(M4 14E0 2 / Dr CRD 1 Yi ue (J de (rl à . ‘ à 0 M Net pi UE Qi { ll ral pe il) de g: e | _— » _ £ sd \ st np, . B.— : ins e RE = PE L) l ( ï t | ! le # i Li À | 1 : à , 1 U 0] TR dc L ni " : k | lei È 0 HE US vo à ï ‘0 U æ ur , pu L "] ; ' ui w} L ; l 1 Tr D t [AU ! in an à y | ñ 1} s à n : à 2 L We j Ls L } Ti s- G. » " AU A Cure ET MÉMOIRES E SOCIÉTÉ ROYALE DES SCIENCES DE LIÉGE. "4 HAUT ia | MÉMOIRES DE LA SOCIÉTÉ ROYALE DES SCIENCES DE LIÈES. Nec temere nec timide. \0 HOME DIXIÈME. LIÉGE, CHEZ H. DESSAIN, IMPRIMEUR. BRUXELLES , PARIS, CHEZ C. MUQUARDT. CHEZ RORET, zB"°. LEIPZIG, MÊME MAISON. BUE HAUTEFEUILLE , 10 bis, I. — Nouvelles démonstrations de la formule du binome de Newton , par A. Paque, PROFESSEUR DE MATHÉMATIQUES À L'ATIÉNÉE ROYAL DE LIÉGE. FORMULE BINOMIALE. L'élévation aux puissances n’est qu’une opération de multipli- cation; la formule du binôme donnant le développement d'une puissance quelconque d’un binôme et par extension d’un polynome, devrait done occuper, en Algèbre, une toute autre place que celle qui lui est assignée. Ce déplacement a pour cause la méthode suivie pour établir la formule binômiale, méthode longue et peu élégante qui fait dé- pendre la démonstration de la formule d’une théorie qui ne pré- sente d'applications importantes ei nécessaires, que dans les par- ties plus avancées des mathématiques. En effet, on expose d’abord la théorie des permutations , arran- gements et combinaisons, théorie dont les idées nouvelles se déve- loppent assez difficilement à l'esprit qui n’en aperçoit pas immé- diatement l'utilité; on effectue ensuite le produit d’un certain nombre de facteurs binômes, ayant tous le même premier terme. On examine soigneusement la forme de ces produits, et bientôt on parvient à soupconner les lois de leur formation. Mais comme ce n’est là qu'une induction on justifie la généralisation de ces lois par une démonstration. Enfin on suppose égaux les seconds termes des facteurs binômes ; on observe et l’on formule les changements que cette nouvelle hypothèse introduit, et seulement alors on est en droit de reconnaitre le développement avancé par Newton. Pour donner à la formule binômiale la place que lui assigne, en Analyse, la déduction logique des idées, il faudrait trouver une démonstration élémentaire indépendante de la théorie des permu- tations, arrangements et combinaisons : tel est le but que s’est proposé l'auteur de ce travail. 2 A. Paoue. — Nouvelles démonstrations Comme préliminaires établissons trois propositions dont les deux premières appartiennent à la divisibilité des fonctions algébriques, et la troisième aux identités algébriques. Tuionème I. a et b étant deux fonchons quelconques, et m un nombre entier m le quotient p'E peut étre entier. A — Démonstration. Déterminant par les procédés connus, un nom- bre n de termes du quotient, on aura : am Cr — q"—t + ab... Ha®nbrt _ Fe; : a—b mn fn Donnant dans le reste , à n sa plus grande valeur m, 12 c'est-à-dire ayant cherché le m1" terme 6"—{ du quotient, on a pour reste be a—b Or, ce reste ne peut jamais être nul, puisqu'il faudrait que be —0. ConoLLAIRE. La différence des puissances semblables de deux fonctions alge- briques est multiple de la différence de ces mêmes fonctions. Soit donc à prouver que a”—b" est divisible sans reste par a—b, a et b étant deux fonctions quelconques et »# un nombre m m m s RE a) entier. Comparant la division Ur A à celle UE ÿ > °n con- clut immédiatement que le quotient conserve la même forme et que le reste correspondant au m®® et dernier terme du quotient, bep" est (ST a—b Et l'on voit que le reste est nul. — Le quotient a la forme QU ab +... am, gb E pri, Qt de la formule du binome de Newton. TuéorÈène Il. Siune équation identique a ses deux membres de même forme par rapport aux puissances de la variable, les coëfficients des mêmes . puissances de part et d'autre, sont éqaux entre eux. x élant une variable, soit l'identité A Bx + Cr? Das +... — AB + Ca + D'xs…. D'où A— A! —(B--B)x + (C'—Cjx? + (D'— Ds + ou A—A—x[B—B+(C—0C)x + (D'—D)x+.….] (1) x étant quelconque le produit du second membre est une quantité essentiellement variable; cette relation (1) ne peut donc exister qu’autant que simultanément on aura B'—B+(C'—C)x+(D'—Djx +... — 0. (2) et A—A'=—0, d'où A—A. On prouverait de même que B—B", en remarquant que la relation (2) a la même forme que (1); et ainsi de suite on aurait C—C', D—D'.. Ce travail est divisé en deux parties : la 1"° démontre la for- mule binômiale dans le cas d’un exposant entier et positif; la 2"° établit la formule dans le cas d’un exposant quelconque. 3 A. Pique. — Nouvelles démonstrations PREMIÈRE PARTIE. De la formule du binome de Newton , considérée dans le cas d'un exposant entier et positif. Avant de nous occuper du développement binômial pour ce cas, nous éludierons un développement plus général et qui ren- ferme celui-là comme cas particulier. I. — p étant entier, soit à rechercher le développement auquel donne lieu le produit (1+x) (A+ ax) (14 ax) (1 Ha? x). L'exposant de a dans chaque facteur indiquant combien de binômes précèdent celui que l'on considère, il y a nécessairement p facteurs dans le produit. Il est clair que p sera le plus haut exposant de x dans le déve- loppement; d'autre part, en multipliant entre eux tous les pre- miers termes, indépendants de +, on aura un terme indépendant dex, ou en x. D'ailleurs tous les premiers termes des facteurs binômes étant égaux entre eux et à l'unité, le terme en x°, dans le produit, est 1, Ordonnant par puissances entières, positives et croissantes de la variable x, le développement aura la forme D=—1 + A,x + Asx? +... LA, Il est évident, en effet , d’après la composition des facteurs, qu'il ne pourra jamais se présenter dans D de puissances fractionnaires de x, et encore bien moins d’exposants négatifs. Les quantités A,, A,, A, , .... A,_1A, sont des coëficients à déterminer, fonctions seulement de a, et de ses diverses puis- sances ; cherchons la composition de ces coëfficients. Il était nécessaire de vérifier, comme nous venons de le faire, la forme du développement D; car ainsi cette forme n’est plus une hypothèse, mais bien un fait. Trop souvent il arrive dans l'emploi de la méthode des coëflicients à déterminer, de donner gratuitement à un développement la forme que cette méthode assigne ; dans la de la formule du binome de Newton. 5 seconde partie on verra avec quelle circonspection on doit faire application de cette méthode. La forme de D étant indépendante de toute valeur particulière de æ, nous pouvons y changer x en ax; désignant par D’ le ré- sultat de ce changement, il viendra : = (1 ax)(1+a?x) …. (1Hax), ou D'=1+ A,cx+ Asax? ..…. A;uar. Renarquons que 1x = D'—D E Le d'où D—D'— — (—cæ)x ; or D—D'—A,(1—a)x + A:(1—a)x +. LA,(l—«)a. Donc D DS. (— &)x = A,(1— ax + A:fl—a)xt +...+ A,(1— a). Divisant par x les deux membres de cette égalité, et chassant le dénominateur, on a : =["! (1—a)+[A,(A— a°)+A(1—a)]x + [A:(1—4) + A,(1—a°] [A (a?) + An (lt) | 1 HA (1 —c) ar, Remplaçant D par sa valeur : (AA x LA,n5 Ant +... + A,æ7) (1—@) = A— a) +[A:(1— a) + A (1— a) rt + A, (1 — 2. Le second des théorèmes établis comme préliminaires de ce tra- vail, fournit, par son application à cette relation , la succession des égalités : A,(1— a) —1—«). (1) A3(1—a)+# A (1—a) = Ai(l—c). (2) AG) A (I) A (le) (in) A4 Lu TETE =) L' A,1(1—0?). (p) Au) = A (1). (p+1) Ces p+1 équations du {1% degré checun quant aux coëfli- cients qu'elles contiennent, et dont la dernière cst une identité, 2. 1 6 A. Paque. — Nouvelles démonstrations détermineront les valeurs des p coëflicients, et l’on aura ainsi, par suite du théorème II déjà rappelé : A,=1+a+a+... ++ at, A>— [1Ha+ a+... +@—], À PRE Mn L... + a] Mapa dé 4 Le coëfficient général A, sera A, at es 1+a+ a+... +ar-! Multipliant membre à membre ces diverses et dernières égalités, ordonnant tous les polynomes entrant dans les caleuls relativement aux puissances croissantes de a, et faisant a a? aÿ Cons = 1La 1Hata 1+ata+a "Late t. ai T=(i+a+a+... + ae 2)({+ate +... + a)... (+a+a+...+et). On aura AF=VIR La composition de T est simple et facile à définir : c’est un pro- duit dont les différents facteurs sont les sommes des puissances successives de a , depuis la Of jusqu’à celles p—1,p—2, p—5.. (p—n)èe respectivement, ces sommations étant arrêtées à celle, où pour un terme qui en a » avant lui, on réunit les p—n pre- mières puissances de a (celle de degré 0 comprise). On peut écrire d'une manière générale T= XX _«. Cette notation signifiant que T est le produit (X) de la suite Ah [i+a+a+...+aet]. des sommes YX des différentes (i} puissances de a, prises depuis la Ofme et arrêtées successivement aux p—1,p—92,p—53, … (p— nine, Quant à la composition de V, qui est une fraction, il est aisé d'a- percevoir que son numérateur est égal à a élevé à une puissance d'un degré égal à la somme des n—1 premiers nombres natu— ; n(n—1) rels ; celte somme étant = , le numérateur de V est de la formule du binome de Newton. 7 n(n—1) 2 a Le dénominateur de V est composé en a, dans ses différents fac- teurs d'une manière analogue à celle dont sont composés par rap- port à la même lettre, les différents facteurs de T ; et conformé- ment à là notation qui vient d’être adoptée, on aura : n(n—1) A 2 VE = xYe 0 Donc enfin Aa" = DEC a he REP à (G) Tel est le terme général en ayant # avant lui dans le dévelop- pement D; n passant par toutes les valeurs entières comprises entre 0 et p, la relation G fournira tous les termes du dévelop- pement. IT. Le développement D contient évidemment p+1 termes. Cherchons la relation des coëfficients de deux termes en ayant respectivement x avant et après eux. Le coëficient du terme qui en a n avant lui sera immédiatement donné par p—1 n(n—1) ae An = PE : n—1 Dans la formule (G), x étant le nombre de termes qui pré- cèdent celui considéré, le terme qui en a » après luien a (p+1)—(n+1) où p—n avant lui. Donc pour avoir A,_,, on changera n en p—n dans G, ce qui donnera : DE Le — —n—1 XX È (p L n }) 8 A. Paoue. — Aouvelles démonstrations Et par suite : DU p=n—1 : (p—1)2n—p} (p—1)(2n—p) à\ 2 ou RG : (H) An Telle est la valeur du rapport des coëllicients de deux termes situés à égale distance des extrèmes. IL est important d'observer que lexposant de a dans (H) est toujours entier ; en effet, soit p pair, 22 —P le sera également , et c DB oi , p—1)(n—p) ie, étant ainsi divisible par 2, lexposant ER — sera enticr; soit p impair, alors p—1 est pair, et l'exposant de a est en- core entier. De p eat è Notons que cet exposant est positif pour n> g et négatif pour n € L. III. a étant quelconque, recherchons ce qui se passe dans D lorsque le rapport (H) est égal à l'unité. On a donc : Cr pNE= 1) 9 2 a —1, d'où (2x—p)(p—1=0) . Condition qui pour être satisfaite exige que De p In=p, d'où n=— 2° La conséquence immédiate qui ressort de cette valeur de » est que p est pair. Ainsi : Le développement du produit d’un nombre impair de facteurs de la forme (1+ aix) n’a point de coëfficients situés à égale dis- tance des cxtrèmes, qui soit égaux. Si p est pair et égal à 2q, on aura n —q, donc alors le déve- loppement à un terme milieu, donnant lieu au rapport H égal ÉV LE IL est à remarquer que si au moyen de la formule G on caleule de la formule du binome de Newton. 9 la première moitié du développement, on pourra immédiatement, au moyen de (H), décrire la seconde partie. IV. Examinons maintenant ce que devient D et son terme gé- néral, dans le cas particulier de a—1. Tous les facteurs, en nombre p, qui par leur produit donnent lieu à D, deviennent égaux, d’où D—(1+zx}. Les puissances entières et positives de a étant égales entre elles et à l'unité, le terme général (G) affecte la forme ne — Pr 1:25. Le rapport H, lorsqu'on y fait a — 1 devient : An FU Ma 1. On conclut, p étant pair ou impair, que les coëfficients des ter- mes à égale distance des extrêmes sont égaux pour le développe- ment qui se ne alors sous la forme : CE EE EE CC ETES A ed k 1.2...n crane A l'effet d'avoir pour les ue termes du binôme deux quantités quelconques, posons x — — dans ce développement, il viendra : on res D Cr. 1 1-2 ñ p(p—1)...(p—nt#1) 1-2 ...n Tel est, comme on sait, le développement d’une puissance en- tière et positive d’un binôme quelconque. G+y)r= + D Eye. 10 A. Paque. — Nouvelles démonstrations DEUXIÈME PARTIE. De la formule du binôme de Newton, dans le cas d’un exposant quelconque. V. Toutes les démonstrations élémentaires de la formule dans le cas d’un exposant quelconque se fondent sur la méthode des coëfficients à déterminer , méthode qui ne peut être rigoureusement employée que lorsqu'on a, au préalable, vérifié si le développe- ment peut être tel qu’on l'a supposé. Toutes les fois que cette vérification n'aura pu être faite à priori , il sera prudent de ne pas supposer un tel développement possible ; car, pour avoir négligé de faire cette vérification , des erreurs de suppositions, relatives à la nature d’un développement , peuvent rester inaperçues, la détermination des coëflicients ne dénonçant souvent pas ces erreurs. Cette vérification si nécessaire de la forme assignée d’abord à un développement se fait : Soit par induction, et alors on a soin de considérer assez de cas particuliers pour que la forme générale soit bien mise en évidence ; Soit par une démonstration rigoureuse. Cela est très-important, car il se pourrait qu'une série parüt obéir à une certaine loi pour un certain nombre de valeurs parti- culières de ses éléments, et que cette loi füt démentie par les valeurs suivantes ; c’est ainsi, qu'en arrétant la valeur de e aux 9 premières décimales , on croirait que e est une fraction périodique mixte ; et cependant le retour de quatre chiffres décimaux de e est un fait purement accidentel, puisque l'on peut démontrer que e ne peut s’exprimer au moyen d'une fraction périodique. La démonstration qui va être donnée de la formule du binôme, ne reposant pas sur la méthode des coëflicients à déterminer, écarte un germe d'incertitude inhérent à cette méthode; elle indi- que quand et comment le développement est impossible. Soient deux développements procédant suivant les puissances | | | de la formule du binôme de Newton. 11 croissantes et entières de x, et dont les coëfficients des différentes puissances s'obtiennent les unes des autres par la relation oo CR à | où & est le nombre de termes qui précèdent celui ayant C£ pour coëfficient ; où Æ est égal à » (ou C,) pour le 1° développement et égal à » (ou C, ) pour le second. Les différents coëfficients de ces développements sont done des fonctions de #7 et n respectivement (m et n étant quelconques). Représentons comme suit ces deux séries, limitées la première à la puissance re de x, la seconde à la puissance r'** de la même variable. f(m)=1+Mx Mn + …. Mit... +M2, Î(n)=1 + N,xHNx +... £ Nix +... HN. Etudions le produit de ces développements, et à cet effet cher- chons quel y sera le coëflicient du terme en x. Représentons par P,, P,, P,, … P;,... P,:,, les divers coëfi- cients successifs de ce produit. Il est aisé de voir que P; a pour expression : PM; MN, + MN, +... EMNi ot M Ne + N; 1. (1) Introduisant dans les deux membres de cette égalité le facteur mEn—i 1 TS “Ten VEULE mn—i mn—i m—n—i P; | 3 == — : —— + +1 Hs iLI A FATAL m n m n—i LMNe nn LN, == = () Transformons comme suit chacun des termes du second membre mn —i m—i n m—i 1 Peer EME + MN, 151? —i —i+1 —) LS AS Re . ——= Nu en MT ER 12 A. Paoue. —- Nouvelles démonstrations . Mmn—i m—i+2 n —2 NM SN M NM m+n—i . Mm—i+3 —3 NM rer ie FI ——— + N, Mo ET Ô aa —i+3 M,N: DORA = NN; Eu LM, 25 1 , mn : n—i+9 MN 92 —— © _— NN NM 21 MN = NAME +N:M, UE 1 n—1i n — n, PER Nm tt. HD EN : = TT ‘ii Substituant dans (2) pour les premiers membres de ces égalités, respectivement leurs seconds, et classant le résultat d’une manière convenable, il viendra : mn —i î —k P;———— = > NM: NM . (5 î iL1 2 AN —— — + A k° ET Fi ( ) La quantité Æ passant par toutes bp valeurs entières De: entre 0 et à, la relation (3) présente deux catégories de termes liés entr'eux comme suit : Te Me à MM, où #M,=M, fm #1}. (4) Mort Ne Nan où &N=N, (ne 10) On aura en faisant successivement w—1,2, 5, … k,i—1,i, i- 1, dans les équations de génération : M,=m, Ne 2M, =M,(m—1), 2N,=N(n—1), 3M,—M,(m r à : 3N,—N,(n —9), 4M,=M On 5). ©: 4N,=N, «a DE (G) DM. = = Moane i+-2) fin = Na(n—i12) iMi=M; (nm —it1), =Nii(n—it1), (HA )Min=Mi(m—i). Aa =N;,(n—i). LA de la formule du binôme de Newton. 15 1 : Fi dans (5) et remplacé cha- que terme par son égal que fournissent les groupes d’égalités G et G/, on obtiendra : ii ES G—kHI)M xt No iti DRE Ne | (6) (2 Après avoir dégagé le facteur mani ic i+1 Des réductions évidentes étant effectuées on a : ON M NM - Ni MIN + Niue (7) Or, de même que le coëfficient P; est donné par (1), de mème le coëflicient P;,, serait : Pig Min + NM HN Mit. MN + MON Niue Ceute égalité et la précédente (7) donnent : MmHn—i ail Cette loi de formation des coëllicients du produit est la même que celle qui régit la formation des coëflicients dans f(m) et f(n). D'ailleurs, observant que P, — 1, et donnant à à toutes les valeurs entières comprises entre 0 et i—1, on obtiendra les dif- férents coëfficients du produit; il est aisé de voir que le coëfficient général serait : P. (mæn)(m+n—1)(m4n—9) ….(m}n—it41) 20 5 îi | Pia = Pi (X) VI. Toutefois, il faut se-garder d’énoncer d'une manière géné- rale que la loi de formation du produit est la même que lie des facteurs. En effet, il est à remarquer que le ne (1) n’a pré- cisément cette forme que tant que à est plus petit ou tout au plus égal à r’, puisqu'il est toujours permis de supposer r'æ” et qui peuvent donner des puissances de x supérieures à 27’. On aura facilement Pérou = M, No Mo 1 Noge ee Moy Notc-p , 771 ou P,rau = Z, M,_, Ne LYHL « Dans cette relation >» est un nombre entier qui prend succes- sivement toutes les valeurs comprises entre 0 et r —r—1. Multipliant les deux membres de cette égalité par le facteur MmEn—(r +Ha+1) r+at2 À il vieu dra : P mn (rat) 1 ner ratp2 _ r+at2 F7 —1 1% Moy Nom En—r—a—1—;) 2%), 0 X ou nd hp P,tas MT. NS = rFa+ (A!+B) + en fesant 7—7)—1 A! — ” M, No+yn(m — 147) 0 271 B=XZ MNen(n—a—/—1). 0 Or T7) —1 A! — L Moy Nora (r —7+1) 3 d'où Y—7)—1 A'=M,: Nat (+1 ) +2 M;-yu Non (r— / + 1) ; 18 A. Paqus. — Nouvelles démonstrations ou encore v— 72 A'=M,Nou (m—r)+Y, M,-yNeuyya(r— 1). (] On aurait de même : TT —1 B=XZ MNa(at+2), 0 d'où B'=MyniNote-pe1(r a —r'+ 1) + T— T2 Z My Naryte(a+7+ 2), 0 d'où encore : B'=[n—(r+a— n)] Nota» Mega + T—7—2 L My Natyze (a+ 72), et Cr) MN + [n— (rar) ] Mon Niro» A+ B'— —r2 L M, Note (r + a+ 2 ) . Donc enfin m+n—(r+at+1) Po ct —————— — r+a-}2 Cm —T)M,N ou + [n—(rLae—r) | Mau Nite-p r+a+2 Tr) 2 +2 MN. 0 Mais remarquant que gr —2 )à M Noyrge = Pirate 0 il viendra : mn—(r+ ati) P4ai2 = Prtair FETES MS ce (rm) MN ag rer — n) Moi Nora r+u+2 Cette loi permet de calculer les coëficients des termes de fm- fn ayant des puissances de x de degrés compris entre 2r! et + (2) de la formule du binôme de Newton. 19 r+r!, en faisant passer æ par toutes les valeurs comprises entre 9r—r—1 limite inférieure de x, et 7'—2 limite supérieure de «. Si l'on représente par L la somme des termes du produit soumis à la loi Z, puis si l'on pose successivement dans YŸ : And 2,5, 0, et dans Z : Ro pan 7, rl; D r+9, …. r—2. On trouvera avee facilité : MNT 2/ m+n—r—6—1\,, P ati antennes rer | ENT Æ +£; { NB? ) : F = + Mc (r—m) M» Ne + (r— n) MeN> ne +84 là rH6+I Len op Ki = A prpur 6 em E ( + p+ )2 pH De mème = 9; 0 s v— 7 —2 0) Aer m+n r EE D (5 TB Jarre | D 77 2 27 B+2 =è Us “os Me Norte ne 1) Mr Norge 0 Qr + +1 Ê Fe j Ge m)M Ne rte (0 4 1)MonNee D B+A Nu FA ( mn—9r7—8— ! ) PER 0 9 + B+2 1 Le signe Le FE] signifiant qu'il faut considérer séparément chaque dant de FB comme facteur d’une somme L'r dont le dernier terme est si l'on a 6—0: (m+n—r—1)(nt4n—r—2) … (m+n— 92741) F2) (r45) Hi à 27 +4 20 A. Paque. — Nouvelles démonstrations et le premier mn —r 1 r'+2 On passe done, on le voit, d’un terme de cette somme au sui- vant en le multipliant par mn —r— k r'+k+1 r'k + 1 étant le plus grand facteur du dénominateur du terme considéré. are, x. On à donc : Y,=fm-fn=f(m+n)+K-L. VIII. Avant de rechercher ce que deviennent les expressions K et L pour le cas de fm et fn illimitées, il est indispensable de considérer la fraction suivante : où p est quelconque, et n, nombre entier variable, le dernier fac- teur du dénominateur. Déterminons la limite de cette fraction, le dénominateur ayant un nombre illimité de facteurs. On peut écrire : (—n+p)(2—n+p) … (p—1)p n CEST (Œ) N'ayant pas imposé de limite à x, on peut toujours supposer que n sera plus grand que la somme des deux autres termes de chaque facteur du numérateur de (B); pour éviter les facteurs négatifs on changera le signe de chaque facteur, ayant soin toutefois de multiplier la fraction par (—1})", ce qui donne : (n—1—pl(n—2—p)(n —5—p) ..(1—p)(—p) M bp iUr- av …. 21 CNP p est quelconque : soit » la quantité entière qui la précède dans de la formule du binôme de Newton. 21 l'échelle des nombres, et r son complément à p, c’est-à-dire soit : p=m+r. Substituant dans (C) nous aurons : (n—1—m— 1) (n—92—m—7r) … (1—7r) n (n —1) .… (m+2) ; 7) 17)... mn) (— m7) x FRONT (1). 0) Et sous cette forme il est clair que la limite ! de la fraction (A) est: nr 1)(r+2) …. (rm —1)(r+m) jy _ (m+t)m(m+1)… 2.1 ( En effet, si l'on divise par 7” les deux termes de la frac- tion fonction de x dans D (c’est-à-dire si l’on divise chaque facteur du numérateur et du dénominateur par n) il deviendra évi- dent qu’à la limite les différents facteurs se réduisent chacun à l'unité. IX. Si fm et fn, et leur produit Y, sont illimités, si donc T —00 , r/—0 déterminons ce que deviennent K et L. Deux cas peuvent se présenter , savoir : L 1 NC xS: Si x<{1 toutes les puissances de x à partir de x" et x° devien- nent nulles; donc les diverses sommes Ÿ des expressions K et L deviennent nulles (puisqu’alors les coëflicients de leurs diverses puissances de x sont constants, comme il vient d'être prouvé . m—En—r! $ VIII. D'autre part M», N>, Ps, sont constants, DCR r'+1 pour x infini. Donc K—0. 22 A. Paque. —- Nouvelles démonstrations On a aussi pour n= m + n — 9r! 1 CHAN), 1 DU D'ailleurs M,, My, N», P2 sont alors des constantes, donc aussi L—0, et Y, devient : fm.fn=f{(m+n). 9m Cas. Six>1, à partir de x” toutes les puissances de «x deviennent infinies et les quantités complémentaires K et L sont elles-mêmes infinies. De sorte que l’on a : f(m).f(n) =f(m+n)+0ce . De là on conclut : m et n étant des quantités quelconques , le développement du produit des séries f(m) et f(n) suivant leur loi commune n'est possible que pour x<<1; il est illusoire pour x>1. Consacrons done l'hypothèse x<<1 pour laquelle on à : fm-fn—=f(m+n). Soient n=r+s, s=v£w,w=x—+#7y, et ainsi de suite; on obtiendra la série de relations suivantes : f(m)-fn —=1{(m+En), fm.fr.fo=f(m+r+s), fmefrefuefuw = f(m+r+vo+w), fmefrefuefxefy = f(m-r +0 +ax+y). . . . . . Ces égalités existant pour m,v,r, x, y … quelconques, sont encore vraies pour M—=T=V—=X=Yy— EC. =. Donc en représentant par » le nombre de fonctions, on a : [e(a)}"= p(na) (F) de lu formule du binôme de Newton. 25 Dans cette relation a étant quelconque , on peut, en restant dans la plus grande généralité, poser G—= — en supposant m quelconque, entier, fractionnaire , positif, néga- tif, irrationnel ou imaginaire, et x un nombre entier. La relation (F) devient alors : Le CET = g(n —)=r{n) D'où en extrayant la racine n*° des deux membres, 1 m rs LES [e(m)] . D'ailleurs, comme tout ce qui vient d’être dit s'applique au cas de m quelconque, et en particulier à celui de m entier , pour avoir la forme du développement, nous n’aurons qu’à observer que si m est entier, on a : #(n) = (+). Substituant dans la relation précédente : 1 = [a+ |" = (+0) 111 : ; fn ; m : Mais dans le cas de x<1, il a été démontré que g (—) suit la n loi du développement binômial, donc : + étant entier : 112 — m 1= —_ — SR pl, (+ y) Se UE TE a m ,m m ne Ve du) Dar ce z enr ee Le a Fete Si maintenant on pose y— 7? On trouvera, toute simplifica- X on faite : 2% A. Paque. — Nouvelles démonstrations de la formule, ete. L m LA mn ñn (bx+a)” — (x)" + ar)" Er LED (LH) RP UN Le OMR T Cu Ainsi la formule du binôme de Newton est démontrée pour le cas d’un exposant quelconque. IL. — Théorie infinitésimale appliquée , PAR J.-N. Noël, PROFESSEUR ÉMÉRITE DE L'UNIVERSITÉ. INTRODUCTION. Ewpcor pes ivrinis. Le Moniteur de l’enseignement (1852 et 1855) renferme, sur l'emploi des infinis dans les Mathématiques élémentaires, une longue polémique entre plusieurs professeurs , les uns regardant cet emploi comme un grave et dangereux abus et les autres comme une amélioration essentielle dans les méthodes. Les difficultés opposées à l'emploi explicite des infinis sont réso- lues. Mais les objections faites prouvent combien peu les notions élémentaires sont approfondies dans la plupart des traités d'Alsëbre et de Géométrie , destinés à l’enseignement, et combien il est dif- ficile, même aux professeurs, de se dégager de toute routine en ne consultant pour cela d'autre autorité que celle de la raison. Il n'y aurait évidemment aucune difficulté si, au lieu d’écarter soigneusement les grandeurs infinitésimales, parce qu'on ne sau- raiten avoir des idées sensibles, on mettait les mêmes soins à en établir la théorie complète, C'est ce que j'ai essayé de faire depuis longtemps, et récemment encore, à l'occasion de la polémique ci- dessus. Mais comme les objections posées m'ont fourni les moyens d'éclaircir quelques notions élémentaires , il me parait utile de re- venir de nouveau sur l'emploi des infinis dans l'enseignement, afin d’avoir, avec plus de développement, une théorie infinitésimale plus claire, plus simple et mieux ordonnée. Ses applications d’ail- leurs exigent la théorie des autres symboles numériques; et j’in- diquerai très-succinctement cette dernière théorie, laquelle n’est C2 26 J.-N. Noec. — Théorie infinilésimale appliquée. pas toujours présentée bien clairement dans les traités élémen- taires. 3 Non-seulement les grandeurs infinitésimales sont inévitables dans les sciences Physiques et Mathématiques, mais elles y sont néces- saires , soit pour rendre plus évidente la liaison des idées et l’ana- logie que celles-ci ont entre elles, soit pour résoudre clairement et simplement certaines questions et passer ainsi directement du connu à l'inconnu. Dans ces questions, vous aurez beau chercher à déguiser les infinis par d’autres dénominations ou par de longs et obseurs détours, ils se trouveront toujours au fond de vos calculs et de vos raisonnements : seulement ces raisonnements seront beaucoup plus compliqués, moins clairs, moins logiques, sinon absurdes. S'il est vrai que l'on fait bien et avec facilité ce que l'on pratique souvent, il faut nécessairement établir et employer la méthode in- finitésimale dès les parties élémentaires, ainsi que Laplace l'a con- seillé; et cela afin de familiariser les élèves avec les moyens logi- ques de recherche que cette méthode générale fournit, de leur rendre moins pénibles les études scientifiques et d’y assurer ainsi leurs progrès. D'après cela, les infinis étant inévitables en Algèbre et en Géo- métrie, on peut demander pourquoi ils n'y sont pas toujours em- ployés explicitement? C'est parce que les notions des infiais sont obscures, répondra-t-on. Obscures sans doute, puisque les infinis nous seront loujours inconnus comme grandeurs. Mais leur exis- tence est certaine et démontrée; leurs définitions sont claires, pré- eises et entièrement à la portée des jeunes intelligences, aussi bien par suite que la théorie infinitésimale. Que faut-il done de plus pour que cette théorie soit complètement élémentaire? Si l'obscurité inhérente à toute chose inconnue était une cause suffisante d'exclusion , il faudrait renoncer à l’'Algébre et à toute science où l’on doit considérer des symboles numériques inconnus, représentés par des lettres, et où les symboles négatifs, imagi- naires, ete. désignent des nombres impossibles, que l’on soumet cependant à toutes les opérations du calcul. Comment d’ailleurs parvient-on à éviter l'obscurité ci-dessus? C’est en la remplaçant par une autre plus grande encore, entrai- nant à des détours, à de longs et obscurs raisonnements ( cercles vicieux ou non-sens) et lesquels ne cachent même pas complète- ment les grandeurs infinitésimales qu'on voulait éviter. Introduction. 27 Cela est prouvé plus bas; mais on voit déjà que pour être clair, simple et rigoureusement logique, en Algèbre et en Géométrie, il faut y employer explicitement les infinis toutes les fois qu'ils se présentent, soit pour discuter les formules, soit pour passer direc- tement du connu à l'inconnu en généralisant les définitions. Norioxs cénérazes. Outre les divers corps matériels, nécessai- rement finis ou limités de toutes parts, il existe deux quantités continues immatérielles, de natures différentes, et à chacune des- quelles l'intelligence humaine ne peut assigner aucune limile, ni commencement ni fin : ce sont l’espace et le temps (éternité.) Si lon fait abstraction de tous les corps existants ou qu’on les anéantisse par la pensée, il reste un vide immense et immuable : c'est l’espace ou l'étendue abstraite , dans laquelle se meuvent tous les corps de l’univers. « Lorsque notre esprit essaie de parcourir les régions de l'espace, il rencontre d'abord la lune, ensuite le soleil et les planètes qui l'entourent, plus loin un grand nombre de comètes , plus loin en- core des millions d'étoiles; partout il trouve l’espace et se fatigue en vain à en chercher la fin. » Quelque grand que soit donc l’espace ou le temps que l'esprit embrasse, il conçoit encore un espace ou un temps plus grand, et ainsi toujours ; de sorte qu'il nous est impossible d’assigner aucune limite, ni par conséquent aucune forme, à chacune de ces deux quantités continues. L'espace et le temps sont done infinis pour notre intelligence : ce sont deux énfinis absolus , de natures différentes et chacun komo- gène ou le même dans toutes ses parties. Nous n’avons de ces deux infinis, considérés en eux-mêmes, que des idées fort obseures, fort imparfaites; mais nous sommes bien certains de leur exis- tence, évidemment nécessaires à celle des choses. Car les phéno- mènes naturels, ainsi que les œuvres des hommes, ne s'accom- plissent qu'avec le temps et dans l’espace. Le temps ou la durée est donc la succession des choses. L'im- pression que laisse en nous la succession des évènements peut nous donner assez bien l'idée du temps, mais cette idée n’est pas tou- jours exacte ; car la durée nous affecte d’une manière trop variable, suivant les sensations qui nous dominent. Aussi nous arrive-t-il par- fois de trouver le temps trop long et trop court. Done pour avoir l'idée exacte de la grandeur d'un temps écoulé ou à écouler, il faut mesurer ce temps par une unité constante ct indépendante de sensations variables, 28 J.-N. Nos. — Théorie infinitésimale appliquée. On ne peut concevoir nettement que des portions finies de temps et d'espace, appelées temps et espaces relatifs. Les temps relatifs se mesurent ou se réduisent en nombres par une suite d'évènements identiques ou égaux , qui se succèdent sans aucune interruption. Ainsi la rofation de la terre, autour de son axe fictif, est un évè- nement supposé constamment le même, qui se reproduit sans cesse et qu'on appelle jour : c’est la plus naturelle des unilés de temps, du moins pour les habitants du globe terrestre. Quant aux espaces relatifs, que l’on peut concevoir limités de plusieurs manières et qu'on appelle volumes ou capacités, leur mesurage ou leur réduction en nombres est l'objet de la géométrie, où l’on considère encore deux autres genres détendue abstraite, savoir les surfaces et les lignes, pouvant être finies ou infinies, c'est-à-dire limitées ou non. Observons encore qu'une quantité peut être infinie en grandeur ou en petitesse, et que ces deux genres d'infinis se présentent iné- vitablement en Algèbre, comme symboles de nombres, et en Géo- métrie, comme étendues abstraites. Arithmétique et Algèbre. Des ixrinis. L. Un nombre est dit infiniment grand ou simple- ment infini, lorsqu'il surpasse le plus grand nombre imaginable. Un nombre infini ne peut donc jamais se former en comptant ses unités successives , ni par conséquent s'exprimer en chiffres : il reste toujours inconnu et indéterminé. C’est pourquoi on le dési- gne, dans le calcul, par une lettre et plus spécialement par un huit renversé, & , qu'on énonce infini ou nombre infini. IE. Un nombre est dit infiniment petit lorsqu'il est moindre que la plus petite partie assignable de l'unité, Un tel nombre est donc absolument inappréciable par sa petitesse et ne pourra jamais s’ex- primer en chiffres. Il n’est pas rigoureusement nul, mais il est trés-voisin de zéro, et sera toujours inconnu ou indélerminé. C'est pourquoi on le désigne, dans le calcul, par une lettre ou mieux par 2; car si l’on suppose l'unité divisée en une infinité de parties égales, chaque partie est évidemment moindre que la plus petite partie imaginable de cette unité; vu que cette dernière partie aura toujours un dénominateur fini, <œ. Les DEUX GENRES D'INFINIS EXISTENT. Les nombres infiniment grands et les nombres infiniment petits ont une existence certaine, Arilhmétique et Algébre. 29 d’après des faits numériques évidents. — En effet, 1° Le nombre de toutes les fractions possibles entre 1 et 2 existe nécessai- rement, hien qu'absolument inconnu ; mais ce nombre est si grand qu'il surpasse le plus grand nombre imaginable : il est infini. 2% Tous les nombres possibles entre 4 et 2 croissent insensi- blement depuis 1 jusqu’à 2; et il est certain que la différence d entre deux de ces nombres , immédiatement consécutifs , est si petite qu'elle échappe aux sens et à l'imagination. Or, bien qu'on ne puisse ni calculer, ni réaliser, ni exprimer, ni jamais connaitre cette différence d, d'une petitesse excessive , on sait du moins qu'elle existe nécessairement, et on lui donne un nom pour la dis- tinguer dans le discours : on l'appelle infiniment petite. De là on voit que dXc —1 et d=—1. Done ! est le symbole d’un nombre infiniment petit, conformément à la définition. 3° La première de toutes les fractions possibles, entre { et 2, étant 1d=1+1="#, on voit que les deux fermes de cha cune de ces fractions sont infinis. De plus , l’une de ces fractions se réduit à 3 il faut done que ses deux termes aient un facteur in- fini commun, contenu 5 fois et 2 fois dans le numérateur et le dénominateur. Conclusion semblable pour les fractions , à termes infinis, comprises entre À et 2, se réduisant chacune à une frac- tion finie, comme 44 sur 29, par exemple. En général , un nombre infini peut être le double, le triple, le quadruple, … d’un autre ou en être une fraction finie assignée. 4° Comme on ne change pas la valeur du nombre infiniment petit + en multipliant ses deux termes par 2, 5, 4, ... et que le double, le triple, le quadruple, … d’un nombre infini est infini lui-même et toujours désigné par æ , on voit que 4, ?, +, ete. sont les symboles d'autant de nombres infiniment petits. — On conçoit bien, en effet, que si le dividende, fini et donné, 4 par exemple, reste constant ; plus le diviseur est grand, plus le quotient est petit : si le diviseur est très-grand, le quotient est très-petit ; donc si le diviseur est infiniment grand, le quotient est infiniment petit. — On voit qu’un nombre infiniment petit peut être le double, le triple, le quadruple, … d’un autre ow en étre une fraction finie assignée. 5° Soit x le quotient infiniment petit du nombre queleonque fini a divisé par un nombre infini; on a donc xXæ = a. Ainsi le pro- où J.-N. No. — Théorie infinitésimale appliquée. duit d'un nombre infiniment petit par un nombre infini est lou- jours un nombre fini, mais indéterininé, uussi bien que ses deux facteurs. On voit aussi, par 5° et 4°, que le quotient de deux nombres in- finiment grands ou de deux nombres infiniment petits est toujours un nombre fini, mais indélerminé et inconnu , aussi bien que ses deux termes. Enfin, l'égalité æXo0 = a fait voir que st l’on divise le nombre a, fini et arbitraire , par un nombre infiniment petit x, le quotient est infini. Nowgres INEXPRIMABLES. Si la racine carrée d’un nombre entier n'est pas elle-même un nombre entier, elle est absolument inexpri- mable en chiffres et reste toujours inconnue. Considérons par exemple la racine carrée de 12. A cause de 1259 et 16, on voit que 12553 et 4; la racine carrée de 12 est donc comprise entre 5 et4, et n'est pas un nombre entier. Si cette racine peut s'exprimer exactement par la fraction irréduc- ble a sur c, dont les deux termes a et c soient des nombres en- tiers fênis ou aient un nombre limité de chiffres chacun, on aura successivement : a? a? =— et — — 12%. 2 VA FREE Ce C C C Le produit a° n’a jamais d’autres facteurs premiers que ceux de ses propres facteurs ; donc, puisque par hypothèse, c est premier ayee a, on voit que c est aussi premier avec le produit a?, et ne saurait le diviser, de telle sorte que le quotient soit le nombre en- tier 12c. La dernière égalité ci-dessus étant done impossible, il en est de même de la première; c’est-à-dire que la racine carrée de 12 n’est pas une fraction dont les deux termes aient un nombre limité de chiffres chacun ; il en ont done chacun une infinité et sont infinis tous les deux. D'ailleurs, y/12 est nécessairement l'une des fractions, à termes infinis, comprise entre 5 et 4; et puisque cette racine n'est pas une fraction finie, on a rigoureusement W/12=n sur p, n «tp désignant deux nombres entiers infinis, premiers entre eux. On voit done que la racine carrée de 12 est absolument inexpri- mable en chiffres et restera toujours inconnue. Mais on peut, comme on sait , calculer cette racine aussi approchée qu'on le veut; ce qui en prouve d'ailleurs l'existence. _ Arithmétique ct Algébre. 51 11 existe des théorèmes analogues au précédent pour les racines cubiques, les racines quatrièmes, les racines cinquièmes , etc. Des rarronrs. On appelle en général rapport ou raison le résul- tat de la comparaison de deux quantités de même nature. Ces deux quantités sont les termes du rapport : la première en est l’antécédent ct la seconde le conséquent. La différence de deux quantités est déjà un rapport; mais ce qu'on nomme essentiellement rapport ou raison de deux quantités A et C de même nature, c'est le nombre abstrait r par lequel il faut multiplier le conséquent C pour avoir l’antécédent À, de telle sorte qu'on ait exactement A— Cr; d'où A:C—r. De sorte que la raison r est aussi le quotient , c'est-à-dire le résultat du #e- surage de l’antécédent À par le conséquent C. Nous ne connaissons réellement que des rapports; et il est de la plus haute importance, dans les sciences, d'exprimer toutes les grandeurs continues , de même nature, par une seule d'entre elles, bien connue et prise pour unité ou pour terme invariable de comparaison. La relation A—Cr est done fondamentale, et elle l'est tellement que sans cette relation les nombres n'existeraient pas. — En général, nous ne pouvons avoir une idée exacte de la gran- deur d'une quantité À qu'en mesurant celte quantité, c'est-à-dire en déterminant le nombre r qui est le rapport de A à l'unité G de même espèce. LE RAPPORT ExISTE Toujours. Le rapport de deux quantités conti- nues A et C, de mème nature, existe nécessairement et il est unique. Concevons que dans le produit Cr, C reste constant et que le multiplicateur r croisse insensiblement ou par énfiniment pelits et passe successivement par toutes les valeurs numériques , depuis zéro; le produit Cr croit donc aussi et passe successivement par tous les états de grandeur, à partir de zéro. Donc, parmi toutes les valeurs numériques de r, il y en a toujours une et une seule qui donne rigoureusement A— Cr; et celte valeur de r, quelle qu’elle soit, est le rapport unique de À à C. On voit que ce rapport est toujours un nombre entier ou une fraction : seulement il peut arriver que cette fraction, plus grande ou plus petite que l'unité, ait ses deux termes infinis et soit énex- prümable en chiffres, comme r=y/3; et alors le rapport r reste absolument inconnu : on ne peut le calculer qu'aussi approché qu'on le veut; mais il n'en a pas moins une existence certaine. 32 J.-N. Noëz. — Théorie infinilésimale appliquée. Remarque. La raison r de À à C est dite nombre rationnel ou nombre irrationnel, suivant qu'on peut l'exprimer exactement ou non. Toutes les racines carrées, cubiques, quatrièmes , cin- quièmes, ete., nexprimables en chiffres, sont donc des nombres irrationnels. LA MESURE COMMUNE EXISTE TOuJours. Deux quantités continues À et C, de même nature, ont toujours un commun diviseur, assignable ou inassignable. Car ces deux quantités ont toujours un rapport ex- primable ou inexprimable en chiffres. 1° Si A=CX%, il est clair qu’en divisant C en 20 parties égales à æ, A contiendra 51 de ces parties æ; car on aura C=920x et A—20rX 5 —51x. Done x est commun diviseur de A et C, cette mesure commune étant assignable et finie. — Dans ce cas, les quantités A et C sont dites commensurables entre elles. % Si A=CY5, on sait que le rapport inexprimable 5 est une fraction » surp, dont les termes x et p sont infinis. Or, si l'on suppose C divisée en un nombre infini p de parties égales à æ et par conséquent infiniment petites, il est clair qu'on aura C=px et APE Xe = nez. Donc x est commun diviseur de A et C, cette mesure commune étant infiniment petite et inassignable par sa petitesse. De sorte qu’elle sera toujours inconnue. — Dans ce cas, on dit que les deux quantités À et C sont incommensurables entre elles; et cela signifie que C ne peut mesurer À, de telle sorte qu'il en résulte exactement le nombre y/5 inexprimable. TRANSFORMATION DU nArronr. Le rapport de deux quantités conti- nues reste absolument le même lorsqu'on divise ses deux termes par une troisième quantité, de méme nature que ces deux termes. — Soit toujours A — Cr; soient n et p les quotients de A et C, divisés ou mesurés par la troisième quantité m, les nombres abstraits » et p étant exprimables ou non. Il est clair qu'on a successivement A=mXn, C—=mXp;mn=—mpr, n—pr et n:p=r. A C A:C=7r, —=n et — —p; done Le Ce m m m M On peut donc ainsi passer du rapport de deux quantités conti- 5 QI Arithmétique et Algèbre. nues au rapport égal de deux nombres ‘abstraits , et récipro- quement. De plus, ayant mn:mp—r=—u:p, on voit que le rapport ne change pas de valeur lorsqu'on y supprime le facteur continu com- mun à ses deux termes. — Cette transformation est identique avec la précédente et se présente fréquemment en Géométrie, pour ra- mener une proportion entre quatre quantités continues à la propor- tion identique entre quatre nombres abstraits, et réciproquement. — (On sait que le rapport ne change pas quand on multiplie ou divise ses deux termes par un même nombre abstrait quelconque). Cazcuz inminirésimAL. Le calcul infinilésimal a pour but de trou- ver des nombres finis à l’aide de nombres auxiliaires infiniment grands et infiniment petits ; et ces derniers sont des nombres érra- tionnels, comme étant inexprimables en chiffres. D'ailleurs, le caleul des radicaux irrationnels n’est en réalité que le caleul des fractions à termes infinis, et permet conséquemment l’inversion de l’ordre des facteurs ; etc. Le calcul infinitésimal repose sur le principe essentiel que voici : Tout nombre ne peut augmenter ni diminuer celui qui le contient une infinité de fois, et doit se négliger ou être regardé comme nul à l'égard de celui-ci : c’est un zéro relatif à ce dernier. Tel est le principe infinitésimal. 4° Un nombre infini n’est ni plus m moins infini quand on lui ajoute ou qu'on en retranche un nombre fini et donné. De sorte que co 2 et — 4 sont la même chose que æ . Ainsi 2 et 4 sont comme nuls à l'égard de tout nombre infini , et celui-ci les contient chacun une infinité de fois. 2 Un nombre infiniment petit étant d'une petitesse inassignable ou qui échappe à toute appréciation, on ne peut aucunement en tenir compte pour augmenter ou diminuer un nombre fini. Car si, dans 9+1, l'infiniment petit devait ètre conservé, il faudrait, pour énoncer et connaitre celte somme, dire ce que + est à l'égard de l’unité employée; chose impossible, puisque par définition, cet infiniment petit est moindre que la plus petite partie assignable de l'unité. On doit done forcément négliger L et le regarder comme nul à l'égard de 9, celui-ci le contenant une infinité de fois. De sorte que 94 1—9; d'où 900-L1—9o0, comme on l'a vu (1°). En négligeant les infiniment petits à l'égard des nombres finis, on commet des erreurs, sans doute; mais ces erreurs sont les plus petites possible et n'ont absolument aucune influence, puisque > 94 J.-N. Noëz. — Théorie infinitésimale appliquée. cherchant des nombres finis, les infiniment petits ne peuvent en faire partie et doivent en être exclus. (Dans les applications, il y a compensation d'erreurs). DarrérenTs onDrEs D'ivrinis. L'emploi des grandeurs infinite- simales dans le calcul conduit à différents ordres d’infinis. D'abord les nombres infinis et infiniment petits, considérés jusqu’à présent , sont des infinis et des infiniment petits du premier ordre. Ensuite, les produits de 2,5 ,4, … facteurs, tous infiniment grands ou tous infiniment petits, sont des nombres infinis ou infiniment petits du second ordre, du troisième, du quatrième, etc. Ainsi æ ? est un infini du second ordre, et 1 sur ©? un infiniment petit aussi du second ordre. Soient æ, y, z trois nombres infiniment petits, chacun du pre- mier ordre; le produit xyz est done un infiniment petit du troi- sième ordre. Or, le produit de l'infiniment petit x par un nombre infini est toujours un nombre fini &, mais inconnu ; on a donc LYz X D = L 00 YZ — AZ. On voit que la somme d’une infinité d’infiniment petits du troi- sième ordre est un infiniment petit du second. De même, la somme d'une infinité d’infiniment petits du second ordre est un infiniment petit du premier ; et la somme d’une infinité d'infiniment petits est un nombre fini. Le principe infinitésimal s'applique aux différents ordres d’infi- nis; c’est-à-dire que chaque infini d’un certain ordre doit se né- aliger à l'égard d’un infini de l’ordre immédiatement supérieur. Car co 2— do — (00 — 1) K00 — 00 -20 — 0% ?. De même, chaque nombre infiniment petit d’un ordre quelcon- que est nul à l'égard de l'infiniment petit de l’ordre immédiatement inférieur; car il ne saurait augmenter ni diminuer ce dernier, comme y étant contenu une infinité de fois. Ainsi par exemple, æ désignant un nombre infiniment petit, on a Genie 7= 00, 1:2—1°%— 0 ,\etc: Des symBores Numériques. Les différents symboles sont inévi- tables dans les mathématiques élémentaires. En Algèbre, ils pro- viennent de la généralité complète que l’on attribue volontairement soit aux règles, soit aux formules où aux théorèmes numériques, afin de simplifier le plus possible les théories. De sorte que le calcul des symboles est nécessaire pour maintenir ou donner cette généralité, si importante. Arilhmétique et Algèbre. 5b) Or, outre les symboles des nombres infiniment grands ou infi- niment petits et les symboles irrationnels, tels que y/7, on doit considérer en Algèbre le symbole de l’idétermination, comme 2; celui de impossibilité : ?, le zéro désignant le néant , le rien, dans ce cas, comme dans le précédent. Il faut distinguer surtout les symboles négatifs et imaginaires, tels que —4 ety/—%, dési- gnant des impossibilités relatives ou absolues. SymBoLes NÉGATIFS. Un monôme est dit positif ou négatif sui- vant qu'il est précédé du signe + ou du signe — ; c’est alors un terme additif ou un terme soustractif dont le signe est L ou —. Les symboles négatifs se présentent dès le commencement de l’AI- gébre et sont fournis par /a réduction des termes semblables; ils doivent done être soumis à toutes les opérations du calcul. Mais pour cela , il faut généraliser les définitions de ces opérations. On ne saurait éviter le calcul des symboles négatifs isolés ; car opé- rer sur le binôme a—b, par exemple, c’est réellement opérer sur un monôme soustractif quand a<>b ; ce qui détruit la généralité des règles et des formules. D'ailleurs , l'hypothèse de a>b pourrait être absurde. Observons encore que si à rien, on ajoute 9, on aura nécessai= rement 9 pour somme. Done 0+9 où +9=—9; et réciproquement 9—+9. De même, + a—b—a—b. Mais —9 présentant une soustraction impossible, cette soustraction doit rester indiquée et donner ainsi un symbole négatif. Apnirion. En Algèbre on ajoute des additions et des soustrac- tions. Par exemple, si j'ai 40 francs dans ma bourse et que j'en dépense 18, le contenu de ma bourse éprouve une diminution de 18 francs ; j'y ajoute donc une soustraction de 18 fr. De sorte que 404 (—18)— 20 —18. En général, l'addition algébrique est une opération par laquelle on réunit des nombres , précédés des signes + et —, pour en faire un seul appelé somme ou total. D'après cette définition, on trouve a+(+b)=a+b et a+(—b)=a—b. En effet, ajouter Hb à a, c'est trouver une quantité composée de a et de +b; elle est donc a+b. De même, ajouter —b à 4, c’est former une quantité composée de a et de —b; cette quantité 56 J.-N. Norc. — Théorie infinitésimale appliquée. est donc a—b. On voit donc que pour ajouter un terme , il faut l'écrire avec son signe. SOUSTRACTION. La soustraction algébrique est une opération par laquelle, connaissant la somme de deux quantités et l’une d'elles, on trouve l’autre, appelée reste, excès ou différence. D'aprés cette définition, on démontre que a—(+b)=a—b et a—(—b)—=a+b. D'abord a est la même chose que a + b—b, quant à la valeur. Donc si de a, ainsi écrit, on veut soustraire Æb ou —b, il faut faire en sorte que +-b ou —b ne s'y trouve plus; il faut done y effacer + 0 ou —b, et alors il reste a—b ou ab. On voit que pour soustraire un terme , il suffit de l’écrire avec son signe changé. Muzriuicarion. En Algèbre comme en Arithmétique, le produit se trouve en opérant sur le multiplicande comme le multiplicateur en opérant sur l’unité. D'après cela, on démontre que LaX+b=n—9. Si done est sous-entendue , il vient —4>—9. De même, 0>—5; et cela est fondé sur ce que : plus on soustrait, moins il reste, et réciproquement. 2 De là, six? —— 4 et y°—— 9, il semble qu’on doive poser a >ye x >y; tandis qn'ayant x—2p/—1 et y—5y —1, on a, au contraire, x a, il est clair que l'expression (1) de x devient plus grande ou plus petite , suivant qu'on y remplace a par » ou » par a; c’est-à-dire qu'on a x <(m—-1)}n" et x >(m—+-1)a”"; d'où ré- sulte évidemment = (im 1)nt — < (m1) (nr — a"), Posant n—a—1 où a=n—1, la valeur qu'on vient de trou- ver pour x est identique avec la valeur (2) et l'on a Gn +1 )n— < (mn HA) Lnr— (0 — 1) ]= nt (nr — 1, Prenant donc successivement n—1,2,5, 4, .….,n, puis ajou- tant membre à membre les n égalités résultantes, il est clair que 14 J.-N. Norz, — Théorie infinitésimale appliquée. les termes entre crochets et ceux des seconds membres se détrui- sent deux à deux et qu’en transposant, on a {mm +1) far = nr <(m+ ln. Si done x est infini, le second terme du second membre est nul à l'égard du premier qui le contient une infinité de fois : done enfin n" = HTOENEPS 5 fee () Cette formule n’est exacte que pour infini, et il en résultè alors [n=Ein, fn =En, fn, etc. La formule infinitésimale (5) recoit un grand nombre d’applica- tions utiles dans la théorie du mesurage en géométrie analytique. Cette formule est vraie encore lorsque » étant infini, exposant # est un nombre quelconque, rationnel ou irrationnel, positif ou né- gatif, C’est ce qu'on démontre à l'aide de la série binomiale la plus générale, Mais la formule (5), où # est entier positif, suflit aux applications élémentaires. SÉRIES NUMÉRIQUES. On appelle série toute suite de nombres ou termes croissant ou décroissant d’après une certaine loi. Le terme général d'une série est eclui qui fournit tous les autres par les va- leurs entières successives de la lettre x désignant le rang de ce terme, lequel par suite est le x ième terme de la série; et si le terme général n'a pas d'autre lettre que », la série est dite numé- rique. — Pour abréger, nous désignerons par #4 et S, (qu'on énonce t,n et S,n) le n ième terme de la série numérique et la somine de ses x premiers termes. Ccla posé, on peut aisément trouver quelle est la série numé- rique dont on se donne la somme $, des x premiers termes en fonc- tion entière et rationnelle de n. Car si, de la somme des x premiers termes de la série numérique cherchée, on soustrait la somme des n—1 premiers, il reste nécessairement le n ième terme #,, réduc- tions faites, et l’on aura toujours — Sn = Sn. Prenant successivement n = 1,2,5, 4, ,n dans cette iden- tité, puis ajoutant membre à membre les n égalités résultantes et observant que, dans le nouveau sécond membre, les termes se dé- truisent deux à deux, à l'exception de S$, et de —S$,, on trouvera ht Et +. Hit où Jh—=Sn—S. Arithmétique et Algébre. 45 De là on voit que les sommes des x premiers nombres entiers , de leurs carrés et de leurs cubes sont : an(n 1), in(n+1)(2n+1) et Fn°(n +1}. De sorte que la somme des cubes des » premiers nombres en- tiers est toujours le carré de la somme de ces 7 nombres. Et si n est infini, on trouve, comme plus haut : Jn=in, fn =in et fni—=in. De même, les sommes respectives des x premiers nombres im- pairs, de leurs carrés et de leurs cubes sont : J@n-1)= 7, @n—1) —in(an—1) el JOQn—1ÿ = n° (2n°—1). Pour n infini, les deux dernières se réduisent à £n5 et à 2n4. — Dans ces applications, S. est nul; mais il a parfois une valeur dont il faut tenir compte. Par exemple, l'identité Qn—1 =} (20 —1)(2n+41) —F(2n—5)(2n —1), donne J(2n—1) —+(2n—1)(2n+1)+5=n?. Par le procédé ci-dessus, on peut trouver et sommer une mul- titude de séries numériques, plus ou moins remarquables. Par exemple, ayant 1 1 1 1 1 1 nn n47 En Dent) 21) nl) il vient successivement les deux formules : DE TC n+1 n° J: 1 : 1 ñn (2n—1)2n+1) © 2(2n+1) In+1° Pour n infini, la première de ces formules se réduit à l'unité et la seconde à +. SÉRIES LITTÉRALES. La série est dite ditiérale lorsque le n ième terme renfcrme d'autres lettres que n ; mais le procédé ci-dessus peut encore faire connaitre parfois la série littérale dont on s'est donné la somme des x premicrs termes en fonction entière et ra- tionnelle de n. Par exemple , il est clair qu'on a successivement : S—=an—tin(n—1}r; d'où Si-1 = a(n—1)+s(n—1)(n —2}r, et aÆnr—r—=Sr— Sy. Donc f(aknr—r}=Sr ou bien a+ (a+r)+(a+2r) +... + (aLnr—r)=an+in(n— tjr. 46 J-N. Noër. — Théorie infinitésimale appliquée Le second membre exprime done la somme des n premiers ter- mes de la progression arithmétique , où par différence, dont les nombres constants a et r sont le premier terme et la raison. D'ail- leurs, r quelconque peut être négatif; et si n est infini, il vient J(a+nr—r)=inr. De même, il est clair qu'on a successivement : Ti — 1 Se Be D 5 Sn_1 = Re) et ar 1=$,—$S, 1 . r—1 r—1 n — À Donc Jar1=S$, où a+ ar + ar? +... art Et : Le second membre exprime la somme des n premiers termes de la progression géométrique, ou par quotient, dont « est le premier terme et r la raison, positive ou négative quelconque. TERMES ALTERNATIVEMENT Positirs ET NÉGATIFS. La méthode des identités, pour découvrir et sommer certaines séries numériques, s'applique aux séries dont les termes sont alternativement positifs et négatifs. Par exemple, considérons l'expression Æ+(2n+1), le signe - du double signe répondant à # impair et le signe — à » pair. Cette expression change done de signe quand on y remplace n par n—1, et cela donne 5(2n—1). Soustrayant celte sc- conde expression de la première et réduisant, il vient En ++(2n +1) Hr(Qn—1). Posant done successivement n —1, 2,5, 4, ,n, puis ajoutant membre à membre les n égalités résultantes et réduisant, on trouve 1—945-4L... En ou JEn—+1(2n-t1)+t. De même, + (9n—1)—Æn+(n—1) donne 1—5+5—72 ... H(2n—1) où J+(2n—1)=En. Par la méthode des identités, on trouve aisément : SEn = LE in(n HA), /Æ(Qn—1)} = + (2n—1)(Qn+1)—;; 1—5:2-15.97— 7.95. (9n—1)9 1 Hi (Gn—1)2—;, JEnte9 = EL (On? + Gn —1)2—<. Il faut toujours bien se rappeler que dans chacune des formules précédentes, le signe L du double signe répond à n impair et le signe — à n pair; comme dans celle-ci : 1--5+6—10415—91L...2 n(n +1) =+in(n +9) (Et). Arithmétique et Algèbre. 47 Réciproquement , si le x ième terme de la série était donné, par exemple Æén(n+1), il serait presqu'impossible, même en tàton- nant, de calculer la somme des x premiers termes. En général, quand le x ième terme est donné en fonction rationnelle de n , si la somme des n premiers termes de la série existe , on parvient fort rarement à la calculer par la voie directe, si ce n'est pour les pro- gressions , etc. Puissances À ExposanTs ivrinis. [. Si un nombre surpasse l’unité , ses puissances positives croissent avec leurs exposants et deviennent infiniment grandes avec eux. Soit r>>1 et soit effectuée la multiplication par r—1 : on a (ro Le. bribr LD) = 7-1. Posant r—1=—x et observant que chacun des x termes du mul- tiplicande est © 1, on verra que ce multiplicande >n. On a donc ne nx+1. Comme x est un nombre fini constant, il est clair que le pro- duit nx croit avec nr, aussi bien que r”, et que si » devient infni- ment grand, il en est de même du produit #x, aussi bien que de r*. Ce qu'il fallait démontrer. IT. Si un nombre est moindre que l'unité, ses puissances posi- tives diminuent pendant que leurs exposants augmentent et devien- nent infiniment pelites quand ces exposants deviennent infiniment grands. Soit r<<1 et soit posé pr=1 ; d'où prrr—1 et r7—1:p7. Comme r<1,0on a p>1. Donc p? croit avec n et r" décroit : si n est infini, il en sera de mème de y”, et r” sera au contraire infi- niment petit; c’est-à-dire qu'on aura r° —2. Ce qu'il fallait dé- montrer. Procressions céomérriques. Si l’on divise a par 1—r, en or- donnant par rapport aux puissances ascendantes de r, il est clair que le quotient admet un nombre illimité ou infini de termes, vu qu'il y aura toujours un reste; et si l’on s'arrête au » ième terme £ de ce quotient, savoir £— ar*=*, on trouve a ar” 1 0e ar + ar Lars L …. A AMOS ES Soit S la somme des » premiers termes de la progression géo- métrique dont a est le premier terme, r la raison et £ le n ième 48 J.-N. Noëc. — Théorie infinitésimale appliquée. terme : l’identité précédente donne 2.2) a— ar” “CRE rt— a : 1—7r r—1 Si nous supposons le nombre » de termes infiniment grand, nous ne pourrons jamais calculer tous ces termes ; mais $ n’en sera pas moins la génératrice constante de la somme des termes de la progression, supposée continuée à l'infini; et il faut calculer cette génératrice. Or, la progression étant continuée à l'infini, à n’y a pas de dernier terme; c'est-à-dire que ar° est indéterminable et doit disparaitre de l'expression de S absolument comme s’il était rigou- reusement nul, bien qu'il ne puisse jamais le devenir. En effet, le terme ar° est variable avec c ; si done il devait res- ter dans l'expression de S, la génératrice constante S serait toujours égale à une quantité variable; chose évidemment absurde. Le terme ar” disparaît donc de l'expression de S, non parce qu'il est nul, non parce qu'il est infini ou infiniment petit, mais parce qu'il est variable ; et il en résulte S— a:(1—r). AR La génératrice de toute progression géométrique, continuée à l'infini, est done la fraction dont le numérateur et le dénominateur sont le premier terme de la progression et l’unité moins la raison. Et c’est ce qu’on a déjà vérifié en effectuant la division de a par 1—7r. ÉvaLUATIONS NUMÉRIQUES. I. Pour les évaluations numériques , la génératrice exprime exactement la somme de tous les termes de la progression, continuée à l'infini, chaque fois que la raison r, posi- tive ou négative, est moindre que l'unité : c’est alors le résultat d’une infinité d’additions partielles successives , ainsi effectuées sans autres calculs que la division de & par 1—r. Dans le cas de r<1 , la génératrice proposée est aussi la limite constante de la somme de tous les termes ; car plus on additionne entre eux de premiers termes de la progression, plus on approche de cette génératrice constante , à laquelle cependant on ne parviendra jamais, puisqu'il sera toujours impossible d'effectuer une infinité d'additions partielles successives. La progression alors , déjà décrois- sante par r<1, est appelée série convergente. IT. La progression serait une série divergente si r étant S1, On avait r—2, par exemple. Car alors, plus on prendrait de pre- miers termes de cette progression croissante , plus on s'éloignerait de ia véritable somme cherchée , laquelle se réduit ici à — a. Arithmétique et Algèbre. 49 Cela tient au ivrme complémentaire (sous-entendu) qui doit tou- jours accompagner chaque développement en série et qui n'en dis- parait réellement que pour calculer la génératrice constante; car, que n soit fini ou infini, le terme complémentaire est toujours va- riable. Ici par exemple, si l’on s'arrête aux cinq premiers termes du quotient, il est clair que le terme complémentaire se réduit à —92a, et qu’on a exactement a 1—2 Mais la fraction algébrique a sur (1—2) n'en est pas moins la génératrice, par division, de la progression proposée , continuée à l'infini. — On voit que les séries divergentes ne peuvent servir aux évaluations que sous la condition de caleuler le terme complémen- taire ; chose souvent impossible. ou —a=@+2a+ha+8a + 16a —32a. IT. Enfin, si r=1 et qu'on ait égard au terme complémentaire de la progression, continuée à l'infini, on trouve a a: a — où ——aXo+—; d'où 2L=aXe. ) Û À Te o—uX Ce résultat est exact, puisque œ est indéterminé. Procéné pLus simpce. Voici le procédé le plus simple pour cal- culer la génératrice x de toute progression géométrique , censée continuée à l'infini. On a d’abord œ = &+- ar + ar? + ars + ar“ + ete.; d'où æ= a+r(aar+ ar? + ar + etc.). Comme un nombre infini ne cesse pas d'être infini lorsqu'on en retranche une ou plusieurs unités , on voit que la progression géo- métrique entre parenthèses est identique avec la proposée; elle a done la même génératrice x, et l'on a ; a z—a—rx; d'où x— TETE La valeur de æ pourrait aussi s’écrire comme il suit : æ—=a+ ar +r?(a+ar + ar? + ete.) ; d'où «= a+ar+ rx, puis x—rx—a(l+7r) et (1—r)x=a, comme plus haut. Par ce procédé très-simple, on trouve la fraction ordinaire géné- ratrice de toute fraction décimale périodique. On trouve aussi la génératrice de toute fraction continue périodique et de toute série 7 50 J.-N. Norz. — Théorie infinitésimale appliquée. périodique illimitée, telle que fe Lo CP IDEPCAIUE ac+b L= ++ HR t — + — Letc, — ; con da lai c—1 ? les lettres a, b, c désignent des nombres entiers, a et b premiers avec c, et b pouvant être négatif. De plus, le nombre » de termes étant infini, cherchons x dans æ=a—a+a—ata—a + etc. Suivant que » est émpair où pair, on a æ—4a où æ—0. Or, aucune de ces deux valeurs de æ n’est la véritable, vu que le nom- bre infini # étant absolument indéterminé , n’est pas plutôt impair que pair; la valeur véritable de x doit donc dépendre également de ces deux-là ou être leur demi-somme, savoir L(a+-0) ou 44. Ona,enefflet, x—a—(a—ata—a+a—etc.); d'où x—a—x etx—=za= «(1+1). Appliquant le procédé ci-dessus lorsque chaque signe radical porte sur tout ce qui le suit, le nombre de ces signes étant infini, on trouve : x 21/2912 etc. = (2x); d'où x—9; x=V2+V2+y2— etc. =y(2+x); d'où x=2 ou —1. Il serait impossible de calculer autrement x, dans le second exemple; et l’on peut interpréter la valeur —1 : elle vient de ce que les radicaux sont alternativement positifs et négatifs. On trouve, en effet, x=y/2—ÿ/2+y2— etc. —y(2—x) et x—1 où —2, Propuirs D'UNE INFINITÉ DE FACTEURS FINIS. Si r<<1, soit p le produit du nombre infini de facteurs binômes 127,172, 1+ré, rs, 14-715, etc. et soit g le produit de leurs valeurs inverses ; d’où pq = 1. Effectuant les premières multiplications, dans p, on verra bientôt que p est la génératrice de la progression géométrique décroissante à l'infini, dont 1 est le premier terme et r la raison, moindre que l'unité : donc 1 DE 4 an et q—=1—7r. Ces deux valeurs sont des nombres finis ; ainsi il n'arrive pas toujours que le produit d’une infinité de facteurs , tous plus grands ou tous plus petits que l'unité, soit infiniment grand ou infiniment Arithmétique et Algébre. ÿl petit : cela n'a lieu que quand tous les facteurs finis sont égaux , comme on l'a déjà démontré. Ces démonstrations sont donc néces- saires. ForxuLe pu BiNÔME. L'examen des puissances seconde, troisième. quatrième, … du binôme 1+ x a conduit, par induction, au déve- loppement de (1--x)", n étant un nombre entier positif. La loi des exposants de x est évidente dans les développements de (1+x}, (A+), (4x), ete. Mais il n’en est pas de même de la loi des coëfficients , et la difficulté est de savoir comment chaque coëfficient se compose de l'exposant. Newton a deviné le premier cette com- position, sans doute après plusieurs essais inutiles : il paraît même qu'il s’est borné à la seule induction pour écrire la formule déve- loppement de (1+ x}. Or, la multiplication par 1 + x donne suc- cessivement : (Ha) = 14 9x, (1H) = 1 + 5x + 52+ x, (+) = 1 +4 Ga? ka + xt. Pour trouver la composition des coëficients avec l’exposant, on observe que le coëfficient 1 du dernier terme dans le premier dé- veloppement, et les coëflicients 5, { des deux derniers termes dans le second, sont : 1200 3560 ,_56-D6—9 ne 0 0 7 195 De même, dans le développement de (14 x)‘, les trois dernicrs coëfficients 6, 4, 1 sont exprimés au moyen de l'exposant 4 comme il suit : Ge AC LGAE-2)9), A(4—1)4—9)(4—5) RTE TE EI on 12.54 ; De là, l'exposant n étant un nombre entier quelconque, on est conduit à poser : 1 —_1}(n—2) (L+axÿr= 1 +0 D + de MRC DEN E 0 PETER 1-2...(u—1) 1-2...0 Dans cette formule, développement de (1+-x)', le coëlficient de x” a pour numérateur le produit des v facteurs décroissants n,n—1,n—2,n—5,.….,n—v—4+1l, et pour dénominateur Île produit des v facteurs croissants , 1,2,5,4,...v. La loi de for- 52 J.-N. Norz. — Théorie infinitésimale appliquée. mation des termes successifs de la formule est bien mise en évi- dence, d'après cela; et il faut démontrer que cette formule s’ap- plique pour toutes les valeurs entières et positives de l'exposant n. A ect effet, si l’on multiplie les deux membres de l'identité pré- cédente par le binôme 1x, les deux produits seront identiques et le premier sera (14 x)*#t. Quant au second produit, il est clair que le coëfficient de x? est N(n—1)...(n—v+9)(n—v+41) , n(n—1)...(n—0+92) 2... (u—1)v Li 1-2... (v—1) Done nn —1)(n—2)(n —5) … (n—v+2) TE 1:2.5+4 ... (u—1) tu “PA pee (n—5).…. (n—v+2) + 1.2.5-4 (0 —1)v : C’est précisément ce que devient le coëflicient de x”, dans le se- cond membre proposé, quand on y change x en n+1. De sorte qu’en changeant » en n+-1 dans les deux membres de l'identité proposée, on a leurs produits cherchés par 1--x. On voit donc que si la formule, développement de (1+-x)", est vérifiée pour une certaine valeur entière de l’exposant », elle est vraie encore pour une valeur plus grande d’une unité. Or cette formule est vérifiée pour n=9, 5 et 4 ; donc elle est vraie aussi pour 2 =5, puis pour n=6,n=—7, et en général pour toutes les valeurs entières et posi- üves de l’exposant 1. Tel est le procédé le plus naturel et le plus simple pour décou- vrir et démontrer la formule du binôme, dans laquelle on peut changer + en — x. Et si l’on pose æ—b sur «, il vient, en multi- pliant de part et d'autre par a”, le développement de (a+ by". SÉRIE BINOMIALE. Réciproquement, les variables n et æ étant des nombres ou des symboles quelconques, cherchons l'expression &n- médiate , ou la plus simple, en n et x, de y=f(n, x) dans l'équa- tion identique : gun D 8 4 MOOD “Le n(n—1)(n —2)(n—5)...(n—v+11) OR Hs 10 92.54 ...0 PER etc. Pour calculer l'expression immédiate de la fonction inconnue y, procédons par induction en descendant aux valeurs particulières Arillumétique et Algèbre. 55 de », et posons d'abord a —5, par exemple: dans ce cas l'équa- tion identique devient y—=1 + 5x +50 + 5 = (1H x), vu que 5 — n. De même, soit n——1 :ona y=1— + 2 — x5 E xt — etc. — 1:(14+x); d'où y=(l+a) = (A+a), car —1=n. Pareillement, sin —+, l'équation proposée donne = Æ l'y? 1 5 y$ TEA fees y=A Es es + —Ex Tr ae d etc. Or, on trouve la série du second membre en prenant la racine carrée de 1x, les termes étant ordonnés par rapport aux puis- sances ascendantes de x; on a done y=VÜHx) = (Laÿ = (1Hx)", vu qu'ici =n. Cela posé, puisque » et x désignent des nombres ou des sym- boles quelconques, je dis que : quelle que soit actuellement l’ex- pression immédiate de y en n et x, la forme générale de cette ex- pression reste absolument la même pour toute valeur particulière de n : tel est l’axiome de généralisation en Algèbre. D'abord la valeur particulière d’une lettre ne saurait évidemment modifier aucunement le rôle que cette lettre remplit dans la for- mule générale : en sorte que si » est d’abord un exposant, n reste encore exposant pour n=4,—%,p/(—2), etc. Ensuite, n étant indépendant de x, la valeur particulière de n ne peut amener au- cune réduction entre x et x dans l'expression immédiate de y; la forme générale de cette expression reste donc absolument la même; ce qu'il fallait démontrer. Maintenant, puisque la forme de l'expression de y ne change point par 2=5,—1,!,et que chaque fois on a y=(l+x)", il s'ensuit qu'avant ces hypothèses on avait déjà y=(1+ x). Donc enfin pour toutes les valeurs de x, rationnelles ou irrationnelles, positives , négatives et même imaginaires, la série du second mem- bre de l'équation identique proposée est toujours le développement de (1+x)" : c'est la série binomiale la plus générale et en même temps la plus simple, — On voit que la méthode fonctionnelle est le procédé le plus simple et le plus direct pour découvrir la formule de Newton et en démontrer la généralité complète. SOMME GÉNÉRALE DES PUISSANCES 9% 1ÈMES. Proposons-nous main- tenant de calculer l’expression immédiate ou la plus simple, en D4 J.-N. Norc. — Théorie infinilésimale appliquée. net m, de la somme fn” des puissances m ièmes des x premiers nombres entiers, » étant infini et » un exposant quelconque réel, positif ou négatif. 1° L'axiome de généralisation démontre que la forme actuelle de l'expression de fn”, en n et m, ne change aucunement lorsque l'exposant # , restant indéterminé, devient entier positif; mais alors on sait (p. #4) que fn" — n"#1:(m+1). Done puisque la forme de l'expression de fn” est restée la même, il s'ensuit que pour toutes les valeurs rationnelles, irrationnelles , positives ou néga- tives de l’exposant.m, on aura toujours, » étant entier infini, SN" — ms m+1 : 2 La somme fr" se réduit à n"*1 ou à zéro suivant que tous ses x termes sont égaux au dernier #” ou qu'ils sont tous nuls ; donc m+-1 est le plus grand des exposants de n, dont aueun n'est zéro, dans l'expression de gr". Et comme tous ces exposants /énis de à infini vont en diminuant, il s'ensuit que chaque terme de fn" qui suit le premier ant est contenu une infinité de fois dans ce- lui-ci; done on doit le négliger ou le regarder comme absolument nul à l'égard de ce premier, et l’on a [nr = an" ; d'où J(n—1)"= a(n—1)"#, car a étant indépendant de », il reste absolument le même quand on change n en n—1, Développant donc, d'après la série bino- miale, la puissance de x —1 dont l'exposant m1 est quelconque, puis négligeant tous les termes de ce développement qui suivent les deux premiers, comme nuls à l'égard de ces deux premiers, en vertu du principe infinitésimal ; réduisant et observant que fUM— j(n—1)"=n", on verra que n° = a(m+l)n"; d'où a — enr nr GEO 1+m 1+m Telle est la formule cherchée. Mais iei l'exposant » est quel conque réel; et si m——1,m——2 et m——+, on trouve 1 —: re et fn —92y/n. 1? Les deux premiers résultats étant absurdes, on voit que m né- gatif doit être moindre que l’unité. APPLICATION, Soit & un nombre donné quelconque; supposons- LUN Arithmétique et Algebre. 55 le divisé en un nombre infini n de parties égales à x et infiniment petites, d’où a=nx : il s'agit de calculer la somme S de tous les termes, en nombre infini #, de la série dont le v ième terme a pour expression : x—Ù0 °x° + Ja vx? — Su. A cet effet, on prend successivement v=1, 2, 5, 4, ...,n dans cette expression, puis on ajoute entre elles les x expressions résul- tantes, en réduisant par nx — a : cela donne S— an + 2a?x? fn — xt fie ; d'où S—a—9y'a+1— ax. Le terme — ax est infiniment petit avec x; il est donc nul à l'égard des nombres finis, et l’on a exactement S=a—2V/a+1=(y/a—1}. Les trois premiers termes de l'expression ci-dessus du terme gé- néral en v fournissent trois termes à la somme S cherchée de la série, parce que dans chacun l'exposant de v soustrait de celui de æ donne 1 pour reste ; tandis que le quatrième terme —5w#x# ne fournit rien à la somme S , parce que l’exposant 2 ôté de l’exposant 4 ne donne pas 1 pour reste. En général, on voit que l'expression du v ième terme de la série étant donnée, il faut , pour la simplifica- tion, y Supprimer d’abord chaque terme où l’exposant de v sous- trait de celui de x ne laisse pas 1 pour reste ; car ce terme ne four- nit rien au résultat final des calculs. Ainsi les trois derniers termes du développement de (v?-v)x7 doivent être supprimés , ce qui revient à supprimer d’abord dans (v° +vw)5x? et cela donne sim- plement vex7. Remarque. On sait que la série binomiale, à l’aide de la règle des variables ou du principe infinitésimal, conduit directement et avec facilité aux plus simples séries générales exponentielles et loga- rüthmiques. Mais, ce qui est fort remarquable, c’est que la formule du binôme, démontrée seulement pour l’exposant entier positif, conduit directement, à l’aide des infinis, aux deux séries exponen- tielle et logarithmique ci-dessus. SÉRIES EXPONENTIELLES. Î. Soit d'abord posé #p=1, n étant un nombre infini et par conséquent p un nombre infiniment petit. Si l'on développe (1+p}°, d'après la formule du binôme, le terme général de ce développement est, à cause de np =1, 56 J-N. Noëc. — Théorie infinitésimale appliquée. n(n—1)(n—9) … (n—v0+10 ne (—p)(—92p).….(1—vp + p) 1:2.5 …. v 1.2.3... v = LED) + 5 =) 0) _ En vertu du principe infinitésimal, ce terme général se réduit à 4 sur 2.5-4 … v. Ainsi on aura toujours (+p}=2+; +33 ee ne +x ————— + etc. Soit e la valeur de la série convergente du second membre : on démontre que la somme de tous les termes, en nombre infini, qui suivent le v ième terme #, est moindre que le quotient de # par v. On démontre aussi que le nombre e n’est pas rationnel et que par suite on ne peut le calculer que par approximation. On a trouvé e—2,718281828459045 ete. Le nombre e est done compris entre 2 et 5, et l’on a e=(1+p}". De sorte que quand l’exposant » est infini, le second terme infini- ment petit du binôme 1-p ne peut être négligé. On voit en outre que le produit d’une infinité de facteurs égaux , tous plus grands que l'unité , est un nombre fini. IL existe une proposition analogue démontrée (p. 50). ee IH. Comme le nombre p infiniment petit n’est pas rigoureuse- ment nul, on pourrait craindre qu'en négligeant p dans chacun des termes, en nombre infini, du développement de (1-Æp}?, il en résultàt une erreur totale fênie sur la valeur du nombre e. Or, l’er- reur due au terme général plus haut est évidemment la plus grande possible quand tous les binômes se réduisent à —p; et alors l’er- reur due au terme général est moindre que Æp°-t, expression où 2 est la plus petite valeur de v. De sorte que l’erreur totale est moindre que la génératrice de la progression géométrique décrois- sante à l'infini : p—p?—pi—pt + etc. D'ailleurs, comme cette génératrice p sur (1+p) est moindre que p, on voit à plus forte raison que la plus grande erreur totale est moindre que linfini- ment petit p; elle est donc rigoureusement nulle à l'égard des nom- bres finis. Ainsi l’on peut, sans erreur finale appréciable, négliger p dans chaque terme du développement de (1--p}°. HT. On démontre de mème que le développement de (1—p°}" se réduit à 1 exactement ou plutôt sans erreur finale appréciable. Arithmétique et Algèbre. ! by Ayant donc . 1=(-p}= (+) (ip =e( —py il en résulte (1—p}=lie=et, Ainsi, même quand l’exposant est infini, le premier terme du binôme étant un nombre fini et le second un nombre infiniment petit du second ordre, on doit négliger celui-ci absolument comme s'il était rigoureusement nul; et à plus forte raison doit-on le né- gliger quand l'exposant est un nombre donné fini. Cela démontre le principe infinitésimal, dans tous les cas. IV. Soit z un nombre rationnel ou irrationnel quelconque : il est évident que dans xp —1, on peut toujours supposer le nombre entier infini » tel que le produit nz soit aussi un nombre en- tier infini. D'abord si z est une fraction finie, le nombre infini ñ peut être supposé un multiple infini du dénominateur. Ensuite, si z est irrationnel, il est une fraction dont les deux termes sont entiers infnis. Il suffit donc alors de supposer n égal au dénomi- nateur, pour que le produit »z soit un nombre entier infini. Cela posé, ayant e—(1+p}", on a aussi = (1-Lp}"®. Or l'ex- posant »z est un nombre entier infini positif; développant done d'après la formule du binôme, réduisant par np—1 et appliquant le principe infinitésimal, comme pour la série expression de e, on trouvera - LA Zz ttes LS +557 5 +isas tee Telle est la série exponentielle la a simple et d’ailleurs très- générale ; car opérant de même sur e=(1—p}", on trouve exactement ce que devient cette série quand on y change z en —z. La série précédente est donc vraie pour toutes les valeurs de z, ra- tionnelles ou irrationnelles , positives ou négatives. V. Par les procédés ci-dessus , on démontre que : (Hp) (+ ps) et = (l—p}* = (1— ps). Dans ces formules remarquables, z est un nombre fini quel- conque, rationnel ou non, tandis que p est un nombre infiniment petit, » et nz deux nombres entiers infinis. Appzicarion I. Un vase peut se remplir par un tuyau ne four- nissant que de l'eau et se vider par un autre versant uniformé- ment c litres de liquide par heure, comme le premier. Pendant quel nombre x d'heures doit-on faire couler les deux tuyaux à la 8 bb) J.-N. Noëc. — Théorie infinitésimale appliquée. fois, pour que le vase contenant d’abord a litres de vin pur, n’en renferme plus que b litres à la fin? On suppose que l’eau entrant dans le vase se mêle sur-le-champ et exactement avec le liquide que ce vase renferme. Soit » le nombre infini d'instants égaux à p contenus dans une heure , d'où #p=1, et soit posé ad=c : on trouvera a(i—dpy==b; d'où ae #=b, Cette équation est facile à résoudre par logarithmes en observant que le logarithme ordinaire de e est le—0,4549945. APpLicaTION IT. Quelle somme x devrait-on rendre au bout de m années , pour une somme a empruntée pendant ce temps au taux de r pour 4 annuellement si, à chaque instant de la durée de l'année, l'intérêt échu se joignait au capital pour porter intérêt l'instant suivant ? — On trouvera x — e"”. Si done a—10000,m=—1 et r— 0,05, il viendra æ—10519 fr. 71. C’est seulement 19 fr. 71 de plus que si l’argent était placé à 5 p. 100 annuellement. SÉRIE LOGARITHMIQUE. Le nombre e ayant la valeur calculée plus haut, soit posé —1+x; d'où en prenant les logarithmes ordi- naires de part et d’autre, il vient /(1-Æx)=zle. L'identité posée devient = (1+x)°, x étant un nombre entier infini. Développant les deux membres de l'identité précédente, d’après la série exponentielle et la formule du binôme, puis supprimant le terme À commun aux deux membres de l'identité résultante et di- visant par # de part et d'autre, on trouve : sut ME + etc. ca TL. te as DORE a 25824. (oo “U Dans cette identité, tous les termes du premier membre qui sui- vent z ont # pour facteur commun; ce premier membre est done de la forme z+hn. Quant au second membre, on trouve tous les termes indépendants de x en y posant n— 0 ; ; ce qui réduit le terme général à Æzx’surv. Soit donc y la série ensemble des termes indépendants de » et soit kn l'ensemble des termes ayant n pour facteur commun : l'identité proposée prend la forme z+hm=y+hkn; d'où z = y+4-(k—hn. Dans cette équation identique ou toujours exacte, z et y sont Géométrie. 59 constants aÿec e et x, tandis que n infini est variable, aussi bien que À et k; il faut done que ë—h=0 : autrement le nombre constant z serait toujours égal au nombre variable y+(k—h)n; ce qui est absurde. On à donc nécessairement z—Yy et par suite I(1Æzx)=yle. Substituant la série représentée par y; il vient 1H x) = le(x—$e + En — ut Lx —}u + ete.) Telle est la plus simple série générale logarithmique, ayant né- cessairement une infinité de termes alternativement positifs et né- gaufs et où chaque coëfficient est la valeur inverse de l’exposant. De sorte que pour x—1, la somme algébrique de tous les coëlti- cients est finie, comme égale à {2 sur Le. Dans ce cas la série est lentement convergente : pour que la convergence soit rapide, il faut que x soit beaucoup moindre que l'unité, Six——1, on trouve —/0:le pour la valeur de là série hiar- monique, somme des inverses de tous les nombres entiers, à parür de 1—1. Comme le logarithme de zéro ne saurait se calculer, il en'est de même de la valeur de la série harmonique. On démontre en effet directement, par la décomposition en groupes, que cette valeur est infinie. C’est ce qu'on démontrerait d’ailleurs en chan- geant x en —(1—i),é étant infiniment petit, d'où li=—, et en appliquant le principe infinitésimal dans le second membre ré- sultant. Remarque. Je ne m’arrêterai pas à démontrer les autres sériés logarithmiques, ni à indiquer leur emploi , soit pour la construc- tion des tables de logarithmes; soit pour apprécier les erreurs dues à la proportion tabulaire. Je pense que les applications précédentes doivent'suffire pour bien\montrer toute l'importance de la théorie infinitésimale dans l’Algèbre élémentaire. Géométrie. Précunames. Les grandeurs infinitésimales se présentent inévi- tablement, dès le commencement de la Géométrie, pour donner à ses théories toute la clarté et la rigoureuse exactitude dont elles sont susceptibles. On y emploie toujours les infinis, du moins üm- plicitement, mème lorsqu'on veut les déguiser par d'autres dénomi- nations, par des définitions LI , des égalités impossibles et des pétitions de principes ou des non-sens, dans de longues et obscures démonstrations. — Ce qui est singulier, c’est qu'en procé- dant ainsi, on pense être entièrement logique et plus à la portée 60 J.-N. Noëz, — Théorie infinitesimale appliquée. des jeunes intelligences; sur lesquelles cependant on agit alors par voie d'autorité, ne pouvant les convaincre évidemment. S'il est toujours plus clair, plus exact, de considérer les choses telles qu'elles sont en effet, ou du moins telles qu’on peut les con- cevoir, et de les définir en conséquence, il devient évident que l'emploi explicite des infinis dans l’enseignement de la géométrie élémentaire, bien loin d’étre un grave et dangereux abus (ce qu'on n'a pu démontrer), est au contraire une amélioration essentielle dans les méthodes ; rendant plus claires, plus simples et plus com- plètement logiques les théories de celte science importante. C'est ce que nous voulons établir ci-dessous. Des périmions. Si les définitions de noms sont libres, elles doivent néanmoins faire connaitre le plus complètement possible les choses définies ; et cela, parce qu'il en résulte plus de clarté et plus de facilité dans les déductions logiques qui s'appuient sur ces définitions. En m'exprimant ainsi, je ne prétends pas évidemment qu'on puisse créer en Géométrie une vérité par une définition; mais je dis qu'une bonne définition, expression claire et complète soit d’une propriété caractéristique, soit d’un fait évident ou bien constaté, facilite la recherche de la vérité et y conduit le plus direc- tement possible. Licxe proire. On appelle ligne droite, ou simplement droite, le plus court chemin pour aller d'un point à un autre (lesquels points sont les extrémités de la droite et n’ont pas d'étendue). Telle est la véritable définition de la droite, proprièté caracté- ristique qui en donne l’idée complète , acquise par l'expérience de chacun. On en déduit aisément que : Deux droites, ayant deux points communs, coëncident dans toute leur étendue et n'en font qu'une seule. — Il en résulte que la droite peut se prolonger tou- jours ; elle n’est donc jamais finie, dans son état le plus général : elle est infinie et sa longueur surpasse alors la plus grande longueur imaginable, — On dit qu'une droite est infinie dans un sens lors- que, non limitée dans ce sens, on la conçoit prolongée sans jamais pouvoir arriver à la seconde extrémité, dite située à l'infini. — De plus on voit que deux points suffisent pour déterminer la position d'une droite ou plutôt sa direction dans l’espace. LIGNE BRISÉE ET LIGNE couRBE. On appelle ligne brisée toute ligne qui, sans être droite, n’est composée que de droites contiguës et finies, lesquelles en sont les côtés. — On nomme ligne courbe, ou Géométrie. - 61 simplement courbe, toute ligne qui n’est ni droite ni composée de droites finies et appréciables. Cette définition est claire et précise; mais il n’en est pas de même de l’ancienne définition, savoir : on appelle courbe toute ligne qui n’est ni droite ni composée de droites. Par cette définition néga- tive, on sait ce que la courbe n'est pas; mais il serait fort impor- tant, pour la facilité des déductions logiques , de savoir ce qu’elle est récllement. La définition négative est donc inintelligible et même absurde. Prax. On appelle plan, ou surface plane, toute surface dans laquelle prenant deux points à volonté et les joignant par une ligne droite, cette droite est tout entière dans la surface, aussi bien que ses prolongements en sens opposés. Par cette définition , le plan n’est limité dans aucun sens; il est donc sans limite, sans fin, dans son état le plus général : il est alors infini; c’est-à-dire qu’on peut toujours le supposer prolongé en tous sens de telle sorte que son étendue surpasse la plus grande étendue plane imaginable. — Le plan n’en est pas moins infini lors- qu’on en considère une portion non limitée et par conséquent in- déterminée ; mais alors on dit que le plan est indéfini. — De même, on dit que la droite est indéfinie quand on en considère une por- tion non limitée ou de longueur arbitraire. AxGce. On appelle angle la portion plane comprise entre deux droites illimitées , partant d’un même point. Ce point est le sommet de l'angle et les deux droites en sont les côtés. De sorte que l'angle est déterminé par le sommet et un point sur chaque côté. Cette définition est claire, simple et précise; vu que deux droites qui se coupent sont toujours dans le même plan : elle est d'ailleurs l'abréviation de celle-ci : L'angle est la portion plane dont deux droites illimitées, partant d’un même point, sont écartées l’une de l’autre, quant à leur position sur le plan. Pour bien définir l'angle, il suffit de le montrer , a dit Lacroix. Or, la portion qui en est tracée sur le plan, à partir du sommet, fait voir clairement la double propriété caractéristique dont cet angle jouit, savoir d'être illimité ou sans fin dans le sens de l'ou- verture et d'être d'autant plus grand que cette ouverture est plus grande elle-même, c'est-à-dire que ses deux côtés sont plus écartés l'un de l’autre. La première définition ci-dessus énonce implicitement cette dou- 62 J.-N. Noec. — Théorie infinitésimale appliquée. ble propriété; cette définition est donc parfaitement intelligible et elle n’est aucunement imposée aux élèves par voie d'autorité, puis- qu’elle exprime un düuble fait’évident pour tous. GÉNÉRATION DE L'ANGLE. L’angle plan est nul lorsque ses deux côtés coïncident. Dans cé cas, supposons que le côté AB restant fixe, l’autre côté AC tourne sur le plan! autour du somitiet fixe A': il décrit donc des angles de plus en plus grands; lesquels crois- sent par angles égaux et infiniment petits. — Lorsque le côté AC, tournant autour du sommet fixe À, est revenu coïncider avec le côté fixe AB, ce côté mobile a fait une révolution autouf du point À et a décrit l’espace anguluire plan autour de ce point. De plus, chaque quart de révolution de AG décrit un angle droit. Il est d’ailleurs évident que l’espace angulaire autour de chaque point du plan est invariable ; et comme l'angle droit est le quart de cet espace plan angulaire, on voit que tous les angles droits sont égaux entre eu et au quart du plan, quelles que soïent les positions: de leurs sommets sur ce plan. On voit de plus que l’espace angulaire plan'est un tout constant dont chaque angle est une fraction, exprimable ou non. La gran- deur de l'angle n’est done pas tndétérminéé : elle ne dépend! aüeu- nement de la longueur donnée à chacun des côtés de cet'angle; vu que celui-ci reste absolument'le même en les prolongeant à l'infini; mais cette grandeur dépend essentiellement de l'ouverture plane des deux côtés iou de leur écart plan. Enfin, la grandeur d'un'angle est déterminée par son rapport à la grandeur constante de l'angle droit; et l'on démontre que ce rapport est toujours un nombre fini, expri= mable ou inexprimable (mais infiniment petit, si l'angle est infini- ment petit lui-même). Remarque, L’angle est nécessairement une f{ywreplane de deux côtés, dont la surface est infinie et sans détermination possible dans le sens de l’ouverture , comme n'ayant pour nous dans: ce sens ni limite ni fin: Nous ne pouvons donc tracer dé l'angle qu’une partie plane plus ou moins grande ou indéfinie, commençant au sommet: Or, cela sufit pour le désigner clairement dans les théories géomé- tiques, où alors la surface de l’angle est plutôt actuellement indé— finie qu’actuellèment infinie; et ilen est de même de la longueur de chacun de ses côtés: Voilà pourquoi l’on peut supprimer les mots indéfini et infini, sans nuire à la clarté ni à l'exactitude lo- gique des raisonnements où l’angle-est employé. Il en résulte deux démonstrations, très-claires, très-simples et rigoureusement exactes, Géométrie. 65 du postulatum d'Euclide, base de la théorie Ia plus simple des parallèles. Tuéorème. Dans le même plan, si deux droites AB et CD ren- contrent en A et B, d’un même côté, la même troisième droite EF, de telle sorte que l'angle externe EAB soif plus grand ou plus ou- vert que l’ongle interne correspondant ECD ; je dis que les deux droites AB et CD finissent toujours par se couper étant prolongées suffisamment : tel est le postulatum d'Euclide , dont la démonstra- tion est bien facile, d’après la double propriété caractéristique de l'angle plan. 1° Puisque l'angle EAB est plus grand que l’angle ECD, il ne peut rester contenu dans ce dernier et en sortira tôt ou tard; non par EF, limite commune, ni dans le sens de l'ouverture, puisque dans ce sens les deux angles peuvent se prolonger de la même ma- nière à l'infini, et la surface de l’un ne peut dépasser celle de l’autre en ce sens. L’angle EAB ne peut donc sortir de ECD que par CD; et les deux droites AB et CD finiront toujours par se couper, étant suffisamment prolongées. On voit bien, en effet, que si cette inter- section wavait pas lieu, l'angle EAB serait toujours contenu dans l'angle ECD et ne serait pas plus grand ni plus ouvert; contraire- ment à l'hypothèse. 2 Faisant au point À, l'angle EAG = ECD, il est clair que la droite AG tombe dans l'angle EAB. On peut toujours faire glisser sur le plan l'angle EAG, et le côté EA sur EC jusqu’à ce que le point À tombe en C; d’où alors AG coïncide avec CD. Dans ce mouvement , le côté AG ne cesse pas un seul instant d’avoir un seul point sur AB, et ce point s'éloigne de plus en plus du point A jusqu’à ce que AG coïncide avec CD, où alors le point mobile est commun aux deux droites AB et CD ; lesquelles se coupent en ce point, pouvant être énfiniment éloigné (et ceci arrive quand l'angle EAB ne surpasse l'angle ECD que d’un angle infiniment petit ou moindre que le plus petit angle assignable). Conozzaire. Dans le même plan, si deux droites font avec une même sécante deux angles correspondants ou interne-externe inégaux entre eux, ces deux droites finissent toujours par se ren- contrer d’un côté ou de l’autre de la sécante. Cette dernière proposition rend, comme on sait, la théorie des parallèles la plus claire, la plus simple et la plus complète possible, en lui donnant une exactitude rigoureuse. 64 J.-N. Noëz. — Théorie infinitésimale appliquée. AUTRE DÉFINITION DE L'ANGLE. Il existe plusieurs définitions de l'angle et l’une des plus usitées est celle de Legendre, savoir : « Lors- que deux droites se rencontrent , la quantité plus ou moins grande dont elles sont écartées l’une de l’autre, quant à leur position , s’ap- pelle angle; etc. » Cette définition est inintelligible et ne fait pas connaitre l'angle. Qu'est-ce en effet que cette quantité plus ou moins grande ? Legendre admet implicitement que c’est une portion plane, puisqu’en diffé- rentes circonstances , il emploie la dénomination d’angle plan. Mais plusieurs professeurs nient que l'angle soit une surface : ils l'ap- pellent inclinaison et ne savent réellement pas ce qu'il est. En outre, les mots quantité plus ou moins grande semblent d’abord indiquer que la grandeur de l'angle doit dépendre de la longueur donnée à chacun de ses côtés; en sorte qu'on ignore s'ils sont li- mités où non. Pourquoi si peu de précision dans la définition précédente? C'est pour éviter la notion obscure de l'infini, qu'on n'évite réellement pas, puisque la surface plane de l’angle est sans linute sans fin dans le sens de l'ouverture. On préfère donc remplacer une obseu- rilé par une autre tellement grande que l'angle ainsi défini ne peut servir à établir rigoureusement la théorie des parallèles, et qu'il a fallu pour cela recourir à un postulatum. On connait ceux de Francœur, de Lacroix et d'Euclide : le pre- mier est le plus facile à accorder, comme réciproque d’une propo- sition rigoureusement démontrée; et ce postulatum a réellement l'évidence d’un véritable axiome. Car deux droites, dans le même plan, étant parallèles parce qu'elles ont une perpendiculaire com- mune, il semble qu’on peut toujours supposer celle-ci menée par un point quelconque de l’une des deux droites proposées. — Quant au postulatum de Lacroix et à celui d'Euclide, bien qu'ils aient des caractères d'évidence , il y a cependant doute et incertitude lorsque le point de rencontre doit être fort éloigné. D'ailleurs , quelle que soit la définition de l'angle plan, aucun postulatum ne saurait dispenser de faire bien remarquer la double propriété caractéristique de ect angle, si l'on veut être clair et lo= gique ; car cette double propriété étant de la plus grande évidence, sera toujours bien comprise. Mais alors le postulatum devient inu- tile, ou plutôt il n’y a plus de postulatum : c’est alors un théorème que lon peut démontrer complètement et très-simplement, ainsi qu'on l'a vu plus haut pour celui d'Euclide, Gévmétrie. 65 ANGLE ET INCLINAISON. Soit O un point quelconque de la droite AB et soit OC perpendiculaire à cette droite : il est clair que OC n’incline ou ne penche sur AB ni vers À ni vers B. Mais si l’on mène OD dans l'angle droit COB, la droite OD est inclinée sur AB, comme plus approchée de OB que de OA : elle est inclinée vers B. — L'angle aigu BOD exprime l'inverse de l’inclinaison de OD sur AB; car cette inclinaison est d'autant plus grande que l'angle aigu BOD est plus petit. De sorte que si l'angle aigu est nul, la droite OD coïncide avec OB : elle est alors rapprochée le plus possible de OB; l'inclinaison de OD sur AB est donc alors à son maximum vers B. — On démontre aisément que si du point C on mène à AB différentes obliques : 1° deux obliques égales sont également incli- nées sur AB ; 2° de deux obliques inégales la plus longue est la plus inclinée. L’angle de deux droites n’est pas toujours leur inclinaison, d’a- près la signification vulgaire de ce dernier mot; et l'angle n’est même l'inverse de l’inclinaison que quand il est aigu. Car, si l'angle est droit, l’inelinaison est nulle; et si l'angle est obtus, l’inclinai- son n'existe que par l’angle aigu supplémentaire. Mais la significa- tion actuelle du mot inclinaison n’est plus celle que lui attribuait Euclide : il employait ce mot dans le sens que nous donnons au mot écartement. Maintenant, nier que l'angle soit une portion plane infinie au non limitée dans le sens de l'ouverture, c’est nier l’un des faits géo- métriques les plus évidents et les plus incontestables. On con- çoit donc que pour établir cette négation, on doit commettre des erreurs, soit dans les hypothèses , soit dans les raisonnements employés; et c’est en effet ce qu’on découvre par les propositions que voici : Banoe ET mr-anGce. 1° Deux parallèles dans le même plan, ne pouvant se rencontrer , ne sont jamais écartées l'une de l’autre et ne sont côtés d'aueun angle ou plutôt elles comprennent un angle rigoureusement nul. Mais deux parallèles sont plus ou moins éloi- gnées l’une de l’autre et sont côtés d'une bande, figure plane ou- verte et infinie dans les deux sens opposés, et dont on ne peut tracer qu'une portion indéterminée ou indéfinie : c'est une figure régulière de deux côtés, dont la somme des deux angles intérieurs est nulle, vu que ces deux angles sont nuls eux-mêmes. 2 Toute bande est décrite par une droite qui se meut sur le 9 66 J.-N. Noëz. — Théorie infinitésimale appliquée. plan parallèlement à elle-même ; de sorte qu’une droite quelconque coupant les deux côtés parallèles divise la bande en deux biangles égaux entre eux, vu que les angles correspondants ou interne-ex- terne ne peuvent être inégaux, ete. 5° L'angle est formé par le mouvement d’une droite tournant sur le plan autour d’un point fixe et s’écartant ainsi de sa pre- mière position. L’angle et le bi-angle ont donc des générations différentes. 4 Le bi-angle et l'angle, bien qu'ayant leurs surfaces planes infinies toutes les deux , sont deux grandeurs de natures différentes ; et, en qualité d'angle ou d'écart, le premier ne peut mesurer le se- cond ni en faire partie. Le bi-angle, en effet, n’est pas un angle : c’est un trilatère dont le troisième angle est nul. 5° Puisque deux parallèles sont côtés d’un angle rigoureusement nul, il est clair que l'angle ne change point quand on en retranche un bi-angle par une parallèle à un côté; car alors on en retranche un angle nul. Voilà pourquoi les angles correspondants sont égaux entre eux lorsque deux parallèles sont rencontrées par une même droite sécante. 6° Enfin, la surface infinie du bi-angle est nulle à l'égard de la surface infinie de l’angle, comme y étant contenue une infinité de fois. Mais pour cela, il faut que le côté adjacent aux deux angles du bi-angle ait une longueur finie et donnée arbitrairement, comme on le suppose toujours. DE LA superposirion. Pour passer du simple au composé, la première partie de la Géométrie plane, où il faut établir les vérités qui résultent de la position des lignes , doit se borner aux égalités et aux énégalilés principales, lesquelles conduisent le plus directe- ment possible aux autres vérités géométriques. Or la superposition est le moyen le plus simple et le plus clair de savoir si deux gran- deurs sont égales ou inégales entre elles ; ce mode direct de recher- che et de démonstration doit donc s'employer de préférence pour étudier les égalités et les inégalités dans les angles, les perpendi- culaires , les obliques et les parallèles ; dans le cercle, les triangles et les quadrilatères. Tel est l’ordre le plus naturel des propositions successives ; car les égalités et les inégalités dans le cercle servent à vérifier, sur le papier, plusieurs propositions et à résoudre différents problèmes graphiques, par l'emploi de la règle et du compas; ce qui a l'avan- Géométrie, 67 tage de rapprocher le plus possible, les solutions des propositions sur lesquelles elles sont fondées. — On vérifie de cette manière que deux parallèles sont partout également distantes et que la per- pendieulaire à l’une est aussi perpendiculaire à l'autre (postulatum de Francœur). On vérifie aussi que la somme des trois angles vaut deux angles droits dans tout triangle (sur le papier) ; ete. — Voici plusieurs usages de la superposition pour démontrer certaines éga- lités et inégalités dans le cercle : D'abord deux cercles de rayons égaux sont égaux entre eux, aussi bien que leurs circonférences entre elles ; car les deux cereles peuvent toujours coïncider et se confondre en un seul. Ensuite, dans le même cerele ou dans deux cercles égaux, 5 y a égalités simultanées entre les deux angles au centre, les deux sec- teurs, les deux arcs interceptés par leurs côtés, les deux cordes , les distances de celles-ci au centre et enfin entre les deux segments. — L'une quelconque de ces égalités, en effet, entraine, par la super- position , l'existence de toutes les autres. Pareillement, dans le même cercle ou dans deux cercles égaux, au plus grand des deux arcs répond la plus grande des deux cordes, et réciproquement, pourvu que les deux ares soient moindres cha- eun que la demi-cireonférence. — Dans le premier cas, on porte le plus petit are CND sur le plus grand AMB, savoir C en A et D en un point E de l'arc AMB, entre A et B: la corde AE n’est done alors que la corde CD. Du centre A et du rayon AE décri- vant un are, il coupe évidemment AB en un point F, entre A et B. Donc la corde AB est plus grande que AF ou AE et que la corde CD. Réciproquement, si la corde AB > CD et qu'on porte CD sur AB, de A en F, ete., on verra que l'arc AMB> CND. Enfin, dans le même cercle ou dans deux cercles égaux, deux cordes égales sont également éloignées du centre , ei de deux cordes inégales , la plus grande est la moins éloignée. — La première partie de cette proposition est déjà démontrée; et quant à la seconde, on porte la plus petite corde sur la plus grande de telle sorte qu'elles aient une extrémité commune ; etc. On voit bien comment la superposition démontre directement et le plus clairement possible les égalités et les inégalités dans la pre- mière partie de la Géométrie plane. — D'ailleurs, la seconde partie a pour objet les lignes proportionnelles et leurs relations numéTi- 68 J.-N. Norz. — Théorie infinilésimale appliquée. ques; Voici done le procédé le plus simple et le plus rigoureusement exact pour y démontrer les proportions. Mérnone pes proportions. Deux quantités continues de même nature, ayant toujours un rapport , exprimable où non, ont aussi toujours une mesure commune, assignable ou non, finie ou tnfi- niment petite, comme on l’a démontré plus haut (p. 32). Cela posé, considérons quatre quantités continues de même na- ture deux à deux, savoir AetB, Cet D, et supposons ces quan- tités tellement liées entre elles que, si C et D sont divisées en x et p parties égales à leur commun diviseur x, les quantités A et B soient aussi divisées en # et p parties égales ou équivalentes à v. On a donc simultanément A= nv, B—pv, C=nx et D—pr; d'où A:B=nu:po=n:p et C:D=nx:pr=n:p. De là on voit donc que A:B::C:D. Telle est la méthode des parties égales pour démontrer directe- ment et très-simplement toutes les proportions entre quantités con- tinues, en Géométrie et en Mécanique. — Il en résulte, par une parallèle à la base d’un triangle , que deux infiniment petits ont tou- jours un rapport fini. Aurre Méruone. Presque tous les auteurs cherchent à éviter la mesure commune infiniment petite et pensent y parvenir par la distinction des deux cas : commensurable et incommensurable. Ils pensent même être rigoureusement logiques en appliquant au se- cond cas, soit la méthode des variables, soit le plus souvent la longue et obscure démonstration par l’absurde ; tandis que chacune des deux démonstrations est ou une pétihion de principe où un non- sens, ne démontrant absolument rien, si ce n’est qu’on n’a pas la véritable notion du rapport. En effet, si C et D sont incommensurables entre elles, il faut ad- mettre : ou qu’elles ont un commun diviseur infiniment petit, et alors le second cas n’est que la répétition du premier; ou bien que C et D n'ont absolument aucun diviseur commun, pas même ap- proché, et alors C et D n'ont absolument aucun rapport, pas même approximatif, et ce rapport n’existe pas; car dès qu'il y a rapport, il y a nécessairement commun diviseur. De sorte que la démonstration, pour un rapport sans commun diviseur à ses deux termes , est un véritable non-sens , aussi bien que la distinction des deux cas ; et celle-ci, d'ailleurs, est longuement inutile. Géométrie. 69 Réoucrion À L'Agsurpe. Il importe d'observer que quand la ré- duction à l'absurde est applicable, ce qui n’a pas lieu dans le pas- sage du commensurable à l’incommensurable , elle possède l'avan- tage de convainere l'esprit; mais elle n’a pas celui de l'éclairer. On ne doit done en faire usage qu'avec réserve et lorsque la vérité à démontrer a déjà une certaine évidence , comme pour les proposi- tions réciproques dont on abrège ainsi les démonstrations. Il existe d'ailleurs différentes circonstances où la réduction à l'absurde est nécessaire; mais alors la démonstration est fort simple et n'a rien de bien obscur. La réduction à l'absurde plait à l'imagination : tel est le prestige que produit cette forme de raisonnement , dans le passage du com- mensurable à l'incommensurable, que « par l’abus où l’on est en- trainé , on arrive bientôt à se former une sorte de conviction illu- soire el à se persuader que non-seulement on conçoit, mais en outre que l'on peut aisément faire concevoir à d’autres, la notion d'un rapport sans commun diviseur à ses deux termes ; notion qui serait inintelligible alors même qu'elle ne serait point absurde et con- tradictoire. » Sans doute que les élèves intelligents finissent toujours par rec- tifier la notion absurde précédente; mais, en attendant, quel doit être l'effet d’une démonstration appuyée sur cette notion? « C'est le plus souvent de former des élèves se payant de mots , ne voyant clair au fond de rien et devenant par suite incapables de trouver en eux-mêmes les éléments positifs d’une véritable conviction. » Si donc on n’a pas « pour but d'habituer les élèves à douter de leur propre raison , » rien ne peut justifier une telle méthode d'enseignement, où, pour que le raisonnement ait un sens, on commet une longue et obscure pétition de principe, afin de ne pas prononcer le nom de la chose qu'on est forcé d'employer implicitement ! AXxIOME DE MEsurAge. La théorie du mesurage a pour objet es- sentiel de remplacer un rapport par un autre égal, simple ou com- posé, plus facile à déterminer exactement. Or, observons que la dé- monstration de l'égalité de deux rapports , par deux fractions con- tinues identiques , suppose encore un commun diviseur infiniment petit lorsque ces deux fractions continues sont illimitées. Mais du moins le procédé, indiqué par Ampère , est naturel comme fondé sur Ja recherche directe de la plus grande mesure commune aux deux termes de chaque rapport : c’est le développement de l’axiome de mesurage dont voici l'énoncé : . 70 J-N. Noëz. — Théorie infinitésimale appliquée. Si quatre quantités continues de même nature deux à deux, A et B, Cet D, sont telles qu'en mesurant G avec D, on mesure en même temps À avec B, il est évident que les deux rapports ou les deux nombres résultants sont absolument les mêmes et qu’ainsi on aura toujours A:B::C:D. Tel est l'axiome par lequel on établit très-simplement les pro- portions pour mesurer tout angle au centre, tout rectangle, tout parallélipipède rectangle, tout angle dièdre , ete. Mais on pénètre plus avant dans la génération de chaque rapport par la méthode des parties égales; celle-ci est done plus instructive, presqu'aussi simple et plus générale, comme servant à démontrer toutes les pro- portions entre grandeurs continues, en Mécanique aussi bien qu'en Géométrie. Remarque. On voit déjà que les définitions plus haut du rapport et de l'angle plan, ainsi que la méthode des parties égales, sont les bases de l’enseignement le plus clair , le plus simple et le plus complètement exact de la Géométrie élémentaire : ce sont les pre- mières applications de la théorie infinitésimale, laquelle d’ailleurs n'est pas moins nécessaire pour simplifier d’autres applications géométriques. Dérinirion. Si l’on considère une série de points, séparés par des intervalles quelconques, tous ces points sont consécutifs; et deux points qui n’en ont pas d'autre entre eux sont dils émmédiate- ment consécuhfs et le second suit immédiatement le premier. — Il est bon d'observer que, ordinairement, le mot polygone désigne une surface limitée en tous sens par des lignes, dont la somme en est le périmètre ou le contour. Il n'y a donc pas de courbe polygone ; mais il y a des lignes brisées. LE CERCLE EST UN POLYGONE réGuLier. D'abord les longueurs de la circonférence et de son rayon ayant nécessairement un rapport, ont aussi nécessairement un commun diviseur ; lequel devant s’ap- pliquer exactement sur le rayon et sur la courbe, ne peut être qu'une droite infiniment petite, contenue un nombre infini de fois dans cette courbe, De sorte que la circonférence est composée d'une infinité de droites égales et infiniment petites. Ensuite, ces droites sont les bases d’autant de triangles isocèles égaux et infiniment petits, composant l'aire du cercle dont le centre est leur sommet commun. La hauteur de chaque triangle est done le rayon mené au milieu de sa base; car celle-ci, bien qu'infi- Géomélrie. 71 niment petite, n’est pas rigoureusement nulle; elle a donc un milieu par lequel passe l'extrémité du rayon décrivant cette base. Ici la hauteur du triangle isocèle est égale à chacun des côtés la- téraux; mais cela vient de ce que la base étant excessivement voi- sine de zéro, n’est qu'un embryon de droite, une droite naissante et invisible, dont par suite les deux extrémités coïncident en quelque sorte avec le milieu. De plus, le cercle est un polygone régulier, comme étant la somme d’une infinité de triangles isocèles égaux et infiniment petits, autour du centre. Chaque angle intérieur de ce polygone n'est surpassé par deux angles droits que d’un angle extérieur infini- ment petit et égal à l'angle du sommet de l’un des triangles iso- cèles; car chaque angle intérieur du polygone est la somme des deux angles à la base du triangle isocèle, etc. En résumé, on voit que : Le cercle est un polygone régulier d’une infinité de côtés infiniment petits, dont le rayon et l’apothème sont éjaux entre eux et dont chaque angle intérieur diffère infiniment peu de deux angles droits. AUTRE DÉMONSTRATION. Si l’on conçoit la circonférence divisée en une infinité d'arcs partiels , égaux et infiniment petits, il est évi- dent que chaque are partiel a est plus grand que sa corde c, elle- même infiniment petite. Or, soit r le rayon et À la hauteur du tri- angle isocèle dont c est la base et dont le sommet est au centre : il est clair que Ar et que 2h S et de T’'>S", on peut poser S= T—y et S' — T'— y; d'où l’on aura toujours T—y=T'— y et T=T'+y—7y!. Or, plus le nombre » est grand, plus les sommes S et S’ ont de points communs avec T et T'; plus elles approchent de coïncider avec T et T’, sans pouvoir jamais y parvenir (si ce n’est à l'infini); donc plus les différences y et y' sont petites, aussi bien que la dif- férence y— y", toujours moindre que y; laquelle est variable avec n, sans que l'équation T—T'+y—7y cesse d'être exacte. Et puisque T et T” restent constants, il est clair que si la différence y— y! (qui n’est pas nulle, mais variable) devait entrer dans cette équation, la grandeur constante T serait toujours égale à la quan- üté variable T'Æy—y!'; chose évidemment absurde. Donc la différence variable y—y" ne saurait être conservée dans l’équa- tion et doit en disparaitre absolument comme si l'on avait ri- goureusement y—7y —0 où y—0 et y =0 (ce qui fait coïn- cider S et S’ avec T et T'). Or telle est la règle des variables qui donne TT’ ou plutôt T équivalent à T/; ce qu'il fallait dé- montrer. Compensation p'enreurs. Si x est infini, toutes les tranches de T et T' ont la même épaisseur x infiniment petite. Et comme Géométrie. 81 chaque couple de tranches qui se correspondent dans les deux té- traèdres ont même hauteur x et leurs bases parallèles respective- ment équivalentes, il est clair qu’en regardant ces deux tranches comme deux prismes équivalents, on commet deux erreurs; mais, en vertu de la règle des variables, ces deux erreurs se compensent et disparaissent du résultat final des calculs et des raisonnements. Ce résultat est done rigoureusement exact par la compensation des erreurs finales y et y’; laquelle s'établit toujours par la règle des variables et conséquemment par le principe infinitésimal. En résumé, la méthode des variables démontre la méthode infini- tésimale, plus claire et plus simple, et où l’on néglige d'abord les termes infiniment petits fournissant ceux qui doivent disparaitre à la fin, comme variables : elle démontre aussi la méthode des li- mites et prouve ainsi que cette dernière n’est que la méthode infi- nitésimale, rendue moins claire. Mesunace pans LES corps rons. La méthode infinitésimale fait passer directement du mesurage des aires rectilignes et des volumes polyèdres au mesurage des aires et des volumes dans les corps ronds. Il en résulte immédiatement les propositions que voici (les unités “, s et v de longueur, de surface et de volume étant sous-en- tendues) : I. La surface latérale de tout cylindre droit circulaire a pour me- sure le produit des mesures de sa hauteur et de la circonférence , base de cette surface. — Car la circonférence est la somme d’une in- finité d'éléments rectilignes égaux; done la surface latérale proposée est la somme d’une infinité de rectangles plans égaux. II. La surface latérale de tout cône droit circulaire a pour mesure le demi-produit des mesures de son côté et de la circonférence qui lui sert de base. — Cette surface, en effet, est la somme d'une infinité de triangles isocèles égaux et plans , ayant pour bases les éléments rectilignes égaux de la circonférence et pour hauteur le côté ou apothème du cône. HT. La surface latérale de tout tronc de cône droit, à bases cir- culaires parallèles, a pour mesure le produit des mesures de son côté et de la circonférence, menée par le milieu de ce côlé et paral- lèlement aux deux bases. — Car la surface latérale proposée est la différence entre celles des deux cônes droits cireulaires ; etc. On voit aussi que : La surface décrite par la révolution de toute droite donnée , tournant autour d’un axe extérieur et dans le même A1 82 J.-N. Noëc. — Théorie infinitésimale appliquée. plan, a pour mesure le produit des mesures de la droite génératrice et de la circonférence que décrit son milieu. IV. Le volume de lout cylindre droit ou oblique, ayant base plane quelconque, mixte ou curviligne, convexe ou concave, a pour mesure le produit des mesures de sa hauteur et de sa base. — Cette base, en effet, étant un polygone plan rectiligne d’une infinité de côtés, le cylindre proposé est en réalité un prisme d'une infinité de faces planes latérales. V. Le volume de tout cône, ayant base plane quelconque, mixte ou curviligne , convexe ou concave, a pour mesure le tiers du pro- duit des mesures de su hauteur et de sa base. — Car cette base n'étant au fond qu'un polygone plan rectiligne d'une infinité de côtés, le cône proposé n’est qu’une pyramide d’une infinité de faces planes latérales. VI. Soit ABC—T un triangle isocèle dont AB—b est la base, € le sommet et X la hauteur. Soient surf. b et vol. T la surface et le volume de révolution engendrés par la base b ct l'aire T du tri- angle isocèle touri ant autour d’un axe extérieur et dans le mème plan. Soit p la projection orthogonale de b sur l'axe et d la distance du sommet G au même axe : d’après l'aire latérale du tronc de cône droit circulaire , à bases parallèles, et d’après l'expression du vo= Jume de tout cône circulaire droit, on démontre aisément à l’aide d'une double figure , que les unités v, s et w étant sous-entendues comme conséquents des rapports, on a toujours surf. b=b.27d E p-27h, vol, T=T-27rd + Sp-rle ; le signe + du double signe répondant à C entre l'axe et la base b, tandis que le signe — répond à la base b entre l’axe et le som- met C. VII. Soit S le secteur circulaire dont T fait partie; soit r son rayon et & son arc, dont p désigne la projection sur l'axe, d étant toujours la distance de celui-ci au centre G. Puisque le secteur S est [a somme d’une infinité de triangles isocèles égaux et de même hauteur r, dont les bases sont les éléments rectilignes égaux de l'are a, et puisque p est la somme des projections de ces bases sur l'axe, on voit qu’on aura toujours surf. a = a"?2xd E p-Qrr, vol. S =S 97 Eperr*; Géométrie. 85 le signe du double signe ayant lieu lorsque l'arc a est concave et le signe — quand a est convexe vers l'axe de rotation. De là résultent deux expressions pour la surface et pour le vo- lume engendrés par la révolution du contour et de l'aire du seg- ment circulaire, différence entre S et T. VIT. Lorsque l'axe passe par le centre G, d'où d=0, l'arc a est concave vers cet axe; et alors la surface et le volume engendrés par a et S sont la zone et le secteur sphériques. On démontre done ainsi que : 1° L’aire de toute zône sphérique a pour mesure le pro- duit des mesures de sa hauteur et la circonférence d’un grand cercle; 2° Le volume de tout secteur sphérique a pour mesure le tiers du produit des mesures du rayon et de la zone, base du secteur. IX. La première de ces deux propositions fait voir que la sur- face de la sphère équivaut à quatre grands cercles ; d'où résultent ensuite les expressions des aires de tout fuseau et de tout polygone sphériques. X. La seconde proposition VIII se démontre directement en ob- servant que le secteur sphérique proposé est la somme d'une infi- nité de tétraèdres, ayant chacun pour hauteur le rayon de la sphère et dont les bases sont les triangles infiniment petits et par suite plans qui composent la zône, base du secteur; d'où résulte que le volume de la sphère a pour mesure le tiers du produit des mesures de sa surface et du rayon.— On démontre de mème les expressions des volumes de l’onglet et de la pyramide sphériques. On sait d'uilleurs calculer la mesure du volume de tout segment de sphère, aussi bien que de toute tranche sphérique. XI. Soit L l'aire de la lunule circulaire ; soient a et a’ les deux ares qui la terminent ct situés d'un même côté de la corde c com- mune ; de sorte que a! 5 a et que a + «= 27r.. Soit d la distance du centre à la corde c : si la lunule fait une révolution autour de cette corde, on démontre que la surface et le volume engendrés par le périmètre 27r et l'aire L de la lunule, ont pour mesures respectives : surf. 277 —=c°97rr (al —a)-2zd et vol. L= 27°dr°. (Voyez d'ailleurs le Complément de Trigonométrie ). Observons encore que l'on peut aisément calculer la capacité et la surface intérieure de certains vases ouverts de révolution, la ligne plane génératrice étant composée d'au moins deux arcs cir- culaires égaux et raccordés, comme la doucine et le talon, ete. 84 J.-N. Norz. — Théorie infinitésimale appliquée. XII. Soit O l’onglet cylindrique obtenu en menant un plan quel- conque par le diamètre 2r de la base de tout cylindre circulaire droit; soit S la surface courbe interceptée par ce plan sur la sur- face latérale du cylindre et soit T la plus grande section triangu- laire de l'onglet, formée en menant par le centre un plan perpen- diculaire à 2r. De plus, soit v l'unité de volume, cube fait sur l'unité linéaire w et dont chaque face est l'unité superficielle s : si l'on sous-entend chacune de ces trois unités comme diviseur ou comme conséquent, je dis qu'on aura toujours S—4T et O— Tr. C'est ce qu'on démontre en supposant l'onglet O divisé en une infinité de tranches par des plans triangulaires parallèles et sem- blables à T, ces plans divisant la surface courbe S en une infi- nité de trapèzes rectangles , tous plans comme ayant pour hau- teurs les éléments rectilignes de la circonférence , et eux-mêmes étant les hases de pyramides quadrangulaires, toutes de hauteurs égales à r; etc. XIII. Soit L la longueur donnée d'une ligne fixe quelconque, plane ou non, convexe ou concave; soit F l'aire et P le périmètre de toute figure plane donnée, mais symétrique par rapport à un centre O. Supposons que le centre O glisse sur la ligne fixe, d’une extrémité à l'autre , de telle sorte que le plan de F soit cons- tamment perpendiculaire ou normal à cette ligne L en chaque point. Si vol. F et surf. P désignent le volume et la surface engen- drés par F et P, je dis que les unités w, s el v étant sous-enten- dues, on aura toujours vol. F=EL et surf. P = LP. Soient a, b,c,d, … les côtés finis ou infiniment petits de la ligne fixe, brisée, mixle ou courbe; d'où L—a+b+c+d#+ etc. Le centre O parcourant le côté «, il est clair que la figure F décrit le prisme ou le cylindre droit dont le volume et la surface latérale ont aF et aP pour mesures respectives. De plus, lorsque le centre O est arrivé au point de jonction À des côtés a et b, le plan deF, perpendiculaire au côté a , doit tourner autour du diamètre de F, qui passe par le point A, pour devenir perpendiculaire au côté b et engendrer ensuite le volume UF et la surface bP. Or, comme ce diamètre, devenu momentanément axe fixe de révolution, divise F et P en deux parties égales chacun, il est clair que les deux moitiés de F engendrent deux onglets opposés O, et O, , parfaitement symé= triques et équivalents, Vun O, ajouté et l'autre O, oôté à aF pour Géomitrie. 85 décrire bF ; de sorte que ces deux onglets se compensent ou se dé- truisent dans aF+0,—O,-L6F, et le volume décrit suivant a+ b a pour mesure aF + bF. On verra de mème que la surface décrite suivant ab est aP + bP. — D'après cela, il est évident qu’on aura toujours : vol. F=aF +0 + cF+dF+etc. =LF, surf. P=aP + 0bP + cP + dP + ete. = LP. Il importe d'observer que la figure symétrique F, dans son mou- vement sur la ligne fixe, pourrait elle-même tourner en même temps sur son plan autour du centre O, et l'on aurait toujours les expressions ci-dessus de vo2. F et surf. P.— Ces deux expressions, très-générales, fournissent plusieurs corollaires remarquables et s'appliquent à certaines colonnes torses, à différents genres d’an- neaux, parmi lesquels il faut compter l’anneau rond, etc. XIV. La méthode infinitésimale démontre très-simplement le théorème que voici : De tous les volumes équivalents entre eux, celui de lu sphère est terminé par la surface de moindre étendue; d’où résulte , réciproquement, que : Parmi tous les volumes termi- nés par des surfaces équivalentes , celui de la sphère est le plus grand. (Voyez les Méthodes géométriques dans le Complément de Trigono- métrie, pour les démonstrations de différents théorèmes sur les Vo- lumes maximum et sur les surfaces minimum). Noriox pe simirune. Parmi les notions géométriques les plus utiles , il faut distinguer l'égalité et la symétrie , la sinulitude directe et la similitude inverse. Or, les grandeurs infinitésimales sont né- cessaires pour passer des notions de symétrie et de similitude, tant de deux polygones plans rectilignes que de deux volumes polyè- dres, aux notions de symétrie et de similitude de deux figures planes, mixtes ou eurvilignes, et de deux volumes terminés par des surfaces mixtes ou courbes. — Pour le faire voir, développons seulement la notion de similitude que tout le monde possède ou croit posséder. D'abord on sait que deux figures géométriques, ayant deux ou les trois dimensions , sont semblables et ont la mème forme lorsqu'elles ne différent que par leurs grandeurs, c'est-à-dire quand l’une est exactement en petit ce que l'autre est en grand. La première, or- dinairement la copie, représente done complètement la seconde ou le modèle et en tient absolument lieu, soit pour l'étude des pro- 86 J.-N. Norc. — Théorie infinitésimale appliquée. priétés qui leur sont communes, soit pour les opérations graphiques et numériques. Aunes pLanes. Pour qu'un polygone plan rectiligne P/ soit sem- blable à un autre P, il faut que chaque angle de P’ représente l'angle homologue de P et lui soit égal ; il faut de plus que chaque côté de P’ représente le côté homologue de P et lui soit égal numé- riquement, d'après les unités linéaires relatives à la copie P’ et au modèle P. Si toutes ces conditions nécessaires sont remplies, il est clair que P' est exactement en petit ce que P est en grand. Ainsi deux polygones rectilignes sont semblables, et l'un représente l'autre, lorsqu'ayant un même nombre de sommets homologues ou qui se correspondent, ils ont aussi les angles homologues égaux et les côtés homologues proportionnels, les parties homologues étant disposées dans le même ordre en passant d'un polygone à l'autre. Donc aussi deux figures planes, mixtes ou curvilignes, sont sem- blables, ont la mème forme ct l'une représente complètement l'autre, lorsqu'elles ont un mème nombre infini de côtés et d'éléments rec- tilignes homologues proportionnels, comprenant des angles homo- logues égaux et disposés dans le même ordre en passant d'une figure à l'autre. Vorunes semnrances. Deux polyèdres sont semblables (directc- ment), ont la même forme et l’un représente complètement l'autre, dès qu'ils ont le même nombre de faces homologues semblables , comprenant des angles dièdres ou coins homologues égaux et dis- posés dans le même ordre en passant d’un polyèdre à l’autre. Donc aussi deux volumes, terminés par deux surfaces mixtes ou courbes, sont semblables (directement) lorsqu'ils ont un même nombre infini de faces planes et d'éléments plans homologues semblables, comprenant des angles coins homologues égaux et disposés dans le mème ordre en passant d’un volume à l'autre. SIMILITUDE INVERSE, Deux figures géométriques sont inversement semblables lorsque la forme de l’une est symétrique de celle de l'autre, c'est-à-dire lorsque les parties homologues : égales, pro- portionnelles ou semblables, sont disposées dans l’ordre inverse en passant d’une figure à l’autre. Coxpitions surrisantes. La similitude des figures géométriques n'existe évidemment que sous les conditions que nous venons de reconnaitre et lesquelles par suite sont toutes nécessaires. De sorte que les définitions précédentes expriment clairement et complète- Géométrie. 87 ment l’idée de similitude, que nous avons naturellement ou que nous acquérons par l'étude et la comparaison des formes extérieures, dans les corps matériels. — Mais il y a toujours plusicurs des conditions ci-dessus qui sont déterminées par les autres; et la théo- rie des figures semblables a pour but spéciale de trouver les condi- tions et les donnécs suffisantes pour que la similitude existe. Cette théorie fournit plusieurs théorèmes qu'il faudrait considérer également en partant d'autres défiuitions. Or, parmi ces théorèmes, il faut distinguer les suivants, faciles à démontrer : LE Dans deux figures planes semblables, les contours sont entre eux comme deux droites homologues quelconques , tandis que les aires sont entre elles comme les carrés numériques de ces deux droites. — Ainsi on trouve des nombres égaux d’unilés relatives, tant pour les contours que pour les aires. De sorte que la copie représente le modèle, quant à la forme ct quant à l'étendue. Done pour mesurcr le modèle avec l'unité réelle, il suffit de mesurer la copie avce l’unité choisie pour représenter cette unité réelle et qui est beaucoup plus petite. II. Dans deux figures semblables, ayant les trois dimensions, les surfaces sont entre elles comme les carrés de deux droites ho- mologues quelconques, tandis que les volumes sont entre eux comme les cubes numériques de ces deux droites ; et ces propor- tions s'appliquent à deux corps géométriques inversement sembla- bles. — D'après cela, on trouve des nombres égaux d'unités rela- tives, lant pour les surfaces que pour les volumes. De sorte que dans les volumes semblables, la copie représente le modèle, quant à la forme et quant à l'étendue. — Donc pour mesurer le modèle, il suffit de mesurer la eopic, même lorsque les deux figures sont inversement semblables. IT. Enlin, deux figures directement ou inversement semblables deviennent égales entre elles où symitriques l’une de l’autre, lors- qu'un côté de la première devient égal au côté homologue de la se- conde. — De sorte que légalité et la symétrie des figures géomé- triques sont des particularités de leur similitude directe et de leur simililude inverse. SECTIONS SEMBLABLES. S l'on coupe un cône quelconque ou son prolongement au-delà du sommet per un plan parallèle à la base : 1° la section est semblable ou inversement sembluble à la base ; 2° le cône proposé et le cône relranché ou cjouté sont directement ou in- versement semblables ; 5° enfin , la base et chacune des sections sont 88 J-N. Norc. — Théorie infinitésimale appliquée. entre elles comme les carré; numériques de leurs distances au som- met du cône. Soit P un cône quelconque de hauteur À ; soit b sa base plane, mixte ou curviligne, convexe ou concave; soient c et d les deux sections planes parallèles à la base D, faites de part et d'autre du sommet, mais à distances égales à # de ce sommet, et c entre ce dernier et b. Soient enfin Q et R les deux cônes, l’un Q retranché par cet l’autre R ajouté par d. Cela posé, 1° puisque à n’est qu'un polygone plan rectiligne d’une infinité de côtés, il s'ensuit que le cône P n’est réellement qu'une pyramide d’une infinité de faces planes latérales. La base b et la section parallèle e ont done le mème nombre infini de côtés ou d'éléments rectilignes homologues, parallèles et proportionnels, comprenant des angles homologues égaux et disposés dans le même ordre en passant de b à c : done ces deux figures sont semblables. On verra de même que b est inversement semblable à d, et que les deux sections sont égales par symétrie. 2% Il est clair que les deux cônes P et Q sont semblables, comme ayant le même nombre infini de faces planes homologues semblables chacune à chacune , comprenant des coins homologues égaux et disposés dans le même ordre en passant de P à Q. On verra de même que P est inversement semblable à R, et que Q et R sont égaux par symétrie. 5° Les distances égales de c et d au sommet de P étant dési- gnées par Æ, soient » et n deux droites homologues de b et c: les triangles semblables donnent min = h:k. Si donc on rend cette proportion numérique en supposant ses quatre termes divisés par l'unité linéaire w sous-entendue; ce qui ne change pas la valeur de chaque rapport et ne détruit pas la proportion, alors entre quatre nombres abstraits ; il est clair que cette dernière proportion donne min? = h;l?, Or, les figures b et c étant semblables, on sait que b:c—m°in?; donc bic —=h?:#?. On verra de même que b et d sont entre elles comme les carrés numériques de leurs distances L et Æ au sommet du cône P. Vozune DE Tour cône. Le calcul infinitésimal fait passer direc- tement de l'expression du volume de tout prisme ou cylindre à celle du volume de toute pyramide et de tout cône. — Soit en effet, P une pyramide ou un cône de hauteur À, et soit b sa base plane quelconque, rectiligne , mixte ou curviligne , convexe ou concare. Géométrie. 89 Concevons la hauteur À divisée en un nombre infini » de parties égales à x, par des plans parallèles à la base b : on a donc h=nx, et ces plans divisent P en n tranches, toutes de même épaisseur x infiniment petite. Soit T la » ième tranche, à partir du sommet de P, et soit y la plus grande de ses deux bases parallèles, laquelle est éloignée du même sommet de la distance mx. Cela posé, les grandeurs étant supposées mesurées et réduites en nombres abs- traits, savoir P et T d'après l'unité ®, b et y d’après l'unité s, et mx d'après l'unité , et chacune de ces unités étant sous-entendue comme diviseur; il est clair que les figures semblables b et y donnent, comme on l'a vu plus haut, b:y::h?:m°?x? ; d'où en posant pour abréger, c=b:h? ou b=ch?, il vient y—cmx°. La » ième tranche T, dont l'épaisseur x est infiniment petite, peut être considérée, sans erreur finale, comme un prisme ou un cylindre de base y et de hauteur x; de sorte que les unités divi- seurs étant toujours sous-entendues, on a T=yx et T— cm°x5. Prenant successivement m—1,2,5,4,...,n, puis ajoutant membre à membre les » égalités résultantes et observant que P est la somme de toutes les T, on aura P— cx5. fn?. Or, n étant infini, on sait que fn?—?ns et x fn?—+#nx—{h5, vu que nx—h. Et comme b—ch2, d'où ch5 — bk, il vient enfin P=ibh ou P—vX:(b:s)(h:u). Toute pyramide ou tout cône a donc pour mesure le tiers du pro- duit des mesures de sa base et de sa hauteur. Et cette proposition est rigoureusement exacte, en vertu de la compensation d’erreurs qui s'établit toujours par le principe infinitésimal que démontre la règle des variubles. Cowparaison pes MÉTHODES. Dans le mesurage des figures géo- métriques, la réduction à l'absurde, si elle est applicable, vérifie péniblement le théorème d’abord énoncé; car elle est souvent inca- pable de le faire découvrir, sans l'emploi préalable des grandeurs infinitésimales qu'on veut éviter. — La méthode infinitésimale, au contraire, conduit le plus directement possible à ce théorème, et devient indispensable pour étendre aux lignes et aux surfaces courbes les notions de similitude définies pour les lignes brisées et les surfaces polyédrales. — La méthode des limites ne peut faire connaître ces définitions sans rentrer dans la méthode infinitési- male, beaucoup plus explicite. Cette dernière méthode, comme abréviation et conséquence de celle des variables, est bien une 12 90 J.-N. Noëz. — Théorie infinitésimale appliquée. méthode générale très-simple, très-claire et rigoureusement exacte, L'existence des infinis est certaine, et les définitions de ces gran- deurs réelles sont claires et précises, bien qu'elles ne puissent nous en donner des idées sensibles. D'ailleurs, la clarté des défi- nitions entraine celle des déductions logiques qui s'appuient sur ces définitions. Au lieu donc de compliquer et d’obseurcir les théo- ries en cherchant à déguiser les infinis, il faut au contraire em- ployer explicitement ceux-ci toutes les fois qu'ils se présentent naturellement; car il résulte de cet emploi : clarté, simplicité et rigoureuse exactitude, ainsi qu'il est bien établi dans ce qui précède. On à dit, sans pouvoir le démontrer , que l’emploi des infinis conduit à l’erreur tout aussi bien qu’à la vérité. —On conçoit bien, en effet, que la méthode infinitésimale peut conduire à des absur- dités, comme toute méthode mal appliquée. Mais d'où viennent ces absurdités ? Est-ce de l'instrument ou de celui qui en fait usage? J'ai beau chercher, je ne trouve aucun exemple où l'emploi logique des infinis induise en erreur, et je m’assure que si cet emploi four- nit des conséquences absurdes, c’est qu'il n’est pas logique; c'est toujours parce qu’il y a des erreurs commises dans les hypothèses ou dans les raisonnements employés : j'en pourrais citer plusieurs exemples. AXIOME DE GÉNÉRALISATION. Lorsque des figures géométriques sont déterminées complètement chacune par des éléments générateurs qui se correspondent et de telle sorte que ces figures aient toutes le même mode de génération descriptive, elles ont aussi toutes le même mode de génération numérique. Donc chacune est exprimée numériquement en fonction de ses éléments générateurs numériques par une formule générale constante ou la même pour toutes. — Il n'y a pas de raison, en effet, pour que l'expression numérique change en passant de la plus simple des figures proposées à chacune des autres , vu que toutes ces figures sont identiques, quant à leur cons- truction unique. Tel est l’axiome de généralition en Géométrie, ainsi nommé parce qu'il généralise la définition de la plus simple des figures proposées pour l'appliquer à chacune des autres et leur donner ainsi le même mode d'existence. — Cet axiome fait toujours partie de la méthode fonctionnelle ; il généralise l’axiome de mesurage , indiqué plus haut (p.70), et n’est lui-même qu'un principe de mesurage; moins clair à cet effet que la méthode infinitésimale, mais pouvant Géométrie. 91 abréger beaucoup cette dernière et conduire plus directement aux théorèmes numériques. En voici plusieurs applications : I. Il est évident que la circonférence G se décrit et se détermine avec son rayon R absolument comme la circonférence C” avec son rayon R!'; done la longueur G est exprimée en R absolument comme C' en R’. Et puisque le rapport indique comment l’antécédent se trouve avec le conséquent seul, on voit que si C'=R'n, n dési- gnant un rapport inconnu , on a aussi nécessairement C — Rn. Ces deux égalités donnent évidemment : C:92R= C':2R/—1n et C:C'::R:R'::2R:92R. Ces deux théorèmes , comme on voit, résultent immédiatement des définitions du rapport et de la circonférence. IL. Soit S le secteur cireulaire dont a est l'arc et r le rayon; soit T le triangle isocèle ayant pour sommet le centre de S, pour base Ja corde c de l'arc a et À pour hauteur. L’arc a et sa corde c étant tracés , il est clair que si par le milieu de c on lui mène une per- pendieulaire, on aura le centre de S et le sommet de T en portant sur cette perpendiculaire la longueur r, à partir de a, et la lon- gueur , à partir de c. Ainsi S se construit et se détermine par & et r absolument comme T, par c et h; donc l'aire S est exprimée nu- mériquement en a et r absolument comme l'aire T, en c et À. Or, les unités s et # étant sous-entendues , on sait que T—2+ch; done aussi S— + ar. De là résulte l'expression de l’aire du cercle; mais ici la méthode infinitésimale est à la fois plus claire et plus directe. III. Soit P un prisme ou un cylindre droit ou oblique; soit b sa base quelconque plane , convexe ou concave, et soit k sa hau- teur menée d’un sommet de la base supérieure. Lorsque b et h sont données et tracées, le prisme ou le cylindre P est déterminé complètement. De plus , en vertu de la définition générale, tous les prismes et tous les cylindres possibles se construisent , absolument de la même manière, au moyen de la base b et de la hauteur À de chacun ; done le volume de chacun doit être exprimé numérique- ment cn fonction des mesures de b et À par une formule cons- tante ou la même pour tous. Or, les unités v, s et w étant toujours sous-entendues , on sait que quand P est un parallélipipède rec- tangle, on a P— bh ; donc lorsque P est un prisme ou un cylindre quelconque, on a aussi P—b}.— On voit que l’axiome de généra- lisation abrège singulièrement la théorie du mesurage des prismes 92 J.-N. Norc. — Théorie infinitésimale appliquée. et des cylindres, sans diminuer aucunement la rigoureuse exacti- tude de cette théorie. IV. Soit À la hauteur et b la base plane quelconque, rectiligne, mixte ou curviligne, convexe ou concave, de toute pyramide ou de tout cône. Si b et k sont données de grandeurs et de position fixe, la pyramide ou le cône est déterminé complètement en faisant glis- ser sur le contour de la base toute droite passant par le sommet fixe, laquelle alors décrit la surface latérale. Ainsi toutes les pyra- mides et tous les cônes possibles se déterminent absolument de la même manière chacun au moyen de sa base et de sa hauteur, don- nées et tracées ; donc le volume de chacun est exprimé numéri- quement en fonction des mesures b et À par la même formule générale. Or, les unités v, s et étant sous-entendues, on sait que la pyramide, sixième d’un cube, a pour mesure +h; donc aussi le volume de toute pyramide et de tout cône a pour mesure PV Trigonométrie et Géométrie anaïytique. 97 signe le petit axe, devient ay? = 2ab$x — br. Regardons comme constante la distance Àp de l’origine au foyer voisin de l’ellipse : on aura donc a—V/(a—b)=1p; d'où b= ap—;p. Substituant cette valeur de b?, l'équation de lellipse devient y = px 2x ipr—pr*:ka]. Or, si p et x restent constants, mais que a augmente de plus en plus, les termes divisés par a deviendront de plus en plus petits. On aura done une suite d’ellipses dont les grands axes seront dif- férents, mais qui auront toutes le même foyer et le mème sommet voisin. Ces ellipses approchent de plus en plus de la parabole y°— px, sans pouvoir jamais coïncider avec elle; car si a est änfini, y? surpasse y° d’un nombre infiniment petit, et l'on n'aura jamais y—=y. Cependant comme un nombre infiniment petit se néglige à l'égard des nombres finis, on peut dire, avec une grande approximation, que la parabole est une ellipse dont le grand axe est infini. Pour avoir exactement y=Y, il faut que a =}; c’est-à-dire il faut que l’ellipse cesse d'exister. Ainsi dans la parabole, la distance a du centre au sommet n'existe pas, comme étant exprimée par 3; la parabole n’a donc pas de centre ni de second foyer. Usace pv symsoue W/—1. Le calcul des symboles imaginaires fait passer immédiatement de l'équation de l’ellipse à celle de l’xy- perbole, et conduit à plusieurs propriétés de cette dernière courbe. — Considérons d'abord l'équation de l'hyperbole rapportée à ses axes principaux, lesquels se coupent au centre et à angles droits, savoir : ay? — b3%3 =— ?. Soit d un demi-diamètre réel et (x,y) son extrémité sur la courbe : on a done a+ y = à. Éliminant successivement x et y entre celte équation et la pré- cédente, on trouve L— a20? + (a+ LE , 2 = (a2+-0?)x? — «0°. 98 J.-N. Noëz, — Théorie infinitésimale appliquée. Par la première de ces deux équations, il est évident que le mi- nimum de d répond à y=—0 et qu'il est da ou 2d4— 2a. Ainsi le premier axe de l’hyperbole est le plus petit de tous ses diamètres réels. (Le plus grand diamètre réel est infini). Et comme le reste diminue avee le nombre dont on soustrait, lors- que le nombre à soustraire reste invariable , on voit, par la seconde équation précédente, que le minimum de d répond à &= 0 et que ce minimum devient d—by/—1 ou 24—2by/ —1. Le second axe de Phyperbole est donc le plus petit de tous ses diamètres imaginaires ou non-transverses. Pour vérifier ce dernier cas, on observe que l'extrémité (&, y) du demi-diamètre imaginaire d n'appartient pas à l'hyperbole et que c'est un point imaginaire pour cette courbe; lequel y est alors dési- gné par (xÿ/—1,yy/—1). L'équation de l'hyperbole devient done, pour ce point, a — Lr? = 0°. Éliminant y entre cette équation et x? +-yÿ—=d?, on a = + (2 + br. On voit que le minimum du diamètre imaginaire 24 répond à x =0 et qu'il est le second axe 26 : c’est l'axe réel de l’hyperbole dont 2a est l’axe imaginaire. Observons d’ailleurs que ay —Æ+ bx sont les équations de deux diamètres imaginaires infinis. — En effet, ayant, pour ces deux diamètres , l'équation unique : &?y2— b?r? —0; supposons que l'ab- scisse æ soit la même dans cette équation et celle de l’hyperbole : on aura donc b? ET L'abscisse x commune devenant de plus en plus grande, il en est de même des ordonnées y et y, aussi bien que de leur somme y!+y; donc, au contraire, la différence y — y devient de plus en plus petite, Si done x devient infiniment grande, il en sera de même de y et y, d'où y+y—; donc alors la différence y!—y sera infiniment petite et jamais rigoureusement nulle. Car si l'on avait y—y=0, on aurait aussi b—0; chose absurde. Ainsi les deux diamètres ay = + bx s'approchent continuellement de l'hyperbole, sans jamais pouvoir la rencontrer, pas même à l'infini; ils en sont donc à la fois les deux seuls diamètres imaginaires infinis et les asymplotes, P—y= 0 et y—7y— Trigonométrie et Géométrie analytique. 99 Remarque. On sait que le calcul des imaginaires du second degré fait passer immédiatement de l'équation de l’ellipsoïde, rapportée à ses axes principaux, aux équations de l’hyperboloïde à une nappe et de l’hyperbolcide à deux nappes, et fait connaître, dans chacune des deux dernières surfaces, le plus grand et le plus petit diamètre , soit réel, soit imaginaire. Il en résulte ensuite les deux cônes asymp- totes ; puis le caleul des axes principaux dans les trois surfaces nu- mériques du second ordre, ayant un centre ; calcul qui devient le plus simple possible à l’aide de la théorie des maximums et des minimums du second degré. LiGxes iNriNiTÉsIMALES. Pour ealeuler les lignes trigonométriques infinitésimales, soient d'abord AB— a et CD —b les côtés parallèles de deux polygones réguliers du même nombre # de sommets, l’un inscrit et l’autre circonscrit au cercle de rayon OA = ; soit AMB —9% l'arc soutendu par AB et touché en M par CD, le point M étant le milieu commun aux deux lignes. Les tangentes aux extrémités À et B de 2x vont se couper au point N du rayon OM prolongé, ce rayon étant perpendiculaire au milieu I de AB, et l’on a AN — BN. H est d'ailleurs évident que 2x< 2 AN et que la corde AM< x. Cela posé, 1° toutes les lignes étant réduites en nombres abs- traits, d’après la même unité linéaire w , sous-entendue comme con séquent de chaque rapport, et la corde AM étant moyenne propor- tionnelle entre la flêche IM et le diamètre 2r, il est elair qu'on à 2rXIM=(AM}. Or, AMc et pc; il est clair que p=an,c—2nà et 100 J.-N. Noec. — Théorie infinitésimale appliquée. p'=bn. On voit d'abord qu'ayant bn > 2nx, on a aussi b > 2x et CM>x. On voit ensuite qu'on aura toujours æ AM ne SEA Ce ON nl Ar Maintenant , si l’on suppose le nombre » de sommets infiniment grand, les arcs 2x et x sont alors infiniment petits; et, s'ils ne sont pas devenus éléments rectilignes par l'hypothèse de » infini, ils ne coïncident pas alors avec leurs cordes, elles-mêmes infiniment petites. Dans ce cas, la flèche IM est un infiniment petit du second ordre : elle est tellement petite que, répétée le nombre infini * de fois, le produit est moindre que l'infiniment petit cx sur 4r, nul à l'égard des nombres finis, en vertu du principe infinitésimal ; donc à plus forte raison doit-on regarder la flèche comme absolu- ment nulle : cela donne OI — OM et fait coïncider a et b avec 2x, p et p' avec c. D'ailleurs , la longueur c ne surpasse p que d’un infiniment petit du second ordre, nul dans le résultat final des celeuls. On voit donc que l’on peut toujours, sans aucune er— reur finale, regarder le cercle comme un polygone régulier. —C'est déjà ce qu'on a démontré plus haut (p 71). 9e Les définitions des lignes trigonométriques font voir que MC— tangæ, OI=cosx et Al=sinx—{a. On aura donc toujours sinæx. Mais, à cause de Fa=—sinx, xs m2 on à SNx—x—< —, Et COST—=r—<—. 27? 2r De là, si le nombre x de sommets est infini, les ares 2x et æ sont infiniment petits , aussi bien que les côtés « et b, tandis que x? et x° sont des infiniment petits du second ordre et du troisième. Or , on vient de voir que dans ce cas on peut supposer , sans au- cune erreur finale appréciable, la flèche IM rigoureusement nulle : cela fait coïncider a et b avec 2x, MC avec x, OI avec r et sinx avec x. On a donc alors COST —=7T, sinx=x et tang zx — x. Ainsi le cosinus d'un arc infiniment pelit est égal au rayon , tan- dis que le sinus et la tangente sont éjaux à l'arc lui-même : ils coïn- cident avec lui. Non-seulement l'erreur finale, due à chacune de ces proposi- tions, est inappréciable par sa petitesse et doit se négliger; mais souvent elle se compense avec une autre erreur finale simultanée , Trigonomitrie et Géométrie analytique. 101 et le résultat final est rigoureusement exact, d'après la règle des variables. S Enfin, l'arc x étant infiniment petit, on a sécx=1,Cotxz=—o et COSéCx—=0 . RECTIFICATION DE LA CIRCONFÉRENCE. Soit d'abord x un arc cir- culaire moindre que le quadrant de rayon 1 numérique; soit s la mesure de son sinus , d'où sin x=s : il s’agit d'exprimer la mesure de l'arc x en fonction de s. Or, la figure étant tracée, concevons sin x divisé en un nombre infini » de parties égales à z par des perpendiculaires : on a donc s=—nz et ces perpendiculaires divisent l'arc x en # parties inégales, mais infiniment petites. Soit y la v ième de ces parties de x, à par- tir de l’origine de ce dernier : l’arc qui est la somme des v parties a donc vz pour sinus et /(1—v°z?) pour cosinus. De plus, l'arc infiniment petit y, coïncidant avec sa corde, est l’hypoténuse du tri- angle rectangle dans lequel y et z sont respectivement perpendicu- laires à l'hypoténuse 1 et au côté /(1—v?z?) d’un second triangle, équiangle au premier; car le rayon 1 mené à l'extrémité de y, est perpendiculaire à la tangente en ce point et par suite à y, que l’on peut, sans erreur finale, regarder comme partie infiniment petite de celte tangente indéfinie. Comparant donc les côtés homologues des deux triangles, on a V(1—w2):2::1:y; d'où y=z(l—rz) Développant d'aprés la série binomiale , on trouve y=s +8 Te z°+ ue 627 + DS nt ete. Prenant successivement v=—1,2,53,4,...,n, puis ajoutant membre à membre les » égalités résultantes; observant d'ailleurs que l'arc x est la somme de tous les arcs partiels y, et que n infini donne fn—=#ns, fn'=#èns, fn°=int, etc. Réduisant enfin par nz=—=5, On trouve s3 1.555 4.5.5 57 1.5.7.9 5° = D— a — Fee a BST Ta s Loc 7 ae 9 de D'après le principe infinitésimal , cette série remarquable ex- prime exactement la valeur numérique de l'arc x, de rayon 1 nu- mérique, au moyen de la mesure s du sinus de cet arc. Si s=;, d'où x—50°—}x, la série qui en résulte est assez Conyergente, puisque la somme de tous les termes qui suivent le 102 J.-N. Nocz. — Théorie infinitésimale appliquée. 10°° est moindre que 1 sur 650.2, c'est-à-dire moindre que l’u- nité décimale du 8"° ordre. De sorte que les dix premiers termes donnent, avec huit décimales exactes, z—0,52559877 ; d'où 6x ou r—5,14159926. On a done ainsi, avee sept décimales exactes, le rapport x de toute circonférence € à son diamètre 2r ; d'où résulte, pour mesurer ou rectifier cette courbe, la formule c—2zr. (La série ci-dessus, expression de x en s, se trouve aisément par la méthode des coëfli- cients indéterminés, comme on sait). Observons d'ailleurs que l'erreur commise en prenant n"#! sur Gn+1), pour la valeur de fn”, est moindre que #" (p. 43). D'après cela, l'erreur totale commise sur la série qui exprime l’are æ est moindre que zs sur (1—s?), nombre infiniment petit avec z et nul à l'égard des nombres finis. AUTRE MODE DE RECTIFICATION. Soit £ la tangente d'un are circu- laire quelconque x, moindre que le quadrant et dont le rayon ait 1 pour mesure : il s’agit d'abord d'exprimer la mesure de x en fonction de la valeur de £. Imaginons que t soit divisée en un nombre infini » de parties égales à z et infiniment petites , d'où nz=t : les droites joignant les points de division au centre divisent l'are x en n parties inégales , mais infiniment petites. Soit p la (v+-1) ième de ces parties et soit y la somme des » précédentes, à partir de l'origine de # : done lang y=vz et tang(yÆ-p) =(v+1)z. Développant tang(y+P) en observant que l'arc p étant infiniment petit, on a tangp—p; puis substituant cette valeur et celle de tangy, on trouve ©z +p ! z ren CR DIE d'où p— Pro Lui Posant =? +», la valeur de p est z sur (1+-Az?), génératrice d'une progression géométrique illimitée, et l’on a P—= 2h24 ÈS — h527 D hits — etc. Or, dans ce v ième terme p de la série dont on cherche la somme æ des x premiers termes, on a k—?+v; et l’on sait (p. 55) que le premier terme de chacune des puissances croissantes 1,2,5, 4, … de 2 fournit seul un terme au résultat final des calculs. On doit donc écrire simplement k = v°; d'où il vient D=s— 025 vis — 637 Lys — etc, Trigonométrie et Géométrie analytique. 105 Prenant donc successivement v=1,2,5,4,...,n dans cette der- nière identité ; ajoutant membre à membre les n égalités résultantes, puis observant que /p=—x et que » étant infini, on a /n°—!n", Sns=}?ns, ete. Réduisant d'après »z—t, on trouve finalement œ=t— 55 SR + ls — Lt Let. La combinaison de la méthode infinitésimale avee la méthode des coë/Jicients indéterminés , aidée si l’on veut de la méthode des dérivées, conduit facilement à la formule précédente. Cette for- mule fournit , comme on sait, une double série très-convergente, servant à calculer avec autant de décimales exactes qu’on veut le rapport 7 de toute circonférence à son diamètre. (Voyez à ce sujet le Complément de Trigonométrie ). PRINCIPE DE RECTIFICATION. Pour démontrer le principe de la rectification des courbes planes, à l’aide du calcul infinitésimal, soit AMB— a un arc convexe très-petit de la courbe proposée; soit e sa corde et b la ligne brisée ACB , formée par les tangentes AC et BC aux points A et B de la courbe : il est clair d’abord que c< a et a cos ®, il vient c> (AC + BC) cosv, ou c>bcosv et c>a cos v. Actuellement, supposons que l’are a soit infiniment petit : si alors il n’est pas un élément rectiligne, il ne coïncide pas avec sa corde c plus petite, Mais dans ce cas les angles A et B étant infini- ment petits chacun, nécessairement , la corde c , la longueur b ct l'arc cireulaire v sont des nombres infiniment petits. Or v étant infiniment petit, on a, sans erreur appréciable, sinv—=v et sin?;vu— +1. D'ailleurs, puisque eosv—1—2 sin?;v, on a cosw—1—{r? ; il vient donc c>a—za; d'où a=c+ à pour équation : (GP+x)=06Lax; d'où 12 — b? sin?o + a? cos’. Cette courbe, circonscrite à l’ellipse proposée, la touche aux quatre sommets, où ses quatre branches égales se terminent par quatre rebroussements de la courbe. Soit A l'aire limitée : LA est décrit par les rayons vecteurs r depuis o —0 jusqu’à © = 90°=17— #z , à étant un nombre entier infini et z un arc numérique infini- ment petit, mesure de l'angle infiniment petit au pôle de chaeun des secteurs dans lesquels LA est divisé. Soit £ l'aire du v"° de ces secteurs, à partir de l’axe des x, axe polaire pour lequel w—0, Il est clair qu'on a successivement : t= 5023 sin%vz la?z cosvz ; aA = 207 fsin?nz La2z feos?nz ; Arbre et A—17(a? +b). On voit que la différence des aires limitées par la courbe et par l'ellipse équivaut au demi-cercle dont &« —b est le rayon; et ce demi-cercle est nul, comme cela doit être, lorsque b—«. IL. Pour l’hyperbole, b? devient — b?; ainsi le lieu des pieds de toutes les perpendiculaires, menées du centre sur toutes les tan- gentes à l'hyperbole, a pour équation : (y? + 2°} = ax — by. Dans ce cas, à cause de €? — a +-l?, il vient l'équation polaire TE — (2 sin, Le lieu des pieds est donc une lemniscate simple, donf le centre, point double, est le contact de chacune des deux asymptotes, pour lesquelles l'arc © numérique, de rayon 1, est donné par csino — Æ a : c'est le maximum ainsi connu de l'are variable ©. Pour eal- 45 114 J.-N. Noëz. — Théorie infinitésimale appliquée. culer l'aire A limitée par cette lemniscate, on observe que les rayons vecteurs, depuis w —0 jusqu'à son maximum & =", di- visent la demi-feuille A en un nombre infini » de secteurs élémen- taires dont l'angle au pôle de chacun est mesuré par l'arc numé- rique infiniment petit z, de rayon 1 ; le v ième de ces secteurs, à partir de l’axe polaire, a done pour mesure az — cz sin?vz. De sorte qu'on a A Qanz— 2z fsin?nz et A —(a?—0?)a! + db. Si l'hyperbole est équilatère, on ae = 45 =?r,b—a et A=ab, comme il est facile de le vérifier directement. IV. Le pôle étant l’origine des coordonnées rectangulaires et l'axe des x, l'axe polaire, la courbe r= a (1 + cos «) , est composée de deux branches , en forme de cœur, égales et oppo- sées, se coupant sur l'axe des y en trois points doubles de la cour- be, savoir le pôle et les deux autres à la distance a, de part et d'autre de ce pôle, centre de la courbe proposée. Soit S l'aire du secteur , depuis © — 0 jusqu’à w— 90° : on trouve S=5@(2z + 1). Pour calculer le segment S' dont a est la corde, soit posé &= 90° + v'; on aura r?=a?(1— sin « ) et par suite S'= ar —1). L’aire limitée par une branche équivaut done à a. Si l’on re- garde la courbe comme terminée aux extrémités de son axe de sy- métrie 2a, sur l'axe des y, elle forme avec la circonférence décrite sur cet axe 24, comme diamètre, deux lunules égales dont la somme des aires équivaut à celle du carré fait sur 2a. — Enfin, si de za? on soustrait 4S’, il reste 2a?. — Des considérations analogues s'ap- pliquent à la double courbe : r = a(1 Æ cos «). V. Plus généralement, le pôle étant à l’origine des coordonnées rectangulaires , et l'axe polaire la partie positive de l’axe des x, con- sidérons la courbe r—2(a+bcos«), où l’on suppose a°>b. Faisant varier l'arc w par infiniment petits, depuis © — 0 en passant par © = 90°, w—180°, w—270° et s'ar- rêtant à © — 560", on reconnait que la courbe, en forme de cœur, n’a que le seul axe de symétrie 4a sur l'axe des x et que le point Mesurage des Aires et des Volumes. 115 de rebroussement , situé sur l’axe des x négatifs, est à la distance 2(a—b) du pôle. Cela posé, soient S et S' les aires des secteurs depuis «—0 jus- qu'à w—90° et depuis w—90° jusqu'à w—180°, c’est-à-dire en posant © = 90°, depuis w'=0 jusqu'à «’ — 90° : on trouvera S—=92(i7 a + 2ab + Er), S'—92 (Lx a — ab + ir). Soit A l'aire limitée par la courbe proposée ; d'où A —=2S-L95/ et par conséquent A=2(27®@ +zl). De mème, soit A —9$S-—9S/; on a A/—16ab. Ici la courbe a trois points de rebroussement, etc. Si b=a, la courbe est le lieu géométrique du pied de chaque perpendiculaire abaissée de l’origine sur les tangentes à la circon- férence Ha = Lax. VI. Dans la circonférence ÿ° + = «&, si du pied de l’ordonnée y! d'un point quelconque (x',y') de la courbe, on abaisse une perpendiculaire sur le rayon a qui joint ce point, les pieds de toutes ces perpendieulaires décrivent la lemniscate simple : (+9?) = axt ou r°— a cos‘a. Non-seulement l'aire limitée par cette dernière courbe est les trois huitièmes de l'aire du cercle proposé; mais de plus, le volume en- gendré par l'aire de la demi-lemniscate, tournant autour de son axe réel de symétrie 2a, est le septième de celui de la sphère dont a est le rayon (à démontrer chaque fois). VII. Dans la surface sphérique a? y? + 2°= «°, si (x',y', 2’) est un point quelconque de cette surface, et que du point (0, 0, z") de l'axe des z, on abaisse une perpendiculaire sur le rayon abou- tissant au premier point ; le lieu géométrique du pied de cette per- pendiculaire est la surface (a + y 22) = az. C'est ce qu’on démontre aisément par les propriétés numériques et la similitude des triangles rectangles. — La surface proposée est décrite par la révolution de la demi-lemniscate simple (x?) = «2°, tournant autour de l'axe des z ; il en résulte done exactement les deux théorèmes numériques précédents (VD). 116 J.-N. Noëz.— Théorie infinitésimale appliquée. Emploi du Caleul intégral. On sait que le Calcul différentiel et le Calcul intégral démontrent les formules nécessaires pour généraliser et simplifier en même temps les applications de la théorie infinitésimale. Or, bien que cette théorie soit générale, les équations qu’elle fournit, pour la quadrature et la cubature, changent néanmoins de formes quand on les approprie au Calcul intégral; et c’est ce que nous allons établir. ÉQUATION DE MESURAGE. Soit y=—f(x) l'équation d’une courbe plane, rapportée à des coordonnées rectangulaires, et cherchons l'expression de l'aire S de cette courbe, depuis 3=a et y—b jus- qu'à x— a! et y=b'; d'où a La! et b LV. D'abord l'élément superficiel dS est compris entre les deux rec- tangles élémentaires mesurés par ydx et par ydx + dydx; de sorte qu’on a dS = ydx + 2b> 2c. Si l'origine des coordonnées rectangulaires est à une extrémité de 24, celui-ci sur l’axe des x, l'équation de la surface est y z? Dax — x? BTE (es ÿ Il s’agit de calculer le volume du segment S d’ellipsoïde, depuis æ=—=Ù jusqu'à «= À. D'abord les plans parallèles à celui des 7, 118 J.-N,. Noëc. — Théorie infinilesimale appliquée. depuis æ=0 jusqu’à une longueur arbitraire, mais donnée, de x, divisent cette longueur en une infinité ‘de parties égales à dx et divisent le segment S en une infinité de tranches, ayant chacune deux bases elliptiques parallèles, et toutes même épaisseur dx infi- niment petite. Soit dS l’une de ces tranches élémentaires dont la plus petite base elliptique, répondant à l’une des valeurs croissantes de æ, a pour mesure ryz. A cause de l'épaisseur dx infiniment petite, dS peut être considérée, sans aucune erreur finale, comme un cylindre elliptique droit; de sorte qu’en sous-entendant les uni- tés v,s etu, ona dS=7ryzdx. Pour la valeur ci-dessus de x, les demi-axes y et z de la base elliptique de dS se déterminent par les hypothèses successives : z—0 et y—0, dans l'équation de l’ellipsoïde. Substituant done les valeurs résultantes dans l'expression de dS, elle devient b dS — 2e (ax dx —x°dx). a Prenant l'intégrale du second membre, depuis æ=—0 jusqu'à =, puis observant que x—0 donne y=0, z=0,S=0 et C—0, zbch? (0 Telle est l'expression cherchée du volume du segment S; et cette expression se trouve presqu'aussi aisément par le simple cal- eul infinitésimal. — Si h— a, le segment S devient le volume E de l'ellipsoïde, et l’on a E—#zabc. — Pour la sphère, où b=c=—a, il en résulte les expressions du volume du secteur sphérique ét de l'aire de la zône qui lui sert de base; etc. on aura S— (a—3h). Aire D'une Lemniscate. Les coordonnées étant rectangulaires, calculer l'aire limitée par la lemniscate simple : , y — ax — x. Soit F l'aire cherchée d’une demi-feuille : les ordonnées, depuis x=— 0 jusqu'à x=— a, divisent & en une infinité de parties égales à dx et divisent F en une infinité de tranches, toutes de même lar- geur dx infiniment petite. Soit dF l’une de ces tranches répondant à une valeur arbitraire de x; dF peut donc être considérée, sans aucune erreur finale, comme un rectangle ayant dx pour hauteur et pour base la valeur de y qui répond à celle de æ. De sorte qu'on a adF = x dr a—x?. Emploi du Calcul intégral. 119 Pour intégrer , posons a? —x=z; d'où x? =a—7z, xdx— —;dz et aF=—}fdz=—iy/z5 + C. Cette intégrale doit être prise depuis x =0 jusqu'à «— a; or. pouræ—0, ona y—0,F—0,z=—=a et C—#a ; tandis que pour æ=a, On à z—0 et —1y/z5—0. Il vient donc F=;ia? et AF—{a. Telle est l'expression de l’aire cherchée de la lemniscate pro- posée, laquelle, comme on voit, est une courbe carrable. — La simple théorie infinitésimale développée précédemment ne saurait conduire à cette expression. — La discussion complète est facile. SECTEUR HYPERBOLIQUE. Les coordonnées étant rectangulaires, considérons d'abord la courbe hyperbolique : (a+ x)y? = ax. Cette courbe n’a point de centre, n’a qu’un seul axe de symétrie, celui des x, et une seule asymptote rectiligne, savoir x—— a. Cherchons l'expression de l'aire S du secteur de cette hyperbole, depuis x—0, d'où y—0, jusqu'à x—a, d'où y—+iay2. Les ordonnées, depuis x=—0 jusqu’à x—@, divisant & en une infinité de parties égales à dx, divisent aussi S en une infinité de tranches, toutes de même largeur infiniment petite dx. Soit dS l’une de ces tranches , répondant à une valeur arbitraire de x : on peut, sans aucune erreur finale, regarder dS comme un rectangle infiniment petit, et l’on a dS=Y'a-xdx (ax) À. Pour intégrer cette différentielle binôme, posons a x=—z ; nous aurons %=—Zz—a,2%—(z—a*,xdx—(z—a)dz et par suite AS—V'a(dz— az *d?). De là, S=Va(vz—2aÿ/z) + C. Pour x=0, onay=—0,S—0, z—a et C—{a; tandis que pour æ—a, on à z— 2. Il vient donc, pour l'expression de l'aire cher- chée : S—2a(2—y9). AUTRE HYPERBOLE. Considérons encore l’hyperbole, à coordon- nées rectangulaires , savoir : (a? — x?) = ax? Cette courbe a les deux asymptotes rectilignes x = a et x—=—4. 120 J.-N. Noez. — Théorie infinitésimale appliquée. Soit S l'aire du secteur, depuis æ—0 jusqu'à une valeur possible de x : des calculs analogues aux précédents donnent a —m = 3 ct S—ié—{ayz. Pour æ—a on à z—0 et S—(za). Ainsi, bien queS ait l'une de ses deux dimensions infiniment longue, ce secteur S a cependant une aire finie, équivalente au carré fait sur a. Fouvux. Considérons la courbe, à coordonnées rectangles : ay? = a? — x. La diseussion fait voir que cette courbe , symétrique par rapport à l'axe des x, se compose de deux branches, infinies du côté des x négatifs, se coupant à l'origine, point double, et limitant une feuille depuis x=0 jusqu'à x = a, où la direction de l'ordonnée est tangente. Le maximum de l'ordonnée répond à x = a; la courbe a donc deux tangentes-sécantes parallèles à l’axe des x : elle a aussi, au point double , deux tangentes-sécantes , formant avec l'axe des x, de part et d'autre , deux angles demi-droits chacun. De sorte que la feuille est inscrite dans le triangle rectangle isocèle dont l'aire est a? : aussi, d’après l'intégration d’une différentielle binôme , trouve-t-on que l'aire de la feuille a pour mesure #a?. — On peut aisément caleuler l'aire du segment depuis 5=—0 jusqu'à 2——4, ainsi que les volumes de révolution que le demi-segment et la demi- feuille décrivent autour de l'axe des x. — Les aires et les volumes ci-dessus peuvent aussi se calculer par la simple théorie infinité- male, parce que la folium proposée est identique avec celle-ci : ay? = x (a —x). Vozune D'un secmenr. Les coordonnées étant rectangulaires , considérons la surface du 4° degré : Lay? + abz° = hbxs. Les plans parallèles à celui des yz, depuis x = 0 jusqu'à x —, divisent le volume S du segment, limité par la surface et le dernier plan, en un nombre infini de tranches, à bases elliptiques paral- lèles, et toutes de même épaisseur dx infiniment petite. De sorte que si l’on pose b— ac, on trouvera finalement : S=2rhy/c; d'où S=irh, pour b— a. Dirrérenres cugarunes. Les coordonnées étant toujours rectan- gulaires, il est bien facile de caleuler les expressions des volumes dans les surfaces que voici : (abx — ay? — br) = ab? ; (ay? br? — bz) = ab°xs ; Mécanique - Physique. 121 (ay? 72) = aix? ; (y? + 22)? — 403 — (2x2 , QG +2} = ax — x; (+2) = x — ax". Les quatre dernières surfaces sont de révolution autour de l'axe des x; et il en est de même des deux premières quand b= 4. Remarque. Les exemples précédents suffsent sans doute pour établir que le Calcul différentiel et le Calcul intégral appliquent la théorie infinitésimale à un plus grand nombre d'objets scientifiques que les simples éléments. Cette théorie d’ailleurs est nécessaire dans ces caleuls, sinon pour l'exposition des principes, du moins pour les démonstrations des procédés pratiques, très-abréviatifs et très- exacts, qui rendent si éminemment utiles ces deux genres de cal- culs, ainsi que les extensions qu'ils reçoivent sous différentes déno- minations. NEécanique - Physique. On sait que les Calculs supérieurs sont utiles pour résoudre complète ment certaines questions de Mécanique analylique et de Physique; mais ces calculs, toujours basés sur la théorie infinilésimale, ne sont pas néces- saires et cette théorie suffit pour traiter clairement les éléments de la Méca- nique-Physique, où l’on fait usage des infiniment petits matériels, qu'on ne saurait éviter parce que leurs agglomérations constituent les corps dont on cherche les propriétés physiques et mécaniques. . DES INFINIMENT PETITS MATÉRIELS. La notion des infiniment petits maté- riels se tire de la divisibilité en Physique. — D'abord tout corps ayant de l'étendue, on peut en concevoir la moitié, puis la moitié de cette moitié, et ainsi de suite à l'infini : c'est ce qu’on nomme la divisibilité géométrique. Mais on ignore si, par des moyens mécaniques, il est possible de diviser un corps matériel à l'infini : tout ce que l'expérience nous apprend à cet égard, c’est que plusieurs corps peuvent se diviser en parties si ténues qu'elles deviennent imperceptibles à nos sens. Et ce fait est prouvé par diffé- rents exemples, tels que celui-ci : Lorsque le sel est dissout par l'eau, les parties dans lesquelles il a été divisé sont si petites qu'elles échappent non- seulement à l'œil nu, mais encore à l'œil armé du plus fort instrument d'optique. Ces parties matérielles qui, par leur ténuité, échappent aux sens et à toute appréciation rigoureuse, sont dites infiniment peliles, et on ne saurait en tenir compte pour augmenter ou pour diminuer le corps que l'on considère. Il ne faut pas conclure de là qu'il n'existe pas d'autres parties, beaucoup plus petites; car outre ce que nous pouvons apprécier directement, il y a 16 122 J.-N. Nocr. — Théorie infinilésimale appliquée. une multitude de corps qui ont entre eux d'énormes différences de gran— deurs , et dont l'existence nous a ét6 en partie révélée par le microscope. Les dimensions possibles des corps forment une série immense qui com— mence au point géométrique et s'étend indéfiniment au-delà : nos organes ne peuvent saisir qu'une portion moyenne de cette série, et nous regardons comme infiniment peLit ou nul et comme infiniment grand, tout ce qui est renfermé dans les deux portions extrêmes. Mais ces jugements, résultat né— cessaire de l'imperfection de nos sens et de nos moyens d'appréciation, n'expriment que les limites extrêmes de la perception. Ces limites d'ailleurs sont aussi celles qui séparent le fini de l'infiniment petit et de l'infiniment grand : elles nous seront toujours inconnues, comme les deux portions ex- trêmes ci-dessus. En général, il n’y a dans la nature ni grand ni petit absolu; tout y est relatif à l'individu qui observe. Les mots grand et petit supposent toujours des comparaisons et n’expriment que des rapports (seules choses percep- tibles à nos sens et à notre intelligence). Nous ne connaissons réellement que des rapports et ne pensons que par eux. Bien que la matière soit divisible en parties tellement petites qu'elles échappent aux sens et à l'imagination, il est très-probable et l’on doit ad= mettre que la division atteint toujours une certaine limite et ne la depasse jamais ; soit qu'une division plus petite soit réellement impossible, soit que les forces nécessaires pour l'effectuer ne se présentent pas. Car la Physique et la Chimie offrent à chaque pas de nouvelles preuves de la division limi- tée de la matière; et un grand nombre de phénomènes de ces sciences se— raient tout-à-fait inexplicables dans la supposition contraire. On appelle point matériel tout corps infiniment petit dans toutes ses di- mensions, placé à la limite de la division effective et par conséquent indi- visible : c'est un atôme pour les corps simples , une molécule pour les corps composés, et une particule pour les agglomérations d'atômes et de molécules. De plus, la Physique apprend que la seule diversité du mode d'aggréga- tion des points matériels fait que le système entier, ou le corps qu'ils com- posent, est accidentellement solide, liquide ou gazeux ; et de là résultent également les autres propriétés accidentelles, savoir : les divers degrés de dureté, de mollesse, d’élasticilé, etc. Enfin, « on ignorera peut-être toujours les dimensions absolues des atômes matériels indivisibles ; cependant on pourra dire, dans certaines circons- tances, qu'il y a autant de ces particules dans un poids donné d'une certaine substance, que dans un autre poids d'une autre espèce de matière. On est obligé en Chimie d'admettre qu'il existe des rapports invariables entre les masses des atômes ou dernières particules des corps ; cette science fournit même les moyens de déterminer les valeurs numériques de ces rapports. » Or, c'est tout ce qu'il faut pour bien connaître la composition de ces corps. Lois DE MOUVEMENT. Pour donner une application de la théorie infinité- simale en Mécanique-Physique, cherchons les lois du motvement rectiligne Mécanique - Physique. 195 uniformément varié, ou produit par une force accélératrice constante, agis- sant sur un point matériel parfaitement libre, de telle sorte que cette force ne rencontre d'autre résistance que l'inertie de ce point. D'abord la force étant accélératrice et constante, elle agit d’une manière continue sur le point matériel, c'est-à-dire par impulsions successives , égales et infiniment petites qui se touchent ; la durée de chaque impulsion, pour que l'inertie du point matériel la reçoive complètement, étant infi- niment petite elle-même. Soit E l’espace rectiligne décrit pendant le temps t quelconque : si nous concevons ce temps £ divisé en un nombre infini n d'instants égaux à æ el infiniment petits, d'où 4—nx, il est clair que æ sera la durée nécessaire pour que le point matériel reçoive complètement, par son inertie, chacune des impulsions égales de la force accélératrice constante. Si donc le mobile a reçu la première impulsion (et l'a enmagasinée en quelque sorte) au com- mencement du premier instant, il recevra complètement les impulsions égales successives au commencement de chacun des instants égaux qui se succèdent sans interruption. Cela posé, chaque impulsion égale de la force fera décrire au point ma- tériel, pendant chaque instant, un espace égal à celui qu'il décrit déjà en vertu de l'impulsion de l'instant qui précède immédiatement; car il est évi- dent que des impulsions égales doivent faire décrire des espaces rectilignes éqaux, pendant des temps égaux, au même corps, placé chaque fois dans des circonstances identiques. — De plus, en vertu de son inertie, un Corps ne peut se donner aucun mouvement, ni altérer celui qu'il a reçu : donc si la première impulsion fait parcourir au point matériel le chemin c infini- ment petit pendant le premier instant æ, elle lui fera décrire le même che- min pendant chacun des instants successifs égaux : il en sera de même de la seconde impulsion égale pendant le second instant et ceux qui suivent ; de même de la troisième, de la 4e, et ainsi jusqu'à la n ième. On voit que le chemin décrit par le point matériel pendant le 1° instant æ, étant c, le chemin pendant le second instant sera c +- c ou 2c ; pendant le 3°, il sera 2c+ c ou 3c ; pendant le 4, 3c + c ou 4c; et enfin, pendant le n° ins- tant, le chemin décrit sera nc. Donc l'espace total E décrit peudant le temps 1 est : E=c+2c+43c+4c+...+nc—=inc(n+l). Observant donc que 4 est nul à l'égard de n infini, il vient E—cn*, Soit v la vitesse du mobile à la fin du »° instant ; v est donc le chemin rec tiligne que ce mobile décrirait uniformément pendant le temps 1, en vertu des » impulsions reçues pendant le temps +, si alors la force cessait d'agir sur lui. Or, puisque le corps décrit uniformément le chemin v pendant le temps 4, il est clair que pendant le (n+1) ième instant, dont la durée estæ, il décrira le chemin vx. Mais pendant ce (n +1} instant æ, le mobile, en vertu des » impulsions reçues pendant le temps #, décrit le chemin nc; il faut done qu'on ait vx — ne. 12% J.-N. Noëz. — Théorie infinitésimale appliquée. Düilleurs on a {—nx; éliminant donc n entre cette équation et les deux vx = nc et E— Len, celles-ci deviennent : ve ct et Ex?=;ct?, Si t—1 dans la première de ces équations et que g désigne ce que » de- vient alors, d'où gz?—c; il est clair que g est la vitesse du mobile au bout du temps 4 (une seconde, par exemple) et que par suite les équations du mouvement rectiligne uniformément varié sont : v— gt et Et; d'où ot —2E. On voit que dans le mouvement uniformément varié, 4° la vitesse croît comme le temps ; 2° le chemin rectiligne décrit croît comme le carré du temps ; 3° enfin, le chemin vt que décrirait le point matériel s'il se mouvait avec la vitesse finale v, est double du chemin décrit pendant le même temps avec la vi- lesse g, acquise pendant la première unité de temps. MOUVEMENT CURVILIGNE. Quant aux lois du mouvement curviligne, je me bornerai ici à observer que le mouvement curviligne du point matériel À est dû à deux forces qui agissent simultanément sur ce point, leurs direc— tions comprenant un angle quelconque. L'une de ces forces est accélératrice, tandis que l'autre force est constante, c'est-à-dire qu'elle a imprimé au point À une vitesse constante, par une seule impulsion, que ce point conserve le long du chemin rectiligne qu'il décrirait en vertu de cette impulsion. Or, il est certain qu'à une époque quelconque la résultante des deux forces est, en intensité et en direction, différente de la résultante à l'époque plus grande d'un seul instant infiniment petit. El comme le point matériel À se meut par les effets des résultantes successives, on voit que ce point décrit succes sivement des droites infiniment petites, éléments de la courbe résultante; ainsi qu'il est démontré plus haut (p. 77). — En général, le point géomé-— trique, générateur d'une courbe, en décrit chaque élément rectiligne, et celui-ci passe successivement par tous les états de longueur infiniment petite et invisible, à partir de zéro. Lois »'ÉQuiLIBRE. Les notions des forces et des vitesses étant bien acquises, ainsi que les notions de la masse el du poids de tout corps matériel, on dé- finit très-clairement le Travail mécanique des forces comme il suit: Travail- ler, c'est vaincre des résistances continuement reproduites, et faire mouvoir leurs points d'application suivant un certain chemin rectiligne , direction de la force qui agit. D'après cette définition, il est facile de démontrer que : Le travail méca- nique a pour mesure le produit des mesures de la résistance constante vaincue et du chemin décrit par le point d'action de cetle résistance. Ici le mètre est l'unité linéaire et le kilogramme l'unité de résistance ; tan- dis que l’unité de travail est le kilogrammètre, c'est-à-dire le travail pour élever un kilogramme à un mètre de hauteur verticale. Ces différentes unités sont toujours sous-entendues comme conséquents des rapports. Enfin, il ar- rive souvent que la résistance constante est une résistance moyenne. I. Cela posé, soient P et Q deux forces quelconques, situées dans le plan de Mécanique -Physique. 125 la ligne matérielle inflexible ACB, parfaitement mobile autour du point C, fixe et inébranlable, cette ligne solide étant droite ou brisée en C. Supposons que les forces P et Q agissent perpendiculairement à CA et à CB, l'une en À et l'autre en B, et que ces forces soient en équilibre autour du point C. Il est clair que si la force P, appliquée en À , agisseit seule pendant un instant infi- niment petit æ, la ligne ACB tournerait autour du point C; ses extrémités À et B décriraient donc les arcs circulaires AA’ et BB’, infiniment petits et conséquemment rectilignes. Donc puisqu'il y a équilibre, il faut que la force Q, agissant seule au point B, pendant le même instant æ, ramène la ligne solide A’CB à sa position primitive ACB; il faut donc que cette force fasse décrire aux points A’ et B', en sens contraires, les mêmes chemins rectilignes infiniment petits A’A et B'B. Or, les deux forces P et Q n'ont à vaincre, le long des chemins recti- lignes AA et BB infiniment petits, d'autre résistance constante que l'inertie de la verge solide ; les travaux mécaniques des deux forces P et Q, pendant le même instant x, ont donc pour mesures respectives PXAA’ et QXBB'. Et puisqu'il y a équilibre dans le système, il faut que ces deux travaux élémentaires, effets des deux forces P et Q, pendant le même instant x, se détruisent; il faut donc que ces deux travaux soient égaux, puisque déjà ils sont contraires. De sorte qu'on a PXAA =QXBB; d'où P:Q::BB':AA°. Les deux triangles isocèles CAA’ et CBB' ont l'angle ACA'— BCB évi- demment ; donc ces deux triangles sont semblables et donnent BB';AA'— CB:CA. Par conséquent on a P:Q::CB:CA ; d'où PXCA — QXCB. Les deux forces P et Q, situées dans le plan de la ligne solide ACB, se font équilibre autour du point C, fixe et inébranlable ; et ainsi leur résul- tante passe nécessairement par ce point, où elle est détruite. Et comme on appelle moment d'une force par rapport à un point le produit de cette force par sa distance numérique à ce point, on voit que si, dans le même plan, deux forces sont en équilibre autour d’un point de leur résultante, leurs mo- ments, par rapport à ce point, sont égaux et contraires. — Telle est la loi générale d'équilibre dans les machines ; laquelle est ainsi démontrée complè- tement, avec clarté et facilité, par la seule mesure des travaux mécaniques élémentaires. II. La loi générale d'équilibre précédente suffit pour démontrer , claire- ment et fort simplement, la théorie de la composition des forces et des vitesses parallèles , aussi bien que la théorie de la composition des forces et des vi- tesses concourantes ; et ces théories font nécessairement partie des Éléments de Mécanique. (Voir ceux publiés en 1840, H. Dessain, Liége.) III. Cherchons une autre loi d'équilibre. D'abord ia force P agit directe- ment sur la molécule À; celle-ci n'est donc maintenue en repos que par sa liaison invariable avec la seconde molécule m vers C; il faut donc que cette liaison transmette la force P au point matériel m, comme si elle lui était di- 126 J.-N. Noer. — Théorie infinitésimale appliquée. rectement appliquée dans le même sens parallèle. Car si la seconde molé- cule m n'avait aucune liaison avec la troisième »’, elle serait entraînée avec A par la force P, et ces deux molécules À et m décriraient deux droites pa- rallèles absolument comme si la force P, appliquée en A, était appliquée en m, dans le même sens parallèle. On voit que les deux forces P et Q de même sens, appliquées en AetB, se faisant équilibre autour de la molécule fixe C de la ligne inflexible ACB, sont transmises , par les molécules intermédiaires , au point C, qui les détruit absolument comme si chacune lui était immédiatement appliquée, avec La méme intensité et dans le même sens parallèle. IV. Tel est le principe de la transmission des forces et par conséquent des vitesses ; lequel est vrai encore lorsque les forces P et Q ne sont pas per- pendiculaires à CA ni à CB.— Il en résulte d'abord que C est le point d'ap— plication de la résultante des deux forces P et Q. De plus, si la ligne plare matérielle ACB est droite, les deux forces P et Q sont parallèles; et puisque chacune est transmise au point C, avec toute son intensité et dans le même sens parallèle, ilest clair que les deux forces parallèles de même sens P et Q, alors appliquées au point C, sont dirigées suivant la même droite pa— rallèle à leurs directions primitives. Donc leur résultante, appliquée en C, leur est parallèle et égale à leur somme P + Q. En général , quel que soit le nombre des forces parallèles de même sens, qui agissent sur différents points d’une droite matérielle, rigide et inflexi- ble, leur résultante est égale à leur somme, leur est parallèle et est appli quée à un point de la droite proposée. V. Reprenons le système proposé. Soient « et b les nombres respectifs de molécules égales formant les deux côtés CA et CB de la ligne inflexible ACB, et soit x la longueur de chaque molécule : il est clair que les lon gueurs CA et CB sont CA — ax et CB = bx. Cela posé, en vertu de la transmission des forces , la droite CA est sol- licitée à se mouvoir par & forces parallèles, de même sers, égales à P et appliquées aux a molécules de CA ; la résultante de ces a forces P est donc Pa, leur est parallèle, de même sens ct appliquée perpendiculairement en un point Z de AC. De même, la résultante des b forces Q est Qb, leur est parallèle, de même sens et appliquée perpendiculairement en un point Z' de CB. Or, puisque le système est en équilibre, la résultante Qb détruit la résultante Pa, absolument comme si elle lui était égale et directement op- posée en Z. On a donc successivement : Pa—Qb, Paz —Q-bx et PXCA — QXCR. Telle est exactement la loi d'équilibre trouvée plus haut (I), à l'aide des travaux élémentaires des forces P et Q. Remarque. Nous répélons ici une qbservation importante, déjà présen- sentée ailleurs : c'est qu'à la rigueur une ligne droite ou une ligne brisée plane parfaitement solide n'existe point dans la nature, quoique la con ception mathématique en soit évidente et indispensable pour l'étude des principes. Tous les points matériels qui composent les corps naturels n'y Mécanique -Physique. 127 sont retenus, en vertu des forces physiques qui agisssent sur eux, que dans un état de proximité plus ou moins intime, à distances plus ou moins infiniment petites, plus ou moins embryonaires , et non dans un été immé- diat de contact ou de contiguité. Ainsi en tirant ou poussant ces particules par des forces suffisamment énergiques, on doit généralement pouvoir les déplacer , les séparer ou les rapprocher davantage. C'est en effet ce qui a lieu ; car il n’y a aucun corps qui ue soit compressible, extensible ou flexible , même ceux qui comme le fer et la pierre la plus dure, résistent le plus énergiquement à tout changement d'état. De sorte qu'après avoir démontré les lois abstraites de l'équilibre et du mouvement, pour des corps parfaitement solides, il reste encore à y faire les modifications con— venables, si l’on veut les appliquer à des corps physiques réels ; et tel est l'objet de la Mécanique appliquée. Ces modifications ne sont pas toujours faciles à faire avec rigueur, et l'on n'y parvient d'ordinaire que par des approximations, de l'exactitude des- quelles il faut souvent se défier. Mais les lois abstraites du mouvement et de l'équilibre n’en sont pas moins très-utiles en elles-mêmes, d'abord par les vérités qu'elles peuvent servir à établir et qui constituent réellement la science ; ensuite parce qu’elles offrent la limite des lois qui doivent avoir lieu dans le cas des corps imparfaitement solides que la nature nous présente. LA THÉORIE INFINITÉSIMALE EST NÉCESSAIRE. Non-seulement la théorie infinitésimale est nécessaire pour rendre plus claires, plus simples et plus complètement logiques différentes recherches d’Algèbre et de Géométrie, ainsi qu'il est bien établi dans ce qui précède, mais en outre cette théorie fait descendre dans les simples éléments certaines questions réservées aux mathématiques supérieures : elle traite ces questions, sinon plus briè- vement que ces dernières, du moins beaucoup plus clairement, comme pénétrant plus avant dans la génération numérique ou descriptive des grandeurs. On à cité Laplace désirant le perfectionnement de la théorie infinitési- male « qu'il appelle un puissant instrument de l'esprit humain. » On a cité également Wronski prouvant « de la manière la plus rigoureuse que non—seulement l'infini est un instrument exact de recherches mathéma- tiques, mais qu'il est en outre l'élément le plus important des vérités elles- mêmes, et que par conséquent la science des mathématiques n'est possible que par l'infini. » Pour nous l'emploi explicite des grandeurs infinitésimales, dans les mathématiques élémentaires, a de plus le grand avantage de per- mettre d'appliquer plus tôt ces dernières à d'importantes recherches de phy- sique, de chimie et de mécanique. Aussi, depuis longtemps déjà, les savants dont les travaux ont pour but de rendre accessibles aux simples éléments d’Arithmétique, d'Algèbre, de Géométrie et de Trigonométrie, les applications théoriques de la Mécanique industrielle, n'ont-ils rien trouvé de plus clair ni de plus salisfaisant, à cet effet, que la théorie infinitésimale combinée avec le principe du tra- vail mécanique des forces, si heureusement introduit dans l'appréciation 198 J.-N. Ncoc. — Théorie infinitésimale appliquée , etc. de l'effet utile des Machines. Il en résulte, avec facilité, plusieurs prin— cipes généraux de la Mécanique analytique, où d'ailleurs la méthode fonc- tionnelle et l'axiome de généralisation sont utiles, sinon nécessaires, pour établir clairement et simplement les principes fondamentaux de la composi- tion des forces et des vitesses. Conczusion. D'après les développements qui précèdent, on peut affir- mer, avec entière certitude, que non-seulement la théorie infinitésimale est démontrée complètement, mais qu’elle est la base de l’enseignement le plus clair, le plus simple et le plus rigoureusement logique des sciences Physiques et Mathématiques, tant pour les théories que pour les appli- cations. FIN. APPENDICE à la théorie infinitésimale appliquée. Quelques difficultés opposées à la théorie infinitésimale appliquée me pa- raissent exiger que les notions fondamentales y soient plus développées en core ; et tel est le but du présent Appendice. NOoTIONS INFINITÉSIMALES. C’est par le fini que nous acquérons les notions des nombres infiniment grands et des nombres infiniment petits. Ainsi quel- que grand quesoit un nombre fini donné ou simplement imaginé, on peut en core en concevoir un plus grand, et ainsi toujours et sans fin. On doit donc appeler infiniment grand ou simplement infini le nombre qui surpasse tout nombre fini imaginé, si grand que soit ce dernier. — D’après cela, un nombre infini sera toujours inconnu et inexprimable en chiffres : aussi le désigne-t-on dans le calcul, par une lettre et spécialement par un huit renversé, æ , qui s'énonce infini ou nombré infini. De même, quelque petit que soit un nombre fini assigné, on peut encore en concevoir un plus petit, et ainsi toujours et sans fin. On doit donc nom- mer infiniment petit le notbre moindré que tout nombre fini imaginable, si petit que soit ce dernier ; sans être nul: — D'après cela, la fraction , ayant un numérateur fini et un dénominateur infini, est un nombre infiniment pe— tit ; car cette fraction sera toujours moindre que toute fraction finié assignéé, si petite qu'elle soit , vu que le dénominateur infini sera toujours plus grand que le dénominateur fini, et que la fraction est d'autant plus petite que son dénominateur est plus grand. On voit que : 4° Le quotient d’un nombre fini par un nombre infini est un nombre infiniment petit, et non pas le zéro absolu ; 2° Si l'on conçoit tout nombre fini divisé en une infinité de parties égales , chaque partie est infini- ment petite; 3° Enfin, tout nombre infiniment petit est nécessairement in- connu et inexprimable en chiffres : c’est un nombre irrationnel, qu'il faut désigner dans le calcul par une lettre x ou par a: ©, a désignant un nombre fini; de sorte qu'onaxæ= a: « et x X o— a. Observons encore que les nombres infiniment grands et les nombres infi- niment petits, étant toujours inconnus et variables, peuvent être soumis aux conditions du maximum et du minimum, c'est-à-dire être les plus grands et les plus petits possible, d’après ces conditions ; ainsi qu'on va le voir en démontrant l'existence de ces deux genres de nombres inexprimables. CALCUL INFINITÉSIMAL. Il existe évidemment beaucoup de fractions com prises entre 4 et?2, par exemple. De plus, on ne pourra jamais compter le nombre de toutes les fractions possibles, depuis 4 exclu jusqu’à 2 inclu ; car ce nombre entier est si grand qu'il surpasse tout nombre fini imaginable : il est infini et désigné par œ . Mais ce nombre entier infini, bien que toujours inconnu , n'est pas variable; car il est ici le plus grand possible ou un maæi- mum , yu que désigne le nombre de toutes les fractions possibles ci-dessus. 17 130 J.-N. Norz. -- Appendice à la De plus, toutes les fractions possibles , depuis 4 exclu jusqu'à 2 inclu, vont nécessairement en croissant par une même différence d tellement petite qu'on ad x æ — 1 etd—£. Or cette différence d, infiniment petite, sans être nulle, et toujours inconnue, n'est pas variable, d’après l'hypothèse : elle est ici la plus petite possible ou un minimum. Si en effet, la différence d pouvait être plus petite, elle serait au plus d= + ; d'où l'on aurait d X (œ + 1)— 1. Le nombre de toutes les fractions possibles ci-dessus serait donc æ “+ 4 et non pas ; ce qui est absurde. Il est évident que les nombres respectifs de toutes les fractions possibles, depuis 4 exclu jusqu'à 2,3, 4, 5, 6,... inclus, sont : ©, 2 , 3%, ke , Bo , etc. On voit que deux nombres infinis différents peuvent avoir un rap— port fini quelconque ; etil en est de même de deux nombres infiniment petits. Par exemple, le rapport de © à © est De La différence d est évidemment la même pour toutes les fractions possi-— bles, depuis 4 exclu jusqu'à 2, 3, 4, 5,6, inclus. On a donc On ne change donc pas la valeur d’une fraction infiniment petite lorsqu'on multiplie ou quand on divise ses deux termes par un même nombre, fût-il même infini. La première de toutes les fractions possibles, entre 4 ei 2, étant A + 4 = =+=, on voit qu'en général les deux termes sont infinis pour chacune des fractions possibles, comprises entre deux nombres entiers quelconques, immé-— diatement consécutifs. Or, l'une des fractions possibles entre 3 et 4, par exem- ple, se réduit à 2; il faut donc que les deux termes infinis de cette fraction aient un facteur infini commun, désigné par a, et soient A0a et 3a; car alors en supprimant ce facteur infini commun, on ne change pas la valeur de Ja fraction et on la réduit à °. On démontre que la racine carrée de 42, comprise entre 3 et 4, est inex— primable en chiffres ; c'est donc une fraction dont les deux termes infinis # et p n'ont point de facteur infini commun, et l'on a rigoureusement j/ 12 — n Eur p. De là résulte que dans A—By/12, les deux quantités continues À etB de. même nature (deux droites ou une courbe et une droite finies) ont toujours un commun diviseur rectiligne infiniment petit. On le vérifie d'ailleurs, car pouvant approcher d'aussi près qu'on le veut du rapport p/42, toujours in— connu, on approche en même temps du commun diviseur de A et B; donc ce commun diviseur existe : il est infiniment petit et toujours inconnu. Si n et p désignent deux nombres entiers infinis , on a Exp ei? —3p: An. ñn n°? An Et comme toute fraction, à termes infinis, est nécessairement comprise entre deux nombres entiers immédiatement consécutifs, on voit que : 4° Le produit d'un nombre infiniment petit par un nombre infini, ou réciproque ment, est toujours un nombre fini indéterminé ; 2° Le quotient ou le rapport de deux nombres, soit infinis , soit infiniment petits, est toujours un nombre fini inconnu. Théorie infinitésimale appliquée. 151 Les principes du Calcul infinitésimal étant ainsi rigoureusement démon- trés, pour les nombres infiniment grands et infiniment petits du premier ordre, on voit que ce n'est pas gratuitement que l'on étend à ces deux genres de nombres , inexprimables ou irrationnels, les règles établies pour le calcul des nombres finis. Quant au principe infinitésimal, où il faut trouver des nombres finis, il ne s'applique que quand l'expression du nombre fini x cherché est ramenée à la formeæ—a+y, a désignant un nombre.fini et y un nombre infiniment petit variable, pouvant être négatif. Or, si a et x ne sont pas tous les deux constants et qu'on néglige y, on commet une erreur infiniment petite, absolument inappréciable et dont on ne saurait tenir compte pour augmenter ou diminuer a. D'ailleurs, puisqu'on cherche un nombre fini æ, l'infiniment petit y, toujours inconnu, ne saurait en faire partie, et y n'a pas plus d'influence sur æ que si l’on avait rigou- reusement y = 0 ; d'où x —4a. Ainsi a exprime exactement la valeur finiex cherchée. j On voit que pour calculer les nombres finis, le principe infinitésimal est rigoureusement exact; mais que dans le calcul général des nombres, ce principe est celui de très-grande approximation. Ici l'infiniment petit y se néglige forcément, mais cependant au même titre que quand cherchant un nombre æ de centièmes, a exprimant un nombre de centièmes donné, on néglige y moindre qu'un demi-centième : il en résulte alors z=a, à moins d'un demi-centième près. Maintenant, si les deux nombres finis a et æ sont constants dans l'équation —a+ y toujours exacte, le nombre infiniment petit variable y ne saurait entrer dans cette équation : autrement le nombre constant æ serait toujours variable; chose absurde. Le nombre y disparaît donc de cette équation, non parce qu'il est nul ou infiniment petit, mais uniquement parce qu'il est varia- ble ; et l’on a x—a, sans aucune erreur, pas même infiniment petite. On sait que a sur (1 —r) est la génératrice par division d'une progression géométrique , et que cette génératrice constante ne dépend aucunement du nombre variable de termes calculés dans son développement. Si donc pour calculer la génératrice, on désigne par S la somme de tous les termes de la progression , continuée à l'infini, la somme S est constante comme la géné— ratrice qu’elle représente. Or, on trouve Le dernier terme du second membre étant seul variable avec , ne sau— rait entrer dans cette équation toujours exacte, el en le supprimant on a exactement la génératrice, sans avoir rien négligé sur la valeur deS, vu que ce dernier terme n'entre point dans cette valeur. Cela est vrai pour r quelconque, possitif ou négatif, mais différent de l'unité. — Sir < 4, la génératrice est la limite de la somme de tous les termes de la progression géométrique décroissante, continuée à l'infini ; et cette somme atteint sa limite à l'infini, puisqu'il ne faut rien négliger pour y parvenir en divisant a par 1—7. D£S INFINIS ET INFINIMENT PETITS GÉOMÉTRIQUES, On sait qu'une droite 152 J.-N. Noez.-. Appendice à la peut se prolonger toujours et sans fin, dans le même sens ; elle est donc infinie dans son état le plus général avec une extrémité donnée : l'autre ex— trémité , toujours inconnue, est dite située à l'infini. — La mesure ou la va— leur numérique de cette droite infinie est infinie elle-même et désignée par æ . Or, tandis que la droite infinie reste constante, le nombre varie en sens inverse de l'unité linéaire finie. De sorte que si l'unité finie employée est un minimum où un mazimum, le nombre infini, désigné par æ , sera au con— traire un maæimum Où un minimum. On démontre aisément que le rapport des surfaces infinies de deux bi-an- gles équiangles est toujours un nombre fini, égal au rapport des côtés finis de ces deux bi-angles. Si l'on conçoit qu'une grandeur géométrique finie A soit divisée en un nombre infini de parties égales à x, d'où æ X œ — A, chaque partie est infiniment petite, car æ est moindre que toute partie finie et assignée de À, si petite que soit cette dernière, sans être nulle. De plus, la partie infini ment petite x est toujours inconnue, comme échappant, par sa petitesse à l'imagination et à toute appréciation rigoureuse; de sorte que la me- sure de æ est un nombre infiniment petit absolument inexprimable en chiffres. Enfin, la quantité + infiniment petite varie en sens inverse du nom— bre infini proposé , désigné par « ; et si ce dernier nombre est un maximum ou un minimum, æ est au contraire un minimum OU Un mazimum. La définition serait moins précise , bien qu'exprimant encore une propriété caractéristique évidente, si l'on appelait infiniment petite la quantité continue ayant le néant pour limite. Une quantité infiniment petite est nécessairement variable ; car par exem- ple , le point géométrique générateur d'une droite finie, décrit successive ment toutes les longueurs infiniment petites possibles, croissantes à partir du néant, jusqu'à la longueur finie proposée. L'impossibilité évidente, certaine, qu'un point géométrique suive à la fois deux directions différentes, démontre que toute courbe plane finie n'est réelle- ment qu'une ligne brisée d'une infinité de côlés ou éléments infiniment petits. Le commun diviseur, nécessairement rectiligne infiniment petit, entre la courbe et une droite finie, démontre aussi directement cette proposition im— portante. Soient Cet c les circonférences de deux cercles tracés, dont R et r dési- gnent les rayons. Soient P et p les périmètres de deux polygones réguliers, d'un même nombre infini n de côtés, inscrits dans les deux cercles : ces deux polygones réguliers sont donc semblables et l'on a P : p—R :r.Soil m le rap- port constant, exprimable ou inexprimable, de R à r : on a donc R=7r m et P—pm. Si les deux polygones réguliers ne coïncident pas avec les deux cercles, c'est-à-dire si les périmètres P et p ne coïncident pas avec les circonférences Cevc, les différences x et y sont du moins fort petutes. Et comme chaque are infiniment petit surpasse sa corde, on a C > Pete > p; d'où P=C—x otp—c—y. Substituant ces valeurs dans P = pm, il vient C—æ=—=cm— ym et Théorie infinitésimale appliquee. 153 C=cem+x—ym.……. (1) Cela posé, si x—ym—0, on a C= cm. Or déjà P—pm; il ny a donc aucune erreur finale à supposer que P et p coïncident entièrement avec G et c. D'ailleurs l'égalité &æ —ym— 0 est vraie pour æ = 0 et y — 0. Mais si la différence & — ym n'est pas nulle, elle est nécessairement va- riable. En effet, les deux polygones réeuliers ne cessent pas d’être sembla- bles, et par conséquent l'égalité (4) subsiste toujours, lorsque le nombre infini » de côtés devient de deux en deux fois plus grand. Mais alors les périmètres P et p, ayant de deux en deux fois plus de points communs avec les circonférences C etc, approchent de plus en plus de coïncider avec ces deux courbes , et les différences x et y diminuent de plus en plus. Ces deux différences sont donc variables, aussi bien que la différence x —ym, toujours moindre que l'un de ses termes. Et puisque l'égalité (1) est toujours exacte, les quantités C, c, m restant constantes, il résulte de cette égalité que la quantité constante C sera toujours variable ; chose absurde. Or, d'où vient cette absurdité ? C’est évidemment de l'hypothèse que la différence z — ym n'est pas nulle et par conséquent de l'hypothèse que P et p ne coïncident pas avec GC et c ; donc chacune de ces hypothèses est absurde elle-même et l'on a toujours C — cm. On voit que : 4° On ne commet aucune erreur finale en affirmant que le cercle est un polygone régulier d'une infinité de côtés infiniment petits, dont le rayon et l’apothème sont égaux entre eux et dont chaque angle exté- rieur est égal à l'angle infiniment petit au centre. 2° Tous les cercles sont semblables , comme polygones réguliers d'un même nombre infini de côtés ; d'où résulte aussi que toutes les circonférences sont des courbes semblables, ayant la même forme et ne différant que par leurs longueurs. - Observons d'ailleurs que pour calculer le rapport x des longueurs de la circonférence et de son diamètre, le procédé le plus élémentaire exige l'em- ploi d'une série de radicaux du second degré, tous irréductibles et inexpri- mables en chiffres ; le rapport x est donc lui-même inexprimable : c'est une fraction , toujours inconnue, dont les deux termes infinis n’ont point de fac teur infini commun. Delà résulte que la circonférence et son diamètre n’ont d'autre commun diviseur qu'un droite infiniment petite, contenue une infinité de fois dans la circonférence ; laquelle est une ligne brisée, etc. On démontre, comme pour le cercle, et à l’aide du procédé des projections orthogonales , que toute figure plane, mixte ou curviligne, peut toujours, sans aucune erreur finale, être regardée comme un polygone rectiligne d'une infi- nité de côtés infiniment petits. DES INFINIMENT PETITS MATÉRIELS, Comme il existe des quantités matériel les finies très-petites, toujours visibles, la dénomination de très-petite ne suffit pas pour désigner clairement, ni pour distinguer des quantités finies, la quantité æ dont un cheveu croît par seconde de durée. Car cette quantité x est invisible , inconnue et variable, vu que le‘cheveu croît plus vite en été qu'en hiver ; enfin, x échappe, par sa petitesse, à tous nos moyens rigoureux de mesurage et d'appréciation, absolument comme l'infiniment petit géométrique. 154 J.-N. Noëc. — Appendice à la C'est pourquoi l'on doit encore appeler infiniment petite la quantité æ ci-des- Sus : c'est un infiniment petit physique ou matériel, qu'on ne doit pas con fondre avec l'infiniment petit géométrique ; car pour avoir un produit fini, il suffit de multiplier le premier par un nombre fini très-grand, tandis qu'il faut multiplier le second par un nombre infini. On objecte qu'en un an le cheveu croît d'une longueur finie, que l'on peut très-bien mesurer et apprécier ; que par suite, pour avoir la longueur &, il suffit de diviser le nombre résultant par le nombre de secondes de l'année. — Je réponds que les instruments les plus exacts et nos moyens d'apprécia— tion ne permettront jamais de mesurer la longueur finie ci-dessus, à une erreur près, moindre que æ invisible; cette dernière longueur æ sera donc toujours inconnue et absolument inappréciable par sa petitesse. On objecte encore que les infiniment petits matériels ne peuvent se né- gliger, sans erreur appréciable, qu'à la fin des calculs; ce qui est vrai. Mais le principe infinitésimal, par compensation d'erreurs, ne porte que sur les infiniment petits géométriques : il démontre qu'il n’y « aucune erreur fi- nale à supprimer , au commencement du calcul, certains infiniment petits qui doivent en disparaître à la fin comme variables. Non-seulement ce principe simplifie merveilleusement les calculs, mais rend apparente l'exactitude lo— gique complète que la théorie infinitésimale possède réellement. Bien en— tendu que les infiniment petits géométriques, dans les calculs, y sont censés d'abord réduits en nombres infiniment petits. Dans la Mécanique appliquée, où l'on suppose ordinairement homogènes les corps que l'on considère, les masses de ces corps sont représentées par leurs volumes. Quelle que soit donc la forme de chaque point matériel, dont les trois dimensions sont infiniment petites chacune , comme on sait, son volume est un infiniment petit du troisième ordre , et la mesure de ce volume peut toujours être exprimée par æ&, æ désignant une droite numérique infi- niment petite. D'après cela, connaissant le poids spécifique d’un liquide homogène en équilibre dans un vase conique circulaire, dont la base est horizontale, la simple théorie infinitésimale suffit pour calculer : 4° La pression sur chaque point du contour d'une section horizontale et la tension sur ce contour ; 2° La tension totale sur chaque génératrice de la paroi et par conséquent la pression sur la paroi elle-même; 3° Enfin, le centre de pression, qu'il importe de bien connaître , afin d’y appliquer une résistance suflisante. (Voyez à ce sujet les Éléments de Mécanique, p. 264 et suivantes). QUADRATURE ET CUBATURE. On à vu comment le calcul différentiel et le calcul intégral simplifient la discussion des lignes et des surfaces courbes, aussi bien que la quadrature et la cubature de ces lignes et de ces surfaces. Pour avoir de nouvelles applications, considérons les équations à coordon— nées rectangulaires : ay = ax —2 ax +x; (y +42 —2ax; = ax — xt; (æ? y= + a x)2 = aix —a"x$; ay +a2s2= a2x2— 78, Théorie infinitésim. appliquée. 155 La première de ces équations représente une courbe parabolique carra- ble, ayant à &æ — a un point de rebroussement. — La seconde exprime la surface composée de deux nappes finies depuis + — 0 jusqu'à x —a. limi- tant deux volumes l'un double de l’autre. — La troisième équation désigne la surface formée de deux nappes finies, depuis æ —0 jusqu'à x — + a, limi- tant deux volumes égaux, chacun équivalent au quart de la sphère dont «a est le rayon. Cette surface a deux sections elliptiques maximum, parallèles au plan de symétrie des yz. Le plan des +5 coupe la surface suivant la lem— niscate dont l'aire est mesurée par ? a2, etc. — Enfin la dernière surface se discute absolument comme la précédente. Remarques. Les Géomètres qui rejettent encore l'emploi explicite des inf nis, sous prétexte que ces grandeurs n'existent pas on du moins que les notions en sont obscures, conviennent cependant que cet emploi conduit, avec une merveilleuse rapidité, à des résultats reconnus exects par des pro- cédés beaucoup plus compliqués, mais qu'ils regardent comme plus ri- goureux (bien que ces procédés, dits plus rigoureux, soient parfois des non-sens). Au lieu donc de recourir à des détours obscurs , à des procédés fort compliqués, il est bien plus naturel de chercher, dans la méthode infi- nitésimale même, la cause de l'exactitude logique des résultats que cette méthode donne avec tant de facilité. Or, cette cause n’est autre que le prin- cipe par compensation d'erreurs finales. Il est singulier que ce principe, déjà signalé par Carnot, avant 1813 (Réflexions sur la métaphysique du calcul infinitisémal), ne soit pas démontré, ni même mentionné, dans les traités élémentaires où la théorie des variables, qui fournit le principe infinitési- mal ci-dessus, est cependant nécessaire pour donner à ces ouvrages toute la simplicité et toute la rigueur logique dont ils sont susceptibles. Par exemple, si dans l'expression de la somme S des n premiers termes d'une progression géométrique, on suppose que S désigne la génératrice de cette progression, il est clair que cette génératrice étant constante, ne sau- rait dépendre du nombre variable n de termes calculés dans son développe ment. Donc le terme fonction de » doit disparaître de l'expression de S : autrement la quantité constante S serait toujours variable; chose absurde. De même, si dans l’expression de la somme S des n premiers termes d’une série récurrente du second ordre , on suppose queS désigne la génératrice constante de cette série , les deux termes, fonctions de n et variables avec n, doivent disparaître de l'expression de S pour avoir la génératrice cherchée. On trouvera de même la fraction algébrique , génératrice par division de toute série récurrente du troisième ordre. On sait d’ailleurs que la méthode des coefiicients indéterminés est néces- saire pour développer , avec facilité, les fractions algébriques en séries ré- eurrentes et surtout pour bien mettre en évidence la loi de formation de ces séries. On sait de plus que la théorie des variables démontre très-simple- mentle principe fondamental de la méthode des coefficients indéterminés et le principe infinitésimal. Celui-ci d’ailleurs justifie l'appréciation ci-dessous de Carnot, dans l'ouvrage cité (édition de 1843, p. 245) : « Le mérite essentiel , le sublime, on peut le dire, de la méthode infinité- simale , est de réunir la facilité des procédés d’un simple calcul d'approxi- 156 J.-N. Norr.— Appendice à la Théorie infinitésim. appliquée. mation, à l'exactitude des résultats de l'analyse ordinaire. Cet avantage im— mense serait perdu, ou du moins fort diminué, si à cette méthode pure et simple, telle que nous l'a donnée Leibnitz, on voulait, sous l'apparence d'une plus grande rigueur soutenue dans tout le cours du calcul, en substituer d'autres moins naturelles, moins commodes, moins conformes à la marche probable des inventeurs. » De plus, comparant la méthode infinitésimale à celle des limites, Carnot dit plus haut (p. 213) : « IL faut remarquer que dans les recherches mathématiques, c'est naturellement sur les quantités appelées infiniment petites elles-mêmes, que se fixe l'imagination, et non sur lés limites de leurs rapports. Si l'on mé demande le volume d’un corps terminé par une surface courbe, j'imagine réellement ce volume partagé en un grand nombre de tran- chés ou même de particulés. Ce sont bien ces tranches ou ces particules elles— mêmes que je considère , et non les divers rapports qu'elles peuvent avoir entre elles , et encore moins les limites de ces rapports. Mon imagination cher- che un objet sensible; des formes purement algébriques ne lui offriraient rien que de vague. La division en tranches ou particules m'offre un tableau, éclaire mon esprit, le guide, et facilite la solution. Je regarde l’une de ces particules comme l'élément de la quantité totale, etc. » ERRATA de la théorie infinitésimale appliquée. . 38, ligne 43 en remontant : que a est lisez que x est . 46, ligne dernière En (n +14), lisez + sn(n+1) . TA, ligne 14 en rem. : A2— 7 ©?, lisez W24Tc2 . 90, ligne 7 en rem. : généralition, lisez généralisation . 404, ligne 7 en rem. : 1.3.7.9, lisez 1.3.5.7 . 120, ligne dernière : — 6? x, lisez — b?x. La” Mas os ile 1 «| JL. — Énumération des Mollusques terrestres et fluviatiles vivants de la France continentale , PAR Henri DROUERT. I. AVERTISSEMENT. 4. Je destine cet opuscule aux malacologistes voyageurs , à ceux qui ont des collections et qui font des échanges. Il ne faudrait pas chercher des vues neuves, des idées originales , des remarques in- téressantes, dans cette compilation aride, faite originairement pour mes amis et sur leur demande. J'ai voulu qu’on pût embrasser d’un coup-d’œil , rapidement et sous un faible espace , les richesses mala- cologiques de la faune française : tel a été mon but en entrepre- nant cette Énumération , simple memento du conchyliologue français. 2, « S'il s’agit d'un pays connu, dit M. De Candolle (et j'ap- plique à nos mollusques indigènes ses idées sur les plantes) , une simple énumération des espèces, sans phrases ni descriptions, mais avec quelques synonymes , et surtout avec l'indication soignée des localités, est ce qui vaut le mieux... De simples catalogues des noms de genres et d'espèces, arrangés, soit dans l’ordre alpha- bétique, soit dans un ordre scientifique, sont utiles pour la re- cherche des synonymes, et pour faire trouver les descriptions, éparses dans un grand nombre d'ouvrages. » (A. De CaNpozce, Introduction à l'étude de la botanique; Paris, 1855). 3. Je ne rappellerai pas ici les règles bien connues de l’antério- 15 138 H. Drouer. — Énumération des Mollusques terrestres rité, en ce qui touche les dénominations scientifiques. Le droit d’antériorité étant, à mes yeux (sauf quelques rares exceptions) , un droit sacré, je l'ai scrupuleusement respecté , toutes les fois qu'il a été en mon pouvoir de le faire. Si, d’un côté , l'adoption générale, universelle , est la récompense qui doit couronner les conceptions primordiales, les innovations ingénieuses et ration- nelles , les idées saines et philosophiques, d’un autre côté , l’'aban- don est la pénalité qui doit impitoyablement frapper les dénomi- nations tardives ou inutiles, les idées fausses , les définitions inex- actes ou mal conçues. C'est ainsi, pour ne citer qu’un exemple, que j'ai remis en vigueur différentes appellations spécifiques appar- tenant à Olivi, et consignées par lui dans sa Zoologia Adriaticu (1792). L'érudition infatigable et toujours croissante de nos au- teurs modernes amènera sans doute encore de nouveaux change- ments dans la nomenclature. 4. La méthode naturelle (c'est le beau, dans l’histoire de la na- ture) étant l'idéal vers lequel doivent tendre tous nos efforts, il est évident que le meilleur classement , pour les espèces, est celui qui les présente dans l’ordre exprimant le plus exactement leurs rap- ports, en prenant tout à la fois pour guide, la nature (j'entends la manière dont elle les groupe elle-même sur le sol), la similitude de mœurs et d'organisation , et les analogies de l'enveloppe testacée. Mais ici, pour faciliter les recherches et l'usage, j'ai dù suivre l'arbitraire de l'arrangement alphabétique. Quant aux genres , j'ai tàché de les coordonner le plus naturel- lement possible, en consultant leurs affinités : c'est , notamment , ce qui m'a fait placer le genre Ancylus parmi les Limnacea, près des genres Planorbis et Limnæa, ainsi que le veulent les recherches anatomiques les plus récentes. Avec M. Moquin-Tandon, j'ai adopté l'ordre nouveau des Pul- mobranchia, pour tous les mollusques aquatiques jouissant de la double faculté de respirer l'air contenu dans l’eau et l'air libre. La famille des Limnacea , seule, est dans ce cas. 5. Après un examen sévère, j'ai dù éliminer quelques-unes des espèces établies dans ces derniers temps; d'un autre côté, j'en ai proposé quelques autres, nouvelles pour la faune française : dans l'un et l'autre cas, je me suis mis en garde contre les extré- mes, et j'ai tâché d'agir avec réserve et circonspection. Mais je pré- vois qu’un remaniement ultérieur pourra modifier encore cette ct fluviatiles vivants de la France. 159 partie de mon travail , surtout en ce qui regarde la restriction du nombre des espèces (*). 6. Ily a deux sortes de synonymes : ceux qui se référent au type même de l'espèce; ceux qui ont pour objet des variétés plus ou moins tranchées (ce fléau de la science, comme les appelle Fabricius). J'ai pris soin, autant qu'il m'a été possible, d'établir ces distinctions, 7. Cet opuscule étant, avant tout, destiné à mes compatriotes, je me suis particulièrement attaché à donner la synonymie de nos principaux auteurs. J'ai remonté, pour cela, au Prodrome de Poiret sur les coquilles de l'Aisne et des environs de Paris (1801) (**), antérieur, comme on sait, de quelques mois au Tableau des Mol- lusques de la France, par Draparnaud (**), lequel a lui-même précédé de quelques semaines une Liste des Testacés de la Côte- d'Or, publiée par M. le D' Vallot (***). Parmi ces trois auteurs, dont l’ordre de succession doit être réglé comme je viens de le faire , Draparnaud , par l’ouvrage précité, s’est assuré un droit in- (*) Faire des espèces, c'est la manie du jour; nous appauvrissons la science tout en ayant l'air de l’enrichir. Pourquoi tant s’écarter de la voie tracée par les Linné, les Müller, les Cuvier, les Lamarck, les Draparnaud?.... Lais- sons une nation voisine s'égarer dans ce labyrinthe sans issue, et revenons, il en est temps encore, aux doctrines des maîtres que je viens de citer. Pour ma part, je serais heureux si mon Énumération pouvait contribuer à faire prendre en aversion les abus, véritablement excessifs et intolérables, de nomenclature : car c'est bien là ce qui diminue chaque jour le nombre des na- turalistes, au lieu de l'augmenter. (**) Coquilles fluviatiles et terrestres observées dans le département de l'Aisne et aux environs de Paris. Prodrôme. Par J. L. M. Porrer.— Paris et Soissons, an 1x. — 1 vol. in-12 de 119 pages. — Paru en avril 1801, Petit volume qui commence à devenir assez rare dans le commerce. (#*) Tableau des Mollusques terrestres et fluviatiles de la France. Par J. Draparnaun. — Montpellier et Paris, an 1x, — 1 vol. in-8° de 116 pages. — Paru en juillet 18011 Volume rare et peu connu des étrangers. Il n’est plus dans le commerce. (**##) Ecole centrale du dépariement de la Côte-d'Or, Exercice sur l'his- toire naturelle. — Dijon, imprimerie de J. N. Frantin, 2 et 3 fructidor an 1x, — 8 pages in-4°. — L'article 14° de cet Exercice est une liste descriptive des testacés terrestres et fluviatiles du département, rédigée par M, le D' Vallot, alors professeur d'histoire naturelle à l'Ecole centrale. Paru en août 1801! Ce catalogue est extrêmement rare. Je n’en connais qu'un exemplaire, conservé à la bibliothèque publique de Dijon. 440 H. Dnover. — Énumération des Mollusques terrestres contestable de priorité sur Montagu, dont le Testacea Britannica ne parut qu’en 1805. J'ai ensuite successivement passé en revue tous nos auteurs de faunes malacologiques, françaises et départe- mentales , depuis Draparnaud jusqu'à Michaud, et depuis ce der- nier jusqu’à M. l'abbé Dupuy. Je cite également , en tant que de besoin , les noms des Bruguière, Lamarck, Férussac, de Blain- ville et Deshayes , tous einq princes de la science, et dont les écrits se placent, au premier rang, dans nos bibliothèques (*). Néanmoins , comme il pourrait se faire que ectte énumération vint à tomber entre les mains de naturalistes étrangers, j'y ai joint, au besoin, la nomenclature adoptée dans les ouvrages par- tout connus de Rossmässler (Iconographie) et de Gray (Zurton’s Manual). Dans tous les cas, je crois pouvoir garantir l'exactitude de mes citations synonymiques, que je n'ai maintenues qu'après une minu- tieuse vérification , faite sur des échantillons authentiques, . ou, tout au moins, sur les diagnoses originales. 8. J'ai marqué d'une astérique * les espèces et les variétés prin- cipales faisant partie de ma collection. Je les offre, pour la plu- part, en échange, aux naturalistes qui voudront bien se dessaisir en ma faveur de quelques-unes de celles, malheureusement trop nombreuses , que je n’ai pas encore pu me procurer. 9. Certaines régions de la France ont été, depuis trente ans, explorées avec un soin tout particulier. Dans ces localités, peut-on dire, pas une colline, pas un ruisseau, pas une roche , n’a échappé aux investigations du conchyliologue. Mais il n’en a pas été de même partout. Je crois que les plaines rocheuses de la Bretagne , les forêts des Vosges et du Jura, certains vallons des Alpes même, sont loin d’être parfaitement connus. D'un autre côté, a-t-on dit le dernier mot sur les cratères éteints de l'Auvergne ? les sauvages retraites des Cévennes n’ont-elles plus rien à révéler ? avons-nous clos irrévocablement la faune des côtes de la Normandie, des landes de l’Aquitaine , et mème aussi, de certains pies des Pyré- nées ? Je ne le pense pas. J'appelle done, en passant, l'attention des voyageurs, sur ces régions , que je regarde comme imparfai- tement connues. (*) J'ai passé sous silence la synonymie de Geoffroy, désormais positive- ment arrêtée , et celle de ceux de nos auteurs qui ont suivi sa méthode. Leur nomenclature, parce qu’elle n’est point écrite en langue scientifique, ne se pré- tait pas facilement à figurer dans le genre de compilation que j'ai entrepris. et fluviatiles vivants de la France. 141 10. Je profite, en outre, de l'occasion , pour annoncer aux ma- lacologistes que je réunis, en ce moment, les matériaux d’une Monographie des Naïades de l’Europe. Je recevrai donc avec em- pressement ct reconnaissance , les documents de toute nature que l’on voudra bien m'envoyer, en communication ou autrement; et j'aurai soin, en en faisant usage , d'indiquer la source d’où ils me sont venus. 41. Depuis une dizaine d’années, plusieurs naturalistes fran- çais et étrangers me sont venus en aide , en m’adressant bénévo- lement, les uns des échantillons authentiques, les autres de pré- cieux renseignements, ceux-ci des mémoires rares ou difficiles à obtenir, ceux-là des notes manuscrites , tous de bienveillants con- seils. Je remplis un devoir bien doux de reconnaissance en citant , parmi les étrangers , M. de Charpentier, à Bex ; M. le D' Graells, à Madrid ; M. le rév. L. Jenyns , à Cambridge ; M. leprof. Kickx , à Gand; M. le D’ L. De Koninck, à Liége ; M.le D: Küster, à Ansbach; M. Mortillet, à Annecy; M. Nyst, à Anvers ; M. Parreyss, à Vienne; M. T. Prime, à La Haye; M. le prof. Rossmässler, à Leipzig ; M. le prof. Shuttleworth, à Berne; MM. Villa frères, à Milan ; — et par- mi mes compatriotes, MM. G. d'Aumont, à Bastia; Baillon, à Abbe- ville; Barbié, à Dijon ; le D° Baudon , à Mouy-de-l'Oise ; Bouchard- Chantereaux, à Boulogne-s.-Mer ; Bourquignat, à Paris; Buvignier. à Verdun; P. de Cessac, à Guéret; le D° Chenu, à Paris; Collard des Cherres, à Brest; Cotteau , à Coulommiers; Deschiens, à Vin- cennes ; Deshayes , à Paris; l'abbé Dupuy, à Auch; Farines, à Perpignan; P. Fischer, à Bordeaux; Gassies, id.; le D° de Grate- loup, id.; l’abbé Jacquel , à Liézey; Jacquemin, à Arles ; Joba, à Metz ; Lecoqg, à Clermont-Ferrand ; Millet, à Angers; Moquin-Tandon, à Paris; Morelet, à Dijon ; Ch. Des Moulins, à Bordeaux; Normand, à Valenciennes; Petit de La Saussaye , à Paris ; Puton, à Remire- mont; J. Ray, à Troyes ; E. de Saulcy, à Metz; de Saint-Simon ; à Toulouse ; l'abbé Simonel , à Langres (enlevé aux sciences, par la mort, il y a quelques années!) Terver, à Lyon, et M. le D° Vallot, à Dijon. J'offre ici, publiquement, à tous mes chers correspon- dants, mes remerciements les plus sincères pour leurs obligeantes communications, et je les prie de me continuer , longtemps encore, leur savant et honorable concours. 12. Deux abréviations principales ont été employées dans le cours de cette Énumération : R. signifie : espèce rare. ! indique 442 NH. Daourr.— Énumération des Mollusques , etc. une localité certaine, dont je possède , ou dont j'ai vu, pour le moins, les échantillons. J'ai recueilli moi-même la plupart des espèces de l’Aube, de l'Oise et des Vosges. Troyes, septembre 1854. I. ÉNUMÉRATION DES MOLLUSQUES TERRESTRES ET FLUVIATILES VIVANTS DE LA FRANCE CONTINENTALE. — RE — Czass. I Gasteropoda. Ono. KE. Pulmonata. + INOPERCULATA. Fam. 4. LIMACEA. Gen. 1. ARION Férussac. 1819. (!). D1. albus Jäll. (Limax) . + . . . Hab. les Alpes du Dauphiné. R, 2. { cinctus JZüll. (Limax) (*) . . . Hab. le Sorézois (Drap.); les Alpes! Dijon subfuseus Drap. (Limax). (Barb.); Troyes! Grasse (Panese.). DS. flavus Müll. (Limax) . . . -. . Hab. les falaises du Pas-de-Calais (Bouch.); aureus Gmel. (Limax). Valenciennes (Norm.). intermedius MNorm. = fuscatus Fér. ,. . , . . . . Hab. les environs de Paris (Fér.). fuscus Mül. (Limax) (*). . . . Hab.la France septentrionale. Très-variable. a concava (Limacella) Brard? fasciatus Nilss. (Limax). | hortensis Fér. ? leucophæus Norm.? melanocephalus Faur.-Big. (* . Hab. les Alpes du Dauphiné (Fér.). 7. L Lin. (Limax). . . . . Hab. toute la France. Varie du jaune-orange ex —. empiricorum Æér. au brun-noir, par toutes les teintes. Var. ater Lin. (Limax) . . . . . . Hab.la France entière, dans les bois. subrufus List. (Limax). - . . . Hab. partout. succineus Müll. (Limax) . . . Hab. une grande partie de la France. tas Razoum. (Limax). virescens Mill. . . . . . . . Hab. Segré (Maine-et-Loire). 8. succineus Bouill. (non Müll). . Hab. les bois de l'Auvergne (Bouill.). ch tenellus MüZ. (Limax) (5) . . . Hab.la France septentr., dans les bois. Gen. 2. LIMAX Linné. 1758. 10. { agrestis Lin. . . . . . . . Hab. la France entière. Sa coloration est flans Æoy. plus variablo que sa taille, obliqua (Limacella) Brard. reticulatus Drap. Tabl. 1 44 Limax. 12° 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. x 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. em, H. Daouer. — Énuméralion des alpinus Zér. . . . arborum Zouch. ÿÈ bilobatus Fér. . . . ... . brunneus Drap. (5) . «+ . . |. cinereo-niger Stwrm. (7). . . . . antiquorum var. à Æér. ater var. B. Müll. ater Razoum. bilobatus Ray et Drouet (olim), claravallensis Drowet (olim). fasciatus Razoum. lineatus Dum. collinus Norm, . « + + + + . fulvus Morm. . . . gagates Drap. . . FINS marginatus Drap. (Müll. D maximus Lin. . . . CNTANE LE antiquorum #ér. cellarius d'Arg. cinereus Drap. parma (Limacella) Brard. parvulus Morm, . . . . . . salicium Boul. . . . . . . . sylvaticus Drap. (°) rusticus Mill. {sinie Mill. scandens Norm. variegatus Drap. . - . . . . . reticulatus AU. ? unguiculus (Limacella) Brard. 5. Gen. PARMACELLA Gervaisii Mog. . . . . . Valenciennii Webb et V. Ben. Gen. 4. TESTACELLA. Draparnaud. 1801 (9). DISUICATAPPHEEDN Re ee ce Companyonii Dup. . . . . . . haliotidea var. Aer, Hab. St.-Martin-du-Canigou (Pyrén: Mollusques terrestres Hab. les Alpes, à la Grande-Char- treuse, R. Hab. Boulogne-sur-Mer (Bouch.). Hab. les environs de Paris (Fér.). Hab. Montpellier (Drap.); Boulogne- sur-Mer (Bouch.); Arcis-s.-Aube ? — Bonneville, en Savoie! R. Hab. une grande partie de la France septentrionale et centrale, sur les hauteurs et dans les bois : Bar sur-Seine! Valenciennes! Remi- remont ! Clermont-Ferrand (Le coq). — Bonneville, en Savoiell Hab. Valenciennes (Norm.). Hab. id. id, Hab. une grande partie de la France” Hab. toute la France montagneuse. Hab, toute la France ; très-variable dans sa taille et sa coloration suivant l'habitat. Hab, Valenciennes (Norm.) Hab. Clermont-Ferrand (Bouill.). Hab. toute la France, dans les bois, Hab. toute la France, dans les caves Cuvier. 1804. Hab. la plaine de la Crau, près d'A les (Faïsse). Hab. Arles (Moq.). Hab. Grasse. Orient.). et fluvialiles vivants de la France continentale. 145 Testacella. #29 haliotidea Drap. . . . . . . . Hab. la France méridion.et moyenne. Europæa Roissy. Elle ne dépasse guère, librement, Galliæ Ocken. le 48° degré de latitude. On Ja trouve cependant, maïs intro- duite, dans certains jardins bota- niques de la région Nord :àParis, en Normandie, en Bretagne. Fam. II. HELICEA. Gen. 5. VITRINA Draparn. 1801. subglobosa Mick. montagnes : Valenciennes ! Lyon! Briançon (Terv.). LITE diaphana Drap. :+ . . : . . , Hab. Bordeaux, Poitiers. R. vitrea Fér. (Helicolimax). * 30. anoularis Stud. (Hyalina) (2) . . . Hab.leNordet l'Est, surtout dans les Pa? Draparnaldi Cuv. (Helix). : . . . Hab. toute la France, particulière- Audebardi Fér.(Helicolim.). ment les régions méridionale. major Fér. (Helicolimax). Il est certain que l'espèce décrite pellucida Drap. (non Müll.) par Draparnaud, sous le nom do V. pellucida, est distincte de la V. pellucida de Müller. * 33. elongata Drap. . . . . . . . . Hab. les montagnes : les Monts-d'Or, les Cévennes, les Pyrénées, les Vosges (le Honeck!). * 34. pellucida Mäll. (Helix) : - , . : Hab. le Nord: Beauvais! Remire- { diaphana Poir. (Helix). mont! Metz! Langres! Arcis-sur- beryllina C. Pfeif. Aube! 35. Pyrenaica Fér. (Helicolim.). + . . Hab. la vallée d'Ossau, près le pic du { Midi [Haut:-P yrén.] (Fér.). Gen. 6. SUCCINEA Draparn. 1801. 86: arenaria Bouch. . - . : : : : : Hab.les dunes de Camier (Bouch.): Remiremont (Put.); Barèges (Saule.); la Gascogne et la Pro- vence (Dup.). # 37. Baudonii Drouët (21). : . : . . Hab. Mouy-de-l'Oise. R. # 38, Corsica Shuttl. (12). . . : . . : Hab. Grasse, les environs de Nice! longiscata Dup. la Provence (Dup.). 30. humilis Drouët (15). . . . . : « Hab. Troyes, Arcis-sur-Aube, Remi- { abbreviata Ray et Drouët (olim). remont,. * 40. oblonga Drap. . . : . . . : : Hab. toute la France. { elongata Fér. (Helix). * 41. ochracea Betta (4). . . . . . : Hab. Troyes! Bar-sur-Aube! Bar-sur- Seine! R. #\42, Pfeifferi Rossm.. . . . . . . . Hab.toute la France. | amphibia var. 7.0. Drap. 146 H. Dnouer.- Énumération des Mollusques terrestres Succinea, # 43. putris Zin. (Helix) . . . . . . . Hab. toute la France. amphibia Drap. succinea Brug. (Bulimus). > 7 Gen. 7. MELIX Linné (emend.). 17:28. Sect. 4. ZoniTEs Montf. (!5). #44 | algiraZän. . + . + : + . . . Hab.la France méditerranéenne, de U algirea Montf, (Zonites). Perpignan à Antibes. 45. alliaria Miller (15). . . . . . . Hab. le mont Pilat, près de Lyon | alliacea Jeffr. (Terv.). R. * 46. cellaria Mill, . . . . . . . . Hab. la France septentr. dans les bois et sur les hauteurs : Mouy-de- l'Oise! Troyes! Remiremont ! Lyon! Metz! # A7. crystallina Hüll. . . . . . . . Hab.toute la France. # 48, | fulva Jüll . . . . . . . . . Hab. toute la France. On trouve x } trochiformis Mont. Lyon, une jolie var. (peut-être l une espèce distincte) à péristôme bordé et à stries très-marquées. glabra Stud. + . . . . . . . . Hab. les Alpes; le Bugey, au Colom- splendens Faure-Big.? bier (Terv.). R. hyalina Pér. . . + . . . . . . Hab. les contrées montagneuses du crystallina var. 8. Drap. centre et du sud : le mont d'Or; les Alpes; les Pyrénées; Lyon! hydatina Rossm. (17). . . . . . Hab. Montpellier (Terv.); Lyon! R. lucida Drap. Tabl. . . . . . . . Hab. toute la France, surtout le Midi, Draparnaldi Beck. dans les localités cultivées et au- nitens Poir. tour des habitations, nitida Drap. Hist. { ( LONSBT | nitens Zlich. (Müll.?) . . . . . . Hab. toute la France, mais surtout le a D — tenera J'aure-Big. Nord : Valenciennes, Verdun, « Auxerre, Troyes, Lyon, Greno- ble, Auch, ete. nitida Düll 2 à 1 0 Hab. toute la France. lucida Drap. Hist. nitidosa Æér. (18) . . . . . . . Hab.le Nord de la France : Valencien- pura Aider. nes! Mouy-de-l'Oise! Troyes! Re- vitrina Fér. miremont! Lyon!laNormandie!la Bretagne (Dup.) ; l'Auvergne (Terv.). 56. nitidula Drap. : : + . . . . . Hab. les Pyrénées (Dup.); Lyon br (Terv.). R. 57e olivetorum Gmel. . . . . . . . Hab. le Midi, surtout la région pyré- incerta Drap. néenne. Elle ne dépasse pas le 45° de latitude. MADE; pygmæa Drap. . . . . . . . . Hab. une grande partie de la France. >. el fluviatiles vivants de la France continentale. 147 YEHE radiatula A/der. . . nitidula var, £. Drap. Var. \ viridula Menke. . . . . . , . Hab. toute la France, principalement les contrées montagneuses : Re miremont! Troyes! Lyon! Mouy- de-l'Oisg! Auch, etc. Hab. passim. Sect. 2. Hezix Auct. quorumd. x 60. aculeafa Yüll. (19)... . . , Î spinulosa Auct. brit. * 61. Alpina Faure-Big . * 62. aperta Born... naticoïdes Drap. * 63. apicina Lam. . Cenisia Charp. Narbonensis Reg. * 64. { arbnstorum Lin. Var. ‘à Alpicola Fér. . Baylei Ducr. . # LES Boub. Xatartii Far. 1 picea Ziegl. ÜWittmanni Zaw. Repellini Charp. . : . . . re À. Gras. 65. arenosa Zossm. . * 66. aspersa Müil. . 67. bidentata Gmel. { bidens Chemn. (Trochus). * 68. candidissima Drap. F 69. Cantiana Mont. carthusiana Drap. Var. f Galloprovincialis Dup.. . . . . 70. Carascalensis Fér.. . . . . , # % 71 } carthusiana Jill . . . . . . carthusianella Drap. Var. % rufilabris Jefr. carthusianella var, 8. Drap. \ (Olivieri Wich. Hab. toute la France, sur les hauteurs et dans les bois. Hab. les haut'* de la chaîne des Alpes. Hab. la Provence. Hab. la France méditerranéenne. Hab. une grande partie de la France, surtout le Nord, le centre et l'Est. On ne l’a pas encore vue dans le Languedoc. Très-variable. Hab. les Alpes. Hab. les montagnes de l'Auvergne, Hab. lés Pyrénées-Orientales. Hab. les escarpements da Honeck [Vosges]! Hab. la route du Lantaret, au pied des rochers, dans les Alpes (A. Gras) Hab. Biarritz [Basses-Pyrénées]. R. Hab. à-peu-près toûte la France. Elle est rare à Metz. Hab. les Alpes (Dup.). R. Hab, la Provence, Hab. la France océanienne el méditcr- ranéenne : Valenciennes ! Calais! Boulogne, Toulon (Terv.); Mont- pellier (Dup.). Hab. la Provence. Hab. les haut* de la chaîne des Pyrén, Hab. toute la France. Hab. une grande partie de li France, mais surtout Ja France 1liaritime, x * * 82. 83. | 1 | | | 84 85. 88. — 89. 90, I. Drouer. — Énumération des Mollusques terrestres cespitum Drap. . . ciliata Venetz. cinctella Drap. . . . Cobresiana ». A. . monodon Xér. unidentata Drap. Companyonii Aer. Hispanica v. pyren. Rossm. concinna Jefr. conoidea Drap, . : . solitaria Poir.? conspureata Drap. . . constricta Boub. Pitorrii Dup. {olim). cornea Drap. . . Var. squamatina Fér. costata Mill. . pulchella var. 8. Drap. costulata Ziegl. (20). rugosiuscula Auct, quor. depilata Drap. Tabl. (2!) . edentula Drap. Hist. Desmolinsii Fér. cornea var, cyclostom. Rossm. Moulinsii Pot. et Mich, elegans Gmel. TETE terrestris Chemn. (Trochus). ericetorum Jüll. explanata Aüll, . albella Drap, . fasciolata Poir. . caperata Mont, striata Drap. Var. Gigaxii Charp,. . +: . | Fontenillii Mich. . Hab. la France méditerr. ; ne s'éloigne guère du Httoral. Hab. Grasse, la Sainte-Beaume. Hab. la Provence; Lyon, Valence. Hab. le Dauphiné, la Bresse, le Bu- gey! R. Hab. Banyuls-sur-Mer [Pyrén.-Orien- tales]. R. Hab. le Jura, la Provence; Lyon, Grenoble (Terv.). R. Hab. les côtes de la Méditerranée ; peut-être aussi celles de la Manche? Hab. le Midi. Hab. Saint-Martin-d’'Albérou [Basses- Pyrén.]."R. Hab. le centre et le Midi. Ne remonte pas plus haut que le 47° de latit. Hab. Montpellier. Hab. toute la France. Hab. le Nord-est : Metz! Langres ! Bar-sur-Seine! Auxerre! Remi- remont (Put); Lyon (Terv.). Hab. les escarpements du Honeck [Vosges] à 1300 m. avec l'Æ se- ricea! les Alpes Dauphinoises, le Bugey (Terv.). Hab. la chaîne des Albères [Pyrén.- Orientales ]. Hab. le midi de la France. Tout le Lan- guedoc. On la trouve aussi à Boul.- sur-Mer et à Beauvais! Espèce du littoral. Hab. toute la France. Hab. la France méditerr, Ne s'écarte guère du littoral. Hab. toute la France. Hab. Arles. Hab. la Grande-Chartreuse, Heliz. DE LS (HE * 103. * 105. 4 D | el fluvialiles vivants de la France continentale. 149 fruticum Müll. . lucana Vall. cinerea Poir. fusca Mont. revelata Bouch. glabella Drap. (22). glacialis Thom. (25) . hispida Lin. . holosericea Gmel. . hortensis Müll. . fusca Poir. hybrida Poir. Var. Ludoviciana d'Aum (24). . incarnata Müll. . , intersecta Poir. cælata Vall.? striata var. 7. ©. Drap. isognomostomos erm. . personata Lam. lactea Müll. . . punctata Fér. (olim). lapicida Lin. . Var. Lecoqii Put. (25). . . lenticula Fér. . . . striatula Coll, limbata Drap. lineata Ovni . . . subalbida Poir. variabilis Drap. virgata Mont. Var. submaritima Des Moul. “ Hab. le Nord, le centre et l'Est. Hab. Boulogne-sur-Mer; Dax, Moni- de-Marsan… Paraît propre au lit- toral océanien. Hab. Lyon, Dijon (Barb.). Hab. le versant français du Mont-Tha- bor, dans le Haut-Oisans (Mort.). Hab. toute la France. Les plus beaux types que j'aie vus, venaient de Bordeaux (Fisch.). Hab, les Alpes, le Jura. R, Hab. la France entière. Toutefois elle est assez rare dans le Midi. Hab. les montagnes de l'Auvergne! Hab. le Nord, l'Est et le centre, dans les bois. Hab. la France occidentale et méridio- nale : Agen! Bordeaux ! le Morbi- han, la Vendée (Terv.). On ne la voit pas, là où manque toute in- fluence maritime. Hab. les Vosges, le Jura, les Alpes. Hab. les Pyrénées - Orientales. Hab. toute la France. Hab. Wildenstein [Vosges]! Remire- ” mont! Hab. le Var, les Pyrénées-Orientales, le Finistère, Hab. la France mérid. et centrale : le Languedoc, l'Auvergne, etc. Rouen (Terv.). Hab. toute la France maritime. Elle s’avance beaucoup dans l’intérieur des terres, puisqu'on la voit à Agen (Gass.), à Meaux (Cott.) etc. Néanmoins elle disparait là où cesse absolument toute influence maritime, Hab. la Gironde, la Charente, les Landes. x S + * * x * x a Fe Er Es —— à = kr = 126. 127. | H. Daoucr. — Énumeration des Mollusques terrestres maritima Drap. melanostoma Drap. montana Stud. (25). Moutonii Dup. . muralis Jüll. Var. undulata Mich. . veglecta Drap. . nemoralis Lin. . semilunaris d’Arg. (Cochlea). Niciensis Fér. nubigena Saulc. (27). obvoluta Müll. trigonophora Lam. Pisana Müll. . , . rhodostoma Drap. plebeia Drap pomatia Zin, pulchella Müll. . . prramidata Drap. . Pyrenaica Drap. Quimperiana Fér. Corisopitensis Desh. Kermorvani Col. Rangiana Desh. retirugis Men Mazzullii Jan. ke. Quinciacensis Maud. revelata Fér. Mich. (78). Lisbonensis ZL. Pfeif. occidentalis Recl. ponentina Mor rotundata Müll. ruderata Su rotundata va: À. Nilss. Hub. les plages de l'Océan et de la Méditerranée, Hab, la France méditerranéenne. Hab, le Jura (Mort.). Hab. Grasse. Hab. Orgon [Bouch.-du-Rhône]. Hab. la France méridionale. Hab. la France entière. Assez rare dans le midi. Hab. Grasse! Hab. les Pyrénées, à Barèges, à Eaux-Bonnes. Hab. toute la France, dans les bois. Hab. la France méridionale; plus ra- rement le centre-ouest. Hab. les contrées montagneuses de l'Est: les Alpes, les Vosges; Lyon! Arbois! Crassy! Hab. le Nord, l'Est et le centre. Man- que dans le Midi. Hab. toute la France, Hab. la France méditerran.: Orange, Arles, Toulon, Grasse, etc. Hab. les P yrénées-Orientales. Hab. Quimper et Brest. — Se retrouve sur les côtes de l'Espagne (Conf. Danthon in : Rev. z0ol. 1840. p.121). Hab. Port-Vendres ; Ollioules, près Toulon. R. Hab. Quinçay, près Poitiers. R. Pro- bablement introduite; mais elle se reproduit, et tous les ans on en recucille quelques individus. Hab. Paris, Angers (Fér.)? les val- lons des Alpes (A, Gras)? Mont- de-Mursan! Niort! Hab. toute la France. Hab. les Alpes, le Jura; Digne (Terw.) Heliz. * 128, *k # 129. 130. 135. 136. 137. 138. 139. 140. 144. 145. : fluviatiles vivants de la France continentale. 151 rufescens Penn. ( °). Altenana Kick. circinnata Stud. clandestina Hartm. rusosiuscula Mich. rupestris Drap. . pusilla Vall. umbilicata Mont. sericea Mill. granulata Alder. serpentina Fér. . . splendida Drap. . . strigella Drap. . . . sylvatica Drap. . Var. ne Fér. : Vindobonensis Dup. on HF) Telonensis Mittre . . . Terverii Mich. . trochilus Poir. . scitula Auct. Ital. trochoides Poir. conica Drap. unifasciala Poir. bidentata Drap. Tabl. candidula Stud. striata var. 7. & Drap Hist. thymorum, v. Alt. unifaciata Maud. Var. monstr. solitaria Poir.? vermiculata Müll. . villosa Drap. zonata Stud. . . … , planospira Mich. Hab. le Nord et l'Est : Boulogne! Douai! Bar sur-Seine! Langres | Hab. la France méridionale. Hab. toute la France. Les var. conique et globuleuse habitent Montpellier, Perpignan. Hab. le Nord et l'Est : Troyes! Lyon! le Honeck [Vosges]! Hab. Draguignan! l Hab. la France méditerranéenne. Hab. les mont. de l'Est, du centre et du Sud : Perpignan, Clermont, Montbrison, Lyon, Grenoble, etc., le Val-Suzon (Barb.). Hab. les vallées des Alpes et du Jura, Hab. la Grande-Chartreuse. Hab. Toulon. Hab. le littoral provençal; les îles d'Hyères. Hab. la France méditerranéenne, sur- tout la Provence. Hab. la France méditerr., non loin des bords de la mer. Hab. une grande partie de la France. Très-variable dans sa taille et sa coloration. Les plus beaux types vivent dans le Nord-est. Hab. la France méridionale. Hab. les Vosges, le Jura, le Bugey (Terv.), l'Alsace (Put.). Hab. les Alpes : Grasse, Digne; Bri- ançon (Terv.). Gen. 8. BULIMUS Scopoli. 1777. acutus J/üll. (Helix). . decollatus Lin. (Helix) . Hab. la France maritime. Hab. la France méridionale. 152 LBulinus. AT: * 148. PU140. x 150. 151. # DU108 $ 154, H. Dnourr. — Énwmération «des Mollusques terrestres detritus J/üll. (Helix). . . . . . Hab. toute la France montagneuse. radiatus Drap. Variable dans sa taille et sa con- sistance. Jolie var. cornée à Cler- mont-Ferrand! montanus Drap. . . . . . . . Hab.le Nord et l'Est, dans les bois et Lackhamensis Mont. (Helix). les montagnes : les Alpes; les Vos- ges! le Bugey, Grenoble (Terv.); la Lorraine, l'Alsace. Monstr. Collini YMich. obseurus Müll, (Helix) . : . . . Hab. toute la France. hordeaceus Brug. Var. Astierianus Dup. . . . . . . . Hab. l'île S'-Marguerite [Var], sur des affuts de canons (Dup.). ventrosus Z'ér. (Helix). . . . . . Hab.la France méditerran., le long ventricosus Drap. des côtes; Toulouse! Gen. 9. ACHATINA Lamarck. 1799 (5°). acicula Jüll. (Buceinum) . . . . Hab. toute la France. collina Drouët (31) . . . . . . Hab. Mouy-de-l'Oise! Lyon! Liézey [Vosges]! R. folliculus Gron. (Helix) . . . . . Hab.la France méditerranéenne. Gronoviana isso (Ferussacia). Risso Desh. Jun. scaturiginum Drap. (Physa). subeylindrica Lin. (Helix). . . . Hab.la France entière. On trouve près lubrica Drap. de Lyon une espèce voisine, mais distincte, surtout par l'animal Var. (Terver). Je ne la connais pas. Boissii Dup. (Zua). . . . . . . Hab. les Pyrénées (Dup.) R. Gen. 10. AZECA Leach (in Turt.). 1831. tridens Pult. (Turbo). . . . . . Hab.le Nord-est, le centre et le Sud- Goodallii Fér. (Helix). ouest: Verdun, Metz, Auch, Agen, Menkeana C!. Pfeif. (Pupa). Clermont-Ferrand. Var. Nouletiana Dup. . + . . . . . Hab. la France pyrénéenn.: Auch, Agen. et fluviatiles vivants de la France continentale. 153 Gen. 41. PUPA. Draparn. 1801. Sect. 4. CHonpnus. Cuv. * 155, [ quadridens ZZÿ/. (Helix). + Hab, la France montagneuse, surtout le Midi. Var. lunatica. Jan. Niso Zisso (Jaminia). # 156. tridens Wäll. (Helix) . . .… . . . Hab, une grande partie de la France. tridentata Brard. Enorme à Lyon! nas. Ziegl. . + + . . . Hab. Cette (L. Pfeif.)? Sect. 2 TorqQuizza Stud. * 157. | avenacea Brug. (Bulimus). . . . . Hab. une grande partie de la France, avena Drap. surtout les contrées montagneuses, Var: hordeum Stud. . . . . . . . . Hab.le Jura (Dup.)? * 158 Boileausiana Charp. . . . . . . Hab.les Hautes-Pyrénées. 159. Braunii Rossm. . . . . . . . Hab. Gavarnie (de Sauley). * 160. f clausilioïdes Boub. . . . . . . Hab. Pratz-de-Mollo; Grasse. aflinis Rossm. * 161. { Dufourii Fér. (Helix). . . . . . Hab. Ville-Franche [ Pyr.-Orient.]. { cylindrica Mich. * 162. Farinesii Des Moul. . . . . . . Hab. les Pyrén.- Orient.; Grenoble (Terv.). * 163. frumentum Drap... . . . . . . Hab. Metz, Strasbourg, Langres, À Lyon. # 164 granum Drap. . . + . . . . . Hab.la France méridion.; Lyon (Terv.) * 165. / megacheilos Crist. et Jan. . . . . Hab.la chaîne des Pyrénées etla Pro- Pyrenaica F'arin. (olim). vence, Prodigieusement variable. Var. / | Bigoriensis Charp, . . . . . . . Hab.les Hautes-Pyrénées. cereana Mühlf. . . . . . . . . Hab.les Pyrénées de l'Arriège. goniostoma Küst. . . . . . . . Hab. Villefranche [Pyrén.-Orient.]. 166 richelif Zero. . . . . . . . . Hab. Toulon.R. 167. Moquiniana Küst. (52) . . . . . Hab.le mont Bendat, près de Pau. R. * 168. multidentata Ofivi (Turbo) . . . . Hab. la France méditerran.; les Pyré- x mutabilis Fér. (Helix}. nées, les Alpes, le Jura; Lyon! variabilis Drap. Grenoble! à Gap, il devient énor- me (Terv.). Partioti Moqg. . . , , . . . . Hab. Luz, Saint-Sauveur, Gavarnic. polyodon Drap. . . . . . . . Hab. toute la France méditerran., de Port-Vendre à Grasse. Très-va. Var. riable, * 169. 170. x ringicula Mich, (olim) . . . , . . Hab. Villefranche, 20 des Mollusques terrestres Hab. la chaîne des Pyrénées; Hau- dainville [Meuse] , Châtel-Censoir [Yonne] (Dup.). Ces deux dernières localités me semblent douteuses, Hab. l'Arriège. Hab. les Hautes-Pyrénées. Hab. toute la France. Hab. la France méditerr. et austro- orientale. Il remonte jusqu’à Ha- guenau [Bas-Rhin]. Hab. les Alpes; alluvions du Rhône, à Lyon. R. Hab. une grande partie de la France, surtout le Nord. Hab. la France orientale : Lyon! les Alpes! le Jura. Hab. la Dordogne, l'Auvergye, le Var. Hab. toute la France. Hab. passim. Hab. passim. Hab. les montag. du centre, de l'Est, et du Midi, le Puy; la Grande- Chartreuse; Lyon; les Pyrénées. Hab, toute la France. 154 H. Dnourr. — Énumération lupa,. #* 171. { Pyrenæaria Mich. . . . . saxicola Mogq. (olim). transitus Boub. Var. # Mergnesiana Champs. .. . > . | # 172. ( ringens Mich. . pyrenaica Boub. bigoriensis Zossm. #* 173. SeCAle Dr ANNEE US | Juniperi Mont, (Turbo). # 174, Similis Brug. (Bulimus). . cinerea Drap. quinquedentata Born. (Turbo). Sect. 3. GisBuLINA Beck. 175. biplicata Mich. . . . * 176. doliolum Brug. (Bulimus). . # 177. dolium Drap. . * 178 pagodula Des Moul. . Sect. 4. Pupizca Leach. # 179, / muscorum Zinn. (Turbo). . marginata Drap. Var. Li j bidentata C. Pfeif. . . . : . - À bigranata Rossm. unidentata C. Pfeif. # 180. / triplicata Stud. . tridentalis Mic. # 181, { umbilicata Drap. . . . . . . , unidentata Vall. (Bulimus). Var. = Sempronii Charp. . . . Hab. les Hautes-Alpes, les Pyrénées. F 183. * 185. # 187. et fluviatiles vivants de la France continentale. Gen. 12. VERTIGO * 182. / antivertigo Drap. (Pupa) palustris Leach. septemdentata Æér. sexdentata Mont. (Turbo). edentula Drap. (Pupa). | nitida Æér. 184. ( inornata ich. (Pupa). columella Benz. (Pupa) ? minutissima Æartm. (Pupa). cylindrica Fér. muscorum Drap. (Pupa). 186. { Moulinsiana Dup. (Pupa) anglica Mog. (olim). pusilla JMüll. vertigo Drap. (Papa). * 188. pygmæa Drap. (Pupa). # 189. ( Venetzii Charp. hamata Held. nana Âich. Müller, 155 1774. Hab, toute la France, mais rare par tout. Hab. la plus grande partie de la France septentrionale et centrale. Hab. le Jura; alluvions du Rhône, à Lyon. Hab. toute la France. On trouve à Lyon une espèce voisine, plus courte, plus ramassée, plus exac- tement cylindrique (Terver). Je n'ai pu me la procurer. Hab. Lyon, Bordeaux, Toulouse, Mouy-de-l'Oise. Hab. une grande partie de la France; rare partout. Hab. toute la France. Hab. le Nord, l'Est, et le Sud : Lyon, Troyes , Mouy-de-l'Oise, Mont- pellier, Grasse, ete. Gen. 153. BALEA Prideaux (in Gray). 1824. ‘ 190. { perversa Jan. (Turbo)?? (non. L. Pfeiff.). fragilis Drap. (Pupa). Gen. 14. CLAUSILIA Drapamn. bidens Zin. (Turbo) papillaris Drap. 192. biplicata YMont. (Turbo) U similis (Charp.) Fr. dubia Drap. (55) . . 191. Var. abietina Dup. . Ce Jaminafa Mont. (Turbo) . bidens Drap. derugata Fér. (Hélix). Var. phalerata Dup. (non Zicegl.). (54). Hab, toute la France. 1805. Hab. la France méditerranéenne; le Bas-Rhin (Put.)? Hab. Valenciennes! — naut]! Hab. la France montagneuse : les Vosges (le Honeck! belle var. pu- poïde), le Jura, les Alpes, les Cé- vennes, les Pyrénées. Hab. la vallée de Cauterets (Dup.). Hab. toute la France. Rare dans quel- ques départements méridionaux. Tournay | Hai- Hab, la Grande-Chartreuse. 156 Clausilia. # 195. lineolata Feld Basileensis Fütz, ; ventricosa var. Possm. * 196. { nigricans Puf, (Turbo) . perversa Poir. (Bulimus). rugosa var. 8. Drap. Var. cruciata Stud. gracilis C. Pfeif. obtusa C. Pfeif … - . * 197. parvula Stud. . d minima C. Pfeif. rugosa var. y. Drap. * 198, | plicata Drap. plicosa Fér. (Helix). * 199. plicatula Drap. . * 200. / punectata ich. . alboguttulata Wagn.? Braunii var. 8. Charp. #* 201. Reboudii Dup. . . . * 202. ( Rolphii Leach. . . dubia var. inflata Goup. Mortilletii Dum. * 203. rugosa Drap. . # 204, Ç solida. Drap. . . . { labiata Mont. (Turbo). * 205. , ventricosa Drap. . ; { ventriculosa Aér. (Helix) , 206. ç virgata Crist, et Jan. { affinis Phil. Fam. II. # 207. minimum ZJüll. . : 208. myosotis Drap, (Auricula) . H. Drouer. — Énumération des Mollusques terrestres Gen. 15. CARYCHIUM Müller. 1774. AURICULACEA. Hab. Metz! Langres! Hab. la France entière, mais surtout le Nord et le centre. Très-variable, — An Turbo perversus Lin.?… Hab. le Jura. Hab. les Vosges. Hab. le Nord-Est. Hab. toute la France, principalement le Nord , l'Est et le centre. Va- riable. Hab. les Vosges , le Jura, Hab. le Nord et l'Ouest. Hab. la Provence; le Dauphiné; Apt! Hab. St.-Marcelin [Isère], (Dup.); la Ville-aux-Bois [Aube]. R. Hab. une grande partie de la France, notamment le Nord et le centre. Hab. la France méditerr. : Montpel= lier! Espèce propre au littoral mé= ridional. Hab. la Provence ; le Dauphiné; le Pas-de-Calais (Bouch.). Hab. toute la France, notamment le Nord et l'Est, dans les bois: Va- lenciennes! Troyes! Lyon! Hab. la Provence, le long des côtes. Hab. toute la France. Hab. les côtes de la Méditerranée. * 209. 210. 211. 212. 213. 214. 215. 216. 217. 218. 219. 220. 221. Ce — PSS et fluviatiles vivants de la France continentale. ++ OPERCULATA. Fam. IV. CYcLosTOMACEA. Gen. 16. CYCLOSTOMA Lamarck. 1801. elegans Müll. (Nerita). Jun. saputus Maud. sulcatum Drap.. . Gen. 47. POMATIAS Studer. apricum JMouss. . . . 5 Carthusianum Dup. obseurum v. apric. Part. crassilabrum Dup. . Nouleti Dup.. . . . . . obseurum! Drap. (Cyclost.). conicum Wall. (Turbo). Partioti WMog. (Cyclost.). patulum Drap. (Cyclost.). . septemspirale Zazoum. (Helix). . maculatum Drap. (Cyclost.). striatum Va], (Turbo). Gen. 18. fusca Boys et Walck. (Turbo) . lineata Rossm. lineata Drap. (Auricula). fusca Gray. acicularis Fér. (Carychium). Moutonii Dup. . . . Hab. toute la France. Hab. la Provence. 1789. Hab. les Alpes, à la G‘°-Chartreuse, à Sassenage, à Grenoble, etc. Hab. la chaîne des Pyrénées. Hab. Axat [Arriège]. Hab. une grande partie de la France : les Pyrénées, Agen, Dijon, Troyes, etc. Manque totalement dans le Lyonnais, le Dauphiné, la Pro- vence, le Jura (Terv.); peut-être même dans les Vosges et l'Alsace. Hab. les vallées de Gavarnie et de Héas. Hab. la France méditerranéenne. Hab. une grande partie de la France. ACME Hartmann. 1821. Hab. plusieurs départementsdel’'Ouest et du Nord. Rare partout. - Hab. la Provence et le Dauphiné : Grasse, Lyon, Grenoble, la Ge. Chartreuse. R. Hab. Grasse. R, Oro 2. Pulmobranchia. Fam. V. LimNacra. Gen. 49. AMPHIPEPLEA Nilsson. 1822. glutinosa Jüll. (Buccinum). . + Hab, la France septentrionale et moyenne : Troyes! Verdun! 158 275. H. Drouer. — Énumération des Mollusques terrestres Gen. 20. LIMNÆA Lamarck. 1799, auricularia Zin. (Helix). auriculata Montf. (Radix). Var. canalis Villa. , corvus Gmel. (Felix). palustris var. 4. Drap. glabra Zül. (Buccinum). elongata Drap. leucostoma Poir. (Bulimus). Var. gingivata Goup. . subulata Xickæ . glacialis Dup. intermedia Zam. limosa Lin. (Helix) ovata Drap. Var. Boissii Dup. diaphana Fit. Nouletiana G'ass. Trencaleonis Gass. . vulgaris C. Pfeif. marginata Mich. palustris JMüll. (Buccinum). crassa Zazoum (Helix) ? Var. disjuncta Put. . fusea Miss. è lacunosa Ziégl. . . : truncata Buvign. . . Vosgesiaca Pur. . + Hab. la France septentrionale. Hab. le Midi. Hab. les contrées montagneuses du Sud-Ouest : Grenoble, Gap, Ar- les, etc. Hab, une grande partie de la France, principalement le Sud, l'Ouest, et le Nord. Elle manque dans cer- taines régions, notamment dans le Nord-Est. Très-variable dans sa taille et le nombre de ses tours de spire. Hab, le Mans. Hab. Valenciennes. Hab, les eaux glacées des lacs des Py- rénées, à 2 et 3,000 mètres. Hab. Lyon, Remiremont, Troyes. Hab. la France entière. Extrêémement variable quant à la taille et quant à la forme. Hab. le Gers! Hab. Remiremont! Hab. Agen! Troyes! Mouy-de-l'Oise! Hab. Agen. Hab. Auch (Dup.). Hab. les montagnes de l’Isère et des Hautes-Alpes. Hab. toute la France. Très-variable. Hab. Remiremont, Hab. le Nord. Hab. Guéret. Hab. Verdun. Hab. Remiremont, * # 234. 235. 236. 237. 238, 239. { ll et fluvialiles vivants de la France continentale. 159 peregra Müll. (Buccinum) . Var. bilabiata Hartm. Blauneri Shuttl. . callosa Ziegl. . . . fuliginosa Ziegl. . variabilis Jul. stagnalis Zin. (Helix). fragilis Stud. thermalis Boub. (55). truncatula 74/1. (Buccinum) minuta Drap. obscura Poir. (Bulimus). truncata Brug. (Bulimus). Var. microstoma Drouët (56) oblonga Put. . . Hab. une grande partie de la France. Très-variable dans sa taille, sa forme, sa consistance. Hab. les Hautes-Alpes (Dup.). Hab. les environs d'Auxerre (Dup.)?? Hab. la France méridion. (Dup.). Hab. le Périgord (Dup.). Hab. la Chapelle- Hulin [ Maine-et- Loire ]. Hab. toute la France. Hab. les Pyrénées, les Vosges ! Hab. la France entière. De même que les L. peregra, palustris, ovata, glabra, très-variable dans sa for- me, sa taille, sa consistance. Hab. Bar-sur-Seine [Aube]. Hab. Remiremont. Gen. 21. PHYSA Draparn. 1801. acuta Drap. . fluviatilis Fér. Var. castanea Lam. cornea Massot. . . , contorta Mich. . rivularis Phil, thiarella Fér. fontinalis Zan. (Bulla) . pellucida Razoum. (Helix). hypnorum Zn. (Bulla). . subopaca Lam. . . . . Perrisiana Dup. (olim). rivularia Dup. (olim). Hab. la France méridionale et cen- trale. Auxerre! Jene la trouve pas plus haut que le 48° de latitude. Hab. la Garonne (Lam.); Lyon (Terv.). Hab. les Pyrénées-Orientales. Jab. les Pyrénées-Orientales, entre Collioure et Port-Vendre. R. Hab. toute la France. Rare dans le Midi. Hab. toute la France. Hab. l'Ouest et le Sud-Ouest. Gen. 22, PLANORBES Müller. 1774. albus Züll. hispidus Drap. villosus Poir. Hab. la majeure partie de la France, 160 H. Drouer. — Énumération des Mollusques terrestres Planorbis. * 940, ( carinatus Müll.. . . acutus Poir. Var. submarginatus Orist. et Jan. * 241. | complanatus Lin. (Helix). marginatus Drap. rotundatus Poir. umbilicatus Fér. Var. subangulatus Phil. Monstr. seal, spiralis Poër (Turbo). * 242. contortus Lin. (Helix). * 243. corneus Zin. (Helix) . # 244 cristatus Drap. . - . é fontanus Lightf. (Helix) . complanatus Drap. Poir. nitidus Gray. lœvis Alder. Moquini eq. LS , leucostoma ZA. . vortex var. £. Drap. Var. Perezii Graëlls. fragilis Mill. nautileus Lin. (Turbo). . imbricatus Drap. nitidus Jüll. clausulatus Fér. lineatus Gray (Segmentina). Li re ao - spirorbis Lin. (Helix). deformis J'ér. ? acronicus J'ér, ? * 252. { vortex Lin. (Helix). | compressus ich. septemgyratus Ziegl.? (°7). Hab. toute la France. Hab. la Provence (Dup.). Hab, la France entière. Hab. Fernex [Aïn]. Hab. toute la France. Hab. presque toute la France. Le ca- nal de Bourgogne, à Dijon, nour- rit une belle var, scalaire (Barbié). Hab. une gde, partie de la France. Hab. la France entière. Hab. les îles Chaussey. R. Hab. la France entière. Variable dans sa taille et le nombre de ses tours de spire, Hab. passim : Valenciennes! Troyes, Arles. Hab. presque toute la France. Hab. une grande partie de la France, surtout le Nord. Devient superbe aux environs de Troyes. Hab. Châtel-Censoir [Yonne] (Dup.}? Hab. la France méridionale. Hab. toute la France, surtout le Nord. ec ftuvialiles vivants de la France continentale. 161 Gen. 25. ANCYLUS Geoffroy. 1767. Sect. 1. ANCYLASTRUM Moq. Ancylus. * 253. { capuloides Jan. | Janiüi Bourg. t 254 cyclostoma Bourg. (58) . * 955. , fluviatilis JMüll. corneus PFoir. (Patella). rostratus d’Arg. (Lepas). simplex Buch'oz. Var. + costatus Fér. ai { striatus Dup. (non Quoy). “4 Fabrei Dup. à . . « . Frayssianus Dup. # rupicola Boub. . . . . # thermalis Boub. . Monstr. \ sinuosus Erard. * 956, gibbosus Bourg. deperditus Zegl. # 257. riparius Desm. (5°). Sect. 2. VIiLLETIA 258. strictus Hor.(f°) . . * 259. ( lacustris Lin. (Patella) oblongus Auct. (Britt.). 260. Moquinianus Bourg. (*'). . Hab. la France pyrénéenne : le lac de Gaube, Bagnères, Bastan, Agen! Hab. la riv. l'Aube, à Dieuville [Aube]. (Bourg.). R. Hab. les fleuves et les rivières de toute la France. Très-variable dans sa taille et dans la consistance de son test. Hab. les sources : Bar-s.-Seine! Bar- sur-Aube!.. Auxerre (Dup.). Hab. la Couze, à 3... [Dordogne]; la Seine, à Troyes. Hab. Grasse. Hab. les eaux froides des Pyrénées, des Vosges! Hab. les sources chaudes des Pyrén, Hab. la France pyrénéenne et septen- trion. Vendeuvre [Aube]! Mouy- de-l'Oise! Verdun (Bourg.). Hab. Remiremont! Lyon (Bourg). R. Gray. Hab. Brest (coll. B. Delessert). R. Hab. les eaux dormantes de toute la France. Hab. Dijon (Bourg.); Toulon (Mittre). R. Oro 3. Pectinibranchia. Fam. VI. PERISTOMACEA. Gen. 24. PALUDINA Lamarck. 1812. * 961. | fasciata Müll. (Nerita). achatina Drap. (Cyclost.). fluviorum Montf. (Vivipara). Hab. une grande partie de la France, principalement le Nord. 21 grisea Vall. (Turbo). 162 H. Dnouer. — Énumération des Mollusques terrestres Paludina. # 262. | vivipara Lin. (Helix) . . . | Hab. la majeure partie de la France : contecta Will. (Cyclost.), plus commune dans le Midi que vulgaris Dup. (Vivipara). dans le Nord.—Naturalisée dans le lac de Genève (Mort.). Gen. 25. BYTHINIA Gray. 1821. (*?). “ 263. { similis Drap. (Cyclost.). . Hab. la France méditerranéenne : { Moutonii Dup. (olim). Grasse ! Toulon , Montpellier, # 264. / tentaculata Lin. (Helix). . . Hab. la France toute entière. impura Drap. (Cyclost.) janitor Vall. (Turbo). jaculator Fér. (Cyclost.). #* 265. , ventricosa Leach. (Palud.). . Hab. une grande partie de la France decipiens Mi]. (Palud.). septentrionale et centrale : Valen- humilis Boub. (E alud.). ciennes | Laval! Rennes! Angers Kickxii West. (Palud.). (Mill). Michaudii Duv. (Palud.). Gen. 26. HYDROBIA Hartmann. 1821. * 266. abbreviata Mick. (Paludina) Hab. Remiremont! le Jura (Dup.) Lyon (Terv.). 267. Astierii Dup. . . . . Hab. Grasse. * 268. bicarinata Des Moul. (Palud). . Hab. Couse [Dordogne]. * 269. brevis Drap. (Cyclostoma) . . Hab. Ganges [Hérault]; le Jura. * 270. Cebennensis Dup.. . . . . . Hab. Ganges [Hérault]. 271. conoïdea Reyn. (Paludina) . Hab. Ardus [Tarn-et-Garonne]. * 972. Ferussina Des Moul. (Palud.). Hab. la plus gde partie de la France. * 973. gibba Drap. (Cyclostoma). é Hab. Montpellier, Clermont-Ferrand, 274. marginata Mick. (Palud.) . . . Hab, le Var : Orange, Draguignan. 275. Moulinsii Dup.. . . . 0e Hab. le Périgord. 276. Perrisi Dup. =... 0 v. Hab. Mont-de-Marsan. 217. pygmæa Mich. (Cyclostoma) Hab. les alluvions du Rhône, à Avi- gnon (Terv.). Espèce douteuse. 278. Reyniesii Dup, . . Hab. les Hautes-Pyrénées. 279. rubiginosa Boub. Œalud. ï. Hab. les eaux minérales de l'Ariège. 280. Saxatilis Reyn. (Palud.). 5 0 Hab. Montauban. * 981, ç Simoniana Charp. (Palud). + . Hab. les alluvions de la Garonne, à vitrea Mog. (Palud.). (olim). Toulouse! de l'Ariège, à Foin; du canal du Midi et de l'Hérault. KR. # 282, ç viridis Poir. (Bulimus). Hab. le Nord et le centre : environs de Troyes! Metz! cl fluviatiles vivants de la France continentale. 165 Hydrobia, + 283. f vitrea Drap. (Cyclostoma) . Var. bulimoidea Mich. (Palud.). Hab. Lyon, Agen, Troyes! R. Je ne l'ai vue que dans les alluvions. Arbois (Fér.) Hab. les alluvions du Rhône, à Lyon. diaphana Mich. (Palud.). . . . . . Id. id. id. Gen. 27. VALVATA. Müller. 1774 (#5). # 284. { cristata Müll . . . . . Hab, toute la France. plauorbis Drap. # 285. minuta Drap. . . . . . . . . Hab. Agen, Lectoure, Boulogne, Grasse! R. 286. Moquiniana Reyn. . . . . . . Hab.les alluvions du Lot, à Mende. * 987. ( piscinalis Jüll. (Nerita) . Hab. toute la France. Variable. | cristata Poir. (Turbo). / obtusa Drap. (Cyclostoma). ) Var. x depressa C. Pfeif. (*#). . . . . . Hab. Bar-sur-Seine [Aube]! + 288. spirorbis Drap. (*5) . o Hab. Grasse! Nogent-s.-Seine ! Mouy- de-l’Oise! Chartres (Bourg.) ; Bou- logne-sur-Mer. (Bouch.). R. Fam. VII. NERITACEA. Gen. 28. NERITINA. Lamarck. 1822. Hab. Montpellier (Recluz). Hab. la Vaige, à Chéméré [Mayenne]! Hab. la France entière. M. Recluz en compte 8 var. principales. # 289. Bætica Lam. . Ame * 290. Bourguignati Recl. (Nerita). 201. fluviatilis Lin. (Nerita) Lutetiana HWontf. (Theodoxus). Var. Hab. Paris, Auch! les fossés du Var, près de Nice! Hab. Grasse, Toulon (Recl.). Hab. la Touque, à Pont-l'Évêque [Seine-Infér.] (Recl.). thermalis Boub. . . . . . . . Hab. Bagnères-de-Bigorre. Boubei Recl. (Nerita). 295. Zzebrina Becl. (Nerita). Le fontinalis Brard. (Nerita). 292. Mittreana Recl. (Nerita) . 293. Prevostiana ©. Pfeif. * 294, sm Hab. Montpellier (Recl.). —— > — 164 # * */296. 297. 298. 299. 300. 301. 302. 303. 304. 305. / cornea ZLinn. (Tellina). . : . . . Hab. toute la France. su H. Dnouer. — Énumération des Mollusques terrestres CLass. IX. Acephala. On». unc. LAMELLIBRANCHIA. Fam. I. CycLapea. (%5) Gen. 29. CYCLAS Bruguière. 1789. Sect. 4. CyRENASTRUM Bourg. solida Norm. (Sphærium). . . . . Hab.l Æscaut, à Valenciennes; Lyon (Terv.). Sect. 2. SPHOERIASTRUM Bourg. rivalis Drap. stagnicola Leach. Var. nucleus Stud. . . . . flavescens Macg. isocardioides Norm. (olim). tumida Ziegl. rivalis Müll. (Tellina). Hab. une grande partie de la France, surtout le Nord et l'Est : Valen- ciennes! Mouy-de-l'Oise! Troyes! - + Hab, une grande partie de la France. cornea var. 8. Drap. cornea Lam. (part.) ovalis Æér. . . . . . . . . . Hab. passim : Lyon (Terv.); La Ro- consobrima Æér. (olim). chelle, Poitiers, Angers, Paris, Deshayesiana Bourg. (Sphœærium). Troyes? (Bourg.). R. lacustris Drap. rivicola Zeach: 1". … Hab. la France septentr. et moyenne : albida d'Arg. (Chama). Valenciennes, Angers, Auxerre, cornea Drap. Nogent-sur-Seine, ete. Scaldiana Norm. (Sphærium). . . Hab.l’Æscaut, à Valenciennes. Sect. 3. SEcuriLLa Drouet. Brochoniana Bourg. (Sphærium) . . Hab. Troyes (Bourg.). R. Creplini Dunk. . . . . . . .« Hab. les mares, à Auch; Vendeuvre Terveriana Dup. (Aube). Jeannotii Norm. (Sphærium) . . . Hab. Avesnes (Nord; Norm.). lacustris Müll. (Tellina). . . . . Hab. toute la France. caliculata Drap. intermedia Dum et Mort. tuberculata A4. Ryckholtii Norm. (Sphærium). . -: Hab. la forêt de Raïismes (Nord). * 307, * 308. SR EC CS et fluviatiles vivants de la France continentale. Gen. 30. PISIDIUM. C. Pfeifer amnicum YMüll. (Tellina) inflatum Meg. et Auct. Ital. obliquum Lam. (Cyclas). palustre Drap. (Cyclas.) Casertanum Po/i (Cardium.) cinereum A/d. fontinale Drap. (Cyclas)? Iratianum Dup. (olim). pulchellum Jen. Var. caliculatum Dup. . . Gassiesianum Dup. Jenynsii Macg. Joannis Macg. lenticulare Norm. . . . | australe Phil. limosum Gass. . . . . . . Normandianum Dup. { tetragonum Norm. thermale Dup. . Monstr. sinuatum Bourg. Henslowianum SAepp. (Tellin). appendiculatum (Turt.). (Cyclas). acutum C, Pfeif. Var. Dupuyanum Norm. nitidum Jen. incertum Norm. obtusale Lam. (Cyclas.). . gibbum Ad. (Cyclas.). pusillum Gmel. (Tellina) . fontinale Drap. (Cyclas) ? roseum Scholtz. Reclusianum Bourg. 1821. Hab. toute la France. Variable. Il existe à Mouy-de-l’Oise, une var. de petite taille, à stries élégam- ment distancées, et très-apparen- tes. Le test est comme côtelé. Cette var. est rare. Hab. toute la France. Très-variable dans sa forme et sa taille. Hab. Bivès [Gers]. Hab. Pécau, près Agers, le Gers (Dup.). Hab. Valenciennes, Troyes, etc. Hab. Agen. Hab. Valenciennes. Hab. Bagnères-de-Bigorre. Hab. une grande partie de la France septentr. : Valenciennes! Auxerre! Troyes! Mouy-de-l’Oise!... Hab. Valenciennes. Hab. une grande partie de la France. Hab. Valenciennes! KR. Hab. les prés d'Arènes, près Mont- pellier (Drap.); Valenciennes, Avesnes, Bavay (Norm.). Hab. Boulogne-sur-Mer (Bourg.). R. 166 il. Dnouer. — Énumération des Mollusques terrestres Fam. 2. NAIADEA. Gen. 51. ANODBONTA. Lamarck. 1799, fluviatilis Gmel. (Mytilus ? ) ment le Nord, où vit le type lin- variabilis Drap. var. «, Tabl. néen : Metz! Laval! Angers! Troyes ! Valenciennes !.. Var. Arelatensis Jacg. . + . . . . . Hab. Arles, Avignon. ovalis Requien. exulcerata Villa . . . . . . . . Hab. Arles (Dup.). minima Mill. « . . . . . . . . Hab. Segré [Maine-et-Loire]. Moulinsiana Dup. . : . . . . . Hab.les étangs de Cazeaux [Landes]. palustris Æér, . . . . . . . . . Hab. l'Auvergne. parvula Drou. . . . . . . . . Hab.l' Aube, à Bar-sur-Aube; la Lai- | coarctata Pot. et Mich. gnes, aux Riceys [Aube]; le bras de la Seine, à Troyes. R. Rayü Dup. . . . . . . . . . Hab.la Bonde-Gendret, à Troyes. tumida Küst. . . . . . . . . . Hab.le Nordet l'Est, passim. complanata Zegl. . . . . . . Hab. les grands fleuves : la Loire, à compressa JMenke. Nantes ! rhombea Schliütt. A4 + *X * 313. anatina Zin. (Mytilus) . . . . . Hab. toute la France, et principale- x Var. x elongata Hot. . . . . . . . . Hab. la Moselle, x Metz; l'Oise, à Jobæ Dup. (olim). Beauvais. minima Joba (olim). x Gratelupeana Gass, . . . . . . . Hab.la Garonne, à Agen. * Normandi Dup. . . . . . . . . Hab. l'Æscaut, à Valenciennes; la 314. Somme, à Abbeville. * 315. / Cygnea Lin. (Mytilus). . . . . . Hab. les étangs, à Lusigny, près Troyes (type linnéen)! Paris! Va- Var. lenciennes ! Niort (Mort.). ; Lellensis Gmel. (Mytilus) . . . . Hab.la France entière. Les échantil- | arenaria Schrôt. (Mya). lons le mieux caractérisés vien- stagnalis Gel. (Mytilus). nent du Nord : Valenciennes! La- | variabilis, var, 8. Drap. Tabl. val! Troyes! Paris ! Metz! Abbe- ville! | oblonga Mill. . . . . . . . . Hab. Angers! Troyes! Laval! intermedia Lin.? | ventricosa Dup. . . . . . . . Hab. Toulouse! Troyes! Metz! sinuosa Maud. et fluviatiles vivants de la France continentale. 167 Anodonta. * 316. 317. * 318. * 325. { piscinalis Miss, . . . . . . . Hab. toute la France. On ne peut plus radiata Müll. (Mytilus) ? variable. cygnea Schrôt. (Mytilus). Var. Milletii Ray. et Drouet . . . . . Hab. Montabert [Aube]; Lyon, Dijon. R. Rossmässleriana Dup. . . . . . Hab.unegr®® partie dela France, sur- { anatina Drap. toutle Sud-Ouest, dans les rivières. Scaldiana Dup. . . . . . . . . Hab.l'Æscaut, à Valenciennes. ventricosa €. Pfeif. . . . . . . Hab.le Nordet l'Est, passim. ponderosa C. Pfeif. . . . . . . Hab. Metz! Paris! Abbeville! Avonensis Auct. Britt. crassa Marks. grisea Schrôt. (Mytilus) ? incrassata Shepp. (Mytilus). Var. Dupuyi Ray et Drouet . . . . . Hab. Troyes, Metz, Abbeville. | subponderosa Dup. rostrata Kokeil . . . . . . . . Hab. Troyes! Arles! Riom! Fernex! Villeneuve [Lot-et-Garonne]! R. Gen. 52. UNIO. Retzius. 1788. (7) Sect. 4. Unio. Auct. quor. Astierianus Dup. . . . . . . . Hab.les étangs à Arles; la Saône, le cuneatus Jucq. canal de Bourgogne (Barb.). ater Nülss. (28) . . . . . . . . Hab. les environs de Remiremont! R. consentaneus Zegl. Batavus Lam. . . . . . . . . Hab. la France entière, surtout le pictorum var. 8. Drap. Nord, où vit le type. Extrêmement variable. Var. corrugatus Maud.? . . . . . . Hab.la Vienne. Drouetii Dup. . . . . . . . . . Hab.le Trifoire, à St.-Julien [Aube], Moulinsianus Dup. . . . . . . . Hab.le Cher. ovatus Bowl. - . . . . . . . Hab.le Bédat [Puy-de-Dôme]. rotundatus Maud.?. . . . . . . Hab. Bigerrensis Pl. . . . . . . . Hab.l Æchez, à la Vie-de-Bigorre. Capigliolo Payr. . . . . . . . Hab.l’Arros, à... (Dup.). [Gers]? crassus Retz. (*°) . . . . . . . Hab.la Vaige[Mayenne]. KR. Jacqueminii Dup. . . . . . . . Hab.les étangs, à Arles. arcuatus Jacq. 168 Unio. * 326. * 336. * 337. | H. Daouer. — Énumération des Mollusques terrestres littoralis Cu. crassus Vall. (Mya) Var. Barrandii Bonh. . = Draparnaldii Desh. . . . Pianensis. Far. . . . subtetragonus Wick. mancus Lam. . Moquinianus Dup. nanus Lam. . + : . annicus Ziegl. ovalis Mont. (Mya) . . . Philippi Dup. . pietorum Zin. (Mya) - rostratus Lam. (pars). Lemovicincæ Fér. Var. arcuatus Bouch. . . À curvirostris Norm. (olim). Deshayesii Mich. piatyrhynchoideus Dup. Requienii Dich. +. pictorum Drap. (pars). Var. Aleroni Mass. . . . Ardusianus Reyn. Limaniæ Bouill. Rousii Dup. sinuatus Lam. - crassissimus Jér. margaritifer Drap. rugosus Poir.! tumidus Retz. rostratus Lam. (pars). Monstr. Michaudianus Des Moul. Hab. toute la France, Très-variable, Hab. l'Aveyron, à Rodez; le Jura! Hab. la Seine, à Paris. Hab. le Pia, près de Perpignan. Hab. la Garonne, à Agen! la Loire, à Nantes; la Seine, à Troyes! etc. Hab. la Drée, en Bourgogne. Hab. les ruisseaux des Pyrénées. Hab. les pays de montagnes : les Vos- ges ! le Dauphiné! la Franche- Comté! se trouve aussi en Cham- pagne! Hab. la Loire, à Nantes; la Moselle, à Metz! Hab. le Gave-de-Pau [Bass.-Pyrén.]. Hab. les étangs et les rivières du Nord: Valenciennes! Metz! Troyes! Mul- house! Remiremont! …, Hab. Saint-Omer. Hab. Quimper. Hab. les étangs de Cazeaux [Landes]. Hab. toute la France, principalement le centre et le Midi. Très-variable. Hab. Perpignan. — Barcelonne | Es- pagne ]. Hab. l'Aveyron, à Ardus, près Mon- tauban, Hab. le Bédat, à St.-Bauzire [Puy-de- Dôme]. Hab. l'Auroue, dans le Gers. Hab. les grands fleuves d’une grande partie de la France. Rare toutefois. Les plus beaux types proviennent dela Garonne, à Agen, et de Seine, à Nogent [Aube]. L Hab. les fleuves et les rivières du Nord. Variable. Les plus beaux types vivent dans l’Escaut, à Va- lenciennes [Nord]. ? # 338. * 339. * 340. et fluvialiles de la France continentale. 169 Eurtonii Payr,. . . . . . . . Hab. Grasse (Dup.); Troyes? Sect. 2. MARGARITANA Schum. margarilifer Lin. (Mya). . . . . Hab. les cours d’eau des pays de mon- clongatus Lam. tagnes : les Vosges, les Cévennes, le Jura, les Pyrénées... Var. arcuatus Barn. (Alasmod.). brunneus Bonhk. . . . . . . . . Hab. Rodez. Roissyi Mich. . . . . . . . . . Hab. Tour-la-Ville [Manche]. Fam. III. DREISSENADEA. Van Beneden. Gen. 55. DREISSENA Van Beneden. 1835. polymorpla Pall. (Mytilus). . . . Hab.les fleuves de la France septen- Chemnitzii Rossm. (Tichogonia). trionale : la Somme, à Abbeville ! lineata Waard. (Mytilus). l'Escaut, x Valenciennes ! la Seine, Volgæ Chemn. (Mytilus). à Paris!.……. ——— 252 KO Ce — if 19 HIT. NOTES ET DIAGNOSES DES ESPÈCES PEU CONNUES. —— ei — () Arion Fér. Les genres Arion ét Limaz demandont unc révision fort attentive et sévère. Jé ne suis point en mesure, pour ce qui me concerne, de donner ce travail. Es- pérôns qu'un naturaliste, habile et laborieux, affrontant les difficultés de cette entreprise, nous dotera quelque jour de cette intéressante monographie. () Arion cinctus Wüll. (Limax). Verm. Hist. 2, p, 9, n° 205 (1774). À l'exemple des auteurs de l'Histoire naturelle des Mollusques de la Sa- voie, MM. Dumont et Mortillet, je restitue à ce Limacien la dénomina- tion qui lui a étéjprimitivement imposée par Müller./Draparnaud, n'ayant pas reconnu dans cette limace, celle du naturaliste danois, la crut nouvelle, et il l’appela Limax subfuscus. Je la recueille, au mois de mai, dans les feuilles mortes, au pied des chênes de la forêt d'Orient (Aube). Elle y paraît assez rare, (5) Arion fuscus Müll. (Limax) Verm. Hist. 2, p. 11, n° 209 (1774). A. petit, roussâtre ou gris-bleuâtre; dos noirâtre ; une bande latérale plus foncée que le fond de la robe; plan locomoteur blanchâtre, grisâtre ou jau- nâtre. Long. 40, diam. 4-5 mill. Hab. les bois, les forêts, les jardins , les hauteurs, et généralement toutes les localités ombragées de la France septentrionale, dans les feuilles mortes et sous les pierres. Très-abondant et très-variable. Dans les bois, on le trouve souvent en compagnie du Zaim. sylvaticus. Obs. 1. Cette espèce semble avoir échappé, jusqu'ici, aux investigations de bien des naturalistes, et pourtant elle est très-répandue dans le nord de la France. Peut-être la connaît-on sous une autre dénomination. C’est ainsi que je lui donne pour synonymes, le Zim. fasciatus de Nilsson, certainement iden- tique, l’Ar. hortensis Fér. (et conséquemment la Limacella concava Brard.), et enfin l’Ar. leucophœus Norm. Toutefois, c'est encore avec doute pour ces deux derniers. Obs. 2. Je considère les À. rufus et fuscus, et les L. agrestis, maximus et variegatus, comme très-nuisibles à l’agricultnre et à l'économie domestique. Je prépare un Mémoire sur ce sujet. H. Drouer. — Énumération des Mollusques, etc. 171 {#) Arion melanoeephalus ÆFaure-Big, in : Fér. Tabl. syst, p, 18, n° 4 (1821). Il est probable qu'il faudra réunir cette espèce à l'A. tenellus Müll. (5) Arion tenellus Mü. (Limax) Verm. Hist. 2, p. 11, n° 210, (1774). A. très-petit, verdâtre ou jaune-verdâtre pâle; tête et tentacules noirs; plan locomoteur jaune très-pâle. Long. 30-40, diam. 5-7 mill, Hab. les bois humides du nord de la France, dans les feuilles mortes, Com- mun, même au cœur de l'hiver. Obs. Tous les caractères de ce mollusque étant ceux d’un Arion, j'ai dû le reporter dans son véritable genre. Je lui adjoïndrais volontiers l'A, mela- nocephalus. (5) Limax brunneus Drap. Tabl. moll, p. 104, n° 10 (1801). Je crois avoir rencontré cette espèce rare et peu connue aux environs d’Ar- cis-sur-Aube (Aube). Malheureusement mes sujets sont morts avant que j'aie pu les examiner à tête reposée. Je ne puis reproduire ici que la note suecinete prise à la hâte au retour de l’excursion. La voici telle qu’elle est sur mon carnet : & L. très-petite, eflilée, vive dans ses mouvements, d’un brun un peu rou- » geâtre; mucus incolore. Long. 20 mill. » Limacelle très-petite, mince et fragile, ovalaire, légèrement voûtée. Long. » 1+, diam. 1 mill. » Sous les bois morts, au bord des ruisseaux, au Chêne, près Arcis-sur- » Aube. Août 1854. » M. Mortillet, de Genève, m'a envoyé plusieurs individus capturés aux en- virons de Bonneville, en Savoie. Sur les os et les plantes humides, autour des marais. (’) Limax cinereo-niger Sturm. Deutschl. Faun. VI, 1, cum fig. (ex Nilss.) L. très-grande, noire , à carène blanche; mufle blanchâtre; plan locomoteur blanc au milieu, noir de chaque côté. Long. 180, diam. 20 mill. Limacelle grande, oblongue, largement tronquée en avant, subaiguë en ar- rière, lisse et légèrement convexe en-dessus, rugueuse et comme eristallisée en dessous. Long. 12, diam. 7 mill. Hab. les forêts, les boïs, les montagnes. Vorace ct carnassière. Obs. Quelquefois , au lieu d’être entièrement noirs, les flancs de cette espèce sont grisâtres et mouchetés ou pointillés, quelque peu fasciés. Tels sont des individus provenant de Bonneville, en Savoie, que m'a procurés M. Mortillet. C’est la variété A signalée par Nilsson (Moll. succ., p. 8), et le Limax fascia- tus de Razoumowsky (Hist. nat. du Jorat, 1, p. 267, n° 12). (#) Limax sylvaticus Drap, Hist. MolL p. 126, n° 8, pl. 9, fig. 9 (1805). L. petite, effilée, roussâtre, avec une bande brunâtre de chaque côté, sur le bouclier et sur le dos; tête et tentacules grisâtres; plan locomoteur d'un blanc jaunâtre. Long. 50, diam. 6 mill, Limacelle petite, oblongue, subtétragonale, épaisse pour sa taîlle , luisante et 172 H. Droucr. — Énumération des Mollusques terrestres nacrée en dessus, mate et rugueuse en dessous; bords membraneux, Long. 5, diam. 3-4 mill, Hab. les bois. En octobre et en novembre, elle est très-abondante sous la mousse qui recouvre les chênes. C'est une espèce grimpante. Elle se plaît dans les fissures de l'écorce des arbres, On la trouve aussi au milieu des feuilles mortes. Obs. 1. J'ai remarqué, à Bar-sur-Seine (Aube), une variété frappante de cette espèce, d'un jaune-orange très-vif, bifasciée comme le type, et à tête et tentacules brunissants. Obs. 2, Est-ce bien là le L. sylvaticus Drap.? Je suis encore à me le deman- der. Mais il est certain que c’est le Z, rusticus Mill. et, sans doute aussi, le L. scandens Norm. (2) Testacella Drap. L'on m'a signalé la Test. Maugei. Fér. comme vivant à Dieppe. Si elle s’y trouve, ce n’est qu'accidentellement, dans quelque jardin où elle aura été ap- portée avec une plante exotique. C’est ainsi, suivant Férussac, qu’elle a été ac- climatée dans le Jardin botanique de Bristol. (2°) Vitrina annularis Stud. Des échantillons authentiques de V. annularis Stud., que je dois À l’obli- geance de M. de Charpentier, ne me laissent aucun doute sur l’identité de cette espèce avec la V. subglobosa Mich. (‘*) Succinea Baudonii Drouët in : Baud. Descript. des Moll. de l'Oise (Mém. Soc. Acad. Ois. tom. 2, 1852, p. 144), n° 5 (1852). Coquille petite, ventrue, obtuse, à peine striée, assez solide, d’un jaune- d’ambre clair ; ouverture ovale, large ; 3 tours de spire convexes, à suture bien marquée; sommet obtus. Haut. 5, diam. 3 mill. Haut. de l'ouverture : 3 mill. Hab. les prairies des environs de Mouy-de-l'Oise, sur les plantes. Décou- verte, il y a quelques années, par mon collaborateur et ami, M. le D' Baudon, à qui je me suis fait un véritable plaisir de la dédier. (12) Succinea Corsica Schüttl. Moll. Cors, p. 5 (Mittheiïl. d. Bern. nat. Ges. 1843, p. 13) (1843). Coq. très-allongée, finement striée, très-fragile (notamment vers le bord su- périeur du péristôme), d’un fauve un peu rougeâtre, ou, rarement, d'un blond- pâle; ouverture très-allongée, aiguë inférieurement; 34 tours de spire, à suture peu profonde. Haut. 13, diam, 6 mill. Haut de l’ouv. 9 mill. Hab. Grasse; les environs de Nice. Elle vit sur les plantes qui bordent les fossés. Communiquée par M. Martillet, dont les échantillons ont été détermi- nés par M. Shüttleworth lui-même. Obs. 1. Par sa forme générale, cette coquille rappelle un peu la Æ$. vires- cens Mor.; mais elle est beaucoup plus allongée, et moins évasée , supé- rieurement. Obs. 2. C'est cette espèce que M. l’abbé Dupuy a dû déterminer S, Zon- giscata Mor, Mais je ne vois pas que cette ambrette portugaise se rencontre en France. et fluviatiles vivants de la France continentale, 175 (!:) Succinea humilis Drouët ined. Coq. petite, ovale-oblongue, fragile, un peu striée, à peine luisante, jaune- verdâtre ; ouverture ovale-arrondie; 4 tours de spire tordus, suture profonde. Haut. 4, diam. 2 + mill. Haut. de l’ouv. 2 + mill. Hab. Troyes, sur le tronc des saules; Arcis-sur-Aube, au pied des peupliers qui bordent les prairies ; Remiremont, sous les bois morts, dans les prés. Pres- que toujours elle est revêtue de limon. Obs. Voisine, j'en conviens, de la S. oblonga Drouët, cette Ambrette en diffère par sa taille beaucoup moins grande, sa forme et sa spire bien moins allongées et par son ouverture plus arrondie. (*#) Succinea ochracea Betta Malac. Valle di Non. p. 31, pl. 1, fig. 1 (1852). (ex emend. el. Terver). / Coq. assez petite, ovale-obtuse, striée finement, fragile, brillante, d’un suc- ein jaunâtre ou rougeâtre; ouverture subpyriforme; 3 tours de spire à suture peu profonde; sommet obtus. Haut. 7, diam. 4 mill. Haut. de l'ouvert. 5 mill. Hab. Troyes, Bar-sur-Aube, sur les plantes qui bordent les fontaines; Bar- sur-Seine, sur les orties, au pied des vieux murs. — Bords du lac de Genève. — Les types authentiques m'ont été communiqués par M. de Charpentier et par M. Mortillet. (*5) Helix Lin. sect. 1. Zonîtes Montf. Les données anatomiques justifient surabondamment cette coupe sous-géné- rique. Voir, à ce sujet, les travaux de MM. Van Beneden, Dumas, Moquin- Tandon, etc. Suivant M. Terver, ce groupe, surtout dans les Crystallines, n’est pas encore entièrement connu. (5) Helix alliaria ZZi/7. Ann. Phil. VII, p. 379 (1822). Coq. moyenne, convexe-sub-déprimée, étroitement ombiliquée, lisse, bril- lante, diaphane, fauve en dessus, blanchâtre en dessous; 5 tours de spire; ouverture sub-déprimée; péristôme simple, tranchant. Diam. 7-10, haut. 4-5 mill. Hab. le mont Pilat, près de Lyon. Communiquée par M. Terver. Obs. Il ne faut pas confondre cette espèce, ainsi que l'ont fait M. Gray (Turt. Man, p. 169), et M. L. Pfeiffer (Mon. Hel. I, p. 91), avec l'A. glabra Stud., qui est plus grande, plus déprimée, moins étroitement ombiliquée, et qui compte 6 à 7 tours de spire. Il suffit de jeter un coup-d’œil sur la fig. 39, pl. IV, du Turton's Manual de M. Gray (A. alliaria), pour ne pas reconnaître dans cette coquille l'espèce nommée par Studer. Toutes deux se trouvent aux envi- rons de Lyon, mais elles sont rares. (7) Helix hydatina Rossm. Icon. VIII, p. 36, fig. 529 (1838). Coq. petite, convexe-déprimée, très- étroitement ombiliquée, blanchâtre , hyaline, très-finement striée, brillante; 5-6 tours de spire , à peine convexes, à accroissement lent et régulier, et à suture bien marquée; ouverture dépri- mée, largement échancrée par l’avant-dernier tour; péristôme droit, simple, tranchant. Diam. 5-6, haut. 2-3 mill. 174 Hi. Daouer. — Énumération des Mollusques terrestres Hab. les environs de Lyon, où elle est assez rare. Communiquée par M. Terver. Obs. 1. Quoique plusieurs naturalistes se refusent x admettre l'existence de l'Æ. hydatina en France, il m'est impossible de ne pas voir dans la coquille re- cueillie à Lyon, l'Hélice décrite par l’auteur de l’Zconographie. Figures et des- cription, tout est identique. Obs. 2. Primitivement indiquée, par Ziégler, comme originaire de Corfou, l'A. hydatina a été successivement observée x Naples (Philippi), à Smyrne (Roth), en Grèce (de Sauley), puis dans les alluvions de la Garonne, x Tou- louse (L. Partiot), à Montpellier, à Fernex (Dum. et Martill.), et enfin, aux en- virons de Lyon (Terver). (5) Helix nitidosa Zér. Tabl. syst. p. 41, n° 214 (1821). Coq. petite, convexe-déprimée, largement et profondément ombiliquée, fine- ment striée, à peine luisante, fauve, translucide; 5 tours de spire conyexes ; suture bien marquée; ouverture ovalaire, très-oblique, légèrement échancrée par l’avant-dernier tour; péristôme droit, simple, tranchant. Diam. 4, haut. 2 mill. Hab. le parc de la ferme d’Ansacq, près de Mouy (Oise), au pied des arbres moussus; le bois de Fouchy, à Troyes , dans la mousse et dans les feuilles mortes; les environs de Remiremont (Vosges), dans la mousse, au pied des sapins. Espèce assez rare. (%) Helix aculeata Will. Je ne puis résister au désir de signaler aux naturalistes une localité du dépar- tement de l'Aube, où cette espèce est extrêmement répandue, C’est une petite plantation de sapins, sur une colline connue sous le nom de montagne Ste.-(er- maine, à Bar-sur-Aube. On la trouve sous les pierres, dans la mousse, dans les branches et les feuilles sèches. J’en ai même vu sur le pied de gros champi- gnons. M. Cotteau, aujourd’hui juge à Couloumiers, et moi, l'avons recueillie par centaines, par un temps sec du mois de septembre, et je suis persuadé qu'a- près une pluie légère, nous en aurions vu encore davantage. Malgré sa taille exiguë, cette Hélice paraît moins délicate que plusieurs de ses congénères. J'en ai envoyé dans le midi de la France, dans un tube attaché à une lettre, et elle est arrivée saine et sauve. Ses mouvements, ainsi que j'ai pu l’observer, ne manquent pas de vivacité : en rampant sur la mousse, ou dans le bois mort, elle balance son test à droite et à gauche, comme pour écarter les obstacles, et elle le porte de façon qu'on ne voit guère que ses tentacules supérieurs, qui sont fort allongés. Par instant, elle élève tellement sa coquille au-dessus d’elle, qu’on la croirait séparée du corps. Müller, Draparnaud, Nilsson et Rossmäss- ler, ont fait à-peu-près les mêmes remarques. Je ne vois guère que M. Morelet et M. Bouillet qui aient indiqué l'Æ acu- leata comme un mollusque plutôt commun que rare, l’un dans les bois de la chaîne des montagnes du Puy-de-Dôme, l’autre dans la province de Tras-os- Montes, en Portugal. (*°) Helix costulata Ziégl. in : C. Pfeïff. Natarg. Deutsehl, ILE, p. 32, pl. 6, fig. 21-22 (1828). Coq. assez petite, globuleuse-sub-déprimée, étroitement ombiliquée, striée- côtelée, d’un gris blanchâtre uniforme, ou fasciée d’une bande fauve, ou encore 4 el fluviatiles vivants de lx France continentale. 175 mouchétée de taches roussâtres, sub-opaque, mince; 5 tours de spire convexes, ouverture bien arrondie, légèrement échancrée par l’avant-dernier tour, péris- tôme droit, simple, Diam. 6-7, haut. 4-5 mill. Hab. les côtes des environs de Bar-sur-Seine (Aube). Elle y est rare. Pour trouver cette Hélice, il faut quitter la région des vignes, et gagner la partie inculte des côtes, connue sous le nom de friches. Là, on trouve simultanément et l’Æ. candidula et l'A. costulata : mais cette dernière est bien moins ré- pandue que l'autre. Le matin, par la rosée , elle grimpe sur les petites plantes basses qui composent la flore de cette partie des côtes, et qui lui servent proba- blement de nourriture. Quand la fraîcheur est passée, elle redescend s'abriter sous les feuilles radicales de ces petites plantes : plus rarement elle se fixe sur la tige, en prenant soin de se clore au moyen d'un épiphragme, très- mince ét vitreux. J'ai souvent mis des heures entières pour en récolter une douzaine. Obs. Je soutiens la validité de cette espèce, qui me paraît aussi distincte que possible. Je ne puis donc pas me ranger à l'avis de Rossmässler, qui n’en fait qu’une simple variété de l'A. candidula, pas plus qu'à celui de L. Pfeiffer, qui la donne, en synonyme, à l’A. intersecta, et je me vois forcé de penser que ces deux célèbres conchyliologistes n’ont eu à leur disposition que des échan: tillons, ou imparfaits, ou apocryphes de cette espèce. @!) Hélix depilata Drap. Tabl. p. 72, n° 5 (1801). Je puis me dispenser de décrire une coquille aussi bien connue que l’Æ. de- pilata. Maïs je ne veux pas passer sous silence un point de la chaîne des Vosges, où je l'ai recueillie, sinon en grande abondance, du moins en quan- tité suflisante pour la distribuer à plusieurs de mes correspondants. L’AÆ. depi- lata Se trouve dans les escarpements du Hohneck, l’un des points les plus éle- vés de la chaîne des Vosges. Elle so plaît sur les plantes touffues et vigoureuses qui croissent dans ces régions, notamment sur le Cacalia albifrons ? dont les larges feuilles tomenteuses lui offrent un abri contre un soleil trop ardent. Par un temps sec et venteux, elle reste cachée à la racine des plantes, où il est assez difficile de la découvrir; mais aussitôt qu'une pluie légère calme et raf- fraîchit l'air, on la voit sortir de sa retraite. C’est ainsi que l’année dernière (1853) par une matinée humide du mois de septembre, mon honorable ami, M. Puton, et moi, en avons récolté une trentaine d'individus, à 1200 mèt. en- viron d’élévation. Dans cette localité pittoresque et digne de tout l’intérêt des naturalistes, l'A. depilata vit en compagnie de l'Æ. sericea, qui, pour le dire en passant, me paraît plus belle et plus développée, dans ces régions alpes- tres, que partout ailleurs. (2?) Helix glabella Drap. Tabl, p. 87, n° 30 (1801). Coq. assez petite, subdéprimée, plus ou moins étroitement ombiliquée, très- confasément sous-carénée, très-finement striée, lisse, peu luisante, sous-trans- parente, roussâtre où brunâtre , avec une très-légère bande plus pâle, mar- quant la carène; 5-6 tours de spire à peine convexes ; ouverture sub-arrondie, fortement échancrée par l'avant-dernier tour; péristôme droit et tranchant, très-légèrement évasé vers l’ombilic, quelquefois simple, quelquefois muni in- térieurement, et à une faible distance du bord, d’un petit bourrelet blanchâtre. Diam. 9-10, haut, 5-6 mill. 176. Daouer. — Énumération des Mollusques lerrestres Hab. les environs de Grenoble! Échantillons authentiques adressés par M. Terver. Obs. Pour la discussion de l'espèce, voir à l’article Æ. rufescens. (25) Helix glacialis Thom. in : Fér. Tabl. syst. p. 38, n° 159 (1821). Coq. moyenne, convexe-sub-déprimée, ombiliquée, légèrement sous-carénée , à stries fortes et espacées, sub-opaque, d’un gris jaunâtre , avec petites taches fauves, et une bande brunâtre ; 5-6 tours de spire À peine convexes; ouverture sub-arrondie, légèrement échancrée ; péristôme sous-réfléchi, légèrement épaissi et bordé de blanc. Diam. 13-14, haut. 6-7 mill. Hab. le versant français du Mont-Thabor, dans le Haut-Oisans (Isère). Com- muniquée par M. Martillet, qui l’a, plusieurs fois, recueillie lui-même dans cette localité, à mètres d’élévation, c’est-à-dire, dans la zône des gazons, et à la limite inférieure de celle des neiges perpétuelles. (2*) Helix hortensis Müll. var. H. Ludoviciana d'Aum. in sched. Cette jolie variété de l'A. hortensis est beaucoup plus petite que le type, et en outre, elle est transparente et luisante. Sa coloration la plus ordinaire est le rougeâtre, le gris café-au-lait, et le jaune, avec une ou sans bande. Diam. 15- 17, haut. 10 mill. Qu'il y a loin de cette variation aux individus monstrueux des Pyrénées, qui mesurent 30-35 mill. de diamètre, sur 20-23 mill. de hau- teur! Elle habite la chaîne des monts Dômes (Lecoq). Recueillie autour de Cler- mont-Ferrand, par M. G. d'Aumont, aujourd’hui sous-Intendant militaire à Bas- tia, qui m'en a envoyé de nombreux échantillons. (2°) Helix lapicida Z. var. Æ. Lecoquü, Put. in sched. Cette Hélice est un peu plus petite que l'A. lapicida, dont elle n’est qu'une variété. Sa couleur est le blond-fauve, maculé de brun-rougeâtre çà et là. Au lieu d’être convexe-déprimée, la spire est entièrement déprimée et aplatie. Les tours, au nombre de 5, sont à peine convexes et séparés par une forte suture. Enfin, au lieu d’être carénée comme le type, notre variété a le dernier tour très-lésèrement sous-caréné, ou presque arrondi. Vue en dessus, elle a presque la physionomie de l'A. holosericea. Diam. 13, haut. 5 mill. Décou- verte en 1850, à Wildenstein, au pied du Rotabac (Vosges), par M. Lecoq, de Clermont-Ferrand, à qui M. Puton l’a dédiée. Depuis, M. Puton l’a retrouvée à Remiremont même, Je ne connais de variétés, chez l'A. lapicida, que celle ci-dessus, et la va- riété a/binos qui se trouve à Luz, dans les Pyrénées, et aux environs de Lyon, Toutes deux sont fort remarquables. (5) Helix montana Stud. Syst. Verz., p.86, n° 11 (1820). Coq. assez petite, sous-globuleuse, convexe, ombiliquée assez étroitement, mais profondément, légèrement striée , sous-transparente, couleur de corne claire, avec une légère bande grisâtre; 6 tours de spire convexes , dont les premiers sont comme érodés ; ouverture sub-arrondie, fortement échancrée; pé- ristôme droit, tranchant, muni, à quelque distance du bord, d’un bourrelet blanchâtre. Diam. 9-10, haut. 6 mill. Hab. le Jura français. Communiquée par M. Mortillet, qui m'assure que c'est bien la véritable 77. montana de Studer. Obs. Voïir à l'article 7. rufescens, poux la discussion de l’espèce. el fluvialiles vivants de la France continentale. 177 (27) Helix nubegina Æ. Saulcy in : Journ. Conch. 1852, p. 438, et 1853, p. 77, pl. 3, fig. 7 (1852). Coq. moyenne, convexe-sub-déprimée, à ombilic large et profond, à peine striée, solide, opaque, d’un blanc-jaunâtre ou rosâtre; 6 tours de spire con- vexes, À accroissement réoulier; ouverture arrondie, légèrement échancrée : péristôme droit, tranchant, bordé intérieurement d’un bourrelet blanc, presque continu. Diam. 12, haut. 7 mill. Hab. avec l'A. carascalensis les sommets neigeux et glacés des Pyrénées, à Eaux-Bonnes, Barèges, ete. Communiquée par M. Bourguignat, mon compa- triote, qui en a rapporté de nombreux échantillons d’un voyage dans les Pyrénées. (23) Helix revelata Zér. Tabl. syst. p. 44, n° 273 (1821). Coq. petite, perforée (sub-ombiliquée), globuleuse-déprimée, finement striée, un peu rugueuse, ornée de poils courts et raides, mince, transparente, d’un vert pâle, tirant sur le blond; 4-5 tours de spire convexes, à accroissement ac- céléré, séparés par une suture bien marquée; le dernier tour plus gros que les autres, à proportion; ouverture arrondie, un peu échancrée par l’avant-dernier tour; péristôme simple, tranchant, lésèrement refléchi; bord columellaire blan- châtre, évasé et empiétant sur l’ombilic. Diam. 7, haut. 4 3 mill. Hab. Niort, où elle a été recueillie par M. le capitaine Decret! (Mortillet). Les landes d'Aquitaine, aux environs de Mont-de-Marsan ! (Dupuy). Obs. La description et la figure de ce dernier auteur cadrent d’ailleurs par- faitement avec l'H. ponentina Dup. Je crois être dans le vrai en réunissant à V'H. revelata de Férussac, comme synonyme , l'A. ponentina Mor., ou tout au moins l'espèce décrite, sous ce nom, par M. l'Abbé Dupuy. D'un autre côté, il est certain que c’est bien là l'Æ. revelata Mich.; car M. Michaud, dans des échantillons recueillis à Mont-de-Marsan, qui lui étaient soumis, a, sur-le- champ, reconnu son A. revelata (De Charpentier, in litt.). Quant aux localités indiquées par Férussac, et même par M. Michaud, je les crois erronées. Cette Hélice me paraît propre au littoral occidental, et je ne pense pas qu'on doive la rencontrer en dehors de toute influence sub-maritime. Elle habite assez com- munément l’île de Guernesey, où elle ne diffère en rien des individus de Niort et de Mont-de-Marsan. (2°) Helix rufescens Penn. Brit. Zool. IV, p. 134, pl. 85, fig. 127 (1777). Coq. moyenne, sub-déprimée, assez largement ombiliquée, obtusément sous- carénée, très-finement striée, sous-transparente, d'an gris-blond, ou d’un rous- sâtre pâle, avec une légère bande blanchâtre; 6-7 tours de spire à peine con- vexes; ouverture ovalaire ou arrondie, fortement échancrée par l’avant-dernier tour; péristôme droit et tanchant, quelquefois très-légèrement évasé, muni in- térieurement, et à une faible distance du bord, d’un petit bourrelet blanchâtre. Diam, 10-12, haut. 6-7 mill. Hab. Bar-sur-Seine, Bar-sur-Aube (Aube), sur les orties qui croissent au pied des vieux murs; sur les fraisiers, les violettes et les bois, dans les jardins; au pied des haies, dans les champs. Cette Hélice ne sort que par la pluie, surtout le matin et le soir, Pendant Jes journées sèches, elle demeure cachée, 23 478 M. Daouer. — Énumération des Mollusques terrestres soit au pied des orties, soit sous les feuilles des violettes et des fraisiers, soit encore sous les pierres. Obs. 1. A l’état frais et jeune, cette coquille est revêtue de poils noirs, très- courts et très-caduques. Mais à mesure qu'elle grandit, ces vestiges de villosité disparaissent, et chez les adultes, il n’en reste pas même la trace. Obs. 2. Dans l'impossibilité presqu’absolue où j'ai été de me créer une opi- nion bien arrêtée au sujet des véritables rapports qui lient les 7. rufescens glabella et montana, j'ai préféré leur laïsser, à chacune séparément, le rang provisoire d'espèce distincte. Je ne sais si les diagnoses que j'ai données, de ces trois Hélices, lèveront, pour quelques lecteurs, les doutes qui me tiennent encore en suspens. Quant à moi, je le répète, malgré tous mes efforts, je ne saurais dire si ce sont trois espèces différentes ou seulement trois variations d’un type unique. J’ai de magnifiques échantillons d'77. rufescens, provenant de Boulogne-sur-Mer, et d’autres de Heidelberg, en Bade, qui ne mesurent pas moins de 14 mill. de diamètre sur 8 de hauteur, Ceux que je recueille dans le département de l'Aube, n’en diffèrent que par une taille un peu moins forte. D'un autre côté, M. Mortillet et M. Terver, ont bien voulu me communiquer des échantillons authentiques d'A. glabella, recueillis aux environs de Gre- noble, Enfin, le même M. Mortillet m'a également envoyé des individus soi- disant authentiques de l’Æ. montana, mesurant 9 mill. seulement de diamètre sur 6 de hauteur et provenant du Jura français. Si l’on prend les deux formes extrêmes, l'A, rufescens, de Heidelberg, et l’Æ. montana du Jura, infaillible- ment on sera tenté de les séparer spécifiquement. D'autre part, si l’on intercale, entre elles, comme formes intermédiaires, ou l'A. glabella ou l'Æ. clamdestina (laquelle, pour le dire en passant, n’est certainement qu’une variété minor del’. rufescens, ainsi que des individus authentiques provenant de Zurich me le dé- montrent péremptoirement), l'on se demande si ce ne sont pas là plusieurs varia- tions de taille et de forme, d’une seule et même espèce! Mais comme je me mé” fie singulièrement de ce système des séries et des passages insensibles (comme conduisant à l'absurde!) je reste, jusqu'à nouvel ordre, dans le doute. Pent- être l'observation de l'animal, chez ces Hélices, tranchera-t-elle la difficulté. M. l'abbé Dupuy réunit ces différentes formes, comme simples variétés de l'A. rufescens. M. Moquin-Tandon paraît de cet avis. L. Pfeiffer réunit l'Æ. montana , à VI. rufescens, mais il distingue l'A. glabella. M. Terver voittrois espèces, conformément à mes distinctions. M. Mortillet va encore plus loin, et veut que les Æ. rufescens, clandestina, glabella et montana, soient quatre espèces distinctes! (5°) Achatina Zam. M. Moquin-Tandon pense (Jouxn. Conch. 1851) que notre genre Achatina ne vaut rien, et qu’il devra former une section du genre Bulimus (Cochlicopa Fér.), Il ne m'appartient pas, à moi simple nomenclateur, de trancher cette question. Je soumets cette idée aux anatomistes. (*!) Achatina collina Drouët ined. Coq. petite, ovale-oblongue, lisse, brillante, d'un fauve-verdâtre ou rou- geâtre, 5-6 tours de spire à peine convexes; ouverture pyriforme; péristôme un peu épaissi, à bourrelet blanchâtre; bord columellaire à peine épaissi. Haut. 3-4, diam, 1 5-2 mill. et fluviatiles vivants de la France continentale. 179 Hab. le sommet des collines arides et sablonneuses, sous les pierres, à Fon- taines, près de Lyon (Terver); à Mouy-de-l’Oise (Baudon); à Liézey, dans les Vosges (abbé Jacquel). Assez rare. (52) Pupa Moquiniana Xüst. Monogr., p. 52, pl. 7, fig. 1-3 (184). Coq. perforée, cylindrico-conique, fortement et abondamment striée, bru- nâtre; spire un peu obtuse; 8 tours convexes; ouverture grande, oblongue, co- lorée, ornée de 9 plis; péristôme simple, réfléchi, presque continu. Haut. 8, diam. 2 ; mill. Hab. le mont Bendat, près de Pau. Rare. (55) Clausilia dubia Drap. var. Cette variété de la Cl. dubia est moins grande que le type: elle n’a que 11- 12 mill. de haut sur 3 + mill. de large. L'ouverture est aussi moins grande et moins allongée. Mais ce qui la rend particulièrement remarquable, c’est sa forme pupoïde. Elle est courte, ramassée, et ventrue dès le quatrième ou le cinquième tour de spire. Cependant le sommet n’est point obtus. Son ensemble est plutôt celui d'un Pupa (du P. cinerea ou du P. variabilis, par exemple), que d'une Clausilia. Je l'ai recueillie au sommet du Honeck (Hautes-Vosges), à 1250 mèt. environ d’élévation, sur le tronc moussu des vieux sapins. (5 ) Clausilia laminata Mont. var. CL. phalerata Dup. Je considère la C! phalerata de Dupuy comme une variété alpine de la 1. laminata. Si j'en crois M. Mortillet, le CZ. phalerata Ziégl. (CI. fimbriata Mühlf.) serait différente, et ne se rencontrerait pas en France. (Conf. L. Pfeiffer, Mon. Hel. IL, p. 399, n° 5). (55) Limnæa thermalis Boub. Bull. d'hist. natur., p. 20, n° 48 (1833). Coq. petite, ovale-oblongue, sub-perforée, finement striée, peu brillante , couleur de corne-fauve, fragile ; 5 tours de spire convexes, suture assez pro- fonde, dernier tour très grand ; ouverture ovale, aiguë inférieurement; péristôme sub-continu, simple, tranchant; bord columellaire torse, réfléchi. Haut. 8-12, diam. 4-6 mill., haut. de l’ouvert. 5-6 mill, Hab. les sources chaudes des Pyrénées (Boubée). Je l'ai abondamment re- ceueillie, avec M, Puton, à Chaude-Fontaine, près Remiremont (Vosges). Peut- être cette jolie petite Limnée n'habite-t-elle pas exclusivement les eaux ther- males ?... J’ai vu aux environs de Mouy (Oise), dans une fontaine froide , une forme absolument identique! (°) Limnæa truncatula M7. var. L. microstoma Drouët. J'ai longtemps cru pouvoir ériger en espèce ma L. microstoma : c'est dans cette idée que je l’ai adressée, sous ce nom, à la plupart de mes correspondants. Après une étude attentive de l'animal et du test, j'ai reconnu que ce n'est qu'une variété de forte taille, allongée, avec dernier tour de spire ventru;, ouverture rétrécie et péristôme épaissi et continu, de la Z. truncatula. Des conditions extraordinaires de tranquillité et d'alimentation sont probable- ment causes de cette variété remarquable. Haut. 10, diam. 5 mill.; haut. de l'ouv. 7 mill. Hab. les puits de plusieurs jardins, à Bar-sur-Seine (Aube). On la rencontre 480 H. Drouer. — Énumération des Mollusques terrestres aussi dans les pierres à eau de ces puits, souvent presque à sec, Mais il faut si peu d’eau à cette Limnée, qu'un peu de terre humide lui suffit. (57) Planorbis septemgyralus Ziégl. C'est sur la foi de M. l'abbé Dupuy, et sous toutes réserves, que je cite cette espèce. Jamais je ne l'ai vue en France. M. Cotteau , juge à Coulom- miers, m'a adressé tous les Planorbes recueillis par lui à Châtel -Censoir (Yonne) : il n’a été impossible, dans ses envois, de trouver autre chose que le PL. leucostoma. (35) Ancylus cyclostoma Bowrg. in : Journ. Conch., p. 193, n° 14 (1853). Coq. petite, à peine convexe en avant, concave en arrière, déprimée , diapha- ne, légèrement striée; sommet obtus, médian, un peu en arrière; dépression apicale arrondie, médiane, placée à l'extrême sommet; ouverture ronde ou ar- rondie. Long. 5, diam. 4, haut. 2 mill. (Bourg). Hab. les eaux limpides de l'Aube, sur les pierres, à Unienville, à Dieuville (Aube) (Bourguignat). (5°) Ancylus riparius Desm. in: Bull. soc. Phil. de Paris, p. 19, pl. 1, fig. 12 (1814). Coq. assez grande, peu élevée, finiment mais sensiblement striée, diaphane, fragile; sommet légèrement acuminé, à peine recourbé, médian, de beaucoup dépassé par le bord postérieur de l’ouverture; ouverture régulièrement ovale; concavité très-légèrement blanchâtre, peu luisante. Long. 8-9, diam, 6, haut. 3-4 mill. Hab. les rivières et les ruisseaux des environs de Remiremont (Vosges). Je crois cette espèce particulière aux petites rivières des pays de montagnes. De- puis que Desmarest l’a décrite, dans une Note sur les Ancyles , insérée au Bul- letin des sciences de la Société Philomatique de Paris, pour 1814, elle paraissait oubliée. M. Bourguignat l’a justement tirée de cet abandon immérité, dans son Catalogue des espèces du genre Ancylus (Journ. Conch. 1853). (*°) Ancylus strictus Mor. Moll. Portug., p. 88, n° 4, pl. 8, fig. 4 (1845) Coq. moyenne, de forme longitudinale, allongée, eomprimée sur les côtés, finement striée, à peine diaphane, assez solide, jaune-verdâtre ; sommet assez recourbé, postérieur, acuminé ; ouverture elliptique, rétrécie , un peu plus large antérieurement. Long. 8, diam. 4, haut. 3 mill. (Mor.) Hab. les environs de Brest (collect. de M. Benj. Delessert). Obs. Il est assez curieux de retrouver au fond du Finistère une coq. primi- tivement découverte en Portugal et en Espagne. Au reste, ce n’est pas la première fois que des rapports de ce genre ont été signalés, entre la Bretagne et la Pé- ninsule hispanique. S'il faut en croire M. Danthon, l'Aelix quimperiana Fér. se retrouverait également sur le littoral du nord de l'Espagne (Conf. Danthon in : Revue zool. 1840, p. 121). (#1) Ancylus Moquinianus Bourg. in: Journ. Conch., p. 197, n° 52, pl. 6, fig. 9 (1853). Coq. moyenne, longitudinale, très-allongée, comprimée sur les côtés, lisse, jaunâtre ou grisâtre ; sommet aigu, recourhé vers la gauche; dépression apicale et fluviatiles vivants de la France continentale. 181 très-petite, à peine visible, située à l'extrême sommet ; ouverture oblongue, très-allongée. Long. 8, diam. 3, haut. 3 mill. (Bourg.). Hab. certains ruisseaux des environs de Dijon; les courants rapides autour de Toulon (Bourguignat). (#2) Bythinia Gray. La séparation des genres Paludina et Bythinia est confirmée par les re- cherches anatomiques de M. Moquin-Tandon (Conf. Journ. Conch. 1851, p. 237 et seq.). (55) Valvata Mill. De Férussac connaissait dix espèces françaises de ce genre (Conf. Férussac, Ess. méth. conch., p. 103; 1807). Peut-être des recherches minutieuses, et une étude approfondie du genre, feront-elles retrouver ce nombre?.... (Voir mon Appendice). (**) Valvata piscinalis Müll. var. V. depressa, C. Pfeiff. (ex emend. el. de Charpentier). Est-ce une variété de la V. piscinalis, est-ce une espèce distincte? Je ne puis me prononcer. Avec M. l'abbé Dupuy, j'adopte, provisoirement, la pre- mière hypothèse. M. de Charpentier la distingue spécifiquement. Voici la dia- gnose que j'avais préparée : Coq. petite, sub-déprimée, profondément ombiliquée, à peine striée, un peu luisante, blanchâtre ou verdâtre ; 4 + tours de spire convexes, séparés par une suture profonde; ouverture arrondie; péristôme un peu épaissi ; opercule spiralé; 8 à 9 fois étagé. Haut. 3-4, diam. 3-5 mill. Hab. la Sainte-Fontaine et la Barbacane , source et ruisseau, à Bar-sur- Seine (Aube). (*5)-Valvata spirorbis. Drap. Hist. Moll., p. 41, n° 1, pl. 1, fig. 32-33 (1805). Coq. petite, déprimée, largement et profondément ombiliquée , un peu striée, luisante, couleur de corne-fauve; 3 + tours de spire convexes; ouverture grande, arrondie; péristôme un peu évasé; opercule spiralé, mince, corné. Haut. 2, diam, 3 + mill. Hab. les fossés, au milieu des plantes aquatiques, à Nogent-sur-Seine (Aube)! à Mouy-de-l'Oise ! les environs de Grasse (Mort.)., de Chartres (Bourg.). Peu abondante. Obs. Je crois qu'il y a lieu de soutenir la validité de cette espèce. Les échan- tillons que j'ai recueillis moi-même, à Nogent et à Mouy, cadrent parfaitement avec les figures et description de Draparnaud ! (#5) Cycladea. Objet, en ce moment, des recherches et des études de plusieurs naturalistes, dont les noms sont familiers au public conchyliologue, cette famille litigieuse fournira probablement à quelqu'un d’entre eux l’occasion de doter la France d’une monographie, dans le genre de celle dont s’honore, à bon droit, l’Angle- terre. Déjà l’on peut consulter avec fruit ce qu'ont écrit sur ce sujet MM. Dupuy, Gassies, Baudon, Bourguignat et Normand. ( Voir notamment la Monographie 182 H. Drouer. — Énumération des Mollusques terrestres des espèces françaises du genre Sphæœrium ( Mém. Soc. des Sc. phys. et nat. de Bord. 1854), travail récent de M. Bourguignat). (7) Unio Retz. Ce genre, dont je vais m'occuper spécialement, demande une révision sévère. Je le laisse tel quel, en attendant un remaniement complet, pour ne rien préci- piter. Mais je ne sais si je trouverai le fil d'Ariane, qui me guidera dans ce dé- dale un peu ténébreux.... (*‘) Unio ater Miss. Moll. Suec., p. 107, n° 3 (1822). Coq. assez grande, ovale-allongée, ventrue , épaisse; bord postérieur élevé, largement tronqué; bords supérieur et inférieur un peu arqués, parallèles; sommets distancés, fortement excoriés, lisses; épiderme noirâtre, cortex d’un beau blanc-d’argent; nacre d’un blanc-bleuâtre, parsemée de taches livides; impressions musculaires antérieures très-profondes ; dents cardinales épaisses, coniques, cunéiformes, obtuses, crénelées ; dents latérales lamelliformes. Long. 80, haut. 40, diam. 30 mill. Hab. le Maudrezey, petite rivière des Vosges, à Saulcy-sur-Meurthe. Décou- verte et communiquée par M. Puton, à qui cette espèce, nouvelle pour la faune française, a fourni le sujet d’une note intéressante. Obs. LU. consentaneus, de Ziégler, ne diffère pas, spécifiquement, de 'U, ater. Les échantillons authentiques de l’une et l’autre forme, que m'ont adressés MM. Rossmässler et Parreyss, ne me laissent aucun doute à cet égard. (*) Unio crassus Retz. Nov. test. gen., p. 17, n° 2, 1788), (ex emend. cl. Rossmässler). Coq. moyenne, ovale-oblongue, assez ventrue, épaisse; bord postérieur un peu aigu; bord supérieur plus arqué que le bord inférieur; sommets déprimés, lisses, écartés; épiderme brun-verdâtre ou marron; cortex blanchâtre; nacre d'un blanc-rosâtre, tachetée ; dents cardinales, allongées, comprimées, étroites, crénelées; dents latérales lamelliformes. Long. 70, haut. 35, diam. 25 mill. Hab. la Vaige, petite rivière de la Mayenne, près Chéméré. Découverte par M. Bourguignat. —— BH — ROME AE CITE IV. APPENDICE. LISTE DES ESPÈCES MARINES , SOUS-MARINES, EXOTIQUES , NOMINALES OU INCONNUES , CITÉES PAR DIFFÉRENTS AUTEURS COMME FAISANT PARTIE DE LA PRÉSENTE FAUNE ET OMISES À DESSEIN DANS L'ÉNUMÉRATION CI-DESSUS. D — Ancylus Hermanni Fér. Dict. hist. natur. I, p. 346, n° 8. L'Alsace. — Inconnue. Ancylus stagnalis Fér. Dict. hist. natur. I, p. 346, n° 7. Nice. — In- connue. Ancylus spina-rosæ Drap. Hist. moll., p. 16, n° 3; pl. 13, fig. 11-13.— Crustacé du genre Cypris. Bulimus anatinus Poir. Coq. fluv., p. 47, n° 15 (Cyclostoma anatinum Drap.— Paludina muriatica Lam.).— Marine, ou des eaux saumâtres. M. Faujas de Saint-Fonds, de qui Poiret tenait cette coquille, l'avait trouvée, ainsi que le Cyclostoma acutum Drap., dans l'estomac d’un canard marin (Fér.). M. Terver ne partage pas cette opinion; il m’assure qu’on trouve ce mollusque en Vendée fort avant dans les terres. Bulimus antediluvianus Poir. Coq. fluv., p. 37, n° 5.— C'est la Melanopsis præmorsa Linn. fossile. Bulimus glaber Poir. Coq. fluv., p. 50, n° 18. — Forme fortuite. Bulimus subcylindricus Poir. Coq. fluv., p. 45, n° 13. — Jeune âge de... Carychium minutissimum Fér. Ess. méth. conch., p. 124.— Inconnue. Carichium personatum Mich. Compl. p. 73, n° 2; pl. 2, fig. 42-43, — Sous-marine. Clausilia Braumii (Charp.). Put. moll. Vosg., p. 44, n° 9. L'Alsace. —Indi- cation douteuse. s Clausilia corrugata Drap. Hist. moll., p. 70, n° 4; pl. 4, fig. 11-12. (Buli- mus corrugatus Brug.). — Exotique. Clausilia Dozolis Duv. Jouv. Coq. du Var., n° , (mon. Mortillet). — In- connue, 184 H. Dnouer. — Émumération des Mollusques terrestres Clausilia foliacea (Faure-Big.). Fér. Tabl, syst., p. 68, n° 534. —In- connue. Cyclas pusilla (Schrüt.). Fér. Essai méth., p. 128.— Inconnue. Cyclostoma acutumn (Drap.). Hist. moll., p. 40, n° 15; pl. 1, fig. 23. — Marine, ou des eaux saumâtres. ! Cyclostoma truncatulum Drap. Tabl, moll., p: 115 (Truncatella truncata Dup.). — Marine, ou des eaux saumâtres. Helix brevipes Drap. Hist. moll., p. 119, n° 58; pl. 8, fig. 28-29. — Hab. la Suisse et l'Italie. Helix cincta (Müll.). Mich. Compl., p. 17, n° 22; pl. 1, fig. 2. — Hab. l'Italie. Je ne puis considérer cette espèce comme française, malgré l’in- dication fournie par Michaud, indication qui ne s'est pas confirmée. La planche du Complément représente un individu provenant de Rome. Dupuy, qui n’a fait que suivre Michaud, figure une variété milanaise (Terver in litt.). Helix diaphana Villa, Disp. syst., p.19. La France méridionale. — In- connue. : Helix fasciola Drap. Tabl. moll., p. 87, n° 32 (H. striatula Müll.?). — Inconnue. Helix lucorum (Müll.). Fér. Ess. méth., p. 128, n° 24. — Sans doute une variation de l'H. pomatia Linn. ? Ou peut être l'H. sylvatica Drap. ?..…. Helix Nicigaudensis Duv. Jouv. Coq. du Var; p. , n° , (mon. Mor- tillet). — Inconnue. Helix nitens (Mat. et Rack.). Fér. Tabl. syst., p. 41, n° 216. Les Pyrénées. Peut-être bien Z'A, cellaria Müll. ? Helix polita (Müll.). Drap. Tabl. moll., p. 91, n° 38.— Inconnue. Helx radiata Müll. Verm. Hist. IL, p. 23, n° 224. La France méridio- nale. — Inconnue. Helix rufa Drap. Hist. moll., p. 118, n° 57; pl. 8, fig. 26-27. — Hab. Ueberlingen, en Souabe, Helix splendidula Gmel. Syst. nat., p. 3655, n° 201. — Inconnue. Helis striatula Müll Verm. Mist. IL, p. 24, n° 225, (ÆL. strigosula Gmel.). — Inconnue. L. Pfeiffer demande si ce ne serait pas l'A. costulata Ziégl.?.… Limnæœa Geofrasti Fér. Ess. méth., p. 124, no 127. — Inconnue. Limnæa naticoïdea (Schrüt.). Fér. Ess. méth., p. 124, n° 129. — JIn- connue. Limnæa rivalis Fér. Ess. méth., p. 124, n° 123. — Inconnue. Melanopsis præmorsa Dup. Hist. moll. V, p. 580 (PBuccinum præ- morsum Linn. — Melanopsis buccinoidea Fér. — M. lœvigata Lam.). — M. l'abbé Dupuy, d’après M. Recluz, cite cette espèce comme pouvant se ren- contrer près du cap d'Agde. Je considère cette indication comme plus que douteuse, el fluviatiles vivants de la France continentale. 185 Physa turrita Fér. (Bulla) Ess. méth., p. 134, n° 75. Arbois. — Peut- être la Physa hypnorum ?...…. Plonarbis lacustris Fér. Ess. méth., p. 134, n° 73. Arbois. — Incon- nue. Il y à aussi un Plan. lacustris (Helix) dans Razoumowsky, Hist. natur. du Jorat, tom. 1%, p. 273, no 23, (1789). Je ne sais si c’est le même. Planorbis lutescens Lam. Anim., s. vert. VI, p. 153. — Inconnu. Pupa anglica (Fér.) Dup. Hist. moll. IV, p. 414, n° 29; pl. 20, fig. 7!, — Hab. l'Angleterre, le Portugal et l'Algérie. Pupa obtusa Drap. Hist. moll., p. 63, n° 10; pl. 3, fig. 44 ( Pupa germanica Lam.). — Hab. les hautes montagnes de l'Allemagne : Lintz (Fér.). Tellina minima (Stud.). Fér. Ess. méth., p. 134, n° 94. Arbois, — Probablement un Pisidium ? Valvata cristatella (Faure-Big.). Fér. Ess. méth., p. 128, no 170, — Inconnue. Valvata globulina Fér. Ess. méth., p. 128, n° 165. Arbois, — In- connue. Valvata media Fér. Ess, méth., p. 128, n° 167. Arbois. — Inconnue. Valvata persimilis Fér. Ess. méth., p. 128, n° 166. Arbois. — Inconnue, Vertigo quinquedentata (dextra) Fér. Ess. méth., p. 134, n° 53. Arbois. — Peut-être une variété du Vert. antivertigo? ou du V. pygmæa? Vertigo quadridentata (dextra) Fér. Ess. méth., p. 134, n° 52. Arbois, — Espèce douteuse. Vertigo sexdentata (dextra) Kér. Ess. méth., p. 124, n° 111. — Inconnue. Vertigo sexdentata (sinistrorsa) Fér. Ess. méth., p. 124, n° 112. Arbois. — Inconnue. Peut-être variété du V. pusilla? Vertigo similis (quadridentata) Fér. Tabl. syst., p. 64, n° 4.— Sans doute le même que le V. quadridentata ci-dessus cité. Inconnu. V. — Mémoire sur une nouvelle espèce de Bevosroma (B. alge- riense) et réflexions sur ce genre d'Hémiplères aquatiques ; PAR M. Léon DUFOUR , CORRESPONDANT DES ACADÉMIES DES SCIENCES DE Paris, STockuorx, Maori, Life, Lire, TouLOUSE, ETC. Un insecte nouveau de nos possessions africaines, de quatre cen- timètres et demi de longueur , est une acquisition de quelque valeur tant pour la faune de l'Algérie que pour la science. Donnons d’a- bord son signalement spécifique ; nous nous livrerons ensuite à son étude comparative avec les autres Bélostomes exotiques et avec quelques genres européens qui l’avoisinent dans le cadre entomo- logique. BELOSTOMA ALGERIENSE. PI. I. In vivo supra fusco-olivaceum cum villis sordide lutescentibus in capite prothorace et scutello, subtus cum pedibus livido-lutescens ; tarsis anticis inœæqui biungulatis; ventris vita laterali lata griseo- holosericea stigmata vera obtegente. Long. 4 ‘/, centim. Hab. in aquis substagnantibus Algeriæ prope Bone. C’est aux bords de la Seybouse, près du village colonial de Mon- dovi, dans le cercle de Bone, que mon fils, Gustave Dufour, mé- decin militaire, découvrit un seul individu de ce gigantesque Naucoride qu’il n’apporta en 1852. Depuis lors j'ai éveillé l'attention et provoqué les recherches de mon ami et collègue de la Société entomologique M. Leprieur, phar- macien à l'hôpital militaire de Bone, entomologiste aussi instruit que zélé et obligeant. J1 ne tarda pas à pêcher dans les flaques de la Seybouse un autre individu de ce rare Bélostome qu'il conserva assez longtemps vivant dans un bocal plein d’eau. Cette heureuse conquête me fournit l'occasion de lui soumettre une série de ques- tions dans l'intérêt de la science et de mon instruction. F'acquitterai L. Durour. — Hémorre sur une nouvelle espèce de Belostoma. 187 une partie de ma reconnaissance en exposant bientôt les résultats de ma consuliation. Le signalement de notre espèce algérienne renverse de fond en comble les généralités du genre Belostoma consignées dans les ou- vrages publiés. Au train dont marchent les impatients généromanes du jour ils n'auraient pas manqué de proclamer bien haut par un nom ronflant et plus ou moins dissonant la création d’un nouveau genre. Nous sommes moins empressés, La science marche, il faut accepter sans hésitation, sans murmure, les exigences, les révolu- tions de ses progrès; mais qui sait si demain un nouveau Bélos- tome ne viendra point encore modifier notre signalement de l'al- geriense / Celui-ci a la forme générale du corps, la constitution squelétique et presque la couleur des Bélostomes étrangers que j'ai eus à ma disposition. Afin d'abréger mon texte, je comprendrai ces derniers sous le seul type indicum de Lepelletier S'.-Fargeau. Par lanalyse anatomique des détails je vais mettre successive- ment en relief des traits caractéristiques inaperçus ou mal appréciés jusqu’à ce jour. Le sacrifice de mon exemplaire unique de l'alge- riense ne m'a point coûté. La tête des Bélostomes a la physionomie et la largeur qui s’ob- servent dans les Naucoris européens. Celle de l’algeriense, quoique formée sur le plan de la tête de l’indicum, est néanmoins plus large en arrière et plus déprimée, en sorte que lorsqu'on la dé- colle elle a une configuration triangulaire fort remarquable ( voir la fig. 6). Cela tient à ce que ses yeux s'atténuent et se prolongent en arrière en divergeant. La rétieulation de sa cornée vitrée est superficielle, mais bien constatable à contre jour. Cette cornée ne se continue point en dessous de la tête; elle est toute supérieure, en sorte que l’animal ne peut pas voir en bas ou au dessous de lui. Au bord interne de la cornée existe un petit avancement triangu- laire projeté sur le front et non réticulé que je ne trouve pas dans l'indicum. Le scalpel va nous révéler dans les yeux des Bélostomes un fait anatomique des plus curieux, des plus nouveaux, commun aux espèces de l'Algérie et de l'Inde. Comme il est plus prononcé dans l'éndicum nous allons l’étudier d’abord dans ce type. Si vous enlevez, en la rompant par éclats, la cornée réticulée de l'œil de l'indicum , quelle est votre surprise en apercevant dans la cavité de celui-ci un corps globuleux assez gros, corné, résistant, 188 L. Duroun.— Mémoire sur une nouvelle espèce de Belostoma. blanchâtre, sessile sur le plancher orbitaire inférieur, terminé par un petit bouton arrondi que précède un col court. Brisez ce globe intra-oculaire et vous marchez de prodige en prodige en constatant que c’est une capsule logeant une importante partie de l'antenne de l’insecte. Vit-on jamais un fait aussi insolite, aussi merveilleux? Quoi! une antenne, organe qui cumule tant de fonctions, abritée dans ses parties les plus délicates non pas sous l'œil, comme on en voit tant, mais dans l'œil même sans gêner en rien la vision! c’est le cas de dire avec Galien lorsqu'il vit pour la première fois l’ute- rus : je remercie les Dieux de m'avoir rendu témoin d’une si belle chose... Comment en face de semblables faits ne pas se passionner pour l'étude bien comprise de notre aimable science ! Ces antennes sont , ainsi que dans tout le groupe des Naucorides, composées de quatre articles fondamentaux ; mais ceux-ci se pré- sentent dans les Bélostomes sous un aspect différent suivant le côté sous lequel on les envisage. Éminemment rétractiles, elles sont reçues, au repos, dans une excavation allongée, à fin rebord marginal, creusée à la face inférieure du crâne. Leurs quatre arti- cles affleurent le niveau du tégument et apparaissent alors parfai- tement simples. Si par une macération préalable dans l'alcool, (je parle toujours de l’indicum desséché), vous leur avez fait reprendre quelque souplesse, si par beaucoup de patience vous parvenez à les dégager du réceptacle intra-oeulaire pour les redresser, c’est comme un coup de théatre qui vient vous étonner par l'évolu- tion sous vos yeux de prolongements ou de rameaux à ces mêmes articles. Cette structure antennaire justifie très-bien l’expression de sémi- pectinées donnée par les auteurs. On dirait l'antenne du mäle de l'Eulophe de Geoffroi décrite et figurée avant lui par De Géer (I. p. 589, pl. 55). Nous verrons bientôt que cette configuration varie suivant les espèces. Je ne comprends pas comment MM. Amyot et Audinet-Serville, dans les Hémiptères de Roret ont avancé que Latreïlle, le fondateur du genre Belostoma, ne donnait à ces antennes que quatre articles filiformes. Ils ont eu le tort grave de morceler la diagnose de Latreille , car après le premier membre de la phrase, celui-ci dit, dans son immortel Genera, en parlant de ces articles : secundo et sequentibus in ramum elongatum linearem externe produetis. Quoi de plus explicite! Burmeiïster ne donne à ces mêmes antennes qu'un rameau ou un crochet au 2° et au 4° article, Je pense qu'il à cu L. Durour. — Mémoire sur une nouvelle espèce de Belostoma. 189 sous les yeux une antenne mutilée. L'épithète de linearem , par laquelle Latreille désigne ces rameaux me porte à croire que l’es- pèce étudiée par lui est peut-être différente de celle de Burmeister et de mon éndicum qui a effectivement deux de ces rameaux cour- bés en hamecon ainsi que le fait voir la figure accompagnant mon texte. Le premier rameau de mon indicum naît du 2° article anten- naire; il est allongé et régulièrement arqué. Le second, qui est un prolongement du 5° article, est fléchi en hamecon et un peu bul- beux après son origine. Le 5°, pareillement courbé en hamecon, nait du 4° article, De plus, il y a près de la pointe de ce dernier un prolongement rudimentaire. Ce qui me fait supposer que ces hameçons ne sont point accidentels et le résultat d’une déforma- tion par vétusté, c’est que le premier de ces rameaux, quoique soumis aux mêmes conditions , n’a point cette courbure en ha- meçon. Soumettons maintenant à une analyse comparative ces antennes dans l’algeriense. Situées comme celles de l’indicum dans une fos- sette du dessous de la tête elles se réfugient aussi par leurs rameaux dans une capsule intra-oculaire. Mais celle-ci, loin d’être globuleuse, est une sorte de pyramide triangulaire comprimée à sommet pareil- lement terminé par un petit bouton arrondi. Admirez avec moi ces curieuses différences spécifiques que la patience vient déni- cher jusque dans les parties les plus profondes du squelette der- mique! Les antennes de lalgeriense n’ont positivement que deux ra- meaux. Ceux-ci simples et régulièrement arqués partent l’un du 2°, l’autre du 5° article. Non-seulement j'ai moi-même constaté cette configuration dans mon unique exemplaire desséché depuis deux ans, mais M. Leprieur qui a étudié cet organe sur l'insecte vivant l’a, sur ma demande, représenté dans une figure que je suis heureux de produire comme pièce authentique. Cet habile entomo- logue y a observé un fin duvet qu’une bonne loupe m'a permis de constater aussi après une préparation à l'alcool. Ce velouté imper- méable se retrouve dans une multitude d’insectes aquatiques. Je ne doute pas qu'il existe aussi dans l’indicum. Le rostre des Bélostomes est court vu la taille de ces animaux , mais il est robuste. IL rappelle celui des Reduvius. Il se tient habituellement courbé sous la tête et ne dépasse pas, dans le repos, l'origine de la premiére paire de pattes. Il est logé à sa 190 L. Duroun.— Mémoire sur une nouvelle espèce de Belostoma, naissance dans une profonde échancrure du prolongement du front. Les auteurs sont peu d'accord sur la composition de ce bee. Latreille lui donne deux articles seulement; MM. Amyot et Serville en signalent trois, les autres auteurs se taisent sur ce point. Je compte très-positivement à sa face supérieure quatre articles. Le 1% est fort court, mais distinct, et il a en-dessous un bien plus grand développement ; le 2*°, le plus long de tous, est eylindroïde ; le 5° est court, en forme de rotule, comme enchatonné, arrondi à son bord antérieur ; il nese continue pas en-dessous; le 4%°, conoïde et moins long que le second, donne issue à sa pointe au sucoir. Celui-ci bien apparent, bien exserte dans Falgeriense que j'ai sous les yeux, est un filet corné d’une grande finesse, brun, glabre, luisant, évidemment formé de deux lames sétiformes conniventes dont les pointes divergentes sont très-acérées. Le bout du 4"° ar- ticle laisse voir à l'ouverture , qui donne issue au sucoir, deux paires de poils ou de soies. La région dorsale du rostre offre une rai- nure médiane prononcée à tous les artieles ; cette rainure n’existe pas en-dessous. Le prothorax de l’algeriense a la forme trapézoïdale du genre. D'après M. Leprieur , il aurait pendant la vie, cinq raies dorsales longitudinales d’un jaune sale qui s’affaiblit ou s’efface par la des- sication de l'insecte. Son tiers postérieur, distinct par une em- preinte linéaire transversale , offre un pointillé fin, serré , presque confluent. L'écusson de notre espèce algérienne, plus large proportionnelle ment que celui de l’indicum, a, durant la vie, trois raies longitu- dinales plus claires dont la médiane fort étroite. Ses côtés sont lisses, imponctués; le reste a un pointillé analogue à celui de la partie postérieure du prothorax. Une faible carène médiane se con- tinue du milieu de l’écusson à sa pointe. Les Aémélytres ont une teinte brune-olivâtre uniforme. Leur por- tion membraneuse terminale est plus largement arrondie que dans l’indicum. Ses diverses nervures, suffisamment indiquées dans la figure que j'en donne , sont peu différentes de celles de @ der- nier type. Les ailes sont amples, sans atteindre le bout de l'abdomen, blanches avec les nervures roussâtres. Simplement un peu ployées à leur base elles ressemblent pour ce trait et pour leur nervation à celles des Naucoris. L. Durour. — Mémoire sur une nouvelle espèce de Belostoma. 194 L’abdomen se compose tant en dessus qu'en dessous de six seg- ments. Sa région dorsale est revêtue d'un feutre roussâtre bien fourni. Ses côtés ont une lisière moins velue bordée de poils ou eils natatoires. Le dernier de ses segments est profondément bifide et abrite les lames caudales. Je parlerai plus tard et de celles-ci, et de la région ventrale. Les pattes, de moyenne longueur, sont dans l’a/geriense vivant d’un jaune livide qui s’obseurcit après la mort. Dans les deux types tous les tarses ont deux articles, mais beaucoup plus courts aux an- térieurs. Ils sont, ainsi que les tibias, garnis en dessous d’un duvet roussâtre dense, serré, spongieux, imperméable, également propre et à l'acte du toucher, et à celui de la préhension dans des animaux destinés à saisir, à retenir et à sucer une proie vivante. Les ongles qui terminent les tarses antérieurs vont nous fournir un trait diffé- rentiel d’une grande valeur entre l’indicum et l’algeriense. Dans le premier il n'existe qu’un ongle unique, et il est devenu un caractère générique ; dans le second, il y a incontestablement deux ongles dont l’interne est du double plus court que l'externe. C’est là un de ces traits de transition qui prouve encore une fois la marche graduelle des créations en même temps qu'il devient l'indice de l'existence, jusqu'ici inconnue, d’autres types de fu- sion. On sait que dans les Naucoris le tarse des pattes antérieures ou ravisseuses manque totalement ; il est suppléé par un tibia en forme d’ergot arqué faisant les fonctions d’un crochet pré- hensif. Les ongles des autres tarses sont dans nos deux Bélos- tomes doubles, égaux entre eux, assez longs et médiocrement arqués. Les tibias antérieurs de l'algeriense sont sub-cylindriques, plus courts proportionnellement que dans l’indicum. Dans l’un comme dans l’autre de ces types ils se ploient sur une rainure du bord correspondant de la cuisse pour exercer la préhension. Les autres tibias dans l’espèce d'Alger sont plus longs, à peine compri- més et marqués en dehors d’une rainure médiane. Les pattes postérieures de l’indicum sont remarquablement applaties en rames, en sorte que ce type doit être plus essentiellement nageur que l’algeriense. Appareil respiratoire et respiration. La science est demeurée jusqu'à ce jour dans la plus profonde incertitude sur le mode de la fonction respiratoire dans les Bélos- tomes. Maloré leur taille gigantesque personne n’a eu occasion de 192 L. Duroun. — Memoire sur une nouvelle espèce de Belostoma. les étudier vivants ou frais, personne surtout n'a jamais porté le sealpel dans leurs entrailles. Un trait éminemment organique distingue l’algeriense de l’indi- cum ; c'est l'existence dans le premier de ces types de véritables stig- mates dont on ne trouve dans le second aucun vestige. J'aurai donc à examiner dans ce chapitre d'abord les stigmates de l’algeriense, puis les lames caudales des deux types, enfin les attributions physiologiques de ces organes. ArTicce I. Stigmates de l’algeriense. La face ventrale de l'abdomen composée , comme je l'ai dejà in- sinué, de six segments a sur chacun de ses côtés un ruban longi- tudinal de trois lignes de largeur formé d’un duvet couché, gris perlé, satiné, abondant, imperméable , abritant les stigmates. Ce ruban, séparé du reste des segments par une rainure linéaire, n'est point constitué par des poils ordinaires, mais bien par de longues et fines paillettes sub-écailleuses, étroitement couchées les unes sur les autres. Vues au microscope , ces paillettes sont, les unes sim- ples et uniformes, les autres, en plus grand nombre, dilatées vers leur milieu en ayiron attenué aux deux bouts. Cette configuration fait rationnellement présumer une fonction natatoire. Sans déranger la disposition naturelle des paillettes de ce ruban une loupe pratique saisit vers le milieu du bord interne de chaque segment , le premier excepté, la trace d’un stigmate sousjacent in- diquée par un trait oblong, obscur. Il s’agit de racler soigneusement avec la fine pointe d’un scalpel ces paillettes et de mettre à nu le tégument pour produire au grand jour les stigmates. Ces bouches respiratoires, au nombre de cinq de chaque côté, apparaissent alors sous ‘la forme de boutons ova- laires un peu saillants et nettement circonscrits. C’est là une con- figuration que l’on rencontre dans beaucoup d'insectes. Mais ce qui est dans notre Bélostome algérien une exception, c'est que ces stigmates , au lieu d’avoir, comme c’est l'ordinaire, leur ouverture ou leur grand diamètre perpendiculaire à l'axe fictif du corps ont cette ouverture parallèle à ce même axe. Je ne crois pas avoir ren- contré une semblable disposition dans les milliers d'insectes soumis à mes études anatomiques. Examinons maintenant la structure particulière de ces stigmates. L. Durour. — Mémoire sur une nouvelle espèce de Belostoma. 195 Rappelons que je ne les ai étudiés que dans Fétat de mort et de dessication. Ils étaient alors béans ou entre ouverts. Un fin cerceau corné brunâtre en limite la circonscription extérieure. Un autre cerceau de même nature, de mème couleur, mais discoïdal, forme les deux lèvres d’une scissure étroite. Entre ces deux cerceaux est une membrane d’un blanc sale, souple, brièvement velue ou ve- loutée. Il ne faut pas confondre cette villosité spéciale avec les pail- lettes du ruban satiné. Lorsque la scissure inter-labiale a été con- venablement préparée, en raclant avec ménagement sa face interne ou splanchnique, le microscope y décèle une membrane blanche, glabre, fine, pellucide, un diaphragme avec une fente médiane linéaire des plus subtiles. Ce stigmate présente quelque analogie de figure et de composition avec celui du Geotrupes nasicormis représenté dans le remarquable mémoire de Curtius Sprengel sur les organes respiratoires des in- sectes (tab. 5, fig. 32-55); mais il en diffère et par le velouté de la membrane située entre les deux cerceaux cornés , velouté qui trouve sa raison d’être dans l'existence aquatique du Bélostome, et par l’ab- sence de cils à la scissure inter-labiale. Qu'on n'imagine point que les stigmates de notre Bélostome algé- rien soient des stigmates postiches ou des pseudotrèmes analogues à ceux que j'ai décrits, il y a fort longtemps, dans les Nepa , Hémip- tères aquatiques, voisins des Belostoma (Anat. d. Hémipt., p. 345, pl. 18, 1855), et à ceux que tout récemment (1854) j'ai signalé dans un beau groupe d'Hyménoptères, les Sirex. A l’époque de la publi- cation de mon anatomie des Hémiptères j'avais pressenti que les progrès de la science pourraient plus tard fournir une de ces appréciables transitions d’un organe vestigiaire infonctionnel à un organe jouissant de toutes ses prérogatives physiologiques. Le fait actuel qui place l'ageriense entre les Nèpes qui ont des stigmates postiches et l’indicum qui est dépourvu de toute sorte de stigmates à l'extérieur de l'abdomen, justifie mes prévisions. Toute espèce de doute sur les fonctions respiratoires des stig- mates de l'algeriense est levée et par l'étude scrupuleuse de leur structure intime comparée à celle de ces mêmes organes dans les insectes en général, et par la constatation, à la face interne ou splanchnique de ces orifices respiratoires, de la souche multiple des canaux trachéens fixés à leur pourtour. L'existence de cinq paires de véritables stigmates abdominaux dans l’a/geriense est donc un fait irréfragablement établi. 25 194 L. Duroun. — Mémoire sur une nouvelle espèce de Belostoma. Mais ici se présente une double question dont la solution n’est pas peu embarrassante. Notre Bélostome respire-t-il et par les stig- mates abdominaux et par ses lames caudales rétractiles, lames for- mant un trait générique partagé par l’êndicum où il est présumable qu'elles font l'office d’un siphon respiratoire analogue à celui des Nepa ? J'avais signalé à la sagacité de mon ami, M. Leprieur, lorsqu'il conservait ce Bélostome vivant dans un bocal, et l'existence des stigmates sous le ruban satiné du ventre et celle des lames caudales, Il me répondit avoir constaté : 1° que cet animal se tenait souvent horizontalement à la surface du liquide de manière à émerger la région dorsale du corps; 2° que d’autres fois il avait la tête en bas, son derrière s’approchant dela surface de l’eau, et qu’alors les deux James caudales s’écartaient, se redressaient même en s’inclinant un peu en avant. M. Leprieur croyait que ces lames servaient à un acte respiratoire, à humer l'air atmosphérique. Sous cette impression je dus croire, après l'étude anatomique des stigmates, à un double appareil respiratoire dans notre belle Naucoride d'Alger. La nature , même dans ce qu'on pourrait appe- ler un luxe d'organisation, n’a rien créé qui n'ait un but d'uti- lité physiologique. A défaut d'observations directes , quant aux actes de l'organisme, il faut tâcher d'y suppléer par l'analyse ra- tionnelle des conditions anatomiques. Or, voici comment, d’après la communication de M. Leprieur, je m'expliquais la coexistence de ces deux appareils respiratoires. Puisque notre Bélostome a des ailes bien développées , soigneu- sement abritées sous des hémélytres vernissées, imperméables, il doit s’en servir pour voler à la facon de beaucoup d'insectes aqua- tiques. Sans nul doute, ce grand Hydrocorise est exposé à quitter le sein des eaux, soit à cause du dessèchement des mares qu'il affec- tionne, soit volontairement , pendant la nuit je pense , pour vaquer aux soins de sa subsistance, à son amour, à son industrie, que savons- nous! Dans ces cas, les stigmates ventraux doivent fonctionner activement, tandis qu'ils demeurent peut-être passifs pendant le domicile aquatique. Ici je ne saurais pourtant m'empêcher d’accor- der quelque valeur à cette attitude où le dos de l'insecte vient s'émerger à la surface de l'eau. Des mouvements d’inclinaison du corps, difficiles sans doute à être saisis et appréciés, ne pourraient- ils pas servir à l'inhalation de l'air par les stigmates? Toutefois la position de ceux-ci au côté interne du large ruban satiné serait L. Durour. — Mémoire sur une nouvelle espèce de Belostoma. 195 une condition peu favorable à cette inhalation. Et l’indicum , qui est aussi pourvu d'ailes propres à l'exercice de la locomotion aérienne, comment lui, privé de stigmates abdominaux, peut-il respirer hors de l’eau par le seul siphon caudal? Nous allons voir bientôt combien les apparences sont parfois trompeuses et ce qu'il faut penser des lames caudales. Anricce IL. Des lames caudales. $ I. Lames caudales de l'algeriense. Cest ici que je déplore amèrement que mon scalpel n'ait pas pu s'exercer sur cet animal vivant ou frais. Il faut donc se con- damner à exposer ces appendices du squelette dermique dans Je seul individu que je possède mort et sec depuis deux ans. Au premier coup-d'œil, et préoccupé que j'étais de l'idée d’un siphon respiratoire, je m'étais persuadé que ces lames étaient les deux valves disjointes d’un tube résultant de leur union ou coap- tation. L'observation précitée de M. Leprieur semblait accréditer mon opinion. Mais lorsque la dissection m'’a permis de mettre à nu ces deux lames , depuis leur racine jusqu’à leur pointe, j'ai été bien cruellement frustré dans mes espérances. Ces lames, de six lignes de longueur, sont, au moins dans le cadavre desséché, à moitié cachées sous le dernier segment bifide de l'abdomen et à moitié exsertes ou à découvert. La portion exserte, au lieu de valves canaliculées ne m'a offert que deux lames plates, parallèles, rapprochées, sans être précisé- ment contiguës, revêtues en-dessus d’un duvet grisàtre, court, couché, imperméable. Pour peu que la loupe soit scrupuleuse elle constate, au bout libre qui est obtus, un fort petit espace glabre comme calleux. On voit au bord externe inférieur de longs poils fauves couchés qui parfois débordent. Les lames de la portion cachée sous le dernier segment dorsal bifide de l'abdomen , deviennent divergentes par l'interposition d’un corps pyramidal assez grand dont je parlerai tout-à-l'heure. Elles sont revêlues tant en dessus qu’en dessous d’une longue villosité fauve mordoré dont les poils sont dirigés en arrière. En approchant de la base externe du corps pyramidal elles s’atténuent et forment, par leurs bords relevés en bourrelet glabre, une goutière qui semble se continuer un peu entre les poils du plat de la lame. 196 L. Durour. — Mémoire sur une nouvelle espèce de Belostoma. Une patience dès longtemps éprouvée, l'espoir, je dirai même le désir de voir aboutir cette goutière à un stigmate ont été complè- tement décus. J'ai, au contraire, constaté que ces lames à l'endroit où naturellement je leur supposais une insertion articulaire se fondaient, par continuité de substance, avec la base du corps pyramidal. Cette découverte fut pour moi une désillusion d'autant plus vivement sentie que je m'attendais à trouver là, comme à la base du siphon caudal de la Nepa, une paire de stigmates. Pour comble de ma contrariété, les lambeaux membraneux qui suivirent l'évulsion du corps pyramidal ne découvrirent à l'exigence de mes verres amplifiants aucune trace de texture trachéenne, Si, dans l'absence de toute observation directe sur le Bélostome vivant, si, malgré l'assertion de M. Leprieur sur les mouvements d'émersion de ces appendices caudaux , j'étais appelé à me pronon- cer sur les fonctions de ces lames, ma foi anatomique me porterait à déclarer qu'elles ne sont pas des instruments de respiration. Je fais acte de prudence en ajournant cette conclusion définitive jusqu'à mieux informé. Je la lègue au scalpel plus heureux de mes col- lègues. Le corps pyramidal intermédiaire qui sépare à leur base les deux lames caudales m’a semblé logé, enchatonné dans la concavité du dernier segment ventral de l’abdomen , et, quand on l’arrache avec précaution , il entraine avec lui ces lames. Il a à peine le quart de la longueur de celles-ci. Étudié par sa région dorsale il est d'une texture coriacco-parcheminée, blanchätre, glabre dans ses deux tiers antérieurs. En arrière il se termine par une sorte de lobe ova- laire légèrement échancré sur les côtés de son origine et hérissé de poils roussâtres assez raides, ce qui, à mes yeux, indique que dans certains actes, indéfinissables pour moi, de la vie de l'animal, il peut, malgré sa situation profonde, faire saillie hors du corps. A la base de sa face inférieure il y a sur un mème plan un en- semble de trois pièces pressées entre elles de texture tégumentaire , brunäâtres et hérissées de poils. Les latérales sont allongées et en- chassent l'intermédiaire qui, un peu plus courte, est ovale sub-tri- angulaire. Certainement ces pièces sont étrangères à l'acte respiratoire. Je serais bien trompé si elles ne dépendaient pas d'un appareil génital copulateur. Je crois qu’elles appartiennent au sexe féminin. L. Durour. — Mémoire sur une nouvelle espèce de Belostoma. 197 S II. Un mot sur l'appareil respiratoire de l'indicum. Ce mot sera bien peu de chose, vu que je n’ai eu à examiner que deux vieux individus ayant peut-être un demi-siècle de séjour dans les collections et que j'ai tenus en macération alcoolique durant vingt-quatre heures. La composition segmentaire de l'abdomen est identique à celle de lalgeriense, mais le dernier segment ventral d’un de mes types indiens, au lieu d'être entier comme dans l’algérien est profondé- ment bifide et d'une figure différente. Ce sera encore là pour l’ave- nir un trait spécifique d’une exploration facile. On retrouve ici le ruban satiné ventral avee ses paillettes en avi- ron; mais ce ruban est bien moins large et moins fourni. Quant aux stigmates , je le répète, on n’en trouve pas la moindre trace. Ce fait négatif avait déjà été exprimé par Burmeister, mais il ac- quiert de la valeur par l'existence de ces stigmates dans l’algeriense. Les lames caudales de l’indicum ont une complication de struc- ture intérieure qui me fait supposer des fonctions bien différentes de celles de l’algeriense, et qui se rattachent évidemment à l'acte respiratoire. Je n’ose pas en entreprendre la description , parce que je ne doute pas que certaines pièces ne soient dépendantes de l'ap- pareil de la génération. EXPLICATION DES FIGURES. 1. Belostoma algeriense de grandeur naturelle. 2. Paroi ventrale de l'abdomen. a. a. ruban satiné marginal avec les cinq paires de stigmates abdominaux. 3. Une des paillettes en aviron du ruban satiné isolée et fort grossie. 4. Un stigmate isolé et très-grossi. Le cerceau extérieur et le cerceau dis- coïdal séparés l’un de l’autre par une membrane veloulée. La membrane inter-labiale glabre, avec son ouverture médiane. 5. Paroi dorsale de l'abdomen grossie, avec ses segments feutrés dont le dernier bifide; avec son bord à franges natatoires, avec ses lames cau- dales dans leur portion exserte. 6. Tête du même insecte grossie et vue par sa face inférieure pour faire voir sa forme triangulaire. a. Rostre dans une position un peu forcée pour être vu par sa face dorsale. b. Une antenne sorlie de sa capsule intra-oculaire et étalée. 198 L. Durour. — Mémoire sur une nouvelle espèce de Belostoma. c. Cette même antenne couchée dans son excavation tégumentaire et pa— raissant de quatre articles simples. 1. Une antenne détachée fort grossie, velue , dessinée sur l'animal vivant par M. Leprieur. 8. Capsule intra-oculaire isolée et grossie de l'algeriense. 9. Lames caudales grossies et isolées de l’algeriense, avec le corps pyra- midal intermédiaire. 10. La série des trois pièces contiguës, insérées à la base inférieure du corps pyramidal et grossies. A1. OEil très-grossi et isolé du Belostoma indicum. Sa cornée vitrée ou réti— culaire brisée pour mettre en évidence la capsule intra-oculaire globu- leuse où se loge l'antenne. 12. Portion de la tête de ce même indicum vue par sa face inférieure et grossie pour faire voir et son rostre et l'excavation tégumentaire où est couchée l'antenne. 43. Une antenne isolée grossie ec étalée de cet indicum pour faire connaitre sa composition, PL I Hénisunle Beturtone alyeréenee Zi Duf del V. — Quelques questions de Géométrie et d'Analyse algébrique. PAR Ce travail renferme deux problèmes et quatre théorèmes de Géométrie et trois notes d'analyse algébrique. Quant au premier de ces problèmes (Fig. 1, PI. 1), sans difli- culté du reste, il n’est, à ma connaissance, aucun auteur qui l'ait bien résolu. Voici en quoi consiste la solution connue : Construire un angle double de l’angle donné: sur l’un des côtés de cet angle , à partir du sommet, porter la différence connue; de l'extrémité de cette ligne, avec le côlé donné pour rayon , dé- crire un arc de cercle qui délermine, par sa rencontre avec l’autre côté de l’angle ainsi construit, une longueur , dont l’axe donne le troisième sommet du triangle demandé , par son in- tersection avec le prolongement de la différence. L'erreur commise, consiste à dire que, l'angle à construire est double de l'angle donné. Le deuxième problème offre un exemple remarquable du grand nombre de solutions dont une simple question de géométrie est quelquefois susceptible; la solution complète, qui en est présen- tée, montre combien il est indispensable de considérer dans une question toutes les solutions , dans leurs diverses positions possibles, des problèmes dont elle pourrait dépendre. Ce problème est intéressant au point de vue de son importance graphique en géométrie descriptive. Les propriétés, dont les théorèmes qui suivent , donnent l'énon- cé, sont assez belles pour que leur démonstration , qui en est don- née pour la première fois, présente de l'intérèt. 200 A. Paque. — Quelques questions de Géométrie PROBLÈME I. Elan donnés un côté d’un triangle, l’angle opposé et la différence des deux autres côtés , construire le triangle. Analyse. Supposons le problème résolu et suit AB C (fig. 1, PI.?) le triangle demandé, dans lequel AB et l'angle C sont donnés, ainsi que la différence AD—AC— BC des autres côtés. Tirons BD ; le triangle BCD étant isocèle , TN CBD — CDB on a évidemment A ADB + CDB —2 AN A ADB — C+CBD. Additionnant membre à membre ces égalités il vient : A à 2ADB = 2° + C. D'où VAN UE ADB —1° +- 5 Le triangle ABD pourra donc être construit puisque l’on en con- nait deux côtés À B et AD, ainsique l'angle ADB opposé à l'un d'eux. Toutefois, .il est extrêmement important de remarquer que l'angle à la base d'un triangle isocèle ne pouvant être qu'aigu , l'angle ADB est obtus ; or l'on sait qu'alors il n’y a qu’un seul triangle qui satisfasse aux données de ABD. Le problème proposé n'est donc susceptible que d'une solution. Construction. Prendre sur une droite indéfinie AD égale à la différence donnée; tirer DF de telle sorte que NE ADF=— . 2 Au point D élever BD perpendiculaire à DEF ; du point À comme centre avec un rayon égal à la base donnée, décrire une cireonfé- rence qui coupe BD en B ; déterminer la rencontre C de la droite et d’Analyse algébrique. 201 AD avec l’axe de BD ; on obtient ainsi le dernier sommet du trian- gle demandé. Observation. Nous venons de dire que ce problème n’admet qu’une solution; cela n’est exact qu’au point de vue de la forme du triangle ; eu égard à la position de ce triangle par rapport à AB, il est évident que le point C’ symétrique de C par rapport à AB, donnerait lieu à un triangle égal à ABC , tout aussi bien que les points C, et C’,, symétriques respectifs de G et C’ par rapport à XY, axe de AB. En réalité done, il y a quatre solutions qui ne diffèrent que dar leur position. Cette observation est simple ; elle a, croyons-nous, de l'impor- tance, et elle peut être faite dans un grand nombre de ques- tions. Trop souvent dans les problèmes de géométrie, pour ne pas avoir tenu compte de solutions multiples du genre de celles dont nous avons ici un exemple, on ne traite que d’une manière incom- plète d’autres questions qui en ressortent. Le problème suivant démontre cette vérité. PROBLÈME II. ‘Étant données deux circonférences , trouver sur leur plan un point tel, que les tangentes menées de ce point aux deux circonféren- ces soient égales et fassent entr'elles un angle donné à. Analyse. On concoit qu’en général quatre espèces de solution sont possibles. (Fig. 2, PI. I). Il pourra se faire : 1° Que les deux circonférences soient intérieures à l’angle APB de la solution. 2° Que ces circonférences soient extérieures à cet angle apb. 3° et 4° Que de ces circonférences l’une et l’autre soient inté- rieure ou extérieure à l’angle «, comme pour a; p, b, , À, P, B,. De plus les points symétriques de P, p, P, , p, par rapport à la ligne des centres O0", seront évidemment autant de deuxième so- 26 : 202 A. PAquE. — Quelques questions de Géométrie lution appartenant à chacune de ces espèces ; dans ce qui va suivre, nous ne parlerons plus de ces deuxièmes solutions que l'on pourrait appeler solutions doubles. Supposons le‘problème résolu et occupons-nous dela solution P; l'analyse étant analogue pour les autres P, , p, p,, nous nous dispenserons de la produire en détailet n’en donnerons quele ré- sultat. Menons les diamètres des contacts À et B, leur intersection est Q; et tirons PQ. De l'égalité évidente des triangles rectanglés APQ et BPQ on déduit : À AQ— BQ. Ou, en représentant par R et R les rayons des circonférences données : (on peut toujours supposer que R représente le plus grand rayon) R'+0'Q=R + 0Q. 0'Q— 0Q =R—R'. Le quadrilatère inscriptible ABPQ apprend que Q=—=9 — à. Donc on connaît dans le triangle QOOr un côté O0, l'angle op posé Q et la différence des deux autres côtés ; on pourra donc cons-" truire ce triangle. Le point q étant symétrique de Q par rapport à l'axe de OOr on D'où parviendra encore pour de à Og —0'j—=R —R.. Le triangle OO'q renferme donc les mêmes éléments connus que O0". A Pour A,P,B, en tirant P, Q, on aurait encore AQ=B, Q.. 0Q, — 0Q, =R+R. D'où On a encore Q, = 9° — 4, Donc le triangle O0’ Q, est complètement déterminé. Il en sera de mème quand à a,p,b, puisque : CA m7 O'u 0 qi =R +R. et d'Analyse algébrique. 205 Construction. Construire comme il a été dit dans le problème précédent, les triangles 0Q 0 O0 q 0’ 0 Q, 0’ O qi 0". Mener aux points de rencontre de 0Q, Og, 0Q,, Og,, O'Q, O'a, 0'Q, O'q, ou de leurs prolongements, des tangentes respec- tives aux circonférences O et O’; les points P, p, P,, p, résoudront la question , ainsi que leurs symétriques. par rapport à OO”. Le problème proposé est done en général susceptible de huit so- lutions. — Discussion. Cinq cas peuvent.se présenter. 4° Cas. Les circonférences O et O sont extérieures et O0! 5 R + R'. — C’est celui d'après lequel l’analyse du problème a été fait. Ila donc été suffisamment étudié. 2° Cas. Les circonférences O et O! sont langentes extérieurement , c'est-à-dire que (Fig. 3, PI.1) O0!'=R + R'. Les solutions P et p n’offrent aucune particularité remarquable ; il n’en est pas de même de P, et p, qui ont alors pour côté com- mun la tangente aux circonférences données en leur contact O". La!construction de P, et p, se simplifie beaucoup, puisque l'on n'a qu’à mener par O et O’ des droites Op, et O' P,, qui fassent avec OO des angles égaux à À _r be ou — 2 et à prendre pour points P, et p, les intersections de ces droites avec la tangente en O”. IL est à remarquer que ce qui vient d’être dit est vrai pOur & 2 A5. 5° Cas. Les circonférences O et O' sont sécantes, c’est-à-dire que (Fig. 4, PI, D 00! YX2, ou a > #—OXO. L’angle YXZ est formé par les tangentes menées par X respecti- vement aux circonférences données , dont ce point est une inter- section. Toutes les fois que l’on aura æ € 9 — OXO/ la solution p est impossible. — Quant aux espèces P, et p, , il est clair qu'elles ne peuvent exis- ter , le triangle qui doit les fournir étant impossible à cause de O0" €R +R. 4° Cas. Les circonférences sont tangentes intérieurement, c’est-à- dire que (Fig. 5, PI.1) O0’=R — R.. Pour la construction du triangle fournissant la solution P, on a : Différence des deux côtés inconnus = R—R'. Donc cette différence est égale à OO et le triangle se réduit à la droite OO qui fournit par son prolongement le contact O/ de l’une des tangentes avec la circonférence O’; le point P se détermine en cherchant l'intersection de la droite OP , menée par © de telle ma- (4 2 lution est donc toujours possible quelque soit æ. L'espèce p est toujours impossible. VAN : nière que POU"/ — 1° — — , avec la tangente en O0". — Cette so- Il en est de même de celles P, et p, puisque leur construction dépend de celle d’un triangle dont l'existence est impossible. En effet ce triangle a pour base O0’, et l’on doit avoir 00" > différence des deux autres côtés or la différence des deux autres côtés = R+ R’. 5° Cas. Les circonférences O et O! sont intérieures. Ainsi : 00’ différence des deux autres côtés. et d'Analyse algébrique. 205 Cette différence étant égale à R— R/, il vient : 00/> R—R, relation dont l'existence est défendue par la position des circonfé- rences O et O'. — Il en est de même des solutions P, et p, , puisqu’alors on aurait 00’> R + R!. Enfin considérons le même problème (Fig. 6, PI. 1) quand R—R'. Les quantités R — R’ et R + R/ sont ici respectivement : O et 2R. C'est-à-dire que pour P et p, le triangle dont R—R’ est la diffé- rence des côtés est isocèle, ou que son sommet est situé sur l'axe de O0’. Pour déterminer les contacts de l'angle P avec O et O’, par les centres tirez des rayons faisant avec OO’ des angles égaux à æ . , à ; les extrémités de ces rayons , ainsi que les points diamétrale- ment opposés, résolvent la question. On a ainsi les solutions P et p. Quant à P, , on aura OQO' pour triangle fournissant les contacts A et B. Je dis que P, appartient à l'axe de OO”, c’est-à-dire que OP, =0"P.. C'est ce qui résulte de l'égalité évidente des triangles OAP, et O'BP,. On dirait la mème chose du point p,. Si les circonférences sont tangentes extérieurement, la construc- tion des points P etp ne change pas; les points P, et p, du se- cond cas (Fig. 3, PI. 1) du problème où R > R!, se réunissent, mais leur construction reste la mème que celle qui a été alors indiquée. Si les circonférences sont sécantes, ce qui a été dit du cas cor- respondant lorsque R et R’ étaient inégaux, subsiste encore, Taéorème. Démontrer que si par un point du contour d'un parallé- logramme on fait passer les bases supérieures de deux parallé- logrammes dont les bases inférieures respectives sont les diago- nales , la somme des parallélogrammes ainsi construits , est équivalente au parallélogramme proposé. Soient donnés(Fig. 1, PI, Il) les parallélogrammes ABCD, ACHK, 206 A. Paque. —— Quelques questions de Géométrie BDFG, dont les bases supérieures se coupent en P, point consi- déré du contour de la figure ABCD. Prolongeons AB et FG, AB et HG jusqu’à leurs rencontres res- pectives R et Q; par le point D, menons DS parallèle à H@, et l'on aura les équivalences ACHK — ACPQ BDFG —BDPR BDPR — DPQS. Car ces parallélogrammes ont deux à deux même base et même hauteur. Additionnant ces égalités membre à membre, il viendra ACHK EBDFG=—ACPQ + DPQS. D'ailleurs ACPQ + DPQS=—= ACDS — ABCD. Donc : ACHK + BDFG— ABCD. Tuéorème. Si l’on joint par des droites le sommet de l’angle de deux côtés consécutifs d’un quadrilatère circonscriptible avec les centres des cercles tangents à ces côlés en leurs extrémités non communes et à leurs côlés opposés respectifs, les droites ainsi tinées sont également inclinées sur les côtés de l'angle considéré. Démonstration. Le centre O, (Fig. 2, PI. II) du cercle inscrit dans le quadrilatère proposé appartient à la fois aux bissectrices es angles du quadrilatère, ainsi qu’à celles des angles des côtés op- posés. Soient done OS, et OS’ les bissectrices des angles formés par (AB, CD) et (AD, BC). Il est évident que le point O’ centre de cercle tangent en B au côté AB et à son opposé CD, étant équidistant de ces lignes , ap- partient à la droite OS ; demème, que 0” centre du cercle tangent en D au côté AD et à son opposé BG, est situé sur O$/. Tirons O!'A, OA : il faut prouver que A A O'AD = O'AB,. Cherchons pour cela à établir que les triangles rectangles O!'AD et O'AB ont les côtés respectivement proportionnels. et d'Analyse algébrique. 207 Les points G, H, K et F sont les contacts du cercle inscrit avec les différents côtés du ‘quadrilatère, dont nous posons comme élé- ments donnés AS—'5s AF=Pp BG—9 OG=R. Et comme éléments inconnus DF —9 CH—Y. La circonférence de rayon R est exinscrite au triangle SAD ; la distance de son contact G au sommet S de l'angle aux prolonge- mentsdes côtés duquel-elle est tangente est égale ,-commeon sait , à la moitié du périmètre triangulaire ; done : 2GS=:AS + AD + DS ou 2(p+s)=stp+q+DS, DS=s+p—0. (1) On sait aussi que. 2Preprésentant le-périmètre d'un triangle dont les côtés sont a, b, c, le rayon p du cercle inscrit est donné par la formule d'où : IA Qt — pV/PE— 0) (P—5) (Pc). Appliquant cette formule au triangle SBC, dont les côtés sont : BS =s + p+9 2 BC—0+y d'où BS-BC+CS—2(s+p+3+y), CS =s+p +y il vient : ETES) R° (sp +5) R— ASE EE re 9 ni PSE ER* a En second lieu on a évidemment: Surf, SAD=— surf. SBC — surf. ABCD. (x) Evaluons en particulier chacune de ces surfaces. On a surf. ABCD=surf. AGOF-+ surf. GOHB +surf. HOKC-+surf. KOFD, 208 A. Paque. — Quelques questions de Géométrie ou Surf. ABCD— Rp + R9+Rg+Ry et Surf. ABCD =R (p ++ y+Q). (6) L’aire T d'un triangle en fonction de ses 'côtés a, b, c est don- née par T=\/P 0) (P —1)(P— 0), où _a+b+c, D— TR On aura donc Surf. SAD—V GS (GS — AS) (GS — AD) (GS —DS), et Surf. SAD \/ pq p+s)(s — q). (?) On a aussi Surf. SBC=surf. SGOK +surf. GOHB + surf. KOHCG ou Surf. SBC—R (s+p+9+7y). (e) L'égalité (&) deviendra, à l’aide de celles (8), (7), (e): V pq (p+s) (5—g) = R(s— 9). ue Rs 1 5G+D +R Actuellement nous nous proposons de déterminer DS’ ; à cet ef- fet rappelons que : D'où (5) Toute transversale détermine sur les côtés d'un triangle, six seg- ments tels que le produit de trois segments qui n'ont pas d’extrémi- tés communes, est égal au produit des trois autres. Cette propriété de l’énvolution, appliquée aux triangles S'AB et SBC coupés respectivement par les transversales CS et AS! four- nit : DS'.AS. BC—CS".BS: AD. et d'Analyse algébrique. 209 D'où BS . AD — (CS 4 DE Es . BC ) et AS'.BS’.CD — DS : AB. CS’. D'où AS-CD (BC +CS/) = DS. AB. CS’. D'où encore AS. CD .BC pu 5 D ab Ds -2S-cp: Fi La combinaison de (4) et (5) fournit : ps = BS"AD.CD __(+p+2)p+DUtn (6) AB.DS—AS.CD (p+0)(s+p—q)—s(q+7) Remplaçant dans (6), les quantités y et q par leurs valeurs (2) et (5) en fonction de R, s, p, , il vient : La R°(54+p+-0) Due ere Q Hp) Ge R Pre er) 7 : Es R(S+p+3) pres PET) FR)" Cor Horn) d’où successivement : Rp +3 (p+ 3) (R°+ p) DS' — Lp(p+s) + R][d(p + s) —R] p Rs $ DE+S)+HR [p(p+s) + R[2(p +s) —R s = R{s+p+e)(p +s)(R°+ p) p[p(p+s) +] [9 (p+ s) —R]—R?s [p(p +s) + R°7] et, toutes réductions faites , 2 RH p4+0 (Hp) «) Lp — R1] Lp (p+ 9 +R] De plus, comme SF—DS +9, on aura : psp. CHP+HIR HP) Es Gp—R) (8) Lép—R1 [p(p+ 5) +R] 27 210 À. PaQuE. — Quelques questions de Géométrie Les triangles semblables S' DO! et SFO donnent : DS’ O"D—=R:—. FS' Après substitution des valeurs de DS’ et FS' qui viennent d'être trouvées, on obtient : R (R+p°)(s+p +0) OO D = ——, (9 GED +p)+ 5 0p ÿ D'ailleurs AD—p+4, d'où CR+p°) (p+s) AD = = ——— 10 TE NENS FR Done O"D _R(s+p+9 p(p+S TR 1 AD p+s (s +p +9) (R°+ p°) +s (2p—R°) (El La similitude des triangles SOG et SO'B conduit à BS BO' — R : GS ou Bo’. R ‘+? +9 s+p D'où BO' _R(s+p+d) 1 AB pts no (12) On s'assurera sans peine que p(p+s) sol S+p40)(R Hp) +sSOp—R) p+d Et en vertu des relations (11) et (12), on aura alors : O"D _BO’ AD AB Cette égalité établit la similitude des triangles AO"D et AO'B, et par suite l'égalité des angles O"AD, et O'AB. | et d'Analyse algébrique. 211 TaéorèME. Soit (PI. III) le quadrilatère ABCD ; E l'intersection des côtés BG, AD; F l'intersection de AB,CD. Prenons un point quelconque T sur la diagonale AC; par les deux points À et T faisons passer un 1° cercle; par G et T un deuxième cercle : le premier cercle coupe AD en P et AB en Q; le deuxième cercle coupe BC en R et CD en S. Par les points Q, B, R faisons passer un troisième cer- cle, et par les points P, D, S un quatrième cercle : Ces deux derniers (troisième el quatrième) couperont la diagonale BD au même point U. Menons un cinquième cercle par les points P, E, R ef un sixième cercle par les points Q, F,S : ces deux derniers cercles coupent la troisième diagonale EF au même point NY. Les six cercles se coupent au même point Z, el les six arcs ZA, ZB, ZC, 2D, ZE, ZF, pris d’un même côté sont sem- blables. Soit G l'intersection des deux diagonales AC, BD ; les quatre points G, U, T, Z sont sur une même circonférence. Soit H l'intersection des diagonales AC, EF ; les quatre points H, V, T, Z sont sur une même circonférence. Soit enfin 1 l’intersection des diagonales BD, EF ; les quatre points U, 1, V, Z sont sur une même circonférence. Démonstration. Rappelons les deux propriétés suivantes très-con- nues et faciles à établir. Tnéorëme (&). Si par les sommets d'un triangle on fait passer trois circonférences se coupant deux à deux sur les côtés du triangle , ces trois lignes concourent en un même point. Taéorème (x). Si trois circonférences passant par les sommets d’un triangle se coupent , la première et la deuxième, la deu- œième et la troisième sur les côtés du triangle, si la troisième circonférence en passant par le point d'intersection des deux premières, coupe l’une de celles-ci sur l’un des côtés du triangle , elle passe par le point d'intersection de l’autre circonférence avec le second côté de l'angle par le sommet duquel la troisième circonférence est tracée. 212 À. Paque. — Quelques questions de Géométrie L'application du premier de ces théorèmes montre immédiate- ment que 1° Pour le triang. ABEles trois cire. 1, 3, se coupent en un même point. 22 » BCF » 2,49, 16 » » 3° » BDE » 3, 4, 5 » » 4° » ADF » END » » Do » CEF » 2500 » » Et conséquemvment les cwrconférences 1, 2, 5, 4, 5, 6 se cou- pent en un même point. Les circonférences 5, 5, 6. passent par les sommets du triangle BEF ; 5 et 5 se coupent en R sur le côté BE, 3 et 6, en Q sur AB ; de pfus la circonférence 6 passe par Z, point d’intersection de 5 et 5, donc elle passe aussi (Théorème &) par V, point de rencontre de D avec EF. Les circonférences (5) et (4) ont U pour 2% intersection ; je dis que les points B, D, U sont en ligne droite. Tirons les droites ZU, ZR, ZD, ZP, ZT, ZV, ZS, ZQ ; soient 0:, ©, 05, Of, O°, Of les centres respectifs de ces circonférences 1,2, 5, 4, 5, 6; les points 05, Of, O? sont lignes droites comme centres de circonférences ayant une corde commune ZS ; il en est de même des centres O?, O*, O° par rapport à ZR , ainsi que de O5, O", Of, par rapport à ZQ; on sait que 0*05, 00”, 00, OS 0°, sont respectivement perpendiculaires à ZQ, ZR, ZP et ZV. Posons pour abréger : A AN DAB— A ACF— c A NA DAC = a CFE=Ss A ch — PAR A A CBD — b UZR=5g. Les angles DAC, TZP considérés dans le cercle (1) ont même mesure, done A TZP = a. et d'Analyse algébrique. 215 Il en est de mème des angles SZV et CFE dans le cercle (6); donc A SZV—=s. Les quadrilatères BQRZ, ZA'OB' donnent B=2- RZQ A 4 O50*05—9 — RZQ. D'où \ O60:05 —B. () Le quadrilatère inscrit AQPZ fournit : À , PZQ=A. Mais comme ayant leurs côtés respectivement perpendiculaires : A A 0‘0'0:—PZQ, Donc A 0‘0'0: — A. (2) On a d’ailleurs par suite de la perpendicularité des côtés : UN B = 040*0* A = 0'0‘0:. (5) Mais : A 5 Paul A 0'00* =2 — 0*0'0* — 0'0:0:. D'où en vertu de (1), (2) et (5) : ë 1=9 — À — B. (4 Dans les triangles rectangles O{KL, ZK'L, on a: À ë 000: = 1 —ZLO* A ë SZP — 1° — ZLO!. D'où A A 0°040'—SZP. 21% A. PAQUE. — Quelques questions de Géométrie Mais les angles SZP et SDP sont égaux comme inscrits dans un même segment du cercle (4), done A A 0500: = ADF (3) et { A A 0'0‘0: — ADC. (6) On a encore comme ayant les eôtés respectivement perpendiculaires : A A 0:0:05 = $ZQ mais comme inscrits dans un même segment du cercle (6) : A A SZQ = CFB, d'où 0"0*0: — Fe : (7) Par suite A LAN 0f0:0° = FCB. (8) On a aussi : A A 0°050° —SZV or A SAV— 5 done À O°Of0 = 5. (9) Évidemment À A IN 0'0:0° — 0'0°0: + 0:0:0° ou AN 0010 — ;+ 6, relation qui devient à l'aide de celle (4) : A è 010103 = 2° — A—B+8. (10) De ce qui précède on déduit immédiatement la similitude des triangles et d'Analyse algébrique. 215 040:0° ct CDE 04060: » DAF O60°0* » FCB 0'0*0* » ABE OS040° » EDF 06005 » FBE. La comparaison des côtés homologues conduit aux égalités sui- vantes AB BE 00 0:0° BE _ Er 0°® 0°0° HECTARES 00° 0‘0: DF AD 004 00: dont l'addition membre à membre donne SES AD 9 AB | 00: . OÙ 00 AD = 007 ou Les triangles ABD et 0'040* ayant ainsi un angle égal compris entre côtés respectivement proportionnels sont équiangles et sem- blables ; done UN A 0'040°=— ADB. (12) Mais on a vu (10), que: 3 A 2 —A—B+,£6 = 0:00: De plus il est clair que A 3 ADB = 2 —A—B 4. Additionnant ces trois dernières relations , on obtient : B=b. Ce qui démontre que les trois points B, D et U sont en ligne droite, 216 A. PAQUE. — Quelques questions de Géométrie Les quatres points G, U, T, Z appartiennent à une même circon- férence. L'angle DGC, comme extérieur au triangle ADG, donne A UN \ DGC — DAC + ADG d’où /\ A A DGC=— TZP + PZU ou A A DGC— TZU ce qui prouve que le quadrilatère Z, U, G, T est inscriptible. Les arcs ZA, ZB, ZC, ZD, ZE, ZF pris d’un même côté, sont semblables. On a A A ZTA = ZPA or A ZPA—U. D'où A ZTA=U et par suite similitude des arcs ZQA et ZSD, et conséquemment aussi des arcs ZPA et ZUD. L'angle U est inscrit dans les cereles (4) et (5); donc les ares PS RS ZSD et ZQB sontsemblables ; ainsi que ZUD et ZUB. L'angle ZTA considéré dans les cercles (2) et (1) y a pour me- TS A ZIEC PSS. LN sures respectives tt ; les ares ZTCG et ZQA sont done LES semblables ainsi que ZRC et Grà. L'angle ZPA = w considéré dans les circonférences () et (1) ya 7 Z pour mesures respectives o et —— 2 done les ares ZPE et ZQA sont semblables de même que ÊWE et ZPÀ. el d'Analyse algébrique. 917 On a aussi ZSF— U à cause du quadriletère inscrit DSZU; d'où l’on conelut la similitude des ares ZXF et ZSD dont les moi- és sont les mesures de ces angles dans les circonférences (6) et (4), la similitude des ares ZQF et ZUD est donc évidente. Les quatre points I, V, U, Z sont sur une même circonférence. — En effet le quadrilatère inscrit UZSD donne VAN A 2SF = ZUD A A or d'où ZVF = ZUD. A A ZNE —Z3F D'où encore ZUI + IVZ — 2°. Donc le quadrilatère UIZV est inseriptible. Les quatre points Z, V, T, H appartiennent à uue même circon- ference. Soit a l'intersection de ZT et VH. On a évidemment : A ANUS ZVo =2° — ZUI AN 7N d'où ZVo—Z2TG. UN A A ZTG—2 — ZUG Les triangles ZV8 et HoT sont done semblables, et donnent 20 -9T— Vo-0H relation qui démontre que le quadrilatère ZVTH est inscriptible , puisque Lorsque deux droites VH et ZT se coupent de telle façon que les rectangles faits sur les deux parties de chacune soïent équivalents, leurs extrémilés sont sur une même circonférence. 28 218 A. Paque. — Quelques questions de Géométrie TuéorÈème Si (Fig. 5, PI. I) dans un triangle rectiligne ABC, l'on a A BE. 9° Si AD — BE et DAB ABE DAC CBE’ alors A—1B: Démonstration. I. Avanttout remarquons que de la condition A < B, on déduit BC < AC. Posons : A CAD = «a A vi ne et soit O l'intersection de AD, BE. DAB— y A EBA — x Supposons en premier lieu que l'on ait a 0. La similitude évidente des triangles GAD et CBE fournit AD AC BE BC' Mais _. >1, donc AD > BE. I. En second lieu, soit a b. Le point À est donc extérieur à la circonférence passant par les trois points B, D, E. Soit A! l'intersection de OA avec cette cour- be ; on sait que A'O . OD = EO . BO. et d'Analyse algébrique 219 D'où AO : OD > EO : BO (1) Je dis que cette inégalité permet de conclure immédiatement que AO +0D < BO+O0E c’est-à-dire que AD > BE. C’est ce que nous allons prouver en examinant les différentes cir- constances que peuvent présenter les valeurs relatives des quatre droites AO, BO, OD, OE. Supposons que l’on puisse avoir AD < BE. (2) Par le point E menons ER parallèle à BC ; les triangles sem- blables EOR et BOD donnent EO _ OR BO OD’ ou OE :- OD = OB - OR. D'où à fortiori : AO - OB > OD:0E (5) du produit des inégalités (1) et(3) on tire : AO > OE. (4) De EO OR BO UD’ on déduit encore EO+BO BO OR+LOD OD’ ou BE BO DR OD et à fortiori BE _BO AD 0D 220 A. Paque. — Quelques questions de Géométrie D'où en vertu de l'hypothèse (2) : BO > OD. (5) Les relations (4) et (5) sont donc les conditions explicites de l'hy- pothèse AD < BE. Actuellement soient les deux triangles AOE , BOD placés de manière à avoir les sommets A et B communs et les côtés AO et BO en ligne droite. Si l’on suppose en outre que l'on ait : 4° BO < 10 OE< OD il est évident alors que BO LOE < AO -- OD ou BE < AD résultat qui détruit l'hypothèse (2) 9e BO < AO OD YZ, il s'en suit aussi US > SZ et à fortiori VY > SZ. L'hypothèse (2) est donc encore impossible dans ce cas. Il est bon de remarquer que ce qui vient d'être dit est vrai que AOE soit aigu ou oblus. LA 02 BO > AO OD > OE. Remarquons qu'alors y > x Pour l'examen plus facile de ce cas , plaçons les triangles ABE et ABD de manière qu'ils aient de commun les sommets A de l'un, et B de l’autre , ainsi que le côté AB. Deux cas sont à examiner, selon que l’angle B est aigu ou obtus. (Fig. 6, PI. II.) Si B est obtus, quelle que soit la position de E/ dans l'intérieur du triangle A'B'D', on aura toujours, en menant EE" perpendiculaire à A'B': A'E/ < A'E" et à plus forte raison A'E’ < A'D' ce qui signifie que dans le triangle primitif ABC, on a BE < AD, conclusion qui rend encore inadmissible l’hypothèse (2). Si B est aigu (Fig. 5, PI. Il), tant que A! et E’ seront situés du même côté de la hauteur D’P du triangle A'B'D’, on aura encore et pareillement A'E'< AD. 229 A. Pique. — Quelques questions de Géométrie D'où (Fig. 5, PI. IN). AD > BE. Mais dès que les points A? et E/ seront de côtés différents de D'P lon ne peut dire généralement A'D' > A'E puisqu'il se peut très bien alors que l’on ait : AD < AE. C'est ce qu'il est aisé de reconnaitre dans le triangle opposé (Fig. 5, PI. Il). : Q ; BEA ne En effet si B<1 et que l’on considère le minimum de AD, c’est-à-dire la hauteur Ad du triangle, on a AB > Ad. Or, il est clair que la circonférence de rayon Ad que l’on décri- rait du point B comme centre couperait le côté AC en deux points dont un seule, le plus voisin de A, peut donner lieu à une transver- sale issue de B et satisfaisant aux conditions imposées par l'énoncé du théorème. On a ainsi Ad=— Be. Et pour tout point s compris entre Aete, on aura Ad < Be. Désignons les angles DAB et eBA respectivement par y/ et x et prouvons que pour Ad< Be, on a JD x. La demie circonférence décrite sur AB comme diamètre sera rencontrée par l'are de cerele qui a déterminé e, en d'; tirons Bd’ qui coupe AC en ?; le point e sera évidemment situé entre À et e , ce qui donne : eBA <4d'BA ou eBA < dAB ! r LOUE Le théorème énoncé est donc Ex pÉFauT dans ce cas; c’est ce qu'il était important de reconnaitre, et d'Analyse algébrique. 225 Soient (Fig. 5, PI. ID). AD —BE el BAD ABE CAD CBE D'où l'on tire CAB DAC ABC — EBC ou A a EAU Je dis que a—b; en effet s’il en était autrement, on aurait d'a- près ce qui vient d’être vu : > AD Z BE Ce qui est contraire aux données. Donc A —B. Toutefois il est indispensable de faire voir que dans le cas où le théorème est en défaut on ne peut avoir BAd ABe CA4 eBC' En effet si cette égalité pouvait exister , comme on a alors : BAd > ABe il s’en suivrait : CAd > eBC ce qui est impossible et contraire aux conditions d'existence des transversales Ad et Be. 294 A. Paoue. -— Quelques questions de Géométrie NOTE SUR LE NOMBRE e. Adoptant les notations user ñ [a, b]= a (a + 1)(@+2)(a + 5).....b où a et b sont deux nombres entiers quelconques , prouver que l'on a CA El © e étant la base des logarithmes népériens, et # um nombre entier et positif. > Démonstration. La formule de Maclaurin donne 2 Ta D n° NÉE e — 1] + n + ao 1.23 J-....+ ES arbre (nl en" Ti est le terme complémentaire de ce développement connu, et n o est compris entre 0 et 1. Considérant o comme nul, on a done : n°! n° “>1+n+ tre 3 Het Paie a FE = [ri] Multipliant de part et d'autre par [n], il vient : () [nje > [nl+n[n]+5.4..nen +4.5...n.n +... + (RH A) (EH Q)nen nent ne, et d'Analyse algébrique. 225 D: —1 (n—1)(n—92) , (@) (I+n) = pren ED ne IR ne + pr Comparant les coeflicients des mêmes puissances de n dans les développements qui, ayant chacun n+-1 termes, forment les se- conds membres des relations (1) et (2), on posera : >(n—k+1,n| [+ I,n] au à Multipliant par [#], on aura : [4] Le [n—#+1,n] D'où, en divisant par [n—k+1,n], il vient évidemment : [n—#%]> 1 ce qui prouve que les divers termes du développement (1) sont plus grands que ceux correspondants de (142}", d'où à fortiori : Enle® >'(ùu +1)", et (n +1) CA [Er] 29 226 A. Paque. — Quelques questions de Géométrie OBSERVATION SUR LES FORMULES. Da par sin = = SANTE eos 2 2 R°LR cos 2 eos 8 = VE Le Si, pour déterminer ces formules , l’on considère les équations : a a 3 2sin cos > — R sin a 2 cos L sin = — R° : ER 0 c . @ a ; et qu'entr'elles on élimine successivement sin et cos 3 on obtien- dra : (1 2 cos V R°— cos © — KR sin a 2 et : LA / 2 sin R°— sin D — R sin & Elevant au carré les deux membres de chacune de ces équations on aura : cos‘ 9 — R°cos° 5 = Re 2 «a 2 sin Se R°sin° nr à - sin” &. Ces équations étant résolues , donnent : a V R° LR cos a cos Ds me 3 (1) 14 EE ee CE N] R—R cos a @ 2 2 et d'Analyse algébrique. 297 RER cos « SnR = \, JREUTE (5) 2 2 Re ARR sin 5 — + VER a = (4) Les couples 1, 2 et 5, 4 étant identiques, il est indispensable . ë 5 14 de rechercher quelles en sont les valeurs simultanées de sin A a L ” Re , et cos g* peut être alors l'impossibilité de l’une ou l’autre de ces formules, sera-t-elle mise en évidence. Les formules 1, 2, 5, 4 étant générales doivent convenir au cas où a = 0; alors les formules 2 et 3 fournissent : ROVER PORN RÉRER c 2 Ces résultats évidemment absurdes démontrent que les formules (2) et (5) sont impossibles. Il ne reste done que les relations connues (1) et (4). 298 A. Paque. — Quelques questions de Géométrie LIMITE SUPÉRIEURE DES RACINES RÉELLES POSITIVES, d'après La GRaxcr, Soit l’équation QE PAR ED Da D — RARES SE il) Supposons que l'on extraye de chaque coefficient négatif la racine ayant pour indice le nombre de termes qui le précèdent , et repré- tons par les deux plus grands nombres ainsi oblenus. Je dis que l’on aura pour limite supérieure L des racines réelles positives. L=\/n + N\/re Démonstration. Désignons par px un coeflicient négatif quel- conque. On à : Vi _. = rca = gs D DL am D Le g"” gl" q” + qi — Be TT. Inégalité qui elle-même sera satisfaite si l’on a: Du > (q + q) gcmt + (ÿ + g”) x"? + (+ Gr) Pre + ére + (q” + g") A q" ii ge ou a" > q[g" "+ gx + TA, 0 ne mec q' [gr nr gr” -3 de + … +aT*] Les séries entre parenthèses étant des progressions par quotient, on obtient : 1 À ba D — — qu a — — qu Se q SN X HA — —1 — —1 q q ou — q" , 2 — q' mi 9 an > q —<% me dl eur (2) Des deux quantités q et g/ l'une est plus grande que l’autre; soit qg> Il s’en suit %—g il viendrait en divisant les deux termes du second membre par œ— q': nn QUE EE qe LE. + qu D'où en divisant par æ"—" les deux termes de la fraction du second membre > D ee conséquence qui justifie l'hypothèse. Au contraire si l’on supposait am (x — q) x < m ra El Comme celte inégalité existcrait dès que am (x — q) AN — q" FAC et d'Analyse algébrique. ou nu ami qu. + qu x < On aurait : x Fe 1 + qz + etc... conséquence absurbe qui rend impossible l'hypothèse. Donc am — qu Et enfin (3), à fortiori : s>q+. ——< #5 251 Pil Fiy 1 Fig, 2 \ € D — —B F { Y [0 7 0 « ?. h \ » = = 0 I Lt B F Fy4 Fiq à A. Tuque — Questions de Gcometrie £e. BTAE À laque Cueshonsde Geumetrie Le. PLATS Ds VI. — Histoire des métamorphoses de divers Insectes , SAVOIR : Liodes castanea Herbst. — Cryptohypnus riparius Fabr. — Tarsostenus uni- vittatus Rossi. — Æbœus albifrons Fabr. — Agapanthia suturalis Fabr. — Dircœalævigata Hellenius. — Sphindus Gyllenhalii Chevr.— Lagria hirta L. — Lagria lata Fabr, — Hispa testacea L. — Gryphinus piceus Comolli. — Cecidomya entomophila Perris. — Platystoma wmbrarum. PAR M. Édouard PERRIS , Chevalier de la Légion d'honneur, membre de plusieurs sociétés savantes, à Mont de Marsan (Landes). LIODES (TETRATOMA) CASTANEA, Herbst. PI, V, Fig. 1-8. LARVE. Longueur 6 millim. Larve un peu luisante, de forme ovoïde très- allongée, assez convexe en dessus, un peu aplatie en dessous, sur- tout à la région sternale; de consistance peu coriace, presque charnue. Tête arrondie sur les côtés, déprimée, d’un noirâtre livide; munie en dessus de deux traits blanchâtres partant de la base des anten- nes et se réunissant au vertex; celui-ci marqué de quatre petites fossettes en série transversale. Epistome couft ; labre en segment de cercle et très-finement cilié. Mandibules assez étroites, un peu gibbeuses extérieurement , ferrugineuses à la base, puis noirà- tres jusqu’à l'extrémité qui est bidentée. Lobe des màchoires long, assez grèle, cilié intérieurement de petites soies raides, et surmon- té d'autres soies plus longues et spinuliformes. Palpes maxillaires assez longs , peu arqués, dépassant sensiblement le lobe des mà- choires et formés de trois articles : le premier de médiocre lon- gueur , le second deux fois plus long et un peu ventru, surtout en dehors, le troisième de la longueur du premier et subconique. Lé- vre inférieure arrondie antérieurement; palpes labiaux courts et de deux articles égaux. Antennes de quatre articles: le premier court et gros ; le second plus de deux fois aussi long , plus étroit et cylin- drique; le troisième aussi long au moins que les deux autres en- 30 254 E. Pennis. — Histoire semble, Uuès-véntru en dedans où il porte une soie , et surmonté , près de son extrémité interne , d’un petit article subeonique ; qua- trième article presque de la longueur du second, un peu ventru avant l'extrémité qui est pointue, et muni de trois longues soies sur le renflement et de deux courtes, apicales. Tous ces organes sont d'un brunätre livide. Au-dessous de chaque antenne, du côté des joues, deux ocelles noirs, saillants, tuberculiformes et un peu écartés, disposés en ligne transversale. Prothorax beaucoup plus large que la tête, plus grand que cha- eun des autres segments, arrondi sur les côtés, sensiblement plus étroit antérieurement qu'à la base, d'une forme à peu prés semi- discoïdale. Mésothorax et métathorax aussi larges que lui, mais plus courts. Chacun des segments thoraciques muni d’une paire de pat- tes de médiocre longueur , assez robustes, de quatre articles, par- semées de soies raides et terminées par un ongle roussâtre. Abdomen de neuf segments égaux, ou à peu près, en longueur, mais diminuant insensiblement de longueur jusqu'au dernier, et pourvus d’un petit bourrelet latérai. Les trois segments thoraciques et les huït premiers abdominaux, d’un blanchâtre livide en dessous et sur le tiers postérieur en dessus, sont ornés, sur les deux tiers antérieurs, d’une bande noirâtre livide, de sorte que le corps est fascié de noiratre et de blanchâtre. Dernier segment d'un poirà- tre uniforme , tronqué à l'extrémité, muni en dessous d’un mame- lon charnu et pseudopode, au centre duquel est l'anus , et à chacun de ses angles d'un long appendice formé de deux articles dont le premier , cylindrique , porte deux poils en dehors et deux en de- dans, et le second, cfilé, est marqué de stries transversales et obli- ques, dessinant une spirale comme celle d’une trachée, quoique ces appendices n'aient aucun rapport avec l'organe respiratoire. Des poils roussâtres bien apparents existent sur la tête et sur les côtés des segments. On en voit aussi quatre séries sur le dos et qua- tre sous le ventre; mais ces derniers sont un peu plus courts. Stigmates bien apparents à cause de leur couleur brune, et au nombre de neuf paires : la première, plus grande que les autres et plus inférieure, située près du bord postérieur du prothorax; les au- res près du bord antérieur des huit premiers segments abdominaux. Cette larve ressemble tellement à celle de l'Agathidium seminu- um dont j'ai publié les métamorphoses dans les Annales de la So- ciété entomologique (1851 , page 44), qu’on pourrait presque les prendre l'une pour l’autre. C’est la même structure, ce sont les des métamorphoses de divers Insectes. 955 mèmes couleurs, les mêmes organes. À part la taille qui est un peu plus grande, celle du Liodes se distingue pourtant par un carac- tère très-facile à saisir ; c’est la longueur des deux appendices du dernier segment. Dans la larve de l’Agathidium ils n’ont guère qu'une longueur égale à celle du segment qui les porte , et le se- cond article est plus court que le premier; dans celle du Liodes , au contraire, ils sont de quatre à cinq fois aussi longs que le seg- ment , et le second article a une longueur plus que double de celle du premier ; il est de plus orné, ainsi que je l'ai dit, de stries transversales que je n'ai pas observées dans la larve de l’Agathi- dium. La larve qui nous occupe vit dans la Reticularia hortensis Bull. , champignon de la famille des Vesceloups, à substance d’abord com- me spumeuse, puis pulvérulente, et qui se développe en août et septembre sur la tannée des orangeries et sur la vermoulure des vieilles souches. On l'y trouve ordinairement en compagnie de l'in- secte parfait. Il est à remarquer que la larve de l’Agathidium semi- nulum se développe dans un champignon de la même fomille et pulvérulent aussi, la Trichia cinnabarina. L'une et l'autre, dans l'impossibilité d'accomplir leurs métamorphoses dans ces produc- tions peu consistantes et de courte durée, s’enfoncent dans la terre à la fin de septembre ou au commencement d'octobre pour passer à l'état de nymphe. NYMPHE, Elle n'offre rien de particulier ; elle est blanche et présente de fines soies de même couleur autour du prothorax, sur les côtés et sur le dos de l'abdomen. Celui-ci se termine par deux papilles co- niques et assez longues. INSECTE PARFAIT, Longueur 2 :/, à 5 millim. Ovalaire, assez convexe, d’un beau noir luisant, et quelquefois d'un brun ferrugineux. Antennes d’un brun rougeâtre ; massue noirâtre , sauf le 2 artiele. Tête ayant deux fossettes entre les yeux; bouche et une tache frontale mal limitée rougeàtres. Prothorax bordé tout autour de brun AE Ely- tres étroitement rougeâtres au bord marginal; à stries obsolètes ponetuées , géminées, un peu irrégulières; intervalles étroits, nul- lement saillants et lisses. Dessous et pattes d’un brun rougeätre ; tarses assez fortement dilatés dans les mâles; tous de 4 articles dans les femelles. 256 E. Pennis. — Histoire CRYPTOHYPNUS (ELATER) RIPARIUS Fabr, PI. V, Fig. 9-19. LARVE. Longueur 8 millim., largeur un peu plus d'un millim. Couleur marron clair; lisse, luisante , cornée, cylindrique, sauf l'aplatisse- ment ordinaire du sternum. Tête orbiculaire, mais engagée en partie dans le prothorax, con- vexe en dessus, médiocrement arrondie sur les côtés, presque aussi large que le corps ; lisse, avee deux petites fossettes très-peu visi- bles sur le front; bord antérieur entier et un peu concave, s’échan- crant seulement autour de la cavité antennaire. Epistome large- ment transversal; labre assez grand, semi-discoïdal et muni de quatre soies d’inégale longueur. Mandibules assez fortes, ferrugi- neuses avec l'extrémité noire. Vues en dessus elles paraissent sim- ples, acérées et arquées ; vues de côté elles sont triangulaires, et leur extrémité est découpée en trois dents dont la médiane plus longue que les autres. Mächoires et menton soudés ensemble comme dans les autres larves d'Élatérides, et couvrant toute la face inférieure de la tête sous la forme d’une plaque lisse divisée en trois parties par deux sillons longitudinaux qui marquent la sépara- tion de ces organes. Lobe des mächoires peu développé, cylindrico_ conique, surmonté d'une petite épine. Palpes maxillaires dépas- sant un peu le lobe, coniques et de quatre articles égaux. Lèvre inférieure en parallélogramme transversal; palpes labiaux courts, de deux articles égaux, insérés non sur le bord antérieur de la lèvre, selon l'usage, mais à la base de celle-ci, comme dans les larves de Buprestides, avec cette différence que, dans celles-ei , les palpes la- biaux sont rudimentaires. Antennes un peu enchassées dans une ca- vité qui existe près de la base des mandibules, courtes, coniques et de quatre articles égaux ou à peu près, plus un petit article supplé- mentaire qui surmonte en dessous le troisième article. Au-dessous des antennes, du côté des joues, on constate l'existence de six points noirs, dont cinq supérieurs sur une ligne un peu oblique, droite ou légèrement arquée, et un au-dessous, vis-à-vis l'avant dernier de la ligne supérieure dontil est très-voisin. (Voir la figure.) Ces points ou ocelles sont plus marqués et plus gros sur certaines larves, et quelquefois aussi les deux dela seconde paire de la ligne supérieure sont réunis en un seul un peu transversal. Prothorax un peu plus large que la tête et deux fois aussi long 2 des métamorphoses de divers Insectes. 237 qu'elle; mésothorax et métathorax de la même largeur que le pré- cédent , mais de moitié au moins plus courts, Pattes courtes , robustes , de cinq pièces à peu près égales en lon- gueur ; hanches parsemées de petites spinules, trochanter, cuisse et übia creusés en dessous d'une rainure dont les bords sont armés de spinules ; tarse représenté par un ongle dilaté en dessous près de la base. Abdomen de neuf segments: les huit premiers à peine plus longs que le métathorax ; le dernier un peu plus grand , à contour semi-elliptique, le bord postérieur étant réguliérement arrondi, sans aucune trace de dent, de pointe ou d'échancrure. Quand on observe ce segment de côté, on aperçoit, près du bord inférieur ; une toute petite crête longitudinale et arquée. C’est un des côtés d'une ellipse très-régulière, tracée sous le segment, et au pôle pos- térieur de laquelle se trouve le mamelon anal, faiblement ex- tractile. Tout le corps est parsemé de rides sinueuses, écartées et très- superficielles, et l’on remarque en outre, comme cela est d’ordi- naire dans les larves de cette famille, de fines stries longitudinales aux bords antérieur et postérieur du prothorax et au bord posté- rieur de tous les autres segments sauf le dernier. On observe aussi quelques poils roussâtres sur la tête et sur le dernier segment ; cha- cun des autres segments en a deux dorsaux, quatre latéraux et au moins deux ventraux. Stigmates au nombre de neuf paires: la première trés-près du bord antérieur du mésothorax, et un peu plus inférieure que les autres qui sont situées près du bord antérieur des huit premiers segments abdominaux. En septembre 1855, j'ai trouvé assez abondamment cette larve, avec des nymphes et des insectes parfaits, dans les Hautes-Pyrénées, sous les pierres, de là le lac de Gaube, près Cauterets. J'ignore de quoi elle vit, et si elle est carnassière comme la plupart de celles de la famille, ou phytophage comme d’autres. Sa forme, sa contexture, ses caractères sont bien, en général, ceux des larves d'Élatérides ; mais elle donne lieu pourtant de ma part aux remarques suivantes : l’épistome et le labre sont libres, tandis qu’ils sont soudés dans toutes les autres larves de la même famille que j'ai été en position d'observer; le bord antérieur de la tête est à peine sinué, et ne présente pas ces saillies, ces apophy- ses qu'offrent celles des Melanotus, Athous, Elater, Agriotes , ele. 258 E. Pennis. — Histoire Les palpcs labiaux sont insérés à la base de la lèvre, ce qui serait, ainsi que je l'ai fait remarquer , un acheminement vers les larves de Buprestides. Enfin, le dernier segment est régulier , très-obtusé- ment arrondi, ce qui l'éloigne des larves de Melanotus, d’Athous, de Lacon, d’Agrypnus, ete., qui l'ont échancré et lobé, et de celles d'Elater et d’Agriotes où il est terminé par une épine droite. Je vois là un commencement de dégénérescence qui me porte à penser que les Cryptohypnus devraient être placés, ainsi que Font fait quelques auteurs, aux derniers rangs de la famille. NYMPHE:+ La nymphe, logée dans une cellule sous les pierres, ou à une faible profondeur dans la terre, ressemble à celle des Élatérides. Elle est blanche et molle, avec des tubercules spiniformes aux articles des antennes, deux soies coniques , roussâtres au bord antérieur du prothorax , deux autres au bord postérieur près de l’écusson , une à chaque angle postérieur et deux divergentes à l'extrémité de l'abdomen. INSECTE PARFAIT. Longueur 5 à 6 millim. Assez large, d’un noir luisant, un peu bronzé, avee les cuisses brunes ou noirâtres, les tibias et les tarses testacés, Corps revêtu en dessus d’un duvet couché et fauve. Tête presque droite antérieurement, à ponctuation fine et éparse. Pro- thorax pointillé comme la tête, avee un sillon peu profond à la face postérieure. Elytres marquées de stries lisses ; intervalles plans , avee des points épars et presque imperceptibles. TARSOSTENUS (CLERUS) UNIVITTATUS, Rossi. PI. V, Fig. 20-28. LARVE. Longueur 8 à 10 millim. Charnue, grèle, linéaire, presque cylindrique, avec le sternum un peu déprimé. Tète subcornée, plus étroite antérieurement qu’à sa base, arron- die latéralement, rousse avec le bord antérieur ferrugineux ; mar- quée d’un sillon sur le vertex, et sur le front d’une fossette transver- sale bien visible. Epistome et labre roussâtres ; le premier trapézoï- dal, le second rectangulaire et transversal. Bord antérieur de la tête largement et très-peu profondément échancré au milieu, avec une petite saillie de chaque côté de la base de l'épistome. Mandibules des métamorphoses de divers Insectes. 259 ferrugineuses, noires à l'extrémité, se joignant sans se croiser , ar- quées , pointues, ayant une petite dent obtuse et peu saillante vers le tiers antérieur. Mâchoires et menton libres dans la moitié de leur longueur, puis soudés en une sorte de plaque subcornée sur la- quelle la continuation des organes soudés est marquée par deux traits roux extérieurs et deux internes convergents , entre lesquels se trouve une autre ligne moins marquée. Lobe des mâchoires très- court, peu apparent et cilié; palpes maxillaires un peu arqués en dedans, assez longs, de trois articles : les deux premiers égaux, le troisième aussi long que les deux autres ensemble. Lèvre inférieure légèrement échancrée , à angles arrondis; palpes labiaux de deux articles dont le second double du premier. Antennes assez longues, peu épaisses, de quatre articles : le premier long et en cône tron- qué, en partie rétractile; le second susceptible de rentrer un peu dans le précédent, de moitié plus court, un peu plus large à l’ex- trémité qu’à la base; le troisième de la longueur du précédent, mais un peu plus étroit, et bordé supérieurement de deux à quatre cils; le quatrième de la même longueur, mais grèle , terminé par un long poil et deux ou trois autres très-petits, et accompagné d’un petit article supplémentaire, placé en dessous. Tous ces organes d’un roussâtre pâle avec la base des articles plus foncée. Sur cha- que joue quatre ocelles égaux , elliptiques et blanchâtres, formant à péu près un losange. Thorax blanc, un peu plus large que la tête ; ses trois segments égaux ; prothorax un peu plus étroit antérieurement qu'à la base, marqué en dessus d’une grande tache rousse n’atteignant ni le bord antérieur ni le bord postérieur; parfaitement limitée et plus fon- cée antérieurement, à bornes un peu indécises en arrière. Chacun des trois segments thoraciques porte une paire de pattes médiocrement longues , à cuisses un peu plus courtes que les ti- bias, terminées par un ongle long, roussätre, un peu arqué, et hérissées de quelques longues soies. Abdomen du même diamètre que le thorax, ou se dilatant un petit peu vers l'extrémité ; composé de neuf segments à peu près égaux; blanchätre avec le milieu des segments marbré de rougeitre päle et livide; dernier segment sensiblement plus large à la base qu'à l'extrémité, qui se termine par deux crochets cornés parallèles, bien relevés, ferrugineux avec la pointe noire. La partie posté- rieure de ce segment est occupée en dessus par une tache roussâtre arrondie , où se montrent quelques fossettes peu sensibles ; en des- sous il existe un mamelon anal rétractile. 240 E. Prrnis. — Histoire La tête et le thorax sont parsemés de poils très-fins, visibles à une forte loupe. Le long des flancs, sur le dos de l'abdomen et à la région ventrale on aperçoit des poils semblables , disposés en séries, savoir : six séries dorsales, deux ou quatre latérales et quatre ven- trales. Sur les côtés règne un bourrelet qui n’est bien apparent que lorsque la larve n’a pas l'embonpoint qu’on lui voit ordinairement. Les stigmates sont au nombre de neuf paires : la première se trouve près du bord antérieur du mésothorax , les autres au tiers antérieur des huit premiers segments abdominaux. Le Tarsostenus univillatus est assez voisin des Clerus, des Tha- nasimus , des Opilo et des Tillus pour qu’on s’attende à trouver de grandes analogies entre sa larve et celles de ces derniers insectes. Ces larves, en effet, ont un air de famille très-facile à saisir, et lors- qu'on étudie de près leurs organes, surtout ceux de la tête, on se rend parfaitement compte de leurs aflinités. Il est aisé pourtant de trouver quelques caractères distinetifs. La larve du Tarsostenus dif- fère, en effet, des autres par son labre tronqué antérieurement et non échancré ou semidiscoïdal, par le troisième article des palpes maxil- laires aussi long que les deux premiers réunis; par le nombre des ocelles qui est de huit, au lieu de dix; par l'absence de toute tache sur les deux derniers segments thoraciques, et surtout par la forme du corps qui est linéaire et non ventrue. Ces deux derniers caractères la rapprochent singulièrement de la larve du Tillus unifasciatus , et il faut convenir aussi que les insectes parfaits ont entre eux plus de rapports qu'avec tout autre genre de la famille. Tant il est vrai. comme j'ai déjà eu bien des occasions de le faire remarquer, que les larves ont, en général, d'autant plus de ressemblance, que les insectes parfaits ont des relations plus nombreuses. La larve du Tillus diffère néanmoins de celle du Tarsostenus principalement par les ocelles qui sont uniques sur chaque joue; par le lobe des mâchoires qui est plus long, et par les palpes maxillaires dont les articles sont égaux. Le Tarsostenus univittatus est commun au mois de juin sur les tas de buches de chène exposées au soleil. Comme j'avais déjà trou- vé les larves de plusieurs Clérites sous les écorces, je m’acharnais à chercher celles du Tarsostenus dans les mêmes conditions, et pen- dant trois ans mes recherches étaient demeurées stériles , ce qui me surprenait beaucoup, vu l'abondance de l'insecte parfait. Eu der- nier lieu je m’avisai d'explorer l'intérieur du bois, et, étant tombé sur des buches dont l’aubier était miné par les larves du Lyctus ca- des métamorphoses de divers Insectes. 241 naliculatus , je recueillis les fruits de ma longue persévérance. C’est en effet dans les galeries creusées par les larves de Lyctus, dont elle fait sa proie, qu’il faut chercher celle du Tarsostenus ; j'y en ai pris autant que j'en ai voulu , avec des nymphes et des insec- tes parfaits , car elle se transforme aux lieux mêmes où elle a vécu, au milieu de la vermoulure , dans laquelle elle se pratique une loge dont elle vernit les parois avec une substance incolore. Lorsque le moment de la métamorphose est proche, elle est sensiblement rac- courcie et de forme un peu elliptique. NYMPHE. La nymphe présente, emmaillotées comme à l'ordinaire, toutes les parties de l’insecte parfait ; des poils blancs se dressent en rayon- nant près du bord antérieur du prothorax; on en voit aussi aux ge- noux, sur les côtés des segments abdominaux et sur le dos; chacun de ces poils est inséré sur un tout petit mamelon glanduliforme. Le dernier segment de l'abdomen est terminé par deux petites papilles divergentes. INSECTE PARFAIT. Longueur 4 :/, millim. Etroit, presque linéaire, revêtu d’une villo- sité cendrée. Antennes noirâtres, avec les premiers articles rougeà- tres; labre jaunâtre; tête convexe, à ponctuation assez forte et peu serrée. Prothorax subconvexe, de la couleur de la tête, ponctué comme elle sur les côtés ; dos un peu inégal, ayant un grand espace lisse, avec quelques points et un sillon qui ne dépasse guère le mi- lieu, et au fond duquel on voit deux séries de points. Elytres bru- nes , marquées de stries rapprochées , fortement ponetuées , s’arré- tant avant l'extrémité qui est finement et vaguement ponctuée; ayant au delà du milieu une bande jaunâtre. Cuisses noirâtres; tibias bruns où d’un brun rougeûtre; tarses rougeâtres. EBŒUS (MALACHIUS) ALBIFRONS, Fabr. PL V, Fig. 29-36. LARVE. Longueur 5 millim., largeur */; de millim. Charnue, déprimée, linéaire , tomenteuse, blanche, à l'exception de la tête. Tête parsemée de poils ‘de différentes longueurs, presque carrée, à peine plus longue que large, subcornée, lisse, d’un noir livide, avecle devantroussâtre. Epistome transversalement linéaire, de eou- 51 242 É, Permis. — Alistoire leur roussâtre ainsi que le labre qui est en demi-ellipse, transversal etvelu. Mandibules fortes, roussâtres à la base, ferrugineuses au mi- lieu, noires à l'extrémité qui est acérée, el au-dessous de laquelle on observe deux apophyses à peu près en forme de dents de seie. Mà- choires assez fortes ; lobe court, obtus, ne dépassant guère le pre- mier article des palpes maxillaires ; ceux-ci ün peu arqués en de- dans, assez longs et de trois articles dont le premier est le plus petit et le second le plus grand. Lèvre inférieure à peine échancrée an- térieurement; surmontée de deux palpes labiaux de deux articles égaux, et n’atteignant pas l'extrémité du deuxième article des palpes maxillaires ; tous ces organes de couleur roussâtre. Antennes de qua- tre articles : le premier plus étroit à l'extrémité qu’à la base; le se- cond plus long que le précédent et cylindrique ; le troisième de la longueur du premier ; le quatrième aussi long que le troisième, très-grèle et accompagné à la base d’un article supplémentaire court, assez épais et conique. Au-dessous de chaque antenne on voit un groupe de quatre ocelles blanchätres, dont trois sur une ligne trans- versale un peu oblique et un, un peu plus gros que les autres, vis- à-vis l'intervalle qui sépare les deux premiers de la série supérieure. Prothorax plus grand que les deux autres segments thoraciques, qui sont égaux entre eux. Ces trois segments sontun peu plus étroits antérieurement qu'à la base, et légèrement arrondis sur les côtés. Chacun de ces segments porte une paire de pattes longues, héris- sées de petits poils roussâtres et terminées par un ongle droit et acéré. Abdomen de neuf segments; les huit premiers ne présentant rien de particulier, si ce n'est, près de chaque côté, un petit sillon longitudinal limitant un bourrelet qui règne le long desflancs. Der- nier segment plus petit que les autres, un peu rétréci postérieure- ment et creusé en arrière d’une profonde échancrure, de sorte qu'il parait terminé par deux papilles charnues. En dessous se trouve un mamelon pseudopode au centre duquel est l'anus. Tout le corps est couvert d'une pubescence très-fine, mais plus longue sur le dernier segment. Les poils du duvet sont arqués en arrière, sauf sur le prothorax où ceux de la moitié antérieure sont arqués en avant. Suügmates au nombre de neuf paires: la première près du bord antérieur du mésothorax , les autres au tiers antérieur des huit pre- miers segments abdominaux. Cette larve a les plus grands rapports avec celles du Halachius des métamorphoses de divers Insecles. 245 œæneus et de l’Anthocomus lateralis que j'ai publiées dans les Annales de la Société entomologique de France (1852 et 1854). Elle en diffère néanmoins par les caractères suivants : la tête est lisse, sans points ou fossettes ; la lèvre inférieure est un peu échancrée et non subarrondie ; le corps, au lieu d’être coloré de rose terne ou vi- neux , est entièrement d’un blanc mat, ou parfois un peu translu- eide, sans aucune tache sur les segments thoraciques ; le dernier segment est blane et charnu comme les autres et non ferrugineux et corné, et, au lieu de pointes coniques, crochues et cornées , il est terminé par deux lobes papilliformes , obtus, droits et charnus ; enfin le corps est tomenteux plutôt que velu. Ayant trouvé abondamment l'Ebœus albifrons au mois de mai, près de Mont de Marsan (Landes), sur un lierre qui tapissait un mur, je me persuadai que je rencontrerais sa larve dans la même localité, et pour m'en assurer, quelques mois après, je fis tomber dans monfiletune certaine quantité de détritus et du terreau accumu- lés entre les mailles du réseau formé par les tiges du hierre crampon- néés au mur, J'explorai ensuite avec le plus grand soin ces débris, et j'y découvris plusieurs individus d’une larve et d’une nymphe que , par analogie, je rapportai sans hésitation à l'Ebœus. Cette opinion se trouva ensuite justifiée par les métamorphoses qui s’accompli- rent dans mon cabinet. J'ai constaté aussi que cette larve, comme celles des autres Malachius que j'ai observées, est carnassière, car je lai vue manger de petites podures , de très-jeunes eloportes, des pucerons qui existaient dans les détritus. La métamorphose en nymphe s'ést opérée quelquefois à fa surface même du terreau, plus souvent dans une petite cellule pratiquée à une trés-petite pro- fondeur. NYMPHE. Blanche, molle, très-délicate , hérissée de quelques poils sur le vertex, les bords du prothorax et les flancs ; abdomen terminé par deux papilles sétacées. INSECTE PARFAIT, Longueur 1 ‘/; à 2 millim. D'un noir assez luisant ; antennes d’un testacé jaunâtre; tête noire, un peu concave; prothorax presque imperceptiblement pointillé , largement testacé aux angles antérieurs; élytres lisses , un peu dilatées d'avant en arrière, ar- rondies postérieurement ; dessous du corps noir ; pattes d'un testacé jaunàtrc. Femelle, 244 E. Pennis. — Histoire Le male diffère par les caractères suivants : tête plus concave , d’un blanc jaunâtre ; prothorax de la même couleur antérieurement et sur les côtés; élytres d’un blanc jaunâtre postérieurement, avec une apophyse terminale large, relevée et tronquée. AGAPANTHIA (SAPERDA) SUTURALIS Fabr. PI. V, Fig. 37-46. LARVE. Longueur 17 millim. Charnue sans être molle et d’un blane un peu jaunàtre. Tête ovale, luisante, roussâtre , parsemée de poils fins et roussä tres; marquée sur le front d’une impression en V très-ouvert, et à partir du sommet de l'angle formé par cette impression, d'un sillon très-fin prolongé jusqu’au vertex et parcouru par une ligne rousse. Labre plus foncé que la tête, en ellipse transversale, sus- ceptible d’un léger mouvement de porrection et d’inflexion , hérissé de poils roux. Epistome de la couleur du labre, presque en paral- lélogramme transversal , avec les angles antérieurs un peu obtus. Bord antérieur de la tête droit, avec une petite apophyse noire et subcornée de chaque eôté de l’épistome. Aux angles existe une petite cavité dans laquelle est logée une antenne très-courte , presque in- visible , conique, et où j'ai compté trois articles. Mandibules fortes et peu crochues , luisantes, noires presque dans leur moitié supé- rieure , le reste ferrugineux. Vues en dessus elles se terminent en pointe acérée , et au-dessous de cette pointe le bord interne est mu- ni de deux dents dont la supérieure triangulaire et l’autre très-fine. Vues de côté elles sont plus étroites, autrement conformées et tail- lées en biseau à l'extrémité, avee l'angle apical bifide. Mächoires roussâtres , assez fortes etcourtes; leur lobe subconique , ne dépas- sant guère le premier artiele des palpes et hérissé de soïes rousses ; palpes maxillaires presque roux , droits ou peu s’en faut , peu al- Jlongés et ne dépassant pas les mandibules ; formés de trois articles dont le second un peu plus long que les deux autres qui sont égaux. Lèvre inférieure roussätre, grande, un peu étranglée vers le mi- lieu de sa longueur et prolongée antérieurement en une languette assez large et subtriangulaire. Palpes labiaux de la couleur des pal- pes maxillaires, dépassant à peine les lobes des mâchoires, et de deux articles égaux. Mâchoires et menton cireonserits inférieurement par des métamorphoses de divers Insectes. 245 un trait arqué, subcorné, très-légèrement. interrompu au milieu. Sur chaque joue un ocelle noir, en ellipse longitudinale. Prothorax moins long que la tête, mais un peu plus large qu’elle, avec le bord antérieur faiblement arrondi, une légère teinte rous— sàtre près de ce bord, et de chaque côté un pli longitudinal. Ce segment est plan et déclive en dessous , de sorte que, vu de profil, il a beaucoup plus de diamètre à la base qu’à son extrémité anté- rieure. Mésothorax et métathorax de moitié moins longs que le prothorax ; l'un et l’autre très-ventrus en dessous, et munis sur ce reuflement singulier d’une touffe tranversale de poils longs, assez raides, serrés et roussâtres. À l’œil nu ces poils pourraient être pris pour des pattes dont la larve est du reste entièrement dépour- vue. Sur le dos du métathorax on voitun mamelon transversal tout à fait semblable à ceux que l’on remarque chez beaucoup de larves de Muscides, et dont la crête est, comme chez ces dernières , en- tourée d’un rang de petits tubercules. Abdomen s’atténuant un peu de la base à l'extrémité , et formé de neuf segments dont les quatre premiers un peu plus longs que les suivants; tous munis d'un bourrelet latéral occupant toute leur lon- gueur; les sept premiers segments pourvus sur le dos, assez près du bord antérieur , d'un mamelon transversal semblable à celui du métathorax. Dernier segment s’élargissant un peu de la base à l’ex- trémité, qui est tronquée, et hérissé postérieurement de poils rous- sâtres et touffus, surtout au bord supérieur; milieu de la face pos- térieure occupé par un petit mamelon trilobé, médiocrement sail- lant et un peu rétractile, an centre duquel est l’anus. Le reste du corps revêtu de poils fins et d’un blane à peine roussâtre. Stigmates légèrement ovales, au nombre de neuf paires : la pre- mière assez prés du bord antérieur du mésothorax, à peine plus bas que les autres qui sont situées au tiers antérieur des huit pre- miers segments abdominaux. Cette larve vit dans les tiges du Melilotus macrorhiza Pers., qui croit dans les terrains argileux et un peu humides d’une partie du département. Sa forme bizarre piquait vivement ma curiosité ; ce renflement pectoral, ces pseudopodes dorsaux l’éloignaient dans mon esprit des nombreuses formes de larves que j'avais observées , et pendant deux années j'avais , avec une impatiente sollicitude, poursuivi ses métamorphoses, ou recherché avec avidité, sur la plante même, un insecte auquel je pusse raisonnablement la rap- porter. Mes efforts et mes soins ont été couronnés de suecès en 246 E. Pennis. — Histoire 1854. J'obtuins d'abord la nymphe et ce ne fut pas sans surprise que j'y trouvai les caractères d’une nymphe de Longicorne. Plus tard cette nymphe me donna l'Agapanthia suturalis que je n'avais ja- mais rencontrée dans ce pays. Je me rappelai alors que deux de mes amis, MM. Guérin-Méne- ville et Graells avaient publié un mémoire, le premier sur les mœurs du Calamobius ( Agapanthia) marginellus, dont la larve vit dans les chaumes du seigle, auquel il eause parfois de grands dom- mages dans certaines parties de la France; le second sur les méta- morphoses de l'Agaphantia irrorata, qui s'accomplissent dans les tiges de l’Onopordon üillyricum. Je possédais déjà la notice de M. Guérin-Méneville; lors du voyage que j'ai fait en Espagne en juin 1854, M. Graells me donna la sienne, ainsi qu’un individu de la larve et de la nymphe. Leur ressemblance avec celles de l'A. su- turalis est telle, qu'à part la taille il y a identité complète. Je dois dire pourtant que M. Graells a commis une erreur en donnant qua- tre articles aux palpes maxillaires de la larve et trois aux palpes labiaux, ceux-là n'étant positivement que de trois articles, et ceux- ei de deux. A l'identité de formes se joint la parfaite conformité de mœurs , et j'étais émerveillé de voir, en lisant le résultat des observations eonsciencieusement faites et habilement décrites par mes savants amis, queles faits énoncés par eux étaient la reproduction exacte de ceux que j'avais constatés moi-même. Je n'ai rien à y ajouter, rien à en retrancher. Je pourrais me borner à cette simple déclaration ; mais comme les notices précitées pourraient ne pas se trouver aux mains des entomologistes qui liront celle-ci, je vais donnér un ré- sumé de mes observations. L’A. suturalis nait en juin; la femelle pond un œuf sur la tige tendre encore du Melilotus macrorhiza. Elle n’en pond jamais plus d'un, et, chose étrange, aucune ponte rivale n’est faite par une autre femelle, ear jamais on ne trouve deux larves dans la même tige. Ainsi, avant de pondre, la femelle explore avec soin la tige qu’elle a d’abord jugée propice à son dessein; elle constate infailli- blement si elle a été devancée , et alors elle se retire, comme si elle savait que toute la longueur de la tige est nécessaire au développe- ment d’une seule larve et qu'elle condamnerait sa progéniture à une mort certaine si elle empiétait sur les droits du premier occupant. Cette réserve, dont bien d'autres insectes donnent l'exemple , est une nouvelle preuve de ladmirable sollicitude de Ja nature pour la conservation de ses œuvres. moéimsttes Dm" 1 des mélamorphoses de divers Insectes. 247 Dés sa naissance, la jeune larve pénètre dans le canal médullaire et le ronge en remontant vers le sommet. Arrivée là, elle se re- tourne dans sa galerie, et se met à creuser en descendant. Les par- ties qu’elle détache sont presque entièrement utilisées pour son ali- mentation, car la galerie est complètement libre sur une grande étendue, et l’on n'y trouve de petits tas de détritus ou d’excréments qu'à de notables intervalles. À l'automne, la galerie se prolonge déjà jusqu’au collet de la racine. La larve la parcourt, soit en avant, soit à reculons , avec une facilité et une rapidité vraiment surpre- nantes , ce qu'il est aisé de voir lorsqu'on fend la tige de manière à n'ouvrir la galerie que sur le tiers de son pourtour. Il faut convenir aussi qu’elle est merveilleusement organisée pour ces sortes de ma- nœuvres. Lorsqu'elle veut avancer , elle appuye sa tête et ses pseu- dopodes pectoraux contre les parois inférieures de la galerie, eon- tracte son corps, ramène autant qu’elle le peut le dernier segment qui s'applique contre ces mêmes parois par sa face postérieure; puis, à l’aide de ce point d'appui et des pseudopodes dorsaux, elle se pousse en avant pour recommencer le mème exercice. Quand elle veut reculer, elle allonge son corps autant que possible, relève la tête contre les parois supérieures, se sert de celle-ci et de tous ses pseudopodes pour contracter son corps en arrière, et ainsi de suite. Cette larve si agile dans sa galerie, parce qu’elle est spécialement constituée pour vivre dans ces conditions , est incapable, lorsqu’elle en est dehors, de tout mouvement de progression ; ellene peut que s’agiter sans résultat aucun , et elle prend habituellement l'attitude que je lui ai donnée dans mon dessin. Lorsqu'un accident a rompu la tige où elle vit, la larve se hâte de boucher l'orifice par un fort tampon de petits copeaux qu'elle dé- tache des parois de sa galerie. Elle établit aussi, ordinairement as- sez près du collet de la racine, deux tampons analogues, à une distance un peu supérieure à la longueur de son corps , ete’est dans cet intervalle qu'elle passe tout l'hiver et une partie du printemps, après s'être préalablement retournée, de manière à se trouver la tête en haut, Le mois d'avril ou de mai venu, elle subit sa méta- morphose en nymphe. NYMPHE. Elle est blanche, et présente, emmaillotées comme à l'ordinaire, toutes les parties de l’insecte parfait. Les segments abdominaux, sauf le dernier, ont sur le dos un mamelon bien saillant et sur- 248 E. Pernis. — Histoire monté d’une série transversale de quatre spinules cornées et ferru- gineuses, un peu arquées en arrière; en avant du mamelon on remarque deux spinules semblables. Les côtés sont revêtus de poils courts et très-fins. Le dernier segment, vu de profil, est subtrian- gulaire, Son extrémité est armée de deux petits erochets relevés , et sur la déclivité inférieure on remarque trois séries de spinules rele- vées : la première de deux, la seconde de six , la troisième de qua- tre ; au-dessous existe une touffe de poils. Cette nymphe , grace aux mamelons et aux spinules dont j'ai parlé, peut comme la larve, monter et descendre avec facilité dans sa galerie. La nymphe de l'A. érrorata montre plus de spinules, et je ne lui vois pas les deux petits crochets terminaux. J'ai obtenu l'inseete parfait en juin. Pour sortir , il perfore la tige d’un trou rond, en regard de la cellule où se sont accombplies les dernières métamorphoses. INSECTE PARFAIT, Longueur de 9 à 12 ‘/, millim. D'un bronzé verdätre, à duvet brunâtre, cendré et roussâtre. Premier article des antennes de la couleur du corps, les autres annelés de brun et de cendré; tête peu densément ponctuée ; prothorax finement chagriné, ayant trois li- gnes longitudinales d’un duvet jaunätre, une sur le disque et une de chaque côté; écusson satiné, de même couleur ; élytres ruguleu- sement ponetuées , moins fortement à l'extrémité, ayant le long de la suture et du bord marginal une bordure d’un duvet cendré- jaunâtre,. DIRCŒA LŒVIGATA Hellenius. (DISCOLOR Fabr.) PI. V, Fig. 47-55. LARVE. Longueur 14 millim. Blanche, charnue, un peu dilatée inférieu- rement , à cela près, cylindrique. Tête d’un blanc roussâtre, lisse; un peu plus large que longue, s'élargissant un peu d'avant en arrière, pour se rétrécir à la base; côtés et angles postérieurs régulièrement arrondis; deux fossettes sur le front, puis un sillon médian atteignant le vertex. Bord antérieur droit au milieu , avec deux taches noirâtres, puis s’arron- dissant autour de la cavité antennaire et se continuant ensuite vers les côtés en ligne droite, Epistome transversal et d’assez faible di- des métamorphoses de divers Insectes. 249 mension ; largement et peu profondément échancré en avant ; la- bre semi-discoïdal et cilié. Mandibules noires à l'extrémité et sur les bords , ferrugineuses au centre, où l’on aperçoit une petite fos- selte ; assez robustes , subtriangulaires, échancrées, presque bifi- des à l'extrémité, avec une courte et large rainure extérieure sous l'échancrure. Mâchoires fortes , coudées et mobiles comme dans les larves d'Hétéromères; lobe sub-cylindrique, armé de cils spinuli- formes roussâtres, allongé, atteignant ou dépassant un peu l'ex- trémité du second article des palpes maxillaires qui sont très-peu arqués et formés de trois articles égaux. Menton de moyenne dimen- sion et à côtés à peu près parallèles ; lèvre inférieure peu développée, prolongée au milieu en une petite languette, et surmontée des pal- pes labiaux de deux articles égaux. Ces divers organes sont renfer- més entre les mâchoires, et les palpes labiaux ne dépassent guère la moitié du lobe de celles-ci. Antennes insérées contre la base des mandibules , coniques et de quatre articles égaux , plus le petit ar- ticle supplémentaire qui, comme dans beaucoup de larves , sur- monte en dessous le troisième article. Un peu au-dessous des an- tennes, du côté des joues, on voit cinq petits ocelles noirs, dont trois supérieurs, équidistants et disposés en ligne oblique , et deux inférieurs vis-à-vis les deux extrêmes de la série supérieure. Prothorax de moitié plus large que la tête et aussi long qu'elle, un peu ridé sur son tiers antérieur ; mésothorax et métathorax sensiblement plus étroits et plus courts que le précédent et égaux entre eux; munis, près du bord antérieur, d'une fine crête trans- versale, subcornée, rousse, denticulée, et un peu en arc ren- versé. Pattes courtes, robustes et de einq pièces; hanche épaisse et parsemée de spinules roussâtres ; trochanter assez développé ; femur et tibia hérissés en dessous de quelques soies ; tarse représenté par un ongle crochu, corné et ferrugineux à l'extrémité. Abdomen de neuf segments : le premier égal au métathorax ; les six suivants plus longs ; le huitième à peu près comme le premier ; le neuvième un peu plus long , un peu plus étroit et muni de deux erochets relevés un peu crochus, dont la moitié supérieure est Cor- née et d’un brun ferrugineux. Entre les deux erochets le bord pos- térieur du segment est échancré et les deux angles de l'échancrure sont cornés et d'un brun ferrugineux. Au-dessus de l'échancrure on aperçoit cette cavité qui existe dans plusieurs larves et dont l'u- sage est inconnu. Le bord supérieur de cette cavité est comme tran- 52 250 E. Pennis. — Histoire chant, ferrugineux et corné. Sous ce dernier segment existe un mamelon pseudopode et rétractile, au centre duquel est l'anus. Le long des flancs règne un bourrelet peu développé. La tête et tout le corps sont parsemés de poils très-fins et rous- sâtres. Stigmates au nombre de neuf paires : la première , plus infé- rieure que les autres, sur un petit bourrelet qui surgit entre le prothorax et le mésothorax , et qui semble dépendre de celui-ci ; les autres au tiers antérieur des huit premiers segments abdomi- naux, immédiatement au-dessus du bourrelet latéral. Cette larve était connue d’Erichson, mais il ne l’a point décrite et il se borne à dire (Archiv. de Wiegm. 1842) qu'elle porte sur son dernier segment deux crochets recourbés en haut. Je l'ai trouvée , en septembre 1855, dans les Pyrénées, près du lac de Gaube, dans une vieille souche de Pinus uncinata Ram. J'en recueillis quelques individus, avec l'insecte parfait récemment transformé, à une profondeur de un à quatre centimètres dans l'in- térieur du bois. C’est de ce bois en voie de décomposition qu’elle se nourrit, ainsi que l’attestent les galeries sinueuses qu'elle y creuse et qui sont encombrées de détritus et d’excréments. Elle a des rapports bien manifestes : 1° avec les larves connues des Mélandryades qui vivent les unes dans le bois, les autres dans les champignons subéreux, parasites des bois morts ; 2° avec les larves des OEdémerides, qui sont xylophages et affectionnent géné- ralement , comme elle, le bois à demi décomposé. Celles-ci n’ont pas, à la vérité, de crochets au dernier segment ; mais ce caractère ne parait pas avoir une grande importance, car , dans la famille même à laquelle appartient la Dércœa , on trouve des larves dépour- vues de crochets. Je citerai notamment les Melandrya et l'Orchesia micans. Bien plus, la larve de l'Hallomenus undatus n’a pas de cro- chets , et on en voit de très-apparents dans celle de l'A. humeralis. NYMPHE. Elle ne m'est pas connue. INSECTE PARFAIT. Longueur 8 à 10 millim. Brun avec les élytres quelquefois un peutestacées, et entièrement revêtu d’un duvet couché et roussä- tre. Tête subconvexe, finement chagrinée, avec une rainure trans- des mélamorphoses de divers Insectes. 251 versale et arquée, très-peu visible, d’un œil à l’autre; bord de l'épistome et labre testacés ; troisième article des palpes maxillaires brun ; antennes brunes , plus ou moins testacées à la base ; protho- rax densément ponctué-chagriné , avec deux dépressions écartées et peu profondes à la base; élytres ponctuées comme le prothorax, ainsi que le dessous du corps ; cuisses brunes, tibias el tarses tes- tacés, SPHINDUS GYLLENHALII Chevr. (NITIDULA DUBIA Gyll.) PI. V, Fig. 56-63. LARVE. Longueur 2 :/, millim. Elliptique-oblongue, peu convexe en dessus, et moins encore en dessous, de consistance plutôt charnue que coriace. Tête un peu déprimée, noire, luisante, presque en forme de disque ; sutures du crane bien visibles et d'un blanchâtre livide, Epistome très-court , labre semi-discoïdal et cilié, Mandibules assez courtes, larges , arquées, et se joignant à peine; ferrugineuses à la base, puis noires jusqu'à l'extrémité qui est bidentée. Mächoires assez fortes ; lobe court, un peu large, arrondi, muni à son extré- mité et à son bord interne de cils rapprochés et spinuliformes. Pla- pes maxillaires à peine arqués en dedans, de trois articles dont ie second plus grand que chacun des deux autres. Menton brunätre, subcorné ; lèvre inférieure un peu échancrée ; palpes labiaux de deux articles égaux , dépassant les lobes des mächoires. Antennes de quatre articles : le premier court, large et un peu rétractile ; le se- cond sensiblement plus étroit et un peu plus long ; le troisième lé- gèrement ventru vers l'extrémité, deux fois aussi long que le pré- cédent , et surmonté de deux ou trois poils fort courts ; le quatrième court, subconique, terminé par un long poil. Tous ces organes sont d'un blanc un peu sale et livide. Au-dessous de chaque an- tenne se montrent six ocelles noirs en deux séries transversales dont la supérieure formée de trois ocelles également distants , et linfé- rieure de trois aussi dont deux rapprochés et un écarté. Prothorax sensiblement plus grand que les autres segments et plus large que Ja tête, plus étroit antérieurement qu’à la base; d’un noir luisant en dessus, avec une ligne médiane d'un blanchâtre livide, correspondant au vaisseau dorsal. Mésothorax et mélathorax 252 E, Pernis. — Histoire d'un blanchâtre livide, et marqués de deux taches transversales, presque contiguës , noires et éclairées de blanchätre. Chacun des segments thoraciques porte une paire de pattes livi- des, de médiocre longueur, ne faisant guère saillie au-delà du corps , formées de cinq pièces, l'ongle compris, et hérissées de quel- ques soies. Abdomen de neuf segments : les huit premiers d’un blanchâtre livide, munis latéralement d’un petit bourrelet, et ornés de deux taches noires transversales, situées près du bord postérieur ; le neuvième, le plus étroit de tous, faiblement échancré postérieu-- rement, entièrement noir en dessus, et muni en dessous d’un court mamelon pseudopode, blanchâtre, charnu et rétractile, au centre duquel est l’anus. Toute la face sternale et ventrale est d’un blanchâtre un peu sale et livide. Sur la tête, le long des flancs et autour du dernier segment on voit à laloupe d’assez longs poils , d’un blanc roussâtre ; on en aper- çoit aussi au moins quatre séries longitudinales sur le dos et en dessous ; mais ils sont un peu plus courts que les autres. Stigmates au nombre de neuf paires, placées, la première près du bord postérieur du prothorax, les autres au quart antérieur des huit premiers segments abdominaux. J'ai rencontré en septembre la larve du Sphindus en compagnie de celle du Liodes castanea, dans la Reticularia hortensis Bull. Elle est assez diflicile à découvrir , à cause de sa petite taille et de la len- teur extrême de sa démarche, et parce que, recouverte par la pous- sière du champignon , elle se confond avec lui. On a quelque chance de la trouver en grattant le champignon sur une feuille de papier , que l’on retourne ensuite avec précaution; la poussière tombe et la larve demeure le plus souvent accrochée au papier. Lorsqu'on la tourmente elle se jette sur le flanc et se courbe un peu sur elle-même. Comme celle du Liodes elle s'enfonce dans la terre pour se transformer. M. Chevrolat a publié dans la Revue entomologique de Silber- mann (1855) la description du Sphindus Gyllenhali quin’est autre, ainsi que je lai mentionné plus haut, que la Mitidula dubia Gyll. , et qui ne pouvait demeurer dans les Nitidulaires. M. Chevrolat à également connu la larve, et il en a donné, à la suite de l'insecte parfait , une figure incorrecte, parce qu’elle a été prise sur un in- des métamorphoses de divers Insectes. 255 dividu desséché. Aussi se borne-t-il à la signaler ainsi qu'il suit : « La larve est composée de douze anneaux. Elle est grosse, blanche, » ayec quelques points noirâtres, couverte de longs poils blancs, » très-minces et espacés. » Cette description est trop incomplète pour qu'on puisse considérer comme un double emploi celle que je viens de donner. M. Chevrolat dit avoir trouvé, deux années de suite, le Sphindus et sa larve dans un champignon de la famille des Lycoperdiacées , la Lycogala miniata Pers. Je les ai rencontré, ainsi que je l'ai dit, dans une production de la même famille, la Reticularia hortensis dont les dimensions sont, à la vérité, beaucoup plus grandes que celles de la Lycogala , mais qui, comme elle, se développe sur le bois ou la sciure en décomposition , et, comme elle aussi, a une en- veloppe extrêmement mince et une chair d’abord pulpeuse qui se transforme en une poussière brune très-fine. On doit voir là une preuve de plus de l'instinct merveilleux des insectes pour discerner les affinités et les analogies organiques des végétaux, et assurer ainsi leur reproduction en multipliant ou remplaçant au besoin les moyens d'alimentation de leurs larves. M. Chevrolat a classé le genre Sphindus immédiatement après le genre Tetratoma, et peut-être uniquement à cause de la confiance qu'inspire et que mérite ce savant, presque tous les auteurs se sont conformés à sa manière de voir. M. Schaum pourtant s’en est écar- té, et dans son Cataloqus Coleopterorum Europæ (1859), il se dé- clare dans l'impossibilité d’assigner une place quelconque au Sphin- dus, et il l'introduit , en compagnie de quelques autres genres, dans la catégorie des Incertæ sedis. J'avoue franchement que je serais tenté d’en faire autant pour la larve, et la prétention que je nourris toujours, de rencontrer géné- ralement dans les larves des caractères comparatifs analogues à ceux des insectes parfaits, me fait trouver quelque charme à mon em- barras, quisque M. Schaum s’est trouvé embarrassé aussi pour l'insecte parfait. M. Dejean, M. de Castelnau et autres ont placé le genre Tetra- toma dans les Taxicornes, avec les Diaperis, les Uloma, les Pha- leria , et M. Schaum dans les Ténébrionites, avec les insectes ci- dessus et tous les Mélasomes ; or, je ne vois pas au Sphindus les caractères propres à ces familles, et sa larve diffère certainement beaucoup des leurs. Malheureusement, je ne connais pas celle du Tetratoma; mais j'ose affirmer que si ce genre doit demeurer parmi 254 E. Pernris, — Histoire les Ténébrionites , sa larve ne ressemble pas à celle du Sphindus , ce qui justifierait, à mes yeux du moins, la répugnance que j'é- prouve à colloquer ce dernier dans les Taxicornes ou les Ténébrio- nites. A l'exemple de M. Redtenbacher, M. Gaubil, dans son Catalogue, a inscrit le Sphindus à la fin de la famille des Cryptophagiens, et à la suite des Tetratoma qu'il y introduit aussi. Je ne veux pas entrer ici dans une longue diseussion qui ne serait guère à sa place; j'en laisse le soin aux savants qui s'occupent spécialement des questions de classification méthodique; mais je veux dire, ne fut-ce que pour appeler leur attention , que cette famille des Cryptophagiens me pa- rait formée d'éléments trop disparates, et qu’on a consulté, pour l'établir, plutôt l’ensemble trompeur des formes que les véritables caractères organiques. Il me semble aussi que le genre Tetratoma n'aurait pas dû y trouver place , et le Sphindus ne m'y plait pas in- finiment non plus. Concluez done me dira-t-on. Eh! bien, je n'ose pas conclure , parce que je ne sais pas assez ce que je dois faire de la larve. Je lui trouve des rapports avec celles des Lathridiens, des Dermestins , des Mycétophagides, de ces derniers surtout, et j'en dirai autant de l’insecte parfait. Mais je m'arrête, car je me rap- pelle que M. Lacordaire s'occupe en ce moment d'un Genera. À qui puis-je mieux me fier pour résoudre une question qui est si bien de sa compétence , et qui ne sera qu'un jeu pour sa haute science ? NYMPHE: J'ai élevé les larves du Sphindus; mais la crainte de les déranger lorsqu'elles étaient sous terre m'a fait perdre l'occasion de voir la nymphe. Je nela connais donc pas, et M. Chevrolat parait avoir été dans le même cas. INSECTE PARFAIT. Longueur 2 millim. Tête noirâtre , à peine pointillée; antennes et bouche d’un testacé ferrugineux; prothorax de la couleur de la tête, un peu plus large que long, rebordé finement à la base , plus largement sur les côtés ; finement et densément ponctué. Elytres de la largeur du prothorax ; brunes, ordinairement avec une nuance ferrugineuse; à calus huméral saillant et ferrugineux ; marquées de stries peu profondément crénelées , dont les intervalles sont presque imperceptiblement ridés en travers et couvertes d’un duvet couché etroussätre, Dessous du corps noirâtre ; pieds d’un testacé ferrugi- neux. des mélamorphoses de divers Insectes. 255 LAGRIA HIRTA L. © — PUBESCENS L, PI. V, Fig. 64-72, LARVE: Longueur de 9 à 11 millim., largeur un peu plus de 2. Subeo- riace , convexe en dessus, presque plane en dessous , à côtés pres- que parallèles, avee le dernier segment se retrécissant d'avant en arrière ; macuJée de noirâtre sur un fond uniformément d’un fauve livide en dessus, blanchâtre en dessous. Tête un peu plus large que longue, légèrement déprimée en des- sus. Epistome trapézoïdal et d'un ferrugineux livide ; labre de la même couleur , un peu échancré, et revêtu de longs poils fauves. Mandibules se joignant sans se croiser ; noires à l'extrémité qui est peu profondément bidentée, ferrugineuses au milieu, d’un fauve clair et livide à I base ; au tiers supérieur elles se dilatent en dedans en une grosse dent qui se prolonge jusque près de la base où a lieu une autre dilatation. Lobe des mâchoires de médiocre longueur , velu, et muni intérieurement de petites spinules coniques qui forment comme une dentelure en scie. Palpes maxillaires à peine saillants en avant de la tête, arqués en dedans et de trois articles : le premier très-court, les deux autres égaux entre eux et plus de deux fois aussi longs que le premier. Lévre inférieure échancrée; palpes labiaux ne dépassant pas le lobe des mächoires, de deux articles dont le premier un peu plus court que le second. Antennes assez longues, de quatre articles : le premier gros et à peu près cylindrique; le second de la même longueur , cylindrique aussi ; Mais sensiblement plus étroit; le troisième près de deux fois aussi long que les deux autres ensemble, légèrement arqué en dedans , et un peu en mas- sue; le quatrième très-court, hémisphérique. Les deux articles in- termédiaires sont hérissés de longs poils roussâtres. La couleur de tous ces organes est la même que celle du corps, sauf le premier article qui, étant rétractile, est d’un blanchätre livide. Près de la base des antennes , du côté des joues , on voit quatre ocelles dis- posés en arc de cercle. Celui qui est le plus voisin des antennes est noir , ou simplement papillé de noir et un peu écarté des trois au- tres qui sont contigus, et dont les deux premiers sont noirs et le dernier d’un blanchätre livide. Quelquefois tous ces ocelles sont uni- formément noirs ou noirâtres. 256 E. Pernis. — Histoire Prothorax un peu plus étroit antérieurement qu’à la base, près de deux fois aussi grand que chacun des deux autres segments tho- raciques, qui sont de la même dimension que les segments abdo- minaux. Dessus du prothorax marqué au milieu d’une tache longi- tudinale noirâtre, coupée en deux par une ligne blanchâtre formée par le vaisseau dorsal, que l’on voit par transparence ; la tache noirâtre descend jusqu'au bord postérieur du segment , qui est li- seré de brunâtre; on voit, de chaque côté, un gros point de la même couleur. Les deux autres segments thoraciques et les huit prémiers segments abdominaux ont une tache dorsale noirâtre , qui va d’un bord à l'autre , et se dilate aux deux extrémités, surtout an- térieurement. Le bord postérieur de ces segments est liseré de noirà- tre, et sur chaque côté on voit une tache de mème couleur qui va, en décrivant un are, du bord antérieur à la base. Le dernier seg- ment n’a qu'une tache basilaire en forme de triangle; il est coni- que, très-légèrement sillonné au milieu, et terminé par deux pe- tites pointes rapprochées , droites, parallèles et acérées. En dessous, le corps est d’un blanchâtre livide, avec quelques petites taches d’un brunätre livide sur la poitrine, et une grande tache de même couleur de chaque côté des huit premiers segments abdominaux. La tête, le prothorax et le dernier segment abdominal sont cou- verts de longs poils fauves ; sur tous les autres segments ces poils n'existent qu'au milieu transversal, et ils apparaissent sur les côtés en forme de houppes. Ceux de la région ventrale sont beaucoup plus courts que ceux du dos. Le long des flancs règne un bourrelet sur lequel sont placés les stigmates au nombre de neuf paires : la première se trouve près du bord antérieur du mésothorax, les autres au tiers antérieur des huit premiers segments abdominaux. Les organes de locomotion consiste en un mamelon anal, fort peu extratile, et qui se trouve ordinairement caché dans un pli transversal sous le dernier segment, et en trois paires de pattes peu allongées , très-velues, les tibias surtout , et insérées sous les trois segments thoraciques. Elles sont variées de brunâtre et de blan- châtre livides et formées de cinq pièces, y compris un ongle peu crochu. Lyonet (OEuvres posth. p. 112, pl. 11, fig. 17-51) a donné la description et la figure de la larve de la Lagria hirta; mais sa no- tice me parait laisser quelque chose à désirer. Lyonct, en effet , ne des métamorphoses de divers Insectes. 257 fait mention, ni des stigmates, ni des ocelles, ni des deux pointes du dernier segment, D’après lui, les antennes ne seraient que de trois articles, car il considère l’article terminal comme un mame- lon, et il affirme, bien à tort, que l'existence de ces organes dans les larves à métamorphoses complètes est chose très-rare, lorsqu'il est avéré, au contraire, que les larves des Coléoptères ont toutes des antennes. Je ne connais pas du moins, quant à moi, une seule ex- ception. Selon Lyonet, la larve de la Lagria se trouve tout l'hiver au pied des chènes , sous leurs feuilles mortes, et il en a obtenu la méta- morphose en nymphe au commencement de juillet. Je l'ai rencon- trée dans les mêmes conditions , mais c’est sur les copeaux d’un vieux chène abattu en pleine sève que je l'ai recueillie pour la pre- mière fois, et c’est vers la fin de juin qu’eut lieu la transformation en nymphe. La larve de la Lagria hirta se nourrit, suivant Lyonet, des feuilles mortes de chêne. Je ne suis pas précisément en mesure de contredire cette assertion par des faits positifs ; mais je la considère comme contestable, sachant, d’après le témoignage très-digne de foi de M. Foudras , que la larve de l’Agnathus decoratus , insecte très- voisin des Lagria, vit, sous les écorces, de Bostriches et autres in- sectes. Je suis done porté à penser que la larve dont il s’agit ici se repait de matières animales, et que, si elle n’attaque pas des proies vivantes , elle recherche du moins les débris d'insectes et d’autres animaux, à l'exemple des larves de Si/pha et de Dermestes avec les- quelles elle a d’assez grands rapports d'organisation. On serait ten- té, en effet, de croire qu’elle appartient du moins à ce dernier genre. La forme de son corps, sa couleur, la disposition de ses poils, ses deux pointes terminales , la faculté qu’elle a de se rouler sur elle-même quand on l'inquiète , tout eoncourt à provoquer une méprise. Les larves adultes, ou à peu près, que j'ai recueillies à la fin de mai, et que j'ai installées dans mon cabinet au milieu de feuilles sè- ches et de petits copeaux, se sont transformées , sans aucun prépa- ratif, parmi ces débris. NYMPHE. Elle est blanche, hérissée de poils fins et roussätres , et présente, emmaillotées comme à l'ordinaire, toutes les parties de l’insecte parfait. Ce qu'elle offre seulement de particulier ce sont des papilles 33 9258 E. Permis. — Histoire charnues et tronquées, terminées par des poils, et au nombre de douze, une de chaque côté des six premiers segments abdominaux. D'après Lyonet, ces papilles seraient au nombre de seize; mais je n'ai pu en compter que douze. Le dernier segment est étroit, allon- gé et presque bifide à l'extrémité. L'état de nymphe dure de huit à douze jours. INSECTE PARFAIT. Longueur 8 à 10 millim. Tête d’un noir bronzé, hérissée, comme tout le corps , de longs poils roussätres; marquée d’un sillon trans- versal entre les antennes, et sur le front d’une fossette quelquefois obsolète. Prothorax de la couleur de la tête; à peine aussi large qu’elle, ruguleusement ponctué ; marqué au milieu d’un sillon large et irrégulier, tantôt peu profond, tantôt se réduisant à une simple fossette bien marquée. Elytres testacées , deux fois aussi lar- ges à leur base que le prothorax, s’élargissant d’avant en arrière pour se rétrécir près de l'extrémité; densément et ruguleusement ponctuées , avec des apparences de stries dont certains intervalles , surtout celui qui part des épaules, sont souvent relevés en forme de côtes. Dessous du corps presque lisse, luisant et d’une couleur plus ou moins foncée, ainsi que les pattes. Femelle, Le mâle, qui est la L. pubescens de Linné, diffère par les carac- tères suivants : corps visiblement plus étroit; tête concave entre les yeux qui sont plus grands , plus saillants et presque contigus ; pro- thorax sensiblement plus étroit que la tête, un peu étranglé en dessous du milieu et sans sillon ; élytres régulièrement striées; in- tervalles uniformément convexes. LAGRIA LATA Fabr, PL V, Fig. 13-78. LARVE. Un voyage que j'ai fait en Espagne avec mon illustre ami Léon Dufour m'a fourni l’occasion de connaitre la larve de la plus belle espèce de ce genre, la L. lata, propre à la Péninsule. Nous étions à l'Eseurial le 15 juin 1854, et vers le soir Jj'allai, avec mon ami M. Graells, à la recherche de cet insecte , au seul endroit où on le rencontre , c’est-à-dire contre les murs du jardin du fameux et ma- gnifique couvent bâti par Philippe IL. Nous le trouvâmes en si grand nombre, que si nous n’eussions été surpris par la nuit , nous en au- des métamorphoses de divers Insectes. 259 rions pris probablement plusieurs milliers d'individus. Parmi ces insectes, blottis dans les petites anfractuosités du granit , et qui at- tendaient sans doute la nuit clôse pour prendre leurs ébats, nous trouvämes plusieurs de leurs larves que la chüte du jour avait dé- terminées à quitter leur retraite. Je n’eus pas de peine à les recon- naître à leur ressemblance avec la larve de la L. Airta qui était bien présente à mon esprit. Quoique je n’aie pas poursuivi leurs méta- morphoses, je n'hésite pas à maintenir mes premières appréciations qui sont basées sur les nombreux caractères communs aux deux es- pèces dont il s’agit, et sur cette circonstance que les larves que j'at- tribue à la L, lala erraient parmi les innombrables individus de l'insecte parfait. Cette larve est longue de 14 millim., convexe en dessus, presque plane en dessous. Elle diffère de la précédente par les caractères suivants : la tête est d’un noir livide; le troisième article des an- tennes est cylindrique et non renflé au milieu; le premier article des palpes maxillaires est relativement plus grand; il a les deux tiers de la longueur du suivant; celui-ci est subglobuleux et non cylindrique. Les quatre ocelles sont de la couleur de la tête et dé- crivent une courbe plus arquée. Le corps ressemble plus à celui d’une larve de Dermeste, c’est-à-dire qu’il va en se rétrécissant régulièrement d'avant en arrière; il est en dessous, comme dans la larve de la L. hirta , d'un blanchâtre livide , mais en dessus il est tantôt d’un noirâtre terne uniforme, tantôt varié de noirâtre et de fauve livide. Dans ce dernier cas , la couleur noirâtre forme une large tache longitudinale et médiane sur les trois segments thora- eiques , et une sur chaque côté ; elle occupe toute la surface dorsale des huit premiers segments abdominaux, sauf deux portions laté- rales dont l’étendue diminue à mesure qu’on s'approche du neu- vième segment. Celui-ci est généralement d’un fauve livide, avec une tache triangulaire noirâtre à la base; il porte à son bord posté- rieur un tubercule noirâtre, corné et bifide qui remplace les deux pointes de la larve de la L. hirta. Les poils sont semblablement dis- posés, mais près de la base de chaque segment, sauf le premier, existe une très-fine crête transversale, en forme d’accolade. On n’apercoit ces crêtes que quand la larve s’allonge , car dans l'état de repos et de contraction, elles sont cachées , sur chaque segment, par le bord postérieur du segment précédent qui vient s’y appuyer. La larve de la L. lata doit être très-commune aux lieux où je l'ai trouvée, puisque l’insecte y est si abondant. Pour maintenir lhypo- 260 E. Penris. — Histoire thèse que j'ai faite au sujet de la larve précédente, je dois penser qu’elle se nourrit des débris d'animaux, cloportes, escargots , che- nilles, etc., dispersés -ou accumulés entre les assises des pierres, à moins pourtant qu’elle ne vive deslichens dont ces pierres sont par- semées. Mon savant et perspicace ami M. Graells donnera avant longtemps, je l'espère, la solution de cette intéressante question que je n'aurais peut-être pas laissée indécise si j'avais pu faire quel- ques autres visites à l'Escurial. NYMPIHE. Je ne l'ai pas observée. INSECTE PARFAIT, Longueur 9 à 12 millim. Beaucoup plus large que la L. hirta , et à élytres presque parallèles et non sensiblement élargies d'avant en arrière. Tête, prothorax, écusson, dessous du corps et pattes d'un noir très-luisant et lisses ; un sillon entre les antennes qui sont d’un noir opaque. Prothorax à peine étranglé au-dessous du milieu. Elytres près de quatre fois aussi larges que le prothorax , sans ap- parence de stries , fortement et transversalement rugueuses. Male et femelle. On a créé une famille exprès pour les Lagria, et la forme toute particulière de leurs larves me fait applaudir à cette mesure ; mais je reste tout ébahi des différences énormes qui existent entre ces larves et celles-des Pyrochroa dont la famille est contigüe. Il y a là une anomalie qui semble supposer une lacune, ou qui s’expliquera sans doute lorsqu'on connaitra quelques larves d’Anthicites et de Méloïdes. HISPA TESTACEA L. PL V,Fig. 79-92. LARVE, Longueur 5 :/, millim., largeur au thorax 2 millim., au mütieu de l'abdomen 2 :/,. Corps très-aplati, presque spatulé d'avant en arrière, coriace et d’un blanc sale. Tête luisante, petite, de moitié moins large que le bord antérieur du prothorax, à moitié enchassée dans ce dernier; plus large que longue ; régulièrement arrondie sur les côtés , où sé montrent trois ou quatre poils, aplatie, plane en dessus où elle est marquée d'un des mélamorphoses de divers Insectes. 261 sillon médian bien sensible, de deux fossettes oblongues, et en outre de deux petits traits obliques qui, partant de la base des an- tennes, se réunissent au vertex. En dessous elle est un peu con- vexe. Sa consistance générale est cornée et sa couleur rousse avec les côtés plus foncés. Epistome soudé au front, ce qui fait que le bord antérieur est un peu saillant au milieu; labre transversal , submenbraneux ; man- dibules rapprochées , courtes, un peu arquées , à peu près triangu- laires, médiocrement acérées et nullement dentées. Les autres orga- nes de la bouche d’une simplicité extrême : mâchoires d’une seule pièce, soudées dans toute leur longueur au menton qui est d’une seule pièce aussi. Ces organes sont représentés par trois plaques lisses, luisantes, cornées , qui revétent la face inférieure de la tête et sont limitées par de profonds sillons. A la place des palpes maxil- laires on aperçoit, surmontant chaque mâchoire, un organe corné, conique, marqué vers le milieu d’un petit étranglement annulaire qui semble le partager en deux articles , et muni d’un poil au côté externe. Le menton est surmonté d’une plaque en demi-ellipse longitudinale, cornée, avec la partie antérieure membraneuse, et qui représente la lèvre inférieure. Les palpes labiaux sont nuls; ce- pendant il m'a semblé voir, à une très-forte loupe, un tout petit tu- bercule aux deux angles basilaires de la lèvre. Les antennes, insérées près de la base des mandibules, sont bien visibles , quoique courtes, et de quatre articles : le premier assez épais, enchassé presque entièrement dans la cavité antennaire ; le second et le troisième d’égale longueur , mais celui-ci un peu glo- buleux, et muni d'un poil extérieurement; le quatrième plus court que les précédents et très-grèle. Sur chaque joue on voit un groupe de quatre ocelles tantôt noirs, tantôt gris, dont deux sur une ligne très-oblique, et deux au-dessous , presque contigus. Un autre point semblable complète un triangle avec les deux ocelles supérieurs , et il est facile de le prendre pour un cinquième ocelle; mais avec un peu d'attention, on constate qu’il est toujours surmonté d’un poil , et qu’il n’est dès lors qu’un de ces tubercules piligères qu’on rencon- tre si fréquemment dans les larves. Le prothorax est plus étroit antérieurement qu’à la base, près de deux fois et demi aussi large que long; marqué transversalement, un peu au-dessous du milieu, d’un sillon formé de trois arcs ren- versés. Dans l'enceinte de ce sillon la peau est finement chagrinée , légèrement cornée et marquée de deux larges taches triangulaires et 262 E. Permis. — Histoire adjacentes. Sur la face inférieure existe une tache noirâtre aussi large à la base que la tête, et triangulaire. Le mésothorax et le mé- tathorax, égaux entre eux, sont visiblement plus courts que le pro- thorax , mais un peu plus larges que lui. Les côtés sont sinués et pourvus, comme le prothorax, de très-petits poils grisätres. La face dorsale est marquée transversalement d’une rainure qui n’at- teint pas , bien s’en faut, les côtés , et dont les bords s’élèvent en forme de petit bourrelet muni de tubercules peu saillants et conti- gus. Ces bourrelets, qui servent évidemment à favoriser la pro- gression de la larve, ont la plus grande analogie avec ceux que pré- sentent la plupart des larves de Muscides. En dessous, ces mêmes segments portent deux bourrelets circulaires, plus visiblement tu- berculeux, et ayant la même destination que ceux du dos. Près du bord postérieur, sur la ligne médiane, on apercoit un petit point noiratre et calleux. Chacun des trois segments thoraciques est muni d’une paire de pattes courtes , très-écartées à leur insertion , d’un noirâtre livide et de cinq pièces, savoir : la hanche, assez épaisse ; le trochanter , à peine visible; le fémur; le tibia, de moitié plus court que le précé- dent, cylindrique comme lui, avec deux poils de chaque côté, et à l'extrémité , deux longs poils roussâtres et un peu épais; le tarse, représenté par un ongle noir, corné, un peu arqué. À droite et à gauche de l’ongle on voit une papille membraneuse et arquée, sem- blable aux pelotes des tarses des Diptères. L’abdomen est de huit segments, dont les quatre premiers vont en s’élargissant et les suivants en se rétrécissant, ce qui donne à la larve la forme un peu spatulée que j'ai signalée en commençant. Les six premiers segments ont en dessus un bourrelet analogue à ceux du thorax, mais de moitié plus eourt, et le septième, exempt de bourrelet, est marqué seulement d’un pli transversal. En dessous , le bourrelet pseudopode existe sur les sept premiers segments , mais il est un peu plus marqué qu'en dessus, un peu arqué et non in- terrompu aux extrémités. Chacun de ces segments est dilaté sur les côtés de manière à faire paraître les bords latéraux comme pro- fondément dentés, et sur chaque lobe on observe un ou deux poils roussâtres très-courts et à la suite une papille cylindrique, dont l’ex- trémité brunâtre et un peu calleuse, est surmontée d’un petit poil. Le huitième segment, plusgrand que les autres, a aussi des papilles latérales, mais elles sont coniques et un peu échancrées en dessus. La moitié postérieure et supérieure de ce segment est recouverte des métamorphoses de divers Insectes. 965 d’une plaque en parallélogramme transversal, cornée, rousse, sauf les bords antérieurs et latéraux qui sont noirs; marquée au milieu de deux petites fossettes écartées ; bordée postérieurement de dix dentelures dont les deux plus externes fortes , triangulaires, poin- tues , un peu arquées en dehors et noires ; les huit intermédiaires de la couleur de la plaque , obtuses , grèles, en dents de peigne et sé- parées en deux lots de quatre par un intervalle assez marqué. Tou- les sont terminées par un petit poil roussâtre. Tout le corps, tant en dessus qu’en dessous, est couvert de très- petites granulations brunûtres. Les stigmates sont à péritrème noir, et au nombre de huit pai- res : la première fait saillie, sur une sorte de pédicule, entre le pro- thorax et le mésothorax; les sept autres, un peu plus petits, sont placés sur le milieu des sept premiers segments abdominaux, du côté du dos, assez près des bords latéraux. J'ai découvert la larve de la Hispa testacea durant une excursion que j'ai faite, au commencement de juin 1855, dans les dunes du lit- toral du département des Landes, avec mes amis MM. Léon Dufour, Aubé et Laboulbène. Je ne savais rien sur les mœurs de ce genre d'insectes, car j'ignorais alors le mémoire publié par M. Harris et dont je parlerai tout à l'heure ; mais j'avais appris que la H. testacea se trouvait abondamment, en juillet, sur le Cistus salvifolius, très- commun dans les dunes , et je supposais que cette plante servait de berceau à sa larve. A notre première chasse je me mis en devoir de vérifier le fait, et m’étant assis au pied d’une touffe de ciste, j'ex- plorai inutilement d'abord ses racines, puis l’intérieur de ses tiges, après quoi je m'adressai aux feuilles. Aucune n’était rongée , et en les secouant je ne faisais pas tomber de larve. Je commencais à dé- sespérer , lorsque regardant avec attention l’ensemble de l’arbris- seau, j'aperçus des feuilles dont le disque, plus ou moins large- ment desséché, et légèrement boursoufflé , annonçait la présence d’une de ces larves que Réaumur a nommées mineuses des feuilles, et qui se nourrissent de leur parenchyme sans attaquer l’épiderme. Je me hâtai de visiter l’intérieur de ces feuilles, et je trouvai dans les unes , des larves que, sans les connaitre, j'attribuai à la Hispa, et dans les autres des nymphes qui justifiaient complètement ma supposition. Ma joie fut à son comble, et mes compagnons, que je me hätai d'appeler , s’y associèrent cordialement. J'ajoute, pour qu'il D'y ait pas le moindre doute, que les larves et les nymphes que 264 E, Perris., — Histoire j'apportai chez moi, m'ont donné de nombreux individus de la H. testacea. Voici maintenant le résultat des observations que j'ai faites sur les lieux mêmes et complétées dans mon cabinet, Les I. testacea s'accouplant au mois de juillet , les femelles pon- dent incontestablement leurs œufs bientôt après, et ces œufs, que je ne connais pas , hivernent très-certainement , collés sur diverses parties de la plante, Il est, en effet, évident pour moi qu'ils n'éclo- sent qu'au printemps, car les feuilles attaquées sont toujours, et sans exception , de celles qui poussent après l'hiver. Ainsi la larve, dès qu'elle est née, c’est-à-dire probablement dans le mois d'avril, se met en quête d’une feuille récente et assez tendre pour qu’elle puisse facilement pénétrer dans son intérieur. Une fois logée dans le parenchyme , elle le ronge en tout sens, sans blesser l'épiderme , et sans nuire à la forme et au développement de la feuille, et elle s'y pratique petit à petit une cellule qui occupe quelquefois les trois quarts de l'aire de la feuille, et dont les contours sont très-irrégu- liers. L'étendue de cette cellule est indiquée par une couleur feuille morte, tandis que le reste de la feuille conserve sa teinte normale. Lorsque la larve a rongé à sa guise la feuille dans laquelle elle a trouvé à la fois le vivre et le couvert , elle l'abandonne en déchirant irréguliérement l’épiderme supérieur, descend le long du pétiole et gagne celui de la feuille opposée. Elle s’installe sur cette feuille, la tête dirigée vers sa base, et se met à la miner en dessus , invariable- ment surla nervure médiane. Peu à peu elle pénètre, comme la première fois, dans l'épaisseur du parenchyme, et finit par s’y lo- ger, en suivant toujours la nervure médiane, Cette nouvelle cellule n’est pas, bien s’en faut, développée et irrégulière comme la pre- mière ; elle constitue au contraire une sorte de tube ou de fourreau dont la partie inférieure, celle qui avoisine le pétiole , se dilate souvent un peu et d’une manière peu régulière à droite et à gauche. Quant à l'extrémité supérieure du fourreau, elle demeure toujours béante. Je vis d'abord là une ingénieuse précaution de la larve pour faciliter la sortie de l’insecte parfait, mais ayant constaté que cet orifice correspond toujours à la partie postérieure de la larve et de la nymphe, car la larve ne se retourne pas dans sa cellule, et ayant observé plus tard que l’insecte parfait sort toujours en ron- geant ou forçant l'extrémité opposée, je dus renoncer à ma pre- mière idée. des métamorphoses de divers Insectes. 265 J'explique, du reste, d'une manière aussi simple qu'exacte, je crois , la particularité intéressante dont je viens de parler. Lorsque la larve naissante a pénétré dans la première feuille, la blessure qu’elle a faite à l’épiderme est si petite qu’elle se cicatrise sans peine ; mais quand elle s’enfonce dans la seconde feuille, il ne peut en être ainsi. D'unepart, la végétation de la feuille est terminée ct son développement est complet ; d'autre part , la blessure est beau- coup plus large, et enfin, comme la larve met un certain temps à s’enfoncer , l'épiderme que son corps soulève a le temps de se des- sécher avant qu’elle soit entièrement logée. Il se forme ainsi un tube déprimé et ouyert, correspondant au diamètre et à la convexité du corps. Comme je l'ai dit, Ja larve de la Hispa envahit toujours deux feuilles, jamais plus, jamais moins , et ce qu'il y a de remarqua- ble, c'est, qu'elle attaque toujours aussi deux feuilles opposées. Pourquoi agit-elle ainsi, lorsque la première feuille, quelquefois rongée à moitié seulement, semble pouvoir lui offrir jusqu’à la fin une alimentation suflisante? A-t-elle besoin, pour compléter sa croissance et son organisation , de la substance mieux élaborée et plus nourrissante peut-être que lui offre la nervure médiane? Craint-elle d’être plus ballotée et plus exposée dans une cellule qui, occupant presque toute l'étendue de la feuille, ne présenterait aucune garantie de repos et de sécurité? Toutes ces hypothèses sont peut-être vraies à la fois. En tout cas, on ne peut s'empêcher de reconnaitre que ses manœuvres sont aussi intelligentes que di- gnes d'intérêt. Je ferai remarquer aussi combien l’organisation et la structure de cette larve sont favorables au rôle qu’elle joue. Ses mandibules fines et acérées et sa tête aplatie et à bords presque tranchants lui faci- litent admirablement les moyens d'entamer et de soulever l’épi- derme et de ronger le parenchyme; la dépression de son eorps lui permet de ramper entre les deux épidermes; les bourrelets , les ma- melons, les papilles, les granulations, les dentelures dont elle est munie la font se mouyoir avec aisance dans sa cellule, tant en avant qu’en arrière. Elle est assez mal constituée , il est vrai, pour marcher à l'air libre, et elle y.est obligée cependant pour passer d’une feuille à une autre sur des pétioles flexibles d’où le moindre zéphir semble devoir la précipiter ; mais elle a reçu dans ce but un pseudopode anal charnu , et ses tibias ont été pourvus de deux pe- loites ou ampoules membraneuses, auxillaires puissants des soies 34 266 E. Pernnis. — Histoire et de l’ongle qui terminent ses pattes. Avec ces appareils, notre acrobate improvisée se livre hardiment aux hazards d’un déplace- ment qui semble devoir lui être fatal; elle sort de sa cellule, ac- croche ses pattes au tissu de la feuille, puis courbant un peu en voûte son abdomen , elle se cramponne à l’aide d'un mamelon anal, s'allonge pour se cramponner de nouveau , et poursuit ainsi sa mar- che lente mais sure, jusqu’à ce qu’elle ait atteint son but. Que de sujets d'admiration dans ce petit animal , alternativement errant et cloitré ! Mais aussi, qui mieux que la sage et toute puissante nature sait appliquer ce principe : qui veut la fin veut les moyens! M: T. W. Harris a publié dans le Journal d'Histoire naturelle de Boston, 1, 1855, p. 141-151, une notice détaillée et intéressante sur les métamorphoses de plusieurs Hispa : H. rosea Weber, H. suturalis Fab. et H. viltata Fab. Leurs larves sont toutes aussi des mineuses de feuilles, et elles vivent, les premières sur une es- pèce de chène, les secondes sur le Robinia pseudo-acacia, les der- nières sur la Solidago lœvigata. Une autre larve, dont M. Harris a perdu linsecte parfait, se nourrit des feuilles d’un pommier. M. Harris ne donne malheureusement ni la description ni la fi- gure des principaux organes de ces larves; il dit seulement que leur corps est aplati, leurs mandibules entières , et que les segments ab- dominaux, dilatés sur les côtés de manière à former des dentelures plus ou moins profondes, ont, en dessus et en dessous, des bour- relets tuberculeux qui servent à la progression. Il leur donne onze segments , et il compte neuf paires de stigmates, dont la dernière se trouverait près de l’extrémité du dernier segment. Les larves de Coléoptères ont généralement douze segments, sans parler de la tête, et je ne connais de différence en moins que pour les larves aquatiques d’un très-pelit nombre de genres : Dyliscus , Hydrophilus, Helochares, Donacia , et pour les larves terrestres des Cassida. C'est ce qui m'a fait hésiter quelque temps à admettre le chiffre de onze , et je me sentais d'autant plus porté à considé- rer, comme le douzième segment, la plaque cornée terminale, qu’elle est, en dessus du moins, séparée du onzième par une su- ture transversale ; mais j'ai vainement cherché sur les côtés et en des- sous des traces d’une séparation quelconque , et j'ai été forcément conduit à admettre que la portion revêtue de la plaque fait partie intégrante de ce segment. C’est là un fait d'organisation très-peu commun; mais d'accord avec les indications données par M. Har- ris, et les dessins , imparfaits il est vrai, qui accompagnent sa no- des métamorphoses de divers Insectes. 267 tice, il permet d'affirmer que les larves qu'il a étudiées ont les plus grands rapports avec celle de la H. testacea. C’est précisément parce que je crois à l’unité de conformation de ces larves que je reproche- rai à M. Harris une erreur grave qui me fait supposer qu’il n'avait pas une longue habitude d’observer des larves de Coléoptères. M. Harris signale, ainsi que je l'ai dit, neuf paires de stigmates , et il place la dernière , qui serait la plus apparente de toutes, près de l'extrémité de la plaque cornée dont je viens de parler. Je n'ai vu, quant à moi, que huit paires de stigmates , et ces orifices res- piratoires sont assez apparents , par suite de leur saillie et de leur couleur, pour qu'il son facile de les compter. Je le déclare, d'’ail- leurs, je n’ai accepté ce nombre de huit paires qu'après un minu- tieux examen; je m'y livrai avec d’autant plus de soin et d’opinia- treté, que ces sortes d'anomalies sont extrêmement rares, car de toutes les larves de Coléoptères que je connais, il n’en est pas une , à part celles des Cassida, qui ne possède neuf paires d’ostioles respi- raloires. Je m'étais donc irrévocablement arrêté au nombre huit, lorsque j'eus connaissance, grâce à l’obligeance de M. Candèze , du Mémoire de M. Harris. Cet auteur remplaca ma première surprise par une autre, en substituant une anomalie à celle dont je me croyais sûr, car il place uue paire de stigmates sur le dernier seg- ment. Oril avait toujours été pour moi de principe que, dans les larves terrestres de Coléoptères , le dernier segment n’a jamais de stigmates. Je ne pouvais done, quelque confiance que m’inspirât M. Harris, accepter sans controle son assertion. J’eus recours à mes verres les plus amplifiants, j’explorai le dernier segment sous toutes ses faces, à tous les jours: je soumis à ce scrupuleux examen un grand nombre de larves, et je demeurai convaincu que M. Har- ris a dù prendre pour des stigmates les deux fossettes que l’on re- marque sur la plaque cornée du segment terminal, et qui sont sans doute plus marquées et plus profondes dans les larves de plus grande taille qu’il a observées. Ainsi , le dernier segment n’a pas de stigmates , ce qui confirme de plus fort le principe que j'ai rappelé tout à l'heure, car le fait anormal de la réduction du nombre des stigmates à huit paires est la conséquence de cet autre fait, anor- mal aussi, de la réduction du némbre des segments à onze. MM. Kirby et Spence ont cherché à ramener à un certain nom- bre de types les larves connues des Coléoptères, mais, arrivés aux larves des Cassida dont l’organisation présente des caractères si insolites, ils se sont trouvés embarrassés. Ils ont donc laissé cette 268 E. Pennis. — Histoire forme spéciale de larves sans dénomination précise, et ils expri- ment l'opinion que les larves de Hispa , lorsqu'elles seront connues, pourront jeter quelque lumière sur cette question ({ntr. to Entom. IT, p. 166). M. Harris est loin de penser que ectte prévision se soit trouvée justifiée, et il affirme que les larves des Hispa n'ont pas la moindre analogie avec celles des Cassida , et qu’on devrait plutôt les assimiler , par leur forme, à celles du genre Callidium. M. Harris est, sur ces deux points, dans la plus profonde erreur, car les larves des Hispa n'ont aucun rapport avec celles d'un Longicorne quelconque etelles en ont, au contraire, beaucoup avec celles des Cassida. Voici, en effet, les traits de ressemblance de ces dernières : épistome sou- dé au front ; mandibules très-petites et simples; pattes très-courtes ; corps de onze segments , à côtés profondément dentelés; stigmates à péritrème noir, au nombre de huit paires, les thoraciques un peu pédicellés , les abdominaux placés sur la face dorsale, près des co- tés ; dernier segment divisé , en apparence, en deux parties. Ces dérniers caractères surtout sont très-remarquables, et je ne com- prends pas que M. Harris en ait si peu tenu compte. Loin de les méconnaitre comme lui, je les mets, au contraire, en relief , parce que j'y trouve une nouvelle confirmation de ce principe général , mais non absolu , que je cherche toujours à prouver, que les larves ont entre elles des affinités analogues à celles des insectes parfaits correspondants ; principe fécond au point de vue philosophique, et destiné, j'en ai la conviction intime , à répandre de vives lumié- res sur les questions de classification méthodique. De Géer (tome 5 de ses Mémoires, p. 404, pl. 12, fig 13-20) donne la figure et la description de deux larves mineuses de l’aul- pe et de l’orme dont il n’a pu obtenir la métamorphose, et M. Har- ris est disposé à penser qu'elles appartiennent au genre Hispa. Je ne partage pas , bien s’en faut, cette manière de voir. Les larves de De Géer ont la tête semblable à celle des chenilles ; elles sont cy- lindriques, divisées en douze segments bien marqués, avec des plis et des rides le long des flancs; elles ont des palpes maxillaires et labiaux articulés, et de plus, une pièce intermédiaire qui a paru à De Géer être une filière, Les six pattes rappellent les pattes écail- leuses des chenilles, et les segments abdominaux sont munis en dessous de pseudopodes charnus. Enfin , ces larves quittent les feuilles et s’enfoncent dans la terre pour se transformer. Elles différent done , sous tous Îes rapports, de celles des Hispa, et n'ont de commun avec elles que leur caractère de mineuses de des mélamorphoses de divers Insectes. 269 feuilles, qui est propre à tant d'autres. Elles ne peuvent, dès lors, être rapportées à ce genre. Ainsi que je l'ai fait pressentir plus haut, c'est dans sa seconde cellule que la larve se transforme en nymphe. NYMPHE. Longueur 5 */, millim. Elle est nue, d’abord blanche et bientôt un peu roussâtre et subcoriace, Vue en dessous, elle présente une physionomie assez originale , et que la figure rend beaucoup mieux que ne pourrait le faire une description. Ses organes sont emmail- lotés comme à l'ordinaire, et elle offre les particularités suivantes : l'abdomen est à l'extrémité un peu plié en dessous ; il est de huit segments ; le second et les trois suivants portent de chaque côté une papille piligère comme celles de la larve; les trois derniers ont aussi celte papille, puis une semblable et plus longue , et enfin , tout à fait à l'angle postérieur, une troisième pliée en équerre. Le dernier segment, qui est plus foncé que les autres et subeorné , est en ou- tre terminé par deux plaques cornées, rousses et quadridentées ; les deux dents externes de chaque plaque sont surmontées de deux petits poils, les autres d’un seul. Près du bord postérieur de lar- ceau ventral des quatre antépénultièmes segments on remarque une série de petits plis transversaux , et sur la face dorsale le second segment et les trois suivants , c’est-à-dire ceux qui n’ont qu’une pe- tite papille de chaque côté, ont un double rang transversal de tu- bercules , représentant , d’une manière un peu exagérée , les bour- relets pseudopodes de la larve. Les trois derniers segments ont aussi dés tubercules, maïs beaucoup plus petits, et le dernier est en ou- tre parsemé de quelques rides. On voit, du côté du dos, une paire de stigmates noirs sur chacun des cinq premiers segments; ceux du cinquième sont placés aux angles et portés sur un pédicelle coni- que dirigé en arrière. Cette nymphe est susceptible de se déplacer , et elle rampe, soit de ventre, soit de dos, même sur un corps lisse. L’insecte parfait sort par l'ouverture qui se fait, comme à l’ordi- naire, sur la ligne médiane du prothorax, et la peau sèche ét co- riace de la nytphe demeuré ballonnée comme si l'insecte y était toujours. La Hispa perce ensuite sa cellule à l'extrémité opposée à l'orifice béant, et prend son essor. 270 E. Penrms. — Histoire INSECTE PARFAIT. Longueur 4 '/, millim. Entièrement d'un testacé rougetre , avec les yeux noirs et la moitié basilaire des antennes un peu brunätre. Prothorax rugueusement chagriné, ayant de.chaque côté un tuber- cule surmonté de cinq longues épines divergentes, subulées, noires, à base rougeàtre. Elytres striées, à granulations carminées , héris- sées d’épines noires ; un peu de noir sur les côtés du sternum. Quand la A. testacea vient d’éclore, elle est d’un jaune très-clair, avec les antennes et les yeux noirs et une tache rousse sur le ver- tex. On voit sur le prothorax une grande tache trapézoïdale, d'abord ferrugineuse, bientôt après noire , antérieurement envahie par du ferrugineux. Les pattes sont roussâtres , avec les tarses bruns. GRYPHINUS PICEUS Comolli. PL V, Fig. 93-100. LARVE. Longueur près de 2 millim. Elliptique, déprimée, charnue ; d’un blanc un peu grisätre en dessus, plus pâle et livide en dessous. Tête plus étroite que le prothorax, deux fois et demie plus étroite que celui-ci à sa base; suborbiculaire, presque plane en dessus , très-peu convexe en dessous, en partie enchassée dans le prothorax ; d’un roussätre livide ; marquée de deux petits sillons longitudinaux, et munie antérieurement et sur les côtés de quelques poils très-fins. Epistome transversal, linéaire; labre trés-petit, en demi-ellipse transversale; mandibules de médiocre longueur, étroites, arquées, acérées et nullement dentées. Mächoires et menton grands, d’une seule pièce, soudés ensemble , séparés seulement par un sillon pro- fond et occupant plus de la moitié de la face inférieure de la tête. Mâchoires ovoïdes et sans lobe visible ; palpes maxillaires bien ap- parents, un peu saillants au delà de la tête et de trois articles : le premier très-court, le second un peu plus long , le troisième aussi long que les deux autres ensemble et grèle. Lèvre inférieure courte, transversale , impereeptiblement échancrée; palpes labiaux petits, de deux articles et dépassant un peu le second article des palpes maxillaires. Tous ces organes roussätres. Antennes insérées non au bord antérieur de la tête, mais sur les côtés, au-dessous du tiers antérieur ; assez longues et de quatre articles : le basilaire court et des métamorphoses de divers Insecles. 271 épais ; le second un petit peu plus long ; le troisième de la longueur des deux premiers, ou peu s’en faut, et muni de trois ou quatre petits poits près de l'extrémité ; le quatrième grèle et le plus long de tous, surmonté d’un poil assez long et de deux ou trois autres plus petits. Au-dessous de chaque antenne, et contre sa base, un ocelle rond. Prothorax près de deux fois aussi long que la tête, beaucoup plus étroit antérieurement qu’à sa base, profondément bisinué sur les côtés, marqué sur le dos d’une grande tache brune triangulaire , qui atteint presque le bord postérieur, et qui est coupée en deux, sur la ligne médiane, par une ligne blanchätre; ayant en outre, près du bord postérieur , un pli transversal peu apparent. Mésotho- rax et métathorax sensiblement plus courts que le précédent , égaux entre eux en longueur ; ce dernier un peu plus large; l’un et l’au- tre marqués sur le milieu d’un pli transversal presque obsolète. Chacun de ces segments portant une paire de pattes courtes, écartées à leur insertion , subconiques, livides et de cinq pièces : la hanche, assez épaisse; le trochanter très-petit ; la cuisse forte, cylindrique; le tibia aussi long que les précédents ensemble, co- nique et muni de quelques poils; tarse représenté par un ongle long , subulé, et dont la base , dilatée en dessous, porte une soie roussâtre, horizontale , dépassant l’ongle et terminée en spatule. Abdomen de neuf segments égaux en longueur, ou à peu près : les quatre premiers de plus en plus larges, les cinq derniers de plus en plus étroits; tous, sauf le dernier, très-convexes sur les côtés, comme ceux du thorax, à intersections profondes et marqués en dessus d’un pli transversal destiné à faciliter le jeu péristaltique de ces segments. Le long des flancs règne un bourrelet trés-sensible, propre aussi à seconder la progression. Dernier segment semidiscoï- dal , plane en dessus où il est recouvert d’une plaque subcornée et rousse ; pourvu en dessous d’un mamelon un peu extractile, au centre duquel est l'anus. Tout le corps, en dessus et sur les côtés, est couvert de petites soies roussätres , épaisses, papilliformes, tronquées , la plupart cy- lindriques , les autres légèrement en cone renversé. Ces soies sont moins longues sur le dos que sur les côtés, où l’on voit en outre un long poil. Le nombre de ces poils est de quatre sur le prothorax, de deux sur chacun des dix segments suivants, et de huit autour du dernier. Tout le dessous du corps est revêtu, à la place de soies, de poils très-fins , serrés et d’inégales longueurs. 979 E. Pennis. — Histoire Stigmates au nombre de neuf paires : la première au tiers anté- rieur du mésothorax, les autres au milieu des huit premiers seg- ments abdominaux, Tous ces stigmates sont un peu dorsaux , mais la première paire moins que les autres. Cette larve a des rapports avec celle de l’Orthoperus piceus Steph. que j'ai publiée dans les Annales de la Société entomologique de France (1852, p. 587.) Elle en diffère, sans doute, par plusieurs caractères importants, et notamment par les mâächoires, les palpes maxillaires et les antennes ; mais l'insertion presque anormale de celles-ci sur les côtés de la tête, les mandibules étroites, acérées et non dentées, la forme du corps, la tache brune du prothorax et les soies papilliformes établissent des rapprochements qui me satisfont d'autant plus que je crois les deux insectes parfaits très-voisios l’un de l’autre. C’est l'opinion que j'ai exprimée dans ma notice préci- tée, contrairement à la manière de voir de M. Blanchard, qui a, mal à propos, selon moi, plaëë les Orthoperus dans la famille des Agathidiides. Cette opinion, je le constate avec une sorte de vanité, se trouve aujourd'hui fortifiée et justifiée par les caractères relatifs des larves de ces deux genres. Elle l’est aussi par celle d’Erichson, formulée dans sa Faune des insectes de l'Allemagne, et que M. Schaum a suivie dans son catalogue. M, Heeger a publié dans l’Isis (1848 , p. 525), sur les métamor- phoses du Gryphinus lateralis Marsh., une notice dont mon ami Lucas a eu l’obligeance de m'envoyer une copie, avec le calque des figures. Les larves s'étant un peu déformées dans l'alcool, l'auteur n'a pu décrire les parties de la bouche et les antennes ; il a omis en outre de mentionner des organes importants, tels que les pattes et les stigmates , et n’a pas donné à son dessin toute la perfection dési- rable. 11 est facile néanmoins de voir que la larve signalée et figu- rée par M. Heceger se rapproche beaucoup de celle dont je viens de parler. Elle lui ressemble, en effet, par sa forme; elle a comme elle le corps couvert de petites soïes papilliformes ; mais je ne puis établir la comparaison entre les caractères les plus essentiels , parce que M. Heeger a été empèché de les voir et de les décrire. Je re- marque seulement que, dans sa larve , le prothorax a quatre taches noirâtres au lieu de deux que présente la mienne, et je ne vois pas dans celle-ci les plaques cornées, triangulaires , se fondant graduel- lement dans la peau, qu'il a observées dans la larve du G. la- teralis. M. Heeger dit que, dans son jardin, ces insectes aiment à se te- des métamorphoses de divers Insectes. 275 nir, en nombre considérable, sous les feuilles de choux pourries, pendant les mois d'été, et dans tous les états de leur vie. Il ajoute que l'insecte parfait et la larve passent l'hiver dans des terreaux hu- mides et des fumiers froids , et se nourrissent de matières végétales en décomposition. Je ne suis pas en position de contredire ou de confirmer cette dernière assertion. Je dois dire seulement que j'ai rencontré, en septembre 1855, les larves du G. piceus, avec des nymphes et des insectes parfaits, sous l'écorce d’une buche d’aulne où se trouvaient des détritus et des matières excrémentitielles laissés par des larves xylophages, et où vivaient aussi de petites Podurelles. J'ai en outre très-souvent recueilli l'insecte parfait en secouant des lierres qui ta- pissaient des murs et y avaient formé une petite couche de terreau. Je ne doute pas que ce terreau ne renfermät des larves; mais ces larves se nourrissent-elles de cette substance ? Celles de la buche d’aulne vivaient-elles des substances accumulées sous l'écorce ? Re- cherchent-elles exclusivement ce genre de nourriture? Ne sont-elles pas plutôt, ou du moins simultanément carnivores , ainsi que l’in- diqueraient, jusqu’à un certain point, leurs mandibules étroites et acérées? Mes observations ne me permettent pas de résoudre ces questions ; je les recommande donc à ceux qui s'occupent d’études de ce genre. Lorsque la larve du G. piceus veut se transformer en nymphe, elle se fixe, à l'exemple de tant d’autres , sur le plan de position , à. l’aide du mamelon anal, après quoi sa peau se fend et laisse voir la nymphe dont l'extrémité postérieure demeure engagée dans cette dépouille, chiffonnée et refoulée en arrière. NYMPHE. D'abord blanche, puis roussätre. Ses diverses parties sont très- étroitement emmaillotées et peu saillantes. Le bord du prothorax, les côtés et la face dorsale sont couverts de poils fins et très-serrés, d'inégales longueurs. L’extrémité de l'abdomen est entière et pres- que glabre. M. Heeger ne signale et ne figure, dans la nymphe du G. latera- lis, que les poils des bords du prothorax, et d’après lui, ces poils sont terminés par un petit bouton. Il mentionne aussi deux petits appendices courts et arrondis à l’extrémité de l'abdomen. Je ne les ai pas plus aperçus dans la mienne que dans celle de l'Orthoperus. 5b) 274 E. Pennis — Aistoire INSECTE PARAIT. Longueur 1 millim. Elliptique, subconvexe. Tête d'un brun testacé, ou même testacée. Prothorax noir ou noiràtre, arrondi, à bords un peu relevés ; assez largement jaunätre sur le devant, très-finement sur les côtés; revêtu d’un duvet très-fin , roussätre et couché. Elytres de la couleur du prothorax et à duvet roussâtre comme lui; aussi larges que ce dernier ; très-faiblement arrondies sur les côtés ; presque droites à l'extrémité. Dessous du corps brun; pieds bruns et quelquefois testacés, CECIDOMYIA ENTOMOPHILA Mihi. PI. V, Fig. 101-106. En ouvrant mes boîtes d'insectes il m'était arrivé fort souvent de voir voler avec agilité, à travers la forêt d'épingles fixées sur le liège, un Diptère presque microscopique dont la présence en ces lieux m'avait surpris plus d’une fois, ainsi que mon ami M.L. Dufour chez qui nous avons observé ensemble le même fait. Rien n’indiquait dans les allures de ce petit insecte qu'il eùt été enfermé malgré lui, car quoique sa prison füt grande ouverte , il ne manifestait aucun em- pressement à Ja quitter ; il continuait , au contraire, à voler, ainsi que je l'ai dit, au milieu des épingles, ou voltigeait au-dessus, pour s’abaisser ensuite et se poser sur le fond de la boite, ou sur quel- qu'un des insectes piqués. M'étant emparé, quoique avec peine, de plusieurs de ces petits Diptères, j'avais reconnu en eux les deux sexes d'une espèce de Cécidomyie qu'après étude je considérais comme nouvelle ; mais j'avoue que si ma découverte se füt bornée là, je l'aurais gardée pour moi seul, ne jugeant pas fort utile de doter la science d’une Cécidomyie de plus , sans pouvoir rien dire de ses mœurs. Le hasard m’ayant mis à même de connaitre son his- toire , qui n’est pas bien longue , je me décide à la publier. Tous les entomologistes savent qu'un maudit Acarus s'introduit et pullule souvent dans les collections, où il ronge les poils, le du- vet des insectes et même leurs tendons. Comme j'observais, un jour de novembre, à la loupe, un Onthophagus sur lequel ce dé- testable Aptère avait déposé des excréments et laissé des dépouilles , je vis ramper au milieu de ces impuretés trois larves blanches qui, soumises au microscope, offrirent à mes yeux tous les caractères des larves de Cécidomyie. Il ne m'en fallut pas d'avantage pour des métamorphoses de divers Insectes. 975 expliquer la présence dans mes boites du Diptère dont j'ai parlé plus haut. Je savais depuis longtemps que les larves des Cécidomyies (Mou- ches des galles), en dépit du nom que la science leur a donné, ne se développent pas toujours dans des galles, car j'en ai trouvé bien souvent sous les écorces des arbres et dans les tiges creuses de plu- sieurs plantes mortes ou sur le déclin: mais pourtant je fus très- surpris d'en rencontrer dans les conditions que je viens d'indiquer, et l’on conviendra que je ne devais guère m'y attendre.’ Je me mis aussitôt à explorer mes boites et à chercher d’autres insectes sur lesquels les Acarus eussent laissé des traces , et j'observai sur quel- ques-uns des larves semblables. Je plaçai ces insectes, ainsi que l'Onthophagus, dans une petite boite, et aux mois de mai et de juin, j'obtins plusieurs Cécidomyies. Les relations de la larve et du Dip- tère ainsi démontrées , je passe aux descriptions. LARVEe Longueur 1 :/; millim. , largeur ‘/, millim. Très-atténuée an- térieurement, molle, d’un blanc un peu translucide et légèrement rosé. Tête petite, subtriangulaire, munie de chaque côté d’une an- tenne grêle, de deux articles , dont le second beaucoup plus long que le premier. Corps de douze segments ; le premier glabre, de la largeur de la tête antérieurement, près de deux fois aussi large à la base, à côtés droits ; les dix segments suivants à côtés arrondis , ou bisinueux , ayant en dessus une série transversale de douze longs poils blanchâtres, dont huit dorsaux et quatre latéraux (deux de chaque côté), ces derniers un peu plus longs que les autres ; tous ces poils portés sur un petit mamelon. Ces mêmes segments sont armés , sur le milieu de la face ventrale, de trois pointes assez lon- gues , rapprochées, fines , acérées et subcornées , qui servent évi- demment à la larve pour marcher et pour s’accrocher aux corps sur lesquels elle vit. Dernier segment arrondi postérieurement, avec la série de poils et les pointes des segments précédents, plus deux poils au milieu de la face postérieure. Les poils latéraux, au lieu d'être étalés , sont inclinés en arrière. Stigmates au nombre de neuf paires : la première sur le premier segment; les sept autres sur le quatrième et les six suivants , assez près du bord antérieur ; la dernière près du bord postérieur du on- zième segment. 276 E. Pernis. — Histoire Cette larve vit sans doute des exeréments laissés sur les insectes par l’Acarus, car je ne l'ai trouvée que sur ceux qui offrent ces sor- tes de déjections. Ce gout de leur part n’a précisément rien qui m'é- tonne, car je connais des larves de Cécidomyies qui se développent, ainsi que je l'ai déjà dit, sous les écorces, parmi les exeréments de larves xylophages qui les ont précédées , et d’autres qui vivent dans les ulcères, dans les écoulements sanieux ou séveux des arbres. Lorsqu'elle veut se transformer, elle se retire dans un angle de la boite, et y file une coque elliptique de soie très-blanche dans la- quelle elle se métamorphose en nymphe. NYMPHE, Comme celles des Tipulaires en général , elle constitue une véri- table nymphe et non une pupe. Elle présente, très-étroitement em- maillotées, comme à l'ordinaire , les diverses parties qui constituent l'insecte parfait. Du reste, elle n'offre rien de particulier : elle est sans poils et sans épines. Le vertex est un peu élevé, et c’est avec cette partie qu’elle perfore la coque un peu avant la dernière méta- morphose. L’insecte parfait sort par cette ouverture, y laissant or- dinairement engagée la dépouille de la nymphe. INSECTE PARFAIT. Longueur 1 ‘/; millim. Yeux noirs ; thorax d’un cendré clair, avec les côtés mélés de blanchâtre; écusson blanc; métathorax noir ; abdomen couleur de chair, à poils blancs ; antennes, balan— ciers et pattes d'un gris blanchâtre ; tarses plus clairs, à poils blancs; seconde nervure des ailes arrondie au coude ; antennes de la femelle de quatorze articles, le premier demi-elliptique, le der- nier très-grêle, les autres formés d’un pédicelle et d’une partie plus épaisse, étranglée au milieu et munie de deux verticelles de poils; le pédicelle manque au premier ; antennes du mâle de vingt-qua- tre articles, dont les trois premiers globuleux et contigus, les au tres globuleux, longuement pédicellés et entourés d’un verticille de longs poils. des mélamorphoses de divers Insectes. 277 PLATYSTOMA UMBRARUM. PL V, Fig. 107-111. LARVE. Longueur 16 millim. , largeur 2 millim. Corps blanc, glabre ; assez ferme , atténué antérieurement , augmentant progressivement de diamètre jusque vers la moitié de sa longueur, puis exactement cylindrique jusqu’à l'extrémité. Tête rétractile, assez profondément échancrée en avant, de ma- nière à former deux lobes terminés chacun par un palpe court et de deux articles égaux. Mandibules en crochet, ne dépassant pas les lobes, Corps de onze segments parfaitement lisses en dessus ; les neuf derniers ayant en dessous , et antérieurement, un bourrelet trans- versal qui empiète un peu sur le segment précédent et qui est muni de petites aspérités roussâtres disposées en séries transversales un peu arquées, (Voir la figure). Dernier segment légèrement arrondi sur les côtés , un peu plus étroit à l'extrémité qu’à la base; sa face postérieure tronquée carrément , un peu concave, et montrant dans cette concavité deux petits disques un peu saillants, noirs et rapprochés. Ce sont les stigmates postérieurs qui, vus à une forte loupe, se montrent percés de trois ostioles respiratoires en forme de boutonnière. Les deux stigmates antérieurs font saillie de chaque côté, près du bord antérieur du premier segment, sous la forme d’une raquette divisée en douze lobes papilliformes. La description qui précède et les figures à l'appui attestent que cette larve présente la configuration et les caractères de celles de la grande famille des Muscides, qui semblent presque toutes avoir été taillées sur le même patron. M. Macquart a placé le genre Platystoma dans la famille des Or- talidées dont les larves vivent, en général, dans les fruits et les graines des arbres et des plantes. La Platystoma umbrarum consti- tue, à cet égard, une exception bien tranchée, car c’est en creusant un peu la terre sous une pièce de bois qui gisait depuis longtemps sur le sol , que j'ai trouvé abondamment sa larve en avril 1855. Elle vit sans doute de l’humus, comme les larves des Asilus , des Thereva, de quelques Tabanus et de bien d’autres Diptères. Cette particularité, jointe aux caractères organiques propres aux Platys- toma, me porte à penser que ce genre ne sera pas maintenu dans 275 E. Pernis. — Histoire les Ortalidées, et qu'il servira plutôt à former une famille spé- ciale. La métamorphose s'effectue dans la terre à une faible profon- deur. PUPE. Ce n’est, comme on le sait, que la larve elle-même, contractée , et dont la peau s’est durcie, est devenue cornée et de couleur marron. Elle ne peut done rien offrir de particulier. Quelques jours après la transformation , on trouve dans l'intérieur de la coque formée par la peau, une nymphe blanche et très-molle, présentant toutes les parties de l'insecte parfait, et pourvue sur le vertex de cette sorte de vessie dilatable, qui sert à faire éclater la coque pour livrer passage à l’insecte. INSECTE PARFAIT. Longueur 6 à 10 millim. Face testacée; antennes de la même couleur, avec le troisième article en partie brunätre; une tache noirâtre au bas de chaque fossette antennaire ; derrière de la tête d'un jaunâtre satiné; vertex jaunâtre , taché et moucheté de brun ferru- gineux. Prothorax et abdomen cendrés , tout couverts de taches et de points noirs en dessus et même en dessous , sauf l’abdomen qui est jaune à la région ventrale. Ailes brunes, à mouchetures diapha- nes moins nombreuses le long du bord externe, où elles laissent subsister le fond sous forme de petites taches irrégulières. Pattes noirâtres; tibias revêtus en dessous d'un duvet fauve ; premier ar- ticle des tarses fauve. RE — EXPLICATION DES FIGURES. A. Liodes castanea. — Larve grossie. 2. Mesure de sa grandeur naturelle. 3. Mâchoire et palpes maxillaires. 4. Lèvre et palpes labiaux. 5. Mandibule. 6. Ocelles. 7. Antenne. 8. Dernier segment avec ses appendices et le mamelon anal. 9. Cryptohypnus riparius. — Larve grossie. 10. Mesure de salongueur naturelle. 14. Mâchoires et palpes maxillaires ; lèvre et palpes labiaux. des métamorphoses de divers Insectes. . Epistome et labre. . Mandibule vue en dessus. . Mandibule vue de côté. . Antenne. . Ocelles du côté droit. . Dernier segment vu en dessus. . Le même vu en dessous. . Patte. . Tarsostenus univittatus. — Larve grossie. . Mesure de sa grandeur naturelle. . Mâchoires et palpes maxillaires ; lèvre et palpes labiaux. . Ocelles du côté droit. . Mandibule. . Antenne. . Patte. . Dernier segment vu de profil. . Nympbe. . Ebœus albifrons. — Larve grossie. . Mesure de sa grandeur naturelle. . Mandibule. 2. Ocelles du côté droit. . Antenne. . Mâchoires et palpes maxillaires ; lèvre et palpes labiaux. . Dernier segment. . Patte. . Agapanthia suturalis, — Larve grossie. . Mesure de sa grandeur naiurelle. . Mandibule vue en dessus. . Mandibule vue de côté. - Mâchoires et palpes maxillaires ; lèvre et palpes labiaux. . Bord antérieur de la tête avec les antennes ; épistome et labre. . Tubercules des bourrelets ambulatoires dorsaux. - Nymphe. + Un segment abdominal de la nymphe, vu de profil. - Dernier segment de la même, vu de profil. - Dircea lævigata. — Larve grossie. - Mesure de sa grandeur naturelle. . Tête vue en dessus. . Mandibule. Mâchoires et palpes maxillaires ; lèvre et palpes labiaux. . Ocelles du côté droit. - Dernier segment vu en dessus. . Le même vu de profil. . Patte. - Sphindus Gyllenhalii. — Larve grossie. - Mesure de sa grandeur naturelle. $. Mandibule. - Mâchoire et palpe maxillaire. - Ocelles du côté droit. - Antenne. 2 mon et palpes maxillaires ; lèvre et palpes labiaux. . Patte. - Lagria hirta. — Larve grossie. . Mesure de sa grandeur naturelle. . Mächoires et palpes maxillaires; lèvre et palpes labiaux. . Labre, < 280 68. 69. 70. LE 72. 73. LE 75. 76. He 78. 79. 80. 81. 82. 83. 84. 85. 86. 87. 88. 89. 90. 4. 92. 93. 94. 95. 96. 97. 98. 99: 100. 101. 102. 103. 104. 105. 106. 407. 108. 109. 410. an. E. Pennis. — Histoire des métamorphoses de divers Insectes. Antenne. Mandibule. Ocelles du côté droit. Patte. Nymphe. Lagria lata. — Larve grossie. Mesure de sa grandeur naturelle. Mâchoire et palpe maxillaire. Antennes. Ocelles du côté droit. Un des segments de l'abdomen g#rossi pour montrer la disposition des poils et la fine crête transversale près du bord antérieur. Hispa testacea. — Larve grossie. Mesure de sa grandeur naturelle. Tête vue en dessous, pour montrer à la fois les mandibules, les anten— nes et les plaques qui tiennent lieu des mâchoires et des palpes ma- xillaires , de la lèvre et des palpes labiaux. Mandibule. Ocelles du côté droit ; à droite est représenté le petit tubercule piligère qui simule un ocelle. Patte vue de profil. Tibia vu en dessus pour montrer les soies et les pelottes. Bourrelets ambulatoires sous le mésothorax et le métathorax. Bourrelet ambulatoire de la face ventralo dechacun des sept premiers segments abdominaux. Dernier segment vu en dessous. Extrémité d'un rameau du Cistus salvifolius. La feuille de droite est celle qui a été habitée la première par la larve; on y voit, exempte de nervures, la partie dont le parenchyme a été rongé ; la feuille de gauche est celle qui est envahie en dernier lieu et où se forme le tube dans lequel la larve accomplit ses métamorphoses. Nymphe vue en dessus. La même vue en dessous. Plaques subcornées et dentées qui terminent l'abdomen de la nymphe. Gryphinus piceus. — Larve grossie. * Mesure de sa grandeur naturelle. Tête vue en dessous. La figure montre les antennes, les mâchoires et les palpes maxillaires, la lèvre et les palpes labiaux. Ocelle. Portion d’un segment pour montrer les papilles dont le corps est frangé. Patte. Ongle très-grossi pour montrer la dilatation inférieure et la soie spatulée. Nymphe. Cecidomyia entomophila. — Larve grossie. Mesure de sa grandeur naturelle. Coupe d’un segment abdominal. Antenne de la femelle. Antenne du mâle. Aile. Platystoma umbrarum. — Larve grossie. Mesure de sa grandeur naturelle. Un des stigmates antérieurs. Les deux stigmates postérieurs. Un segment vu en dessous. SU — Pi V. à ee le . Pr USE 4 L 5 L y e LS ANNE), a + s ZE È (el | à pol Eu nt x PA E.Perris-Métam. de div.insectes. Zith- H. Dorsasre LE. Lerris del. VIL. — Notice sur une nouvelle espèce de Davidsonia , PAR L. DE KONINCK, M. D. PROFESSEUR A L'UNIVERSITÉ DE LIÉÊGE. — 82e — Lorsqu’en 1859, j'insérai dans le huitième volume des Mémoires de la Société Royale des Sciences de Liége (4) une notice sur le genre Davidsonia , je ne connaissais encore que deux espèces de ce genre remarquable. Depuis cette époque, des nouvelles recherches faites dans la localité qui m'avait déjà fourni ces espèces, m'en ont fait découvrir une troisième parfaitement distincte des deux pre- mières. Mais avant d'entreprendre sa description, qu’il me soit permis de revenir sur quelques-uns des principaux caractères qui distinguent les Davidsonia des autres Brachiopodes et sur la place qui leur a été assignée dans la méthode. Les Davidsonia, comme la plupart des Mollusques appartenant au même ordre, sont parasites, mais au lieu d’être attachés aux corps sous-marins au moyen d’un pédoneule flexible, c’est à l’aide de leur coquille mème qu'ils y adhèrent. Les genres Crania, Theci- dea(2) et Strophalosia sont jusqu'ici les seuls qui possèdent ce même caractère. Aussi n’y a-t-il rien d'étonnant à ce que M. Bouchard les ait rapprochés du premier de ces genres , surtout si lon fait atten- ton que le savant naturaliste Boulonnais , n’a eu à sa disposition (1) Pag. 129 et suiv. (2) Plusieurs auteurs préférent écrire aujourd'hui Thecidium, parce que, di- sent-ils, c’est plus correct. Je ne puis m’associer à cette manière de voir et je pré- fère , pour ma part, conserver le nom tel qu'il a été primitivement établi par son auteur , M, Defrance. 56 289 L. De Konincr. — Notice qu’une seule valve, même assez imparfaite, pour établir la coupe générique dont on lui est redevable. Frappé de l’analogie, qui, à première vue, semble exister entre certaines espèces de Thecidea jurassiques et les Davidsonia, j'ai émis l'opinion que ceux-ci étaient les analogues des premières, et pouvaient être considérés comme étant leurs représentants dans les roches paléozoïques (1). Cette idée a été combattue par M. David- son, qui a rapproché des Strophomena et des Leptœæna les coquilles qui lui ont été dédiées et en a formé provisoirement , avec M. King, une sous-famille, à laquelle il a donné le nom de Davinsonwwées , en attendant, dit-il, que de nouvelles découvertes vinssent leur assi- gner d’une manière définitive , la famille à laquelle ils appartiennent réellement (2). Si je suis d'accord aujourd'hui avec mon savant ami M. David- son, pour abandonner ma première opinion relativement à l’analo- gie que j'avais cru exister entre les Davidsonia et les Thecidea, il m'est impossible de me ranger à son avis, quant au rapprochement qu'il a cherché à établir lui-même et d'admettre la sous-famille dont je viens de parler. Si l’on ne devait s’en tenir qu’aux caractères actuellement connus, ilest certain qu'il serait bien difficile de combattre le rapproche- ment fait par M. Davidson. L’extrême analogie existant entre la structure interne des David- sonia et celle de certaines espèces de Sérophomena ne peut pas être niée. Ilsuffit, pour s’en convaincre, de jeter les yeux sur la pl. VIII de l'ouvrage de M. Davidson que j'ai déjà cité, et de comparer les fig. 170, 171 et 175 des Strophomena avec celles des Davidsonia. On remarquera facilement que la disposition des impressions vas- culaires est à peu près la même pour les deux genres et que les re- liefs de la fig. 175 ont beaucoup de ressemblance avec ceux de la fig. 188. Mais cela ne suffit pas, surtout, lorsque des caractères plus importants se remarquent chez les uns et font défaut chez les autres. C’est ce qui a lieu ici. Ainsi les Strophomena, lorsqu'ils ne sont pas entièrement libres, comme les Leptæna, ont leur grande valve percée d'une ouverture, destinée à donner issue à leur pédoncule d’attache, tandis que les (1) Mém. de la Soc. Royale des Sciences de Liége, vol. VII, p. 132. (2) Davidson, Brit. fossil Brachiop. {ntroduction, p. 110. sur une nouvelle espèce de Davidsonia. 285 Davidsonia sont adhérents par une assez grande partie de la sur- face externe de cette même valve. D'un autre côté, je démontrerai par la description de la nouvelle espèce de Davidsonia que je viens de découvrir, et par les figures dont cette description est accompagnée, que sa valve adhérente est quelquefois garnie de petits tubes , semblables à ceux qui hérissent la surface de la valve correspondante de la plupart des espèces de Productus et de Strophalosia. Je puis ajouter encore que les Davidsonia n’ont jamais leur surface externe ornée des stries fines et rayonnantes qui embellissent presque toujours celle des espèces des deux genres auxquels je viens de les comparer, et que leur coquille n’en a point non plus la forme régulière. Si l’on veut bien tenir compte de ces derniers caractères et serap- peler que les Strophalosia sont des Brachiopodes dont la coquille est garnie de tubes, et dont la grande valve, souvent irrégulière, ad- hère par une partie de son crochet aux corps sous-marins, il me semble que l'on ne peut pas hésiter à rapprocher les Davidsonia de ce genre plutôt que des Strophomena ou des Leptæna. Ce rappro- chement est encore corroboré par la présence d’une area bien pro- noncée sur les coquilles de lun comme de l’autre genre et par la forme et la disposition des impressions des muscles adducteurs des petites valves; ces impressions sont au nombre de quatre, et ne présentent pas la moindre différence. De tout ce qui précède, il résulte que les Davidsonia ne différent essentiellement des Stropholosia que par les concrétions coniques dont l'intérieur des grandes valves de ceux-ci est garnie, et que les deux genres doivent être rangés dans la même famille, l’un à côté de l'autre, c’est-à-dire dans celle des Propuvrinées, immédiate ment après le genre Chonetes. Ce dernier servirait ainsi de transi- tion entre cette famille et celle des SrroPHoMÉNIDÉES qui la précède, bien plus naturellement que ne le fait le genre Davidsonia. J'arrive à la description de l'espèce nouvelle qui forme le princi- pal objet de cette notice. Je dédie cette espèce à l'un des princi- paux fonctionnaires du Museum britanique , au savant et modeste naturaliste, à qui ce magnifique établissement est en grande partie redevable de l’arrangement de ses richesses paléontologiques. 284 L. De Koniex. — Notice Coquille à peu près aussi longue que large, fortement déprimée en dessus , et souvent irrégulière. La grande valve est assez régulière- ment bombée et de forme subhémisphérique; elle n’adhère ordi- nairement que par une petite partie de sa surface; cette partie, qui est trés-voisine du crochet, occupe rarement le milieu; elle s'étend le plus souvent sur l’un ou l’autre côté de la valve et est l'unique source de son irrégularité. Sa surface est garnie de dix à douze plis assez épais, disposés en éventail et ayant pour origine commune le crochet ; quelques-uns de ces plis sont bifurqués à une petite distance des bords de la coquille ; la régularité de leur di- rection dépend de celle de la coquille même; ils sont traversés, sur- tout vers leur extrémité marginale , de stries d’accroissement assez irrégulières et assez profondes pour les faire paraitre imbriqués ; quelquefois ils donnent naissance à des petits tubes irrégulièrement distribués sur la surface et tout-à-fait semblables à ceux que por- tent certaines espèces de Productus (Fig. 2 et 2a). Le crochet est très-petit et à peine recourbé, L’area est courte et n’occupe guère que les deux tiers de la largeur totale de la coquille ; elle est très- surbaissée et semblable à celle des autres espèces. Son pseudodel- tidium est très-étroit et n'offre rien de particulier. Je ne connais pas l'intérieur de cette valve, ni celui de la valve opposée, mais il est probable qu’il ressemble à celui des valves cor- respondantes des deux autres espèces. La petite valve, d’une forme subsemicireulaire, est assez concave, et garnie de plis parfaitement semblables à ceux de la valve opposée, dont ils ne différent que par l'absence complète des tubes, même lorsque ceux de cette dernière en sont hérissés. Ces plis disparais- sent entièrement sur la partie correspondante à celle par laquelle Ja grande valve adhère aux corps étrangers. Souvent cette partie, qui est parfaitement lisse, se relève et forme en quelque sorte une bour- soufflure plus ou moins étendue aux environs du crochet (Fig, 4 et sur une nouvelle espèce de Davidsonia. 285 & a). Les bords de cette valve m'ont paru être très-minces et tran- chants. Je n'en connais pas la conformation interne. Rapports et différences. Cette espèce de Davidsonia se distingue facilement de ses deux autres congénères, par sa forme arrondie et surtout par les plis rayonnants dont sa surface est garnie, ainsi que par l'exiguïté de la partie de sa surface, au moyen de laquelle elle s'attache aux corps étrangers. Localité. J'ai recueilli cette espèce avec ses congénères, dans le schiste dévonien moyen des environs de Chimay. Elle y est très- rare. Je n’en connais encore qu’un seul échantillon dont la surface soit garnie de tubes. Tous mes échantillons sont détachés , en sorte qu'il m'est impossible d'indiquer les corps sur lesquels ils ont vécu en parasite. Il est probable que ce sont les mêmés que ceux qui ont servi de point d'appui aux deux autres espèces déjà connues. Note. Depuis la publication de ma Notice sur le genre Davidso- nia , deux auteurs, MM. Davidson et Schnur se sont occupés de ce genre et ont donné des figures des deux espèces que j'ai décrites. Comme celles de M. Davidson sont d’une grande exactitude, et qu’elles ont été dessinées par lui-même, d'après les échantillons qui ont servi à mon travail, j'ai cru être utile aux personnes qui ne possèdent pas l'ouvrage du savant paléontologiste anglais, en saisis- sant cette occasion pour les faire reproduire. J'en profiterai en même temps, pour compléter la synonymie des espèces déjà connues et pour rectifier une erreur qui s’est glissée dans l'explication des figures qu’en a données mon excellent ami. En effet les figures 186 et 187 de sa pl. VIIT, n'appartiennent pas, comme l'indi- que leur explication , au D. Verneuillii, Boucn., mais au D. Bou- chardiana, ve Kox. L’inspection des figures et leur comparaison avec celles que jai publiées moi-même, suffisent pour prouver ce que j'avance. Je passe à la synonymie qui devra être établie comme suit : 286 L. De Kowincx. — Notice 1. DAVIDSONIA VERNEUILLI. Boucaanp (1). T'hecidea prisca. Gouvr. Mss. Museum de l’Univ. de Bonn. Davidsonia Verneuillii. Boucu., 1849. Ann. des sc. nat., 5° série, vol, xu, p.92, pl. 1, fi.2 et 24 (syn. exclusä). — — DE Ko. 1852. Mém. de la Soc. Royale des Sc. de Liége, vol. vm, p.155, pl.1,fig.1a-g et pl.n, fig. 1@, b. — — Sennur. 1855, Palæontographica von W. Dunker et H. v. Meyer, vol. nr, p.210, pl, 59, fig. 4,a, b. — — Davinson. 1855. Brit. foss. brachiopoda, vol. I, pl. vin, fig. 188-191 (fig. 186 et 187 exclusis). 2, DAVIDSONIA BOUCHARDIANA. pe Kon. (2). Leptœna . . . . pe VERN, 1845. Russia and the Ural mount., by Murch, de Vern. and de Keyserl., vol. un, p. 257, pl. 15, fig. 9. Davidsonia Bouchardiana. pe Ko, 1852, Mém. de la Soc. Roy. des Sc. de Liége, vol. vin, p.157, pl. 1, fig. 24-g et plu, fig.2, 0, b. — — Scunur. 1855. Palæontographica von W.Dunker u. H. v, Meyer, vol. in, p.220, pl. 59, fig. 2, a, b, — — Dawson. 1855. Brit. foss. brachiopoda, vol. #1, pl. vu, fig, 192 et 195. — Verneuilli. In, Ibid. pl. un, fig, 186 et 187, non Bouc. (1) Fig. 7,8et9 de cette notice. (2) Fig 10, 11, 12 de cette notice. sur une nouvelle espèce de Davidsonia. 287 EXPLICATION DE LA PLANCHE. DAVIDSONIA WOODWARDIANA. DE Kon. Fig. 1. Echantillon de grandeur naturelle, vu du côté de la petite valve. — 1, a. Le même, grossi, vu du même côté. Le même, de grandeur naturelle, vu du côté opposé. , b. Le même, grossi, vu du même côté. x. Origine des tubes, Le même, de grandeur naturelle, vu de profil. Autre échantillon plus régulier, de grandeur naturelle, vu du côté de la petite valve. — 4, a. Le même, grossi, vu du même côté. £. Partie correspondant à la surface adhérente de la grande valve. 5 Le même, de grandeur naturelle, vu du côté opposé. 5, a. Le même, grossi, vu du même côté. — 6. Le même, de grandeur naturelle, vu de profil. 6 # O1 19 to , 4. Coupe longitudinale du même, grossie. DAVIDSONIA VERNENEUILLII. Boucn. Fig. 7. Grande valve, vue à l’intérieur et grossie, montrant en V l'impression des vaisseaux circulatoires; en A, celles des muscles adducteurs et en C, celles des muscles cardinaux. — 8. Petite valve vue à l’intérieur et également grossie, montrant les im- pressions correspondantes, à l'exception de celle des muscles cardi- Daux. — 9. Coupe longitudinale et grossie d’un échantillon bivalve afin de montrer l'espace rétréci occupé par l'animal. DAVIDSONIA BOUCHARDIANA. DE Kon. Fig. 10. Grande valve vue à l’intérieur et faiblement grossie , montrant les mé- mes impressions que celle de l’espèce précédente. — 11. Petite valve vue de même et un peu plus grossie, montrant également les impressions correspondantes. (Les mêmes impressions ont été dé- signées par les mêmes lettres dans les quatre valves) — 12. Coupe longitudinale grossie d’un échantillon bivalve, La partie blanche figure l’espace occupé par l'animal. Fi$.1-6.Davidsonia Woodwardiana de Kon 70. _ Verneuillu Bouch. - 10-12 - Bouchardiana. de Kon VIE. — Procédé pour analyser par voie sèche les minérais de zänc, PAR Is. KUPFFERSCHLAEGER. — BE — Les procédés connus jusqu’à présent pour analyser les minérais de zine par la voie sèche sont loin d’être exacts parce qu'ils présentent des chances d’erreur dans leur exécution. Aïnsi, le pro- cédé par distillation ne peut fournir tout le zinc que contient un mi- nérai si on ne le complète par quelques opérations de la voie hu- mide; le mode d'essai par différence effectué à une température moyenne, peut faire qu'il reste de l’oxide zincique non réduit dans le résidu, et que, en outre, l’on soit dans l'incertitude après le gril- lage de ce dernier sur le degré d’oxidation du fer qui se trouve dans le minérai essayé. Cependant ce point est très-important à con- naître, autrement on risquerait fort de faire erronément les calami- nes rouges plus riches que les blanches. Quant au procédé par différence exécuté à une haute tempéra- ture et avec fondants fixes, comme pour les essais de fer, il n’est pas irréprochable non plus , en ce sens que, d’après les expériences faites en 1846 par M. Chandelon , les fondants employés retiennent dans ce cas une certaine quantité d’oxide zincique indécomposé à l'état de silicate double , et que, par conséquent, tout le zine ne peut être dosé par différence au moyen de ce procédé. D'autre part, il y a, comme nous allons l'indiquer plus loin, possibilité de sim- plifier les opérations. Le procédé ancien , qui consiste à mêler le minérai zincifère avec du cuivre et à en opérer la réduction par du charbon, dans un 57 290 Is. KuprFERSCHLAEGER. — Procédé pour analyser creuset afin d'obtenir du laiton, est des plus inexacts et a toujours été jugé tel, parce qu’on n’est pas sûr que tout le cuivre s’alliera au zinc et qu'il ne s’en volatilisera pas une certaine portion, en même temps que de ce dernier, pendant la chauffe. On ne retrouve donc plus, lors du dosage , la quantité de cuivre employée ni tout le zinc contenu dans la prise d'essai. Or, les causes d’inexactitude et la complexité des opérations nous ont déterminé à rechercher un procédé plus convenable sous tous les rapports, et nous croyons être parvenu à un bon résultat; du moins deux années d’expérimentation ont sanctionné la bonté du procédé que nous allons avoir l'honneur d'exposer. Avant d’en aborder la description, disons d’abord que nous nous sommes appuyé sur les résultats obtenus en 1846 par M. Chande- lon , à savoir : 1° Que les fondants fixes employés à la réduction des minérais de zinc ne permettent pas d'en retirer tout le métal, et cela d’a- près ce que nous avons rapporté tantôt; et 2 que les silicates zin— ciques peuvent être complètement réduits, dans les laboratoires, sans l'emploi de fondants fixes, rien qu’en les chauffant suflisam- ment avec du charbon. D'où M. Chandelon, qui s'était proposé de rechercher la quan- tité du zine non réduit qui reste dans le minérai traité en grand, a imaginé, pour analyser par voie sèche les minérais, de chauffer au fourneau à vent la prise d'essai, préalablement grillée, mêlée avec du charbon pür , dans un petit creuset de porcelaine couvert et m- troduit dans un creuset en terre réfractaire et brasqué. Après la ré- duetion , il grille le résidu comme au procédé par différence exécuté à une haute température. De ces faits bien constatés, nous n’admettons pour l’analyse, à l'exemple de M. Chandelon , que deux classes de minérais de zine au lieu de trois, savoir : 1° les minérais oxidés, earbonatés et sili- catés ; et 2° les minérais sulfurés. Et même ces derniers lorsqu'ils ont été suflisamment grillés , peuvent être rangés dans la première classe. En résumé, tous les minérais de zine sont essayés par le même procédé. Ce qui précède étant admis, voici en quoi consiste notre pro- cédé. On prend deux grammes du minérai parfaitement pulvérisé et sec, on les met dans un têt taré en terre réfractaire , de trois centi- par voie sèche les minéras de zinc. 291 mètres de largeur sur deux de hauteur, que l'on recouvre d’un couvercle et que l’on introduit dans la moufle d’un fourneau de eou- pelle pour faire la calcination. Après une demi-heure de chauffe on retire le têt, on le pèse pour déterminer par différence le poids des matières volatiles, ensuite on le replace sans son couvercle dans la moufle , pour opérer le gril- lage et porter au maximum d’oxidation les corps qui n’y sont point; particulièrement l’oxide de fer qui se trouve presque toujours dans les minérais de zinc (1). Au bout d’une demi-heure, environ, on retire le têt, on le pèse pour connaitre le poids des matières fixes du minérai grillé, puis on mêle celui-ci avec une quantité à volonté de noir de fumée pür (ne laissant pas de cendre par l’incinération, ou dont le poids en est connu) sur un morceau de papier glacé; le mélange est intro- duit dans un trou fait au centre du noir de fumée dont on a rem- pli le têt sans le tasser, puis recouvert d’un peu de noir, après quoi l'on ferme au moyen d'un couvercle percé d'un trou, s’a- daptant bien avec un bord intérieur, et qu'on lute avec de la terre à pipe. Cela fait, on reporte dans la moufle le tèt ainsi préparé, et on pose quelques morceaux de coke sur le cou- vercle afin que le zine volatilisé pendant la réduction ne se con- dense pas à sa face intérieure ; l’on met aussi en avant du têt, du côté de la porte du fourneau , quelques morceaux de coke pour que l'air froid ne frappe pas l'appareil, ce qui pourrait former de l’oxide zincique, et afin que la chaleur soit à peu près aussi forte sur le devant de la moufle qu’au fond, puis on ferme cette dernière au moyen de sa porte. Pour éviter qu’une partie du noir de fumée ne brüleavant de réagir sur le minérai, on peut boucher imparfaitement le trou du couver- cle par un petit morceau de coke , qu’on enlèvera dès que le têt sera chauffé au rouge sombre. Au bout de cinq quarts d'heure d’un bon feu; entretenu avec du charbon de bois et du coke, la réduction est terminée : on retire le têt pour enlever le couvercle et l’on grille de nouveau pour brüler tout le noir de fumée restant , ainsi que pour réoxider le fer qui est également réduit. Mais comme le fer ne peut, par cegrillage, qu'être (1) Poux plus de certitude et de rapidité, on peut y aider par l'addition d’un pou d'acide azotique, comme nous l'indiquons au second grillage. 292 Is. KurrrenscnLaeGer. — Procédé pour analyser amené à l’état d’oxide ferroso-ferrique (ce que l’on peut constater par les barreaux aimantés), et que le manque d’oxigène pour faire de l’oxide ferrique est compté comme étant de l’oxide zincique , dont les constituants ont été volatilisés , il faut mettre le résidu de ce grillage dans une petite capsule de porcelaine contenant un peu d’a- cide azotique, et rechauffer afin de porter le fer à son maximum d'oxidation, après quoi on pèse. Ce poids étant soustrait de celui du minérai grillé, auquel on a ajouté le poids des cendres du noir de fumée s’il en laissait, la différence indique l’oxide zincique absent et duquel on calcule le poids du zinc métallique. On pourrait, au besoin, faire le grillage avec l'acide azotique dans le tèt même, mais comme sa pâte est poreuse, le nitrate for- mé et encore liquide, pénètrerait dans les pores, le tèt serait mis hors d'usage, et on ne pourrait en détacher complètement le résidu pour le peser séparément. Si l’on avait à sa disposition une capsule réfractaire non vernissée intérieurement , on pourrait y exécuter toutes les opérations de cet essai. Il ne convient pas non plus d'ajouter l'acide azotique au résidu immédiatement après la réduction et avant d’avoir brülé le charbon, parce qu’alors on aurait des déflagrations et par conséquent des per- tes; le mieux est d'opérer comme il vient d’être indiqué. Par ce procédé on peut faire un essai complet en moins de trois heures, avec peu de combustible comparativement à la quantité qu'il en faut lorsqu'on emploie le fourneau à vent qui, en outre, exige chaque fois un autre creuset. Les essais des minérais les plus silicatés doivent être placés au fond de la moufle parce qu’ils exigent une plus forte température que les autres. Il est bien entendu que si le noir de fumée, que l’on se propose d'employer , laissait des cendres après sa combustion, on devrait dessécher et peser tout ce que l'on en emploierait dans cette opé- ration. Pour donner une idée de l’exactitude de ce procédé , nous allons rapporter des exemples d'analyses exécutées au laboratoire de l'Uni- versité de Liége. 4° Un mélange fait de 5 gr. 50 d’oxide zincique et de 1 gr. 50 d'oxide ferrique, tous deux purs, ayant été trailés comme il a été exposé plus haut, et jusqu'à ce que les barreaux aimantés n'aient par voie sèche les minérais de zinc. 295 plus eu d'action sur le dernier résidu, a reprocuré par le ealeul les quantités exactes des deux oxides mélés. 2 Essai d'un minérai de fer et de zinc provenant de Forceilles commune de Héron. Deux gram. soumis au grillage ont fourni 4 gr. 58 de minérai fixe qui, réduit par le noir de fumée, a donné pour résultat des opérations : 0 gr. 61 d'oxide zincique, ou 50,5 ‘/. d'oxide zincique; soit 24,47 */, de zinc métallique. Comme contrôle on a analysé ce minérai par la voie humide, et on a trouvé sur deux grammes : 0 gr. 62 d'oxide zincique ou 51 ‘/. d'oxide; ce qui donne 24,87 ‘/. de zinc. Il nous parait inutile de multiplier ici les exemples; nous sjou- terons seulement que , depuis deux ans que ce procédé est mis en pratique à l'Université de Liége et dans plusieurs usines à zinc du pays , on ne Jui a pas encore adressé le moindre reproche. Ceux qui l'exécuteront pour une premiére fois, feront bien de s'assurer que tout l'oxide zincique a été réduit avant de procéder à la dernière pesée et de passer aux calculs. Nous avons tenté vainement d'appliquer ce mode d'essai aux mi- nérais de zinc plombifères , nous n'avons pu parvenir à rien de fixe sur la quantité de plomb qui se volatilise en même temps que le zinc. Il fut nu dosage spécial pour déterminer le plomb. Liége, le 20 août 1855. Is. KuPrFERSCHLAECER. IX. — Note sur un nouveau genre de la Famille des Mé- lanosomes (Micipsa rufitarsis), qui habite le sud des pos- sessions françaises dans le nord de l'Afrique ; PAR M. H. LUCAS, Aide-naturaliste au Museum d'Histoire naturelle de Paris, — > — Dans les sentiers arénacés qui sillonnent ça et là la forèt de Pins dont le plateau de Boghar est en grande partie couvert et qui sont trés-affectionnés par les Pimelia, les Erodius et surtout les Tentyria, je trouvai, à la fin de mai 1850, un Coléoptère peu agile et qui, par sa forme courte, ramassée et sensiblement convexe, rappelait assez, mais en petit, les Mélanosomes du genre des Blaps. Dési- rant déterminer ce Coléoptère, je consultai le consciencieux tra vail sur cette famille de feu Solier, et, après l'avoir parcouru, je ne tardai pas à m’apercevoir que cet insecte n'avait pas été connu par ce zélé et laborieux entomologiste. En effet, en étu-" diant ce Collaptèride et en le comparant aux genres avee les- quels sa forme lui donne le plus d'analogie, il me fut impossible de le ranger parmi les nombreuses coupes établies par Solier ; je fus done obligé de créer un nouveau genre que je consignai dans le Bulletin de la société entomologique, 5° série, tom. 5, p. 54 (1855). Lorsqu'on cherche à apprécier les caractères présentés par cette nouvelle coupe générique, on ne tarde pas à remarquer qu'ils rap- pellent un peu ceux des Tentyria ; mais sa forme plus courte , plus ramassée et surtout plus gibbeuse, m'engage à la rapprocher du genre des Tagona. Comme dans cette coupe générique , le troisième article des antennes est allongé , mais il ne dépasse pas, comme chez les Tagona , les deux suivants réunis. Les yeux, au lieu d'être ova- les, sont arrondis. Le prothorax est plus large que long , tandis que dans les Tagona, il est plus long que large. L’écusson dans ce genre forme une saillie triangulaire entre les élytres , tandis que chez les Micipsa , ce même organe est bien triangulaire, mais il est très- H. Lucas. — Note sur un nouveau genre. 295 petit et ne forme pas de saillie. Les élytres sont plus courtes, plus ramassées et plus larges que dans les T'agona, et, par leur forme lé- gèrement prolongée à leur partie postérieure , ces organes rappel- lent un peu, mais en petit, ceux de certaines espèces du genre des Blaps. Les pattes sont plus grèles et plus allongées que dans les Ta- gona et les fémurs, au lieu d'être épaissis en massue comme dans ce genre, sont, au contraire, dans les Micipsa, minces et arrondis. Si maintenant on compare les organes buccaux de ce nouveau genre avec ceux des Tagona, on remarquera que ces organes offrent des carac tères différents bien tranchés. La lèvre inférieure est plus large que longue et, au lieu de présenter antérieurement deux lobes arrondis comme chez les Tagona, elle est profondément creusée dans son milieu comme dans ce genre, mais ses angles latéro-antérieurs sont seuls arrondis. Les palpes labiaux sont plus allongés et leur dernier article, au lieu d’être renflé , ovalaire, rétréci au bout et légèrement tronqué comme dans les Tagona, est allongé, comprimé et légé- rement en forme de hache. Les palpes maxillaires sont plus grèles et leur article terminal, au lieu d’être notablement sécuriforme , est au contraire étroit, allongé et légèrement comprimé. Le lobe externe est beaucoup plus allongé que dans les Tagona, surtout le premier article ; quant à la mächoire, proprement dite, elle est sub- membraneuse et terminée par une dent spiniforme simple et allon- gée; un peu au-dessous , on aperçoit une autre dent spiniforme, mais beaucoup plus petite. Tels sont les caractères différentiels que m'ont présentés ces deux genres examinés comparativement et entre lesquels j'ai trouvé beau- coup plus d’affinité que chez tous les autres qui composent la tribu des Blapsites. Genus MICIPSA (1), Lucas, Ann. de la Société entomolog. de France, 3° série, tome 3; Bulletin p. 34 (1855). Caput longius quam latius , antice angustatum rotundatumque. Oculi convexti , rotundati. Labrum superius brevissimum, multo latius quam longius , antice rotundalum. Antenne elongatæ, exiles , 11 articulalæ ; 5° articulo elongato , exili, nec duos subsequentes collectos superante , ultimis brevibus , (1) Nom d’un roi de Numidie, 296 H. Lucas. — Note sur un nouveau genre anlice crassis, articulo terminali allamen elongato, sub-oviformi. Mandibulæ valide, antice intus bidentatæ. Maxillæ intus bidentato-spinosæ, spina terminali magna. Palpi maxillares elongati, 1° 2 articulis brevibus , 5° 4° elon- galis, 5° magno , compresso. subsecuriformi. Labrum inferius latius quan longius, in medio profunde exca- valum , angulis tantum anticis uhrinque rotundatis . Palpi labiales elongati , 1° articulo brevi , exili, 2 elongato, com- presso, securiformi. Prothorax latior quam longior , convexus , ad latera rotundatus. Seutellum trianguliforme , minimum. Elytra abbreviata , convexa , ad latera rotundata, cordiformia , ad basim subproducta. Pedes elongati, exiles , femoribus rotundatis , subarcuatis , tibiis rectis, ad basim bispinosis tarsisque elongatis, infra spinosulis. Abdomen breve, 5-segmentatum, segmento ullimo angusto , elongato. La tête est plus longue que large, peu prolongée en arrière , ré- trécie en avant où elle est arrondie. Les yeux sont convexes et arron- dis. La lèvre supérieure très-courte , beaucoup plus large que lon- gue, est arrondie. Les antennes, allongées et grèles, présentent onze articles : le premier est court et renflé à son extrémité ; le second est de même longueur , mais beaucoup plus grèle ; le troisième est allongé , grèle, mais ne dépasse pas en longueur les deux suivants réunis : ceux-ci sont de même grosseur, avec le quatrième un peu plus allongé que le suivant; le sixième est de même longueur et de même grosseur que le cinquième ; quant au septième, il est sensi- blement plus court; les huitième, neuvième et dixième augmen- tent de grosseur à leur extrémité, surtout le dixième ; enfin le on- zième article ou terminal est sensiblement plus allongé que les pré- cédents; il est suboviforme avec son extrémité rétrécie et légère- ment recourbée. Les mandibules, assez robustes, sont élargies à leur extrémité qui est armée de deux dents dont l’externe est plus allon- gée que l’interne, Les palpes maxillaires sont allongés ; les premier et second articles sont courts ; les troisième et quatrième sont plus allongés et de même grosseur ; quant au cinquième, il est beaucoup plus grand, comprimé et coupé en biseau, ce qui lui donne un as- pect légèrement sécuriforme. Le lobe externe présente deux articles dont le premier est très-allongé avec le second, au contraire, très- court ; le lobe interne est submembraneux et présente deux dents spi- de la Famille des Mélanosomes. 297 niformes dont la terminale courbée est la plus allongée. La lèvre inférieure , plus large que longue, se retréeit graduellement jusqu’à son bord antérieur et présente dans son milieu une échancrure pro- fonde, avec les angles formés de chaque côté par cette échancrure , seulement arrondis ; les palpes labiaux sont allongés avec leur pre- mier article court et grèle à sa base ; quant au second, il est allon- gé, aplati et sécuriforme. Le prothorax, plus large que long, arrondi sur ses parties latérales , est assez renflé avec les angles antérieurs plus sensiblement accusés que ceux situés de chaque côté de la base. L'éeusson est très-petit et trianguliforme. Les élytres courtes, bom- bées , arrondies sur les parties latérales , en forme de cœur allongé, se retrécissent graduellement à leur partie postérieure où elles sont un peu prolongées et terminées en pointe arrondie. Les pattes sont allongées, grèles, avec les fémurs arrondis et très-légèrement arqués ; les tibias, un peu plus courts que les fémurs, sont grèles et offrent seulement deux épines à leur extrémité; quant aux tarses, ils sont allongés avee la partie inférieure des divers articles qui les compo- sent spinuleux au-dessous. L’abdomen est court, composé de cinq segments dont le dernier le plus allongé est étroit et arrondi à sa partie postérieure. Je ne connais qu’une seule espèce de ce genre singulier et qui, jusqu’à présent, n’a encore été signalée que comme habitant Les hauts plateaux de la province d'Alger. MICIPSA RUFITARSIS, Lucas, Ann. de la Société entom, de France, 3° série, tome 3 ; Bullet. p. 34 (1853). Long. 9 millim. Larg. 5 millim. :/;. M. niger, nilidus ; capite sensiter punctato , antice bi-impresso; thorace convexo, ad latera subtiliter marginato obscureque punc- tato; elytris convexis , lævigatis , ad suturam longiludinaliter de- pressis ; sterno abdomineque nigro-nitidis , hoc ad laiera impresso, subtihissime laxeque punctulato ; antennis, palpis, tarsis rufes- centibus , femoribus tibisque rufis. D'un noir brillant; la tête assez convexe en dessus à partir de la base, présente de chaque côté des antennes une impression assez fortement prononcée : celle-ci est séparée longitudinalement par unesaillie ou convexité qui se continue jusqu’à la partie antérieure ; de plus, elle présente une ponctuation sensiblement marquée, mais 58 298 IT. Lucas. — Note sur un nouveau genre. peu serrée. Les antennes, les palpes maxillaires et labiaux ainsi que le bord de la lèvre supérieure sont entièrement roussätres. Les mandibules sont noires ainsi que la lèvre inférieure, Le pro- thorax arrondi, convexe en dessus et sur les côtés, présente sur les parties latérales une saillie finement accentuée; il est obscurément ponetué et présente vers le milieu de sa base deux impressions assez fortement marquées; sur les parties latérales et en dessous, il est finement ridé. L'écusson, quoique très-petit, m'a paru entièrement lisse. Les élytres courtes, larges, convexes en dessus et sur leurs par- ties latérales sont entièrement lisses ; elles sont déprimées longitudi- nalement de chaque côté de la suture avec leur base arrondie , ter- minée en pointe et finement marquée, Tout le sternum et l'abdomen sont d’un noir plus brillant que le reste du corps; ils sont obscuré- ment ponctués et les segments abdominaux offrent une dépression de chaque côté. Les fémurs et les tibias sont d’un brun roussätre avec les tarses entièrement de cette dernière couleur. Cette espèce habite le plateau de Boghar où je l'ai rencontrée une seule fois à la fin de mai dans les sentiers sablonneux ; les versants- du Djibel Amour ainsi que les environs de Boucada nourrissent aussi celte espèce ; elle y a été trouvée par le général Levaillant et le docteur Allaire, EXPLICATION DE LA PLANCHE. 1. Micipsa rufitarsis grossi, 1a la grandeur naturelle, 12 une antenne, 1c une mandibule, 14 une mâchoire, 1e la lèvre inférieure, 1b Lah. A, Dassaire . Micipsa rufitarsis, /ucas X. — Cours élémentaire sur la fabrication des bouches à feu en fonte et en bronze, et des projectiles, d'après les procé- dés suivis à la Fonderie de Liége , PAR COQUILHAT, major d'artillerie, Sous-DrecrEuR de la fonderie de Liége, Chevalier des ordres de Léopold et du Lion Néerlandais, Membre de la Société Royale des Sciences de Liége. PREMIÈRE PARTIE. FONTE DES CANONS. ED —— LIVRE 1. APERÇU HISTORIQUE. — MÉTAUX EMPLOYÉS À LA FABRICATION DES BOUCHES A FEU. ARTICLE I. APERÇU HISTORIQUE, Les progrès de l'art militaire dépendent essentiellement des scien- ces et de l'industrie. On s’en rend facilement compte en considé- rant que la manière de combattre doit ètre appropriée aux armes dont on dispose. Ces armes seront plus ou moins meurtrières , al- teindront de plus près où de plus loin, suivant que les procédés de fabrication seront plus parfaits et que les moteurs que l'industrie emploie seront plus puissants et permettront de donner aux engins de guerre des proportions plus fortes. Cette vérité est surtout évi- dente pour l’artitlerie. Pour s’en convaincre, il suffit de rappeler 300 CoquinaAT. — Cours élémentaire sur la fabrication que l'artillerie par la violence de ses effets et par sa grande portée, a fait disparaître successivement les anciennes armures défensives des chevaliers: qu'elle a changé les procédés pour l’attaque et la dé- fense des places, et qu’elle a été la cause des principaux change- ments survenus dans la tactique des armées. La guerre actuelle dans la Baltique, dans la Mer Noire et en Crimée a fait ressortir l'importance des plus puissants canons et l’u- tilité des canons à bombes d’un grand diamètre. On pourrait s'étonner de ce retour aux gros calibres, dont nous ne rappelions l'emploi par nos ancêtres que pour faire remarquer l'état de barbarie dans lequel l'artillerie se trouvait autrefois. Mais nous ferons observer que cet état, dont la qualification de barbare est prise comme indication d'enfance de l’art, tenait bien plus à l'insuflisance des moyens de fabrication, qu'à l'idée de l'emploi des gros Calibres : idée éminemment féconde, mais dont l'application doit être en harmonie avec les progrès de l'industrie. L'usage des gros calibres n'est possible actuellement qu'avec des pièces de fonte; celles de fer forgé ou de bronze ayant été recon- nues ne pouvoir résister qu'à un petit nombre de coups. Si le géné- ral Paixhans fut arrivé un sièele plutôt, son invention avortait, par l'impossibilité où se serait trouvée l'industrie métallurgique de fabriquer d'énormes pièces de fonte dans des conditions conve- nables. La possibilité de lancer d'énormes bombes avec la plus grande vitesse initiale, procurera d'immenses avantages à l'attaque et à la défense : le but pourra être frappé par des projectiles creux d’un très-grand diamètre, renfermant une charge explosive considéra— ble et constituant une mine volante; la force vive d'arrivée sera véritablement effrayante, parce que le projectile possédant une masse énorme frappera le but avec la majeure partie de sa vitesse initiale : la justesse du tir sera augmentée, parce que les gros projec- tiles, animés de grandes vitesses, décriront des trajectoires rasantes. Au point de vue militaire , la seule objection qu’on puisse élever contre le projet d'une artillerie aussi puissante, ne peut consister que dans l'impossibilité où l’on se trouverait, soit de créer cette ar- tillerie, soit de s’en servir, Mais les perfectionnements apportés dans l'art de fabriquer la fonte et les bouches à feu de ce métal, et les progrès qui ont été réalisés dans les moyens de transport. per- mettent de revenir, avec les plus grandes chances de succès, à l'ar- tillerie de gros calibre. des bouches à feu en fonte et en bronze , etc. 501 L'emploi simultané de plusieurs fourneaux à réverbère permet de couler-les pièces les plus pesantes. Le transport des plus lourds far- deaux, se fait maintenant avec une facilité qui tient du pro- dige : il n'est pas rare de voir des machines, ou seulement des par” ties de machines, pesant jusqu'à 20,000 kilogrammes, être trans- portées à des distances très-grandes , sur terre ou sur eau, Sans occasionner d'autre embarras que celui de construire un fort char- riot ou de bien étançonner le navire. Rien n’empèche de faciliter la mise en batterie ou hors de bat- terie par l'emploi d’un moteur abrité contre les coups de l'ennemi, et dont une partie seulement des organes de transmission du mou- vement seraient exposés à être atteints. Ces organes pouvant con- sister en chaines ou en cordages, il serait facile de les remplacer s'ils étaient touchés par un projectile et endommagés ou détruits. Nous rappellerons en peu de mots les époques qui ont été signa- lées par un progrès ou une nouveauté dans l'art de fabriquer les bouches à feu. Les premières bouches à feu furent faites en fer forgé. Elles étaient composées de barres de fer soudées et assemblées en forme de douves et reliées par des cercles de même métal. On conçoit les dil- ficultés qu'on devait rencontrer dans l'exécution de semblables piè- ces ; aussi n’en fabrique-t-on plus depuis longtemps. On prétend qu’à la bataille de Créey, en 1546, les Anglais se ser- virent de bouches à feu en fer forgé. Les avantages que présente la fonte des métaux, firent adopter le cuivre d’abord et le bronze ensuite pour la confection des bouches à feu. En 1554, il y avait déjà des pièces en cuivre. En 1572, on coulait des pièces de bronze à Augsbourg. Vers la fin du 14" siè- cle, ces pièces étaient très-nombreuses en Italie, Du reste, il ne parait pas que les procédés de fabrication se répandirent uniformé- ment en Europe, car on employa le fer forgé concurremment avec le bronze , pendant environ deux siècles et demi. La fabrication des pièces de bronze ou de cuivre fait supposer la connaissance des fourneaux à réverbère. L'ancien bronze, outre l’étain et le cuivre , contenait un peu de zine et même du plomb : mais on ne tarda guère à adopter la com- position actuelle formée de cuivre et d’étain, seulement la propor- tion de ce dernier métal a varié de 8 à 14 p. °/, de cuivre. D'après M' Piobert, on coulait déjà en 1577 des pièces de fer à 302 Coquicuar. =— Cours élémentaire sur la fabrication Erfurt. Il faut donc admettre qu'à cette époque , il existait des haut- fourneaux au bois. ù Cependant d’après d'autres auteurs, ce ne fut qu'en 1547 que les Anglais furent les premiers à couler des bouches à feu en fonte de fer. La coulée des pièces de gros calibres exigeait le concours de plusieurs hauts-fourneaux. Dans le principe les pièces étaient coulées à noyau ; on ne les alésait même pas, du moins, d’après ce qu’en dit l'ouvrage de Diego Ufano, qui parut en 1628. En consultant St.-Remy, on voit qu’en 1671, les pièces étaient encore coulées à noyau, mais avee masselottes et qu’elles étaient alésées. L'alésage se fesait autrefois verticalement. Il est bien vrai que St.-Remy parle d'un alésage horizontal dans lequel l'alésoir tour- nait et avançait, tandis que la pièce restait immobile, mais ce pro- cédé défectueux ne fut qu'essayé. En 174%, Maritz, inspecteur-général de la fonderie de la ma- rine en France, imagina de couler les bouches à feu pleines et de les forer horizontalement , en les fesant tourner autour de leur axe. En 1748, ces procédés devinrent réglémentaires , en France. En Angleterre , dès 1712, Simon Surlevant substitua le charbon minéral au charbon de bois dans la fabrication de la fonte. Les premiers essais ne furent pas heureux et, comme il n'arrive que trop souvent en pareil cas, il se manifesta une opposition formidable qui fit abandonner l’entreprise. Cependant on revint au procédé, et en 1740, on produisit de la fonte au coke. Les machines à vapeur qui furent inventées peu de temps après, mirent de grandes forces motrices à la disposition de l'industrie, et permirent l'établissement de hauts-fourneaux à gran- des dimensions. De 1760 à 1766, l'emploi de coke dans la réduction des miné- rais de fer, devint général en Angleterre, C’est aussi vers la même époque que l’on commenca dans ce pays à fabriquer les pièces avec de la fonte au coke, mais toujours par le coulage direct au haut-four- neau. Les canons en fer furent coulés en seconde fusion par le fourneau à réverbère, chauffé à la houille, à partir de 1770 à 1775 en Angleterre et de 4780 à 1790 en France et en Belgique. Le moulage en terre a été exclusivement employé jusqu'au mo- ment où la première république française, pressée par d'impérieux besoins, décréta des moyens rapides de fabrication pour les pièces de fer. On moula d'abord en terre sur un modèle en métal, le des bouches à feu en fonte et en bronze , ele 505 moule étant formé de deux parties suivant un plan passant par l’axe de la pièce, ce qui s'appelait mouler en coquille , puis enfin, on adopta le moulage en sable tel qu'il existe aujourd'hui. Le moulage des pièces de bronze s’est toujours exécuté en terre. Cependant, depuis un certain nombre d'années, on a essayé le mou- lage en sable , et ce procédé a été introduit à la fonderie de Liége en 1856. Les pièces de bronze ont des grains de lumière depuis longtemps. Le général Huguenin, rapporte d'après l'ouvrage de Henri Hon- dius (courte description et dessins des règles générales de la forti- fication, de l'artillerie, des munitions, etc.), qu’au siége d'Os- tende on avait remarqué que les lumières des pièces de bronze s’é- Yasaient rapidement et qu'on y remédia en coulant du cuivre dans la lumière évasée, et en ayant eu soin d'échauffer fortement la pièce pour le moment de l'opération et de remplir l'ame de sable. Ce procédé n'ayant pas été trouvé entièrement satisfaisant , fut remplacé par la pose à froid d'un grain en fer, ayant des filets de l'épaisseur d’un doigt : il est inutile d'ajouter que le logement du grain était taraudé en conséquence. Quoi qu'il en soit de l'expé- rience faite au siége d'Ostende, ce procédé fut abandonné et les pièces de bronze n’eurent pas de grain jusqu’en 1748. En France, on déposait un grain de cuivre dans le moule de Ia pièce , de manière qu'il fut enveloppé per le métal liquide lors de la coulée. Cela avait l'inconvénient que parfois des soufflures ou des défauts d'adhérence se manifestaient. Ainsi, en France , le premier grain était toujours mis au mo- ment de la coulée. Mais , lorsque la lumière était évasée , il fallait renouveler le grain. Cette opération s’est affectuée à chaud (par la fusion) pendant bien longtemps. St.-Remy raconte qu'on alésait la lumière évasée ; qu’on remplissait l'ame de sable comprimé ; qu’on chauffait fortement la pièce (mais pas au point de la fondre) et qu’on laissait ensuite couler dans le logement du grain 600 à 800 livres de cuivre fondu dans un fourneau à réverbère. On conçoit que le métal de la pièce étant baigné aux parois du logement du grain et lavé en quelque sorte par cette masse de métal liquide, devait se ra- mollir , arriver à l'état de fusion Pateuse et se souder avec le grain. Cette opération ne se fesait pas Sans que la pièce n’en souffrit, la forte chaleur qu'elle Occasionnait en certaines parties provoquant la fusion de l'étain. 50% Coquicnar. — Cours élémentaire sur la fabrication Leblong , qui a écrit après S' Remy , trouva probablement qu’il y avait une erreur dans ce chiffre de 600 à 800 livres, puisqu'il n'indique que 5 à 6 livres pour la même opération. Cette opinion fait supposer que Leblong ne connaissait pas les fonderies prati- quement , et qu'il écrivait sur cctte matière d’après d’autres livres, À la fonderie de Liége, on a exécuté en 1852, avecun plein suc- cès, le soudage de nouvelles anses à une pièce de bronze. C'est par des courants de bronze liquide que les surfaces de sou- dure ont été amenée à l’état de fusion pateuse : c'est en arrêtant les courants au moment opportun, et laissant le refroidissement se faire graduellement, que le nouveau métal s’est soudé intimement à celui de la pièce. La pose à froid est antérieure à 1706 en France. Elle consistait à mettre un grain fileté. Mais probablement qu'on ne trouva pas d’abord les dimensions nécessaires ou les moyens de fileter conve- nablement. Les essais furent nombreux, On imagina des masses d'acier ou de bronze qu’on appelait elefs. On prétendait mème pou- voir ôter la clef sans difficulté quand on abandonnait la batterie pour empêcher l’enclouage des pièces , et pouvoir la remettre en- suite facilement au moment du tir. Enfin en 1756, M° Gor, inventa une machine à fileter le grain et son logement dans la pièce : l'o— pération ne demandait que 4 heures. L'épreuve du tir constata ensuite l’excellence du travail. Quoi qu'il en soit de ces essais, ce n’est que quelques années après qu'il devint réglémentaire en France, de meitre un grain de cuivre fileté en remplacement d'une lumière évasée. La fonderie de Malines était déjà célèbre au 16° siècle pour ses pièces de bronze, Dans le pays d’entre Sambre-et-Meuse on fabri- quait des pièces de fer il y a déjà 150 ans. La fonderie de Liége date de 1805 , sous le consulat. M° Perier fut son fondateur. On coula à cette fonderie exclusivement des pièces de fer jusqu’en 1856 , époque à laquelle la fabrication des pièces de bronze y fut ajoutée par M. le colonel Fréderix , alors major directeur de cet établissement. ARTICLE II, MÉTAUX QUI CONVIENNENT A LA FABRICATION DES BOUCHES À FEU. Les métaux sont les seules matières propres à la fabrication des bouches à feu. Le métal à canon doit posséder les propriétés sui- vanles : des bouches à feu en fonte et en bronze , etc. 505 La dureté. La ténacité. L'élasticité. La résistance à l'action corrosive des produits de la combustion de la poudre. Enfin il doit présenter certains avantages industriels : il ne doit pas coûter trop cher , il doit se laisser façonner sans trop de diffi- eulté, et il doit être assez abondant pour suffire aux besoins d’une forte consommation. La dureté empêche l’ame de se déformer par la pression des gaz ou par les chocs du projectile contre ses parois. La ténacité prévient l'éclatement de la bouche à feu par lexplo- sion de la charge. L’élasticité permet aux molécules de reprendre leur position pri- mitive , après qu’elles en ont été écartées d’une certaine quantité dont la limite dépend du degré d’élasticité de la matière. En vertu de cette propriété les efforts successifs exercés sur la bouche à feu ne s'ajoutent pas du moment que l’élasticité n’a pas été dé- truite par un trop grand écartement des molécules. Il en résulte une plus grande durée des bouches à feu. La résistance à l’action corrosive des produits de la combustion de la poudre prévient l’évasement de la lumière , les affouillements et les égrènements. Les seuls métaux qui puissent réellement convenir à la fabrica- tion des bouches à feu sont le fer forgé, le cuivre, le bronze et la fonte de fer. Ainsi que nous l'avons déjà dit, les difficultés de fa- brication ont fait abandonner le fer forgé. Peut-être l’industrie par- viendra-t-elle un jour à produire avec ce métal de bons canons et peu coûteux. C’est un problème que le temps se chargera de ré- soudre. L'invention du marteau pilon donne déjà de grandes chances de réussite. Le reste du problème parait résider dans les dimensions des fours à pudler comme aussi dans la possibilité de inouler et de souder en temps opportun par la compression un nombre suffisent de loupes. Le cuivre n’est pas assez dur. Mais allié avec une certaine quan- tité d'étain , il forme le bronze , métal plus dur que le cuivre et presque aussi ténace. Les pièces d'artillerie sont donc composées de bronze ou de fonte de fer. Depuis quelque temps on fabrique les canons de certaines armes à feu portatives en acier fondu. Un industriel allemand s’est chargé à 59 306 Coquiuar. — Cours élémentaire sur la fubrication de couler les bouches à feu de l'artillerie avec la même matière. Mais cette nouvelle fabrication n’est encore qu’à l’état d'essai , bien que les chances de réussite soient nombreuses. On est donc fondé à dire que le bronze et la fonte de fer sont les métaux dont les bou- ches à feu sont actuellement composées. Le bronze a beaucoup plus de ténacité et d’élasticitéque la fonte, mais il est moins dur et plus décomposable par la chaleur et par les produits de la combustion de la poudre. Il en résulte que les pièces de bronze offrent plus de garanties contre les dangers d’é- clatement prématuré , mais qu’elles sont plus vite dégradées dans l'ame. Ces dégradations font diminuer la justesse du tir et font perdre une partie de la force motrice due à la combustion de la charge. Les bouches à feu de campagne sont de bronze en Belgi- que et chez la plupart des autres puissances. On a remarqué, en effet que ce métal possédait une dureté suffisante quand les pièces étaient de petit calibre ou lorsque les charges de tir étaient faibles. Les pièces de siége sont également en bronze : on a sans doute pensé que ces pièces devant tirer à fortes charges pour l'exécution des brèches , il convenait avant tout de se garantir contre les dan- gers d'une rupture inopinée. Le traitement de la fonte de fer a été grandement perfectionné, principalement depuis un demi-siècle, Ge métal présente une du- relé satisfesante ; il possède assez de ténacité pour qu’on ne soit pas obligé de donner des épaisseurs démesurées aux bouches à feu ; sa résistance à l’action corrosive du gaz est telle, qu’en moyenne une pièce de fer a accompli le service qu'on peut raison. nablement en attendre , lorsque l'évasement de la lumière est de- veau trop considérable. Les pièces de fonte coutent 6 à7 fois moins que celles de bronze : elles possèdent donc un avantage qui, sous le rapport financier, n’est pas à dédaigner pour un état comme la Belgique qui compte plus de 4000 bouches à feu (ce nombre exigeant un renouvellement moyen de 60 à 80 pièces par an ). Enfin les pièces de fonte conservent l'ame intacte pendant toute la durée de leur service. On fabrique en fonte de fer : Les bouches à feu de place. Les canons de côte. Les canons à bombes. Les pièces de marine. des bouches à feu en fonte et en bronze , etc. 307 ARTICLE IL. DU BRONZE À CANON. s Le bronze est un alliage en proportion variable de cuivre et d'é- tain. Mais on donne particulièrement le nom de bronze à canon ou de métal à canon , au composé de cuivre et d'étain dans la pro- portion qui convient aux bouches à feu. Titre du bronze. En Belgique, en France et chez la plupart des puissances le bronze à canon est formé en poids de 100 parties de cuivre et 11 parties d'étain , aussi purs que possible. Caractères extérieurs du bronze. Le bronze est d’une couleur matte, jaunâtre, plus ou moins nuan- cée par le rouge selon le degré de pureté de ses composants. On dé- couvre peu de nérf à la cassure mais plutôt un grain irrégulier , à facettes, et d'une grosseur qui augmente avec les dimensions de l'objet. Le métal est peu homogène et montre des taches d'étain plus ou moins fortes , plus ou moins nombreuses. Sa densité est plus grande que la densité moyenne des métaux dont il est com- posé : elle varie entre 8.76 et 8.87. Le bronze est plus dur et plus fusible que le cuivre. Lorsqu'il est en fusion et qu'on l'expose au contact de l'air, l'étain s’oxide beaucoup plus rapidement que l’autre composant ; et si la fusion se prolongeait on obtiendrait du euivre pur. Le bronze est susceptible de prendre un poli très-brillant : sa ténacité est très-grande quoiqu’elle soit inférieure à celle du cuivre. Le bronze est moins ductile que ses composants , mais il est plus dur , plus sonore et moins oxidable. Le bronze a peu de malléa- bilité : mais il acquiert cette propriété à un degré beaucoup plus marqué lorsqu'on le plonge dans l’eau froide aprés lavoir chauffé, Il est remarquable que le cuivre et le bronze , loin d’être durcis comme l'acier par la trempe , deviennent au contraire plus mous et plus malléables. L'effet de la trempe est d'autant plus sensible qu'on opère sur des échantillons de moindre épaisseur. Le bronze fond à environ 1800 degrés centigrades : selon quel- ques auteurs , c'est même à 2100 degrés que la fusion a lieu. 508 Coquiuuar. — Cours élémentaire sur la fabrication Effets de la liquation. Les alliages de cuivre et d’étain ne sont point stables : ils ont une grande tendance à se décomposer par liquation. Pendant la fusion même ils se séparent en plusieurs autres alliages : ceux avec excès d’étain sont plus légers et se trouvent vers la surface du bain, les autres contenant plus de cuivre gagnent le fond en vertu de leur plus grande pesanteur spécifique. Pendant le refroidissement, la li- quation qui se produit empêche d'obtenir un métal homogène. L’al- tération dans le titre des diverses parties du mélange est d'autant plus grande, que la masse du métal en fusion est plus considé- rable : car le refroidissement plus lent qui en résalte augmente le temps pendant lequel le cuivre et l’étain continuent à se séparer. Il est done impossible d'obtenir des pièces de bronze parfaite- ment homogènes , et l’hétérogénéité est d'autant plus marquée que le calibre des bouches à feu est plus fort. L’altération dans la composition de l’alliage , donne lieu à des in- convénients très-graves. Elle occasionne des inégalités dans la du- reté et dans la ténacité. Le coeflicient de dilatabilité par la chaleur n'étant pas le même pour les divers alliages de cuivre et d'étain , il se produit des tiraillements dans les alternatives d'échauffement et de refroidissement qui accompagnent le tir d’une bouche à feu ; ces tiraillements provoquent la formation des logements où des sif- flets préjudiciables à la solidité de la pièce ou à la justesse du tir. Changements que produit dans la dureté de l’alliaye la variation dans la proportion d’étain et de cuivre. Inconvénients qu'offrent les parties riches en étain, Le cuivre pur est moins fusible et moins oxidable que le bronze, et résiste d’une manière très-satisfaisante aux causes de détéricra- tion qui naissent de la chaleur développée dans le tir. Mais ce métal n’a pas assez de dureté, les chocs des projectiles dans l’ame y font des empreintes qui croissent rapidement, et la tension des gaz pro- duit des accroissements de calibre dans le lieu occupé par la charge. On remédie à une partie de ces inconvénients, en alliant l'étain au cuivre. Pris dans la proportion indiquée par l’expérience , l'étain procure de la dureté au métal; cette dureté augmente avec la quantité d’étain jusqu’à une certaine limite, passée laquelle l'alliage devient de plus en plusmou. On se rend compte de ce dernier effet, en considérant que l’étain par lui-même a peu de dureté. Mais l'excès des bouches à feu en fonte et en bronze, etc. 309 d'étain produit encore un autre grave inconvénient, à cause de sa grande fusibilité : il rend le bronze d’autant plus ramollissable par Ja chaleur , qu'il y entre en plus grande quantité. Aussi il arrive fréquemment à la suite d’un tir prolongé, que le bronze se décompose dans les parties riches en étain qui se trouvent sur la paroi de l'ame; que l’étain est fondu par la chaleur ou oxidé par l'action des gaz, et que des égrènements ou des affouillements plus ou moins nombreux ou profonds en sont les suites, Nécessité d'une tolérance sur le titre du bronze. Lorsque le bronze est soumis à l’action de la chaleur et d’un cou- rant d'air , ainsi que cela arrive quand on le fond dans un fourneau à réverbère, l’étain s’oxide en plus forte proportion que le cuivre ; ajoutons que le temps pendant lequel il faut chauffer le fourneau à réverbère , pour arriver au degré de chaleur voulue , est très-varia- ble, et nous concevrons qu’on ne peut répondre qu’approximative- ment de la dose d’étain que renfermera le bronze de la pièce. Ce qui augmente encore l'incertitude, c'est l'effet de la liquation pendant le refroidissement après la coulée. Enfin, la masselotte fournit au res- tant de la pièce, pendant que le métal est encore à l’état pâteux, une certaine quantité de bronze riche en étain, qui contribue à com- penser les pertes occasionnées par l’oxidation ou par les infiltrations du métal dans la matière du moule. Pour ces motifs, on a reconnu la nécessité d'accorder une tolé- rance en plus où en moins sur le titre de bronze. Cette tolérance a été fixée à 1 p. °/, d’étain en plus ou en moins; de sorte que le ti- tre du bronze à canon varie entre 10 et 12 parties d'étain pour 100 parties de cuivre. Raisons pour lesquelles on a adopté le titre actuel du bronze à canon. Denombreuses expériences ont prouvé queletitre actuel du bronze à canon , était celui qui donnait les meilleurs résultats. Si l’on aug- mentait la proportion d’étain, la dureté de l'alliage augmenterait en même temps, mais sa ductilité et sa ténacité diminuerait : l’al- liage aurait moins de stabilité, il abandonnerait plus facilement létain par la chaleur développée dans le tir ; une partie plus consi- dérable d’étain se fonderait et s'oxiderait, ce qui augmenterait les égrènements ct les affouillements et accélérerait la mise hors de service de la pièce. En diminuant au contraire la dose d'étain, on 510 Coquiznar. — Cours élémentaire sur la fabrication rend l'alliage plus intime et plus homogène, parce que la liqua- tion tend moins à le décomposer. Mais le métal en devient moins dur et plus ductile, ee qui fait que les battements deviennent plus considérables lors du tir ainsi que le refoulement à l'emplacement de la charge. On voit done qu'on ne peut éviter un inconvénient sans en ren- contrer un autre en variant la dose d'étain. Aussi a-t-on adopté le titre actuel qui n'a guère varié depuis longtemps et avec lequel on est certain d’avoir un alliage qui renferme de 10 à 12 d’étain pour 100 de cuivre. Répartition de l'étain dans les diverses parties d’une pièce. Les effets de la liquation joints à ceux provenant de la compres- sion due à la masselotte amènent dans le titre des différentes par- ties des bouches à feu des résultats qu’il est important de connaitre. On a généralement remarqué : 1° Que pour une mème section perpendiculaire à l’axe le titre en étain était le plus considérable au centre de la pièce. % Que le titre en étain allait en augmentant depuis la bouche jusqu’à une petite distance du cul de lampe. 3° Que le métal était toujours poreux vers l'axe de la pièce et que cette porosité diminuait rapidement à mesure qu’on s’en écar- tait, de sorte qu’à une petite distance de cet axe, (distance un peu plus grande pour les forts calibres) il n’était guère possible de re- connaitre de différence dans la texture du métal. 4° Que la densité du métal allait en croissant depuis la tranche jusqu’à la culasse, 5° Que la dose d’étain après avoir diminué à partir de l'axe augmentait ensuite à mesure qu’on approchait de la surface. 6° Que le titre des parties minces, dans lesquelles le refroidis- sement, aprés la coulée, est assez prompt pour que les effets de la liquation ne soient pas sensibles, telles que les boutons de cu- lasse, les tourillons , les anses, représentait assez exactement le ti- tre moyen de la pièce. Influence des substances étrangères sur les qualités du bronze. ll est important que le cuivre et l’étain soient parfaitement purs pour composer le bronze : car certaines substances altèrent d'une manière très-sensible les qualités de l’alliage, et leur présence des bouches à feu en fonte et en bronze , etc. 511 empêche de prendre les composants du bronze dans la proportion voulue. Une très-petite quantité de plomb diminue la ténacité du bronze et augmente considérablement les effets de la liquation. Malheu- reusement on le rencontre fréquemment dans l’étain, dans le vieux bronze et quelquefois dans le cuivre : il est presque impossible de l'éviter entièrement. Aussi est-on forcé de le tolérer dans les mé- taux qui doivent servir à la coulée des pièces, pourvu que son poids ne dépasse pas le ‘/,., du chargement. L'arsenic rend le cuivre et l’alliage cassants : il ne faut pas que le bronze en renferme la plus minime proportion. Cependant cer- tains objets, tels que les boites de roue, n’ont pas besoin d’une três-grande résistance, et peuvent être coulés avec un métal qui contiendrait quelques traces d’arsenic. L’antimoine procure de la dureté au bronze, mais comme il en diminue la ductilité sa présence est préjudiciable. Quelques millièmes de fer et de zine ne nuisent pas aux qua- lités du bronze : ils lui donnent même plus d’homogénéité et de dureté et rendent l'alliage plus stable en s’opposant aux effets de la liquation. Mais le fer dans la proportion de deux centièmes oc- casionne des tiraillements et un retrait irrégulier à la suite de la chaleur produite dans le tir : il en résulte des sifflets profonds et nombreux. La présence du zinc favorise la formation des affouillements et des égrènements, tandis que sa propriété de se volatiliser est une cause de soufflure. Défauts occasionnés par le tir dans les pièces de bronze. Le bronze ne possède pas au degré désirable les qualités d’un bon métal à canon. L’alliage n'étant point stable est sujet aux égrè- nements et aux affouillements par l’action corrosive des produits de la combustion de la poudre. Le défaut de dureté est encore aug- menté par le ramollissement du métal sous l'influence de la chaleur développée dans un tir prolongé. Le bronze n'étant pas suffisam- ment dur , la force expansive des gaz refoule les parois de l’ame à l'emplacement de la charge , en augmente le calibre et produit ce qu'on appelle un refoulement. Le métal n'étant pas assez dur cède à la pression qu’exerce le projectile à sa partie inférieure , avant son déplacement , lorsque les gaz s'échappent par le vent entre ce 512 Coquizuar. — Cours élémentaire sur la fabrication projectile et la paroi supérieure de l'ame. L'empreinte ou le lo- gement qui se forme au contact du projectile s'agrandit de plus en plus : les chocs du projectile contre la paroi de l'ame déterminent des battements de plusen plus profonds et nombreux ; la justesse du tir en est diminuée et la pièce ne tarde pas à être hors de ser- vice. Opinion de quelques fondeurs sur le titre que devraient avoir les pièces de bronze. Ce sont ces faits et ces considérations qui ont fait naître parmi les fondeurs l'opinion qu'il convenait d'augmenter la proportion d'étain pour les bouches à feu les plus puissantes, afin qu’elles fussent à même de résister aux causes de refoulement et de loge- ment qui sont plus prononcées , et que cette proportion devait être réduite pour les petits calibres, qui ont été reconnus avoir sufli- samment de dureté. Ils ont généralement pensé qu'il était prélé- rable que le bronze renfermät sur 100 de cuivre , 10 d’étain pour les petits ealibres et 12 d’étain pour les grosses pièces. Du reste des opinions très-divergentes ont été émises sans avoir été conyena- blement appuyées par l'expérience. Insuccès des recherches pour améliorer les pièces de bronze. Des essais ont été faits pour améliorer le bronze à canon. On a cherché par des combinaisons ternaires, quaternaires , multi- ples, etc. , à augmenter la dureté du métal, sans rien lui faire perdre de sa ténacité et de la stabilité de l’alliage. Ce que nous avons dit de l'influence du fer et du zine dans l’alliage suffit à expliquer l'in- succès de ces tentatives. L’inégale conductibilité de la chaleur des divers composants , les différences de température de leur point de fusion, etc. , ete, doivent nécessairement produire des tiraille- ments et un retrait irrégulier dans le refroidissement qui a lieu après la fusion et dans les alternatives de chaud et de froid qui ac- compagnent le tir des bouches à feu. Le défaut d'homogénéité et de stabilité de l’alliage doit être une cause de piqures et d'égrène- ments. Enfin le peu de ténacité de certains composants et surtout le peu d’affinité de ces composants l’un pour l’autre , ont dù influer d'une manière fâcheuse sur les propriétés de l’alliage et ont dû aug- mener les difficultés de la fabrication. Des recherches ont aussi été dirigées dans un autre sens : on des bouches à feu en fonte et en bronze, etc. 515 a essayé des ames en fonte ou en fer forgé dans des tubes de bronze , ete. Si les inconvénients, qui résultent de la différence de la dilata- bilité par la chaleur sont graves pour les divers alliages ternaires, quaternaires , etc., où il entre du fer, du cuivre de l’étain et d’au- tres substances , à plus forte raison doivent-ils se faire remarquer dans ces sortes de pièces. Aussi ces tentatives n'ont-elles été suivies d'aucun succés. Avantage du bronze comme métal à canon. Il resulte de ce qui précède, que si le bronze à canon n'a pas tou- tes les qualités désirables , il est impossible de trouver un autre métal aussi tenace et qui possède en même temps la même dureté, la même résistance un ramollissement par la chaleur produite dans le tir et la même stabilité ou résistance à l’action corrosive des gaz. ARTICLE IV. DU CUIVRE. ; Le cuivre est connu de toute antiquité. Il est d’un rouge brique très-vif : il acquiert une odeur désagréable en le frottant entre les doigts : il esttrès-malléable et trés-ductile. Le cuivre occupe le hui- tième rang parmi les métaux pour la malléabilité et le cinquième pour la ductilité. Il est plus dur que l'or et l'argent. Après le fer c'est le plus tenace de tous les métaux. La densité du cuivre fondu est de 8.78 : celle du cuivre étiré en fils de 8.96. Le cuivre entre en fusion à 27° du pyromètre de Weyword, ce qui correspond à peu prés à 2800 degrés centigrades. Il cristallise par le refroidisse- ment en rhomboëdre. Le cuivre parvenu à une température élevée se volatilise sensi- blement et produit des vapeurs qui donnent à la flamme une belle couleur verte. Ces vapeurs sont fort remarquables lors de la coulée du bronze et produisent de mauvais effets sur la santé. Cependant le cuivre n’est pas très-volatil. Le cuivre a peu d’affinité pour l’oxigène :ilse conserve indéfini- ment sans altération dans l'air et l'oxigène secs. Mais lorsqu'on le maintient dans l'air humide , il se couvre d’une couche verte qu'on nomme vert de gris, qui est un hydro-carbonate de euivre. Quand on chauffe Je cuivre à l'air à une température peu élevée , il se forme à la surface du métal une couche rougeâtre de protoxide 40 14 Coquiznar. — Cours élémentaire sur la fabrication de cuivre : si on prolonge l’action de l’oxigène le protoxide de cui- vre se change en bioxide qui est noir. Le soufre, le phosphore, l'arsenie , le chlore , le brôme et la plupart des métaux s'unissent directement au cuivre. Une très- petite quantité de phosphore ou d’arsenic, suffit pour blanchir le cuivre et le rendre dur et cassant. Le carbone ne s’unit pas en proportions définies avec le cuivre. Ce métal tenu longtemps en fusion dans un creuset brasqué n'aug- mente pas sensiblement de poids. Le cuivre fondu en plaques a une cassure grenue à grains d’au- tant plus fins que les plaques sont coulées plus minces. La cassure du cuivre forgé présente un nerf court et soyeux. Autrefois le cuivre le plus renommé provenait de la Suède, de la Norwège et de la Hongrie. On le fournissait en plaques rondes nommées roseltes. Mais l’industrie du raffinage du cuivre a fait de notables progrès, en Angleterre. Ainsi dans ce pays on purifie toute espèce de cuivre et on le vend dans le commerce en plaques rectangulaires et sous la dénomination de cuivre affiné. L'exploita- tion des minérais de cuivre de l'Australie a pris un grand déve- loppement depuis un certain nombre d'années et a fait une redou- table concurrence aux produits des autres pays et notamment au cuivre du Chili et de la Russie. L'examen du cuivre se fait par les analyses chimiques, et par des essais mécaniques, de forge et de fusion. Les procédés d'analyse sont suffisamment détaillés dans les ou- vrages de chimie; nous nous dispenserons d'en parler : au besoin nous recommanderions le cours de chimie générale par Pelouze et Fremy. Nous nous bornerons donc à indiquer les autres procédés pour l'examen du euivre, qui , sans avoir la rigueur scientifique de l'analyse, n’en conduisent pas moins à un jugement qui n’est, pour ainsi dire, jamais en défaut sur la bonne ou la mauvaise qualité du métal présenté. On brise les plaques de cuivre : elles doivent montrer une tex- ture grenue d'une couleur rouge brique assez vive : une teinte uni- forme, une cassure arrachée. La rupture ne doit avoir lieu qu'a- près de grands efforts proportionnés d'ailleurs aux dimensions de l'échantillon. Le cuivre doit se laisser forger sans présenter de crevasses ni de doublures : il doit se laisser étirer au marteau en fils très-mincts ; rompu après avoir été forgé il doit montrer du nerf, un aspect soyeux et un éclat très-vif. ro des bouches à feu en fonte et en bronze , etc. 519 On éprouve la résistance du cuivre par des efforts de traction, On fait l'essai du cuivre comme composant du bronze en le fondant et le mélangeant avec 11 p. °/, d'étain pur. Les objets coulés avec le bronze, doivent montrer à la cassure une couleur uniforme, indice de la pureté du cuivre par la facilité qu’il a de s’allier à l’étain. La couleur de la cassure doit être franchement jaunâtre ; le grain doit en ètre arraché. Le bronze d'essai doit posséder une grande té- nacité. En général, il convient de procéder par voie de comparaison avec un échantillon type dont la pureté et la bonté ont été recon- nues par des fabrications antérieures. La fonderie de Liége a obtenu les meilleurs résultats par l'emploi du cuivre livré en fortes plaques et affiné en Angleterre. ARTICLE V. DE L'ÉTAIN. L'étain est brillant et d’un blanc argentin. Il manifeste une odeur désagréable quand on le frotte entreles doigts. 11 est très-malléable : il est ductile au laminoir, mais peu à la filière. L’étain est peu te- nace : rompu à coups de marteau, il offre une texture grenue ou fibreuse. Plié en différents sens, il fait entendre un son particu- lier , connu sous le nom de cri de l’étain. L'étain est un des métaux les plus mous etles moins élastiques ; aussi n’a-t-il pas de sonorité. Sa densité est de 7,285 et n’augmente pas par le martelage. L'étain entre en fusion à 298° centigrades. L'étain ne se volatilise pas aux températures les plus élevées de nos usines, Les vapeurs blanchâtres qu'on remarque lors de la cou- lée des pièces de bronze, sont simplement de l’oxide d’étain entrai- né par les courants d'air. L'étain n’agit pas sensiblement sur l'air sec ou humide, aussi peut-on le conserver longtemps à l'air sans altération; mais lors- qu’on élève sa température, il s’oxide rapidement, L'étain du commerce contient souvent une petite quantité .de plomb, de fer , de cuivre et d’arsenic. L'étain le plus estimé est celui de Malacca et de Banca. On juge de la pureté de l'étain en le fondant à une douce chaleur et en exa- minant l'aspect de sa surface au moment où il se solidifie : l'étain 516 Coquisnar. — Cours élémentaire sur la fabrication le plus pur est le plus blanc, le plus brillant et celui qui présente le moins d'indices de cristallisation à sa surface. Lorsque l’étain se couvre de ramifications cristallines après le re- froidissement et surtout lorsqu'il montre une surface d'un blane mat, on peut être à peu près assuré qu'il est allié à des métaux étrangers. Indépendamment des analyses chimiques et des essais que nous venons de décrire, il convient , lorsqu'on veut faire une réception d'étain, de le comparer avec des échantillons types dont la bonté a été reconnue dans de précédentes fabrications. ARTICLE VI. GÉNÉRALITÉS SUR LES FONTES. Production de la fonte : sa composition. Dans le travail des hauts-fourneaux le fer s’unit à une certaine quantité de carbone, acquiert la propriété d’être fusible et constitue un métal qu'on nomme fonte. Les diverses matières dont les miné- rais de fer sont composés, ne peuvent être entièrement éliminées: il en résulte que la fonte n’est pas exelusivement formée de fer et de carbone, mais qu’elle contient en outre quelques substances étran- gères : de là, les différences qu’on remarque dans ses propriétés. Les matières étrangères que renferme la fonte peuvent aussi pro- venir en partie du combustible , surtout lorsque celui-ci est pyri- teux. On trouve du silicium dans toutes les fontes et souvent du manganèse, du phosphore, du soufre, ete. Ce qui distingue prin- cipalement la fonte du fer pur et de l'acier, c’est qu’elle ne se laisse ni forger, ni souder, qu’elle a moins de ténacité et qu'elle est plus fusible. La quantité de carbone contenue dans la fonte est plus considéra- ble que dans le fer et l'acier : elle varie de 2 à 5 pour 100 de fer. Il'y a deux manières d'être du carbone dans la fonte. La fonte présente des aspects et des propriétés bien différents, selon que le carbone s'y trouve à l’état de combinaison chimique ou en partie à l'état libre sous forme de paillettes noires graphiteuses disséminées dans la masse. des bouches à feu en fonte et en bronze , etc. 917 Produits qui résultent des deux manières d’être du carbone dans la fonte. La fonte blanche est celle dont le carbone est à l’état de combinai- son chimique. Dans la fonte grise une partie seulement du car- bone est combinée tandis que l’autre partie reste à l’état de carbone libre, Le mélange de la fonte blanche avec la fonte grise constitue une espèce intermédiaire , la fonte truitée. Caractères généraux de la fonte blanche. La fonte blanche est d’une couleur blanchätre, quelquefois ar- gentine : elle a un éclat métallique : elle est élastique , sonore , cas- sante et extrêmement dure. Sa densité est plus grande que celle de la fonte grise et moindre que celle du fer forgé et de l'acier. On conçoit cependant que la fonte blanche obtenue par la trempe de la fonte grise ait moins de densité que cette dernière. Caractères généraux de la fonte grise. La fonte grise est d’une couleur gris de fer, plus ou moins claire ou foncée : elle est douce, facile à tailler, à limer et à forer; sa cassure est grenue à grains plus ou moins fins et cristallins. En gé- néral , plus la fonte grise contient de carbone libre et plus sa cou- leur est foncée, plus les grains en sont gros et miroitans. Les gros grains affectent une forme qui se rapproche plus eu moins parfaitement de la forme cubique ; à dose égale de carbone, Ja fonte grise renfermant moins de carbone combiné que la fonte blanche , elle se rapproche davantage du fer pur. Les proportions relatives de graphite et de carbone combiné sont plus importantes à considérer que la quantité absolue de carbone. La fonte grise con- tient environ :/, à 1 p. °/, de carbone combiné et 2 à 5 p. °/, de carbone libre. La fonte grise est moins dure, moins élastique et moins sonore que la fonte blanche : elle en diffère d'autant plus que sa couleur est plus foncée. En général, quand la fonte n'est pas grise à l’excès, elle est plus tenace que la fonte blanche. Caractères des fontes truitées. La fonte truitée présente à sa cassure un mélange de particules de o18 Coquicnar. — Cours élémentaire sur la fabrication | fonte grise et de fonte blanche. Lorsque la couleur blanche domine, on dit que la fonte est truitée sur fond blanc; quand c’est au con- traire la couleur grise qui l'emporte, la fonte est truitée sur fond gris, Les propriétés de la fonte truitée sont intermédiaires entre cel- les des deux sortes de fonte dont elle est composée. Cependant la fonte truitée est généralement plus tenace que la fonte grise. Les fontes passent par des nuances insensibles d’une espèce à l’autre. Espèces de fonte blanche. Il y a quatre espèces de fonte blanche : La fonte blanche lamelleuse, la fonte blanche par surcharge , la fonte blanche par décarburation et enfin la fonte blanchie par la trempe. Espèces de fonte grise. La fonte grise comprend deux espèces : la fonte noire et la fonte grise proprement dite. La fonte grise elle-mème se sous-divise en fontes grises n°° 1, 2 et 5 selon la quantité de carbone libre qu'elle renferme. La fonte n° 1 étant la plus carburée ou graphiteuse et celle n° 3 étant la moins carburée. Nous allons examiner succinctement ces diverses espèces. Fonte blanche lamelleuse. On obtient la fonte blanche lamelleuse dans le haut-fourneau lorsque l’oxide de fer se réduit complètement, que le carbone car- bure le fer en se combinant avec lui, et qu'il ne se produit pas d'autre réaction. Cette fonte a un aspect métallique très-prononcé , une couleur argentine, un éelat très-vif ; sa cassure est lamelleuse et rayonnée ou esquilleuse tout en même temps. La fonte blanche lamelleuse contient autant de carbone que la fonte grise, mais di- verses causes contribuent à la combinaison de tout le carbone: l'allure et la température du haut-fourneau; les proportions, la quantité et les qualités des matières qui entrent dans les charges, la quantité d’air introduite, ete. Certaines substances ont la propriété de dissoudre le carbone et de le retenir à l’état de combinaison avec le fer : le manganèse possède cette propriété à un très-haut degré. La fonte blanche lamelleuse est plus fusible que la fonte grise, mais elle reste toujours à l'état de fusion pâteuse : elle se fige ex- trêémement vite, elle montre en coulant une couleur blanche et lance des étincelles. des bouches à feu en fonte et en bronze, etc. 919 La fonte blanche remplit difficilement les petites cavités des moules parce qu’elle est peu coulante et qu’elle se fige vite. Les pa- rois des objets coulés avec cette fonte, étant promptement congelées, leurs arètes sont toujours arrondies et le retrait du métal a lieu du centre vers la surface; de là naissent des cavités au milieu de l'é- paisseur de ces objets. La fonte blanche lamelleuse est d'autant plus dure qu’elle con- tient plus de carbone : certaines variétés fondues à une tempéra- ture très-élevée à l’abri du contaet de l’air puis refroidies très-lente- ment , peuvent devenir graphiteuses et grises. Le fer a donc la propriété de dissoudre le charbon, lorsqu'il est parvenu à un haut degré de chaleur, et de l’abandonner ensuite sous forme de graphite, par un refroidissement lent. Toutes les fontes portées à un certain degré de chaleur et refroi- dies lentement deviennent moins dures et plus foncées en couleur. Les fontes blanches s'oxident moins vite que les fontes grises. Fonte blanche par surcharge. Quand il y a excès de minérai dans le haut fourneau , la tem pérature s’abaisse , l’affinité du fer pour le carbone diminue, la ré- duction se fait incomplètement et la fonte est pauvre en carbone. La fonte blanche par surcharge est généralement grenue : mais on conçoit que la proportion de minérai relativement au combustible peut varier , ainsi que la teneur en certaines substances étrangères , et que les produits du haut-fourneau peuvent présenter toutes les variétés intermédiaires depuis l'acier le plus carburé jusqu’à la fonte blanche lamelleuse. La fonte blanche par surcharge ou gre- nue, a un grain fin et serré : sa couleur est d’un blanc grisâtre ; elle est dure, élastique et cassante. La fonte blanche grenue fond plus vite que la fonte grise : elle äcquiert un état de fusion pâteuse comme la fonte blanche lamel- leuse, mais elle se fige moins vite. Elle est d’une grande blancheur en coulant et très-étincelante. La fonte blanche grenue présente les mêmes défauts que la fonte blanche lamelleuse pout la coulée des objets. Elle est peu fluide, elle remplit difficilement les parties minces des moules, elle ne peut donner des arêtes vives , enfin elle occasionne des cavités par le retrait qu'elle prend à la suite de sa prompte solidification à la surface, 920 Coouiznar. — Cours élémentaire sur la fabrication La fonte blanche par décarburation. Lorsque les fontes grises ou truitées sont fondues et exposées longtemps à l’action des courants d'air, une partie de leur carbone est brulé , et la partie restante de carbone est unie plus intimement avec le fer. Lorsque la décarburation est poussée jusqu'à un cer- tain degré, on obtient de la fonte blanche. Si on continue de sou- mettre la fonte en fusion à l’action de l'air, et qu’on la remue pour en renouveler les surfaces exposées aux courants , la fonte perd de plus en plus de son carbone, se rapproche davantage de l'acier d'abord , et du fer pur ensuite et produit enfin du fer afliné. La fonte blanche par décarburation est d'autant moins fusible qu’elle contient moins de carbone. Elle a une couleur métallique ; sa cassure est tantôt lamelleuse et tantôt grenue. Lorsque la décar- buration est très-avancée , la cassure de la fonte est uniquement grenue , irrégulière, parsemée de trous ou petites cavités et d’une couleur d’un blanc mat et plus ou moins gris. Gette espèce de fonte est moins dure que les 2 autres sortes de fonte blanche; elle est très-cassante. La fonte blanchie par la trempe. Lorsqu'on refroidit subitement certaines fontes quand elles sont encore à l'état de fusion ignée , elles se blanchissent et présentent tous les caractères de la fonte blanche lamelleuse. L'effet de la trempe est plus ou moins prononcé selon les dimensions de l'objet coulé et refroidi. Plus ces dimensions sont faibles, plus la trempe agit avec énergie pour modifier la texture moléculaire de la fonte. Toutes les fontes durcissent par la trempe, mais elles ne peuvent toutes blanchir. En général ce sont les fontes fortes , celles qui con- tiennent du manganèse , qui blanchissent le plus facilement. Les fontes grises de moulage de notre pays , surtout celles au coke, refondues au cubilot sans mélange avec des fontes de 2° fusion, deviennent plus dures par un refroidissement subit mais ne blan- chissent pas en général. Les fontes fortes à canon, au contraire , blanchissent très-facilement, Un moule humide produit l'effet de la trempe à la surface de l'objet coulé. Aussi est-il très-important de sécher complètement les moules des des bouches à feu en fonte et en bronze, cc. 321 canons pour empêcher les tourillons de se convertir en fonte blan- che. La fonte de Suède blanchit très-facilement. Les fontes blanchies par la trempe, reprennent leurs qualités primitives , lorsqu'après les avoir fondues de nouveau à l'abri du contact de l'air on les laisse se refroidir lentement. Lorsque l'allure du haut fourneau est régulière, que le com- bustible est en excès et que la température y est très-élevée la ré- duction du minérai se fait plus complètement, l’aflinité du fer pour le carbone devient plus grande ; d’ailleurs l'abondance du ear- bone fait qu’une partie en est entrainée à l’état libre ; il y a pro- duction de fonte grise. Fonte noire — ses caractères. Au commencement du travail au haut-fourneau , il s’y produit d’abord une chaleur des plus élevée, qu’il serait impossible de conserver à moins de consommer une quantité énorme de combus- tible : les premiers produits sont de la fonte noire. La fonte noire est assez tendre pour conserver l'empreinte du marteau : sa cassure est à très-gros grains miroitans d’une couleur grise très-foncée ou noirâtre, provenant des grains graphiteux visibles à l’œil. La fonte noire n’a presque point de sonorité n1 d'é- Jasticité : elle est très-peu tenace : elle est plus graphiteuse plus poreuse , plus fusible et plus coulante que toutes les autres fontes. Elle prend à la coulée une couleur rouge et ne lance pas des étin- celles. Fonte grise — ses caractères. La fonte grise a une cassure grenue , tantôt à gros grains , tan- tôt à grains fins et serrés. Plus la fonte est graphiteuse, plus ses grains sont gros et plus la couleur en est foncée. Toutes les fontes grises renferment une certaine quantité de silicium qui en dimi- nue la ténacité. Lorsque le silicium est en quantité notable la fonte grise a une couleur claire , des grains fins et serrés : elle est très-cassante et on dit que la fonte est sèche. La fonte grise entre en fusion à une température très-élevée , plus forte que pour les autres fontes : elle est très-fluide , coulante et se fige lentement : elle remplit bien les cavités des moules, et elle conserve aprés le refroidissement ses arêtes vives. La fonte grise a plus de retrait que les fontes blanches ou truitées. Les fon- 41 3522 Coquiuar. —- Cours élémentaire sur la fabrication tes exposées à l'air s'oxident d'autant plus facilement qu'elles sont plus grises. Influence des corps étrangers sur les propriétés de la fonte. Nous avons déjà dit que la fonte ne se composait pas exclusive- ment de fer et de carbone , mais qu'elle contenait en outre une pe- tite quantité d’autres substances , et que certaines d’entre-elles pou- vaient altérer considérablement les propriétés de ce métal, Le silicium nuit à la ténacité des fontes. Les fontes grises au coke en renferment une quantité très-notable. Le phosphore est contenu dans presque toutes les fontes : il les rend fusibles, très-coulantes et lentes à se figer : mais il nuit énor- mément à leur ténacité. Les fontes phosphoreuses conviennent pour couler des objets à parois minces , à formes délicates, tels que des médailles, des statues, des ornements qui n’ont pas besoin d'une grande résistance. Lorsqu'on expose à des courants d'air la fonte phosphoreuse à l'état de fusion, une partie du phosphore s’acidifie et entre dans les laitiers. On a ainsi l'explication partielle de l'augmentation de ténacité qu'on remarque dans les fontes refondues au fourneau à réverbère , lorsque la fusion n’est pastrop prolongée. Le phos- phore a une tendance à blanchir la fonte. Le soufre augmente la fusibilité de la fonte : il tend à la blan- chir , il nuit à sa ténacité. Les objets coulés avec des fontes sulfu- reuses sont exposés à des soufflures : la surface de ces objets est souvent inégale, raboteuse , parsemée de petites piqüres. Ces dé- fauts sont dus au bouillonnement qu'on remarque dans les fontes sulfureuses lorsqu'elles sout à l’état de fusion. On améliore beaucoup les fontes sulfureuses en les mélangeant pour la coulée des objets avec de la fonte phosphoreuse. Il paraît que lors de la fusion le phosphore annihile une portion du soufre dans les fontes en se substituant au carbone et en facilitant par suite la formation du sulfure de carbone. Le manganése rend la combinaison du fer avee le carbone plus stable : il durcit la fonte, et il parait essentiel à la formation de la fonte blanche lamelleuse. En général les fontes fortes sont manganésifères et blanchissent par la trempe. Le; fontes manganésifères sont trés-recherchées pour la fabrication des canons , de l'acier et du fer fort. des bouches à feu en fonte et en bronze, etc. 925 L'antimoine durcit la fonte , la rend cassante et plus fusible. Le zinc rend la fonte fusible et cassante : il répand, quandil est à l'état de fusion , des vapeurs qui nuisent à la netteté des surfaces des objets coulés. L'étain s'allie très-bien avee la fonte , lui communique une tex- ture à grains fins et serrés ; la rend fusible , sonore et dure , Mais nuit à sa ténacité et à son homogénéité. Le cuivre forme un alliage ou plutôt un mélange peu stable avec la fonte. La dilatabilité inégale de la fonte et du cuivre fait que ce mélange ne convient nullement pour la fabrication des bouches à feu. L’arsenic durcit la fonte et la rend cassante. La surface des objets coulés avec de la fonte arsénieuse est sou- vent rugueuse , inégale et remplie de petites cavités. En général, la présence des corps étrangers dans la fonte ne peut que la rendre aigre et nuire à sa ténacité. ARTICLE VIL RÉCEPTION DES FONTES FORTES A CANON. La fontes employées au eoulage des canons proviennent de mi- nérais destinés à la fabrication du fer fort , et sont connues dans le commerce sous le nom de fontes fortes. Leur aspect varie suivant qu'elles proviennent de hauts-fourneaux au bois ou de ceux au coke : leur cassure diffère suivant les dimensions des échantillons : en général le grain est d'autant plus gros, plus miroitant, plus foncé en couleur que les barreaux de fonte essayés sont plus volumineux. Dans un mème échantillon l'aspect de la cassure varie également suivant la place où la rupture a été opérée. Caractères des fontes fortes au bois. Les fontes fortes au bois sont généralement livrées en gueuses pe- sant 1000 à 1200 kilogrammes, elles ont un grain assez gros, mi- roitant, une cassure plus ou moins arrachée d’une couleur grise claire : le graphite s'y montre fort souvent affectant plus ou moins parfaitement la forme cubique et ayant un aspect cristallin. Les fontes très-graphiteuses ne sont pas fortes, mais elles peuvent le devenir par une seconde fusion suffisamment prolongée pour bru- 324 Coquizuar. — Cours élémentaire sur la fabrication ler l'excès de carbone ou par un mélange en proportion convena- ble avec des fontes de 2° fusion. On constate facilement la pré- sence du graphite dans la fonte, en répandant un peu de vinaigre sur une cassure récente : 24 heures après, la fonte est entièrement oxidée à l'exception des grains de graphite qui sont inattaquables par l'acide et qui restent brillants. Caractères des fontes fortes au coke. Les fontes fortes au coke sont ordinairement livrées en gueusets pesant de 50 à 100 kilogrammes ; elles ont en général un grain plus fin que les fortes au bois , une couleur plus foncée, une cassure également arrachée : elles présentent souvent une disposition étoi- lée formée par un assemblage de rayons qui convergent : le pour- tour du gueuset montre parfois à la cassure une pellicule blan- châtre. On reconnait la présence du graphite dans les fontes au coke par l'essai du vinaigre. Effet de la fusion au fourneau à réverbère. Ce que nous venons de dire relativement à l'influence du gra- phite sur la résistance des fontes grises au bois s'applique égale- went aux fontes au coke. La fusion au fourneau à réverbère amé- liore la ténacité des fontes ; 1° En enlevant un excès de carbone et rapprochant ainsi la fonte de l’état du fer pur ; 2° En produisant une température plus élevée que dans le haut- fourneau ce qui achève la réduction des parties impures mêlées à la fonte ; 3° Comme cas particulier du second paragraphe , en acidifiant une partie du phosphore qui entre ainsi dans les laitiers. Le mélange de plusieurs espèces de fontes en améliore la qualité par l'influence des corps étrangers apportés par ces diverses fontes. Comme exemple nous citerons l'effet des fontes phosphoreuses sur les fontes sulfureuses lorsqu'elles sont fondues ensemble dans des proportions convenables. IL est très-important d'éviter que la fonte refondue au fourneau à réverbère devienne blanche, car elle serait cassante, les forets ne mordraient pas, et la pièce serait difficile à couler par le peu de fluidité que la fonte blanche est susceptible d'acquérir. des bouches à feu en fonte et en bronze , etc. 525 Emploi des masselottes. La fabrication des canons donne lieu à un résidu considérable la masselotte , composée d'excellente fonte qu'il importe d'utiliser. C'est dans ce but qu'on achète des fontes suffisamment grises, afin que mélangées dans une certaine proportion avec les masselottes qui sont des fontes peu carburées , il en résulte au fourneau à réver- bère des produits formés de fonte truitée , conservant encore assez de carbone libre pour ètre suffisamment fluides et pour ne pas être rebelies aux burins après le refroidissement. Ainsi on achète des fontes grises, qu’on mêle en certaines pro- portions avec des masselottes pour les refondre aux fourneaux à ré- verbère afin de couler des canons qui soient de fonte truitée. Epreuve par le tir à outrance. Les caractères physiques ainsi que la composition chimique ne fournissent pas de données suffisantes pour déterminer le choix des fontes qui conviennent à la fabrication des bouches à feu. On est donc réduit à un mode d’essai , très-coùteux, il est vrai, mais qui fournit un renseignement certain sur la bonne qualité de la fonte reçue. Cet essai consiste à fabriquer un canon de 8 long , modèle fran- cais , avec les fontes présentées et à lui faire subir les épreuves suivantes : 20 coups à 1.553 de poudre 1 valet, 1 boulet, 1 valet, 20 id. 1.555 id. id bide rte ide 10 id. 1.958 id. Aid N3 id. Mid 5 id. 5.916 id. 4 id. 6 l TOTAL DD Coups. Lorsque le canon a supporté ces charges sans éclater, la fonte présentée est déclarée recevable : si la rupture a lieu avant ou au 55e coup, la fonte est rebutée. Il est d'usage, lorsque le canon a résisté aux 55 premiers coups de continuer le tir jusqu'à l'éclatement. Les nouvelles charges qu'on emploie alors sont constamment 7.852 de poudre 1 valet, 45 boulets , 1 valet. En faisant toujours l'épreuve à outrance , on peut comparer la fonte essayée à celle employée précédemment, et on dit de la fonte 526 Coquisnar. — Cours élémentaire sur la fabrication qu’elle est à 56 ou à 58 coups , selon que la rupture de la pièce a eu lieu au 56"° ou au 58° coup. Par l'épreuve du tir on n’est jamais exposé à recevoir de mauvaises fontes. Une cause fortuite, telle qu’un dérangement dans le fourneau à réverbère , un calement de boulet, ete. , peut déterminer la rup- ture prématurée d’un canon sans que la fonte en soit mauvaise. Dans ce cas on est exposé à rebuter de la bonne fonte : mais le mode d’épreuve offre cependant cette garantie que la fonte reçue est tou- jours de bonne qualité. Nécessité de prolonger la fusion au fourneau à réverbère , pour la coulée d'essai d’un canon de 8 long, quand lu fonte présentée est trop grise. La fonte présentée peut être d'une bonne qualité mais trop grise pour donner un métal à canon suffisamment tenace, quand elle est refondue seule dans le fourneau à réverbère. On a soin , dans ce cas , de prolonger assez la fusion pour que la fonte soit convena- blement décarburée. Insuffisance des essais mécaniques pour reconnaitre les qualités des fontes de 1" fusion comme métal à canon. Ce serait un moyen commode pour reconnaitre les qualités des fontes de 1" fusion présentées pour la fabrication des ca— nons, s’il suffisait d’en choisir des barreaux d'une dimension déter- minée, ou de découper dans ces barreaux des échantillons d'une certaine grandeur , et de les soumettre à certains efforts de choc ou de traction, jusqu'à ce que la rupture s’en suivit. La grandeur de l'effort exercé pour produire la rupture servirait à évaluer la résistance dont les fontes sont capables , les essais sur la résistance mécanique étant faciles, il serait possible d'estimer sainement le mérite d'une fourniture de fonte comme métal à canon. Mais ce mode d'examen n'est admissible que pour autant que tous les bar- reaux de fonte offrent le mème aspect à la cassure et la même résistance par unité de surface. Il faudrait en outre que les échantillons pris sur toutes les fontes de 4° fusion quelle que soit leur l'origine et qui conviennent à la coulée des pièces, offrissent la mème résistance à la rupture, ou des bouches & feu en fonte et en bronze , etc. 927 du moins que leurs résistances fussent proportionnées au nombre de coups que les pièces sont capables de supporter. Enfin la mauvaise fonte ne devrait jamais être aussi résistante aux efforts de choc ou de pression en 1° fusion que la bonne fonte également en 1° fusion. Les considérations qui vont suivre, dé- montreront qu'un genre d'essai aussi simple, que celui de la résis- tance au choc ou à la pression , ne peut malheureusement servir à reconnaitre la qualité d’une fonte à canon , tant qu’elle n’a pas été refondue. Les fontes de 1°° fusion sont obtenues directement par la coulée au haut-fourneaa. Le métal liquide est reçu dans des rigoles creu- sées dans le sable qui forme le sol de l'établissement. Les lingots de fonte prennent le nom de queusels, quand ils ne pèsent que de 50 à 100 kilog. et celui de gucuses quand leur poids est de 1000 à 1200 kilogrammes. La fonte provenant d'une même coulée est gé- néralement considérée comme composée de la même manière. Ce- pendant on remarque certaines différences entre la fonte coulée la première et qui provient du fond du creuset avec celle sortie la der- nière du haut-fourneau et qui surnageait le bain du métal dans le creuset. La première est ordinairement un peu moins carburée et moins chaude. Cependant à part le plus ou moins de graphite qui peut se trouver dans les lingots extrêmes, on estime dans la pratique que la coulée entière forme une fonte jouissant des mêmes qualités, après qu’elle a été refondue, et qu'elle est composée de la même un anière relativement aux autres substances que le fer et le carbone. Malgré cette identité de composition , les lingots sont loin de pré- senter le même aspect à la cassure et la même ténacité par unité de surface. On y remarque tantôt un grain fin et serré, tantôt de gros grains, cristallins et graphiteux. La résistance à la rupture des divers lingots coulés en même temps avec les mêmes dimensions, est très-variable. Certains lingots sont très-difficiles à rompre, d'au- tres , au contraire, se brisent au premier coup de masse. Quand le sable des rigoles est humide , la fonte se trempe plus ou moins; elle acquiert un grain fin et serré. On appelle gueuses- mèêrcs, celles qui proviennent d’une rigole communiquant avec plusieurs autres, et par laquelle doit passer le métal liquide pour remplir ces dernières. Les gueuses-mères ayant été échauftées par le courant de fonte liquide, se refroïdisseut bien plus lentement que les autres, aussi montrent-elles à la cassure de plus gros grains et Vaspect d’une fonte plus grise. Dans un même lingot, il se produit 328 Coquiznar. — Cours élémentaire sur la fabrication sur une plus petite échelle le même phénomène que pour les gucuses-mères : c'est-à-dire, que l'extrémité du lingot par où arrive le métal est plus échauffée que l'extrémité opposée, et que si on la brise après le refroidissement sa texture est à grains plus gros et plus graphiteux. La texture des divers lingots varie suivant leurs dimen- sions, suivant l'époque de la coulée, les circonstances du refroidisse- ment, etc., etc. Les différences qu’on remarque dans la texture se retrouvent dans la ténacité des lingots provenant d’une même coulée au haut-four- neau. Il y a même des irrégularités très-notables dans la ténacité des divers échantillons provenant d’un même lingot. Il faut done reconnaitre que les essais mécaniques sur la résis- tance des gueuses ou gueusets de première fusion ne peuvent ser- vir à déterminer la ténacité des mêmes fontes lorsqu'elles seront refondues dans des circonstances favorables. Cette opinion est corroborée par le fait que la fusion au fourneau à réverbère améliore en général les fontes , et qu’il faut pouvoir te- nir compte de cette amélioration dans l'examen d’une fourniture. Monge indique dans son traité sur la fabrication des bouches à feu, un moyen d'essayer les fontes destinées au coulage des canons. Il consiste à couler avec les fontes présentées un barreau d’une cer- taine dimension, à sceller ce barreau dans un mur par une extré- mité , à suspendre des poids à l’autre bout jusqu'à ce que la rup- ture s’en suive , et à juger de la bonté du métal par la grandeur du poids sous lequel la rupture a eu lieu. Mais ce barreau d'épreuve est une fonte de 2° fusion et non de 1° fusion. I! est fort souvent arrivé que des fontes excellentes pour la fabri- cation des canons par une refonte au fourneau à réverbère, se sont trouvées en 1"° fusion moins résistantes que de mauvaises fontes. Comparaison des résultats des essais mécaniques sur la résistance des fontes de 2° fusion avec les résultats que fournit l'épreuve du tir d’un canon de 8, coulé avec les mêmes fontes. Les épreuves sur la résistance à la rupture des fontes de 2*° fu- sion présentent moins d'irrégularités que lorsque les échantillons essayés sont de 1° fusion, mais ces épreuves sont loin d'être ex- emptes d'anomalies. C'est une chose digne de remarque en effet, que la texture de des bouches à feu en fonte et en bronze, etc. 329 la fonte et sa ténacité sont énormément influencées par les circon- stances qui ont accompagné la congélation du métal et son refroidis- sement. La fonte refroidie subitement a toujours le grain plus fin et est moins tenace. Il en serait de même après le refroidissement , si le métal était prêt à se figer au moment du remplissage du moule. Les causes d'irrégularité sont d'autant plus influentes que les échantillons coulés sont plus petits. Le seul moyen d’avoir des résultats toujours comparables entre eux et d’atténuer les causes d'ir- régularités , consisterait donc à découper des barreaux d'essai dans de grandes masses de fonte , telles qu’en offrent les canons de 8. Mais ici il se présente une question : dans quelle partie de la masse prendra-t-on l'échantillon ? On sait, en effet, que dans une forte masse de fonte, le métal est toujours poreux au centre, tan- dis qu'il est plus dur à la surface, et que fort souvent les fontes sont blanchies vers l'extérieur. Il faudra done choisir l’échan- tillon dans une position intermédiaire. Mais on rencontre une nou- velle difficulté. La masselotte produit sur les parties inférieures de la pièce une pression qui en augmente la densité et la tenacité, Si on veut pouvoir comparer les épreuves sur les échantillons avee celles du tir des canons de 8, il faut absolument que la masse de fonte d'où provient l'échantillon, soit d’une hauteur suffisante, pour que, lors de la coulée, les parties supérieures aient produit l'effet de compression dé la masselotte vers le bas où doit être découpé l'échantillon. Au lieu d’une masse cubique ou cylindrique de fonte ayant à peu près autant de base que de hauteur, on est donc forcé de couler un canon ou peu s’en faut: afin que les parties où l’on prendra l'échantillon d’essai aient subi les effets de compression d'une masselotte. Par ce procédé auquel on est logiquement amené, on est déjà bien près des fortes dépenses que nécessite l'épreuve du tir d’un ca- non de 8, dépenses qu’on voulait éviter. Mais de nouvelles causes d'anomalies sont à signaler. 1° Les échantillons peuvent avoir leurs dimensions plus ou moins exactes. 2? Les points d'appui des couteaux, des poinçons, etc., avec lesquels fonctionnent les appareils à essais mécaniques , peuvent va- ricr dans les limites nécessitées par le jeu du mécanisme, etc., ete. 42 360 Coquiinar. — Cours élémentaire sur la fabrication 5° Les échantillons essayés peuvent avoir certains défauts invi- sibles à l'œil. Les expériences sur la résistance des divers échantillons , ont fait découvrir des différences dans la ténacité , non-seulement pour des échantillons pris à des hauteurs inégales d'une même pièce, mais encore pour des échantillons découpés aussi iden- tiquement que possible dans le même tronçon ou rondelle de la pièce. Ces différences, loin d'être négligeables, se sont élevées fort souvent à des fractions importantes du chiffre représentant la téna- cité moyenne des échantillons. La ténacité de la fonte des canons de 8, dépasse en général celle strictement nécessaire pour résister à l'épreuve règlementaire. La résistance de la pièce, dans un même tronçon compris entre deux sections droites, est peu influencée par un défaut ou une tex- ture irrégulière qui n’existerait qu'en une petite partie du tron- çon : tandis que la solidité d’un simple échantillon en serait forte- ment compromise. Les objections que nous venons de soulever sont sérieuses, et l'on est heureux de posséder, dans l'épreuve à outrance, un moyen certain de ne recevoir que de bonnes fontes , un moyen de comparer les fon- tes présentées avec celles consommées depuis plus d’un demi-siècle, enfin un moyen d'essayer le métal par la poudre même, ce redou- table agent auquel les pièces doivent résister. Caractères de la fonte des canons de 8 long pour épreuves. Les fontes des canons de 8 sont généralement truitées d’une ma- nière uniforme : elles présentent des grains moyens et serrés, au- tant de gris foncé que de gris clair. Leur cassure est arrachée. Caractères de la fonte des canons de service. La fonte des bouches à feu, obtenue par le mélange ordinaire de fontes de 1*° fusion avec celles de 2*° fusion, est ordinairement truitée sur fonds blanc , à gros grains, bien arrachés. Cet aspect varie suivant le calibre des pièces. Plus le calibre est fort, plus les grains sont gros ; plus aussi la fonte est tendre à égalité de mélange dans la charge du fourneau à ré- verbère. Les caractères peuvent aussi varier d'après la température de la des bouches à feu'en fonte et en bronze , etc. 331 fonte au moment de la coulée, la durée de la fusion , l'épaisseur du moule , ete., etc. ——_— Eh D—— LIVRE Il. MATÉRIAUX DE MOULAGE. —— ED — PRÉLIMINAIRES. ARTICLE I. DIVISIONS A ÉTABLIR DANS LA FABRICATION DES BOUCHES A FEU. La fabrication des bouches à feu comprend deux séries d’opéra- tons bien distinctes : les unes relatives au fondage , les autres con- cernant le forage et le façonnage extérieur. À cestravaux il faut ajou- ter ceux de réception , les visites et les épreuves à faire subir aux bouches à feu. Pour arriver à fondre une pièce, il faut en faire le modèle, puis le moule : il faut disposer le moule pour la coulée : il faut mettre dans un fourneau approprié aux métaux que l’on veut fondre, les quantités de matières nécessaires pour remplir le moule ; il faut en opérer la fusion et enfin verser le métal liquide dans le moule. Les autres opérations de la fabrication d'une bouche à feu com- prennent le dépouillement de la pièce des matériaux de moulage qui l'enveloppaient, le burinage dans lequel on enlève toutes les pe- tites aspérités ou infiltrations de métal ; la coupe de la masselotte ou excédant de métal avec lequel les pièces sont coulées , le centrage de la pièce, le forage et V’alésage de l'ame, ainsi que la mise de l'ame & la longueur voulue , le tournage en entier ou en partie de la sur- face du corps de la pièce , le tournage des tourillons , enfin le ciselage du métal entre les embases ou aux parties qui n’ont pu être mode- lées au tour, telles que les anses aux pièces de bronze, les champs de lumière , les masses de mire, etc. 992 Coquinar, — Cours élémentaire sur la fabrication Il faut mettre un grain de lumière aux pièces de bronze, il faut percer la lumière, couper l’excédant du bouton de culasse et le fa- conner. Tous ces travaux sont entremélés de visites partielles, en- fin une visite générale décide de la réception ou du rejet de la bou- che à feu. ARTICLE II, NOTIONS GÉNÉRALES SUR LE MOULAGE — DIVISION DU MOULAGE, Le moule est le vide ménagé dans une substance solide , capable de recevoir le métal en fusion , lequel après le refroidissement, doit représenter la bouche à feu. Le vide du moule doit donc être de mème forme que l'objet à couler. Quant aux dimensions du moule, il faut avoir égard au retrait que prend le métal après le refroidissement, à la déformation que subit le moule par la pression qu’exerce le métal liquide qu'il doit contenir , enfin à l’excédant de métal nécessaire pour soumettre la pièce aux opérations du tournage et du ciselage. Le moule doit se faire sur un modèle. L'expérience a indiqué que, pour les pièces de fonte ou de bronze, le retrait du métal varie entre ‘/,5, et */192, et qu'en conséquence il faut augmenter les dimensions du modèle dans la même propor- tion. Les pièces sont coulées verticalement, la volée en haut, avec un excédant de métal vers le haut, la masselotte. La masselotte a pour but de ralentir le refroidissement de la pièce vers le bourrelet , de fournir le métal nécessaire pour remplir le vide occasionné par la déformation du moule ou par les infiltrations dans la matière du moule , enfin d'exercer une forte pression sur le corps de la pièce au moment de la congélation, de manière à en augmenter la den- silé. La solidification de la bouche à feu commence toujours par la surface, et continue progressivement jusque vers le centre. À me- sure que cette solidification a lieu, le métal prend en même temps du retrait; et comme il y à un moment où l'intérieur est encore à l'état liquide ou pâteux lorsque l'extérieur est déjà solide, il en résulte qu'à cette époque du refroidissement, le retrait se manifeste princi- palement au centre de la pièce où il produirait des tiraillements , des fissures et des solutions de continuité si la masselotte n’était pas des bouches à feu en fonte et en bronze, etc. 353 là pour y remédier. La masselotte fournit du métal liquide qui s’in- sinue dans les fissures : elle comprime l'intérieur tant qu'il est à l'état pâteux , refoule la matière et produit une augmentation dans la densité de la pièce. Malgré son effet utile , la masselotte ne peut que remédier imparfaitement aux inconvénients que nous venons d'indiquer , et le métal des pièces de fonte ou de bronze est tou- jours poreux dans le voisinage de l’axe. Cela tient à l'étranglement de la pièce au collet de la volée ; cette partie ayant moins de masse se refroidit et se fige plus vite. Il faut aussi considérer que quoi qu'on fasse, on ne saurait empêcher le refroidissement de se faire par la urf ace. La bouche à feu doit être coulée avec un excédant au bouton de culasse , nommé faux bouton et carré du faux bouton. Get excédant a pour but de donner prise sur la pièce, afin qu’elle puisse parti- ciper au mouvement de rotation de la roue motrice lors du fo- rage. On emploie trois sortes de moulage pour les bouches à feu : 1° Le moulage en sable , qui s'exécute sur un modèle en fonte ou en bronze. 2 Le moulage mixte dans lequel le modèle est en terre, tandis que le moule est en sable. 5° Le moulage en terre , dans lequel le modèle et le moule sont en terre. Dans le moulage en sable , le modèle est en métal ainsi que le chàssis , enveloppe extérieure du moule. Le modèle et le châssis ont une grande durée; une partie des opérations du moulage est abré- gée; et l’opération du moulage, qui consiste à fouler du sable entre le modèle et le chässis, est facilitée par la résistance de ces deux ob- jets. Il en résulte que le moulage en sable est plus expéditif et moins couteux que celui en terre, Ces avantages ne sont pas les seuls, car le sable étant moins compressible que la terre, on eoncoit que les pièces moulées en sable dépouillent beaucoup mieux que les autres. Cette supériorité du moulage en sable est balancée par les premiers frais qui sont plus considérables, à cause des modèles et des chàs- sis qui coùtent cher et demandent d’ailleurs beaucoup de temps pour leur confection. Ce n’est que sur une fabrication assez im- portante qu'on parvient à regagner ces premiers frais par des éco- nomies répétées à chaque moulage. Dans une fonderie, on possède un matériel plus ou moins con- sidérable : on a des chässis qui permettent d'y mouler des pièces 35% Coquirnar. — Cours élémentaire sur La fabrication dont les tracés sont peu différents parce que l'épaisseur du sa- ble peut varier dans certaines limites. D'un autre côté, dans le moulage en terre, la confection du modèle est peu coùteuse, les modèles se font rapidement, deux ouvriers peuvant en faire plu- sieurs à la fois ; on a donc imaginé le moulage mixte, dans le- quel on fait un moule en sable sur un modèle en terre. Ce genre de moulage est employé à la fonderie de Liége, lorsqu'il s'agit d'une pièce d'un nouveau tracé, et que la commande n'est pas assez forte pour qu'il y ait lieu de fabriquer un modèle en métal et des châssis appropriés à ce modèle. À la fonderie de Liége, le moulage en sable est de règle, mème pour une seule bouche à feu nouvelle, puisque alors le moule en sable se fait sur un modèle en terre, Toutes les pièces de bronze se moulaient autrefois en terre, mais pous avons déjà dit, que depuis 1856, le moulage en sable pour les pièces de ce métal avait été introduit à la fonderie de Liége: il en résulte que deux circonstances seules pourraient donner lieu au moulage en terre dans cet établissement. {4° Si, n'ayant qu’à couler un petit nombre de pièces d’un nou- veau modèle , on ne pouvait trouver un châssis qui convint. Il fau- drait , dans ce cas, que la pièce eùt des dimensions tout-à-fait dis- proportionnées ; car ordinairement on approprie un châssis en cou- Jant une ou deux parties supplémentaires, ce qui n'occasionne pas une grande dépense. 90 Sil'on avait à couler une pièce de bronze d’un très-grand ca- libre. La fonderie de Liége n'ayant encore fabriqué que des bou- ches à feu de campagne en bronze , il reste à vérifier si le système actuel de moulage conviendrait aux gros calibres. Dans notre opi- pion, il n’y a aucune raison pour ne pas réussir aussi bien avec le moulage en sable , qu'avec celui en terre. Le bronze devient beaucoup plus fluide par la fusion que la fonte. Il doit done y avoir des différences dans la préparation des maté- riaux de moulage et dans les procédés de moulage eux-mêmes. Nous aurons soin de les signaler. des bouches à feu en fonte et en bronze, etc. Eh) CHAPITRE PREMIER. MATÉRIAUX POUR LE MOULAGE EN SABLE DES PIÈCES DE FONTE. ARTICLE I. CHOIX ET QUALITÉS DU SABLE POUR LE MOULAGE EN SABLE DES PIÈCES EN FONTE. Le sable employé au moulage des pièces en fonte doit être angu- leux , à gros grains, très-argileux , suffisamment réfractaire. Nous allons faire un examen de ces diverses conditions. Le sable doit être anguleux et à gros grains afin d'augmenter la résistance du moule par la rugosité de ses particules comme aussi par leur grosseur. Un sable fin et à grains arrondis se désagrège- rait , soit lors de l'enlèvement du modèle, soit lors de la coulée. La grosseur des grains contribue à rendre le moule moins 'eom- pact et à faciliter l'évaporation complète de l'humidité, en lui li- vrant passage lors de la dessiccation dans l’étuve. La porosité, qui résulte de la grosseur des grains , n’est pas moins nécessaire pour permettre la sortie des gaz qui se forment dans la matière du moule sous l'influence de l'énorme température du métal en fusion. Le sable doit être argileux , afin d’avoir du liant. Car l'argile a la propriété de se durcir par la dessiccation , de conserver les for- mes qu'on lui a données à cause de sa plasticité , et de posséder la consistance nécessaire pour résister au choc du métal liquide , tom- bant dans le moule. Cependant , l'argile se contractant par la cha- leur et le sable ne le fesant pas, on comprend qu’elle ne puisse dépasser certaines proportions dans le sable destiné au moulage. On reconnait que le sable est trop argileux si le moule se fendille par la dessiccation. Le sable doit être suffisamment réfractaire afin de ne pas entrer en fusion ni mème de se ramollir lors de la coulée. Le sable pur ou la silice est éminemment réfractaire , mais il perd ces qualités quand il contient des sels calcaires et des oxides métalliques en proportions sensibles. Les sels calcaires se décomposent à une tem- pérature beaucoup plus basse que celle de la fonte en fusion, et donnent lieu à un dégagement de gaz carbonique qui pourrait occa- sionner des soufflures ou des dégradations dens le moule. D'ailleurs ces sels formeraient des laitiers en se combinant , sous l'influence 530 Coguiznar. — Cours élémentaire sur la fabrication de la température du métal liquide , avee la silice et l'alumine que contient le sable. La surface du moule se vitrifierait : une par- tie de la fonte pourrait mème entrer dans cette combinaison : la pièce ne dépouillerait plus etses dimensions subiraïent des al- térations sensibles, L'oxide de fer , que le sable contiendrait , se liquéfierait au con- tact du métal en fusion et reproduirait tous les inconvénients qui résultent de la vitrification de la surface du moule, Le sable de moulage dont on se sert à la fonderie de Liége, a une couleur jaune-rougeàtre. Les opérations qu’on lui fait subir , ont pour but de le débarrasser des corps étrangers, de le rendre suffisamment liant et homogène et de diminuer sa faculté conduc- ice de la chaleur en le mélangeant avec du charbon de boïs ou du coke pulvérisés. ARTICLE II. PRÉPARATION DU SABLE POUR LE MOULAGE DES PIÈCES DE FONTE. Transport du sable à la fonderie. Le sable employé à la fabrication des bouches à feu, est extrait d'une sablière à Rocour, à une lieue de Liége. Il forme une couche de 0,50 à 1°,50 d'épaisseur , en-dessous de la terre végétale. Le propriétaire de la fosse livre le sable chargé sur le tombe- reau , à un prix convenu et le transport jusqu'à la fonderie se fait par entreprise. A mesure que lesable arrive dans l'établissement, on l’amoncelle dans un lieu convenable à ciel ouvert. L’approvisionnement varie entre 500 et 600 stères. Il est bon d’en avoir une grande quantité disponible , car l'hiver et dans les mauvais temps le charriage est difficile. Pour préparer le sable on le charge sur des brouettes et on le transporte à l'étuve. On a soin d'enlever les petits cailloux de silex à mesure qu'on les rencontre , soit en chargeant les brouettes , soit en les déchargeant. Description de l'étuve à sécher Le sable. L'étuve est une chambre rectangulaire voutée , fig. 1. 2. 5 et 4 planche 1. des bouches à feu en fonte et en bronze , elc. 357 Ë, F. (fig. 4. 5 et 4) foyers communiquant de l’intérieur avee l’ex- térieur. Ils sont placés du côté opposé à la cheminée de ti- rage et d'évaporation. GH (fig. 1) Section droite de la cheminée. LM (fig. 1 et 2) Tirans en fer servant à consolider la vote. PQ (fig. 1, 2 et 4) Etagères en fonte placées sur les deux côtés de l'étuve , destinées à augmenter les surfaces de chauffe. RS (fig. 2) Porte en fer à deux vantaux. TU (fig. 1 et 2) Chariot de fonte qui, ne devant servir que pour porter les moules des canons, est retiré de l'étuve quand on dessèche le sable. XY (fig. 1) Chemin de fer pour guider le chariot TU. Ce chemin devient inutile si l’étuve est uniquement réservée à la des- siccation du sable. Le sol de l'étuve est tapissé de dalles en fonte. Séchage du sable. Le sable est déposé sur le sol et sur les étagères de l'étuve, en couches de 0°,08 à 0,10 d'épaisseur. On fait un feu assez ar- dent , allumé et, entretenu par l'extérieur. -Une nuit ; où 8 heures de séchage suffisent si la couche de sable est mince ; mais quand la couche est épaisse , on remue le sable au bout de 8 heures de feu pour ramener vers le haut les parties inférieures et renou- veler les surfaces d’évaporation. Profitant de la chaleur acquise, on fait des feux moins ardents et on laisse le séchage durer une 9% nuit. : Le séchage a pour but de faciliter la division de la matière , de détruire les parties organiques qu’elle pourait contenir > d’augmen- ter sa faculté absorbante de l'eau en vue du corroyage ultérieur , et enfin de rendre l'argile contenue dans le sable moins suscepti- ble de retrait. .Pilage du sable. Au sortir de l’étuve , le sable est transporté dans un hangar et étendu en couches de 0,02 à 0",03 d'épaisseur sur un parquet en dalles de pierres bleues ou de fonte. Le hangar est fermé par des cloisons percées à jour afin de permettre l'arrivée de l'air extérieur nécessaire aux manœuvres chargés du pilage et travaillant dans une atmosphère de poussière. Le pilage se fait avec des pilons en fonte du poids de 5ki.,5 et 45 = 98 Coquizuar. —- Cours élémentaire sur la fabrication emmanchés , fig. 5 planche I. On rejette les cailloux à mesure qu'on les découvre. Quand le sable a été broyé une première fois, on sillonne la couche avec un räteau de fer dontles dents sont distantes de 0,02 à 0,05, afin de ramener à la surface les gros morceaux , qui gagnent ordinairement le dessous et qui échappent ainsi au pilon. On procède à un 22 pilage , puis on relève le sable en tas avec un râble de bois. Le broyage d’un stère de sable est le travail ordinaire et jour- nalier de 6 manœuvres. Tamisage du sable. Le tamisage du sable se fait de deux manières : à l'aide d’un cha- riot à tamis auquel on imprime un mouvement de va et vient ou à l’aide d’un blutoir. Tamisage du sable par le chariot à tamis. (fig. 1. 2. 5. 4 et 5 planche II.) Le chariot à tamis se compose d’un cadre rectangulaire en bois AA ; fig. 1.2et53, porté sur 4 roulettes EE, fig. 1. 2. 4 et 5. Le fond du cadre est rempli par un tamis en fils métalliques distants de 0,0015. Les longs côtés du cadre porteurs des roulettes ont inférieure- ment la courbure BCD (fg. I), du chässis sur lequel se fait le mou- vement du chariot. MM (fig. 4. 2et 3). Châssis surmonté d’un chemin de fer avec rebords extérieurs. Le mouvement du chariot a lieu sur le chemin de fer et sa direction est assurée par les rebords. La courbure BCD (fig. 1) est destinée à procurer au chariot un mouvement ascensionnel et de descente pendant qu'on lui imprime un mouvement de va et vient. Il en résulte de petites secousses qui facilitent le passage du sable au travers du tamis. FG (fig. 1 et 2) chevalet sur lequel le chässis est assemblé. On procède au tamisage du sable pilé de la manière suivante. On dépose sur le chariot à tamis une certaine quantité de sable. Un ou deux hommes saisissent les poignées HH, (fig. 3) du cha- riot et lui impriment un mouvement rapide de va et vient, en changeant brusquement le sens du mouvement à la fin de chaque course. Le sable fin tombe au travers du tamis; tandis que les parties trop grosses ct les corps étrangers sont retenus et rejetés ensuite. des bouches à feu en fonte et en bronze, etc. 359 Ce procédé est simple et rapide. Mais les ouvriers chargés de la manœuvre du chariot sont très-incommodés par la grande quantité de poussière produite dans ce travail. Tamisage à l'aide d'un blutoir. (Gg. 6.7 et 8, planche IL.) Le blutoir pour tamiser le sable est simplement celui des bou- langers dont l'enveloppe du tambour est en fils métalliques distants de 0",0015. AB (lig. 6 et 7). Axe du tambour incliné de A versB (inclinaison de De à 1/25.) FG (fig. 6.7 et8). Tambour en fils métalliques distants de 0,0015. Le tambour est consolidé par une carcasse formée de 4 tringles en bois parallèles à l'axe , et maintenues par un nombre suffisant de rayon. DC (fig. 6. 7 et 8). Trémie servant à l'introduction du sable dans le tambour. MN (fig. 6). Déversoir pour l'expulsion des parties grossières du sable ainsi que des corps étrangers. E (fig. 6). Manivelle servant à faire tourner le tambour. HIKL (fig. 6 et 8). Caisse en bois enveloppant le tambour : per- cée de deux ouvertures correspondantes à la trémie DC et au dé- versoir MN. Une porte pratiquée sur l’un des côtés de la caisse éta- blit la communication avec l’intérieur et permet d’enlever le sable tamisé. Pour tamiser le sable pilé , un ouvrier agissant sur la manivelle fait tourner le tambour : un autre jette le sable avec la pelle dans la trémie. Le sable entrainé par son propre poids et par la force centrifuge due à la rotation du tambour passe au travers du tissu métallique et se dépose dans le fond de la caisse, tandis que les parties grossières sont rejetées au-dehors par le déversoir. Le sable, qu’il soit tamisé par le chariot à tamis ou par le blu- toir , est amoncelé enjun tas sous le hangar et réservé pour les opé- rations ultérieures que nous allons décrire. Le blutoir peut servir au mélange du sable et du coke pulvérisé, On verse dans la trémie ces matières sèches dans la proportion vou- lue et elles traversent la toile du tambour mélangées et tamisées. Mélange de sable desséché , pulvérisé el tamisé avec le coke pulvérisé et lamisé. Un moyen de ralentir le refroidissement des pièces de fonte après la coulée, est d'interposer entre les grains du sable dont les 540 Coquiznar. — Cours élémentaire sur la fabrication moules sont composés, un corps peu conducteur du calorique. Ce corps est le charbon. On emploie , comme charbon, le coke , substance qui se produit naturellement dans une fonde- rie, qu'il faut utiliser et qui est assez facile à broyer. Le coke ajouté au sable du moule, a en outre la propriété de faciliter le dépouillement de la pièce, parce qu'il est sans action chimi- que sur la fonte en fusion. Mais le charbon diminue le liant et l’adhérence du sable; on ne peut le mélanger que dans la propor- tion indiquée par l'expérience. Les moules des grosses bouches à feu sont plus exposés que les autres à être dégradés par la chute d’une plus grande quantité de métal en fusion, par les tiraillements produits par la quantité de chaleur contenue dans ce métal et par une plus grande et. plus rapide émission de gaz provoquée par cette chaleur. Il est done important de diminuer la quantité de coke dans le sable destiné au moulage des grosses pièces. Ordinairement on mélange une partie de coke sur 9 parties de sable. Cette proportion de coke varie suivant les calibres ; elle est de ‘/6 pour les petites pièces et de ‘/,, pour les plus gros ca- nons. Pour procéder au mélange on répand le sable sur le parquet de la sablerie par séries de 9 pelletées de sable (plus ou moins selon le ca- libre des pièces qu'il s’agit de mouler), en ajoutant une pelletée de coke à chacune de ces séries. On continue à superposer ces ma- tières dans le même ordre et dans la proportion adoptée jusqu'à ce qu’on en ait la quantité voulue. L'ouvrier remue le sable mélangé de coke avec la pelle , et le déplace plusieurs fois, afin de répartir le charbon aussi uniformé- ment que possible. Il forme ensuite une première couche de ce sable de 0,08 à 0,10 d'épaisseur qu'il sillonne avec la pelle et sur laquelle il verse un peu d’eau avec un arrosoir. Sur cette 1" couche il en étend une se- conde semblable à la 1°, sillonnée et arrosée de même, puis vient le tour d'une 5° couche, d'une 4%, et ainsi de suite jusqu'a ce que tout le sable soit amoncelé. Il arrive quelquefois que le sable est trop maigre ou pas assez argileux, ce qui lui ôte du liant ; pour y remédier on délaie un peu de terre de pipe dans l’eau avee laquelle on arrose. des bouches à feu en fonte et en bronze , etc. o4 re période de repos du sable après son mélange avec le coke. Le sable mélangé avec le coke, doit rester amoncelé au moins pendant 48 heures. Les petits grumeaux d'argile absorbant l'humi- dité pendant ce temps, se gonflent et se divisent en particules plus petites. Déplacement et nouveau corroyage du sable. Après 48 heures, on déplace le monceau de sable, en le dé- coupant à la pelle par tranchées verticales, mélangeant de nouveau les diverses parties qui le composent et disposant ce sable mé- langé en séries de couches horizontales superposées comme les pre- mières. Arrivé à ce point , on laisse le sable amoncelé jusqu’au moment de s'en servir : mais on ne peut l’employer avant que 15 jours au moins se soient écoulés, Ce laps de temps est nécessaire pour que l’humidité pénètre bien dans toute la masse de sable et qu’elle amollisse l'argile qu'il contient, ce qui en favorise la division. Les diverses manipulations que nous venons de décrire, rendent la matière plus liante et plus homogène. Le sable préparé doit être conservé à l'abri de la pluie et garan- ti du soleil autant que possible. Il arrive quelquefois , par suite des fortes chaleurs de l'été, que le sable devient trop sec vers la sur- face du tas. Dans ce cas, on fait subir à la couche extérieure du sa- ble un nouveau corroyage semblable au précédent, en arrosant con- venablement chaque couche. Dernières manipulations du sable avant son emploi pour le moulage. Lorsque le moment du moulage est arrivé, il faut encore procé- der à quelques opérations. On prend du magasin au sable la quantité nécessaire pour le moulage de la journée, en découpant le tas à la pelle par tranchées verticales. On mélange ce. sable enlevé au tas en le remuant à la pelle et le déplaçant plusieurs fois. Il ne reste plus qu’à passer Le sa- ble au laminoir, pour qu'il soit propre au moulage. Le laminoir au sable est représenté par les (figures 1, 2 et 5; planche II). LM, NO, fig. 2, sont deux cylindres en fonte, distants de 0,0025 à 0,005, placés parallèlement l'un à l’autre, leurs axes dans un 549 Coquiznar. — Cours élémentaire sur la fabrication même plan horizontal. Dans Je travail, on com munique à ces cylindres un mouvement de rotation en sens contraire, les poiuts de leurs surfaces supérieures se rapprochant. AB, fig. 4 et 5 : trémie en tôle placée au-dessus des laminoirs , dans laquelle on verse le sable qu'il s'agit de tamiser. CD, fig. 2 et 5, axe horizontal pourvu d’une manivelle F , fig. 1 et 5 ,et d’un pignon denté KK. Les diverses figures indiquent suflisamment la combinaison des engrenages par lesquels en agissant sur la manivelle Ï, on procure aux cylindres du laminoir un mouvement de rotation en sens con- traire. EF, fig. 5, axe horizontal traversant la trémie, muni extérieure- ment d’une roue dentée et intérieurement d’un certain nombre de bras ou rayons GH, G'H’. PQRS, fig. 1 et5, caisse en bois , ouverte aux deux bouts , dans laquelle tombe le sable à mesure qu'il traverse le laminoir. Quand l'ouvrier a déposé dans la trémie une certaine quantité le sable, il agit sur la manivelle pour faire tourner les cylindres de manière que les points des surfaces supérieures se rapprochent. Pendant ce mouvement, les bras GH et ceux G/H”, qui sont perpen- dieulaires aux premiers, traversent constamment la masse de sa- ble en brisant les grumeaux, et empêchent le sable de former voute au-dessus du laminoir. Le sable tamisé est recueilli dans la caisse PQRS fig. 1 et 5. On reconnait que le sable a le degré voulu de finesse, d'homo- généité , de liant et d'humidité, lorsque , comprimé dans la main, il s'y moule, conserve sa forme après que la compression a cessé et que les grains de sable n’adhèrent pas à la peau. Opérations par lesquelles on remplacait autrefois le tamisage du sable au laminoir. Avant que la fonderie de Liége possédàt le laminoir dont nous venons de parler, le tamisage était remplacé par les opérations suivantes : On tamisait le sable sur le chariot à tamis, planche Il; mais les fils du tamis étaient distants de 0,005. Le sable tamisé était ensuite écrasé sur une table à l’aide d’un rouleau de bois, semblable à celui qui sert à préparer la pâtis- serie. des bouches à feu en fonte et en bronze, etc. 345 Cette opération était fort lente, parce qu’on ne pouvait écraser que peu de sable à la fois. Récapitulation des opérations nécessitées par la préparation du sable. Extraction du sable de la sablière de Rocour et transport à la fonderie. Formation d’un approvisionnement de sable. Transport du sable à l’étuve : extraction des petites pierres et corps étrangers qu'il pourrait contenir. Séchage du sable dans l’étuve : durée du séchage une nuit de 8 heures ou deux nuits , selon l'épaisseur de la couche. Pilage du sable. Tamisage du sable, soit à l'aide du chariot à tamis, soit par le moyen du blutoir. Mélange du sable avec le coke pulvérisé et tamisé. Dépôt du sable mélangé en un monceau formé de couches, sil- lonnées avec la pelle et arrosées. Repos du sable amoncelé pendant au moins 48 heures. Déplacement du monceau de sable : on le découpe à la pelle par tranchées verticales et on amoncelle de nouveau par couches hori- zontales. Repos du sable amoncelé (pendant au moins 15 jours) jusqu’au moment de s'en servir. Enlèvement de la quantité de sable nécessaire au moulage de la journée : on découpe le tas à la pelle par tranchées verticales. Mé- lange à la pelle de cette quantité de sable. Tamisage du sable au laminoir. ARTICLE Il. BROYAGE ET TAMISAGE DU COKE. Le broyage du coke se fait sous l’action des meules. Description du moulin (fig. 1 et 2, planche IV). AB, arbre vertical portant les essicux des meules et la grande roue dentée. CD, CD’, meules en fonte , du poids de 800 à 900 kilogram- 544 Coquicuar. — Cours élémentaire sur la fabrication mes , de forme tronconique ; inégalement distantes de l’arbre, afin de parcourir des zônes différentes sur la plate-forme. LM, plate-forme cireulaire en fonte, reposant sur une fondation en maçonnerie. Un rebord entoure le plate-forme et retient les ma- tières qu'on y broie. Une porte à coulisse sert à l'enlèvement des matières quand elles sont suffisamment broyées. IK, montant fixé à une certaine distance de l'arbre, pourvu d’une charrue qui ramène les matières sur le chemin des meules. Il y a deux de ces charrues, placées l’une vers le grand cercle extérieur de la plate-forme, l’autre vers le cercle intérieur. EF, grande roue dentée montée sur l'arbre du moulin. GH, lanterne, mise en mouvement par une machine, et engre- nant avec la roue dentée EF. Espèce de coke pulvérisé. On utilise les escarbilles ou petits charbons carbonisés qui tom- bent sous les grilles des fourneaux à réverbère. Ces charbons sont trop menus pour pouvoir être employés au eubilot, mais ils sont excellents pour être broyés. Conduite du travail, Le moulin est mis en mouvement. L'ouvrier chargé du travail, dépose sur le chemin des meules une couche d'escarbilles ; il ra- mène sur ce chemin les charbons rejetés en dehors; il veille à ce que la couche reste aussi régulière que possible : enfin, il prolonge le travail jusqu’à ce que le charbon ou la majeure partie du charbon ait le degré de finesse voulu. Il procède alors au tamisage du coke. Tamisage du coke. Il y a deux degrés de finesse pour le coke pulvérisé selon l'usage auquel on le destine. Quand le coke doit entrer dans la préparation du sable, il convient qu'il ait une certaine grosseur afin que le moule soit plus consistant. Le coke pour le sable à canon est passé au travers d’un tamis en toile métallique dont les fils sont distants de 0,0015. Mais lorsque le coke doit entrer dans la préparation de l’enduit noir, il ne saurait avoir trop de finesse : plus il sera fin, plus il sera facilement absorbé par le moule lors de l'application de l'en- des bouches à feu en fonte et en bronze, etc. 545 duit. Pour avoir du charbon en particules suffisamment tenues , on le crible dans un tamis à tambour , semblable à celui employé par les artificiers pour obtenir du pulvérin. ARTICLE IV. JUS DE CROTTIN. Objet du jus de crottin. Le jus de crottin est un enduit qu'on applique sur la surface in- térieure du moule, afin d'augmenter la liaison des particules du sable qui le compose. L’enduit donne du liant au sable et l'empèche de se désagréger , soit dans le maniement du moule, soit lors du séchage , soit lors de la coulée sous le choc du métal en fusion. Le jus de crottin est exprimé du crottin de cheval à l’aide d’un pressoir. Description de la presse pour faire le jus de crottin (fig. 5, planche IV). AB, A'B!', montants verticaux du pressoir. CD, vis verticale, se mouvant dans un écrou fixé à la traverse horizontale supérieure IK. EF , tonneau en bois percé de petits trous pour le passage du jus exprimé du crottin par l’action du pressoir. GH, bras de levier pour faire tourner la vis. LM, plateau circulaire en bois , pouvant entrer dans le tonneau EF et servant d’intermédiaire entre la tête de la vis CD et le crottin qu'il s’agit de comprimer. Composition du jus de croitin; sa fabrication. Pour faire le jus de crottin, on mélange 16 parties de crottin de cheval avec une partie d’eau de pluie : on laisse le crottin s’imbiber pendant environ 12 heures, afin que l'absorption de l’eau soit aussi complète que possible. On porte ensuite ce mélange dans la cuve EE, et on le soumet à l'action du pressoir. Le jus qui est exprimé du croutin sort par les petits trous percés dans le tonneau EF et est reçu dans un bac placé en dessous : on en recueille une quantité à peu près égale à celle de eau absorbée. 4% 546 Coquiuar. — Cours élémentaire sur la fabrication ARTICLE V. ENDUIT NOIR. But de l’enduit, Lorsque le moule est terminé, il est non-seulement important d'augmenter la cohésion des grains de sable vers la paroi intérieure par l'effet du jus de crottin, mais il faut en outre en faciliter le dé- pouillement en bouchant par un corps léger les pores ou petites ca- vités qu'il présente à sa surface. On parvient à ce résultat, en ap- pliquant sur la surface intérieure un enduit formé de jus de crottin et de coke pulvérisé. Le jus absorbé par le moule, entraine les parties de charbon qui sont fort tenues , et qui, venant se loger dans les petits vides entre les grains de sable, les remplissent , rendent la surface du moule plus serrée et plus lisse, et s'opposent aux petites infiltrations de la fonte liquide. La couche de charbon ainsi appliquée sur la surface du moule, est assez mince pour queles dimensions ne puissent en être altérées d'une manière sensible. Préparation de l’enduit. L'enduit noir est formé d’un mélange intime de 6 parties de jus de crottin. 1 partie de coke ou de charbon de bois pulvérisé et passé au ta- mis de soie, Lorsqu'on veut encore augmenter la consistance du moule (quand il s’agit de gros calibres, par exemple) on dissout dans le noir un peu de terre de pipe. Avant de méler la terre de pipe, il faut la délayer le mieux possible dans un peu de jus de crottin. CHAPITRE HI. MATÉRIAUX POUR LE MOULAGE EN TERRE DES PIÈCES DE FONTE: ARTICLE I. CONSIDERATIONS GÉNÉRALES SUR LE MOULAGE EN TERRE — PROPRIÉTÉS DE L'ARGILE. Différence essentielle entre le moulage en terre et celui en sable. Dans le moulage en sable , le modèle et le chässis forment deux enveloppes excessivement solides qui permettent de donner au sa- des bouches à feu en fonte et en bronze , etc. 347 ble du moule la cohésion qui lui manquait, en le tassant forte- ment. Dans le moulage en terre , le moule n’est plus consolidé par le châssis , enveloppe extérieure : il s'ensuit qu'il doit ètre formé de couches successives d’une substance humide , capables de s’ap- pliquer exactement sur le modèle; que ces couches doivent pouvoir adhérer entr'elles et conserver l'empreinte du modèle , en acqué- rant de la dureté et de la consistance en même temps qu’elles per- dent leur humidité sous l'influence de la chaleur. Le moulage en terre tire son nom de l'argile ( vulgairement ap- pelée terre-glaise ) qui entre pour la plus grande partie dans la ma- tière du moule et de ce que l'argile est l'élément principal des terres ou sols qui recouvrent la surface du globe. Propriétés de la matière à mouler. La matière à mouler doit jouir des propriétés suivantes : 1° Elle doit être réfractaire : c’est-à-dire infusible et indécompo- sable à la température du métal en fusion. 2 Elle doit être plastique : c’est-à-dire qu’elle doit se laisser tra- vailler et faconner de telle sorte qu'on puisse donner au moule la forme voulue. 5° La matière du moule doit pouvoir acquérir la consistance né- cessaire pour ne pas se déformer et pour résister au choc du métal en fusion quand il arrive dans le moule. A cet effet, la matière à mouler doit être liante et elle doit pouvoir se durcir tout en conservant du liant et en gardant intacte la forme qu'on lui a donnée. L'argile est la substance qui, convenablement préparée, jouit des propriétés de la matière à mouler. Propriétés de l'argile. L’argile pure est un silicate d’alumine : chacun de ses compo- sants est infusible et indécomposable aux feux de nos forges. La silice est blanche, rude au toucher, insipide , inodore : elle aune trés-faible affinité pour l’eau. L'alumine est blanche , onctueuse , happante à la langue : elle peut condenser une quantité considérable d'humidité, 15 °/, de . son poids. L'argile pure est un composé à proportion variable de silice et d'alumine : elle renferme 948 Coquiuuar. — Cours élémentaire sur la fabrication de 18 à 59 p.°/, d'alumine 46 à 67 p.°/, de silice 6à19p., d'eau. Dans son état de pureté l'argile est, infusible et indécomposable aux plus hautes températures que nous pouvons produire dans les usines. Mais elle contient ordinairement des matières étrangères , telles que des débris de rocher feld-spathiques , du quartz, des pyrites , du carbonate de chaux , de la potasse , des traces de substances or- ganiques , de la silice libre, des oxides métalliques, ete. Une partie de ces substances , principalement les sels calcaires , la potasse , les oxides métalliques rendent l'argile fusible. L’argile pure est éminemment plastique : elle se délaie dans l’eau et forme pâte avec elle. Lorsque la pâte est suffisamment épaisse elle est très-liante. L’argile se durcit par la dessication : la chaleur lui fait perdre de plus en plus l'humidité qu’elle contient et lui fait gagner une dureté de plus en plus grande. L’argile calcinée fait feu sous le briquet : elle prend un retrait qui devient considé- rable à mesure que la température augmente : elle résiste à une température de 129° du pyromètre de Wedgwood. Tant que le degré de chaleur communiqué à l'argile n’est pas très-grand, elle continue de jouir de la propriété de se délayer dans l’eau et de faire pâte avec elle : mais elle perd entièrement cette faculté lorsqu'elle a été échauffée à un haut degré de tempé- rature. D'après ce qui précède , on voit que, sauf quelques inconvé- nients , l'argile possède les qualités désirables de la matière à mou- ler. Les préparations qu’on lui fait subir ont pour but de remédier au retrait , d'augmenter le liant et de faire évaporer l'humidité. Il y a de plus certaines précautions à prendre pour procurer aux moules la résistance nécessaire. Nous indiquerons en leur lieu les diverses manipulations à faire subir à l'argile. Choix de l'argile. L'argile doit être réfractaire , pour cela elle ne doit contenir que peu d’oxides métalliques, et point de sels calcaires ou de pyrites. L’ar- gile employée à la fonderie de Liège contient une certaine quantité de sable, ce qui en diminue le retrait et dispense d'en ajouter. Lorsque l'argile est presque pure , telle que la terre de pipe, il est des bouches à feu en fonte et en bronze , etc. 549 important de la mélanger avec du sable à grains fins et arrondis ; le gros sable aurait l'inconvénient de rendre la matière trop po- reuse. Préparation de l'argile. Après son extraction de la terre , l'argile est simplement dépo- sée sous un hangar où elle reste un temps plus ou moins long et se dessèche. Plus l'argile est vieille, moins elle contient d'humidité et plus cette humidité est répartie uniformément dans toute la masse. On prend la précaution lorsqu'on l'amène de la débarras- ser des pierres et des corps étrangers qu’elle pourrait contenir. ARTICLE IL. TERRE FORTE OU GROSSE TERRE POUR LE MOULAGE EN TERRE DES PIÈCES DE FONTE. Objet de la terre forte ou grosse terre. Ainsi que nous l'avons déjà fait remarquer, l’argile se contracte en se desséchant : il est donc important qu’elle soit mélangée avec une substance qui en diminue le retrait sans la rendre moins ré- fractaire, et qui ne Jui fasse perdre que peu de cohésion. Cette substance est le crottin de cheval. Le crottin de cheval favorise aussi la dessiccation du moule en rendant la matière plus poreuse. On conçoit cependant que la proportion de cette substance puisse varier suivant la destination de la terre à mouler. Les couches éloignées de la surface du modèle et de l’intérieur du moule, peuvent sans inconvénient prendre plus de retrait que les autres ; elles pourront contenir moins de crottin. La grosse terre est employée dans la confection du modèle et du moule : elle sert à recouvrir les nattes de foin dont le trousseau du modèle est enveloppé ; elle compose les couches extérieures du moule. La terre forte n’est employée qu’à une certaine distance de l'intérieur du moule et de la surface du modèle : de toutes les terres à mouler, elle contient le moins de crottin ; elle se gerce le plus fortement par la dessiccation , mais aussi elle acquiert en mème temps le plus de dureté et de consistance. La grosse terre adhère fortement aux nattes de foin, elle les relie aux dernières couches du modèle et les empêche de se déta- cher les unes des autres, soit dans le séchage , soit dans le manie- meni du modèle. 050 Coquiruar, — Cours élémentaire sur la fabrication La terre forte durcit le moule à l'extérieur , elle rend la chape plus résistante et moins compressible. ; Composition de la terre forte. L'expérience a indiqué la proportion suivante : 2 Volumes d'argile. 1 Volume de crottin de cheval. Lorsque l'argile est trop plastique , ce qui a lieu lorsqu'elle est presque pure, on y ajoute un peu de sable. Mais comme le sable diminue la cohésion de la matière, il ne faut l’introduire qu'avec prudence. Corroyage préparatoire de l'argile. Le mouleur prépare sa terre sur un plancher , la battière , élevé de 0,50 à 0,60 au-dessus du sol, adossé au mur et incliné vers lui, pour retenir les eaux servant au travail. La battière est garnie de rebords excepté sur le côté opposé au mur. Un cordage , attaché au plafond ou à la charpente du toit de l'atelier, s'arrête à mi-hauteur d'homme au milieu de ce plan- cher : il est destiné à soutenir le pétrisseur et à l'empêcher de glis- ser lorsqu'il broie la matière sous ses pieds. Indépendamment de pelles , brouettes , pioches , arrosoir, ete. , qui n’ont pas besoin de description , le préparateur de la terre à mouler se sert d’un instrument particulier que nous nommerons le découpoir , fig. 4 planche 4. Le découpoir pesant environ 5 kilo- grammes est formé d’une sorte de lame en fer large de 0,08, épaisse sur le dos, recourbée vers la pointe, d’une longueur de 0,70, fesant corps avec un manche de mème métal et à peu près de mème longueur. Ce découpoir qui se manie à deux mains , est l'instrument essentiel pour la préparation des terres. L ouvrier va chercher une certaine quantité d'argile sous le han- gar où elle est déposée. Il en fait tomber des morceaux du tas avec la pioche , il en écrase les mottes et les grumeaux, de manière à ré- duire l'argile en menus morceaux. El la transporte ensuite sur la battière , où ilen forme une couche de 0,10 à 0,12 d'épaisseur. IL trace des sillons dans cette couche avec la pelle , et se sert ensuite de l'arrosoir pour humecter légèrement sa terre avec de l’eau de pluie (chauffée en hiver). Il est très-important de ne verser que fort peu d'eau à la fois : si 29 des bouches à feu en fonte et en bronze , etc. ol lon arrosait trop fortement , il serait impossible de pétrir conve- nablement ; les parties trop dures seraient glissantes sous les pieds et échapperaient au travail du pétrisseur absolument comme si elles étaient enduites de savon. On laisse l'argile absorber l'humidité pendant une heure au moins, quelquefois pendant 2 ou 5 heures ; en général plus ce temps se prolonge , mieux la matière est préparée pour le travail ultérieur. Au bout de ce temps, l’ouvrier retourne la matière avec la pelle; découpe et divise les parties non encore humectées , puis relève le tout en un tas ou monceau fort élevé au milieu de la battière. Il se sert alors du découpoir , pour hacher verticalement! dans le tas, pour le diviser en tranches les plus minces possibles , qui retom- bent sur le plancher et qui finissent par former une couche d’une épaisseur à peu près uniforme. L’ouvrier enlève avec la pelle la terre qui se trouve au centre de la couche ; il relève le reste dont il forme un nouveau tas sur lequel il rejette la terre qu'il avait pri- mitivement enlevée. Le but de cette manœuvre est d'obtenir que le centre de la couche soit aussi bien corroyé que le reste. Ce tas est haché avec le découpoir comme la première fois, formé en une couche d’égale épaisseur , puis relevé en un nouveau tas, mais moins haut. Mélange de l'argile avec la première moine de crottin de cheval. On répand sur l'argile la moitié de la quantité nécessaire de crot- tin. On hache verticalement avec le découpoir pour forcer le crot- tin à pénétrer dans la terre, Lorsque la matière est formée en une couche uniformément épaisse, on la sillonne avec la pelle, on enlève la partie du centre, on relève le reste en un tas sur lequel on re- jette la partie du centre qui avait été mise à part. Introduction de la seconde moitié du crottin de cheval. Le préparateur de la terre à mouler répand le reste du crottin qu'il fait pénétrer dans la matière et qu'il mélange de la même ma- nière que ci-dessus. Pétrissage de la terre forte. L'ouyrier monte sur la batuère , les jambes et les pieds nus ; il se soutient à la corde dont nous avons parlé : il parcourt une lar- geur de battière en écrasant tous les grumeaux avec le même pied. Il parcourt ensuite une seconde largeur , mais en travaillant de 952 Coquizuar. — Cours élémentaire sur la fabrication l'autre pied. Il arrose légèrement quand la matière est trop résis- tante. L'opération se continue en piétinant par lignes paralléles et changeant de pied à chaque nouvelle course jusqu’à ce que le crot- tin soit suffisamment mélangé; ce qu'on reconnait à la couleur uni- forme de la terre qui ne permet plus de distinguer les substances qui la composent. La terre ayant été pétrie, est relevée en tas, et est propre au mou- lage. Le travail que nous venons de décrire est très-fatigant , aussi les ouvriers, quand ils ne sont pas surveillés , cherchent-ils à s'y sous- taire , en se bornant à sautiller dans la pâte alternativement sur chaque pied : mais cette méthode ne vaut rien. ARTICLE III. TERRE A CHAPER POUR LE MOULAGE EN TERRE DES PIÈCES DE FONTE. Lorsqu'on approche de la surface du modèle ou de l'intérieur du moule , il importe d'employer une matière qui soit moins ex- posée que la terre forte à se fendiller par le séchage, Il y a done nécessité de préparer une autre terre qui, renfermant plus de crot- tin , soit plus liante, Elle se nomme terre à chaper et est compo- sée de : 4 Volume d'argile. 1 Volume de crottin de cheval. Cette terre contenant plus de crottin est moins susceptible de re- trait et de gerçures, que la terre forte ; elle forme une pâte plus liante, plus onctueuse, plus grasse, et propre aux détails des moulures. La terre à chaper se prépare par les mêmes procédés que la terre forte. C'est avec la terre à chaper qu’on donne au modèle la forme qu'il doit avoir et qu’on fait la plus grande partie du moule : elle est la matière du mouleur la plus importante. Elle tire son nom du mot chape qui désigne plus particulièrement l'enveloppe du moule dont elle compose la majeure partie. ARTICLE IV. TERRE SABLÉE. On obtient une matière qui se fendille ou se gerce moins par le des bouches à feu en fonte et en bronze , etc. 993 séchage que toutes les autres terres à mouler en fesant par les procédés déjà indiqués un mélange de 1 Volume d'argile. 1 Volume de sable. Cette terre est plus compacte owmoins poreuse que la terre à chaper , mais elle a moins de cohésion , on ne l'emploie que pour une première couche très-mince de la chape sur le modèle. Il en résulte un moule plus uni , plus dur vers l'intérieur, dépouillant mieux et assez consistant pour la fonte. Nous exposerons plus loin les raisons qui ne permettent pas d'employer cette matière dans le moulage des pièces de bronze. ARTICLE V. TERRE FINE POUR LE MOULAGE EN TERRE DES PIÈCES DE FONTE. Composition de la terre fine. La terre fine est formée de débris de modèles pulvérisés , passés au tamis en crins et ensuite délayés dans de l’eau de pluie au point de former une bouillie. On laisse la matière s'imbiber d'eau pen- dant plusieurs jours , en ayant la précaution de la remuer de temps en temps. La terre fine ne doit contenir ni gros grains , ni particules pour- vues d'aspérités : il faut éviter de la mélanger avec du sable. Emploi de la terre fine. La terre fine sert à former les dernières couches du modèle et à parer l’intérieur du moule. Etant très-délayée elle est appliquée en couches très-minces , qui ne peuvent éprouver de retrait sensible : elle convient pour procurer une surface unie au modèle et pour boucher les petites fissures du moule. On concevra l'utilité de la terre fine en considérant que lorsque le modèle est bien lisse, l’intérieur du moule qui se fait dessus l’est également, le modèle se détache plus facilement du moule, et les objets coulés ont leurs surfaces plus nettes. 554 CoquiLuar.— Cours élémentaire sur la fabrication ARTICLE VI. LESSIVE DE CENDRES POUR ENDUIRE LE MODÈLE DANS LE MOULAGE EN TERRE DES PIÈCES DE FONTE. Composition de la lessive de cendres. La lessive de cendres est formée de 2 Volumes de cendres de bois } Le mélange est convena blement 3 Volumes d'eau de pluie agité puis passé au tamis fin. Les cendres de bois ‘doivent être au préalable lessivées , pour être débarrassées des sels alcalins. Objet de la lessive de cendres. Lorsque le modèle est terminé, on l’enduit de lessive de cendres pour empêcher qu’il n’adhère au moule. Propriétés que doit posséder la base de la lessive. Les couches du moule étant appliquées humides sur le modèle, la base de la lessive doit jouir des propriétés suivantes : 1° Elle doit ètre dépourvue de plasticité et de liant, afin que le modèle ne puisse faire corps avec le moule. 2 Elle doit être dans un trés-grand état de division, afin de pouvoir en former une couche très-mince sur le modèle. 5° Elle doit être réfractaire à la haute température du métal en fusion. Une partie de la lessive pouvant rester adhérente au moule après l'enlèvement du modèle, si elle se décomposait ou se liqué- fiait au contact du métal en fusion, la pièce ne dépouillerait plus et ses dimensions pourraient même en être altérées. Les cendres de bois jouissent de toutes les propriétés comme base de la lessive. Les particules de cendres sont dépourvues de toute cohésion , la combustion les a rendues très-ténues , et le lavage les a débarras- sées des substances vitrifiables. i : Ë réparati t destination Article 7. Jus de crottin } Mème préparation e Article 8. Enduit noir ( out EU cHNEUES des bouches à feu en fonte et en bronze , etc. 5bb) CHAPITRE II. “MATÉRIAUX POUR LE MOULAGE MIXTE DES PIÈCES DE FONTE. Article 1. Sable de moulage. Mème préparation et destina- Article 2. Jus de crottin. tion que pour le moulage en Article 5. Enduit noir. sable des pièces de fonte. ARTICLE IV. TERRE FORTE OU GROSSE TERRE POUR LE MOULAGE MIXTE DES PIÈCES DE FONTE. Préparation de la terre forte. Cette terre est employée à la confection du modèle et se prépare de la même manière que pour le moulage en terre des pièces de fonte. Objet particulier de la terre forte dans le moulage mixte. Dans le moulage mixte il est essentiel que le modèle ne puisse se déformer par le tassement du sable qui compose le moule. Le modèle doit donc être plus dur que pour le moulage en terre. Dans ce but on rend plus épaisse la couche de terre forte qui est la plus compacte de toutes les terres de moulage. Ainsi dans le moulage mixte, la terre forte sert à relier les couches extérieures du modèle aux nattes de foin et à empêcher sa déformation dans la confection du moule en sable en le rendant moins compressible. Défauts auxquels sont exposées les pièces obtenues par le moulage mixte. Dans le moulage mixte, les pièces sont exposées à des serres et à des ondulations. Les serres sont des parties rentrantes cireulaires et perpendiculaires à l'axe de la pièce produites par une diminution dans le diamètre du moule : diminution occasionnée par le trop peu de dureté dumodèle qui s’est laissé comprimer dans le tassement du sable lors de la confection du moule. Les ondulations sont au con- traire des parties circulaires , saillantes sur la pièce , qui provien- nent de ce que le sable du moule n’a pas été assez foulé. On con- 256 CoquiLHarT. — Cours élémentaire sur la fabrication coit en effet la difficulté de tasser uniformément le sable autour, d’un modèle qui est plus ou moins compressible. Servent à la confection du mo- Aïticle 5. Terre à chaper. ( dèle : même préparation que pour Article 6. Terre fine. le moulage en terre des pièces de fonte. Article 7. Lessive de mine de plomb pour le moulage mixte des pièces de fonte. La lessive de mine de plomb est formée de mine de plomb de- layée dans de l’eau. On l’applique sur le modèle terminé et séché à l’aide d’un large pinceau , le blaireau. Dans le moulage mixte, le moule en sable est fait sur un modèle en terre. Cette opération ne dure qu’un jour ou deux ; le sable du moule est très-peu humide : on n’a done pas à craindre l’oxidation de la base de la lessive avec laquelle il faut enduire la surface du modèle pour en faciliter le dépouillement ; de plus, la base de la les- sive ne peut être entrainée dans le moule à cause du peu d'humidi- té du sable lors de son emploi. Il est donc permis dans le moulage mixte des pièces de fonte d'employer une lessive de mine de plomb au lieu d'une lessive de cendres. La lessive de mine de plomb présente les avantages suivants : Elle bouche plus promptement et plus complètement les pores àla surface du modèle, rend cette surface plus lisse et plus facile à dépouiller, coute beaucoup moins que la lessive de cendres et exige moins de préparation. CHAPITRE IV. MATÉRIAUX POUR LE MOULAGE DES PIÈCES DE BRONZE. ARTICLE I. SABLE POUR LE MOULAGE DES PIÈCES DE BRONZE. Les qualités et la préparation du sable sont les mêmes que pour le sable servant au moulage des pièces de fonte, mais il n'y entre pas de coke. Il n'existe aucun motif pour ralentir le refroidissement des pièces de bronze après leur coulée. Il n'y a aucun intérêt à ralentir par des mesures particulières le des bouches à feu en fonte et en bronze, etc. 357 refroidissement du bronze après le remplissage du moule. Si un refroidissement très-lent est de la plus haute importance quand il s’agit de la fonte de fer , afin de permettre la séparation du carbone avec le fer ; il n’en est pas de même pour le bronze, les effets de la liquation tendant à détruire l’homogénéité du métal. Quelques auteurs passant, trop légèrement peut-être à la limite extrême d’un raisonnement dans lequel on n’a pas tenu compte de toutes les circonstances , ont été jusqu’à prétendre qu’il fallait hà- ter le refroidissement autant que possible, et l’accélérer pour les parties de la pièce où la masse était la plus forte, afin d'obtenir la congélation de la bouche à feu entière au même instant. On peut objecter à ce raisonnement que le bronze est plus dense près de la culasse, ce qui n'aurait pas lieu si, par un refroidissement instantané, la masselotte ne pouvait produire son effet comprimant. On peut aussi observer que, toutes choses égales d’ailleurs , les soufflures sont en plus grand nombre à la volée et au bourrelet, qui sont les parties les plus minces, les plus promptement refroidies et sur lesquelles la masselotte pèse le moins. Motifs qui s'opposent impérieusement à la présence du coke dans le sable. Indépendamment de ce qui précède, il y a une autre raison, d’une force majeure, pour ne pas mêler du coke avec le sable des- üné au moulage des pièces de bronze. Nous allons l’exposer. Le bronze liquide est beaucoup plus fluide que la fonte de fer. Lors de la coulée, ce premier métal pénètre dans l'épaisseur du moule: la haute température du bronze en fusion pourrait oceasion- ner des explosions dangereuses, si le moule renfermait la moindre humidité : cette infiltration compromet également la solidité du moule vers sa paroi intérieure, par les tiraillements qu’elle pro- duit. Il est done essentiel que les moules soient plus consistants pour les bouches à feu en bronze : on obtient une augmentation de ré- sistance en supprimant le coke dont l’interposition entre les parti- cules de sable ne peut qu’en détruire la eohésion. Le moule devant ètre parfaitement see, on le flambe à l’intérieur pour en extraire toute l’humidité. Cette opération exige impérieuse- ment que la matière du moule soit exempte de charbon pulvérisé qui brülerait en détruisant la liaison entre les particules du sable. 358 Coquiunar. — Cours élémentaire sur la fabrication ARTICLE IL JUS DE CROTTIN POUR LE MOULAGE EN SABLE DES PIÈCES DE BRONZE. Mème préparation que pour le moulage én sable des pièces de fonte : même raison d'être. ARTICLE IL. POTÉE DE CENDRES POUR LE MOULAGE EN SABLE DES PIÈCES DE BRONZE. Préparation de la potée de cendres. La potée de cendres est formée de : 2 parties de cendres de bois { mélangées et passées au tamis de 3 parties de lait soie. Les cendres doivent être lessivées à l’eau de pluie avant d’être mélangées avec le lait. Emploi d2 la potée de cendres. La potée de cendres sert au cendrage du moule après la cuite. Le cendrage a pour but de boucher toutes les petites gerçures que le feu a occasionnées et à faciliter le dépouillement de la pièce. La lessive de cendres , telle qu’on l'emploie pour le cendrage du modèle, n’adhèrerait pas au moule après la dessication. II faut que les cendres soient mêlées avec un liquide qui, après l'évaporation, les relie entre elles et au moule sur lequel elles sont appliquées. Le liquide doit être tel qu'il ne puisse déposer de substance nuisible. C'est dans dela bière ou dans du lait qu'on dissout ordinairement les cendres de bois pour en faire une potée. A la fonderie de Liége, on a obtenu de bons résultats par l'emploi du lait frais. Les cendres de bois, par leur ténuité, sont plus propres à boucher les fissures du moule que le coke le mieux pulvérisé. Il faut done l'employer de préférence dans le dernier enduit lorsqu'il s'agit du bronze, pour s'opposer plus efficacement aux infiltrations de ce mé- tal qui, étant fondu , est extrémement fluide. des bouches à feu en fonte et en bronze, etc. 559 CHAPITRE V. MATÉRIAUX POUR LE MOULAGE EN TERRE DES PIÈCES DE BRONZE. ARTICLE I. TERRE FORTE OU GROSSE TERRE. Composition de la terre forte. La terre forte se prépare de la même manière que pour le mou- lage en terre des pièces de fonte. Les ferrures qui renforcent les moules des pièces de bronze, sont un motif de plus pour employer la terre forte aux couches extérieures de la chape. Les ferrures sont appliquées à l'extérieur de la chape pour s'op- poser à l’expansion du moule par la pression du métal liquide. Pour qu'elles remplissent leur but, il faut que leur résistance soit transmise à la chape par de larges surfaces. La terre forte devient très-dure et consistante par le séchage, elle convient donc pour remplir les vides entre le moule et les ferrures, et pour augmenter les surfaces de résistance de ces dernières. Article 2. Terre à chaper les mêmes que pour le mou- Article 3. Terre fine Jage en terre des pièces de Article 4. Lessive de cendres fonte. la même que pour le mou- Article 5. Potée de cendres lage en sable des pièces de bronze. CHAPITRE VI. MATÉRIAUX POUR LE MOULAGE MIXTE DES PIÈCES DE BRONZE. Article 4. Terre forte servant à la confection du mo- Article 2. Terre à chaper dèle en terre : sont les mé- Article 3. Terre fine. mes que pour le moulage en Article 4. Lessive de cendres terre des pièces de bronze. - : servant à faire le moule en sa- Article 5. Sable de moulage Ée ï : : ble : sont les mêmes que Article 6. Jus de crottin RE MERE ee A ur A Article 7. Potée de cendres P ® È des pièces de bronze. 360 Coquiztat. — Cours élémentaire sur la fabrication CHAPITRE VII. RÉCAPITULATION DES DIVERS MATÉRIAUX EMPLOYÉS AU MOULAGE : CONSIDÉRATION SUR CES MATÉRIAUX. ARTICLE I. TABLEAU RÉCAPITULATIF DES DIVERS MATÉRIAUX EMPLOYÉS AU MOULAGE. Désignation DES COMPOSITION. PRÉPARATION. EMPLOI. MATÉRIAUX. Le sable se prépare séparé- ment en le desséchant, pilant et tamisant. Le coke est 1 partie sable|broyé et tamisé séparément. argileux 4/6 à|Ces deux substances sont mé- Sable pourl1/12 coke pul-[langées à sec, puis arrosées :| Moulage en sable le moulage|vérisé. formées en tas par couches|et moulage mixte des pièces de| Proportion or-[horizontales : puis découpées|des pièces de fonte. fonte. dinaire de coke|verticalementetremises en tas 1/9. par nouvelles couches hori- zontales. Après un corroyage plusieurs fois répété, le sable est passé au laminoir dans la journée du moulage. Sable pour Më Orne la pré-IMoulage en sable le moulage] Sable argi- RTETES DATES 0 En on et moulage mixte des pièces de|leux. n'y re pas de coke. des pièces de bron- bronze. AA | L'’argile préparée et corroyée à £ K séparément en s’aidant du dé- Premières cou- Terre forte 2 parties d’ar- coupoir. Le crottin introduit ches du modèle en ougrosse (gile. en deux fois: le mélange bien[t®"'€ : dernières terre, | 1 partie crot- corroyé à chaque fois avec le couches du moule tin de cheval. |écoupoir: le tout terminé par|°® terre- le pétrissage avec les pieds. i ile préparée séparé : 1 partie ar- Axgile préparée séparément ;| Modèle en terre : Terre à cha-|8ile- puis mélangée en 2 fois avec|Oule en terre. per. 1 partie crot-|le crottin, corroyée et pétrie tin de cheval. |comme la grosse terre. Les débris broyés, tamisés,| Dernières couches Terre fine. ldèles en terre. [Puis délayés dans de l’eau dejdu modèle en terre. pluie, de manière à donner] Parer l'intérieur Eau de pluie. : L PU June bouillie claire, du moule en terre. à Débris de mo- nas. ai des bouches à feu en fonte et en bronze, etc. 561 Désignation PES COMPOSITION. PRÉPARATION. EMPLOI. MATÉRIAUX. 1 partie argi-| Les matières préparées sé- HAE conte Terre sa-|le. parément, puis mélangées, cor-|°€ Fee SE sur É blée. 1 partie sable|royées etpétries. MUC QETE, moulage en terre argileux. = © des pièces de fonte. Les cendres lavées à l’eau de pluie, pour les débarrasser des sels alcalins, puis tamisées, et enfin mélangées à l’eau de pluie dans la proportion indi-| quée. Le mélange est lui-même tamisé. s 2 parties de Lessive de|,endres. cendres de! 3 parties d’eau bois. de pluie. Enduire le modè- le dans le moulage en terre. Enduire tous les moules donne du liant au sable, aug- mente celui de la 16 parties | Les matières mélangées res- Jusdecrot-|crottin de che-|tent 12 heures en repos , puis tin. Le URI sont soumises à l’action de la terre du mouleur, 1 partie d'eau|presse. sert de liquide pour de pluie. la préparation de l'enduit noir. 6 parties jus Enduire les mou- de crottin. les en sable ou en Enduit noir.| 1 partie coke Le mélange est passé au ta-l{orre des pièces de pulvérisé et ta-[nus de soie. fonte. Faciliter le misé, dépouillement. Enduire le modèle dans le moulage mixte des pièces de fonte. Lessive de|Mine deplomb.| On fait ce mélange en ajou- mine de Eau de pluie. |tant assez d’eau pour que la plomb. couche s’étende facilement. Les cendres lessivées et ta-| Cendrage des mou- misées séparément : puis mé-|les des pièces de langées au lait et tamisées de|bronze après la cui- nouveau. te. Potée de | 2 parties cen- cendres. dres de bois. 3 parties lait. ARTICLE Il. OBSERVATION SUR LES MATÉRIAUX DE MOULAGE. Les matériaux de moulage ne sont pas les mêmes dans toutes les fonderies. Le choix des matières dépend des ressources qu'offrent les localités : leur préparation peut varier entre certaines limites 46 562 Coquiunar. — Cours élémentaire sur la fabrication d’après des opinions plus ou moins plausibles ou suivant une rou- tine transmise par tradition. Le sable et l'argile, qui sont les éléments principaux des maté- riaux de moulage, doivent être dans les conditions que nous avons examinées. Mais la proportion de silice et d’alumine pouvant chan- ger , il doit en être de même des substances mêélées au sable ou à l'argile pour les rendre moins susceptibles de retrait ou pour en augmenter le liant. Le charbon de bois est souvent substitué au coke. La lessive ou la potée de cendres remplace parfois l’enduit noir, formé de char- bon et de jus de crottin. Dans beaucoup d'établissements, on ne met pas de charbon dans le sable de moulage pour les pièces de fonte. Cependant il n’est guère de fonderie qui ne se flatie avec plus ou moins de raison de couler des pièces dépouillant bien de leurs mou- les. L'essentiel, c’est que le sable de moulage soit homogène, liant, à gros grains, refractaire , et pas assez argileux pour que les mou- les puissent se fendiller. Si le charbon pulvérisé et mêlé au sable peut nuire à la solidité du moule , il a cependant un avantage incontes- table, c’est de ralentir le refroidissement de la pièce lors de la cou- lée. Mais de combien... ? On mélait autrefois et on le fait encore dans quelques établisse- ments de la brique pilée à la terre du mouleur , afin d’en diminuer le retrait dans le séchage et d’en augmenter la compacité. Mais on a renoncé presque partout à cette substance, parce qu’elle nuisait à la résistance du moule. On a essayé l’ardoise pilée pour s'opposer aux infiltrations du bronze dans la chape, mais sans résultat satis- fesant. La terre de porcelaine, la terre de pipe peuvent être substituées avec plus ou moins de succès à l'argile proprement dite; mais elles doivent être préparées et mélangées avec du sable ou d’autres ma- tières qui puissent les rendre moins susceptibles de retrait. Nous avons indiqué que le crottin de cheval rendait la terre à mouler plus liante, plus poreuse, plus propre au moulage. La fiente des animaux jouit des mêmes propriétés, mais avec des avantages plus ou moins prononcés. La bouse de vache a quelque- fois été employée au lieu de crottin de cheval. Avec la bouse de va- che on obtient une terre très-fine , mais trop compacte. Dans le but d'augmenter la résistance de la terre à mouler et de LA des bouches à feu en fonte et en bronze , etc. 363 s'opposer aux effets du retrait, on la mélange très-souvent avec des poils de bœufs. Mais ces poils se consument an contact du métal en fusion ou dans la cuite des moules, et laissent de petits vides qui peuvent donner lieu à des infiltrations. Il en serait de même du chanvre et des matières filamenteuses vé- gétales ou animales. Aussi ces matières ne sont-elles généralement employées qu'à l'extérieur des moules, où elles sont moins exposées à l’action d’une trop haute température. Dans plusieurs fonderies, principalement dans celles d’orne- ments ou de statues, on modèle avec la cire les parties ornemen- tées et délicates ou les parties du modèle qu’on aurait de la peine à retirer du moule, telles que les anses des canons. La cire étant très-fusible, on concoit qu’on puisse la faire écouler en la fondant à une douce chaleur, Mais par l'emploi de la cire on introduit dans la chape une ma- tière décomposable par le feu , qu’on ne peut faire disparaitre en- tièrement que par certaines précautions. Le plâtre gäché est souvent utilisé pour faire les modèles des tourillons. Les proportions adoptées à la fonderie de Liége , dans la prépa- ration des matériaux de moulage, ne sont pas le résultat d’une for- mule, mais elles sont des moyennes dont on peut s’écarter en plus ou en moins , en raisonnant toutefois la chose, Par exemple : si les eouches de terre sont minces, si on les laisse sécher loin du feu , le retrait se fera plus uniformément , d'une ma- nière presque insensible, et la terre du mouleur pourra être plus argileuse. On doit avoir assez d'espèces de matériaux pour remédier aux in- convénients qu’on rencontre dans le moulage, mais il en faut le plus petit nombre possible. Moins il y a d'espèces de matériaux, moins l'ouvrier est exposé à se tromper dans leur choix ou dans l’or- dre de leur emploi. Plus les procédés de préparation sont simples, plus la bonté des matériaux est indépendante du plus ou moins d'attention de l’ouvrier. De cette manière une petite négligence n’a pas de suites fâcheuses. Le procédé de rendre le sable homogène en le disposant par cou- ches horizontales , qu'on découpe verticalement pour former de nouvelles couches horizontales, et ainsi de suite, est un des plus par- faits. Car la bonté du mélange n’exige aucune attention particulière dé l'ouvrier , il n’a qu'à faire son travail mécaniquement, | | 264% Coquinar, — Cours élémentaire sur la fabrication | | Le nombre des jours d'intervalle entre les différentes manipula- tions du sable , peut quelquefois être abrégé : mais le discernement de l’ouvrier devrait agir pour juger de la qualité du sable; il pour- rait se tromper ou être négligent. Il est plus sûr de laisser le temps aider l'humidité à pénétrer dans l'argile, à la diviser et à favoriser le mélange des matières qui sont en présence. Le travail de l'argile sur la battière, la préparation de la terre forte ou à chaper , peuvent différer de notre description. Le cor- royage et le mélange des matières peuvent se faire par des procédés plus ou moins longs ou pénibles : mais la méthode que nous avons indiquée n’exige aucune combinaison de l'ouvrier, il n’a qu’à tra— vailler matériellement, sans aucune dépense d'intelligence et il ar- rivera à bien préparer sa matière. En n'ayant que deux terres de moulage, la grosse terre et celle à chaper , on rend plus difficile une méprise dans leur emploi. Les eaux d'arrosage sont presque toujours employées chaudes, parce qu'elles sont plus facilement absorbées : d'ailleurs il est in- dispensable qu’elles soient chauffées en hiver. — He — LIVRE UL. MOULAGE DES BOUCHES À FEU. CHAPITRE PREMIER. MOULAGE EN SABLE DES PIÈCES DE FONTE. ARTICLE I. DU MODÈLE. Raison pour laquelle le modèle en métal est composé de plusieurs parties, Le modéle dans le moulage en sable est en métal. Les parties rentrantes ou saillantes, qu’il présente, empècheraient de le retirer du moule s’il n’était décomposé en plusieurs parties. Le moule lui-même est divisible, de manière à permettre la sortie des différentes portions du modèle, On assure Ja solidité du moule des bouches à feu en fonte et en bronze , etc. 36) en le fesant dans des caisses en fonte dont l’ensemble constitue le châssis. Division du corps du modèle, La forme des canons généralement composés de troncs de cône est très-favorable au démoulage : on fait donc passer les plans de séparation des parties du modèle par les intersections des diverses surfaces de révolution. Le modèle d’un canon est formé de 7 tronçons (fig. 1, planche V1). 1° Le modèle de la masselotte AA’, jusqu'au renflement du bourrelet. Il est souvent en bois, parce que la masselotte n’a pas besoin d'autant de précision que le reste de la bouche à feu. 2° Le modèle du bourrelet BB’, depuis le renflement jusqu’à l'astragale. 3° Le modèle de la volée CC! y compris la plinthe qui sépare cette partie du 2° renfort. 4° Le modèle du second renfort DD’ y compris la plinthe de sé- paration avec le 1° renfort. 5 Le modèle du 1* renfort EE’, y compris la plate-bande de culasse. 6° Le modèle de la culasse FF’ jusqu’à la partie la plus mince du collet. On donne quelquefois à la partie du modèle de la culasse rela- tive au collet le même diamètre qu’au grand cercle du bouton. Dans ce cas, le bouton de culasse et le collet sont coulés cylindri- quement ou tronconiquement et façonnés sur le tour. 7° Le modèle du restant du collet, du bouton et du carré du faux bouton GG'. Le carré du faux bouton est une partie excédante du bouton, servant au forage et enlevée après. Motif pour lequel le modèle du bouton n’est pas divisé par un plan passant par le grand cercle du bouton. En suivant la règle de couper le modéle à la place où le diamètre commence à décroître après avoir augmenté ou réciproquement , on devrait diviser le modèle du bouton par un plan passant par le grand cercle LL' de ce bouton. On aurait ainsi un tronçon de mo- dèle de fort peu de hauteur auquel correspondrait une portion de châssis. 366 Coquinar. — Cours élémentaire sur la fabrication On évite cette complication pour de petits tronçons par le procédé suivant : On fait déborder la caisse de la culasse FF’ (fig. 2), vers le bou- ton jusqu’à son grand cercle. Le modèle du bouton et du faux bou- ton est moulé en partie dans le chàssis du bouton GG’ (fig. 2) et en partie dans le chässis de la culasse FF’ (fig. 2). Manière pour démouler le modèle du bouton. On sépare le chässis de la culasse de celui du bouton. La partie du modèle du bouton comprise depuis le grand cercle jusqu’au collet aa (fig. 2), sort facilement de son moule qui est dans le chässis de la culasse. On retire ensuite le modèle du bouton lui-même par le côté GG du chässis GG’. Motifs pour lesquels les tronçons du modèle sont creux. Les tronçons du modéle doivent être creux pour être légers et maniables et afin de permettre de visser par leur intérieur et de dévisser à volonté, les parties saillantes, telles que les tourillons, la plate-bande de volée, ete. , etc. L’épaisseur ordinaire des tronçons est de 0,025. Le modèle de la culasse est très-peu évidé, parce qu'il a peu de poids. Pour une raison semblable , le modèle du bouton est plein. Il en résulte une économie de main-d'œuvre. Mode d'assemblage des tronçons du modèle. Les tronçons du modèle s'assemblent par gorge et feuillure, tel. les que aa, bb (fig. 1), à l’instar d’une tabatière et de son cou- vercele. Repères qui se trouvent sur les troncons du modèle. La gorge de chaque tronçon présente une saillie ce’ (fig. 6 ), le talon de repère , s'emboitant parfaitement dans une cavité ou loge- ment ee’ de la feuillure du tronçon contigu. Ces repères ont pour objet d'obtenir un assemblage toujours identique des divers tronçons et de guider le placement du modèle dans le chässis, de manière que les modèles des tourillons vien- nent se placer dans les logements qui leur sont ménagés au châssis du 1° renfort. Tous les repères sont alignés suivant un plan passant par l'axe des bouches à feu en fonte et en bronze, etc. 567 du modèle et perpendiculaire à celui des tourillons. Cette précau- tion est indispensable , quand il existe des saillies à la surface, tels que, masse de mire, champ de lumière, croc de braque, etc., dont il importe que la position soit toujours assurée relativement aux tourillons. Moyen pour fixer les modèles des tourillons, des plates-bandes et des parties Saillantes en général. Les modèles des tourillons, des plates-bandes et des parties sail- lantes sont fixées sur le corps du modèle par des tire-fonds vissés par l’intérieur. Ces tire-fonds sont enlevés, lorsqu'on procède au démoulage , NO, fig. 7. Le modèle de l’astragale est quelquefois d’une seule pièce enve- loppant une gorge creusée au modèle de la volée. Mode de réunion des divers tronçons du modèle. Des doubles crochets 11, KK, etc., (fig. 2 et 7) se trouvent à l'intérieur des tronçons et servent à les saisir pour les manier ou à les relier les uns aux autres, à l’aide de tirants MM (fig. 7), re- courbés en crochet à un bout et filetés à l’autre extrémité pour re- cevoir un écrou. Pour attacher deux tronçons contigus lorsqu'ils sont emboîtés on engage la partie recourbée du tirant MM’ (fig. 7) dans le crochet su- périeur du tronçon de dessous , et lon fait passer l’autre bout du tirant dans un trou percé dans une traverse ST, fixée à la partie su- périeure du tronçon de dessus. On passe un écrou sur la partie file- tée du tirant qui dépasse et on le serre autant qu’on peut. Tous les tronçons sont réunis les uns aux autres par deux tirants semblables. La position de la traverse ST est assurée par ses extrémités qui sont reçues dans desentailles ou encoches pratiquées sur la feuillure du tronçon. La jonction de la culasse et du bouton, se fait par un seul bouton à écrou PQ (fig. 2, planche VI). La tête P du bouton est retenue au modèle de culasse et la tige traverse le modèle du bouton. Manière de retirer le modèle de la plate-bande de volée. Nous avons dit que le modèle de plate-bande de volée était d’une pièce. Il reste engagé dans le moule, après qu’on en a retiré le mo- dèle de la volée par sa grande base. On fait sortir le modèle de la 568 Coquiinar. — Cours élémentaire sur lu fabrication plate-bande du côté de la petite base tournée vers le bourrelet. I faut au préalable que le châssis de la volée soit séparé de ceux du bourrelet et du 2° renfort, Pour faciliter la sortie de la plate-bande, on la saisit avec deux tire-fonds vissés sur le bord extérieur. Manière de retirer les cordons situés autre part qu'aux extrémités des tronçons. Quand un tronçon a un cordon ailleurs qu’à ses extrémités , on divise le cordon en 3 ou 4 parties assemblées en sifflet et fixées sur le modèle à l’aide de tire-fonds par l’intérieur du tronçon. Lors du démoulage , ees tire-fonds sont enlevés, on retire le corps du mo- dèle et les segments du cordon restent dans le sable du moule. On remet les tire-fonds en guise de poignées pour saisir les segments. On détache d’abord le segment dont les sifflets recouvrent les au- tres, puis chacun de ceux-ci en le fesant pivoter autour d’une de ses extrémités, ARTICLE II. DU CHASSIS. Définition du chassis. Le chässis est l'enveloppe solide du moule en sable; il lui pro- cure une résistance dont le sable seul est incapable. Le chàssis est ordinairement en fonte. Division du châssis. Le chàssis est composé de caisses en fonte, correspondantes aux diverses parties du modèle. Chaque partie du châssis prend le nom du tronçon du modèle, auquel il se rapporte: ainsi, on a le chàs- sis du bouton GG’, (fig. 2, planche VI), celui de la culasse FF! , celui du 4% renfort EE), etc., etc. Chaque châssis est formé de deux demi-châssis, suivant un plan passant par leur axe, exceptés les châssis de la culasse et du bouton qui sont d’une seule pièce. Mode d'assemblage du chassis. Les chässis sont terminés à leurs extrémités par des rebords, les she. des bouches à feu en fonte et en bronze, etc. 969 brides circulaires, par lesquels on les réunit les uns aux autres, ainsi qu'on le voit (fig. 5) en GG, F'F/, EE”, etc. , (fig. 2). La bride supérieure est pourvue de boulons à clavettes ab, a!b! (fig. 5), s’engageant dans les trous percés sur la bride joignante de l'autre châssis. On assure l’assemblage toujours identique de deux châssis, l'un relativement à l’autre, au moyen d’une cheville de repère, eylin- drique en fer forgé, placé sur la même bride que celle qui porte les boulons et recu dans un trou percé sur la bride circulaire du chässis superposé. Les demi-chässis sont pourvus de rebords suivant leur longueur, les brides longitudinales, ef, gh, pq, rs, ik, lm (fig. 3), et comme l'indique suffisamment la (fig. 2). Les demi-chàssis s’assemblent comme les chässis entiers, par des boulons à clavettes fixés sur l'une des brides longitudinales , reeus dans des trous percés sur la bride longitudinale joignante de l’autre demi-chàssis. La bride longitudinale qui présente les boulons à clavettes, est aussi munie d’une ou deux chevilles de repère, afin que les deux parties d’un même châssis ne puissent être réunies que d’une seule wanière. Plan de division des demi-chassis. Les brides longitudinales sont dans un même alignement (fig. 2 et 5) : leur plan de séparation est perpendiculaire à l’axe des tou- rillons , afin de permettre l'enlèvement de la pièce après la coulée. Pour faire cette opération , on détache le chässis de culasse et du bouton; on défait les clavettes qui réunissaient les brides longitu- dinales. Le châssis de la pièce entière (moins la culasse et le bou- ton) est alors divisé en deux demi-chässis renfermant chacun un tourillon : demi-chässis qu'il est facile de séparer. Chassis du 2 renfort : logements des modèles et des tourillons. Chaque demi-chässis du 2° renfort , présente une saillie ou boite, pour le logement du modèle du tourillon : DHD/!, C'H/C” (fig. 2 et %). Cette boîte a ordinairement une forme cylindrique ou tronco- nique : elle a un rchord circulaire et se ferme après le moulage par une plaque de fonte serrée contre le rebord par des boulons à écrous , qui traversent la plaque et le rebord. eS >: 970 Coquicnar. — Cours élémentaire sur la fabrication Fermeture du chassis du bouton et du faux bouton. Le chässis du faux bouton est fermé inférieurement par une pla- que de fonte retenue par des boulons à écrous à la bride circulaire du châssis. Lorsque le châssis du bouton n’a pas ün grand diamètre infé- rieurement, on se dispense quelquefois de le fermer par une pla- que après le inoulage : le sable comprimé offrant une résistance suffisante. Forme extérieure du châssis : épaisseur du moule. Le chässis contourne grossièrement le modèle , sans égard pour les moulures, les plates-bandes et les petites saillies. L'intervalle entre le chässis et le modèle, détermine l'épaisseur du moule, qui varie entre 0,0% et 0,07. Plus les calibres sont forts, plus l'épaisseur du moule doit aug- menter. Disposition pour empécher le moule en sable de glisser dans le châssis. La paroi intérieure de chaque demi-chässis , a une légère saillie suivant tout le pourtour, afin de mieux retenir le sable qui, sans cette précaution, se détacherait dans les manœuvres par son propre poids. e On augmente encore l’adhérence du moule en ménageant dans la paroi intérieure du chässis un grand nombre de petites cavités dans lesquelles vient s'engager le sable lors du moulage. Trous qu'on perçait autrefois dans les chassis, croyant ralentir le refroidissement de la pièce après la coulée. La fonte étant bon conducteur du calorique, ce qui doit hâter le refroïdissement du métal lors de la coulée , on avait imaginé d’y remédier en criblant le châssis de trous percés au travers de l'épais- seur des parois, afin de diminuer la masse du châssis. Ce procédé était vicieux , parce qu'il augmentait considérablement les surfaces de refroidissement : aussi a-t-il été abandonné depuis longtemps. Anses de manœuvre des demi-chässis. Chaque demi-chässis est pourvu d'une ou deux paires d'anses en des bouches à feu en fonte et en bronze , etc. 371 fer forgé, pour qu'on puisse les saisir dans les diverses manœuvres auxquelles donnent lieu le moulage et le coulage des pièces. ARTICLE III. CONFECTION DU MOULE EN SABLE. Appareils pour faciliter le maniement des modèles et châssis et pour effectuer les transports. Les modèles, les châssis, les moules sont des objets plus ou moins lourds, dont le maniement et le transport ne peuvent s’effec- tuer qu'a l’aide de machines. L'atelier où se fait le moulage et le coulage des bouches à feu, possède trois grues, (planche VII), dont les bras peuvent se toucher par leurs extrémités. Deux de ces grues À, B, sont disposées en regard des étuves à sé- cher les moules GH, GH’. La 5"° grue CD, capable de supporter les fardeaux les plus pe- sants qu'on rencontre dans une fonderie, est placée au centre de courbure de la fosse à canons MN. Puils ou trous de moulage. , Près de chacune des petites grues À, B, et dans l'étendue de leur portée, se trouve un puits I, l', revêtu en maçonnerie; le puits ou trou de moulage, est assez profond pour qu'il puisse contenir deux ou trois parties de châssis assemblées. En descendant dans ce puits les parties superposées du modèle et du châssis à mesure que le moulage avance, les mouleurs ne sont pas obligés de travailler sur des échaffaudages de plus en plus élevés. Moyens pour empêcher le sable du moule d’adhérer au modèle. Pour prévenir l’adhérence du sable du moule avec le modèle, on chauffe celui-ci et on l'enduit d'huile épurée, qu'on laisse sécher. On le frotte ensuite avec une brosse contenant de la plombagine, en dirigeant la brosse suivant la longueur du tronçon. Enfin on saupoudre les divers tronçons de poussier de coke au moment du moulage. Moulage de la culasse et du bouton. C'est par la culasse qu’on commence le moulage en sable. 372 Coquizuar. — Cours élémentaire sur la fabrication La planche à mouler AB (fig. 5, planche VI) , est une table car- rée reposant sur deux liteaux. Une ouverture circulaire CD, est pratiquée dans son milieu, ayant le même diamètre que la gorge bb (Gg. 1), du modèle de culasse. Une entaille se trouve sur le pé- rimètre de cette ouverture, pour le logement du repère du modèle de culasse, lorsque ce modèle est mis sur la planche à mouler, avee sa gorge dans l'ouverture cireulaire CD. Par ce moyen, le mo- dèle de culasse occupe toujours la même position sur la planche à mouler. Pour procéder au moulage , on place la planche à mouler hori- zontalement sur le sol, les liteaux en dessous; on superpose le mo- dèle de culasse, le cul de lampe en haut ; on introduit la feuillure de ce modèle, autour de laquelle est creusée la gorge, dans le trou circulaire de la planche à mouler, le talon de repère dans le loge- ment qui lui a été ménagé. On couvre cette partie du modèle par le chässis correspondant EFGH (fig. 5), les chevilles à elavettes et celle de repère dela bride cireulaire entrant dans les trous percés dans la planche à mouler. On réunit ce châssis à la planche en serrant des clavettes dans les mortaises des chevilles qui débordent en dessous. Quand ces dis- positions sont faites , le modèle de la culasse se trouve naturelle- ment au centre du châssis ; et la position respective de ces deux pièces est assurée, par le talon de repère du modèle de culasse et par la cheville de repère de la bride circulaire du chàssis, qui en- trent dans les trous percés dans la planche à mouler. On saupoudre le modèle de poussier de coke. Cette précaution étant prise pour chaque partie du modèle à me- sure que le moulage avance, nous n’en parlerons plus. On remplit de sable l'intervalle entre le modèle et le chässis par couches successives de 0,05 à 0,04 d'épaisseur, réparties unifor- mément sur tout le pourtour. On foule chaque couche de sable avee un outil en bois , la batte (fig. 5, planche IV), eton lui donne une dureté suflisante. IL est essentiel que le sable soit comprimé uniformément : à cet effet, les mouleurs au nombre de 5 ou de 4, se promènent cons- tamment autour du modèle, d'un pas régulier, en chassant d’une manière uniforme leurs battes sur le sable , le long de la paroi du châssis. Arrivé à la partie la plus mince du colletIK (fig. 5) , on place le modèle du bouton IKL sur celui de la culasse en les sersant l'un des bouches à feu en fonte et en bronze, etc. 575 contre l’autre par un boulon à écrou. La tête du boulon se trouvant dans l’intérieur du modèle de culasse et l'écrou étant serré contre l'extrémité opposée du modèle de bouton (fig. 5), on continue en- suite le moulage, jusqu’à ce que le sable dépasse le bord supérieur du chàssis. Arrivé à ce point, on comprime le sable avec un marteau (fig. 8, planche 1V) : on se sert d'un couteau (fig. 7), pour en égaliser la surface en enlevant les parties excédantes, et on lisse le sable avec la truelle (fig. 10). On saupoudre le sable de poussier de charbon (dans le but d'empêcher l'adhérence du moule de la eulasse avec celui du bouton) et on superpose le chàssis du bouton. Le sable prenant du retrait par le séchage , il se produirait des fissures dans le moule à la jonction des deux châssis, si l'on n'avait soin d’interposer 3 petites calles en tôle entre deux châssis consé- cutifs. L'épaisseur de ces cales est réglée d’après le retrait présumé du sable. Par ce moyen, chaque moule déborde son chässis d’une quan- tité égale au retrait qu'il doit prendre, et les parties consécutives du moule seront tellement jointives lorsqu'elles seront assemblées après le séchage, que le métal liquide ne pourra trouver d'issue pour s'échapper. Les calles doivent être moins épaisses quand le sable est vieux. Le moulage du bouton se fait comme celui de Ja culasse, par couches successives et régulières de sable uniformément foulées par la manœuvre des battes. Arrivé à hauteur de l'extrémité du mo- dèle du bouton, on dévisse l’écrou du boulon qui serrait ce modèle contre celui de la culasse. Le boulon n'étant plus retenu , tombe contre terre. On recouvre d'un morceau de tôle le trou à l'extrémité du modèle de bouton où passait le boulon qu’on vient de détacher, et on poursuit le moulage comme on l’a commencé jusqu'à ce que le sable déborde un peu l'extrémité du chässis du bouton. On comprime les dernières cou- ches de sable avee un marteau ; on en lisse et égalise la surface , enfin on ferme le moule de ce côté par une plaque cireulaire MN (fig. 5, planche VI), qu'on attache fortement par les boulons à écrous. Le moulage étant fini de ce côté, on retourne le moule sens des- sus dessous en s’aidant de la grue et on enlève la planche à mouler. On n’a pu damer le sable de la partie du moule de la culasse voi sine de la planelie à mouler, aussi bien que le reste, à cause de l'é- 57% CoguiLnar, — Cours élémentaire sur la fabrication lasticité du bois et de la forme arrondie du ehàssis contournant le cul de lampe. Afin de procurer à cette partie la dureté et la consis- tance nécessaires , on enlève le sable sur une épaisseur de 0,05 en- viron; on le remplace par couches successives de nouveau sable qu'on dame fortement avee les battes et on en ajoute assez pour que le moule déborde le châssis. On comprime la dernière couche à coups de marteau : on enlève avec le couteau la partie excédante , on pare avec la truelle et on saupoudre de poussier de coke. Moulage du 1° renfort. On descend dans le trou de moulage les moules du bouton et de Ja culasse réunis, avec leurs modèles, le bouton en dessous, le sys- tème reposant d’aplomb sur une plaque de fonte. On superpose le modèle du 4° renfort sur celui de la culasse : on les réunit par des tirants à crochets et à écrous. Le châssis du 1° renfort est descendu sur celui de la culasse dont il reste séparé par trois petites calles de tôle. Les deux châssis sont assemblés par leurs brides circulaires serrées l’une contre l’autre par les boulons à clavettes. Lc moulage est continué par couches successives de sable uni- formément foulées , ainsi qu'il a été expliqué pour le moule de la culasse ; c’est-à-dire les mouleurs marchant continuellement autour da châssis et manœuvrant leurs battes en ayant soin de ne pas tou- cher le modèle. La première couche de sable est ordinairement plus épaisse que les autres : elle est damée plus longtemps et plus faiblement , pour ne pas dégrader le moulage du châssis inférieur. Moulage des autres tronçons du modèle. Le moulage des autres parties du canon se poursuit de la même manière : les diverses parties du modèle étant successivement su— perposées et assemblées. On continue d’ailleurs à observer pour les diverses parties du moule les précautions déjà indiquées : la surface supérieure de chaque portion terminée du moule , doit être saupou- drée de coke pulvérisé ; il doit en être de même pour chaque tron- çon du modèle, avant d'en commencer le moulage. On doit séparer deux châssis conséeutifs par trois petites calles placées entre leurs brides circulaires, ete., etc. Toutes les manœuvres pour le placement des parties du modèle et du châssis, sont facilitées avec l'aide de la grue. » des bouches a feu en fonte et en bronze, etc. 575 Lorsque les parties superposées du modèle et du moule ont ac- quis une hauteur devenue génante pour les ouvriers , on les désu- nit, on les retire du trou de moulage et on ne conserve pour conti- nuer l'opération que la dernière partie moulée, qu’on fait reposer sur un plateau ou bloc de bois par la partie inférieure du tronçon. Cette disposition a pour but d'empêcher le sable du moule de se détacher du chässis, entraînée par son poids et par celui du tron- con du modéle. Moulage des tourillons. Quand on est au tronçon du modèle qui porte les tourillons, on arrête le moulage un peu en dessous des embases. On fixe les mo- dèles des tourillons à leurs places, par le moyen de tire-fonds vissés à l'intérieur du troncon. On bouche provisoirement avec un peu de sable l'ouverture extérieure des boites DD” et C’C!' (fig. 2, plan- che VI) du chässis qui renferment les tourillons , et on achève le moulage du tronçon. Les tourillons ne sont alors moulés qu’en partie; pour achever l'opération, on désassemble le châssis qui les contient d'avec le châssis inférieur. On le couche horizontalement, de sorte qu'un des tourillons se trouve en haut etl’autre en bas. On enlève le sable du moule du tourillon supérieur qui n’a pu être bien foulé, et même on en détache une partie adhérente au moule de l’embase ou de corps de la pièce. On le remplace par de l'autre sable qu’on foule avec une batte, on achève le moulage de ce tourillon, puis on ferme la boite par un couvercle de fonte PQ (fig. 2), fixé par des boulons à clavettes ou à écrous. On fait ensuite tourner le châssis, de manière que le tourillon non encore moulé , se trouve en haut; eton moule le second tourillon comme on a fait pour le premier. Il est essentiel que le sable de tout le moule soit fortement et uniformément tassé. On reconnait qu'il a la consistance voulue, lorsqu'on ne peut y faire d'empreinte en appuyant vigoureusement le pouce dessus. O1 NN [er] Coquiinar. — Cours élémentaire sur la fabrication ARTICLE IV. DÉMOULAGE. Le démoulage est l'opération par laquelle on retire du moule les diverses parties du modèle. Ce travail se fait d'autant plus facilement que le modèle reste moins longtemps renfermé dans le sable. Les tronçons adhèrent d’ailleurs plus ou moins fortement au moule selon leur dépouille et l'étendue de leur surface. Dès qu'une partie du moule ne doit plus servir au moulage de la partie suivante, on la désassemble. On dé- visse à l’intérieur les parties saillantes sur le corps du modèle , tel- les que, les tourillons, l'astragale au collet de la volée, ete. On place deux chantiers en travers sur l'ouverture du trou de moulage, et convenablement espacés. On dépose sur ces chantiers la partie à démouler , la petite base vers le haut, appuyant sur ces chantiers par les brides infé- rieures. Une pièce de bois est misesur la feuillure supérieure du modèle, laquelle, fesant saillie sur le moule , empêche le contact du moule et de la pièce de bois. Un homme appliquant alors de grands coups de maillet sur le bois, force le tronçon à glisser dans son moule vers la grande base qui est en bas. L'opération est plus où moins longue et diflicile. Enfin le mo- dèle se dégage entièrement et tombe sur un lit de sable préparé au fonds de la fosse. Les modèles des parties saillantes se retirent par l'intérieur du moule. Les dégradations du moule doivent être réparées. On se borne en général à enlever les aspérités et à égaliser les surfaces. Il faut éviter autant que possible de boucher les cavités par un appli- cage de sable , qui tient fort peu et se détache souvent lors de Ja coulée, La partie détachée restant prise dans la fonte, parce que le mé- tal s’introduit entre elle et le moule , il en résulte des facons. Une petite cavité qu’on laisserait dans le moule , occasionnerait après la coulée une partie excédante à la surface de la pièce, qu’on peut enlever au burin ou au tour : ce qui n'offre aucun incon- vénient. des bouches à feu en fonte et en bronze, etc. 377 Lorsque les moules doivent être réparés, ils sont ordinairement renversés et couchés sur des chevalets ou autres supports , afin d’é- clairer l'intérieur. Quand la réparation est terminée, on redresse les moules , et on les fait reposer sur 3 ou 4 pieds à chevilles (fig. 9, planche IV), qu'on engage dans les trous percés sur la bride cir- culaire inférieure. Par ce moyen , le sable du moule est préservé de tout contact et ne peut être endommagé dans les déplacements ul- térieurs. ARTICLE V, DESSICCATION DU MOULE ET APPLICATION DE L'ENDUIT. Application d’une 1" couche de jus de crottin. Dans le but de donner plus de consistance et de liant au sable, on applique une première couche de jus de crottin aux diverses par- ties du moule dépouillées de leurs modèles. A cet effet, on se sert d’un torchon trempé dans un seau rem- pli de jus qu'on promène contre la paroi du moule. On emploie quelquefois un pinceau à longs poils pour enduire les parties ren- trantes. But du séchage. Les moules doivent être desséchés après l'application de l'enduit : S'ils étaient humides au moment de la coulée, des vapeurs d’eau se formeraient instantanément lors de l’arrivée du métal en fu- sion. Des explosions seraient à craindre : tout au moins la transforma- tion de l’eau en vapeurs absorberait une grande quantité de calori- que, ce qui hâterait le refroidissement de la pièce, rendrait la fonte plus dure et pourrait même la blanchir à la surface : des soufflu- res se formeraient, le moule se dégraderait, et la bouche à feu pourrait être manquée. Chemins de fer pour faciliter les transports. Pour pouvoir introduire facilement les moules dans l’étuve et les en faire sortir, l'atelier de la fonderie (planche VII), contient un chemin de fer EFE'F, traversant la largeur de l'atelier, à portée des grues A et B, et pénétrant dans les étuves GH, G/H'. Ajoutons 45 978 Coquizar. —Cours élémentaire sur la fabrication pour compléter la description du chemin de fer, qu’il existe un pont tournant en EF; qu'un 3"° chemin de fer est dirigé suivant E'"F”, à portée de la grande grue CD , tandis qu'un 4" chemin de fer RS , conduit à l’atelier de la forerie en traversant la cour de l’é- tablissement. Introduction des moules dans l’éluve. On fait sortir le chariot TU (fig, 1 et 2, planche [) de l'étuve, en le fesant rouler sur le chemin de fer dont nous venons de parler et le conduisant jusque près de la grue. On le charge des diverses parties du moule, reposant chacune sur les pieds à cheville. On dépose une couche de sable de 0,02 à 0,05 d'épaisseur sur la partie supérieure de chaque moule, afin de la préserver d’une action trop forte ou trop rapide de la chaleur. On rentre dans l’étuve le chariot chargé des divers moules. Les plus gros se trouvent les plus rapprochés des feux , sans que la flamme puisse les atteindre, de manière à obtenir une dessiccation aussi égale que possible. On ferme ensuite la porte de l'étuve. Conduite du feu: durée du séchage. On allume et on dirige les feux, de manière à obtenir une aug- mentation progressive de chaleur. Une vaporisation trop prompte de l'humidité exposerait les moules à se gercer ou à s’égrener. Le séchage doit durer 12 à 15 heures. La température doit être assez élevée, mais moindre que la chaleur rouge, pour ne pas dé- former les ferrures des chässis par une trop forte dilatation ou par leur ramollissement et pour éviter que le sable des moules ne se fendille. Application d’une 2% couche de jus de crottin et de l’enduit noir. 92% nuit de séchage. On laisse refroidir les moules jusqu’à ce qu'ils aient une tempé- rature modérée. On les enduit d’une seconde couche de jus de crottin, et on applique immédiatement l’enduit noir. Les moules sont rentrés dans l’étuve où ils passent une nuit mais exposés à une chaleur moins forte que la première fois. On peut alors les descendre dans la fosse à canon et les assem- bler lun sur l’autre, ce qu'on appelle les renmouler. Nous en parlerons. des bouches à feu en fonte et en bronze , elc. 379 Lorsque le canon ne doit pas être coulé de suite, on attend pour appliquer la seconde couche de jus de erottin et l'enduit noir jusqu’à la veille du jour de coulée. CHAPITRE II. MOULAGE EN TERRE DES PIÈCES DE FONTE. ARTICLE I. CONFECTION DU MODÈLE. Du trousseau. Le trousseau est une pièce de bois CDEF (6g. 1, planche VII), diminuant de grosseur d’un bout à l’autre, et qui sert d’axe au mo- dèle en terre. Il est en bois pour donner au modèle la rigidité né- cessaire sans le rendre trop pesant : son diamètre va en diminuant pour lui donner de la dépouille. Le sapin bien sec est employé de préférence comme étant un bois léger et suffisamment rigide. Le trousseau est généralement un corps de révolution composé d’un ou de plusieurs troncs de cône. Les diamètres sont plus petits de 0,06 à 0,08 que ceux corres- pondants du modéle, afin de réserver l'épaisseur des nattes de foin et des couches de terre. On allége le trousseau , quand il s’agit de très-grands calibres, en complétant ses dimensions avec des lattes ou tringles de bois, di- rigées suivant les génératrices, et présentant entre elles autant de vide que de plein. Le trousseau est soutenu par deuxtourillons en fer A ct B {fig. 1), façonnés en carré à leurs extrémités , afin de pouvoir y adapter les manivelles GH, IK (fig. 5). Du chantier. Le chantier LM (fig. 1, 5 et 4), est un chässis horizontal de bois, soutenu par deux chevalets à mi-hauteur d'homme au-dessus du sol, servant de support au trousseau dans la confection du mo- dèle. Des coussinets sont fixés aux petits côtés du chantier (fig. 4), pour recevoir les tourillons du trousseau. Entre les chevalets et 580 Coquinar. — Cours élémentaire sur la fabrication aux côtés, sont des murs légers en briques, dont l’objet est de réflé- chir sur le modèle la chaleur que produit la combustion du char- bon de bois qu'on allume dans cette espèce d'âtre. On remplace quelquefois ces murs de briques par un assemblage de feuilles de tôle ou de plaques de fonte, Les chantiers sont quelquefois disposés pour deux modèles : dans ce cas, ils sont pourvus de coussinets. Les trousseaux sont disposés ayant leurs axes parallèles, le gros bout de l’un correspon- dant au petit bout de l'autre, et étant assez espacés pour qu'on puisse travailler aux deux modèles à la fois, placer leurs tourillons et mouler. La construction des chantiers est assez variable: ils se composent parfois de deux chevalets solidement fixés en terre ; ce système est souvent employé pour les gros calibres : d’autres fois, les chantiers sont formés de deux chàssis verticaux de bois assemblés par des lon- gerons ou longs côtés, également en bois, traversant des mortaises pratiquées dans les montants des châssis; ce qui permet de varier Ja longueur du chantier. Les chantiers doivent être placés à portée d’une grue et à proxi- mité d’une étuve , quand les moules ne sont pas séchés sur place. De l'échantillon. L’échantillon est une pièce de bois OP, QR (fig. 2), représentant exactement le profil du modèle. Il est coupé en biseau le long de ce profil et est renforcé, suivant l’arête aiguë , par une feuille de tôle. L'échantillon est placé lors du moulage sur le chantier , vis-à-vis du modèle , ayant l’arête aiguë en dessous, de sorte que la partie enle- vée, pour former le biseau , laisse un vide angulaire entre l’échan- tillon et le modèle cc's (fig. 2); vide qui diminue en dessous par la saillie qui fait l'arête du biseau, La terre du mouleur projetée dans ce vide, est entrainée par le mo- dèle dans son mouvement de rotation et est pressée de plus en plus contre lui. L'échantillon est profilé pour la pièce entière, y compris le faux- bouton. Le modèle de la masselotte se fait à part , avec les mêmes procé- dés que pour le modèle de la bouche à feu. des bouches à feu en fonte et en bronze , etc. 581 Execution du modèle. Le trousseau est enduit de savon vert, afin de le retirer aisé- ment du modèle, On corde du foin en le tordant à l'instar des cordages , et on en prépare d'avance la quantité nécessaire qu’on enroule sous forme de grosse pelotte. ; Le foin cordé est quelquefois remplacé par des nattes plates et minces , tressées avec du foin ou de la paille. Pour natter le trousseau, on cloue provisoirement au gros bout l'extrémité de la pelotte de foin. Un homme fait tourner le trousseau à l’aide de la manivelle, tan- dis qu’un autre l'enveloppe de foin cordé, en le tendant aussi forte- ment que possible , et fesant remonter les nattes à coups de maillet vers le gros bout, ce qui les fait serrer les unes contre les autres et contre le trousseau. Il est essentiel que les nattes adhèrent bien au trousseau. Cette enveloppe de foin doit suivre grossièrement le eontour de la pièce, afin que l'épaisseur des couches de terre soit aussi uni- forme que possible et qu’elle ait approximativement 0,015. Quandle nattage est terminé, on arrête le bout de la corde de foin en le passant sous un des brins déjà enroulés : on a eu soin d’ail- leurs de recouvrir l’autre bout par lequel on a commencé, ce qui permet d'enlever le elou qu’on y avait enfoncé provisoirement. On applique sur cette enveloppe de foin une couche de terre forte , en fesant en même temps tourner le trousseau. Un feu de charbon de bois allumé dans l'intérieur du chantier, active le sé- chage de la couche de terre, à mesure qu'on l’étend. Cette pre- mière couche doit recouvrir entièrement les tresses de foin. Afin d'augmenter l’adhérence de cette couche avec la suivante, on a soin d'y faire, avec les doigts ou avec une cheville de bois, de petits trous , dans lesquels entrera la terre de la nouvelle couche. On fait sécher le modèle 6 à 12 heures. Quand l’opération se fait sur place, on recouvre le trousseau de feuilles de tôle pour faire rayonner la chaleur sur toute la surface, et on lui fait faire de temps en temps un quart de tour , afin d'en exposer uniformément toutes les parties au feu de charbon de bois, allumé en dessous. Mais si la dessiccation doit se faire dans l’étuve, on y transporte le modèle et on le suspend par les tourillons à des supports attachés à la voüte ou reposant sur le sol. 582 Coquicnar. — Cours élémentaire sur la fabrication Quoi qu'il en soit, après le séchage , le modèle doit être disposé sur son chantier pour l'application de la seconde couche de terre comme il l’a été pour la première couche. On vérifie si la terre forte qui s’est durcie, adhère bien aux nattes de foin : on fait tomber les parties qui ne tiendraient qu'imparfaitement et on les remplace. La seconde couche est formée de terre à chaper, qui s’étend plus facilement que la grosse terre , et se dessèche plus vite. Lorsque les dimensions du modèle se rapprochent de celles vou- lues, on place l'échantillon sur le chantier, l’arète du biseau en des- sous, à une distance convenable de l’axe du trousseau. On s'assure de l'exactitude de cette distance par le diamètre de la partie tournée sur l'échantillon , qui doit être le même que celui indiqué par le tracé. La position de l'échantillon étant trouvée exacte, on l’assure par des clous enfoncés sur le chapeau du chantier. On jette de la terre à chaper sur l'échantillon contre le modèle pendant qu’on le fait tourner. La terre s'attache aux parties faibles, et peu à peu le modèle est amené aux dimensions voulues. On le sèche ensuite comme la première fois. La dernière couche du modèle se fait avec la terre fine qu'on ap- plique comme la couche précédente. La terre fine bouche toutes les fissures qui se sont produites par le retrait de la matière; elle sert à mettre exactement le modèle aux dimensions voulues et à parer sa surface. Après un nouveau séchage, on enlève au ciseau une certaine portion de terre vers l'extrémité du faux bouton , de manière à façonner le carré. On peut éviter cette opération en appliquant con- tre le faux-bouton un modéle en bois, percé d’un trou pour le pas- sage du tourillon du trousseau, et représentant le carré qu'on veut obtenir. Le modèle est enduit de lessive de cendres, qu’on étend avec un pinceau à longs poils. On fait ensuite évaporer par la chaleur l’eau contenue dans la lessive. Il ne reste plus qu'à placer les modèles des parties saillantes, telles que les tourillons , pour pouvoir commencer le moulage. Le modèle de la masselotte se fait comme celui du corps de la pièce. dde. O1 des bouches à feu en fonte et en bronze , etc. 58 ARTICLE II. MODÈLES DES TOURILLONS. — LEUR POSE. Modèles des tourillans. Les deux modèles des tourillons sont'de bois , munis chacun de lembase correspondante. Ces pièces sont d’abord tournées ; le me- nuisier fait ensuite le raccordement de l’embase avec le corps de la bouche à feu. On leur donne une forme tronconique (fig. 8, plan- che VIIT), pour en faciliter le dépouillement. Les tourillons étant fort souvent le réceptacle de laitiers et de corps étrangers qui s’y accumulent lors de la coulée , on lear met à la partie supérieure (quand la pièce est verticale) une rencharge où les parties impures peuvent venir se loger. Les parties excédantes sont ensuite enlevées lors du tournage des tourillons. Les modèles des tourillons et de leurs embases sont quelquefois trop volumineux pour pouvoir être facilement retirés du moule, Dans ce cas, on les divise dans le sens de leur longueur , en 3 ou 4 parties, chacune d’inégale épaisseur, de sorte que l’une d’elle au moins ait une dépouille qui permette de l'enlever facilement par l'in- térieur du moule : les autres parties n'étant plus resserrées, peu- vent ensuite être dégagées successivement. Les pièces du modèle sont d'ailleurs assemblées en coulisses en queue d’aronde. On se fera une idée du système en pensant aux formes des bottes. Afin de placer aisément les modèles des tourillons dans les posi- tions qui leur conviennent, chacun d'eux contient des remarques indiquant leur intersection avec : 1° Le plan passant par l’axe et parallèle à celui de la pièce. 2 Le plan passant par l’axe et perpendiculaire à celui de la pièce. Ainsi, abcd représentant la coupe du modèle de tourillon par le plan passant par l'axe parallèlement à celui de la pièce et projeté en de (fig. 2), le modèle du tourillon portera les marques des lignes ac et bd (fig. 8). À De même efgh étant la coupe du modèle du tourillon par le plan projeté en ab (fig. 2), le modèle indiquera les lignes ef et gh fig, 8). 38% Coquiinar. — Cours élémentaire sur la fabrication Pose des modèles des tourillons. On indique sur le modèle de la pièce son intersection avec deux plans diamétraux perpendiculaires entre eux. Nous n’entrerons pas dans le détail des procédés qui conduisent à l'exécution des tracés de ces plans, et qui sont fondés sur des considérations géométri- ques. Nous nous contenterons de dire qu’à la fonderie de Liége, ces intersections sont obtenues en s’aidant de deux colliers, tels que celui (fig. 7). ln, diamètre fictif du demi-cercle /#n, yz, côté parallèle au diamètre {n. kx , prolongement du rayon perpendiculaire sur yz. mm/, droite parallèle à £x et distante d’une quantité égale à l’a- baissement des tourillons. Ces deux colliers sont posés sur le modèle, en des places où ils l'embrassent exactement : le côté yz horizontal, le plan du colier perpendiculaire à l’axe de la pièce , ce qu'on vérifie par des cercles cf, cf! (fig, 2) tracés sur le modèle : les positions des points /, k, n (fig. 7) marquées sur le modèle de la pièce, et unies deux à deux par une droite tirée avec une règle et une pointe à tracer, Ayant indiqué sur le modèle la droite gh (fig. 2), intersection d'un des plans diamétraux , on tire la droite de , indiquant la trace du plan passant par l’axe du tourillon parallèlement à celui projeté en gh. On trouve deux points de cette droite de, au moyen du point m (Gg. 7), qu'on repère sur le modèle, ete., etc. On trace sur le modèle le cercle ba (fig. 2) passant par l'axe des tourillons. Cela fait, on prend le modéle de tourillon (fig. 8), et on l'appli- que sur celui de la pièce, de sorte que : Les lignes ac, bd (fig. 8), viennent rencontrer la droite projetée en de (fig. 2), et que les lignes ef, gh (fig. 8), aboutissent au cercle projeté en ab (fig. 2). Quand la position du tourillon a été trouvée, il ne s’agit plus que de l'y fixer. Le menuisier perce avec une tarrière un trou dans le modèle du tourillon et jusque dans le trousseau en traversant les couches de terre et les nattes de foin. Il fait ensuite passer un bou- Jon dans le modèle et le fixe en enggeant le bout fileté dans la ca- vité percée dans le trousseau. des bouches à feu en fonte et en bronze , etc. 385 Pour s'assurer de la perpendicularité de l’axe des tourillons sur celui de la pièce, on mesure la distance à la plate-bande de eu- lasse de deux points symétriquement placés sur chacun des modè- les. Ces deux distances doivent être égales. ARTICLE IIL, CONFECTION DU MOULE. Confection du moule du corps de lu pièce. Dans le moulage en terre, le modèle de la culasse et celui du corps de la pièce ne font qu'un, mais leurs moules forment deux parties distinctes. Le modèle étant sur son chantier, on dépose sur la partie relative au corps de la pièce une couche mince de terre sablée, pendant qu'on fait tourner le trousseau , comme dans la confection du mo- dèle. Sur cette couche on en applique immédiatement une seconde composée de terre à chaper pour renforcer la première. On laisse sécher ces deux couches à l'air. On étend une seconde couche de terre à chaper,, ayant pour ob- jet de remplir les gercures de la première. Le moule est ensuite séché, soit sur place, soit dans une étuve, puis on le recouvre d’une ou de deux couches successives de terre à chaper selon le calibre. Pour les relier les unes aux autres, on pratique, avec les doigts ou avec une cheville de bois, de petits trous ou raies sur chaque couche dès qu’elle est terminée. On ren- force les surfaces extérieures en les recouvrant de filaments de chanvre. Pour achever le moule du corps de la pièce, on met deux couches de terre forte consolidées avec du ehanvre. 11 faut avoir soin de faire sécher modérément le moule ayant cha- que nouvelle application de terre. Il suffit que la chape ait acquis de la consistance. On prévient par ce moyen les crevasses qui se produiraient sous l'influence d’une forte chaleur. À mesure qu'on fait le moule , on ménage une gorge pour servir à sa réunion avec le moule de la culasse. Cette gorge est creusée régulièrement et avec une certaine dé- pouille, en enlevant au ciseau de menuisier les parties excédantes 49 380 Coquizuar. — Cours élémentaire sur la fabrication de terre pendant qu'on fait tourner le trousseau. On dresse aussi l'extrémité du moule sur laquelle doit s'assembler celui de la mas- selotte. Lorsque le moule de la pièce est fini, on enduit sa gorge de lessive de cendres , et on y ménage en même temps une pelite ex- gavation irrégulière qui doit servir de repère pour assurer sa posi- tion identique relativement à la chape de la culasse, lors du ren- moulage. Confection du moule de la culasse. Le moule de la culasse se fait comme celui de la pièce. On termine le faux-bouton par une feuillure, destinée à recevoir une rondelle de terre gächée et séchée, qu'on lutte ensuite pour fermer exactement le moule en cette partie. Feuillure aux moules des tourillons. Les tourillons sont moulés jusqu'à la hauteur de la tranche en ménageant un épaulement et un rebord pour former le logement d'une plaque circulaire de terre bien séchée. Quand les moules des tourillons sont secs, on retire les boulons à vis qui fixaient leurs modèles au trousseau. ARTICLE IV. DÉMOULAGE, SÉCHAGE ET APPLICATION DE L'ENDUIT, Démoulage. Lorsque les moules de la pièce et de la culasse sont terminés et convenablement séchés, on les fait reposer par leur milieu sur une table recouverte de paille , et on enlève le moule de la culasse qui , ayant beaucoup de dépouille , se retire facilement. On applique un coup de masse sur le trousseau au petit bout et on le fait sortir par le gros bout. On déroule les nattes de foin, on détruit la croûte de terre qui les recouvrait et on la fait sortir morceau par morceau en ménageant le moule. Les modèles des tourillons se retirent par l'in- térieur. Le procédé suivant est utilement employé pour détacher du moule la croûte formée par la terre du modèle, On pratique avec un ciseau de menuisier deux rainures dans celte croûte, suivant te -… des bouches à feu en fonte et en bronze , etc. 387 les génératrices opposées aux extrémités d’un même diamètre. On fait l’entaille avec précaution pour ne pas toucher au moule. Lors- que ces rainures ont été faites sur une certaine longueur, la croûte qu’elles sillonnent, s’affaisse d’elle-même et s'enlève facilement. On répare le moule, on fait disparaitre les parties du modèle qui y sont restées , ainsi que les cendres de la lessive qui ont pu y adhérer. On applique une couche de terre fine, avec laquelle on bouche toutes les fissures , et on pare la surface. Séchage du moule et application de lenduit. On fait sécher le moule plus fortement que précédemment, dans une étuve. On l’enduit ensuite de jus de crottin puis d'enduit noir, on bouche les tourillons par des plaques de terre séchée qu’on fait tenir avec de la terre gächée, puis on remet le moule dans l’étuve, où il reste jusqu’au moment de l’enterrage. ARTICLE V. ENTERRAGE DU MOULE. Les moules en terre des pièces de fonte n’ont pas de ferrures à la fonderie de Liége. Il n’en était pas ainsi autrefois, Les moules étaient renforcés de ferrures , comme cela se voit encore dans la plupart des fonderies; on les enterrait dans des fosses ou puits à proximité des fourneaux. Pendant les préparatifs pour l’enterrage et pour la coulée, l'humidité du sol pouvait gagner le sable damé autour du moule et le moule lui-même. Lors de Ja coulée, les ferru- res se tourmentaient par l'énorme chaleur transmise par le métal en fusion : des fissures pouvaient se former dans Ja chape et livrer passage au métal liquide. L'humidité des terres damées se vapo- risant subitement, des explosions dangereuses étaient à crain- dre. On a apporté à la fonderie de Liége deux perfectionnements dans le moulage en terre. 1° Les moules ont été enterrés dans des châssis de fonte, et soustraits ainsi à l'influence de l'humidité du sol. 2 On a supprimé les ferrures dans les moules des pièces de fonte. IL est reconnu que le moule acquiert une grande résistance par le sable comprimé qui l’entoure dans la fosse. 588 Coquicuar. — Cours élémentaire sur la fabrication D'ailleurs la fonte n’est pas assez fluide pour pénétrer dans la chape, à moins qu’il n’y ait des fissures. Les moules des pièces en fonte sont done moins exposés à s'é- largir et n'ont pas besoin de ferrures qui sont indispensables quand on coule le bronze. à Voici les dispositions qu’on prend pour l'enterrage. On commence par le moule de la culasse qu’on a fermé au carré du faux-bouton par une plaque de terre séchée et soudée avec de la terre pétrie. On met ce moule dans un chässis de culasse de grandeur sufi- sante et on foule du sable entre le moule et le châssis. On place ce châssis dans la partie de la fosse à canon où la coulée doit avoir lieu, la bride circulaire horizontale. On fait descendre (en s’aidant de la grue) le moule du corps de la pièce sur celui de la culasse en fai- sant entrer la gorge de l'un dans la feuillure de l’autre, et faisant coïncider les marques destinées à servir de repère pour assurer la position relative de l’un et de l'autre. On entoure la ligne de séparation des deux moules d’un cordon de chanvre légèrement tordu pour empècher l'humidité de gagner l’in- térieur par cette espèce de fissure. On lutte sur ce cordon les joints des deux moules par un peu de terre gàchée. On place un second chassis sur celui de la culasse. Pour y parvenir, on le désassemble dans ses deux demi-châssis : on place ces derniers successivement sur la bride cireulaire du chässis de culasse, puis on les réunit par les boulons à clavettes. Par ce moyen, on évite l’obstacle des tou- rillons. On remplit de sable comprimé l'intervalle entre le châssis et le moule et lon continue à superposer les demi-chàssis, à les assem- bler 2 à 2 età fouler du sable entre leurs parois et le moule jusqu’à ce qu'on arrive à la partie supérieure du bourrelet. On assemble le moule de la masselotte avec celui de dessous ; on lutte le joint comme on a fait pour la culasse. On entoure le moule de la masselotte d’un chässis et on remplit de sable damé le vide laissé entre eux. On doit avoir l'attention en enterrant le moule de la eulasse de le placer de telle sorte que le bord supérieur soit bien horizontal , afin que le moule tout entier soit vertical. Dans cette position les parois sont moins exposées aux chocs obli- ques du métal en fusion. > sait CT IN COR ST TT à SRE nl drift fs des bouches à feu en fonte et en bronze, etc. 589 Le foulage du sable doit se faire uniformément, par de légers coups de pilon , en évitant de toucher la chape. Le chässis qui contient le moule de la culasse, doit être solide- ment appuyé sur une plaque de fonte ou consolidé par du sable bien damé. CHAPITRE V. MOULAGE MIXTE DES PIÈCES DE FONTE. ARTICLE IL CONFECTION DU MODÈLE. Le modèle dans le moulage mixte est le même que pourle mou- lage en terre, à l'exception : 1° Que la couche de terre qui recouvre le trousseau et princi- palement la couche de terre forte, est plus épaisse. Le modèle dans le moulage mixte devant résister à la compression produite par le sable du moule qui est fortement foulé , il convient d'en augmenter la consistance par une plus forte épaisseur de la croûte de terre. 9 Que le modéle est enduit d’une lessive de mine de plomb, au lieu de lessive de cendres. Nous avons déjà fait ressortir les avan- tages de la lessive de mine de plomb et les motifs qui permettent de l'employer dans le moulage mixte des pièces de fonte. L'enduit étant séché, on donne un grand poli au modèle en le parant avec une petite truelle, ce qui aide beaucoup à le retirer du moule. Cas particulier où le modèle a une culasse en bois. Lorsqu'on doit couler plusieurs pièces de mème calibre, il est plus avantageux de faire une culasse de bois et de terminer le mo- dèle du corps du canon par la partie où commence cette culasse. La culasse étant faite au tour ne demande pas beaucoup de facon et coûte peu. On la compose quelquefois de deux parties , la culasse proprement dite et le bouton avec le faux-bouton , comme aux mo- dèles en métal. Dans ce cas, la culasse et le bouton s’adaptent l'un à l’autre par gorge et feuillure et sont reliés par un boulon à écrou, de la même manière que les modèles en métal, D'autres fois, la culasse et le faux-bouton sont d’une pièce , mais au lieu d’un rétrécissement au collet du bouton, celui-ci est rac- 590 Coquiinat. — Cours élémentaire sur la fabricahon cordé au cul de lampe par un tronc de cône pour faciliter le dépouil- lement. On enlève plus tard, sur le tour, les parties excédantes de la pièce. Modèle de la masselotte. Le modèle de la masselotte se fait comme celui du corps du ca- non, Mais le plus souvent il est formé d’un bloc de bois convena- blement façonné, Modèles des tourillons et des parties saillantes sur le corps de la pièce. Les modèles des parties saillantes autres que les moulures, sont de bois et contournés de manière à faciliter leur enlèvement du moule après la sortie du modèle du corps de la pièce. Les modèles en bois des tourillons sont fixés au trousseau par des boulons à vis comme dans le moulage en terre : boulons qu'on re- tire quand les tourillons sont moulés jusqu’à la tranche. Les modèles des autres parties saillantes sont également en bois, mais placées le plus souvent dans une entaille faite sur le modèle lors du moulage. Avec un peu de précaution, cette entaille ou ce logement de la base de ce modèle suflit pour en assurer la position pendant qu'on le moule. Le plus souvent les masses de mire ne sont pas coulées en même temps que la bouche à feu ; mais ce sont des pièces rapportées par l'ajusteur. Quand le modèle de culasse est en bois, il porte les parties sail- lantes qu’on peut dévisser par la grande base. D'après ce qui vient d’être dit , on comprendra les dispositions à prendre pour les diverses parties saillantes du modèle , que peu- vent présenter les tracés de bouches à feu. ARTICLE II. CONFECTION DU MOULE LORSQUE LE MODÈLE EST ENTIÈREMENT EN TERRE. Quand le modèle est entièrement en terre, on le dispose vertica- lement , la volée en bas , lors du moulage. Voici de quelle manière on procède. des bouches à feu en fonte et en bronze , etc. 391 On descend le modèle dans la fosse à canons à l’aide de la grue, Ja culasse en haut. On le fait reposer par la tranche sur une pièce de bois horizontale qu’on recouvre d’un peu de sable pour éviter les dégradations. Un trou percé dans le bois, permet le passage du tourillon du trousseau du côté du bourrelet. On s'assure que dans cette position l’axe du modèle est vertical. On place le châssis du bourrelet de manière qu'il soit partout également distant du mo- dèle : on remplit de sable comprimé lintervalle qu'ils laissent entre eux. On scie le modèle suivant le plan de la bride circulaire supé- rieure du châssis en faisant l’entaille assez profonde pour qu’elle arrive jusqu’au trousseau. Cette opération s'exécute chaque fois que le moule d’une partie de chässis est terminé. Nous n’en parlerons plus. Le chàssis de la volée est déposé sur celui du bourrelet et en est séparé par 3 petites calles (pour le retrait du sable). Le moulage se poursuit d’ailleurs de la même manière que pour le moulage en sa- ble avec modèle en métal, à l’exception qu’on finit par la culasse au lieu du bourrelet, Pour placer chaque châssis, on le désassemble suivant les bri- des longitudinales. On dépose chacune des parties sur le demi-chàs- sis inférieur correspondant, puis on réunit d’abord ces parties entre elles et ensuite au châssis de dessous. On enlève les boulons qui fixent les modèles des tourillons avant qu'ils ne soient entièrement recouverts de sable. ARTICLE III. CONFECTION DU MOULE LORSQU'IL Y A UN MODÈLE DE CULASSE EN BOIS, Lorsqu'il y a un modèle de culasse en bois, on commence par mouler cette partie comme dans le moulage en sable sur modèle en métal , puis on renverse le châssis de culasse contenant son modèle, le bouton en dessous, On dépose le chässis dans la fosse à canon, desorte que son plan supérieur soit horizontal. On enlève le tourillon du côté du gros bout du trousseau. On descend le modèle en terre la volée en haut : on le fait repo- ser verticalement sur le modèle de culasse. On place sur le châssis de la culasse celui du renfort désassemblé suivant les brides longi- tudinales : on en réunit les deux moitiés : on place les 5 petites cal- les entre les brides circulaires des deux châssis, et on remplit de sa- ble comprimé l'intervalle entre le châssis et son modèle. 592 Coquicnar.— Cours élémentaire sur la fabrication Arrivé au plan supérieur du chässis du renfort, on scie le mo- dèle suivant ce plan jusqu'aux nattes de foin. On place le chässis du 2 renfort sur celui du premier on les sépare par 3 petites calles , et l'on continue ainsi qu'il a été expliqué au paragraphe précédent pour le moulage mixte sur modèle entièrement en terre ARTICLE IV. DÉMOULAGE , SÉCHAGE ET APPLICATION DE L'ENDUIT. Démoulage. Pour démouler, on ôte les clavettes des boulons qui réunissent le châssis de eulasse à celui du 1% renfort, et on les sépare. Cette opé- ration est facile parce que la culasse a une grande dépouille, Le châssis du corps du canon étant disposé la volée en haut, on le fait reposer par sa partie inférieure sur deux chevalets laissant en- tre eux un passage pour le trousseau. Un coup de masse appliqué au petit bout du trousseau le fait descendre. On désunit le chässis du bourrelet et celui de volée après avoir enlevé les elavettes qui les relient, Les tresses de foin ayant du être coupées à la jonction des deux chässis quand on a scié le modèle lors du moulage, on n’a qu'à rompre celles qui pourraient encore tenir aux deux parties. Le chàssis du bourrelet est transporté dans le trou de moulage pour servir à l’exécution du moule de la masselotte. La croûte de terre qui est restée ainsi que les tresses de foin offrent un appui suffisant au modéle de cette dernière partie de la pièce et permet— tent de procéder comme dans le moulage en sable sur modèle en mé- tal. Ce n’est qu'après cette opération qu’on débarrasse le moule du bourrelet de la portion du modèle qui y est restée. Les divers chässis du moule sont enlevés successivement, en commençant par le haut. Pour vider chaque moule , on déroule les tresses de foin; on fait tomber les parties les plus grossières de la croûte de terre. On fait adroitement, à l’aide d’un ciseau de menuisier, un sillon dans la couche de terre jusqu'au moule, mais sans le dégrader, et on en- lève les parties du modèle par grandes surfaces. des bouches à feu en fonte et en bronze, etc. 59 C4 Les modèles des parties saillantes se retirent par l'intérieur comme il a déjà été expliqué. La réparation des petites dégradations se fait comme dansle mou- lage en sable sur modèle en métal, Séchage et application de l’enduit. On enduit les moules d’une couche de jus de crottin avant de les faire sécher dans l'étuve. Au sortir de celles-ci, les moules reçoivent encore une couche de jus de crottin, puis une application d’enduit noir et sont rentrés dans l’étuve mais en les soumettant à une moin- dre chaleur que la première fois. En quelques mots le séchage et l'application des couches de jus de crottin et d’enduit noir sont les mêmes que dans le moulage en sable sur modèle en métal. CHAPITRE IV. MOULAGE EN SABLE DES PIÈCES DE BRONZE. ARTICLE I. CONFECTION DU MOULE. Modèles et chassis. Les modèles et les châssis sont les mêmes que pour les pièces de fonte , mais en tenant compte des anses et autres particularités que peuvent présenter les formes des bouches à feu. Les anses sont coulées pleines pour éviter les soufflures et les cendrures qu'on rencontre souvent dans cette partie de la pièce. Le devant des anses est raccordé par une légère courbure avec le corps du modèle pour faciliter la sortie des laitiers et des charbons qui auraient pu s’y introduire lors de la coulée. Le châssis du 2! renfort contient des boîtes pour le logement des tourillons ainsi que pour les anses. Elles sont également fermées, après le moulage par des plaques de fer fixées sur les brides qui les contournent par des boulons à écrous ou à clavettes. Matériaux employés. Les matériaux sont ceux décrits au Livre EL , chapitre IV. Ils ne diffèrent de ceux employés au moulage en sable des pièces de fonte , 50 39% CoquiLuar. — Cours élémentaire sur la fabrication que par le sable de moulage qui ne contient pas de coke, et par la potée de cendres dont on se sert au lieu d’enduit noir. Nous avons déjà expliqué les raisons de ces différences. Exécution du moule. Les procédés de moulage, sont identiques à ceux usités pour le moulage en sable des pièces de fonte. Après le démoulage, on peut enduire les moules de jus de crottin ainsi que cela se fait pour les pièces de fonte. Mais le sable ne ren- fermant pas de coke, possède généralement une consistance qui permet de se passer de cet enduit. On y trouve l'avantage de ne pas introduire de l'humidité dans le moule et d’être ainsi dispensé de la faire évaporer. Après le démoulage , on introduit les moules dans l’étuve où ils passent 56 heures au moins. On les soumet ensuite à l'opération de la cuite , ainsi qu’il va être expliqué. ARTICLE II. CUITE DES MOULES. La cuite a pour objet de débarrasser les moules des dernières traces d'humidité qu'ils pourraient contenir. Au sortir de l’étuve, on les arrange pour cette opération dans l’a- telier des fondeurs, de sorte que le feu ne puisse être communiqué au bâtiment. On fait reposer les divers moules sur des pieds à chevilles (fig. 9, pl. IV ), qu’on fixe à la bride circulaire inférieure des châssis. Par cette disposition, les moules étant élevés à une petite hauteur au des- sus du sol, sont transformés en une sorte de fourneaux. On recou- vre leurs bords supérieurs d’une couche de sable de 0,02 à 0,05 d'épaisseur pour les garantir de l’action inégale de la ehaleur et pour les empêcher de s’égrener, On introduit des büchettes de bois dans les moules et on les al- lume par le bas. Le feu est conduit lentement pendant la première heure ; puis il est activé jusqu’à ce que l’intérieur soit à la tempé- rature du rouge blanc. On l’entretient par l'introduction de nouvel- les büchettes , pendant 4 ou 5 heures. Les braises développant une grande chaleur pourraient vitrifier par leur contact la partie infé- des bouches à feu en fonte et en bronze, etc. 395 rieure des moules, si l’on n'avait la précaution de les enlever de temps en temps. Lorsque la cuite approche de sa fin, on ferme les ouvertures supérieures par une feuille de tôle, et on laisse le re- froïdissement se faire lentement pour éviter les crevasses et les ger- çures. On reconnait que la cuite a été faite à une chaleur convena- ble lorsque le moule présente l'aspect de la brique. ARTICLE III. APPLICATION DE LA POTÉE DE CENDRES ET SÉCHAGE DU MOULE. Application de la potée de cendres. « La cuite étant terminée et les moules étant ramenés à une cha- leur très-douce, on les enduit de potée de cendres, avec laquelle on bouche en même temps toutes les petites fissures. Séchage. Immédiatement après l’application de la potée les moules sont réunis dans l’éuve où ils passent encore une nuit, mais exposés à une chaleur moins élevée que la première fois. CHAPITRE V. MOULAGE EN TERRE DES PIÈCES DE BRONZE. ARTICLE I. CONFECTION DU MODÈLE. Le modéle se fait par les mêmes procédés que dans le moulage en terre des pièces de fonte. Pour déterminer la position des anses sur le modèle, on se sert de la sellette, pièce de bois évidée en dessous suivant la surface du mo- dèle de la bouche à feu et dont les côtés latéraux ac, bd (fig. 9, planche VIT), ont l'inclinaison que doivent prendre les modèles des anses. ef, ef”, lignes tracées sur la sellette et indiquant le plan de sy- métrie perpendiculaire à l'axe des tourillons. gk , ligne marquée sur la sellette et indiquant le plan passant par le milieu des anses et perpendiculaire à l'axe du modèle. 396 Coquiiuar. — Cours élémentaire sur la fabrication A l'aide des lignes gh, ef et f'f", et de celles semblables tracées sur le modèle du corps dela bouche à feu, il est facile de placer la sellette. On applique le modèle des anses contre les côtés de la sellette, en fesant coïncider leurs milieux avec la droite gh. Les modèles des anses sont ensuite fixés par des boulons à vis qui pénètrent jusque dans le trousseau comme pour les tourillons. ARTICLE II. CONFECTION DU MOULE, DÉMOULAGE, CUITE ET CENDRAGE DU MOULE. Confection du moule. Le commencement du moulage est identique à celui en terre des pièces de fonte, à l'exception que la première couche au lieu d’ètre de terre sablée, est de terre à chaper comme les couches suivantes. Après avoir appliqué par les procédés ordinaires 5 à 6 couches d’après le calibre, on superpose des couches de terre forte jusqu’à ce que la chape ait 0,04 à 0,05 d'épaisseur. On la renforce de ferrures , et c'est en cela que le moulage des pièces de bronze diffère principa- lement de celui pour les pièces de fonte. Les ferrures se composent de barres de fer longitudinales (fig. 5 et 6, planche VIII), munies d’anneaux à leurs extrémités et reliées par des bandes de fer repliées en cercle et ayant leurs bouts recour- bés en crochets. On pose les barres de fer à plat sur la chape du corps du canon suivant le sens de sa longueur , on les recouvre des bandes circulaires dont on réunit les bouts en crochets par desliens en fil de fer pour resserrer les cercles sur les barres de fer. Les anneaux dont celles-ci sont munies, sont destinés à faciliter le ma— niement de la chape, qui devient trés-lourde. On remplit exactement avec de la terre forte les joints entre les ferrures et le moule, puis on continue d'appliquer d’autres couches de la même matière, qu’on faitsécher successivement, en ayant soin d'étendre des fila- ments de chanvre sur ces terres quand elles sont encore molles. Une partie des barres de fer longitudinales sont repliées à angles droits sur les moules des tourillons , de manière à en assurer la so- lidité. Plus tard , lorsque le moule sera débarrassé du modèle, on formera les ouvertures des tourillons par des plaques circulaires en terre cuite qu'on recouvrira de brides de fer. des bouches à feu en fonte et en bronze , etc. 597 Les ferrures du moule de la culasse sont contournées suivant la forme de cette partie. On fait coïncider les extrémités de 4 ou 6 bar- res de fer du moule du corps de la pièce avec autant de ferrures du moule de la culasse pour avoir la facilité de les réunir lors du renmoulage. Le moule devenant très-lourd, pourrait faire fléchir le trousseau et fausser les tourillons; on le soutient dans son milieu par un pointal dans toutes les occasions où on ne le fait pas tourner. Démoulage. Lorsque les moules sont terminés et séchés (ils ont alors une épaisseur de 0,09 à 0,10), on détache et on enlève celui de cu- lasse, on fait sortir le trousseau , on déroule les nattes de foin, on détruit la croûte de terre qui recouvrait le modèle, ete., etc. ; on procède pour l'enlèvement des débris du modéle absolument comme dans le moulage en terre des pièces de fonte , à l'exception de la cuite et du cendrage. Cuite et cendrage du moule, Lorsque les moules sont dépouillés de leurs modèles , on les fait sécher dans l'étuve, puis on les pare à l’intérieur avec de la terre fine avec laquelle on bouche aussi toutes les petites gercures. Après une seconde ou une troisième nuit passée dans l’étuve , on procède à la cuite. La cuite se fait avec des büchettes de bois comme dans le mou- lage en sable des pièces de bronze. La potée de sable s'applique de la même manière, le séchage dans l’étuve est le même. ARTICLE If. ENTERRAGE DU MOULE. On creuse dans la fosse à canons , dans la place où la coulée doit se faire, une cavité de la profondeur nécessaire pour que le moule de la pièce y compris celui de la masselotte n’atteignent pas les bas- sins et les chenaux pour la coulée. On dépose dans cette cavité le moule de la culasse, le bouton en bas ; le dessus bien horizontal. On l'entoure d’un chàssis de fonte d’un trés-grand diamètre , qu'on fait bien appuyer sur le sol. On 398 Coquisnar. — Cours élémentaire sur la fabrication remplit de sable comprimé l'intervalle entre le moule de la culasse et le châssis. Pendant ce temps ou un peu avant, on ferme les tourillons par deux disques en terre cuite qu'on fait entrer dans les logements préparés à cet effet. On les lutte soigneusement et on les relie par des croix en fer aux ferrures de la chape. On fait sécher la terre qui a servi de ciment , soit par des ré- chauds portatifs , soit dans l'étuve. Le moule du corps de la pièce est ensuite descendu sur celui de la culasse et assemblé avec lui à gorge et feuillure. Des liens en fil de fer réunissent les extrémités des barres de fer de l’un et l’autre moule qui se correspondent. On entoure d’un cordon de chanvre très-peu tordu la ligne de séparation des deux moules, pour empé- cher l'humidité de pénétrer par leur jonction : on lutte sur ce cor- don avec de la terre à chaper; puis on fait sécher par des réchauds portatifs. Lorsque ces opérations sont terminées , on continue l'enterrage : on pose un second chässis sur le premier, puis les autres succes- sivement, en remplissant de sable bien damé l'intervalle entre eux et la chape. Arrivé à la hauteur du bourrelet , on superpose le moule de la masselotte et on réunit par du fil de fer les extrémités correspon- dantes les ferrures de l’un et de l’autre moule. On recouvre la ligne de séparation par un cordon de chanvre peu tordu, on lutte avec de la terre à chaper, on fait sécher par des réchauds portatifs et l'on continue de poser des châssis et de remplir de sable damé le vide entre eux et la chape. Si les mesures sont bien prises , la partie su- périeure du moule et du châssis sera de 0,20 à 0,50 en dessous du fond du bassin de coulée. Le sable avec lequel on entoure le moule dans son chässis doit être légèrement humide, ce qui le rend plus facile à comprimer ; mais il ne doit avoir que l'humidité nécessaire, afin de prévenir les défauts et les accidents qui pourraient résulter de sa vaporisation lors du remplissage du moule. L’enterrage demande beaucoup de soin et d’uniformité : il faut redoubler d'attention à la hauteur des anses et des tourillons pour ne pas briser ces parties peu résistantes. On dame avec des pilons en fer légèrement chauffés pour que le sable n’y adhère pas. On les change quand ils sont refroïdis. des bouches à feu en fonte et en bronze , etc. 599 CHAPITRE VI. MOULAGE MIXTE DES PIÈCES DE BRONZE. ARTICLE I. CONFECTION DU MODÈLE, Le modèle se fait de la même manière que pour le moulage mixte des pièces de fente; c’est-à-dire que la croûte de terre est plus épaisse que pour le moulage en terre, afin que le modèle soit plus dur. La pose des anses se fait comme il a été expliqué pour le mou- lage en terre. Le modéle est enduit de lessive de mine de plomb. ARTICLE II. CONFECTION DU MOULE, DÉMOULAGE, CUITE ET CENDRAGE DU MOULE. On moule la pièce comme dans le moulage mixte des pièces de fonte, mais avec du sable préparé sans coke. Le séchage, la cuite , le cendrage avec la potée de cendres, sont les mêmes que dans le moulage en sable des pièces de bronze. CHAPITRE VII. MOULAGE À NOYAU DES GROS MORTIERS DE 0,29. ARTICLE I. RAISONS QUI ENGAGENT A COULER A NOYAU LES GROS MORTIERS DE BRONZE. — DES— CRIPTION DU TOUR A MOULER VERTICAL DE LA FONDERIE DE LIÉGE. Raisons qui engagent à couler à noyau les gros mortiers de bronze. Les gros mortiers de bronze, tels que ceux de 0,29 , ont de fort grands diamètres. Ils présenteraient une masse énorme de métal sion les coulait pleins : la solidification en serait retardée. Le refroidisse- 400 Coquiznar. — Cours élémentaire sur lu fabrication ment se faisant plus lentement, l'étain se séparerait du cuivre en plus grande quantité, et il y aurait une altération notable dans le titre de ces pièces. On remnédie à cet inconvénient, en coulant les mortiers à noyau et la volée en bas, afin de donner au noyau un appui solide, L’ame des gros mortiers étant courte et ayant un grand diamètre, on conçoit qu'il est possible de se passer de chapelets. Les inconvé- nients du coulage à noyau étant écartés, il n’en reste que les avan— tages. La fonderie de Liége n’a pas encore coulé de mortier de 0,29 en bronze, mais elle possède un tour vertical avec lequel on a moulé des modèles de mortiers à plaque, des cylindres de machi- nes à vapeur et des mortiers de fonte coulés pleins. On peut donc établir par analogie les procédés qu’on pourrait suivre si l’on avait des mortiers de 0,29 à fabriquer. Description du tour à mouler vertical. AB (fig. 1, planche V), arbre vertical en fer susceptible de pren- dre un mouvement de rotation. A, pivot inférieur de l'arbre, reçu dans une crapaudine. B, partie cylindrique de l'arbre servant de tourillon supérieur et maintenu par des coussinets à un chàssis horizontal FC (fig. 1), CBC (fig. 2). EC (fig. 1), CBC’ (fig. 2), châssis horizontal en fer attaché à la muraille par deux charnières c, c/. MN (fig. 1 et 2) , tirant en fer servant à consolider le chässis dans la position horizontale. Lorsqu'on veut enlever l'arbre AB, on défait les boulons qui res- serrent les coussinets sur le tourillon B ; en ôtant l’un de ces cous- sinets , l'arbre AB se trouve dégagé, ED (fig. 1), cadre rectangulaire en fonte ayant à l’un de ses petits côtés deux ouvertures pour le passage de l'arbre AB, sur lequel on le fixe à une hauteur quelconque par deux vis de pression. HI (fig. 1 ), échantillon vertical profilé suivant l’objet à mouler, fixé au cadre ED par des boulons à écrous. KL (fig. 1), are boutant servant à consolider l'échantillon. des bouches à feu en fonte et en bronze, etc, 401 ARTICLE Il. CONFECTION DU NOYAU. On commence le moulage du mortier par le noyau; on fait en- suite successivement le modèle sur le noyau, et la chape sur le modéle. En détruisant celui-ci et enlevant les débris, il reste le noyau et le moule. Nous allons décrire ces diverses opérations. On place horizontalement un anneau circulaire en fonte OO, P'P (fig. 1), en fesant correspondre le milieu avec l'axe de l'arbre vertical AC du tour. En dessous de cet anneau , on arrange une espèce d’âtre ou de foyer RS avec plusieurs soupiraux pour le tirage, et l'on y fait un feu de charbon de bois pour sécher le noyau , le modèle et le moule, à mesure qu'on les exécute, On prépare une base en briques TU , T'U! sur l'anneau en employant la terre fientée en guise de mor- tier , et on fait cette base suffisamment large pour servir d'appui ou de portée au noyau et au moule. On fixe l'échantillon HI sur le châssis de l'arbre vertical et on le fait tourner pour s'assurer que cette base est parfaitement dressée. On ménage en même temps l’emboitement du moule. L'intérieur du noyau se fait en briques bien cuites , taillées cir- culairement et scellées avec de la terre à chaper. On laisse au cen- tre du noyau le plus grand vide possible pour faciliter et hâter le séchage. Les briques ont l'avantage de rendre le noyau plus solide et d'accélérer le travail. On recouvre ces briques de terre à chaper , contournée avec l'é- chantillon suivant le profil voulu. On fait une feuillure à la partie supérieure du noyau , destinée à recevoir un disque de terre cuite, pour fermer cette partie lorsque le moulage sera terminé. Le noyau étant sec, on en bouche les fissures avec de la terre fine , ou on en égalise la surface en manœuvrant l'échantillon, et on le fait sécher. ÿ1 402 Coguiunar. — Cours élémentaire sur la fabrication ARTICLE ll. EXÉCUTION DU MODÈLE. Pour faire le modèle sur le noyau , on recouvre celui-ci de tresses de foin (fig. 3, planche V), avec lesquelles on suit grossièrement le contour indiqué par le tracé. On achève le modèle avec des couches successives de terre forte, de terre à chaper et de terre fine, sui- vant les procédés qui ont été indiqués pour le moulage en terre. La seule différence qu’il y a , c’est que le modèle est immobile, tandis que c’est l'échantillon qui tourne. On ménage en même temps un vide au centre du modèle pour le passage de l'arbre vertical A du tour. Au lieu de contourner le cul du mortier , on fait cette partie cy- lindrique YZ , parce qu’elle doit se raccorder avec la masselotte. Les modèles des tourillons, des embases et des renforts sont de bois et divisés de manière à pouvoir être retirés du moule , et as- semblés entre eux, soit à coulisses, soit avec des boulons à vis, etc. On maintient ces modèles en place au moyen d'un cadre AB/ (fig. 4), formé de deux étriers de fer CD, C'D’, resserrés contre les touril- lons par les boulons à écrous AB, AB’. Avec l’aide de ce cadre, les tourillons sont fixés au modèle jusqu'au moment où la chape est assez avancée pour qu'on puisse enlever cette ferrure. Au besoin les modèles sont raffermis dans leur position par des pointes de Paris , chassées dans la terre du modèle. Le modèle de l’anse est aussi en bois: on le fixe soit avec des pointes de Paris, soit provisoirement avec un cadre, tel que celui (fig. #), soit en le faisant entrer par sa base dans une excavation pratiquée sur le modèle du mortier. Le modèle de la masselotte se fait d’une manière semblable sur celui de la pièce, en ménageant au centre un vide pour le passage de l'arbre: on peut aussi le faire sur un trousseau horizontal. Le modèle entier étant fini, enduit de lessive de cendres et sé- ché, on procède à la confection de la chape. ARTICLE 1Y. CONFECTION DU MOULE. Le moule se fait en deux parties, l’une comprenant le mortier = des bouches à feu en fonte et en bronze, etc. 405 jusqu’à la partie YZ (fig. 5, planche V), l’autre relative à la mas- selotte. Les chapes sont exécutées par les procédés déjà déerits : elles sont consolidées par des ferrures disposées d’après la forme du mo- déle , et dont quelques-unes servent à relier les chapes les unes aux autres et à l'anneau circulaire OP qui sert de base à tout le système. Des couches de terre forte recouvrent ces ferrures, comme dans le moulage des canons. ; Les deux chapes s’emboïtent par gorge et feuillure. Lorsqu'elles sont suffisamment séchées, on fait le démoulage ainsi qu'il suit. ARTICLE V. DÉMOULAGE , SÉCHAGE, CUITE, CENDRAGE ET RENMOULAGE. Démoulage de la masseloite. On peut enlever le moule de la masselotte, renfermant encore son modèle, parce que l’emboîtement , avec la partie de dessous, a une dépouille suffisante. Mais on peut aussi , avant de le détacher, dérouler les nattes de foin, détruire et enlever la croûte de terre læ plus grossière du modèle, ce qui rend la chape plus légère et plus maniable. Quoi qu'il en soit des deux procédés , la chape doit être entière- ment débarrassée des débris du modèle, réparée avec de la terre fine et séchée comme dans le moulage des canons de bronze. Démoulage de la pièce. On fait sortir par l'ouverture YZ, les torches de foin, on déta- che avec un ciseau de menuisier et on enlève peu à peu la croûte de terre la plus grossière du modèle ; en ayant l'attention de ménager Ja chape et le noyau. On parvient ainsi à isoler complètement ce dernier. Il est alors facile d'enlever le moule, renfermant les modè- les des tourillons , des embases, des renforts, de l’anse, et conte- nant en outre une mince couche deterre. Les modèles des parties saillantes se retirent par l’intérieur, Le moule étant entièrement vidé, est réparé avee de la terre fine et sé- ché ensuite. Cuile et cendrage des moules et du noyaw. La cuite des moules et du noyau se fait par des procédés ana- 40% Coquizuar. — Cours élémentaire sur la fabrication logues à eeux employés pour les canons. I! en est de même pour le cendrage de ces parties et pour le séchage qui le suit. Renmoulage. On descend dans la fosse aux moules le noyau reposant toujours sur l'anneau de fonte comme sur un socle. On remplit le vide inté- rieur du noyau avec du sable bien damé et l’on ménage au milieu de ce sable un conduit cylindrique pour la sortie des gaz qui se dé- veloppent au moment de la coulée. Pour former ce conduit, on place une baguette au centre du noyau pendant qu’on le remplit de sable damé: en la retirant ensuite, la baguette laisse un petit canal à la place qu'elle occupait. On emploie également une baguette ou une corde qu'on retire après, pour prolonger ce canal en dessous du noyau et au travers du sable damé , jusqu'en dehors des chässis qui renferment le moule. On ferme le dessus du noyau par un couvercle de terre cuite, engagé dans la feuillure et lutté avec de la terre fientée. On fait en- suite sécher ce couvercle. On agit semblablement pour la fermeture des moules des tourillons et de l’anse. On superpose successivement les deux moules de la pièce et de la masseloite sur le noyau , en les assemblant entre eux, ainsi qu’à la base du noyau par les emboitements qu’on a ménagés. On les re- lie par leurs ferrures ; on lutte les joints. Au fur et à mesure du renmoulage, on entoure les chapes de chässis de fonte qu’on remplit de sable damé. ARTICLE VI. MOULAGE HORIZONTAL DES MORTIERS, Au lieu du moulage vertical , on pourrait employer celui hori- zontal et mouler sur un même arbre de fer, le noyau , le modèle et la chape. Mais il faut observer que l’ensemble serait très-pesant , et demanderait plus de temps que pour un canon, à cause du noyau. Ce noyau lui-même étant plein , serait plus difficile à sécher. des bouches à feu en fonte et en bronze , etc. 465 CHAPITRE VIII. OBSERVATIONS CONCERNANT LE TRACÉ DU MODÈLE. SOINS À APPORTER DANS L'EXÉCUTION DU MOULE. DÉFAUTS DE COULÉE. MÉTHODES DIVERSES DE COULAGE. ARTICLE 1. OBSERVATIONS CONCERNANT LE TRACÉ DU MODÈLE. Les modèles des bouches à feu sont confectionnés d'après un tracé en grandeur naturelle. Les côtes de ces tracés sont celles du dessin de la pièce augmentée de “144 à “192. On indique par des lignes de couleur différente (pour qu'elles soient plus visibles) les surépaisseurs qu’on accorde pour le tournage et l’ajustage. On suit ces dernières lignes pour l'exécution du modèle. Les pièces de bronze doivent être tournées et ajustées, parce qu'on ne peut les couler avee une surface assez nette. On leur donne un excédant d'épaisseur de 0,007 à 0,010. On ne tourne pas les pièces de fonte moulées en sable sur mo- dèle en métal, ni celles obtenues par le moulage mixte , à moins que ces dernières ne soient d’un très-grand calibre : car les grosses pièces montrent en général à leur surface des serres et des ondu- lations très-prononcées. Les bouches à feu de fonte moulées en terre , doivent être tour- nées, excepté celles d’un très-petit calibre. Le défaut principal des moules en terre, est de se déformer sous la pression du métal en fusion et de donner des pièces plus ou moins elliptiques. On accorde environ 0,005 , pour la quantité de métal à enlever aux pièces de fonte pour les opérations du tournage et d’ajustage. Ces bouches à feu sont exemptes de soufflures, lorsqu'elles sont coulées dans de bonnes conditions , tandis qu'aux pièces de bronze, l'opération du tournage en fait souvent découvrir un nombre consi- dérable. Il est donc convenable de leur laisser un excédant de métal plus fort qu'aux piéces de fonte. Les modèles des parties rentrantes du moule, tels que les touril- lons et leurs embases, les anses, ete., doivent permettre le dégagement des laitiers et des charbons qui auraient pu s'y introduire, lors de la coulée. À cet effet, on leur donneune rencharge, principalement vers le haut quand le moule est vertical, et l'on raccorde leur surface avec celle de la pièce par une courbure plus ou moins prononcée. 406 Coquizuar. — Cours élémentaire sur la fabrication Il serait nuisible de chercher à garantir ces parties rentrantes par un crible, quelle qu’en soit la substance. Ce crible restant dans la bouche à feu, en détruit l'homogénéité, füt-il du même métal : sa fusion ou son ramollissement ne peuventse faire qu'aux dépens de la chaleur du métal liquide : son interposition entre deux parties de la pièce, ne peut que rendre leur liaison imparfaite et moins so- lide : des accidents seraient à craindre , si une couche de laitier venait à s'appliquer contre les ouvertures du crible et à les bou- cher, etc. L'emploi du crible produirait les inconvénients des chapelets qui ont fait abandonner le coulage à noyau. Certaines parties saillantes de Ja pièce doivent présenter des trous, comme les anneaux de braque ; il est préférable de les couler pleines et de les forer ensuite à la machine. La fonte est ordinairement blanchie aux parties minces des ca- nons, telles que les coulisses pour hausses ou visières. Elle est alors difficile à travailler , elle saute en éclats , quand on la taille, Il con- vient de couler ces parties pleines et de les façonner ensuite au burin et à la lime. Les pièces moulées en sable sont exposées à de petites bavures et même à des mächures à la jonction circulaire des chàssis. Pour les dissimuler, on fait passer les plans de séparation de ces chàssis par les plates-bandes et moulures , lesquelles peuvent être tournées et façonnées au burin et à la lime. Quelquefois les parties saillantes sont en fer forgé ou en cuivre, ayant une base noyée dans le métal de la bouche à feu. Dans ce cas, ces pièces doivent être adaptées au modèle lors du moulage, et res- ter dans la chape après l'enlèvement du modèle. Quand ce procédé est impraticable, on adapte, au modèle, des parties saillantes qui sont vissées par l’intérieur et laissent , après le démoulage, des vi- des dans lesquels on introduit les ferrures. ARTICLE II. SOINS A APPORTER DANS L'EXÉCUTION DU MOULE. — DÉFAUTS DE COULÉE DES PIÈCES DE FONTE, DES PIÈCES DE BRONZE. Soins à apporter dans l’exécution du moule. En suivant exactement les procédés décrits, on sera dans de bonnes conditions pour le moulage. Certains points méritent ce- pendant de fixer plus particulièrement notre attention. des bouches à feu en fonte et en bronze , etc. 407 Les emboitements des divers tronçons du moule doivent ètre faits avec toute la précision possible , afin d'éviter des fuites de mé- tal et pour que ces parties assemblées n’aient qu’un seul axe, Dans le moulage en sable, le tassement doit se faire d’une ma- nière uniforme : cependant la dureté du moule peut aller en di- ninuant à mesure qu'on approche de la masselotte. Les moules en terre doivent avoir leurs diverses couches bien soudées les unes aux autres. Il convient de s’en assurer pendant le moulage , et de détruire, pour la remplacer ensuite, la portion de croûte de terre qui adhérerait imparfaitement à la partie qu’elle re- couvre. Tous les moules doivent ètre séchés graduellement, En voulant hâter la dessiceation par une trop forte chaleur, on n’obtient qu’une dessiccation incomplète , et l'humidité en se vaporisant subitement, fait éclater certaines parties de la chape. Les pièces de bronze sont exposées à de nombreuses soufflures , quand on abrège la durée du séchage. Il n’est pas moins important desoumettre chaque moule au degré de chaleur qui lui convient et pendant le temps nécessaire. Les défauts de coulée que nous allons indiquer , nous paraissent le meilleur moyen de faire ressortir l'importance des soins qu'exige le moulage. Défauts de coulée des pièces de fonte. Loupes. Parties excédantes de métal. Elles proviennent d’une ca- vité dans le moule. … Tacon. Partie de métal , tenant à la pièce par une base plus ou moins forte, et recouvrant une couche d’enduit, de sable ou d'autre matière étrangère, interposée entre elle et le corps de la bouche à … feu. Le tacon est formé par la fonte liquide, qui s’est introduite “dans la fissure que laisse une partie soulevée du moule ou de l'en- …duit, mais non entièrement détachée. En travaillant au burin pour enlever les inégalités que présente ordinairement le tacon, on en détache une partie plus ou moins grande, on met à découvert le sa- «ble qui se trouvait dessous , et il en résulte une dépression dans le corps de la pièce. Les tacons résultent ordinairement d’un enduit peu adhérent, d’un “—… applicage de sable pour réparer mal à propos le moule, d'un pe- mntit caillou où autre corps non réfractaire se trouvant dans la chape “ct qui, en éclatant, sous l'influence de la chaleur du métal liquide, —— aura soulevé ou brisé une partie du moule. 408 Coquirnar. — Cours élémentaire sur la fabrication On rencontre fréquemment les tacons au cul de lampe, mais ils sont alors produits par la chute du métal en fusion. Les moules des gros calibres ayant plus à souffrir, on est quelquefois obligé, dans le moulage en sable, de faire la culasse avec un sable plus ar- gileux. : Champignons. Partie de métal recouvrant une couche d'enduit, de sable ou d’autre matière étrangère , et n’adhérant au corps de la pièce que par le centre. Le champignon se forme lorsque la cou- che d’enduit ou une partie du moule se soulève et se fissure vers le centre. Le métal liquide entrant par cette crevasse , se répand entre la paroi du moule et cette couche soulevée. Le champignon est donc de mème nature que le tacon et a une origine semblable. Dépression. Partie déprimée à la surface de la pièce. Elle pro- vient du gonflement d’une certaine partie du moule vers l'inté- rieur, d’un retrait inégal , d’une masselotte trop petite. Ondulations. Parties circulaires saillantes à la surface des bou- ches à feu. Elles sont les suites de l'introduction d’une trop grande quantité de sable à la fois. Lors du moulage, le sable est foulé iné- galement: trop à la partie supérieure de chaque couche, trop peu à la partie inférieure. Le moule en cédant inégalement à la pression du métal, détermine des ondulations sur la pièce. Ce défaut ar- rive le plus souvent avec les gros calibres. Serres. Parties de la pièce d’un diamètre plus faible, à cause de certaines couches de sable qui ont été trop damées ou à cause d’un modèle trop compressible dans le moulage mixte. Arcure. Inflexions que forment entre elles les diverses parties d’une pièce. Elles proviennent d’un mauvais renmoulage, les di- vers moules n'ayant pas été assemblés avec la précision nécessaire, Il est bien essentiel dans le renmoulage que les clavettes resserrant les chässis des moules en sable l’un contre l’autre, soient chassées à fond. Ce défaut peut aussi être occasionné par la présence d’un corps à la jonction de deux moules , lequel corps aura faussé leur position relative. Il est donc essentiel de veiller à la propreté des emboitements des divers moules lors de leur réunion. Cendrures. Parties légères, provenant de laitiers ou de charbons entrainés avec le métal liquide ou de débris de la chape, qui surna- gent la fonte dans le moule et se fixent aux parois, le plus souvent à la partie supérieure des tourillons. On les évite en éeumant la fonte avant son arrivée dans le moule ; en arrêtant les laitiers. les char- des bouches à feu en funte cten bronze, etc. 409 bons et autres corps étrangers, lorsqu'ils traversent les écheneaux avec la fonte; en faisant tomber le métal à plein jet, de manière à produire des mouvements et des bouillonnements lorsqu'il arrive à hauteur des tourillons : en donnant de la dépouille aux tourillons et aux autres parties rentrantes. Gravelures. Parties irrégulières, poreuses , inégales, occasion- nées par l’enduit qui n’a pas adhéré au moule. Écrasements des bords du moule. Parties rentrantes circulaires et remplies de sable sur le corps de la pièce. Ce défaut a lieu dans le moulage en sable, lorsque les calles placées entre deux châssis consécutifs sont trop épaisses. Le moule ayant trop de longueur pour le chässis, s'écrase sur les bords lors du renmoulage et forme vers l’intérieur une saillie ou bourrelet de sable, qui, restant prise dans la fonte, occasionne une dépression annulaire sur la pièce. On s’en aperçoit quelquefois lors de la coulée. On la fait disparaitre avec une perche de bois dont on promène l'extrémité contre la saillie de sable découverte à l'inté- lieur du moule. Tourillons blanchis. Ce défaut arrive souvent par l'emploi de certaines fontes ou par un peu d’humidité restée dans le moule. Les fontes de Suède, les fontes manganésifères, celles trop décarburées, donnent souvent des canons dont les tourillons sont blanchis. Canon difficile à dépouiller. Ce défaut provient d’un moule hu- mide dont la paroi est devenue inégale par le passage de la vapeur d’eau ; d'une très-haute température du métal au moment de la cou- lée, température qui détermine la formation et le passage au tra- vers dela chape d’une certaine quantité de gaz carbonique; d’un en- duit mal préparé ou mal appliqué; d’une partie de sable qui ne se- rait pas réfractaire ; ou de l’enduit qui aurait été calciné dans l’étuve par un feu trop violent. Goutte froide. Partie de fonte extrêmement dure. Pendant la chute du métal liquide dans le moule, certaines parties de fonte + peuvent adhérer aux parois en se congelant, il peut en être de mème pour des parties qui rejailliraient sur les parois : ces parties congelées se détachent ensuite , surnagent dans les scories, se fixent dans les parties anguleuses et rentrantes du moule et quelquefois dans le corps de la pièce, si la chaleur de la fonte liquide ne les a pas remises en fusion. Les gouttes froides peuvent aussi provenir d’une partie de mas- d2 410 CoquiLuar.— Cours élémentaire sur la fabrication selotte, fortement décarburée dans le fourneau à réverbère et qui , lors de la coulée, ne s’est pas mélangée intimement avec le reste du métal liquide. Canon ovale. Ce défaut est plus fréquent dans les pièces mou- lées en terre, un enterrage régulier étant plus difficile, par la grande épaisseur de sable entre le moule et le chässis ou les parois de la fosse. D'ailleurs le moule en terre se tourmente lors du séchage, et prend ordinairement une forme plus ou moins ovale, le poids de la partie supérieure (lorsque le moule est couché) déprimant celle de dessous. Ce défaut arrive presque toujours aux pièces moulées en deux parties, suivant un plan passant par l'axe : dans le mou- lage en coquille, par exemple. Il peut aussi se rencontrer dans les pièces moulées en sable, les parties longitudinales des chässis, n'ayant pas été bien réunies ou ayant cédé par la rupture d’un bou- lon , etc. : dans ce cas, il y aurait une bavure et une fuite de mé- tal serait à craindre, Chambre. Cavité produite par un retrait inégal. Soufflure. Cavité occasionnée par la présence d’une bulle de gaz qui est restée emprisonnée dans le métal. Bavure. Métal qui s’est insinué entre les joints de deux parties consécutives du moule, qui ont été mal assemblées ou qui ont cédé lors de la coulée. Mächure. Saillie de métal provenant d’une partie de moule, mal assemblée et débordant une autre partie. Défauts de coulée des pièces de bronze. Loupe. \ Tacon. | Champignon. Dépression. Qnauifan. Mêmes défauts et mêmes se re causes que pour les pièces de CRENIES fonte : ils disparaissent dans le Ecrasement. tournage. Canon ovale. ne Canon difficile à dépouil- ler. Bavur'e. Machure. des bouches à feu en fonte et en bronze, etc. Z11 Cendrure. i : k Mèmes défauts et mêmes Éanelure. causes que pour les pièces de Chambre. ; quéP PIE fonte. Soufflur. Sifflets. Sillons dirigés dans le sens de la longueur de la pièce. Piqüres. Petites chambres, ne présentant pour ainsi dire qu'un point de profondeur. On les rencontre le plus souvent au bourre- let, principalement quand la masselotte n’est pas assez haute ou que le bronze n’est pas assez chaud, lors de la coulée. Tâche d’étain. Marque blanchatre qu'on rencontre souvent à la surface extérieure, particulièrement au second renfort dans le Voisinage des anses et des tourillons. Les taches dénotent un excès d'étain, dont la proportion est au plus de 25 pour °/, d’alliage. Dureté. Partie dure de la pièce, renfermant ordinairement un excès d’étain. ARTICLE JII. MÉTHODES DIVERSES DE COULAGE. Énumération des diverses méthodes de coulage. Les pièces peuvent être coulées massives (pleines) ou avec un vide correspondant à celui de l'ame, vide qu'on obtient en plaçant un noyau dans l’axe du moule. Le métal peut arriver dans le moule, directement par le haut, ou par un canal latéral , aboutissant par un coude ou siphon à la partie inférieure. De la combinaison de ces . éléments , on déduit quatre méthodes de coulage. 4° Le coulage plein et direct, qui est celui que nous avons décrit. 2° Le coulage à noyau et direct, tel que nous l'avons expliqué pour les mortiers de 0,29 en bronze. 3° Le coulage plein et à siphon. 4° Le coulage à noyau et à siphon, qui sert presque partout pour Ja fonte des gros mortiers de bronze. Le coulage à noyau était autrefois usité pour toutes les bouches à feu. Les noyaux des canons, à cause de leur longueur, devaient être préparés par d'autres procédés que ceux que nous avons décrits pour les mortiers de 0,29. Le coulage à siphon est encore employé 412 Coquinar, — Cours élémentaire sur la fabrication essayé pour les canons. Il suffira que nous donnions quelques dé- tails sur la confection et le placement du noyau dans le moule, ainsi que sur l’exéeution du siphon, pour qu'on soit à même de con- cevoir toutes les combinaisons de ces deux modes de coulage. Coulage à noyair. Le noyau (fig. 5, planche V) est essentiellement composé d'un arbre ou d’un tube de fer, recouvert d'une pâte de cendres ou de terre pétrie, pour préserver le fer du contact du métal liquide et pour en faciliter la sortie de l'ame, après le refroidissement. La couche de pâte de cendres ou de terre, est consolidée par une ou plusieurs enveloppes de fils ou de bandeleties de fer enroulés en spirale autour du noyau. On continue à recouvrir le noyau de pâte, jusqu’à ce qu'il ait acquis les dimensions voulues. On laisse un peu de métal à prendre pour l’alésage , l'ame ne pouvant pas être obtenue avec la rectitude et la précision nécessaire. Le cendrage et la cuite du noyau se font par des procédés analo- gues à ceux employés pour les moules des canons de bronze. Quand l'axe en fer est plein, il convient de ménager plusieurs évents , suivant sa longueur, pour faciliter la sortie des gaz. Lé noyau est fixé dans le moule par une ferrure nommée chapelet. Il y en avait de plusieurs formes, à anneaux, à 3 ou 4 branches, par- tant du noyau et recues dans la chape de la culasse, etc. Lors de la coulée, la partie du chapelet traversant le moule, est noyée dans le métal liquide. Quelquefois l'arbre en fer traverse le bouton de culasse et tient lieu de chapelet. Le haut du noyau est soutenu par une sorte de cravatte ou de chapiteau circulaire en terre de mouleur, en plâtre ou autre ma- tière, et reçue dans une feuillure pratiquée dans le moule, ou re- posant sur l’orifice du moule, En France, les noyaux des gros mortiers de bronze sont faits à la manière des modèles en terre, mais renforcés de ferrures dispo- sées comme dans les moules en terre. Les avantages de ce mode de coulage, sont les suivants : 1° Il procure une économie de matière dans la coulée , et de main-d'œuvre dans le forage. 2 Le bronze en contact avec le noyau, forme une croûte très- dure , qui résiste assez bien aux effets du tir. 5° Il diminue les effets de la liquation. des bouches à feu en fonte et en bronze , etc. 415 Mais en revanche, le eculage à noyau a des inconvénients fort graves, qui l'ont fait abandonner. 1° Il est difficile de placer le noyau d’une manière stable au cen- tre du moule. 9° Pendant la coulée, les ferrures du chapelet se tourmentent, se ramollissent, s'infléchissent et dérangent la position du noyau. 3° La présence du noyau dans le moule, oceasionne près de la paroi de l’ame des soufflures qui sont mises à nu, lors de l’a- lésage. 4° Le noyau lui-même peut s’infléchir pendant la coulée, ce qui donne lieu aux excentricités qu'on a occasion de remarquer, prin- cipalement à la volée dans presque toutes les anciennes bouches à feu , lorsqu'on les tronçonne. 5° La dureté acquise par la partie du bronze en contact avec le noyau , ne sert de rien, puisque cette partie est enlevée dans l’a- lésage. 6° La difficulté de retirer le noyau après le refroidissement, est augmentée par l'infiltration du bronze dans la croûte de terre, qui recouvre le noyau. 7° La croûte de terre qui recouvre le noyau, peut se fissurer , sauter en éclats, avant ou pendant la coulée, et donner lieu à des fuites et à des loupes dans l'ame. Ces fuites de métal et ces loupes s’opposent à la sortie des matières qui composent le noyau, elles occasionnent ainsi un surcroit de travail. 8 Indépendamment des difficultés de coulage , l'emploi du noyau entraine plusieurs autres graves inconvénients. Les branches du chapelet restées dans le métal après le forage, sont entamées par les produits de la combustion de la poudre, et par la rouille dans les circonstances ordinaires. La dilatation linéaire des bran- ches en fer forgé du chapelet n'étant pas la même que celle du métal de la pièce, il se produit des tiraillements dans les alternatives de chaud et de froid provoquées par le tir, tiraillements qui amènent la séparation du chapelet d'avec le métal qui l'entoure. Toutes ces causes contribuent à la formation au fond de l’ame, de chambres et cavités qui, en recelant le feu, peuvent occasionner des explosions prématurées , lors de l'introduction de la charge. Le coulage à noyau est encore pire pour les pièces en fer, puis- qu’il amène un refroidissement plus prompt. 11% Coquiiuar. — Cours élémentaire sur la fabrication Coulage à siphon. Le métal, en tombant directement dans le moule , peut en dégra- der les parois et déranger le noyau. Les mouvements qu'il occa- sionne à la surface du bain, empêchent les laitiers de se réunir au centre, les disperse et les fait entrer dans les cavités du moule. On a donc pensé qu'en faisant entrer le métal par un canal parti- culier , le siphon, aboutissant à la partie inférieure , on ménagerait les parois de la chape et du noyau et que , le remplissage se fesant tranquillement , les parties rentrantes seraient moins exposées à s’'encrasser. C'est principalement dans le coulage à noyau des mor- tiers, que ces avantages se font sentir : car le couvercle en terre qui ferme le noyau à la partie supérieure, est directement exposé à la chute du métal. Le siphon est un canal de 0",05 à 0",06 de diamètre (fig. 5, planche V). On le construit par parties en même temps qu'on fait le moule de la pièce, Pour chaper la première partie communiquant au bas du moule, on fixe contre le modèle de la bouche à feu, l'ex- trémité d’un modèle coudé (le modèle du siphon proprement dit), sur lequel on applique de la terre pétrie, en même temps qu’on fait la chape de la pièce. L'autre extrémité du siphon est dirigée vers la bouche, mais en dehors du moule, et on la consolide par des banda- ges en fer terminés en crochets. Le reste du canal s'achève avec de petits tuyaux en terre, garnis de ferrures , s'emboïitant les uns dans les autres etavee le siphon, et reliés par les crochets qui terminent les bandages et qu’on resserre par des liens en fil de fer. Les avantages du coulage à siphon sont balancés par plusieurs in- convénients: les précautions à prendre pour ménager le siphon, rendent l'enterrage difficile : le canal peut être obstrué. Parmi les moyens essayés pour remplacer le coulage à siphon, nous devons citer celui qui consiste à faire arriver le métal par un conduit débouchant dans un des tourillons. Le coulage à siphon n’est guère utilisé que pour les gros mortiers de bronze. des bouches à feu en fonte et en bronze, etc. 415 LIVRE IV. FUSION DES MÉTAUX. COULÉE DES BOUCHES A FEU, — > — | CHAPITRE PREMIER. FOURNEAUX A RÉVERBÈRE POUR LA FUSION DE LA FONTE. ARTICLE I. DESCRIPTION DU FOURNEAU A RÉVERBÈRE. Parties principales du fourneau. Le fourneau à réverbère comprend trois parties principales : - (planche X),. 1° La chauffe (abfe fig. 1) , lieu où brüle le combustible. 2 Le foyer de fusion (igk), où se trouve le métal. . 5° La cheminée (hm), dont le tirage active la combustion. Une voûte (aefgh), recouvre la chauffe et le foyer de fusion. ol Objet des fourneaux à réverbère. Les fourneaux à réverbère sont des fours où le combustible est séparé du métal à liquéfier. Le combustible recoit l'air nécessaire à sa combustion par le tirage que produit une cheminée très-élevée dont le débouché se trouve à l'extrémité du fourneau. Le métal se trouve exposé à l’action de la flamme, pendant son trajet, depuis la chauffe jusqu’à sa sortie du fourneau. Les fourneaux à réverbère sont destinés à produire une haute température, capable de liquéfier la fonte. On se fera nne idée de la chaleur nécessaire en pensant que la fonte exige pour sa fusion une température 6 à 7 fois aussi grande que le bronze. Moyen employé pour obtenir une température à peu près égale dans le fourneau. Les fourneaux à réverbère ont une forme allongée. Leur section “droite diminue à mesure qu’on s'éloigne de la chauffe, afin de com- 416 Coouizuar. — Cours élémentaire sur la fabrication penser, par le rétrécissement de l’espace, la chaleur perdue, par l’é- Joignement du lieu où brüle le combustible. Le débouché de la cheminée dans le fourneau, est étroit , et la voûte s’abaisse de plus en plus à partir de la chauffe , afin de concentrer la flamme et de la rejeter sur le métal. On attachait une grande importance à la forme de la voûte, pensant que c'était par le calorique réfléchi ou réver- béré par ses parois que le métal s’échauffait. De là est venu le nom de fourneau à réverbère. On ne comptait pas sur la chaleur trans- mise directement par les gaz traversant le fourneau , ni sur le calo- rique qu'ils réfléchissent. Aussi l’expérience n’a pas justifié l'importance attribuée à la cour- bure de la voute, au contraire , elle a fait voir que la puissance de chauffe dépendait principalement des dimensions et des proportions de certaines parties du fourneau. Intérieur du fourneau. La chauffe comprend la grille (ab fig. 1 et 2) , formée de bar- reaux de fer, reposant sur deux traverses ou supports en fonte. La chauffe est séparée du foyer de fusion par une partie éle- vée, le pont (ed, fig. 1), dont l'objet est d'empêcher le métal de se mêler avee le combustible et de le préserver du contact immé- diat de l'air. La sole est un plan incliné (ik, fig. 1 et &k’ , fig. 2), en forme de trapéze allongé , partant du pont et s’abaissant du côté opposé, vers Ja face du fourneau située dans l'atelier des fondeurs. La largeur de la sole diminue à mesure qu'on s'éloigne du pont, La voûte (aefg, fig. 1) qui se rapproche de plus en plus de la sole en s’abaissant , jusqu’à sa rencontre avec la cheminée. Du côté opposé au pont, le métal en fusion est retenu par un mur en maconnerie , qui sert de digue, et qui sépare le fourneau de l’intérieur de la fonderie. Au bas de cette digue, à son intersection avec la partie inférieure de la sole, les trous de coulée sont percés et débouchent dans l'in- térieur de l'atelier (k, fig. {, planche X et «y, fig. 2, plan- che IX ). On voit que les fourneaux à réverbère de la fonderie de Liége n'ont pas d’autel , puisque la sole forme un seul plan depuis le pont jusqu'à la partie inférieure du fourneau. On donne particulièrement le nom de bassin à la partie inférieure du fourneau où le métal en fusion s'accumule. CT, ls ER des bouches à feu en fonte et en bronze , etc. 417 Le foyer de fusion communique avec la cheminée (/m, fig. 1, planche X), par une partie rétrécie le rampant. On appelle bec , le solide (ghi, fig. 4), formé par la rencontre de la voute avec la cheminée. L'intérieur du fourneau est revêtu d’une chemise en briques ré- fractaires. Il en est de même pour la cheminée. La sole est recouverte de sable réfractaire . Cheminee. La cheminée (him, fig. 1), communique avec le fourneau par le rampant. La section horizontale de la cheminée augmente à mesure qu'on s'élève à partir du bec, jusqu’à une certaine hauteur (4, fig. 1). La hauteur de la cheminée varie entre 15 et 20 mètres. Elle est très-élevée, afin d'activer la combustion par un fort tirage. Les fourneaux à réverbère sont généralement accouplés. Les fourneaux à réverbère sont généralement accouplés , un seul ne pouvant suflire à la couiée de la plupart des bouches à feu. Un mur épais (NM, fig. 2), établit la séparation des deux four- neaux. Emplacement des fourneaux à réverbère. Il est important de favoriser le tirage et de faire arriver le métal liquide par le plus court chemin dans l'atelier de la fonderie , où se fait la coulée des bouches à feu. On satisfait à ces deux objets, en construisant les fourneaux à l'extérieur de l'atelier (4, kl', k'!l", planche VII), et les fesant aboutir par le bas de la sole aux murs de cet atelier. Les trous de coulée sont percés dans ces murs (xy, fig. 2, plan- che IX ; et k, fig. 1, planche X). Un toit (no, fig. 3, planche IX et fig. 4, planche X), recouvre le fourneau et le garantit de la pluie. Cendrier. En dessous de la grille se trouve le cendrter; (bp, fig. 1, plan- che X), c’est une excavation d'environ 2°,50 de profondeur en con- 53 418 Coquiuuar. — Cours élémentaire sur la fabrication tre-bas de la grille , permettant à l'air d'arriver dans la chauffe et recevant les escarbilles ou menus charbons plus ou moins calci- nés , qui passent à travers les barreaux de grille. On descend dans le cendrier par un escalier (fig. 2), à ciel ou- vert , pratiqué à l'extérieur du fourneau. La face du fourneau au-dessus du cendrier (fig. 4, planche IX), se nomme la face de derrière. Elle est consolidée par des traverses de fonte reliées par de fortes ancres. Côté extérieur du fourneau. Le côté extérieur du fourneau est celui opposé au mur de sépa- ration dedeux fourneaux accouplés (fig. 3, planche IX), Ce côté est fortement ancré et soutenu par des plaques en fonte. Il comprend deux ouvertures essentielles. 1° Le trou de chauffe (A), par où l’on introduit le combustible , et qu’on ferme, soit par une petite porte en fonte et à coulisses, soil en le bouchant simplement par du charbon entassé. 90 La porte de chargement (B), par laquelle on communique avec le foyer de fusion , et par laquelle on introduit les métaux qui com- posent la charge. La porte de chargement est fermée par une portière, composée de briques réfractaires, assemblées dans un chässis en fer forgé. Une chaine passant sur une poulie de renvoi et munie d'un con- trepoids, facilite l’élévation ou l’abaissement de la portière. Lors- que celle-ci est descendue jusque sur l'appui de l'embrasure, on achève d’intercepter la communication entre le dedans et le dehors, en lutant les joints avec du sable argileux et réfractaire. Indépendamment du trou de chauffe et de la porte de charge- ment, le côté libre du fourneau contient quelquefois une troisième ouverture (c, fig. 3, planche IX) , ayant une vue sur la partie in- férieure du foyer de fusion. Mais cette ouverture est toujours bou- chée et l’on ne s’en sert pas. Face du fourneau. La face du fourneau se trouve à l'intérieur de la fonderie (fig. 2, planche IX). Elle est renforcée de plaques en fonte, d’ancres soli- des, et de supports en même métal, qui servent d'appui au mur de l'atelier. On y remarque la porte de brassage, (c fig. 2, planche IX et KWk', fig. 4, planche X). Elle est fermée par une portiére composée des bouches à feu en fonte et en bronze, etc. 419 de briques réfractaires assemblées dans un châssis de fer. Au cen- tre de cette portière est un petit trou, qu’on ferme à volonté par un bouchon de terre cuite. Ce trou sert à observer l’intérieur du four- neau pendant la fusion et à recevoir le bout d’une barre de fer avec laquelle on manœuvre la portière. La porte de brassage donne accès au fourneau par l’intérieur de l’atelier et permet de brasser et d’écumer. La plupart des fourneaux à réverbère n’ont qu’un trou de cou- lée : il en existe deux cependant aux fourneaux de la fonderie de Liége. Ils sont inégalement élevés (xy, fig. 2, planche IX). Lors du remplissage du moule , on perce le trou supérieur , pour laisser écouler le dessus du bain, qui, étant le plus chaud , est employé de préférence pour la culasse. ARTICLE II. CONSIDÉRATIONS SUR LES DIVERSES PARTIES DU FOURNEAU A RÉVERBÈRE, Problèmes à résoudre dans la construction d’un fourneau à réverbère. Il y a deux problèmes à résoudre dans la construction d’un four- neau destiné à la fusion de la fonte. 4° Obtenir la température nécessaire dans toutes les parties du foyer de fusion , avec le moins de combustible possible. 2° Disposer le fourneau , de sorte que, tout en satisfaisant à la condition précédente , le métal liquide soit le plus possible sous- trait à l'action de l'oxigène amené dans le fourneau par le tirage de la cheminée. Quand ces dispositions existent, on dit que le fourneau a un pou- voir peu décarburant. Il résulte de l’expérience que la température la plus élevée est toujours préférable pour la coulée des canons. Une diminution dans la dépense en combustible n’est pas à dédaigner, mais l’objet principal étant de couler dans les meilleures conditions , on peut formuler le premier problème de la manière suivante : Obtenir la température la plus élevée dans toutes les parties du foyer de fusion , avec le moins de combustible possible. 420 CoquizmaT. — Cours élémentaire sur la fabrication Parties du fourneau qui influent sur le degré de chaleur qu’on peut obtenir. On peut poser en principe que toutes les parties du fourneau influent sur la température obtenue. Mais considéré dans cctte gé- néralité, le problème resterait indéterminé et sans solution prati- que. Il a certaines parties du fourneau qui ont le plus d'effet sur la chaleur développée. Les fourneaux doivent satisfaire à certaines conditions industrielles, par exemple, de fondre une quantité dé- terminée de métal. Ces préliminaires posés, l'expérience et le rai- sonnement conduisent aux propositions suivantes : Le degré de chaleur qu'on peut obtenir d’un fourneau d’une ca- pacité donnée , dépend : 4° De la surface de la grille et de la disposition du cendrier. 2 De la hauteur et de la section de la cheminée. 3° De l'aire de la section du rampant. Une grande surface de grille permet de brüler plus de combus- tible en même temps, de produire une plus grande somme de cha- leur, et d’en faire arriver une plus grande quantité vers le foyer de fusion. Une bonne disposition du cendrier facilite l'accès de l'air nécessaire à la combustion, l'empêche de trop s'échauffer avant d'arriver à la grille, et rend ainsi le tirage plus acuf. Une cheminée élevée favorise le tirage, fait consommer plus de combustible dans un temps donné et occasionne ainsi un plus grand développement de calorique. Une section convenable de la cheminée fait conserver aux gaz qui la traversent , une température plus élevée, ce qui accélère leur sortie, et réduit en mème temps dans une juste limite les frottements produits par ses parois. Si un fort tirage de la cheminée est avantageux, il ne l'est pas moins de forcer la flamme à séjourner quelque temps dans le foyer de fusion, afin qu’elle puisse communiquer une partie de la chaleur qu'elle transporte, ce qui exige nécessairement un cerlain temps, si petit qu'il soit, Dans ce but, le rampant rétrécit la cheminée vers le foyer , ralentit la sortie de la flamme , lui donne le temps de per- dre une grande partie de son calorique, avant sa sortie du four- neau, la refoule et la fait tourbillonner dans toutes les parties du foyer de fusion, d'où il résulte une température plus uniforme. Il ne faut cependant pas perdre de vue, qu'un rampant trop étroit ralentit le tirage et fait languir le feu. 11 y a donc un terme moyen à garder dans les dimensions du vVPE.2 DS ES SRE des bouches à feu en fonte et en bronze , etc. 421 rampant. La meilleure section du rampant est celle qui occasionne la chaleur la plus élevée ct la plus uniforme dans un fourneau donné. Éléments du pouvoir décarburant d’un fourneau. Le pouvoir décarburant d'un fourneau croit en raison directe : 4° De la quantité d'air, qui, dans un temps donné, traverse le fourneau. s 2 De la durée de la fusion. 3° De l'inclinaison de la sole. Ce pouvoir décarburant est, en outre, en raison inverse de la hauteur du pont. Plus il arrive d'air dans le fourneau , plus grande est la quantité d'oxigène en contact avec le métal, plus forte aussi est l’oxidation. Il est donc important de régler l’espace entre les barreaux de grille, de sorte qu'il n'arrive que la quantité d'air nécessaire à la combus- tion de la houille. Quand la fusion se prolonge, l’oxigène de l'air qui traverse le fourneau, se trouve plus longtemps en contact avec la fonte, ce qui augmente la décarburation, Il est done essentiel de produire la cha- leur voulue dans le moins de temps possible. Dans un fourneau bien construit , si la houille est de bonne qualité, le tirage est ac tif, la fusion des métaux se fait promptement, ceux-ci restent peu de temps soumis à l’action de l’oxigène, ct la décarburation en est diminuce. Relativement à l'inclinaison de la soie, il faut observer qu'une pente très-forte fait écouler le métal avec plus de vitesse vers le bas- sin : et que les filets de fonte liquide s’écoulant des métaux à me- sure qu'ils fondent , sont d'autant plus minces et présentent plus de surface à l’action décarburante de la flamme. Un pont élevé rejette la flamme vers la voûte, soustrait une par- tie du métal à son action et diminue le pouvoir décarburant du fourneau. Mais un pont trop élevé soustrait une partie notable de la fonte à l'action directe de la flamme, force à prolonger la fusion et occasionne une décarburation plus forte. Comparaison entre les fourneaux de diverses grandeurs, Les fourneaux de diverses grandeurs , construits dans des pro- portions semblables, sont loin de produire la même chaleur et de 492 Coquizuar. — Cours élémentaire sur la fabrication consommer une égale quantité de combustible pour une quantité donnée de métal. En général, plus les fourneaux sont grands, moins ils consom- ment de combustible. Passé une certaine limite, il est impossible de faire produire aux grands fourneaux la même chaleur qu'aux petits. Cela tient probablement aux diflicultés de diriger la combus- tion et de surveiller la fusion. 11 parait que les petits fourneaux de 1,000 à 1,500 kilogrammes au plus, dont on se sert en Angleterre , produisent en très-peu de temps le degré de chaleur voulue, mais qu’ils consomment beaucoup de combustible. On peut considérer les fourneaux d’une grandeur moyenne de 3,000 à 5,500 kilogr. , comme étant ceux qui satisfont le mieux aux conditions de produire la température la plus élevée avec la moindre dépense en combus- tible. En prenant ce fourneau comme point de départ, pour en cons- truire un autre d’une capacité différente , il faudrait donner à la chauffe des dimensions plus fortes, toute proportion gardée. Agir autrement , ce serait s'exposer à de facheux mécomptes. Il faudrait en même temps donner à la cheminée une élévation en rapport avec l'étendue de la chauffe. Proportions observées dans les principales parties des fourneaux de grandeur moyenne. On remarque dans les fourneaux d'environ 3,000 à 3,500 kilog. qui marchent bien , les rapports suivants : En prenant pour unité la surface de la grille. 4° L'aire de la sole varie de 2, 5 à 5, 5. 2% La section du fourneau au-dessus du pont est 0,75, 5° La section du fourneau en dessous du bec varie de 0,25 à 0,55. Ces rapports sont influencés par la qualité du combustible. Plus les houilles sont maigres, plus il faut augmenter la surface de chauffe. La cheminée doit avoir 15 à 20 mètres de hauteur ; sa section la plus large, doit êtrele double ou le triple de sa section la plus étroite. Constructions d'un fourneau. Les fondations d'un fourneau doivent être solides. Le massif doiten être voûté pour éviter l'humidité. L'enveloppe extérieure est _— VIS PPT des bouches à feu en fonte et en bronze , elc. 493 en maçonnerie ordinaire , fortement ancrée et consolidée par des plaques de fontes. Il en est de même pour l'extérieur de la chemi- née. L'intérieur du fourneau est en briques réfractaires, de même que la cheminée. On n’a donc que la sole et la voûte à refaire, quand le four- neau est usé. Pour le reconstruire , on monte la chemise sur les cô- tés de la sole. On trace sur ces côtés la courbure de la voute. On fait ensuite la voûte elle-même en partant de la chauffe. La voûte est plate, raecordée avec les murs de côtés par une pe- tite courbure. Le ciment employé, est formé de terre de pipe et d’un peu de sa- ble blanc. L'intérieur de la cheminée doit permettre qu'on s’y introduise pour exécuter les réparations nécessaires. Toutes les portières et ouvertures doivent avoir des embrasures extérieures en fonte, afin de ne pas se déformer. On tapisse la sole avec une couche suffisamment épaisse de sa- ble réfractaire environ 0",06. Fourneaux d’une grandeur moyenne. Cendrier. Le cendrier doit non-seulement favoriser l’arrivée de l'air nécessaire à la combustion, mais il doit en même temps satis- faire à plusieurs autres conditions. Il doit offrir un large espace aux charbons et escarbilles qui tombent de la grille, afin qu’ils n’é- chauffent et ne dilatent pas trop l'air affluent, ce qui nuiraït au ti- rage. L'arrivée de l'air froid est également nécessaire pour rafrai- chir les barreaux de grille et les garantir contre l’action trop forte du feu. Le cendrier doit permettre l'accès de la grille pour tisonner et pour les travaux que les circonstances exigent. Le cendrier doit être suffisamment spacieux et profond (2°,5 à 3,0) ; d’un abord facile (par une rampe ou un escalier) , placé en dehors de l'atelier, tourné au nord quand c’est possible, l’expé- rience ayant fait voir que c’est la meilleure exposition. Grille. La grille doit être assez grande pour recevoir la quantité de charbon que la conduite du fourneau exige. Une grille trop grande fait consommer un excès de combustible et permet l'entrée d'une trop grande quantité d'air, ce qui peut refroidir le fourneau et augmenter son action décarburante. Les barreaux de grille ont généralement 0,04 à 0,05 de largeur sur 0,06 de hauteur , et une longueur proportionnée à la chauffe. 124 Coquicar. — Cours élémentaire sur la fabrication Ils sont en fer n°2, cette qualité résistant assez bien à l'action du feu. On les place perpendiculairement au pont, suivant la direction de la longueur du fourneau. On les espace convenablement, on laisse ordinairement autant de vide que de plein, ou un peu plus, selan la qualité du combusti- ble; l'intervalle le plus grand convenant pour les houilles grasses. La grille doit être suffisamment abaissée en dessous du pont (0,45 environ), pour avoir l’espace nécessaire au placement du charbon et pour obtenir dans la chauffe la combustion de la fumée, avant que la flamme ne se rende dans le foyer de fusion. Elle ne doit pas être trop basse, parce que la flamme arriverait ave trop de vitesse contre la voùte, ce qui l'éloignerait de la sole et l'empécherait de s'échauffer vers le pont, D'ailleurs un trop grand abaissement de la grille, produirait le même effet que son éloignement de la sole. Pont. Le pont empêche le combustible de se mêler avee le métal. En forçant la flamme de élever , il favorise Ja combustion de la fu- mée. Un pont élevé protége la fonte contre l'action décarburante de la flamme : trop élevé, il empêche le métal de s'échauffer vers le haut de la sole, il rend la température inégale, et s'oppose à la fusion. On donne généralement au pont une hauteur de 2 ou 3 as- sises de briques au-dessus de la sole (0,16 à 0,24), mais le plus sou- vent 2 assises et quelquefois 1 */; assise (0,12). La sole. La sole à la forme d’un trapèze dont le plus petit côté est à la partie inférieure du bassin, C’est sur la sole qu'on dépose les métaux qui doivent être fondus. Leur placement n’est pas in- différent , ainsi que nous le verrons en parlant du chargement du fourneau. Le rétrécissement de la sole à mesure qu'on s'éloigne du pont , contribue à amener l'égalité de température dans le foyer de fusion. Dans un fourneau moyen, la largeur du petit côté est générale- ment les 5/; du grand côté. La longueur de la sole n’est pas arbi- traire : trop grande, elle éloigne le bassin de la chauffe et l'empé- che de s’'échauffer suffisamment ; trop courte, la flamme sort trop vite et l’on consomme trop de combustible, ou l’on ne chauffe pas assez pour une égale consommation de combustible. Générale- ment, la longueur dela sole est le double de sa grande largeur, soit 3°,20 à 5°, 30. Nous avons déjà fait voir les inconvénients d’une inclinaison trop forte, Avec une pente trop faible, le métal s'écoulerait difficilement des bouches à feu en fonte et en bronze, etc. 425 du fourneau et les diverses qualités de fonte ne se mélangeraient pas , et le pouvoir décarburant serait trop faible. Une inclinaison de 5° '/, , ou 0,20 sur la longueur suffit géné- ralement. Dans les petits fourneaux, comme ceux anglais, où la fusion se fait plus promptement , on peut abaisser davantage la sole vers le bassin, l'augmentation qui en résulte dans le pouvoir décarburant, est compensée par une moindre durée de la fusion. La voule. La voûte doit s'élever assez au-dessus de la chauffe pour permettre à la fumée de s’y convertir en flamme, avant de se rendre dans le foyer de fusion. Elle doit être assez basse pour forcer la flamme à envelopper les métaux qu'il s’agit de fondre et à bien chauffer la sole avant que la fusion commence. La voüte doit se rapprocher de plus en plus de la sole à mesure qu'elle s'éloigne de a chauffe , afin de rétrécir constamment la section du four et de concentrer plus la chaleur. L’abaissement de la voüte vers le bec doit étre plus prononcé. La voüte doit se rapprocher le plus possi- ble de la sole. A cet effet, les génératrices de sa surface, perpen- diculaires à la longueur du four, sont presque droites, ce qui fait que la voüte est légèrement cintrée. Généralement, la hauteur de la voûte au-dessus du pont est les /; de la longueur de la grille, sui- vant l'axe du four. Pour un fourneau d’une capacité moyenne de 3,000 kilogram- mes , la hauteur de la voûte au-dessus du pont est généralement de 0,95. Les angles rentrants, fesant perdre du calorique, et étant peu fa- vorables à la solidité, on arrondit davantage la voûte à sa rencon- tre avec les parois du fourneau. Cheminée. La cheminée doit avoir une hauteur de 45 à 20 mé- tres pour un fourneau de 5,000 kilog. et plus. La section de la cheminée doit être suffisamment large pour permettre les répara- tions (0,50 de côté). Elle doit se rétrécir avant d'arriver au bec, et présenter une section minimum de 0,25 à 0,50 de côté. Par suite, on laisse un intervalle de 0,25 à 0,30 entre le bec et le côté opposé de la cheminée. Hauteur de l’appui de la porte de brassage au-dessus de la sole. La hauteur de cet appui donne la profondeur maximum du bain. Un peu plus de hauteur que celle strictement nécessaire pour la ca- pacité du fourneau, ne nuit pas, cela équivaut à un agrandissement du four dans des circonstances exceptionnelles. I} convient cepen- 54 426 Coquinar. — Cours élémentaire sur la fabrication dant que la hauteur de cet appui soit en dessous du niveau du bee, afin qu'on puisse brasser sur toute l'étendue de la sole. CHAPITRE II. ENCAGEMENT DES MOULES : DISPOSITIONS POUR LA COULÉE DES PIÈCES DE FONTE, ARTICLE I. ENCAGEMENT DES MOULES. Les fourneaux de la fonderie de Liége sont disposés autour de la fosse à canon (planche VIT). Cette fosse (MAN) est creusée concentri- quement à la grande grue de l'atelier. Elle est revêtue en maconre= rie et percée d’embrasures, de distance en distance, pour le place- ment des étançons en bois avec lesquels on maintient les moules. La fonderie de Liège possède deux fonderies , désignées sous les n® 1 et2 : chacune est entourée de 6 fourneaux accouplés, Ces deux ateliers servaient autrefois exclusivement à la fabrication des canons. Mais depuis longtemps il n’y a qu’un seul fourneau en ac- tivité à la fonderie n°1, eton ne s’en sert que par exception. C'est donc principalement à la fonderie n° 2 que les pièces sont coulées. Outre la fosse circulaire (MN), la fonderie n° 2 en possède une rectangulaire (OP) d’une plus grande largeur. Elle a été construite pour servir au fondage des statues de Rubens et de Grétry , par no- tre compatriote M° Buckens , professeur à l'académie de Liége. De- puis, elle est utilisée pour le moulage mixte, qui demande plus de place et de profondeur que le moulage ordinaire en sable : elle sert également à la coulée des pièces de bronze, pour lesquelles sont disposés les fourneaux accouplés (L’K!). Les moules doivent être placés dans la fosse , de manière que le métal, au sortir des fourneaux, ait le moins de chemin à parcourir pour éviter le refroidissement. Lorsque les pièces sont moulées en sable, on descend les mou- les dans la fosse, partie par partie, en commençant par celui de la culasse et du bouton réunis. On pose celui-ci sur un fond solide et horizontal. Ce fond est ordinairement formé d’une forte plaque de fonte, bien soutenue , et recouverte d’une légère couche de sable, pour mieux asseoir la partie inférieure du moule. des bouches a feu en fonte et en bronze, etc. 427 On descend et on réunit successivement toutes les autres parties du moule ; oncen rectifie l'assemblage au moyen des clavettes avec lesquelles on serre plus ou moins les brides circulaires des châssis lune contre l’autre (fig. #, planche X). Pour s'assurer s’il n'y a pas de jour à la jonction des divers moules partiels , on regarde de l’ex- térieur, à hauteur des brides circulaires , si l’on n’aperçoit pas une lumière qu’on promène dans l’intérieur du moule. Au besoin, on lute avee de la terre fientée les petits vides que les brides lais- seraient entre elles. On assure la position verticale du moule en Vare-boutant contre les murs de la fosse. Quand le moule est entièrement assemblé, sa partie supérieure doit se trouver en dessous du bassin où l’on accumule le métal au moment de la coulée. Pour vérifier la verticalité du moule, on place une croix sur l’ou- verture de la masselotte en fesant coïncider son centre avec l’axe du moule. On laisse descendre une bougie allumée suspendue par un support en fer à un fil à plomb, qui traverse un trou percé au mi- lieu de la croix. Le fil à plomb doit rester constamment à égale dis- tance des parois. Nous avons déjà expliqué comment l’enterrage des moules en “terre se fait dans des châssis en fonte : nous nous rappellerons qu'il “faut faire en sorte, que la partie supérieure du moule enterré soit inférieure au bassin de coulée. ARTICLE II. DISPOSITIONS POUR LA COULÉE DES PIÈCES DE FONTE. A la fonderie de Liége, on ne fait pas arriver le métal directe- ment jusqu’au moule, mais on l’accumule à la sortie du fourneau dans un bassin (4, fig. 2, planche X), aussi rapproché que possible de la fosse, et dont les dimensions varient suivant le nombre des “fourneaux qui participent à la coulée. Par ce procédé, la fonte ar- rivée la première et promptement refroidie par son contact avec les écheneaux, n'entre pas dans le moule, mais sert à réchauffer les passages que doit traverser le métal qui continue à afluer. Le pourtour et le fond du bassin sont en briques réfractaires ainsi que les écheneaux (C, D, fig. 2), qui vont de ce bassin aux deux trous de coulée de chaque fourneau. Le bassin et les éche- neaux sont enduits d’une couche de terre à chaper qu'on fait bien sécher. 428 CoquizmaT. — Cours élémentaire sur la fabrication Les écheneaux doivent être disposés de sorte qu'on puisse faire écouler sur le parterre de l'atelier les laitiers qui se forment dans toute fusion. À cet effet, le revêtement extérieur en maçonnerie est interrompu en D! près du fourneau et est remplacé par du sa- ble damé et soutenu par des lestes de fer. Quand la coulée d’une pièce approche de sa fin , on fait tomber les lestes qui consolident extérieurement la rigole en D’, ainsi que le sable de cette rigole, et le laitier se répand sur le sol par la brêche qu’on à faite. Le bassin a autant d'ouvertures du côté de la fosse qu'il y a de pièces à couler. Sur chaque chässis on appuie une plaque de fonte (EF, fig. 2), qui, partant du bassin, déborde un peu l'ouverture du moule. La rigole de coulée (fig. 2, 2 bis et 2 ter, planche XI), est un canal en tôle ouvert à un bout et fermé à l’autre. Près de l’extrémi- té fermée, ce canal est percé d’un trou auquel est adapté un tuyau également en tôle, comme on peut le voir suivant AB (fig. 2 et 2 bis). L'intérieur du canal est recouvert de terre fientée et séchée. Une règle qu’on ne doit jamais perdre de vue, c’est d’empécher le métal liquide de couler dans des rigoles en fer, en fonte ou en d’au- tres métaux. Les parois de ces rigoles seraient bien vite rongées par le métal liquide, Celui-ci s'échapperait par les fissures et des acci- dents en seraient les suites. D'un autre côté, il y a toujours explo- sion au contact d’un métal liquide avec un métal solide, à moins que ce dernier ne soit rouge de chaleur. On pose la rigole de coulée (GE , fig. 2, planche X) sur la pla- que de fonte, l'extrémité ouverte dirigée vers le bassin , et le centre du tuyau correspondant avec l'axe du moule. On l’assujettit conve- nablement avec des lestes de fer (fig. 1, planche XI), ou des bri- ques et du sable damé. On prolonge la rigole jusque vers l’une des ouvertures (Æ, fig. 2, planche X), du bassin, par un canal en sable bien damé et consolidé extérieurement par des lestes de fer. On établit la communication entre ce canal et la rigole de coulée par un tuyau en tôle (fig. 14, planche XI), revêtu intérieurement et ex- térieurement de terre fientée et séchée (fig. 2, planche X). Onre- couvre ce tuyau de sable damé, qui sert de digue pour arrêter les laitiers et les charbons surnageant la fonte liquide, tandis que la partie inférieure du courant de métal traverse le tuyan, comme un siphon, se rend dans la rigole de coulée et tombe ensuite dans le moule. Pour empécher le métal de traverser le tuyau avant qu'il n’ait des bouches à feu en fonte et en bronze . etc. 429 atteint une certaine hauteur, on ferme ce tuyau par un bouchon de foin, qui ne livre passage que lorsqu'il s’est consumé en brü- lant. Ou pratique un emboïitement à l'ouverture (K, fig. 2) du bassin correspondante à chaque moule, pour loger une porte ou écluse en fer , l’écluse de bassin (fig. 5), recouverte sur ses deux faces de terre fientée et séchée. Un manche de fer adapté à cette écluse, per- met de l'élever ou de l'abaisser, et, par conséquent, d'établir ou d'interrompre à volonté la communication entre le bassin et le canal qui conduit au moule. Indépendamment de l'écluse de bassin, on en place une seconde, la grande écluse (fig. 4, planche X1), également revêtue de terre fientée et séchée. Elle se trouve en L (fig. 4 et 2, planche X), en- tre le bassin et la rigole de coulée. Sa partie inférieure est un peu au-dessus du fond du canal pour permettre l’écoulement du métal. La fonte liquide passant sous la grande écluse comme dans un siphon, il y a une chance de plus d'arrêter les laitiers et les char- bons qui surnagent et viennent s’accumuler devant l'obstacle formé par elle. La grande écluse est implantée dans le sable qui forme les parois du canal de coulée et qu'on a fortement damé. On ménage une rigole pour recevoir l’excédant de métal après le remplissage des moules. On dispose un plancher au-dessus de la fosse et autour des mou- les, pour les hommes nécessaires au service de la coulée. Pour empêcher l'introduction dans les moules des poussières et autres corps étrangers , on en recouvre les orifices par des feuilles de tôle qu'on enlève un peu avant la percée du fourneau. On se sert avantageusement d’une petite corbeille suspendue à l’intérieur du moule, et qu’on enlève au moment de la coulée, pour recueillir les corps étrangers qui se seraient introduits, malgré les précautions prises. On se munit de tous les objets qui peuvent être nécessaires, soit pour effectuer la coulée, soit pour parer aux accidents. Parmi ces objets nous citerons : La masse de fer (fig. 3, planche XI), servant à chasser le pi- quoir dans le trou de coulée, ou à enfoncer la grande écluse dans la rigole de sable pour arrêter l’affluence du métal vers le moule. La quenouillette (fig. 7), qu'on introduit dans le tuyau de dé- charge de la rigole de coulée (fig. 2, 2 bis et 2 ter, planche XI) et (GH, fig. 2, planche X) et avec laquelle on règle la quantité de mé- 450 Coquizsar. — Cours élémentaire sur la fabrication tal liquide qui tombe dans le moule , en même temps qu’on en di- rige le jet. L'écluse de rigole (fig. 6, planche XI), qu'on introduit dans la ri- gole de coulée (GH, fig. 2, planche X), au moment où l’on remplit le moule, afin d'arrêter les laitiers entrainés avec la fonte et de les empêcher d'arriver jusque dans le moule. Le piquoir (fig. 9, planche XI), avec lequel on débouche le four- neau , en le chassant à coups de masse. On a soin d’en rougir la pointe au feu avant de s’en servir. Le tampon (fig. 10), barre de fer dont une extrémité est garnie de terre fientée et séchée. Le tampon sert à modérer la sortie du. métal par les trous de coulée. Le rable (fig. 12), sorte de racloir en fer, qui sert à brasser et à écumer. La poche ou écumoire (Gg. 8), sorte de bassin hémisphérique en. tôle , revêtue de terre fientée , séchée et munie d’un manche en fer. Cette poche sert à puiser dans le fourneau par la porte de brassage, et à prendre soit du métal liquide , soit du laitier. Les bouchoirs (fig. 11 et 13), longs manches en fer ou en bois, munis à une extrémité d’un morceau de tôle, replié sur les bords, formant une sorte de caisse ou de canal qu'on remplit de terre de mouleur. Lorsqu'une fissure est remarquée dans le chàssis du moule, on s’empresse de la tamponner avec la terre contenue à l’ex- trémité du bouchoir. Il est bon de se hâter dans cette opération, car le métal liquide élargit promptement les issues par lesquelles il s'échappe. Il y a deux sortes de bouchoirs, l’un pour les brides lon- gitudinales (fig. 11), l’autre pour les brides circulaires (fig. 13). CHAPITRE HI. FUSION DE LA FONT£ : COULÉE DES PIÈCES EN FER. ARTICLE I. COMPOSITION DE LA CHARGE ET CHARGEMENT DU FOURNEAU A RÊVERBÈRE. Composition de la charge. Pour déterminer le poids total de la fonte nécessaire à la coulée d’une pièce, il faut avoir égard au poids de la pièce finie, au métal des bouches à feu en fonte et en bronze, etc. 431 qui entre dans le vide de l'ame, à l’excédant pour le tournage et le ciselage, au poids de la masselotte et enfin au déchet. Il est admis en principe que la masselotte, pour produire son effet, ne doit se figer qu'après le bourrelet. Il convient done de lui donner un diamètre un peu plus fort : quant à sa hauteur, l'expérience a fait voir que 0,60 à 0,70, sufi- saient pour les pièces actuelles. En tout cas, la hauteur de la masselotte doit excéder son dia- mètre. Le déchet est variable suivant la durée de la fusion , l’activité du fourneau et la qualité des fontes. Dans le calcul des charges, on doit supposer la réunion des circonstances les plus défavorables , afin de n’être jamais en défant de métal. Dans un cas extrême, on aurait encore la ressource, à la fonderie de Liége, de profiter de la fonte du cubilot, pour achever de remplir le moule après la cou- lée, s’il y avait eu perte de métal. Mais pour que la pièce soit sau- vée , il faut que la fonte, sortie du fourneau à réverbère, arrive au moins jusqu’à la naissance de la masselotte. Les fontes au coke de première fusion donnent plus de déchet, que celles au bois, et celles-ci plus que les masselottes et autres fontes de seconde fusion. 11 faut remarquer que , quand les fontes sont peu carburées ou que le fourneau marche mal, il y a une cer- taine partie de métal qui se fige sur la sole, dans le bassin et les écheneaux, et qui ne peut arriver jusque dans le moule. Ces cir- constances conduisent au même résultat que sil y avait une perte de fonte. Lorsqu'on coule une pièce d'un certain calibre pour la première fois, on compte sur 10 pour °/, de déchet; ce chiffre est, du reste, une limite qu’on n’atteint presque jamais. On rectifie la charge pour les pièces suivantes, d’après le résultat de la première coulée. En général, la charge se compose de : 4]; de fonte de première fusion : 1/: de masselottes et restant de coulée. Les établissements qui fournissent des fontes à canon, en Belgi- que , sont en petit nombre. Le fourneau du Poucet fournit depuis longtemps des fontes fortes au bois. Celui de Lassoye, dans le Luxembourg, estentré en lice depuis quelque temps. Enfin, l’établis- sement de Seraing a fourni, à diverses reprises, d'excellentes fontes au coke. Nous avons dit à l'article fontes , que celles aux bois étaient géné- 432 Coquizmar. — Cours élémentaire sur la fabrication ralement livrées en grosses barres triangulaires , nommées queuses. Les maitres de forges avaient effectivement l'habitude de couler leurs produits sous cette forme. Mais leurs dernières fournitures ont été effectuées en barreaux ou en plaques d’une certaine dimen- sion. On y trouve l’avantage de pouvoir les charger plus aisément et d'éviter la manœuvre de les briser au casse-gueuse. Ces avantages pourraient bien être balancés par un grave in- convénient. En effet, nous verrons plus loin que la sole a besoin d'être échauffée avant le commencement de la fusion. Les petits bar- reaux entrant plus vite en fusion que les gros, il est à craindre que la sole ne soit pas convenablement échauffée au moment où le mé- tal se fond , si la charge entière du fourneau est composée de pe- tits morceaux. L'aspect des fontes changeant avec la grosseur des échantillons coulés , il faut remarquer que les fontes fortes au bois, coulées en plaques ou en barreaux , ne seront plus à gros grains , comme nous l'avons indiqué pour les gueuses, mais que ces fontes auront le grain plus petit, une couleur plus claire , et montreront même par- fois un aspect truité. Il convient pour la régularité des produits et pour entretenir les maîtres de forges dans les bonnes traditions sur la fabrication des fontes fortes, en leur donnant occasion d'en livrer de temps en temps, il convient, disons-nous , de prendre les fontes des divers bauts-fourneaux, en proportions aussi constantes que possible dans la composition des charges des fourneaux à réverbère. Quand on a de vieux canons de Suède , on les fait entrer pour ‘/; dans les charges et on les considère comme fonte de première fusion. Les petites pièces se refroidissent plus vite que les grosses, après la coulée : elles sont, à mélange égal, d’une fonte plus dure. On y remédie en augmentant un peu la proportion des fontes de pre- mière fusion. Pour les très-grosses pièces, au contraire, dont le refroidissement est très-lent, on peut , dans certains cas, pousser jusqu’à */, la proportion des fontes de seconde fusion. Chargement du fourneau à réverbère. Il est essentiel que la sole soit bien échauffée avant que la charge commence à fondre, afin que la partie inférieure du bain ne forme pas une couche de métal à l'état pâteux, qu’on ne pourrait liquéfier qu'aux dépens de la chaleur du restant du bain. On s’est donc dé- cidé, dans plusieurs fonderies, à chauffer d'abord le fourneau, des bouches à feu en fonte et en bronze , etc. 435 et à introduire ensuite la charge. C’estce qu'on appelle charger à chaud. Ce procédé augmente la dépense en combustible , et occasionne de grands embarras par la difficulté de ranger les métaux sur la sole, lorsque le feu est en pleine activité. A la fonderie de Liége et dans plusieurs établissements, le char- gement se fait à froid, c'est-à-dire avant que le feu soit mis au fourneau. Mais on prend des précautions , pour que la sole soit con- venablement échauffée avant que la fusion commence. Nous au- rons soin de les indiquer. On recouvre la sole de menu coke qui s’enflamme lors de la mise à feu , et qui, surnageant plus tard , lorsque la fusion s’est opérée, protége le métal contre l’action de l’oxigène. Les masselottes sont placées vers le bas du fourneau et élevées sur des briques réfractaires de manière qu'elles occupent le milieu de l'intervalle entre la voüte et la sole. Les fontes de première fu- sion sont déposées près du pont, les plus gros barreaux les plus rapprochés de la chauffe. On les range suivant la longueur du four- neau, mais en les faisant porter sur d’autres barreaux transversaux qui leur servent de chantiers. Ces barreaux transversaux eux-mé- mes reposent par leurs extrémités sur des briques réfractaires , de manière à distancer la fonte également entre la voûte , Ia sole et les côtés. Ces dispositions ont pour objet de forcer la flamme à se diviser, à envelopper le métal, à le chauffer également et à porter “ la sole au plus haut degré de chaleur avant que la fusion com- mence. Les fontes de première fusion sont les plus rapprochées du pont afin de protéger contre l’action décarburante de la flamme la mas- * selotte et les tronçons de canons qui sont plus lents à fondre, à cause de leurs dimensions. Pensant que la plus grande chaleur se fesait sentir près du pont, on y placait la masselotte. Mais celle-ci, comme nous venons de le “dire, était lente à se fondre vu sa grande masse. La partie de la mas- …sclotte dirigée vers la chauffe, étant longtemps soumise à l’action de EN Ja flamme, avant le commencement de la fusion, se décarburait com- plètement et s’affinait : l'enveloppe ne pouvant plus entrer en fusion, restait à l’état päteux et formait ce que l'on appelle du carcas. On évite actuellement cette perte en plaçant la masselotte et les tronçons de canons vers le bas du fourneau. Dans cette position , ils reçoivent la mème chaleur ct ils ne tardent pas à se trouver dans bb) 454 Coquizuar. — Cours élémentaire sur la fabrication le bain. Le bain communique sa chaleur aux fontes qu'il enveloppe et en accélère ainsi la fusion. Pour charger la grille, on la couvre d’un peu de paille , puis de fagots en chêne bien secs, et enfin de grosses houilles jusqu’au ni- veau du pont. Quand le chargement est terminé , on ferme le trou de chauffe par une petite portière, ou bien -on le bouche avec un gros morceau de houille et du menu charbon entassé dans l’em- brasure. On lute avec du sable argileux et réfractaire la porte de chargement et la porte de brassage. On bouche les trous de coulée avec le même sable , qu'on dame fortement. On peut alors mettre le feu au fourneau , si les moules sont encagés dans la fosse à ça- nons. Il est prudent de ne pas allumer avant, un accident pouvant arriver aux moules pendant l’encagement et rendre la coulée im- possible. ARTICLE II DE LA HOUILLE. La houille destinée aux fourneaux à réverbère, doit s’allumer fa- cilement , sans être sulfureuse ; elle doit brüler avec une flamme claire et exempte de fumée : elle ne doit pas s’agglutiner ni se con- vertir en cendres; enfin, elle doit posséder une grande puissance de chauffe. Cette qualité de houille ne peut se rencontrer que par— mi celles qui ne sont ni grasses ni maigres, et qu'on nomme houilles demi-grasses. Une houille trop grasse se boursouflle, s’agglutine , ferme les intervalles entre les barreaux de grille et empèche l’arrivée de l’air nécessaire à la combustion. Une houille trop maigre ne donne pas assez de flamme, ne chauffe que par le calorique rayonnant, pro- duit une température inégale dans le fourneau et ne peut empêcher le bain de se refroidir. Une houille trop bitumineuse produit un ex- cès de fumée qui étouffe la flamme et empêche le fourneau de par- venir à une haute température. La houille doit être débarrassée de pierres, de morceaux de schiste ou de grès; elle doit être en gros morceaux, afin de ne pas s’entasser, ce qui empécherait la circulation de l'air , et pour ne pas tomber au travers de la grille. La houille employée à la fonderie de Liége, provient principale- ment de la houillère de Belle-Vue. Elle a une couleur noire et un | | | 4 des bouches à feu en fonte et en bronze , etc. 455 aspect luisant. Elle ne contient pas de stratification de schiste ou de grès, elle est légère, friable et connue sous le nom de houille chaude , demi-grasse.. ARTICLE IL CONDUITE DES, FOURNEAUX A RÉVERBÈRE. Le fourneau étant chargé et les moules encagés dans la fosse à eanons, on met le feu au combustible par un peu de paille enflam- mée qu'on tient sous la grille. 11 est important dé pouvoir observer Vintérieur du fourneau. A cet effet, on regarde de temps en temps par le guichet de la porte de chargement ou de brassage. Le gui- chet est un petit trou percé au centre de la porte, qu'on bouche par un (ampen d'argile après qu'on a observé le fourneau: On remarque si tous les morceaux de fonte entrent également en fusion , s’il ne se forme-pas trop de laitiers, si le fourneau marche bien , si la flamme est claire et active. De temps en temps-on re- charge la grille par le trou de chauffe qu’on ferme ensuite exacte- ment. On reconnait que le feu marche bien, à la flamme qui sort . de la cheminée et qui. doit être claire-et courte: Le feu doit être conduit progressivement pour empécher le métal d'entrer er fusion avant que l’intérieur du fourneau et principale- ment la sole aient eu le temps d'acquérir un haut degré de cha- leur. Deux heures et demie après la mise à feu (plus ou moins), la fonte est ordinairement liquéfiée. Mais il arrive souvent que la sole est recouverte d’une couche de métal qui s’est refroidi en coulant et qui, restant à l’état pâteux, ferait manquer la coulée si l'on n’y portait remède. Pour reconnaitre l'état du fourneau, on ouvre la porte de bras- % sage , et l'on promène un rable (fig. 42, planche XI), sur le fond du bassin. On ramène à la surface les parties de métal seulement — ramollies , pour les exposer à la chaleur de la flamme : on les brise, onlles divise et on les mélange avec le reste de la charge. Ces ma- nœuvres font acquérir la température générale du fourneau à ces … parties de métal qui ne sont que ramollies ou pâteuses. Il faut en agir de même avec les morceaux de fonte ou de masselottes qui ré- sistent à la fusion; on prévient ainsi la formation du carcas et le déchet qui en est la suite. Le brassage doit durer jusqu'à ce que la sole soit entièrement débarrassée du métal qui s'y serait attaché à 436 Coquisnar. — Cours élémentaire sur la fabrication l’état pâteux. Les fondeurs appellent relever la sole , l'opération ef- fectuée par ce premier brassage. Ou prévient l'oxidation de la fonte en projetant de temps en temps sur le bain un peu de menu coke ou de charbon de bois qui serten même temps à le réchauffer en brülant. II faut projeter du charbon chaque fois qu'on ouvre le fourneau. Le brassage étant terminé , on referme aussitôt la porte de brassage et on la lute avec du sable argileux. La surface du bain se recouvre toujours plus ou moins de lai- tiers, qui proviennent principalement du fourneau , et de la fonte elle-même. Il faut éviter qu'il y en ait trop à la surface du bain, ils empécheraient la flamme de chauffer le métal. On les retire par la porte de brassage. On les coagule pour les enléver plus facile- ment, cn répandant un peu de sable blanc sur le fourneau : le lai- uier refroidi subitement se prend en une masse pâteuse qu’on en- traine sans peine avec un rable. On peut laisser sur le métal une couche mince de laitier, qui, sans s'opposer trop sensiblement à l’action de la chaleur, empêche la décarburation de la fonte. Le brassage a l’avantage de mélanger les fontes et de les rendre homogènes; mais il refroidit le fourneau. Il faut done éviter de le faire durer trop longtemps et il faut se häter de refermer le four- neau hermétiquement. On reconnait que la fonte est suffisamment chaude quand elle parait trés-fluide et qu’elle est étincelante. Il est difficile de bien en juger par la couleur seulement. Il est bien vrai que la fonte liquéfiée est d’autant plus blanche qu'elle est plus chaude, mais elle présente des nuances qui dépeu- dent de sa nature : ainsi, à température égale, la fonte grise est plus rouge que la fonte blanche. ARTICLE IV. COULÉE DES CANONS. Ii est temps de couler quand la fonte commence à étinceler. Une fusion trop prolongée brüle le métal, détermine un commence- ment d’affinage, rend la fonte moins liquide et même peut l’ame- ner à l'état pâteux. Dans ces circonstances, les moules se rempli- raient difficilement , la fonte se figerait promptement, le métal se- rait dur et cassant aprés le refroidissement. des bouches à feu en fonte et en bronze , etc. 457 Le moment de couler étant arrivé, on dispose les hommes près des écheneaux et du bassin. Quelques-uns se munissent d'écluses de rigole (fig. 6, planche XI), espèces de pelles en fer, à manches obliques , recouvertes de terre fientée et séchée, et dont le profil est le même que celui des écheneaux, afin de pouvoir arrêter les laitiers, modérer l’arrivée de la fonte et, au besoin, la retenir entié- rement. D’autres saisissent une perche de bois pour écumer le métal à la surface et écarter les laitiers et les charbons. On allume un morceau de chandelle au bas du châssis qui renferme le moule, afin d'allu- mer les gaz lorsqu'ils se produisent et de faciliter leur sortie. L’ouvrier chargé du tuyau de décharge qui conduit le métal dans . le moule, prend la quenouillette (fig. 7) avec laquelle il dois diriger le jet vers le fond du moule et régler la chute du métal. On dégage avec la truelle une partie du sable entassé dans l'œil ou le trou de coulée. Pendant,ce temps, on rougit au feu la pointe … de la perrière ou du piquoir (fig. 9) ; on dispose horizontalement près du mur où débouche le trou de coulée, une autre barre de fer, dont l’objet est de servir, au besoin, d'appui au piquoir. On place ensuite l'extrémité du piquoir dans le trou de coulée, on l'enfonce à … coups de masse et on le retire quand la fonte arrive. Lorsque plu- sieurs fourneaux concourent à la même coulée, on les dégage en | même temps. On laisse le bassin se remplir : on écrase avec la pelle jes char- bons de bois, qui surnagent , et on laisse les fontes se mélanger. On soulève l'écluse placée à l’ouverture du bassin, en ayant soin qu'elle appuie toujours contre son emboitement. La fonte passe par dessous l’écluse : les laitiers qui surnagent, sont arrètés. Le métal liquide s'écoule ensuite sous la grande écluse (L, fig. 4, planche X), “traverse le tuyau placé à l'extrémité de la rigole de coulée, après voir brülé le bouchon de foin qui l'obstruait, et enfin afflue dans la rigole de coulée. … On arrête les corps étrangers entrainés avec le métal au moyen d'écumoirs eu bois et d’une ou deux écluses de rigole. On dirige avec la quenouillette le jet de métal sur le centre du moule, en évitant de le projeter sur les parois. Lorsque la fonte est parvenue à la hau- eur des tourillons, on ferme le tuyau de décharge avec la quenouil- Jette, et on interrompt la chute du métal. Les canaux et le bassin se remplissent. En soulevant ensuite la quenouillette, on fait tomber “un gros jet de métal dans le moule, et on occasionne des mouve- 438 Coquiiuar. — Cours élémentaire sur la fabrication ments et des bouillonnements qui ramènent vers le centre les lai- tiers et les charbons entrainés avec la fonte. De cette manière, on en préserve les tourillons. Lorsque le bain du fourneau s'est abaissé jusqu'au niveau du trou de coulée, on perce le trou inférieur , afin d’empécher les lai- tiers d'arriver, On laisse le fourneau se vider et le moule se rem- plir , en prenant les mêmes précautions. La masselotte étant pleine, on perce sur le côté des écheneaux une ouverture communiquant à une rigole, où l'on reçoit la fonte excédante, On interrompt en mème temps la communication avec le moule, en enfonçant à coups de masse la grande écluse dans le sable, et en bouchant l’écheneau par du sable damé contre cette écluse. Il est important d'empêcher les laitiers de se mêler avec la fonte. Ils arrivent vers la fin de la coulée, et se font remarquer par des fi- lets plus fluides et blanchâtres qui surnagent. On les arrête en je— tant du sable sur la rigole près du trou de coulée. On détruit en— suite la paroi extérieure de cette rigole, eomme nous l'avons déjà expliqué , et le laitier se répand sur le sol de l’atelier. La coulée étant terminée , et la fonte restante dans les écheneaux. étant figée, on enlève la rigole de coulée, on écume le métal au dessus de la masselotte et l’on répand sur sa surface une couche épaisse de coke pulvérisé. Par ce moyen, on débarrasse les massc- lottes des laitiers, et on ralentit le refroidissement de la pièce, parce que le charbon est mauvais conducteur du calorique. Pendant la coulée, il se forme dans la matière du moule des gaz dont il faut faciliter le dégagement. Nous avons déjà dit qu'on les allumait par le feu d'une bougie placée au bas du moule contre la jonction de deux chässis. Les gaz, en brülant, développent une certaine chaleur qui se communique au chàssis et contribue à en ralentir le refroïdis- sement. La combustion des gaz se fait remarquer par les flammes bleuà- tres qui courent le long des brides longitudinales et cireulaires. La durée de la fusion est ordinairement de 4 heures. La consommation moyenne de houille par 1,000 kilogrammes de fonte, est d'environ 650 kilogrammes. La coulée dure 5 à 10 minutes. Le séchage des moules dans l'étuve exige de 750 à 1.000 kilo- des bouches à feu en fonte et en bronze, etc. 459 | grammes de houille par bouche à feu, en moyenne 850 kilo- - grammes. ARTICLE V. | | | ACCIDENTS QUI PEUVENT SURVENIR. . ! Les accidents qui peuvent survenir sont nombreux ; le maitre fondeur doit les prévoir par une attention continuelle. Nous citerons - quelques-uns de ces accidents. 4° Une forte température acquise trop subitement, une tempé- rature excessivement élevée, une fusion trop prolongée, peuvent occasionner des dilatations et des tiraillements dans les ferrures de Ja maçonnerie et dans la maconnerie elle-même; de là , des fissures par lesquelles la fonte peut s'échapper dans le cendrier. … 2° Une température très-élevée , ou une fusion trop prolongée, peuvent provoquer la détérioration du pont et la fusion d’une par- tie des briques qui composent la sole près du pont, et par suite , le métal liquide peut fuir dans le cendrier. 8° Une partie de la charge près du pont peut s’affaisser sur elle- nème , rester à l’état pâteux, former une digue à une certaine dis- tance du pont, et empècher l'écoulement du métal à mesure qu'il “entre en fusion. Le métal liquide ne pouvant plus descendre vers le bas du fourneau , passe au-dessus du pont et tombe au travers de la grille dans le cendrier. — On ouvre la porte de brassage, on perce avec un rable ou un pi- quoir la digue formée par le métal affaissé sur lui-même à l’état pà- eux, et on livre au métal liquide un passage vers le bas du four- peau. —…:° La charge peut être trop forte pour la capacité du bassin, et “la fonte liquide déborde la porte de brassage. On exhausse la par- sie inférieure de cette porte avee des briques réfractaires ou avec du ble argileux bien foulé, ce qui forme un barrage capable de re- lenir le métal. .5° Le fourneau étant trop chargé, le niveau du métal rétrécit rop le passage de la flamme sous le bec, ce qui ralentit le tirage et empêche le métal d'acquérir la température nécessaire. — On ouvre la porte de brassage, et on démolit une partie du bec Acous de ringards , afin d'élargir la section du fourneau à cette 410 Coquinnar. — Cours élémentaire sur la fabrication place. Le tirage devenant plus facile, la température du fourneau ne tarde pas à s'élever. 6° Une partie de la voute peut s’affaisser sur le métal liquide. On ouvre la porte de brassage , on enlève avec un rable Jes briques et les laitiers , on recouvre de feuilles de tôle suffisamment épaisses l'ouverture produite par l’affaissement d’une partie de la voûte , et on lute les joints avec du sable réfractaire. On coule dès que l’état de la fonte le permet. 7° Fourneau qui marche mal accidentellement. Il arrive quel- quefois que, malgré une fusion prolongée, on ne parvient pas à chauffer la fonte assez fortement. Il est préférable, dans ce cas , de couler de suite. En cherchant à augmenter la température par la continuation du feu, on court risque de trop décarburer le métal. Quand on prolonge la fusion , on a soin de couvrir le bain de charbon de bois ou de coke pour garantir le métal de l’oxigène ap- porté par le tirage de la cheminée. On parvient quelquefois à ranimer le fourneau en projetant de l'eau sur le cendrier. Cette eau, en se vaporisant, traverse la grille, entre dans la chauffe où elle se décompose. L'hydrogène, devenu libre, brüle ensuite au contact de l’oxigène de l'air affluent, ce qui détermine souvent une accélération dans l'allure du fourneau. 8 La haute température de la matière peut opérer la vitrifica- tion et la fusion d’une partie des terres qui recouvrent la rigole de coulée , et de la tôle dont cette rigole est composée, La partie de la plaque de fonte située sous la rigole de coulée, au point où elle est percée, peut elle-même entrer en fusion par le courant de métal liquide. La plaque étant percée , il en résulte des fuites, soit sur le sol de l'atelier , soit dans la fosse aux moules. Dès qu'on s'en aperçoit, on tamponne le trou de coulée, on ferme les écluses, on arrête la coulée et on replace une nouvelle rigole de coulée. Ces diverses opé- rations doivent se faire avec la plus grande célérité. 9° Fuité à travers le moule. Elle résulte d’une fonte extrème- ment chaude, d'une réparation mal faite lors du moulage, d'un mauvais assemblage de deux parties consécutives du chässis, d'un boulon ou d’une clavette brisés à la bride longitudinale , des dilata- tions qu'éprouvent les châssis et les boulons lors du séchage, lors de la coulée et mème après la coulée. . | . des bouches à feu en fonte et en bronze , etc. ki On remédie à ces fuites, en tamponnant avec de l'argile pétrie appliquée avec le bouchoir. La fonte s’épaissit au contact d’an corps froid et se congèle quel- quefois , ce qui arrête la fuite, Mais, pour réussir, il faut que la fissure soit bien petite et promp- tement bouchée, ear le courant de fonte liquide est extrémement rongeur. On interrompt en même temps l'arrivée de la fonte, et on ne reprend la coulée que lorsque la fissure est bien bouchée. 10°. Moule humide en une certaine partie. Quand on remarque un bouillonnement produit par l'humidité du moule qui se vapo- rise au contact de la fonte, on ralentit la coulée, on fait arriver le métal à petit jet, jusqu’à ce que le houillonnement ait cessé. CHAPITRE IV. FUSION DU BRONZE : COULÉE DES BOUCHES À FEU EN BRONZE. ARTICLE I. FOURNEAU A RÉVERBÈRE POUR LA FUSION DU BRONZE. A la fonderie de Liége, on opère la fusion du bronze comme celle de fonte dans un fourneau à réverbère allongé. Mais le bronze exigeant une température moins élevée, on peut donner plus de capacité au foyer de fusion pour une même surface de chauffe. On a utilisé pour cet objet deux fourneaux à réverbère accouplés de la fonderie n° 2. Les dimensions de ces fourneaux sont restées les mêmes avec les exceptions suivantes : 4° On a élevé le pont jusqu’à la hauteur de 0,20 à 0,95. 2° Ona abaissé la grille de 0,50 à 0,85 en dessous du pont. 3° On a abaiïssé la sole près du pont, ce qui a augmenté la ca- pacité du fourneau et diminué l'inclinaison de la sole. Le pont est renforcé, parce qu'il est plus élevé et qu'il doit ré- sister aux effets de l'infiltration du métal. On lui donne 0,30 de largeur en haut, et on le raccorde avec la sole par un talus sous 45°. Le bas du fourneau étant réglé d’après la position des trous de coulée , ne varie pas. L'abaissement de la sole dans les deux fourneaux est réglé d’a- près la capacité qu'on veut leur donner : l’un étant destiné à fon- dre une charge de 5,000 kilogrammes environ et l’autre devant fondre jusqu'à 8,000 kilogrammes. 56 442 Coquizuar. — Cours élémentaire sur la fabrication On doit éviter de trop abaisser la sole dans le plus petit des deux fourneaux, car il deviendrait difficile à chauffer pour les petites charges , qu'on est quelquefois obligé de fondre quand on a une seule pièce de campagne à couler. On élève le pont et on abaisse la grille dans le double but de prévenir l’oxidation du métal et de retarder sa fusion, pour avoir le temps de bien chauffer le fourneau avant que le métal com- mence à couler. La sole est formée de briques réfractaires posées de champ, afin qu'elles soient moins facilement soulevées par l'infiltration du bronze entre les joints. ARTICLE II. DISPOSITIONS POUR LA COULÉE DES PIÈCES DE BRONZE. L’encagement des moules dans la fosse à canons, se fait de la même manière que pour les pièces de fonte. On a les mêmes écheneaux et le même bassin de coulée que pour les pièces de fonte. Cependant on ne peut faire couler le bronze li- quide sur des rigoles en sable, parce qu’il s’infiltrerait dans la ma- tière qui en forme les parois. On est donc obligé, pour les parties non revêtues en maçonnerie , de composer ces rigoles avec des por- tions de canaux formées de plaques en terre fientée et convenable ment séchées. Ces plaques sont soudées avec de la terre de mouleur, Les rigoles sont consolidées par du sable damé et soutenu par des lestes en fer. Les écheneaux et le bassin étant préparés, on les remplit de gros fagots qu’on allume pour les faire sécher. On continue ensuite les feux jusqu’au moment de la coulée avec du charbon de bois, et on recouvre les rigoles par des feuilles de tôle pour concentrer la chaleur. On remplace la grande écluse (fig. 4, planche XI) et (L, fig. 4, planche X), par une écluse de bassin ou de rigole (fig. 5 et 6, plan- che XI), pour laquelle on a pratiqué un emboîtement dans l'é- cheneau. A la fonderie de Liége, on prend quelques dispositions particu- lières, quand on coule plusieurs canons à la fois, On établitune rigole de communication d’un moule à l’autre, un peu en dessous de la partie supérieure de la masselotte, Elle est NERO SN TE RE > des bouches à feu en fonte et en bronze , etc. 445 amorcée entre deux moules consécutifs par un petit tuyau partant de chaque chässis et coulé en même temps. Cette rigole est recou- verte intérieurement de terre fientée et séchée. Un des moules extrêmes a en outre un tuyau de décharge égale- ment tapissé de terre de mouleur. Ce tuyau surplombe une vaste chaudière de fonte destinée à rece- voir l’excédant de métal après le remplissage des moules. La chaudière, qui est tapissée intérieurement de terre fientée et séchée, est suspendue à la grue qui commande la fosse à canon. La chaudière est suspendue de la manière suivante : Elle est pourvue de deux tourillons placés un peu au-dessus du centre de gravité du vide intérieur. Deux étriers en fer, partant de ces tourillons , emboïtent un arbre horizontal en fer forgé (semblable au fléau d’une balance), qu’on ac- croche à la grue par son milieu. Aux extrémités des tourillons, on adapte deux grands leviers en fer , qui permettent d'incliner ou de redresser la chaudière à vo- lonté. Ainsi , à l'aide de la grue et des deux leviers de fer, on peut re- verser dans les moules, l’excédant de métal arrivé dans la chau- dière et compenser la perte due à l’infiltration du bronze dans les chapes. Cette infiltration est nommée absorption, par les fondeurs, pour indiquer que le métal est sorti du moule pour entrer dans la chape. S'il ya plusieurs moules, indépendamment de la communication d'un moule à l’autre, on construit encore des écheneaux , qui, partant de chacun d’eux , aboutissent au bassin de coulée. Pour éviter les embarras du maniement de cette vaste chaudière, il faudrait augmenter la capacité des moules, en allongeant les masselottes. L'excédant de bronze obtenu par le remplissage des moules , remplacerait la perte due à l'absorption. On obtiendrait une économie de main-d'œuvre, les chances d'accident diminue- raient, et le métal n'étant pas déplacé inutilement , se refroidirait -moins vite. Une augmentation de 0,50 dans la hauteur de la mas- “selotte, suffirait pour arriver à ce résultat. Rien ne s'oppose à ce qu'on allonge le châssis de la masselotte de0,50 , un excès de longueur dans le moule ne pouvant nuire. 44h Coquiznat. — Cours élémentaire sur la fabrication ARTICLE III. COMPOSITION DE LA CHARGE OU FOURNEAU A RÉVERBÈRE. La question de savoir, s’il est préférable de fondre avec des métaux neufs (le cuivre et l'étain purs), ou avec du vieux bronze , a été un sujet de controverse. Les partisans des métaux neufs prétendent que le bronze souvent refondu, devient plus blanc (à dose égale d’étain), et beaucoup moins tenace. Ils attribuent ces effets à la présence des oxides mé- talliques, qui ont du se former et s’accumuler dans des refontes souvent répétées. Mais ils ne remarquent pas que ces oxides ont dû se séparer en vertu de leur moindre densité et entrer dans les laitiers. Ils admettent également que l’alliage a pu se compliquer des substances étrangères renfermées dans les matériaux qui compo- sent les fourneaux ou les moules, Les partisans du vieux bronze, font remarquer que, si les mé- taux refondus sont purs, les produits sont plus homogènes, moins sujets aux effets de la liquation, et plus durs à dose égale d’étain. Is font observer que le manque de dureté est un des plus grands défauts qu'on reproche aux pièces de bronze, et que la refonte des métaux est un des moyens d'y remédier. Ils soutiennent d’ailleurs que des substances étrangères ne peuvent s’introduire dans le bronze par l'effet de la fusion, puisqu'une fusion prolongée ramènerait le bronze à l’état de cuivre pur et que ces substances étant plus oxi- dables que le cuivre, doivent entrer dans les laitiers. La difficulté de former un bon alliage de cuivre et d’étain est si grande, qu'a la fonderie de Liége et dans plusieurs fonderies de France et d’autres contrées , on fait l’alliage par une fusion préala- ble ; afin de composer le mélange préalable, qu’on doit employer au fondage des pièces , au lieu du cuivre et de l’étain purs. L’étain étant beaucoup plus oxidable que le cuivre, le titre de bronze s’altère par la fusion. On est done obligé, quand on emploie du vieux bronze, d'ajouter à la charge du fourneau, soit de l’étain pur , soit un alliage très-ri- che en étain, d'après les indications du calcul et de l'analyse. M le colonel Fréderix a introduit à la fonderie de Liége un pro- cédé qu’il a importé de l'Angleterre, et qui consiste à remplacer l’é- tain par un alliage formé de deux parties de cuivre et d’une partie d'étain, Cet alliage, il le nomme métal chimique. nu des bouches à feu en fonte et en bronze, etc. 445 L'emploi du métal chimique nous semble bon, car l'étain déjà allié au cuivre se dissoudra plus uniformément dans la masse, que si on le projetait pur. M° le colonel Fréderix forme le mélange préalable de 8 parties d’étain seulement sur 100 parties de cuivre. Nous pensons qu'il serait beaucoup plus rationnel de le composer au titre voulu de 11 pour °}, ce qui éviterait l'embarras d'intro- duire dans le fourneau , pendant la fusion, des quantités plus gran- des d’étain ou de métal chimique, et préviendrait l'inconvénient d'ouvrir souvent la porte de brassage, Du reste , la fonderie de Liége a coulé de belles pièces de bronze en employant le mélange préalable à l'un ou à l'autre des deux ti- tres de 8 pour °/, et de 11 pour °/.. Les métaux neufs ou vieux, pourront donner de bons produits s'ils sont purs : mais le bronze sera plus Lomogène par l'emploi de vieux Mmélaux. La charge du fourneau se compose de diverses espèces de bronze : elle comprend les masselottes obtenues à la coulée précédente, les fonds de bassin et de cuillers, les écheneaux, une partie de mé- lange préalable, les tronçons de canons et vieux bronze qu’on uti- lise, le bronze provenant de l'exploitation des croûtes de chape, les bûchilles et autres résidus de fabrication, et, en dernier lieu, l’é- tain ou le métal chimique nécessaires pour compléter le titre de la charge. L'analyse indique les diverses quantités d'étain que les fontes renferment, Mais la composition du bronze n'étant pas homogène, les échantillons analysés peuvent ne pas posséder le titre moyen des morceaux d'où on les a tirés, Les analyses elles-mêmes laissent quelquefois à désirer. Il est done prudent de composer les charges toujours à peu près dans les mêmes proportions , en ayant égard à l'approvisionnement existant et aux résidus que fournit la fabrica- tion de chaque pièce. . Dans une fonderie où l’approvisionnement est réglé en prévoy- ant l'avenir, on ne doit introduire dans les fourneaux que la “quantité de mélange préalable nécessaire pour couvrir les dé- chets, Car un gouvernement doit posséder le nombre nécessaire de bouches à feu en bronze, de sorte que la fabrication ne consiste que dans le renouvellement de celles mises hors de service. Malheureusement il n’en a pas été ainsi à la fonderie de Liége, P 446 Coquiunar. — Cours élémentaire sur la fabrication et les approvisionnements ont varié au point de forcer à couler en- tiérement , tantôt avee du vieux bronze , tantôt avec des métaux neufs. D'après le titre des diverses parties qui composent la charge, on détermine la quantité d'étain ou de métal chimique à ajouter , pour que le titre moyen de la charge soit de 11 pour °/,. Le déchet en étain sur la totalité des produits d’une fabrication , varie ordinairement entre ‘/, et pour °/,, pour une fusion de 6 à 8 heures de durée. La quotité de la charge se règle de la même manière que pour les pièces de fonte, en ayant égard au poids de la pièce finie et de la masselotte, à la quantité de métal qui entre dans l'ame , à l'excé- dant pour les opérations du tournage et du ciselage , au déchet. Mais il faut remarquer que les masselottes des pièces de bronze doivent être beaucoup plus plus hautes que celles des pièces de fon- te, et que le déchet doit comprendre l'absorption du métal. Il faut également tenir compte de l'infiltration du bronze dans la sole d’un fourneau neuf, dans le bassin et les écheneaux. Enfin il est impossible d'éviter qu'il ne s'attache un peu de bronze aux pa- rois du bassin et des rigoles de conduite. Un excédant de métal n’a d’autre inconvénient que d’occasionner une petite perte de matière et de main-d'œuvre, mais une masse- lotte trop faible, peut faire manquer une pièce. ARTICLE IV. CHARGEMENT DU FOURNEAU A RÉVERBÈRE. Les métaux se fondent plus ou moins lentement, selon leur gros- seur. Si le fourneau était uniquement chargé de menus morceaux, ceux-ci seraient liquéfiés bien longtemps avant que le fourneau et Ia sole particulièrement eussent acquis le degré de chaleur voulue ; le bronze se prendrait en une masse pâteuse sur la sole, et le feu le plus ardent ne pourrait que l'oxider à la surface, sans pouvoir commu- niquer aux parties inférieures le degré de chaleur et de fluidité né cessaires pour la coulée. Quand cela arrive, on dit que le bronze fait pâle ou gâteau. I faut done faire le chargement avee des mé- taux d’une dimension assez forte pour que cet accident ne soit pas à craindre. Lorsqu'ils sont fondus, après que la sole est parvenue à un degré élevé de chaleur, on peut introduire successivement les menus morceaux qui complètent la charge. Ces morceaux noyés des bouches à feu en fonte et en bronze , etc. 447 dans le bain, en acquièrent promptement la température : on les pro- jette d’ailleurs en quantités assez petites pour qu'ils ne puissent re- froidir la charge d’une manière sensible, On utilise ainsi tous les échantillons de l’approvisionnement, quelle que soit leur grosseur. D'autres motifs s’opposent à l'introduction de parcelles de bronze dans le premier chargement, La flamme les oxiderait prompte- ment à cause de leur grand état de division, le déchet en serait augmenté et il y aurait en même temps altération dans le titre de la charge : des parties aussi légères que les büchilles pourraient même être entrainées jusque, dans la cheminée , par la force du courant. .Ces objections tomberaient en partie si l’on chargeait à chaud, mais nous en avons déjà fait ressortir les inconvénients. Nous ajouterons, qu'on ne peut chauffer un fourneau vide, aussi bien que quand il est convenablement chargé; car le bain de mé- tal produit un retrécissement de la section sous le bec, lequel, en retardant la sortie de la flamme la condense , lui donne le temps de communiquer une plus grande partie de sa chaleur au fourneau et en élève la température. Ces considérations ont fait diviser le chargement en deux parties distinctes : les gros métaux et les petits métaux. Les gros métaux comprennent les masselottes, les tronçons de canons, les lingots de mélange préalable , les restes des coulées précédentes , les rondelles provenant de l’excédant de longueur des pièces, les faux-boutons, etc., etc. Les petits métaux se composent des büchilles et menus morceaux provenant du ciselage. L’étain et le métal chimique forment une troisième catégorie, Les gros métaux sont introduits avant la mise à feu. On utilise ainsi la chaleur produite. Les petits métaux sont projetés pendant la fusion; noyés dans le bain, ils sont soustraits à l’action de la flamme et préservés de l'oxi- i dation. … L'étain ou le métal chimique ne sont ajoutés à la charge qu’une | £ demi-heure ou une heure avant la coulée (selon la quantité) , afin ÿ d'exposer ce métal le moins longtemps possible aux courants d’air. “ Lorsqu'un fourneau est mis à feu pour la première fois, on en- mduit la sole de potée de cendres, pour s’opposer, autant que possi- ble , à l'infiltration du métal dans les joints des briques réfractaires. On bouche les trous de coulée avec un tampon pyramidal en fer à base carrée : la grande base vers l'intérieur du fourneau. On ré- NÉE RENE 418 Coquuuat. — Cours élémentaire sur la fabrication pare et on ajuste l'ouverture pour le passige du tampon avec de la potée de cendres très-épaisse. On fait sécher au feu les couches de potée, au fur et à mesure qu'on les applique , pour les dur- cir. Quand le tampon est placé dans le logement qu'on lui a préparé, on le recouvre d’un gâteau de terre fientée, pour prévenir l'infiltration du bronze à travers les joints. On fait bien sécher , par un feu de charbon de bois, ce gâteau de terre et la partie environ nante du trou de coulée , et l’on peut alors procéder au chargement. Le combustible est déposé sur la grille de la même manière que dans les fourneaux destinés à la fusion du fer. On arrange les métaux de sorte qu'ils laissent des intervalles égaux entre la voüte, la sole et les côtés du fourneau, pour que la flamme puisse les envelopper. On élève la charge au moyen de briques réfractaires en guise de calles ; sur ces briques on ap- puie quelques lingots parallèlement au pont, pour qu'ils servent de chantiers à d’autres gros métaux qu’on dirige dans le sens de Ja longueur du fourneau. La charge est d’ailleurs répartie aussi uni- formément que possible, depuis le pont jusques un peu avant le bec. On répand sur la sole du charbon de bois, qui, en s’allumant, contribue à l'échauffer. Quand le bain est formé, le charbon de bois, en surnageant, couvre le métal et le préserve de l'oxidation et de plus il réduit une partie de l’oxide d’étain au fur et à mesure qu'il se forme. Les büchilles et l'étain, ou le métal chimique, ne devant s’intro- duire qu'après la mise à feu, nous en reparlerons. ARTICLE V. CONDUITE DU FOURNEAU ET COULÉE DES CANONS. La conduite et l'entretien du feu se font de la même manière que pour la fusion de la fonte. Deux heures et demie environ après la mise à feu , tout le bron- ze est liquéfié. On ouvre la porte de brassage, et on commence à brasser avec une perche de chène vert. La partie immergée de la perche dégage une grande quantité de vapeurs , qui font bouillon- ner le métal et produisent des mouvements qui favorisent le mé- lange des diverses parties de la charge. On laboure la sole pour ra- mener à la surface du bain le métal moins chaud qui s’y est attaché à l’état pâteux. On brise les gros morceaux qui ont résisté à la fu- LÉ des bouches à feu en fonte et en bronze, etc. 449 sion , on les divise, on les noie dans le bain, afin qu'ils en acquiè- rent la température. On accumule les laitiers vers la porte de bras- sage, on les coagule en projetant un peu de sable dessus et on les enlève avec un rable. “ Lorsqu'on a fini de brasser , on projette du charbon de bois dans le fourneau et on referme la porte de brassage. On doit commencer l'introduction des büchilles quand la charge est devenue liquide et a acquis un haut degré de chaleur. On re- connaît que le métal est très-chaud , quand il bouillonne, quand il écarte les laitiers en produisant des ondulations, quand les char- bouilles se meuvent à la surface du bain, quand il est d’une blan- - cheur éblouissante. …. L'introduction des büchilles doit se faire avec précaution , pour ne pas trop refroidir le bain. On en projette ordinairement 100 à 200 - kilogram. chaque fois qu'on ouvre le fourneau. On a soin de bras- » ser chaque fois et d'introduire du charbon de bois. On s'arrête dès | que le métal devient moins fluide et s'épaissit. On recommence l’o- ….pération de demi-heure en demi-heure ou d'heure en heure, plus ou moins, selon l'allure du fourneau. L'étain ou le métal chimique ne s’introduisent qu'après les bu- chilles. On évite de les laisser tomber à l’état solide sur le bain, car le bronze rejaillirait jusque sur les travailleurs. On dépose le métal sur une grande pelle de fer, armée d’un long manche aussi en fer et munie à l'extrémité de ce manche d’une forte traverse en bois. Lorsque la porte de brassage est ouverte, l’étain ou le métal chi- mique , déposés sur la pelle en question, sont amenés jusque vers le bec du fourneau ; et on les laisse dans cette position jusqu’à ce que la chaleur les fasse fondre. On répand le métal en différentes places pour faciliter l’alliage. C’est le moment de donner plus d’ac- tivité au brassage, afin que les gaz qui s’échappent de la partie im- …mergée de la perche de chène remuent toutes les parties du bain et tendent l’alliage homogène. On a soin également de labourer la sole pour en détacher les métaux qui s’y seraient attachés à l’état pâteux. On écume avec le rable et on referme le fourneau. On laisse le métal se réchauffer. On peut en apprécier le degré de chaleur aux indices que nous avons indiqués. Mais pour la fin de la fusion , on se sert d’un moyen plus certain 57 : 450 Coquinnar. — Cours élémentaire sur la fabrication pour en juger. On puise un peu de bronze dans le bain , avec une poche ou cuiller de fer, enduite extérieurement et intérieurement de terre fientée et séchée : et on coule quelques menus barreaux dans des moules préparés d'avance. La cuiller doit se vider sans que le métal s'attache aux parois. Les barreaux étant refroidis, on les brise et on juge d'aprés la cassure et à la couleur du grain si le métal est homogène, et sile titre en est satisfaisant. Dans cette appréciation, on procède par voie de comparaison avec d'autres barreaux , provenant de coulées an- térieures , et dont on connait bien le titre moyen. Enfin, le moment de couler est arrivé. On chasse le tampon dans l'intérieur du fourneau avec une barre de fer sur laquelle on frappe à grands coups de masse. Afin d'obtenir un mélange plus homo- gène, on débouche les deux trous de coulée en même temps. Le métal en sortant, répand une épaisse fumée blanchâtre, composée d’oxide d'étain emporté par les courants d'air. On aperçoit égale- ment de petites flammes verdâtres dues à la volatilisation du euivre. On laisse le métal s’aceumuler dans le bassin. Des hommes sont dis- posés aux diverses écluses qui barrent les écheneaux, afin de les ouvrir au moment voulu : d’autres sont armés d'écluses de rigole ou d’écumoirs en bois, pour arrêter les laitiers et les charbons en- trainés avec eux. Un ouvrier muni de la quenouillette est prêt à diriger le métal vers le fond du moule. On écrase avec une pelle le charbon qui surnage dans le bassin , afin de favoriser encore le mélange des diverses partiés du bain. A un signal donné, on livre passage au métal et on le fait arriver dans le moule. Lorsque le bronze est parvenu à la hauteur des tou: rillons, on ralentit son arrivée en serrant la quenouillette dans le tuyau de décharge, et on laisse les écheneaux et le bassin se rem- plir, comme pour la coulée des pièces de fonte. Puis on dégage tout d’un coup le tuyau de décharge en soulevant la quenouillette, on fait arriver un gros jet de métal liquide dans le moule. Les agita= tions provoquées par cette affluence de bronze, ramènent vers le centre les corps étrangers , et en délivrent les tourillons et les anses. Lorsque le métal est parvenu au haut de la masselotie, il passe par les rigoles qu'on a ménagées d'un moule à l’autre, et enfin il tombe dans la chaudière placée sous le tuyau de décharge d’un des moules extrêmes, ainsi que nous l'avons déjà expliqué en parlant des dispositions pour la coulée. des bouches à feu en fonte et en bronze, etc. 451 L'absorption du métal se fait pendant tout le temps que le moule se remplit. On peut la remarquer en arrêtant un moment la coulée, car à l'instant le niveau du métal s’abaisse dans le moule. Quand tout le bronze excédant est entré dans la chaudière, on ferme avec du sable argileux les rigoles communiquant d’un moule à l’autre, ainsi que le tuyau de décharge qui conduisait le métal dans la * chaudière, On profite du moment où le métal est encore chaud , et par conséquent peu tenace pour couper les languettes de bronze solidifiées au fond de ces rigoles. La durée d’une fusion dans les fourneaux de la fonderie de Liége, est d'environ 6 h. 50’. La consommation de houille est de 580 kilo- grammes par 1,000 kilogrammes de bronze. Le poids de la pre- mière charge de houille sur la grille , ou du premier feu est de 450 kilogrammes. La durée moyenne d’un feu à l’autre est de 22 minutes. Le nombre de brassages varie de 6 à 8. La consommation de houille pour l'étuyage des moules, varie entre 900 et 1,000 kilo- grammes pour les plus fortes pièces de campagne. Le dernier brassage a lieu '/, heure ou 1 heure avant Ja coulée ; celle-ci dure 10 minutes. Lorsqu'on fait le mélange préalable, la fusion ne dure pas aussi “longtemps , quoique le cuivre résiste à une plus haute température que le bronze. Cela tient à ce que l’on ne refroïdit pas le fourneau par l'introduction des büchilles, On mêle l’étain avec le cuivre 1 heure ou 1 :/, heure avant la coulée, en une, deux ou trois fois, se- “Ion la charge. Il faut aller progressivement pour ne pas épaissir le bain en le refroidissant. La durée d’une fusion pour le mélange préalable est de 4 à 4 :/, heures. La consommation de houille est de 350 kilogram. par 1,000 kilogrammes de mélange. Le déchet à chaque fusion varie entre 2 ‘/, et 4 pour °/.. Li LE ARTICLE VI. ÉVALUATION DE LA TEMPÉRATURE DU BRONZE FONDU DANS LE FOURNEAU A RÉVERBÈRE. La difficulté d'apprécier exactement la température du bain, a “fait imaginer, par M' le colonel Dusaussoy, un procédé fondé sur la capacité des corps pour la chaleur. Ce procédé a été décrit dans 452 CoquicnarT. — Cours élémentaire sur la fabrication l’ouvrage de M" le colonel Serres , sur le service dans les fonderies , puis rapporté et annoté dans le traité de M' le colonel Émy, sur la fabrication des bouches à feu. Nous ne croyons pouvoir faire mieux, qué d'extraire ce qui suit des excellents ouvrages que nous venons de citer. ; On plonge un boulet dans le bain de bronze, jusqu’à ce qu'il en ait acquis la température , puis on l’immerge dans de l’eau , jusqu’à ce que l'équilibre se soit établi entre la température de l’eau et celle du boulet. La quantité de calories absorbées par le boulet, divisée par sa masse, est égale à la température du bain de métal. D'un autre côté , la quantité de calories communiquées à l’eau par le boulet, plus la quantité de calories restées dans celui-ci, doivent être éga- les à la quantité de calories que possédait le boulet à la sortie du bain. En introduisant dans les calculs les chiffres que comportent ces éléments, on parvient à une équation du premier degré , qui donne la température du bain. On doit faire les corrections indiquées par quelques expériences pour tenir compte de la perte de chaleur oe- casionnée par le trajet du boulet au sortir du fourneau, jusqu'au moment de son immersion dans l’eau , et de la perte produite par la vaporisation d'une partie de l’eau ou par l'absorption de chaleur par les parois du vase qui contient l'eau. Quelques explications préliminaires sur les mots calorie et capa- cité calorifique , ne seront peut-être pas inutiles. Les corps sont susceptibles de contenir des quantités plus ou moins grandes de chaleur. Ces variations dans la quantité de chaleur sont aceusées par la température. La quantité de chaleur contenue dans les corps étant variable, elle est susceptible d'augmentation ou de diminution; on doit done pouvoir la mesurer, comme toute grandeur, au moyen d'une unité conventionnelle. Cette unité se nomme calorie. La calorie est la quantité de chaleur nécessaire pour élever de 1 degré la température de l'unité de poids d’eau. (Ordinairement 1 kilogramme). Les corps de même poids, en s'échauffant d’un mème nombre de degrés , prennent des quantités différentes de chaleur : ainsi , pour que la température du fer s'élève d’un certain nombre de degrés , il ns bé D tt ie DS mt ds mn à - » | | | des bouches à feu en fonte et en bronze , etc. 453 ne faut que les 0,11 de la chaleur nécessaire pour produire la même élévation de température sur un poids égal d’eau. On appelle calorique spécifique , chaleur spécifique , capacité ca- lorifique des corps , ou bien capacité des corps pour la chaleur , la quantité de chaleur, c’est-à-dire le nombre de calories nécessaires pour élever de 4° Ia température de l'unité de poids de ce corps. On se dispense généralement de mentionner l'unité de chaleur ou la calorie, et les nombres qui représentent la chaleur spécifi— que , S'introduisent dans les caleuls comme des nombres abstraits , et portent le nom de coefficient de chaleur spécifique, mais il faut sous-entendre , qu'ils représentent des nombres de calories. Soient #2 le poids d’un corps € la chaleur spécifique de ce corps t_ la température. Le nombre de calories que ce corps renfermera, quand il sera élevé à la température £ sera exprimé par cmt. Il est à remarquer que cette formule suppose que la chaleur spé- cifique c est constante, quel que soit le changement de tempéra- ture; c'est-à-dire que de degrés en degrés, le corps absorbe ou perd la même quantité de chaleur , ce qui n’est pas. L'expérience démontre que la capacité calorifique des corps est moindre aux basses températures qu’à celles élevées. Ainsi, pour le fer , la capacité calorifique est 0,11 entre 0° et 100°; elle devient 0,15 aux températures analogues à celles du bronze en fusion. Dans la pratique, on est obligé d'adopter pour c une valeur moyenne relative aux températures extrêmes observées. Soient : M, le poids de l’eau contenue dans le vase. m, le poids du boulet. Ce poids est pris après l’expérience, parce que l'immersion dans le bain de bronze, fait presque toujours éprouver une perte au boulet. €, la capacité de l’eau pour la chaleur (représentée par 1). Cette quantité étant prise pour unité, on se dispense de la faire “entrer dans les calculs : elle est ce qu'on appelle une calorie. €, la capacité du fer pour la chaleur (égale à 0,127). 1, la température de l'eau en degrés centigrades , avant l'inmer- sion du boulet. 454 CoquizmarT, — Cours élémentaire sur la fabrication T,, la température de l’eau après l'immersion. æ, la température du bronze en fusion. C'est la quantité qu'il s'agit de déterminer. Si l'on admet que le boulet est resté assez longtemps dans le mé- tal liquide, pour en avoir pris la température : cmæ, sera la quantité de calories que renferme le boulet à sa sortie du fourneau. CMT., est la quantité de calories contenues dans l’eau, après l'immersion du boulet. CM, était la quantité de calories contenues dans l'eau, avant l'immersion. emT, est la quantité de calories restées dans le boulet, après l'immersion. La quantité de calories communiquées par le boulet à l'eau , est exprimée par CMT— CMt—CM(T—4). (1) Mais la quantité de calories contenues dans le boulet au sortir du bain, doit être égale à celle communiquée à l'eau plus la quantité restante dans le boulet. On aura donc l'équation emx = CM (T—t)+ emT, d'où CM x—=T+—(T—1). (2 + ZT. Cette équation fera connaître la valeur de x. Mais elle n’est pas exacte , parce qu’il faut tenir compte de la perte de calorique pen- dant le trajet du boulet au sortir du bain, comme aussi de l'ab- sorption par les parois et par la vaporisation de l’eau. Il parait ra- tionnel de prendre cette perte proportionnelle à la différence © —+, des températures observées. En appelant donc #, un coeflicient à déterminer par l'expérience, la formule précédente corrigée de- vient 2T+ SE T-D+HT—N. 6) On pourrait employer un moyen semblable pour mesurer la tem- pérature de la fonte en fusion. Mais au licu d'un boulet qui se fondrait dans le bain, ce serait des bouches à feu en fonte et en bronze , etc. 455 la fonte liquide elle-même, qu'il faudrait puiser dans le fourneau et projeter dans l’eau. Si l'on craignait une trop grande vaporisation de l’eau , on pour- rait immerger dans de la glace ou de la neige fondantes (comme dans le calorimètre de Lavoisier), dans un bain de plomb fondu , ete., etc. On pourrait même combiner plusieurs moyens. ARTICLE VII. DES FOURNEAUX A RÉVERBÈRE RONDS POUR LA FUSION DU BRONZE. Les anciennes fonderies de bronze, fondent leurs métaux dans des fours à réverbère ronds, chauffés par un feu de büches de bois. L'emploi de la houille amënera peu-à-peu la suppression de ces énormes fourneaux, et fera adopter les fourneaux à réverbère allongés. Les fourneaux ronds se composent essentiellement : 1° De la cuve , espace circulaire ou elliptique, couvert d’une voüte surbaissée et où l’on dépose les métaux. 2° De la chauffe , lieu où brüle le combustible. 3° De la cheminée, dont le tirage active la combustion. La chauffe communique avec la cuve par un espace voüté. Un petit mur , le pont, sépare ces deux parties inférieurement. Quand “la cuve est elliptique, la chauffe est placée à une des extrémités du grand diamètre. Du côté opposé de la chauffe, est percé le trou de coulée. Une embrasure est pratiquée sur chaque partie latérale du four- “neau, et en permet la communication par la porte de chargement. Une vaste cheminée est adossée au fourneau ; mais pour lorcer la flamme à se diviser par le tirage et à chauffer toute la capacité inté- rieure, la cheminée communique avec la partie inférieure de la cuve par 4 soupiraux placés symétriquement. —… Les büches de bois s'introduisent dans la chauffe par un canal ou conduit vertical, qu’on ferme ensuite par un registre, …… Des galeries ou soupiraux permettent l'arrivée de l'air sous la “grille. On leur donne le nom de ventouses. —…._ L'expérience a constaté que les grands fourneaux ronds chauf- aient micux que les petits; mais comme on n'a pas toujours de quoi faire de grandes coulées, la plupart des anciennes fonderies 456 Coquisaar. — Cours élémentaire sur lu fabrication de bronze possèdent des fourneaux de 5 grandeurs, de 25,000 à 30,000, de 15,000 et de 6,000 kilogrammes. Les embarras qui résultent des grandes coulées et les avantages que présente la houille sur le bois comme combustible, feront né- cessairement abandonner ces fourneaux ; pour adopter ceux allon- gés chauffés à la houille, Sous le rapport de la régularité du travail, il y a moins d'em- barras à couler une pièce tous les jours , que d’en couler 15 tous les 15 jours; et s’il est vrai que l’oxidation soit plus forte dans les fours allangés, elle est amplement compensée par une moindre durée de la fusion. Dans les fourneaux ronds, la durée moyenne d’une fusion est de 15 à 16 heures, mais elle peut aller jusqu'à 30 heures et même plus. FIN DE LA PREMIÈRE PARTIE, | | TABLE DES MATIÈRES Contenues dans la première partie de ce Mémoire. LIVRE I. APERÇU HISTORIQUE. — MÉTAUX EMPLOYÉS À LA FABRICATION DES BOUCHES À FEU. Pages. ARTICLE I. Aperçu historique - 299 Anricze IL Métaux qui conviennent à la fabrication des bouches à feu... « . . . . . . 304 Arrnicce HI. Du bronze à canon. NE . . = © 5 307 Aemcoce IV. Ducuivre. . , . . . . . . . 313 Agricze V. Del'étain. . . . ë 315 AnTicce VI. Généralités sur les ‘fontes. . . . 316 Agricce VII. Réception des fontes fortes à canon. « « . . 323 LIVRE II. MATÉRIAUX DE MOULAGE. PRÉLIMINAIRES. Arrmioze I. Divisions à établir dans la fabrication des bouches à feu. 331 Agricce I, Notions générales sur le moulage. — Division du mou- lage. . . . . . . . . . 332 CHAPITRE I. Matériaux pour le moulage en sable des pièces de fonte. Anrioze I. Choix et qualités du sable pour le HAVE en sable des pièces en fonte . 335 Agricce II. Préparation du sable pour le moulage des pièces de fonte , ; , : . . 336 Arncze III. Broyage et tamisage du ‘coke. 3 o o = 343 Aericze IV. Jus de crottin. 5 à : c 3 ° . 345 Amriore V. Enduitnoir . . - 5 . 346 CHAPITRE II. Watériaux pour le moulage en terre des pièces de fonte. TIOLE I. Considérations générales sur le moulage en terre. — Pro- priétés de l'argile. . 346 Armoze IL Terre forte ou grosse terre pour le moulage en terre des pièces de fonte . : 249 ARTICLE III Terre à chaper ne as moulage en terre des pièces de fonte . . 5 . : 352 Anricce IV. Terre sablée . . . . 58 458 Table des matières Anricce V. Terre fine pour le moulage en terre des pièces de fonte. 393 Anricze VI. Lessive de cendres pour enduire le modèle dans le mou- lage en terre des pièces de fonte . . . . . 394 Arricce VII. Jus de crottin. . . Ô 5 5 . Axricce VII. Enduitnoir . : « : = . Hal . Ib. CHAPITRE TE Matériaux pour le moulage mixte des pièces de fonte. ARTICLE I. Sable de moulage . AA ’ . è . 399 ArTioce II. Jus de crottin, . . . : . . ‘ , Ib. ArrTicse [IL Enduit noir . 4 16. Agricre IV. Terre forte ou grosse terre pour le moulage mixte des piè- cesdefonte . 5 è = : MERE ; Ib. AmrTicce V. Terre à chaper . . . « . - . . 356 Arricze VI. Terre fine . Ib. Arricre VII. Lessive de mine de plomb pour le moulage mixte des HICCOS ATOS N'AURA NS SNS NRNe : Ib. CHAPITRE IV. Matériaux pour le moulage en sable des pièces de bronze. ARTICLE I. Sable pour le moulage des pièces de bronze . . 356 Armioce IL. Jus de crottin pour le moulage en sable des pièces de bronze . : 358 ArrTiCre II. Potée de cendres pour le moulage € en sable des s pièces de LOC GAU ER ONE be AT Ib. CHAPITRE V. Matériaux pour le moulage en terre des pièces de bronze. ARTICLE I. Terre forte ou grosse terre . « . . ë ArrTiCce IT. Terre àchaper. ‘ . . : : AgrTice III. Terrefine. . À . . . : . : Arricce IV. Lessive de cendres. . Ë : 5 . . ARTICLE V. Potée de cendres , . . à ” 5 ; SSK CHAPITRE VI. Matériaux pour le moulage mixte des pièces de bronze. ARrTiCre I. Terre forte , : : ë 5 ” à : . 359 Arscze IL Terre à chaper * = ë . Ce « Ê 16. Amricrx IL Terrefine + d : c , : . : Jb. Arricce IV. Lessive de cendres . 5 - . 5 b . : Ib. Arnicre V. Sable de moulage . : . : : - . Ib. Arncze VI Jus de crottin. Ë « ; : à . . : Ib. ARrTiouE VIL Potée de cendres . = : 5 ; Ê : . Ib. CHAPITRE VII. Récapitulation des divers matériaux employés au moulage. Considération sur ces malériaux. AnrTice IL. Tableau récapitulatif des divers matériaux PIE au moulage . . . Armcre IL Observations sur les matériaux de moulage . . . 361 | | |: | | ARTICLE I. ArTicre Il. AnrTioce Il. AxTicLe IV. ARTICLE V, ARTICLE I. ARrTiCLe II. Arricce III. - ARTICLE IV. « Arricze V. ArmTicre I. - Axrice Il. Arricce IL. _ Agrice IV. ARTICLE I. Agrioe II. ARrTiCcLe IL. contenues dans la première parhe. LIVRE III. MOULAGE DES BOUCHES A FEU.| CHAPITRE I. Moulage en sable des pièces de fonte. Du modèle . . . : 3 Du châssis : Confection du moule en sable. , Démoulage . Dessiccation du moule et application del enduit . . . . CHAPITRE II. Moulage en terre des pièces de fonte. Confection du modèle . . : : 5 a Modèles des tourillons.— Leur pose : 5 2 Confection du moule . . : Démoulage, séchage et application de l'enduit Enterrage du moule. . 3 . CHAPITRE IL, © Moulage mixte des pièces de fonte. Confection du modèle . Confection du moule lorsque Île modèle ‘est entièrement en terre D Confection du moule lorsqu’ il ya un modèle de culasse en bois. . . Démoulage, séchage et application de l'enduit : . CHAPITRE IV. Moulage en sable des pièces de bronze. Confection du moule . . = . 5 : Cuite des moules , Application de la potée de cendres ee séchage du moule. : = . . . = . o Ë CHAPITRE V, Moulage en terre des pièces de bronze. Confection du modèle Confection du moule: aémoulage, ‘cuite et cendrage du moule . =: . . Enterrage du moule. © . . 5 OO CHAPITRE VI. Moulage mixte des pièces de bronze. Confection du modèle . . Confection du moule, démoulage, ‘euite et cendrage du moule. . : HR» . CHAPITRE VII. Moulage à noyau des gros mortiers de 0,29. Raisons qui engagent à couler à noyau les gros mortiers de bronze. — Description du tour à mouler vertical de la fonderie de Liége. . 5 5 5 . . 459 Pages. 364 368 371 376 377 379 383 385 386 387 Ib. Ib, 460 Table des matières contenues dans la première partie. Pages Arricce II. Confection du noyau +. : « . ; . . 401 Arnicce III. Exécution du modèle . 5 a : , ‘ , 402 Arricce IV, Confection du moule . , : Ib. ArricLe V. Démoulage, séchage, cuite, ‘'cendrage” et renmoulage. 403 AgricLe VI. Moulage horizontal des mortiers . à à . . 404 CHAPITRE VII. Observations concernant le tracé du modèle. Soins à apporter dans l'exécu- tion du moule. Défauts de coulée. Méthodes diverses de coulage. ARTICLE I. Observations concernant le tracé du modèle . . 405 Arncze II. Soins à apporter dans l’exécution du moule. — Défauts de coulée des pièces de fonte , des pièces de bronze . 406 Arricce I. Méthodes diverses de coulage. . +. 11 y TETE LIVRE IV. FUSION DES MÉTAUX. COULÉE DES BOUCHES A FEU» CHAPITRE 1, Fourneau à réverbère pour la fusion de la fonte. ARTICLE I. Description du fourneau à réverbère . 415 Arricze IL Considérations sur les diverses parties du fourneau àré- verbère. : - : ; . : : . 419 CHAPITRE H. Encagement des moules: dispositions pour la coulée des pièces de fonte. ARrTiCLe I. Encagement des moules . . . 496 Agricce IL Dispositions pour la coulée des pièces de fonte . . 4270 CHAPITRE II, Fusion de la fonte : coulée des pièces en fer. ARTICLE I. Composition de la FREE et chargement du fourneau à réverbère . à . : . “ é . 430 Agrice II. De la houille, : : ARTICLE III. Conduite des fourneaux à réverhère. ; » - Amricce IV. Coulée des canons . : . : : 5 . 436 ARTICLE V. Accidents qui peuvent survenir . . CHAPITRE IV. T'usion du bronze. Coulée des pièces de bronze. ARTICLE I. Fourneau à réverbère pour la fusion du bronze . . 441 AnrTioe II. Dispositions pour la coulée des pièces de bronze. . 442 Anricze III. Composition de la charge du fourneau à réverbère. . 444, Arricce IV. Chargement du fourneau àréverbère . . . . 446. Axricze V. Conduite du fourneau et coulage des canons. + AIS Arrnicce VI. Yvaluation dé la température du bronze fondu dans le fourneau à réverbère . . 451 Arricze VIL Des fourneaux à réverbère ronds pour la fusion du bronze . . 5 À É - : ; = : 455. Planche L. labrrcation des boucher à Jeu Fig. 3. Gape sur AB. u ‘able et les moules 6x Etuve pour secher le $ Elévation, Fig: 2 : IK. du cote Fe F Pres Coupe sur CD. ob projection. Plon 7 Fübrieution dus bouches à TL N [ 0777: op on] 2709 te Bliutoir: a Larsen lesable. (0,101 J 1-84 D, eur) D DL) ‘208 0] ADSTUP | D JOUNY) Fabrication des bouches w four Laminéir pour tumiser le sable Planche UE. Eubrieation des bouches ü Jeu Fig 1 , © Elévatim. Moulin à broyer le colle, 30 Fig 3. ER 25 Presse pour faire le fer de crottin#o R — B =" .| Fig.s. Batle pour " fouder Le sable. sl Découpoir pour le eorroyage des terres. 17. Fo. Etbrication des boucher à fiu LE ji fi fl ji [H k Ï ji SSSR ASE A OR Fu M: Fibriention dt Bouches à fè Vue del Moulage en sable des Canems en fonte de fèr Hodële de men en fonte Fig 1 ertérieur du chussus Echelle de 0" pour 2 (gr) 4 2métres, = Dance à nuuler. Planche VIE, Fonderie de bouches à fèu Éubrication des boucles à feu : _ Planche VIH _. Jéllette pour La pose Laruns Eübrieation dos bouches à fin Coupe suivant XX : Le plan copart aan faratiné den tour autour d'une charniert verticale. Vae dedevant par L unterteurde Lutelier. P tent. NN EAT à (em (al (e e br fe ae. RENE Sans ot à À rem Ébrieution des bouches à fé 1 Fourneu à reverbere ave Grue & 3 LC 700 Coupe JELS = Dnurunggannrnnnnne aan ea | 3 = ISA 1 “QE 7 annnr) ES lan Planche X | | | Fibrécation des bouches à fév Planche XI r A Outils et objets pour la coulee. Lorte ou barreau-de fér [Le] Fig 4 Grande ecluse Riyole de coule J Coupe suvvant AB et projection a . N Elev Riyole de coulée . n Se IAE Z _ ( Plan.) Tigole de coulée 1 ) { = — = I ; 5 | » 2 ) Fi 2 ter E ra) ÉZ = Ecluse de bassin Fig. 5 a Feluse de role | FE 19.6 | | à Fig. 9 Pique Re Tampon. — =| fable S— — — = | PCI Figaz. | : Bouchoir pour les brides longitudinales - Fin Ce ere | Bauchoir pour les brides creulaires XI. — Simplification des éléments de géométrie ; J.-N. Noël, PROFESSEUR ‘ÉMÉRITE DE L'UNIVERSITÉ DE LIÉGE. Le présent mémoire a pour but : 1° de justifier, par plusieurs développements, les méthodes que j'ai employées en géométrie, afin d'en faciliter l'étude complète, et 2° de résoudre certaines diffi- eultés récentes opposées à ces méthodes. — Voici d’abord le procédé le plus simple et le plus naturel pour établir ie principe ou la règle des variables auxiliaires , nécessaire à la simplification des éléments de géométrie. 1. Supposons que, dans l'équation finale exacte à + x—b +y, les grandeurs a et b restent constantes pendant que les termes x et Y varient en diminuant ensemble, même indéfiniment , sans pouvoir devenir nuls et sans que l'égalité des deux membres cesse d'exister. ILest évident alors que les variables x et y n’ont aucune influence sur cette, égalité et pas plus que si ces deux termes n’entraient point dans l'équation proposée, toujours exacte ; ils peuvent donc en disparaître, sans la détruire, et l’on a rigoureusement a = b. Ainsi les termes variables x et y ne sont ici que des auxiliaires pour faciliter les raisonnements et la mise en équation. Il en ré- Sulte donc ce principe fondamental de la méthode des variables auxiliaires : Lorsqu'une équation finale exacte renferme deux termes constants et des termes variables , pouvant diminuer ensemble indé- finiment sans que l'égalité des deux membres cesse d'exister , cette égalité subsiste encore en y supprimant les termes variables propo- Sés, bien qu'ils ne soient jamais nuls; et cela donne ici a —6. 9. Maintenant, puisque les termes variables x et y ne sont ja- Mais nuls, il est clair qu’en les négligeant dans a + x = b + y, pour 59 462 J.-N. Noëz. — Simplificalion des éléments avoir a —b, on commet deux erreurs ; mais ces deux erreurs se compensent ou se détruisent toujours, et il n’y a point d'erreur finale. On vient de voir, en effet, que, dans l'équation finale ci-dessus , toujours exacte, les termes variables x et y peuvent en disparaitre , sans la détruire. Or, cela exige que ces ‘deux termes, qui ne sont jamais nuls, soient toujours égaux entre eux et qu'on ait x = ou æ—y=—0. De sorte que l'erreur finale est rigoureusement nulle. — On voit de plus que l'équation finale proposée est la somme des deux a —=b et —Yy. De même, dans l'équation finale a— x = b— y, on a rigoureu- sement a—b etx=— y. Pareillement, a—x = y—b donne a=—b ct — x =, où encore a + b—0 et x + y—0. 5. Mais si, dans a = b+cx, les grandeurs a, b, c restent con- stantes pendant que la variable x diminue ou augmente , x pouvant devenir infiniment petite ou infinie, sans jamais devenir nulle et sans que l'égalité des deux membres cesse d'exister , c’est une preuve que l'équation proposée est absolument indépendante du terme variable cx, lequel est ici auxiliaire ; et par suite on a rigou- reusement «a — b. D'ailleurs, si le terme variable cx devait être con- servé dans l’équation a = b+-cx, toujours exacte, la grandeur constante a serait toujours variable ; chose absurde. Le terme cx disparait done de l’équation , non parce qu'il est nul, mais unique- ment parce qu'il est variable, et l'on aura toujours a—b, sans au- cune erreur finale. Par exemple, si de l'expression b — ex de la somme des » pre- miers termes d’une progression géométrique, dont la raison diffère de l'unité, on veut déduire la génératrice constante , alors désignée par a; il est clair que, dans l'équation finale « —6—cx, toujours exacte, les nombres a, b, c sont constants, mais x varie avec n, sans jamais devenir nul et sans que l'égalité des deux membres cesse d'exister : done a = b. — Il est évident, en effet, que la génératrice constante d’une progression géométrique ne saurait dépendre au- cunement du nombre variable x de termes calculés dans son déve- loppement. Il en est de même de la génératrice constante de toute série récurrente du second ordre , du troisième, ete. Observons toutefois que, dans la démonstration du principe fon- damental de la méthode des coefficients indéterminés, où la variable æ n’est jamais nulle, le coefficient c est fonction de x , et le terme ex disparait parce que c—0 ; d'où a—b. 4. Reprenons l'équation finale, toujours exacte, a +ax=b+, de géométrie. 465 dans laquelle les grandeurs a et b sont constantes pendant que les variables æ et y diminuent ensemble sans pouvoir devenir nulles. Gette équation finale est identique avec celle-ci : a=b+y—x; et il s'agit de démontrer que y—x—0. Supposons que la diffé- rence y—x ne soit pas nulle : dans ce cas, elle est nécessairement variable, positive ou négative, comme étant toujours moindre que lun de ses deux termes variables. Si cette raison ne suffit pas, soit posé æ— vy , d'où y—x—y(1— v): il est évident alors que la différence y—z varie avec le facteur y. Cette différence variable doit donc disparaître de l'équation a—b+y—x : autrement, la grandeur constante a serait toujours variable ; chose impossible. On a donc nécessairement a—b: c'est le principe des variables, lequel ne suppose pas que ces variables diminuent indéfiniment ensem— ble. Et puisque l'équation ci-dessus est toujours exacte, il en ré- sulte y—x—0 ou x=— y: c'est la compensation des erreurs x et y. 5. L’équation finale, toujours exacte, savoir a + x = b + y, est aussi identique avec celle-ci : a—b = y—x. Le premier membre est une grandeur constante; il en est donc de même du second y—x, et pour cela i/ faut que ce second mem- bre soit nul et qu'on ait y—x—0. Ce second membre, en effet, étant identique avec le produit y(1—v), ne peut être constant que quand il est nul, c’est-à-dire que quand &—1 ety=x; d'où y —x = 0. — D'ailleurs, si la différence y— x pouvait avoir une yaleur constante d, si petite qu'elle fût au-dessus de zéro, on ne pourrait point supposer chacune des variables x et y plus petite que d; ce qui est contre l'hypothèse que ces deux variables peuvent diminuer ensemble indéfiniment. Donc enfin la différence y —x ne peut être constante que quand elle est nulle; d’où il vient y—x = 0 et a—b=— 0 ou x—7yet a = b. 6. Ce dernier raisonnement est analogue à celui de Francœur (Cours de Mathématiques, n° 113). « Cette démonstration parait » plus rigoureuse que la précédente (n° 4): elle a cependant l'in- » convénient très-grave de reposer à la fois sur la réduction à l'ab- » surde et sur les infiniment petits. » (Revue pédagogique, p.74, mars 1855). — L'inconvénient très-grave est de chercher à exclure des raisonnements , les deux genres d’infinis qui en sont les élé- ments logiques indispensables, et qu’on ne cache même pas entière- ment par des non-sens ou de Jongs et obseurs détours. — Pourquoi 464 J.-N. Noëz. — Sémplification des éléments cette démonstration parait-elle plus rigoureuse que la précédente, indiquée à la p. 74 ci-dessus? C'est que cette dernière est incom- plète et que « si la différence y—x était variable, ce ne serait » point parce qu’elle est moindre que l’un de ses termes varia- » bles. » (Revue, p. 22). — J'ai toujours cru cette raison suffi- sante; et l’on vient de démontrer (n° #4 et 5) que la différence y—x n’est constante que quand elle est nulle. Or, si l'on veut que cette différence soit toujours constante , comme dans les raisonnements (Revue, p.73, 74 et p. 221 et 222) et si l’on prétend que ces rai- sonnements démontrent que y—x=—0, on reconnaitra du moins que cette démonstration est fort obseure. Il faut remarquer d’ail- leurs que les variables ne peuvent diminuer indéfiniment ensemble que par voie de division.—Nous verrons plus bas d’autres objections opposées , dans la Revue citée, aux raisonnements n° 5 et 4, ob- jections qui ne sont pas plus fondées que les précédentes ; et celles- ci n’atteignent pas les raisonnements n° 1 et 2. 7. Maintenant, pour simplifier le plus possible la géométrie élémen- taire, en y rendant plus complètes la clarté et l'exactitude logique qui distinguent si éminemment les théories de cette science importante, j'ai reconnu depuis longtemps qu'il fallait d’abord modifier plusieurs définitions et tâcher de donner à celles-ci toute l'évidence et toute la précision de véritables axiomes ; ce qui est très-possible puur la droite, la courbe, le plan, l'angle, le rapport, etc., en définissant chaque fois d’après la propriété caractéristique , évidente ou rendue telle, par la génération de la chose définie. C’est ainsi, par exem- ple, qu’il faut appeler ligne courbe, ou simplement courbe, toute ligne qui n’est ni droite ni composée de droites visibles et appréeia- bles; ou bien encore, toute ligne n'ayant aucune partie visible et appréciable qui soit droite. — La ligne mixte est composée de par- ties, droites et courbes contigües. 8. Pour établir une théorie claire , simple et rigoureuse des pa- rallèles , je n’ai trouvé d’autres moyens que de perfectionner la défi- nition obseure et incomplète de l'angle, en l’énonçant en termes clairs, précis et parfaitement intelligibles à tous les élèves d’après les notions déjà acquises. Voici cet énoncé , un peu développé: On appelle angle la portion plane dont deux droites illimitées ou indéfinies , partant d’un mème point , sont écartées lune de l’autre , quant à leur position sur le plan. Ce point est le sommet de l'angle , et les deux droites en sont les côtés. Cetie définition caractérise clairement et fait bien connaître tout de géométrie. 465 angle tracé sur le plan : elle exprime que l'angle est une figure plane rectiligne ouverte , dont la grandeur est considérée seulement par rapport à l’ouverture , à l'écartement ou à la position relative des deux côtés autour du sommet. Ces deux côtés ont donc des lon- gueurs arbitraires ou indéfinies; et on peut les prolonger l’un ct l’autre autant qu'on le veut, sans que l'angle cesse d’être le même. De sorte que l'angle est complètement déterminé dès que le som- met et un point sur chaque côté sont donnés. — On voit aussi que plus un angle est grand , plus sa surface indéfinie est grande elle- même, et la réciproque est vraie évidemment. L’angle plan est nul dès que ses deux côtés coïncident ; car alors ces deux côtés ne sont point écartés l’un de l'autre. Supposons que le côté AB restant fixe, le côté AC, d’abord sur AB, s’en écarte en- suite en tournant sur le plan autour du sommet fixe A. Dans ce mouvement, le côté AC décrit successivement une infinité d’angles qui croissent ou augmentent par angles ou écarts infiniment petits, jusqu’à ce que AC, s’arrétant dans une seconde position , ait dé- crit l'angle cherché CAB. Celui-ci est donc bien la portion plane dont deux droites illimitées ou indéfinies AB, AC, partant d'un même point À , sont écartées l’une de l’autre, quant à leur position sur le plan. Cette définition de l’angle le fait connaitre tel qu'il est réellement. Tous les mots y sont nécessaires; et l’omission d’un seul terme, bien qu’on puisse aisément sous-entendre l’idée qu'il exprime, ren- drait la définition incomplète et par conséquent obscure. Observons encore que si le côté AC, tournant autour du point fixe A, revient sur la position AB , qu'il a d’abord quittée en s’en écartant de plus en plus, ce côté AC a fait une révolution autour du point À et a décrit l’espace angulaire plan, lequel est évidemment le même autour de chaque point du plan proposé. D'ailleurs, chaque quart de révolution de AC décrit un angle appelé droit; done tous les angles droits séparés sont égaux entre eux, comme étant les quarts respectifs d'espaces plans angulaires égaux. 9. La définition perfectionnée de l'angle plan est critiquée dans la Rev. pédagogique; on lit, p. 225 : «Cette définition suppose une chose » trés-contestable, savoir que l'angle est une surface et elle renferme » une idée surabondante, celle de l'infini. » Plus loin on affirme que « l'idée d'angle n’a rien de commun avec l'idée de surface. » — On sait cependant que deux droites, issues d’un même point, sont toujours dans un même plan ; elles ne peuvent donc présenter à 466 J.-N. Norz. — Simplification des éléments l'œil que la portion plane, ouverte et indéfinie , comprise entre elles et exprimant leur écartement ou la position de l'une à l'égard de l'autre. L'angle ne serait pas clairement désigné et l'on omettrait plu- sieurs des circonstances qui le caractérisent, si l'on disait (Revue p. 295) : « L’angle est l’ouverture formée sur un plan par deux » droites qui se rencontrent. » — On admettrait donc alors que cette ouverture est plane. Et comme deux droites qui se rencontrent forment plusieurs ouvertures sur le plan, la clarté et la précision exigent que l’on désigne celle de ces ouvertures que l’on considère , en disant ouverture de deux droites indéfinies , partant d’un même point. D'ailleurs, les mots ouverture et écartement de deux droites signifient ici la même chose. — L'ouverture du compas ne désigne pas un angle, mais bien une droite donnée. — Si les mots direction et droite n’expriment pas la même idée, la direction d’une droite ne peut signifier que la position de cette droite ; et cette position est dé- terminée quand deux points de la droite sont donnés , ainsi qu’on le démontre aisément. Il importe beaucoup, à la facilité et à la sûreté des déductions lo- giques en géométrie, que les notions premières y soient dévelop- pées et approfondies , du moins par le professeur , et résumées en- suite par de bonnes définitions, où l’on mentionne, en termes clairs et précis, toutes les circonstances qui caractérisent les faits, d’ail- leurs évidents ou démontrés , que ces définitions énoncent. Si l’on dit que « l'angle est une figure de deux côtés, » on ne le fait pas connaitre complètement, parce qu'on omet plusieurs des circon- stances qui le caractérisent : il existe des figures planes de deux cô- tés qui ne sont pas des angles. 10. Lorsque, dans le même plan, deux droites AB et CD, se cou- pant au point O, rencontrent une même troisième CAE, l'angle ex- terne EAB est plus grand que l’angle interne correspondant ECD. (Les figures sont clairement indiquées par les grandes lettres ; mais il est bon de les tracer d’abord). Les deux surfaces indéfinies DOB et AOC sont égales , comme opposées au sommet O. De plus, la surface finie et limitée OAC est une partie de la seconde AOC; elle est done plus petite que la pre- mière DOB. Cela posé, les deux surfaces indéfinies EAB et ECD ont la partie commune EAOD; mais la partie restante DOB de la première est plus grande que la partie restante OAC de la seconde. Donc la première surface EAB est plus grande que la seconde de géométrie. 467 ECD : donc aussi l'angle externe EAB est plus grand que l'angle interne correspondant ECD. Ce qu'il fallait démontrer. Ce théorème fondamental a pour réciproque le fameux postulatum d'Euclide, servant à démontrer, de la manière la plus simple , les propriétés des droites parallèles. Et quant au théorème direct ci- dessus, il démontre tontes les circonstances où deux droites, situées dans le même plan, sont parallèles, c’est-à-dire ne peuvent jamais se rencontrer, quelque loin qu’on les suppose prolongées l'une et l'autre dans les deux sens. C'est ainsi , par exemple , que : Dans le même plan , deux droites AB et CD sont parallèles lors- que, coupant en G et H une même troisième EGHE, elles font avec celle-ci les deux angles correspondants ou externe-interne EGB el EHD égaux entre eux. (Ces deux angles pourraient être droits). D'abord, comme les angles opposés au sommet sont égaux, on voit que les deux angles correspondants ou interne-externe AGF et CHF sont aussi égaux entre eux. Ensuite, si GB et HD suffisam- ment prolongées, pouvaient se rencontrer en un point O, l'angle externe EGB serait plus grand que l’angle interne EHD; contrai- rement à l'hypothèse. On verra de même que GA et HC, prolon- gées, ne sauraient se rencontrer. Donc les deux droites AB et CD, prolongées indéfiniment dans les deux sens, ne se rencontrent point ; donc elles sont parallèles. Ce qu'il fallait démontrer. De là résulte immédiatement la démonstration de chacune des autres propositions relatives au parallélisme des deux droites AB et CD. Observons que l'angle EGB étant égal à l'angle EHD, la surface indéfinie EGB est aussi égale à la surface indéfinie EHD. On ne peut donc pas dire, malgré l'apparence , que la première surface est une parie de la seconde ; d'abord parce que ce serait dire que l’an- gle EGB est plus petit que EHD, contrairement à l'hypothèse; et ensuite, parce que si la surface indéfinie EGB était une partie de la surface indéfinie EHD , la seconde partie serait la surface indé- finie BGHD ; celle-ci devrait donc être de même espèce , chose ab- surde , puisque ce n’est pas la surface indéfinie d’un angle. Il est évident, en effet, que les deux parallèles GB et HD ne pouvant Jamais se rencontrer, pas même à l'infini, ne sont côtés d'aucun angle ; vu que cet angle n'aurait point de sommet. Il n'y a done ici aucun écart; et voilà pourquoi l'on dit que les deux parallèles GB et HD font entre elles un angle nul : celui-ci est retranché de l'angle EHD par la droite GB ; il n'est done pas étonnant que l’an- 468 J.-N. Nour. — Simplification des éléments gle restant soit égal à l'angle proposé. — Ainsi on ne prouve pas que l'angle n’est point une surface, en disant que si cela était « la partie EGB serait égale au tout EHD ; » vu que la surface EGB n’est pas une partie de EHD. 11. Venons maintenant au théorème, postulatum d'Euclide , sa- voir : Si dans le même plan, l'angle externe EAB est plus grand et plus ouvert que l'angle interne correspondant ECD ; je dis que les deux côtés non communs AB et CD finissent toujours par se couper , étant suffisamment prolongés. D'abord, en prolongeant les côtés AB et CD autant qu'on le veut, les deux angles EAB et ECD restent absolument les mêmes. En- suite, puisque l'angle EAB est plus grand que l'angle ECD, la sur- face indéfinie EAB est aussi plus grande que la surface indéfinie ECD , et cela uniquement parce qu’elle est plus ouverte que celle- ci. De plus, bien que la surface indéfinie EAB n'ait encore qu'une partie tracée dans la surface plus petite ECD , il est clair qu'elle ne peut rester contenue dans cette dernière et qu’en prolongeant suffi- samment les côtés, elle en sortira tôt ou tard. Or, il est évident que la surface EAB ne peut sortir de la surface ECD ni par le côté CE, limite commune, ni dans le sens indéfini des ouvertures ; donc elle en sortira par les deux côtés non communs AB et CD, lesquels se couperont nécessairement en un point, füt-il même si- tué à l'infini. Cette démonstration très-simple du théorème, postulatum d’Eu- clide , étant une conséquence rigoureuse des définitions, est comme celles-ci, d’une exactitude complète et d’une clarté comparable à celle des axiomes. Ce théorème simplifie beaucoup les démonstra- tions des propriétés des parallèles. Euclide ne pouvait démontrer le théorème ci-dessus ; car sa définition de l’angle ne lui en faisait pas connaître la double propriété caractéristique, d’être une por- tion plane indéfinieet d’être d'autant plus grand que l'écart et l'ouver- ture des deux côtés sont plus grands eux-mêmes. Ce n’est sans doute qu’en désespoir de cause qu’ Euclide fit de ce théorème un postulat, d’ailleurs difficile à accorder, bien qu’il ait des caractères d’évi- dence, ainsi que celui plus simple de Lacroix. Ce dernier est justifié par l’auteur en disant : « La notion de Ja » ligne droite ou la sensation qui nous fait connaitre si un aligne- » ment est bien pris, montre même l'endroit où l’oblique rencon- » tre la perpendiculaire. » (Essai sur l'enseignement). 12. Dans la Revue pédagogique de 1855, où , ainsi que je l'ai de géométrie, 469 fait dans le Résumé des méthodes élémentaires , on reconnaît la né- cessité de démontrer le postulat d'Euclide , on dit (p. 76) : « Quel- » ques auteurs ont cru écarter la difficulté en perfectionnant, » comme ils disent, la définition de l'angle. La démonstration fon- » damentale de la théorie des parallèles , qui est sortie de ce pré= » tendu perfectionnement, consiste à affirmer que les côtés des » angles interne-externe doivent se rencontrer , parce que l'angle » externe étant plus grand que son correspondant, ne peut rester » renfermé dans celui-ci. Ce raisonnement , qui fait voir au simple » coup-d'œil que les lignes doivent se rencontrer dans la figure » qu'on a sous les yeux, est sans portée scientifique pour la dé- » monstration du théorème dont il s’agit : il revient, quant au fond, » à cette théorie des sensations que Lacroix aurait voulu appliquer » à la géométrie. » D'abord la démonstration ci-dessus n’exige pas que la figure pro- posée soit sous les yeux, ce qui d’ailleurs n'est possible, le plus souvent, que par la figure semblable ou supposée telle, mais suffi- sante pour diriger les raisonnements ou les rendre plus clairs et plus faciles. Ensuite quand mème la figure serait sous les yeux pour y'voir, au simple coup-d’æil , l'endroit où les côtés non communs se rencontrent, cet endroit serait absolument invisible, s’il devait être fort éloigné. Il y aurait donc alors doute sur l'existence de l’in- tersection ; et c'est alors que la démonstration ci-dessus devient in- dispensable. Il en résulte qu'il y aura toujours intersection ; mais que le point, où les deux côtés vont se couper, est situé à l'infini quand l’angle externe surpasse infiniment peu l'angle interne cor- respondant. 13. L'auteur de la critique précédente attaque de nouveau la dé- monstration ci-dessus dans la Revue, déjà citée plusieurs fois. — Je ferai d’abord observer que si les élèves connaissent la véritable définition de l'angle, ils ne peuvent tirer aucune des conclusions indiquées 1°, p. 224. Ensuite je remarque, pour 2, que les partisans et les non-parti- sans de l'infini se trompent évidemment lorsqu'ils admettent que : « se rencontrer à l’infini et être parallèles sont deux locutions expri- » mant la même chose, savoir : qu’il n’y a point de reneontre. » — L’absurdité est flagrante : si les deux droites se rencontrent à l'infini et y forment par conséquent un angle infiniment petit, elles ne sont donc point partout également distantes, et ne peuvent être pa- rallèles. — Observons toutefois que pour certaines applications géo- 60 470 J.-N. Noëz. — Simplification des éléments métriques, on peut, sans erreur finale appréciable, regarder l'angle infiniment petit comme nul et les deux droites comme parallèles ; mais ces deux droites ne se rencontrent pas moins en un point si- tué à l'infini, et partant ne sont point parallèles. Dans 5°, on dit : « La grandeur de l'angle externe EAB et son » sommet À ont seuls servi à déterminer la droite AB, Ces deux » conditions et la possibilité de prolonger la droite qu’elles déter- » minent, sont les seules bases sur lesquelles on puisse établir la » démonstration du théorème. » — Ce sont en effet les seules bases employées. Mais il y a contradiction à dire ensuite : « La grandeur » de l'angle EAB dans le sens de l'ouverture, étant sans influence » sur la direction (la position) du côté AB, est également sans in- »_fluence sur le point de rencontre et ne peut, par conséquent, servir » aucunement à démontrer que ce point existe. » — La contradic- tion est ici manifeste; car la grandeur de l'angle n’a pas lieu dans le sens de l’ouverture ou du prolongement des côtés, comme on le suppose, contrairement à la définition. Que signifie done la conclu sion énoncée, p. 225, pour infirmer la démonstration plus haut? Rien, absolument rien ; et cette démonstration n’en reste pas moins très-claire, trés-simple et rigoureuse. 14. On connait les travaux de Legendre pour démontrer com- plètement la théorie des parallèles ; ce à quoi il n’est parvenu que dans la note II de ses éléments de géométrie, 12°° édition. Il y re- garde l'angle comme une portion ouverte du plan indéfini , et, après avoir démontré fort simplement le postulat de Lacroix, il ajoute, p. 280 : « Nous laissons aux géomètres à décider si cette démons- » tration ne mériterait pas d'être admise dans les éléments, de pré- » férence à toute autre, pour rétablir la marche d’Euclide devenue » entièrement rigoureuse par la suppression de son postulatum. » 15. Lorsqu'on définit l'angle «une figure de deux côtés , » ily a de graves inconvénients à fonder la théorie des parallèles sur un postulat, dont l'évidence complète peut toujours être contestée , et lequel, par suite, rend douteuse l'exactitude de cette théorie : il n’y apporte même aucune simplification. Car, à moins d'agir par voie d'autorité, il faudra bien quelques explications aux élèves qui n’au- raient pu acquérir la certitude que : « Par un point donné, on ne » peut mener qu'une seule parallèle à une droite donnée; » et ces explications ne peuvent être plus courtes, pour devenir efficaces , que la démonstration elle-même , d’ailleurs fort simple. Et remar- quons que, supprimer une démonstration nécessaire, ce n'est pas simplifier , au contraire. bem > à. de géométrie. 471 Si le postulat ci-dessus , proposé par M. Gergonne , peut être re- gardé comme un axiome , il faudra aussi regarder comme tel la proposition , au moins aussi évidente, savoir ; d’un point situé hors d'une droîte, on ne peut abaisser qu’une seule perpendiculaire à cette droite. Cependant on juge nécessaire de démontrer cette der. nière proposition ; il faut donc aussi démontrer l’autre. C'est faute d’une bonne définition de l'angle plan qu'on a dù re- courir à des postulats pour établir la théorie des parallèles. Le pré- cédent, ainsi que ceux de Lacroix , d'Euclide et même de Fran- cœur , doivent être démontrés, bien qu'ils aient des caractères d'é- vidence qui les ont fait accepter par différents géomêtres , préfé- rant ainsi une simplification fort douteuse à une certitude complète dont ils n’ont pas tous les éléments positifs. 16. Legendre a basé la théorie des parallèles sur le théorème de la somme des trois angles de tout triangle rectiligne; mais il n’est point parvenu à démontrer simplement et complètement ce théo- rème. Toutes ses démonstrations sont longues et difficiles à saisir ; la plus simple (12% édit. des élém. de géométrie) ne démontre rien , parce qu’elle est basée sur l'hypothèse absurde que si un an- gle est infiniment petit , un point quelconque de l’un de ses deux côtés se trouve sur l'autre côté. — Dans la Revue pédagogique , p. 77, M° Batteux modifie cette démonstration et la rend rigoureuse- ment exacte à l’aide du principe de la méthode des variables auxi- liaires.—Voici, je pense, la modification la plus simple et où il est facile de tracer la figure, s’il est nécessaire. (Voyez cette figure dans Legendre). Soit ABC un triangle rectiligne quelconque dont les angles sont désignés par A, B, C, l'angle B étant aigu et le plus petit des trois. Soit I le milieu du côté BC : prolongez Al en C! et AB en B/ de telle sorte que AC’— AB et AB’ — 2AI. Si vous joignez B/C!, vous formerez ainsi le triangle AB/C dont les angles seront désignés par A’, B', C’. Soit K le milieu de AB’, d'où AK — Al, et joignez C/K. Les deux triangles ABI et AKC/ ont l'angle commun C/AB ou A’; ils ont le coté AB — AC et le côté AI — AK : donc ces deux trian— gles sont égaux et l'on a BI= KC/, l'angle ACK—B et l'angle AKC/'— AIB. Dans les deux triangles AIC et KB'C/, les deux angles AIC et C'KB sont égaux, comme suppléments respectifs de deux angles égaux AIB et AKC/. D'ailleurs le côté AI = AK—KB/ et le côté 472 J.-N. Noez. — Simplification des éléments IC = 1B = KC'. Donc les deux triangles AIC et KB/C sont égaux ; d’où l'angle KC/B'— C et l'angle IAC — B. On voit que l'angle A — A'+ Bet que B4+C = C'; d'oùil vient A+B+C=—A'LB'+C. La somme des trois angles reste donc la même en passant du triangle ABC au triangle AB'C’, puis de celui-ci à un troisième triangle, construit de la même manière, de ce troisième à un quatrième , et ainsi indéfiniment. Soit S la somme constante des trois angles de chaque triangle, soit D l'angle droit et soient désignés par x et x’ les angles extérieurs adjacents aux angles C et C/ : on a donc le système d’égalités S=A+B<+C, S =A'LB'+C, C+z— 921. C!'+ x = 2D. Ajoutant membre à membre les deux égalités qui se correspon— Cent, puis supprimant les termes communs aux deux membres, on trouve SLx —9D+ A+B,... (1) S+x = 2D+ AB... (2) A cause de CC, il est clair, au contraire, que x! x et que A'B'< AB. L'équation (2} n’est done que l’équation (1) où æ çt A+ B diminuent ensemble, On verra de même que les quan- tités æ et A+ B diminuent en passant du second triangle au troi- sième, de celui-ci au quatrième, ete. Ainsi , dans l'équation (1), les deux quantités S et 2D restent constantes pendant que les deux va- riables x et À + B diminuent ensemble indéfiniment, sans jamais pouvoir devenir nulles et sans que l'égalité de deux membres cesse d'exister, absolument comme si ces deux variables n’entraient point dans l'équation proposée (1), toujours exacte. On a donc nécessai- rement, comme il fallait le démontrer, S =2D ou A+B+C — 2D; et il en résulte x— A +B. Par cette belle application de la méthode des variables, la théorie des parallèles de Legendre devient rigoureuse, mais elle reste encore fort compliquée. D'ailleurs, toutes les théories des parallèles ne sont générales et complètes que par l’emploi, du moins implicite , des grandeurs infinitésimales. Par exemple, si l'angle externe sur— passe infiniment peu l'angle interne correspondant, il s’en suit que la somme des deux angles intérieurs, d’un même côté de la sécante, est surpassée par deux angles droits d’un angle a infiniment petit et par conséquent inexprimable en degrés. Or, pour que la démon- de géométrie. 475 stration de Legendre (Liv. I, prop. XXII) soit générale et com- plète, elle doit encore s'appliquer à ce cas. Il faut donc alors con- cevoir une infinité de bissections successives d’angles pour que la dernière droite de division tombe dans l'angle a infiniment petit; d’où résulte alors la certitude que les deux côtés non communs se rencontrent en un point situé à l'infini, et font entre eux un angle infiniment petit égal à l'angle a proposé. Revenons au théorème de la somme des trois angles de tout trian- gle ABC. Si nous prolongeons CA vers E, CB et AB vers D &tF, nous formerons l'angle extérieur ou externe EAF et l'angle DBF, égal à son opposé au sommet B. Or l'angle externe EAF restant fixe, aussi bien que les droites CAE et ABF , faisons glisser l'angle ECD sur le plan de telle sorte que le côté CE et le sommet C glissent sur la droite fixe CAE jusqu’à ce que le point C tombe en A, et par conséquent le côté CD en AG, dans l'angle EAF. Par ce mouve- ment de l'angle ECD, il est clair que le côté CD entraine l'angle DBF de telle sorte que DB glissant sur DC et FB sur FA, les deux sommets G et B arrivent à coïncider ensemble avec le sommet A. Le côté CD ayant alors la position AG, dans l'angle EAF, désigné par x, on voit que l'angle EAG = C et l'angle GAF — DBF = B; doneæ—C+B. Donc aussi CÆB + A=x+A—92D. Ce qu'il fallait démontrer de nouveau. Puisque l'angle EAF © EAG © ECD, on voit que si les deux côtés non communs se coupent en un point B, l’angle externe EAF est plus grand que l’angle interne correspondant ECD. Réciproquement, ayant l'angle externe EAF plus grand que l’an- gle interne ECD , il faut faire voir que les côtés non communs AF et CD finiront toujours par se couper. Pour cela, soit fait au point A l'angle EAG—ECD : le côté AG tombe donc dans l’angle EAF. Si l'on fait glisser l'angle EAG sur le plan de telle sorte que son côté EA et son sommet A glissent sur la droite fixe EAC jusqu’à ce que le point À tombe en G et que l'angle mobile coïncide avec son égal ECD; alors, comme deux droites ne peuvent se couper qu’en un seul point, il est clair que la droite indéfinie AG ne cessera pas un seul instant d’avoir un seul point sur la droite fixe AF, prolongée indéfi- niment ; et ce point, s’éloignant de plus en plus du pointA, est com- mun aux deux droites AF et CD quand les deux angles EAG et ECD coïncident. Donc enfin les deux côtés non communs AF et CD, étant suffisamment prolongés, se coupent nécessairement lorsque AT4 J.-N. Norz. — Simplification des éléments l'angle externe EAF est plus grand que l'angle interne correspon- dant ECD. Les deux théorèmes sur la rencontre de deux droites, situées dans un même plan, sont donc ainsi de nouveau complètement dé- montrés ; et l’on a vu plus haut que ces deux théorèmes sont les bases de la théorie des parallèles la plus claire, la plus simple, la plus générale et la plus complètement exacte, comme étant fondée sur la définition perfectionnée de l'angle plan. — On sait d’ailleurs que les propriétés des parallèles démontrent très-simplement le théorème de la somme des trois angles de tout triangle rectiligne. 17. La notion approfondie du rapport conduit aux définitions , très-claires et très-précises , des deux genres d’infinis, bien que ces derniers restent toujours inconnus comme inexprimables en chif- fres. — Soit » le rapport ou la raison des deux grandeurs continues A et B de même nature; » est donc le nombre abstrait, exprimable ou inexprimable en chiffres, par lequel il faut multiplier le consé- quent B pour avoir l’antécédent A , et l’on doit écrire A— Br. Donc, en vertu de la définition générale de la multiplication , Le rapport indique toujours comment l’antécédent se trouve avec le conséquent seul, même quand ce rapport n’est qu'approché : seulement alors la valeur de l’antécédent au moyen du conséquent n'est elle-même qu'approximative, et il faut toujours tächer que l'approximation soit suffisante. S'il est vrai que nous ne connaissons , en fait de grandeurs, que des rapports et ne calculons que par eux, la relation A= Br est fondamentale dans les sciences. On en déduit r = A : B= A sur B. Mais, pour mieux rappeler que r est le résultat de la comparai- son de À à B, il faut toujours indiquer ce rapport par les deux points verticaux , s’'énonçant es à et signifiant divisé ou mesuré par. Le rapport r se trouve, en effet, en mesurant le premier terme A par le second terme B. 18. Dans la Revue , p. 190, on lit : « Personne ne nie l'existence » du rapport. Quand deux grandeurs n’ont point de rapport rigou- » reusement exact, parce qu’elles n’ont point de plus grande mesure » commune , elles ont toujours un rapport approximatif, d'autant » moins éloigné du véritable rapport, que le reste qu’on a négligé » est plus petit, relativement aux grandeurs proposées ; et à chaque » rapport approximatif correspond une p.g. c.m. également ap- » proximative et qui n’est que le reste précédant celui qu’on a né- » gligé. » de géométrie. 475 Cela signifie sans doute que quand un rapport est inexprimable en chiffres et reste absolument inconnu, comme dans D= Af/2, on peut toujours en calculer des valeurs de plus en plus approxima- tives et qu’en même temps on obtient des valeurs de plus en plus ap- prochées de la véritable p. g. c. m. Celle-ci, bien que toujours in- connue et indéterminable, existe donc nécessairement. Il est évident, en effet, que si elle n'existait pas, on ne pourrait en trouver au- cune valeur approchée , ni par conséquent aucune valeur appro- chée du rapport, lequel n’existerait pas non plus. Il en résulte que l'impossibilité de déterminer exactement une grandeur n'autorise aucunement à en nier l'existence, quel que soit le nom donné à cette grandeur, toujours inconnue. Ici la p. g. c. m. des quantités continues D et À n’est pas seule- ment d’une petitesse invisible et inappréciable aux instruments les plus précis, comme un millionième de mètre, par exemple; mais elle est inexprimable en chiffres ; elle est moindre que toute gran- deur assignée, si petite que soit cette dernière, et elle est énféni- ment pelite, sans être nulle (car le néant n’est pas une grandeur). C’est, du reste, ce que nous avons démontré ailleurs ; et la remarque de M. Lamarle (citée, p. 195 dela Revue), est un corollaire de cette démonstration. D'ailleurs, dans le caleul on admet des nombres infinis du second ordre; lun de ces nombres peut donc être double d’un autre. 19. Il est clair que, pour démontrer l'égalité de deux rapports quel- conques , 1l n’est pas nécessaire de les calculer, ni de connaitre le commun diviseur des deux termes de chacun : il suflit de savoir que cette mesure commune existe nécessairement. Et de là résulte la méthode des parties égales que nous avons employée pour démontrer, par un seul raisonnement très-simple et rigoureusement exact , cha- que proportion exprimant l'égalité des deux rapports entre quatre quantités continues. Cette méthode générale est d’autant plus simple et plus exacte, qu’elle rend absolument inutile la distinction de deux cas commen- surable et incommensurable ordinairement employée pour établir la proportion , soit à l’aide de la méthode des variables, soit le plus souvent par la réduction à l'absurde. Or, pour le second cas ci- dessus, chacun de ces procédés est une pétition de principe , si l'on admet, comme cela doit être, que les deux grandeurs, dites ên- commensurables entre elles, ont toujours un commun diviseur in- connu; ou bien est un non-sens , si l’on soutient que ces deux gran- 476 J.-N. Noez. — Simplification des éléments deurs n’ont absolument aueun diviseur commun, pas même appro- ché ; oubliant ainsi qu’il n'existe aucun rapport numérique sans me- sure commune à ses deux termes continus. Il est certain que les anciens géomètres , tenant surtout à raison- ner avec une exactitude complètement rigoureuse,'n’auraient jamais employé la réduction à l'absurde pour établir la proportion, où l’on suppose toujours que les deux rapports existent , si la notion du rapport leur avait été mieux connue. — Il ne faut pas confondre les différents genres d'application de cette forme de raisonnement ; et les réflexions de Carnot, citées p. 191 et 192 de la Revue, ne s'appliquent nullement à la théorie des rapports égaux : elles rap- pellent seulement que, dans cette théorie, les anciens se servaient aussi de la réduction à l'absurde. Je n'ai pas contesté l'exactitude du procédé, très-ancien, em- ployé dans la géométrie de Legendre pour démontrer le théorème de l'aire du cercle, par exemple, et où le commun diviseur infini- ment petit, de l'unité linéaire et de la circonférence , est tacitement employé, bien qu'on pense l'avoir évité. Mais ce qu'on reproche à ce procédé, c’est d’être incomplet, en ce qu’il ne montre pas com- ment on est parvenu au théorème, et surtout, c’est de rendre la démonstration fort longue et d'autant plus obscure que les deux ré- ductions à l'absurde successives ne cachent même pas entièrement les grandeurs infinitésimales qu’on voudrait éviter. Pour preuve, voyez le Lemme fondamental, où les rayons des deux circonféren- ces concentriques peuvent différer énfiniment peu. 20. Revenons à la théorie des rapports égaux. Chercher un rap- port, c'est mesurer l’antécédent avec le conséquent, et la récipro- que est vraie. On est donc ainsi conduit à l’axiome de mesurage, savoir : Si quatre grandeurs A etB, Cet D, sont telles qu’en me- surant À avec B , on mesure en même temps CG avec D, il est évi- dent que les deux nombres ou les deux rapports résultants sont égaux. De sorte qu'on a A:B=— C:D. En théorie, cet axiome conduit le plus simplement possible à la proportion ci-dessus, où il faut déterminer le rapport A:B par le rapport égal C:D, plus facile à calculer exactement. Mais, dans la pratique, le rapport C: D ne sera souvent que plus ou moins appro- ché du véritable rapport numérique, comme dans tout mesurage effectif. En général, si l’on cherche la p.g. c. m. des deux grandeurs C et D, les instruments Îes plus exacts ne donneront jamais que les L de géométrie. 477 premiers termes de la fraction continue qui doit exprimer le rap- port C:D ; et souvent celui-ci ne sera qu’approché, même lorsqu'il serait exprimable en chiffres, c’est-à-dire serait un nombre ration- nel. Mais du moins cette fraction continue fera toujours connaître le degré d’approximation ; ainsi qu’on le voit par la détermination du rapport lorsque G et D sont deux droites ou deux arcs circulai- res de même rayon , tracés sur le papier dans les deux eas; et l’on doit avoir indiqué les solutions numériques de ces deux problèmes avant la théorie des lignes proportionnelles. Il est d’ailleurs évident que si les deux rapports A:B et C:D sont égaux entre eux, on peut toujours les concevoir développés en deux fractions continues identiques , et que par conséquent ealeuler l’une de ces deux fractions continues , c'est en même temps calculer l’au- tre; c’est-à-dire que mesurer C avec D, cest mesurer en même temps À avec B. Les deux nombres résultants doivent done être égaux, comme on le supposait : c'est l'axiome de mesurage. Enfin, pour la théorie des rapports égaux , on a deux méthodes générales , qui ne supposent point que l’on connaisse ces rapports , savoir : la méthode des parties égales et l’axiome de mesurage. Ces dèux méthodes sont très-simples; mais la seconde exprime plus di- rectement l'opération du mesurage des grandeurs continues. 21. On ne doit pas indiquer le rapport comme les fractions lit- térales, parce que souvent les élèves regarderont cette indication comme une fraction réelle ou dont les deux termes sont des nom- bres, et croiront par suite que pour multiplier entre eux deux rap- ports, ainsi indiqués, il faut multiplier l'un par l’autre les deux an— técédents et les deux conséquents. Or, ces multiplications sont des non-sens, puisque le multiplicateur devant toujours être un nom- bre abstrait, ne saurait être une quantité continue. Pour empècher les élèves de commettre ces non-sens, même quand chaque rapport est indiqué par les deux points verticaux, il faut les prévenir que les deux termes de chacun sont censés réduits en nombres abstraits, exprimables ou inexprimables, en supposant ces termes divisés par l'unité, toujours sous-entendue, de même na- ture qu'eux ; ce qui ne change pas la valeur du rapport, ainsi qu'on le démontre aisément. C'est particulièrement dans la muluplication terme à terme qu'il faut supposer rendues numériques les proportions entre quantités continues. Mais d'abord cette multiplication peut et doit toujours s’éviter; car, dans A:B—C:D, si l'on veut trouver le premier 61 478 J.-N. Noec. — Simplification des éléments terme continu À, les trois autres étant censés donnés , il n’est pas nécessaire de rendre numériques les quatre termes : il est beaucoup plus simple d'observer que le second rapport exprime un nombre abstrait, valeur du premier rapport, et que par suite on a A= B X (C:D). Substituant ensuite la valeur-de B, tirée de la même ma- nière de la seconde proportion, on aura une autre expression de A. C’est ainsi qu’on évite, avec une grande simplicité, la muluipli- cation terme à terme dans la recherche du rapport de deux rectan- gles, de deux triangles ayant un angle égal ou supplémentaire, de deux parallélipipèdes rectangles, ete. 99, Dans la Revue, p. 196, où l’on indique les rapports comme les fractions littérales et où l’on suppose les grandeurs incommen- surables , on emploie la méthode des variables pour démontrer que : (A:B) X (B:C) = A:C. Mais il est beaucoup plus simple de poser A:B=m» etB:C—n, m et x étant deux nombres inexprimables et inconnus. Ilen ré- sulte que #n représente le premier membre de l'égalité ci-dessus ; et quant au second membre, il est aussi représenté par mn. Ayant en effet, A = Bm et B— Cn, il vient À = Cnm et A:C — mn. Car on peut, sans altérer la valeur du produit nm, renver- ser l’ordre des facteurs et écrire mn , vu que ces deux facteurs irra- tionnels sont deux fractions à termes entiers infinis. On voit que, pour démontrer avec facilité les propriétés des pro- portions entre grandeurs continues , il faut y faire intervenir le rap- port commun à chacune et le représenter par une lettre, s’il n’est pas connu en chiffres. — Ces propriétés, pour plus de simplicité , doi- vent être traitées dans les démonstrations mêmes des théorèmes de géométrie qu’elles servent à énoncer. Mais il sera toujours nécessaire de fixer, avant, le sens de différentes expressions, très-usitées en français et auxquelles les proportions donnent lieu. (Voyez à ce su- jet, la 4° édit. du traité de géométrie). 25. Dans la théorie des rapports égaux et dans plusieurs autres investigations géométriques , les deux genres d’infinis se présentent inévitablement pour la clarté et la facilité des démonstrations. Il faut donc bien, bon gré, mal gré, les y reconnaitre ou en être par- tisan. — Toutefois, il n'est pas toujours nécessaire de prononcer les mots infini et infiniment petit, comme pour l’équivalence de deux tétraèdres : la démonstration (Legendre , 12° édit.) est rigoureuse , bien que les infinis y soient déguisés et non évilés. Car supposer de géométrie. 479 l'un destétraèdres plusgrand que l’autre, ce n’est pas assigner de va- leur à leur différence ; celle-ci pourrait donc être infiniment petite, et cela exigerait alors une infinité de tranches. D'ailleurs, soient T et T! deux tétraèdres de hauteur k commune et de bases a, a/ équivalentes dans le même plan: si ces deux té- traëdres ne sont pas équivalents, soit T le plus grand des deux. Divisant la hauteur X en un grand nombre n de parties égales à x par des plans parallèles à celui des bases , les raisonnements connus donnent T— T'T', De plus, puisque tous les prismes ont la même hauteur y, il s'en suit que ceux qui se correspondent , savoir a et a!, betb'c et c',.… sont dans le rapport des sections qui leur servent de bases et par conséquent dans le rapport de B à B’. Soit donc r ce dernier rap- port constant, exprimable ou inexprimable en chiffres : on a évi- demment a=rd, b=rb, c=rc, ete. De là, S=rS'. D'ailleurs, S>T et S'>T'; posant done S=T+Ex et S'=T'+x", puis substituant , il vient T+x=r T'+rx. Cette équation finale est exacte quel que soit le nombre x des parties égales de k. Or, » devenant de plus en plus grand, les sommes $ et S’ approchent de plus en plus de coïncider avec T et T'; done les différences x et x’ deviennent de plus en plus petites. Ainsi les grandeurs T et >T’ restent constantes pendant que les va- riables æ et rx’ diminuent ensemble, sans que l'égalité des deux membres cesse d'exister, absolument comme si deux variables n'entraient point dans l'équation finale proposée, On a donc néces- sairement T=—rT'; d'où T:T'=r=—B:B'. — Par cette proportion , si B vaut B’, il est clair que T vaut T”. Maintenant, soit C le cube construit sur 2%. Ce cube est la somme de 6 pyramides régulières égales , ayant chacune pour base une face du cube, pour hauteur la moitié 4 du côté 2h et pour som- met commun le centre. Et comme chaque pyramide régulière se décompose en deux té- traèdres égaux, on voit que le cube est la somme de 12 tétraèdres égaux à T', ayant chacun la hauteur X et la base B’ étant la moi- tié de la base 2B’ de C. On a donc 127 —C—92B x 21—4hB' et T'=P, et qu'ainsi S—P+7. D'ailleurs nz=h et b=rh?; l'égalité précédente devient donc 62 486 J.-N. Noez. — Simplification des éléments P+z= + bh+trhx (5h4-x). Cette équation finale exacte renferme deux termes constants et deux termes variables, pouvant diminuer ensemble indéfiniment à mesure que » augmente, sans que l'égalité des deux membres cesse d'exister , et cela absolument comme si ces deux termes variables n'entraient point dans l'équation. On a donc nécessairement P—#5h où P=ux!(b:s) (h:u). Cette démonstration très-simple n’exige que des calculs algébri- ques fort élémentaires ; elle devrait donc figurer seule dans les élé- ments de géométrie. Le même procédé conduirait à l’expression du volume de tout cône P, à l’aide du volume de tout cylindre, ainsi que je l'ai fait voir, p. 46 et 47 de la brochure sur l'emploi de l'infini. Mais il est beaucoup plus simple de considérer la base quelconque, mixte ou curviligne du cône proposé, comme un polygone rectiligne d’une infinité de côtés , et par conséquent ce cône comme une pyramide. Du reste , l’axiome de généralisation fait passer directement, et avec la plus grande simplicité, de la mesure de chaque pyramide régulière, sixième d’un cube, à l'expression du volume de toute pyramide et de tout cône; tout comme il ferait passer immédiate- ment de la mesure d’un parallélipipède rectangle à l'expression du volume de tout prisme et de tout cylindre; et de même pour les surfaces et les volumes de révolution décrits par un triangle isocèle et le secteur circulaire correspondant, etc. (Voyez la 4% édit. de géométrie. 29. Voici comment , dans la première édition de ses éléments de géométrie , en 1794, Legendre appréciait la difficulté d’une théorie rigoureuse du mesurage des pyramides; il disait (p. 508) : « La mesure de la pyramide, dont l’invention est attribuée à Eudoxe, a dù être le sujet d’une assez grande difficulté parmi les anciens géo- mètres; car le moyen le plus naturel de mesurer la pyramide est de la comparer au prisme : or d’un côté, la pyramide n’est point dé- composable en prismes, et de l’autre, le prisme ne peut se partager qu’en pyramides, ou inégales, ou dont l'égalité (l'équivalence) a besoin d'être démontrée. Ïl n’y a plus de difficulté lorsqu'on sup- pose que les pyramides de même hauteur sont entre elles comme leurs bases; mais cette proposition elle-même exige des décompo- sitions à l'infini, et ne peut se démontrer par le principe ordinaire de la superposition, » de géométrie. 487 « La démonstration qu'Euclide a donnée dans la proposition V du livre XII est une des plus ingénieuses des éléments ; cependant le nombre toujours croissant des petites pyramides, qu’on semble négliger , peut laisser quelque nuage dans l'esprit des commencants, et C’est pour éviter cet inconvénient que nous avons choisi dans le texte un autre genre de démonstration. On pourrait aussi , en par- tant des mêmes bases qu’Euclide, parvenir directement à la solidité de la pyramide triangulaire , sans supposer de prolongement à l'in- fini. » : On sait qu’en s'appuyant sur la décomposition d’Euclide, Legen- dre a démontré péniblement les théorèmes relatifs au mesurage du tétraèdre , à partir de la seconde édition de ses éléments de géo- métrie jusqu’à la 12° exclusivement , où il a pris une autre base, beaucoup plus simple. J'ai déjà indiqué ailleurs comment on pou- vait tirer parti du théorème d’Euclide pour simplifier la théorie du mesurage des tétraèdres, et j'y reviens, en priant le lecteur de tracer la figure, s’il la juge nécessaire à la clarté des raisonne- ments. 50. Soit SABC=4, le tétraèdre dont X est la hauteur et ABC —b la base. Par le milieu E de l’arête SB menons le plan parallèle à cette base: il passe par les milieux D et F de SA et SC, ainsi que par le milieu de A. Soient G, H, I les milieux de AB, BC, GA: il est clair que les triangles AGT et GBH sont égaux entre eux et à DEF —#b. On voit aussi que les deux tétraèdres SDEF et EGBH sont égaux entre eux, comme ayant un trièdre égal compris sous trois arêtes égales chacune à chacune, Soit £, le tétraèdre SDEF ; on a donc aussi le tétraèdre DAGI—r.. De plus, soit p, le prisme triangulaire construit sur les trois aré- tes AB, AC, AS de &,: il est clair que est la hauteur et b la base de p,, et qu’ainsi les unités v, s et w étant sous-entendues , on a p,=bh. En outre, soit p, le prisme triangulaire construit sur les trois arêtes DS, DE, DF de £, : ce prisme ayant :b pour base et 24 pour hauteur, on a p—;0X;h=;%bh=ip, et p,=8p,. On voit aussi que AGIFDE est un prisme triangulaire égal à p.. Soit d’ailleurs P le parallélipipède construit sur les trois droites GE, GI, GH ; lequel à 4h pour hauteur et le parallélogramme GICH— 6 pour base; d'où P—;bh=;p.. Le plan diagonal HEFC divisant P en deux parties équivalentes, on voit que le prisme triangulaire GHEFCI vaut £p,=p.. De sorte qu'on a le volume AGHCFDE 488 J.-N. Noëc. — Simplification des éléments : équivalent à £p,. La décomposition ci-dessus fournit done ce théo- rème d'Euclide, employé par Legendre : Pi=8p; et ,=ipi+ 2, ou 4:—p,+81.. Cela posé, les deux prismes triangulaires p, et p, sont directe- ment semblables, comme ayant un trièdre égal compris sous trois faces semblables chacune à chacune et disposées dans le même or- dre ; ces deux prismes ne différent done que par leurs grandeurs. De même, les deux tétraèdres , £, et f, sont directement semblables ; de sorte que £, est exactement en petit ce que #, est en grand. Or, puisque p.—8p,, on voit que p, n'est quep, devenu 8 fois plus grand; donc chaque partie de p, n’est que la partie semblable de ?, devenue aussi 8 fois plusgrande ; donc enfin t,—8/,. Substituant donc , il vient successivement : hb=pi+t, Si =pPi et tp; 3bh. Ce procédé, très-simple et très-clair, pour caleuler la mesure de tout tétraèdre, suppose bien acquise la notion de similitude directe , laquelle consiste en ce que : deux polyèdres directement semblables ne diffèrent que par leurs grandeurs, c’est-à-dire que l’un est exac- tement en petit ce que l’autre est en grand. Or , la théorie des figures directement semblables, l’une des plus importantes de la géométrie, doit développer complètement cette notion et la rendre évidente dans tous les théorèmes de similitude. — Les définitions générale- ment admises ne font bien connaitre les figures semblables que quand ces définitions sont amenées par des considérations prélimi- naires indispensables pour mettre en évidence toutes les conditions nécessaires à la similitude (Voyez à ce sujet la 4° édit. , citée plus haut). — On voit pourquoi Legendre n’a pu démontrer que, =84.. D'ailleurs, dans son ouvrage, la similitude ne précède pas le me- surage. 51. Si l'on ne veut pas recourir à la notion de similitude pour démontrer que {, = b. Dans le trapèze pro- posé, menons la hauteur DA , rencontrant en I la paral!èle cherchée EF=x et soit IH=y, d'où DI—h— y. D'après l'énoncé et d'après les expressions des aires des trois trapèzes, on a, pour déterminer x et y , deux équations qui se réduisent à celles-ci; ny (ay) =m(i— y) (4) y (a+y) +(h— y) (b +x) = h (a+b). Prenant la valeur de y dans la seconde de ceséquations et la sub- stituant dans la première, on trouve , réductions faites , h{a—x) an + b°m Va. a—b m+n Pourm—5n, on a x? =+(a*5b*). Or posant c—5b° et d° — ac, on a æ=3d. Toutes ces valeurs sont faciles à construire ; car c est le côté du triangle équilatéral inscrit dans le cercle dont b est le rayon , tandis que d est l’hypoténuse du triangle rectangle dont a et c sont les côtés donnés de l'angle droit. Prenant done, sur AB, la longueur AP — + d et menant par P la parallèle à AD, elle coupera BG au point F de la parallèle cherchée. — Si l’on posait ak= 50°, d'où x? =la(a+k), xse construirait par une quatrième et une moyenne proportionnelle. — Chaque fois on vérifierait la solution en construisant la #*° proportionnelle y ou IH. Sur le terrain , s’il fallait diviser le trapèze proposé en deux tra- pèzes équivalents, d'où m—n, il faudrait l’équerre d’arpenteur pour tracer des perpendiculaires et la chaine métrique (décamètre) pour RE So CN de Éd SSSR de géométrie. 491 mesurer les longueurs. Supposons donc qu’on ait ainsi trouvé a= 80 mètres, b—60 et k —120 : on aura x =50p 9 et de plus y= 60 (8—5p 9); ete. Remarque. Lorsque les données , nécessaires et suffisantes, sont tracées sur le papier, le compas et la règle suffisent pour construire le triangle ABC , dans lequel les trois angles sont désignés par A, B, C et les côtés respectivement opposés à ces angles, par a; b,c. — Voici plusieurs problèmes sur le tracé et la détermi- nation des triangles, où, pour arriver facilement aux constructions, il faut d'abord supposer le problème résolu : 1. Tracer le triangle ABC dont on connait les deux côtés a etc, avec la différence v des angles opposés A et C; ou bien avec la con- dition que l’angle A soit double de l'angle C. — Dans ce second cas, menant la bissectrice x de l'angle À et déterminant la projec- tion y de b sur &, on aura trois équations, desquelles éliminant x et Y, On trouvera be (a+-c) (a — c). Ainsi le troisième côté b cherché peut se calculer par logarith- mes, Ou se construire par une 4 proportionnelle , etc. IT. Construire le triangle connaissant, 1° les deux angles A et C avec la bissectrice d de l'angle B du sommet; 2° l'angle B, sa bis- sectrice d et la hauteur À; 5° l’angle B, sa bissectrice d et le côté €. II. Tracer le triangle dont on connait le périmètre p avec, 4° les angles À et C; 2° l’angle A et le côté c adjacent; 5° l'angle A et la hauteur À menée du sommet de B ; 4 le côté c et la hau- teur À. IV. Construire Îe triangle connaissant , 1° les deux angles À et C, avec la hauteur X, b étant la base inconnue; 2° l'angle A, la hauteur À et la somme » ou bien la différence d des deux côtés la- téraux a etc ; 5° l’angle A, la hauteur X et la différence v des deux angles B et C; 4° deux côtés et la projection orthogonale de l’un sur l'autre. V. Tracer le triangle dont on connaît, 1° l'angle A, la hauteur h et la médiane » de la base b inconnue ; 2° le côté c, la hauteur X et la médiane m ; 5° la base b, sa médiane #» et la somme n ou bien la différence d des côtés latéraux a et c. VI. Construire le triangle, connaissant deux angles avec le rayon du cercle circonscrit, ou du cercle inscrit, ou de l’un des cercles ex-inscrils. 492 J.-N. Noez, — Simplification des éléments VII. Tracer le triangle dont on connaît, 1° deux côtés et le point où l’un d'eux, ou son prolongement, est touché par le cercle in serit, ou par le cerele ex-inscrit; 2° un côté, le rayon du cercle inscrit et le point de contact du cercle et du côté; 5° un côté , le rayon du cercle ex-inscrit et le point où ce cercle touche le prolon- gement du côté. VIII. Construire le triangle dont on connait deux hauteurs et un côté ou un angle. — Chaque fois il y a deux cas à distinguer. IX. Construire le parallélogramme connaissant les deux diago- nales et un côté; ou bien deux côtés contigus et la hauteur. X. Construire le trapèze dont on connait une base, un angle adjacent et les deux diagonales; ou bien celles-ci et deux côtés con- tigus. XI. Construire le triangle dont on connait le côté b, l'angle op- poséB et le rayon r du cercle circonscrit, ou du cercle inscrit, ou du cercle ex-inscrit, touchant le côté b, (IL faut chaque fois un segment capable d'un angle donné). XII. Construire le trapèze dont on connait : 4° la hauteur, les deux diagonales et la plus petite base ; 2° la hauteur, les deux bases et une diagonale; 5° les deux diagonales et les deux bases; 4° une base, la hauteur et les deux côtés latéraux ; 5° un côté latéral, la hauteur et les deux diagonales ; 6° les deux côtés latéraux , une dia- gonale et la hauteur ; 7° enfin, les deux diagonales et les deux cô- tés latéraux. — Dans ce dernier cas, la détermination de l’une des deux bases exige des calculs et des constructions compliqués. 55. Voici plusieurs problèmes sur le calcul des aires par loga- rithmes et fondés le plus souvent, sur l'expression logarithmique de l'aire du triangle au moyen de ses trois côtés donnés numéri- quement. I. Calculer l'aire T du triangle dont on connaît un côté b, avec les deux médianes m et n. 4° Si les médianes » et n partent des extrémités À et C du côté AC=—b, on sait qu’elles se coupent en un point O donnant AO — 2m et CO—#°n. On connait donc les trois côtés du triangle AOC : celui-ci étant tracé, on prolonge AO de OM —1m" et CO de ON —;n. Alors les prolongements de AN et CM vont se couper en un point B; de sorte que ABC—T est le triangle demandé. Il est fa- cile de voir, d’ailleurs, que ce triangle est triple du triangle AOC ; et comme les trois côtés de ce dernier sont donnés numériquement, de géométrie. 455 on a l'expression logarithmique de son aire t, et l'aire T se caleu- lera , au moyen des tables , par la formule T — 34. 2° Si la médiane m part de l'extrémité A du côté AC=6 et que l'autre médiane n s'arrête au milieu P de ce côté, on sait que » et n se coupenten un point O , donnant AO=2?m et PO—!». De sorte que le triangle APO peut se tracer au moyen de ses trois côtés connus 50, 5m, +n, etson aire d/ peut se calculer par logarithmes. Prolongeant alors PO de OB—2», il est clair que BAC est le trian- gle demandé et que son aire T se caleulera par la formule T— 67. IL. Calculer et construire le triangle dont on connaît Les deux cô- lés latéraux a et © , ainsi que la médiane m de la base b. — On a 2m? +9 (LB) =a" +" et b° = 20 +20 — 4m. Posant d° —2a* + 2c?, il est clair que d est la diagonale du carré faitsur l'hypoténuse du triangle dont a et c sont les côtés de l'angle droit; et comme alors b=(d + 2m) (4d— Im), on voit que b se construit par une moyenne proportionnelle; d’où résulte le tracé du triangle cherché, au moyen de ses trois côtés connus a, b, c. Mais pour trouver l'expression logarithmique de Y'aire T de ce triangle, il faut d’abord calculer d en prenant la ra- eine carrée, exacte ou suffisamment approchée, du nombre obtenu en effectuant les opérations dans 24%, et calculer ensuite par logarithmes. On peut aussi construire le triangle et en caleuler l'aire T', con- naissant la hauteur , la médiane #» de la base b etla somme d? des carrés faits sur les deux côtés latéraux a et c. II. Calculer la mesure du triangle dont on connait les trois mé- dianes K, m etn. — Il faut d'abord construire ce triangle. Pour cela, on trace le triangle ABC dans lequel AB—9%, AC—9m et BC —?2n. Menant ensuite, dans ce triangle, les n'édianes CI et AH, se coupant en D, puis prolongeant CI de IE—ID, on dé- montre aisément que ADE est le triangle demandé. Maintenant, il est facile de voir que l'aire ADE— 1ABC, De plus, M étant le milieu de AC, le triangle AIM a pour côtés les trois médianes proposées Æ, # et n ; d’où résulte l'expression logarithmi- que de l’aire 4 de ce triangle. D'ailleurs ABC=Z%t; done aire ADE — “:. IV. Calculer la mesure du triangle t, connaissant numériquement 65 49% J.-N. Norz. — Simplification des éléments les trois hauteurs a, b', c', répondant aux trois bases inconnues à, b, e, côtés de ce triangle. Il faut d’abord construire le triangle f, et pour cela il est clair qu'on a à HU (pes) Posant a =b'c'in ou a':b!'=c':n, puis construisant ou caleu- Jant la quatrième proportionnelle »#, il est clair qu'en substituant la valeur de a! dans (1), divisant par b'c et simplifiant , il vient den bic c:be.-0(2) Soit 4 le triangle AB/C/, ayant pour côtés donnés B'C'=n, B'A =c et C'A=b : comme les côtés x, c!, b sont proportionnels aux côtés homologues a, b, e, les triangles L/ et & sont semblables et il faut construire ce dernier. — À cet effet, menons AI— X perpendieu- laire à B/C!; prolongeons AI en D de telle sorte que AD — a; me- nons à B'C’, par le point D, la parallèle rencontrant en CG et B les prolongements de AB’ et de AC/: le triangle ABC est le triangle cherché. Car étant semblable à AB/C’, on a BC:n —AC:c'=AB:b". Comparant à la suite (2) et observant que BC-a! = %=— ad, d'où BC=—a, on verra que AG—b et AB—c. Menant d'ailleurs les hauteurs BK et CF, il en résulte b-BK —92{—0bb" et BK =1". On verra de même que CF — c’. Cela posé, on connait les mesures n, b', c! des trois côtés du triangle AB!C/; son aire {’ est donc calculable par logarithmes. D'ailleurs, 2/=nh et t:l/—al":h2. Substituant donc les valeurs de a’ et h, il vient, réductions faites , la formule t= (b'c!}: 4. V. Calculer l'aire T de tout trapèze, connaissant une diagonale d, sa projection p sur la plus petite des deux bases et la somme arithmétique s des projections des deux diagonales sur cette base. Soient « et c les deux bases parallèles, c étant la plus petite, et soit À la hauteur, inconnue avec a et c : il est facile de voir que T=ih (a+-c), S—a+c, k=d—7», et par suite T= 15 (d+p)(d—p). Cette expression s'applique aussi au parallélogramme ; mais les trois données d, p, s ne suffisent pas pour construire le trapèze : il de géométrie. 495 est indéterminé de forme, bien que la mesure de son étendue soit constante et déterminée. VI. Exprimer l’aire T de tout trapèze , connaissant numérique- ment les deux bases parallèles a et ©, ainsi que les deux diagona- lsdete. Menant par l'extrémité commune à la plus petite base c et à la diagonale d, une parallèle à l’autre diagonale e, cette parallèle, terminée au prolongement de a, donne le triangle équivalent au trapèze T'et dont les trois côtés numériques sont d, e et a+c. Po- sant done 2s—d+cLa-c, on verra, d’après l'expression loga- rithmique de l'aire de tout triangle en fonction de ses côtés numéri- ques , qu'on aura toujours T=s(s—a—c) (s—d) (s— e). Cette formule s'applique au trapèze isocèle pour lequel ed, au parallélogramme quand a=c , et enfin au rectangle si l'on a e=d et a=c. — On démontre aisément ce théorème : dans tout trapèze T, la parallèle à l’une des diagonales, tirée du milieu de l’autre et terminée à la plus grande base, donne un triangle équivalent à2T. VII. Calculer l'aire de tout trapèze T , connaissant numérique ment ses quatre côtés. — Soit ABCD le trapèze T dans Jequel AB —a, BC—b, CD—c et DA=d, c étant la plus petite des deux bases parallèles «, et c. Menant par le sommet C la parallèle CE à DA, cette parallèle divise le trapèze en un parallélogramme et un triangle CEB ou £. On connaît numériquement les trois côtés de ce triangle, savoir b, d et a—c; on peut donc en calculer l'aire & par logarithmes. De plus, soit À la hauteur commune au trapèze et au triangle, «— c étant la base de ce dernier : ilest clair qu'on a suc- cessivement T = 5h(ac) eti—=5h(a—c); a+c T't=a—tc:a—c et T— _ xt. a— Telle est l'expression logarithmique de l'aire cherchée du tra- pèze ; lequel d’ailleurs peut toujours se construire avec ses quatre côtés donnés , en construisant d’abord le triangle t, ete. — Si a=c, Je trapèze devient un parallélogramme T ; et comme alors a— c—0 et{—0, il vient T=—?, On trouve, pour l'aire T , le symbole de l'indétermination , comme cela doit être, puisqu'il existe une infi- 496 J.-N. Noës. — Simplification des éléments nité de parallélogrammes différents , ayant les côtés égaux chacun à chacun. VIII. Calculer l'aire Q de tout quadrilatère , convexe ou concave , connaissant numériquement les deux diagonales 4 et e, aïnst que la projection p de d sur e. — Soit x la somme des distances de la dia- gonale e aux deux sommets opposés du quadrilatère: on sait que la mesure de celui-ci est donnée par la formule Q=+ex. Mais x est un côté de l’angle droit du triangle dont l’autre côté p et l'hypoté- nuse d sont donnés ; ona donc a —d'—p et Q—} eV (d+p) (d — p). On voit que : Deux quadrilatères quelconques , convexes ou con- caves , l’un ou l’autre ou tous les deux , sont équivalents entre eux lorsque leurs diagonales sont égales chacune à chacune et compren- nent un angle égal. Alors en effet, les deux projections p sont éga- les, ete. — Le quadrilatère est donc déterminé de grandeur, et non pas de forme , par les seules données d, e et p. Remarque. Soient det e les diagonales de tout quadrilatère , con- vexe ou concave; soient # et n ses deux médianes , joignant les mi- lieux des côtés opposés. On démontre que : »#» et n sont les diago- nales du parallélogramme P dont les sommets sont les milieux des côtés du quadrilatère Q proposé, ce parallélogramme valant +Q et son périmètre étant égal à d + e. — C’est sur ce théorème que sont basées les solutions des deux problèmes suivants. IX. Connaissant les mesures d, e et m des deux diagonales et d’une médiane de tout quadrilatère, calculer l'aire Q de ce quadri- latère. — D'abord T désignant l'aire du triangle dont », 5d etre sont les côtés numériques, on sait calculer l'aire T par logarithmes. Et comme T, moitié de P, équivaut à :Q, on voit que l’aire cher- chée se calcule par la formule Q=4T. X. Calculer la mesure de tout quadrilatère Q, connaissant les mesures m, n et d de ses deux médianes et d’une diagonale. — D'a- bord le triangle dont +d, km et 2n sont les côtés numériques et à la fois équivalent à +P et à +4, t désignant l'aire du triangle dont m, n, d sont les mesures connues des trois côtés; d’où P = et Q=— 24. Posant donc 2s=—d+4-m+n, on verra que Q°= 45 (s—d) (s—m) (s—n). 54. On doit parfois, pour abréger l'étude des éléments de géo- métrie, y supprimer différentes matières et se borner aux proposi- de géométrie. 497 tions les plus importantes. Mais dans ce cas même, comme quel- ques idées bien acquises sont toujours utiles pour en acquérir d’autres avec facilité, il est nécessaire d'approfondir les notions et les propositions fondamentales , afin de les bien connaître; ce à quoi l’on parvient par de bonnes définitions et des applications, clairement et logiquement analysées, en s’aidant s’il le faut des équations. Celles-ci d’ailleurs se présentent toujours dans la géo- métrie numérique , limitée aux propositions les plus essentielles, et exigent ainsi le calcul et l'interprétation des symboles numéri- ques. Or, dans tout problème de géométrie, où il faut calculer la po— sition d’un point inconnu sur une ligne tracée, droite ou circulaire, il existe toujours , avec les équations de ce problème , une équation auxiliaire, le plus souvent implicite ou sous-entendue, par laquelle on démontre clairement et très-simplement les deux principes de l’in- terprétation des longueurs positives et des longueurs négatives.—Ces deux principes sont encore vrais lorsque la ligne tourne autour d’un point fixe; vu que l'équation auxiliaire ne change pas dans ce mou- vement. (Voyez à ce sujet la théorie infinitésimale appliquée). Si donc le signe — de l’inconnue ne vient pas des changements de signes de quelques données, il est ainsi démontré qu’en algëbre : Toute solution négative indique un mode opposé d’existence de l’in- connue; vu qu’alors celle-ci diminue ou augmente ce qu’elle augmen- tait ou diminuait d’abord. Et ceci n’est pas une vérité de conven- tion; car, si cela était, « une autre convention donnerait done une solution différente: » ce n’est pas non plus une simple hypothèse , puisque c’est une vérité démontrée, ou du moins que l’on pourrait démontrer très-simplement, ainsi que le calcul des symboles nu- mériques , pour la discussion des problèmes des deux premiers de- grés ; et rien, à cet égard, ne justifie les scrupules, les détours obs- curs de quelques auteurs récents d’algèbre et de géométrie. Dans les mélanges de mathématiques, en 1822, et dans diffé- rents ouvrages d’algèbre et de géométrie, j'ai démontré les deux principes ci-dessus du positif et du négatif, à l’aide desquels on ef- fectue l'interprétation de presque tous les symboles numériques, désignant des émpossibilités relatives; ainsi que je l'ai établi en géo- métrie, 2%e édition , et où les difficultés de Carnot, portant sur l’in- terprétation des longueurs positives et négatives , sont résolues. - Nous y reviendrons plus bas. Dans les mélanges ci-dessus, p. 112, j'ai dit : « Le principe des 498 J.-N. Noez. — Simplification des éléments distances négatives est général; et quand on le croit en défaut, c'est >) dl , qu'on oublie de remarquer que la droite , sur laquelle la distance négalive est mesurée, a tourné autour d’un point fixe et a pris une , P position différente de celle qu’elle occupait d'abord. » » Le principe peut aussi paraître en défaut lorsque le problème renferme des conditions particulières qui n’entrent point dans ses équations ; car alors la valeur négative, quoique portée en sens contraire , peut ne résoudre aucun problème. Mais la mème chose peut aussi arriver à une valeur positive, portée dans le sens pro- pose. » Dans chacun de ces cas, pour que la valeur négative ou positive cesse d'être insignifiante, il faut, s’il est possible, écarter les con- ditions particulières , en généralisant l'énoncé du problème propo- sé ; comme, par exemple, dans la division d’une droite donnée en moyenne et exlrème raison. L'énoncé généralisé est : Diviser une droite donnée en deux segments tels que l’un soit moyen proportion- nel entre l’autre et la droite entière. Ici la solution négative place le point de division sur un prolongement de la droite donnée. L'interprétation la plus générale de la valeur négative de l’incon- nue x consiste , Comme on sait , à changer æ en — x dans les équa- tions proposées et à interpréter les nouvelles équations. C'est ainsi qu’on s’assure que toute équation du second degré en x résout géné- ralement, quand elle est possible, deux problèmes différents, ou deux fois un même problème. Et si l'équation proposée est impos- sible, ce qui est indiqué par un symbole imaginaire de x ou par le symbole de la non-existence, tel quex—+; on peut souvent ré- soudre un problème possible avee les mèmes nombres donnés, en changeant la soustraction qui produit l'impossibilité, alors relative, en une addition. Et c'est en cela que consiste l'interprétation des symboles imaginaire et de la non-existence de l’inconnue. On interprète de même le symbole de l’indéterminalion de x, savoir x =? ; ce qui donne une valeur déterminée à cette inconnue. Mais cette interprétation est rarement possible ; et même , quand lindétermination de l'inconnue provient d'un facteur commun à ses deux termes , facteur devenant nul par une hypothèse particu- lière, la suppression de ce facteur commun ne donne qu’une des valeurs, alors en nombre illimité, dont l’inconnue est susceptible, Dans ce cas, en effet , le problème reste indéterminé, comme pour l'équation de géométrie. 499 ax — ai = cx— ci, où , quand on pose c= a, il vient x—%; ainsi que cela doit être , puisque par c— a, les deux membres sont identiques quelle que soit la valeur de x. Néanmoins la suppression du facteur a — c commun doit toujours se faire afin de donner l’une des véritables valeurs de æ qui répondent à la supposition de ca; et cette valeur véritable estz—? a. Le symbole de l’indétermination peut s’interpréter dans arc —=0cx + af. Car les deux termes de x ayant le facteur commun a —c, l'hy- pothèse de c — a donne æ—?. Mais en changeant c en —c, le fac- teur commun &—c devient ac; et soit qu'on supprime ou qu’on ne supprime pas ce facteur, la nouvelle équation, par ca, donne toujours += + a. à Pour b —a , l’inconnue x est indéterminée dans l’équation ax? — b2x + a°b = bx* — a°x + ab?. C'est que le facteur & —b est commun aux deux membres de l'équation préparée; et en le supprimant, l'équation résultante donne 5— —« et x——b. Ces deux valeurs négatives s’interprè- tent en changeant simplement æ en —x dans l'équation proposée. Et si l’on y change seulement b en —b, l'indétermination disparait pour a—b ; car alors a+-b est facteur des deux membres de l'équa- tion proposée. On trouve alors x—b et x —=— «a. Enfin, si l’on connait la hauteur À d’un triangle, ainsi que les deux côtés latéraux a et c; le calcul des projections x et y des côtés a etc, sur la droite indéfinie contenant la base b, donne x = 2m et y—= En. Or, ces longueurs sont mesurées sur la droite indéfinie, à partir du pied de k; et les combinaisons des signes donne à b qua- tre valeurs égales et de signes contraires deux à deux. Il en résulte donc quatre triangles égaux deux à deux et symétriquement dispo- sés de part et d'autre de la hauteur À. — On trouve immédiatement et sans calcul ces quatre triangles à l’aide de deux arcs circulaires dont a et c sont les rayons, etc. 55. Voici maintenant plusieurs problèmes d'interprétation dans les éléments de géométrie numérique : I. Calculer le rayon R numérique du cercle dont l'aire A est don- née. — On a 500 J.-N. Noëz. — Simplification des éléments R= +}/(A:7). La valeur négative de R est ici insignifiante, puisqu'il ne s’agit que de calculer la longueur du rayon et non sa position autour du centre. — Ilest clair que ce rayon peut avoir une infinité de posi- tions différentes et que, pour interpréter le double signe de la valeur de R, il suffit d'observer qu’en faisant tourner 2R autour du centre fixe , la valeur positive de R décrit le premier demi-cercle, tan- dis que la valeur négative, toujours mesurée en sens directement opposé sur ce diamètre mobile, décrit la seconde moitié du cercle proposé. IT. Par un point donné P mener une droite telle que la corde in- terceplée sur cette droîte , par une circonférence tracée, ait la lon- gueur donnée 2e. Supposons d'abord le point P situé sur un diamètre AB : on connait done les distances PA—a et PB—b. Soit d’ailleurs x la partie inconnue PD de la corde CD ou 2c à tracer : l’autre partie PC sera 2c— x; et, d’après la propriété des parties numériques de deux cordes qui se coupent dans le cerele , ona æ(2c—x) —=ab; d'où x=c+ Ve — @b. Il est facile de construire ces deux valeurs positives, lesquelles doivent se mesurer dans le même sens, à partir de P, sur la même droite mobile autour de ce point fixe. De sorte que si @ > ab, le problème a deux solutions. Mais ces deux solutions se réduisent à une seule , perpendiculaire en P à AB, si c—ab. Et si cab, les deux valeurs de x étant alors imaginaires , le problème est impossible : c’est une impossi- bilité relative, signifiant qu'alors le point P ne saurait être sur le diamètre AB. On peut, en effet , interpréter les valeurs imaginaires et résoudre un problème avec les mêmes données générales @, b, c. Pour cela, il suffit de changer simplement a en — a ; ce qui donne æ (x —2c) = ab et x=c+V c + ab. Comme alors la distance a, devenue négative, est mesurée en sens directement contraire et place le point donné P sur le prolon- gement de BA , les deux valeurs réelles de x résolvent le problème : Par un point P donné hors d'un cercle tracé, mener une sécante telle que la corde interceptée sur elle ait une longueur donnée 2e. de géométrie. 501 lei, x désigne la sécante entière : sa valeur positive étant con- struite et prise pour rayon de l’are dont le nouveau point P est le centre ; détermine la seconde extrémité E de la corde cherchée 2c. Quant à la valeur négative de +, elle doit être mesurée en sens op- posé sur le prolongement EP de la droite tournant autour du point fixe P. Et comme alors cette valeur exprime la longueur de la par- tie extérieure de la nouvelle sécante, il en résulte, de l’autre côté de PAB, la première extrémité de la corde cherchée 2, toujours moindre que AB. Le nouveau problème aura donc toujours deux solutions égales, symétriques par rapport à PAB. Aussi l'are circulaire, de centre P et de rayon égal à la valeur positive de x, coupe-t-il la cireonférence proposée aux deux points E et E/ qui déterminent les deux sécantes cherchées PE et PE’. Cela simplifie de moitié la solution complète, et tel est un avantage de la symétrie. De plus, soit K le point où l'arc circulaire coupe PAB : les deux arcs KE, KE’ sont égaux et symétriques par rapport à PAB , aussi bien que les angles KPE, KPE; et le premier étant positif , le second est négatif. On voit d'ailleurs que si 2c — 0 d'où PE=PE’=— V «0, E et E' sont les points de contact des deux tangentes égales, menées du point P à la circonférence proposée. AIT. Mener les tangentes communes à deux cercles extérieurs tracés. Soient À et B les centres, a et b les rayons des deux cercles don- nés. Soit d la distance AB des centres et supposons d’abord aÿ b : une tangente extérieure commune coupe donc le prolongement de AB en un point P , et il s’agit de calculer la distance BP = x. Pour cela, onsait que les rayons AM=a et BN—b , menés aux points M et N de contact, sont parallèles comme étant perpendiculaires à la tangente ; les deux triangles PAM et PBN sont donc équiangles et donnent a:b=d+x:x; d'où a—b:b=d:#. On sait construire cette quatrième proportionnelle x ; mais pour la calculer, il suffit de supposer toutes les droites exprimées en nombres de la même unité linéaire w; car cette unité disparaissant des deux termes de chaque rapport de la proportion, les lettres a, b, d, x représentent alors des nombres abstraits, exprimables ou inexprimables.en chiffres , et la proportion donne la formule : 64 562 J.-N. Noëz. — Simplification des éléments Pour la seconde tangente commune extérieure, les rayons a et b sont mesurés en sens directement contraires ou sur les prolonge- ments MA et NB des deux droites indéfinies , tournant autour des centres fixes A et B, sans cesser d’être parallèles. Donc les rayons a et b sont négatifs ou se changent en — a et —b dans la formule (1). Et comme en changeant les signes du numérateur et du déno— minateur de la nouvelle formule, celle-ci conserve la mème valeur et devient la proposée (1), on voit que la seconde tangente com- mune extérieure passe aussi par le point P; et il en est de même de toute droite joignant les extrémités de deux rayons parallèles, situés d’un même côté de ABP. Maintenant, les deux droites indéfinies peuvent tourner autour des centres fixes À et B, sans cesser d’être parallèles, mais de telle sorte que les rayons a et b, situés de part et d'autre de AB, soient perpendiculaires à une même droite ; laquelle alors est une tan- gente commune intérieure. Dans ce cas , l’un des deux rayons de- vient négatif, comme mesuré en sens directement opposé, sur l’une des droites mobiles. La formule (1) s'applique done aux deux tan gentes intérieures communes, en y changeant successivement «& en — aetb en —b. Et comme chaque fois la longueur x est négative et doit se mesurer en sens contraire, de B et Q sur BA , on voit qu’en posant BQ =’, on aura, pour calculer le point Q où les deux tan- gentes communes intérieures coupent la distance AB , la formule nes a + b Menant done, de chacun des points Pet Q, deux tangentes à l'une des deux circonférences, elles seront aussi tangentes à l’autre, et l’on aura ainsi les quatre tangentes communes cherchées. Car chacune sera perpendiculaire aux extrémités des deux rayons a et b, ainsi que le suppose la mise en équation. On connait la construction plus simple des quatre tangentes, sa- voir : du centre À et avec les rayons a+-b et a —b, on décrit deux circonférences , à chacune desquelles on mène, par le point B, deux tangentes, etc. Nous supposons a>>b et les deux cercles extérieurs, d'où d>a +-b. Supposons maintenant que les deux cercles se touchent exté- de géométrie. 505 rieurement et qu’on ait d=a-b. Dans ce cas, la distance x dimi- nue et il vient x'—=b : il y a toujours deux tangentes communes extérieures, mais une seule intérieure, perpendiculaire sur AB au point où les deux circonférences se touchent. — Si elles se coupent, ce qui suppose da—b, d'où x b, il n’y a plus de tangentes intérieures, mais encore deux tangentes commu- nes extérieures ; ce qui est d’ailleurs évident. — Enfin, siles deux cercles se touchent intérieurement, d’où d=a— b, x! a+b et a>b, il faut, a restant constant , faire croitre b par infiniment petits. Il est clair qu’alors x et x” croîtront de la même manière , mais æ beaucoup plus rapidement que x’; telle- ment que si b = a—ù, à désignant un nombre infiniment petit, le point P est à une distance infinie de B et le point Q infiniment près du milieu O de AB. Enfin, si b devient rigoureusement égal à &, ce qui donne x'= 2a, on a mn; d’où il vient 2x—=EmEn et 2y=EmTEn. Si donc a—2% et b—50, on trouve m—70 et »—10; d'où ré- sultent les huit systèmes de valeurs : x—40, 40,—40,—40, 30, 30, —50, —50, y—530,—50, 30,—50, 40,—40, 40,—40. L'interprétation des longueurs positives et négatives correspon- dantes fait voir que le problème a huit solutions, formant deux lo- sanges circonscrits , égaux entre eux; car l’un peut, en tournant autour du centre, aller coïncider avec l’autre. — L’aire de chacun est exprimée par 2400. Le minimum de b est le côté 2a du carré circonserit; vu que pour b > b, les deux valeurs de x, d’ailleurs faciles à construire , sont toutes les deux positives , l’une plus grande que d, donnant d— x négatif, et plaçant le point P sur le prolongement de AB, tandis que la seconde valeur positive de x est plus petite que d et place le point P cherché entre À et B, comme le suppose la mise en équation. Mais si ab, les deux valeurs de x sont l’une positive b, la première valeur ci-dessus de x est positive. Il faut done d’abord la construire sur MN, à partir de M; puis du centre M et avec la longueur trouvée pour rayon, décrire un are cireulaire coupant AB en deux points Det D,, symétriques par rapport à MN : alors MDI et MDI, sont deux droites , solutions du problème proposé, vu que D.l; — DI— 26. Ces deux solutions se réduisent à une seule, si 2b = CN, et sont impossibles , si 2>CN. Quant à la seconde valeur ci-dessus de x, elle est entièrement né- gative. On doit donc la construire, à partir de M, sur le prolonge- ment de NM. Si donc du centre M et du rayon égal à la Jongueur ainsi construite, on décrit une circonférence , elle coupera les pro- longements de AB en deux points D, et D: , symétriques par rap- port à MN. Desorte que les deux droites MID, et Ml:D; sont deux autres solutions, évidemment toujours possibles, du problème pro- posé. Celui-ci a donc généralement quatre solutions, égales et sy- métriques deux à deux par rapport à MN; ce qu’on pouvait aisé- ment prévoir. Les quatre solutions peuvent se réduire à trois ou à deux seulement. Si l'on voulait interpréter la valeur négative de x par le change- ment de x en — x dans l'équation finale x°+-2bx—d°, on trouve- de géométrie. 509 rait la même nouvelle équation que si l’on changeait 25 en —%, savoir : æ’ —2bx = d2. Celle-ci donnant æ= bÆ k, la valeur posi- tive x— b+k est précisément celle qui s’est présentée avec le si- gne—, avant aucun changement. D'ailleurs, la détermination des deux points D, et D; s’est faite absolument comme si, x étant po- sitive, on avait porté #+b sur MN, à partir de M. Donc pour passer de la solution MDI à la solution MLD, , ce n’est pas x qui change de signe; c’est 2b. On le vérifie par l'équation auxiliaire ; car dési- gnant par z la corde dont x est un segment, il est clair que pour la solution MDI, on a z—x%, tandis que pour la solution MLD, , il vient z —zx—2b. Donc 2 pour le point D, devient — 26: pour le point D, , tandis que la longueur x reste positive. Le signe — de x provient done du signe — de 2b. On voit de plus que la distance négative — 2b est mesurée en sens directement opposé sur la droite mobile, à partir du point où celle-ci rencontre la droite fixe AB in- définie : c’est toujours le second principe du positif et du négatif. L'interprétation des longueurs négatives devient beaucoup plus facile lorsqu'on prend la distance y pour l’inconnue du problème ; vu que cette distance est mesurée sur la droite fixe AB, à partir du point € invariable. Or, éliminant x des deux équations proposées , on trouve une équation finale en y? et y#; et k désignant la lon- gueur construite plus haut, cette équation donne y=+EV a+ E 2%. Cette formule est plus compliquée que l'expression de x ; mais aussi elle conduit, sans difficulté, aux quatre solutions du pro- blème proposé. Car les deux valeurs positives de y déterminent les deux points D et D, , tandis que les deux valeurs négatives donnent les deux points D, et Ds. — Il est facile de voir dans quels cas deux valeurs de y sont nulles ou imaginaires : ces deux dernières valeurs désignent deux émpossibilités absolues. VIII. Calculer Paire T du triangle dont on connaît numérique- ment le côté c, l’angle opposé C et la différence d des deux autres cô- tésxet y. — Il faut d'abord calculer ces deux autres côtés à l'aide des deux équations z—y—d et ex +y —2xy cos C. Éliminant z et posant m=— (c° —d:) : sin EC, on trouve y=—sa+iW + m et x=!d+iÿ d + in. 65 510 J.-N. Noëz. — Simplification des éléments Substituant ces valeurs dans T=ixy sin C et réduisant, il vient —+(c+d) (c—d) cot 1 C. Telle est l'expression cherchée de l’aire du triangle : elle est cal- culable par logarithmes en y faisant reparaitre le rayon R tabu- laire, diviseur sous-entendu de cot 1C. — Nous avons supposé l’angle GC aigu; mais s’il est obtus, cot CG devient tang + G. Et si l’an- gle Cest droit, T équivaut au carré fait sur le demi-côté de l’an- gle droit du triangle rectangle dont c est l’hypoténuse et d l’autre côté. Il est facile de voir que (x+y)}2—c+4T cotiC. Or, il est évident que les plus grandes valeurs de T et de x + y répondent à d=—0 où à x=4y. Le plus grand de tous les triangles de même base et de même angle au sommet est donc le triangle isocèle ; lequel en même temps a le plus grand périmètre. Maintenant, pour interpréter sur le papier les valeurs précé— dentes de x et de y , ou tracer le triangle, on prend la droite AB =c; puis des centres A, B et avec les rayons égaux aux longueurs positives x ety, on décrit deux arcs cireulaires se coupant en un point C; et alors ABC est le triangle cherché. — Si B, A étaient les centres des arcs décrits avec les rayons x et y précédents, ces deux arcs se couperaient en un point C, ; et le triangle résultant ABC, se- rait égal autriangle ABC , mais inversement situé du même côté de la base AB. De plus, la valeur négative de x est numériquement égale à la va- leur positive de y, et réciproquement. D'ailleurs, puisque chaque longueur négative doit se mesurer en sens contraire sur la même droite et à partir du même point fixe, alors même que la droite se- rait mobile autour de ce point; on voit que si l’on prolonge CB de BC, —=AC et CA de AC,=BC; qu'ensuite on fasse tourner ces deux prolongements autour de B et A jusqu'à ce que les deux points C, se réunissent en un seul, on aura ainsi le triangle ABC.—ABC. — Le triangle ABC, donne de même le triangle ABC:—= ABC. I n'y a qu'un seul triangle qui réponde aux données du pro- blème ; mais ce triangle peut avoir quatre positions différentes au- tour de la base commune AB, lesquelles sont symétriques deux à deux par rapport à cette base. — Ici encore la symétrie abrége de moitié les constructions. Car les ares circulaires , de centres À et B, ayant pour rayons les valeurs positives de x et dey, se coupent aux points C et C; , tandis que les deux arcs de mêmes rayons po- de gévmétrie. 511 sitifs, mais de centres B et A, se coupent aux deux points C, et C.. — Les points Cet C,, C3 et C, sont symétriques par rapport à la perpendiculaire indéfinie élevée au milieu de AB. — Enfin , on connait la construction, plus simple et plus élémentaire, du trian- gle cherché quand les données sont tracées sur le papier. IX. Calculer l'aire T du triangle dont on connaît numériquement la base c, l'angle du sommet C et la somme n des deux autres cô- tés x ety. — Ici les trois équations donnent directement l'expres- sion de l'aire T cherchée, caleulable par logarithmes. Mais si l'on veut calculer les deux côtés x et y, chacun aura deux valeurs posi- tives telles que la plus grande de l’un répondra à la plus petite de l'autre. Interprétant ces deux systèmes de valeurs positives , on verra, comme dans le précédent problème, qu’il n’y a qu'un seul triangle, mais que ce triangle peut avoir quatre positions différen- tes, symétriques deux à deux par rapport à la base commune. — Jci encore la construction du triangle est plus simple et plus élé- mentaire, lorsque les données sont tracées sur le papier. X. Construire le rectangle équivalent au carré de côlé n donné . connaissant la diagonale d de ce rectangle. — Pour la construction cherchée, il faut d’abord calculer les côtés x et y du rectangle, puis le tracer ensuite, après avoir construit les valeurs résultantes de x et de y, à l'aide de la règle et du compas. Il n’y a qu’un seul rec- tangle qui résulte des données du problème; mais les principes du positif et du négatif lui donnent huit positions différentes, symé- triques deux à deux autour du sommet commun. — On peut faire d=—150 et n°—6000. — On peut calculer le maximum de n, le nombre d étant seul connu, et le minimum de d, le nombre » étant seul donné. XI. Calculer l'aire T du triangle ABC dans lequel on connaît numériquement l'angle B du sommet, la hauteur h et la médiane m de la base b. — Soient a et c les côtés numériques opposés aux angles À et C : on a les troiséquations 2m° +50 = a+ ce, ba + © — ac cos B et bh — ac sin B. L'Élimination des inconnues a et c donne aisément D — km? —Ibh cot B. Comme ici la valeur négative de b est absolument insignifiante , cette équation finale donne seulement 512 J.-N. Noëz. — Simplification des éléments b—=— h cot B+ V 4m + 2 cou B. Pour rendre cette formule caleulable par logarithmes , on pose 2m cot x — h cot B; puis observant que 1 —cosx=2sin°} «x, etc., on trouve b = 2mtangiæ; d'où T—hmtangix. Ces deux formules se calculent par logarithmes en y faisant re- paraître le rayon tabulaire R diviseur, et après avoir déterminé l’an= gle auxiliaire x au moyen des tables. Nous avons supposé l'angle B aigu ; mais s’il est droit, on aura cotB— 0 et b —2m , comme cela doit être, Enfin, si B obtus, il en est de même de l'angle auxiliaire æ, et tang£x devient coté x dans les deux formules précédentes. 56. Ce qui précède, montre bien le rôle important que les diffé- rents symboles numériques jouent dans la géométrie élémentaire ; et il en résulte que la symétrie simplifie toujours la solution des problèmes , soit graphiques, soit numériques. — C'est aussi la sy- métrie et la régularité des figures qui rendent très-faciles les dé- monstrations des théorèmes que nous énonçons ci-dessous, pour exercer les élèves aux applications des théories, dans l’étude des figures planes , dont les tracés sur le papier sont d’ailleurs des exer- cices utiles. I. Les quatre sommets des triangles équilatéraux, dont T dési- gne l’aire de chacun, construits extérieurement sur les côtés c d’un carré, comme bases, sont les sommets d’un carré dont l'aire vaut 2cLAT. IT. Dans tout triangle équilatéral T , les sommets extérieurs des carrés, construits extérieurement sur les côtés c, déterminent un hexagone inscriptible, ayant trois axes de symétrie égaux chacun à ic(5+y 5). L’aire de chaque hexagone vaut 5e? + 4T ; et l'on peut calculer le rayon du cercle circonscrit. JT. Si, dans les deux sens, on prolonge chacun des côtés € d’un carré de la longueur égale à ce côté, on aura les sommets d’une croix, formée de cinq carrés égaux, et qu’on transforme en un earré équivalent par simple transposition de parties. Les huit sommets de Ja croix sont ceux d’un octogone, symétrique par rapport à un centre, ayant quatre axes de symétrie, égaux et perpendiculaires deux à deux, dont les longueurs sont 5c et cp” 10. L’aire de cet octogone vaut 7c*; et si l’on prolonge dans les deux sens chacun de géométrie. 515 des quatre côtés c}/2, ces prolongements se coupent aux sommets d’un carré équivalent à 8cz. IV. Dans tout triangle régulier T, si l'on prolonge dans les deux sens chacun des côtés c d’une longueur égale à ce côté, on aura les sommets d’un hexagone inscriplible , ayant trois axes égaux de symétrie. L’aire et le contour de cet hexagone valent respective- ment 12T et 9c, tandis que le rayon du cercle circonserit équivaut à 30) 15. — Tous les prolongements pourraient avoir la longueur a quelconque donnée. V. Chaque côté donné c d’un triangle équilatéral soutend un are cireulaire a, touché à ses extrémités par les deux autres côtés; et alors ona , pour calculer l'arc &, son rayon r et l'aire S du secteur circulaire , les formules : a=2rc, r=5:0cV/ 5 et S—irc V5. De plus, les trois ares a se coupant aux sommets du triangle et à son centre, forment une rosace triangulaire, égale à la rosace décrite des sommets du triangle, comme centres, et avec le rayon r : il en résulte la rosace hexagonale dont on sait calculer le con- tour et l'aire; vu qu’elle est décrite des sommets d’un hexagone ré- gulier dont r est le côté. VI. Prolongeant dans les deux sens chacun des côtés c d’un carré de la longueur égale à la demi-diagonale 2cy/ %, on a les sommets d’un octogone régulier, de eôté c et d’aire 2c:(1-+y/ 2). Le rayon r de cet octogone se calcule par r?—?c*(4+24/ 2). En- fin, l’octogone proposé est inscrit dans le carré dont le côté a pour mesure c (1+-y 2). VII. Réciproquement, si l’on cherche le côté a d’un carré tracé pour qu’en retranchant de ce carré quatre triangles rectangles iso- cèles égaux, il reste un octogone régulier de côté c donné, on trouvera a—=c(1+y 2). L’aire de l’un des carrés inscrits dans cet oetogone a pour mesure c’(2 +f/ 2). VIII. Dans tout pentagone régulier P, 1° chaque diagonale est parallèle à un côté c; 2° elle est coupée en moyenne et extrême par chacune des deux diagonales partant du sommet du triangle dont elle est la base, et chaque fois c est le plus grand segment ; 5° la distance des deux points d’intersection est le côté d’un pentagone régulier P, concentrique au proposé P; 4° P, est entouré de cinq autres pentagones réguliers égaux, ayant chacun un côlé commun avec lui et un angle commun avec P ; 5° les rayons de P sont divi- 514 J.-N. Noëz. — Simplification des éléments sés en moyenne et extrême par les centres des cinq pentagones égaux à P,; 6° si l'on prolonge chacun des apothèmes de P d’une longueur égale, on arrive aux centres de cinq pentagones réguliers égaux à P et dont les sommets les plus éloignés de P sont ceux d’un pentegone régulier P, concentrique avec P; 7° les sommets de P, et ceux de P sont les sommets des angles rentrants et des an- gles saillants d’un décagone régulier étoilé , et il en est de même des sommets de P et de P,; 8° les côtés de P, et de P, , puis ceux des deux décagones réguliers étoilés ci-dessus , valent respectivement Le(5—p/5) et le(G+/5), Le(/5—1) et Le(ÿ/5 #1); 9 enfin, il en résulte évidemment P,=:P(5—y 5) et P,—=1P(5+p/5) ; d'où P:—P,P.. IX. Dans tout pentagone régulier P , si l’on construit extérieure- ment des carrés sur les côtés c, on a les sommets d’un décagone régulier concentrique dont 10c et 2P<+5c? sont les mesures du contour et de l’aire. X. Dans tout hexagone régulier H, de côié c, les diagonales non diamètres valent chacune cy/ 3 et chacune est coupée par deux autres en trois parties égales, aux sommets d’un hexagone régulier H, , concentrique. De plus, si l’on prolonge dans les deux sens les côtés de H jusqu’à ce qu'ils se rencontrent deux à deux, on a les sommets d’un hexagone régulier H, concentrique, de côté cJ/ 3; d'où H, =2H, H —5H et H°— H,H.. Enfin, les sommets de H, et de H sont ceux des angles rentrants et des angles saillants d’un dodécagone régulier étoilé, double de H, ; tandis que le dodécagone régulier étoilé, dont les sommets sont ceux de H et de H, vaut 2H. XI. Dans tout hexagone régulier H, si l’on construit extérieure- ment des carrés sur les côtés c, on a les sommets d’un dodécagone régulier , de côté égal à c et dont l'aire vaut 2H<4-6c°. Son rayon r est donné par ° = c* (24/3) ; donc 5r* en exprime l'aire. XIE Pour qu'un dodécagone régulier, de côté c donné, puisse s'inscrire dans un hexagone régulier concentrique , il faut que le côté de celui-ci ait pour mesure +e(5+2y 5). De plus, a, r et D désignant l’apothème , le rayon et l’aire du dodécagone, on a a=;c(2+V5), r—0c(2+p5), D— 57: et r° — nc. XIII. Les trois demi-circonférences intérieures décrites sur cha- cun des côtés c d’un triangle équilatéral , comme diamètre, passent de géométrie. 515 chacune par les milieux des deux autres côtés et forment ure ro- sace, dont l'aire a pour mesure +c*(r —1ÿ/ 5). XIV. Dans tout triangle équilatéral, de côté c, si sur chacun des trois rayons égaux à $cy/ 5, pris pour diamètre, on décrit une cir- conférence, les trois courbes passent par les milieux des côtés, som- mets communs à deux rosaces triangulaires , l’une intérieure et l'au- tre extérieure au triangle. La somme des aires de ces deux rosaces équivaut au quart du cercle dont c est le rayon; vu que ces deux aires ont pour mesures respectives : Lex 1/5) à 10 Er +13). XV. Les quatre demi-circonférences intérieures décrites sur les côtés c d'un carré, comme diamètres, se touchent au centre de ce carré et terminent une rosace à quatre feuilles, dont l'aire a pour mesure + c? (r—9). XVI. Les quatre quadrans intérieurs décrits des sommets d’un carré, comme centres, et avec le côté c pour rayon, se coupent mu- tuellement en trois parties égales sur les médianes c de ce carré, chaque point d’intersection divisant l’une des médianes en deux par- ties dont la plus grande vaut £cy/ 3. Les quatre points de division sont les sommets d'un carré concentrique , dont chaque côté sou- tend le tiers du quadran et dont l'aire a pour mesure c?(2—y/ 3). L’aire de la figure formée par les quatre tiers des quadrans et cir- conscrite au second carré , se calcule par € (iz+1—45); tan- dis que l'aire de la rosace extérieure se réduit à €? (27 — 4 + 2/5). XVII. Les six demi-circonférences intérieures décrites sur les côtés c d’un hexagone régulier, comme diamètres, se coupent deux à deux sur les rayons de cet hexagone, aux sommets d’un hexagone régulier concentrique, de côté +c, et terminent une rosace dont l'aire totale équivaut au quart du cercle dont c est le rayon. XVIII. Dans tout hexagone régulier, si des milieux des côtés c, comme centres, et avec l’apothème +c}/ 5 pour rayon, on décrit six circonférences, 1° elles se coupent deux à deux aux milieux des côtés , sommets d’une rosace, dont l'aire a pour mesure ?c?(27 — 5ÿ/5); 2° elles se coupent aussi deux à deux sur les prolonge- ments des rayons de l’hexagone et interceptent le côté du triangle équilatéral inscrit dans chacune; 5° enfin, l'aire de la rosace ré- sultante équivaut au double de l'aire de la première. XIX. Dans tout hexagone régulier , de côté c donné, les circon- 516 J.-N. Nozz. — Simplification des éléments férences décrites sur les rayons, comme diamètres, se coupent deux à deux aux milieux des rayons, puis aux milieux des côtés, et ter- minent deux rosaces concentriques dont la différence des aires équivaut au demi-cercle ayant c pour rayon. Remarque. Les lignes trigonométriques sont nécessaires pour calculer les différentes rosaces que fournit le pentagone régulier dont le côté c est donné, et dans lesquelles les circonférences dé- crites ont pour diamètres , 1° les côtés, 2° les apothèmes et 3° les rayons. On peut aussi considérer la rosace que donnent les circon- férences ayant pour centres les milieux des côtés et pour rayons les apothèmes du pentagone , et encore la rosace lorsque les circonfé- rences décrites, avec le rayon du pentagone, ont pour centres les sommets de ce dernier. 57. On sait que des applications convenables fixent les idées, éclaircissent les théories, en les approfondissant, et développent l'esprit de recherche. Il importe donc beaucoup que le professeur choisisseles exercices, théorèmes ou problèmes, et qu’il les approprie à son enseignement de telle sorte qu’ils aient pour résultat de don- ner aux élèves le désir de bien connaître et par conséquent l'amour du travail. Or , parmi les exercices les plus propres à produire ce double effet, on doit compter ceux dont le but est la détermination d'un maximum où d'un minimum; vu d'ailleurs qu'il en résulte souvent d’utiles et de curieuses applications, ainsi que je l’ai fait voir en géométrie. — Voici plusieurs théorèmes faciles : Ï. Lorsque deux points À et B sont donnés d’un même côlé de la droite tracée MN, le plus court chemin pour aller du point À au point B, en passant par un point X de MN, est celui pour lequel les deux angles AIM et BIN sont égaux entre eux. — Menant AG per- pendieulaire à MN et prolongeant AC de CD AC, la droite DB coupe MN au point I cherché (à démontrer). II. De tous les triangles équivalents, ou ayant base commune et hauteurs égales , celui de moindre périmètre est isocèle. — Car tous les triangles proposés ont leurs sommets sur une parallèle à la base commune, et la perpendiculaire au milieu de celle-ci rencontre la parallèle au sommet du triangle isocèle de moindre périmètre, d’a- près le théor. I ; vu que les deux côtés latéraux de ce triangle font deux angles égaux avec la parallèle ci-dessus. CorozLAIRE. De tous les triangles équivalents, celui de moindre périmètre est équilatéral. — Car, si le périmètre minimum avait deux côtés inégaux, on pourrait, sans changer l'aire constante, ren- de géométrie. 517 dre égaux ces deux côtés; et alors on aurait un triangle équivalent et de périmètre moindre que le proposé minimum ; chose ab- surde. III. Réciproquement, le triangle isocèle est le plus grand de tous les triangles isopérimètres de même base commune. — Si tous les triangles étaient équivalents, on vient de voir que le triangle iso- cèle aurait le moindre périmètre. Done, pour que ce triangle isocèle devienne isopérimètre avec tous les autres , il faut que ses deux cô- tés égaux augmentent et restent égaux; il faut donc aussi que sa hauteur augmente : donc il est le plus grand de tous, CorozLaIRE. Le triangle équilatéral est le plus grand de tous les triangles isopérimètres. — Car le triangle équilatéral diminue, sans que la longueur du périmètre change, lorsqu'on rend inégaux deux quelconques de ses côtés, IV. Parmi tous les trapèzes équivalents, c’est-à-dire ayant même hauteur et bases parallèles égales chacune à chacune, celui de moin- dre périmètre est isocèle. — C'est ce qu’on démontre en divisant le trapèze proposé, non isocèle, en un triangle et un parallélogramme. — La réciproque est vraie. V. Le périmètre de tout quadrilatère est plus grand que celui d’un losange équivalent. — D'après le théorème I ci-dessus , il est évi- dent que le périmètre diminue en passant de tout trapèze et de tout quadrilatère, convexe ou concave, au quadrilatère équivalent com- posé de deux triangles isocèles inégaux, situés de part et d'autre de l'une des diagonales, base commune. Le périmètre diminue encore en passant de ce dernier quadrilatère, ainsi que de tout rectangle et d'un parallélogramme quelconque, au losange équivalent cher- ché. Remarques. Suivant qu'on prend l’une ou l’autre diagonale pour base des constructions, dans tout quadrilatère convexe, on obtient deux Icsanges équivalents dont les périmètres inégaux sont moin- dres chacun que celui du quadrilatère. — Mais pour le rectangle, les deux losanges sont égaux.— De simples transpositions de parties transforment, 1° tout losange en un rectangle équivalent de moin- dre périmètre; 2° tout rectangle en un losange équivalent et de con- tour plus petit. VI. Réciproquement, le losange est plus grand que tout quadri- latère isopérimètre. — Si le losange était équivalent au quadrila- tère , il aurait un périmètre plus petit que celui de ce dernier (V). Donc, pour que les deux figures soient isopérimêtres , il faut que le 66 ÿ18 J.-N. Noëz, — Simplification des éléments contour du losange augmente ; ce qui exige que ce losange devienne plus grand que le quadrilatère. VII. Le périmètre du carré est moindre que celui de toute figure plane équivalente, de trois ou quatre cotés. Soit x le côté du carré équivalent à la figure plane proposée et p le périmètre de cette dernière. Si elle est un triangle quelconque, de base b et de hauteur k, il est clair qu'on aura —}0h et p>b+9n. Élevant au carré les deux membres de l'inégalité , puis observant que d'après l'algèbre, /a somme des carrés de deux nombres est tou- jours plus grande que leur double ee tandis que 16x°=8bh , on aura successivement : p>b+Uetibh, p>8bh>16x et 4x 2042h; d'où 4xF. IX. Parmi tous les secleurs de différents cercles el isopérimètres, de géométrie. 519 le plus grand est celui dans lequel l’arc et le diamètre sont égaux au demi-périmètre donné. — Soit S l'aire, p le périmètre, a l'arc etr le rayon du secteur circulaire cherché. On a donc a+2r=p et +ar=S; d'où r=ip+V D —$. Puisque p est seul donné, on voit que le maximum de S répond à 2r—a=;p. Mais ces valeurs répondent aussi au minimum de p quand l'aire S est seule donnée. Remarque. Soit # la fraction par laquelle il faut multiplier la circonférence pour avoir l’are « ci-dessus, d’où a—27rk. A cause de a=r, il vient kz—1 et k=1 sur z=0,5185099. Convertis- sant l’are a en degrés, minutes et secondes, on trouve a=560°X 0,51851 — 114° 55! 50/ , à moins d'un quart de seconde près, en plus. — On voit d’ailleurs que le secteur maximum est équivalent au carré fait sur :p. X. Parmi tous les quadrilatères formés avec quatre côlés donnés , dont deux opposés sont égaux, le plus grand est le trapèze isocèle. Soient « et b les longueurs des deux côtés opposés inégaux , c dé- signant la longueur de chacun des côtés égaux opposés. Supposant a > soient x et y les prolongements des côtés € jusqu'à leur inter- section ; soient Let #’ les deux triangles résultants, ayant un angle commun compris par les côtés x, y de é et compris par les côtés ©+-x, c+y de t’. On a done d'ii=(c+x) (cHy):xy. Soit Q le quadrilatère formé avec les côtés donnés : il est évident que Q—1" — 4, et qu'ainsi la proportion précédente donne Q:i—c +cx+cy:xy. D'ailleurs, pour l'aire £ en fonction de ses côtés b, x, y, on a 167 — 4x4? — (x°+Ly —b°). Éliminant t et posant & =n+v, y—n—v, on trouve (An? + Qu? —b2)? Qu®— v?}? 5 4Q = (@ + 2en) V 4 — Si na la valeur qui convient au maximum du quadrilatère Q, il est évident que ce maximum répond à v—0; d'où x =y=n et cx—c—+y. Les deux triangles £ et t! étant donc alors isocèles, b estparallèle à a et partant le quadrilatère Q maximum est un tra- pèze isocèle. 520 J.-N. Noëz. — Simplification des éléments Rewarque. On démontre en trigonométrie que : De tous les qua- drilatères formés avec quatre côtés donnés, le plus grand est inscrip- tible dans un cercle ; et ce théorème fournit le précédent, comme corollaire immédiat. XI. Le polygone régulier est plus grand que tout polygone isopé- rimètre du même nombre de côtés. — Car, d'après le théor. IT ci- dessus, le polygone maximum est équilatéral, et en vertu du théor. X , il a tous ses angles égaux: donc il est régulier. XIT. Réciproquement, parmi tous les polygones équivalents , du même nombre de côtés, le polygone régulier a le plus petit périmè- tre, — Si le périmètre avait la même longueur pour tous, on vient de voir que le polygone régulier serait le plus grand : donc, pour qu'il devienne équivalent à chacun des autres polygones, il faut qu'il diminue; ce qui ne peut avoir lieu qu’autant que son périmé- tre diminue lui-même et devient le plus petit de tous. XIII. Le cercle est plus grand que tout polygone régulier isopéri= mètre. — Les deux figures étant rendues coneentriques , il est clair que leurs contours , ayant la même longueur, ne peuvent être l’un entièrement hors de l’autre et qu'ils se coupent nécessairement. Mais alors le rayon du cercle est évidemment plus grand que l’apo- thème du polygone régulier ; donc le cercle est plus grand que ce polygone. Corozzame. Le cercle est plus grand que toute figure plane rec- üligne isopérimètre (XI). XIV. La circonférence est moindre que le périmètre de tout po- lygone régulier équivalent au cercle. — Ce théorème, réciproque du précédent XIIT, se démontre comme le théorème XII. CorozLaire. La circonférence est moindre que le périmètre de toute figure plane rectiligne équivalente au cercle (XII). XV. Le cercle est plus grand que toute figure plane, mixte ou curviligne , isopérimètre. — On sait qu’il n'y a aucune erreur finale commise sur les aires et les périmètres quand on regarde le cerele et la figure proposée comme deux polygones rectilignes du même nombre infini de côtés. Or , le cercle étant alors un polygone régu- lier du même nombre de côtés que la figure plane isopérimètre, de- venue rectiligne, est plus grand que cette dernière (XI). Rewarque. Le plus grand espace plan renfermé par un contour de 600 mètres, étant un cercle , il est facile de calculer l'étendue plane maximum proposée, aire de ce cercle. On peut comparer à l'hexagone régulier, ete. de géométrie. 521 XVI. Réciproquement, la circonférence est moindre que le con- tour de toute figure plane, mixte ou curviligne , équivalente au cer- cle. — C’est ce qu'on démontre en raisonnant comme pour le théo- rème XII. XVII. Comparaison de deux polygones réguliers P et P' de net D+-v côlés. — Soient c et c les contours ou les périmètres de ces Fu Eee retr leurs rayons ; a et a’ leurs apothèmes : on a or P—lac et P—{alc, Cela posé, 1° sir=r, les deux polygones réguliers P et P/sont inscriptibles dans le cercle de rayon r; et alors le contour c! a n+v points communs avec la circonférence , tandis que le contour c n'en a que n. Ainsi c’ approche plus de cette courbe que c ; donc c'>c et partant a’ >a : cela donne PP. Donc de deux polygones régu- liers de même rayon, celui qui a le plus de côtés est le plus grand et a le plus grand périmètre. 2° Si a=a/, les deux polygones réguliers P et P/ sont circon- scriptibles au cercle de rayon a; et alors, comme le contour c’ a nv points communs avec la circonférence, tandis que le contour cn'en a quen, d'où »", il en résulte P'S P. Ainsi, de deux polygones réguliers isopérimètres , celui qui a le plus de côtés est le plus grand. Voilà pourquoi le cercle est plus grand que tout polygone régulier isopérimètre. 4° Enfin, puisque quand c'=c, on a P'>P, ilest clair que P’ doit diminuer pour devenir équivalent à P. Mais alors le contour c’ dimi- nue aussi et devient plus petit que le contour c. On voit que de deux polygones réguliers équivalents , celui qui a le plus de côtés, a le plus petit périmètre. Voilà aussi pourquoi la circonférence est plus petite que le périmètre de tout polygone régulier équivalent au cercle. XVIII. La longueur de l'arc de cercle est un minimum parmi les courbes planes qui, ayant une corde commune, enferment entre 529 J.-N. Noëz. — Simplification des éléments elles et cette corde des surfaces équivalentes. — Soit a l'arc circulaire et b l’are de l'une des courbes proposées; soit achevée la circonfé- rence et soit a/ le restant de la courbe , alors fermée. La circonfé- rence a-a/ et la courbe b+ a! terminent.donc deux surfaces équi- valentes ; par conséquent (XVI) on a aa! 5BC ; car le premier chemin partiel , parallèle à ED , ren- contre alors AD avant CD, c’est-à-dire qu’alors le sens du mouvement est contraire, vu que le point mobile P va de AD à DC et de DC à CB : aussi alors la distance DM est-elle négative et mesurée sur le prolongement de CD. — La somme minimum est donc la plus grande possible quand le point E tombe en B; et c’est alors le con- tour minimum constant d’un parallélogramme inscrit (XXII). — Enfin, ce contour est déterminé quand les points P et M ou P et N sont donnés, comme dans le jeu de Billard. XXIV. Soit P un point situé sur le côté AC du triangle équila- téral ABC : si P se meut vers les côtés successifs et décrit les che- mins rectilignes parallèles à ces côtés , chacun à chacun ; 1° lorsque PA < TAC, le point P décrit trois chemins partiels pour revenir sur AU, et la somme de ces trois chemins est (théor. I) un minimum égal à AC + PA ; 2° après six chemins partiels, le point mobile est revenu à sa première position sur AC, et la somme de ces six che- mins est encore un minimum égal au périmètre du triangle ABC. — Il est clair que si PA=FAC—1c, M désignant le milieu de AB =cet Q un point de BC, le chemin PMQ est un minimum dès que BQ —°c, tandis que la longueur de ce chemin minimum a pour mesure £cy/ 5. XXV. Soient a et b les côtés contigus d’un parallélogramme tra- cé P : si l’on en suit le contour et qu’on prolonge chaque côté de la même longueur x arbitraire; les points, ainsi obtenus, sont les sommets d'un parallélogramme P/ inscrit, dont le minimum répond àæ— —}(a+-b), valeur à interpréter. — Pour a—b, le minimum de P/ se réduit à 2P. — Si les deux côtés a et b sont inégaux, la somme des carrés des côtés de P’ est-elle susceptible de sinimum ? D24 J.-N. Noë. — Simplification des éléments XXVI. Dans tout quadrilatère ABCD , si à partir des sommets de deux angles opposés B et D, on prend sur chaque côté la lon- gueur égale au quotient de ce côté par le nombre entier #, on a les sommets d'un parallélogramme inscrit , dont le maximum , moitié du quadrilatère, répond à # == 2. — Ce maximum est donc iden- tique au minimum du théor. XXI ci-dessus. XXVIT. Si les côtés d’une feuille triangulaire d’acajou valent respectivement 13, 14 et 15 décimètres, le rectangle maximum inscrit, moitié de cette feuille, vaut 42 décimètres carrés; tandis que le cercle inscrit en vaut 50, 27 environ. De plus, il existe trois rectangles maximum inscrits équivalents, mais de périmètres de différentes longueurs : la plus petite répond à la plus petite base 13 du triangle et vaut 25,925 décimètres, tandis que la circonférence inscrite en vaut 25,153. — La plus petite ligne brisée à scier pour avoir le rectangle maximum inscrit répond à la plus grande base 415 et vaut 18,70 décimètres. — Enfin, si pour avoir Le dessus d’une table, on transforme la feuille triangulaire d’acajou en un rectangle équivalent, cela se fait par simple transposition de parties de trois manières différentes ; mais celui des trois rectangles obtenus, qui approche le plus d’un carré et qui a le plus petit contour, répond à la plus petite base 13, et son périmètre vaut 58,925 décimètres. Remarque I. Si la feuille triangulaire proposée était de marbre et qu'on voulüt en couper la plus grande table possible, celle-ci de- vrait être le cercle inscrit, bien qu’elle fût plus diflicile à façonner que l’un des trois rectangles ci-dessus. Remarque IT. Il existe un grand nombre de théorèmes connus sur la détermination du maximum et du minimum d'une longueur, d’ude aire ou d’un volume. Plusieurs de ces théorèmes fournissent d'utiles applications ; et l’on peut consulter , à ce sujet, le Complé- ment de Trigonométrie , ainsi que le présent Recueil , où se trou- vent les trois méthodes pour calculer les conditions de tout maxi- mum et de tout minimum numérique. 38. Reprenons encore la méthode infinitésimale. — On a démontré (n° 25) qu'on peut toujours, sans aucune erreur finale sur l'aire et le contour, con— sidérer le cercle comme un polygone régulier, et toute figure plane, mixte ou curviligne, comme un polygone rectiligne d'une infinité de côtés infini ment petits, invisibles et toujours inconnus, aussi bien que les angles exté— rieurs du polygone, eux-mêmes infiniment petits. Je dis invisibles ; car déjà une partie très-petite assignée , le billionième du mètre, par exemple, échappe à l'œil armé du plus fort instrument d'optique. Or, l'impossibilité de trouver où sont les côtés et les sommets invisibles du res de géométrie. 325 polygone rectiligne ci-dessus doit-elle et peut-elle en fairo nier l'exis- tence ? Considérons les deux points M et N, aussi éloignés l'un de l’autre qu’on veut le supposer. Si le point M s'avance infiniment peu vers chacune des po- sitions instantanées successives du point N, lui-même mobile sur une droite fixe, formant avec la droite MN un angle quelconque donné : il est clair qu'à l'instant précis où ce double mouvement commence, le point M décrit une ligne continue. Or, est-on bien fondé à affirmer que cette ligne dé- crite « ne peut être droite suraucune élendue ? » Je ne le crois pas, car l'un des moindres mouvements instantanés du point M, vers chacune des positions successives du point N, décrit nécessairement une droite infiniment petite, élément invisible de la courbe résultante ; et cette courbe alors est une ligne brisée, laquelle n'en est pas moins une ligne continue, vu que le point dé- crivant M se meut continuement, en se détournant à chaque instant et sans cesse, par angles naissänts ou infiniment petits, pour s'avancer vers chacune des positions successives du point N.— Pour qu'il n'y eût aucune droite dé crite, il faudrait que M demeurât en repos. Et remarquez d’ailleurs que si les mouvements deM et N sont uniformes, tous les éléments rectilignes décrits sont égaux. Dans cette appréciation complète du fait de la description de toute courbe plane, je ne vois rien d’incompréhensible ni de mystérieux, rien d'absurde ni de contradictoire et rien qui détruise la continuité. Il en résulte donc que le cercle peut toujours se traiter eomme un polygone régulier, dont le rayon et l’apothème sont égaux. On ne manquera pas d'objecter que la circonférence ne peut jamais avoir trois points en ligne droite. Mais, pour chaque côté infiniment petit du po- lygone régulier ci-dessus, les deux extrémités coïncident en quelque sorte avec le milieu. D'ailleurs, dès que l'on établit une distinction entre l'arc cir= culaire infiniment petit et sa corde, on trouve nécessairement une flèche. Mais celle-ci est un nombre infiniment petit du second ordre, nul à l'égard de l'arc proposé. En général, le calcul apprend que la courbe plane quelconque C ne sur- passe la longueur de la ligne brisée B, inscrite et d'une infinité de côtés infini ment petits, que d'un infiniment petit du second ordre &, de telle sorte qu'on a C—B+i?. Et comme ici on ne cherche que la longueur finie deC, ilest clair que l'infiniment petit à? ne saurait en faire partie, et qu'ainsi, en longueur finie , on a rigoureusement C—B. Cela revient à supposer d'abord que B coïncide avec € ou que chaque arc infiniment petit de C se confond avec sa corde, côté de B. (Voyez à ce sujet la théorie infinitésimale ap- pliquée). 39. Un nombre est infini lorsqu'il surpasse tout nombre imaginé, si grand que soit ce dernier. Un nombre infini est donc absolument inexprimable en chiffres et restera toujours inconnu. Tel est évidemment le nombre de toutes les fractions possibles comprises entre 4 et2, par exemple. — Un nombre est dit infiniment petit quand il est moindre que tout nombre assigné, si pe- tit que soit ce dernier, sans être nul ; car le néant n'est pas un nombre, Un 67 526 J.-N. Noez. — Simplification des éléments nombre infiniment petit n’est donc pas exprimable en chiffres et restera tou- jours inconnu. Telle est nécessairement la différence d suivant laquelle toutes les fractions possibles , entre 4 et 2, croissent successivement, — L'exis- tence du nombre infini et du nombre infiniment petit ci-dessus est certaine, bien qu'ils soient inimaginables ; et toutes les fractions possibles eutre 1 et 2 ont nécessairement leurs termes entiers infinis et un dénominateur infini commun. — Ilne s'agit pas ici de calculer ces fractions, ce qui est impossi- ble, mais d'en prouver l'existence , ce qu'on vient de faire. Or, si je comprends bien l'article (p.58 et suiv., Revue pédagogique, A5 fé- vrier 4856), on nie l'existence des nombres infinis, infiniment petits et irra— tionnels parce qu'on ne peut jamais les calculer et qu'ils restent toujours in- connus ; d'où résulterait , par exemple, que dans A=B 1 12, le rapport ÿ’42 n'existe pas et que cette égalité est absurde! J'ai démontré que la racine carrée de 42 n'est pas une fraction dont les deux termes, premiers entre eux, aient chacun un nombre limité de chif- fres ; ils en ont donc chacun une infinité et sont infinis. De sorte que y 42 est une fraction inconnue , à termes iufinis, comprise entre 3 et 4, et l'on a nécessairement A—B 4/12. — Sans doute que la valeur approchée de A n'est pas À lui-même ; mais le rapport approché n'en indique pas moins comment on trouve la valeur approchée de l'antécédent au moyen du conséquent seul. — Puisque y 42 est une fraction à termes entiers infinis, le commun divi- seur x des grandeurs continues À et B existe nécessairement , mais il est in— finiment petit. On dit (Revue , p. 62) : « Quant aux fractions à termes infinis qui existe » raient entre 3 et 4, limites de y” 12, ce que nous avons dit plus haut suf- » fit pour démontrer que leur existence n'a rien de réel. » Or, quelle est cette démonstration ? Elle consiste simplement à nier l'existence d'une infi— nité de fractions possibles, à termes infinis, comprises entre 4 et 2; et cela toujours parce qu'il est impossible de calculer ces fractions. Car il ne s’agit pas ici de s'en tenir « à l'idée générale que comporte la possibilité d'insérer entre 4 et 2 autant de fractions qu'on voudra; » mais il faut les calculer tou- tes ; chose aussi impossible que d'en compter le nombre infini. — Peut-on, d’après cela , affirmer avec exactitude que toutes les fractions possibles entre 1 et 2 n'existent pas? — Toutes ces fractions ont le même dénominateur in fini p, et les numérateurs infinis sont successivement p+1, p+2, p+3, …., 2p—1. Et comme l'une des fractions à termes iufinis, comprise entre À et 2, se réduit ?, il faut que ces deux termes aient un facteur infini commun, contenu 1 fois et 4 fois dans le numérateur et le dénominateur. Il est sans doute inutile de répéter ici que pour démontrer l'égalité des rapports entre deux couples de quantités continues, il n'est pas nécessaire de calculer ces deux rapports : il suffit de savoir que les deux termes de chacun ont toujours un commun diviseur assignable ou inassignable, fini ou infini— ment petit, connu ou toujours inconnu ; ce qui simplifie la démonstration et la rend complètement rigoureuse, en supprimant la distinction des deux cas: commensurable et incommensurable : c'est la méthode des parties égales. S'il s'agissait de calculer le rapport de deux lignes tracées A et B (droites de géométrie. 527 ou arcs circulaires de même rayon), on chercherait la plus grande commune mesure des lignes À et B : il en résulterait une fraction continue, limitée for- cément ou non, laquelle ferait toujours connaître le degré d'approximation du rapport numérique cherché, en supposant toutefois les divisions exactement effectuées. Mais ce double problème doit être résolu avant d'aborder la théo- rie des lignes proportionnelles ; car alors celle-ci devient plus claire et plus simple. Il y aurait pétition de principe si, afin de démontrer l'égalité des rapports A:B et C:D, les grandeurs C et D étant incommensurables entre elles, on se servait des fractions continues pour calculer les deux rapports; car Cet D ont toujours un commun diviseur infiniment petit inconnu, et la démons- tration d'ailleurs serait beaucoup plus compliquée. Dans ce cas, en effet, on trouverait, pour les deux rapports proposés, un même nombre r, avec les deux restes variables x et y, qui échapperaient aux instruments. De sorte qu'on aurait l'équation toujours exacte A:B—x—C:D—7y ou A:B—C:D +x—7y. Or, Revue, p. 63 : « avant d'en conclure que A:B—C:D, il faut d’abord » démontrer que x=—y. On est sans doute de cet avis, puisqu'on essaie de dé- » montrer, par la méthode des variables, qu’on a réellement æ=y. » — On n'essaie pas, mais on démontre effectivement. — « Mais alors que dire de la » méthode qui déduirait la seconde de ces égalités de la première, parce que » æety étant des infiniment petits sont négligeables relativement aux rap- » ports A:Bet C:D. » -— On dira quelles restes x et y, bien qu'échappant aux instruments les plus précis, par leur petitesse, ne sont pas infiniment petits et qu'ainsi la méthode infinitésimale n'est pas applicable à ce mode de démonstration, à cette longue pétition de principe. Dansæ— y, on peut toujours poser æ=—"y, sans devoir s'enquérir d’a— bord si le rapport » est rationnel ou non, vu que ce rapport existe dans les deux cas. Il en résulte donc x —y=— y (v—1), et cela même quand on au- rait < y. Les autres difficultés soulevées dans l'article ci-dessus sont déjà résolues ; et, en disant, p. 56, théorie infin. appliquée: « Il estf clair, que si la différen- » ce y— y! (qui n'est pas nulle, mais variable) devait... », je rappelais un fait démontré , p. 17, et que M. Balteux n'avait pas sans doute re- marqué. — Enfin, la longueur de la circonférence est certainement égale à celle d'une droite qui sera toujours inconnue; mais les méthodes pour cal- culer le rapport approché de la circonférence au diamètre n’exigent aucune- ment que cette courbe soit étendue en ligne droite, ce qui serait d'ailleurs impossible. On obtient donc ce rapport sans l'hypothèse que la circonférence soit reclifiée. 40. Dans la Revue pédagogique, p.347, on lit:« …. plusieurs géomètres se sont habilement servi des considérations infinitésimales, pour faire descen— dre dans les éléments des propositions d'analyse , dont la connaissance est utile au physicien. Ces essais, en rendant l'étude de la physique accessible à un plus grand nombre de personnes, n'ont pas peu contribué aux progrès de cette science; mais précisément à cause de cela, nous croyons qu'ils ont ex- 528 J.-N. Noëz. — Simplification des éléments ercé une influence fdcheuse sur les mathématiques , en encourageant l'emploi de la méthode infinitésimale, qui manque de clarté et de rigueur. » En énonçant ces dernières affirmations , que rien ne prouve, on oublie que la méthode infinitésimale simplifie la méthode des variables et que par con- séquent elle n'est pas moins claire ni moins rigoureuse que cette dernière : seulement elle conduit plus directement au résultat cherché. Quel est, en effet, le but de la méthode infinitésimale ? C'est de trouver des grandeurs finies à l’aide des nombres auxiliaires infiniment grands et infini ment pelits , nécessairement inconnus. Or, le principe abréviatif de cette méthode consiste essentiellement à supprimer d'abord, dans les deux mem- bres de l'équation proposée, les termes fournissant ceux qui en doivent dis- paraître à la fin, soit en vertu de la règle des variables auxiliaires, soit parce que ces derniers termes étant chacun infiniment petit, ne peuvent faire par— tie de la grandeur finie cherchée. De là résulte donc le principe infnitésimal, savoir : Tout nombre doit se négliger ou étre regardé comme nul par rapport à celui qui le contient une infinité de fois , et auquel il est ajouté ou retranché. La suppression immédiate des termes ci-dessus abrège singulièrement les calculs et les raisonnements, sans que le résultat final cesse d'être rigoureu— sement exact; et c'est en cela précisément que la méthode infinitésimale l'emporte, en clarté, et en facilité, sur toutes les autres méthodes, dites ri— goureuses. Bien loin donc que son emploi exerce une influence fâcheuse sur les mathématiques, il en rend au contraire l'étude plus simple, plus élémen— taire et plus complètement exacte. Ceci est bien établi pour les théorèmes re— Jatifs au mesurage dans le cercle et les corps ronds , ainsi que pour les cour- bes planes, considérées comme des lignes brisées, et pour la détermination des lois du mouvement uniformément varié. (Voyez la théorie infinitésimale pour cette détermination, dont voici le résumé). #1. Dans le mouvement uniformément accéléré, la force accélératrice con- stante agit, d'une manière continue, sur le point matériel libre, c'est-à-dire par impulsions successives égales et infiniment petites qui se touchent, de telle sorte que quand une impulsion finit, celle qui la suit immédiatement, commence. La durée nécessaire pour que l'inertie du point matériel reçoive entièrement chaque impulsion est évidemment infiniment petite elle-même. Le chemin c que le point mobile décrit uniformément pendant cette durée in finiment petite, en vertu de chaque impulsion reçue, est lui-même infini ment pelit. Ainsi l'on doit, pour calculer l'espace réel E décrit pendant le temps T quelconque donné, concevoir cetemps diviséen un nombre infini n de parties égales, chaque partie x désignant le temps infiniment petit qu'il faut pour que, par son inertie, le mobile reçoive et conserve complètement chaque impulsion , et l'on a T —n«. On voit que les grandeurs infinitésimales » et æ sont indispensables pour apprécier clairement et d'une manière complète ce phénomène de mouve= ment. — De plus, bien que » et x soient inexprimables en chiffres, ainsi que y 3, par exemple, il est évidemment « permis de supposer faites les opéra-- tions inexécutables qui donnent ces trois nombres , » dont l'existence est de géométrie. 529 certaine et qui restent toujours inconnus. De sorte qu'on doit soumettre au calcul n et x, aussi bien que y 3. Maintenant, comme l'état du mobile ne change que quand il a reçu chaque impulsion qui lui fait décrire le chemin c pendant chaque instant æ, la loi d'inertie démontre clairement que : E= c + 9c+ 3c+4c+...—+nc—ïen(n+1). Soient æ et g les vitesses du mobile quand les temps T et s expirent : à cause de T—nx, on trouve aisément les relations vx —cn ou vx? —cT et gæ?—0c; d'où v—gT. Éliminant donc c et n de l'expression de E, on trouve = 2977 + LgTz... (A) Dans cette équation exacte, les deux premiers termes sont des nombres finis, tandis que?gTx est infiniment petit avec x. Et comme on cherche un nombre fini E, il est clair que le nombre infiniment petit :gTæ ne saurait en faire partie. Ainsi la valeur finie cherchée de E est rigoureusement E =: gT?. C'est ce que j'ai trouvé, beaucoup plus simplement, en appliquant d'a bord le principe infinitésimal , c'est-à-dire en négligeant d'abord 4 à l'égard du nombre infini », dans la première expression de E ; ce qui la réduit à E—:cn°. Dans la Revue, p. 348, on pose T—nt, » désignant un nombre entier fini quelconque. On part d’une hypothèse contraire à la réalité , et l'on désigne par e lechemin que le mobile décrit uniformément pendant le temps t, en vertu de cette hypothèse. On n'indique pas le rôle de l'inertie dans le raison- nement incomplet qui donne la formule S—;en(n+1). Enfin, à l'aide de T=nt et de gt*—e, on transforme l'équation en S en celle-ci : E—2:9T° +:9Ti—X. Si l'hypothèse d'où l'on est parti est admissible, il est clair que n deve- nant =n, tdevient 2t. Maise deviendra-t-il 4e, comme il le faudrait pour que g fût constant ? C'est ce qu'on ignore , et c'est même ce qu'il s'agit de démon- trer , bien qu'il soit évident que e doit augmenter avec t. Mais si g n’est pas constant, l'expression de E sera composée de trois termes variables , et l'on ne saurait en conclure que E = :gT°. l Le principe des variables n'est pas applicable ici, parce que, en effet, il n'y a rien de variable dans ce phénomène de mouvement, tant que le point matériel libre et la force accélératrice constante restent les mêmes. 42. Il est démontré que le temps T quelconque à toujours, avec l'unité, un commun diviseur fini ou infiniment petit, et que par conséquent, pour établir l'égalité des rapports, il n'y a pas à distinguer les deux cas : commen- surable et incommensurable, le second étant une pétition de principe ou un non sens. Et cependant , Revue, p. 349, on considère encore le cas où le temps T est incommensurable avec l'unité, c'est-à-dirë sans doute le cas où Tet À n'ont absolument aucun diviseur commun, pas même approché. Ainsi on préfère alors commettre un non-sens plutôt que de reconnaître un 550 J.-N. Noëz. — Simplification des éléments commun diviseur infiniment petit ! Or, est-ce par cet obscur non-sens que l'on prétend prouver le manque de clarté et de rigueur de la méthode infini- tésimale ? On cède ici à l'influence routinière de notions obscures ou fausses. Mais le devoir essentiel du professeur est de lutter contre cette influence, en ap- profondissant les notions premières, afin de ne transmeltre aux élèves que des idées claires, des principes certains et bien compris. Or, les grandeurs infinitésimales se présentent inévitablement en géométrie et en mécani- que, pour compléter les notions fondamentales. Ce n'est donc pas rendre les théories plus claires, plus simples , plus rigoureuses , que de masquer ces grandeurs par de longs et obscurs détours, par des pétitions de principe ou des non-sens. Une telle méthode ne saurait évidemment « stimuler l'appli- cation des élèves, pour qui un manque de clarté et de rigueur devient immé- diatement un motif de découragement, » Bien que les deux genres d'infinis nous soient toujours inconnus, comme inexprimables en chiffres , leur existence n’en est pas moins certaine par plu- sieurs faits géométriques, dont l'appréciation exacte, suffisamment dévelop- pée , est entièrement à la portée des jeunes intelligences. Ces grandeurs sont le plus souvent des variables auxiliaires, employées alors pour faciliter la détermination de certains nombres finis. Il n'est donc pas étonnant que la méthode infinitésimale simplifie celle des variables, sans en altérer l'exac— titude rigoureuse. D'ailleurs , les infinis sont nécessaires pour résoudre cer- taines questions, où ils ne sont pas variables, comme pour la détermination ci-dessus de E. Ici le terme : gTæ disparaît de l'équation (4), non parce qu'il est nul, mais parce qu'il est constant et infiniment petit avec æ, pour la même force accélératrice constante et le même point matériel. 43. Dans la Revue, p. 350 et suiv., la méthode des variables sert à dé- montrer les formules pour apprécier le phénomène de l'arc-en-ciel. Mais il eût été plus simple et tout aussi rigoureux d'employer, à cet effet, le prin- cipe infinitésimal , ainsi que nous l'avons fait en note dans les Éléments de mécanique. Car les accroissements à! et r! de à et de r, dont on fait usage dans la Revue, sont nécessairement infiniment petits chacun. On y démontre bien, à l’aide du principe des variables, que cos à! = cos r/—1 ; mais cela ré- sulte immédiatement du principe infinitésimal. Il est d'ailleurs évident que le principe fondamental de la méthode des va- riables auxiliaires coïncide avec le principe infinitésimal, du moins quant au résultat que ce dernier fournit beaucoup plus simplement, en opérant, comme on l'adit, « un escamotage réel. » Mais cet escamotage, c'est-à-dire la suppression immédiate de certains termes , est nécessaire pour simplifier les calculs et les raisonnements , sans altérer aucunement l'exactitude du ré- sultat final, ainsi qu'on l'a démontré plus haut. Dans les applications du calcul différentiel et du calcul intégral, les accrois— sements de la fonction et de la variable peuvent diminuer ensemble indéfini— ment ou être d'abord infiniment petits, sans jamais devenir nuls; et alors la méthode des variables, abrégée par le principe infinitésimal, est toujours employée, du moins implicitement, pour la rectification des courbes planes, de géométrie. 551 la quadrature des aires curvilignes, planes et courbes, et pour la cubature de certains volumes ronds. 44. On sait que la partie élémentaire du calcul différentiel n'est en réalité que le calcul des fonctions dérivées, démontré très-simplement en algèbre, où il sert de base à plusieurs théories importantes. Il y a sans doute plusieurs procédés pour établir le calcul des dérivées, ainsi que le théorème de Taylor qui en résulle ; mais je pense toujours que la méthode la plus claire et la plus simple doit d'abord définir la fonction dérivée ; et pour cela, voici comment j'ai procédé dans la 5m° édition du Traité ‘d’algèbre : Soit u une fonction implicite de la variable x, de telle sorte qu'on ait u=fx. Soit u! ce que devient cette fonction lorsqu'on y change æ en æ+h, d'où u!=f(x+h); et cherchons quelle forme doit avoir le développement de f(x+n). Or, comme y'se réduit à fx ou w lorsqu'on y fait —0, on estau- torisé à poser ui =f(&+h) =u + Ah+ Bh7+Ch° +etc., … (1) À, B, C, .…. étant des fonctions inconnues de x et indépendantes de h. Cette forme satisfait à la condition d'avoir u'—u quand k—0, et le déve- loppement doit procéder suivant les puissances ascendantes entières et po- sitives de L: 4° entières ; car, si le développement contenait un terme où h aurait l'exposant +, par exemple, il est clair que pour une valeur donnée de h, ce terme aurait trois valeurs différentes; tandis que dans ce cas w’ ne doit en avoir qu'une seule, répondant à une valeur assignée à æ, et qu'alors le développement doit représenter cette valeur cherchée de w'. 2° positives ; car , si le développement avait un terme affecté de l'exposant négatif — 2 de k et prenant la forme N:h°, ce terme, pour À = 0, serait impossible ; vu que N étant fonction de la variable x seule et celle-ci restant absolument indéter- minée, N ne saurait s'anéantir par k=—0; de sorte que le terme proposé ne saurait devenir £. Donc le développement serait impossible lui-même, tandis que pour k—0, il se réduit à u. ‘ Ces considérations prouvent bien que tous les exposants de k sont entiers et positifs, mais il n’en résulte pas nécessairement que ces exposants crois— sent suivant les nombres naturels 4, 2, 5, 4, etc. D'ailleurs aucun des coeffi- cients A, B, C, … ne s'évanouit tant que x reste indéterminée. On peut donc toujours admettre que le développement (1) est exactement celui de f(x+-A), tant que x et À restent indéterminés : cela revient à considérer uniquement Jes fonctions ,en grand nombre, qui peuvent se développer sous la forme (1) proposée. Reste maintenant à calculer les fonctions A, B, C, .… , nécessairement tou- tes dépendantes de la proposée u. La première À en dépend plus immédia— tement que les autres ; et c’est pourquoi A est dite la dérivée de u: elle s’en déduit ou en dérive d’après une opération constante, dont d est le signe, opération qui varie pour chaque genre de fonction, et l'on a A=du;d étant Ja lettre initiale du mot dérivée et du s'énonçant dérivée de à, ou simplement d, u. Ainsi la dérivée de toute fonction de la variable æ est le coefficient de la 852 J.-N. Noer. — Simplification des éléments de géométrie. première puissance de k, dans le développement que cette fonction donne lorsqu'on y change æ enæ+-h. 11 faut d'abord calculer cette dérivée; et pour démontrer, avec facilité, les théorèmes du calcul des dérivées de toute fonction implicite, il suffit d'é— crire simplement u—{(x + norme) J'ai démontré le calcul des fonctions dérivées, tant implicites qu'explicites, dans la 5we édition ci-dessus, et où l'axiome de généralisation démontre que pour toutes les valeurs positives ou négatives , rationnelles ou irrationnelles et même imaginaires de l'exposant nr constant, ou aura toujours d-u— nu"! du. Deplus, dans l'addition au calcul des fonctions dérivées, celles des lignes Trigonométriques et la méthode des coefficients indéterminés m'ont servi à dé- montrer, avec facilité, différentes séries circulaires importantes. Remarque. Dans les Notes complémentaires à la 3"° édition du Traité d'al= eèbre, Notes imprimées en 4836 à Luxembourg , et destinées au Cours de calcul différentiel que je devais faire à l'Université, j'ai démontré l'identité de la dérivée et du coefficient différentiel ; de sorte que la différentielle de la fonction est le produit de sa dérivée par la différentielle de la variable. J'ai prouvé que la dérivée et la différentielle existent indépendamment de toute hypothèse particulière faite sur l'accroissement k ou dæ de la variable æ, tant que celle-ci demeure indéterminée. ns LISTE DES MEMBRES DE LA SOCIÉTÉ ROYALE DES SCIENCES DE LIÉGE. Membres du Bureau pour l'année 1856. Président, MM. TRASENSTER L., Professeur à l'Université. Vice-Président , DE Koninex L. id. Secrétaire-général , LacorDAIRE Th. id. Trésorier , SPRING A. id. Membres effectifs. MM. 1855. GLOESENER J. M., Professeur à l’Université de Liége. DELvAUx. id. id. Dumowr A. id. id. LESOINNE À. id. id. BRASsEUR J. B. id. id. Frépénrix, Colonel du Génie, Directeur de la Fonderie de canons à Liége. 1842. Noez J. B., Professeur à l’Université de Liége. CHANDELON dJ. F. G. id. id. De SéLys-LoxccHamrs Edm., propriétaire à Liége. MARTYNOwskI J. , Répétiteur à l’Université de Liége. LAGUESSE, Ingénieur des mines, à Liége. 1845. CoQUILHAT ,; Major d'artillerie , Sous- “directeur de la Fonderie de canons à Liége. 1844. ScumipT J. G. , Répétiteur à l’Université de Liége. Ku PFFERSCHLAEGER J., Professeur à l’Université de Liége. 1845. DEeLvaux Ad., Ingénieur honoraire des mines , à Liége. LECLERCQ , Directeur de l’École industrielle, à Liége. 68 534 LISTE DES MEMBRES DE LA MM. 4847. Ds Cuyper À. C., Professeur à l’Université de Liége. ScHwann Th., id. id. 1849. MEYER A., id. ‘ id. 1855. Bipe E., Agrégé id. Davreux C., Pharmacien, à Liége. Cannèze E., Docteur en médecine, à Glain (Liége). Cuapuis F., id. id. à Verviers. PAQUE , Professeur de mathématiques à l’Athénée de Liège. 1855. DewaALQUE J., Docteur en médecine et en sciences natur., à Liége. Bourpox J., Docteur en sciences naturelles, à Liége. Membres correspondants. MM. 1835, De Vaux A., Inspecteur-Général des Mines, à Bruxelles. OmaLius D'HALLoy (p°), Sénateur , propriétaire à Halloy. f Duxorrier, Membre de la Chambre des représentants, à Tournai. QuereLer , Directeur de l'Observatoire, à Bruxelles. TimMERMANS , Professeur à l'Université de Gand. TEICHMANN , Gouverneur de la Province d'Anvers. 1842. VAN BENEDEN, Professeur à l'Université de Louvain. 1845. Decaises, Professeur au Muséum d'histoire naturelle à Paris. J. LieBiG, id, à l’Université de Munich. GRAHAN , id. id, de Londres. PELOUZE , Membre de l’Académie des Sciences, à Paris. STAs, Professeur à l’École militaire, à Bruxelles. MirscxerLicn , Professeur à l'Université de Berlin. Nysr, Contrôleur des matières d’or et d’argent , à Anvers. VeRNEUIL (DE), Membre de la Société géologique de France. KAISERLING (comte de), à St.-Pétersbourg. Marrius Ph. (von), Professeur à l’Université de Munich, Direc- teur du Jardin botanique. Kicxs , Professeur à l'Université de Gand. MouL Hugo, Professeur à l'Université de Tubingen. GERVAIS , Professeur à l'Ecole de médecine de Montpellier. SuNDEWAL C., Directeur du Muséum d'histoire naturelle de Stockholm. Purzeys J., Directeur au Ministère de la justice, à Bruxelles. ReicHERT , Professeur à l’Université de Heidelberg. VALENTIN, id, id. de Berne. Wacxer Rud., id. id. de Gœættingen. Lowcer, Chirurgien de la Première Succursale de la Maison royale de St.-Denis, à Paris. STEICHEN , Professeur à l’École militaire, à Bruxelles. LAMARLE , id. à l’Université de Gand. BREGUET, Mécanicien, à Paris. Masson, Professeur de Physique , à Paris. Smmoxorr, Directeur de l'Observatoire de Casan. cx O1 œ SOCIÉTÉ ROYALE DES SCIRNEES DE LIÈGE. MM. 1845. Touerkine, Général, aide-de-camp de S. M. l'Empereur de Rus- sie. Bertmer, Professeur à l'École des Mines, à Paris. Cowees , Ingénieur en chef des Mines, id. Seicer, Docteur en médecine à Wiltz (Luxembourg). 4844. GAzeoTTI, Membre de l’Académie de Belgique , à Bruxelles. Leconre, Professeur à l’Athénée royal d’Arlon. MaLuerge, Juge au Tribunal de première instance , à Melz. CaREz , Ingénieur des ponts-et-chaussées , à Bruxelles. Bipaur , Ingénieur en chef des Mines , à Bruxelles. 4845. VAN RE£Es , Professeur à l’Université d’Utrecht. Maus, Ingénieur des Ponts-et-chaussées, à Bruxelles. NAvez, Capitaine d'artillerie, à Bruxelles. MicHiELs, id. id à Gand. Du Bus B. Directeur du Muséum d'histoire naturelle , à Bru- xelles. HAGen , Docteur en médecine, à Kæœnigsberg. Ouivier, Professeur à l’École centrale, à Paris. CuasLes, Membre de l’Académie des sciences, à Paris. ANBROST, Répétiteur à l’École militaire, à Bruxelles. PERDONNET , Ingénieur civil , à Paris. 1846. De Vrisse J. H. Professeur à l’Université de Leyde. KLorsx J. G., Conservateur des herbiers royaux, à Schœnfeld , près Berlin. 1847. BosquEeT , Pharmacien, à Maestricht. 1848. KuipsreiN (von), Professeur à l’Université de Giesen. 1849. Micnaeuis , Professeur à l’Athénée de Luxembourg. 1851. BaumGarTNER, Président de l’Académie impériale des sciences de Vienne. ScurOETER, Secrétaire de l’Académie impériale des sciences de Vienne. JAcoBt , Membre de l’Académie des sciences de St.-Pétersbourg. Ansrep, Professeur de Géologie à Londres. SCHRORDER VAN DER KOLK, Pr ofesseur à l’Université d'Utrecht. ScuzeceL , Conservateur du Muséum d'histoire naturelle, à Leyde. 1852. Le Conte J. L. , Docteur en médecine, à Philadelphie. PONCELET, Général du Génie, ancien Directeur de l’École poly- technique , à Paris. Vroux , Professeur d’anatomie à l’Athénée d'Amsterdam. Lyezz Ch. , Membre de la Société géologique de Londres. Davipsow, id. STEINHEIL , Directeur des télégraphes électriques , à Vienne. ETTINGSHAUSEN (von) , Professeur à l’Université de Vienne. Lamonr, Directeur de l'Observatoire royal de Munich. Dana, Membre de l’Académie des sciences naturelles, à Phila- delphie. GrAwT, Professeur à l'Université de Londres. ErriNésnausen Const. (von), à Vienne. D30 LISTE DES MEMBRES, ETC. MM. 1852. Pour , Répétiteur de chimie à l’Institut polytechnique de Vienne. 1853. Wesrwoon J. 0., Membre des Sociétés Linnéenne et Entomolo- gique de Londres, à Hammerschmidt, près Lon- dres. Warernouse , Conservateur au Muséum britannique, à Londres. Parry, Membre de la Société entomologique , à Londres. Perns Ed. , Chef de division à la préfecture de Mont de Marsau (Landes). 1854. KoeziKer , Professeur à l’Université de Würzbourg. Durour L., Docteur en médecine, à St, Sever (Landes). Scraars, Membre de l'Académie de Bruxelles. Durreux, Receveur-général , à Luxembourg. Drourr, Naturaliste à Troyes (France). Weser , Professeur de physique à l'Université de Goettingen. Sramier, Docteur en médecine, à Dusseldorf. ERLENMEYER, id. à Neuwied. Lucas H., Aide-naturaliste au Muséum d'histoire naturelle, à Paris. BLANCHARD, id. id. idee 1855. PLücuer , Professeur à l’Université de Bonn. Hauer (von) , Membre de l'Académie des sciences de Vienne. Nopor, Directeur du Muséum d’histoire naturelle , à Dijon. 1856. Haies J. , Professeur au Lycée Napoléon, à Paris. Gainirz , Professeur à l'Ecole polytechnique de Dresde. CaTaALAN , Professeur de mathématiques , à Paris, Foucauzr L., Attaché à l'Observatoire de Paris. Becquerez E., Professeur de Physique au Conservatoire des Arts- et-métiers , à Paris. DesPrerz , Membre de l’Institut de France, à Paris. BABINET, id. id. id. Membres décédés. MM. Bucu L. (von), Chambellan de S. M. le Roi de Prusse, à Berlin. Géxé J. B., Professeur à l’Université de Turin. Piocne , Professeur à l’École militaire, à Bruxelles. Simonis, Professeur à l'Université de Gand. Lesson R. P., Professeur à l'Ecole maritime de Rochefort (France). CorpA J. B., Botaniste , à Prague. De LA BÈcue , Directeur du Musée de Géologie pratique, à Lon- dres. Forges E., Président de la Société géologique de Londres. PerriNa , Professeur à l'Université de Prague, PAQUE, NoEL, DROUET , Durour, PAQUE , PERRIS , DE KoniNCK, TABLE DES MATIÈRES. Nouvelles démonstrations de la formule du binome de Newton . Théorie infinitésimale appliquée . Énumération des Mollusques terrestres et fluviati- les vivants de la France continentale Mémoire sur une nouvelle espèce de Belostoma (B. algeriense) et réflexions sur ce genre d'Hémiptè- res aquatiques Quelques questions de Géométrie et d'Analyse al- gébrique . = . : - : . Histoire des métamorphoses de divers insectes Notice sur une nouvelle espèce de Davidsonia. KUPFFERSCHLAEGER, Procédé pour analyser par voie sèche les minérais Lucas, COQUILHAT , NoEL , de zinc . 5 . Note sur un nouveau genre de la Famille des Mé— lanosomes (Micipsa rufitarsis } , qui habite le sul des possessions françaises dans le nord de l'Afrique : 0 Cours élémentaire sur la fabrication des bouches à feu en fonte et en bronze , et des projectiles, d'aprés les procédés suivis à la Fonderie de Liége. (Première Partie). Simplification des éléments de géométrie Pages. 137 294 299 461 r Lee Les NT Tret Dr TE gA \ A) Sub CR ES M AREA 2 : 26 Le: = ME : FA enr E UE