M. Knorre:

5 juillet a — + 1;217 15 juillet a —+1;184

8 « —+- 1,228 16 « + 1,135

9 « + 1,183 18 « + 1,207

MAD « + 1,171 19 « + 1,202

11 « + 1,149 7 août + 1,127

12%%c + 1,126 11 « + 1,236

413 ic + 1,163 11 « —- 0,999 14 « + 1,264

On reconnaît que l’azimuth est resté invariable pendant toute la période des observations, à l'exception toujours du dernier jour où le choc dont l'effet a été reconnu par le changement de Yinclinaison après le renversement de l'axe, paraît avoir produit également un petit déplace- ment dans le sens horizontal.

Ayant rassemblé dans ce qui précède, tout ce qui regarde les corrections instrumentales pour les observations de M. Knorre, il ne reste qu'à donner les corrections définitives de la pendule de Berthoud qui a servi dans ces observations.

Date. Temps sid. Corr. de la pend. Marche journ. Juillet 5 1° 59" — 1:10 ; AR à — 1,30 Fais « 921 9 10 HAE « 10 19 22 — 0,82 à sat « 11 19 12 — 0,22 Hors « 12 5 7 045 pti « 143 12 11 a 1] + 0,182 PEL TE 0 50 + 0,58 ANG M 0.551 0,009 € 14 3 96 + 0,58 +- 0,038 € 15 17 49 + 0,59 «10 DIS E + 0,67 Roue « 18 16 7 + 1,23 Re « 19 0 36 + 2,32 Frs « 23 18 58 + 5,95 LEE « 30 19 39 + 9,93 tu op Août 6 5 31 +-10,30 Fe CT 15 11 20,07) + 1,570 u 710191 07 +-20,340 + 0,655 « 11 15 8 +-22,69 ï + 0,653 « 11 19 31 +-22,90 0.875

ExPÉDITION CHRONOMÉTRIQUE DE 1846. 169

On voit de cette liste que la marche de la pendule n’a pas été des plus régulières. Cepen- dant l'irrégularité de sa marche ne pourra considérablement affecter la longitude à déduire, parce que les époques des comparaisons des chronomètres coïncident toujours, à une ou deux heures près, avec des déterminations du temps absolu.

Pour déterminer notre équation personnelle nous avons fait, M. Knorre et moi, deux séries complètes d'observations, à l’aide du cercle méridien, et nous avons trouvé en moyenne:

le 13 juillet Knorre — O. Struve — 0018 avec l’err. prob. — 0016 1% « — 0,006 0,025

Moyenne Knorre — O. Struve — 0,013 avec l’err. prob. — 0,015.

Il n'y a donc pas d'équation personnelle dans la manière d'observer les passages de la part de M. Knorre et de ma part; au moins, si elle existe, elle est si petite qu'elle ne s'élève pas même à la valeur de l'erreur probable de sa détermination. Mais cette détermination a encore un intérêt particulier. Déjà en 1821 M. Knorre et mon père déterminèrent leur équation personnelle relative qui se trouva alors (Obs. Dorp. vol. UT, Introd. pag. L)

Knorre — WW. Struve +- 05022.

Mais en combinant, avec l'équation précédente entre M. Knorre et moi, celle qui fut déterminée en 1845 entre mon père et moi (voyez Rapport sur l'expéd. chron. de 1845 pag. 51) nommément

WW. Struve — O. Struve — 0043,

nous avons pour 1846 | Knorre — JF. Siruve + 05030,

ce qui prouve que, dans le courant de 25 ans, pas le moindre changement relatif n’a eu lieu dans la manière d'observer les passages de la part de ces deux astronomes exercés.

e) Kiev.

À l'époque de mon arrivée à Kiev, le 17 juillet, l'instrument des passages de cet obser- vatoire, dont les dimensions égalent de très près celles de la lunette méridienne de Poulkova, n'avait pas encore été employé pour des déterminations exactes du temps et ne se trouva pas encore en complet état de vérification. Par cette raison, les éléments de réduction n'étant pas donnés, il fallait tâcher d’arranger les observations de sorte que les quantités inconnues de l'azimuth et de la collimation, ne pussent affecter sensiblement les résultats. C'est pourquoi nous résolûmes d'observer exclusivement des étoiles zénithales, en nombre égal dans les deux positions de la lunette, en y ajoutant toujours quelques passages des étoiles plus voisines du

pôle, pour une déduction approximative de l'azimuth. Le jour de mon arrivée, le 17 juillet, Mémoires sc. math. et phys. T. VI. 29

170 O0. STRUVYE.

j'ai fait moi-même les observations, mais, le jour suivant, ce fut déjà feu M. Poloukhtovitch, alors adjoint de l'observatoire de Kiev, qui les exécuta sous ma direction. Nos observations donnent les corrections suivantes de la pendule de Hauth établie près de l'instrument des passages :

le 17 juillet 17” 8”temps sid. de Kiev c— —0” 17:59 Luc 15 M0 « c— —0 22,86, d'où nous tirons la marche journalière de l'horloge = — 5;#1.

Après mon retour de Varsovie, M. Poloukhtovitch observa seul. A cette époque posté- rieure, l'instrument étant déjà beaucoup mieux rectifié, les observations offrent des résultats plus satisfaisants. Elles ont donné les corrections suivantes de la pendule de Hauth:

le 2 août 15° 20” temps sid. de Kiev c—— 1” 45:27 3 « 18 24 « « c——1 51,39. u Donc nous avons, à cette époque, la marche journalière de la pendule — — 543, sensiblement

égale à celle que nous avions trouvée par les observations de la première période.

Il faut remarquer encore que tous les résultats des observations de M. Poloukhtovitch sont déjà corrigés de l'effet de son équation personnelle par rapport à moi, qui était assez considérable. Deux jours de comparaisons fournissaient les équations suivantes:

le 18 juillet Poloukhtovitch — O. Struve + 0228 avec l’err. prob. — 0;079 3 août « « —+ 0,383 « — 0,049

Moyenne Poloukhtovitch — O. Struve + 0,305.

La différence entre les résultats des deux jours s'explique par les erreurs probables de chaque résultat, plus fortes qu'il ne fallait attendre. Il y a lieu de supposer que l'augmentation des erreurs probables, surtout pour le premier jour d'observation, est due principalement au manque d'exercice, dans ce genre d'observations, de la part de M. Poloukhtovitch. Les deux équations étant déduites du même nombre de fils observés, il paraît que 16 jours d’ob- servation avaient déjà suffi à le rendre beaucoup plus constant dans sa manière d'observer. En tout cas, la moyenne arithmétique des deux déterminations ne peut différer que de peu de cen- tièmes de seconde, de la valeur exacte de l'équation personnelle.

f) Jitomir, Odessa, Krementschoug, Poltava et Orel.

Sur tous les cinq points de seconde classe, j'ai fait les observations à l’aide du théodolithe. Pour la détermination du temps j'observais les distances zénithales de deux étoiles, dans le voisinage du premier vertical, dont une se trouvait à l'Ouest, l’autre à l'Est, Le chronomètre d'observation était partout le même, Kessels 1297, dont la marche assez forte, par rapport au temps sidéral, nous était connue comme très régulière, par des expériences antérieures, En désignant les corrections de ce chronomètre par c je donnerai d’abord les résultats tels qu'ils suivaient directement des observations, sans les réduire sur la même époque pour les deux étoiles.

ExPÉDITION CHRONOMÉTRIQUE DE 1846. 171

Jitomir le 19 juillet.

20*24" temps du chron. par 5 hauteurs de &« Andromedae à l'Est c— — 4” 44,96 20055 0 « « 4 « a Lyrae à l'Ouest c——%4 44,78 Moyenne pour 20° 407 c— —%4 44,87.

Odessa le 9 août.

15% 13” temps du chron. par 8 hauteurs de « Lyrae à l'Est c— +4" 4673 17 30 « « « 8 « Arcturus à l'Ouest c— +4 46,49

Moyenne pour 1621" c— +4 46,61.

. Krementschoug le 13 août.

17/2” temps du chron. par 8 hauteurs de « Lyrae à l'Est c—+15"39;59 189 « « « 8 « Areturus à l'Ouest c— +15 39,89

Moyenne pour 1736" c—+15 39,74.

Poliava le 14 août.

18° 48” temps du chron. par 4 hauteurs de Arcturus à l'Ouest c— +207 23;28 19 22 « « « 4 « a Andromedae à l'Est c—+20 23,79

Moyenne pour 19°5” c—+20 23,54.

Orel le 19 août.

19° 45” temps du chron. par 5 hauteurs de &« Coronae à l'Ouest e— +26” 34:92 20 25 « « « 4 « & Andromedae à l'Est c— +26 35,65

Moyenne pour 20*5" c—+26 35,28.

Les différences dans les résultats obtenus à l'Est et à l'Ouest, doivent être attribuées à l'effet combiné de trois causes, savoir à la marche du chronomètre, à une flexion de la lunette et aux erreurs accidentelles des observations. Le signe positif de la marche du chronomètre, par rapport au temps sidéral, se prononce ici en général; mais la quantité est variable par suite des deux autres causes agissantes. La moyenne arithmétique entre les deux résultats trouvés sur chaque station, doit être regardée comme l’exacte correction du chronomètre cor- respondante à l’époque moyenne des observations, car la flexion agit aussi en sens opposé sur les deux résultats et, quoique son coefficient ne soit pas toujours exactement de la même gran- deur dans les deux cas, l'incertitude restante par suite de la-partie negligée de la flexion, n'est que petite vis à vis des erreurs accidentelles des observations. Pour pouvoir apprécier approximativement le montant de ces erreurs accidentelles, j'ai comparé 48 déterminations isolées du temps, avec les 12 moyennes correspondantes. Cetle comparaison a donné l'erreur

+

172 O0. STRUVE.

probable de la correction du chronomètre déduite d'une seule hauteur observée — 049, ce qui fait, pour la moyenne de 4 observations, l’erreur probable — 0:24, et pour la moyenne de 8 observations — 0;17; enfin pour la moyenne des résultats obtenus à l'Est et à l'Ouest, l'erreur probable se trouve 0:17, s'il y a eu # observations de chaque étoile, et 0512 si le nombre des observations s'élève à 8. La différence entre les résultats fournis par les deux étoiles est sujette à une erreur probable de 0:34, si le nombre des observations a été 4, et de 0524 pour 8 observations de chaque étoile. Toutes ces erreurs probables ont été trouvées un peu trop fortes, parce que, par l’arrangement symétrique de nos observations, il

y a, dans les résultats moyens, une compensation des erreurs dont les observations isolées ont été affectées.

$ 3. Détermination des latitudes.

Il a été mentionné, dans l'introduction (pag. 161), qu'en dehors des latitudes des points de seconde classe, j'ai déterminé aussi, pendant ce voyage, celles des observatoires de Kharkov et de Kiev. Plus tard les astronomes de ces deux établissements MM. Schidlovsky et Fedorov m'ont communiqué les résultats de recherches plus étendues, faites par eux dans le même but. Ces résultats seront donnés plus bas, mais je ne le crois pas superflu de donner ici d’abord les latitudes des deux observatoires, telles que je les ai déterminées pendant le voyage, parce qu'elles pourront servir à former un jugement sur l'exactitude générale des données fournies par notre théodolithe.

Dans tous les cas, deux étoiles furent observées, l’une au Nord, l’autre au Sud du zénith. Au Nord c'était toujours l'étoile polaire, observée, selon les circonstances, sous différents angles horaires. Pour l'étoile meridionale au contraire, elle a été observée toujours sous des angles horaires en dedans de 30”. En désignant, pour chaque lieu, le résultat fourni par l'étoile polaire par N, et celui que nous a donné l'étoile meridionale par S$, nos observations donnent directement les latitudes suivantes:

Latitude de Kharkov.

Par 8 observations de & Bootis S—50° 0° 877 « 8 « « Polaris N=— 11,4

N — $S — EE PAT fe

Latitude de Kiev.

Par 8 observations de & Coronae $ — 50° 27° 12,3 «8 « « Polaris IN 12,7

N—S— + 0,4.

EXPÉDITION CHRONOMÉTRIQUE DE 1846. 473

Latitude de Jitomir. Par 4 observations de & Aquilae $ — 50° 15° 18,6

€ 4 « « Polaris N— 24,2 N— S—= + 5,6.

Latitude d'Odessa. Par 8 observations de & Coronae S — 46° 29° 39/0

« 8 « « Polaris N—= 41,9 N—S— + 92,9.

Latitude de Krementschoug. Par 8 observations de &« Ophiuchi S— 49° 3" 51,4

« 8 « « Polaris N—= 58,1 N— S— +6,17.

Latitude de Poltava. Par 4 observations de & Aquilae $ — 49° 34° 53,9 « 4 « « Polaris IN 39 9,3

N—S—+11,4.

Latitude d'Orel. Par 4 observations de &« Aquilae $ — 52° 58° 25,9 € 4 « « Polaris N=— 27,3

N— S— + 1,4.

Ayant comparé 64 observations isolées avec les 16 moyennes correspondantes, l'erreur probable d’une seule observation se trouve — 2/0, ou de la latitude déduite de 4 observations de deux étoiles — 0/70, de 8 observations — 0,50. Il s’en suit que, par le seul effet des erreurs accidentelles des observations, les résultats fournis par les deux étoiles doivent offrir, d'après la probabilité, des différences de 1/40, si chaque étoile a été observée 4 fois, et de 0,99 si le nombre des observations a été de 8.

En comparant maintenant les différences observées N — $, avec les valeurs qu'il fallait leur attribuer si elles étaient produites par de seules erreurs accidentelles, nous voyons que, pour Poltava, le N — S observé est 6 fois plus grand qu'il ne fallait l’attendre. Nous voyons en outre que tous les N — S sont du même signe positif, tandisqu'ils devaient être tantôt positifs, tantôt négatifs, s'ils étaient produits uniquement par des erreurs accidentelles. Nous en con- cluons qu'il y a, dans l'instrument ou dans la manière d'observer, une cause qui fait que toutes

174 O. STRUVE.

les distances au zénith ont été trouvées trop petites. L’analogie nous conduit à supposer que cette cause consiste dans une flexion de la lunette, dont l'effet sur les latitudes serait en propor- tion du sinus de la distance zénithale de l'étoile observée. D'un autre côté il y a lieu de sup- poser aussi qu'il y ait des causes dont l'effet serait le même pour toutes les distances au zénith, mais de signe opposé au Nord et au Sud du zénith. Un tel effet pourrait être produit, par exemple, si l'objectif de la lunette ou la plaque qui porte les fils d’araignée ne sont pas bien fixés dans leurs montures. Le petit nombre de nos observations et l'égalité des coefficients de flexion ne permettent pas de décider, laquelle des deux éauses ait prévalu dans notre cas. Mais cette même circonstance prouve que nous sommes à peu près indépendants dans le choix de la supposition. En tout cas le résultat moyen ne sera changé que de quelques dixiè- mes de seconde, soit que nous donnions la préférence à la première supposition ou à la seconde. Je me suis tenu à la première supposition et en combinant tous les N — S avec les coefficients qui leur conviennent, je trouve en moyenne, la valeur de la flexion horizontale b — + 3,7.

Après avoir corrigé chaque résultat isolé de Hbsinz, nous sommes parvenus aux latitu- des suivantes des lieux d'observation.

Kharkov, par & Bootis S'— 50° 0° 10,5 Polaris N — 8,9

Moyenne — 50 0 9,7 N'—S— —1:6. Kiev, par « Coronae S'— 50°27 138 Polaris N= 10,3

Moyenne — 50 27 12,4 N'—S — — 3,5. © Jitomir, par & Aquilae S'— 50°15° 21,0 Polaris N'— 21,9

Moyenne — 50 15 21,5 N'—S'— + 0,9. Odessa, par « Coronae S'— 46° 29° 4022 Polaris N=— 39,3

Moyenne — 46 29 39,8 N —S — — 0,9. Krementschoug, par & Ophiuchi S'— 49° 3° 53/6 Polaris N'— 55,7

Moyenne — 49 3 54,7 N'—S — +91. Poltava, par & Aquilae S'— 49° 34" 56/2 Polaris N'— 35 3,0

Moyenne — 49 34 59,6 N'—S"— +68. Orel, par « Aquilae _S"— 52°58" 2875 Polaris N'— 25:1

Moyenne — 52 58 26,8 N'— 5" — —3;4.

ExPÉDITION CHRONOMÉTRIQUE DE 1846. 175

Maintenant les N'— S” n'offrent plus rien d’extraordinaire et s'expliquent, d'une manière satisfaisante, par les erreurs accidentelles des observations. Si nous avions pris la moyenne arithmétique entre les premières valeur de N et S, ce n'aurait été que dans le seul cas d'Odessa que nous aurions obtenu un résultat différent de 0,7 de notre latitude définitive, quantité à peu près égale à l'erreur probable de la détermination.

En 1851, M. Schidlovsky a publié un mémoire intitulé: Ueber die geographische Lage der temporairen Sternwarte in Charkow. Dans ce mémoire, M. Schidlovsky donne, comme résultat définitif de différentes séries d'observations faites par lui et par M. Fedorenko, soit avec l’instrument des passages établi au premier vertical, soit avec un théodolithe, la latitude de l'observatoire temporaire de Kharkov — 50° 0° 10/2, valeur différente seulement de 0,5 de notre détermination.

À Kiev, M. Fedorov a déterminé la latitude du centre de l'observatoire à 50° 27 1255, à l’aide du grand cercle méridien d'Ertel, appartenant à cet observatoire. Le lieu où j'avais établi mon théodolithe, était de 81 pieds au Sud du centre de l'observatoire. IL faut donc ajouter 0/8 à ma détermination pour la rendre comparable avec celle de M. Fedorov, ce qui fait ma détermination de la latitude du centre de l'observatoire — 50° 27 12/9, différente seule- ment de 0/4 du résultat des observations de M. Fedorov.

La petitesse de ces différences, — 0,5 et + 0,4, entre les latitudes déterminées pendant notre voyage et les résultats plus exacts obtenus par des moyens instrumentaux considérable- ment supérieurs, me parait un témoignage très favorable pour l'exactitude de nos observations. Elle prouve en même temps que les erreurs probables telles que je les ai déduites de l'accord des différentes observations entre elles, ne sont pas trop petites, et qu'il n’y a aucune raison qui nous fasse supposer que nos observations soient sujettes à des erreurs de nature constante.

$ 4 Comparaïisons des chronomètres et des horloges d'observation.

Les comparaisons des chronomètres ont été faites, sous tous les rapports, d’après les mêmes règles que dans les expéditions de l'année précédente. Mais parce qu’en général, dans notre expédition de 1846, les horloges d'observation ont changé d’un lieu à l’autre, il paraît conve- nable de réunir ici d'abord les comparaisons entre notre chronomètre auxiliaire et les horloges d'observation, pour lesquelles les corrections se trouvent dans le 2. Chaque comparaison donnée dans les listes suivantes, est la moyenne arithmétique au moins de deux comparaisons entre les deux horloges.

Comparaison des horloges d'observation avec K. 4290.

Moscou, le 30 juin. Kharkov, le T juillet. K. 1290. Pend. d’'Utzschneider. K. 1290. K. 1297. 14538"41:85 21* 50”45:00 4 4"39500 11 12733:00 15 4 57,46 22 17 5,00 9 31 20,46 16 40 7,67

15 20 49,85 22 33 0,00 11 0 19,85 18 9 21,50

176 O. STRUVE.

Nicolajev, le 1h juillet.

K. 1290. Pendule de Barrauds. 11 0733538 18/45”16:33 18 44,08 19 3 30,00 33 195,69 18 4,00 21 3 3,00 4 49 25,00 22 38,31 PL DS UN) 36 17,59 22 45,00.

Kiev, le 18 juillet.

K. 1290. Pendule de Hauth. 9°17*19;:23 17° 12" 2:00 32 42,62 27 35,00 47 27,56 42 22,25. Jitomir, le 19 juillet.

K. 1290. K. 1297. 1415716:85 22? 11” 5475 44 53,66 41 36,38.

Varsowie, le 23 juillet.

K. 1290. 13:56*32:08 21” 33”15:00 14 36 48,46 22 13 38,00.

Varsovie, le 28 juillet.

K. 1290. Pendule Gugenmus 6 207 10718:92 4} 7"45:50 41 6,92 38 38,00.

Kiev, le 2 août.

K. 1290. Pendule de Hauth. 1440742523 23" 37”392:00 15 0 40,85 97 34,00

12 43,85 0 9 39,00.

Nicolajev, le T aout.

K. 1290. Pendule de Barrauds. 20/25" 44577 5} 4771100

38 43,62 6 0 12,06

48 38,54 10 8,50.

Pendule Gugenmus 3.

Odessa, le 9 août.

K. 1290. K. 1297.

9 33554 18:21"49595 9 29,54 27 37,25 26 54,92 45 5,50.

ÎNicolajev, le 11 août.

K. 1290. Pendule de Barrauds. 11/49”46;85 21/25” 36:00 12. 5. 29,77 41 21,50

15 30,69 o1 24,00.

Krementschoug, le 13 août.

K. 1290. K. 1297. 10*23"455923 14 57"45:925

28 48,46 90 92 49,95

45. 9,54 19 6,00.

Poltava, le 14 août. K. 1290. K. 1297. 10:20"52515 19 58”"47:25 27 22,85 20 5 19.00

48 56,77 25 956,50. Kharkov, le 15 août.

K. 1290. K. 1297. 14047N95720008 7900017 15 8 15,69 0 50 53,00

37 39,92 1 20 22,00.

Orel, le 18 août.

K. 1290. K. 1297. 1046742523 20* 4072295

93 44,08 47 25,25

1181992920 21 7 49:95:

Moscou, le 21 août.

K. 1290. Pend. d’'Utzschneider. 8° 44" 0546 19*21”44500 58 91,00 36 37,00 S 11 59,31 _ 49 47,50.

Le chronomètre auxiliaire Kessels 1290 et le chronomètre d'observation Kessels 1297

ont aussi servi au transport du temps. C’est pourquoi, dans les tableaux suivants des com-

paraisons des chronomètres de voyage, nous rencontrons, pour ces deux chronomètres, quel-

ques comparaisons identiques avec les données du tableau précédent.

ExPÉDITION CHRONOMÉTRIQUE DE 1846. 177

Tableau des comparaisons des autres 39 chronomètres avec K. 1290.

Nom du chronomètre. Dent 1818 Hauth 32 Kessels 1276 Hauth 11 Hauth 18 Arnold et Dent 951 Kessels 1298 Kessels 1297 Dent 1828

« 1613

« 1687 « 1705 « 1730 « 1739 « 1774 « 1776 « 1787 « 1789 « 1798 « 1799

« 18038 « 1732 « 1792 « 1761 « 1862 « 1919 « 1920 < 1953 « 1954 < 1956

« 1957 « 1963 « 1965 «< 1968 < 1979 « 19938 « 2000 « 2001 « 2022

Moscou, le 30 juin.

K. 1290. 147 43" 52:15

45

Mémoires sc. math. et phys. T. VI.

Chron. comparé.

12° 50” 49:00

32,20 46,60 94,50 38,00 25,00

0,75 90,50 10,00 48,00

38,90

. 1,25

51,25 32,50 44,00 18,50 57,00 27,00 47,50 17,00

42,00 34,00 21,00 16,50

2,50 15,00

8,00 26,60

7,90 99,00

32,90 30,00 14,00 48,50 36,00 28.00

5,00 41,25 52,90

4!

Kharkov, le T juillet.

K. 1290. Chron. comparé. 231685 2} 30"21:50

-25 7,62 3 14% 18,20

28 39,94 5 37 56,80 31 31,62 11 42 46,00

34 21,46 9 42 10,75 36 49,15 O0 51 0,50 38 46,39 9 47 30,00 4 39,00 11 12 33,00 40 39,92 2 48 20,00 42 26,54 2 43, 1,50 #30 59,310 122452)55)50 45 22,85 20 44 36,00 46 49,62 2 5 45,00 48 15,69 3 6 51,00 49 51,00 5 7 29,00 52 10,62 3 42 16,50 53 28,62 3 3 24,25 55 13,62 3 44 14,50 56 49,62 4 9 92,50 58 27,69 4 35 16,00 114,81 4 42 31,75 8 52,85 5 13:31,50 5,38 04 OLIS IL5,00 7 33,92 5 16 46,50 8 50,54 5 17 21,50 10 39,92 5 19 45,25 12 51,00 5 23 20,50 16 40,15 5 26 54,40 19 18,62 5 27 16,00 20 44,54 5 30 20,50 21 58,85 5 31 45,00 23 21,00 5 32 43,00 25. 12,23 5, 34:45,50 26 59,31 5 35 25,50 28 20,54 5 37 15,50 29 38,08 5 39 15,50 30 55,62 5 37 49,00 32 10,39 5 41 47,00 33 32,54 5 42 19,50

D] (2

178

Nom du chronomètre.

Dent 1818 11° Hauth 32 Kessels 1276 Hauth 11 Hauth 18 Arnold et Dent 951 Kessels 1298 Kessels 1297 Dent 13828 « 1613

« 1687 « 1705 « 1730 « 1739 « 1774 « 1776 « 1787 « 1789 « 1798 « 1799

« 1808 « 1732 «uMT92 « 1761 « 1862 « 1919 « 1920 « 1953 « 1954 « 1956

« 1957 « 1963 « 1965 « 1968 « 1975 « 1998 « 2000 » 2001 « 2022

O0. STRUVYE.

Nicolajev, le 14 juillet.

K. 1290.

23623

© OÙ "1 O1 Qt À Re Co

> bb mb Mb eb lb mb mb lb OUR & © ND ND = © ©

14,08

6,00 43,85 11,08 90,08 99,94 33,69 20,08 12,92

58,38 26,62 20,08

2,31 45,92 48,23 29,15 57,23 52,38

3,46

33,92 59,54 395,04

7,62 39,08

6,69 37,89 395,31

Chron. comparé.

9*56;25

9

92

Kiev, le 18 juillet.

K. 1290. 9 197 8:08

32,31 17,54 12,69 44,08 13,38 44,54 13,62 41,54

Chron. comparé. 72673600 8 9 16,60

OS DS D SOL DS SOS DS © © DS © © © © © © © S DPOADEN D = «I UT I © & © LA] = = [SLI

ExPÉDITION CHRONOMÉTRIQUE DE 1846. 179

Jitomir, le 19 juillet. Varsovie, le 23 juillet. Nom du chronomètre. K. 1290. Chron. comparé. K. 1290. Chron. comparé. Dent 1818 1411672308 127 23755:00 1% 5*392:54 19% 13”"17:00 Hauth 32 18 14,77 13 6 57,40 6 32,54 12 55 8,80 Kessels 1276 19 3,85 15 30 42,40 7 18,46 15 19 44,00 Hauth 11 19 44,77 92 90 25,00 8 9,69 922 2% 47,75 Hauth 18 20 12,92 20 17 15,25 8 36,23 20 21 32,00 Arnold et Dent 951 20 47,54 10 25 33,00 8 58,85 10 11 11,00 Kessels 1298 21 33,23 14 31 15,75 9 30,46 14 19 32,00 Kessels 1297 15 16,85 22 11 54,74 9 55,62 22 22 16,00 Dent 1828 22 20,77 12 30 43,00 10 27,92 12 19 7,00 « 1613 23 12,69 12 24 13,50 11 52,15 12 13 5,00 « 1687 23 45,23 12 33 56,00 12 92,62 12 23 1,00 € 1705 24 12,69 6 23 46,00 12 57,23 6 12 39,50 « 1730 2% 45,92 11 43 32,50 13 27,69 11 32 15,00 17939 25 9,92 12 45 10,00 14 4,62 12 34% 40,50 « 1774 25 40,38 14 45 34,25 14 33,23 14 35 14,00 € 1776 26 20,08 13 17 38,25 15 14,77 13 7 0,00 « 1787 26 59,54 12 37 59,00 15 44,08 12 27 8,00 «< 1789 27 35,08 13 17 54,00 16 5,77 13 6 55,50 « 1798 28 13,38 13 42 42,75 16 33,23 13 31 50,00 « 1799 28 50,08 14 7 57,50 16 55,62 13 56 52,00 « 1808 29 15,92 13 12 11,00 17 25,38 13 0 57,00 « 1732 30 33,69 14% 40 47,00 18 44,77 14 29 11,00 € 1752 31 15,00 1% 39 10,50 19 57,69 14 27 59,50 « 1761 31 595,859 14% 41 52,50 20 31,85 14 30 #%4,50 « 1862 32 98,15 14% 42 40,50 20 54,23 14 31 2,00 « 1919 33 40,15 14% 43 41,50 21 22,85 14 31 43,00 « 1920 34 45,23 1% 46 22,00 21 48,23 14 33 49,00 € 1953 36 13,38 14 48 8,20 23 9,00 14 35 36,80 © 1954 36 93,04 14 45 29,75 23 39,77 14 32 25,00 € 1956 37 24,92 14 48 5,25 24 7,62 14 35 12,50 < 1957 383 93,00 14 48 54,50 24 34,85 14 35 48,00 < 1963 38 32,71 14 49 8,00 26 21,69 14 37 21,50 < 1965 39 1,85 14 49 26,00 26 52,85 14 37 36,00 « 19638 40 3,92 14% 49 8,75 27 45,92 1% 37 7,00 € 1975 40 54,69 14 50 37,00 28 30,00 14 38 30,00 a 1998 41 24,93 14 53 3,00 29 10,15 14% 41 12,00 « 2000 41 52,62 14 48 28,50 29 36,23 1% 36 8,00 « 2001 42 922,85 14 53 6,50 30 7,85 14 41 14,50

« 2022 42 55,15 14 52 7,25 30 32,08 14 39 56,00

180 O. STRUVE.

Varsovie, le 28 juillet.

Nom du chronomètre. K. 1290. Chron. comparé. Dent 18138 2017732554 18/25724;50 Hauth 32 18 42,00 19 7 6,60 Kessels 1276 19 18,00 21 32 40,80 Hauth 11 19 59,038 4 57 42,00 Hauth 18 20 27,46 2 54 15,00 Arnold et Dent 951 20 55,38 16 21 48,50 Kessels 1298 21 26,54 20 31 47,00 Kessels 1297 21 54,23 4 54 46,75 Dent 1828 22 37,15 18 31 29,75 « 1613 24 44,08 18 26 8,00 « 1687 25 14,31 18 36 19,25 « 1705 25 42,23 12 25 33,00 « 1730 26 4,85 17 44 44,00 « 1739 26 34,62 18 47 42,50 € 1774 27 9,00 20 48 44,00 « 1776 27 50,08 19 20 4,00 « 1787 28 15,00 18 40 0,50 « 1789 28 46,85 19 20 6,50 « 17938 29 15,00 19 45 25,00 « 1799 29 45,69 20 10 37,50 « 1808 30 21,92 19 14 29,00 « 1732 30 51,46 20 41 28,50 € 1752 31 42,23 20 39 49,00 « 1761 32 11,77 20 42 40,00 « 1862 33 1,62 20 43 39,50 c01'919 33 26,08 20 44 8,79 « 1920 34 2,77 20 46 28,25 € 1953 34 31,88 20 47 36,60 < 1954 39 1,62 920 44 5,00 « 1956 39 25,15 20 46 54,00 € 1957 39 99,62 20 47 33,50 «< 1963 36 19,15 20 47 51,00 «< 1965 36 44,54 20 47 47,00 « 1968 37 12,69 20 46 50,50 € 1975 37 40,85 20 48 5,50 « 1998 38 15,92 20 50 55,00 «a 2000 38 48,69 20 45 14,00 « 2001 39 15,00 20 50 50,50 « 2022 39 45,00 20 49 26,00

Hier, le 2 août.

K. 1290. 14 447292:62

8

S SO SOSDBDAIIX I D OO Ot Or à © Co © ND

et =

40,85 39,00 44,31 14,54 44,77

3,00 49,38 28,15

2 47,31

29,08 55,85 22,85 50,08 17,08 DOM 23,08 59,94 48,46 15,92

43,38 39,23

7,62 39,77 97,00 19,85

1,15 39,69 13,38 43,15

1,62 32,94 99,89 28,62 54,69 18,69 49,62 19,15 53,08

Chron. comparé.

127 5229;00

33

97,40 59,20 33,29

3,00 41,00 48,00 28,50 40,00 26,00

6,50 57,25

2,00 39,50 48,50 40,00 37,00 54,50 54,50

5,00

30,25 34,25 25,00

. 25,00

8,00 27,50 57,75 27,40 35,00 43,00

7,00 36,00 29,75 28,00 42,50 30,00 11,75 24,50 49,50

ExPÉDITION CHRONOMÉTRIQUE De 1846. 181 \

Nicolajev, le T août. Odessa, le 9 août. Nom du chronomètre. K. 1290. Chron. comparé. K. 1290. Chron. comparé. Dent 1818 20*27"42:69 1836” 3:00 9® 4799562 7*12"45;00 Hauth 32 28 53,08 19 16 58,00 5 58,62 7 53 58,00 Kessels 1276 29 25,85 21 44 45,80 6 33,00 10 22 8,20 Hauth 11 30 27,69 5 48 11,25 7 12,69 18 31 1,25 Hauth 18 30 51,69 3 #4 29,25 7 43,62 16 27 23,25 Arnold et Dent 951 31 13,62 16 25 13,00 8 15,00 5 1 13,00 Kessels 1298 31 39,00 20 42 50,00 8 37,89 9 19 54,00 Kessels 1297 32 3,46 5 44 14,00 9 29,54 18 27 37,25 Dent 1828 32 28,38 18 42 0,75 10 9,00 7 19 44,75 « 1613 33 3,46 18 34 55,00 10 57,92 7 12 51,00 « 1687 33 26,08 18 45 36,50 11 21,69 7 23 39,50 « 1705 33 49,38 12 34 2,00 11 44,54 1 11 59,00 « 1730 34 17,54 17 52 53,50 12 7,15 6 30 40,00 € 1739 34 47,31 18 57 23,50 12 31,85 7 35 18,50 € 1774 35 19,62 20 58 50,00 12 53,77 9 36 39,50 € 1776 39 43,15 19 29 1,00 13 27,69 8 6 54,00 € 1787 36 8,54 18 48 52,00 13 59,31 7 26 50,00 « 1789 36 26,54 19 28 57,00 14 18,69 8 6 57,50 «1798 36 52,85 19 54 58,50 14 43,85 8 33 5,00 «617199 37 12,69 20 20 3,00 15 8,038 8 58 14,00 « 1808 37 34,38 19 23 3,50 15 29,77 8 1 11,50 € 1732 39 39,92 20 50 51,00 16 58,62 9 28 12,50 € 1752 40 0,69 20 48 27,50 17 26,08 9 25 54,00 € 1761 40 22,38 20 51 30,00 13 10,15 9 29 21,50 € 1862 40 45,46 20 52 30,50 18 38,31 9 30 31,50 « 1919 41 6,69 20 52 40,00 19 6,23 9 30 45,50 € 1920 41 31,15 20 54 58,25 19 28,85 9 33 3,00 € 1953 42 14,77 20 56 48,00 20 38,08 9 35 22,20 € 1954 ; 42 47,54 20 52 26,00 21 21,00 9 31 2,25 € 1956 43 11,77 20 55 41,50 21 58,85 9 34 35,00 « 1957 43 33,69 20 56 4,50 22 21,92 9 34 57,00 « 1963 44 1,85 20 56 45,50 22 48,69 9 35 43,50 « 1965 44 43,38 20 56 33,50 23 12,69 9 35 8,00 « 1968 45 23,31 20 55 44,50 24 15,00 9 3% 40,00 € 1975 45 54,46 20 57 7,50 24 37,145 9 35 56,00 «1998 46 19,38 21 O0 6,00 24 56,54 9 38 52,00 «2000 46 42,69 20 53 0,50 25 23,31 9 31 38,50 « 2001 47 20,31 20 59 56,50 25 41,77 9 38 25,00 « 2022 47 39,92 20 57 54,00 26 12,23 9 36 30,50

182 O0. STRUVE.

Nicolajer, le 11 août.

Nom du chronomètre. K. 1290. Chron. comparé. Dent 1818 11#51739:00 10 0” 6:00 Hauth 32 93 16,15 10 41 8,60 Kessels 1276 93 09,08 13 9 56,40 Hauth 11 54 33,69 921 26 46,50 Hauth 18 59 6,00 19 23 8,25 Arnold et Dent 951 55 42,46 7 46 37,50 Kessels 1298 56 14,08 12 7 38,00 Kessels 1297 06 53,31 921 23 16,25 Dent 1328 57 28,85 10 7 10,00 « 1613 58 22,38 10 O0 18,00 « 1687 58 55,15 10 11 24,00 « 1705 59 24,23 3 99 42,00 « 1730 59 48,69 9 18 17,00 « 1739 12 0 10,85 10 23 15,00 € 1774 0 35,77 12 24 43,50 € 1776 1 6,92 10 54 45,25 « 1787 1 40,62 10 14 41,75 « 1789 2 12,23 140%55% 3:50 « 1798 2 44,03 11 21 28,00 « 1799 3 8,08 11 46 37,00 « 1808 3 34,15 10 49 33,50 « 1732 6 36,46 12 17 55,00 « 1752 7 8,54 12 15 38,50 « 1761 7 31,62 12 18 48,75 "€ 1862 8 2,77 12 20 8,00 « 1919 8 30,23 12 20 18,00 « 1920 8 58,85 12 22 44,00 € 1953 9 29,77 12 24 28,20 < 1954 10 3,00 12 19 51,00 & 1956 10 28,38 12 23 15,50 «< 1957 10 52,62 12 23 36,00 « 1963 11 22,38 12 24 35,00 € 1965 11 43,85 12 23 48,00 « 1968 12 18,69 12 22 49,00 © 1975 12 41,31 12 2% 9,00 « 1998 13 8,08 12 27 15,50 « 2000 13 29,31 12 19 41,00 « 2001 13 53,31 12 26 47,50 « 2022 14 12,69 12 24 36,00

Krementschoug, le 13 août.

K. 1290.

10° 24"24;92

25

8,77 48,69 26,77 97,46 36,23 57,92 48,46 18,23 49,62

36,46 97,46 17,77 42,69

4,62 33,92 13,15 39,31 59,31 24,46

50,77 22,38 58,89 26,08 01,23

9,23 39,92 99,54 38,038

3,92

24,69 93,94 26,54 91,92 28,15 90,08 12,92 41,54

6,23

Chron. comparé.

8* 32" 58:50

= © © © © © © D "I ND Q do

97,80

9,80 25,00 42,75 55,00 32,90 49,25

ExPÉDITION CHRONOMÉTRIQUE DE 1846. 183

Poltava, le 14 août, . Kharkov, le 15 août. Nom du chronomètre. K. 1290. Chron. comparé. K. 1290. Chron. comparé. Dent 1818 10422"15:23 8 30752;00 15: 92631 13187 5:00 Hauth 32 23 10,38 9 10 57,60 10 13,62 13 57 57,60 Kessels 1276 23 53,94 11 40 26,60 10 58,62 16 27 45,20 Hauth 11 24 46,85 20 8 44,75 11 31,85 1 0 20,50 Hauth 18 25 21,69 18 5 5,50 12 10,38 22 56 39,75 Arnold et Dent 951 25 56,77 6 14 32,00 12 51,92 11 1 10,75 Kessels 1298 26 37,15 10 38 16,75 13 24,46 15 25 8,50 Kessels 1297 27 22,85 20 5 19,00 14 18,46 0 56 56,75 Dent 1828 28 5,08 8 37 59,00 15 9,00 13 25 6,00 « 1613 28 57,23 8 31 0,00 15 45,23 13 17 50,50 « 1687 29 39,23 8 42 27,75 16 27,46 13 29 23,00 « 1705 30 20,31 2 30 45,00 17 9,69 7 17 36,50 « 1730 31 8,54 7 49 35,50 17 44,77 12 36 10,00 € 1739 31 45,23 8 55 14,00 13 15,00 13 41 53,00 « 1774 32 15,00 10 56 57,75 18 43,15 15 43 39,50 « 1776 32 49,38 9 26 48,50 19 18,00 14% 13 24,25 « 1787 33 22,62 8 46 41,50 19 59,08 13 33 24,00 « 1789 34 14,08 9 27 26,50 20 34,15 14% 13 54,50 « 1798 34 50,31 9 54 9,50 21 9,00 1# 40 41,25 « 1799 35 28,85 10 19 32,50 21 46,15 15 6 3,50 « 1808 36 0,92 9 22 27,50 22 14,08 1% 8 50,00 € 1732 37 16,15 10 48 45,00 2% 19,62 15 35 51,25 € 1752 37 47,77 10 46 93,50 25 3,69 15 33 40,50 € 1761 38 16,15 10 49 45,50 25 34,15 15 37 7,50 « 1862 38 42,69 10 51 9,00 26 3,69 15 38 37,50 « 1919 39 14,08 10 51 17,75 26 38,77 15 38 48,00 « 1920 40 3,23 10 54 7,50 27 8,31 15 41 19,00 € 1953 40 41,31 10 56 6,40 29 51,92 15 45 26,00 € 1954 41 17,54 10 51 15,00 30 25,15 15 40 25,00 « 1956 41 46,62 10 54 51,50 31 95,31 15 44 15,75 < 1957 42 35,54 10 55 33,25 31 45,69 15 4% 48,00 » 1963 43 12,23 10 56 50,75 32 12,23 15 45 59,50 « 1965 43 49,33 10 56 8,00 32 44,54 15 45 8,25 « 1968 44 21,69 10 55 3,50 33 18,23 15 44 4,00 < 1975 44% 57,923 10 56 40,50 33 47,94 15 45 36,50 « 1998 45 25,85 10 59 57,00 34 22,38 15 49 4,00 « 2000 45 54,46 10 52 5,50 34 45,69 15 40 55,75 « 2001 46 59,08 11 0 13,00 39 18,00 15 48 38,50

« 2022 48 4,62 10 58 38,50 35 45,69 15 46 23,50

184 O. STRUVE.

Orel, le 18 août. Moscou, le 21 aout. Nom du chronomètre. K. 1290. Chron. comparé. K. 1290. Chron. comparé. Dent 1818 107487 4515 8° 56”49;00 8" 47"47;54 6” 56”40;00 Hauth 32 49 20,77 9 36 57,80 48 26,54 7 35 58,00 Kessels 1276 90 25,31 12 7 44,00 49 2,77 10 6 56,00 Hauth 11 91 30,92 920 51 38,75 49 29,77 19 1 23,00 Hauth 18 92 10,62 18 47 52,25 49 54,69 16 57 12,00 Arnold et Dent 951 52 49,15 6 39 55,00 90 22,85 4 35 52,50 Kessels 1298 93 15,00 11 5 11,00 90 42,00 9 2 51,25 Kessels 1297 93 44,08 20 47 25,25 51 5,54 18 56 12,75 Dent 18238 54 24,92 9 4 31,50 01 33,46 7 1 51,00 < 1613 99 93,92 8 57 15,50 91 59,08 6 54 18,50 «<_ 1687 55 37,19 9 8 49,00 52 30,00 7 6 0,25 € 1705 56 2,08 2 56 34,00 92 47,717 0 53. 26,00 € 1730 56 33,69 8 14 55,50 93 21,00 6 11 41,00 « 1739 Mere 9 21 5,00 93 45,00 7 18 9,50 CC 1774 97 33,69 11 23 2,50 94 9,77 9 20 9,00 «< 1776 58 2,08 9 52 25,00 04 26,54 7 49 8,50 «<_ 1787 98 30,23 9 12 10,00 D4 58,38 7 8 55,00 « 1789 98 97,23 9 52 36,00 55 17,71 1 49 47,90 «_ 17938 99 27,23 10 19 30,00 59 40,38 8 16 16,50 « 1799 11 0 19,85 10 45 9,00 56 4,85 8 41 29,00 « 1808 0 49,15 9 47 47,00 96 22,85 7 43 42,50 « 1732 2 37,62 11. 14 16,75 9 1 16,85 9 13 5,00 « 1752 3 13,89 11 11 54,00 1 44,03 9 10 26,50 « 1761 3 39,92 11 15 23,50 2 7,89 9 14 2,50 « 1862 4 4,38 11 16 56,00 2 31,19 9 15 43,00 «a 1919 4 27,92 11 16 51,00 2 58,62 9 15 37,00 « 1920 5 2,54 11 19 29,50 3 34,38 9 18 19,25 « 1953 6 37,15 11 22 36,40 4 2,31 9 20 26,60 « 1954 7 5,31 11 17 11,50 4 30,92 9 14 45,25 « 1956 7 32,77 11 20 56,75 4 53,77 9 18 33,90 « 1957 8 4,62 11 21 18,50 » 16,38 9 18 43,00 « 1963 8 28,85 11 22 37,00 5 91,00 9 20 21,50 < 1965 8 53,77 11 21 29,50 6 14,08 9 19 3,00 « 1968 9 39,69 11 20 35,50 6 46,15 9 17 52,75 « 1975 10 24,23 11 22 27,00 IS TE 9 19 26,75 € _ 1998 10 49,62 11 25 55,50 7 30,69 9 23 1,00 « 2000 11 19,85 11 17 27,50 7 54,69 9 14 0,00 « 2001 11 54,46 11 25 31,50 8 18,23 9 22 13,00 « 2022 12 32,08 11 23 19,00 8 43,62 9 19 40,50

ExPÉDITION CHRONOMÉTRIQUE DE 1846. 185

$ 5. Corrections du chronométre auxiliaire Kessels 1290,

En général, pendant cette expédition, les intervalles entre les époques moyennes des com- paraisons des chronomètres de voyage et les époques moyennes des observations du temps les plus voisines, ne s'élèvent qu'à un couple d'heures. Ce n’est qu'à Nicolajev et à Kiev où ces intervalles montent à 8,6 heures, et dans ces cas les marches des horloges d'observation sont très exactement connues par les corrections déterminées les jours voisins. Il s’en suit que les corrections à déduire pour nos chronomètres de voyage, seront très peu influencées par les petites irrégularités dans les marches des horloges d'observation.

Daus les cas où le chronomètre Kessels 1297 a servi d'horloge d'observation, j'ai réduit les corrections de ce chronomètre, déterminées par les observations, sur l'époque moyenne des comparaisons des autres chronomètres, à l’aide de la marche moyenne horaire — + 0;140, déduite des observations faites à Kharkov le 7 juillet et le 15 août. La régularité connue de la marche de ce chronomètre, constatée plus tard par l'exactitude des longitudes qu'il a fournies, nous était une garantie qu'il garderait le temps, pendant le bref espace qui sépare les observa- tions des époques des comparaisons, avec toute exactitude requise. Ce n’est qu'à Kharkov que cet espace était un peu plus long, en s’élevant le 7 juillet jusqu'à 4,7 heures. Mais, à cette station, ayant comparé ce chronomètre, pour plus de sûreté, avec notre chronomètre auxiliaire, immédiatement après la fin des observations, nous avions l'avantage d'avoir ici deux chrono- mètres qui gardaient ensemble le temps jusqu'à l'époque des comparaisons des autres chrono- mètres. Dans la réduction de la correction du chronomètre auxiliaire, donnée pour l’époque des observations, à l'époque des comparaisons des autres chronomètres, j'ai accepté sa marche horaire, par rapport au temps moyen, — + 0,086, telle qu'elle suivait des comparaisons faites à Moscou et à Varsovie.

La conversion des corrections des horloges, données primitivement par rapport au temps sidéral de chaque lieu, en des corrections correspondantes au temps moyen, a été exécutée à l’aide des données du Nautical Almanac. Dans ce calcul les longitudes de nos lieux d’observa- tion ont été supposées approximativement:

Moscou 2 30” 17° à l'Est de Greenwich Varsovie 177027 « « Kharkov 2925 9 « « Nicolajev 2 7 56 « « Kiev DÉS LS « « Jitomir 1 54 43 « « Odessa DAS KO « « Krementschoug 2 13 46 « « Poltava 2897 « « Orel 2:94 98 « «

Ces longitudes demandent les réductions suivantes à appliquer aux temps sidéraux don- nés dans le Nautical Almanac, pour les midis moyens de Greenwich, afin de les faire cor- respondre aux midis moyens de chaque lieu d'observation :

Mémoires sc. math. et phys. T. VI. 24

186 O0. STRUVE.

pour Moscou — 24:69 Varsovie — 13,82 Kharkov — 23,84 DNicolajev — 21,02 Kiev — 20,08 Jitomir — 18,84 Odessa — 20,21 Krementschoug — 21,97 Poltava — 22,74 Orel — 23,73.

Ayant calculé les corrections du chronomètre auxiliaire pour les époques des comparai- sons de ce chronomètre avec les horloges d'observation, j'en ai déduit, par une simple interpo- lation, les corrections de ce chronomètre correspondantes aux époques moyennes des compa- raisons des chronomètres de voyage. Dans le calcul ultérieur des longitudes j'ai supposé que, pour chaque série de comparaisons, cette correction soit restée constante pendant toute la durée des comparaisons c. à d. que, dans ce temps, le chronomètre auxiliaire ait suivi exactement le temps moyen. Cette supposition n’est pas tout à fait rigoureuse, mais comme la marche horaire du chronomètre auxiliaire n’est que de + 0086, et que la durée des comparaisons ne s'élève guère à une demie heure, l’erreur commise par cette supposition, n’affectera les corrections des chronomètres placés à la tête et à la fin de notre collection que de + 0;022. Il s'en suit que l’accord des longitudes fournies par les différents chronomètres ne sera presque pas du tout influencé par l’inexactitude de la supposition, et qu’elle n’exercera absolument aucune influence sur les longitudes moyennes à déduire de tous les chronomètres. Voici la liste des corrections ce da chronomètre auxiliaire Kessels 1290:

Temps du chron.

Moscou, le 30 juin 15 5” c— +37" 18;50

Kharkov, 7 juillet 5110 c—+32 6,28 Nicolajev, 14 « 11 18 c—+15 20,53 Kiev, 18 « 9 32 c—+ 9 34,49 Jitomur, 19 « 14 30 c—+ 2 15,49 Varsovie, 23 « 14 16 c— —928 4,88 Varsovie, 28 « 20 26 c——27 57,60 Kiev, 2 août 15 0 c—+10 8,85 Nicolajev, LAN 20 38 c—+16 13,50 Odessa, 9 « 9 15 c—+11 19,30 Nicolajev, 11 « 12 5 c——+16 17,33 Krementschoug, 13 « 10 33 c—œ+22 6,32 Poltava, 14 « 10 32 c— +926 48,95 Kharkov, 15 « 15 23 c— +33 28,11 Orel, 18 « 11 0 c—+32 55,08

Moscou, DAT UM 8 58 c—+39 1,99.

ExPÉDITION CHRONOMÉTRIQUE DE 1846. 187

8 6. Première déduction des longitudes.

Le calcul des longitudes se divise en deux parties. D'abord il fallait déduire les longitu- des des trois observatoires par une interpolation entre celles des points fondamentaux, Moscou et Varsovie. Ensuite, en acceptant déjà les longitudes de ces trois observatoires comme exacte- ment fixées, celles des points de seconde classe devaient être interpolées entre celles des points principaux les plus voisins. Tous ces calculs ont été exécutés de la même manière que, dans les expéditions de 1845, pour les stations intermédiaires Valdai et Vilkomir.

Lors du premier calcul des longitudes, l'exacte valeur de la différence en longitude entre les points fondamentaux, Moscou et Varsovie, n’était pas encore définitivement fixée. Nous l'avions supposée — 1* 6” 9:68, trop grande de 0:22. Également, les valeurs des longitudes des points principaux, dont nous nous sommes servis dans le calcul de celles des points de seconde classe, n'étaient pas encore les valeurs définitives. C'est pourquoi il y a aura lieu d'appliquer plus tard aux longitudes primitivement déduites, de petites corrections constantes pour tous les chronomètres.

Avec la différence en longitude entre les observatoires de Moscou et de Varsovie, j'ai changé d’abord les corrections des chronomètres déterminées au second point, en corrections correspon- dantes au point de sortie. Comparant ensuite les corrections déterminées le 30 juin avec celles du 23 juillet et soustrayant également celles du 28 juillet de celles du 21 août, j'ai obtenu les marches totales des chronomètres, par rapport au temps moyen, pendant les deux voyages, dont je désignerai le premier par À, le second par B. La durée du trausport du temps, pendant le voyage À a été de 22 jours 23,3 heures, pendant le voyage B de 23 jours 10,5 heures. En divisant maintenant les marches totales par le nombre d'heures correspondant, nous avons déduit les marches horaires des chronomètres que voici.

Voyage 4. Voyage B. Diff. B—A. Kessels 1290 + 00540 + 0:0884 + 00044 Dent 1818 — 0,0024 — 0,0188 — 0,0164 Hauth 32 + 0,1733 +- 0,1826 + 0,0093 Kessels 1276 — 0,3877 — 0,3906 — 0,0029 Hauth 11 — 9,9226 — 9,9210 + 0,0016 Hauth 18 — 9,8498 — 9,8492 +- 0,0006 Arnold et Dent 951 —+1,1948 + 1,7243 +-0,5299 Kessels 1298 — 0,0928 — 0,1043 — 0,0115 Kessels 1297 — 9,7219 — 9,7163 +- 050044 Dent 1828 — 0,0458 — 0,0621 — 0,0163 « 1613 — 0,0180 — 0,0099 +-0,0081 « 1687 — 0,1690 — 0,1690 0,0000 « 1705 +- 0,0100 —+- 0,0043 — 0,0057 « 1730 + 0,1167 . + 0,1224 + 0,0057 « 1739 — 0,1984 — 0,2599 — 0,0615 « 1774 — 0,3723 — 0,3868 — 0,0145

Le

1388 O0. STRUVE.

Voyage À. Voyage B. Diff. B— À. Dent 1776 — 0;1688 — 0;1739 — 0;0051 C'MMOT — 0,1306 — 0,1439 — 0,0133 « 1789 — 0,1908 — 0,1952 — 0,004 « 1798 — 0,3693 — 0,3831 — 0,0138 « 1799 — 0,3851 — 0,3941 — 0,0090 « 1808 — 0,2530 — 0,2527 + 0,0003 « 1732 — 0,0321 — 0,0376 — 0,0055 € 1752 + 0,0208 + 0,0252 + 0,004% € 1761 — 0,0677 — 0,0647 + 0,0030 « 1862 — 0,1500 — 0,1843 — 0,0343 « 1919 — 0,1012 — 0,1166 — 0,015%4 « 1920 — 0,1403 — 0,1585 — 0,0182 < 1953 — 0,2280 — 0,2642 — 0,0362 € 195% — 0,0340 — 0,0373 — 0,0033 < 1956 — 0,1311 — 0,134 — 0,0123 « 1957 — 0,1275 — 0,1042 + 0,0233 € 1963 — 0,1585 — 0,2281 — 0,0696 « 1965 — 0,0999 — 0,1002 — 0,0003 « 1968 — 0,0425 — 0,0689 — 0,026% « 1975 — 0,0805 — 0,112% — 0,0319 «1998 — 0,1428 — 0,2149 — 0,0721 « 2000 + 0,1389 + 0,1239 — 0,0150 « 2001 — 0,1316 — 0,1583 — 0,0267 « 2022 — 0,0082 — 0,060 — 0,0378

La dernière colonne montre que tous les chronomètres de Dent qui portent des numéros au delà de 1808, à l'exception d'un seul, ont accéleré leurs marches avec le temps. C’est que ces chronomètres, nouvellement construits par l'artiste, n'avaient pas encore été assez long temps en usage pour s'approprier des marches uniformes. Évidemment l'effet de cette accélération, étant en proportion des carrés du temps, sera beaucoup plus petit dans les longi- tudes que nous déduirons de chaque voyage à part.

Dans les tableaux suivants nous avons désigné ;

par À, la différence en longitude entre les points principaux, employée dans les calculs;

par ?, la longitude du lieu à déterminer; les moyennes des longitudes fournies dans le voyage À par X’, dans le voyage B par d’;

par t et v’, les durées du transport du temps entre les époques moyennes des com- paraisons des chronomètres sur les points principaux et le point à déterminer.

Après avoir déduit les longitudes données par chaque chronomètre à part, j'ai pris d’abord la moyenne, en assignant le même poids à tous les chronomètres. Cela s'entend que, dans ces moyennes, les résultats fournis par le chronomètre non-compensé, Arnold et Dent 951, de-

valent être exclus.

Voyage À Voyage B r — 1580 r — 1376 r'— 393,3 r'— 126,9. À À Kessels 1290 592549 521571 Dent 1818 19,65 29,69 Hauth 32 24,62 21,28 Kessels 1276 26,83 20,98 Hauth 11 40,6% 14,78 Hauth 18 28,70 21,48 Arnold et Dent 951 (0 7,54) (4 25,79) Kessels 1298 17,12 23,02 Kessels 1297 93,47 29,06 Dent 1828 17,54 21,58 « 1613 D 12 21,09 « 1687 22,85 29,43 « 1705 25,47 21,86 « 1730 20,69 29,97 « 1739 16,01 23,1% « 1774 29,91 20,22 « 1776 25,57 29,09 « 1787 21,61 21,98 « 1789 24,74 21,36 « 1798 19,87 29 72 « 1799 21,91 21,31 « 1808 23,8% 24,93 « 1732 23,57 | 99153 «1752 24,74 24,79 « 1761 24,98 21,48 « 1862 20,68 21,20 « 1919 23,48 20,77 « 19920 29,h1 21,51 « 1953 14,60 20,03 «1954 20,03 24,53 « 1956 21,1% 24,32 « 1957 21,63 23,91 « 1963 23,01 29,03 «1965 27,91 292,5 « 1968 20,34 22,53 1975 25,13 20,32 « 1998 15,38 14,76 « 2000 25,57 21,59 « 2001 20,21 21,39 «2022 24,77 91,14

ExPÉDITION CHRONOMÉTRIQUE DE 1846.

Kharkov, à l'Ouest de Moscou. Points principaux: Moscou et Varsovie.

1—)1/1679;68.

A2—5 22,98 N—9 2171

189

190 O0. STRUVE

Nicolajev, à l'Ouest de Moscou. Points principaux: Moscou et Varsovie.

A—1"6"9;68. Voyage À Voyage B Ti — 39274 r — 2369 r'— 219,0 r'— 240,2. À À

Kesséls 1290 929»95;88 299178 Dent 1818 20,35 23,04 Hauth 32 23,117 22,58 Kessels 1276 26,87 21,59 Hauth i1 31,97 15,55 Hauth 18 25,37 29,96 Arnold et Dent 951 (24 8,58) (21 40,16) Kessels 1298 23,02 24,05 Kessels 1297 24,21 22,63 Dent 1828 19,39 23,21 « 1613 24,4 23,51

« 1687 23,28 23,39

« 1705 24,01 292,33

« 1730 21,08 24,37

« 1739 13,53 25,19

« 1774 22,36 20,9%

« 1776 93,97 91,50

« 1787 21,80 22,64

« 1789 2210 29,48

« 1798 20,99 29,74

« 1799 29,02 29,63

« 1808 22,13 22,10

« 1732 24,03 23,78

« 1752 25,60 25,46

« 1761 24,82 29,45

« 1862 21,26 21,60

« 1919 24,59 21,46

« 1920 29,37 29,32

« 1953 18,29 29,96

« 195% 22,75 25,94

« 1956 21,18 25,53

« 1957 24,21 26,30

« 1963 93,39 18,23

« 196% 25,69 29,91

« 1968 20,27 25,05

« 1975 23,93 20,49

« 1998 24,42 13,59

« 2000 25,06 21,26

« 2001 29,07 21,42

« 2022 21,81 21,30 À2— 22. 93,01 XP —99h02587

Dans le calcul des longitudes du voyage B, j'ai éliminé, pour Nicolajev, les marches des chronomètres pendant l'intervalle entre le 7 et le 11 août, employé au voyage d'Odessa. C'est pourquoi ici la durée totale du transport du temps, entre Varsovie et Moscou, est plus courte que pour les autres lieux, déterminés pendant le même voyage.

ExPÉDITION CHRONOMÉTRIQUE DE 1846. 191

Kiev, à l'Ouest de Moscou.

Points principaux: Moscou et Varsovie.

A — 1" 69:68. Voyage À Voyage B r — 4265 r — 4500 x — 124,7 r'— 114,5. À À Kessels 1290 2871983 2813535 Dent 1818 14,07 15,50 Hauth 32 16,73 16,08 Kessels 1276 17,38 15,90 Hauth 11 29,05 13,66 Hauth 18 17,64 16,77 Arnold et Dent 951 (29 34,73) (23,72) Kessels 1298 13,12 15,83 Kessels 1297 16,74 17,49 Dent 1828 13,90 15,37 « 1613 16,98 16,87 « 1687 15,53 16,36 « 1705 16,9% 14,36 « 1730 14,73 17,24 « 1739 8,19 15,02 « 1774 15,69 15,39 « 1776 16,22 15,65 « 1787 | 14,69 15,19 « 1789 14,12 16,21 « 1798 14,55 15,44 « 1799 14,76 15,41 « 1808 14,72 14,10 « 1732 17,08 16,91 « 1752 19,03 16,73 « 1761 17,80 16,83 « 1862 15,17 15,2% « 1919 17,39 14,86 « 1920 16,36 16,20 « 1953 14,19 15,47 « 1954 16,44 17,20 « 1956 14,33 17,81 « 1957 17,42 18,80 « 1963 17,36 8,73 « 1965 17,46 16,20 « 1968 14,31 16,91 « 1975 17,15 13,53 « 1998 : 18,20 10,85 « 2000 17,99 14,23 « 2001 16,32 14,96 « 2022 15,83 13,38

A4—28 16,11 X—28 15,69

192 O. STRUVYE.

Jitomir, à l'Ouest de Kiev. Odessa, à l'Ouest de Nicolajev.

Points principaux: Kiev et Varsovie.

A—=0/37153;91.

r —29/0 Tr — 36/6 r'— 95,8. r— 50,8. À À Kessels 1290 79937 ln 5581 Dent 1818 292,53 55,07 Hauth 32 29,58 55,48 Kessels 1276 22,45 55,41 Hauth 11 21,52 56,68 Hauth 18 29,35 55,60 Arnold et Dent 951 (11,77) (5 11,64) Kessels 1298 29,81 55,45 Kessels 1297 DO .. 55,85 Dent 1828 29,51 99,50 « 1613 29,30 55,64 « 1687 22,32 55,47 «1705 29,72 55,49 « 1730 29,43 55,90 « 1739 22,58 54,56 « 1774 29,38 55,51 «© 1776 29 31 55,69 « 1787 29,42 55,64 « 1789 29,97 55,44 « 1798 29,46 55,28 « 1799 22,95 55,25 «1808 29,03 55,76 « 1732 22,69 55,49 « 4752 22,73 55,59 « 1761 29,47 55,55 « 1862 22,95 59,00 « 1919 23,20 | 35,71 « 1920 22,53 55,30 « 1953 23,62 56,15 « 1954 23,26 54,60 « 1956 22,66 54,95 « 1957 22,84 54,81 « 1963 29,92 54,84 « 1965 29,80 55,12 « 1968 29,49 55,80 « 1975 29,51 55,48 | « 1998 29,98 55,9% | « 2000 292,65 55,75 | « 2001 29,73 55,32 « 2022 29,46 56,13

CT 2257 X—4 55,50

Krementschoug, à l'Ouest de Kharkov.

Points principaux: Nicolajev et Kharkov.

EXPÉDITION CHRONOMÉTRIQUE DE 1846.

A— 017" 0540.

Kessels 1290 Dent 1818 Hauth 32 Kessels 1276 Hauth 11 Hauth 18

r — 465

Tr — 52,8.

À 111627

17,38

16,82

Arnold et Dent 951 (10 53,22)

Kessels 1298 Kessels 1297 Dent 1828

« 1613 « 1687 « 1705 « 1730 « 1739 « 177% « 1776 « 1787 « 1789 « 1798

« 1799

Mémoires sc. math. et phys. Te VI:

\—11 16,97

Poltava, à l'Ouest de Kharkov.

193

Points principaux: Nicolajev et Kharkov.

A —= 0*17"0;40.

Tr — "7045

r'— 28,8.

À

67 36:15

37,62 36,9% 36,91 34,06 36,70 (7,25) 37,33 36,74 37,67

36,45

28

O0. STRUVE.

Orel, à l'Ouest de Moscou. Points principaux: Kharkov et Moscou. A— 0° 5"99;54.

r —= 676 Tr — 70,0. À

Kessels 1290 Gn 151% Dent 1818 0,5% Hauth 32 0,35 Kessels 1276 0,49 Hauth 11 5 59,61 Hauth 18 6 0,83 Arnold et Dent 951 (11,36) Kessels 1298 0,71 Kessels 1297 0,84 Dent 1828 0,63 « 1613 0,50 « 1687 0,40 « 1705 0,64 « 1730 0,31 « 1739 5 59,50 AUTRE 6 0,74 « 1776 0,26 « 1787 0,41 « 1789 0,21 « 1798 0,28 « 1799 0,09 « 1808 1,55 « 1732 0,52 « 1752 e 2,53 « 1761 0,91 « 1862 0,26 « 1919 0,67 « 1920 0,61 « 1953 1,64 « 195% 0,37 « 1956 0,28 « 1937 0,76 « 1963 0,78 « 1963 0,77 « 1968 0,95 « 1973 0,70 « 1998 1,49 « 2000 1,06 « 2001 0,85 « 2022 0,88

| 6 0,67

ExPÉDITION CHRONOMÉTRIQUE DE 1846. 195

8 7. Corrections à appliquer aux longitudes précédentes.

En comparant attentivement les différences entre les longitudes fournies par les chrono- mètres qui avaient déjà servi en 1845, et les longitudes moyennes, avec les coefficients de compensation de ces chronomètres, déduits des voyages de l’année précédente (v. À 16 de la première partie de ce mémoire) et avec les résultats obtenus par le chronomèire non-compensé Arnold et Dent 951, en comparant, dis-je, ces quantités, on reconnait aisément que l'effet de la température se prononce très distinctement dans les nouvelles opérations et surtout dans la première détermination de la longitude de Kharkov. C'est ainsi que par ex. les longitudes données par le chronomètre Hauth 11 qui avait un coefficient de compensation positif consi- dérable, diffèrent toujours des longitudes moyennes dans le sens de celles que nous a fournies le chronomètre non compensé. Au contraire, les chronomètres Dent 1730 et Dent 1789, pour lesquels ce coefficient était négatif, donnent, presque dans tous les cas, des longi- tudes différentes des moyennes dans le sens opposé. Il n’y a donc pas de doute que nous n’eussions gagné en exactitude des résultats, et qu'un accord encore plus parfait ne se fût établi, s’il avait été possible d'introduire partout ces corrections thermométriques. Malheureusement parmi nos 39 chronomètres, il n’y avait que 16, qni avaient été employés déjà l’année précé- dente, et pour ceux-ci les expériences directes faites sur la compensation, en indiquant des variations notables du degré de compensation dans des intervalles comparativement brefs, l'avaient rendu très incertain, que les coefficients déterminés en 1845 pouvaient trouver applica- tion encore en 1846. Il est vrai que les longitudes déterminées à cette dernière occasion, pouvaient elles-mêmes conduire à une évaluation de ces coefficients. Mais les valeurs qu'on aurait obtenues par ce procédé, pour chaque chronomètre isolé, n'auraient pu prétendre à aucune exactitude, à cause de la longue durée du transport du temps, par laquelle l'effet des irrégu- larités accidentelles dans les marches des chronomètres a dû accroitre en trop forte proportion, vis à vis des effets thermométriques. C’est pourquoi j'ai renoncé à corriger les longitudes don- nées par chaque chronomètre isolé, de l'influence des changements de la température.

IL restait encore à discuter si, dans le calcul des longitudes moyennes, il y avait raison d'attribuer de différents poids relatifs aux différents chronomètres. J'ai déjà dit plus haut (pag. 164) que la méthode que j'avais eu en vue d'abord, pour la déduction des poids, aurait réclamé des calculs trop prolixes, et que je l’ai abandonnée par cette raison. Mais il y avait encore la possi- bilité de déduire les poids du seul accord des différentes longitudes avec leurs moyennes re- spectives. Cependant ce dernier expédient n’était plus applicable, dès qu'on voulait négliger les corrections thermométriques. D'ailleurs il n'aurait pu donner que des résultats extrêmement vagues. Il fallait dont assigner le même poids à tous les chronomètres c. à d. il fallait prendre simplement la moyenne arithmétique des longitudes qu'ils avaient données.

Parmi nos chronomètres, il y a cependant quelques uns, qui ont offert des longitudes tellement différentes des moyennes arithmétiques des longitudes fournies par tous les chrono- mètres, et que nous appelerons ici les longitudes moyennes, qu’il faut supposer qu'ils ont été

+

196 O0. STRUVE.

troublés extraordinairement dans leurs marches, soit par l'introduction de corps étrangers dans les rouages, soit par un défaut trop fort de la compensation, soit enfin par quelque autre cause accidentelle. Il m’a paru nécessaire de rejeter entièrement les longitudes fournies par ces chro- nomètres. Mais, pour ne pas procéder trop arbitrairement, j'ai fixé comme règle, que tout chronomètre devait être exclus, qui, dans un seul cas, avait donné une longitude différente de la longitude moyenne, de plus de 6°. Cette condition m'a obligé de rejeter les 5 chronomètres suivants: Hauth 11, Dent 1739, 1953, 1963, 1998.

Les 34 chronomètres restants donnent maintenant:

}a A0

Kharkov 0”23;13 "2911 Nicolajev 22 23,12 22 22,87 Kiev 28 16,13 28 15,83 Jitomir 7.292,91

Odessa 4 55,48 Krementschoug 11 17,0% Poltava 6 36,93 Orel 6 0,68.

Dans nos calculs des longitudes des trois observatoires, Kharkov, Nicolajev et Kiev, nous avions supposé la différence en longitude entre les points principaux, Moscou et Varsovie, À — 1” 6” 9;68, au lieu de la valeur définitive fournie par les expéditions de 1845, A—1/6"9;46. Cette dernière quantité demande encore une petite réduction de + 0;045, pour la faire correspondre au petit pavillon de l'observatoire de Moscou, où nous avions établi

notre lunette méridienne. Nous avons donc dA— — 018. Les corrections correspondantes 15 T+T

des longitudes des trois observatoires se calculent par la formule d\ — dA, où pour

x et vil faudra mettre les durées du transport du temps, indiquées dans les listes précédentes. C'est ainsi que nous avons trouvé:

d\a die pour Kharkov — 0:05 — 0:04 « Nicolajev — 0,11 — 0,09 «Kiev — 0,14 — 0,14.

et en ajoutant ces corrections aux valeurs précédentes, les longitudes corrigées:

a U Ja Kharkov 5”23;08 572907 + 1501 Nicolajeu 22 23,01 22 22,78 + 0,23 Kiev 28 15,99 28 15,69 + 0,30.

EXPÉDITION CHRONOMÉTRIQUE DE 1846. 197

Comparons maintenant avec ces longitudes, les valeurs / obtenues à l’aide du chronomètre non compensé. En corrigeant les / également des quantités dh, nous avons: la 1b la — ja Bb — j8 le — pour Æharkov 107 7549 4925575 +4"AA4SAI — 0756382 + 574073 « Nicolajeo 24 8,42 21 40,07 +1 45,46 —0 42,71 +2 28,17 «Kiev 29 34,59 28 23,58 +1 18,60 +0 7,89 +1 10,71.

La valeur X*— } trouvée pour Kharkov est trop forte pour être produite seulement par la combinaison des petites erreurs dans les déterminations du temps absolu et dans les corrections du chronomètre auxiliaire, avec les irrégularités dans les marches des chronomètres, indépen- dantes de la température. Ces trois sources d'erreur combinées auraient pu produire des diffé- rences de deux à trois dixièmes de seconde, telles qu’elles se montrent dans les longitudes de Nicolajev et de Kiev, mais point une différence d'une seconde entière. C’est pourquoi il paraît qu’il faudra attribuer la majeure partie de la différence X° — }? trouvée pour Kharkov, à l'effet des changements de la température qui, dans ce cas, ont été extraordinairement forts, à ce qu'on voit par les /* et les /°. Dans les longitudes de Nicolajev et de Kiev, les effets des changements de la température se sont prononcés également, mais en plus faible proportion et comparative- ment plus altérés par les trois sources d'erreur indiquées. Nous avons donc les trois équations de la forme ({*—1*)£— (x — °), pour la détermination du coefficient de compensation É, qui convient à la moyenne de tous les chronomètres.

340,73 É— + 1:01 148,17 Ë— + 0,23 70,71Ë— + 0,30,

d’où nous tirons É— + 000275. Avec ce Ë nous avons calculé les corrections suivantes dà = (à —l)6, à appliquer aux différentes longitudes

de dé

pour Kharkov — 0:78 + 0515

« _ MNicolajev — 0,29 + 0,12

«Kiev — 0,22 — 0,02;

et nous avons, par conséquent, en définitive | Àe ; ou Moyenne

Kharkov 572930 572922 572996 Nicolajev DOTE) 22 29,90 22 292,81 Kiev 28 15,77 28 15,67 28 15,72.

La dernière valeur moyenne de la longitude de Kharkov, diffère de 0:32 de celle que nous aurions trouvée, si nous avions négligé les températures. On voit facilement que nous serions parvenus à peu près à la même valeur, si nous avions attribué aux deux déterminations, X° et }, des poids relatifs déduits de l'accord des longitudes fournies par chaque chronomètre à part

198 O0. STRUVE.

avec les longitudes moyennes. En effet, le calcul donne ainsi la longitude moyenne — 5" 22:27, différente seulement de 001 de notre valeur définitive. — Pour les deux autres observa- toires les longitudes moyennes ne sont changées que de 0:08 et 0;12, par l'introduction des corrections thermométriques.

Les longitudes des points de seconde classe demandent des corrections analogues à celles que nous avons appliquées aux longitudes des trois observatoires.

Pour Jitomir nous avons supposé la différence en longitude entre les points principaux Kiev et Varsovie, À — 0” 37" 53:91, tandisque notre calcul définitif la fait 4 — 0* 37” 53:78. Nous avons donc dA— — 0513; ce qui donne dx — — 0:03.

La longitude d'Odessa, étant déterminée par le retour sur le même point principal, Nico- lajev, ne demande aucune correction de cette nature.

Les longitudes de Krementschoug et de Poltava sont interpolées entre celles de Kharkov et de Nicolajev. La valeur supposée de Æ était 0* 17” 0540; le calcul définitif le fait A—017"0;55. Il y a donc d'A — +015, d’où nous tirons

pour Krementschoug dÀ = + 0:08 «__ Poltava + 0,04.

Enfin, la longitude d'Orel étant interpolée entre celles de Moscou et de Kharkov, nous avons le 4 définitif 0*5”22:26, différent de — 028 de la valeur supposée 4 —0” 5” 22:54. La correction à appliquer à la longitude d'Orel s’en déduit dA — — 0:14.

Il reste maintenant à trouver les corrections thermométriques pour les longitudes des points de seconde classe. En prenant les différences entre les longitudes données par le chro- nomètre non compensé et les longitudes moyennes, nous avons ici

pour Jitomir [— = — 0"10;77 «_ Odessa +0 16,16 «&_ Krementschoug — 0 23,90 «_ Pollava — 0 29,72 € Orel +0 10,82.

En multipliant ces quantités par le même coefficient moyen de compensation &, déduit des longitudes des trois observatoires, nous avons les corrections thermométriques à ajouter aux

longitudes de Jitomir dÀ = +-0;03 d’'Odessa — 0,04 de Krementschoug —+- 0,07 de Poliava + 0,08 d'Orel — 0,03.

Résumons maintenant dans un seul tableau les longitudes de nos lieux d'observation, en appliquant à celles des points de seconde classe les deux corrections trouvées.

EXPÉDITION CHRONÔMÉTRIQUE DE 1846. 199

Longitudes relatives des lieux d'observation.

Kharkov 52926 à l'Ouest de Moscou Nicolajev 22 22,81 « «

Kiev 28 15,72 « « Jitomir 22,57 « de Kiev Odessa 4 55,44 « de Nicolajev Krementschoug 11 17,19 « de Kharkov Poliava 6 37,05 « de Kharkov Orel 6 0,51 « de Moscou.

Il est impossible d'indiquer, pour chacune de ces longitudes relatives, l’exacte valeur de l'erreur probable qui lui convient. Mais il paraît que, dans tous les cas, on peut l’estimer au dessous de 0:20. La longitude la moins exacte est celle de Kharkov, par suite de l'effet extra- ordinaire des températures et parce qu'ici la détermination du temps est moins sûre que pour les deux autres observatoires. Quant aux longitudes relatives des points de seconde classe, l'erreur probable doit être estimée de très près égale à celle des déterminations du temps sur ces points. mêmes, augmentée un peu par suite de la petite incertitude existante dans la longi- tude relative des deux observatoires qui avaient servi de points principaux. On voit dans les listes précédentes des longitudes fournies par les différents chronomètres que, dans ces cas, par suite de la plus courte durée des voyages entre chaque couple de points principaux, l'exactitude du transport du temps peut être regardée comme absolue.

$SS. Jonctions entre les lieux d'observation et des points fixes.

En général j'ai choisi les lieux d'observation aussi près que possible des points fixes, sur lesquels nos déterminations devaient être réduites, de sorte que les réductions sont d'ordinaire très petites. Pour les observatoires ces réductions étaient zéro, parce que nos positions se rap- portent directement à l'endroit de l'instrument des passages ou du cercle méridien qui avait servi aux observations et qu’on peut regarder en même temps comme l’instrument principal de chacun de ces établissements. Ce n’est que le point de sortie, l'observatoire de Moscou qui en fait une exception. Ici le petit pavillon, dans lequel notre lunette méridienne était établie, se trouvait de 0045 à l'Est du cercle méridien de l'observatoire.

Ce ne sont done que les cinq points de seconde classe, pour lesquels des jonctions entre les lieux d'observation et des points fixes devaient être exécutées. Pour quatre de ces points, Jitomir, Krementschoug, Poltava et Orel la jonction était extrêmement facile. Ayant établi le théodolithe sur les places libres qui entourent les églises, je déterminais approximativement, à l'aide du petit cercle horizontal de cet instrument, l’azimuth de la coupôle ou du clocher de l'église par rapport au lieu d'observation, et mon compagnon de voyage mesurait, à l’aide

200 O0. STRUVYE.

d'une ligne de mesure, les distances directes entre ces lieux et la base du mur le plus proche de l’église. En levant ensuite, à coup d'oeil, un plan de l'édifice et en mesurant les dimensions des parois, M. Schvarev parvenait à déduire exactement la distance horizontale entre le lieu d'observation et l'objet dont j'avais déterminé l'azimuth. C'est ainsi qu'en comptant les azi- muths du Nord par l'Est, nous avoos trouvé les relations suivantes.

A Jiüomir Yazimuth de la croix sur l'église des Bernardins — 2° 30° la distance « « « — 126 pieds.

A Kremenischoug l'azimuth de la coupôle de la cathédrale — 164° 45 la distance « « — 638 pieds.

A Poltava l'azimuth du clocher de la cathédrale — 228° la distance « « — 101 pieds.

A Orel l'azimuth du clocher de la nouvelle cathédrale — 32° la distance « « « — 64 pieds.

Ce n'est qu'à Odessa que la jonction était un peu plus compliquée. Pour ne pas trans- porter trop loin les instruments, nous avions choisi le lieu d'observation sur l'extrémité du môle qui abrite le port des vaissaux de cabotage. Nos observations donnent donc directement la position de l'entrée dans ce port. Mais il parut désirable de joindre aussi ce lieu d’observa- tion avec un point encore mieux désigné, nommément avec la cathédrale de la ville, dont la distance était à peu près d'une verste et demie et qui se trouve à une élévation considérable au dessus du môle. La fléche de la cathédrale était visible du lieu d'observation. Je pouvais donc employer directement le théodolithe pour en déterminer l’azimuth à 213° 36° et l'angle d’élévation à 4° 11. Tandisque je faisais les observations pour la détermination du temps et de la latitude, M. Knorre mesura, à l'aide d'une ligne de mesure, sur la surface horizontale des remparts du môle, une base de 223 pieds de long, dont il joignit ensuite les extrémités, avec mon lieu d'observation et avec la cathédrale, par trois triangles. Sur les deux extrémités de la base, M. Knorre mesura les angles inclinés par un petit sextant, tandisque le théodolithe nous donna les angles horizontaux sur le lieu d'observation. Avec les réductions nécessaires par rapport à l'élévation relative des différents points, cette petite opération conduisit à la distance horizontale entre le lieu d'observation et la cathédrale, qui fut trouvée de 5382 pieds.

En convertissant maintenant les relations linéaires et angulaires trouvées, en quantités correspondantes en latitude et en longitude, nous trouvons les réductions suivantes à ajouter aux coordonnées des lieux d'observation pour obtenir celles des points fixes. Le signe positif désigne ici, dans les réductions en longitude, que le point fixe se trouve à l'Ouest du lieu d'observation.

ExPÉDITION CHRONOMÉTRIQUE DE 1846. 201

Réduction en latitude en longitude A Jiomir + 40 — 0:01 » Odessa — 44,2 + 2,84 «€ Krementschoug — 5,9 — 0,22 « Poltava — 0,5 +- 0,08 « Orel + 0,5 — 0,0%.

6 9. Résultats définitifs de l'expédition de IS46.

Après avoir combiné les réductions en longitude, avec les différences en longitude données pag. 199, nous parvenons maintenant, par les additions nécessaires, aux différences en longitude entre les différents lieux déterminés pendant cette expédition et le petit pavillon de l'observatoire de Moscou.

Kharkov 52226 à l'Ouest du pavillon de l'observatoire de Moscou Nicolajev 29 29,8 { « « « « Kiev 28 15,72 « « « « Jitomir 35 38,28 « « « « Odessa 27 21,09 « « « « Kremenischoug 16 39,23 « « « « Poltava 11 59,39 « « « « Orel 6 0,47 « « (@ «

La longitude du pavillon de l'observatoire de Moscou a été trouvée, par l'expédition de 1845, de 0*28"” 58;28 à l'Est de Poulkova (voy. la première partie de mon mémoire p. 122). Les différences entre cette longitude et les quantités précédentes nous donnent par conséquent les longitudes des différents points à l'Est de Poulkova. En y ajoutant 2° 1” 18567 nous aurons les longitudes de ces lieux par rapport à Greenwich. Les latitudes des points de seconde classe, données dans le tableau suivant, sont telles que je les ai déterminées pendant le voyage. Pour Kharkov et Kiev j'ai introduit les latitudes d’après les déterminations de MM. Schidlovsky et Fedorov, mentionnées plus haut (pag. 175) et pour Nicolajev telle qu’elle est donnée par M. Knorre dans les Astronomische Nachrichten No. 158.

Mémoires sc. math. et phys. T VI.

202

Tableau des résultats définitifs.

Kuarxkov, observatoire tempo- raire

NicoLAJEv, observatoire, lieu du cercle méridien

K1:Eev, observatoire, lieu de la lu- nette méridienne

Jitomir, croix sur l’église des Bernardins

OpessA, flèche de la Cathédrale

KREMENTSCHOUG, coupôle de la Cathédrale

Pocrava, clocher de la Cathé- drale

ORrEL, clocher de la nouvelle Ca- thédrale

O0. STRUVE.

Latitude

50° 0’ 102

46 58 20,6

90 90 46

49

49

92

27

34

58

Er

12,5

22,7

99,6

48,8

99,1

OO DE mr

+

+

+

—-

+

+

Longitude à l'Est de Poulkova

+ 07 23" 36:02

0 42,56

6 40,00

1 37,19

12 19,05

16 58,89

22 57,81

à l'Est de Greenwich

2} 9475469 2 7 54,14 2 2 1,923 1 54 38,67

2 2 55,86

2 13 37,72

2 18 17,56.

2 2% 16,48.

SUR

L'INTÉGRATION DES DIFFÉRENTIELLES

QUI CONTIENNENT

UNE RACINE CARRÉE D'UN POLYNOME DU TROISIÈME OU DU QUATRIÈME DECRÉ.

PAR

P. TCRÉBYCHEN.

Lu Le 20 Janvier 1854.

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\ hs :éth96 Lo Lu FFE k RAR ty da i | TA 4 L LS 1 \ HAT EE Do LR. A Ha A ROME un tee LL L . ( Las | . 17 til ; LC

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AUOT

$ 1.

Dans le Mémoire Sur l'intégration des différentielles vrrationnelles, publié, en 1853, dans le Journal de Mathématiques pures et appliquées de M. Liouville, nous avons donné une mé-

thode pour trouver la partie algébrique dans l'expression de l'intégrale | La en tant qu'elle 0 T

est possible sous forme finie, et déterminer séparément tous les termes logarithmiques à l'aide de certaines conditions qu'ils doivent vérifier. A présent, nous allons montrer comment on peut trouver, d'après ces conditions, les termes logarithmiques, dans le cas le plus simple et le plus intéressant, savoir: celui où la différentielle contient une racine carrée d'un polynôme du troisième ou du quatrième degré. Faute de méthode générale, on ne connaît que des cas très particuliers, où une pareille différentielle s'intègre sous forme finie; dans plusieurs autres cas, pour lesquels cette intégration a aussi lieu, on n’y parvient qu'en essayant différentes trans- formations, et, le plus souvent, on renonce à l’idée de chercher l'intégrale après avoir fait beau- coup de tentatives sans succès. Or, d'après nos recherches, citées plus haut, les méthodes parti- culières et les essais de différentes transformations qu'on emploie dans cette intégration, seront

remplacés par une méthode générale et directe dès qu'on sera parvenu à définir les termes oZ dx

For Vart-tprstya tort nous avons trouvées pour leur détermination. C'est ce que nous allons faire ici, en don-

logarithmiques dans la valeur de j , d’après les conditions que

nant la méthode, d’après laquelle la recherche de ces termes se réduit toujours à cette question résolue par Abel:

«Trouver toutes les différentielles de la forme D où 9 et R sont des fonctions entières p+qvR

av (Oeuvres

«de x, dont les intégrales puissent s'exprimer par une formule de la forme log compl. T. I, pag. 53.) Cette intégration sera donc due à Abel et par le principe fondamental, d’où nous sommes

partis dans nos recherches sur l'intégration des différentielles irrationnelles, et par la méthode

de résoudre la question citée, à laquelle se réduit finalement la détermination des termes logarith- e va dx se miques dans la valeur de fÉ£ ©. Ainsi, nos recherches, comme nous 07 Var + Ba + ya? + dx + X

nous plaisons à le croire, rempliront, sous un certain rapport, une lacune qui restait entre les

206 (2) P. TCHÉBYCHE Y.

Mémoires de ce grand Géomètre, où il donne la forme générale des intégrales des différentielles algébriques, en tant qu'elles sont possibles sous forme finie, et ceux où il cherche leur valeur, en faisant une hypothèse particulière.

La réduction de nos équations, dont nous venons de parler, est indispensable aussi pour simplifier l'intégration des différentielles plus compliquées. Quant aux différentielles qui ne contiennent sous le signe du radical carré qu'une fonction du premier ou du second degré, cette réduction conduit immédiatement à trouver la partie logarithmique de leurs intégrales. Outre cela, cette réduction est remarquable par différents résultats relatifs à la nature des intégrales qu'on peut en tirer, et cela nous fournit un rapprochement très intéressant de la construction des valeurs irrationnelles avec la règle et le compas, et l'intégration des différentielles sous forme finie. Ainsi on verra que, la somme des nombres n’, n,n,.... étant impaire, l'intégrale mA(a) , n”A(a/) y

(n° + air tie cts T—a ZT —

où nous avons fait pour abréger A(x) — V x" + Ba +- yx* + dx +}, ne peut être exprimée sous forme finie, si, d’après les quantités

! 14 CPR NON MONS et à l’aide de la règle et du compas, on ne peut construire aucune des racines de l'équation 2 + Ba + Va + dx + À — 0.

Par exemple, on reconnaît que les intégrales

PEN NOIRS ! fps os LE n°: +227 n D, ARR 2n …_3@n nn D x +C En xæ—1 x 7 ar, — © — dx; Vai+ 27? — 8x +9 Vri+ 2x — 8x +9 Var 2x 8x +9

etc., etc. , CC ser.

sont impossibles sous forme finie, parce que, à l’aide de la règle et du compas, on ne peut pas inscrire dans le cercle un polygone régulier de 7 côtés, ce qui est nécessaire pour la con- struction des racines de l'équation x + 2x? — 8x + 9 — 0.

Il y a d’autres questions de l'Analyse transcendante, où la même méthode de réduction peut être avantageusement employée, savoir, quand on cherche à exprimer la somme des intégrales

fx dx Pi fa dx nc ol = He. az+$8, V6x ax+8, V'6x par une somme d'un nombre déterminé d’intégrales semblables, en y ajoutant une certaine onction algébrique et logarithmique. Enfin, cette même méthode, appliquée aux nombres, nous donne un procédé à l’aide du-

quel on trouvera la représentation d'un nombre donné par la forme x*— ny”, toutes les fois que ce nombre peut être mis sous cette forme et qu'on connait la valeur de x, pour laquelle la

INTÉGRATION DES DIFFÉRENTIELLES. (3) 207

forme x? —n est divisible par ce nombre. Dans le cas de n — — 1, cela se réduit à la mé- thode ingénieuse que M. Hermite a employée pour démontrer que tous les nombres premiers de la forme 4k-+- 1 sont toujours décomposables en une somme de deux carrés, et pour effectuer en même temps cette décomposition.

Ç 2. Si dans les formules de notre Mémoire, cité plus haut, on fait m—2, A = VOx—= VOx,

on trouve que l'équation am — 1 —0,

dont l’une des racines primitives nous a servi pour composer des nombres complexes, se réduit à æ°— 1 — 0, et comme la racine primitive de cette équation est égale à — 1, les nombres complexes que nous avons désignés par

O ! "1 M, , M, , M,‘ aSe

deviennent réels et rationnels. De plus, la forme générale des termes logarithmiques

m— A

Alog [o (A).o%(&A). pt (x?A)....@

à cause de m— 2, À — V 0x, devient

CIE

V6x Aog[p(V0z).@—1(— V0r)] = Alog 202),

et comme + est une fonction entière, on aura ; p(VOx)— X;+XVOx, p(— VOx) — X, — XV0x, où ÀX,, À sont des fonctions entières. Donc, les termes logarithmiques dans la valeur de l'intégrale fe FE , S'écriront ainsi:

X5+XV6x

AG 6x"

En cherchant à déterminer ces termes, nous avons trouvé que le coefficient À sera égal à une valeur connue, divisée par un nombre entier inconnu, et si l’on désigne ce nombre par

X,+XV0x . , . * O X,— x V6 sera exprimé par le produit n,.M°, où M° est une valeur

connue. De plus, cette fonction, pour toutes les valeurs finies de +, sera en rapport fini avec

n;, le degré de la fonction

la puissance n,"° de la fonction ven Fr At PAT LOL mi —1) (c—2)M,.(x— x )Mi.(x—x )M....(xæ— xû—1) (æ— æû—1));

11 111

; U 7 M, M, M,.....M0-1,

208 (% P. TCHÉBYCHEW.

dans le cas que nous examinons, sont réels et rationnels. En passant à la détermination des inconnus n;, X,, À, nous remarquons que n, doit être susceptible de réduire les produits LL

QU Mn M, nM, nM)—1

pris X,—XVbr

fractionnaire, X,, À étant des fonctions entières; la même chose a à relativement aux produits

à des nombres entiers: car le produit n,M; désigne le degré de , qui ne peut être

"M, n M, HD AM A,

. ñ [444 qui sont égaux aux Re de x—x', xx", a—x

+XV06x — XV0x

.….æ—æœù T1), ie n, doit être divisible par le plus petit dénominateur, auquel les quantités

M,, M, M... MA—1

,-...æ—æ@A—1) dans les premiers termes

U44

.…..

. Q . là [44 du développement de & suivant les puissances croissantes de 4—x,x—x ,x—1x

peuvent être réduites, et par conséquent, si l’on désigne ce dénominateur par oc, et le quotient n;: G par +0 OU — ©, On aura

— + MT 0000

où nous prendrons celui des deux signes qui appartient à la valeur de M7. D'après cela,

n,M°, le degré de poie

entier et positif. En dénotant ce nombre par x, et désignant d’après la notation d’Abel, le ne 5 X+XV0x X,— xVom DES X,—XV0x

, sera exprimé par +oM°o, où + cM; se réduira à un nombre

degré de

, nous aurons, relativement à p, cette équation

X+XVOr X—XVEr

Quant à la fonction qui, pour toutes les valeurs finies de x, reste dans un rapport fini avec pie

la fonction te

, en vertu de n = + 06, elle se réduit à

! 1 1 111 M}! +06 Lo 2) (o— 2") (a — a") (mat —0) . (a—aû+)] Te,

’ ’ i et comme les produits oW;, oM,, ..... oM;%—®, d'après la propriété du nombre c, se

réduisent à des nombres entiers, la fonction 1—1

Leo). (o— 2") (ep (eat 1). (aa) [TT ne peut être que rationnelle. Donc, si nous faisons, pour abréger, ’ NI Pr EUE SD Ga a Eic) L(x— 7"}M (a—2")Mi.(x—x "Mi... (m—xû—9) , (æ— æ0+6) | —*

e -)

où u, v sont des fonctions entières, et que nous convenions de désigner par la lettre T toutes les

INTÉGRATION DES DIFFÉRENTIELLES. (3) 209

X5+XV6x

fonctions qui restent finies, tant que æ n'est pas infini, la propriété de la fonction 2 a

en question, sera exprimée par cette équation

Xo+XVEz y uw \p X6—XVOx (& E

C'est d’après cette équation, combinée avec la suivante:

5 X5 + XV06x Le

X—2V6s — "V?

que nous devons chercher le nombre p et les fonctions X, et X.

Ces équations seront le plus souvent très compliquées à cause du degré élevé des fonctions u etv, et de la valeur considérable de t. Or, nous allons montrer qu'on peut les réduire à la forme, où le degré de wv, plus le nombre x, sera au-dessous du degré de V 4x.

ç 3.

Il n’est pas difficile de s'assurer, que 4, ©, étant deux fonctions entières dont le produit

est égal à Ox, et p et q des fonctions entières quelconques, on peut mettre la fonction cher-

X,+ XV 6x

chée XVe sous la forme

DV 01 +-9V0» 8 P,+Q,V0x PV6, — IV 0 P, — Q0V 0x ?

en choisissant convenablement les fonctions entières P, et Q,. En effet, le quotient

X5+XV0x , [pV0,+9V0,\P X5— XV 0x * \pV6, — V0, se réduit à (Xo+ XV 6x) (PV 01 — V0) (Xo+ XV 6x) (p04 — V 6x)? (Xo—XVbr) (PVO, +900) — (Xo—2XVUx)(pO + 9V0x) ?

P5,+ Q0V6x Po— QoVbx du produit (X,+ XVUx) (p0, — qV 0x) , et par Q,V/0x celle qui a pour facteur V6x.

Mais, si l'on substitue dans les équations

expression qu'on peut mettre sous la forme

» en dénotant par P, la partie rationnelle

Xo+XV6x __ nf u \P Xo+XVOx

Lee = 1(+) ’ D DEV — TP ee ee . (1) : ae) Po Q0V6x , X,+XV6x FC < : le produit (Rae Po 06e à la place de KV” elles se réduisent à celles-ci

Po— Q0V6z — \v pV0, +-gV0,) ?

P5+00V6x PVO: +9V6z

00 — | r—0 2 | 0 » Po— QoV 0x PV6i — 9V6,

Mémoires sc. math. et phys. T. VI. 27

210 (6) P. TCHÉBYCHE NV. et si les fonctions p et q sont choisies de manière à ce qu’elles vérifient les équations

PVOi+QVbe T va: PVO, +9V6 Le Disons TUE

les équations qui déterminent les nouvelles inconnues P, et Q, deviennent

Po+@Q0V0z __ u'\P P5+Q0V0x __ « Py— 00 6x Et À rt) D D + O6 — (r Tu)Q suite Me (2)

Ces équations seront plus ou moins simples selon les valeurs de p et q, qu'on emploiera

dans la réduction dont nous venons de parler. Or, nous allons montrer que, dans les équations réduites (2), la somme du degré de uv et de la valeur numérique de x—n, sera au-dessous

du degré de V@x, si l’on prend pour p et q des fonctions qu’on trouve de la manière suivante:

SV6,+V0s SVO —V6r

TE NET RATE re u

1) On cherche une fonction entière S, pour laquelle les fractions =

ne deviennent pas infinies, tant que x reste fini. ee V6,

: V6 ‘ . . : ses, 2) On développe — en fraction continue, et parmi les fractions réduites on trouve

: £ : , ’ . ; ’ uvb,.æT : : une fraction dont le dénominateur est d’un degré moins élevé que V 7x > Mais qui est

Me ; ; . ; ; nee v0,.æ7 suivie d'une fraction dont le dénominateur est d’un degré plus élevé que VE FE .

3) En dénotant cette fraction par on prend J=N MEN Mur, 05.6 (3)

En effet, d'après les équations (3) et la propriété de la fonction S, on voit que les ex-

pressions PV6,+-9V0> pV61—QV2 FRANS 2 AA AE "ER LAC u v

restent finies pour toutes les valeurs finies de æ. Donc, si l’on dénote par CAE CPS RS TE A AU RDA CONS les valeurs de x qui rendent ces expressions égales à zéro, et par

f, LE Ee sieteleres g TE 2 » 0.3

les exposants de X—X, L— À ; L— Lo s 00.9

d—$B, x—$,, x—f, ......

dans leur développement suivant les puissances croissantes de ces différences, on aura

INTÉGRATION DES DIFFÉRENTIELLES. (7) 211

V6, +9 DU = Ti (aa) (a — eh (a — a)e.……;

DA EDe ET, (o— BB (eue...

v où T,, T, désignent des fonctions qui restent finies pour toutes les valeurs finies de x.

Mais, comme les exposants de 2— à, æ— ou, æ—@, .... æ—$,x—$,,x—0$,....

V VO> pV0,— V0 dv . 1 dans le développement de Put, Te ne peuvent contenir d’autres fractions que

ces équations se réduiront à cette forme

QUE UOTE POP PU DE Tu Vu, FPS A)

3 , 0 , ô es Du . où u, v, w, w, sont des fonctions entières, dont les deux dernières ne contiennent que des facteurs simples. Par la multiplication de ces équations nous trouvons

20, — 20 ne PAT — T,T,uv Vuw',

et par conséquent, P'0,— 902 __ uvwv'Vuww TB:

Cette équation prouve, évidemment, que 7,7, est une constante; car, d'après la propriété

des fonctions T,, T,, leur produit ne devient ni zéro ni infini pour x fini, tandis que cette

P°01 — g°02)?

équation montre que le carré de T,T, est une fraction rationnelle 24112), qui ne peut rester a (uvu'v )- ww

finie pour toutes les valeurs finies de x, à moins qu’elle ne se réduise à une constante. Donc PT =C, et par conséquent, l'équation précédente devient

P01—g 0 __ C uvuw/v Vww —— “”

el nn)

, PA / , Û] ° ; Or cette égalité suppose que ww est un carré parfait, et comme les fonctions w, w n'ont que des facteurs simples, cela ne peut avoir lieu à moins qu’on n'ait

DU ae ee ee te (0)

D'après cela, en divisant les équations (#) l’une par l’autre, on trouve

PVOi+QV6 T* v! PV —9V0 vu? : T en mettant, pour abréger, T à la place de + 2 Il nous reste maintenant à prouver que si l'on fait

di 5 PV 0 +900 Arr PV, — gV06,

212 (9) P. TCHÉBYCHE v.

la somme de S(uv) avec la valeur numérique de r—r, sera au-dessous de 5V@x. Or, selon que r—7, est positif ou négatif, cette somme sera égale à S{uv')}+-7—7T, ou à J(u’0')—T+-T. Nous allons montrer que ces deux quantités sont effectivement plus petites que 3V 4x, tant que

p et q sont déterminés comme nous l'avons dit. PVO, +-9V 6»

Pour s’en assurer, nous remarquons que d’après la substitution de 5x et des PVÜ1 + 9V62

à la place de t et r,, ces quantités deviennent

14 PVO —qV6s » PVOi+-QV0e —r d(uv)+ D 76, q V6, © , à (u' v')+ Sy ave, e û

Mais, d’après l'équation (5), nous trouvons

UN — RP°01 — 9209 JUL ES eme

Donc, les quantités précédentes sont égales ou inférieures à celles-ci

SP ee s2V—9V0, T — 9529, ë, uv PVO, +-qV 0» Vuv 5 p26, — 470 2 Le pV0 1 +9V09 NM 9 52V01--9V6 = &. uv AA — V0, uv

Mais la première de ces quantités, par la substitution des valeurs de p et q d'après (3),

devient 0

6, M uv 03. æT —;) NV Vüæ ?

Un z se 9 3 SN E 50728 (

quantité qui est au-dessous de SV Gx, tant que L, dans la série des fractions réduites de

s-V> uv Quant à la seconde quantité, nous remarquons qu'elle peut être mise sous cette forme

T 1, est suivie par une fraction dont le dénominateur est d’un degré plus élevé que es = 0x

VOi—QV6s —5 2qV6, —5 DSP T2 242% "|

Vuv V'uv

et par conséquent, qu'elle ne surpasse pas au moins l’une de ces deux valeurs

PVO —QV0s —54 PVO, —9V0s 25 1 2x *|=25 ur C2 250087 DT / LV

Vbx

ÿ Le =

Mais, comme nous venons de trouver que 2 æ* est plus petit que 8VOx, et

. > ; . , , COR LE Ê que nous avons pris g — N, d'un degré moins élevé que V 75; > il s'en suit que ces deux

INTÉGRATION DES DIFFÉRENTIELLES. 9 213

quantités sont au-dessous de 5V/@x. Ainsi l’on parvient à s’assurer que les valeurs de p et q, déterminées d'après la méthode énoncée, sont effectivement susceptibles par la substitution X0+-XV0x __ {pV0,+9V0,\P Po+ QV0x Xo—XVOx \pVO1— V0) Po—Q0V0x” de réduire les équations - X9+-XV0x ë X,+XV6x ne —= T Es , Ô D — TQ 9 o— XV6x v X,—XV6x à ces autres

Po+Q0V062 _ p{u#\9, Pot QV0x ; ques = T(o) 5 draps (mme:

où la somme du degré de uv’, plus la valeur numérique de t—-"x,;, est au-dessous du degré de VOx.

Nous montrerons maintenant, que cette réduction sera toujours possible, tant que les équations primitives elles mêmes ne remplissent pas la condition

(uv) +T < DV 0x.

Il est facile de remarquer que la détermination de p et q, dont nous venons de parler, ne sup-

sv

pose que l'existence de deux fractions réduites de —+ telles que l'une ait pour dénomina-

: ; ; ue. “vb,.cT : ‘ : . teur une fonction d'un degré moins élevé que je tandis que la suivante a le dénomina- t d’ d nl ave uvb,.æT

eur d'un degré plus élevé que W —7"—

Or nous verrons, que cela aura toujours lieu, tant que la condition S{uv)+r < 3V 0x n'est pas remplie, et que l’on décompose convenablement la fonction /x en deux facteurs @, . 0,;

Ê . uv ZT ep ; Ê . . savoir: de manière que pese soit d'un degré iractionnaire. En effet, dans ces suppositions,

: uv0,.æT ; : 1 ve le degré de Ve est au-dessus de zéro, et par conséquent, si l’on commence la série des

02 VE

. SAR 0 ; : see à fractions réduites de par +, où le dénominateur est du degré zéro, on est sûr de trou-

a ver parmi elles au moins une fraction dont le dénominateur soit d’un degré moins élevé que

uvO,.æT

V0x à s-V® Mais alors, dans la série infinie des fractions réduites de nn , On trouvera nécessaire-

ment deux fractions consécutives telles que l’une a pour dénominateur une fonction d'un degré

: RU uv0,.æT . ; ‘ , , ; AN moins élevé que VW —7—, tandis que le dénominateur de l’autre est d’un degré plus élevé 0 LEA sv? uw . Q 0 Q r Q , # 0 que Ve si toutefois aucune des fractions réduites de — n'a son dénominateur du

214% (10) P. TCHÉBYCHE.

A à uvO,.xT : . : : . même degré que pu Or cela n'aura pas lieu, tant que cette fonction est d’un degré SV se fractionnaire; car, pour Üx de degré pair, toutes les fractions réduites de DE —T ne : be EL contiennent que les puissances entières de x, et pour @x de degré impair, le degré de re 1 s-V# a la forme k + >, tandis que les degrés fractionnaires de x, dans la fonction *, sont de 1 la forme k + > Ve 7 Le : LE 0 Nous remarquerons encore que, dans la série des fractions réduites de — = =,

à À ] le an : on ne rencontrera des puissances fractionnaires de æ qu'après la fraction --; qui sert pour trouver les fonctions p et q. En eflet, les puissances fractionnaires de x ne peuvent y entrer que dans le cas où Ox est de degré impair. Mais alors toutes les fonctions de la forme X5+XV0x X,— XV 6x d’après ce que nous venons de dire sur la détermination de p et q, le dénominateur AN sera

sont évidemment du degré 0, et par conséquent, tr — 0. Or, r étant égal à zéro,

> A . ; , uvô £ . . . d'un degré moins élevé que Vie et avec un tel dénominateur la fraction réduite ne donne,

en général, la fonction, d’où elle résulte par le développement en fraction continue, qu'avec

: s 4 ne ; De 1 V6x 1 1. 6

une exactitude jusqu'aux quantités de l’ordre plus élevé que CE a V@x

s_v® Mais la partie irrationnelle de 1 est justement de cet ordre.

M

7j? de manière qu'on

Donc, dans ce cas, cette partie n’a aucune influence sur la fraction

Ô sv peut la supprimer dans la formule 1, et chercher = par le développement seulement de

S : Ë en fraction continue.

Ç 4.

Nous allons montrer maintenant le parti que l’on peut tirer de la réduction, qui vient d’être exposée, pour la solution des équations

X+XVOz u \P X+XVEz A = 00 00 T(+) » Op Vs — TP»

dans le cas, où Ox est du 3% ou du 4me degré. Après avoir trouvé les fonctions p et q, comme

nous l'avons dit, et si l’on fait

INTÉGRATION DES DIFFÉRENTIELLES. a1) 215

Xo+XV0x __ {pV0,+9V0,\P P5+Q0V0x Xo—2XV6x \pV6,—QV6,) Po—00V6zx”?

on parvient à ces équations

AA r(S)" PR RE LCA CET AP

P5— Q0V02 P5—Q0V0x

. u . » x , Q

Pour trouver la fonction -;, on divisera p*0,— g*0, par uv. D’après la méthode qui nous a servi pour trouver les fonctions p et q, il est clair que le quotient de cette division sera d’un degré moins élevé que V4x, et par conséquent, dans le cas de 0x du 3e ou du 4e degré, ce quotient sera, en général, représenté par ax+-b. Mais, d’après les équations (5, 6), ce quo- Q 4 x r» 4 LANTA , e e° tient, à un facteur constant près, est égal à uvw. Donc, l’une des trois fonctions

(4 {4

u, v, w sera égale à ax+b, et les autres se réduiront à des constantes, et par conséquent, l’on sera

conduit à l’un de ces trois cas uw! 4 u! u”

— >» ——0x—+b, ; —= à une constante. v axz<+b v

(3

Mais en faisant æ——° dans les équations (4), où d’après (6) w' —%w, on voit que le

premier cas aura lieu, si cette valeur de x rend

pV6, +9V0s —0

mn 9

le second, si l’on a PVO — 9V62 0

v 9

. e b A et enfin le troisième, si, pour x — — z’ 0ntrouve en même temps

PVO +9V0s 0 PVO — V0 0 u ne v EE

Donc, si nous convenons de désigner par € une valeur qui se réduit à

+1, —1, 0,

b selon que, pour x — — 7? On trouve

pV0, +90, 0

mn 9

pV6i _— AA —(

v L

216 (12) P. TCHÉBYCHE \.

ou, en même temps, pV6+9V6s _* 0 PV6— V0» 0 u me) H 0 D ?

; u , r Q la valeur de -; sera donnée par cette équation

uw! si

v'— (az+b}

D'après cela, les équations qui déterminent P,, Q, et o deviennent

Po+ Q0V0x [5 T P,+ Q0V 6x Du P,— Q,V6z —= (ax+-b}P? 0) Po QVbx —= (T—7T)0. TRS 6 (7)

Dans le cas, où a ne se réduit pas à zéro, on peut mettre ces équations sous une forme plus simple, en introduisant à la place de x une nouvelle variable z d’après l'équation

a ax + b — —

En effet, si l’on traite la valeur de LUE comme fonction de cette nouvelle variable, 0 X0O

on parvient facilement à reconnaître, que, d’après les équations précédentes, la fonction Pot 02 en x, sera déterminée par ces propriétés: Po— Q0V 6x de P PESP ;

1) Elle reste finie, tant que s est fini et diflére de 0; car ces valeurs de z correspondent

à celles de + différentes de —{ et finies.

_— ee P5+ Q6V0x ._.(—m)e + ; 2) Pour z— 0, la limite du rapport Po OV6z :2 reste finie; car ce rapport n’est Ê À . + Po+QoV6x , (T—T,)p lui même que la limite de la valeur de == QE? pour æ = co. ASE Po 00V0x Ep . k UOTE 3) Pour z— co, le rapport PQ Vbz** reste fini, car ce rapport est égal à =,»

quand on fait x — — 2, a

Donc, en faisant ax-+b — — on peut remplacer les équations (7) par celles-ci

a—bz a—bz For ( Œ jai Ta 7e raÿ/0( az )

Po— ay 0 (=) , Po— Vo (TE)

Mais il n’est pas difficile de s'assurer, que a étant différent de zéro, on aura

T — Ty.

_ S2V01+-9V62

En effet, comme x ? 1 PV O1 — 9V 62

» on peut mettre les différences T—T,, T,—T sous ces

formes

INTÉGRATION DES DIFFÉRENTIELLES. 43) 217

PVh— 9V62 Te =.,9 Nat = CLASS NAT — 02 ; PV 0, +9V 02 Vuv uv

5 PVO + QV 02 = = SA en LA Na 10) PV 6, — 4V 02 Vuv uv

29, — 4709

Donc, si le coefficient a dans la valeur de Pre — ax-+-b n'est pas égal à zéro, les

différences

R— To Li— TT

sont respectivement égales à

wa

9 SAT — V0

Vuv [240] Mais, d'après le ( 3, on a

VO — Ve + Vo +qV0s —?

251 Tnt LIVOX, 251 2x ? LOVOr, uv uv

et comme @x n'est que du #"e ou du 3e degré, cela prouve que les différences r—7r,,

T,—T sont au-dessous de 1, ce qui ne peut être à moins qu'on n'ait r—7T,. D’après cela, les

équations qui déterminent P, et Q,, en fonctions de z, deviennent

formules que nous mettrons sous la forme

rs} #0) ro) TT, — 5" —

a—bz = È a—bN\ re Qy/#0( s. ) 2 271 _. )

pour délivrer la fonction radicale des puissances négatives de x.

Or, la première de ces équations ne diffère que par la forme de celle, qu'Abel a traitée

dans son Mémoire «Sur l'intégration de la formule différentielle ee » R et p étant des fonctions

entières», et d'après les recherches ingénieuses de ce grand Géomètre nous savons que cette équation est impossible, sauf le cas de P,—0, ou Q,—0, si la fraction continue résultante de

a—bz ; Me de : er z'0 n’est pas périodique, et dans le cas contraire, si l’on a az ?

Mémoires sc. math. et phys. T. VI. 28

218 (41% P. TCHÉBYCHE Y.

Te ; 1 "+ 1 DS 1 ete 4 27+— 1 be To + on vérifiera cette équation en prenant P5° 4 0 —7y SE 1 Qo + To, Es 2 Poe 1 Quant à l’équation 2 41(a—bz PP, + Q pa Ô me À ——— "2 — Ep,

4a(a—bz AE

on la vérifiera, en choisissant convenablement o, savoir en prenant

£ P— 37 sO(—) € E Va) ( —

=

P.+ Q:V0 1 la valeur cherchée de 2217, en fonction de z, sera P,— Q0V 6x

INTÉGRATION DES DIFFÉRENTIELLES. 45) 219

« 27. ° a . et d’après l'équation ax+b — T> Nous aurons, en fonction de x,

nn lee (ms) A 0) — Q0V 0x (er) e (5) - —V0x

Quant au nombre ©, on le trouvera d’après l'équation

a+ V20(T5) 4 =) 2) 4 LE À = ZE)

Cette valeur de p nous montre que la solution des équations (8), que nous venons de

trouver, ne peut être employée que dans le cas, où € ne se réduit pas à zéro; car, pour e— 0, cette valeur de 9 devient infinie, tandis que o désigne chez nous un nombre fini. Mais dans ce cas on vérifiera, évidemment, nos équations par une valeur finie de 9, en prenant une des solu- tions de l'équation

Dans ces solutions, pour e—0, le nombre p reste arbitraire, et l’on pourra prendre 9 — 1. Remarquons que ces solutions qu'on pouvait aussi tirer de la formule (9), en prenant (x) égale à 0 ou co, ne pourront être employées, à leur tour, que dans le cas de e — 0, car,

autrement, © serait égal à 0, tandis que ce nombre doit être différent de zéro.

SEE . P5+-00V6x Ainsi l’on trouve la fonction Po QV6z

p’O,— 90, par uv se réduit à ax+-b, et que a ne soit pas égal à zéro. Mais s’il arrive que

et le nombre 9, si le quotient de la division de

. L ! , . . . . F . a— 0, les fonctions u, v, d'après ce que nous venons de dire relativement à leur détermina- tion, se réduisent à des constantes, et par conséquent, les équations qui déterminent P,, Q, et @

deviennent

P5+-0Q0V0x __ P5+-QV0x Py— 00 6æ — T,, D OMEE — (m—T)e.

Or, comme ces équations sont de même nature que les équations (8), et que seulement

L2

220 (16) P. TCHÉBYCHE .

az

. 2 a—bz À n ici P,, ss V 0x, tr —7T, remplacent Ps, Q,, TES , €, nous concluons, d’après les

formules précédentes, que la solution de ces équations sera donnée par ces formules

Pot-Q0V0x __ polr)+V0x aa 5 ?o(2)+-V0x P5+-Q0V0x por) —VOx ? T—T Polt)—V6x ?

où l’on prendra pour @,(x) zéro ou l'infini, si

[4 T—r—0,

et dans le cas contraire, on développera V4x en fraction continue

(er en D | MR 1 27 + — nm + et l'on prendra eu. 1 DL) = TE TM, DS mis To + = To + — Ti

Nous remarquerons encore que si les équations primitives

Xo+XV6z T(: (à sXo+XV6x : X = XY05 » DO = Vpn

remplissent elles mêmes la condition d(uv)+r<V0x,

on trouvera leur solution au moyen des formules que nous venons de donner pour résoudre les équations réduites

v!

P5+00V0z __ m{uw'\e P5+Q0V0r Po Go 0e — T( 5) ose Se

Dans ce cas, on prendra x au lieu de r—7t;, et l'on trouvera a, b, e, en égalant

INTÉGRATION DES DIFFÉRENTIELLES. ar) 2921

Ç 5.

D'après ce que nous venons de donner sur la solution des équations

X+-XV6z u \P X,+XV0x me T4), D xyoe — Pr + + + + + + + (10)

T on peut prouver qu'elles sont impossibles, si, @x étant du quatième degré et rs de degré

impair, l'équation /x—0 n'est pas vérifiée, en prenant pour x une valeur composée des racines de l'équation uv — Q et des coeflicients de Ox, à l’aide des seuls radicaux carrés, et que, par conséquent, on ne peut pas exprimer en termes finis toutes les intégrales, dont la détermination se réduit aux équations (10) de cette catégorie.

: ; , uvwT , Pour le démontrer, nous remarquerons d'abord que, dans le cas où =; est de degré

0x impair, on peut exécuter la réduction des équations (10), d’après le ( 3, en prenant cette décomposition de Ux en deux facteurs ©,, 0, :

O—=1,4%—0%,

et si, avec ces valeurs de @,, @,, et en supposant connues les racines de l’équation uv — 0, on fait la réduction des équations (10), et qu’on cherche leur solution, on ne rencontre que l'extraction des racines carrées et les différentes opérations rationnelles. Donc, dans toute cette analyse, on n'aura que des quantités qui ne peuvent vérilier l'équation 4x — 0 dans le cas que nous examinons. Or nous allons prouver que tant que cela a lieu, on ne peut donner une solution des équations (10).

D'après le précédent, dans la solution des équations (10) on ne peut se passer du déve-

a—bz az

loppement de Vel ) ou VÜx en fraction continue, que dans le cas, où l’on a e — 0,

our—r —0,a—0(. Mais nous savons (voyez À 4) que la quantité € ne se réduit à zéro, que dans le cas, où

be ns. la valeur x — —— vérifie ces deux équations

PVO: +-QV0o np PVO, —QV0s __ 0 0 2 —

u v d

- , p°20, —p°0, est égal à —1——— ax+b, cela suppose que

uv

… pV6:+-qV ne et, comme le produit RAOCANE "ONE nv,

le développement de pV6, + V0» pV0, — 4V0» RAR ÉBLRE APur 2 RS ne RER

u 4 v

suivant les puissances de æ+-—, contient des exposants fractionnaires, ce qui ne peut avoir

222 (19) P., TCHÉBYCHE NW.

un : b ; lieu, à moins que 6, ou ©, ne contienne le facteur æ+-—, et par conséquent, cela suppose que la valeur æ——— vérifie l'équation 4,0, — 0x—0, ce qui ne peut être admis, comme

nous l'avons remarqué.

Le cas de a— 0, tT—7, — 0 ne peut avoir lieu, car nous avons trouvé, dans le ( pré- cédent,

V0, +QV0». —T 20, — q2 —Tr— 2 ne MALO 2 RS Par 202 Vuv uv 4 et comme à 29 pre 29 T2 —qr+-b,

: uv

cela nous donne

gr DSP (am D) DDR GT 5 (or +).

4 Vu V0x VÜx . . e TT Û e Mais dans le cas que nous examinons, la fonction Te est de degré impair et la fonc- : p+qV0x 2 Û . M üon 27 d'un degré entier; donc, si a — 0, la différence tr, —r est de la forme 2k+ 1;

0x

et, par conséquent, ne peut se réduire à zéro. 9

Il nous reste maintenant à prouver qu'on ne parviendra pas non plus à la solution de nos a—bz az

équations par le développement de Vol ) ou V 0x en fraction continue. Pour cela, nous

allons montrer qu’en général, si aucune des racines de l'équation bicarrée R — 0 ne peut être exprimée à l’aide des seuls radicaux carrés, la fraction continue, résultante de VR, ne peut être périodique, de la forme

En eflet, si cela avait lieu, nous savons, par les recherches d’Abel, qu’on parviendrait, par ce développement de VR, à la solution de l'équation

F—PR=—C,

INTÉGRATION DES DIFFÉRENTIELLES, 49) 223

où Ÿ,, Ÿ sont des fonctions entières et C une constante; le tout, étant déterminé par le déve- loppement de VR, ne peut contenir que des quantités exprimables par les coefficients de À au moyen des seuls radicaux carrés. Or, une telle solution de l'équation

F—FR=C étant admise, supposons que y R—C, soit celle parmi elles dans laquelle y différe de zéro et soit en même temps du degré le moins

élevé. D'après l'équation précédente nous trouvons 2 JR yR ?

et, par conséquent, Go Ve) (Ve) = PR

Comme y,— Ve, y,+ Ve ne peuvent avoir de commun diviseur, cette équation ne peut être vérifiée à moins qu'on n'ait

YHVE=YR,, p—Ve=yR,, yy,=y, RR,=R, ..(11) et, par conséquent, 9V/c — yR —YR..

Or, on ne peut pas supposer que l’une des fonctions R , R, se réduise à une constante; car, en admettant, par exemple, que À —c,, on trouve, d'après (11), R, — — et, par con- séquent, l'équation précédente devient

sVe=y,—v£, 1 ou 2c,Ve=(cy) —yR, ce qui donne, contre l'hypothèse, une solution de l'équation

F—YR—C,

où Ÿ— y, est d'un degré moins élevé que y.

Mais les fonctions R, R, ne peuvent être non plus de degrés supérieurs à zéro; car, autrement, on parviendrait à décomposer la fonction bicarrée R en deux facteurs R .R,, et par conséquent, à trouver au moins une racine de l’équation À — 0 au moyen des seuls radi- caux carrés; car, d'après (11), pour trouver R et R, on n’a qu'x chercher le commun diviseur des fonctions y, + Ve et R, y, —Vc et R.

293 (20) P. TCHÉBYCHE .

$ 6.

En terminant notre Mémoire, nous allons faire le résumé des procédés qui, d’après ce que nous venons d'exposer, constituent, avec nos recherches, citées plus haut, une méthode géné- rale d'intégration des différentielles qui contiennent une racine carrée d'un polynome du 3me ou du 4me degré, en tant que cette intégration est possible sous forme finie.

Nous supposons que préalablement la partie rationnelle de ces différentielles a été sépa- fox dx

rée, et que le reste a été mis sous la forme Fe 6e ? OÙ fx, Fix n'ort point de commun divi- seur; nous supposons aussi que x, qui n'est que du 3 ou du 4e degré, n’a pas de facteurs ; nr . foT dx . : LOUE . oi LEE, 2 multiples; car, autrement, l'intégration de Fa Vôe deviendrait très simple.

à ANS AS fo? dr { . : Pour trouver l'intégrale Fa Vas SOUS forme finie, en tant que cela est possible, on pro-

cédera de la manière suivante:

1) On cherchera le plus grand commun diviseur entre les fonctions Fx 6x et tre

Nous dénoterons ce diviseur par Q.

Q.(07 ! Fox.Or *” xVOx

degrés inférieurs à — 1, le terme algébrique dans l'expression de l'intégrale cherchée est zéro.

2) On déterminera les degrés des fonctions Si ces fonctions sont de

Dans le cas contraire, on prendra n égal au plus petit nombre entier supérieur aux degrés de ces fonctions, et on cherchera les coeflicients du polynome

P—= By + Bart... +B,x +-Bx--B

d’après cette condition:

d Fo Fyr.ôz. 20 la fonction He _____ %})p, étant divisée par Q, d à «da fonction f x De 30 ME , par Q, donne our «este et pour quotient une fonction d’un degré qui n’est pas plus élevé que celui de 27. xQ

Si cette condition ne peut être remplie, on conclura, tout de suite, que l'intégrale cherchée est impossible sous forme finie. Dans le cas contraire, on trouvera les coefficients du polynome P,

et l'on conclura que la partie algébrique dans l'intégrale cherchée a pour valeur V0.

_. a Vie ” 3) On mettra la fonction Le MO à sous la forme > où fx, Fx sont des

fonctions entières qui n’ont point de commun diviseur; on cherchera les racines de l’équatien : ns 1 11 1 Z . ë L 2 Fx—0, et l'on calculera des quantités K°, K, K , K°, ..... K d’après les équations

__ | æfe NT) UT) (D UTC) k = SE k — nK Ur" (2/) Vote) RO st;

où x,æx,..... æt désignent les racines de l'équation Fx—0 et Fx— u

INTÉGRATION DES DIFFÉRENTIELLES. 21) 295 4) On cherchera les nombres entiers H°, M’, M ss 0) qui rendent

M°K+MK +M'K'+.....+MOKO—0.

Soient À le nombre de toutes les équations de cette forme qui ne sont pas identiques entre elles par rapport à ROCH HE ue AU),

et ë—1l—) i—l— À ï; i—1—) i—1l—) K°—SM KO), K'=SMKO D, K'=SMIR HD, KO = EM OO KR +) i—0 i—=0 i—0 =)

les valeurs de À quantités de la série

en fonctions des autres, qu’on tire de ces équations.

D'après cela on conclura que la partie logarithmique de l'intégrale cherchée est com- posée de ces Z— +1 termes

HW KL) KV

lg +" log F, + + log ho OÙ N9s Ts se... N)_) désignent des nombres entiers, et #5, #3, ..... W,_, des fonctions de la forme UT Xo—2V6x"

5) Pour trouver un terme quelconque À

CE Jog WW, on cherchera le plus petit dénomi-

nateur auquel les quantités M, M., M. yes. M, GU peuvent être réduites. En dénotant ce dénominateur par oc, on fera

RM ;06, en prenant celui des deux signes + qui appartient à M°, et l'on mettra l'expression

! 11 À—1 M; M, : )

[(&— x) (x— x") rs (aa) ? (œ— a+) 1

sous la forme d’une fraction simple —_

6) On décomposera Üx en deux facteurs @,.6,, de manière que VE ne soit pas

d'un degré entier, on trouvera une fonction entière S, pour laquelle les fractions

SV6, +VB, SV6, —V6;, EU EE AL Em u v

Mémoires sc. math. et phys. T. VI. …

296 (22) P. TCHÉBYCHEW.

s-V?

1 en frac-

ne deviennent pas infinies, tant que x reste fini, et en développant l’expression “ uv

s-V# ô uv

tion continue, on cherchera parmi les fractions réduites de celle dont le dénominateur est

L . T D L du degré le plus proche de celui de v'S= , mais moins élevé que celui de cette fonction.

En dénotant cette fraction par — on cherchera le quotient de la division de (NS — Muv)} 0, — N°0, par uv. Ce quotient sera toujours d'un degré au-dessous du second. 7) Si ce quotient est une fonction du premier degré ax+-b, on prendra

KÜH) KHÜ+Hi) Log VS Mur) Vo NV,

_ log = ——— 08 (NS—Muv)V6,—NV0, ”

dans le cas où les deux fonctions

(NS—Muv) V 6,+NV 6» (NS—Muv) V0, —NV6, de PA RL M de UE 0 Var eV TE uw 0)

ne à b se réduisent à zéro pour æ — ——

Dans le cas contraire, on aura

| 6 ax+b\? a y 0 E Ü +) PE ie cK (A+) lo (NS—Muv)VO,+NV6, \e a Places ee mn 08/5 ps | | (WS—Muuv0,—nv6, |‘ /az0\2 [ a ’ (FE) ee) -Ves

où p(z) est une fonction égale à

INTÉGRATION DES DIFFÉRENTIELLES, (23 297

e le degré de , E—œ+1 ou —1, selon que x = — 2 vérifie l'équation

(NS— Muv)V6,+NV6 __ 0 u

9

nee

8) Si ce quotient se réduit à une constante, on prendra

+5) Dar ee He (NS— Mur) V0,+NV0» mn Bi Eos É(NS—Mu)V—NVE,

. (NS—Muv) VO, NV 7% à dine ‘ 1e dans le cas où NS VEN Ve CS du degré zéro. Dans le cas contraire, en désignant (NS—Muv)V6,—N V0;

T (NS— Mur) 6,+N V0, ODA

par € le degré de

KA+i) A HE), [ (NS—Muv) V0,+NV0, L en) PEUT RE (NS—Muv)V6,—NV8,) ‘po —V0x | où : Do(t) =r+T 1 T1 + — 12, 1 +— 1 DETTE "1

la fraction continue résultante de V@x étant périodique et de la forme

T+— 1 T1 + — ee 1 +— 1 TH— 1 Ts 1 27+— 1 Ti +— To Sr. c PoT-+V6x o le degré de PRES

A+

: pe i) 9) Ce que nous venons de dire sur la détermination du terme ——log #; ne sera ap- (]

plicable que dans le cas, où le degré de la fonction wvx” surpasse 1. S’il arrive que le degré (À+i) au. nr — log #F', sera aussi déterminé par les formules è

; NS—Muv)V6,+-NV06 que nous venons d'exposer, seulement on fera Re , on trouvera @, b, €, en

de wvx” n’est pas au-dessus de 1, le terme À

égalant = — œu et on prendra s— 7, dans le cas de a — 0.

298 (24) P. TCHÉBYCHE v.

10) Après avoir trouvé tous les termes logarithmiques, on différentiera leur somme. Si cette différentielle ne se réduit pas à PR l'intégrale cherchée est impossible sous forme finie; dans le cas contraire sa valeur sera précisément donnée par la somme

HA)

P &® KW gV0x+ log IE log Wi+....+ los >

Le S'il s’agit, par exemple, de trouver l'intégrale

EE (2x2—1)? Va 4x 2221

«

on cherchera le plus grand commun diviseur entre les fonctions

(2x? —1 (af 428 +22 +1), A(2r?—1) (x#+428+22°71)]

dx Comme ce diviseur est 2x°—1, et que les fonctions (2x?—1)(2x6+-4x5+-72x4—323—972—8x—8) 2x?2—1 Cr? —1)(x4+428+ 27-71) Vaitérr2rtri

sont de degrés au-dessous de 1, on cherchera les coefficients de la fonction du premier degré P — B,x+-B,. Pour cela on divisera

(2r2—1)2

on (+4 +22" +-1)B,

Da +4 +72 — 3 — 2x — Sr — 8 —

1 @r2—1) (4231972 + 4x) (2x2—1)2 (xt 4x8 +921). 4x RS Bz—17 JBe+85)

par 2x°—1. Comme cette division donne le reste

7

(GB +08,—T)2+ 5 + 4%

2 et qu'on trouve, en outre, dans le quotient le terme (1—B;)x

(2xr2— 1 V/ air 423+ 2721

CRE , On égalera tout cela à zéro, ce qui

qui est d'un degré plus élevé que

donne les équations

4B,+9B—T—0, 2B+4B—5—0, 1—B,—0, et de là

1 4 B; = 1, B— > ? P=z+<

Donc, le terme algébrique, dans l'expression de l'intégrale cherchée, a cette valeur

4 T+—

> a Val 4x +27 + 1.

INTÉGRATION DES DIFFÉRENTIELLES. (25) 229

t

En réduisant l'expression

1 RATS —— V x4+/423 2-41 2x6+425+771—373—277—8x—8 FRET PE DE DR 7 (EC Het —— — V x" + 4x + 2x" +1 (2x?—1) dx

à la forme la plus simple, on parvient à

Gr?+5r+7, 2æ?—1 ?

e LE æ 4 4 et comme les racines de l'équation 2x°—1—0 sont x——,x—, on calculera les

quantités K°, K', K” d’après les formules

æ(6x?2+8x+-7) ] , Gx!2+-3x/+-7 Se ee |) x=®? 4x! V x'44 4x8 + 2/24 1

K°— lim Eee (2x?—1) Var 428 2221

" 6x"?2+5x"+-7

ONCE ? 4x Va ur 342 241

/ 1 1 4 . en prenant 7 ——,7%» © —,7;» Ce qui donne 0 5 1 5 K0—=0, K=—35: K—;: et, par conséquent, on aura MK + MK + M'K"—=0,.......... (12)

si l'on prend

M—=1, M'—0, M'—0, ou

M=0, M—1, M'—1.

Quant aux autres valeurs de M°, M’, M” qui satisfont à l'équation (12), elles ne con- duisent par rapport à Æ°, Æ’, K”, qu'à des équations identiques à celles qu’on trouve en pre- nant les valeurs mentionnées de M°, M’, M", savoir:

1.K°+0.K'+0.K"—0, O0. +1.K'+1.K"—0,

et ces équations nous donnent K°—0.K", K'——%ñ%".

D'après cela on conclut que la partie logarithmique de l'intégrale cherchée ne contient qu'un

seul terme À 3

2 og W,.

230 (26) P, TCHÉBYCHEWY.

Les coefficients de l'expression de Æ° et K , en fonction de K”, n’étant pas fractionnaires, et le coefficient de K” dans la valeur de X° étant zéro, on prendra

o— NT IDE

ei (5)

on mettra le produit

sous la forme d’une fraction

et après avoir décomposé æ"4x°+22°+1 en deux facteurs (x+1)(2°+32?—x+1), on cherchera une fonction entière S pour laquelle les fractions |

SVrH1 + Var x 1 SV z+1 _ Vair3z 551 us à 1 v2 FTye ne deviennent pas infinies, tant que x reste fini; ou, ce qui revient au même, une fonction S

: 1 1 FR : s qui, pOur Z = Z—— y; 5€ réduise respectivement à

APTE MENU er (3) (5%) MAN IEE

et à

D'après cela on trouve

S—1—3x PA UNE d23+ 3x? —r+1 1 uit En cherchant la fraction réduite de — 7 5 — , dont le dénominateur est du GIE

7) +7) (eut æx°

degré le plus proche possible de celui de }

V{at+-403+22?+1)

Vertes ci) mais moins élevé que

SD , on prendra pour cette fraction 7? it comme

[1 .({— 3x) —0. (2—;;) (x+%) l'a 1)— 1°. (a+ 3x —x+1)— 82 — 4,

INTÉGRATION DES DIFFÉRENTIELLES. 27) 231

divisé par (r—;) (+5) = 2% — _ donne pour quotient 8x, et que æ— 0 rend nulle la

dernière de deux expressions

(1 3e) Vars l+Vrir3r7 +1 (1 —3x)Vrt —V'ai+3x?—2+1 PES 1 ? 1 : T7 +7

le terme logarithmique, d’après le n° 7, sera donné par la formule

5 É Q 1 en LEE mt — —— a — | En 4 3 2 15 g A—3x) Va Vat+r3z 71 dep ( ) + Va Ar 201 1.0 Asa Va-t-Vat+is2ti) (&) Var |

a ÉTORT OO EE

Pour trouver la fonction (x), on développera le radical

V8 120)

en fraction continue. Comme on trouve

Vaio 4: Li — 24 14 + À

Le + 2

où p désigne le degré de

on prendra

—— 1 2z2—2 + ra

2

de 2544-3734 7279 ce qui donne Pl = — 5 —?

et par conséquent p, degré de , est égal à 10.

Ainsi, en faisant pour abréger,

A= Vri+ 4x4 2x +1,

ù 2.10

232 (28) P. TCHÉBYCHE W.

le terme logarithmique cherché aura cette valeur L2

4 1 1

10 (A—32)V a+14+Vair82 rt | æ æ cl z NE CEE CE CE CE

ou, ce qui revient au même,

4: log LE 32) Va 1+Vx +322 —x +1 ) 109»5+23+322—7-+1 —(272— 7-+-1) À 4

(A—3x) Vx1 Vas +322 —x+1) Dr+xi+ 3222 1+ (2727 +1) À L

Donc, si l'intégrale cherchée peut être exprimée sous forme finie, elle doit être égale à

F5 a 4 27 430) Varie Vars x +1 \ 954084322514 —(272— 741) A a+ glog| (

2x?— 1—3x)Vx+1 —V a +32?—x+1/ 2x5+03+372— 71 1+(272— 7-71) A où A = Va ha+ 22 + 1.

Effectivement, on trouve par la différentiation, que c’est bien la valeur de l'intégrale

JE 1

(Qx?—1) V 44 403+-272+-1

sur laquelle nous avons opéré.

ae | (6) Ce) O) FIGE

dE

POSITIONS GÉOGRAPHIQUES

DÉTERMINÉES EN 1847 PAR LE LIEUTENANT - COLONEL LEMM

DANS

LE PAYS DES COSAQUES DU DON.

MÉMOIRE

DE

M. ©. STRUVE.

(Avec une planche.)

Lo Le 15 pécemere 1848.

Mémoires 6c. math. el phys. T, VI. 30

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4,108 04

Le travail de M. Lemm qui est l’objet du mémoire suivant, forme le premier chaînon d’une série d'opérations géographiques, dont l'exécution, en telle étendue et pour tel but, n'a jamais été tentée ni en Russie ni autre part. Pour joindre les parties isolées de la levée topographique d’un pays et pour en former une carte générale, on couvre d'ordinaire tout le terrain à lever par un réseau de triangles. Ce travail exige des moyens fécuniaires très considérables et ne peut être exécuté qu'avec un sacrifice considérable de temps et de forces. Voilà que s'est présentée la question de savoir s’il n'existait pas quelque moyen de remplacer les opérations géodésiques par d’autres opérations qui donneraient également un nombre suffisant de points fixes pour les travaux du détail, opérations qui devaient être moins dispendieuses quant aux frais et au temps.

L'art de déterminer les positions géographiques par les observations astronomiques s’est développé rapidement de nos jours. C'est surtout aux progrès de la haute horlogerie et à une étude très soignée des instruments transportables que nous devons ce succès. Nous sommes maintenant en état d'obtenir, à l’aide de l’observation des astres, en peu de jours, des positions géographiques absolues de la plus haute exactitude; et pour y parvenir il ne faut qu'un seul individu expérimenté et muni d’un bon théodolite de Munich et de quelques chronomètres. — Il y avait donc lieu de supposer que la détermination astronomique des positions géographiques d’un nombre considérable de points répandus sur tout le terrain dont il fallait construire une carte, pourrait servir de moyen à remplacer le réseau géodésique et aurait sur celui-ci l’avan- tage incontestable par rapport à l'épargne du temps et des frais de l'exécution. Quant au degré de précision de ces déterminations, on pouvait espérer que, si même elles n'étaient encore propres à être substituées aux opérations géodésiques, dans des contrées où une exactitude presque absolue est requise, au moins elles fourniraient des résultats qui sufliraient entière- ment au but proposé, surtout dans telles parties de notre vaste patrie, où la population est très rare et où l’uniformité du terrain n’impose pas le devoir d'atteindre, sous tous les rapports, le plus haut degré d’exactitude.

236 O0. STRUVE.

Son Excellence le Quartiermaître Général de Berg, ayant pris connaissance des progrès de l'astronomie pratique, eut le premier l’idée de les faire valoir au profit des travaux géogra- phiques qui s’exécutent, sous sa diréction suprême, à l'État-major Impérial. Après une consulta- tion avec le directeur du Dépôt topographique militaire, le Lieutenant - général Toutchkoff, le pays des Cosaques du Don fut choisi, pour terrain où le premier essai de remplacer le réseau géodésique par un réseau de points déterminés astronomiquement, devait être fait. Le terrain étant fixé, la besogne de dresser un projet détaillé de l'exécution du travail proposé me fut confiée. Le projet que j'avais l'honneur de présenter au Général de Berg ayant obtenu son approbation, l'exécution du travail, conformément à ce projet, fut remise au Colonel- lieutenant Lemm. Je n'entre pas ici dans les détails du projet, parce que l’esquisse historique que je donnerai plus bas des travaux de M. Lemm en contiendra aussi les traits principaux.

Dans le courant de l'été 1847 les observations furent exécutées sur 72 points et dans l'hiver suivant M. Lemm, aidé de plusieurs officiers du Dépôt topographique, entreprit le calcul de ses observations. Ces calculs étant achevés, le Général Toutchkoff me chargea de lui faire un rapport sur l'exactitude des résultats obtenus. Pour motiver le jugement à prononcer, il fut nécessaire d'entrer dans quelques détails soit des opérations mêmes, soit des calculs, et c'est ainsi que le mémoire suivant à pris son origine.

L'Académie des sciences, depuis sa fondation, a été la dépositaire de presque tous les travaux de géographie exacte dans notre patrie. C’est de son sein que sont émanés jusqu’à pré- sent la plupart des travaux auxquels nous devons nos connaissances de la géographie astro- nomique de l’empire russe. Par cette raison j'espère qu'il sera de quelque intérêt pour l’Aca- démie de prendre connaissance de ces nouvelles opérations géographiques dont le premier essai a mené à des résultats d'une exactitude presqu'inattendue.

M. Lemm quitta Poulkova le 16 juin 1847. Il avait reçu ici, pour ses observations astronomiques, un théodolite de Munich, dont le limbe divisé a 8 pouces de diamètre et qui appartient à l'Observatoire central. Pour le transport du temps, six chronomètres de boîte lui avaient été remis, dont cinq, Dent No. 1687, 1730, 1739, 1787 et 1808, reglés sur le temps moyen, appartiennent au Dépôt topographique, et le sixième Hauth 11, reglé sur le temps sidéral, avait été ajouté de la part de l'Observatoire central, pour servir particulièrement aux observations astronomiques. En outre M. Lemm était muni d'une ligne de mesure et d’une boussole, à l’aide desquelles il devait exécuter de petites jonctions géodésiques entre les lieux où il avait observé, et d’autres points fixes qui se trouvent indiqués dans les planchettes de la levée topographique du pays. Enfin, pour pouvoir faire les observations météorologiques, nécessaires pour la déduction des réfractions astronomiques, M. Lemm était pourvu d'un bon baromètre et de deux thermomètres. |

Les six chronomètres se trouvaient ensemble dans une boîte mâtelassée. Cette boîte repo- sait sur quatre ressorts vissés contre le plancher d’une seconde boîte entourante. Cette seconde boite fut placée directement sur le fond de la voiture (tarantasse) dans laquelle M. Lemm

PosiTIONS GÉOGRAPHIQUES DANS LE PAYS DES COSAQUES DU DON, 297

voyageait. C’est ainsi que d'un côté les secousses, auxquelles la voiture fut sujette pendant le voyage, ne pouvaient agir de toute leur force sur les chronomètres, et d'autre côté que la température dans l'intérieur de la boîte qui contenait les chronomètres, ne pouvait subir des changements rapides.

Ayant quitté Poulkova, notre voyageur se rendit par Moscou à Kharkov. Ici une consultation devait avoir lieu avec M. Schidlovsky, professeur d'astronomie à l’université de cette ville, chargé d'opérations analogues à celles de M. Lemm, dans les gouver- nements voisins du pays des Cosaques du Don, pour fixer les limites de leurs travaux respectifs. L'observatoire temporaire de Kharkov, dont la différence en longitude par rapport à Moscou était très exactement déterminée par l'expédition chronométrique de 1846, devait être le point de sortie de leurs travaux communs. Avec ce point deux autres points princi- paux, Voronèje et Novo-Tcherkask, devaient être joints par deux voyages complets c. à d, en allant et revenant, pendant lesquels on ne s’arrêterait point dans les lieux intermédiaires. Enfin, en partant d'un de ces derniers lieux, la longitude d'un quatrième point normal, situé à la frontière orientale du pays des Cosaques du Don devait être également fixée par deux voyages complets. Pour quatrième point normal M. Lemm choisit la colonie allemande Sarepta, située aux bords du Volga, à peu près à 40 verstes de distance de la frontière du pays des Cosaques du Don. Après avoir fixé les positions des quatre points principaux, les longitudes des autres points à déterminer devaient être obtenues par une sorte d'interpolation chronométrique. Or, pour pouvoir effectuer cette interpolation, l’astronome n'avait qu'à exécuter plusieurs voyages entre les points principaux, pendant lesquels, à côté des observations faites sur les points principaux, il devait déterminer, par des observations astronomiques, les corrections de ses horloges pour les époques de son séjour sur les stations intermédiaires.

M. Leinm, n'ayant pas trouvé le professeur Schidlovsky à Kharkov, lors de sa pre- mière arrivée dans cette ville, fit tout de suite, entre le 28 juin et le 5 juillet, l'un des voyages fixés à Voronèje et de retour, pour obtenir la première détermination exacte de la longitude de cette ville. Revenu de ce voyage, il trouva M. Schidlovsky à Kharkov et il fut convenu entre eux que ce dernier exécuterait le second voyage de Voronèje et les deux voyages entre Kharkov et Novo-Tcherkask. Par suite de cette convention, M. Schidlovsky fit la seconde jonction entre Kharkov et Voronèje, à l’aide de six chronomètres choisis, dans l'intervalle entre le 5 et le 15 août. Plus tard, pendant qu'il se préparait à faire les voyages entre Kharkov et Novo-Tcherkask, le choléra éclata avec beaucoup d'intensité dans ces con- trées, ce qui l'obligea de remettre l'exécution de ces voyages à l'été de l’année suivante 1848. Cependant, une détermination approximative de la différence en longitude entre ces deux endroits étant fournie par les voyages mêmes de M. Lemm, il a été possible de tirer tous les résultats de ses observations, sans avoir besoin d'attendre la détermination exacte de cette différence en longitude. Par l'arrangement des voyages de M. Lemm et comme toutes les longitu- des devaient être données d'abord par rapport à celle de Novo-Tcherkask, l'erreur dans la valeur acceptée de cette quantité n’entrera, avec un coefficient considérable, que dans la détermination

238 O0. STRUVE.

de deux points intermédiaires, situés sur la route qui joint les deux villes Kharkov et Novo- Tcherkask. Pour tous les autres points, dont les déterminations ne sont que dans une dépen- dance indirecte de la différence en longitude entre ces deux villes, il y a lieu de supposer que l'influence de l'erreur dans la valeur acceptée de cette quantité, sera presqu’entièrement insen- sible dans les résultats. Or, si je ne me trompe, le fruit des voyages de M. Schidlovsky entre ces deux lieux, par rapport aux opérations dont nous traitons ici, consistera principale- ment à servir de contrôle rigoureux à l'exactitude des travaux de M. Lemm.

C'est par les observations du 6 juillet que commencent les opérations proprement dites de M. Lemm. Je ferai ici l'énumération des différents voyages entre les points principaux, en ajoutant le nombre des jours employés et celui des points intermédiaires, déterminés pendant chacun de ces voyages. Les jours dans cette liste, ainsi que dans toutes les autres parties de ce mémoire, sont tous du nouveau style.

I Kharkov à Novo-Tcherkask 6 juillet — 10 juillet 4 jours 2 points IT Novo-Tcherkask à Sarepta 13 juillet — 20 juillet PO III Sarepta à Novo-Tcherkask 20 juillet — 27 juillet 7 ME La IV Novo-Tcherkask à Sarepta 30 juillet — 14 août 15, .& : 12584 V Sarepta à Voronèje 17 août — 25 août 8. -@., 40 VI Voronèje à Sarepta 25 août — 31 août Gui. te VII Sarepta à Voronèje 2 sept. — 13 sept. dc, : 5 VIII Voronèje à Sarepta 13 sept. — 21 sept. 8: «tue IX Sarepta à Novo-Tcherkask 23 sept. — 7 oct. 1%, 10e 0 X Novo-Tcherkask à Novo-Tcherkask 8 oct. — 16 oct. 8 suc 4 ir XI Novo-Tcherkask à Novo-Tcherkask 17 oct. — 26 oct. 9, Cac

Somme des points intermédiaires 67.

Ajoutons à ce nombre encore les trois points principaux Voronèje, Novo-Tcherkask et Sarepta, ainsi que la ville de Koursk, dont la position fut déterminée pendant le voyage de retour de Kharkov à St.-Pétersbourg, et nous avons le nombre total de 71 points déterminés par M. Lemm en 1847. Nous voyons dans son journal d'observations que, pour obtenir ce résultat, M. Lemm a observé en 93 nuits, dans le courant de près de # mois, et pendant lesquels il lui a fallu parcourir des distances dont la somme monte à peu près à 12000 verstes. Il n’y à pas de doute que ce résultat avantageux doit être attribué en premier lieu à l'application infati- gable de notre voyageur, mais en même temps nous devons avouer que son travail a été beaucoup favorisé par le beau climat du pays, dans lequel il l'avait à exécuter. Même avec le plus grand zèle de la part du voyageur, nous ne pourrons guères espérer d'obtenir une récolte aussi riche en si peu de temps, dans nos contrées plus boréales de la Russie, où l’état brumeux et inconstant de l’atmosphère nous expose à des vexations fréquentes dans nos travaux astro- noiniques.

PosiTIONS GÉOGRAPHIQUES DANS LE PAYS DES COSAQUES DU DON. 239

Dans le plan du travail il avait été arrêté que la distance moyenne entre deux lieux voisins à déterminer astronomiquement, devait être environ de 50 verstes. Voyons maintenant jusqu'à quel point M. Lemm a réussi de suffire à cette condition. La surface du pays des Cosaques du Don contient de très près 142400 verstes carrées. Or, comme des 71 points déterminés 65 sont situés en dedans des frontières de ce pays, il y a en moyenne un point sur 2191 verstes carrées, d'où nous concluons que la distance moyenne entre deux points voisins est égale à 50,2 verstes. Par conséquent, sous ce rapport, l'exécution du travail est en accord parfait avec le projet. Si nous jetons un coup d'oeil sur la petite carte du pays des Cosaques du Don, annexée à ce mémoire, nous nous persuaderons facilement que les 65 points déter- minés par M. Lemm sont très régulièrement répandus sur tout le terrain. Les points noirs sont tous des points déterminés, et les points principaux sont entourés en outre par un petit cercle rouge, pour les faire mieux ressortir. Les nombres qui se trouvent à côté des points indiquent l’ordre dans lequel les déterminations se sont suivies. C’est en poursuivant ces nombres qu'on se formera la meilleure idée des voyages de M. Lemm. Les cercles qui entourent dans notre carte les points déterminés répondent à 25 verstes de rayon. On voit que plusieurs de ces cercles s’entrecoupent, tandisque dans d’autres parties ils restent quelques lacunes entre les périphéries des cercles. La plus grande lacune se trouve dans la partie méridionale du pays entre les rivières Sal et Manytch. Dans cette partie cependant il n'était pas si important que les points déterminés se trouvaient aussi près l’un de l’autre que dans les autres parties du pays, vu que tout le terrain situé entre les rivières Sal et Manytch n'est qu'une steppe continue, dans laquelle les Cosaques et les Kalmuques nomades paissent leurs troupeaux en été et où 1l n’y a presqu'aucune habitation fixe. Par cette raison les moyens de communication manquent entièrement dans l'intérieur de ce terrain; c’est pourquoi notre voyageur s’est vu dans la nécessité de se contenter, pour ce cas, de la détermination de plusieurs points situés sur les frontières.

A l'exception seulement de quelques points où l’état du ciel était moins favorable, dans tous les lieux quatre étoiles ont été observées, deux pour la latitude et deux pour la détermi- nation du temps. Ces quatre étoiles furent tellement choisies que l’une se trouvait près du pre- mier vertical à l'Est, la seconde près du premier vertical à l'Ouest, la troisième près du méri- dien du côté méridional de l’hémisphère céleste; enfin la quatrième étoile, au Nord, était tou- jours l'étoile polaire. D'ordinaire de chacune de ces quatre étoiles 8 observations ont été faites, dont 4 dans chaque position du limbe de l’instrument. Ce n’est que dans quelques cas excep- tionnels, où l'état de l'atmosphère recommandait de se dépêcher, que l’astronome se contenta de quatre observations de chaque étoile. La plus grande partie des observations ont été faites la nuit, parce qu'alors il était plus facile de trouver les étoiles qu'on voulait observer, et de les choisir favorablement. Il y a cependant aussi un nombre très considérable d'observations faites le jour, lesquelles par rapport à l'exactitude ont l'avantage sur celles de nuit. Pour trouver les étoiles en plein jour, le voyageur était muni d’une collection de tables des azimuths et des distances au zénith, correspondants à différents angles horaires des étoiles les plus brillantes.

240 O0. STRUVYE.

Ces tables, calculées d'avance à Poulkova, furent construites de manière qu’elles valaient pour les différentes latitudes dans lesquelles notre voyageur avait à observer. La direction du méri- dien était indiquée par la boussole appliquée au centre du pied du théodolithe, dans une position constante par rapport au cercle horizontal de l'instrument, avec assez d’exactitude pour ne pas manquer les étoiles. Il s'entend que, dans ce but, M. Lemm avait soin de véri- fier de temps à temps la déclinaison de son aiguille aimantée, en différents points de son voyage.

Avant et après chaque série d'observations, les cinq chronomètres reglés sur le temps : moyen, furent soigneusement comparés au chronomètre d'observation Hauth 11 reglé sur le temps sidéral. De cette manière l’astronome parvient à obtenir les corrections des autres chro- nomètres presqu'entièrement indépendantes des variations dans la marche du chronomètre sidéral, pendant la durée des observations, tant que ces variations se produisent en proportion du temps écoulé et que la marche du chronomètre d'observation n’a été sujette à des sauts irréguliers. Mais à côté de ces comparaisons principales, qui devaient servir à la déduction des longitudes, une autre série de comparaisons fut exécutée chaque jour à une heure fixe. Par cette seconde série de comparaisons faites dans des intervalles égaux de temps, le voyageur était à même de juger chaque jour de l'état de ses chronomètres et pouvait être averti, d'un coup d'oeil, des irrégularités qui avaient eu lieu dans la marche des différents chrono- mètres. À l'exception des irrégularités produites par les changements de la température, heureusement, pendant toute l'expédition, il n’a pas été remarqué, dans la marche d'aucun des chronomètres aucun saut, qui aurait pu jeter quelque soupçon sur les résultats.

Pendant toute la durée de l'expédition, M. Lemm fit, plusieurs fois par jour, la lecture d'un thermomètre placé à l'intérieur de la boîte qui contenait les chronomètres. Par ce soin il a été possible de gagner une connaissance approchée des températures, dans lesquelles les chronomètres s'étaient trouvés pendant les voyages. Cette connaissance nous a servi à donner une explication très probable de quelques différences plus considérables, qui se sont montrées dans les résultats.

En passant maintenant aux calculs mêmes et aux résultats du voyage, je remarque en premier lieu que, pour les quatre points principaux, tous les calculs, soit des latitudes, soit des déterminations du temps, ont été exécutés deux fois et indépendamment l’une fois de l’autre, par M. Lemm lui-même et par d’autres officiers du Dépôt topographique. Par conséquent, par rapport à ces points normaux, nous pouvons être persuadés que nulle part une erreur de calcul ne soit commise. Mais, comme le temps pressait, pour la plus grande partie des points inter- médiaires, les calculs qui me furent remis, n'avaient été faits que par un seul calculateur. Il était donc possible que de petites erreurs se fussent glissées dans quelques uns des résultats. Par cette raison, il m'a paru important de soumettre ces calculs à un examen et, par conséquent, j'ai refait les calculs dans tous les cas où quelques différences considérables se montraient dans les résultats; dans d’autres cas où les résultats s’accordaient bien entre eux, j'ai répété les calculs au moins pour tous les coefficients qui y agissaient d’une manière constante. Par ce

PosITIONS GÉOGRAPHIQUES DANS LE PAYS DES COSAQUES DU DON. 241

procédé j'ai découvert plusieurs erreurs assez considérables. Après les avoir corrigées, je me tiens persuadé que maintenant les résultats ne seront plus affectés d'aucune erreur de con- séquence.

Pour déduire d’une distance au zénith z, observée près du méridien, la distance au zénith — x correspondante au passage de l'étoile par le méridien lui-même, nous avons la formule connue de réduction:

log (z— x) — k—log nee) +-Y + log sin * . dans laquelle k— 5,615455 + log cos ® + log cos à et ÿ— logarc=(z—2)— log sin+ (z—x").

M. Lemm a négligé, dans ses calculs, le terme v comme insignifiant. La considération suivante nous prouve que, par rapport à l'exactitude à laquelle il pouvait prétendre dans ses déterminations des latitudes, cette quantité est réellement évanouissante. Les étoiles situées sur la partie méridionale de l'hémisphère céleste sont toujours observées par lui si près du méri- dien, que toute la réduction z— x" ne monte d'ordinaire qu’à quelques minutes. Cela sera donc dans les latitudes déduites des observations de l'étoile polaire que le terme négligé aura la plus grande influence. Pour cette étoile qui a été observée sous des angles horaires très différents, 3— 7 peut monter à un degré et demi ou à 5400”. Dans l'ouvrage «Grad- messung in den Ostseeprovinzen von WW. Struve» Vol. I, pag. 267, nous trouvons une petite table des valeurs de » correspondantes aux différentes valeurs de log(z—x"). Cette table nous apprend que, pour z—z— 5400”, la sixième décimale de log (3 — z) se change, par l'introduction de v, de 13 unités, ce qui augmenterait la réduction seulement de 0716. Cette quantité, comme nous verrons plus tard, n'est pas même la sixième partie de l'erreur probable à craindre, dans les résultats pour les latitudes, par suite des erreurs accidentelles des observations. En outre, cette quantité de 016 correspond au maximum possible de réduction dans les observations de l'étoile polaire. Par conséquent, nous devons supposer qu’en général la réduction et la valeur correspondante du terme négligé v, ont dû être considérablement plus petites.

Dans le calcul des latitudes il s’agit en premier lieu de connaître exactement les déclinai- sons des étoiles observées. L'on sait que les déclinaisons données dans les différentes éphémé- rides réclament en partie des corrections notables. Par cette raison j'ai calculé à l’aide des cata- logues fondamentaux de Mm. Airy, Argelander et Struve, les déclinaisons moyennes des étoiles observées, pour le commencement de l’année 1847, et en les comparant ensuite avec les données du Moperok Mncauyocroes pour la dite année, employées dans les calculs de M. Lemm, j'ai trouvé les corrections qu'il fallait appliquer aux latitudes respectives. On con- viendra facilement que ces corrections ne pouvaient pas être négligées, si l'on considère que par ex. pour & Aquilae la correction trouvée de la déclinaison a été de + 3,74, pour & Auri- gae de +- 3,68.

Mémoires sc. math. et phys. T. VI. 31

242 O. STRUVE.

Pour pouvoir calculer l’angle horaire t d’après la formule:

cos z — sin sin Ô

Cost — cos @ cos Ô

) ou

sin À (:— +0) sin à (2 —Ô)

sin 1 — 2 SE cos cos À

2

il faut connaître approximativement la latitude ©. Les valeurs de © acceptées par M. Lemm dans ses calculs, différaient, dans quelques cas, considérablement des valeurs définitives, déduites par lui pour les latitudes. La théorie nous prouve que l'influence d’une erreur dans la latitude supposée, sur le résultat des calculs de l'angle horaire, est zéro pour toutes les étoiles obser- vées exactement au premier vertical; mais cette influence, qui s'exprime par la formule diffé-

cot a cos au moment des observations. Dans des observations de voyage, il n’est pas possible de choisir

rentielle dt — —

do, augmente rapidement avec la distance de l’étoile du premier vertical,

toujours les meilleures conditions de l'observation. Nous voyons, dans le journal de M. Lemm, que quelquefois les étoiles observées à l'Est ou à l'Ouest, étaient au moment des observations éloignées d’un couple d'heures, du premier vertical. Par cette raison, . dans tous les cas où la valeur supposée de la latitude différait de la valeur définitive de plus de 5”, j'ai déduit la cor- rection qu'il fallait ajouter à l'angle horaire calculé {, d’après la formule différentielle

a (RES) de.

sin € tang {

En général l'influence de cette correction n’a pas été très sensible dans la moyenne des corrections de l'horloge obtenues par les deux étoiles, parce qu'assez souvent il est arrivé que la correction à appliquer aux résultats déduits des observations de l'étoile occidentale a eu le signe contraire de celle qu'il fallait ajouter au résultat fourni par l'étoile orientale. Il y a eu cepen- dant des cas où cette influence a été assez considérable; à Piati-isbanskaja par. ex. la correction de l'horloge, déduite par M. Lemm, a subi, par mes calculs, un changement de 1506. Mais même dans les cas où la correction moyenne de l'horloge n’a pas été sensiblement changée par mes calculs, nous en avons pu tirer néanmoins un autre avantage, en ce qu'ils ont fait évanouir toutes les grandes différences qui auparavant nous avaient choqué dans les résultats trouvés par les deux étoiles. Par ex. pour Ilowaiskaja, la différence entre les deux corrections de l'horloge, calculées par M. Lemm, montait à 4,31, tandisqu'après avoir ajouté la dite cor- rection, elles s'accordent maintenant à 0:28 près. — Une erreur dans la déclinaison employée aurait dû nécessairement exercer, sur les angles horaires calculés, une influence analogue à celle d’une erreur dans la latitude supposée. Mais, comme j'avais trouvé que les corrections des déclinaisons ne montent jamais à 5”, limite des erreurs de la latitude que j'avais prises en considération, J'ai cru pouvoir les négliger entièrement.

Après avoir appliqué toutes les corrections mentionnées, un jugement pouvait être formé sur l'exactitude des résultats gagnés, soit pour les latitudes, soit pour les corrections de l’hor-

PosiTIONS GÉOGRAPHIQUES DANS LE PAYS DES COSAQUES DU DON. 243

loge d'observation. Dans ce but, j'ai comparé en premier lieu 200 déterminations isolées de la latitude avec leurs moyennes respectives, ce qui m'a donné une erreur probable de 2/85 pour une observation isolée de la distance au zénith. Il s’en suit que, si 8 observations de deux étoiles ont été faites, l'erreur probable du résultat moyen pour la latitude n’est que de 0/71. Mais cette valeur ne peut être regardée comme l'erreur probable, à laquelle les latitudes sont réellement sujettes. Elle donne seulement une preuve de l'exactitude extraordinaire des pointages et des lectures du cercle divisé, de la part de M. Lemm, tandisque les latitudes obtenues peu- vent encore être affectées d'erreurs qui ont agi d’une manière constante sur toutes les obser- vations faites le même soir sur la même étoile, comme par ex. les erreurs de division du cercle, la flexion du tube etc. Cette considération m'a engagé à soumettre l'exactitude des observations encore à une autre épreuve, savoir, à déduire leur erreur probable, de la constance dans la différence entre les résultats obtenus pour les latitudes par l’étoile polaire — N, et par les étoiles australes — S. Je donnerai ici la liste de tous les S— N déterminés par M. Lemm. Dans cette liste, les chiffres romains indiquent les différents voyages (voyez pag. 238), dans le courant desquels les points ont été déterminés.

Voyage. Point. S— N. Voyage. Point. S— N. I { + 3,62 V 29 + 2/88 4 + 8,16 31 + 6,89 4 + 3,42 32 + 2,71 Il 5 — 0,32 s “se 1,23 34 Dr 4,61 10 es: 1,30 36 Gi 3,17 37 + 4,21 III 11 + 1,69 VID 38 +8,54 PRO 39 +1,05 Mure 8 4 40 +9,72 41 3,07 20 + 4,91 5 +659 23°) (+15,60) 24 +976 25 + 5,78 VIII 46 + 3,99 26 +-11,44 48 +7,48 28 + 11,45 90 — 0,51

*) Les observations de l’étoile polaire, faites dans ce point, paraissent être affectées d'erreurs considérables. Par cette raison, dans l'évaluation de l’erreur probable, j'ai omis la différence S — N déterminée dans ce point.

x

244 O0. STRUVE.

Voyage. Point. S— N. Voyage. Point. S—N. IX o1 +215 XI 64 + 5,31 53 +- 4,52 65 + 3,34 4 + 5,36 66 + 9,89 59 + 3,40 67 + 5,18 56 — 0,05 68 + 3,98 97 — 4,71 69 +6,71 58 + 7,79 70 + 5,38 59 + 4,56 74 + 4,65 X 60 + 3,05 61 + 8,32 62 + 2,26 63 —+- 2,60

La liste précédente nous fait voir que de 56 valeurs de S— N, il n’y a que 6, encore très petites pour la plupart, qui ont le signe négatif, toutes les autres étant positives. La valeur moyenne de S—N est +4,30. Nous en concluons que, par suite d’une flexion du tube ou par quelque autre cause agissante comme une flexion, toutes les distances au zénith ont été mesurées trop grandes. Si l’on compare les valeurs isolées de S— N avec la moyenne, on trouve:

l'erreur probable d’une différence S—N— 218,

« « de la moyenne (4/30) — 0,30, « « d'une latitude déterminée par 2 étoiles — 1709, « « « « « par { étoile — 162.

Cette valeur 1,09 de l'erreur probable des latitudes doit être plutôt trop grande que trop petite, parce qu’elle a été évaluée dans la supposition que la flexion du tube fût restée con- stante pendant toute la durée de l'expédition. Mais si l’on regarde attentivement la série des S—N, on remarque facilement que cette supposition n’a été juste que dans certaines périodes. En divisant la durée de l’expédition en périodes qui correspondent aux différents voyages, nous trouvons, dans les différentes périodes, les valeurs moyennes suivantes de S— N:

pendant le voyage I S—N— +5,07

Il + 0,13 III + 2,52 IV + 7,80

V + 4,16 VI + 4,65 VII + 6,43

VIII + 3,51 IX —+- 2,88 X —+- 4,06

XI + 5,00.

PosiTIONS GÉOGRAPHIQUES DANS LE PAYS DES COSAQUES DU DON. 245

Quoique ces valeurs moyennes de S— N soient elles-mêmes encore affectées d'erreurs probables assez considérables, vu que le nombre des déterminations dans chaque période n’a été que modique, néanmoins le résultat moyen du voyage II + 0/13, comparé à celui du voyage IV +7,80, ne peut laisser aucun doute que la cause qui a produit les différences S—N, n'ait été sujette à des changements périodiques sensibles. En comparant les valeurs isolées de S— N, déterminées dans chaque période, avec les moyennes correspondantes, nous trouvons l'erreur probable d’une latitude — 0,95. Par conséquent nous ne nous écarterons pas beaucoup de la vérité, si nous posons l'erreur probable d’une latitude, déterminée par 8 observations de deux étoiles, égale à une seconde. Encore cette valeur est-elle plutôt trop grande que trop petite.

Pour pouvoir juger de l'exactitude des corrections de l'horloge, j'ai comparé 188 résul- tats isolés, avec les 42 moyennes respectives. C’est ainsi que j'ai trouvé l'erreur probable d’une observation isolée faite pour la détermination du temps — 0,341, ce qui donne l'erreur pro- bable de la moyenne des résultats de 8 observations de deux étoiles — 0;085. Dans ce cas les recherches sur l'exactitude des observations ne pouvaient être menées de la même manière que pour les latitudes. Les différences entre les résultats obtenus, pour les corrections de l'horloge, par les observations de l'étoile orientale (E) et par celles de l'étoile occidentale (0), sont trop altérées par les irrégularités dans la marche du chronomètre d'observation, qui ont eu lieu dans les intervalles entre les observations faites dans les deux verticaux, pour admettre une déduction approximativement exacte de l'erreur probable. Cependant, malgré ces altérations irrégulières, la série des O— E déterminés par M. Lemm, nous à fait voir que les valeurs positives ont a une préponderance très marquée, tant en nombre, qu'en grandeur. On juge facilement que c'est bien cela à quoi il fallait s'attendre, parce que, pour les étoiles qui ont servi à trouver les corrections de l'horloge, les distances au zénith ont dû être observées trop grandes, comme cela a eu lieu dans les distances zénithales des étoiles observées pour la déter- mination des latitudes. Dans ces circonstances, pour avoir égard, de quelque sorte, aux erreurs qui peuvent avoir affecté d'une manière constante toutes les observations d'une étoile, faites le même soir, il ne nous reste d'autre moyen que d'augmenter l'erreur probable 0085 précé- demment trouvée, en proportion de la quantité dont nous avons déduit l'erreur probable des latitudes plus grande par les S— N, que par la comparaison des observations isolées avec leurs moyennes. Il s’en suit que nous pouvons estimer l'erreur probable d'une correction de l’hor- loge, déduite de 8 observations de deux étoiles, à peu près égale à 012.

Le calcul des longitudes, dans les manuscrits remis entre mes mains, n'avait été fait qu'une seule fois par M. Lemm lui-même. Quoique j'eusse pleine confiance dans l'exactitude de ses calculs, je l'ai pourtant jugé nécessaire de refaire entièrement cette partie des calculs, d'après une méthode plus uniforme et plus rationelle.

En premier lieu il fallait se décider de quelle manière les longitudes données, pour le même point, par diflérents chronomètres, devaient être combinées à une valeur moyenne. Les calculs de M. Lemm avaient déjà fait voir que les déterminations obtenues à l'aide des deux

246 O0. STRUVE.

chronomètres Hauth 11 et Dent 1739 s’écartaient en général le plus de la moyenne tirée de tous les 6 chronomètres. Par cette raison, pour quelques voyages dans lesquels les différences étaient plus considérables, M. Lemm avait rejeté entièrement les résultats tantôt de l’un, tantôt de l’autre de ces deux chronomètres, et quelquefois même de tous les deux. Ce procédé est inad- missible, principalement parce que le nombre (4) des chronomètres restants, dont les résultats s’ac- cordaient mieux entre eux, n'était pas assez grand. Mais nous avions encore d’autres raisons pour procéder autrement. Il est connu qu'aucune autre cause ne nuit autant à l'exactitude des longitudes chronométriques, que des variations rapides et considérables de la température. A l’aide d'expériences faites en différentes températures, on peut bien parvenir à déterminer de combien chaque chronomètre change sa marche journalière pour chaque degré de changement dans la température. Mais il est beaucoup plus difficile d'indiquer la température, dans laquelle les chronomètres se sont réellement müs pendant tout le voyage, ou dans certaines parties du voyage; ce qui serait nécessaire de savoir pour pouvoir appliquer exactement les corrections thermométriques. Le seul moyen pour parvenir à cette connaissance, et que nous avons déjà employé en d’autres occasions, est celui de placer à côté des chronomètres, dans la même boîte, encore une bonne horloge pourvue d'une balance non-compensée, et dont les indications, com- parées à celles des chronomètres proprement dits, fourniraient le moyen de calculer les tempé- ratures, dans lesquelles les chronomètres se sont trouvés dans chaque intervalle du voyage. Un autre moyen, pour se mettre à l’abri de l'influence thermométrique, serait celui de choisir, dans un grand nombre de chronomètres, ceux qu'on veut employer dans le voyage, de sorte que la somme des coefficients thermométriques, antérieurement déterminés, se réduise à zéro. Enfin, en cas que ni l’un ni l’autre de ces moyens n’a été praticable, il reste encore en général un troisième expédient, savoir celui d'attribuer aux résultats, obtenus par les différents chrono- mètres, de tels poids qu'ayant multiplié ces coefficients thermométriques par les poids relatifs, la somme des produits soit zéro. On peut objecter, contre cette dernière manière de procéder, qu'ainsi, en général, les chronomètres ne recoivent pas les poids qui leur conviennent d’après la grandeur de leurs erreurs accidentelles; mais cette considération ne m'a pas paru digne d'être mise en parallèle avec l'avantage que cette méthode nous offre d’anéantir l'influence thermométrique. Aussi ne serait-il pas possible d'évaluer exactement les poids des chronomètres, si l’on n’a pas eu égard auparavant aux changements que doivent subir les résultats par les changements de la température. Par suite à ces considérations, et comme les deux premiers expédients n'étaient pas praticables dans notre cas, je n'ai plus hésité à suivre la dernière méthode.

Des expériences directes sur la compensation des six chronomètres employés dans l'expé- dition de M. Lemm, faites par M. Düllen à l'Observatoire de Poulkova, en printemps 1847, avaient donné le coefficient thermométrique

de Hauth 11 —+0,0408k Dent 1678 — — 0,0027k Dent 1730 — — 0,0028k

PosiTIONS GÉOGRAPHIQUES DANS LE PAYS DES COSAQUES DU DON. 247

de Dent 1739 — — 0,0106k Dent 1787 = — 0,0034k Dent 1808 — — 0,0050k

où k signifie le changement produit, dans la marche journalière d’un chronomètre non-compensé, Arnold et Dent 951, par chaque degré de changement dans la température. Par une longue série d'expériences cette quantité k a été déterminée — + 13,74 pour le chronomètre Arnold et Dent 951. Par conséquent un degré de changement dans la température change la marche

journalière |

de Hauth 11, de +-0:561

Dent 1687, de — 0,037

Dent 1730, de — 0,038

Dent 1739, de — 0,146

Dent 1787, de — 0,047

Dent 1808, de — 0,067.

On voit que, de nos 6 chronomètres, le seul Hauth 11, ayant le coefficient thermomé- trique du même signe que le chronomètre non-compensé, a la compensation trop faible; pour tous les autres, la compensation est trop forte, c. à d. ils sont construits de sorte qu'avec un accroissement de la chaleur leur marche s'accélère, tandisque pour le chronomètre non-com- pensé elle se ralentit, si la température se lève. La moyenne arithmétique des six coefficients est +- 0039. Or, dans un voyage de plus longue durée, et s’il y a eu des changements consi- dérables de température, il aurait pu arriver facilement que la moyenne arithmétique des six valeurs isolées des longitudes, ait été fautive d’entières secondes, par le seul effet de la tempé- rature. Mais, si l'on donne le poids — À aux résultats obtenus par les deux chronomètres Hauth 11 et Dent 1739, tandisque les autres gardent l'unité de poids, la moyenne des marches journalières des 6 chronomètres, eu égard à ces poids, ne pourra plus être changée que de 00051, par chaque degré de température. Donc, si nous procédons de cette manière, les moyennes de nos résultats pourront être regardées comme entièrement libres de l'influence thermométrique. On aurait pu modifier encore les poids des deux chronomètres de manière qu'aussi le petit reste dans la somme des coefficients, multipliés par les poids respectifs, füt réduit exactement à zéro. Mais cela m'a paru inutile, vu que la détermination même des coefli- cients thermométriques ne peut prétendre à ce degré d'exactitude, qui serait nécessaire pour pouvoir décider de si petites quantités. L'expérience nous a prouvé en outre, que les coefficients thermométriques, particulièrement des chronomètres qui n’ont pas été long-temps en usage, sont sujets, avec le temps, à des variations très sensibles, de sorte que les valeurs obtenues ne sont exactes que pour l’époque de leur évaluation et que, pour les périodes voisines, elles peu- vent seulement être regardées comme des valeurs approximativement Justes.

248 O0. STRUVYE.

Les coefficients thermométriques des deux chronomètres Hauth 11 et Dent 1739 étant de signe contraire, il est nécessaire que les longitudes données par ces deux chronomètres diffèrent en général en sens opposé, de la moyenne donnée par tous les 6 chronomètres. Il est également nécessaire qu'à cause du coefficient plus grand de Hauth 11, les écarts, pour ce chronomètre, soient en général plus considérables que pour le chronomètre Dent 1739. La justesse de ces remarques a été confirmée par les résultats des voyages de M. Lemm. Nous avons par ex. pour les différences en longitude, déterminées pendant le voyage VII les résul- tats suivants:

Point. Hauth 11. Moyenne de 6 chron. Dent 1739. 38 2"32;73 39,932 34:94 39 0 10,50 14,65 15,92 40 0 27,37 31,92 34,19 A1 3 40,73 15,10 17,54 42 4 19,11 23,30 26,15 43 6 29,89 32,82 39,92 44 9 55,41 97,83 60,69 45 15 10,39 12,88 15,30.

On voit qu'à la seule exception du premier lieu d'observation, pour lequel l'influence de la température, dans le bref intervalle passé entre le départ du point normal jusqu’à l'époque des observations dans ce premier point intermédiaire, n’a pu être que très peu sensible, de sorte que les sauts irréguliers dans les marches des chronomètres ont dû prévaloir, au moins pour Dent 1739, je dis qu'à cette seule exception tous les autres résultats du voyage VII sont parfaitement d'accord avec les suppositions énoncées précédemment. Mais il y a eu aussi des cas où nos suppositions n'ont pas été confirmées par l'expérience. Ce sont cependant des cas, dans lesquels on peut indiquer, avec beaucoup de probabilité, d'autres causes qui ont dû agir défavorablement sur les résultats fournis par les chronomètres.

Conformément à ce que nous venons d'expliquer, dans la déduction des résultats moyens pour les longitudes, fournis par les 6 chronomètres, l'unité du poids a toujours été attribuée aux quatre chronomètres Dent 1687, 1730, 1787 et 1808, et le poids — 1 aux deux autres chronomètres Hauth 11 et Dent 1739. Pour les chronomètres employés par M. Schidlovsky, les coefficients thermométriques n'ont pas été déterminés d'avance et par les expériences antérieures nous n'avions aucune indication sûre sur la valeur relative de ses chronomètres. Dans ces circonstances, pour les longitudes fournies par les observations de M. Schidlovsky, il n’y avait pas moyen de procéder autrement que de prendre simplement la moyenne arithmétique des résultats donnés par les six chronomètres.

Ayant fixé la méthode de combiner les résultats, il fallait en premier lieu évaluer, aussi exactement que possible, les différences en longitude entre les quatre points principaux Kharkov, Voronèje, Novo-Tcherkask et Sarepta. Les observations de M. Schidlovsky avaient donné la

PosiTIONS GÉOGRAPHIQUES DANS LE PAYS DES COSAQUES DU DON. 249

différence en longitude (4L) entre l'observatoire temporaire de Kharkov et le clocher de l’église de St.-Mitrofan à Voronèje — 11*54;65. D'après M. Lemm ZL se trouve entre les lieux d'observation dans ces deux villes — 11” 52:84 réduction à Voronèje — + 0,49 « à Kharkov — +2,12

Somme — 11 55,45.

Nous avons par conséquent la moyenne entre les deux déterminations: AL, obs. temp. de Kharkov — Voronèje, clocher de St. Mitrofan — 11”*55;05, avec l'erreur probable — 0;18 ou ÆL, obs. temp. de Kharkov — Voronèje, lieu d'observation — 11” 54556.

Pour la différence en longitude entre les lieux d'observation à Voronèje et à Sarepta nous avons les trois déterminations suivantes : AL = 21"24;95 26,12 24,82.

Quoique les trois voyages de M. Lemm entre ces deux points aient été de différente durée, savoir respectivement de 14, de 17 et de 19 jours, ces différences dans les durées du transport du temps ne m'ont pas paru assez fortes pour le rendre nécessaire d'attribuer de différents poids aux différents voyages. J'ai donc pris simplement la moyenne arithmétique des trois déterminations, ce qui donne:

AL, lieu d’obs. à Voronèje — lieu d'obs. à Sarepta — 21”"25;30 réduction à Voronèje — — 0,49 « à Sarepta— — 0,18. Par conséquent

AL, clocher de St.-Mitrofan à Voronèje — Sarepta, puits sur le marché — 21”24;63, avec l'erreur probable — 021.

Le puits se trouve, dans la colonie Sarepta, exactement au centre du marché qui à la forme d'un carré régulier. Toute la colonie est construite symétriquement autour de ce carré. Le point auquel M. Lemm a rapporté ses observations est donc très distinctement indiqué.

Enfin Novo-Tcherkask et Sarepta sont liés par deux voyages qui ont donné

1) ZL, lieu d'obs. à Novo-Tcherkask — lieu d’obs. à Sarepta — 17”49;60

2) « « « « « « — 48,92 Moyenne — 17 49,26 réduction à Sarepta — —0,18

« à Novo-Tcherkask — + 0,80.

Biémoires 8c. math. et pbys. T. VI. 32

250 O0. STRUVYE.

Par conséquent

AL, Novo-Tcherkask, église deSt.-Nicolas — Sarepta, puits sur le marché — 17”49:88, avec l'erreur probable — 024.

Par simple addition et soustraction, nous pouvons maintenant déduire, des déterminations pré- cédentes des différences en longitude, celle qui existe entre les lieux d'observation à Kharkov et à Novo-Tcherkask. Nous avons:

AL, lieu d'obs. Kharkov — Voronèje +-1154;56 « «__ Voronèje — Sarepta +21 25,30 @ © Sarepta—Novo-Tcherkask — 17 49,26

La somme de ces trois quantités donne AL, lieu d'obs. Kharkov — Novo-Tcherkask — + 153060, avec l’err. prob. — 0:37.

Ayant ajouté la réduction à Novo-Tcherkask ——0;80, nous avons finalement AL, obs. temp. de Kharkov — Novo-Tcherkask, église de St.-Nicolas — 1529;80.

Après avoir fixé ainsi les différences en longitude entre les quatre points normaux, on pouvait procéder à interpoler celles des points intermédiaires déterminés dans les diffé- rents voyages entre chaque couple de points normaux. A cet effet j'ai réduit, à l’aide de la différence connue, en longitude, entre les points normaux respectifs, les corrections des hor- loges, déterminées dans le second point normal, sur celles qui auraient été trouvées, pour le même moment, au point de sortie. Les différences entre les deux séries de corrections de nos chronomètres, obtenues ainsi pour le point de sortie, me fournissaient alors les marches moyen- nes des chronomètres pendant le voyage. Ensuite, ces marches des horloges, multipliées par l'intervalle entre les époques des observations au point de sortie et au point intermédiaire à déterminer, et ajoutées aux corrections trouvées pour le point de sortie, donnaient les correc- tions qui auraient dû avoir lieu au point de sortie," à un moment identique avec celles des ob- servations faites sur le point intermédiaire. La comparaison de ces corrections avec les correc- tions déduites des observations faites sur le point même, nous donne directement la longitude de ce point, comptée du point de sortie. Ayant appliqué ensuite les petites réductions géodésiques entre les lieux d'observation et les objets fixes en chaque place, j'ai ajouté encore, en cas que le point de sortie n'avait pas été Novo-Tcherkask, la différence en longitude entre ce point normal et le point de sortie respectif. C’est ainsi que je me formais une liste des longitudes de tous les points intermédiaires, comptées de l’église de St.-Nicolas à Novo-Tcherkask.

Il me reste encore le problème épineux d'indiquer le degré d’exactitude qu’on peut attri- buer aux différences en longitude obtenues de la manière précédente. 11 est évident que la comparaison des longitudes données, pour chaque point, par les différents chronomètres, avec la moyenne respective, même si l’on a égard aux poids relatifs des chronomètres, doit mener à une valeur beaucoup trop forte de l’erreur probable, vu que, par notre méthode de calcul, dans la moyenne la température n’a plus aucune influence, tandisque toutes les longitudes

PosiTioNs GÉOGRAPHIQUES DANS LE PAYS DES COSAQUES DU DON. 251

isolées en sont plus ou moins affectées. Par cette raison, pour avoir égard de quelque sorte à l'augmentation de l'exactitude, produite dans la moyenne par l'élimination des coefficients thermométriques, j'ai fait la supposition arbitraire que, par notre procédé, l’exactitude du résultat moyen soit augmentée en proportion de V2 à 1, étant persuadé que cette augmenta- tion est en réalité plutôt trop faible que trop forte. Mais à côté des erreurs dans le trans- port du temps, dont le seul effet est considéré si l’on compare les valeurs données par les différents chronomètres avec la moyenne, l'exactitude des longitudes dépend encore de différentes causes qui ont dû agir d'une manière constante sur les résultats donnés, pour le même point, par les différents chronomètres. Ces causes sont: 1) les inexactitudes qui ont lieu dans les valeurs déterminées des différences en longitude entre les points normaux, qui ont servi dans chaque voyage, 2) le défaut en longitude entre le point de sortie et Novo-Tcher- kask, 3) l’inexactitude de la détermination du temps, soit sur les deux points normaux, soit sur le point intermédiaire à déterminer. |

Soit f l'erreur probable déduite de l'accord des résultats gagnés par les différents chrono- mètres, g l'erreur probable dans la différence en longitude entre le couple respectif de points normaux, g l'erreur probable de la longitude du point de sortie par rapport à Novo-Tcherkask, h l'erreur probable dans la détermination du temps sur le lieu à déterminer, h’ l'erreur probable introduite dans le résultat pour le point intermédiaire, par les erreurs des déterminations du temps dans les deux points normaux; soit ensuite J la durée totale du voyage entre les deux points normaux, ? l'intervalle écoulé depuis le départ du point de sortie jusqu'à l'époque des observations dans le point intermédiaire, et nous aurons, d'après ce qui précède, l'erreur pro- bable v de la longitude de ce point intermédiaire à compter de Novo-Tcherkask, par la formule:

D— VE gr +

La quantité f, comme nous avons vu, se déduit de l'accord des résultats donnés par les différents chronomètres. Les g et g' employés dans notre calcul, sont les erreurs probables don- nées précédemment pour les différences en longitude entre les quatre points normaux. Elles ont été évaluées aussi d'après les principes que je viens d'exposer. h est une quantité constante dont la valeur a été trouvée (pag. 245)— 0:12. Par rapport à h', j'ai fait la supposition que cette quantité ait été constante pour tous les points et égale à 0510. Certes cette valeur supposée de ' n’est pas trop petite.

Je donnerai maintenant la liste des différences en longitude par rapport à Novo-Tcher- kask, de tous les points intermédiaires déterminés par M. Lemm, en y ajoutant les erreurs probables v provenues des calculs basés sur les principes précédents. Quoique ces v reposent sur trop de suppositions pour pouvoir prétendre à être des valeurs exactes des erreurs pro- bables, néanmoins elles seront des valeurs approximativement justes et donneront une idée de l'exactitude des déterminations. En général, je suis convaincu, ces v seront plutôt trop forts

que trop faibles.

LU

252 O0. STRUVE.

Voyage. Point. AL v Voyage. Point. AL 1 nr 75 0:32 VII 38 + 15"15:50 39 +17 35,49 I 2 14135304 0,30 40 +17 17,90 3 — 2,39,63 0,21 41 + 14 1504 4 0 0,00 0,00 42 +13 26,47 43 +11 17,42 Il 5 +, 21255 0 AT PDF A SRUE 6 "AIME SE IRIOUS 45 + 2 57,52 7 1813301 0,21 8 +10 57,04 0,28 VIII 46 == 006 009 5 9 2-14047:67 0,25 47 1744388 10 48127412 0,27 48 st. 0470 11 +17 49,88 0,24 49 + 10 32,29 50 + 9 59,01 JII 12 +15 31,99 0,28 13 +11 29,12 0,28 IX 51 +13 56,90 14 185657 0,27 52 + 7 47,53 15 + 4 27,26 0,22 53 + 5 50,40 16 -13144,90 0,19 54 ENS TN 55 0905508 IV 17 + 318,29 0,25 56 + 0 24,10 18 +,5 51,24 0,31 57 — 49 0537 19 + 6 35,99 0,35 58 + 0 38,05 20 + 9 37,89 0,41 59 + 2 53,16 21 +12 50,98 0,38 29 +13 44,83 0,39 x 60 — 9 41,66 23 41441352 0,34 61 D 24 +10 55,54 0,38 62 sw Que 25 + 6 18,00 0,43 63 + MNSO 4 26 “DONNE A 0,38 27 +13 43,04 0,36 XI 6% 0 2,09 28 -16099,02 0,30 | Dh ce V 29 +15 44,45 0,31 de EL : es 30 1902552 0,32 68 > 31 +10 34,47 0,31 69 mor 32 + NT AG 717 0,32 70 > 38 77 VI 33 + 4 9,04 0,33 chi. — 15 34,64 34 + 5 29,13 0,32 35 + 8 19,48 0,33 36 +12 5,36 0,30 37 +17 41,85 0,29

PoSsiTIONS GÉOGRAPHIQUES DANS LE PAYS DES COSAQUES DU DON. 253

La valeur moyenne de tous les v donnés dans la liste précédente est 0536. Dans la lati- tude moyenne 48° 30° du pays des Cosaques du Don, une seconde en temps correspond de très près à 145 sajènes. Par conséquent les différences en longitude, toutes comptées de Novo- Tcherkask et exprimées en mesure linéaire, ont l'erreur probable de 52 sajènes. Les différences en longitude entre deux points consécutifs, déterminés pendant le même voyage, sont nécessai- rement sujettes à des erreurs probables considérablement plus petites. Je ne crois pas beau- coup m'éloigner de la vérité si je leur assigne la valeur — 018 ou de 26 sajènes en distance linéaire.

En regardant la liste précédente des v il nous a frappé que l'exactitude des résultats obte- nus, pour les longitudes, dans le voyage IX, est considérablement plus petite que celle des autres voyages. L’explication de cette abnormité apparente se prête tout de suite lorsqu'on fait attention à la marche des températures pendant le voyage IX. Le journal de M. Lemm nous fournit, pour ce voyage, les moyennes arithmétiques suivantes des lectures faites par lui, plu- sieurs fois par jour, sur le thermomètre appliqué dans l'intérieur de la boîte qui contenait les

chronomètres : 23 Sept. + 14,8R. 30 Sept. + 13,6 R. 24 «à + 9,6 4 Oct. + 12,9 25 « —+13,5 2 « +14,2 26 « —+—13,8 SET Le en ee 27 « +—15,2 JR ESTCONDREE 2Pr /0 281 ..& : + 15,8 Dati 91 29, « + 10,5 6 « + 6,5,

Il est clair que c'est à l'abaisseinent considérable de la température, dans les derniers jours de ce voyage, qu'il faut attribuer la plus grande partie des irrégularités observées dans les résultats. A cette occasion nous remarquons encore qu'un grand nombre d'expériences nous a prouvé que presque tous les chronomètres perdent la régularité de la marche aussitôt que la température tombe au dessous de + 6°R, probablement parce qu'à cette température l’huile qui se trouve sur les roues et les pivots de l'horloge, passe à un autre état de cohésion. D'après nos expériences, faites en plus grande partie sur des chronomètres de Dent, les limites des températures, entre lesquelles les marches des chronomètres sont les plus régulières, se trouvent à peu près à + 67R. et + 25°R. Mais nous avons remarqué aussi, qu'en général les marches des chronomètres deviennent beaucoup plus irrégulières si la température tombe au dessous de + 6°R, que si elle monte au dessus de + 25°R.

Dans le journal de M. Lemm les températures les plus basses se trouvent notées, pendant le voyage IX, le 4 oct. —+-0,2R. et le 5 oct. 055R. Or, si même pour ce voyage, par notre procédé, le manque de compensation dans les chronomètres a été pris exactement en considéra- tion, il n’y a néanmoins aucun doute que les résultats n'aient soufferts par le changement d'état de cohésion de l'huile, Dans tous les autres voyages de M. Lemm, dans le pays des Cosaques

254 O0. STRUVE.

du Don, la température est toujours restée au dessus de + 6°R, à l'exception d'un seul jour où, le matin, elle a été notée — + 3,5R. Les irrégularités produites, dans les marches des chro- nomètres, par l’abaissement de la température, ce jour là, ont également été sensibles dans les résultats. Ce sont elles qui ont élevé l'erreur probable de la longitude du point 61 à 0542.

Pendant le retour de M. Lemm de Kharkov à Poulkova, les chronomètres ont été exposés à des froids très considérables. Par cette raison, les marches des chronomètres, dans cette période, ne pouvaient plus garder leur régularité. Il s’en suit que la longitude de Koursk, déterminée pendant ce voyage, ne peut être que très peu certaine en comparaison avec les autres résultats du voyage de M. Lemm. Pour plus de sûreté, dans la déduction de cette longitude, j'ai consideré à côté des marches moyennes des chronomètres, fournies par les observations de Kharkov et de Poulkova, aussi les marches trouvées dans la période précédente du voyage de Novo-Tcher- kask à Kharkov. Néanmoins, d'après mon opionion, l’erreur à craindre dans la longitude de Koursk doit être estimée à une seconde en temps.

Je donnerai maintenant la liste des positions déterminées par M. Lemm. Dans cette liste les longitudes sont comptées de Poulkova et de Greenwich. La différence en longitude entre Poulkova et l'observatoire temporaire de Kharkov, telle qu’elle suit des deux expéditions chro- nométriques de 1845 et 1846 est + 23"36;02"), valeur qui doit être estimée exacte en dedans de 02. La différence en longitude entre l'observatoire temporaire de Kharkov et l’église de St.-Nicolas à Novo-Tcherkask est trouvée — +15” 2999 *). La quantité constante qu'il fallait ajouter aux différences en longitude données précédemment par rapport à l’église de St.- Nicolas à Novo-Tcherkask, pour les changer en longitudes comptées de l'Observatoire de Poul- kova, est done — +39" 6:01. Par rapport aux latitudes, j'ai donné simplement la moyenne arithmétique entre les déterminations fournies par l'étoile polaire et par les étoiles méridionales.

En cas qu'une seule étoile avait été observée pour la détermination de la latitude, j'ai ajouté la

SN +915, dont il a été question plus haut pag. 244.

correction constante

Lonvitude à l'Est Latitude de Poulkova de Greenwich 1. Voronèje (Boponex®), clocher de l'église SE=Mitrofan Ras added 51°39 25/7 0*35"3126 9 36”"49:93 2. Ivanovka (Tsauogka), église ....... 48 14 40,4 34 30,10 35 48,77 3. Babinsk (baôumer®), poste ........ 47127 11,8 36 26,38 37 45,05

* Dans l'édition russe de ce mémoire, publiée dans les 3anuckn Boeuno-Tonorpaænaeckaro Aeno, acts XIII, la longitude de l'observatoire temporaire de Kharkov a été supposée 237 35°76 à l'Est de Poulkova. La nouvelle valeur étant le résultat définitif des expéditions chronométriques de 1845 et 1846 (voyez mon mémoire pag. 202), toutes les longitudes données dans le mémoire russe demandent une correction de + 0526.

*) Cette quantité n’est pas exactement la même qui a été donnée pag. 250. Elle est pourtant plus exacte qne l’autre valeur, comme on verra plus tard. Ce sont les observations de M. Schidlovsky jointes à celles de M. Lemm qui ont donné la nouvelle valeur.

23.

24.

PosITIONS GÉOGRAPHIQUES DANS LE PAYS DES COSAQUES DU DON.

. Novo-Tcherkask (Hogo- Heprack®),

église de St.-Nicolas .............

. Rasdorskaja (Pasaopcraa), église. . ..

. Lapatinskaja (Aanaruneraa), église. .

. Zymlianskaja (IbImzauekan), église .

. Nagajevskaja (Haraesckan), église...

. Jessaoulovskaja (Ecayzrorcraa), église . Piatiisbianskaja ([larins6aucras),

. Sarepta (Capenta), puits au milieu du

ONCE a Lu du de ne sue

. Karpovka (Kapnoska), église ....... . Dobrinskaja (Ao6puucran), église . .. . Jarskaja (Aprekaa), petit village, si-

nuosité sud-ouest de la rivière Tchira.

. Rykovskaja (PriroBckaa), pont sur la

rivière DystraJar.:: 4. 0,01 0 0, AS

. Jekatérininskaja (Ekarepunnncraa),

. Iowaiskaja (Muosaïckaa)'), centre du

HN VoLERRE SOIR PR T EN ERSETS

. Gremoutchy - Kolodetz (lpemyuiü-

Koxozeus), fontaine dans la steppe...

. Embouchure de la Jegorlitzkaja dans

le Manytch (Bnazenie Eropaunroï BPM) De Me Ne

. Poste de cordon, Trekh-Bratiev (KRop-

aomr Tpexr bparsegr) ...........

. Poste de cordon, Stary-Manytchsky

(KRopaours Craprii Maubraeckiit). . . . .

. Poste de cordon, Verkhny-Kamenny

(Kopaons Bepxubiü Ramenmbrï) . . . .. Krylov (Kprrio8t), extrémité orientale dus villages. AE es MSA Ilinskaja (Maisuneran), église. ......

Latitude

47° 2%" 360

47 47 47 47 48 48 48 48 48 48 48 48 47 46

46

32 38 43

26

25 24

25,0 48,8 29,9 10,3 0,8 25,0 41,9 13,1 13,5 10,4 57,9 35,8

0,8 30,5

39,1

42,5 438 18,8

5,8 9,7

Longitude à l'Est

de Poulkova

0* 39” 6:01

41 44 47 90 90 52 96 94 90 48

43

45

48

o1

2

93 90

18,56

5,87 39,38

3,05 23,68 33,13 55,89 38,00 35,13

2,58 33,27 20,31 24,30 57,25

42,00

43,90 56,99 50,84

19,33 1,55

255

de Greenwich

2} 40724;68

42 45 48 o1 o1 99 98 99 o 49 44 43 43 46

47

50

93

94

94 o1

37,23 24,54 58,05 21,72 12,35 51,80 14,56 56,67 53,80 21,25 51,94 38,98 42,97 15,92

0,67

2,57 15,66 9,31

38,00 20,22

*) I y a trois villages de la même dénomination, dont celui qui a été déterminé par M. Lemm, est situé le plus vers l'Ouest.

256

25. 26.

O0. STRUVE.

Martynovka (Maprrinoska), église. . . Nijnij-Jirov (Huxubiü-Ruposr), petit village, sinuosité occidentale de la ri-

VIere Dal RNCS OS Can Rene

. Nebykov (He6sixo8t), centre du petit

Village 24 etes upper

. Jonction des rivières Koumskaja et

Mychkova (Vers Kymcxoï n Merm- ROBOH) oies ce chere

29. Katchalinskaja (Ratarmuekan), église . Kremenskaja (Kpemencran), église .. . Oust-Medweditzkaja (Vers-Mezeb-

AURA A) ÉRUSE eee ee ne Jelanskaja (Erancraa), église ......

. Kazanskaja (Kasaucran), église . ....

Solonka (Co1omka), église .........

. Oust-Bouzouloutskaja (Vcrs-By3y-

ANHRAR) FODIISE see ces creme ie à 8

. Artchadinskaja (Apaaauucras), église . Tsaritsyn (Iapunmme), cathédrale . . . . Kamennoj (Rameumoï), la détermination

vaut pour le point où les deux grandes rues du village se coupent.........

. Razouvajev(Pasypaers), extrémité occi-

dentale du village, sur le grand chamin

. Orekhovaja (Ophxosan), église ..... . Orlovskaja (Oprosckan), église . .... . Trostianka (Tpocrauka), église ..... . Koupava (KynaBa), église ......... . Borissoglebsk (Bopucorxbôcr5), ca-

DEA RP Eee meer Novo-Arkhanguelskaja (Hopo - Ap-

XAHTEABCRAH), ÉONSERS eee 2e + eee

. Novokhopersk (Hosoxonepek5), ca-

hr Ale PE Roc TE

.Mikhailovskaja (Muxaïñzroscraa), église . Loukovskaja (ÆyroBcras), église. . ..

47

47

48 49 49

49 49 49 90

90 49 48

49

49 50 50 50 51

o1 90 51

50 90

Latitude

47° 16 3275

23

47

42

97 34

38,9

47,4

1,8 18,5 43,6

DT 93,0 41,6 99,3

22,6 21,8 9,0

16,8

31,2 15,2

7,7 47,1 92,2

54,5 23,0 55,9

15,8 90,7

Longitude à l'Est

de Poulkova

48

92

92 54 92

49 46 43 44

47 o1 96

#4

96 96 53 52 50

46

41

45

46 46

11,12

49,05

41,63 90,46 31,93

40,48 52,78 15,05 39,14

25,49 11,37 47,86

21,91

41,50 23,91 41,28 32,48 23,43

97,65 43,53 15,52

17,34 10,71

de Greenwich

0*45"24;05 2} 46"42:72

49

94

94 96 93

50 48 44 45

48 92 58

59

58 97 94 53 51

48 43 46

47 47

29,79

7,72

0,30 9,13 90,20

99,15 11,45 33,72 93,81

44,16 30,04 6,53

40,138

0,17 42,58 99,95 91,15 42,10

16,32 2,20 34,19

36,01 29,38

PosiTIONS GÉOGRAPHIQUES DANS LE PAYS DES COSAQUES DU DON. 257

Longitude à l'Est Latitude de Poulkova de Greenwich 49. Filonovskaja (duaonoscran), église . 50°34 5877 04973830 2/ 50"56:97 50. Koumiljenskaja (Rymprrxkencras), EL TOE NS ENTRE EL RREEPEPRE 49 52 47,6 49 5,02 50 23,69 51. Goloubinskaja (Toxyôuncran), église 48 50 47,8 53 2,91 54 21,58 92. Tchistiakova (ucrakosa), église ... 49 3 13,8 46 53,54 48 12,21

53. Berezovaja (BepesoBan), église ..... 48 46 16,9 44 56,41 46 15,08 94. Likhovidov (JJuxornxo85), passage

palanriviène Echir 1: 212... .04 49 22 37,8 45 3,75 46 22,42 99. Setrikovskaja (Cerpukosckaa), poste 49 21 46,0 42 1,24 43 19,91 56. Maltchevskaja (Mauauesckan), église . 48 59 32,7 39 30,11 40 48,78

97. Louganskaja (Ayrancraa), église. . .. 48 38 27,4 36 40,14 37 58,81 98. Kamenskaja (KRamencran), église. ... 48 20 2,0 39 44,06 41 2,73

59. Stepanovka (Crenanoëra), église. ... 48 43 12,2 41 59,17 43 17,84 60. Azov (A3or2), nouvelle église . ...... 47 6 41,4 36 24,35 37 43,02 61. Eiskoje, forteresse, (9ïücroe ykphnue-

Mie) MOSS Neo : he dents os oveuss 46 41 58,3 33 11,89 34 30,56 62. Bataiskaja (Baraïckaa), poste ...... 47 3 0,4 38 959,97 40 18,64 63. Merkoulovskaja (MepkyzoBcraa), nou-

MÉTEADOStE AL lp se lee jen 46 39 45,3 40 56,48 42 15,15 64. Souline (Cyaums), jonction des rivières 47 52 46,3 39 8,10 40 26,77

Koundroutchaja et Gniloutchaja . . ... 65. Nagolnaja (Haroïsnaa), église. ..... 48 0 7,1 36 38,23 37 56,90 66. Golodajevka (Touozaerra), église . .. 47 48 38,3 34 22,00 35 40,67 67. Zoujevka (3yeska), église ......... 48 3 34,1 31 41,29 32 59,96

68. Anastassievka (Anacracierka), église 47 33 59,9 32 48,59 34 7,26 69. Jelantchikskaja (Erannkcran), église #7 8 20,6 32 2,70 33 21,37 70. Taganrog (Taranport), cathédrale . .. 47 12 26,9 34 27,24 39 45,91 71. Koursk (Kyper®»), Couvent de la Ste.

MIET RE er RE boot 51 43 42,6 2H IAOT 2% 50,04

J'ajoute encore, à la liste précédente, les positions de quelques points situés dans le pays des Cosaques du Don, et qui ont été joints, par les opérations géodésiques exécutées à l'occasion de l'expédition pour le nivellement entre la mer Noire et la mer Caspienne, avec l’église de St. Nicolas à Novo-Tcherkask. C'est de la description publiée de cette expédition que j'ai puisé les résultats de ces jonctions géodésiques :

Mémoires sc. math. et phys. T. VI. 33

258 O0. STRUVE.

Longitude à l'Est

Latitude de Poulkoya de Greenwich 72. Kagalnik (Karaïsaurs), église. ..... 47° 42673 035"59:92 2 37"18:59 73. Novo-Nicolajevka (Hoso-Huroxaes- HA) CT HSONE T2. CEE PIECE 46 58 37,6 37 9,69 38 28,36 74. Novo-Bataiskaja (Hogo - Baraïckaa), ÉplSC PPS ee COUR RALER 46 53 49,1 37 49,96 39 8,63

75. Kagalnitskaja (Karazsaunxan), église. 46 52 59,7 39 17,27 40 35,94 76. Novo-Jegorlitskaja (Hoso-Eropaun-

Kana) église ee CECI 46 33 40,2 41 19,96 42 38,63 77. Sredne-Jegorlitskaja (Cpeane-Erop- autEAA), éplise 4.0 0e ARE EE 46 22 13,8 41 57,54 43 16,21

Lorsque la plus grande partie du rapport précédent fut écrite, j'ai reçu encore, de la part de M. Schidlovsky, la communication en manuscrit des observations faites par lui, en été 1848, pour la détermination directe de la différence en longitude entre les deux points nor- maux Kharkov et Novo-Tcherkask. Cette jonction, comme nous avons vu plus haut, devait fournir un contrôle rigoureux aux opérations de M. Lemm. Par cette raison je me suis mis tout de suite à l'oeuvre d'en tirer les résultats.

Simultanément avec M. Lemm, le général Vrontchenko a déterminé en 18#7, par des opérations analogues, les positions géographiques d’un grand nombre de points répandus sur les gouvernements d'Orel, Tambov, Voronèje, Riasan et Vladimir. Le calcul de ces positions est déjà achevé sous la direction du général Vrontchenko lui-même ; la seule partie restante, le calcul des longitudes, vient d’être achevée sous mon inspection à l'Observatoire de Poulkova. Les deux voyageurs Vrontchenko et Lemm ont déterminé indépendamment les positions des villes Novo-Khopersk et Borissoglebsk, dont la première est située dans le gouvernement de Voronèje, l’autre dans celui de Tambov. C’est ainsi que nous gagnons des contrôles réciproques de leurs travaux.

Je donnerai maintenant la comparaison des différents résultats, en ajoutant encore, aux contrôles des latitudes, la détermination de la latitude de Novo-Tcherkask obtenue par l’astro- nome M. Sabler, à l’occasion du nivellement exécuté entre la mer Noire et la mer Caspienne, à l’aide d'un grand instrument universel. Cette dernière détermination, par conséquent, peut prétendre à un haut degré d’exactitude.

1. Contrôles des latitudes.

Latitudes Difér. d’après M. Lemm d'après M. Sabler. L—S

Novo-Tcherkask . .. 47° 24° 36/0 47° 24 3479 +11 d’après M. Vrontchenko Novo-Khopersk ... 51 5 55,5 51 5 57,7 —2,2

Borissoglebsk . . ... 01 21 54,5 51 21 56,2 —1,7

PosiTIONS GÉOGRAPHIQUES DANS LE PAYS DES COSAQUES DU DON. 259

Un accord plus parfait pouvait à peine être attendu, si l’on considère que les cercles em- ployés par MM. Vrontchenko et Lemm n'avaient que huit à neuf pouces de diamètre.

2. Contrôles des longitudes.

Les voyages de M. Schidlovsky donnent les deux déterminations suivantes de la diffé- rence en longitude entre l'observatoire temporaire de Kharkov et l'église de St. Nicolas à Novo-Tcherkask :

Î voyage + 157 30:40 2 » +15 29,72

Moyenne + 15 30,06

La détermination de M. Lemm, gagnée par l'addition des différences en longitude déter- minées entre Kharkov et Voronèje, Voronèje et Sarepta, Sarepta et Novo-Tcherkask donna la même quantité (voyez pag. 250) — +15” 29,80. Par conséquent la valeur trouvée par M. Lemm tombe entre les deux résultats de M. Schidlovsky et ne s’écarte que de 026 de leur moyenne. En donnant à chacune des déterminations de M. Schidlovsky et à celle de M. Lemm un poids égal, nous trouvons en moyenne l'église de St. Nicolas à Novo-Tcherkask à l'Est de l'observatoire temporaire de Kharkov, de 15” 29597.

Cet accord surpasse toute attente, surtout si l'on considère la complication des opérations exécutées par M. Lemm pour la déduction de la différence en longitude entre Kharkov et Novo- Tcherkask. C'est la meilleure preuve de la valeur intrinséque de tout son travail, et qui doit exciter la pleine confiance dans tous les résultats de ses voyages. En même temps cet accord nous prouve, dans ce cas spécial, que l'erreur probable donnée plus haut — 0:37 (pag. 31) surpasse de beaucoup l'erreur réelle de 0/17, ce qui nous fait supposer qu’aussi pour les autres points nous n’avons pas estimé trop haut l'exactitude des résultats.

L'accord qui existe, par rapport aux longitudes, entre le travail de M. Lemm et celui du général Vrontchenko m'a paru encore plas surprenant. En comptant de l'Observatoire de Poulkova, nous avons les longitudes suivantes ù

Diff.

d’après M. Lemm d’après M. Vrontchenko LV de Novo-Khopersk... 0? 457 15:52 0* 457 14:89 +-0;63 de Borissoglebsk . ... 46 57,65 46 57,58 +-0,07

Les déterminations du général Vrontchenko ont pour points de sortie les villes de Moscou et d'Orel, dont les longitudes, à compter de Poulkova, ont été fixées par les expéditions chronométriques exécutées sous ma direction en 1845 et 1846. M. Lemm au contraire, comme il a déjà été dit, est parti de ma détermination de l'observatoire temporaire de Kharkov. Il

+

260 O0. STRUVYE.

s’en suit que les déterminations de MM. Vrontchenko et Lemm sont entièrement indépen- dantes l’une de l’autre. Leur accord excitera certainement dans tous ceux qui sachent apprécier les travaux de ce genre, une admiration sincère de l’habilité de nos deux voyageurs. En même temps ceux à qui ces travaux doivent leur origine, et qui les ont honoré de leur protection, éprouveront une grande satisfaction de ce que le but proposé a été complètement atteint.

A d d i ét i Oo n.

Je saisis cette occasion pour communiquer au monde savant aussi les positions géogra- phiques déterminées la même année (1847) par le major-général de Vrontchenko, dans les gouvernements Orel, Tambov, Voronèje, Riasan et Vladimir. Ce travail fut exécuté aux dépens de la Société Impériale Géographique, par la coopération de cette Société et de l'Observatoire central. Il avait pour but de fournir un grand nombre de positions bien déterminées qui de- vaient servir de points d'appui à la confection des atlas des dits gouvernements. En 1847, l'exécution de ces atlas n’était que projetée. Depuis, par suite de la réussite des voyages de M. de Vrontchenko et de M. Lemm, ce travail se trouve déjà en progrès rapide par le concours actif de l'État-Major Impérial et du Département de l’arpentage, réunis dans ce but par ordre spécial de Sa Majesté Impériale.

M. de Vrontchenko, un des fondateurs de la Société Impériale Géographique se char- gea, avec le zèle que nous lui connaissons, de l'exécution des déterminations astronomiques, et certainement le conseil de la Société Géographique ne pouvait confier ce travail à des mains plus habiles. C’est pourquoi la coopération de l'Observatoire central pouvait se limiter à fournir les instruments au voyageur, à dresser le plan du voyage conjomtement avec M. de Vron- tchenko, enfin à déduire les résultats définitifs du voyage, surtout pour les longitudes.

Étant muni d'un bon théodolithe, du même dont je m'étais servi dans les expéditions chro- nométriques de 1842 et 1846, et de 8 chronomètres choisis, M. de Vrontchenko commença ses opérations à Moscou, le 5 juillet 1847, en se servant partout des mêmes principes d’obser- vation que M. Lemm. Les longitudes de Moscou et d'Orel étant données par les expéditions chronométriques de 1845 et 1846, le voyageur détermina d'abord, par un voyage rapide entre ces deux villes, les longitudes de Riasan, Koslov, Tambov et Lipezk, avec une exactitude suf- fisante à élever ces quatre villes au rang de points principaux. Depuis, ces quatre points de- vaient également servir à l’interpolation chronométrique des autres longitudes à déterminer. Les longitudes suivantes des lieux d'observation dans les dites quatre villes, fournies par les différents chronomètres, donneront une idée de leur exactitude, en tant qu’elle dépend du . transport du temps.

PosiTIONS GÉOGRAPHIQUES, 1847. ADDITION. 261

A l'Est de Moscou

Chronomètre Riasan Kosloy Tamboy Lipezk Dent 1941 8" 41502 117 47565 15" 33555 8” 7:79 » 1828 40,30 47,21 33,937 7,77 » 1818 41,28 47,61 33,42 8,19 » ‘1956 40,8% 47,01 33,39 7,68 » 2001 40,27 46,21 31,74 7,0% » 2022 40,41 47,13 33,08 7,14 Hauth 31 40,39 46,39 32,75 6,84

Kessels 1297 40,69 47,66 39,78 7,83

Moyenne 8 40,65 11 47,11 15 33,13 8 7,53 Err. prob. 0,088 0,134 0,144 0,111

Les longitudes de Riasan et de Lipezk ont été déterminées aussi dans mon voyage de 1842. Mais, par suite de la durée plus prolongée du transport du temps et de la qualité infé- rieure de quelques chronomètres, les erreurs probables ont été trouvées beaucoup plus fortes dans ces déterminations antérieures. Par cette raison il nous a paru inutile de les consulter maintenant dans la déduction définitive des longitudes. |

Le voyage de M. de Vrontchenko s'étend depuis le 5 juillet jusqu'au 22 octobre et embrasse ainsi un intervalle de 109 jours. Dans cet intervalle le voyageur a déterminé les po- sitions de 70 lieux, ayant fait, dans ce but, des observations astronomiques en 89 différents jours. Il s’en suit que le voyage de M. de Vrontchenko, quoiqu'exécuté en général dans des latitudes plus septentrionales, n'a pas été moins favorisé par le beau temps, que celui de M. Lemm. Sous un'autre rapport il a été même plus favorisé, nommément par la température qui, pendant les trois mois de juillet, d'août et de septembre, est restée tellement constante, dans l'intérieur de la boîte qui contenait les chronomètres, qu'à peine, dans le journal de M. de Vrontchenko, nous rencontrons quelques jours isolés, où la température moyenne de la jour- née ait différé de 3° de la température moyenne des trois mois de + 17,7 R. Au commence- ment du mois d'octobre la température s’abaissait tout d’un coup, de sorte que la température moyenne de ce mois n'était que de + 9,8 R., et que, pendant quelques heures, elle tombait même au dessous du point de congélation. Il est clair que l'accord des longitudes déterminées, au mois d'octobre, dans le gouvernement de Vladimir a dû souffrir un peu par l'effet thermo- métrique ; mais la qualité supérieure des chronomètres se prononce déjà par le fait que, malgré les changements assez rapides de la température, dans le cas le plus défavorable, l'accord des longitudes fournies par les différents chronomètres n'accuse, dans la moyenne, qu'une erreur probable de 0:33. |

On pourrait encore croire que-les marches de tous les chronomètres aient été affectées par les températures à peu près de la même quantité et dans le même sens, et qu'ainsi les lon- gitudes, quoiqu'en apparence d’un accord admirable, fussent sujettes à des erreurs communes

262 O0. STRUVE.

considérables. Mais les expériences faites à Poulkova sur le degré de compensation des chro- : nomètres employés par M. de Vrontchenko, s'opposent directement à cette conclusion, en nous donnant :

pour Dent 1941 le coefficient de compensation + 0,0035

» » 1828 » » » — 0,0027 » » 1818 » » » + 0,0020 » » 1956 » » » — 0,0012 » » 2001 » » » — 0,0007 » » 20929 » » » + 0,0213 » Hauth 31 » » » —+- 0,0146 » Kessels 1297 » » » — 0,0108

Moyenne + 0,0032

Ici les coefficients de compensation se rapportent de nouveau au changement de 13574 produit dans la marche journalière de notre chronomètre sans compensation, Arnold et Dent 951, par un changement d'un degré de Réaumur dans la température moyenne du jour. Il s'en suit que chaque degré de température a changé la marche moyenne des chronomètres employés par M. de Vrontchenko, de 0;044 par jour. Pour le point le moins favorablement déterminé dans tout le voyage, celui que nous avons déjà cité plus haut, la température de Ja première partie du voyage qui a donné cette longitude, différait seulement de 1,5 de la température moyenne du voyage entier. La durée totale de ce voyage ayant été de 12 jours, il en résulte au maximum, une correction thermométrique de 040, quantité qui est du même ordre que l’erreur probable déduite de l'accord des longitudes fournies par les différents chro- nomètres. Dans tous les autres cas, les corrections thermométriques peuvent être regardées comme entièrement évanouissantes.

Le théodolithe employé par M. de Vrontchenko, avait fourni des résultats très satisfai- sants pendant mon voyage de l’année précédente, à ce qu'on peut voir dans mon rapport sur ce voyage. En 1847, au contraire, les observations de M. de Vrontchenko indiquent une variabilité de l'instrument, dont la nature est restée inconnue. Probablement elle doit son ori- gine aux secousses plus fortes auxquelles l'instrument était exposé par le transport dans le ta- rantasse. Les latitudes (N), déduites des observations de l'étoile polaire, diffèrent toujours dans un sens constant des latitudes (S), fournies par les étoiles au Sud du zénith; mais la quantité de ces différences, accusées également par les déterminations du temps, est quelquefois plus forte qu'il ne fallait l’attendre, et il paraît impossible de les expliquer uniquement par l'effet de la flexion. Par cette raison les erreurs probables des positions données dans la table suivante doivent être supposées plus fortes que celles des positions fournies par le voyage de M. Lemm, au moins pour les latitudes. En moyenne, je crois, l'erreur probable des latitudes doit être esti- mée de 2” à 3”, et celle des longitudes de 0;3 à 0,4. Pour la dernière coordonnée, l'erreur probable serait donc à peu près égale à celle que nous avons déduite en moyenne pour les dé-

PosiTIONS GÉOGRAPHIQUES, 1847. ADDITION.

263

terminations dans le pays des Cosaques du Don. C'est que, dans ce cas, la qualité supérieure des chronomètres employés par M. de Vrontchenko et les conditions thermométriques plus favorables de ses voyages, ont contrebalancé l'incertitude introduite dans les déterminations par

la variabilité indiquée du théodolithe.

© QC el © O1 & CO N° —

26.

27.

. Riasan (Pasaub), cathédrale

. Koslov (Roszxor5), cathédrale . ...... 52 . Tambov (Tam6o8), cathédrale . ..... 52 . Lipezk (Auneux®), cathédrale ...... 52 . Orel (Opers), cathédrale .......... 92 . Kromi (Kpomni), cathédrale ........ 52 . Dmitrovsk (ÆAmurposcr5), cathédrale . 52 . Sevsk (Check), cathédrale. ........ 92

. Troubtchevsk (Tpyôsesck#), cathédrale 52 . Outi (Vrri), village, égl. de St. Nicolas 52 . Briansk (Bpaucr®), égl. del’Assomption 53 . Karatchev (Kapasert), cathédrale . . . Somovo(Comogo), vill., égl.deSt. Nicolas 52 . Bolkhov (Borxoss), égl. de l’Assomption 53 . Mzensk (Muencr®), église de l'Exalta-

. 93

Mon dela Ste Croix. hr 1, 53 . Malo-Arkhanguelsk (Mauro - Apxau- reëcKB), Cathédrale ....,.,,....... 52 . Livni (Anpuri), cathédrale ......... 92 . Borki (Bopru), village, église ,...... .52 . Sadonsk (3azouck+), cathédrale . . ... 92 . Jeletz (Erens), égl. de l'Assomption .. 52 . Lebedian (ÆeGeaaue), cathédrale .... 53 . Donkov (ÆAouko8+), cathédrale . ..... 93 . Ousman (Vcmaur), cathédrale. ...... 52

. Nijnaïa Matrenka (Huxuaa Marpeu-

Ka), égl. de l'Épiphanie ........... 52 . Schtchoutchie (Iiyuse), village, égl. dé SCMDANTN ER AR OR MIRR 51

Verkhotoida(Bepxoroÿñaa), village, égl. défStiNitolase ME ot ann Arkhanguelskoje (Apxanrezscroe), village, égl. de St. Michel

Latitude 54°38" 4/2 0437"40:64 2*39"59:31 Riasan

93 17,5 43 33,3 36 40,2 98 26,9 41 21,9 30 20,8

9 26,0 34 32,8 51 46,9 14 18,0

6 59,2 91 46,0 26 47,0

16 34,8

23 59,1 25 21,4 9 12,0 23 11,2 37 14,7 0 36,8 14 38,5 2 37,2

15 49,6 45 49,1 25 26,4

26 37,8

Longitude à l'Est

40 44 37 22 21 19 16 13 14 16 18 18 22

24

24 29 31 34 32 39 39 37

39

40

39

42

de Poulkova

45,22 31,85

5,63 97,81 46,89 15,68 40,56 45,69 33,36

9,50:

37,21 27,19 43,53

57,89

43,48 6,88 8,18

21,98

40,78

12,46

15,65

38,39

7,58 39,98 96,19

22,25

de Greenwich

42 45 38 24 23 20 17 15 15

Gouvern.

3,89 Tambov 50,52 » 24,30 » 16,48 Orel

5,96 » 34,39 » 59,23 »

4,36 » 52,53 » 28,17 » 55,88 » 46,46 »

2,20 » 16,56 »

2,19 » 25,55 » 26,85 » 40,65 Voronëje 09,45 Orel 31,13 Tambov

34,32 Riasan 57,06 Tambov

26,25 » 98,65 Voronèje 14,86 »

40,92 Tamboy

264 O0. STRUVE.

Longitude à l’Est

Latitude de Poulkova de Greenwich Gouvern. 28. Novokhopersk (Hosoxoneperx®), cathé- drale ur ut cite AR TIR 51° 557,7 0/45"14:89 246" 33:56 Voronèje 29. Borissoglebsk (Bopucorrbôcr#), ca- thédrale 2. 2m pre ES ae 0 91 21 56,2 46 57,58 48 16,25 Tambov 30. Bournak (Bypuak5), village, église de Notre Dame: M SMILE. SUSINREREN 01 52 1,7 44 35,17 45 53,84 » 31. Ouvarovo (VBaposo), village, égl. Ro- jestvensla 4... MORT EME RE 51 59 31,8 47 46,06 49 4,73 » 32. Ponsar (Ilousapr), village, église de la Protection de Notre Dame ......... 02 14 28,2 45 29,88 46 48,55 » 33. Lavrovo (Aasposo), village, église de NotreDame #0. ML eee Ras 52 20 6,4 42 26,97 43 45,64 » 34. Rojestvenskoje (Poxecrsencroe), vil- lage ÉDISe Re. SERA Re 52 46 2,9 47 26,08 48 44,75 »

35. Kirsanov (Kupcanogs), cathédrale ... 52 39 7,6 49 35,11 50 53,78 » 36. Roudovka (Pyzo8ka), village, égl. de

la Protection de Notre Dame ....... 53 6 2,6 48 12,77 49 31,44 » 37. Sademka (Caaemka), village, église de

Notre Dames EURE me Ten 53 38 11,5 49 7,45 50 26,12 » 38. Spask (Crack), cathédrale. ........ 53 55 26,1 51 26,73 52 45,40 » 39. Aturevo (Ariopego), village, égl. de St.

NICOLAS AP ER A ER PR NT tte 54 19 14,1 52 2,74 53 21,41 »

40. Temnikov (Teunuros), cathédrale .. 54 37 46,9 51 29,97 52 48,64 » 41. Sarovskaja Poustine (Caposcraa ITy-

crbiue), clocher sur la porte du Couvent 54 55 34,3 52 0,12 53 18,79 » 42. Schiromasovo (IHupouacoso), village,

égl. de la Protection de Notre Dame... 5% 42 16,7 48 51,82 50 10,49 » 43. Islejevo (Vcreeso), village, égl. de Notre

Dames tes DÉTIENT 54 26 45,1 46 33,92 47 592,59 » 44. Bokovoi Maidan (bokosoü Maïñzant),

viager esse rence eee MRAeRE 54 10 3,3 48 40,87 49 59,56 » 45. Schatzk (Ianre), égl. de Notre Dame

de Kazan Ne CREER 54 195,7 45 31,53 46 50,20 »

46. Morschansk (Mopmaucr5), cathédrale 53 26 27,9 46 0,00 47 18,67 » 47. Staroje-Jourievo (Crapoe - OpreBo),

égl. "de St Nicolas 3276). CU CET 53 19 31,9 41 29,31 42 47,98 » 48. Oranienbourg (Opaniex6ypr&), cathé-

drale rt et OR ENTER 53 14 12,9 38 35,17 39 53,84 Riasan

PosiTIONS GÉOGRAPHIQUES, 1847. ADDiTIoN.

Longitude à l'Est de Poulkova

41 36 37

34

25,65 51,10 8,88

48,05

34 12,2

40 12,1

265

de Greenwich Gouvern.

42 38 38 36

39 41

43

45 46

Latitude

49. Riajsk (Paxer®), égl. de la Ste. Trinité 53°42° 32/6 038"56:63 2*40715;30 Riasan 50. Sapojok (Canoxort), cathédrale. . ... 53 56 32,1 51. Skopin (Ckonuu#), cathédrale. ...... 53 49 23,8 52. Pronsk (Ipoucx®), cathédrale . ..... 54 6 52,7 53. Mikhaïilov (Mnxaïüaoer), égl. de la Ste.

LLAIEI TS LYS SRUE «à FR AER CARE ER 94 13 54,5 94. Saraisk (3apaïñcr®), église de la Ste.

Done RARES RTS RE, RE 54 45 30,8 55. Spask (Crack), cathédrale ........ 54 23 59,0 56. Ijevskoje (Mxercroe), village, égl. de

NotrerDame MOTEUR. 04 33 14,2 57. Kasimov (Racumos+), égl. de l'Assomp-

RO Al a ane die os 0 94 56 8,5 58. lelatma (Exarma), égl. de la Ste. Trinité 54 57 48,6

. Touma (Tyma), village, égl. de St. Nicolas 55 . Serednikovo (Cepeauuxoso), village,

SANG 6 ER, SR EE 59

. legorievsk (Eroprescrt), cathédrale . 55 . Vlassovskoje (Baacoscroe), village, égl. 55 . Oungdal (Vuraaut), village, église .. 56 . Vladimir (Baaanmip5), cathédrale ... 56 . Soudogda (Cyaoraa), cathédrale. . ... 99 . Gouss (T'yce), fabrique, église. . ..... 99 . Melenki (Mezenku), église. ........ 99 . Mourom (Mypour), égl. de St. Jean.. 55 . Siablitzki Pogost (3aGaunriit Ilo-

rocT&), égl. de la Ste. Trinité. ...... 99

. Gorokhovetz (lopoxosens), cathédrale 56 . Viasniki (Basauxu), égl. du Couvent de

L'ATNONCIAAOREN ENT Le Er, 56

Mémoires sc, math. et phys. T. VI.

JR IFRS

15 18,2 22 54,2 39 44,6

0 26,2

7 41,5 57 2,8 36 46,2 20 15,4 34 47,9

52 21,7 12 21,9

15 0,5

42

44,32 » 9,77 » 97,59 ». 6,72 » 30,9% » 30,81 » 29,03 » 33,09 » 59,77 Tambov

42 11,77 Riasan

38 42,09 ? » 36 8,78 » 39 0,07 Vladimir 39 43,44 » 41 38,92 » 43 29,62 » 42 43,40 » 46 33,90 » 48 14,90 » 51 29,21 » 00 44,60 » 48 34,25 »

34

ii Koursk®

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21

MÉMOIRE SUR LA THÉORIE GÉNÉRALE DE LA PERCUSSION,

PAR

M. OSTROCRADSKY.

(Lu Le 26 mar 1854)

1. Nous allons rappeler d’abord les équations générales du inouvement que nous avons

données dans le mémoire sur les déplacements instantanés *).

Concevons un système de points matériels, ou d'éléments d’un corps, liés entre eux d’une manière qui doit être définie, et désignons en les masses respectivement par m, m, m', m°,.... Le mode des liaisons entre ces masses constitue la définition analytique du système, il revient, comme on le sait, à la connaissance des déplacements que le système pourrait recevoir à chaque instant, Il s’agit d'acquérir cette connaissance d’après la nature du système, c’est-à-dire d’après la nature des liaisons qui gènent le mouvement des points m, m,m,m",.. Or les liaisons dont il s’agit consisteront toujours en ce que, pendant que le système se déplace, certaines quantités L, L,, L:, L,.., qui naturellement exprimeront quelques propriétés du système dépendantes de sa position, ne changeront point, ou ne sauraient point diminuer, ou bien encore ne pour- ront pas augmenter. Comme, par exemple, les fils flexibles et inextensibles qui réuniraient les points du système.

La présence d'une surface qu'un point serait obligé de décrire, reviendrait à l’invariabilité d’une fonction des coordonnées, fonction qui est celle de la surface ”*), ou à l'impossibilité qu'elle puisse diminuer, selon que le point serait assujetti à demeurer sur la surface, ou seulement à y être contigu.

Il est facile de voir que, pour obtenir les déplacements possibles du système, nous n'avons qu'à exprimer algébriquement les propriétés tout-à-l'heure mentionnées des quantités L, L,, L,, L,.….. Pour cela, imaginons un système de droites infiniment petites Ae, As’, As”, Ac”. et du reste

.out-à-fait arbitraires; tant en grandeur qu’en direction, pour nous représenter tous les déplace-

42

Q . / 2 ments, que nous pourrons, mentalement et respecuvement, attribuer aux masses m,m,m ,Mm ,… s + ° Ne À 0 1 vr!

à chaque instant. Ces droites auront donc pour origines les masses mêmes m, m,m ,m ,… et pour extrémités les points où celles-ci se trouveraient après le déplacement, si elles pou-

vaient en effet recevoir celui qu’on leur attribue seulement par la pensée. Pour se rapporter à

*) Mémoires de l’Académie Impériale, tome IIT, page 5635. **) Par fonction d’une surface nous entendons cette fonction des coordonnées qui étant égalée à zéro fournirait l'équation de la surface.

270 (2) M. OSTROGRADSK y.

chaque instant, les quantités Ae, Ac’, Ac”, Ae°” contiendront, d’une manière arbitraire, le temps, que nous désignerons par {, et que nous compterons à partir d'une origine prise convenable- ment, ou arbitrairement.

Cela posé, considérez le système à la fin d’un temps quelconque t, pour que ce que vous en direz puisse s'appliquer à chaque instant; admettez mentalement que, pendant l'instant dt qui suit le temps 4, le système se déplace de manière que ses points m, m', m’, m'',.... parcou- rent respectivement les espaces Ac, Ac’, Ac”, Ac”, dont on vient de parler, et cherchez les changements AL, AL,, AL,, AL... que les quantités ZL, L, L,, L,,.. éprouvent par les déplacements dont il s'agit. Cependant ne perdez pas de vue que ces déplacements ne sont nullement réels, car Ac; Aco AE, At". représentent tout ce que vous pouvez concevoir, pour le mouvement instan- tané du système, et par conséquent, non seulement les mouvements possibles, c’est-à-dire ceux que les liaisons ou les obstacles qui gènent le système laissent libres, mais aussi ceux qui sont impossibles à cause de ces mêmes liaisons ou obstacles. Il n’y pas d'autre limitation pour Ac, As’, As’, Ac. que leur grandeur infiniment petite, afin qu'elles puissent répondre à un élément du temps.

Il n’y a point de méthode générale pour trouver les changements AL, AL,, AL,, AL... ; chaque cas particulier exigeant un procédé qui lui soit propre, mais qui ne demandera que des considérations géométriques le plus souvent fort simples.

2. Supposons, par exemple, qu'à la fin du temps t, le point m se trouve en contact avec une surface impénétrable, et peut s’en détacher, dans cette partie de l’espace où la fonction de la surface est positive. Il s’agit de trouver les déplacements que cette circonstance laisse libres. Appelons j1 le point appartenant à la surface correspondante au mobile =, et désignons par dy le déplacement effectif de & pendant l'instant dé. Ac représentant toujours un déplacement quel- conque de m, soit AË la droite réunissant les extrémités de dy. et de Ac; cette droite AË doit se trouver tout entière en dehors de la surface impénétrable, ou sur cette même surface, quand Ac sera un déplacement possible ; il s'en suit que la projection de AË sur la normale à la sur- face, à la fin du temps {+-dt et au point où se trouve 1 à cette même époque, doit être posi- tive ou zéro, or cette projection étant représentée par la différence

Ac cos @ — dy. cos a,

les lettres Q et « désignant les angles que As et dy. font avec la normale à la surface au point, u, et sans doute à la fin de {+-dt; nous aurons Ÿ

Aëe cos 0 — du cosa >> 0,

sans en exclure l'égalité, toutes les fois que Ac représentera un déplacement possible. Nous ver- rons bientôt qu'on pourra négliger les infiniment petits du second ordre dans l'inégalité

Ac cos 0 — du cos «x >> 0

et par suite, on pourra admettre que @ et « sont les angles que Ac et dy. font avec la normale au point y, non à la fin du temps {-+-dt, mais à la fin du temps t. Présentée de cette manière,

MÉMOIRE SUR LA THÉORIE GÉNÉRALE DE LA PERCUSSION. (3) 271

l'inégalité dont il s’agit, n’excluant point l'égalité, exprimera la condition des déplacements pos- sibles relatifs à la surface impénétrable, car elle sera nécessairement satisfaite par toute valeur de A: que cette surface n'empêche pas, et sans doute ne le sera pas par les As purement idéales, c’est-à-dire par ceux que l'impénétrabilité de la surface rend impossibles. Pour ce qui regarde dy cos æ, cette projection sera donnée dans chaque cas particulier, car la manière dont se dé- place et varie la surface impénétrable doit être connue. Supposons, par exemple, qu'on en con- nait l'équation Hyatt) 0

en coordonnées rectangles. Les lettres x, y, x représentant les coordonnées de &, et par consé- quent celles de m, à la fin du temps {; x+-dx, y+-dy, :+-dz, en négligeant les infiniment pe- tits du second ordre, seroït les coordonnées de y. à la fin du temps t+-dt, et comme nous avons

af af af df en divisant par le radical

df? df? df? a + dy? dz?

pris positivement, nous en tirerons sur le champ df a d COS LR af? af? af? dr ap 48 et par suite, la condition pour que Ac soit possible, deviendra

af _ dt

sans en exclure l'égalité.

Au reste, si la surface est donnée par son équation entre les coordonnées rectangles et le temps, la condition des déplacements possibles de m qui s’y rapportent se trouvera encore plus simplement ainsi qu'il suit. Désignons par æ-+-Ax, y+-Ay, z+-Az les coordonnées de m après le déplacement Ac, nous aurons sur le champ

f (x+-Ax, y+-Ay, 24 Az, 14-dt) > 0 sans en exclure l'égalité, car le point m peut ne pas se détacher de la surface, or en négligeant les infiniment petits du second ordre et à cause de f—0, vous avez

f (x+-Ax, y+-Ay, 3+4-Az, t+4-dt) — _ Àx + e Ay. + ü Àz + . ï

donc df df af df adtnN+rh+rdu> 0

272 4 (à) M. OSTROGRADSKY.

ou bien, en divisant par le radical AFP MIE ape dx? dy? dz? ;

pris positivement,

af ni dt

d df? df?

Viriri 3. Ayant trouvé les accroissements AL, AL,, AL,, AL... rappelez vous les propriétés des quantités L, L;, L,, L,.... par lesquelles les déplacements possibles du système sont définis ; vous égalerez à zéro les accroissements de celles des quantités dont il s’agit qui ne peuvent point varier, vous ferez plus grands que zéro les changements des quantités qui ne peuvent pas di- minuer, mais vous n'en excluerez pas et l'égalité à zéro, car les quantités auxquelles ces chan- gements répondent, ne variant point dans cette hypothèse, sans doute ne diminueront pas. En- fin, vous ferez plus petits que zéro les accroissements des quantités qui ne sauraient augmenter,

Âë cos 0 +

sans en exclure aussi l'égalité à zéro. C'est de cette manière que vous aurez les conditions des déplacements possibles ; suppo-

sons, par exemple, qu’elles soient x AL 0, ALLO PAL O0 AL —=107:

Remarquez d'abord que les déplacements Az, Ac’, AE Aer qui entrent dans AL, AL,, AL,...…., ne satisfont point aux conditions ci-dessus, ils sont arbitraires, comme il a été dit; mais si vous leur attribuez certaines valeurs particulières, vous saurez si ces valeurs sont possibles cu non pour le système, selon qu'ils satisferont ou ne satisferont pas aux conditions dont il s’agit.

Remarquez ensuite que la condition telle que

AT 210;

sans en exclure l'égalité, est complètement remplacée par celle-ci

— AL > 0.

Eu égard à celte remarque, nous pouvons supposer, et nous le supposerons pour plus d'uniformité, que dans les inégalités qui définissent les déplacements possibles, et qui n’ex- cluent jamais les égalités, le sommet du signe ©> sera toujours tourné vers zéro.

Mais la remarque la plus importante se rapporte au mode de composition des accroisse- ments AL, AL,, AL,, AL.,.., qui contiendront sans doute les infiniment petits des différents ordres. En désignant par n l'ordre d’une des quantités Z, L,, L,, L:,.... le changement corres- pondant renfermera les termes des ordres n+-1, n-2, n+-3,...., que nous désignerons respec- tivement par (n+-1), (n+-2), (n+3),. en sorte que la valeur du changement en question sera

(n+-1) + (n+2) + (n+3) + ….

MÉMOIRE SUR LA THÉORIE GÉNÉRALE DE LA PERCUSSION. (8) 273

Or cette valeur devant être zéro ou positive, il est nécessaire que son premier terme (n+-1) soit zéro ou posilif en même temps que toute la série; car s'il ne l'était pas, les autres termes, infiniment plus petits que lui, ne pourraient ni annuller la série, ni la faire changer de signe, qui sera toujours celui de son premier terme. Il en résulte que dans le calcul des accroissements AL, AL,, AL,, AL:,.... on peut n'avoir égard qu'à la première puissance des déplacements ASS sAst Ac. 1. et qu'il est permis de rejeter tous les termes où ces déplacements au- raient deux, ou un plus grand nombre de dimensions, ce qui fera devenir les accroissements AL, AL,, AL,, AL... fonctions linéaires de Ac, Ac’, Ac”, Ac” les procédés ordinaires du calcul des variations, et ils auront la forme

.…; On les trouvera donc par

442

(4 I Il I La "1! ae cosŸ + a As cosd + a Az cosd + a As cosd +... + T du,

4

ou seront susceplibles de la recevoir. Les lettres a, FE AT M désignent des quantités données, ou dépendantes d’une manière donnée de la position du système, c'est-à-dire des coor-

Re ne rér données des masses m, m,m , m ‘,.. et du temps {. Les lettres 4, D, ,%d ,...… représentent les angles que les déplacements As, Ac”, Az", As”... font avec certaines directions, qu'il est impossible de nommer quand on parle généralement, mais dans les cas particuliers, elles peu- vent être celles des droites qui réunissent les points du système, ou celles des normales aux surfaces impénétrables auxquelles se trouveraient contigus quelques uns de ces mêmes points, ou celles des droites fixes comme les axes coordonnés, ou enfin d’autres directions que l’on con- naîtra dans chaque cas particulier, et que généralement nous désignerons par D, DD, D ...: en sorte que Ÿ”, par exemple, sera l’angle compris entre A:” et une direction D”, dont nous ne pouvons pas définir la nature.

Les variations AL, AL,, AL,, AL... ayant la forme qu'on vient de citer, nous supposerons

À ! 7 21 ô G ë ue ° 14 que les déplacements Ac, Ac, Ae , Ae ,.... seront possibles quand ils satisferont aux inégalités

(4) AL>0,AL,>0, AL, > 0, AL, > Ou.

+

dont quelques unes, ou même toutes, peuvent être des équations, et dont aucune n'exclut l'égalité; et si les conditions dont il s’agit ne sont pas remplies, le système ne pourra point recevoir le déplacement correspondant Ac, As, Ag Aer.

4. À partir de chaque position de m, depuis le commencement du mouvement, imaginons A correspondant, arbitraire sans doute, mais cependant satisfaisant à la condition de la conti- nuité, sans laquelle les considérations semblables à celle que nous exposons seraient impossibles. Les extrémités de tous les Ae formeront une courbe infiniment proche de la trajectoire de m, et du reste arbitraire. Imaginez un point p, purement fictif, qui parcoure cette courbe, quand m se meut dans sa trajectoire, et qui se trouve à la fin du temps {+-dt à l'extrémité de celui des déplacements Ae dont l’origine est au point m à la fin de £. De cette manière, A sera la ligne my. qui réunit la position du point m à l'instant { avec la position de y à l'instant &+-dt. Re-

marquez qu'une‘quantité quelconque Q, l’espace parcouru, la vitesse, les coordonnées etc., re- Mémoires sc. math. et phys. T. VI, 35

274 (6) M. OSTROGRADSKY.

latives au point m, deviendra Q-+-AQ à l'extrémité de Ae ou au point t, AQ représente une va- riation où l’on doit faire varier, non seulement la manière dont Q dépend du temps, mais aussi le temps lui même. Il convient d'introduire au lieu de Ae la distance entre les positions des points m et . considérés tous les deux à la fin du temps #, distance que nous désignerons par de. L'origine de cette ligne infiniment petite est censée le point m, comme celle de Ae. Une quantité quelconque, désignée tout-à-l'heure par Q, dev'endra Q-+-3Q à l'extrémité de de, 8Q désignant une variation, où l’on ne fera changer que la dépendance entre Q et t, sans faire varier { le moins du monde.

Il est clair que de-dôds est la distance qui sépare les points m et px à la fin du temps t+-dt. Si donc on désigne par s l'arc de la trajectoire de m, décrit dans le temps t, afin que ds soit l'espace effectivement parcouru par ce point pendant l'instant dt qui suit le temps t, on verra immédiatement que Ac est le troisième côté du triangle dont les deux autres côtés sont ds et de-dÿe. Ainsi, en désignant par Ÿ, «& et © les angles que font Ac, ds et de avec une même direction D, nous aurons

Ac cos db — ds cos a + (de + dde) cos (0 + d,0).

Nous mettons @ + d,0, et non © + dO, parce que la direction D, sur laquelle nous projetons les droites Az, ds et de1-dÿe, peut être variable : pour lors 0+-d0 représenterait l'angle compris entre dedÿe et la direction D à la fin du temps {-+-dt, or nous devons employer l'angle que Se+-dÿe fait avec D à la fin du temps {. En d'autres termes, l'angle © varie parce que les di- rections de Ôs et D varient toutes les deux, mais dans la comparaison des projections que nous faisons, nous devons avoir égard seulement au changement de la première des deux direc- tions, en sorte que Ÿ-+-d, Ô désigne l'angle entre Se à La fin du temps {+-dt et D à la fin du temps {. Or

(de+-d8e) cos (9+-d,0) — de cos 0+-d, (de cos O),

nous mettons d, (de cos @) pour désigner une différentielle incomplète de Se cos , il est facile de voir, d’après ce qu'on vient de dire, ce qui lui manque pour être complète, mais il n’est pas nécessaire qu'elle le soit, pour que d, (ÿe cos Ü) représente une quantité infiniment petite du second ordre, donc en rejetant les quantités de cet ordre, nous aurons

Ac cos Y— ds cos a + Ge cos 0. Il est visible que ce qui a été dit sur les déplacements de m s’appliquera mot-à-mot aux » û , Q Q r ,.r A Il [142 déplacements de tous les autres points du système, ainsi les extrémités des Ac, Ae , Ae ,… . à d : ! 7 771 Ë formeront des courbes respectivement très proches aux trajectoires de m,m ,m ,…. Si donc pie , ! [/ I 44 [444 / 1 11 A e nous désignons par s,0e,s,0e,s ,de ,…. pour m,m,m ,. les quantités respective-

ment analogues à celles qui ont été désignées par s et de pour m, nous aurons”

MÉMOIRE SUR LA THÉORIE GÉNÉRALE DE LA PERCUSSION, (7), 975

# f/ LA "4 4 Ae cosh — ds cosa + ÿs cos0 I! I 1 COS& + d COS

! 144 [444 1, COS + d Cos O

D nm 2

< | &

/ 121

les lettres Ÿ', &, 9’; Ÿ”, a”, d'; Ÿ”, «7 0", représentent respectivement les angles que Az’, ds’, 5e’ font avec une direction D'; Az”, ds”, de” font avec une direction D'; A”, ds”, ÿs’” font avec une direction D’”, ainsi de suite.

Substituons les valeurs précédentes de As cos®, As’ cos”, As” cos Ÿ”, Ae°” cos L’” dans les variations AZ, AL,, AL,,... ou bien dans

444

A , Hall 7 27 27 : ae cos® + a Ae cosd + a A cosb + a As cos +... + T dt

qui est une de ces variations, supposons par exemple la première, nous aurons

! , [A 1/2 " I "1, [444 444 Aa — ads cosa + ads cosa + a ds cosa + a ds cosa +... + T dt PS T -/ US "M 1 PRO 271 + ade cos 0 + a de cos O + a ds cos Ÿ + a dE cos O +.

ou bien, en faisant pour abréger, ce qui du reste est convenable

dL dL

LA td ! 1/1 [14 1/1 Là à à [444 [444 ads cos a + ads cos + a ds cosa + a ds cosa + … + Tdi

|

|

[EN (2 Me !! 7] VIP TIT 11! ade cos Ÿ + ads cos + ads cos O0 + a dE CoOSO + ….

il viendra AL — dL + ÔL.

On aura semblablement : AL, = dL, + ÿL AL? = dL, + ÔL, dL; + ÔL;

0 + e 9 + + + + e

D ci |

Il est facile de savoir ce que sont les quantités dL,, ÔL,, dL,, dL,, dL;, ÔL,... car les accroissements AL,, AL,, AL;,.... ayant une composition entièrement analogue à celle de AZ,

savoir :

[4 Il " 1! [144 [244 441

AL, — a,As cosŸ, + a, As cosŸ, + a, Ae cosd, + a, Az cosd, +... + Tidt / 4 LA I! (14 I 11, 444 444

ae cos, + a, Ae cosY, + & A cosh, + a AE cosh, +... + Tdi / ! ! I 1 4 44 444 "1!

AL, = a;Ae cosŸ, + a; Ac cosd, + a; Ac cos, + a; As cos, +... Tdi

D dS I

. . 0 ° ° . e 0 ° ° 0 e . ° e e ° 0 0 ° °

1114 vrr ‘1,

: , 2 , (2 , " OÙ Us (0 Ua ee al MPG, de Ti 0, Me (05, Gs » se. (Ts et, s0nt

. , / I 442 # . . fonctions des coordonnées de m, m,m,m , .…… données dans chaque cas particulier, et

! [1 (144 {z [4 "1/ ! [44 [442 ds, D, di, D, ,... de, De, Do, Do. D Ds, Ds, Vs ,…… etc. sont les angles que les ; ’ 1 71 . . . . . ë ; déplacements Ac, Ac, Ace , Ae ,.…. font avec certaines directions qu'il est impossible de pré-

*

276 (8) M. OSTROGRADSKY.

. BUG ! 11 (44 À [44 42 [44 1

ciser, et que nous désignerons par D,, D, , D, , D, ,.…. D,, D;', D, , D, ‘,… D,, D, D”, D", LA r , Û 111 . . 712

en sorte que Y, , par exemple, représentera l'angle compris entre As et la direction D, . Cela

posé, nous aurons

14 , / [1 4 I! [144 44 444 dL, = a, ds cosa, + a, ds cosa, + a, ds cosa, + &, ds cosa, + …. + Tidt ! L {4 LA 1 " [144 444 AA À dL, — a ds cos a, + a, ds cosa, + a ds cost + & ds cosaæ, + …. + T,dt ! ! A LL " [14 424 "1 444 dL, — a ds cos a; + 43 ds costs + 43 ds Cosas + 3 ds cos, + ……. + Tdi ! [2 A I! LL I [444 LA 444 ÔL, — à, de cos O0, + à, Ôe cos 0, + à, de cos 0, + à, de cos, + … | ! ! [24 [1 LU [444 444 (444 OL, — d3 de COS 0 + > ÔE COS + a ÔE COS + a dE COS + …

°c F- Coq

! ! (2 " (1 " 141 tr! 111 dx dE COS O3 + Az dE COS Oz + Az dE COS Os + A ÙÔE COS +

° . . . e . e Û . . . e 0 . . e ° e ° 0 . 0 Q

Il est facile de voir quels sont les angles que représentent les lettres &« et 4, accentuées et numérotées.

L “

5. Considérons une des différentielles dL, dL,, dL,, dL;, …. par exemple, la première ; ce que nous en dirons s’appliquera aux autres. Il est clair que la différentielle dL est une va- leur particulière de la variation AL, savoir celle que la dernière reçoit pour le déplacement effectif du système qui, sans doute, est un des déplacements possibles. Or dans le cas où la pos- sibilité des déplacements exigerait que la quantité L ne variät point, savoir qu'on eût AL—0 pour les déplacements possibles, on aura nécessairement dL—0. Et quand l'exigence des dé- placements possibles consisterait seulement en ce que L ne puisse diminuer, ou que L ait une valeur minimum, on aurait encore dL—0 comme condition du minimum, ou plutôt comme con- dition que L ne varie pas actuellement, car si cette quantité variait, et sans doute en augmen- tant puisque dL ne saurait devenir negative, elle cesserait d'être minimum.

Nous croyons devoir cependant entrer dans quelques détails relativement à ce dernier cas.

La quantite L étant un minimum, ou plutôt ne pouvant diminuer, il est nécessaire, pour que cette circonstance fasse une liaison ou un obstacle, que le système soit sollicité au dépla- cement pour lequel L diminuerait, sans quoi la propriété du système par laquelle Z ne saurait diminuer, n'en gènerait point le mouvement, et l'on pourrait se dispenser d'y avoir égard. Ainsi les efforts extérieurs empêcheront la différentielle dL d'acquérir une valeur positive, et comme elle ne peut être négative par la nature du système, il s’en suit qu'elle se réduira à zéro; et il en sera de même pour les autres différentielles dL,, dL,, dL;,.... Ainsi nous aurons

(2) dl — 0, AL = WE —=0 dl =0; 777

Il se pourrait cependant que dL eut une valeur positive, ce qui arriverait si les efforts extérieurs cherchaient à augmenter la quantité L, mais dans ce cas on rejettera la propriété du système exprimée par

L — minimum,

MÉMOIRE SUR LA THÉORIE GÉNÉRALE DE LA PERCUSSION. (9) 277

comme si elle n'avait pas lieu, et par suite on n’aura point égard à la condition dL >> 0, tant qu’elle sera remplie sans doute ; ainsi les équations (2), qu'on vient d'écrire, auront lieu en re- jetant tout ce qui est superflu.

Eu égard aux équations (2) les variations AL, AL,, AL,, AL... se réduiront respective- ment à SL, SL, ÔL,, DL... et par suite les conditions (1) des déplacements possibles devien- dront dé

(3) ÔL ©>>-0, dL, > 0, ÔL, > 0, LL, > 0,

quelques unes de ces inégalités, ou même toutes, peuvent être des équations et aucune n'ex- clut l'égalité. Les déplacements 3e, de’, 3e”, 5e”... qui entrent dans leurs premiers mem- bres sont arbitraires ; ils ne sont donc pas assujettis à satisfaire aux inégalités dont il s’agit ; celles-ci ne servent qu'à distinguer les déplacements possibles de ceux qui ne le sont pas.

On peut trouver les variations ÔL, ÔL,, ÔL,, dL.,... directement, c’est-à-dire sans passer par AL, AL,, AL,, AL... Pour cela il n’y aura qu'à considérer le système dans deux posi- tions : dans celle qu'il a en effet à la fin du temps t, et dans la position qu'il aurait après que ses points eussent parcouru, respectivement, les espaces de, Se’, 3e”, de, Les deux posi- tions répondent à un même instant, la fin de {, ensorte que, dans le passage de la première à l'autre, le temps ne varie point. Cherchez les valeurs Le Le EL sde Le LISE. Te latives à la seconde position, en ne tenant compte que des premières puissances des déplace- ments ÿe, de, ds, de /,., et vous aurez

SL — L'—L, L, — Li —L,, SL, — L,—L), L, — Lj—L, etc.

La détermination des variations ÔL, SL,, dL,, 3,L,.... peut être souvent simplifiée par la décomposition des déplacements Ôe, Se’, de”, De. auxquels ces variations répondent. En effet, décomposons les déplacements dont il s’agit, chacun en un nombre quelconque k d’autres déplacements, satisfaisant aux conditions ordinaires dans cette sorte de décompositions : savoir que Ac, Ac’, Ae”, Ac”... soient, chacun, le dernier côté du polygone dont les déplacements composants, qui lui correspondent forment, les autres côtés. Désignons ces derniers déplace- ments par

Dés En Easy oo. dE, pour la masse m

de, , DE de, je, ÿez pour la masse m

dep, De, deg -… deg pour la masse m”

Se”; Sea” des APE Se,” pour la masse m” etc.

En ne tenant compte que des premières puissances de ces déplacements, cherchez les changements Ô,L, Ô,L,, d,L,, d,L,... de L, L,, L,, L,,.... correspondants aux déplacements de, des, dep , des … puis cherchez les changements à,L, dL;, doLi, dLs,.. des mêmes quanti- tés L, L,, L,, L..... correspondants aux déplacements de, de,’, 3e,”, 5e,” cherchez ensuite les changements 3,L, 8.L;, d4L:, 5,L,,.... relatifs aux déplacements de,, de’, deg , des y. et Con-

278 (10) M. OSTROGRADSKY.

tinuez de la même manière jusqu'à ce que vous ayez trouvé les variations ,L, 0,L,, dyL,, dyLg,... Q , r / / ! . qui répondent aux déplacements de, dez , de;', Se, Vous aurez ensuite

SENSUEL AS ENE SIDN NS

ÔL, —— diL; AR dL, LE dL UAH En > L;

ÔL, —= OL == do Lo AE da Lo ir OU Ur Ô Lo elc.

C'est le dernier degré de simplicité dans ce qu'on peut dire en général de la recherche des conditions des déplacements possibles.

6. Supposons, par exemple, qu'il s'agit de trouver la variation que souffre un élément du volume d’un corps, par le déplacement infiniment petit de ce corps; problème que Lagrange avait à résoudre en traitant de l'équilibre des fluides incompressibles *). Ce qui nous paraît le plus simple pour cet objet, serait l'emploi de la transformation des coordonnées dans les inté- grales triples qui se rapportent à la question, mais nous voulons suivre le procédé de Lagrange.

Rapportons les corps aux axes rectangles des coordonnées x, y, x, qui par leur variabi- lité apartiendront à tous les points du corps; en désignant par x+-dx, y+-dy, z+-dz les coor- données d'un point infiniment proche du point (x, y, z), nous pouvons prendre dxdydz pour un élément du volume dont il s’agit de trouver la variation. Supposons que le déplacement du corps consiste en ce que les points qui répondaient aux coordonnées x, y, z, se trouvent avoir acquis les coordonnées æ+-dx, y, z. Ces dernières seront celles d’un angle de quadrilatère qui, avant le déplacement, était rectangle dædy et qui répondait à l’ordonnée z. Les trois autres angles du quadrilatère, après le déplacement, auront pour coordonnées

dôx æ + dx + dx + = dx, y, 3;

dû + dx + dy, y + dy, 3;

dôx dùx œ + dx + de + SE de + Te dy, y + dy, z; d'où l'on voit que les quatre angles de la figure sont compris dans ün plan parallèle à celui des æy, et comme de plus les côtés opposés ne se rencontrent pas et sont égaux entre eux, savoir

s : s dx re deux égaux à dy, et deux autres à x + dx, on en conclura que le quadrilatère est un pa-

rallélogramme. On s’assurera de même que les autres rectangles, faces du parallélépipède dædydz, resteront des parallélogrammes après le déplacement; donc le parallélépipède dxdydz lui-même restera parallélépipède; et comme les coordonnées des extrémités des arêtes de ce der-

nier, arêtes ayant le point (x + dx, y, z) pour origine commune, répondent aux coordonnées d

dÿ ù CA æ + dx + dx + Fons æ + de + ny dy, y + dy, 3; æ + dx + ds, y, 3 + ds,

*) Mécanique Analytique, tome I, page 189 et les suivantes.

MÉMOIRE SUR LA THÉORIE GÉNÉRALE DE LA PERCUSSION. | d1) 279

dôx dx

en retranchant celui du premier, savoir dædydz, on aura

DE God ydz

dx

on trouvera sur le champ que (1 + ) dædydz est le volume du nouveau parallélépipède:

pour changement du volume de dxdydz dû au déplacement supposé. Sans faire de nouveaux calculs, on conclura par l’analogie que si les coordonnées x, y, =

devenaient par le déplacement x, y + dy, z, ou x, y, x + Ôz, les changements correspondants

. daôi az Se = — 5 du volume seraient _ dædydz et —— dxdyds. ŒEn réunissant les trois variations partielles

dù aÿ dÿz Ne - _ dædydz, É dxdydz, = dædydz, on aura la variation totale

d dÿx ao y dÿz : ( RNA =) dæxdydz

qui répondra au déplacement arbitraire du corps, par lequel les coordonnées x, y, = devien- draient simultanément x + dx, y + dy, = + Ôz.

7. Si l’on pouvait trouver les différentielles dL, dL,, dL,, dL,, ete. la considération des va- riations désignées par À serait superflue ; or pour avoir les différentielles dont il s’agit, il n'y à qu’à calculer ce que deviennent les quantités L, L,, L,, L;,, .… censées se rapporter au temps t, à la fin du temps {+-d{; on ne retiendra dans ce calcul que la première puissance de l'élément dt, on en négligera les carrés et les puissances supérieures. Les diflérences entre les valeurs de L, L,, L,, L:, … calculées, comme on vient de le dire, pour l'instant € + dt, et leurs valeurs pour l'instant { donneront les valeurs respectives des différentielles dL, dL,, dL,, dL,, …

Ainsi les variations S, comme les différentielles d, résultent de la comparaison respective et mutuelle des quantités Z, L,, L,, L;,..., calculées pour deux positions du système : l’une de ces positions est celle du système à la fin du temps 4, elle est commune aux deux caractéristiques ; l'autre position, pour les variations, répond au même temps {, mais en admettant que les points du système se trouvent sur les courbes différentes de celles qu'ils décrivent en effet; tandis que la seconde position, pour les différentielles, est celle que le système aura en effet à la {in du temps {+ dt. Le temps varie donc de la première à la seconde position dont la diflé- rence fournit les différentielles, et il ne change point pour les variations Ô. Quant aux chan- gements À, on doit y faire varier et le temps et les courbes décrites, or il arrive que les A sont représentés par la somme des d et des à, ce qui est entièrement conforme à la nature du caleul des variations, par laquelle les accroissements dus aux changements simultanés des variables et de leur dépendance, sont représentés par la somme des accroissements partiels, savoir de ceux qui viennent uniquement du changement des variables et de ceux qui résultent unique- ment du changement de la dépendance entre ces mêmes variables.

Comme vous pouvez sans doute attribuer aux variations de, de, de”, 3e, les valeurs et les directions particulières à volonté, supposez les respectivement égalées aux différentielles ds, ds, ds’, ds”... cette hypothèse vous fournira, par exemple,

ÔL — dL — Tdt

280 (12 M. OSTROGPADSKY.

; ô AL ë : ’ rl mr Or comme dL est zéro, vous aurez, en faisant coïncider, en grandeur et direction, de, de , de , de

respectivement avec ds, ds, sde (4) dL — — Tdi, ÔL, — — Tidt, dL, — — Tdt, L; — — Tdi,

résultat qu'il convient de retenir. Nous terminerons cet article en reproduisant une remarque que nous avons faite depuis longtemps *), elle se rapporte à une méprise échappée à l’auteur de la Mécanique Analytique. Supposez que par la nature du système, ou des obstacles extérieurs, une quantité L doit demeurer invariable, vous aurez

L — 0

pour les déplacements possibles ; supposez qu'une seconde quantité L, fournissant aussi une liaison pour les points du système, renferme la quantité L, avec d'autres variables. Vous aurez

D AN

SK représente la partie de ÔL, où l’on n'a pas fait varier L, et AL représente l’autre partie due au changement de L. Lagrange supprime cette derniere XdL, par la raison que ÔL est zéro. Le grand géomètre perd de vue que, l'équation générale de la mécanique contient les varia- tions DL et SL,, dans l'hypothèse que les déplacements 5e, de’, de”, de”... qui y entrent sont tout-à-fait arbitraires et non pas seulement possibles, donc dL n’y est pas zéro, et par suite on doit nécessairement conserver le terme AL. Vouloir le supprimer, autant ne pas faire usage de la condition ÔL — 0 des déplacements possibles.

Ajoutons qu'en faisant disparaître sous le signe intégral la combinaison caractéristique dÿ, à l’aide de l'intégration par parties, Lagrange supprime les termes que cette opération fait sortir hors de l'intégrale, quand ces termes se réduiraient à zéro pour les déplacements possibles ; méprise tout-à-fait du même genre que celle qu'on vient d'indiquer. Les termes dont il s’agit ne sont pas nuls, puisque ils se rapportent aux déplacements tout-à-fait arbitraires qu'il n’est pas permis de confondre avec les déplacements possibles. En les supprimant, on se prive du moyen de déterminer les efforts que supportent les obstacles dont la présence fournit les conditions par lesquelles les termes en question disparaïitraient, si l’on ne considérait que les déplacements possibles, et par suite, la solution du problème serait incomplète.

8. Nous empruntons l'équation générale du mouvement à notre mémoire sur les déplace- ments instantanés cité au commencement de celui-ci **).

En désignant par v, JV NAN par P, P' PP"... les vitesses respeclives des masses m, m,m,m.… à la fin du temps.t, et les forces motrices qui animent ces mêmes

") Mémoires de l’Académie Impériale, tome Il, Bulletin Scientifique, page 4ère. Note sur l’équilibre d’un fil élastique. Lue le 16 mai 1832.

*) Mémoires de l’Académie Impériale, tome III, page 591, l’équation (18). 11 y faut rétablir les facteurs ôs, Ôs’, ds", ôs//".. que l’imprimeur supprima par erreur, et qui représentent ce que nous désignons, dans le mémoire actuel, par de, de’, de//, del.

MÉMOIRE SUR LA THÉORIE GÉNÉRALE DE LA PERCUSSION. 43) 281

x A , , , " 444 masses à la même époque; et en supposant que les déplacements de, de, de , de ,.…. font re- 5 . / 112 1} U 72 (172 spectivement avec les vitesses les angles 6,0 ,6 ,® ,.… et avec les forces les angles @,®,p ,®

l'équation dont il s’agit sera

(on 0 = 2 (P cos de — m Are 3e) + NL + ÀÔL, + RL, + XL +

La caractéristique d, marque une différentiation incomplète, par laquelle en différentiant relativement au temps l'angle ©, pour avoir do, il ne faut point y faire varier la direction de de, mais seulement celle de v; le signe Z s'étend à toutes les masses du système, pour indi- quer la somme de toutes les quantités analogues à celles qui se trouvent sous ce même signe, cette somme est le moment des forces perdues. Les facteurs À; À, À A3, sont des incon- nues qu'on pourra toujours regarder comme ayant des valeurs positives.

Les de de l'équation précédente sont tout-à-fait arbitraires, en sorte que cette équation ne peut avoir lieu à moins que les coefficients des Ôe, chacun en particulier, ne soit zéro.

L’équation (5) sert de base et à la théorie générale du mouvement, et à celle de la per- cussion; nous allons lui donner une autre forme, dans laquelle, ne perdant rien en facilité pour en déduire la dernière, on trouvera plus de commodité dans les applications de la première. Nous regardons la transformation que nous voulons exposer comme un supplément au mé- moire sur les déplacements instantanés.

Remplaçons le terme Le de de l'équation (5) par la différence

d, (v cos w Ôe) Cbs O dûe dt dt”

Nous savons que pour avoir d,w, on ne doit faire varier dans © que la direction de v, nul- lement celle de ds; désignons par d,o la différentielle de © uniquement relative à la variation

de cette dernière direction, point de celle de v, nous aurons évidemment do — d,o + dv, d'où djo — do — d,o ce qui, nous donnera d, (v cos w Ôe) ___ d (v cos w de) De d, cos w dt a dt DRE et par suite d, (v cos v) __ dv cos w Ôe) dôe d, cos w OO op 0 0 COOP CR ou bien di (v cos o) Sc'e d (v cos w Ôe) : d, de cos w dt à dt CT

La différentielle d, est incomplète, en ce que dans d,o on ne doit faire varier que la direction de à, point celle de v.

Revenons aux considérations exposées au commencement de l’art. 4. La vitesse de m, c'est-à-dire du point où commence à, étant v, v-3v sera la vitesse du point final de ë, donc ce point, pendant que m parcourra l’espace ds ou vdt, décrira la droite (v + dv) dt, et comme à la fin du temps t+-dt il se trouvera à la distance ds + dde de m, il s'en suivra que

Mémoires se. math. et phys. T. VI. 36

282 (41 M. OSTROGRADSK Y.

quatre droites infiniment petites vdt, de + ds, de et (v-0v) dt formeront quatre côtés d’un quadrilatère; et par conséquent, la somme des projections, sur une direction quelconque, des deux premiers côtés sera égale à la somme des projections sur la même direction, des deux autres côtés. En prenant pour ligne des projections la direction de v et en désignant par 6 l'angle entre v et v + Ôv, nous aurons

vdt + (de + dde) cos (où + djw) — Ôs cos © + (v + Dv) cos à di

d’où, à cause de (de + dde) cos (o + do) — Ôe cos © + d, (de cos o),

d, (de cos ©) — (v + dv) cos à dt — vdt.

Cette formule nous montre que l’angle 6 doit être infiniment petit ); au reste, il est facile de s’en assurer, donc en remplaçant cos © par l'unité, on trouvera

d, (de cos ©) — vdt ou bien

d, (de cos w&) 7 —\Ô0:

Mais peut-être l'idée, que l'angle & est infiniment petit, ne se laisse pas saisir immédiatement : nous allons l’éclaircir. Par l'extrémité de Se menez une droite de même direction que v et égale à vdt; puis, achevez le quadrilatère. Cette figure ayant deux côtés parallèles, égaux chacun à vdt et se trouvant d’un même côté de Ôe, sera parallélogramme; partant le quatrième côté, que vous venez de mener pour achever la figure, sera parallèle et égal à 0e. Or ce quatrième côté et ÿe + dde, si vous réunissez leurs extrémités, formeront un triangle dont le troisième côté, celui par lequel vous avez réuni les extrémités des deux autres, sera infiniment petit du se- cond ordre, parce que de variant d'une manière continue en grandeur et en direction, l’angle compris entre cette ligne et es + dôe sera infiniment petit. Mais ce troisième côté infiniment petit du second ordre est en même temps le troisième côté d’un autre triangle, ayant (v+-0v) dt et vdt pour ses deux autres côtés ; le dernier étant celui que vous avez mené par l’extrémité de de dans la direction de la vitesse v. L’angle & étant compris entre ces deux côtés, qui sont in- finiment petits du premier ordre, et étant opposé au côté infiniment petit du second ordre, sera

nécessairemeint infiniment petit.

t d, de cos w

Remplaçan ne

par dv, nous aurons

d, (v, cos de) ___ 4 (v cos w de)

di Fe di — vù,

par suite l'équation (5) deviendra

”) Parce que le terme multiplié par dt doit s’en aller, comme incomparable avec la combinaison caracté- ristique do.

MÉMOIRE SUR LA THÉORIE GÉNÉRALE DE LA PERCUSSION. as) 283

(Open SRE LS P coslo Be OL ee À, 81, + à BL + he DL + 2

Cette équation est susceptible d'un énoncé fort simple, mais il faut d'abord examiner la signification de l'expression

AR LD PC PRE CD OL AS CS

qui s’y trouve contenue. / / En mettant pour les ÔL leurs valeurs a cos 0 de + a cos 0 de + … etc. et nous ser- vant du signe sommatoire Z, l'expression dont il s’agit deviendra

Z (ha cos 0 de + Àja, cos O, 3e + À COS On dE + Àjlz COS On dE +...)

elle est donc de même forme que le terme XP cos © à de l'équation (6) dû aux puissances motrices, et par conséquent, elle peut être attribuée aux forces, fictives sans doute, mais dont les valeurs et les directions s'aperçoivent facilement. Celles qu'on doit supposer pour cet objet comme agissant au point m, ont

AG, js Âodoy Aglgyeoe

pour valeurs et coïncident respectivement avec D, D,, D,, D... en directions. Des forces sem- blables doivent être censées appliquées aux auires points du système, et leur ensemble fourni- rait dans l'équation du mouvement le même terme que celui qui se trouve introduit dans l’équa- ion (6) par la présence réelle des liaisons et des obstacles qui gènent le déplacement du sy- stème. Ainsi le mouvement des masses m, m', m’, m'',…. que nous considérons est donné par la même équation que si ces masses étaient absolument libres, c’est-à-dire sans aucune liaison mutuelle, ou obstacle extérieur qui en gènàt le déplacement, pourvu qu'outre les forces re- spectives P, P', P”, P"'.... elles soient encore sollicitées par les puissances que nous venons d'indiquer. Par cette raison, ces dernières s'appellent forces qui remplacent les liaisons du sy- stème, ou simplément, forces de liaison ; la somme

Z (Aa cos O de + }jas cos O1 de + Àû COS Ü) dE + …) ou celle-ci NL + LOL, + LL, + dla + us,

en représente le moment.

Cela posé, l'équation (6) s’énoncera comme il suit:

La variation de la force vive, plus le moment des forces motrices, plus cel des forces de liaison font une dérivée, relative au temps, du moment de la quantité du mouvement du système.

On peut abréger cet énoncé : il suffit de dire:

La variation de la force vive, plus le moment des forces motrices, plus celui des forces de liaison font une dérivée exacte relative au temps.

Il est superflu d'ajouter à quelle quantité se rapporte cette dérivée; car dès qu'on re- garde la somme qu'on vient de nommer comme une dérivée exacte, cette dernière, c’est-à-dire

#

284 (16) M. OSTROGRADSKY.

la dérivée, se rapportera nécessairement au moment de la quantité du mouvement du système, Nous supprimons la démonstration de cette proposition; on y suppléera facilement, car elle n’est que la reproduction, en sens inverse, de la transformation qui nous a conduit de l'équation (5) à l'équation (6).

Avant d'aborder la question principale de notre mémoire, nous indiquerons encore, com- ment l'énoncé qui précède conduira, dans chaque cas, aux équations du mouvement, je ne dirai pas les plus simples, mais à celles qu'on voudra employer. La simplicité et la commodité des équations dépendent d’un choix convenable des coordonnées, qu'on prendra pour fixer la posi- tion du système à chaque instant ; il est impossible de dire rien de général sur cet objet, car à chaque cas particulier répondront les coordonnées qui lui seront les plus propres, mais qui généralement ne se prêteront pas commodément à d'autres cas. La question inverse, c’est-à- dire : après avoir choisi les coordonnées, rechercher les cas qu'elles résolvent avec facilité, pré- sente bien moins de difficultés. Nous aurons en vue cet objet pour le traiter dans l’occasion.

Désignons par Ë, n, 6... les coordonnées que nous voudrons employer, les jugeant les plus propres au système que nous considérons. Introduisons ces coordonnées et dans la somme des moments

ZP cosp de + AÔL + OL, + À ÔL, + …

, et dans la force vive 27° , que, pour abréger, nous désignerons par T. Par cette introduction,

la somme des moments que la forme X dE + F ôn + Z À +

X, Ÿ, Z,... étant fonctions du temps, des coordonnées Ë, n, 6... et renfermant, sous une forme linéaire, les inconnues À, À,, À», 2... en sorte que la formule qui doit être une dérivée

exacte, sera ÔT + XDË + on + ZE +

“

Or, en désignant pour plus de commodité, par Ë”, n, €’... les dérivées _ _ ne nous aurons DT = DE DE D Dm D D te on + On DE DS On + Dr dE + ou bien, en faisant pour abréger aT aT d nt ge = Tres

T=TÉ+T + rs à + piE + qôn + ro + … ou bien encore

ST — < (pdË + qôn + F8 +...) + (a — 4) dE + (& —*) à (T— à) Ge.

dé dt

MÉMOIRE SUR LA THÉORIE GÉNÉRALE DE LA PERCUSSION. 47) 285

Substituant cette valeur dans l'expression qui doit se réduire à une dérivée exacte par rapport au temps, cette expression deviendra

d : dT d T 2 (pdË + qôn + rt +.) + (x+ 4) DE + (+4) Sn + (z+ m4) eh et pour qu’elle soit une dérivée exacte, il est nécessaire que l’on ait

OX +R — D) de (PT — À) On (2 +R — TE) D + (A)

car alors, et seulement alors, l'expression dont il s’agit se réduisant à d - nm (PSS + gôn + rùé + …) sera visiblement la dérivée exacte. Nous aurons donc L (pdË + qôn + rôt + …) = DT + ADE Fôn + ZI +

L'égalité (A) pourrait fournir les équations du mouvement, mais comme elles ne seront pas les plus simples, nous ne nous y arrêterons pas, malgré que cette égalité donne lieu à quel-

ques remarques curieuses. Remplaçons, dans la dernière équation, la dérivée TS (p8Ë + QÙn + rù + …) par l'ex-

pression équivalente

0) (p£ + qn + + ..) + La DE + —< Etes — Ep — nÔg — dr —

et faisons pour abréger nous aurons

ge Li Lin dt Le TT ï ‘de ai DR AE + Pôn + ZE + … — Édp — ndg — E dr — … Chassez de © les dérivées £”, n°, 6’... à l'aide des équations aT aT aT

TA 2 ay — St 0000

et la dernière formule sera l'équation du mouvement sous la forme la plus simple, mais natu- rellement la plus simple pour les coordonnées que vous avez choisies; elle se décomposera et donnera les équations

ce = e + À

dt dE dq ___ do TU — no D d d® Fr — + Z

(CENT

286 (18) M. OSTROGRADSKY.

dë de ; dE, GE Ca do PAT dx; __ d FUN

Remarquez bien que le plus souvent 6 sera égal à la force vive T prise négativement. La solution de la question relative au mouvement du système reviendra à la résolution des dernières équations et de celles-ci

[Le

(2) 0 = AL AE, NORTON NES

9. Supposons qu'à la fin du temps {, des forces motrices, d’une très grande intensité, s'appliquent tout-à-coup au système, mais qu’elles n’agissent que pendant un temps + extrême- ment court; et qu'il arrive, à la même époque, des changements brusques dans les liaisons du système, par la suppression de quelques unes de ces liaisons et par l'établissement d’autres.

Une force motrice d'une très grande intensité et d’une très petite durée porte souvent le nom de force impassive. L'idée d'un pareil effort ne peut présenter rien d'obscur, la dénomi- nation ne change pas la nature de l'objet, et la force impassive est toujours une force motrice ordinaire, c’est-à-dire de ces forces que la mécanique considère, indépendamment de leurs in- tensités et de la durée de leur action.

Mais nous croyons devoir entrer dans quelques explications sur le changement dans les liaisons du système. Nous présenterons d'abord quelques considérations sur les liaisons d’une nature particulière.

Supposons que parmi les quantités Z, L;, L,, L,,... qu'on suppose ne pouvoir pas dimi- nuer, il s’en trouve, et par exemple la première, qui par un effort convenable dimimuerait ; comme le ferait le volume d'un fluide élastique par la pression. Mais la diminution de L exige nécessairement un effort extérieur, ou pour mieux dire, la quantité L, par sa nature, oppose une résistance à sa diminution, mais une résistance qu'on peut vaincre.

On doit avoir égard à une semblabe circonstance, quoique Lagrange ne l’ait point con- sidérée dans sa Mécanique; elle présente un obstacle au déplacement, non invincible à la vérité, mais toujours un obstacle qu’on ne peut pas négliger. La résistance de la quantité L à la dimi- nition fournira un moment AÔL, à ajouter aux moments d’autres forces, de même que si cette quantité ne pouvait pas du tout diminuer. Mais ce dernier cas, c'est-à-dire l'impossibilité que L diminuât, exige encore, comme nous l'avons vu, l'équation dL — 0, laquelle actuellement, que L pourrait diminuer, n'aura pas lieu; elle sera remplacée par l'inégalité

dL < 0.

Vous aurez de même le moment }5L à ajouter aux moments d'autres forces du système, dans le cas où la quantité L ne saurait varier sans effort extérieur, c'est-à-dire ni augmenter ni

MÉMOIRE SUR LA THÉORIE GÉNÉRALE DE LA PERCUSSION. 9) 287

diminuer, mais pouvant céder à un eflort suffisant. Dans ce cas l'équation dL — 0 n'aura pas lieu non plus. .

Cela étant, revenons à notre objet. On sait, par la théorie des forces motrices, que la vitesse ne peut jamais éprouver un changement tout-à-fait brusque, c'est-à-dire ne peut jamais passer tout d'un coup, d’une valeur à une autre sensiblement différente de la première. Ce qu’on appelle ordinairement un changement brusque de vitesse, n’est qu'un changement très rapide, ou très considérable, dans un temps extrêmement court, mais jamais la vitesse ne varie sans le temps. Cela tient à ce que les vitesses ne changent que par des forces motrices ; or les effets de ces dernières, quelle que soit leur nature, satisfont toujours à la loi de la continuité, quoique elles puissent bien elles mêmes s'affranchir de cette loi.

Cela posé, admettez qu'à la fin du temps {, il s’introduit dans le système une liaison consi- stant, par exemple, dans l'impossibilité de la diminution d’une quantité L. Au même instant, les forces motrices changeront brusquement, et leur moment recevra l'accroissement instantané AdL. Mais si les vitesses du système, à la fin de f{, ne sont pas précisément de celles qui satisfont à équation dL — 0, cette équation n'aura pas lieu; vous aurez dL£ << 0. L'hypothèse contraire mènerait à un changement tout-à-fait brusque des vitesses, changement qui est reconnu im- possible. Nous devons en conclure, que les liens physiques par lesquels on chercherait à étabiir tout d’un coup un obstacle absolu à la diminution d'une quantité L, sont impossibles. Cette quantité diminuera donc jusqu'à ce que les vitesses, variant très rapidement, satisfassent à l'équa- tion dL — 0. Ce qui se fera au bout d'un temps extrêmement petit, mais dans cet intervalle de temps, quelque petit qu'il soit, les changements de vitesse, très rapides en général, satisferont nécessairement à la loi de la continuité.

Dès que s’établira l'équation dL — 0, la quantité L aura atteint sa valeur minimum, et l'effet de la percussion, dû à l'introduction de la liaison L — minimum, aura cessé.

La suppression d'une liaison dans le système peut aussi donner lieu à une percussion quand il y avait de très grands efforts pour violer la liaison dont il s'agit, ce qui arrivera sur- tout dans le cas des forces impulsives,

Remarquez en passant, que si vous considérez le mouvemement du système à partir des données initiales, il faut que ces données satisfassent aux liaisons du système, autrement, vous aurez une percussion à l’origine du mouvement.

L'équation

dE 2 (6) -7 mv cosoëe — à 2

+ EP cospôe + AÔL + AOL, + LL, + XL +

s’appliquera à chaque instant du temps +, supposé très petit, qui suit les changements opérés dans le système, pourvu que, parmi les forces du système, on compte celles qui viennent de s'y appliquer, et parmi les liaisons, celles qui viennent de s’y introduire, et qu'on rejette les liaisons qui ont cessé de gêner le système.

À cause que la valeur du temps + est extrêmement petite, on peut supposer que les masses m,m,m',m,... ne Se déplacent qu'insensiblement pendant la durée de ce temps; et

288 (20) M. OSTROGRADSKY.,

par suite, tout ce qui dépendra de la position du système peut être regardé comme n’ayant pas varié, dans ce même intervalle de temps. Ainsi les déplacements ôe, de’, de”, Se”... les angles qu’ils font avec les directions représentées par les D, munis d'accents et de numéros, les coeffi- cients a contenus dans les différentielles ÔL, ÔL,, ÔL,, dL,,..., ces différentielles elles mêmes peuvent être traités comme invariables de t à { + +.

Cela posé, considérons la variation

Ô Emv? sn — 2MUOU 2 de la force vive. Nous avons vu que Sn Lee d, (Ôe cos w) : dt

où d,, comme on s’en souvient sans doute, indique une différentielle par laquelle on ne doit faire varier l’angle w, qu’en tant que varie la direction de de; ainsi, la différentielle d, (de coso) ne se rapporte point à la variabilité de v, mais uniquement à celle de de, or le déplacement 3e étant sensiblement invariable, nous aurons d, (de cos ©) — 0, c'est-à-dire dv — 0, ce qui

réduit l'équation (7) à celle-ci _ Zmv cos ds — EP cos pôe + AÔL + AOL, + LOL, + XÔLs +

Remarquez bien que cette dernière serait entièrement exacte, si les de ne variaient point avec

le temps ni en grandeur ni en direction.

Examinons maintenant ce qui arriverait au système, si à la fin du temps f{, ou au com- mencement de +, toutes les liaisons et obstacles fussent supprimés, mais que les mêmes forces motrices, précisément les mêmes, continuassent d'agir pendant la durée de +. Il est clair que la dernière équation s’appliquerait à cette hypothèse pourvu qu'on y supprime le terme

PES AU MACRO Are VAT da 2 MN

dépendant de liaisons et d'obstacles qu'on suppose n'avoir plus lieu, et qu’on y représente les vitesses par des lettres différentes de v; mais, pour ce qui régarde la somme Z P cos o à, elle sera commune au système réel et à l'hypothèse que nous examinons.

Ainsi, en désignant par u, u!, ue et par ©, c,o,ao.…. les vitesses qu'auraient respectivement les masses m, m',m, Te en les supposant absolument libres de toute liaison ou obstacle, mais sollicitées par les forces P, et les angles que ces vitesses feraient respective-

ment avec les Ôe, nous aurons

d + 2mu coso e — 2 P cos à.

Remplaçant dans l'équation relative au système réel, le terme ZP cos àe par sa valeur pré-

cédente, 1l viendra

= Zmv coso de — + Emu cos o + NL + AOL, + XÔL, + A ÔLs +

MÉMOIRE SUR LA THÉORIE GÉNÉRALE DE LA PERCUSSION. 21) 289

Multipliant par dt, intégrant par rapport au temps depuis sa valeur t jusqu'à t-Ë, Ë étant un temps plus petit ou égal à +, et faisant attention à ce que, à l'origine de ce temps, les vitesses v coïncident respectivement, en grandeur et direction, avec les vitesses w, nous aurons

ne Dee tHÉ Zmv coso de — ZE mu cos a de + ÔL/ dt + ÔL, /'\dt + ÔL, / dt + …, la d 4

ou bien, en faisant pour abréger Hé té tré té JM = V, JM —)) " Xdt + y, h = Nine

7 Z mv coso de — Æ mu cos o de + vdL + VÈL, + VÔL, + VOL, + 3

C'est l'équation générale relative à la théorie de la percussion.

10. Dans la théorie des forces motrices, on suppose connue l’action la plus simple de ces forces, celle qu'elles produiraient, si elles ne variaient point, sur des masses isolées, et l’on en déduit leurs effets dans le cas le plus compliqué, quelle que soit leur nature et celle du sy- stème contre lequel elles s’exercent. De même, dans la théorie de la percussion, on doit re- garder comme connus et donnés les eflets les plus simples des forces impulsives, et chercher à y ramener tous les autres effets, quelles que soient les impulsions et le système qui les reçoit. Or, comme pour les forces motrices ordinaires, rien n’est plus simple pour les impulsions que leurs effets sur des points isolés, c'est donc cet effet que nous supposerons connu dans la théorie de la percussion. Il y a même à remarquer une plus grande simplicité dans cette théorie, relative- ment à celle des forces motrices; c'est que l'effet des forces motrices qu'on regarde comme le plus simple, est non seulement celui qui en résulterait sur une masse isolée, mais il faut encore admettre que la force même que l’on considère, ne varie point. Or une semblable hypothèse est superflue pour la percussion, n'importe que la force impulsive varie ou non, il suffit que l'on connaisse son effet total sur un point isolé, c'est-à-dire celui qu'elle produirait pendant toute la durée, supposée extrêmement petite, de son action.

Cet effet, appelé percussion, ne consiste qu'en un changement brusque, ou plutôt très ra- pide de la vitesse; il faut que ce changement, ou bien la vitesse totale, composée de celle qui avait lieu au commencement de l’impulsion et de celle que l'impulsion a fait acquérir, soit connue pour chaque masse du système.

Ainsi dans l'équation (7) nous pouvons considérer comme données les vitesses u,u ,u',u”,...: elles sont les résultantes respectives des vitesses initiales qui animent le système immédiate- ment avant l'impulsion, et des vitesses que les forces impulsives auraient fait acquérir aux masses m,m,m, mm"... dans l'hypothèse que celles-ci soient isolées, c'est-à-dire sans liaisons mutuelles ni obstacles. Il s’agit de trouver ce que deviendront les vitesses initiales, par l'effet des mêmes impulsions agissant sur les mêmes masses m, m, m', m',…., mais en supposant que ces dernières forment un système assujetti à des liaisons quelconques et gêné par des ob- stacles extérieurs. Les vitesses dont il s'agit sont celles que les masses du système auront après la percussion ; elles sont représentées par v, v', v’, v,.. dans les équations (2) et (7).

Mémoires sc. math. et phys. T. VI. 37

290 (22) M. OSTROGRADSK y.

Nous avons déja vu que parmi les équations (7) il peut y avoir qui ne s’établissent qu’à la fin de la percussion, ou à la fin du temps t; par cette raison, malgré que l'équation (7) subsiste à chaque instant de +, il serait impossible de déterminer les vitesses qu’auraient les masses m,m',m,m ,….. avant la fin de la percussion, car quelques unes des équations (2) faisant défaut, nous n’aurons pas assez de données pour fixer les valeurs des vitesses dont il s’agit. Nous ne nous occuperons que des vitesses à la fin de la percussion, c’est-à-dire au mo- ment où seront établies toutes les équations (2), alors en réunissant ces équations à la formule (7), où l’on fera £ — 7, on aura tout ce qui est nécessaire pour la solution complète de la question.

Si l'on voulait avoir, non les vitesses totales v, v’, v’, 0", composées des vitesses ini- tiales et de celles que la percussion produit, mais seulement ces dernières vitesses, les équa- tions (2) et (7) sont également propres à les fournir. En effet, désignons par B, V et U les vi- tesses pour la masse m : initiale, qui précède immédiatement la percussion, celle qui est due à la seule percussion, laquelle composée avec 6 donnerait v et qui est l’objet de la question, et enfin celle qui serait produite par la force impulsive, agissant sur la masse m, en supposant cette dernière libre et isolée; composée avec $ elle donnerait la vitesse u.

Les mêmes lettres 8, V et U, convenablement accentuées, représenteront les vitesses ana- logues pour les autres masses m', m’, m'’,.... du système.

Nous avons, par la composition des vitesses,

v cos® — B cosy + V cosn u CoSG — $ cos y + UÙ cos;

les lettres y, n et € désignent les angles que les vitesses 8, V et U font avec dc; des accents convenablement appliqués rapporteront les mêmes lettres aux vitesses des masses m',m',m",…. et aux directions de 5e’, de”, DEN? Us

En substituant dans la formule (7) les valeurs précédentes de v cos o et de uw coso, et supprimant les termes qui s’entredétruisent, nous trouverons

(8) ZmV cos nde — ZmU cos Éde + VdL + vÔL, + VÔL, + VÔL, +

Il faut aussi remplacer dans les équations (2) les vitesses v par leurs valeurs en 8 et . Prenons une de ces équations, la première par exemple, dL — 0 ou

Zav cos a + T = 0

la lettre &« y désigne l'angle que v fait avec une direction D, et comme

v cosa — V cos DV + $ cos DB,

il en viendra en substiluant,

Di SaV cos DV + Za$ cos DB + T

MÉMOIRE SUR LA THÉORIE GÉNÉRALE DE LA PERCUSSION. (23) 291

ou bien, en faisant pour abréger Zaf cos DB + T = TI, 0=, 3} cos DV + IT Nous nous servons de la notation généralement reçue, par laquelle l'angle que font entre

te

elles deux directions quelconques a et b, est désigné par ab. Toutes les équations (2), de même que la première, fournissant par les substitutions ana- logues, des résultats semblables, nous aurons ZaV cos DV + I — 0 Za, V cos D,V + II, — 0 (9) Za,V cos D,V + IL, — 0 Za;V cos D,V + II, — 0

Pour abréger, on a supposé Z af cos DB + T =II 528 cos DB + T, =, (40) Za.f cos DS + T, = 5a8 cos DS + Ts = Il,

Il convient maintenant de distinguer deux espèces de liaisons : celles qui avaient lieu avant l'introduction des forces impulsives, ou avant la percussion, et qui subsistent pendant leur action, et celles qui s'établissent à la fin du temps t, c’est-à-dire au moment même où la percussion commence, et qui en sont une des causes. Si par exemple dL — 0, ou

0 — Zav cos a + T — ZaV cos DV + IT se rapportait à une liaison de la première espèce, la quantité IT, savoir Zaÿ cos DS + T

serait zéro ; car les B, étant les vitesses effectives à la fin du temps t, satisferont nécessairement à l'équation 0 — Zaÿ cos DB + T = IT,

qui est une de celles qui déterminent ces mêmes vitesses. Mais si dL — 0 ou

0 — Zav cosa + T — ZaV DIE Il

292 (24 M. OSTROGRADSKY.:

se rapportait à une liaison établie au moment même quand la percussion commence, la quantité IT, ou Le Zaÿ cos DS + T, ne serait pas zéro.

Ainsi l’on supprimera les quantités IT, comme égales à zéro, dans celles des équations (9) qui se rapportent aux liaisons établies avant la fin du temps {, mais on conservera ces quan- tités dans les équations qui répondent aux liaisons introduites au commencement, ou pendant la percussion. Nous l'avons déjà dit et nous le répéterons, que ces dernières équations ne s’éta- blissent que vers la fin de la percussion, quand auront cessé les changements brusques des vi- tesses, changements produits par les liaisons qui donnent naissance à ces mêmes équations.

Les équations (8) et (9) serviront à déterminer les vitesses V dues uniquement à la per- cussion, c'est-à-dire qu'elles fourniront les variations brusques des vitesses, produites par les forces impulsives et le changement dans les liaisons, sans y comprendre les vitesses $ anté- rieures à la percussion. Ces équations sont tout-à-fait semblables aux formules (7) et (2) qui renferment les vitesses totales v composées de $ et de V. Nous ne nous occuperons que de ces dernières formules, et quand on en aura tiré les inconnues v, on en déduira les vitesses V par le simple changement respectif de « et T'en U et IT.

11. Chaque vitesse vw, pour être déterminée en grandeur et direction, demande qu'on en sache trois projections sur trois directions connues, non parallèles à un même plan; ainsi, il se représente trois inconnues par vitesse; de cette manière, n désignant le nombre des masses m,m,m,m'.…. donc aussi celui des vitesses v, v’, v”, v”,.., nous avons 3n inconnues à trouver. Mais en outre, l'équation (7) renferme d'autres inconnues, savoir les quantités v; il y en a autant que d'équations (2). Désignant par f le nombre de ces dernières, il se présentera en tout 3n+- f inconnues. Pour les équations qui les déterminent, nous venons d'en compter f formules (2), puis l'équation (7), renfermant les quantités arbitraires de, se décomposera en plusieurs équations ; il s’agit d'en connaître le nombre.

En égalant entre eux les coefficients des de dans les deux membres de l'équation (7), on aura n formules, puisque il y en a autant de Ôs; or chacune de ces formules se rapportant à une direction absolument arbitraire, à celle de de correspondant, fournira une infinité d'équa- tions, quand on prendra successivement différentes directions à volonté pour celles de ds. Mais il est facile de s'assurer, et on le sait d’ailleurs, que si l’on fait coïncider la direction d'un Ôe, successivement avec trois directions, non parallèles à un même plan, les trois équations qui en résulteront renfermeront toutes celles qu'on obtiendra par toutes les autres hypothèses sur la direction de ce même de. Ainsi chacune des » formules qu'on obtiendra en égalant entre eux les coefficients des de dans l'équation (7), ne fournissant que trois équations distinctes, nous pouvons, au lieu de (7), compter 3n équations ; en y ajoutant f formules (2), il y aura en tout 3n + f équations, c'est-à-dire autant que d’inconnues.

La détermination de ces inconnues est singulièrement facilitée par la forme des équations qui les déterminent. En effet, en égalant entre eux les coefficients des de, dans les deux mem-

MÉMOIRE SUR LA THÉORIE GÉNÉRALE DE LA PERCUSSION. 23) 293

bres de l’équation (7), vous exprimerez immédiatement les projections des vitesses v, sur les directions à volonté par les inconnues v, chassez ensuite des formules (2) les projections des vitesses, en les y remplaçant par leurs valeurs en v; et vous obtiendrez f équations qui ne renfermeront que f inconnues v; la résolution de ces équations vous fournira les y, puis ayant ces inconnues, vous aurez les projections des vitesses v sur les directions à volonté, donc aussi les vitesses elles mêmes, par la simple substitution des valeurs des v dans les expressions des projections dont il s’agit. Ainsi, à proprement parler, au lieu des 3n + f équations qui renfer- ment 3n + f inconnues, nous n’aurons que f équations à f inconnues v à résoudre.

On obtiendra ces dernières équations encore plus facilement que nous ne venons de le dire, en s’y prenant ainsi qu'il suit.

Ecrivez les équations (2) sous cette forme très commode pour note objet :

Pn Zav cos Do + T

he

Zayw cos D,v + T,

(2) Za,v cos D,v + T,

Za;v cos Do + T, —

|

0 0 0 0

Puis, attribuez aux de des valeurs, successives et simultanées, par lesquelles le premier membre Zmv cos «de de la formule (7) coïncidera successivement avec chacune des f sommes X contenues dans les équations qu'on vient d'écrire; si, enfin, vous remplacez les Z ainsi intro- duits dans la formule (7) par les T pris négativement, vous aurez f équations qui ne renfer- meront que les inconnues v et qu'il s'agissait d'obtenir.

Remarquez bien que dans la formule (7) vous pouvez attribuer aux variations e des va- leurs finies, car un facteur commun qui les rendrait infiniment petites, s’en irait de lui même de cette formule.

he

Pour faire coïncider Zmv cos wde avec la somme Za;v cos D,v, où sont comprises toutes

444

, » ° « , Q » EE 0 , / celles qu'on a écrites tout-à-l’heure, il n’y a qu’à attribuer aux déplacements Ôe, de’, de”, de”... . . . [A I 444 , A e les directions respectives D, D, , D; , D; ,.…. et supposer que ces déplacements mêmes soient respectivement proportionnels ou même égaux, d'après la remarque qu’on vient de faire, aux quantités

ax) az ay/ ap!

en ter eee 1 gr 17 FC ! nv! nv!

mm Cette hypothèse donne Zmv cos we — Zayv cos Dyv — — T, Zmu cos ds — Eau cos Dyu

LS PA, re 11,1 sn TAN > ajax, Aj ax DE? aÿ'aZ Th" @j à np ÔL, — ee COS DD, ve cos D, D, + mn COSD, D, + <= cos D, D, + …

29% (26) M. OSTROGRADSKY.

dans le cas de ? — k az? az!? a LL, = + +k, m m m

et l'équation (7), en faisant

re 72

2 S 11 ns UDUZ a;az a;'az! ES A PC FU eE ae nr (11) À; à = cos DD, +“ cos D, D; + cos D, D; + “#7 cosD, D, +.

m

ou pour abréger

(41) 4,3 = 2 %E cos DD, (12) A3 = 2%, deviendra .

0 — T, + Zaju cos Du + À, —+- À, x, + À, pV, + À, }V, + …

ou bien, en supposant

(13) Zayu cos Dyu + T, — — X,, (14) A, + A, 3), + À, + 2, + +. App it

Le n° k est susceptible de toutes les valeurs 0, 1, 2, 3,.... f — 1, la lettre f désignant toujours le nombre des liaisons du système ou celui des quantités v. 12. En différentiant la valeur précédente de X} relativement à v,, nous aurons

ax} dv; Fa À, k

et si nous eussions différentié, par rapport à v,, la valeur de X;, valeur qu'on trouverait en remplaçant & par & dans l'équation (14), nous aurions eu

2x dYx VE 4,

or d’après la formule (11) on a visiblement

À, } Fe À} CU donc

AXE __ dX,

dy — dy?

il en résulte que la formule

4

Xdy + Ad, + Ad, +. X,, d,_ est une différentielle exacte, et comme les coefficients X font fonctions homogènes des variables v, d’une seule dimension, une intégrale de cette différentielle sera

À, + Xi + Xe Ho + Xp fr RARE RE Ti 0 SR AE e

MÉMOIRE SUR LA THÉORIE GÉNÉRALE DE LA PERCUSSION. 27) 295

En désignant par © l'intégrale dont il s’agit, vous aurez l'équation

do (14) = x, que nous marquons du n° (14) car elle revient à celle qui porte déjà ce n°. Bien entendu que les X dans © doivent être remplacés par leurs valeurs en v, v,, v,,.… v._,

En différentiant l'équation (15) À + Av, + Av, + + À, v,_, = 20 vous avez

Xdy + Xdy, + Xdy, +... + vdX + v,dX, + VX, +. — 240 mais Xd + X,dy, + Ad, +... + X,_: dy,_à — d0 donc aussi

VAX + v,AX, + VAX, +... + V_ ax,_, — dO et par suite, en considérant @ comme fonction des seules quantités X, vous aurez 200 # — dX4

De cette manière, on trouverait de suite les inconnues », si l’on connaissait 6 en fonction des X. Mais comme la détermination dont il s’agit de © ne présente pas plus de facilité que la résolution des équations (14) qui déterminent les y, nous allons procédér à cette dernière.

Désignons par À les déterminants des f? quantités

À, À, À, 6 À, PR Re f—1,0

À, À, À, y À, A É f—11

An Ajp App Ai ce... fre

À, A, 3 À, 3 À, à Lt f—

dogs Age Apr dopun eee Apte en changeant dans ce déterminant les coefficients

À} v Az y A} Ay 3 CCC ee À;

de l'iuconnue v, dans les équations (14), respectivement en

XX 2%, À, 00.009 ee © e À; on aura la valeur du produit Ay,. Or A étant fonction homogène d’une seule dimension des

coefficients dont il s’agit, nous aurons par la propriété de cette espèce de fonctions dA A —= ;, u À} E

+ ga + ge A, + À 2 dAgn dApg 2 Apps hf

296 (28) M. OSTROGRADSKY.

et comme de plus À est fonction entière des coefficients A} Az A} A} .......... App;

les dérivées partielles de A, relatives à ces mêmes coefficients, n’en dépendront point, on aura donc dA dA GARE dA A —= des X + dApà À; dApz X Hossose dpi À; La déduction qui précède serait exacte si les quantités À étaient indépendantes entre elles, mais comme elles sont liées par la condition

Ai = À;

à laquelle, afin de simplifier, on aura égard en formant le déterminant A, il s’en suit qu’en différentiant ce déterminant par rapport à une quantité À; ps on fera varier en même temps A;,, ce qu'on ne suppose point dans l'expression du produit Av,. Il faut donc pouvoir ex- primer les dérivées de A, prises dans l'hypothèse de l'indépendance entre les coefficients À, par celles où l’on présuppose la relation Aix = À;

Nous entourerons de parenthèses les dérivées relatives à la première hypothèse, afin que

la notation ordinaire se rapporte à ce qui a lieu réellement; en conséquence, nous écrirons

dA dA dd + dA AY} == (4) 2e == () X, TT dApz X © EGOËE = x)

Nous avons d’abord évidemment dA dk)”

COPIER À CNE dApÿ \dApi

or on sait par le mode de composition du déterminant À, que les coefficients de 4,, et de 4,;

dans sa valeur, ou les dérivées partielles dA dA LEP NET

sont les déterminants, la première des (f—1) quantités

1,0? À, eloie ekoln els Aus, 0° A0 0 A;_,, À, v À, y» GOT CCE CRC Aj_ Ag v eee Ap_;; 2:22 ee... ee PAR Ayo 0e. e < f—12

eee 0 ee 00 0 ee 00 0e 00e 0 ee © © © © « eo

A À, Aig_pesseeee Ap_,; y Ai PT 3 LC Ap_ni A A 1e REA

9990 0 000 0 000 0 0 0 0 0 0 00e 0 ee ee

0, —1?

0,41? À jo 2,2+1° ° CRE D Anne fi

À, fr À, fo A pr: SALK IEC C Apr Apr LT RS A,_,f

et la seconde, des (f—1) quantités

MÉMOIRE SUR LA THÉORIE GÉNÉRALE DE LA PERCUSSION. (29) 297

À, 0 À, » À, .. ee À;_ 0 À, 410 + A_,0 A A hp Co pu, A ne de A or cure nd, À, 3 A, 3_v A, eee À;_;7_v À, 4, ee ee A3 À, 3 Air A 44 NP Ce À; 140 À ,1844 vote fs À, pv À, pv À, p_4 . ee À; fr A, ee e Apr mais eu égard à la relation A} = À;

les deux systèmes des quantités qui précèdent, et dont sont formés les deux déterminants dont il s'agit, se trouvent être identiques; chaque série horizontale de la première étant remplacée par la colonne verticale correspondante de la seconde. Ainsi par exemple la troisième série

À A À, » . ee A» A} . ee A2

0,2 ea1r22 du premier système, et la troisième colonne verticale

A A nca AE A 4

202,1 DA) ere of

du second, en transportant les indices d'après l'équation

A}; = À; 3» deviendront identiques; et comme il est facile de s'assurer de plus, que les termes égaux de deux déterminants sont affectés des mêmes signes dans la valeur de À, il s’ensuivra visiblement

»v

que les déterminants en question, ou les dérivées partielles

dA 4 (4 e- ax) sont égales entre elles, et par suite

DA Ne Pan | à +4 dÀ dApi)] — \d4;x) — ? d4yÿ

Mais il faut en excepter le cas de l'égalité des indices 2 et k, pour lequel on aura dA \ __ dA dApx) — dAxg

À, — A;

?

car dans ce cas, l'équation

par sa nature, ne fournira aucune relation, et par suite elle sera sans influence sur la dérivée de À par rapport à 4,.,. Ainsi nous aurons, À étant simplifié par la relation

4,5 — À;p dA dA dA dA aA, (16) 2Av, == ET X + dl À, e ap X, ke 2 LA X} Ho dpi 2

Mémoires sc. math. et phys. T. VI. 38

298 (30) M. OSTROGRADSKY.

En donnant à k les valeurs successives 0, 1, 2, 3, …. f—1, vous aurez tous les v, et par suite vous trouverez

À + À, + X», He + À ee

ou 26, vous aurez

Arno 4 d'age PEN ai de 2 dAf_ypn 11 TUN2A dA dA dA + AG XX, + me Ft Te XX +.... + es XX}

cela étant, l'équation (7) deviendra

(18) Zmv cos w de — Emu cos a ds + Se dL + x. ÔL, + ra ÔL, +. + ET

Sous cette forme elle ne renferme d'inconnues que les v, dont elle fournira de suite les valeurs. En effet, en égalant entre eux les coeficients des Se dans les deux membres de l’équa- tion, on trouvera les formules

s

MU COSO — MU COS GC + € 2 cos era ® cos 0 +4 os Q = U ii 1 4x, 1 2 x, o ac 0 as, FT PS cos Ü,_, mov mcoso = tmaullcosio ter dre cos Ge cos 0, +-a qe (AN ee ne == im ï —+- 2 1X, OS + a de cosO” 19 nee ES fe ES 1 PA a cos 0! + a D ue 0, COS © — MU COSC + 0 mx, ; 2 ax, CS lp + a 9 cos 0” 4 f—1 dXf_ (— # tr or pr DTA] 72 rr (anus rrr dO 722 d® rer m'v "cos®” — mu" cos + a " cos® —— COS, a, 7 COS, +. da da 2 aX, a 4 cos O0” f—1 aXp_, =

+%

0000 00 0 0 00 00 0 0 0 0 0 0 000 Se 0 0 0 ee ee eo

. . Otle , vo, nu 1! 42 12 qui fourniront non seulement les quantités du mouvement cherchées mv, mv,mvo,m v ….

mais aussi leurs projections sur des directions quelconques, ce qui présente une solution com- plète de la question. Il est à remarquer dans les valeurs précédentes des projections

AU , CA 1 TZ) "1? mr CoOSO, MT COSO, MU COSO,M D COSOQ perse

-

que les forces impulsives, ainsi que les liaisons du système, y fournissent les termes de même forme, que i chacune de ces causes agissait seule indépendamment des autres; mais nous ne parlons que de la forme, et non de la valeur des termes dont il s’agit, ces dernières dépendent de l'action simultanée de toutes les causes.

Nous allons terminer le mémoire par quelques remarques relatives à la force vive après la percussion, et par quelques relations entre les quantités qui intéressent la question.

MÉMOIRE SUR LA THÉORIE GÉNÉRALE DE LA PERCUSSION. - (31) 299

13. Supposons que les directions arbitraires, auxquelles se rapportent tous les angles

A , ed Q A 1 dans les équations (19), coïncident FSPECOVEtIeRl avec celles des vitesses v, v', v', v”’,... nous

D [2 NII . aurons pour les quantités du mouvement mw, mo, mo, m'v,…. les valeurs suivantes

hs te 2 do d® de MD — MU COS UÙV + € ax cos Do RTE cos Do AU pe cos D,v +... 1 2 + a de cos D, v f—1 aXf_ f. 1 ‘19 "7 T1 r dO Tr r d® TT 9 , 48 FT MO —=MU COUT +A ax cos Dv + 4, 2x, COS D,v SR cos D ,v + 1 2 ue 4e cos D 4 v [—1 dXf_ f—1 un mn T1 r dO nr d@ CA r d9 TT MU MU COUV HA 3 cos Dr” + 4, 2x cos D, VRI- G} ax, CS D, v + 1 2 a MER co Die À f—1 dxp_, éd "0 11! DID TANT "r dO M1 "r do TOM m1 dO 177) MO MU COUT HA cos D v NU ax, CSD, v + & COS DANONE z- 1 2 77] d® Tnt //] + a D

rs ur cos

20. ee e © © © © © © © © © © © © © © © © © © © © » © © © © © © © 0e © © © © © 0e 0e © © © © © © © © © © © © © © © + + + © + + + « +

. Q , . , , 1, 11/4 . e . En multipliant les Hs respectivement par v, v, v , v .…. et ajoutant ensemble, il viendra

d® Emo? — ZEmuv COS uv + © Eav cos Do + — SL ® Sao cos Dv + — 1%, Za,v cos Dp noce se

F 2a,_ Ÿ COS D,_v ou bien, en _. les sommes he he

hs he Zav cos Do, Za,v cos D, Za,v cos D,v,.... Za,_,0 cos D;_,v

par leurs valeurs fournies par les équations (2), et faisant pour abréger

de d® de do BORD ENT, oi T, — ax, ee + PT men y (21) ZEmv* — Zmuv cosuo — D

Cette dernière équation résulterait sur le champ de la formule (18) en y faisant coïn- cider, en grandeurs et en directions, les de respectivement avec vdt. La même formule (18), en y faisant coïncider les de en grandeurs et directions respectivement avec wdt, sous donnera

ZEmuv cosuv — Zmu? + T Eau cos Du + À Eau cos Du + À Za,u cos Du +. “ie, 1

en Za/ _ju COS D,_u

ou bien, remplaçant les sommes

300 (32) M. OSTROGRADSKY.

hs he Ltd ht

Zau cos Du, Za,u cos Du, Za,u cos Du, …. Za_,u cos D;_,u par leurs valeurs que fournissent les équations (13),

Emuv cosuv — Xmu? — 20 — D,

Les équations (21) et (22) donnent

PB — Emo (u cosub — v)

20 + P — Emu (u — y cos uv)

O + P — 1 Zmw — 1 Emv° O — 1 Zm (u? + vd — 2uv cos ue)

Décomposons la vitesse u en deux vitesses, dont l’une soit v, et l’autre nous la désigne- rons par w, nous aurons par la composition des vitesses.

he ah U COS UD — D — W COS VW Pt Fe 2 U — Ù COSUD — W COS UW U? + 0 — Duv cos uv — w et par suite hs P — Zmvw cos vw (23) pis 20 + ® — ZXmuw cos uw 6 + P — 1 Em — 1 Zmv° (24) 6 — 1 Zmw°

Remarquez bien que s’il n’y avait pas de liaisons entre les points du système, la vitesse de la masse m à la fin de la percussion serait u, ou ce qui revient au même, le point m aurait deux vitesses simultanées v et w, or réellement il n’en reste que la première, donc par les liai- sons du système m, perd la vitesse w, par cette raison cette vitesse porte le nom de vétesse perdue. Or la dernière des équations (24) nous montre que la quantité 6, qui joue un si grand rôle dans la théorie de la percussion, n’est autre chose que la force vive du système, due aux vitesses perdues, Et nous voyons, par la première de ces mêmes équations, que @ + ® repré- sente la force vive perdue par le système à cause des liaisons, car sans les liaisons le système aurait pour force vive 1 Zmu”, et comme il ne lui en reste que 1 Zmv* la différence

1 Zmuw° — 1 Zmv’,

LI

ou la quantité 6 + ® qui lui est égale, représentera visiblement la force vive perdue. Aïnsi cette force et la force vive due aux vitesses perdues, exprimée comme on vient de le voir par la seule quantité 6, diffèrent entre elles par la quantite ®. Elles seraient donc égales entre elles

MÉMOIRE SUR LA THÉORIE GÉNÉRALE DE LA PERCUSSION. (33) 301

dans le cas particulier où ® disparaîtrait; ce qui arriverait si les conditions des déplacements possibles ne renfermaient pas les termes Tdt, proportionnels à l'élément du temps; car tous les T étant zéro, il est visible par l'équation

d®

d® 4 do (21) P=TS+T + T Hs + ae

1 ax, 2 4x, que ® le sera aussi. Dans ce cas particulier la force vive perdue et la force vive due aux

vitesses perdues, auront une valeur commune ©. Dans le cas de ® — 0 l'équation (22), en y remplaçant @ par ! Zmw”, deviendra

(25) À Zmu — 1 Emv° — 1 Zmw*.

L'égalité précédente entre les deux espèces des forces vives renferme, comme un cas particulier, le célèbre théorème de Carnot sur la perte des forces vives dans le choc des corps durs. En effet, vous comprendrez le cas du choc de ces corps, en admettant qu'il n’y ait point de forces impulsives, et que la percussion vient uniquement du changement dans les liaisons du système ; car le choc dont il s’agit n'arrive que par l'établissement subit des liaisons entre les corps au moment où ils commencent à se toucher. L'absence des forces impulsives réduira les vitesses u à celles qui avaient lieu avant la percussion ou le choc, et que nous avons désignées par les 8. Cela étant, la dernière équation deviendra

1 Zmf — 1 Zmv° — 1 Emw.

On en conclura que dans le choc des corps durs, il se fait une perte de force vive, égale à la force vive que l’ensemble de ces mêmes corps aurait, si chacun était animé de la vitesse qu'il a perdue par le choc : c'est en quoi consiste le théorème de Carnot.

14. Par une analyse tout-à-fait semblable à celle qui précède nous pouvons comparer la percussion que notre système éprouve à celle qu'il éprouverait s’il était délivré, non de toutes, mais d'une partie des liaisons qui le gênent. Nous allons dire quelques mots sur cet important objet. |

Supposons que les liaisons dont les expressions algébriques dépendent des quantités L,, TES L,_, soient supprimées, mais que les autres liaisons, auxquelles répondent les quantités Z, L,, L,,.…. L, libéré, ce que v, © et v représentent respectivement pour le système chargé de la totalité des

_, demeurent, et désignons par V, @ et p, pour le système ainsi

liaisons. La lettre g est un entier plus petit que f. Nous aurons

ZmV cos QÙe — mu cos où + RÔL + pÔL, + pÔL, +... Be, OL

hui retranchant cette équation de la formule (7) il vient

Zmv cos ode —

ZmV cos Q$e + (—) SL + (v,—y,) dL, + (v,—p,) dE, + + (v

ÔL + Y_. OL LE ea +

de VOL, ar Ve LA L+2 +2

302 (3% M. OSTROGRADSKY.

Cette relation, tout à fait semblable à la formule (7), peut être traitée comme l'a été cette dernière ; nous allons en tirer quelques conséquences. Faisons coïncider les de, en grandeurs et directions, d'abord avec vdt, puis avec Vdt, nous

aurons, en supposant pour abréger

et en supprimant le facteur commun dt,

Em? — ZEmvV or — D + P

ZmvV cos oV Æ ZmV? + (v—y) ZaV cos DV + (v,—g,) Za,V cos D,V+.....(v,_,—p,_,) 3a,_,V cos D, ,V

Verte VCOSD,., V+..v,_, 2Za,_, V cos D;_

v..

+ v, 24, V cos D,V + : Or les vitesses V satisfaisant aux g premières des équations (2), nous pouvons remplacer les

sommes

he

ZaV cos DV, Za,V cos D,V, ZGa,V cos D,V, .…. 2a,._,V cos D)

respectivement par

— fi — T,, ee T'; 00: ral Lis, et si, de plus, on suppose RAT NA 20 1 es Me ë LE C4 ë Za,.,,V cos D,.,,V Lui loi

2440 cos D,.,,V +- 1 — 1,

Za,_,V cos D,_,V Here Fr,

et qu’on fasse pour abréger

A ET, + Nr) fur DSC PP + v_,},_, = 20

on réduira la dernière équation à celle-ci

SV or SAVE NO D D

Les équations

(26) co — XmoV coso0V — D + D EmvoV cos0V — EmV? — 26 — D + D ont la même forme que les équations (17) et (18) et l'on en déduira des conclusions semblables. En les ajoutant, on aura la différence des forces vives

MÉMOIRE SUR LA THÉORIE GÉNÉRALE DE LA PERCUSSION. 33) 303 / (4 1 EmV? — 1 Zm° = 0 + D — ©, et en retranchant l’une de l’autre il vient ar ( 1 Zm (V? + 0° — 2vV cosvŸ) = 6.

Or si l’on décompose la vitesse V en v et une autre composante w, on aura w? — V? + 0? — 2v0V cosvV et par suite (27) 1 Zmuw? — 6 et (28) 1 ZmV? — 1 Emo? — 1 Emw? + D — D.

Les vitesses w sont visiblement celles que perdent les points du système aux vitesses v, relativement aux points du système aux vitesses V, à cause de ces obstacles qui gênent le premier des deux systèmes et qui laissent libre le second. Aïnsi l'équation (27) donne la force vive due aux vitesses perdues, et l'équation (28) fournit la différence qu'il y a entre la force vive perdue, représentée par

1 ZEmV? — 1 Zmv°

et la force vive 1 Zmw° due aux vitesses perdues. La différence dont il s’agit disparaîtrait dans le cas particulier, quand les conditions des déplacements possibles ne renfermeraient pas les “termes 7dt proportionnels à l'élément dt du temps, car alors les quantités ® et @ seraient zéro toutes les deux, et par suite il viendrait

1 ZmV? — 1 Zmo° — 1 Zmw.

On en conclura, en se bornant sans doute au cas particulier dont il est question, celui où les T sont zéro, que l'addition des nouvelles liaisons diminue la force vive du système d’une quantité égale à la force vive que le système aurait, si chaque point était animé de la vitesse que ce même point perdrait par l'addition des nouvelles liaisons dont il s’agit. On voit aussi récipro- quement que le système par la suppression de quelques liaisons recevrait une augmentation de force vive, égale à la force vive qu'il aurait, si chaque point était animé de la vitesse qu'il gagnerait par la suppression des liaisons en question.

On pourrait généraliser les considérations précédentes, en comparant l'effet des forces impulsives, sur un système de points assujettis à des liaisons quelconques, avec l'effet des mêmes forces sur les mêmes points, mais gênés par d’autres liaisons également arbitraires. Cependant nous ne nous occuperons point de cette comparaison car, d’après ce qui précède, elle ne présentera aucune difficulté.

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SUR

LES DIVISEURS NUMÉRIQES INVARIABLES

DES

FONCTIONS RATIONNELLES ENTIÈRES,

PAR V. BouNaKowWsKr.

(Lu LE 4 aoûT_ 1854.)

« F ; # * : ) ' A L L \ . EE i ; À Ü i À i : al " De * 4 P gr " j . « 4 D'LA < F L A. ii ï LA ; ‘ 1 : ä & € D ALL t " : C ; v f Lt . " à » Le “ Le à Phomt Î s l * 2 1 ÿ { “ : Î | î f ’ i Î FL 1 UN ? \ ? Le or à L L! . - Q » g ‘ x { t S à + : © H CL t'os \ ÿ h Ee \ É \ ! . es : L ” ÿ de \ ° ÿ » g “ À ; - D Lu = 1 Lé . " LA L J F ; - ‘ 3 : ï ' D . ' 2 “ ‘ Lo { ‘ À - y ’ fl \ nl L nl \ À \ à - ü 1 : # { \ = x ‘

La théorie des fonctions rationnelles entières, intimement liée à celle des équations algé- briques, a beaucoup occupé les géomètres, surtout de notre temps. Tous savent combien cette doctrine est redevable aux travaux de Lagrange, Legendre, Fourier, Gauss, Abel et d’autres. Mais ce sujet est tellement fécond en lui même, qu'il est encore loin d’être épuisé. Dans cet écrit je donnerai la solution complète d'une question qui n’est pas sans quelqu’in- térêt. Elle consiste dans la détermination du diviseur numérique invariable qu'une fonction ra- tionnelle entière peut admettre, quand tous ses coefficients sont entiers, et que la variable elle même est assujettie à n’obtenir que des valeurs entières, mais d’ailleurs tout-à-fait arbitraires.

#. Considérons une fonction entière

2

fe) = 4,2" + a, a+ ae + a Tr + a,

à coefficients entiers, positifs ou négatifs, délivrés de leur commun diviseur si tous en avaient un. Supposons, de plus, qu'on n'attribue à la variable x que des valeurs entières, zéro y compris. Cela posé, cette fonction ne pourra admettre que deux modes différents de divisibilité :

1°. La fonction f(x) pourrait être divisible par une autre fonction entière, d’un degré in- férieur à m; dans ce cas, x étant un entier quelconque, la fonction f(x) serait constamment décomposable en facteurs qui varieraient avec la valeur particulière attribuée à x. Ainsi f(æ) — 2Ÿ—1 est constamment divisible par æ—1 et 2*+x+-1, quelque valeur que l'on prenne pour +. Au contraire, la fonction x°-+x-+-2, dans ce même sens, n’est pas décompo- sable en facteurs. Une fonction prise dans cette dernière acception, c'est-à-dire indécomposable en facteurs rationnels d’un degré inférieur, est, ce que les géomètres appellent, irréductible.

2°. Le second mode de divisibilité tient à la propriété des factorielles et de quelques poly- nômes d'une forme déterminée, d’être divisibles par certains nombres, indépendamment de la valeur entière attribuée à la variable. Ainsi, le trinôme

L +2 +2 — 2] + 1]

quoiqu'irréductible, est néanmoins toujours divisible par 2; de même le polynôme trréducuble

x(x+1) (x+-2)

TR +x+ 3 |

2° +32 + 8x + 18 — 6!

308 (4) V. BOUNIAKOWSK Y.

est évidemment divisible par 6, parce que la factorielle x (x-+1)(x-+-2) l'est elle même. On a plusieurs formules de ce genre dans la théorie des nombres : l'une des plus simples et des plus utiles est, comme on sait, la suivante

xl — x

qui est toujours.divisible par p, quand p représente un nombre premier.

C'est ce second mode de divisibilité qui, à notre connaissance, n’a pas été examiné d’une manière générale. Nous tâcherons de combler cette lacune en présentant une méthode complète pour trouver, quand il existe, le diviseur numérique invariable de la fonction entière donnée. Nous prévenons que, pour éviter toute équivoque, nous appellerons fonction indivisible toute fonction entière qui n’offrira aucun des deux caractères de divisibilité dont il vient d'être que-

2

stion tout-à-l’heure.

2. Nous commencerons par indiquer quelques propositions connues de la théorie des nombres, dont nous aurons besoin pour l'exposition de notre méthode.

LL:

Proposition lire,

Soit p un nombre premier, inférieur à l'entier a; l'exposant y de la plus haute puissance de p, qui divise la factorielle numérique 1 L2 2 L2 3 pre 07e a

sera déterminé par la formule

la notation X(a), désignant la somme des chiffres du nombre a, exprimé d'après le système de nu- mération qui a pour base le nombre p.

La démonstration de cette formule est très simple. Supposons, en effet, que l’on effectue l'opération qui sert à transformer un nombre décimal en un nombre exprimé d'après le sy- stème qui aurait pour base l’entier p. Nous obiendrons successivement

Gare " QU - To Q2 r Qn—1 Tr a, — — € — = — Pers . +. +. 0e ee ù à Di bo Ur 20 pp À

en nous arrêtant au quotient q,<p. On aura donc A—pq + Ts W—=Ph os Pl las cesse ns = In F Tne La somme de toutes ces équations donne CET en Poe me ml Pt AU les an an en antennes ent.

et, en observant que TT eg, = Z(a)

Qt ee ns

SUR LES DIVISEURS NUMÉRIQUES INVARIABLES. (3) 309

l’on aura a+Y—q, = pv + E (a), —4,; d’où l’on tire de suite

a—2(a)p er Ë

Proposition ?2de.

Si l'on représente par p un nombre premier, et par m un entier supérieur ou égal à p, la congruence

f(x) = ar" +a,r" '+ax" +... . +0, _,2+4, = 0 (mod.p)

aura les mêmes racines que la suivante Dal be bal +. +0, _;œ +b, = 0 (mod.p), la fonction ba? "+ bal +... .+b, élant le reste provenant de la dhvision de f(x) par la différence a? — x, ou par la factorielle (æ—1)(x—2)(x—3)....(x—p).

Cette propriété constitue une proposition fondamentale bien connue de la théorie des con- gruences. On en tire les deux corollaires suivants :

17 Corollaire.

Pour que la congruence

1

(a) = ax" +a x" +... +a,,_ +4, =0 (mod.p)

ait toutes les p racines 1, 2, 3,....p, il faut que chacun des p coefficients db, , b,, b,.... 0e 7 b, du reste de la division de f(x) par x? —x ou par (x—1)(x—2)(x—3)....(x—p) soi divisible par p. |

24 Corollaire.

Pour que la fonction Fa) = bal bal a + a +,

soit divisible par la puissance p pour toute valeur entière de x, al faut que chacun des coefficients b,, b,, b,....b_ En eflet, F(x) devant être divisible par p, et n'étant que du degré p—1, chacun de ses

coefficients devra être divisible par p (f# Corollaire); divisant par p la congruence

F(x) —=0 (mod.p’),

1» D, Soit séparément divisible par cette méme puissance P”.

310 (6) V. BOUNIAKOWSKY.

et posant

on aura bal a Pb = 0(mod:p"}.

mA . . (à

Par la même raison que plus haut chacun des coefficients b, , ba. un 1 devra, à son tour, être divisible par p, et il en sera ainsi jusqu'à ce que l'exposant de la puissance de p ne soit entièrement épuisé. De là on conclura immédiatement que chacun des coefficients

è ee He À

b,, b,, b.. Er ps, ; b, de la fonction F(x) doit être divisible par p”.

8. Comme dans tout ce qui va suivre nous ferons un fréquent usage des factorielles, nous les désignerons, pour abréger, par une notation très simple; en même temps nous rap- porterons quelques unes de leurs propriétés qui nous seront nécessaires.

Convenons donc de représenter la factorielle (ue — k—1,p—1)(x — kh—1 .p—2)(x — k—1.p—3)....(x—kp)

par la notation PR kp ? p étant un nombre premier ; on observera d'abord que

ra euEs kp — 0

pour toutes les valeurs suivantes de x : æ — (k—1)p+1, (K—1)p+2, (k—1)p+3,..... hp.

De plus, il est évident que cette fonction X ;_,,,,, 7, Sera tdentiquement congrue à zéro sui- vant la première puissance du module p. Pour des valeurs particulières de x elle pourrait être ee ° SA -0 4 . ° DE 2 2 . divisible par des puissances supérieures de p: ainsi, pour &æ = p°+-kp, la fonction LT devient divisible par p”, mais non-identiquement. Actuellement il importe, pour notre but, de déterminer la puissance la plus élevée p”* par

laquelle la factorielle

X

1, Ep À

Ti Æ;,p° À (k—1)p+ 41, kp

p+ A1, 2p° Apt, 3p est divisible 2dentiquement, c’est-à-dire quelle que soit la valeur entière de x. La Proposition 1ère nous en fournit de suite le moyen.

En effet, si l’on considère la factorielle

À, y = (@—1)(x—2)(x—3)....(x—kp)

pour différentes valeurs de x, à commencer par æ—kp+-1, pour laquelle on a

AS M), 253.4" tkp,

SUR LES DIVISEURS NUMÉRIQUES INVARIABLES. a) 311

on verra que la puissance de p qui divise cette dernière factorielle numérique, est précisément celle que l’on cherche, parce que pour toute autre valeur de x, supérieure à kp+-1, l'exposant de p ne sera jamais inférieur à celui dont il est question, et ne pourrait que lui être supérieur. Si l’on désigne donc par À cet exposant, on aura tdentiquement — à

À, 39 — (æ—1)(x—2) (æ—3)....(x—kp) = 0 (mod.p), p” étant, nous le répétons, la plus haute puissance de p qui divise la factorielle numérique 1.2.3,....kp. Par conséquent

kp— (KP)

1 — A

3

expression qui, en vertu de la propriété évidente Z(kp), — Z(k),, prend la forme

k — Z(k)p

PR TE Fi

La couclusion à laquelle nous sommes parvenu tient à ce que la factorielle numérique 1.2.3....kp a pour diviseur une puissance p* égale ou inférieure à la puissance qui divi- serait la fonction

À, y = (2—1)(x—2)(x—3)....(x—kp)

pour une valeur quelconque de x, supérieure à kp+-1. Pour justifier cette dernière assertion, posons æ—kp+1+h, h étant un nombre entier positif, d’ailleurs entièrement arbitraire. Il s'agira de faire voir que si p” est la plus haute puissance de p qui divise le produit 1.2.3... kp, la factorielle

(h+-1)(h+4-2) (+3)... .(h+4-kp)

sera également divisible par p” ou par une puissance supérieure. Pour cela, soient p" et p”” les puissances de p qui divisent respectivement les factorielles

1.2.3. chn vetl M.203....h(h+ 1-12)... (hp):

on aura p—1 ? EE p—1 j

La différence X’—X\" représentera l’exposant de la puissance de p, qui divise la factorielle

(h+-1) (h+-2) (h+-3). (hp).

Or MN $ h+kp—E(h+kp)p cu k—EX)p 1. p—1 p—1 se pou k+2Z(h)p —Èh+kp)p e

p—i

312 (9 V. BOUNIAKOWSKY.

Maintenant, en désignant par À l’exposant de la plus haute puissance de p qui divise la fac- torielle 12269 22% 0kp;

il faudra faire voir que l’on à

ou bien

ce qui entraîne la condition Z(h+-kp), Æ Z(h), + Z(k),,

qui se trouve remplie. En effet, si k est inférieur à p, la somme Z(h+-kp), est visiblement égale à h+ Z{k),, et comme dans ce cas Z{h), ne diffère pas de h, on aura

Zh+kp), = 2h), + Z(k),.

Quand le nombre h est supérieur à p, il se compose de deux ou d'un plus grand nombre de chiffres; il pourra arriver alors qu'en additionnant h et kp, exprimés d'après le système de nu- mération qui a pour base le nombre premier p, il y ait une réduction dans la somme des chiffres ; cette réduction, comme on le sait d’ailleurs, est toujours un multiple de p—1 ; donc,

dans ce cas, Z(hæ+kp), < Z(h), + Z(k),.

Enfin, l'hypothèse de h—p conduit successivement à Z(p+hp), = 2(+k.p), = Z(+k), Z Z(), + Z(), É< Z(h), + 2 (k),»

le signe de l'égalité correspondant au cas où l'addition de 1 à k ne produirait point de réduc- tion dans la somme des chiffres, et le signe << à celui où une telle réduction aurait lieu.

Ainsi, on aura généralement Z(h+kp), Z Z(h), + Z(k),.

Enfin, la dernière propriété des factorielles dont nous ayons besoin, consiste dans la pro-

position suivante : Proposition 3ème,

Soit p un nombre premier, et o(x) un polynôme d'un degré inférieur à p, dont tous les coef- ficients ne sont pas divisibles par p ; dans cette hypothèse, le produit

SUR LES DIVISEURS NUMÉRIQUES INVARIABLES. (9) 313

À, Kp -p(x),

À, 39 désignant, comme plus haut, la factorielle (x—1)(x—2)(x—3)....(x—kp), ne pourra pas étre identiquement divisible par une puissance de p supérieure à celle qui divise la factorvelle numérique 1.2.3....kp. |

En d’autres termes : si l’on représente par À l’exposant de la puissance de p qui divise

_.

identiquement le produit À, ;,.p(x), la congruence

“6 o(x) = 0 (mod.p}),

1, &p°

pour être identique, exige que À soit déterminé par la condition

1.2.3....kp —= 0 (mod. p”),

et que l'on ait par conséquent k— (Ep

À = k + on

Pour se convaincre de la justesse de cette assertion, observons que puisque la fonction œ(x) est d'un degré inférieur à p, il y aura au moins une valeur de x, supposons r, non-supé- rieure à p, qui ne rendra pas (x) divisible par p; il en sera évidemment de même de la valeur x — kp+-r; ainsi o(kp+-r) ne sera pas congrue à zéro suivant le module p. On aura donc dans ce cas

X — r(r+1)(r+-2)....(kp+r—1) = 0 (mod.p”).

1, Ep

Or, les deux factorielles r(r+1)(r+-2)....(kp+r—1) et 1.2.3....kp

sont divisibles chacune par la même puissance de p; cela se voit de suite en faisant attention

que dans le produit

1.2.3....(r—1).r(r+-1)(r+-2)....kp.(kp+-1)(kp+2)....(kp+r—1)

les termes barrés ne contiennent pas le facteur p. De là on conclut de suite la légitimité du théorème énoncé.

Comme dans ce qui va suivre nous aurons besoin de l’exposant À de la plus haute puis- sance du nombre premier p qui divise la factorielle numérique 1.2.3.... kp, nous présen- tons ici une table qui donne ces exposants pour toutes les valeurs de k et p, dont le produit kp ne dépasse pas 100. Cette table peut être calculée très facilement, soit directement, soit au moyen de la formule rapportée plus haut

k — ZE)p

p—1 Mémoires sc. math. et phys. T. VI. 40

À = k +

31% (10) V. BOUNIAKOWSKY.

Table des valeurs de la plus haute puissance p\ qui divise la factorielle LAIOR e. . Kp.

Valeurs de k pour p — 2

Valeurs correspondantes de À Valeurs de # pour p — 2

Valeurs correspondantes de À

Valeurs de k pour p — 2

Valeurs correspondantes de X 56. | 167 78

Valeurs de k pour p — 2

Valeurs correspondantes de À |

Valeurs de £ pour p — 3 AA | 1211314 Valeurs correspondantes de À 687 17118119 Valeurs de k pour p — 3 2 2 26127128 Valeurs correspondantes de À 21/2: £ 413 36/40 41 Valeurs de k pour p — 3

Valeurs correspondantes de À Valeurs de k pour p — 5 101111211314 Valeurs correspondantes de À 12 13114/15,16 [Valeurs de k pour p — 5 | Hu Valeurs correspondantes de À ....... be | 2 | | 1 dos Valeurs de k& pour p— 7 | LE ï 10111112/13|14 Valeurs correspondantes de À £ 8 {11 12113) 14116.

Les valeurs de À pour tous les nombres premiers suivants, nommément pour p — 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 et 97, infé- rieurs à 100, sont respectivement égales aux nombres k, en supposant que le produit que l’on considère kp ne surpasse pas 100. |

Æ&. Nous pouvons passer actuellement à la recherche du facteur numérique invariable de

la fonction entière

m m—1 m—2 AA Er ee Et RS SC RES Et ae Ci,

réductible ou irréductible, mais délivrée du facteur commun qui pourrait exister entre les coef- ficients a,, a,, a,....a,,_,, a, Pour décider si ce polynôme est simplement divisible par le nombre premier p, m n'étant pas inférieur à p, on aura recours au {7 Corollaire (n° 2).

Ainsi, par exemple, pour savoir si la fonction

2x 4x +2 —17 x +3

SUR LES DIVISEURS NUMÉRIQUES INVARIABLES. 41) 315

est identiquement congrue à zéro suivant le module 3, on divisera cette fouction par æ°—x; on aura 2x1 pour quotient et 3x°—6x-+-3 pour reste. Par conséquent

2x4 + —Tn+3 — (x —x) (2741) +32 —62+3.

Or, puisque chacun des trois coefficients 3, —6, 3 du reste 3x°—6x-+3 est divisible par 3, on en conclura que la congruence

2x +2" +2" —71x + 3 = 0 (mod. 3) a lieu identiquement.

Au lieu de diviser la fonction donnée par la différence x°— x, on aurait pu prendre pour diviseur la factorielle (x—1)(x—2)(x—3) — x°—62°+-11 x — 6, et l'on serait arrivé à la même conséquence.

Quand le degré m de la fonction f(x) est inférieur à p, son identité exige, comme l’on sait, que chacun de ses coefficients soit divisible par p; par conséquent les coefficients de f(x) auront alors p pour facteur commun. Or, comme ce cas a été exclu par ce qui précède, nous n'aurons à considérer que celui où le degré m de la fonction est égal ou supérieur au module p. Nous ferons observer en même temps que le diviseur numérique invariable que l’on cherche sera nécessairement diviseur du dernier terme a, de la fonction f(x). En effet, soit N un mo- dule quelconque ; la congruence

m m—1 m—2 Te GA" HAT HAL +....+0,, .2+0, —=0 (mod. N)

devant être identique, on aura, en y faisant x — N, a, —=0 (mod. N).

Il suit de ce que nous venons de dire qu’une fonction de la forme

fa) = a,2"+ ax" "+4... +a, 2 +1

n’admettra jamais de diviseur numérique invariable, et qu’un diviseur de cette nature ne pourra évidemment, dans aucun cas, surpasser le dernier terme a, de f(x), en supposant toutefois que a, n'est pas nul. |

Après ces préliminaires considérons le cas général, c’est-à-dire celui où le diviseur in- variable, que nous représenterons par N, sera un nombre composé, égal, par conséquent, à un produit de la forme p*.g.r".….., p, q, r.... désignant des nombres premiers, et æ&, B, y... des entiers positifs quelconques. Soit donc la fonction donnée

fe) = ag" + an" "+... +a,_,2+a,,

dont on cherche Le diviseur numérique invariable N. On commencera par décomposer le nombre a, en facteurs premiers ; supposons que l’on ait ainsi trouvé

A Ke MY b (a (ART Aa Hs DCS Le diviseur invariable N ne pourra être lui même que de la forme

Notion

316 (12) V. BOUNIAKOWSKY.

a, B,'Y..... ne surpassant pas respectivement les exposants a, b, c..... De plus, conformé- ment à l'observation faite plus haut, on ne devra soumettre à l'examen que les nombres pre- miers 2, 3, 5..... qui ne dépassent pas le degré m de la fonction f(x).

Cela posé, pour résoudre complètement la question, il faudra assigner les caractères qui fixent en général la valeur de l’exposant & de la plus haute puissance d’un nombre premier quelconque p, qui divise edentiquement la fonction f(x). En d'autres termes, il faudra trouver la plus haute puissance p pour laquelle la congruence

f(e)= ax" + an" ++... +a, _æ+a, = 0 (mod.p) est satisfaite identiquement, c'est-à-dire pour toutes les p" valeurs m1, 2,3444p,0D EPL EE app

Nous allons exposer une transformation particulière de la fonction donnée

Les m m—1 f(a) ur East +, Farbiren,

au moyen de laquelle on arrive facilement au but que l’on se propose. Divisons f(x) par le produit

(x—1)(x—2)(2—3)....(x—p) = X,,;

soit X(*—P) le quotient de la division et R,_, le reste. Le quotient X°°7? sera un polynôme du degré m—p, et le reste R,_, du degré p—1. On aura

OR

Or, puisque la fonction X,, s’annule pour chacune des valeurs x — 1, 2, 3....p, il faudra

1,D nécessairement que l'on ait PER 0 (mod. p").

De là on conclura, en vertu du 24 Corollaire (n° 2), que chacun des coeflicients du po- lynôme

R,_, — A7 +4 Bal +... :Gx+H doit ètre divisible par p*; ainsi, si nous admettons que p"1 soit la plus haute puissance qui divise À, B....G, H, il s'en suivra que

le = Br De cette manière la congruence identique f(x) = 0 (mod. p") pourra être remplacée par la suivante x, XP = 0 (mod. p").

S'il arrivait que p, fut égal à zéro, on aurait visiblement p — 0, et par conséquent dans ce cas f(x) ne saurait être 2dentiquement divisible par aucune puissance de p. Nous suppose- rons dans ce qui va suivre que p., n’est pas zéro. Le calcul serait également terminé si l'on

SUR LES DIVISEURS NUMÉRIQUES INVARIABLES. 43) 317

avait p, — 1 ; en effet, puisque X,, est identiquement divisible par p, on en conclura de suite que pu — 1. Supposons donc p, > 1. Divisons X(°7P) par (æ—p—1)(x—p—2)....(x—2p)—= ZX, op à soit X°*—*) Je quotient de la division et Le le reste ; on aura:

2 AU UE RM EP AUX 2 AC —=0imodp),

ou bien | x. Re + X,,,e AP = 0 (mod. p”). Or, comme la fonction X, , s'annulle pour les valeurs æ—p+i, p+2, p+3 ..... 2p

qui ne réduisent pas à zéro À, ,, il faudra que l'on ait 2

CE R,_, = 0 (mod. p").

En représentant par y, l'exposant de la plus haute puissance de p qui divise chacun des coef- ficients 4’, B....G, H de la fonction

R — Aa Bal... + Grx+H, on conclura, en vertu de la Proposition 3ème (n° 3), que le produit X me R,.: sera iden-

tiquement congru à zéro suivant le module p"2*", c'est-à-dire qu'on aura

et par suite Lu rt.

Si l'on avait a, — 0, il en résulterait que l’exposant cherché p est égal à {, car on au-

rait en même temps Re peu z #,

, n'élant pas nul. Admettons que y, ne se réduise pas à zéro, et continuons le calcul dans cette hypothèse.

Divisons le polynôme X(°—*?) par

(x—2p—1)(x—2p—2)....(2—3p) = X

2P4+1, 3p° soit X°*7* le quotient de la division et he le reste: on aura (MEE2p)E t£ 7 (M—3p) _— M A 2% x, RE APT Ce 0 = 0 {mod.p"). ou bien k (Mm—3p) — me Xe RL AOL = 0 (mod. p").

Or, comme la fonction X, u s’'annulle pour les valeurs ?

x — 2p+1, 2p+2, 2p+3....3p

318 (19 : V. BOUNIAKOWSKY, qui ne réduisent pas à zéro X, ,, il faudra nécessairement que l’on ait d 1! ZX, pe Rp = 0 (mod.p"). Soit pl: la plus haute puissance de p qui divise chacun des coefficients de Ro , et à, la puissance supérieure de p qui divise identiquement la factorielle X,,,. On aura, conformément à la Proposition 3ème,

44 Re À

AR pe — 0mod pat),

et par conséquent bu Z LH, Le nombre à, se détermine immédiatement au moyen de la formule 2p — S(2p) 2 — Z(2) D à RD EE 2 2 p—1 p—1

Cette expression nous fait voir de suite que quand p — 2, la factorielle X, est divisible par p° — % ; l’exposant }, sera donc égal à 3 dans ce cas. Pour toute autre valeur de p on aura à, = 2.

La table que nous avons donnée à la fin du n° 3 nous dispensera du calcul de l’exposant de la plus haute puissance À du nombre premier p par laquelle la factorielle 1.2.3...kp est divisible. Ainsi, nous supposerons, dans ce qui va suivre, que l’exposant désigné par la lettre à, avec des indices au-dessous, est connu.

Nous observerons ici, comme plus haut, que si l'on avait 1, — 0, l’exposant y. serait dé- terminé par les conditions

LT ? u Z br ? HE et serait par conséquent égal au plus petit des trois nombres a, p,+1, À.

Supposons qu'en poursuivant la même opération, aucun des exposants, représentés par

avec des indices, ne se soit réduit à zéro, et que l'on soit arrivé au quotient X(7—/P) et au reste (k—1) R ; On aura p—1 (k—1 R )

À, œ— np p—1

+ LE Cie = 0 (mod. p");

comme la fonction X, ;, s'annule pour les valeurs æ — (k—1)p+-1, (k—1)p+2,....kp qui ne réduisent pas à zéro À, 4_,,, il faudra que l’on ait

k—1 R )

X Go y: ne = 0 (mod. p").

Admettons que l'exposant y, de la puissance supérieure de p qui divise chacun des coef- ficients du reste

SUR LES DIVISEURS NUMÉRIQUES INVARIABLES. as) 319 Re A D mn Pers OR CP) NIEUEENPES)

P— n'est pas nul; de plus, soit pt—1 la plus haute puissance de p qui divise la factorielle 1.2.3....(k—1)p; on aura identiquement (Proposition 3ème)

Bi)

(k—1) À, pe À Le 0 (mod. p

Donc Be By Hp rte se réduit à zéro, on arrivera au

En définitive, si aucun des exposants p,, 1, 1... . FE ; K—1 D . : 7) et au dernier reste R! U K étant le plus grand entier compris

D=

dernier quotient X si T

dans le quotient numérique = La congruence identique

entrainera la suivante

en observant que le facteur x, . s’'annule pour chacune des valeurs x —= (K—1)p+1, (K—1)p+2 , pour ces mêmes valeurs, ne se réduit pas à zéro.

et que la factorielle X 1, (&—1)p Soit Dis l'exposant de la plus haute puissance de p qui divise la factorielle numérique

1.2.3....(K—1)p, et We» que nous ne supposons pas nul, celui de la plus haute puissance

de p qui divise chacun des coefficients du reste EK—1 KH—1) p—1 K—1) p—2 | (—1 RS À Me B A dur Ge on M 0 On aura (HET) OUR UK +R —1 noue pe COUP }» et par conséquent HUE ER AT Cela posé, 1l ne restera plus qu’à examiner la dernière condition (Ep) À, m x = 0 (mod. p"). 2 (KH—1) : ue : Rs R _, sont identique

Or puisque, par hypothèse, tous les restes R do R' ; Pa P—

320 (16) V. BOUNIAKOWSK Y.

ment divisibles au moins par la première puissance de p, et que tous les coefficients de

f(e) = a,2"+a x" +... + a, _,æ+a,, ne le sont pas, il s’en suit que les coeffi-

e — , Q HA x A . cients du polynôme x 7e) "ontile degré est inférieur à p, ne pourront pas être tous divi-

sibles par p. Si l’on représente donc par À, l'exposant de la plus haute puissance qni divise

identiquement la fonction À, , OU, ce qui revient au même, la factorielle numérique 1.2.3... Kp, ,

Hp on aura, en vertu de la Proposition 3ème,

et par suite

be

on en tire la conséquence que l’exposant cherché 11 sera égal au plus petit des &+-1 nombres: D, LT Xe Ur), OUR Ar) IH

et le problème se trouvera ainsi résolu. On fera exactement le même calcul pour chacun des facteurs premiers, inférieurs à m, du dernier terme a,, du polynôme st m m—1 à f(x) = ax +a,x Pt mn OC Oo EC AE 2 pe NS le produit de tous les diviseurs, analogues à p", représentera le diviseur numérique invariable N que nous avions en vue de déterminer.

3. Le calcul que nous venons d'exposer pour déterminer le nombre y pourra souvent être considérablement simplifié eu égard aux propriétés les plus simples des congruences. Nous allons indiquer suceinctement ces simplifications. Et d’abord, observons que dans la congruence qu'on suppose 2dentique :

f{a)=a2e"+a,a" +... +a,_,x+a,, —=0 (mod. NW),

SUR LES DIVISEURS NUMÉRIQUES INVARIABLES. 47) 321

on pourra réduire tous les coeflicients à,, ae OA des nombres inférieurs au dernier

Û terme a, et congrus à zéro suivant le module a,,, ce qui est évident puisque N doit diviser a. De plus, lorsque l’on traitera, après cette réduction, la congruence partielle

m m—1 — (Fa GT FAX +... +0,_,2+a, —=0(mod.?"),

on pourra encore abaisser les nouveaux coefficients de la même manière relativement au mo- dule p*, p”* étant la plus haute puissance qui divise a . On emploiera cette même abréviation P m “jusqu’à la fin du calcul, c'est-à-dire on réduira les coeflicients, dans tous les quotients partiels, suivant le même module p”. ; Il peut aussi arriver que, parvenu, par exemple, à la congruence

(&—1) (mp) ï Lee + À, pp ° À = 0 (mod.p"),

l'exposant X, de la puissance p'# qui divise la factorielle 1.2.3... .kp soit supérieur à chacun des nombres : p,,p,+1,u-+à,....11, +2, ,, ou égal au plus grand d'entr'eux. L'opé- ration sera terminée, et l'exposant cherché px sera visiblement égal au plus petit nombre de la même série pt, , d,-+1, ph... + je Enfin, conformément à la remarque qui a déjà été faite dans le n° précédent, le calcul se

termine également quand on arrive à un reste

(X)

a AP 1 DO a, + Ge + HO,

R

dont les coefficients 4%, BŸ,..,G, HŸ ne sont pas tous divisibles par p.

G. La transformation du polynôme f(x) que nous avons donnée dans le n° 4 fournit un moyen très simple pour déterminer le minimum m du degré de f(x) avec la condition que la congruence

1

f(x) = a,2"+a x +... +a,_,æ+a, =0 (mod.p"),

pour un exposant p. donné, soit identique. La transformation dont nous parlons réduit la fonc- tion f(x) à la somme *

(4 HOUR EL RE A A Ro. Ain es 7 ;(Mm— Hp) Re +A » + .

Or, comme K représente le plus grand entier contenu dans le quotient … le degré de la

: —K fonction x" P)

à zéro suivant le module p. En effet, il faudrait pour cela que chacun des coefficients de

—E; ie ; Le : XP) fut divisible par p, ce qui ne peut avoir lieu, car tous les coefficients des restes suc-

Mémoires sc. inath. et phys. T. VI. 41

sera inférieur à p, et ce polynôme ne pourra pas être édentiquement congru

322 (18) V. BOUNIAKOWSKY.

7 (k) (H—1) me RÉPARER ARES Pa de la fonction f(x) ne le sont pas par hypothèse. Observons de plus que le dernier terme de la

transformée, égal au produit

cessifs Ro : R, sont divisibles par p, tandis que ceux

(m— Hp) 1, Ep° ;

sera, d’après la Proposition 3ème, :dentiquement divisible par la même puissance de p que la factorielle numérique

1:29. /Kp), c’est-à-dire par p*Æ, l'exposant Àx étant déterminé par la formule

K—ZE(K)}y PA Di]

Cela posé, il est facile de conclure de ce qui vient d’être dit, que la plus haute puissance de p qui puisse diviser edentiquement la fonction f(x) est p'£; il est visible qu'il faut pour cela

qu'aucun des nombres de la série Bo UT, D, He c se WE -FARAUNE

soit inférieur à Àx. Par conséquent, pour que l’exposant m soit nue il suffit de sup- poser que le degré de la fonction Xt"—Æp) est zéro, c’est-à-dire que Al—Æ#p) se réduit à une constante, non-divisible par p. Ainsi, s’il s'agissait de déterminer le degré minimum m d’une. fonction f(x), identiquement divisible par p", nous chercherions dans la table du n° 3 la valeur de À, égale ou immédiatement supérieure à p.; soit Ax cette valeur. Le degré minimum cherché m sera égal au produit Kp.

Supposons, par exemple, qu'on veuille déterminer le degré minimum de la fonction qui serait identiquement divisible par 3°. Nous cherchons dans la table la valeur de À, égale ou immédiatement supérieure à 12, relative au nombre premier 3; nous trouvons À — 13, valeur qui correspond à K— 9. Donc, la valeur minimum du degré m sera 9.3 — 27. Il est d’ail- leurs évident qu'on eut trouvé le même nombre 27 si, au lieu du diviseur 3°, on eut consi- déré le diviseur 3".

Le degré minimum m de la fonction f(x) pour un diviseur numérique invariable quelconque

NE Dig run

se trouve avec la même facilité au moyen de la table. En effet, soit x la valeur de à, égale ou immédiatement supérieure à &, pour le nombre premier p ; désignons par N'y’, \’x"..... les nombres analogues relatifs aux exposants 6, Y..... des nombres premiers q, r...., tirés de la même table. Le plus grand des produits

/ 14 Kp, Kg, IP Po Mo sera précisément la valeur minimum de m que l’on cherche. Ainsi, si l'on avait

N=25985",

SUR LES DIVISEURS NUMÉRIQUES INVARIABLES. a9) 323

et par conséquent p—2,q—3,r—5,a—6,$—5,"Y—3, on trouverait par la table DA MN, 0 RSS NE DURE) UK —3, ce qui donne Kp—49—=8, Ky—43—12, K'r—=3.5— 15. Comme le nombre 15 est le plus grand des trois produits 8, 12, 15, il représentera la valeur minimum cherchée de ”. Ainsi, la factorielle (æ—1)(x—2)(x—3)..... (æ—14)(æ—15),

dont le développement est un polynôme du 15ème degré, sera dentiquement divisible par le

nombre 26355*,

#. Ce que nous avons dit dans le n° précédent donne naturellement lieu à la remarque suivante : on sait que la fonction x?—x est la plus simple du nombre de celles qui sont den- tiquement congrues à zéro suivant le module premier p. De même, les expressions

—1 (æP—x)", CA DD {x

seront, toutes les deux, identiquement divisibles par la puissance p”. Mais elles ne seront pas gé- néralement les plus simples de celles qui jouissent de cette propriété : en effet, le degré np de la première d'entr'elles, et le degré p"—"(p—1)--n de la seconde, seront, en général, supé- rieurs à l’exposant Ap trouvé plus haut. Ainsi, dans l'exemple ci-dessus, nous avons p — 3, n—12, et par conséquent np — 36, p“—"(p—1)+n— 3" 2+-19, tandis que le produit Æp n’est égal qu'à 27. Quand il s'agira donc de modules composés, il faudra, pour arriver aux résultats les plus généraux et en même temps les plus simples, remplacer les formules

(Pa) = 0 (mod.p") , (27-014) = 0 (mod. p') par la formule factorielle

À = @—1)(e—2)(x—3)....(x—Kp) = 0 (mod. p'E).

8. Appliquons la méthode qui vient d'être exposée à un exemple numérique. Soit donnée la fonction irréductible du 9ème degré f(x) = x°—x°+2520 ;

il s’agit de déterminer son diviseur numérique invariable. Ce diviseur, s’il existe, devra être fac- teur du dernier terme 2520 ; par conséquent, en observant que

2520 — 2°325.7,

les nombres premiers à essayer seront 2, 3, 5 et 7.

32% (20) V. BOUNIAKO WSK y.

Commençons par le nombre premier 2. En divisant 2°—x°-+2520 par

(æ—1)(x—2) — 2 3x + 2,

on trouve pour premier quotient é AO = 2 +32 +72 +152 +312 +682 + 12674252 et pour premier reste R, — 2°63 74-263. Ainsi, le nombre 2° pourrait être diviseur de la fonction que l’on considère; reste à sa- voir s’il l’est réellement. Pour cela on continue l'opération, et l’on trouve en divisant X° par (æ—3)(x—4) — x°—7x + 12 le second quotient X9 = %°+ 102 + 6523502 + 1701x+ 7770

et le second reste

R', = 274263x — 2223247.

Comme ce reste est identiquement divisible par 2°, et que son premier facteur (x—1)(x—2) l'est par la première puissance de 2, le second terme de la fonction f(x), transformée, sera divisible, comme le premier, par 2°.

Divisons actuellement X® par le produit (x—5)(x—6) — x*—11x-+30; nous ob- tiendrons le troisième quotient

XO — x°+ 217? + 266x + 2646 et le troisième reste R", — 22827x— 71610,

qui n’est plus identiquement divisible par 2, mais dont le facteur (x—1)(x—2)(x—3)(x—4) est divisible par 2°. De là nous pouvons déjà conclure que la fonction donnée x°—x°+2520 est identiquement divisible par 2°. En eflet, considérons la transformée

D —2 + 2520 — R, + (x—1)(x—92)R" + (x—1)(x—2) (x—3)(x— 4) R7, + (x—1)(x—2)(2—3) (x—4)(x—5)(x—6) XP;

comme chacun des trois premiers termes de son second membre est identiquement divisible par %, et que de plus le facteur de X° dans le dernier terme, ainsi qu'on le voit de suite par la table, est divisible par 2*, on en conclut de suite l'identité de la congruence

2 — 2° + 25920 = 0 (mod. 2°). Passons maintenant au nombre premier 3. En divisant x” —x°+25920 par

(x—1)(x—2)(x—38) — à°—62+117—6,

SUR LES DIVISEURS NUMÉRIQUES INVARIABLES. @1) 325

on trouve XO — 24 62° +925" + 902°+3012"+-966x+ 3024 pour premier quotient, et R, — 3:1036x° — 3:3052x + 3:2296

pour premier reste, d'où l’on conclut que 2°—x°-+-2520 pourrait être identiquement divi- sible par 3°; on s'assure de cette divisibilité en continuant le calcul. Divisons done X° par (æ—4)(x—5)(x—6) — 2°—152"+74%— 1920 ; on trouvera pour second quotient

X9 — 2°+21x" + 266x+-2646 et pour second reste KR, = 3.716092 — 321810x + 3.106846. Ici le calcul est terminé, ce que l’on voit de suite par la transformée x'— 2 + 2520 — R, + (t—1)(2—2)(2—3)R, + (2—1)(2—2) (x—3) (x—4) (2—5) (x —6) Xi

en effet, son premier terme R, est identiquement divisible par 3°; le second également, puisque chacun de ses facteurs (x—1)(æ—2)(x—3) et R°, est congru à zéro suivant la première puis- sance de 3 ; quant au troisième terme, son premier facteur, c’est-à-dire la factorielle

(x—1)(x—2) (x —3) (x—4) (x —5) x —6), est identiquement divisible par 3°. Donc on aura la congruence identique x — x +-2520 — 0 (mod. 3°).

Il ne reste plus à essayer que les facteurs simples 5 et 7 du nombre 2520. Pour savoir si x’ —2"+ 2520 est identiquement divisible par 5, on devra diviser cette fonction soit par la factorielle (x—1) (æ—2) (x—3) (x—4) (x—5), soit par la différence x° — x qui est plus simple. En divisant donc x°—x°+2520 par x°— x, on obtient le quotient +“+ 1 et le reste — x°+ x+ 2520. Or, comme ce reste n’est pas identiquement divisible par 5, il s’en suit que le polynôme &°—x°+ 2520 n'est pas identiquement congru à zéro suivant le module 5. Donc, le nombre 5 n'entre pas, comme facteur, dans le diviseur invariable cherché.

Enfin, si l'on divise x°—x°-+2520 par æ'—x, on reconnaitra que x'— 2° +92520 est identiquement divisible par 7. En effet, on aura æ° pour quotient et le nombre 2520, mul- tiple de 7, pour reste. Donc, définitivement, le diviseur numérique invariable du polynôme x — x°+ 2520 sera égal au produit 2°3?7 — 504, et le quotient

x— 234-2520 504 = £ ?

326 (22 V. BOUNIAKOWSKY.

pour une valeur entière quelconque de x, se réduira toujours à un entier. ‘Ainsi, pour x — 0 et 1, ce quotient E obtient la valeur 5, pour x—2, E—6, pour x—3, E— 44, pour æ— 4, E— 595 etc. On voit que ces quatre valeurs de E n’ont pas de diviseurs communs, et que le nombre E£ — 5 est premier.

L'exemple que nous venons de traiter, sans aucune abréviation de calcul, est très simple; c'est pourquoi on aurait pu parvenir à la valeur du diviseur invariable cherché d’une manière encore plus expéditive. En effet, si l'on observe que dans l'expression

f(x) = à°— 2 +92520 — 2°(x°—1) (21) + 2520

le facteur æ°—1 est divisible par 8 — 2° pour toutes les valeurs impaires de æ, et x° pour toutes les valeurs paires, on en conclut que x°(x°—1) est identiquement divisible par 2°, et par suite la fonction f(x) elle même, à cause du nombre 2520, multiple de 8. De même, puis- qu'en vertu du théoréme d'Euler la différence x°—1 est congrue à zéro suivant le module 3? pour des valeurs de x non-divisibles par 3, on aura la congruence identique

x (x —1) = 0 (mod. 3°), > qui entraine la suivante :

d— 242520 — x.æ (x —1)+2520 = 0 (mod. 3”).

Enfin, par le théoréme de Fermat, x°—1 est divisible par 7 quand x est premier à 7; par con- séquent æ'—x, et par suite °—4x°+2520 — x (x —x)+2520, sera toujours divisible par 7. On obtiendra donc de cette manière le même diviseur numérique invariable 27327 — 504.

S. Après la méthode que nous avons exposée pour la détermination du diviseur numé- rique invariable d'une fonction entière à une seule indéterminée, on pourrait se proposer de généraliser le procédé en l'étendant à une fonction entière à plusieurs indéterminées indépen- dantes. La solution complète de cette question donnerait lieu, peut-être, à quelques difficultés. Mais, dans des cas particuliers, on trouve souvent le diviseur cherché d'une manière fort simple. Pour en présenter un exemple, rappelons nous d’une propriété bien connue des solu- tions de l'équation indéterminée

2 2 2 H+Y —=Z7,

æ, y et z étant des entiers. On sait que le produit xyz des trois nombres satisfaisant à cette équation est toujours divisible par 60. Or, comme sa solution générale est donnée par les

formules 2 x — Qu, y—=Ûû—v0,2—0 +0, u et v étant des entiers arbitraires, il s’en suit que le produit

Quv (u"—v") — æxyz

SUR LES DIVISEURS NUMÉRIQUES INVARIABLES. (23) 327 est toujours divisible par 60, ou bien que la fonction du 6ème degré à deux indéterminées in- dépendantes

uv (u*—v") est constamment divisible par 30 — 2.3.5. Pour le prouver, il suffira de prendre en considération que l’on a identiquement vu? = 0 (mod. p),

p étant un nombre premier quelconque, et u , v des entiers arbitraires. L'identité de cette con- gruence est manifeste : en effet, quand w et v sont premiers à p, le théoréme de Fermat donne

UP "1 = 0(mod.p), w—"—1 = 0 (mod.p)

et par conséquent WP = 0 (mod.p),

congruence qui a également lieu quand «w et v sont tous deux multiples de p. Pour l’étendre au cas où l’un de ces deux nombres seulement serait multiple de p, il suffit de la multiplier par le produit wv, ce qui donnera de suite

vuP— uv? = 0 (mod. p), ou bien uv (w?—"—%#?"") = 0 (mod. p).

Cela posé, en prenant successivement p — 2, 3 et 5, on obtient les formules .. uv(u—v) = 0(mod. 2), uv(u—v") = 0 (mod. 3), uv(w—v") = 0 (mod. 5), et comme la fonction que l'on considère

uv (u'—v") est divisible sans reste par chacune des trois expressions uv(u—v), wo(u—v), uv(u—v),

on en conclut immédiatement qu'elle est divisible par les trois facteurs premiers 2, 3, 5, et par conséquent par leur produit 2.3.5 — 30. Donc, le quotient

uv (u4— v4) 30 ?

r

pour des valeurs entières quelconques de u et v, sera toujours lui même un entier.

#0. L'analyse exposée dans les nn°® précédents résout complètement la question de la détermination du diviseur numérique invariable d’une fonction entière, réductible ou irréduc- tible, à une seule indéterminée. En se débarassant, par la division, de ce facteur invariable, on arrive, quand on opère sur une fonction irréductible, à un polynôme que nous avons appelé

328 (24) V. BOUNIAKOWSKY.

éndivisible (n° 1). Ainsi, dans l'exemple du n° 8, comme la fonction d—x°+2520 est irré- ductible, et qu’elle a pour diviseur invariable le nombre 504, le trinôme

dD— 2342520 __ a9—7r 504 7 504

,

+ 9

sera indivisible, et représentera, comme il est impossible d'en douter, une infinité de nombres premiers, en attribuant successivement à x toutes les valeurs entières possibles. La propriété que nous venons de signaler, et qui se rapporte aux fonctions endivisibles, est l'extension du fameux théorême connu sur les progressions arithmétiques, en vertu duquel toute progression de cette nature, dont la raison et la différence sont des nombres premiers entr'eux, comprend une inf- nité de nombres premiers. Cette proposition, qu'on démontre rigoureusement, a lieu pour la fonction linéaire indwvisible a,T+A,;

or, nous affirmons que la même propriété a également lieu pour le polynôme d’un degré quel- conque m

GRH aa + + ET +, lorsque ce polynôme est indivisible dans le sens que nous avons attaché à ce dernier terme à la fin du n° {. Il en est de même d’une fonction entière indivesible à plusieurs indéterminées. Ainsi, l’expression uv (u4—v4) OPA

traitée dans le n° précédent, comprend une infinité de nombres premiers en attribuant successi- vement des valeurs entières, tout-à-fait arbitraires, aux deux indéterminées « et v.

I est à présumer que la démonstration rigoureuse du théorême énoncé sur les progres- sions arithmétiques des ordres supérieurs conduirait, dans l’état actuel de la théorie des nombres, à des difficultés insurmontables ; néanmoins, sa réalité ne peut pas être révoquée en doute. On pourrait présenter quelques considérations qui serviraient à renforcer la probabilité de l’ex- actitude du théorême dont il s’agit. Ainsi, en partant de l'hypothèse que le polynôme f(x) est indivisible, c'est-à-dire qu'il n'admet aucun des deux caractères de divisibilité, mentionnés dans le n° 1, l'on pourrait raisonner de la manière suivante : la fonction f(x) n’admet aucun carac- tère de divisibilité, tant qu'on n'’attribue pas de valeurs particulières à æ; si donc, pour une valeur déterminée de x, elle devient divisible par un nombre quelconque, il faut en conclure que ce cas est exceptionnel, et qu'il est dû à la nature de la valeur particulière de x qu'on a employée. Or, si en donnant successivement à x toutes les valeurs entières, depuis &æ — 1 jus- qu'à æ — co, on obtenait constamment pour f(x) des nombres composés, ne serait-il pas na- turel de conclure que la divisibilité de f(x) est une propriété inhérente à cette fonction ? Une telle assertion impliquerait contradiction, car nous avons supposé plus haut que le polynôme

SUR LES DIVISEURS NUMÉRIQUES INVARIABLES, (23) 329

[(x), pour x indéterminé, ne présente aucun caractère de divisibilité. Si l'on admettait ce mode de raisonnement, on en conclurait de suite que la fonction indivisible f(x) représente une infinité de nombres premiers. En effet si, passé une certaine limite, par exemple x — h, f(x) devenait constamment décomposable en facteurs, tous les cas, correspondant aux hypothèses —=h+1, h+2, h+3....à l'infini, deviendraient exceptionnels, ce qui ne peut avoir lieu. Nous ferons observer en terminant que le théorême, en vertu duquel un polynôme indi- visible comprend une infinité de nombres premiers, peut être considéré comme un corollaire d'un principe très général qu'on pourrait énoncer en ces termes : Soit f(x, y, x...) une expression quelconque qui, pour des valeurs indéterminées des variables æ, y, 3..…, ne Satisfait à aucune des conditions, nécessaires et suffisantes, pour que celte expression Jjouisse d'une certaine propriété P. Dans cette hypothèse, 1l existera une infinité de systèmes

DUR ES Dee cris Din ist ces Dale does tels que la proprièté P n'aura pas lieu pour les fonctions

RIT AE AC Heat), NOR OT RUE

Ce principe général, dont on pourrait tirer un grand nombre de propositions particulières très remarquables, ne peut pas être révoqué; mais sa démonstration rigoureuse nous parait entièrement inabordable.

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Mémoires sc. math. et phys. T. VI. 42

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POSITIONS GÉOGRAPHIQUES

DÉTERMINÉES EN 1848 PAR LE LIEUTENANT-COLONEL LEMM

DANS

LE GOUVERNEMENT DE NOVGOROD.

MÉMOIRE

M. O. STRUVE.

——————

Lu LE 28 mars 1851.

»

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7] ‘ ÿ * ss er Le û

Le succès des opérations astronomico- géographiques, exécutées en 1847 par le Lieutenant- Colonel Lemm dans le pays des Cosaques du Don, sur lesquelles j'ai eu l'honneur de rap- porter dans un mémoire précédent, eut pour suite un travail analogue, à exécuter en 1843, dans la partie boréale du gouvernement de Novgorod, et qui fut confié au même officier di- stingué. Le gouvernement de Novgorod qui s'étend sur 10° de longitude, entre les limites de latitude 57° 5° et 61° 21, est couvert, dans sa partie méridionale jusqu'au parallèle de 58° 30° à peu près, par un réseau trigonométrique qui fait partie des vastes opérations géodésiques exécutées depuis 35 ans par l'État-Major Impérial. Dans la partie boréale de ce gouverne- ment, le sol marécageux et des forêts épais empêchent la continuation de la triangulation géo- désique ; or, pour pouvoir construire des cartes exactes de ce terrain, il n’y avait pas d'autre moyen de réussir, que la détermination astronomique d'un nombre suflisant de points distri- bués, autant que possible également, sur le terrain en question, jointe aux levées topographiques locales. La distance réciproque de chaque couple de points à déterminer fut fixée, à l'analogie des opérations de l’année précédente, à 50 verstes en moyenne, ce qui éleva le nombre des points à environ 35.

Je puis me dispenser de donner ici une relation detaillée sur les méthodes d'observation et de calcul, en renvoyant dans ce but à mon mémoire sur les opérations de l’année 1847. Le travail dont il s’agit ici ne diffère du travail antérieur, que dans quelques particularités des mé- thodes de réduction et des combinaisons des résultats, particularités que j'indiquerai spécia- lement.

La triangulation géodésique achevée dans la partie méridionale du gouvernement de Nov- gorod devait fournir les longitudes fondamentales, nécessaires à l’interpolation chronométrique des longitudes des points à déterminer. Parmi les différents points donnés par cette triangula- tion, nous choisimes, comme points normaux, les deux villes Borovitchi et Oustiouchna, situées sur la frontière même du terrain en question et bien accessibles de l'intérieur de ce terrain: Dans ces villes les clochers ou coupôles des églises, avaient été joints avec les stations géodé-

334 O0. STRUVE.

siques. L'Observatoire de Poulkova lui-même pouvait servir, au commencement du travail, comme troisième point fondamental, d'où le premier lieu à déterminer, la ville Novaja-Ladoga, n'est éloigné que de 150 verstes. Mais, pour ne pas obliger notre voyageur de retourner trop souvent sur des points situés au-delà des limites du terrain, il fut jugé utile de créer encore deux points normaux supplémentaires, situés au milieu du terrain, par des voyages réitérés entre ces points el ceux que nous venons d'indiquer. 11 fut convenu que ces deux points nor- maux supplémentaires devaient être les villes Tikhwin et Kirilov, situées symétriquement par rapport au terrain en question.

L'appareil astronomique de M. Lemm est resté le même que dans les opérations de 1847, à la seule différence que l'Observatoire central lui ajouta encore deux chronomètres de qualité distinguée au nombre de six qu'il avait employés pendant son travail dans le pays des Cosaques du Don. C'est ainsi que l'astronome voyageur était pourvu, 1) pour l'observation des distances au Zenith: d'un théodolite astronomique appartenant à l'Observatoire central, le même qu'il avait employé l'année précédente, 2) pour le transport du temps, de 8 chronomètres de boîte, dont 5 appartenaient à l'État-Major Impérial, Dent M 1687, 1730, 1739, 1787 et 1808, les trois autres Hauth M 11, Dent M 1818 et 1828 ayant été ajoutés de la part de l'Obser- vatoire central. De ces derniers Hauth 11 est réglé sur le temps sidéral et devait servir soit à l'exécution des observations astronomiques, soit à la comparaison exacte, à l'aide des coïnci- dences, des autres chronomètres réglés sur le temps solaire moyen.

M. Lemm quitta Poulkova le 7 Juin, après avoir comparé ses chronomètres avec les pen- dules de l'Observatoire et y retourna le 29 Septembre. 11 s’en suit que tout le voyage a duré 114 jours. Dans cet intervalle il a déterminé les positions de #1 points, y ayant employé 62 nuits d'observation. Ces chiffres ne donnent plus un rapport aussi favorable entre le temps em- ployé et le résultat de la récolte, que ceux que nous avons trouvés pour les opérations de M. Lemm dans le pays des Cosaques du Don où, dans le même espace de temps, il avait réussi à déterminer 71 points par 93 nuits d'observation. Vu que, dans les deux opérations, les distances moyennes entre les points à déterminer ont été sensiblement égales, cette différence doit être attribuée en premier lieu au climat moins favorable du gouvernement de Novgorod, mais aussi, à la plus grande difficulté des voyages sur le sol marécageux du gouvernement septentrional. Ces obstacles ayant été prévus, des limites plus étroites avaient été fixées d'avance aux opéra- tions de 1848, et nous devons nous rejouir que le zèle infatigable de M. Lemm a réussi à couvrir, dans le courant d'un seul été, par un réseau de positions astronomiques, tout le ter- rain indiqué, sans augmenter les distances moyennes des points déterminés et sans y laisser une seule lacune de quelque conséquence. Au contraire, 5 points déterminés se trouvent déjà au- delà des limites assignées aux opérations de l'été 1848. Il n’y a pas de doute M. Lemm aurait pu augmenter encore le nombre des déterminations, s’il avait suivi uniquement les grandes routes et s’il n'avait pas eu égard à la disposition uniforme des points; mais c'est un mérite particulier de son travail que, malgré toutes les diflicultés qui s’y opposaient, tout le terrain désigné a été symétriquement couvert de positions astronomiques.

PoSsITIONS GÉOGRAPHIQUES DANS LE GOUVERNEMENT DE NovGoron. 335

Le voyage de M. Lemm se divise en quatorze parties séparées entre elles par les arri- vées sur les points fondamentaux et par les départs. J'en ferai ici l'énumération, en indiquant les différentes durées des voyages et le nombre des positions déterminées pendant chaque voyage

isolé. I Poulkova à Tikhvin ..... 7 juin — 12 juin, 5 jours 3 positions I Tikhvin à Borovitchi .... 12 » — 17 » 5e » HI Borovitchi à Oustiouchna . 17 » — 24 » 7 » 3 » IV Oustiouchna à Tikhvin ... 24 » — 27 » 3 5100 0 » V Tikhvin à Tikhvin ...... 27 » — À juillet 4 » 2 » VI Tikhvin à Tikhvin ...... 1 juillet — 13 » 12 » 4 » VII Tikhvin à Kirilov....... Lu p02095 pit Ar» 7 » VIII Kirilov à Oustiouchna ... 25 » —928 » 3 » 1 » IX Oustiouchna à Oustiouchna 30 » — 17 août 18 » 6 » X Oustiouchna à Kirilov ... 17 août RES PUR DCI » XI Kirilov à Oustiouchna ... 24 » — 97 » de 140 » XII Oustiouchna à Kirilov ... 27 » — A sept. 5 » 1 » XIII Kirilov à Kirilov ....... 4 sept — 17 » 16 » 8 » XIV Kirilov à Poulkova...... 17 0» — 929 » 12 » 0 »

Le nombre des positions déterminées s'élève ici à 39, auxquelles s'ajoutent encore les po- sitions des deux points fondamentaux Tikhvin et Kirilov, de sorte qu'il en résulte le nombre total de 41 positions, tel que nous l'avons indiqué plus haut. Le tableau précédent fait voir que, pour la longitude de Tikhvin, nous aurons trois déterminations, en combinant

1) les voyages I et II 2) » » ITet IV 3) » » IV, VIT et VIIL.

Également la longitude de Kirilov pourra être déduite, en combinant

1) les voyages IV, VII et VIII 2) » » VllletX

3) » » _X et XI

4) » » XI et XII.

5) » » XII, XIII et XIV

A cause de la plus grande durée du transport du temps, la combinaison des voyages IV, VII et VIII ne pourra guères donner, dans les deux cas, des résultats aussi exacts que ceux qui nous seront fournis par les autres combinaisons. Par cette raison nous n’avons attribué aux résultats déduits de la dite combinaison que la moitié du poids des autres déterminations. Aussi le résultat à déduire pour Kirilov, par la combinaison des voyages XII, XIII et XIV, ne peut- il avoir qu'un poids comparativement très petit, à cause de la durée prolongée du transport du

336 : O0. STRUVE.

temps. À cela s'ajoute encore que pendant le dernier voyage XIV, entre Kirilov et Poulkova, M. Lemm n’a plus noté les indications du thermomètre et que la température est tombée plusieurs fois au-dessous de zéro. Par ces raisons il m'a paru nécessaire de rejeter entièrement cette der- nière combinaison.

Le calcul des observations astronomiques faites au théodolite a été exécuté, en premier lieu, par M. Lemm lui-même. Pour n'y pas laisser subsister la plus petite inexactitude, un second calcul indépendant, des déterminations du temps et de Ja latitude, a été fait par trois officiers du Dépôt Topographique et du Corps des pilotes, qui à l'époque actuelle font leur cours d'astronomie pratique à l'Observatoire central. Après cette vérification je confiais le reste du travail, qui consistait en général dans la combinaison la plus favorable des résultats et dans le calcul définitif des longitudes, à M. Wagner, astronome surnuméraire de l'Observatoire central, en me réservant seulement la dernière vérification de tous les calculs.

Il est intéressant de comparer, sous le rapport de l'exactitude, les observations faites par M. Lemm en 1848, avec celles de l’année précédente. Commençons par les latitudes. En dé- signant de nouveau par S les latitudes déduites des observations des étoiles méridionales, par N celles que nous ont fournies, sur les mêmes lieux, les observations de la Polaire, nous trou- vons en moyenne de 54 déterminations : S—N — + 3,46 avec l'erreur probable — 0,36. L'origine de ces S—N doit être attribué à une flexion du tube ou à quelque autre cause agissante comme la flexion c.-à-d. en proportion du sinus de la distance au zénith. En partant de cette supposition M. Wagner a déduit le coefficient de la flexion à l'horizon a — 2,90 avec l'erreur probable — 0,27 ; puis il a corrigé chaque latitude observée de + a sinz. Enfin les moyennes arithmétiques entre les valeurs corrigées de S et N, que nous désignerons pas S' et N', ont douné les latitudes définitives des lieux d'observation. Les S'—N' regardés comme pro- duits uniquement par les erreurs accidentelles des observations, nous donnent un jugement sur l'exactitude des observations. La valeur la plus probable d'un seul S— N° se trouve — 2/21 ; par conséquent l'erreur probable d'une latitude basée sur 8 observations de deux étoiles ne s'élève qu’à 1,10, quantité sensiblement égale à celle que nous avons déduite pour les détermi- nations de 1847, savoir 1,09. Je remarque ici que, pendant les voyages de 1848, les S—N ne montrent pas de telles périodicités que dans les opérations de l’année précédente. La quan- tité trouvée 1,10 doit donc être regardée comme la valeur réelle de J’erreur probable d’une lati- tude déterminée par 8 observations de deux étoiles situées l’une vers le Nord, l’autre vers le Sud du zénith.

Parmi toutes les latitudes déterminées en 1848, il n’y a qu'une seule, celle de Novaja- Ladoga, qui soit basée sur 8 observations d'une seule étoile méridionale. Dans ce cas la latitude directement calculée a été corrigée de — 2,90 sin z — — 1,09, et son erreur probable s'élève à 1,65. Dans cinq autres cas M. Lemm a répété en différents jours, la détermination de la la- titude, ce qui fait que l'erreur probable à craindre dans les valeurs moyennes des latitudes doit être diminuée en proportion de la racine carrée du nombre correspondant de déterminations, C'est ainsi que nous trouvons l'erreur probable

PosiTIONS GÉOGRAPHIQUES DANS LE GOUVERNEMENT DE NoYGoRop. 337

de la latitude de Tikhvin — 0,64 » » » d'Oustiouchna — 0,55 » » » de Kirilov — 0,64 » » » » Tcherepovetz — 0,78 » » » » Vologda —\ 0,78:

La comparaison des déterminations répétées de ces cinq endroits, avec les moyennes correspon- dantes, nous fournit une seconde valeur de l’erreur probable d’une détermination du poids 1, de 0,95, valeur encore plus petite que celle qui a été déduite de la discussion des S — N. Nous y puisons la conclusion que toutes les erreurs probables indiquées précédemment, sont notées plutôt trop fortes que trop faibles.

Également, dans la combinaison des résultats obtenus par le calcul direct des corrections de l’horloge d'observation, M. Wagner a eu égard à l'effet de la flexion. En adoptant la valeur de la flexion à l'horizon a, telle qu'elle a été déduite des déterminations des latitudes, chaque

a sin ?2z

angle horaire calculé t fut corrigé de la quantité dt = 45 cos @ cos Ô sint

Après l'application de ces

corrections, la moyenne arithmétique entre les résultats obtenus par les observations des étoiles à l'Est et à l'Ouest, fut regardée comme résultat définitif pour la correction de l'horloge, cor- respondant à l'époque moyenne entre celles des deux observations. En comparant entre elles les deux corrections de l'horloge, déterminées les mêmes jours par l'observation des étoiles à l'Est et à l'Ouest, M. Wagner a déduit l'erreur probable à craindre dans le résultat définitif d'une correction de l'horloge, basée sur 8 pointages de chaque étoile, — 0228. Dans mon rapport sur les opérations de 1847 je n'avais attribué, aux déterminations du temps, qu'une erreur probable de 0:12. La différence entre ces deux chiffres ne peut point surprendre, si l'on considère que, dans la valeur de 1848, il y entre encore toute la marche de l'horloge dans l'intervalle entre les deux déterminations, intervalle qui tantôt s'élevait à plus de deux heures. La marche moyenne du chronomètre d'observation n’a été que très petite en général, mais elle variait de 0,27 par jour pour chaque degré de température; ce qui le rendit absolument im- possible de l’éliminer des différences dans les déterminations du temps, correspondantes à diffé- rentes époques, séparées entre elles par des intervalles pendant lesquels le chronomètre avait été exposé souvent à des changements très brusques de température, et quelquefois à des tem- pératures très basses où l'huile sur les pivots du chronomètre devait déjà changer son état de cohésion. Il est clair que ces circonstances, quoiqu’elles augmentent considérablement l'erreur probable déduite de l'accord des déterminations du temps faites à différentes époques, ne sont d'aucune influence sur les erreurs réelles, dès que nous pouvons supposer que la marche de l'horloge d'observation a été uniforme dans l'intervalle entre les observations. En outre, l’exac- titude des corrections de l'horloge déterminées, sur différentes latitudes, par les observations des distances zénithales d'étoiles situées près du premier vertical, doit décroître en proportion de la sécante de la latitude. Or la latitude moyenne ayant été de 48° 30° pendant les opérations de

1847, et de 60° 0’ pendant celles de 1848, par cette seule raison l'erreur probable des corrections Mémoires sc. math. et phys. T. VI. 43

338 O0. STRUVE.

de l'horloge déterminées à la dernière occasion doit être trouvée plus grande en proportion de 4 à 3 à peu près, ou la quantité 0:12, trouvée pour le pays des Cosaques du Don, aurait dû être changée en 016 pour le gouvernement de Novgorod. Dans le calcul des erreurs probables des longitudes, nous avons supposé l'erreur probable des déterminations de temps — 0:20, pour rester fidèles au même principe d’exagérer plutôt les incertitudes des résultats que de les faire paraître trop petites.

Afin de parvenir à un second jugement sur l'exactitude des corrections de l'horloge, j'ai comparé, pour 82 observations, les résultats des pointages isolés avec les moyennes respec- tives. De cette manière l'erreur probable à craindre dans les corrections de l'horloge se trouve — 0100 ; mais, d'après ce que j'ai déjà exposé dans mon rapport sur les opéra- tions de 1847, la petitesse de cette quantité indique seulement l’exactitude extraordinaire des pointages et des leetures du cercle, de la part de M. Lemm, tandisque la discussion précédente nous fait voir que les erreurs probables à craindre dans les résultats définitifs sont considéra- blement plus grandes. Cette augmentation provient de l'incertitude de la flexion supposée con- stante pendant toute la durée de l'expédition, des erreurs de division du cercle, des petites varia- tions dans le lieu du zénith et d’autres causes analogues que les petites dimensions du théodo- lite employé n'ont pas permis d'évaluer exactement. Ces considérations ont suggéré l’idée d'employer dorénavant, dans les travaux de ce genre, des cercles verticaux de plus grandes dimensions, et je me réjouis de pouvoir annoncer que, par ordre du Lieutenant-Général Toutch- koff, chef du Dépôt Topographique, un tel instrument a été commandé et se trouve déjà en oeuvre chez les frères Repsold de Hambourg et que ces artistes distingués ont voué un soin particulier à la confection de cet instrument qu'ils se sont proposés de construire d’après de nouveaux principes, pour le faire répondre le plus parfaitement possible au but proposé.

Avant le commencement des opérations de 1848 tous les 8 chronomètres qui y devaient servir, avaient été entre les mains de M. Pihl, horloger de l'Observatoire central, pour être repassés et nettoyés. En général, dès qu'un chronomètre a été décomposé en ses pièces, le coefficient de compensation sera un peu altéré; en outre M. Pihl avait des raisons particu- lières pour changer exprès, dans plusieurs chronomètres, l’état antérieur de compensation. Par ces raisons les coefficients déterminés par M. Dôllen en 1847 ne valaient plus pour les opérations de 1848, et il fallait les déterminer par de nouvelles expériences. Le temps n'ayant pas suffi, avant le commencement de l'expédition, d'exécuter la série complète d'expériences, ce fut immédiatement après le retour de M. Lemm, qu'elles furent entreprises. M. Lind- hagen, astronome de l'Observatoire central, eut la complaisance de se charger de ce travail. Ayant continué les expériences avec le plus grand soin pendant 11 semaines consécutives, M. Lindhagen parvint aux résultats suivants, en désignant par y le changement de la marche journalière des chronomètres, correspondant à un changement d'un degré (Réaumur) de la tem- pérature

pour Hauth 11 y — — 0274 avec l'erreur prob. — 0022 Dent 1687 — — 0,320 » » vus) 0,045

PosiTIONS GÉOGRAPHIQUES DANS LE GOUVERNEMENT DE NovGorop. 3939

pour Dent 1730 y — 0217 avec l'erreur prob. — 0013

»1:,1739 — — 0,040 » » »y — 0,012 » 47187 — — 0,071 » » Di — 0,006 » 1808 — — 0,292 » » »u==10,012 » 1818 — + 0,082 » » »y — 0,008 » 1828 — — 0,151 » » » — 0,014

-On voit de cette liste que la méthode suivie par moi dans la combinaison des longitudes déterminées en 1847, n’était plus applicable à l'occasion actuelle. On se souvient que, dans l'occasion précédente, faute d'exactes déterminations de la température, j'avais donné de tels poids aux résultats obtenus par les différents chronomètres, qu'ayant égard à ces poids la moyenne des six résultats isolés fût de très près libre de tout effet thermométrique. Si nous avions suivi le même procédé dans le calcul des opérations de 1848, les résultats donnés par le chronomètre Dent 1818, le seul qui ait un petit coefficient positif de compensation, au- raient eu une préponderance énorme sur tous les autres, ce qui était inadmissible. Mais il est évident qu’il était également inadmissible de négliger entièrement l'effet thermométrique, parce que la moyenne arithmétique des huit coefficients précédemment donnés s'élève à — 0,160. Supposons par exemple que, dans un voyage d'une durée de 12 jours, la température moyenne pendant tout le voyage ait différé d’un seul degré de la température moyenne des premiers six jours; la longitude déterminée au milieu de ce voyage, aurait été trouvée fautive de toute une seconde en temps. Il ne restait donc pas d'autre moyen de procéder que de corriger chaque longitude isolée d'après les indications du thermomètre. Il est bien à regretter que M. Lemm n’était point pourvu d'un chronomètre non-compensé, qui lui aurait indiqué exactement les températures moyennes de chaque jour, telles qu'elles avaient eu lieu effectivement dans l'in- térieur des chronomètres. Notre chronomètre non-compensé Arnold et Dent 951 étant em- ployé dans d’autres directions, l'évaluation des températures moyennes devait se faire d'après les indications du thermomètre appliqué au milieu de la boite qui contenait les chronomètres. Au commencement de son voyage M. Lemm notait plusieurs fois par jour les indications de ce thermomètre. Plus tard, ayant remarqué que, pendant 24 heures, la température restait en général très constante à l'intérieur de la boîte qui, à ce qu'on se souvient de mon précédent rapport, était enfermée dans une seconde boîte couverte d'épaisses fourrures, notre voyageur ne fit la lecture du thermomètre qu'aux époques où il remontait les chronomètres et au com- mencement et après la fin des observations astronomiques, quand il comparait les autres chro- nomètres avec le chronomètre d'observation. Je suis convaincu qu'avec les précautions prises par M. Lemm pour abriter, autant que possible, les chronomètres contre les changements brus- ques de la température, les rares lectures du thermomètre ont suffi en général à donner la température moyenne de chaque jour, exacte à quelques dixièmes près du degré de Réaumur ; néanmoins je ne puis pas m'abstenir de recommander à tous ceux qui, dans l'avenir, auront à exécuter des opérations analogues, de vouer un soin particulier à l'évaluation exacte des tem-

*#

340 O0. STRUVE.

pératures moyennes, en répétant plusieurs fois par jour et à différentes heures, les lectures du thermomètre, si ce n'est qu'ils aient l'avantage d’avoir placé, dans la même boîte, un chronomètre non-composé. Ce dernier moyen est le plus sûr, il donne exactement la tempéra- ture moyenne dans chaque intervalle choisi et nommément la température qui a eu lieu réelle- ment à l’intérieur des chronomètres.

La correction thermométrique s'applique très simplement aux longitudes À calculées avec des marches moyennes des chronomètres, supposées uniformes pendant toute la durée du voyage. En désignant par + la température moyenne pendant tout le voyage, par +’ la tempé- rature moyenne dans la période entre le départ du point normal et l'arrivée au lieu à déter-

miner, et par m la durée de cette période, exprimée en heures, nous avons la dite correction f

d\ = y ne E y étant comme ci-dessus le coefficient de compensation déduit des expé-

riences directes.

Après l'application de ces corrections thermométriques nous avons donné, dans le calcul des moyennes, un poids égal aux résultats obtenus par les différents chronomètres, à la seule exception près qu'au chronomètre Hauth 11 qui avait servi à l'exécution des observations astronomiques, et qui, à ces occasions, avait été exposé souvent à des températures très basses et sujettes à des changements rapides, la moitié du poids des autres fut attribuée. Ces circon- stances infavorables expliquent facilement pourquoi ce chronomètre qui d’ailleurs nous est connu, depuis longtemps, comme un chronomètre de qualité supérieure, a donné des résultats moins satisfaisants que tous les autres.

Pour abbrévier les calculs des corrections thermométriques on emploiera en général, dès qu'il ne s’agit pas de déduire le poids relatif à attribuer aux différents chronomètres, au lieu des y donnés pour chaque chronomètre à part, leur valeur moyenne Ÿ, et on corrigera direc- tement le résultat moyen, eu égard, comme il faut, aux poids des chronomètres. Dans notre cas par exemple nous avons Y — — 0153 parce que nous avons donné le poids — À au chronomètre Hauth 11. Si tous les chronomètres avaient eu le même poids, Ÿ aurait été trouvé — — 0160.

Avant de procéder au calcul des longitudes des points intermédiaires, il fallait en premier" lieu fixer définitivement celles des deux points principaux Tikhvin et Kirilov. Dans ce but le chef de la section géodésique du Dépôt Topographique Lieutenant-Colonel Maxi- mov, me communiqua les longitudes suivantes des deux points fondamentaux, Borovitchi et Oustiouchna, telles qu'elles ont été déterminées par les opérations géodésiques et que, par con- séquent, nous devons regarder comme absolument exactes :

Borovitchi, église de la Glorification (Cnacs Ipeoôpaxenis) 14" 17:87 à l'Est de Poulkova Oustiouchna, église de l’Assomption (Ven‘bnie Boropoauubi) 24 24,53» » » »

Avec ces données et eu égard aux réductions locales entre les lieux d'observation et les points fixes à déterminer, le calcul direct des longitudes nous a donné les résultats suivants par les combinaisons des différents voyages, citées pag. 335.

POosiTIONS GÉOGRAPHIQUES DANS LE GOUVERNEMENT DE NoVGOROD. 341

1. Tikhvin, clocher de la Cathédrale.

1) par letIl 12" 45549 à l'Est de Poulkova 2) » ITet IV 46,36 » » » » 3) » IV, VIT et VIII 45,61» » » »

2. Kirilov, clocher de la Cathédrale.

1) par IV, VII et VHI 32” 11,21 à l'Est de Poulkova. 2) » VIII et X 10,88» » » » 3) » Xet XI 10,56» » » » 4) » XI et XII 11,56» » » »

En appliquant maintenant les corrections thermométriques d’après la formule pag. 340 et conformément aux lectures du thermomètre, données dans les journaux de M. Lemm, nous trouvons :

1) Tikhvin, clocher de la Cathédrale 12°” 44536 à l'Est de Poulkova

ANT D » De» » 44,26 » » » » 5 RE » » » » 43,87» » » » 1) Kirilov, clocher de la. Cathédrale 32 10,11 à l'Est de Poulkova 2) » » » » » » CAT OR RS » 3) » » » » » 11,00» » » » 4) » » » » » 12,045» » » » Les moyennes arithmétiques de ces dernières valeurs, prises en attribuant le poids — + à la

dernière détermination de Tikhvin et à la première de Kirilov, nous donnent les longitudes dé- finitives des deux points, à l'Est de Poulkova

Tikhvin, clocher de la Cathédrale 12” 44522 avec l’err. prob. — 0;09 Kirilov, » » » » 32 10,80 » » » — 0,36

Ici les erreurs probables sont déduites de l'accord du résultat de chaque combinaison isolée, avec la moyenne respective; mais en considérant les circonstances particulières des différentes combinaisons, les durées des voyages, les changements des températures etc., il est évident que, soit l'augmentation de l'accord pour Tikhvin, soit la diminution pour Kirilov doi- vent être attribuées à un jeu du hazard. Je crois que nous ne nous éloignerons pas trop de la vérité si nous supposons la même erreur probable — 0525 pour les deux longitudes défini- tives. Plus tard cette supposition à gagné un appui dans la discussion de toutes les différentes sources d'erreurs, qui ont pu agir sur les longitudes et qui ont donné pour Tikhvin l'erreur probable — 011, pour Kirilov — 019. La valeur hypothétique 0,25 encore plutôt trop forte que trop faible est celle que nous avons introduite dans les recherches ultérieures sur l'exactitude des longitudes des points intermédiaires.

En comparant entre eux les différents résultats obtenus avant et après l'application des corrections thermométriques, nous voyons que, pour Tikhvin, l'accord des résultats isolés a

342

0.

STRUVE.

augmenté, tandis qu'il a diminué considérablement dans le cas de Kirilov. En revanche, la

correction thermométrique moyenne de la longitude s'élève pour Tikhvin à 164, tandisque

la longitude moyenne de Kirilov n’a été changée que de 0,23. Cette correction moyenne de la longitude de Tikhvin est un exemple des plus frappants de l'importance des corrections ther-

mométriques.

Considérons maintenant ce que les différents chronomètres ont donné pour les longitudes

de ces deux points principaux. Je donnerai ici la liste complète des résultats À et X’ obtenus

par chaque chronomètre à part, dans les différentes combinaisons des voyages, avant et après

l'application des corrections thermométriques, sans y avoir ajouté les réductions locales des

lieux d'observation sur les lieux fixes.

Tikhvin, à l'Est de Poulkova. Combin. 1. Combin. 2. Combin. 3. Chronomètre. ! N À \ ms m, 5 m, S ms m, ss m, ss Hauth 11 112 443412 4236112 46,51112 42,79112 44,7812 41,66 Dent 1687 45,59 43,28 46,34 41,98 45,77 42,13 » 1730 k6,37 kk,81 47,67 kk4,71 46,62 kk,15 p «17939 44,10 L3,82 45,19 kk,65 kk,18 L3,72 » 1787 kk,78 khk,27 45,22 kk,26 43,86 43,05 » 1808 45,38 43,27 47,80 43,82 L8,05 kk,73 » 1818 kk,52 45,11 kk,39 45,31 43,42 kl4,35 » 1828 45,30 kk,21 k4,96 42,91 k4,85 k3,13 Kirilov, à V'Est de Poulkova. Combin. 1. Combin. 2. Combin. 3. Combin, 4. Chronomètre. À À 4 x À N m S m S m $ m S m S m Q m S m S Hauth 11 132 128432 10,86132 13,66,32 1158132 9,28,32 10,08132 7,8332 8,68 Dent 1687 11,67 9,37 11,32 8,89 10,12 11,06 11,29 12,28 » 1730 11,70 10,14 11,08 9,43 10,40 11,04 12,21 12,88 » 1739 9,93 9,64 9,31 9,10 10,71 10,83 12,10 12,22 » 1787 10,01 9,50 9,51! * 8,97 10,85 11,06 19,36 12,58 » 1808 11,89 9,79 11,20 8,99 10,44 11,30 10,91 11,82 » 1818 10,78 11,37 10,46 11,06 10,85 10,61 11,42 11,17 » 1828] 10,83 9,74 40,98 9,83 10,15|. 10,59 11,45 ‘11,92

, On Ja [4 , . . . , A Les sommes des carrés des différences v et v, entre les déterminations isolées À et À et Le

les moyennes respectives, s’établissent maintenant :

pour Tikhvin : Combin. 1. ZEv° — 3,60 Zv'? — 3,36

»

»

pour Kirilov: Combin.

» »

>»

2. 11,22 8,62 8. 16,67 6,56 1. 5,56 3,14 2. 8,20 5,70 8. 1,28 0,75 4. 9,41 7,40

PosITIONS GÉOGRAPHIQUES DANS LE GOUVERNEMENT DE NovGoron. 343

Nous voyons ici que, sans aucune exception, les Zv° surpassent en grandeur les Xv°, ce qui prouve que l'application des corrections thermométriques a produit un effet très sensible sur l’accord des longitudes données par les différents chronomètres, et par conséquent, qu'elle a augmenté considérablement la certitude des résultats.

Il est d'autant plus remarquable que ces corrections thermométriques, au lieu d'augmenter l'accord des résultats moyens obtenus pour Kirilov dans les différentes combinaisons, l'ont évi- demment diminué. Les coefficients thermométriques étant déterminés par M. Lindhagen avec la plus grande exactitude, nous devons attribuer ce manque d'accord, en plus grande partie, à une accumulation d'erreurs accidentelles des déterminations du temps, mais en même temps nous y trouvons un indice qui nous fait soupçonner l'existence de petites erreurs dans les valeurs acceptées des températures moyennes, erreurs produites par ce que les lectures du thermomètre, de la part de notre voyageur, n'ont pas été assez fréquentes. En comparant par exemple, les coeflicients de compensation de chaque chronomètre avec les X et X, obtenus dans la seconde combinaison pour Kirilov, il est évident, que la différence entre les tem- pératures moyennes, de tout le voyage et de sa première partie, a été supposée trop forte. Vu qu'il a été constaté par un grand nombre d'expériences, que presque tous les chronomètres changent peu à peu leur état de compensation, il y aurait lieu d'avancer l'hypothèse que les coefficients de compensation, étant déterminés par M. Lindhagen après la fin des opérations de M. Lemm, ne valassent plus exactement pour la période de ces opérations. Mais cette hypothèse tombe d'elle même parce que, dans ce cas, l'effet de l’inexactitude aurait dû être beaucoup plus sensible dans les longitudes de Tikhvin déterminées dans une période considérablement plus éloignée de celle des expériences de M. Lindhagen, que la période dans laquelle M. Lemm a fait les voyages pour la détermination de Kirilov. Mais d'un côté la petitesse des Zv? compa- rativement aux Zv”, de l'autre l’augmentation de l'accord des résultats moyens dans les diffé- rentes combinaisons, nous prouvent que, pour Tikhvin, il n'y a pas lieu de supposer la plus petite inexactitude dans les valeurs acceptées des coefficients thermométriques.

L'influence des corrections thermométriques dans l'établissement de l’accord entre les. longitudes données par les différents chronomètres, se voit encore plus favorablement dans l'exemple de la longitude de Belie-Kresti, interpolée entre les points fondamentaux Borovitchi et Oustiouchna. Ici nous avons :

À = \ —

par Hauth 11 197 35:75 197 38:93 Dent 1687 34,47 38,18

» 1730 34,37 36,88

» 1739 38,07 38,93

» 1787 38,21 39,03

» 1808 33,93 36,91

» 1818 39,75 38,82

» 1828 37,42 39,17

344

O0. STRUVYE.

Zv° s'élève dans ce cas à 34,67 tandisque Zv'°? ne monte qu’à 5,83. Nous voyons aussi

que la plus grande différence entre les différents À est de 6,22, et ne s'élève qu'à 2:29 pour les X.

Il serait trop long de donner ici tous les détails qui se rapportent au calcul des correc-

tions thermométriques des longitudes. Par cette raison je me borne à réunir, dans le tableau

suivant, les résultats du calcul de M. Wagner, en y ajoutant les données nécessaires pour

soumettre ce calcul à une vérification. Ce tableau contient :

dans la colonne I :

»

»

»

»

»

»

»

»

»

»

»

»

»

»

»

»

»

»

»

»

»

»

»

»

11 Re

III : IV :

VI:

l'indication des points fondamentaux, entre lesquels le voyage a été fait. Ici T', T’, T” etc. indiquent les différents départs ou arrivées par rap- port à Tikhvin; également Poulkova est indiqué par P, Borovitchi par B, Oustiouchna par O, Kirilov par K et Tcherepovetz par Tch *).

la température moyenne d’après les lectures du thermomètre pendant le voyage entre les points principaux.

la durée totale du voyage.

l'indication du point de sortie et du point déterminé. J'ai employé ici, pour simplifier la désignation des lieux déterminés, les numéros courants apposés, pour chaque point, dans le journal d'observations de M. Lemm.

la température moyenne, d'après les lectures du thermomètre, dans l’in- tervalle entre les observations sur le point de sortie et sur le point à déterminer.

la durée du transport du temps. Le signe négatif que nous rencontrons, sous parenthèses, dans cette colonne, pour une détermination de Tikhvin

“et deux de Kirilov, indique que, dans ces cas, le point à déterminer a servi

VII : VIII : IX :

de point de sortie, ce qui fit que la correction thermométrique calculée d'après notre formule pour le point fixe, devait être appliquée avec le signe contraire aux longitudes du point à déterminer.

les corrections thermométriques moyennes des longitudes, les Zv° calculés pour chaque point.

les Zv° calculés pour chaque point,

*) Proprement dit Tcherepovetz n'appartient pas au nombre des points principaux. Mais, pendant le voyage IX, entre OZZZ et 077, M. Lemm a observé deux fois dans cet endroit, le 3 et le 11 Août, ce qui a donné le moyen d'éli- miner la marche des chronomètres pendant l'intervalle entre les deux déterminations du temps faites sur le même endroit, et de raccourcir ainsi la durée du transport du temps. Ce procédé a eu aussi pour suite, que les longitudes des deux points Pretchistoje et Ilinskoje, déterminées dans cet intervalle du 3 au 11 Août, ont été rapportées en pre- mier lieu à Tcherepovetz, comme nous le trouvons indiqué dans la colonne IV.

}

POsiTIONS GÉOGRAPHIQUES DANS LE GOUVERNEMENT DE NOYGOROD. 345

P—T! » P—B T'— B » B— OC: »

» T'—B+O0'—T" T" É Te »

Tr — T"

»

»

» O—Ti+H-T — 0" T" ne: K:

»

»

»

»

OT TV — Or K:—0:4-0—K:1 K: Les Or

O—Tch:+-Tch7— 01" »

Tech — Tech” » Ou-—Tch:+-Tch— 0"

»

Or = Kr O: Je O" O" Le. Kw K: ue K= Ku Es K:"

VE VI. VIXL | VIII. +-122°00 R. 26%) 0541 13,7 &7 |— 0,57 13,85 94 |— 0,35 P — T(#) 14,46 119 |— 1,13 T5 18,77 51 |+-0,35 T'— 6 17,99 96 |+-0,34 EN) 16,25 51 (+ B—9 15,12 97 |+-1, B — 10 13,07 183 |+-0,74 T'— B(4") 17,43 |(—)120 |—2,10 Tr — 12 14,02 50 |+-0,03 Tu — 13 13,68 76 |— 0,10 Tu — 14 16,10 49 |+-0,3 Tu 15 16,9% 140 |+-1,89 Tu — 16 15,55 215 |+-0,9 Tu 17 15,32 240 |+-0,66 O— T'(y) 9,98 70 |— 1,74 T" — 18 15,46 39 |+-0,26 TY— 19 14,92 59 |+-0,25 T" — 20 14,52 82 |+-0,15 Tw — 21 14,65 153 |+-0,41 Ty — 22 14,55 177 |+-0,35 TY— 23 14,49 208 |+-0,27 T — 24 14,15 249 |—0,14 O'—Tr+- TV K(251) 13,36 343 |—1,10 K'— O"(25") 16,05 |(—) 72 |—1,16 K'— 26 16,17 LS |+-0,04 Om — 27 13,35 48 |+-0,02 On — 98 13,66 100 |+-0,15 Tch: — 29 14,35 20 |— 0,04 Tch!— 30 14,36 93 |— 0,13 O—Tch'+-Tch1—31) 14,04 137 |+-0,49 Om—Tch+Teh—32| 14,02 160 |+-0,55 O"— 31» 1180 48 |— 0,20 O" — 33 11,50 67 |— 0,40 O" — 3% 11,71 87 |— 0,42 O"— Kr(25") 12,43 161 |+-0,44 0" — 35 12,74 101 |+-0,0 Ki— 0"(25") 11,02 |(—) 73 | +0,48 Km — 36 11,07 73 |+-0,41 Ki — 37 10,51 99 |+-0,17 K'1 — 38 10,60 140 |+-0,35 K" — 39 10,92 193 |+-0,86 K— 40 11,20 214 |+-1,36 Ki — 41 11,35 240 |-+-1,74 Ki — 42 11,19 263 |+-1,66 Kw — 43 10,91 292 |-+-1,09

Ce tableau nous montre le mieux toute l'importance des corrections thermométriques. 11 nous fait voir que ces corrections ont altéré de près de quatre secondes en temps, les longi-

Mémoires sc. math. et phys. T. VI.

4%

346 O0. STRUVE.

tudes relatives de quelques points situés dans le même gouvernement et pas même en grande distance l’un de l’autre. En outre nous voyons que les Zv° (col. IX) sont beaucoup plus petits que les Zv° (col. VII), dans tous les cas où ces derniers étaient considérables. La somme totale des Zv° s'élève à 449,21, celle des Zv° seulement à 208,09. Cela prouve donc qu’en général les corrections thermométriques ont très efficacement contribué à établir un accord plus parfait entre les résultats donnés par les différents chronomètres pour chaque point à part, et nous donne, par conséquent, la conviction que réellement les longitudes réclamaient les corrections que nous avons évaluées. Dans d’autres cas où les Zv° eux mêmes sont peu considérables, les Zv° sont tantôt un peu plus grands tantôt plus petits. Cela tient surtout à ce que, dans ces cas, les températures moyennes n'ont pas été reconnues assez exactement, de sorte que les erreurs produites par les inexactitudes des températures, sont du même ordre que les erreurs provenantes des variations accidentelles ou des sauts dans les marches des chronomètres. Le dernier voyage, XIII, K'! à KV, fournit un autre indice très prononcé pour nous faire supposer que les tempé- ralures moyennes n'ont pas été reconnues toujours avec toute l'exactitude désirable. Il ne s’agit que d'examiner attentivement les résultats isolés trouvés par les différents chronomètres. Nous avons par exemple pour Poltchenski (41)

A — À =

par Hauth 11 07 30:64 07 33:77 Dent 1687 29,58 33,23

» 1730 28,74 31,21

» M7 39 34,67 35,13

» 1787 33,30 34,11

» 1808 28,73 32,06

» 1818 37,18 36,24

» 1328 31,65 33,37.

Dans ce cas les À se rangent presque strictement dans l'ordre de grandeur des coefficients de compensation. Dent 1818, le seul chronomètre qui avait le coefficient positif, a donné la plus grande longitude, suivent Dent 1739 et 1787 qui ont le coefficient presque zéro, et les plus petites longitudes sont données par les chronomètres qui ont le coefficient négatif le plus considérable. La même succession obtient encore, mais en plus faibles proportions, dans les \’. Nous en concluons que les corrections thermométriques, évaluées d'après les lectures des ther- momètres, n'ont pas encore été suffisantes, et il paraît que l’origine de l'inexactitude peut être indiquée avec beaucoup de probabilité. Dans le premier temps de ce voyage, M. Lemm a fait la lecture du thermomètre deux fois par jour, à midi lorsqu'il montait les chronomètres, et le soir avant et après les observations. Dès qu'il remarqua que la température, dans l'intérieur de la boite, était tombée au dessous de + 6° R., M. Lemm mit fin à ses opérations et se dépécha de retourner directement sur le point de sortie, Kirilov. Pendant ce voyage de retour il ne faisait, les derniers jours, la lecture du thermomètre qu'une seule fois par jour vers le midi où

POSITIONS GÉOGRAPHIQUES DANS LE GOUVERNEMENT DE NoOVGOROD. 347

la température est la plus élevée. Il s’en suit qu'il a dû trouver la tenipérature moyenne pen- dant tout le voyage trop haute et cette conclusion est confirmée par les résultats donnés par les différents chronomètres. Réellement nous voyons qu’en abaïssant encore un peu cette tem- pérature moyenne, nous aurions pu produire un accord presque parfait dans les X.

Nous passons maintenant aux résultats de nos calculs sur les opérations de M. Lemm. Je donnerai directement les positions réduites sur les lieux fixes. Quant aux erreurs probables des latitudes, voyez ce qui a été dit pag. 336 et 337 de ce rapport. Les erreurs probables des longitudes ont été calculées à part pour chaque point et se trouvent indiquées dans le tableau des résultats. Ce calcul des erreurs probables demande encore quelques explications. Pour les opérations de 1847 j'avais calculé les erreurs probables des longitudes des points intermédiaires

par la nn approximative :

ë 9 12 2 19 CEA 0 ++ h7

Sur l'origine de cette formule voyez mon rapport sur les dites opérations pag. 251. Cette formule n’était plus applicable au cas actuel par les deux raisons suivantes 1) parce que nous avons ajouté à chaque longitude isolée, la correction thermométrique 2) parce que les longi- tudes des deux points principaux Kirilov et Tikhvin doivent être regardées comme déterminées indépendamment l’une de l’autre. Or en retenant autant que possible les désignations de la formule antérieure, une nouvelle formule s'établit :

em Vf+h + RE PE (i+i)?

Ici f désigne l'erreur probable de la longitude en tant qu’elle dépend du transport du temps

et qui se prononce dans l'accord des résultats obtenus par les différents chronomètres, + l'inter- valle entre les observations sur le premier point principal et sur le lieu à déterminer, à l'inter- valle écoulé entre les observations sur le lieu déterminé et sur le second point fondamental, de sorte que ii — J donne la durée totale du voyage. Les erreurs probables des corrections de l'horloge sont désignées : pour le point intermédiaire par h, pour les deux points principaux par x et x et celles des longitudes des points principaux par y et y. Naturellement la formule précédente a éprouvé quelques legères modifications dans des cas particuliers. Si, par exemple, le point intermédiaire fut déterminé par le retour sur le même point principal d’où l'on était sorti, la formule prend la forme

EVf+-h + + re,

Aussi dans tous les cas, où, pendant le même voyage, le retour sur le même point avait permis d'éliminer les marches des chronomètres dans l'intervalle correspondant, les erreurs _ probables des deux déterminations de temps à l’aide desquelles cette élimination pouvait être effectuée, devaient être introduites dans la formule. On pourrait croire que, par ce procédé d'élimination, nous avons sans besoin augmenté les erreurs probables des déterminations, mais

x

348 0. STRUVE

l'expérience prouve que les f ont diminué en plus forte proportion, de sorte que l'erreur pro- bable définitive de la longitude est ressortie considérablement plus petite après cette élimination.

Il me reste d'indiquer les valeurs numériques des quantités qui composent le second membre de la formule précédente. Les f ont été déduits, dans tous les cas, de l'accord des longitudes données par les différents chronomètres, avec les moyennes respectives. Pour toutes les corrections de l'horloge h, x et y nous avons supposé la même erreur probable — 0:20 (voyez pag. 338) etc. Les longitudes de Borovitchi et d'Oustiouchna fournies par les opéra- tions géodésiques, furent regardées comme absolument exactes, de sorte que, par rapport à ces deux lieux, nous avons adopté ÿy—Y — 0. Par rapport aux longitudes de Tikhvin et de Kirilov, les erreurs probables y, y furent supposées — 025 (voyez pag. 341). Certainement il y a beaucoup de vague dans l'assignation des valeurs numériques des différentes erreurs probables qui constituent l'erreur probable de la longitude d'un point intermédiäire, mais il n’en est pas moins sûr que toutes les valeurs numériques ont été supposées plutôt trop fortes que trop faibles, pour ne pas nous faire reprocher d'avoir surestimé l'exactitude de ces déter- minations.

Tableau des positions géographiques déterminées par les opérations de 1848.

Longitude à l’Est

Latitude de Poulkova € de Greenwich 1. Novaja-Ladoga (Hosaa JJazora), église de St Clément." 07202 Encre 60° 635,2 0* 7" 56:54 0:28 2:97 15591 2. Roshestvennoje (Poxecrseuuoe), église 60 25 15,8 10 40,91 0,29 11 59,58 3. Voskresenskoje(Bockpeceucxoe).église 59 51 2,2 10 16,96 0,3% 11 35,63 4. Tikhvin (Tuxeuu?), clocher de la cathé- GIE CS RARE GMAO a de 26 5 His 59 38 47,2 12 44,22 0,19 14 2,89 5. Tchernoj, (epuoü), clocher de l'église 59 16 10,0 14 41,02 0,30 15 59,69 6. Beloj (Bhuoü), église ................ 58 48 29,5 12 14,65 0,27 13 33,32 7. Borovitchi (Boposuuu), église de la (EI OT BST RME DODDAU no sde 5823 3,2 (14 17,87) — 15 36,54 8. Migolichtchi (Muroanmu), église .... 58 49 49,7 15 40,14 0,28 16 58,81 9. Bélie-Kresti (Bharie Kpecrni), clocher de lÉDiSe ee RTE EEE PR eee 59 4 43,6 19 38,26 0,33 20 56,93 10. Kirvofskaja (Kupsosckaa), église con- Striite ER pierres. eee 58 42 23,6 20 43,19 0,32 22 1,86 11. Oustiouchna (Verwxma), église de ; l'Ascension J'ai: NMRENENERNeRe 58 50 48,1 24 24,53 — 95 43,920 12. Polevitchi (Tlouesnau), église ........ 59 18 41,2 10 45,12 0,35 12 3,79 13. Oskouja (Ocrya), église ............. 59 16 39,3 7 3,82 0,36 8 22,49 14. Ouchtovitchi (Vmrosuuu), église. .... 60 7 11,8 14 12,78 0,38 15 31,45

15.

16.

47:

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33. 34.

LD

PosiTions GÉOGRAPHIQUES DANS LE GOUVERNEMENT DE NOVGOROD.

Pachosero (Iamosepo), église construite en pierres ....... AR a RReR Koïgouchi (Koürymu), clocher de Messe ma me ui SN. rare Oserskaja (Osepcxaa), clocher de l'église Somino (Comuuo), clocher de l’église .. Korobichtche (Kopoônme), clocher de IF) NOÉ CERTA CR SRE CES Kolochemskoje (Kozomemceroe), clo- chemderliéghisetenn. oi mes Voskresenskoje (Bockpecencroe), colis LE +0 RES. do ac Komonevskoje (Komomescroe), clocher dedédiSo.. sein. Ouroserskoje (Vposeperoe), clocher JeRROPHSB 2e dus sece cena Biélosero (Bbzosepo), clocher de la ca- NU PL SOPRANO ROC TE Kirilov (Rupuaor), clocher de la ca- NEURAIGN Ne PARLE. eee de Grichkino (Tpumxumo), clocher de l’é- glise construite en pierres............ Jelesno-Doubrovskaja(#kKerbsno-Ay- Gposcraa), clocher de l'église........, Tcherepovetz (epenosens), clocher de la cathédrale ..... pe VER ER A à 2 Pretchistoje (Ipeuucroe), clocher de MOIISERTE SRE SR RL ee Iljinskoje (Hasuucroe), clocher de l’é-

Vologda (Bouoraa), clocher de la ca- RÉ UT AIRE es ane Blagovéchtchenskoje (Baarorbmeu- croe), clocher de l’église. .......,.... Otvodnoje(Orsoamoe), clocher de l’église Dmitrievski (Amurpiesckiü), clocher de RÉDISCRRRRR EANRRERRREn k..…

Latitude

Longitude à l'Est

de Poulkova

60° 1°46/9 0*17" 11:21

59 40 11,2 59 37 19,4 59 20 37,9 59 41 18,6 60 2 37,9 59 49 23,5 60 5 46,6 59 52 8,7 60 1 55,6 59 51 30,1 58 57 38,4 59 12 27,9 59 7 7,8 59 21 38,4 59 33 59,6 59 13 26,9

59 5 53,8 99 29 58,4

59 44 28,1

17, 15 18 20

21

22

24

28

29

32

27

23

30

27

24

38

39,39 58,24 10,26 37,10 21,16 57,15

0,44 12,97 49,09 10,80 11,27 36,82

25,36

39,21

€

349

de Greenwich

0:44 2/18"29:88

0,39 0,39 0,36

0,35

18

17

19

21

22

24

25

29

31

33

28

24

31

28

26

39

39 38

36

58,06 16,91 28,93 55,77 39,83 15,82 19,11 31,64

7,76 29,47 29,94 55,49 44,03 53,88

0,77 32,94

13,31 13,08

37,32

3950 O0. STRUVE.

Longitude à l'Est Latitude de Poulkova € de Greenwich 39. Ivanovskoje ({sauorscroe), clocher de

DÉSNS CRAN NT ER 59°29"47,9 0* 30" 30:28 0:34 2:31"48,95 36. Vachki (Banu), clocher de l'église ... 60 17 30,1 30 20,57 0,44 31 39,24 37. Iljinskoje(Hasuucroe),clocherdel'église 60 25 49,1 27 49,46 0,59 99 8,13 38. Indoma (Muzoma), clocher de l’église.. 60 31 47,6 29 43,79 0,54 31 2,46 39. Tchernoslobodskaja (epnoc10604-

ckaa), clocher de l’église. ............ 60 47 21,0 29 46,29 0,52 31 4,96 40. Bolchechalsk (Borsmemaucrs), clo-

cher'de l'épliser PUR TERRE 60 56 39,1 32 45,90 0,49 34% 4,57 41. Poltchenski (Ioasseucriü), clocher de

OS CS AR EN Ed PR ARS se 60 41 30,9 32 44,36 0,53 34 3,03 42. Pritchistensko;j (Ilpuancrencroü), clo-

chér'deénliseein it), SERA LERRRNTE 60 25 8,2 33 31,16 0,52 34 49,83

43. Popovo (Ilono8o), clocher de l'église .. 60 10 2,8 33 19,78 0,47 34 38,45

La valeur moyenne de toutes les erreurs probables des longitudes se trouve — 0535, ce qui correspond, sous la latitude moyenne de 60”, à une distance linéaire de 38 sajènes environ. Or, en comparant ces quantités avec les erreurs probables des longitudes déterminées dans le pays des Cosaques du Don, nous voyons que, sous le rapport de l'exactitude, les opérations de 1848 l'ont remporté sur celles de 1847. Cette augmentation d’exactitude doit être attribuée d'un côté au plus grand nombre de chronomètres, d'autre côté à l'introduction des coefficients thermométriques de compensation, dent l'effet sur les erreurs probables n’a été qu’estimé à . l'occasion précédente et probablement en raison trop faible; c’est à dire probablement toutes les erreurs probables indiquées dans 'mon rapport sur l'expédition de 1847, sont données un peu trop fortes.

La remarque (pag. 346) que les longitudes données par les différents chronomètres dans le voyage XII, K!!— K!Y, pouvaient être amenées à un accord beaucoup plus parfait si l’on changeait un peu les relations des températures moyennes pendant tout le voyage et pendant les intervalles écoulés entre le départ du point fixe et les arrivées sur les lieux à déterminer, fit naître l'idée d'évaluer exactement par quel changement relatif de ces températures moyennes le meilleur accord pouvait être produit. Ce changement des températures impliqua naturelle- ment un changement correspondant des longitudes elles-mêmes. Le problème à résondre était une des plus simples applications de la méthode des moindres carrés. Il y avait pour chaque longitude 8 équations de condition à deux inconnues, dont la première avait toujours le même coefficient — 1, et la seconde un coefficient égal à celui du coefficient de compensation du chronomètre y, multiplié par l'intervalle en jours, entre le départ du point fixe et l’arrivée sur

. " . Q m s . ñ a le point à déterminer ou par ;7 (pag. 340). M. Wagner après avoir essayé cette méthode

sur le voyage XIII et ayant reconnu que les Zw° diminuaient très considérablement, étendit le

PosITIONS GÉOGRAPHIQUES DANS LE GOUVERNEMENT DE NoOvGoRoD. 351

calcul sur tous les voyages et parvint aux résultats présentés dans le tableau suivant. Ici l'ordre des déterminations est le même que dans le tableau pag. 345 ; les points déterminés sont indiqués par le numéro courant du journal de M. Lemm. Les corrections des longitudes se trouvent dans la colonne dX et le changement de la différence des températures moyennes ou de (r —+) dans la colonne dr — +). Enfin 2v'? indique la somme des carrés des erreurs restantes des équations après la substitution de dX et de d(r — +).

be a COL en EE 1 + 0,03 — 0520 0,54 2 +- 0,02 — 0,08 1,69 3 + 0,34 — 0,56 0,33

4 +- 0,62 — 0,80 2,19

5 +0,03 +0,09 0,70 6 — 0,09 —0,15 0,06 8 a 097 0 86 117 1,16 9 +0,54 +0,89 3,92 10 +- 0,57 + 0,63 2,38 4 +0,90 +0,81 3,86 12 + 0,05 +0,17 0,08

13 +0,02 —0,06 0,02 14 +0,05 +0,22 1,40 15 —0,91 —1,02 2,23 16 —0,60 —0,45 0,85 AT ‘ —0,50 —0,34 1,25

WU +0,32 —0,73 5,82 18 +0,06 +0,28 1,51 49! 02:04 0,81 1,41 20 —0,27 —0,51 0,80 21 — 0,20 —0,22 0,64 22! (1028 20,2% 1,15 99 VE up 26h 0 20 ‘4,73 24 0,00 0,00 0,49 257 +0,36 —0,16 2,43 250 +0,36 “+0,81 5,01 26 —0,06 —0,20 0,08 27 l:-0,03 +0,03 1,2 28 0,18 —0,26 2,49

ap gipt 40,10" 0:18 30% 00 20:0% +0,06 L 0,57

352 | O0. STRUVE.

Lieu

déterminé av d(r—7) 2°? gi 220039 0035 MS i6e 32 0,38" [2000 36 Maryse SAN ge NE RD Me 33 — 0,26 +0,62 0,22 34 — 0,23 +0,43 0,28 DEN 02 0 19 ND C6 Me 85 +0,21 +0,33 0,50 251Y 0,00 0,00 7,40

36 +1,38 +3,00 2,66. 37 +- 1,80 + 92,61 5,89 38 +1,65 +1,85 3,65 39 + 1,51 + 1,25 1,85 40 +1,26 +0,92 2,58 A1 + 1,43 —+ 0,9% 6,15 42 + 1,21 +0,72 7,49 43 + 0,86 +0,46 4,29

On voit qu'à l’exception du dernier voyage, les d\ ne s'élèvent en général qu’à peu de dixièmes de seconde et sont considérablement plus petits que les corrections thermômé- triques données dans la colonne VII, du tableau pag. 345. Aussi les d{r'—+) ne surpassent pas les limites des incertitudes qu'on doit admettre dans les évaluations des températures moyennes, par suite de la rareté des lectures du thermomètre. Mais dans le dernier voyage ce’ n’est plus le cas. Les énormes différences entre les températures moyennes observées et les températures indiquées par l'évaluation du meilleur accord entre les longitudes fournies par les différents chronomètres, prouvent l'existence de causes perturbatrices particulières dont je crois avoir trouvé l'explication dans les circonstances suivantes. Nos expériences ayant dé- montré que les marches des chronomètres deviennent irrégulières, par suite du changement de l'état de cohésion de l'huile qui se trouve sur les roues et les pivots des chronomètres, ce qui arrive dès que la température s’abaïsse au dessous de + 5° R., M. Lemm a eu soin de ne pas laisser tomber la température dans l'intérieur de la boîte au dessous de cette température. Dans ce but, lorsqu'il remarqua que la température s'approchait de cette limite inférieure, il faisait transporter les chronomètres dans une chambre chauffée. Nous voyons, par exemple, qu'à l'époque des observations d'Ilinskoje, le 7 sept., la température de l’air était près de zéro, tandisque celle des chronomètres était au dessus de + 10° R., plus haute même qu’elle n'avait été à midi. Certainement cette précaution de la part de M. Lemm ne peut qu'être louée, mais il est à regretter qu'il n’a point pris aussi la précaution d'augmenter le nombre des lec- tures du thermomètre qui, par ce brusque changement des circonstances extérieures, ont dû subir des variations très rapides. Dans ces cas nous nous trouvons hors d'état d'évaluer même,

PoSsiTIONS GÉOGRAPHIQUES DANS LE GOUVERNEMENT DE NovGoron, 353

approximativement les températures moyennes d’après les rares lectures du thermomètre, faites par notre voyageur ; il faudra donc se tenir aux différences des températures, indiquées par les chronomètres eux-mêmes, C’est ici un exemple frappant de l'importance d'ajouter, dans des opérations analogues futures, aux chronomètres qui servent pour le transport du temps, toujours un chronomètre non-compensé, pour nous indiquer exactement les températures moyennes dans lesquelles les autres chronomètres se sont trouvés pendant les voyages. Une répétition plus fréquente des lectures du thermomètre ne pourrait guères donner qu'une pre- mière approximation à la température moyenne dont la valeur la plus probable devrait être déduite par une intégration ou quadrature mécanique, opération trop compliquée pour être exécutée à chaque occasion. Cette quadrature mécanique est, pour ainsi dire, exécutée par le chronomètre non-compensé dont la marche, évaluée à l'aide des comparaisons avec les autres chronomètres, nous donne les varialions successives de la température multipliées par les intervalles correspondants.

La somme totale des Zv°? se trouve — 97,80, ce qui donne une diminution de 110,29 par rapport à la somme des Zv”. De ce nombre, 83,67 tombent sur le seul dernier voyage et le reste, de 26,62, se répartit sur tous les autres douze voyages. 11 s'en suit que pour les autres voyages l'accord des longitudes n’a pas beaucoup gagné par l'emploi de la méthode des moin- dres carrés et nous devons nous féliciter d'avoir ici une preuve satisfaisante de l'exactitude très approchée de nos corrections thermométriques.

Par cette raison et vu que, dans cette déduction, chaque petit saut accidentel dans la marche d’un chronomètre quelconque altère l'évaluation des températures, je suis d'avis que, pour les premiers douze voyages, il faut se tenir aux résultats donnés dans notre table pag. 348. Mais, pour le dernier voyage qui s'étend sur les points 36—43, les corrections dX doivent être ajoutées aux longitudes données dans notre table. L'exactitude approchée de ces corrections peut être estimée par les erreurs probables, déduites des Zv”?, eu égard naturellement aux poids relatifs des deux inconnues. Nous trouvons ainsi, dans le dernier voyage,

l'erreur probable de d\ de d(t'—t) pour le point 36 0:23 0538 » Di » JL 0,38 0,46 D DD D 00 0,29 0,26 D. HR D 90 0,20 0,13 » » » 40 0,22 0,13 » ON» AT 0,39 0,19 D. AD) 42 0,43 0,20 D... DD AS 0,33 0,13

Pour ces huit points les d\ (pag. 352) sont en général trois à six fois plus forts que leurs

! Q . erreurs probables, et par rapport aux d(r —+) la proportion est encore plus grande. Quoique Mémoires sc. math. et phys. T. VIII, 45

354 O0. STRUVE.

je n'hésite pas, à ce que je viens de dire, d'adopter Îles dN pour le dernier voyage, il reste néanmoins à désirer que ces corrections trouvassent une confirmation ultérieure par une déter- mination répétée d’une de ces longitudes, si une occasion favorable s’y prête.

Aussi dans quelques cas particuliers des autres voyages la différence entre les Zv°? et les Zv'? pourrait paraître trop considérable pour ne pas nous engager à supposer qu'au moins en partie les d\° soient réels. Mais si l'on veut appliquer les corrections dans ces cas particuliers, nous ne sommes plus en droit de les rejeter pour les autres déterminations et nous devons procéder en corrigeant en premier lieu, les longitudes des points principaux Tikhvin et Kirilov, dont les corrections influencent naturellement celles des points intermédiaires. Notre liste pré- cédente nous donne les corrections suivantes des longitudes

: de Tikhvin de Kirilov pour la combin. 1. d\ — + 0:62 pour la combin. 1. +0;36. 2, + 0,90 2. +0,36 à. + 0,32 3. —0,12 4 0,00 d'où nous tirons, en donnant de nouveau le poids — À à la dernière combinaison pour

Tikhvin et à la première pour Kirilov,

le d\ moyen pour Tikhvin — + 0:67 » » » » Kiilovy = +0,12

Par l'application des corrections précédentes l'accord entre les différentes longitudes de Tikhvin sera un peu diminué. En revanche celui des longitudes de Kirilov a un peu gagné. Nous en déduisons maintenant pour Tikhvin l’err. prob. — 017, pour Kirilov — 0:30, pro- portion plus favorable que celle que nous avions trouvée précédemment pag. 341.

En combinant les d\ des points principaux, comme il faut, avec les dX trouvés pour les autres points, nous parvenons aux corrections définitives des longitudes données dans la liste suivante, auxquelles j'ai ajouté aussi les erreurs probables, telles qu'elles se déduisent maintenant par la formule pag. 347, après avoir traité les Zv°° suivant les règles de la méthode des moindres carrés.

Lieu déterminé

1 + 0516 0:29 + 0,29 0,33 +- 0,81 0,34 + 0,67 0,21 + 0,41 0,31 + 0,05: 0,27 + 0,37 0,29

dx” &.

d © O1 à Co 9

POsITIONS GÉOGRAPHIQUES DANS LE GOUVERNEMENT DE NOVGOROD. 399

Lieu x À Pa di” déterminé

9 +054 0:37 10 PRO TRe U 12 PME ann 0,39 137 70060 056 14 "6 @r2, 0,40 15 7 24 0 16 ge 0074n 0,38 Pr PR D 00 18 +0,66 0,38 19 0,43 0037 20! 605280 03% 21 +0,16 0,32 22 +0,04 0,34 20 0:01 097 du à 016: «410,97 25 +0,12 0,18 26 +0,02 0,28 27 —0,03 0,31

£.

28 _—0,18 0,33 29 —0,19 0,43 80 —0,22 0,42 81 "20,22 0,24 32 —0,38 0,34 83 0,210 © 10,28 SR 0 ME | 0,30

39 + 0,31 0,34 36 + 1,50 0,42 37 +1,73 0,54 38 + 1,77 0,47 39 + 1,63 0,40 40 + 1,38 0,49 41 + 1,55 0,51 42 + 1,33 0,53 43 + 0,98 0,47

En ajoutant maintenant les corrections déduites pour les positions déterminées pendant le dernier voyage, aux longitudes correspondantes données dans le tableau précédent, nous avons, pour les derniers 8 lieux, en définitive, les coordonnées géographiques suivantes :

396

36. 37. 38. 39.

40. 41. 42. 43.

O0. STRUVYE.

Latitude

Vachki (Bamkxn)....... sms 0007001 Iljinskoje (Hivuueroe). ......... 60 25 49,1 Indoma (Huaoma) ..... ........ 60 31 47,6 Tchernoslobodskaja (Hepaoc10-

Gozackaa)...... <te-hes-ebe-- 00 AT 21,0 Bolchechalsk (Boasmemauers) .. 60 56 39,1 Poltchenski (Tousaeuckiü)...... 60 41 30,9 Pritchistenskoj (Ipuuucreucroü) 60 25 8,2 Popovo (Touo8o)....... Nec 60 10 2,8

Longitude à l’Est

de Poulkova 0 30” 22:07

27 29

29 32 32 33 33

51,19 45,56

47,92 47,28 45,91 32,49 20,76

€ 0;42 0,54 0,47

0,40 0,49 0,51 0,53 0,47

de Greenwich

2} 31" 4074 29 9,86 31 4,23 31 6,59 34 5,95 34 4,58 84 51,16 34 39,43

Pour les lieux déterminés pendant les autres voyages, il faudra, pour le moment, adopter les positions telles qu'elles sont données dans le tableau précédent (pag. 348).

UEBER

DIE RUSSISCHEN TOPASE

VON

N. v. KOKSCHAROW.

GeLzesen AM 7. DEecEmBer 1855.

(Mit 40 lithographirten Tafeln}.

$ ROUE _ on ‘#h Li Wii, : F D à ef che: MDN} ii : L PR" CAN EE « CPS" à °# { .! ; LR CE pe CLÉ AANMRASTO TS NL CAR tr { L han sf A} : HW; k \

UEBER DIE RUSSISCHEN TOPASE.

Der Topas findet sich in Russland : im Ural und im Nertschinsker Gebiet.

Mit Recht gehôrt hierher die Bemerkung, dass die an verschiedenen Orten Russlands vor- kommenden Topase durch ihre Grüsse, Vollkommenheit der Krystallisation und durch ihre Durchsichtigkeit zu den Schünsten gehôren, welche bis jetzt bekannt sind.

An Krystallen des russischen Topases haben sich folgende Formen bestimmen lassen :

Rhombische Pyramide.

In den Figuren. Nach Weiss. Nach Naumann. Pyramiden der Hauptreihe. i (a A AD290) Mihe oux +2 u (a : 2b : 2c) 1P 0 (a Nb NC) P L e (a : Àb : 1e) mP Brachypyramiden. SOL se Lu (AR IDR Le) 1P3 t (£a.:.1b: 0) 3P3 x (ja : ib: 0) 2P2 v (ta : 4b : 0) . 2 r (a : 1b : c) . 2P2 Makropyramide. goubeil ous dpaià nbultse): 2% schuet mob MP

Rhombische Prismen.

Hauptprisma. Niue Ne dons: (bis eh. en

360 (4 N.v. KOKSCHARO W.

In den Figuren. Nach Weiss. Nach Naumann. Brachyprismen. m (œa : $b : c) <P3 | (oahe,, 2h rie), 41 18m pe v,E (on :44busue) sur eh oil nt: (œa : 1b : 0) xP4 Domen. Brachydomen. B. : (la : b : œc) IP ce (a : b : +c) 2P> ie (a : b : +c) Pæ voi (a : Zb : ec) . $P> k- 08 (a : 3b : c) + 5P> ve (a : 1b : œc) . 2P& AR (a : 4b : œc) . 4P> Makrodomen. h 14" 08 MEME) 1Pœ d'u. 4 (a eh) Pæ

Pinakoide.

Basisches Pinakoid. P. à ee « N - Latiehrc)igiffe ©" , Lol

Brachypinakoid.

CUS 02 NUM D toc) CONS

Aus allen den angeführten Formen sind our zwei, e und q nicht mit ganzer Gewissheit bestimmt worden. Die Flächen der rhombischen Pyramide e (Fig. 10) habe ich nur an einem einzigen grossen Krystalle aus Mursinka, der sich in der Sammlung des Museums des Bergin- stituts belindet, beobachten kônnen. Da aber diese Flächen ziemlich schmal und rauh waren und da bisher unter allen den hundert Krystallen, die durch meine Hände gegangen sind, sich mir nie die Gelegenheït geboten hat dieselben zu beobachten, so scheint es mir dass die Form e noch mit grüsserer Entschiedenheit bestimmt werden muss. Vielleicht kommt ihr der Aus- druck 2P zu. Die Flächen der rhombischen Pyramide q (Fig. # und 5.) findet man an einem ziemlich grossen Krystalle aus dem Ilmengebirge, welcher in der Sammlung des P. A. v. Ko-

UEBER DIE RUSSISCHEN TOPASE. &) 361

tschubey zu sehen ist, so wie noch an einigen wenigen Krystallen im Museum des Berginsti- tuts. Da aber die Flächen dieser Form ebenfalls rauh sind, so konnte man sie auch nicht mit ganzer Sicherheit bestimmen. Wenn die Combinationskante mit der Combinationskante : pa- rallel ist, wie es mir geschienen hat, so muss die Fläche q durch das Zeichen ?P2 ausgedrückt werden. Was die Form yÿ anbelangt so erhält man für dieselbe aus den Messungen mit dem gewühnlichen Wollastonschen Goniometer einen sehr complicirten Ausdruck, obgleich ihre Flä- chen ziemlich glatt und glänzend sind, wie ich dies an einem Krystalle vom Flusse Urulga (Ner- tschinsk) aus der Sammluug des A. B. v. Kämmerer zu beobachten Gelegenheit hatte. Die an- näherungsweisen Messungen ergaben nämlich folgende Resultate : y: f —= ungefähr 176° 25’ y: y = ungefähr 165° 0 y: u— ungefähr 136° 16’ Wenn man diese Messungen in Rücksicht nehmen will, so ist für Y der passendste Ausdruck SP und in diesem Falle erhält man durch Rechnung: v: {= 176° 10 41” y:7—= 165 7 57” yviu— 135° 58 28” Die wichtigsten Combinationen der oben genannten Formen der russischen Topaskrystalle sind auf Taf. J, I, II, IV, V, VI, VIE, VIN, IX und X, in schiefer und horizontaler Projection dargestellt, nämlich :

Fig. { und { bis) oP. P

tKl—

E So

.&P , &P2 . 2Po . Po. 21 . ob , IPB, Po. M: , 4 ae .f y c hd

Fig. 2 und 2 bis) oP.1P.1P.P.P .xP2 . 2P+. P.2P> . 4Pæ. Po. 1P>.P+,. B 4% à, 0, "MA ad °T y h dl

Fig. 3 und 3 bis) 0P.1P.1P.P.P . 2P2 . «P2,

ES 0 MC l a Fig. 4 und 4 bis) oP.1P.1P.P.xP.P2,1P3,3P3.1Pc. 2P. Pa, 2Ps Ps, mPn, 1Po.Pæ, CA. à 4 CRT RS ESS

P'i uo M 1 AL SN

Fig. 5 und 5 bis) IP.P,xP .xP2, 2P . Po. 2P> , x. mPn.P>. u.0 LM 44 a - f \ c q d

Fig. 6 und 6 bis) oP.1P.1P.P , P3 .xP2 . Pa, PE? 4j

Fig. 7 und 7 bis) oP . 1P.1P .P.P . œP2 . &P3 . 3Pæ . Pa . 2Pco . Po. 1Po , Po. Re PO il g a f \ c h d

Mémoires sc. math, et phys. T. VIII. 46

m À

362

Fig.

Fig.

Fig.

Fig.

Fig.

Fig.

Fig.

(6)

«16 u.16 bis) oP.

P

. 17 u.17 bis) oP .

P

2 u

19 u. 19 bis) oP . 1P.1P .P .P . &P2 . 2Pe . Po , 2Po . u f Y

P

. 20 u.20 bis) 1P.

2

N.. KOKSCHAROW.

8 und 8 bis) o0P.1P.1P.P.œP . 2P2 . xP2 . «P4 . 21e. Po. 2Po, 4Pco . JP. Poo. PT OU O0 CNE l out D ta munie Bale à hétan: dou 9 und 9 bis) oP. 1P.P.P . xP2 . «P3 . 3P3 . 21e . Poe. 2Poo . wPao. Po, P., ù. où, Mu g t a tif y €, yr d 10 u. 10 bis) oP.4P.1P.P.mP.>P.2P2.P2. P2 . ©P3 . Po . 2Poo. Po. 1Poo. Pro POUR PO ET MT ET l Lots rh ds à € OH 4 1fu.1f bis) oP.1P.1P.P.P. 2P2 . @P3 . ©P2 . œP3 . P4, Poo. ooPo . Pa . P + 06, MN Lx m 1 g n, UV c' 4 .12 u.12 bis) oP . 1P . AP . P . 2P9 . @P2 . 8P3 . Po . Po , | JL u M x I tu :£ c .13u.13 bis) oP . 1P .P. &P . «P2 . 2Poo . Poo . 2Poo . Pos . APoo . Po . P u:.0". Mr, 01 a f \ (3 h d .äu. 14 bis) IP .1P PP . P2 . 21e . Po . 2Poo + Po i u o M L a f \ C .15u.15 bis) 1P.1P.P.P . @P2 . 2Po , Poo . 2Poo . Pa . Boo . ht (0,0 UMA d'A E y M

P.P.xP .P2 .2P2. xP2 . Po . «Ps . Po, 0 M2 r | 4 € d

P.P.P.P2, 3Po ,. Ps , Po. o M l k e d

.18u.18 bis) 1P . P. œoP . œP2 . Po . 2, O0

MO TOME y

0 M 1 a PSP: SP ES" PS pe :

u' 0 M. °l, À y d . 21 u.21 bis) 4P . 1P . P : œP . oP2 . Po. 2Ps . Po. 1 Bt OPA MEME UE | Ain 22 u.22 bis) ©P . xP2 . «P3.. Po M I CAE à 23 u.23 bis) oP . P. P . Pæ

UEBER DIE RUSSISCHEN TOPASE. Fig. 24 u.24 bis) oP . xP2 , xP3 . Po . 2P . M |! S af y Fig. 25 u.25 bis) 1P . &P . &P2 . Po. u M "tft Fig. 26 u.26 bis) oP . 1P.1P .P.œP . «P2 , Po . 2Po . oPoo . 1Poo . Po Pa don MMA T y c h d Fig. 27 u.27 bis) oP. 1P.1P.P. P . ©P3 . œP2 . Po. Pro LM UD 0 Un ] f d Fig. 28 u.28 bis) oP . mP.1P.1P.P.P.92P2. P2 , 2Poo , Poo. MP P e 1 ü, o, LM, Fr Il a f Fig. 29 u. 29 bis) 1P . P. &P . ©P2 , Pæ . Poo chou AR AE Fig. 30 u. 30 bis) oP.1P.1P.P.P .P2.92P2 . &P2 . Po . mPs . 2P . l'AS OS Pr A r ] f Y \ Fig. 31 u.31 bis) oP.1P.1P,P.P.P2. Ps, 1P>, Po, D a ONMEDA Pr ap d Fig. 32 u. 32 bis) oP . 1P. 1P. P. P . œP2 , Po . Poo Pi te vMocor. Mi f d Fig. 33 u. 33 bis) oP . 1P. 1P . P.P . 2P2 . @P2 . 2Po . Po . 2Pov . Po Pis 1.00 6, Mr Il 41 y d Fig. 34 u. 34 bis) oP . 1P . P. &P . @P2 , Po. 2Pc . &Pco . Po. Emo 7. 2 f \ c d Fig. 35 u. 35 bis) oP . 1 P , 2P

P

Fig. 36 u. 36 bis) +P . M

Fig. 37 u. 37 bis) oP . P

Fig. 38 u. 38 bis) oP . P

Fig. 39 u. 39 bis) oP . P

IP . P2 , 2h , i l \ IP. ©P2 . Po , 2h . Sardou jé

(7)

363

36% (8) : N. sr KOKSCHARO'w.

Fig. 40 u. 40 bis) oP . 1P . &P . «P2 . Po. RM OUI

CS

Fig, 41 u. 41 bis) oP . 1P . 1P . œP . ©P2 . Po . 2Ps . P u Fig. 42 u. 42 bis) oP . 1P . &P . «P2 . 2P>. L

Fig. 43 u. 43 bis) oP .

Fig. 44 u. 44 bis) oP . 1P.1P.P.<P. 2P2. «P2.. Po . 2P . i u

©

Mt x op ny

Fig. 45 u. 45 bis) 4P . 4P . &P . xP2 , 2P+ . 1,2 Used fl y

Fig. 46 u. 46 bis) 1P . &P . xP2 . Ps. u l f

Fig. 47 u.47 bis) 1P . @P « xP2 , oP3 , Po. u

Fig. 48 u. 48 bis) 1P . xP . «PQ. &P3 . Po . Po . es "MI PME d

Fig. 49 u. 49 bis) oP . 1P. 1P . P . œP . P2 . Po . 2Po . 1 u ©

d xP .xP2. Po,

Fig. 50 u. 50 bis) oP SP: 2P CPL Pis Hi u o M l f

Fig. 51 u. 51 bis) oP . 1P . 1P . P. P . &P2 , 2Pæ . Po . 2Po .

PRE US ON PRE, CAR TI FN

Fig. 52 u. 52 bis) 1P . P . &P . op . 2Poo . Pos . 2Poo à Poe . 0 Me. À CRE : \ ë

Fig. 53 u.53 bis) oP . 1P .1P.P . <P . ©P2 . Ps. 2P> . Pol Fi u o M dy Fig. 54 u.54 bis) oP . &P . P2 . 21 . PM 9 \

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Fig. 55 u. 55 bis) oP . 1P . AP. P. P . @P2 . Po . 2Pc . «be, i 0 1

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UEBER DIE RUSSISCHEN TOPASE. 9) 9365

Fig. 56 u. 56 bis) P . &P . &P2 . D , 2x. Po. d'ule Movdbeun & y d

Fig. 57 uw. 57 bis) 1P.P . &P . xP2 . Po. Po, uy:0o.. M: EL id

Topas vom Ural.

Man findet den Topas im Ural hauptsächlich an zwei Orten: in der Umgegend von Ka- tharinenburg und auf der Ostseite des Ilmensees im Ilmengebirge.

1) Topas aus der Umgegend von Katharinenburg.

Hier begegnet man den Topas bei dem Dorfe Alabaschka unweit Mursinka, auf Drusen- räumen im Granit. Die Grôüsse der Krystalle ist sehr verschieden, von der Grôsse eines Steck- nadelkopfes bis zu mehreren Centimetern varirend. In der Regel sind sie von bläulicher Farbe, doch in einigen Fällen auch lichtgrün oder graulichweiss. Selten findet man Topase aus dieser Localität, die ganz farblos sind. Sie kommen hier oft von einer Schônheit der Kry- stallisation vor, die von keinem ausländischen Topaskrystalle übertroffen wird, was man übri- gens im Allgemeinen von allen russischen Topasen sagen kann. Bei Alabaschka trifft man auch die zusammengesetzten Stücke an, welche aus mehreren undeutlich gebildeten Individuen bestehen.

Die Topase von Alabaschka *) bilden die hübschesten Mineralstufen, die man sich denken kann, indem sie vereint mit schônen, grossen, okergelben Feldspathkrystallen, rôthlichweissem Lithionglimmer, zu Kugelmassen zusammengehäuften Albitkrystallen und mit grossen Krystal- len von Rauchtopas vorkommen. Man trifft die Topaskrystalle einzeln vertheilt, und gewôhnlich mit einem Ende aufgewachsen, woher die an beiden Enden ausgebildeten Krystalle zu einer grossen Seltenheit gehôren.

Grôsstentheils bieten die Topaskrystalle von Alabaschka ziemlieh einfache Combinationen dar, in einigen Fällen aber sind sie eben so complicirt wie die vom Ilmengebirge, und dann unterscheiden sie sich von diesen letzteren hauptsächlich durch ihre bläuliche Farbe.

Die einfachsten Krystalle bieten die Combinationen der Fig. 37, 38, 39, 40, 41, 42 und 43 dar. In diesen Krystallen sind fast immer die Flächen der Prismas | — «P2 und des basi- schen Pinakoids P — oP vorherrsehend, wäbrend die anderen mehr oder weniger untergeord- net sind, besonders die Fhichen der Pyramiden i — 1P und u — {P. Auch trifft man häufig die Flächen des Brachydomas y — 2P+ ziemlich entwickelt an. Die Flächen des Brachydomas f— Ps bilden gewübnlich bloss die schmalen Abstumpfungen der Combinationskanten . (Fig.38), oder sie kommen in den Combinationen gar nicht vor (Fig. 37, 39 und 42). In einigen selte-

. *, Wir haben. einige Notizen über das Verkommen. der schônen Mineralien von Alabaschka schon in unserer Ab- handlurg über den Beryll gegeben (Mat: z.. Min. Rassl. Bd. I. S. 150 u. weiter).

366 10) N.r. KOKSCHARO W.

nen Fällen spielt das Brachydoma f — Pæ dieselbe Rolle, wie das Brachydoma y — 2P> und dann fehlen die Flächen y — 2P+ ganz (Fig. 40), oder sie erscheinen als sehr kleine Dreiecke auf den Combinationswinkeln zwischen den Flächen des Prismas 1 — +P2 und des Brachydo- mas f — Pæ, und wenn alsdann sich die Flächen der Pyramide 1 — 1P mit den Flächen des Brachydomas f — P> durchschneiden, so ie sie die Combinationskanten - &, welche mit den gegenüberliegenden Combinationskanten - (Fig. 40) parallel laufen. In Frs Krystallen sind die Flächen des Hauptprismas M — <P fast immer untergeordnet, oder sie fehlen ganz in den Combinationen. Im ersteren Falle bilden sie gewühnlich die mehr oder weniger schma-

len Zuschärfungen der Brachydiagonalkanten des Prismas 1 — +P2.

Die complicirten, so wie die selteneren Krystalle aus Alabaschka, sind vermittelst Fig. 6, 10, 11, 44 und 45 dargestellt. In diesen Krystallen sind die Flächen des basischen Pinakoïds P — oP oft sehr wenig entwickelt und sie erscheinen als kleine Rhomben (Fig. 11), oder als Achtecke (Fig. 10), bisweïlen, jedoch in sehr seltenen Fällen, verschwinden sie ganz (Fig. 45). Die Krystalle sind gewôhnlich lang säulenformig, und die Flächen des Hauptprismas M — +P sind meistens bei ihnen vorherrschend, so wie die Flächen der Pyramiden i — 1P oder u — 1P sebr entwickelt. Aus allen diesen Gründen erhalten die Krystalle ein ganz verschiedenes Aussehen von den oben erwähnten. Die Flächen der Pyramide x — ?P2 stumpfen gewôhnlich die Combinationskanten zwischen den Flächen der Pyramide u — 1P und des Brachydomas as ab, und sie DUR à sich mit den Flächen P — oP und y — P2 so, dass die Combinationskanten + = “und : ç mit einander parallel laufen (Fig. 10). Bisweilen aber erschei- pen die Flächen der Pre X —= 2P2 als sehr schmale Abstumpfungen der Combinations- kanten zwischen den Flächen des basischen Pinakoids P — oP und des Prismas L — P2 (Fig. 43). Die Flächen der Pyramide v — P2 stumpfen die Combinationskanten zwischen den Flächen der Hauptpyramide o — P und des Brachydomas f — Po ab, und bilden mit den Flächen der Pyramide u — 1P und des Brachydomas f — Pæ die Combinationskanten, von welchen die ersteren . mit der brachydiagonalen Polkante der Pyramide u — 1P und die letz- teren ë mit der DE des Brachydomas f — Po parallel laufen. Die Flächen der Pyra- mide v — P2 liegen also in der brachydigonalen Polkantenzone der Pyramide u — 1P und in der Diagonalzone des Brachydomas f — P>, und endlich in der Zone, deren Axe durch die Durchschneidungslinie = bestimmt wird (Fig. 10). Die Prismen m — œP3, 1 = P2, = æP3 und n — +P4 kommen in den Combinationen als untergeordnete Formen vor (Fig. 11). Ausser den vermittelst der Figuren dargestellten Formen, kommen noch mebrere andere vor, deren Flächen aber so schmal und grôsstentheïls so matt sind, dass es mir ihre krystallogra-

phischen Zeichen zu ermitteln unmôglich war. Fa bilden die Flächen solcher Formen

die schmalen Abstumpfungen der Combinationskanten { = a LE £ u. s. w. Zwischen den Flä-

UEBER DIE RUSSISCHEN TOPASE. 41) 367

chen der Pyramide u — 1P und des Brachydomas f — Pæ bemerkt man noch, ausser der Fläche x — 2P9, eine andere rauhe Fläche.

Die Beschaffenheit der Flächen ist sehr verschieden. Gewôühnlich sind die Flächen i — 1P,u — {P und y — 2P+ ziemlich eben und gehôren zu den glänzendsten. In anderen Fäl- len dagegen sind die Flächen der Pyramide i — ÀP rauh und bisweilen gekraust; dasselbe kann man auch von den Flächen des Brachydomas 5 LE 2Poo sagen, welchen man auf einigen complicirten Krystallen begegnet. Die Fläche des basischen Pinakoids P — oP ist selten glän- zend, sie ist gewühnlich ganz matt oder mehr oder weniger drusenartig. Die Flächen der Pris- men M — +P und 1 — F2 sind ziemlich glänzend, aber in der Regel schwach vertical ge- streift. Die Flächen der anderen Prismen sind etwas ebener, déch dieselbe Streifung ist auch

auf ihnen bemerkbar. Die Flächen der Pyramide x — 2P2 sind ziemlich glänzend. Die Flächen des Makrodomas d — Pæ sind sehr oft ganz matt, seltener schwach glänzend. Die Flächen

des Brachypinakoids ce — œP sind fast immer glänzend.

Die Durchsichtigkeit der Topase von dem Dorfe Alabaschka ist ebenfalls sehr verschieden. Hin und wieder sind diese Krystalle vollkommen durchsichtig, hin und wieder nur stellweise durchsichtig, mehr oder weniger rissig und mit Sprüngen in der Richtung der Spaltungsfläche (d. h. nach dem basischen Pinakoiïd) durehsetzt. Auch halbdurchsichtige, oder bloss durchschei- nende Krystalle kommen nieht selten vor ”).

Den Topaskrystallen von Alabaschka begegnet man, wie schon oben bemerkt wurde, verein- zelt und nicht zu Drusen vereinigt. In einigen Fällen indessen bestehen die Krystalle aus zwei oder mehreren unter einander verwachsenen Individuen (doch immer nur aus wenigen, z. B. aus zwei, drei, vier u. s. w., aber selten mehr als aus sechs), die in paralleler Stellung zusam- mengewachsen sind. In der Sammlung von A. D. v. Osersky findet sich ein ausgezeichnet schôner, ganz durchsichtiger Krystall dieser Art. Ich habe denselben auf Fig. 55 in seiner patürlichen Form abgebildet, d. h. mit allen Unregelmässigkeiten, die von der ungleichmässigen Ausdehnung der Flächen herrühren, nur anderthalb Mal vergrüssert.

Die ganz durchsichtigen Topase von Alabaschka werden zu Katharinenburg zu Schmuck- steinen geschliffen, die im Handel einen ziemlich hohen Preis erlangen. Leider verarbeiten zu-

*) Eine ausgezeichnet schône Sammlung von Tepaskrystallen aus Alabaschka befindet sich im Museum des Berg- instituts zu St. Petersburg. Unter diesen Krystallen stellt einer die Combination der Fig. 37 dar; er hat bis 6 Centime- ter Länge und bis 51 Centimeter im grôssten Durchmesser. Er ist von ziemlich dunkel bläulicher Farbe und ganz durcbsichtig., Seine Flächen aber sind nicht eben, sondern im Gegentheil mehr oder weniger drusenartig. Ein anderer Krystall, von der Combination der Fig. 10, hat gegen 15 Centimeter Länge und bis 7 Centimeter im grôssten Durch- messer. Dieser Krystall ist bloss stellweise durchsichtig. Ausser den hier angeführten Krystallen giebt es noch in dieser Sammlung viele andere, die durch ihre Schônheit der Krystallisation, ihre Grôüsse und ibre Durchsichtigkeit die Auf- merksamkeit auf sich ziehen. Sie bieten fast Alle die oben beschriebenen Combinationen dar. Auch in den Sammlungen der Hrn. Dr. E. J. v. Rauch, P. A. v. Kotschubey nnd A. D. v. Osersky befinden sich mehrere schône Topaskry- sStalle aus dieser Localitat.

368 (42 N. r. KOKSCHARO W.

weilen die dortigen Juweliere manche sebr schône durchsichtige Topaskrystalle, um den Ge- schmack der Bewohner des Urals zu befriedigen.

Gustav Rose‘) verdanken wir die erste ausfübrliche Beschreibung der Topase von Alabaschka und die Bestimmung ihrer Formen.

2) Topas aus dem Ilmengebirge.

Der Topas kommt hier auf der Ostseite des llmensees, in der Umgegend der Hütte Miask, im Granit vor. Man trifft ihn zusammen mit grünem Feldspath, Chiolith, schônen Phenakitkry- stallen und schwarzem zweiaxigen Glimmer. Zuweilen sind alle diese Mineralien auf ein und derselben Stufe vereint. Der Tepas aus dieser Localität zerfällt in zwei Varietäten, die nur kry- stallisirt vorkommen. Die Kryÿ$talle der ersten Varietät zeichnen sich besonders durch ibre Farblosigkeit, ihre vollkommene Durchsichtigkeit, ibren Flächenreichthum und durch ihre voll- ständige Ausbildung aus. Die Krystalle der zweiten Varietät sind dagegen rissig, von schmutzig gelblichweisser Farbe, meistens bloss an den Kanten durchscheinend; auch bieten sie sehr ein- fache Combinationen dar, äbnlich denen, die auf Fig. 23 dargestellt sind. Die im Ilmengebirge mit der Ausbeute der Mineralien sich beschäftigenden Arbeïter haben diesen letzteren Topasen den Beinamen «verfaulte » gegeben, weil dieselben durch die grosse Anzahl von Rissen, die ih- nen eigen sind, sehr leicht Feuchtigkeit in sich ziehen und daher leicht zerbrechbar sind, so dass ein ganz schwacher Druck mit dem Finger bisweilen hinreichend ist, um den Krystall in eine Menge kleiner Stücke zu zersplittern.

Die durchsichtigen Krystalle (d. h. von der ersten Varietät) kommen auf dem grünen Feldspath aufgewachsen vor, häufig aber finden sie sich in einem weissen oder gelblichen Thone, der hier sich auf den Drusenräumen findet und nicht selten Feldspathstücke enthält. In diesem Falle sind die Krystalle gewôhnlich an einem Ende abgebrochen, doch findet man auch an bei- den Enden ganz gut ausgebildete Krystalle, was indessen zu einer Seltenheit gehôrt. Die Topase aus dieser Localität sind grüsstentheils von ganz rein weisser Farbe und vollkommen durch- sichtig. Ihre Grüsse ist sehr verschieden: zuweïlen sind sie nur so gross wie ein Stecknadel- kopf, während sie in anderen Fällen eine Länge von mehreren Centimetern erreichen. Im Museum des Berginstituts zu St. Petersburg befinden sich mebrere Topaskrystalle aus dem Il- mengebirge, die bis 5 Centimeter lang sind. Nach v. Lissenko’s Mittheilung, soll man in frü- heren Zeiten Krystalle von 6, 7 und 10 Pfund angetroffen haben *‘). Professor D. v. Sokolow fübrt an, dass in der Sammlung des verstorbenen Berghauptmanns Hermann ein Topaskrystall vom !Imengebirge gewesen sei, der über 7 Pfund gewogen hätte ‘””).

Man findet in den Topaskrystallen vom Jlmengebirge fast alle bis jetzt in den Topasen be- simmten Formen. Die wichtigsten Combinationen derselben sind vermittelst Fig. 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 12, 13, 14, 15, 16, 18, 19 und 21 dargestellt.

*) Gustav Rose. Reise nach dem Ural und Altai. Berlin, 1837; Bd. 1, S. 453 und Bd. II, S. 496. *) Gustav Rose. Reise nach dem Ural und Altai. Berlin, 1842, Bd. II, S. 80. **) Auurpiü CokouoBr. PyKoBoAcT80 KE Mumepaaoriu. C.-Ilerep6ypre 1832, uacre 1, crp. 451.

UEBER DIE RUSSISCHEN TOPASE. 43) 369

Aus allen diesen Figuren ist der Habitus der Topaskrystalle vom Ilmengebirge sehr leicht zu ersehen. Fast in allen Krystallen sind die Flächen des Hauptprismas M — +<P und der rhombischen Pyramiden o — P, u — 1P und i — IP ziemlich entwickelt, vorzüglich die er- stere, woher sie ein ganz anderes Aussehen, als die Krystalle von Alabaschka, erhalten. Sie zeichnen sich-ebenfalls durch das häufigere Vorkommen der oft sehr entwickelten Flächen des Makrodomas d — P+ aus, und durch das Vorhandensein der Brachydomen a — 2Po, = = P+, y 2P+ und w — 4P+, die oft alle an ein und demselben Krystalle vereinigt sind. Fast an jedem Krystalle bemerkt man die Flächen des Prismas | — œP9, die in einigen Fällen sogar ziemlich breit sind (Fig. 13, 15, 18, 19 und 21), in anderen dagegen schmal (Fig. 8, 9, 14 und 16). Den Flächen des Prismas g — SP des Makrodomas h — 1P und des ba- sischen Pinakoids P — oP begegnet man auch häufig genug, aber die Flächen des basischen Pinakoids P — oP sind fast immer klein, und dadurch unterscheiden sich diese Topase beson- ders von den Krystallen von Alabaschka. Die Flächen der anderen Formen sind ziemlich selten ; gewôhnlich erscheinen sie als mehr oder weniger schmale Abstumpfungen verschiedener Theile der Krystalle. So z. B. stumpfen die Flächen der rhombischen Pyramide r — 2P92 die Combi- nationsecken ab, welche von den Flächen o, f und 1 (Fig. 3), oder von den Flächen o, y und 1 (Fig. 8; gebildet sind. In einigen Krystallen bilden ebenfalls dieselben Flächen Abstumpfun- gen der Combinationskanten zwischen den Flächen des Prismas M — +<P und des Brachydo-

mas Ê — D. und der Combinationskanten zwischen den Flächen der rhombischen Pyramide v — P2 und des Prismas 1 — «P2 (Fig. 16). Die Flächen der rhombischen Pyramide r — 2P2 werden also leicht durch ihre Lage bestimmt, denn, wie aus den Figuren 3 und 8 es er- sichtlich ist, liegen sie in der brachydiagonalen Polkantenzone der Hauptpyramide o — P und in der Diagonalzone des Brachydomas y — 21, und bilden zugleich die horizontalen Kanten mit den Flächen des Prismas | — +P2. Desgleichen werden die Flächen der rhombischen P y- ramide r — 2P2 durch die Zonen und ï (oder D vollkommen bestimmt. Die Flächen der rhombischen Pyramide t — 3P3 bilden die schmalen Abstumpfungen der Combinationskanten, zwischen den Flächen der rhombischen Pyramide u — 1P und des Brachydomas a — 2Pe (Fig. 9), oder der Combinationskanten zwischen den Flächen der rhombischen Pyramide 1 — 1P und des Brachydomas f — Pe (Fig. 12). Die Flächen der rhombischen Pyramide s — 1P3 bilden ebenfalls sehr schmale Abstumpfungen der Combinationskanten zwischen den Flä- chen der rhombischen Pyramide i — 1P und des Brachydomas a — 2, und sie liegen in der Diagonalzone des Brachydomas 8 — 1P= (Fig. 4). Die Flächen der rhombischen Pyra- mide q — mPn stumpfen die Combinationskanten zwischen den Flächen des Makrodomas d — Pæ und der rhombischen Pyramide u — 1P ab. Diese Flächen sind sehr selten und es scheint, dass sie die Combinationskanten : bilden, welche mit den Combinationskanten i parallel laufen

(Fig. 4). Die Flächen der rhombischen Pyramide v — P2 bilden, wie schon bei der Beschrei-

Mémoires. sc. math. et phys. T. VI. 47

370 (1% N. r KOKSCHARO W.

bung der Krystalle von Alabaschka erwähnt wurde, Abstumpfungen der Combinationskanten zwischen den Flächen des Brachydomas f — Pæ und der rhombischen Pyramide o — P; sie: schneiden auch die Flächen der rhombischen Pyramide u — 4P in den Kanten, die mit den brachydiagonalen Polkanten dieser Pyramide parallel laufen.

Die Flächen des Brachydomas k — 3Po habe ich bloss an einem einzigen Krystalle Ge- legenheit gehabt zu beobachten; derselbe befindet sich in der Sammlung des P. A. v. Kotschu- bey und gehôürt zu der zweïten Varietät der Topase aus dem Ilmengebirge (d. h. zu den rissigen, durchscheinenden Topasen). Die Flächen des Brachydomas k — 3P bilden mit den Flächen der rhombischen Pyramide u — {P und den gegenüberliegenden Flächen des Prismas | — =P2 die Combinationskanten, die mit einander parallel laufen (Fig. 17).

Was die Beschaffenheit der Flächen anbelangt, so ist sie ebenso verschieden, wie in den Topasen von Alabaschka. Die Flächen der Hauptpyramide o — P sind in den grôsseren Kry- stallen fast immer matt, in den kleineren dagegen fast immer vollkommen glänzend. Die Flä- chen der rhombischen Pyramiden u — 1P und i — {P sind meistens glänzend, obgleich in einigen Fällen ziemlich schwach. Die Flächen des basischen Pinakoids P — oP sind oft ganz matt, bisweilen aber ziemlich glänzend. Ebenso sind die Flächen des Makrodomas d — Px oft ganz matt und bisweiïlen vollkommen glänzend. Die Flächen des Makrodomas h — 1P sind meistens glänzend. Die Flächen der Brachydomen f — Pæ, Yi 2P+ und w — 4#P+ sind fast immer glänzend, besonders die der beiden letzteren Formen. Von den Flächen des Brachydomas a — 2P kann man dasselbe nicht sagen, indem sie in einigen Fällen ziemlich glänzend, in anderen dagegen mehr oder weniger drusig sind. Die Flächen des Brachydomas Di 1P sind gewôühnlich gekraust und zum Theiïl drusig. Die Flächen aller Prismen sind immer sehr glänzend und schwach vertical gestreift, vorzugsweise die Flächen der Prismen M — +P und 1 — +P2, die indessen in einigen Fällen so glatt und glänzend sind wie ein Spiegel. Die Flächen der rhombischen Pyramide r — 2P2 und des Brachypinakoïds c — Ps sind immer sehr glänzend. Die Flächen der rhombischen Pyramide t — 3P3 sind schwach glänzend. Die Flächen der rhombischen Pyramide x — 2P2, die auch, obgleich selten, an eï- nigen Krystallen vom Ilmengebirge vorkommen, sind meïstens ganz matt, ebenso auch die Flächen der rhombischen Pyramide q — mPn.

Die erste ausführliche Beschreibung der Topase vom Ilmengebirge verdanken wir eben- falls Gustav Rose”), der auch zuerst die Flächen n — P4, a — 2P, WE 4P, == 2P2 und t — 3P3 in diesen Topaskrystallen bestimmt hat. Zu diesen, damals neuen Formen, habe ich jetzt folgende Formen hinzugefügt, die, meines Wissens nach, noch von Niemand beobachtet wurden, nämlich : e — mP (wo m wahrscheinlich = 2 ist), v — P2, s — 1P3,

q = mPn, 8 — 1P und k — 3Po.

‘) Gustav Rose. Reise nach dem Ural und Altai. Berlin, 1842, Bd. II, S. 80 und 496.

UEBER DIE RUSSISCHEN TOPASE. d3) 8371

Topas aus Nertschinsk.

Der Topas des Nertschinsker Gebiets findet sich gegenwärtig hauptsächlich in drei Loca- litâten, nämlich : in den Bergketten Borschtschowotschnoi, Kuchuserken und Adun-Tschilon *). Im Adun-Tschilonschen Gebirgszuge ist das Mineral schon seit langer Zeit bekannt (wie man vermuthen kann, seit dem Jahre 1723); doch aus den Bergketten Borschtschowotschnoi und Kuchuserken erscheinen die Topase erst seit kurzer Zeit in den Sammlungen der Liebhaber. Im Jahre 1840 erhielt das Museum des Berginstituts zu St. Petersburg das erste Exemplar aus dem Borschtschowotschnoi Gebirgszuge, wenigstens in dem Jahre ist es im russischen Bergjour- nale beschrieben worden *).

Die Topase vom Adun-Tschilon haben ein ganz eigenes Aussehen, was sie leicht von den Topasen aus allen anderen russischen Fundôrtern unterscheiden lässt. Zu einer Eigenthümlich- keit derselben gehürt schon die, dass sie stets zu grossen Drusen vereinigt sind. Dagegen die Topase aus den beiden anderen angeführten Gebirgszügen vereinzelt vorkommen; auch sind sie einander so ähnlich, dass nur zu oft Verwechselungen der Localitäten statt finden. In den Pri- vat- und Kronssammlungen bezeichnet man grôsstentheils die Topaskrystalle vom Borschtscho- wotschnoi und Kuchuserken als aus ein und derselben Localität stammend, nämlich aus der

LE

Umgegend des Flusses Urulga ‘""). Die Ursache dieser Verwechselung liegt erstens gewühnlich in der grossen Aehnlichkeit der Krystalle und zweitens in dem weiten Wege, den dieselben ma- chen müssen, um endlich in die Hände eines Liebhabers zu gelangen. In der That werden alle die sogenannten bunten Steine, wie Topas, Beryll u. s. w. in den verschiedenen Gebigszügen des Nertschinsker Gebiets von den dortigen Bauern ausgebeutet, die sie vorzüglich nach der Stadt Nertschinsk und der Hütte gleiches Namens zum Verkauf bringen. Gewôhnlich halten sich in diesen Orten schon Aufkäufer auf, besonders solche Leute, die sich mit dem Schleifen der Steine beschäftigen; doch dieselben richten ihre Aufmerksamkeit mehr auf die Durchsichtigkeit, Vollkommenheit der Krystallisation und auf die anderen Eigenheiten, als auf den Fundort der- selben. Die auf diese Art erlangten Krystalle werden später schon zu ziemlich hohen Preisen an Ort und Stelle verkauft, oder man versendet sie nach Irkutsk, Katharinenburg und selbst zur Nischnii-Nowogoroder Messe, von wo aus sie sich alsdann, nachdem sie durch viele Hände gegangen sind, im Inneren Russlands und überhaupt in ganz Europa verbreiten. Wenn also ein Topaskrystall aus diesen letzteren Localitäten in die Sammlung eines Mineralogen zu St. Pe- tersburg gelangt, ‘so wird sein Fundort schon sehr zweifelhaft.

1) Topas aus dem Borschtschowotschnoi Gebirgszuge.

Der Topas findet sich in vielen Localitäten des genannten Gebirgszuges, doch hauptsäch- lich in der Umgegend des Flusses Urulga. Ausser den an diesem Flusse gelegenen Ausbrüchen

*) Eine kurze Notiz dieser drei Fundôrter haben wir in unserer Abhandlung über den Beryll gegeben. (Vergl. Mat. z. Min. Russl. Bd. I, S. 164 u. 165.)

*) Russisches Bergjournal. 4840, Bd. II, S. 139.

**) Russisches Bergjournal. 14840, Bd. II, S. 139. Man begehet hier einen Fehler, indem man gewôübnlich «Uru- lunga» statt «Urulga» schreibt. (Vergl. Mat, zur Min. Russl. Bd, I. S. 168).

*

372 (16) N.vr. KOKSCHARO W-

findet man ibn noch: in den Bergen Semenowskaia and Kibirewskaia, bei dem Dorfe Lesskowa und noch an anderen Orten ”).

Die Topase kommen hier in grossen sehr schôn ausgebildeten Krystallen vor, so wie auch in Stücken, die unregelmässige Umrisse haben und aus mehreren zusammengewachsenen und verschmolzenen, undeutlich ausgebildeten Individuen bestehen.

Die im Gebirgszuge Borschtschowotschnoi vorkommenden Topase zeichnen sich durch ibre ausserordentliche Schônheit, angenehme Farbe, Durchsichtigkeit und bedeutende Grôsse aus ; sie übertreffen, vereint mit den Topasen von Kuchuserken, alles was bisher der Ural und der Adun-Tschilon an Topasen geliefert; auch gehôren sie unstreitig zu der schônsten Varietät die wir bis jetzt gesehen haben. Ihre Farbe wechselt meistens zwischen der der gewühnlichen Rauchtopase (Bergkrystall) und der der brasilianischen Topase, in einigen Fällen findet man sie von mehr oder weniger rein dunkelhoniggelber Farbe; auch treffen sich blaulichweïsse, farblose, so wie vollkommen wasserhelle Topase. Die Grüsse der Krystalle und der aus mehre- ren Individuen bestehenden Stücke ist in den Topasen aus dieser Localität, so wie in denen vom Ural, sebr verschieden, doch bisweilen ist dieselbe gewiss sehr merkwürdig. So befindet sich z. B. in der ausgezeichnet schônen Sammlung Seiner Excellenz des Herrn Grafen L. A. v. Perowsky ein ganz gut ausgebildeter, vollkommen durchsichtiger Krystall von dunkelho- niggelber Farbe (Fig. 56), der ungefähr 3 Pfund an Gewicht hat. In der Sammlung des Berg- instituts zu St. Petersburg trifft man einen durchscheinenden, aber nicht ganz gut ausgebildeten Krystall, von etwas schmutzig braungelber Farbe, der 19 Centimeter lang ist und 21 Centime- ter in seinem grüssten Durchmesser hat, und der 31 Pfund und 74 Zolotnik wiegt *). In die- sem Krystalle sind die Flächen des Hauptprismas M — <P vorherrschend; die makrodiagonalen

Kanten desselben sind durch die Flächen des Prismas 1 — +P2 zugeschärft. An dem einen

*) Verel. im russischen Bergjournal, 14855, Bd. II, S. 464, die Abhandlung von W. v. Titow «Bemerkungen über die Fundôrter der bunten Steine und Salzseen des Nertschinsker Gebiets.» v. Titow hat die Güte mir über das Vor- kommen der Topase im Borschtschowotschnoi Gebirgszuge folgendes mitzutheilen :

«Die vielen Fundorte der Topase im Borschtschowotschnoi Gebirgszuge kônnen hauptsächlich in vier Gruppen getheilt werden :

1) 1n der Umgegend des Flusses Urulga in dem Berge Boetz begegnet man Topase von blassgelber Farbe.

2) In dem Berge Semenowskaia findet sich der Topas in unregelmässigen, zum Theil auskrystallisirten, bisweilen ganz durchsichtigen Massen von dunkelgelber Farbe, so wie auch farblos. In dem Berge Tulun, der 2 Werst von dem Berge Semenowskaia gelegen ist, trifft man besonders farblose, durchsichtige und ganz gut auskrystallisirte Topase an.

3) Die in dem Berge Kiberewskaia vorkommenden Topaskrystalle sind theils farblos, theils von weingelber Farbe. Sie werden an vielen Orten ausgebeutet, nämlich: bei Dorogoi Utess oder Tscheremuchowaïia Gora (Theurer Fels oder Faulbaum Berg), 2 Werst westlich von dem Berge Kiberewskaia uud ungefahr 15 Werst nôrdlich von dem Dorfe Nowo- Troitzkaia gelegen; aus dieser Localität stammen besonders zwei grosse Krystalle her, von denen der eine 313 Pfund wiegt (derselbe findet sich im Museum des Berginstituts zu St. Petersburg) und der andere 26 Pfund an Gewicht hat (dieser vollkommen durchsichtige und gut ausgebildete Krystall war im Besitz S. K. H. des verstorbenen Herzogs Ma- ximilian von Leuchtenberg). In dem Berge Sucholessnaia (trockner Wald) begegnet man Topaskrystalle von weis- ser und gelber Farbe. In dem Berge Obussinskaia sind sie theils von licht blaulichweisser Farbe, theils farblos. In den Bergen Strelka (kleiner Nadelberg) und Solonetschnaia trifft man Topase von blassgelber Farbe.

4) In der Umgegend des Dorfes Lesskowa, in den Bergen Berkowskaia und Woronia, findet man farblose und gelbe Topase, doch treffen sie sich hier meistens in mehr oder weniger unregelmässigen Massen.»

**) Russisches Bergjournal, 1840. Bd. IL, S. 139.

UEBER DIE RUSSISCHEN TOPASE. A7) 373

Ende ist der Krystall von der unebenen Fläche des basischen Pinakoïds begränzt und an dem anderen von der gekrümmten Oberfläche, die von einer unvollkommenen Ausbildung abhängig ist. Die Flächen des Prismas M — P sind mit mehreren regelmässigen, viereckigen Vertie- fungen bedeckt.

Die wichtigsten Combinationen, die an den Krystallen aus den verschiedenen Localitäten des Borschtschowotschnoi Gebirgszuges vorkommen, sind auf Fig. 20, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35 und 36 dargestellt; da aber die Krystallisation der Topase aus dieser Localität so sehr mannigfaltig ist, so kôünnen, um dieselbe zu verdeutlichen, alle von uns für die russischen Topase gegebenen Figuren dienen, denn einige Krystalle sind sehr ähn- lich den Krystallen vom Ilmengebirge (wie z. B. Fig. 20 und 33), andere denen vom Adun- Tschilon (Fig. 22) und noch andere gleichen sehr denen von Mursinka (7. B. Fig. 54). Die sel- tensten Combinationen sind die, in welchen die Flächen v — P2, r — 2P2 und = SP auftreten, wie z. B. die auf Fig. 30 und Fig. 28 abgebildeten Combinationen. Erstere habe ich an einem ziemlich grossen, durchsichtigen und ganz farblosen Krystalle aus der Sammlung des A. B. v. Kämmerer, und letztere an einem, aus meiner Sammlung stammenden Krystalle, beobachten kônnen.

Damit die geehrten Leser sich selbst einen Begriff von der Schôünheit, natürlichen Grôsse und vollkommenen Ausbildung der Topase aus dem Borschtschowotschnoi Gebirgszuge machen kônnen, so habe ich sieben der schônsten Krystalle, aus der prachtvollen Sammlung S. E. des Grafen L. À. v. Perowsky, auf Fig. 49, 50, 51, 52, 53, 54 und 56 dargestellt. Diese sie- ben Krystalle sind in ibhrer natürlichen Grôüsse in schiefer und horizontaler Projection, mit allen Details, die von der ungleichmässigen Ausdehnung der Flächen abhängig sind, abgebildet. Also mit Ausnahme der krystallographischen Verhältnisse und der Grôsse (die die Figuren voll- kommen verdeutlichen) sind die Beschaffenheiten der Flächen und die anderen Eigenschaften dieser Krystalle folgende :

Der auf Fig. 49 dargestellte Krystall ist von ziemlich dunkel weingelber Farbe und ganz vollkommen durchsichtig. Die Fläche des basischen Pinakoïds P — oP ist ganz matt, während alle anderen Flächen sehr glänzend sind. Auf den Fläben der Prismen M — +P und 1 — «P2, wie im Allgemeinen, ist eine schwache verticale Streifung bemerkbar,

Der auf Fig. 50 abgebildete Krystall hat die Farbe des Vorhergehenden, und ist ebenfalls vollkommen durchsichtig. Die glänzendsten Flächen desselben sind i — 1P, u — {P und o — P. Die Flichen M — +P, 1 — xP2 und d — P+ sind ebenfalls glänzend, nur schwach vertical gestreift. Die Flächen f — P+ sind glänzend, aber drusenartig. Die Fläche P — oP ist weniger glänzend als alle anderen und dabei besitzt sie Fettglanz.

Der Krystall Fig. 51 ist von blassgelber Farbe und, mit Ausnahme einiger Stellen, durch- sichtig. Die Fläche des basischen Pinakoids P — oP ist sehr glänzend, ebenso auch die Flä- Chen tou PE Pœ und M —= 2P+. Die Flächen M — +P und 1 — +P2 sind glänzend, aber sehr schwach, ja kaum bemerkbar, vertical gestreift. Die Flächen i — 1P,

374 (18) N. rm KOKSCHARO W.

d — P+ und r — 2P2 sind ganz matt. In diesem Krystalle liegen zwischen den Flächen u — +Pundfi—= Pæ zwei ganz schmale, gewülbte und matte Flächen, die von mir in der Zeich- nuog nicht in Rücksicht genommen sind. Eine dieser letzteren Flächen ist wabrscheinlich x — 2P9, die andere gehürt aber einer Pyramide an, deren krystallographisches Zeichen noch nicht bestimmit ist.

Der Krystall Fig. 52 ist ganz farblos und vollkommen durchsichtig. Bloss die Flächen al 2P sind rauh und faltig, alle anderen aber sehr glänzend.

Der Krystall Fig. 53 ist von weingelber Farbe und ganz durchsichtig. Alle seine Beschaf- fenheiten sind ungefähr dieselben, wie die der vorhergehenden Krystalle.

Der Krystall Fig. 54 ist ganz durchsichtig und von weingelber Farbe. Die Fläche P — oP ist sebr rauh und ganz matt, alle anderen sind aber sehr glänzend, vorzüglich die Flächen = 2P. Die Flächeo M — +P und 1 — +P2 sind, wie gewôühnlich schwach vertical gestreift.

Der Krystall Fig. 56 ist besonders dadurch merkwürdig, dass er mit vollkommener Durch- sichtigkeit und Schünheit der Krystallisation eine so ungewühnliche Grôsse vereint. Seine Farbe ist ziemlich dunkel weingelb (oder, um richtiger zu sagen, so ist dieselbe zwischen der des bra- silianischen Topases und der des gewühnlichen Rauchtopases). In diesem Krystalle ist der Pleo- chroismus sehr deutlich, nämlich: in der Richtung der Haupt- oder Verticalaxe erscheint er von dunkelrôüthlichgelber Farbe, in der Richtung der Makrodiagonalaxe bemerkt man einen Stich in das Blaulichgrüne, und in der Richtung der Brachydiagonalaxe besitzt er seine dunkel weingelbe Farbe. Die glänzendsten Flächen sind o — P und M — +P. Die Flächen d — P+ sind glänzend, aber sie haben einige schwache Unebenheïten. Die Flächen f — Pæ sind glän- zend und schwach drusenartig. Die Flächen 1 — +P2 sind etwas weniger glänzend, als M — <P, auch sind sie mit wellenfrmigen Streifen bedeckt. Die Combinationskanten . und © sind schwach abgerundet, was, wahrscheinlich, von den anderen schmalen und nicht ganz gut aus- gebildeten Flächen abhängig ist. Dieser grosse und schône Krystall, welcher mit zu einer der grôssten Seltenheiten gezählt werden kann, wiegt 2 Pfund und 90 Zolotnik.

Ausser den beschriebenen Krystallen giebt es noch, in der Sammlung S. E. des Grafen L. À. v. Porowsky, andere, die hier, ihrer Schônheit wegen, verdienen angeführt zu werden. Unter diesen letzteren finden sich zum Beispiel :

Ein vollkommen durchsichtiger Krystall, von weingelber Farbe, ungefähr von der Com- bination der Fig. 35, der 81 Centimeter lang ist und ungefähr 5 Centimeter im grôssten Durch- messer hat. Seine Flächen P — oP, f — po VV 2P> und i — +P sind sebr uneben, durchlüchert und mit spitzen Unebenheïiten bedeckt. Die Flächen M — <P und 1 — P2 sind ziemlich glänzend und schwach vertical gestreift. Dieser Krystall ist an einem Ende abgebrochen.

Ein vollkommen durchsichtiger Krystall, ungefäbr von der Combination der Fig. 3%, der ungefähr 41 Centimeter lang ist und ungefähr 31 Centimeter im grôssten Durchmesser hat.

Seine Farbe ist die des Vorhergehenden. Die Flächen o — P und d — P sind ganz matt,

UEBER DIE RUSSISCHEN TOPASE. 49) 375

f— Po, u — 2P und y — 2P+ sind ziemlich glänzend, und die Fläche P — oP ist glän- zend, doch schwach drusenartig. Dieser Krystall ist auch an einem Ende abgebrochen.

Ein gaoz durchsichtiger Krystall, der in Hinsicht seiner Farbe, Ausdehnung und Beschaf- fenheit seiner Flächen u. s. w. dem auf Fig. 50 dargestellten sehr ähnlich ist.

Der auf Fig. 57 abgebildete Krystall gehôrt zu meiner Sammlung.

Ein ausgezeichnet schôner und grosser Krystall aus dem Borschtschowotschnoi Gebirgs- zuge war im Besitz S. K. H. des verstorbenen Herzogs v. Leuchtenberg. Dieser Krystall wurde zum ersten Mal sehr ausfübrlich von A. D. v. Osersky”) beschrieben. Nach dieser Be- schreibung hat derselbe ungefähr 27 Centimeter in der Richtung der Makrodiagonalaxe, unge- fähr 16 Centimeter in der Richtung der Brachydiagonalaxe, und ungefähr {3 Centimeter in der Richtung der Verticalaxe. Er wiegt 26 Pfund. Seine Farbe ist honiggelb. Der ganze obere Theil des Krystalls ist grôsstentheils ganz durchsichtig. Die Combination desselben ist folgende: das sebr entwickelte hauptrhombische Prisma M — +P, dessen makrodiagonale Kanten durch die Flächen des Prismas 1 — +P2 zugeschärft sind, und dessen oberes Ende von den sebr brei- ten Flächen des Brachydomas f — P+ und von den weniger entwickelten Flächen des basi- schen Pinakoids P — oP, der Hauptpyramide o — P und dem Makrodoma d — P+ begränzt wird. Das untere Ende ist abgebrochen und daher von einer Spaltungsfläche begränzt.

Man begegnet noch sehr schôünen Topaskrystallen aus dem Borschtschowotschnoi Gebirgs- zuge in verschiedenen anderen Privatsammlungen zu St. Petersburg. Zum Beispiel die Samm- lungen der Hrn. P. A. v. Kotschubey, A. D. v. Osersky, A. B. v. Kämmerer und die Mei- nige sind sebr reich an Exemplaren dieses prachtvollen Minerals. In der Sammlung von P. A. v. Kotschubey findet sich besonders ein Krystall, der durch die Vollkommenbheit der Krystal- lisation und Durchsichtigkeit die Aufmerksamkeit auf sich zieht. Dieser Krystall ist von _ mittelmässiger Grôsse, er hat nämlich: 4 Centimeter Länge und 21 Centimeter im grôssten Durchmesser. Er ist ganz durchsichtig und von licht weingelber Farbe. Seine Combination ist uogefähr die von Fig. 35. Die ganz vollkommen und schôün ausgebildeten Flächen dieses Kry-

stalls haben folgende Eigenschaften : i — 1P und f — Pæ sind ohne die geringsten Uneben- heiten, aber ganz matt; y — 2P= sind sebr glänzend; M — <P und 1 — P2 sind glänzend, aber schwach vertical gestreift, und endlich P — oP ist glänzend, doch etwas drusenartig. Der Krystall ist an einem Ende abgebrochen und daher an demselben von einer Spaltungsfläche be- gränzt. In derselben Sammlung findet sich noch ain anderer ziemlich kleiner Krystall (unge- fähr von 21 Centimeter Länge und ungefähr 11 Centimeter im grüssten Durchmesser) der besonders dadurch merkwürdig ist, dass er an beiden Enden vollkommen und ganz syme- trisch ausgebildet ist. Er ist farblos, ganz durchsichtig und bietet die Combination oP . ZP .

IP.P.xP.xP2 . &P3, bx , Po. 2P+ dar.

*) Russisches Bergjournal, 1846, Bd. I, S. 308.

376 {20) N.r. KOKSCHARO W.

2) Topas aus dem Gebirgszuge Kuchuserken.

Die Topase kommen hier besonders in den verschiedenen, von den dortigen Bewohnern (Buriaten und Tungusen) durch ganz eigene Namen bezeichneten, Gebirgszweigen des Haupt- zuges vor ‘).

Die Topase, die mir als aus Kuchuserken stammend gezeigt wurden, bieten sehr einfache Combinationen dar, uogefähr die der Fig. 22, 24 und 36. Sie erlangen bisweilen eine bedeu- tende Grüsse; so befindet sich z. B. in der Sammlung des A. D. v. Osersky ein Krystall, der 5 Pfund wiegt. Derselbe ist durchscheinend und von etwas schmutzig gelblichweisser Farbe.,

Er bietet die Combination der Fig. 36 dar. Seine Flächen M — +P und | — <P2 sind ziem-

lich glänzend und stark vertical gestreift, die Flächen f — P sind auch glänzend, doch mit Unebenheiten bedeckt, die von der Zusammenschmelzung der Flächen mehrerer Individuen, aus welchen der ganze Krystall besteht, abhängig sind.

Wenn die vielen anderen Exemplare, die ich unter der Etiquette «aus Kucbuserken» in den Samnlungen der Hrn. A. D. v. Osersky und W. v. Titow gesehen habe, wirklich aus diesem Gebirgszuge kommen, so muss man glauben, dass bisweilen die Combinationen der Krystalle aus dieser Localität sehr complicirt sind, und dass im Allgemeinen diese Topase durch ibre Beschaffenheit so ähnlich denen aus dem Borschtschowotschnoi Gebirgszuge sind, dass es zuweilen schwer ist, sie von den anderen zu unterscheiden. Diese Aehnlichkeit ist indessen etwas sonderbar, denn gewühnlich betrachtet man den Gebirgszug Kuchuserken als eine süd- westliche Fortsetzung des Adun-Tschilons; nun sind aber die Mineralien dieser letzteren Loca- lität, durch ihren Habitus, ganz verschieden von denen aus dem Borschtschowotschnoi Ge- birgszuge.

Im Kuchuserken sind die Topase, so wie die anderen Mineralien, erst seit 3 oder # Jahren entdeckt worden *).

3) Topas aus dem Gebirgszuge Adun-Tschilon.

Die Topase kommen hier im Topasfels vor, aus welchem die verschiedenen Berge, wie z. B. Hoppewskaia u. s. w. bestehen und die den sogenannten grossen Berg Adun-Tschilon bilden”"*).

*) W. v. Titow sagt unter anderem in seiner Abhandlung «Bemerkungen über die Fundôrter der bunten Steine und Salzseen des Nertschinsker Gebiets» (Russisches Bergjournal, 1855, Bd. II, S. 443): «In dem Hauptzuge von Kuchu- «serken, welcher von SW. nach NO. geht, sind bis jetzt fast keine Fundorte der bunten Steine bekannt, sie begegnen «sich vielmehr in den Seitenzweigen desselben, und vorzugsweise in den ôstlichen Zweigen. Nach den Mittheilungen, «die ich von den Tungusen und Buriaten erhalten konnte, sind folgende Zweige bekannt u. s. w.»

Ferner bezeichnet v. Titow diese Gebirgszweige, vom Süden ausgehend, mit folgenden Namen : Kusk-Kundui, Kargurtui, Laka, Kuchuserken, Narin-Kundui, Urtu-Kundui oder Orton-Kundui, Tchindagatai, Urtui-Undur, Urtui-Na- gitui, Uluntui, Golimitui, Altangimil, Talin-Talagai.

Die Topase sind bis jetzt, ebenfalls nach den Mittheilungen des W. v. Titow, in sechs dieser Gebirgszweige be- kannt, nämlich : im Kuchuserken — blaue, weingelbe und farblose Topaskrystalle; im Narin-Kundui — weingelbe und weisse Topase, im Urtu-Kundui — weisse, blaue und gelbe Topase; im Tchindagatai — weingelbe Topase; im Urtui- Undur und im Urtui-Nagitui — farblose Topase.

*) W. v. Tito w. Russisches Bergjournal, 14855, Bd. II, S. 445.

7**) Vergl. «Mat. z. Min. Russlands», Bd, I. S. 1466. Nach v. Tito w finden sich die Topase hier in den Bergen:

ÜEBER DIE RUSSISCHEN TOPASE. (241) 377

Auch findet man die Topase unter der Grassdecke in einer verwitterten Felsart, die viel Eisen- oker enthält, auf einer Fläche, die hier unter dem Namen «Ackerfeld» bekannt ist.

Die Topase aus dem Adun-Tschiloner Gebirgszuge kommen fast immer nur krystallisirt vor. Die Grüsse der Krystalle ist aber bedeutend geringer, als die der Topase aus allen den an- geführten Localitäten des Nertschinsker Gebiets, und varürt gewühnlich von der Grôsse eines Stecknadelkopfs bis 6 Centimeter Länge und bis 3 Centimeter im grôüssten Durchmesser, selten mebr. Der Grad der Durchsichtigkeit ist auch um vieles geringer, als der der übrigen Varietä- ten. Ganz vollkommen durchsichtige Krystalle gebôüren hier zu einer Seltenheit, häufiger sind sie rissig. Ihre vorherrschende Farbe ist bläulichweiss, doch farblose und gelblichweisse To- pase kommen auch vor. Die Krystalle sind fast immer zu grossen Drusen vereinigt und oft mit Rauchtopas- und Beryllkrystallen verwachsen, vorzüglich aber mitersteren. Zu den Eigenthümlich- keiten, die besonders die Topaskrystalle vom Adun-Tschilon von allen den anderen russischen Topasen unterscheiden, gehôüren auch die: 1) dass sie im Allgemeinen ihrer Krystallform nach einander sebr ähnlich sind und ziemlich einfache Combinationen darbieten; 2) dass sie oft an beiden Enden von den Zuspitzungs- und Zuschärfungsflächen begränzt sind, was an den Topas- krystallen aus den anderen Localitäten als eine Seltenheit betrachtet werden kann; und 3) dass die Flächen der Prismen M — +P und | — +P2 fast immer stark vertical gestreift sind, wäh- rend diese Streifung in den anderen Topasen mehr oder weniger schwach ist,

Die Adun-Tschiloner Topaskrystalle bilden gewühnlich ziemlich lange rhombische Prismen

1 — +P9, deren brachydiagonale Kanten durch die schmalen Flächen des Hauptprismas M — +P zugeschärft sind und deren Enden durch die sehr breiten Flächen des Brachydomas f — Pæ zugeschärft und durch die kleinen Flächen der rhombischen Pyramide u — {P zugespitzt werden (Fig. 46). Ziemlich oft begegnet man auch solchen Krystallen, wo die makrodiagona- len Kanten des Prismas | — <P2 durch die Flächen des Prismas D xP3 zugeschärft sind

(Fig. 47), oder auch solchen, wo die Flächen des Makrodomas d — P+ in der Combination eintreten (Fig. 48). Den mehr complicirten Combivationen begegnet man seltener, als den eben erwähnten.

Was die Beschaffenheit der Flächen anbelangt, so sind gewôhnlich die Flächen d — P+ und u — }P glänzend und ziemlich eben, die Flächen f — Pæ sind glänzend und oft schwach

drusenartig, und endlich die Flichen M — <P, 1 — +P2 und g — +P3 sind glänzend, aber stark vertical gestreift.

Winkel der Krystalle des russischen Topases.

Wenn man a:b:c— 1,80487 : 1,89199 : 1 (wo a die Haupt- oder Verticalaxe, b die Makrodiagonalaxe und c die Brachydiagonalaxe ist) annimmt, so ergeben sich folgende Winkel :

Goldener Berg, Hoppewskaia und Kutzania. Auch kommen, nach demselben, die Topase im Gebirgszuge Soktui vor, der nordôstlich vom Adun-Tschilon geht, nämlich : in den Bergen Kugutai-Dschilga und Serga-Sirgoi (Russisches Berg- journal, 1855, Bd. II, S. 452).

Mémoires. sc. math. et phys. T. VI. 48

378 (22) N. r KOKSCHARO W.

Durch Rechnung. Durch Messung ‘). 0 PP — 116 55200 MPEPNNNONNNS PPSS (153° 55 0" Kupfer.) 15345300 * RE =, TA 53 04, à der cu UT DS ES upter)

(130° 23° 12” Kupfter.) 130° 22° 51”

ous M — 4529:54,87%.4 4 MER

OL ROMES o ! a9" y = 13022 39 AC CA

o : 1 — 148° 15° 52” dis Po 4452455580 4 NA Bas 7" 07 #

12025 170 7 0 PNR 149° 32° 0" *

0 ser 5 .. FX à Sn

i : u — 168° 38° 50” i : M — 124° 14 5° ji : a — 147° 0° 6 i sf — 141° 13° 48" i : | — 122° 11° 40” ui: P) — 19% 9424500 ere ann? 0 LAS ui: M =, 13595015) © L'N 435°85 4107 ü,508 == 1017 210070 PNA ER ue 14184008 64 UNS Aer Mn in Ÿ up UE 49700700") MONT RNA 7e or Me” a 88049730. ne 88° 50° 0” über P u,: M, dbaintder t— 414924909920. 00 0119013260! Zoneu d M ri: P — 110° 50° 41”

*) Hier werden die mittleren Werthe aus den verschiedenen Messungen gegeben.

Die mit einem * bezeichneten Zahlen gehôren den Messungen an, die weniger genau sind, als die anderen, doch sind sie zu gut, um sie mit Stillschweigen zu übergehen. Die auf diese Art bezeichneten Messungen sind : a) Vermittelst des bloss mit eënem Fernrobhr versehenen Instruments vollzogen worden. b) An einem und demselben Krystalle von Mursinka, wo ein jeder Winkel nur ein Mal gemessen werden konnte, indem der Krystall zu kurze Zeit in meinem Besitze war. À

Vielleicht rühren die sehr kleinen Differenzen dieser mit einem * bezeichneten Messungen daher, dass die Rän- der des reflectirten Bildes nicht immer hinlänglich scharf sichtbar waren.

Fast alle anderen Messungen sind vermittelst des Mitscherlich’schen Goniometers, welches mit zwei Fernrôhren versehen war, vollzogen worden und dieselben kônnen als sehr genau betrachtet werden.

Die vollständige Revision der Messungen im Allgemeinen, mit ihren Details, wird weiter unten ausfübrlich ange- führt werden.

Neben den Winkeln, die Kupffer erhalten hat, wird sein Name gesetzt sein, die anderen Zahlen sind durch meine Messungen erhalten.

ÜEBER DIE RUSSISCHEN

Durch Rechnung.

BRU + + M MU M MME 4 << 4 4 4 4m = 2 =

gs eo w® PO © € eg — 2 © D © A © © = T< ae ON 1

SHRENÉRE ES Es te = A =

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(AA EU OR NS ES SSSR ea

159° 919" 162 315 136° 33337 163° 33° 18” 152° 15° 28" 140° 2°927" 127° 17° 23” 138° 53° 23” 164° 11° 34” 146° 51° 22” 160° 35° 10” 142° 42° 37° 142° 28° 55” 140° 19° 18" 138° 47° 58" 166° 26° 44” 151° 0° 37° 166° 39° 12” 131° 12° 2” 145° 54° 51” 157° 54° 52" 162° 24' 26" 150° 34° 52" 163° 40° 30” 163° 19° 36” 164° 48° 35" 117° 51° 30" 124° 17 0" 90° 0’ 0” 169° 27 2” 128° 24’ 28" 171° 49° 6” 90° 0° 0”

93° 10° 44”

161° 16° S"

ToOoPASE.

Et 16° 27” Kupher.)

{

Durch Messung.

124° 16° 40” 90° 0° 0” 169° 27° 30”

93° 19207* 161° 15° 42” kupfter.)

161° 16° 15"

(23)

379

380 (29 N.. KOKSCHARO W.

Durch Rechnung. Durch Messung. 1 : P — 90° 0° 0” ° : M, d. b. das Pate Me VU 105 38008 7 NP EM EU sondern das nach- folgende 1] su — 13223443 a. | — 11531024 ge — 147° 45 42" g : 1 — 168° 49 40" D : Pl 090% 0° 0” nie — 15441" 9” n : n

— 129° 22° 18”

5 4 un

n:1l — 161° 54 13"

n:P — 90° 0 0°

a : P — 147° 32 41”

a : ce — 122° 27 19”

a : f — 168° 48 19”

a : à o r ”

De Pi — 115° 5° 22

B:P — 154° 30 0"

Be — 115°30 0"

f : P — 136° 21° 0” 136° 20° 47° ns = 92° 42° 0” 92° 49' 23" f :ce — 133° 39 0”

f : M — 108° 49° 0”

f :1 — 120° 5° 40”

f :0 — 127° 26° 32”

k : P — 124° 56° 51”

k:e — 145° 3 9

k:u — 132° 24 48”

k : 1 — 126° 32’ 41”

Y: ct — 152220892000 . L. 152 200) y:P — 117°39 38°

y':f 21161 18 38" . .,. ., .(161°19//6%Kuprer) y:0 — 125° 9”46”

UEBER DIE RUSSISCHEN ToPASsE. 23) 381 Durch Rechnung. Durch Messung. = 130 270508 w:P — 104° 41" 6” w:ce — 165° 18° 54” Wim, — 167.411 287 w:l — 134° 38 42" vif —= 176° 10 41” y:y —= 165 7 57 yiu — 135° 58 28" Y=:P. — 432° 31 41! y:ce — 137° 2819” h:P — 148° 58 4" h:u — 157° 42° 10" h — 164° 45° 30”

l

141° 50° 12” 1185097900 : se Hs 0e 118° 59 0”

> ©” . LE LE]

ES

57° 53! 40”

1207 30414 50). te0 4440%39":30" 5 MAL Lo Lente 155411" :30" He AUS C A2 LE et! 163014 00" 1507 21:46: 110,941 40008 =: 4.0 110° 31° 55” — 90° 0° 0”

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= (= ES = Te oc —-

EN

(M

oO See ee ©

Wenn man jetzt im Allgemeinen in einer jeden der rhombischen Pyramiden mP und

mPn, die makrodiagonalen Polkanten durch X, die brachydiagonalen Polkanten durch Y, die Mittelkanten durch Z bezeichnet, und wenn man ebenfalls durch & den Winkel der makrodia- gonalen Polkante gegen die Haupt- oder Verticalaxe, durch 6 den Winkel der brachydiagona- len Polkante gegen die Haupt- oder Verticalaxe, und durch y den Winkel der Mittelkante gegen die Makrodiagonalaxe der Grundform bezeichnet, so lassen sich ferner durch Recbnung folgende Werthe bestimmen :

ERA LA AXE STOREX —Æ, 74° 581 EN WMu—26 94 0" AN 0 5PAMUIG MAÉ 1307 22n3070 49B-=—1)28°/59f 20" IA AS EM 7 270 48160 00% — 27151 30”

RU i — FR.

X — 60° 10° 22” X — 120° 20° 44” a — 72° 21 36”

382 (26) N. r KOKSCHARO W.

1Y — 74° 45 30” EU ENTRE D'ANNS

Y —.149° 51 D — 58° 58 4” Z — 68°28 107 y — 27° 51’ 30”

ut —= 3P. IX — 50°.50: 40% IX = 101240 20 MN =6 030 0! 1Y —,70%50 931 Y — 1419 0 67 B—%756 8’ 1Z —4535 15 Z — 91° 1030" y — 27° 51’ 30” r — 2P2, 1X— 50° 227" X—100° #55” — 27° 39° 38” IV 40 LAS MOVE NOR =— 28° 59120 110-1697 19! 19% (NZ 438 188380 M 116 350092} v — P2. 1X 15605122" X— 113 400457 06 46e nnl LY 540 44, STI V = M09 SM ED ARS AO GENS 12 —152° 42 870 UZ =U05° 25 MAT = EPS Han! x — 2P2. IX — 16875050 VX, 1262 10H07 EG = SE LT D EN CN EE 077 17 = MAMIE IN ZEN 807,200 RTE OR 3 20 — 3$P3.

IX — 7203621704 0 00X 1Y— 6194212" Y — 1 84 NO MNNEZ

1X — 74° 48° 35” X Y — 65° 27 4” \ Z — 29° 95 8” Z

= P, 1X = 27° 54307 VX —A55°48 00 1Y — 62° 830” Y 124 17 0! ] — P2,

IX = 46° 35 22” X— 93° 10’ 44” 1Y = 4324 38" Z— 86° 49 16"

— 145° 12/34”

a — 60° 12’ 52”

1259.24 494/ 08 0702810 0167 68° 10° 18” y — 57° 45° 42” P3. 149° 37 10” x — 64° 30° 0” 130° 54 8” B— 73° 15 29” 58° 5016” y — 57° 45 42”

m'— œP3, 1X — 38° 2428" X— 76° 48° 56 1Y = 519 8959204 1030 1408

& = œP3.

1X — 57045 40 EX 15 SRE 1Y — 32°14 18" Y— 64° 2836"

UEBER DIE RUSSISCHEN TOPASE. (27) 383

n — xP4. a 2e.

XI 62° 41, 9,,X— 12922018) AN SA EN — 115 05,22€ AM —25°148 51” UV —"150 371427 17 IST MAIANMNZ—= 64° 54 38° 8 == IP, f — P,

EM 64250! 0! LV — 1292100 0! V6 014 0 IN 0020 42 07 MP 250 300000 107 SE ON "ON 14 180600 OZ — BL 180 07 k — 3P>. y = 2P>.

AU GA SOU D/NY— 69° 53/42} AM 270 30188" NY 1155" 19 167 ARR ON ON NZ — 110° 6187 17 — 62° 2022” Z — 124° 40 44” w — AP. ‘ Nr SP.

NE 40 410 CON 206902 0 V0 SP IONN = 0505000) 17 10 18-54" |'Z — 150° 37 487 11 47 28 19 °Z — 94° 46387 h —= 1P>. d == P=.

1587 587 Ah 2X—: MH D6! SP LXUE—N2 SC OS DEMUX — 0 57° 58° 40" A ARS GRNZ)— CE SP5 12 — 61° 10010007 =122 19207

Resultate der Krystallmessungen des Topases.

Die von mir zur Messung angewandten Topaskrystalle zeichneten sich durch sehr spie- gelnde Flächen, Durchsichtigkeit und im Allgemeinen durch die Vollkommenheit ihrer Ausbil- dung aus. Ich suchte so viel als môglich alle Krystalle, die nur die geringsten Unebenheiten, Streifungen oder ähnliche Unvollkommenheiten ihrer Flächen zeigten, zu übergehen. Obgleich diese Bedingung nicht leicht zu erfüllen war, so ist es mir doch gelungen Topaskrystalle aus fast allen russischen Localitäten zu messen. Ich habe nämlich: neun Krystalle vom Ilmenge- birge (M 2, 4,5, 6,7, NS, NM 9,M 10, /F 11), einen von Mur- sinka, aus der Umgegend von Katharinenburg (/Æf 3), zwei vom Flusse Urulga im Gebirgszuge Borschtschowotschnoi (5 1 und 45 12) und einen vom Adun-Tschilon (4 13) gemessen. Die angestellten Messungen haben mich überzeugt, dass die Winkel der Topaskrystalle aus: allen diesen Localitäten nicht im Geringsten von einander abweichen. Die Messungen selbst wurden vermittelst des Mitscherlich’schen Reflectionsgoniometers, welches, nachdem es die Umstände erlaubten, bald mit einem, bald mit zwe Fernrühren versehen war, vollzogen. Indes- sen sind nur sehr wenige Winkel mit einem Fernrohre gemessen worden. Folgendes sind die

erhaltenen Resultate :

384 (28) N.v. KOKSCHAR O W.

1) Die Messungen, die man als sehr genau betrachten kann. Für f : f (über P). :. Am Krystall M7 1 von 92° 49° 0” mit zwei Fernr. der Urulga. 5 "92° 42° 30” mit einem Fernr.

Mittel — 92° 42° 15” (1). Am Krystall M7 2 he 4 [lmengebrrge. Der mittlere a aus (1) und (2) ist gleich: 92° 42° 23" *). Eur fol,

92° 42° 30” mit zwei Fernr. (2).

Am Krystall M 1 von ee D é Lu 7. 5 le — 136° 21” 0” mit zwe Fernr. 136° 21” 10”

à mit enem Fernr. 13622180)

Mittel — 136° 21° 3" (3). An der anderen Seite — 136° 20° 30° mit einem Ferur. (4), Der mittlere Werth aus (3) und (4) ist gleich ; 136° 20 47”.

Eürfeiu: Am Krystall A7 1 von der ous An einer Kante 19 12H00 D An der anderen Kante — 137° 28° 0” (6). mit zwei Fernr. An der dritten Kante — 197 210407 D.

Der mittlere Werth aus (5), (6) und (7) ist gleich : 137° 27° 43”.

Für d : P. Am Krystall A 1 vony 118° 59° O” mit zwei Fernr. s der Urulga. f 7 118° 59° 0” mit einem Fernr. | WE

Mittel — 118° 59° D”. Für d : M.

Am Krystall 47 1 von

trie = 140° 39° 30” mit zwei Fernr. (9).

*) Kupffer hat für diesen Winke] — 929 45” 12/ gefunden. (Preisschrift über genaue Messung der Winkel an Krystallen. Berlin, 1825, S, 79.)

UEBER DIE RUSSISCHEN ToOPASE.

Hür:dé:ut Am Krystall 4 1 ni VU 453 4° 20 mit zwei Fernr. (10). der Urulga. Für d:f. Am Krystall M 1 von

. = 110° 34° 55” mit moe Fernr. (11).

Für u : P. Am Krystall #5 1 von der Urulga. An der einen Seite — 134° 24° 15” mit swe Fernr.

134° 24° 30” mit einem Ferur.

Mittel — 134° 24 23” (12). An der anderen Seite — 134° 24° 30” mit zwei Fernr. 134° 24 30” mit einem Fernr.

Mittel — 134° 24° 30" (13). Am Krystall 4 3 von) Mursinka. NE Der mittlere Werth aus (12), (13) und (1%) ist gleich :

134° 24 38”. Für u : M.

Am Krystall 4 1 von der Urulga.

Am Krystall 45 3 von] Mursinka. fa Der mittlere Werth aus (15) und (16) ist gleich :

135° 35° 10”. Für u, : M, (d. h. in der Zone u d M). Am Krystall 4 1 von}

= 135° 35° 50” mit zwei Fernr, (15).

der Urulga. Für u : u (über P). Am Krystall 4 1 von}

vue j — 88° 50° 0” mit zwei Fernr. (18).

Für u : u (in der Kante Y). Am Krystall 47 1 von der Urulga.

134° 25° 0” mit einem Fernr. (14).

135° 34° 30" mit einem Fernr. (16).

j — 113° 43° 30° *) mit zwei Fernr. (17).

= 141° 1° 0” mit einem Fernr. (19).

(29)

339

‘| Kupffer hat für diesen Winkel 113° 47” 30” erhalten. (Preisschrift über genaue Messung der Winkel an Kry- stallen. Berlin, 1825, S. 81).

Mémoires. sc. math. et phys. T,. VI,

386 (30) N.v. KOKSCHARO W.

Am Krystall 45 3 von Mursinka. Der mittlere Werth aus (19) und (20) ist gleich : 141° 1° 0”. Für o : o (in der Kante Y). Am Krystall 45 3 von

Mursinka. Am Krystall 4 4 je —11300299 07

le 141° 1° 0” mit einem Fernr. (20).

; — 130° 23° 0” mit einem Fernr. (21).

130222" 30

Ilmengebirge mit zwe Fernr.

Mittel — 130° 22° 45” (22). Am Krystall 45 5 vom Ilmengebirge. Am Krystall 413 vom Adun-Tschilon. Der mittlere Werth aus (21), (22), (23) und (24) ist gleich : 130° 22° 51”*). Für o : P. Am Krystall 4 1 Li — 116° 5° 30” mit zwei Fernr.

— 130° 22° 30” mit einem Fernr. (23).

| — 130° 23° 10” mit zwet Fernr. (24).

der Urulga. 116° 5° 0” mit einem Fernr.

Mittel — 116° 5° 15” (25). Am Krystall 4 3 von Mursinka.

Am Krystall 47 10 vom

Ilmengebirge. Der mittlere Werth aus (25), (26) und (27) ist gleich:

116° 5° 45”. Für o : d.

= 116° 6” 0” mit sinem Fernr. (26).

— 116° 6° 0” mit zwei Fernr. (27).

Am Krystall 4513 vom) nt MER. dun tes j — 155° 11 30” mit zwe Fernr. (28). Für M : M (in der Kante Y).

An Krystall 4 3 von

on — 124° 17° 0” mit einem Fernr. (29).

[4

*) Kupffer hat für diesen Winkel an einem Krystalle — 130° 29’ 48/' und an einem anderen — 130° 23’ 36 gefunden. Als den richtigsten Werth für diesen Winkel nimmt Kupffer schliesslichst 130° 23 18/’ an. (Preisschrift über genaue Messung der Winkel an Krystallen. Berlin, 1825, S. 78 und 79.)

UEBER DIE RUSSISCHEN ToPASE. (31) 387

Am Krystall 4 5 vom

dE (o) ? JAno . NEA = 124° 16 10 mit einem Fernr. (30).

Am Krystall 4 6 ik de rs M — 194° 16’ 30” mit zwei Fernr. (31). Am Krystall MF 7 vom) MENT Llmengebirge RE 124° 17 O mit zwei Fernr. (32). Am Krystall 4 8 vom A in _ — 124° 16 0” mit zwei Fernr. (33). Am Krystall 4 9 À 1 ne a = 1e ARNO hero 24)

Am Krystall 4 12 von der Urulga. Der mittlere Werth aus (29), (30), (31), (32), (33), (3#) und (35) ist gleich :

= 124° 17° 0” mit zwes Fernr. (35).

124° 16° 40” *). Für M : P. Am Krystall 47 1 von) der Urulga. ne

Am Krystall 4 3 von Mursinka.

90° 0” 0” mit zwei Fernr. (36).

— 90° 0° 0” mit einem Fernr. (37).

Am Krystall 4 8 vom it Re AN } — 90° 0° 0” mit zwei Ferr. (38). Ilmengebirge. Der mittlere Werth aus (36), (37) und (38) ist gleich: 90° 0° 0” Für o : u.

Am Krystall 45 1 von der Urulga. Am Krystall #10 vom Ilmengebirge. Der mittlere Werth aus (39) und (40) ist gleich : 161° 41° 0”. Für M :1.

; — 161° 41” 0” mit zwei Fernr. (39).

— 161° 41” 0” mit zwei Fernr. (40).

Am Krystall 4 6 vom

PET O / ES Ê Toit ge ; — 161° 16 30” mit zwei Fernr. (41).

‘| Kupffer hat für diesen Winkel an einem Krystall — 1249 16’ 36” und an einem anderen — 124° 16’ 18’ ge- funden. Als den richtigsten Werth hat er schliesslichst angenommen : 1240 16’ 28”. (Preisschrift u. s. w. Berlin, 1825, S. 80.)

+

338 (32) N.v. KOKSCHARO W.

Am Krystall 4 3 von Mursinka. Der mittlere Werth aus (41) und (42) ist gleich :

161° 16° 15” e Für m : M.

} — 161° 16° 0” mit einem Fernr. (42).

Am Krystall 4 5 vom PR UE rt | — 169° 27° 30” mit einem Ferur. (43). Ilmengebirge. Für yi:1C- Am Krystall #5 11 vom

EC O ! 1! . . Timengebirge. — 152° 20 0” mit zwe Fernr. (44).

2) Die Messungen, die weniger genau sind, als die Vorhergehenden.

Für i : P. Am Krystall 4 3 von RU TE Mosnle — 145° 47 0° mit einem Fernr. (45). Für i : i (in der Kante Y). 2 FE ; Fa — 149° 32 0” mit einem Fernr. (46). Für 1 : 1 (in der Kante X). Am Krystall 4 3 von Mursinka. Für 1, : M, (d. h. die Neigung der Fläche 1 nicht zu der anlie- genden, sondern zu der nachfolgenden Fläche M). Am Krystall 4 3 von Mursinka.

= 93° 19° 0” mit einem Ferur. (47).

— 105° 34 0” mit eënem Fernr. (48).

Für o : M. Am Krystall 47 3 von Mursinka.

Obgleich diese letzten Messungen (45), (46), (47), (48) und (49) ziemlich gut sind, so habe ich sie doch von den anderen getrennt, indem sie, nach dem Grade der Deutlichkeit des reflectirenden Bildes zu urtheilen, den anderen nachstehen müssen. Alle diese letzten Messun- gen wurden an einem und demselben Krystalle von Mursinka aus der schônen Sammlung S. E. des Grafen L. A. v. Perowsky vollzogen. Da der Krystall nur kurze Zeit in meinem Besitze

; — 153° 53 0” mit einem Fernr. (49).

* Kupffer hat für diesen Winkel — 161° 15° 42” gefunden. (Preisschrift über genaue Messung der Winkel ) Kup g an Krystallen. Berlin, 1825, S. 81).

UEBER DIE RUSSISCHEN TOPASE. (33, 389

war, so konnte ich meine Messungen nicht wiederholen, doch ungeachtet dessen bieten, wie es ersichtlich ist, die erhaltenen Grôssen von den Berechneten nur einen Unterschied von unge- fähr einer Minute dar.

Specifisches Gewicht des Topases.

Ich habe das specifische Gewicht des Topases aus mehreren russischen Localitäten be- stimmt. Die Exemplare, die zu diesem Zweck dienten, haben folgende Resultate gegeben :

a) Ein vollkommen durchsichtiger, wasserheller Krystall vom Flusse Urulga, welcher 16,434 Gram. wog. Spec. Gew. — 3,561. b) Ein vollkommen durchsichtiger, wasserheller Krystall vom Flusse Urulga, welcher 12,760 Gram. wog. Spec. Gew. — 3,565. c) Ein grôüsstentheils durchsichtiger, farbloser Krystall vom Flusse Urulga, welcher 20,208 Gram. wog. Spec. Gew. — 3,553. d) Ein vollkommen durchsichtiger und sebr schôn ausgebildeter Krystall von weingelber Farbe vom Flusse Urulga, der 6,534 Gram. wog. Spec. Gew. — 3,562. e) Drei kleine, ganz durchsichtige, farblose Krystalle vom Jmengebirge, die zu- sammen 5,944 Gram. wogen. Spec. Gew. — 3,567. f) Ein zum Theil durchsichtiger, farbloser Krystall vom Z!mengebirge, der 26,773 Gram. wog. Spec. Gew. — 3,563. g) Ein blauer, zum Theil durchsichtiger Krystall von Mursinka, der 25,526 Gram. wog. Spec. Gewicht: Bei dem ersten Versuch — 3,562. Bei dem zweiten Versuch — 3,563. h) Ein bläulicher, zum Theil durchsichtiger Krystall vom Adun-Tschilon, der 42,126 Gram. wog. Spec. Gew. — 3,550. | Der mittlere Werth des specifischen Gewichts der russischen Topase beträgt also, aus a, b,c,d,e,f,gundh: 3,560

390 (3% N.v. KOKSCHARO W.

Ein grôsstentheils durchsichtiger, weingelber brasihianischer Topaskrystall, der 8,965 Gram. wog, gab: Spec. Gewicht: Beim ersten Versuch — 3,521. Beim zweiten Versuch — 3,522.

Es scheint also, dass das specif. Gewicht der brasilianischen Topase etwas niedriger ist, als das der russischen Topase.

Besondere Bemerkungen.

Vor dem Schlusse meines Artikels halte ich es nicht für überflüssig noch einige Bemer- kungen anzuführen; erstens über den Werth der Winkel, die als Data dienen sollen, um die Axenverhältnisse der Grundform des Topases zu berechnen, und zweitens über die Unvollkom- menheiten einiger Krystalle dieses Minerals.

1) Um das Axenverhältniss der Grundform des Topases zu berechnen, habe ich die Win- kel M : M — 124° 17° 0” und f : P — 136° 21° 0” angenommen, welche a : b : ce — 1,80487 : 1,89199 : 1 gegeben haben. Ich glaube, dass dieses Axenverhältniss am Besten allen Bedingungen entspricht, denn die aus denselben berechneten Winkel stimmen mit den unmittelbar Gemessenen fast ganz überein.

Alle kleinen Veränderungen die ich an den oben angeführten Daten unternehmen :wollte, lieferten mir schon weniger befriedigende Resultate. Zum Beispiel da der mittlere Werth, aus mebreren an verschiedenen Krystallen angestellten Messungen, für M : M — 124° 16° 40” und für o : o — 130° 22° 50” betrug, so wäre es für mich am Besten gewesen diese beiden Winkel als Daten zur Berechnung der anderen anzunehmen, um so mehr, als Kupffer für die- selben Winkel fast dieselben Werthe erhalten hat, nämlich : 124° 16° 28” und 130° 23° 18”). Indessen konnte ich mich nicht dazu entschliessen, unter anderen noch aus folgendem Grunde : in einem sebr gut ausgebildeten, vollkommen durchsichtigen, kleinen Topaskrystalle vom Il- mengebirge habe ich vermittelst des Mitscherlich’schen Goniometers, welches mit zwei Fern- rôhren versehen war, die Neigung f : f (in der Kante Y) sehr gut gemessen und erhielt 92° 42" 30”. Dieselbe Neigung betrug in einem sehr schôünen Topaskrystalle vom Flusse Urulga 92° 42° 0”. Eine solche Uebereinstimmung der Winkel der Topaskrystalle aus so weit von einander gelegenen Localitäten, ist gewiss hinreichend um zu überzeugen, dass den Topaskry- stallen dieser Winkel wirklich eigen ist. Wenn wir nun unsere oben angeführten Winkel M : M — 124° 16° 40” und o : o — 130° 22° 50” als Daten zur Berechnung der anderen an- nehmen wollen, so erhalten wir durch Rechnung f : f — 92° 44° 58”. Auf diese Weise findet

*) Kupffer hat nämlich durch Messung erbalten: M : M — 124° 16’ 28” und 0 : o an einem Krystalle = 130° 22’ 48” - 1300 22° 48” An einem anderen Krystalle — 130° 23/ 36”. Nach seinen Regeln combinirt, nimmi er als richtigsten Werth den Winkel o : o — 130° 23’ 18” an. (Kupffer. Preisschrift uber genaue Messung der Winkel an Krystallen. Berlin, 1825, S. 78 und 79.)

UEBER DIE RUSSISCHEN TOPASE. (83) 391

also zwischen den berechneten und den ganz genau gemessenen Winkeln ein Unterschied von fast 2% Minuten stat. Wenn wir dagegen unsere Daten beibehalten (d. h. a: b : ce — 1,80487 : 1,89199 : 1), so erhalten wir für alle drei Winkel M : M, o : o und f : f die Werthe, die mit den gemessenen Winkeln im vollkommensten Einklang stehen, nämlich durch Rechnung M : M — 124° 17° 0” (durch Messung 124° 16’ bis 124° 17° und im Mittel 124° 16’ 40”), o : o — 130° 22’ 32” (durch Messung 130° 22° 30” bis 130° 23° 10” und im Mittel 130° 22’ 50”) und f : f — 92° 42’ 0” (durch Messung im Krystall von der Urulga 92° 42’ 0” und im Krystall vom Ilmengebirge 92° 42° 30”*). In diesem letzteren Falle bestehen also die Unterschiede zwischen den gemessenen und berechneten Winkeln bloss in Secunden, oder, um zu sagen, es findet hier keine Differenz statt.

Da die Fortsetzung einer Erläuterung auf ähnlicher Weise zu langwierig werden würde, so halte ich es für besser hier folgende Tabelle hinzuzufügen, die die oben erwähnten Verhält- nisse auch in Bezug zu den anderen Winkeln verdeutlichen soll.

3 23 |7% je = - St SE nie - £ + NAME RES : = SEM ENA EAN RE È RQ = & Z œ f E f} o 0 o / (e] , ©) , p 92° 44 92° 45 92° 42 92° 421 über P f 2 92 451 Kupffer. } à AN 136 22 136 221 136 21 136 203 SN: LP 137 928 137 283 137 271 137 273 d'spPur, 119 0 119 31118 591] 118 59 d':'M'". 140 39 140 3811140 391] 140 391 d'u" 153 41 1153 411153 41] 153 41 d'ffL 110 321 | 110 3311110 313] 110 32 de) PT, 134 251 | 13% 261134 24%] 134 245 u' Mi 135 341 | 135 3341135 351] 135 351 u,: M, . 113 431 | 113 423 | 113 431] 113 431 113 471 Kupffer. } u:u : ni. ASS TO 88 525 | 88 491 88 50 Rene dat 1 |'141 1 |141 0 | 141 1 in Y

*) Vergl. die oben angeführten Messungen der Topaskrystalle.

392 (36) N. r KOKSCHARO W.

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78° 531

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o-: u 161 41 161 403% | 161 41 161 41 Hs 124 171%) 124 163 | 124 17 | 124 163 in Y É . 124 16

Kupffer.

M: ..1161 161 |161 16 |161 162] 161 161 161 194)

Kupffer.

m:M ..1169 27 169 27 |169 27 169 271 y: e ..|152 191 | 152 191 | 152 201| 152 20 0: M ..1153 531 | 153 525153 541] 153 37

ne 99

Kupffer.

yif..|161 185 |161 1851/1601 184 |/161 19

Kupffer.

Mé:4 Ps :.25 14900 90 0 90 0 90 0

2) Wie wir es bei mehreren anderen Mineralien gethan haben, so wollen wir auch hier der unvollkommenen Ausbildung einiger Topaskrystalle erwähnen. Diese Art von Bemerkungen kônnen, wie es mir wenigstens scheint, für solche Beobachter nützlich sein, die nicht die Mittel haben ihre Messungen an mebreren Krystallen anzustellen und die daher zu Winkeln gelangen kônnen, deren Werthe von den wahren Grüssen ziemlich abweïichen.

Ich werde hier einen Fall anführen, den ich Gelegenheit hatte an einem kleinen Topas-

*) Kupffer hat diesen Winkel — 124° 18° 20” berechnet (Preisschrift über genaue Messung u. s. w. S. 83), doch in seinen Rechnungen bat sich ein kleiner Fehler eingeschlichen. Aus diesem Grunde sind auch zwei andere von ihm berechnete Winkel nicht ganz richtig, nämlich: für die Neigung der Fläche der Grundform gegen die Hauptaxe ist — 26° 4’ 56”, statt 26° 6’ 28", gegeben, ebenso für die Neigung der makrodiagonalen Polkante gegen die Hauptaxe ist — 46° 22’ 33” statt 46° 22’ 2”, gegeben.

UEBER DIE RUSSISCHEN TOPASE. 37) 393

krystalle vom Ilmengebirge zu beobachten, welcher scheinbar ganz gut ausgebildet war und

den ich oben unter # 10 angeführt habe. Dieser Krystall hatte an einem Ende die Flächen

OP ur TP — P, Y—= 2P+, h== 1Ps, d — P> und P — oP, am anderen Ende

war er aber abgebrochen und daher von einer Spaltungsfläche begränzt. Ich werde diese letz-

tere Spaltungsfläche durch P” bezeichnen, um sie von der Krystallfläche P des oberen Endes zu unterscheiden. Durch sehr genaue Messungen habe ich an diesem Krystalle gefunden :

M : P'(Spaltungsfläche) — 90° 5

90 % 40

Im Mittel — 90° 4 50"

lè

4 mit zwet Fernrôhren.

Dass die gemessene Fläche des Hauptprismas M dieses Krystalls wirklich nicht unter einem geraden Winkel zur Spaltungsfläche P” geneigt ist, und ungefähr eine Abweiïchung von 5 Minuten macht, geht ganz deutlich aus folgendem Grunde hervor: a) dass das Instrument sorgfältig vor und nach einer jeden dieser beiden Messungen verificirt wurde. b) Mit derselben Einstellung des Goniometers fand ich gleich an zwei anderen Krystallen (nämlich an 4 1 von der Urulga und an #f 8 vom Ilmengebirge) denselben Winkel — 90° 0’ 0”. c) Die Neigun- gen o : M und o : P’ an dem Krystall 47 10 zeigten, wie wir es gleich sehen werden, dass wirklich die Neigung der Fläche M zu P’ eine kleine Abweichung vom geraden Winkel macht ; in der That ich erhielt durch Messung am Krystall 47 10 :

o : P — 63° 54° 0” mit zwei Fernrôhren. Nach dem von uns für den Topas gegebenem Axenverhältnisse a : b : c — 1,80487 : 1,89199 : 1, ergiebt sich durch Rechnung dieser Winkel — 63° 54° 8”, also ganz dieselbe

Grüsse wie die, die durch Messung erhalten wurde. Ferner erhielt ich durch Messung :

o:M— 153° 58° 30” mit zwei Fernrühren.

Dagegen erhält man durch Rechnung für diesen Winkel den Werth — 153° 54° 8”. Die Abweichung beträgt also 4 Minuten und 30 Secunden, d. h. denselben Unterschied, welchen die Neigung M : P' zeigt.

Aus allen diesen Messungen ist also leicht zu ersehen, dass die Flächen P’ und o ihre wabre Stellung beibehalten haben, dagegen die Fläche M einer Verschiebung unterworfen 1st, woher sie von ihrer Normalstellung um #1 Minuten abweicht. Solche ausnahmsweise und ganz zufällige Vorkommenheiten kônnen aber sehr unangenehme Folgerungen nach sich ziehen, wenn der Beobachter sich nur auf wenige Messungen der Winkel beschränkenu will, um so mehr, da man denselben in Krystallen begegnet die, dem Anchein nach, sehr gut ausgebildet sind und sebr glänzende Flächen haben. Setzen wir nun z. B. voraus, dass der Beobachter nur einen einzigen Topaskrystall messen konnte, in welchem er bloss zwei Winkel ganz genau be- summte, aber nun unglücklicherweise mit unserem Krystall M$ 10 zu thun gehabt hätte. Fer-

ner dass, durch seine genauen Messungen, er für M : M — 124° 17° 0” und für o : M — 153° Mémoires, sc. math. et phys. T. VI. ; 30

394 (38) N. r. KOKSCHARO W.

58° 30” erhalten hat. Was erhielt man dann als Endresultat? Natürlich würden sich in diesem Falle folgende Neigungswinkel durch Rechnung ergeben : f : f — 92° 31° 0” (während nach den genauesten Messungen dieser Winkel im Topas — 92° 42° 23” beträgt); d : P — 118° 54 40” (durch sehr genaue Messungen — 118° 59° 0"); o : P — 116° 1° 30” (durch sebr genaue Messungen — 116° 5° 45”); o : o — 130° 20° 34” (durch sehr genaue Messungen — 130° 22° 51"). Auf diese Art wird man ebenfalls ähuliche oder noch stärkere Abweichun- gen in anderen Winkeln erhalten.

Ergänzung.

Im Jahre 1853 sandte mir der verstorbene Bergingenieur Obrist P. E. v. Achmatow zwel kleine Topaskrystalle, begleitet von folgendem Schreiben :

Den 10ten Juni 1853.

Am vergangenen Frühjahre fand man in den Goldseifen des Gouvernements Orenburg «(namentlich in der Goldseife des Kaufmanns Bakakin) Fragmente und Krystallchen eines Mine- «rals von rosenrother Farbe, welches hier «Rosen-Topas» benannt wurde. Zwei solcher Kry- «stalle, von denen der eine zugespitzt ist, sende ich Ihnen mit diesem Briefe u. s. w.»

Einer von diesen Topaskrystallen, der mir durch die Güte des Hrn. v. Achmatow zu Theil wurde und der hier abgebildet ist, hat ungefähr 1 Centimeter Länge und 1 Centimeter im grüssten Durchmesser; er ist zugespitzt, von weingelber Farbe, grôsstentheils durchsichtig, und bietet das Hauptprisma M — +P dar, wo das eine Ende desselben durch die vier Flächen der rhombischen Pyra- mide u — 1P zugespitzt und durch das Brachydoma f — P zu- geschärft ist, und dessen makrodiagonale Kante durch die Flächen des Prismas 1 — +P2 zugeschärft wird, was indessen ganz deut- lich aus der Figur ersichtlich ist. Der zweite Krystall ist sehr ris- sig, von rosenrother Farbe, bietet die Combination der beiden Pris-

men M — xP und | — <P2 dar, ist aber an beiden Seiten

abgebrochen und daher von Spaltungsflächen begränzt. Diese Kry- stalle sind durch ihre Farbe, ihren Habitus, ihren Glanz u. s. w so äbhnlick den brasilianischen Topasen, dass es unmôglich ist den geringsten Unterschied zwischen denselben zu finden. Ich muss ge- stehen, dass ich damals diese Krystalle für brasilianische Topase hielt, die durch ein Missverständniss als aus dem Ural herstammend

betrachtet wurden. Aus diesem Grunde erwiederte ich sogleich Herrn v. Achmatow, dass bevor man nicht eine grüssere Anzahl dieser Topase finden würde, ich mich nicht entschliessen künnte über diesen Gegenstand etwas zu verôffentlichen. Doch

UEBER DIE RUSSISCHEN ToOPASE. (9) 395

später gab der Lieutenant Barbot de Marni die Beschreibung dieser Topase”). Nach dem- selben sind diese Krystalle in der Goldseife Kamenno-Pawlowskaja, im Lande der Oreubur- gischen Kosaken, vom Kaufmann Bakakin entdeckt worden. Das specifische Gewicht beträgt nach Danilow's Bestimmung :

Für die Krystalle von rosenrother Farbe — 3,529

Für die Krystalle von gelber Farbe — 3,915

Im Mittel — 3,522 Also ganz dasselbe wie das welches ich für einen Topaskrystall aus Brasilien erhalten habe ”). Durch die Güte des Obrist-Lieutenants des Berg-Corps A. v. Peretz wurde mir neuerdings ein hübscher Topaskry- stall, der ebenfalls aus der Goldseife des Kaufmanns Baka- kin stammt, zu Theil, und der aus dem Ural durch den Oberst- Lieutenant v. Roschkow gebracht wurde. Dieser Krystall ist ganz durchsichtig, von angenehmer rosenrother, in’s Violblau ziechender Farbe, und hat ungefähr 21 Centime- ter Länge und ungefähr ? Centimeter im grôüssten Durchmes- ser. Die Combination desselben ist sehr ähnlich der des oben _ beschriebenen und abgebildeten Krystalls. Sie unterscheidet sich bloss durch die Hinzufügung der Flächen der Pyramide

x 2P2, die die schmalen Abstumpfungen der Combina- tionskanten zwischen den Flächen u — 1P und f — Pæ bil- den, was man aus nachfolgender Figur am Besten ersehen kann.

Das Vorkommen solcher Topase im Ural scheint nun auch aus folgendem Grunde keinem Zweifel mehr unterwor- fen zu sein, indem man in ganz letzter Zeit im Lande der

Orenburgischen Kosaken einige Mineralien endeckt hat, die sich durch ibren Habitus sehr von denen unterscheiden, die man bisher im Ural gekannt hat, z. B. weisser und rother Korund (Rubin) in kleinen sehr schôünen‘Krystallen, Gerülle von Sma- ragd, durchscheinende Chrysoberyll-Gerülle, ganz durchsichtige Olivin- und Zianit-Gerülle. Alle diese Mineralien sind im russischen Bergjournal von Barbot de Marni beschrieben wor- den. Sie stammen, nach seiner Beschreibung, aus den Goldseifen, die am Flusse Kamenka und an den anderen Nebenflüssen -des Uis (Land der Kosaken des Regiments M 6) gelegen sind. Der Fluss Kamenka ergiesst sich in die Samarka, dieselbe fällt in den Fluss Ui und die- ser ergiesst sich wieder in den Fluss Tobol.

*) Russisches Bergjournal. 1854. Bd. I, S. 437. ”) Vergl. «Specifisches Gewicht des Topases.»

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Lu LE 3 DÉCEMBRE 1852.

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Vorwort.

Die nachstehende Abhandlung ist aus einer grôsseren Arbeit über Elasticität entnommen, die nocht nicht beendigt ist, und die zu ihrer Zeit wird bekannt gemacht werden. Ich habe einst- weilen in der Einleitung einige allgemeine und noch nicht bekannte Thatsachen aus der grôs- sern Schrift mittheilen zu müssen geglaubt, um dem Leser zu zeigen, wie man die Elasticitäts- coefficienten derselben Metalle sehr genau bestimmen künne, und bestimmt hat, für welche in dieser Schrift der Einfluss der Temperatur auf diese Coefficienten bestimmt worden ist. Indem ich durch Versuche erwies, dass der Einfluss der Temperatur bei Torsionsschwingungen ein “anderer sein kann als bei Transversalschwingungen, war es interessant nachzuweisen, dass auch der Elasticitätscoefficient für die Torsionsschwingungen ein anderer ist, als für die Trans- versalschwingungen. Diese Mittheilungen führten zur Erwähnung des Coefficienten k, den ich den Flüssigkeitscoeflicienten genannt habe, und von dem meines Wissens vor mir noch nicht die Rede war, oder dessen Werth wenigstens vor mir noch nicht genau bestimmt worden ist. Vielleicht war es nicht durchaus nothwendig, die diesen Coefficienten betreffende Beobachtungen ausfübrlich mitzutheilen : ich habe das nur deshalb gethan, um den Leser zu überzeugen, dass Alles mit der grüssten Genauigkeit beobachtet worden ist, und dass ich mich nicht mit blossen Annäherungen begnügt habe.

In dieser Abhandlung ist nur das dynamische Moment der Elasticität berücksichtigt wor- den; der Einfluss der Wärme auf die elastische Kraft ist nur durch Schwingungen, Transversal- und Torsionsschwingungen, bestimmt worden. Ich habe auch Versuche über den Einfluss der Temperatur auf das statische Moment der Elasticität gemacht, aber sie sind vollständig misslun- gen; bei fortdauernder Erwärmung war die bleibende Aenderung des Flexions- oder des Tor- sionswinkels so stark, dass die vorübergehende, mit der Erhühung der Temperatur eintretende, und mit deren Verminderung sich wieder vermindernde, ganz darin verschwand: die elastische Nachwirkung brachte noch mehr Verwirrung in die Resultate. Ein dicker Stahldrath von bei- läufig 6 Fuss Länge wurde an einem seiner Enden festgeklemmt, am andern befand sich ein horizontaler Hebel, dessen Ebene einen rechten Winkel mit dem Drath machte; dieser wurde beschwert, und das andere Ende des Draths so lang gedreht, bis der Hebel wieder die hori- zontale Lage angenommen hatte; der Winkel, um den das Ende gedreht worden war, wurde genau beobachtet. Nun wurde der Drath bis zum Kochpunkt des Wassers erhitzt, der Hebel hätte sich nun herabbewegen, oder der Torsionswinkel sich vergrüssern müssen; es geschah aber gerade das Gegentheil : der Torsionswinkel nabm ab — und nahm immerfort ab, selbst als der Drath wieder bis zur Temperatur des Zimmers erkaltet war. Dies konnte wobl nichts an-

400 4) A. T. KUPFFER.

ders als eine Nachwirkung sein, welche strebt den Drath zu seiner ersten Gleichgewichtslage zurück zu führen, uvd welche durch die Wärme verursacht wird — wir werden aus der Ab- handlung selbst ersehen, dass eine vorübergehende Wärme, die nicht bis zur Glühhitze geht, sondern bei der Siedhitze des Wassers stehen bleibt, die elastische Kraft sehr weicher Metalle, wie des Kupfers, erhüht. Nicht besser ging es mir mit der Flexion; ein Messingstab, der durch ein an seinem freien Ende angehängtes Gewicht eine ziemlich bedeutende Biegung erhalten hatte, bog sich, bis zu 80° R. erhitzt, so stark, dass diese Biegung bei weitem die übertraf, welche eine Folge des Einflusses der erhühten Temperatur sein konnte; als der Stab wieder er- kaltet war, nahm die Biegung nicht wieder ab, ein Beweiss, dass in der langen Zeit, die das Erhitzen und das Wiedererkalten erfordert hatte, das Gleichgewicht der Molecüle des Stabs sich sehr geändert haben musste, Ich sah daraus, dass um die Einwirkungen der Wärme auf das statische Moment der Elasticität zu finden, man vor allen Dingen ein Mittel haben müsste, die Einwirkung derselben Wärme auf die Verrückung der Gränzen der Elasticität und auf die Nachwirkung vou ibhrer Einwirkung auf die Elasticität selbst zu trennen; um ein solches Mittel zu finden, werden noch viele Arbeiten über die Gränze der Elasticität und über die Nachwir- kung erforderlich sein, so dass die Lüsuug dieses Problems mir noch sehr ins Unbestimmte hin- aus gerückt zu sein scheint. Man bat aber erst angefangen die Gesetze der Elasticität in ihrem ganzen Umfange zu studiren; bei jedem Schritte stôsst man in diesen Untersuchungen auf neue Eigenschaften der elastischen Kôrper; je weiter man vorgeht, desto mebr Verwickelung. Bei solchen Umständen ist wohl in diesem Augenblick keine vüllig abgeschlossene Arbeit über 1r- gend eine Eigenschaft der elastischen Kôrper müglich.

Es bleibt nur noch übrig zu erklären, warum ich dem Wunsche der Societät nicht nach- gekommen bin, nach der Wabrscheinlichkeitsrechnung die Fehlergränzen meiner Bestimmungen zu berechnen. Die metallischen Stäbe schwingen so kurze Zeit, dass wiederholte Beobachtun- gen immer dieselbe Schwingungszeit geben, wenigstens fallen die Unterschiede immer inner- halb der halben Secunde, welches der kleinste Zeittheil ist, der sich mit Sicherheit mit einem Chronometer, welcher halbe Secunden schlägt, beobachten lässt. Die Unterschiede der beob- achteten Werthe und des berechneten Mittelwerths sind also fast immer — 0: man erhält gar keine Summe der Quadrate der Fehler. Die Genauigkeit des Endwerths kôonte freilich auch durch Rechnung bestimmt werden, wenn man den Einfluss der Temperatur auf die Elasticität desselben Stabes mehrere Male, bei verschiedenen Temperaturunterschieden, und ins besondere bei verschiedenen Längen desselben Stabes, beobachtete; man würde dann wohl verschiedene Werthe dieses Einflusses erhalten, aus deren Unterschieden man denn auf die Genauigkeït des Mittels aus allen Beobachtungen schliessen kônnte; aber dies würde die Arbeit gar sehr vergrüs- sern, und was wäre der Gewinn dabei? Alle die erhaltenen Werthe gehüren doch nur einem bestimmten Individuum, und man würde sehr irren, wenn man die erhaltenen Resultate auf andere Stäbe von demselben Metall bezichen wollte; die erlangte Genauigkeiït hätte also gar keï- nen praktischen Nutzen — wenn man den Einfluss der Temperatur auf die Elasticität eines ge- wissen Metallstabes recht genau wissen wollte, müsste man doch dieselbe besonders untersuchen.

Einleitung.

Ehe wir uns mit dem Einfluss der Wärme auf die Elasticität beschäftigen, wird es n6- thig sein, erst genauer zu bestimmen, was man unter dem Wort: Elasticität zu verstehen hat; denn obgleich die Bedeutung dieses Wortes im Allgemeinen sehr bekannt ist, so findet man doch bei näherer Betrachtung, dass der Begriff der Elasticität durch unsere bis jetzt ge- sammelten Erfahrungen, denen in der vorliegenden Schrift noch neue zugesellt werden sollen, mannigfach modificirt wird, ja ich môüchte sagen in eine Menge Unterabtheïlungen zerfällt, deren Zusammenbang freilich an sich klar ist, deren numerisches Verhältniss aber noch nicht durch scharfe Beobachtung ermittelt worden ist.

Wenn man einen Kürper, er mag nun fest oder flüssig sein, einem nach allen Richtungen gleichmässigen Druck D aussetzt, den man sich senkrecht auf die kleinsten Theile seiner Ober- fläche wirkend denken kann, so verringert sich das Volumen des Kôrpers, und zwar so, dass alle grade Linien, die man sich innerhalb des Kôrpers denken kann, in einem gewissen Ver- hältniss abnehmen. Dieses Verhältniss ist ein in allen Richtungen gleiches, wenn der Kôürper homogen ist, wie z. B. bei allen Flüssigkeiten, und auch bei einigen festen Kôrpern. Es sei / die Länge einer solchen geraden Linie, und a die Grôsse um welche sich diese Linie durch die Wirkung des Druckes D verkürzt, so werden alle Dimensionen des Kôrpers sich im Verhältniss

a RÉ

1:(1—5)

Dem letzten Ausdruck kann man auch die Form

a

sein Volumen aber im Verhältniss zu

vermindern.

geben, da a immer sebr klein im Vergleich mit / ist, und man desshalh die 2te und 3te Potenz

dieser Grôsse vernachlässigen kann. Mémoires. sc. math. et phys. T. VI. - ÿ1

402 (6) A. T. KUPFFER.

Wäre die Grôsse a immer dem Drucke proportional, so hätte man für einen anderen (4 Druck D Lin a D’

D

wo « dasselbe für D’ bedeutet, was a für D ist. Da aber das nie der Fall ist, oder wenigstens our in sebr engen Grenzen angenommen werden kann, so hat man im Allgemeinen

LA

a 47 (+f.o

wo f. a eine uns unbekannte Function der Grôsse a bedeutet.

Da es eines gewissen Druckes bedarf, um die Dimensionen eines Kôrpers nach allen Rich- tungen hin zu vermindern, so ist man berechtigt, jedem Kôürper eine gewisse Kraft zuzuschrei- ben, welche dem Druck entgegenarbeitet und ihm das Gleichgewicht hält; diese Kraft nennt man eben: Elasticität.

Denkt man sich alle Kôürper aus kleinen Theïlchen zusammengesetzt, die nicht zusammen drückbar sind, so ändern sich die gegenseitigen Entfernungen dieser Theiïlchen bei gleichmässiger, durch einen ausseren Druck hervorgebrachter Volumverminderung, offenbar im Verhältniss von

a ie

es liegt also sehr nahe, anzunehmen, die elastische Kraft eines Kôrpers sei eine Function der gegenseitigen Entfernung seiner Theïlchen und nimmt zu, wenn die Entfernung abnimmt, und umgekebrt. Bei den Gasen ist dies besonders deutlich; bei ihnen ist die Elasticität, oder die re- pulsive Kraft dem Volumen oder dem Cubus der gegenseitigen Entfernungen der Theïlchen um- gekehrt proportional.

Bei den Gasen ist es der Druck der Atmosphäre, welcher der repulsiven Kraft das Gleich- gewicht hält; bei der Dichtigkeit, welche die Gase auf der Oberfläche der Erde haben {(wenn sie nicht in Gefässen eingeschlossen sind) ist also der Druck, den ihre repulsive Kraft auf eine Oberfläche von einem Quadratmillimeter ausübt, gleich 101 Gramm; reducirt man das Volu- men des Gases zur Hälfte, oder vermindert man die gegenseitige Entfernung der Theïlchen im

3 Verhältniss von 1 : VE so verdoppelt sich die repulsive Kraft desselben, und es gehôrt ein doppelt so grosser Druck dazu, um ihr das Gleichgewicht zu halten.

Das Wasser wird durch eine Atmosphäre nur um 45 Millionentheile zusammengedrückt; es würden also ungefähr 22,000 Atmosphären dazu gehôren, um ein Wasser-Volumen zur Hälfte zu reduciren. Man sieht hieraus, dass der Druck, welcher der Elasticität des Wassers das Gleichgewicht hält, ungefähr dem Druck von 22,000 Atmosphären, oder von 2271 Kilo- grammen auf 1 Quadratmillimeter gleich kommen muss. Wenn auch diese Zahl keinen An- spruch auf Genauigkeit machen kann, so giebt sie doch einen Begriff von der Grüsse der Kräfte, die hier im Spiele sind.

1

EinFiuss DER WAÂAÂRME AUF DIE ELASTICITAT. () 403

Wenn der auf eine tropfbare Flüssigkeit ausgeübte Druck nicht gleichmässig von allen Seiten her wirkt, sondern nur an einer begränzten Stelle, so weicht die Flüssigkeit mit grosser Leichtigkeït zurück, und die äussere Form derselben ändert sich, ohne Aenderung des Volu- mens; das kommt daher, weil die Theïlchen des flüssigen Kôrpers ihre gegenwärtige Lage än- dern kônnen, ohne dass es dazu eines grôsseren Kraftaufwandes bedürfte als der, welcher nôthig ist, um den durch ihre Schwere hervorgebrachten Druck zu überwinden. Diese Verschiebbar- keit der Flüssigkeiten (aus welcher eben die Eigenschaft hervorgeht, die man Flüssigkeit nennt) ist mehr oder weniger vollkommen; es giebt dünnflüssige und dickflüssige Kôrper. Wenn leichtflüssige Kôürper durch eine augenblickliche Einwirkung aus ihrem Gleichgewicht gebracht werden, so kehren sie sehr bald zu ihrem Gleichgewicht zurück, und nehmen wieder die Form an, welche ibhr Gleichgewicht erfordert, z. B. eine horizontale Oberfläche, wenn es eine in ei- nem Gefässe enthaltene Flüssigkeit mit freier Oberfläche ist; nach einigen Oscillationen um die Gleichgewichtslage her, kommen sie zur Ruhe, und nehmen zugleich die dem Gleichgewicht entsprechende Form an; anders ist es mit dickflüssigen Kürpern; bei diesen hôüren die Oscilla- tionen sehr bald auf, oder sie oscilliren auch wobhl gar nicht; aber es gehôürt immer eine geraume Zeit dazu bis sie vollkommen ibre Gleichgewichtslage erlangt haben ; so wie es ebenfalls einer geraumen Zeit bedarf, um sie aus ihrer Gleichgewichtslage herauszubringen.

Die festen Kôrper haben eine sehr mannigfaltige inneren Structur : bei einigen von ihnen, und bei den sogenannten dichten Kôrpern (dieser Ausdruck ist der Mineralogie abgeborgt) sind die Theiïlchen derselben nach allen Richtungen gleichmässig angeordnet : sie unterscheiden sich von den flüssigen Kôürpero nur dadurch, dass ihre Theiïlchen gar nicht, oder bei weitem nicht so verschiebbar sind ; es sind gewissermaassen Kôrper von sehr grosser oder unendlich grosser Dickflüssigkeit. Wenn sie von allen Seiten her einem gleichmässigen Druck ausgesetzt wer- den, so verhalten sie sich eben so, wie die Flüssigkeiten, d. h. ihr Volumen wird vermindert ohne Aenderung der äussern Form; ein einseitiger Druck aber wirkt ganz anders auf dieselben; die Form des Kürpers ändert sich nicht nur durch Verschiebung der Theiïlchen, sondern auch dadurch, dass die Theilchen auseinander gehen, oder sich nähern, oft beides zugleich mit mebr oder weniger vollständiger Compensation. Bei einseitigem Druck äussern sich also zwei verschie- dene Wirkungen: die Theiïlchen des Kôrpers ändern ihre gegenseitige Entfernung, und streben in ihre ursprüngliche Gleichgewichtslage wieder zurück zu kehren: das ist die elastische Wir- kung ; ausserdem aber verschieben sich die Theiïlchen gegen einander, und streben ebenfalis zur ursprünglichen Gleichgewichtslage zurück zu kehren ; das pflegt man die elastische Nach- wirkung zu nennen. Diese beiden Wirkungen würden nicht von einander zu unterscheiden sein, wenn sie nicht verschiedene Gesetze befolgten ; es gehôrt nämlich eine gewisse Zeit dazu, damit die Nachwirkung sich einstelle; dagegen ist die elastische Wirkung momentan. Die Nachwirkung ist auch nur dann vollständig (d. h. der Kôrper kehrt nur dann vollständig in seine ursprüngliche Gleichgewichtslage zurück) wenn die Verschiebung der Theile eine gewisse Grenze des Raumes und der Zeit nicht überschritten hat: im entgegengesetzten Falle entsteht aus der Nachwirkung, d. h. aus der vorübergehenden Verschiebung der Thenilche, eine blei-

+

40% (8) A. T. KUPFFER.

bende, oder die Gleichgewichtslage derselben wird eine andere. Man sehe hierüber die inte- ressante Abhandlung von Weber in den Annalen von Poggendorf nach: folgender Versuch giebt ebenfalls einen deutlichen Begriff davon, was man unter Nachwirkung zu verstehen hat.

Ein cylindrischer Stab von Stahl, von beiläufig 30 Zoll Länge und 2 Linien Dicke, Taf. 1. fig. 1, wurde so an einem Ende eingeklemmt, dass dieses Ende eine vollkommen horizon- tale Lage hatte, während das andere Ende des Stabs vermôüge der Biegsamkeit desselben, ein wenig herabhing ; an dieses freie Ende wurde eine Wagschale gehängt, welche man mit Gewichten beschweren konnte; indem man die Gewichte vermehrte, wurde das freie Ende des Stabes immer mehr herabgebogen, während das eingeklemmte Ende seine horizontale Lage behielt.

Um mit Genauigkeit messen zu kôünnen, um wieviel sich das freie Ende des Stabes geneigt hatte, war an diesem Ende ein Spiegel befestigt, dessen Fläche einen rechten Winkel mit der Axe des Stabes machte; die belegte Seite des Spiegels war dem eingeklemmten Ende zugewandt. Ein tragbarer astronomischer Verticalkreis, dessen verticale Axe vermittelst eines an den Rand des Kreises befestigten Niveaus, und vermittelst dreier Fussschrauben eingestellt werden konnte, wurde so vor den Spiegel gestellt, dass der getheilte Kreis des Instruments und die Axe des Stabes in parallelen Verticalebenen lagen; das Fernrohr des Kreises wurde auf den Spiegel ge- richtet. Wenn die optische Axe des Fernrohrs senkrecht auf die reflectirende Ebene des Spie- gels stand, so wurde das durch eine besondere Vorrichtung stark beleuchtete Bild des Faden- kreuzes wieder zurück geworfen, und man konnte es mit dem wahren Fadenkreuze coincidiren sehen. Neïgt sich das freie Ende des Stabes ein wenig mehr herab, so ändert sich auch zu- gleich die Neigung des Spiegels gegen den Horizont, und das reflectirte Bild des Fadenkreuzes änderte seine Lage ; um die Coincidenz wieder hervorzubringen, musste das Fernrohr so lange fort bewegt werden, bis die optische Axe desselben mit der Axe des Spiegels wieder einen rechten Winkel machte; der getheilte Kreis gab sogleich an, um wieviel das Fernrobr fortge- schoben worden war, um wieviel sich also der Spiegel geneigt hatte. Man konnte auf diese Art auch die Neigung des freien Endes gegen das eingeklemmte bestimmen, oder, wenn man lieber will, die Neigung des freien Endes gegen den Horizont; man brauchte nur vorher dem Fern- robr eine lothrechte Lage zu geben, mit dem Objectiv nach unten, und unter dasselbe einen künstlichen Quecksilberhorizont zu stellen ; man liess das von der Quecksilberfläche reflectirte Bild des Fadenkreuzes mit dem wahren Fadenkreuz coincidiren, stellte den Nullpunkt des Ver- ticalkreises auf den Nullpunkt der Alidade, und befestigte den Verticalkreis in dieser Stellung. Man sieht leicht ein, dass wenn man nach dieser Operation das Fernrohr auf den am freien Ende des Stabes befestigten Spiegel richtete, und das vom Spiegel reflectirte Bild des Fadenkreu- zes mit dem wabren coincidiren liess, so gab die Theïlung des Verticalkreises unmittelbar die Neigung des Spiegels gegen den Horizont an; ist aber der Spiegel wirklich senkrecht auf die Axe des Stabes an seinem freien Ende, und das eingeklemmte Ende desselben wirklich ho- rizontal, so ist offenbar die Neigung des Spiegels gegen den Horizont dem Winkel, den die beiden Enden des Stabes mit einander machen, gleich : wie man aber den Collimationsfehler des

EinFiuss DER WAÂRME AUF DIE ELASTICITAT. @) 405

Spiegels, d. h. die Abweichung seiner Stellung gegen die Axe des freien Endes des Stabes von einem rechten Winkel finden kann, ist jedem bekannt, der sich mit magnetischen Beobachtun- gen abgegeben bat.

So erhielt ich bei verschiedenen Belastungen, in verschiedenen Zeiten, folgende Neigun- gen der Axe des freien Endes des Stabes gegen die Horizontalebene, oder gegen die Axe des eingeklemmten Endes des Stabes.

Neigung des

Leit. Belastung.”) | ion Endes.

Pfund.

0,000 | 2° 53° 50” 0,1138 | # 2 30 0,1763 | 4 40 20

rasch hinter

einauder.

0,2388 | 5 18 10

0,0000 | 2 55 00 den andern

0,0000 | 2 53 50 Morgen.

Man sieht, dass nach allmähliger Belastung bis zu 0,2388, der Stab nicht wieder in seine ursprüngliche Stellung zurückkehrte, sobald die Belastung abgenommen war, sondern nach und nach, und vollständig erst den andern Morgen.

Der folgende Versuch zeigt, dass die Neigung, welche durch eine gewisse Belastung her- vorgebracht wird, ebenfalls nach und nach grüsser wird.

Zeit. Belastung. Neigung.

2, December f10* 0’| 0,0000 2° 53 20”

Vormittag. 11 15 | 1,0513 | 13 13 00

11 30 — 18 10

12 00 — 20 50

1 00 — 22 10

Nachmittag. 2 25 — 24 00 11 25 — 27 00

3. Dec. Nachm. 2 00 — 29 30 10 30 — 30 30

10 32 | 0,0000 3 9 0

4. Dec. Vormit. 10 30 — 2 57 10 Nachm. 7 00 — 56 10

12 00 — 55 30

5. Dec. Vormit. 11 00 —— 54 20 Abends. 11 00 — 53 50

; 8 *) In diesen Belastungen ist das Gewicht der Schale mit einbegriffen; die Neigung 2° 33’ 50” wurde also nur durch das Gewicht des Spiegels, des Stabes selbst und des Hakens, an welchen die Schale gehängt wurde, hervorgebracht.

406 («o) A. T. KUPFFER

Die durch die Belastung hervorgebrachte Neigung des freien Endes des Stabes vermebrte sich also 14 Tage hindurch, erst ziemlich rasch, nachher sehr langsam; es bedurfte wieder zweier Tage, um den Stab wieder zu seiner ursprünglichen Richtung zurückgekehrt zu sehen.

Als der Stab mehrere Mal hinter einander mit einem Pfunde belastet wurde, aber jedes Mal nur auf eine sehr kurze Zeit (ein Paar Secunden) kam er genau wieder zu seiner ur- sprünglichen Stellung zurück:; dasselbe geschah, wie zu erwarten war, auch bei geringeren Belastungen. Der Versuch wurde wiederholt, und in noch engeren Intervallen beobachtet.

Zeit. Belastung. Neigung.

6. December. 0,0000 2° 54 30” 8. Dec. Vorm. 11* 40° | 10513 | 13 32 10

(Hatte vom 6. December an

gebangen.) 11 49 0,0000 3 12 40 45 — 9 40 48 — 8 40 il — 7 40 4 — 7 00 12 00 _ 6 00 6 — 5 40 18 — 4 50 30 — 4 10 Nachm. 9 30 — 2 58 10 9. Dec. Morg. 10 30 — 2 57 20 Abends. 7 30 — 56 40 10. Dec. Morg. 11 00 — 55 20 11. Dec. Nachm. 4 00 — 59 00 12. Dec. Ab. 10 00 — oo 00

Man sieht, dass nach Aufhebung der Belastung, die Neigung des freien Endes des Stabes erst rasch, dann immer langsamer abnimmt, und erst nach mehreren Tagen zu ihrem ursprüng- lichen Werth zurückkebrt.

Mit geringeren Belastungen war die Erscheinuug genau dieselbe; den 12. December um 10 Uhr Abends z. B. wurde der Stab mit 0,5513 belastet, die Belastung blieb bis zum folgen- den Abend hängen: die Neigung war 8° 30° 40” als die Belastung plôtzlich abgenommen wor- den war. Es wurden nun folgende Neigungen beobachtet :

Zeit. Neigung. 13. Dec. 7% 56 | 3° 0’ 40” 89 | 3 O0 0

Sa Suly2939,, 0

EinFLuss DER WÂRME AUF DIE EÉLASTICITAT. 1) 407

Leit. Neigung. 8! 17 | 2° 58 40” 45 | 2 57 50

9 10 | 2 57 30 12 00 | 2 56 00 1%. Dec. Ab. 8 20 | 2 55 00

Im vorigen Versuche hatte eine Belastung von 1,0513 eine Nachwirkung von 17° 40” hervorgebracht; in diesem, bei einer Belastung von 0,5513, hatte die Nachwirkung 5° 40” betragen; die Nachwirkungen haben sich also ungefähr wie die Quadrate der Belastungen verhalten.

Bei geringeren Balastungen nahm die Nachwirkung immer ab, aber selbst sehr geringe brachten eine kleine Nachwirkung hervor.

Ich brauche nicht hinzuzufügen (denn die alltägliche Erfahrung lehrt es) dass wenn die Belastung zu weit getrieben wird, der Stab sich für immer biegt, und nicht mehr in seinen früheren Gleichgewichtszustand zurück kehrt. Dies geschah wenn die Belastung mehr als ! Kilogramm betrug ; das ist also die wahre Grenze für die Elasticität des Stabes.

Diese merkwürdige Eigenschaft der elastischen Kôrper zeigt sich nicht nur, wie wir eben gezeigt haben, bei der Flexion, sondern auch bei der Torsion. Wenn man einen metallischen Drath in senkrechter Stellung am oberen Ende einklemmt, am unteren Ende desselben aber einen horizontalen Hebel befestigt (an den man, um die Schwingungsdauer zu variiren, in glei- cher Entfernung vom Mittelpunkt desselben Gewichte anhängen kann) und diesen in einer ho- rizontalen Ebene schwingen lässt, so nehmen die Schwingungen bei einigen Metallen rascher ab als bei andern : ein Beweis, dass der Widerstand der Luft nicht die einzige Ursache dieser Abnabme ist. Ich verweise auf meine früheren Versuche”) und auf das, was in dieser Einlei- tung in dem Abschnitt, der von den Torsionsschwingungen handelt, gesagt ist.

Um alle Zweifel zu entfernen, die wegen des Widerstandes der Luft entstehen künnten, habe ich diese Versuche, auch in einem ziemlich grossen Maassstabe im luftleeren Raume wie- derholt, und auch hier gefunden :

1. Dass die Schwingungsweiten immer mehr, und zwar ziemlich rasch abnehmen.

2. Dass die Grôsse der Abnahme verschieden ist bei verschiedener Metallen, und selbst bei demselben Metalle, wenn es sich in verschiedenen Zuständen befindet.

3. Dass die Schwingungsdauer mit der Abnahme der Schwingungsweite ebenfalls abnimmt.

Ich halte es für überflüssig, diese Versuche hier ausführlich mitzutheilen, da sie eigentlich nicht hierher gehôren, werde es aber in einer eigenen Abhandlung thun, sobald sie ganz been- digt sein werden.

Die allmählige Abnahme der Schwingungsweïiten (selbst im luftleeren Raum) lässt sich sehr gut durch die Nachwirkung erklären, weshalb auch schon Weber vorausgesehen hat,

*) Siehe : Mémoires de l’Académie de St.-Pétersbourg, VITE série sc. math. et phys. Tom. V.

hOS8 (12) A. T. KUPFFER.

dass die Schwingungsweiïten elastischer Kôrper in luftleerem Raum allmäblich abnehmen wür- den, wie ich später durch Versuche bewiesen habe. Die Nachwirkung bringt hier dieselbe Wirkung hervor, wie die Friction beim Widerstande der Luft, und besteht wohl auch in nichts anderem, als in einem mit Friction verbundenem Glitschen der Theile über einander: nur ist nicht zu übersehen, dass die Friction der Theiïlchen unter einander nicht zu erklären im Stande ist, warum der Stab oder der Drath, nach Aufhebung der ablenkenden Kraft, wieder zu sei- nem ursprünglichen Gleichgewichtszustande zurück kehrt; diese Erscheinung setzt offenbar eine gewisse Kraft voraus, welche jeden festen Kôrper, selbst wenn er durch Aenderung seiner Form in andere Gleichgewichtsbedingungen versetzt worden ist, dennoch immer wieder in län- erer oder kürzerer Zeit zu seiner ursprünglichen Form (oder zu seiner ursprünglichen Gleich- gewichtsbedingung) zurückführt, wenn die Abweichung von der ursprünglichen Gleichgewichts- lage nicht gar zu gross gewesen ist.

Die allmählige Abnahme der Schwingungsdauer, welche mit der Abnahme der Schwin- sungsweiten gleichen Schritt hält, lässt sich ebenfalls aus der Nachwirkung erklären; wir baben oben geschen, dass die Nachwirkung rascher zunimmt als die ablenkende Kraft; bei rôüsseren Schwingungsweïten (es ist bekannt, dass die Torsionskraft dem Torsionswinkel pro- portional ist) muss also die Nachwirkung verhältnissmässig grôsser sein als bei kleineren.

Wenn die Nachwirkung dem Torsionswinkel proportional wäre, so würde die Summe der elastischen Kraft und der Nachwirkung ebenfalls dem Ablenkungswinkel proportional blei- ben, und die Schwingungen würden isochron sein; in der That aber nimmt das Verhältniss der ablenkenden Kraft zum Ablenkungswinkel immer mehr ab, je grüsser die Schwingungsweite wird ; die Schwingungsdauer hängt aber eben von diesem Verhältniss ab.

Wir sehen aus dem Vorhergehenden, dass beim Studium der Eigenschaften der elastischen Kôrper, die Erscheinungen der eïgentlichen Elasticität von den Erscheinungen der Nachwir- kung sorgfällig zu unterscheiden sind, und dass wir, um eine klare Einsicht zu erhalten, uns an eine Beobachtungsmethode halten müssen, die beide Erscheinungen gehôrig zu trennen im Stande ist. Die Schwingungen elastischer Kôrper sind offenbar besonders dazu geeignet, eine solche Beobachtungsmethode zu liefern, denn in der Dauer ihrer Schwingungen geben sie uns ein Maass für ihre ganze elastische Kraft, in dem allmähligen Abnehmen der Schwingungswei- ten aber ein Maass für die Nachwirkung.

Was ich von den gleichmässig dichten oder homogenen festen Kürpern gesagt habe, gilt auch für diejenigen, welche in verschiedenen Richtungen eine verschiedene Dichtigkeit haben. Diese Ungleichmässigkeit nach verschiedenen Richtungen hat seine Ursache gewôhnlich in der Bearbeitung. Metalle z. B. die vollkommen homogen sind, werden durch Hammerschläge, durch Walzen in einer Richtung dichter als in der andern; wenn man sie zu Dräthen auszieht, oder erst stark erhitzt und dann plôtzlich abkühlt, werden sie auch ungleich ; die verschiedenen Me- talle verhalten sich in dieser Hinsicht sehr verschieden ; sie werden alle härter durch diese Be- handlung, aber auch in sehr verschiedenem Grade. Weiches Eisen z. B. wird hart durch Häm- mern, Walzen und Ausziehen zu Drath, aber nicht durch plôtzliches Abkühlen ; Stahl dagegen

EINFLUSS DER WARME AUF DIE ELASTICITAT. 43) 409

wird durch plôtzliches Abkühlen sehr hart. Messing wird durch Hämmern und Drathziehen bedeutend härter als Kupfer und Silber. Alle Metalle, die durch die genannten Operationen hart geworden sind, werden durch Ausglühen wieder weich. Wir werden nachher sehen, dass alle diese verschiedenen Zustände desselben Metalls einen bedeutenden Einfluss auf seine Elasticität und Nachwirkung ausüben.

Endlich giebt es noch eine Classe von festen Kôrpern, die Krystalle, deren Ungleichmäs- sigkeit nach verschiedenen Richtungen eine so regelmässige äussere Form hervorgebracht hat, dass sie ein hüchst interessanter Gegenstand der Geometer geworden sind; leider sind die Beob- achtungsmethoden, die wir hier angewendet haben, auf sie nicht anwendbar; wir sind deshalh gezwungen gewesen, die Beobachtung ihrer elastischen Verhältnisse gauz aufzugeben.

Transversalschwingungen elastischer Stäbe.

Unter allen Schwingungen elastischer Kôrper sind die Transversalschwingungen prisma- tischer Stäbe am leichtesten zu erhalten und zu beobachten : ich habe mich also ausschliesslich solcher Stäbe bedient.

Wenn man einen prismatischen Stab (d. h. dessen Querschnitt ein Rechteck ist) an einem Ende einklemmt, und am anderen ablenkt, so macht er, sich selbst überlassen, eine Menge Schwingungen, die immer kleiner und kleiner werden, und am Ende ganz aufhôren. Die Dauer dieser Schwingungen hängt von der Elasticität des Kôrpers und von der Einwirkung ab, die die Schwere auf ihn ausübt: deshalb ist sie auch sehr verschieden, je nach der Neigung des Stabes gegen die Richtung der Schwere. Hat der Stab eine senkrechte Stellung, so bleibt er, wenn er in Ruhe ist, grade, das freie Ende mag sich oben oder unten befinden, nur muss im ersten Falle die elastische Kraft desselben grôsser sein, als der Einfluss der Schwere; sonst schlägt der Stab um ; dies kommt daher, weil die Einwirkung der Schwere bei Umkehrung des Stabes negativ wird, während die Einwirkung der Elasticität immer dasselbe Zeichen behält ; wenn das freie Ende des Stabes nach oben gerichtet ist, so strebt die Schwerkraft den abgelenk- ten Stab von seiner Gleichgewichtslage zu entfernen, während die Elasticität ihn immer der- selben zu nähern strebt,

Es sei { die Dauer einer Schwingug in der Lage, wo sich das freie Ende unten befindet, und t, die Dauer einer Schwingung in der umgekehrten Lage, so sind die Grüssen

1 1

-; und æ . den Kräften proportional, die in beiden Lagen auf den Stab wirken. Es sei nun Æ die elasti- sche Kraft des Stabes, und S die auf denselben wirkende Schwerkraft, so ist s=c(E+S) 1

c(E — S),

|

wo c eine Constante bedeutet, die von den Dimensionen und dem Gewicht des Stabes abhängt.

Mémoires sc. math. et phys. T. VI. 52

410 (14) A. T. KUPFFER.

Hieraus findet man leicht

und auch, wenn man die Schwingungsdauer, die der Stab haben würde, wenn seine elastische Kraft allein wirkte, mit T, und die Schwingungsdauer, die er haben würde, wenn seine Schwer- kraft allein wirkte, mit T, bezeichnet

T° —

ul le

T? =

Es sei L, a, b, p die Länge, die Breite, die Dicke und das Gewicht des Stabes, 5’ die Ausdehnung, die ein Stab, dessen Länge und Querschnitt der Einheit gleich sind, durch ein der Einheit gleiches Gewicht erleidet, g die Constante der Schwere (d. h. die Fallgeschwindig- keit am Ende der ersten Secunde) und endlich x das Verhältniss der Peripherie eines Kreises

zu seinem Durchmesser, so ist nach Euler

ANNE TT SLED SR GEAR T s 1 Ich brauche nicht erst zu sagen, dass Euler den Werth von £ — >; ganz einfach aus

der Schwingungsdauer T des Stabes bestimmte, in welcher Lage er sich auch befinde, indem er voraussetzte, dass die Schwingungen des Stabes so rasch sind, dass sie in den verschieden- sten Lagen des Stabes immer denselben Werth behalten; er kannte unsere Methode nicht, den Einfluss der Schwere auf die Schwingungsdauer zu bestimmen und zu eliminiren.

Man kann diese Formel auf folgende Weise umwandeln :

Es sei À die Länge des einfachen Pendels, dessen Schwingungsdauer f, ist, so haben wir, wie bekannt

; r2 À FPE L g Q rm 2 1 und hieraus, da 1° — = TE AS TA DERATS 2 oder, da À — ob AN, 3 TN ILES

Wir kônnen also auch schreiben ol eo 22 8 8 ! S".ab Nun ist aber auch, wenn man mit / das Inertsmoment des Stabes bezeichnet

1 LE Lp

I Wworaus L? — —

EinFriuss DER WARME AUF DIE ELASTICITAT. 5) 411

Ferner ist E t?+2 S 1? — 1 Wir haben also endlich 1 9 I 1?+e8

Diese Formel findet noch ihre Anwendung wenn man, um die Schwingungsdauer zu ver- grôssern, ein Gewicht an das freie Ende des Stabes angeklemmt hat; man braucht in diesem Fall nur statt des Inertsmoments des Stabes allein, dasjenige des Stabes mit sammt dem Gewichte zu schreiben.

Wenn man aber diese Formel mit den Beobachtungen vergleicht, so findet man, dass sie denselben nicht entspricht. Wenn man denselben Stab an verschiedenen Stellen klemmt, und verschiedene Gewichte an sein freies Ende befestigt, so erhält man sehr verschiedene Werthe von Sn und wenn man den Werth von S$ berechnet, so findet man immer einen kleineren Werth, als den durch Beobachtung gefundenen.

Wenn man das gemeinschaftliche Moment des Stabes, wenn er allein schwingt, oder des Slabes und des Gewichtes, wenn ein Gewicht am freien Ende befestigt ist, mit m bezeichnet,

so hat man bekanntlich

Man bat aber auch

mano Tr 2 04 ÿ 2.4? n—= Tr? 2. re 8 wenn man mit / die Länge des einfachen Pendels bezeichnet, welche dem aus den Beobach- tungen gefundenen Werthe von T, entspricht ; es ist also leicht, sowohl } als auch / zu finden. Nach der bisherigen Theorie müsste

NN sein ; das ist aber nie der Fall; man findet immer À D l

Ne Aa ‘ so dass “vi Immer grosser als { ist.

Dies lässt sich wohl leicht daraus erklären, dass der Stab sich beim Schwingen biegt, also sein Inertsmoment ändert, indem seine Massentheile sich dem fixen Punkt nähern:; er schwingt also ein wenig rascher, als es ohne diesen Umstand geschehen würde.

Durch Berechnung einer grossen Anzahl von Beobachtungen, mit verschiedenen Längen desselben Stabes, und mit verschiedenen an sein freies Ende geklemmten Gewichten angestellé, bin ich nach vielen vergeblichen Versuchen zu folgender Formel gelangt, die immer denselben

Werth von = giebt

SE PL ELU

412 (16) A. T. KUPFFER.

Von den vielen Beobachtungen, die ich mit Stäben von verschiedenen Metallen und ver- schiedenen Dimensionen angestellt habe, führe ich hier nur die folgenden an.

Ein prismatischer Stab von gewalztem Stahl, wurde an einem Ende eingeklemmt: das freie Ende desselben wurde in Schwingung versetzt, bald so wie er war, bald nachdem mau Gewichte verschiedener Art angeklemmt hatte. Dabei hatte der Stab eine genau senkrechte Stellung ; das freie Ende befand sich erst oben, dann wurde der Klemmapparat umgekebrt, so dass sich das freie Ende des Stabes unten befand. Man wird weiterhin sehen, wie die Schwin- gungsdauer beobachtet wurde; wir werden dieselbe Beobachtungsmethode bei der Bestimmung des Einflusses der Wärme auf die Elasticität gebrauchen. Wir werden auch weiterhin sehen, wie die Gewichte an das freie Ende angeklemmt wurden, so dass sich dasselbe vollkommen frei bewegte, und welche Form sie hatten, und wie endlich die Entfernung des Schwerpunctes der Gewichte von der Oscillationsaxe mit Genauigkeit bestimmt werden konnte, was zur Be- stimmung des jedesmaligen Inertsmomentes der Gewichte nothwendig war. Die eingeklemmten Gewichte mit ihren eigenen Inertsmomenten (in Bezug auf ihre Rotationsaxen, welche senkrecht auf die Ebene der Schwingungen sind, und durch die Schwerpunkte der Gewichte gehen) waren :

No. Gewicht. Inertsmoment. (D) q

1 0,68519 0,152

2 1,81730 1,308

3 5,29696 4,764

6 1,06441 0,431

7 4,05662 8,113

lt Reihe.

Lünge des schwingenden Theils des Stabes (L). . . . . 49,662 Gewicht des schwingenden Theils (p) . . . . . . . . 1,58481

Inertsmoment des schwingenden Theils (1L°p). . . . . 1302,882 Schwerpunctsmoment des schwingenden Theiïls (1Lp) . . 39,3525

a. Der Stab schwingt ohne Gewicht

t — 04045 (gefunden aus der Dauer von 1000 Schwingungen) t — 0,3405 (gefunden aus der Dauer von 1000 Schwingungen),

woraus 2 — 1,06222 3 — 0,0000000299887

EinNFLuss DER WAÂRME AUF DIE ELASTICITAT.

b. Der Stab schwingt mit einem am freien Ende angeklemmten Gewichi.

woraus

woraus

1. Mit dem Gewicht #Æ 1.

Entfernung des Schwerpunktes des Gewichts vom Klemm-

(17)

punkt am unbeweglichen Ende (L'). . . . . . . 49,417 Inertsmoment des Gewichts in Bezug auf das unbewegliche

Eode. (Mines LES ue de soon 167826 Eignes Inertsmoment des Gewichts (g). . . . . . . . 0,152 Inertsmoment des Stabes (1L°p) . . . . . . . . . . 1302,882 Totales Inertsmoment (1) . . . 2976,295

Schwerpunctsmoment des Gewichts (L'p}. . . . . . . 33,8600

» des Stabest(Lp) es. n: Lu. à 39,3525

Totales Schwerpunctsmoment (m) . . . 73,2125

t, — 0,780%4 (gefunden aus der Dauer von 1200 Schwingungen)

t — 0,5170 (gefunden aus der Dauer von 1000 Schwingungen), À + — 1,08939 5 — 0,0000000296397

2. Mit dem Gewichte 4 6.

L'?p — 2599,331 = 0,431 1L'p — 1302,882

I — 3902,646

L'p —= 52,6000 1Lp — 39,3525

m — 91,9525

t — 10195 (gefunden aus der Dauer von 1000 Oscillationen) t — 0,5763 (gefunden aus der Dauer von 2000 Oscillationen),

+ — 1,10998

> — 0,0000000296124

413

A4 (49) A. T. KUPFFER.

3. Mit dem Gewicht # 2. L'?p — 4437,919

(= 1,308 1L°p — {302,882

I — 5742,109

L'p — 89,8015 1Lp — 39,354

m — 129,1580

t, — 1,8070 (gefunden aus der Dauer von 800 Oscillationen) t — 0,6594 (gefunden aus der Dauer von 2400 Oscillationen), woraus = —=4:19139 5 — 0,0000000295720

Ilte Reihe.

Länge des schwingenden Theiïls des Stabes (L) . . . . . 40,085 Gewicht.desselben (pb)... 2200 mm. 1,27919 Inertsmoment desselben (1L*p) . . . . . . . . . . . 685,1383 Schwerpunctsmoment (22p) me. 0.0. 0256982

a. Der Stab schwingt ohne Gewicht.

t, — 0,2535 (gefunden aus der Dauer von 1000 Oscillationen) t — 0,2315 (gefunden aus der Dauer von 2000 Oscillationen),

Woraus 2 — 1,05686 CR 0,0000000303490 b. Der Stab schwingt mit einem am freien Ende angeklemmten Gewicht. 4. Mit dem Gewicht 4 1.

Entfernung des Schwerpuncts des Gewichts vom unbeweg-

lichen/Ende (Li. mette be dE UE 39,840 Inertsmoment des Gewichts in Bezug auf Fe unbewegliche

Ende.(L °p) Fruiue A: 0 ue A0S 001 Eignes Inertsmoment des Gewichts (5) EE UE 0,152 Inertsmoment des Stabes (1L?p). . . . . . . . . . . 685,138

1 — 1772,841

EinFLuss DER WARME AUF DIE ÉLASTICITAT. (49) Schwerpunctsmoment des Gewichts (L'p') . . . . . . . 27,2980 » des Stabes! (Lin) mere on. ., 25,6382

m — 52,9362

t — 0,4900 (gefunden aus der Dauer von 1000 Oscillationen) t — 0,3850 (gefunden aus der Dauer von 2000 Oscillationen),

woraus

l 3 — 0,0000000303413

2, Mit dem Gewicht 4 6. L'°p — 1689,460 qi 0,431 1Lp — 685,138 I — 2375,029 L'p = 42,4061 1Lp — 25,6382 m — 68,0443 t — 0,6063 (gefunden aus der Dauer von 1200 Oscillationen)

t — 0,4388 (gefunden aus der Dauer von 2000 Oscillationen),

woraus

2 = 1,10195 ÿ — 0,0000000297709 3. Mit dem Gewicht 4 2. L'?p — 2884,464

g — 1,308 1Lp= 685,138 :

1 — 3570,910

L'p = 72,4012 1Lp — 25,6382

m — 98,0394

t — 0/8682 à — 0,5150

415

416 (20) A. T. KUPFFER.

woraus

— 1,13618

| >

5 — 0,0000000298086. 4. Mit dem Gewicht 4° 3.

L'?p — 5233,020 4,764 1Lp — 685,138

RQ |

I — 5922,922 L'p — 131,3509 1Lp — 25,6382

m — 156,9891

t — 1,8450 (gefunden aus der Dauer von 600 Oscillationen) t — 06087 (gefunden aus der Dauer von 3000 Oscillationen),

woraus

À — 115833 S — 0,000000029767 4. 5. Mit dem Gewicht 4 7.

L'?p — 6438,770 8,113 1L/p — 685,138

I — 7132,021

RQ |

L'p — 161,6157 1Lp — 25,6382

m — 187,2539

t — 5,3070 (gefunden aus der Dauer von 140 Oscillationen) t — 0,6422 (gefunden aus der Dauer von 3000 Oscillationen),

Wworaus + — 1,16159

5 — 0,0000000298299.

ErnFriuss DER WARME AUF DIE ÉLASTICITAT. 21) 417

Zusammenstellung der erhaltenen Werthe von à.

I. Reihe. IT. Reihe.

L — 49,662 — 40,085 Ohne Gewicht. 0,0000000299887 303490 Mit dem Gew. #4 1. 296397 303413 » 6. 296124 297709 » 9, 295720 297674 Dr. 298299

Man sieht, dass diese Resultate sehr gut mit einander übereinstimmen, besonders wenn man bedenkt, dass wo die Schwingungsdauer in beiden Lagen des Stabs nur wenig verschie- den ist, die Formel nicht im Stande ist ein genaues Resultat zu geben. Nimmt man in jeder Reïhe nur die 3 letzten Werthe, so erhält man:

aus der Iten Reihe 3 — 0,0000000296080 aus der IIter Reihe 5 — 0,0000000297891

Um den gefundenen Werth von ÿ noch genauer zu prüfen, babe ich ihn noch durch Fle- xionsversuche zu erhalten gesucht, und habe mich dabeï derselben Methode bedient, die ich schon oben beschrieben habe.

Derselbe prismatische Stab von gewalztem Stahl, dessen Queerschnitt ein Rechteck ist, (die längste Seite wurde mit a, die kürzeste mit b bezeichnet) wurde in der Mitte so zwischen 2 festen Spitzen geklemmt, dass die Endpuncte seiner der Seite a parallelen Axe eine horizon- tale Lage hatten, die beiden Hälften des Stabes also zu beiden Seiten ein wenig herabhingen ; denn da der Stab ziemlich lang ist, so krümmte er sich durch sein eignes Gewicht. An die beiden freien Enden waren die Spiegel befestigt, deren Flächen senkrecht auf die Längenaxe des Stabes waren, so wie wir es schon oben beschrieben haben. An denselben Enden (gleich hinter den Spiegeln) hingen 2 Waagschalen, die man mit Gewichten beschweren konnte. Der Winkel, den die beiden Enden des Stabes mit einander machten (der Winkel zwischen den bei- den Tangenten, welche man an diejenigen Puncte der Längenaxe des Stabes ziehen konnte, von welchen die Gewichte herabhingen) wurde also durch die gegenseitige Neigung der Spie- gel gemessen; diese Neigung ist dem doppelten Flexionswinkel (o) gleich: die Neigung der Spiegel gegen den Horizont wird durch zwei Verticalkreise, deren Fernrôhre auf die Spiegel gerichtet sind, gemessen, wie wir oben gesehen haben. Der Collimationsfehler der Spiegel wurde durch Umkehren des Stabs eliminirt. Zugleich wurde die horizontale Entfernung der beiden Aufhängepunete der Waagschalen gemessen:; die Hälfte dieser Entfernung mit dem

Gewicht multiplicirt, gab das Moment des Gewichts. Mémoires. sc. math, et phys. T. VI. 53

413 (22) A. T. KUPFFER.

Mebrere, mit grosser Genauigkeit angestellte Versuche zeigten gleich, dass die Flexions- winkel dem Momente der Gewichte und der Länge des Stabes proportional sind; hieraus erhält . man leicht die Formel

OR DEA UE '

0 5° T Lp NA0E { , wo o den Flexionswinkel bedeutet, / die halbe Länge des Stabes, L die halbe Entfernung zwi- schen den beiden Aufhängepuncten der Gewichte (oder die Subtangente des Flexionswinkels), p das angehängte Gewicht, worunter natürlich nicht nur das in der Waagschale gelegene nebst der Waagschale selbst gemeint ist, sondern auch die auf denselben Punct (den Aufhängepunct) bezogenen Gewichte des Spiegels und der Hälfte des Stabs selbst. Da diese letzten Gewichte nicht bekannt sind, so kann man ihre Summe mit p’ bezeichnen, das angehängte Gewicht aber

mit p”, so dass man schreiben kann :

AU PN" abs ' d — Lo p5: (208 L

Da in dieser Gleichung zwei unbekannte Grôssen sind, nämlich 3’ und p, so sind zwei Beobachtungen hinreichend, um p' zu finden; mit diesem p' ist es dann leicht, den Werth von 5 für jede Beobachtung zu finden.

Auf diese Weise wurden die nachstehenden unmittelbar durch die Beobachtung gefunde- nen Werthe behandelt.

Länge des Stabes (d. h. Entfernung zwischen den beiden Aufhängepuncten der Gewichte, wenn keine Biegung statt fand) . . . . . ! — 51,8800

Aufgelegtes Horizontale Ent- , No. | Gewicht auf jede | fernung der beiden HoiGe Seite. ] Aufhängepuncte. winkel.

p' 2L ? 1 0 51,7532 3065 2. 0,25 51,6828 402,5 3 0,50 51,5702 498,0 4 1,00 51,3080 686,5 6) 2,00 50,5544 1050,5 6 3,00 49,5543 1398,5

Man findet nun aus A 1. und 4. p — 0,7941 » » 1. und 3. p — 0,7930 oder im Mittel p' = 0,7936

ErnFiuss DER WAÂRME AUF DIE ÉLASTICITAT. (23) 419

Mit diesem Werth von p’ findet man folgende Werthe von 5 aus A 1. S — 0,000000029634

D » DS — 29633 » » 3 à — 29643 » » 4 À — 29623 » » 5. à — 29537 » » 6. à — 29541

Mittel 0,000000029602

Dieser Werth stimmt vollkommen mit demjenigen zusammen, den wir aus dér ten Reihe unserer Schwingungsbeobachtungen gefunden haben; das Resultat der Ilten Reihe weicht nur sehr wenig von derselben ab.

Drehungsschwingungen.

Wenn man einen Drath an seinem oberen Ende befestigt, so dass er frei herabhängt, an sein unteres Ende aber ein Gewicht hängt, so kann man denselben in drehende Schwingungen versetzen, indem man das Gewicht nur einige Grade dreht und dann plôtzlich loslässt. Die Dauer dieser Schwingungen hängt von der Elasticität des Draths ab, und ist desto geringer, je grôsser diese ist. Bezeichnet man das Drehungsmoment des Draths {d. h. die in Gewicht aus- gedrückte Kraft, welche dazu gehôrt um an einem Hebel, dessen Länge der Einheit gleich ist,

angebracht, das freie untere Ende des Draths um einen Bogen — 1 zu drehen) mit n, so ist 5’ p4 D

wo © der Radius des Draths (man setzt einen kreisf‘rmigen Durchschnitt voraus) bedeutet, / dessen Länge. Um den Werth von n zu finden dient folgende Formel :

Tr? k

— 1e E

wo k das Trägheitsmoment des ans untere Ende des Draths gehängten Gewichts bedeutet, + die Dauer einer Oscillation, g die Schwere, oder das Doppelte des Raumes, den ein im luftlee- ren Raum fallender Kôrper in der ersten Secunde seines Falles durchläuft, und x das Verhält- niss des Umfanges eines Kreises zu seinem Durchmesser.

Da die Bestimmung des Trägheitsmoments eines Gewichts, mit den Apparaten, die dazu dienen dasselbe an das Ende des Drathes anzuklemmen, und dessen Schwingungszeit mit Ge- nauigkeit zu beobachten, viel Schwierigkeit hat, so thut man wohl, dieselbe zu umgehen, in- dem man an das untere Ende des Draths einen horizontalen Hebel befestigt, so dass die Ver- längerung der Axe des Draths durch seinen Schwerpunct geht; an diesen Hebel hängt man in gleicher Entfernung vom Mittelpunet, zu beiden Seiten des Draths, zwei Gewichte, deren

420 (24) A. T. KUPFFER.

Trägheitsmoment sich zu dem Trägheitsmoment des Hebels gesellt, und die Schwingungszeit desselben bedeutend vergrüssert. Werden nun diese Gewichte erst in der Nähe des Draths, dann in grôsserer Entfernung (an die beiden Enden des Hebels) aufgehängt, so erhält man zwei sehr verschiedene Schwingungszeiten, mithin zwei Bedingungsgleichungen, aus denen man das Trägheitsmoment des Hebels sowohl, als wie das der Gewichte eliminiren kann. Gauss hat bekanntlich schon diese Methode angewandt, um das Drehungsmoment eines Magnetstabes zu bestimmen. Es seien : p das angehängte Gewicht, r die horizontale Entfernung seines Aufhängepunctes von der Axe des Draths, à das eigene Trägheitsmoment jedes Gewichts in Bezug auf seine senkrechte durch den Schwerpunct des Gewichts gehende Axe, 1 das Trägheitsmoment des Hebels in Bezug auf seine Drehungsaxe (die mit der Axe des Draths zusammenfällt), À die Schwingungszeit des Hebels, so ist bekanntlich

+?

= RU + 2pr° + 21).

ñn

Hängt man nun dieselben Gewichte in einer anderen Entfernung r, von der Axe des Dra- thes an, und bezeichnet die verminderte Schwingungszeit mit 4,, so hat man eben so

r?2

= ; gA?

.(1+ 2pr° + 25).

Aus diesen beiden Gleichungen eliminirt man leicht Z + 27, und erhält

nn CRUE = Pr, are are

Diese Formel wurde auf folgende Weise von mir in Anwendung gebracht.

Der messingene Hebel glich vollkommen einem Waagebalken, hatte eine Länge von 70 Zoll, und war so stark gemacht, dass er ohne zu biegen eine Last von 200 Pfund an jedem Ende tragen konnte. Die nach unten gekebrte Schärfe des mittleren Prismas befand sich na- hezu 2 Zoll über dem Schwerpunct des Hebels ; mit dieser Schärfe ruhte der Hebel auf einer Stahlplatte (in einer sehr flachen Rinne oder Hohlkehle, um das Hin- und Herschieben zu verhindern), welche den horizontalen Theil eines Steigbügels bildete ; in das obere Ende dieses Steigbügels, welcher oberhalb des Hebels lag, war das untere Ende des Drathes eingeklemmt. Der Hebel hatte noch an beiden Enden Prismen, deren Schärfe nach oben gerichtet war (ganz wie bei den Waagen), und die in einer Ebene mit der Schärfe des mittleren Prismas lagen; auf diesen Prismen lagen umgekehrte Steigbügel (ebenfalls mit Hohlkehlen), mit Haken am unteren Ende, an die man Gewichte hängen konnte. Die Entfernungen der beïden letzten Prismen von dem mittleren waren genau gleich, der Hebel vollkommen ajustirt wie ein Waagebalken, die Steigbügel der beiden Endprismen von gleichem Gewicht; der Hebel blieb also vollkommen

EinFiuss DER WAÂRME AUF DIE ELASTICITAT. 25) 421

horizontal, und oscillirte um diese horizontale Lage herum, wenn man gleiche Gewichte an die beiden Endsteigbügel hing. Aehnliche Prismen waren in der Nähe des mittleren Prismas an- gebracht, deren Schärfen auch genau in derselben Ebene mit der Schärfe des mittleren Prismas lagen, und deren Entfernungen von der Axe des Draths ebenfalls je zwei und zwei gleich wa- ren. Die Endprismen waren 36,012 von der Axe des Drathes entfernt; die der Axe zunächst liegenden Prismen nur 15,385 ‘); alle diese Prismen sind vollkommen ajustirt worden, wie es bei Waagen geschieht, und wenn an je zweien derselben, die eine gleiche Entfernung von der Axe des Drathes haben, gleiche Gewichte angehängt wurden, so hielt sich der Hebel vollkom- men horizontal; auch konnte man die Gewichte verwechseln, ohne die Horizontalität des He- bels aufzuheben. Damit der Hebel, während er um die Axe des Drathes oscillirt, keine verti- cale Schwingungen machen künne, kann er durch zwei Schrauben an den oben beschriebenen Steighügel, in welchem er hängt, angeklemmt werden. Um die Schwingungszeiten des Hebels mit grosser Genauigkeit beobachten zu kônnen, ist zwischen dem unteren Ende des Drathes und dem Hebel ein senkrechter Spiegel eingeschaltet; um den Spiegel herum ist ein getheilter Kreis von 6 Fuss im Durchmesser so aufgestellt, dass der Spiegel sich etwas über dem Mittelpunct des Kreises befindet; die Theilung befindet sich in der innern Seite des Kreises, und wird vom Spiegel in ein Ferorobr reflectirt, welches ausserhalb des Kreises und etwas über dessen Hori- zontalebene aufgestellt und auf den Spiegel gerichtet ist; man sieht also die Theïlung im Fernrohr und der senkrechte Faden im Brennpunct desselben schneidet irgend einen Strich der Theïlung, so lange der Hebel in Rubhe ist; sobald aber der Hebel anfängt in einer horizontalen Ebene zu oscil- liren, bewegt sich das reflectirte Bild der Theïlung durch das Feld des Fernrohrs hin und her. Die Schwingungszeit des Hebels kann mit diesem Apparat mit grosser Genauigkeit beobachtet werden : man wartet erst, bis der Hebel in Ruhe kommt, dann macht man einen schwarzen senk- rechten Strich (ein schwarzer, dicker Seidenfaden mit einem kleinen Gewicht am unteren Ende kann dazu dienen) über denjenigen Theilstrich, der grade vom senkrechten Faden des Fern- rohrs geschnitten wird; darauf setzt man den Hebel in Bewegung, indem nian ihn mit der Hand ablenkt und wieder loslässt, und beobachtet nun genau, vermittelst eines Chronometers, die successiven Durchgänge des Bildes des schwarzen Striches durch den senkrechten Faden im Fernrohr. Die Zeiten, welche zwischen den successiven Durchgängen verflossen sind, ge ben oflenbar die Schwingungszeit des Hebels, mit desto grüsserer Genauigkeit, je längere Zeit die Beobachtungen fortgesetzt werden künnen: sie dauern immer mehrere Stunden. Zugleich werden die Schwingungsweiten beobachtet, indem man aufzeichnet, welcher Theïlstrich den senkrechten Faden im Fernrobr bei der grüssten Elongation des Hebels rechts und links durch- schneidet; dies ist um so leichter zu beobachten, da der Hebel bei seiner grüssten Ausweichung nach der einen oder der andern Seite immer einige Augenblicke stehen bleibt, ehe er wieder umkehrt. Die Theilung des Kreiïses ist eine willkührliche (halbe Linien), da aber der Durch-

*) Es sind noch zwei der Axe näher liegende Prismen da, aber da ihre Entfernung von einander (10 Zoll) zu klein ist, um grôssere Gewichte, die mehr als 10 Zoll Durchmesser haben, nebeneinander aufzuhängen, so werden sie selten

gebraucht.

422 (26) À. T. KUPFFER.

messer des Kreises bekannt ist, so ist es leicht die in halben Linien ausgedrückte Ampli- tudo in Grade zu verwandeln. In der ersten Beobachtung, welche mit sehr grossen Amplitu- den gemacht wurde, ging die Axe des Drathes, hinlänglich verlängert, nicht genau durch den. Mittelpunet des getheilten Kreises, wodurch die unmittelbare Ablesung der Amplituden fehler- haft wurde ; um diesen Fehler zu eliminiren, wurde auf der Rückseite des Spiegels ein äbhnli- cher, dem ersten paralleler Spiegel befestigt, auf den ebenfalls ein Ferarohr gerichtet wurde, welches dem ersten gegenüber lag; auf diese Art wurde jedesmal durch das eine Fernrobr eine zu grosse, durch das andere eine zu kleine Amplitudo beobachtet; das Mittel aus beiden Beobachtungen gab die richtige Amplitudo. Bei kleineren Amplituden erwies sich diese dop- pelte Beobachtung, die zwei Beobachter erfordert, als unnütz, und ich beobachtete nur mit einem Fernrobr.

Nachdem man 11 Durchgänge des schwarzen Strichs durch den verticalen Faden des Fernrohrs beobachtet hat, nimmt man die Mittel aus den aufeinander folgenden Beobachtungen, um den Einfluss einer nicht vollkommen richtigen Einstellung des schwarzen Striches aufzuhe- ben, 10 an der Zabhl, und zieht das erste Mittel vom letzten ab, wodurch man die Dauer von 9 Schwingungen erhält. Diese Zahl durch 9 dividirt, giebt schon eine ziemlich genaue Schwin- gungszeit, und man braucht nicht mehr jede einzelne Schwingung zu zählen, sondern man kann das Fernrobr verlassen und den Hebel fortschwingen lassen, bis die Zeit, wo der 101te Durch- gang eintreffen muss, herannaht; diese Zeit findet man mit hinreichender Genauigkeit aus dem oben gefundenen annähernden Werth einer Schwingung. Nun beobachtet man wieder 11 Durch- gänge, und so fort, bis die Schwingungen zu klein werden, um noch mit Sicherheit beobachtet werden zu kôünnen; vor und nach jedem Durchgange wird die Weite der Schwingungen mit aufgezeichnet.

Zieht man nun die 10 Mittel der aufeinander folgenden Durchgänge der ersten Beobach- tungsreihe von den 10 Mitteln der zweïten Beobachtungsreihe ab, und dividirt die erhaltene Zabl durch 100, so hat man einen sebr genauen Werth der Schwingungszeit. Um die mittlere Amplitudo, die zu dieser Schwingungszeit gehôrt, zu berechnen, nimmt man das arithmetische Mittel aus den aufeinander folgenden Amplituden der ersten Reiïhe, und das arithmetische Mittel aus den aufeinauder folgenden Amplituden der zweiten Reihe, und aus diesen beiden Mitteln das geometrische Mittel, da die Amplituden eine geometrische Reihe bilden ; dieses letzte Mittel kann als diejenige Amplitudo angesehen werden, welche der aus dem Unterschiede der ersten und zweiïten Reihe berechneten mittlern Schwingungszeit entspricht. So geht es dann fort mit den übrigen Beobachtungsreihen. So erhält man eine Reike von immer mehr abnehmenden Werthen der Schwingungszeit, welcher ebenfalls immer mehr abnehmende mittlere Amplituden entsprechen. Um nun diese Schwingungszeiten auf unendlich kleine Bôgen (oder wenn man lieber will, auf die Amplitudo — 0) zu reduciren, muss man vor allen Dingen wissen, in welchem Verhältniss die Zunahme der Schwingungszeit zu der Zunahme der Amplituden steht. Sehr zahlreiche Beobachtungen haben mir bewiesen, dass die folgende Gleichung sehr gut das obige Verhältniss ausdrückt :

EinFiuss DER WAÂRME AUF DIE ELASTICITAïT. 27) 4923 ! a — 171 (1 — #0 V3)

wo 4’ die auf unendlich kleine Bogen reducirte, À die beobachtete Schwingungszeit ist, a die Amplitudo (in Graden ausgedrückt), 9 der Radius, / die Länge des Drathes; x ist eine Con- stante, die für jedes Metall, und selbst für verschiedene Zustände desselben Metalls, verschie- dene Werthe hat.

Zwei Beispiele von Metallen genommen, die in dieser Hinsicht sebhr verschiedene Eigen- schaften besitzen, werden das Gesagte erläutern.

=

Drath von rothem Kupfer.

Mano LR ne Le. 0,119%4 DONS ASS de 104,042

1. Die Gewichte von 200 Pfund sind in der Entfernung von 36,0120 von der Axe des Drathes zu beiden Seiten desselben aufgehängt.

Barometerstand : 30,160 Zoll bei 14,7° R.

(a) (6) (c) (ait pute) (f) (g) (4) Mittlere Ampli- Mittlere Ampli- ; , ee “en Mittlerer tudo, den Durch-|Tempe- Schwin- tudo, den Schwin- Dtitére Sehwingungs- AS ER Durchgang. gängen ent- ratur. gungszeit. gungszeiten ben ee PAU CE sprechend. entsprechend. rat: EAU

0 0’ 0/00 | 41,963° |16,7 0 59 1,00 | 28,739 |16,3 | 35,4100 | 34,727 |16,5 | 35,4051 2 56 59,13 | 14,057 |16,3 | 35,3906 | 20,100 |16,3 | 35,3877 4 54 53,53 7,227 |16,3 | 35,3720 10,080 |16,3 | 35,3691

Die Zahlen, die in der Colonne (c) enthalten sind, sind die arithmetischen Mittel aus den 9 Amplituden, welche zwischen den zehn Mitteln aus den 11 Durchgängen der ersten, zweiten etc. Reïhe enthalten sind: die Colonne (f) enthält die geometrischen Mittel aus jenen arithmeti- schen Mitteln, d. h. die jeder Schwingungsdauer entsprechende Amplitudo.

Wenn man die Schwingungzeiten und Amplituden, welche diese Beobachtungen geben, in die obige Formel setzt, so erhält man 3 Bedingungsgleichungen, nämlich :

4° = 35/4051 — 4.xe V +. 34,727 , 7 1 A = 353877 — 4. x9 VF. 20,100

A' = 35/3691 — 4. x V2. 10,080

42% (28) A. T. KUPFFER.

Diese drei Gleichungen, nach der Methode der kleinsten Quadrate combinirt, geben : A.Xxp ve — 0,01323 A = 35/3275 bei 16,0°

Diese Werthe in die obigen Gleichungen gesetzt, geben

Berechnete Beobachtete Werthe. Werthe.

A — 35,4055 | 35,4051 | + 0,0004 35,3868 | 35,3877 | — 0,0009 39,3095 | 35,3691 | + 0,0004

Unterschied.

Da nun A10—=0999 OA 0, 119 | — 187,842 so ist x — 0,04302.

IL. Die Gewichte von 200 Pfund befinden sich in der Entfernung von 15,3825 von der Axe des Drathes, auf beiden Seiten desselben.

Barometerstand : 30,175 bei 14,5°

(a) (b) (c) (d) (e) (P)

Mittlere Ampli- Mittlere Ampli- É É Anal der Mittlerer tudo, den Durch-|Tempe-| Schwin- tudo, den Schwin- DHInere SÉRNANENREES SONMPRRUS Durchgang. gängen ent- ratur. gungszeit. gungzeiten Tempe- |zeit auf He A sprechend. entsprechend. reonene

1 0% 0° 0/00 | 42,323° | 16,5 100 | 0 27 38,62 | 29,129 |16,5 | 16,5862 | 35,116 | 16,5 | 16,5839 300 |1 22 53,85 | 14,719 |16,5 | 16,5711 | 20,709 |16,5 | 16,5688 500 |2 18 7,45 7,947 |16,5 | 16,5680 | 10,815 |16,5 | 16,5657

Diese Beobachtungen, nach der Methode der kleinsten Quadrate combinirt, geben Axe V5 = 0,006957 A — 16,5409 bei 16°

Diese Werthe, in die Bedingungsgleichungen gesetzt, geben :

EiINFLusSs DER WAÂRME AUF DIE ELASTICITAT. @9) 425

Berechnete | Beobachtete Werthe. Werthe.

À — 16,5821 | 16,5839 | — 0,00138 16,5725 | 16,5688 | + 0,0037 16,5637 | 16,5657 | — 0,0020

Unterschied.

Hieraus findet man : x — 0,04828

Dieser Werth ist freilich etwas grôsser, als der vorhergehende; wenn man aber bedenkt, wie sehr klein die Unterschiede sind, aus denen der Werth von À. xo V+ abgeleitet wird, so wird man keine grüssere Uebereinstimmung verlangen.

Jetzt wurde der Drath vermittelst einer schicklichen Vorrichtung in der Mitte seiner Länge angeklemmt, so dass die oscillirende Länge desselben auf die Hälfte reducirt war, oder ge- nauer auf 93,842. Nun gab er folgende Resultate, wobeï sich die 200 Pfundgewichte auf der Entfernung 36,0120 von der Axe des Drathes zu beiden Seiten desselben befanden.

Barometerstand : 29,885 bei 15,0°

(a) i(b) (c) (d) (e) (P) (9) () Mittlere Ampli- Mittlere Ampli- ; . El de Mittlerer tudo, den Durch- | Tempe- Schwin- tudo, den Schwin- hticre Dents SRE, Durchgang. gängen ent- ratur. gungszeit. gungszeiten POUR L LLE UD gen. ratur. reducirt.

sprechend. entsprechend.

0* 0’ 0200 300 |1 23 19,40 100 |2 46 35,08 600 |4 O0 48,33

33,620 16,138 16,5 8,521 16,5 4,624 16,5

24,9970 23,293 24,9784 11,727 24,9663 6,306

Wenn man die erste dieser Beobachtungen mit der letzten combinirt, so erhält man :

Axe V5 = 0,01327 A = 24,9330 bei 16,5° A = 24,9295 bei 16,0°

Der Werth von À. x9 pee ist genau derselbe wie derjenige, welcher vor der Anklem- mung des Drathes statt gefunden hatte; dabei verhalten sich die Werthe von À wie die Qua- dratwurzeln aus der Länge /; der Werth von x hat also keine Aenderung erlitten,

Um die Abhängigkeit des Werthes der Reduction auf unendlich kleine Bôgen von den Werthen von © zu beweisen, mussten nicht nur Dräthe von verschiedenem Durchmesser und von demselben Metall gebrancht werden, sondern das Metall, aus dem sie gefertigt worden,

Mémoires sc. math. et phys. T. VI. 34

426 (30) A. T. KUPFFER.

musste auch soviel wie môglich dieselbe Beschaffenheit haben: denn die Härte des Metalls, welche durch die Bearbeitung hervorgebracht wird, hat einen sehr grossen Einfluss auf jenen Reduc- tionscoefficienten. Ich suchte diese Gleichmässigkeit dadurch zu erreichen, dass ich die Drâäthe, die ich verglich, beide stark glühte, wodurch sie beide sehr weich wurden, und so wohl ziem- lich genau dieselbe Beschaffeuheit erhielten. Beide Dräthe waren von rothem Kupfer und von gleicher Länge: der eine hatte einen Radius von 0,11776 eines Zolles, der andere einen Halb- messer von 0,0767 4.

Der erste gab: xp V+ — 0,002033 Der andere : xp pe — 0001372

Diese Werthe verhalten sich zu einander wie die Werthe von p”). Die Richtigkeit des Coefficienten ist also durch diese Versuche bewiesen.

Aehnliche Versuche wurden mit einem Stahldrath angestellt. Ich halte es für überflüssig, diese Versuche hier mit derselben Ausführlichkeit anzugeben ; ich habe im Vorhergehenden nur zeigen wollen, welcher Genauigkeit dieser Gegenstand fähig ist, und wie sehr das Haupt- resultat dieser Versuche, von denen sogleich die Rede sein wird, begründet ist. Der Stahldrath hatte einen Radius von 0,072203 des engl. Zolls; er gab:

x — 0,007122

Dieser Werth ist von dem vorhergehenden für das Kupfer ausserordentlich verschieden. Man sieht hieraus deutlich, dass der Widerstand der Luft nicht daran Schuld sein kann, dass die Schwingungen nicht isochron sind, sondern dass eine in der individuellen Natur jedes Me- talls begründete Eigenschaft derselben die Ursache davon sein muss. Es scheint, dass sich die kleinsten Theïilchen der Metalle bis zu einem gewissen Grade übereinander wegschieben kün- nen, so wie die Flüssigkeiten; deshalb schlage ich vor, den Coefficienten x den Flüssigkeits- coefficient der Metalle zu nennen, indem man die Metalle, bei denen dieser Coefficient sehr gross ist, mit sehr dicken Flüssigkeiten vergleichen kann. Man sieht leicht ein, dass diese Ei- genschaft der Metalle einen bedeutenden Einfluss auf die Dauer ihrer Drehungsschwingungen ausüben muss; Dräthe, die diese Eigenschaft in einem hohen Grade besitzen, müssen verhält- nissmässig langsamer schwingen, wenn sie sich drehend schwingen, als wenn sie solche Schwingungen ausführen, wo die Metallfibern sich bloss wechselseitig ausdehnen und zusam- meuziehen ohne über einander wegzuglitschen, wie z. B. bei den Transversalschwingungen; diese Metalle müssen also einen sehr verschiedenen Elasticitätscoefficienten geben, je nachdem man denselben durch Torsionsschwingungen, oder durch Transversalschwingungen bestimmt;

*) Der erste dieser Werthe giebt : x — 0,2365 der zweite: x —= 0,2450

Man sieht, um wieviel der Werth von x bei dem geglühten Kupferdrath grôsser ist, als beim ungeglühten.

E:nFrLiuss DER WAÂRME AUF DIE ÉLASTICITAT. (31) 427

und dieser Unterschied muss desto grôsser sein, je grôsser der Unterschied zwischen den Flüs- sigkeitscoefficienten der beiden Metalle ist. Setzt man die oben für den dicken Kupferdrath gefundenen Werthe der Schwingungszei-

ten À, À, in die Formel re Or—r?

F— g'w=45 so findet man : n = 11,5663 und da Su Snl

à — 0,0000000187048

Hier ist à der gesuchte Ausdehnungscoefficient, d. h. die Ausdehnung, die ein Cylinder von { Hôühe und 1 Radius, durch ein der Einheit gleiches Gewicht, erleidet, Als ich den elastischen Ausdehnungscoefficienten desselbea Drathes aus Transversalschwin- gungen bestimmte, fand ich : à — 0,000000013525

Das ist nur wenig mehr, als */, des obigen Werthes. Der Stahldrath, von dem oben die Rede gewesen ist, und dessen Flüssigkeitscoefficient so gering ist, gab

Durch Torsionsschwingungen : à — 0,0000000098%45 Durch Transversalschwingungen :

à — 0,000000009805

Diese beiden Werthe sind nur wenig von einander verschieden.

Ich kônnte noch mebrere ähnliche Beispiele anführen, aber die angegebenen werden hin- reichen, zu zeigen, welche Rolle der Coefficient x in den Torsionsschwingungen spielt.

Weon nun der Coefficient x den elastischen Ausdehnungscoefficienten einiger Metalle so sebr zu vermehren im Stande ist, so erklärt es sich von selbst, warum der Einfluss der Tempe- ratur auf die Schwingungszeiten drehender Dräthe, bei gewissen Metallen, viel grüsser ist, als bei den Transversalschwingungen derselben Dräthe; es ist also nicht hinreichend, den Einfluss der Temperatur auf Transversalschwingungen allein zu beobachten, sondern dieser Einfluss auf drehende Schwingungen muss noch besonders bestimmt werden, was denn auch in Folgen- dem geschehen ist.

Einfluss der Temperatur auf die elastische Kraft der festen Kürper.

—

Die Wärme kann auf zweïerlei Art auf die elastischen Kôrper wirken; die Elasticität kann sich verändern, während der Einwirkung der Wärme, und wieder auf ihren früheren Werth zurückkommen, sobald die Wärmeerhühung anfgehôrt hat; sie kann aber auch, nach- dem die Wärme wieder aufgehôrt hat zu wirken, und die Temperatur wieder auf ihren frühe- ren Stand zurückgekehrt ist, dennoch eine bleibende Veränderung zeigen. Diese beiden Arten der Wärmeeinwirkung sollen in dem Folgenden besonders untersucht werden. Beide Arten der Einwirkung, besonders aber die erste, erfordern eine Beobachtungsmethode, die sebr kleine Unterschiede nicht nur bemerkbar, sondern auch messbar macht; die Transversalschwin- gungen verlicaler Stäbe mit angeklemtem Gewichte, so dass das Gewicht nach oben gerichtet ist, geben uns ein treffliches Mittel dazu an die Hand. Wenn das freie Ende mit dem Gewicht nach oben gerichtet ist, so ist, wie wir in der Einleitung gesehen haben, die oscillirende Kraft der Differenz der Elasticität und der Schwere proportional ; da nun die Wärme auf die Schwer- kraft keinen Einfluss hat, und nur durch Vergrüsserung der Dimensionen das Trägheitsmoment ein klein wenig ändert, die elastische Kraft aber bei Erhôhung der Temperatur bedeutend ab- nimmt, so sieht man leicht ein, dass wenn die Differenz zwischen Schwerkraft und Elasticität eine sehr geringe ist, dieselbe sich dabeï in einem sehr starken Verhältniss ändern kann.

In der That bemerkt man in diesem Falle, dass die Schwingungsdauer sich schon bei ge- ringen Temperaturerhühungen bedeutend ändert; diese Aenderungen kônnen also mit grosser Sicherheit beobachtet werden. Um dahin zu gelangen, braucht man nur den Stab so lang zu nehmen, oder ein so grosses Gewicht an das Ende desselben anzuklemmen, dass seine Schwin- gungen sehr langsam werden, und dann denselben abwechselnd in der Kälte und in der Wärme, oder auch vor und nach der Erwärmung schwingen zu lassen, je nachdem man die erste oder die zweite Art der Einwirkung der Wärme auf die Elasticität studiren will.

Die Beobachtungsmethode bestand also darin, dass prismatische Stäbe oder Dräthe von verschiedenen Metallen an einem Ende zwischen zwei viereckigen starken, gusseisernen Platten,

EinFriuss DER WARME AUF DIE ELASTICITAT. (33) 429

vermittelst starker Schrauben geklemmt wurden (siche die Tafel IF, Fig. 3); dann wurde der Apparat so gestellt, dass der Stab oder der Drath senkrecht stand, mit dem freien Ende nach oben. In dieser Stellung wurden die gusseisernen Platten in einen besonderen Klemmapparat eingeschoben, welcher sehr schwer war und 3 Fussschrauben hatte, so dass man den Stab vollkommen senkrecht stellen konnte. Nun wurde aus einer Reihe von Gewichten (siehe Fig. #), die allmäblig von À bis 10 Pfund steigen, dasjenige ausgesucht, welches, an das freie Ende des Stabes geklemmt, die langsamsten Schwingungen gab, ohne den Stab zum Ueberschlagen zu bringen. Der ganze Apparat war in einem sehr geräumigen Kasten aufgestellt; dieser Kas- ten konnte abwechselnd mit dem Beobachtungszimmer und mit der Strasse in Verbindung ge- setzt werden, so dass er sich (im Winter) bald mit warmer, bald mit kalter Luft füllte; die Temperatur erhielt sich fast immer mehr als eine Stunde vollkommen auf demselben Stand, wenn man die Verbindung lange genug (d. h. mehrere Stunden) hatte fortwähren lassen. Um die Schwingungen vom geheizten Zimmer aus beobachten zu künnen, hatte der Kasten an einer Seite Fenster mit doppelten Spiegelgläsern. In einer Entfernung von etwa 15 Fuss von dem Apparat, dem genannten Fenster gegenüber, war ein kleines tragbares Passageinstrument aufgestellt, dessen Fernrohr sich in einer Verticalebene bewegte; Klemmapparat und Passage- instrument hatten eine solche gegenseitige Lage, dass sich der Stab seiner grôssten Breite nach in der Verticalebene des Fernrohrs befand, im Fernrohr also nur seine schmale Seite sichthbar war, welche vom verticalen Faden des Fernrohrs halbirt wurde; geschah diess in der ganzen Länge des Stabes, so stand der Stab richtig, d. h. senkrecht; eine geringe Abweïichung von dieser senkrechten Lage wurde sogleich merklich, weil das Gewicht sich alsdann auf die eine Seite hinneigte, welches sorgfältig vermieden wurde. Ich brauche wobl nicht zu sagen, dass die Gewichte immer s6 angeklemmt wurden, dass ihr Schwerpunct so genau als môglich mit der Längenaxe des Stabes zusammenfiel. Ein dreieckigter, vorn offener Kasten schützte den Stab vor dem Winde, der ft zum offenen Fenster eindrang (siehe Fig. 2). Um nun die Transver- salschwingungen des Stabes zu beobachten, wurde an das Ende desselben eine gradlinigte Theïlung (halbe Linien) horizontal befestigt, so dass sie in der Schwingungsebene lag; auf diese Theilung wurde das Fernrobr gerichtet, und der verticale Faden des letztern auf die mittlere Linie der Theiïlung eingestellt; diese mittlere Linie halbirte gerade die schmale dem Fernrohr zugewandte Seite des Stabes. Wurde nun das obere freie Ende des Stabes abgelenkt, so machte er Schwingungen, und die Theilung ging von rechts nach links, und dann wieder von links nach rechts durch das Feld des Fernrohrs; dabei ging der Faden des Fernrohrs, sobald der Stab seine grüsste Elongation erreicht hatte, durch irgend einen Theïlstrich, den man leicht beobachten konnte, links oder rechts von der Mittellinie; die Entfernung dieser Theilstriche von der Mittellinie gab offenbar ein Maass der Schwingungsweite. In den folgenden Tabellen muss man unter Elongation eben diese Entfernung (in halben Linien ausgedrückt) des Theil- strichs von der Mittellinie verstehen. Die Schwingungen dauerten zu kurze Zeit, als dass es môglich gewesen wäre, die Reduction auf unendlich kleine Schwingungen aus den Beobach- tungen selbst abzuleiten; man fing deshalb immer, in der Wärme sowobl als in der Kälte, mit

430 (34) A. T. KUPFFER.

derselben Schwingungsweite an, und setzte die Beobachtunÿ fort, bis sie sich auf dieselbe Grüsse vermindert hatte; es lässt sich also annehmen, dass die Reduction auf unendlich kleine Schwingungen für beide Beobachtungen dieselbe war, so dass sie aus dem Endresultat, dem Quotient der Kräfte, verschwindet.

Nachdem die Schwingungsdauer des Stabes, in aufrechter Stellung (das Gewicht oben), in beiden Temperaturen beobachtet worden war, wurde er mit sammt den gusseisernen Platten aus dem Klemmapparat herausgenommen, dieser auf einen hohen, festen, dreifüssigen Tisch gestellt, welcher in der Mitte eine Oeffnung hatte, durch welche man den Stab durchstecken konnte, und nun die gusseisernen Platten in solcher Lage eingeklemmt, dass der Stab wieder eine senk- rechte Stellung hatte, aber mit dem freien Ende und dem Gewicht nach unten gerichtet. Er wurde nun wieder vermittelst des Passageinstruments recht genau senkrecht gestellt, und nun beobachtete man wieder die Dauer seiner Schwingungen. Da die Wärme nur einen ganz un- bedeutenden Einfluss auf diese Dauer hat, so wurde diese Beobachtung nur in der gewühn- lichen Temperatur gemacht.

Es sei nun, wie oben, {, die Dauer einer Schwingung in der hôhern Temperatur (hier bei der Temperatur des Zimmers), t dieselbe Dauer bei der niedrigeren, beide bei aufrechter Stel- lung des Stabes (das freie Ende oben); ferner { die Dauer einer Schwingung, wenn das freie Ende sich unten befindet, so haben wir, da im Allgemeinen :

MON À Mie À ec rie (G2— 2)? Ve

und sich die Werthe von t, 1, a, b, x und / nur ganz unbedeutend ändern, wenn die Tempe- ratur sich ändert :

rs (/2+ t?) (th? E 2) (2-2) (2+8)

1

B(@—6)

wo 0, 0 die hühere und niedrigere Temperatur bedeuten, 8 aber der Coefficient des Einflusses der Temperatur auf die elastische Kraft des Stabes ist, so dass, wenn man diese bei der niedri- gern Temperatur der Einheit gleich setzt, sie bei der hüheren — 1 — 8 (9° — 4) wird.

Un die Einwirkung vorübergehender Erwärmung zu studiren, wurde die Schwingungs- dauer des zu untersuchenden Stabes eben so beobachtet; dann wurde derselbe, ohne ihn aus den gusseisernen Platten herauszunehmen ‘) (mit Ausnabme einiger Versuche, wo der Stab sehr lang war, und sehr hohe Temperaturen adgewendet wurden, wo also die Einwirkung der Wärme sehr gross war), mehr oder weniger stark erhitzt, und die Dauer seiner Schwingungen nach vülliger Erkaltung nochmals beobachtet.

*) Diese Vorsichtsmaassregel ist sehr nôthig, wenn der Stab nicht sebr lang ist, weil alsdann die geringste Aen- derung in der Eutfernung des Klemmpunctes vom Schwerpunct des Gewichts eine bedeutende Aenderung in der Schwingungsdauer t{, hervorbringen kann,

EinFLuss DER WARME AUF DIE ÉLASTICITAT. (33) 431

Beobachtungen über den Eïinfluss der Temperatur auf die Elasticität der Metalle.

Silber. Dicker:des Stabes … 0 en ss LS lee COTE Breite des Stabes VE OP CA 0,895 Länge vom fixirten Puncte bis zum Klemmpuncte . . 44,5 Approximativer Werth von S , . . . . . . . . + 0,00000008038 A. Gewicht nach oben gekehr! : In der Wärme In der Kälte. Temp. Schwingungsdauer. Temp. Schwingungsdauer. + 13,6 70000 — 0,6 5,8000 13,8 7,0500 — 0,5 5,8070 13,8 7,0400 — 0,7 5,7108 Mitiel + 13,7 70300 (1,) — 0,6 51926 (1) Gewicht nach unten gerichtet : In der Wärme. In der Kälte. 0,66181 (s) 066059 (1)

Berechnet man nach der Formel :

ci (arme) (=) 1

(4 FO—0)— Gr were so findet man :

8 — 0,000582

Wäre der Werth von t in der Kälte nicht beobachtet worden, so hätten wir { — t — 0,66181 setzen müssen, und wir hätten gefunden :

8 — 0,000589

Dieser Werth weicht sehr wenig vom obigen ab; es ist also unnôthig die Schwingungs- dauer in der Kälte bei nach unten gekehrtem Gewichte zu beobachten.

B. Derselbe Stab wurde ein wenig kürzer genommen :

Gewicht nach oben :

In der Wärme, In der Kälte, Temp. Schwingungsdauer, Temp. Schwingungsdauer. + 13,55 6900 + 1,55 5"860 6,925 1,60 5,900 6,900 1,60. 2,879 6,875

Mittel + 13,55 6,900 + 1,58 5,912

432 (36) A. T. KUPFFER.

Gewicht nach unten: Schwingungsdauer in der Wärme . . . . . . 0,66143 WoOTraus : 8 — 0,000558. C. Der Stab wurde noch viel kürzer genommen, so dass die Entfernung vom Schwer- punt des Gewichts bis zum fixen Punct 31 Zoll betrug.

Da die Schwingungsdauer bedeutend mit der Amplitudo abnahm, so wurde mit derselben Amplitudo angefangen und mit derselben geendet, so dass man annehmen konnte, dass die Reduction auf unendlich kleine Bôgen in allen Beobachtungen, die verglichen wurden, dieselbe blieb, also im Resultat so ziemlich vollständig verschwand.

Gewicht nach oben, 3,30 Pfund:

Grosste Amplitudoÿ=*:1, 40" EN L. 18040) Kieinste Amphtudor #04, 0 PAPE 0 11 In der Wärme. In der Kälte. Temp. Schwingungsdauer. Temp. Schwingungsdauer. + 15,7 5133 — 0,6 4,3468 5,125 — 0,8 4,3594 5,125 227010 1,3583 15,5 5,125 Mittel + 15,6 9,1270 — 0,8 473548

Der Stab machte in der Wärme 30 Oscillationen von der grüssten bis zur klemsten Am- plitudo, in der Kälte 62. Diese Beobachtungen geben :

B — 0,000563 Wir haben also, im Mittel aus den drei gefundenen Werthen : B — 0,000568 Messing. Es wurden 9 verschiedene Messingstäbe untersucht; wir wollen sie mit 1, 2, 3, u. s. w. bezeichnen. AF 1 war von geschlagenem Messing.

1

2 war von gegossenem Messing. » 8 war von geschlagenem Messing.

4 war von gegossenem Messing.

: Hartgezogenes englisches Tafelmessing.

Einriuss DER WARME AUF DIE ELASTICITAT. (37 433

ANT war von gegossenem Messing. » 8 war von demselben gegossenen Messing, aber stark gehämmert.

9 war von demselben gegossenen Messing, aber nach dem Hämmern noch gewalzt.

N° 7,8, 9 waren aus demselben Gussstück verfertigt worden. Sie waren sehr genau von Repsold in Hamburg verfertigt worden, d. h. sie waren in ihrer ganzen Länge und Breite genau gleich oder vollkommene Parallelepipeda, so dass die aus den Versuchen abgelei- teten Werthe von 5 als sehr genau angesehen werden künnen.

Alle 9 hatten fast genau dieselbe Breite und Länge, waren aber von verschiedener Dicke.

Die nachstehende Tabelle enthält die Dimensionen.

No. Dicke. Breile, Länge. Spec. Gew. 1 | 0,09713 | 0,99742 | 51,4340 | 8,5598 2 |0,09642 | 0,99729 | 51,4330 | 8,2167 3 |0,18648 | 0,99964 | 51,4370 | 8,4977 4 | 0,19029 | 0,99917 | 51,4390 | 8,2675 9 |0,18224 | 0,98954 | 52,332 8,4465 6 |0,09332 | 0,98100 | 52,314 8,4930 do

8

9

0,19109 | 0,99137 | 51,250 8,3089 dito dito dito 8,60%5 | dito dito dito 8,9746

Messingstab YF 2. Entfernung des Schwerpunets des Gewichts vom fixen Puncte 39,5 Zoll, Gewicht 1,8 Pf.

a, Gewicht nach oben :

Temp. Schwingungsdauer. Temp. Schwingungsdauer. + 13,4 48167 — 10,2 41214 13,8 4,8033 10,2 4,1167

b. Gewicht nach unten :

1 Oscil. — 0/63012, Woraus : 8 — 0,0005341 8 — 0,0005217

Mittel — 0,0005279

Als der Stab noch kürzer gemacht wurde :

Temp. Schwingungsdauer. Temp. Schwingungsdauer. + 15,5 36200 — 10,5 32660

Mémoires. sc. math. et phys. T. VI. 55

434 (38) A. T. KUPFFER.

Gewicht nach unten : 4 Oscil. — 06220 Woraus : | 8 — 0,0005231

Messingstab 4 1. a. Gewicht nach oben:

Temp. Schwingungsdauer. Temp. Schwingungsdauer. + 15,60 110100 — 9,05 7,3630

b. Gewicht nach unten :

1 Oscil. — 0,6807 WOraus : 8 — 0,0004596

Der Stab wurde etwas tiefer eingesteckt, so dass er kürzer wurde, dabeiï aber etwas an Gewicht zugegeben. a. Gewicht nach unten:

1 Oscil. — 0,6764 b. Gewicht nach oben : |

Temp. Schwingungsdauer. Temp.‘ Schwingungsdauer. or 12/0882 (40 Osc.) — 11,4 70938 (45 Osc.) 13,7 12,1575 (34 Osc.) 11,2 7,1000 (50 Osc.) Mittel + 13,7 121229 — 11,5 7,0969 WoOTraus : 8 — 0,00047956

Messingstab 4 4.

1. Entfernung des Schwerpuncts des Gewichts vom fixen Punct . . . 36.2684 Angeklemmtes Gewicht . 12,32476 a. Gewicht nach oben gerichtet : Temp. Schwingungsdauer. Temp. Schwingungsdauer. + 15,6 6,5000 — 2,1 5,2708 15,9 6,5391 2,0 5,2698 14,5 6,4455 Mittel + 15,33 — 2,05 52703

b. Gewicht nach unten gerichtet : 1 Oscil. — 0,61864 B — 0,00054421

Woraus :

EinFiuss DER WARME AUF DIE ELASTICITAT.

2. Länge des schwingenden Theils des Stabes . . Gewicht desselben .

Entferoung des Schwerpuncts des Gewichts vom fixen Punct

Augeklemmtes Gewicht . Eignes Inertsmoment des Gewichts

a. Gewicht nach oben gerichtet :

Temp. Schwingungsdauer. Temp. + 15,6 29928 + 0,5 14,0 2,9768 — 3,4 Mittel + 14,80 2,9848 — 1,45

b. Gewicht nach unten gerichtet : 1 Oscil. — 0,682521 WOraus : B — 0,0005368 Man findet aus der in der Einleitung angegebenen Formel :

> — 0,0000000767831

Messingstab 4 3.

Länge des schwingenden Theils des Stabes Gewicht desselben .

Entfernung des Schwerpuncts des Gewichts vom fixen Punct

Angeklemmtes Gewicht . Eignes Inertsmoment des Gewichts

a. Gewicht nach oben gerichtet :

Temp. Schwingungsdauer. Temp.

210,9 6/2760 (135 Osc.) + 12,5

9,9 6,3384 (133 Osc.) 12,5

Mittel — 10,4 63072 + 12,5

b. Gewicht nach unten gerichtet : 1 Oscil. — 07019704 6 — 0,00047306 Man findet auch, nach der Formel der Einleitung :

5 — 0,000000057545

Woraus :

(39)

. 47,8063 2,9890 47,5594 6,35629 18,351

Schwingungsdauer. 28821 2,8547 28684

47,3785 2,99986 . 47,1316 9,29767 . 41,840

Schwingungsdauer. 83796 (40 Osc.) 8,4000 (54 Osc.)

8,3898

435

Man sieht, dass der Werth von B für geschlagenes Messing entschieden kleiner ist, als

für gegossenes; man hat im Mittel:

*

436 (40) A. T. KUPFFER.

für geschlagenes Messing $ — 0,0004708 für gegossenes » 8 — 0,0005330

Dabei ist der Werth von 8 grüsser, wenn der von ÿ grôsser ist; mit dem specifischen Ge- wicht aber stehen beide Werthe im umgekehrten Verhältniss.

Hartgezogenes englisches Tafelmessing 4 5.

a, Gewicht nach oben gerichtet :

Temp. Schwingungsdauer. Temp. Schwingungsdauer. + 12,10 1797308 (650 Osc.) — 7,6 192929 (700 Osc.) 13,15 1,97461 (650 Osc.)

Mittel + 12,625 1:97385 b. Gewicht nach unten gerichtet : 1 Oscil. — 0,66583 WOraus : 8 — 0,0005363 Hartgezogenes englisches Tafelmessing 4 6 (andere Sorte).

a. Gewicht nach oben gerichtet :

Temp. Schwingungsdauer. Temp. Schwingungsdauer. — 11,1 475458 (120 Osc.) + 14,0 53062 10,9 4,5417 (120 Osc.) 14,0 3,3063 Mittel — 11,0 454375 + 14,0 530625

b. Gewicht nach unten gerichtet : 1 Oscil. — 0,67625 WOTaus : 8 — 0,00047566 Stab M 7. Von gegossenem Messing.

a. Gewicht nach oben gerichtet :

Temp. Schwingungsdauer. Temp. Schwingungsdauer.

+ 12,05 4,9687 (160 Osc.) — 14,2 42925 (200 Osc.) b. Gewicht nach unten gerichtet : 1 Oscil. — 0/6925 (1000 Oscil.) WOTAUS : 8 — 0,0005067 Ein zweiter Versuch gab :

a. Gewicht nach oben gerichtet :

Temp. Schwingungsdauer. Temp. Schwingungsdauer.

Al 3/3850 (200 Osc.) 407 3/1420 (2500 Osc.)

EinFriuss DER WARME AUF DIE ELASTICITAT. (41) 437

b. Gewicht nach unten gerichtet : 1 Oscil. — 0,6920 (1000 Oscil.) WoOTraus : 8 — 0,0005055 Stab 4 8. Von demselben, aber vorher sehr stark gehämmerten Messing.

a. Gewicht nach oben gerichtet : Temp. Schwingungsdauer. Temp. Schwingungsdauer. + 15,8 2/6550 (400 Osc.) — 7,9 25481 (400 Osc.) b. Gewicht nach unten gerichtet:

1 Oscil. — 0,68175 (2000 Oscil.)

WOTraus : — 0,0004813 Platina. Dicke dés Stabesue 0 0 OR M ee, 0,193 DreitetdesoiaDe MIN Se CT De. sus ve ct «0,979 Entfernung des Schwerpuncts des Gewichts vom fixen Punct . 49,4865 GITE CPR OR ES AP et us to a. Gewicht nach oben gerichtet : Temp. Schwingungsdauer. Temp. Schwingungsdauer. + 13,15 7:5764 — 1,0 7,0365

b. Gewicht nach unten gerichtet : 1 Oscil. — 0714593

WOraus : 8 — 0,00020074 Entfernung des Schwerpuncts des Gewichts vom fixen Punct, dieselbe. CÉMICR ES En US A EE PA CR ne 0 2 0 30) a. Gewicht nach oben gerichtet : Temp. Schwingungsdauer. Temp. Schwingungsdauer. + 13,4 18750 — 3,8 18625

b. Gewicht nach unten gerichtet : 1 Oscil. — 06673 WOTAUS : 8 — 0,0002014%5 Für einen Platinadrath fand ich : 3 — 0,000000039867

438 (42) À. T. KUPFFER.

Spiegelglas. Breite. 2000, SA ORNE 17 00 schr ungleich. DICK RE SE NE MEUE RSA re ETS OMS Entferoung des Se ne des Gewichts vom fxen Enter, De Pen EP Eee "52,803

Angeklemmtes'Gewicht. 04", 0.1.0. 1Mm6,25

a. Gewicht nach oben gerichtet :

Temp. Schwingungsdauer.

Temp. Schwingungsdauer. + 11,3 3,9000 — 8,0 37917 — 12,3 3,7750 — 4,8 3,3167

b. Gewicht nach unten gerichtet : 1 Oscil. — 0,56871. Aus den beiden Beobachtungen, die den grôüssten Temperaturunterschied geben, findet man: 8 — 0,00012389. Mit einem kleineren Gewicht erhielt ich folgende Resultate :

a. Gewicht nach oben gerichtet :

Temp. Schwingungsdauer. Temp. Schwingungsdauer. + 12,4 1,6650 — 6,3 1:6583 13,7 1,6659 — 3,9 1,6589 Mittel + 13,6 1:6655 — 5,1 1:6586

b. Gewicht nach unten gerichtet : 1 Oscil. — 0,61605 WOTAUS : 8 — 0,00012%5. Gusseisen.

Gusseisen (# 4) Spec. Gew. 7,130.

Länge des schwingenden Theiïls . .

. 45,7295 Broitc Pme ARE Me Te le TU MODO Dickel re Mer EE Caen ht RME 0e NO N2D 0 Gevwicht pme MR OR RER Lacie 4002/0848 Entfernung des Schwerpuncts des Gewichts vom Fe tee . . . … À45,4848 Gewicht: 20.022000 ER 2 1 LL ORAN 024 76

Eignes Inertsmoment a Gorithtsl ES au. à. tre C0 TS

EinFLuss DER WAÂRME AUF DIE ELASTICITAT. 43) 439

a. Gewicht nach oben gerichtet :

Die Schwingungen nahmen sehr rasch ab, rascher als bei allen bisher behandelten Me- tallen, besonders in der hüheren Temperatur, bei welcher nicht mehr als 36 Schwingungen

beobachtet werden konnten.

Temp. Schwingungsdauer. Temp. Schwingungsdauer. — 3,6 21666 + 13,2 23529 | — 3,6 2,1528 Mittel — 3,6 271597

b. Gewicht nach unten gerichtet : 1 Oscil. — 0,66875 WOraus : B — 0,0018399 > — 0,000000056422

Gusseisen #3, halb so dick, sonst dieselben Dimensionen. Spec. Gew. 7,124

Angeklemmtes Gewicht . . . . : . . . .'. . . . . . 9,30 Entfernung des Schwerpuncts des Gewichts vom fixen Ende . #7,1264

a. Gewicht nach oben gerichtet :

Temp. Schwingungsdauer. Temp. Schwingungsdauer. — 8,7 124545 (44 Osc.) + 12,5 1:5500 (40 Osc.) 1,4688 (48 Osc.) 1,5521 (48 Osc.) 1,4712 (52 Osc.) . Mittel 174648 175511

b. Gewicht nach unten gerichtet : 1 Oscil. — 0640625 WOTaUS : B — 0,0019267 Zweiter Versuch, mit geringen Abänderungen.

a. Gewicht nach oben gerichtet :

Temp. Schwingungsdauer. Temp. Schwingungsdauer. — 3,3 156705 (44 Osc.) + 13,5 17500 (44 Osc.) 1,6667 (48 Osc.) 13,8 1,7500 (44 Osc.) Mittel — 3,3 1:6686 + 13,65 177500

b. Gewicht nach unten gerichtet : 1 Oscil. — 0/6375 WOTraUs : 8 — 0,001618

440

Stahl M 5, gewalzt, weich. (Derselbe Stahl, von dem in der Einleitung die Rede war.)

(44)

a. Gewicht nach oben gerichtet :

A. T. KUPFFER.

Stahl.

Entfernung des Schwerpuncts des Gewichts vom fixen Ende . . 48,06 Augeklemmtes Gewicht . 1,817 Specifisches Gewicht . 7,83

Temperatur am Anfang — 8,5

»

am Ende

— 8,7

Mittel — 8,6 Barometerstand : 30,58 bei 13,3° R.

Elon- 5 x, : gation. Durchgange. Durchgänge. Durchgange. 30 | (0) 12 16,0 | 7,5 | (500) 25° 19/0 (1000) — 25 (50) 13 34,0! 6,5 590) 26 37,0] 2,1 |(1050) a 4070 21 ) 14 52,5] 6,0 | (600) 27 55,5| 2,0 |(1100) 40 58,0 18 )16 11,01 5,2 | (650) 29 13,5] 1,7 1(1150) 42 16,5 16 ) 17 29,0! 4,8 | (700) 30 32,0] 1,5 (1200) 43 34,5 14 )18 47,5/ 4,2 | (750) 31 50,0 | 1,3 |(1250) : 52,5 12 )20 5,5] 3,9 | (800) 33 8,5] 1,1 |(1300) 46 11,0 11 ) 21 24,0] 3,4 850) 34 26,5] 1,0 |(1350) 47 29,5 9,5 ) 22 42,5 | 3,0 | (900) 35 45,0 8,9 )24 0,8] 2,8 (950) 37 3,0 1350 Oscillationen in 35° 1325 1 Oscil. — 1,56556 Temperatur am Anfang + 12,10 » am Ende + 12,20 Mittel + 12,15 Elon- 3 : Elon- : gation. Durchgänge. Durchgänge. gation. Durchgänge.

(0) 55° 4:5 (250) (500) 22,0| (50) 56 23,5 (300) 2 59,5 | 2,0 | (550) 9 34,5 17,0! (100) 57 43,0 (350) 4 18,5 | 1,5 | (600) 10 53,5 13,2] (150) 59 2,0 (400) 5 37,5 | 1,1 | (650) 12 12,5 10,0 | (200) 0 21,0 (450) 6 56,5 | 1,0 | (700) 13 32,0

“EINFLUSS DER WARME AUF DIE ÉLASTICITAT. (45) 700 Oscil. in 18° 275 1 Oscil. — 1/58214

b. Gewicht nach unten gerichtet :

1500 Oscil. in 15° 59,5 1 Oscil. — 0639667 WOraus : B — 0,0003%446

Derselbe Stab mit einem Gewicht von ungefähr 3 Pfund.

a. Gewicht nach oben gerichtet :

Temp. Schwingungsdauer. Temp. Schwingungsdauer. — 15,35 7,1850 + 13,7 110166 — 15,35 7,1875 + 13,6 10,9688 — 15,70 7,1888 Mittel — 15,47 71871 + 13,65 10/9927

b. Gewicht nach unten gerichtet : 1 Oscil. — 067808 WOTraus : B — 0,00035097 Wir fanden in der Einleitung :

5 — 0,00000002960

Englischer Schmiedestahl #5 15 mit einem Gewicht vou beiläufig 15 Pfund.

a. Gewicht nach oben gerichtet :

Temp. Schwingungsdauer. Temp. Schwingungsdauer. — 13,90 2/2892 (600 Osc.) + 13,6 2,34625 + 13,5 2,34375 Mittel + 13,55 234500 b. Gewicht nach unten gerichtet : 1 Oscil. — 06950 Woraus : B — 0,0003198 Weicher Gussstahl 4 6. LA LE AO PEU UN GE QE Pen. ONE PREND 0,99430 DICK. 40 NN OUR | NE L'ENEN NA 0,09583 Entfernung des Schwerpuncts des Gewichts vom fixen Puncte . 49,200 GÉNIE ML CORP RON ED. Se CT Mn. 4 2 1,8173

Mémoires sc. math. et phys. T. VI. 56

442 (46) A. T. KUPFFER.

a. Gewicht nach oben gerichtet :

Temp. Schwingungsdauer. Temp. Schwingungsdauer. — 11,7 3,2733 (450 Osc.) + 14,1 3,4000 (300 Osc.)

b. Gewicht nach unten gerichtet :

1 Oscil. — 06935 WOTAUS : 8 — 0,00025582

Derselbe Stab von weichem Gussstahl 47 6 wurde tiefer eingesteckt, so dass die Länge

des schwingenden Theils des Stabes 34,845 betrug.

Entfernuog der fixen Puncte vom weichsten Ende . 17,5000

Gevichhas is io a RONA Re cu 00 a. Gewicht nach oben gerichtet : Temperatur am Anfang + 13,50 » am Ende + 13,50 Barometer 30,38 En Durchgänge. É Durchgänge. Ne Durchgänge. 28 (0) 15/41” 7 | (250) 25390 | 2,5 | (500) pa 365 21 (10) 17 40,5! 6 | (300) 27 38,5 | 2,0 | (550) 37 .... 15 | (100) 19 40,5 | 5 | (350) 29 38,0 | 1,8 | (600) . 39,0 12 | (150) 21 40,0 | #4 | (400) 31 37,5 | 1,5 | (650) 41 34,5 9 | (200) 23 39,5 | 3,5) (450) 33 37,0 | 1,0 | (700) #3 34,0 700 Oscil. in 1673,0 1 Oscil. — 23900 Temperatur am Anfang — 11,0 » am Ende — 10,3 Barometer 30,14 en Durchgange. PU Durchgänge. A Durchgänge. 35,0| (0) 32” 35 | 10 | (300) 43 42/5 | 3,0 | (600) 552275 ses (50) 34 0,0 | 8 (350) 45 39,0 | 2,5 | (650) 57 19,0 21 (100) 35 56,5 | ... | (400) 47 36,5 | 2,0 | (700) 59 15,5 16 (150) 37 53,0 | 4,5] (450) 49 32,5 | ...) (750) ...... 13 (200) 39 50,0 | 4,0! (500) 6: 29,0 | 1,3] (800) 3 8,5 12 (250) 41 46,0 | 3,5! ( ) 53 26,0 | 1,0 | (850) 5 5,0

Einriuss DER WAÂRME AUF DIE ELASTICITAT. (47) 443

850 Oscil. in 19815 1 Oscil. — 23312

Temperatur am Anfang — 9,9

» am Ende — 9,6 . Durchyänge. AU | Durchgänge. ne Durchgänge. 34 (0) 26°54,0 | 7,0 | (350) 40 3055 | 2,5 | (700) 54 775 24 50) 28 50,5 | 5,8! (400) 42 27,5 | 2,0 | (750) 56 4,0

(350) (700) | (400) (750) (100) 30 47,0 | 5,0 | (450) 44 24,0 | 1,8 | (800) 58 1,0 (150) 32 43,5 | 4,0 | (500) 46 20,5 | 1,4 | (850) | 12 | (200) 34 40,5 | 3,5 | (550) 48 17,5 | 1,4 | (900) (250) 36 37,5 | 3,0 | (600) 50 14.0 | 1,0 | | (300) 38 34,0 | 3,0 | |

950 Oscil. in 22165 1 Oscil. — 2,3433

8,2

b. Gewicht nach unten gerichtet : 3050 Oscil. in 1782,5 ù 1 Oscil. — 058442 Woraus : 8 — 0,0002310

Derselbe weiche Gussstahl #4 6 länger herausgezogen, so dass die Länge des schwin- genden Theils 36,194 betrug, und mit einem um 0,103 vermehrten Gewicht, gab folgende Resultate :

a. Gewicht uach oben gerichtet :

Temperatur am Anfang + 13,8

» am Ende + 13,6 ut Durchgänge. als Durchgänge. el | Durchgänge. 26,0 00150 | 8,5) (80) 8’20,0 | 2,0 | (160) 16’25/0

(0) (80) 18 | (20)2 16,0 | 6,0) (100) 10 21,0 | 2,0 | (180) 18 26,0 13 | (40) 417,0 | 4,5] (120) 12 22,5 | 2,0 | (200) 20 28,0 10 | (60) 2,3 | (140) 14 23,5 |:

200 Oscil. in 1213/0

1 Oscil, — 6/0650

444 (48) A. T. KUEFFER.

Temperatur am Anfang — 10,2

» am Ende — 10,2 ALU Durchgänge. ur Durchgänge. re Durchgänge. 30 | (0) 8255 | 11 | (80) 15345 (160) 22’ 43/5 23 | (20) 10 12,5 4100)..." (180) 24 31,0 14 | (40) 12 0,0 (120) 19 9,0 (200) 26 18,0 14 | (60) 13 47,5 (140) 20 56,5

200 Oscil. in 1072,5 1 Oscil. 53625 b. Gewicht nach unten gerichtet : 4000 Oscil. in 244570 1 Oscil. — 061125 WOTaus : 8 — 0,00023900 | also im Mittel : 8 — 0,0002350

Durch eine Reihe sorgfälüiger Versuche wurde der Werth von 3, sowohl vermittelst Quer- schwingungen als durch Flexion bestimmt und gefunden :

3 — 0,000000030106

Weicher Gussstahl 4 7 (andere Sorte).

a. Gewicht nach oben gerichtet :

Temp. Schwingungsdauer. * Temp. Schwingungsdauer. + 13,79 9°3000 (45 Osc.) — 13,4 7,1357 (70 Osc.) + 13,80 9,2750 — 13,4 °7,1500 (80 Osc.) Mittel + 13,78 92875 — 43% 7,1429

b. Gewicht nach unten gerichtet :

1 Oseil. — 0,7110 WOTAUS : 3 — 0,00029882

_S S QT

Einriuss DER WARME AUF DIE ELASTICITAT. (49)

Englischer Schmiedestahl 4 14.

a. Gewicht nach oben gerichtet :

Temperatur am Anfang — 13,9 » am Ende — 14,2 a Durchgänge. AE Durchgänge. ne Durchgänge. 28,0 (0) 0 27,0 | 8,5 140) 12°4975 | 3,0 (280) 25 170 23,0) (20) 211,5 7,5 | (160) 14 34,0 | 2,5 | (300) 26 45,0 19,0) (40) 3 56,0 | 6,0 ra. 16 18,5 | 2,0 | (320) 28 29,5 16,0, (60) 5 40,5 | 5,2 | (200) 18 3,0 | 2,0 | (3#0) 30 14,0 14,0, (80) 7 25,0 | 4,5 29 0) 19 47, . 800) 12,0) (100) 9 10,0 | 4,0 | (240) 21 32, 1,5 | (380) 33 42,5 10,0 (120) 10 54,5 | 3,8 | (260) 23 16, : 1,0 | (400) 35 27,0 #00 Oscil. in 35° 00/0 1 Oscil. — 5/2500 bei — 14,05 Temperatur am Anfang + 15,4 » am Ende + 15,3 La Durchgänge. . Durchgänge. Durchgäange. 26,0| (0)51 31,0 | 7,0! (100) 1’245 | 2,2 | (200) 11170 19,0, (20) 53 29,5 5,5 | (120) 3 23,0 2,0 | (220) 13 15,8 15,0) (40) 55 28,5 4,21 (140) 5 21,5 2,0 | (240) 15 14,5 11,5, (60) 57 27,0 3,0 | (160) 7 20,0 1,5 | (260) 17 12,0 9,0! (80) 59 25,5 | 2,5. (180) 9 18,5 1,0

260 Oscil. in 25° 41/0 1 Oscil. — 5,9280 bei + 15,35

b. Gewicht nach unten gerichtet :

3000 Oscil. in 34° 34/5 1 Oscil. — 0/6915

Woraus : 8 — 0,0002555

Man sieht, dass der Werth von & für verschiedene Stahlsorten ziemlich verschieden ausfällt.

446 (80) ‘A. T. KUPFFER. Eïsen.

Schwedisches Schmiedeeisen # 10.

a. Gewicht nach oben gerichtet :

Temp. Schwingungsdauer. Temp. Schwingungsdauer. + 12,95 174800 (400 Osc.) — 0,1 174690 (500 Osc.)

b. Gewicht nach unten gerichtet : 1 Oscil. — 0644995 WOraus : — 0,0004555 Englisches gewalztes Bandeisen .# 12.

a. Gewicht nach oben gerichtet :

Temp. Schwingungsdauer. Temp. Schwingungsdauer. "49% 28050 (300 Osc.) PEN 29450 (100 Osc.) 91 2,8040 (250 Osc.) = 13,6 2,9400 (50 Osc.) Mittel — 12,25 2'8045 + 13,55 92/9425

b. Gewicht nach unten gerichtet : 1 Oscil. 069575 WOTAUS : B — 0,00044158

Englisches gewalztes Bandeisen 4 13. a. Gewicht nach oben gerichtet :

Temp. Schwingungsdauer. Temp. Schwingungsdauer.

— 3,4 5,9667 (60 Osc.) + 15,2 72155 (30 Osc.) b. Gewicht nach unten gerichtet : 1 Oscil. — 0,69475 (2000 Oscil.) Woraus : B — 0,0004625 Englisches Schmiedeeisen # 9.

a. Gewicht nach oben gerichtet :

Temp. Schwingungsdauer. Temp. Schwingungsdauer. + 13,4 23375 (200 Osc.) — 9,3 272850 + 13,1 2,3390 (200 Osc.) — 9,15 2,2840

Mittel + 13,35 2,3383 — 9,23 2,28 45

Einriuss DER WAÂRME AUF DIE ELASTICITAT. (54) 447

b. Gewicht nach unten gerichtet : 1 Oscil. — 0,6940 (2000 Oscil.) WOTAUS : B — 0,00037607

Stab von gewalztem Eisenblech #4 1, der Breite der Walzung nach ausge- | schnitten. Breite ein Zoll. Dicke zwei Drittheil einer Linie. Linge des schwingenden Theils . . 32,240 Angeklemmtes Gewicht . . . . . 1,75384

a. Gewicht nach oben gerichtet :

Temp. Schwingungsdauer. Temp. Schwinguugsdauer. + 14,95 570939 (80 Osc) — 7,35 4/4750 (100 Osc.)

+ 14,90 5,0900 (80 Osc.)

Mittel + 14,93 5,0920 b. Gewicht uach unten gerichtet : 1 Oscil, — 0,5815 (1000 Oscil.) Woraus : 8 — 0,0003533

Stab von gewalztem Eisenblech 4 2, der Länge der Walzung nach heraus- geschnitten. Breite 1 Zoll. Dicke wie oben. Linge des vibrirenden Theils. . . . 34,50 CONICNENR N De à 1,1680

a. Gewicht nach oben gerichtet :

LE. IT. HT. IV.

Temp. am Anfang — 15,0 Temp. am Anfang — 15,0 | Temp. am Anfang + 15,1 Temp. am Anfang + 15,2 » am Ende — 15,0 » am Ende —14,8 » am Ende <+15,2 » am Ende +15,2

re Durchgange. po Durchgänge. ra Durchgänge. nn. Durchgänge. 15,0] (0) 925,0 19,0! (0) 33°1455 | 19 (0) 33°33/0 | 20 (0) 46° 23,0 10,0 | (100) 12 15,0 111,0 | (100) 36 4,5] 7 |(100) 36 28,5 | 8 (100) 49 18,5 °6,0 | (200) 15 5,5 | 7,0 | (200) 38 55,0 | 3 | (200) 39 24,0) 3,2, (200) 52 14,0 4,5 | (300) 17 55,5 | 5,0 | (300) 41 45,0 | 1,5] (300) 42 19,0 | 1,5, (300) 55 9,0

| (400) 20 45,5 | 3,5 | (400) 4% 35,0 | 0,9) (400) 45 14,0) 0,9) (400) 58 4,0

| (500) 23 35,5 | 3,0 | (500) 47 25,5

| (600) 26 25,5 | 2,0 | (600) 50 15,5

| (700) 29 15,5 | 1,5 | (700) 53 5,5 |

| (800) 32 6,0 | 1,2 | (800) 55 55,5 |

44S (52) A. T. KUPFFER.

I. 800 Oscil. in 22° 41/0 bei — 15,00 Il. 800 Oscil. in 22 41,0 bei — 14,90

Mittel 800 Oscil. in 22 41/0 bei — 14,95 1 Oscil. — 170125

HI. 400 Oscil. in 11° 4120 bei + 15,15 IV. 400 Oscil. in 11 41,0 bei + 15,20

Mittel 400 Oscil. in 11° 41/0 bei + 15,18 b. Gewicht nach unten gerichtet : 1000 Oscil. in 9° 22/5 1 Oscil. — 0,56250 WOTAUS : B — 0,0004252

Durch sorgfältig angestellte Beobachtungen über die Dauer von Transversalschwingun- gen, bei verschiedenen Belastungen, fand ich :

In dem Eisenblech M7 1 ... à — 0,000000036012 » » » NM 2 ... 3 — 0,000000033151

Rothes Kupfer.

Stab von gewalztem Kupfer, roh gearbeitet, von 1 Zoll Breite, 1°}, Linien Dicke und 52 Zoll Linge.

Entfernung vom fixen Punct bis zum Schwerpunct des Gewichts 48,6

Gewichtite 1 SUR RETURN ASE RER RE 9,3 a. Gewicht nach oben gerichtet : Temp. Schwingungsdauer. Temp. Schwingungsdauer. + 13,05 15800 (400 Osc.) 2280 175544 (450 Osc.)

b. Gewicht nach unten gerichtet : 1 Oscil. — 0,6535 WoOTaUS : B — 0,00055995 Derselbe Stab mit einem Gewicht von 12,3 Pfund.

a. Das Gewicht nach oben gerichtet :

Einriuss DER WAÂRME AUF

Temp. Schwingungsdauer. — 6,75 32938 (160 Osc.) — 6,70 3,3043 (138 Osc.)

Mittel — 6,725 3/2991

b. Gewicht nach unten gerichtet :

DIE ELASTICITAT. (33) Temp. Schwingungsdauer. + 14,0 375313 3,9250 + 14,0 3:5282

1 Oscil. — 0/7025

WOraUS : — 0,00055394

Zink.

Stab von gewalztem Zink, roh bearbeïtet, 1 Zoll breit, 1", Linien dick.

Entfernung des fixen Punctes vom Mittelpunet des Gewichts 32 Zoll.

a. Gewicht nach oben gerichtet :

449

Die Schwingungsbôgen nehmen sehr rasch ab, so dass die nachstehenden Werthe keine

grosse Genauigkeit haben konnten.

Temp. Schwingungsdauer.

— 12,3 1/0600 (200 Osc.) — 12,3 1,0600 (100 Osc.) Mittel — 12,3 110600

b. Gewicht nach unten gerichtet :

Temp. Schwingungsdauer. + 13,6 10800 + 13,9 1,0850 + 13,9 1,0780 + 13,9 1,0750 + 13,8 170785

1 Oscil. 05110

WOTAUS : 8 — 0,00064%4

Gold.

Ein Stab von reinem Golde (so rein als man es aus der Münze haben kann), von beiläufig

45°/, Zoll Länge, 1 Zoll Breite und 1 Linie Dicke, gab ohne Gewicht folgende Resultate :

Mémoires sc. math. et phys. T. VI.

57

450 (5% À. T. KUPFFER.

1,9 101

— 159,3 + 159,3 Mon Durchgänge. | ms Durchgänge. 16,0) (0) 339/0 17,0! (0) 0'35/0 Umgekehrt 13,0 | (50) 5 22,5 13,0! (50) 223,0 | 4 Ge, — 05905 11,0) (100) 7 6,5 | 9,0 | (100) 4% 11,0 9,0! (150) 8 50,5 | 7,0/(150) 5 58,5 | Woraus: 7,0 (200) 10 54,5 | 5,0! (200) 7 46,5 8 — 0,0003937 5,5 | (250) 12 18,5 | 4,0 (250) 9 4,5 4,5 | (300) 14 92,5 | 3,1 | (300) 11 22,0 | Der Werth von 5 ist 4,0 | (350) 15 46,0 | 2,5 | (350) 13 10,0 lbei Gold our um ein 3,0 | (400) 17 30,0 | 2,0 | (400) 14 58,0 |Weniges grôsser als bei 2,5 | (450) 19 14,0 | 1,4 | (450) 16 45,5 |[Silber. 2,0 | (500) 20 53,5 | 1,0 | (500) 18 33,5 ) ) )

( ( 1,8 | (550 ( (

1 Osc. — 2,0769 Blei.

Stab von gewalztem Blei, von 40 Zoll Länge, { Zoll Breite und 0,11 Dicke:

ohne Gewicht.

a. Das frei schwingende Ende befindet sich oberhalb des fixen Punctes.

Temp. Schwingungsdauer. Temp. Schwingungsdauer. + 13,6 1,1500 (40 Osc.) — 8,8 1:0600 (50 Osc.) 1,1300 (50 Osc.) 1,0600 (50 Osc.)

1,1400 (50 Osc.) Mittel 1:1400 1,0600 b. Das frei schwingende Ende befindet sich unterhalb des fixen Punctes. 1 Oseil. — 05100 (200 Osc.)

WoOraus : 8 — 0.003035

Einriuss DER WAÂRME AUF DIE ELASTICITAT. (55) 451

Zusammenstellung der erhaltenen Resultate :

8 Mittel. 8 Mittel. SD un red ae 0,000582 : Englischer Schmiedestahl 0,000320 558 ; 0,000563 » » andere Sorte 256 563/ | | Weicher Gussstahl . ... 256 | Messing ,geschiagenes 0,000460 231 — ER 280 \0,000471 DU P0ES #73 | » » andere Sorte 29 | » gegossenes. . .. 928 Schwed. Schmiedeeisen . 456 523 | Gewalzies Bandeisen . 442 544% 0,000533 | » » andere Suite 463 937 | | Englisches Schmiedeeisen 376 Tafelmessing, {ste Sorte 536 Gewalztes Eisenblech, der » 2te Sorte 476 Breite der Walzung nach PAM Ch... à 0,000201 | ausgeschnitten ...... 353 201 jo. A Dasselbe, der Länge der Spiegelglas........ 0,00012% Walzung nach ausge- 125 }0,0001 29 | échéant Di à 425 Gusseisen (weiches) .0,001840 RUPTURE te 560 1927 :0,001795 | Zink (gewalzt) ....... 644 1618J Bleiligewalzt).1 7 4 0,003035 Stahl, weich. gewalzt. 0, Sr 000348 | Golden nr re 0,000394 51

Einfluss der Femperatur auf die Flasticitat der Metalle bei hôhern Fem- PeErARÉUrEI:

L Bei Transversalschwingungen.

* Die im vorhergehenden Abschnitt enthaltenen Versuche üher den Einfluss der Temperatur auf die Elasticität metallischer Stäbe sind in freier Luft angestellt worden; der Beobachter musste also die Temperaturen nehmen, wie sie waren, und konnte nur bei einem strengen Winter grôssere Temperaturunterschiede erhalten; der Unterschied der hôchsten und niedrig- sten Temperatur betrug gewübnlich nicht viel über 20°R. Obwobl nun die angewandte Beob- achtungsmethode der Art ist, dass sie selbst geringe Einflüsse der Temperatur mit grosser Sicherheit angiebt, und bei allen Versuchen, die an mehreren Temperaturen angestellt worden sind, die Abnahme der Elasticität sich proportional der Zunahme der Wärme gezeigt hat, so wäre es doch, wegen der Kleinheït der Temperaturunterschiede, gewagt, behaupten zu wollen, diese Abnahme der Elasticität sei der Zunahme der Wärme immer genau proportional; um ein solches Gesetz aufstellen zu kônnen, sind Versuche, die bis zu bôhern Temperaturen hinauf-

452 (56) A. T. KUPFFER.

steigen, nothwendig. Da aber die Stäbe frei schwingen müssen, so muss der ganze Raum, im dem die Stäbe schwingen, gleichmässig erhitzt werden, welches seine Schwierigkeiten hat, wie jedem praktischen Physiker bekannt ist. Der Apparat, den ich angewandt habe, um diesen Zweck zu erreichen, ist Tab. III abgebildet, und ein Blick auf diese Figur wird die Einrich- tung desselben leicht errathen lassen.

Fig. 1 und 2 ist ein Hobleylinder von Kupfer, der doppelte Wände hat; es sind zwei Cylinder von dickem Kupferblech, von verschiedenem Durchmesser und gemeinschaftlicher Axe; der Zwischenraum zwischen beiden Wandungen beträgt ungefähr 2 Zoll. Der Zwischen- raum zwischen beiden Cylindern ist oben und unten geschlossen, der innere Cylinder ist eben- falls unten und oben geschlossen, unten durch eine starke Platte von Gusseisen, oben durch einen Deckel g von demselben Kupferblech, mit einer starken Korkholzplatte gefüttert. Der Raum zwischen den beiden Cylindern hängt durch Rôbren a, b mit einem Kessel À Fig. 3 zusammen, in welchem Wasser bis zum Kochen erhitzt wird; die Dämpfe erfüllen alsbald den genannten Zwischenraum, condensiren sich zum Theil, und fliessen als Wasser durch die Rôhre b in das Gefäss d, aus welchem sie von Zeit zu Zeit wieder in den Kessel zurückgegos- sen werden kônnen, wenn es in demselben an Wasser fehlen sollte. Da der innere Raum des innern Cylinders von allen Seiten von der hohlen Wandung nmgeben ist, so wird die Luft in demselben bald, wenigstens nahezu, auf die Temperatur des kochenden Wassers gebracht, und in dieser Temperatur erhalten; der obere Deckel mit einer Fütterung von Korkholz hindert vollkommen, dass die Wärme oben hinausgehe; unter dem untern Verschluss von Guss- eisen lässt man eine Spirituslampe brennen, damit die Temperatur der Luft durch die Berüh- rung mit dem Gusseisen nicht variire. Das Gefäss Fig. 1 ist vermittelst der Schrauben c, c und zweier gabelfôrmiger, in die Wand des Zimmers eingesetzter eiserner Stützen stark befestigt, so dass man den auf der Tafel II Fig. $ abgebildeten Apperat hineinstellen kann, welches theilweise durch die Thüre f und durch den obern Deckel g geschieht. Damit die Thüre f keine Abkühlung des innern Raumes hervorbringen kônne, ist sie ebeufalls, wie der Deckel g, mit einer starken Korkplatte gefüttert. Der Wasserkessel steht in der untern Etage, die Rüh- ren a, b sind durch die Decke der untern Etage (oder durch die Diele der obern) durchgeführt, so dass das Heitzen des Kessels und das Kochen des Wassers keine Stôrung in den Beobach- tunsen hervorbringen kann.

Um das am obern Ende des zu untersuchenden Stabes befestigte Gewicht {siehe Tafel IT) und den Stab selbst von Aussen sehen zu kônnen, hat die Wand des Cylinders an drei Stellen, io k&, k, k (Tafel III Fig. 3) runde Ocffaungen, deren jede von zwei runden parallelen Spiegel- gläsern verschlossen wird. Durch diese Gläser sieht man nicht nur die Theilung, die am oben angeklemmten Gewicht befestigt ist (siche Fig. 2 Taf. 11), sondern man kann auch die drei Thermometer ablesen, die im Innern des Cylinders aufgehängt sind und welche die Tempera- tur der Luft im Cylinder angeben. Sobald man den Apparat Fig. 3 Taf. II in den Cylinder gestellt hat (versteht sich fällt dabei der hôülzerne Dreifuss in Fig. 2 weg, der dazu diente, den

Einriuss DER WÂRME AUF DIE ELASTICITÂAT. (37) 453

oscillirenden Stab vor den im erkalteten Raum statifindenden Luftzügen zu bewahren), giebt man dem Stabe erst vermittelst der Fussschraube und des Fernrohrs des tragbaren Passage- instruments (siehe oben die Beschreibung der bei niedern Temperaturen angestellten Beobach- tungen) eine senkrechte Stellung, und beobachtet die Dauer einer môglichst grossen Anzah] von Schwingungen, erst bei der gewôhnlichen Temperatur des Zimmers, dann bei der Tempe- ratur des kochenden Wassers (oder nahezu) und auch wobhl nach Erkaltung des Apparats noch- mals bei der gewühnlichen Temperatur. Die Berechnung der Beobachtungen geschieht auf die- selbe Weise, wie bei der niedern Temperatur.

Messing.

Messingstab MF 6. Hartgezogenes englisches Tafelmessing. A. Gewicht nach oben.

a. Bei gewühnlicher Temperatur :

Temp. 14,0. Temp. 14,0. ra Durchgänge. Differenz. Fo Durchgänge. Differenz. 45,0! (0) 043175 6,5 | (300) 1* 21475 |1°16,0 40,0! (20) 44 33.0 11°155 | 6,0! (320) 3 30,0 | 15,5 35,0| (40) 45 49,0 | 16,0 | 5,5! (340) 4 45,5 | 15,5 30,0! (60) 47 5,0 | 16,0 | 5,0 (360) 6 1,5 | 16,0 25,0! (80) 48 20,5 | 15,5 | 4,5 (380) 7 17,0 | 15,5 20,0 | (100) 49 36,5 | 16,0 | 4,0 (400) 8 33,0 | 16,0 18,0 (120) 50 52,5 | 16,0 | 3,8. (420) 9 48,5 | 15,5 16,0 (140) 52 8,0 | 15,5 | 3,5 (440) 11 4,5 | 16,0 14,0 (160) 53 24,0 | 16,0 | 3,0 (460) 12 20,0 | 15,5 12,0 (180) 54 39,5 | 15,0 | 2,8 | (480) 13 35,5 | 15,5 11,0 (200) 55 55,5 | 16,0 | 2,8 (500) 14 51,5 | 16,0 10,0 (220) 57 11,0 | 15,5 | 2,5 | (520) 16 17,0 | 15,5 9,0 (240) 58 27,0 | 16,0 | 2,2 (540) 17 23,0 | 16,0 8,0 (260) 59 43,0 | 16,0 | 2,0 | (560) 18 38,5 | 15,5 7,0 (280) 1 0 58,5 | 15,5 | + 14,1 also 560 Oscil. in 35° 21/0

1 Oscil. — 3,7875

454 (38)

A. T. K

b. Bei hôüherer Temperatur :

UPFFER.

Mittl. Temp. 75,9. Temp. 76,7. du | Durchgänge. His Durchgänge. 30 (0) 630,0 |35 (0) 16° 12/5

— | (20) 812,0 |20 | (20) 17 56,0 — | (40) 9545 | — | (40) 19 40,0 4,0! (60) 11 37,5 | — | (60) 21 24,5 3,0| (80) 13 20,5 | 2,5] (80) 23 9,0

80 Oscil. in 6° 50/5 1 Oscil. — 571313

80 Oscil. in 6” 56/5 1 Oscil. — 52063

c. Bei gewôbnlicher Temperatur :

Temp. + 13°,5.

22 (0) 436,5 (240) 19°40,5 (20) 5 52,0 (260) 20 55,5 (40) 7 7,0 (280) 22 11,0 (60) 8 22,5 (300) 23 26,5 (80) 9 38,0 (320) 24 41,5 12,5 | (100) 10 53,0 (340) 25 57,0 (120) 12 8,5 | 3,5 | (360) 27 12,0 (140) 13 24,0 (380) 28 27,5 (160) 14 39,0 | 3,0 | (400) 29 42,5 (180) 15 54,5 (420) 30 58,0 (200) 17 10,0 (440) 32 13,5 7,0 | (220) 18 25,0 | 2,2 | (460) 33 28,5 Temp. 13°.4

460 Oscil. in 28 52/0 1 Oscil. — 3/6635

B. Gewicht nach unten. 2000 Oscil. in 22’ 14/0 4 Oscil. — 06670

Man findet hieraus : 8 — 0,000500%4%

EinFiuss DER WARME AUF DIE ELASTICITAT. *59) #59

In niedrigen Temperaturen haben wir 8 — 0,00047566

gefuoden; der Einfluss der Temperatur auf die Elasticität pimmt also mit der Temperatur zu. Auch hier bemerkt man wieder, dass die Schwingungsweiten in der hôhern Temperatur viel

schneller abnehmen, als in der niedrigern.

Messingstab 4! 1. Geschlagenes Messing.

A. Gewicht nach oben.

a. In gewéholicher Temperatur :

Temp. + 14,5.

À et Durchgänge. Fes Durchgänge. 20 (0) 8° 45 | 5 | (600) 261375 15 | (100) 11 6,0 4 | (700) 29 15,0 12 | (200) 14 7,5 | 3,5 | (800) 32 16,5

9 | (300) 17 9,0 | 3,0 | (900) 35 17,5 7 | (400) 20 10,5 | 2,5 (1000) 38 19,0 6 | (500) 23 12,0 | 2,0 (1100) 41 20,5

Temp. + 14,5 1100 Oscil. in 33° 16,0 1 Oscil. — 1/8146

b. In erhôbter Temperatur :

Temp. + 80,0 28 (0) 36°55,0 (400) 49 5070 (100) 40 9,0 (500) 53 4,0 (200) 43 22,5 (600) 56 18, “ (300) 46 36,5 (700) 59 32,

700 Oscil. in 22° 37/0 1 Oscil. — 1,9386

c. In gewôholicher Temperatur :

456 (60) A. T. KUEFFER.

At Durchgänge. re | Durchgänge.

5,0 | (600) 37 34/0 16 | (100) 22 26,5 | 4,0 | (700) 40 35,5 12 | (200) 25 28,0 | 3,5 | (800) 43 37,0 10 | (300) 28 29,5 : : (900) 46 38,5 7,5 | (400) 31 31,0 | 2,2 (1000) 49 40,0 6,0 | (500) 34 32,5

1000 Oscil. in 30° 14,5 1 Oscil. — 1/8145

B. Gewicht nach unten. 2000 Oscil. in 21° 7,0 1 Oscil. — 06335 WOTaUS : 8 — 0,0004764% d. h. wieder grüsser als in niedriger Temperatur, für welche wir oben

B — 0,0004596

gefunden haben. Messingstab # 2. Gegossenes Messing, weiches. A. Gewicht nach oben. a. In gewôhnlicher Temperatur :

Temp. + 14°,1.

35 (0) 0'56/5

20 |. (50) 3 52,5

13 | (100) 6 49,5

9 | (150) 9 46,0 | 350 Oscil. in 20° 23/5 6 | (200) 12 42.0 | 4 Oscil. — 3/4957 5 | (250) 15 38,0

3,5 | (300) 18 34,5

2,5 | (350) 21 20,0

b. Bei erhôühter Temperatur : Temp. + 79°,1. 30 (0) 5°31,0 | 490 Oscil. in 8° 6/5 6) (50) 9 34,0 ju 1,5 (100) 13 375 4 Oscil. — 4,8650

EinFriuss DER WÂRME AUF DIE ÉLASTICITAT. (61) 457

B. Das Gewicht nach unten. 2000 Oscil. in 21° 43'0 1 Oscil. — 06515 WOraus : — 0,0005258

Derselbe Stab gab für die niedrige Temperatur — 0,0005255,

d. h. genau dasselbe, woraus folgt, dass der Einfluss der Temperatur auf die Elasticität bei weichem gegossenen Messing nicht mit der Temperatur zunimmt.

Um zu beweisen, dass die eben entdeckten Unterschiede im Verbalten des harten und wei- chen Messings gegen die Temperatur im Zustande des Messings ihren Grund haben, und nicht etwa in der Mischung, liess ich eine Stange von gegossenem Messing in drei Stücke zersägen,

von welchen das eine (MS 7)

so blieb, wie es war, und nur behobelt wurde, um eine regel- mässige Form zu erhalten; das zweite (MF 8) stark gehämmert und dann behobelt; das dritte (A 9) stark gewalzt und dann ebenfalls behobelt wurde. Diese drei Stücke zeigten eine sehr verschiedene Härte und ein verschiedenes specifisches Gewicht; auch waren ihre Elasticitäts-

Coefficienten sebr verschieden. Ich fand nämhch :

Für MF 7..,Spec. Gew. — 8,309 (auf Wasser 13°", R. bezogen) Ô — 0,000000062095 DRASS .Spec. Gew. — 8,604 à — 0,000000054643 » AW 9...Spec. Gew. — 8,575 — 0,000000057088

Diese drei Stäbe verhalten sich in Bezug auf den Einiluss der Temperatur auf die Elasti- cität, wie folgt : | Messing JS 7. Gegossen, weich.

A. Das Gewicht nach oben.

a. Bei gewôhnlicher Temperatur :

Er 1 14,6 re Durchgänge. nue Durchgänge. SN ETES Un TR ne taf! 14,0 0) 5° 555 | 3 | (400) 15°47,5 600 Oscil. in 16 3,0

6 | (200) 10 26,5 | 1,4| (600) 21 8,5 % | (300)13 7,0

Mémoires sc. math. et phys. T. VI. 58

(0)

9 | (100) 7 46,0 | 2 | (500) 18 28,0 | 1 Oscil. — 16050 ) )

458 (62) A. T. KUPFFER.

b. In hôüherer Temperatur :

Temp. + 79,0. pa Durchgänge. PO OR ER RE REP) 13 (0) 2’59/0 | 400 Oscil. in 11° 175 fl (100) 5 8,0 S À ñ (200) 7 57,5 1 Oscil. — 1,6925 3,9 | (300) 10 47,0 1,5 | (400) 13 36,0 Wiederholt : Temp. 79°,5. 19 (0) 447,0 | girl (100) 7 36,0 , 6,5 (200) 10 25,5 500 Oscil. in 14 7/0 4 | (300) 13 15,0 | 1 Oscil. — 1/6940 2,5 | (400) 16 4,5 1,5 | (500) 18 54,0

e. Bei gewôhnlicher Temperatur :

Temp. 14,5. (0) 11° 6,0. 100) 13 46,5

200) 16 27,0 30019 7,5 | 700 Oscil. in 18° 43,0

( ( ( (#00) 21 48,0 | 1 Oscil. — 16033 (500) 24 28,5 (600) 27 9,0

(700) 29 49,0

ND © & © © Co

B. Das Gewicht nach unten. 2000 Oscil. in 21° 32/0 1 Oscil. — 06460 Woraus : 8 — 0,0005396

EinFLuss DER WARME AUF DIE ÉLASTICITAT. (63) Messingstab A7 8. Stark gehämmert. A. Das Gewicht nach oben.

a. Bei gewôbhnlicher Temperatur :

Temp. + 14,8.

Halbe

Ampl. Durchgänge. 12 (0) ‘345

8 | (50)11 1,5 | 300 Oscil. in 14° 40/0 H) (100) + 28,5 ,

3,5 | (150) 15 55,0 1 Oscil. — 29333 2,5 | (200) 18 21,5

2,0 | (250) 20 48,0

1,2 | (300) 23 14,5

Eine zweite Beobachtung gab genau dasselbe.

b. Bei erhühter Temperatur :

Temp. 79,5. 53120 8 22,5 | 150 Oscil. in 8° 35/0

A4

13 (0 MON

) 0) 2, “ (100) 11 14,0 | 4 Oscil. — 3/4333 1,2! (150)14 6,0

Als ich die Beobachtung wiederholte, machte der Stab 150 Oscil. in 8° 37,0 also : 1 Oscil. — 34467

c. Bei gewühulicher Temperatur :

Temp. + 15,4. 14 (0) 25’57,0 9,5 | (50) 28 24,0 6,5 | (100) 30 51,0 | 399 Oscil. in 14! 415 4,5 | (150) 33 18,0 | (200) 35 45,0 | 1 Oscil. = 2/9383 2,5 | (250) 38 11,5 1,5 | (300) 40 38,5

459

460 (64) A. T. KUPFFER. B. Das Gewicht nach unten: 1200 Oscil. in 13° 46/0 1 Oscil. — 0,6883 Hieraus findet man : B — 0,0004716

Messingstab 4 9.

A. Das Gewicht nach oben.

a. Bei gewôhnlicher Temperatur :

Temp. + 15,3.

on * Durchgänge. 16,0 (0) 1°36%5 | 200 Oscil. in 10° 59/5 8,5| (50) # 22,0 ”

— 32 1,5 | (400) 7 7,0 1 Oscil. 3,2975 2,5| (150) 9 51,5 1,6 | (200) 12 36,0 |

b. In hôherer Temperatur :

Temp. + 78,7.

# | (0) 21100 | 490 Oscil. in 6’ 48/0 3 | (50) 24 340 | FES 1 | (100) 27 58,0 | 1 Oscil. = 40800

B. Das Gewicht nach unten.

1000 Oscil. in 11° 29/0 1 Oscil. — 0/6890 Woraus : — 0,0004855

Man sieht also, dass der Einfluss der Temperatur auf die Elasticität des weichen gegos- senen Messings allerdings grôsser ist als beim gehämmerten und gewalzien harten Messing. Wir werden weiterhin eine Bestätigung dieser Thatsachen finden bei einem Messingdrath, der vor und nachdem er durchgeglüht worden, untersucht wurde; auch bei diesem war der Eim- fluss der Temperatur auf die Elasticität nach dem Glühen grôsser, als vor demselben.

Einriuss DER WARME AUF DIE ELASTICITAT. Eïsen.

Eisenstab M 11. Schwedisches Schmiedeeisen. Spec. Gew. 7,791.

A. Das Gewicht nach oben.

a. In der gewôhnlichen Temperatur :

Temp. + 14,6.

ed | Durchgänge. 25 (0) 333,0 16 (100) 6 18,0 10 200) 9 3,0 | 800 Oscil. in 21 59/0 7,9 300) 11 48,0 : Le Î —l 8 5,5 | (400) 14 33,0 Fe ii 4,0 | (500) 17 18,0 | 3,0 | (600) 20 3,0 2,0 | (700) 22 47,5 | 1,5 | (800) 25 32,0

b. In der erhôhten Temperatur :

Temp. + 77,8. 25 (0) 257,5 14 100) 5 49,0 4,5 | (300) 11 32,0 1 Oscil. — 1,7150 3,0 | (400) 14 25,5 1,5 | (500) 17 15,0

B. Das Gewicht nach unten. 2000 Oscil. in 21° 3215 1 Oscil. — 06463

WOraus : 8 — 0,0003809

462 (66) A. T. KUPFFER. Eisenstab # 13. Englisches gewalztes Bandeisen. Spec. Gew. 7,647.

A. Das Gewicht nach oben.

a. In der gewühnlichen Temperatur :

Temp. + 15,5. Re Durchgänge. 30 | (0)20160 | 15 29 492,5 500 Oscil. in 12 1155

(100 7,5] (200)25 9,0! 1 Oscil. — 1/4630 4,5 | (300) 27 35,0 (

2,5 | (400) 30 1,5 1,5 | (500) 32 27,5

b. In hôherer Temperatur : + 79,1.

30 | (0)3# 5/0

16 | (100) 36 37,5

0 200) M0 'ecdosL oME 1 0 no NS 00 42,0 | ï 4,0. (400 14,5. 1 Oscil. — 1,5233

2,5 (500 46,5 | 1,5. (600) 49 19,0 |

B. Das Gewichnt nach unten. 1000 Oscil. in 10° 385 1 Oscil. — 0,6385 Woraus: B — 0,0004884.

Die Elasticität des dichten Eisens, wie die des dichter Messings, ändert sich also weniger durch den Einfluss der Wärme, als die Elasticität der weniger dichten Sorten. Für die niedrigen Temperaturen wurde der Werth von

8 — 0,0004625

gefunden; der Einfluss der Temperatur nimmt also beim Eisen ein wenig mit der Temperatur zu.

Ernriuss DER WAÂRME AUF DIE ELASTICITAT. (67) 463

Gusseisen #3. Sehr weich.

a. Das Gewicht nach oben gerichtet :

50 Oscillationen in 1° 2475 1 Oscil. — 1,690

40 Oscillationen in 1” 875 LOS: = D bei 147,5

Mittel... 1,700 b. In hôherer Temperatur :

20 Oscillationen in 43,5 1 Oscil, — 2,175

30 Oscillationen in 65/0 Oct on bei 76,5

Mittel... 2,171

c. Umgekehrt das Gewicht nach unten : 1 Oscil. — 0,6375 WOTAUS : 8 — 0,001880

Für niedrige Temperaturen, war :

8 — 0,001618 Drath von rothem Kupfer .# 1.

a. Das Gewicht nach oben gerichtet :

Temp. Schwingungsdauer. Temp. Schwingungsdauer. + 13,2 0/89525 (1000 Osc.) + 78,2 0/91540 (700 Osc.)

b. Das Gewicht nach unten gerichtet : 1 Oscil. — 05505 WOraus : B — 0,0005933

Als der Drath nach der oben angeführten Beobachtung bei 78°,2 wieder erkaltet war, fand sich, dass seine elastische Kraft bedeutend zugenommen hatte, so dass also der Werth von 8 für die zurückgehende Temperatur bedeutend geringer ausfiel.

a. Gewicht nach oben gerichtet :

Temp. Schwingungsdauer. Temp. Schwingungsdauer.

+ 10,8 1/0560 (500 Osc.) + 78,0 1/0860 (500 Osc.) b. Gewicht nach unten gerichtet : 1 Oscil. — 057875 Woraus : — 0,0005422

4G4 (68) A. T. KUPFFER.

IL Bei Torsionsschwingungen.

Wir haben in der Einleitung gesehen, dass die Torsionsschwingungen bei vielen Metal- len, und insbesondere bei den weichen, einen grüssern Werth von à geben, als die Transver- salschwingungen, und diese Verschiedenheit aus einer besondern Eigenschaft zu erklaren ge- sucht, welche darin besteht, dass die kleinsten Theïlchen derselben sich über einander weg- schieben, ohne ihre respective Entfernung zu ändern, so dass also bei der Drehung die Torsionswinkel grôsser werden, als sie der Elasticität des Drathes gemäss werden sollten. Hiernach konnte man vermuthen, dass der Einfluss der Temperatur auf den Werth von ÿ bei Torsionsschwingungen auch ein anderer sein môüchte, als bei den Transversalschwingungen. Es mussten also über deu Einfiuss der Temperatur auf die Dauer der Torsionsschwingungen besondere Versuche angestellt werden, und das ist in Folgendem geschehen :

Der Apparat, der zu diesen Versuchen diente, ist auf der Taf. IV abgebildet. a Fig. 1 ist der Drath, für den der Einfluss der Temperatur auf seine Elasticität bestimmt werden soll, und der an seinem obern Ænde befestigt wird, während das untere Ende eine schwere Scheibe von Messing b, b trägt, die in drehende Schwingung versetzt werden kann. Oberbalb der Scheibe befindet sich ein sehr leichter Reïf ce, auf dessen Umfang eine Kreïistheilung verzeichnet ist. Die- ser Reif wird durch drei Radien d. d, d (siehe Fig. 2 Ansicht von oben) in seiner zirkelférmigen Gestalt erhalten, und vermittelst der drei Schrauben e, e, e an das untere Ende des Draths be- festigt, so dass er mit der schweren Scheibe D, b zugleich schwingt. Dieser Apparat wird in dem Raume des Kupfer-Cylinders Taj. {11 aufgehängt, so dass die auf den Reïf cc aufgetragene Theïlung gerade vor dem untern Fensterchen £ zu stehen kommt. Auf diese Theïlung wird ein Fernrohr mit Fadenkreuz gerichtet und der Theilstrich bemerkt, durch welchenu der verticale Faden des Fernrobrs geht. Hierauf wird die Scheibe d, b in eine drehende Bewegung gesetzt, und die Zeiten der Durchgäünge des angemerkten Theiïlstrichs durch den Verticalfaden des Fern- rohrs beobachtet; man erhält so, ganz wie es schon oben beschrieben worden, nicht nur die Dauer der einzelnen Schwingungen, sondern auch die Schwingungsweiten. |

Es sei « die bei der gewühnlichen Temperatur beobachtete Schwingungsdauer, f die Schwingungsdauer bei erhühter Temperatur, n der Temperaturunterschied, 8° aber die Ab- nahme der Elasticität für die Einheït der elastischea Kraft und für 1° R., so ist

Drath von rothem Kupfer. Durchmesser — 00393.

Vor der Erhitzung 500 Oscillationen in 41° 575 1 Ose. — 4,9310 bei 15°,0 Nach der Erhitzuug 500 » » 40 48,5 1 Ose. — 4,8970 bei 14°,0

Mittel 4,9140 bei 14°,5 In einer Temperatur von 79°,5; 150 Oseil. in 12° 37,5: 1 Oseil. — 5,0500; WOTAUS : 8 — 0,0008634

ErnFiuss DER WAÂRME AUF DIE ELASTICITAT. (69) 465

Stahldrath 4 6. (Beste Wiener Klaviersaite.) Durchmesser 10,45 — 0,04114 Zoll.

a. In gewôühnlicher Temperatur : Temp. + 15,0. Ganze

Ampl. Grade.

Ganze Ampl. Durchgänge. Durchgänge.

Grade.

eu (0) 6’21,0 | 31 | (300)

125 | (50) 10 45,0 (350)

93 | (100) 15 9,0 | 16 | (400) 41 27,0 70 | (150) 19 32,0 (450)

55 | (200) 23 55,5 (500) 41 | (250) 28 18,5

500 Oscil. in 43° 5025 1,0scil. — 52610

b. In hôherer Temperatur :

Temp. + 79,0. Temp. + 79,5.

(0) 24560 | .. (0) 04175

73 (50) 29 25,0 | 86 (50) 5 11,0 39 | (100) 33 54,0 | 4% | (100) 9 40,0 20 | (150) 38 21,5 | 2% | (150) 14 8,0 : (200) 42 49,0 | 14 | (200) 18 35,5 8 | (250) 47 16,5 | 9 | (250)23 3,0

250 Osc. in 22 20/0 250 Osc. in 22’ 21/5 1 Osc. — 53600 1 Osc. — 5,3660 Mittel 1 Oscil. — 5,363.

c. Wieder bei gewôhnlicher Temperatur :

Temp. + 15,0. 136 (0) 13°16/0 (250) 35 15,0 134 (50) 17 40,5 | 29 | (300) 39 38,0 JON OO) 228500). 11350)... 0 19 | HSO0) EE. 18 | (400) 48 23,5 54 | (200) 30 52,5 | 15 | (450) 52 46,5

450 Osc. in 39° 30/5

1 Oscil. — 52678 59

Mémoires sc. math. et phys. T. VI.

466G (70) A. T. KUPFFER

Man sieht, dass die Schwingungszeit mit den Schwingungsweiten sehr abnimmt; der Werth des Coefficienten k (siehe die Einleitung) kann also nicht unbedeutend sein. Nimmt man das Mittel aus den beiden Beobachtungen je 2 und 2, so findet man:

8 — 0,0005885.

Keine einzige der Stahlsorten, die in niedern oder hôhern Temperaturen untersucht wurden, mit Anwendung der auf Transversalschwingungen beruhenden Methode, hat einen so grossen Werth von B gegeben; es muss also eine ganz besonders weiche Sorte sein, was sie eben zu Klaviersaiten so geschickt macht.

Der Stahldrath M 4, der einen so kleinen Werth von & gegeben hat, war leider zu dick um äbnlichen Versuchen unterworfen werden zu kônnen, man hätte ihn denn sehr lang nehmen müssen, wozu die Hôhe des Erwärmungsapparats nicht ausgereicht hätte.

Messingdrath, sehr weicher; Durchmesser — 2 15.

a. In gewôhnlicher Temperatur :

Temp. + 15,5.

Halbe Ampl. Grade.

(0) 5°16:5 | 24 | (300) 151455 53 | (100) 8 36/0 | 19 | (400) 18 33,5 (200) 11 55,5 | .. | (500) 21 52,0

500 Oscil. in 16° 35/5

1 Oscil. — 1/991.

Halbe Ampl. Grade.

Durchgänge. Durchgänge.

b. In hôherer Temperatur :

Temp. + 79,5. (0) 19°45/0 (300) 29550 (100) 23 8,0 (400) 33 19,0 (200) 26 31,5 (500) 36 42,5

500 Oscil. in 16° 57,5 1 Oscil. — 2,0350 ce. Nach der Abkühlung, bei + 15,5, genau dasselbe wie oben.

Aus diesen Beobachtungen findet man :

8 — 0,0006982

EinFLiuss DER WAÂRME AUF DIE ELASTICITAT. (71) 467

mm Messingdrath, sehr harter; Durchmesser — 1 50.

a. Bei gewôhnlicher Temperatur :

Temp. + 15,8. Halbe Halbe Ampl. | Durchgänge. Ampl. Durchgänge. Grade. Grade. (0) 01070 | 48 | (450) 30°25,0 (50) 3 32,0 | 43 | (500) 33 46,5 (100) 6 54,0 | 38 | (550) 37 8,0 .. | (150) 10 15,5 | 34 | (600) 40 29,5 84 | (200) 13 37,0 | 32 | (650) 43 51,0 72 | (250) 16 58,5 | 29 | (700) 47 12,0 65 | (300) 20 20,0 | 27 | (750) 50 34,0 58 | (350) 23 41,5 | 2% | (800) 53 55,0 53 | (400) 27 3,5 (850) 57 16,5 Temp. + 16,0.

850 Oscil. in 57° 6,5 1 Oscil. — 40312

b. In hôherer Temperatur :

Temp. + 78,5. (0) 217,0 | 45 | (400) 293175 .. | (50).5 41,0, | 40 | (450) 32 55,5 100 | (100) 9 5,5 | 35 | (500) 36 20,0 88 | (150) 12 30,0 | 32 | (550) 39 44,5 75 | (200) 15 54,5 | 29 | (600) 43 8,5 66 | (250) 19 15,5 | 26 | (650) 46 32,5 58 | (300) 22 42,5 | 24 | (700) 49 56,5 50 | (350) 26 7,0 Temp. + 79,5.

700 Oscil. in 47° 3925 1 Oscil. — 4,0850 WOTaus : 8 — 0,0004258

468 (72) A. T. KUPFFER.

Mau sieht, dass für die weiche Messingsorte der Werth von $ viel grüsser ist, als für die harte, und dass das für den weichen Messingdrath durch Torsionsschwingungen gefundene Re- sultat viel grôsser ist, als das für dieselbe Sorte durch Transversalschwingungen gefundene.

Der harte Messingdrath wurde, ohne aus den Klemmungen herausgenommen zu werden, vermittelst einer Spirituslampe geglüht. Nach dem Erkalten gab er folgende Resultate :

a. In gewübnlicher Temperatur :

Temp. + 16,0.

Halbe Halbe | Ampl. Durchgänge. Ampl. Durchgänge. Grade. Grade.

(0) 841,5 | 55 | (200) 21 29,0

(50) 11 53,0 | 52 | (250) 24 41,0 64 | (100)15 5,0 | 48 | (300) 27 52,5 150)

300 Oscil. in 19° 11/0

1 Oscil. — 3,837 b. lu hôherer Temperatur :

Temp. + 79,0.

(0) 0°4075 | 46 | (450) 29° 53/0 (50) 3 55,0 | 44 | (500) 33 8,0 .. | (100) 7 9,5 | #1 | (550) 36 22,5 68 | (150) 10 24,0 | 58 | (600) 39 37,5 63 | (200) 13 39,0 | 35 | (650) 42 52,5 60 | (250) 16 54,0 | 34 | (700) 46 7,0 .. | (300) 20 9,0 | 32 | (750) 49 22,0 52 | (350) 23 23,5 | 30 | (800) 52 36,5 48 | (400) 26 38,0 Temp. + 79,5 800 Oscil. in 51° 56,0 1 Oscil. — 3,895 WOTraus : B — 0,0004861

Der Werth von 8 hat also durch das Glühen, wobei der Messing weicher ward, zugenom-

men, wenn er auch immer noch hinter dem für den ganz weichen Messingdrath gefundenen .

Werth zurückgeblieben. Merkwürdig ist noch, dass die elastische Kraft des Drathes durch das Glühen zugenommen hat, worüber wir weiterhin noch einige Versuche anführen werden.

1 L k. À

EIiNFLUss DER WARME AUF DIE ÉLASTICITAT. 3) 469

Beobachtungen über den Einfluss voriübergehender Temperatur- erhühungen auf die Elasticität der Metallstäbe.

Es bleibt uns noch zu untersuchen übrig, ob vorübergehende Temperaturerhühungen ei- nen Einfluss auf den Werth des Elasticitätscoeflicienten ausüben. Wir haben in dem Vorher- gehenden gesehen, dass der Einfluss der Temperatur auf den Elasticitätscoefficienten sebr ver- schieden sein kann je nach dem Agregatzustande des Metalls, je nachdem es unmittelbar aus dem Guss kommt, oder gehämmert, gewalzt, oder gehärtet wurde. Da die Wärme den Agre- gatzustand des gehämmerten, oder gewalzten, oder gehärteten Metalls bleibend ändert, so ist zu vermuthen, dass der Elasticitätscoefficient sich ebenfalls durch vorübergehende Temperatur- änderung bleibend ändert.

Um dieses mit grosser Schärfe zu ermitteln, wurde wieder dieselbe Methode angewandt, oämlich Beobachtung der Dauer der Transversalschwingungen von Metallstäben, die man in senkrechter Stellung au ihrem untern Ende eingeklemmt und an ihrem obern mit einem Ge- wicht beschwert hatte.

Platina.

Die Versuche wurden mit demselben Platinastab, der zu den Versuchen pag. 437 (#1) gedient hatte, gemacht. Er wurde bis auf ‘/, Linie an derselben Stelle eingeklemmt, wo er bei dem angeführten mitgetheilten Versuche eingeklemmt war.

In dieser Stellung, das freie Ende nach oben gerichtet, machte er 2000 Oscillationen in 12° 43/0, oder 1 Oscil. in 0/38150; war aber das freie Ende nach unten gerichtet, so machte er dieselbe Anzahl von Osillationen in 11° 1/5 oder 1 Oscil, in 0733075.

Mit dem Gewichte 4 8 gab er folgende Resultate :

a. Gewicht nach oben gerichtet :

Temp. + 14,7.

Elon- Elon-

gation. Durchgänge. gation. Durchgänge. 21,0 (0) 29° 5,5 | 2,5 | (250) 36° 54,5 11,0] (50) 30 39,5 | 2,0 | (300) 38 28,5 7,0 | (100) 32 13,5 | 1,5 | (350) 40 2,0 5,0 | (150) 33 47,5 | 1,0 | (400) 41 35,5

3,8 | (200) 35 21,0 1 Oscil. — 18750 b. Gewicht nach unten gerichtet : 2000 Oscil. in 22° 21/0 1 Oscil. — 06705.

470 (74) A. T. KUPFFER. Mit dem Gewicht #°5 endlich : a. Gewicht nach oben télé 1 Oscil. — 8,3258 (36 Oscil., b. Gewicht nach unten gerichtet: 1 Oscil. — 071775 (2000 Oscil.).

Nun wurde der Stab, ohne ibn aus seiner Klemmung herauszunehmen, der ganzen Länge oach mit einer Berzelius’schen Spirituslampe erhitzt, indem man die Lampe allmälig von ei- nem Ende zum andern fortschob; dabei kam der Stab indessen nicht bis zum Glütene

Nach vülligem Erkalten gab er folgende Schwingungsdauer :

Obne Gewicht, das freie Ende nach oben gerichtet : 1 Oscil. — 0,3800 (2000 Oscil.).

Mit dem Gewicht #7 8, das Gewicht nach oben gerichtet :

en Durchgänge. Sation Durchgänge.

Elon- |

0e

1 Oscil. — 1,8427. Mit dem Gewicht 4 5:

15,0! (0) 42445 | 2,8] (80) 511275 9,0 | (20) 44 52,0 | 1,8 | (100) 53 19,0 5,5| (40) 46 59,5 | 0,4 | (120) 55 24,5 3,0] (60) 49 6,0 | 0,8| (140) 57 31,0

1 Oscil. — 6/3320.

Man sieht, dass die elastische Kraft des Stabes bedeutend zugenommen hat, d. h. dass der Werth von à kleiner geworden ist. Dapei hatte die ganze Fiie: des Stabes um 0,005 abge- nommen.

Einriuss DER WARME AUF DIE EÉLASTICITAT. 3) 471

Derselbe Platinastab wurde, nachdem er stark ausgeglüht worden war, zwischen zwei Cyliodern von polirtem Stahl durchgelassen, so dass er mit einem Male um de dünner und um !, Jänger wurde; die Breite des Stabes hatte nur sehr wenig, kaum um /, Linie zugenommen ; er hatte vor dem Walzen eine Totallänge von 55,8 gehabt; nach dem Walzen war er 71,8 lang; er war vor dem Walzen 0,193 ‘dick gewesen: nach dem Walzen hatte er eine Dicke von 0,140. Um erfahren zu küunen, ob der Eiofluss der Erwärmung eine Aenderung in der Länge des Stabes hervorbringt, wurden zwei feine Querstriche auf demselben gezogen, deren Entfer- nung — 950,665 war.

Am untern Ende festgeklemmt, gab der Stab folgeude Schwingungsdauer :

a. Ohne Gewicht am freien obern Ende :

Elon- F Elon-

gation. Durchgänge. gation. Durchgänge

39,0 (0) 35° 3/0 | 2,8 | (500) 491875 17,0 | (100) 37 54,5 | 1,8 | (600) 52 9,0 10,0 | (200) 40 45,5 | 1,2 | (700) 55 0,0 6,0 | (300) 43 36,5 | 0,8 | (800) 57 50,5 4,0 | (400) 46 27,5

800 Oscil. in 22° 47,5 1 Oscil, — 1,7094. b. Mit dem Gewicht .#° 1 am freien obern Ende : 27,0 (0) 26°135 | 2,0 | (150) 35°57,0 9,0! (50) 29 28,5 | 1,0 | (200) 39 10,5 4,0 | (100) 32 43,0 200 Oscil. in 12° 57/0

1 Oscil. — 3,8850.

Nun wurde der Stab wieder mit einer Berzelius’schen Spirituslampe, mit Schornstein, durchgewärmt, indem die Lampe bei horizontaler Lage der Stange vom geklemmten bis zum freien Ende nach und nach weiïter geschoben wurde; dabei kam es nirgends bis zum Glühen.

Nach dem vülligen Erkalten wieder senkrecht gestellt, mit dem geklemmten Ende nach unten, gab er folgende Resultate :

a. Ohne Gewicht :

472 (T6) Einriuss DER WAÂRME AUF DIE ELASTICITAT.

RE Durchgänge. nr Durchgänge.

35,0 (0) 433,0 | 4,5 | (700) 23505 23,0 | (100) 7 18,5 | 3,8 | (800) 26 35,5 17,0 | (200) 10 4,0 | 3,0 | (900) 29 21,0 12,5 | (300) 12 49,5 | 2,3 (1000) 32 6,0 9,5 | (400) 15 34,5 | 2,0 (1100) 34 51,5 7,5 | (500) 18 20,0 | 1,5 (1200) 37 36,5 6,0 | (600,21 5,0 | 1,1 (1300) 40 22,0

1300 Oscil. in 35° 49/0 1 Oscil. — 1/6531. b. Mit dem Gewicht 4 1

37,0! (0) 4165 | 4,5 | (350) 24250 23,0| (50) 7 9,5 | 3,5 | (400) 27 17,5 16,5 | (100) 10 2,5 | 2,8 | (450) 30 10,0 12,0 | (150) 12 55,0 | 2,0 | (500) 33 2,5 9,2 | (200) 15 47,5 | 1,8 | (550) 35 55,0 7,0 | (250) 18 40,0 | ...| (600) 38 .. 5,5 | (300) 21 32,5 | 1,1 | (650) 41 40,0

650 Oscil, in 37 23/5 1 Oscil. — 34515.

Die elastische Kraft des Stabes hatte also wieder zugenommen. Derselbe Platinastab, nochmals mit der Berzelius’schen Lampe wie oben der Länge nach von Zoll zu Zoll erhitzt, gab nun nach dem Erkalten :

a. Ohne Gewicht :

37,0! (0) 43325 | 4,5| (800) 26’ 32/0

26,3 | (100) 7 18,5 | 3,5| (900) : 17,0

20,0 | (200) 10 3,5 | 3,0 | (1000) 32 1,5 15,2 | (300) L 48,0 | 2,2 | (1100) : 46,5 ....| (400) 1 1,8 | (1200) 37 31,0 9,0 | (500) t 17,5 | 1,5 (1300) 40 16,0 7,0 (600) 21 2,5 | 1,1] (1400) 43 0,5 6,0 | (700) re 47,5

1400 Oscil. in 38° 27,0 1 Oscil. — 16478.

EinFriuss DER WARME AUF LIE ÊLASTICITAT. (10° 473

b. Mit dem Gewicht 4° 1 :

Elon- Elon-

gation. Durchgänge. gation. Durchgänge. 40,0 (0) 34° 2,0 | 4,1 59 43,5 29,0 | (50) 36 53,5 | 3,5 | (500) 2 34,5 22,0 | (100) 39 45,0 | 2,8 5 2515 17,0 42 36,0 | 2,2) (600) 8 16,5 13,0 | (200) 45 27,5 | 1,8 t117%0 10,3 48 18,5 | 1,5] (700) 13 58,5 8,0 | (300) 51 9,5 | 1,2 16 49,5 6,5. 54 1,0 | 1,0 | (800) 19 40,5 5,2, (400) 56 52,0

800 Oscil. in 45° 38/5 1 Oscil. — 3/4234

Die Elasticität des Stabes hat also wieder um ein Weniges zugenommen. Dabei fand sich die Entfernung der beiden feineu Querstriche um 0,005 geringer.

Ein Platinadrath wurde platt gehämmert und noch mehrere Male durch zwei Cylinder durchgelassen : er hatte 21,32 Länge, 0,220 Breite und 0,37 Dicke. An einem Ende einge- klemmt in einer Entfernung von 19,48 vom freiem Ende, und an diesem Ende mit einem kleinen Gewicht beschwert, gab er folgende Resultate :

20,0 (0) 41°36:5

4,5 | (100) 43 59,0 | 300 Oscil. in 7 5,5 ) )

-..| (200) ...... 1 Oscil. — 1/4183 1,0 | (300) 48 42,0 Wiederholt : 300 Oscil. zwischen der Elongation 18,0 und 1,0 in 7° 50

300 Oscil. zwischen der Elongation 28,0 und 1,0 in 7° 6,0. giebt im Mittel ebenfalls : 1 Oscil. — 174183 Derselbe Drath wurde, ohne herausgenommen zu werden, vermittelst der Berzelius’schen Lampe mit dem Schornstein durchgeglüht (schwach rothglühend), indem man die Lampe von Zoll zu Zoll unter dem Drath, dem man eine horizontale Lage gegeben hatte, fortführte. Er

gab nun folgende Schwingungsdauer : Mémoires 8c. math. et phys. T. VI. 60

47% (78) A. T KUPFFER.

mon | Durchzänge. re Durchgänge. . 40,0 (0) 14 58,5 | 3,5 | (700) 30 38/5 21,0 | (100) 17 12,7 | 2,8 | (800) 32 52,5 14,0 | (200) 19 27,0 | 2,2 | (900) 35 7,0 10,0 | (300) 21 41,5 | 1,8 |(1000) 37 21,0 7,0 | (400) 23 56,0 | 1,4 (1100) 39 35,5 5,5 | (500) 26 10,0 | 1,1 (1200) 41 49,5 4,2 | (600) 23 24,5

1200 Oscil. in 26° 51/0 1 Oscil. — 1,3425 Umgekebrt, mit dem Gewicht nach unten, machte der Drath: 1000 Oscil. in 6° 5725 1 Oscil. — 0/3575 Hieraus folgt, dass die Elasticität des Draths im Verhältniss von 1 :1,01488

zugenommen hat.

Ein Platinadrath von 0,11 Dicke und 17,60 Länge wurde so geklemmt, dass die Länge des schwingenden Theils 16,2 betrug. Mit dem Gewicht 4 6 beschwert, gab er folgende Schwingungsdauer :

Gewicht nach oben gerichtet : 400 Oscil. zwischen 5,0 und 0,5 Elongation in 245,0 also : 1 Oscil. — 06125 Mit der Berzelius'schen Lampe erhitzt (ohne herausgenommen zu werden), ne zum

Schwachglühen in der Nähe des fixen Punktes, bis zum Rothglühen am Ende, gab er:

a. Gewicht nach oben gerichtet :

zwischen 5,0 und 1,5 Elongation 400 Oscil. in 242,5

giebt : 1 Oscil. — 0/6063

EinFriuss DER WARME AUF DIE ÉLASTICITAT.

b. Gewicht nach unten gerichtet : 1000 Oscil. in 33870 1 Oscil. — 03380 Das giebt eine Zunahme im Verbältniss von

1:1,01393

Derselbe Drath wurde nun dünner gezogen bis zu einer Dicke von 0,088.

nun, ohne Gewicht, mit dem fixen Puncte unten: 400 Oscil. in 7° 51/0 1 Oscil. — 11775

wobeï er indess viel elliptische Oscillationen machte.

(79), 475

Er machte

Mit der Berzelius’schen Lampe wie oben erhitzt, ohne herausgenommen zu werden,

machte er nach dem Erkalten 400 Oscil. in 7° 4175

1 Oscil. — 11538

Eine neue Bearbeitung hatte ihm also die Eigenschaft, seine elastische Kraft durch eine

vorübergehende Temperaturerhôühung zu vermehren, wiedergegeben.

Derselbe Drath wurde nun platt gehämmert; er gab folgende Schwingungsdauer :

Mit dem fixen Punct unten :

hopion Durchgänge. gation. 35 (0) 0°16/0 13,0 | (100) 1 55,0 500 Oscil. in 8 575 6,0 | (200) 3 34,0 1 Oscil. — 0/9910 3,9 | (300) 5 13,5 2,0 | (400) 6 52,5 | | | | 1,0 | (500) 8 31,5

Nachdem er, chne herausgenommen zu werden, mit einer kleinen Spirituslampe erhitzt

worden war, wobei es mcht bis zum Glühen kam : 35,0 (0) 21° 755 14,0 | (100) 7,0) (200) 24 22,0 | 600 Oscil. in 9° 425 4,0 | (300) 25 59,0 2,2 | (400) 27 36,0 1 Oscil. — 09708 1,5) (500) 1,0 | (600)

476 (80) A. T. KUPFFER.

Vermittelst der Berzelius’schen Lampe mit dem Schornstein erhitzt, wobeï er stark roth glühte :

Elon-

; Durchgänge. gation. 35,0! (0) 15 37,0 is 12 00) 47 143,0 | 00 Oscil. in 8 1,0

(

( 3,5 | (300) 20 25,5 1,8! 1,0 | (500) 23 33,0

) 100) 6 200) 15 49,5 | 1 Oscil. — 0/9620 ) ) )

Die elastische Kraft des Stabes hat also immer mehr zugenommen, je stärker er erhitzt worden war.

Noch wurden folgende Metalle untersucht :

Rothes Kupfer.

Ein Drath von rothem Kupfer von beiläufig 22 Zoll Länge und 0,04 Dicke wurde so in senkrechter Lage an einem Ende geklemmt, dass das andere freie Ende oben war; er machte

500 Oscil. in 5° 7,5 1 Oscil. — 0,615 Er wurde aun, ohne ihn abzunehmen, mit einer in der Mitte durchbobrten fünfdochtigen Spirituslampe ausgeglüht, indem man mit der Lampe langsam von dem obern freien Ende nach dem untern eingeklemmten herabging; dabei konnte- das untere Ende, bis etwa 3 Zoll hinauf,

nicht ausgeglüht werden, da man die Lampe, des Klemmapparats wegen, nicht soweit herab- bewegen konnte.

Nachdem der so ausgeglünte Drath vollkommen erkaltet, gab er folgende Schwingungs- dauer : :

300 Oscil. in 3° 29/5 1 Oscil. — 0/6983

Die Schwingungsdauer hatte also bedeutend zugenommen, und also auch der ME von 3 ; oder die elastische Kraft des Drathes hatte abgenommen. Ein anderes Stück von demselben Drath gab :

vor der Erwärmung 1000 Oscil. in 3° 25/0 1 Osc. — 0,325

als es aber über einer Spiritusflamme erhitzt worden war, doch nicht bis zum Glühen, so gab es

E:inFiuss DER WARME AUF DIE ELASTICITAT. (81) 477 600 Oscil. in 29975 1 Oscil. — 0,3708

Von demselben Kupferdrath wurde ein anderes Stück eingeklemmt und dessen Schwin- gungsdauer beobachtet: ich erhielt :

1000 Oscil. in 6° 9/25 1 Oscil. — 0/36925

Der Drath wurde nun ganz abgenommen und von einem Ende zum andern durchgeglüht über fünfdochtige Spirituslampen; als er nach dem Glühen wieder mit demselben Ende und an derselben Stelle eingeklemmt worden war, gab er

400 Oscil. in 2° 52/0 1 Oscil. — 0/4310

Bei alle diesen Versuchen hatte sich allerdings der Kupferdrath beim Glühen mit einer zwar dünnen, doch an ibrer fast schwarzen Farbe kenntlichen Oxydschicht bedeckt; doch glaube ich nicht, dass diese Schicht einen merklichen Einfluss auf die Schwingungsdauer bat ausüben kônnen; auch meine ich, dass, wenn so ein Einfluss stattfand, er die Schwingungs- dauer vermindern, aber nicht verinehren müsste.

Ein Drath von rothem Kupfer von 53,0 Länge (vom fixen Punct bis zum freien Ende) und 0,138 Dicke gab mit einem Gewicht von etwa Ÿ, Pfund beschwert :

a, Vor dem Erhitzen, das freie Ende mit dem Gewicht nach oben gerichtet :

Elon- Elon-

gation, Durchgänge. gation. Durchgänge. 40 (0) 43° 175 | 4,0 | (500) 53°33,5 23 |(100)45 8,0 | 2,5 | (600) 55 40,0 14 (200) 47 14,5 | 1,8 | (700) 57 46,0 9 | (300) 49 21,0 | 1,0 | (800) 59 52,0 5,5 | (400) 51 27,5

800 Oscil. — 16° 50/5 1 Oscil. — 1/2631

b. Nachdem er mit der Berzelius’schen Lampe mit dem Schornstein von Zoll zu Zoll so stark als môglich, fast bis zum Glühen, erhitztt worden war, das freie Ende mit dem Gewicht nach oben :

473 (8) À. T. KUPFFER.

AU Durchgänge. 40,0 (0) 7275 | 400 Oscil. in 9° 40/0 9,0 | (100) 9 53,0 v A re OO ie 2,0 | (300) à 43,0 1,0 | (400) 17 7,5

Als der Drath umgekehrt worden, so dass ‘das freie Ende mit dem Gewicht nach un- ten gerichtet war, wurden

1000 Oscil. in 10° 39/0 gemacht, also 1 Oscil. — 0,6390 Man findet daraus, dass die elastische Kraft des Stabes im Verhäliniss von

1: 087802 abgenommen hat.

Ein Stab von gewalztem rothen Kupfer, roh gearbeitet, von beiläufig 48 Zoll Länge (zwischen dem eingeklemmten und freien Ende), 1 Zoll Breite und 1 Lin, Dicke (derselbe, der zu den Versuchen über den Eiofluss einer bleibenden Tbcraticebalne auf die Elasti- cität gedient batte, siehe pag. #48 (52)), gab, mit dem Bleigewicht beschwert, folgende Schwingungsdauer :

Gewicht oben :

iste Beobachtung. 2te Beobachtung. Elon- des Elon- EU gütion. Durchgänge. gation. Durchgänge. 30 (0) 303875 |40 (0) 173575

7 (50) 33 9,5| 9 | (50)20 7,7 3,2 | (100) 35 39,5 | 4 | (100) 22 38,0 1,6] (150) 38 9,0 | 1,8) (150)25 7,5 1,0 | (200) 40 38,0 | 1,0 | (200) 27 36,5

200 Osc. in 599,5 200 Osc. in 60170 1 Osc. — 29975 1 Oscil. — 3/0050 also im Mittei: 1 Oscil. — 30013

Der Stab wurde vermittelst der Berzelius'schen Lampe mit den Schorustein von £oll zu Zoll durchgewärmt, so dass die Lampe auf jeder Stelle 3° lang verweille; es kam nicht bis zum Glühen. Er gab nun folgende Schwingungsdauer :

Erixreuss per WAÂRME AUF DIE ÉLASTICITAT.

—

ji Durchgänge. dore Durchgange. gation. gation.

35 (0) 1°10/0 | 3,0 | (350) 17 34,0 20 (50) 3 31,0 | 2,2 | (400) 19 54,5 13 | (100) 5 52,0 | 2,0 | (450) 22 14,5 9 | (150) 8 12,5 | 1,5 | (500) 24 35,0 6,2 | (200) 10 33,0 | 1,2 | (550) 26 55,0 5,0 | (250) 12 53,5 | 0,9 | (600) 29 15,0 3,6 | (300) 15 13,5

3600 Oscil. in 28° 520 1 Ose. — 2,3083

Die elastische Kraft des Stabes hatte also sehr zugenommen. Der Stab wurde nun nochmals und auf dieselbe Art erhitzt, doch nur von 2 zu 2 Zo)ll,

aber auf jeder Stelle 5° lang. Er gab nun:

40,0 22,0 14,0 10,0 702 6,0 4,9

(0)407,25%5 13,5111(850 (50) 9 44,0 | 3,0 | (40 (100) 12 2,5 | 2,5 | (450 (150) 14 20,5 | 2,0 | (50 (200) 16 38,5 | ...| (550 (250) 18 56,0 | 1,3 | (600 (300) 21 14,0 | 1,0 | (650

650 Oscil. in 29° 52/5 1 Oscil. — 2/7577

23 32/0 25 49,5 28 7,0 30 25,0 SD DR 35 0,5 37 18,0

Die elastische Kraft des Stabes hatte also noch zugenommen. Nun wurde der Stab abermals mit derselben Lampe erhitzt, von jeder Stelle 10° verweilt wurde. Er gab nu folgende Resultate :

40,0 20,0 12,0 7,8 5,5 %,0 3,0

(0) 30385 | 2,5 ( (50) 32 56,5 | 2,0 | (400 (100) 35 14,5 | 1,6 (450 (150) 37 32,5 | 1,3 | (500 (200) 39 50,0 | 1,0 | (550 (250) 42 7,5 | 0,9 | (600 (300) 44 25,0

600 Oscil. in 27 30/0 1 Oscil. — 2,7500

350) 46° 4270

48 59,5 51 16,5 93 34,0 99 91,0 58 8,9

(82) 479

5 zu 9 Zoll, indem an

480 (84) A. T. KUPFFER.

Die elasusche Kraft des Stabes hatte also nur unbedeutend zugenommen. Umgekebrt, mit dem Gewichte unten, machte der Stab :

3000 Oscil. in 34 54,5 1 Oscil. — 06982

Berechnet man hiernach die Zunahme an Kraft, so findet man, dass sie vom ersten Ver- suche, wo die Schwingungsdauer 3001, bis zum letzten, wo sie 27750 betrug, sich im Ver- hältniss von

; 1: 1,02095 vermehrt hatte.

In den vorhergehenden Versuchen war der Stab immer in der Klemme geblieben, so dass der fixe Puuct sich nicht verändern konnte. Nun wurde er aber herausgenommen, in ausge- brannte Steinkohlen eingehäüllt, stark durchgeglüht und nach dem Erkalten wieder eingeklemmt, wobei so viel als müglich darauf gesehen wurde, dass er wieder genau an derselben Stelle ein- geklemmt wurde. Als er aufrecht stehend (die Klemmung unten) mit demselben Gewichte be- schwert wurde, das in den vorhergehenden Versuchen gedient hatte, schlug der Stab um: er war also durch das Glühen zu weich geworden, um noch im Stande zu sein, dasselbe Gewicht zu tragen.

Ein anderer Stab von gewalziem rothen Kupfer, von 44 Zoll Länge (vom fixirten bis zum freien Ende), 0,95 Breite und 0,15 Dicke, gab, mit dem Gewichte 4% 3 beschwert, das freie Eude nach oben gerichtet :

pions Durchgänge. ER

gation. & gation. 40,0 (0) 26° 56,0 | 3,0 | (400) 34 145 16,0 | (100) 28 46,0 | 2,0 | (500) 36 3,5 8,0 | (200) 30 35,5 | 1,2 | (600) 37 53,0 4,2 | (300) 32 25,0

600 Oscil. in 10° 5720 1 Oscil. — 10950

Durchgänge.

Vermittelst der Berzelius’schen Lampe mit Schornstein erhitzt, gab er :

40 [| (0) 836,5 | 4,0 | (600) 19°2670 24 | (100) 10 25,0 | 3,0 | (700) 21 14.0 15 | (200) 12 13,5 | 2,5 | (800) 23 2,0 10,2 | (300) 14 2,5 | 2,0 | (900) 24 50,0 7,5 | (400) 15 50,0 | 1,5 (1000) 26 38,0 5,5 | (500) 17 38,0 | 1,0 |(1100) 28 26,0

EixFriuss DER WARME AUF DIE ELASTICITAT. (85) 481

1100 Oscil. in 19° 4975 1 Oscil. — 10814 Umgekehrt machte der Stab 1000 Oscil. in 9° 2975 1 Oscil. — 05695 Die elastische Kraft desselben hatte also im Verhältniss von

1: 1,01491 zugenommen.

Messing.

Ein Messingstab von 41,492 Länge (vom freien Ende bis zur Klemmung), 0,924 Breite und 0,115 Dicke, mit dem Gewicht M 2, gab aufrecht folgende Schwingungsdauer :

Elon- gation.

Elon-

Durchgänge. gation.

Durchgänge.

39,0 (0) 38° 2/5 | 3,0 | (700) 50545

21,0 | (100) 39 52,7 | 2,5 | (800) 52 44,5 13,0,|.(200) 4143,0.| ...| (9007 . . 9,0 | (300) 43 33,5 1,8 (1000) 56 24,5 6,5 | (400) 45 23,5 | 1,4 (1100) 58 14,5 5,0 | (500) 47 14,0 | 1,1 (1200) 60 4,8 3,0 | (600) 49 4,0

1200 Oscil. in 22’ 2/3 1 Oscil. — 1/1020

Und mit dem Gewicht unten: 1000 Oscil. in 8° 56,0 4 Osdl — 05360

Dieser Stab wurde mit der Berzelius’schen Lampe (mit dem Schornstein) der Länge nach von Zoll zu Zoll durchgehitzt, denu bis zum Glühen kam es nicht, und gab nun folgende Resultate: 40,0 (0) 6°4555 | 5,0 | (1100) 26’ 38/0

31,0 | (100) 8 34,0 | 4,3 | (1200) 28 26,5

....| (200) 10 22,5 | 3,6 | (1300) 30 15,0

20,0 | (300)-12 11,0 | 3,0 | (1400) 32 3,0 16,0 | (400) 13 59,5 | 2,6 | (1500) 33 51,0 14,0 | (500) 15 47,5 | 2,2 | (1600) 35 40,0 11,5 | (600) 17 36,0 | 2,0 | (1700) 37 28, 5 9,5 | (700) 19 24,5 | 1,5 | (1800) à 17,0 8,5 | (800) 21 13,0 | 1,4! ( ) 4 7,0 | (900) 23 1,5 | 1,0 | ( ) 6,0 |(1000) 24 49,5

Mémoires sc. math. et phys. T. VI. 61

1900 2000

5,0 Pass

482 (86)

A. T. KUPFFER.

2000 Oscil. in 36° 8/0

ROsl— Die ersten 1200 Oscillationen wurden in 21°41/0 gemacht, welches 1 Osc. — 1,0842 giebt. Den andern Morgen wurde die Beobachtung wiederholt; die zwischen der Elongation 40,0 und 1,1 enthaltenen 2100 Oscil. wurden in 37’ 56,5 gemacht, welches 1,08#1 giebt. Die Länge des Stabes hatte sich durch das Erhitzen nicht merklich geändert. Die elastische Kraft des Stabes war also nach dem Erhitzen bedeutend grôsser geworden. Setzt man die elastische Kraft des Stabes vor der Erhitzung der Einheit gleich, so war sie nach

der Erhitzung gleich

1,01696.

Ein anderer Stab von gehämmertem Messing, dünner und schmäler als der vorhergehende, wurde am freien Ende mit einem kleinen Gewicht beschwert, und gab folgende Schwingungs-

dauer.

Mit dem freien Ende nach oben gekehrt :

a. Vor dem Frhitzen:

10840

à UE Durchgänge. te Durchgänge. 50,0 (0) 352,5 | 4,0 | (700) 224370 23,0 | (100) 6 34,0 | 3,0 | (800) 25 24,5 17,5 | (200) 915,5 | 2,2 | (900)28 6,0 12,0 | (300) 11 57,0 | 2,0 (1000) 30 47,5 9,0 | (400) 14 38,5 | 1,5 (1100) 33 26,0 7,0 | (500) 17 20,0 | 1,0 (1200) 36 10,5 5,0 | (600) 20 1,5

Zwischen der Elongation 17,0 und 1,0 machte also der Stab 1000 Oscil. in 26° 5520

Woraus : b. Nach dem Erhitzen :

Eine geringe Temperaturerhôhung, bis zum Kochpunet des Wassers, brachte keine Aen- derung hervor, als der Stab aber beinabe bis zum Glühen erhitzt worden war (ohne jedoch her-

1 Oscil. —

176150

ausgenommen worden zu sein), gab er folgende Schwingungsdauer :

25,0 (0) 21°54,5 16,0 24 29,0

4,5

(100) ....| (200) 8,3 | (300)

(400) 5,0 | (500)

4,0 3,0 2,2 1,9

1,9 1,0

(600) 37 2075 (700) 39 54,5 (800) 42 29,0 (900) 45 3,0 (1000) 47 37,0 (eng) 50 11,5

ÉinFriuss DER WAÂRME AUF DIE ELASTICITAT. (8n 483

La

Zwischen der Elongation 16,0 und 1,0 machte also der Stah 1000 Oscil. in 25° 42/5 Woraus : 1 Oscil. — 1,5425 Umgekehrt, d. h. mit dem Gewicht nach unten, machte der Stab 1000 Oscil. in 6 2575 Woraus : 1 Oscil. — 03855

Also auch hier war die elastische Kraft des Stabes nach dem Erhitzen grôsser, und zwar im Verhältniss von

1 : 1,01106

Ein Messingdrath von 0,152 Dicke wurde so emgeklemmt, dass die Länge des schwin- genden Theils 52,9 betrug, und mit einem kleinen Gewichte ("/ Pfund) beschwert. Er gab fol- gende Schwingungsdauer :

Mit dem Gewicht nach oben, vor der Erhitzung :

DH Durchgänge. A Durchgänge. 40 (0) 18°53/5 | 4,1 | (500) 28 7,0 22 | (100) 20 44,0 | 3,0 | (600) 29 58,0 13 | (200) 22 35,0 | 2.0 | (700) 31 48,0 8,8 | (300) 24 25,5 | 1,5 | (800) 33 39,0 6,0 | (400) 26 16,5 | 1,0 | (900) 35 29,5

900 Oscil. in 16° 36/0 1 Oscil. — 1/1067

Vermittelst einer kleinen Spirituslampe erhitzt, wobei es nirgends bis zum Glühen kam :

40,0), (0)18/465 | 4,0 | (600) 29355

25,0 | (100) 20 34,5 | 3,0 | (700) 31 23,5 16,0 | (200) 22 22,5 | 2,2 | (800) 33 11,5 11,0 | (300) 24 11,0 | 1,5 | (900) 35 0,0 8,0 | (400) 25 59,0 | 1,0 (1000) 36 48,0 5,5 | (500) 27 47,5

1000 Oscil. in 18° 125 1 Oscil. — 1/0815

484 (88) A. T. KUPFFER.

Mit der Berzelius'schen Lampe mit dem Schornstein erhitzt, bei jedem Zoll 2° verweilend:

a Durchgänge. un Durchgänge.

40,0 (0) 94570 | 5,2 | (600) 20°54/0

26,0 | (100) 11 36,5 | 4,0 | (700) 22 45,5 17,5 | (200) 13 28,0 | 3,0 | (800) 24 37,0 17,5 | (300) 15 19,5 | 2,5 | (900) 26 28,0 co.el (400) 47 21,504 (1000) 28 19,5 7,0 | (500) 19 2,5

1000 Oscil. in 18° 34/5 1 Oscil. — 11145

Nochmals erhitzt mit derselben Lampe, alle 2 Zoll 5 Minuten verweilend :

30 (0) 4295 | ...| (700) 17/31'5 27 |(100) 6 21,0 | 3,0 | (800) 19 23,0 18 | (200) 8 13,0 | 2,5 | (900) 21 15,0 12,5 | (300) 10 5,0 | 2,0 (1000) 23 6,5 9,0 | (400) 11 56,5 | 1,5 |(1100) 24 58,5 7,0 | (500) 13 48,0 | 1,0 (1200) 26 50,0 5,2 | (600) 15 40,0

1000 Oscil. in 18° 36/0 1 Oscil. — 11166

Nochmals erhitzt mit einer fünfdochtigen Lampe, die in der Mitte durchbohrt war, so dass der Drath in seiner senkrechten Lage bleiben und, durch die Mitte der Lampe durchge- hend, in seiner ganzen Länge erhitzt werden konnte, indem man die Lampe sehr langsam von unten nach oben bewegte”). Die fünf Dochte, deren Flammen rings um den Drath spielen, geben eine sehr grosse Hitze; der Drath wurde an mehreren Stellen sehr weich und bog sich auf die Seite.

30,0! (0) 8185 | 5,0 | (600) 19/33/0 26,0 | (100) 10 11,0 | 4,0 | (700) 21 25,5 17 | (200)12 3,5 | 3 | (800) 23 17,5 12 | (300) 13 56,0 | 2 | (900) 25 10,0 9 | (400) 15 48,0 | 1,5 (1000) 27 2,5 6,5 | (500) 17 41,5 | 1,2 |(1100) 28 54,5

*) Es war eine Lampe, wie man sie gewôühnlich zum Auskochen des Quecksilbers in der Barometerrôhre braucht. Siehe Poggendorf’s Annalen der Physik.

+ Q Qt

EinFLuss DER WAÂRME AUF DIE ELASTICITAT. (89) 1000 Oscil. in 18° 4420 1 Oscil. — 171240 Umgekehrt, mit dem Gewicht nach unten gerichtet, gab derselbe Drath : 600 Oscil. in 6° 0,0 1 Oscil. — 06000

Unterwirft man alle diese Zahlen der Berechnung, und setzt die elastische Kraft des Drathes vor der Erhitzung der Einheit gleich, so findet man folgende Werthe für seine elasti- sche Kraft nach den verschiedenen Arten der Erhitzung, der er unterworfen worden ist:

1) Nach Erhitzung mit der kleinen Spirituslampe : 1,03094

2) Nach Erbhitzung vermittelst der Berzelius’schen Lampe mit dem Schornstein, auf 8 Ï jedem Zoll 2 Minuten verweilend. Der Drath kam an mehreren Stellen zum Glühen :

0,99105

3) Nacbh nochmaliger Erhitzung mit derselben Lampe, alle 2 Zoll 5 Minuten lang ver-

weilend : ‘0,98872

4) Nach Erhitzung mit der fünfdochtigen Lampe der ganzen Länge nach, wobei es bei vielen Stellen zum Glühen kam :

0,9804%1

Die elastische Kraft des Drathes hatte also erst, bei einer Erhitzung, die nicht bis zum Glühen ging, zugenommen, dann aber bei einer Erhitzung, die wenigstens auf vielen Stellen bis zum Glühen gegangen war, abgenommen.

Ein anderer Messingdrath gab : Vor dem Erbitzen, mit dem Gewicht 4° 6, nach oben gerichtet : 900 Oscillationen, durch die Elongation 30 und 1,0 io 15° 7,5 1 Oscil. — 1,0083

Nach dem Erhitzen mit einer kleinen Spirituslampe, von Zoll zu Zoll, auf jeder Stelle 1° lang, zwischen denselben Elongationen :

486 (90) A. T. KUPFFER. 900 Oscil. in 15° 05 1 Oscil. — 10005

Der Drath wurde nochmals von Zoll zu Zoll erhitzt mit derselben kleinen Spirituslampe, aber indèm an jeder Stelle längere Zeit, nämlich 3°, verweilt wurde. Er gab aun:

1000 Oscil. in 16° 37/0 also : 1 Oscil. — 09970

Nun wurde er mit der Berzelius'schen Lampe mit dem Schornstein erhitzt, so dass er bis zum Glühen kam, besonders am freien Ende. Er machte nun:

1000 Oscil. in 17/3970 also : 1 Oscil. — 1,0590

Eine geringe Erwärmung brachte also auch hier eine Erhôhung der elastischen Kraft her- vor, eine bis zur Glühhitze gehende aber eine Verminderung derselben.

Silber.

Ein prismatischer Stab von reinem Silber (so rein als ich es von dem Münzhof auf meine besondere Bitte erhalten konnte), derselbe, der zu den vorhergehenden Versuchen ge- dient hatte, von 44,920 Länge vom fixen Punct bis zum freien Ende gerechnet, gab mit die- sem nach oben gerichtet :

Ohne Gewicht: 1000 Oscil. in 9° 4970

also : 1 Oscil. — 0,5890 Mit dem Gewicht 4° 6 :

Elon-

gation Durchgänge.

40,0! (0) 13 9,0 | 290 Oscil. in 8’ 50'5 18,0) (50) 15 22,0 À

5.0 | (100) 17 35,0 | 1 Oscil — 2/6525 2,2 | (150) 19 47,5

1,0 | (200) 21 59,5

Nachdem der Stab, ohne herausgenommen zu werden, über der Berzelius'schen Lampe erhitzt worden:

Ohne Gewicht : 1000 Oscil. in 9° 4575

1 Oscil. — 0,5855

EinFrcuss DER WARME AUF DIE ELASTICITAT. (1) 487

Mit dem Gewicht # 6 :

pos | Durchgänge.

gation. ; è 82 Oscil, in 3 32,0

30,0 0) 493555 F

( 2,5 (50) 51 45,5 1 Oscil. — 2,5854

1,0) (82)53 7,5

Umgekehrt : Ohne Gewicht : 1000 Oscil. in 7° 120 1 Oscil. — 04210 Mit dem Gewicht : 1000 Oscil. in 10° 3825

1 Oscil. — 0,6385

Aus den Beobachtungen mit dem Gewicht findet man leicht, dass die elastische Kraft des Stabes im Verhältniss von 1 : 1,00613 zugenommen hat. Zink.

Ein prismatischer Stab von gewalztem Zink, von 0,166 Dicke und 0,970 Breite, wurde so eingeklemmt, dass die Länge des schwingenden Theils 31,74 betrug und mit dem Gewicht A5 8 beschwert; die Entfernung des fixen Punctes vom Mittelpunct des Gewichts betrug 31,22. Das Gewicht des ganzen Stabes war 1,7 Pfund, seine ganze Länge 35,80.

Mit dem Gewicht nach oben : 6,0 (0) 23° 2/0 1,0 | (50) 23 53,5 | 150 Oscil. in 2° 35/0 0,5 | (100) 24 45,5 | 4 Oscil. — 10333 0,2 | (150) 25 37,0

Nachdem der Stab, ohne herausgenommen zu werden, mit der kleinen Spirituslampe er- hitzt worden war : 5,0| (0) 855,5 1,0] (50) 9 47,0 | 150 Oscil. in 2° 340

) ) (100) 10 38,0 | 4 Oscil — 10267 0,3 | (150) 11 29,5

Umgekehrt machte er : 400 Oscil. in 3° 22/0 welches 1 Oscil. — 0,5050 giebt.

488 (92) A. T. KUPFFER.

Er wurde nun mit der Berzelius’schen Lampe mit dem Schornstein erhitzt, wäbhrend 1’ auf jedem Zoll, wobei seine Temperatur dem Schmelzpunct sehr nabe kam.

AT Durchgänge.

5,0] (0) 2 95 | 909 Oscil. in 3! 21/0 (50) 3 0,0

... | (150) 4 40,5

0,1! (200) 5 30,5

Dabei schien der Stab um etwa 0,02 kürzer geworden zu sein, doch lässt sich das nicht recht verbürgen, da sich der Stab beim Erhitzen ein wenig gebogen batte.

Die elastische Kraft des Zinkstabes hat also ebenfalls in dem Maasse zugenommen, als die Temperatur, bis zu welcher der Stab vorübergehend erhitzt worden, hôher war. Man findet leicht, dass die Zunahme der elastischen Kraft des Stabes vom ersten Versuche, wo die Schwingungsdauer 1,0333 war, bis zum letzten, wo sie zu 1/0050 berabsank,

0,02916

betrug, wenn man die Kraft des Stabes im ersten Versuche der Einheit gleich setzt.

Ein Stab von gegossenem Zink zeigte nach einer schwachen Erhitzung sowohl, als nach einer starken, die bis zum Schwachgelbanlaufen getrieben wurde, keine Aenderung in seiner elastischen Kraft.

Stahl.

Ein prismatischer Stab von weichem Gussstahl, von beïläufig 36 Zoll Länge (vom fixen Punet bis zum freien Ende), gab mit dem Gewicht 4 7:

25,0| (0) 28° 27,0 14,0 | (50) 32 51,0 8,0 | (100) 37 15,5

300 Oscil. in 26° 26,0

1,8 | (250) 50 29,0 1,0 | (300) 54 53,0

) ) (100) 4,6 | (150) 41 40,0 . 2,8 (200) 46 4,5 1 Oscil. — 52867 (250) (

Der Stab wurde aus der Klemmung herausgenommen, in ein gusseisernes prismatisches Gefäss gelegt und, in unschmelzharen Thon und Kupferfeile gehüllt, einer solchen Hitze aus- gesetzt, dass das gusseiserne Gefäss zu schmelzen anfing.

Nachdem der Stab vollkommen und langsam erkaltet, wurde er herausgenommen ; er war um 0,002 kürzer geworden, und gab nun, an derselben Stelle eingeklemmi :

Einriuss DER WARME AUF DIE ÉLASTICITAT. (93) 489

Elon- gation.

Durchgänge.

100 Oscil. in 8° 23/5 25,0 (0) 756,0 LOL

5,0| (50)12 7,5 OR 1,0 | (100) 16 19,5

Da der Stab zwischen den beiden Beobachtungen ganz aus der Klemme herausgenommen worden war, so schien es mir nothwendig, zu untersuchen, ob ein geringes Verrücken der Klemmung einen grossen Einfluss auf die Schwingungsdauer haben kônnte: ich klemmte also den Stab so, dass er um 0,02 mehr aus der Klemmung hervorragte, d. b. so dass der vibri- rende Theil des Stabes um 0,02 länger wurde; der Stab gab nun:

100 Oscil. in 8° 36,5 1 Oscil. — 57165 Weon sich gleich nicht läugnen lässt, dass die Sicherheit der Beobachtung sehr dadurch beeinträchtigt wurde, dass man den Stab, um ihn zu erhitzen, aus der Klemmung herausnahm,

so steht es doch fest, dass die elastische Kraft des Stabes nach dem Glühen zugenommen hatte.

Ein anderer Stab von Gussstahl, schmäler und dünner als der vorhergehende, gab mit dem Gewicht 4 6:

80,0! (0) 2565 12,0) (50) 5 21,0 | 999 Oscil. in 9 39/0 5,5 | (100) 7 46,0 À

2,5 | (150) 10 11,0 1 Oscil. — 28950. 1,4 | (200) 12 35,5

Nachdem der Stab, ohne herausgenommen zu werden, vermittelst der Berzelius'schen Lampe mit Schornstein beinahe bis zum Glühen erhitzt worden war :

30,0[ (0) 536,5 9,0! (50) 759,5 | 150 Oscil in 7 9,5 3,0 | (100) 10 25,0 | 4 Oscil. — 2/8630 1,0 | (150) 12 46,0

Umgekehrt machte der Stab: 1000 Oscil. in 7 36/0 1 Oscil. — 0/4560 Dies giebt eine Zunabme der elastischen Kraft des Stabes im Verhältniss von :

1 : 1,01122

Mémoires sc. math. et phys. T. VI. 62

490 (94) À. T. KUPFFER.

Ein so stark als môglich gehärteter Stahlstab (derselbe war beim Härten etwas krumm geworden) von 37,5 Zoll Länge (vom fixen Punct bis zum freien Ende), 1 Zoll Breite und 1°, Linien Dicke, gab mit dem Gewicht 4 8 folgende Schwingungsdauer :

Elon-

are Durchgänge. ation Durchgänge

36,0 (0) 8’28/0 | 3,0 | (300) 201875 16,0 | (100) 12 25,0 | 1,5 | (400) 24 15,5 7,0 | (200) 16 22,0 | 0,8 | (500) 28 12,0 500 Oscil. in 19° 44/0 1 Oscil. — 2/3680.

Nachdem er vermittelst der Berzelius’schen Lampe mit dem Schornstein von Zoll zu Zoll erhitztt worden war, wobei die Lampe auf jedem Zoll 3° lang verweilte (es kam nicht bis zum Glühen, der Stab lief erst gelb und blau und endlich dunkelblau an), gab er:

40,0| (0) 6’46/%5 | 5,0 | (500) 23240 25,0 | (100) 10 5,5 | 3,8 | (600) 26 43,0 16,0 | (200) 13 25,5 | 2,5 | (700) 30 2,5 11,0 | (300) 16 45,0 | 1,8 | (800) 33 22,0 7,0 | (400) 20 4,5 | 1,1 | (900) 36 41,5

900 Oscil. in 29° 55/0

1 Oscil. — 1,9950. Umgekehrt : 1000 Oscil. in 10° 1,5

1 Oscil. — 06015 Wir haben also eine Zunahme der elastischen Kraft im Verhältniss von : 1 : 05452

Ein anderer Stab von Stahl, von derselben Dimension, noch mehr gehärtet als der vor- hergehende (er war dabei sehr krumm geworden), gab folgende Schwingungsdauer :

1) Vor dem Erhitzen :

30,0 (0) 38° 5/0 | 2,0 | (300) 50° 9,0 11,5 | (100) 42 6,5 | 1,0 | (400) 54 10,5 5,0 | (200) 46 8,0

400 Oscil. in 16° 55 1 Oscil. — 2,4138

Ernriuss DER WARME AUF DIE ELASTICITAT. (95) 491

2) Nachdem er mit der Berzelius’schen Lampe mit dem Schornstein von Zoll zu Zoll, auf jedem Zoll 3° lang, erhitztt worden :

au Durchgänge. | ol | Durchgänge. 31,0) (0) 2 9/0 | 3,8 | (500) 19400

) (500) 18,5 | (100) 5 39,0 | 2,5 | (600) 12,0 | (200) 9 9,5 | 1,8 | (700) 26 40,5 8,0 | (300) 12 39,5 | 1,1 | (800) 5,3 | (400) 800 Oscil. in 28° 1/0 1 Oscil. — 2/1013 Umgekehrt machte der Stab : 1000 Oscil. in 10° 5°5 1 Oscil. — 06055.

Die elastische Kraft des Stabes hatte also im Verhältniss von :

1 :1,06551 zugenommen.

Eisen.

Ein Stab von weichem Eisen, von 18,55 Zoll Länge (vom geklemmten Ende bis zum freien), 0,25 Breite und 0,056 Dicke, gab mit dem Gewichte M7 1 beschwert :

90 Oscil. zwischen der Elongation 16,0 und 1,0: in 4 59/0 1 Oscil. — 3,3222.

Der Stab wurde, ohne herausgenommen zu werden, vermittelst der Berzelius’schen Lampe mit dem Schornstein von Zoll zu Zoll erhitzt, wobeiï er erst gelb, blau und endlich dun- kelgrau {mit einem Stich ins Bläuliche) wurde. Er machte nun

zwischen den Elongationen 20 und 1: 40 Oscil. in 2 1470 1 Oscil. — 3,3500

Nachdem er bis zum Glühen erhitzt worden war :

492 (96) À. T. KUPFFER.

16 Oscil. in 53,0 1 Oscil. — 3,316

Gold.

Ein Stab von reinem Golde gab ohne Gewicht : 400 Oscil. in 14° 57,0 1 Oscil. — 2/2495 Mit der Berzelius’'schen Lampe mit Schornstein erhitzt, gab er nach dem Erkalten : 30 Oscil in 1” 13/1 1 Oscil. — 2,440

Die elastische Kraft hatte also bedeutend abgenommen ; dabei war der Stab ganz weich geworden und konnte sich kaum aufrecht erhalten.

Einfluss der Temperatur auf die elastische Nachwirkung.

Wir haben in der Einleitung gesehen, dass die Schwingungsweiten bei verschiedenen Metallen in sehr verschiedenem Verhältniss abnehmen, und dass diese Abnahme auch im luft- leeren Raume stattfindet, und haben diese Erscheinung der elastischen Nachwirkung zuge- schrieben.

Man kann daraus schliessen, dass die Abnahme der Schwingungsweiïten ein Mittel an die Hand giebt, die Aenderung, die die elastische Nachwirkung durch den Einfluss der Tempera- tur erleidet, zu beobachten: deshalb wurde diese Abnahme immer mit beobachtet; es bleiht uns also nur noch übrig, die Aenderung, die diese Abnahme durch bleibende oder vorüberge- hende Temperaturerhôhungen erlitt, aus den Beobachtungen abzuleiten.

Da alle Beobachtungen im lufterfüllten Raume gemacht wurden, und überdies die Stäbe immer eine sehr breite Fläche dem Widerstande der Luft entgegensetzten, so war der Einfluss dieses Widerstandes auf das Verhältniss der Abnahme der Schwingungsweiten gewiss sehr gross, und um die Grüsse der elastischen Nachwirkung aus diesen Beobachtungen zu finden, wäre vor allen Dingen nôthig, die Gesetze des Widerstandes der Luft genau zu kennen; diese sind uns aber nur sehr unvollkommen bekanut; es ist also unmôglich, die genauen Werthe der elastischen Nachwirkung aus den vorliegenden Beobachtungen zu berechnen, und wir müssen uns mit allgemeinen Folgerungen aus denselben begnügen.

Wenn ein Stab zwischen denselben Elongationen, bei verschiedener Temperatur, eine verschiedene Anzahl von Schwingungen macht, so war der Einfluss der Temperatur auf die

L2

EiNFLuss DER WARME AUF DIE ELASTICITAT. (97) 493

elastische Nachwirkung bewiesen; nahm die Anzahl der Schwingungen zu, so hatte die Nach- wirkung abgenommen, und umgekebrt.

1) Silber. Der Stab macht zwischen denselben Elougationen in der Wärme 30 Schwin- gungen, in der Kälte 62; die elastische Nachwirkung nimmt also durch Erhôhung der Tem-

_peratur bedeutend zu.

Derselbe Stab von Silber, mit einem andern Gewicht beschwert, macht bei der gewühn- lichben Temperatur 175 Schwingungen zwischen der Elongation 30 und 1; nachdem er bis nahe an die Glühhitze erhitzt worden, macht er nach dem Erkalten zwischen nahe denselben Elongationen an 82 Schwingungen; dabeï hat seine Elasticität im Verhältniss von

1:1,006135

zugenommen.

Man sieht also, dass die elastische Nachwirkung durch Erhôhung der Temperatur zu- nimmt, während die Elasticität selbst abnimmt; wenn man aber den Stab bis zu einer ziemlich bohen Temperatur (in welcher er weicher wurde) erhitzte und wieder erkalten liess, so fand sich, dass sowohl Nachwirkung als Elasticität zugenommen hatten.

2\ Messing. Die Nachwirkung nimmt ebenfails bei Erhôhung der Temperatur zu, doch in weit geringerem Grade, als bei Silber. Nach vorübergehendem Einfluss einer bedentenden Hitze hatte bei einem Stabe die Nachwirkuog abgenommen: bei einem Drath, der nacheinan- der immer mehr erhôhten Hitzgraden ausgesetzt worden war (von welchen der letzte bis zum Glühen ging), hatte die Nachwirkung immer mehr abgenommen; die Elasticität hatte erst zu-, dann abgenommen.

3) Kupfer. Bei einem dünnen Drath von Kupfer, welcher der Glühhitze ausgesetzt wor- den war, hatte die Nachwirkung nach dem Erkalten bedeutend zugenommen, wäbrend die Elasticität abgenommen hatte; dasselbe fand bei einem dicken Drath statt. Bei einem Stabe von Kupfer hatte nach geringer Erhitzung die Nachwirkung bedeutend abgenommen, während die Elasticität zugenommen hatte; bei noch hühern Hitzgraden, die aber noch nicht die Glübhitze erreichten, nahm die Nachwirkung noch ein wenig ab, und die Elasticität noch ein wenig zu; pachdem aber der Stab bis zum Glühen erhitzt worden war, schlug er, mit demselben Gewicht beschwert, um; die Elasticität desselben hatte also gewiss bedeutend abgenommen; von der Veränderung der Nachwirkung lässt sich aber nichts sagen, da keine Schwingungsbeobachtun- gen angestellt werden konnten.

4) Zink. Bei gewalztem Zink brachte eine vorübergehende Temperaturerhôhung, die fast bis zum Gelbanlaufen ging, eine kleine Veränderung in der Nachwirkung hervor, und dabei eine grosse Vermehruog in der Elasticität.

494 (98) A. T. KUPFFER.

5) Platina. Nach vorübergehender Erhitzung hat die Nachwirkung abgenommen und die Elasticität zugenommen; dies fand auch statt, wenn die Erhitzung bis zum Glühen getrieben worden war.

6) Gusseisen. Die Nachwirkung nimmt sehr bedeutend mit der Temperatur zu; über die Einwirkung vorübergehender Hitze sind keine Versuche gemacht worden.

7) Stahl. Bei Erhitzung der Temperatur nimmt die Nachwirkung bei weichem Stahl zu; nach vorübergehender Erhitzung, die noch über das Blauanlaufen hinausgegangen ist, hat die Nachwirkung bei stark gehärtetem Stahl abgenommen, während die Elasticität zugenommen hat; bei weichem Stahl dagegen hat die Nachwirkung nach der Erhitzung zugenommen, wenn die Erhitzung beinahe bis zum Glühen ging, obgleich die Elasticität ebenfalls zugenommen hatte.

8) Eisen. Die Nachwirkung nimmt, wie bei allen Metallen, mit der Temperaturerhôhung zu.

9) Gold. Die Nachwirkung nimmt mit der Erhôhung der Temperatur zu; nach vorüber- gehender Erhitzung findet sich ebenfalls, nach dem Erkalten, dass sie bedeutend zugenommen, während die Elasticität abgenommen hat.

Man kann aus dem Vorhergehenden den Schluss ziehen, dass die Nachwirkung immer mit der Temperaturerhôhung zunimmt; wenn aber ein Metall nur vorübergehend erhitzt wird, so findet sich gewühnlich, nach dem Erkalten, die Nachwirkung vermindert, wenn die Tempe- raturerhühung unterhalb der Glühhitze geblieben ist; nur bei einigen Metallen vermehrt sie sich wieder, wenn die Erhitzung über die Glühhitze hinausgetrieben wird.

BHKOBHIA BO3MYIEHIA

CEMH BOJDIIUXB HAAHETH

A. HEPEBOIHROBA.

(Marano 7-ro Aekaôpa 1855 u 7-ro non6pa 1856 ro4a.)

fl [l

OTABJENE TEPBOE.

BOSMYIENIA TOANAHO-BRROBDIA

Macabaosania JAarpauxa 0 BÉKOBPIXR BO3MyINeHIAXE IMeCTA HAAHCTB, HOMbINEHHBIA BD «3anuckaxR bepanackoñ Akazemin Hayks» na 1781 n 1782 r., no cymmocru csoero npe4- MeTa, pasabAAIOTCA Ha TPH JACTH: BB NePBOËÏ COAPAKATCA OÔUIA POPMYAbI, BbIPaAKAFOUIA u3MbHEHIA 91EMEHTOBB DJAHETHOÏ OPOUTHI OTB CHAB, BO3MYINAIOIMUXP JJANITHIECKOE O6pa- ueHie HAAHETHI OKOAO COAHIA; BO BTOPOÏ Ke — NpHAOKEHIE STHXB POPMYAB KB BHIAUCACHITO eKeTOAHBIXE BÉKOBBIXE Depembnp BE BeAUIHAXB HKCIEHTPUIMTETOBR M HARAOHCHIÏ, BB AOATOTAXBE AOCHAOBFE H BOCXOAAUMXFE Y310BB. ECan Gb1 nepeMbub1 BE 9KCIEHTPHIUTTAXB H HAKJOHCHIAXB HPOAOTKAIUCE HENPEPPIBHO H BP OC3KOHEYHOCTB, TO COBPEMEHEMB HEOÜXOAUMO NpOH3OULIO Pl pa3CTPOÏHCTBO COAHEUHOÏ CHCTEMPI; PasCMOTpBHIE BO3MOKHOCTH HA HeBO3- MO>KHOCTH TaKOTO Pa3CTPOÏCTBA COCTABAACTB AFOOONPITHPIIN

KOCMOTOHHAECKIÏ BONPOCE, U3- BÉCTHbI HOAB UMEHEMB OCMOUUUEOCMU COAHCUHOÙ CUCMEMb! ;

JarpanxB 3aHHMalCA MB BE TpeTbeï 4aCTH CBOUXP u3c1bAoBauii HpaKTH4eCKH, T. €. HOCPEACTBOMB BPIANCJICHIH OHB yBE-

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Bb KOTOPPIXE f, ©, Î n N n306paxkAIOTRE 3KCHCHTPUUNTTB, AOATOTY HepureliA, HaKAOHeHie 4 aourOTy y3aa niaHeTHoÏ OpOuTPI, KoeæœuiientTet M, M,, n np. BecbMa Maubi, 1 KoindecrBa g, Q,+ U NP. HBICKACMPBIA UE YpABHHIH, KOTOPPIXB CTeICHH PABHAIOTCA YHCIY PaA3CMATPU-

BAeMPBIXB IIAHCTB, BCP CYTE APHCTBNTEAPHPIA M HePABHBIA MeXKAY CO60. [locab Toro Aa-

Mémoires sc. math. et phys T. VI. 63

498 6) À. HEPEBOMUKOBTH.

rpaux? 3ambaaerrs: «Haïñaenupie HAMU KOPHU 3aBACATE OTP HPEANOIOREHHPIXE IAHETHBIXB (MaCCB, A NOTOMY HaAOOHO BOOÔINE AOKA3ATP, YATO TH KOPHH OCTAHYTCA HEPABHBIMU n Abi- (CTBHTEIBHBIMH Ip BCARAXB BEAUIAHAXB MaCCB. Takoe A0Ka3aTeIBCTBO He TPyAHO, KOrAa «pascmaTpuBaerca Bsanmuoe 4bHCTBie TOAPKO ABYXB IJAHeTP, HOTOMY HTO TOTAà KOPHU Onpe- CABIAIOTCA U3B YPaBHeHIA BTOpOi CTeneHM; HO Dpn pasCmaTpusanin Bsanmuaro AbñcrBia CMHOTHXE IIAHCTH, CTCIICHE YPABHCHIA BO3BDIMACTCA H YBEAUANBACTCA TPYAHOCTE BE 3aKAH0- «4eHin à priori oO CBOÏCTBAXR ero KopHeï. Bnpoiemr, KaKeTCA, He HEBO3MOXHO n00bAUTE (3ATPyAHCHIE OCOGCHHBIMB AHAAINTHIECKUMB NPICMOMB; 4 HAMbPeHB 3AHATECA 9TUMB BONPO- (COMB, HIO060NDITHPIMB WU AA AHAAH3A BOOÔINE HU AAA PA3UIECKOÏ ACTPOHOMIH; Tenepk Æe (CKAKY, UTO HaÏACHHPle KOPHN , Q,, J,» M UP. TAKB MHOTO Pa3HATCA MeXKAY COOOIN, YTO «HeOoABinia nepeMbHbi BB HPUHATHIXE MaCCAXB HAAHCTE HE MOTYTE UXB CAbAATE HU PABHPI- CMH, HU MHHMPIMH».

Æanaacr upeaynpeauar mamMbpenie JAarpanxa pascyx4eniemMB, HaNe4aTAHHBIMB BE C3JaTIHCKAXB Ilapuxckoñ Arazemin Hayk®» Ha 1784 r., 1 Bb KOTOPOMB OHP A0KAa3aJB, ATO BÉKOBBIA U3MbHeHIA 9KCUCHTPANATETOBB M HAKJOHeHIÏ MIAHCTHBIXB OPONTB 3AKAFOMAAIOTCA Bb ThCHBIXB NpeAbiaxB, CAN BCÉ IIAHETPI OÉPAIMAIOTCA OKOUO COAHUA NO OAHOMY HalpaB- ACHIFO, H CCAU SKCHEHTPHUUTTHI HU HAKAOHCBIA BB KAKYIO HHÔYAR OX HMBAN BeCHMa MAAbIA BeAUAHHPI *). JTO AOKA3ATEALRCTBO B3ONLIO BB COCTABB BeAUKATO /lalI1ACOBA TBOPEHIA, KOTO- paro nepsbia A8 4acTu no45 ua3BamiemB «Traité de Mécanique céleste» Bbnman BB CBÉTE BE 1799 r. Aoka3aBgr à priori OCTOHYNBOCTE COAHEAHOË CHCTEMPI OTHOCATEAPHO 9KCHEHTPHIATE- TOBB H HAKAOHEHIH, AañïIACE HE HAICTIB YÆC HYKHBIMB HOBTOPATR BBIAUCAeHIS /larpaHxka, H BB TpeTLeMB ToMb csoeñ «HeGecnoï mexauuku» n31aHH0MB BB { 802 r., noMbCTUAF TOABKO BbIANCICHIA TOAUAHO-BHKOBPIXB H3MbHCHI 9KCLCHTPHIUTETOBB, AOITOTBE NePUrTCAIEBP, AOI- TOTB BOCXOAAIUXB Y310BB U HAKAOHCHIT Ha HENOABHKBOË 9KAUUTURS 1750 r. x Ha sKAun- TUKB UCTHHHOÏ HAN HOABUAHOÏ, UPHHABB BB OCHOBaHIe 91CMCHTPL IAAHCTHBIXB OPOUTE, ropasao Tounbümie ThXB, KOTOPbIE DpUHyÆACHE OPIAB YHOTPeOUTE JAarpauxr.

Liocxb roro acrponombr eme roanbe onpexbauan 91eMeHTbI CeMU OOIPIOUXD DIAHETE, 4 HOTOMY Ha106H0 OBIIO nCnpaBurs Bbiancieuia «He6ecnoï Mexanukn». JTOTB TPyAr npez- upnaumaar Î[lonTeKkyaaub 1 HañüAeHHbie pesyABTATRI HOMbCTUAB BB TPeTPEMB TOMb CBoeïñ CAHAANTUAeCKOÏ TeOpiu cuCcTeMb1 Mipa». Ho KakF oHu nepenoiHeHbl OMUÔKAMN BPIANCIeHIH, TO JeBepre, 10 CHpaBeAINBOCTH, HaMCAB HeO0OXOAUMBIMB CHOBA nlepexbiaTs BC BPIAUCAEHIA Jarpauxa, CB CoGxioieHieMB BO3MOXHOÏ CTPOrOCTH BB OnpeAbIeHIN BBIMEYNOMAHYTBIXE Kopeñ g, g,, M np. u rkoewpumienToss M, M,, u np. OGmupaniü Tpy4ar Jlesepre npunars

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*) B& reoperudaeckomB oTHomenin ThMB Ke NpeAMeTOME 3auumauca Ilyaccou», n oco6ennoe 00% HeMB pascykAeBie nowbcruar BB «Connaissance des temps» Ha 1836 r. 34BC6 NOATBEPKACHO AONAACOBO AOKA3ATEALCTO OÔB OCTOMAHBOCTU COAHeAHOÏ CHCTEMEL OTHOCUTEIBHO 9KCHCHTPUUUTETOBE H HAKIOHEHIA PH YCAOBIAXB, NPHBATBIXB JAaANTACOME , H HOTOME Pa3CMOTPhUEI UCKAIOAHTEIBHBIE CAY4AH, BB KOTOPHIXB H3MbHeHIA 9KCHEHTPUNUTETOSB H HAKJOHEHIH MOTYTB BBIÂTH M3B TÉCHBIXB NpeAbA08B, H TOTAA OCTOM4MBOCTB COAHEUHOÏ CUCTEMEI CTAHOBMTCA COMAUTEABHOË. HO 40 CHxXB NOPE TAKUXE CA1ÿ4a6BB He OTKPPITO; CAbA. TeOpiAa Aanxaca OCTaeTCA HernpuKOCHOBEHHOÏ.

B5KOBbIA BO3MYILEHIA CEMH BOABMUXP DAAHETR. (8) 499

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1 Z HOBOe BPBIAUCICHLE MACCbI 36MA, KOTOPArO PESVALRTATE, 339323”? OAU3KO HOAXOANTRE KB MACCH

3eMJIN , enr nokasannoï BB Mbcauocaogb» na 1855 r.; no oromy mu a106ons1rn0 6110 yaHaTs, Kakia nepembabt BBIHAYTR BB duciaxs Jlesepse OTE 9ToË Maccbi. He nsmbunss BCÉXR npouuxs AaHHBIXE JleBepse, 4 BPIJUCAUAB KOCPHHATIENTHI, BbIPaKAHOUA abücreia seman ma Meprkypis nu Benepy, T. e. KoeæænmienTl, KOTOpple, Cordacuo C8 Jarpanxem®, u306paxarorea apeszB (0,2), [0,2] u (1,2), [1,2], a names

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(0,2) — 0/895098, [0,2] — 0/424596, (1,2) = 6,887481, [1,2] — 5,734684. JTu auc.ia, A3MbHEHHPIA HPONOPIIOHAALHO LPHHATPBIMP MacCCaMB 3eMJUH, AaïIOT'P:

(0,2) — 0/884290, [0,2] — 0/419463, (1,2) — 6,804311, [1,2] — 5,665435.

3abce BuAuo, 4To pasnocrn Mexay (1,2) u [1,2] He moryrs 6nTe npune6pexeubr, noromy aTO OH HAYHHAIOTCA Ye CB TPETPUXP ACCATUIHPIXB HblPpB. HBCKOAPKO pa3B U BE pasHbiA BpemeHa 4 nosbpaxs Mon BBIIUCIeHIA, M BCET/Aà NOAYHAÏR OAHN H TE PeSYAPTATHI. TO 3a- CTABH.10 MCHA OOPATATECA KB TÉMP 13 DOAOOHPIXB KOCPHUHIEHTOBB, BB POPMYAPI KOTOPHIXE He BXOANTBE MaCCa 3€MAU, 4 TYTb AÏA MHOTUXP H3B HUXB HAINCIB A AUCJIA, MHOTO OTAHYAIO- WiACH OTE dnCelB JeBephe, KaKB TO MOXKHO BUABTE H3B CAbAYIONNXE HpAMbpOBE:

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[ocab TakuxB pasHocTel BB Pe3YAPTATAXP PH OAUHAKOBPDIXB AAHHBIXB, 4 CYR HE- 06X0AUMPBIMB BPIANCAUTR TOAUYHO-BbKOBOE H3MbHEHIE OAHOTO H3B 31CMEHTOBBE KAKOÏ HHÔYAb

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CAbA. Npu 2THXE AUCHIAXB, POPMYJIA He MOXETB AATR MHOTO Pa3HAIUXCA Pe3YAPTATOBH; M AäCTBUTeABHO, 10 MOUMR JaHHBIMB, KoeœnnienTrs npu m7 — 0102035 + 0730516 — 0,832551 ; no Aauusims xe Jesepee, ont — 0,102046 + 0,730586 — 0/832632, rare 4TO Pa3HOCTE pasuaerca Tousko 0,000081. ne mory ckasaTk, KakuUMB 06pasom3 Jepepse uamesr 0/26 gmbero 0/83, noromy ro BE CBONXE BbIduCIeHIAXB OHB HC OCTABUIE HAKA- KUXB HOAPOOHOCTEËH, HEOOXOAUMPIXB AAA UXP DOBPPKU H AAA OTKPPITIA BO3MOÆHBIXB ounnoKE.

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B5KOBPIA BO3MYINEHIA CEMH BOJBINUXE DAAHETE.

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Mémoires sc. math. et phys T. VI.

67

530 (3%

a — 80087 __ 0,5351605, log a — 1,7284840, log a — 1,4569680,

7 0,7233322

log (1— &)— 1,7069136, log (1 + x”) — 0,1093750.

À. TEPEBOIWUKOB"'.

Mepkypiäï u Beuepa.

1,0000000 1,0000000 0,0715992 0,0357996 0.0012816 0,0012816 0,0000918 0,0001147 0,0000103 0,0000144 0,0000012 0,0000022 0,0000002 0,0000004 0,0000000 0,0000000 1,0729843 0,9627871 By 92,1459686 1 ——0,5152456

(0,3316234)

(1,7120143)

(m,m') = 2/910272 (0,4639335), (mm) — 0/285177(1,4551150), [m,m'] = 1/870057 (0,2718548), [m!/m] — 0183237 (1,2630363).

Mepkypiñ u 3emua.

a = 0,3870987, log a — 1,5878218, log a? — 1,1756436, log (1 — ax) — 1,8589958, log (1 + à”) — 0,0606395,

1,0000000 1,0000000 0,0374614 0,0187307 0,0003508 0,0003508 0,0000131 — 1 0,0000164 0.0000007 0,0000011 by —2,0756520 0,9809010 (0,3171546) p°, — __0,3797055

(1,5794470)

(mm) — 0884164 (1,9465329), (m!m) — 0/065888 (2,8188100) [m,m”] = 0/419417 (1,6226464), [mm] — 0/031254 (2,4949183).

B5KOBb1A BO3MYINEHIA CEMH BOXBIUXR HAAHETR. (35)

Mepkypiü u Maper.

log a — 1,4049248, log a? — 2,8098496, log (1 — a) — 1,9420478, log (1 + «) — 0,0271633,

1,0000000 1,0000000 0,0161358 0,0080678 0,0000636 —? 0,0000636 0,0000011 0,0000013 BD, — 2,0324010 # 0,9918673 (0,3080094) b_;——0,2519871 (1,4013784) (m,m”) = 0027981, (m'}m) — 0012602 (2,4468688) (2,1004469) [m,m”]— 0008813, [m';m] = 0,003969 (3,9451423) (3,5987204)

Meprypiü u FOnureps.

log a — 2,8715847, log « — 3,7431694, log (1 — a) — 1,9951786, log (1 + «°)— 0,0023977,

1,0000000 1,0000000 0,0013839 0,0006919 0,0000005 | co b_; — 2,0027688 " 0,9993076 (0,3016308) bi — —0,0743505

(2,8712840) (m,m”) = 17599599 (0,20401 1 1), (m//m) — 0,000153 (4,1838715), [m,m”]= 07148687 (1,1722745), [m/?m]— 0000014 (5,1521349). Meprypiü u Catypw'e.

log a — 2,6083257, log «° — 3,2166514, log (1 — à) — 1,9985684, log (1 + a’) — 0,0007146,

1.0000000 1,0000000 0,0004117 __0,0002058

bi — 2,0008234 0,9997942 (0,3012087) b_1——0,0405729 (2,6082364)

(mm!) = 0077035 (2,8866905), (m/m) — 0000018 (5,2592866), im,m/ | = 0/003902 (3,5912944), [m/m] — 0,000001 (6,9638905).

+

531

532 (36) À. I'EPEBOMUKOB"H.

Mepkypiä u Vpaus.

log « — 2,3049113, log «° — 4,6098226, log (1 — &°)? — 1,9996462, log (1 + «”) — 0,0001767,

1,0000000 1,0000000

0,0001018 —_0,0000509

BL, — 2,0002036 0,9999491 1)

(0,3010742) bi — —0,0201785

(2,3048892)

(m,m/?) = 0/001852 (3,2677017), (mm) — 0/0000016 (6,1963256), [m,m/7]= 0/0000464(5,666501 4), [mm] — 0,0000000 (8,5951253).

Beuepa un 3emus.

a = 0,7233329, log a — 1,8593378, log a — 1,7186756, log (1 — «°) — 1,3566552, log (1 + x) — 0,1827596,

1,0000000

1,0000000 0,0654012 0,1308024 0,0042773 0,0042773 0,0006993 0,0005594 0,0001600 0,0001143 0,0000440 0,0000293 0,0000135 0,0000086 0,0000045 0,0000028 0,0000016 0,0000009 0,0000006 1,1357950 0,9293980 D, —2,2715900, Bi — — 0,6722635 (0,3563299) (1,8275396)

(m!m") = 6/803375 (0,8327244), (m!m') — 5173924 (0,7138200), [mim"] = 5/664708 (0,7531775), [m!m'] = 4/307974 (0,6342731).

B5KOBbIA BO3MYINEHIA CEMN BOJBIMUXB MAAHETB. (37) 533

Beuepa n Maper.

log a — 1,6764408, log a? — 1,3528816, log (1 — a} — 1,7781972, log (1 + à) — 0,088264%5,

1,0000000 1,0000000 0,0563404 0,0281703 0,0007935 [oooruss 0,0000447 — À 0,0000559 0,0000039 0,0000055 0,000000% (0,0000006 bi — 21143658 Li 0,9709742 (0,3251801) By — —0,4609443

(1,6636485) (mm) = 0102035 (1,0087479), (mm) — 0468969 (1,6711445), [mim"]= 0,058710 (2,7687147), [m'/'m']— 0269843 (1,4311113). Benepa u IOnurepr.

log a — 1,1431008, log x — 2,2862016, log(1 — «°) — 1,9830476, log (1 + &?) — 0,0083140,

1,0000000 1.0000000 0,0048321 0,0024161 0,0000058 ao by — 2,0096758 . 0,9975781 (0,3031261) br — —0,1386908,

(1,1420477) (mm) = 42194347 (0,6226644), (m/m') — 0004086 (3,6113433), [mÿm”]= 0/727154(1,8616263), [m/m']— 0/000708 (4,8503052). Bexepa n Carypaz.

log a — 2,8798417, log a? — 3,7596834, log (1 — «°° — 1,9949910, log (1 + «°) — 0,0024901,

1,0000000 1,0000000 0,0014375 0,0007187 0,0000005 nn by — 2,0028760 " 0,9992808 (0,3016542) bi ——0,0757756

(2,8795299)

(m/m”)= 0,198298 (1,2973191), (m°m') — 0,000477 (4,6787337), [mym”]= 0018781 (2,2737067), [m/m'] — 0,000045 (6,6551213).

534 (38) À. IlIEPEBOMUKOBT.

Beunepa un Ypaus. log a = 2,5764274, log a — 3,1528548, log (1 — x} — 1,9987642, log (1 +- à) — 0,0006170,

1,0000000 1,0000000 0,0003554 —_0,0001777

b__; — 2,0007108 “ 0,9998223 (0,3011844) b_——0,0377016 (2,5763592)

(mm/!)= 0004740 (3,6758029), (m/m') — 02000041 (5,6132453),

[m!m'7] = 0/000228 (4,3580818), [m//m'] — 0/000002 (6,2955242). Sema n Mapcr. log a — 1,8171030, log à — 1,6342060, log (1 — a} — 1,5106352, log (1 + &°) — 0,1555580,

1,0000000 1,0000000 0,1076827 _(0,0538417 0,0028988 ps 0,0003121 | 0,0003902 0,0000525 — 1 0,0000735 0,0000111 0,0000166 0,0000027 0,0000042 0,0000002 0,0000012 b2, — 2,221 9202 % 0,9427738 (0,3467284) bi — —0,6187457

(1,7915123)

(mm) = 0/298197 (1,4745038), (mm) — 1802212 (0,2558058), [mm] = 0/229308 (1,3604189), [m'}'m]— 1,385873 (0,1417236). Semia 1 FOnnreps. log a — 1,2837630, log a? — 2,5675260, log (1 — a} — 1,9673044, log (1 + &°) — 0,0157548,

1,0000000 1,0000000 0,0092356 0,0046178 0,0000213 —10,0000213 0,0000002 0,0000002

By — 2,0185142 0,9953607 (0,3050319) by — —0,1913125 (1,2817435)

(mm?) = 7,053983 (0,8484345), (m/m") — 0,009036 (3,9560178), [mm] = 1,686882 (0,2270848), [m/m"] — 0002161 (3,3346681).

B5KOBPIA BO3MYINEHIA CEMH BOJBIIUXB DIAHETR. (39)

3emia u CaType.

log « — 1,0205039, log a — 2,0410078, log (1 — x) — 1,9904012, log (1 + «”) — 0,0047470,

1,0000000 1,0000000 0,0027475 __f0,0013737 0,0000019 on 9

by — 2,0054988 k 0,9986244 (0,3022224) by — —0,1046902

(1,0199062) m") = 0/001030 (3,0129360), m] = 0/000135 (4,1298013).

(mm) = 0/325549 (1,5126170), (m [mm] = 0/042607 (2,6294823), [m

P ,

F. ,

SeMA4 n Ypaur.

log a — 2,7170896, log a? — 3,4341792, log (1 — x) — 1,9978364, log (1 + «°) — 0,0011786,

1,0000000 1,0000000 0,0006794 0,0003397 0,0000001 tonus by — 2,0013590 à) 0,9996602 (0,3013250) b_i——0,052112

(2,7169420) (mm) = 0/007720 (3,8876540), (m/7m"”) — 0/000088 (5,9440008), [mym”?[ = 0000503 (4,7015957), Fe” m']= 0/000006 (6,76136#1).

Mapcr u IOnureps.

log a — 1,4666600, log a? — 2,9333200, log (1 — x?) — 1,9221138, log (1 + &°) — 0,0357367,

1,0000000 1,0000000 0,0214417 0,0107208 0,0001149 0,0001149 0,0000025 0,0000031

bi — 2,0431182 & 0,9891612 (0,3102935) by — — 0,289686

(1,4619270) (m'im) = 14630600 (1,1652621), (m/m'") — 0003101 (3,4915378), m'm7]= 5296810 (0,7240144), [m//m”]— 0/001122 (3,0503051).

536 (40) À. TEPEBOMUKOBH

Mapez n Catrypus. log a — 1,2034009, log «° — 2,4068018, log (1— a) — 1,9775500,

: log (1 + a) — 0,0109491, 1,0000000 1,0000000 0,0063788 __f0,0031894 0,0000102 0,0000 102

BL, — 2,0127780 4 0,9968004 (0,3037959) BL, — —0,1592242

(1,2020091)

(m'ym!) = 0,629534(1,7990190), (m: m')=0,000330 (4, 5180340), [mm ]= 0125295 (1,0979311), [m° , m']— 0000066 (5,8169581).

Mapcz u Vpaur. log a — 2,8999866, log a — 3,7999732, log (1 — a?) — 1,9945026, log (1 + &°) — 0,0027314,

1,0000000 1,0000000 0,0015772 D PAR 0,0000006 0,0000006 bi — 2,0031556 à 0,9992108 (0,3017148) bi — —0,0793677 (2,8996437)

(mm?) = 0/014626 (2,1651374), (mm) — 0000028 (5,4401829),

[m'!'m/1] = 0/001451 (3,1616650), [m” Fr m'']= 0/000003(6,4367098).

IOnurep®r n Carypae. log a — 1,7367409, log a? — 1,4734818, log (1 — ax?) — 1,6932972, log (1 + &°) — 0,1131061,

1,0000000 1,0000000 0,0743741 0,0371870 0,0013828 noi ssas 0,0001028 __J0,0001285 0,0000119 0,0000167 0,0000014 0,0000027 0,0000003 (0,0000005

pe pes (oi 1517466 (D) 0,9612818 (0,3327912) b_, —0,5248144 (1,7195917)

(mm) = 7,374477 (0,8677312), (mm) — 18216580 (1,2604669), [mm |= 4,821088 (0,6831451), [mm m? |= 11,909200 (1,0758826).

B5KkoBb1A BO3MYMIEHIA CEMU BOJBMIUXRE HAAHETB. (41) 537

IOnurepr u Vpaus.

log a — 1,4333266, log « — 2,8666532, log (1 — a?) — 1,9336330, log (1 + a) — 0,0308271,

1,0000000 1,0000000 0,0183905 0,0091952 0,0000845 — 1 0,0000845 0,0000015 0,0000019 bi — 2,0369530 ss 0,9907184 (0,3089810) by — — 0,268756

(1,4292768) (mm?) = 0105321 (1,0225169), (m/m/) = 0/936010 (1,9712804), [mlm7]= 01035370 (2,5486469), [mm ]— 0314348 (1,4974104). Catypur nu Vpaus.

log a — 1,6965857, log « — 1,3931714%, log (1 — a} — 1,7532784, log (1 + &”) — 0,0959605.

1,0000000 1,0000000 0,0618175 | { 0,0309087 0,0009553 0,0009553 0,0000591 __}0,0000738 0,0000057 0,0000080 0,0000006 0,0000010

bi —2,1256764 0,0000002 (0,3274972) À 0,9680530

bi — — 0,4813764

(1,6824849) (mm?) = 0!386869 (1,5875642), (mm) — 1/391850 (0,1435920), [m/m/7] = 0/232402 (1,3662399), [mm ]— 0836118 (1,9222677).

24. Ilo sbipaxeuiro Ôf (a. 19), roauano-8bKkoBoe uambnenie sRkcnenTpnnuTteta 3emuoü

OPOUTBI OYARTE Sf— [m;m] f sin (© — ©”) + [mm] f° sin (o'— ©") +- [mm] f" sin (w”—v”) + [mm] f/ sin (07 — 0”) + [msm”] f” sin (w°—0") + [mym’”] f" sin (0°7—0" — — 0/0027335 (1 + y) + 00144260 (1 + p'") — 00170426 (1 +”) — 00812113 (1—+u/)— 00004306 (1 + pu”) + 0/0000217 (1 + p/?) — — 0/0869703 — 00027335 p + 00144260 p — 00170426 p” — 00812113 p.7 — 00004306 p/ + 0/0000217 p/”.

Mémoires sc. math. et phys. T. VI. 68

538 (42 À. D'EPEBOMUKOBT.

3abcr p, 1 us H HP. O3HAHAIOTBE ACTA, KOTOPPIMH, MOXKETH OPITR, NOHAAOOUTCA HCHPABUTÉ MaCCbI IIAHETB, NO CPABHCHIN HAÏACHHOÏ BCAUIUHBI — 008697 ce na6axrozeniamu. Orcroza AïA roauauo-BbKoBaro n3mbHenia HanGoïemaro ypasHenia nenrpa dQ — 29f noxyyaemp 50 — — 01739406 — 00054670 u + 00288520 ue — 00340852 uw” — 0,1624226 n” — 0/0008612 a" + 0,000434 7.

U raxs, nauGousmee ypaBkenie meutpa Bo cro 46TB ymenbmurca 40 17”. Ecau npumemr, 4TO MACCBI HIAHCTB YAOBACTBOPUTEABHO BÉPHBI; TO HaïAeMB, 4T0 roAnyHo-BbKoBoe u3mbHe- Hie KCILHTPHNNTETA 3EMHOÏË OPÔUTPI, BHIPAKCHHOC BB CAUHUHAXB, ECTE

d{ — — 0,00000042164, TAKE YTO, CAUTAA OTB 1800 r.,

[—= 0,01679226 — 0,00000042164%c.

Ilo ssipaxenito Go (au. 19), roauauo-8broBoe 1BuxeHie nepurezia 3eMHoÏ OpOuTPI OT-

HOCUTEIBHO 3Bb34P OYACTH

So — er + A + (mom) + il 7) + (mm) + (mm?) — {fm cos (e - — ©") +[m; m'}£ f' cos (@' — &”) + [mym me cos (&”—w') + [m; ne L cos (0/— w”) + [mem/1£, cos (a” — ©") + [mim”7 3 eos (w/? — 0 ")]

11 1538706 — 0/280472 p + 3637415 p° + 1066517 p” + 6917267 p”+ 0185874" —+ 0,007197 p/7.

À . B5 œopuyaaxs (D) u (E), SN osuauaers nepewbusr 88 N' uponcxozamtia oTB Bsaum- daro AbHCTBiIA 3eMAU U HpOIUXE NIAHeTB; CAbA. Hañ4eMB (au. 18)

aa Meprypia, ÔN ——(m;m) ——0,065888 (1 +) » Berepbr, ÔN, ——(mim) ——5,173924 (1 +u), » Mapca, ÔN,,—= — (mm) — — 0,298197 (1 + pm » IOnurepa, SN, = — (mim”)—=—7,053983 (1 +u/), » Carypua, ÔN, ——(mim) — — 0,325549 (1 + pu), » Vpana, ON, ——(m ! m7) = — 0,007720 (1 + y?)

IToToms BPI4UCAeHIA AaHDTB

Mepkypiü, de — sin Zsin NÔN ——0/005773 — 0005773 p, Benepa, de—sinl'sinN'ÔN, ——0,295437 — 0,295437 y, Mapes, de —sinl"sinmN'ÔN,, — —0,007160 —0,007160u", IOnurepr, de — sin 1°” sin N'SN;yy = — 0,160052 —0,160052p/, Catypa, de — sin l’sinN'ÔN, ——0,013137 —0,013137 Lu Vpaus, d5— sin 17 sin N’ÔN,; — —0,000099 —0, 00099 w°7.

B5KOBPIA BO3MYINEHIA CEMU BOABIIUXD DIAHETE. 43) 539

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n TaKB, TOIUAHO- -BÉKOBOE ymenkmenie HAKAOHHIA 9KAUNTURH KB 3KBATOPY, nponexoantee OTF APHCTBIA HJAHETE Ha 3CMJIO, ECTB

de — — 07481658 — 0005773 pu — 0,295437 nu — 0/007160 w — 0160052 p/— 0013137 n” — 0000099 w/7;

44

TAKB ATO, CUUTAA OTB 1800 r., e—23°97 54/35 — 01816584.

Takumr ke 06pa30ME 135 æOpMyYAb1 (E) no1y4aemr

dr — 0145092 + 0/012863 pu + 0,184130 um + 0/014854 pu" — 07054638 7 — 0/012187p/ + 0/000070 p/7.

Ho Kak® roausmoe npeasapenie paBHozenCTBiñ, onpeabisemoe HaG1104eHiaMn HAN BHAUMOe, ects 5024127; ro abücrpnreasuoe 6yAeTr . ÿ 50/38636.

OTO aucao BeckMa Gausro KB aucay 5038781, uañaeunomy n3B HaGmoAeniñ BR sanucrb «O npeasapeniu pasaozencrtBiä». OTcio4a 3aK.1104a€MB, 4TO HPHHATHIA MaCCbI ILIAHTE BECEMA CAUSE KE AXE ACTUHBBIMB Bexudunams. Takxe KacarTezsno ABnxeHiA nepurezia 3aMbTHMB, ATO u3B CpasHenia HaGarozeniü Mackezuna C5 HaGarozeniamn Piemcruaa, Aeram6pr amer 61,94; ecau 38 ororo aucaa BHiaTnme 50,38, To noayunmr 11,56, —uncao, BeciMa Gau3- KO KB BBIIHCHAÏACHHOMY.

25. l'oxuuxo-BÉKOBPIA BO3MyINeHIA BB NPOIAXE MAAHETAXPE CYTE CAbAYIOMIA: Meprypii.

àf = 0,006288 + 0/010431 p' + 07002995 p” — 0/00080%p — 0006392 p” + 0/000056 p/ + 0/000002 p/7;

144

cabz. oT8 1800 r. f—0,2056163 + 0,00000003048 4, 50 — 0012576 + 0020862 p' + 0/005990 p”/— 0/001608 pe” — 07012784 + 0000112 n° + 0/000004 7; do — 5417661 +2/873929 p + 0853165 p° + 0028809 p7 + 1,583901 p/ + 0/076005 n° + 0001852 p/°. a Ms AaT® : {(m,m mym7)\ tang 1” sin (N — N+ A .u ne 7} tang l'sin(N — N’) i(m,m m! m°7)\ tang 17 sin (N— N°7) + {(m mym")} tang sin (N—N") \(m,m . NE sin(N—N) — 0/1 ie + 0000036 p/7-+ 0009884 n° + 0099251 p°7 + 07000311 n° + 0/064845 pu ;

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540 (4% A. DEPEBOMUHKOBT.

SN — — {(m,m”) + (m,m') + (mm) + (mm ) + (mm) + (m,m°7) + (mom)

+ {(mom) — (nm )} er

ner COS (N— N°) + {(m,m") — (nm) DE cos (N — N°)

IV ”._ 1\) tang I N N” 4 1 71) tang 17 V4 + {(mmd) — (nm) ET cos (N — N°) + {{m,m”) — (mm ”)} ET cos (N — N°) + {(mm/7) — (mm 7) LEE cos (N — N°)

— 75251062 — 0/002427 p/7— 0112897 ps” — 2/220233 p/7 — 0/099068 m7 L — 0/884164u"— 3,866385 a — 0065888 pu.

Benepa. 8f— — 0110950 — 0030631 pu —0/046421 p” — 0002196 m7 — 0/031037 p/7 — 0000672 x + 0/000007 p/”; caxba. 078 1800 r.

f— 0,00686182 — 0,0000005379 4.

5Q — — 0221900 — 0/061262 1 — 0,092842 /— 0004392 pe” — 0062074 y — 07001344 + 07000014 w/7;

BI — 0/039725 — 0/000001 p/7 + 02003340 pe” + 07026233 y

— 0002866 &°+ 0013019 p; BN— —17,549642 — 07005419 p/7— 0272903 a — 57209190 p7 — 07197504 n°7 — 6,803375 n° — 5173924 + 0,112673 p. do — — 0,734887 — 2/912576 pu — 5/296453 n° + 0832550 n° + 6558209 p 7

+ 0079850 p” + 0,003533 n°7. Mapcz.

Sf — 0,186023 + 0000798 BL + 0000743 rs + 07018554 ue” + 07159664 7 + 0006282 u— 0000018 7 caba. 075 1800 r.

f— 0,0932168 + 0,0000009018 1; 3Q = 0,372046 + 0001596 1 + 0/001486 a + 0/037108 pe” + 0319328 p7 + 0,012564 n° — 0,000036 x”. do — 15/629505 + 0/014415u + 0,487162 pu + 17952899 n° + 12,496189p7 + 0663513 n° + 0/015327 pv’;

81 — — 0,020172 — 0/000039 °° — 0/011891 n° — 07134009 p7 + 0126000 x — 0/000233 y; N— — 22144599 — 0012009 7 — 0,449673 n° — 11/205800 p°7 __— 0298197"

—1,802212p/— 8161814 — 0214894 pu.

B5KOBbIA BO3MYINEHIA CEMU BOABIIUXB IIAHETR. (43) 541

IOnureps. 8f—= 0,265441 + 07000003 p + 0/00000% y + 0/000036 y”

— 0,000066 n°” + 0,264803 a + 0000661 p/”; caxb4. oTB 1800 r. f—= 0,0481621 + 0,0000012928 r.

50 = 0,530882 + 0000006 p + 0000008 p' + 0/000072 p” — 0000132" + 0529606 p/ + 0/001322 n°. So = 6,358344 + 0/000126 p + 0/004133u + 0/009015 p” + 0001406 °° + 6206980 7 + 0136684 p//; S1— — 0/207365 + 0/000567 p'7— 0071685 7 — 0/007354u" — 0122490 x — 0006403 p.; SN — — 1452081927 — 00534047 + 52633553 7 — 7,053983 pu — 0267959 p"— 0009036 p'/— 12:242826 p'— 0214479 p. | Carypus. Sf—= — 0550459 — 0/000000 y + 0/000000 x’ + 0/000000 p” — 07000005 °°” — 0561063 p/7 + 0,010609 m7;

caba. oTB 1800 r. [—= 0,0561505 — 0,0000026687 tr;

(144

5Q — — 1,100918 — 0000010 w — 17122126 w7 + 0,021218/”. So — 16,444616 + 0/000015 pu + 0/000473 a + 0/000990” + 00000379 n°” —+ 16/094817 pe” + 0347972 n//; S1— — 0137816 + 02003222 p'7 + 0/05981 47 — 0008651 w” — 0184812 u — 0007389 p;

SN— — 18/910362 — 0/295330 7 — 0/325549 7 — 1927497610 p/7 — 0097482 n°7 — 0,001030 p°— 5617727 a — 07075634 pu. Ypaur.

3f—= — 0/052050 — 0/000000 s — 0/000000 & — 0/000000 y” — 0000000 n°” — 0006066 p/ — 0045984 p/;

cab. oTB 1800 r. f—= 0/0466108 — 0,0000002523 1; 30 = — 0104100 — 0/012132 7 — 0091968”. 8e — 2,422532 + 0/000002 p + 0/000041 p' + 0000088 p”

+ 0000033 p° + 17233607 n° + 17188761. 1 = 0,033377 — 0,029185 y” + 0060297 p/” — 0/004073 p”

+ 0010016 mu —0,003678 ; BN— — 32/890259 — 0007720 p'7+ 1/279592 n° — 10,313302p/” — 0646355 n7— 0000088 a/— 22669191 p'— 07533195 y. ———#t0——

OTABAENIE BTOPOE.

BBROBDIA HSNMPBHENIA JJEMENTOBR IJAHETR KIA BCARATO BPEMEHI.

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Mémoires sc. math. et phys T. VI. 69

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yparueuiii (4’) n03BOAUTEAIBHO B3ATE RT = M sin (gt + 8) + M sin (gt + 8) + M7 sin (got + 8), R — M sin (gt + 8) + MY sin (git + 8) + M sin (got + Be), R7 = M sin (gt + B) + M sin (git + 8B,) + ME sin (got + Bo). u3B 9TUXB YPaBHeHIË, 10 HAÏACHHBIMB OTHOIMEHIAMF, ABa NOCAbAHIA NPEBPAAHOTCA BF h—0,0581927 M sin (gt+8) —1,1242711 M} sin (gt 8,) —27,386881 Msin(gut-+8.), h7— 0,0603525M"sin(gt+f) —1,4251035 M} sin (gt +8) +8,8267164M% sin(gt+8.); caba. 4aa t — 0 nan 41a onoxn 6yaemr uMBTE ypaBnenia RE — MT sin 8 + M} sin 8, + M} sin B,, hf = 0,0581927 M sin B—1,1242711 M} sinB, — 27,386881 M sin, hŸ = 0,0603525 M! sin 8 —1,4251035 M sin B, + 8,8267164 M} sin B,.

BFKOBPI1A BO3MYINEHIA CEMU BOJABIIUXB IIAHETB. (5

BB KOTOPIXB log h'{ — log fY sin 7 — 2,0035953, log h} — log f} sin 6} — 2,7493046, log RŸ — log f} sin 67 — 3,9682361, H DOTOMY HAXOAUNMB M sin 8— 0,0256828, MX sin 8, — — 0,0141867, M} sin 8, — — 0,001 4130.

Ecau sn nepewbuum® ma cos, n gmbcro log h#, log h}, logh/{ nocrasne log 1 — logf} cos0! — 2,6744634, log 4 — log f} cos 4 — 4,9263739, log 7 — log f{ cos w 4 — 2,6580792 — ;

TO U3B TBXB Ke ypasaexii BbBIBCACMP

MTcosB8 — — 0,0191256, M} cosB, — — 0,0274364, M} cos 8, — 0,0010549. Orcroza B— 126° 40° 29° B, — 27° 20° 327 B, — 126° 44° 32, M1=— 0,0320218, M}— — 0,0308882, M} — — 0,0017634

(2,5054450) (2,4897930 —) (3,2463538 —),

M— 0,0004451 (4,6484598), M, — 0,0254561 (2,4057920), M — 0,0004905 (4,6906953), M, — 0,0168920 (2,2276826), M" = 0,0005301 (4,7243585), M, — 0,0166874(2,2223909), M"— 0,0007442 (48717054), M, — 0,0191621 (2,2824%41),

M! = 0,0019325 (3,2861403), M} — 0,0440189 (2,6436394), M" = 0,0018634(3,2703136), M; — 0,0347267 (2,5406642), M,=— 0,00010%5 (4,0192093), M; — — 0,0003412(4,5330297 —), M, = 0,0023338 (3,3680807), M; —0,0149665 (2,1751190),

5)

MY = —0,0155653(2,1921580 —), M; — 0,0482944(2,6838964).

9. Ilo onperbiennbimR BCANAAHAMS BF NPEAPNAYMEMB JAEHP, A 3HAA, ATO h = fosno,— 0,1979789, ho = fosino, — 0,0054538, hj = fo sino, —0,0165616, hy =f; sine, ——0,0432145,

551

552 (56) À. ILEPEBOHUKOB"#.

u3B IPBBIXE ACTHIPEXE ÿpaBHeHii (À) cocTaBiaeme

M; sin 8, + M} sin8, + M sinB, + M sin 8; — — 0,0646057, 147,71671 M!!sin 8, — 8,8227629 M!'sin B, + 0,0642699 M{'sin 8 —0,0207125 M!'sin 8, — 0,1858461, 10,2029173 M; sin 8,+7,5905676 M, sinf, —0,5079090 M; sinB,+0,1771268 M sin8, — — 0,0025248, 6,4422733 M, sin 8, + 5,8991819 M; sin8,+0,4760379 M° sinB; —0,2037199 M; sinf — 0,0066016,

1 HAXOAUMP © M; sinB; — 0,0011780, M, sinB, — — 0,0012823,

M sin8, — —0,0096559, M; sin 8 — —0,0548455.

fr

ILepewbausr sin a cos, u h,, ho, ho, hÇ ua L= fo cos © — 0,0555191, L = f, cos w) — —0,0042920, = f, coso, — —0,0027738, VU =f, cosos — 0,0825946,

u3B TbXE € deTBIPEXE ÿpaBHeHii, HPEBPATUBIIUXCA BE

M cos 8, + M, cos B, + M° cosB; + MX cos Be — 0,0749709,

112

M} cos Bi; — 0,0597276 M, cosB, + 0,0004351 M: cos B; — 0,0001402 M cos B

— 0,00022499, M cos 8; + 0,7439603 M} cosB, — 0,0497807 M: cosB, + 0,017360%4 M4 sin Be — — 0,00188259, M cos 84 + 0,9156988 M, cos B, + 0,0738928 M cos 8; — 0,0316224 M cosB, — — 0,00246562, BbI4UCIACMP M; cosB, — 0,00007268, M°, cosB, — — 0,00253016, M cos 8; — 0,02110567, M4 cos 8; — 0,05632276. Orcroaa 3— 86° 28° 10”, B, = 26° 52° 36”, B,— — 24° 35° 3”, Be — — 44° 14° 19”, M: — 0,0011802, M, — — 0,0028365, M; — 0,0232096, M; — 0,0786147,

(3,0719703) (3,4527927 —) (2,3656680) (2,07861477)

BKOBbIA BO3MYINEHIA CEMH BOABIIUXR ILAIAHETH. (37) 553

H HAKOHCELP M,—0,1743410 (1,2413994), M, — 0,0250264 (2,3983971), M,— 0,0120419(2,0806943), M, — —0,0215311 (2,3330670 —), M; — 0,0076034(3,8810090), M; — — 0,0167330 (2,2235885 —), MY — —0,0000136(5,1350779 —), M} — 0,0000112(5,0482779), ë= — 0.0000120 (5,0812849 —), M} — 0,0000115(5,0611261), M'1— 0,0000047 (6,6745289), M7 — — 0,0000025 (6,4090092 —), M, = 0,0014917(3,1736756), M; — — 0,0016283 (3,2117367 —), M;— —0,0117884(2,0714539 —), M, — 0,0139248 (2,1437886), M: — 0,0110486 (2,0433095), M; — —0,0160154(2,2045377 —), MY = —0,0000011 (6,0321860 —), MY} — — 0,0000009 (7,9982808 —), M£—= — 0,0000065 (6,8128260 —), M; — — 0,0000111 (5,0438909 —),

M1 = 0,0000004 (7,5873430), M4 — 0,0000006 (7,7836837).

10. IT rar uckoMbia ypasnenia, BbipaxkatomiA BKOBPIA u3MbHeHIA BE 9KCILEHTPULU- TeTAXB U BB AOITOTAXB IéPerEAIEBB ILIAHCTE AAA BCAKATO BPeMEHH A0 H HOC.1b 9noxu, T. €. ao u nocab 1800 r., cyTs cabayrontia:

Meprypiü.

ni 0,0004451 (126° 40° 29”+ 2260396 + 0,0254561 % (27° 20° 32”+ 37716027 1) + 0,0001045 5% (126° 4432” 292/4520661)+0,1743410 %(86°28 10”+ 5353397 1) + 0,0250264 %" (26°52'36"+ 73911521) + 0,0014917 "(—24°35 3" —+17/035894 6)

—0,0016283%(—4414 194175793181 0).

Bexepa.

= 0,0004905 5%. (126° 40°29"+ 2260396 r) + 0,0168920 5% (27°20'32”+ 37716027 1) —0,0003412 5% (126°44 32" + 22/4520661)+0,0120419 (8628 10/+ 5353397 1) —0,0215311 "(26° 52" 36/+7,3911520) —0,0117884"(—24°35 3" + 1703589440)

+-0,0139248%(—%41419+17/7931810.

3eM11.

M} 0,0005301 %(126° 4029” 2260396 1) + 0,0166874 (27° 20° 32”+3716027 4 + 0,0023338 %% (126° 44 32” + 2245206610 +0,0076034%"(86°28 10"+5/353397 4

)

)

— 0,0167330% (2652 36"+7,391152 1) + 0,0110486%%(—24°35 3 + 17/0358944) —0,0160154%(— 4414 19+17/793181 0)

cos Mémoires sc. math. et phys. T. VI. 70

554 (58) À. D'EPEBOMUHKOBH.

Mapcs. = 0,0007442 % (126° 40° 29”+ 2260396 1) + 0,0191621 5 (27°20 32”+ 37160276)

+ 0,0149665 % (126° 44°32"+ 9224520661) +0,0011802% (8628 10"+ 53533974) —0,0028366 (126752 36"+7,3911520) + 0,0232096 (—24°35 3"+ 1703589401)

+-0,0786147%"(— 4414 1917793181 0). IOnurep#. = 0,0019325 % (126°40 29" 22603961) + 0,0440189 si"

sin (27°20 32"+ 37 160271) —0,0155653%(126°44 32" + 22/4520661) —0,0000136"(86°28 10 + 53533971) +-0,0000112 5 (26°5236"+7,3911521)—0,0000011 "(—24°35 3"+17,035894+)

— 0,0000009(—%4°14 194177931811).

Carypar.

pee 0,0018634 %(126°40 29" + 2260396 1) + 0,0347267 5". (27°20 32” + 3/71 6027 1)

+ 0,0482944 % (126°44 32" 22/4520661)—0,0000120 “" 86°28/10/+5/353397 1)

+ 0,00001 15" (26°52"36"+7,391152 1) —0,0000065 ‘" (—24°35 3" + 17/0358941) —0,0000111%(—44°1419"+17:793181 6).

Vpaur. v= 0,0320218 ÿ (126°40 29" + 22603961) —0,0308882 À, (27°20'32"+- 3/7 16027 4) —0,0017634 "(12644 32" + 22"4520661)+0,0000047 "(8628 10/+5,353397t) — 0,00 0025 (26°5236"+7,3911521) +0,0000004%(—24°353"+17/0358940) +-0,0000006(— 44°1419"+17;793181 1)

cos

Herpyano yBbpuTbCA, ATO 9TU POPMYABI YAOBICTBOPAIOTE 9N0XP; HO 9TOTB HPU3HAKE He MOXETE CANTATECA NOJIHPIMB PYIATEABCTBOMP 3 UX'B TOIHOCTE: 10 MOCMY MHBHIO, Ay4MAA UXP HOBPPKA COCTOUTE BB COTJACIN HXB PE3YAPTATOBH CB PE3YAPTATAMA HOPMyYAB, HPeEACTAB- AAÏOIUUXBE TOAUAHO-BPKOBHIA H3MbHEHIA 916MEHTOBE HAAHCTHPIXB OPOUTE, BB HPOCTPAHCTBÉ orpaauseHHaro qucra CTOxbriñ. Ha TakomR ocaogauiu, onpeabuaems 404r0Ty nepurezia Be- uepp1 ape3e 100 xbTr nocxb 1800 r., u cnepsa no æopMy1aMs Jesepre, KOTOPPIË Haliexr {TO TOAUYHO-BPKOBOE OTCTYIACHIE 9TOrO nepereaia — 1,377; cxba. upes5 100 xbrs 40uro- Ta ero OYACTE

128° 40 4873.

Toxe camoe anc10 c1b40Ba0 6BI HOAIYAUTE H3B er0 OGIUXE POPMYAB; HO KAKB TYTBE 0Ka- 3bIBACTCA Pa3HOCTB, HPOCTHpatomaACA 40 2’, TO yAepxuBaro 34bcL noapo6nocru BbIuCIeHiA: g—= 345,84, 8 — 126° 47 00,84, g,—= 6 11,36, 8,— 27° 27° 37,36, g,= 37 22,78, 6,— 127° 21° 30,73,

B5KOBbIA BO3MYINEHIA CEMH BOJBUHIUXP DIAHETH. (59) 555

g— 84989, 6,— 85° 56 34,89, g,= 12 37,47, 8,— 35° 51 20,47, g.= 28" 35,27, B.,— — 24° 42 57,13, g= 29° 46,33, B— — 44° 59 12,67.

ITo 2TUMB AAHBPIME, H01Yÿ4ACME

= f'sino — 0,0003876 + 0,0077420 — 0,000300% + 0,0168436 —0,0139559 + 0,0054397 — 0,01084#45 — 0,0053121,

l'— f'coso" — — 0,0002898 + 0,0148974 + 0,0002294 + 0,0011946 —_0,0193109— 0,0118181 + 0,0108495 — — 0,0042479; cab. log tang © — 0,0970919 —, w — 128° 38° 53/17,

H pasHOCTS OT npeABuAyuaro pesyaprata — 1 55/1.

Tarkoe xe BBINHC.IeHIE IIO HAÜACHHBIMB MHOIO bris BF OGIHAXP POPMYAAXE AaeTb g— 346,04, 8 — 126° 44 15/04, g,— 6 11/60,8,— 27° 26 43,60, g,— 2m 25adiip Mere 21/5721, g— 855,34, 6,— 86° 37 5,34, YEN AA, BEST 44557114 g.= 28 23,59, B——24° 6° 39/41, g,= 29° 39,32, 8.— — 43° 44 39,68, = f'sin w — 0,0053137, l = f cosw — — 0,0042558, w'= 128° 41 30”; no æopMyA1 xe roauuuo-BbKkoBaro ABuxeHia nepureaia Beneprr, © — 128° 41° 34,51; CAbA. paSHOCTE — TOArKO 4,5.

11. CocrasrennbiA æOpMyAPI HOKASHIBAIOTE, ATO 2KCHEHTPAHATETHI H3MBHAIOTCA Nepio- AUdeCRH, H KAKB HaUCOAIbMIA AXE BeAHAUHbI PABHAIOTCA CYMMAMB NO10KNTEABHBIXE KO9PU-

UHIeHTOBE ; TO AAA BBICIIUXE UXB npeabioBr HAHAeMP :

Mepxypiü: 0,2284931, Benepa: 0,0770099,

SeMJIA : 0,0709517, Mapcr: 0,1407140,

IOnurep5: 0,0615435, Carypar: 0,0849256, Ypaur: 0,0646816.

M Ta? OCTOHAUBOCTE COAHEYHOÏË CHCTEMBI OTHOCUTEABHO 9KCHEHTPAUNTETOBE He NOAACKUATH COMHbHEH,

*

556 (60) À. IIEPEBOMUKOBTS.

12. Beauuuma 401r0Tb1 nepuredia KaA0Ïi HIAHETBI BbIPAKACTCA 1Pe3B

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« HO 9TY OPMYAY He TPyAHO HEPEMPHNTE BB

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B> stoû æopmyrb 414 KoeæænnientTa M 4oxxHo 6paTs TOTB, KoTopsiñ 6oxrbe cyMmb1 BCbxE IPOAuXB KOCHHHINIEHTOBB, B3ATPIXD IOJIOKUTEABHO; PH TAKOMB YCAOBIU 3HAMCHATEI HU- KOrAa He CAPIACTCA HYACMB, HI © —B— gt uukor4a He npeBparuTca B8B 90°, u cpezmee aBuxeHie nepurexia BbIpa3uTCA upe3B gt. Ho nepuresiu Benepri, 3emau n Ypana, BE CTpo-

TOME CMbBICIb, CPeAHATO ABHXÇeHIA He UMbIOTH, H AOATOTEI HX'B, AAA OOABIATO AACIA APTE,

AOAKHO BBIAUCAATE H0 OGLHMBE DOPMYAAMB.

IL BBROBDIA IBMPBHEHIA BB HARJIOHEHIAX Il BB JOJITOTAXR Y3.10B.

13. Vxepxarr AIeHbI TOIPKO CB HEPBDIMH CTNCHAMH OTHOCHTEALHO HäKJIO0HeBIA, 3?

npeAn010eHIi — tang Zsin N, q —tanglcosN, p = tang l'sin N’, g—tang l'cos N’, HTPYAHO BPIBECTH, ATO d ’ n d ’ ’ = — (mm) (g—q), = (mm) (p—p);

CAbACTBeHHO AAA BCÉXP CEMU IMAHCTE 6YAEMB UMPTE ypaBHeHia (E)

Bo — | (mm) + (mm) + (mm) + (mm) + (m,m”) + (m,m°7)} q

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)g"+ (ms m7) 97 nn )g + (m;m

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B5KOBPIA BO3MYINEHIA CEMH BOULINUX'E IIAHETE. (64) 557 v = — {(mËm) + (nf) (mm) (mm) + (m/m”) + (mm?) d + (mêm) g + (m?m) g + (m?m") 9" + (mêm") g" + (m2m) g7 + (même?) 97, L4 _ = — | (mm) + (m77m) + (m77m°) + (m77m) + (mm + (m/77m?)) g/7 + (m/7m) q +- (m/7m') q + (m77m") d + (m/7m"") q'+ (mm) g7 + (m/7m7) 97.

“ ypaBeuia (F)

4 — {(m,m) + (m,m”) + (m,m°) + (mm) + (m,m7) + (m,m°7)} p — (ne) p°— (mm) p°— (mm) n° — (mom) p— (mm) p°— (mm) p7, ar = | (mm) + (mm) + (mom) + (mm) + (mm) + (mm?) p' — (mem) p— (mm) p°— (mom) — (mm) p7— (mm) pe — (nm) p7, # — {(mèm) + (mom) + (mom) + (mom) + (mm) + (mm) p° — (nom) p — (nèm) p'— (mm) p— (nm) p — (mm ”) pl — (mom) p°7, us = {(m im) + (mm) + (mm) + (mm) + (mm) + (mm 7 hp” — (mm) p — (mm) p— (mm) p°— (mm) p — (m3 m°) p°— (mm) p7, a — (mm) + (mm) + (mm) + (mm) + (mm) + (mm) p7 — (mm) p — (mm) p°— (mm) p°— (mm) p — (mm?) p°— (m7) p°7, a — {(mËm) + (m£m") + (m£m") + (m%m) + (m2m?) + (m?m?)} p7 — (mimi) p — (mime) p— (mem) p°— (mm) p— (mem) pe — (mm) PT, a — {(m/7m) + (mm) + (mm) + (mm) + (mm) + (m/2m°)) p°7 — (op (np (nn) (Ep — (nn) pe — (En )p IoïoxuBr

p = Msin (gt +8), p — M'sin(gt +6), n np. g = Moos(gt + 8), 9 — M'cos(gt 8), u np. u BCTABUBBE BMÉCTO (m,m'), (m,m”), n Hp. uxE u3BbCTHBIA YA BeAUIUHBI, HOAYANMB CEME ypasaeniü (G): (g + 5,500903) M — 2910272 M'— 0884164 M" — 0027981 M” — 1599599 M7 — 0077035 M” — 07001852 M7 — 0, (g+ 11587972) M — 0285177 M — 6803375 M"— 0102035 M” — 49194347 M” — 07198298 M7 — 07004740 M7— 0, (g + 12925261) M” — 0,065888 M— 5/173924 M'— 0,298197 M” — 7053983 M” — 0325549 M” — 0007720 M?— 0,

558 (62) À. IEPEBOMUKOB"S.

(g+17,558543) M" — 0/012602 M — 0,468969 M — 1802212 M”

— 14/630600 M” — 0629534 M — 0014626 M — 0, (g+7,496174) M” — 0000153 M — 0004086 M — 0009036 M”

— 02003101 M" — 7,374477 M! — 0105321 M'— 0, (g + 18,605304) M°— 0/000018 M — 0000477 M'— 07001030 M”

— 0/000330 M” — 18216580 M” — 0386869 M'— 0, (g + 2,328019) M'? — 0/000002-M — 0/000041 M — 0/000088 M”

— 0000028 M" — 0936010 M” — 1,391850 M — 0.

Q . À es e, Io ucrarodeuin Kkosæænuientoss M, M, u np. u3R 9TuxR ypasneniä, BbIHACTE ONAT ypasuenie CeABMOÏ CTellepH NO g; HO KaKB U3B AUbHbePEHNAIBHBIXB ypasseniä (E) u (F) BHAHO, ATO OHH MOTYTF YAOBICTBOPATECA YCA0BIAMU

! " 14 4 P=P—=P—=....,—=I—T =...

Tpeéyronmumu, aro68 M— M —M'"—... ng—0; ro #6 sroms cayyab ypaBuenie n0 g NOHU3ATCA OAHOÏË CTENCHBIO; OAHAKOKPE HU TOTAàA UpAMoe ero phmenie oCTaHeTCA BeCHMa 3a- TPYAHUTEABHPIMB: HOPTOMY ONATE AOXKHO UpnOPrAYTE KB HOCTENEHHOMY DPUOAUKEHIO AAA oupeabaenia g u Kkoanecrss W, M, u up.

14. Tpeanouoxugr, 4To naauetbr FOnurepr, Carypur nu Vpan CocTaBIAwTE oTAbAL- HYFHO CUCTEMY, U3B TPeXB NoCAbAUUXFE YpaBeiit (G) BPIBEACMB

(g—+ 7:496174) M" — 7374477 M — 0105321 M7—0, (g + 18,605304) M” — 18216580 M”— 0,386869 M'— 0, (g+ 2,328019)M'7— 07936010 M7 — 1391850 M — 0, KOTOPIA AAÏTE ypaBHeHie 9 g° + 28/429497.9 + 65258545 .g + 0,733386 — 0, YAOBICTBOPACMOCE BEAUAHHAMU —— 0011289, g,=— 2506078, _g,= — 25912129. Uro6r TU BEAUAUHBI H COOTBÉTCTBYIONIA MB OTHOMEHIA MexXAY KoanaeCTBamn M, M, H Hp. YAOBICTBOPAAH BCbME cemn ypasHeHiAM (G), AOJXKHO HX'B HCIIPABATE IIO H3PRACHEHHOMY BB 44. 6, u np. TakumB 06pasoME Hañzemp Ce

j ER TS MR He MVL MAS COMPROMETTRE?

(63 559

B5KOBPIA BO3MYIEHIA CEMU BOJBMUX'B ILIAHETB.

g,—=—2/504470, M, M! < gr — 02342409, = —0.1511952, M” mu” LA 14 == — 00835881, 24, — — 0,0705605. ÿ: = —25,914299, M, M, M” x” m1 — 3,9870545, mi — 13,6260018, , LA 2 mr 92830262, À, — —23,1882597. 7 2

Cawsie xe KosææunieuTs M, M, n np. u coorsbrersyromia ums Beaudugpl , B,, 8, onpeaë- AAIOTCA HOCPEACTBOME pi = 0,0129260 (2,1114653), p}? — 0,0403916 (2,6062908),

p{ = 0,0226956 (2,3559423),

ge = 0,0039545 (3,5970979), 9% — — 0,0162662 (2,2112863), g% = — 0,0033632(3,5267534),

H NO BbHIAUCIEHIAMB, N0A06BBIMB TPMB, KOTOPbIA NPeAIOKEHPI BB AI. 8, HañAeHO: B— 103° 12° #1”, M=M=M"=M"=M"=M = M!= 0,0274242 (2,4381340).

B,==1267,36! 11”, MY = — 0,0164705 (2,2167075 —), M, — 0,0038580 (3,5863703),

M; — 0,0024903(3,3962456), M; — 0,0022661 (3,3552881), M\= 0,0017227 (3,2362123), M}— 0,0013767(3,1388519), M}=— 0,0011621 (3,0652692).

B—=4967167 97:

M'}= — 0,0006810 (4,8331912 —), M, — 0,0002668 (4,4262114), M;=— 0,0002717 (4,4340968), M; — 0,0027154(3,4338434),

M, = 0,0092802 (3,9675597), M}— — 0,0063224(3,8008809), M}=—0,0157928 (2,1984594).

560 (64) À. EPEBOMHKOBT.

15. Jua otabasuoü cucremb1 niamers Mepkypia, Benepri, 3eman nu Mapca, u33 nep- BBIXB AeTBIPEXE ypaBHeHii (G) u3B16KaeMB ypaBHeHiA:

(g+ 5/500903)M — 2910272 M — 0,884164 M’ — 0/027981 M” — 0, (g+ 11587972) M'— 0285177 M — 6,803375 M” — 0102035 M” — 0, (g + 12925261) M"— 0065888 M — 5173924 M’ — 0298197 M” — 0, (g+ 17558543) M"— 0012602 M — 0,468969 M'— 1802212 M” — 0, u3B KOTOPPIXB BBIXOAUTE YPaBHeHie 4eTBePTOÏ CTeNeHH: g + 47,5172679.g° + 774,9530916.g° + 4968,1750601 .g + 10776,0151743 — 0.

Kopuu sToro ypaBHenia CYyTB:

g—=— 4956182, g,—=— 6774810, 9, = — 17/#31810, g, = — 18/409874.

Mcupasusr uUxB TaKB, ATO0B OHH YAOBIETBOPAAIU BCÉME CeMH ypaBHeHiAMB (G), H B3ABB

Po — 0,0882740, go — 0,0853867, p, = 0,0572013, d,—0,0154754, Po = 0, Un <= 0,

114

py— 0,0240235, ge — 0,0216355, HAXOAUM'P

g, = — 47950464, 8, — 20° 55° 19”, M, = 0,1090698 (1,0377048), M, — 0,0195908 (2,2920522), M; — 0,0106600 (2,0277572). M; — 0,0024332(3,3861851), MY = —0,00000034 (7,5402043), M; — 0,00000253 (6,4039780),

M'}=— — 0,00000021 (7,3283796).

g,= —6,794076, 8, — 106° 54 13”, M,= 0,0252813 (2,4027994), M, — — 0,0081563 (3,9114940), M, = — 0,0066941 (3,8256938), M; — — 0,0014352(3,1569148),

MY = — 0,0000023(6,3662918), M} — — 0,0000214(5,3310494), M'2=— 0,00000206 (6,3149393).

g, = — 17406732, B, — 114° 50’ 26”, M,— — 0,0014967(3,1751340), M; — 0,0085917 (3,9340789), M: = — 0,0082167(3,9146986), M — — 0,0541037 (2,7332270),

MY = 0,0000025 (6,3988645), M} — 0,0000212 (5,3275689), M'1— — 0,0000020 (6,3030086),

L

B5KOBbI1A BO3MYINEHIA CEMH BOJUBIIUXB DIAHETE. (63) 561

ge = — 18,432286, B.— 73° 27 16, My = — 0,0036682(3,5644513), M, — 0,0222155 (2,3466581), Me — — 0,0215490 (2,3334277), M; — 0,0315320 (2,4987515), MY= 0,00000012 (7,0808233), M4 — 0,00000071 (7,8525667) M{— — 0,00000006 (8,7958132).

16. I Take oGmia æopmyabt 414 BbKOBHIXR u3MbHeHI BB HAKAOHEHIAXE HA BB AOATO- TaXB Y3J10BB CYTb : | SeMAA.

p —0,0266984 + 0,0022661 sin (126° 36° 11”— 25044704) + 0,0027154sin(126° 6 9/— 9259142991) + 0,0106600 sin(20° 55 19”— 49504644) — 0,006694%1 sin(106° 54 13”— 67940764) — 0,0082167 sin (114° 50° 26”— 17,4067321) — 0,0215490 sin (73° 27 16”— 1874322861), g'—= — 0,0062676 + u np. ce» cos BmbeTo sin.

Mepkypiü.

p = 0,0266984 + 0,0038580 sin (126° 36 11”— 2504470 6) + 0,0002668 sin(126° 6 9”— 25914299 1) + 0,1090698 sin (20° 55 19"— 4,950464 1) + 0,0252813 sin (106° 54 13”— 6794076 1) — 0,0014967 sin (114° 50° 26”— 17406732) — 0,0036682 sin (73° 27 16”— 18432286 1), g= — 0,0062676 + n np. c» cos BmbCTO sin.

Benepa.

p = 0,0266984 + 0,0024903 sin (126° 36 11”— 25044700) + 0,0002717 sin(126° 6° 9”—25/9142995) + 0,0195908 sin (20° 55° 19”— 4950464) — 0,0081563sin(106° 54 13"— 67940761) + 0,0085917 sin (114° 50° 26” —17;406732 6) + 0,0222155 sin (73° 27 16° — 18432268 1), q = — 0,0062676 + u np. e5 cos swbcro sin.

Mémoires sc. math. et pbys. T. VI. 71

562 (66)

q

144

{4

r

À. TEPEBOMUKOBF.

Mapez.

p—0,0266984 + 0,0017227 sin (126° 36 11”— 25044701)

( + 0,0092802sin(126° 6 9/—25/9142994) + 0,0024332 sin (20° 55° 19/— %/9504640) — 0,0014352 sin (106° 54 13/— 67940760) — 0,0541037 sin (114° 50’ 26”— 17/406732 1) + 0,0315320 sin (73° 27° 16/— 18/432286 0),

— 0,0062676 + u np. cr cos 8mbCTO sin.

IOnureps.

p = 0,0266984 + 0,0013767 sin (126° 36° 11”— 25044704

) — 0,006322#sin(126° 6° 9’—25/9142990) — 0,00000034 sin (20° 55° 19”— 49504641) — 0,0000023 sin (106° 54 13”— 6794076 1) + 0,0000025 sin (1 14° 50° 26” — 17/4067320) + 0,00000012 sin (73° 27° 16” — 18432286 0),

— 0,0062676 + n np. c& cos BmbcTo sin.

Carypur.

p' = 0,0266984 + 0,0011621 sin(126° 36 11”— 25044704

q —

g

VI

) + 0,0157928 sin(126° 6 9”—25/914299 1) + 0,00000253 sin (20° 55 19”— 49504646) — 0,0000214 sin (106° 54 13”— 67940764) + 0,0000212 sin (114° 50° 26”— 17406732) + 0,00000071 sin (73° 27° 16”— 18432286 1),

— 0,0062676 + u np. cr cos BMbCTO stn.

Vpaut.

p''= 0,0266984 — 0,0164705 sin (126° 36° 11”— 2/504470 6)

—0,0006810sin(126° 6 9”—25/914299 5) — 0,00000021 sin (20° 55° 19”— 49504646)

. + 0,00000206 sin (106° 54° 13"— 6794076 1)

— 0,0000020 sin (114° 50° 26”— 17,4067321) — 0,00000006 sin (73° 27° 16”— 18432286 1),

— 0,0062676 + u np. c& cos BMÉCTO sin.

B5KOBPI1A BO3MYINEHIA CEMU BOJBIIUXB MIABETR. (67) 563

17. 3% sTuxe æ0pMy18 BnAHO, 4TO HaKAOHeHiA BCbXP OPÔHTE OTHOCUTEABHO 9KAUN- Tukn 1800 r. usmbuaIoTCA nepioanaeckn, u npeab.1b1 UXB CYTL :

aan Bemau: 4° 32° 497 » Mepkypia: 9° 42° 267 » Beuepbi: 5° %° 16; » Mapea:) 7e A7 25% » IOnurepa: 2° 0° 43, »OCarypda: 2732737, NPparan M0 ES 54m

Ilepsoe u3E 9THXE YNCeAB HOKABIBACTH, ATO HpeAbAbI HARAOHEHIA 9KAHOTHKH KB 9KBa-

TOPY CYTL; 28° 0° 43” u 18° 55 3.

18. B+5 uaïñïaenubixR o6muxr æOpMyaaxB, AOATOTBI Nepureliest H Y3A0Bb CAUTAHTCA OT BecenHeii To4ku paBhozencTBia 1800 r.; Ho KaKB oHa e>keroAu0 oTcTynaere Ha 50,24, TO KO BCHME AUCAAMB, HOMHOÆACMPIMB Ha {, HAAOOHO NPHAABAT 50724, — yTO BUAHO H3B cabayiomaro: Korza, Ha npambp?, BB 1800 r. 4ouroTa nepureaia KakOïü HUÔYAB DAaueTil ecTb ©, TOTAa OTHOCUTEABHO NOABHÆKHOÏ TOKU PABHOACHCTBIA AOITOTA €rTO 4pe3B { AbTH GYAeTE

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ur fsin (© + 507241) Lu fsinw cos (30/24 t)+-fcosw sin (30224 t) 7 fcos(w+ 530,246) fcoswcos(30,24t) — fsinwsin(50,24t)

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___ Msin(B+gt) cos (50/24 1) +....+ Mcos (B+-gt)sin (30/24 bts.

7 Mecos(B+gt)cos(50,24t)+....— Msin(f+-gt}sin(50,24t)—....

_ Msin[B+(g+-50,24) €] + M sin[B, + (91 + 50,240] +... 7 Mocos[f+(g+50,24)€] + M, cos [B, +(g, 50,244] +...

19. Tenepe cocrasums 06mia æopMyasl 414 CTporaro BBIAUCIeHIA H3MbHEHIH BB Ha- KAOHCHIN 9KAUITHKU H Bb HPeABAPEHIN PABHOACHCTIH.

Ilyers E'Q 6yaers orsarops, JN'E — sxannruka 88 1800 r., u JNE” — skaunrura BE 1800 ++, rab { MOxXeTBE GBITR KOIHAECTBO HOAOKUTEABHOE H OTPHUATEABHOC: BB Tpe- yroauukb JN'N, cropona N'N Gyaers npeacrasants npeasapeuie pasnoaenCTBia Ôg no npa- MOMY-BOCX0#Aeuito, cropoua N'J— xoarory yata N, pasuocrs N'J— NJ — 5l, — npeasape-

HilO paBHOACHCTIA HO AOATOTÉ; Mo u Ôpycoe npedsapente pasnodencmeit npoucxroù AMS MOAKO OMS *

56% (68) À. IEPEBOMUKOBRB

Owücmeia naanems. BR Tous xe Tpeyroabuukh, yrors JN'Q == £, eCTR HaKA0HeHIe 2KANTITHKH 1800 r. rB oKBaropy, yroaB JNO— & + de, rab de, ecTs uamronentie 3M070 HaKA1ONeRIA Mak- mce MOUKO OMG OMUCMEÎA NAIAREMS, M HaROUCUNE yroaxs N'JN — i Hakiouenie KAUNTHRH KE camoñ ce0b no ucreuenin Bpemenu {. M Tan, 10 MarocTu yraa ©, MoxKeMB B3ATE

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