L : Î f "* k [EE mt AUD M a La Le: QUIL im A A | (aan (au Li 4 (A, ni \ : NPA: Lan Mg} VU PATEUT EN AM il ja ne PAUL Rue 1! M VAUT LME ci (} | { ÿ ÿ "1® Haut Ai TU . un 1 NA 1 TON mu non { DATENT uni Due Ÿ : : CRUE MA l : . fil | 1e | - ni [er LOT HALL 2 LR : Ü x qu | [AA LE va iï (A NA ll fl PRIT | 11 2e {l k Al : A, D F9 ja pu qi 1270 CT UIAA f MÉMOIRES PRÉSENTÉS PAR DIVERS SAVANTS A L’ACADÉMIE ROYALE DES SCIENCES DE L'INSTITUT DE FRANCE. ra nr fa a E La A MAMAN TEL MÉMOIRES PRÉSENTÉS PAR DIVERS SAVANTS A L’'ACADÉMIE ROYALE DES SCIENCES DE L'INSTITUT DE FRANCE. ET IMPRIMÉS PAR SON ORDRE. 2 00 SCIENCES MATHÉMATIQUES ET PHYSIQUES. TOME CINQUIÈME. IMPRIMÉ PAR AUTORISATION DU ROI À L'IMPRIMERIE ROYALE. M DCCC XXXVIII. CU LE lire + A VER BCE TT ET AR nu AIRE SHCES Mo Aer nbiinant 6 1: DA AL | Lnqètné ani. Dre > NE AN pONet A4 AO AMEL AA ADE NES ENS AE . W19 2 af se hi AMOT _éimadl ne Ti nt : Na 1100 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DES NOMBRES, PAR GUILLAUME LIBRI; LU À L'ACADÉMIE ROYALE DES SCIENCES, LE 15 JuIN 1825. INTRODUCTION. Tous les géomètres qui se sont occupés de la théorie des nombres ont dû remarquer que cette branche des mathématiques est entiè- rement séparée des autres, .et qu'il n'y a point de méthode générale pour résoudre les problèmes qu’elle présente : de manière que, même pour les équations indéterminées qui ont été résolues jusqu’à ce jour, il faut toujours connaître la valeur numérique des coefh- ciens, afin d'avoir les racines : ce qui montre combien cette théorie est imparfaite. D'ailleurs il n'existe point, pour F’analyse indétermi- née, des méthodes d’approximation comme pour les autres parties de l'algebre. Elles seraïent ici d'autant plus utiles, que, si lon connaïssait une valeur approchée des inconnues, on en aurait de suite la valeur exacte. L'importance de la matière nous ayant en- gagé à faire des recherches sur ce sujet, nous avons cru pouvoir déduire d’un principe général toute la théorie des nombres, en la 5 D à 1 2 THÉORIE DES NOMBRES. réduisant à l'analyse ordinaire; et la bonté avec laquelle cette illustre Académie a daigné accueillir nos travaux précédens nous a engagé à lui présenter un essaï sur cette matière, pour lequel nous réclamons son indulgence. Nous reproduisons au commencement de ce mémoire des for- mules que nous avions trouvées précédemment, à l'aide desquelles on peut exprimer le nombre des solutions d’une équation indéter- minée , et la somme des racines de cette équation , en fonctions de ses coefliciens. Ces fonctions peuvent être développées en séries convergentes par les puissances de la variable, de manière à avoir toujours une valeur approchée; et nous donnons ici une formule très-simple pour effectuer ce développement. Ensuite nous expo- sons notre théorie générale des équations indéterminées. En cherchant à mettre en équation les problèmes numériques, nous avons observé qu'étant proposée une équation à plusieurs in- connues à résoudre en nombres entiers ou rationnels, le problème n'était indéterminé que parce que l'on négligeait d'en traduire toutes les conditions en analyse. En le déterminant complétement, on trouve toujours un nombré d'équations qui surpasse de l'unité celui des inconnues ; de sorte qu'on arrive à ce résultat assez remar- quable, que toutes les équations appelées jusqu'ici indéterminées sont plus que déterminées, et qu'il existe pour chacune d'elles une équation de condition qui doit être satisfaite, afin que la ré- solution en soit possible. On explique de cette manière la contra- diction que Ton observe, entre le nom d'équations indéterminées, et le fait qui montre que le plus souvent elles sont insolubles. Ce résultat, auquel on parvient avec la plus grande facilité, et que nous avons annoncé pour la première fois dans les Mémoires de l'Académie de Turin, avait cependant échappé à Euler, qui croyait que les équations indéterminées devenaient plus que déterminées seulement lorsque le nombre des formes, auxquelles des fonctions données des variables devaient pouvoir se réduire, surpassait celui des inconnues. Nous déduisons de la nature même du problème les équations qui en expriment toutes les conditions ; THÉORIE DES NOMBRES: AE et nous montrons de quelle manière, en diminuant successivement toutes les inconnues, on obtient une équation de condition, qui doit être satisfaite , afin que féquation proposée soit résoluble. De sorte que la théorie des nombres rentre de cette manière tout à fait dans le domaine de l'algèbre ordinaire. L'équation de condition que l'on trouve est toujours une fonc- tion des coefhiciens de l'équation que lon veut résoudre, et de la limite qu’on attribue aux inconnues; de telle manière que lorsque cette limite est l'infini, on obtient une suite infinie dont il s'agit d’avoir a somme , et que lon peut représenter par une intégrale définie à l'aide des formules de M. Fourier; mais la valeur de cette intégrale est difficile à calculer : pour faciliter cette recherche, il faut recourir à des artifices particuliers, et considérer des inté- grales définies dont Ja valeur soit indépendante des constantes qu'elles renferment. Mais comme le but de ce mémoire est seule- ment de montrer le principe général de notre théorie, nous n'avons pas cru devoir exposer à présent ces développemens. C’est par la méme raison que nous n'avons fait qu'indiquer ici les autres for- mules qui étaient nécessaires pour compléter ces recherches. De ce nombre sont une formule générale d’élimmation , et des expressions qui servent à développer un polynome élevé à une puissance quel- conque , et à obtenir les fonctions symétriques d’une équation al- gébrique. Ces formules, d'une forme trés-simple, ont l'avantage qu'il n’est pas nécessaire, pour Îles appliquer aux cas particuliers, d'effectuer aucune opération analytique; et il sufht d'y substituer les valeurs des coefficiens des équations proposées. Nous les avons trouvées en considérant une classe particulière d'équations aux dif- férences dont l'ordre augmente avec la variable; et elles ont quel- que ressemblance, dans la forme, avec l'intégrale, trouvée par La- grange, de l'équation linéaire aux différences du premier ordre. Cependant, pour qu'on ne puisse pas croire que la méthode que nous proposons n'est pas susceptible d'application ; et pour montrer de quelle manière nos formules se simplifient dans les cas particuliers, nous avons considéré les équations qui sont du 1” 4 THÉORIE DES NOMBRES. premier degré par rapport à lune des inconnues ; et que M. Gauss a appelées congruences. En partant de notre principe général, nous démontrons les théo- rèmes de Fermat et de Wilson, et beaucoup d’autres; puis nous établissons une formule qui renferme toute la théorie des con- gruences, et qui la ramène aux fonctions circulaires. En considérant les congruences du premier degré, nous trou- vons l'expression générale des racines de léquation indéterminée du premier degré en fonction des coefliciens (ce qui n’avait jamais été fait ); et nous montrons qu'elles en sont une fonction trigono- métrique. Ensuite, en passant aux congruences du second degré, nous retrouvons directement tous les here connus sur _ résidus quadratiques. Notre formule fondamentale, en établissant un rapport singu- lier entre les solutions des congruences et les fonctions circulaires, fournit le moyen de résoudre directement les équations à deux termes. M. Gauss, qui a découvert le premier cette résolution par une méthode très-ingénieuse, et Lagrange , qui l'a ensuite ramenée à sa théorie générale des équations, ont supposé que Fon connaissait toujours les racines primitives des nombres premiers. La méthode que nous exposons dans ce mémoire est indépendante de cette recherche, et d’ailleurs elle est beaucoup plus simple que celles qui ont été trouvées par ces deux grands géomètres, et qui exigent de très-longs calculs pour être mises en pratique. On applique les mêmes principes aux congruences des ordres supérieurs, à la résolution des équations d'où dépend la divi- sion de la lemniscate en parties égales, et à beaucoup d'autres recherches : les exemples que nous avons choisis suflisent pour montrer de quelle manière notre méthode doit être modifiée dans les cas particuliers. En partant des formules que nous donnons ici, nous avions trouvé précédemment une expression numérique de la somme des diviseurs d’un nombre quelconque : nous indiquons à présent une équation d'où lon peut déduire la manière de trouver directe- THÉORIE DES NOMBRES: 5 ment un nombre premier plus grand qu'une limite donnée. Mais comme cette recherche exigerait la connaissance de plusieurs for- mules que nous ne donnons pas à présent, nous nous réservons de résoudre complétement , dans une autre occasion, ce problème, qui a été considéré jusqu'ici comme trés;diflicile. L'examen des formules que nous exposons dans cet essai montre qu’en général les fonctions numériques s'expriment par des séries, dont le nombre des termes et l'exposant de Îa variable augmentent avec la valeur de a variable elle-même, et qu'elles forment en conséquence un nouveau genre de transcendantes, qui ont des propriétés tout à fait différentes de celles déjà connues. Pour per- fectionner notre théorie ; il faut comparer ces transcendantes entre elles, et les réduire au plus petit nombre possible; mais cette recherche importante ne pouvait pas trouver place ici, et formera le sujet d'un travail particulier. Nous montrerons alors de quelle manière on peut abréger les calculs que notre méthode exige, en faisant usage des intégrales définies, et quelles sont les formes à choisir, afin d'en pouyoir calculer la valeur avec facilité. Le mémoire que nous avons l'honneur de présenter à l'Académie n’a pour but que de montrer de quelle manière on peut réduire fa théorie des nombres à l'analyse ordinaire. ANALYSE. Nous avons avancé aïlleurs pour la première fois que lorsqu'on avait une équation à plusieurs inconnues à résoudre en nombres entiers , le problème n'était indéterminé que parce qu’on négligeait d'en traduire en analyse toutes les conditions; et nous avons fait voir que , au contraire, on obtenait toujours un nombre d'équations qui surpassait de l'unité le nombre des inconnues ; puisque étant proposée l'équation DL, 498 08 ue etc)= 0; 6 THÉORIE DES NOMBRES. pour exprimer que æ,7,Z%,--... tc., doivent étre des nombres entiers, on avait les équations . s0ZT—0,, 30/7 — 0, VU) E.. etc. dont le nombre est égal à celui des inconnues. Nous avons vu encore qu'étant proposée équation ONE RE NÉE LE € à le nombre de ses solutions entières et positives différentes de zero était exprimé, à très-peu près, par {a formule Ze—a(r+y+s... etc. Jess. et) où il fallait intégrer entre les limites T—=Y—Z re — dd; LYC CO) et nous avons donné des formules semblables pour d'autres fonc- tions numériques. Lorsqu'on cherche seulement le nombre des solutions comprises dans Îa série suffit de considérer la formule ——————: (1) Se—ag(z;y,z..etc.) où Il faut intégrer entre les Timites T—=Y—=Z.... — 1, DURE 2 PANNES AG pourvu que a soit un nombre assez grand. L'intégrale (1) ne peut pas s’obtenir en général; mais en déve- loppant en série par les puissances de a, comme la suite qui en THÉORIE DES. NOMBRES. 7 résulte est toujours convergente, on pourra la calculer directe- ment, et l'on aura ———— : —— 9 Se een) = Li — 429(x,7,3,.. etc.) a? 1.2 + Z®(x,7,3,...etc )"—ete., en intégrant par rapport à toutes Îles variables depuis Punité jusqu’à la limite A. On obtiendra de cette manière le nombre des solutions de l'équation CAC cit | 0: comprises dans la série des nombres 152208 LENS L, @: en calculant un nombre fini de termes; car comme on a toujours, pour des valeurs réelles de la variable KT S(XEY la série que nous considérons aura au numérateur un rapport d'un terme à l'autre plus petit que 1: —aZo(x,y,z,.. etc), tandis que Îe dénominateur aura à chaque terme un facteur de plus, qui tra toujours en croissant; ce qui rendra la suite conver- gente. L'intégrale (1) peut se développer assez simplement de fa manière suivante. Étant donnée l'équation D(z)—=e0+ez+es +....... + e,3" +etc., laquelle se réduit à lib u?z2 u3z3 un zn = Îl'+UZs + — e SEE NN FEMEL SE 1.2 MATHS 3 1.2,3,.,n 8 THÉORIE DES NOMBRES. lorsque @ (x) == €“, on aura dans ce cas u? ur" Co —=l, EG — Us, Co— Si l'on fait à présent Ch sos) A3 + 42 + 432 ..... + 4,2" + etc. Le = bz+b,s + db ..... + 0,3 +etc.; a, sera une fonction du premier degré des coefliciens CEn1 ’ ln , En+1 , etc. , et b, sera une fonction semblable des coefliciens u" u”" u"* a — —————— , ———\, etc. 12929, (11) 2 1.913.270 M: 3 nr 1), de sorte que les diverses puissances de x, &°, ....... u", etc., resteront indépendantes entre elles, de même que les coefliciens lon Es Ep + «+ €, €t il ne pourra pas y avoir de réduction; de telle manière que si Fon a la valeur de b,, on trouvera celle de a,, en substituant partout dans la première ang(z) APN TEE RULEX RM (où il faut faire 3 — 0 après les différenciations ), au lieu de #". A présent lon a et comme par les formules de M. Laplace, ou par celles que nous avons données dans les Mémoires de l'Académie de Turin ( voyez la T° note à la fin de ce mémoire), on peut trouver le développe- ment de : 1 1 —= — = —+A,+ Au ..... + A,u u Nimes 1 + etc. THÉORIE DES'NOMBRES, 9 on aura 1 ge“ = (+ + A, +Au+Aju+....+AuTt+ etc. x u?z? uSzs unzn ; XAUSEI A cc... + ———— + eic. ( 1.2 1,2.3, 1.2.3..n : ] = b,z+ bb. — + b.7" + etc., 1 2 3 n et par suite b 74e AU" AU ZE ———— > he —————— + etc. MR (4:9,8.n CE 1.2,3..n LE 1,2.3..n an (z : En lieu de 4", on aura dzn Si l'on substitue dans cette équation en général 1 ani Ad A2 dn*1 nes ( PE). AdiPé) A2 dntig(e) # 1.2.3..n dzn"1 dzn dznti + etc. | On peut exprimer ce coefficient en termes finis de cette manière ( dp(z) ) 1 dz An 1.2.3..n dp(z) k e d 1 TIR d : d d pourvu qu'en développant on change PEL ent 24) , comme ds? 7 on le fait pour d’autres formules de {a même espèce, ét que l'on fasse 3 — 0 après les différenciations. En substituant les valeurs de PRE | dé As Any Ag, see Ans exprimées de cette manière dans l'équation (2), on°aura la for- mule pp} 10 THÉORIE DES!INOMBRES. 2 zdg(z) dg(=) CET D PTE OT | e —1 U dp(z)\" zdg(z) sn (=) à . e 4 —1 PR 00) OT RC 1 Lt e isa qui est assez simple. Il faut observer ici que si lon fait ® (=) = €“, on aura tourours &æG) au d”o(z) zen dz" d pourvu que l'on fasse z — 0 après les différenciations; c'est par cette! raison que dans ce cas la formule zd@(z) At dE, LUE PE À er” e\Æx—/1 représente exactement la- valeur de l'intégrale Ze“. On pourrait de la même manière développer Z"@(z), A"@(:), et en général GP Si SN ON So Ynlbovtrroletes) ur les, intégrations, étant effectuées par rapport aux variables ge Y, U,. EtC.] RARE ; Nan 1 DEN Les séries que l'on obtient de cette manière sont de peu d'uti- lité dans les applications numériques; car pour avoir une valeur approchée de Fintégrale (1), if faut calculer un nombre de termes qui croît avec la limite A: de l'intégration ; de telle, manière qu'on obtient toujours une équation de degré indéfini, et qui est'une fonction des coefliciens de Féquation @ (x, y,3,...etc.) — 0, et de la limite A. Mais il est à remarquer que les coefliciens des va- riables +, y, z, etc., dans le développement de la fonction(1), sont THÉORIE DES NOMBRES: 11 tels, qu'après un certain nombre de termes il s'opère une compen- sation, de manière qu'il ne;reste à peu-près que: le.nombre des solutions cherché:Cette considération ; et l'examen attentif de {a nature de. ces coefliciens, peuvent fournirune.théorie complèteides équations indéterminées,;, ét,déjà l'aperçu que nous ayons.indiqué : suffirait pour montrer de; quélle:maänière: on pourrait réduire Ja: théorie des nombres à fanalyse ordinaire, mais nous allons re- prendre plus généralement ce sujet. Sr to Etant proposée une équation à plusieurs inconnues à résoudre en nombres-rationnels (entiers ou fractionnaires ),:on pourra tou- jours: la préparer de manière que tous: les nombres qu’on.cherche soient: entiers, et positifs, puisque, en général, si l'équation à résoudre-était de la forme fiv Dax, y, z, L4 sde ete.) = 0, et qu'on cherchât pour x, y, 3; éte., des:valeurs fractionnaires en faisant HS »b 2401 Zi. ; Yx due Era POTENRET 30 = y PB TTTh etc., : 2 Fr MENT 34 r 1 on aurait l'équation * Tr Yr Z1 dé (co Pen: FN etc. 1 2 2 AP EE dans laquelle il ne faudrait chercher, Pour $ %,, ÿi,y ete. que des valeurs entières; ‘ét d'ailleurs sil ‘ÿ avait dés solutions négatives, on les obtiendrait en changeant les signes des variables. Soit donc proposée l'équation mors 2 pl etc. ) = 0, que nous représenterons pour abréger par ® = 0, à résoudre en nombres entiers et positifs : avec les méthodés connues on cherche à s'aider de la forme particulière-des coefficiens pour obtenir toutes les solutions. Mais équation © — 0 ‘exprime seulement les rela- D 2 12 THÉORIE DES NOMBRES. tions qui doivent exister entre les inconnues , et n'indique d'aucune manière qu'elles ne puissent recevoir que des valeurs entières. Cet oubli des conditions auxiliaires du problème a été Ia cause qu'il n'a pas été soumis à une analyse générale, parce qu'on ne le mettait pas en équation; et d’ailleurs c’est pour cela que lon a appelé indéterminée l'équation @ — 0, quoique souvent on trouvât qu'elle n'était pas résoluble; ce qui aurait dû faire $oupçonner qu'il existait une équation de condition, laquelle n'étant pas satisfaite, le problème ne pouvait pas être résolu. Au reste la forme des racines des équations à une seule mconnue, et l'ob- servation qui montrait que, dans celles à plusieurs inconnues, le nom- bre des racines était tout à fait indépendant du degré de l'équation proposée, auraïent dû faire prévoir que cette équation de condition renfermait les coefliciens de l'équation proposée, et les limites que l'on attribuait aux variables. Nous allons considérer le problème à priori, et nous montre- rons de quelle manière on peut trouver l'équation de condition, qui doit étre satisfaite pour une équation quelconque ; de manière que lorsque la limite des variables n’est pas infini, on pourra tou- jours trouver directement toutes les solutions de léquation pro- posée. : Etant proposée l'équation à plusieurs inconnues GMT CAES à résoudre en nombres entiers et positifs, supposons d'abord que l'on demande toutes les solutions qui s’obtiennent.en donnant à + des valeurs moindres qu'une limite a ; à y des valeurs plus petites que D ; à z des valeurs plus petites que €, et ainsi de suite; &, b, ce, etc., étant des nombres entiers et positifs, on devra donc donner à +, y, =, etc., toutes les valeurs comprises dans les séries nes bd also re Ufodià yes mle(bd)s aen0ds 093, duos (est AD, THÉORIE DES NOMBRES. 13 et faire toutes les combinaisons possibles avec équation © = 0. Ces valeurs seront comprises aussi dans les équations X = x(x—1)(x—2) .... (æ—[a—1]) 10. ny) (7 2) et (y (817) "0, Z = 3(23—1)(3—2) .... (3—[c—1]) = 0 etc. ; $ LA lesquelles expriment les conditions que, x soit un nombre entier positifet moindre que a, quey soit un nombre entier positif moindre que b, et ainsi de suite ; de manière que les équations À ENR GÆUT Z = o,etc., DÜzyrs, et), doivent exister ensemble, et déterminent entièrement Île pro- blème, Mais puisque le nombre de ces équations surpasse de l'unité celui des inconnues, en éliminant successivement x, y, 2, etc., on parviendra à une équation de condition FAN? qui comprendra seulement les limites a, b, c, etc., et les coefli- ciens de l'équation @(x,y,2,.... etc.) —0,et qui devra être satisfaite, afin que l'équation proposée soit résoluble. Lorsque l'équation de condition sera satisfaite, et qu'on sera certain par conséquent que équation CA ER Ent) DEN est résoluble, on reprendra lune des équations à une seule inconnue, que nous avons obtenues par l'élimination avant de parvenir à l'équation F— 0 : par exemple, une équation en x seule de la forme X, — 0, et en cherchant le plus grand diviseur commun entre À = 0 et X, — 0, on aura une équation en x dela forme X,— 0, dont toutes les solutions seront entières, et dont le degré exprimera le Fours des valeurs de x, qui DEPRTTUA à l'équation Dr,-9 2, 8 et ))E=-0; 14 THÉORIE DES NOMBRES. et en résolvant l'équation X, = 0, on aura toutes les valeurs de x qui satisfont à l'équation D(x, y, 3,24 ete.) —0: De même, si après Pélimination des autres (n—1) inconnues, on parvient à une équation en 7 de la forme Y, — 0 ; en cherchant le plus grand commun diviseur entre Ÿ = 0 et Ÿ, = 0, et en l'égalant àzéro, on obtiendrait toutes les valeurs de y qui résolvent l'équation pro- posée; et l'on voit que la même chose aurait lieu relativement aux autres Inconnues. I est clair que la même méthode pourrait s'appliquer à trouver directement toutes les solutions rationnelles de Téquation à une seule inconnue | ax" + ba + CAT le de 04, +, 0; mais dans tous les cas cette méthode ne fournit que les racines inégales : cependant les racines égales peuvent être déterminées de la manière suivante. Nous supposerons, pour simplifier le problème, qu'il s'agisse d’une équation à deux inconnues seulement, puisque la méthode est absolument la même lorsqu'il y en a un plus grand nombre. Etant donnée l'équation P(r,y) = 0, à résoudre en nombres rationnels; si à une valeur rationnelle de y = b, il en correspond » également rationnelles de x — a(n étant plus grand que funité); en différenciant l'équation proposée par rapport à +, et cherchant le plus grand diviseur commun A entre d.p(x,y) rte vioh P(æÿ)s on obtiendra A=F (x, y), et il y aura un reste R — (y), quine contiendra plus æ, et qui par supposition devra se réduire à zéro. Si on fait donc f(y)= 0, on en déduira la valeur rationnelle de y = b, lorsque cette valeur existe : et substituant & pour y, on aura AR) AT, THÉORIE DES NOMBRES. 15 et on obtiendra les valeurs multiples de :+ que Yon cherchait. Ce que nous avons dit danslhypothèse que » valeurs de x — « correspondent à une valeur de y — b, s'applique aussi lorsqu’à une, valeur de x = A , il en correspond » de y°=:B; pourvu que l’on change x en y, et que l'on effectue les opérations dans un ordre inverse. Si Rétait zéro identiquement, nous aurions l'équation A = F(z,y) = 0 = (x—4[y]), qui devrait exister en même temps que Fautre @ (x,y) = 0, et qui en Sérait un facteur : lon ne pourrait donc pas déterminer la valeur de y = b ; mais en divisant le polynome @ (x, y) par A, le quotient Q contiendrait une seule des n racines de x — L (y), et en cherchant le plus grand commun diviseur entre A et Q à on aurait l'équation + — À (y) — 0. Nous avons supposé qu'il y'avait seulement valeurs de + — a, qui correspondaient à la valeur de y — b, mais si outre celle-là i y avait m valeurs de x — c, rvaleurs de x — e, etc., il serait facile d'appliquer à ce cas la méthode déjà indiquée. Soit proposée, par exemple, l'équation L—22y + 92ÿ —1 = 0, dans laquelle on veuille savoir si, parmi toutes Îles valeurs de y qui la résolvent, il yena une égale à D, et telle qu'il lui en corresponde » > 1 de x = a : à cet effet on différenciera l'équa- tion proposée par rapport à x, et lon aura x —y — 0 : puis en cherchant le plus grand commun diviseur entre ces deux équa- tions, On aura æ —7 pour quotient, ét 2 —ÿ — 1 — 0 pour reste : et comme cette dernière équation est satisfaite en faisant y —1; Si lon substitue cette valeur dans l'équation L°— ay + 2Y — 1 —0, on aura | k Lo — 92% + 1 — (æ— 1) = 0: 16 THÉORIE DES NOMBRES. et par conséquent l'équation 2 — 22y+Iÿ —1 = 0 est telle que deux valeurs de æ — 1 correspondent à fa valeur ed: À On voit que si l'équation proposée avait 7 inconnues , en cher- chant les racines égales, on la réduirait toujours à une équation à n— 1 inconnues, qui pourrait étre traitée par fa méthode générale. Il résulte de ce qui précède que toute la théorie des nombres se réduit à un problème d'élimination, puisqu'il est clair qu'il suffirait de pouvoir éliminer toutes les inconnues entre les équations [ A—0, 0170; etc Pepe, --rretili—0, que nous avons trouvées précédemment, pour avoir l'équation de condition F0" d'où dérive tout le reste, L'élimination générale entre ces équa- tions n’est pas encore connue; cependant elle peut s'effectuer au moyen des intégrales définies, comme nous espérons le montrer dans une autre occasion : nous traiterons alors des équations in- déterminées en général, et nous montrerons de quelle manière il faut opérer dans tous les cas (voyez la note II à Ia fin de ce mé- moire ). Quant à présent, nous nous bornerons à considérer les équations dans lesquelles lune des inconnues est élevée seulement au premier degré, et que M. Gauss a appelées congruences , et nous déduirons d'une seule formule tout ce qu'on savait sur ce genre d'équations, et beaucoup d’autres choses nou- velles. Cela nous fournira l’occasion de montrer un exemple des simplifications remarquables dont notre méthode est susceptible, lorsqu'on lapplique aux cas particuliers, et des artifices d'analyse dont il faut faire usage pour résoudre ce genre de problèmes. THÉORIE DES NOMBRES. 17 Etant proposée l'équation (3) P(xiy,3.... etc.) —pu = 0, (dans laquelle, @ est une fonction quelconque des nombres entiers ét positifs Ty Y5, Zy »...ete., p est un nombre entier quelconque; et # est un nombre entier positif ou négatif) il est clair d'abord que s'il existe des valeurs dérmaz, di ele qui résolvent l'équation proposée, et qui soient plus grandes que p, il ÿy en aura aussi qui seront comprises entre zéro et p; ce seront ces dernières valeurs que nous considé- rerons toujours dans ce qui suit, à moins que nous n'indiquions spécialement le contraire. A présent l’on sait que équation (3) équivaut à la congruence P(z,7, 3, .... etc.) — 0, [mod.p |; en supposant, pour simplifier le problème, que p soit un nombre prerñier, que cette congruence ne contienne que linconnue x, et qu’elle soit de Ia forme X= 2" Art oprts =! Jp. Q—o [mod.p], si elle a une racine x — a, on pourra toujours la mettre sous la forme (x — a)X, = 0, [mod. p | X, étant un polynome entier en x du degré m—1:il résulte de là que la congruence … X — 0 [mod.p.]ne peutavoir que m racines, et que si elle a les m racines entières ajb,c;d,e,f,etc., - On pourra la mettre sous la forme 2" + Aa Ban? , + Pr Q e (x—a)(x—b) (x—c)(x—d)(x—e)(x—f). . .etc. [mod.p]; 3 18 THÉORIE DES NOMBRES. on aura alors les congruences (4) a+b+c+ di+e+f.....ete TE —A, [ mod. p | ab: + ac + ad ..:, +etc: + be + bd + be +etc. + cd + ce +. cf + etc. + etc, = + B, [mod.p | hdi. s flsje eee s abc + abd + abe + etc. + bed + bce + bef+ ete. | +cde + cdf + ete. [ — 7 c, [mod.p ] a ET eTC: abcdef.... — + Q, [mod.p] dans la dernière desquelles 1 faut prendre le signe + si » est pair, et le signe — si m est impair. Pour trouver a somme des puissances »”“ des racines de cette congruence; on aura-des formules semblables à celles que lon obtient pour les équations, car en appelant P;;, P,: , Es ’ etc., la somme des puissances "#, (»—1)"*, etc., de ves racines, on aura P;, + AP,, + BP, .... + 7R — 0, |[mod.p|] On peut de la même manière transformer les congruences, et en avoir les fonctions symétriques; en général quand on a trouvé une formule propre à représenter une fonction quelconque des ra- cines de l'équation X —.0, si l’on suppose que la congruence de lamême forme X—o [mod.p|] ait toutesses racines entières, on pourra trouver la même fonction des racines de la congruence exprimée par une formule semblable à celle que lon avbtenue pour l'équation; de sorte que si @ = B représente la fonetion cher- THÉORIE’ DES NOMBRES. 19 chée dans l'équation X 0 ; l'on aura; °®9 = B: [mod.p | pour représenter la même fonction dans la congruence t FREE One ie —0,: [mod.p |. Soit maintenant. proposée Ja -congruence a — Z = 0, y [mod.»] dans laquelle p est un nombre premier; si on cherche une trans- formée dont les racines surpassent de l'unité celles de la proposée, ON aura ÿ—x+1,x—=7y—1, et partant Sig), 0; [mod.p] congruence qui se réduit à YF, (0) [ mod.» ] lorsque p est un nombre premier. Puisque la transformée est identique avec la congruence pro- posée, celle-ci ayant la racine x — a, aura aussi la racine æ—a+1, et par conséquent l'autre x = a + 2; et en général elle sera résolue par toutes les valeurs x — a + z, z étant un nombre entier positif quelconque. Mais puisque la valeur x — 0 résout la congruence proposée, elle aura pour racines Îa série des nombres naturels, et par conséquent celle-ci iw LE ; }111"1 4 L )1) DTA 0, mis [mod.p | aura pour racines tous les nombres ce: qui forme le théorème de Fermat La congruence (ii | EN = 0 0 à _ [mod.p] Hier af 4 lo IC Vo —— étant comparée à l'autre 2" + Ab + Ba.) + Pr #@ To, [mod.p] 3° 20 THÉORIE DES: NOMBRES. que nous avons considérée précédemment, donne AENONB 0 VOTE T;: 4—1, b=2,c—3d=4/e— TE 6, etc. m—=p—A1 égal à un nombre pair: en substituant par conséquent les valeurs des racines a, b, c, d, e,f, etc., dans les congruences (4) on aura DD SAN RE + (p—1)—=0, [mod.p | 1.92+1.3....+1(p—1) +2.3+9.4 +2(p—1) }—=o, [ mod.p | ete. ner ne ele tete le lee tele re EN LC Ie .. etc: 1.2.3 + 1.2.4 + 1.2.5 + etc. + 2,3.4 + 2.3.5 + 2.3.6 + etc. 2 db 3.46+3.4-Trnete. Lo [mod.p] etc. Si Mod . Seller ete etai els fee le etc, et enfin 1.2.3:4,.... (p—1)#+1 =0, [ mod. p | Cette dernière congruence renferme le théorème de Wilson. On démontrerait de la même manière tous les théorèmes que M. Gauss a insérés dans la troisième partie de ses Recherches arith- métiques, et beaucoup d'autres; par exemple, on obtient Ia con- gruence 1.2.3....(9—1)(9+1)....(p—1)+g"=0, [mod.p:]} qui est toujours vérifiée lorsque pestun nombre premier. De même on trouve que sip est un nombre premier, et que » ne soit pas divisible par p — 1, on aura 1"+2"+ 8" ....+(p—1) = 0, [mod.p|] THEORIE DES NOMBRES. 21 tandis que si » est un multiple de (p — 1) on obtiendra 14248"... +(p—1) +10, [ mod.p] Nous ne pouvons pas nous arrêter à développer les nombreuses conséquences qui dérivent de ce principe : cependant nous mon- trerons comment on peut retrouver et généraliser un théorème donné par M. Poïinsot dans le Journal de l’école royale Polytech- nique. M. Poinsot a démontré que les racines de la congruence d — 1 — 0, [mod. p] dans laquelle xp + 1 est un nombre premier, se déduisent des ra- cines de l'équation z"— 1 — 0, en ajoutant sous les radicaux compris dans l'expression de ces dernières, des, multiples de np + 1. Ce théorème est évident dans tous les cas. En effet la congruence n-1 2" Ag + Br... Pr + Q — 0, [mod.a] ( dans laquelle a est un nombre quelconque ) équivaut à l'équation Nm 2 + Ba... + Pr + (Q—ay) — 0, nel T'+, Àx dont les racines sont exprimées en général par {a formule PR (A,B, .... P,Q — x), qui se réduit à l'expression des racines de l'équation x + Au Bart 00 4 Q = 0, lorsqu'on y fait y — 0. Donc, vice versä, si lon ajoute des mul- tiples de a sous les radicaux compris dans l'expression des racines "de cette équation, on aura les racines de fa congruence proposée. En appliquant aux congruences ce que nous avons dit en général des équations indéterminées, on trouve que toutes les solutions de la congruence D(x,y, 3, ::.. ete.) — 0;. [mod.p] 29 THÉORIE DES NOMBRES. sont conrprises parmi celles des congruences Ka a(r—1x 2) 4x [p=1})=10; [mod'p] Y = y(y—1)(—2) .... (yp=1]) = 0, [mod] — 0, [mod.p| ZZ= 3(3—1)(2—2).... G=[r—1) et qu'en éliminant toutes les variables entre P—=0, X—=0, ŸY—0o, Z—0,, etc... [ mod.p ] on obtiendra une congruence de condition entre les coeflicients de ® = 0; c’està-dire qu'au lieu d'avoir une équation de condi- tion de la forme F — 0 comme pour les équations, on aura la con- gruence F— 0 [mod. p |; et la fonction des coefficients, qui aurait dû être zéro dans le premier cas, devra être divisible par p dans le second. Lorsque p est un nombre premier, le problème se simplifie beaucoup; car, par le théorème de Fermat que nous avons démontré, on a 2x 1x2) ... (api) = 7 — 0,[mod p] ya) + Gp) = ÿ'=y = 0! [mod.p] arc elle Isle etc. et il faudra seulement éliminer les inconnues entre les congruences D—=0, x —x—0,y—y —0,z/—3— 0,etc... [mod.p|. Soit proposée, par exemple, la congruence (5) ax — b — 0, [ mod.p | dans laquelle 4, b, p, sont des nombres entiers quelconques, et aet p sont premiers entre eux; si l'on fait x — 03, on aura la congruence az. — 1. — 0, [ mod.p] qui étant résolue, autre (5) le sera aussi. Supposons PU Pi-ParPs +++ Pur THÉORIE. DES NOMBRES. 23. en indiquant Li P ÿ Pas Paie. Pasitous les facteurs premiers de p, égaux ou inÉgaux : sion représente parp, lun quelconque de ces nombres premiers, pour résoudre la congruence az — 1 — 0, [mod.p] il faudra éliminer z entre. celle-ci et la suivante Sr 3 = 0, [mod.p] qui équivaut à apr Pr —\àz = az(a” 39 —1) = 0, [mod.p], puisque, par supposition, a n'est pas divisible par p, : à présent comme en divisant a? 3Pr— az par az—1,0n a un quotient exact, la congruence de condition F— 0 [ mod. P,] sera identiquement zéro dans ce cas, et la congruence az — 1 — 0 | mod. p.]pourra toujours être résolue par une valeur de z, que nous indiquerons par z,. Il est clair que cette démonstration est indépendante de Ia valeur dep,, et que par conséquent lon aura az, = 1 = 0; [mod.p, ] Az — 1 —= 0, [mod.p, ] Az3 — 1 — 0, [mod.p;,] az, — 1 — 0, M. [mod.p,] et partant (en faisant les produits des premiers membres et des modules ) Ages (az; —1)(az, — 1)(az3—1) .... (az, —1) = 0, [mod.p,:p,.ps ...:p,]. Si le nombre des facteurs est impair, on pourra toujours supposer Z— az — 1 — 0, [mod.p] 24 THÉORIE DES NOMBRES. et si ces facteurs sont en nombre pair, on pourra multiplier z par le facteur indéterminé 43,,,— 1, et l'on auraencore Z (az, —1) = a, —1 — 0, [mod.p]. D'où il résulte que la congruence A == N0! [mod.p | et par suite ceile-ci ax — b — 0, [ mod.p. | est toujours résoluble, si a et p sont premiers entre eux. L'on voit aisément que dans tous les cas une solution de la congruence proposée CE A [mod.2,.7,.ps . ... p,] sera donnée par la formule z (amiens 1)(ar 1)... (anti) + 1 br a Ô qui exprimera lune des racines de léquation indéterminée ax — b — py = 0. Étant proposée la congruence Œ + 1 — 0, [mod. 2p+1] dans laquelle 2p + 1 est un nombre premier; pour savoir si elle est résoluble, on devra éliminer x entre celle-ci et l'autre x? — 1 — O0, [mod.2p + 1] et l'on obtiendra la congruence de condition (—1}—1 =o, [mod.2p+ 1 ] qui sera toujours satisfaite lorsque p est pair, et qui sera im- THÉORIE DES NOMBRES. 20 possible dans fe cas contraire. On déduit de là ces deux théorèmes connus : 1° que la congruence T'PV—= 0, [ mod. 4p + 1] est toujours résoluble ; 2° que l’autre En D [mod. 4p +3 | ne l'est pas: 4p + 1 et 4p +3 étant deux nombres premiers. De même pour la congruence æ—b—0, [ mod. ap +1] dans laquelle ap + 1 est un nombre premier, on aurait [a con- gruence de condition b— 1 — 0, [mod ap + 1], comme on le savait défà. On voit de là comment il faudrait opérer dans tous les cas; mais il faut observer que puisque l'élimination entre les congruences se faitabsolument de la même manière que pour les équations, étant proposées les congruences P(x,y,z-.... etc.) —.0, [ mod. p | 4 —x—0, yÿ—y—0, z—23—0,etc. [mod.p] la congruence de condition s'obtiendra en éliminant toutes es inconnues entre Îles équations (6) D (ne ete) 0, TL O0, MY YN—=NO NZ — 7 —" 0, etc. pourvu qu'au lieu de prendre l'équation de condition F = 0 5 qui en résulterait, on écrive F— oo, [ mod. p. ]. L’élimination entre Îes équations (6) peut s'effectuer avec les 5. 4 26 THÉORIE DES NOMBRES. méthodes connues, mais il faut observer qu'on obtiendra le même résultat si dans l'équation @ (+, y, z, .... etc.)= 0, on substitue pour +, y, 4, etc., leurs valeurs déduites des équations (7) LT —i0,) y y ah etc. en faisant le produit de tous les polynomes de Ia même forme dans lesquels on a substitué successivement pour x, y, z, etc., les racines des équations (7),.et puisque ces racines sont connues, et que lon a 27 : 27 + y3 sin mr etc. 7 PEU ON MS ONE 0 ES p—1 27 ë 27 DANOP RM ENCOS EEE V1 sin — , etc. p—1 p—1 la congruence de condition sera ( voyez la note I à la fin de ce mémoire ) : 22x7ÿ/4 2 1 2271 Pp—1 p—1 p—1 \ £ log | ® (le NE ane re Tete) e 2yT V1 2 2 27/21 —1 —1 p—1 : x @(0,e ? Br etc.) ®(0,0,e, --etC-)elc] 0, [ mod. p | en intégrant entre les fimites — OR -e MELC NU; TNT , T = Y — Z, . «1. etc. hr Cette formule montre déjà de quelle manière, en appliquant notre théorie générale des équations indéterminées aux con- gruences, on les réduit à dépendre des fonctions circulaires. On en pourrait déduire quelques-uns des théorèmes connus sur les congruences; mais if serait trés-difiicile de donner une théorie complète de ce genre d'équations , en partant de cette congruence THÉORIE DES NOMBRES. 27 de condition, parce que sa forme ne permet pas d'effectuer les intégrations qu'elle exigerait pour étre appliquée. Nous allons exposer une autre formule plus générale, qui nous fournira direc- tement tous les théorèmes connus sur les congruences des différents degrés , et plusieurs propositions nouvelles. Etant donnée l'équation à une seule inconnue (8) Æ"—1—=0, si l'on représente par P P n°) la somme des puissances n"*, (nm), (n—2m)"", etc. on aura RC SN DA HS y D SA EEE DANS NT TE de sorte que si » est un multiple de m on obtiendra P, =", et dans le cas contraire on trouvera P, — 0. En exprimantles racines de l'équation (5) en fonctions circulaires, on aura 07 ne AO AMN TE 27 NC MES ANT P, = (cos + V1 sin —) + (cos + vi sin =) pe m m m m (m1) m + (cos 2 += sine x)", et en réduisant les exposants à des multiples de Farc, et négligeant les imaginaires , on obtiendra On7 Qn7 An7 (m—1) P, Z COS— + COS — + COS ——, ... + COS 2 ———?N7 m m m m . n : nA z=m SM2|72——)7 + SIN — nLT 2m m = EE cos ——— —— " —— —— ui 44 NA PT 2 sin — m Il est clair, d’après ce que nous venons de dire, que si l'on prend 4 * 28 THÉORIE DES NOMBRES, mes successivement la somme des puissances 7°", des racines des équa- tions ni DES 0 Cr EME 0 TO = 0: on aura la somme des diviseurs de # compris dans la série des nombres et que pour avoir cette somme il faudra prendre l'intégrale . n nr SI 2 (02 —— T7, +, Sin — 27 x > . nTz 2 sin — T entre les Îimites æ = 1, x — m + 1; ou bien celle-ci nyT . . E cos 2 —— entre les limites z y = 0, Yy = X, EAN LAS LOVE LOS SRE On trouverait de même que pour avoir le nombre des diviseurs de » compris dans Îa série des nombres D MN EC A SN; LC = LE Si l'on voulait la somme ou le nombre de tous les diviseurs de »; en représentant par /(») la première, et par d\ (x) [a seconde de ces fonctions, on aurait THÉORIE DES NOMBRES. 29 ZX cos 2 (0); 1 Be —— 0 (2) où il faut intégrer entre les limites Y—= 0, Y=LX, = 1, & = n + 1. On sait que lorsque #2 est un nombre premier, on a GE) NN NT ARNAQUE N'a": on aura par conséquent, en changeant les limites des intégrales, les deux équations NY n E cos 2 7 — rs E —cos 2 = 1, T (en intégrant entre les limites y=0, y=x,x=1,x—n) qui renferment deux propriétés spéciales des nombres premiers. On a vu que » et m étant deux nombres entiers, la formule n * nT sin 2 (: NN — —— | T7 + SnNn— 2m m (9) 2 sin —— a pour valeur », si » est divisible par », et qu’elle se réduit à zéro si cette condition n’est pas remplie. Nous avons démontré de plus que p étant un nombre entier, l'expression HD Eten ee VI EU T P ne peut se réduire à un nombre entier que lorsque pestun nombre premier : en faisant donc P = M; 1.2.3......(p — 1) +1 =», 30 THÉORIE DES NOMBRES. dans la formule (9) elle se transformera en celle-ci $ 1.2.3... (p—1) +1 . (12.3... (p-1)+0)7 sin 2 (1.2.8... (p—1) + 1 ET) + in EDEN QE Pt oem Le 2p qui devient p lorsque p est un nombre premier, et qui se réduit à zéra quand p est un nombre composé. Ainsi cette formule repré- sente exclusivement tous les nombres premiers. On pourrait varier beaucoup ces formules et les appliquer aux séries et à d’autres recherches, mais ce n’est pas ici le lieu de nous arrêter sur ce sujet. Puisque la formule = 07 27 1 07 2 — COS = (cos m m m 2 (m—1) m gear Ln v=s sin —) stogste m m + (cos F+y—3 sin 2) m " a n , a pour valeur l'unité ou zéro, selon que —est un nombre entier m ou fractionnaire, il s'ensuit que si Ton veut connaître le nombre des racines inégales de la congruence D(x,Y,3,.... ete.) —0, [mod. »] dans laquelle on considère pour x, y, z, etc., les valeurs = ile anée (a—1), OS per nie pioic ic (b— 1), NO Eee (c—1) MOOD 0 etc. il faudra intégrer la formule THÉORIE DES NOMBRES. 31 1 07 LAC cons — (cos + y sin — 3 m m m EAN AR EU EE PEL, Y,7...:. &tc.) = (cos + 15m ) SAAENE m se 7 + y =; sin m m 2(m—1) r) Or etc.) = (cos entre Îles 1imites D. Eye, y — De —0!,,2 + 0; etc. L] Cette formule est très-générale et peut servir, dans plusieurs cas, à déterminer sous forme finie la valeur de l'intégrale ap(x,y,z. etc.) Ty — 3 Ze wa comme nous le montrerons dans une autre occasion. De même, la somme des racines de la congruence proposée sera exprimée par l'intégrale 1 07 D. 07\?(3y3...ete.) —E(x,y,23..... ete) | (cos + y sin 7) 27 97 \ (372... etc.) + (cos T + = sin +) : à LL m [cos 2. FT + y 1 sin aan) 7) Ra He où il faudra intégrer entre les mêmes limites qu'auparavant. On pourrait trouver beaucoup d’autres formules semblables, mais celles-ci sont suffisantes pour notre but : elles sont même trop générales, et il faudra les particulariser pour les appliquer avec facilité. Nous observerons d’abord que, pour avoir toutes les solutions de la congruence P(Z,Y,3.:... etc. ÿ — 0, [ mod. » ] 32 THÉORIE DES NOMBRES. il suflira de considérer celles qui sont comprises entre les li- mites 0 , T—Y—Z..... DV CCE — 71, puisque les autres s'en déduiront avec facilité ; et ‘ensuite que les imaginaires devant se détruire entre elles, on pourra considérer l'intégrale - Î 07 2OI(TYNzLS I. etc (10) N—— Z;cos — + cos PCR PER eee m m L/ LA (m—1)9(zx,y,z..... etc.) 7 + COS 2 ————————— m prise entre les limites T—Y—Z..... —ù 0} T'Y —Z... — (0 Si l'on veut, par exemple, le nombre des solutions entières et positives de l'équation ax + b — cy = 0, qui est équivalente à la congruence ax + b = 0 [ mod. e |, il faudra prendre Fintégrale 1 07 2(ax—b)r A(ax+b)r (11) Eco + cos ET + cos € c c La A(ax+-b)x 2(c—1) (ax+b)r | A COS COS ES \ entre les limites THÉORTE DES NOMBRES. 33 En considérant le terme général, on aura l'équation 1 A(ax+-b)7 — X cos ENG c ce sin = (b+ac— a) Æ. —sin Ace a) 7 - Ur A 2 CcCSN—7 2c dans le premier membre de laquelle le numérateur est toujours zéro, mais dont le dénominateur ne peut se réduire à zéro que lorsque a et c ont un diviseur commun plus grand que l'unité, puisque À est toujours plus petit que 2 c. résulte de là que si a et c sont premiers entre eux, tous lestermes de la formule (11) se détruiront, moins le premier dont la valeur se réduira à 1 = € É — XX cos OXx7—= — — 1. _ c Mais lorsque a — mg, c — ng, on fera À — 2n, et on obtiendra 1 T=C — ZX cos © x=0 An(ax+-b)7 (4 sin 2 (b+ac—;a)7 — sin = (b—;a)r nar 2c sin — C o ba+-ng—;a)r . 2(b-ja)z gl lee se — sin A(r28)x fat, s US . ar 2 c sim — & Cette formule se réduit à © lorsque a — mg; on devra donc différencier par rapport à a, pour en avoir la valeur déterminée, et on trouvera 5. 34 THÉORIE DES NOMBRES. 2n(b+ax)r — ZX cos [a DD) [a T T T 2(b—ja)7 2(n9—)— cos 2 bnga—u)—+ — cos = — Le, 2 o Le 2 o © # st o a 2 o o £ ch 2c7 az — COS — g £ 2(b—la)r 2 ng°7T COS = _—— 7 £ HT T 2C7 COSA — 2b7 APS LL Pp 2 CT COS — .COSMT + 2C7T SIN — SIN MT Le £ £ — = COS — . az 2C7T COS — £ Mais puisque le nombre x est compris ;g—1 fait dans e—1, la valeur de l'intégrale ( 11 ) sera (dans le cas que a et € aïent un plus grand commun diviseur g) exprimée par la série 267 407 (g—1)7 COS CUS EC COS & g g . re 54" br SE Sn LE g Ë bx 2siINn =— œ Le) dont la somme est égale à zéro, lorsque 4 n'est pas divisible 2 par #, et qui a pour valeur g, lorsque — est un nombre entier. ra L-] On tire de là 1° que la congruence ax + b — 0 [ mod. € ] a toujours une solution positive, entière et plus petite que €, lorsque à et € n'ont d'autre commun diviseur que l'unité. 2° Que si a et c ont un commun diviseur £, qui ne divise point b, cette congruence ne pourra pas être résolue. THÉORIE DES NOMBRES. 35 b 3° Que se est un nombre entier, on trouvera un nombre g de valeurs de PP nteres positives, et plus petites que c, qui sa- tisferont à la congruence proposée. I est clair que ces mêmes conditions s'appliquent à l'équation indéterminée (12) ax DA — y = 0. On a déjà vu que l'intégrale indéfinie 1 07 ax+-b)7 ax +-b)7 De eos ce cos Er De ORNE c € “+ € G@ ax +-b)r e—1) (ax+-b)x + NON lu à mie + cos 2 EEE c exprime la somme de toutes les valeurs entières et positives de x qui satisfont à la congruence (13) ax + b — 0, [ mod c ], lorsqu'elle est résoluble, et que la valeur de l'intégrale (12) se réduit à zéro, si la congruence (1 3) n'est pas résoluble. En con- sidérant le terme général il b — E x cos 24 EP C on aura pour les formules connues d'intégration (14) Excos24 (+07 A (ax +b—{a)r + sin 247 (re (a (æ—1) sin 2 . T 2c sin 2427 2c b—a)r ax + cos 2 À Ke aan c : AaT \2 C ( 2sin 2) 2c (b—a)r cos 2 À + 5" 36 THÉORIE DES NOMBRES. et, pour avoir la somme des racines, il faudra intégrer cette for- mule depuis A—0, jusqu'à À — c. À présent nous savons d'avance que si a et ce ont un facteur commun qui ne divise point b, la congruence (13) n'est pas ré- soluble ; et comme si ce facteur commun divise b aussi, on pourra toujours Fôter, on supposera que 4, bet c n'ont point de commun diviseur : alors, en donnant à À successivement toutes les va- leurs ARNO IR ES € — 1, le premier terme se présenterait sous la forme + et les autres au- raient tous une valeur déterminée; mais pour éviter lindétermi- nation du premier terme, on l'intégrera séparément, et l'on aura (ax +b)7 l c(c—1) 1 — Ex COS O0 —— — DT c (3 € 2c et l'on intégrera entre les limites cela peut se faire d'abord par les tables des sinus et cosinus, en calculant successivement les fonctions qui se rapportent aux va- leurs et l'on aura, de cette manière, résolu complétement le problème : mais, pour obtenir plus de généralité, on pourra, au moyen des expressions connues , transformer les cosinus et les sinus des mul- tiples de l'arc en puissances des fonctions semblables de Parc simple, et Ton aura une formule générale qui exprimera la somme cher- chée. Si l'on voulait la plus petite des solutions entières et positives de la congruence ax + b — 0, [ mod. c] THÉORIE DES NOMBRES. 37 d faudrait faire dans la formule (14) x —c, et elle deviendrait après les réductions . 24 4 sin-— (b—<{a)x UT AU 2 sin Le et partant, la plus petite valeur de æ = J\, qui satisfait à la con- gruence proposée, sera donnée par la formule u=e Sin 2 (b—;a) sl ct EE : auT c—1 AN CET sin et toutes les autres valeurs seront exprimées par la formule FN CE, dans laquelle 3 est unombre entier quelconque. Nous nous sommes arrêté sur ce problème, parce que les for- mules que nous avons trouvées offrent le premier exemple de l'expression analytique de Ia racine d’une équation indéterminée en fonction de ses coefficients. On sait qu'avec les méthodes con- nues on ne peut trouver les racines, même dans les cas les plus simples, que lorsque les coeflicients sont donnés en nombre. On pourrait multiplier beaucoup ces formules et en déduire la valeur finie de plusieurs intégrales définies aux différences et aux différentielles, assez difficiles à obtenir par d’autres voies; mais ce que nous avons dit ici suffit pour montrer l'esprit de notre mé- thode, et nous allons passer à des questions d’un ordre plus élevé. — Cependant, avant de traiter des congruences du second degré, nous indiquerons quelques propriétés élémentaires, déjà connues, des résidus quadratiques, que nous pourrions déduire de nos for- mules, mais dont, pour abréger, nous omettons la démonstration. 38 THÉORIE DES NOMBRES. 1° Si » est un nombre premier, en élevant successivement au carré tous les nombres 1,0 8,190) (EE), ne nt .,. . Ar » et divisant par ?, On aura —— résidus quadratiques différents, ré- : pétés chacun deux fois, et il restera, dans la série des nombres na- n—1 : te turels, 2 nombres qui seront non-résidus. ) 2° Si l'on fait »n—2p+1, et que l'on représente par Lot, Us NS RO, les p résidus, et par Lise dose ion is les p non-résidus, on aura 2au7 2bux 2y7 E cos ——+XEcos—— = XZ"TCos —— n n n , 92x27 2auT E cos — —9 E cos — n n en intégrant entre les limites PEN ENT E OISE AC AN MC En multipliant un résidu quelconque a, par tous les autres, on aura la série a, 4j, @, Gyy @, Ag mu... qui donnera de nouveau tous les résidus disposés dans un autre ordre, et par conséquent Fon aura 2arx?7 ArauT 2auT. > cos ——149>1C0S COS n ñn n THÉORIE DES NOMBRES. 39 En multipliant un résidu quelconque &, par tousles non-résidus D babe, ES à PP) on aura de nouveau tous les non-résidus, d'où l'on déduira 2ar bur bu Ds ns re n n En multipliant le non-résidu b, par tous les autres, on aura tous les résidus, ce qui donnera br bu T # L7 —27/C0S 9 es n Z cos 2 En multipliant enfin de non-résidu b, par tous les résidus , on aura tous les non-résidus ; ce qui fournira l'équation br aux buT COS D, n Z cos2 Si on élève au carré tous les nombres 1,2,8,...(n—1), et qu'on les multiplie par un résidu quelconque 4,, on aura (en rejetant les multiples de » ) la série des résidus répétée deux fois, et par suite r LT 2au7x DicOp DT RDS) n et si lon multiplie ces 7 — 1 carrés par un non- “résidu quelconque b,, on aura la série des non-résidus DOM BAD cie 0 P 40 THÉORIE DES NOMBRES. répétée deux fois, d'où l'on tirera CET Ne dbur E cdS ———"%;c0s n ñ Dans toutes ces équations il faut intégrer entre les limites FN, u—= p + ER GE TASSE et il est clair qu'elles subsisteraient de même si fon changeait les cosinus en Sinus. Si l'on représente par N le nombre des solutions de lacongruence re —= 0 | mod. » | (et ce nombre par ce que nous avons dit ailleurs ne peut qu'être zéro ou deux), # étant toujours un nombre premier, on aura l'équation = 22e a? +c x?+c z nN=E cos 0 | }r +2 cos 2 (= )x +2 cos 4( ) n n n n — 1 : z2+ ce . + Zcos2(——|(2 +c) 7, — ZE cos 27. }T n n en intégrant entre les limites T0, TN, Y7Y—=0, 7 — n, ou bien celle-ci à CyT x + oc nN—=n + Ecos 27 + E cos2y (=) T n n où il faut intégrer entre les limites Y= 1, Y=R, LL = 1, LT = AN. En développant les cosinus par les formules connues, on aura Æ CyT nN—=n + 2>cos2 7 n 2yx? CyT ; + ( cos #= cos 2 ein n n THÉORIE DES NOMBRES. 41 5 " l À présent, il est clair, par ce que nous avons dit, que dans la valeur de cette intégrale on peut mettre au lieu de fa série représentée par y, les deux autres Gites Vas, ua bipbs nes et l’on aura après la substitution buz?27r ChuT CüuuT nIN-—= E (cos 2a,r COS 2 — + cos 2 n Quz?7 Dbuz?2T . cu SIT — sin 2 où 11 faudra intégrer entre les limites CNE MENT U— I, u—pPp +1, y — En observant que Y=N 2 YA ZE cos— — — 1, n —;! et en séparant les intégrales on obtiendra CauT Aux?7 ) n N—3%{cos 2 ENS Z cos 2 Chut : 2 > (cos2 :Ecos28, 7) ñn è CuuT à aux27 — E(sin2 TE sin 2 ) Pr : LI ChuT bux?27 . Zsin 2 )+n—s, + (sin 2 n ou il faudra intégrer d'abord entre les limites x — 1, x — n, et puis entre les limites u — 1, # — p + 1. 5 6 2, 49 THÉORIE DES NOMBRES. A présent comme l'on a en général les équations Aux? au7 Z cos 2 = 2 Z coSs2 —, n n buxz?7 bux È cos 2 —9))CO0S2 à n n dans le premier membre desquelles il faut intégrer entre les limites Ti— tin: tandis que dans le second membre il faut intégrer entre les limites = À NE u— p + I, et que ces intégrales sont définies, elles deviendront égales à des constantes : la variable » disparaitra, et on pourra les transporter en dehors du premier Z On aura alors, en répétant le même raison- nement pour les smus, AuT 7 Au (15) Nn—2Zcos2—. E cos 2 n n chu bu HD COS 2 M GOSIZ 112 n . Au °. Cu OS D SIN — n ñn USD 7: À Caux SA SI = 1 72 I, n n et cette équation devra exister en même temps que les suivantes au bux du7T (6) E cos 2 CE CS RE cos — 1, n n n : Au7 ; bur 4-5 Qu Esn2—— + Esin2- —Z sin — 0, n n n en intégrant entre les limites U—1, U—PpPp+A, y —=I1, y An. THÉORIE DES NOMBRES. 43 A présent SUPpOSONs C— E 1, 2— 4 m + i, et nous aurons deux solutiows pour chacune des deux congruences L'+1—0, & —1—0, { mod. »] N sera égal à 2 , et l'équation (15) se transformer en celle-ci 2 by 2 M7)e2r = 2 (cos 2 ©) + 2 (5 cos? ©) n n Ù a \2 . bu \2 Æ[ (5 sin 2 ©) + 2(5sn2 27) Jeu, n n d'où l'on tire, à cause du double signe, ; uT \ 2 3 bu \? (= sin) + (s sin 22) ==p0}, n n uZ \ ? bu n+1=2(Scs2 7) + 2 (cos éd n n Le et puisque l'on a (= cos 2 bu 2 7 2 =) = (5 c0s2 7 +1) ’ n n l'équation (17) deviendra % 2 n+i=4(Scos2 7) +4E cos9 “7 + 9 n n 112 2 pee Z cos 2 +1) G n On tirera des équations précédentes GuT (18) ZE cos2 Hs LE EL y, n but A Ecos2—— +++; Va, «+ Au UULT Z sn— = 0, Z sm—— —= 0. ñn n Lorsque » est de la forme 4 m + 3, si lon fait c = + 1, la 6* 44 THÉORIE DES NOMBRES. congruence &° — 1 — 0 [mod.»]a deux solutions; mais l'autre x? + 1 — 0 | mod. » | n'est pas résoluble, alors on aura les deux équations QauT \? bu \? o—n—1+2(>c0"") + 2(2 cos2 2) n n È auT \? à bu \? —2 (5 sin2 2) — 2{5 sin) + L n n aux \? bu \ 2 nt n—1+2(5c0s2%) + 2{Sc02 2) n n . 247, \ ? : dur \ 2 + 2( sin 2) + 2(= sin 2) ? n n d'ou l'on déduira en les combinant avec les deux équations (16) À au L9aiT RE SP SCO OS ne — 5 7 Ô n 2? n L bur 1 7, dur PRIT E co52———;; Esn— TE: Vn: en intégrant partout entre les limites TSI CRUE D He 1. Ces sommations remarquables ont été données pour la première fois par M. Gauss dans ses Recherches arithmétiques , où il les a déduites de sa théorie de la division du cercle, et cet illustre auteur les a trouvéessi intéressantes, qu'il a repris ce sujet dans un mémoire particulier pour les démontrer de nouveau. Mais les deux démons- trations que M. Gauss à données ( les seules qui soient connues jusqu'à présent) sont très-longues et sont la conséquence des arti- fices particuliers dont cet iflustre auteur s'est servi, sans dériver d’une méthode directe ; au lieu que la manière dont nous y sommes parvenu est directe et très-générale , puisqu'elle peut conduire à beaucoup d’autres formules semblables. Cependant comme ces ex- pressions renferment tout ce qu'on sait sur les congruences du second degré; nous allons reprendre, pour la simplifier, la dé- monstration que nous venons d'exposer. THÉORIE DES NOMBRES. 45 Lorsque » est un nombre premier de la forme 4m» + 1, les deux congruences L'+d—O0, 10, [mod. »] seront résolubles et auront chacune deux solutions: alors on obtiendra l'équation “ à ( 07 ue nl 2 QT 1 2n—E| (cos + y sin ) n nm 27 RE RE fl + (cos + sin — n n « AT EG ES Es + (cos + 7 sin) SReREe n n 2 (n—1) n 5 n— zx? + + (cos F+ ET sn + ) ‘| 9, 07 EM 07 Er MOT 27) = [cos + = sin) & ( cos + Zi sm ) nm n n n 27 ne 97 x?7 be Abe 27 + (cos + vi sin) >x (cos 2— + y sn?) ee n n n tT LORD tT ta? FA ENT tx? + (cos 2—+ y; sim 7) >> (cos 2— +25 sin9 —) # ñn n n n—1 ue n—1 + (cos2 7 +75 sin 2 D zx 5 ; n n n LU —1 à ; = x Z [cos2 (a Eu) + = sin n) (ONE 1x) dans laquelle if faudra intégrer entre les limites & — 0, x — n. A présent, si l'on effectue les multiplications indiquées et que l'on observe que les quantités imaginaires doivent se détruire entre elles, on trouvera Ox?7 07 2 nr — cos — E cos n 27 Hi + COS— X COS 2 — +, . n n tr? (a—1) n—1 T E cos 2 ( ) ÊT + COS2 — X cos 2 n .…. + COS 2 * 2, n n an RL, ST à “U0z7. . 27 : z?7 Te SIN — >» SIN — + SIn — X sin 2 — . [1 n . L d € tT : tr?T ë n—1) e n—1 F SN2—E sin 2 ——... + sin 2 D > sin 2 ar ) n n 46 THÉORIE DES NOMBRES. et par conséquent cette équation se décomposera dans les deux autres 07 Ox?7 PRES x? 2n —(COS— À COS ——.... + COS 2 — E COS 2 —— .. ñn n n n O7: . Ox?7 : {7 : tar 0 — sn— ÏX sim … + SIn2 — ZX sin 2 é n n n 6 D If faut observer ici qu’en laissant de côté le premier terme de chaque série, # doit prendre toutes les valeurs dont la moitié seront des résidus, et l'autre moitié des non-résidus : si lon suppose { — a, — à un résidu quelconque, on aura (7 ta? ar ax? COS 2 — EE COS 2 —— — cos 2 — X cos2 n n n arx 27 = COS2 — EX COS 2 —; ñn ñn et l'on aura de même, si {est un non-résidu b,, b,7 byx7 b;7 bu COS2 — X COS 2 -— — COS 2 { + 2 XY cos 2) n LU n en intégrant entre les limites L'=0y L'=NMNAU MU om A poid on voit donc que [a valeur de {7 tir COS? — ZX, COS2 —— n n . À , . ne saurait être que lune de celles-ci t7 au b cos2 | 1 + 2 E cos 2 7); (: +25 cos 2 ©) cos2 T; n n et qu'elle dépendra du nombre f; à présent comme parmi les nombres THÉORIE DES NOMBRES. 47 À d. . n— 1 « As è reprèsentes paré, il Y ena Fran qui sont résidus et aufant qui ne le sont pas, on pourra les réunir en deux groupes, et on obtiendra Au aiÿT a27 ap7 on=n+(1+25c082 COS 2 — +COS2 — ,.. + cos2 n n n n bu b1i7 bpT = (: + 2X cos 2 7) (cos2 2... + cos2 ©) n 7 Au . daiT . a27 e ap 0 — 2 Z COS 2 — | sim 2— + sin2—— .. + sin 2 —2— n n n n à bu a aiT ad au + 22 sin 2—— | sm2——.... + sin 2 + etc. |, n n n et comme on à aiT a27T a37 Aux COS 2 — + COS 2 — + COS2 — .…. + etc. — ZE cos 2 —, n n n n b;7 " bor b37 br COS 2 — + COS 2 — + COS2 — .. + etc. — Z cos2 —, nr n n Le) on trouvera Au Au 2n =n+(scos2 2) (14 2X cos 2 ) n ñn +(s sin 2 ©) (1 +25sin2 2) n x au \2 3 bu \2 0—2(Esn2 #2) + 2 (5 sin 2 ) n n et si pour abréger on pose au buT E cos2 — —C, Ecos2— — ÇC n n bu . uT . E sin 27 —S, ZX sin 2 n nr on obtiendra 2n—n+C(2C+1)+cC, (2 C, +1). 0— 25 + 2 S?: 48 THÉORIE DES NOMBRES. et puisque l'on a aussi . S'IL C—— AE on déduira de ces quatre équations CNE y CRE — 10 1010! Si x était de la forme 4m + 3, on aurait les deux équations 2n—=(1+2C)C+(1+20,)C,+2S+92S +7, 0—(1+2C)C+(1+20€C,)C,—2S—2S,, qui étant combinées avec les deux autres CCG ANSE S;:— 0} donneraient = 1 * ru —h Li C TT 29 C, TT 2 Sarl, Van comme on l'avait déjà trouvé. On voit de cette manière quétant proposée une congruence quelconque x +e—0, [ mod. »] le nombre » de ses solutions sera donné par la formule y u bu ; | (1+2C)Ec0s2 nt +(1+2C,)E cos 2 PR ‘ n (19) N——\ Pas n a 5 u : bu | — 9192 sm 2——25$,> sm : n n et comme S—S$,— 0 (lorsque » est un nombre premier de la forme 4 m +- 1), on aura dans ce cas N ——<({(14+20)E cos 2 = + (1+2C,) E cos 2 +) n THÉORIE DES NOMBRES. 49 et la valeur de N restera la même quand on changera-+e en—e, parce que dans cette expression, il n’y a que des cosimus : donc si la congruence É +e—o [mod. » |] est résoluble, celle-ci æ — e — 0 [mod, »] le sera de même; et si la congruence + e — 0 [mod. »] n'est pas résoluble, l'autre, 2 — e — 0 [mod. »] ne le sera pas non plus. On voit que si x était de la forme 4m + 3, la formule précé- dente(19)se réduirait à CluT e ü - .. €bu nN—— (2s ZE sin +92$,ZXsin =) + n LL ? parce que dans ce cas on aurait 1+2C—0; 1+2C,—=0; et on tirerait de Îà, si e était un résidu, n— (2S +987) —nN—n—î n—î1n—0; et par suite N — 0. En supposant toujours que e est un résidu, et en changeant dans nos formules + e en — e, on aurait nN—= in + in + n — 9n, N 12% On déduit de 1à que:si la congruence + e — 9 [mod.4m+3] 7 50 THÉORIE DES NOMBRES. est résoluble, l'autre, a — e — 0 [mod.4m+3 |, ne le sera pas, e/ vice versa. Si lon voulait connaitre le nombre des racines de la con- gruence x + Ag + Bo [mod. » |, r étant au nombre premier, et A et B étant deux nombres non divisibles par #, on aurait, en indiquant par N le nombre de ces solutions, (20 f dr LE . 27 \x?+Ay2+B 1 + (cos + sin) 4 n n 1 2(n—1) . 2(n—1 x2+-Ay?+B me + (cos © F+y 15m 2) “ n n et la valeur de N dépendra des valeurs de A et de B. A présent, l'on peut supposer 1° que À et B sont deux résidus ; 2° qu'ils sont tous les deux non résidus; 3° que A est résidu et B non résidu; 4° que À est non résidu, et B résidu : alors, en substituant dans l'équation (20) les valeurs trouvées précédemment, on aura les quatre équations qui correspondront aux quatre Cas que nous avons considérés : Nr + (ip) (EVE) City) + (1-15) 1 VS 7e) = r En Nr + (VS) (VS) (AFS) ‘ (VS) (Eye) CPS) = Er THÉORIE DES NOMBRES. nN=r + (Eye) (Eyes) CE) (Ve) (FR) (ie) = rh nN=n+ (Lys) (F5) (— _ +) VS) +R) = En, On voit ici que N ne peut avoir que deux valeurs N=n+#1, N—= 7—1: et que par conséquent la congruence 51 2° + Aÿ° + B 0 [mod.»] est toujours résoluble, lorsque » est un nombre premier. Lagrange, qui a démontré le premier ce théorème, n'a pas cependant déter- miné le nombre des solutions comme nous l'avons fait. Cette proposition sert de base à la décomposition d’un nombre quel- conque en quatre carrés, et l'on pourrait en déduire d’autres conséquences que nous sommes forcé de laisser de côté. Nous avons vu que lorsque TES 2p+1 est un nombre pre- mier de [a forme 4m+1,0on a: 27 RAT \ & S (cos +75 sin =) N n n Au uT FAULORT = X cos Eu + Zi E sin 2 = Éiy.. n 27 UE E (cos +7 sin T) é n n buT ñ bu ir 68) — XZcos 2—+y 12 sin 2 = En, ca intégrant entre les limites UE MAY 0 = 2m+l: il résulte de à que si £ est un nombre entier quelconque plus petit que x, on aura toujours LA 59 THÉORIE DES NOMBRES. y =; Sin 2 — (1 V4 L n —— — n UT {7 \a D. € > (cos 2 ) de LL | è 27 : 227 \ bu À >> (cos 2—+y sin 22) ses n n Si l'on fait LT Le ro #2 COS 2—+y 1snm2—— 7 n n , r exprimant a racine 27 EP EE L'—= COS — + 7/7 SIN — 1/1 n de l'équation D'OR RM SE EN 0! on aura X— a TR Hs. HELP TEE n — 0, et cette équation, qui sera satisfaite par la valeur x — 7, le sera aussi par toutes les valeurs rGi—1Y, m9, 12,178, 174 3 (ete se qui se réduiront à la moitié, en négligeant les racines égales; et puisque ces mêmes racines résolvent l'équation X— 0, elles seront communes aux deux équations = 0, Mio: Les autres racines qui résolvent l'équation À — 0, outre celles . q . que nous avons considérées, sont de [a forme PO TES pes TT T6r, et ne peuvent pas résoudre équation X,— 0; car en y substituant l'une quelconque d'entre elles, comme l'on a en général ré8u — 74, on trouvera rt pbs ++ Tin —=0, équation absurde, puisque lon a déjà eu rh re. ++ EE Te 50; THÉORIE DES NOMBRES. 53 donc les deux équations X—0, X — 0, auront seulement les p racines communes, 0114 ELA 114 5 * SRE D SONO TE et en cherchant le plus grand diviseur commun A entre X . : , À n—1 : 4 et X, on aura une équation du degré p = —— qui contiendra toutes Îles racines de la forme x = r@&, 4, étant un résidu quel- à À mens c conque, tandis que l'équation —= = À; — 0, comprendra toutes les racines de la forme x — 744, b, étant un non résidu quelconque. ON r r DE g 5 æn—1 Cette manière d'opérer la décomposition de l'équation —— —0, n— est directe et beaucoup plus simple que celle proposée par M.Gauss : on verra dans la suite qu’elle peut s'étendre à tous les cas en général. Il faut observer ici que lorsque » — 4 m + 1, les coefficients des diverses puissances de x dans l'équation À — 0, seront fonctions en général de—+++7, ; tandis que les coefficients des mêmes puissances dans l'équation A; — 0, seront des fonctions semblables de—+#:7,. Cela est évident, car si l'on fait A—=x+A,xr-i+A,x—2,.... = AÀ,+0, A, =x+B,x1+pB,ar-2,..., =B, +0, et que lon appelle P, la somme des puissances 7” des racines de l'équation À = 0 , et P', Ia somme des puissances 7” des racines de l'équation A, — 0, on aura toujours, lorsque r n’est pas un multiple de x, etil n'y aura par conséquent entre P, et P', d'autre différence que dans le signe de x ; toutes les autres choses étant les mêmes : donc si l'on suppose A = X, + y 54 THÉORIE DES NOMBRES. on aura IN = ENE VŸ nn) et par conséquent, X=AA =X)—nY. On trouvera de la même manière que, si # est de la forme 4m +- 3, on obtient X=X)" +nY et on aura en général, lorsque » est un nombre premier, zn—1 IX 7e z—1 ; X, et Y, étant des fonctions rationnelles de x. 2 2 En égalant les coeflicients des mêmes puissances de x dans l'é- quation on trouvera aisément que les coefficients numériques des deux fac- teurs X, + Y, Vin, X—Y y; ne peuvent admettre d'autre dénominateur que le nombre 2, d’où lon déduira l'équation xn—1 2 2 NE ra 10: z—1 & qui aura toujours lieu [lorsque » est un nombre premier, et dans laquelle X, et Y, seront des polynomes entiers en +, à coefficients entiers. Ce théorème a été découvert par M. Gauss, qui F'a dé- duit de sa théorie des équations à deux termes; il sert à prou- THÉORIE DES NOMBRES. 55 »r . æxn—1 e 3 F ver que l'équation ——— o peut toujours se décomposer en deux a—1 , n—1 ù autres du degré — lorsque » est au nombre premier. L Pour appliquer ce théorème à la théorie des congruences, nous observerons que, d'après ce que nous avons démontré, si» est un nombre premier de la forme ar + 1, la congruence Æ — 1 — 0 [mod. »] aura toujours a solutions; et comme si a est un nombre premier impair, On a aussi 4(x—1) = (æ—1) (Z+aU?), il s'ensuit que + a est résidu quadratique de ar — 1, où il faut prendre le signe +, si a est de la forme 4 m+1 , et le signe —, si a est de la forme 4m+3. Nous avons trouvé TN x? Zr —=—1+y,x lorsque rn—4m+i, ii z=n x? ZT =—1+7y lorsquen= 4 m +3; | on pourrait déterminer le signe du radical, et l’on trouverait que lon doit toujours prendre le signe positif, comme M. Gauss l'a fait dans les mémoires de Gottingue ; mais cette démonstration nous écarterait trop de notre but, et nous la supprimerons. Puisqu’on a LL Y£Ein Z=41Xx a Si l'on rejette les multiples de »#, on trouvera Y=—=2yx —2 Ve [ mod. »] z—1 et puisque 7 — 2p+ 1, on aura 6 THÉORIE DES NOMBRES. — 2pi4 — 1 —1 1 ] — 9 Ve —2V (12) (1-7) Fa. x—1 Fa) z?2p*1 —— ) 1 —1 1 —2 x? CAURES (1— } [ mod. p | z ) æ2p+t1 Mais comme on n'a besoin que des puissances positives de x, et plus petites que p, on pourra négliger le facteur 1 Lu d— —— |: ( æ2pt1 ) ) et on obtiendra ; ice TNT 3 2 (21) Y=2a(1-—) 9 D + prie TE = zx Ge 4 9329 DD Care En TE —+etc., [mod.p| où il faudra rétablir au numérateur des multiples de », qui rendent entiers tous les coeflicients. On déduira aisément de là la valeur de Z, puisque lon a RL} UN? — "4 X: A présent il faut observer que dans les deux facteurs (Y HOME AE il y en a toujours un qui a pour racines tous Îles termes de Îa forme Au : au® z= C0S2 — +}y3 Sin 2 n TER tandis que dans l'autre on a bu : by TZ = COS 2 “—+ y Sin 2 — n LES] et que l'on aura toujours THÉORIE DES NOMBRES. , 57 auT EU auT 1 >> (cos » Er y 1 sin 2 = + — VE » , 1 bu 5 bu cn 2 (cos 2—+ 7 sin 2) = —— FA 4 È n 2 2 VÆn ; où il faudra prendre le signe supérieur, si n — 4 m + 1, et l'infé- rieur, Sin — 4 m + 3. La méthode que nous avons exposée pour trouver Îes coeffi- cients numériques de l'équation +VY+EriZye = 0, est indépendante de toute considération sur le nombre », en tant qu'il est ou n’est pas diviseur de À + a; si lon ordonne donc l'é- quation D EE Et par les puissances descendantes de +, on pourra, par les formules connues, trouver {a somme des puissances de ses racines, les coefli- cients étant donnés : alors il faudra observer que si l'on appelle P, la somme des puissances a"* des racines de cette équation, on aura en général P, — P,, si a est un résidu quadratique de #, et P,=—= 1 — P,, si a est non résidu. On pourra donc reconnaître di- rectement de cette manière si a est ou n’est pas résidu de ». L'équation (10) dont nous sommes partis, qui établit un rap- port si remarquable entre les intégrales aux différences des fonc- tions circulaires et le nombre des solutions d’une congruence, peut donner directement la résolution des équations à deux termes, que M. Gauss a trouvée le premier, en partant de considérations particulières, et en s'appuyant sur la connaissance des racines primitives. Lagrange, qui depuis a repris cette matière, en partant des formules générales qu'il avait données précédemment, suppose aussi que lon connaisse ces racines primitives. Nous avons sim- plifié cette résolution en la rendant indépendante de fa recherche de ces racines, et en la déduisant d’une seule formule. Nous allons ici énoncer quelques propositions qui nous seront 5. à SEP THÉORIE DES NOMBRES. nécessaires à cet effet; mais nous en supprimerons les démons- trations, parce qu'elles nous écarteraient trop de notre but, et que d'ailleurs il est facile d'y suppléer. Supposons que ax + 1 soit un nombre premier quelconque, et que lon élève successivement à la puissance a tous les nombres d, 19,844. sttrral Gy Si lon divise toutes ces puissances par an + 1, on obtiendra » ré- sidus divers entre eux, et plus petits que an + 1, qui seront cha- cun répétés a fois. Si l'on appelle AN AE PAR are A,, les résidus trouvés de cette manière, en multipliant fun quel- conque À, d'entre eux, par la suite des puissances a” HR RS TUE Se (an), on obtiendra de nouveau Ia série des nombres À;, À;, A,, sshe Sie Je situés dans un ordre quelconque, et répétés chacun à fois : l'on aura par conséquent TAT 2 COS2 —— — 1 +42 cos 2 an+-1 an, où, dans le premier membre, il faut intégrer entre les limites DOTE AR EEN,, et dans le second, entre Îes limites pe = 2 1 on aura semblablement, en intégrant entre les mêmes limites, = 1+4aÏXcos 2 ApTaT E cos 2 an+-1 an+1 : THÉORIE" DES NOMBRES. 59 Si à présent on ôte de Ja série 1,92, 08 RS 29) an, les 7 nombres A Len fase « Sete à À,, et que lon prenne un nombre quelconque B; parmi les (a—1)n, nombres qui restent, on aura, en multipliant B, par AE Te une série de # nombres divers entre eux, et tous différents des nombres SAUT AP HA qe eo Age qui se répéteront a fois. Si on appelle , Bs PB}, 92 vi B ps ces nombres, en multipliant l'un quelconque B, d'entre eux, par toutes les puissances 4"* AA LEE RE (na), on aura de nouveau les nombres BB bien. B,, disposés dans un ordre quelconque, et répétés chacun a fois, de manière que lon aura ByxaT Lex à B,raT > (cos 2 + sn2 À ) an 2-1 an+1 ns ee Z (cos past +y 1 sn Hz ) an+-1 an+1 ] en intégrant entre Îes limites 120, L'—arre, 4, LR EE A. On pourrait de même obtenir les séries HU SRE de AE TAINNEE E DD Dysss i "vt) d D) n? sos... .e R,, SP RCE TEA R n? 8* 60 THÉORIE DES NOMBRES. toutes composées de » termes divers. Le nombre de toutes les sé- ries que nous avons considérées serait a; de manière qu’en réu- nissant tous Îles termes qu'elles contiennent, et en Îles rangeant d'après leur ordre de grandeur, on aurait la série des nombres na- turels AE NEO MS AS NES an. H serait aisé de démontrer que, parmi les a séries que nous avons trouvées, il en existe un nombre ? ( qui est égal au nombre des entiers plus petits que a, et qui n'ont pas de commun diviseur avec a ) de la forme DA AO ele de E,, F',RPi Reel F,; et telles que si lon multiplie un terme quelconque E, de lune d'entre elles, par tous les termes de la même série (23) AP AEETRAS lEs ate AE on aura de nouveau Îa série EUEs, tre (De Si l'on multiplie la suite (C 3) par E”, ou aura une autre des séries trouvées, et à chaque puissance de E, on aura une nouvelle série ; mais cela est étranger à notre but. A présent nous murar pour ent que lon fasse . = E D Brx æa Z (cos 2 = 2 a = 1 sin 2 ere ) uT — | ñn + y sin 2 =) 1+nxB; 0 Z (cos 2 — 2 an— us else e7eln eo 1e,oue se ele felatetolienshele ere ete nlahañele sie" e /s 0: » Je e 1e et en général pT Ca + y sin nu & (cos 2 © 2 ane )=i+rR; — 1+nE (cos 2 THÉORIE DES NOMBRES. 61 en intégrant entre les limites Z=0, x —=an+i, U—= 1, U—=n+ I. Si lon avait à résoudre la congruence 2° 110 [mod. an +1 |, on sait, d’après ce que nous avons dit, que le nombre N, de ses so- lutions sera exprimé par la formule 07 EAU 07 \za+1 do V1 sin Ma) CAS | (an+1)N,= + (cos 7) PAPE anx a +1 + E (cos 2 + de à an+-1 =n+i+ 27 TAEURS T T COS — T15Mm2 — ca =— : ( Lhrare + = )E(c COS2 — += 1sMm2 2 )+ete., où il faut mtégrer entre les limites L=0, 2=:0n +1. En distribuant par groupes les multiples de Farc Leon ad die comme nous l'avons indiqué, et en représentant ces groupes par des lettres, comme nous l'avons déjà fait, on aura (an+1)N,—=1+an+A(1+nA) + B(1+2B)....... +R(1+7R). De même le nombre N, des solutions de la congruence A H+Y + 1 — O0 [mod. an + 1] 62 THÉORIE DES NOMBRES. serait donné par l'équation 07 Re 07 UE ELE ES —")># + 7/1 Sin (1 +an)N,— > | cos AT =) Ep RE KE EE EU fo Z | cos + 7/3 sin + etc. a an+-1 V4 £ an+-1 L —(an+1) + A(i+nA) +B(1+2B).:... + R(1+2R}, en intégrant entre les limites LV = NO JR et on pourrait avoir de même le nombre des solutions des con- gruences a +HiY + 3° + 1 —O0 k ORNE [mod. an +1] LAIT nt ne Ut OM ID 0 DNS, COLOR LEE OS I ACLC: jusqu’à la congruence à a — 1 inconaues, qui donnerait (1+an)N.:=(1+an) "+A(1+rA)" +B(1+2B)" 0.2... +R + pe A4,-1 LE TT lx Ar. — | — Le 2 tx_1 THÉORIE DES NOMBRES. 69 (en intégrant entre les limites t=1,t—=mn+#1, z=Â, z=t, tx —Uu +1, tu —= tu, et en faisant (6 —t}), dans laquelle P; exprime en général la somme des puis- sances r”** des racines d’une équation donnée, et Av représente le coefficient de la puissance v"*° : du développement connu du polynome. On obtiendra de même dans lequation (1+Ha x +asxt.... + anxt +etc.)" = 1 + A x + Aox?..,. + Anxu + etc. S Log ((ur=nuss) ——— og ( (nav, 1) Mn, 1 Ê A,=ma,+m>Eane ï Ke Te e étant la base des logarithmes hyperboliques, et les intégrations étant effectuées entre Îes limites v I [=] $ e ] & £ ] 5 8 I : u Up =UuU—p+H 1, np = Np_1. La somme des puissances »”* des racines de l'équation AN — qi rt la an? .,,,.. — an —=0, est donnée par la formule \ E log a P, = ma, + E(m—m ame ” mem m où il faut intégrer entre les limites 3=0,z2=u; m =u+1—p, Mp = Mp_1; et faire mo — m, comme auparavant. Il y a deux ans que nous avons trouve ces formules, dont nous avons donne une application dans un mémoire présente à l'Académie royale des sciences de Paris, en janvier 1824, en cherchant Ja somme des diviseurs d’un nombre quel- conque. Elles ont l'avantage de n’exiger aucune opération analytique pour être appliquées, car il suffit d’y substituer les coefficients connus jy 2, A3 sr. An, etc. pour en avoir la valeur pour chaque cas particulier; de plus, lorsque le coefficient général an est une fonction donnée de #, on peut les transformer en intégrales définies et en obtenir [a valeur directement en nombres; ce qui est d’un grand avantage dans la théorie des nombres. M. Cauchy nous a montre un mémoire inédit dans lequel il expose des formules propres à exprimer les 70 THÉORIE DES NOMBRES. fonctions symétriques; mais ses formules sont tout à fait différentes des nôtres, et d’ailleurs elles exigent des différentiations successives, tandis que nos expres- sions ne demandent aucune opération préliminaire. NOTE II. Soit proposé, par exemple, de résoudre en nombres entiers et positifs l’equation 3x + 1 = 4y, si on la compare avec l'autre ax + b —= cy, qui donne ! ; y7 sin (2 b—a) — c—1 LYC Mie (a) TZ = +— EE 2 2 y=1 . ay sin Le on aura a — 3, b—1, c — 4, et par conséquent T MEET .. 37 — SID — SIDU— SIN — 3 1 4 4 a — 2 2 37 67 L 7 SIA — SIN — SIN — n 4 3 1 3 1 = — + —(—i +) = — — ——1 2 2 2 2 et la valeur + — 1 résoudra l'équation proposée, comme il est facile de voir. IL est clair que lon aura aussi e 1:356.,, °92by7 ay a— + — ZE sin - cot 2 2 y—1 € c en développant le second membre de l'équation (a). Ces formules pourraient être genéralisées, et il serait aïse de les étendre aux degrés supérieurs des congruences; mais on aurait alors des expressions plus com- pliquées. à En général, les valeurs de x de l'équation (4) peuvent être calculées au moyen des tables des sinus, car de cette manière on aura une valeur très-approchée de / THÉORIE DES NOMBRES. 71 +, et comme + doit être un nombre entier, on prendra pour sa valeur exacte le nombre entier le plus approche. NOTE IV. Soit proposée l'équation &" — 1 — 0, et soit s une racine primitive du nombre premier n: si l'on exprime par r1, 79, .... rn_1, les n — 1 racines de l'équation ALES | — 0, il est clair qu’on aura x—1 19 = M$, T3 —79$, rh — T3, .,.. etc. ] maintenant si lon suppose que Péquation TH lp, ar — 0, ait lesm racines r1, r2, .. .. telles qu’en exprimant par ® (y) une fonction rationnelle quel- conque de 7, on ait toujours r2 — pri) 73 — 9 (r5)..,. etc., on pourra encore résoudre complétement léquation 2% + ai m1 ,,,.... + am — 0, ( lorsqu'elle n’a pas de facteurs rationnels) en employant la même méthode dont Lagrange s’est servi dans les notes de la 2° édition de la Résolution des équations numériques, pour résoudre léquation à deux termes. ADDITION. Dans un mémoire présenté précédemment à Académie, nous avons énoncé ce théorème : * « Qu'un nombre quelconque positif est la somme de quatre cubes rationnels et « positifs. » En voici Ia démonstration. Soit M un nombre positif, et g un nombre rationnel, on aura toujours l'identité r; M + 48g \s M— 4895 \s M : M (Bic “= EYE } + (: 249 -) -( 4 ÿ 9 (comme il est facile de s’en assurer en développant) qui prouve qu’un nombre quelconque est Ia somme de quatre cubes rationnels; mais d’après l'énoncé du théorème, ces cubes doivent être positifs, et ils ne le sont pas dans l'équation (b): voyons comment on peut les réduire tels. Puisque q est un nombre quelconque, nous supposerons q positif, et M > 48g3, ce qui rendra positif les deux premiers cubes du second membre de léquation (4), tandis que Îles deux autres seront toujours négatifs. À présent il faut observer que dans l'identité THÉORIE DES NOMBRES. as — 2b5 \S 2a° — b3 ; (ec) ar (EE + 45 2) a +05 a+ b5 si Pon a as > 2 bs, on aura encore 24 > b5, et par conséquent le second membre sera composé de deux cubes positifs dont Ja somme sera égale à la différence des deux cubes donnés 4° et 45. Si nous faisons É + 48q5 \S M \: S—|———|\), L— ; ne Je tte) l'équation (c) se transformera en celle-ci M +48: | M | ( 24 TT (up Mæ+48p | _,f M \'\5: En (- + 48q° ! 24q2 24q° ) rs 24° M +- 48q° \° M D PA me) 24q° 24q° = M + 48q° \° ( M ) (- 249 Ke (x 24q° ) —- ——— — 249 ). le + 4845 Ÿ+ + M | 24q° 24q° -} t CS) SR (M + 48q5 Ÿ — 2 M° ) 24q° (M+ 489) + M' M 2 (M + 48q°) — M° + — | —ÛÛ—_———— (d) 24q° (M 489) + M Il est clair que si l’on suppose (M + 48q%)° > 2 M:, les deux cubes du second membre seront positifs : nous supposerons pour le moment cette condition remplie, et nous considérerons de nouveau l'identité (c) en prenant o= (50e) | Or ARE) FRERE 24q° (M +48) + M tu 9 en substituant ces valeurs dans l'identité (c) nous aurons ee | (M + 4893) — 2 M3 \3 M \3 24g° (M + 4845) + MS ] FL 249 ] TA THÉORIE DES NOMBRES. 73 si = + 1] CE) 24q° M A8g EME s Re ee pe M } 3 24q? (M+-4895)3+M3 24q? M 4875\3/(M+ 4895)—2M3\5 M ÊS) nn) + | 2442 ) M +-48q5\3 / (M+-4843)5—2M5\3 M \3\ 53 y Cr Gama) Gr)" 24q2 M + 48g3\3 / (M+-48g5)3—2M5\3 M \3 ( 24q° ven) ) le premier terme du second membre de cette équation peut s'écrire encore de la manière suivante (es | ( (M+ 485% —2M3 \3 24q? (M + 48953 + M3 (4843-EMD)3 ( (4893 + M) — 2M3)3 — 9MB ( (48q5 + M3)5+-M3) \3 (48q3-M) ( (4893 + M} — 2M3)5 — 2M8 ( (4895 + M5) M5) et l'on voit que si ce premier cube est positif, le second le sera encore (dans l’hy- pothèse que (M + 4893 }3 > 2 M3); à present pour le rendre positif, il faut et il suffit que l'on ait F (e) (4895 MS} ( (489 + M} — 2 M$) > 2 M$) (4895 +3 + M5 )3 et cette condition renferme lautre que nous avons supposée (48g3+M)3 > 2 M5; ainsi Jorsque l'inégalité (e) sera satisfaite, celle-ci (4895 + M }? > 9 M3 le sera aussi si nous faisons 4893 — z, l'imégalité (e) se transformera dans celle-ci (z+M)((2+M)—3M3)—M((3+M)+M3)8/7>0 laquelle étant développée donne (z+M) (28+ 322M + 3:M2 — M3) — M (25 + 3:°M + 3:M°+ 2M3) $/2 344 43:3M+-62M°+2:°M°+9-M3—Mi-9Mt Y/ 3—3:M33/5-3z:4M°5/5-—:3M3/> st +25M (45/2) 4 M° (6—39/2)+-2 M8 (2--39/5) Mi (14-398/2)>0 .. (N) Nous avons supposé que M >48g3, ou bien M >z; en faisant donc M— Az, on aura A >1 : si l’on substitue cette valeur de M dans l'inégalité (f), et qu’on la divise par z', on aura 14+A (4—3/2)+A (6—33/3)-+AS (2—33/2)—A4(14-23/2) > 0: si Von fait à présent À — 1 +0, on obtiendra . (g) re. IH(4/2) (+) + (6—3$/2)1+0)+ (23/5) 0) (14-23/2) (1 +0), = (12—9//2+ & (18—24%/2)-+0%(6—24%/2)— &ô (24+-11$/2) — ot (1+-2ÿ/2))> 0, 5. 10 74 THÉORIE DES NOMBRES. je dis que l'on pourra toujours satisfaire à cette inégalité en prenant pour & un 126 14 nombre rationnel et positif, En effet puisque an > Ÿ2, on aura : à 136. 1200 — 1134 66 12—93/5> 19 — = ——— — ME ( 100 ” 100 100 ou bien 33 12— 93/9 >—; V 50 et « devra être un nombre tel que la somme de tous les termes qu'il multiplie dans 33 126 : nous prendrons partout no l'inégalité (g), soit moindre que = pour va- leur de #2 sans crainte d'erreur, parce que dans l'inégalité (2) tous les termes, moins les premiers sont négatifs, et nous devrons avoir 33 126 126 126 — w| 24 x — 18 |— w? | 24% 2-6 | "68 À 11 x +® 50 100 100 - 100 126 — «| 2 ct) f 100 33 3024 — 1800 ) " 3024 + 600 ) : ( 1386 +- 200 = LE ff PE ETES À TE TER EN ÈS SR nee 50 ( 100 100 100 |] [252 + 100 DEN Q PET TR RES 0e 100 ) ? 33 612 1212 793 176 F ge AL ES a? — © — @i > 0 50 50 50 50 50 d’où, en multipliant par 50, nous déduirons (4) 33 — 612 © — 1212 w°? — 793 &$ — 176 w! > 0 : à HN 1 Fee 1e : si l’on fait o — a , et que lon multiplie tous les termes par go obtiendra pp 1912 793 226 Ph pp —— > 33 cr TC 33 1212 + 1, où bien Cette derniere inégalité séra satisfaite en prenant p> 1245 415 415+11u UE HU = ——— ; + u 33 11 11 P= À THÉORIE DES NOMBRES. 75 et par conséquent l'inégalité (4) sera satisfaite en prenant ed: 11 œ == ——— ; DK — , 415 1iu 415 u étant un nombre quelconque rationnel et positif. Mais puisque l'on a 11 M=as=(ite)ssfie 1415+11iu 496+11u 496+11u == — | — 48q3 EEE = , * 415-+11u 415+11iu on aura aussi Ë M ( Tr g3i— 48 426+-11u On devra par conséquent prendre pour g3 un cube rationnel positif compris M 415+11u\ M b; M 415 M p : x] tre—— et | ——————— |-—— ou bien entre —— et —— —— et Toit OR rs | 06 Lite ) 48 - OP MAN TAN En ler existera toujours un nombre infini de ces cubes. A présent si l’on substitue l’un de ces cubes dans Îes identités (ec), (d) , on aura décompose le nombre M en quatre cubes rationnels et positifs. Ce théorème offre le premier exemple de la décomposition des nombres en puissances d’un degré plus élevé que le deuxième : on pourrait le genéraliser et en deduire plusieurs autres proposittôns nouvelles. PREMIER MÉMOIRE LA DÉTERMINATION DES INTÉGRALES DONT LA VALEUR EST ALGÉBRIQUE; PAR JOSEPH LIOU VILLE (‘). [1] La question que je traite dans ce mémoire me paraît mé- riter, sous plus d’un rapport, Fattention des géomètres. Lorsque j'ai entrepris mon travail, je ne me proposais que de démontrer, d'une manière directe et rigoureuse, Fimpossibilité d'obtenir algé- briquement les intégrales indéfinies de certaines fonctions algé- briques. Au premier rang parmi ces intégrales, que l'on doit regarder comme des quantités transcendantes, figure la fonction dr L elliptique ITS , et c'est par l'examen de cette expression que ' 1+ xt j'ai commencé mes recherches. J'ai d'abord appliqué à cette inte- (*) Ce mémoire et le suivant oût été l'objet d'un rapport de M. Poisson, qui doit étre imprimé dans le journal de M. Crelle. Ils ont été présentés à l'Académie des sciences le 7 décembre 1832 et le 4 février 1833. Depuis cette époque on a retouché la rédaction en quelques points, mais sans rien changer aux théorèmes principaux. _ INTÉGRALES DE VALEUR ALGÉBRIQUE. 57 grale un procédé particulier, fondé sur une circonstance bien indiflérente au premier nine savoir, sur ce fait analytique, que est une fonction de + dont la d’une part la quantité sf Ps 1+ 24 valeur reste la même, au signe près, quand on y remplace + par LT M: Sd y — x, et que d'autre part l'intésgrale définie a »:6h4 P el fa Vi bre fini. On prouve que ces deux propriétés ne pourraient pas exister ensemble, si la fonction elliptique de première espèce avait une valeur algébrique. Mais cette méthode singulière ( qu'il suffit d'avoir indiquée en deux mots ), ne conduisant qu'à des résultats bornés, n'aurait pu contribuer en rien aux progrès du calcul intégral. En regardant es choses de plus près, J'ai rencontré une méthode seavelte qui, déduite naturellement des vrais prin- cipes de a matière, mène à des résultats beaucoup plus étendus que la précédente. Par son moyen je suis arrivé au théorème sui- vant : Étant donnée une fonction algébrique quelconque f(x), on pourra toujours décider si elle a ou ra pas pour intégrale une fonction alvébrique; à quoi j'ajouterai que si /a question est résolue affirmativement, le même procédé fera connaître la valeur de [f(x)dx. Toutefois je ne veux pas démontrer ici, dans toute son étendue, là proposition que je viens d'énoncer, me réservant, dans un second mémoire, d'attaquer le problème général. Pour le moment je supposerai que les quantités placées sous les radicaux que f(x) contient sont des fonctions rationnelles de x. On verra que notre théorème, ainsi restreint à ce que je nomme fonctions trrationnelles de première espèce, dérive avec facilité des règles du calcul différentiel et des propriétés des radicaux. Mais avant d'entrer en matière, il faut définir d’une manière précise ce qu'on entend par une fonction algébrique (”\, et montrer comment on peut toujours écrire une fonction de cette espèce. * (*) On ne considère.dans ce mémoire que des fonctions algébriques explrites. 8 INTÉGRALES 1 IL [2] Une fonction algébrique f(x) est celle où la variable + se trouve engagée avec des constantes, seulement par addition, soustraction, multiplication, division, élévation aux puissances entières et positives, extraction de racines; en sorte qu'une fonc- tion algébrique peut toujours être représentée, sous forme finie, par les simples signes des six opérations fondamentales que je viens d'indiquer. D'après cette définition L+HT+Vz est une fonction algébrique. Les quantités qui renferment des exposants fractionnaires ou négatifs sont aussi des fonctions algé- briques, parce que les exposants négatifs peuvent se remplacer par des divisions, et les exposants fractionnaires par des extractions de racines. Ainsi æ + (1 +æ)s 5, 1+(1+a), sont des fonc- tions algébriques que lon peut écrire de cette autre manière : 1 DS Er) V/U+zx3) Ê 9 feras ns . : . Mais aV?., x", pe sont pas des fonctions algébriques, parce , , le] P que Fexposant 2 est un nombre irrationnel, et lexposant 75 un nombre imaginaire. Quant aux constantes qui entrent dans a fonction, elles peu- vent être tout ce que Ton veut, et n'influent aucunement sur sa 2 +ÿ/a+s)) nature. Une fonction algébrique est rationnelle lorsqu elle ne contient aucun radical irréductible affectant la variable x; dans le cas con- traire elle est irrationnelle. Une fonction algébrique rationnelle devient entière lorsque la DE VALEUR ALGÉBRIQUE. 79 variable x ne se trouve nulle part en diviseur : tel est Le poly- nome aber? 2 Eat, où &, b,c, .....k, sont des constantes quelconques. [3]. Voyons maintenant à quelle forme on peut réduire une fonction algébrique. s D'abord, en vertu des règles données dans les éléments, a fonction algébrique la plus générale peut être représentée par une fraction dont le dénominateur et le numérateur, à la fois, ne con- tiendront plus aucune division indiquée. Si l'on avait, par exemple, la quantité ENT VE A TE Du aE eu IPÈSTES Vz on observerait que le second terme est égal à HSE V'a3+ 1 PA) L+ 3V/x puis en le réduisant au même dénominateur avec le premier, on trouverait ft) L'+ 32/7 +ÿ/r5+1 TX Nr e————Ve 5 + 3/7 Voïlà par conséquent la fonction f(x) mise sous la forme à la- quelle nous désirions la réduire, forme dont le caractère propre consiste en ce qu'il ne se trouve aucune fraction au numérateur, ni aucune fraction au dénominateur, en sorte que dans la fonction f(x) une seule division est indiquée. [4] Maintenant il est aisé de faire en sorte que le dénomina- 80 INTÉGRALES teur devienne une fonction rationnelle de +. En effet, on enseigne dans les éléments le moyen de trouver le facteur par lequel une fonction irrationnelle proposée étant multipliée, il en résulte un produit débarrassé de radicaux. Ce moyen consiste à former toutes les racines de l'équation à coefficients rationnels d'où dépend l'ex- pression irrationnelle proposée; car le produit de ces racines, abstraction faite de son signe , étant égal au dernier terme de cette équation, sera rationnel, et par conséquent le produit de toutes celles qui seront différentes de la proposée sera le facteur demandé. En multipliant donc par un facteur convenable les deux termes de la fraction qui compose la valeur de f(x), le dénomi- nateur de cette fraction deviendra rationnel; et comme il ne ren- ferme aucune division indiquée, ce sera en même temps un poly- nome entier D DETENTE [5] Voyons ensuite ce que deviendra le numérateur. En effec- tuant toutes les multiplications indiquées, et observant que le produit de deux radicaux tel que F7 ./Q donne lieu à un simple radical "/p"@r, on verra qne le numérateur ne pourra contenir que des termes compris dans Îes espèces suivantes : 1° Des quantités rationnelles et entières; 2" Des radicaux sous lesquels se trouveront des quantités ra- tionnelles entières. J'appelleraï ces radicaux fonctions irrationnelles de première espèce. L'expression r°y} +3/14# en est un exemple. Au reste, une fonction sera dite zrrationnelle de première espèce, quand elle contiendra des radicaux de première espèce, lors même qu'elle renfermerait en outre des termes rationnels. Ainsi le poly- nome æ + æy/14x est une fonction irrationnelle de première espèce (”). (*) Les quantités placées sous es radicaux sont ici des fonctions entières; ce qui tient à l'opération qu'on a effectuée sur [a fonction f(x) au n° 3. Mais quand même on remplacerait DE VALEUR ALGÉBRIQUE. 81 3° des radicaux sous lesquels se trouveront des fonctions irra- tionnelles de première espèce. J'appellerai ces radicaux fonctions trrationnelles de seconde espèce. Telle est l'expression zV z+vz + 1707 +ÿz +Virz: Au surplus, une fonction où entreraient de tels radicaux ne ces- serait pas d'être de seconde espèce, quand même elle renfermerait en outre des radicaux de première espèce et des termes rationnels. 4° Des radicaux sous lesquels.se trouveront des fonctions irra- tionnelles de seconde espèce. J'appellerai ces radicaux fonctions irrationnelles de troisième espèce. Et ainsi de suite, car il est aisé de poursuivre aussi loin qu'on voudra cette classification. [6] Actuellement nous conviendrons des notations suivantes pour représenter les fonctions rationnelies et les diverses espèces de fonctions irrationnelles. Les lettres simples E, F, G,....P,Q,R,.... désigneront des fonctions rationnelles, Les lettres portant 1 pour indice, savoir E;, F;, G;,... P,,Q,,R,,... désigneront des fonctions irrationnelles de première espèce. De même, en mettant à ces lettres les indices 2, 3,... on leur fera représenter des. fonctions irrationnelles de seconde espèce, comme P,, Q@;,... ou de troisième espèce, comme P;, Q;,... Les petites lettres », 2, p, q, r,... serviront d'indices aux radi- caux , et représenteront toujours des nombres entiers positifs plus grands que l'unité. Enfin, quand il s'agira de prendre fa dérivée d'une fonction, les quantités entières par des polynomes rationnels et fractionnaires, Îes radicaux dont il 1 Ez > est une 1+zx x fonction irrationnelle de première espèce. En lisant Îe n° 6 on devra avoir cette remarque présente à l'esprit. 5. 11 s'agit seraient encore de première espèce. Ainsi, par exemple, 82 INTÉGRALES nous accentuerons la lettre qui représente cette fonction, c'est-à- dire que nous ferons à la manière de Lagrange » ap dQ , dPi —0Q} 1 — — P,', etc. dx I ? dx dx 27 Conformément aux idées du même géomètre, nous représen- terons aussi quelquefois par (EQ)', (E"Q }, les dérivées respec- tives des produits EQ, E"Q. D'après ces notations, on voit que toute fonction algébrique sera une des quantités successives P, P,, P,, P,,... et que de plus P,, P,, P,,... seront toujours de la forme P,=P +%Q +R + .... +ÿS PP + yo + pra +... +ÿs On ne met pas de coefficients aux radicaux, parce que cela serait M inutile ; en effet, soit par exemple un terme de la forme VL;on le ramènera à la forme 7/&G en faisant passer M et N sous le ù ML see : radical, et posant Q — Es On pourrait écrire aussi : P,=P+EYQ +Fyr + PART + HYys P,=P,+E yo + ER E.c. + Hs E,F,...H, désignant des quantités rationnelles aussi bien que P,Q,R,...S;etE,, P,,etc., étant des fonctions irrationnelles de première espèce. La fonction P,= P + EŸ/Q + FR + ..... + HYS est celle dont on s'occupera dans ce mémoire. On enseignera la manière de déterminer JP;dx toutes les fois que cette intégrale sera exprimable algébriquement. Pour que Ia fonction P, soit réduite à sa forme la plus simple, il est nécessaire que les radi- caux Y/Q, YR» :.-- ÿ/S » Soient irréductibles, c’est-à - dire que ces radicaux expriment des quantités véritablement irration- nelles. On doit ensuite les supposer dssemblables, c'est-à-dire DE VALEUR ALGÉBRIQUE. 83 tels que le rapport de deux d'entre eux ne ‘soit jamais rationnel ; e ï VR ; : car si l'on avait par exemple ie — K, K étant rationnel, on aurait aussi EYQa + Fyr = (E+FK)72 ; et les deux termes E}/Q , Fy/R se trouveraient réduits à un seul de Ja forme E?/Q. Désormais nous supposerons que la fonction P, a été mise sous la forme la plus simple, et que les radicaux dont elle dépend sont tous irréductibles et dissemblables entre eux. IL. [7] Notre but étant de trouver /P;dx, nous passerons du simple au composé, en considérant d’abord la quantité / 4/T_.dx. Je désigne par Lune fonction rationnelle quelconque donnée : on verra que le cas général se ramène aisément à ce cas particulier. Or, l'intégration de la quantité CAE dx ( quand elle est possible algé- briquement ) dépend d'un théorème général dont voici Fénoncé : THÉORÈME. Si l'intégrale y = [ 4/L .dx a une valeur algébrique, cette valeur sera nécessairement de la forme y = CHA + constante, É désignañt une fonction rationnelle de x. A Démonstration. Puisque par hypothèse la valeur de y est algé- brique, et qu'évidemment cette valeur ne peut pas étre rationnelle, il faut en conclure que y sera une fonction irrationnelle d'une cer- taine espèce, et que par conséquent ( d'après nos conventions du n° 6) cette quantité pourra étre représentée par une des lettres successives P,, P,, P,,... Maintenant je dis que y ne peut pas être une fonction irrationnelle d'espèce supérieure à la première; car si l'on avait par exemple y=P=P, + + FR + .... + Hifi, 11° 84 INTÉGRALES et que P, contint p radicaux de seconde espèce, on différen- cierait l'équation y = P,, et de l'équation dérivée, savoir RRQ + ; a gp = Pie EG + ce + rer Hi on tirerait la valeur d'un de ces radicaux; en sorte qu'après la substitution faite de cette valeur dans celle de y, le nombre des radicaux de seconde espèce entrant dans y se trouverait réduit à p — 1. Opérant sur la nouvelle valeur de y comme on a opéré sur la première, on diminuera encore ce nombre d'une unité, et ainsi de suite, jusqu'à ce que tous les radicaux de seconde espèce aient disparu. Si l'on y posait y — P,, il est visible que par des différenciations successives on éliminerait de même tous les radicaux d'espèce supé- rieure à la première, en commençant Félimination par ceux de troisième espèce; et en général si fon avait y = P,, on chasserait par des opérations successives semblables tous Îles radicaux de n° espèce, puis ceux de (n— 1) espèce, etc., d'où il résulte que y doit étre une fonction irrationnelle de première espèce seulement. En d’autres termes, s'il existe une valeur algébrique de y, confor- mément à notre hypothèse, on pourra toujours, quelle qu’elle soit, en déduire, par des diflérenciations et des éliminations conve- nables, une valeur nouvelle débarrassée des radicaux d'espèce supérieure. Puisque la valeur de y ne contient dès-lors que des radicaux de première espèce, elle est de la forme P, : posons donc (1) y=P+ErQ + F8 + ....+HyS. \ Le second membre de cette égalité contient des radicaux dont on peut représenter le nombre par r, et dont r—1 au moins sont différents de 4/5 . Or, je dis que r doit tre égal à l'unité, et qu'en outre le radical, qui peut seul rester dans fa valeur de y, est pré- cisément 4/L . DE VALEUR ALGÉBRIQUE. 85 Différencions en effet les deux membres de Fégalité précédente, et il viendra (En Q)' mErQ H:S) Lee Po A Hype. gas 4 =P'+ Or, dans cette équation nouvelle un radical quelconque, tel que à , ne peut pas disparaitre s'il est essentiellement différent du radical 4/5, qui se trouve au premier membre. Donc on pourra en tirer la valeur de %/& , et en la reportant dans l'équation (1), le second membre de celle-ci ne contiendra plus que r—1 radi- caux, puisque %/Q se trouvera éliminé. D'ailleurs, après avoir réduit à r— 1 le nombre des radicaux entrant dans y, ainsi que nous venons de le faire, rien n'empêche de réduire ce nombre à r — 2, puis à r — 3, par des opérations semblables. En conti- nuant ainsi, il est bien clair qu'on parviendra à éliminer de l'équation (1) tous les radicaux du second membre qui diffèreront de 4/x. Done, si l'intégrale y — f 4/1 .dx est exprimable algébrique- ment, sa valeur sera de Îa forme [4 dx =P+6C. 4; et comme cette valeur différenciée donne 1 L'ANTE ALT ie +2), mL et que le radical 4/5 est irréductible , on en conclut que le terme rationnel P' doit être nul de lui-même, indépendamment des termes irrationnels ; en conséquence il vient P— 0, d'où P — cons- tante; ce qui complète la démonstration du théorème qu'on voulait établir. [8] L'équation [4 dx = GH/L + constante peut étre mise sous une forme plus commode. En effet, puisque L 86 INTÉGRALES est une fonction rationnelle, on peut poser L — ES M et N dési- gnant des polynomes entiers, et on a VAT M M (é FE / M ——————— PER VR — NMeT — 4% en faisant NM#—1 — T. De même on trouve CHA ch 6M (1 os 5 47 TS pourvu que l'on représente par une seule lettre 8 le produit 6M. D'après cela on obtiendra : ie Ma 8 LP AL EN = — —— + constante, ï TE, AT 3 étant une fonction rationnelle déterminée par légalité 0 ; (2) Me TS "Tr, HA qui se déduit de la précédente, en en différenciant les deux membres. [9] Maintenant je dis que 6 est non-seulement une fonction rationnelle, mais même une fonction ‘entière de x. En eflet, si (] n'est pas un polynome entier, on pourra toujours exprimer b par le quote de deux fonctions entières X et Y, c’est-à-dire faire X 3 — =, Ja fraction — étant réduite à sa plus simple expression. Y Y Pour prouver que Ê est un polynome entier, il suflit de faire voir que Ÿ ne contient pas la variable +, ou, en d’autres termes, que nul facteur linéaire x + a ne peut diviser Y. Or, soit, s'il est possible’, æ + a un facteur qui entre & fois dans Y , et posons en conséquence : WWE z a), Z, étant une fonction entière non divisible par x + a. Je vais montrer que cette hypothèse conduit à une absurdité. ‘DE VALEUR ALGÉBRIQUE. 87 On en conclut en effet sal X + Z(x+a}* et d8 à aX ZX —XZ PVR Z{x+a)+1 Di L{x+a)c En portant ces valeurs dans l'équation (2), on trouve : (8) AMT(a+a)e = a + T(ZX — XZ')— OT La forme de cette équation prouve que TXZ doit étre divisible par + + a; et comme il est évident que ce binome ne peut diviser ni X, ni Z, il en résulte qu'il doit diviser T. Pour fixer les idées, supposons qu'il le divise »: fois, et faisons T = (x +a}".V, d'où : T'=(z+a) Ve nV(x-Ha). Substituons au lieu de T et T' leurs valeurs dans l'équation (3); divisons-la ensuite par (x + a)", et il nous sera aisé de lui donner la forme ZMV(e+0)7 =V(ZX'-XZ)- EN (a+ NE. m m | x+a Or, cette dernière égalité est évidemment absurde: car, pour qu'elle pût subsister, il faudrait que le produit XZV fût divisible par æ + a, et cela n'a pas lieu, puisque le facteur premier + + a ne divise aucune des trois quantités X,Z, V. Donc Y ne peut pas contenir æ : donc À est une fonction entière. Ainsi me voilà conduit à ce théorème : Si l'équation (2) MT IT UE 88 INTÉGRALES n'est pas exprimable algébriquement; et dans le cas contraire, on a MER Ma 8 Névradr =) = —— + constante. A/T A/T [10] Tout se réduit donc à chercher s'il y a une valeur entière de 8 satisfaisant à l'équation (2), et à trouver cette valeur quand elle existe; problème que fon résoudra aisément par la méthode des coefhicients indéterminés, dès que lon connaîtra lexposant de la puissance la plus élevée de x, entrant dans le polynome ô. On pourrait calculer cet exposant par la règle du parallélogramme analytique, mais il est une manière plus simple d'y parvenir. En effet (sion excepte d’abord le cas particulier où le degré du poly- nome T estun multiple exact de u, tel que ou), à la seule inspec- tion de l'égalité Max ( ll VE = —— + constante, A/T 4/7 il est aisé de comprendre que, toutes les fois qu'elle a lieu , le poly- nome entier 8 est d’un degré supérieur d'une unité au degré de M; en sorte que si M est, comme nous le supposerons, du degrém, êne peut être que du degré »m+1. On se convaincra de la vérité de cette assertion, si l’on développe les deux membres de l'équation en séries ordonnées suivant les puissances décroissantes de x, et si Fon ob- serve que les premiers termes de ces séries doivent être les mêmes de part et d'autre. A cause de a constante arbitraire introduite par l'intégration , ce raisonnement et la conclusion qu'on en tire pourraient se trouver en défaut, si le degré de T était un nombre de la forme dec, et si en méme temps celui de Bavait & pour valeur; par où on comprend que le degré du polynome 8 est toujours un des deux nombres » +1 ou &, dont if suffit évidemment d'essayer le plus considérable, et dont le second ne peut être adopté qua’utant qu'il est entier. Pour fixer les idées admettons que »+ 1 soit > o. I résulte de là que, DE VALEUR ALGÉBRIQUE. 89 pôur s'assurer de {a possibilité ou de l'impossibilité de notre équa- tion, il suflit de faire A ne ET Le UN OS + hr + k dû an (m+1)ax" LC TE NOUS T puis de substituer ces valeurs dans (2), et de chercher s'il ya moyen de satisfaire à l'égalité résultante, en déterminant conve- nablement les constantes G, 0, NMRM ANGES cas ane foie effectués, on connaîtra tout ce qu'il est possible de savoir sur l'intégration de la formule différentielle 4/x . dx en termes algé- briques. En effet, ou l'on obtiendra pour {a fonction entière 0 une valeur convenable, et on aura JE .dx — ne —- constante, #/T ou lon démontrera que cette valeur entière de 8 n'existe pas, ce qui établira rigoureusement l'impossibilité d'exprimer JA. dx sous forme algébrique. Notre méthode ne dépend, comme on voit, de Ia résolution d'aucune équation de degré supérieur x [11] La recherche du polynome entier 8 se réduit toujours à celle d’un polynome de degré moindre. Pour le prouver, j'observe que l'équation (2) peut étre écrite ainsi QT" dû re Um M. Il en résulte que le produit OT’ étant divisé par T, doit fournir un quotient entier. On sait d'ailleurs que, si l'on divise T' par T, on formera par là une fraction irréductible, ayant pour dénomi- nateur le produit de tous les facteurs premiers inégaux renfermés dans T. Si donc on désigne ce produit par la lettre U, il est mani- (*) Quand on pose 4 —1,1a quantité que nous intégrons devient une simple fraction rationnelle, d'où il résulte que l'intégration d'une fraction rationnelle Lu ( quand elle peut s'effectuer algébriquement ) n'exige pas la connaissance des racines de l'équation N— 0, connaissance que la méthode ordinaire semble supposer. 5. 12 90 INTEGRALES feste que 8 doit être exactement divisible par U ; en sorte que fon pourra poser 8 — ue € étant un nouveau polynome entier. La détermination de la fonction inconnue 8 est ainsi ramenée à celle d'une autre fonction entière @ laquelle évidemment est de degré moindre. [1 2] En admettant que le polynome entier U soit du degré », et se rappelant que 8 est du degré » + 1 ou du degré æ, on voit que € 6 sera du degré »—n +1 ou du degré o —n :si donc les quantités m—n+1 et o—n étaient négativ es, on tomberait dans une absur- dité, et il faudrait en conclure que Fintégrale / 4/4 . dx — f es VT n'est pas exprimable algébriquement. Supposons, par exemple, que le polynome T n'ait ni facteurs doubles, ni facteurs triples, etc., c'est-à-dire supposons que l'équation T — 0 n'ait pas de racines égales : alors T et T' n'ayant aucun diviseur commun, on trouvera U =T, et le degré » de U sera en même temps le degré de T; de plus on aura constamment & — » < 0 : l'intégrale / ——— sera donc impossible sous forme algébrique , si le degré » du polynome M placé en numérateur est inférieur à #7 — 1. Un corollaire très-simple de ce théorème, c'est que les fonctions elliptiques de première et de seconde espèce, savoir dx Ê dx(1—c?x?) — , 7 WA—x)(1—6c%x?) n'ont jamais une valeur algébrique en fonction de l'indéterminée x. . Max On démontre avec une égale facilité que l'intégrale are 7e dans laquelle P et @ sont des polynomes tels que les deux équations P—o,Q—0, n'aient ni racines communes, ni racines égales, est toujours impossible sous forme algébrique, tant que P ne se DE VALEUR ALGÉBRIQUE. 91 réduit pas à une simple constante, et que les deux fonctions M et P sont premières entre elles. En effet, si l'on égale fa quantité M —à Îa formule P 4/Q P# Q, d'où lon tire LOPAÎQ Speo pt Portant ces valeurs de T et T’ dans l'équation (2), on obtient M —, prise pour type général, on a T — #/x P P Ype & MPQ — PQ — + po — 6QP. Cette égalité prouve que le produit 8QP’ doit étre divisible par P. Or, les deux quantités QP’ et P ne peuvent avoir aucun diviseur commun, puisque Îes équations P — 0, @—0, n'ont par hypo- thèse ni racines communes, ni racines égales. Par conséquent 8 est divisible par P, et, en nommant 3 Îe quotient, il est permis de poser d dz 8 — Paz, D LUE dx dx ce qui transforme notre équation dans Îa suivante dz É MQ — p(a [== S2 }: dx 77 dont l'impossibilité est manifeste, puisque le second membre est divisible et le premier non divisible par P. Donc, en admettant Mdx nos hypothèses, l'intégrale if Ra » qui renferme, comme cas PQ particulier, la fonction elliptique de troisième espèce, n'est pas exprimable algébriquement. IV. [13] Soitenfin proposé de trouver /P,dx, P, étant une fonction irrationnelle de première espèce. On sait que P, peut se mettre sous la forme PP + a +yxr + + ÿS; tai 92 INTÉGRALES fonction dans laquelle on suppose toujours les radicaux irréduc- tibles et dissemblables. Cela posé, il est facile de voir que l'inté- grale /P,.dx (si elle est algébrique) ne peut contenir d'autres radicaux que ceux qui entrent dans P,; et, en eflet, tous ceux que lon voudrait introduire dans l'expression de cette intégrale pourraient en être éliminés par des différenciations successives , ainsi qu'on l'a vu n°7. La valeur de /P; . dx est donc nécessairement de Ia forme JP,.dx = F + Gÿa + HR + .... + Kÿs. F, G, H,.... K, désignant des quantités rationnelles. En fa différenciant, on en conclut (Gr Q) (HR) (RS) PER H S mG' Q K BAR Gone MAR IRL ES Or, je dis que cette égalité ne peut subsister qu'autant que l'on a RH (GrQ)' nur mGrQ Ga = 7 Q CR) En — n = —_—_—_—— HR = vR nH7R (LOT Re K”7S = YyS; c'està-dire que les diverses irrationnelles irréductibles, entrant dans les deux membres, doivent être les mêmes de part et d'autre. Cette proposition découle assez naturellement de ce que chaque radical du degré », pris dans toute fa généralité de l'algèbre, possède » valeurs différentes. On pourrait aussi la déduire des principes du calcul différentiel : c’est ce que nous montrerons tout à heure : pour le moment regardons-la comme démontrée, et intégrons les équations que nous venons d'écrire, nous ob- tiendrons DE VALEUR ALGÉBRIQUE. 93 Donc, pour que la différentielle P,dx soit intégrable algébri- quement, il faut que les diverses parties dont se compose [ Pidx, savoir JPdx, [/cdx, ide À, di JYSdx, aient chacune en particulier une valeur algébrique, et comme on a donné, quels que soient L et w, le moyen d'intégrer ( quand cela est possible algébriquement ) Ia différentielle #/Ldx, il en résulte qu'en appliquant notre méthode à l'intégrale / P,dx, on pourra toujours décider si elle est exprimable en termes algébri- ques, et de plus en donner la valeur algébrique toutes les fois qu'elle existera. Ainsi se trouve démontré, pour le cas des fonc- tions irrationnelles de première espèce, le théorème énoncé au commencement de ce mémoire, théorème que Fon peut regarder comme le résumé de nos recherches , et qui constitue en quelque sorte une nouvelle méthode d'intégration. On peut étendre cette méthode aux fonctions irrationnelles de seconde ou de troisième espèce, et en général à une fonction algébrique quelconque : c'est ce que je prouverai dans un autre écrit; mais la théorie doit alors étre présentée sous un point de vue un peu différent. [14] Dans le numéro qui précède Jai promis la démonstration d’un théorème d'algèbre dont j'ai fait usage, et qui revient au fond à ceci : Soient F,G, H,.... K,e:P, Q,....S, des quantités ra- tionnelles : les radicaux VP,Y@.... ŸS» étant irréductibles et dissemblables, Je dis que la somme 94 INTÉGRALES F + Gp + HG + .... + KÿyS 4 ” \ * ci D s, ne peut ètre égale à zero, si l'on n'a pas RÉ MCE OP RETENIR ER 0! Cette proposition est évidente lorsque la somme ne contient qu'un seul radical. Supposons donc qu'elle soit vraie, lorsqu'il y a 4 radicaux, et prouvons qu'elle le sera encore si le nombre des radicaux devient w + 1. Cela fait, il est clair que notre théorème sera démontré. Or, si, en supposant 4 + 1 radicaux dans le second membre, on pouvait avoir (æ) F + Gp + H}/a + .... +Kys —0, sans que F, G, H,.... K, fussent nuls, comme en différenciant cette équation on trouve ‘ (Gr P)' br (H4rQ)' Re (K!'S) qy— HR nus nr LA POLE n SN nés her Hi F'+ Es GP + + Q Ho +... + Fe Ky 0, on pourrait, par le secours de cette dernière égalité, éliminer ?/F : on tomberait par suite sur une équation ne contenant plus que 4 radicaux , et par conséquent impossible dans l'hypothèse admise : donc Féquation (æ) l'est aussi : ce qu'il fallait prouver. Cette con- clusion suppose toutefois que dans légalité obtenue par l'élimina- tion de ?/r les coefficients des divers termes ne sont pas nuls séparément. Or, par exemple, après l'élimination de ?/r, le terme indépendant des radicaux est Gp)! = = 2 si donc il pouvait être nul, c'est qu'on aurait c/F A — constante, ce qui est absurde, puisque %/p est irrationnel. DE VALEUR ALGÉBRIQUE. 95 De même le coefficient de }/Q, après l'élimination de #/?, est Grp) H»Q)' x | - ) (H7Q) L mGmP nHr Q Si donc il pouvait être nul, c’est qu'on aurait GyP HyQ ce qui est absurde, puisque, par hypothèse, /? et ;/Q sont des radicaux dissemblables. — Constante ; [15] Cette manière d'établir un théorème, que lon néglise ordinairement de démontrer, me paraissant très-simple, je n’ai pas cru devoir lomettre. La proposition algébrique dont nous venons de nous occuper trouve son analogue en arithmétique ; et même elle devient alors beaucoup plus difficile à démontrer; car dans ce cas on ne peut faire usage ni du calcul différentiel, ni du principe de la multiplicité des valeurs d’un radical. Ainsi, par exemple, si &, 6, Y,.…. ©, sont des nombres rationnels quelconques, et a, b, c,.... h des nombres entiers positifs non carrés, on peut prouver que , MENÉS RUE DIE est toujours une quantité irrationnelle, pourvu toutefois que Vas Vo, Vos... x, Soient des radicaux essentiellement diffé- rents l'un de Fautre. Mais cette proposition, quoique très-élémen- taire, et lune des plus simples que l’on puisse rechercher en ce genre , est à elle seule plus difficile à établir que notre théorème général d'algèbre. Au reste, les questions arithmétiques dont nous venons de dire un mot ont été traitées amplement, par M. Libri, dans un mémoire inédit sur les 2rrationnelles numc- riques; et nous en avons parlé ici uniquement pour rappeler que la priorité lui appartient, et qu'en cherchant à prouver le théo- rème du n° 14, nous n'avons fait que marcher sur ses traces, et 96 INTÉGRALES trausporter aux fonctions algébriques ce qu'il avait démontré pour les nombres. VE [16] Dans la Théorie analytique des probabilités de Laplace on trouve. quelques réflexions relatives à la question de calcul intégral qui a fait l'objet de ce mémoire : nous allons rapporter textuellement Particle qui les contient : « Leibnitz a indiqué le premier, dans les Actes de Leipsic, les «transcendantes à exposants variables, et par là il a complété le «système des éléments dont une fonction finie peut étre com- posée; car toute fonction finie explicite se réduit, en dernière «analyse, à des grandeurs simples, ajoutées ou soustraites les «unes des autres, multipliées ou divisées entre elles, élevées à «des puissances constantes ou variables. Les racines des équations « formées de ces éléments en sont des fonctions implicites. C’est «ainsi que, c étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est «l'unité, le logarithme de a est la racine de l'équation transcen- «dante «* — & = 0. On peut encore considérer les quantités loga- «rithmiques comme des fonctions exponentielles dont les exposants X'X& _; «sont infiniment petits. Ainsi, X log X' est égal à Re «Toutes les modifications de grandeur que l'on peut concevoir aux “exposants se trouvent done représentées par les quantités expo- «nentieles, algébriques et Togarithmiques. Ces quantités et leurs “fonctions embrassent par conséquent toutes les fonctions finies «explicites; et les racines des équations formées de fonctions sem- «“blables embrassent toutes les fonctions finies implicites. «Ces quantités sont essentiellement différentes : lexponen- «tielle a*, par exemple, ne peut jamais être identique avec une «fonction algébrique de x; car toute fonction algébrique est «réductible dans une série descendante de la forme Æx"+#'x""+. . «Or, il est facile de démontrer que, a étant supposé plus grand DE VALEUR ALGÉBRIQUE. 97 «que l'unité, et x étant infini, a* est infiniment plus grand que «Æx", quelque grands que Fon suppose Æ et 2. Parcillement if est «aisé de voir que dans Île cas de x infini, + est infiniment plus «grand que (og x)". Les fonctions exponentielles, algébriques , «logarithmiques, d’une variable indéterminée, ne peuvent donc «pas rentrer les unes dans les autres : les quantités algébriques «tiennent le milieu entre les exponentielles et les fogarithmes : «les exposants, lorsque la variable est infinie, pouvant être consi- «dérés comme infinis dans les exponentielles, finis dans les «quantités algébriques, et infiniment petits dans les quantités «logarithmiques. «On peut encore établir en principe qu'une fonction radicale «d'une variable ne peut pas étre identique avec une fonction ra- «tionnelle de la même variable, ou avec une autre fonction radi- «cale. Ainsi, ( i+x) est essenticilement distinct de ( 1+ a)? et «de ( 1 + x) ë ' «Ces principes, fondés sur la nature même des fonctions, «peuvent être d'une grande utilité dans Les recherches analytiques, «en indiquant les formes dont les fonctions, que lon se propose «de trouver, sont susceptibles, et en prouvant leur impossibilité «dans un grand nombre de cas; mais alors ïl faut être bien sûr «de n'omettre aucune des formes possibles. Ainsi, {a différencia- «tion laissant subsister les quantités exponentielles et radicales, «et ne faisant disparaître les quantités logarithmiques qu’autant «qu'elles sont multipliées par des constantes, on doit en conclure «que l'intégrale d’une fonction différentielle nepeut contenir d’autres «quantités exponentielles et radicales que celles qui sont conte- «nues dans cette fonction. Par ce moyen, jai reconnu que lon «ne peut pas obtenir, en fonction finie explicite ou implicite de «la variable x, l'intégrale à dx + pr V 1+ ax2+ Cri 13 98 INTÉGRALES La proposition que Laplace énonce relativement à l'intégrale ÎT D ax? — est très-belle, mais la démonstration n'en a pas été publiée, et nous ignorons de quelle nature cette démonstration pouvait être. I est singulier que ce grand géomètre, qui fait mention, en plu- sieurs endroits de ses ouvrages, du théorème dont il s'agit, ne soit jamais entré à ce sujet dans des détails suflisants. Nous le regrettons d'autant plus que ce théorème ne nous paraît nulle- ment facile à établir d'une manière tout à fait rigoureuse, et que cependant une rigueur absolue est indispensable dans ces recher- ches, qui ont quelque rapport avec la théorie des nombres. [17] Le principe posé par Laplace que l'intégrale d'une fonc- tion différentielle ne peut contenir d'autres quantités radicales que celles qui entrent dans cette fonction, est certainement d’une grande utilité dans le calcul intégral. Le théorème du n° 7 n'en est au fond qu'un cas particulier. En étendant un peu les considé- rations dont on a fait usage au numéro cité, on parviendra sans peine à une démonstration générale du principe dont nous par- lons, pour tous les cas où l'intégrale est algébrique; mais i con- vient d'en modifier Fénoncé, afin d'obtenir des résultats plus simples. Voici comment il faut procéder. Etant donnée une fonction algébrique quelconque y, on peut toujours regarder y comme la racine d’une équation algébrique de la forme (a) yé — Lg =... — My —N= 0, L,.... M, N, désignant des fonctions rationnelles de x : cela posé, la een que nous devons résoudre consiste à déterminer la forme sous laquelie on peut écrire l'intégrale /ydx, lorsque cette intégrale est exprimable algébriquement. Or, la quantité /ydx DE VALEUR ALGÉBRIQUE. 99 étant une fonction algébrique de x, d'après Fhypothèse; et les deux lettres y et x étant liées entre elles par l'équation (a), on est libre de regarder /ydx comme une fonction algébrique de x et y. Je vais démontrer que notre intégrale est nécessairement équiva- lente à une fonction rationnelle de xet y. Ce théorème est, comme on voit, celui de Laplace, énoncé d’une autre manière. La démons- tration que j'en donnerai repose sur deux lemmes que voici : PREMIER LEMME. La fonction y de x étant racine de l'équation (a), on peut toujours exprimer = fonction rationnelle de x et y. Et oujours exprimer —— par une fonction rationnelle de x et y. De DURS TL! D . op en général la dérivée — df(x,y) d'une fonction algébrique f{æx,y) ne peut contenir d'autres radicaux que ceux qui entrent dans f(x,y). La première partie du lemme résulte de ce que l'équation (a) donne, par les règles du calcul différentiel, EE at dM aN dy J dx F ANA d. dx dr pyt — ,... — M k et la seconde devient évidente, en observant qu'on a 1 LAC) df(æ,y) dy ae LE nas of apotntiraete d et en remplaçant + par sa valeur. SECOND LEMME. Les fonctions algébriques de deux variables x et y, qui contiennent des trrationnelles, peuvent étre classées en espèces 13° 190 INTÉGRALES tout aussi bien et par la méme méthode que les fonctions d'une seule variable. La proposition contenue dans ce lemme est évidente; car ül suffit de répéter mot à mot, pour les fonctions de deux variables, ce que jai dit au n° 2 et dans les numéros suivants, pour les fonctions d'une seule variable. L'analogie est si complète que nous ferons dans les deux cas usage de la même notation. Ainsi, dans ce qui va suivre, je dé- signerai par des lettres majuscules sans indices , telles que P, Q, R,.... les fonctions rationnelles de x et y, et par ces lettres avec Lindice », comme P,, Q,, R,,.... les fonctions irration- nelles de »° espèce. On pourra donc toujours écrire Pi = P + 7Q + YR + .... +ÿs P, = P, + Va+ Ya + .... + ÿs ou, ce qui revient au même, P=P+EQ + FyR + .... + HS Pa PE 0 PRE 4. + Hys [18] Maintenant on peut démontrer le théorème général déjà énoncé que si l'intégrale fydx est exprimable algébriquement, sa valeur sera égale à une certaine fonction rationnelle de æ et y. Car si la quantité Jydx n'est pas une fonction rationnelle de æ et y, elle sera une fonction irrationnelle de première espèce ou de seconde espèce, &c. Supposons d'abord que /ydx soit une fonction irrationnelle de première espèce, et qu’on ait en consé- quence fydæ = P' HE Ty/Q + 0 + HYS. DE VALEUR ALGÉBRIQUE. 101 Le second membre contient un certain nombre 7 de radicaux de première espèce : or, je dis que l'on peut éliminer tous ces radicaux par des différenciations successives. En effet, en différen- ciant /ydx, et indiquant les dérivées par des accents à la manière db dx AIRES ; dP ; de Lagrange, c'est-à-dire faisant —— + —— . —— — P', etc., dx dy dx on obtient ; (ErQ) D (ES) a7= — a ATP RE — S - y P' + ed EYyQa + re Hy De cette égalité on peut tirer la valeur de %/Q, et en portant cette valeur dans celle de /ydx, il ne restera dans cette dernière que r — 1 radicaux. Si donc on Îa différencie une seconde fois, il est incontestable qu’on éliminera de même un second radical, et ainsi de suite, jusqu'à ce que tous les radicaux aient disparu; alors fydx sera exprimée rationnellement en fonction de x et y. Donc fydx ne peut pas être une fonction irrationnelle de première espèce. On ne peut pas avoir davantage /ydx = P,, c'est-à-dire que fydx ne peut pas étre une fonction irrationnelle de seconde espèce, car si cela était, et qu'on eût Jydx — 12; + Eya@ HART HYs,, on en déduirait = PE Rip rs se + ———H;ys. mE1" Qi £ Par conséquent, on pourrait éliminer %/@, et on éliminerait ensuite les autres radicaux, en répétant la même opération plu- sieurs fois. Ayant chassé par 1à tous les radicaux de seconde espèce contenus dans la valeur de /ydx, cette intégrale se trou- verait réduite à la forme /ydx — P,, qui a été démontré impos- sible. On prouvera par des raisonnements semblables que /ydx ne peut pas non plus être une fonction irrationnelle de troi- 109 INTÉGRALES DE VALEUR ALGÉBRIQUE sième espèce, ete, Donc /ydx est une fonction rationnelle de æety, ce qu'il fallait démontrer. Ce théorème est la base de a méthode générale que nous exposerons dans un second mémoire, pour déterminer les intégrales dont [a valeur est exprimable algébriquement. SECOND MÉMOIRE SUR LA DÉTERMINATION DES INTÉGRALES DONT LA VALEUR EST ALGÉBRIQUE; PAR JOSEPH LIOUVILLE. [1] Les recherches contenues dans le présent mémoire sont relatives à cette partie de analyse dans laquelle on veut remonter d'une quantité différentielle connue à la fonction primitive dont cette quantité est dérivée. Le théorème général que je me pro- pose de démontrer est le suivant : Étant donnée une fonction algébrique quelconque, explicite ou implicite, savoir y, on pourra toujours décider si elle a ou n'a pas pour intégrale une fonction explicite ou implcite algé- brique : à quoi j'ajouterai que si la question est résolue affir- mativement, le même procédé fera connaître la valeur de Jydz (7). (*) On appelle fonction algébrique explicite toute fonction qui se trouve écrite, sous forme finie, à l'aide des simples signes employés dans les éléments d'algèbre, et fonction algé- brique implicite toute fonction que l'on peut regarder comme Ia racine d’une équation algébrique , résoluble ou non par radicaux. 104 INTÉGRALES Pour bien comprendre cet énoncé, on observera que lorsqu'on demande l'intégrale d’une fonction algébrique déterminée y, il est permis de distinguer deux cas : le premier a lieu si l'intégrale Jydx est elle-même algébrique ; le second cas est celui où l'inté- grale représente une fonction transcendante. Vous les rencontrez ; QT 5 ! M . l'un et l'autre en intégrant une fraction rationnelle 5 Cr Si parmi les dénominateurs des diverses fractions simples dans les- F M © Je ’ , ’ quelles on partage + pour en obtenir l'intégrale, 11 ny en a aucun du premier degré, le résultat de l'intégration sera une fonc- tion algébrique; et il contiendra au contraire des logarithmes si quelqu'un de ces dénominateurs est du premier degré. Or, puisque Fintégrale d'une fonction algébrique appartient, suivant les circonstances, à la classe des fonctions algébriques ou à la classe des fonctions transcendantes, on peut se proposer de reconnaitre avec certitude dans laquelle de ces deux classes doit être rangée l'intégrale d'une fonction algébrique dont la compo- sition est connue, ou qui doit satisfaire à une équation donnée. Ce problème est précisément celui qui fait objet de ce mémoire ; mais j'y ai joint une condition que je crois essentielle, savoir, que le même procédé qui fait connaître si la quantité /ydx est ou n’est pas algébrique, fournisse aussi la valeur de cette intégrale toutes les fois qu'on peut l'obtenir algébriquement, soit d’une manière explicite, soit d'une manière implicite. La question que jai résolue me paraît analogue à celles que nous offrent la division algébrique et l'extraction des racines. En effet, lorsqu'il s'agit de diviser un polynome par un autre, on re- cherche d’abord si le quotient est de même nature que le divi- dende et le diviseur, c'est-à-dire s'il est composé comme eux d'un nombre fini de termes Et quand on extrait la racine d’une fonc- tion entière, on examine en premier lieu si cette racine peut ou non étre exprimée par une fonction entière; semblablement, lors- qu'il est question de l'intégrale d'une fonction algébrique, il DE VALEUR ALGÉBRIQUE. 105 convient, avant tout, de s'assurer si elle est ou n'est pas expri- mable algébriquement. [2 | Le théorème général du numéro précédent se trouve énoncé dans un mémoire que j'ai présenté à l’Académie des sciences, le 7 décembre 1832. Je l'ai même démontré alors dans le cas parti- culier où y est une fonction irrationnelle de première espèce, c'est-à-dire dans le cas particulier où les quantités soumises aux radicaux de y sont rationnelles. J'avertissais dès lors que la mé- thode développée dans ce premier travail pouvait être étendue avec les modifications conyenables à des fonctions algébriques quelconques, et je me propose aujourd'hui d'opérer cette exten- sion, Mais, avant d'entrer en matière, je dois rappeler au lecteur un écrit d'Abel, dont j'ai eu connaissance depuis peu, et qui est intitulé : Précis d'une théorie des fonctions elliptiques (). On y trouve un théorème général sur la forme dont l'intégrale d'une différentielle quelconque algébrique est susceptible, en supposant cette intégrale exprimable par des fonctions algébriques, loga- rithmiques et elliptiques, à Ta suite duquel l'auteur ajoute en note : «J'ai fondé sur ce théorème une nouvelle théorie de l'intégration «des formules différentielles que je n'ai pu encore publier jusqu’à «présent. Cette théorie franchit beaucoup les résultats connus, «et son but est d'opérer toutes les réductions possibles des inté- «grales des formules algébriques, à l'aide des fonctions algébriques «et logarithmiques. On parvient par-là à réduire au plus petit «nombre possible les intégrales qui représentent sous forme finie «toutes les intégrales d’une même classe. » IL résulte de 1à qu'Abel s'était occupé de questions semblables à celles que nous avons résolues, mais je ne crois pas que son mémoire ait été publié, et j'ignore si même on a trouvé là-dessus quelque chose d'achevé dans ses papiers (") Voyez le tome IV du Journal de M. Crelle, page 264. I sera bon de lire aussi la lettre d'Abel à M. Legendre, imprimée dans {e même Journal, tome VI, page 77. De . 14 106 INTÉGRALES [3] Le théorème d’Abel, mentionné plus haut ( quand on le restreint au Cas particulier dont je veux uyoccuper ), consiste en ce que si l'intégrale /ydx, dans laquelle y désigne une fonction alsébrique quelconque, explicite ou implicite, peut être obtenue alsébriquement, soit d’une maniere explicite, soit d'une manière implicite, la valeur de cette intégrale pourra toujours être exprimée par une certaine fonction rationnelle de x et y. Ce théorème (tout à fait semblable à celui que l'on trouve dans mon premier mémoire ) ne diffère pas au fond de celui posé par Laplace, que l'intégrale d'une fonction différentielle ne peut contenir d'autres quantités radicales que celles qui entrent dans cette fonction; et on doit dire qu'il était connu des premiers mventeurs de l'analyse infinité- simale. Leibnitz en effet le regardait comme une conséquence né- cessaire de ce que si l'intégrale /ydx est égale à une fonction algébrique ©, les deux membres de fégalité Jydx = 9, dans laquelle les divers radicaux ont, comme on sait, des valeurs multiples, doivent, pour étre identiques, posséder le même nombre de valeurs. Mais cette démonstration et celle de Laplace semblent un peu vagues, et ne sont point admises par tous les géomètres. I n'était donc pas inutile d'y substituer des considérations tout à fait rigoureuses. Le 14] Quoi qu'il en soit, le théorème précédent fait connaître les irrationnelles irréductibles qui peuvent entrer dans la valeur de /ydx. Mais ces irrationnelles ( que lon ramène aisément à une forme entière ) peuvent étre affectées de coeflicients rationnels et fonctions de + qui nous sont inconnus; soient «, LB; Y;--. 20ces coefficients. Pour les déterminer, on différencie équation yen ce qui produit une équation purement algébrique, d? == ÿ dx ? DE VALEUR ALGÉBRIQUE. 107 dont les deux membres, pour étre identiques, doivent étre com- posés des mêmes irrationnelles respectivement affectées des mêmes coefficients. Egalant donc entre eux ces coeflicients de part et d'autre, on trouve un certain nombre x d'équations différentielles linéaires du premier ordre, contenant x quantités inconnues «, B;,Y;-.. qui doivent avoir des valeurs rationnelles toutes les fois que l'intégrale /ydx est réellement algébrique. Si donc on avait une méthode infaillible pour découvrir quand ces équations linéaires peuvent étre satisfaites par des valeurs rationnelles de «, ER ee et si de plus cette méthode fournissait (lorsque cela est possible } les valeurs rationnelles convenables de «, B,7,... le théorème énoncé en tête de ce mémoire se trouverait démontré. Ainsi tout se réduit à traiter cette question nouwÿyelle, qui, par elle-même et indépendamment de ses applications, paraît très- intéressante : Étant donné un système de n équations différentielles linéaires à coefficients rationnels et du premier ordre, contenant 4 incon- nues, trouver les intégrales rationnelles qui peuvent satisfaire à ces équations. Ou, ce qui est a même chose : : Etant donnée une équation linéaire à coefficients rationnels renfermant une seule inconnue y, mais d'un ordre quelconque, déterminer toutes les valeurs rationnelles de y qui rendent son premier membre égal à zéro. Or, la solution de ce problème est exposée dans mon mémoire avec de longs développements. Cet exposé rapide indique à peu près la marche que j'ai suivie. On voit qu'elle renferme deux parties distinctes. L'une consiste à déterminer fa forme algébrique que peut prendre Fintégrale /ydxr, et l'autre a pour objet de découvrir la valeur des quantités ration- nelles qui entrent dans cette intégrale comme coefficients. Je passe sous silence quelques problèmes accessoires qu'il m'a fallu résoudre pour atteindre le but proposé, et je me hâte d'entrer en matiere. 14° 108 INTÉGRALES Je partagerai ce mémoire en deux sections. Dans la premiere je chercherai les intégrales rationnelles d'une équation linéaire différentielle d'un ordre quelconque à coeflicients rationnels, et je donnerai dans la seconde la théorie générale de l'intégrale /ydx, en tant qu'elle est exprimable algébriquement, y étant une fonction algébrique prise à volonté. SECTION PREMIÈRE OÙ LON RÉSOUT CETTE QUESTION : Étant donnée une équation linéaire d'un ordre quelconque à coefficients rationnels, trouver les intégrales particulières expri- mées par des fonctions rationnelles de x, qui satisfont à cette équation ; ou démontrer qu'il n'existe pas de telles intégrales. je [5] Considérons l'équation différentielle linéaire d'un ordre quelconque m dy dy dy ? ——— RE TE RENÉ ue dxk Le. drk=1 Ft te ne à P,Q,....R,S,T, étant des fonctions algébriques rationnelles de x, ou mieux des polynomes entiers, ce qui revient au même, puisque l'on peut chasser les dénominateurs : on demande de dé- terminer toutes les valeurs rationnelles, c'est-à-dire toutes les 3 X , £ : valeurs de la forme Ÿ= A X et YŸ étant des fonctions en- tières ) qui satisfont à cette équation. Si l'on se bornait à demander les intégrales entières, telles que VAT Ci DCE EEE Cr + D, dont la proposée est susceptible, le problème n'offrirait aucune : DE VALEUR ALGÉBRIQUE. 109 difficulté. Par la règle connue du parallélogramme analytique, on calculera d’abord lexposant »; substituant ensuite dans l'équa- . : dy o tion (4), au lieu de Ds. ... leurs valeurs respectives, TL hante Bail 6, CG + D, 4 LE = = MAL" + (m—1)Bz" + LC, T . puis égalant à zéro les coefficients des diverses puissances de x réunies dans le premier membre, on obtiendra un certain nombre d'équations de condition, et on s'assurera s’il est possible ou non d'y satisfaire, en attribuant aux coefficients indéterminés A B:...0 C, D, des valeurs convenables. On n'aura besoin dans cette re- cherche que des formules connues pour la résolution d'un système d'équations du premier degré. Je supposerai donc ici, comme Je l'ai déjà fait dans mon premier mémoire, que lon sache trouver les intégrales entières de l'équa- tion (A), et je ramènerai à ce cas simple celui plus compliqué où lon se propose de trouver les intégrales dont la valeur est une fraction rationnelle =. Or, la détermination des intégrales de cette dernière espèce se réduirait de suite à la détermination des intégrales entières, si le dénominateur Y était connu; car en posant = un et chassant y de l'équation (A), on tombera sur une équa- tion différentielle qui sera de l’ordre x comme la proposée, mais où linconnue 8, substituée à y par cette transformation, devra avoir la valeur entière à — X. Et même ïl n’est pas nécessaire de connaître Y : il suffit de connaître un polynome entier L divisible par Ÿ ; car soit += M, on aura Xp PME Mx 1= Dee A MY L 110 INTÉGRALES Donc si lon fait y — —., léquation différentielle transformée sera satisfaite par l'expression entière 6 — MX. Ainsi notre but principal, dans la question qui nous occupe, doit être de découvrir le dénominateur Y ; ce à quoi nous par- viendrons en généralisant la méthode exposée dans notre premier mémoire, méthode uniquement fondée sur les théorèmes relatifs à fa décomposition des polynomes algébriques en facteurs, et à leur divisibilité les uns par les autres. Comme on risquerait d'être obscur en appliquant nos principes à l'équation générale (4), nous en ferons d'abord lexposition sur les équations particulières du premier et du second ordre. De là on déduira facilement la marche à suivre s'il s’agit d'équations d'ordre supérieur. IT. [6] Équation différentielle du premier ordre : P, Q,R, dé- signant des polynomes entiers donnés, on propose de satisfaire , s'il est possible, à l'équation linéaire du premier ordre (1) pe Qy +R 0, à X S - par une valeur rationnelle y = — où lon peut toujours sup- poser X et Y premiers entre eux. On a vu que pour répondre à cette question il suffit de déterminer Y. Je vais d'abord montrer que les facteurs premiers qui entrent dans Y entrent aussi dans le polynome P; en sorte que st, par exemple, æ + a est un diviseur de Y, ce sera en même temps un diviseur de P. Pour le faire voir, admettons que Y soit générale- ment de la forme 2 5 = Ar ra”, DE VALEUR ALGÉBRIQUE, 111 Z étant un polynome non divisible par ++ a, et &æ un nombre entier positif quelconque. En différenciant y, savoir : X AR Z(x+a)* ; ; aX , d£ nhptos gd et représentant Xe par X', — par Z', je trouve dy aX ZX —XZ Eee, dx Z{x+aÿs+1 L(x+a)* et portant ces valeurs dans l'équation (1), j'obtiens aPX P(ZX'—X2) QX + R —10, ZL(x+a)t+1 L{x+aÿ Z(x+a) égalité qu'on peut écrire ainsi TE — PZX—XZ) + QZX + RZ{x+a} . T+a Le second membre étant une fonction entière, le premier doit être aussi une fonction entière; mais x + a ne divise pas Z, et il ne He : : X DEEE DES divise pas non plus X, puisque la fraction = 2 été réduite à sa plus simple expression. Donc x + a doit être un diviseur de P, ce qu'on voulait prouver. [7] D'après la démonstration précédente, le dénominateur Y se compose du produit des facteurs premiers de P, élevés à des puissances inconnues. Si donc on désigne ces facteurs premiers paræ+a,x+b,x+c,... Y sera nécessairement de la forme Y = (x+a)t (x+b (x+c}ÿ .... et lon aura Gr Nr AO RI MES 20 (æ+a) (x+bY (x+c) … 112 INTÉGRALES D'après la manière dont on arrive à cette valeur de y, les exposants æ,{2,7Y,.... sont des nombres entiers nuls ou positifs. Toute- fois, il y aura plus de généralité et d'élégance à les regarder comme pouvant prendre indifféremment des valeurs entières posi- tives ou des valeurs entières négatives. Pour développer cette idée d'une manière précise, examinons spécialement l'exposant « : les mêmes réflexions seront applicables à B, y..... On sait que & indique combien de fois le binome x + a est diviseur de Y : or, on peut avoir 4 = 0 ou æ >0, et 11 importe de distinguer ces deux cas. En effet, puisque X et Y sont pre- miers entre eux, le facteur x + a, qui entrera dans Y avec un exposant & différent de zéro, sera par cela même exclu de X, où il pourrait évidemment se trouver dans Fhypothèse contraire. Si donc & est >0,x + a ne divisera pas X; et dès lors, dans la valeur de y, savoir : X RTE TNT (æ+a)t (a+ D (x+c)ÿ… x + a se trouvera au dénominateur avec un exposant positif « , et ne se trouvera pas au numérateur. Mais si lon a &æ—0, le binome x + a pourra diviser X : si done on suppose en général qu'il le divise & fois, et que pour exprimer cette circonstance on remplace X par X(æ+a) , la valeur de y deviendra il X(x+aÿ T X ART (r+bP (x+c)…. (x-+a)(x+b(x+c) … et elle reprendra par conséquent la forme X Y = © — — (æ+a)4{2+b(x+c) … si lon pose — o = a. DE VALEUR ALGÉBRIQUE. 113 On voit par fà que dans tous les cas possibles il est permis de faire X de (æ+a){(x+b(x+c)… 7 X n'étant divisible par aucun des facteurs x+a, x+b,x+c,.. pourvu que lon regarde les lettres &, B, y,... comme suscep- tibles d'exprimer un nombre entier quelconque positif, nul ou négatif. [8] I reste à déterminer les exposants «, B, y,.... Sion les connaît une fois, on possédera par cela même le dénominateur de y; et d’après ce qu'on a vu n° 5, notre problème pourra être - regardé comme résolu. J'ajouterai qu'il le serait encore si au lieu de trouver &, fB, y,.... on avait seulement des limites supé- rieures de ces exposants. Soient en effet À, w, v,.... des nombres entiers respectivement supérieurs à &, B, y,.... en sorte que Ton ait CEE MENT NIET ENT AO inégalités qui mdiquent que À, 4, v,.... sont plus rapprochés que &, B,7,.... de l'infini positif. On pourra poser a=A—a, B—=u—f, y—=1—Y.... æ',/(2,7Y,.... étant > 0, il en résultera X(x-+a)* (x+b)P (x+c) … y = —————————————— (x+a} (x+b)# (x+c) Pat Donc le dénominateur de y sera connu dans ce cas aussi bien que dans le précédent ; et par le n° 5 il ne s'agira plus que de trouver les intégrales entières d’une équation linéaire donnée à coefficients rationnels, ce qu’on sait faire, ainsi que nous l'avons expliqué au Tong. Du reste, si l'on veut s'assurer directement que la connaissance 5 15 114 INTÉGRALES des limites supérieures À, 44, v,.... de &, B,7y,.... sufhit pour ramener Îa recherche présente à celle d’une intégrale entière, on observera que y ayant pour valeur X(x+a) (x+bP (x+c) … (æ+a) (x+b}4 (x+c) … FQ si lon pose e ô LE a+a) (x+b)4 (x+c) … / : : . dy et que dans l'équation (1) on substitue, au lieu de y, EE les va- leurs résultant de cette hypothèse, on obtiendra une équation linéaire du premier ordre à coefficients rationnels, qui devra être satisfaite par la valeur entière 8 — X(x+a)* (x+b)P (x+c) La discussion à laquelle nous venons de nous livrer prouve que si les nombres entiers À, 44, v,.... sont des limites supérieures de &æ,B,7,-... on peut, sans pousser plus loin l'examen, faire a=À, B=uw,;y="v,.... et que lon a.alors ) y ) (æ+a) (x+b)# (x+c) … 8 désignant une fonction entière qui reste seule inconnue, et que l'on détermine aisément. On voit aussi que dans Îe cas où Ja valeur de & doit être choisie parmi certains nombres entiers connus, où pourra toujours, sans.crainte d'erreur, faire æ égal au plus grand de ces nombres; et en général, si l'on attribue à &, B, y,.... des valeurs supérieures à celles que ces exposants possèdent quand on réduit la fraction qui exprime y à sa plus simple expres- sion, cela n'aura d'autre inconvénient que de compliquer les cal- culs, et ne nuira en aucune façon à fa solution rigoureuse du problème. DE VALEUR ALGÉBRIQUE. 115 [9] I faut maintenant chercher les valeurs de &, B,7,.... ou au moins des limites supérieures qu’elles ne puissent dépasser. Or, le moyen dont on doit faire usage étant le même pour tous ces exposants, il suflit d'indiquer la marche de lopération sur un d'entre eux, & par exemple. A cet effet je pose (æ+b)P (x+cÿ .... — _ ; V et Z désignant des polynomes entiers non divisibles par æ + a, et j'ai par suite # VX CET Z{x+aÿ è ou plus simplement U SES Z(x-+a)* ? en faisant VX — U. II est manifeste que U n’est pas divisible par TZ +. En différenciant y, il vient dy si &U ZU'—UZ' RTE Z(x-+a}#+1 ni L{x+a)2 Je porte cette valeur et celle de y dans l'équation (1) PL + Q+R=—o, et je trouve aPU P(ZU'—UZ) . QU R Ra Z(x+a}+1 du 2? (x-+a)* Z(x-+a)t e ri Comme ïl importe de savoir combien de fois P, Q, R, con- tiennent le facteur æ + à, je fais P=L(x+a), Q—M(x+a), R=N(r+4}, 15° 116 INTÉGRALES L, M, N, n'étant plus divisibles par ce binome. A l'aide de ces valeurs j'obtiens (2) NZ(x+a)#+r = ZU|aL(x+a)""—M(x+a)] — L(ZU'—-UZ"\(x+a)". [10] Cela posé, ïl faut distinguer trois cas, suivant que l'on a M—1>2,OUM—I1n7. Dans ce cas le second membre de l'équation (2) est divisible par (x+a)", et ne l'est pas par (z+a)"", car il faudrait pour cela que ZUM füt divisible par x + a, ce qui est impossible, puisque chacun des facteurs Z,U, M, pris séparé- ment, ne peut être divisible par æ + a. Donc le premier membre doit être aussi divisible par (x+a)" sans être divisible par (x+a)"" ce qui exige que lon ait a +p—=n, doù & = n — p. DEUXIÈME CAS. m — 10,eta—0,sim—p—1 = 0 ou est < 0. TROISIÈME CAS. » — 1 — ». L'équation (2) devient alors (8) NZ{x+a)# tr = ZU(x+a)""(aL—M) , —L(ZU'—-UZ'\(x+a)". Le second membre est divisible par (x+a)"", et il ne peut devenir divisible par une puissance de + + a plus élevée, à moins que le produit ZU(aL—M) DE VALEUR ALGÉBRIQUE. 117 ne soit divisible par æ+a, et que par conséquent ce produit ne s'annule en y faisant x —— a. Si d'on appelle La, Ma, ce que deviennent L et M par l'hypothèse xz=— a, on trouve donc RE) Ma LA La pour Îa seule valeur de & qui puisse rendre le second membre de l'équation (3) divisible par (x+a)". Pour toute autre valeur de «, ce second membre est divisible par (x-+a)"*, sans être divisible par (x+a)"; il faut donc qu'il en soit de même du premier, et qu'on ait t—M—p— de Par conséquent &« ne peut avoir que lune des deux valeurs : Ma : Tu : m—p—1 et -—,entre lesquelles on doit préférer la plus grande, L Ha o : SOMa NX d’après le n° 8. J'ai à peine besoin d'observer que si —— était une : (42 quantité fractionnaire, on ne pourrait pas la prendre pour valeur de &, et qu'alors on aurait nécessairement & —m—p — 1 (”). III. [1 1] Équation linéaire du second ordre. On demande les va- AR UE S È leurs de fa forme y == qui satisfont à équation (4). | Hot -r— : (*) Nous n'avons point parlé du cas particulier où l'on aurait R—0; mais si le terme fonction de x seulement, était nui dans l'équation (1}; on Ie rétablirait en substi- tuant à l'inconnue y une autre inconnue z, liée à la première par fa relation y — z + f(x) : f(x) est une fonction rationnelle quelconque, pourvu-qüe la valeur y — f(x) ne satisfasse pas à l'équation (1). En général il est permis de supposer que l'équation (4) du n° 5 possède un second membre, et méme qu'elle est complète; car si elle ne l'était pas, on la rendrait telle par une transformation de Ia forme y —zF(x)+f(x), en attribuant aux fonctions rationnelles F(x), f(x), des valeurs convenables. Je dis cela pour montrer en deux lignes que ma méthode n’est jamais en défaut : l'examen direct des cas particuliers dont il s'agit serait d'ailleurs extrêmement facile. 118 INTÉGRALES On a vu que pour résoudre eette questionil sufht de déterminer Y. Or, je vais prouver que tout binome x + a qui divise Y divise aussi P. Pour cela, je ferai en général Y = ZbrE a}; Z étant un polynome premier avec x +4, et & un nombre entier positif quelconque, ïl en résultera 5, X PER Z(x+a) ; PRES De . 4 H Je différencie deux fois cette valeur pour avoir +, 5 et afin T T de simplifier l'expression de ces dernières quantités, je fais dome Ex — La ———— +(x+a) et dx ‘dx 23? moyennant quoi je trouve dy aX X, dE LUE Z(x+a)=+r1 je L'(x+a)® | dy æ(æ+1)X x dr? Z(z+aÿr à Z{x+a)#1 H est évident que X, et X, sont des fonctions entières. Si fon substitue dans l'équatiôh (4) ces valeurs et celle de y, et si lon multiplie ensuite l'équation par Z(x+a)*+1, il vient a(a+1)Z?2X.P T+-a + PX, — aQPX + (x+0) (QZX;,+RZX) = SZ(xr+a)ri. DE VALEUR ALGÉBRIQUE. 119 , . Cette équation prouve que Z?XP doit être divisible par x + a; mais X etZ sont premiers avec x + a : donc ce binome divise P. [12] Ainsi, lorsqu'il s'agit de l'équation différentielle du se- cond ordre, comme lorsqu'il s’agit de l'équation différentielle du premier ordre, le dénominateur Y ne peut se composer que du produit des facteurs de P élevés à des puissances diverses. Imagr- nons donc que æ+a, x+b, x+c,.... soient des facteurs premiers de P; Y devra être de la forme Y = (x+a} (x+b (x+c} ... &,(2,7Y,.... étant des exposants nuls ou positifs. Ainsi la valeur de y devient X ip (x-+a)® (2+b)8 (x+c) Lorsque & est > 0, x + a ne doit pas entrer dans X , et il peut au contraire diviser X une ou plusieurs fois si & = 0. Il résulte de là, par un raisonnement analogue à celui du n° 7, qu'il est toujours permis de faire D ri A re (x-+a} (x+0P (x+c} et de supposer le numérateur X non divisible par x+a,r+b,1+c,.. pourvu que l'on convienne de regarder «&, B, y,.... comme des nombres entiers susceptibles de prendre indifféremment des valeurs positives, nulles ou-négatives. I faut maintenant déterminer &, B, y,.... Pour faire con- naitre la marche à suivre, je vais chercher l’exposant &. A cet effet je pose Z (æ+bP (x+c) .... — > 120 INTÉGRALES 3 Z et V désignant des fonctions entières non divisibles par x + 4, et jen déduis ou plus simplement AN Z(x+a)* en faisant VX = U. I est clair que le polynome U n'est pas divi- sible par x + à. Je différencie y deux fois, et pour abréger, je pose et U .æ(r) G __ Us + (x+a) a 0 U, et U, représentant des fonctions entières; j'obtiens dy aU U, PT NES Z(x+a)+1 Le L(x+a) ; d'y __ a(a+1)U U, de Tx+aÿ3 É Z{x+a}er1 | Portant ces valeurs et celle de y dans l'équation (4), elle devient a(a+1)UP «QU RU Z(x+a}:+2 re Z{x+a)*+1 É Z{x+a) —10; PU, QU, + L(x+a)#+1 di L{x+a) DE VALEUR ALGÉBRIQUE. 121 Je chasse les dénominateurs ; puis afin d'indiquer combien de fois P,R, S, contiennent x + a, je pose P=L(x+a)", Q=M(x+a), R=N(x+a), S— O(x+a), L,M,N, O, n'étant plus divisibles par x+a. De la sorte jarrive à l'équation définitive (5) ZO(x+a)2+1 = a (a+ 1) U2L(x+a)—2—aUZ2M(x+a)— +UZN(x+a}+U,L(x+a)"—1+U,ZM(x+a). Cela posé, la détermination de l'exposant inconnu «& dépend de la grandeur relative des trois nombres m—2, »—1, p: Nous allons parcourir les divers cas qui peuvent se présenter. [1 3] Ils se réduisent à trois principaux. En effet, ou des trois nombres m—2,n—1,p,i y en a un plus petit que les deux autres; ou deux de ces nombres sont égaux entre eux, et plus petits que le troisième; ou enfin ces trois nombres sont égaux entre eux. PREMIER CAS. II se subdivise en trois autrés; car puisque l'un des nombres m—9,n—1, p, est le plus petit, ce nombre le plus petit peut être ou p, où »—1, où m—2. Si on a p < m—92 et p 0, et Lt 10 S17 —" 7 1-—"0\ourest <'0. Si l'on a m-—-2 m—92 et m—2—n—1, léquation (5) devient (6) Z'O(x-+a)#+3—{ (a+ 1)L—aM UZ(2+a)""+UZN(x+a)" +U,L(x+a)""+U,ZM(x+a)". Son second membre est toujours divisible par (æ+a)"?, mais pour qu'il devienne divisible par une puissance de x+a plus ” r . e élevée, ïl faut que æ(æ+1)L — «M soit un polynome divisible par x +a, ce qui peut arriver de deux manières : d'abord en posant & — 0, ensuite en posant M : d = —1+ Ke M, et L, représentant ce que deviennent les polynomes M, L, quand on y fait æ——a. Or, si le second membre de l'équation (6) n’est divisible que par (x+a)"”, ce qui arrivera pour toute autre valeur de «, il faudra nécessairement qu'on ait & — m— q—2. Donc & ne peut prendre que Tune des trois valeurs Ma 0, —1+ DT. et m—q—2, 1.2 parmi lesquelles on préfèrera la plus grande : bien entendu que si “te Ma , : ; ; Ë : la quantité —1 + —— était fractionnaire on n'en tiendrait aucun compte, puisque « doit être un exposant entier. Si Ton a n—1>m—2 et m—2 —p, l'équation (5) devient (7) PO(+a)+1— aa + 1)L+N]UZ/(2+a)""—aUZM(x+a)" U,L(x+a)""+U;ZM(x+a). Son second membre est divisible par (x-+a)";.mais pour qu'il devienne divisible par (x+a)"—", 1l faudra que le polynome a(a+1)L + N soit divisible par x + a, c’est-à-dire que « soit racine de l'équation a(a+1)L, + N, = 0, 16° 124 INTÉGRALES . L, et N, désignant ce que deviennent L et N Iorsqu'on y fait æ——a. Je nomme à’, «”, les deux racines de cette équation, dont on ne devra tenir compte que si elles sont entières. J’observe ensuite que si & est différent de &’ et de &”, le second membre de l'équation (7) est divisible par (%+a)"? seulement, d'où lon conclut, par le raisonnement ordinaire &æ— Mm—q — 2. Donc lexposant & ne peut être que l'un des nombres æ&', «', m—q—2; en sorte que d'après la remarque du n° 8 il faut poser a — le plus grand des trois. Silonam—2 >n—1etn—1—p, l'équation (5) devient (8) 2'O(x+a)* +1=a(a +1 )UZL(x-+0)""+UZ{(x-+a) (N—aM) +U.L(x+a)""+U,ZM(x+a)". Son second membre est divisible par (x-+a)""', et ne peut devenir divisible par (x+a)' que si N—4M est divisible par * 5 Na ee 3 ue x +a, Ce qui supposeæ ——, N, et M, désignant à l'ordinaire Îes ? I P M & a D 111 valeurs de N,M, pour æ—— a. Mais quand le second membre de l'équation (8) n'est pas divisible (x+4)', on en conclut sans peine que &æ—n—q—1, Donc & ne peut être que =n—g—1 Na ! ou — -—, en sorte que lon doit poser & =x—g—1, lorsque Na : £ sr = st fractionnaire, et & — la plus grande des deux quantités Ma est un nombre entier. Na n—q—1, et = lorsque a TROISIÈME CAs. Si lon a m—2—=n—1—=p, l'équation (5) devient (9) Z'O(x+a)+1=UZ"(x+ a)" {a (d+1)L—aM-+N} +U,L(x+a)""+U,Z.M(x+a)". Le second membre est divisible par (æ-+a)"*, et il est mani- DE VALEUR ALGÉBRIQUE. 125 feste qu'il ne pourra être rendu divisible par une puissance de x+a plus considérable qu'en égalant « à une des racines de l'équation æ(æ+1)L, — aM, + N, = 0, L,, M,, N,, ayant la signification précédemment indiquée. Soient a’, «", les deux racines de cette équation, dont il ne faudra tenir compte qu'autant qu’elles seront entières. On observera que si & est différent de &', «”, le second membre de l'équation (9) sera divisible par (x+a)"?, et non divisible par (x+a)"*, d'où résulte æ —=m—gq— 2. Donc « doit avoir pour valeur un des trois nombres &', &', m—q—2, et d'après la remarque du n° 8, on peut l’égaler au plus grand d’entre eux. IV. [14] Équation linéaire d'un ordre quelconque. La simplicité et surtout l'uniformité de la marche que nous avons suivie pour obtenir les intégrales rationnelles des équations linéaires du pre- mier et du second ordre, prouvent suffisamment que cette marche est applicable à l'équation générale du—"y dy Aussi aurons-nous peu de mots à ajouter pour rendre la chose évidente. : 1 ne RATER MEN , D'abord si la valeur y — . qui satisfait à l'équation (A) est réduite à sa forme la plus simple, on peut prouver que les fac- teurs premiers de Y divisent tous P. Soit en effet x+ a un de ces facteurs, et supposons qu'il entre «& fois dans Y; faisons en conséquence Y = Z(xz+aY, 126 INTÉGRALES d'où te X ÈS Z(x+a)2 F I est facile de voir que les valeurs de, +. etc., peuvent se mettre sous la forme dy De aX X, dx Zix+a)t+1 4 L(x+a}t dy a(a+1)X Xe dé Zara | Paraeri Œy a(a+1i)\à+2)X X;, den Z(x+a)+3 " Z'(x+a)*72 déy Ca d(d+1)(t+2)..(d+u—1)X X dxt Z(x+a)+« Zu (x +a)e +41 X,, X,, X,,.... XX , désignant des polynomes entiers. Si lon substitue ces valeurs dans l'équation (4), et que lon multiplie ensuite cette équation par Z#+t{x+a)t+4—1, il est évident que tous les termes dont elle se compose seront débarrassés de dénominateur, un seul excepté , lequel sera égal à a(a+1)\æ+2)...(&+u—1)PZ4 X T + da Donc le numérateur de ce terme devra être divisible par x+a, ce qui exige que æ+a soit un des facteurs premiers de P. [15] D'après cela, si l'on désigne par z+a,x+b, x+c,... les diviseurs linéaires de P, y sera nécessairement de la forme X AT (x+a){(x+b)P(x+c) DE VALEUR ALGÉBRIQUE. ; 127 et si l'on regarde &, B, y,.... comme pouvant exprimer des nombres entiers quelconques, positifs, nuls ou négatifs, il sera permis de supposer que X n'est divisible ni par 4+a, ni par æ+b, ni par x+c...... Maintenant pour déterminer &, B, y,... par une a, faisons * Z (x+b)B(x+c)r .... — = puis VIXEENUS ce qui donne U LE Z(x+a)* î où lon peut supposer les polynomes Z et U non divisibles par dy d'y æ+a. On tire de là pour D nee? EÉCe ) des valeurs de la forme dy RENE aU U; dr — Z(x+a)+#+1 L(x+a) du—1y AD a(a+1)...(a+u—2)Ù Uri dau_n1 Z(x-+a)+ 41 Zh(x+a)+#—2 duy a(a+1)...(a+u—1)Ù Uz AUX, Z(x+a)2+# Lei (x+a)e +41 U,,.... Un, U», étant des fonctions entières de x. Je porte ces valeurs dans l'équation (A); et comme il est néces- saire de connaitre la relation des coefficients P, Q,....R,S,T, avec le binome x +a, je fais en outre 128 INTÉGRALES P = (x+a)"P, Q = (x+a)'Q, R = (x+a}R, S (æ+a YS, T = (z+a)T, Toutes opérations effectuées, il vient une égalité de la forme (B) TZéti(x+a)#tr — Zk .UK + L, les quantités K, L, ayant les valeurs suivantes K = + af(a+1)...(a+u—1)\x-+a)"—#.P, F da+1)...(a+u—2)r+a)#+1, Q, — a(x+a)TR, + (x+a)S,, et ER 27 D (x+aÿ"—# IL ZQU, _:1(x+aÿ #3 +. PEN .... + Ze IRU(r+ay. Cela posé, pour déterminer &, il faudra examiner les divers cas qui peuvent se présenter suivant les valeurs relatives des nombres D NON RE UNE ic MENT J'en examinerai deux seulement, lesquels montreront assez com- ment on discuterait les autres. [16] Je supposerai en premier lieu que »# — u soit plus petit que tous les autres nombres DE VALEUR ALGÉBRIQUE. 129 Alors le second membre de équation (B) est divisible par (x+a)"—4#; mais pour qu'il devint divisible par une puissance supérieure de x + a, il faudrait que le terme afd+1) .... (@-tu—1)(x-+ayr—# 7" UP,, contenu dans Z# UK disparût, ce qui suppose & — 0, 4——1... ou & — — p +1. D'ailleurs toutes les fois que Île second membre de Téquation (8) est divisible par (x+a)"—# seulement, il faut que le premier contienne x + a avec un exposant égal à m—, c'est-à-dire qu'il faut que l’on ait 4 =m—p4—r. Donc la valeur de æ doit être où m—y4—7r, ou l'une de celles qu'on a précé- demment écrites; et comme le raisonnement du n° 8 fait voir que dans le doute on doit préférer le nombre le plus fort, il en résulte que si »m— —r est une quantité positive, on aura td=Mm—M—T; et que si »m — y — r est une quantité nulle ou négative, on aura CRT Le second cas que j'examinerai est celui où lon a M—h=NR—M+H 1, =p — 1 = q. Le second membre de Féquation (8) est alors divisible par (x+a)"—#; mais pour qu'il devint divisible par (æ+aÿi= #1, faudrait que le polynome K, qui prend évidemment la forme Le K = (2+a)"—# [(a,x), fût divisible par (æ+aÿr—H+1 : cette condition est exprimée par l'égalité L 2 flaca)= 0 dont on cherchera les racines entières &', &', &",... Cela posé, on observera que si 4 n’est pas un des nombres &', &',&",.. 5. 17 130 INTÉGRALES le second membre de l'équation (8), et par suite le premier, seront divisibles par (x+@)"—# seulement, ce qui exige que t=M—HA—T. Donc 4 aura pour valeur la plus grande des quantités m — x — +, d',æ&,æ',.... I importe de faire attention que non-seulement on n'a pas besoin des racines irrationnelles ou fractionnaires de l'équation fla—a) = 0, mais qu'il suflit même d'avoir la plus grande de ces racines en- tières ou une limite supérieure à cette plus grande racine. [17] La théorie que nous venons d'exposer ramènera, comme on la dit, la recherche des intégrales rationnelles de léqua- tion (A) à celle des intégrales entières d'une autre équation linéaire, lesquelles s'obtiendront sans difficulté. La rédaction qu'on vient de Jire semble supposer essentiellement que le polynome P qui Là OEM à : | multiplie PER été décomposé en facteurs. Cette hypothèse n'a rien d'inadmissible en soi, puisque [a détermination des racines des équations numériques est une question d'un ordre inférieur, que l’on suppose généralement connue lorsqu'on s'occupe du calcul mtégral. Toutefois on se formerait de notre méthode une idée très-inexacte, si on se figurait que, pour l'appliquer aux cas par- ticuliers, on a besoin de résoudre certaines équations. Cela n'est point du tout nécessaire, et les géomètres versés dans {a théorie des fonctions symétriques le comprendront d'abord. Que si, dans tout ce qui précède, j'ai supposé le polynome P décomposé en facteurs premiers, c’est uniquement pour simplifier les calculs, et réduire à un moindre nombre les cas particuliers, déjà très-nom- breux, qu'on est obligé de discuter. Afin de rendre sensible à tout le monde la vérité des propositions que je viens d’énoncer, je vais reprendre en son entier ( et sans supposer en aucune manière DE VALEUR ALGÉBRIQUE. 131 qu'on sache trouver Îes racines incommensurables des équations), je vais reprendre, dis-je, la recherche des intégrales rationnelles de l'équation linéaire du premier ordre : (1) ans Qy +R = 0. [18] Nouvelle discussion de l'équation linéaire du premier , X ë ordre, En représentant par y — ee la valeur rationnelle de y qui satisfait à l'équation (1), nous avons prouvé au n° 6 que le dénominateur YŸ ne peut étre formé que du produit des facteurs premiers de P, élevés à des puissances inconnues. Comme il im- porte de savoir combien de fois ces facteurs entrent dans P, nous supposerons qu'on ait décomposé ce polynome par la méthode des racines égales en un produit de Ia forme Pme, LR dans lequel E contient tous les diviseurs simples de P, F° ses diviseurs doubles, G ses diviseurs triples, et en général K” ceux qui s'y trouvent fois. Les polynomes E, F, G,....K... sont tels que les équations BAND: RH — 0, (NAS 0 nulle ne peut avoir de racines égales. Il résulte de là que si l'on désigne par E’, F', G',,.. K',... les dérivées respectives E,F, G;...:K,..: les polynomes E et E sont premiers entre eux, ainsi que F et F', G et G', K et K’; propriété qui nous sera utile par la suite. à Si lon décompose par Îa pensée chacune des quantités E, F,G,.... K,.... en facteurs linéaires inégaux; si l'on fait en conséquence 17 132 INTÉGRALES E = (x+a) (x+a') (x+a" F = (x+b) (+0) (æ+b") .... G = (æ+c) (x+c') (x+c") auote r ee cire lu otetelxr9 here) ciel on sait que Ÿ pourra contenir æ+a,x+a,....a+b,x+b",. élevés à des puissances diverses. On pourra donc me Y comme étant le produit de quantités de Îa forme suivante : (æ+a)* (x+a)* (a+a"ÿ 5 (x+b)8. (+0 (a+ D (e+c} (a+e) (x+cY (a+) (e+hY (e+h) Pour fixer les idées, je supposerai que & est le plus grand des exposants &, &',æ& -..;que B est de même plus grand que 2’, g'...; y plus grand que y, y'...; et enfin € plus grand que e',€".... Si lon multiplie ensemble les fonctions que je vais écrire (x+a es (x+a (x+b' PE (a+ LP (a+c'} Tr (ææ+c'}?" . (a+h Ye (a+) DE VALEUR ALGÉBRIQUE. 133 on formera une fonction entière S telle que le produit SY sera égal à Ec, F£ : Gris à. Ke Maintenant on aura XX sx EE ITS GT E< F6 G ...K° ... La valeur de y pourra donc se mettre sous Ia forme v PTS LR et par des considérations semblables à celles du n° 7, on s'assu- rera qu'il est toujours permis d'y regarder V comme n'étant divisible par aucun des polynomes E, F,G,... K;... pourvu que lon regarde les lettres 4, 2, Y,...E,... comme suscep- tibles d'exprimer un nombre entier quelconque positif, nul ou négatif. [19] I reste à chercher «, B:7Y,-.. €. Voici la marche que l'on doit suivre pour déterminer €. On posera Es F6 G ...K° ... Z K: da W et Z désignant des polynomes entiers, que l’on peut regarder tous deux comme premiers avec le facteur K, et on aura par suite : 134 INTÉGRALES ou plus simplement : U Vi : ER en faisant VW = U. Puisque W est premier avec K, et que V n'est pas divisible par K, le produit VW =U ne le sera pas non plus. En différenciant la valeur de y, il vient dy ue vtt AU UZ PO COMME Je porte cette valeur et celle de y dans l'équation dy (1) PP + @y +R = o, et je trouve ePK'U P(ZU'—UZ") QU > —— © + — +R =0 ZKET 1 PK: ZK: Mais P, Q, R, peuvent renfermer le facteur K. Pour le mettre en évidence, je fais PIE CREER NE UKT Q = MK? — NK?, L étant premier avec K, et M et N étant non divisibles par K, bien qu'ils puissent avoir certains facteurs communs avec ce poly- nome. À l'aide de ces valeurs j'obtiens (x) NZR° 7 = eZULK KA — L{ZU-UZ )K° — ZUMK-. DE VALEUR ALGÉBRIQUE. 135 [20] Cela posé, il faut distinguer trois cas, suivant que lon a P>n—1,pn— 1. Il est évident que le second membre de l'équation (æ) est divisible par K"T'; mais pour qu'il devienne divisible par K”, il faut que lon ait € — 0. En effet, des trois termes qui le composent, les deux derniers sont divisibles par K'; mais Île premier, savoir, ZULK'K" ne peut pas l'être, car il ULK:! : Z H : : faudrait pour cela que fût un polynome entier, chose impos- sible, vu que L, Z et K', sont premiers avec K, et que U n'est pas’ divisible par K. Donc si l'on exclut lhypothèse £ — 0, le premier membre de l'équation (æ) doit aussi étre divisible par K"-" sans l’étre par K", ce qui exige que l'on ait € — » —q—1. Il résulte de cette discussion que lon ne peut choisir pour valeur de € que l'un des deux membres 0 et —4— 1, dont le plus grand doit être préféré. D'après cela, si n—q—1 est > 0, on fera E=R—q—1,etsin—q—1 est—0 où <0, on fera € — 0. DEUXIÈME cas. pn—1. I ne diffère pas de celui dont nous avons fait un fréquent usage dans le paragraphe précédent. Le second est un peu plus compliqué ; il dépend de la résolution d'une question DE VALEUR ALGEBRIQUE. 139 d'algebre , puisqu'il s’agit de trouver les valeurs de £ qui peuvent rendre U(:LK'K°— M) divisible par K° : ce problème est déterminé, parce que Ton be £ U . 5 sous-entend cette condition essentielle que 7 soitune fraction. La marche même du calcul indique suffisamment que la recherche des intégrales rationnelles d’une équation linéaire d'ordre supé- rieur dépend de principes tout à fait semblables à ceux que nous venons de mettre au jour; en sorte que nulle part cette recherche n'exige la connaissance des racines irrationnelles des équations numériques. Maintenant, si lon a un système de w équations différentielles linéaires simultanées renfermant y inconnues, ïl sera facile d'en obtenir fes intégrales rationnelles, puisqu'on pourra éliminer toutes les inconnues, hors une qui se trouvera donnée par une équation linéaire semblable à notre équation (A). Bien entendu que les divers coeflicients contenus dans les équations simul- tanées sont supposés des fonctions rationnelles de la variable indépendante x. On pourrait, au lieu de chercher les intégrales rationnelles de l'équation dinéaire (4), demander les intégrales exprimées par des fonctions irrationnelles de premiére espèce. Mais la solution de cette question est étrangère à fobjet du présent mémoire : je ne m'en occuperai donc pas ici, non ‘plus que de l'extension dé notre méthode aux équations non linéaires. 18” 140 INTÉGRALES SECTION II, OÙ L’ON RÉSOUT CETTE QUESTION y étant une fonction algébrique de x, trouver l'intégrale fydx toutes les fois qu'elle est exprimable algébriquement. [22] Nous nous occuperons dans cette section des moyens d'intégrer algébriquement ydæx toutes les fois que cela est possible. Puisque y est une fonction algébrique de +, explicite ou implicite, on peut toujours considérer 7 comme étant racine d’une équation “le la forme (a) ge = Dykni— < — My—N—o, L,.... M, N, désignant des fonctions rationnelles de +. Cette équation est facile à obtenir lorsque y est une fonction explicite, et on doit la compter au nombre des données fondamentales de la question, lorsque y est une fonction implicite. Cela posé, l'intégrale /ydx dépend de fa variable +, et il est permis de la regarder comme une fonction de x et y : or, je dis que si elle est exprimable algébriquement, sa valeur ne peut être qu'une fonc- tion rationnelle de x et y. Ce théorème énoncé depuis longues années par les géomètres a été rigoureusement établi par Abel, dont j'adopteraï ici la démonstration (”). En faisant /ydr—u, on voit que si la quantité w est une fonc- tion algébrique, explicite ou implicite, de + et y, comme nous le supposons, il y aura entre +, y, u, une équation algébrique que je désignerai par (b) f(x, Jrad, (*) La démonstration d'Abel est plus générale que celle que j'ai donnée du même théo- rème dans mon premier mémoire; car elle ne suppose pas à priori que la valeur algébrique de fydx soit exprimable par radicaux en fonctions de x et y. DE VALEUR ALGÉBRIQUE. 141 et dont le premier membre contiendra +, y, u, rationnellement et sous forme entière. Cette équation, qui fournira la valeur de «, sera, par rapport à cette inconnue, d'un certain degré d\; et on a le droit de Ia regarder comme irréductible, c’est-à-dire d'admettre qu'il soit impossible que Ia fonction x puisse être racine d’une autre équation de a même forme, mais dont le degré serait moindre que d\. Dès lors il est incontestable, 1° que Îe premier membre de l'équation (b) ne sera jamais décomposable en deux facteurs ra- tionnels, sans quoï on pourrait supprimer celui de ces facteurs qui serait étranger à Îa question, et abaisser par là le degré de l'équation; 2° que si l'équation (b) a une racine commune avec une autre équation de même forme F(x, y, u)— 0, toutes les racines de Îa première satisferont à la seconde; car si la chose se passait autrement, les deux polynomes f(x, y,u), F(x,y,u ) auraient un commun diviseur dont le degré serait moindre que d\, et par conséquent /\ x, y, u ) se trouverait décomposable en deux facteurs rationnels, ce qui ne se peut. Maintenant, pour que équation Jyxd = u té soit satisfaite, il faut et il suflit que Ton ait dL aM dN jy gén + y + Dep pete Ur =M et Je), deu 4 deu dx dy dz du dz 142 INTÉGRALES : F De F À du Eu combinant ces deux égalités, on en déduira pour —— une ET. valeur rationnelle en fonction de x, y, u, valeur que j'écrirai ainsi : du Q(x,y;u) dr V(x,yu) ? en mettant en évidence son numérateur et son dénominateur, et d'où résultera p(æ,y;u) YU = , J L (x,yru) Donc pour que Fléquation /ydx = u ait lieu, 1 faut et il suffit que la valeur de # soit telle qu'on ait à la fois (b) fa ysu) = 0; (ce) yl(x,y,u) — Q(x,y,u) = 0. Mais nous avons démontré que si lune des racines de l'équa- tion (4) satisfait à l'équation (c), les autres y satisferont aussi. Donc en nommant %,, %, #3, .... us, toutes Îes racines de l'équation (4), si l'intégrale /ydx peut étre exprimée par la pre- miere #,, elle pourra également être exprimée par les autres #;, Us, .... uy, d'où il résulte, en ajoutant toutes ces valeurs, que Ton aura L Uni + Ua HU + ee + Ud fydr = PS TT D'ailleurs, par la théorie des fonctions symétriques, le second membre de cette dernière égalité est exprimable rationnellement au moyen des coefhicients de # dans Téquation (b) (esquels sont eux-mêmes rationnels en x et y). Donc fa valeur de /ydx, quand elle est algébrique, se trouve égale à une fonction rationnelle de x et y, ce qu'on voulait prouver. DE VALEUR ALGÉBRIQUE. 143 [23] D'après ce théorème, la valeur de /ydx peut ètre écrite ainsi : _ f(zy) À RE, Ten {(x,y), F(x,y), étant des fonctions rationnelles et entières de æ et y. Je vais faire voir qu'il y a toujours un facteur rationnel ®(x,y), entier par rapport à y, et tel que le produit @(x,y), F(x,y) devienne une simple fonction rationnelle de x, indépen- dante de y. En effet y est, comme on l'a vu, une des racines de l'équation (a) ge — Lt — .... —My —N=o, soient Yi, Yo, -:.: yu1 les autres racines. Il est évident que le produit < F2) Fey) Fay) Fay) étant une fonction symétrique des racines de léquation (a) s'ex- primera rationnellement au moyen des coeflicients de cette équa- tion, c'est-à-dire sera une fonction rationnelle de +, indépen- dante de y. I en résulte qu'on peut prendre pour valeur du facteur cherché, Le produit F(xyy,) F(x,y:) . ... F(x,yu-à), et poser +. o (es) = Fey) Fey) F(ye) Cela suppose, il est vrai, que ce produit peut s'exprimer ration- nellement en x et y, et qu'en outre il ne contiendra pas y en dénominateur. Pour démontrer cette propriété, Jobserve que fa quantité E(xys) Faye) : - + F(x,yu-1) est une fonction symétrique entière de y, ÿ:, -..... Yust ?: d'après les éléments d’algébre, elle peut donc être considérée comme une fonction entière des sommes 144 INTÉGR ALES rh +... Fr Yu Celles-ci sont exprimables en + et y sous forme rationnelle, et ne contiennent pas y en dénominateur, puisque si on leur ajoute respectivement y, y”, y°,.... on obtient les polynomes MER Te Se po 00 0 ner 2 2 2 2 VTT Ne 'HYÉHYs +os.. Vu dont les valeurs sont fonctions rationnelles de x seul. Donc on peut poser Dry) = Ex) F(x,gs) :... F(tyu-1), et Q(x,7) sera une fonction rationnelle de x et y, entière par rap- port à y. En multipliant par le facteur @(x,y), ainsi obtenu, les deux F(x,y) F(x;y) ? se trouvera exprimée par une fonction dans le dénominateur de laquelle y aura disparu : cette fonction sera de Ia forme termes de la fraction équivalente à /ydx, cette intégrale Jydx = à + By ++ vÿ + ete., TOR EU désignant des quantités rationnelles en x. D'ailleurs, en vertu de léquation (a), qui donne y = Lykt +... + My + N, on peut éliminer du second membre toutes les puissances de y DE VALEUR ALGÉBRIQUE. 145 dont l'indice est supérieur à #1; en sorte! qu'il reste simple: ment un résultat de la forme: Jude = à + By + y + 24 20 NANAYEA Donc on a ce beau théorème : St l'intégrale [ydx est exprimable algébriquement, elle ‘aura une. > valeur de la. forme Jydz = a + By + Vÿ +... + ay dans laquelle «,'B, y, ...,'A, sont dés”fonctions! rationnelles de x. : [24] Jusqu'ici nous n'avons poïnt eu à examiner pi cu de léquation (a); mais pour déterminer «, 8; Ver rhest nécessaire de supposer cette! équation ramenée, à, sa/forme Îa plus simple. I est toujours permis de supposer l'équation (a) irréductible, c'est-à-dire de supposer que la valeur de y considérée par nous ne peut être racine d'aucune équation, à coefficients PAIE de degré inférieur à y. énoing 2Hon En effet, si la racine y pouvait appartenir à l'équation (a) et à une autre équatidn semblable de degré moindre, f est clair que le premier membre de l'équation (a) se de oo en deux facteurs rationnels; en sorte qu'on se débarrasserait aisé- ment de celui de ces deux facteurs qui serait étranger à Îa question. j | Avant de faire usage de équation ee nous supposérons Mbne qu’elle a été. ramenée à, sa forme la plus simple. On opérera cette réduction par les règles connues. de lalsébre, en cherchant suc- cessivement et en chassant f par a divisiontles facteurs rationnels du 1°, du 2°, du 3° degré, etc., qui peuvent se trouver dans le premier membre de léquation. (a) Lriéts HAE Maintenant que, cette équation est devenue irréduetible, si Fou considère un, polynome de la forme A8 294PIST 1} Etes res Pytt = Qy«? eo, + HycK ÿ ) nie | 146 INTÉGRALES P, Q, :.:. H,K, étant des fonctions rationnelles de x, il est manifeste que ce polynome ne pourra être nul à moins qu'on n'ait Po; 4 =0, 8-5 EE 0 KE 0, sans cela en effet il existerait une équation de degré u —1, SaVOIr : } Pytl + Qu +... + Hy+K=—o, ayant une racine commune avec l'équation (a) irréductible et du degré x : ce qui. est impossible. [> 5] À présent reprenons légalité fydx ='a+ By + V+ 0e + Aya, En la différenciantet faisant tout passer dans le premier membre, nous aurons da dB > da EE be Me D put (a) y dx 4 dx y dx dx (By an (m1) Age À k À L'équation (a) donne d'autre part d DR eg Cette valeur de _. étant une fonction rationnelle de x et y, AL on peut la mettre sous une forme entière relativement à y, en en multipliant les deux termes par un facteur convenable : effec- tuons ensuite-le- produit DE VALEUR ALGÉBRIQUE. 147 (B+ 92% +... +(u—1)ay4 23} —) et chassons-en, au moyen de féquation (a), toutes les puissances de y dont Findice est égal ou supérieur à x : par 1à nous donnerons à ce produit la forme | E+Fy + Gp +. + Hyxsi É, F, G, ...H, étant des fonctions rationnelles de x, B, Vue A linéaires par rapport à B, y,....2A, et dans lesquelles & n'entre pas. D'après cela l'équation (d) peut être écrite ainsi da dB dy 2 ja dx “ieeie = 9 dx ni dx J "+ dx RES CORRE ES CE 1 +.:G + H — 1 et Ton en conclut ESS NI E Vo dx Donc pour déterminer Îes 4 inconnues &, B, y, ..... À, on possède un système de x équations différentielles linéaires que nous venons d'écrire; en sorte que toute la question est réduite à chercher les ue rationnelles de cés ÉApatnss ce. queenous avons enseigné à faire (°): (*) Dans une note que j'ai rédigée pour Îe journal de M. Crelle, j'ai prouvé que Îes équations (e) ne rentrent jamais Iesunes dans Îes autres;tce qui est nécessaire pour établir 19" 148 INTEGRALES Si les équations (e) n'ont pas d'intégrales rationnelles , Pimpossi- bilité d'exprimer /ydx algébriquement sera démontrée ; et dans le cas contraire, {a méthode qui sert à calculer «, B, y, ...4 À, fournira aussi la valeur de /ydx. Ainsi est démontré, dans toute son étendue, le théorème général qui fait l'objet de ce mémoire. Le procédé dont on vient de se servir n’exige nulle part qu'on sache trouvér les racines incom- mensurables des équations numériques : Fopération la plus com- pliquée qu'il nécessite est [a division algébrique. Ce même pro- cédé s'applique à diverses questions sur lesquelles nous reviendrons ailleurs. [26] En effet, la théorie exposée dans la section première , pour la détermination des intégrales rationnelles d’une équation linéaire, me paraît devoir être d'une grande utilité en analyse; et je ne puis m'empêcher d'en rapporter ici une application tres- simple, à laquelle un passage de M. Lacroix (”) m'a donné lieu de penser. « I ya encore, dit M. Lacroix, un autre moyen d'intégrer une eTxdx GR « chercher à la rapporter à la différentielle de Ia fonction e*P, qui «est e*(dP + Pdx), et dans laquelle P représente une fonction « algébrique de +. C’est principalement la sagacité et Fhabitude du « fonction exponentielle, telle par exemple que ; cest de qu'il ya réellement autant d'équations que d'mconnues, comme l'exige notre méthode. J'ai montré aussi comment lon en déduit immédiatement, en les généralisant, les résultats contenus dans mon premier mémoire. I ne sera pas inutile d'observer ici que l’inconnue & entre-dans la première des équations (e) seulément, et n'y entre que par fa différentielle —— : quand on aura déterminé Îles valeurs rationnelles de 2,7, .... À, on calculera dx donc ensuite celle de &, par la simple intégration d'une fraction rationnelle. Cette re- narquéservira à simplifier quelquefois le calcul. Elle démontre en outre, sans qu'il soit nécessaire d'insister là-dessus, que emploi des équations (e) fournirait la valeur de fydx, lors même que cette valeur contiendrait des logarithmes, si les signes logarithmiques ne portaient que sur des fonctions rationnelles de x. (©) Traité du calcul différentiel-et du calcul intégral, tome IL, page 94. DE VALEUR ALGÉBRIQUE. 149 «calcul qui peuvent guider dans ce procédé. L'exemple proposé «étant fort simple ji suffit de faire 1: + x — 2: il vient alors cu 2 mené (in) (1+x) 22 e 3 z? hs . à À dz ", et, avec un peu d'attention, on voit bientôt que sr étant la Le e] RE TUE 1 ô À 1 not 2 A « différentielle de — , on doit avoir P—-—, d'où résulte Tlinté- Z z e= . «grale — +- constante. Remettant au lieu de 3:sa valeur, on ze « trouve ezxdx et = + constante. » (1—-x} 1+zx Mais ce n’est 1à qu'une méthode de tàtonnement qu'il est aisé £ s TE Q 4 . ,-r Mer de réduire en procédé régulier. D'abord si la quantité 5 à + dx M ; s \ : (<- étant une fraction rationnelle ) peut se mettre sous la forme Mez VE e dx = Pe* + constante, Pétant une fonction algébrique, il est aisé de prouver que P sera une fonction rationnelle de x. Ensuite, en différenciant , on trouvera Tout se réduit donc à chercher s'il y a une valeur rationnelle de P satisfaisant à cette égalité, et à la déterminer quand elle existe en effet. Ainsi notre théorie de Yintégration des équations linéaires en quantités rationnelles résout de suite le problème de M. Lacroix. Elle permettra. aussi d'intégrer e “ydx, y étant une fonction algébrique quelconque, toutes les fois que cette quantité aura été engendrée par Îa différenciation d’un produit de la forme 150 INTÉGRALES Pe*, P étant algébrique; ou plus généralement toutes les fois que eydæ sera la différentielle d'une fonction algébrique inconnue de æ et e*, Par une série de raisonnements à peu près semblables à ceux du n° 22 et du n° 23, on démontrera que si l'intégrale Je‘ydx est exprimable algébriquement en fonction de x et e*, la valeur de cette intégrale doit étre de la forme Jeydx = e(& + By+Vvÿ +... + Ayk1) + constante; &,f,7%,.... À, étant des fonctions rationnelles de +, et w in- diquant le degré de l'équation irréductible dont y est la racine. On déterminera ensuite les 4 inconnues &, B,7, .... À, par un nombre égal d'équations, qu'on obtiendra comme on a obtenu celles du n°25 (”). [27] Enfin la méthode exposée dans ce mémoire sert quelque- fois à démontrer Timpossibilité de satisfaire par aucune intégrale particulière algébrique , à une équation de la forme de y dry dy (A) TU ee OS Ru OU les coeflicients P, Q, ....R, S, T, étant des fonctions ration- nelles de +, et T n'étant pas — 0. Ilexiste à ce sujet un théorème dont je me contenterai d'écrire lénoncé : pour que l'équation (A) (*) Par des considérations qui me sont propres je suis parvenu à démontrer en rigueur le théorème que voici: Toutes les fois que l'intégrale fezydx peut être obtenue à l'aide d'un nombre limité quelconque d'opérations algebriques, exponentielles , logarithmiques et circulaires, la valeur de cette intégrale est nécessairement équivalente, à une certaine fonc- tion algébrique de x et ex; en sorte qu'il est permis de poser fezydz = et(a+-Py+7y?+.. À Lay ) + constante, &, 2, etc., étant des fonctions rationnelles de x. Si Ton ajoute à ce théorème le peu de mots que j'ai dits dans le texte, on en verra naïtre une méthode exacte pour trouver l'intégrale /erydx , forsqu'elle est exprimable sous forme finie, en employant seulement les signes mathématiques usités dans les éléments, ou du moins pour en démontrer Fimpossibilité sous [a forme citée, On prouve par exemple de cette ,; dont les géomètres se sont beaucoup manière. limpossibilité de Tintégrale f occupés. DE VALEUR ALGÉBRIQUE. 151 puisse être satisfaite par une valeur de y égale à une fonction algébrique de la variable indépendante, il faut nécessairement qu'elle possède une intégrale particulière de la forme X AE X et Y désignant des fonctions rationnelles et entières de x. Aüïnsi, par exemple, l'équation n'ayant aucune intégrale particulière de Ia forme y = une fonc- tion rationnelle de x, ne peut pas davantage en avoir une de Ia forme y — une fonction algébrique ( explicite ou implicite) de x. Il est bon d'observer qu'on satisfait à notre équation différentielle en posant ; CO sinax.da 1 04 pa y —= sinaz.da ME TE tion de x, ne peut être exprimée par aucune fonction algébrique de ce paramètre. Au reste elle n’est pas même exprimable, sous forme finie, en joignant aux signes algébriques ceux des opéra- tions exponentielles et logarithmiques : c’est ce qu'on prouve aisé- ment par les principes de la note Précédente, comme je le ferai voir dans une autre occasion. Donc l'intégrale définie , Considérée comme fonc- DE L’UTILITÉ DES MACHINES, DE LEURS INCONVÉNIENTS ET DES MOYENS D’Y REMÉDIER, EN ASSURANT L'EXTENSION ET LES PROGRÈS DE NOTRE AGRICULTURE; PAR M. LE BARON DE MOROGUES, 4 MEMBRE DU CONSEIL SUPÉRIEUR D'AGRICULTURE, DU CONSEIL GÉNÉRAL DU DÉPARTEMENT DU LOIRET ET DE LA SOCIÉTÉ ROYALE D’AGRICULTURE. PRÉSENTÉ À L'ACADÉMIE ROYALE DES SCIENCES EN 1831. CHAPITRE PREMIER. DE LUTILITÉ DES MACHINES. L'utilité des machines est incontestable; outils perfectionnés à l'aide desquels homme produit plus et mieux les choses dont il a besoin : les rejeter sans examen serait renoncer à lusage de la charrue; substituer le feu et le caillou employés par le sauvage, à la cognée et à la scie dont se servent nos bücherons ; abandonner tous les biens que la civilisation nous procure. Repousser les machines nouvelles parce qu'elles diminuent le travail actuellement employé à une production quelconque, ne serait guère moins déraisonnable que de les proscrire toutes, DE LUTILITÉ DES MACHINES. . 153 puisque produire plus est mettre à même de satisfaire plus de be- soins et plus de jouissances. Les machines et leurs perfectionnements sont donc, ainsi quetous les progrès des arts, d'uneutilité incontestable quant à l'amélioration du sort des races humaines; ajoutez à cela la supériorité qu'elles donnent aux peuples les plus industrieux, et vous ne douterez plus qu'utiles aux ouvriers qui s’en servent pour abréger ou perfectionner leurs travaux elles le sont également aux familles et aux nations qui soutiennent par eur secours la concurrence avec les peuples rivaux, ou qui acquièrent sur eux une prépondérance positive. Déjà l'utilité des machines sous tous ces rapports a été démontrée cent fois; M. le baron Charles Dupin Ta constatée dans ses savants écrits. Matane Élisabeth Celnard en a rendu la conviction popu- laire dans une intéressante brochure que la société d'instruction élémentaire vient de couronner;elle nous paraît si incontestable à nous-même, que nous rougirions d'avoir à la défendre. L'emploi des machines a diminué le prix du pain en réduisant celui de la mouture etidu pétrissage; il a permis de fournir à 50 cen- times des étoffes qui se vendaient 3 francs; il a permis d'introduire chez nous mille fabrications nouvelles, d'enlever à Inde Ia fabri- cation de ses châles et de ses cotons , de rendre l'Asie tributaire de l'Europe pour les objets dont elle Tur fournit la matière première, et que jadis elle ui fournissait . dans un état de perfection qui nous semblait inimitable. Cet emploi a donc produit de nombreux bien- faits; mais est-il plus exempt d’inconvénients que les autres choses humaines? non; c'est à ce que nous allons examiner. 6 CHAPITRE IL ‘ DES INCONVÉNIENTS INHÉRENTS. À L'ADOPTION DES MACHINES. Les machines ont le trèsgrand avantage, en économisant le travail, de multiplier les objets de consommation, et d'en dimi- nuer la valeur; voilà pour la masse des citoyens : mais aussi elles Tr 20 AP 154 DE L'UTILITÉ ont pour effet, lors de eur adoption, de réduire à linaction un grand nombre d'ouvriers, et de restreindre ainsi le salaire des moins habiles et des plus nombreux, tout en leur présentant beaucotp d'objets nouveaux, qui excitent leurs désirs et multiplient Teurs besoins. À chaque perfectionnement, Îors même que Faccroissement du débit en est la conséquence, les fabricants se réservent une partie plus forte de l'excédant des prix de vente, tant pour leurs bénéfices que pour les couvrir des intérêts de leurs avances et de l'usure de leurs machines; le reste seulement est employé par eux en salaires d'ouvriers. Quand donc la proportion des avances et de usure des machines augmente dans la masse des ventes quelles qu'elles soient, cette augmentation tend à diminuer proportionnellement la part qui revient à fa classe ouvrière. C'est surtout alors sur les moins habiles, sur les plus nombreux de cette classé, sur ceux qui sont le plus aisément suppléés par les machines, que cette dimi- nution retombe; quand ils veulent consommer, ils sont contraints d'employer une plus forte part du prix de leurs journées pour payer l'objet diminué de valeur; ainsi, quand pour produire une pièce de coton de 100 francs, ils employaient poli 50 francs de travail manuel, le prix de ce travail les mettait à même d'en acquérir la moitié, mais aujourd'hui où la pièce de coton ne vaut plus que 10 francs, comme il n'entre dans sa fabrication que pour 1 franc de travail manuel, et que le reste appartient au manufac- turier pour ses avances, intérêts et bénéfices, ouvrier, n'ayant qu'un dixième pour son travail, ne peut plus, avec le prix de ce travail, acquérir que le dixième de Pétoffe qu'il a fabriquée, au lieu de pouvoir comme auparavant en acquérir a moitié. Quand même la quantité des étoffes fabriquées serait décuplée, l'existence des ouvriers ne leur semblerait plus la même qu'aupa- ravant, parce que f'aisance n’est jamais que comparative : louvrier voit donc diminuer a sienne quand sa quote-part dans la masse des valeurs produites est moindre; le manufacturier acquiert une plus grande fortune, mais sa position s'éloigne de plus en plus de celle de l'ouvrier, qui se trouve de plus en plus dans l'indigence. DES MACHINES. 155 L'aristocratie des richesses appesantit sur lui un joug qui lui parait de plus en plus insupportable ; c’est là Ja conséquence nécessaire de la plus grande inégalité qui s'établit dans leur distri- bution chez les peuples les plus industrieux : les hommes y meurent sans doute moins souvent de faim que chez les peuples sauvages ; mais beaucoup s'y trouvent plus misérables, parce qu'ils con- naissent plus de besoins, et que les progrès des arts leurs créent sans cesse de nouveaux désirs. Je trouve une preuve bien évidénte de cette vérité dans Ia répartition du nombre des suicides dans la France partagée en deux régions, nord et sud, suivant la méthode de M. le baron Charles Dupin : dans Ja première se trouvent trente-deux dépar- tements et 13,9492,429 habitants, d'après l'ordonnance du 15 mars 1827; c'est Ja plus industrieuse; eh bien! il ÿ a eu, année moyenne de.1827 à 1829, 1,154 suicides, c'est-à-dire 1 sur 12,081 habitants. Dans la seconde région, renfermant cinquante- quatre départements et peuplée de 17,902,999 habitants, il n'y a cu, année moyenne, que 576 suicides, c’est-à-dire 1 sur 31,082 habitants : la France totale a offert 1,730 suicides sur 31,845,428 habitants, ou 1 sur 1 8,407; ce fait, joint à la fréquence des sui- cides et du spleen dans l'Angleterre, prouve assez que la richesse accumulée par Ja grande industrie n’est pas répartie de la manière la plus convenable au bonheur des masses populaires dans les pays où la grande industrie a le plus d'influence. Généralisez ce raisonnement, et supposez que les machines envahissent presque tous les genres de production, vous en con- clurez que louvrier qui n'aurait alors que son travail pour exis- ter, étant sans cesse en concurrence avec elles, son salaire irait sans cesse en décroissant par rapport à la valeur des objets pro- duits, et que moins les progrès de la mécanique lui laisseraient de travail à faire, plus serait faible proportionnellement la por- tion qu'il Pourrait-employer pour acquérir des objets qu'il aurait concouru à produire, j Voilà pourquoi linaction des ouvriers remplacés par les ma- 20 * 156 DE L'UTILITÉ chines qui ne leur appartiennent pas, jointe à l'accroissement de leurs désirs excités par le bas prix et la variété des produits qui leur sont offerts, a tant multiplié le nombre des misérables : la preuve en est dans Faugmentation du nombre des crimes contre les propriétés; conséquence funeste de la détresse des classes laborieuses. Les progrès de l'industrie en Angleterre ont été accompagnés - de ceux du paupérisme et de ceux des crimes que accumulation des besoins jointe à celle de [a misère entraïnent toujours après elles. En 1798, les exportations de l'Angleterre ne sélevaient, valeur officielle, qu'à 491,812,575 francs; le quarter de froment ne valait que 62 francs 80 centimes; la main-d'œuvre d’une pièce de coton se payait 18 francs; la taxe des pauvres ne s'élevait qu'à 75,000,000 francs; il n'y avait que peu d'associations charitables ; point de révoltes d'ouvriers, et la misère était bien moindre qu'au- jourd'huï. En 1 8 12, les exportations de l'Angleterre s’élevaient déjà à 781,084,050 francs; la guerre était terrible; le quarter de froment valait 151 fr. 30 cent.; la main-d'œuvre de la pièce de coton se payait encore 10 francs; la taxe des pauvres s'élevait à 216,021,050 fr.; les associations charitables peu nombreuses n'en accroissaient guère les effets; le nombre des pauvres était grand, mais les ré- voltes d'ouvriers n'étaient pas redoutables, et le nombre des ac- cusés n'était que de 6,576; c'était 1 sur 1,799 habitants. En 1827, les exportations de l'Angleterre s'élevaient à 1,281,911,200 fr.; la paix était générale; le quarter de froment ne valait plus que 68 francs 75 centimes ; mais a main-d'œuvre de la pièce de coton était réduite à 3 francs 10 centimes; la taxe des pauvres s'élevait à 192,876,375 francs; les associations cha- ritables très-multipliées faisaient plus que d'en doubler les effets, et pourtant comme Île quart de la population était inscrit sur a liste des pauvres, les révoltes d'ouvriers étaient fréquentes, et le nombre des accusés , qui s’est encore accru rapidement depuis, s'élevait à 17,921 : c'était 1 sur 871 habitants. DES MACHINES. - 157 Voïlà les résultats de l'adoption des machines quand la loi est faite de telle sorte que Îa richesse qu'elles attirent à leurs posses- seurs s’accumule dans quelques mains en laissant une misère pro- gressive pour partage à [a masse des ouvriers dont elles remplacent le travail, sans que leurs bras puissent être autrement et utilement occupés. Comment remédier à ce mal? C’est ce qui nous reste à examiner ici. CHAPITRE II. CONSÉQUENCE DES INCONVÉNIENTS INHÉRENTS À L'EMPLOI DES MACHINES. La masse du peuple ne vit et negpeut vivre que du produit de son travail journalier, il faut donc qu’elle soit sans cesse occu- pée pour toujours vivre sans mendier sa subsistance. Ce serait une chimère que de chercher des ressources durables pour étendre le travail des ateliers dans le commerce extérieur, qui trouvera toujours des limites très-rapprochées dans la concur- rence des autres nations, et dans Îles progrès des arts au-delà de nos frontières. Nous en avons fait [a triste épreuve. Nos manufacturiers ont voulu étendre leurs | sc chez les peuples étrangers : c’est depuis 1787 en 182 qu'ils ont fait le plus d'efforts pour y parve- nir. Eb bien! üls n’y ont point réussi, Chaque année depuis 1825 nos importations ont bien pu se soutenir, mais nos exportations qui en 1825 s'élevèrent à 801,942,780 francs ont successivement _été en 1826 de 735,154,920 francs; en 1827, de 642,254,598 f.; en 1828,de638,494,196 francs; en1829,de666,393,297francs; bien que nos exportations de vins se fussent accrues de 1825 à 1829 de 70,519,193 francs à 74,3 75,711 francs, ce qui faisait 3,856,518 francs de bénéfice pour nos vignobles, tandis que nos autres exportations diminuaient. 158 DE L'UTILITÉ ‘ S'il en eût été autrement, y aurions-nous gagné beaucoup plus? Je ne le pense pas. Voici pourquoi, pendant que nos exportations diminuaient, nos voisins les Anglais ont vu s'accroître Ja masse des leurs : d'après les valeurs officielles, elles ne s'élevèrent en 1825 qu'à 1,161,707,050 francs, et en 1828 elles montèrent à l'énorme somme de 1,300,728,775 francs; ils ne s'en sont pas trouvés mieux pour cela. Cet accroissement apparent de 139,021,725 francs n'a pas été un bénéfice réel pour le commerce britannique; loin de là, ce surcroît de vente n’a été acquis qu'au détriment des fabricants anglais eux-mêmes, car les valeurs décla- rées en 1825 étaient de 952,094,325 francs, et elles ne furent plus en 1828 que de 903,819,975 francs, en sorte que réellement il y eut dans cette dernière année pour 48,274,350 francs de travail britannique payé de moins que dans l’autre par les peuples étrangers. « La dépréciation des valeurs a été la conséquence de l'emploi des machines dans le but d'économiser sur la main-d'œuvre pour obtenir extension du commerce à l'étranger. En 1808 , la valeur oflicielle des exportations n'était que de 666,557,200", bien que leur valeur déclarée fût de 1,022,041,775 fr.; ce qui donnait pour les valeurs déclarées 118,221,800 francs de plus qu'en 1828, et pourtant les valeurs réelles d’après les prix communs des dix années antérieures à 1808 eussent dû s'élever en 1808 à1,124,430,100 fr. : il yavait donc déjà sur les anciens prix une dépréciation de 102,388,395 fr. selon les calculs de M. Marshall; dépréciatiôn qui s’est accrue de- puis avec une rapidité prodigieuse, puisque Îles marchandises exportées en 1828 et déclarées pour une valeur de 903,8 19,975fr. eussent valu au même taux commun des dix années antérieures à 1808, 2,164,986,175 fr.; en sorte quil y avait alors sur les anciennes valeurs une dépréciation de 1,261,116,200 fr., et que le prix des marchandises vendues au dehors était réduit aux treis septièmes de ce qu'il était de 1798 à 1808. Si-cette dépréciation a été en déduction des bénéfices des com- merçants anglais, on pourrait croire que le surplus de la population DÉS MACHINES. 159 britannique , en payant les marchandises fabriquées moins cher, en a profité par elle-même , et que son aisance est devenue plus grande par suite de la baisse des prix des objets de sa consommation : loin de Ià, le contraire a eu lieu pour la grande masse des citoyens qui vivait de son travail journalier ; le travail est devenu de plus en plus rare pour les ouvriers à cause de Ia substitution des machines à leurs bras; leurs salaires ont décru proportionnellement à la masse des produits obtenus en raison de [a eoncurrence des travailleurs fictifs que les progrès de la mécanique répandaïent chaque jour davantage. Birmingham et Manchester ont pu se peupler prodi- gieusement en attirant les ouvriers des petites fabriques par l'appât de gros salaires; mais, pendant que ces villes s’accroissaïent, les pe- tites fabriques et {a petite culture étaient absorbées par les grandes fabriques et par les grandes fermes dans Îe reste du pays, où les sa- aires étaient diminués; et les salaires se sont ensuite rabaissés dans les grandes fabriques elles-mêmes, par le perfectionnement dés machines, quand les petites fabriques et Ia petite culture n'étaient plus 1à pour venir au secours des familles qui les avaient aban- données: alors les travailleurs imprudents que fappât du gain avait attirés hors de chez eux n’ont plus eu que la misère pour partage. La dépréciation du prix des marchandises de près des 5/8, de- puis les dix ans antérieurs à 1808 jusqu'à 1828, loin de diminuer la misère, n'a ainsi fait que l'accroître dans une progression terrible ; cela devait être, parce que si les ouvriers sont consommateurs, ils ne profitent du bas prix des objets de consommation que quand ils peuvent les acheter, et ils ne peuvent les acheter que quand ils travaillent : leur travail a été remplacé par celui des machines qui ne boivent ni ne mangent comme eux; et c'est en économisant sur ce qu'ils gagnaient, que les fabricants ont pu réduire leurs prix de vente pour triompher de la concurrence du dehors; le bénéfice de la réduction des prix des marchandises n’est revenu qu’en partie aux ouvriers; les autres consommateurs en ont profité comme eux, et pourtant ce bénéfice n'était fait que sur eux seuls. Les progrès de la mécanique ont, à causé de cela, chez les 160 DE L'UTILITÉ Anglais, encore plus que chez les autres peuples, été suivis de*ceux du paupérisme qui a atteint les manufacturiers les plus entrepre- nants, après avoir frappé les classes Jaborieuses. On a vu, en Angleterre comme en France, des gens habiles, parmi ceux qui comptaient le plus sur le succès de leurs machines, réduits à faire faillite. Nos villes ont été encombrées de pauvres, et nos campagnes ont été accablées de mendiants que repoussaient nos manufacturiers, faute de pouvoir leur donner de l'ouvrage. La révolution de juillet est survenue; notre commerce extérieur a été paralysé; notre commerce intérieur a été repoussé par la crainte ; les ateliers se sont fermés, et si le nombre des pauvres est resté faible et à peu près le même parmi les domiciliés des campa- ones, on Ja vu très-grand et s'accroître dans nos villes suivant une progression effrayante; ce mal ne se ralentira que quand on aura créé pour le peuple de nouveaux genres de travaux. Les progrès de la mécanique n'avaient en France, dès avant la révolution de juillet, réduit un grand nombre de nos ouvriers à la misère et causé l'encombrement de nos fabriques, que parce que leurs chefs tentaient vainement de spéculer sur leur débit à l'étranger, au lieu de s'occuper de faire prospérer nos agriculteurs etnos ouvriers. Les Anglais eux-mêmes, qui étendaient sans cesseau dehors leurs relations commerciales, ne le faisant qu'au détriment de la masse du peuple, voyaient encore plus que nous la misère augmenter parmi eux; assez pour discuter sérieusement l'oppor- tunité de [a déportation des pauvres et de la restriction de leur mariage, assez pour que le nombre de leurs émigrations annuelles volontaires s’élevât de 10,422 à 17,311 de 1824 à 1829, quen 1830 il atteignit 27,295 pour l'Irlande, lEcosse et l'Angleterre, et que dans les six premiers mois de 1831 il s'élevât à 65,888. La ressource du commerce extérieur a done été insuffisante pour l'Angleterre, maîtresse du commerce du monde; pour FAn- oleterre, qui, naguère tributaire de Findustrie indienne, gagne depuis quelque temps:400,000,000 francs chaque année sur les cotons qu'elle lui achète en laine, et qu'elle revend fabriqués; DES MACHINES. 161 pour l'Angleterre, dont les comptoirs établis dans d'immenses co- lonies sont dispersés sur tous les points du globe. Ses machines à vapeur représentant, d'après M. le baron Charles Dupin, une force supérieure à celle\de 7,000,000 d'hommes vigoureux, que centu- plent encore sesinnombrables métiers, ses nombreux vaisseaux na- viguant sur toutes les mers du monde, lui ontpermis de fabriquer, de transporter assez de marchandises pour créer quelques énormes fortunes parmi ses citoyens, mais toujours trop peu pour occuper tous leurs bras : ses ouvriers meurent de faim vis-à-vis des palais somptueux de quelques spéculateurs et de quelques propriétaires privilégiés d’un sol inaliénable, plus opulents cent fois que Ia plu- part des souverains des siècles derniers. Ce serait en vain que Angleterre chercherait, par l'adoption de machines de plus en plus expéditives, à étendre encore ses ventes au dehors pour ob- tenir suffisamment de travail dans ses ateliers : tout ce qu'elle ferait pour cela ne ferait qu’accélérer les ravages du paupérisme parmi ses citoyens. Tantales nouveaux, ils apprendraient sans cesse à connaitre plus de besoins sans pouvoir les satisfaire, la perfection des machines causerait encore la baisse des salaires, et la population des pontons qui, de 1824 à 1829, a été portée de 3,678 à 5,814, s'accroîtrait avec une terrible rapidité par une conséquence nécessaire des progrès de la détresse du pauvre. CHAPITRE IV. MOYENS D'OBVIER AUX INCONVÉNIENTS RÉSULTANT DE L'EMPLOI : DES MACHINES. Les productions du travail réel des bras, celles naturelles au sol, celles qui précèdent toutes les autres, se consomment en nature, alimentent les ateliers, satisfont aux premiers besoins de l'homme; les productions agricoles en un mot peuvent plus que toutes les autres, en s'étendant et se variant, donner un travail suffisant à 5. 21 162 DE LUTILITÉ la classe ouvrière : ce sont les seules qui, en exigeant toujours un travail manuel très-important, puissent mettre les ouvriers à même de gagner constamment leur subsistance. Les lois de l'Angleterre, en s'opposant à Ia divisibilité du sol, et lextension prodigieuse de sa grande culture, qui a envahi une multitude de petits fermages, ont repoussé Ia petite et Ia moyenne culture, qui, comme accessoires obligés de la grande, pourraient, en fournissant au pays des denrées qu'il achète à l'étranger, opposer une digue aux ravages du paupérisme, tout en laissant l’industrie marcher à grands pas. L'absence de la petite et de la moyenne culture est [a vraie cause de tous les maux de l'Angleterre; elles seules pourraient y prévenir la misère: en variant les produits du sol, elles offriraient une ressource constante aux ouvriers que le perfectionnement des machines chassera chaque jour de plus en plus de ses ateliers, * comme il La déjà fait des nôtres; elles seules pourraient; “en multipliant les produits de son territoire, diminuer les chances dangereuses que courront toujours ses fabricants, tant que les produits qu’ils obtiendront ne trouveront pas sur fleur propre marché une quantité suflisante d'autres produits nationaux échan- geables contre ceux dont ils voudront se défaire. Le défaut de la petite et de la moyenne culture est Ia cause réelle du paupérisme, de agitation des ouvriers, du brisement des machines, des émeutes populaires , et des atteintes perpétuelles données à la tranquillité des nations les plus habiles dans les arts; c'est là la cause principale du progrès des crimes dans [a Grande Bretagne, qui, pour son malheur, ne compte que 589,384 pro- priétaires fonciers sur 16,000,000 d'habitants, et qui, comme pour aggraver le mal que les substitutions, le droit d'ainesse et la centralisation des propriétés lui causent, introduit partout des machines, dans les champs comme dans les villes, en même temps qu'elle y détruit les petites fermes pour les englober dans les grandes : de vastes exploitations rurales répandent ainsi le pau- périsme au sein de ses villages, comme de grandes fabriques le DES MACHINES. 163 propagent au sein de ses cités, et tout cela dans le seul but d'ac- croître la fortune de quelques riches spéculateurs. Heureusement la vente des biens nationaux, l'abolition du droit d'ainesse, légalité des partages, en créant en France 4,833,000 propriétaires fonciers imposés sous 9,330,469 cotes au-dessous de 50 francs, sous 920,098 cotes de 50 francs à 500 francs, et sous 46,026 cotes de 500 francs et au-dessus, ont concouru, avec la moindre rapidité de nos spéculations commer- ciales, à rendre chez nous le paupérisme moins redoutable que chez nos voisins. En 1829, nous ne comptions pas, selon M. de Villeneuve, 2,000,000 de pauvres sur plus de 32,000,000 d'habitants, ce qui faisait environ un seizième de notre population, tandis que l'An- gleterre en comptait alors un quart de la sienne; à cause de cela, nous ne comptions que 7,373 accusés de crimes, ou 1 sur 4,340 habitants, tandis que la Grande-Bretagne en comptait, en 1827, 17,921 sur 15,612,800 habitants, ce qui faisait 1 sur 871, et qu'en 1829 elle en comptait 18,675 sur 16,000,000 d'habitants, ce qui donnait 1 sur 857. Les progrès des crimes en Angleterre et chez nous ont été comparables à ceux de la grande industrie, et surtout à ceux du commerce extérieur; ils les ont même surpassés chez nos voisins, parce que les Anglais n'ont guère qu'un propriétaire du sol sur 28 habitants, tandis que nous en avons 1 sur 7, et parce qu'ils ont plus d’industriels que de’cultivateurs, tandis que nous avons plus de cultivateurs que d'industriels. Applaudissons-nous de ce que notre situation est meïlleure que celle des Anglais, sous le rapport du paupérisme, causé par la grande industrie et par la grande culture, par conséquent sous le rapport de a criminalité; mais pourtant ne nous laissons pas aveugler sur l'influence qu'ont eue les progrès de Ia mécanique chez nous-mêmes quand le perfec- tionnement de nos fabriques n’a pas été accompagné de l'extension du‘nombre de nos agriculteurs. Considérons ce que la France a souffert pour avoir voulu recréer les grandes propriétés et favoriser 21° 164 DE L'UTILITÉ exclusivement Îes grandes manufactures de 1815 à 1830; ne nous abusons pas sur les dangereuses conséquences de ce système, dont l'adoption ne fut pas l'une des moindres fautes de la restau- ration, et, pour y remédier avec connaissance de cause, voyons ce qui est résulté chez nous de Fannée 1825 à lannée 1829, espace de temps pendant lequel ce système a été plus constamment suivi. Bien que, durant cet intervalle, les progrès de l'instruction populaire aïent, en améliorant les hommes, réduit le nombre des accusés de crimes contre les personnes de 1897 à 1791, et celui des condamnés de 882 à 834, le nombre des accusés de crimes contre les propriétés s'est accru de 4,755 à 5,582, et celui des condamnés de 3,155 à 3,641, tandis que le nombre des prévenus de délits qui n'était en 1825 que de 146,511 s'est élevé en 1829 à 176,227, accroissement plus rapide que celui de la population; celle-ci s’élevant en 1825 à 31,509,921 habitants, et n'étant par- venue en 1829 qu'à 32,173,901. En 1825, il n'y a eu qu'un accusé de crime contre les pro- priétés sur 6,627 habitants, et un prévenu de délit sur 222; en 1829, il y a eu un accusé de crime contre les propriétés sur 5,764 habitants, et un prévenu de délit sur 183. Veut-on avoir la preuve que Faccroissement du nombre des crimes et délits contre les propriétés a été la conséquence de celui de la misère? la voici: en 1825, il n'y a eu que 2 accusés pour mendicité avec violence, 2,251 pour vagabondage, 252 pour mendicité simple, 9,574 pour vol simple, 143 pour maraudage, 306 pour délits dans les bois, 86,861 pour délits forestiers, et point de pillage de grains. En 1829, il y a eu 26 accusés pour mendicité avec violence, 2,858 pour vagabondage, 1,170 pour mendicité simple, 13,526 pour vol simple, 841 pour maraudage, 2,869 délits dans les bois, et 109,762 délits forestiers; ajoutez à cela: qu’il y a eu dans cette même année 74 prévenus pour pillage de grains et 151 pour attroupement contre leur libre circulation. C'est, nous dira-t-on , le renchérissement des grains qui à OCCa- sionné l'accroissement du paupérisme, encore plus que les progrès DES MACHINES. 165 du commerce extérieur et que ceux de fa grande industrie. Ad- mettons pour l'instant cette assertion dont nous prouvons ailleurs linexactitude. Le renchérissement des grains a contribué à fac- croïssement du paupérisme en France; cela se peut, mais c'est la concurrence des laines et des bestiaux étrangers qui, en diminuant les produits de vente de nos cultivateurs sur deux des principales branches de leur industrie, les a forcés à vendre leurs grains plus cher, en même temps que la diminution de la quantité des engrais fournis par des bestiaux moins nombreux les a contraints à aban- donner leurs terres les moins bonnes, ét leur a fait retirer moins de leurs autres emblavures : c'est donc encore la concurrence étran- gère qui, sous ce rapport comme sous Îles autres, a déterminé l'accroïssement de a misère et par suite celui des crimes. Voïlà des faits qui constatent a nécessité non pas de proscrire l'usage des machines, ni même de ralentir leur adoption et leur perfectionnement, mais bien de prévenir les malheurs qui accom- pagneraïent leurs bienfaits en encourageant les progrès de l'agri- culture française, en Îles excitant par tous les moyens en notre puissance, en soutenant nos cultivateurs contre la concurrence étrangère, et aussi en étendant la petite culture le plus possible, afin d'accroître tous les travaux agricoles de plus en plus eu raison de l'extension que prendront les machines. Ne nous confions pas pour cela à Tespérance illusoire, encore plus en temps de guerre qu’en temps de paix, de voir s’augmenter nos travaux industriels par un accroissement de notre débit à l'étranger. Les- Anglais ont reconnu depuis longtemps, ils reconnaissent encore, ils reconnaîtront toujours que quelle que soit l'extension de eur débit au dehors, c'est l'Angleterre elle-même qui est leur meilleure pratique, c'est encore elle qui consomme Îe plus de leurs produits aujourd’hui même où le paupérisme l'accable. Ne mécon- naissons pas qu'il en sera toujours pareillement chez nous. Ne nous fions qu’à l'aisance de notre population pour rétablir notre commerce abattu. Ne croyons pas que d'énormes impôts prélevés sur le producteur, et par là même restrictifs du salaire de ses 4 166 DE L'UTILITÉ ouvriers, puissent jamais, en se convertissant en charités publiques, atténuer la misère du pauvre ; ne croyons pas dédommager louvrier du travail qui lui manque en l’habituant par l’aumône à l'oisiveté qui le conduit au vagabondage; ne croyons pas que de nombreux ateliers de charité qui ne produisent rien pour le commerce servent effica- cement la population souffrante ; ne croyons pas que des avances onéreuses au trésor de l'État et à charge aux contribuables puissent, en retardant quelques faillites, venir lement au secours du négo- ciant ruiné, et rendre le travail aux gens qui restent oisifs malgré eux. Rien de cela ne saurait ranimer le commerce, ni rétablir les travaux productifs sans lesquels if n’y aura pas de débit au dedans du pays; on ne pourra y parvenir qu’en relevant, qu'en ranimant la population productive, la population qui. consomme, celle qui fait prospérer le commerce, quand elle boit, mange et se vétit convenablement. Quand la population languit dans la misère, elle vole beaucoup, et n'achète rien, parce qu'alors il faut bien qu'elle vive sans payer, puisqu'elle ne peut ni travailler ni produire. Ce n'est que la production qui paye la production; celle du sol fournit et aux premiers besoins de l’homme et les matières premières que les machines perfectionnent ensuite: c'est donc de ioutes les productions celle du sol qui, en occupant un nombre sans cesse croissant de bras, peut être la plus utilement échangée contre les marchandises qui sortent des ateliers. Faisons tout pour laccroître en lui consacrant le nombre des bras qu'elle appelle ; bientôt le commerce fleurira et nos fabricants trouveront le débit qui leur manque au dehors, dans l'échange au dedans de leurs pro- duits contre ceux que nos cultivateurs porteront sur nos marchés. N'avons-nous plus ni terres à défricher, ni sol à améliorer, ni légumes à multiplier, ni récoltes nouvelles à introduire? Avohs-nous suffisamment de sucre , de pastel, de tabac, de garance, d'huile, de soie, de chanvre, de lin, de bestiaux et d’abeilles ? N'importions-nous pas en 1828 pour plus de 72,000,000 francs de divers produits d'animaux que nous eussions pu recueillir chez nous, pour plus de 25,000,000 francs d'huile et de tabac, pour DES MACHINES. 167 plus de 19,000,000 francs de bois analogues aux nôtres, pour plus de 5,000,000 francs de chanvre, de lin et de houblon, pour plus de 8,000,000 francs de fil de chanvre ou de lin, pour plus de 4,000,000 francs d'animaux utiles à l'industrie, pour plus de 19,000,000 francs d'animaux utiles à [a consommation, pour plus de 3,000,000 francs de grains et d’autres farineux analogues à ceux que nous pouvons produire, pour plus de 22,000,000 francs d'olives ou d'huile comestible, et pour 44,000,000 francs de sucré que nos champs de betteraves pourraïent nous fournir? En tout, nous avons fait en 1828 pour 448,760,337 francs d'impor- tations de marchandises, dont ïl y en avait pour 415,436,786 fr. de matières utiles à nos fabriques où à notre consommation, que la plupart nous eussions pu obtenir chez nous. Sur celles-ci 1 y en avait pour plus de 221,000,000 francs que l’agriculture fran- caise eût pu utilement nous procurer, en donnant du travail à ceux de nos ouvriers que l'emploi des machines chassait de nos ateliers. N’eût-il pas mieux valu leur faire gagner cette somme dans nos campagnes que de la porter chez l'étranger, dans le but de lui vendre un peu plus des produits de nos fabriques, obtenus prin- cipalement au profit de quelques grands capitalistes à laide de leurs machines? Je dis un peu plus des produits de nos fabriques, car ces produits trouvent chaque jour au dehors une rivalité de plus en plus redoutable, et nos exportations en produits de notre sof sont de nature à ne cesser jamais. " Nos exportations en objets manufacturés se sont élevées en 1828 à 343,838,910 francs; nous avions introduit pour 278,590,868 francs de matières nécessaires à l'industrie et ad- mises pour fa consommation : restait donc pour le travail de nos fabriques un boni de 65,248,042 francs. Divisons cette somme en trois parties : une pour les avances du fabricant, une pour Fin- térêt de ses fonds, et une partie pour ses ouvriers : ceux-ci n’au- ront reçu que 21,749,347 francs, somme fort inférieure à celle de 221,000,000 francs qu'ils eussent obtenue de a production des matières premières agricoles analogues aux nôtres, que nous 168 DE LUTILITÉ avons importées, et qu'ils auraient pu produire si le commerce eût suivi une direction différente, Nous achetons au dehors à plus bas prix que nous ne pourrions produire chez nous, va-t-on nous dire. Oui, sans doute ; mais nous ne payons es produits que nous obtiendrions de notre territoire avec nos bras qu'avec ceux que nous obtenons dans nos fabriques avec nos machines, qui ne mangent ni ne boivent comme nos ouvriers, et qui ne consomment ni draps ni toiles comme eux. Cet échange se fait au bénéfice de nos grands fabricants et de nos grands spéculateurs ; le peuple, sacrifié par eux , ne travaillant pas, ne peut acquérir, à quelque prix que ce soit, les marchandises exotiques par lesquelles celles qu'il aurait produites ont été rem- placées ; il faut donc qu'on les lui donne, qu'il les prenne ou qu'il : s'en passe. Ceci est arrivé bien souvent en France, mais bien plus souvent encore en Angleterre, où l'aristocratie de l'argent et celle des ma- chines se sont unies à l'aristocratie politique pour demander des lois qui ont aggravé la misère du pauvre, en repoussant le travail de ses bras; travail qui seul peut le conduire à l’aisance et assurer sa le ; Quand nous introduisions chez nous, en 1828, pour 453,760,337 francs, et en 1829, pour 483,353,139 francs de produits étrangers en concurrence de ceux que nos agriculteurs eussent pu nous fournir en très-grande partie, ne devions-nous pas croire que si, en 1825, le paupérisme et les délits étaient moins eflrayants qu'en 1829, c'est qu'en 1824 nous n'introdui- sions chez nous que pour 394,830,727 francs de ces mêmes pro- duits, presque tous semblables ou analogues à ceux que nous pourrions récolter par nous-mêmes. Sachons donc nous en fournir chez nous pour relever notre marché, rétablir notre commerce abattu, repousser le paupérisme prêt à nous dominer, rassurer la population effrayée des suites de la misère, et poser une digue, en faveur des progrès de fa raison, aux progrès du malheur et à ceux de la perversité. DES MACHINES. 169 ë CHAPITRE V. MOYENS D'OCCUPER LES POPULATIONS DÉSŒUVRÉES PAR SUITE DE L'EMPLOI DES MACHINES. IL n'est rien sous le ciel qui ne soit sujet à des inconvénients plus ou moins graves : l'agglomération des populations dans les grandes villes, si favorable aux progrès des fumières, à ceux des sciences, de l'industrie, du commerce et de la civilisation, est contraire aux succès de l'agriculture et à fa tranquillité publique ; elle devient fréquemment la cause de la perversité des classes Ja- borieuses; quand le travail leur manque, la misère les conduit à limmoralité. Ne méconnaissons pas les avantages de l'aggloméra- tion des populations dans nos villes, afin d'en profiter; mais aussi ne méconnaïssons pas ses inconvénients, afin d'y porter remède. En 1810, le comté de Middlesex avait un criminel sur 991 habitants, tandis que le pays de Galles n'en comptait qu'un sur 8,007, et l'Angleterre, réunie à ce p&ys, 1 sur 2,044; en 1820, ce comté en comptait 1 sur 421 habitants, et le pays de Galies 1 sur 2,406. L’Angleterre, réunie à ce pays, en comptait 1 sur 892. De 1825 à 1829, le département de la Seine a compté, année moyenne, un accusé prévenu de crime sur 1,275 habi- tants, tandis que [a France n’en a compté qu'un sur 4,505 ; que le département de a Creuse n’en a compté qu'un sur 13,319, et que celui de TAïn n’en a compté qu'un sur 9,489. L'agolomération des populations dans les grandes villes, en excitant lémulation du bien, excite donc aussi celle du mal; la -première est le mobile des classes dans l’aisance, quand l'ambition et la cupidité ne les aveuglent pas; les classes pauvres et igno- rantes se laissent trop souvent entraîner par la seconde, quandh l'aspect du luxe et de la richesse, accumulés au sein de nos cités, 5. 29 170 DE L'UTILITÉ excite leurs désirs, et quand Ta misère qui les accable accroît leurs besoins. Voïà pourquoi la population qui n'a que son travail pour vivre se pervertit par la misère beaucoup plus rapidement au sein des villes populeuses qu'au sein des campagnes, et pourquoi son ag- glomération y rend plus redoutables les effets de sa perversité. C'est en éloignant des villes la partie de la population que les machines repoussent des ateliers pour la reporter dans les cam- pagnes où sa présence est désirable et où elle trouvera des travaux assurés , que l'on pourra tout à la fois lui rendre aisance, la mora- lité et le bonheur. I suflit pour cela, dans l'état où se trouve fa France, d'abord de protéger nos agriculteurs français contre la concurrence des cultivateurs étrangers, et ensuite de créer au sein des campagnes peu populeuses, dont Île sol en friche reste improductif faute de travailleurs, 80,000 petites maisons, placées chacune sur un hee- : tare de terre situé au milieu des landes ou des bruyères, en créant aussi 20,000 habitations de jardiniers, sur un demi-hectare de terrain chacune, et en les placant dans les nombreuses com- munes où les produits de lhorticulture sont encore insuffisamment obtenus. ” Par là on retirera du sol français un surcroit de produits utiles à la nourriture de ses habitants et d’autres produits consommables, susceptibles de couvrir nos marchés, et d'y être échangés contre des produits industriels. Cela seul, en accroiïssant la consommation de ces derniers, deviendra un élément de prospérité pour nos manu- facturiers; notre commerce sera plus eflicacement soutenu par cette création que par les 30 millions que État a prètés à quelques spéculateurs privilégiés qui ne s'en sont guère mieux trouvés pour la continuation de leurs affaires. Que faudrait pour pourvoir à l'établissement de 100,000 mé- nages agricoles ou horticoles, que lon rendrait propriétaires de deurs petites habitations? 1,000 franes pour chacun, ou 100 mil- lions; le dixième de ce milliard dont on a indemnisé les émigrés ; DES MACHINES. M7 le cinquième des 500 millions dont on a dü surcharger le budget de Ia France à Ia suite des triomphes de juillet; le septième du fonds que représentaient les revenus de la liste civile ancienne, et le vingtième du fonds que représenteraient es économies an- nuelles qui pourraient être faites sur nos énormes dépenses, si la paix était assurée au dedans et au dehors, et si toutes les dépenses que nécessite le besoin de la maintenir étaient sup- primées. : On a employé en France, depuis la révolution de juillet, plus de 10 millions de francs par an en ateliers de charité pour accorder de précaires et insuffisants secours à l'indigence; on a employé plus de 6 millions de francs en frais d'impression relatifs à l'établissement des gardes nationales et des colléges électoraux; on a supprimé sur le budget des départements 590,000 francs d'allocation au clergé; on a réduit les traitements des ministres, des préfets et des sous-préfets d’une forte somme ; sur tout cela, et sur quelques autres choses, m'aurait-on pas pu trouver l'intérèt d’un emprunt de 100 millions destiné à faire fleurir le commerce, en faisant prospérer l'agriculture, et en détruisant l'indigence en France ? Le soulagement Éerpétuel de lindigence est le plus sûr moyen d'assurer la tranquillité publique, qui en temps ordinaire n’est guère attaquée que par des gens qui n'ont rien à perdre à la solde d'ambitieux qui voudraient tout gagner. Les émeutes sont aïnsi la plus funeste de toutes les parodies du grand dogme de la souve- raïneté du peuple, dogme qui ne peut s'exercer que par les formes représentatives. La liberté ne peut régner que quand a licence est inactive : nous qui voulons la liberté, compagne de l'ordre et de la tranquillité publique, la payerons-nous trop cher en employant quet- ques économies du trésor national, pour déplacer des lieux qu'ils encombrent 100,000 ouvriers trop peu occupés, dont l'ouvrage actuel réparti sur 400,000 autres, comme eux dans findigence, leur laisserait à eux-mêmes le travail nécessaire pour obtenir des salaires convenables à leurs besoins ? 797 179 DE LUTILITÉ 500,000 ouvriers des villes seraient donc secourus par le clas- sement de 100,000 d'entre eux dans les campagnes; et comme ces 500,000 ouvriers représentent chacun une famille de cinq personnes suivant les calculs ordinaires de l'économie politique, 2,500,000 individus seraient soustraits à lindigence par le mode de secours que nous proposons de leur appliquer. Ce nombre surpasserait de plus d'un cinquième celui des indigents que ren- fermait toute la France avant la révolution de juillet 1830. Alors nos indigents recevaient des charités publiques ou parti- culières plus de 20 francs chacun par année, ce qui eût porté pour 2,500,000, à 50 millions de francs la dépense annuelle qu'ils occa- sionnent à la France. S'ils étaient convenablement classés comme nous Findiquons, les secours à lindigence seraient réduits tout au plusau cinquième de cette somme, quine comprenait pasles dépenses des hospices, comme celle que nous réclamons pour eux ne pour-* rait les comprendre encore: il y aurait donc une économie an- nuelle de 40 millions sur les secours de toute nature distribués à 1a classe indigente. Ajoutons à cela que les 100 millions de dépenses foncières que nous proposons pour créer 100,000 petits propriétaires, dont les travaux seraient répandus dans toutes nos campagnes, ne reste- raient pas improductifs pour le trésor lui-même; chaque établisse- ment de 1,000 francs de valeur, compris le mobilier qui le garni- rait, ne serait concédé en toute propriété que moyennant une rente de 50 francs par année, remboursable à la volonté du concession- naire : cela seul produirait à l'Etat les 5 millions de rente de l'em- prunt qu'il aurait fait, et il en retirerait 1 million de plus par année, à cause des impôts de toute nature dont les nouvelles ha- bitations et leurs propriétaires deviendraient passibles à raison de 10 francs par habitation garnie d’une famille. Les contribuables auraient donc 40 millions de francs d'économie sur leurs aumônes volontaires ou forcées ; l'Etat, 6 p. 0/0 d'intérêt desesavances;les pro- priétaires fonciers, plus de bras à employer à la culture du sol voisin des habitations nouvelles; nos marchés seraient mieux approvi- DES MACHINES. 173 sionnés des denrées provenant de fa petite culture; la grande cui- ture produirait aussi davantage par le surcroît d'ouvriers dont elle pourrait disposer; l'industrie fleuriraiten échangeant plus facilement ses produits contre ceux du sol national; 2,500,000 indigents se- raient placés au-dessus des atteintes de fa misère; 1a tranquillité publique étant assurée par Pimpossibilité d'organiser des émeutes populaires, la France, sans craindre les agitateurs, serait gouvernée conformément àses vœux; constamment en rapport avec les progres de la raison, elle verrait {a liberté se maintenir sans danger pour sa prospérité, et son industrie s'étendrait au dedans sans danger pour son bonheur, sa puissance et sa gloire. Quand l'industrie, perfectionnant ses machines, congédierait des ouvriers auxquels elle ne pourrait offrir d'occupation nouvelle, il suflirait, pour obvier à ce mal, de défricher quelques hectares de bruyères, ou de créer quelques maisons de jardinier; les faibles dépenses nécessaires pour cela seraient-elles trop grandes pour payer la prospérité de la population et le maintien de la tranquil- lité publique? Le désirdes richesses que multiplieraientles machines entretiendrait une émulation utile parmi les citoyens ; ceux qui se trouveraient suflisamment riche® consacreraient leur temps au service de leur patrie, en ne réclamant d’elle que lhonneur de 1a servir et celui de lavoir servie. Ceux qui n'auraient que leurs bras pour vivre trouveraient un travail assuré au sein de nos campagnes; et quand, par leurs économies ou leurs talents, ils auraient accu- mulé quelques capitaux, ils pourraient, sans craindre d'aggraver la misère du peuple, les employer au profit de tous es citoyens en les appliquant au perfectionnement des arts industriels. Voilà un beau rêve; ï ne tient qu'à nos législateurs d’en faire une belle réalité. MÉMOIRE SUR LES SURFACES ISOTHERMES DANS LES CORPS SOLIDES HOMOGÈNES EN ÉQUILIBRE DE TEMPÉRATURE; PAR G. LAMÉ, INGÉNIEUR DES MINES, PROFESSEUR DE PHYSIQUE À L'ÉCOLE POLYTECHNIQUE. PREMIÈRE PARTIE. SL Lorsqu'un corps solide homogène est en équilibre de tempéra- ture, sous l'influence de sources constantes de chaleur et de froid, contre lesquelles sa surface est immédiatement appliquée, la température (V}, constante avec le temps, mais variable d’un point à l'autre de ce corps, est, comme fon sait, une fonction des coordonnées x, y, z, qui satisfait à l'équation aux différences partielles ÆV ÆV "PV 1 + + — — ( ) dx? dy? dz? I existe alors dans ce corps des surfaces où la température reste la même dans toute l'étendue de chacune d'elles. Ces surfaces SURFACES ISOTHERMES DANS LES CORPS SOLIDES. 175 d'égale température peuvent être conçues représentées par une même équation, contenant un paramètre variable de l'une à l'autre, et de la forme F(xy,3) = À; À étant ce paramètre, ou la fonction des coordonnées dont la valeur numérique est constamment la même pour tous les points d'une surface individuelle. Toute fonction F n’est pas propre à représenter des surfaces d'égale température pour un de tous les cas d'équilibre calorifique imaginables; elle doit satisfaire pour cela à une équation aux diffé- rences partielles qu'il est facile de trouver. Si cette fonction (F ou À) était connue, la température V devrait Pouvoir être représentée par une équation de la forme V' ="), puisque V et À seraient constants ensemble, variables ensemble, dans toute l'étendue du Corps proposé. On aurait d’après cela PA" dV dx æV dV dx .\2 CA’ ET Te 7 tan =) Ta de? ['A'4 adV dx d2V ŒV dx \2 dV da ea ant eee (a) + 2e C'A'4 dV dA dNV C2 d\ \2 dV d?x TP NA me Re (=) MFP EL et par suite équation (1) pourrait étre mise sous la forme P q P ŒV da \2 dx \2 dx \2 CA'4 d?x dn —) =) +(— |) + (— | © 1 —— | — 0. (EE éee es, PAU æV : à Or, —— et —— ne contenant d'autre variable que À, le quotient dA dax? OC ES) 176 SURFACES ISOTHERMES devrait jouir de la même propriété. Ainsi la fonction À doit satis- faire à une équation différentielle de la forme D Bebe Ro (ET (ee (L étant une fonction arbitraire de À), pour que l'équation (A = c) puisse représenter un système de surfaces isothermes. ! 1 dg(à) En remplaçant (A) par 5 à 0D aura æV dp(a) dv Side, AR AN d'où en intégrant deux fois , À dA 1 Ve A f° A Si le corps proposé est limité par deux surfaces représentées par les équations À = a, À — a’, entretenues à des températures données T et T', on aura, pour déterminer les deux constantes A et A’, les deux équations a dx z PTE a dx : T = Af. ce AU T A A d'où , SET a dA et À ET —— — ; en sorte que l'équation TT À dx a da (3) VTT —f =) DE = a dA 9 9? Ag 9? A0? A0 9? donnera la température V, correspondante à une surface quel- conque À. DANS LES CORPS SOLIDES. 107071 (re On voit que dans le cas particulier d'une enveloppe solide, .dont les parois intérieure et extérieure seraient entretenues à des températures constantes, mais différentes de l'une à Tautre, la loi des températures stationnaires serait connue, si l'on pouvait déter- miner à priort l'équation générale des surfaces isothermes qui cor- respondent à ce cas. Les surfaces des parois devant être deux d’entre elles, le pro- blème consisterait à intégrer équation (2), et à déterminer les formes ou constantes arbitraires que contiendrait Ia fonction À, de, manière que pour deux valeurs numériques données au para- mètre c, l'équation À — c représentât successivement les surfaces des parois. Mais [a solution analytique de ce. problème serait généralement aussi difficile à trouver que celle qui consisterait à intégrer directement féquation (1), et à déterminer les fonctions arbitraires de l'intégrale V, de manière qu'elle devint numérique- ment égale à T ou à T' pour tous les points des parois de l'enveloppe. £ Les cas simples d'une sphère creuse et d’un cylindre creux indéfini à base circulaire, dans lesquels l'épaisseur de lenveloppe solide serait partout la même, sont les seuls où la détermination préalable des surfaces isothermes n'offre aucune difficulté. Pour tout autre cas, les parois, quoique toujours compr ises parmi ces surfaces, doivent le plus souvent s’en distinguer par quelque pro- priété singulière, eten quelque sorte ombilicale , qui n apps tienne pas à toutes les autres surfaces d’égale température de érieur de l'enveloppe. I ne suflirait pas, pour éloigner cette un nee qui com- plique {a recherche directe de l'équation générale de ces surfaces, que les parois appartinssent à la même famille, et que leurs équa- tions, de même forme et du même degré, continssent le même nombre de paramètres; car, dans ce cas, qui paraît beaucoup plus 5. 23 178 SURFACES ISOTHERMES simple au premier abord que celui où les parois seraient dissem- blables, on ne pourrait pas conclure, en général, que les surfaces d'égale température dussent étre directement représentées par des équations de même forme et du même degré que celles des sur- faces qui limitent l'enveloppe solide. Par exemple, dans un ellip- soïde creux, dont la paroi interne serait semblable à {a surface extérieure , les surfaces isothermes ne seraïent pas nécessairement des ellipsoïdes semblables aux parois, ni même des ellipsoïdes. G HI. Les conditions nécessaires pour que la forme commune des équations des deux parois soit réellement celle qui appartient aux surfaces d'égale température, peuvent se déduire analytiquement de la vérification de l'équation (2). En prenant cette forme pour l'équation générale des surfaces cherchées, on regardera toutes les constantes qu'elle contient comme des fonctions mconnues du paramètre À; on en déduira, par des différentiations convenables, les coeflicients différentiels partiels de ce paramètre; après les avoir substitués dans l'équa- tion (2), on posera les relations nécessaires pour qu'elle soit satis- faite, quelles que soient les coordonnées; si ces relations entre les variations des constantes arbitraires ne sont pas incompatibles, leurs intégrations feront connaître comment le paramètre À doit entrer dans les constantes de la forme proposée, pour qu'elle puisse représenter les surfaces d'égale ternpérature; enfin, il faudra que n valeurs numériques données à cé paramètre puissent rendre "Féquation générale successivement identique avec les équations des deux parois. Si cette vérification ne réussit pas, 1f faudra en conclure que, dans le cas considéré, les surfaces isothermes de Fintérieur de l'enveloppe doivent être exprimées par une équation différente, et probablement plus compliquée que celle des parois; et que ces dernières ne rentrent dans Téquation générale que par la dispa- DANS LES CORPS SOLIDES. 179 rition de certains termes, essentiels pour toute autre surface indi- viduelle. $-IV. J'appliquerai cette méthode au cas où l'enveloppe est limitée par deux surfaces du second degré ayant même centre, leurs axes principaux étant de plus situés sur les mêmes droites. Leurs équa- tions seront de Îa forme (4) CmÉ + nf + pi = 1, IL s’agit de trouver comment les constantes », 2, p, doivent contenir À, pour que l'équation (4) puisse représenter, par la variation successive de ce paramètre , toutes‘ les surfaces d’égale température de l'intérieur de enveloppe proposée. On regardera donc m,n,p, comme des fonctions inconnues de À, ce qui donnera so Ÿ dx 2MmT + (ne +nf+pe)= = 0, 1 _ dm ñ +; Em. (SR eo ME ana rrda da dA \2 El 2 2 n 2 2mX + 4m'x + (m'a +n'y +p'#)( Se ] ax 19 1 9 1 _2 +(m'a+ n'y +Pr)= = 0, etc. et par suite dx \2 dx \2 * dx \2 MS + y + pa A le ed er dx. dy dz (men y + pa} , HR } à 3 Ur) 12% 172 Û Pr er nn re EE dx? dy Hat (m'a2-+n/y2+p'22)? Cr any2+pae?) (man y?+p 2?) RACE PERS 23° 180 SURFACES ISOTHERMES L'équation (2) devient alors, en faisant JL == eo , ét en posant, pour simplifier, ne Al : {O((L—92m)n®+m'm) + m°m'?'}x + {Q((L—o2n)e*+ nr) + nn o'|y + {Q((L—2pp" +pp) + ppo ls + 1D(2(L—me—n)me nm nn) + (nn rm )o" 2 y + {Q@(L—n—pep+np+pr)+(ép +pr)P\is + {(2(L—p—m)p'm'+p'mË+m'p")+(pm'+mp)p'}zsa = 0: Cette dernière équation devant être satisfaite quelles que soient les valeurs des coordonnées, on devra avoir les six relations QU(L—2m)m®+m'm) + mm = 0, a((L— 2nm°+nr) + nn? = 0, S(L—2p}" + pp) + PPo = 0 D(2(L—m—nn'n'+m'r+n'm) + (nn im)? = 0, D(2(L—n—pnp+np-+p'r) + (xp +p'n)9 D(2(L—p—m)p'm'+p'n-+m'p) + (p'm'+mp)o = 0. , ] 2 1 Ouh; 1 u bien, en posant m— ——, Een re © ( 2La'b'+ (ab) ) = (a"+0")9 +(a'+b')9", (or) ( 2Lb'c' + 2(b—c")| 08 —)) = (b'+e")® +(b'+c)?", ® ( 2Lc'a + 2(e—a (= = ) = (c'+a")®+(c'+a)9". DANS LES CORPS SOLIDES. 181 5 A PEER LUE g' ; Les trois premières donnent, par élimination de TA les rela- tions L(a—b)= LT, A RE L(c—a) = <<; : en outre, si on retranche chacune des trois dernières d’un couple Ù P convenable des premières, ®’ et @ se trouvent encore éliminés, et Ton a Lab} = 2(a0)( 2), LE—c) = 20e) +=), \ b e L(c—aŸ = 2(c'—a) (= _— =) : Or, il est aisé de voir que les six dernières relations ne peuvent admettre d'autre solution que celle indiquée par les équations ‘ x (Ed dt à 1 à EL M NO à « at : lis Tout autre système de valeurs conduirait à des expressions indé- pendantes de À pour m,n, p. TE à AOL j } Ainsi, les constantes a, D, c, où —, —, —, doivent être m n P égales à une même fonction quelconque de À, augmentée ou dimi- nuée de constantes différentes. On aura donc les valeurs les plus générales de m, n,p,en posant 1 1 1 La PRET LE vi ge PNA ES Me ? où bet'c sont deux lignes déterminées et constantes. On peut 182 SURFACES ISOTHERMES supposer, sans troubler cette HER que Îa constante c soit plus grande que b. 6 V. Mais l'équation (4) représentant des surfaces très-diflérentes , suivant que À sera plus grand que b et c, plus grand que b mais plus petit que ce, ou à la fois plus petit que c et b, il convient de séparer ces trois cas différents. Désignons par 4, v, p, les valeurs de À qui leur correspondent, on aura les équations fe y? 32 Ju co por: a 2e L5: z° y? 22 (5) m + y2—b2 OPEN TES 1, x? y? 22 J PO pra ? pour représenter trois systèmes de surfaces isothermes compris sous [a forme générale (4). Toutes les surfaces de chaque système, et même celles des trois systèmes réunis, ont pour éléments constants de Fune à lautre, les distances focales 24, 2c, 2/4, de leurs sections princi- pales faites par les mêmes plans coordonnés. Ainsi, lorsqu'on entretient à des températures constantes les parois d’une enveloppe solide, terminée par des ellipsoïdes, dont les sections principales ont les mêmes foyers, les surfaces d’égale température, dans l'intérieur de cette enveloppe, sont encore des ellipsoïdes ayant les mêmes foyers que les précédents. Si l'enveloppe a pour limite deux hyperboloïdes à une nappe indéfinie, de mêmes foyers, ses surfaces isothermes seront encore des hyperboloïdes de même espèce et assujettis à la même con- dition. Enfin, si les parois indéfinies de l'enveloppe sont les moitiés de DANS LES CORPS SOLIDÉS. 183 deux hyperboloïdes à deux nappes ayant mêmes foyers, ses surfaces d'égale température seront toutes des moitiés d'hyperboloïdes de la même famille. On peut vérifier, comme on le verra plus bas, que dans chacun de ces trois cas, les parties homologues des surfaces isothermes du même système sont effectivement traversées par la même quantité de chaleur dans le même temps. Mais avant d'entreprendre cette vérification, il convient d'étudier de plus près le système des trois équations (5). # 6 VL Si lon imagine sur l'axe des +, quatre points B, B', C, C’, dis- tants du centre ou de l'origine O, de quantités OB—OB' —b, OC = OC'=—c, les points B et B' seront les foyers de toutes les courbes du second degré, traces sur le plan des x y de toutes les surfaces représentées par les équations (5); et les traces de ces mêmes surfaces sur le plan des x z, auront toutes pour foyers les points C et C’. J'appelle les points B, B', C, C’, les foyers des sur- faces du second degré à axes inégaux, représentées par les équa- tions (5). Ces foyers étant donnés , ainsi que le paramètre 4, v, ou p, de lune de ces surfaces, elle est entièrement connue de forme et de grandeur. Un point quelconque de lPespace, correspondant aux coordon- nées orthogonales x, y, z, sera situé sur trois surfaces appartenant respectivement aux trois systèmes (5), êt ayant pour paramètres les valeurs de : , p, que Fon déduirait des équations (5), en fonc- tion de x, y, Il suit de ie que lon peut regarder les trois paramètres variables l, V, p, Comme composant un nouveau genre de coordonnées. Un point de l'espace est alors donné par l'intersection d'un ellipsoïde et de deux hyperboloïdes, lun à une nappe, et l'autre à deux nappes, ayant tous trois les mêmes foyers, B, B’, C, C’. Je donnerai aux trois variables , v, p, le nom de coordonnées 184 SURFACES ISOTHERMES elliptiques; et Jappellerai surfaces homofocales toutes celles qui sont représentées par les équations (5). Les trois coordonnées orthogonales x, y, z, sont liées aux coor- données elliptiques, 4, v, p, par l'équation (5), ou par les suivantes, que l’on obtient par des éliminations convenables : bc.x = MY P; (6) bye .y = Ve Ver Vr-p, CV. Vars Var Veps. Ces formules démontrent que si Ton imagine, en un point quel- conque de l'espace, les troïs surfaces homofocales qui y passent, chacune des coordonnées orthogonales de ce point sera égale au produit des trois demi-axes de ces surfaces qui ont la même direc- tion qu'elle, divisé par le rectangle des deux demi-distances focales correspondantes à toutes les sections principales de ces mêmes sur- faces, dont les plans sont parallèles à cette coordonnée. $ VII. Des plans tangents aux trois surfaces (5), au même point (x,7,z,) ou (w, v, p), ont pour équations ’ ‘ x? yy z2 ai + pour en Pro ue dis y HG Vas NE 4 FT Repas? Gr yy 32! 1 p2 b2— p? c2— p? “ Ces trois plans sont perpendiculaires entre eux, car les valeurs de æ, y, 3, données en 4, v, p, par les équations (6) conduisent aux identités DANS LES CORPS SOLIDES. 185 cs p 22 Er TUE USE 0 x? y? a? PET Chen Ÿ nes — ? A D D EE 7 a ES PT GPU Ces) 2 relations qui expriment que les cosinus des angles de ces plans sont nuls. Ainsi, une surface quelconque de l'un des systèmes (5) coupe normalement toutes les surfaces des deux autres systèmes. $ VII. Considérons particulièrement un des ellipsoïdes au paramètre u, représenté par la première des équations (5). En un quelconque de ses points passent deux hyperboloïdes, lun à une nappe et l'autre à deux nappes, ayant les mêmes foyers que cet ellipsoïde, qui sont perpendiculaires à sa surface, et qui se coupent conséquemment suivant une courbe à double courbure normale à l'ellipsoïde pro- posé. Soit M’ un point de cette intersection voisin de M, et situé _sur un second ellipsoïde infiniment voisin du premier et ayant pour paramètre uw + d\w; soit MM' — Je, et représentons par d\x, dy, d\z, les projections de cet élément linéaire sur les trois axes. IL est évident qu’en passant de M à M', y et p restent constants; 4 est donc Îa seule coordonnée elliptique qui varie. D'après cela les équa- tions (6) donneront bcA\x = plu, PE OR Var PR LL SET Vue 24 186 SURFACES ISOTHERMES On en conclura facilement l'expression de l'élément linéaire MM = Îs=y 74; on trouve ainsi, toute réduction faite, Vus Vas f en dire Ve Vue? p Pareillement, si on désigne par d\s' félément de la courbe d'in- tersection de l'ellipsoïde et de l'hyperboloïde à deux nappes aux mêmes foyers, qui passent en un même point, on aura VE VER — V2 b? ve —1? Enfin, si d\s’ est l'élément de la courbe d’intersection de l'hyper- boloïde à une nappe et de lellipsoïide homofocaux correspondants à un même point de l'espace, on aura d\s d\s' Var Vr= pe f Vops Vep? Si donc 5,5’, s", représentent les longueurs finies variables des courbes d’intersection aux éléments d\s, d\s', d\s", s variant avec w seulement, s' avec y, s” avec f; On aura pour déterminer ces trois fonctions les trois intégrales suivantes : 5 u Vu" Vu2=p2 É Vu Vue Var Vr= pt b V2 p2 Ve 2 Ns u he vVer 6 IX. Toutes les courbes s’, s”, suivant lesquelles un même ellipsoïde DANS : LES CORPS: SOLIDES. 187 est coupé par tous les hyperboloïdes ayant mêmes foyers que lui, ne sont autres que les lignes de courbure de sa surface. Il s'agit ici de vérifier ce théorème important : les équations de Ia normale à l'ellipsoïde, au point (x,y,2,), sont naar) = (pie) x(s—<), My (rx) = (ur —)y (y —y), si cette droite est rencontrée en (z',y',3',) par la normale infini- ment voisine, correspondante au point (+ dx,y +dy,z+dz) L on devra avoir m(sdx-—xdz)x + x ds = 0, M (ydx—xdy)x" + Pdy = 0: car ces dernières équations s'obtiennent ‘en combinant des équa- tions de la normale, avec celles qu’on en déduit par la différentia- tian de x,y, 3. L'élimination de l'abscisse x’ du point de concours suPposé des deux normales voisines conduit à la relation zdx —xdz ydxz— xdy 2 eur 2 An ma ou à laquelle doivent satisfaire les différentielles dx, dy, dz, pour que les normales voisines soient dans le même plan. Cette relation, combinée avec l'équation différentielle de l'ellipsoïde, représente, comme on Îe sait, les lignes de courbure de sa surface. Maintenant , lorsqu'on chemine sur'une des courbes s’, w et p conservent les mêmes valeurs, et y varie seul; alors on a par les équations (6) dx dy dy y .dz y Fri rees E 24* 188 SURFACES ISOTHERMES dx d dz ra ARLON or ces valeurs de =, “2, “=, rendent identique l'équation (8); z y [2 les courbes s’ forment donc un des systèmes de lignes de courbure de l'ellipsoïde. Pareillement lorsqu'on suit une même courbe s", 4 et y restent constants , et ? varie seul; les équations (6) donnent alors dx dp dy — p dz RM MPE ES Lip y pp? Z pa? expressions qui rendent encore identique l'équation (8); les courbes s” forment donc le second système de lignes de courbure de f'el- lipsoïde. On peut énoncer ces propriétés d'une manière plus générale, en disant que toutes les surfaces homofocales de deux quelconques des trois systèmes(s), rencontrent normalement une surface courbe quelconque du troisième système, et tracent sur elle toutes ses lignes de courbure. 4 6 X. Revenons maintenant à la question physique, et cherchons quelle sera la loi des températures stationnaires d'une enveloppe solide dans laquelle les surfaces d’égale température seront repré- sentées par lune des trois équations (5). Considérons d'abord le cas où ces surfaces sont des ellipsoïdes. Il faut d'abord trouver la valeur de la fonction L (A), qui rend identique l'équation (2). Si l'on pose dans féquation (4), et dans les relations que nous en avons déduites par la différentiation 1 1 1 À Mr MS Girl om OT met on trouve : 2 IE 24 EE 24 MOT ee TRE PT rene 1 1:45 1 2 mp! CR CET ARE Et RE NET ? v = ou Pr sp» DANS LES CORPS SOLIDES. 189 et par suite n+ (L— 2m)m° + m'm° = m° . F {2 n + (L—on)n® + n'r = n° u , 12 [ 2+P (L—sp)p° + pp = p° (), 2 (L—m-n)mn + m'r + n'p = 2mn 2 (L—n—p}np “à n'p +p'i = np u_ 2 2 (L—p—m)pm + p'n + m'p} = 2p'm d'où lon conclut CHOC dx dy dz ? ( Le ma y2 FE 22 : Vu CHER (m?2—ce2} d?x da d?x dx? KA dy? ju dz? 1 1 1 ne ( u2— 02 mn =) æ2? 2 Z2 É pr ne Qu? 5} F4 5) ce qui donne, pour +} (A) ou (L) (u) : Vu) = + -É u2 bp? PER La fonction | étant connue, on en déduira la fonction @ en intégrant l'équation AN Re ce qui donne PU) = VAR VE. 190 SURFACES ISOTHERMES La température V sera enfin donnée, soit par l'équation diffé- rentielle PAU (9) , gr Vu Vase — A soit par l'équation intégrale du (10), ME: © Vutt Vu? L2 On trouvera aussi que pour le second des trois systèmes de sur- faces d'égale température représentées par les équations (5), on a y y AU ee ren 0 = YF, av (9 Ver Var = À, é y dy (10) ve En A VE * B. Enfin, dans le cas où l'enveloppe solide auraït pour surfaces d’é- gale température les hyperboloïdes à deux nappes représentés par la troisième des équations (5), on aura P P += ré Q(?) = Vs Ve, dv bp? Ve—p2 — À, d$ (2 f V62—p? Ve p? (9e. (Ho)srer VI= MA dp + B. Ainsi la température stationnaire, et variable d'un point à l'autre, dans les trois genres d’enveloppe dont les surfaces isothermes sont du second degré et homofocales, est exprimée par une transcen- DANS! LES: CORPS: SOLIDES. 191 dante elliptique de la première espèce ; et les trois variétés de cette transcendante correspondent respectivement aux trois cas que nous avons considérés. d $ XI. Nous pouvons maintenant vérifier que dans chacun de ces cas toutes les surfaces isothermes sont traversées par la même quantité de chaleur dans 1e même temps, lorsque Ia température varie de lune à l’autre, suivant les lois qui viennent d’être trouvées. Considérons d'abord l'enveloppe elipsoïdale. La quantité de chaleur qui traverse l'élément de volume compris entre deux ellip- soïdes infiniment voisins, ayant pour paramètres et u+ du, et les courbes s, correspondantes aux différents points du périmètre d'un élément do’, de la surface de l'ellipsoïde (x), aura évidemment pour expression dv. du |'éeeres du: du. As Hi K étant le coefficient de la conductibilité intérieure, de la matière dont l'enveloppe est composée. Il s'agit d'intégrer cette expression pour toute la surface de l'el- lipsoïde y; or, cette intégration peut se faire de deux manières : en exprimant l'élément dw° en coordonnées orthogonales, ou en coor- données elliptiques. En employant les coordonnées orthogonales, on remarquera d'abord que d\s est égal à la partie de la normale à fellipsoïde (u) comprise entre les deux ellipsoïdes qui limitent la couche consi- dérée, en sorte que si A\x, d\y, d\z, sont les projections de {\s sur les axes, on a TX ie = ne, ru = ed, d’où 192 SURFACES ISOTHERMES dx du ire ou, en remarquant que — — ——, comme l'indiquent les équa- z 7 tions (6), puisque sur la courbe s, v et p restent constants n V” CR UNE ONE rs SÈ— —— —— a M PA + (u2—b2} a (He) (220 ce qui donnera fu 1 CHEN a 3 2 ë ÉD ren pe GET À Ga Quant à l'élément de surface du”, sa valeur est sera PT F3 A de? = dx dy RUES EEE EU PREM ANR RET TS = pa (ue) (ue? on peut donc poser Ou bien, en remarquant que l'équation de l'ellipsoïde donne she bts re fautes x? y? ii D EEE Vue 2 24? on aura dV du ad Vue dxdy EE _— du ds du m } 12 y2 ë u2 PET L'intégration de cette expression, par rapport à y, conduit à l'intégrale indéfinie eu Vue Va arc sin RE + const |dx, du & TE DANS LES CORPS SOLIDES. 193 Qui doit être prise de y 2 k LAON 2 ( de Le À ENT Vus, H ÿ 1 cé qui donne Enfm l'intégration par rapport à +, de (x——m) à(x=+), donne définitivement, en doublant le résultat, pour la quantité de chaleur cherchée , 1TK = VB Vue ou, en vertu-de l'équation (9), . 47 KA. Cette quantité de chaleur est donc constante, quel que soit 4, ou quelle que soit la couche ellipsoïdale considérée. 6 XII. En employant les éoordonnées elliptiques, on substituera à l'é- lément du”, le rectangle Âs'A\s", et l'on aura, (équations (7)), LAS d\u 1 UL K ET SRE J\s d\s LAID à. *, JUSTE TER (— p°)A vd P =) K _ Va e Vue 122 L LATE Ve" V8 1 Ve p ; Cette expression devra être intégrée de y=b à 1=c, dep—0, à p—b, et ensuite multipliée par 8, pour avoir la quantité de cha- leur cherchée, qui sera, en vertu de l'équation (9),, b fe (= p°) dvd p sKA D pdd 2 . J, V = pi 14 er Y ep VER 3 25 194 SURFACES ISOTHERMES Sous cette forme cette quantité totale de chaleur est encore indé- pendante de #, ou de la couche ellipsoïdale considérée. Son expression différentielle G2—p?) MA p KA: BE Von Vip Vas” est elle-même mdépendante de #4. Ainsi, si l'on considère à travers l'enveloppe proposée, un canal infiniment délié, ayant pour axe une courbe s, et pour section normale le rectangle A\s'4\s", dont la grandeur varie avec 4, ou “ane couche ellipsoïdale à la suivante, ce canal laissera écouler une même quantité de chaleur dans le même temps, par toutes ses sections normales; et ses parois, qui appartiennent à quatre hyperboloïdes aux mêmes foyers, infiniment voisins deux à deux, ne seront traversés par aucune molécule calo- rifique. Sous ce point de vue, on peut appeler ce canal un filet de chaleur, et Ja différentielle qui précède donne la dépense de ce filet pendant Punité de temps. ç XIII. Soit toujours dw° un élément de la surface de l'ellipsoïde (4); la quantité (AQ) qui le traverse sera égale à la dépense du filet de k 1 N LT 3 3 : duw? section d\s'd\s", multipliée par le rapport Tan elle est donc, d'après les équations (7), égale à KAdu? AQ = "© Vu up Si l'élément d&”, conservant toujours la même grandeur, est successivement placé aux extrémités des trois axes de l'ellipsoïde (u), l'expression précédente prendra les trois formes suivantes, ° A une des extrémités du grand axe 2u, où x =, y—0, :—0,etr—c, p—=b, elle devient DANS LES CORPS SOLIDES. 195 KAdw? V u2—c2 Var ? G 21 # LJ » ? < ———— ss Te = 2° A l'extrémité de l'axe moyen, où x4=0, y=y/ 2,50, et) —0;p=0 NO 3 KA do? AI DE: M Vue 3°. Enfin à Fextrémité du petit axe, où 4—0, y=—0, :=y/ x, eby—= b,p = 0 ; rs KAdw? AVR On déduit de là PNR A'Q: A'Q:A'"'Q:: &: Vu? Ë Vue? Ô c'est-à-dire que les flux de chaleur aux extrémités des axes d'une même surface ellipsoïdale d'égale température ont des intensités respectivement proportionnelles à ces axes. e $ XIV. En égalant les deux expressions trouvées pour la quantité totale de chaleur qui traverse une surface Are quelconque d’é- gale température, on obtient TL (v2— p?)drd.p QUE TZ 09 y Verre Vo p Ve p? HAN ou 1e b Fu v2dy : ° Vap Vo—p? b ya Ver —f — pd p ——— — jf; d ELA VATENTI Va p Ve Ver y 2, 25° 196 SURFACES ISOTHERMES . ou bien encore b d? e Vr=R “he —————————— Fi ——— dy 0 Vap Yep? Ve LL à fe : + —— © —_——— ——. o Ve-p Le y e — (E 2 Ces relations peuvent se démontrer directement (voyez la note placée à la fin de ce mémoire ); toutefois Ia facilité avec laquelle elles se déduisent de l'analyse précédente mérite d'être remarquée. Le genre de coordonnées 4, v, P, auquel on est conduit en trai- tant la question physique qui nous occupe, paraît même devoir fournir les éléments d’une sorte de trigonométrie elliptique, dont l'objet scrait de démontrer géométriquement, et d'une manière simple, quelques formules qui lient entre elles les différentes espèces de transcendantes elliptiques. Et, comme un autre exem- ple de ce nouveau mode de démonstration, on remarquera que le volume d'un ellipsoide (),. ou le produit uy/u22 Vue de ses trois axes, multiplié par 7, doit être étal à huit fois l'intégrale triple /{f Asd\s' A\s", prise entre les limites extrêmes des variables indépendantes LA, V, p; ce qui conduit à l'intégrale suivante, définie en vet p, indéfinie en x, ie (ur) (—p?)(42—p?) du dr dp 07 bJ b PV 0 1— BV re pe p2 F ————— —— = UV BR Vue; laquelle peut se décomposer en une somme algébrique de triples produits de transcendantes elliptiques. $ XV. - < Dans le cas de l'enveloppe dont les parois sont deux hyperbo- DANS LES CORPS SOLIDES. 197 loïdes à une nappe, ayant mêmes foyers, la quantité de chaleur qui traverse dans lunité de temps Île parallélipipède d\sd\s”, compris entre deux surfaces d'égale température infiniment voi- sines,.a pour expression » dV.. dy j K PEN d\sd\s 3 ou, en substituant les valeurs de Î\s, ds", d\s", e _ K VV Gp) Sud p dy ? 3 3 x d Ve BV EVE PVe — p? ou enfin, en ayant égard à léquation (9), : KA (2—p?)N\ud\p VV VE Ve à elle est donc indépendante de », et par conséquent de la surface isotherme considérée, j Ainsi, dans le canal infiniment délié dont l'axe et les arêtes sont des courbes s', les sections d\sd\s", perpendiculaires à ses parois et de grandeur variable , sont toutes traversées para même quantité de chaleur dans le même temps. Ce canaf forme un filet de chaleur dont la différentielle qui précède exprime a dépense. 7: RTE Enfin dans le cas de l'enveloppe terminée par deux moitiés d'hyperboloïdes à deux nappes aux mêmes foyers , la quantité de chaleur qui traverse, dans l'unité de temps, le parallélipipede d\sd\s’ est dv d\p Ke d\shs 4 . dV RE EEE: (ua? —32) Judy KE VE Ava ) Ven CYR EVER | 198 SURFACES ISOTHERMES ou enfin, d'après l'équation (9), : (uv?) Dudi Va Py 3 V2 DV e2— 72 Cette quantité est indépendante de p, ou de ce qui particularise la surface isotherme. Ainsi, dans le canal-aux arêtes s” toutes les sections d\s'd\s, quoique différentes, sont cependant toutes tra- versées par le même flux de chaleur. Ce canal est donc un filet de chaleur dont la dépense est exprimée par [a différentielle KA précédente. I résulte de ces vérifications que les équations (10),, (10), (10), représentent réellement les températures stationnaires dans trois genres d'enveloppes dont les parois sont des surfaces du second degré ayant mêmes foyers, et entretenues chacune à une tempéra- ture constante dans toute! son étendue, mais différente de l'une à l'autre de ces parois, $ XVL Si l'espace solide en équilibre de température était terminé par deux paraboloïdes de même espèce, dont les axes seraient dirigés sur la même droite, et dont les sections principales auraient les mêmes foyers; il résulte évidemment des différents cas qui vienvent d'être traités , et des transformations connues pour passer d'une espèce de surface du second crdre à une autre, que les surfaces d'égale température dans le solide proposé seraient des paraboloïdes de même espèce que les parois, et assujettis aux mêmes relations de forme et de position: $ XVIL Si b—c dans les équations (5), la première représente des ellipsoïdes de révolution autour de leur grand axe, et les ellipses DANS LES CORPS SOLIDES. 199 méridiennes de tous ces ellipsoïdes ont les mêmes foyers ; la troi- sième équation représente des hyperboloïdes de révolution à deux nappes ayant mêmes foyers ; quant à la seconde, y devant toujours être compris entre b et c, on posera © — D? + AU, P—p A, A et Ab? étant des quantités infiniment petites, dont le rapport fini peut varier avec A; la seconde des équations (5) deviendra alors Î RE, ND PT RQ re: |e Av et représentera deux plans méridiens quelconques des surfaces de révolution des deux autres systèmes. En posant = c dans les équations (9), et (10), elles de- viennent (A4 ut (u— ce) "À, VI EN ae + B, 2. A+e pour la température stationnaire des différents points d’une enve- loppe terminée par deux-ellipsoïdes de révolution autour de {eur grand axe , ayant mêmes foyers, et entretenus chacun à une tem- pérature constante. En faisant b — © dans les équations (9) et (10), elles donnent av 2 2 (rs) =A, dp V= gl £B, pour exprimer Îa température variable d'un point à l'autre d’une enveloppe solide terminée par les moitiés de deux hyperboloïdes de révolution à deux nappes, ayant mêmes foyers. 200 SURFACES ISOTHERMES 6 XVII. Si b — 0 dans les équations (5), la première représente des ellipsoides de révolution autour de leur petit axe, dont les ellipses méridiennes ont toutes fes mêmes distances focales; {a seconde représente des hyperboloïdes de révolution à une seule nappe, assujettis à la même relation de fomme et de position; quant à fa troisième, p devant toujours être moindre que b, on y substituera à Pet p* deux quantités infiniment petites A4 et Ap”; elle de- viendra alors Ab? (5 — er, et représentera deux plans méridiens quelconques des surfaces de révolution des deux autres systèmes. En posant 4 — 0 dans les équations (9), et (10), elles de- viennent dv RPM a = À, V = + are cos = +) UD Telle est la loi des températures dans une enveloppe solide ter- minée par deux ellipsoïdes de révolution autour de leur petit axe, dont les coupes méridiennes ont les mêmes foyers, lorsque cha- cune de ces parois est entretenue à une température constante, mais différente de lune à l'autre paroi. En faisant D — 0 dans les équations (9), et (10), elles donnent dv PU TR Ver — À, V = Et) B, C + AGE y? DANS LES CORPS SOLIDES. 301 pour la loi des températures stationnaires d’une enveloppe solide terminée par deux hyperboloïdes de révolution à une nappe, assujettis aux mêmes relations de température et de forme que les parois du cas précédent. Il est remarquable que dans l'enveloppe ellipsoïdale de révolu- tion autour du grand axe, dont a surface est évaluable en arc de cercle, la température soit exprimée par un logarithme; tandis qu'au contraire, dans l'enveloppe formée par la révolution de deux ellipses homofocales autour de leurs petits axes, dont la surface est donnée par logarithmes, la température est inversement exprimée par un arc de cercle. 6 XIX. Si l'on considère le cône comme la fimite d'un hyperboloïde à une nappe ou à deux nappes, on peut déduire de l'analyse pré- cédente la loi des températures stationnaires de tous Îes points d'une enveloppe dont les parois seraient deux cônes obliques du second degré, ayant le même sommet et leurs sections principales situées sur les mêmes plans, lorsque ces deux parois, entretenues chacune à une température uniforme et constante, ont entre elles cette relation de forme, qu’elles sont assymptotiques à deux hyperboloïdes aux mêmes foyers. Les surfaces d'égale tempé- rature seraient alors des cônes de la méme famille, ou des cônes assymptotiques à des hyperboloïdes ayant les mêmes foyers que ceux avec lesquels les paroïs coniques se confondent infiniment loin du sommet. Mais comme il est impossible de réaliser des circonstances physiques semblables , à cause du flux de chaleur qui devrait avoir lieu au sommet, sur une épaisseur nulle, et qui serait infiniment grand comparativement au flux qui traverserait toute autre partie de l'enveloppe, je me dispenserai de discuter plus longuement ce cas particulier; je ne l'offre ici que comme une limite offerte par l'analyse, et qui pourra jeter quelque jour sur la manière de 5. 26 202 SURFACES ISOTHERMES considérer le cône, toutes les fois qu’on voudra étudier l'équilibre et le mouvement des agents physiques dans son intérieur. Pour représenter analytiquement ce cas singulier, il faut sup- k b poser & et c nuls dans les équations (5), sans que le rapport — le soit; la première de ces équations représente alors des sphères concentriques, mais que Ton doit considérer ici comme les limites d'elipsoïdes à axes inégaux, dont les quatre foyers sont infiniment rapprochés, sans se confondre cependant; Ia seconde et la troisième des équations (5), dans lesquelles on pourra remplacer v, p,b,c, par eh, €Ps, €, , €c, , € étant infiniment petit ou nul, etw,, p;, b,, c,, des longueurs finies, représenteront alors des cônes assympto- tiques à des hyperboloïdes à une et à deux nappes, ayant les mêmes plans de sections principales et les mêmes foyers. H suit de là que si lon imagine les deux séries d'hyperboloïdes à une et à deux nappes représentées par les deux dernières équa- tions (5), les traces de leurs cônes assymptotiques sur une même surface sphérique, ayant son centre à leur sommet commun, for- meront deux systèmes de courbes à double courbure qui se cou- peront à angle droit. ro e Pour traiter ie cas de l'équilibre de, température d'une enve- loppe cylindrique, dont les parois et les surfaces isothermes, coupées perpendiculairement aux arêtes, donneraient des courbes du second degré, 1 faut chercher fa relation qui doit exister entre les fonctions m et 7 du même paramètre variable À, pour que l'équation 2 2 MT + ry =} représenie un système de surfaces d'égale température. On est alors conduit aux deux systèmes suivants : DANS LES CORPS SOLIDES. 202 22 y? —- EE PE u?—c? 5 (5) ET TETE ES 7 1; qui représentent deux séries de cylindres, les uns à base elliptique, les autres à base hyperbolique, qui ont cela de commun que leurs traces sur un même plan perpendiculaire à leurs arêtes sont toutes des courbes du second degré ayant les mêmes foyers. Les traces hyperboliques coupent à angle droit toutes les traces ellip- tiques, etc. On trouve alors pour la loi des températures de lenveloppe cylindrique indéfinie à base elliptique, et pour le cas de la base hyperbolique av TRUC ANT A . y VW = Aarc (sin = =) B. C Je crois inutile d'entrer dans plus de détails sur ces nouveaux exemples; la discussion du cas plus général que j'ai traité le pre- mier ne permet pas de douter de l'exactitude des lois indiquées par les équations précédentes. SECONDE PARTIE. $ XXI Les coordonnées elliptiques qui sont indiquées par lanalyse 26° 204 SURFACES ISOTHERMES mathématique de l'équilibre de la chaleur dans les corps que jai considérés donnent le moyen de traiter le cas plus général des températures stationnaires d'un corps plein ou d'une enveloppe solide creuse, dont les parois seraient des surfaces du second degré, auxquelles seraient immédiatement appliqués des foyers connus, mais variables d'un point à l'autre de ces parois; ainsi que le cas du refroidissement de ce corps ou de cette enveloppe, lorsqu'elle est exposée à des circonstances calorifiques de même nature. En exprimant l'équation générale au moyen des coordonnées dont ïül s'agit, on parvient, comme dans les cas traités jusqu'ict, à ramener fa solution complète de la question à l'intégration d'équations aux différences ordinaires; en sorte que la seule difh- culté qui s'oppose encore à l'évaluation numérique des tempéra- tures ne consiste plus qu'à intégrer ces dernières équations au moyen de séries suffisamment convergentes. Ces équatiens aux différences ordinaires prennent leur forme la plus simple et la plus commode, en substituant aux coordonnées elliptiques un autre genre de coordonnées, qui a encore un rapport plus direct avec la question physique. Si l'on considère séparément les trois systèmes conjugués et orthogonaux de surfaces isothermes comprises parmi les surfaces du second degré, la température est exprimée, dans chacun de cessystèmes, par une transcendante ellip- tique de première espèce. Or, les nouvelles coordonnées dont 1 s'agit sont les trois transcendantes elliptiques qui expriment les températures stationnaires dans les trois cas. L'objet de cette seconde partie est de démontrer les deux pro- positions que je viens d'énoncer. $ XXII. Je considérerai d'abord Ie cas général de l'équilibre des tempé- ratures dans un corps solide homogène, terminé par des surfaces du second degré homofocales. DANS LES CORPS SOLIDES. 205 Soient €, n, &, les intégrales qui constituent les parties variables de la température, dans Tes équations (10),, (10),,(10), de la pre- mière partie de ce mémoire, lorsque les surfaces isothermes sont ou des ellipsoïdes, ou des hyperboloïdes à une nappe, ou des hyper- boloïdes à deux nappes, tous ayant les mêmes foyers. Soit de plus a, >c, 1, >bet; c°—Y pe (c°—b?)sinfcosd@ UN: Ve {cb }sin"à 216 SURFACES ISOTHERMES les Timites relatives à y, qui répondent à y = b et y=c, seront 8— 27 et 8 — 0; en les intervertissant et changeant le signe de l'intégrale, on aura Ne dy : 1 27 d8 J À Fi); é VB) y") É 0 V1—asin:g © y dy = 12 EE — = ef V1=asin0 dj — cEa. $ VGr=0) (y) b?) (c— Au moyen de ces transformations, l'équation (2) devient 3) FiaE;a + FiaEsa — FjaFia = 57, et en observant que les modules a et & sont complémentaires, on voit qu’elle coïncide avec une équation trouvée par Legendre (*). La dernière équation du paragraphe XIV devant subsister pour toutes les valeurs de w, et ayant lieu évidemment pour & — 0, il suffira de verifier sa diflérentielle par rapport à u, ou, ce qui est la même chose, lequation Ch fe (ax Yu —y"Xy—2")dydx # fo em, 2. MU (D AC) MP Cie V@2-xXe3-x"Xy"-bYer-yt) Elle se décompose en trois autres, savoir : bfe (y°—2*)dydr MATE ER lm, ° V3-xXe-22Xy-br Ye ue) be (y#—x4) dydx Tue ne ee) VG-xt)(er-rXy2-be)(ct-y) fes Try" (y#—x*)dydx em — MC 0 VO) es) | La première est la même que l'équation (1), qu'on vient de vérifier; les deux autres peuvent s’écrire ainsi : (°) Traité des fonctions elliptiques , tome IT, page 60. DANS (LES CORPS SOLIDES. 2407 Vi dx c y#dy ven Ne b æhdz c dy PO a LACET er) ni b 2?dx c y#dy ET ne nn a —— AT TE Te pa b zhdz c y?dy es —= }7b?c2. V@ Xe) ACTE) D’après les transformations précédentes, on a b æhdx 27 sin{gdg Je Rp NS LA 7 » 0 VE 5:) 0 1 — a? sin? @ c y'dy 27 : RE — af (1—æ2sin28): 48 VE) =) o En intégrant Par parties, et ayant égard aux limites, on a aussi 37 sin?pcos?gdp 1 27 i — —— — Fr (cos2g — sin?g) vi — a?sin?2o dç, ML V1— sing 0 et, par conséquent, »P JE sin4od® vi sin?29d? ——" — RE ES 0 vi —a?sin29 0 V/1— sing 1 27 (1— 9sin?g) (1—a?sin?9)do = {bus RE PC re = 3 Co V1—asm?g (er Re La do te ——— V1— ain? 2f 27 sinéçd? eur SES | RER 0 y î 1— a°?sin2? d’où lon déduit 28 218 SURFACES ISOTHERMES fr sinigd® _—— __ siutgdp “410 14 1— a?sin? 0 nn 1— a?sin?9 1 [7 dg 34 Jo V1 — a?sin?® 2+- a? LT dg 2(1+-a?) LE EE CUS TERRES = f — V/1— & sin20 de. 3 0 V1 —a?sin?p 0 En même temps, on a 27 à 5 27 dû Ji (1—aæ?sin28): 4 = f nl 4 IT sin?9d8 cafe 21 :sintgd® ;0 af, Ve do IT sin4 dy EE sin? __ sin?0a0 sf V/1— sin SE 1 VAT 1— æ?sin?ÿ sin?ÿ 1— a?sin?ÿ = 1 dÿ = 2 0 ——— © SE DATE æ?sin?9 d’où l’on conclut Le : 3—«? IT dÿ (1—a?sin28)? dû — = f 7 4 s 0 1 — «?sin?ÿ 2 x? _ 2) er,singdf “= A 1 — 1 — æ°sin% LEE 2 7 aff nr V/1— &sin?/ 29 dÿ — — à ee 1 — a?sin?ÿ Cela étant, en employant les notations de Legendre, on aura b zhdx c3(2+-a?) c3(1+-a?) He = 3 Fia — 2 CS Eia, 0 V(E2—x2) (c2—x?) € y\dy 2c3(1+-a?) & cè ee 4 V' QE) (2—y?) et comme on a trouvé précédemment DANS LES CORPS SOLIDES. 2119 f° . RE Fia, V/{82— x?) (6—x2) z?dx f: Passe mm ES Rs (2x?) 1 he DIS ire De Ce) y?dy b pp mere tee em, CIO lATRETEE) les équations (4) deviendront c2 or (1+a2) ( FiaE1a + FixE1a — FiaFix) — ir (b2+c2), ca? (FiaEia + FiaE1a — FiaFia) — !xb?c? ; ce qui coïncide, à cause de b — ac, avec l'équation (3) citée plus haut. MÉMOIRE SUR L'INFLUENCE DE CERTAINES PROFESSIONS SUR LE DÉVELOPPEMENT DE LA PHTHISIE PULMONAIRE, À L'OCCASION D'UNE INDUSTRIE PARTICULIÈRE À LA COMMUNE DE MEUSNES, DÉPARTEMENT DE LOIR-ET-CHER ; PAR M. BENOISTON DE CHATEAUNEUF. LU À L'ACADÉMIE ROYALE DES SCIENCES, LE 20 SEPTEMBRE 1830. I existe en France un genre d'industrie dont les produits sont répandus dans le monde entier. Il n’est pas une ville, un bourg, un hameau, où fon n’en trouve. H s'en fait dans certains endroits des dépôts considérables. On croirait, d'après cela, que cette industrie a de nombreux ateliers, occupe des milliers de bras, et demande des capitaux immenses. À cinquante lieues de Paris, dans une com- mune de douze cents habitants tout au plus, trois cents familles environ se livrent à ce genre de commerce qui leur donne à peine de quoi vivre. Cette commune est celle de Meusnes, dans le département de Loir-et-Cher, et cette industrie est celle de Ia fabrication des pierres à fusil. INFLUENCE DE CERTAINES PROFESSIONS, etc. 291 If faut faire connaître en peu de mots ses procédés. Le seul silex ou caillou propre à cet usage, et qui, pour cette raison, est distingué des autres par le nom de silex pPyromachus, se trouve en abondance aux environs de la commune de Meusnes, dans une plaine de plus d’une lieue carrée d’étendue. C'est ordinai- rement à quarante ou cinquante pieds de profondeur qu'on le ren- contre disposé en couches horizontales, que recouvre un sol d’une qualité médiocre, dont Ia surface sablonneuse n’est guère propre qu’à la culture de la vigne. Pour ouvrir ce sol et pénétrer jusqu’au silex, quatre ou cinq ouvriers, rarement plus, se réunissent et mettent en commun leurs travaux et leurs espérances. Ils creusent d'abord un puits dont l'ou- verture a trois pieds de largeur, autant de longueur, et dont fa profondeur n'excède pas neuf pieds. 3 Ce premier puits terminé, ils pratiquent au fond une espèce de niche, à l'extrémité de laquelle ils ouvrent un second puits, dont les dimensions sont les mêmes que celles du premier, et qui commu- nique à un troisième par un procédé semblable. Ils répètent ainsi la même opération jusqu’à ce qu'ils soient arrivés au banc de caillou. On peut donc se représenter tous ces puits comme formant une espèce d'escalier, dont chaque degré a pour Pauteur Ia profondeur d'un puits, et dont Ia surface est formée par le fond ou terre-plein de chacun. Les ouvriers descendent dans ces puits qu'ils appellent caves ou crocs, de {a même manière que les ramoneurs montent dans les cheminées, à l'aide des épaules et des genoux. Parvenus à la carrière, ils percent en différents sens des galeries horizontales, et si basses, que lon ny peut travailler qu'à genoux. Quand ils ont détaché un certain nombre de morceaux de silex, un ouvrier, placé au fond de chaque puits, les jette à celui qui est au- dessus ; ainsi lancés de main en main, les cailloux arrivent à l'entrée de la carrière, où on les met en un seul tas. Le travail, ou, comme on l'appelle, /a bordée finie, et elle ne dure jamais plus de, deux à trois heures en été, et de quatre à cinq en hiver, son produit se par- 299 INFLUENCE DE CERTAINES PROFESSIONS tage en autant de lots qu'il y a d'ouvriers, et chacun emporte le sien chez lui. Alors commence en famille un second travail, celui de la taille des pierres à fusil proprement dites. Un petit nombre d'instruments suflit à cette opération. Une masse de fer à tête carrée , qui ne pèse pas deux livres; un marteau d'acier à deux pointes, qui n’en pèse pas une; une roulette de fer, de deux pouces de diamètre et de quatre lignes d'épaisseur, fixée à un manche long de six pouces ; enfin , un ciseau ressemblant à celui des menuisiers, et enfoncé dans un bloc de bois, ou fixé à unetable qui sert tout à la fois à louvrier d’établi et de point d'appui, tels sont ses instruments. Voici comme il s’en sert : Lorsqu'il a fait choix d'un bon bloc de silex, 1 sassied à terre, le place sur sa cuisse gauche, et le frappe à petits coups de sa masse de fer pour le rompre en plusieurs morceaux. I obtient ainsi des éclats d’une livre à une livre et demie environ, dont Ia cassure est large et présente une surface plane. Prenant alors dans sa main gauche, qu'il tient élevée en l'air, un de ces morceaux, il en détache avec son marteau à deux pointes des écailles d’un pouce et demi de largeur à peu près, de deux pouces et demi de longueur, et de deux lignes d'épaisseur vers le milieu. Elles sont un peu convexes en dessous, et laissent à découvert, en se séparant du bloc, une surface légèrement concave, terminée de chaque côté par une ligne ou arête longitudinale. Les seules écailles où se trouvent ces arêtes peuvent servir à faire des pierres à fusil. Le caillouteur prend une de ces écailles, examine lequel des deux bords en biseau est le plus propre à faire la mèche (le côté destiné à frapper la batterie). Il appuie successivement sur le tranchant de son ciseau Îles parties de {a pierre qui doivent en former les flancs , et frappe dessus de petits coups avec sa roulette. La pierre se détache sur-le-champ d'elle-même : elle est faite ; 11 n’y a plus qu'à la raffiler, c'est-à-dire à rendre son tranchant plus vif, à laide de cinq ou six coups de roulette donnés sur les bords de la mèche. SUR LA PHTHISIE PULMONAIRE. 223 Les écailles trop épaisses ou trop encroûtées de terre calcaire sontréservées pour les pierres à briquet : on les appelle des grolles. Tels sont les procédés faciles de cette fabrication, à laquelle les femmes et les enfants prennent part, et qui occupe, comme nous l'avons déjà dit, environ trois cents familles de la commune de Meusnes, et quelques autres de celle de Couffy, qui en est voisine. Leur travail suffit pour fournir aux besoins de armée, des places fortes , et pour tenir toujours pleins les magasins de Saint-Aiïgnan. Quand on pense qu'il n'y a point de villes de guerre dont fapprovi- sionnement en pierres à fusil n'en exige plusieurs millions ; que le gouvernement en enlève dix millions par an, et que l’on en envoie près de deux cent quatre-vingts millions en Allemagne, en Espagne, en Hollande, en Suisse , en Italie, en Turquie, on reconnait là un nouvel exemple des grands effets produits par les petites causes, et de ce que peut un faible travail, maïs qui ne s'arrête jamais. L'exploitation de Meusnes, qui paraît dater de plus d’un siècle, c'est-à-dire de l'époque où fon substitua la pierre à la mèche dans les armes à feu, est la plus considérable , fon doit même dire la seule qu'il y ait en France. Celles de Lye (Indre), de Maysse (Ardèche), de Cerilly (Yonne), de Bougival et de la Rocheguyon (Seine-et- Oise), méritent à peine ce nom. On estime qu’un seul ouvrier peut fabriquer par jour huit ou neuf cents pierres de différentes grosseurs ; mais comme il ne consacre à cette industrie qu'une partie de son temps, et qu'il emploie l'autre à cultiver son champ, ou à ne rien faire , il faut réduire ce nombre de beaucoup. Le cent de pierres , dont on distingue une vingtaine d'espèces, telles que celles de munition, de chasse, de pistolets d’arçon et de poche, de rempart, les boucanières à deux mèches, les bouca- nières rondes, etc., se vend cinquante à soixante centimes. Le gouvernement paye douze francs le millier celles qu’il achète ; mais comme il exige des proportions régulières, et qu’elles sont toutes 224 INFLUENCE DE CERTAINES PROFESSIONS vérifiées à l'aide d’une mesure en fer, la difficulté de les obtenir cause l'élévation du prix *. Les produits de cette industrie sont, pour ainsi dire, répandus dans le monde entier ; le débit en est immense; les procédés en sont faciles, les gains avantageux. Cependant l'acquisition d'une carrière et les frais de son exploitation sont si coûteux, que le caillouteur en mourant ne laisse rien, ou peu de chose, à sa famille. Mais il y a plus, par une espèce de fatalité qui semble attachée à tout ce qui tient à l'art de la guerre, cette industrie tue ceux qui l'exercent ; elle les fait mourir longtemps avant l'âge, et pour eux il n’est pas de vieillesse. Soit qu'on interroge sur la cause d'une mortalité si précoce les médecins ou l'autorité, la réponse est la même, elle signale la phthisie pulmonaire produite par l'inspiration continuelle de la poussière qui s'échappe du silex quand on le taille en pierres à fusil. Le maire actuel de Meusnes, M. Dauvergne, dont la complaï- sance s'est plu à me fournir tous les renseignements que je pouvais désirer sur sa commune, ne m'a point indiqué d'autres raisons, et je tiens de M. le docteur Villermé un mémoire fort bien fait de M. Bourgoin, médecin de Celles-sur-Cher, sur Fexploitation du silex à Meusnes, où lon trouve ce qui suit : De 1680 à 1709, c'est-à-dire pendant un espace de 30 ans, la population moyenne de Meusnes a été de 415 habitants. Les naissances étaient alors avec la population dans le rapport... ..........:.... er EE RAS 1059149087 Einlessdééesiarauels sais Rte SN er 88h96 Une génération ne se trouvait réduite à la moitié qu'au bout de 18 ans, et la vie moyenne était de 24 ans 3 mois. La fabrique n'existait pas encore. Depuis son établissement, et de 1760 à 1790, la population moyenne de la commune a été de 850 habitants. Dans cette seconde période de temps, également composée de 30 ans, comme Îa 1 Voyez, pour de plus amples détails, le n° 33 du Journal des mines. (Prairial an V ) SUR LA PHTHISIE PULMONAIRE. ; 29 première, le rapport des naissances avec cette population : [A a étér. tube tu ae Len are embtre, DÔRÉE OX 738t. Celui des décès. ...............:.. :: 1:9283.60 au lieu de 33.24. Une génération était réduite à a moitié avant 5 ans au lieu de 18. et la vie moyenne, raccourcie de 5 ans, n'allait pas au delà de 19 ans 2 mois. Ces calculs sont extraits de deux tableaux nécrologiques que M. le docteur Bourgoin a ajoutés à son mémoire, et qui représentent le mouvement de la population de Meusnes, aux deux différentes époques qu'embrasse son travail. Ils confirment les ravages de la phthisie dans cette commune; mais ils seraient encore bien plus concluants si M. Bourgoin avait indiqué les époques des recen- sements sur lesquels il a établi la population, et sil n’en eût pas déduit les variations d’après celles que lui présentait lexcédant des naïssances sur les décès. Quoi qu'il en soit, il paraît malheureusement prouvé que la phthisie est, pour ainsi dire, devenue endémique dans la commune de Meusnes, depuis l'établissement. de la fabrication des pierres à fusil, et je me suis assuré qu'aujourd'hui même encore l'ordre de mortalité de ses habitants en est sensiblement affecté. Ici s'élève une question de médecine encore obscure, et par cela même diffrcile à traiter. On lit dans Amatus Lusitanus le passage suivant, que nous abré- geons beaucoup : « La vertu dessiccative du plâtre produit la phthisie « chez ceux qui le travaillent; » et Morgagni, dans son ouvrage de Sedibus et Causis morborum , Epist. 15, ( 17, parle des tuber- cules pierreux, qu'il regarde comme cause de [a phthisie chez les plâtriers, les tailleurs de pierres, les cardeurs, chez tous ceux enfin qui respirent continuellement un air chargé de molécules pulvérulentes. Ramazzini, dans son Traité des maladies des artisans, publié quelques années après l'ouvrage de Morgagni, se contente de dire, d'après sa propre expérience, que l'inspiration du plâtre, de Ia 5. 29 226 INFLUENCE DE CERTAINES PROFESSIONS farine, de l'amidon, aussi bien que la poussière qui s'élève de la laine que lon carde, où des pierres que lon taille, produit non pas la phthisie, mais l'asthme. T'ussiculosi, anhelosi, rauci, ac demum fiunt asthmatici, trachæa et pulmonaribus vis incrustatis, liberoque aeris commercio impedito (1). M. Portal cite plusieurs garçons perruquiers qui rendaient des concrétions pierreuses, et qui n'ont échappé à la funeste maladie dont ils présentaient déjà les premiers symptômes, qu'en renonçant à leur état, et en s’éloignant ainsi de l'atmosphère poudreuse au milieu de laquelle ils vivaient (2). M. Maygrier dit avoir vu pendant plusieurs années la plupart des garçons boulangers de l'établissement de Scipion, que lon apportait à lhospice Cochin, y mourir de Îa phthisie; et que depuis quinze ans qu'il n'est plus chargé du service de cet hôpital il s'est assuré que rien n’est changé à cet égard (3). Leblanc, Baumes, M. Mérat, et beaucoup d'autres médecins, n'hésitent point à attribuer la phthisie dont sont attaqués les carriers et les tailleurs de pierres, phthisie bien connue de ces ouvriers, qui la désignent sous le nom de maladie des grès, où maladie de saint Roch, aux particules qui se détachent de ces pierres, et qui pénétrant avec Fair dans les cellules du poumon, les irritent, les déchirent, et provoquent ainsi la toux, les crachements de sang, et l'ulcération de cet organe. Enfin, je tiens de mon excellent ami, M. le docteur Faye, médecin des eaux de Bourbon-lArchambault, que dans la maison centrale de Riom beaucoup de jeunes détenus que Ton y occupe à carder la laine meurent de la consomption pulmonaire entre 1 8 et 30 ans, et de M. le docteur Villermé, qu'il a vu succomber de la même maladie dans la prison de Saint-Lazare, à Paris, beaucoup de femmes qui s'y occupaient à couper le poil des peaux de lapin. (1) Cap. XXI. De pistorum et malleatorum morbis. (2) De la phthisie pulmonaire, tome 1, page 192, à la note. (3) Dictionnaire des sciences médicales , article Phthrsie, tome LXII. SUR LA PHTHISIE PULMONAIRE, 2927 On voit que les médecins français et italiens se réunissent pour regarder l'introduction sans cesse renouvelée de débris végétaux ou minéraux dans les voies de la respiration, comme une cause directe et fréquente de la phthisie. Toutefois, il serait permis de croire que le même effet n’a point lieu en Angleterre, d'après ce passage fort remarquable de Cullen : « Dans ce sh , dit-il, de pareils cas « de phthisie sont rares; mais, sur la foi de Morgagni, Ramazzini et « de quelques autres écrivains nous devons croire qu'ils sont fré- « quents dans les pays du midi (1) ». Il est également digne de remarque que Morton, autre médecin anglais, au milieu des causes nombreuses de phthisie qu’il a rassemblées dans son traité sur cette maladie, ne parle point de celle-ci (2). Mais ce n’est pas seulement l'action irritante d’une poussière quelconque introduite dans les cellules pulmonaires qui produit la désorganisation de leur tissu; les émanations deségouts, des chiffons réduits en pâte, fermentant dans la cuve, les vapeurs du mercure en fusion, la provoquent également chez los égoutiers, les papetiers, les doreurs, au rapport de Baumes, de Pecq-de-la-Cloture, et de plusieurs autres médecins. Ce sont encore toutes les professions dont l'exercice exige une attitude courbée qui diminue Tampleur de la poitrine et cause la gêne de la respiration, en s’opposant au libre développement des poumons. Stoll dit avoir remarqué queles cordonniers, les tailleurs étaïent plus sujets que d'autres à de grandes et mortelles mflamma- tions de ces organes (3); et Retz, médecin à Arras, assure que les ouvrières en dentelles de cette ville meurent presque toutes de la poitrine. Enfin, beaucoup de médecins regardent comme cause de la phthisie qui attaque les forts de la halle, les boulangers, les paveurs, les efforts violents et répétés chez ces ouvriers, des muscles qui (1) Médecine pratique , Phthisie. (2) Phthisiolog., Üib. If, cap: 1: (3) Rat. medend., sect. XIV, pag. 135. 29 * 228 INFLUENCE DE CERTAINES PROFESSIONS environnent Îe thorax, et de ceux des extrémités qui viennent y prendre leur point d'appui. Voilà des faits qui paraissent positifs : ceux qui les ont observés sont des hommes graves, instruits, chez lesquels la science s'unit à la bonne foi. I est bien difiicile de ne pas les croire; et cependant il l'est encore plus de ne pas croire à des observations , à des travaux modernes qui semblent démentir complétement quelques-uns deces mêmes faits, et resserrer beaucoup les conséquences que Ton à tirées des autres. C’est ainsi que le beau travail de M. Parent-Duclâtelet, sur les égoutiers, a prouvé, contre l'opinion de Baumes, que leur séjour dans les conduits souterrains et les vapeurs infectes qu'ils y respirent n’enflamment pas plus souvent leur poitrine que ne le ferait l'exer- cice de toute autre profession ; et ses dernières observations sur Îles ouvriers en tabac ont également démontré l'erreur de Ramazzini qui avait cru reconnaitre chez eux une disposition particulière à des maladies causées, selon lui, par lâcreté de la plante qu'ils manient sans cesse. £ On a pensé longtemps, et lon croit encore, qu'un air doux, légèrement humide, que ne troublent pas à tout moment de rapides courants, était celui dont s'accommodaient le mieux des poumons délicats. Cependant on ne trouve que peu ou point de phthisiques au milieu des Alpes, où l'air est sisec et si vif; et lon voit tous les jours des phthisies commencantes, ou des maladies qui les simulent, guérir au milieu des mers où les vents et les tempêtes tourmentent si horriblement l'atmosphère. On croit même que cette maladie est beaucoup moins commune sur les côtes que dans l'intérieur des terres. Aujourd'hui que les moyens d'observer sont meilleurs et plus nombreux , et les résultats plus certains, c’est un travail nécessaire que de soumettre à un nouvel examen beaucoup de faits regardés jusqu'ici comme prouvés, et qui cependant sont loin de Fétre. Détruire une erreur, c'est ajouter à la somme des vérités; c'est être utile aux hommes comme à Îa science. SUR LA PHTHISIE PULMONAIRE. 299 J'ai cru que plusieurs des causes assignées à la phthisie étaient au nombre de ces faits qui demandent à être vérifiés de nouveau, et mon travail sur la commune de Meusnes en fournissait l’occasion. Le moyen était bien simple. I suffisait de prendre, dans chacune des professions accusées de nuire à la poitrine, le plus grand nombre possible d'individus malades d’une affection quelconque et de noter avec soin, parmi eux, tous ceux qui mourraient de {a phthisie. Comme les cas de guérison de cette cruelle maladie sont malheu- reusement aussi rares qu'elle est fréquente, le nombre des décès devait représenter exactement celui des phthisiques , et en montrer ainsi {a proportion avec les autres malades. MM. Desportes et Jourdan, administrateurs des hôpitaux de Paris, ayant bien voulu mettre à ma disposition les registres d'entrée de l'Hôtel-Dieu , de la Charité, de la Pitié et de lhospice Cochin, jai pu y relever tous les malades qui exercaient une des professions dont l'exercice est regardé comme funeste aux poumons. J'ai cru devoir me contenter d'un espace de cinq années (de 1821 à 1826) pour toutes celles qui ont fourni un nombre d'individus suffisant au but que je me proposais; dans le cas contraire, j'ai pris dix ans (de 1817 à 1827). Ces professions, au nombre de quarante-deux , ont donné dans, cet espace de temps 43,000 malades de toute espèce, savoir : 26,045 hommes; 16,955 femmes; 43,000. Sur ce nombre, 1,554 sont morts de la poitrine. C'est 3,61 sur 100, ou près d'un vingt-huitième de Ia totalité. Mais si l'on sépare les hommes des femmes, et si l'on examine ensuite lequel des deux sexes est le plus atteint par la phthisie, la proportion change tout à coup. On trouve que les 1,554 décès se partagent entre 745 hommes et 809 femmes, et que dès lors les premiers succombent dans le 230 INFLUENCE DE CERTAINES PROFESSIONS rapport d'un trente-cinquième, et les secondes dans celui d'un vingt et unième, ou de 2,86 contre 4,77 sur 100. M. le docteur Louis, dans un ouvrage qu'il a publié récemment (1), dit que, sur un nombre déterminé de phthisiques pris au hasard, il meurt 92 femmes pour 70 hommes, ou un tiers de plus. Nous devons sans doute à des nombres plus grands une proportion moins forte, mais nos calculs confirment encore les siens. On peut donc, d'après ce premier résultat, regarder comme prouvé, contre l'opinion de Bayle, par le témoignage des anciens et par les observatiôns des modernes, que les femmes sont plus sujettes à la phthisie que les hommes, dans une proportion qui peut s'élever du douzième au tiers. Cette disposition à la phlegmasie des poumons dans la première moitié de la vie s'explique chez homme par la tendance du sang à se porter vers les parties supérieures du corps durant la jeunesse et le commencement de âge viril, tendance qu'excitent encore chez lui les travaux ou les plaisirs auxquels ïf se livre alors. Mais à cette cause, commune aux deux sexes, se joignent, chez la femme, des phénomènes particuliers à’ son organisation, qui paraissent avec la puberté, et dont les retours réguliers ne doivent plus cesser qu'avec l'âge. Les précautions qu'ils exigent toujours, les troubles qu'ils éprouvent souvent, les orages de la grossesse, les accidents qui la suivent, montrent assez pourquoi la phthisie doit étre plus fréquente chez les femmes depuis l'âge de quinze ans jusqu’à cin- quante, et pourquoi c’est aussi dans cette période de leur existence qu’on les voit succomber à cette affection en plus grand nombre que les hommes. Passé ce terme, la diflérence disparaît, ou se ré- duit à peu de chose; et plus l’âge avance, plus il ramène les deux sexes à des chances égales de mortalité. Il est encore un autre fait qu'il faut consigner ici, parce qu'il tend à détruire une opinion généralement accréditée. On est persuadé que l'automne est de toutes les saisons la plus funeste aux phthisi- (1) Recherches sur la phthisie pulmonaire. SUR LA PHTHISIE PULMONAIRE. 231 ques, et que leur vie s'éteint à la chute des feuilles. « L'automne est « funeste aux phthisiques , » a dit Hippocrate (1). Il faut honorer le père de la médecine, et recueillir les faits. Voici ce qu'ils m'ont appris : Sur 12,668 décès phthisiques relevés à Milan, à Paris et dans les campagnes qui environnent cette capitale, on trouve qu'il y en a eu, % En automne, 3,001 En hiver, 3,109 Au printemps, 3,482 RL En été, 3,076 H serait à désirer que lon multipliât ces observations dans des pays où les printemps sont moins aigres et moins froids qu’à Paris, et les hivers moins tristes, moins rigoureux qu'à Milan. Il faut maintenant examiner l'influence des professions sur Îa phthisie. Je rangerai dans l’ordre suivant celles que lon regarde généralement comme les plus capables de Ia produire : 1* CLASSE. Professions qui exposent les poumons à l’action d’un air chargé de molécules végétales. * Hommes. Femmes. Amidonniers. « Boulangers. « Charbonniers. « Forts de Ia halle. « Chiffonniers. Chiffonnières. Cotonniers. Cotonnières. Fileurs. Fileuses. Dévideurs. Dévideuses. (1) Sect. III, aphor. 10. 2392 INFLUENCE DE CERTAINES PROFESSIONS 2° CLASSE. Professions qui exposent les poumons à l'action d'un air chargé de molécules minérales. Carriers. te Plâtriers. « Macons. « Taïlleurs de pierres. « 3° CLASSE. Professions qui exposent les poumons à l'action d'un air chargé de molécules animales. Brossiers. Brossières. Cardeurs et matelassiers. Cardeuses et matelassières. Chapeliers. Chapelières. Plumassiers. Plumassières. 4° CLASSE. Professions qui exposent les poumons à faction d'un air chargé de vapeurs nuisibles. Doreurs. Doreuses. Fumistes. « Peintres. « 5° CLASSE. Professions qui soumettent le corps et surtout les extrémités inférieures à l'action de l'humidité. Blanchisseurs. Blanchisseuses. 6° CLASSE. Professions qui soumettent les muscles de la poitrine et des extrémités supérieures à un exercice pénible et continuel. Forgerons. « Porteurs d’eau. « Serruriers. & Scieurs de long. « Tisserands. Tisserandes, Gaziers. Gazières. SUR LA PHTHISIE PULMONAIRE. 233 7° CLASSE. Professions qui soumettent les muscles:de la poi- trine et des bras à un mouvement continuel, et Île corps à une atti- tude génante. 4 Écrivains. « Bijoutiers. Bijoutières. 4 Taïlleurs. Taïlleuses et culotières. Cordonniers. Cordonnières et bordeuses. Frangiers, passementiers. Frangières, passementières. Polisseurs. _ Polisseuses. « Couturières. « Dentellières. « Fleuristes. « Gantières. « Lingères. « Ravaudeuses, « Brodeuses. Telles sont les professions que j'ai cru devoir examiner plus par- ticulièrement. On Îés régarde depuis longtemps comme funestes à ceux qui les exercent, et capables de déterminer chez eux lulcéra- tion des poumons. I faut voir jusqu'à quel point les faits sont d'ac- cord avec cette opinion, etsurtout il ne faut pas oublier que, comme aucun métier, aucun état, aucune condition de la vie n'estépargné par la phthisie, il ne peut s'agir iei que d'un danger relatif, dont la chance la plus heureuse n’est pas d'en être exempt, mais d'y être exposé le moins possible. On a dejà vu que les médecins anciens et dues signalent l'introduction dans les voies aériennes des particules végétales, minérales ou animales, comme une cause déterminante de phthisie, chez les amidonniers, es boulangers, les perruquiers, charbonniers, cotonniers , brossiers, cardeurs, dévideurs, plumassiers, etc. Quant aux premiers de ces artisans, les amidonniers, et surtout 5. 30 234 INFLUENCE DE CERTAINES PROFESSIONS les boulangers, comme sur 2,800. il n'en est mort, en dix ans, que 57 de la poitrine, où 1/49°, ilwest pas possible de reconnaître dans une si faible proportion l'effet d'une cause fortement délétère, et il faut bien dès lors regarder comme très-exagéré ce que Ton trouve écrit à ce sujet dans les ouvrages anciens et nouveaux. L'usage de la poudre dans les -cheveux n'existant plus depuis quarante ans, on ne peut vérifier aujourd'hui le danger qu'il y avait pour les perruquiers à s'en servir. Mais s’il était vrai que les nuages de poudre qui s’élevaient sans cesse de leur houppe leur fussent nuisibles, il faudrait dans ce cas applaudir à cette union de Ia mode et du bon sens, avec d'autant plus d’empressement qu'il est plus rare de Îa rencontrer. Plusieurs médecins ont placé les charbonniers parmi les ouvriers soumis à l'influence dangereuse des poussières; d'autres ont récem- ment écrit que celle qu'ils respiraient n'avait aucune influence nuisible sur leurs poumons; qu'elle provoquait seulement une toux légère, qui n'avait rien de grave. Cependant comme il en meurt 3,73 sur 100 ou 1/27° de la phthisie, on pourrait en con- clure que fa poussière du charbon est moins innocente pour eux que celle de la farine pour les boulangers, et regarder comme vraie observation de Skragge, qui dit positivement que les char- bonniers sont sujets à la phthisie (1). D'après l'inspection cadavérique qui à révélé dans les poumons de quelques pltriers l'existence de calculs et de concrétions pier- reuses, On n'a point hésité à regarder leur profession comme la cause productrice de ces corps étrangers, ainsi que de la phthisie qui en avait été la suite ; et l'on a étendu cette opinion aux maçons et à leurs manœuvres, aux carriers, etc. Examinons les faits : La phthisie attaque les plâtriers dans la proportion de deux et demi sur cent. Cette proportion est plus faible chez les maçons, (1) Carbonarii, à pulvere carbonum irresolubili intra pulmones recepto, tussiculosi, asthmatici, phthisici. Amænitat. Linn. vol. VII, pag. 84. SUR LA PHTHISIE PULMONAIRE. 235 où on la trouve de2,1/4 seulement, et plus encore chez les carriers, où elle atteint à peine un et demi (1,46) (1). Ce résultat conduit à penser que tout ce que lon à dit jusqu’à présent sur ce sujet est au moins très-inexact. On a trouvé des tubercules , des concrétions pierreuses dans les poumons de plusieurs lapidaires, de quelques plâtriers et l'on en a conclu que ces corps étrangers étaient dus à la poussière que ces ouvriers avaient respirée pendant leur vie. Les conducteurs de voitures, les charretiers, les postillons, sont continuellement plongés, sur les grandes routes, dans les nuages d'une poussière bien autrement.épaisse que celle qui s'élève du plâtre des bâtiments ou d'un saç de charbon : ces hommes en avalent plus en un seul jour que les maçons, les charbonniers , en un mois. Certes, si les poussières inspirées forment dans les poumons des concrétions, des tubercules, qui doit plus en ressentir les atteintes que les pos- tions et les charretiers? et on ne voit pas cependant qu'ils meurent de cette maladie plus fréquemment que les autres. On pourrait demander pour quelle raison la farine -ne produit pas sur les poumons le même effet que le plâtre et le charbon: on répondra sans doute que Fenduit gélatineux que celle-ci dépose lentement dans intérieur des bronches est loin de les agacer, de les irriter comme les molécules charbonneuses et calcaires; mais comment se fait-il alors que la poussière fétide qui s'élève du triage des chiffons produise, sur les organes de ceux qui les épluchent, si peu d'irritation, que les chiffonniers meurent de la poitrine dans une proportion qui n'atteint pas deux pour cent (1,68), et ce sont seulement les femmes ? | Les concrétions pulmonaires, dont on rapporte la formation aux poussières, devraient, dans ce cas, participer de la nature des corps dont elles proviennent. Ainsi, chez les plâtriers, elles devraient être formées par le plâtre, et par le charbon chez les charbonniers ; cependant if n’en est rien; partout, quelle que soit l profession, leur aspect est le même, et leur nature identique. (1) Voyez le tableau à la fin de ce mémoire. 30” 236 INFLUENCE DE CERTAINES PROFESSIONS H y a plus encore : ces calculs, ces amas pétriformes qui paraissent crier sous le scalpel comme la pierre sous la scie qui la divise, ont été trouvés chez des phthisiques qui n'avaient jamais manié le plâtre, ni vécu sous l'influence d'aucune poussière. On en a observé chez les enfants, et dans tous les viscères, dans le foie, le cerveau , le mésentère, etc.; on en a trouvé dans les vaches mêmes, etc. Il y a donc encore une autre cause qui peut les produire. Et maintenant, si lon donne quelque valeur à l'opinion de ceux qui croient que l'air continuellement introduit et chassé des poumons entraîne avec lui, dans l'expiration, les corps qu'il y apporte dans l'inspiration, on n'expliquera plus la formation des tubercules par le dépôt lent et successif de la matière qui les forme dans les tuyaux bronchiques, mais lon reconnaîtra combien les faits viennent appuyer ici les paroles d'un médecin savant et d’un observateur habile à la fois, de Laennéc , qui ne niait pas, disait- il, qu'une certaine quantité de plâtre, d’amidon, de poussière, ne pût occasionner momentanément de Ja difhiculté à respirer, mais bien rarement une maladie des poumons, le séjour des corps étrangers dans les bronches n'étant jamais long (1); et l'on regar- dera également comme très-près de la vérité M. le docteur Villermé, qui pense que de tous les dangers réels auxquels les maçons se trouvent le plus exposés par leur profession, ce sont les chutes fréquentes qui les précipitent du haut de leurs échelles et des échafauds qu'ils élèvent (2). D'après les idées adoptées sur l'influence des poussières, on Jeur attribuait encore un mode d'action différent suivant eur différente nature. Si on croyait, par exemple, les particules des substances végétales capables de produire des tubercules, on regardait aussi les parcelles légères qui s'échappent des grès et des pierres que lon taille, comme autant de corps anguleux , (1) De l'auscultation, tome I&, page 270 et suivantes, (2) Dictionnaire des sciences médicales, article Macon SUR LA PHTHISIE PULMONAIRE. 237 piquants , qui déchiraïent les cellules aériennes, causaient lhémop- tisie, et par suite Fulcère des poumons. Il est vrai que, par une cause qu'il n’est pas facile d'expliquer, mais qui sans doute n’est pas celle que lon suppose, la maladie de saint Roch, si fréquente, dit-on, parmi les ouvriers qui taïllent le grès, et la mort prématurée des caillouteurs de la commune de Meusnes , semblent justifier cette opinion. Voici cependant d'autres faits qui paraissent aussi la détruire. Sur 887 carriers, 13 sont morts de Ia phthisie, ou 1,46 sur 100. à Sur 551 tailleurs de pierre, 5 ou 0,90 sur 106. Sur 168 marbriers, 2 ou 1,25 sur 100 (1). La commune des Molières ; située dans le département de Seine- et-Oise, est renommée depuis longtemps pour 1a fabrication des meules de moulin. J'ai comparé sa mortalité avec celle de Meusnes, sur une suite de dix-sept années (1812—1829 ), et Jaï reconnu qu'aux Molières tout se passe comme ailleurs. La jeunesse et l'âge viril n'éprouvent, annuellement que Îa perte commune à tous les lieux, à tous les pays. Le rapport qui l'exprime n’atteint 2 sur 100 que vers cinquante ans, et 24 1/4 individus arrivent à 60 ans, sur ce même nombre de 100. En France ce rapport est de 24,60 : dans les Pays-Bas, de 23,89 ; en Suède, de 24,23, etc. - Dans la commune des Molières , comme dans beaucoup d’autres, la perte des enfants est très-forte. Elle s'élève, de o à 5 ans, à 45,66 sur 100; aussi une génération qui naît se trouve-t-elle ré- duite à moitié vers quinze ans. Mais dans quel village, dans quelle ville, dans quel pays, l'enfance n'est-elle pas moissonnée dès son entrée dans la vie ? Ces lois de la mort n'ont donc ici, commelon le voit, rien que d'ordinaire; et que deviennent alors les corpuscules pierreux et leurs angles aïgus, coupants? Les caillouteurs, dira:t-on, travaillent chez eux, tandis que lés:tailleurs de pierre ét les marbriers tra- (1) Voir le tableau à Ia suite de ce mémoire. 238 INFLUENCE DE CERTAINES PROFESSIONS vaillent à L'air libre, Mais le carrier au fond de sa mine est privé de cet avantage, et il ne paraît pas que sa poitrine en souffre beau- coup plus. Vouloir tout expliquer, c'est sexposer à beaucoup d'er- reurs, et mon but n’est ici que de recueillir des faits qui puissent conduire à les éviter. Quant aux substances animales, telles que les poils, les plumes, la laine, le crin, le chanvre, dont les légers débris suspendus dans l'air sont entraînés avec lui au fond des bronches, chez les brossiers, les chapeliers, les plumassiers, les cardeurs, la mortalité phthisique de ces ouvriers étant représentée par un rapport moyen de 4 1/2 sur 100, dont les termes extrêmes sont 3,10 chez les car- deurs, 7,69 chez les plumassiers, et 11,47 chez les plumassiéres, on doit reconnaître ici une influence morbifique très-prononcée. Pour achever de donner une idée plus précise de l'effet des diffé- rentes poussières sur les organes de la respiration, il faut résumer en peu de mots les faits qui précèdent. Chez les individus qui respirent un air chargé de molécules végétales, comme les boulangers, charbonniers ; etc. ( professions de la première classe ), la moyenne générale des décès phthisiques est de 2,07 sur 100 ou 20,70 sur 1,000. Les termes extrêmes sont 0,84 ( chiffonniers }, 3,73 ( char- bonniers ). Chez les individus qui respirent un air chargé de molécules minérales, tels que les carriers, marbriers, etc. ( professions de la seconde classe ), la moyenne générale des décès phthisiques est de 1,95 sur 100 ou 19,50 sur 1,000. Les termes extrêmes sont 0,90 ( tailleurs de pierres ); et 2,53 (plâtriers ). Chez les individus qui respirent un air chargé de molécules animales, comme les cardeurs, brossiers , plumassiers ( professions de la troisième classe ), la moyenne générale des décès phthisiques est de 4,46 sur 100 ou 44,60 sur 1,000. Les termes extrêmes sont 3,10 (cardeurs), et 7,69 ( plu- massiers ). SUR LA PHTHISIE PULMONAIRE. 239 Enfin le danger d'être attaqué de Ja phthisie pour les ouvriers soumis à l'action des poussières prises en général est dans Ia pro- portion de 2,29 sur 100 ou 22,90 sur 1,000 ( 12,187 malades — 280 morts) (1). Telles sont donc, en général, les chances de mortalité phthi- sique qui affectent ces professions. De toutes les molécules végétales, minérales et animales , introduites avec l'air dans les poumons, les premières et les secondes sont plus innocentes que les troisièmes , qui paraissent les plus dangereuses. Cela tien- drait-il à la nature même des corps d’où s'échappent ces molé- cules? S'il est vraï qu'on ait trouvé chez un plumassier les bronches tapissées d'un léger duvet, qui lesremplissait en partie, l'expérience serait ici d'accord avec le bon sens, qui regarde les débris de plumes, de laine ou de crin, comme plus irritants pour la trachée- artère que lespèce d'enduit pâteux qu'y dépose le plâtre ou la farme. Mais: il n'existe d'un pareil fait, qui contredit nettement l'opinion de Laennec, rapportée plus haut, qu'une seule observa- tion, Ce n’est point assez. Au reste, le danger qu'il y a pour la poitrine dans la respiration continuelle des poussières, devant se mesurer par le nombre des décès phthisiques qui en sont le résultat, et ce nombre étant pour les hommes de 280 sur 12,187, et pour les femmes de 83 sur 3,350, ce qui donne une mortalité moyenne de 2 1/3 (2,29) pour les premiers,.et de 1 1/2( 2,47) pour les secondes; on voit, en tenant toujours compte des ravages ordinaires de la phthisie dans les autres conditions qui ne sont soumises, à aucune influence étrangère, ce que cette influence ajoute à ces ravages. De toutes les maladies dont sont affligés les doreurs sur métaux , et qui ne reconnaissent d'autres causes que les vapeurs dégagées du mercure échauffé pendant l'opération de la dorure même, telles que les vertiges’, les spasmes de la poitrine, Ia paralysie, aucune n'a plus attiré l'attention des médecins que le tremblement convulsif (1) I n'est ici question que des hommes. 240 INFLUENCE DE CERTAINES PROFESSIONS et l'espèce de cachexie mercurielle auxquels sont si souvent exposés ces ouvriers. On en trouve des descriptions très-détaillées dans plusieurs auteurs, et l'on connait les deux histoires qu’en a rapportées Fourcroy dans sa traduction de Ramazzini. Il semble cependant que ces auteurs auraient dü comprendre au nombre des maux cruels qui tourmentent les do eurs la phthisie pulmonaire, puisqu'elle en fait périr constamment plus d'un dixième chez les hommes, et d'un dix-septième chez les femmes; une pareille mor- talité, qui l'emporte de beaucoup sur celle due à l'action des pous- sières, méritait bien d'être remarquée. Ici le danger est réel. Mais quand on respire des poisons, on doit en ressentir les atteintes. Ces atteintes sont bien différentes selon les agents qui les pro- duisent. Les vapeurs du mercure font périr de la phthisie les do- reurs dans Îa proportion de 73 sur 1,000, tandis que sur un même nombre de peintres les émanations du plomb n’en font succomber que 21 3/4. Mais, à leur tour, ils sont fréquemment attaqués de la maladie que l’on désigne sous le nom de colique des peintres. Aïnst, faction du mercure est plus funeste à [a por- trine, celle du plomb l'est davantage aux intestins. Une opinion s’est accréditée depuis quelque temps, qui attribue le développement de la phthisie. chez certains ouvriers aux mou- vements continuels des extrémités supérieures, ainsi qu'aux con- tractions fortes et répétées des muscles de ces parties, qui prennent leur point d'attache à la poitrine. Beaucoup de médecins éclairés regardent aujourd'hui les efforts violents que nécessitent, chez les boulangers, les carriers, le pétrissage de la pâte et l'extraction des pierres, ainsi que les secousses multipliées qui en résultent pour les poumons, comme bien plus capables d’en altérer les fonctions et le tissu, que l'action des poussières, à laquelle ïls attachent d'ailleurs peu d'importance. Toute opinion, par cela seul qu’elle est celle d'hommes instruits et habiles, se recommande à l'attention, et mérite d’être examinée avec soin, On a déjà vu que les carriers et les boulangers étaient très-peu sujets à la phthisie, bien que l'on croie tout le contraire SUR LA PHTHISIE PULMONAIRE. 241 à leur égard; mais ce fait n’était point encore assez, äl fallait en aHer chercher; la confirmation chez les ouvriers qui, par état, soulèvent sans cesse d'énormes fardeaux, ou dont les bras font mouvoir toute la journée de lourds instruments. Voici dans quelle proportion ils sont atteints de phthisie. Nombre de malades. Décès, Rapport sur 0/0. Maréchaux et forgerons. . ..... 214 2 0,93 Serruriers . Mesa en NÉ 668 5 0,74 Taïlleurs de pierre. :......:... 551 5 0,90 Scieurs de ee et de: pierre . 702 4 1,19 Cirriera noie mel ire à 887 8 1,13 Rapport moyen........... 3,022 94 0,79 Ainsi l'on trouve 24 phthisiques seulement sur 3,000 ouvriers malades, et tous obligés par leur profession à des contractions vio- lentes des muscles dé la poitrine et des bras. C’est, en terme moyen, un cent vingt-sixième de la totalité, Inorialité qui n’est point en proportion avec le danger que semblent faire craindre d'aussi pénibles efforts, et que n fétieignent même pas ceux de ces ouvriers dont les travaux sont les plus rudes, tels que les serruriers, les maréchaux, les forgerons,; les tailleurs de pierres. Ce qui est se trouve donc encore ici en contradiction avec ce qu'on dit être. De quel côté vient l'erreur? Tant d'hommes habiles n'auraient-ls occupé leurs veilles qu'à donner explication d'un fait qui n'existe pas? Plein de respect pour leur personne, mais pléin de confiance aussi dans les faits que j'ai recueillis, j'honore leur mérite, et dis ce que j'ai vu. Les deux dernières classes qui restent à examiner renferment des professions dont l'exercice soumet le corps, et surtout les extrémités inféri@ures, à l'action continuelle de Thumidité, ou place la poitrine dans une attitude génante pour la respiration. 5. 31 249 INFLUENCE DE CERTAINES PROFESSIONS Les blanchisseuses composent la première de ces deux classes. Les auteurs mettent au nombre des maladies auxquelles leur état les expose les rhumatismes, les catarrhes, les coliques. Ramazzini assure que lorsqu'elles parviennent à un âge avancé , elles meurent hydropiques. D'autres redoutent pour elles les ulcères et les va- rices des jambes, les gerçures des mains, les maladies contagieuses causées par les miasmes empoisonnés qui s'échappent des linges souiflés de sang et d'humeurs, que ces ouvrières touchent sans cesse: Tous ces maux peuvent en effet les atteindre, maïs beaucoup moins qu'on ne le dit : tandis qu'il en est un dont on parle à peine, et qui cependant leur est aussi funeste, si même il ne l'est davantage, c'est la phthisie. Sur 2,800 blanchisseuses, 125 ou un vingt-deuxième (4 1/2 sur 100) en sont mortes. Cette propor- tion est forte; mais en rapprochant Îa nature des travaux des blanchisseuses de l'organisation particulière à leur sexe, on s'étonne qu'elle ne le soit pas encore plus. Il faut sans doute en chercher la raison dans l'habitude, qui diminue pour elles l'impression dan- gereuse de l'eau froide, au milieu de laquelle leurs jambes sont continuellement plongées, mais surtout dans l'application récente au blanchissage du linge de procédés mieux entendus. Enfin la dernière classe embrasse toutes les professions dont l'exercice, courbant le corps en avant, ramène la poitrine sur elle- même, refoule vers cette cavité le diaphragme et les viscères du bas-ventre, et Comprime ainsi les poumons, que Fair tend sans cesse à développer. Telle est la position habituelle de ceux qui manient la plume ou Faiguille, des écrivains, des cordonniers, taïlleurs, passementiers, des couturières, Îingères, brodeuses, culottières, gantières, dentellières, ravaudeuses; position que tous les auteurs ont signalée comme funeste et disposant à la phthisie. Leur ‘observation est vraie; leur pronostic est juste. On a beau- coup parlé des cancers de l'estomac, des squirres du foie chez les cordonniers (M. Mérat ). On a dit que les écriffains étaient atta- qués d'obstructions, de paralysie des jambes ( Ramazzini ), que SUR LA PHTHISIE : PULMONAIRE: 243 les tailleurs étaient sujets aux anévrismes du cœur et des gros vaisseaux ( Corvisart Je mais on n'a point assez insisté sur Îa re- marque de Skragge, que les hommes studieux; les gens de lettres, sont exposés à devenir phthisiques. Litterati et studiosi, theologi, professores, sæpius phthisici (4); sur celle de Stoll, qui dit avoir observé que les cordonniers et les tailleurs étaient plus sujets que d’autres à de grandes et mortelles inflammations de la poitrine : sur celle de Retz, qui assure que la plus grande partie des ou- vrières en dentelles d'Arras mouraient de la poitrine; enfin, sur les-observations de M. Brioude qui, dans sa topographie médicale de lahaute Auvergne (2), dit avoir remarqué que toutes les jeunes personnes de Saint-Flour, d'Aurillac, de Murat, de. Mauriac et de quelques paroisses de campagne, qui trasiillent à faire de la dentelle, contractaient une mauvaise santé, et finissaient par avoir toutes les cachexies qu'une vie sédentaire, une attitude courbée et une mauvaise nourriture produisent. Toutes ces assertions sont vraies, très-vraies. Îci ce n’est plus seulement par deux et trois sur cent que lon compte les victimes; c’est par quatre et six chez les hommes, et par quatre, six, huit, etau delà chez les femmes. Certes, pour quiconque a vu travailler les passementiers, sus- pendus.à leur métier par deux bretelles, La poitrine penchée en avant et.les bras dans un mouvement continuel, ou les tailleurs , les jambes croisées sous les cuisses et la tête courbée sur leur ouvrage, il y a dans ces attitudes pénibles, et dans toutes celles qui s’en rapprochent, une cause toujours agissante, une tendance manifeste aû développement de la phthisie; et, comme dans les autres états, les femmes sont plus frappées que les hommes. Mais le tribut que cette maladie prélève sur elles est tellement hors de proportion. avec celui qu’elle. demande aux autres professions , qu'il faut en rechercher la cause avec quelque attention. Dans tous,les métiers exercés en commun par les deux sexes, (1) In Amænitatib. Linn.-Joc. cit. (2) Insérées dans le mémoires de Ia société royale de médecine, années 1782 et 1783» 31* 244 INFLUENCE DE CERTAINES PROFESSIONS on a déjà dit que les femmes sont plus exposées à la phthisie que les hommes; ainsi chez les cordonniers, s'il en meurt quatre un quart sur cent, chez les cordonnières il en succombe cinq et demi, et près de deux chez les chiffonnières (1,68), quand sur 600 chif- fonniers il n'en périt pas un (0,84). On pourrait multiplier ces exemples d’une mortalité plus grande chez les femmes dans les classes ouvrières; mortalité qui, toutes les fois qu'elle n'excède pas certaines bornes, est suffisamment expliquée par la faiblesse même du sexe qui l'éprouve. , Mais d'où vient que chez les couturières, lingères, brodeuses , fleuristes, gantières, ces bornes sont tout à coup franchies dans un excès que l'on n’observe pas ailleurs ? Cette faiblesse native des femmes, triste et doux apanage de leur sexe, qui, dans les travaux qu’elles exécutent en commun avec les hommes, les expose à une part plus grande dans des dangers communs; cette même faiblesse encore a cela de funeste, qu'en les réduisant à un moindre travail, elle les condamne aussi à des gains moins forts; d'où résulte pour elles un état de gène et de misère; et cette misère, qui déjà est un mal, produit à son tour d’autres maux. Elle oblige Fouvrière à se mal nourrir, ce qui ajoute à sa fai- blesse naturelle comme femme, et rend sa constitution moins ca- pable de résister à une influence nuisible toujours agissante. Ensuite, comme la misère, en privant des jouissances de la vie, n'en éteint ni le goût ni les désirs, et ne fait même que les rendre plus vifs, ces souhaits ardents et continuels d'un état meilleur précipitent celles qui les éprouvent dans une suite d’imprudences et d'écarts, dont les tristes effets achèvent de détruire des organes déjà délabrés par un travail pénible et des privations plus pénibles encore, Ainsi, d'une part, une constitution moins forte, des gains mo- diques et la pauvreté qui s’en suit; de l'autre, des passions vives, et pour les satisfaire des excès de tout genre, conduisent rapidement au tombeau des êtres faibles égarés par des rêves trompeurs. SUR LA PHTHISIE PULMONAIRE. 245 Et si l'on n’observe pas dans les autres professions une mortalité si grande des femmes, c'est quil y à pour chaque état un énsemble de conditions particulières, comme le genre. de travail, le gain, l'âge, le sexe, la position, qui y attache, pour ainsi dire, une sorte de fatalité, de destinée mévitable, et explique pourquoi les couturières, lingères, brodeuses, modistes, -etc., fournissent tou- jours plus à la classe des filles publiques, que Fe brossières, les cotonnières, les chiffonnières et Îles ravaudeuses. Ces raisons n'existent pas pour les hommes, aussi les voit-on dans tous les métiers étre moins attaqués de la phthisie que les femmes. Maintenant de tout ce qui précède ne peut-on pas tirer les conclusions suivantes? Le moindre danger d’être attaqué de la phthisie dans certaines professions que lon regarde comme devant la produire plus fré- quemment , étant représenté par la proportion de 0,74 sur 100, 7,40 sur 1,000 (les serruriers), et la respiration des poussières végétales, minérales et animales, dans les métiers d'amidonniers , boulangers, carriers, maçons, plâtriers, cardeurs, brossiers, éle- vant cette proportion à 2,29 sur 100.0u.22,90 sur 1,000, on voit qu'il y a trois fois plus de chances contraires pour ces derniers que pour les premiers, sans toutefois que l'on puisse dire pour cela que deux décès un tiers sur cent individus soient la preuve d’une mortalité très-forte dans une maladie quelconque. Celle de 33,40 et de 53,20 sur 1,000 chez les. fumistes et les doreurs présente un danger relatif beaucoup plus grand et qui doit dès lors faire regarder ces-professions comme plus dan- gereuses. sous le rapport de Ia léthalité phthisique que les pré- cédentes. On doit en dire autant de l'humidité qui porte à 45 sur 1,000 le nombre. des blanchisseuses qui succombent à cette affection. Le rapport de 9 sur 1,000 chez les taïlleurs de pierres, de 9,30 chez les maréchaux et les forgerons, de 11,90 chez les scieurs de long, de 11,30 chez les carriers, de 7,40 chez les 246 INFLUENCE DE CERTAINES PROFESSIONS serruriers, enfin de 7,90 sur la totalité de ces ouvriers, doit faire regarder comme encore peu confiée par les faits, et dès lors comme douteuse, lopinion qui trouve dans les contractions vio- lentes et répétées des muscles de la poitrine et des bras, une cause active de phthisie chez ces ouvriérs. Mais quand à ces mêmes mouvements des bras, on que mo- dérés, se joint une attitude du corps telle qu'en F2 courbant en avant elle rétrécit la poitrine et gêne le jeu des poumons, alors on voit tout à coup, dans les professions qui exigent cette attitude, la phthisie se déclarer avec une intensité remarquable, qui porte le nombre de ces victimesà 55, 62, 86 et 133 sur mille chez les femmes, et à près de 50 chez les hommes. On a dit plus haut que la misère et les désordres de tout genre où elle entraîne devaient entrer pour beaucoup dans cette élévation de la mortalité; mais comme on Îa rencontre aussi chez les hommes où les mêmes causes n'existent pas, où existent à un degré moindre, il faut bien, après avoir fait la part de l'inconduite, en accorder une au moins égale à la profession. On sera sans doute étonné de ne rien trouver ici sur celles de crieurs publics, chanteurs, musiciens, qui passent pour être si fatales à a poitrine. La réponse sera facile. En dix années, je n'ai pu relever sur les registres de quatre hôpitaux que 18 chanteurs et 6 chanteuses, parmi lesquels aucun probablement n'était attaqué de la phthisie, puisque aucun n'en est mort. L'opinion commune s'éloigne donc encore ici de la vérité: on l'exagère beaucoup. H est incontestable que l'exercice de la voix, du chant, des instru- ments à vent, peut nuire à la poitrine, mais chez ceux-là seule- ment qui l'ont faible, délicate, et alors ce n'est pas seulement la musique ou la déclamation qui leur est contraire : la course, la° danse, les mouvements violents du corps, les agitations de l'âme, tout leur est funeste, tout réagit sur un organe débile, l'affecte, l'endommage, le détruit. Mais une poitrine bien constituée nere- doute point l'exercice même fréquent de ces fonctions. On ne voit point eneffet dans la chaire, au théâtre, au barreau, les prédicateurs, SUR LA PHTHISIE PULMONAIRE. 24 les avocats, les comédiens, être moiïssonnés par Ia phthisie ; et cette foule d'acteurs qui, depuis trente ans, déclament et chantent sous nos yeux, prouvent assez que le chant et même les cris sont sans danger pour de robustes poumons. Ce qui paraît vraiment leur nuire, c'est cette position pénible du. corps dans laquelle ils tendent sans cesse à se dilater pour recevoir Pair qui se précipite dans leurs cellules, et où la cage osseuse qui les enveloppe, rendue plus étroite par une attitude forcée, les comprime de toutes parts, et résiste à leur développe- ment. M naît alors de ce-combat d'efforts opposés, de cette mau- vaise conformation factice, une gêne de Ja respiration, un malaise de forgane pulmonaire, qui y développe à la longue tous les désordres, suite inévitable de cette même conformation, quand malheureusement elle est origmelle. Le métier, Fétat qui exige de l'ouvrier cette dangereuse attitude, fait alors pour lui ce que la nature n'avait pas fait ; il lui donne les maux dont celle-ci l'avait exempté. : On voit par là combien est dangereux l'usage 5 tout ce qui peut ralentir, diminuer le jeu des poumons, comme les liens, les ceintures, les corsets ; combien il faut être attentif à modérer chez les jeunes personnes, qui ont une poitrine étroite, Fexercice des arts du dessin, de la broderie, de la tapisserie, de la couture et même des devoirs religieux, s'il est vrai, comme on croit l'avoir observé à Montélimart, que la phthisie attaque surtout, dans cette ville, les jeunes filles qui se livrent à des prières longtemps pro- longées à genoux (1). Mais les avis les plus sages, les exhortations les plus pressantes sont à peine écoutés, et de tous les ennemis qui menacent existence de l'homme, {e-plus dangereux, le plus inévi- table pour lui sera toujours lui-même. Si L'on tient compte en même temps de linfluence aime vie pauvre et pénible, dé la fatigue, de la mauvaise nourriture, des ‘ (4) Les registres.de Milan ne m'ont point révélé ne pareïlle cause. de mort; mais j'y ai trouvé, comme à Paris, une quantité considérable de couturières.et de fileuses ( oucitrice e filatrice ) mortes de l'ulcère des poumons. 248 INFLUENCE DE CERTAINES PROFESSIONS privations, des chagrins, de la misère, reconnue st propre au développement des affections tuberculeuses du poumon; si Ton y joint, chez le sexe le plus faible, les effets de linconduite et du libertinage; si lon réfléchit ensuite que parmi les ouvriers qui pé- rissent de la phthisie, un grand nombre étaient déjà nés scrofuleux, rachitiques, ou de parents phthisiques eux-mêmes, et que dans quelque condition qu'ils eussent été placés, le genre de mort eût été le même pour eux; si lon pense enfin que toutes les classes de la société, tous les rangs, tous les états, payent à cette cruelle ma- ladie un tribut plus ou moins grand, on se fera alors une idée juste de la part que peut avoir dans sa production tel ou tel genre d'occupation; et lon trouvera peut-être qu'à l'exception de quel- ques cas particuliers indiqués dans ce mémoire il y a au moins beaucoup d'exagération dans ce que Îles auteurs anciens et mo- dernes ont écrit à ce sujet. Ces recherches n'apprennent point à guérir la phthisie, mais elles en éclairent l'histoire. Je suis bien loin de les regarder comme complètes, et je désire vivement qu’elles en appellent d’autres (1). I faudrait examiner pourquoi les tailleurs de pierres et les tailleurs de grès, bien que travaillant tous également en plein air, éprouvent de ce genre d'occupation des-effets si différents, que les premiers sont à peine atteints de la phthisie, tandis qu'elle a réçu des se- conds le nom de maladie de saint Roch ou des grès, dénomination qui semble attester à la fois sa fréquence et ses ravages parmi eux. Ïl faudrait surtout, pour apprécier Ia valeur de l'opinion qui les fait se regarder comme dévoués par leur état à mourir de la poitrine avant Fâge, constater combien, sur un nombre connu de ces ouvriers, il en périt de lulcère des poumons. La table de mortalité que j'ai dressée de la commune des Molières, (1) C'est ce qui vient d'arriver. Tandis que je composais ce mémoire, M. Lombard, médecin à Genève, s'occupait dans cette ville de recherches semblables, et H vient d'écrire à l'Académie des Sciences que plusieurs de ses résultats confirment les miens. La science et la vérité ne peuvent que gagner à ce double travail, entrepris dans des lieux et sur des populations différentes. SUR LA PHTHISIE PULMONAIRE. .249 et qui se rapporte si bien avec le petit nombre de décès phthisiques observés parmi les tailleurs de pierres est un motif de plus pour douter de cette excessive mortalité parmi les tailleurs de grès. Et pour rappeler, en finissant , a cause et l’origine de ce mé- moire , il y aurait encore à rechercher si les caillouteurs de la com- mune de Meusne, étant ensevelis pendant deux à trois heures en hiver, etquatre à cinq en été, dans des espèces deboyaux souterrains tellement bas, qu'ils ne peuvent y travailler qu'à genoux, le corps penché et les bras portés en avant, tellements étroits, que Fair y circule à pee, que la respiration y devient bientôt impossible et que la Jampe s'éteint à côté de louvrier, ce ne serait pas à ces causes réunies si capables de la produire, et à quelques autres encore, qu'il serait raisonnable de rapporter la fréquence de la phthisie chez ces mêmes caïllouteurs, bien plutôt qu’à Ia poussière du silex in- troduite dans leurs poumons. Il faudrait vérifier de nouveau si les débris des plumes, qui, crin, du chanvre, s’attachent en effet aux parois des bronches, et n'en sont point expulsés avec Taïr qui les y a introduits, recherche qui ajouterait de nouveaux éléments à l'histoire physiologique de fa respiration, de nouvéaux faits à celle des maladies du poumon. Elle apprendrait si les chapeliers doivent bien moins à cette dernière cause qu'aux émanations du mercure, [à mortalité phthisique exces- sive que l’on observe parmi eux (4,78 sur 100), tandis qu'elle n'est pas même d' un chez les chapelières (0,55 ). Et dans le cas où 1a poussière qui s'élève du chanvre quand on le travaille serait recon- nue avoir une action nuisible à la poitrine, elle déciderait le gou- vernement à en supprimer le peignage et les autres préparations dans les ateliers de détenus, ou du moins Ÿles faire exécuter à l'air libre. Le petit nombre de cordiers et brossiers inscrits sur les registres des quatre hôpitaux que j'ai vérifiés rend ici très-douteuse l'évaluation des rapports, en même temps qu’il ête les moyens de la constater. Il est à croire que de nouvelles recherches la feraient baisser. Il arrive souvent, par un effet du hasard ou des localités, qu'un hôpital présente Dlienrs phthisiques sur peu de malades , 3, 32 250 INFLUENCE DE CERTAINES PROFESSIONS tandis qu'une plus grande quantité en donne à peine quelques-uns, dans un autre établissement. Si l’on ne réunissait pas ensemble ces deux éléments on s'exposerait à de graves erreurs. De à naît la nécessité, surtout pour quelques professions peu exercées ;:ou qui semblent se plaire de préférence dans certains quartiers, de ne pas s'en tenir aux registres d'un seul hôpital, d'en consulter plusieurs: Je Lai fait, mais peut-être ai-je manqué de persévérance ou de sagacité. Enfin if est une dernière observation sur laquelle je crois devoir insister particulièrement, parce que je la regarde comme très-propre à bien faire juger le degré d'influence que l'exercice de certaines pro- fessions peut avoir sur le développement de la phthisie pulmonaire; c'est de ne pas trop s'attacher à les examiner en détail, et à les comparer pour ainsi dire une à une. Une imfinité de causes, telles que les doubles emploïs provenant de rechutes et de rentrées des malades à l'hôpital, les décès à domicile qui sont peu considérables sans doute, mais que l'on ne connaît pas, des indications de pro- fessions mal données, fautives, inexactes, l'impossibilité pour quel- ques-unes d'atteindre à un nombre suflisant de malades, attendu que le peu d'ouvriers qui les exercent demanderait, pour obtenir ce nombre, que Ton consultât une suite d'années bien antérieures à celles dont on a les registres; des erreurs inséparables d’un travail long et minutieux : toutes ces causes à la fois peuvent égarer le ju- sement et conduire à un résultat qui manquerait de cette exactitude que désirent les bons esprits. Il y a pour y arriver, autant du moins qu'il est possible, une méthode plus sûre : c'est de partager toutes les professions en groupes de métiers semblables, au lieu de les isoler, et d'observer sur des quantités très-fortes, où les erreurs de détail disparaissent dans les masses, leur tendance plus ou moins prononcée à altérer les organes de la respiration. Ainsi laxposition courbée du corps produisant la phthisie chez 837 individus des deux sexes, sur 15,550, ce qui donne une proportion de 53,80 sur mile, tandis que les vapeurs du mercure n’en font périr que 53, l'humidité 45, et les poussières 22,90, on est fondé à regarder comme suffisamment prouvé que de toutes les professions :qui + SUR LA PHTHISIE PULMONAIRE. 251 peuvent nuire à la poitrine, celles dont l'exercice exige une attitude du corps telle qu'elle diminue sa capacité et gêne les mouvements des poumons sont les plus dangereuses de toutes ; les RApeurs viennent après ; Thumidité chez les femmes tient le troisième rang enfin, les poussières, surtout les végétales et les minérales , Sont les moins nuisibles. Les artisans, les ouvriers dont l'existence est si précaire, dont la misère est quelquefois si grande, dont les excès sont toujours trop fréquents, ont seuls fourni les observations qui composent ce mémoire. Il eüt été curieux de Jeur en opposer de semblables, prises dans les classes aisées de la société; d’opposer ainsi Faisance_ au besoin, le loisir au travail, et les passions du riche à linconduite du pauvre; mais il m'a été impossible, malgré tout le désir que jen avais, d'établir cette comparaison. Je ne possède qu’une seule observation de ce genre que je dois à l'obligeance de M: Egret, médécin distingué des Montils près de Blois, département de Loir- et-Cher. Bien qw'elle soit unique et toute spéciale pour ainsi dire, puisqu'elle ne $’applique qu’à des personnes vivant habituellement à la campagne, je la publie ici avec d'autant plus dé plaisir que c’est un moyen pour moi de lui témoigner ma reconnaissance, et ensuite parce qu'elle peut engager d’autres médecins àen fe de semblables dans leur pratique particulière. Sur 730 malades de la classe aisée qui ont recu Îles soins de M. Egret, dans la période de dix ans qui vient de finir, sept seu- lement, deux hommes et cinq femmes, sont morts de la phthisie. Leur âge se trouve compris entre vingt et vingt-huit ans. Le rapport donné par ces nombres est de 0,95 sur 100 ou 9,50 sur mille. Ce rapport existe déjà dans le tabléau qni est joinf à ce mémoire ( forgerons et maréchaux 0,93 ); mais réunit:l toutes les conditions nécessaires pour indiquer réellement une des expressions les plus faibles de la mortalité phthisique? Je ne le pense pas. IL faut donc multiplier encore les recherches, et recueillir de nouveaux faits. La science etlhumanité y gagneront également. 32" 252 INFLUENCE DE CERTAINES PROFESSIONS NOTE. J'ai dit, en parlant de linfluence des professions sur le développement de la phthisie, que Île nombre des musiciens portés aux registres des hôpitaux de Paris, comme morts de cette maladie, était trop insignifiant pour fournir la moindre conjecture favorable ou contraire à opinion qui regarde l'exercice fréquent des instruments à vent comme dangereux pour la poitrine. Aujourd'hui les décès de 6,000 musiciens ne jouant que de ces derniers instruments, les seuls, comme on Îe sait, qui composent a musique militaire, peuvent aider à résoudre cette question (1). Sur ces 6,000 musiciens, on compte, de 1820 à 1826, 102 morts, parmi lesquels il y a 17 phthisiques. En prenant la moyenne des sept angées, 857 musiciens ont donné 15 décès par an, dont 2 de la poitrine; c'est 1 sur 7. Cette proportion est plus faible que celle que Sydenham assignait à Ja ville de Londres ( 1 sur 5 décès); et plus forte que celle qui existe à Paris ( 1 sur 8, ou 9 tous les âges réunis). Elle semble conduire à la conclusion suivante : le danger de mourir de la phthisie, pour ceux qui jouent des instruments à vent, n'étant pas plus grand que dans Îes autres professions réunies qui composent la société, la probabilité qu'il ya d'en mourir paraît devoir se calculer plutôt d'après les dispositions naturelles plus ou moins prononcées à contracter cette maladie, que d'après la tendance de cette profession à Ia faire naître. Cette assertion, qui est vraie, ainsi exprimée d'une manière générale, cesse de l'être, si l'on compare la mortalité phthisique de ces 6,000 musiciens à celle d’une profession quelconque prise isolément : cette mortalité est alors beaucoup plus forte, Mais 1 faut observer que ce sont ici des militaires, dont le genre de vie ne ressemble point à celui des habitants des villes. M. Lom- à (1) De la mortalité dans l’armée française, dans les Annales d'hygiène, tome XF, ire partie, année 1834. SUR LA PHTHISIE PULMONAIRE. 253 bard, dans Ie mémoire qu'il vient de publier sur ce sujet (1), trouve comme moi que Îes professions qui nécessitent un usage fréquent de Ia voix ne sont pas plus affectées de Ia phthisie que les autres, et le sont même un peu moins ; mais il faut faire des efforts plus soutenus pour pousser le vent dans une flûte ou un cor, que pour chanter, déclamer, commander l'exer- cice, ou faire une classe. De nouvelles observations sont encore néces- saires avant de prononcer sur la mortalité phthisique des musiciens, et en particulier de ceux qui jouent des instruments à vent. (1). De l'influence des professions sur la phthisie, dans es Annales d'hygiène, tome XI, 1'e partie, année 1834. 254 INFLUENCE DE CERTAINES PROFESSIONS TABLEAU Des décès causés par la phthisie dans les professions regardées comme les plus capables de la produire, d'après un relevé des malades entrés à l'Hôtel-Dieu, à la Charité, à la Pitié ef à l'hospice Cochin, de 1817 à 1827. 4 3 | Slés El PROFESSIONS. | # | & |Z£Z=| PROFESSIONS. | à È z & AVE £ a HOMMES ENTRÉS. FEMMES ENTRÉES, 1° PROFESSIONS QUI SOUMETTENT LES POUMONS À L'ACTION D'UN AIR CHARGÉ DE PARTICULES VÉGÉTALES. Amidonniers...... 98 1] 1,02 ” “ 1 1 Boulangers ....... 2,702. 56| 2,07 ll # 7 7 Charbonniers....…. 75 14| 3,73 nl 1 # ” Forts de la halle... 246 6| 2,43 Ù " ] 1 Chiffonniers....... 590 5| 0,84||Chifonnieres, . .... 237 4| 1,68 Cotonniers........ 319 G| 1,88/|Cotonnières...,... 882 24| 9,7 Dévideurs........ ul " # Dévideuses ....... 263 9], 3,4 Hneutse-renrec 594 14| .2,35|| Fileuses.......... Eire 19! 1,61 4,924] 102 9,555 56 Rapport moyen..|.....|..... 2,07 Rapportmoyen..|.....|..... 2,19 1° PROFESSIONS QUI SOUMETTENT LES POUMONS À L'ACTION D'UN AIR CHARGÉ DE PARTICULES MINÉRALES Carriers:..:..... 887 13 1,46 nl u n. “ Macçons et manœuvr.| 4,071 90! 2,22 " 7 ” “ Marbriers........, 162 21 1,95 7 nl u f PIARTIErS ee eee = 158 41 2,53 1 ! 7 “ Taïlleurs de pierres.| 551 5 0,90 1 1 1 # 5,829 114 “ fl Rapport moyen..|.....|..... 1,95 # " nl " SUR LA PHTHISIE PULMONAIRE, 255 a 8 S % rl TES S PROFESSIONS. | # | $ |£S || PROFESSIONS ë | £ Les & & < 3 z & |. <5 ” A es, El A é. PR OR EE | mme ges, CERN RRSS | CR ms | unes éme HOMMES, ENTRÉS. FEMMES ENTRÉES. 13; PROFESSIONS QUI SOUMETTENT LES POUMONS À L'ACTION D’ UN AIR CHA RGÉ DE MOLÉCULES ANIMALES. c « F Brossiers, .,.,..:. 283] 10] 3,53|| Brossières ........ 103 '8 7,76 Cardeurs et matelass.|: 129 4| 3,10 Cardeuses etmatelas, | .451 11/1243 Chapeliers.....:|7 983| 47] ‘478|'Chapelières. . :!... 130 11 :0,55 Plumassiers. ..... 5 39 3| -7,69|| Plumassières, !. .. 2 61 71 14,47 & - { 4 1,434| - 64 Ga 145|. 97 Rapport moyen..|....,!..... - 4,46]! : Rapport moyen. .|..:..|/, 20 3,62 4° PROFESSIONS QUI EXPOSENT LES POUMONS À L'ACTION D'UN AIR CHARGÉ { DE VAPEURS NUISIBLES, - 545|_ + 29] 5,321] Doreuses. . si. || 285 16| 5,61 160! 47| 2,17 u u u n . 389 . 13] 3,34 1 ” 1 nl ‘30941 89 : 285| 16| ee leu +] 2,87] ‘ Rapport moyen..[..... Rapport moyen. : 250! PROFESSION QUI EXPOSE LE CORPS ET SURTOUT LES EXTRÉMITÉS INFÉRIEURES À L'ACTION DE L'HUMIDITÉ. Blanchisseurs. …. , | a18] 4] 1,83] Blanchisseuses.. | er Al 4,50 6° PROFESSIONS QUI SOUMETTENT LES MUSCLES DE LA POITRINE. ET DES EXTRÉ- e.E MITÉS SUPÉRIEURES À UN EXERCICE PÉNIBLE ET CONTINUEL, Tisserands.... ::| 935 20| 2,13] Tisserandes... .... 163 3h 1,84 ARS - 251 8| 3,18] Gazières ........:| 953 8] 3,16 Charpentiers. . ss. | 1268 4|. 1,49 0 l'y 7 n Menuisiers., :..... 1,716 53| 3,08 | F6 dde PER: Ur ” Forger. et maréch. : 214 2] 0,93 7 vie # nl ; Serruriers. A NUE 668 5| -0,74||- 1 # 0] nl Porteurs d'eau. | 373]* 9! 2,41 è 3.) 1 0] 1 Scieurs dep. etdel.| 702 8] 1,13 1@ CS nr ” » 5,127|. 109 416| 11 Räpport moyen..|....,|..... 2,12 Rapport moyen..|..,..|..... 2,64 256 INFLUENCE DE CERTAINES PROFESSIONS, etc. PROFESSIONS. | # | £ |£= | proressions. | & | £.|2= z 2 4 3 Z = 7 RER IR CEE EH rl EBLRSE = Er FEMMES ENTRÉES. HOMMES ENTRÉS. 7° PROFESSIONS QUI SOUMETTENT LES MUSCLES DE LA POITRINE ET DES BRAS ÀUN MOUVEMENT CONTINUEL ET LE CORPS À UNE ATTITUDE COURBÉE. Écrivains.. ce 908 43] 4,73 1 Bijoutiers ........ 715 46] 6,43|| Bijoutières.. ,..... Taïlleurs. , «..... .| 1,048 49! 4,67|| Tailleuses et culot. Cordonniers. ...:.. 1,818 78| 4,29|| Cordonnières-bord.. Frangiers-passem.. . 426 20} 4,69/| Frangières-passem. . Taïleurs decristaux.| 244 15] 6,14 1 Polisseurs ........} 270 12] 4,44|| Polisseuses .:..... 1 nl 1 n] Brodeuses......., 1 u “ 1. || Couturières.et ling.. nl 1 0 u Fleuristes ,....... " 0 1 " Dentellières...... , ñ u ñ ” || Gantières.. ..,.. Ravaudeuses., ,... 2,07 2,555 Première, ...-.... 102 Deuxième, .....:. 5,829] 114! 1,95 7 " nm Troisième ..... .. 4} 1,434 64| 4,46 765 27] 3,62 Quatrième, ....... 3,094 89| 2,87 285 16] 5,61 Cinquième, ....... 218 4] 1,83 2,775! 195] 4,50] SIxXIèMe. ,...se.e «17 5,127 109} 2,12 PACA 11] 2,64 10,129 16,905 4,84 Rapport moyen, .|...... rene Rapport moyen|.....,|.,.,: ToraLz des décès-,,.,. ToraL des malades. .... æ. 43,010 Raræ»orT des décès aux malades. ,........ 3,61 sur 106. NOTE SUR LA MÉTHODE DES TANGENTES DE ROBERVAL. PAR M. J.-M.-C. DUHAMEL, ANCIEN ÉLÈVE DE L'ÉCOLE POLYTECHNIQUE. 0 — Le problème des tangentes a tellement occupé les grands géomètres du xvi° siècle, et a si puissamment contribué aux progrès de l'analyse infinitésimale, que rien de ce qui s’y rattache ne saurait étre étranger à l'histoire philosophique de la science. La première méthode un peu générale qui ait été donnée pour Îa solution de ce problème est celle de Roberval ; il la possédait, dit- il, en 1636; et la communiqua à Fermat, en 1640; on la trouve exposée en détail et avec de nombreuses applications dans le 6° volume des anciens Mémoires de l Académie des sciences. Cette méthode est fondée sur le principe incontestable de a composition des vitesses. Mais faute d'avoir bien conçu ce prin- cipe, ce géomètre célèbre a donné des règles fausses pour la dé- termination des tangentes aux courbes engendrées par des rayons vecteurs dirigés vers des centres fixes. Il appliqua ces règles à des cas particuliers où elles réussissaient ; il retrouva ainsi les cons- D: 33 258 TANGENTES tructions données par les anciens dans le cas de l’ellipse, de la parabole et de Thyperbole. Montucla, après avoir exposé cette méthode, dans son Histoire des mathématiques, en a fait l'applica- tion à un Cas moins simple , et est tombé dans une erreur grave. Monge en a commis une semblable , dans sa géométrie descriptive, dans le cas de la courbe d'intersection de deux ellipsoïdes de révo- lution qui ont un foyer commun. Ces erreurs n'ayant pas encore été remarquées, et pouvant se renouveler encore sur la foi de ces grands géomètres, j'ai pensé qu'il n’était pas inutile de les signaler, et de faire connaître les véritables règles qu'il faut substituer à celles de Roberval. Lorsque les points d’une‘ courbe sont déterminés par leurs dis- tances à des pôles fixes, la règle de Roberval consiste à porter sur les rayons vecteurs ; à partir du point de la courbe que l'on con- sidère , et dans le sens de leurs variations respectives des lignes proportionnelles aux vitesses avec lesquelles ces rayons tendent à croître ou à décroiître, et à déterminer la direction de la résul- tante des forces qui seraient représentées en grandeur et en direc- tion par ces lignes; cette direction doit étre celle de la tangente. Avant de montrer en quoi pèche cette règle, je vais faire con- naitre la construction qui doit réellement déterminer la tangente. Soient r',r',r',etc.... les rayons vecteurs qui déterminent le point que lon considère sur la courbe; et qui pourraient être ré- duits-à trois seulement. Désignons par dr, dv, dv, etc., les ac- croissements infiniment petits que subissent ces rayons, quand on passe à un point de da courbe, infiniment près du premier; il est clair que ce second point sera l'intersection de sphères décrites des différents pôles, comme centres, avec les rayons respectifs, +4, r'+d\, r'+dv',etc.; or, ces sphères peuvent, dans une étendue infiniment petite, être réduites à leurs plans tangents, perpendicu- laires aux extrémités des rayons vecteurs du point donné, augmentés respectivement de dv, du, etc.: si donc on joint par une droite le point donné de la courbe avec le point d'intersection de:ces plans, la tangente sera la limite vers laquelle tendra cette droite, lorsque DE‘ROBERVAL. 259 les accroïssements fr, d, du”, tendront vers zéro. Mais Ia direc- tion. de cette droite serait la même si on portait sur les rayons vec- teurs des quantités finies proportionnelles à 4\r, du, Ju, etc., et qu'on menät les plans perpendiculaires à l'extrémité de ces lignes ; on peut donc poser la règle suivante : Portez surles rayons vecteurs, à partir du point de la courbe, et dans le sens des variations respectives, des longueurs finies dont les rapports soient les limites des rapports des accroissements in- finiment petits des rayons vecteurs; aux extrémités de.ces lignes, élevez.des plans perpendiculaires aux rayons vecteurs respectifs ; Joignez le point de concours de ces plans ,au point donné de la courbe, vous. aurez la direction de la tangente, est évident qu'on peut,se borner! à considérer trois.de ces rayons vecteurs, pourvu qu'ils ne soient pas dans un mêmeplan. Soient donc a, b, c; trois longueurs proportionnelles aux ac- croissements infiniment petits des rayons vecteurs, ou, pour me servir des expressions de Roberval, proportionnelles aux vitesses avec lesquelles le point s'éloigne des trois pôles ; la règle de ce géomètre conduirait à former sur les trois arêtes a, b, c, un pa- rallélipipède, et à prendre Ia direction de la diagonale pour celle de a tangente. Examinons dans quels cas cette construction donne la même direction pour la tangente, que celle qui résulte de la règle incon- testable que je viens d'établir. D'après cette règle on voit facile- ment que la tangente fait avec les directions des arêtes a, b,c, des angles dont les cosinus sont entre eux comme ces mêmes arêtes ; cela résulte immédiatement de ce que les plans perpendiculaires aux. extrémités de ces arêtes se rencontrent sur Ja tangente; ll reste donc à chercher les conditions nécessaires pour-que Îa dia- gonale du parallélipipède construit suf* ces arêtes fasse avec elles des angles dont les cosinus {eur soient respectivement proportion- nels : et comme ces cosinus sont.entre.eux comme les projections de la diagonale sur les arêtes respectives , les conditions cherchées seront exprimées par les équations, 33” 260 TANGENTES a b € lesquelles se réduisent facilement aux deux suivantes : a(b°+c—a) cos ab c (a*+b°—c?) cos be, b(a+c°—b?) cos ab — c(a+b°—c?) cos ac. La règle de Roberval sera donc en défaut toutes les fois que les vitesses &, b, c, et les angles des rayons vecteurs ne satisferont pas à ces deux conditions. Si les trois rayons vecteurs sont perpendiculaires entre eux, les trois cosinus sont nuls, et les équations sont satisfaites quelles que soient les vitesses ; la règle de Roberval donne donc alors la tan- gente : et il est facile de voir qu'elle coïncide dans ce cas avec la nôtre. Si les trois vitesses a, b, c, sont égales, abstraction faite des signes, les équations de condition nécessitent que les rayons vec- teurs fassent entre eux des angles égaux ou suppléments. I résulte de là qu'il y a erreur dans fa construction donnée par Monge pour la tangente à la courbe d'intersection de deux ellip- soïdes de révolution qui ont un foyer commun. En effet, dans ce cas, les trois vitesses a, d, c, sont égales aux signes près, et, par conséquent, il serait nécessaire que les trois rayons vecteurs fissent entre eux des angles égaux ou suppléments ; ce qui ne saurait avoir lieu que pour certains points particuliers, Nous avons considéré le cas le plus général d'une courbe quel- conque dans l'espace. Il est facile d'en déduire Le cas d’une courbe plane, dans le plan de laquelle sont situés les pôles, qui peuvent être réduits à deux : if suffit alors de porter sur les deux rayons des lignes a, b, proportionnelles aux vitesses avec lesquelles crois- sent ces rayons, d'élever aux extrémitéS*de ces lignes des perpen- : diculaires aux rayons ; la droite qui joindra le point de la courbe au point de rencontre de ces perpendiculaires sera la tangente. DE ROBERVAL. 261 L’angle des rayons vecteurs, sur les côtés duquel on a porté les longueurs a et b, se trouve ainsi partagé en deux autres, dont les cosinus sont proportionnels à ces longueurs : pour que la règle de Roberval ne soit pas en défaut, il est nécessaire que la diagonale du parallélogramme construit sur a et b fasse avec ces deux lignes des angles dont les cosinus soient proportionnels aux longueurs a et b; ce qui donne Ia condition unique , a + b cos ab b+a cos ab a b ou (b°—&) cos ab — 0; équation qui exige que les deux vitesses soient égales, ou que l'angle des rayons soit droit. La règle est donc applicable à l'ellipse et à lhyperbole, parce que alors les deux vitesses se trouvent égales. Montucla Ta appliquée au cas où les deux rayons vecteurs se- raïent dans un rapport constant, Les vitesses étant alors dans le même rapport que les rayons, il porte sur ces rayons deux lon- gueurs qui leur soient proportionnelles; il construit le parallélo- gramme sur ces deux lignes , et prend la diagonale pour la tangente. Cette construction est évidemment erronée , puisque l'équation ci- dessus n'est pas satisfaite, excepté pour les deux points particuliers où l'angle des rayons vecteurs est droit. 4 Au lieu de déterminer les points d’une courbe par leurs distances à trois pôles, on pourrait les déterminer par leurs distances à deux pôles et à un plan fixe, ou à un pôle et deux plans fixes, ou enfin à trois plans fixes. Si l’on Joint le point de Ia courbe aux pôles ou qu’on abaisse des perpendiculaires sur les plans fixes, on a, dans tous Îles cas, les lignes dont les vitesses d'accroissement sont censées connues; la rèole que jai donnée ci-dessus s'y applique directement ; et celle de Roberval n’est exacte que dans les cas particuliers qui satisfont aux équations ci-dessus. Les mêmes considérations s'appliquent aux courbes planes. 262 TANGENTES On voit ainsi que la règle de Roberval peut être appliquée sans erreur à la parabole, lorsqu'on détermine ses points par leurs distances au foyer et à la directrice, parce que les vitesses avec lesquelles ces distances croissent sont égales. Si Ja distance des points de la courbe à un plan ou une droite fixe n'était pas comptée sur une perpendiculaire à ce plan ou à cette droite, mais parallélement à une droite fixe quelconque, ce cas se ramènerait facilement au précédent. En eflet, Faccroisse- ment de la perpendiculaire est la projection de l'accroissement de la distance oblique sur la perpendiculaire ; on obtient donc la vi- tesse avec laquelle croit la perpendiculaire, en multipliant la vi- tesse d'accroissement de la distance oblique par le sinus de l'angle que fait sa direction avec le plan fixe. Au lieu de porter sur la perpendiculaire la projection de la vitesse relative à loblique, on pourrait porter sur celle-ci la vi- tesse qui s’y rapporte et mener par l'extrémité un plan parallèle au plan fixe; ce plan se confondrait avec celui qu'on aurait obtenu en considérant la vitesse relative à la perpendiculaire. Il résulte de à que la règle de Roberval est exacte toutes les fois que les points sont déterminés par leurs distances à des plans ou des droites fixes, et que ces distances sont comptées parallèle- ment à ces droites, ou aux intersections mutuelles de ces plans. Le principe sur lequel Roberval a fondé sa règle étañt incon- testable., puisqu'il n'est au fond qu'une identité, l'erreur de ce géomètre tenait à une fausse décomposition de la vitesse du point générateur, dans le sens des rayons vecteurs ou des lignes de direction constante qui se coupent en ce point. Il est facile de calculer ces composantes, et l'on retrouvera les mêmes condi- tions que ci-dessus pour l'exactitude de la construction de Ro- berval. Considérons, par exemple, une courbe plane engendrée par l'intersection successive de deux droites dirigées vers des pôles fixes. Soient r, r', les longueurs des deux rayons relatifs à un point quelconque de la courbe, dr, dr, les accroïssements infini- DE' ROBERVAL. 263 ment petits que prennent ces rayons quand on passe à un point infiniment voisin sur la même: courbe : on aura les composantes de la vitesse suivant les ayons vecteurs, en menant par ce second point des parallèles à ces rayons ; les parties de ces parallèles com- prises entre leur point de départ et leurs points de rencontre avec les rayons représenteront les grandeurs des Composantes ; repré- sentons par v, v', ces lignes infiniment petites, portées respective- ment sur 7, r', et par @ l'angle des rayons vecteurs. On obtiendra immédiatement U—=dr—v cos D, v'= fr y cos , et par suite Îr— » cos p v ren dr — v cop Les Composantes v et »’ ne sont donc pas entre elles comme les vitesses avec lesquelles croissent les rayons vecteurs; or, c'est là ce que supposait Roberval, et c'est ce qui fait que l'emploi d’un principe vrai la conduit à une règle fausse. Voyons maintenant dans quel cas particulier on pourra avoir v Jr v° dr” il faudra pour cela poser 1 dr—# cos dr dr — v cos p UE Retranchant terme à terme ces deux fractions égales, on aura encore une fraction égale ; il est donc nécessaire et suffisant qu'on ait . 264 TANGENTES ce qui ne peut arriver que si l'on a v = + v', ou cos ® — 0, conditions identiques avec celles qui ont été trouvées ci-dessus. Il en serait de même dans le cas de trois pôles, et dans les autres cas dont il a été question ; je crois inutile: d'entrer dans de plus grands détails à cet égard. Dans le cas où l’on connaît la vitesse du point sur le rayon , et la vitesse angulaire de ce rayon, la méthode de Roberval est exacte, parce qu'il considère alors les véritables composantes de la vitesse du point générateur. Je rappellerai à cette occasion une méthode donnée par M. Poinsot, pour mener la normale à une surface courbe dont les points sont déterminés par leurs distances à des centres fixes. Cette méthode est indiquée rapidement dans son mémoire sur l'équilibre et le mouvement des systèmes. (Journal de l'École polytechnique, tome VI, 13° cahier. ) Si l'on désigne Îles rayons vecteurs des points de la surface par r, r', r, etc... .. et qu'on ait entre eux l'équation générale UE T TN TOS sans compter les relations qui ont lieu entre ces rayons, s'ils sont en nombre supérieur à trois; on obtiendra la normale en portant sur les rayons respectifs, à partir du point de la surface, et dans le sens indiqué par le signe, des lignes proportionnelles aux diffé- rences partielles, dF dF 4F dr” FER CE et en déterminant la direction de [a résultante des forces, qui seraient représentées en grandeur et en direction par ces lignes. Cette direction est celle de la normale à la surface. Cette règle s'applique immédiatement à fa normale à une courbe plane, et elle s'accorde avec celle que j'ai donnée dans ce cas pour la tangente. . DE ROBERVAL. 265 Supposons, en effet, une courbe plane donnée par l'équation ! — . Fr)=0: on en tire dæœ ù — T+—>0T = dr ou dF dr dr’ dr FA dE dr Les dérivées sont donc dans le rapport inverse des vitesses avec lesquelles croissent les rayons vecteurs, et de plus ces rapports sont de signes contraires. H résulte de cette différence de signe que dans les deux règles en question on fait la construction sur Îes côtés de deux angles adjacents des rayons vecteurs; ïf reste à démontrer que les deux lignes qui en résultent sont perpendi- culaires l'une sur lautre. Soient AM, BM, les deux rayons vecteurs r, r'; prenons MD — fr, MC—d\", et élevons les perpendiculaires CT, DT ; la droite MT sera la tangente. Prenons ensuite MF— dv", ME—d\, et menons les droites EN, FN, parallèles aux rayons vecteurs, MN sera la normale, d’après [a règle de M. Poinsot. Or, la ligne MT partage angle DMC en deux parties, dont les cosinus sont dans le rapport de dr à dv'; et la ligne MN partage l'angle ad- jacent AMB en deux parties, dont les sinus sont dans le rapport de d\r à dVr';: on a donc sm NME ,cos CMT sin NMF cos DMT Or, il est évident qu'i n’y a que la perpendiculaire à MT qui partage ainsi le supplément de Tangle DMC; les deux règles s’ac- 5. 34 266 TANGENTES DE ROBERVAL. cordent donc dans le cas des courbes planes, et pourraient se déduire l'une de lautre. La méthode de M. Poinsot pourrait encore être employée à la détermination de la tangente à la courbe ‘d’intersection de deux 5 . 5 . . surfaces ; il suflirait d'élever une perpendiculaire au plan passant par les deux normales à ces surfaces. On reconnaîtrait facilement que cette construction s'accorde avec la règle que nous avons établie. MÉMOIRE LA COMPRESSION DES LIQUIDES, PAR MM. D. COLLADON ET C. STURM. ( CE MÉMOIRE A REMPORTÉ LE PRIX PROPOSÉ PAR L'ACADÉMIE. ) SÉANCE PUBLIQUE DU 11 JUIN 1827. Nous exposerons dans ce mémoire les principaux résultats de nos expériences sur la compressibilité des liquides et sur la vitesse de propagation du son dans l'eau. Un corps liquide soumis à un accroissement de pression dimi- nue de volume, et ne reprend son état primitif qu'au moment où la compression cesse d'agir; ces différences de volume sont tou- Jours très-petites si on les compare à celles qu'éprouvent les gaz; elles croiïssent à peu près proportionnellement à laugmentation de pression, et ïl n’en résulte pour la température et la conductibilité électrique de ce corps que des changements presque inappré- ciables: Les divers liquides ne se compriment pas également sous des accroissements égaux de pression, mais la compressibilité de cha- cun d'eux a une valeur constante, et qui ne varie qu'avec sa 34* 268 COMPRESSION température; en sorte qu'on pourrait reconnaître fa nature d'un liquide en mesurant son volume sous diverses pressions. Cette compressibilité spécifique est une propriété essentielle de ces corps, et sa détermination doit servir à compléter le tableau de leurs qualités élémentaires; elle peut en outre conduire à la solution de plusieurs problèmes très-importants de méca nique et de physique; nous citerons comme exemples la théorie des moteurs et la mesure de fa vitesse du son dans les corps liquides. La chaleur, en pénétrant les corps et en écartant leurs molé- cules, produit dans l'intérieur de ces corps un travail qui peut être transmis, et dont la valeur dépend à Ia fois de Fétendue de Îa dilatation et de l'intensité de la pression que le corps peut exercer en se dilatant. On a souvent proposé d'employer dans ce but la dilatation des corps liquides comme on utilise celle des vapeurs et des gaz; mais on ne pouvait calculer les avantages qui peuvent ré- sulter de ces nouveaux moteurs sans connaître préalablement la résistance que chaque liquide oppose à la compression. . Quant à la vitesse de propagation du son, on sait, depuis les recherches de Young, de Laplace et de M. Poisson, sur ce sujet, que la mesure de cette vitesse dans une masse liquide peut se déduire de la densité de ce liquide et de sa compressibilité. Nous avons entrepris de vérifier, par des expériences directes faites sur la vitesse du son dans l'eau d'un lac, les résultats de la formule qui sert à calculer cette vitesse : Faccord que nous avons trouvé entre les résultats déduits du calcul et ceux de l'expérience est un des faits les plus remarquables de la science. Les premières expériences sur la compression des liquides ont été faites à la fin du dix-septième siècle par des physiciens flo- rentins (1). À cette époque les découvertes de Galilée et de Torri- (1) Plusieurs auteurs ont cité les résultats de l'expérience faite à Florence avec une sphère DES LIQUIDES. 269 cell avaient attiré l'attention des savants sur les recherches de physique expérimentale ; les académiciens d'el Cimento qui tra- vaïllaient en commun à des expériences sur les propriétés des corps et des fluides impondérables, firent plusieurs tentatives pour déterminer si l'eau était sensiblement compressible. Le pre- mier appareil qu'ils construisirent dans ce but était composé d'un long tube capillaire recourbé en U renversé, et terminé par deux boules très-épaisses a et à. La boule 4 et la partie adjacente du tube capillaire contenaient l'eau à comprimer; une échelle fixée au tube devait servir à mesurer cette compression; la seconde boule a était aussi remplie d’eau, et l'appareïl était exactement fermé ; on faisait l'expérience de la manière suivante : Ia boule 4 était placée dans un vase rempli de glace, puis on chiauffait forte- ment la boule a; le liquide en se dilatant diminuait le volume de l'air contenu dans le tube capillaire, et l'eau contenue dans la branche à supportait une forte pression. Cette expérience pro- longée jusqu’à la rupture des appareils ne donna aucune dimi- nution sensible de volume. D'autres essais furent faits avec un appareil semblable à celui que lon emploie pour vérifier Ia loi de Mariotte, et au moyen d'une colonne comprimante de mercure de vingt-quatre pieds de hauteur sans donner de résultats plus marqués. Les académiciens d’el Cimento firent alors fabriquer une sphère d'argent à parois très-épaisses. Cette sphère ayant été remplie d'eau et hermétiquement bouchée, ils Ia soumirent à des chocs violents ; la compression ayant déformé la sphère et diminué le volume inté- rieur, le liquide traversa les parois et parut en rosée sur la sur- face. Les savants florentins conclurent de ces expériences que a d'argent, mais nous n’avons trouvé dans aucun ouvrage élémentaire français les détails des autres expériences tentées par les savants florentins, non plus que fa description des appareils ingénieux au moyen desquels Canton découvrit le premier fa compressibilité de l'eau et de quelques autres liquides; nous avons pensé faire acte de justice envers ce savant physicien anglais, en reproduisant avec quelques détails les dispositions princi- pales de l'appareïl qu’il avait employé dans ses expériences. : 270 COMPRESSION compressibilité de l'eau ne pouvait être rendue appréciable, et cette opinion fut partout adoptée. En 1761,d9. Canton, physicien très-exact, découvrit le premier et essaya de mesurer la compression de l'eau et de quelques autres liquides (1); la méthode d'expérience qu'il imagina dans ce but est susceptible d'une grande précision, et elle a été adoptée depuis par tous ceux qui se sont occupés de recherches semblables, Canton placait les liquides qu'il voulait comprimer dans des instruments en verre ou piézomètres, ressemblant à de gros ther- momètres dont le tube serait ouvert; pour éviter l'altération de forme qui aurait pu résulter d’une pression inégale sur les parois intérieures et extérieures de cet instrument, il eut Fingénieuse idée de l'introduire dans un récipient entièrement clos, dans lequel il comprimait de Fair; Ja pression se communiquait au liquide de l'instrument par l'extrémité de son tube. Les parois de cet appareil étaient ainsi comprimées exactement de la même ma- nière sur leur face intérieure et extérieure, et ne subissaient au- cune déformation. On évitait l'influence des changements de tem- pérature, en plongeant la boule de l'instrument dans un réservoir d'eau placé sous le récipient. Les expériences de cet habile physicien sufliraient pour dé- montrer que les liquides sont des corps compressibles ; mais comme il n'avait opéré que pour. des différences de pression de deux ou trois atmosphères et sur un très-petit nombre de liquides, qui tous n'étaient pas parfaitement purs, les mesures de compressi- bilité qu'il a données ne sont pas suflisamment précises. Aucune autre expérience remarquable sur la compressibilité des liquides n'a été publiée pendant le xvim siècle; ce n’est qu’en 1819 que de nouveaux essais de M: Perkins ont attiré l'attention sur ce sujet. Ces essais, publiés dans les Transactions philosophiques pour l'année 1820, ont démontré que l'eau est encore compres- (1) Transactions philosophiques , 1762 et 1764. DES LIQUIDES. 271 sible sous de très-fortes pressions, mais les valeurs qu'on en pourrait déduire pour la contraction absolue ne peuvent pas étre admises comme exactes. De laveu même de M. Perkins les résultats obtenus dans deux expériences différentes ont varié du simple au double, et l'instrument à index qui devait servir à mesurer la com- pression ne pouvait indiquer qu'approximativement. L'année suivante, M. le professeur Œrsted s'étant occupé de répéter les expériences sur la compressibilité de l'eau, apporta quelques perfectionnements à l'appareil de Canton (1); au lieu de comprimer de Fair dans le récipient qui contient le piézomètre, M. Œrsted a imaginé de le remplir complétement d'eau; on évite ainsi l'influence du réchauffement de l'air sur le liquide du pié- zomètre, Ce savant ayant comprimé leau dans cet appareil depuis une pression d'un tiers jusqu'à celle de six atmosphères, a trouvé que la diminution de volume est constante entre ces limites de pression, et que la température du corps liquide n'éprouve pas de changement notable lorsque son volume di- minue,. La compressibilité de Peau d’après ces expériences serait de 45 millionièmes par atmosphère à 15°. Cependant l'exactitude de ce nombre nous semble fort douteuse, et nous présenterons au sujet de cette expérience de M. Œrsted quelques remarques eri- tiques qui nous paraissent fondées. Ainsi, M. Œrsted sest servi, pour déterminer les dégrés de pression , d’un manomètre à air fort court, et l'air de ce manomètre était comprimé directement par l'eau du récipient. La propriété que l'eau possède d’absorber des quantités variables d'air lorsque la pression augmente devait influer nécessairement sur les indica- tions de ce manomètre, et donner pour la compressibilité du liquide un nombre trop petit. M. Œrsted a aussi méconnu Pin- fluence qu'exerce sur la contraction apparente du liquide la d'mi- nution de volume du piézomètre, dont les parois formées d’une (1) Annales de chimie et de physique, tome XXII. 2719 COMPRESSION substance compressible sont aussi contractées par l'accroissement de pression; en sorte que le changement de volume que Ton observe sur le liquide du piézomètre n’est que la différence entre la contraction réelle du liquide et celle d’un volume égal de la matière qui sert d'enveloppe. On peut concevoir facilement cette influence en imaginant que le piézomètre dont on se sert pour ces mesures a un réservoir prismatique à base rectangulaire; chaque parois de ce prisme de- vant se contracter en tous sens proportionnellement à ses trois dimensions, le volume intérieur occupé par le liquide sera dimi- nué, et si ce liquide était incompressible , la colonne dans Îe tube capillaire augmenterait de longueur par l'effet de la compression. Nous avons étendu nos recherches à la plupart des liquides dont la composition chimique est exactement ou à peu près exactement déterminée, et pour presque tous ces liquides nous avons opéré avec des pressions successivement croissantes et décroissantes, depuis une jusqu'à vingt-quatre et même trente-deux atmosphères. Les nombres que nous donnons dans ce mémoire pour la com- pressibilité spécifique de ces liquides ont été corrigés de Finfluence de la contraction du verre, que nous avons conclue d'expériences faites avec soin sur l'allongement que cette substance éprouve par la traction d’un poids. Quelques mesures, sur l'exactitude desquelles nous avions con- servé des doutes, ont été omises dans ce mémoire. Dans ce nombre plusieurs se rapportaient à des expériences sur la compressibilité de l'eau, de Falcool, de l'éther sulfurique et du sulfure de carbone, pris à des températures très-voisines des points d'ébullition de ces liquides, et distantes de ces points d’un même nombre de degrés. Ces expériences, destinées à confirmer une loi que nous n'avons pas cru devoir énoncer dans ce mémoire, nous ont présenté des obstacles si difficiles à surmonter, que nous avons düû renvoyer à un autre temps la suite de ces recherches. La mesure de la compression des liquides est un des sujets d'expériences qui exercent le plus la patience des observateurs. DÉS LIQUIDES. 273 Lorsque fon veut expérimenter à de très-hautes pressions, on s'expose à faire rompre des appareïls dont la préparation exige beaucoup de temps. Les variations les plus légères dans la tempé- rature du piézomètre ont une telle influence, qu'on doit attendre pour chaque mesure que cette température et celle d'une grande partie de l'appareil soit devenue parfaitement stable; enfin quelques liquides résistent à toutes ces. précautions, et ne peuvent être soumis que très-diflicilement à ces expériences de mesures. On peut citer comme exemples quelques éthers et Île carbure de soufre. Nous avons pris des précautions nombreuses pour éviter toutes ces causes d'erreur, ét nous avons cherché à n’opérer que sur des liquides très-purs. Le temps considérable que nous avons mis à ces expériences, qui nous ont exclusivement occupés pen- dant plusieurs mois, est la meilleure garantie de la précision de nos mesures. Le nombre de nos observations n'est pas très- étendu, mais nous Îles avons vérifiées à plusieurs reprises, per- suadés que quelques mesures exactes sont plus utiles pour lavan- cement de la science que des résultats nombreux et mal observés. C'est à la patience et à la précision de quelques expérimentateurs modernes que sont dus en grande partie les progrès vastes et rapides que les sciences physiques ont faits depuis le commence- ment de ce siècle. Ce mémoire sera divisé en TROIS PARTIES. La PREMIÈRE contiendra la description de l'appareil employé pour mesurer a compression des liquides, les expériences relatives à la compressibilité du verre, et les tableaux des résultats trouvés pour le mercure, Veau pure et saturée d'air, l'alcool, léther sulfu- rique, léther hydrochlorique, léther acétique, léther nitreux, l'acide sulfurique, Facide nitrique ou azotique, l'acide acétique, 5. 35 274 COMPRESSION l'essence de térébenthine, le sulfure de carbone, l’eau en partie sa- turée de gaz ammoniac et l'eau de mer. La SECONDE PARTIE traitera des expériences faites pour me- surer la chaleur que dégagent les liquides par l'effet de pressrons fortes et rapides, ainsi que des essais que nous avons faits pour connaître l'influence d’une compression mécanique sur la conduc- tibilité électrique de quelques liquides bons conducteurs. Dans la TROISIÈME PARTIE nous donnerons le détail d’une série d'expériences faites par fun de nous sur la propagation du son dans Peau, et nous comparerons les nombres obtenus par cette mesure expérimentale avec ceux qui résultent de l'ap- plication de nos mesures de compressibilité à la formule donnée par M. Poisson. DES LIQUIDES. 275 PREMIÈRE PARTIE. S I. DESCRIPTION DE L'APPAREIL DE COMPRESSION. La mesure de fa compressibilité d’un liquide ne peutétre obtenue que par deux observations différentes, qui doivent étre faites simul- tanément; par l'une de ces observations on détermine quel est l'accroissement de pression que lon fait supporter au liquide, et par l'autre on mesure la diminution de volume produite par cet excès de pression. Les appareils employés pour ces mesures se composent par conséquent de deux instruments principaux : l'un de ces instru- ments, destiné à mesurer la pression, sera appelé le manomètre , et l'autre, servant à indiquer la variation du volume liquide, sera appelé le prézomètre. C’est de Ia bonne disposition de ces deux instruments que dépend l'exactitude des résultats observés ; et comme ces mesures portent sur des variations de volume excessivement petites, comme elles peuvent être influencées par des’causes d'erreur très-puissantes, la construction des appareils et l'emploi de ces instruments exigent des précautions nombreuses et une précision extrême. Nous allons décrire les procédés qui nous ont servi pour la construction et la graduation de notre appareïl de compression , et la méthode d'expérience que nous avons adoptée dans l'emploi de cet appareil. DESCRIPTION DU PIÉZOMÈTRE. L Le liquide dont on veut mesurer la compression est renfermé 35° 276 COMPRESSION dans un instrument de verre assez semblable à un thermomètre à gros réservoir; cet instrument est représenté dans les figures 2 et 3, planche I; il est formé d'un Tong tube capillaire «y, à une des extrémités duquel est soudé un réservoir r, terminé par une pointe efhlée; à l'autre extrémité du tube capillaire est un tube cylindrique yz, dont le diamètre intérieur est égal à quatre ou cinq millimètres. Pour la construction de cet instrument il convient de choisir un tube capillaire qui soit parfaitement cylindrique sur une [longueur de deux ou trois &écimètres; on parvient à se procurer ces tubes en en calibrant un très-grand nombre au moyen d'une petite goutte de mercure que lon fait glisser le Tong du tube, et en mesurant sa longueur sur une petite échelle d'ivoire très-mincé, interposée entre la bulle et Le jour. Lorsqu'on est parvenu à trouver un de ces tubes dont une partie est cylindrique, on y introduit par tâtonnement une goutte de mercure, qui occupe sensiblement toute a longueur de cette partie cylindrique, puis avec un léger pinceau trempé dans une solution de résine on marque d'un trait fin les deux extrémités de 1a colonne de mercure; en inclinant ensuite le tube, on fait glisser cette co- lonne jusqu'à ce qu'elle soit arrivée à l'extrémité de cette première division; on marque alors une seconde division parfaitement égale en volume à la premiére, et on continue cette opération aussi longtemps que fa longueur du tube le permet. La somme de ces divisions forme donc un volume multiple de celui de la portion cylindrique du tube. On remplit alors, toujours par une suite de tâtonnements, le tube capillaire d'une goutte de mercure, d'une grosseur telle qu'elle remplisse exactement la somme de toutes les divisions du tube, puis on verse cette goutte dans une pêtite capsule en papier, que Ton place sur une balance d'essai. Son poids sert à déterminer exactement le volume qu’elle occupait dans le tube capillaire; en divisant ce volume par le nombre des divisions tracées sur le tube on a d’une manière très-précise le volume de la fraction de ce tube, que lon peut considérer DES LIQUIDES. 2:77 commé.parfaitement cylindrique. Si maintenant on place fe 1ong de cette partie cylindrique une échelle divisée en parties égales, chaque division ou chaque degré correspondra à un volume par- faitement connu du tube capillaire. Toutes ces précautions sont indispensables dans [a construction de cet: instrument; destiné à ‘indiquer des fractions, .de millio- -nièmes de volume du liquide employé. On soude ensuite, à l'une.des extrémités du tube,capillaire, un résérvoir r, terminé par une pointe efhilée ouverte, et à l'autre extrémité un petit tube yz, de quelques millimètres de diamètre. Pour déterminer le volume, du réservoir, on le remplit de, mer- curé en le plongeant dans une cloche renversée remplie de, mer- cure bouilli à l'avance. Le mercure.s’introduit très-promptement, par l'effet de la différence de niveau, dans le réservoir, en y péné- trant par la pointe efhilée qui le termine. On achève alors de remplir la portion du tube capillaire placée entre l'échelle divisée et le réservoir, et lon marque par un point : l'extrémité de Ja masse de; mercure du côté de la pointe du réservoir, en,:ayant soin d'opérer à une température uniforme. Le mercure contenu, dans le piézomètre est.ensuite vidé dans une coupe; et on le: pèse très- exactement. Cette seconde pesée sert à déterminer le rapport entre le volume total du piézomètre et le volume des divisions de son tube-capillaire. . ‘Cette opération terminée, on remplit le piézomètre du liquide dont. on veut mesurer la compressibilité, ‘en. l’introduisant égale- ment par la pointe ouverte du réservoir, puis lorsqu'il est.entière- ment plein, on ferme à la lampe l'extrémité du réservoir au npoint î (voyez figure 3 ).. Ce procédé est Een commode ,.etil "7 souvent le seul que l’on puisse employer, soit. lorsqu'on veut. mesurer, fa com- pression de liquides saturés de gaz, soit lorsqu'on opère sur des liquides qui se décomposent facilement par la chaleur. Le tube yz qui termine le piézomètre est ouvert et plein d'air; cet air sert d'intermédiaire entré léau qui,environne le piézomètre 278 , COMPRESSION et le liquide qui y est contenu, et empêche le contact des deux liquides. Canton et M. Brsted se sont servis d’un index de mercure pour empécher ce contact et marquer l'extrémité de la colonne dans le tube capillaire. Nous avons trouvé que lemploi de cet index est sujet à plusieurs inconvénients. Quelques liquides, tels que le car- bure desoufre, l'essence dé térébenthine, divisent cet index en un grand nombre de petits globules, et passent facilement entre les pañois du tube et l'index; lorsque Ton fait varier la pression d’une manière subite, index, par suite de la vitesse acquise et de la différence de la masse, pénètre dans la colonne liquide avec laquelle il est en contact. Enfin, lon sait qu'une bulle de mercure logée dans un tube très-capillaire ne s'y meut que par une différence de pression de quelques centimètrés de mercure; ainsi l'emploi d'un index de ce métal occasionne une différence de pression nuisible contre les parois intérieures et extérieures du piézomètre. Tous ces inconvénients nous ont fait renoncer à l'emploi de cet index; nous avons préféré observer directement l'extrémité de la colonne liquide, qn'il est toujours facile de distinguer; pour les liquides très-hygrométriques, nous avons employé un très-petit index de sulfure de carbone. D'après la méthode de Canton, adoptée par M. Œrsted, nous avons placé le piézomètre ouvert dans un vase plein d'eau, et nous avons comprimé directement l'eau de ce vase avec une pompe de compression; la figure 1, planche I, représente cette dis- position. AB est le vase plein d'eau contenant le piézomètre; eest un fort cylindre de verre terminé à son extrémité B par une virole en cuivre à laquelle on visse la pompe CD ; un petit treuil F fixé sur cette pompe sert, au moyen de la corde cc et de la tige EE, à faire avancer le piston lorsque Ton veut comprimer Peau du vase AB. Nous avons placé le cylindre AB dans une position horizontale, afin d'éviter les mouvements du liquide contenu dans ce cylindre, DES LIQUIDES. 279 dont toutes les parties n'avaient point toujours la même tempé- rature. É Un piézomètre construit comme nous venons de Je dire, peut étre considéré comme un thermomètre extrêmement sensible, et sur lequel de légères variations de température produiraient des variations dans la longueur de la colonne capillaire qui altéreraient complétement les résultats de compression : cette cause d'erreur est tellement puissante, que pour le mercure, par exemple, une variation de:température de + de degré centigrade occasionne une variation de longueur égale à celle que produirait une diffé- rence de pression d’une atmosphère. Les expériences de compression sur les liquides doivent donc être faites avec assez de soin pour que lon puisse éviter l'in- fluence des variations de température sur Le piézomètre, ou du moins: sur-le réservoir de cet instrument; et comme quelques- unes de ces expériences doivent se prolonger pendant plusieurs minutes, l'appareil doit être construit de telle sorte que le liquide en expérience ne puisse varier de température pendant tout ce temps. : Pour y parvenir nous avons introduit l'extrémité À du cylindre de verre AB dans une caisse en métal M pleine d’eau légère- ment épaissie par une solution d'empois, afin d'en rendre les mouvements moins faciles. Le vase M, d'une capacité d’en- viron 50 litres, était muni de thermomètres, dont lun # était appliqué immédiatement sur l'extrémité À du cylindre. L'appareil était renfermé dans une petite chambre n'ayant qu'une seule fe- nétre; on élevait ou on abaïssait [a température de cette chambre suivant le degré de température auquel on voulait opérer, de ma- nière à avoir autant que possible la même température dans l’eau du réservoir M et dans l'air environnant. Lorsque l'extrémité de la colonne du piézomètre indiquait par son immobilité que la tempé- rature de cet instrument était parfaitement fixe ainsi que celle du thermomètre tt, on comprimait le liquide du vase AB en faisant tourner le petit treuil F, l'eau du cylindre AB communiquait sa 280 COMPRESSION pression au liquide du piézomètre à travers le tube y3, et l'on observait avec une petite lunette les mouvements du sommet de la colonne liquide le Tong de l'échelle »». L'expérience terminée, on observait de nouveau la longueur de la colonne du piézomètre et l'indication du thermomètre #; si ces deux indications n'avaient pas changé, on était certain que la température du pee n'avait pas varié pendant la durée de l'expérience. . Pour des mesures prises à des températures plus élevées nous avons logé le vase cubique dans une seconde enveloppe plus grande, et l'espace intermédiaire a été rempli d'une poussière peu conductrice; on échauffait peu à peu l'eau de la caisse M, et on saisissait pour l'expérience l'instant où la température de l'eau de ce vase atteignait un maxfmum. Outre les variations de température, trois autres causes d'erreur pourraient encore influer surles indications du piézomètre , savoir: l'adhérence d'une portion du liquide aux parois du tube capillaire, la diminution de pression due au frottement dela colonne liquide dans ce tube , enfin les petites quantités d'air adhérentes aux parois mtérieures du piézomètre. On remédie aux deux premières causes en faisant deux séries d'expériences, lune pour des pressions croissantes et la seconde pour des pressions décroissantes; on évite presque complétement l'influence de la dernière cause, soit en faisant bouillir à l'avance le liquide du piézomètre, soit en employant des pressions très- puissantes. DESCRIPTION, DU MANOMÈTRE. La partie de Fappareïl destinée à mesurer Fintensité de la pression doit être aussi construite avec soin, et ses indications doivent être mises à Tabri des variations de température et des influences diverses qui tendent à les altérer. La construction d'un bon manomètre n’est point une chose facile, surtout lorsque DES LIQUIDES. 281 ce manomètre doit servir pour des expériences à de hautes pressions. Le manomètre dont nous nous sommes servis est représenté dans les figures 1, 4 et 5, planche I; il est formé de trois tubes d'inégal diamètre pg, gr etrs, figure 5, et il est muni dans toute sa longueur d'une échelle divisée en parties égales. Ce manomètre fermé à sa partie supérieure se place dans un cylindre de verre vertical KL, figures 1 et 4. Ce cylindre de verre est fermé dans sa partie inférieure, et son extrémité supérieure L se visse à un tube recourbé GGG, par l'intermédiaire duquel le cylindre KL communique avec le cylindre AB. Le cyliidre de verre KL contient dans sa partie ‘inférieure du mercure jusqu'en #, et dans ce mercure plonge l'extrémité inférieure ouverte du manomètre ps. Lorsque l'appareil est ainsi disposé, on n ouvre le robinet 0, placé au sommet du tube recourbé GG, et on remplit d’eau tout lap- pareil; l'air qu'il contenait se dégage peu à peu par cette ouverture supérieure; on ferme-ensuite le robinet 0, et si Fon fait marcher la pompe, la compression se transmet à Fair du manomètre par lin- termédiaire de la colonne liquide: GGLK, et le mercure s'élève dans cet instrument. - La graduation directe de ce manomètre d'après les lois de a compressibilité de Fair aurait présenté plusieurs difficultés; le pro- cédé que nous avons adopté nous paraît à l'abri de toute difficulté, et donne immédiatement la graduation du manomètre d'après les degrés de pression que supporte l'eau contenue dans le cylindre horizontal AB où doit étre placé le piézomètre. Nous avons fait construire un tube abed, figure 6, long d'environ deux mètres, composé de deux parties soudées; l'une ab, à peu près cylindrique, est un tube ordinaire en verre, de quatre milli- mètres de diamètre; l'autre partie cd, rendue conique en l'étirant à la lampe, a un‘diamètre qui diminue jusqu'à son extrémité d. On laisse d'abord l'extrémité d ouverte, et l'on gradue ce tube dans toute sa longueur en nn très-grand nombre-de parties égales 5. 36 282 COMPRESSION en volume au moyen de petites gouttes de mercure que fon y fait cheminer, en marquant à la résine les extrémités. On vérifie plu- sieurs fois cette division en employant des bulles de mercure de plus en plus fortes, puis lon ferme Finstrument à son extrémité d; lorsque Fair qu'il contient a une température convenable, on fait arriver jusqu’à l'origine a de la division une bulle de mercure qui doit servir d'index. Cet instrument ainsi divisé est introduit dans le cylindre hori- zontal AB, figure I, à la place du piézomètre, qu'il remplace mo- mentanément, puis on comprime Peau du cylindre AB. La bulle de mercure chemine alors en parcourant successivement les divi- sions tracées sur la longueur abcd, et dont chacune correspond à un degré de compression connu; en même temps le mercure con- tenu dans le bas du cylindre vertical KL s'élève dans le mano- mètre pgrs muni d'une échelle graduée. On établit ainsi une table de ces hauteurs et des pressions correspondantes; cette table une fois faite, si on enlève lé tube abd du cylindre AB et que l'on y replace le piézomètre, on sera sûr, chaque fois que l'on ramènera par la compression le mercure du manomètre ps à une hauteur donnée, que le liquide du piézomètre logé dans le cylindre hori- zontal supporte une pression bien déterminée. Dans le cas où 1a température de l'air du manomètre aurait varié, il est facile d'en tenir compte; à cet effet on place dans le cylindre KL deux petits thermomètres #, destinés à indiquér cette température. Cette méthode de graduation suppose, il est vrai, que l'air com- primé obéit exactement à la loi de Mariotte jusqu’à une pression de 30 ou 40 atmosphères. Nous n'avons pu vérifier cette Tor jusqu'à d'aussi fortes pressions; mais nous nous sommes assurés, par une série d'expériences de compression faites à Genève en 1825, que cette loi de compressibilité des gaz est sensiblement exacte pôur toutes les pressions moindres que 16 atmosphères. Dans cette expérience la tubulure de l'extrémité B du cylindre AB était mise en communication avec un baromètre ouvert à mercure haut de DES LIQUIDES. 283 12",3, et les pressions se mesuraient directement sur ce baro- mètre. Ayant introduit dans le cylindre horizontal un tube cons- truit et gradué comme celui de la figure 6, les indications de cet instrument nous ont paru coïncider parfaitement avec celles de la colonne barométrique (1). On pouvait craindre que les variations de température causées par les changements de volume du-gaz du manomètre n’altérassent les indications de celui-ci, mais il faut remarquer que ce mano- mètre se trouvant amplement environné d'eau, ses parois ab- sorbent et transmettent promptement la petite quantité de chaleur dégagée par la:compression,, d'autant mieux que cette compression n'était jamais instantanée; on opérait avec lenteur pour éviter des disjonctions.dans la-colonne du tube capillaire, et on maintenait chaque pression pendant quelques instants. $ II. COMPRESSIBILITÉ DU VERRE. Nous avons dit précédemment que Canton, dans le but d'éviter la déformation du réservoir de ses piézomètres, avait eu l'heureuse idée de les plonger dans un récipient fermé où Yon faisait varier la pression; par ce moyen on évite, il est vrai, d’altérer la forme de ce réservoir, puisque la pression se transmet également sur tous ses points; mais cette pression produit sur la matière de ce réser- voir une diminution de volume qui influe sur {a contraction appa- rente du liquide contenu. Cette conclusion repose sur ce-principe assez évident, qu'un corps solide homogène, plongé dans un fluide (1) Pendant le temps qui s'est nu jee entre {a présentation de ce mémoire etson impression, MM. Arago et Dulong ont vérifié, par des expériences très-précises, la parfaite coïncidence d'un manomètre graduéd’après fa Toi de Mariotte et les indications d'ane colonne baromé- trique, depuis 1 jusqu'à 30 atmosphères. Cette expérience, d'une grande importance pour plusieurs recherches de physique, justifie l'exactitude des nombres qui, dans nos tableaux, représentent les pressions: 36* 284 COMPRESSION et soumis à une pression uniforme, éprouve, selon chacune de ses dimensions, une diminution proportionnelle à leur grandeur, et se contracte en conservant une forme semblable à sa forme pri- mitive. & Supposons en effet que ce corps solide est un prisme paralléli- pipède dont les trois dimensions ont une mesure commune, et divisons par la pensée ce prisme par des plans parallèles à chacune de ses bases en un grand nombre de petits cubes tous égaux entre eux. Lorsque fa compression sera opérée et Téquilibre établi, ces molécules cubiques supporteront nécessairement sur leurs faces opposées des pressions égales, et cette pression sera la même pour toutes. Ainsi chacune de ces molécules se contractera également selon ses trois dimensions, et le corps, après avoir diminué de volume, conservera une forme semblable à celle qu'il avait avant la compression. Si maintenant dans ce prisme ainsi contracté, et dont toutes les molécules sont parvenues à un état fixe d'équilibre, on enlève un prisme intérieur semblable plus petit, et si on remplace ce solide par un volume égal de liquide, dont les molécules soient dans le même état de tension, chaque face de ce prisme liquide produira, sur les faces contiguës du prisme enveloppant, une pression par- faitement égale à Ia réaction qu'exercaient auparavant les faces homologues du prisme solide dont il a pris la place; rien ne sera changé pour l'état d'équilibre des molécules enveloppantes; et comme avant cette substitution le noyau solide avait dû être con- tracté proportionnellement à sa compressibilité, le volume du liquide sera diminué, dans le second cas, de la même quantité. Cette conclusion suppose que la tension du fluide intérieur est égale à celle du fluide qui environne le piézomètre; cette con- dition est toujours remplie lorsqu'on fait usage de la méthode de Canton, puisque la pression extérieure se transmet librement au liquide du piézomètre. En raisonnant de la même manière pour un piézomètre dont le DES LIQUIDES. 285 réservoir aurait-une forme prismatique quelconque ou une forme cylindrique, on arrive également à cette conclusion, que dans l'emploi de ce piézomètre le volume intérieur occupé par le liquide diminue, pendant la compression, de Ia même quantité dont dimi- nuerait, sous’ une pression égale, une masse solide de méme matière que l'enveloppe, et d'un prune équivalent à celui du liquide comprimé. La méthode que lon a coutume d'employer pour déterminer les diminutions de. volume des-corps solides par 1a pression, con- siste.à mesurer le raccourcissement ou l'allongement linéaire d'une barre prismatique, et à en conclure la dilatation ou la con- traction cubique. Cette méthode suppose que les variations de 1on- gueur sont assez petites pour que cet allongement ou ce raccour- cissement ne modifie pas sensiblement la position relative des molécules; ï faut par conséquent dans ces mesures apprécier de très-petits allongements, et faire usage d’un appareil disposé de manière que lon n'ait point à redouter Finfluence de Îa dilatation des supports et de la barre ou celle de Ia flexion des appuis qui soutiennent la‘barre chargée de poids. L'appareil qui nous a servi pour l'allongement du verre ést figuré dans la planche IL, figures 1 et 2. AB est la baguette dont on veut mesurer Fallongement, on la suspend par son extrémité À , et on fixe en B un plateau p, pour y suspendre des poids; à cette baguette on fixe, par sa partie supé- rieure , avec du mastic de résine, un tube CD également en verre ; ce tube, long | d'un mètre ,'enveloppe la baguette AB à laquelle il est suspendu ; c'est à la partie inférieure D de ce tube que lon-fixe l'appareil gradué destiné à la mesure des allongements du cy- lindre AB. On voit que par ce procédé très-simple cet appareil de division conserve toujours la même position par rapport à l'extré- mité supérieure du cylindre AB, et que la position de l'index est indépendante des variations ou des flexions des supports. Si de plus la température venait à varier, le cylindre et le tube étant à peu près contigus dans toute leur longueur et ayant des dilatations 286 COMPRESSION égales, cette variation ne changerait rien à la mesure observée pour l'allongement. Dans une première tentative nous avons mesuré directement l'allongement du cylindre de verre AB, en adaptant au bas de ce cylindre une petite échelle micrométrique d'un millimètre, divisé en cent parties, et en fixant au tube-un index très-fin, qui glissait le Tong de cette échelle; on observait les mouvements du micromètre et de l'index au moyen d'un fort grossissement. Nous avons aussi fait modifier cet appareil de manière à obtenir une indication plus facile à observer : cette disposition est repré- sentée dans les figures 1 et 2; ss ést un appendice soudé au tube et terminé par un petit couteau #; un autre couteau w est fixé au bas du cylindre de-verre et appuyé sur un levier très-léger {7 ; ce levier tourne sur ‘le tranchant & du couteau #, et parcourt à son extrémité le cercle divisé #n. Un second levier 7°, supporté de la même manière sur le côté opposé du cylindre, sert à contrôler les indications du fevier /2. 1 La moyenne des résultats obtenus par ces deux procédés dif- férents nous a donné un allongement de -*— de millimètre sous l'influence d’un poids de huit kilogrammes; la Iongueur de la barre soumise à cet allongement étantexactement d’un mètre. Il est facile de déduire de ce résultat la contraction linéaire correspondante à une pression atmosphérique; la surface de section du cylindre était équivalente à 13 1/3 millimètres carrés. Il fallait, pour pro- duire une traction équivalente à une atmosphère, un poids égal à celui d’un cylindre de mercure haut de 760 millimètres et ayant une base de 16,3 millimètres carrés. Le poids d'un pareil cylindre est de 138,3 grammes, par conséquent les 8 kilogrammes produi- raient une traction équivalente à 57 atmosphères. En divisant l'allongement observé, savoir 2 de millimètres par 57, on trouve que pour une atmosphère lallongement de la baguette de verre d'un mètre de longueur est de 11 dix-millionièmes; une pression correspondante à une atmosphère, agissant sur les deux extrémités de la barre, la raccourcirait de la même quantité. On peut con- DES - LIQUIDES. 287 clure de là la diminution linéaire que le corps éprouverait s'il était soumis à cette- même pression d'une atmosphère sur tous les points de sa surface. , M. Poisson a démontré, dans un mémoire sur endire des corps élastiques, que cette dernière contraction n’est que la moitié de la première; en sorte qu’un cylindre de verre plongé dans un fluide et soumis à une pression de 0",76 de mercure, se comprime de 165 cent-millionièmes de son volume primitif. Ce nombre, ex- primant la compressibilité spécifique du verre, doit être ajouté à ceux qui représentent la contraction apparente des liquides pour chaque accroissement de pression d’une atmosphère (1). $ LIL. EXPÉRIENCES SUR LA COMPRESSIBILITÉ DES LIQUIDES. Les nombres contenus dans les tableaux de ce chapitre sont ceux que. nous avons trouvés dans nos expériences, et que nous donnons sans aucune correction. La première colonne des pressions renferme les indications du manomètre à air contenu dans le cy- lindre vertical KL, planche I. L'aide qui opérait la pression au moyen du.treuil F ramenait la colonne de ce manomètre à des hauteurs toujours égales, et la maintenait à Ia même pression pen- dant le temps nécessaire pour chaque observation. Les indications contenues dans cette première colonne doivent être corrigées de la variation de température pour chaque expérience. Les nombres contenus dans la seconde colonne sont les lectures sur l'échelle (1) Dans le mémoire original que nous avons déposé à l'Institut en 1827, et que les rédacteurs des Annales de chimie et de physique ont publié ‘dens le tome XXXVI de ce recueil, nous avions supposé que la contraction linéaire d\ d'une barre, comprimée également sur toute sa surface, était égale à celle /\ d'une barre égale comprimée seulement par ses extrémités, et nous avions en conséquence supposé Îa contraction cubique du verre égale à 303 cent-millionièmes. M. Poisson ayant démontré depuis que {a valeur de d\ est double de celle de À’, nous avons dü admettre cette correction en publiant nos résultats. 288 COMPRESSION adaptée au piézomètre; ces nombres ou degrés correspondent à des fractions de volume de Ta portion cylindrique du tube capil- laire; pour en conclure la contraction ïl faut les comparèr au vo- lume du réservoir de chaque piézomètre exprimé aussi en degrés. Ce rapport est mdiqué en tête de chaque tableau sous le titre de VOLUME PRIMITIF DU LIQUIDE, IH faut en outre corriger [a contraction déduite de cette com- paraison de l'influence de la contraction de Fenveloppe. Nous donnons à la suite de chaque tableau le calcul relatif à cette double correction. * Quelques-uns de ces tableaux sont suivis de tableaux semblables ayant pour titre EXPÉRIENCES EN RETOUR; ils contiennent une seconde suite d'observations faites à des pressions successivement décroissantes et destinées à vérifier les premières. On remarquera que le plus grand nombre des observations con- tenues dans ce chapitre ont été faites à la température de la glace fondante. Le choix de cette température rendait encore plus cer- taine la fixité de Ta température du piézomêtre. Quelques autres expériences ont été faites à des températures de 10 et 11 degrés; elles font partie d'une série de mesures que nous avions entrepris de faire sur les principaux liquides à cette seconde température; mais le temps limité du concours et la difculté de ces mesures n'ayant pas permis de vérifier suffisamment toutes les observations relatives à cette double série, nous avons choïsi dans chacune Îes tableaux dont on avait eu le temps de vérifier les résultats. L'une des difficultés principales que lon rencontre lorsqu'on veut opérer à une température autre que celle de a chambre qui contient l'appareil, provient de la dilatation prodigieuse de la co- Ionne capillaire. Si lon n'a pas su prévoir la quantité précise de liquide qu'il convient de laisser dans Finstrument, il_arrive que lorsque le piézomètre a été placé dans le cylindre AB, et qu'il a pris exactement la température de la caisse M, ce qui nécessite un temps assez long , l'extrémité de la colonne ne coïncide plus avec le commencement de l'échelle #»'. I faut alors retirer le piézo- DES LIQUIDES. 289 mètre pour y introduire une nouvelle goutte de liquide et recom- mencer la même opération. Dans quelques-uns des piézomètres que nous avons employés la colonne capillaire s'allongeait de près de 200 millimètres pour un réchauffement d'un degré centigrade; on peut comprendre d’après cela combien était difficile Ya ppréciation dont nous venons de parler. COMPRESSIBILITÉ DU MERCURE À 0°. La compressibilité de ce liquide a été observée par Canton, qui l'avait jugée égale à 304 cent millionièmes pour 0",76 de mercure. Nous avons fait remarquer que ce physicien avait oublié de tenir compte de l'influence de {a contraction de l'enveloppe, et que ses expériences n'ont pas été étendues au delà de trois atmosphères de pression ; aussi ce nombre, qu'il a donné dans les Transactions Philosophiques, ne pouvait être adopté que comme une mesure approximative. Nos expériences sur le mercure ont été faites avec tout le soin qu'exigeait la petitesse des quantités qu'il fallait mesurer, et nous avons poussé nos mesures pour ce liquide jusqu'à 30 atmosphères. La caisse M était remplie de glace fondante, qui entourait com- plétement l'extrémité À du cylindre et le maintenait à un degré fixe de température, ainsi que le réservoir du piézomètre qui y était contenu. : La fixité de la température est une condition encore plus essen- tielle pour ce liquide que pour tout, autre; si elle variait d'un cin- quantième de degré, il en résulterait un changement de volume plus grand que celui que pourrait produire la pression d'une atmosphère. Les quatres séries que contiennent {es deux tableaux suivants indiquent, par a constance des indications, que la tem- pérature du piézomètre était parfaitement stable. 5. 37 290 COMPRESSION MERCURE À 0°. — VOLUME PRIMITIF DU LIQUIDE — 622440 DEGRÉS DU TUBE CAPILLAIRE. — TEMPÉRATURE DU MANOMÈTRE— 9°(1). DEGRÉS DIFFÉRENCES | DIFFÉRENCES |. CONTRACTION ATMOSPHÈRES. ki: à ; pour de l'échelle. de pression. [de contraction.| une atmosphère, 249, 5 244, 8 246 248 249, 6 250, 8 253 255, 1 1 9,3 2,3 1 1,2 1,2 = ei 257 259 260,9 263 265 267 269, 1 275 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 RETOUR. (1) Cette expérience est la seule de celles mentionnées dans ce mémoire pour laquelle la température normale du manomètre soit — 9°, ce manomètre ayant été remplacé par un autre gradué à la température de 10° centigrades, DES LIQUIDES. 291 SUITE DU TABLEAU PRÉCÉDENT. DEGRÉS DIFFÉRENCES | DIFFÉRENCES CONTRACTION : l pour de contraction.| une atmosphère. ATMOSPHÈRES, de l'échelle. de pression. 249, 5 1,75 246 250, 8 254 257 260 263 266, 2 669, 2 275 RETOUR. La contraction n’est pas uniforme dès le commencement; ce n'est guère qu'à partir de la sixième atmosphère qu’elle devient régulière et constante. La régularité des résultats obtenus pour 37° 292 COMPRESSION de plus fortes pressions indique que ces variations ne proviennent pas d'une diminution de compressibilité du, mercure; nous les avons attribuées à l'influence de la très-petite quantité d’air qui reste adhérente aux parois du verre malgré l'ébullition du mercure dans l'instrument. Si c'est la véritable cause de ces différences, on comprend que ces petites bulles doivent Ctre réduites à un si faible volume, quand fa pression a atteint cinq ou six atmosphères, que leur influence s’annule entièrement. A partir de la huitième atmosphère on a exactement un degré de contraction moyenne; Îe manomètre qui a servi à ces expé- riences avait été gradué sous une pression barométrique de 0",706 de mercure et à la température de 9° c. Il n'ya donc au- cune correction à faire pour sa température, mais il faut augmenter les résultats observés dans le rapport de 760 à 706 pour obtenir la contraction correspondante à des atmosphères de 0",760 de mercure. En faisant cette correction sur la contraction observée, qui est égale à —"— pour chaque atmosphère de 0",706, on trouve que pour des pressions de 0",760 Ia contraction appa- rente du ‘mercure dans un piézomètre de verre est de 173 cent millionièmes. Si à cette contraction on ajoute celle de l'enveloppe, 165 cent millionièmes, on trouvera la compressibilité vraie du mercure — 338 cent millionièmes. L'observation de Canton sur la compression du mercure donne 469 cent millionièmes, lorsqu'elle a été corrigée de la compression du verre, Nous avons déjà fait la remarque que ce physicien n’a expé- rimenté que jusqu’à trois atmosphères, pression trop faible, surtout pour les liquides peu compressibles; les premiers nombres de nos tableaux jusqu'à six atmosphères environ donnent à peu près la méme contraction de 471 cent millionièmes. Il est probable que la même cause qui nous a donné une contraction apparente trop forte pour les premières pressions aura influé dans l'expérience de Canton. La densité du mercure à 0°est égale à 13,568 ; en introduisant dans la formule de la vitesse du son citée à la fin de ce mémoire m DES LIQUIDES. 293 les nombres qui représentent la densité et la compressibilité du mercure, On trouve que Îa vitesse de propagation du son dans ce métal serait égale à 1483 mètres à la température 0°. En comparant la contraction 33 8 cent millionièmes avec la dilata- tion produite entre zéro et cent degrés par chaque degré de réchauf- fement du mercure, on trouve que a pression de cinquante-trois atmosphères produit la même réduction de volume qu'un degré de refroidissement, et lon peut conclure de ce rapprochement que dans les thermomètres à mercure non purgés d'air, la compression produite par cet air, quand Îa colonne capillaire s’allonge , n’exerce pas d’influence sensible sur le volume du liquide. En calculant la quantité de travail ou de force vive que lon pourrait obtenir de a dilatation du mercure pour un kilogramme de charbon, on trouve que s'il était possible de renfermer ce liquide dans des vases inextensibles, de l'y réchauffer et refroidir alterna- tivement, en recueillant sur un piston le travail produit par ces variations de volume, chaque kilogramme de charbon brûlé (en supposant, comme on Îe fait pour les bonnes machines à vapeur, que l'on utilise les deux tiers seulement de la chaleur dégagée par la combustion de ce kilogramme) produirait environ mille dyna- mies, et si les frottements du piston et des autres pièces frottantes absorbaïent un tiers de cette puissance, l'effet utile recueilli serait égal à 666 dynamies ou au travail d'un cheval de machine pendant deux heures et demie, effet triple ou quintuple de celui que lon obtient dans les meilleures machines à vapeur. IT. COMPRESSIBILITÉ DE L'EAU. 1° EAU DISTILLÉE PRIVÉE D'AIR PAR L'ÉBULLITION. L'eau sur laquelle nous avons opéré avait subi plusieurs ébulli- 294 COMPRESSION tions dans le réservoir du piézomètre pour la séparer de l'air qu'elle contenait. Il est important d'observer qu'une première ébullition n’est jamais suflisante ; à Îa sixième et même à la huitième ébul- lition il se dégage encore des bulles qui ne disparaissent que par le refroidissement. Pour cette expérience et celles qui suivent, le manomètre avait été changé ; ce dernier avait été gradué, le baro- mètre étant à 0",7466 et le thermomètre à 10° centigrades. Le piézomètre dont nous avons fait usage dans cette'expérience est le même qui nous a servi à mesurer la compression de l'eau sa- turée d'air (voyez le IF tableau ); la position seule de l'échelle avait été intervertie dans les deux opérations. Nous avons mesuré en premier lieu la compression de l'eau avec ou sans air dans deux piézomètres différents : frappés de fa diminution sensible de com- pressibilité indiquée par ces deux expériences, nous avons désiré la constater par un essai décisif, en opérant à la même tempéra- ture et dans le même vase ; en conséquence, après que les essais sur l'eau saturée ont été achevés, nous avons fait bouïllir cette eau dans son piézomètre, nous en avons dégagé Pair avec'soin, et nous avons recommencé une nouvelle série de compressions qui est celle du tableau suivant. Les nombres de cette expérience con- firment à une très-petite fraction près ceux que nous avons obtenus avec un piézomètre différent. DES LIQUIDES. 295 EAU DISTILLÉE ET PRIVÉE D'AIR À 0°.— VOLUME PRIMITIF — 237300 DEGRÉS DU TUBE CAPILLAIRE. — TEMPÉRATURE DU MANOMÈTRE —$ (15 ATMOSPHÈRES DEGRÉS DIFFÉRENCES DIFFÉRENCES | CONTRACTION ‘dl par de 0n,7466. de l'échelle. de pression. | de contraction. ‘atmosphère. CS CES [0] œ CS ol ele vie el el- e © |- œlw el œil :l- ol © 9 2 2 2 2 2 21 4 2 2 4 È Ces expériences, poussées jusqu'à vingt-quatre atmosphères, donnent une contraction uniforme:et constante pour toutes les pressions intermédiaires. M. Œrsted avait reconnu cette constance pour les pressions moindres que six atmosphères. Nous avons découvert que cette uniformité de compression n'existe pas pour tous les liquides, et que plusieurs d’entre eux donnent des degrés de contraction qui vont en diminuant, à mesure que la pression augmente, : La contraction moyenne observée est de 11 + degrés sur l'échelle pour une pression de 0",7466, le volume total du 296 COMPRESSION liquide équivalant à 237300 degrés. D'après ces données, on obtient pour la contraction apparente 48 millionièmes, et si Fon ajoute 1,65 millionièmes pour la contraction cubique du verre, on trouve que la compression de Peau à 0°— 49,65 millionièmes. Dans une autre expérience faite sur l'eau privée d'air avec un piézomètre différent, nous avions trouvé, toute correction faite, 49,5. Canton a donné trois mesures différentes de la compressi- bilité de l'eau : lune à + 0°,5, autre à + 10°, et [a troisième à 15°,2 centigrades. Les nombres qu'il donne étant corrigés de la contraction du verre et ramenés à 0",76 sont 50 +, 47 = et 46 millionièmes. Nos recherches ne confirment pas cette différence : nousavonstrouvé que l'eau a la même compressibilité à o°et à +1 0°. Nous avons déjà fait observer les causes d'erreur qui ont dû altérer les résultats des expériences de Canton. M. Ersted a trouvé dans ses expériences le nombre 45 millio- nièmes, qui, corrigé pour la compression du verre, donne 46,65 millionièmes, Nous avons montré que dans l'appareil employé par ce physicien célèbre la mesure des pressions devait être trop faible, parce que fair de son manomètre était en contact immé- diat avec l'eau du récipient ; peut-être aussi Peau employée par M. Œrsted n'avait-elle pas été privée de tout l'air qu'elle contenait. EAU SATURÉE D'AIR A 0°. A la température de 0° et sous la pression atmosphérique ordi- naire, l'eau peut dissoudre environ un vingt-cinquième de son volume d'air dont la composition chimique n'est pas exactement fa même que celle de fair atmosphérique. Nous avons déterminé Fin- fluence que cette quantité de gaz exerce sur la compressibilité de l'eau. Cette expérience était nécessaire pour comparer les mesures de la vitesse réelle du son dans l'eau douce avec 12 vitesse théo- rique que l'on déduit de sa densité et de sa compressibilité. Les résultats que nous avons obtenus indiquent que cet air modifie très-sensiblement fa compression de l'eau; ils peuvent expliquer en DES LIQUIDES. 297 partie la différence des nombres donnés par divers physiciens pour la compressibilité de ce liquide. Nous donnons dans ce mémoire un tableau d'expériences faites sur l'eau saturée d'ammoniaque; on y remarquera également une diminution très-sensible de compressibäité. Pour cette expérience, il était nécessaire d'introduire l'eau dans le piézomètre, sans avoir recours à ébullition de ce liquide, et même sans en élever sensiblement la température; il fallait, d'un autre côté, éviter l'influence de la couche d'air qui aurait pu adhérer aux paroïs de l’instrument ; nous y sommes parvenus en procédant de la manière suivante : les réservoirs de nos piézomètres étaient terminés (fig. 2, pl. [*) par une pointe ouverte en #, que l'on ne fermait que lorsque l'instrument était entièrement plein de liquide. Le tube capillaire étant aussi ouvert à son extrémité, 1 était facile de remplir complétement le piézomètre, sans élever la température du réservoir ; il suffisait pour cela de le plonger dans le liquide, et celui-ci entrait dans la boule r par la seule diffé- rence de niveau. On introduisait d’abord une petite quantité d’eau dans le réser- voir r, et on l'y faisait fortement bouillir ; on purgeait ainsi les pa- rois intérieures de l'air adhérent, puis on remplissait entièrement le piézomètre par le procédé décrit. On fermait la pointe z au cha- lumeau, et s'il restait des bulles, la chaleur de la main suffisait pour les faire sortir. 298 COMPRESSION EAU SATURÉE D'AIR À 0°. — VOLUME PRIMITIF — 237416 DEGRÉS. — TEMPÉRATURE DU MANOMÈTRE — 10°,25. ATMOSPHÈRES DEGRÉS DIFFÉRENCES DIFFÉRENCES | CONTRACTIONS . | pour une de 0®,7466. de l'échelle. de pression. de contraction. atmosphère. Ce tableau nous fournit la même observation que le précédent, c'est-à-dire que les contractions sont constantes pour des accroiïs- sements égaux de pression. Mais la valeur absolue de la compres- sibilité pour une atmosphère n'est plus la même qu'auparavant. Elle est moindre que pour de Peau privée d'air, en sorte que leau qui contient de Fair en dissolution est moins compressible que celle qui en est privée. Nous avons aussi vérifié ce résultat à la température de + 4°; les rapports de compressibilité ont été les mêmes. Cette diminution de compressibilité de Teau qui contient de Fair en dissolution sert à confirmer ce que lon savait déjà, c'est que cet air n'y est point contenu à l'état de simple mé- lange, mais qu'il y est retenu par une véritable combinaison chi- mique. Avant de terminer ce que nous avions à dire sur ce liquide, nous DES LIQUIDES. 299 ferons ‘observer que Canton ayant mesuré la compressibilité de l'eau non privée d'air, dit (Transact. philosoph: pour 1764) que sa compressibilité est là même que celle de l'eau privée d'air: les les faibles compressions qu'il employait ne lui auront sans doute pas permis d’apercevoir cette différence. Les expériences précédentes ont été faites dans un piézomètre pour lequel le poids du volume de mercure remplissant le réser- voir était de 271540 milligrammes ; le tube capillaire avait été divisé enquatre parties d'égales capacités, et 1e poids d’une co- lonne de mercure occupant ces quatre divisions était de 1578,5 milligrammes. Depuis le milieu dela première division, du côté du réservoir, jusqu'à la fin de la seconde, le tube était exactement cylindrique, et la longueur de cette deuxième division corres- pondait à 344 degrés sur l'échelle : le poids de Ia colonne de mer- cure occupant cette longueur était donc de 22— 394,6 mil- ligrammes. En comparant ces poids, on trouve que le réservoir avait un volume équivalant à 236736 parties égales.en capacité aux portions du tube capillaire longues d'un degré. Le liquide, au commencement de l'expérience, remplissait le réservoir, plus une partie du tube capillaire égale à 680 degrés = en {es ajoutant au volume du réservoir que nous venons d'évaluer, on trouve pour le volume total primitif du liquide 237,416 des petits degrés du tube capillaire. En comprimant le liquide, nous avons trouvé sa contraction moyenne pour chaque atmosphère égale à 11 degrés, ce qui fait ss du volume primitif, ou à très - peu près 46,2 millio- nièmes. Telle est la contraction observée pour chaque indication du manomètre ; il faut maintenant chercher da contraction pour une atmosphère de 0",76 de mercure : pour cela, on corrige d'abord l'effet de la température, qui était de 10°,25 au lieu de 10°’, ce qui augmentait de 57 la valeur des indications, et l'on trans- forme les compressions de 0,7466 en atmosphères de 0,760. On obtient ainsi une contraction apparente de 47,65 millionièmes, qui, corrigée de l'influence de la compression du vase, devient égale 38" 300 COMPRESSION à 48,65 millionièmes. Ainsi la présence de fair diminue d'environ 1 millionième la compressibilité de l'eau (1). ILE. COMPRESSIBILITÉ DE L'ALCOOL. La seule mesure qui a été donnée pour la compressibilité de l'alcool est celle que Canton a insérée dans les Transactions phi- losophiques : à cette époque, on ne connaissait pas encore les pro- cédés par lesquels on peut obtenir l'alcool anhydre, et lon se con- tentait de distiller plusieurs fois ce liquide pour le purifier. Aussi le résultat publié par ee physicien pour de Falcoo! dont {a densité était 0,846 donne-t-il évidemment une contraction beaucoup trop faible et qui ne peut convenir qu'à un mélange d’eau et d'alcool. Le liquide que nous avons employé avait été purifié et distillé à plusieurs reprises sur du chlorure de calcium ; sa densité était 9,783 à 10°. On a eu soin pendant le temps employé à remplir le piézomètre de labriter du contact de Fair dont il aurait pu ab- sorber l'humidité. Ce liquide est moins facile à observer que l'eau, parce qu'en se contractant il adhère quelquefois aux parois du tube capillaire , et que l'extrémité de la colonne sur laquelle on mesure les diminutions de volume abandonne quelquefois en cheminant de petites gouttes qui se fixent aux parois du tube. On corrige la petite erreur qui pourrait provenir de cette adhésion en observant la variation de volume sous des pressions successivement croïs- santes et décroissantes. L'alcool n’atteint pas immédiatement la valeur maximum de condensation à laquelle if doit arriver ; cet effet est surtout sensible quand on opère de fortes pressions. Nous avons eu soin, en conséquence, dans les expériences sur ce li- (1) Dans le mémoire imprimé dans les Annales de chimie et de physique, tome XXXVI, on remarque à la page 32 une erreur d'addition pour la somme des contractions du verre et du liquide; cette somme est trop faible d'une unité. DES LIQUIDES. 301 quide, de faire durer chaque nouvelle pression pendant deux ou trois minutes, avant de mesurer la contraction qu'elle y produisait ; ce temps est nécessaire pour que la diminution de volume arrive à sa valeur finale. Le même phénomène s’observe pour l'éther sul- furique, le carbure de soufre et l'essence de térébenthine; soit que cette anomalie provienne d’un arrangement particulier des molé- cules, qui ne serait complétement effectué qu’au bout d’un certain temps, soit qu'elle ait pour cause une légère élévation de tempé- rature par leffet de la compression. Voici la plus régulière des trois séries d'expériences faites sur l'alcool : ALCOOL À 11° 6, — VOLUME PRIMITIF — 152660 DEGRÉS. — TEMPÉRATURE DU MANOMÈTRE — 7°. < DEGRÉS DIFFÉRENCES | DIFFÉRENCES | CONTRACTIONS ATMOSPHÈRES. f j s pour de l'échelle. de pression. |de contraction.| ne atmosphère. RETOUR. 302 COMPRESSION Les nombres de cette série, sartout ceux du retour qui sont réguliers, indiquent une diminution sensible de compressibilité pour des accroissements égaux de pression. On voit que les con- tractions les plus fortes sont aux contractions Les plus faibles comme 138 : 128. En réduisant ces mesures en millionièmes et en ramenant les indications du manomètre à [a pression de 0,760 et à 10° de température, on trouve, après avoir corrigé l'influence du verre, que la compressibilité spécifique de l'alcool anhydre varie avec la pression, et qu'elle est en moyenne de : 94,5 millionièmes de 1 à 2 atmospheres ; 92,0 millionièmes de 9 à 10 atmosphères ; 87,5 millionièmes de 21 à 22 atmosphères. Canton a donné pour la contraction de l'alcoo! mélangé d’eau à la densité 0,846 un nombre qui, ramené à 0,76 et corrigé de Ja contraction du verre , donne 68,6 millionièmes. Il aurait été diff- cile d'en conclure, même approximativement, la compressibilité de l'alcool pur. IN. COMPRESSIBILITÉ DE LÉTHER SULFURIQUE. La compression de ce liquide et celle des liquides suivants W'avait pas encore été mesurée; nous avons employé de l'éther préparé avec beaucoup de soin, et dont la densité à 11°,5 était 0,7245. L'observation des mouvements de la colonne capillaire présente pour ce liquide, comme pour falcool, quelques diffi- cultés, parce qu'il adhère en petite quantité aux parois du tube, et surtout parce qu'il faut prolonger la pression pendant plusieurs minutes, pour qu'il ait le temps d'atteindre son véritable degré de contraction ; c'est pour cela qu’on n’a opéré qu'à des intervalles de DES LIQUIDES. 303 plusieurs atmosphères. On n’a noté les nombres mdjqués dans la seconde colonne des tableaux qu'après s'être assuré par deux lec- tures faites à intervalles sur l'échelle, que la contraction était arrivée à son dernier terme. Les deux séries d'expériences conte- nues dans ce paragraphe ont été faites au moyen de deux piézo- mètres différents; elles mdiquent un accroissement notable de compressibilité dans léther, quand Ja température s'est élevée de 0 à 11°,4. Cette différence est beaucoup plus marquée pour l’éther que pour la plupart des autres liquides. Nous avons observé un fait smgulier, en voulant purger léther de nos piézomètres de air qu'il contient : c’est qu’à chaque ébul- lition nouvelle, il se dégage des bulles de gaz, et ces bulles ne disparaissent pas, lors même que le liquide est refroidi à 0°. Le temps nous a manqué pour vérifier la nature de ce gaz. ÉTHER SULFURIQUE A 0°. — VOLUME PRIMITIF — 117930 DEGRÉS DU TUBE CAPILLAIRE. -— TEMPÉRATURE DU MANOMÈTRE — 10°. ATMOSPHÈRES DEGRÉS DIFFÉRENCES DIFFÉRENCES | CONTRACTIONS par atmosphère. de 0m,7466. de léchelle. de pression. | de contraction. La diminution de compressibilité est très-sensible dans ce ta- bleau , puisqu'elle varie dans le rapport de 15 à 13 +. Ces deux nombres réduits à la pression 0,76 de mercure à 10° donnent pour la contraction apparente 130 à 118 + millionièmes, et en 304 COMPRESSION ajoutant à ces nombres la fraction 1,65 millionièmés, on a pour mesure de la compression réelle de l'éther à 0° : De 3 à 12 atmosphères, 120 millionièmes ; De 18 à 24 atmosphères, 131,6 millionièmes à très-peu près. L'inconvénient que nous avons indiqué de l'adhésion d’une pe- tite quantité de liquide aux parois du tube introduit quelque incer- titude sur cette mesure, mais la plus grande erreur produite par cette cause ne dépasse pas 3 ou 4 millionièmes. Les liquides deviennent plus compressibles quand leur tem- pérature s'élève; cette différence est surtout très-marquée pour l'éther sulfurique : c'est ce que montrent les résultats suivants, obtenus à la température de 11°,4. ÊTHER SULFURIQUE A 11°,4. — VOLUME PRIMITIF— 198,170 DEGRÉS. — TEMPÉRATURE DU MANOMÈTRE — 9°. DIFFÉRENCES CONTRACTIONS F " = par de 0n,7466. de l'échelle. de pression. |de contraction. atmosphère. ATMOSPHÈRES DEGRÉS DIFFÉRENCES A trois atmosphères, la compression est égale à 28 + degrés ; de 20 à 24 atmosphères , elle n’est plus que de 27 degrés : en rédui- sant les pressions en atmosphères de 0",76 de mercure à 10°, et DES LIQUIDES, 305 les degrés de contraction en millionièmes du volume primitif, on trouve que [a compression apparente décroît de 146 à 138 mil- lionièmes : ajoutant à ces deux nombres 1,65 pour Île verre, on obtient pour limites de la compressibilité de l'éther à 11°,4 entre 2 et 24 atmosphères les nombres 140 et 148 millionièmes à très-peu près. Aïnsi, lorsque la température de l'éther sulfurique s'élève de 0° à 11°,4, sa compressibilité augmente à peu près dans le rapport de 12 à 14. L'augmentation de compressibilité qui résulte de l'élévation de température a été signalée par Canton, qui l'avait observée pour lhuïle d'olive et pour l'alcool mélangé d’eau. à V. COMPRESSIBILITÉ DE L'ACIDE SULFURIQUE LIQUIDE. Nous avons employé, pour cette détermination, de l'acide sul- furique hydraté très-concentré : sa densité était à très-peu près 1,848 à 15°, La résistance que ce liquide oppose à la compression est moindre que celle qu'on aurait dû lui supposer d'après sa den- sité et d'après les résultats obtenus sur d’autres liquides. 306 COMPRESSION ACIDE SULFURIQUE CONCENTRÉ À 0°. — VOLUME PRIMITIF = 152655 DEGRÉS. — TEMPÉRATURE DU MANOMÈTRE — 8°,5. ATMOSPHÈRES DEGRÉS DIFFÉRENCES DIFFÉRENCES | CONTRACTION 46 ù pour une m 4 0 . = de 0®,7466. de l'échelle. de pression. | de contraction. atmosphère. RETOUR. On peut adopter 4+ pour valeur de la contraction moyenne pour une atmosphère de 0",7466, air du manomètre étant à la température de 8°+. On déduit de là que la contraction doit être à très-peu près égale à 4,37 degrés de l'échelle, pour une atmos- phère de 0",76 de mercure, Fair du manomètre étant porté à la température de 1 0°. Or le volume du réservoir du piézomètre, plus celui du liquide contenu dans le tube capillaire, comprend 152655 degrés de ce tube : ainsi, en divisant 4,37 par 152655, on aura la contrac- tion de l'acide sulfurique à 0° égale à 28,6 millionièmes ; en lui DES LIQUIDES. 307 ajoutant celle du verre 1,65, on aura pour sa contraction réelle, 30,25 millionièmes. La dilatation de Facide sulfurique de 0° à 100° est de 0,0588; son point d'ébullition étant à plus de 300°, sa dilatation entre ces limites 0.et 100 doit être assez uniforme. En Îa supposant tou- jours Ia même pour chaque accroissement de température d’un degré, la condensation de Facide sulfurique pour un abaïssement de température d'un degré sera 0,000588. On voit qu'elle est équivalente à celle qui serait produite par une compression de 20 atmosphères. VL COMPRESSIBILITÉ DE L'ACIDE NITRIQUE À 0°. L'acide nitrique sur lequel nous avons opéré était parfaitement pur, mais il n'était pas très-concentré. Nous avons trouvé sa den- sité égale à 1,403 à 0°. Nous avons préféré le prendre à cette densité, pour éviter sa décomposition trop rapide par la lumière, et pour qu'il püût être conservé sans altération dans le piézomètre. Un autre motif de ce choix, c’est que les expériences sur la difa- tation et la chaleur spécifique de ce liquide ont été faites sur de l'acide ayant ce degré de densité. Pour empécher qu'il ne püt absorber de l'humidité, nous avons introduit dans le tube capil- laire une goutte de carbure de soufre, qui servait en même temps d'index. 50 308 COMPRESSION ACIDE NITRIQUE À 0°. — DENSITE 1,403. — VOLUME PRIMITIF DU LI- QUIDE — 214960 DEGRÉS. — TEMPÉRATURE DU MANOMÈTRE — 8 >. ATMOSPHÈRES DEGRÉS DIFFÉRENCES | DIFFÉRENCES 1 rs a a È pou de 0m,7446. de l'échelle, de pression. |de contraction.| une atmosphère. RSS EU SCENE RUES | GONE EEE nel 1 607, 5 3 20 62 4 587 4 27 6: 8 560 4 27 6 : 12 533 4 27 6: 16 506 16 109 61: 32 397 RETOUR. 32 397 16 108 : 6: 16 505 : 4 26 62 12 532 : 4 27; 6; 8 559 4 27 6: Î 586 4 588 12 . 81 6: 16 507 La contraction moyenne est à très-peu près égale à 6,75 degrés du tube capillaire, ce qui fait 32,2 millionièmes pour la con- traction apparente sous a pression d'une colonne de mercure de 0",760 à 10°: ajoutant à ce nombre la contraction de l'enveloppe, on trouve la compressibilité spécifique de Facide nitrique (dont la densité est 1,403) — 33,85 millionièmes. DES LIQUIDES. 309 VIE sin COMPRESSIBILITÉ DE LEAU QUI CONTIENT DU GAZ AMMONIAC. Jusqu'ici nous avons vu la compressibilité s'accroître à mesure que la densité diminue, et cette loï se vérifie pour les six liquides dont nous avons donné les tableaux de compressibilité. L'eau sa- turée de gaz ammoniac présente sous ce rapport une anomalie remarquable; cette solution a une densité moindre que celle de l'eau pure, et à 10° centigrades la densité de ce liquide saturé de gaz n’est que 0,9. C’est à cette densité que nous avons pris la solu- tion dont nous avons rempli un piézomètre, en employant le procédé déjà décrit, en détail à l'occasion des expériences sur leau saturée d'air. L'inspection des deux tableaux suivants nous donne, pour la compressibilité de cette solution, un nombre beau- coup plus faible que pour Peau pure, et très-peu différent de celui qui représente la compressibilité de Facide nitrique. 310 COMPRESSION EAU ET GAZ AMMONIAC À 10° C::— VOLUME PRIMITIF DU LIQUIDE — 389360 DEGRÉS. — TEMPÉRATURE DU MANOMÈTRE — 1 0°. ; DEGRÉS DIFFÉRENCES | DIFFÉRENCES | CONTRACTIONS ATMOSPHÈRES, ; 2 poux de l'échelle: de pression. |de contraction.| ,,f& atmosphére. : DEGRÉS DIFFÉRENCES | DIFFÉRENCES | CONTRACTIONS ATMOSPHÈRES. f) è 3 pour de l'échelle. de pression. |de contraction.| 5e atmosphère. 53 37 66 DES: -LIQUIDES. 311 Ces deux tableaux nous offrent une diminution très-marquée de compressibilité, à, mesure que la pressiontaugmente; l'accord. de ces deux séries ne permet pas de soupçonner une erreur d’obser- vation ; le piézomètre employé à cette expérience avait un tube capillaire parfaitement cylindrique dans toute la longueur occupée par l'échelle ;"ce liquide-est d'ailleurs facile à observer, parce’ qu'il ne se, divise pas dans Ja-colonne capillaire comme Rs Suilfge rique ; Le carbure de soufre, etc. En admettant 13+ ; pour la contraction moyenne produite par les premières atmosphères, on trouve que la contraction est égale à 34 millionièmes pour une atmosphère de 0",76 de mercure À 10°, ce qui donne 36 + millionièmes pour la contraction vraie. La vitesse de transmission du son dans ce liquide serait, d'après ces nombres, de 1765 mètres par seconde. VIIL COMPRESSIBILITÉ DE L'ÉTHER NITRIQUE À. 0°. ls dilatation des liquides étant en général très- -grande et sujette à varier lorsqu'ils approchent de leur point d’ébullition, nous au- rions supposé que la contraction de l'éther nitrique, dont le point d'ébullition est à 21°, aurait offert des différences sensibles pour diverses pressions. Cependant la tableau suivant ne donne qu’une diminution assez faible de compressibilité. 312 COMPRESSION VOLUME PRIMITIF — 197740 DEGRÉS. — TEMPÉRATURE DU MANO- ATMOSPHÈRES de 0m,7466. DEGRÉS de l'échelle. | DIFFÉRENCES de pression. MÈTRE — 10°. DIFFÉRENCES | CONTRACTIONS , pour de contraction. une atmosphère. La contraction moyenne est 13,5, d'où résulte 13,74 pour une atmosphère de 0",76; ce qui fait 68,2 millionièmes pour une atmosphère à 10° de 0",76 de mercure. La contraction réelle est égale à 70,1 millionièmes. DES LIQUIDES. 313 IX. ÉTHER ACÉTIQUE À 0°. — VOLUME PRIMITIF — 233,900 DEGRÉS DU TUBE CAPILLAIRE. — TEMPÉRATURE DU MANOMÈTRE 1 2°, DEGRÉS DIFFÉRENCES | DIFFÉRENCES | CONTRACTIONS pour une atmosphère, ATMOSPHÈRES, de l'échelle, d'atmosphère. [de contraction. Quoique les nombres qui expriment les contractions de l'éther acétique à des degrés variables de pression présentent quelques différences, cependant on voit que ces erreurs se corrigent mu- tuellement, et l'inspection des résultats comparés à de fortes ét ; w >. 40 314 COMPRESSION faibles pressions indique une diminution sensible de compressi- bilité à peu près dans le rapport de 17 à 15,7. Les contractions réduites à une atmosphère à 10° de 0",76 de mercure varient de 76 à 68 millionièmes. En y ajoutant celle du verre 1,65, on aura les contractions réelles 77 2/3 et 69 2/3 millio- nièmes. x ÉTHER HYDRO-CHLORIQUE À 11°,2. — VOLUME PRIMITIE — 255,340 DEGRÉS. — THERMOMÈTRE DU MANOMÈTRE À 8°. DEGRÉS DIFFÉRENCES | DIFFÉRENCES CONTRACTIONS our de l'échelle. de pression. |de contraction.| ne sphère) ATMOSPHÈRES, On sait que l'éther hydro-chlorique bout à 12°. Il nous a paru intéressant de mesurer la contraction que subit ce liquide lorsque sa température est très-rapprochée de son point d'ébullition. De 1 à 3 atmosphères la contraction est de 82,6 millionièmes ; De 6 à 12 atmosphères la contraction moyenne estde 78,95 mil- lionièmes. “ DES LIQUIDES. 315 En ajoutant la contraction du verre, on aura la contraction réelle du liquide 84 1/3 et 80 2/3 millionièmes. XI. ACIDE ACÉTIQUE À 0°. — VOLUME PRIMITIF — 239,060 DEGRÉS. — THERMOMÈTRE DU MANOMÈTRE À 9°,7. DEGRÉS CONTRACTIONS gi pour de l'échelle. | une atmosphère. ATMOSPHÈRES. RETOUR. 364 316 291 254 Si lon prend 9 1/4 pour la contraction moyenne du liquide, on aura la contraction pour une atmosphère de 0",76 de mer- cure à 10°, égale à 39 millionièmes, et, faisant la correction du verre, On aura la compressibilité absolue — 40 2/3 millionièmes. Nous avons pensé que les résultats des quatre tableaux précé- dents méritaient d’être ajoutés à ceux obtenus pour les autres 40* 316 COMPRESSION liquides, quoique la composition des corps auxquels ils se rap- portent ne soit pas encore déterminée avec la même précision que celle des liquides qui les précèdent (1). Ces tableaux donneront une notion suflisamment exacte de la compressibilité de ces liquides, jusqu’à l'époque où la chimie aura fourni de bons pro- cédés pour la vérification de leur parfaite identité. XII. EAU DE MER. Nous nous sommes procuré de l'eau de mer puisée dans fa Manche entre le Havre et la côte d'Angleterre; nous avons trouvé que la densité de cette eau, prise au mois de décembre 1826, près de la surface, était égale à 1,022 à 100. La compressibilité de cette eau a été déterminée par les expériences suivantes. EAU DE MER À 19°,4. —- VOLUME PRIMITIF — 154,200 DEGRÉS. — TEMPÉRATURE DU MANOMÈTRE 10°. ATMOSPHÈRES DEGRÉS DIFFÉRENCES | DIFFÉRENCES | CONTRACTIONS our de 0w,7466. de l'échelle. de pression. |de contraction.| une dm us (1) Ces quatre liquides avaient été préparés par M. Robiquet; ce chimiste a eu la complaï- sance, sur la demande de M. Dumas et d'après nos propres instances, de faire préparer avec soin quelques échantillons de ces corps pour nos expériences de compression. DES LIQUIDES. 317 La contraction moyenne est de 6,14 degrés; elle serait de 6,25 pour une atmosphère de 0",76. On trouve que la contraction apparente est égale à 40,5, ce qui donne pour la contraction réelle de cette eau 42,15 millionièmes. On sait d'ailleurs que la densité de l'eau de la mer varie dans les différents lieux et selon {a pro- fondeur à laquelle elle a été puisée; ainsi ce nombre ne peut être considéré que comme une mesure particulière, puisque de très- petites quantités de matières étrangères dissoutes dans Peau peuvent modifier beaucoup sa compressibilité. XIII. CARBURE DE SOUFRE. D'après plusieurs expériences Ia compression du carbure de soufre — 78 millionièmes environ à 0°; cependant nous ne donnons ce nombre que comme une approximation. Nous avons mesuré à diverses reprises la compressibilité de ce liquide, et ces différentes mesures nous ont offert des anomalies, qui ne nous permettent pas de fixer encore d’une manière précise la compres- sibilité spécifique de ce liquide. Son adhésion aux parois et Îles altérations chimiques qu’il éprouve contribuent à ces irrégularités. XIV. ESSENCE DE TÉRÉBENTHINE. Les expériences sur ce liquide ne peuvent être faites avec une irès-grande précision, parce qu'il adhère aux parois du tube par suite de sa viscosité, et qu'il n'arrive pas immédiatement au point que son extrémité doit atteindre. Nous avons réussi à neutraliser sensiblement cet effet, en fixant pendant très-longtemps le mano- 318 COMPRESSION mètre à 16, 18 et 24 atmosphères, jusqu'à ce que l'extrémité de la colonne demeurât parfaitement immobile. ESSENCE DE TÉRÉBENTHINE À 0°. — VOLUME PRIMITIF — 255,340 DEG. _— THERMOMÈTRE DU MANOMÈTRE À 8°. ATMOSPHÈRES DEGRÉS DIFFÉRENCES | DIFFÉRENCES | CONTRACTIONS de 0m,7466. de l'échelle. depression. |de contraction.| ne And Ré a — A 1 703 4 640 3 63 21 8 570 4 70 17 À 12 503 4 68 17 16 432 4 70 17 ! RETOUR. 16 432 12 502 3 70 17 = 8 571 4 69 17 4 641 4 70 17 1 704 4 63 21 En adoptant 17,33 pour contraction moyenne, on trouve 69,7 millionièmes pour la pression normale d’une atmosphère à 10° de 0°,76 de mercure. La contraction réelle est par conséquent — 71,35 millionièmes. DES LIQUIDES. 319 DEUXIÈME PARTIE. S L CHALEUR DÉGAGÉE PAR LA COMPRESSION DES LIQUIDES. Les phénomènes de chaleur qui résultent de la compression des corps ont attiré depuis quelques années l'attention de plusieurs géomètres et physiciens. La connaissance de ces phénomenes se lie aux questions les plus importantes de la physique, et pourrait conduire à des conséquences d'un haut intérêt sur la nature de la chaleur, et sur les rapports quiexistent entre ce fluide et les diffé- rents Corps. Ces recherches ont encore acquis une nouvelle importance pour les géomètres depuis que M. Laplace en a montré Fapplication à la théorie du son, et a prouvé qu'en tenant compte de la chaleur dégagée dans la compression de Fair on fait coïncider la formule mathématique du son avec les résultats fournis par l'expérience. Les phénomènes du dégagement de la chaleur par la compres- sion des gaz nous sont presque entièrement connus, grâce aux travaux de M. Gay-Lussac, de MM. Clément et Desormes et aux recherches plus récentes de MM. de Larive et Marcet. On doit à MM. Berthollet et Pictet des observations sur l’éléva- tion de température qui résulte de la compression des métaux dans le frappé des médailles; Rumfort et M. Morosi ont fait des recherches sur la chaleur dégagée par le frottement des métaux ; mais, vu l'extrême difhculté de ce genre d'expériences, il est bien peu probable que lon parvienne à des résultats bien précis. Quant au dégagement de {a chaleur qui semble devoir accom- pagner la compression des liquides, i n’a point encore été reconnu 320 COMPRESSION d'une manière directe; les seules expériences qui aient été faites jusqu'ici sur ce sujet sont celles de M. Desaigne et celle que M. Œrsted a consignée dans son mémoire sur a compressibilité de l'eau. Le premier a annoncé, dans une note insérée dans le Bulletin de la société philomatique, qu'il est parvenu à dégager de a lumière de plusieurs liquides, en les soumettant à une compression forte et subite. M. Œrsted dit (Annales de chimie et de physique, tome XXII) avoir essayé vainement de produire de Ta chaleur par une compression de Feau égale à 6 atmosphères. Il était dou- teux, d'après son expérience, que l'on pût parvenir à mesurer avec exactitude le dégagement de chaleur que doit produire la com- pression des liquides. IT fallait même, pour pouvoir espérer de la rendre sensible, employer un appareil où lon püt reconnaître de très-faibles degrés de chaleur, et qui fût capable en même temps de résister à des pressions et à des chocs considérables. Celui que nous avons adopté nous paraît satisfaire à la fois à ces deux con- ditions. IT consiste ( planche IT, figure 3) en un ballon de verre B, dont la capacité intérieure est d'environ = de litre, et dont les parois, épaisses de 25 à 35 millimètres, peuvent supporter des compressions rapides d’un grand nombre d'atmosphéres. Au centre de ce ballon est suspendue Ia spirale # d’un thermomètre de Bréguet ; une portion de cadran a, placée au-dessous, sert à mesurer les déviations de Faiguille. Ce thermomètre se trouve ainsi plongé dans une masse suflisante de liquide, et il est impos- sible que [a température de celui-ci puisse varier sans qu'on n'en soit averti à l'instant même. La résistance du liquide rend observation de ce thermomètre beaucoup plus facile qu'elle ne l'est dans les gaz, où les oscillations de Faiguille sont difliciles à observer. Le ballon ayant été rempli avec de Feau distillée, privée d'air par l'ébullition, nous l'avons vissé à une pompe de compression fixée solidement à un étau. Pour connaitre d'abord l'effet d'une compression lente sur la tem- pérature du liquide, nous nous sommes servis d’un tour à vis sans DES LIQUIDES. 321 fin F, adapté au cylindre de la pompe. En comprimant l'eau du ballon jusqu'à 36 atmosphères , nous avons observé une déviation de l'aiguille du thermomètre, mais en sens contraire de celle qu'aurait produite un accroissement de température, Cette dévia- tion était d'environ un degré de la division du thermomètre pour 12 atmosphères. Elle s'explique très-bien par linégale compressi- bilité des deux métaux qui le composent. N'ayant pas d'expérience précise sur [a mesure de la compressibilité du platine, nous ne pouvons décider si la déviation était exactement ce qu'elle devait être d'après l'inégale compressibilité de ce métal et de l'argent, ou si elle était diminuée par un très-petit accroissement de tempéra- ture. Cependant, si lon fait attention que pour le plus grand nombre des métaux, une différence de pression d'au moins 15 atmospheres ne produit qu'une contraction qui équivaut tout au plus au changement de volume produit par un abaïissement de température d’un seul degré, on en pourra conclure avec certitude qu'une compression lente de 36 atmosphères ne produit pas un changement de température d'un seul degré. Pensant que fa rapi- dité de la compression pouvait avoir quelque influence, nous avons supprimé Îa vis sans fin du tour, et nous nous sommes servis d'un levier L pour opérer cette compression. Par ce moyen, nous pouvions produire une pression de 30 atmosphères en moins d’un quart de seconde. Les déviations de l'aiguille ont été exactement les mêmes et dans le même sens que pour une compression plus lente. Cependant, comme cette compression ne pouvait pas étre considérée comme instantanée, nous avons fait des expériences semblables en faisant frapper sur le piston à coup de marteau. Indépendamment des légères oscillations imprimées à l'aiguille du thermomètre par l'action du choc, nous avons encore observé une déviation constante et négative, quoique les coups de marteau eussent été assez forts pour refouler beaucoup le métal à l'extré- mité de la tige du piston. En répétant ces expériences sur l'alcool, nous avons obtenu des résultats semblables ; seulement, la déviation nous a paru D, Ai 329 COMPRESSION moindre, et mémeles coups de marteau paraïssaïent occasionner une légère déviation en plus sur le thermomètre. L'éther sulfurique était le liquide Le plus propre à rendre sen- sible un dégagement de chaleur, puisque sa compressibilité est presque triple de celle de l'eau. En conséquence, nous avons rem- placé l'alccol par de V'éther à 64 degrés. Les compressions lentes de 30 et 36 atmosphères n’ont eu presque aucune influence sur le thermomètre ; Faiguille a paru presque stationnaire, et la contraction de l'hélice a été sensible- ment nulle ; ce qui indiquait que Îa chaleur dégagée devait être de 1 à 2 degrés. Mais lorsque nous avons substitué à ces moyens de compression le choc des coups de marteau, l'aiguille a indiqué une élévation moyenne de température d'environ 4 degrés du thermomètre, Nous avions déjà reconnu cette élévation de température dans des expériences précédentes, faites avec des pressions subites de 40 atmosphères, au moyen du même ballon auquel était adapté un récipient plein d'air comprimé $ (figure 4), muni d’un mano- mètre #2 et d’un robinet R, pour établir subitement la eommuni- cation ; les résultats que nous avions obtenus n'avaient pas différé beaucoup de ceux qu'ont produits les coups de marteau. Ce moyen a l'avantage d’occasionner une pression parfaitement déterminée, et qui ne varie point pendant l'expérience ; cependant, comme il est diflicile de comprimer l'air à de si hautes pressions, et que l'effort nécessaire pour ouvrir subitement le robinet agitait lai- guille presque autant que les coups de marteau, nous avons em- ployé préférablement la pompe de compression. Si l’on essaie des expériences analogues, en remplacant le thermomètre Breguet par de petits thermomètres à mercure très-sensibles, ouverts à leur extrémité supérieure , on observe presque constamment une élévation de a colonne capillaire, qui paraît indiquer des accrois- sements sensibles de température ; mais nous avons reconnu que cette élévation provient de linégale compression que supporte la boule au dedans et au dehors, parce que le frottement de la co- DES LIQUIDES. 323 lonne de mercure dans le tube capillaire empéche fa compression de se transmettre instantanément au liquide que contient la boule du thermomètre. Il nous paraît démontré par ces expériences, 1° que la tempé- rature de l'eau ne s'élève pas sensiblement par une compression subite de 40 atmosphères ; 2° que, pour l'alcool et l'éther sulfu- rique, une compression de 36 et 40 atmosphères, opérée dans plus d’un quart de seconde, n’élève pas leur température de plus d’un ou -deux degrés centigrades ; mais qu'une compression plus puissante , telle que celle que peut produire un coup de marteau, opérée sur l’éther sulfurique, dégage assez de chaleur pour élever sa température d'environ ‘quatre degrés centigrades. Nous donnerons à la fin de ce Mémoire une nouvelle preuve du peu de chaleur dégagée dans une compression rapide de l'eau, déduite de la comparaison de la vitesse du son, observée dans ce liquide, avec celle que donne la formule de MM. Laplace et Poisson, indépendamment de toute élévation de température. Cette comparaison nous offrira une vérification précieuse des expé- riences comprises dans cet article. Il est sans doute difficile de concilier en théorie ces résultats positifs avec les expériences de M. Desaigne; mais rien n’autorise à affirmer que la lumière , que ce physicien dit avoir observée dans ces liquides par des compressions très-puissantes, soit l'indice d'une haute élévation de température. H faut ranger ce phénomène dans la même classe que celui du dégagement de lumière produit ‘par la compression de quelques corps solides, des quartz, par exemple, qui, lorsqu’on les choque dans l'obscurité, paraissent lumineux, sans que pour cela leur température s'élève sensible- ment, lors même qu'on réitère plusieurs fois ce choc. 41 324 COMPRESSION $ II. RECHERCHES SUR L'INFLUENCE DE LA COMPRESSION SUR LA CONDUCTIBILITÉ ÉLECTRIQUE, Pour ces recherches (voyez planche IT, figure 5), nous avons pris des tubes de verre a b, Tongs d'environ 3 décimètres, fermés aux deux bouts ; aux extrémités a et b étaient soudés à a lampe des fils de platine communiquant à l'intérieur, et destinés à y faire passer le courant. La compression se transmettait au liquide con- tenu dans ce tube par le moyen d’un second tube d, soudé au mi- lien du premier et perpendiculairement à sa longueur, de manière à former une figure semblable à celle d'un 7. C’est au moyen de ce second tube qu'on remplissait l'appareil du liquide. On l'adaptait ensuite à une pompe de compression € D, munie d'un mano- mèétre 71 m. Au moyen de cet appareil, le liquide qui transmettait le courant pouvait être comprimé sans qu'aucune cause autre que Îa com- pression püt influer sur sa conductibilité. Pour avoir un courant d'une intensité sensiblement constante pendant le temps nécessaire pour une expérience, nous avons employé une pile à auges P, chargée avec de Feau pure ou légèrement salée. Une des extré- mités correspondait à un galvanomètre g à deux aiguilles, dont le fil se trouvait compris dans le circuit. On réglait d’abord la pile de manière qu'en complétant le circuit avec le liquide introduit dans le tube, la déviation du galvanomètre fût au moins de 15 degrés plus faible que celle qu'on obtenait en le complétant avec du mer- cure. On était donc sûr que cette diminution de 15 degrés était due à limparfaite conductibilité du liquide soumis à l'expérience, et qu'elle était suflisante pour que l'on püût apprécier de très-petites différences de conductibilité. En effet, nous nous servions d’un galvanomètre dont Taiguille supérieure portait un fil de verre très- DES LIQUIDES. 325 fin qui mesurait les déviations sur un arc de cercle de trois pouces derayon, et donnait très-facilement des quarts de degrés. Un de nos appareils ayant été rempli d'eau distillée, on y fit passer un courant qui fit dévier l'aiguille de 22 degrés. En suppri- mant cette colonne d'eau intermédiaire, et la remplaçant par du mercure , la déviation s’éleva à 76°. Dans ce cas, la différence de déviation due au peu de conductibilité de l'eau était de 54°. Voici le tableau des déviations observées pour des pressions de 5, 10, 20, 30 atmosphères : ATMOSPHÈRES: DEGRÉS DE DÉVIATION. ES 1 5 10 20 el k D Bu > < a 30 On voit par ce tableau que le rapprochement des molécules de l'eau, dû à la compression de liquide, n'a pas une influence bien sensible sur sa conductibilité. La différence de déviation d’un quart de degré est trop petite pour qu’on puisse en conclure avec certi- tude une variation de conductibilité. Ce résultat mérite d'autant plus d'être remarqué, que ces 30 atmosphères produisent une contraction équivalente à celle que produirait un abaissement de température de 3 degrés, et qu'une telle diminution de chaleur fait varier sensiblement la conductibilité de l’eau. Une expérience semblable, faite avec une dissolution concentrée d'ammoniaque , a donné le même résultat, c'est-à-dire que la dé- viation du galvanomètre était sensiblement la méme lorsque le cou- rant traversait ce liquide comprimé ou non comprimé. 326 COMPRESSION En faisant passer le courant au travers d’une Iongue colonne de mercure contenue dans unitube capillaire, nous n'avons pu éga- lement obtenir aucune variation de conductibilité. Il n'en a pas été de même pour facide nitrique. Nous avons trouvé, en le com- primant ; que la déviation de l'aiguille diminue, d'une quantité notable ; comme le montrent les résultats suivants déduits de trois expériences. ATMOSPHÈRES. | DEGRÉS DE DÉVIATION. S b = a E LA a a s] z Lorsqu'on supprimait la colonne d'acide nitrique, et qu'on la remplaçait par une goutte de mercure, Îa déviation s'élevait à 63°. La différence de 16° provenait par conséquent de la conductibilité imparfaite de l'acide nitrique. La diminution de conductibilité dans cet acide, lorsqu'il est soumis à de fortes pressions, ne nous paraît pas provenir de Fobstacle que pourrait opposer au passage de l'électricité le rapprochement de ses particules ; puisque, dans les liquides ‘plus compressibles, tels que l'eau pure et l'eau saturée d'ammoniaque ; ce rapprochement n'influe pas surla conductibi- lité. I nous semble que ce phénomène doit étre attribué à une autre cause, C'est-à-dire au changement que l'accroissement de pression produit dans la force d'affinité des éléments du liquide. On ne peut expliquer plusieurs phénomènes de conductibilité dans les: corps liquides , par exemple, le peu d'intensité d’un courant qui passe à travers de l'eau pure; «et l'accroissement considérable DES LIQUIDES, 327 de cette intensité par Faddition d'une très-petite quantité d’un acide; d’une base ou d’un sel soluble, qu'en admettant, avec plu: sieurs chimistes et physiciens célèbres, que cette: transmission du courant s'opère par une suité de compositions et de décompo- sitions successives. Il ya, sans doute, dans tous les cas, une por- tion de l'électricité qui est transmise par le corps liquide, indé- pendamment de toute action chimique. Ainsi, dans le mercure, on ne peut soupconner aucune composition et décomposition pos- sible. L'eau parfaitement pure conduit l'électricité à haute tension, sans aucune séparation de ses éléments. Mais, pour des liquides non métalliques, et lorsque la force électro-motrice qui produit le Courant n'a qu’une faible tension, la plus grande partie de l'élec- tricité se transmet à travers le liquide par le transport des molé- cules électro-positives et électro-négatives. La facilité de décompo- sition doit alors influer d’une manière puissante sur l'intensité du courant, et cette intensité diminuera si une nouvelle cause vient mettre obstacle à Ia séparation des éléments. I nous paraît pro- bable que c’est à cette cause que tient la diminution que nous avons observée dans la déviation du galvanomitre, lorsque lacide ni- trique, qui transmettait l'électricité, était soumis à de fortes pres- sions. En effet, il a été bien établi, par les recherches de M. Hall et plusieurs autres qui ont été faites depuis, qu’une forte pression diminue ou empêche la décomposition d'un grand nombre de substances, surtout lorsqu'elles contiennent des éléments gazeux. Il est donc possible que la décomposition rapide de l'acide nitrique par le courant de la pile ait été ralentie par la compression, et qu’il en soit résulté une diminution dans l'intensité du courant. Si telle est réellement la cause de cette diminution de conductibilité dans l'acide nitrique comprimé, il est probable que le même phénomène a lieu pour l'eau distillée ou chargée d'ammoniaque, mais que, vu son peu de conductibilité la différence ne peut être mesurée. De l'observation générale des principaux faits mentionnés dans cet article nous croyons pouvoir conclure qu'une pression de 30 atmosphères ne change pas d’une manière sensible la conducti- 328 COMPRESSION bilité électrique du mercure d'une solution concentrée d’ammo- niaque et de l'eau distillée ; qu'elle produit une diminution dans la conductibilité de acide nitrique, et que cet effet peut s’expli- quer par l'obstacle que fa pression oppose à sa décomposition, DES LIQUIDES. 329 TROISIÈME PARTIE. K I. VITESSE DU SON DANS LES LIQUIDES. On sait depuis longtemps que le son se transmet à travers les corps solides et liquides, comme dans l'air et dans les fluides aéri- formes. La connaissance du degré de compressibilité de l'eau ou de tout autre liquide donne le moyen de déterminer Îa vitesse avec laquelle le son doit s'y propager. MM. Young et Laplace ont signalé cette application importante. Ils ont donné la formule à laide de laquelle, connaissant le degré de contraction qu'éprouve un liquide pour un accroissement donné de pression, on peut calculer la vitesse de la propagation du son dans une masse indé- finie de ce liquide. On calcule également par la même formule la vitesse du son dans les corps solides, pourvu que fon connaisse la contraction qu'éprouve leur volume pour une pression donnée. M. Poisson a traité cette question dans un savant mémoire qui fait partie de ceux de l'Institut pour 1819 (pages 396-400 ). On y trouve la démonstration développée de la formule dont ül s'agit. La théorie étant aussi complète qu'elle peut l'être, il ne restait plus qu’à la comparer avec l'expérience, soit afin de vérifier lune par l'autre, soit afin de découvrir la différence qui pouvait exister entre elles. Nous avons donc entrepris une suite d'expériences sur la vitesse du son dans l'eau, seul liquide où de telles expériences soient possibles, dans le dessein de comparer la vitesse observée avec la formule théorique qui doit Ia représenter. On verra plus loin le détail de nos moyens d'expériences et de LE D, 42 330 COMPRESSION nos résultats; mais avant de les exposer, il nous parait conve- nable de rappeler sommairement les points principaux de la théorie du son , et particulièrement la formule qui sert à calculer sa vitesse dans les substances liquides ou solides. Newton est, comme on sait, le premier qui ait recherché les lois de la propagation du son dans atmosphère. MH considère une ligne indéfinie de molécules d'air, et suppose qu'une portion de petite étendue de cette ligne d'air soit primitivement ébranlée ; il montre que cet ébranlement se propage de proche en proche dans toutes les tranches de [a colonne d’air, comme on voit se faire la communication du mouvement dans une série de billes élastiques, et il détermine le temps que cet ébranlement, qui produit la sen- sation du son, emploie à parvenir à une distance quelconque de son origine. [ trouve que la propagation du son est uniforme, et que la vitesse de cette propagation supposée horizontale, ou l'es- pace que le son parcourt dans chaque seconde sexagésimale, a pour valeur la racine carrée du double produit de la hauteur dont da pesanteur fait tomber les corps dans la première seconde, par la hauteur d'une colonne d'air qui ferait équilibre à la colonne de mercure du baromètre, et qui aurait partout la même densité qu'au bas de Îa colonne. | Lagrange, Euler, Laplace et M. Poisson ont ensuite déduit cette même expression de la vitesse du son des équations analy- tiques aux différences partielles qui représentent le mouvement de l'air, soit dans une colonne cylindrique d'une Jongueur indéfinie , soit dans une masse d'air illimitée, En étendant leurs recherches au cas où le mouvement de Pair se fait suivant deux ou trois dimensions, ils ont trouvé que, quoique l'intensité du son décroisse alors avec la distance, sa vitesse est la même que dans le cas où ce mouvement n'a lieu que suivant une seule dimension. H résulte de cette théorie que chaque vibration d'une particule d'air produit dans la masse une onde sonore de figure sphérique, d'une épaisseur très-petite, qui se compose de toutes les molécules d'air en mouvement dans un DES LIQUIDES. 331 instant donné, et qui s'éloigne indéfiniment du centre d'ébranle- ment. Le rayon de cette onde croît proportionnellement au temps écoulé, et c’est son accroissement constant dans l'unité de temps qui mesure la vitesse de propagation du son. H existait cependant une différence notable entre [a vitesse du son dans l'air déduite de cette théorie et celle qui résulte des expé- riences. Les physiciens, en très-grand nombre, qui ont mesuré directement cette vitesse, se sont accordés à la trouver plus grande que la vitesse calculée, tellement que la différence s'élève à 1 16 de la valeur observée. IL serait inutile de rappeler toutes les hypothèses qui ont été faites pour concilier sur ce point le calcul et l'observation. On doit à M. Laplace la véritable explication de cette différence. Elle doit être attribuée à l'accroissement d’élasticité des molécules d'air produit par le dégagement de chaleur qui accompagne leur compression. En y ayant égard, on détermine la quantité de chaleur rendue sensible dans la production du son employée à augmenter l'élasticité de l'air. M. pes a fait voir que si la com- pression ou la dilatation est de ——, la température doit s'élever ou s'abaisser d'un degré centésimal. Enfin M. Laplace est parvenu à un théorème qui ne laisse plus rien à désirer sur la certitude de son explication. Il a trouvé que la vitesse du son est égale au produit de la valeur que donne la formule de Newton; multipliée par Ja racine carrée du rapport de la chaleur spécifique sous un volume constant. Ce rapport est un nombre plus grand que l'unité. Pour le déterminer, M. Laplace à fait usage des expériences de M. Gay-Lussac et Welter. La formule de Newton ainsi modifiée s'est trouvée à peu près d'accord avec la vitesse réelle donnée par l'observation. Le calcul de la vitesse du son et les lois de sa transmission dans les liquides et les solides sont presque les mêmes que dans l'air. I suffit pour notre objet de rapporter ici la formule qui représente la vitesse du son dans un liquide. Soit D la densité d'un liquide, K la longueur d’une colonne 42° 3392 COMPRESSION cylindrique de ce liquide sous une pression connue, £ la petite diminution de cette longueur pour un accroissement donné de pression P, la vitesse du son dans ce liquide étant désignée par a sera donnée par la formule suivante : De Supposons que lon prenne pour P une pression égale au poids de 76 centimètres de mercure, on aura B =\(07,26)ug em, m désignant la densité du mercure et g' la force accélératrice de la pesanteur ou le double de la hauteur dont elle fait tomber les corps dans fa première seconde. La seconde étant prise pour unité de temps, on a g —= 9°,8088: La vérification de ces formules appliquées aux substances liquides et solides exige des expériences très-précises. La terre n'offre pas des masses solides d’une continuité et d’une homogénéité suffisantes pour des expériences de cette nature; if n'est pas pro- bable qu'on parvienne jamais à vérifier en grand les calculs de vitesse relativement aux solides. Les expériences de M. Biot sur la transmission du son par les tuyaux en fonte de fer ont bien appris que sa vitesse surpasse de beaucoup celle de sa transmission par l'air; mais comme le son lui parvenait en moins d'une demi- seconde, on n'en pouvait déduire qu'une évaluation très-incer- taine, qui ne pouvait être regardée comme suflisante pour la véri- fication de la formule. L'eau nous paraît le seul corps où de telles expériences puissent être faites avec exactitude : il a été reconnu que ce liquide transmet DES LIQUIDES. 333 les sons à de très-grandes distances. Franklin s'était assuré que le bruit de deux caïlloux choqués sous l'eau est encore sensible à plus d'un demi-mille. IH ne paraît pas cependant qu'il ait songé à en mesurer la vitesse. La seule expérience qui ait été faite jusqu'ici sur fa vitesse du son dans un corps liquide est due à M. Bcudant ; elle a été faite dans l'eau de la mer, près de Marseille, il y a peu d'années. Voici sur cette expérience quelques détails cui ce savant a bien voulu nous communiquer. Les deux observateurs, éloignés fun de fautre d’une distance connue, étaient munis de montres réglées et cheminant exacte- ment ensemble; au moment fixé, celui qui devait produire le son élevait un drapeau et frappait en même temps sur un tnnbre placé sous l'eau. L'observateur placé à l'autre station était accompagné d'un aïde qui nageait près du bateau, entendait le son, et indiquait par un signe le moment où il lui parvenait. On avait ainsi la me- sure du temps que Île son mettait à parcourir l'intervalle des deux stations : cette mesure n'était pas rigoureusement exacte, parce que la personne placée sous l’eau ne pouvait pas donner son signal à l'instant même où le son lui parvenait. M. Beudant a conclu de ses expériences que Îa vitesse du son dans l'eau de mer doit être de 1,500 mètres par seconde; mais ses diverses expériences lui ayant présenté des différences sensibles, il n’a donné ce résultat que comme une moyenmg. I est probable que la vitesse réelle ne diffère pas beaucoup de cette moyenne, qui paraît s'accorder assez bien avec la théorie. Mais pour pouvoir établir d'une manière certaine cette compa- - raison, il fallait nécessairement avoir une mesure parfaitement exacte, et de plus déterminer rigoureusement la densité et la compréssibilité du liquide à la température même de l'expérience. Nous avons donc pensé à reprendre avec soin et en grand ces mesures, pour lesquelles l'eau d’un lac nous a paru convenable, comme donnant immédiatement la vitesse du son dans l’eau pure. Dans ce but l'un de nous (M. Colladon ) se rendit en Suisse, 334 COMPRESSION au mois d'octobre 1826, pour entreprendre, sur le fac de Genève, une série d'expériences sur la propagation du son dans l'eau pure, et pour déterminer la vitesse de cette transmission, qui n’avait point encore été mesurée. On fit d'abord quelques essais (1) pour déterminer le meilleur moyen de produire dans leau des sons qui pussent être entendus à de grandes distances; on essaya successivement l'explosion d'une poudre fulminante, des chocs violents sur une enelume entièrement plongée, et enfin des coups frappés avec un marteau sur une cloche suspendue dans l'eau : ce dernier moyen fut reconnu préférable. Chaque coup frappé sur cette cloche produisait un son très-bref, qui avait un timbre métallique facile à distinguer. Ce bruit se transmettait très-faiblement à l'air environnant, et à 200 mètres on ne lentendait déjà plus; à cette distance on aurait en vain cherché à le distinguer en se rapprochant de la surface du lac, ou même en mettant l'oreille en contact immédiat avec cette surface. Cependant lorsqu'à cette même distance on plongeait la tête entièrement dans l'eau, on entendait trés-distinctement chaque coup; en s'éloignant davantage le bruit conservait encore assez d'intensité pour qu'on püt le distinguer jusqu’à 2,009 mètres. Ce bruit entendu sous l'eau paraissait aussi net et aussi bref que celui qu'auraient produit deux clefs ou deux lgmes de couteau frappées fortement lune contre l'autre; il avait exactement la même na- ture dans tous les points intermédiaires, et cette ressemblance était telle qu'il semblait toujours en écoutant que les coups étaient frappés à une très-petite distance. C'est de cette manière que furent faites les premières tentatives pour oBtenir une mesure de la vitesse du son (2). La personne (4) M: Sturm n'ayant pas pu m'accompagner à Genève pour m'aider dans ces expériences, j'ai dû faire en mon nom seul Le récit de ces recherches sur la propagation du son. D.C. (2) J'ai fait mes premières expériences avec l'aide de M. A. de Candolle, près de la cam- pagne de son père, située au bord du Jac. Ces expériences se faisaient la nuit et étaient fort pénibles. Je dois exprimer ici ma reconnaissance aux personnes qui ont bien voulu me se- conder dans ces essais, et particulièrement à mon père et à MM. De Candolle, E. Melly et H. Darier. DES LIQUIDES. 335 qui écoutait, ne pouvant apercevoir les signaux, communiquait à un second observateur l'annonce du bruit; celui-ci notait sur un chronomètre l'intervalle écoulé entre l'apparition des signaux des- tinés à fixer l'instant du coup et l'arrivée du son. Ce procédé n'était pas très-exact ; l'intermédiaire chargé d'entendre le son ne pouvait l'annoncer avec assez de promptitude pour qu'il n'en résultât pas quelques erreurs. Ces erreurs étaient d'autant plus fâcheuses que la plus grande distance à laquelle on pouvait distinguer les coups de cloche n'était que de 2,500 mètres, et cet espace était par- couru par le son en moins de deux secondes. Ces difficultés me suggérèrent Fidée de chercher un moyen dif- férent pour écouter les sons dans leau; quelques essais me firent découvrir un appareil que je crois nouveau, et qui m'a servi à répéter ces expériences à la distance de 14,000 mètres. Avant de décrire la forme de cet instrument, je crois devoir ‘expliquer brièvement le principe sur lequel repose sa construction. Nous avons dit que les ondes sonores transmises par le liquide ne se communiquent à l'air que dans le voisinage de la cloche; lorsque la direction de ces ondes vient rencontrer la surface sous un angle très-aigu, elles se réfléchissent dans l’intérieur de la masse liquide sans communiquer aucun ébranlement sensible à fair qui touche cette surface. 1 Il me parut probable que si lon pouvait interrompre Ia conti- nuité de cette masse en y introduisant un vase métallique à parois très-minces et plein d'air, le gaz contenu dans cette enveloppe pourrait recevoir et transmettre au dehors le mouvement vibratoire propagé dans le liquide. L'appareil que j'ai fait construire sur ce plan m’a donné des ré- sultats très-remarquables. Je me suis servi dans mes premiers essais d'un simple tube en fer-blanc de forme prismatique; ce tube avait environ trois mètres de longueur et quinze centimètres de côté; il était fermé par le bas, et le fond portait un anneau auquel on suspendait un poids suffisant pour faire plonger l'instrument de deux mètres; l'extrémité supérieure était ouverte et s'élevait à un 336 COMPRESSION mètre au-dessus de leau. Lors de la première expérience avec cet instrument j'étais éloigné de la cloche de plus de deux mille mètres; quand les coups furent frappés, on entendit très-distinc- tement le bruit sortir du tube, et l’on aurait pu croire que ce bruit provenait du choc d’un petit corps métallique contre le bas du tube; et il était assez fort pour qu'on püt l'entendre à distance, et à plus de deux mètres de lorifice on distinguait encore chaque coup. J'ai cherché à perfectionner cet appareil, et j'aiadopté pour mes derniers essais la forme qui est figurée dans la figure 2 , planche I; les détails de l'instrument sont aussi représentés dans les figures 3, 4 et 5 de [a même planche; les mêmes lettres désignent dans ces figures les mêmes parties; {a figure 2 représente l'instrument tel qu'il était placé pour les expériences; il se compose d’un long tube cylindrique en fer-blanc TT, recourbé à la partie supérieure et ter- miné par un petit orifice |, auquel on appliquait l'oreille. Dans Ia partie inférieure le tube se recourbe également, mais il s'évase beaucoup comme une cuiller, et son embouchure est entièrement fermée par le plan de fer-blanc MM, dont on voit la coupe dans la figure 5. Cet instrument augmente tellement fa sensation du son que le bruit d’un coup de cloche entendu dans cet appareil à quatorze mille mètres me paraissait aussi intense que le méme bruit entendu à deux cents mètres en s'immergeant simplement la tête. IL est fort probable qu'en lui donnant de grandes dimensions il pourrait 5 servir à communiquer sous l’eau à une distance considérable (1). (1) Dans l'appareil dont je me suis servi, ce plan avait à peu près vmgt décimètres carrés et le tube cinq mètres de longueur; [a cloche pesait soixante-cinq kilogrammes. Je suis convaincu qu'en employant une cloche plus grosse et en perfectionnant ou agrandissant l'appareil pour écouter, on arriverait à communiquer facilement, sous l'eau d'un lac ou de la mer, à quinze ou vingt lieues, La possibilité d'entendre à cette distance des coups frappés sur une cloche même aussi petite que celle dont nous nous sommes servis peut être en quelque sorte démontrée par la supposition de plusieurs tubes semblables à celui de fa fi- gure 2, qui viendraient aboutir à lorifice I, et multiplieraient ainsi l'intensité du son.Je dois faire observer que lon n’entendrait absolument rien, si l'instrument n’était pas fermé et en— tièrement plein d'air; je m'en suis assuré par plusieurs expériences. On aurait pu croire que DES LIQUIDES. 397 Ayant reconnu la possibilité d'entendre le bruit à quelques lieues, j'entrepris de nouvelles expériences sur la vitesse du son, en prenant pour points de station les deux petites villes de Rolle et Thonon, situées sur les deux rives opposées du lac, dans l'endroit de,sa plus grande largeur (voyez planche IV). La distance de ces deux villes est d'environ quatorze mille mètres (1). Cette position était très-favorable pour ces mesures ; la distance comprise entre ces deux villes peut être vérifiée exactement en la rattachant à celle de Genève à Langin, qui a servi de base pour la triangulation de la vallée du Léman; la profondeur moyenne de l'eau est très-grande éntre ces deux rives. Le fond a de chaque côté une pente à peu près égale, et il n'existe aucun bas-fond inter- médiaire qui puisse intercepter le son. La planche IV représente en RT une coupe du lac entre ces deux points. Cette coupe, dont l'échelle est double de celle de fa carte, a été tracée d'après les indications de sondage faites par M. de la Bèche, et insérées dans la Bibliothèque universelle tome XIT. La profondeur moyenne du lac entre Rolle et Thonon est de cent quarante mètres; on ne trouve d’ailleurs dans cet intervalle aucune trace de courant; l'eau -y'est d’une transparence remarquable et n'est point troublée par l'agitation des vagues. On fut obligé de faire quelques modifications aux moyens em- ployés précédemment pour indiquer Pinstant où lon frappait sur la cloche. La courbure du lac entre les deux stations avait une flèche le bruit s'entendrait dans une cloche à plongeur ; cependant j'ai fait à Rouen, en 1830, avec l'assistance de MM. Descroizelle, Pérot et Couvant, ingénieur des ponts, des essais qui ne m'ont donné aucun résultat satisfaisant. Dans un moment où les eaux de Ia Seine étaient par- faitement calmes et fe courant sensiblement nul, des coups frappés sur une cloche de méme grosseur que celle dont je m'étais servi sur Île lac de Genève ne s'entendaïent pas à la dis- tance de deux on trois cents mètres, quoiqu'on eût arrété les pompes à air pour éviter le bruit. Il est probable que cet effet singulier doit étre attribué à l'épaisseur des parois. Celles de la cloche à plongeur où nous étions étaient en fer fondu et avaient à peu près douze centimètres d'épaisseur. (1) Cette distance est à peu près a moitié de celle de Montihéry à Montmartre, qu'ayaient choïsie les académiciens francais, en 1738, pour mesurer la vitesse du son dans l'air. Ho 43 338 COMPRESSION d'environ dix mètres, et de Fun de ces points on ne pouvait aper- cevoir les objets placés à l'autre bord près de la surface de l'eau. On parvint à surmonter cette difheulté en faisant usage de signaux de poudre; la flamme de cette poudre ne sapercevait pas depuis l'autre station, mais cette lumière subite produisait un éclair très- distinct, qui paraissait s'élever à plusieurs degrés au-dessus de l'horizon toutes les fois que la quantité brülée dépassait cent cin- quante grammes, Cette poudre prenait feu à l'instant même où le marteau attei- gnait a cloche. Le mécanisme très-simple employé dans ce but est représenté en détail dans la planche IF, figure 1. À , bateau qui porte la cloche. Cette cloche € est suspendue par une chaîne c, elle plonge à quinze décimètres sous la surface de l'eau. La chaîne passe sur une poulie, afin que l'on puisse faire varier [a hauteur de suspension de la cloche. . Le marteau M, destiné à frapper sur cette cloche, est fixé au bout d'un long levier m' à m, courbé en équerre, et quitourne en a autour d'un axe fixe. La partie horizontale am sert de poignée pour frapper. A cette poignée est fixée en K une petite corde, qui passe ensuite sur une poulie de renvoi Q, et va s'attacher à une autre poulie plus petite R. Ainsi, quand on abaisse la poignée am pour frapper la cloche, la poulie R tourne par la traction de la corde. À l'extrémité de la poutre HH', sur laquelle ce mécanisme est fixé, et près de la poulie R est une petite plaque horizontale F, sur laquelle on verse la poudre qui doit servir de signal. Au mo- ment de l'expérience on fixe à la poulie R un bout de lance à feu allumé //, et quand on frappe, cette lance s’abaissant sur le tas de poudre Fenflamme subitement. Les expériences faites par ce pro- cédé ont acquis une telle régularité que dans les due ou cinq dernières séries de mesures Îa plus grande différence n'a jamais dépassé une demi-seconde (1). (1) Dans toutes les expériences faites entre Rolle et Thonon, nous avons constamment opéré d'après la marche suivante pour ces mesures; nous avions à chaque station des chro- nomètres qui marchaient ensemble, de quinze minutes en quinze minutes on faisait une DES LIQUIDES. 339 J'étais assis à l'autre station, 14-face tournée du côté de Ja cloche et la tête appuyée contre l'orifice I du tube, qu'un aide maintenait dans ‘cette position; j'avais ainsi l'usage de'mes deux mains pour tenir et arréter le chronomètre , et je pouvais observer avec facilité les signaux de poudre et d'arrivéé du son. Le chronomètre dont je me suis servi était à quart de seconde, et avait une détente très-légère; au moment du feu on pressait la détente pour faire marcher l'aiguille, et on l'arrétait à l'arrivée du son. L'espace parcouru sur le cadran indiquait le temps que le SOn avait mis à arriver. IH s'écoulait nécessairement une petit intervalle entre le mo- ment où je voyais la lumiere et celui où je touchais la détente. Il Y avait aussi un retard semblable après a sensation du son ; mais ce second retard devait être un peu moindre, et voici Pourquoi : si l'on veut opérer un mouvement à un signal déter- miné, il ÿ a toujours un intervalle de temps entre la sensation reçue et l'action qui en est fa suite, et ce temps est d'autant plus long que l'apparition du signal est plus difficile à prévoir. Dans mes expériences Îa préparation de la poudre et de Ia lance à feu exigeait quelques précautions. La personne chargée de frapper la cloche donnait rarement le coup à linstant convenu, et la lumière n''apparaïssait presque toujours d'une manière inatten- due ; tandis que le son, arrivant régulièrement après le signal de poudre, était facilement prévu, surtout dans les dernières expé- riences. Je suppose donc que les temps observés sur le chrono- mètre pour Ja transmission du son sont un peu trop courts d’une quantité très-petite qu'on ne pourrait évaluer, mais qui ne doit point dépasser un quart de seconde. Les deux stations avaient été prises dans la direction d’une ligne droite menée du clocher de Thonon à l'une des tours du expérience. Pour éviter que Île bruit de {a cloche ne pût se confondre avec des bruits étran- gers, on frappait toujours trois coups de suite à un intervalle d’une seconde ; 1es deux der niers servaient seufementà vérifier fa nature-du bruit, et n'étaient accompagnés d'aucune Jumière, J'ai supprimé dans les séries toutes les expériences dans lesquelles {e coup principal n'avait pas été suivi du bruit des deux coups additionnels. 43* J / 340 COMPRESSION château de Rolle; chaque bateau était fixé à deux cents mètres du bord. On a fait entre ces deux distances plusieurs expériences à des jours différents; nous rapporterons seulement les trois dernières séries qui sont les plus régulières. TEMPS OBSERVÉS. ro 7 NOVEMBRE. 15 NOVEMBRE. 18 NOVEMBRE. On voit par ce tableau que le temps écoulé entre Papparition DES LIQUIDES. 341 de la lumière et l'arrivée du son était plus grand que 9" et plus petit que 9" 1/2 ; sa valeur moyenne est un peu au-dessus de 9 1/4. Si nous évaluons à moins d’un quart de seconde la petite erreur dont nous avons parlé plus haut, nous pourrons adopter 9°,4 pour le temps que le son mettait réellement à venir d'une'station à l'autre. Comparons maintenant ce temps avec la distance des deux sta- ‘tions. La seule mesure connue de cette distance avait été prise par MM. de Saussure et Pictet, qui avaient trouvé 7,330 toises ou 14,237 mètres pour la distance du clocher de Thonon à la tour de Rolle, N'ayant pu me procurer les résultats mêmes de leur triangulation, et désirant vérifier Fexactitude de ce nombre, fai prié M. J. Mayer de Genève, ingénieur géographe très-habile, de vérifier cette mesure, en prenant pour base la distance de Ia tour Saint-Pierre de Genève à la tour de Langin, située au pied de fa montagne des Voirons, distance qui a été mesurée à deux époques différentes, avec un très-grand soin, pour servir à une tr iangulation de la vallée du Léman. Le premier triangle comprenait Genève, Langin, Rolle; le se- cond Langin, Rolle et Thonon. Cette mesure directe a donné 14,240 mètres pour la distance du château de Rolle au clocher de Thonon. Le château de Rolle est situé sur le bord même du lac; quant au clocher de Thonon, sa projection est éloignée du bord de 353 mètres, ce qui donne 13,887 mètres pour la distance des deux rives. En retranchant 400 mètres pour les distances des deux bateaux aux deux rives, on a 13,487 mètres pour la distance des deux stations, Ce nombre peut être regardé comme exact à moins de 20 mètres près, Le temps que le son employait à parcourir cet espace était à très-peu près de 9,4, comme nous l'avons dit plus haut. En di- visant l'espace 13, 487 mètres par le temps 9",4, on aura Îa vitesse du son, ou l’espace qu'il parcourt dans une seconde. On trouve ainsi 1,435 mètres pour [à vitesse réelle du son dans l’eau (1). (1) Pour apprécier jusqu'a quel point ce nombre peut étre exact, faisons observer que, si 342 COMPRESSION Avant de discuter les résultats de ces mesures pour les com- parer à ceux du caleul, je rapporterai sommairement quelques observations que jai pu faire pendant le cours de ces ‘expé- riences. La première remarque sur laquelle j'aï déjà insisté précédem- ment est relative à la ressemblance remarquable des sons entendus dans l'eau à des distances très-différentes. Le bruit des coups était aussi net et aussi bref à treize mille mètres qu'à cent mètres de la cloche ; il aurait été impossible de discerner un coup fort entendu à la première distance d'un choc plus faible écouté de près, On sait qu'il n'en est pas de même dans fair: à mesure que lon s'éloigne du corps sonore, le son diminue d'intensité, mais en même temps il change de nature, il devient plus sourd, plus prolongé. Des coups frappés à très-petits intervalles produisent , lorsqu'ils sont entendus de loin, le même eflet qu'un bruit contmu; dans l'eau au contraire l'intervalle entre les coups reste le même, quelle que soit la distance qui sépare la cloche de l'observateur. Cette différence remarquable s'explique par la nature des ondes sonores transmises dans l'eau. Le calcul indique en effet que dans le mouvement vibratoire d'un corps fluide, la durée de l'agitation d’une particule est égale au rayon de la portion sphérique du fluide, que on suppose pri- mitivement ébranlée à l'origine du mouvement, divisée par la vi- tesse de transmission du son. La première de ces deux quantités est nécessairement plus petite dans l’eau que dans Fair; la seconde au contraire est plus grande; ainsi la durée de la sensation d’un l'on prenait pour Ia distance des deux stations 13,500 mètres, nombre que je croistrop fort, et pour la durée de Ia transmission du son 9” 1/4, nombre trop petit; on aurait pour la vitesse la plus grande valeur qu'on puisse supposer, savoir 1,459 mètres; mais cette quan- tité est certainement trop grande, Sr au contraire on prenait {a plus petite valeur pos- sible pour la distance, c’est-à-dire 13,386 mètres moins 20 ou 13,366 mètres, et pour le temps sa plus grande valeur 9,5, on aurait {a plus petite valeur possible de la vitesse, savoir 1,417 mètres, On voit, par {a détermination de ces limites, que si la vitesse véritable n'était pas égale à, 1,435 mètres, elle ne pourrait pas du mains différer de ce nombre; soit en plus, soit en moins, de plus de 24 mètres; de sorte que l'erreur possible dans cette expé- rience ne peut pas s'élever au-dessus de 1/60 de la valeur véritable, DES LIQUIDES. £43 son doit être en général plus courte quand il est transmis par l'eau que quand il se propage dans l'air. Cette brièveté des sons propagés sous l'eau les rend si faciles à distinguer, qu'après quelques expériences le bruit du vent ou l'agi- tation de l'eau ne m'empéchait pas d'entendre Îles coups de cloche, de même que le bruit d’un sifflet se distingue dans une tempête. | L'expérience du 18 novembre citée plus bas a été terminée par un vent très-fort; le lac, qui était d’abord parfaitement calme, devint fortement agité, et lon fut obligé de maintenir le bateau par plusieurs ancres ; cependant, malgré le bruit des vagues, qui frappaient le tube et les flancs du bateau, je pus prendre encore plusieurs mesures, qui n’ont point différé de celles que j'avais ob- servées précédemment. Je terminerai cette digression par une troisième remarque sur l'influence remarquable des écrans interposés entre la cloche et le tube pour diminuer l'intensité du son. Voici l'expérience qui a donné lieu à cette observation. Pendant une suite d'essais que je fis avec M. A. de Candolle, nous avions choisi pour la cloche et le tube deux stations d'un même côté de la rive du lac et près de cette rive. Dans l'intervalle il y avait un mur qui s'avançait per- pendiculairement dans le lac à douze ou quinze mètres ; quand la ligne droite qui joignait les deux stations passait au delà de ce mur, le son était très-intense; mais quand cette ligne rencontrait le mur, méme très-près de son extrémité, d'intensité du son dimi- nuait aussitôt. Cette différence offre un point de rapprochement curieux entre la Propagation des sons dans l’eau et celle de la lu- mière dans les milieux transparents. Je terminerai ces observations en faisant remarquer combien cette facile transmission du son dans l'eau justifie les idées théo- riques que lon s’est formées sur la constitution de ce fluide et sur sa parfaite élasticité, Le travail dépensé pendant moins d’une seconde par la personne qui frappait la cloche produisait un choc qui se transmettait suc- cessivement à une masse d’eau énorme, dont toutes les molécules 344 COMPRESSION subissaient à leur tour l'impression de ce choc. La quantité d'eau qui, dans ces expériences, avait dû recevoir successivement un mouve- ment capable d'agir sur nos organes ne peut être évaluée à moins de 50,000: milliards de kilogrammes. C’est un des exemples les plus frappants que on puisse citer de la vérité expérimentale du principe -de la transmission des forces vives Le jour de l'expérience du 18 ME ae je m'étais fait conduire entre les deux stations pour prendre la température de Feau en dif- férents endroits de la largeur du lac, à la profondeur de trois: et six mètres; au moyen d'un thermomètre dont la boule était recouverte de cire ; je trouvai la température partout la même à ces deux pro- fondeurs : elle était de 8°,2 degrés centigrades près de Thonon ,8?,1 au milieu du lac, et 7°,9 près de Rolle : la valeur moyenne est 8°,1 Pour comparer ces résultats avec ceux du calcul, il fallait déter- miner avec beaucoup de soin la compressibilité de cette eau à cette température, ainsi que le rapport de sa densité à celui de l'eau distillée à 0°. L'eau du fac, à une distance suflisante de l'embouchure du Rhône, peu étre regardée comme parfaitement pure; à peine con- tient-elle -—"— de son poids de matières étrangères. M. Tingry en a donné des analyses qui peuvent être Are comme les meilleures, parce. qu'il a opéré sur de grandes masses. IH les a faites en été.et en hiver. Nos expériences ayant été faites à la fin de novembre, nous donnerons seulement ici la moyenne de ces deux analyses, qui d'ailleurs ne différent pas beaucoup entre elles. MOYENNE DE DEUX ANALYSES DE L'EAU DU LAC DE GENÈVE, PAR M, TINGRY. 24,475 grammes de cette eau contiennent : 82,796 centilitres de gaz ( composé principalement d'air con- tenant plus d'oxygène que l'air atmosphérique ); 1,722 çarb. chaux: DES LIQUIDES. 345 0,172 carb. magnésie; 0,212 muriate de magnésie ; | 0,861 sulfate de chaux; 0,848 sulfate de magnésie; 0,040 argile siliceuse; 0,172 partie; ce qui donne pour un kilog. d'eau 0,164 re de matière étrangère non gazeuse, c'est-à-dire un peu moins de -" du poids total. La densité de l'eau du lac est à FR près 1,00015 à, 4°, celle de l’eau distillée à 4° étant prise pour unité. Et comme le volume d'eau augmente de 0,00013 quand elle passe de 4° à 8’, a densité de l’eau dans iuuelle on a mesuré la vitesse du son était égale à l'unité, plus une fraction tout à fait négligeable. | Quelque petite que fût la quantité de matière étrangère con- fenue dans cette eau, nous avons cru devoir déterminer directe- ment sa compressibilité, au lieu de la supposer égale à celle de ’eau distillée. On a pris cette mesure sur de l’eau recueillie à la urface dans une partie intermédiaire entre Îles deux stations ; cette au a été introduite dans un très-bon piézomètre, avec les précau- ions indiquées précédemment pour la compression de l'eau sa- urée d'air. Une série d'expériences faites à la température de 3°, depuis ne jusqu'à vingt atmosphères, a donné, pour la compression oyenne par chaque atmosphère, 46,18 millionièmes, la tempé- ture du manomètre étant de dix degrés. Le manomètre ayant ité gradué sous Ia pression de 0,7466 de mercure, il faut, pour amener cette compression à le d’une atmosphère de 0",76, la nultiplier par le rapport 7600/7466; cette multiplication donne 7,01 millionièmes pour la compressibilité apparente. II n’y a pas e correction à faire pour la température du manomètre. Si à ce nombre 47,01 on ajoute 1,65 pour la contraction du rerre, la somme 48,66 millionièmes représentera la compressi- 5. 44 346 COMPRESSION bilité réelle de l'eau du lac pour chaque atmosphère de 0",76 de mercure, la température de cette eau étant de 8° centigrades. Reprenons maintenant la formule de la vitesse du son que nous avons rapportée plus haut, afin d'y substituer les valeurs que nous venons de déterminer; cette formule est PK. a De En se rappelant quelles sont Îles quantités désignées par D,K,E et P, on a pour l'eau du lac de Genève à la tempéra ture de 8°,1 : D:= 1: K—1,000,000: .,e— 48,66. Si fon prend P pour la pression d'une atmosphère de 0,7: de méreure à la température de 10°, qui est celle où notre mano mètre a étéfixé, en désignant par » la densité de ce mereure et par g la force accélératrice de la pesanteur, ou le double d la hauteur dont elle fait tomber les corps dans la première seconde on a : P=—(0",76).g.m. La valeur de g est, comme on le sait, g = 9",8088. La densité du mercure à 0°est, d'après les expériences « MM. Dulong et Petit, égale à 13,568 ; celle de l'eau distillée 3°,90 étant prise pour unité. D'ailleurs, la dilatation du mercu est de 0,00018 pour chaque degré d'accroissement de tempér ture, et, par conséquent, de 0,0018 pour 10°. Le mercure passa donc de 0 à 10°, son volume augmente dans Îe rapport de 1 1,0018. La densité du mercure à 10° sera donc égale à sa densi à 0° ou 13,568 divisée par 1,0018 ; de sorte qu'on a: 13,568 nm = — = 13,544. 7 1,0018 5 S LIQUIDES. Fig. 4. dirai te Fig. 8. de: 0,26 4 tigrades. Fig. 6 SON quenong = = US que nous —— == = n Le DSP SE le a — Fig. 2 Ighées pa | à la tempéra | | | 6. | Hg. 3 « =. Tr ère de 0°] ; : PE re née del D — ce, Mmereure! le double ière second périences au distilléel Fig ercure pas Fig. 4 pport de 1 Je à sa densl | a: EXPÉRIENCES SUR LA COMPRESSION DES LIQUIDES. PI. ulémie des Seiencer, Javans Hirangers eme PI. ll 1 ë | C)) Fig | | |A | | À ER \| | || ô | 2} |] / | | L £ PE | | à / | NX m // | | ; / à 4 ; | D 1/2 x «| — > | nn Fig. 3 | 1 | l ; = GES | ! dlB À / C2 + | BCD CHE] fl m //// NA >— 4 : mn | 3 | À D Fig. 2 EXPÉRIENCES SUR LA COMPRESSION DES LIQUIDES de des Jeiences, Savans Ltrangers Tome V. Fig. 1 m'° D EXPÉRIENCES Fig. 3 SUR LA T M Fig. à M COMPRESSION DES LIQUIDES . Fig. 2 adémie des Sexnces, Savans Etrangers Time V PI. IV. Rolle poo EXPÉRIENCES SUR LA COMPRESSION DES LIQUIDES DES LIQUIDES. 347 Substituant donc dans la US de la vitesse du son toutes ces valeurs : UE ; K—1,000,000, € —48,66; P—(0",76).(9,8088).(13,544); on trouve, en effectuant ce calcul, a = 1437",8 Telle est la détermination théorique de la vitesse du son dans l'eau déduite de fa densité et de la compressibilité de ce liquide, dans l'hypothèse qu'il n'y a point de chaleur dégagée par la com- pression rapide des molécules liquides qui puisse élever leur tem- pérature. Dans nos expériences la distance 13,487 mètres a été par- courue en 9",4, ce qui donne, pour la vitesse mesurée, tsori20vi } YA FE ! - ‘ ñ 5 er ms 1435 mètres ; ainsi ces deux mesures ne différent que d'environ trois mètres. Cette coïncidence remarquable, en. confirmant les observations contenues dans la seconde partie de ce mémoire, peut servir à démontrer mieux que toute expérience directe que la compression de Teau ne fait PER varier Ja température. Î re. UD l 44° NOUVELLES OBSERVATIONS SUR LES PRINCIPAUX PRODUITS DE L’OPIUM; PAR M. ROBIQUET. L'opium a été l'objet d'un si grand nombre d'investigations qu'on pourrait s'imaginer qu'il est tout à fait superflu d'y revenir encore; mais il est si difhcile de scruter jusque dans ses dernières ramifications un corps d'une nature aussi complexe, qu'on peut toujours espérer découvrir quelques faits inaperçus, en le sou- mettant à une nouvelle étude. IL est d’ailleurs une vérité bien reconnue aujourd'hui pour la chimie organique, c'est qu'en variant les modes d'analyse on en varie aussi les résultats. Nous avons fait remarquer, M. Boutron et moi, le singulier rôle que joue l'eau dans plusieurs circonstances ; et nous avons démontré que des produits importants, qu'on regardait comme préexistants dans certains végétaux, ne devaient leur création qu'à la présence d'un véhicule aqueux. Cette observation, qui offrait un point de vue tout à fait nouveau , permettait de croire qu'en reprenant sous ce rapport lexamen de lopium, on pourrait arriver à quelques données qui contribueraient nécessairement à mieux faire con- naître sa vraie composition. Tels furent les motifs qui m'avaient en- gagé depuis longtemps à en tenter une nouvelle analyse ; déjà je OBSERVATIONS SUR L'OPIUM. | 349 l'avais entreprise, lorsque deux circonstances vinrent, pour ainsi dire, en paralyser la marche. Ce fut d'abord l'intéressante décou- verte de deux produits particuliers dans cet extrait, la réconine de MM. Dublanc et Couerbe, et Ia rarcéine de M. Pelletier. Considérant, d'un autre côté, combien les différentes espèces d’opium du commerce variaient entre elles, et combien il devenait probable que tant de produits divers, réunis dans un même tout, réagissaient les uns sur les autres , et devaient se modifier sous cer- taines influences, pour présenter une foule d'anomalies, je conçus que tous les efforts possibles n'amèneraient rien de bien positif sous ce rapport. Je renonçai donc à faire une analyse proprement dite, et je réduisis mon travail à compléter quelques observations de détail que j'avais faites autrefois en étudiant les principaux produits de Fopium. La narcotine, la morphine et acide méconique sont jusqu’à présent les produits de lopium qui ont le plus fixé Fattention, et c'est par eux que je commencerai cette espèce de revue, que je terminerai par étude d’un nouveau corps , doué de propriétés fort remarquables, et dont l'existence avait échappé à ceux même qui y ont regardé de plus près; tant il est vrai qu’il y a toujours à voir dans de pareïls composés. # CHAPITRE I. DE LA NARCOTINE. Deux mois avant la publication du cinquième volume de Ber- zélius, je lus à la Société de pharmacie une note dans laquelle J'établissais que la narcotine, quoique parfaitement neutre, jouissait néanmoins de la propriété de se combiner aux acides, de les neu- traliser en grande partie, et de former avec eux des composés cristallisables, tout à fait comparables aux sels; et je présentai 350 OBSERVATIONS des échantillons de sulfate et de muriate de narcotine bien cris: tallisés. Berzélius, dans le cinquième volume de son Traité de chimie, dit, en parlant de la narcotine (page 137), qu'il la considère comme un alcaloïde, parce qu'elle sunit aux acides pour former des sels, et qu'elle retient dans ses combinaisons des acides volatils tels que les acides acétique et hydro-chlorique; mais que ces sels réagissent à la manière des acides de même que pour les bases inor- ganiques faibles. Le même auteur ajoute qu'en traitant l'opium par léther et faisant évaporer les solutions, on obtient pour résidu une masse brune confuse, qui rougit le tournesol et contient un sel de narcotine dont l'acide n’a pas été reconnu; qu’en dissolvant ce sel dans l'esprit de vin ou dans l'eau chaude, et ajoutant du noir d'os, puis filtrant bouillant, on peut ensuite en précipiter la nar- cotine à l'aide de fammontaque. Enfin Berzélius dit encore que l'acide hydro-chlorique dissout la narcotine et formeavecelle une combinaison incristallisable. La plupart de ces observations ne sont point d'accord avec-celles que jai eu occasion de faire, et je demanderai la permission de signaler ces différences. 1° Je commencerai par remarquer qu'il est très-vrai de dire que la narcotine retient l'acide hydro-chlorique en véritable com- binaison, mais qu'il s'en faut de beaucoup qu'il en soit de même pour l'acide acétique. A fa vérité cet acide dissout à froid la narco- tine, mais elle s'en sépare aussitôt qu'on soumet la dissolution à l'évaporation; c'est un moyen qui nous a été mdiqué par M. Pelle- tier, et que nous employons journellement pour en extraire la narcotine qui pourrait être unie à la morphine. 2° Je crois pouvoir affirmer que, malgré l'excès d'acide contenu dans lopium , la narcotine y est parfaitement libre de toute combi- naison, car il sufhit, pour l'extraire eu entier, de traiter convena- blement Fopium sec et pulvérisé par de Féther rectifié, On fait les premiers traitements à froid, et on obtient ainsi presque toute la matière grasse et le caoutchouc dont jai fait mention dans le pre- SUR L'OPIUM. 351 mier travail que jai publié sur lopium. Ces premières teintures enlèvent peu de narcotine, mais à l'aide de macérations et de dé- coctions réitérées on ‘enlève une plus grande quantité de ce prin- cipe, toujours imprégné, il est vrai, d’un peu de matière grasse, dont on le débarrasse par des dissolutions dans l'alcool et des cristallisations. F ‘ Pour épuiser l'opium de toute a narcotine qu'il contient, il faut le soumettre à un grand nombre de décoctions dans l'éther, et ce n'est qu'avec de la patience et du temps qu’on en vient à bout; mais encore est-il qu'on enlève ainsi toute la narcotine, et que par con- séquent elle n'est pas combinée, et qu'on n’a nullement besoin d'avoir recours aux alcalis pour la séparer. 3° Berzélius n'a pu parvenir à faire cristalliser le muriate de narcotine. Îl est certain en effet que son excessive solubilité dans l'eau, et que la grande viscosité de sa solution concentrée, per- mettent difficilement aux molécules salines de pouvoir s'agréger ; toutefois on y parvient en abandonnant à l’étuve une solution rapprochée en consistance sirupeuse. H s'y forme, au bout d'un certain temps, des groupes radiés, qui prennent de plus en plus d'extension, et finissent par tout envahir, pour ne plus offrir qu'une seule masse opaque, composée d'aiguilles très-fines et très- serrées. Par la dessiccation cette masse prend beaucoup de dureté et acquiert une demi-transparence. ILest aisé d'obtenir des cristaux beaucoup mieux prononcés en se servant d'alcool au lieu d’eau. Ainsi, on fait évaporer à siccité le muriate de narcotine dissous dans l'eau, puis on reprend par de l'alcool bouïllant, et il se dépose par refroidissement une masse cristalline d’un blanc quelquefois verdâtre, qui s'égoutte et se des- sèche facilement. } J'aurais été curieux de voir si la narcotine, quoique neutre, suit, dans ses combinaisons avec les acides, la méme loi que les alcaloïdes ; maïs il eût fallu pour cela connaître la proportion exacte d'azote qu’elle contient; et il s'en faut que nous sachions positive- ment à quoi nous en tenir à cet égard. On se rappelle en effet 352 OBSERVATIONS que MM. Dumas et Pelletier y ont retrouvé 7,21 pour 0/0 d'azote; que M. Liébig prétend qu'elle n’en renferme que 2,5; et que M. Pelletier, dans sa dernière analyse, en a établi la propor- tion à 4,31. Îl n'appartient à nul autre qu'à ces habiles chimistes, qui se sont occupés avec tant de persévérance de ces analyses, de fixer nos idées sur ce point, et je me borneraï à citer quelques observations subsidiaires. Ainsi, je dirai que l'acide hydro-chlorique sec se combine avec la narcotine, en développant de la chaleur, comme cela a lieu pour les alcaloïdes ordinaires; qu'un poids d'acide hydro-chlorique liquide, représentant 1 gramme d'acide sec, dissout 11 grammes de narcotine parfaitement sèche et pure; que la solution conserve une réaction acide, bien qu’elle semble neutre à la saveur. Selon M Liébig la même proportion d'acide n’exige, pour sa complète saturation, que 8,2 grammes de morphine, ce qui dérive sans doute d'une qualité électro-positive plus prononcée, mais ce qui ne s'accorde guère avec l'action que la chaleur exerce sur ces deux combinaisons. En effet, si l'on expose comparativement, à [a température de 100°, du muriate de narcotine et du muriate de morphine, celui-ci subit un déchet beaucoup plus considérable que le premier, et ce déchet est supérieur non-seulement à ce que comporterait fa perte de toute humidité, mais encore à la diffé- rence qui pourrait résulter de la combinaison de l'hydrogène de l'acide avec une quantité proportionnelle de l'oxygène de la base. La même chose n’a pas lieu avec le muriate de narcotine : on re- trouve au moins le poids de Facide et de la base employée, et la réaction se conserve toujours acide, tandis que l'autre varie; dans aucune des deux circonstances il n’y a élimination de la base, car ces muriates, après avoir été longtemps exposés à la tempéra- ture de 100°, sont comme auparavant entièrement solubles dans l'eau. Quelle que soit la cause de ce déchet pour le muriate de morphine, qu'il provienne d'une décomposition de la matière organique, où qu'il soit dû à une perte d'acide, 1 n’en résulte pas SUR L'OPIUM: 353 moins un grand embarras pour celui qui veut faire analyse de ce sel, car à quel point de dessiccation devra-t-il s'arrêter? Toutefois jai voulu w’assurer de la cause réelle de cette perte, et j'ai opéré cette dessiccation soit en vaisseaux clos, soit en vaisseaux ouverts, ce qui a produit une notable différence : dans le premier cas il s'est à peine dégagé des traces d'acides, muis Ja matière organique avait subi une altération sensible, car le muriate repris par l'eau était coloré en beau jaune, et le poïds de la morphine précipité par lammoniaque était inférieur à celui employé: En agissant au contraire à vase ouvert, le muriate s'est conservé blanc. Berzélius dit qu’on n'a pas pu déterminer le poids de l'atome de narcotine, faute d'avoir fait l'analyse d'aucun de ces sels. J'ai profité de l’occasion pour chercher à remplir cette lacune, et jai choisi de préférence le muriate cristallisé dans l'alcool comme offrant plus de garantie sur son identité, Je Fai préférablement maintenu longtemps à la température de 110°; Jen ai pris 5 grammes que j'ai fait dissoudre dans de l'eau tiède , puis j'ai pré- cipité la narcotine à l'aide d’une faible solution de potasse à alcool employé en léger excès; j'ai filtré, lavé, etc. Toutes les liqueurs réunies ont été ensuite sursaturées par de Pacide nitrique, et précipitées de nouveau par du nitrate d'argent, Ebpanrecneniiemee UD ON BTS) dé chlorureséc, quiéontientie us 0.21 0,3 98245: de-chlore Aïnsi le muriate de narcotine était composé de INAFCOME A RUE 0 0 CURRENT REPAS IS "S Acide hydro-chlorique sec.......... 0,409 4,994 Par conséquent si on statuait sur cette analyse, le poids de Ia narcotine serait de 5100,300, nombre qui ne s'accorde ni avéc l'analyse de M. Liébig, qui donnerait pour poids de fatome 7050,030, niavec celle de M. Pelletier, qui répondrait à 3987,800. IL 'est donc à désirer qu'on fasse une nouvelle analyse de Ta nar- cotine; mais s'il était permis d'admettre que la vraie proportion 5. 45 324 OBSERVATIONS d'azote est à peu près la moyenne de celle indiquée par les ana- lyses de Liébig et de Pelletier, on trouverait pour le poids de l'atome un nombre fort rapproché de celui que indique, et qui semble devoir inspirer d'autant plus de confiance, que la saturation directe de la narcotine par l'acide hydro-chlorique, sec donne le même rapport que celui trouvé par l'analyse du sel. En effet, jai dit plus haut qu'un gramme d'acide hydro-chlorique sec dissolvait 11 grammes de narcotine, et tel est aussi à peu près le rapport qur.existe entre les nombres 0,40962 et 4,585 fournis par lana- lyse du muriate cristallisé. CHAPITRE IE. DE LA MORPHINE. Les alcaloïdes ont acquis un nouveau degré d'intérêt depuis des dernières recherches de Liébig, parce qu'elles nous font entrevoir quelques idées générales, qui, si elles se vérifiaient, en simpli- fieraient singulièrement l'histoire. Mais craignons de trop nous bâter, et regardons-y de plus près avant d'admettre comme cer- tain que ces bases ne se combinent, comme les oxides inorga- niques, qu'en des proportions bien définies et susceptibles d'être soumises à des lois sans exceptions. J'ai dit autrefois, en parlant de la quinine, qu'on ne pouvait en opérer la complète saturation que dans des dissolutions, et qu'on n'obtenait par cristallisation que des sous-sels ou des sur-sels, susceptibles eux-mêmes de varier dans leurs proportions, en les soumettant simplement à des cris- tallisations réitérées. Cette opinion était appuyée de l'analyse de trois sulfates acides de quinine obtenus de trois cristallisations successives; et je démontrai qu'ils avaient à chaque fois perdu une certaine quantité de leur acide, I est d’ailleurs certain que dans la fabrication du sulfate de quinine on est obligé, pour conserver la même cristallisation, d'ajouter une petite quantité d'acide à chaque nouvelle dissolution. Ces remarques m'avaient porté à SUR! L'OPIUM. 355 conclure que les alcaloïdes ne contractaient avec les acides que des combinaisons éphémères et sans proportions bien déterminées. M. Baup s'éleva fortement contre cette idée, et il affirma que la quinime ne se combinait qu'en deux proportions à l'acide sulfu- rique, dont l'une formait le sel neutre et Fautre le bi-sel. Pour mettre son opinion en harmonie avec les faits, M. Baup prétendit que les sulfates de quinine, qui étaient autrement composés, n'é- taient qu’un mélange des deux espèces quiservaient de type. Cette opinion est généralement adoptée, et je regrette de n'avoir pas encore acquis une conviction entière à cet égard; mais ilme semble que des résultats aussi constants ne devraient s'établir que sur des données plus précises que celles que nous possédons. Dans son beau travail sur les alcaloïdes M. Liébig fixe à 6,33 p. 0/0 Teau de cristallisation contenue dans la morphine. J'avais cru jusqu’à présent que la température de 100° sufhisait pour débarrasser la morphine de son eau de cristallisation, et il est positif qu'à cette température elle conserve parfaitement sa forme cristalline et sa transparence , et qu'elle ne perd point d’eau ; j'aurais donc volontiers admis que celle qui se dégage à une plus forte chaleur est de l'eau de composition; mais en adoptant, avec M. Liébig, qu'il en soit autrement, je demanderai pourquoi on s'arrête à 12°, et quel est le motif qui empêche de pousser jusqu'à [a fusion, vrai type d’une complète dessiccation. On objectera sans doute qu'il y aurait alors décomposition; maïs ce serait à tort, car il est facile de l'éviter en chauffant la morphine avec précaution dans une petite boule de verre assez mince pour que la chaleur se transmette facilement, et que le verre n'acquière pas une température plus élevée que celle nécessaire à la fusion, car alors il y aurait en effet décom- position. h De cette incertitude sur le vrai point de dessiccation naît une première source d'erreurs pour l'évaluation de Ia capacité de saturation. M. Liébig a trouvé que 0,600 de morphine exige, pour sa complète saturation, 0,076 de gaz hydro-chlorique sec; et il dit 45* 356 OBSERVATIONS que la solution de ce sel était parfaitement neutre, et qu’elle ui a fourni, par le nitrate d'argent, une quantité de chlorure corres- pondant exactement à l'acide employé, bien que lhydro-chlorate de morphine ait été longtemps exposé à une température de 100°. Ce résultat suppose une grande stabilité dans cette combinaison, cependant j'ai souvent observé, ainsi que je l'ai dit dans le chapitre précédent, que le muriate de morphine perd par simple dessiccation à 100° plus que ne le comporte sa composition. Je m'en suis po- sitivement assuré de la manière suivante. J'ai délayé 8 gr. de mor- phine broyée dans une quantité d'acide hydro-chlorique représen- tant 1 gr. d'acide sec, et j'y aï ajouté assez d’eau chaude pour dis- soudre lhydro-chlorate. La solution incolore et transparente a été évaporée au bain-marie dans une capsule exactement tarée, et le sel étant desséché je lai pesé à diverses reprises jusqu'à ce qu'il cessât d’éprouver une nouvelle perte parune nouvelle dessiccation, Je suis parvenu à m'avoir ainsi que 8#,2 de résidu. Ce déchet est beaucoup trop considérable pour qu'on puisse l'attribuer à l'eau de cristallisation de la morphine et même à la combinaison de lhydro- gène de Facide avec une quantité correspondante d'oxygène de Ia base; en effet, 8 gr. morphine cristallisée contiennent, d'après Licbig, 0,5 d'eau, reste 7,7; 1 gr. acide hydro-chlorique contient 0,026, et à cette proportion d'hydrogène répond 0,2084 oxygène, ce qui ferait un total 0,23 44 à retrancher de 8,7 —8,4656 au lieu de 8,2 trouvé par expérience. Ainsi on voit que, quand bien même Fhy- drogène de Tacide se combinerait avec tout ou partie de oxygène de la base, ce qui est on ne peut plus douteux, on devait trouver un résidu plus considérable que celui qu'on obtient; on pourrait encore admettre qu'une portion du muriate a été décomposée, et qu'en le reprenant par l'eau, une quantité proportionnelle de mor- phine se trouverait éliminée; mais, loin de là, tout se redissout et même dans une moindre quantité d’eau qu'auparavant, en raison sans doute de la volatilisation d'une petite quantité d'acide. Ainsi, en dernière analyse, on ne sait où prendre le type de ces sels, car comment déterminera-t-on le vrai point de dessiccation? SUR L'OPIUM. 357 D'une part, elle ne sera jamais complète st on opère en vaisseaux clos, c'est-à-dire n'ayant qu'une issue; de l'autre, il y aura réaction et altération d’une partie de la matière organique. Il faudra donc de toute nécessité s'en rapporter au point de saturation du sel en dissolution; mais ici s'élève une nouvelle difficulté, car j'ai souvent observé que ce point de saturation varie avec la température. Ainsi en admettant qu’on ait à 80° une solution de muriate de morphine bien neutre, on la verra prendre une réaction acide de plus en plus manifeste, à mesure que la température s’abaissera, et longtemps avant que la cristallisation ait lieu. I semblerait donc que Falca- lescence de Ia base accroît ou diminue suivant que les molécules se distendent ou se rapprochent. Au reste, quelle que soit l’explica- tion qu'on puisse donner de ce singulier phénomène, le fait existe et démontre le peu d'aflinité des alcaloïdes pour les acides, et qu'il est bien douteux, comme Jje lai avancé depuis longtemps, que leurs combinaisons ne puissent s’opérer que dans les limites pré- cises qu'on prétend leur assigner. Prouver que toutes les combinaisons chimiques sont régies par les mêmes lois serait sans doute un des plus beaux résultats que la science püt atteindre, et on en peut juger par les efforts mul- tipliés des hommes habiles qui cherchent à soulever le voile de l'or- ganisme, pour tout soumettre à un même système. Espérons tout de {a puissance du génie, mais ne cherchons point à deviner les dé- couvertes , et n’admettons pas comme vérité tout ce qui paraît vrai- semblable. Il se peut qu'un même lien unisse toute la matière et lenchaîne dans ses nombreuses ramifications, mais jusqu’à présent nous n'avons point saisi la corde principale de ce réseau commun, et nous sommes obligés, dans l'état actuel de la science, de conve- nir que l'organisme est en dehors des lois qui régissent la matière brute. 398 OBSERVATIONS CHAPITRE II. DE L'ACIDE MÉCONIQUE. Ce corps est le moins connu de tous les produits essentiels de l'opium. Séguin, qui le premier en a signalé l'existence, sest borné à dire qu'il y avait dans l’opium un acide particulier qui jouissait de la propriété de développer une belle teinte rouge dans les disso- lutions de fer au maximum. Cette unique observation ne lui aura sans doute pas paru suflisante pour constater la spécialité de cet acide, et il n'aura pas, cru devoir lui donner un nom nouveau. Aussi la découverte en est-elle généralement attribuée à Sertuerner, qui quelques années plus tard parla de ce même acide, remarqua qu'il se sublimait et l'appela acide méconique, sans rien ajouter à son histoire, pas même le moyen de l'extraire. C’est probablement pour éviter d'éprouver de pareilles pertes que quelques chimistes se sont hâtés de donner des noms à des produits dontils se réservent sans doute de nous démontrer l'existence un peu plus tard. Les auteurs qui depuis cette époque ont fait mention de Facide méconique n'ont considéré comme tel que le sublimé qu'on obtient en soumettant ce qu'ils regardaient comme l'acide impur, à l'action de la chaleur. Je crois être en mesure de démontrer que jusqu'à présent on n'a point connu le véritable acide de Fopium et que ce singulier produit mérite de fixer Fattention des chimistes. Deux causes principales ont surtout contribué à retarder l'étude de l'acide méconique : c'est d'un côté la difficulté de pouvoir l'ex- traire, de l'autre le peu de stabilité de ses propriétés. Aujourd'hui il se présente avec telles formes et telles propriétés qui demain se seront éclipsées pour faire place à d'autres. On conçoit que de pareïlles anomalies laissent dans un vague immense, et qu'on est peu tenté de poursuivre l'étude d'un corps qui, après tout, ne semblait pas fait pour exciter un grand intérêt. Cependant 1l arrive SUR L'OPIUM. 359 assez souvent qu'irrité par les obstacles on y apporte d'autant plus d’opiniâtreté, et que le zèle croît avec la difficulté; c'est sans doute là ce qui m'aura engagé plus avant, car je suis revenu bien des fois à la charge, et j'éprouve enfin aujourd'hui la satisfaction de n'avoir pas fait d’inutiles recherches. Lorsque je répétai pour la première fois les expériences de Ser- tuérner je substituai, pour séparer la morphine de la dissolution d’o- pium, la magnésie à l'ammoniaque, afin de m'assurer si lalcalinité de la base organique ne dépendait pas de l'ammoniaque elle-même. En suivant ce mode, je remarquai qu'une grande partie de Facide méconique était lui-méme précipité par l'excès de magnésie à l'état de sous-sel insoluble. Je repris donc, pour obtenir cet acide, le précipité magnésien, après toutefois en avoir séparé [a morphine à laide de l'alcool, et je le traitai d'abord à froid par de l'acide sul- furique affaibli, afin d'enlever seulement Fexcès de magnésie; j'a- joutai peu à peu de Facide sulfurique tant qu'il se neutralisait, puis Yétendis d’eau et je avai par décantation pour éliminer le sulfate de magnésie produit; cela fait, je mélangeai ce dépôt lavé avec une assez forte proportion d'acide sulfurique, étendu seule- ment de deux ou trois parties d’eau. Je soumis ensuite à l'action de la chaleur, et après quelque temps de réaction je filtrai bouillant: l'acide méconique cristallisait par refroidissement, mais excessive- ment coloré et impur. If restait à poursuivre la purification jusqu’à ce qu'il ne contint ni acide sulfurique ni magnésie. J'ai longtemps préparé ce que jappelais l'acide méconique brut; par ce procédé il me réussissait assez bien, mais je sais que d’autres chimistes lont employé sans succès. Cela tenait sans doute à ce qu'ils n'a- vaient pas comme moi a précaution d'enlever préablement l'excès de magnésie, et surtout à ce qu'ils étaient trop réservés sur l'em- ploi de l'acide sulfurique. Non-seulement if en faut une forte pro- portion, mais il est nécessaire de traiter le produit obtenu à di- verses reprises par une nouvelle dose d'acide, autrement on n'obtient qu'un méconate acide de magnésie. Il est peu d’acide qui ait autant de tendance que l'acide méconique à faire des bi-sels avec les prin- 360 OBSERVATIONS cipales bases, et qui défendent avec autant de force les dernières portions qu'il retient. J'ai dû renoncer à ce mode d'extraction depuis qu'on est géné- ralement revenu dans les laboratoires à l'emploi de f'ammoniaque pour la séparation de la morphine. Quand on opère ainsi, une par- tie de l'acide méconique, combiné à de la chaux et à de Fammo- niaque, accompagne la morphine; autre, quoique dans le même état de combinaison, reste dans le liquide. C’est ce méconate triple qu'on obtient pour résidu quand on a épuisé, par l'alcool bouillant, le précipité par l'ammoniaque. Si on veut en extraire l'acide méco- nique, on devra éviter d'employer dans ces traitements du noir d'os, dont Îes sels calcaires viendraient s'ajouter au méconate et compliquer Fopération. Pour obtenir le méconate de chaux et d'ammoniaque qui reste dans la liqueur, if faut la concentrer presque en consistance siru- peuse et abandonner au repos dans un lieu frais pendant plusieurs mois. Il se forme avec le temps un dépôt grenu qu'on sépare en jetant sur une toile serrée et soumettant à la presse. Enfin il existe encore un autre moyen de se procurer le méconate de chaux, et sans doute le meilleur de tous, c’est celui employé par William Gregory. Ce chimiste, au lieu d'extraire directement Ia morphine au moyen des alcalis, puis de la. purifier, comme nous le faisons, à l'aide de l'alcool, l'obtient d'abord à l'état de muriate par suite d'une double décomposition qui résulte de l'addition d'une quantité convenable de muriate de chaux. Les détails de ce pro- cédé seront incessamment publiés dans le Journal de pharmacie. Mais n'en voulant parler ici qu'en ce qui concerne acide méco- nique, je dirai que le méconate et le sulfate de morphine qui sont naturellement contenus dans l'opium sont transformés, par le mu- riate de chaux ajouté, en muriate de morphine qui reste dans la li- queur et qu'on obtient par évaporation et cristallisation, et en méco- nate et sulfate de chaux qui se précipitent en abondance sous forme pulvérulente. On lave bien ce précipité, qui est d’une couleur brune plus ou moins foncée, suivant son degré de pureté; on se sert SUR L'OPIUM. 361 d'abord d'eau, puis d'alcool bouillant, et on le soumet ensuite au traitement que nous allons décrire. I m'est arrivé une fois d'obtenir du méconate de potasse et d'am- moniaque au lieu de méconate de chaux. Je ne pourrais pas aflirmer que ce méconate était tout formé dans lopium, je n'avais pas fait moi-même lextraction de la morphine de cette opération ; peut-être ce méconate résultait-il de quelque sel de potasse, employé à mon insu, car on sait que chaque opérateur a ses tours de main dont il a grand soin de faire mystère, même à ceux qui le dirigent. Ce qu'il y a de bien certain, c’est que j'ai recueilli au moins 10 onces de méconate de potasse de ces eaux-mères , et que c’est [a seule fois que cela ait eu lieu, 3 PRÉPARATION DE L'ACIDE MÉCONIQUE. Quel qu’ait été le mode d'obtention du méconate de chaux, il faut, pour lui enlever la base qui le sature, le traiter par des acides énergiques et les employer à haute dose; encore est-il que l'acide méconique a une telle tendance à faire des bi-sels qu'on ne saurait lui soustraire du premier traitement que la moitié de la base qui le sature, à moins qu'on mette une dose excessive d’acide et qu'on ait recours à l’action soutenue de la chaleur; mais alors l'acide mé- conique subit une modification. I faut donc, de toute nécessité, pour éviter cet inconvénient, modérer la réaction et la rendre successive; ainsi on prend 100 parties de méconate brut, on le dé- laïe dans 1,000 parties d’eau chauffée à 90° environ, on agite vive- ment et on ajoute peu à peu autant d'acide muriatique pur qu'il en est nécessaire pour dissoudre Îa presque totalité du méconate; une partie résiste, c’est du sulfate de chaux, qui est plus lourd et plus blanc que le méconate. On verse immédiatement sur un filtre préalablement lavé à l'acide muriatique pour éviter que la dissolu- tion ne se colore par le fer du papier. On obtient par refroiïdisse- . ment une grande quantité de cristaux légers et nacrés ou de pe- 5. 46 362 OBSERVATIONS tites aiguilles brillantes; c'est du bi-méconate de chaux. On le réunit sur une toile serréc et on le soumet à la presse, puis on le dissout de nouveau dans une quantité suffisante d'eau chauffée à 90° centigr.; et la dissolution étant faite on y ajoute 50 gr. d'acide hydro-chlorique pur. On chauffe de nouveau pendant quelques instants; mais on évite d'élever la température jusqu'à 100°, on retire du feu et on laisse refroidir. Ordinairement on enlève à cette reprise la majeure partie de la chaux restante. Quelquefois cepen- dant il n’y a qu'une partie du bi-méconate de décomposé, et on s'en aperçoit à l'aspect des cristaux, dont les uns plus denses et souvent plus colorés, se précipitent plus promptement au fond du vase quand on vient de Fagiter, tandis que les autres, plus légers et plus blancs, restent plus longtemps en suspension : ceux-ci sont du biméconate qui a résisté à l'action de lacide. Lorsque le refroïdis- sement a été très-lent, il arrive souvent que les cristaux d'acide mé- conique sont assez denses pour qu'on puisse les séparer du bi-mé- conate par simple lévigation. Autrement il faut tout redissoudre et faire subir un traitement semblable au précédent. Enfin on ne cesse d’avoir recours à l'addition de l'acide hydro-chlorique que quand les cristaux qu'on obient ne laissent aucun résidu sensible lorsqu'on les brüle sur une lame de platine. Arrivé à ce point on jette les cristaux sur un filtre lavé à l'acide hydro-chlorique; on les arrose à diverses reprises avec de petites quantités d'eau froïde pour les débarrasser de l'acide dont ils sont imprégnés, et pour les en priver complétement on les dissout une dernière fois dans de leau pure et chaude. On pourrait considérer l'acide méconique ainsi obtenu comme parfaitement pur, car il ne laisse aucun résidu de combustion, et le précipité qu'il forme avec le nitrate d'argent se redissout complétement dans l'acide nitrique pur. Cependant quelque soin qu'on ait pris, les cristaux ont une couleur de bois, et pour des obtenir parfaitement blancs, il faut les soumettre à un nouveau traitement, qui consiste à broyer ces cristaux, qui sont or- dinairement formés de belles écailles micacées, et à les délayer dans trois ou quatre parties d'eau froide, puis on sature par l'addition SUR L'OPIUM. 363 successive d'une solution de potasse caustique, mais étendue. 100 gr. d'acide méconique exigent ordinairement 55 gr. de potasse caustique sèche. Lorsque la saturation est opérée, on verse dans un matras lespèce de bouillie plus ou moins épaisse qui en résulte et on ajoute un peu d'eau, puis on chauffe, mais assez seulement pour dissoudre le méconate de potasse. Par le refroidissement le tout se prend en masse, on passe sur une toile et on soumet le magma à la presse. Les eaux-mères retiennent la matière colorante. On dissout de nouveau le méconate de potasse, et après refroi- dissement on exprime de nouveau; ilest alors du plus beau blanc. On évapore les eaux-mères pour en retirer autant que possible le méconate qu’elles retiennent; mais ces dernières portions sont tou- jours très-colorées et peu propres à la préparation de l'acide méco- nique. Pour obtenir cet acide dans son plus grand état de pureté, on prend le méconate de potasse et on le soumet à un traitement en tout semblable à celui que je viens d'indiquer pour le méconate de chaux, et si on a bien eu soin d'éviter à chaque dissolution une trop forte élévation de température, on obtient l'acide mécouique en belles écailles blanches, transparentes et micacées qui jouissent des propriétés suivantes. PROPRIÉTÉS DE L'ACIDE MÉCONIQUE. Cet acide ne paraît subir aucune altération au contact de l'air ordinaire; mais lorsqu'on le soumet à une températnre de 100°, il devient opaque comme du gypse calciné et il perd avec le temps jusqu'à 21,5 p. 0/0 de son poids; l'effet est plus prompt à une tem- pérature de 120°. Ainsi privé de son eau de cristallisation l'acide méconique, étant redissous dans de l'eau chaude, reprend par refroi- dissement sa forme et sa transparence premières ; quatre parties d'eau bouillante suffisent pour le dissoudre ; mais si cette disso- lution se fait en vaisseaux clos, et qu'on ait adapté à la fiole qui contient le liquide un tube courbé de manière à pouvoir recueillir 46” 364 OBSERVATIONS les gaz, on obtient, après avoir laissé dégager tout l'air de Fappa- reil, un fluide élastique qui trouble Les eaux de chaux et de baryte, et qui est complétement absorbé par une dissolution de potasse. I se dégage donc de l'acide carbonique dans cette circonstance. Pour savoir si cette production était due au calorique seul, ou ei elle résultait de l'action simultanée de leau et de la chaleur, fexposai à une température de 110° environ de Facide cristal- lisé et séché au seul contact de Fair. L'appareil était disposé de manière à pouvoir recueillir tous les produits. On vit immédiate- ment de Fhumidité ruisseler dans le tube, et de l'eau de chaux, que traversait l'air qui se dégageait, fut manifestement troublée ; mais à mesure que la dessiccation faisait des progres, le dégagement de gaz se ralentissait, et il cessa bientôt complétement. Cependant il s'en produisait de nouveau dès qu'on réintroduisait un peu d’eau dans le tube qui contenait l'acide méconique. Ainsi, point de doute, l'eau contribue à cette formation d'acide carbonique; mais ICI se présente naturellement une autre question. Ce développement d'acide carbonique est-il fa conséquence d'une décomposition totale d'une portion d'acide méconique, ou bien ne résulte-t1l que d’une réaction entre ses principes, et n'amène-t-il qu'une simple modification de composition? C’est ce que je me propose d'examiner dans le paragraphe suivant. Lorsqu'on s'est borné à chauffer de l'acide méconique cristallisé, à une température sèche qui n'excède pas 120°, nous avons vu qu'il ne subissait d'autre altération apparente que de perdre son eau de cristallisation et sa transparence, et qu'on pouvait lui faire reprendre son premier aspect en le faisant dissoudre dans de Peau chaude et le laissant cristalliser. Mais il en est tout autrement lorsqu'on soumet à une ébullition soutenue une dissolution d’a- cide méconique écaiïlleux. Tant que Fébullition a lieu il y a déga- gement continuel d'acide carbonique, et on voit en même temps la liqueur, qui primitivement était incolore, prendre d'abord une teinte jaunâtre qui se fonce de plus en plus, et finit par atteindre le rouge brun foncé. Le même effet a lieu, quoique plus lentement, SUR L'OPIUM. 365 à la simple chaleur du bain-marie. Cette réaction est très-lente, car elle peut durer plusieurs jours, quoique n'agissant que sur de pe- tites quanités. Néanmoins avec de la patience et en ayant soin de renouveler l’eau de la dissolution au fur et mesure du besoin, on peut arriver à son terme; le dégagement du gaz cesse sans que tout lacide soit détruit, et ce qui reste présente de nouvelles propriétés. Mais avant de Les indiquer, il est essentiel d'observer qu'il y a eu ici altération et altération profonde, produite sous la seule influence de l'eau. Ce fait, à mon avis, est bien digne de re- marque, et surtout bien capable de nous armer de défiance contre les corps nouveaux que nous obtenons à la suite des divers traite- ments qu’on fait subir aux matières organiques. Quoi qu'il en soit, Je poursuis, et nous allons chercher ce que devient l'acide méco- nique soumis à cette influence. Nous l'avions pris en belles écailles transparentes incolores, per- dant 21,5p.0/0 d’eau par la chaleur; soluble dans quatre parties d'eau bouillante, tandis qu'après sa longue ébullition dans l'eau, les cris- taux qui se précipitent sont durs, grenus, d’une couleur très-in- tense; ils ne contiennent plus d'eau de cristallisation et As exigent au moins seize parties d'eau bouillante pour#se dissoudre ; mais c'est toujours un acide, et un acide très-énergique, rougissant for- tement comme Île précédent, les dissolutions de fer au maximum. Voilà donc deux acides dontun préexiste dans lopium, tandis que fautre n’est que le résultat d'une altération. Reste à savoir si cette altération est telle que cela constitue deux acides distincts. Avant de procéder à de nouvelles recherches, remarquons que quand le second acide est obtenu par le moyen que nous venons de décrire, on ne peut rien conclure des différences que présentent ces deux corps, parce qu'on pourrait objecter qu’elles dérivent de la matière organique qui s’est formée par suite de [a réaction indi- quée, et dont une partie reste inhérente à l'acide qui en est forte- ment coloré. Il est heureusement possible d'obtenir la même mo- dification sans qu’elle résulte de cette longue réaction. Ainsi, 366 OBSERVATIONS lorsqu'on fait bouillir un méconate de chaux ou de potasse avec un acide capable d'en déterminer la décomposition, le dégage- ment d'acide carbonique se manifeste également et même parfois d’une manière si rapide, qu'on ne peut agiter Je vase sans qu'il se produise une véritable effervescence. Il parait que cette prompte réaction ne permet pas à la même matière colorante de se déve- lopper, du moins en aussi grande quantité, ou peut-être est-elle détruite à mesure qu'eile se produit. Ce qu'il y a de certain, c'est que Pacide qu'on obtient aïnsi sans être aussi incolore que le pre- mier, l'est infiniment moins que celui produit par eau seule. If a ordinairement une teinte jaunâtre qui dépend en grande partie de sa plus forte cohésion et qu'on peut lui enlever en le passant au noir d'os purifié. Cet acide anhydre est le seul que j'aie connu pen- dant longtemps, parce que je soumettais toujours les liquides à l'ébullition pour faciliter fa décomposition des méconates, et j'ai ob- tenu parfois l'acide méconique en concrétions hémisphériques très-volumimeuses et aussi dures que la pierre. Tous les chimistes qui se sont occupés de l'acide méconique n'ont considéré comme pur que celui obtenu par sublimation, et ils ont supposé que celui dont nous venons de faire mention contenait une matière orga- nique qui lui était étrangère. Nous allons voir ce qu'on doit pen- ser de cette opinion. Le moyen le plus prompt et le plus certain de savoir à quoi s'en tenir sur les véritables rapports qui existent entre ces acides est sans contredit d'en faire l'analyse élémentaire, et d'en déterminer la capacité de saturation, et enfin d'étudier comparativement leurs principales combinaisons : telle est en effet la marche que fai suivie. Je commencerai par faire observer qu'aucun de ces trois acides, que je distmguerai désormais sous les épithètes d'hydraté, d'an- hydre et de pyrogéné, n'a fourni, par sa combustion avec l'oxyde de cuivre, la plus légère trace d'azote. Cela posé, voici la moyenne des résultats fournis par plusieurs analyses de chacun de ces trois acides. J'ai eu recours pour ces analyses à la méthode décrite par SUR L'OPIUM. 367 Liébig, dans le numéro de juin des Annales de chimie et de phy- sique, 1831. ACIDE MÉCONIQUE ANHYDRE. Acide employé 0,500. PREMIÈRE EXPÉRIENCE. DEUXIÈME EXPÉRIENCE. Acidecarbonique.. 0,821 Acidecarbonique.. 0,816 LE RP IG ; 0,167 Eay. NASA OUR 0,162 d’où Oxygène... 50,865 Oxygène....... 51,283 Hydrogène... .….. 3,708 Hydrogène ..... 3,593 Carbone. ...... 45,427 Carbone. ....., 45,276 106,000 100,000 MOYENNE. DUR EP RER 51,073 ÉDYdROene ee are 3,651 Carbone.......... TS AUS 45,497 100,000 nombres qui correspondent à Carbone: ::::::... 7. Pa 6,930 atomes. Hydrogène : : : ::: FRE 6,870 Oxygène... :.. LS : 6,000 En adoptant Ia formule C’, H, O!, on aurait, pour la composition de l'acide méconique anhydre, les 368 OBSERVATIONS nombres suivants, qui se rapprochent, autant qu'on peut le dé- sirer, des précédents, OXYEËRE ee 50,901 Hÿydrogene ee rec 3,705 Carbone . .... HERENSOMSS SOLE 45,394 100,000 ACIDE MÉCONIQUE HYDRATÉ. Acide employé 0,500. FREMIÈRE EXPÉRIENCE. DEUXIÈME EXPÉRIENCE. Acide carbonique.. 0,738 Acide carbonique.. 0,745 Hansen moe 0,205 REQUIERT EE 0,200 d'où Carbone Lens 1MCarbone 5e: 41,199 Hydrogène . .... 4,543 Hydrogène..... 4,436 Dxygëne Een 54,646 Oxygène....... 54,365 100,000 100,000 EN ATOMES. CS Eee 6,849 VOLE Ê 6,939 FR See es 9332100 ARTE - 9,149 O : FAD OO ET ; 7,000 ou Chu: SO ou C, H, Of + H°, O:. SUR L'OPIUM. 369 ANALYSE COMPARATIVE DES DEUX MÉCONATES DE PLOMB. Un gramme de méconate de plomb laisse après sa combustion une quantité de métal et d'oxyde correspondant au poids total de Oxyde de plomb........ 0,541 d'où Acide méconique....... 0,459 ce qui donne le nombre 1183,133 pour le poids atomique de l'acide méconique; le calcul indique que cet atome devrait peser 1178,745; nombre, comme on le voit, très-rapproché du pré- cédent. Un gr. de méconate de plomb fait avec l'acide hydraté, brûlé par Foxyde de cuivre, donne ce qui établit de la manière suivante la composition de ces sels, MÉCONATE DE L'ACIDE HYDRATÉ. MÉCONATE DE L'ACIDE ANHYDRE. Oxyde de plomb.. 54,100 Oxyde de plomb... 54,100 Grbone hi NL + 91,014: Carbone... ..:. 20,903 Hydrogène . ..... 1,674 Hydrogène ...... 1,674 CCYPÈDE Le , 23,212 Oxygène........, 23,823 100,000 100,000 5. 47 370 OBSERVATIONS ces nombres traduits en atomes donnent pour leur moyenne CREUSER 7,080 Hassist de u 6,916 ORBAGISTRUN NEX 6,000 ou C? HAO° 100 parties de l'acide hydraté perdent par simple dessiccation 21,5 d’eau de cristallisation, quantité qui correspond à 3 atomes d'eau. Il y a donc dans cet acide 4 atomes d’eau, dont 3 peuvent être éliminés par la chaleur, et Le quatrième alors seulement qu'il se combine avec les bases. L'acide pyro-méconique a donné, en le brülant par Foxyde de cuivre, pour 05,500, FAURE se eu CCE 0,164 Acide carbonique... .... 0,966 d'où Hydropéne :L-FTECERE 3,637 Carbone..." MONS SE 90 Oxygène .…. ...: her 0149:043 EN ATOMES. Carbon... 200 9,7638 Hydropène-. CCTERRE 8,1432 Oxyoène. SERRES 6.0000 nombres qui se rapprochent beaucoup de la formule CH. 0°_ou C°/4%0” + H° 0. SUR L'OPIUM. 371 Le pyro-méconate de plomb a été trouvé formé de Oxyde... etes t0 55:17 HO 483 D'autre part, un gr. pyro-méconate de plomb sec a donné par l'oxyde de cuivre Faut US GLR ne s..... 0,122 Acide C.::..... is inbhns DCE ou Elydropene 0 Ci 2,816 Carbone......:..... 59,281 ORYSERE AM ARENA 37,903 EN ATOMES. Hydrogène .......... 5,975 Carbone. ..... AT CE 10,220 Oxygène....... RUE 5,000 H° C‘“ O*. Cet acide perd donc 1 atome d’eau par sa combinaison avec l'oxyde de plomb. Son poids atomique calculé serait de 1301,81 4; celui déduit de l'expérience est de 1307,8. Sa capacité de saturation est de 7,681, ou le cinquième de l'oxygène qu'il contient. Toutes ces analyses concourent à démontrer d’une manière évi- dente que ces trois acides sont tout à fait distincts les uns des autres, et que le premier ne diffère du deuxième qu’en ce qu’il ren- ferme 3 atomes d'eau de cristallisation qu'une température de 100° suflit pour lui faire perdre, plus un atome d’eau de compo- 47° 372 OBSERVATIONS sition qu'il n’abandonne qu’en se combinant aux bases énergiques. Ces résultats me parurent d'autant plus satisfaisants, qu’en lisant le beau mémoire de Berzélius sur les acides tartrique et racemi- ques, j'avais été tellement frappé de certaines analogies entre les propriétés de ces isomères et celles de mes deux acides méconi- ques, que Je conçus, dès ce moment, l'espoir de fournir un nouvel exemple d'isomérie. Cependant, j'étais loin, je l'avoue, de prévoir alors que je serais assez heureux pour faire naître moi-même cette isomérie, en suivre les progrès et en assigner les causes. Ces cu- rieuses observations nous conduisent, si je ne n'abuse, à élever des doutes sur la préexistence de acide racemique dans le tartre, et nous autorisent à le considérer comme le résultat d’une réaction entre les principes de l'acide tartrique. Cette opinion acquiert d'au- tant plus de probabilité, que M. Pelouze, jeune chimiste d’un mé- rite bien reconnu, a fait d'inutiles tentatives pour trouver l'acide racemique dans les principales variétés de tartre du commerce. Quoi qu'il en soit, j'ai voulu, avant d'admettre une complète ana- logie, m'assurer si les deux acides méconiques qui, une fois com- binés aux bases, n'offrent plus qu'une composition identique, pouvaient être reproduits avec leurs qualités premières, et jai vu, en effet, qu'en décomposant les deux méconates de plomb par Fhy- drogène sulfuré, jobtenais d’une part de acide hydraté, et de l'autre de l'acide anhydre; ainsi, il n’est plus permis d'en douter, ces deux acides sont de véritables isomères, et je dois, pour me conformer à la nomenclature établie par Berzélius, désigner désor- mais l'acide anhydre qui est le dérivé, par le nom d'acide para- méconique. Quand on soumet l'un ou l'autre de ces deux acides à une distil- lation sèche, ils fournissent environ le cinquième de leur poïds d’un acide volatil très-fusible dont les premières portions passent presque incolores et toujours accompagnées d'humidité imprégnée d'acide acétique. A cette époque de la distillation, il ne se dégage aucun gaz; mais lorsque la chaleur devient plus intense, il se pro- duit une huile empyreumatique qui se fige avec l'acide dans le col SUR L'OPIUM. 373 de la cornue et colore le produit ; en même temps il se développe de l'acide carbonique mélangé d’une très-petite quantité de gaz inflam- mable. Sur la fin de l'opération et lorsque la chaleur est toujours soutenue, on voit se grouper à la voûte de la cornue quelques longues aiguilles d'un blanc mat, ramifrées en barbes de plumes, difhcilement fusibles, trés-acides et peu solubles, rougissant les dissolutions de fer au maximum. Il m'a été malheureusement im- possible d'en faire un examen plus étendu, car non-seulement il s'en produit fort peu, mais en outre, ces cristaux, qui n'apparaissent qu'à la fin de la distillation, sont presque toujours détruits par les progrès de la chaleur. Je le regrette d'autant plus que j'aurais été bien curieux de m'assurer si ce deuxième acide pyrogéné qui, à coup sûr, est différent du premier, n'est point son isomère. J'es- père pouvoir étudier plus tard cette question; mais, revenant à mon sujet , je dirai qu'il suffit pour purifier l'acide pyro-méconique ordi- naire , de le pulvériser et de le tenir longtemps comprimé entre des doubles de papier joseph, afin de le priver de Facide acétique et de la majeure partie de Fhuile empyreumatique dont il est imprégné, puis on le dissout à chaud, soit dans l'eau, soit dans laleool pour l'obtenir cristallisé par refroidissement. C’est le seul, comme je l'ai déjà dit, qui ait été connu et étudié; voici les propriétés qui lui ont été attribuées. Cet acide est incolore, il peut être sublimé de nou- veau et sans reste, il se dissout également bien dans Peau et dans l'alcool. Cependant celui-ci, à température égale, en dissout da- vantage; il se fond entre 120 et 125°, et coule comme une huile. Du reste, on ne peut guère compter sur ce qu'on a dit de ses com- binaïsons salines, car il est à remarquer qu’on en a souvent obtenu directement avec l'infusion d’opium, et que dans ce cas on a eu tantôt affaire à l’un des acides dont il a été mention, tantôt à l'autre, et de [à vient qu'on attribue le peu de solubilité des méconates de chaux et de baryte à des matières étrangères; attendu, dit-on, que l'acide sublimé ne précipite par aucune de ces bases. Avec un peu plus d'attention , on eût reconnu que ces différences de solubilité dépendaient , non de matières étrangères , mais de la matière même 374 OBSERVATIONS des acides qui faisaient partie de ces combinaisons. Ainsi , da plupart des méconates à bases terreuses ou métalliques sont peu solubles, et le contraire a lieu, en général, pour les pyro-méconates. Cepen- dant celui de plomb est à peu près insoluble , quoique l'acétate de plomb versé dans une dissolution d'acide pyrogéné n’y occasionne pas de précipité; mais cela tient uniquement à ce que ce sel est so- luble dans un excès de son propre acide ou dans Facide acétique. I faut donc le préparer avec l'oxyde de plomb hydraté, et c'est alors qu'on peut juger de son peu de solubilité, car aussitôt que Facide approche de la saturation on voit tout le méconate se déposer. La capacité de saturation de cet acide déduite de son analyse et de la composition du méconate de plomb a été trouvée assez forte, bien qu'inférieure à celle des deux autres. Cependant si on sature des poids égaux de ces trois acides par une même solution alcaline on trouve une prodigieuse différence entre les quantités d'alcali absorbé. L’acide pyrogéné n'exige guère que le cinquième des deux autres, pour manifester une réaction sensiblement alcaline; et, chose fort étrange, les cristaux qui se forment dans cette liqueur alcaline sont de l'acide presque pur : il semblerait que ces deux corps ne peuvent se combiner par leur contact, du moins à la température ordinaire. Je me propose d'étudier ce phénomène de plus près et d'en rechercher la cause. En exécutant cette saturation comparative, il est encore une autre observation curieuse à faire, c’est que la solubilité des sels marche d’une manière inverse pour les acides méconique et para- méconique. Ainsi quand le premier a à peu près atteint la moitié de sa saturation, on voit le bi-méconate de potasse, qui est fort peu so- luble , se précipiter, tandis que l'autre, arrivé au même point, reste parfaitement dissous. On remarque précisément le contraire lors- que la saturation s'achève; le bi-méconate se redissout peu à peu et le liquide reprend toute sa transparence quand il contient assez d'al- cali; mais le para-méconate se précipite quand il est saturé. Il en est de même pour lammoniaque. Le bi-méconate de cette base est très- peu soluble. SUR L'OPIUM. 375 Les acides méconiques résistent fortement à l'action de Facide sulfurique, et c’est à tort qu'on a dit tout récemment qu'on devait craindre d'employer pour la décomposition du méconate de baryte un excès d'acide sulfurique, parce que l'acide méconique serait charbonné : ce n’est qu'après un long temps d'ébullition que l'acide sulfurique à 66° réagit assez fortement sur l'acide méconique pour qu'il y ait dégagement d'acide sulfureux, et le liquide conserve la propriété de rougir les dissolutions de peroxyde de fer presque indé- finiment. Mais avec l'acide nitrique il en est tout autrement : la réac- tion est si prompte, qu'on ne peut l'exercer quesur de petites quan- tités à la fois , autrement il y a projection du mélange. Il se produit par cette réaction une très-grande quantité d'acide oxalique. Quant à l'acide muriatique, il n’exerce d'autre influence sur l'acide méco- nique que de diminuer sa solubilité dans l’eau. Je n'entrerai pas dans de plus longs détails sur ces réactions, je craindrais d'abuser de l'indulgence de l Académie, et je me hâte de terminer par la remarque suivante ce chapitre déjà trop long : Lorsqu'on voit ainsi une série de corps qui semblent dériver les uns des autres, la première idée qui s'offre à l'esprit, c'est que ces corps ont un type commun qui se trouve plus ou moins modifié par des matières étrangères. Mais s'il en était ainsi pour le cas qui nous occupe, la capacité de saturation irait toujours croissant à mesure qu'on approcherait davantage de la pureté, et à ce compte notre acide pyrogéné devait l'emporter par sa capacité sur les deux autres, et c'est précisément le contraire qui arrive, Cependant, si nous observons que ces trois acides méconiques conservent, au mi- lieu de toutes. ces perturbations, une propriété commune qui est comme le type de la famille, celle de rougir les persels de fer, il nous faudra bien admettre l'existence d’un radical inamovible qui porte son caractère essentiel partout. On me permettra sans doute de rappeler ici que j'ai toujours insisté sur l'existence pro- bable de radicaux composés pour les acides organiques, et que j'ai formellement annoncé, con Jointement avec M. Boutron, que l'acide benzoïque ne préexistait que par son radical dans l'huile essentielle 376 OBSERVATIONS d'amandes ameres. Cette idée, qui pouvait sembler paradoxale alors, vient d'être confirmée par les nouvelles expériences de M. Liébig, et elle donne, soyons -en certains, la clef d’un grand nombre de phénomènes dont les explications laissent encore beaucoup à désirer. Berzélius, dans son cinquième volume (p. 163), nous a fait apercevoir que la cinchonine et la quinine pouvaient être considé- rées comme deux oxydes différents d’un même radical. Les der- nières recherches de M. Pelletier l'ont conduit à donner encore plus d'extension à ces nouvelles vues, et on remarque que de toutes parts nous pénétrons plus avant dans la composition organique; mais on ne peut se dissimuler qu'il reste encore beaucoup à faire pour débrouiller cet immense chaos. CHAPITRE IV. À mesure que l'analyse organique fait des progrès, nous demeu- rons plus convaincu qu'une des grandes difficultés qu'elle présente est d'extraire les corps tels qu'ils préexistent, car leurs éléments, et nous venons d'en acquérir de nouvelles preuves, sont souvent unis par un lien si faible, que sous les moindres influences nous les voyons varier et d'ordre et de proportion. On ne pourra donc compter désormais sur les résultats d'une analyse de ce genre, qu'autant qu'on aura eu recours à des moyens d'extraction simples et presque mécaniques, ou bien lorsque les mêmes produits auront été obtenus par des méthodes différentes. J'ai été chargé il y a peu de temps, par la société de pharmacie, d'examiner un HISeeue qui a été proposé par M. William Gregory, d'Édimbourg, pour extraire la morphine; ce procédé se à faire dissoudre, comme d’habi- tude, l'opium dans l'eau ; à rapprocher la dissolution en consistance convenable, et à décomposer par une dissolution de muriate de chaux. IL se forme un précipité de méconate de chaux, et la mor- phine est retenue dans la liqueur à l'état de muriate; on rapproche SUR L'OPIUM. 377 pour faire cristalliser le sel, et on réitère les cristallisations pour l'obtenir parfaitement blanc, puis on décompose le muriate pour isoler la morphine. La première fois que je répétai ce procédé, j'en fus peu satisfait, et je n'obtins guère que la proportion ordinaire de morphine ; tan- dis que l'auteur annoncait devoir étre plus élevée d’un bon tiers. Présumant que cette différence pouvait dépendre des qualités d’o- pium employées de part et d'autre, j'écrivis à M. Gregory pour le prier de me céder quelques livres de lopium dontilse servait. Il eut lobligeance de m'en envoyer un échantillon, et il me fit observer qu'il ne décomposait point son muriate de morphine, attendu que ce sel avait été substitué dans le pays, avec le plus grand avantage, à toutes les autres préparations d’opium. Je fis donc un nouvel essai et je partageai cet échantillon en deux parties égales : l'une fut traitée par la méthode de Gregory pour obtenir le muriate ; Fautre fut soumise au traitement habituel pour extraire immédiatement la morphine. Je reconnus bientôt que lopium de M. Gregory était d'une qualité supérieure à celui que nous trouvons ordinairement dans le commerce. Mais la quantité de morphine que jobtins de l'un des deux essais était loin de représenter la proportion de mu- riate recueillie dans l'autre, bien que ce sel, parfaitement blanc, ne retint aucune portion d'eau de cristallisation. Je soupconnai donc que le muriate de Gregory renfermait quelque chose d'étran- ger; je le soumis à différents essais qui ne m'y firent rien décou- vrir., Je supposai d'abord que ce muriate s'était trisulé avec la chaux ; mais la calcination n'y décélait pas la plus Iégère trace de matière inorganique ; une dernière expérience me parut propre à obtenir quelque certitude à cet égard. Je pris poids égaux de muriate de Gregory, et de muriate fait directement avec de la morphine très-pure; je les décomposai Tun et l'autre par de lammoniaque en me mettant rigourensement dans Îles mêmes circonstances pour les deux cas; j'avais agi,sur 5 gr. Le muriate de Gregory me fournit 45, 10 de morphine, et l'autre ÉPEERE 5, 48 378 OBSERVATIONS Frappé de cette différence et n'en pouvant trouver la cause, ayant agi sur une trop petite quantité, je résolus de répéter l'expé- rience très en grand. 100 livres d'opium furent mises en traitement à ma fabrique et l'opération fut confiée à M. Berthemot, jeune chimiste qui s’est déjà fait connaître avantageusement par plusieurs observations intéressantes qui ont été publiées dans les recueils périodiques : elle fut conduite avec tout le soin possible et eut un plein succès. Ce fut à cette époque que MM. Pelletier et Couerbe firent con- naître leurs intéressantes découvertes de la narcéine et de la mé- conine ; c'était uu motif de plus pour éveiller notre attention et re- chercher ces nouveaux produits que je n'avais pas encore eu le bonheur de rencontrer. L'occasion était belle, le procédé de Gre- gory étant d'une extrême simplicité, on avait droit de s'attendre à obtenir tous les produits sans altération, et J'avais fondé les plus grandes espérances sur nos prochains résultats. Cependant l'opé- ration touchait à son terme sans que nous eussions aperçu la moindre particularité. Enfin il ne nous restait plus qu'à décomposer le mu- riate pour rechercher la cause du déchet observé primitivement. Je fis opérer sur un kilogr. seulement; et le poids de morphine ob- tenue fut encore cette fois inférieur à ce que comportait la propor- tion de muriate employé. Les eaux-mères réunies aux eaux de la- rage furent évaporées, et, après concentration convenable, nous obtinmes une masse cristalline qui, soumise à la presse, présenta les caractères de l'union triple d’une matière organique, de Facide hydro-chlorique, et de fammoniaque. Brülés sur une lame de pla- tine, ces cristaux ne laissaient aucun résidu. L'’ammoniaque ne for- mait aucun précipité dans leur solution. Cependant, si on broyait ces cristaux avec une dissolution de potasse caustique un peu étendue, il s'en exhalait une forte odeur d'ammoniaque, et on voyait se réu- nir au fond du vase une petite masse translucide et visqueuse qui semblait être une matière grasse. Je crus avoir enfin rencontré la méconine; mais, en poursuivant l'examen, je reconnus bientôt que c'était un corps tout différent; en eflet, le globule visqueux qui SUR L'OPIUM. 379 s'était réuni au fond de Ia capsule perdit peu à peu de sa transpa- rence, et tout en devenant opaque, il augmenta de volume et ac- quit une telle consistance, qu'une fois séparé de la liqueur surna- geante, et lavé avec une petite quantité d'eau froide, je pus le réduire en poudre. Une portion de cette matière, qui paraissait s'être transformée en une espèce d'hydrate, fut soumise à l’action de l'eau bouillante; elle fut dissoute en partie et communiqua à l'eau une alcalinité très-prononcée. Ce n'était donc point de la mé- conine, du moins à s’en rapporter à ces simples essais. Mais pour acquérir plus de conviction à cet égard, je cherchai à obtenir ce produit dans son plus grand état de pureté, et mon premier soin fut de soumettre la masse cristalline dont j'ai fait mention à une nou- velle cristallisation. J'obtins cette fois de petites houppes soyeuses et mamelonnées parfaitement blanches qui ne contenaient plus d'ammoniaque. L'eau-mère en fut soustraite à l'aide de papier jo- seph, et je traitai une certaine quantité de ces cristaux par une solution de potasse caustique. Les mêmes phénomènes déjà indi- qués se reproduisirent, et Je recueillis sur un filtre tout l'hydrate pulvérulent qui s'était déposé au fond de la capsule ; je le favai en l'arrosant de temps à autre avec des petites quantités d’eau froide. Puis je laissai sécher et Je le traitai par de l'éther bouillant, que l'ex- périence in’avait démontré être son meilleur dissolvant. Une partie seulement de cette poudre fut dissoute, l'autre résista. La dissolu- tion qui ramenait au bleu le tournesol rougi fut abandonnée à une évaporation spontanée ; il se forma bientôt sur les paroïs su- périeures du vase, et à une assez grande distance du niveau du li- quide, de petites plaques radiées dures tet transparéntes , qui de- venaient autant de centres de cristallisation alimentés par des stries ascendantes. Cependant cette cristallisation était fort limitée et l'évaporation ne semblait plus faire de progrès. Le résidu liquide avait acquis une consistance presque sirupeuse. Pensant que l’eau était probablement nécessaire à la formation des cristaux, j'en ajoutai et je vis immédiatement se précipiter une foule de petites aiguilles très-blanches, dont le nombre augmenta à tel point que 48° 380 OBSERVATIONS la masse en fut presque solidifiée ; j'ajoutaï encore un peu d’eau et je jeta le tout sur un filtre. Ces cristaux une fois séchés ont'pré- senté les caractères suivants : Exposés à la chaleur sur une lame de platine, ils se brûlent avec flamme et ne laissent aucun résidu. Chauffés dans un tuberecourbé, ils n’entrent en fusion qu'à 150° environ : si on laisse refroidir im- médiatéement après la fusion, le tout ne présente plus qu'une masse cristalline; mais si on continue l'action dela chaleur, 4e H- quide oléagineux grimpe le long des parois, semble fuir la chaleur, mais ne se volatilise cependant pas. Délayés dans l'eau, ls mani- festent une alcalinité très-sensible, méme à froid. 1000 parties d'eau à 15° en dissolvent 12,6 1000 Pr CNE M LE PL RALEEE à SAN LE 10,00jun sun she 0 ttes nv raie Di 58 Lorsqu'on en ajoute dans l'eau bouillante plus qu'elle n’en peut dissoudre, lexcès entre en fusion et forme une couche comme huileuse, au fond du vase. Cette solution aqueuse fournit par un refroidissement bien ménagé des cristaux isolés transparents et par- faitement terminés. Cette matière, à laquelle j'ai donné le nom de codéïine, est inso- luble dans les solutions alcalines; elle se combine bien avec les acides et forme de véritables sels; le nitrate surtout cristallise avec la plus grande facilité. 1 gr. d'acide muriatique sec sature 7,837 de codéine. Le même poids d'acide sature 7,88 de morphine. On voit que ces deux capacités de saturation sont infiniment rapprochées. La teinture de noix de galle détermine un abondant précipité dans la dissolution de codéine, ce qui la distingue essentiellement de la morphine, dont elle diffère d'ailleurs par beaucoup d'autres caractères. Ainsi l'acide nitriquerne la rougit pas, elle ne bleuit pas par les persels de fer, etc. SUR L'OPIUM. » » 4 ® , . . . L'analyse élémentaire m'a fourni les proportions suivantes : EN CENTIÈMES Divisant par les poids atomiques 381 correspondants. Carbone ....... 71,339 Carbone.. 0,93330 Azote....... 53 5535314 Azofeib. . 4. À 0,06047 Hydrogène . .... 7,585 Hydrogène... 1,21550 Oxygène. MN 20Mm2b, 723 : Oxygène, :. 0,15720 100,000 Partant comme Liébig de 2 d'azote et établissant les propor- tions 0,06047 0293384 Su UoTr erreetc: on aura Carbone ...... y Sage us 30,86 Azote..... . AUREE 2,00 Hydrogène .............. 40,00 VE ERE NP. MERE NO 5,19 ou en nombre rond CÉETEV PM E NSSAN DE Calculant d’après cette formule le poids sn de la codéine, on obtient Ie nombre 3296, 206. Ce poids, déduit de La capacité de saturation prise avec le gaz Es chlorique sec, donne 3250, 93. 382 OBSERVATIONS On trouve par expérience que 100 de codéine contiennent 6,5 d'eau , d'où on tire la proportion suivante : DS,» Lc09206 PTE —R2920 10 Divisant par le nombre 112, 48, poids de Tatome d'eau, on a pour quotient 2,03, d'où on peut conclure que la codéine hy- dratée contient 1 atome codéine; 2 atomes d'eau. Voilà donc encore une nouvelle substance trouvée dans lo- pium, et on m'excusera sans doute si, par une prédilection bien naturelle, je la considère comme plus importante que la plupart des autres. Au reste, on en jugera par les motifs que je vais EXposer. Je rappellerai d'abord que ce nouveau produit est obtenu di- rectement et sans avoir passé par toutes les filières qui autorisent à craindre une altération plus ou moins profonde. Elle marche de pair avec la morphine, la suit dans sa combinaison avec l'acide muriatique, et son extraction n'offre aucune diflculté. On ne voit donc nulle raison pour émettre plus de doute sur la préexistence de l'une que de l'autre. De plus, elle est alcaline et à ce caractère se rattache nécessairement un grand intérêt , car toutes les substances de ce genre ont une action plus ou moins marquée sur l'économie animale. Or on sait que la morphine, qui a passé jusqu'à présent pour l'unique principe actif de lopium, n'en réunit cependant pas toutes Îles propriétés, et il y a longtemps que nous sommes avertis par les physiologistes qu'il reste là une lacune à remplir. La codéine viendra, selon toute probabilité, démontrer la justesse de leur observation; et déjà je puis annoncer que le jeune docteur Künckel, à qui j'ai remis une petite quantité de cette nouvelle base, s'est assuré qu'elle a une action très-prononcée sur la moelle épinière et qu’elle ne paralyse pas, comme la mor- phine, les parties postérieures. Elle se rapproche beaucoup , selon SUR L'OPIUM. 383 M. Künckel, de l'action qu'exerce lopium lui-même sur léco- nomie animale. I a pu se convaincre d'ailleurs que, prise à une dose un peu élevée, elle est réellement délétère. Ainsi, nous le voyons, il y a tout à attendre de cette substance considérée comme complément de l'opiur ; et si cet espoir se réa- lise, cela viendra nous dire pourquoi les praticiens d'Édimbourg préfèrent employer le muriate de Gregory à toutes les autres pré- parations d'opium, MÉMOIRE SUR LA RESTAURATION DU PÉRINÉE CHEZ LA FEMME DANS LES CAS DE DIVISION OU DE RUPTURE COMPLÈTE DE CETTE PARTIE; PAR M. ROUX. (Lu À L'ACADÉMIE DES SCIENCES, LE 6 JANVIER 1834.) 0 —— Le travail dont l'Académie veut bien me permettre de lui donner lecture aujourd'hui lui était destiné dès le moment où jai eu recueilli, et je crois pouvoir dire créé, les faits qui en sont la base. Il a rapport à une chose trop importante et trop féconde en résultats pour que je ne désirasse pas soumettre ces faits à l'examen et au jugement du corps savant dont j'ai toujours ambi- tionné le suffrage, qui tant de fois a daigné applaudir à mes efforts, et auquel je serais si glorieux d’appartenir. Pourquoi faut-il que j'aie été devancé dans mon projet par un événement qui remplit mon âme d'une vive affliction, et qu’au lieu de vouloir seulement acquérir de nouveaux droits à l'estime et à la bienveillance de l'Académie, j'aie à lui exprimer trop tôt, et trop directement, un RESTAURATION DU PÉRINÉE CHEZ LA FEMME. 385 vœu qui, s'il s'accomplit, aura été préparé par tant de regrets! Je supplie l'Académie de croire à la sincérité de mon langage, et d'ac- cueïllir mon travail comme si je l'eusse soumis à sa sanction il y a quelques semaines, ainsi que je devais le faire, dès lors en temps plus opportun, ou tout au moinssous l'empire d’autres circonstances. 1. Vous le savez, messieurs, chez la femme comme chez l'homme la nature a rapproché, elle a même uni assez étroitement les uns aux autres, et mis dans une sorte de dépendance mutuelle pour leurs fonctions respectives, les organes extérieurs de la génération et ceux par lesquels se termine Fappareil de la digestion. Chez la femme particulièrement, ces derniers (Le rectum et l'anus) sont accolés immédiatement au vagin et à la vulve : entre le rectum et le vagin, il n'y a que la cloison qui résulte de ladossement de leurs parois. Un pont un peu plus solide, mais un simple pont, un espace de dix-huit à vingt lignes, sépare l'anus de l'entrée du vagin. Ce pont, qui soutient les organes au-dessous desquels il est situé, et qui limite en arrière les formes propres de la vulve, c’est le pé- rinée : seule partie qui fasse résistance à l'extérieur dans Facte de l'accouchement; susceptible toutefois d’une grande extension, et pouvant s'élargir, se distendre, et prêter assez pour que, généra- lement, fexpulsion du fœtus s'accomplisse sans désordre aucun, sans autre circonstance que lampliation momentanée de la vulve. 2. Ainsi, du moins, a été arrêtée la conformation des parties exté- rieures de la génération de la femme, et telle est Ia destination importante du périnée. Mais chez beaucoup de femmes le périnée n’existe pas : je me trompe, et je dois dire qu'il a été brisé, rompu, détruit d'une manière quelconque, en un mot, qu'il n'existe plus; car c'est chose inouïe, je crois, que les parties extérieures de la gé- nération de la femme et l'anus se soient trouvées confondues par une disposition primordiale. Il n’est pas à ma connaissance qu'on ait vu naître des femmes, et que des femmes aient vécu avec une di- vision originelle du périnée , et ne possédant qu’à demi les attributs 5. 49 386 RESTAURATION DU PÉRINÉE extérieurs de leur sexe; tandis qu'on voit si souvent la division con- géniale des lèvres, de la voûte palatine, du voile du palais; tandis qu'on observe assez fréquemment encore la séparation du sternum en deux moitiés, celle des parois de l'abdomen, l'ectrophie de la vessie, lhypospadias; toutes divisions occupant la ligne médiane du corps; toutes anomalies de conformation qui ont entre elles la plus grande analogie, reconnaissent à peu près la même origine, et proviennent, comme on Îe sait, dans le plus grand nombre des cas d'un arrêt de développement. 3. La division du périnée chez la femme est donc toujours le ré- sultat d'un accident; toujours elle est l'effet d’une violence physique exercée sur cette partie. De quelque manière qu'elle ait été produite, de graves incommodités, des incommodités dégoûtantes en sont l'iné- vitable conséquence , et par elle s'évanouit une partie des charmes que la nature a réunis chez la femme pour assurer le rapprochement des sexes. On conçoit de quel intérêt il peut être de faire cesser cette horrible mutilation. Jusqu'ici les tentatives de l'art avaient eu peu de succès; et si la chirurgie n'avait pas tout à fait déclaré son impuis- sance, du moins montrait-elle peu de confiance dans ses ressources : on ne compte qu'en très-petit nombre dans ses fastes les cas dans les- quels on ait essayé de refaire un périnée par la suture. Combien de femmes, au contraire, ont été abandonnées, combien le sont en- core, à l’une des plus tristes conditions qu'il y ait! Plus heureux que d'autres chirurgiens ne l'ont été, je suis parvenu à triompher d'une grande difficulté : je crois être en possession d’un moyen sur leffica- cité, et l'eflicacité presque constante duquel on peut compter pour la reconfection du périnée. Des faits, et des faits déjà assez nom- breux, eu égard à l'objet dont il s’agit, semblent ne laisser aucun doute à cet égard. Ce sont ces faits, avec leurs résultats curieux, que je viens communiquer à l'Académie. Je n’entreprendrai pas ici une description détaillée de tout ce qui a rapport aux ruptures ou aux divisions du périnée; le moment serait mal choisi pour entrer dans tous les développements qu'une telle matière pourrait com- CHEZ LA FEMME. ÿ 387 porter : quelques considérations préliminaires, tant sur l'origine de ces ruptures et leurs effets, que sur ce qui a été tenté pour réparer un tel désordre, sufliront pour le but que je me suis proposé. 4. Ce qui dispose le plus à la mutilation dont il s'agit, ce qui la produit dans le plus grand nombre des cas, ce sont les efforts de l'accouchement. Pour cela même, il n’est pas besoin d’une extrême étroitesse naturelle ou de quelque autre conformation défectueuse de Ia vulve ou des parties adjacentes : avec les meilleures dispo- sitions de ces parties, une rupture peut advenir, parce que Îa tête de l'enfant est très-volumineuse ; parce que le travail s'effectue avec trop de promptitude, surtout s'il s'agit d'une première partu- rition; parce que ce travail aura été mal dirigé, mal conduit; ou bien encore quand il faut en venir à l'application du forceps, si cette application n’est pas faite avec l'art et les précautions conve- nables. Toutefois, d’autres circonstances peuvent aussi donner lieu à une destruction complète ou incomplète du périnée chez la femme; telle une blessure causée par accident, bien que la région occupée par les parties extérieures de la génération et les régions circonvoisines soient peu exposées à linjure des corps extérieurs ; telle encore une ulcération gangréneuse, ou une gangrène pro- prement dite, comme il s'en développe ailleurs et sous l'influence de causes si variées. Ne pourrait-elle pas provenir aussi de quelque acte volontaire, mais criminel ou insensé? J'ai souvenance, sans pouvoir bien me rappeler la source où ce fait est consigné, qu’une fois cette mutilation du périnée a été le résultat d'une atroce vengeance exercée par un mari sur sa femme, qu'il savait lui être infidèle. Il n’y a pas jusqu’à l'art lui-même qui ne puisse, dans certains cas, occasionner un tel désordre : chez une des femmes dont j'aurai à parler spécialement, une division, la plus complète possible, du périnée avait succédé à une opération entreprise inu- tilement, je crois, pour guérir une simple fistule. 5. Par quelque cause et dans quelque circonstance qu'advienne 49 * 388 RESTAURATION DU PÉRINÉE une division ou une rupture du périnée, et je comprends avec le périnée proprement dit la cloison recto-vaginale, cette divi- sion n’a pas toujours la même étendue, ne présente pas tou- jours [a même manière d'être, et ne doit pas avoir infaillible- ment les mêmes résultats. Quelquefois, chose tres-remarquable, c'est cette cloison recto-vaginale qui est seule rompue, le périnée restant intact. On croirait qu'alors il doit s'établir inévitablement une communication permanente du rectum avec le vagin, avec passage habituel d'une partie des matières fécales du premier de ces organes dans l'autre. Eh bien! non; des cas ont été vus dans lesquels la nature s'est suffi à elle-même pour opérer une guérison complète. 6. Le plus ordinairement, au contraire, c'est le périnée lui-même qui a éprouvé le principal désordre; et ce peut être une simple perforation, mais une perforation étendue, une déchirure cen- trale, par laquelle on a vu quelquefois sortir l'enfant tout entier. Ici encore la nature livrée à ses propres forces peut faire des efforts salutaires : que dis-je? constamment alors la déchirure disparaît, les parties se consolident sans réunion artificielle, sans suture. Dans d'autres cas, il s'agit d’une déchirure plus ou moins étendue de la seule partie antérieure du périnée; le sphincter de Fanus et l'anus Ini-même conservent toute leur intégrité, Quoique ce cas semble moins grave que le précédent, moins heureuses peut-être sont les femmes qui ont eu le périnée-rompu de cette manière : les eflorts réparateurs de la nature sont toujours incomplets ; une partie de la déchirure seulement se consolide; vient alors l'inconvénient grave, surtout pour une femme jeune encore, d'une vulve qui se prolonge beaucoup en arrière et qui est sans ressort, sans contractilité. D’autres fois, enfin, il y a division de ‘ tout le périnée, déchirure complète de cette partie, et cette divi- sion, cette déchirure peut s'étendre à une partie de [a cloison recto-vaginale. CHEZ LA FEMME. 389 7. C'est à ce dernier cas seulement que je m'arrèteraï; à lui seul se rapportent les faits que je dois faire connaître. C’est incontestable- ment le plus grave qui puisse se présenter, et malheureusement il n’est que trop commun, Parmi les accidents et Les lésions physi- ques qui ne compromettent pas la vie, il n’en est guère de plus déplorables, et je conçois peu de conditions plus dignes de pitié que celle d'une femme qui a éprouvé une rupture complète du pé- rinée et du sphincter de l'anus, avec ou sans déchirure d’une partie de Ia cloison recto-vaginale, et chez laquelle la partie inférieure du rectum et celle du vagin sont confondues en une sorte de cloaque, Dans ces cas, en effet, il n'y a rien à espérer des efforts de la nature; seule, elle est impuissante à réparer un tel désordre : il faudrait que l'art pût agir incontinent; et je dirai plus tard comment et pourquoi il ne le pourrait alors qu'avec quelques désavantages. Constamment donc les bords de Ia fente du périnée, ceux de lé- chancrure qui existe à la cloison recto-vaginale, quand cette cloison elle-même participe à la rupture, restent séparés l'un de Fautre: d'abord ils suppurent, puis ils se cicatrisent isolément; et bientôt la solution de continuité revêt les apparences d'une conformation vi- cieuse naturelle. Toujours alors, à moins d'une heureuse interven- tion des ressources de la chirurgie, le périnée a complétement dis- paru ; la vulve et anus ne forment plus qu'une seule et même voie : à où ces deux ouvertures étaient si distinctes Tune de l'autre et si bien séparées par le périnée, il n’y a plus qu'une fente unique, un sinus profond à bords, ou droits, ou irrégulièrement ondulés et revétus par un tissu muqueux; et pour peu que la division s’étende à Ja cloison recto-vaginale , la partie inférieure du rectum et celle du vagin forment un vrai cloaque. 8. Combien est triste la condition d’une femme en cet état! Ce n'est pas qu'il soit interdit à cette femme de concourir encore à Ja propagation de son espèce; désormais elle pourra même éprouver le bonheur d’être mère sans l'acheter par de trop vives souffrances. Une dame dont je parlerai avait éprouvé une déchirure complète du 390 RESTAURATION DU PÉRINÉE périnée dans un premier accouchement, et venait de mettre au monde un second enfant peu de temps avant que je lui fisse la suture de cette partie. J'ai connu une dame anglaise quiavait éprouvé le même malheur dans un premier accouchement, et qui était en possession d’une famille composée de douze enfants. Je suis sûr qu’on re- cucillerait dans le monde nombre de cas semblables ; et peut-être qu’à force d'art, de ruse, d'adresse, et par je ne sais quelles super- cheries, des femmes parviennent à cacher une infirmité si propre à inspirer du dégoût. Mais quand elle est connue, et pour que ce dégoût soit surmonté, ne faut-il pas ou le délire des sens porté à l'excès, ou un sentiment plus qu’ordinaire des devoirs presque sacrés qu'impose Punion conjugale? Non-seulement une femme chez qui le périnée n'existe plus n’est plus femme qu'à demr, au moins en ce qui concerne l'appareil extérieur de la génération ; non-seulement elle a perdu, toute jeune qu'elle peut être, et qu'elle est le plus ordinairement, une partie des charmes physiques dont la nature lavait pourvue ; mais une des plus graves incommodités qu'il y ait, une incommodité dégoûtante l'aflige encore continuel- lement : son sort est presque aussi misérable que celui des personnes qui sont affectées d’un anus contre nature. Comme le sphincter de l'anus a été déchiré et ne peut plus se contracter, comme toute action a cessé à la partie inférieure du rectum, rien ne s'oppose à l'issue des gaz intestinaux aussitôt qu'ils parviennent au terme de leur cours, ni à la sortie ou continuelle, ou du moins trop souvent répétée, et presque involontaire des matières fécales. Sans doute celles-ci peuvent séjourner quelque temps encore dans l'intestin rectum quand elles y arrivent avec une certaine consistance ; mais sont-elles molles, le besoin de les rendre se produit à tout instant; il est vif et pressant: et si elles sont encore à un état plus voisin de l'état liquide, elles s'échappent involontairement, inondent le vagin et toutes Îles parties voisines. Les femmes qui sont en proie à une telle infirmité sont presque toutes obligées de vivre dans une soli- tude contraire à leur âge, à leur sexe, à leurs habitudes; elles tom- bent dans une profonde tristesse, presque toujours leur santé s'al- CHEZ LA FEMME. 391 tère; elles perdent leur fraîcheur. Je connais peu de positions plus dignes de pitié. 9. Dès longtemps les chirurgiens ont pensé qu'il n'était peut-être pas impossible de reconstituer ou de refaire le périmée rompu dans l'accouchement. Quelques-uns seulement l'ont tenté; et si quelque chose doit étonner, c’est que ce projet n'ait pas été suivi avec plus d'ardeur, c’est qu'on n'ait pas fait plus d'efforts pour réussir. Sans doute l’état naturel de tension , ou le peu d’extensibilité des parties voisines du périnée, rend le rapprochement de ces parties difficile à opérer; sans doute la communication incessante ou continuelle d’une plaie qu'on veut réunir avec des organes d'où sortent conti- nuellement aussi du mucus, des matières, des liquides, peut être un empêchement à la réunion de cette plaie ; sans doute l'évacuation des matières fécales par l'anus, si elle devait se faire trop prompte- ment, est une autre circonstance contre laquelle ïl faut étre en garde; sans doute, enfin, c’est une chose désavantageuse que les parties qui entrent dans la composition du périnée soïent si molles, si fâches, si peu charnues, et si peu propres conséquemment à éprouver une inflammation simplement adhésive. Voilà des difli- cultés à vaincre, des obstacles à éloigner ; mais ces difficultés , ces obstacles ne sont point absolus, puisque déjà depuis longtemps, mais de loin en loin, on a obtenu quelques succès. Il s'agissait donc de trouver le moyen de réussir, ou toujours, ou dans le plus grand nombre de cas. 10, L'honneur de la première tentative appartient à la chirurgie française. C’est Guillemeau, disciple, émule et contemporain de notre Ambroise Paré, qui rapporte le premier fait relatif à la suture du périnée; c’est par lui que l'opération avait été pratiquée. Il avait mis en usage ce que nous appelons la suture à points entre- coupes : l'opération avait réussi. Indépendamment de la grande confiance que ce célèbre chirurgieu inspire, le fait est rapporté avec les circonstances les plus propres à en garantir l'authenticité. 399 RESTAURATION DU PÉRINÉE Je n'en puis dire autant d'un cas de succès attribué à un chirur- gien obscur dont il est PAU dans Îes Éphémérides des curieux de la nature, recueil qui n’a pas toujours un caractère suffisant de vérité. Plus tard Mauriceau, Lamotte, Smellie ont paru croire qu'on pouvait entreprendre la restauration du périnée; ils [a con- seillent, indiquent la suture à points passés, mais sans dire s'ils ont réellement tenté cette opération, et sans faire connaitre Îes résul- tats qu’ils en auraient obtenus. C'était y attacher peu d'importance; c'était en quelque sorte abandonner. On n’y pensait plus, en effet, lorsque. vers la fin du siècle dernier, deux chirurgiens français, Noël, de Reims, et Saucerotte, de Lévalles l'entreprirent une fois chacun séparément, et lentreprirent avec succès, lun et l'autre en employant la suture qu'on nomme suture entortillée. Ces deux faits font époque dans la science. Pendant longtemps ils ont été les seuls connus, les seuls cités, et faisaient la base unique des brèves considérations qu'on trouve consignées sur la restauration du périnée dans nos ouvrages classiques. Noël et Saucerotte ont presque passé pour des inventeurs; on admira leur courage, mais sans montrer beaucoup d'empressement à marcher sur leurs traces. La chirurgie anglaise, si belle à tant d'égards, émule et rivale de Ia nôtre, s'est montrée tout à fait stérile sur ce point. Les chirurgiens (rancais de notre époque ont montré presque tous la même indiffé- rence, ou bien ont été découragés par quelques non réussites, sans rechercher aucunement si par des voies nouvelles on ne pouvait point arriver à de meilleurs résultats. L'homme célèbre qui avait été mon maître avant que je tisse à lui par les liens du sang, et que la mort vient d'enlever à l'Académie, n'avait jamais, dans le cours de sa longue carrière, pratiqué la suture du périnée; et dans son grand ouvrage de chirurgie, il se borne à ne pas désapprouver les nouveaux essais qu'on voudrait faire, mais sans montrer beau- coup de confiance. Son contemporain d'âge et son égal en renom- mée, qui vit encore, M. Dubois, l'a faite une seule fois, et n'avait point réussi; Le fils de ce Nestor de la chirurgie francaise, M. Paul Dubois, Fa tentée une fois aussi pareillement, à l’hospice de Ia ma- CHEZ LA FEMME. 393 ternité : même revers. L/un et l'autre avaient suivi les errements tracés par Noël et Saucerotte, c’est-à-dire, qu'ils avaient mis en usage {a suture entortillée. Cependant, depuis que nies succès connus ont rappelé l'attention sur ce sujet, on parle d’une tentative, et d’une tentative heureuse faite par M. Dupuytren, il y a douze Où quinze ans, mais à laquelle il avait attaché peu d'importance ; et l'un de nos recueils périodiques de médecine, celui qu'on nomme Revue médicale, contient le récit d’un cas où cette suture du pé- rinée a été pratiquée à peu près dans le même temps et avec un résultat également favorable, par M. Montain le jeune, Fun des plus habiles chirurgiens de Lyon ; et je dois à {a vérité de dire que dans le cas dont il s'agit, cas dont j'ai eu connaissance il y a très-peu de temps, M. Môntain a fait, pour une partie de son opération, quel- que chose qui se rapproche du procédé dont je croyais avoir eu complétement la première idée. 11. Cependant aussi, et depuis le commencement de ce siècle, quelques chirurgiens allemands ont eu pitié de ces malheureuses femmes chez lesquelles le périnée a été rompu dans l’accouche- ment. Ils ont essayé de faire revivre la suture de cette partie; sur- tout ils ont discuté avec sagesse la question de époque la plus opportune pour entreprendre cette opération : tels Mursinna, Mentzel, Osiander, et plus spécialement encore M. Dieffenbach à Berlin. Les uns proposent la suture à point passés ou séparés, les autres recommandent la suture entortillée. Aucun n’a eu la pensée d'appliquer ici cet autre moyen de synthèse qui a nom suture en- chevillée; et, S' faut en croire M. Dieffenbach, il n’y a guère à espé- rer de succès qu’en pratiquant deux incisions parallèles sur les côtés de la vulve et du périnée, incisions par lesquelles on prévient le tiraillement et une trop forte distension des parties voisines de celles qui doivent être embrassées dans des anses de fil, ou tra- versées par des aiguilles. C’est ainsi qu'a agi le chirurgien de Ber- lin dans plusieurs cas ; et deux fois, mais deux fois seulement ses efforts ont été courennés de succès. Osiander a pareïllement réussi 5. 50 394 RESTAURATION DU PÉRINÉE une fois, et sans Le secours de ces incisions verticales sur Les côtés du périnée. On connaissait ces nouvelles tentatives faites par les chirurgiens allemands, on voulait bien croire à la vérité de quelques succes obtenus par eux; mais ces succès étaient considérés comme des faits tout à fait exceptionnels. En France surtout on ne pouvait croire qu'il fût jamais possible de trouver pour la restauration du périnée une méthode applicable à tous les cas, et qui dans fa main même des chirurgiens les plus habiles püt offrir des probabilités suffisantes de succès. On avait donc abandonné cette opération comme étant, sinon trop diflicile dans l'exécution, du moins trop incertaine et trop chanceuse dans ses résultats. 12. Tel était donc naguère Pétat de fa science, telle était aussi parmi nous, en France, à Paris, la disposition des esprits rela- tivement à la suture du périnée; et moi-même, si impatient, si désireux de voir reculer le plus possible les limites de ce que dans cette enceinte, ül y a quatre ans, jai appelé la chirurgie restauratrice, et qui ai tant recherché les occasions de concourir aux progrès de lart sous ce rapport, moi-même, dis-je, je par- tageais {a prévention générale contre cette opération; je n'avais pas la moindre velléité de renouveler les tentatives faites à diffé- rentes époques par les chirurgiens dont j'ai parlé, lorsque se pré- senta le cas suivant qui a fait une si grande révolution dans mes pensées, et qui sera, j'en suis convaincu, le signal d’un heureux progres en chirurgie, et un premier pas assuré vers une conquéte durable. 13. Une jeune dame de la Normandie vint à Paris au mois de dé- cembre de l'année 1831, il y a deux ans. C'était l'épouse de M. ”", médecin dans une petite ville du département de la Manche ; elle avait vingt-deux ans. Mariée à dix-neuf, elle était devenue enceinte presque immédiatement après son mariage, et accoucha lorsqu'elle touchait à peine à sa vingtième année. L'accouchement avait été long, pénible ; on avait dû recourir à l'application du forceps; et CHEZ LA FEMME. 395 les efforts nécessaires Pour amener au dehors la tête de l'enfant, et mettre fin à son séjour trop prolongé dans l’excavation du bassin, efforts bien ou mal conduits, bien ou mal dirigés, avaient produit la déchirure du périnée. Cette déchirure avait été aussi complète que possible ; Ia cloison recto-vaginale y avait participé dans l'éten- due d'un demi-pouce environ. La nature n'avait rieu fait pour la réparation du désordre. Deux ans s'étaient écoulés depuis l'événe- ment lorsque cette jeune dame, Pour qui j'avais été consulté d'a. vance, me fut présentée, et lorsqu'il me fut loisible de l’'examiner attentivement. La déchirure s'était faite très-exactement sur la ligne médiane; les bords parfaitement cicatrisés étaient d’ailleurs souples, flexibles, sans induration, sans callosités aucunes. On eût dit, à leur apparence, une division congéniale plutôt qu'une fente du périnée provenant d’une solution de continuité accidentelle. L’anus et la vulve ne formaient qu'une seule et grande ouverture ; il fallait en écarter les bords Pour apercevoir ses limites sur la cloison recto-vaginale. Toutes les incommodités dont j'ai parlé précédem- ment, et qui sont Îa suite inévitable de toute déchirure complète du périnée, cette jeune dame les éprouvait au plus haut degré. Aussi était-elle tombée dans la plus grande tristesse et la plus pro- fonde mélancolie : et cependant, pour étre moins fatiguée par le besoin trop souvent répété d'aller à fa garde-robe, ou pour éviter l'issue involontaire des matières fécales, elle avait la ressource des préparations d'opium, dont elle éprouvait l'action astringente d’une manière remarquable, et au moyen desquelles elle pouvait se pro- curer à volonté et au besoin une constipation plus ou moins long- temps prolongée. Malgré cela, elle s'était réduite à ne prendre que la quantité d'aliments bien strictement nécessaire à l'entretien de la vie, en même temps que, dans Îa crainte d’être surprise par un besoin impérieux de rendre des vents ou des matières, besoin qu’elle n'aurait pu maîtriser, elle vivait presque entièrement retirée du monde. 14. Pressé par le mari de cette Jeune dame, j'accédai aux vœux de 50" 396 RESTAURATION DU PÉRINÉE lun et autre, et je consentis à faire une opération sur laquelle je ue connaissais alors avec quelques détails que les observations déjà un peu anciennes de Noël et de Saucerotte, et les tentatives plus nouvelles de M. Dieffenbach. Je n'espérais pas réussir; et cependant la forme régulière de fa solution de continuité, le si vif désir qu'a- vait la malade d’être affranchie de ses mcommodités, et d’être dé- livrée de sa triste position, fa patience et le courage dont elle se sentait capable, quelles que dussent être les douleurs de lopéra- tion, son âge, la parfaite santé dont elle jouissait malgré sa pro- fonde affliction, et bien qu'elle eût perdu une partie de son em- bonpoint naturel, tout semblait se réunir pour autoriser lentre- prise. Je devais aussi considérer comme une circonstance favorabie la facilité que cette jeune dame avait acquise de supporter pendant un temps assez long le régime le plus austère, et de se procurer une constipation prolongée au moyen des préparations d'opium. De cette manière, en effet, il y avait possibilité de suspendre les évacuations alvines, non pas seulement pendant quelques jours , mais pendant tout le temps nécessaire à l'entière et parfaite conso- lidation du périnée, si cette consolidation devait avoir lieu, et d'é- loigner ainsi un des plus grands obstacles au succès de l'opération: et toutefois ce que j'ai cru devoir faire à cet égard chez la dame dont ïl s'agit ne conviendrait certainement pas dans d'autres cas. J'ai pu, chez elle, profiter d’une circonstance toute particu- lière, et lon verra que je lai fait sans inconvénient; mais il doit être généralement préférable de provoquer de bonne heure des selles très-molles ou même liquides, afin d'éviter toute dilatation de Fanus et tout tiraillement des parties dont on veut obtenir la réunion, Telle a été ma règle de conduite dans toutes mes autres sutures du périnée. 15. L'opération tant désirée par cette jeune dame fut faite une première fois au mois de janvier de lannée dernière (1832). Comme je n'avais encore aucune expérience propre relativement à la suture du périnée, je crus devoir suivre la route frayée , et je fis CHEZ LA FEMME. 397 choix pour moyen de rapprocher les parties amences à l'état de cruentation, et de les maintenir dans un contact exact, de la suture dite entortillce, dans laquelle Les bords d’une plaie restent traversés pendant plusieurs jours par des aiguilles droites ou verges métal- liques, et sont maintenus rapprochés par un long fil qu'on con- tourne un grand nombre de fois sur les extrémités libres de ces tiges inflexibles, C’est celle qu'on pratique si communément aux lèvres, aux paupières et sur d’autres parties du visage, ct ailleurs encore toutes les fois qu'on tient à ce que la cicatrice qui doit suivre la guérison d'une plaie soit simplement linéaire, et qu’elle soit exempte autant que possible de difformité, ou bien encore quand on veut contenir un liquide dont le passage entre les bords d’une plaie pourrait mettre empêchement à leur adhésion. A peine est-il besoin de dire qu'on emploie des aiguilles courtes ou longues, pe- tites ou grosses, selon la force et l'épaisseur des bords de la plaie qu'il s’agit de réunir : nulle part il n’en faut d'aussi longues et d'aussi grosses que pour Îe périnée. 16.En choisissant la suture entortillée pourl'opération que j'avais à faire, je suivais une route frayée, je n'étais qu'imitateur. Comme à tous ceux qui ont parlé jusqu'ici de la restauration du périnée, ou qui l'ont tentée, cette suture me paraissait le procédé à l'aide du- quel on pouvait le mieux établir entre les parties fraîchement avi- vées un contact si exact, une coaptation si parfaite qu'elles ne pussent pas être humectées par les mucosités du vagin, ou par les excréments liquides pendant le temps nécessaire à leur consolida- tion. I ne me vint pas d'abord à Fesprit que la chirurgie possédait, pour atteindre ce but, un moyen encore plus efhicace; je ne pensai point à une suture qui, jusqu'ici, n'avait été affectée qu'aux plaies des parois de l'abdomen, et qu'on nomme suture enchevillée ou emplumée; et peut-être a-t-l fallu la non réussite d’une première opération faite avec la suture entortillée pour que je songeasse plus tard à appliquer cet autre moyen de synthèse à Ia restauration du périnée. 398 RESTAURATION DU PÉRINÉE 17. J'avais fait construire tout exprès de très-longues et trés- grosses aiguilles d'argent, garnies à lune de leurs extrémités d'un fer de lance amovible en acier. Une première partie de l'opération consista dans Favivement des bords de Ja division : renlevar de chaque côté un flambeau à peu près quadrilatère, long d'un pouce et demi à deux pouces environ, mais fort mince; car, bien que les parties qui avaient formé autrefois le périnée fussent assez sou- ples, et pussent étre assez aisément rapprochées d’un côté à l'autre , encore devais-je éviter de leur faire éprouver une perte de substance trop considérable, Mais en formant chacun de ces deux lambeaux , je pris le soin d'anticiper un peu sur la pean d’une part, et d’une autre part sur les parois du vagin; et tous deux furent assez prolongés de l'anus vers les grandes lèvres, pour qu'après la suture faite, et l'opération terminée, l'entrée du vagin fût plutôt un peu trop étroite que trop large. Je voulais aussi mettre en contact des surfaces aussi étendues que possible, et augmenter de cette manière les chances de succès de l'opération. J'avivai séparément et en second lieu , les deux lèvres de la petite fente qui se prolon- geait sur la cloison recto-vaginale, et les embrassai dans un point de suture simple. Tout cela fait, je procédaï à la suture entortillée sur les parties molles extérieures, c’est-à-dire sur le périnée propre- ment dit. 18. Avoir indiqué précédemment en quoi cette suture consiste, c'est presque avoir dit cominent on la pratique, et comment je lai faite dans le cas dont il s’agit : une description détaillée de la manière dont elle a été exécutée- serait chose superflue. On présume bien que jai dû placer plusieurs aiguilles; en aï mis quatre, en effet, séparées les unes des autres par des intervalles d'un demi-pouce : on devine le soin que J'ai eu de les engager d’un côté, et de les faire sortir de l'autre à plus d'un pouce de chacune des lèvres de Ia divi- sion; celui que j'ai eu de Îes faire pénétrer profondément, jusque près des parois du vagin, de manière à comprendre dans les points de suture toute l'épaisseur du périnée; et comment enfin, en con- CHEZ LA FEMME. 399 tournant les fils sur les extrémités des aiguilles, je dus être attentif à ne les serrer ni trop ni trop peu. Sous ces divers rapports, tout se passa au gré de mes désirs; et bien que les parties du périnée qui restaient à découvert me parussert un peu tendues, elles ne étaient pas assez pour qu'on püt craindre une déchirure des parties embrassées par les points de suture : je me dispensai donc, et ii l'était réellement inutile de faire les entailles latérales qui ont été tant recommandées par M. Dieffenbach. Je retranchai les bouts trop longs des aiguilles : sous ces bouts ainsi réduits, je plaçai du linge pour garantir la peau de toute pression douloureuse; après quoi, j'avisai au moyen de tenir les cuisses exactement rappro- chées lune de autre et de prévenir leur écartement involontaire pendant le sommeil. 19. Médecin, comme Je l'ai dit, et médecin habile, Le mari de la malade l'entoura de la plus tendre sollicitude, lui prodigua des soins dirigés avec une grande intelligence. Malgré ses efforts et les miens, maloré le courage dont la malade avait fait preuve, et la patience qu'elle montra consécutivement à lopération, je devais être une première fois trompé dans mon attente, ou plutôt mes craintes devaient se réaliser. Cependant les choses se passèrent d'abord de la manière {a plus heureuse, ou du moins la plus favorable en apparence. Îl ne survint pas d'accidents : autant qu'on pouvait juger de l'état des bords de la plaie et des autres parties cachées par les fils de la suture, linflammation ne s'y était déve- loppée qu'à un degré convenable; la malade n'y ressentait qu'une douleur légère. On avait le soin de la sonder chaque fois qu'elle éprouvait le besoin de rendre l'urine, pour éviter l'écoulement de ce liquide sur la plaie; et la seule diète, mais une diète absolue, avait sufli pour suspendre les évacuations alvines , qui ne se réta- blirent même que quelques jours après l'entière désunion des paï- ties, Nous étions arrivés au septième jour ; six jours pleins s'étaient écoulés depuis le moment de l'opération, lorsque je me décidai à retirer les aiguilles et à enlever les fils qui avaient servi à faire [a 400 RESTAURATION DU PÉRINÉE suture. On eût dit alors que la réunion s'était opérée; les deux par- ties du périnée se maintenaient en contact immédiat. Mais une ma- tière simplement glutineuse mettait momentanément obstacle à leur rétraction ; la réunion n'était qu'apparente : deux jours apres tout était désuni; après quoi les choses reprirent promptement leur aspect primitif. 20. Malgré ce fâcheux résultat, bien propre à décourager, il fut bientôt décidé entre la patiente, son mari et moi qu'une nouvelle opération serait pratiquée. Nul motif, en effet, autre que la crainte de ne pas micux réussir une seconde fois que la première, ne pou- vait détourner de lentreprendre : je n'avais eu à vaincre que des difficultés fort ordivaires, etaucun changement n'était advenu par le fait de la première opération, qui dût ètre une source de diflicultés plus grandes, ou d'obstacles nouveaux à la réussite : les parties sur lesquelles il fallait agir devaient avoir repris bientôt leur sou- plesse et leur extensibilité première; elles n'avaient éprouvé aucune déchirure nouvelle, aucune nouvelle déformation, puisqu'aucune escarre ne s'y était formée; et lon ne devait tenir aucun compte de la perte de substance si légère qui avait été produite par un pre- mier avivement des bords de la déchirure. Maisla malade avaitété affaiblie par un assez long séjour au lit, par la diète rigoureuse à laquelle elle avait été soumise pendant quelque temps, par le cha- grin que lui causa le non succès d’une première tentative, et par la crainte qu'elle dut naturellement concevoir de ne pas recueillir le prix d’un nouveau courage, et d'une nouvelle résignation : il fallait lui laisser reprendre des forces, et se donner le temps de voir renaître l'espérance dans son âme. Puis, nous avions atteint le fort de la saison rigoureuse; c'était un moment peu favorable pour une opération qui n'avait rien d'urgent. Enfin, nous étions alors dans la pénible attente de l'épidémie qui a fait parmi nous de si grands ravages, et bientôt, en effet, éclata cette épidémie, que la malade eut le courage de braver, et qui ne lempécha pas de rester à Paris. Ainsi plusieurs mois s'écoulèrent, et nous ne CHEZ LA FEMME. 401 trouvâmes le moment opportun pour entreprendre une opération nouvelle qu’à la fin du mois de mai. 21. Toutefois, durant ce long délai ou cette longue temporisation, je méditai sur ce qui avait pu me faire échouer une première fois, et sur ce qui avait fait échouer d'autres chirurgiens, et des chirurgiens habiles, dans d’autres tentatives du même genre. Je ne tardai pas à être convaincu que ce qui avait dû mettre obstacle à la réussite, c'était que même avec la suture entortillée, qui n'agit avec toute la puissance possible qu'à l'extérieur, on ne peut pas établir un contact exact entre les parties les plus profondes de la plaie ; c'était que le fond de celle-ci reste béant du côté du vagin, et qu'ainsi ses bords peuvent être continuellement humectés par des mucosités, qui découlent d'autant plus abondamment de cette dernière partie, qu'elle-même participe à inflammation du périnée. Dans ma pen- sée, je considérais comme une moindre source d'inconvénients la nécessité du passage des matières fécales par Fanus , puisque d’une part ïÎ n'est pas impossible d'obtenir, par des moyens artificiels, une constipation prolongée: et que par des moyens d'un autre genre on peut rendre les excréments tellement liquides, ou si mous que leur sortie puisse s'effectuer sans qu'il y ait à craindre le déchirement des parties qu’on veut réunir. Il me vint assez promp- tement à [a pensée que je multiplierais les chances de succès de l'opération nouvelle, et que j'éloignerais presque infaïlliblement la circonstance principale qui avait dû empêcher Ia réussite de la première, en substituant à la suture entortillée une autre suture jusqu'ici réservée pour les plaies pénétrantes de l'abdomen, pré- cisément parce qu'elle est plus propre que toute autre à agir sur les parties profondes d’une plaie de ce genre, et qu'on nomme su- ture enchevillée. Elle tire son nom de ce que des chevilles ou de petits corps cylindriques sont placés parallèlement aux bords d'une plaie, et parallèlement à eux-mêmes, dans des fils dont les extrémités font anse, et qui, traversant les parties qu’on a l'intention de rapprocher.et de réunir, peuvent être tendus à un degré plus 5. 1 402 RESTAURATION DU PERINEE ou moins considérable. Dans cette suture, me suis-je dit, commé c'est avec des aiguilles courbes qu’on conduit et qu'on place les fils ou ligatures , on doit pouvoir agir plus profondément, et embrasser avec les ligatures, qui d'ailleurs doivent être très-fortes, plus de parties qu'avec des aiguilles droites. Les fils, bien qu'ils se redres- sent par la tension qu'on leur fait subir, ne doivent pas prendre une rectitude et surtout une rigidité semblables à celles des ai- guilles droites qui restent dans une plaie réunie par la suture entor- tillée; on a, dès lors, moins à craindre une trop prompte division des parties qu'ils touchent immédiatement; puis, au moyen des cylindres, et quoique des intervalles plus ou moins grands séparent les ligatures elles-mêmes, la double pression latérale de laquelle résulte le rapprochement des bords de la plaie est égale, uniforme dans toute leur longueur, et doit produire une coaptation plus exacte; et cette double pression produit son eflet autant et plus même sur les parties profondes que sur les parties superficielles : à quoi il faut ajouter que dans [a suture enchevillée if n'y a point étreinte, constriction des bords de a plaie; ces bords sont seule- ment attirés de loin, poussés, pressés lun contre fautre, et tout à fait libres à l'extérieur; dès Lors, ils sont moins susceptibles d'être coupés ou déchirés par des points de suture qui seraient trop long- temps en place; et, chose non moins importante, tout passage de liquide entre les surfaces rapprochées, et mises en contact, doit être impossible, toute communication entre le fond de Ia plaie et l'extérieur doit être interceptée. Voilà par quels raisonnements je parvins à me persuader qu'il y avait plus de chances de succes en appliquant la suture enchevillée à une division, et surtout à une division complète du périnée, qu'en pratiquant la suture entortillée. 22. L'événement a confirmé toutes mes conjectures, et justifié mes prévisions. Quelques mots sufliront maintenant pour faire com- prendre le caractère particulier de la seconde opération pratiquée à ma jeune dame de Ja Normandie. Les appréts et tous les soins préli- CHEZ LA FEMME. 403 minaires furent les mêmes que pour Ka première. L'avivement des parties cicatrisées fut fait de la même manière absolument, et par les mêmes moyens; peut-être seulement y ai-je apporté un soin encore plus grand, et ai-je été encore plus attentif à faire que les deux plaies fussent parfaitement régulières et bien semblables lune à l'autre. Je plaçai quatre ligatures, comme dans le premier cas j'avais placé quatre aiguilles droites ; et en faisant agir les aiguilles courbes conductrices des fils, d’un côté de dehors en dedans, et de l'autre de dedans en dehors, j'eus le soin d'anticiper un peu sur Îes parois du vagin, mais assez seulement pour opérer sur ces parois une légère traction, et pour pouvoir mettre en contact les deux plaies dans tous les points de leur étendue. Les ligatures étant placées, jemployai pour cylindres deux morceaux d'une bougie de gomme élastique un peu forte : l'une des deux fut placée dans les anses que les ligatures doublées formaient d’un côté et l'autre, du côté op- posé, entre les chefs isolés de toutes ces ligatures ; je terminaï en formant avec les deux bouts de chaque fil sur le second cylindre, d'abord un nœud simple très-serré, puis un nœud bouclé. Je ne craignis pas de presser les bords de a plaie Fun contre l'autre un peu fortement. Je ne dois pas oublier de dire que comme, par la manière dont elle agit, la suture entortillée fait un peu saillir en dehors les bords de la plaie, et qu'ainsi par elle la coaptation n’est jamais aussi parfaite à l'extérieur qu'on pourrait le désirer, j'avais songé d'avance à prévenir cet effet, et à mettre la peau en contact avec elle-même. J'y parvins au moyen de ligatures minces que Javais engagées dans les différents points de suture avec les liga- tures principales, et qui me servirent à faire comme autant de points de suture simple, fort peu serrés toutefois./Ainsi j'avais tout prévu, tout calculé, tout combiné si bien , et tout se passa si bien aussi comme je l'avais désiré, que j'ai fait peu de choses en chirur- gle qui m'aïent autant satisfait sous le rapport de l'exécution. Après la suture terminée, les parties voisines du périnée ne me parais- sant pas plus tendues que dans Ja première opération, je me dis- pensai encore de faire les incisions latérales recommandées par * 51 404 RESTAURATION DU PÉRINÉE M. Dieflenbach. La malade fut ensuite soumise aux memes soins qui déjà lui avaient été prodigués. 23. Je ne fis rien pour provoquer les selles, pensant bien que la constipation qui, la première fois, n'avait cessé que bien après la désunion des parties, nous favoriserait pareïllement dans cette se- conde tentative. En effet, elle a persisté jusqu’au vingt-deuxieme jour. C'est à cette époque seulement que la malade dut satisfaire pour la première fois au besoin d'aller à la garde-robe. Toutefois lexpalsion des matières, lesquelles formaient une masse assez considérable, et avaient acquis une grande consistance, ne se fit pas sans beaucoup de peine; ïl fallut même y aider par des pres- sions exercées de haut en bas avec un doigt introduit dans le va- gin. Mais à l'époque dont il s'agit, une défécation encore plus laborieuse n'aurait pu fompre des parties entre lesquelles s'était opérée l'union la plus intime, et dont la continuité était parfaitement rétablie, En m'exprimant ainsi, Jindique quels ont été f'issue et le résultat de la seconde opération dont j'ai rapporté les principaux détails. Cette opération, en effet, eut le succès le plus complet. J'avais enlevé les cylindres et retiré toutes les ligatures au com- mencement du septième jour. Déjà, à cette époque, on voyait dis- tinctement qu'il y avait entre les deux moitiés du périnée autre chose qu'une simple agglutination : déjà elles étaient assez solide- ment réunies, et il aurait fallu un certain effort pour les séparer : insensiblement la cicatrice avait acquis plus de force et de solidite, et bientôt [a consolidation du périnée avait été parfaite. A l'époque où la malade dut aller à la garde-robe pour la première fois , anus était plutôt trop étroit que trop large. Le périnée ainsi reconstitué ne différait en rien de ce au'est cette partie dans l'état naturel, sur- tout chez une femme dont les organes sexuels n’ont point encore été mis en jeu If avait deux pouces de longueur; un raphé linéaire le partageait en deux moitiés parfaitement semblables. En lexplo- rant soit du côté du vagin, soit du côté de l'anus, on le sentait Le) épais et solide, j'oserais même dire vigoureusement constitué. CHEZ LA FEMME. 405 C'est ce qu'a pu constater avec moi un accoucheur célebre de notre capitale, M. Danyau, qui, après avoir assisté aux deux opérations , a pu examiner attentivement notre jeune malade avant qu'elle quittât Paris, ce qu'elle fit vers la fin du mois de juin. À cette époque, toutefois, il existait encore sur la cloison recto-vaginale, immédiatement au-dessus du périnée, une ouver- ture de communication du rectum avec le vagin, une sorte de fistule. Mais cette ouverture était fort petite ; elle livrait passage à des gaz, et de temps à autre seulement; les matières fécales ne ia franchissaient pas. Depuis elle s'est fermée complétement: À 24. Dès cette époque aussi j'avais permis à la femme et au mari de reprendre leurs habitudes conjugales : seulement je désirais que cette dame ne füt point exposéc à devenir enceinte, au moins pro- chainement ; j'étais même enclin à souhaiter pour elle qu’elle ne le redevint jamais. Mais il devait en être autrement, et il m'était ré- servé d'avoir le complément heureux d'un cas aussi remarquable. Quelques mois seulement s'étaient écoulés, et le mari me mandait du lieu qu'il habite : « Nous avons usé de Ia liberté que vous nous «avez accordée ; les habitudes conjugales ont été reprises, non sans «quelques diflicultés premières à vaincre, mais bientôt avec toute «l'aisance et tout le charme désirables: je verrais ma femme encemnte &sans trop d'inquiétudes. » C'était assez dire que je ne tarderais pas à recevoir l'annonce de son état de grossesse. En effet, nonobstant mes vœux et mes désirs, cette dame est devenue enceinte vers la fin de l'année même de l'opération. Elle est accouchée il y a trois mots. Nonobstant aussi les appréhensions qu'il était bien permis d’avoir, l'accouchement a été des plus heureux; il s’est terminé par les seuls efforts de la nature, après quelques heures de souffrances, et sans avoir présenté rien de particulier : quoique Île périnée se soit trouvé exposé pendant assez longtemps à tous les efforts d'un tra- vaïl fort actif, cette partie n'a éprouvé aucune déchirure nouvelle, ou complète ou incomplète, pas même le plus léger éraillement. Ainsi donc cette jeune dame n'est plus seulement délivrée d'une 406 RESTAURATION DU PÉRINÉE horrible mutilation , qui semblait marquée au coin de Fincurabilité ; elle jouit encore une fois du bonheur d'être mère, sans que son amour-propre ait eu à souffrir d'un trop froid dévouement de Fa- mour conjugal. 25. Un fait de cette importance, un fait aussi complet et aussi dé- cisif, tant en faveur de la suture du périnée elle-même, qu'en faveur du procédé que javais cru devoir substituer à tous autres, ce fait, dis-je, bien qu'il se fût passé dans le silence de fa pratique particu- lière, devait avoir du retentissement; et, en effet, 1 fut bientôt connu. Je devais compter que je serais bientôt à même de re- cueillir d'autres faits du même genre, ou du moins de soumettre à de nouveaux essais cette suture enchevillée appliquée au traite- ment de la suture du périnée; et, en effet, depuis l'année dernière, quatre nouveaux cas de déchirure ancienne du périnée se sont offerts à moi; et quatre fois aussi j'ai pratiqué l'opération de {a même manière exactement , et par le même procédé qui avait si bien réussi chez la jeune dame de Valognes. 26. Dans ces quatre cas il s'agissait encore d'une division com- plète du périnée, et d'une division à bordS cicatrisés depuis long- temps. Il est probable que toujours on aura à faire la restauration du périnée dans des circonstances de ce genre, bien plus souvent que pour des divisions récentes. En effet, outre que quelques- unes de celles-ci ne sont pas connues dès abord, outre que quelques-unes aussi sont susceptibles de guérir spontanément, ïl est très-certain que dans les cas où l'on devrait désespérer des eflorts de la nature abandonnée à elle-même, ce n’est pas alors que la solution de continuité vient d'être faite qu'il est le plus opportun d'agir. Cela est vrai du moins pour le plus grand nombre des cas, et notamment pour ceux dans lesquels une déchirure complète du périnée est le résultat d’un accouchement laborieux. Naguère, en effet, les parties rompues ont subi la plus grande violence; elles ont été soumises à une distension extraordinaire : et CHEZ LA FEMME. 40° bientôt un sonflement considérable va s’en emparer; il faudrait peu de chose pour qu'elles éprouvassent une inflammation des plus vives, et pour que cette inflammation prit un fâcheux caractère ; bientôt aussi elles seront inondées par l'écoulement des lochies, et Von aurait sans doute bien plus de peine que dans toute autre cir- constance à tenir les bords de [a plaie dans une exacte coaptation , et à faire qu'ils ne fassent pas humectés par les fluides qui doivent couler st abondamment du vagin. Certes, toutes ces circonstances ne sont pas favorables pour le succès d’une suture du périnée , même de la suture la plus avantageuse en soi. Et puis, les soins qui devraient suivre l'opération sont-ils bien compatibles avec ceux que réclame l'espèce de maladie qui succède à l'accouchement ? Serait-il prudent d'ailleurs de soumettre à une opération longue, douloureuse, une femme nouvellement accouchée, un ètre devenu momentanément si nerveux, si impressionnable, chez qui les moin- dres émotions pénibles peuvent avoir de si ficheuses conséquences, et auquel il faudrait faire connaître un malheur qu'il ignore, sans pouvoir même garantir l'efficacité des moyens qu'on emploie pour y remédier? Non assurément : mieux vaut temporiser et remettre les tentatives de guérison à l'époque où la santé de la femme est rétablie, où les bords de Ia solution de continuité se sont revêtus d'une cicatrice, où toutes les parties circonvoisines sont rentrées dans leur état naturel. 27. Je reviens à mes quatre autres tentatives dé restauration du périnée. L'une d'elles, mais une seule, n’a point eu de succès : loin de là même, la femme y a succombé. Mais aussi c'était le cas le plus désavantageux qui püt se voir; d'ailleurs, un état maladif, très-ficheux en soi, compliquait la difformité, et ce sont les pro- grès rapides de cette complication qui ont causé la mort, bien plus que lopération elle-même. En fût-il autrement, un tel fait ne dé- poserait pas contre {a suture du périnée; on pourrait seulement en déduire cette conséquence, qu'à côté d'immenses probabilités de succès cette opération, comme toute autre, peut offrir des chances 408 RESTAURATION DU PÉRINÉE désavantageuses. Car, il faut bien le dire, non-seulement, en chi- rurgie, et bien que par son caractère cette partie de la médecine semble se rapprocher à Ia fois des sciences exactes et des arts les plus positifs dans leurs procédés et dans leurs résultats, il y a bien souvent des doutes et des incertitudes; non-seulement on peut y commettre des méprises fâcheuses, des fautes graves, des erreurs funestes, et que le vrai talent doit avoir le courage d'a- vouer et de faire connaître ; mais encore, dans les actes principaux suxquels elle se livre, combien souvent les plus grandes espé- rances sont-elles déçues! que de mécomptes ! que de revers qu'on ne prévoyait pas, ou qui ne semblaient pas dans l'ordre des pro- babilités ! D'ailleurs dans toutes les grandes œuvres de fa chirurgie, et pour chacune d'elles en particulier, soit qu'il s'agisse seulement d’un but déterminé qu'on peut atteindre ou ne pas atteindre, soit que la conservation de Ia vie soit mise en jeu, il y a un certain rapport de revers et de succès, une certaine porportion des uns aux autres à laquelle il faut se soumettre, et que les temps, les lieux, les hommes ne changent guère. Ajoutez enfin qu'il n’est pas d'opération si simple, si minime, et si généralement innocente en soi, qui ne puisse communiquer un ébranlement fâcheux à tout le système de l'économie animale, et qui ne puisse, chez les sujets mal disposés physiquement ‘et moralement, devenir Toccasion d'aceidents graves, ou même mortels. 28. Ce seul revers que j'aie encore éprouvé en pratiquant la suture du périnée est tout récent : c'est ma dernière opération de ce genre; elle a été faite dans les premiers jours du mois qui finit. La femme avait quarante ans; chez elle, ainsi que je Tai déjà dit, la destruction du périnée, qui datait de dix-huit mois, avait été le résultat non d’un accouchement {aborieux, mais d'une opération pratiquée pour guérir une fistule à Fanus, communiquant sans doute du rectum dans la partie inférieure du vagin. On avait voulu {a délivrer d'un mal très-supportable, et elle avait été laissée. en proie. à une infirmité des plus grandes, qui a hâté, je n'en doute CHEZ LA FEMME. 409 pas, le terme de son existence. C’est chez cette femme aussi qu'aux effets ordinaires, et déjà si fâcheux, de toute division permanente du périnée, se joignait un prolapsus, un renversement complet du rectum. Pour peu qu’elle restât debout, et surtout quand à Ja position verticale du corps venait se joindre quelqu'un des mouve- ments un peu forcés et involontaires de la respiration, comme Îa toux, léternument, le rire, tout l'intestin, retourné sur lui-même, franchissait l'énorme fente du périnée, et formait au dehors une tu- meur plus volumineuse que le poing, qu'on avait quelque peine à réduire, et qui reparaissait presque incontinent. Alors la position de cette malheureuse femme faisait pitié; son infirmité était hor- rible à voir. 29. Encore s'il n'y avait eu que le désordre local avec ses consé- quences immédiates! Mais au moment où cette femme me fut adressée, et fut admise à l'hôpital confié à mes soins (c'était vers le milieu du mois de novembre 1833 ), elle était fort souffrante, elle avait une fièvre continue, une diarrhée abondante, et se plai- gnait d'un grand embarras dans l'abdomen : toutes choses qui dé- notaient une inflammation sourde du tube intestinal, et qu'on ne pouvait pas ne pas attribuer à ce que si souvent une partie fort étendue de la surface muqueuse du gros intestin était exposée à l'impression de Fair et à l’injure des corps extérieurs. Je dus songer à combattre et à éloïgner ces complications avant d'entreprendre la suture du périnée, bien que Popération püt paraitre et fût en effet plus nécessaire, plus indispensable, plus urgente même que dans aucun autre cas. Après trois ou quatre semaines, durant lesquelles la femme dont il s'agit fut soumise au repos, à un régime convenable et à tout ce qui pouvait modérer à la fois l'irritation des intestins et les évacuations diarrhéiques , sa position s'était sin- gulièrement améliorée, et je crus pouvoir céder au désir extrême qu'elle avait de subir une opération dont elle espérait la fin de ses incommodités et de ses souffrances. Peut-être n'ai-je point assez temporisé, peut-être me suis-je laissé dominer par une compassion 5. 52 410 RESTAURATION DU PÉRINÉE bien naturelle sans doute, et aussi par l'espérance et le désir assez légitimes de voir promptement un nouveau succès s'ajouter à ceux que j'avais déjà obtenus. L'événement m'a conduit à m'adresser moi-même ces reproches : en effet, dès le troisième jour après l'opération, un dévoiement considérable se déclara ; la fièvre survint; bientôt le ventre devint douloureux à la pression, et la malade perdit ses forces et son énergie Du côté de Ja plaie, les parties comprises entre les points de suture n'éprouvèrent pas cette tuméfaction, ce boursouflement inflammatoire, cette fluxion vive, franche, légitime, qui présage, annonce et prépare une adhésion immédiate : loin de à, elles étaient sensiblement affaissées. D'ailleurs les points de suture eux-mêmes s'étaient exul- cérés ; quelques-uns d’entre eux, qui communiquaient dans l'inté- rieur même du rectum, laissaient passer quelque peu de matières diarrhéiques. 30. Cependant la vie se maintint et la malade survécut jusqu’au neuvième jour, Au commencement du septième, j'avais enlevé les cylindres, et retiré les fils des points de suture; il semblait y avoir un commencement d'union; du moins les lèvres de la plaie étaient légèrement agglutinées lune à l'autre; mais le lendemain leur désu- nion était complète, et deux jours après la malade n'existait plus. Chez cette femme l'opération avait présenté cela de particulier seu- lement, qu'à cause de l'ampliation qu’avaient fait éprouver aux par- ties divisées limvagination et le prolapsus si souvent répétés de l'intestin rectum, j'avais dû mettre quatre points de suture, tandis que trois m'avaient suffi jusqu'alors, et doivent suflire dans le plus grand nombre de cas. À quoi il faut ajouter que ces points de su- ture avaient dü agir et ont agi au moins autant et plus même sur l'intestin que sur le vagin; dernière circonstance qui a pu concourir au retour si prompt et à la marche si rapide des accidents qui ont causé la mort. C'était, sous tous les rapports, le cas le plus désa- vantageux qui püt se présenter : en pareille circonstance un succès, bien qu'il ne fût pas tout à fait improbable, aurait eu néanmoins ‘CHEZ LA FEMME. 4ii quelque chose de plus remarquable encore que tous ceux que j'avais obtenus précédemment. 31. Dans les trois autres cas, toutes les conditions étaient favo- rables, et le résultat de l'opération a été le même exactement que chez la jeune dame de la Normandie. Ils sont antérieurs à celui dont je viens de rapporter la fin malheureuse. J'abuserais des moments de Académie, de fattention qu'elle veut bien m'ac- corder, si j'entrais dans des détails étendus sur chacun de ces nouveaux cas de suture du périnée. Is sont si semblables entre eux, au moins sous les rapports principaux; si semblables, cha- cun en particulier, à celui qui a été pour moi le point de départ, qu'ils n'ont d'intérêt que par le résultat que j'ai obtenu : et les développements dans lesquels il convenait que j'entrasse au sujet de mon opération première, et du cas en quelque sorte géné- rateur des autres, deviendraïent fastidieux et inutiles. L'Aca- démie trouvera bon, je pense, que je me borne, par rapport à ces derniers faits, à Vindication rapide des circonstances propres à chacun en particulier, et de ce qui peut en établir l'authenticité. 32. Le sujet d'un premier était une jeune fille de vingt et un ans, devenue mère une première: fois à dix-neuf ans, et chez la- quelle , dans ce premier accouchement terminé par les seuls efforts de:la nature, il s'était fait une déchirure complète du pérmée. Elle avait nom Joséphine Erard, et sortait de Thôpital des vénériens, où elle venait de subir un traitement anti-syphilitique, au mo- ment où je la reçus dans mon service à l'hôpital de la Charité. C'était cette année même (1833), dans les premiers jours de mars. Avant de l'opérer, il avait fallu, seulement pendant quelques jours, la mettre à un régime un pew sévère: pour faire qu’elle n’éprouvât pas trop promptement le besom d'aller à la garde-robe. Elle fut donc opérée très-peu. de temps après que: je l'eus examinée pour la première fois; elle Ie fut publiquement, en présence des 53" 412 RESTAURATION DU PÉRINÉE nombreux élèves qui fréquentent la clinique chirurgicale de fa Charité, et de quelques praticiens qui m'avaient exprimé le désir d'être témoins de mes essais sur la suture du périnée. L'opéra- tion elle-même fut une répétition exacte de la suture qu'avait eue à subir la dame de la Normandie. Même procédé, mêmes soins, mêmes détails dans l'exécution, soit pour lavivement des chairs, soit pour l'application de la suture enchevillée; mêmes précautions ultérieures pour prévenir tout mouvement, tout effort qui aurait pu faire éprouver aux parties quelque tiraille- ment, et partant quelque déchirure. Toutefois dans ce but, et parce que je ne pouvais pas compter ici sur le bénéfice d'une constipation prolongée jusqu'à fentière et parfaite consolidation du périnée, la veille du jour où je devais enlever les points de suture, C'était le sixième après l'opération, je provoquai des selles liquides au moyen d'un minoratif, Plus tard, la même précaution a été renouvelée plusieurs fois à des intervalles de temps convenables. Je Tai prise dans toutes mes autres opéra- tions, et je la donne comme règle importante de conduite pour assurer le succès de la suture du périmée. Trois semaines en- viron suflirent, chez cette fille Érard, pour le parfait rétablisse- ment de la vulve et de l'anus dans leur état naturel. Une petite ouverture occupant la partie la plus profonde de Ia division, sur la cloison recto-vaginale, et qui laissait passer en partie les gaz intestinaux du rectum dans le vagin, subsista encore quelque temps; mais elle était réduite aux plus petites dimensions lors- que la malade nous quitta vers la fin du mois de mai. Nous avons su que cette fille avait cédé promptement à son penchant pour la vie de concubine, et qu’elle n'avait pas tardé beaucoup à courir le risque de devenir enceinte. A la vérité, je redou- terais moins pour elle, comme pour toute autre, une nouvelle gestation et les efforts d'un nouvel accouchement, maintenant que je sais que la dame de la Normandie est devenue enceinte assez peu de temps après sa guérison, et que la délivrance s'est faite sans plus de peine que dans les circonstances ordinaires, CHEZ LA FEMME. 413 et sans le moindre désordre dans les parties qui avaient été restaurées. 33. Le second cas est celui d’une femme des environs de Com- piègne, âgée de vingt - neuf ans, et que je reçus également à l'hôpital de la Charité, au mois d'octobre dernier. Elle avait été sollicitée pour y venir, et m'avait été présentée par un jeune médecin bien connu d'un grand nombre de membres de cette Académie, et qui se recommande à leur estime par son goût pour les sciences physiques, comme il est prisé de nous pour l'étendue et la solidité de ses connaissances médicales, par M. Donné. C'était à l'époque où M. Jacobson, de Copenhague, visitait notre capitale; et je pus rendre témoin de l'opération ce célèbre chirurgien danois, qui a bien voulu assister souvent à mes lecons et à mes opérations durant le temps de son séjour à Paris. Avant de nous quitter, ïl a pu constater par lui-même un nouveau succès de fa suture du périnée, et s’est exprimé, sur ce qu'un heureux hasard Jui avait permis de voir, en termes dont je puis conserver le souvenir, mais qu'il ne m'est pas permis de répéter. Il était diflicile, en effet de voir une réhabilitation plus parfaite de l'apus, du pérmée et de la vulve dans leur état naturel, que ce qui a -eu lieu chez la femme Claye, que beaucoup de praticiens de Paris, parmi ceux surtout qui se livrent à l'art des accouchements, se sont empressés de visiter. Il faut noter, comme chose assez remarquable chez cette femme, que, mariée à dix-huit ans, elle était accouchée quatre fois heureusement et à terme : c'est dans un cinquième accouchement, qui nécessita l'application du forceps, que se fit Ia déchirure du périnée. Cette déchirure était complète, comme toutes celles que j'ai observées jusqu’à présent , et comprenait pa- reïllement une petite portion de la cloison recto-vaginale. 34. Mon dernier cas enfin est celui d’une dame du monde dont je dois taire le nom et la position sociale, qui, jusqu’au moment où je la vis, avait soigneusement gardé le silence sur son horrible in- firmité, comme elle fait mystère de opération qu’elle a eue à subir, 414 RESTAURATION DU PÉRINÉE bien que cette opération ait eu le résultat le plus heureux. C'est le mois dernier que je la lui ai pratiquée, avec l'assistance seulement de deux de mesélèves, comme aides, et de l'un de nos accoucheurs les plus distingués, M. Maygrier, par qui cette dame avait été accou- chée trois mois auparavant, à qui elle avait dû dire qu'elle avait Le périnée rompu depuis deux ans, et de qui elle avait appris que l'art venait de conquérir un nouveau moyen de restauration de cette partie, moyen dont les avantages et l'efficacité étaient déjà cons- tatés par plusieurs succès. M. Maygrier est donc la seule personne dont je puisse invoquer ici le témoignage. Quoique la dame dont il s'agit eût déjà trente-cinq ans, le résultat de opération, toujours faite par la suture enchevillée, a été aussi complet, aussi parfait que dans les cas précédents : toutes les circonstances, tous les dé- tails d'exécution avaient été exactement les mêmes. Un événement aurait pu tromper nos espérances : peu de temps après avoir été opérée, cette dame perdit son enfant dernier né, ce qui lui causa un vif chagrin; mais déjà les points de suture avaient été enlevés ; déjà les parties avaient contracté un certain degré d'union; et malgré le trouble survenu dans toute l'économie, le travail ulté- rieur de fa consolidation ne se ralentit point. 35. Ne serait-ce que pour préparer les matériaux d'une histoire plus complète de a restauration du périnée , opération qui va deve- nir, je n'en doute nullement, une chose familière en chirurgie, je n'omettrai pas de mentionner que, dans tous les cas où je l'ai pra- tiquée, l'inflammation n'est survenue dans les parties sur lesquelles javais agi qu'au degré très-strictement nécessaire pour [a réunion que je voulais obtenir; jamais elle n'a pris le caractère d’un acci- dent grave, comme aucun symptôme fâcheux d’un autre genre ne s'est déclaré. Toutefois quelques phénomènes particuliers ont eu lieu, dont il est bon de prévenir. Toujours le vagin a été le siége d'un flux puriforme assez abondant : j'en ai modéré les effets, et jai prévenu Îa stagnation des mucosités purulentes, par l'injection souvent répétée d'un liquide émollient. Chose assez remarquable ; À CHEZ LA FEMME. 415 dans tous les cas, soit par feffet du rapprochement exact des cuisses, soit, et plus vraisemblablement, à cause de la fluxion étendue à toute la vulve et du boursoufllement des parties circon- voisines du méat urinaire ou de ce méat lui-même, if y a eu . pendant quelques jours impossibilité de lémission spontanée de luriné; 1 à fallu recourir au cathétérisme. Au reste, peut-être serait-il bon d'adopter pour coutume de placer une sonde à de- meure dans l'urètre et dans la vessie, ou de l'y mtroduire à des époques convenables pendant quelques jours, alors même qu'il n'y aurait pas rétention d'urme, pour prévenir l'écoulement de ce fluide sur des parties enflammées. Dans tous les cas aussi, les points de suture étant enlevés, et bien qu'après très-peu de temps la con- solidation dût étre parfaite, les bords de {a division étaient désunis, ou plutôt séparés près de l'anus : vers ce point la plaie était un peu béante; il y avait 1à une petite fente, comme celle qui aurait pu résulter d’une opération faite pour une fistule à l'anus, qui aurait eu son siége en avant ; maïs constamment cette petite fente a disparu, et l'anus, dans lequel j'avais soin de placer une petite mèche enduite de cérat, a repris promptement sa disposition naturelle, Constam- ment enfin, et malgré le soin que j'avais pu prendre dans l'opéra tion d'agir sur le petit bord libre ou sur léperon| de a cloison recto-vaginale , de l'aviver, et de traverser cette cloison avec lun des fils de la suture pour la rapprocher des parties molles du pé- rinée proprement dit, il a fallu un temps assez long pour que toute communication cessât entre le rectum et le vagin; toujours des gaz intestinaux et des matières excrémentielles, seulement à fa vérité quand elles étaient liquides, ont passé par le vagin, et cela lorsque le périnée était déjà bien solide; maïs insensiblement l'ou- verture de {a cloison s'est resserrée; elle a fini par s’'oblitérer tout à fait, ou par devenir si étroite, qu'ellé ne Hivrait passage, et de temps à autre seulement, qu'à une très-pétite quantité de gaz. 36. Tels sont, Messieurs , les faits importants dont j'avais à vous doniner commumication. Quatre fois donc succéssivement én moins 416 RESTAURATION DU PÉRINÉE | de dix-huit mois, et trois fois dans le cours de la seule année qui vient de finir, j'ai réussi par un procédé nouveau à refaire le péri- née, à restaurer complétement la vulve et Fanus, à rétablir toutes ces parties dans un état aussi parfaitement semblable qu'on puisse se le figurer à leur état naturel, à faire disparaître toute trace du désordre dont elles avaient été le siége , et à les rendre de nouveau susceptibles de remplir les fonctions que la nature leur a départies. Quatre femmes qui n'avaient plus, ou qui n'avaient plus qu'impar- faitement la conformation extérieure propre à {eur sexe, qui pa- raissaient vouées pour toute leur vie à la plus triste condition, en même temps qu'elles étaient en proie à des infirmités dégoütantes, jouissent maintenant de tous les bienfaits possibles d'une opération qui était presque tombée en désuétude, et qui, bien qu'elle eût réussi quelquefois, de loin en loin, et malgré limperfection des procédés auxquels on avait eu recours, n’était jamais entreprise par les chirurgiens qu'avec une sorte de répugnance, parce qu’elle leur offrait trop peu de probabilités de succès. Quatre femmes ont recouvré les attributs de leur sexe, sont maintenant rendues à leurs penchants, à leurs habitudes; elles n’inspirent plus aucun dégont : libres de toutes souffrances, au moins de celles qui étaient dues à la destruction du périnée, elles peuvent remplir toutes les fonc- tions dont le parfait accomplissement exige la bonne conformation de cette partie : en un mot, elles sont ce qu'elles étaient avant leur accident, ce que la nature avait voulu qu’elles fussent. C’est une idée simple, mais peut-être m'est-il permis de dire heureuse, qui ma conduit à ce par quoi jai obtenu d'aussi importants résultats. Je n'ai rien créé, rien imaginé, Je le confesse franche- ment : jai seulement appliqué un procédé connu, toutefois en Jui faisant subir les modifications que la disposition des lieux exigeait, à une opération pour faquelle il n’avait pas été imaginé; je l'ai fait servir à une chose pour laquelle il n'avait pas été destiné pri- mitivement, et le succès a justifié mes pressentiments. Les pre- miéres réussites en amèneront d’autres à leur suite ; je les considère comme une voie ouverte à de nouveaux et de nombreux succès, CHEZ LA FEMME. 417 Tant de femmes vivent maintenant chez lesquelles e périnée a été rompu dans un accouchement, tant d’autres auront à éprouver le même malheur, que la suture de cette partie va devenir une des opérations les plus communes de [a chirurgie. Avec le pro- cédé que je recommande, et au moyen duquel j'ai si merveilleu- sement réussi, on doit atteindre le but dans le plus grand nombre des cas. Bientôt, je n’en doute pas, il en sera de la suture du pé- rinée chez la femme, comme il en à été de la suture du voile du palais ou de fa staphyloraphie, opération qui n'existait pas dans Part il y a quinze ans, qu'alors on croyait impraticable, ou plutôt qu’on n'avait pas même eu la pensée d'entreprendre, que j'ai ima- ginée et pratiquée pour la première fois versa fin de l'année 1819, que tous les chirurgiens ont adoptée, qu’on pratique familièrement ays étranger comme en France, et que Jai faite, 11 y a peu de aines encore, pour la soixante-cinquième fois * , 1 Depuis l'époque à laquelle le mémoire qui précède fut composé pour l'Académie des sciences, à laquelle je n'avais point encore l'honneur d'appartenir, j'ai pratiqué Îa suture du pérmée cinq autres fois, sur quatre femmes. Chez l'une de ces femmes une première opération ne réussit pas : un succès complet, au contraire, a été le résultat de la seconde. Deux autresifemmes n'ont eu à subir, chacune en particulier, qu’une seule opération, dont le résultat a été des plus favorables. Enfin, des accidents, dont la mort a été Ia suite, sont survenus chez {a quatrième, opérée pour une rupture incomplète du périnée, s'étendant seulement jusqu'à da circonférence de Janus. - Depuis la même époque j'ai fait encore dix fois [a staphyloraphie : je suis arrivé à Ja soixante et sa ane 6 opération de ce genre. r SECOND MÉMOIRE SUR LA PROPAGATION DE LA CHALEUR DANS LES POLYÈDRES; PAR G. LAMÉ, INGÉNIEUR DES MINES, PROFESSEUR DE PHYSIQUE À LÉCOLE POLYTECHNIQUE. PRÉSENTÉ À L'ACADÉMIE DES SCIENCES LE G FÉVRIER 1832. » Les recherches physico-mathématiques composent aujourd'hui la partie la plus intéressante des sciences exactes; rien ne parait plus digne qu'elles de fixer l'attention des géomètres; en effet, quoi de plus parfait, de plus rationnel et de plus complet que la manière dont elles procèdent ? Établir sur un petit nombre de faits incontestables la démonstra- tion d'une ou de plusieurs équations aux différences partielles, qui représentent à {a fois toute une théorie physique, toute une classe de phénomènes ; analyser ces équations, déduire de leurs combinai- sons ou de leurs transformations une multitude de propriétés géné- rales qui définissent complétement la question physique; passer ensuite des propriétés différentielles aux propriétés intégrales, et, comme pour s'essayer dans cette seconde voie, traiter des cas très- particuliers, et déduire ainsi, d'intégrations simples et élémentaires, des rapports numériques précieux, des formules exactes à substi- PROPAGATION DE LA CHALEUR DANS LES POLYÈDRES. 419 tuer aux tables que le physicien a tant de peine à composer, ou aux lois empiriques par lesquelles il cherche à les résumer; enfin, s'élevant à des cas plus étendus et plus compliqués, faire dépendre la solution complète, celle qui doit satisfaire à toutes les exigences de la question, d'une somme algébrique de solutions beaucoup plus simples et beaucoup plus faciles à étudier, qui séparément ne remplissent qu’une partie des conditions imposées, mais des- quelles chacune peut, suivantles circonstances données, représenter à elle seule la presque totalité du phénomène : telle est la marche que les géomètres de ce siècle ont assignée aux sciences physico- mathématiques. Les découvertes que le mathématicien fait dans cette direction lattachent de plus en plus à ce genre de travaux; car, indépen- damment de l'intérêt qui préside à toutes les recherches utiles, un attrait nouveau est dû à une circonstance qui me paraît particu- lière aux sciences dont il s'agit, et qui prouve, suivant moi, la vérité de leurs calculs, et la liaison intime qu'ils ont avec les phénomènes naturels. Lorsque Ton veut appliquer lanalyse mathématique à l'étude des lois de quelque phénomène phy- sique sur un corps de forme donnée, il se présente ordinaire- ment des difhicultés particulières; c'est, ou la complication des équations des surfaces qui limitent le corps que l’on considère, ou la recherche des fonctions qui, satisfaisant aux équations différen- tielles générales du phénomène physique, ‘doivent remplir des conditions spéciales; ces difficultés exigent souvent toute la puis- sance de analyse, et toute l'attention que le géomètre peut con- centrer vers un même but; mais lorsqu'une de ces diflicultés est surmontée, les résultats obtenus si péniblement se prêtent ensuite d'eux-mêmes aux recherches ultérieures; des conséquences impor- tantes se présentent en foule, comme pour récompenser le savant de sa persévérance, et lui donner le courage de s'attaquer à de nou- veaux obstacles; jusqu’à ce qu'enfin les formules définitives, parleur forme, par leur symétrie, par leur généralité et par les nombreuses 53" 490 PROPAGATION DE LA CHALEUR vérifications qu’elles présentent, viennent compléter la découverte, et apporter un nouvel exemple de cette sorte de spontanéité de la science. (Ce qui suit est extrait des préliminaires du premier mémoire*.) « De toutes les équations aux différences partielles offertes par «l'analyse physico-mathématique , les plus simples sont celles qui «expriment les lois générales du mouvement de la chaleur dans «les corps solides homogènes. Il y a tout lieu de croire, d'après «cela, que lon ne parviendra à la découverte des équations inté- «grales qui représentent les phénomènes physiques d'un corps «solide de forme donnée, qu’en cherchant d'abord celles qui ap- « partiennent au phénomène particulier du mouvement de Ia cha- «leur dans ce corps. «C’est en suivant cette marche méthodique que les géomètres «peuvent espérer d'aborder un jour avec succès l'intégration des «équations différentielles, déjà connues, du mouvement et de «léquilibre intérieur des corps solides élastiques de dimensions «finies, ainsi que la recherche des lois de la propagation de la lu- «mière dans les corps diaphanes, et particulièrement dans les «substances cristallisées, phénomène général dont les équations « différentielles sont sans doute à la veille d’être trouvées. «Dans toutes ces applications de l'analyse physico-mathéma- «tique, les corps de forme polyédrique se présenteront à chaque «pas : soit lorsqu'ontse proposera d'évaluer exactement les efforts «supportés et les résistances offertes par les différentes parties «d'une construction, ou qu'on cherchera les lois complètes des «mouvements vibratoires des corps solides de dimensions finies ; «soit lorsqu'on arrachera à analyse le secret de la double réfrac- «tion et de la polarisation, ou qu'on se proposera d'étudier les cir- «constances qui président à la formation des cristaux. « On doit donc citer en première ligñe, parmi les questions les « plus importantes que les géomètres puissent se proposer actuelle- 1 Journal de PEcole polytechnique, xxn° cahier, tome XIV. DANS LES POLYÈDRES. 491 «ment, la recherche dés lois du mouvement de la chaleur dans Les «polyèdres. « Le parallélipipède rectangle est le seul corps polyédrique dont «les équations intégrales soient connues depuis longtemps, et c’est «principalement à la découverte des lois de Ia propagation de {a «chaleur dans. son intérieur que l'on doit tous les progrès que «l'analyse physico-mathématique a faits dans ces derniers temps. » “Dans un mémoire concernant la théorie du mouvement de [a chaleur dans, les corps de forme polyédrique, que j'ai eu l'honneur d'adresser à l'Académie, dans le courant de Fannée 1828 , j'ai con- sidéré particulièrement le cas d'un nouveau polyèdre, ‘celui d’un prisme droit ayant pour base un triangle équilatéral; la difficuité que présentait ce corps consistait à trouver la fonction des coor- données qui devait multiplier exponentielle relative au temps, dans chacun des termes de la série intégrale, représentant la tempéra- ture variable d’un point quelconque du polyèdre proposé. J'ai em- ployé, pour découvrir cette fonction, une méthode analytique particulière, que je n'ai pas développée dans mon premier travail, pour ne pas interrompre la marche de la solution par une digres- sion trop étendue. Le mémoire que je présente aujourd’hui est des- tiné à remplir cette lacune. : L'expression intégrale de la température d'un corps solide de forme donnée, lorsque l'on connaît, et les conditions auxquelles sont assujetties les températures de la surface, et l'état calorifique initial de tous les points intérieurs, paraît pouvoir se composer, dans tous les cas, d’une série de termes qui satisfont à l'équation aux différences partielles du mouvement de la chaleur, et qui con- tiennent chacun trois facteurs distincts : l'un de ces facteurs est une exponentielle variable avec le temps seulement, le second une fonction des coordonnées indépendante du temps! enfin le troisième un coefficient constant dont la valeur numérique est différente d’un terme à l’autre de la série; de plus, chaque terme : simple est particularisé par certains paramètres qui entrent à la fois 429 PROPAGATION DE LA CHALEUR dans l'exponentielle relative au temps, et dans la fonction des co- ordonnées, et dont les valeurs numériques sont les racines réelles de certaines équations transcendantes. La recherche de cette expression intégrale, renfermant les lois du mouvement de Ta chaleur dans le corps donné, a été ramenée par les géomètres à la solution de plusieurs problèmes qui se pré- sentent dans l'ordre suivant, il faut : 1° choisir le système de coor- données qui simplifie Le plus les équations de [a surface, sans com- pliquer les recherches ultérieures; 2° chercher une fonction simple qui satisfasse à l'équation aux différences partielles générales, et qui puisse se prêter facilement à y introduire les conditions de la sur- face; 3° déterminer les éléments , les paramètres de cette fonction de manière à ce qu'elle satisfasse à ces conditionts; 4° enfin trouver les valeurs numériques des coeflicients qui doivent multiplier les différentes fonctions simples, pour que leur somme satisfasse à l'état calorifique initial. De tous ces problèmes successifs le dernier est le seul que les géomètres soient parvenus à résoudre d’une manière générale. La solution des premiers dépend de la forme des corps que l’on consi- dère ; très-facile pour un petit nombre d’entre eux, très-difficile pour d'autres, elle est le plus souvent impossible dans l'état actuel de l'analyse. Chaque terme simple de la série qui exprime la température variable d'un prisme rectangulaire, solide et homogène, contient comme facteurs les cosinus ou sinus de trois angles, respective- ment proportionnels aux trois coordonnées orthogonales; chacun de ces facteurs devient constant ou nul sur deux faces opposées du polvèdre; cette séparation des coordonnées, sous des lignes trigo- nométriques différentes, donne une grande facilité pour satisfaire aux conditions de la surface. Dans le cas du prisme droit ayant pour base un triangle équi- latéral, le choix des coordonnées capables de simplifier les équa- tions de la surface offrait une plus grande difficulté , et il était DANS LES POLYÈDRES. 423 encore plus difficile de trouver une fonction de ces coordonnées satisfaisant à l'équation aux différences partielles générales et aux conditions de cette surface. Je suis parvenu à écarter la première difécultéen prenant quatre coordonnées au lieu de trois, lune parallèle à l'axe du prisme, les trois autres parallèles au plan de fa base et perpendiculaires à ses trois faces latérales, ces trois. dernières coordonnées étant liées entre elles par une équation fort simple; ce choix établit dans les calculs une symétrie correspondante à celle du corps proposé, _sans laquelle ils eussent été inabordables. La fonction des coordonnées dont la recherche constituait la seconde difficulté peut ètre composée de sinus et de cosinus, comme dans le cas des prismes rectangulaires; mais ici les coor-: données ne sont plus toutes séparées dans des facteurs transcen- dants différents; celles qui sont parallèles au plan de la base sont réunies par voie d’addition sous les mêmes lignes trigonométriques, où elles sont respectivement multipliées par des coefficients dépen- daut d’un paramètre commun à d’exponentielle et à Ia fonction simple; ces cocflicients peuvent varier sans que ce paramètre cesse d'avoir la même valeur; il suit de 1à que la fonction cherchée peut être conçue d’abord comme composée d'une infinité de termes correspondant à tous les systèmes de valeurs des coefficients dont je viens de parler, maïs à la méme valeur numérique du paramètre qui particularise cette fonction. Il faut ensuite distinguer parmi tous ces termes Îles seuls qu'il faille conserver pour que la série satisfasse aux conditions de la surface latérale du prisme proposé. : C'est fa détermination de ces termes uniques qui constitue le but de Tanalyse que j'ai l'honneur de présenter aujourd'hur à TAca- ” démie. Dans mon premier mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps de forme polyédrique, j'aiindiqué les vérifications au moyen desquelles on s'assure que la fonction simple dont il s'agit satisfait effectivement à toutes les conditions qui lui étaient 494 PROPAGATION DE LA CHALEUR imposées. J'ai ensuite développé, dans le même travail, usage qu'il faut faire de cette fonction pour obtenir l'expression inté- grale des lois du refroidissement du prisme triangulaire régulier, et toutes les conséquences importantes pour la sp. physique qui découlent de ces lois. J'énoncerai ici quelques-unes de ces conséquences; je choisirai le cas où le prisme triangulaire régulier, d’abord échauflé unifor- mément dans toute son étendue, se refroïdirait par le contact de sa surface avec un fluide entretenu à une température constante. Alors, si l'on imagine une des trois faces latérales du prisme triangulaire partagée en trois bandes égales par deux lignes per- pendiculaires aux bases, on trouve que, vers la fin du refroïdisse- ment, la tranche ou bande du milieu laissera échapper à elle seule une quantité de chaleur presque double de celle écoulée par les deux tranches extrêmes ensemble. Un autre calcul indique que, vers la fin du refroïdissement, la quantité de chaleur écoulée par les deux bases réunies est à celle qui s'écoule latéralement, comme le carré de l'épaisseur du prisme est au carré du double de sa hauteur; à l'époque voisine de Fétat initial, ce rapport était celui des surfaces correspondantes, ou celui du tiers de l'épaisseur à la hauteur du prisme. De ces deux rapports le premier surpasse le second, légale, ou est plus petit que Jui, suivant que le triple de l'épaisseur est plus grand que le quadruple de la hauteur du prisme, l'égale ou lui est inférieur. Ainsi, lorsque le triple de l'épaisseur du prisme surpassera le quadruple de sa hauteur, les parties voisines des bases se refroidiront proportion- nellement moins vite que celles voisines des faces latérales ; Tin- verse aura lieu dans le cas contraire. On obtiendrait des conséquences analogues si l'état initial des températures était plus compliqué, ou si le prisme perdait son calorique par le rayonnement. Je crois devoir faire mention ici d’une innovation que j'ai intro- duite dans le mode de rédaction de ce second travail : j'ai réuni DANS LES POLYÈDRES. 425 toutes les équations, dont l'ensemble constitue [a méthode analy- tique que je me proposais de développer, sur plusieurs tableaux placés à la fin du mémoire, à la manière des figures de géométrie. Par ce moyen le texte, plus concis et non interrompu, permet de saisir plus rapidement le but et la succession des raisonnements, tandis que les calculs, rangés sur Îles tableaux dans leur ordre naturel, offrent la marche de l'opération sous un second point de vue, tout aussi clair et tout aussi complet pour és personnes habi- tuées aux mathématiques. 426 PROPAGATION DE LA CHALEUR RECHERCHE ANALYTIQUE D'UNE FONCTION SERVANT À EXPRIMER LES LOIS DU REFROIDISSE- MENT D'UN PRISME DROIT, TRIANGULAIRE ET RÉGULIER. Il s'agit de trouver une fonction x des deux coordonnées ortho- sonales x et y, qui satisfasse à l'équation aux différences par- tielles [1] (voyez le tableau des équations placé à la fin de cette note), et qui devienne nulle pour tous les points situés sur le pé- rimètre d’un triangle équilatéral. Le paramètre 8 est aussi inconnu, et l’on doit déterminer sa valeur de manière à remplir les condi- tions précédentes. Soit pris pour origine des coordonnées le centre du cercle inscrit au triangle proposé; soit / le rayon de ce cercle; soient &, &',«', les angles compris entre l'axe des x et les perpendiculaires abaissées de l'origine sur les côtés de ce triangle; a, a', a”, les cosinus de ces angles; b, b', b", leurs sinus; soient représentés par P, P', P", les binomes (ar +by), (a'x + by), (ax +b'y). D'après ces données, ïf faudra que la fonction 4 satisfasse à l'é- quation [1], et devienne nulle pour P—7/, P'— Æ ou P'—Z. On peut regarder P, P', P', comme trois coordonnées nouvelles, substi- tuées aux deux anciennes coordonnées x et y, liées à ces dernières par les équations de transformation [2], mais non arbitraires toutes les trois, car l'élimination de x et y entre les équations [2] conduit à la relation [3], à laquelle doivent toujours satisfaire P, P' et P”. Soient p, p', p', des constantes liées entre elles et avec le para- mètre à par l'équation [5]; la fonction &, donnée par l'équation [4], satisfera évidemment à l'équation [1]; le sigma indique une somme de termes semblables, correspondant à autant de systèmes de va- leurs de p, p', p'; À et B peuvent varier d'un terme à l'autre. DANS LES POLYEDRES. 427 L'équation [5] peut étre remplacée par les deux équations [6 |, en y introduisant l'angle &, variable, ainsi que p, p', p", d’un terme “à l’autre de la série [4]. Ces deux nouvelles équations de condition permettent d'éliminer p, p', p", du trinome ( pP +p'P'+p'P"), et de exprimer en P, P’, P'et @ : en effet l'équation unique [3 |, qui lie les trois coordonnées P, P', P", peut étre remplacée par les trois équations [7], en y introduisant trois constantes arbitraires m,m, m', et ces équations [7] conduisent au système d'équa- tions | 8 |, et à trois formes de la valeur du trinome (pP+p'P'+p'P") exprimé en Ê et @; ces trois formes pourront être substituées suc- cessivement dans l'équation [4], afin de trouver les relations qui doivent lier 8, @, A et B, pour que cette série[ 4] devienne sépa- rément nulle pour P—7, P'—{, ou P'— /, c'est-à-dire sur les trois côtés du triangle. La série w [4] peut ainsi se mettre sous la forme [9];,@, AetB, varient seuls d'un terme à Fautre de cette série; on peut regarder A et B comme des fonctions de (sm@) et (cos@), et prendre pour limites du sigma les angles @— 0 et ®—27; enfin ces limites peuvent être rapprochées sans détruire la généralité de Ia série, en remarquant que les lignes trigonométriques qui entrent dans son terme général ne changent pas de valeurs absolues lorsqu'on y change @ en (e+7), ce qui permettra de réunir deux termes en un, et de prendre pour limites du sigma les angles £—0 et @—7. D’après cela, la fonction # prend la forme [11], les coefficients Fe et fe satisfaisant aux relations [10]. Il faut exprimer maintenant que # [11] devient identiquement nul lorsque P— /. Pour cela il convient de transformer encore le terme général; cette transformation résulte du système d’équa- tions [12], dans lequel on fait usage de Ia relation [3], et où l’on représente par Q une fonction de P et P” indépendante de angle e; la fonction w est alors amenée à la forme [13], et conduit à l’équa- tion [14] lorsque P — Dans la série qui compose Île second membre de cette équation, les lignes trigonométriques de Fangle dont @ est facteur, et qui 54° 498 PROPAGATION DE LA CHALEUR varie conséquemment avec les coordonnées, conservent la même valeur absolue lorsque l'on change (e—«) en (æ—(?9—a)) ou @ en (7+2a— ). Cette circonstance exige que Fon réunisse deux à deux les termes de cette série avant d'exprimer qu’elle est iden- tiquement nulle. L'équation [14] prend alors la forme [15], et conduit aux deux équations de condition [16] ou [17], qui peuvent être remplacées par les deux premières des six formules [18]. Si lon cherche pareillement les relations auxquelles conduit fa double condition que x soit nul pour P'=}/ et pour P'=, on obtiendra les quatre dernières des six formules [18]. Ainsi les équations [18] établissent entre le paramètre 6, l'angle e, et les formes F et f, les relations nécessaires et suflisantes pour que la fonction w [11] soit nulle sur les trois côtés du triangle proposé. En combinant ces équations de condition on obtient les for- mules [19], qui peuvent les remplacer. Jusqu'ici rien n'indique dans le calcul que le triangle proposé est équilatéral ; pour exprimer cette particularité il faut établir que Laer 27 d= +a, d' = + a; on peut d'ailleurs donner a «& telle valeur que l'on voudra; on choi- sira “ LA Al =; doù &' =7 et &' — Les équations [19], après la substitution de ces valeurs, four- nissent alors les équations [20], qui donnent trais valeurs de 27 - 2 à F(e +1) , et trois de fe +); en égalant entre elles les va- leurs de chacun de ces deux systèmes, on est conduit aux six équa- tions [21], qui n’en comportent réellement que quatre distinctes, et qui ne peuvent évidemment étre satisfaites qu'en posant les équations [22]. Ces équations [22] exigent que les angles [ 3Bcos (e + — ) | , DANS LES. POLYÈDRES. 429 [ 308 cos[e +) | et [3/cose], soient des multiples de la demi- circonférence; or, en égalant respectivement les deux premiers angles à à mm etnt (m et nr étant des nombres entiers quelconques), le troisième sera comme conséquence égal à à [m+n|7, car la somme des deux cosinus| cos(o ——)| : [cos(e _" —) est égale à [cose]: Les équations [23] suffisent donc pour que les équations [21] soient satisfaites. On en déduit la valeur de l'angle @ au moyen de sa tangente, et le paramètre 8 en fonction des nombres entiers m et 7. Le groupe des équations [24] présente les principales consé- quences des équations [23]. D'après cette analyse la série [11] ne doit contenir que des termes correspondant aux valeurs de @ moindres que 7 et satis- faisant aux équations [23] ou [24]. Or la valeur de @ donnée par p : T sa tangente [ | étant moindre que Fi les angles + Le LE editer seront encore compris entre les limites 0 et x; et si l'on substitue successivement ces Cinq angles dans les expressions [s8cos(e7)], [aBcos(e—7)], [srcosel, elles seront encore des multiples de 7 en vertu des équations (23) ou [24]. La série [11] contiendra donc nécessairement six termes correspondant à l'angle @ dont Ia tangente est LE) etaux cinq angles Et A FA Fa ü s'agit maintenant de trouver les valeurs des coefficients Fç et f© correspondant à ces six termes : pour cela il faut recourir 430 PROPAGATION DE LA CHALEUR aux équations [20] et[18], qui donnent, soit directement, soit combinées entre elles, le système des équations [25]. Si l'on substitue les valeurs [25] des coefficients généraux Fo et /®, et celles des lignes trigonométriques des six angles @ satis- faisant aux conditions|22], dans les six termes de la série [11], qui seuls doivent être conservés, on aura {a fonction # demandée. On obtient ainsi ‘équation [26] en faisant usage de Ia relation [3], qui se réduit à [P+P'+P"—0] dans le cas du triangle équilatéral. Pour donner à la fonction x [26] une forme plus symétrique, on peut : 1° introduire au lieu des nombres entiers positifs et négatifs m,n, —(m+n), trois nombres À, 4, v, liés conséquemment entre eux par équation [ A+ u+v= 0 |; 2° substituer aux deux constantes F et f deux nouvelles constantes M et N, liées aux pre- mières par les équations [27]; 3° et remarquer que l’on peut sup- primer ou ajouter sous les lignes trigonométriques des multiples quelconques de 2#. On obtient ainsi, toute réduction faite, la formule [28]. Ÿ Ainsi la fonction #, qui satisfait aux conditions demandées, est nécessairement de la forme suivante : DANS LES POLYEDRES,. 431 2 (4 y cos (AP + PL ÿP" + 3x) — cos (yP + mp’ + AP'+ 317) + 005 ( uP + sP'+ AP 3ul) = cos (1P + AP' + up" + 3vl) | | — cos 7 (uP + AP' + yP' + 3ul) — cos (AP + VP° + up" + A) sin (AP + yP' +vP"+ 3 x) + sin _( VP + uP'+ àp' +31) 2 sin (4 P +1’ +AP'+ au) +N “A + sin ——(uP + AP'+yP"+ 3 77) + sin 7 ( VP + AP' + uP' + 3) - + sin (AP + vP' + pp" + 3Al) Les coordonnées P, P', P", sont liées entre elles par l'équation P+

(al az A cosô P'sin(g—x")—P'sim(g—a') | 0 sm(æ'—«") : P'sin(g—&")—P"sm(p—«') + Bsin | PRET he | : (ACL ENT RSS F(Q) = Fe. TE | S(e+r)=-fR. fo] P'sin(g—a&'")—P'sin(g—«') [11] nee | FPcosf [ sm(a'—«") A QT à sin(æ'—«") DANS LES POLYÈDRES. 435 | Psin(@a")-P'sin(g-a') = P'sin[@—t{(&")] —P'sin[@-a+(a—a') = sin(g—&)|P'eos(æ'—«&)—P'eos(a—«/)} [12] —C08(g-—«)|P'sin(æ"—«)+P'sin(t—2")] j — {P'cos(&"—4)—P'e0s(a-2')|sin(—2e) +Psin(a—&")cos(g—«) PE ERe ] DAEN sin(æ—«/) [18] _u = Z{FPcosô{ Qsin(@—«)-+Peos(e-u) 0 +-fesin0| Qsin(g—«)+Pcos(g—«)| |. [141 0— = {Fécos/eos(g-a)] + /Esin(Éeos(9-a) |cos[ÉQsin(-«)] = fecos|[blcos(£-«)|-Fesin[4/cos(g-x)]|sin[8Qsin(g-æ)]. [151 co —{(K P+F(7-F2 a—@))cos[# Icos(g—« )] +(f6—f (7 2a—6)}sin [Ocos(g—«)]|} cos|ËQsin(g—2)| +ICFEH-E (7 +24 —@))cos[B/cos(e—«)] +(fe+f(7 +2 a—@))sin|8/cos(f—«)]| sin(0Qsin(g—«)] s (Fo+F(7-+24—2)|cos[#cos(e--«)] Le] +[fe—f(x+24—0)]sin[/cos(e—a)] — 0 F-Fe+F(x+2a—0)]sin|/Bcos(e—«)] +[ fe f(x +2a—0)]cos[/Bcos(e—«)] 0 4 +[-+f(2 a—9)]|sin[/Ocos(p—«&) — 0 [-—Fe+F( 2a—?)] sin(Ocos(p— )] +Lff(ea—s)joos(écos(e—2) p=— . 55* [Fe+F(2 a—9)|cos| /6cos(e—«)] + | 436 PROPAGATION DE LA CHALEUR { Focos[2/cos(e—4)|-+fesin[2/Bcos(o—x)]+F(24—e) = 0, Fesin[2/%cos(e—«)|—fecos[2/%cos(e—«)|f(2a—?) —p, Focos[2/cos(o—x')]+/fesin[2 Bcos(e—a&")|+F(2&/—9)— 0, Fesin[2 Âcos(e—a")|—fecos[2/%cos(e—&')]+f(2&'—7) — 0, Focos[2/cos(e—&")|+fosin[2 Æcos(e—a")|+F(22"—2)— 0, Fesin[2/cos(e—æ")]—fecos(2/cos(—a")|+/2&"—e)— 0, F(2(a—x")+e)=Focos2 B [cos(e—&'}—cos(e—'+a—«")] +fesin2 /8[cos(e—x')—cos(e—&'+a—x")], fa(a—a')+0)——Fosin2 /6[cos(e—«")}—cos(p—x'+4—a)] +fecos2/[cos(e—a'}—cos(g—&'+a—«')], F(2(&'—&)+p)—Fecos2 Blcos(g—a)—cos(g—&+&"—&)] +fesin2 A[cos(o—&)—cos(e—a+&'—«)], f(2(&'—&)+p)——Fsint Bfcos(g—a)—cos(e—&+a&"—«)] +fecos2/Æ[cos(g—æ)—cos(p—a&+a"—«)], F(2(x'—x")-+p)=Focos2/|cos(p—æ")—cos(g—&"+& —«")] +-fesin2 Æ[cos(e—a&")—cos(e—x" +a—a")], Ra(a'—a")+p)——Fesin22#[cos(e—&")—c0s(e—4" +4 —2")] \ +fecos2 A[cos(e—a")}—cos(e—d"+4—«")]. { F(5+7 2 )=Fecos| 2 By3 sin(o—") H+-efinf à @y/3sin (—Z } =Focos| 2 By3 sin(e+ = ) FHfesinf 2 By, sin(e+2 2 }] —Focos[283/3 sine]-—fosin[24y/3 sine], [20] i(+2) —-Fosin] 28/3 sin(e—) cos] 20y/3sin(— 2) =—Fosin| 20y 3 sin CE = ]Hco 207 sin(o+2 ] \ —Fesin[ 20/3 sinp|+-frcos[2/0y/3 sine]. DANS LES POLYÈDRES. 437 [Fosin( &y/sin(o-+ +) fpRcos[ dy sin(se Z Il | sin[ 3/Acos(o-+ 7)]= 0, (Fesin@y/3sin(o—T) E-fécos( 8yzsin(—7 )]} sin] 34cos(s—7 )] = 0 [1] {Fesin| 27/3 sing] — Er On pe LES Ps =UCY fs) sa] sin] 3 Bcos(s+7)] = 0, Fpcos| y/3 sin(o— . )sin[ 8y3sin (— . Il sin[ 3/cos(+—7)] — 0, {Focos[@y/3sine] + fosin[By/3sine]}sin[ 3 Écose] — 0. [22] sin] 3 /cos(+-+ 2) = 0, sin] 3/8cos(—7)] El sin[ 3 cosy] 10) [23] sBeos(ç+7) = MT, 3Bcos(s—7) =NnTE NN 30 cos (e+ 5) =MT, Ây/3sin, tang © — "7 ang? = (ntm)/3 ? 193 sin (e+ =) [24 {3@cos (2) =AnT, 3 ‘ 3 — 3 (22+1m) EE 0 y g+ si R À 7 3/cosp = (m + nr). => (42m) 438 PROPAGATION DE LA CHALEUR FYE EF, F9 = f, F(o+ 7) —Fcosi(r—m)r+fsin{n—m)r , | (o+ 5) = Fsini{r—m)r—fcos{(r—m})r, F (o+ —) —=Fcosi(n—m)r—/fsini(n—m}r, vi (o+ 7) = Fsini(r—m)r+fcos{n—m)r, 125] { F(7—9)=—Fcosi(r+m)7-+fSini(r+m)r fx —09)=—Fsin{n-+m)7x—fcos{(n-+m)Tr, F (= —) =Fcosr7—fsminT, A ( —) = —Fsinir7r +/fcosinr, F (£ —) =—Fcosim7r—/fsinimr, f ( —9) = Fsinimr — fcosimr. Fcos _. (2P—{2-+m)P"+mP") + fêin 27 (xP—{n-+m)P'+mP") +Fcos (—{n+n)P-+mP'-+nP'+3(n—m)l) +fSin _. (—(-+m)P + mP'+nP" +3 (2m) +Fcos _ (mP+nP'—(n+m)P"+3 (mn) . 27 À s ne DE | NET 97 + fsin _ (mP—(n+m)P'+nP'+ 3{mn) —Fcos _ (—{n+m)P-+nP'+mP"—31m) + fsin _ —(n+m)P-+nP'+ mP'— 37m ) —Fcos - (2P+mP'—(n+m)P"—3 /») + fsin - (rP+mP'—(n+m)P"— 31»). DANS LES POLYÈDRES. 439 AT .. AT . 4Vx 4x [27] F = Mcos— — Nsin ——, J=Msin — + Ncos—., ME M, NV, —(mæn)= À; A+u+y=o. 2 cos (AP + 4P' + 1P" + 3x7) —+ cos —( BP + 1P'+ AP'+ 3u/) +008 27 ( 1P + AP'+ pP' + 3w) (HP + mP' + AP'+ 31 — cos ——( y + P' + + 31/) 27 1 LU — COS —— ( mP + AP'+3P'+ 3 ul) — cos (AP + VP' + uP"+ 3A7) [28] u= sin ( uP + AP' + 1P'+ 347) + sin 7 (4P + vP' + AP" + sul) + sin (1P + AP' + WP" + 3w) +N R- + sin —— (vP + ul” + AP" + 30) + sin 1 BP +AP' + P'+sul) Re. un . 2 de sin (AP + P'+gP'+ 3A). MÉMOIRE sur LE CALCUL DES ACTIONS MOLÉCULAIRES DÉVELOPPÉES PAR LES CHANGEMENTS DE TEMPÉRATURE DANS LES CORPS SOLIDES; PAR J.-M.-C. DUHAMEL. L'illustre auteur de la théorie mathématique de la chaleur s'est borné à considérer les changements de température que subissent les différents points d'un système, et ne s'est point occupé des ac- tions moléculaires développées par ces changements. La figure des corps solides ne s'altérant pas en général de ma- nière à modifier sensiblement le mouvement de la chaleur, il a pu dans ce cas dégager la question de toute considération mécanique. Lorsqu'il a voulu déterminer les équations générales de Ia propa- gation de Îa chaleur dans les liquides, il ne lui a plus été possible de négliger les dilatations ou contractions produites par le chan- sement de la température, parce qu'elles influaient sur les mouve- ments du liquide, et par suite sur Îa distribution de la chaleur. Et comme la cohésion ainsi que la compressibilité des liquides est CALCUL DES ACTIONS MOLÉCULAIRES , ETC, 441 trés-petite et considérée comme nulle dans les équations del’hydro- dynamique, il a dû considérer le changement de densité résultant de Ia température comme déterminé, indépendamment de toute Pression, :par la loi connue de la dilatation du liquide. Mais lon serait dans une grande erreur si lon croyait que Îa dilatabilité connue d’une substance solide suffirait de méme pour déterminer la dilatation que subiraient ses différents points par une élévation inégale de température. Ce qui était permis pour les liquides ne l'est plus pour les solides, dont la cohésion est beau- coup plus considérable. Les forces moléculaires développées par cette élévation de, température n'agissent pas sur chaque point comme s’il était isolé, et c'est l'équilibre de ces forces dans le Sys- tème entier qui détermine le changement des distances mutuelles des molécules, et leur position, soit après l'établissement de l'équi- libre, soit pendant le mouvement vibratoire auquel ces change- ments peuvent donner lieu. Cette action de Ja chaleur se retrouve dans presque toutes les questions relatives à ‘équilibre et au mouvement des corps élas- tiques; car c'est une conception purement idéale que celle d'un corps dont tous les points auraient la même température. I était donc indispensable d'en apprécier les effets, et de déterminer les modifications qu’elle apporte aux équations générales que l’on con- naissait. Ces recherches , qui font l'objet de ce mémoire, m'avaient . paru depuis longtemps mériter l'attention: des géomètres. Elles forment un complément nécessaire. de la théorie des corps élas- tiques, et établissent un lien entre elle.et la théorie de la chaleur, dont elle était entièrement isolée. « Lorsqu'une nouvelle classe de phénomènes est soumise au calcul, Fävantage n’est pas seulement pour la théorie physique qui acquiert de: nouveaux moyens de liaison et de déduction; il est aussi pour l'analyse elle-même, qui trouve-dans cette application loccasion et même Ia source de nouveaux progrès. Qu'il me soit permis d'insister un peu sur ce point, qui ne me paraît pas assez senti par tous les géomètres. 5. 56 ‘ Î 442 CALCUL DES ACTIONS MOLÉCULAIRES DÉVELOPPÉES Une question physique qui n’a point encore été traitée, étant ré- duite à une question de calcul, peut exiger une méthode nouvelle et devenir ainsi l'occasion d'un progrès; le calcul des différences partielles en a offert de nos jours des exemples remarquables : mais l'analyse abandonnée à elle-même ne parvient souvent à son but que par des circuits qu’une observation attentive du phéno- mène physique aurait fait éviter. Les équations n’étant que la tra- duction d’une hypothèse primitive, on peut indifféremment suivre le développement du phénomène au moyen de l'hypothèse ou des équations, Mais la marche physique en est quelquefois plus facile à suivre que sa traduction abstraite, sinon dans l'appréciation exacte, du moins dans sa généralité; elle sert alors de guide à lana- lyse, et la conduit par fa route la plus courte et la mieux appro- priée à la nature de fa question, puisque c'est celle que suit le développement naturel du phénomène. C’est ainsi que les théories physiques peuvent contribuer aux progrès de l'analyse pure, comme l'avaient déjà fait à un si haut degré les théories géométriques; entre toutes les applications que je pourrais citer de ces dernières, je rappellerai le parti que Monge a su tirer de la génération des surfaces pour l'intégration des équations aux différences partielles. La génération et le développement des phénomènes physiques pré- sentent des ressources du même genre, sur lesquelles on ne saurait trop appeler l'attention des géomètres. Dans le calcul des actions moléculaires développées par l'éléva- tion de la température, j'ai considéré les corps solides comme composés de molécules disjointes, séparées par de très-petits intervalles. C’est ainsi que les a envisagés M. Poisson dans son mémoire sur l'équilibre et le mouvement des corps élastiques, et je me suis servi des procédés de sommation dont il a fait usage. On sait qu'il est parvenu ainsi aux équations données antérieu- rement par M. Navier. J'ai déduit de la forme des équations générales une remarque 1m- portante, et qui consiste en ce que les effets dus à l'action des forces extérieures et à la variation de la température coexistent PAR LES CHANGEMENTS DE TEMPÉRATURE. 443 indépendamment fun de l'autre, et se superposent pour former l'effet total, soit dans l'équilibre, soit dans le mouvement. Cette remarque est utile, non-seulement en ce qu'elle peut simplifier le calcul en le divisant, mais encore en ce qu’elle met en état d’appré- cier la part qui se rapporte à chacune des deux causes dans l'effet total. J'ai démontré ensuite que les questions relatives à cette théorie n'admettent qu'une seule solution; cette proposition est indispen- sable lorsqu'on part de solutions particulières pour en former une plus générale qui satisfasse à toutes les conditions de la question. Cette marche, suivie habituellement par Fourier, est presque tou- jours la plus simple et souvent la seule praticable, mais elle exige évidemment que l'on démontre qu'il n'existe qu'un seul système qui satisfasse aux conditions données : c'est aussi ce que faisait,avec beaucoup de soin ce grand géomètre dans les deux cas distincts du mouvement uniforme et du mouvement varié de la chaleur, les- quels correspondent dans notre théorie aux cas de l'équilibre et du mouvement. Les équations auxquelles je suis parvenu renferment deux constantes, dépendantes de la loi suivant laquelle la fonction qui exprime l'action de deux molécules varie quand on change leur distance ou leur température. Elles peuvent se déterminer facile- ment d'après les dilatations linéaires de la substance, produites , lune par une tension uniforme appliquée normalement à la surface, l'autre par l'élévation uniforme de la température. M. Poisson avait donné le calcul d'une expérience très-simple, propre à faire con- naître la première constante : quant à la seconde, j'ai fait voir com- ment elle dépendait de la dilatation produite par la chaleur; et j'ai démontré à ce sujet que, quelle que soit la figure d’un corps homo- gène en équilibre, si lon élève d’une quantité égale la température de tous ses points, sans rien changer aux forces qui y sont appli- quées, {a variation de la distance de deux points quelconques ne dépend que de Félévation de la température et nullement de la forme du corps. Cette proposition, admise par les physiciens 56" 444 CALCUL DES ACTIONS MOLÉCULAIRES DÉVELOPPÉES comme résultat de expérience, est une conséquence immédiate de mes équations. J'ai fait ensuite lapplication de ces équations à quelques cas particuliers. J'ai considéré d'abord l'équilibre d'une sphère creuse dont la température est exprimée par une fonction arbitraire de la distance au centre. Le calcul s'achève complétement sans particulariser cette fonction; je n'entrerai pas dans le détail de toutes les ques- tions particulières auxquelles il peut donner lieu : je me bornerai à indiquer le résultat suivant, qui n'a paru remarquable : « Quelle «que soit la loi suivant laquelle [a température de chaque couche wait été élevée, les rayons extrêmes ont les mêmes grandeurs que «si tous les points de la sphère étaient affectés de Ia température «moyenne. » Les rayons intermédiaires ne jouissent pas généralement de la même propriété. Les valeurs particulières de ceux pour lesquels elle a lieu sont les racines d’une équation déterminée, qu'on peut résoudre dans chaque cas particulier, et qui est toujours satisfaite par les deux rayons extrêmes, qui sont en général les plus néces- saires à connaître. Ce résultat s'applique au cas d’un thermomètre dont la température varie. Le rayon intérieur de la boule est Îe même que si l'enveloppe était affectée de la température moyenne, qui est différente de celle du liquide intérieur; cette différence peut rendre les indications de l'instrument très-erronées quand la variation de la température est rapide : c’est ce que j'ai eu occasion de constater par une expérience décisive que j'ai eu l'honneur de communiquer à F Académie. J'ai traité de même le cas d’un tuyau cylindrique qui m'a offert des résultats analogues. J'ai examiné ensuite le cas plus compliqué d'une sphère compo- sée de deux substances différentes. On pourrait supposer de même un nombre quelconque de couches de matières différentes sans qu'il y eût d'autre difliculté que l'extrême complication des calculs. Après avoir discuté ces différentes questions qui ne se rap- portent qu'à l'équilibre, j'ai considéré Îles mouvements vibra- PAR LES CHANGEMENTS DE TEMPÉRATURE. 445 toires des points d’une sphère dont [a température varie suivant une fonction quelconque de Ia distance au centre, et qui se re- froïdit librement dans un milieu invariable. Les circonstances de cette question sont beaucoup plus compliquées que celles des précédentes, et ma formule y satisfait avec toute la généralité qu'elles comportent. Il serait au reste impossible d'indiquer toutes les +pplications de cette théorie; elle se retrouve dans les plus petits comme dans les plus grands phénomènes. -* C'est à elle qu'il faut rapporter la rupture des vases imégale- ‘ment échauflés, les effets des lames compensatrices employées dans l'horlogerie, les thermomètres de Breguet, etc. L'explosion des chaudières des machines à vapeur est due en grande partie sans doute aux tensions énormes que produit dans l'épaisseur de Ja chaudière le changement rapide de température qui se manifeste quelquefois à la hauteur du niveau d’eau. Enfin les pressions ou tensions que produit le refroidissement dans l'intérieur de la terre peuvent à la longue produire des déchirements dans les couches solides qui en composent l'enveloppe ; c’est en partie à cette cause que sont dus vraisemblablement Îles ruptures et les cataclysmes dont la géologie nous offre tant d'exemples, et qui sans doute se reproduiront à de plus grands intervalles dans l'avenir. RECHERCHE DES ÉQUATIONS GÉNÉRALES. Considérons un corps solide dont tous les points aient la méme température, et soient en équilibre en vertu de leur action réci- proque, que nous regarderons comme dépendant, pour une même substance, de la température et de la distance. Si les points du corps, tant à l'intérieur qu’à la surface, viennent à être sollicités par des forces données, et qu'en même temps leurs températures aient varié de quantités connues, il en résultera de nouvelles positions d'équilibre, qui changeront en même temps 446 CALCUL DES ACTIONS MOLÉCULAIRES DÉVELOPPÉES que les températures, et qu'on peut se proposer de déterminer pour chaque état thermométrique du corps. Au lieu de considérer les positions successives d'équilibré, on peut chercher à déterminer le mouvement que chaque point pren- dra, et la manière dont il sera modifié par le refroidissement du système. 4 Nous allons établir les équations générales qui renferment la sclution de ce nouveau genre de questions. Soient a, b, c, lestcoordonnées d’un point quelconque dans l'état primitif, où l'équilibre à lieu entre les actions mutuelles des molécules ayant une même température; +, y, 3, les accroisse- ments respectifs de a, b, c, qui sont des fonctions de ces coor- données et du temps f; et F(p,u), la fonction qui exprime l'excès de la force répulsive sur la force attractive de deux des molécules homogènes qui composent le corps, p désignant la distance qui les sépare, et # leur température. Si les deux molécules avaient des températures différentes, w, u', leur action dépendrait à la fois de « et w', et pourrait être représentée par une fonction F(p,u,u'), dans laquelle x et x’ entreraient symétriquement. Dans ce cas il est facile de démontrer qu'on peut prendre, au lieu de x +u" : et w', leur valeur moyenne 4, lorsque la différence #'—w est une petite fraction. En effet désignons par d\cette différence, l’action des deux molécules affectées de la température moyenne sera F(p,u,u). _ à . 4 Si l'on change les températures 4,, la premiere er #,— Eu la d 2 seconde en #, + > on devra retomber sur F(p,u,u'). Or on obtiendra ainsi un développement dont le premier terme sera F{p,u,u,);lestermes du premier degré en d\seront égaux et de signes contraires : donc le développement ne différera de F(p,u,,u,) que par les termes du second ordre relativement à d\; si d\ est très- PAR LES CHANGEMENTS DE TEMPÉRATURE, 447 petit, on pourra se borner au premier terme, et par conséquent remplacer les températures , u', par leur moyenne. Si l’on prenait la température de l'une des molécules au lieu de la moyenne, l'erreur serait du premier ordre par rapport à d\, etil sera toujours facile de reconnaître dans chaque cas s'il est permis de la négliger. Cela posé, considérons dans l'intérieur du corps un élément plan extrêmement petit, dont l'aire soit w , et qui serve: de base à un cylindre droit; et proposons-nous de calculer l'action exer- cée, après le déplacement, sur Fensemble des molécules de ce cylindre, par toute la partie du corps située de l'autre côté de la base. Nous opérerons la sommation de toutes les actions partielles en suivant la même marche que M. Poisson, dans son mémoire sur les corps élastiques, auquel nous renvoyons pour beaucoup de détails que nous omettrons pour abréger. Soient a, b, c, les coordonnées primitives du point M du corps par lequel passe la base du cylindre; &, B, y, les angles que forme, avec les axes, la normale à cette base, prise du méme côté que le cylindre; &', B', y’, æ&", B', y’, les angles formés avec les axes par deux droites perpendiculaires entre elles, situées dans le plan de la base; les valeurs de tous ces angles se rapportant à l'état primitif du système. Prenons ces deux dernières directions et le prolongement de la normale pour axes de coordonnées a, b,, c, et posons [1 1 ajcosa" + Dicosa' — ccosa — ©, acosB" + bicosB" — c;cosB — à, LA / acosy" + bicosy — ccosy — 8, dx dx 5 == — + = da db de. à dy dy pus en Ve tone 0 dz dz dz ” Poe SAUT ë, I 148 CALCUL DES ACTIONS MOLÉCULAIRES DÉVELOPPÉES D'où résulte Fee (os + 4° LE et par suite np + (99 +44 +68). Px désignant ce qu'est devenu p après le déplacement des mo- lécules. En sommant les actions exercées sur le cylindre après le déran- gement, par toutes les molécules situées du côté opposé, et dési- gnant par P, Q, R, les composantes de cette action parallèlement aux axes des a, b, c, M. Poisson a trouvé, en désignant par € l'in- tervalle moyen des molécules dans l'état primitif, ap = — 2 f() 00 = = fe), Pi g+-8 an = — > fr). f{p;) exprimant faction de deux molécules dans le nouvel état du corps, et les sommes s'appliquant à toutes les molécules du cylindre, et de la partie du corps située du côté opposé à la base, Mais dans la question que nous traitons, nous devons rem- placer f(p;) par F(pu,+v,), si nous désignons par &, la tempé- rature de tous les points dans l'état primitif, et par +, la moyenne des températures ajoutées aux deux points que l'on considère. Nous aurons donc, dans hypothèse où nous nous sommes placés, p+?" Ÿ Pi ob ——_> F(Pyuo+v,), @Q=—X ns EF prrto+-v5) 6-6 oR—=—X% TE. (Putto+bi ). Or on a PAR LES CHANGEMENTS DE! TEMPÉRATURE)! 449 d. _ F( pu) 1 EF (pot+v) = Eli) RE (pp) L À 1 dF(p,u,) P du Û ” dF(pm) 1 1 ñ , ñ = (pro) + (99 +60 1 dF(pu) E P du F D'ailleurs, on peut remplacer v, par l'accroissement » de la température du point M, dont elle ne diffère que d'une quantité extrêmement petite ; on aura donc @P = — z(p+9') 1 d.—F( pt) dp v | B. du N —F (PU) <= —(99" + LL + 60") + Cette somme s'appliquant à toutes les molécules du cylindre et à celles du corps de l’autre côté de la base. SEE wc1 . r ’ Multipliant par 2 qui est le nombre de molécules renfermées P P 3 ? q dans Îa partie du cylindre comprise depuis la base jusqu’à une hau- teur égale à c,, on aura toutes les actions dues aux molécules , situées deux à deux aux extrémités de droites égales et parallèles ; il sufhra donc de somimer ce que l’on obtiendra ainsi, en donnant à cette droite toutes les directions et toutes Îes grandeurs possibles ; ce qui se fera en donnant à a, b, c, toutes les valeurs relatives aux points du Corps situés du même côté de la base, opposé au cylindre. HO wb 128 D eff On aura, en multipliant le second membré par _— 20 5. LI 27 450 CALCUL DES: :ACTIONS MOLÉCULAIRES DÉVELOPPÉES pr LEE ( pu) + PR (oo +00) € 1 d—F(Pr4) (g + p')cv dF(psu,) | + . —— |, dP p du la somme ne se rapportant plus qu'aux points situés du côté des c, positifs. Les deux premières parties de cette somme ne diffèrent pas de celles qui se trouvent dans le mémoire de M. Poisson, de sorte qu'il est tout à fait inutile de reprendre les détails un peu longs de leur sommation; je me contente d'en rapporter le résultat. M. Poisson, en négligeant les termes du second ordre par rapport à ®, L!, 6', et observant que dans l'état primitif on a la condition ZPE(p,u) = 0, a trouvé que la somme relative aux deux premières parties avait pour expression dans laquelle on suppose 1 \ nu Ep) K Sragur 2 ap ? cette dernière somme s'étendant. à tous les points du corps situés dans la sphère d'activité du point M. Il ne nous reste donc plus qu'à y ajouter PAR LES CHANGEMENTS DE TEMPÉRATURE. 451 “SR (g+9)e | dF(pu) € P 7 du cette somme s'étendant seulement à tous les points situés d'un même côté de la base. On péut négliger @':par rapport à @; et si l'on observe que les termes de cette somme, qui contiennent des puissances impaires de’4; ou b,, se détruisent deux à deux, l'expression précédente se réduit à _ vcosæ CES \ dF(pu,) | AT) en P du Maïs, d'après l'homogénéité du corps dans l'état primitif, cette somme serait la même si lon y changeait c, en a, ou b;; et comme ah LE be Lys SE on a 5 a?! dE(p,u,) DS b® dF(P,u,) ses c? dF(pu,) P du si p di qu pP du 254 dF(p,u,) is pplaux ? ou encore Le dF(pu) Lys Fo) NT cette dernière somme étant étendue à tous les points du corps situés dans 1a sphère d'activité de M. Notre expression deviendra ainsi vcosæ 5 dE(pu,) Ge du " Si nous posoné SRE 459 CALCUL DES ACTIONS MOLÉCULAIRES DÉVELOPPÉES et que nous représentions par p la pression exercée sur une sur- face qui était égale à l'unité avant le dérangement, et par À, u, v, les angles que sa direction forme avec les axes, nous aurons pcosA — dx dy dz dx dy dx dz fo ce one ga) fi au D ep ]COS@ | EU GREE cos/2+ + ]cosy + Avcosæ, pcosh = dx dy dx dy dz dy dz K{(+ Te a+ (+3 Ke (+ —-)cosy| nt ele - line cosB+ += ]cosy + AvcosB, p cosy = dz dx dz dy dx dy dz l os COS us K|[ da de ) ( de Jco 842 RU MN Jcosy + Avcosy. Cela posé, on considérera avant le dérangement un point quel- conque M de l'intérieur du corps, ayant pour coordonnées a, b, c, et par ce point on mènera des parallèles aux directions positives des axes, sur lesquelles on prendra des longueurs très-petites LT": qui Fonctost les arêtes d’un parallélipipède rectangle. Après le dérangement les faces opposées seront sensiblement Hem et les équations d'équilibre de ce parallélipipède seront faciles à obtenir d'après les formules précédentes. En effet les sommes des composantes parallèles à chaque axe devront être nulles, en y comprenant les forces extérieures, que nous supposerons indé- pendantes des déplacements x, y, z, et dont nous représenterons par X, YŸ, Z, les composantes rapportées à l'unité de masse de la substance. Les trois équations que lon obtiendra ainsi seront les seules nécessaires; car, comme l'a observé M. Poisson, les équations relatives aux moments sont satisfaites identiquement. PAR LES CHANGEMENTS DE TEMPÉRATURE. 453 Occupons-nous d'abord des composantes parallèles à faxe des a, pour avoir la pression sur Îa face qui, dans l'état primitif, était perpendiculaire à cèt axe, et passait par le point M. Il faut dans les formules précédentes supposer cost = 1,105 = 0, .c08Y = 0, puis multiplier par l'aire //", ce qui donne pour la composante parallèle à axe des a, dx dÿ dz En (Rs) 4 AopeT. La pression sur la face opposée s'obtiendra en faisant COS& = — 1, et changeant a en a+/, ce qui donnera, pour la somme de ces composantes, IK(3 æx dy æz ) DE + —— + + d@ dadb dade da par. La pression exercée sur la face passant primitivement par le point M, et perpendiculaire à axe des à, s'obtiendra en sup- posant CoS& = 0, cosy — 0, cosB = 1. La composante parallèle à l'axe des a sera K (+). Si on Îa multiplie par faire 77", et qu'on lajoute à la pression sur la face opposée, pour laquelle il faut faire cos — — 1, 454 CALCUH DES ‘ACTIONS MOLÉCULAIRES DÉVELOPPÉES et changer b en b+/, on trouvera pour somme —K(H+ Ar. On trouvera de même pour somme des composantes parallèles au même axe, provenant des pressions exercées sur les faces pri- mitivement perpendiculaires à l'axe des c, dx æz de 2 2e K ( de? dadc ) ru. La composante totale parallèle à l'axe des a sera donc P Œx dx dx Œy æz dv = K{ D Ne Ne, ee SV 22 Be te a OC ans (made da En y ajoutant la composante XA///", A étant la densité primi- tive et égalant la somme à zéro, on aura l'une des trois équations d'équilibre du parallélipipède. Les deux autres s’en déduiront par de simples changements de lettres, ét l'on obtiendra ainsi les trois équations suivantes, qui devront avoir lieu pour tous les points intérieurs, dx Æxr dx æ æz dv XA = K| 3— ++ Host » + A ; da? db? de dadb dadc da (1) { YA Si EE PU. ss 9 ee +9 Pro sje Que da db? de? dadb dbac | db ? 23 dx d'2 Æx de ZA = K + 3 — D 9 —— | da? db À de° à dadec dbde de PAR LES CHANGEMENTS DE TEMPÉRATURE. 455 En changeant dans ces équations X, Y, Z, respectivement en Ce ve 108 mr de ? de ? de ? on aura les équations du mouvement du système, qui sont æ& (x - 12 Er Rs C2 0 nl + AE, p-2ja= (2) De dy 4 &x & dy LE De res 2e A, æ (z- Er she KA + +0 ro ts | ad Dans f'un et fautre cas il y aura, pour les points de Ja surface, trois équations particulières, qui exprimeront queles composantes de la pression sur un élément quelconque de cette surface, résul- tant des actions moléculaires, sont précisément les mêmes que les composantes de [a pression extérieure donnée. Soient /, m, n, les angles formés avec les axes par la direction extérieure de la normale, et X', Y', Z', les composantes de la pression extérieure, rapportées à l'unité de surface, les conditions cherchées seront exprimées par les équations suivantes : 456 CALCUL DES ACTIONS MOLÉCULAIRES DÉVELOPPÉES XOET dr dy dz dr dy dz dz K (3 cos? +) cosm (+ = Jcosn| + Avcos! = 0, ME dx dy dx dy dz dy dz (3) R{ (5 jcos (Ps oosm+(E 7 ) cosn | + Avcosm — 0, F Pan K| (+ )cos/ + cos (8) cos da de db de da db de { + Aycosn — 0. Ces dernières équations doivent avoir lieu soit dans l'équilibre, soit dans le mouvement, mais seulement pour les points de la surface: On doit de plus supposer que certains points du corps sont assujettis à des conditionsqui empêchent tout mouvement commun du système considéré comme rigide. A ces équations devront être jointes celles de la propagation de la chaleur. Ellés ne subiraient que des modifications insen- sibles par le changement très-petit des distances des molécules VOISINES. Nous les conserverons donc telles qu'on les a employées jus- qu'ici. Elles feront connaître à chaque mstant la valeur de » en fonction de a, b, c, t; cette valeur devra étre substituée dans les équations que nous venons d'établir, qui ne renfermeront plus alors que les inconnues x, y, z. J'ajouterai enfin que ces équations ne supposent pas que les déplacements x, y, 3, soient très-petits relativement aux distances des molécules entre elles. Les calculs qui y conduisent sont fondés seulement sur Thypothèse que les angles formés avec les axes par PAR LES CHANGEMENTS DE TEMPÉRATURE, 457 les droites qui joignent des molécules voisines, ne varient que de quantités très-petites dans le changement de forme; hypothèse qui ne s'oppose nullement, en exceptant certains points du système, à ce que les valeurs de x, y, z, ne soient très-grandes relativement à l'intervalle moyen des molécules. S'il en avait été autrement, nos formules ne seraient applicables à aucun phénomène appréciable à nos sens. vs LES QUESTIONS RELATIVES À CETTE THÉORIE N'ADMETTENT QU'UNE SEULE SOLUTION. Cette proposition est fondamentale; car s'il y avait plusieurs positions d'équilibre sous l'influence des mêmes forces, il ne suffi- rait plus de trouver des valeurs qui vérifrassent les équations géné- rales : il faudrait suivre le mouvement des points depuis leur posi- tion primitive jusqu'au moment où les forces et les températures se seraient fixées dans l'état où on les donne; ce qui serait la plu- part du temps impraticable. M. Fourier avait bien senti cette nécessité dans Îa théorie de la chaleur; et il avait démontré avec beaucoup de soin que, quel que fût le procédé particulier qui eût conduit à une expression qui remplit toutes les conditions de la question, elle renfermait Ia solution unique et complète, parce que ces mêmes conditions ne pouvaient étre satisfaites par deux fonctions différentes. Je considérerai d'abord le cas du mouvement comme étant le plus simple. Il est clair en effet que les points partant de positions données, avec des vitesses données, chaque état successif est dé- terminé d’une manière nécessaire par l'état immédiatement voisin et [a valeur des forces tant intérieures qu’extérieures. Toutes les solutions qui satisfont aux équations générales et à l'état initial sont donc identiques. Mais la proposition est loin d’être aussi évidente dans le cas de l'équilibre, parce que Ton n’a point à considérer une succession d'états, mais un .état définitif, auquel on a pu arriver par des 5. 58 458 CALCUL DES ACTIONS MOLÉCULAIRES DÉVELOPPÉES positions intermédiaires très-différentes. Pour létablir d'une ma- nière rigoureuse, nous considérerons un système de points maté- riels en nombre quelconque, situés à des distances aussi petites qu'on le voudra les uns des autres. Désignons par x;,7, 3, æ,,y4, 21, les déplacements de chacun d'eux dans le sens des axes. Si l'on calcule les composantes des forces qui se seront ajoutées à celles qui existaient dans le premier état d'équilibre, qu’on les égale à zéro pour chaque point, on aura les équations nécessaires et sufh- santes au nouvel équilibre. Le calcul en est fort simple; j'ai eu occasion de l'indiquer dans un autre mémoire; je ne le reproduirai pas ici : il conduit à des équations de la forme 0 = M+Ax + By+Cz + A;x, + By, + C;z, + etc. Le terme M dépend des forces extérieures qui ont été intro- duites, ainsi que de celles qui proviennent de l'élévation de la température, et qui, comme on l’a reconnu précédemment, ne fournissent que des termes indépendants des déplacements. \ Ces équations sont en même nombre que les coordonnées des points, et par conséquent que leurs accroissements x, y, 3, Ty Yv Ze... Quisont les inconnues de la question; et comme elles sont du premier degré, elles n'admettent qu'une seule solu- tion, excepté dans le cas particulier, que nous n’avons pas à consi- dérer, où elles seraient indéterminées. Les déplacements x, y, z,. . ... n'étant susceptibles que d’une seule valeur, il suffira de connaître une solution particulière des équations d'équilibre, pour étre assuré que c’est la solution cher- chée, puisqu'il n'y en a qu'une possible. Ces conséquences, étant indépendantes du nombre et de la dis- tance des points, s'appliquent au cas que nous avions en vue, dans lequel ces distances sont assez petites pour que l'on ait pu supposer +, y, 3... fonctions continues des coordonnées primitives, hypo- thèse qui conduit à des équations aux différences partielles. PAR LES CHANGEMENTS DE TEMPÉRATURE. 459 SUPERPOSITION. DES EFFETS. IL est utile de remarquer que les effets dus à l’action des forces extérieures et à la variation de la température coexistent indé- pendamment l’un de l'autre, et se superposent pour former leffet total; c’est-à-dire que les déplacements de chaque point, soit dans l'équilibre, soit dans le mouvement, sont les sommes de ce qu'ils seraient séparément au même instant, si chacune des deux causes de dérangement avait existé seule. Cette remarque est utile, en ce qu'elle peut quelquefois simplifier le calcul en le divisant, mais principalement parce qu’elle fait connaître la part qui se rapporte à chacune des deux causes dans l'effet total. Considérons d'abord le cas du mouvement qui est représenté par les équations (2) et (3). Soient x, 7;, 3,, une solution de ces équations, dans lesquelles on suppose v — 0, etx’,y, z, une solution des mêmes équations, dans lesquelles on suppose nulles les forces X, Y, Z, X', Y’,Z. Si on substitue :r,, Yo 31 dans les équations (2) et (3), après avoir supprimé les termes qui renferment v; qu ‘ensuite on substitue LAC z, dans les mêmes équations, en supprimant les termes qui Rent les forces X, X',... et laissant les termes en v, on aura les équations qui résultent de la supposition. Or, si Ton ajoute deux à deux les équations correspondantes dans ces deux systèmes, on aura le même résultat qu’en substituant x, + 2,7, + Y, ASS à x,y, z, dans les équations complètes (2 (2 )et (3). Donc, d'abord la somme de deux solutions de chacun des sys- tèmes isofés forme une solution des équations relatives au système composé. Les déplacements initiaux et Îles composantes des vitesses ini- tiales qui correspondent à ati+x,Y+y,zt 2e, étant évidemment la somme de ceux qui correspondraient séparément à x, y, Z, et æ, y',2, On voit que pour avoir Ja solution complète de la question proposée, il sufhit de connaître deux solutions relatives, l’une à 58° 460 CALCUL DES ACTIONS MOLÉCULAIRES DÉVELOPPEES l'élévation de la température, l'autre aux forces extérieures don- nées ; la somme de ces deux solutions formera celle de la question proposée, pourvu que la superposition des états initiaux relatifs à chacune d'elles recompose, tant pour Îes déplacements que pour les vitesses, l'état initial proposé. Les mêmes raisonnements s'appliquent au cas de l'équilibre, puisqu'il suffit de supprimer les termes dr° dy° dz! dé ? de ? de “ En ajoutant les déplacements qui se rapportent respectivement aux deux positions d'équilibre que détermineraient les deux causes séparées, on obtient des déplacements qui satisfont aux équations d'équilibre du système proposé; et comme if ne peut y avoir qu'une seule position d'équilibre, elle est donnée par cette superposition. On tire de là cette conséquence importante, que les dérange- ments des points, à partir d’une position d'équilibre qui n'est pas celle de l'état naturel, sont les mêmes que si les forces et les tem- pératures additionnelles étaient introduites dans l'état naturel lui-même. On peut encore partir de l'état d'équilibre donné, comme s'il était l'état naturel, en n'ayant égard qu'aux nouvelles circonstances introduites. Les constantes qui entrent dans les équations précé- dentes ne devraient être augmentées que de quantités du même ordre que celles que l'on néglige, et par conséquent on devra faire usage des équations générales sans aucune altération. DILATATION D'UN CORPS DE FIGURE QUELCONQUE DONT LA TEMPÉ- RATURE A ÉTÉ ÉLEVÉE ÉGALEMENT EN CHAQUE POINT, ET DONT LA SURFACE EST SOUMISE À UNE TENSION NORMALE UNIFORME. Soit T la tension exercée sur l'unité de surface, et dans le sens extérieur de la normale, v la quantité constante dont la tempé- rature a été élevée; les équations indéfinies se réduiront à PAR LES CHANGEMENTS DE TEMPÉRATURE. 461 dx &x dx dy dz 3rÉSbipesEtug 2 uyeg —0, da db? de? dadb dade d' dy " z Pe 3 J ECM 2 - 110: da? db? de? dadb dbde NP PAR PL em ft og Gt on PE I PTE dbde 7 On aura une solution particulière de ces équations en posant z = aa, = 0 Zi NUE, ce qui assujettit les points situés primitivement sur les axes à y rester après le déplacement, et par conséquent empêche tout mou- vement commun. Cherchons mamtenant à déterminer les cons- tantes &, B, y, d'après les équations relatives à la surface, qui deviennent T+K(3a+B+y) + Av = 0, T+K(a+3/B+7y)+Av = 0, T+K(a+B+3y)+Av = 0. D'où l'on tire -hev T+Av _ Le signe de T serait changé, si la tension se changeait en pression. On aura ainsi T+- Av T+- Av RUE GR ES b =) —, = c. 5K bn L’accroissement de l'unité de longueur est donc T+Av 5K ? dans le sens des trois axes, et par conséquent dans tout autre * 462 CALCUL DES ACTIONS MOLÉCULAIRES DÉVELOPPÉES sens. De plus, le principe ci-dessus démontré de la superposition des effets prouve que ces accroissements sont les mêmes, quel que soit l'état primitif d'équilibre. D'où résulte cette conséquence : « Quelle que soit la figure d'un corps homogène, en équilibre «sous l'action de forces quelconques, si on élève uniformément la «température de tous ses points, et qu’on y ajoute une tension ou «pression normale constante en tous les points de sa surface, la « dilatation linéaire sera la même danstous les sens; elle ne dépendra « que de la tension ajoutée et de l'excès de température , mais nulle- «ment de la figure du corps.» Ce résultat était connu depuis longtemps des physiciens, qui déterminaient [a dilatation des corps creux par les mêmes for- mules que celle des corps pleins. Il se présente maintenani comme conséquence naturelle de notre théorie. DÉTERMINATION DES CONSTANTES. Les calculs précédents peuvent conduire à la détermination des constantes au moyen d'expériences fort simples. En effet, si l'on désigne par 4 Ia dilatation de l'unité de lon- gueur correspondante à un accroissement de température égale à 1, sans l'addition d'aucune force, on aura Pour déterminer la constante # on supposera la surface du corps soumise à une tension normale égale à 1, et lon aura, en dési- gnant par d\' la dilatation linéaire résultante, d'où PAR LES CHANGEMENTS DE TEMPÉRATURE. 463 Les expériences qui font connaître la dilatation d\ produite par la chaleur sont susceptibles d’un très-grand degré de-précision, et sont trop connues pour que je les mentionne ici. Quant à celles qui peuvent faire connaître N, elles ne se présentent pas aussi paturellement. IT serait en effet très-difhcile de mesurer exacte- ment le changement de volume qu’éprouve un corps dont la sur- face est soumise à une pression ou une tension donnée, et ïl faut avoir recours à un moyen détourné. M. Navier, pour donner une signification mécanique à la cons- tante qui entrait dans ses équations, considérait l'allongement que subirait un solide indéfini compris entre deux bases parallèles, dont les points resteraient, pour chacune d'elles, dans les mêmes positions relatives, et seraient soumis à une traction égale ; mais il n'avait pas indiqué d'expérience facilement réalisable. En partant des mêmes équations, M. Poisson a prouvé, par un calcul très-simple, que, si lon considère un cylindre à base quel- conque; dont les bases soient soumises à une augmentation don- née de tension, tandis que la surface reste soumise à la pression primitive, la dilatation dans le sens de la longueur est double de ce qu’elle serait si la même tension était appliquée à la surface entière. Cette expérience est très-facile à faire pour les substances élastiques; rapportant la dilatation observée à l'unité de longueur et de tension, puis en prenant la moitié, on aura d\. Si l'onintroduit les. dilatations connues dans les équations géné- rales, elles prennent la forme suivante #0: J'At} 1 D COFTRAOC,TIE 464 CALCUL DES ACTIONS MOLÉCULAIRES DÉVELOPPÉES &zx dx dx dx 4 5 d\ ( — = 3 Ar À de ap ae dadb 9 dz dv + Les — dadc da ? dy dy dy dy dx 54\A( —Y)= Er Mets ( 4) dé da? db? de? dadb az dv + 2 — 5d\—, dbde db &z d'z x d'z dx LAN Peer 7 — s (& j= RAR MR de UE d'y dv + 2 3 a dbde dc Per dx dy z dx y 5 = |[3—+—+— TEE ER NX ( Ft DE }cos +(- +7 )]cosm dx dz + ( — + —) cos — 5d\vcos!/, de da 22 dx dy di dz 5NY — ( +7) cos! + + 3-74 )cosm (5) db da db de dy dz 5N + | —+— — ! FREE LUETS ) cos vCOSM, Per dx dz [ dz dy cos es 2e 5d\Z ( ni Z ) (5 FE ) cosm == ( dx dy 3 dz 5 —+—+ 3 — | cos2 — 5dw à da pl 73 ) OS? cos? Les trois premières ont lieu pour tous les points de l’intérieur, et les trois dernières pour les seuls points de Ta surface. COMMENT ON PEUT REVENIR D'UN ÉTAT QUELCONQUE D'ÉQUILIBRE À L'ÉTAT NATUREL. Soient X, Y, Z, les composantes des forces qui sollicitent les points de l'intérieur; X°, Y', Z', les composantes de Ia pression exercée à la surface d’un corps élastique en équilibre; et v l'excès PAR LES CHANGEMENTS DE: TEMPÉRATURE: 465 de température au-dessus de l’état naturel. Nous avons vu que si l'on introduisait de nouvelles forces dans le système, Îles dérange- ments de chaque point seraient les mêmes que si ces forces'étaient introduites dans état naturel, et les mêmes encore que si l'on considérait l'état donné comme étant l'état naturel. Or, pour le cas particulier où le système proposé doit revenir à l'état natu- rel} il suffit d'introduire, pour les points de l'intérieur, des forces dont les Composantes soient — X — Y — 7, et à! surface des pressions dont les composantes soient — X'— Y'_ 7, et d'ajou- ter — y à toutes les températures. Ce calcul se fera comme si l'état donné était l'état naturel; quand on connaîtra les déplace- ments +, 7, 3, d'un point quelconque, on les ajoutera aux coor- données de ce point dans état donné; et l'on aura ainsi les coordonnées du même point dans l'état naturel. Nous en ferons l'application au cas d’un corps de figure quel- conque, dont la surface est soumise à une tension normale cons- tante T, et dont Ia température a été élevée au-dessus de celle de l'état naturel d'une quantité constante v. Désignant par a, b, c, les coordonnées des points dans l'état donné, et par x, y, z, leurs accroissements, on satisfera aux équations indéfinies en posant D SIP" GR ER ARE RSA «, BB, y, étant des constantes indéterminées. ! © Les températures de tous les points devant être augmentées de —v, et la pression introduite à la surface devant être égale ct op- posée à la tension T,, qui est dirigée dans le sens extérieur de la normale, les équations relatives à {a surface deviendront 34 + B + y + 5NT + 59 = 0, & + 38 + y + 5NT & 590 — 0, d'+ B + 3y + SAT + 540 — 0, d’où 466 CALCUL DES ACTIONS MOLÉCULAIRES DÉVELOPPÉES æ = B = y=— Ad\T — dw. Par suite Zd=—(NT+ da, y == (T4), 2 = (NT+ wc. Si donc on désigne par a, b, e, les coordonnées des points dans l'état naturel, on aura a'=a(i—NT dv), b'—b(1-NT—dw), c'=e(1—-N'T—d); ce qui fera connaître l'état vaturel d'après l'état donné. On aurait pu procéder d'une manière inverse, et partir de l’état naturel inconnu pour arriver à Fétat donné. Les quantités a!, D’, «', seraient considérées comme données, et a, b, c, comme inconnues : la température ajoutée serait v, et la tension T serait dirigée dans le sens extérieur de la normale. On trouverait ainsi az a'(1+\T+dw), b=— b'i+NT+ dd), c=c(1+NT+ dw). De là on tirerait a', 0, c', en fonction de a, b, c, et l'état naturel se trouverait déterminé. Ces valeurs différeraient des précédentes par des termes du second ordre relativement aux dilatations À, d\’, et qu'on peut né- gliger devant ceux du premier ordre, vu la petitesse de ces dilata- tions. On se tromperait même beaucoup si lon croyait avoir une plus grande approximation en les conservant. En éffet, toute cette théorie est fondée sur l'hypothèse que Ia distance de deux molé- cules voisines varie très-peu par rapport à elle-même, et par suite que Faccroissement de unité de longueur n'est qu’une fraction très-petite. Il serait donc bien inutile de tenir compte de certains PAR LES CHANGEMENTS DE TEMPÉRATURE. 467 termes dans un calcul fondé sur des équations dans lesquelles on: a négligé des termes du même ordre; et non-seulement leur in- fluence doit être- regardée comme insensible, mais on ne peut même assigner dans. quel sens elle s'exerce, On commettrait une erreur du même genre si Von croyait devoir - introduire dans les équations générales des termes qui seraient à ceux qui s’y trouvent déjà, dans Île rapport de À ou d\ à l'unité. | DIRECTION ET GRANDEUR DE LA/RÉSULTANTE DES FORCES PRODUITES PAR L'ÉLÉVATION DE LA TEMPÉRATURE. Les équations (4) ne seraïent pas changées si la température du corps était restée la même que pendant l'état primitif, et que les composantes X, Y, Z, fussent changées en PA dv EA dv CA dv Prades a PT Dear de D' L'effet de l'élévation de la! température sur les points de l'inté- rieur est donc le même que celui d'une force dont les compo- santes, rapportées à l'unité de masse, auraïent pour expression en chaque point À à A à A & Hua dided ad AN dl, LS de Les cosinus des angles formés par sa direction avec Îes axes sont donc 59" 468 CALCUL DES ACTIONS MOLÉCULAIRES DÉVELOPPÉES dv dv due TR du Na Id \2 [.dv \9 dvi \S, [.do 2 .[ dv, \3 | brriesadesheyhes dv FOUR VEPEET Cette direction est précisément celle du flux maximum de cha- leur au point dont les coordonnées sont 4, b, c. La grandeur de Ia résultante est d\ dy \2 do \2 dy \2 d'A POTENCER +. La valeur du flux maximum rapporté à l'unité de surface est PP da db de k désignant la conductibilité intérieure. Donc Ia résultante est au flux maximum dans Île rapport cons- tant de d\ à Æd''A. Ainsi la résultante des forces produites à l'intérieur par l'éléva- tion de la température est dirigée en chaque point dans le sens du flux maximum, par conséquent normale aux surfaces isothermes, et est à ce flux dans un rapport qui ne dépend que de la nature de la substance. Passons aux équations à Îa surface. Les termes provenant de la température sont les mêmes que ceux qui résulteraient d’une pression dirigée dans le sens extérieur PAR LES CHANGEMENTS DE TEMPÉRATURE. 469 de la normale si v est positif, et en sens contraire si w est négatif; et qui, rapportée à l'unité de surface, aurait pour composantes PA d\ d crc cos /, —jr VCOSM, —v COS n. Or, si lon suppose que le corps soit entouré d'un milieu dont la température soit la même que celle de l'état primitif du Corps, et que l’on désigne par 2 la conductibilité extérieure, le flux à la surface aura pour expression Av, et il sera dans le sens extérieur de la normale, si v est positif; et en sens contraire si v-est négatif. Donc la pression que produit à la surface l'élévation de {a tempé- rature lui est normalef dans le sens même du flux en chaque point, et proportionnelle à ce flux, dans le rapport de À\ à V4. ÉQUILIBRE D'UNE SPHÈRE CREUSE DONT LA TEMPÉRATURE EST EXPRIMÉE PAR UNE FONCTION QUELCONQUE DE LA DISTANCE AU CENTRE. Considérons une sphère creuse dont le rayon de la surface intérieure soit R, et celui de la surface extérieure R' dans l'état naturel. x Supposons que l'accroissement » de la température soit une fonction quelconque du rayon p des couches concentriques, et désignons par p, p', les pressions normales exercées respective- ment sur Îes deux surfaces, et dirigées vers l'intérieur de la partie solide. I est évident que le déplacement de chaque point ne peut se faire que dans la direction de la droite qui le joint au centre; les inconnues x, y, z, sont donc proportionnelles à à, b, c, et l'on peut poser TZ —aP) y —,09, z— c9, = pr; 470 CALCUL DES ACTIONS MOLÉCULAIRES DÉVELOPPÉES ÿ désignant l'accroissement qu'a reçu le rayon p en passant du pre- mier état au second, et @ étant une fonction inconnue de p , dont il suffit de trouver a valeur pour que la question soit compléte- ment résolue. Les équations aue nous venons de poser donnent dx & dy dz ab d9 dx _ ac d da SA PP NN ETC EN ET ER dy ab d dy & d? dy be d da p dp ? db “4 p dp? de. i» vobemae dz ac d9 dz dd bc d9 dz ce d9 dacipils ep ae dpt audi p dP? Br 3a a° ) do a dd = PRE) PE Era a da p Pl dp ps dp ? dx a ab? ) do a dg = | — — — + — di ( P gp | dp ENTER zx a ac? d ac Sen es de? C PQ} F dp x ( b ba d ba æ dat _\p ) .p FT zx c ca ) d . e®à æ&9 =|—— — + —— — . dadc ( P P° ad? p dp On déduira de ces formules celles qui se rapportent à y et z par de simples changements de lettres; on aura de plus dv a dd dv b dv dv c dv dE MP TIPRE PTT NET de p dp° Ces substitutions étant faites dans les trois équations indéfinies, elles se réduisent à l'équation unique PAR LES CHANGEMENTS DE TEMPÉRATURE. 471 dont l'intégrale générale est Cet C; étant deux constantes arbitraires qui se détermineront par les conditions relatives à la surface. Les trois équations qui expriment ces conditions se réduisent à une seule par les substitutions précédentes. Cette équation pour la surface extérieure est la suivante, dans laquelle il faut rempla- cer p par R', R' do ‘ d\ d\ 1 59 + 3 Pape 2 5d\v + 5d\p — Pour la surface intérieure on devra avoir la condition Pat LA dp. = 59 + 3 me Pau Bose 0 dans laquelle on fera p = R. Ces deux conditions vont déterminer C et C,. Elles deviennent par la substitution de la valeur de @ RC NE te; _ ES den vpdp — = + 5C,+ 5? — 03 d'où lon tire er pe vpdp We = NRRY(p—p) QE R5 — R° 1 4 R' 3 Ra kan —[." vpdp + APR — pR°) R'5 — R:° 472 CALCUL DES ‘ACTIONS MOLÉCULAIRES DÉVELOPPÉES et par suite 5LR' s st Rp) 1 vpdp+ = 2_NRRA D—p') À 9 — fe up ARE = 4 Ras } pes fi" vpdp+S (Rp) CRT L’accroissement 8 d’un rayon quelconque p sera donc B°; et à COS — 0, cos! = 1, SNATCIB" Les- directions relatives au maximum et au minimum sont {es seules pour lesquelles fa pression soit normale. Les directions intermédiaires donnent des pressions constam- ment croissantes en partant du minimum, mais toujours obliques au plan sur lequel elles s'exercent. ; PAR LES CHANGEMENTS DE TEMPÉRATURE. ‘ 485 Cette question donnerait lieu à des recherches particulières ana- logues à celles ‘que Îa sphère nous a présentées. On pourrait par exemple considérer le cas où le cylindre serait composé de deux ou d'un plus grand nombre de substances différentes. Mais nous nous dispenserons d'entrer dans ces détails, qui n'offriraient au- cune difficulté nouvelle, et ne seraïent en quelque sorte qu'une reproduction de ce qui précède. 486 CALCUL DES ACTIONS MOLÉCULAIRES DÉVELOPPÉES MOUVEMENT DE VIBRATION DES POINTS D'UNE SPHÈRE DONT LA TEMPERATURE EST VARIABLE. Jusqu'ici je n'ai appliqué mes formules qu'à des cas d'équilibre; je vais considérer maintenant une question de mouvement. Je considère une sphère homogène dont la température initiale est une fonction arbitraire de la distance au centre, et qui est plongée dans un milieu dont la température constante est prise pour le zéro de l'échelle. Pour simplifier les calculs, je ne suppo- serai ni forces intérieures ni pression à la surface : rien ne sera plus facile que d'y avoir égard quand ïl en existera ; il suffira, comme je lai démontré, de calculer séparément fes déplacements des points soumis à l'action de ces forces , et partant avec des vitesses nulles de leurs positions respectives dans l'état naturel : la super- position de ces déplacements et de ceux dont nous allons nous occuper donnera le déplacement total pour chaque point. En employant les mêmes notations que dans les questions pré- cédentes, et désignant par R le rayon de la sphère , on devra avoir pour tous les points l'équation dv < ŒQ É) Card 4 do d dp (1) Le (se T -E, dë 5d A \ dp° p dp NA p et pour les points de la surface seulement PAR LES CHANGEMENTS DE TEMPÉRATURE. 487 (2) ® 5e Fred —= d\w. Je représente par F(p) le déplacement initial quin'a lieu que dans le sens du rayon, par A P) les vitesses initiales dirigées suivant cette même ligne, et par f(p) les températures initiales ; la valeur de v sera donnée par la formule suivante 1 Kr° . Me NE v— —>AemG sin ?P. ir 6) ke La somme £ se rapporte à toutes les valeurs de #, qui sont les racines positives de l'équation HR tang nR K nR K désigne la conductibilité mtérieure de la substance, H sa con- ductibilité extérieure, C sa chaleur spécifique, et le coéfficient A est donné par la formule ui ed in [ ” psinnpf(p)d? ad 2nR — sin92R é Cela posé, soit , Gene on aura pour toutes les valeurs de p (3) dz 3 d'z 2z d' dv me salar Coa l Tal a et 483 CALCUL DES ACTIONS MOLÉCULAIRES DÉVELOPPÉES d= (4) SR — — 2105 JR: dp pour p = R. Posons z — w + U, l'équation (3) sera satisfaite si l'on a séparément Un: ui) 208 æU aU d\ du rt er d'w eh 3 Ca] 2w = eo p' } et l'équation (4) sera satisfaite si l'on pose aU 38R— — U — 5482, dp dw dp 3R TU, pour p = R. Pour traiter les deux équations en U, on remplacera v par un quelconque des termes de la série qui en donne la valeur; et si l'on désigne par U' la valeur correspondante de U, la somme des va- leurs de U', correspondantes à tous les termes de a série v, for- mera une valeur de U qui satisfera aux deux équations ci-dessus. I suflira d'en avoir une solution particulière, pourvu que l'intégra- tion de équation en w conduise à deux fonctions arbitraires qui permettent de satisfaire à l'état initial. Outre l'équation relative à la surface, il y a encore une condi- tion à remplir; c'est fimmobilité du centre de Îa sphère. Nous assujettirons à cette dernière condition toutes les solutions parti- culières dont nous ferons usage. Les deux équations en U' seront æ&U' 3 &U: aU' A ÉLVrES mt aise —( UT ME TE Wa L'ua CA de 5d'A dP? p° À'A PAR LES CHANGEMENTS DE TEMPÉRATURE. 489 Los ANT aR= EE AU — 5RENN ere À, 7 Ésinr p. dp 3 On fera maintenant u étant une fonction de p seulement. Cette valeur substituée dans les équations précédentes fait dis- paraître l'exponentielle, et conduit aux deux suivantes (s) &u — | 2 5d\'K2n!t }e 5d'A smnp are ) dF MenE e 7 où Lena ( P < 410 d : (6) 8R— — #,= 5AARSsineR pourp = R. Quand on aura trouvé une solution de ces deux équations, on en aura une de l'équation en U, en prenant — n UN LS a CA u, et cette somme se rapportant à toutes les racines positives de l'équation en 2. ‘ Pour intégrer l'équation (5) on négligera d'abord le dernier terme, et on aura la solution particulière 490 CALCUL DES ACTIONS MOLÉCULAIRES DÉVELOPPÉES qui pourrait être multipliée par une constante arbitraire, et dans laquelle on a fait pour abréger 5 d\'K?nt Fire on posera ensuite 4 — Bu’, B étant une fonction dep, et lon obtiendra , ®B du dB 5 d'A sinnp Fr ) ÿ u + — + —— | —__— — ncosn — dp° dp dp 3 P F 2 Bi rg pige C ou, en posant Fret = LE " dc, pare du 2% 5dA { sinnp ti Gas Lg [ dp 3 LP TV ? d'où 5AA ; sinn P C, =" | fu (ncosnp — - )dr a | 5d'A {EP e7 EP}innp 3u°? + nr 15 EP — gp ng Cosn p smnP e —e —— — + à |: PTE SP æ étant une constante arbitraire; et l'on aura enfin sh y p 1 | n(esf+e-sf\sinnp 1 — RSR" TPE EC 3 fe u? + ng cos n smn + (es9 es) (ES Je = )+ a|dp + B}, TAETAIEE gp? .B étant une nouvelle constante arbitraire introduite par la dernière intégration. Ces deux constantes se détermineront par l'équation relative à la surface et par la condition que le centre reste immobile. Occu- » CS . . pons-nous d'abord de cette dernière, qui consiste en ce que ®p doit être nul pour p = 0. PAR LES CHANGEMENTS DE TEMPÉRATURE: 491 K_ » = é enit D CA U + w Il faudra donc que”, ou devienne nul pour P— 0; et comme le premier terme tend vers zéro à mesure que . n . . + u le temps augmente, ce qui n'a pas lieu pour w, il faudra que —— w : r , 11 et— soient nuls séparément quand on y fera P—0: £ u' e u' 720$ Or la fonction Fat devient nulle pour p — 0, et se réduit or . ; » PAT » à une quantité finie; c'est ce que l’on peut vérifier en s’assurant , d’après les règles ordinaires du calcul différentiel, que «' est nulle ainsi que sa première dérivée, mais que sa seconde dérivée est finie quand on fait p = 0. On peut encore développer u' en série convergente, et l'on voit que le terme de moindre degré contient en facteur. Quant à la quantité n'(e8$+e—ss) sin?2p cos sin per taper) QE = 2) + / dns EP On reconnaîtra de même qu'elle contient p° dans le terme du plus faible degré. En la divisant par w° qui contient le facteur p*, On aura un quotient qui tendrait vers zéro en méme temps que p. L'intégrale prise depuis p = R Jusqu'à p — 0 est donc finie; et, multipliée par z’, elle donnera un produit qui, divisé par p, devien- dra nul pourp= 0. à RS P d s La seconde partie de l'intégrale est af. -%_, et devient pour R u? 0 dp : ps : 1 : 3 HR F=0, af. sil Le coefficient différentiel devient infini à la u3 seconde limite. Pour savoir de quel ordre est l'intégrale, nous la comparerons à une autre plus simple, et dont le coefficient diffé i AURAS Ê 1 s rentiel soit infini, de même ordre que—— pour p—.0; on sait que uw? alors {es deux intégrales seront finies ou infinies, de même ordre. 1 1 : ) Or, A 5 ont un rapport qui reste fini quand P converge 62 * 492 CALCUL DES ACTIONS MOLÉCULAIRES DÉVELOPPÉES ; : RU ad? . ; s vers zéro; il suffit donc de considérer #4 : x qui est égale ‘à 1 1 C : I 3 Fe u d A A ER ette quantité multipliée par —7 donnera un ré- sultat qui deviendra infini pour p = 0. 5J'ABu' c Enfin, le terme RE - deviendra nul pour p = 0 ; il est donc , : } u ; nécessaire et suffisant de prendre & — 0 pour que — devienne P nul en même temps que p; la seconde constante B reste tout à fait arbitraire, et va nous permettre de satisfaire à l'équation (6) relative à la surface. Il sufhra pour cela de lui donner la valeur suivante 3gR 4 RES -ERN Un sRobo ER FES | rcosnR(esR—e—sR) — osinnR(esR+e—sR) } e2sR Een) Péan a R° gR o g R 3gR 8 : AA RENE IH faut maintenant déterminer d’après les équations suivantes (7 1 duw ee 3 dw 2w 7) TRS JUA ( dp? RE ) et ) (8) 3R% 2 w — 0 pour p=R d ge P JE TR Pi Soit w — w/, © étant une fonction de # et ê une fonction de p seulement, l'équation (7) devient 7 QE: LE Tr HET EN A APN Pi 3 PAR LES CHANGEMENTS DE TEMPÉRATURE. 493 Posant æo 3 2 — = — ——pw de 5d\' A PS P étant une quantité réelle quelconque, il en résultera Bi APT. es Cette dernière équation est satisfaite par la valeur particulière L = TE — poopp. La précédente a pour solution complète — McospV M, N, étant des constantes arbitraires. On aura par suite w =(McospV — —— + N sin tp V ET ie Cette expression satisfait à la condition 2 — LU — te pour P —= 0. Elle satisfera à l'équation (8) relative à fa surface si l'on pose 4p cospR + (A) sinpR si ou 4pR (9) tang pR == TR Cette équation s'était déjà présentée à M. Poisson, qui en à déterminé par approximation les premières racines dans un de ses 494 CALCUL DES ‘ACTIONS MOLÉCULAIRES DÉVELOPPÉES mémoires sur les corps élastiques. On peut facilement se faire une idée approchée de la valeur de toutes ces racines qui sont en nombre infini, par la considération des lieux géométriques; je n'insisterai pas sur ce point. On obtiendra par à une infmnité de valeurs de w, pour lesquelles on se bornera aux valeurs positives dep, vu que les valeurs négatives donneraïent des solutions qui rentreraient dans les premières. La somme de toutes ces valeurs de w satisfera encore aux équations (7) et (8) et à la condition de limmobilité du centre. Si donc à cette somme on ajoute la valeur de U précédemment déterminée, on obtiendra une valeur de 3, qui satisfera à l'équation (3) et aux conditions relatives au centre et à la surface. I ne restera donc plus qu'à satisfaire à l'état initial de la sphère. La valeur de z ainsi obtenue est CR — —ntu NT ; Do 2= 2, ce je 5 (Mcosp V + Nsintp W | e (EE ro) ces deux sommes se rapportant aux racines des deux équations différentes dont il a été question. Or à l'origine du mouvement on connaît les déplacements de chaque point relativement à la position d'équilibre correspondante à la température zéro pour tous les points; on connaît de plus les vitesses de ces points à ce même instant , sans quoi la question ne serait pas déterminée. On donne donc les valeurs que doivent d(p.p) dt. mière par F(p) et laseconde par L(?); il faudra que l'on ait s = pF() et + = pr) pour # — 9, d'où résultent les deux équations suivantes : quand on y fait 4 — 0. Représentons la pre- prendre @p et sinp.P (10) PE(p?) = Eu + EM S — peospr), PAR LES CHANGEMENTS DE: TEMPÉRATURE: 495 | AE 3 (11) pp?) ET ZEn°u + AE ( ne — peospp ). Avant de déterminer la valeur générale des coefficients M et N, il faut d’abord démontrer que si p, p', désignent deux racines diffé- rentes de l'équation (9), on aura toujours ÿf? ( = — pcospr ) ( —— — p'eosp'p) dp = 0, ou à R sinp psinp' p pcos pp sinp' P * p'eosp'psinpp 0 p P P + pp' cospp cosp'p) dp = 0. Or les trois premiers termes forment la différentielle de sinp.p sinp'p RENE in donc leur intégrale entre les limites à et R est sinpR sinp'R R L'intégrale du dernier terme est psinpRcosp'R — p'sinp RcospR ÿ ( RS P° = p 2 et par suite l'intégrale totale aura pour valeur sinpR sinp R Ke pp'(psinpRcosp'R— p'sinp RcospR) R Te Sip = p, cette expression devient sinpR Rp? sm2pR Con rene r 2  496 CALCUL DES ACTIONS MOLÉCULAIRES DÉVELOPPÉES c’est la valeur de SEE — poopp) dp, dont nous aurons besoin plus tard. On trouverait, au signe près, la même valeur si on avaitp =—p. Mais pour toute autre valeur de p' on trouve, en faisant usage de l'équation (9), que tous les termes de l'expression ci-dessus se dé- truisent identiquement, Cela posé, multiplions les deux membres de l'équation (10) par sin p P (= — poospp) dp, et intégrons entre les limites 0, R; tous les termes de la seconde somme Z disparaitront, excepté celui qui correspond à la racine p que Ton considère; et l'on déterminera facilement le coefficient M de ce terme . la valeur sera donnée par l'équation suivante : JT PE P)— Eu (EE —peospe) de va (© sa — peospe dp Mare {PF(P) — Eu] | a pRsin2pR — 4sin°pR + 2p°R° }# L'équation (1 1) donnera de même R K F, sin Fe {PP en En°u| ( = }de > 3 R sin PV je fe —poospr) dp = AS Jo Lebe + ru (E peospe)de pRsinpR — npR + 2p°R | PAR LES :CHANGEMENTS’ DE TEMPÉRATURE. 497 La valeur'de:z1est donc complétement déterminée, puisqu'elle , satisfait à l'équation aux différences partielles (3), aux conditions relatives à la surface et au centre, et:à l'état initial, On en déduira ® en la divisant par p”; et si lon désigne par 8 l'accroissement Ep du rayon p, on aura w : sc. (a (12) Q= se eau 5 (Meos VS 2 + Nsinp posa = —peopr) i Je La première partie de cette expression tend indéfiniment vers zéro, à mesure que Île temps augmente. La seconde est périodique, et sa forme est la même que celle que M. Poisson avait trouvée dans le mémoire défà cité, en supposant à tous les points une tem- pérature égale et invariable. L'état de la sphère converge donc vers un état final, où les lois sont les mêmes que s'il n'y avait pas eu de variation dans les tem- pératures ; et c'est à quoi il était facile de s'attendre. Mais ce qu'il faut bien remarquer, c'est que cet état final conserve toujours empreinte de létat thermométrique primitif; car les coefficients M, N, dépendent de «, et par suite des températures initiales , ainsi que des coefficients spécifiques de la substance relativement à la chaleur. Les valeurs de ces coefficients sont les mêmes que si la température de tous fes points était constamment égale à zéro, et que les fonctions qui déterminent les positions et les vitesses initiales fussent | TEE | K 1 F(+) — 7 Eu, et (ep) WTA En; en sorte que, relativement à l'état final du système, les tempéra- tures primitives produisent le même effet que produirait une dimi- nution de chaque rayon p égale à — Zu, jointe à un accroisse- . . 0 2 1 2 m v r - =>Enu. ent de vitesse pour chaque point exprimé pa = cA ÿ:. fi 63 \ 498 CALCUL DES ACTIONS MOLÉCULAIRES, ETC. On peut déterminer d’après cela:quels devraient être les dépla- cements et les vitesses dans l'état initial, pour.que l'état final fût un repos absolu. H sufhrait pour cela que M et N fussent nuls; ce qui aura lieu si Ton a F(p) ee — Eu et (ep) = — -uR — Eu. cA Telles sont donc les valeurs que lon doit donner dans lorigme aux déplacements et aux vitesses des points de la sphère, pour que leur mouvement aille en se ralentissant indéfiniment et tende vers un repos complet. La formule qui donne à chaque instant la valeur de 6 devient dans ce cas et l’on vérifie facilement que pour { — 0 on trouve 1 dû K D pP dt cA 1 OS TUR MÉMOIRE | LES COMBINAISONS DE L'ACIDE CHROMIQUE AVEC, LES, CHLORURES MÉTALLIQUES. PAR M. EUGÈNE PÉLIGOT. L'analogie qui existe entre l'oxygène, le chlore et les autres corps électro-négatifs, est maintenant généralement ‘reconnue; mais cette analogie, évidente entre les oxydes et les chlorures, sen- sible encore dans les corps dont l'acide et Ia base renferment le même principe électro-négatif, ne se trouve plus étayée sur des faits à mesure qu'on, s'écarte. de ces combinaisons simples; c’est sous ce point de vue surtout que des composés bien définis d’ün acide oxygéné et de chlorures jouant le rôle de base, méritent de fixer l'attention des chimistes, comme offrant les premiers exemples de sels dans lesquels l'oxygène de fa base se trouve remplacé par le chlore. = Parmi ces nouveaux sels, il en est un que sa production facile et économique permet d'étudier d’une manière spéciale ; et comme sa Composition et ses principales propriétés sont les mêmes que celles des autres bi-chromates de chlorures , je parlerai peu de ces dérniers’; et fé décrirai au contraire avec soin'tout ce qui à rap- pôrt à la formation, aux propriétés ,‘et'à l'analyse de ce composé remarquable, qui est le bi-chromate de chlorure de potassium. ; 63” 500 COMBINAISONS DE L'ACIDE CHROMIQUE I suffit pour le produire de faire bouillir quelque temps du bi- chromate de potasse dissous dans l’eau avec de l'acide hydro-chlo- rique; on obtient par le refroidissement de la liqueur une quan- tité de ce sel cristallisé proportionnelle à la quantité des matières employées. La théorie de cette préparation est aussi simple que la prépara- tion elle-même; en effet, l'acide hydro-chlorique en présence du bi-chromate de potasse réagit d'abord sur la potasse pour former du chlorure de potassium et de l'eau ; en même temps il met l'acide chromique en liberté ; si lorsque toute la potasse est convertie en eau et chlorure de potassium, on laisse refroidir a liqueur, elle dépose bientôt des cristaux volumineux de bi-chromate de chlo- rure de potassium; de sorte que tout le bi-chromate de potasse est converti en eau et bi-chromate de chlorure de potassium, avant que l'acide hydro-chlorique, que je suppose en excès, pro- duise du protochlorure de chrome, lequel ne prend naissance que par la décomposition du sel qui vient de se former. Voici la réaction atomique : ATOMES EMPLOYÉS. ATOMES PRODUITS. 2 at. acide chromique. 1304 2at.ac. chromique... 1304 A LE En nn 589 1 at. chlorure de potas- 2 at. acide hydro-chlo- siumisté 207 ah 931 rique ..00. RACE Aidinudtatiieanuls 2643 hate 112 2347 2347 On verra plus loin qu'il existe d’autres méthodes pour la pré- paration de ce composé. De tous les priés qu'on peut mettre en 1 usage pour fana- lyse de ce sel, j'ai préféré le suivant comme étant le plus simple. Je dissous dans l'eau un gramme environ de sel cristallisé et des- séché avec soin entre des doubles de papier joseph ; dans la liqueur rendue acide, au moyen de l'acide nitrique, je verse goutte à. AVEC LES CHLORURES MÉTALLIQUES. 501 goutte du nitrate d'argent; le chlorure d'argent, bien favé, est fondu et pesé; en opérant avec précaution, il ne se précipite point de chromate d'argent; d’ailleurs, en lavant le filtre avec de l'eau bouillante aïguisée d'acide nitrique, on dissoudrait aisément celui qui se serait formé. Je fais ensuite bouillir la liqueur provenant de Ja séparation du chlorure d'argent avec de l'acide sulfureux; celui-ci fait passer l'acide chromique à l'état de protoxyde de chrome, en devenant lui-même acide sulfurique; je traite par lammoniaque : après une ébullition assez prolongée, laquelle est nécessaire pour précipiter tout le pro- toxyde de chrome, je jette la matière sur un filtre ; lorsque celui-ci est bien lavé, je le calcine dans un creuset de platine; son poids me donne la quantité d'acide chromique. . Quant au potassium, je le dose à l'état de sulfate de potasse après l'évaporation à siccité de la liqueur dont j'ai séparé le pro- toxyde de chrome, le traitement du résidu par l'acide sulfurique et sa calcination. LI C'est en suivant ce procédé que j'ai obtenu dans diverses opé- rations les nombres suivants : Chlorure d'argent fondu : Pour 1 gramme de sel 0,795 de chlorure, qui contiennent 19,41 pour 0/0 de chlore. ONE TAUPE 50. .1,238 qui donnent 20,26 de chlore. PO 0,820 —— 20,22 dem. Pour 1 —— ....0,815 20,10 dem. PROTOXYDE DE CHROME. Pour 1 gr. 0,441 de protoxyde, qui représentent 57,30 d’a- cide chromique. Pour i gr. —— .0,445 ou bien 57,82 d'ac. chromique. Pour 1 —— 0,448 —— 58,91 idem. Pour 0,60 — ,0,268 qui donnent 58,03 idem. 502 COMBINAISONS DE L'ACIDE CHROMIQUE SULFATE DE POTASSE. Pour 1 gr. 0,489 qui contiennent 21,88 p. de 0/0 potasstum. La composition calculée de ce sel est : Atide che Em IquenstErrtE MENU SUCRE QU AN 58,35 Chlorure de potassium. .................. 41,65 100,00 Cette quantité de chlorure de potassium renferme elle-même : Choses. 4 see 19,91 Potassium... fes. 21,74 41,65 J'ai trouvé : Ac: chromique. . ......,4....,., 58,21 Chlore "0 Re RS ER NEA T € 19,41 du recu NOT RM TR RE 21,88 99,50 Toutes mes autres analyses s'accordent sensiblement avec ces nombres : elles ont d’ailleurs été faites dans le laboratoire et sous les yeux de M. Dumas, qui les a suivies avec une bienveillance toute particulière; ses conseils et son expérience m'ont été souvent utiles, dans cette occasion comme dans beaucoup d'autres. Je passe aux principales propriétés du bi-chromate de chlo- rure de potassium : L'action de l'eau est remarquable; lorsqu'on met en présence de l'eau un cristal de bi-chromate de chlorure de potassium, de rouge et transparent qu'il était, il devient blanc et opaque; et si, lorsque fe sel est dissous, on abandonne Îa liqueur à elle-même, on obtient bientôt, non pas des cristaux du sel employé, mais des cristaux de bi-chromate de potasse : ce dernier sel se produit, AVEC LES : CHLORURES : MÉTALLIQUES. 503 soit qu'on ait concentré la liqueur à l'aide de la chaleur, soit qu'on l'ait livrée à l'évaporation spontanée. Si, au lieu d'employer de l'eau pure, on opère avec’ de l'eau préalablement chargée d'acide hydro-chlorique, en ayant soin de ne pas en mettre assez pour transformer l'acide chromique en protochlorure , le bi-chromate de potasse ne prend pas naissance, et le nouveau sel cristallise avec sa forme accoutumée. Enfin, selon des quantités relatives d’eau et d'acide, on ob- tiendra un mélange des deux sels; etc. L'eau est donc décomposée par le bi-chromate de chlorure de potassium; son hydrogène se porte sur le clilore pour former de l'acide hydro-chlorique, qui devient libre, tandis que son oxygène va s'unir au potassium. Cette réaction , bien que pouvant être prévue de prime abord, est intéressante ; ele donne naissance précisément aux produits employés avant la formation du bi-chromate de chlorure; de sorte que pour lexprimer atomiquement il suffira de reproduire les nombres que jai inscrits plus haut, moyennant une transpo- sition. ATOMES EMPLOYÉS. ATOMES PRODUITS. 9 at. ac. chromique. . 1304 9 at. ac. chromique. . 1304 at. chlor. de potas- 1 at. potasse..... ETATS 810 sIUM....... ..... 931 2 at. ac. hydro-chlori- lat DE TENTE 112. QUE ve: - 454 2347 2347 On voit que les éléments se sont remis en présence pour pro: duire le bi-chromate de chlorure, lequel reprendra naissance si lon corrige l'action oxydante de l'eau, par une quantité conve- nable d'acide hydro-chlorique. On ne peut donc pas purifier ce sel par la cristallisation : on est obligé de le comprimer entre des doubles de papier joseph ; et 504 COMBINAISONS DE L'ACIDE CHROMIQUE encore dans mes nombreuses analyses ai-je presque toujours D tenu un petit excès de chlore. Le bi-chromate de chlorure de potassium est un sel qui cristal- lise très-bien; ses cristaux sont des prismes droits à base rectan- gulaire,- leur couleur est celle du bi-chromate de potasse; ïls ne sont nullement déliquescents. Quant à ses autres propriétés, il est inutile de les énoncer; car ce sont celles de Facide chromique et du chlorure de potas- sium; ainsi en présence de l'acide sulfurique il donne un dégage- ment de chlorure de chrome liquide, etc. J'ai indiqué le moyen vraiment éconômique de préparer ce sel; ce moyen nest pas le seul : on peut obtenir aussi et d’une ma- nière plus directe, en mélangeant deux atomes d'acide chromique avec un atome de chlorure de potassium ; pourvu qu'on ait soin de rendre la liqueur acide par Facide hydro-chlorique : on se le pro- cure encore lorsqu'on traite le chlorure de chrome liquide par Veau saturée de chlorure de potassium; et ici toutes les conditions favo- rables à sa formation sont remplies, puisque l'eau décompose le chlorure de chrome liquide en acide chromique et acide hydro- chlorique. La préparation facile de ce sel et sa composition pouvant le rendre utile aux arts qui se servent d'acide chromique, je dois faire remarquer que si, au lieu d'employer le bi-chromate de potasse, on fait usage pour Îe produire de chromate neutre, les cristaux obte- nus sont mêlés de cristaux de chlorure de potassium. C’est en traitant le chlorure de chrome liquide par l'eau saturée des divers chlorures métalliques, que fai obtenu les bi-chromates de chlorure de sodium, de calcium, de magnesium et celui d'hydro-chlorate d'ammoniaque; les trois premiers sont déliques- cents ; le quatrième est beaucoup plus soluble que le bi-chromate de chlorure de potassium; car fa solubiité de ces divers sels, qui ont tous la même composition et les mêmes propriétés, paraît dé- pendre uniquement de celle des chlorures qui leur servent de base. AVEC LES CHLORURES MÉTALLIQUES. 505 Le bi-chromate d'hydro-chlorate d’ammoniaque se confond par son aspect avec celui de chlorure de potassium ; ila d’ ailleurs la même forme cristalline ; son analyse m'a donné : Acide chromique. . ..... 65,5 Acide hydro-chlorique . RACE PE A mmoniaque dt le .. 10,8 99,8 Voici sa composition calculée : Acide chromique. ..... 66,0 Acide hydro-chlorique. . . 23,2 Ammoniaque. . .... 010,8 100,0 Je n'ai pu obtenir les bi-chromates de chlorure de barium et de strontium, les dissolutions saturées de ces chlorures précipi- tant par une addition d'acide hydro-chlorique. Quant aux autres chlorures, je n’ai pas cherché à les combiner avec Tacide chromique; je regarde d'ailleurs cette recherche comme peu intéressante; car en supposant l'existence de ces com- posés, qui est probable, leurs propriétés seront connues. _ Bien que les sels que j'ai l'honneur de présenter à Facadémie n'aient point encore d’analogues dans a science, leur existence est si naturelle, si logique, qu'elle rend bien probable celle d'autres combinaisons du même genre entre d’autres acides oxy- génés et les chlorures servant de bases ; de même, les rapports qui existent entre ces derniers et les cyanures, les sulfures, les fluorures , etc., ne portent-ils pas à penser qu'on doit obtenir avec ces corps et les mêmes acides oxygénés des combinaisons d'un assez grand intérêt? L'existence de tels composés peut se pré- 5. 64 506 COMBINAISONS DE L'ACIDE CHROMIQUE, ETC. voir, ce me semble; car dans l'état actuel de la science, et sur- tout dans la partie qui nous -occupe, il n’est point désormais de faits isolés : tous se lient et s'enchaînent; et chaque observation nouvelle, loin d'infirmer en rien les lois qui doivent la régir, vient à son tour prendre la place que lui avait assignée à avance une saine théorie, L 1 EXTRAIT D'UN MÉMOIRE SUR . LE MÉCANISME DE LA RESPIRATION NASALE CHEZ LES CÉTACÉS SOUFFLEURS, EN CE QUI TOUCHE PARTICULIÈREMENT À LA DISTRIBUTION DANS L'AP- PAREIL DE L'ÉVENT DES BRANCHES DU NERF FACIAL (PORTION DURE DE LA SEPTIÈME PAIRE DES ANCIENS ANATOMISTES; NERF RESPIRATOIRE DE LA'FACE, CH. BELL). PAR M. BOURJOT SAINT-HILAIRE, PROFESSEUR DE ZOOLOGIE ÉLÉMENTAIRE AU COLLÉGE ROYAL DE BOURBON. L'auteur du mémoire examine anatomiquement et physiolo- giquement l'appareil nasal de Îa respiration ou de l’évent chez les cétacés souffleurs, et en particulier sur le marsouin ordinaire (delphinus phæcena ); décrit la disposition des poches à eau, les muscles qui servent à leur compression et à l’expulsion des liquides, ceux qui président à la dilatation des orifices nasaux pour l'inspiration de Vair. C'est en étudiant plus profondément et avec plus de détail qu’on ne lavait fait jusqu'ici cet appareil nasal, que l'auteur a été amené à reconnaître que la distribu- tion du nerf facial offrait, chez les cétacés, un type propre et 64° 508 MÉCANISME DE LA RESPIRATION NASALE tout à fait confirmatif de opinion de Charles Bell, sur a spécia- lité de fonction de ce nerf considéré comme nerf respirateur de la face. Il est dit dans le mémoire : Tous ces muscles compresseurs des poches, puis dilatateurs des voies aériennes nasales , reçoivent des filets profonds du nerf facial ou portion dure de la septième paire, dont l'origine, et surtout la marche et la distribution dans Iles cétacés méritent de fixer l'attention, Né du sillon qui sépare les olives des corps rétiformes sur la moelle allongée, en avant du glosso-pharyngien et du pneu- mo-gastrique, le nerf facial, composé de filets tenaces, marche accolé à la portion molle ou à auditif, dont l'origine différente se voit d'une manière manifeste sur le corps rétiforme, au point où celui-ci se joint au cervelet. Le nerf facial se creuse une sorte de gouttière sur le tronc même du nerf auditif, qui reste très-pul- peux : arrivé avec lui vers le sommet de la pyramide du rocher, il y pénètre, contourne l'ostéide mobile et-séparé qui forme chez les cétacés l'oreille interne, et sort par le trou stylo-mastoïdien au- dessous et en arrière du cartilage de l'oreille. À partir de [à il commence à marcher d’arrière en avant sous forme d’un cordon unique, solide, arrondi, passe au-devant de los mandibulaire inférieur, contourne le globe de l'œil jusqu’à fa commissure des lèvres. Dans ce trajet, bien que composé d’une manière plexiforme , il ne donne aucun filet; il reçoit seulement quelques rameaux très-déliés de communication de a portion ophthalmique de la cinquième paire. Arrivé à l'angle orbitaire an- térieur, le tronc du nerf s'engage sous un ligament musculo-fi- breux qui remplace le buccinateur, sans lui laisser de filets, et bientôt, changeant de direction et se pliant sur Iui-même à angle aigu, il dirige des branches nombreuses et très-profondes vers l'appareil de l'évent. pénètre l'épaisseur des muscles dilata- teurs des orifices et compresseurs des poches à eau. Aucune des branches du facial ne se porte vers les lèvres et à la pointe du museau; ces parties ne recoivent que des rameaux CHEZ LES CÉTACÉS SOUFFLEURS. 509 de la portion sous-orbitaire de a cinquième paire ou nerf de la sensibilité à Îa face. CONSIDÉRATIONS PHYSIOLOGIQUES.: Dans l'homme et dans tous Îles animaux à respiration aérienne bucco-nasale, la cavité de la bouche représente un vaste pavil- lon dont l'entrée dilatable est ordinairement formée par des joues mobiles et peu épaisses. Dans fhomme surtout, les muscles de Ia face, comme les canins, le zygomato-labial, grand et petit, les releveurs et dilatateurs de Vaïle du nez, sont réduits à n'être que des bandelettes sous-cutanées très-minces. Ces muscles agissent principalement pour mettre de l'ensemble et de Fharmo- nie dans les mouvements des lèvres, du pavillon de la bouche et des ailes du nez, dans le mécanisme de l'inspiration et de Fex- piration , de la succion , de la prononciation des sons articulés ; dans le jeu de la physionomie, que l'on voit devenir si douloureusement expressif lorsque la respiration est génée, comme dans les accès d'asthme, d’angine de poitrine, si actif chez le jeune enfant qui tette, chez l'animal qui aspire un liquide, comme cela se re- marque chez le cheval, la vache, etc., lorsqu'ils sont à l'a- breuvoir Hest donc vrai de dire que le nerf facial, qui, dans homme et dans les autres animaux à respiration bucco-nasale, se répand en filets nombreux dans tous les muscles de la face, et cela d'au- - tant plus que la respiration est plus buccale et que les lèvres servent plus à Farticulation des sons, est bien véritablement un nerf de la respiration et de toutes les fonctions bucco-la- biales où l'acte respiratoire joue le principal rôle, comme par- ler, siffler, souffler, sucer, humer les liquides, aspirer Pair. Mais, a-t-on dit, le nerf facial sert principalemeut au jeu de la physio- nomie. Cela est vrai, mais c'est par un double emploi, ou plutôt | par une opération complexe. L'expression des passions chez les animaux qui peuvent varier 510 MÉCANISME DE LA RESPIRATION NASALE le jeu de leur figure, a besoin de tous les actes dont nous venons de parler pour se manifester au dehors. Le jeu mimique de la physionomie, placé sous l'influence du nerf facial, n'est-il donc pas le premier acte de l'expression de, la passion qui se mani- feste un peu plus tard par une parole de douceur ou de colère chez homme; chez le lion, le chat, le tigre, par un jurement grondeur; chez le chien, Fhyène, par des cris glapissants ? L'ex- pression faciale précède et accompagne presque toujours un acte vocal, et tout acte vocal est nettement déterminé par un acte respiratoire. l On voit donc que si le nerf facial influence le jeu de la phy- sionomie, c'est qu'il est, par les muscles qu'il anime, agent de la respiration bucco-nasale , et que le jeu de la physionomie est avec les actes respiratoires dans une dépendance réciproque; et, pour prouver par des contraires , nous voyons dans les cétacés où la respiration n’est plus que nasale, toute expression de la face disparaître en même temps que toute possibilité à produire des sons, et toute l'action musculaire être confinée autour de lévent. sous l'empire de la septième paire, pour exercice de la respiration. Les expériences de sir Charles Bell en Angleterre ont paru tout à fait concluantes sur ce sujet. Chacun sait que ce célèbre physiologiste assigna une fonction toute spéciale au nerf de la sep- tième paire, celle de faire contracter les muscles dilatateurs et constricteurs des orifices aériens qui s'ouvrent à la face, la bouche et les narines. Pour arriver à cette conclusion, sir Charles Bell expérimenta plusieurs fois sur des mammifères à respiration double, buccale et nasale à la fois, le singe, l'âne; et il sut aussi tirer des induc- tions ingénieuses de faits pathologiques observés sur Thomme et sur les animaux ; mais comme chez les sujets de ces expériences l'inspiration par le nez, qui ne peut complétement se clore, sup- pléait à l'action de la bouche qui, en outre, en s'ouvrant, conti- nuait à fournir une darge voie à l'inspiration, on n'arriva jamais CHEZ LES CÉTACÉS SOUFFLEURS. 511 à une conclusion rigoureuse relativement à la respiration: La sec- tion du nerf facial amenait bien de [a gêne dans les mouvements de. la bouche , des lèvres et des aïles du nez, et des modifica- tions dans la production des sons à laquelle les lèvres ne pouvaient plus concourir ; fhomme ne pouvait plus sifler, lâne ne pouvait plus braire par suite de cette paralysie, ou de la section du'nerf facial, mais l'asphyxie n’était jamais imminente, car l'inspiration , quoique rendue plus difficile, n'était jamais impossible. On pou- vait donc conclure que le nerf facial est important dans le jeu de la physionomie et dans la production des sons’articulés , maison n'avait pas d'exemple où l'intégrité d'action de ce nerf fût une condition sine qu& non d'existence! I est étonnant que l’habile physiologiste que nous avons cités et en France, M. Magendie, qui a répété et confirmé ces expé- riences avec cette rare sagacité qu'on lui connaît en physiologie expérimentale, n'aient pas cherché à savoir comment se compor- tait le nerf facial chez les cétacés, animaux à respiration pulmo- naire et à habitudes aquatiques. Les animaux de cet ordre des mammifères, obligés par une submersion' habituelle à une inter- mittence régulière et prolongée dans acte de la respiration, qui ne se fait que par l'orifice des voies nasales, devaient à priori montrer dans l'appareil des muscles dilatateurs de lévent, qui est lui-même une modification profonde de Forifice nasal externe des animaux terrestres, et dans le nerf facial qui s'y distribue, une disposition à part qui fût un type propre. Ce fait anatomique, cette expérience toute faite qui devait in- firmer ou-confirmer la spécialité de fonction de la septième paire sur la respiration bucco-nasale, je me borne à les présenter ici comme un fait aflirmatif dans le degré le plus absolu : ce tronc nerveux, par une distribution insolite, par son volume, par son retour contre sa direction première qui abandonne les lèvres et le bout du museau, pour se jeter dans l'appareil respirateur de la face ou lévent, me paraît un fait concluant, à posteriori, de la vérité de Fopinion physiologique de Charles Bell, qui assigne au 512 MÉCANISME DE LA RESPIRATION NASALE, ETC. nerf facial la fonction de présider chez les mammifères terrestres à tous les actes de la face qui ont pour but la production des sons, la dilatation des orifices respiratoires, le nez et la bouche, et subsidiairement l'expression de la face, et chez les cétacés de prési- der, d’une manière encore plus rigoureuse, à Pacte unique de Fins- piration nasale, la seule qui se fasse chez ces animaux. Et notre conviction à cet égard est si entière que nous avan- çons, sans craindre d’être démenti par le fait, que si foccasion se présentait de couper sur un marsouin échoué vivant ou pris dans des filets, les deux nerfs faciaux, ce qui serait facile par une inci- sion pratiquée perpendiculairement à los de la mâchoire infé- rieure, au-dessous de l'œil, l'animal serait frappé d’une inévitable asphyxie, soit qu'on le laissât à Fair libre sur la plage, ou qu'il fût rendu à son séjour des flots; car, dans l'un et l'autre cas, le cé- tacé ne pourrait déglutir l'air par sa bouche, rendue inhabile à cet office par l'état de closion de l’isthme du gosier, ni dilater ses orifices nasaux, la seule voie de respiration que la nature lui ait donnée, par le fait de la paralysie des muscles dilatateurs et releveurs des valvules externes et profondes de lévent. MÉMOIRE LA PROBABILITÉ DES RÉSULTATS MOYENS DES OBSERVATIONS n DÉMONSTRATION DIRECTE DE LA RÈGLE DE LAPLACE. PAR M. JULES BIENAYMÉ, ANCIEN ÉLÈVE DE L'ÉCOLE POLYTECHNIQUE, INSPECTEUR GÉNÉRAL DES FINANCES. H n’est pas possible de s'occuper d'économie publique ou pri- vée, et par conséquent de statistique, sans remarquer bientôt de notables différences entre les résultats des observations , méme les plus exactes , et le mieux combinées pour offrir une concordance entière. Pendant longtemps les observateurs, sûrs de leurs expé- riences, et choqués des contradictions apparentes qu'ils rencon- traïent, ont voulu en trouver l'explication plus ou moins plausible dans les variations des causes naturelles. Jacques Bernoulli reconnut , le premier, que Îa plupart de ces anomalies étaient de simples effets du hasard. Il montra comment on pouvait soumettre au calcul ces effets que l'opinion vulgaire D: 65 514 - PROBABILITÉ DES RÉSULTATS MOYENS regarde comme affranchis de toutes règles, et il fonda ainsi sur une base inébranlable cette partie de l'art des conjectures qui doit diriger l'observateur dans une classe nombreuse de recherches scientifiques. Les recherches d'économie sociale ou de statistique appar- tiennent presque toutes à cette classe remarquable, dont le ca- ractère spécial consiste dans lusage continuel des moyennes ou des sommes de phénomènes semblables recueillis par des obser- vations multipliées. C’est précisément le rapport qui existe entre l'écart probable de ces moyennes et la multiplicité des observa- tions que J. Bernoulli a signalé. Moivre perfectionna la découverte de Bernoulli. Mais ces deux grands mathématiciens supposaient connue Îa possibilité des phénomènes, et ils se bornaïent à déduire de Ia loi de possi- bilité qu'ils assignaient, l'étendue des écarts dont les observations pouvaient être susceptibles. Ce n'était Ià qu’une partie de la ques- tion, et la partie le moins applicable : car ies lois naturelles sont inconnues, et forment précisément l'objet des recherches. Il restait donc à résoudre le problème inverse de celui qui seul suflirait pour rendre à jamais célèbre le nom de Bernoulli. La solution ne fut donnée que soixante ans plus tard, par Bayes, savant anglais peu connu, sans doute parce qu'une mort trop prompte interrompit ses travaux, mais qui paraît avoir pos- sédé à un très-haut degré les qualités du géomètre. Bayes parvint, d’une manière que Laplace à jugée fine et très-ingénieuse, quoique un peu embarrassée, à déterminer, dans le cas de deux événe- ments dont l'un ou lautre doit nécessairement se présenter à chaque observation, la probabilité que les possibilités indiquées par des expériences déjà faites sont réellement comprises dans des limites données. Bernoulli avait prouvé que, quand les possibilités respectives de deux événements sont, par exemple, dans le rapport de + à + il y a plus de mille à parier contre un que, sur 25 550 épreuves, le premier se présentera plus de 14 819 fois et moins de 15 841; DES OBSERVATIONS. 515 nombres qui placeraient la possibilité observée du premier entre 13 et :+, et la possibilité observée du second entre -+ et =. Bayes prouva réciproquement que, si dans 25 550 expériences on obsérve le ‘rapport de. £ à + entre les nombres de répétition de deux événements, c'est-à-dire si le premier a été observé 15 330 fois, et de second 10 220 fois, il y a plus de mille à pa- rier contre un que des possibilités réelles tombent, Îa première entre #5 et 2%, [a seconde entre et +. Ces fractions con- duiraient respectivement à 15 588, ou à 15 072 repétitions du premier événement, et à 9 962, ou 10 428 du second. Il n'était pas inutile dé rappeler ces faits. Ils indiquent claire- ment fa nature des questions que soulèvent les écarts remarqués entre les observations. Ils montrent aussi quelle lenteur avait pré- sidé aux progrès de cette branche de Fanalyse des hasards, et à quel point elle s'était arrêtée, avant l'impulsion immense que la théorie reçut du génie de Laplace vers la fin du siècle dernier. Laplace se proposa dans toute sa généralité le problème sui- vant : Quelle est la probabilité de Pécart dont peut être affectée une moyenne prise entre un grand nombre quelconque de valeurs dif- férentes d’un phénomène ou d’un événement, données par autant d'observations, lorsqu'on ignore la loi des probabilités des écarts partiels de chaque observation ? Laplace résolut complétement cette question difhcile, et il a fait les plus belles applications de sa méthode dans son admirable Théorie analytique des probabilités. La règle à laquelle il est parvenu est fort simple. Elle prescrit de diviser par le nombre des observations la racine carrée du double de la somme des carrés des différences entre le résultat de chaque observation et la moyenne de toutes. Si l'on représente ensuite les limites de l'écart que l’on veut considérer, par le produit de Ia constante ainsi obtenue et d’un facteur variable; la probabilité que l'écart réel est renfermé dans ces limites se dira sans peine dans une table, calculée d'avance pour toutes les valeurs du facteur 65" 516 PROBABILITÉ DES RÉSULTATS MOYENS variable, table qui reste la même pour une foule de questions diverses. Effectivement alors la probabilité s'exprime par une transcen- dante très-connue , dont une table a été publiée par Kramp pour résoudre une question bien différente, le calcul des réfractions astronomiques. Au reste, il n'est besoin la plupart du temps que de quatre ou cinq valeurs de cette ons ie et lon peut les conserver dans {a mémoire. Cette règle est si facile, si générale , si singulière, que jamais elle ne manquera d'exciter létonnement au premier abord. Bien plus, quand on Îa fait connaître aux personnes peu versées dans les mathématiques, il leur semble que ce soit une révélation d'une sorte de mystère, d’une propriété surnaturelle du genre de celles que l'antiquité attribuait aux fameux nombres de Pythagore : ces personnes ne peuvent s'empécher de voir quelque chose de plus qu'humain dans l'algèbre, capable d’arracher de tels secrets à l'a- veugle hasard. Les hommes plus habitués aux ressources de la haute analyse trouvent un autre sujet de surprise dans Fartifice dont s'est servi l'ilustre inventeur de cette règle, pour éliminer du calcul les quan- tités dépendantes de la loi inconnue des probabilités des écarts des observations. Cet artifice peu ordinaire laisse planer quelque difiiculté sur le degré d’exactitude de l'emploi de la constante déduite des carrés des différences entre les observations et la moyenne. I suflira de rappeler à cet égard que la somme de ces carrés paraît substituée à la somme des produits des carrés de toutes les erreurs possibles par leurs probabilités, somme à 1a- quelle la première n'est pas égale rigoureusement, mais dont elle diffère probablement très-peu quand le nombre des observations est assez grand. Laplace a cru nécessaire d'éclaircir l'usage de cette substitu- tion dans le Premier Supplément à la Théorie des probabilités. Les expressions consignées dans ce supplément et dans les di- verses éditions de FÆssai sur les probabilités montrent limpor- DES OBSERVATIONS. ! } 517 tance qu'il attachait à dissiper la faible incertitude que pouvait en- trainer son analyse. - Depuis, M. Poisson a repris, avec l'extrême lucidité qui lui est habituelle, ce passage difficile de la théorie de Laplace , et il a . démontré comment disparaît la différence entre la constante véri- table et la constante observée , à mesure que le nombre des expé- riences augmente. L'étude des beaux mémoires de M. Poisson, sur ce sujet, insé- rés dans la Connaissance des temps, et d'un autre mémoire du tome IX de l'Académie des sciences, dans lequel les procédés les plus délicats de cette analyse subtile sont appliqués par lui à 'exa- men du rapport des naissances des filles et des garcons, cette étude approfondie a fait penser qu'il existait quelque moyen de dissiper entièrement le léger nuage qui pouvait subsister encore sur la règle importante donnée par Laplace. Si lon veut bien considérer que cette règle doit servir de ba- lance, en quelque sorte, pour peser l'influence qu’on peut accor- der à la plupart des observations sur lesquelles se fonde léco- nomie politique; qu’elle est susceptible, comme fa montré son auteur, de s'étendre aux faits mêmes qui tiennent à la partie intelli- gente, à la partie morale de l'homme, et par conséquent à fa philosophie; que, d’ailleurs, les sciences physiques proprement dites ont plus d’une occasion d'y recourir ; on trouvera peut-être quelque intérêt à voir établir directement et surtout sans cette élimination habile, mais pénible à bien saisir, dont Laplace s’est servi si heureusement, l'existence de la constante sur laquelle !a règle repose tout entière. Tel est le but de ce mémoire. * Les procédés qui vont être employés pour y parvenir ne sont, au reste, que ceux-là même dont Laplace à enseigné lu- sage. [l faut le répéter encore, c'est dans la Théorie des proba- bihtés et dans les développements si remarquables donnés par M. Poisson, que les moyens de démotistration ont été puisés. Une réflexion assez naturelle y a conduit. Pour qu elle soit facilement saisie, il est nécessaire de se rappeler que si un évé- 518 PROBABILITÉ DES RÉSULTATS MOYENS nement a été observé p fois sur un grand nombre p + p, d'é- preuves, la probabilité que Îa possibilité de cet événement est comprise dans Îles limites (1) se du dress 2 Pi Re (P+P:)° est égale à l'intégrale définie Q 7e tar Cela posé, il était aisé d'apercevoir que demander la proba- bilité de l'étendue de l'écart entre le rapport : . , et le rap- 1 port réel de possibilité qui se manifesterait s'il était donné à l'homme de multiplier indéfiniment les épreuves, c’est demander, pour un cas très-particulier , la probabilité de exactitude d'une cer- taine moyenne fournie par les observations. , Qu'on représente en effet par y, y, deux fonctions arbitraires des événements observés, relatives respectivement, Fune à lé- vénement À, qui s'est présenté p fois; et l'autre à l'événement contraire B, qui a eu lieu p, fois; si fon nomme de plus x, x, les possibilités mconnues de ces deux événements; rien n’empéche de concevoir que les (p+p,) épreuves aient eu pour objet de déterminer la valeur de la quantité 0 = VI + Var En prenant donc pour cette quantité la moyenne des produits des fonctions +, 7,, multipliées respectivement par les nombres P; pi des événements auxquelles elles se rapportent, on pourra demander la probabilité que fa valeur UE YP + Pi PEN: ne s'éloigne pas de la valeur réelle » d'une quantité donnée. DES ‘OBSERVATIONS. 519 Si maintenant on suppose Va = le Y = 0; la moyenne v' se réduit à , la quantité v se réduit à x; 1 et il est visible que la probabilité qui aura été trouvée sera Ia P P+P: et la valeur probabilité de la différence entre le rapport réelle de x. | Mais la probabilité de cette différence est donnée par les formules (1) et (2); comme Laplace la démontré. On peut donc conclure que ces formules ne sont qu'un cas particulier pour Y 1, = 0, de celles qui doivent exprimer la probabilité des écarts possibles entre la moyenne obtenue par l'observation et la vraie valeur de lexpression (-yx + y:x,). I est donc de toute nécessité que le facteur « 2pP; P+m) d qui entre dans la formule (1), soit précisément la constante singu- lière introduite par Laplace; dans laquelle les valeurs données par observation sont.p fois 1, p, fois 0. Pour en acquérir la certitude, on posera — d’ Al dr à PEFP: = 72, ou Br P» et le radical ci-dessus pourra visiblement s'écrire : 9 {Ps pa. pxi+p,x0 ) +p (o— px1+p,x0 ÿ | n ñn 2 On retrouve donc précisément le quotient de la racine du double de {a somme des carrés des différences entre les valeurs A : 543 s 1+ 0 observées (p fois 1, p, fois 0) et la moyenne SSP par n 520 PROBABILITÉ DES RÉSULTATS MOYENS c ? 3 4 le nombre des observations : et le radical ps nest (P+pP:) autre que Îa constante de Laplace. L'introduction de ce radical dans la formule (1) n'est pas seu- lement probable : elle résulte, on Île sait, d’une analyse certaine. I était donc permis de prévoir, d'après ce cas particulier, que la valeur de Ta constante n'était pas moins susceptible d’être cal- culée d'une manière certaine dans Île cas général. __?PPi__ une fois faite, ‘ (PP: Hit la démonstration rigoureuse de la règle de Laplace n'exige plus que des calculs assez simples, quoique un peu longs. La marche en sera mieux suivie, si fon commence par exa- miner Île cas dont il vient d'être question, et qui ne comporte que deux événements exclusifs. Effectivement la décomposition de V Conservant les mêmes dénominations, P+Pi =; TE, et il s’agit de déterminer la probabilité que la quantité in- connue (3) V = YEH+VYit, est comprise entre des limites données a’ et a. Désignant par C Ie coefficient du terme du binome (x+(1—x))" dont les exposants sont p et p,, on sait que la probabilité de l'événement composé de p répétitions de l'événement A, et de p, de l'événement B, est Cz’(1 — x)" é La relation (3) donne RE ? 7 — v T- = se Dm CREER DES OBSERVATIONS. 521 Donc: dans l'hypothèse d'une valeur assignée à v, la proba- bilité de l'événement composé sera AE La probabilité de Thypothèse d’une’valeur de 'v' sera par suite (@ — 7) (> — 0) dv ñ ; P - . 7 @ = 7 GE + er l'intégrale étant prise pour toutes les valeurs possibles de v, c'est-à-dire depuis v — 7 jusqu'à v — y,, si V>7. Enfin, la probabilité que la valeur réelle de v est comprise dans les limites a° et a, se trouvera en intégrant l'expression précédente entre ces limites. Cette probabilité est va ACC CECIE À Lee — eo) à On connaît la méthode générale que Laplace a inventée pour obtenir la valeur approchée des intégrales de cette espèce. 2 la suivant, il faut poser (4) (5) FA RER ELLE PASS 4 dv = dz, n et z représentera l'écart entre la valeur réelle de v et la moyenne tirée des observations. . Chacun des termes de la probabilité (4) prendra la forme mi 5 nz \? nz ( séno J. ed er Pr — nl dé 1 66 522 PROBABILITÉ DES :RÉSULTATS MOYENS b.'et b étant les limites de x, correspondantes aux. limites. a’ et a de ». Développant les facteurs (+ ——) et (: _ —— ) 1e Ti M) P® —}) en séries exponentielles, et désignant à l'ordinaire par e la base des logarithmes Népériens, lid nz F #1 37 —— (6) (: + —) 1e Pp{7 — h) AE EF) ‘ nz | n?z2 1 n5z5 1 nizi RE SE EE EE EE a ce EU : (CAT) 2po — 7) 3 py—7,) : \4 p{r —)7) », L Fe nz ) (: ———"— — Hg (: P(X — H) PV — 9) nz 1 nr 1 n5z5 1 nizt RE EE (77) 2P—= nn} NSP) 10 Hp =x;) et l'intégrale deviendra n°2? Ë 7) ES Ç 1 ) = ———— | ——— |— — — : 2—7,} PAP: 3(2—7,) 2 Pi nizi (: 1 ) ‘ PP — — |[-+— | + etc. nee ap 407 )% \ps ps y Y = , dée d'où (7) É=/ 20H), dz:— dV” 2 pp, (7 — >) n° n° La transformation usitée depuis Laplace consiste à représenter par #” toute la série exponentielle en z : on en déduit une valeur de z, ordonnée suivant les puissances de #, et par là on transporte aux limites de z une partie des difficultés de l'analyse. Mais comme il s'agit ici de fixer rigoureusement la valeur de Ia constante qui DES OBSERVATIONS; : 14 5923 exprime: ces limites, il paraît préférable de les débarrasser de cette expression-de z en une: série dont on n'obtient des termes qu'avec peine par le retour des suites. Par 1a transformation (7), tout ce qu'il peut y avoir de délicat et de difficile dans Fap- proximation est entièrement concentré dans l'intégrale € et dans la valeur de la probabilité. LA On arrive ainsi à l'expression PETER P+p 7 \ ' : (18 anpp, "PRÉ 8 > 2 sr 5 5 (8) Per) 5 ee Rage pp n°, 2 pp, LL Snppy! Snpp, PP Y—=N)" < c'et c ee les limites de t. Les facteurs constants placés hors du signe db seront suppri- més dans Îe reste du calcul, car ils multiplieraient les deux termes de {a probabilité (4 ). Déféloppaht la partie de fexponentielle qui contient les puissances supérieures à la 2°, au moyen de la formule connue m? m° + 1. 2 1.2.3 mn ee = 1+ m+ + etc., l'intégrale cherchée peut s'écrire comme il suit : (9) f. dt e= + 4 APP) BP pe AS ur 2016 à 2, 3V/3 np, APP: He 5 pp V'2npp, 4 5 + 5 4 p— 2 —( Sert (22) }# ete. | SnPP Inpp: Il est visible que les coefficients des termes placés entre paren- 1 thèses seront de l'ordre des puissances de ——, sauf quelques nm circonstances spéciales dont il n° y a pas lieu de s'occuper ici. 66* 524 PROBABILITÉ DES RÉSULTATS MOYENS De plus, en prenant c' ——c, les termes qui contiennent des puissances impaires de # se détruiront, et il ne restera que (10) 2 f. dt C1 PE e etc. | Mais attendu que [dt DR de = NE Gé es 1 pm-s CR . - 2 2m—1 —3 5.3 2m—1 5 3 ù 3 im, are m eee fl e‘ dt, 2 2 CHE: 2 2 2 , l'intégrale. (1 0) se partagera en deux parties, 2 5 s C 2 e Sp (11)2/ ue COR VPN LÉ e— dt + —| 22 P(c+tc)+etc. | $ npp, ° 2 RPPi 2 —€ (4 F ; : La valeur de ——, toujours fractionnaire, est encore pour 2 ci de 0, 18 393 97 mais ce = 21 élasréduitqàs 0, 00 915 78 c—2+— à 0, 00 096 52 et quand c—3 elle tombe à 0, 00 006 17 La partie de Ia série multipliée par ce facteur très-petit, partie dont les termes sont déjà divisés par les puissances du grand nombre y, , sera donc très-convergente à l'origine : et quand x sera très-grand, on pourra évidemment la négliger sans erreur sensible. Le numérateur de la probabilité (4) se réduira ainsi à PHP; PES (12) 2(1— = — ete.) f° CR Le dénominateur se trouve en intégrant l'expression (9), pour toutes les valeurs possibles de 4. DES OBSERVATIONS. 3 525 17 €t ys étant les limites extrêmes. de v, on conclura des rela- tions (5).et (7) les limites correspondantes de £: 13 ÿ l=— pr l'=—= Re ÿ (13) “à … Ces deux quantités sont de l’ordre Va, et par conséquent très- grandes; mais SA DE — (0 quand #— ; et cette expression qui devient d'autant plus petite que £ est plus grand à partir de & — 2 , 6st généralement fort petite, car on a pour É—= 3+2+ 16 4 — 0,00 000 239 255 té 167 = 0,00 000 005 626 = 5 36". 0,00 000 000 000 694. De cette considération il résulte que si les limites (13), qui gé- néralement sont de l'ordre très-élevé Va ,; excèdent seulement les premiers nombres, les termes fournis par l'intégration et muiti- 2 pliés par » (16) 6 — 5 fe dt = 0,00 000 000 000 136 254. 5 526 PROBABILITÉ DES RÉSULTATS MOYENS Cette partie extrême de l'intégrale entière, qui devient 10 000 fois plus petite quand # passe de 4 à 5, diminue bien plus encore de t = 5 à t — 6. Il sufbrait donc que le plus petit des nombres p et p, atteignit 50, pour qu'on püt poser sans erreur sensible (17) fear eme Va, r représentant le rapport de la circonférence au diamètre. L'expression (14) est ramenée par cette approximation exces- sive à 5 + 5 HAE RUN, ï #P PP et la probabilité (4) à l'intégrale définie 2 4 (18) f eT dt. C'est la probabilité que la valeur dev = y x + 7y,x, est com- prise entre les limites a’ et a, qui, à cause des relations (5) et (7), deviennent (19) Lg y A n n° Ê L'expression (18) est également la probabilité que la différence entre la valeur réelle de v et le résultat des observations, ou lécart de ces observations, se renferme entre (20) +cV 2PPQ =) n° : Il est aisé de voir que PP =) __ PP + PP | ñ n? Gr) =p (2) + pi (2) pe (er 2" n ) ñn « G-—p;)y—?Y | ES here (1 DES OBSERVATIONS. ce qui change Fexpression (20)en. (21) += | p(— ET, plu ENT ot © Le: On reconnaît sous le radical la somme des carrés des diffé- rences entre la moyenne et toutes les observations ; ainsi, 1l est prouvé que, dans le cas de deux événements simples, la constante qui détermine l'étendue des écarts est précisément et certaine- ment celle que le génie de Laplace lui a fait découvrir par une voie Si -différente. La forme (20), sous laquelle s'offre cette constante, doit être remarquée : elle se représente sans cesse, quel que soit le nombre des événements simples. C’est d’ailleurs une troisième manière de calculer la constante. Elle peut être réunie à celles qui ont été données par Laplace. La forme (21), comme fa fait observer M. Poisson, est la plus commode. Mais celle-ci (22) = NES e (PE PF + pit )— (2 + PrY | n ? où n'entre plus que la moyenne des, carrés des fonctions données par les observations, moins le carré de la moyenne, est souvent utile dans des applications, quand les fonctions y; y; ne varient pas. Peut-être se trouvera-t-il des circonstances où a forme(20) le sera: aussi. Les développements que vient de recevoir l'analyse du cas par: ticulier de deux événements permettront d'abréger certaines par- ties de la démonstration, quand il s'agira de subdivisions plus multipliées du nombre total des épreuves entre les divers phéno- mènes observés. S'il se présentait trois phénomènes ou événements À, B, C, on désignerait ‘encore par y, 71, y», les arbitraires qui Les caractéri- sent, par #, #1, Æ, les possibilités inconnues, par Pr Pis Po, les nombres de répétitions de chaque événement simple sur le 528 PROBABILITÉ DES RÉSULTATS MOYENS nombre # d'épreuves, et l'on aurait à calculer la probabilité des valeurs de l'expression (23) V=YE + Nr + Yalar comprises entre des limites données a’ et a; pour laquelle (24) P+P;+P=N, L+A+ Li. Six, x, x, étaient connues, la probabilité de événement com- posé de p fois l'événement A , p, fois l'événement B, p, fois lévé- nement C. serait Kz?z,rx,", en désignant par K le coeflicient du terme du polynome (x + x, + x, )" dans lequel les exposants sont p, Pi, Pe. La probabilité d'une hypothèse sur x, æ,, x,, c'est-à-dire la probabilité d’une valeur de v, sera donc LED P UTP: Zx'rin zona le signe Z indiquant la somme de toutes les valeurs ges du péalitis qu'il affecte. Les valeurs de » devant être comprises entre certaines limites a' et a, la somme des probabilités de ces valeurs sera 221240 gala Zzx?æx," ras le signe Z du numérateur n'indiquant que les systèmes de valeurs de æ, x°, æ, capables de donner pour » une valeur renfermée entre a’ et a. D’après les relations (23) et (24), x et x, sont fonctions de » DES OBSERVATIONS. 529 et +,; et il en résulte que toutes les valeurs possibles de v sont comprises entre y et ,, arbitraire + étant a plus petite et y, la plus grande des trois. On obtiendra donc la probabilité ci-dessus, en intégrant l'expression "+ dvdzx x?x "x ?: 2 a LE 297 (25) dvdz xx x: Les limites dont Îe signe f est affecté se rapportent à [a seule variable v; et le nombre 2, placé à la gauche de ce signe, rappelle qu'il faut intégrer deux fois. La question est ainsi ramenée à Îa détermination de deux inté- grales définies doubles, et l'on est dès lors complétement certain que la solution est indépendante de Ia loi de probabilité des divers événements simples. æ et x, étant fonctions de x, et v, pourraient étre éliminées sur- le-champ. Il resterait à trouver la valeur de l'intégrale (26) 1E dvdx, (2 fr (a — res ï PA Far 23; Mais il sera bien plus simple de poser d'abord, par extension de la méthode de Laplace, P L HD APRES EL RSS (27) Des 4 Ti nt us Pa ET en Pas EP +? aus Cure" The n on en déduira (28). z+z+2z —o, VS + Vi + Vo%o = U. Si l'on appelle £ et à les limites de «, l'intégrale (26) se chan- gera en P P, P p p2 L nz \? nz, \P SALE —— J. (: + — (: + _— {i + El dudz, n Û P Pr 530 PROBABILITÉ DES RÉSULTATS MOYENS et passant aux exponentielles, en nr z? ce 2 [+ (a+ Had ( +=) P Pi Pi (29) n° 5 z,5 0 Ep gt + (= + + —) — ete P Pi Ps ENS À È P Pi P: La première des relations (28) rend nul le terme en », dans l'exposant de e. On représentera par S la série qui suit le terme en »°, et l'intégrale à déterminer deviendra plus commode pour le calcul, 30 PP, P à (80) PPi Ps 1. dudz. e n° 6 ce On peut à présent faire usage des relations (28) pour éliminer z et z,. Elles donnent ; u — 2, _ y u — 2, (Y — (31) EE 2 (V2 1) ! 4 — a (78 7) : D 7e H— Substituées dans exposant de e, ces valeurs conduisent à SRE Fo Çu — 2, (3 — »} Qu — 2,(7, — 2 Pa Pi V7) Pr = Ÿ = (ST LES Lu : ls; (= +2) mo 13 (+ =) 207 IE Pa Pr P Pi P 92 ( 1 1 ]| + (— + — P Pi On simplifie le calcul en posant (32) (y—7,) =A;, Ginmis QG: 7), Grp es P Pt Pa: D 7 1 1 u | 2 ae ) = ii} u (+ —\0 Pr P et l'intégrale (30) se réduit à DES OBSERVATIONS. 531 rm P P, P Ë “in 9" A7 (33) UE if dudz, e : n" 2 b S' représentant la suite de termes en 2°, #”, etc., qu'il serait peu utile de développer. Mais ïl est important de ne pas oublier que chacun de ces UE: n° ni : termes est multiplié par un facteur tel que —, ——, etc., sui- p° p° vant le degré des variables qu'il pourra renfermer, et qu’ainsi tous ces termes sont de l'ordre 7. Sous cette forme (33), on aperçoit déjà que l'intégrale prise par rapport à z,, sera connue si les limites de z sont assez grandes. #* En complétant le carré dans l'exposant de e, et faisant LP Se LE RS AV 2 Às 7 AV 2 je A,n CE on en tire 3 B 2 Ce UT EN Li mL 2 2 A (Az, Sue 2B,z, +C,) à 7 AT 2 A; (c. a): substituant ces valeurs, on obtiendra 2 n° (c pe ) S' PP, P, RE TE ones TD 5 P'rtps AV 2 [. 2 A; A, (3 5) nÀ, Ji dudye n' S" désignant l'expression de S’ en y. Si Ton examine à présent la quantité 1 C Br NN C,A — B ) A 2 LC RENE AU 2 qui est fonction de « seulement, les relations (32) donneront €e7* 532 PROBABILITÉ DES RÉSULTATS MOYENS Nue Î A° Ce mor Le Can) CV Le 7 2 Pa I Pr P L 2 PP: , partant CHARME An: Pal Pre He-Pa —— s CRE 2 } 2e PPPs PP 72 P ri ; B°—, | Ga 7) (2 —%} a — 7) (3 — 7) | D uiE Pr P° PP: ; Mais le double produit 2 (62 + y) (Je = y) — (2 DE 7) rte 62 + Y:) — (2 —") LS (Ye GR 2): — (Y ST Y) + (Vs Tr 1) F (% Eat 7): On a amsi Be DOS PEN On ia OT RE rŸ nec 7) : CNRS P° PP PP PP onde (a =) (r+P) Os — 71) (p+m) 2 a Pr Pr P Observant que les termes positifs sont multipliés par P+pPi — nr — p,, et que Île terme négatif est A”, B (ra — P3) (2 EH) CZ Bi V1) ) A = (| — — Ca PP: Pi P PP Il résulte de ces modifications, dont l'ensemble se reproduira plus tard, que " nA° n° B° nou? CA Bu, (== D ; PPiP: 2A° À; 2 P;PPaA ete S +21 UE prpPpl: AV 32 : ARTE A? "RER TE TURC : f dudy e = … BPEPI UE 2E fa He" es fé DES OBSERVATIONS. b33 Posant enfin (prose à je PE EE TES 2 pprP3 As A ns : 2 PPiPa As dis LÉCETESM DS Limites de £—"c = c; il reste à intégrer (37) PPPPp.P S > AV PPiP2 [dt dy ET ÿ—È+S". n” RVY n 17° 11 Les termes de la série S” peuvent facilement s’apprécier. H a été constaté que dans la série S’; suivant Îes puissances de z, et #, le coefficient de chaque terme était primitivement de l'ordre ». Lorsque 3, a été changé (34) en ( AV 3 B, ) et u que & gé (34) A pere à en £ ATELIER, il est visible, d'après les valeurs (32), de n5 d A,, A, B,, que les coefficients de y et de #, dans la série transformée S"', ont acquis le diviseur y, élevé à des puis- sances égales à la somme des exposants des variables diminuée n° de deux unités. Le terme en z° qui était multiplié par PS a donné in L, 3 _— , LAW a) sa ANS) —— ÿ ———_—— + etc. = —— —— 7" + etc., Ps n° A5 PS A5 1 dont le coeflicient est manifestement de l'ordre ——, ou en gé- rs 1 néral de l'ordre = ñn Il en est de même pour toute autre puissance : si ce n'est que le diviseur y, recoit des exposants de plus en plus forts. 534 PROBABILITÉ DES RÉSULTATS MOYENS Il faut donc déjà regarder comme très-petits tous les coefli- cients de la série S" quand » est un grand nombre. A cette considération vient s'en ajouter une autre qui va permettre de négliger cette série presque en totalité, sans erreur sensible, On pent effectivement la faire sortir de lexposant, puisque toujours S' É T— AUS ui 1 + ti + etc., et l'intégrale devient G) PPPPPIMY/ mr [die (1+S"+ete) Mais alors tout terme tel que F L s ee j 2m ef ed = : ; a NE € 92m—1. , Im—1 2m—3 — LÉ etat TR ( LT + at CREER Er ve 2 2 2m—1 1 cire es [| e77 dy 2 2 ; | © 2) L ou f 4 et edt sf *eY dy RUE a? c 3 e Im 2m 2m-2 2 ce fo e”ldt fu —— CET sp De -1a)| F 2 2 2 et Ton a pu voir précédemment quelle était l'excessive petitesse a? ae. — € des suites multipliées par _______ dès que æ& surpasse 4 ou 5. 2 [2 : : : Le seul terme f. e7? dy introduit des valeurs sensibles quand fes limites de y sont de signes contraires. I est donc palpable que si ces limites, pour une valeur quel- conque de # sont considérables , les termes résultant de l'inté- gration de y deviendront complétement insensibles même pour de hautes puissances de y; car ils n’ont, en général, que de très- DES OBSERVATIONS. 535 petits coefficients. H n'y a d'exception que pour les puissances paires dont l'intégration conduit à ‘2m—1 Im—3 3 1 Cure 2m ti 2 2 2 2J a quand Les limites &’ et & sont de signes contraires et toujours considérables. é 5 B2 : 3 Mais la relation (34), ou y — _ (sa, — —) fait voir que y est constamment de l'ordre très-élevé 7%, quel que soit # ou 4. H ne pourra donc rester dans la série S" que les termes dans ‘lesquels y a des exposants pairs et des limites de signes différents. Il n’est pas inutile de faire remarquer, d'ailleurs, que les puis- sances impaires de y ou de 4 disparaissent d’elles-mêmes quand l'intégrale double est prise entre deux valeurs égales et de signes contraires de y et de £. Or c'est une propriété de Îa fonction dé- signée par y, d'avoir deux limites très-élevées, le plus souvent de signes contraires pour une valeur de #, et changeant de signe avec t. De sorte que dans l'hypothèse où c —— c, il ne reste de la série que Îes termes dans lesquels y et £ ont à Ia fois des expo- sants pairs. Il ne subsiste ainsi aucun terme de la troisième puis- sance, et les termes de la quatrième ont des coefficients de l'ordre \ spé trés-petit mi La série S" se trouve donc réduite par l'intégration de y à deux parties : Tune, dont tout ce qui précède explique la convergence excessive pendant un grand nombre de termes, peut être regardée comme nulle dès l'origine, quel que soit £. L'autre partie se com- pose d’abord de puissances de # qui n’ont, par elles-mêmes, que à à ; UE . de très-petits coefficients de l'ordre de — et ses puissances, mais n qui sont multipliés par des facteurs de la forme 2m—1 Im—3 A | V7 2 2 [au 1.2 et peuvent par cette raison acquérir quelque valeur. 536 PROBABILITÉ DES RÉSULTATS MOYENS En outre, cette seconde partie renferme toutes les puissances paires de £, qui étaient isolées de y, et dont les coefficients sont également très-petits. Elle conserve donc une convergence rapide dans les premiers termes, sauf quelques cas particuliers. Quand intégration relative à £ s'effectue, cette partie seule subsistante se divise encore en deux suites dont la première est 2 s era : . affectée du facteur = > qui prend des valeurs assez faibles pour de petites valeurs de #, et accroît ainsi la convergence, au point méme de rendre insensible le premier terme si » est un très-grand nombre. H suflira donc de considérer la seconde suite, qui ne contient « 2 que des facteurs constants, multipliés par /, e‘ dt. En repré- sentant par T la somme de ces facteurs, l'intégrale (38) devient définitivement après l'intégration relative à y, 0) PP mes fe dt (Yr+T), N nn n? n3 € Cette expression donne immédiatement le numérateur de la probabilité cherchée. Le dénominateur exige la connaissance des limites extrêmes de t. Les relations (27) montrent que v étant compris entre 7 et y», u le sera entre \ + Pit Pa) (i-7)+P:0 377) (40) D Pot? EE QU A 203 n n y PY HP Pas) __ Ps?) pos) - LS. EPS HR TOUR fe 9 RSA ER É n n Les limites extrêmes de £ s'en déduisent, ét sont ; CRE JEU UE On ERUL D ES = Pr) ENV Ed) va jt AT 7) + Pia — à LE ALES LEE — \ V_ 3pppAS V” 3ppp A ’ DES- OBSERVATIONS. 537 quantités de l’ordre très-grand V”,. Ainsi l'intégrale relative à toutes les valeurs possibles de v, remplit à plus forte raison toutes les conditions nécessaires pour négliger sans erreur les suites qui disparaissent dans l'intégrale précédente. On ne conservera que 14 2 les termes constants multipliés par f° e' dt; et comme on peut t étendre à l'infini les limites de cette dernière intégrale, il en res- sort pour le dénominateur PPP PP sa / pos ( x + T DAS et pour la probabilité (25) (43) on Les valeurs de v, dont cette intégrale définie représente les chances favorables, sont contenues entre ++ V/ 27 D PRET EP Le Pa n n° ou à cause de Ia valeur de A°, y — PYTPN Pas a 9 PGA) EP PV) PP: — 7} n n° et Île radical + c V0 A) PB EN) PPT) . a n° exprime les écarts de Ia valeur réelle à a valeur observée. La constante, qui détermine l'étendue de ces écarts, a con- servé la forme symétrique qu'elle avait prise pour deux événe- ments: Rien n’est plus facile que de la ramener à la forme de Laplace. Multipliant par » les termes sous le radical, on obtient pour le 5. 68 538 PROBABILITÉ DES RÉSULTATS MOYENS numérateur npp(? fit x) 3 RPPAV = V5) 3% NPaP(Y» = 7}; expression qui se transforme en (PPA(7 — 7) + PPÉY — 1) + PPPAI — Vi) +p WACA Ft 2) +p PV —72)+pp 1 PV a V2) +PPlys — + pps — VE pPPAYe — VŸ Hp ri)+pay —22) P—2ppipaly 73) +pPPÂY-Y) = pp) PV) ppp = a V2) ppp Ve) Er pos-V)+pilve VD)? - 2ppip2(v2-7)V2- 1) +PPP Ve y) Mais la somme des six derniers termes est nulle, car c’est le carré de l'expression identiquement nulle V'rPpy — 9) + Av) + (a — NI. D'ailleurs chacun des six premiers peut prendre la forme Pope 92) =plry — (pvp pr) = p(—4) PY PV 1 Pas. n 2 2 en représentant par w Ta moyenne On retrouve ainsi, pour le cas de trois événements, la cons- tante de Laplace; puisque la substitution donne V” 2 PP) EPP Vi Vs) PP) = 4 2 po — nu} + Pr — um) + Pay Jo: u}} è Cette constante est donc bien le coefhcient du premier terme de l'exposant de e dans l'intégrale qui fournit la probabilité. L'ap- proximation porte seulement sur les coeflicients des termes sui- vants, qui deviennent très-petits quand # estun grand nombre et peuvent être négligés sans erreur appréciable. Mais il ne saurait y avoir aucune incertitude sur la valeur et la forme du coeïhicient du premier, dont nulle partie n'a été négligée dans le cours de l'analyse précédente. DES OBSERVATIONS. 539 On sent dès à présent que cette analyse, quoique restreinte en apparence au cas de trois événements simples, s’appliquera sans difficulté au cas général d’un nombre quelconque d'événements distincts. Soient en effet x, x,,x,,..... æ, les possibilités inconnues de m événements simples; p,pi,p2. . . - .p, les nombres de répéti- tions de chacun dans un nombre » d'épreuves; y, 1, Ya: :::Y» des fonctions arbitraires relatives à Ia nature de chaque événement, et rangées par ordre de grandeur, Il s’agit de déterminer Îa pro- babilité P que la valeur réelle de (45) F V—=VYLHYIL + Volot + « x + Ynlm est comprise entre des limites données a et a. On aura (46) PFPiT Po... + Pm = ÉD eee PNR e Il serait superflu de faire voir que la probabilité P sera expri- mée par P P, Pa AC QUNUATE æ._"dvdx dx. ....dx L. é 2 m 2 s m (47) " P ?, P P, 7 x DUR eue NUE Es Tee 3, mg Y l'indice » dénotant le nombre des intégrations à effectuer. Le rai- sonnement employé pour parvenir à l'expression analogue (22), dans le cas de trois événements, se reproduit avec une similitude parfaite pour un nombre quelconque. - .p rm On ferax=—+z = Lg dm EE D = +. n n n n # Æ Pi ts elle + PnŸm (48) Qi 49 PER qe EURE ee et Ton aura (49) 24 ++... +2,00 VIH Visite ee 0 3 + Yuan; 540 PROBABILITÉ DES RÉSULTATS MOYENS d’où l'on déduit UE Z (Ya Ya) = 2 Y5 are —%n(ÿn = 71) TRIEZ (50) RU es TRE mm 7° mn 2 mm O0 mm à (C2. mi) De mr Yi —7 ’ OU, en posant (4 — Z3ÿ3— 2 V4 — — 25 YŸm = Us (51) 254 Sn aile tie Fret le al = U,+ 7123 — 29093 — 7) L'pge ef U, +72, — 2%: = 7) ) — M TER mp SES AS SNS M ! © 1 — mn ce CS ee Pi PA Substituant les valeurs (48) dans l'intégrale du numérateur de la probabilité P (47), et supprimant hors du signe / les facteurs constants P?Pp,Pp,P2.....pPm nr qui se détruiraïeut dans les deux termes de Ja probabilité; elle deviendra d z Z Zn m JL (+=) +2)" us (: +2) ds dz dz….dz du my à p Pi Pn RS TA b'et D étant les limites de . Développant en exponentielles, le nombre e aura pour exposant _ ea ee 2, 3,2 HN(SH EH HE,) — > | + — +2+..+2) 2 \p M" Pa Pn n° 3 FA) 5? z 5 _ le ep =. + —]+ etc 3 \P Pi Pa m Dans cette expression, le terme en > est visiblement nul par la première des relations (49):et si lon représente par S la série des puissances supérieures à [a deuxième, on pourra écrire lin- tégrale (52) x cu dz dz.….dz, due Substituant pour zet z, leurs valeurs (50), et désignant par K, la ’ DES OBSERVATIONS. 541 nr 2, 2 ES 1 somme des termes — — [= + + :.. +"), qui ne con- 2 \p° Pa Pn tiennent pas z,, on aura à intégrer (5 3) f ( U,+ 7123232 —71) ) Fr Ta K;+5, — ri ( U,+72;—2, (7:37) } Pr 7 \ JC ‘ds dz.. …dz due Il faut ordonner, par rapport à :,, la partie de l’exposant de e comprise entre les parenthèses ; ce qui donne d’abord : ne, (CA A IC CE I 54 Le D LAUBE ITA DS LL ETES REA Q ) 2(y-7,) | Pa ce Pr F5 P 23, (Ya Ya—Y a ? QE: 2e) + P, (We + y22) | et La jen Cet 277) P P: Pour simplifier, on posera (y +, ÿ — A? ù (=) eu Qi.) Le (ya)? = A’, P: P Pr a (U:+V122) + . (U+7Y2) = B,, U,+y 2) (Ü,+yZiY (U: +122) dE —+yZa) Lu êee e Pi et la quantité (54) se réduira à (5 5) a _ (Az; ro 2B 3, ar C,) Q qui devient si l’on fait de même que précédemment. k Le B. —E (56) sys (ea: —— =) = y TE dy AV2 + 2 2 2 nA, II est bon de constater immédiatement que y, est de l'ordre Vn pour toutes valeurs de x, z,, etc., qui entrent dans B,. De 542 PROBABILITÉ DES RÉSULTATS MOYENS sorte qu'aux limites de z,, on pourra, comme il a déjà été fait, tirer parti de la grandeur considérable des limites de y. A,V2 RTE PS Ÿ qui sSin- 2 En supprimant d'avance le facteur constant troduirait devant Ie signe f ; appelant $,, ce que devient la série S, quand on en a éliminé z et z,, et qu'on y a remplacé z, par sa valeur en 7,; l'intégrale se change en rm B,° (57) Ho dy dz.dz.….dz due se 24% ee L nm É m expression dans aquelle il faut transformer la variable sui- vante, 33. La valeur de K, permet de poser et lon pourra écrire l'intégrale (5 7) comme il suit : » \ K.+S y (ZE a (8) f. dydadz.didue TS + ———— |. Ps A;°A; C,A,—B, A PA 1 rateur seulement, les variables n’entrant pas au dénominateur. Les relations (51) donneront en appelant U, et Z,; des sommes semblables à U, et Z,, mais qui ne contiendront plus z; : Maintenant on développera , où plutôt le numé- [ER = — 333 + Un, Z = 23+2Z, d'où (U, + 12) = U +43 — 3 (Ys — Vi); (U, + yZ) = U, +724 — 33 (Vs FF Yhr (U, +2) = (Us +4) ET 223(Ys à Vs) (Us + 123) + 23 (Ys Er Y)'; (U: aa 7/9 —= (U; FT YLs) — 223 (Ys = y) (Ü; ALT VZs) + 2$ (vs — 9). DES OBSERVATIONS. 543 Il en résultera CE [Us + ns — 25075 — HP q EU; + 725 — 25095 — 2)F a — CS ACL ES SRE SN CEN AE R RENTE à ? P Pr ET . —=——{[U;+7,2Z 3—33(Vs—7,)] ——— MS —23 (y. s—Y)} et en HER les carrés ce. = Ur) Gaz LR Ste 7er Pi 134 27. =. (Ü:+125)+ ne (Us+y2s))-+3 (2 me 2°) B° = (GA FE YU, + 71 ZŸ Er (CA EE FD (U, + 72} P° PÉ OL On) C7) EE mAh 720) ATP: ain Ve) Ha arm \i NU »? CU Ÿ ad (Us + 23) — 2%3 Î (CA PEL, N)(Ys G: 7) | a Pi )| En = = ee. 2 z° (Ya V0 (5 Y1) 4 (Ya 7) (s 7) à ? Pr Si l'on se rappelle à présent que : A° mt Gb) LE GE Mie Xe P> Pr P on aura U = U,+yZ.) (y) iv} ÉAr C —B°= (U+yZ.)* (rs on}, 4 ® RME (U+y 2? x) ,& _ rd P: Pr Pr P2 P Le CU ZX Us 728) PPi Se} On TU pren Li Ye) (Cm) 210 2 tnt 210 2 tem 2?) (+2) 2 Are 22) 7737) |] | fr a A AT U.+Z. a tai MTV a )- Ye DR | à. L,7 9) Pa p PP (a+ 2) ( (=—=Y1)? On} K” ——- | UPS P Pi Pa Pr P \ 5 fil (Ya=-7) 05-71)? I Car} (rs—Y) —) ir RE N te 0 C7 | P° Pr À PP: 544 PROBABILITÉ DES RÉSULTATS MOYENS ou bien : DU 125) 7) (U:+72) y CA, —"B; Eee Sd ne QUELS RÉ LR, PPa PiPa + (0, +923)Cya — 71) — (054725) (Ya — 7) F PP: { —7 ; )° 5771 .æœ 397) ee ee \ (+2) (20e 2 bon one L1oe P Pa Pan (Gas ; Ov) [y Fais) 0) + (U,+7y2) — (22 D ———, 2) ( oo a) 1 Pa P (Ce )s } Q-71) ( (Ys—Y1) SL (CA 2 )+ O-73) (3-91) sf 2 Pa P. Pa PP: : Æ Cara) 0) 9 Ga) 1)0 5 T7) PP: PP D'où C,A,°—B,° (U;+7 12) (U;+72;)° (U;+7:2Y © 2 — 2 + — ——— A,° PP: PiPa PP: { (U:+712,)7s—7 r) re (+72); 7) 2, PPa PP: ? (U,+72,)% ss) Ya Y) (U:+72;)(y a: NY 57 2) EE —————— ————— — PP (Y— 7) PP (y —7:) 24 (= ré ee CD re RE roperret nt ‘ P:P PiPa PP (Y — 7%) C,A,°—B, * rs 2, A,° = (U;+712;)° ea (U;+7Z;)" re (U;+7:2,)° A;° Ps PP: PiPa PP: ESA 7 2)0), LU r72)0E à Cet pe) PP: P:P3 PPr z° On + (Y1—7 3)" ne gere Gris Gate Ÿ PP: PiPs P;P PiP: PP: PP: Si l'on pose à présent DES OBSERVATIONS. 545 (5 9) (U:+7,Z,) Fe (U:+7,2) ae (U;+72.) = n, PP: PP PP: (+712) 1) Mu (U;+72,\y:—7) SL (U:+7,2:)@5—Y3:) LsB PP PPa PP: d La Le Gi) Le GX PARLE LOS RAC arr | sn) cd PP: PP PP: P1Pa PPa © PP: : On aura + n° CA, °-B,° Fe n° (Go) — (+) = — (A: —2B + C) 2 A,°A.° Ps 2A,° 5 5 ss 3, Quand on rapproche cette expression de l'expression (55), on voit que lune se compose en z,, A,, A,, B;, Cs de la même manière que l'autre en z,, A,, À,, B,, C.. On peut donc écrire sur-le-champ le résultat de a transfor- mation de z, en 7.. e. n B; (61) Ys — 7 (ass æ) ’ ds; — dy; dans intégrale (58), qui, en supprimant d'avance le facteur Az nA. Ys, se change en (62) TE ‘dy dy ds,dz. …dz, due constant . et écrivant S, pour la série S, transformée en K+S—y y; EE (C, — À) Il est impossible de ne pas reconnaître que les fonctions symé- triques AÀ,, B,, C;, (59) suivent la même loi que les fonctions A,, À,, B,, C.. Il est donc permis de prévoir que la même trans- formation s'appliquera aux autres variables z exactement de la même manière, et qu'on retrouvera successivement des fonctions symétriques de même nature. Mais on sen assurera facilement He 69 ‘ 546 PROBABILITÉ DES RÉSULTATS MOYENS par la méthode bien connue qui consiste à supposer que Ton est, parvenu à Îa forme donnée après (g—2 ) transformations d’au- tant de variables z,, 3,,....3,_,, et à prouver que dans cette hypo- thèse, la transformation de Ia variable suivante z,, donnera pré- cisément un résultat semblable. On admettra que l'expression 2 2 3 9 n° Be (6 3) K,_+S,_—7, EYE Renrerese Y TT STE (c 1 R A q to Ag soit lexposant de e dans l'intégrale Le dydy.dy, dsdau.ds dueR due à (g—2) opérations. I faudra prouver que le résultat d'une nouvelle transformation de z, en y, donnera pour lexposant de e Texpression semblable (6) KES, y Ye —— (c, — +) SR g—1 dans l'intégrale De dy,dy..…..dy,_1dy,dz,.;.… ds due les fonctions symétriques de mêmes dénominations conservant les valeurs : ë n° f2 2° q+ RE n°3 K,-.=— — a +2) =— ——+K,, 2 \PP DiPen Pn 2P4 (65) D, = y, — Vars Ve a — VaSg) Lin = 2,+ qu te +2, =Z,+2,, 2 D viol CHOUE VIE AE ar (6 ' re Ye) Ru di (Yana q—2) PaPsePqx PiPs"Py a PP Pare Pq=s 1! at 2 = 2 pee 2 ar Garner OE Ye), Pyni PiP2- Pons PPasve Pq—e PP: Pons B az UD) 0e 2) (UNE AT CEE =) QE + ——— © ————— P1P-2"Pq—s PPats.Pas het NT ere DURE En à ee DAC mn , PPiPons C., = (Us +72.) dis (Ur + HZ) “e re (Use + Ya=22ar g=1, NT ET JUNE ER 7 ur FE …. TT En PiP3Pqa PP ve Pqns PPrrPons DES OBSERVATIONS. 547 Pour parvenir à cette démonstration, on disposera d’abord séparément dans l'expression (63), les termes de lexposant de e qui renferment 3, et z,, ce qui donnera Ë (66) 2 As 2 Kg, y y — ae — + LEE RRES ue } AE Pa A° ga I ne s'agira plus que de développer la partie multipliée par ne. au moyen des valeurs des fonctions symétriques (65). En voici Îe calcul, Décomposant chacun des carrés contenus dans C,_:, tels que (U,_; +72, ÿ —= (U,+7Z,} — 23, (U,+7YZ,) (% PTS y) de À (Y TT. y} par suite U,+72,)’ U,+7,2,)° U,+-7 40 Ze)" Joue nn" ) RDA HA PAU 3%) PiParr Pays PPa Pons PPi-Pos U,+22,)7,- U,+7,2,)y,—> Ù,+75 227 —7 0 FEV JON) (Us er ER LR 922) =. PiParePq-a PPat-ePqns PP Pons Yy—7)° Pam te Ye)? )2 +2 1e PARENT + Ceres) | J PP: Pos PPar-Pqns PPirPq-s On voit sur-le-champ que 548 PROBABILITÉ DES RÉSULTATS MOYENS 2 (+ 7124) (U5+-75-1 Z5)(9 97 g ) ax Et Ps (c, CE. pp ) di 23,p,. (8, + 1e Ps PPie-Pa_s rs 2 A3 (Vo Yaà Fe q (a CITE, > Pa ? Ps PP Pas CHER (ASS pa) mes ENT) LE NT ER RS PS, P CU, +7 41 252079 —Y 92) ]°? : PP Pa Pan 5’ 2 2 2 2 Z C,,A — À, 2 (A’, — 2B,s,+C,) à An 2 (Unit YarZqn) pa D PE OO ERP Fra PPiPans die ane C et 3.4 CrsS= re chi Le (CEE DUpirepse ppp PP Pas Cr Ag. Biqn CHER A2 2 (67) DRE VO ET =". \ Sy—y? ,— D a YA , dysdys.…..dy,due Re RARE m b Changeant aussi (g—1) en m dans les formules (65), les quan- tités désignées par K,, et Z,, seront nulles, puisqu'on aura em- ployé toutes les variables z, dont elles avaient pour unique objet de représenter des sommes. La quantité U,, sera égale à u. On aura ensuite de 552 PROBABILITÉ DES RÉSULTATS MOYENS Rae Ex)" 5 (—»:)" LS Gn=—Ym)* # DE Pn, PP Pe 0 CNP Pres 1 Ym—y)* Fa Y)e m—Y m1) =D ARS On) On) ER AN ALL 1) | Pn PiP-Pms PPaPms PPr-.Pms de) =} nt mn)e B—=%x —— ) PL LES FLE 2) EN lee de) |, PiPaPmes PPa-Pmi PP 1°Pma : 1 1 1 RP m (C7 + ——| HET P 1Ps%Pm_ PPaPmr PP:-Pms PP; Pr: Partant : u*(n— ) Yn— À m7 : ; En— UE CA sn) [A+ (222 ») té EN HER rires | PP ivPm PPaPms PParPm=s PP re Pmes CAE pr EE si Lu 7 PPPs Pr ASE, 1 —Pn m—})* Yn—;)* 2 2) y, ee (= n ph a NT eme 1) }-=] PP Pme; PPrvPmns Pa-Pm_1 PPaPmi PP Pme w Mais (ny): CYn—=Y 1) CÉRERT FRE + DRE sr AS ET .. or B'_—.! (PPasPmi) (PParPmur) (PP1.Pmes)* £” (y n—Y)Yn==7Y:) (y Y m2 )(Ym—Y mi: ) D — "2, 2 9 —————— \ PP Pmes Pa Pme PP 1e Pm=sP ms PP ar Pmes Effectuant sur les doubles produits le changement déjà em- ployé, on a par exemple 2 (Va Vs) = (9) nn Ÿ ce qui permet d'écrire DES OBSERVATIONS. z 553 B,, 1 m—?)* Xi). (CL nn) Per — Qu P | On’ SLAM OET 1) u PP Po P mx PiPo ot Mi 1 PParPm PP Ps m— 5 M J'1 5 M 2Po ( m— 72)" PE (Yn—Y) Pr api ny 1)"2 y (Yn—=Y)°Pe er CDR AU: (E PiP-3 Pme PPaPm1 PiParPmes PPivPm m—Ym) Ps LE GE (—7:) D On vos) Pas On nd Pre 42 ) PPasPmsPm x PPasPm_a P2PsPmx P:PsPm=x so (ni Yne)" |, LÉ PP sn; Réunissant les termes positifs semblables quant aux fonctions y; et-observant qu'ils sont tous multipliés par p+p;+p; +....+p, à soit par x — p,; que d’ailleurs les termes négatifs sont précisé- ment les termes de A°,, ;, on peut affirmer que Ba, > AP nv)? (C2) (um)? RE RE Ë PP PaPn=s PiPasrPme PPaPmes PP i°:Pm=s Am PP re P ms d Le coeflicient de #? entre parenthèses dans le développement de CA, — B, est donc identiquement nul; et il reste C,An—B,;° un \ RAT NN VON PPT pe La partie de l'exposant de e qui, dans l'intégrale (69), ren- fermait encore À,,_,, B,, C,, se réduit par conséquent à n° 2 a ——— DPP PaPnAm | 2 PmÂm ne V PP n° on aura pour l'intégrale, en continuant de supprimer d'avance les facteurs constants hors du signe JE , appelant c'etc, les limites des, et S,,1 la série des puissances supérieures transformée en £, 70 5. et si l'on fait 554 d PROBABILITÉ DES RÉSULTATS MOYENS 5 Sony 8 —vrore —Ym—t°? (70) Le Eadyudy te y Pour achever l'intégration, il suflira de faire sortir de l'expo- sant {a série $,.., : ce qui donne Jedrdn..dfidte Tr di On devra remarquer alors qu'en intégrant un terme quel- conque par rapport à 7, la grandeur des limites de cette va- riable qui est de l'ordre y x, le réduira à zéro, si l'exposant de y, est impair, et à un facteur constant multiplié par yx, si lexposant est pair et que les limites très-grandés soient de 1 7 (1+S ui nu-tete.) signes contraires. On en conclura facilement qu'après avoir intégré relative- ment à toutes les variables y, il restera ‘seulement des termes en #, ceux qui se trouvaient multipliés par des puissances paires de chacune de ces variables y. L'intégration, par rapport à 4, conduira ensuite à deux sé- 5 dre ME UHIENEUR ries : l'une de termes multipliés par fe, je", dont les coef . Æ 1 > » ficients, étant de l'ordre —— et ses puissances, seront fort ; P ; ñn petits quand on prendra pour # un grand nombre, et c>2, c'>2. On peut donc négliger cette série, dont, au reste, l'analyse précédente est capable de tenir compte. La seconde série se composera de termes constants affectés de f. e ‘dt. En la désignant par T, l'intégrale cherchée, de- vient finalement € 2 (73) (AA Lf. ce‘ dt. Prenant c' ——c, on aura le numérateur de Ia probabilité P. Quant au dénominateur, il faut intégrer l'expression (71), DES OBSERVATIONS. Û 555 pour toutes les valeurs possibles de 4. Les limites qui renfer- ment toutes les valeurs possibles sont y et. y,,, la plus petite et la plus grande des arbitraires y : comme < ELR PY+P 17 LT PeYa tr SPAERl + PmYm U— V 7 2 ñn les Timites extrêmes de « seront ds PQ Y) HP mn V1) He pm (Ym— Ym=i) n , n et l'on aura pour les limites de 4 = pr VE PPT Du me Y21)| D l== \P (VV) Paola) + p(yu—Y)| V DER quantités de l'ordre très-grand y,. On est donc en droit de sup- poser dans Île dénominateur de a probabilité £—+o : ce qui donne pour la valeur de ce terme (pa) T7 et l'on arrive, comme dans les cas précédents, à (72) P — Le f. "dt. C'est la probabilité que la valeur de v est comprise entre les -limites < PAPY et PrIm 4 DPPxParreeePm Am * n n° ’ 70* 555 PROBABILITÉ DES RÉSULTATS MOYENS ou bien que Îa différence entre la vraie valeur de v et la moyenne déduite des observations tombe entre ee V” 2PP ;P3sPn Am ni 2 expression qui, en remettant pour À, la fonction toujours symé- trique que cette lettre représente, prend la forme déjà constatée : (73) 14 2 f 2 2 a . 2 ÆcV {pp Oo) pro) PPT) pv) Si l'on développe les carrés entre parenthèses, on obtient pour un terme tel que pp:(y—,), PPiV +-PPiV si —2PPaVY 1 Il devient ainsi manifeste que le radical renfermant les carrés des différences entre + et les » autres arbitraires, multipliés chacun par les nombres pp,, etc., corrélatifs; le produit d'un carré y par le nombre p, sera multiplié par la somme de tous les autres nombres p;+p:+...+p, =n—p. Les termes de la parenthèse sous le radical (73) pourront donc s'écrire pin— D) +pi(n— V4 +-P7—pa)Vo + —2PPiVY1—2pP3 VV» —2PiPaVi Va. s 2m Dm V m1 Ym ou bien NPV PV PV» ++ Dam) PV PLV Pa Ve +. HD Va — 2PPaV Yi 2PPaVY2—. Ÿ «—2PwP m1 VmVn-1) ‘ qui est évidemment égal à [Le n° PY HP D EP Ye 4 PYÉPIY EPaŸ at EP Y m We / n n } DES OBSERVATIONS. 557 f d’où l'on obtient pour les limites (73) de l'écart (74) vu pie ler in (ere re }| n n n ME Ici figurent seulement la moyenne des carrés des » observations, moins Île carré de la moyenne : c’est la forme que Laplace a donnée pour mesurer les écarts de Ia vie moyenne calculée d'après les âges y, Vi, V, etc., d'un grand nombre d'individus. En appelant w la moyenne, on peut remarquer que PY HP Ye PnYm° ® PV HP Ye Pme Ym? — RU n SE LA PO HU —27 4) Ep (y HU —2y ue). A Pn(Yme 27 m4) | ae —Inju?+2(py+p,;y; Hi. PV n) 4 n PO) Hp a) He pn(y m4) —2nu an u n : Les limites de écart peuvent donc s'écrire également (75) T2 pu) +p 2) +p fr 0) ep (He) |: H n’y a plus sous le radical que les carrés des différences entre chaque valeur ‘y résultant de l'observation et la moyenne de toutes. Laplace a découvert sous cette dernière forme a constante qui mesure les erreurs des résultats moyens des observations as- tronomiques. ‘ L'analyse qui vient d’être exposée ne permet plus d'élever le moindre doute sur l'emploi de cette constante si remarquable. Elle montre que cette quantité est certainement le coefficient com- -plet du premier terme de la série qui exprime Ia probabilité de écart de la moyenne d’un nombre quelconque d'observations, de même que le radical pe sur lequel il n’a jamais été élevé n 558 PROBABILITÉ DES RÉSULTATS MOYENS, ETC. de doute, est le coeflicient du premier terme dans a probabilité de Fécart du rapport réel de possibilité au rapport moyen des répétitions de deux événements qui s’excluent Fun autre. Si la démonstration directe de cette vérité pouvait obtenir le suffrage de l'Académie, peut-être les observateurs feraient-ils plus souvent usage de la règle de Laplace, dont l'exactitude rigoureuse ne paraît avoir été jusqu'ici bien jugée que par un petit nombre de savants. Ce Mémoire aurait alors complétement rempli, dès à présent, l'intention qui l'a fait rédiger, quoïque le défaut de temps n'ait point permis d'en développer les conséquences. MÉMOIRE SUR UNE QUESTION D’ANALYSE » AUX DIFFÉRENCES PARTIELLES. PAR M. JOSEPH LIOUVILLE. Là La question d'analyse aux différences partielles, à laquelle se rapportent les recherches suivantes, peut être utile dans plusieurs théories physiques, et spécialement dans celle de la chaleur. Le titre placé en tête de ce Mémoire montre assez que je veux Îa considérer sous un point de vue purement mathématique, abstrac- tion faite de ses applications. Néanmoins il sera bon d'indiquer en peu de mots la nature des problèmes qui m'ont conduit à m’en occuper. Les lois de la distribution variable ou permanente du calorique, dans les substances solides, dépendent, comme on sait, d'une équation aux différences partielles qu'il s'agit d'intégrer, et d'une ou de plusieurs conditions particulières , relatives, soit à la surface 560 QUESTION D’ANALYSE du corps, soit à l'état initial des températures. Ces conditions dé- finies servent à déterminer les quantités arbitraires introduites par l'intégration de équation indéfinie. Lorsque le système dans lequel la chaleur se propage est placé dans un milieu de tempéra- ture donnée, l'équation relative à la surface a pour coefficient d'un de ses termes le pouvoir rayonnant; et, si l'on veut laisser à la question toute la généralité qu’elle comporte, ii faut regarder ce pouvoir rayonnant comme une fonction connue quelconque des coordonnées de chaque point de as urface; car, en supposant même qu'il s'agisse d’un corps homogène , la quantité de chaleur émise au dehors, par un élément superficiel de grandeur constante, varie, toutes choses égales d’ailleurs, avec le degré de poli ou la colora- tion de cet élément. Lorsqu'on étudie, par exemple, le mouvement de la chaleur dans une barre d'un très-petit diamètre , le pouvoir rayonnant doit ètre regardé comme une fonction arbitraire de labscisse; et si lon remplaçait cette fonction arbitraire par une simple constante, on restreindrait beaucoup l'étendue de la solution. Au reste, dans le cas d'une barre très-mince, l'introduction d’une fonction arbi- traire pour représenter le pouvoir rayonnant, et même pour re- présenter la chaleur spécifique et la conducibilité intérieure, ne complique pas beaucoup les calculs, du moins tant qu'on se borne à établir des formules algébriques, sans essayer de les réduire en nombres. C'est ce que jai fait voir dans un Mémoire présenté, il y a plusieurs années, à l'Académie des sciences; et ce que M. Sturm a prouvé aussi, à peu près à la même époque, par une méthode très-différente de celle que j'ai suivie, quoiqu'elle conduise aux mêmes résultats. Mais, en général, on peut dire que la détermination des lois du mouvement de la chaleur dans un corps solide de forme donnée se complique beaucoup dès qu'on représente le pouvoir rayonnant 2, propre à chaque point de la surface de ce corps, par une fonction quelconque f (x) de Fabs- cisse correspondante à ce point. Aussi voyons-nous que jusqu'à ce Jour les géomètres ont regardé Ia lettre À comme exprimant AUX DIFFÉRENCES PARTIELLES. 561 une constante, même dans la théorie des températures terrestres, où il serait intéressant. d'examiner les effets produits par Îa va- riabilité de k. - En cherchant à résoudre divers problèmes, dans lesquels je regardais la quantité À comme variable, Je suis tombé sur la ques- tion d'analyse aux différences partiefles dont je ferai le sujet de ce Mémoire. Cette question à pour objet de déterminer les coefficients des termes successifs d'une série de quantités périodiques, au moyen d'une équation de condition à iaquelle cette série doit sa- tisfaire entre deux limites données. Une des équations de condition dont je parle est, par exemple, de Ia forme : (A) EA ,mcosmx + f(x)EA,cosmx — F{x), le signe X s'étendant à toutes les valeurs de m exprimées par les nombres impairs 1, 3, 5,... L'équation (A) doit subsister pour toutes les valeurs de x comprises entre les limites x — 0, 72 == : les fonctions f{x) et F(x) sont connues; et il s'agit de déterminer les coefficients A, À;, À,...A,.... Cela serait facile par les méthodes ordinaires, si l'on avait T (x) =cons- tante; mais, quand f(x) est variable, la chose devient plus délicate. IL est aisé de trouver, dans la théorie de la chaleur, un pro- blème qui conduise à l'équation (A). Pour cela, généralisons celui que Fourier a résolu dans le chapitre II de son ouvrage. Ce problème a, comme on sait, pour objet d'exprimer le mouve- ment de Îa chaleur dans une lame rectangulaire infinie. Nous ‘supposerons, avec lillustre auteur, que les deux arêtes paral- lèles et infinies A et C, qui comprennent le rectangle, sont rete- nues, par une cause quelconque, à la température fixe 0°; mais quant à l'aréte transversale B, au lieu de a regarder comme entretenue aussi à une température fixe 1°, nous admettrons qu'elle rayonne dans un milieu dont la température est donnée LA D, 71 562 QUESTION D'ANALYSE pour chaque point, et nous représenterons son pouvoir émissif par une fonction arbitraire variant d'un point à l'autre de B. La lame étant d'ailleurs homogène, si nous plaçons l'origine des coor- données au milieu de l'arête B, et si nous comptons les abs- cisses + le Tong de cette arête, tandis que les ordonnées y seront comptées dans une direction normale à celle-là, il est visible que la température permanente «, qui répond au point M dont les coordonnées sont x et y, sera déterminée par l'équation aux diffé- rences partielles : du du Jo re = dx? dy? En choisissant l'unité de longueur de telle manière que l'arête B, interceptée entre les faces A et C, soit égale à 7 — 3, 14159... T . onaurau — Opourxæ — + 3» puisque les faces À et C sont entretenues à 0° : à cause de l'action de ces mêmes arêtes , Ia por- tion du rectangle située à une distance mfinie de B doit être aussi à 0°. Ainsi on doit avoir # — 0 pour y — + ©. Le long de Farête B, il y a une autre condition définie, savoir : du A : Le kr = h(u— 0), pour y =N0 NC 20 — —sjàxr—=:, les deux quantités positives et # désignant le pouvoir émissif et la conducibilité intérieure, tandis que £ désigne la température du milieu ambiant. D’après nos hypothèses, 2 et ê sont des fonc- tions de +. Nous pouvons donc poser : h k 7 SA (ch #6 TAF (a), et l'équation dont il s'agit deviendra : du = — uf(x)+F(x) = 0. Les fonctions f(x) et F(x) sont jusqu'ici des fonctions quel- eonques; mais, pour plus de simplicité, nous les regarderons désormais comme des fonctions paires de x; en sorte que l'on ait AUX DIFFÉRENCES PARTIELLES. 563 fa) = flo); Er) = F(). La température x sera aussi dès lors une fonction paire de x. Par conséquent , la question se réduit à trouver une fonction paire de + qui satisfasse à l'équa- tion : : du du dx? M paire” . 3 . LA 5 quis'annule, quel que soity, quand æ — 3 et quel que soit æ, quand y = + w; et qui, en outre, lorsqu'on à y — 0, satisfasse à l'égalité : du . . . FT pour toutes les valeurs de x comprises entre les limites o et dE. Or on trouve que toutes ces conditions seront remplies en posant : u = EA,e" cosmx, m étant un quelconque des nombres entiers impairs, 1, 3, 5,...., et À, représentant une fonction de m tellement choisie que, r . . 7 pour Îes valeurs de x renfermées entre les limites 0 et 7 Où ait : (A) ZA ,mcosmx+f(x)ZA, cos mx — F(x). Pour déterminer la fonction inconnue A, dont la valeur de u dépend, il est donc nécessaire de traiter l'équation (A), dans laquelle f(x) est une fonction positive arbitraire de x. Si la longueur de F'arête B, que nous avons supposée égale à 7, était au contraire égale à 27, au lieu de l'équation (A), On aurait à traiter une équation de condition de la forme : NA \ m COS — F(x). NA TX (B) EAP ter 21 + f(x) SA En supposant la longueur /'infinie, transformant les sommes en intégrales, et substituant à la lettre À, une fonction @({B)d8 de La n° 564 QUESTION D'ANALYSE variable _ — 8 à laquelle se rapporte l'intégration, l'égalité pré- cédente deviendra : (C) J'8PÉ)cosbrdi+ f(x) f @(B)cos brdd — F(x). Il s'agira donc alors de trouver une fonction @ (8) qui satisfasse à l'équation (C); et cette fonction une fois déterminée, la tempé- rature # d'un point quelconque du solide sera fournie par la for- mule générale : u = [48 he cos Oxd. Nous avons restreint tout à l’heure la généralité de notre pro- blème, en supposant la chaleur distribuée symétriquement de part et d'autre de Faxe qui s'élève au milieu de Yarête B, normalement à cette arête. Admettons maintenant que cette symétrie n'existe pas. Ïl sera plus commode de placer dans ce cas l'origine des coor- données au point où les deux faces A et B se rencontrent. D'après cela, nous choisirons Farête À pour axe des y, et l'aréte B pour axe des x. L'équation indéfinie, à laquelle la température x doit satisfaire, sera encore : x mais les conditions définies prendront la forme : u — 0 pour æ — 0 et pour NE, u — Opoury = + ©, du . PUR uf(x)+F(x) = 0, pour, y = 0, de x = oùàx = 7. Nous n'avons pas besoin d'avertir que la longueur de larête B est, comme précédemment, représentée par le nombre æ. La valeur de u, qu'on déduit de ces équations, est Ia suivante : u — ZAÀ,e — "Ysimmx, m désignant un quelconque des nombres entiers successifs 1,2, AUX DIFFÉRENCES (PARTIELLES. 565 3, 4,5.....; et À, étant une fonction de m qui doit être telle que, pour toutes les valeurs de x comprises entre 0 et æ, on ait : (D) ZA ,msinmx+f(x)ZA,sinmx = F{x); pour obtenir la valeur de A, et par suite la valeur de «, il est donc nécessaire de savoir résoudre les équations de la forme (D). Considérons actuellement l'état permanent de la chaleur dans un cercle dont le contour rayonne dans un milieu de température donnée; et nous tomberons de nouveau sur une équation sem- blable aux précédentes, quoiqu'un peu plus générale. En effet, soit w|la température fixe d'un point quelconque M du cercle: désignons par r le rayon vecteur OM mené du point M au centre O, et par x l'angle que ce rayon vecteur forme avec une droite OX invariable. L'équation indéfinie du mouvement permanent de la chaleur dans un plan pouvant, comme on le sait, être mise sous Îa forme : É du 1 du 1 du D Se Fute de —= 0, il s'agira d'abord d'intégrer cette équation. Or, si l'on effectue cette intégration, en ayant égard à ces deux circonstances particu- lières à notre problème, 1° que la valeur de # ne devienne pas infnie, quand on y fait r — 0; 2° que cette valeur reste la même quand on y change x en x+27, on trouvera pour lexpression générale de « : u = Er"(A, cos mx +B, sinmx), m désignant un nombre entier quelconque, y compris zéro; et À, B, des fonctions inconnues de #». II reste encore à satisfaire à l'équation relative à la surface, laquelle, en prenant pour unité le rayon du cercle, est de la forme : du ù L k + hu — Ô = pour rbt, devis, ra TT, k et k désignant la conducibilité intérieure et le pouvoir rayon- 566 QUESTION D'ANALYSE nant, tandis que € représente la température du milieu en contact avec la circonférence du cercle. Nous supposerons que ket ê sont des fonctions données de Fangle x, et nous poserons : fl )waq ion ol k / Ë du % en mettant donc au lieu de x et—leurs valeurs dans notre équa- Tr tion définie, elle deviendra: (E) Em(A,cosmr+B, sinmx)+/f(x)E(A, cosmx +B, sinmx) = F(x), et il faudra en faire usage de manière à déterminer les coeflicients Aet B.. Les cinq équations que nous avons dénotées par les cinq premiéres lettres de l'alphabet répondent à un nombre égal de problèmes dont nous allons essayer de donner la solution. Nous traiterons d’abord le problème (A), qui renferme implicitement (B) et (C), par deux méthodes différentes qui nous conduiront aux mêmes résultats. La seconde de ces deux méthodes étant plus abrégée que l'autre, c'est elle que nous appliquerons ensuite aux derniers problèmes (D), (E). IL. PREMIÈRE SOLUTION DU PROBLÈME (A). Soient » un nombre impair quelconque, et À,, A;,, A... A... des coefhicients constants inconnus. Faisons : - A,cosr + A,cos3x + A,cossx etc. — EA,cosmxr, et A,cosx + .3A,C0s3,r + 5A;cos5æ+ ete — ZA,mcosmx. Désignons par F(x), f(x) deux fonctions de æ dont on connaisse AUX DIFFÉRENCES PARTIELLES. 567 . OT - LE XL 0") n À 4 les valeurs depuis x — 0 jusqu'à x — 3 Cela posé, notre pro- blème peut s'énoncer de la manière suivante. PROBLÈME. On demande de trouver la valeur de À,, qui satisfait à l’équa- tion : (A) ZA,m cosmax+f(x)ZA,,cosmx — F(x), pour toutes les valeurs de x comprises entre les limites x —0, Fa Néanmoins, pour rendre cet énoncé plus précis, if faut ajouter les remarques suivantes qui dérivent de la nature même de la question. . 1° Le problème qui, dans le n° 1, nous a conduits à l'équa- tion (A), nous montre que la quantité cosmx est Ia limite vers laquelle tend le produit e"”cosmx quand la grandeur positive y devient infiniment petite. En posant e* — p,p sera un nombre infiniment peu inférieur à lunité, et nous aurons : e7"”’cosmx = p"cosmx. H résulte de [à que si nos séries périodiques devien- nent indéterminées, nous pourrons et nous devrons même en multiplier les divers termes par Îes puissances successives d'une quantité infiniment peu différente de Funité, ce qui détruira fin- détermination. 2° Les deux fonctions f(x), F(x) sont données en ombres finis pour toutes les valeurs de x comprises entre Îes limites T « . . . . . = 0,4 —. Le cas où ces fonctions deviendraient infinies, dans l'intervalle cité, doit être exclu formellement comme con- traire à Îa nature physique du problème qui nous a fourni l’'équa- tion (A). 3° La fonction f(x)-est en outre constamment positive, puïis- 568 QUESTION D'ANALYSE qu'elle exprime le rapport du pouvoir rayonnant à la conduei- bilité. 4° La fonction F{x) peut être indifféremment positive ou néga- : À k nt T tive ; mais nous la supposerons nulle à [a limite + — 35 en sorte : , T = . : - que l'onait F (2) — 0. En effet, le premier membre de l'équation ARE T é - (A) s'annule pour la valeur particulière + — 7: donc on n’ad- : FAN KA ; F- e mettait pas la condition F F) — 0, l'analyse paraïîtrait se con- tredire , puisque Île second membre, ne s'annulant pas pour cette méme valeur, cesserait alors d'être égal au premier. Si Ia fonction f(x) se réduisait à une quantité constante B, l'équation (A) pourrait étre écrite ainsi : SA, (m+Bjcosmr — F(x); et, par la méthode ordinaire, on en déduirait : T 4 2 : À, —= er SA F(x)cosmrdr. Mais cette méthode est impraticable sitôt qu'on cesse d'avoir f(x) = constante. Il faut donc recourir à d'autres procédés. D'abord j'observe que la fonction F(+) qui, par hypothèse, sa- . . °,° LE A = , tisfait à la condition F Ü) = 0, peut être exprimée, entre » par une serie de cosinus, puisque w| 3 les limites x = 0 7.= Ton a la formule connue cd F(x) = À Scosmr fi ?F (u)cosmudu, A m désignant, comme ci-dessus, un nombre impair quelconque. Quant à la fonction f (x), nous pouvons, entre les mêmes di- mites, la développer sous Ia forme AUX DIFFÉRENCES PARTIELLES. 569 f{x) = R,+R;,co52x + R,cos4x +....+ R,cosrx + ou, pour abréger J{æ) = ER,cosnx, n désignant un quelconque des nombres pairs 0, 2, 4, 6,..,etR, étant un coefficient déterminé par l'égalité : R, — 2° f (u)cosnudu, dont Îe second membre doit néanmoins être réduit à moitié lors- que »# — 0. En remplaçant f(x) et F(x) par leurs valeurs dans l'équation (A), cette équation devient (A')EA ,mcosmx + ER,cosnxEA,cosmr — 7 4 pee É Ecosme F(u)cosmudu , et l'on peut s'assurer que, si équation (A) a lieu pour toutes les . LA La valeurs de + comprises entre x = 0,etr= hs elle aura égale- ment lieu quand x se trouvera en deçà ou en delà de ces limites. Tel est l'avantage que l'on trouve à remplacer f(x) et - F(x) par les séries de cosinus équivalentes; et c'est en cela que consiste l'esprit de ces substitutions. Le produit ER,cosnxZA,,cosmx ; qui n'est autre chose que le produit des deux quantités R, + R,cos2r + Rcos4x +... R,cosrr +... et A,cosx + A,cos32 + A;cos5r +...+ A,cosmx +..…., peut être effectué en général. Si l'on fait usage de la formule 5 72 QUESTION D'ANALYSE ex “ © cosmæcosax — +cos(m-+n)r + +cos(m — n)x, on ramène ce produit à la forme AjCOST + 4COS3X + A,COS5T + Etc. On peut donc poser ER,cos2xEA,cosmx — a,cosx + a4C0s37 + 4,C0S5x + etc., et, en effectuant les calculs, on obtient aisément &. = R,A;. + 22 (As + A;) + _— (A; + À3) +... A a ER ASE (AU A) AAA) : R, R, \ as = RoAs + (A; + A3) + (Ag + Ai) + Ces valeurs de a,, a,, a;.... dépendent des quantités A,, A,, A... A. TaIS, pour bien mettre en évidence la loi régulière de leur formation, il convient d'introduire aussi dans le calcul les quantités A_,, ÀA_;, AÀ_,,.. À_,,... Ces quantités n'ont aucun sens par elles-mêmes : voici quelle signification nous leur attribue- rons dans Ia suite. I faut concevoir une fonction @(») telle que l'on ait en général A, = Dm), quand » est un quelconque des nombres impairs 1, 3, 5, A présent, si dans [a fonction analytique @(m), on remplace » par — », le résultat de la subs- titution sera @( — m). Or c'est précisément ce résultat que dé- sormais nous dénoterons par AÀ_,,,en posant en conséquence A, = (—1), A; = Q{—3),.… À, = Q{—m),…… Introduisant dans nos calculs les quantités A_,, A_,,.. A _,.. nous pourrons mettre les valeurs de à, , a,, a... sous la forme » AUX DIFFÉRENCES PARTIELLES. 571 =D ERA (AS TA JEU R. = ÉvRau en shau ax=by+R Ana ab Art A + As) AA) (At As) Sue nina haleine (eos he Cela nbole Ms tunaleiis)ialameé ne » »: + 0 e,% b,, ds, ds... étant exprimés comme if suit : D (AE AN) EUX ART ESA UN À BA AL) Ma Re le An ER, R, s R, b, Æe (Au A 21) 35 (As ne As) (As = A1:)+., DIT SD nil ele et iariqhe estelle cotes Aie Le che echo dalgie ain tel ein sa) |elatas) lasse La loi de formation des quantités L,, b,; D... et a,, 43, a... E] est facile à apercevoir; et l'emploi des signes A;; A_;, etc., n'a pas peu contribué à rendre cette loi évidente. En adoptant pour 4,, a3, a... les valeurs ci-dessus, le produit ER,cosarEA,cosmx, est égal à sa ; COST + 4,C0S3.X + a;COS5T + etc. Si donc on fait, pour abréger, X — bcosr + b,cos3x + b,cos5x +... Y = Ecosmx(R,A,, + et + À,,.) 2e (Au + Ans)te.) m+4 on aura ER,cosnrZA,cosmx = X +Y, et l'équation (A) deviendra (A")JEA ,mcosmx + X + Y => £ Scosmx [: 2 F(u)cosnudr. 72° 572 QUESTION D'ANALYSE Dorénavant, c’est à l'équation (A") que nous nous proposerons de satisfaire. Dans le cas très-particulier où lon a Î (x) — constante, on peut, comme on Ta dit plus haut, trouver par les méthodes ordinaires la valeur de A,, qui satisfait à léquation (A). En examinant attentivement cette valeur, on en conclut par induc- tion que, dans le cas le plus général, où f(x) est une fonc- tion quelconque de x, il doit étre permis de poser A F'RE Ta 2du(Pcosmu + Qsinmu), rÉ o P et @ désignant des fonctions de 4 indépendantes de #», qu'il s'agit de déterminer en sorte que l'équation (A) ait lieu. Toutefois, on pourrait douter à priori de la possibilité d'écrire la valeur de AÀ,, sous la forme précédente; mais comme nous arriverons par notre analyse à calculer P ‘et @, il nous sera facile de vérifier à posteriori exactitude de notre hypothèse. Posons donc | A At = = [du Poosmu + Qsinmu), et voyons sil existe en effet des fonctions de x, indépendantes de », qui, mises au lieu de P et Q, rendent la valeur de A, propre à satisfaire à l'équation (A). Pour cela, calculons successivement, et mettons sous leur forme la plus simple les trois quantités EA,mcosmx, X, Y, dont se compose le premier membre de Féquation (A). En premier lieu, nous aurons = 4 4 . \ LA ,mcosmxr = — Emcosmx Ÿ. 2du(Pcosmu + Qsinmw) ; or il vient, en intégrant par parties , Psinmu 1 pf dp [ Peosmud = — PEUT _n du du m m AUX DIFFÉRENCES PARTIELLES. 27 [E) et m : x Qcosmu 1 dQ Jsinmudu = — —— + = [{ cosmw À du. Si donc on se rappelle que »# est un nombre :impair,, et si, lon suppose les fonctions P et @ assujetties aux conditions P = o pour = =, Q = 0 pourx —: 0, on aura 7 T # tot 2 J.?Peosmadw =), en 2sin nu = du, et | ; à A . 4 £olée ee d J.?@snmudn me = Jrcosmu À du; d'où résulte LA 4 EE dQ 2 dp ZA,mcosmr — = Ecosme “du(cosmy 7 — sim . 0 JA qu Le terme Y est également très-simple à former. En effet, on a Y —= Zcosmr (R.A, + = (As Un A) + te 9 2 (A nus Ans) + ) | Les quantités A, A, Aus Ana etc., se déduisent de l'expression générale de À,,, en donnant à l'indice » une valeur convenable ; et en observant que l’on a cos(m—+n)u + cos(m — nu — 2cosmucosnu, sin(m +n)u + sin(m — nu — 2sinmucosnu, on obtient sans difficulté : A CN 4 APE ATr = sé ?ducos2m(Pcosmu+ Qsinmu) T AustAms = à 2ducosiu Pcosmu+ Qsinmu). T 0 té 574 QUESTION D'ANALYSE Au moyen de ces valeurs, je calcule celle de fa quantité RAS ee A LA ES (A5, et je a trouve égale à LA = re 2du(Pcosmx + Qsinmu\R,+R,cos2u+R;cos4u + etc.) T Si lon se rappelle maintenant que la série R,+R;cos2u + R,cos4u +, est précisément le développement de da fonction f{(4) entre les -, on verra que l'expression précédente se 2 limites — 0, &— réduit à 7 2 f Fdu(Pf{u)cosmu+ Qf(a)sinmu). Par conséquent, on a 7 = = Ecosmæ f/?du(Pf(ucosmu+ Q/{u)sinmu). Calculons maintenant la valeur de X. Or cette valeur, réduite en série, est exprimée par l'égalité X — bicosr+b;cos3r+bicos5r +... Les coeflicients 4, b;, b;....., sont eux-mêmes exprimés par sé- ries. Ainsi d'on,a En mettant pour A,, A, A, leurs valeurs, cette valeur de b, devient b, = =. QdulRssinu +Risins u +Risin5 u + de ). AUX DIFFÉRENCES PARTIELLES, to On trouvera de même Li by — = ‘h 2 Qdu(Rsin m+R;sin3u Risins u +), TT , e 4 5 : ar UE | 1 | mue = fs ?Qdu(Risinu+Rsin3u+R,sins u+..). Si lon multiplie ces valeurs de b1, b,, Bb... respectivement par les facteurs cosx, cos3r, cos5x... , qu'on pourra faîre passer sous le signe, /, puis qu'on ajoute les produits obtenus, la somme ainsi formée sera égale à X. En ordonnant la quantité placée sous le signe /, par rapport aux lettres R,, R;, R,,.., on pourra donc écrire X ainsi qu'il suit : les valéurs de M,, M,, M, Mi. étant: 01#21quor n M, = cosxsinu, M, = cosxsin3u +cos3xsinx, M; — cosæsin5 4 c0s3sin3 4 + cOS5æsinu, -M, — cosæsinTyu + cos3zsin$ pe + C08$.zS/n3 +. Cos7æsinp, she ess éle ee se © + > = + 01e 2e moastohe ofa las el fs 1shogaliatÿ /aiale se 0! se ti En observant, que si, p désigne un nombre: entier ,on.a,€n.gé- néral cosæsin(2p —1)4 +c083rsin(2p— 3) 4 +... cos(2p—1 }rsinu — coszsin{(cos2pxr — cos2pu) cos2r — cos2u ÿ les valeurs de M,, M,,M,, M... se simplifient et deviennent QUESTION D’ANALYSE 576 M cosxsmu(cos2r — cos24) Feu cos2r — cos2y & M cosæsm(cos#r — cos4u) $ cos2r — cos2u 2 M cosrsing(cos6r — cos6u) F4 cos2xr —, cos2k 4 \ cosxsimu(cos8z — cos8u) F 1 Fan cos» — cos2/4 1 tete 'S D. auto oies ot olelors este sie) tiinisle je, lefiere lei » o « esta ses a helene Substituons ces valeurs dans celle de X, et rappelons-nous que lon a ah, Ri + R,cos2r R;icosir etc. fa). = Ri+R;cos2u+R;cos4u + ete; nous obtiendrons A 4 3 Qcosxsinu(f(x) — f(u))du Ki SI T Jo Cos2r — cos2u ou bien, en remplaçant, ce qui est permis, la lettre 4 par la lettre æ, et désignant par Q4 ce que devient @ en vertu de ce change- ment : LH Z Qcosrsinæ(/(x) — f{a)}da gs fa cos2x — cos? La fonction désignée par X est une fonction paire de x, qui +7 Re T er s'évanouit pour æ — —. Entre les deux limites x = 0, x — EL on peut la développer en une série de cosinus d'arcs mul- tiples impairs de x. Et'par la méthode ordinaire on trouve LA T7 £ 16 = T7 @cosusina(f(u) — f(æ))dæ X = — Ecosme /. 2cosmudu f° Acer ON 7? o . o cos2u — cos? Les expressions des trois quantités ZA,mcosmx, X, Y, une fois formées, il faut les reporter dans léquation ( A"). Pour simplifier l'écriture, posons AUX DIFFÉRENCES! 'PARTIELLES. 577 LÉ a + PA(4) Ba BTP e+ fé Q. cosusiiæ(f (= — J{a)) de cos2u — cos2a Vo É — Qf(u); (3 et nous verrons facilement qu'après avoir effectué la substitu- tion dont il s'agit, on peut mettre l'équation (A”) sous Ja forme : 7 Zcosmxr Je Fdu(ÜUcosmu — Vsmmp) — "0. Or cette dernière égalité sera évidemment satisfaite, si les va- leurs de P et Q sont telles qu'on ait à la fois U — 0 et V — 6. Donc la détermination des deux quantités P et Q dépend des deux équations LA 2 App) = ahE se. / Tenue — Oe cos2u — cos2a | ; — Qflu) = 0, 5 . auxquelles il ne faut pas oublier de joindre les conditions définies er Q — 0 pour — 0)! que nous avons supposées Pts en effectuant tout à l'heure une intégration par parties. Les équations auxquelles nous venons d'arriver sont remarquables en ce que la fonction @ se trouve placée à a fois sous un signe d'intégration définie et hors de ce même signe. Plusieurs questions d'analyse élevée mènent à de semblables égalités ; et nous avons'déjà eu occasion d'en traiter quelques-unes lorsque nous nous sommes occupé des différen- tielles à indices quelconques. Lorsque la fonction f(x) est rene à une constante b,. nos équa- tions deviennent s. 53 578 QUESTION: D'ANABYSE dP dQ L a +ôP = Eu}, Er bQ'— "0; il est très-facile de les intégrer, et la valeur de À,,, à laquelle elles conduisent, coïncide, après quelques transformations, avec celle que fournit Ia méthode ordinaire. Mais il est inutile d'entrer ici dans le détail de ces transformations qui n'ont rien ‘de remarquable. Si lon veut vérifier l'exactitude de nos équations en les appli- quant à un exemple, dans lequel f{x) soit une quantité variable et qui, cependant, n'exige pas de calculs compliqués, on n'a qu’à faire f(x) = cos’x, et F(x) — ° As LME Ho > 40? — m°r? 4@? — mr? La valeur de P, différenciée par rapport à 6, fournit celle de Q. Ainsi lon a guet mKoin pa Qu 6 7rE mHsin 20 +2Co7rx 20 41 — mr? Ac? — m7 AUX DIFFÉRENCES0PARITIELLES. 81 Quoïique:la valeur de P ne! soit qu'une intégrale particulière de équation du second ordre qui détermine P,.cette intégrale parti culière suffit pour le moment; carles conditions définies LUS 0,pourm = 2 ou — &, Q@ — 0, pour y = 0 ôu 8 — 0, qui doivent servir à détérminer les deux constantes arbitraires, sont ici satisfaites d’elles:mêmes. La quantité inconnue C, qui reste encore dans nos formules , doit être telle que Von ait ee | sr À Les } } A A SA PE PR 11 Qusinada — C. T HA qu En formant l'intégrale sf 2 Qsinæda )et l'égalant à C, nous dé- terminerons donc cette constante, et nous trouverons \ . mmÛa , T : mHsin (T 20101 ] LU 26 207 | 2 sinadas à 49? — m7? in S'ATUTENT É UM Tneiner Ë mao AT n° HAVE NS miT0400 21 mKsin ? : + id dd Tiberr ; 20 AU 207 f.? sinadeS 2911 tite sl o 40, = mr? æ& étant.ce que devient 8 lorsqu'on |y remplace Hilpar æ, en sorte % dE EE Re. en EP Dee SA que dt = Rix Hirs sin2æ. La valeur de C étant ainsi connue, il'he réste plus rien d'indétertiné dans les éxpressions de P et Q ; et la recherche, de ces expressions est terminée. En général les équations fi. dQ ele né = Qucosusina(f(u) — f(æ))dæ a+ PAR) EE F(a) if 8 RATE Hip cos2u —— c052 ? db 7 …) m Of) 0, 582 QUESTION D'ANALYSE feront connaitre les valeurs de Pet Q, Sous forme finie, toutes les fois que la fraction LA eosusa(/{u) — la) T° cos} — cos2æ pourra être ramenée à la forme Fu (t) + F(n)IL(æ) +... + (U)TT,(&), quelles que soient d’ailleurs les. fonctions F(u), IL(«), ete. En effet, dans cette hypothèse , si lon pose J. 2 Qall{(a)da = C,, f ? Qall(a)da = Ci... LA 3 Qall(a)da = C, on aura Se Pf{u) Fu) — C0) — CU) ui Cu), —— Qf() = 0: du Ces deux équations différentielles -du second ordre sont faciles à intégrer, puisqu'en posant WE id fta)du = 8, et prenant 6 pour variable indépendante, les coefficients des quantités P , Q, et de ATTÉÉES dP d4Q Re s > leurs différentielles D. se réduisent à de simples constantes. L'intégration effectuée ; on déterminera d’abord les deux-cons- tantes arbitraires que cette imtégration introduit, en faisant usage T 9 ’ uw — 0. Ensuite onchässera C;,C,.... C, en ayant égard aux » égalités des , conditions définies P — 0 ,pour # = Q — o pour 1 Qalli{a)da — C,. D Qalli{a)da — C;;.. T 2 Qall,(a)dæ = C, AUX DIFFÉRENCES:; PARTIELLES. 583 et; quand on aura terminé ces calculs d'élimination ; les valeurs de,P et Q en général ne renfermeront plus rien, d'indéterminé. Reste à savoir maintenant dans, quef cas la fraction 4 cosusina((u) —— f(a)) %) coszu — cos2æ Ë ou, ce qui revient au même, la fraction Ad FO 2 A SU fx cos2u — cos2æ © 9 , cos 4. —. cos'æ peut être ramenée) à [a forme citée F,(u)IL(æ&) + etc, Or je’ dis que cela arrivera toutes les fois que f (x) sera une fonction ration- nelle, entière ou fractionnaire de cos?x. Supposons, en-effet, qu’on aît f{u) — __ , it) et fu) dé- signant des fonctions entières de cos’ 4. On aura, en changeant u en:æ& f (a) — Lee Par conséquent, SCA) — f@) Aa) — An) cou — cos f(u)f(a)(cosy—cosx), Pour démontrer la proposition énoncée, il suffit évidemment de-faire voir que la quantité AA) = fa) cosu — cos?a est réductible à la formeŸ,(u)IL(a)+#,(u) IL(a)+....+#,(u)ll,(&). - Or rien n'est plus facile : en effet, la fonction fi(u) f.(&) — fil) f{) étant une fonction entière de.cosu; cos’«, et s'an- nulant quand on a cos’ — cos’«, elle doit être divisible par cos — cos’«, et le résultat de Ia division ne peut se composer que d’un nombre Himité de termes ‘de la forme Acos”?xcos"«. ‘Les équations TT | dQ ; 4 [3 Qucosusina(f(u) — f (x))da 02 + EU) = F(u) — 2 eee mener cos2u — cos2a dP : J ST Qf(u) = 0, 584 #11 IQUESTION: D'ANALYSE ” ! s'intégreront donc, sous forme finie, par notre méthode, toutes les fois que le pouvoir rayonnant f (æ) sera expritné par une fonction ratiannellé quelconque de :cos*x. A: plus forte raison s'intégreront-elles si la valeur de 1 (x) est de la forme fl) = R,+R;,cos2xz +R,cos4x +...+R,cosnr, n désignant un nombre pair ; car le second membre peut être ré- duit à une fonction entière'de cos°x. Maintenant, quelle que soït la valeur de f(x), nous pouvons totijours la développer en série 'et‘poser """ #'# P fx) =R,+R,cos2r +Ricos4x +... R,cosax +.…., En prenant dans le second membre un nombre limité de termes, on aura une première, valeur approchée de f(x) : en da traitant comme si elle était rigoureusement exacte, on pourra donc en déduire aussi des ATEN approchées de P et Q; et il ne restera plus qu'à les corriger par la méthode connue des \ADTDE- mations successives. En résumé, nous sommes parvenu à obtenir, dans tous Îes cas possibles, les valeurs de P'et Q éxactes ou indéfiniment appro- chées, et par conséquent, à trouver la valeur de A,, qui satisfait à équation + r1 dé (A) EA ,mcosmx +f(x)ZA,,cosmx = K(x). (l LA La valeur de A,, est égale à = fs 3 du(Pcosmu - Qsimmy) ; elle s'exprime sous forme finie toutes les fois que: f(x) est. üne fonction rationnelle de cos x. La méthode qui nous a conduit à ces résultats-est directe, mais un peu longue. Quand on examine avec soin la forme des équations qui déterminent P et Q, on en découvre une autre beaucoup plus simple que je vais exposer. AUX DIFFÉRENCES PARTIELLES. 585 d EI. SECONDE SOLUTION DU PROBLÈME (A). — SOLUTIONS DES PROBLÈMES (B) ET (C). Pour satisfaire à l'équation (A), nous remplacerons, comme tout à l'heure, F(x) par son développement, et posant LUPE= = [ ? du(Peosmu + Qsinmp), nous chercherons à détermimer les deux fonctions P et Q@, en sorte que l'on ait 4 FT \ EA ,mcosmx+f(x)EA,,cosmx — — Zcosmar ra ? cosmuF(u)du. a SI nous admettons que P et Q satisfassent aux conditions définies PL= pour RE +, Q = 0 pouru = 0, une mtégration par parties nous donnera de suite T 4 — 4Q s dP mCOSMX = — Ecosme f ? d (cosm — — sin a) EA,mco = du ps MT En désignant par P, ce que devient P , quand on y change % . S . . FT en æ, nous voyons que P, s'évanouit à fa limite x — 3 On peut donc, entre les limites x — 0, x — _ développer P en une série de cosinus d'arcs multiples impairs de x, ce qui donne T 4 CEA LPS —b— Ecosmæ f°? Pcosmudr. TT. o Ÿ 4 On aura de même ÿ: Fe 586 QUESTION D'ANALYSE LA PER : Ecosmx 2p f(ujcosmudy , et il en résulte, en mettant pour P, sa valeur T LA JO Secosmx f 2 Pcosmudm — = Ecosmx J 2 P{(u)cosmudu. T o LA “ # o D'un autre côté, on a l'équation identique T7 A == Ecosmx f°? Qsinmudu — = Ecosmx [7 Q/f (u)sinmudu Ë . ns 1 Q(/(x) — f(u))sinmudu. En fajoutant, membre à membre, à la précédente, on obtient d'une part la quantité A T 4f(&) = 4f(æ RUE _ Ecosmxr % 2 Pcosmudu + Ecosnr “a 2 Qsinmudk, qui, d'après la valeur de À,,, est précisément égale à J(x)EA,, cosmx; et, d'autre part, la quantité LA - Ecosmr A 2 du(Pf{u)cosmu + Qf(u)sinm) += Ecosmx {? Q(f(x) — f (u)jsinmudu, laquelle, par conséquent, doit être aussi équivalente à f(x)EA, cosmx. Après avoir ainsi formé les valeurs de ZA,mcosmx, et de f(x)EA,cosmx, je les ajoute, et en faisant, pour plus de sim- plicité, AUX DIFFÉRENCES PARTIELLES. 587 T X — = Ecosmà f°? du (cosmulP/(u)-+ 7) +sinmu(@f(u) — ©). Y = = Scosmr [3 Q(f(x) — f(u)sinmudu, Je trouve EA,mcosmx +f(x)EA,cosmx — X + Y. En comparant cette équation à celle du problème, if vient T D ; 4 = X + Y — = Ecosmx f ? cosmuF(u)dy. La valeur de X est mise sous une forme convenable; mais il n'en est pas de même de celle de Y. Pour atteindre le but que nous nous proposons, il est nécessaire d'intervertir l'ordre des signes ZX et /, ce qui donne Y — = f Q(f(x) — f(u)\duZcosmxrsinm. Par la méthode connue pour la sommation des séries de sinus, on obtient coszsinu(f(æ) — J (1) CAN ES 5 pe 1e (fix) — f(u))Zcosmrsinmp ni ca et il est bon d'observer que, à cause du facteur f(x) — f(u) qui s'évanouit lorsque + — y, Îa fraction placée dans le second membre ne devient jamais infinie. Je porte cette fraction dans la valeur de Y, et je substitue en même temps à la lettre « une autre lettre æ, ce qui est indifférent. Il vient ainsi Hi Q ,cosxsina( f (x) — f(æ))dæ VA "y CRM Me be) 7 Las T Jo cos2x — cos2a@ 2 714" 588 QUESTION D’ANALYSE Qx “désignant ce que devient @ lorsqu'on y change 4 en «. Mais la fonction Y , ayant cosæ pour facteur, s'évanouit quand T es Li r ZT = >: donc, entre les limites + = 0, x — NS peut dé- velopper cette fonction en une série de cosinus d’ares multiples impairs de æ. La méthode ordinaire, appliquée ici, nous donne 7 4 Q ,cosusina(f(u) — f(a))da 16 — = NW = = Ecosmx f 7 cosmudu f°? T° o 0 et c'est sous cette forme que la valeur de Y doit être employée. Remettons-la en effet, ainsi que celle de X, dans l'équation cos2u — cos2& T XCSEN = = Zcosmae f. ? cosmuF(u)d, et le résultat de la substitution, sera A Ecosmx f. ? du(Ucosmu — Vsinmu) — 0, U et V ayant les valeurs que voici : e 15 ” = Q cosusina( f (4) — f(æ))dæ U = am PJ (u) LE F(u)+= o d cos2u — cos2a M dP nt. + V =, — Eu) Or, ïl est évident que l'équation T Ecosmx f. 2 du(Ucosmu — Vsinmu) — 0, sera satisfaite st U et V sont nuls à la fois. Donc les deux équa- tions U = 0, V = 0, sont celles qui doivent déterminer les inconnues P et @, pourvu qu'on y joigne toutefois les conditions définies AUX DIFFÉRENCES PARTIELLES. 589 T ; P — 0 pour u = -, Q = 0 pour x = 0; ce qui coïncide avec les résultats obtenus dans le numéro précé- dent. Le problème (A) une fois résolu , on en déduit bien facilement les solutions des problèmes (B) et (C). Le premier de ces nouveaux problèmes peut être énoncé comme ceci. PROBLÈME. Soient m un nombre impair quelconque, et À, A,....., A des coefficients constants inconnus. On propose de trouver la va- leur de À,, qui satisfait à l'équation mr MAL (B) EA,, — at CO s— -f(æ)EA, cos = F(x), pour toutes les valeurs de x one entre les limites x — 0, gl La fonction f(x) est essentiellement positive, et nous regar- dons la fonction F(x) comme assujettie à la condition FD) =" 0: Pour ramener ce problème au précédent, il sufhra de poser AT 7 = Y, puis de multiplier par . l'équation (B). Il viendra. ZA .MCOSMy + — A EF) EA,cosmy — 5 =.h F), et cette nouvelle équation devra subsister entre les limites A # . æ = 0,x — +, comme l'équation (A) dont nous nous sommes occupés tout à l'heure. Par conséquent , si nous posons A, — 2 [7 du(Pcosmu - Qsinmy), P et Q devront satisfaire aux deux équations 590 QUESTION D'ANALYSE dQ 2 fat 2 21 +? Pf Se At: es du T L GE T "SMF ES & 722 0 cos2u — cos2a dpt 2 2, en - Ver On les simplifiera un peu en changeant les variables & et 4 en d'autres variables &' et 1’ liées aux deux autres par les égalités Ta Tu. Ts Hana fggià ou, ce qui revient au même, en remplaçant partout « et w par Ta T4 TE = pour limites des intégrales définies. Par ces changements on ce qui exige que lon prenne 0 et /, au lieu de 0 et trouvera 1 2 MT ._ MT, A — = f du(Peos — Qsin a), 21 Pet Q étant deux fonctions de 4 déterminées par les deux équations Qacos Æ sin (fu) — f(æ)) da D AGDE) fe IE L , cos èces > Et Qf(u) —="0, auxquelles toutefois il faudra joindre les deux conditions définies P — o pour = /, @ = 0 pour = 0. En supposant la longueur / infiniment grande, la valeur de AUX DIFFÉRENCES PARTIELLES,. 591 À,, deviendra infiniment petite, et la somme XA,cosmx se = à £ MA transformera en une intégrale. On posera alors — 8, et on regardera Ô comme une variable continue. Puisque laccroisse- ment constant de = est — 2, l'accroissement constant de 8 sera égal à =, et il faudra poser dd — = En faisant ASE Rte NnAX MAT A OS —— se trans- » ZAn a 21 formeront dans les deux ile définies les deux sommes ZA cos mm JS. Posted), f° Be(bcosbedé: et l'équation (B) deviendra J._ 8o(Bcoshedd + f(x) [7 e(bjcoshrdd — (x) Cela posé, proposons-nous le problème suivant. PROBLÈME. Trouver la fonction (8) qui satisfait à l'équation fe 8@(8)cosbxd0 + f (x a (B)cosbxd — F{x), pour toutes les valeurs réelles et positives de x. D'après ce qui précède, fa valeur cherchée de (8) sobtiendra S .« FT ts en divisant par dû ou par à la valeur de A, après qu'on y aura fait — — 6,et / — oc. On aura donc e(8) — = VA du(Pcosul+ Qsinub), et les valeurs de’ P et Q seront fournies par les deux équations 592 QUESTION D'ANALYSE écrites plus haut. Mais, en y introduisant la condition / = , la première de ces équations change un peu de forme. En effet, lorsque / devient une quantité infiniment grande, il est aisé de s'assurer qu'on a Ta cos = sin = 2 at 21 24 "a Tu CPI (UE — &) cos NE 7 COS DT L'équation dont nous parlons devient par conséquent 4 aQa(f( ke) — f(æ))dæ +Pf(H) = Fu)+ = = f Fou 4 ei 1 faudra y TE l'autre équation — — = di Qf(w) ainsi que Îes conditions définies P — 0 pour 4 = æ, Q@ = 0 pour w — 0. Sans qu'il soit nécessaire d'entrer dans de plus grands détails, on comprendra que ces égalités permettent de trouver les valeurs finies de P et @ toutes les fois que fx) est une fonction rationnelle, entière ou fractionnaire, de 2°. Dans tous les autres cas, il sera aisé d'obtenir ces mêmes valeurs par a méthode des approximations successives. IV. SOLUTION DU PROBLÈME (D). Appliquons maintenant notre seconde méthode à la solution du problème (D) dont voici l'énoncé : PROBLÈME. Soient m un quelconque des nombres entiers successifs 1, 2,3, 4,5, et À,, À,, À,, À,,.. À... des coefficients cons- 203 AUX DIFFÉRENCES ‘PARTIELLES. 593 tants inconnus. On propose de déterminer ces HHEPrciente de telle manière que l'on ait EA,msinmx+f(x)>ZA,sinmxæ — F(x) pour toutes les valeurs de x comprises entre 0 et 7. La fonction f(x) est essentiellement positive. La fonction F(x) peut être positive ou négative ; mais, comme Île premier membre s'évanouit pour æ — 0et pour x — 7, nous admettrons qu ’on. a F(0) = o et F(7) — Les conditions F(o) = 0) orÉtant satisfaites, on peut développer F(x) en une série de sinus pour toutes Îles va- leurs de x comprises entre 0 et x. “ développement est de Ia forme ’ 7 Fr) - Esiomx vf sinmuF(u)du. - L'équation (D) devient donc (D ZA ,msinmr+f(x)>ZA,sinmx e 7 . , == Esmmx 14 sinmuP(u)du Pour y satisfaire, nous poserons 2 T . MERE J. | du(Pcosmp+ Qsinmu), P et Q désignant deux fonctions de 4 qu'il s’agit de déterminer convenablement. En intégrant par parties, on a Psmmu fPcosmudun — — = [sinmu du, m J'Asinmudu — — RE += feosmu du; m 5. . 75 594 QUESTION! D'ANALYSE si donc on se rappelle que» est un nombre entier, et si on sup- pose la fonction Q assujettie aux deux conditions Q = o pour u = 0, Q — 0 pour u — viendra 1 s dP J"Peosmudu = — = f'sinmu ad. LA É 1 F dQ JE Qsinmudu — S. cosmu a M et on aura 2 7 dQ : dP A E— = f. dufcosmn — sin me). Cette valeur de A,, nous donne tout de suite 2 1Q EA,mcosmxr —= = Ecosmxr sf dufeosmu = ; dp — Sinmu —). du D'autre part on à = Esinmæ f” du(Pcosmu+ Qsinmyx). Î(x)EA,sinmx — Cette valeur se compose de deux parties que nous allons consi- dérer une après l'autre. La seconde, savoir : — Esiomx vi Qsinmudu, est la plus simple à traiter. Comme la fonction Q est nulle aux deux limites m = 0, = +, et qu'il en est de même du pro- duit Q /(u), il en résulte que si on désigne par A. ce que devient @ en y changeant & en x, on aura AUX DIFFERENCES PARTIELLES. 595 Q; — 2 Esinmxe f "Qsinmudu, é ONE D QAF(E): 1 ? Esinmr f"Qf(u)sinmudu. LE * En multipliant fa première de'ces"égalités par f(x), et’la comparant ensuite à la seconde, on en déduit — -Esinmx À 7 Qsinmudm = Esinmæ f. "Q f(u)sinmudu. L'autre quantité, savoir : PUIS 8 :* w 2 Æ Esinmzx at Por du peut étre mise sous fa forme A 40 | = Esinmx se P /(u)cosmudu +2 [TR (5 — f(u))duËEsinmxcosm : ou bien, en observant que fon a * A ... à sine Esinmrcosmu = $ taie … 2(cosr — cosu) ? sous cette autre forme = Esinmr #7 Pf{u)cosmuduw A Psinz(/ (x) — f ())du “cosr — cosu Le dernier & terme ne change pas de valeur si Ton, remplace la lettre 4 par la lettre &. Eu nommant P, ce que devient, Pen vertu de ce changement, il est égal à | LE 596 QUESTION D'ANALYSE 1 7: P sinx(f(r) — f(æ))dæ one COST — cosæ C'est une fonction de x qui sévanouit, à cause du facteur sinxz, aux deux limites æ — 0, x — 7w,et que par consé- quent on peut, entre. ces limites, développer en une série de sinus. Effectuant le développement par le procédé ordinaire, nous aurons \ de Psinx( J (x) — f(a))da COST — Ccosa 2 NE a | ca P si — f(a))d we 2 Esinmæ “siomadu [7 as S (4) ACCES cos — cosæ La valeur de la quantité = Esinmx À À *Pcosmud, est donc 31 Esinmax fe TP. f (u)cosmudn 2 d : i Læ c er Esinmæ f"sinmudu LEE, Cosu — cosæ et il faut ajouter à cette dernière expression l'expression sui- vante : = Esinne f "Qf(u)sinmndu, pour composer, d'après ce qu'on a vu, la valeur de f(x)ZA,sinmx. Aÿant écrit ainsi, sous forme convenable, cette Valeur et celle de ZA ,msinmx, reportons-les dans l'équation (D'); et cette équation deviendra | AUX DIFFÉRENCES PARTIELLES. 597 - T Esinmx ÿ 2 du(Ucosmu — Vsinmu) = 0, U et V ayant les valeurs suivantes : U — © +Pf(u), du dp 1 pr Pas S(n) — Sade Ve os RO a) Eu) faereren o cosU — cosæ Or il est clair que l'équation du problème sera satisfaite si on a U = 0, V — 0. Donc les fonctions P et Q@, desquelles dépend la valeur de A, qui satisfait à l'équation (D), sont fournies par les deux équations dQ > 2m + P/ (x) == 0, db = ae: (TER) à Fa Pasiou( (y) — f(a)de T 0 cos — cosa k auxquelles ‘il faut joindre les deux conditions particulières : " n Q%= 0 pour u,— 0; Q = o pour w = 7%, que précédemment nous avons supposées remplies. Ces équations s’intègrent évidemment, sous forme finie, toutes les fois que f(x) est une fonction rationnelle, entière ou fraction- naire de cosx; et lorsque cela n'a pas lieu, il est du moins toujours facile d'obtenir les valeurs de P et Q exprimées en séries conver- gentes par la méthode connue des approximations successives. Nous appliquerons nos équations à un seul exemple extrême- ._ ment simple, et quoique, dans cet exemple, la fonction f(x) ne reste pas constamment positive, comme l'exige la nature physique 598 QUESTION D'ANALYSE du problème, nous les verrons néanmoins se vérifier. Nous pose- rons f(+)=cosx,F(x)=sinx+sinxcosx ; les valeurs de P et Q four- nies DE notre analyse seront P — — 1, Q = sing, ainsi quil est aisé de le vérifier par Îa ne dans nos équations. H résulte de à que l'équation EA ,,msinmx+CcosxZ A, SINmx — SINt+SsiInxCosx , doit être satisfaite en posant 2 T : . Mate Se f. dufsinusinmu — cosmu). Or cela arrive en effet, car on déduit delà ZA, sinmx — sinx, EA,,msinmx — sinx, valeurs qui, substituées dans légalité qu'on veut vérifier, rendent les deux membres identiquement égaux. Ve SOLUTION DU PROBLÈME (E). Notre méthode résout aussi Le problème (E) sans que Pon ait à vaincre aucune difficulté nouvelle. Voici comment ce problème doit êtré énoncé. PROBLÈME. Soient m un FA onque des nombres 0,01: 2,8, 52 46t À PHASE Bis Ds Dee mes PAT constants INCONNUS. Li EU se de déterminer ces coefficients de mahière à satisfaire à à l'équation (FE) Em(A, cosmx +B, sinmx) +f(x)Z(A, cosmx +B,sinmx) = F(x) AUX DIFFÉRENCES PARTIELLES. 599 Pour toutes les valeurs de x comprises entre les limites T=—T, LT. x D'après la nature du problème qui conduit à l'équation (E), la - fonction f (+) est toujours positive entre les limites x — — FT, Æ = 7%. De plus, les deux fonctions f{æ), F(x) sont assujetties à satisfaire aux conditions f(x) — f(— RE) UF — x ), Puisque la fonction F (x) prend Ia même valeur aux deux limites *—=—7,x = 7x, on peut, entre ces limites, la développer en une série de cosinus de la forme F(x) = 3a, CT dE (p)cosm(r Ve) le signe Z s'étendant à toutes lès valeurs de m comprises dans fa 1 SÉTIE 07,0 1, ane. of ER désignant l'intégrale définie TE e A ds cos’ mxdz, laquelle est égale à 27 quand » — 0, et seule- —7T ment égale à 7, lorsque » est un nombre entier positif quelconque. Cela posé, je fais A =. du ufr 37 du(Pcosmu — Qsinmp), BURE= "a, JE de du(Psinmu+ Qcosmu), P et Q représentant deux fonctions de m, dont Je pourrai dispo- ser à volonté par la suite, mais que jassujettis dès à présent à ne pas changer de valeur, lorsqu'on y pose successivement 4 — > et — — 7, de telle manière que lon ait P, — P_;,Q, — Q. En intégrant par parties et ayant égard à ces conditions , il vient Aus = sr (sinm é, _. uw — y 0 —) + m B, — JL dufcosm as sin? —) ‘ _JNer y 2 (23 du (129 du Le 600 QUESTION D'ANALYSE Substituant ces valeurs dans l'expression Em(A,,cosmzx +B, sinmæ), on la trouve égale à +7 ë dP vw dQ Ea,, F , de(sinm(x — y) Re cosm(x — y) a) Quant à l'autre quantité f(x)E(A, cosmx +B,,sinmx), il faut y substituer les valeurs primitives de AÀ,,, B, ; et elle de- vient faSa. [7 du(Peosm(e — u)+Qsinm(x — »). Elle se compose donc de deux parties, savoir :. fa, [2 Peosm(x — nde, fase [7 @sinm(x — vide, dont je vais successivement m'occuper. La première peut étre mise sous une forme convenable par fa transformation que voici, Soit P; ce que devient P lorsqu'on y change w en x. Puisque lon a P, — PE (rx), — sut —7),on a aussi P,f(r) = P;f(— 7). Il résulte de là que {a fonction P, est égale à Ia série Xa, 7" Pcosm(æ — du, et que, par conséquent, le produit de f(x) par cette série est égal à P. f(x), c'est-à-dire à AUX DIFFÉRENCES PARTIELLES. 601 +7 Za,, dos Pf{u)cosm(xz — y)du. Relativement à la seconde partie, savoir : +7T . J (x)Za, VA Qsinm(r — p)dy elle est évidemment équivalente à Tr . Za, Fa Qf{u)sinm(r — pdu + [TAF (x) — f(p)Ea,sinm(x — p). —" Il est aisé de s'assurer que q ; Mons sin(x — 4) Za,, Sinm(x NRA cos(x — ) On a donc JA) — F(B)Sansinm(z — ») 1 For Q/ (x) — J (H)sin(x — #)du 2x J —r À — cos(r — pu) ; ou, ce qui revient au même N'An Q{f(x) — f(u))Za,sinm(x — y) 1 Du Q,CJ (x) — f(æ)}sin(x — a)dæ 1 9x J —7 — cos(r — «) Q désignant ce que devient Q lorsqu'on y change # en &. Le second membre de léquation que nous venons d'écrire étant considéré comme une fonction de x, on peut constater que cette 5. 76 602 QUESTION D’ANALYSE fonction donne le même résultat, quand on y pose x = 7 et quand on y poseæ — — 7. Rien n'empêche, par conséquent, de la développer en une série de cosinus sous la forme ee x Qu(f(u) — f(@)}sin( — a)da _ Za, 4 ai COS (x == u)dp 8 MN ET, | Telle est la quantité qu’il faut ajouter à a, [2 Qf{usinm(x — )du, et à a, 44 ve f{u)cosm(x — pd, pour former la valeur complète du terme f(x)E(A,, cosmx + B,, sinmx). Reportons à présent dans l'équation (E) cette valeur ainsi que celles obtenues tout à l'heure pour F{x) et pour Zm(A,,cosmx + B,sinmx). Le résultat sur lequel nous tomberons sera de Ja forme Za,, [LT dutUcosm(x — a)+Vsinm(x — y) = 0, U et V ayant les valeurs suivantes : U = — + P fl ) — F(p) 2% É +r Q (Ju) —f(æ)}sin(u — a)dæ 97 ———————— 1 — cos(u — «) Pi Vo = +Q f(x) Les équations U — 0 V — 0 sont donc celles que l'on de- vra traiter pour obtenir les valeurs de P et Q , en ayant soin toute- fois d'y joindre les conditions définies P; = P, Q = Q +. AUX DIFFÉRENCES: :PARTIELLES. 603 Si nous supposons qu'on ait par exemple f(#) = cosu, F(u)—=—sing(1 + cosy), bien que la valeur attribuée à la fonction f(x) soit étrangère à la question du mouvement de la chaleur, dans laquelle le pouvoir rayonnant est nécessairement positif, les équations U — 0, V — o nous conduiront à des résultats exacts. Nous trouverons Q — 1,P = — sing, valeurs faciles à vérifier, et qui donnent À, — 0, quel que soit m, puis DB 10,0, B— 0.8. 0, Ces valeurs de À,,, B, doivent donc rendre identique l'équation Em(A,,cosmx + B,, sinmx) + cosxE(À,, cosmx+B sin.r) m = — sinz(1+cos.r); et c'est ce qurarrive en effet, Les équations U —0, V — 0, s'intégreront sous forme finie, toutes Ies fois que la quantité NE 1 (Fu) — f(a)ysm(u — x) APE TETE E ES pourra être ramenée à Îa ‘forme X = F(u)L(a) + (u)L(e)+:..+%,(a),(&), quelles.que soient, d’ailleurs des. fonctions Fu), IL(æ), etc. ; car alors, en posant JL @am(a)da = CG, [7 QaM{a)da = Ca... 4 Qall,(æ)da — C, , elles deviendront = — Pf(e)+F(p)— Ce) — CFi(p) =. CF (p) = 0, + @ f (a) = 0. 76" 604 QUESTION D'ANALYSE En divisant ces équations par f (4), puis faisant f° = f (u)dy — Ô,/f (u)jdu — db, et prenant 8 pour variable indépendante, on n'aura plus à traiter que deux équations linéaires simultanées dans lesquelles les variables et leurs différentielles seront affectées de coefficients constants. L'intégrale complète de ces équations ren- fermera deux arbitraires que lon déterminera à l'aide des condi- tions définies P; — P_;, @& — Q_- : elle renfermera en outre les » constantes C,, C...., C, dont on calculera les valeurs à l'aide des égalités JL @aïl{(a)jda = C, [7 QarL(a)da = C,…. JL" @a(a)de = C,, et, ce calcul une fois effectué, les valeurs de P et Q ne renferme- ront plus en général que des quantités connues. Je dis maintenant que X se ramènera à la forme indiquée, toutes les fois que f(x) sera une fonction rationnelle quelconque de sinx , cosx, c'est à dire toutes les fois que on aura ? ___ Az) +f()sinz NS fix), fx), fx) désignant des fonctions rationnelles et entières de cosz. En eflet, il viendra dans cette hypothèse s, ea sin(u — à) (a) fa (a) (4) 4 (osnu—/,(e) f(H)sine 7 1 —cos(u — a) 27 fa). f;(&) Mais on a sin(u — &@) __ sinw+sinæ 1 — cos — @) cos — cosu La valeur de X est donc composée de deux parties distinctes que Je désignerai par X,, X,, et dont voici les valeurs : AUX DIFFÉRENCES PARTIELLES. 605 . : AW) — fa)f, (4) X, — (sine + sinæ) MIEL Ed AE) Sang — J,(a) f (sine | fr X, — (sing+sinæ + y ) 2r(cosæ — cos) or, Je puis prouver que chacune des deux quantités X,, X, est réductible à la forme Ei(e)LL(e) + (u)T Le) +8... F(&)IT,(æ). Cela est presqu'évident pour la fonction X,.: en effet le numé- rateur f(x) f(&) — fi(æ) fau) étant une fonction entière de COS&, cosu, et S'annulant quand on a cos& —cosu, ce, numérateur doit être divisible par .cosa —.cosx; etil est clair que fequotient ne peut se composer que d’un nombre limité de termes de la forme Acos’ucos!«. Quant à la fonction X,;, en effectuant les calculs indiqués, je trouve x, — AW) ()snu — f,(@)f (usine fre 27(cosæ — cos) AG) — Ja) f (4) + SIndSin x 2a(cos& — cos) La fraction Su) fa)sinu — f,(à) f(u)sinæ 27(cost — cosu) est égale à AP (aXA — cou) — f(a) f{w)(1 — costæ) 27(cos& — cosu) son numérateur est donc une fonction entière de cosæ, cosy : puisque cette fonction s’annule lorsqu'on pose cos — cosu, elle doit être divisible par cosæ — cosu, et le quotient ne peut se composer que d’un nombre limité de termes de la forme 606 QUESTION D’ANALYSE, ETC. Acos” ucos'a. Il en est de même, par la même raison, de la fraction JA) fe) — Jia) fu) cosd — CoSu Donc les valeurs de X,. X, et par suite de X se réduisent à la forme Y(u)TL(æ&) + Fu)T(a) +....+ Y(u)TT,(æ); donc aussi les valeurs de AÀ,,, B,, peuvent étre calculées, sous forme finie, de manière à satisfaire à l'équation (E), toutes les fois que f (x) est une fonction rationnelle, entière ‘ou fraction- naire, des deux quantités sinx, cosx. La méthode très-simple dont nous avons fait usage pour résoudre Île problème (A) s'étend d'elle-même, comme on voit, au problème plus compliqué (E). Et cette méthode peut être regardée comme générale pour toutes les questions du genre de celles que nous avons traitées dans ce mémoire. RECHERCHES ANATOMIQUES ET PHYSIOLOGIQUES SUR L'ORGANE DE L’OUIE DES POISSONS; PAR M. G. BRESCHET. Si l'étude de la structure de l'organe de l'ouïe, chez les pois- sons, présente de grandes difficultés, elle donne en récompense des résultats aussi nombreux que variés. Dans aucune autre partie de {a chaîne animale, on ne trouve autant de différences dans Îa disposition des. éléments qui composent l'appareil de Yaudition. Aïnsi, soit qu'on examine les osselets du tympan représentés, suivant quelques anatomistes, par les pièces oper- culaires, soit qu'on considère les vestiges du tympan lui-même, soit enfin que lon étudie les connexions de la vessie natatoire avec les cavités labyrinthiques, constamment on découvre chez les poissons des variétés multiples dans eur structure et leur arrangement. Le mémoire que je présente aujourd'hui à l'Académie n’est qu'un fragment d'un travail dont je m'occupe depuis longtemps ; mais j'ai cru convenable, dans les circonstances présentes, de faire connaître quelques-uns des résultats de mes recherches, et de 608 RECHERCHES ANATOMIQUES préférer pour mes premières lectures la communication de faits nouveaux d'anatomie comparée, plutôt que des communications, déjà si fréquentes, de travaux spéciaux sur la chirurgie, comme je me le proposais d'abord. Je m'arréterai particulièrement sur la description de l'oreille de la famproye marine, sur celle de l'esturgeon et sur celle de l'alose. Le premier de ces poissons a appelé plus spécialement mon attention par la différence de structure qu'il offre avec celle des autres poissons, Car par sa simplicité, oreille de la lamproye se rapproche beaucoup plus de celle de quelques crustacés et de plusieurs mollusques céphalopodes, que de l'organe de l'ouie des autres poissons, Une seconde cause par laquelle j'ai été porté à faire ces recherches, c’est la dissidence d'opinions des anatomistes sur l'existence ou l'absence des canaux demi-circulaires dans l'oreïlle des lamproies *. 1 « L'oreille est contenue, de chaque côté, dans des cavités particulières, qui font saillie «en dehors et en arrière du crâne. Nous avons reconnu dans ces cavités des canaux demi- «circulaires; maïs nous n'avons observé aucune partie dure où amylacée, comme chez les “autres poissons. » (M. C. Duméril, Anatomie des lamproyes, page 130; Paris, 1800.) «..... Situm nempe ad latera occipitis, tubera format duo undique clausa; aperta « cavum ostendentia vesiculam continens, quæ, aqua et pulpa nervea repleta, Zaprllo planè «caret. Etsi canales inventre non potut, tamen eos absentes non credo, cùm constantissimi “sint, et exemplaria, quæ examinanda habuiï, diu spiritu vini adservata, difcilius accura «tam minutiarum talium disquisitionem permiserint.» (Chr. ed. Pohi, Expositio generalis anatomica organt auditus, etc.; Vindobonæ, 1818, p. 8 et 9.) « Petromysontes fluviatiles æque atque marini vestibulo cartilagineo à cavitate cranii se- « parato præditi sunt, canalibus vero semicircularibus tam cartilageneis quam membrana- «ceis, lapillis vestibulo aut sacco inclusis, adituque auris externo planè carent. Vestibufum “eorum membranaceum in plures cellas divisum est.» (Ern. Henr. Weber, De aure et auditu hôminis et animalium.Lipsiæ, 1820, pag. 129.) « Les famproïes nous offrent subitement une oreïlle beaucoup plus simple que tous les “autres poissons. Le labyrinthe est encore contenu dans une loge particulière creusée dans «la paroi du crâne, à peu pres comme dans Îes autres dermodontes, avec cette différence, s qu'une partie de la cloison interne est membraneuse, comme dans Îes chimères; cette ca- « vité ovale est entièrement tapissée par un vestibule à peine divisé en deux ou trois loges « par des rcplis membraneux, et qui n'offre aucune trace de sac proprement dit, ni même de « canaux semicirculaires. Sa surface interne est revêtue par une masse pulpeuse, formée, “en grande partie, par Île nerf auditif, maïs sans trace de matière crétacée. » ( De l’organi- SUR LA STRUCTURE DE L'ORGANE DE L'OUÏE. 609 L'esturgeon, placé parmi les poissons dont les branchies sont libres, présente dans Tappareil operculaire des modifications sous le rapport du nombre des pièces osseuses et sous celui de {a situation et de la direction de ces pièces; mais ce qui a frappé -surtout mes regards, c'est qu'indépendamment de cette plus grande simplicité dans lopercule, le tympan existe à l'état rudimentaire. En dehors de fa cavité du labyrinthe, j'ai découvert une petite pièce osseuse que je considère comme l’ébauche d'un osselet du tympan, et particulièrement de 'étrier qui, comme on le sait, est la pièce qui disparaît la dernière dans les autres familles des ani- maux vertébrés. Enfin, ainsi que la fait E.-H. Weber en Allemagne, jai étudié les connexions de la vessie natatoire avec l'organe de l'ouie, et j'ai reconnu que ces recherches ouvraient une carrière des plus fécondes pour l'étude de la structure de l'oreille, Tous les clupes que j'ai pu examiner n'ont donné des résultats ana- logues; mais c’est surtout dans l'espèce dont les dimensions faci- litent le plus Îles investigations anatomiques , que je me suis arrêté, et je donne ici le sommaire de mes observations. Si ce genre d'étude est accueilli par l'Académie, je lui ferai connaître plus tard des travaux analogues que fai entrepris sur les autres parties des appareils sensitifs et sur le système osseux des poissons. sation des animaux, ou Principes d'anatomie comparée, par M. H. M. Ducrotay de Blam- ville, page 564; Paris, 1822.) IL'est étonnant que M. Rathké, dans Ja monographie qu'il a donnée de Ia prèchka, ne dise rien touchant les canaux semi-circulaires et la matière amylacée; il se borne, à cet égard, à ce que rapporte E.-H. Weber, et en adopte conséquemment l'opinion. I ajoute que l'organe auditif de ce poisson est aussi simple qu'il puisse l'être, et qu'il se montre de beaucoup inférieur à ce qu'il est dans les autres poissons, et même dans les. écrevisses. IT dit aussi que le nez des Jlamproïes tient Iieu de trompe gutturale : par cette circonstance, l'appen- dice nasal de ces poissons devient l'analogue de Ta vessie natatoire des poissons osseux, vessie qui, comme E.-H. Weber nous l'a fait voir, est aussi, chez beaucoup {de poissons, dans Te rapport Ie plus intime avec l'oreïlle. Bemerkungen ueber den innern Bau der Pricke oder des Petromyson fluviatilis des Linneus. Von H. Rathke. Danzig, 1826. 610 RECHERCHES ANATOMIQUES CHAPITRE F°. DE L'ORGANE AUDITIF DE LA LAMPROIE ( Petromyson maximus, L.). 1° Nerf acoustique’. M part, sous forme d’un paquet de fibrilles courtes et déliées, des côtés du bulbe rachidien, et pénètre pres- que aussitôt dans le vestibule par une membrane criblée. Immé- diatement après son entrée dans Îe vestibule il se termine d'une manière subite; il est comme tronqué, et je n’en aï pas vu partir de petits filaments pour aller se distribuer dans le reste du ves- tibule. 2° Les canaux semi-circulaires sont nuls; point de plis non plus, et ce que lon voit au dehors, et qui en impose pour de semblables canaux, n’est qu'une traînée de graviers (otoconies ) très-fins et déposés sur la face interne du vestibule membraneux ; au microscope on distingue très-bien que ces graviers sont de très- petits cristaux. (Voy. pl. L fig. 1, 2, 6.) 3° Le vestibule membraneux présente en petit la forme d’une châtaigne, avec un pédicule qui n’est que l'insertion du nerf acous- tique, pouvant facilement être retiré de sa boîte cartilagineuse et examiné sous le microscope. Il est rempli d'une humeur limpide ; ses parois sont assez résistantes, lisses à leur surface externe, cou- vertes immédiatement de graviers fins; comme je l'ai déjà dit, ce gravier, ou du moins la place qu'il occupe, peut être distingué au dehors par des stries blanchâtres et opaques. Ces stries en ont sans doute imposé pour des canaux semi-circulaires. 4° L'aqueduc du vestibule, que plusieurs auteurs ont nommé fenétre, et que d'autres ont regardé comme un orifice destiné au passage des vaisseaux, s'ouvre dans la cavité cränienne, comme ? En commencant cette description, je dois dire que j'ai le plus souvent employé, pour désigner les parties, Îes dénominations données par M. E.-H. Weber. + aie SUR LA STRUCTURE DE L'ORGANE DE L'OUIE. 611 dans tous les animaux supérieurs, et il est situé immédiatement au-dessus de l'orifice destiné au passage du nerf acoustique. 5° ASinus accessoire de l'organe olfactif. Ce sinus se prolonge sous Îa cavité crânienne où il offre une dilatation; la paroi cartila- gineuse qui le sépare de a cavité crânienne est très-mince: il n'y a point d'orifice de communication entre ces deux cavités, maïs les vibrations sonores peuvent être très-bien transmises de lune à l'autre, Le sinus en question, quoique paraissant n'être qu’ac- cessoire à la fonction de lolfaction, est pourtant nécessaire à l’exer- cice de cette fonction. Comme la cavité olfactive ne communique point avec Île pharynx, et qu’elle ne forme qu'une espèce de sac, les particules odorantes ne pourraient point y passer et repasser sans cette arrière-cavité qui, en se vidant et se remplissant alterna- tivement, fait constamment parvenir dans l'organe olfactif des par- ticules odorantes nouvelles. Elle fait à l'égard du nez ce que le pour mon fait à l'égard du même organe dans les animaux supérieurs. (Voy:pl. I, fig. 1, 5.) La transmission des vibrations sonores a principalement lieu, Je crois, par les branchies dont la cavité parvient jusqu'auprès du vestibule cartilagineux; en voulant écouter, l'animal doit dilater ses branchies. ( Voy. pl. L fig. 1, 0, 0. ) CHAPITRE IL DE L'ORGANE AUDITIF DE L'ESTURGEON ( Acipenser sturio, Le). L’organe de Vouïe, dans lesturgeon, est assez simple, et se rapproche, pour sa conformation générale, de ce qu'on observe dans la plupart des poissons; il est remarquable par sa grandeur et Surtout par l'étendue des canaux semi-circulaires; mais ce carac- tère, comme on sait, appartient à tous Îles chondroptérigiens. ILest dépourvu de toute communication avec le dehors et de tout appareil de perfectionnement ; cependant Jy ai reconnu un vestige d'osselet, un rudiment d'étrier, comme il sera dit plus bas. Wire) 612 RECHERCHES ANATOMIQUES Nous aurons à examiner successivement dans cette oreille, 1° le bulbe auditif (sinus utriculosus et sacculus ); 2° lappareïl des canaux semi-circulaires; 3° le nerf acoustique; 4° le petit osselet ; 5° un ligament qui sert à fixer Foreille, (Voy. pl.H, fig. 9; pl. IF, fig. 3, fig. 1, 2.) 1° Bulle auditif, vestibule membraneux, etc. Ces termes, exprimant la même chose, peuvent être employés indistinctement pour désigner cette partie de l'organe auditif qui représente une espèce de poche, située au-dessous des canaux semi-cireulaires, et contenant des concrétions pierreuses. Le saccule est oblong, légèrement comprimé latéralement, dirigé d'avant en arrière, long de six à huit lignes, large de trois à quatre, logé sur les côtés de la base du crane, dans un enfoncement creusé dans la substance cartilagineuse, et qui n'est pas tout à fait rempli par le saccule. IL correspond, par son côté interne, à {a portion dure de la septième paire de nerfs, laquelle est immédiatement appliquée contre Îui d'avant en arrière : il est encore en rapport, par cette même face, avec la branche postérieure du nerf acoustique; enfin ce côté interne du saccule est caché par une sorte d'expansion ligamenteuse séparant l'organe auditif de la cavité crânienne, et destiné à fixer organe de Touïe, comme nous le dirons plus bas. Le côté externe du saccule est appliqué contre la paroi externe de la cavité crânienne (vue sur le squelette), et ne pré- sente rien de remarquable. La face inférieure ne repose pas tout à fait sur la base du crâne ; elle est arrondie, convexe, en contact postérieurement avec le petit osselet. Supérieurement, le saceule prend'plus purtichiièresient lenom de sinus median où sinus utriculeux (sinus utriculosus ); 4 se continue avec l'appareil des canaux semi-circulaires; mais, entre lui et ces derniers , il y a un étranglement, un rétrécissement, sur- tout très-prononcé en arrière; établissant une limite naturelle entre ces deux parties. Ce rétrécissement n'a que la moitié de la Jon gueur, SUR LA STRUCTURE DE L'ORGANE DE L'OUÏE, 613 environ, du saccule; c'est à cet endroit que l'organe auditif est affaissé ; les deux parois du vestibule membraneux étant appliquées lune contre autre. C’est donc un passage entre deux cavités plus étendues, et comme ce passage correspond à la partie antérieure du Saccule, il se trouve que celui-ci fait une sorte de cul-de-sac en arrière, Île passage en question s'ouvre immédiatement dans Ja partie inférieure du sinus utriculeux qui est très-vaste, Les parois du saccule et du sinus median sont formées, comme celles de tout le bulbe auditif membraneux, d’un tissu particulier, transparent, nullement fibreux, se rompant avec assez de facilité et d'une manière irrégulière ; c’est comme du tissu corné extrêmement mince, membraniforme et ramolli. Dans l'intérieur est contenue une humeur claire (endolymphe), plus dense que l'eau (albumi- neuse sans doute), et c'est dans cette humeur que nagent deux otolithes, Tun antérieur plus grand, et l'autre postérieur plus petit. Le grand a plus de quatre lignes de longueur et deux demi- lignes de largeur; il a une surface léoèrement concave, su- périeure, et l’autre convexe inférieure; il offre un corps et une espèce de tête; le corps est ovoide, la tête est un tubercule appliqué à l'extrémité antérieure du corps, ct pourvu tout autour d’une série de rayons concrets extrêmement fragiles. Le petit otolithe est assez arrondi, a une ligne de diamètre à peu près, offre une surface légèrement concave et une autre qui est un peu convexe. Ces deux lapilli sont d'un beau blanc ; leur substance est dure, rayonnée au dehors, cassante comme toutes les concrétions inorganiques, et formée, en majeure partie, de carbonate de chaux. (Voy. pl. I, fig. 10.) 2°: Appareil des canaux semi-cireulaires. Les trois canaux semi - circulaires se rendent, par leurs six extrémités, à une espèce de poche commune, qui est le sinus médian. Celui-ci se trouve immédiatement au-dessus du saccule, dans une posi- tion verticale; les parois qui le forment ont la même structure que celles de ce dernier, mais ces parois sont appliquées l'une contre 614 RECHERCHES ANATOMIQUES l'autre, ou du moins très-peu distantes, de sorte que le sinus paraît aplati; sa forme est triangulaire, mais ses angles sont obtus; un est supérieur, l'autre antérieur et le troisième posté- rieur. Le sinus médian est appliqué contre la paroi externe de Ja cavité crânienne { considérée sur le squelette ); sa face interne est en grande partie couverte par le ligament dont il a déjà été ques- tion plus haut; sa base est en rapport avec le saccule qui s’y ouvre; ses deux bords latéraux sont concaves, et servent à compléter les cercles que forment les canaux semi-circulaires antérieur et posté- rieur. L’angle supérieur, qui est très-obtus, reçoit les deux extré- mités non renflées des canaux antérieur et postérieur; Tangle antérieur (et inférieur) recoit les extrémités ampoulées des canaux externe et antérieur ; l'angle postérieur (et inférieur) reçoit l'extré- mité renflée du canal postérieur; à la face externe de cet angle, on voit l'extrémité non-globuleuse du canal externe, qui vient se rendre dans le sinus médian : celui-ci a un pouce d’étendue, de- puis sa base jusqu'au sommet, et autant depuis l'angle antérieur jusqu’à l'angle postérieur. La cavité du sinus utriculeux ne contient qu'une petite quantité de liquide ( exdolymphe ), qui est de même nature que celui du saccule; ce liquide existe surtout inférieure- ment. Cette cavité communique avec les extrémités des canaux semi-circulaires. Les canaux semi-circulaires, proprement dits, circonscrivent un grand espace, comme je lai déjà exprimé. Ils se distinguent en antérieur, en postérieur ( verticaux ) et en externe ( horizontal). Chacun est pourvu d’une ampoule à lune de ses extrémités; deux de ces ampoules sont antérieures (celles des canaux externe et antérieur); la troisième est postérieure (celle du canal posté- rieur ) : ces trois canaux sont logés dans des cavités du tissu cartilagineux plus grandes que ne l'exige leur volume. L’angle antérieur du sinus utriculosus offre, à l'endroit où les deux ampoules se réunissent, un renflement qui ne se trouve pas à l'angle postérieur. Ce renflement ampulliforme reçoit son filet nerveux, mais il ne contient point d'otoithe; je n'y‘ai observé SUR LA STRUCTURE DE L'ORGANE DE LOUÏE. 615 que quelques flocons de substance amylacée ; j'ai aussi observé la même chose dans l'ampoule postérieure; les ampoules ne sont pas bien développées en proportion des canaux demi-cireulaires ; elles ne sont pas non plus bien tranchées. (Voy. pl. E fig 9; pl. IE; pl UE, fig. 1, 2.) 3° Nerf acoustique. Ce nerf tire son origine du côté du bulbe rachidien , entre 1e nerf de la cinquième paire et le nerf vague : il se divise bientôt en deux branches, dont l'une est antérieure et l'autre postérieure; cette division a lieu à quelques lignes derrière le trou pour le passage du nerf de Ia cinquième paire : les deux branches sont aplaties et appliquées contre la paroï du crâne. La branche antérieure est un peu plus forte que l'autre; elle est aussi plus courte, parce qu’elle a un moindre espace à par- courir : elle se dirige en dehors, en arrière et un peu en haut, et se partage en trois rameaux, dont l'antérieur gagne l'ampoule du canal semi-circulaire du même nom; le moyen se rend à lampoule du canal semi-circulaire externe; le rameau postérieur, enfin, se rend au renflement ampulliforme dont il vient d'être question. ( Voy. pl. L, fig. 9, #, 7, m; pl. IL, fig. 1, t; fig. 2, 2.) La branche postérieure du nerf acoustique est un peu plus grêle que l'antérieure; elle est beaucoup plus longue, et se porte directement d'avant en arrière, en passant à côté et au-dessus de la portion dure de la septième paire. En arrivant sur Îa face in- terne du saccule, elle fournit à celui-ci une grande quantité de petit filets qui s'épanouissent tout autour des otolithes (lapill) ; ensuite elle fournit un rameau plus considérable qui va plus loin que le saccule, passe sous l'angle postérieur du sinus médian, et se termine à ampoule postérieure. La portion dure n’a aucun rapport direct avec l'organe auditif. 4° Petit osselet. À la partie postérieure et inférieure du sac- cule, entre celui-ci et la cavité crânienne, se trouve un petit osselet long d’une ligne et demie, formé d’une tige et d’une sorte de renflement ou de tête. Par sa tige, 'osselet tient à la paroi car- 616 RECHERCHES ANATOMIQUES tilagineuse du crâne; par sa tête, il est appliqué contre le saccule. Cette tête est munie, sur un point de sa circonférence , d'une petite saillie, de la même manière que la base de l’étrier chez les oiseaux. La tige est fixée à la paroï crânienne par une petite bride ligamen- teuse, de telle manière qu'elle permet des mouvements. La direc- tion de losselet est oblique de haut en bas, du dedans au dehors et d'avant en arrière ; il se trouve sous l'endroit par où passe le nerf de la portion dure ; s'il était prolongé jusqu'au dehors, if viendrait aboutir derrière et au-dessous du point où l'appareil operculaire est articulé avec la tête, c'est-à-dire à l'endroit où devrait se trouver le tympan, sil y en avait réellement un, Cet osselet est formé d'une véritable substance osseuse et non d’une concrétion calcaire comme Îles otolithes ; il est même très-dur. On connait la dureté des osselets de louïe des animaux supérieurs; c'est même là que lossification se manifeste d’abord et se développe Ie plus vite. Cet osselet est, à mon avis, un rudiment de ce qu'on nomme l'étrier, et cette manière de le considérer devient d'autant plus frappante de vérité, qu’on a plus d'égardaux transformations suc- cessives qu'éprouvent les osselets de Touïe, depuis les mammifères jusqu'aux poissons exclusivement. Chez les oiseaux, en effet, les osselets sont déjà presque réduits à ce qu'on nomme l'étrier, car la petite pièce cartilagineuse qui surmonte l'étrier ne représente plus très-bien ni le marteau ni lenclume; il n’y a d'osseux que létrier, et celui-ci même ne se présente plus que sous [a forme d'une tige terminée par une base, laquelle est en contact avec le vestibule membraneux; cependant, chez les oiseaux, il y a toujours une membrane tympanique à laquelle vient aboutir l'ex- trémité externe de la chaîne des osselets; mais, chez les reptiles, cette membrane du tympan finit aussi par disparaître; on ne re- connait plus de cavité du tympan dans Îles serpents, quoiqu'il existe un osselet; la peau dure et écailleuse recouvre immédia- tement la cavité osseuse qui contient organe de l'audition; l'osse- let n'est libre qu'à son extrémité qui touche le vestibule membra- neux : dans tout le reste de son étendue, il est caché dans l'épaisseur SUR LA STRUCTURE DE L'ORGANE DE L'OUIÏE. 617 du tissu cutané. Ainsi dans les serpents, où 1 n’y a plus de cavité tympanique, ni conséquemment de membrane du tympan, il y a un osselet dont une extrémité (la base) est en rapport avec l'or- gane auditif, et dont l'autre se perd dans Pépaisseur de la paroi de la tête. Qu'y a-tl dans l’esturgeon? un osselet dont une extré- mité (la base) est en rapport avec l'organe auditif, et dont l'autre se continue avec la paroi crânienne : c’est l'état le plus rudimen- taire que puissent présenter les osselets de l'ouie. L’érier est donc Ia partie la plus constante de ces osselets. L'osselet de lesturgeon présente de grandes analogies de forme, de position et de structure avec l'étrier des reptiles et des oiseaux. ( Voy. pl. I, fig. 9-11.) | 5° Ligament de l'organe auditif. Quand on ouvre Ia cavité crânienne de l'esturgeon , on trouve qu'elle est presque compléte- ment séparée de a cavité auditive par une bande ligamenteuse, large de six à huit lignes, qui se dirige obliquement de bas en haut et d'arrière en avant. Ce lisament est fixé vers son milieu au saccule et au sinus utriculeux, et il est assez difficile de le séparer, si on ne veut pas rompre ces parties; à ces deux ex- trémités, il est attaché aux parois de Ia cavité du crâne. L'usage de ce ligament est évidemment de fixer l'organe auditif, qui, sans cela, pourrait facilement se déplacer, vu son grand développe- ment. (Voy. pl. I, fig. 9; pl. I, fig. 1 et 2, et leur description.) ORGANE AUDITIF DU GRAND ESTURGEON ( Acipenser huso ). Comme l'organe auditif du grand esturgeon ressemble, pour la forme générale, à celui de lesturgeon ordinaire, qui, le premier, a été soumis à notre examen, et que nous avons considéré comme appartenant à l'espèce acipenser sturio, nous nous bornerons ici à indiquer les principales différences. La différence la plus frappante que nous ayons remarquée dans la stucture de l'organe de l'ouïe, est que, dans le grand esturgeon, (huso) nous n’avons pas rencontré de vestige d'osselet qui unisse la partie postérieure du sacculus à la paroi du crâne; cette union n'a 3 78 618 RECHERCHES ANATOMIQUES lieu qu'au moyen de simple brides ligamenteuses. Ainsi l'esturgeon ordinaire (ac. sturio) a l'oreille pourvue d’un osselet fort bien conditionné, tandis que lespèce dont nous nous occupons ici (ac. uso) n’en offre plus de traces. La présence ou l'absence de cet osselet pourrait donc devenir un fort bon caractère spécifique, si déjà d’autres caractères différentiels n’existaient pas, et si notre ob- servation est confirmée par de nouvelles investigations. Ce n'est pas seulement le genre des esturgeons , dans ce règne animal, qui présente une anomalie de structure, d'autres genres offrent des différences de conformation tout aussi frappantes , et qui sont autant de circonstances contraires à [a théorie de l'unité de plan dans la conformation organique des animaux. Ainsi ardea stellaris n'a qu'une seule artère carotide, qui résulte de la réunion de deux artères ; tandis que toutes les autres espèces du genre ardea (héron) ont deux artères carotides distinctes et séparées. Nous n'avons pas besoin de dire que Foreille du grand esturgeon (ac. huso) a des dimensions plus grandes que celle de l'esturgeon ordinaire (ac. sturio), Nous avons également remarqué qu'il y a un gravier blanc, très-fin, dans lesampoules, tandis que chez l'esturgeon ordinaire il n’y a qu'une substance amylacée. Quant aux /apilles du vestibule membraneux , nous n’y avons pas trouvé de différence. CHAPITRE II. ORGANE AUDITIF DE L'ALOSE ( C/upea alosa, L.). L'oreille de Falose est une des plus singulières du règne animal, tant par son état de complication que par les particularités de sa structure. Située sur les côtés de 1a cavité crânienne, et à 1a partie postérieure de cette même cavité, elle est en grande partie engagée dans l'épaisseur des os du crâne; et il n’y a qu'une petite portion du vestibule qui soit visible, après l'enlèvement de l'encé- phale. Inférieurement, elle s'étend depuis la fosse pituitaire fus- qu'au bulbe rachidien; supérieurement, ét sur la ligne moyenne, SUR LA STRUCTURE DE L'ORGANE DE L'OUÏE. 619 elle correspond à la face postérieure du crâne et sépare le cervelet du trou occipital; latéralement, elle se prolonge dans les saillies osseuses de la tête, qui servent de soutien et de point d'appui à l'appareil operculaire. Ce qui frappe surtout les yeux lorsqu'on considère l'organe auditif de Falose, c'est qu'on voit deux pro- longements, Fun supérieur et l'autre inférieur, partir de l'oreille d'un côté pour se joindre, en traversant la cavité crânienne, avec l'oreille du côté opposé. (Voy. pl. IV, fg.udists, 4,7.) Pour procéder d’une manière méthodique dans la description de cet organe auditif, nous décrirons d'abord les parties acces- soires ou de perfectionnement, puis l'oreille proprement dite. 1° Les organes accessoires sont la vessie natatotre et ses dé- pendances. ( Voy. pl. IV, fig. 1, .) L La vessie natatoire s'étend depuis Fanus Jusqu'auprès de Ja tête, le Iong de la partie supérieure de a cavité abdominale, au- dessous de la colonne vertébrale dont elle est séparée par le péritoine et par le foie; elle est longuette, lancéolée, peu large dans son milieu, et rétrécie vers ses deux extrémités; elle ne foïme qu’une seule poche, dont les parois sont résistantes, élas- tiques, assez épaisses, et présentant un aspect noir. Son extré- mité postérieure se termine en une pointe extrêmement aiguë au- dessus du cloaque. L’extrémité antérieure se rétrécit jusqu'au niveau de Îa partie postérieure du vomer : parvenue à cet endroit, elle subit un petit renflement ou bien forme une espèce de petit nœud, et se bifurque en deux canaux assez grêles qui s’avancent, l'un à droite, l'autre à gauche du vomer. Ces petits canaux, que nous nommerons provisoirement trompes cystiques, sont carti- laginiformes, transparents et percés de conduits très-étroits ; après leur bifurcation, üls se dirigent chacun d’arrière en avant, de bas en haut, et du dedans en dehors, pour parvenir sur les parties latérales de la base du crâne; dans ce trajet, ils sont couverts par les nerfs vagues. Après avoir parcouru un espace de six à huit lignes, de cartilagineux qu'ils sont, ils deviennent osseux. ( C'est l’histoire de a portion cartilagineuse et de la portion os- 18* 620 RECHERCHES ANATOMIQUES seuse de la trompe d’Eustachio. ) L'endroit où cette transformation de substance cartilagineuse en substance osseuse à lieu, corres- pond précisément à l'intervalle qui est entre la fenétre vestibulaire et l'orifice par lequel fe nerf vague sort du crâne. La partie os- seuse de la trompe cystique ne parcourt qu'un espace de deux lignes à peu près dans la base du crâne; ensuite elle se bifurque et chacune des deux branches de la bifurcation augmente aussitôt de volume. Ces deux branches se distinguent en antérieure et postérieure; elles sont tout au plus longues de deux lignes, et mènent chacune à un petit renflement qu’on appelle globe osseux. La branche postérieure de la bifurcation se dirige de dedans en dehors et de bas en haut; elle passe dans Fintérieur du demi- cercle qui circonscrit le canal semi-circulaire externe, de manière à étre en contact avec le canal semi-circulaire; immédiatement après avoir dépassé le niveau de ce dernier, elle se dilate pour former le globe osseux postérieur, qui est le plus petit des deux. La branche antérieure de la bifurcation se dirige d'arrière en avant et légèrement de haut en bas ; elle se dilate également comme la précédente pour former le globe osseux antérieur, qui est beau- coup plus gros que le postérieur : le globe antérieur fait une saillie lisse au dehors comme dans l’intérieur du crâne ; il se trouve immédiatement derrière lorifice qui donne passage au nerf de la cinquième paire au devant du vestibule membraneux, au-dessous des ampoules réunies des canaux semi-circulaires antérieurs et externes, et en dehors de la fosse pituitaire. La saillie que le globe antérieur fait dans la cavité crânienne est plus considérable que celle qu'il fait au dehors : il présente dans sa partie intra- crânienne un orifice étroit, allongé transversalement, en crois- sant, qui établit une communication du dehors avec l'intérieur du globe osseux. Ce petit orifice ou, pour mieux dire, cette espèce de petite fente se trouve, non pas précisément à la partie supé- rieure du globe, mais un peu en arrière; ses bords sont nettement dessinés, relevés, et un peu plus écartés en dehors qu’en dedans : le point du globe osseux qui est percé de cet orifice est couvert . SUR LA STRUCTURE DE L'ORGANE DE L'OUIE. 621 par une partie du vestibule membraneux et par des filets nerveux, dont nous parlerons plus bas. La partie cartilagineuse de la trompe eystique est tapissée in- térieurement d'une pellicule très-mince qui est la continuation de la membrane muqueuse de la vessie natatoire et de celle du tube alimentaire : cette pellicule se continue dans la portion osseuse de la trompe et dans les deux globes osseux : dans ces derniers, _elle acquiert plus de force, présente un aspect nacré, et se laisse très-facilement séparer des parois osseuses qu'elle tapisse : elle n’est point percée à l'endroit où se trouve Forifice du globe anté- rieur. (Voy. pl. IV, fig. 1, 2, £; fig. 3, c,e,e, f, f.) Les trompes cystiques et les globes osseux ne représentent, selon moi, que l'appareil salpingo-tympanique des animaux su- périeurs ; les trompes cystiques seraient lanalogue des trompes d'Eustachio, et les deux globes osseux seraient l’analogue de la cavité tympanique, qui, comme on sait, est également divisée en deux compartiments dans un grand nombre d'animaux. Qu'est-ce en eflet que la cavité du tympan, sinon un prolonge- ment de la membrane de l'arrière-bouche jusqu’auprès de l'organe auditif? Et larrière-bouche n'est-elle pas un canal commun aux _ voies digestives et respiratoires ? Or, si nous revenons à ce qui a lieu dans lalose, nous voyons la vessie natatoire communiquer par un large conduit avec lœsophage; nous savons de plus que la vessie natatoire est un dernier reste de Fappareil pulmonaire, ou, pour parler plus physiologiquement, elle n’est que l'appareil pulmonaire réduit à l'état le plus rudimentaire; nous savons enfin que Îa vessie natatoire est en rapport direct avec l'organe auditif, au moyen des trompes cystiques et des globes osseux ; il y a donc ici communication des appareils digestif et pulmonaire avec organe de louïe, absolument comme cela a lieu dans les ani- maux supérieurs, dont le conduit qui établit cette communication est l'analogue de la trompe d'Eustachio, et la dilatation de ce conduit, analogue de la cavité du tympan. Mais, dira-t-on, il n'y a pas d'osselets dans le tympan? La réponse est facile : c’est 622 RECHERCHES ANATOMIQUES que ce tympan, presque rudimentaire, est réduit, si nous pouvons dire ainsi, à sa plus simple expression. Il n’y a point d'osselets parce qu'il n'y a point de membrane du tympan , parce que celle- ci ne convient qu'à l'audition aérienne et nullement à l'audition aquatique. Une autre circonstance, qui prouve que le tympan de l'alose est réduit à l'état rudimentaire, c'est qu'il ne correspond qu'à une petite étendue de l'organe auditif, tandis que chez les animaux où l'oreille est parfaite le tympan embrasse toute Îa surface ex- terne de Forgane de l'ouïe : l'alose est, pour cette raison, un animal trés-favorable pour étudier la dégénération que l'appareil tympa- nique est susceptible d'éprouver dans le bas de l'échelle animale ; toutefois, si ce poisson offre des traces du tympan sans osselets, il n’en est pas de même de ce qu'on appelle fenétre de l'oreille moyenne, car le globe osseux antérieur présente effectivement une fenêtre vestibulaire qui est le petit orifice allongé dont nous avons parlé plus haut : cette fenètre, qui correspond intérieurement avec le vestibule membraneux, est une des preuves les plus con- vaincantes en faveur de notre manière d'envisager la nature des globes osseux dans les clupes. (Voy. pl. IV, fig. 3, c, c, e, f, f.) 2° Organe auditif, proprement dit. L’organe auditif aici pour base, comme dans les autres poissons , un vestibule membraneux ou bulbe auditif auquel viennent aboutir les canaux semi-circulaires; mais, dans l'alose, il y a en outre un petit bulbe accessoire (lanalogue du limaçon )et deux commissures, l’une supérieure et l'autre inférieure, au moyen desquelles les deux oreilles tiennent ensemble; comme ces deux commissures sont lune à la base du crâne et autre à la voûte de la même cavité, 1 en résulte que l'organe de l’ouïe fait tout le tour du crâne, et qu'il forme une espèce d'anneau embrassant le bulbe de Ia moelle épi- nière. L’organe de l'ouie, c'est-à-dire toutes les parties molles du labyrinthe, ont une couleur rouge-brun, sont transparentes et formées d’un tissu qui n’est ni absolument membranenx, ni abso- lument cartilagineux; ce tissu est assez fragile, un peu élastique, ayant à peu près la mollesse de la gomme élastique, mais con- SUR LA STRUCTURE DE L'ORGANE DE L'OUÏE. 623 servant ( ce que ne fait pas cette dernière ) l'impression des corps durs. Ce tissu est très-épais relativement aux cavités qui sont dans son intérieur; en effet, tout le creux du labyrinthe se réduit à très-peu de chose, et à peine y aperçoit-on quelques traces d'humidité: Le vestibule membraneux est situé à la partie inférieure et latérale du crâne; 1l est allongé d'avant en arrière; sa partie posté- rieure est enfoncée dans la base du crâne, sa partie antérieure repose sur le globe osseux antérieur et communique avec Îe vesti- bule du côté opposé au moyen de la commissure inférieure. La partie postérieure du vestibule constitue ce qu’on appelle propre- ment le saccule; immédiatement au-dessus du saccule on apercoit ampoule du canal semi-circulaire postérieur; les ampoules des canaux semi-circulaires externe et antérieur se trouvent à la partie antérieure etexterne du vestibule. C’est immédiatement au-dessous de ces deux dernières ampoules que le bulbe accessoire du vesti- bule (Timacon) est situé. C’est du point de réunion des deux tiers antérieurs du vestibule avec le tiers postérieur que s'élève le sinus utriculosus; où sinus médian, dans lequel se réunissent les canaux semi-circulaires antérieur et postérieur. Le vestibule est aplati dans la plus grande partie de son étendue, sa cavité est très- peu considérable.et contient trois ofolithes, dont deux sont très- petits. Un’ de ces apilli est renfermé dans le saccule; cest le plus grand; il est aplati, ovoïde, un peu échancré, et n’a pas deux lignes dans son ‘plus grand diamètre. Le second /apillus se trouve à la’ base de: lampoule postérieure, immédiatement au-dessus dusaccule; c'est le plus petit: il est arrondi d’un côté, très-mince, muni d’un petit onglet, concave, et ayant une demidigne dans son plus grand diamètre. Le troisième /apillus, qui est un peu plus grand et plus solide que le précédent, se voit à la base des deux ampoules antérieures, immédiatement au-dessus du petit orifice dont est percé le globe osseux anté- rieur. Le saccule forme une petite cavité :séparée; ‘qui occupe toute l'extrémité postérieure du: vestibule: membraneux; n’est 624 RECHERCHES ANATOMIQUES point aplati comme le reste du vestibule; il est engagé dans une espèce de eul-de-sac creusé dans la base du crâne, une por- tion de la paroï externe de ce cul-de-sac est membraneuse, et constitue ce qu'on appelle une fenétre; je l'appellerai la fenétre postérieure, par rapport à la fenêtre dont est percé le globe osseux antérieur, et que jappelleraï fenétre antérieure. La fe- nétre postérieure est légèrement arrondie; son diamètre moyen est d’une ligne à peu près; en dehors elle correspond à Ia partie supérieure de la fente branchiale, et elle s'ouvre entre lattache du muscle adducteur de l’opercule et lendroit par où le nerf vague sort du cräne; cette fenêtre n'est plus recouverte par la membrane muqueuse qui tapisse tout le pharynx; en sorte que les vibrations communiquées à l’eau peuvent facilement être trans- mises par celte voie jusqu'au saccule, qui est en contact immé- diat avec la fenêtre. Outre le grand Zapillus, le saccule renferme encore un liquide très-peu consistant, dans lequel nage la pièce concrète. Les canaux semi-circulaires sont, comme partout où ils existent, au nombre de trois; chacun est pourvu d'une seule am- poule; deux ampoules sont antérieures et appartiennent aux ca- naux antérieur et externe; une seule est postérieure et appartient au canal postérieur. L'extrémité non renflée du canal externe vient se rendre au vestibule avec ampoule postérieure ; les deux extrémités non renflées des canaux antérieur et postérieur se réunissent en un seul canal épais, fort, vertical, qui est ce qu'on appelle le serus médian (sinus utriculosus ); celui-ci s'étend depuis la voûte de la cavité crânienne-jusqu'à la base et s'ouvre dans le vestibule membraneux. Les trois canaux semi-circulaires sont entourés de substance osseuse, le sinus utriculosus seul n'est pas entouré de substance osseuse de toutes parts, car il est libre à sa face interne qui regarde la cavité crânienne. Les canaux sont tous les trois gréles; les ampoules sont bien dessinées; le canal externe est tout à fait horizontal, et dans le milieu de son trajet il est en contact avec le globe osseux postérieur; les deux SUR LA STRUCTURE DE L'ORGANE DE LOUÏE. 625 autres canaux s'élèvent à angle droit sur le précédent; ils forment chacun une espèce de demi-cercle, auquel le sinus utriculosus sert de diamètre. Ils sont dirigés : lantérieur, du dedans au dehors et d'arrière en avant; et le postérieur, du dedans au dehors.et d'avant en arrière. (Voy. pl. IV, fig. 4, m.) La commissure supérieure n'est qu'une espèce de bande roulée, formée du même tissu que le reste de l'organe auditif, et passant d'un sinus utriculosus à Tautre (pl. IV, fig. 4, m ). En disséquant cette partie avec beaucoup d'attention, on voit qu’elle part du ves- tibule membraneux, qu’elle monte le long de la partie interne du sinus utriculosus; et que, parvenue vers la partie supérieure de ce dernier organe, elle s'incline en dedans, pour décrire une espèce d'arcade et venir joindre l'extrémité supérieure de l'autre sinus utri- culosus, le long duquel elle redescend, en se comportant comme du côté opposé. Cette commissure se trouve immédiatement derrière le cervelet qui est appliqué contre elle; elle constitue un lien puissant entre Îles deux organes auditifs, elle n’est pas creuse comme Îles canaux semi-circulaires, ou comme le sinus utriculosus avec lequel elle semble avoir tant d'analogie au premier aspect. Quand on lexamine de près, on n'y distingue qu'un tissu foliacé, qu'une membrane pliée ou roulée, qui, en définitive,. n'est qu'un épa- nouissement du tissu du vestibule. Cette commissure aurait-elle pour but de mettre le cervelet en rapport direct avec les impres- sions perçues par l'organe de l’ouie? C’est ce que prouverait assez Je rapport intime entre ces deux parties. La commissure inférieure est, comme la supérieure, une exten- sion du tissu du vestibule membraneux; elle constitue une large bande transversale à [a base du crâne (pl. IV, fig. 4,2), passant d'un vestibule à l'autre, et complétant ainsi Janneau auditif, à la formation duquel concourent en haut la commissure supérieure et latéralement les deux sinus medians ; elle a deux lignes de largeur et trois lignes à peu près détendue transversale d’un nerf auditif à l'autre ; car les nerfs auditifs indiquent l'endroit où cette commis- sure se joint au vestibule membraneux. Son bord postérieur est 19 5. 626 RECHERCHES ANATOMIQUES mince, le bord antérieur est épais et arrondi; il limite la fosse pitur- taire en arrière, les deux extrémités de ce bord reposent sur les globes osseux antérieurs La face supérieure de cette commissure est plane d'avant en arrière, et légèrement concave transversaiement; c’est sur elle que repose la partie postérieure du cerveau. La face in- férieure est immédiatement appliquée contre la base du crâne. La commissure inférieure n'offre point de véritable canal dans son in- térieur, pas plus que la commissure supérieure; mais voici ce qu'on observe : quand on soulève le bord antérieur, on voit que le feuil- let membraneux dont la commissure est formée s’est replié en dessous, sans que cependant la partie repliée revienne jusqu'au bord postérieur; c'est cette duplicature qui donne plus d'épaisseur au bord antérieur, qu'il est d’ailleurs facile de dédoublier. La subs- tance de la commissure s’identifie avec les parois du vestibule, et elle ne doit être considérée que comme une expansion membra- neuse de ces dernières. Je ferai la même remarque pour cette com- missure que pour la commissure supérieure; elle est en rapport direct avec la base du cerveau , comme l'autre l’est avec le cervelet : c'est sans doute pour mettre le cerveau dans un rapport plus in- time avec les impressions recues par organe auditif. Le bulbe accessoire est encore une de ces parties qui rendent l'étude de l'organe auditif de lalose si intéressante; c'est un petit corps triangulaire, d’une forme prismatique, surajouté au vestibule membraneux et pourvu d’un filet nerveux comme les ampoules et le saccule. H se trouve immédiatement au-dessous des deux am- poules antérieures : sa pointe est tournée en dehors, et sa base correspond au vestibule ; il a environ une ligne et demie d'étendue depuis la base jusqu'au sommet; son tissu est spongieux, rou- geätre comme celui de tout le labyrinthe membraneux; il ne con- tient point de lapillus. Ce bulbe accessoire, qui est placé entre les deux globes osseux, se trouve au fond d’un canal large et aplati, au moyen duquel la cavité erânienne communique avec le dehors, si on considère la chose sur le squelette sec. Le canal en question s'ouvre d'une part dans {a cavité crânienne, en dehors et au-dessus SUR LA STRUCTURE DE L'ORGANE DE LOUÏE. 627 du globe osseux antérieur; de là il se dirige en dehors, en haut etun peu en arrière, pour venir aboutir d'une autre part à Ja partie Supérieure et latérale de la tête, où il s'évase et se divise en trois conduits plus petits, dont l'un est antérieur, l’autre postérieur, et le troisième externe. Depuis la cavité crânienne jusqu'à l'endroit où il se divise, il a plus de trois lignes d’étendue; il est large de deux lignes ; mais, considéré dans l'état frais, ce canal est divisé en deux parties : la partie supérieure, où l’'évasement appartient à un appareil de canaux excréteurs; et la partie inferieure, qui n'est séparée de la première que par une mince pellicule, et n’est occupée que par le bulbe accessoire. Je reviendrai tout à l'heure sur les Canaux excréteurs en question, et auparavant je dirai quelques mots de Îa signification du bulbe accessoire : Je ne puis comparer ce bulbe qu’à un rudiment de limaçon; c’est le limaçon réduit à une espèce de petit tubercule, comme cela a lieu dans les oiseaux et mieux encore dans les reptiles (voy. pl. IV, fig. 4, £-k); il est placé à la partie antérieure du vestibule, comme le limacon doit toujours l'être ; correspond au-dessous des canaux semi-circulaires, et c’est encore un des caractères de position désquels le limacon ne s'éloigne jamais. Cependant il ne contient point d'otolithe , et. on verra que le limaçon des oiseaux , ainsi que celui de beaucoup de reptiles, en renferme, et il recoit un filet nerveux particulier, comme cela a toujours lieu quand il-existe un limaçon distinet. Cet ensemble de caractères m'a donc déterminé à considérer le bulbe accessoire de l'alose comme lanalogue du limacon des.oiseaux et des reptiles me sachant à quoi comparer ce bulbe, Cependant Je n'attache pas trop d'importance et.de rigueur à ce parallèle, .car Jai dit aïlieurs que la cochlée véritable n'existe que chez lesanimaux à respiration pulmo- naire et pourvus d'un appareil vocal. Nous ferons-à: ceb.égard re- marquer que, sous tous les rapports, et principalement sous eeux de la formation et de la communication avec un-résérvoir aérien (Ja vessie natatoire), nous nous. trouvons ici, pour admettre Ja-possi- bilité de l'existence d'un rudiment de cochlée, dans de meilleures conditions que chez plusieurs autres,poissons, ‘et particulièrement 79* 628 RECHERCHES ANATOMIQUES que chez quelques ésocéens, l'esox lucius, par exemple: Quant aux canaux excréteurs dont nous avons parlé plus haut, nous dirons qu'on voit, sur l'opercule de Falose, un système de conduits ra- mifiés qui se réunissent en un seul conduit vers l'opercule; c'est le conduit externe qui mène à l’'évasement dont nous avons déjà parlé. Deux autres systèmes de conduits ramifiés, partant l'un de la partie antérieure de la tête et l'autre du corps même du poisson, viennent également aboutir à l'évasement en question par les conduits antérieur et postérieur. Voilà donc l'évasement avec les trois conduits, comme il a été dit plus haut. Tous ces conduits ne sont probablement que des organes de secrétion, comme on Île remarque à la tête d'un grand nombre de poissons. Cet appareil secrétoire n'offrirait aucun intérêt icr, s'il ne se réu- nissait pas en une espèce de sac ou de dilatation, qui correspond précisément à lévasement du canal dans lequel est situé le bulbe cochléiforme. Ce sac est constitué par la membrane interne des conduits extérieurs, et c’est cette membrane très-mince, qui est établie entre le prétendu limacon et le liquide contenu dans Fap- pareil excréteur. Une semblable disposition n'a lieu, sans aucun doute, que pour transmettre plus facilement les vibrations du dehors jusqu’à l'organe auditif. Les nerfs auditifs sont, comme dans les poissons en général, au nombre de deux pour chaque oreille, un antérieur et l'autre postérieur. Îls partent, très-près lun de l'autre, des parties laté- rales du bulbe de la moelle épinière ; l'antérieur est un peu plus gros que le postérieur. Le nerf auditif antérieur, après avoir par- couru üne ligne de chemin, s'enfonce dans la partie interne et antérieure du vestibule membraneux, à l'endroit où celui-ci s’unit avec la commissure inférieure. Comme le vestibule est transparent, on voit le nerf s'avancer entre lui et le globe osseux antérieur et se diviser en plusieurs filets. Les deux premiers filets se rendent vers le lapillus inférieur qu’ils embrassent et surles bords duquel ils s'épanouissent. Ce lapillus, avec ses filets nerveux, se trouve justement couvrir lorifice du globe osseux antérieur, orifice que SUR LA STRUCTURE DE L'ORGANE DE L'OUÏE. 629 nous nommerons fenétre antérieure. Le but de cette disposition est indubitablement de rendre l'oreille plus sensible aux vibrations sonores qui viennent par le globe osseux. Lie troisième filet ner- veux se rend au bulbe accessoire ou prétendu limacon, et les deux derniers se portent sur les deux ampoules antérieures. Le nerf auditif postérieur est un peu plus petit que le précédent; il se partageen trois filets, dont lun va à ampoule postérieure, l'autre s'épanouit sur les bords du grand lapillus contenu dans le saccule, et le troisième gagne les bords du petit /apillus postérieur. L’oreille de l’alose et des autres clupes est la plus compliquée de toutes celles qu’on observe dans fordre des poissons. C’est en effet l'unique genre qui présente bien manifestement des traces de tympan et des appa- rences de limacon. Il y a ici deux fenêtres comme dans les animaux supérieurs. ( Par fenétre il faut toujours entendre un amincis- sement membraneux contigu, d'une part, avec le vestibule mem- braneux ou avec une de ses dépendances, etde l'autre avec le dehors ou du moins avec une cavité pius extérieure que celle du labyrinthe.) Mais il n'y a plus qu’une seule fenêtre dans l'alose, qui s'ouvre dans le tympan, l'autre s'ouvre déjà dans le pharynx, vu le peu de déve- loppement de la cavité tympanique qui n'a pu fembrasser. La fe- nétre antérieure est sans doute celle qui correspond à notre fenêtre ovale. Il y a en outre dans l’alose deux dépendances de l'organe auditif, les deux commissures, qui semblent destinées à mettre l'encéphale dans un contact plus intime avec louie. Tant de développement dans un organe d'avertissement fait déjà dire à priori que l'alose est un poisson faible, constamment obligé de se tenir en garde, par tous les moyens que lui accorde la nature, pour échapper aux poursuites de ses ennemis. (Voy. pl. IV; fig. 1,2, 3, 4, 5, etc.) CHAPITRE IV. ORGANE AUDITIF DU MAQUEREAU (Scomber-scombrus, L.) L'oreille du maquereau se distingue par sa simplicité et par 630 RECHERCHES ANATOMIQUES l'absence de tout caractère bien tranché. Elle ne tient à aucun appareil extérieur comme cela a lieu, par exemple, dans la carpe, lalose, etc.; elle ne présente pas même une fenêtre, ou, en d'autres termes, le vestibule membraneux n'est en rapport avec aucun amincissement de la paroi crânienne, au moyen duquel les vibrations du dehors seraient plus facilement transmises. Il ne nous reste donc à décrire que ce qu'on nomme proprement l'oreille interne. (Voyez pl. V, fig. 3.) La description de loreille interne comprendra le vestibulemem- braneux et lappareil des canaux semi- circulaires. Ces deux parties de l'organe auditif sont très-distinctes lune de l'autre dans le maquereau ; elles ne tiennent ensemble que par un petit étran- glement, et sont plus distantes lune de Fautre que cela n'a lieu ordinairement. Les deux organes auditifs sont situés aux parties postérieures et latérales de la cavité crânienne, et leurs portions les plus internes ne sont séparées de la cavité du crâne que par une pellicule extrémement délicate. Le tissu de lorgane auditif lui-même est mince, lâche et nullement résistant ; en ceci, l'oreille du maquereau diffère de celle du thon, qui est du même genre, mais dont la substance auditive possède une certaine résistance et une certaine élasticité. 1° Du vestibule membraneux. Le vestibule membraneux est un sac allongé d'arrière en avant, renflé dans une cavité particulière à la base du crâne, et contenant dans son intérieur deux otolithes. La cavité dans laquelle il est logé a trois lignes et demie de longueur, une ligne de largeur et une ligne de profondeur ; elle est très-rapprochée de celle du côté opposé : il n'y a guère qu'une ligne d'intervalle. Cette cavité occupe à peu près tout l’espace qui se trouve entre l'origine du nerf vague et celle de {a cinquième paire; son bord supérieur est tranchant dans Fétat naturel; elle est remplie par le saccule qui ne dé- passe pas Île niveau de la base du crâne, et qui envoie seule- ment une petite bride membraneuse, laquelle établit la com- munication des canaux semi-circulaires avec, le saccule. Ce SUR LA STRUCTURE DE L'ORGANE DE L'OUÏE. 631 dernier contient une humeur de consistance aqueuse, dans la- quelle nagent deux otolithes, dont Fun antérieur plus grand, et Vautre postérieur plus petit. Ces lapilli sont très-développés eu égard à l'étendue du vestibule membraneux Le grand otolithe a la forme d'un carré allongé, sa longueur est de deux lignes, sa largeur de plus d'une demi-ligne ; son extrémité présente une espèce de saillie ou dapophyse; une des faces est concave et l'autre convexe. Le petit /apillus à une forme semi-lunaire et n’a guère au delà d'une demi-ligne de longueur: un des bords est concave et tranchant, l'autre est plus épais et convexe. (Voy. PI. V, fig. 4 et 5.\ Quant aux nerfs du vestibule, nous les dé- crirons avec ceux des ampoules, après avoir parlé de lappareïl des canaux semi-circulaires. 2° Appareil du labyrinthe membraneux ou bulbe auditif. Dans cet appareil, nous décrirons, comme nous l'avons toujours fait jus- qu’à présent, plusieurs parties, savoir : le sinus médian ou sinus utriculosus, qui est pour ainsi dire le rendez-vous des trois canaux, etle saccule; puisles ampoules, également au nombre de trois comme les canaux, et qui peuvent être considérées comme lesracines ou les bulbes des canaux semi-circulaires ; enfin ces canaux eux-mêmes. A. Le sinus médian s'étend depuis le sommet jusqu’à la base de la cavité du crâne, c'est-à-dire depuis la réunion des canaux semi- circulaires antérieur et postérieur, avec lesquels il se continue, jusqu'au saccule ; c'est un canal aplati, étroit supérieurement et élargi inférieurement. Sa partie inférieure offre trois cornes : lune antérieure, qui est la plus longue, et qui est en rapport avec les deux ampoules antérieures; la postérieure, qui est la plus courte, se continue avec lampoule postérieure ; la corne moyenne se con- tinue avec le saccule et constitue ce rétrécissement dont nous avons déjà parlé plus haut. De tout cela ïl résulte que le sinus médian v'est qu'un organe destiné à établir des rapports entre les différentes parties de l'oreille interne. B. Les ampoules sont, comme toujours, au nombre de trois, deux antérieures et une postérieure; cette dernière est pour le canal 632 RECHERCHES ANATOMIQUES semi-circulaire du même nom, et les deux antérieures sont pour les deux canaux restants. Les ampoules sont très-bien dessinées, arrondies, légèrement comprimées et munies chacune d'un filet nerveux. D'un côté elles tiennent à la base du sinus médian, et de l’autre elles se continuent avec leurs canaux respectifs. A la base des deux canaux antérieurs se trouve un tout petit laprllus, ayant la forme d'un prisme tétraèdre, mais ne dépassant point le volume d'un grain de millet. Un semblable lapillus ne se trouve pas auprès de l'ampoule postérieure. C. Les canaux semi-circulaires ont proportionnellement assez d'étendue; c’est antérieur qui est le plus grand et lexterne qui est le plus petit. La forme de l'antérieur n'est rien moins que semi- circulaire ; il décrit, au contraire, un carré à angles obtus ; il n’est point logé dans un canal, mais seulement appliqué contre la paroi externe de la cavité crânienne. Le canal externe est logé dans un conduit osseux particulier, beaucoup plus large que ne Fexigeait son volume ; ce canal ne décrit pas non plus un demi-cercle, mais il est ovalaire. Le canal externe est très-rétréci dans le milieu de son étendue ; celui-ci forme à peu près un demi-cercle; il est logé dans un conduit osseux qui est pareïllement resserré dans son milieu. Chacun de ces canaux présente, comme nous l'avons déjà observé, une extrémité pourvue d'une ampoule; extrémité non ampoulée des canaux antérieur et postérieur se termine dans la partie supé- rieure du sinus médian, et Yextrémité non ampoulée du canal externe se rend dans cc sinus médian, tout auprès de ampoule postérieure. D. Le nerf acoustique provient de la partie latérale du bulbe rachidien et se divise aussitôt en deux faisceaux, dont lun est antérieur et l'autre postérieur. Le faisceau antérieur se distribue en quatre points différents ; 1° un filet pour lampoule du canal antérieur; 2° un pour ampoule du canal externe; 3° un filet qui s'épanouit sur le petit /apillus qui est à la base des ampoules antérieures, et 4° une série de petits filaments à la partie antérieure du saccule. SUR LA STRUCTURE DE L'ORGANE DE L'OUÏE. x 633 Le. faisceau postérieur n’a que deux points de -distribution, 1°un filet al ampoule postérieure; et 2°une série de petits Slambnis à.la partie postérieure du saccule: ( Voyez,:.pour compléter cette histoire, les planches qui représentent l'oreille: du scomber. scom- brus (pliN, fig. 3 et 4),.et du scomber thynnus ( pl. XIV, fig. 1.et 2), ainsi que leur description. CHAPITRE ,V. ORGANE AUDITIF DU MILANDRE (Sgualus galeus, Li L'organe auditif de,ce poisson est très-développé et ressemble à celui des autres chondroptérigiens. (Voy. pl. V, fig. 1 et 2.) IL est formé de.trois tubes semi-circulaires très-étendus, l'un antérieur, l'autre postérieur et le troisième externe; tous trois ont des ampoules à leur origine; ils,ne remplissent pas, à beaucoup près les canaux dans lesquels ils sont situés. Is tiennent, ainsi que le bulbe, aux parois de la cav 32 pére ps par le moyen de nombreuses’ brides cellulaires. Le nerf auditif naît près de celui de la cmquième paire, sous les corps restiformes; il est considérable, élargi et se divise bientôt en deux ofaisceaux, dont. l'un ;antérieur et Fautre. postérieur : ces faisceaux s’épanouissent chacun de son côté dans le bulbe et les ampoules. L'ampoule: contenait (sur l'individu que j'ai examiné ) une. subs- tance transparente gélatineuse ; je n’y ai point trouvé de Zapillus ; mais, comme Îa pièce avait longtemps séjourné dans du vinaigre, il est probable quede lapillus aura été dissous. Sur le éôté interne du bulbe auditif, on voit deux cavités dirigées de haut en bas et recourbées en arrière vers leur extrémité. Ces conduits se rétrécissent près de la peau-extérieure et semblent être bouchées en cet endroit par du tissu cellulaire; ils aboutissent à la partie moyenne.et supérieure-de la tête où ils s'ouvrent par deux pétits-orifrces. Dans le milandre, il:y.a ce qu'on nomme improprement des 5. 80 634 RECHERCHES ‘ANATOMIQUES events : ceux-ci s'ouvrent par de petits ‘orifices !sur' la tête, près dé la ligne médiane et au-dessus des! organes auditifs; ces petits pertuis conduisent dans un’ canal qui-s'élargit considérablement en descendant ;‘il a sa plus grande largeur à peu près au niveau du cerveau. Le canal se trouve-sur le côté interne du bulbe audi- tif, et n’est séparé de la cavité. crânienne que par une mince lame cartilagineuse. Vers la base de Îa cavité crânienne if se recourbe en arrière. Ce canal est tapissé d’une membrane, et voici comment il se comporte à l'égard de l'organe auditif: 1° 11 communique avec l'intérieur du bulbe auditif, au moyen d’un orifice d'une ligne de diamètre; cet orifice est en dehors et se dirige de haut en bas; 2° il communique (en s'y termmant inférieurement) avec le canal semi-circulaire postérieur, en se continuant avec lampoule infé- rieure de celui-ci. D'après tout cela, il me semble que Teévent de ce poisson n’est autre chose que l'aqueduc du vestibule des ani- maux supérieurs. CHAPITRE VI ORGANE AUDITIF DU CONGRE ( Muræna conger, L.). Organe auditif. Renfermé dans l'intérieur du crâne comme dans tous les poissons osseux. (PI. VI, fig. 1.) . Vestibule osseux. Vaste, rempli de petites cellulosités qui se continuent avec celles de la cavité crânienne, ‘ayant beaucoup plus d'espace qu'il n'en faut pour loger le bulbe auditif et les canaux semi-circulaires. Les parois qui renferment lorgane auditif sont de toutes parts cartilagineuses ; elles peuvent être coupées avec le scalpel; ce n’est qu'à une certaine distance de l'oreille w’elles redeviennent osseuses. V'estibule membraneux.Oblong ou elliptique d'avant en arrière ; arrondi à sa face inférieure, un peu aplati supérieurement. La face supérieure se continue avec le sinus médian ou utricuhforme. Dans l'intérieur du vestibule membraneux lon apercoit le /a- pillus qui est blanc, oblong et assez lisse. L'extrémité postérieure SUR LA STRUCTURE DE L'ORGANE DE L'OUÏE, 635 du même vestibule se continue.en un petit bourrelet::semi-carti- lagineux qui s'attache d'une manièré assezlintime au squelette du crâne. (PI. VI, fig. 1, a, b.) Sinus médian ou utriculiforme. H se continue en avant et en arrière, avec les ampoules des canaux semi-circulaires ; de sa partie moyenne s'élève un prolongement auquel aboutissent les ca- naux semi-circulaires antérieur et postérieur. Ampoules. H ÿ en a trois; chaque canal sémi-circulaire à Ia sienne. Ainsi, n'y a qu'une seule extrémité de chaque canal qui soit pourvue d'üne ampoule; celles ‘du canal antérieur et du canal externe se trouvent lune à côté de autre à la partie antérieure et externe du sinus médian ; celle du canal postérieur se trouve en dehors de l'extrémité postérieure du même sinus; chaque am- poule reçoit son petit cordon nerveux qui s’y termine d’une manière subite. (PL: VE, fig. 1, c, e, g:.) Canaux semi-circulaires. W faut toujours y considérer deux extrémités bien distinctes, lune pourvue d'une ampoule et l'autre privée de cette partie. Les canaux antérieur et postérieur se terminent par leur extré- mité dépourvue d’ampoules, au prolongement mitoyen du sinus utricuhforme ; Yextrémité non ampoulée du canal extérieur se rend dans l'extrémité postérieur du sinus mentionné. Les nerfs partent des parties latérales du bulbe rachidien, par deux faisceaux, dont l'un antérieur et l'autre postérieur. Chacun de ces faisceaux se subdivise bientôt, en sorte qu’il y a quatre cor- dons nerveux à considérer près de l'organe auditif : 1°Le faisceau antérieur et supérieur estle plus gros de tous, il se terminetoutentier danses ampoules des canaux antérieur etexterne. 2° Le faisceau postérieur et superieur est plus petit que Le pré- cédent, fournit un premier cordon à l'ampoule du canal postérieur, puis un second cordon qui passe derrière cette ampoule, traverse la paroi cränienne, et va se distribuer en dehors : ce dernier est lanalogue de la portion dure de la septième paire. 3°et 4° Les deux faisceaux inférieurs, dont l'un est antérieur 80° 636 JO I RECHERCHES ANATOMIQUES 2.1 1 et autre postérieur, se distribuentichacun par une grande quan- tité de filaments sur Le‘bord antérieur du vestibule membraneux au niveau et le long du lapillus. (PL VE, fig. 1,2%, 4,7, 4) De tous les faits contenus dans ces premiers chapitres, n’est- on pas autorisé à conclure : 1° Que lorgane de Fouïe de a lamproie est des plus simples, qu'il ressemble beaucoup plus à celui de quelques mollusques ou de quelques crustacés, qu'à celui des autres poissons: 2° Que dans la lamproie il n’y a réellement point de canaux demi-circulaires, mais qu'une matière amylacée ou crétacée, sous forme cristalline, disposée en demi-cercles et apercevable seule- ment à une forte loupe ou au microscope, indique l'état rudi- mentaire de ces canaux. 3° Que cette matière amylacée, refusée à l'oreille de la lamproie par plusieurs anatomistes modernes, existe réellement, et qu'elle indique ici, comme dans d'autres poissons, un développement or- ganique à un degré inférieur. 4* Que l'esturgeon présente un tympan à l’état le plus simple, caractérisé par la présence d'un rudiment d’osselet ( étrier ) situé en dehors des cavités du Iabyrinthe, retenu en position par un ligament, et appliqué sur le côté externe du saccule, auquel il transmet problablement les vibrations qu'il recoit du dehors : disposition qui n’a été indiquée par aucun zoologiste, pas même par Kalrœuter ‘, auquel nous devons la description Ia plus cir- constanciée de l'oreille de plusieurs esturgeons, ni par Chr.-Ed. Pobhl?, qui a donné, en 1818, la description de l'oreille de Faci- penser sturio et de Facipenser huso. 5° Que lalose et plusieurs autres clupes ont une oreille fort 1 Miss. histor. piscium promovendæ. 1740 et 1746 in-49, Lipsiæ. ? Expositio generalis anatomica organis auditus per classes animalium. Vindebonæ, 1818. SUR LA STRUCTURE DE L'ORGANE DE L'OUÏE. 637 complexe, dans laquelle on peut aussi reconnaitre desrudiments de cochlée et peut être de tympan, mais autrement disposés que dans l'esturgeon, et que cet organe présente avec la vessie natatoire une communication directe et incontestable. Ces diverses dispo- sitions sont très-remarquables et doivent tre placées à côté de celles qui déjà ont été signalées par E.-H. Weber’, dans les cy- prins, le silurus glanis, le cobitis fossilis, etc. par MM. les profes- seurs Otto” et Heusinger, dans le Zepidoleprus et dans les mor- myres; enfin, par M. Cuvier, dans le myripristis Ÿ. CHAPITRE VIL Dans les sciences fondées sur l'expérience et observation, on devrait peut-être une ou deux fois chaque siècle faire un inven- taire des divers faits déjà enregistrés, et voir si tous ont été exprimés avec précision et exactitude. Cette espèce de recensement de nos connaissances, s'il ne conduisait pas à de nouvelles découvertes apporterait du moins une plus grande rigueur dans les connaissan- ces que déjà nous possédons. Ce désir a été exprimé par un membre de cette académie, et en entreprenant ce travail j'ai moins pensé à découvrir des disposi- tions jusqu'ici inconnues dans a structure de l'oreille, qu’à vérifier ce qu'on avait déjà dit, ou à étendre, d'après l'examen, ces notions à un plus grand nombre d'animaux, pour reconnaître le degré de justesse du système des analogies. Encouragé par M. G. Cuvier, d'après mes premières recherches sur lorgane de l'audition de quelques poissons, je fus engagé par cet illustre savant à revoir 1 De aure et auditu hominis et animalium. Pars prima : de aure animalium aquatilium. Lipsiæ 1820. 2 Uber die Gehororgane des Lepidoleprus trachyrhincus und cælorrinchus; von A.-W. Otto, professor in Breslaw. Zeitschrift zur Physiologie, von fr. Tiedemann und Trevira- nus, etc. T. 2, p. 86. Darmstadt, 1826. 3 Histoire naturelle des poissons, par le bon Cuvier et M. Valenciennes, T, 1®, p. 458. Paris, 1828. 638 RECHERCHES ANATOMIQUES } tout ce qu'on avait fait sur cet organe, afin de dissiper les doutes sur certaines dispositions; par exemple, sur Toreille des raies et des squales. Le travail que nous communiquons aujourd’hui à Pacadémie des sciences est la continuation de celui sur lequel MM. G. Cuvier et C. Dumeril ont fait un rapport’, et nous nous proposons de persévérer avec le même zèle, parce que nous sommes certain de trouver dans MM. Dumeril et Valenciennes, au Muséum du Jardin du Roi, les mêmes facilités que celles que nous a toujours don- nées M. G. Cuvier. H faut donc chercher dans ces travaux bien moins un grand nombre de faits nouveaux que des faits mieux observés, et qui doivent dissiper des incertitudes et faire cesser des contestations, Si la généralisation des faits et l'établissement des lois d’une science sont l'œuvre du génie, l'observation exacte doit les précéder, et dès lors elle est d'un haut intérêt. Cependant, comme le dit avec justesse l’auteur de la Philosophie de l'anatomie”, les faits n’ar- rivent aux âges futurs que s'ils sont escortés et protégés par les idées qui s'y rapportent, et qui seules par conséquent en font la principale valeur; c'est pourquoi nous avons cru pouvoir, dans le cours de tous ces mémoires, que nous considérons bien moins comme des travaux achevés ou comme des monographies com- plètes, que comme de simples. matériaux pour servir à lanato- mie comparée, hasarder quelques explications ou quelques théo- ries, parfois un peu hypothétiques, mais toujours en rapport avec les lois de la physiologie générale. Bien qu'on ait comparé l'organe auditif à un instrument d’acous- ? Le premier mémoire présenté à l'académie des sciences, lc 2 novembre 1829, et sur lequel MM. G. Cuvier.et C. Dumeril ont, fait un rapport, en 1830, avait pour titre : Mémoire sur la structure de l'organe de l'ouïe dans les poissons. Nous publierons ce mémoire immédiatement après ceux-ci. Le nombre des planches nous force à ne-pas suivre, dans l'impression l'ordre chronologique et celui de a présentation à l'académie des sciences. ? Recherches sur de grands sauriens trouvés à l'état fossile vers les confins maritimes de la Basse-Normandie, ete., par M. Gcoffroy Saint-Hilaire, page 136; Paris, 1831. SUR LA STRUCTURE DE L'ORGANE DE L'OUIE, 639 tique, il ne faut pas en inférer que l'appareïl soit toujours le même, et qu'on y trouve constamment et le même nombre de pièces et une disposition semblable. A considérer cet instrument dans des animaux vertébrés, on reconnaît qu'il est très-compliqué dans les mammifères ; qu'il Test déjà bien moins dans les oiseaux; mais dans ces deux classes le type reste le:même pour tous les ordres et tousles genres, tandis qu'on voit de nombreuses modifications et des différences capitales entre les divers ordres des poissons, ou entre les reptiles comparés les uns aux autres. Ainsi, par exemple, Voreille d'un saurien ne ressemble guère à celle d’un batracien, et parmi les batraciens cet organe présente encore des différences très- remarquables ; mais ces différences portent sur les annexes de lap- pareil, ou parties accessoires, et non sur les pièces fondamentales. étude de l'oreille d’un mammifère ou d’un ‘oiseau donnera une idée exacte de Ta disposition de Torgane dans toute la série des animaux de a même classe, tandis qu'il en est tout autrement pour les poissons et les reptiles, où les modifications des parties secondaires sont beaucoup plus grandes et plus multipliées. Dans les poissons, dont nous nous sommes occupé plus spécia- lement, on peut rapporter les dispositions différentes à cinq types principaux. Les deux premiers appartiennent aux chondroptéri- giens; le troisième contient et des poissons cartilagineux et des poissons osseux; enfin, les deux derniers sont exclusifs aux pois- sons osseux. 1° Le premier type est propre aux cyclostomes, et nous l'avons décrit dans le mémoire, où nous traçons Thistoire de oreille de la Jamproie. C'est une simple poche contenant un liquide et une concrétion pierreuse, mais il n’y a ni divisions dans cette espèce de crypte, ni canaux ou tubes semi-circulaires. 2° Le second type se rapporte à l'oreille des raies, des chi- mères, etc. Ier l'on voit une poche contenant des amas pulvéru- lents (otoconies) et des ouvertures qui sont, les unes fermées par une simple cloison membraneuse, les autres presque cons- tamment béantes et communiquant avec l'extérieur. 640 RECHERCHES ANATOMIQUES 3" Le troisième type comprend l'oreille des amies, des mor- myres, du lepidoleprus , ete. L'organe offre de simples ouvertures ou fenêtres vestibulaires fermées par des expansions membra- neuses ou des rudiments de chaîne osseuse, comme, par exemple, dans quelques sturioniens, deux poches lapidifères, des tubes semi-circulaires membraneux. Le caractère principal est ici lexis- tence d'ouvertures closes par des membranes et établissant des communications médiates entre l'extérieur et le labyrinthe. 4° Le quatrième type est le plus simple et le plus répandu; il appartient presque exclusivement aux poissons osseux; on voit deux poches vestibulaires et trois tubes semi-circulaires, mais au- cun pertuis en rapport avec lextérieur, soit fermé, soit ouvert, n'a encore été aperçu. 5° Enfin, sous le cinquième type se rangent tous les Poissons dont le labvrinthe membraneux communique plus ou moins directement avec la vessie aérienne. Les clupes, les cyprins, les spares, les cobites, les silures, etc., nous en fournissent des exemples incontestables. Dans un de nos mémoires sur l'oreille des poissons, nous nous sommes particulièrement attachés à faire connaître les connexions et les parties accessoires de l'organe auditif, et à découvrir dans quelques espèces les vestiges d’un tympan; à constater les commu- nications, déjà signalées par plusieurs anatomistes, entre les cavités du labyrinthe et la vessie aérienne ou natatoire. Depuis cette époque nous avons continué nos investigations sur ce dernier point, et nous avons découvert plusieurs dispositions jusqu'ici ina- perçues; mais, la gravure de nos dessins n'étant pas achevée, nous remettons à une autre époque d'en faire connaître les résultats. Cependant, en attendant que nous ayons pu compléter la série de recherches que nous avons entreprises, nous croyons pouvoir publier ce que nous avons vu sur plusieurs poissons dont l'oreille n'a aucune communication avec la vessie aérienne et ce que nous avons observé sur la communication avec cette vessie ou. avec Îe milieu aqueux, dans lequel vit l'animal. SUR LA STRUCTURE DE L'ORGANE DE L'OUÏE. 6414 L'oreille de quelques-uns de ces poissons n’avait pas encore été examinée, tandis que celle de quelques autres avait déjà été dé- crite, mais nous avons trouvé à rectifier plusieurs indications, ou à leur donner plus de développement ou plus de précision. Nous croyons donc nos recherches dignes de quelque intérêt, et leurs résultats assez importants pour être communiqués à une académie qui accueille toujours favorablement les moindres faits fournis par l'observation ou par l'expérience. Les poissons sur lesquels ont porté nos recherches, après celles que nous avions faites sur les lamproies, les esturgeons et les clupes , le maquereau, le thon, le milandre, le congre, sont : 1° Plusieurs squales ; 2° Un grand nombre de raies ; 3° La chimère antarctique; 4° Le brochet; 5° Le grondin; 6° Le turbot:; 7° Le saumon; 8° Le bar; 9° La baudroie; 10° L’anguille; 11° Le ptéroïs. 12° Les cyprins. Avant d'entrer dans la description des différences entre les di- verses pièces constitutives de l'oreille des poissons, indiquons, par une simple énumération, Îes parties qui forment la base de cet organe : 1° Cage osseuse ou cartilagineuse enveloppant le labyrinthe membraneux ; 2° Labyrinthe membraneux consistant : À En smus médian ou utriculeux; B Sac ou saccule; He 81 642 RECHERCHES ANATOMIQUES Tubes demi-circulaires et ampoules de ces tubes; Utricule; Cysticule; Otolithes ou pierres auditives; otoconies où matière pulvé- rulente du fabyrinthe; Périlympe ou Iymphe de Cotugno; Endolymphe ou liqueur contenue dans le Iabyrinthe mem- braneux, le sac, l'utricule, les canaux membraneux demi- circulaires et leurs ampoules. Nerts. SO Q on — CHAPITRE VIII. ORGANE AUDITIF DE LA BAUDROIE (Lophus piscatorius, L., Rana piscatrix, Raie pêcheresse ). (Voy. pl. VE fig. 3 et 4.) L'oreille de la baudroïe est construite d’après le même type que celle des poissons osseux, c’est-à-dire qu'elle est contenue dans une cavité qui n’est point isolée de la cavité crânienne; qu'elle est formée de trois tubes semi-circulaires, d’un sinus utriculeux ou médian et d'un sac; qu’elle contient des otolithes ou concré- tions solides pierreuses, et qu'elle est pourvue de deux petites poches, ou arrière-cavités, qui donnent à cet appareil un carac- tère de perfectionnement. Elle est située sur les côtés du cerveau, entre Ia cinquième et la huitième paire de nerfs. De ces trois canaux demi-circulaires , 1l n’y a que lexterne et le postérieur qui soient enclavés, l'antérieur ne lest point. Chacun de ces tubes est pourvu d'une ampoule à l'une de ses extrémités. Deux ampoules, celles des tubes antérieur et externe, sont attachées au bout antérieur du sinus médian ; lampoule du tube postérieur est fixée à l'extrémité postérieure du méme sinus. Les tubes antérieur et postérieur se réunissent par leurs extrémités non renflées pour former un tuyau membraneux commun, lequel descend s'ouvrir dans le milieu du sinus mé- dian. L’extrémité non renflée du canal externe vient saboucher SUR LA STRUCTURE DE L'ORGANE DE L'OUÏE. 643 dans la partie postérieure et interne du sinus médian, un peu au devant de ampoule postérieure. Chaque ampoule reçoit un filet nerveux qui s'y termine aussitôt, sans se ramifier ou s'étendre plus loin. Le sinus median est une poche membraneuse, aplatie, ayant trois angles mousses, dont l'antérieur est plus allongé. Cette poche sert de rendez-vous aux tubes semi-circulaires, qui sy ouvrent par leurs six extrémités; inférieurement elle donne at- tache au sac, avec lequel elle communique également. L’extré- mité ou Fangle postérieur du sinus médian donne attache à ampoule postérieure; l'angle supérieur recoit les deux bouts non renflés des tubes membraneux semi-circulaires antérieur et pos- iérieur; l'angle antérieur, qui est très-allongé et légèrement renflé vers le bout, donne attache aux deux ampoules antérieures : c’est dans le bout renflé de cet angle, et au-dessous de l'insertion des deux ampoules, que se trouve un fort petit /apillus ou otolithe, et c'est au même endroit que vient s'épanouir un petit faisceau du nerf auditif, le seul faisceau nerveux que reçoive le sinus médian. Le sac ou saccule n’est guère plus ample que le sinus médian; ï s'attache à ce dernier par les deux cinquièmes seulement de son étendue ; il est, ainsi que lui, allongé d’arrière en avant, plus ré- tréci à ses deux extrémités qu'au milieu; en arrière il est muni d’un petit appendice, que nous avons nommé le cysticule, dont la cavité communique avec la sienne. C’est sans doute un appen- dice du même genre que Scarpa et Comparetti ont indiqué et re- présenté sur l'oreille du brochet (esox lucius), et que le pre- mier considère comme un rudiment de limaçon. Cependant 'ap- pendice du vestibule du brochet dépend du sinus médian, ne con- tient pas d'otolithe, et ne recoit pas de filet nerveux. La cavité du sac ainsi que celle de Fappendice ou cysticule contiennent chacune un /apillus, mais Totolithe du cysticule est beaucoup plus petit que celui du sac. Le sac recoit un joli faisceau de filaments nerveux vis-à-vis l'endroit où setrouve le grand lapil- lus; le cysticule reçoit également un faisceau nerveux. L’otolithe 81* 644 RECHERCHES ANATOMIQUES du sinus médian est le plus petit; celui du cysticule estle moyen pour la grandeur; celui du sac est beaucoup plus grand que les deux premiers. ( Voy. pl. VI, fig. 3, k, 5,4.) D'après ce qu'on vient de voir, les filets du nerf auditif se distri- buent 1° aux ampoules des tubes membraneux semi-circulaires ; 2° aux parties du Habyrinthe qui contiennent des concrétions pier- reuses. Le faisceau qui constitue l'ensemble du nerf auditif tire son origine de la partie latérale de la moelle allongée. Les parois du labyrinthe sont minces, transparentes, un peu élastiques; elles contiennent une humeur albumineuse, limpide, dans laquelle nagent les différents otolithes. Nous avons déjà donné l'histoire de loreille de la baudroie comme un des principaux types de la disposition de Fappareil auditif de beaucoup de poissons. En effet, nous trouvons que dans cette espèce toutes les parties sont très-bien exprimées, et qu'à l'exception des communications en-arrière avec la vessie aérienne, comme dans les cyprins, les clupes, les cobites, les spares, etc., et les communications en haut avec l'extérieur, comme dans Îles raies, les chimères, etc., loreille de fa baudroie offre dans son ensemble un développement complet des parties qui constituent le labyrinthe membraneux des poissons. Nous joignons à cette description de l'organe auditif de la bau- droie une figure représentant l'oreille membraneuse de grandeur na- turelle, et vue dans ses rapports avec la cavité osseuse du labyrin- the; mais par une autre figure nous avons fait représenter, consi- dérablement grossies, toutes les parties constitutives du labyrinthe membraneux, et à chacune de ces parties nous avons donné un nom. De la sorte nous avons pris la baudroie comme type, et, en imposant des noms à chaque disposition de ce petit appareil, nous avons cherché à introduire une plus grande rigueur dans notre nomenclature anatomique *. ! Voyez pour cette figure notre mémoire intitulé : Recherches analomiques et phystolo- giques sur l'organe de l'ouïe et sur l'audition dans l’homme et les animaux vertébrés, 2e édition, Paris, 1836. ( Planche 1re, fig. 2. ’ s SUR LA STRUCTURE DE L'ORGANE DE L'OUÏE. 645 Deux parties distinctes se font surtout remarquer dans l'oreille de la baudroie : l'une en avant, c'est l'utricule; Yautre en arrière, c'est le cysticule. Nous verrons que dans beaucoup d'autres pois- sons il n'existe que l’une ou l'autre de ces deux petites poches sur lesquelles, excepté pour l'esox lucius, les anatomistes ne se sont presque jamais arrêtés. (Voy. pl. VI, fig. 3.) 2 CHAPITRE IX. ORGANE AUDITIF DU SAUMON (Sumo salar, L. ). Le saumon forme le type d’une grande famille parmi les poissons malacoptérygiens; nous avons dû en étudier l'organe auditif, afin de connaître jusque dans leurs détails les différentes variations que ce sens présente dans les divers groupes de cette famille du règne animal. L’oreille du saumon appartient au même type que celle du plus grand nombre des poissons osseux, c’est-à-dire qu'il y a trois oto- lithes ou concrétions pierreuses ; que la cavité dans laquelle l'organe est contenu communique avec celle du crâne, et que le sac est séparé du sinus médian par une espèce d'étranglement. Au reste, la disposition des trois ampoules et des trois tubes semi-circulaires n’oflre rien de particulier; elle est Ia. même que celle que lon a décrite dans la plupart des poissons Jusqu'à ce jour, et un regard jeté sur {a planche en donnera une idée par- faite. Une chose bonne à noter, c’est qu'ici chacun des troistubes semi-circulaires est enchaîné, tandis que dans plusieurs autres pois- sons le tube antérieur ne l'est pas. (Voy. pl. VII, fig..2, 2a, 2 b.) Le sac est renfermé dans une cavité particulière creusée dans la base du crâne, disposition déjà signalée pour ce poisson .et pour la carpe par MM. G. Cuvier et C.Duméril ; il se trouve donc au-dessous du niveau du cerveau, et c’est pour cette raison que les filets nerveux qui s'y rendent sont obligés de descendre directe- ment en sortant de la moelle allongée. La cavité du crâne est 646 RECHERCHES ANATOMIQUES remplie d'un liquide albumineux qui baigne l'encéphale et en même temps l'organe de l'ouie; ce liquide doit être considéré comme lanalogue de l'humeur de Cotugno chez les animaux supérieurs, car c'est par lui également que les ondes sonores doivent être transmises à l'appareil délicat de Faudition. Nous ne voyons aucune autre particularité digne de remarque qui doive nous arrêter, et sur laquelle nous puissions appeler lat- tention du lecteur. C’est parce que Foreille des saumons n'a pas jusqu'ici été décrite et représentée dans son ensemble, que nous en avons donné la figure et une courte description. Il n’y a de bien marqué dans cette oreille que la séparation distincte du sinus mé- dian avec le sac, et que la position déclive de cette dernière partie. (Voy. pl. VIL, fig. 2, 20, c, d.) CHAPITRE X. ORGANE AUDITIF DU TURBOT (Pleuronectes maximus, L.). Les pleuronectes sont des poissons dont la conformation est trop singulière pour que nous ne nous soyons pas empressés d'en étudier l'oreille. Cependant rien de bien particulier nous a frappé, et lor- gane auditif d'un côté ressemble absolument à celui de l'autre côté, quoïque ces deux organes soient placés l’un au-dessus de l'autre. En effet, puisque les pleuronectes nagent sur le côté, et que les oreilles sont d’ailleurs dans leur rapport ordinaire avec lencéphale, il s'ensuit tout naturellement qu'une des oreilles doit être en dessus et l'autre en dessous. Chez le turbot l'oreille droite est inférieure et l'encéphale est situé entre les deux oreilles, comme cela existe toujours. Dans le turbot l'organe auditif est séparé de a cavité du crâne par une expansion fibreuse, qui s'attache à cet organe et contribue ainsi à lui donner une position plus fixe. Une autre circonstance qui contribue à fixer l'oreille dans sa position, c'est que chaque sac est contenu dans une cavité profonde qui ne lui permet pas de sy mouvoir. SUR LA STRUCTURE DE L'ORGANE DE L'OUIE. 647 Le sacculus où sac, visible en d (fig. 1", pl VIT); est une poche oblongue, remplie d'un liquide gélatiniforme, dans lequel on voit nager deux concrétions pierreuses , que nous avons fait figu- rer en Det c (fig. 1°, a, pl VII). L'analyse chimique que M.E. Barruel fils a faite de ces concrétions lithoïdes ou otolithes, a fourni les résultats suivants : sur 100 parties il a trouvé : Matière animale. ... 992, 60 Carbonate de chaux. 74, 51 RÉHE MR CETIUOQ 1 2, 89 100, 00 ” ————— Le chimiste dont nous venons de parler n'y a pu découvrir aucune trace de phosphate de chaux, ni de carbonate de magnésie. Le saccule ou sac ne tient au reste de l'oreille que par une sorte de pédicule assez étroit. Au moyen de ce pédicule, il com- munique avec le Sirus médian qu'on voit en e (fig. 1", pl. VIT. Le sinus médian se prolonge en trois sens différents; 1° en haut, pour se diviser dans les deux tubes semi-circulaires z et Æ, 2° en avant, pour fournir une attache aux deux ampoules fet g'; cette extrémité antérieure est un peu renflée et contient dans son intérieur le petit otolithe ou lapillus, qu'on voit figurer en a (Are, 17 a); 3° en arrière pour donner attache à ampoule 2 et pour se continuer dans le canal demi-circulaire Z m. Les trois tubes demi-circulaires se distinguent en ce qu'ils sont un peu gréles pour l'espace qu'ils circonscrivent. Du reste, ils sont munis, chacun d’une ampoule f, #, À, et se distinguent en anté- rieur (2), en postérieur (k) et en externe (l,m). Le nerf auditif x part du côté de la moelle allongée par un seul faisceau, dont tous les filaments sont destinés à l'organe auditif, à l'exception du filet o, qui sort du crâne par un petit orifice parti- culier. Parmi les filets auditifs trois sont. destinés aux trois am- poules. Un pinceau de filets s'épanouit dans l'extrémité antérieure 648 RECHERCHES ANATOMIQUES du sinus médian, un autre pinceau plus grand se répand dans le sac vis-àsvis de la grande concrétion pierreuse; enfin, un dernier filet gagne. la partie postérieure du sac pour s'épanouir vis-à-vis Ja petite concrétion qui se trouve dans cet endroit. Jusqu'à M. de Blainville il n'y avait, à notre connaissance, que Geoffroy qui eût parlé avec quelque détail de oreille des pleuro- nectes, et encore cet auteur ne donne-t-il qu'une description con- fuse, sans figures, du labyrinthe de Ia limande ( pleuronectes li- manda,L), dané tte on pourrait démontrer plusieurs erreurs, sans parler des prétendues ouvertures pour le passage des nerfs, et qu'il considère comme représentant des conduits auditifs. Je ne ferai pas un semblable reproche à M. de Blainville qui, en peu d mots, a signalé les principales dispositions du labyrinthe du turbot. Ce qu'il dit du vestibule osseux est exact; cette cavité est petite, et le sac se trouve logé hors de ce vestibule dans une excavation des os du crâne, étrangère à l'oreille proprement dite. On voit encore ici une séparation très-marquée par un étranglement ou par un pédicule entre le sus médian et 1e sac lui-même, CHAPITRE XI. ORGANE AUDITIF DE L'ANGUILLE ( Muræna anguilla, Li. ). Le squelette osseux de Ta tête de Fanguille est extrèmement petit en proportion de la tête fraîche, La figure que nous donnons a été faite d’après la plus grosse anguille qu'il nous a été possible d'obtenir; cette figure est de grandeur naturelle. (Voy. pl. VIF, fig. 3.) L’oreille de ce poisson ne présente rien de particulier; elle est seulement remarquable par sa petitesse; on éprouve beaucoup de difficulté pour la disséquer, parce que les paroïs du labyrinthe sont très-délicates et transparentes ( ce qui fait qu'on les apercoit difh- —— SUR LA STRUCTURE DE L'ORGANE DE L'OUÏE. 649 cilement ), et parce qu’elle est entourée d’un tissu gras trop tendre pour pouvoir être enlevé avec la pince. Elle est située sur les côtés de la cavité cérébrale, dont elle n'est séparée que par une expansion membraneuse assez fine. Le Vestibule membraneux (e) est contenu dans une petite excavation creusée dans Îa base du crâne. H contient dans son intérieur un lapillus ou otolithe solide, de deux lignes de long sur une de large. Par sa partie supérieure il se continue avec lap- pareil des tubes demi-circulaires. Cet appareil se compose d'un sinus médian ou utriculeux (x) et de trois tubes semi-circulaires (f, g, i, fig. 3, pl. VII). En:se détachant du vestibule membraneux , le sinus médian se prolonge en trois sens, savoir : 1° en avant, pour donner attache aux deux ampoules antéricures ; 2° en arrière, pour donner attache à lampoule postérieure et pour recevoir lextrémité non ampoulée du tube externe; 3° en haut, pour recevoir l'extrémité non ampou- lée des tubes antérieur et postérieur. Les trois tubes demi-circulaires sont représentés, l'antérieur en f, le postérieur en d et lexterne en z. Le nerf provient, comme toujours, de la moelle allongée; il se divise aussitôt en auditif antérieur et en auditif postérieur. Le premier donne un filet à chacune des ampoules antér ieures et d'autres filets grêles au sac. Le nerf auditif postérieur donne un filet à l'ampoule postérieure et également des radicules au sac. Nous n'avons pas observé sur fanguille un rapport ou une com- munication quelconque de lorgane auditif avec un appareil plus externe ou avec le dehors. Toutes les parties de l'oreille de l'anguille sont formées d'après le même type que celui de Ia plupart des poissons osseux; nous ne voyons rien ici qui puisse rapprocher cette oreiïlle de celle des rep- tiles, comme le veut Geoffroy. Dans les reptiles ophidiens if y a un rudiment de limaçon, tandis que rien de semblable ne se pré- sente ici. Nous ne parlerons pas de Fanalogie que cetauteur cherche à trouver entre les trois petits otokthes de l'oreille de Fanguille et 5. 82 650 RECHERCHES ANATOMIQUES les osselets du tympan; cette erreur est celle de l'époque à la- quelle ce médecin appartient, et il ne fait que répéter ce qu'on avait dit avant lui, et ce qu'on a dit encore longtemps après Jui. Aujourd'hui où le système des analogies trouve plus que jamais des défenseurs, on a jugé cette analogie ce qu'elle vaut. Quoi qu'en dise Geoffroy ?, l'oreille de l'anguille est une oreille de poisson. Comparetti n'a rien ajouté à la description donnée par Geoffroy, et lun et l'autre cherchent, mais en vain, à trouver des ouvertures de communication entre l'intérieur du labyrinthe de languille et l'extérieur. La figure que nous a laissée le premier de ces auteurs sur l'oreille du Muræna anguilla est plus intelligible que beaucoup d'autres figures de l'ouvrage de ce même anatomiste; mais Ja des- cription qu'il fait de l'organe est entachée du défaut qui règne dans tout son livre, confusion et obscurité ?, CHAPITRE XI ORGANE AUDITIF DU LOUP(Perca labrax,L.;Sciæna diacantha,Bl.). (Voy. pl. XVL fig. 1, 2, 3.) L'organe auditif du bar ou loup offre de l'intérêt par sa grandeur, par un appendice qu'il porte à la partie postérieure du sac, enfin par des moyens d'union ou de communication entre les deux Iaby- rinthes. Il est formé sur le même type que celui de la majeure partie des poissons osseux. Situé dans épaisseur des paroïs du crâne, entre la cinquième et la huitième paire de nerfs, il communique par deux points avec celui du côté opposé. Cette communication, qui est purement d'adhérence, s'observe d'un côté au sac et de l'autre aux canaux demi-circulaires. En.le décrivant, nous parlerons suc- 1 Dissertation sur l'organe de l'ouïe de l'homme, des reptiles et des poissons; Amster- dam, 1778. ? Andreæ Comparetti, etc., Observationes anatomicæ de aure interna comparata ; Pata- vii, 1789, Observat. 66, pag. 248, pl. I, fig. xurr. SUR LA STRUCTURE DE L'ORGANE DE L'OU{E. 651 cessivement du sac, des canaux demi-circulaires et des nerfs qui se rendent à ces parties. L Le saccule ou sac! est situé dans une grande cellule qui se trouve au-dessus de la cavité du crâne; il a presque deux pouces de longueur et un pouce de hauteur. Sa forme est ovalaire, légèrement comprimée latéralement; à son extrémité postérieure il est muni d'un appendice (cysticule)*, et à son bord supérieur il est uni à l'appareil des canaux demi-circulaires par lintermé- diaire du sinus médian. Ses parois sont formées d’une lame cartilagineuse mince, transparente, élastique, et qui ne s'affaisse point lorsqu'on fait écouler le liquide qu'elle renferme; par la moitié postérieure de sa face interne, le sac adhère intime- ment à celui du côté opposé; de sorte qu'on ne peut les sépa- rer lun de l'autre qu'à l'aide du scalpel. De tout le pourtour des sacs il se détache une membrane qui tapisse Îa cavité dans la- quelle ces organes sont logés, et qui les tient fixés à Ieur place. L'intérieur de chaque sac est rempli d’un liquide gélatineux, dans lequel nage un très-grand otolithe (fig. 2., pl. XVT). Cet otolithe a plus d’un pouce de longueur sur sept à huit lignes de largeur; il est aplati, lésèrement bosselé à ses deux surfaces, dont l'externe est un peu concave et interne un peu convexe. Ses bords sont assez unis et ne présentent point de saillies en forme d'épmes. À Ia partie postérieure de la cavité du sac est un petit orifice qui mène dans Îa cavité de l'appendice; celui-ci, également aplati, a les parois formées du méme tissu que le sac; il contient une humeur gélatineuse dans laquelle nage un second Zapillus ou otolithe (fig. 3, a, pl. XVI), qui est mince, aplati, très-fragile et garni de saillies en forme d’épines. IL. L'appareil du sinus médian et des tubes demi - circulaires est superposé au sac et se compose des trois tubes et de ce sinus médian. ? Fig. ire, ff. PI. XVI. * Fig. re, g. PI. XVI. 652 RECHERCHES ANATOMIQUES Des trois tubes demi-circulaires fun est antérieur (pl. XVHF; fig. 1°, 2), l'autre postérieur (1) et le troisième externe (£, Æ); chacun est muni d'une ampoule à l’une de ses extrémités. Les ampoules du tube antérieur et du tube externe se trouvent en avant; celle du tube postérieur se trouve en arrière. Les conduits osseux destinés à les loger sont beaucoup plus larges que ne l'exige eur épaisseur, et par ces conduits ils sont enchaïnés au crâne, dont on ne peut les isoler qu'en détruisant toute la substance osseuse qui est interposée. Le sinus médian où utriculeux est formé d’une portion horizon- tale; c'est en » (fig. 1, pl. XVT) que ces deux portions se réunissent. La portion verticale est unie en /(fig.1, pl. XVI) à celle du corps opposé; cette union est simplement d'adhérence. La portion hori- zontale se continue postérieurement avec ampoule postérieure, et recoit l'extrémité non renflée du tube externe; antérieurement elle se continue avec les deux ampoules antérieures, sous lesquelles se trouve un troisième lapillus, le plus petit, qui n’a qu'une ligne et demie de longueur et une demi-ligne de largeur (voy. fig. 1°, », et fig. 3, à, pl. XVI). Le tissu des parois des tubes demi-cireulaires est de même na- ture que celui du sac, seulement plus mince. Celui du sinus médian est susceptible de s'affaisser, mais non celui des tubes eux-mêmes. UX. I y a deux nerfs auditifs, un antérieur et un postérieur; tous deux partent des côtés de la moelle allongée. Le nerf auditif antérieur se partage aussitôt en deux faisceaux, dont le supérieur (2, fig. 1°, pl. XVT) donne deux filets ampulfaires aux ampoules antérieures, un filet qui s’'épanouit autour du lapillus m', et un troisième cordon qui va à la partie antérieure du sac. Le faisceau inférieur o va sur le côté interne du sac. Le nerf auditif postérieur donne un filet 4 à l'ampoule posté- rieure, et un filet p, qui va à lappendice du sac ou cysticule. En décrivant le labyrinthe membraneux de lesox lucius nous avons dit que dans le perca labrax il existait un appendice ana- logue à celui de l'oreille du brochet : cet appendice est bien plus SUR LA STRUCTURE DE L'ORGANE DE L'OUÏE. 653 remarquable dans le bar que dans le brochet; et il pourrait étre plus naturellement comparé au limaçon des autres animaux ver- tébrés, car il ne correspond pas, comme celui du brochet, au trou occipital; il est situé au-dessous de cette ouverture dont ül est séparé par une lame osseuse, ne tient au sac que par un pé- dicule, mais sa cavité communique librement avec celle du sac; il recoit une branche du nerf qui lui est propre, et qui appartient au tronc nerveux qui se répand sur les autres parties du {labyrinthe membraneux ; enfin [a cavité de cet appendice contient de Fen- dolymphe et un otolithe. H possède donc presque tous les caractères qui appartiennent au limacon des oiseaux et de quelques reptiles; mais sa situation à la partie postérieure du fabyrinthe ne permet pas d'admettre cette analogie, et nous allésuons contre elle les raisons que nous avons déjà fournies contre l’appendice du laby- rinthe de l'esox lucius. Si avant nous l'oreille du perca labrax eût été décrite, nous ne doutons pas qu'on eût cherché à établir cette analogie entre cet appendice et une cochlée. Nous laissons à nos lecteurs de juger la valeur de nos arguments *. CHAPITRE XIII. ORGANE AUDITIT DU TRIGLE OU GRONDIN ( Trigla gurnardus, BI.). (PL VII, fig. 1.) Comme organisation externe des trigles offre quelques parti- cularités qui font que ce groupe de poissons est facile à recon- naître, nous avons cru que l'organe auditif déviait peut-être un peu du type commun quant à sa conformation. Cependant nous n'y avons rien reconnu qui puisse mériter de fixer particulière- ment l'attention de l’anatomiste; une seule disposition doit être mentionnée, c'est celle des tubes demi-circulaires antérieur et 1 Voyez ce que nous avons dit de l'appendice postérieur de l'oreille du brochet, cha- pitre XIX du présent mémoire. 654 RECHERCHES ANATOMIQUES postérieur. En effet, ces deux canaux ne sont point placés sur un seul point vertical, mais sur deux plans obliques qui se rencon- trent presque à angle droit dans le sinus médian; à partir de ce sinus chacun des deux plans est incliné en dehors. Le vestibule membraneux est formé de deux poches, dont lune antérieure, sacculus, plus grande (e), constitue le vestibule propre- ment dit, et l'autre postérieure ( f) n’est qu'une espèce d'appendice. Les cavités de ces deux poches communiquent ensemble. La grande poche renferme un otolithe solide, qui la remplit en majeure partie; la petite poche ne contient que quelques petites concré- tions fragiles. Ces deux poches vestibulaires sont situées dans une cavité de la base du crâne, au-dessous du niveau de la masse encéphalique. (PI. VIE, fig. 1.) La grande poche se continue supérieurement avec Fappareïl des tubes demi-circulaires, appareil formé par le sinus médian et les tubes proprement dits. Le sinus médian, immédiatement après avoir quitté le vestibule ou saccule, se prolonge en avant et en ar- rière. Antérieurement, il donne attache aux ampoules des tubes demi-circulaires antérieur et externe : postérieurement, 1l donne attache à lampoule du tube postérieur, et reçoit l'extrémité non ampoulée du tube externe. En outre, le sinus médian envoie un prolongement (9) en haut, {be commun pour recevoir les extré- mités non renflées des tubes antérieur et externe Les trois tubes membraneux demi-circulaires sont figurés en (tube antérieur), en 2 (tube externe), et en # ( tube postérieur). Le nerf acoustique, qui se détache de Ia partie latérale de la moelle allongée, se divise aussitôt en une branche antérieure et une postérieure. La branche antérieure (7) fournit d'abord la portion dure de la septième paire, puis des filets aux deux ampoules antérieures, à l'extrémité antérieure du sinus médian, et à la grande poche vestibulaire. (PL. VITE, fig. 1.) La branche postérieure f fournit un filet à l'ampoule posté- rieure 72 (pl. VII, fig. 1), et un autre à la petite poche vestibulaire. SUR LA STRUCTURE DE L'ORGANE DE L'OUÏE. 655 CHAPITRE XIV. ORGANE AUDITIF DE LA GRANDE ROUSSETTE (Squalus canicula, L.). (Voy. pl. VUE, fig. 2.) Cette oreille ne présente rien de très-remarquable; elle res- semble à celle des autres squales dont nous avons déjà donné la description et les figures. Point de communication libre avec l'ex- térieur, si ce n'est la fenêtre fermée par une expansion fibreuse et couverte par la peau. Elle est séparée entièrement de la cavité crânienne par une cloison cartilagineuse. Le sac, presque con- fondu avec le sinus médian, renferme une matière blanche, amy- lacée ; il y en a également un petit noyau dans le sinus médian. L'oreille en général est de grandeur moyenne. Les parois des tubes semi-circulaires nous ont paru un peu moins grandes, rela- tivement aux canaux membraneux, que dans Îes raies. Le nerf acoustique se divise de même que chez ces derniers poissons; à son origine 1l marche à côté du nerf optique, en sorte qu’on le dirait confondu avec ce dernier. Cette disposition si simple de Foreille de la grande roussette et de quelques autres squales, semble établir une différence mar- quée entre les squales et les raies, et cependant on les place assez près Îles uns des autres dans nos tableaux zoologiques. Le canal ascendant de l'oreille des raies, des pastenagues, des torpilles, des chimères, établit, d'après cette seule pièce de Poreille, une différence qui amènera certainement à la découverte de quelques autres, qui finiront par établir une séparation bien plus marquée qu'on ne Ta fait jusqu'ici entre tous ces chondroptéri- giens !. 1 Depuis l'époque déjà éloignée où nous écriyions cette description de l'organe auditif de Ia grande roussette, nous avons examiné l'oreille d'un grand nombre de squales sur Ies- 656 RECHERCHES ANATOMIQUES Enfin une différence, appartenant aussi à la structure de Tor- gane auditif, se fait remarquer dans le mode de communication ou d'isolement de Îa cavité du crâne et de Ia cavité du labyrinthe. Nous nous bornons ici à rappeler ces caractères, sur lesquels nous nous sommes déjà arrêtés ailleurs. CHAPITRE XV. ORGANE AUDITIF DU PTÉROÏS. ( Pterois volitans. — Scorpæna volitans ?) ( Voy. pl. VIT, fig. 3.) Nous ne pourrons pas donner du ptéroïs une description aussi détaillée et aussi exacte que nous Faurions désiré d’un poisson si intéressant. Les nerfs et quelques autres parties molles étaient trop ramollis et trop altérés pour permettre une dissection minu- tieuse, cependant nous nous sommes efforcés de représenter avec exactitude les formes générales”. L’'oreille est de grandeur moyenne , sans communication à l'exté- rieur; mais derrière le sac se trouve une cavité (pl. VII, fig. 3, :), quels nous avons découvert et constamment reconnu l'existence d'ouvertures de communi- cation entre le sinus médian et l'extérieur. M. Buchanan (a) a fait une observation sem- able, et l'on voi ouver s reprséentées sur une planche appartenant à Ja escription blable, etT t ces ouverture t Jancel t tà la d ü du muséum du collége des chirurgiens de Londres (4). Nous n'avons pas voulu modifier notre première rédaction, nous réservant de donner plus tard l'histoire de l'organe auditif des squales. (a) M. Buchanan nomme Ie canal qui conduit à ce méat the auditory tube, et il le con- sidère comme correspondant au sinus auditorius externus de Wéber, — Voyez : meatus auditorius externus of the SQuALUS cANUS. ( Philosophical illustrations of tke organ of hearing, p. 106. London, 1828.) (6) Descriptlive and rllustrated catalogue of the physiological series and comparative anatomy contained in the museum of the royal college of surgeons in London. Vol. II. — p- 1. p. 189. PI. 33. C’est sur le monk-fish, squalina angelus, Dum., que l'examen de ce meatus auditorius externus a été fait. 1 Ce poisson nous a été donné par M. Lamare Picquot, qui l'avait rapporté de son voyage aux {ndes orientales. em a STE SUR LA STRUCTURE DE L'ORGANE DE LOUIE. 657 dans laquelle on apercoït lorifice d’un canal qui donnait proba- blement passage à un conduit membraneux pour faire communi: quer le labyrinthe membraneux avec la vessie natatoire; maïs c’est cerque nous ne pouvons afhirmer, parce que les parties molles de ce canal étaient trop aitérées pour per mettre d'en apprécier rigou- reusement la disposition. Le sinus médian est petit. Nous avons trouvé un lapillus que nous avons fait représenter, lequel est extrêmement mince et creusé en forme de cuiller; sa face concave regarde en dehors. Au point de jonction des deux tubes membraneux antérieur et postérieur, on remarque un petit ligament qui s'attache aux parois du crâne et qui soutient le canal commun. En différents endroits les parois du crâne sont si minces s qu’ on voit le jour à travers. (Voy. pl. VII, fig. 3). CHAPITRE XVI ORGANE AUDITIF DES RAIES. (Voy.les pl. IX, X, XI, XIL.) L'oreille des raies se distingue de suite, par un, caractère très-frappant, de celle de tous les poissons osseux : c'est que cet organe ne communique aucunement avec la cavité du crâne, dont ïl est séparé par une paroi épaisse et cartilagineuse. Dans les poissons osseux, au contraire, la cavité cränienne ne fait qu'un avec la cavité du labyrinthe, et le liquide qui entoure le cerveau est le même que celui qui baigne le labyrinthe membraneux. Ce caractère rapproche donc les raies des animaux supérieurs, quoi- que, dans la plupart des systènies ichthyologiques actuels, on les ait placées à [a fin. Linné, qui a montré du génie jusque dans ses erreurs, avait placé les raies parmi les reptiles, et en effet les poissons cartilagineux forment le passage des batraciens aux pois- sons osseux. Or, puisque la cavité auditive est séparée du crâne dans les raies, il s'ensuit que ces animaux ont une humeur de 5. 83 658 RECHERCHES ANATOMIQUES. Cotugno proprement dite, tandis que dans les oïssons osseux le liquide en question et le liquide encéphalique sont confondus. Si quelques doutes pouvaient s'élever sur l'existence de deux liquides bien distincts dans l'oreille (Ia périlymphe et lendolym- phe), nous citerions le abyrinthe des raies pour démontrer in- contestablement la présence de ces deux humeurs. L'organe de louie dans les raies offre plusieurs particularités bien dignes de remarque : 1° son isolement; 2° sa séparation de la cavité crà- nienne: 3° Texistence de canaux demi-cireulaires cartilagineux, qu'on peut isoler du reste de [a substance cartilagineuse, comme Von sépare les canaux semi-circulaires osseux au milieu de la substance celluieuse des os du crâne dans les mammifères et sur- tout dans les oiseaux; 4° l'existence d’un espace très-grand entre la paroi interne de ces canaux semi-circulaires cartilagineux et les tubes membraneux; 5° un liquide distinct de celui que con- tient le labyrinthe membraneux, et de celui qui baigne l'encé- phale : ce liquide, que nous avons nommé la périlymphe, est contenu entre les parois cartilagineuses et Le labyrinthe mem- braneux ; 6° un canal conique, s’élevant de [a partie supérieure du vestibule membraneux et particulièrement du sinus médian, va s'ouvrir au dehors sans qu'il soit fermé par aucune membrane en forme de diaphragme, ou par aucune valvule : nous avons re- connu l'existence de ce canal dans les raies, les chimères et Îes squales; il paraît être étranger aux chondroptérigiens à branchies libres; 7° une fente ovalaire fermée par une membrane et re- couverte par Îa peau : sous ce dernier rapport, l'oreille des raies ressemble encore à celle des squales, etc. L’oreille des raies est située sur les côtés de Ta cavité du crâne, en arrière des yeux, entre la cinquième et [a huitième paire de nerfs, dans une cavité propre qui, comme nous l'avons déjà dit, na aucune communication libre avec l'intérieur du crâne. Cette cavité auditive a deux sortes de communications avec lex- térieur : 1° elle présente ce que, dans l'anatomie de l'oreille, on appelle une fenétre; 2° une communication se voit entre Îa cavité DE LA STRUCTURE DE L'ORGANE DE L'OUIE. 65 du Jabyrinthe membraneux et extérieur: La première; fermée par une membrane, est en rapport, par sa face interne, avec la cavité du abyrinthe :cartilagineux, contenant Ja périlymphe: La seconde, plus remarquable encore et plus insolite, établit une voie libre entre le sinus médian et le milieu dans lequel vit lani- mal. Abstraction faite de l'ouverture fermée par une membrane, nous pourrions nous servir d’une comparaison qui donnerait une idée approximative de ce que nous voulons exprimer; la cavité auditive est comme a cavité des plévres, et la cavité du Iaby- rinthe membraneux, comme celle des poumons; la cavité des plèvres, qui contient, ne communique pas avec le dehors, mais la cavité du poumon, qui est contenue, communique avec l'ex- térieur. Nous parlerons plus bas de la communication qu'a le labyrinthe membraneux avec le dehors, et de la fenêtre fermée par une toile membraneuse. Pour décrire d’une manière méthodique organe auditif, nous y distinguerons plusieurs appareils, savoir : 1° celui du sinus médian et du sac, peu distincts l'un de autre; 2° celui des tubes semi-circulaires; 3° celui du tube ascendant: (Voy. pl. X, fig. 2.) IL. Le sac à pierre constitue une poche membraneuse assez vaste, pourvue de deux appendices, dont lun antérieur est T'usri- cule, et Tautre, postérieur, constitue le cysticule. Le sac et les deux appendices renferment chacun un amas de poudre calcaire (voyez pl. X, fig. 1", Z /,m, n). Le sac a sa plus grande étendue d'arrière en avant ; il est comprimé latéralement, de sorte qu'il est beaucoup plus Iong qu'il n’est large. Plusieurs brides fibro-cellu- leuses le fixent aux parois de la cavité auditive; ses parois sont transparentes et facilement déchirables, ainsi que celles de tout le labyrinthe membraneux; en avant, il communique avec lap- pendice antérieur, ou utricule m, qui est rond, un peu comprimé, et qui donne attache aux deux ampoules antérieures o et p. En arrière, il communique avec le petit appendice x ou cyshicule, qui ressemble à un petit tubercule arrondi; ainsi la cavité des deux 83° 660 | RECHERCHES ANATOMIQUES appendices communique avec celle du sinus médian ou cavité principale. Celle-ci, enfin, se prolonge supérieurement en un canal étroit (x, figure 1", pl. X), qui s'ouvre au dehors de la partie supérieure de la tête : c'estile tube ou canal: ascendant; mais, avant de s'ouvrir, ce canal éprouve, sous la peau de da tête, un: élargissement Cf pLIEX; pl. X, fig. 2), et fait un tour de spi- rale déjà indiqué:par Geoffroy, décrit par Monro et représenté fort bienpar E. Weber. L’orifice extérieur est très-petit (d, e, pl. IX); et.est rapproché de Ja ligne médiane de la région occipitale. Ce canal, qui fait communiquer le sac avec le dehors, a été pris pour lanalégue d'une fenétre, ou pour le conduit auditif ex, terñe, par lequel passeraient les vibrations sonores. Nous avions d'abord considéré comme l’'aqueduc du vestibule. Le sinus médian et le sac auditif, ainsi que leurs appendices , sont remplis d'une humeur gélatineuse, claire comme du cristal (ex- dolymphe), au fond de laquelle se trouvent les amas de poudre calcaire. Nous avons tàché de donner une idée de la forme et du volume de ces amas, dans la pl. X, par la figure 3. Le plus grand amas (D) est contenu au fond du sac ; le plus petit (c) setrouve dans le petit appendice (2); le moyen pour le volume se trouve dans Fap- pendice (m). M. Barruel, qui a bien voulu se charger d’une ana- lyse de ces masses de poudre calcaire, y a trouvé sur cent parties : Matière animale analogue au mucus.... 25, 00 Caxbonate de chaux... +..... 1. Le, A 75200 100, 00 Las cu n’a pu y découvrir ni phosphate de chaux, ni carbonate de magnésie : cette matièré est blanche, pulvérulente, douce au toucher. Des faisceaux de nerfs viennent se terminer à chacun des endroits où se trouvent les amas de poudre calcaire. ‘IL Dans lappareil des tubes semi-circulaires, nous observons {es trois canaux disposés à peu près de la même manière que SUR LA STRUCTURE DE L'ORGANE DE LOUÏE. 661 dans les poissons osseux, mais distincts néanmoins par plusieurs particularités. ; Le tube antérieur (0, s, s, fig. 1", pl. X) a son ampoule (0) immé- diatement attachée à lappendice (m); il est enchaîné par une substance cartilagineuse; il se contourne sur la partie antérieure du sac, en s'appliquant contre le tube ascendant (x), et vient se terminer vers Fappendice (m), dans lequel ïl s'ouvre : on voit par conséquent que le tube semi-circulaire antérieur fait pres- que un cercle entier; disposition qui n'avait pas échappé à Îa sa- gacité de P. Camper. Le tube externe (p,t,t,pl.K°, fig. 10) a son ampoule pédiculée : le pédicule s'implante également dans lappendice (m); Ie canal lui- même contourne ensuite une colonne cartilagineuse qui Fenchaine, revient se jeter sur le bord supérièéur du sinus médian, et se termine en s’ouvrant dans ce dernier, près du commencement du tube ascendant («); ce tube fait donc aussi, comme on voit, plus d'un demi-cercle. Enfin, le {ube postérieur est le plus remarquable de tous, en ce qu'il forme un cercle complet(g, r;, r, r, fig. 1", pl. X); l’ampouleg, située vers l'extrémité postérieure et inférieure de la cavité audi- tive, se continue dans le tube (7,r,r), lequel passe derriere une petite colonne de matière cartilagimeuse qui l'enchaïine. Arrivé vers le haut de la cavité auditive, ä se replie à côté du tube ascen- dant (x), et redescend, sous forme d'un tuyau aplati, au devant du sinus médian, pour regagner lampoule. Ici le cercle est com- plet et lampoule n’est qu'une dilatation placée sur un des points de Ia circonférence de ce cercle. Souvent toute communication est interdite entre le sac et la portion du tube qui descend au de- vant de ce sac, d'où il suit que le canal postérieur formerait alors un appareil isolé. _ Les figures 1 et 2, pl. X, rendent avec une grande vérité toute cette disposition si compliquée et si curieuse de l'oreille de la raie. Le nerf auditif n'est ici qu'un faisceau du nerf de la cinquième 662 RECHERCHES ANATOMIQUES paire (, fig. 1", pl. X). Le faisceau auditif se distribue de la manière suivante : 1° Chacune des trois ampoules reçoit un filet particulier; ces trois filets sont figurés en x, x et x. 2° Chacun des endroits où est déposé de la poudre calcaire recoit des nerfs, savoir : le faisceau y pour l'appendice antérieur du sac ou l'utricule, le faisceau 7 pour le sac lui-même, et le fais- ceau Ÿ pour lappendice postérieur du sac ou cysticule. 3° Un filet tout particulier à [a raie (@) gagne la partie su- périeure du sac et s'y épanouit : cette disposition est remarquable en ce que nous n'avons rencontré rien de semblable dans aucune autre espèce de poisson. 4° Enfin, le filet », qui perce la paroi du crâne pour se distribuer au dehors avec les nerfs de Ia cinquième paire : ce filet, assez constant dans les poissons, pour ses rapports, nous semble représenter la portion dure de la septième paire, chez lhomme et les autres mammifères. Ici se bornaient nos recherches sur l'organe auditif des raies, lorsque nous présentimes à l'académie des sciences un premier mémoire sur l'oreille des poissons; mais, ayant eu, peu de temps après cette lecture à l'académie, Foccasion de disséquer un pois- son (la chimère antarctique, ckimæra callorynchus ) que les ichtyo- logistes rangent, dans leurs classifications, immédiatement après les raies, nos observations sur forgane de Fouïe sont venues confir- mer la justesse de cette détermination zoologique, en nous mon- trant la plus grande ressemblance entre l'oreille de ces deux genres de chondroptérigiens. Dans cette circonstance, nous crûmes devoir examiner de nouveau, dans toutes ses parties, la structure du labyrinthe de plusieurs espèces de raies et de squales, et nous consultâmes en même temps les écrits des zootomistes qui nous ont précédé. Ce n'est pas sans étonnement que nous avons vu que, sur ce point comme sur tant d’autres d’une science positive, SUR LA STRUCTURE DE L'ORGANE DE LOUIE. 663 on n'était pas d'accord, et dès lors nous avons repris notre travail pour dissiper les incertitudes ; nous croyons devoir placer ici indi- cation des principaux résultats de nos dernières dissections de l'organe auditif des raies et des chimères; plus tard, nous décrirons d'une manière complète l'oreille de plusieurs squales. C’est principalement sur les ouvertures de communication mé- diate ou immédiate avec l'extérieur qu'il y a le plus d'opposition parmi les anatomistes. La description de l'oreille de la raie, donnée par Geoffroy, n'a point assez de précision et de clarté pour croire qu'il ait connu le canal ascendant communiquant à l'extérieur; cependant, d'après ce qu’il dit des ouvertures placées à la paroi supérieure , on doit présumer qu'il a seulement indiqué les ouvertures vestibu- laires ?. Il n'en est pas de Monro comme de Geoffroy; ses indications sont précises et ses figures exactes *. Le canal ou tube ascendant, partant du sinus médian et Souvrant au dehors, après avoir tra- versé la peau , est clairement décrit et représenté : il indique jus- qu'à son renflement et son inflexion sous-cutanée, et nous ne comprenons pas comment des hommes d'un mérite aussi élevé que P. Camper, Vicq-d'Azyr et Scarpa, etc., ne se sont pas rendus à l'évidence. 1 Dissertations sur l'organe de l’ouie de l'homme, des reptiles et des poissons, etc. Amsterdam, 1778. 2 « Outre ces trois canaux et les deux ouvertures qui pénètrent jusqu'au cerveau, on «remarque encore dans Îe fabyrinthe de Ia raie deux autres trous : lun postérieur est plus «grand, l'autre antérieur est plus petit; tous deux sont formés par des ligaments et recou- «verts par la peau de l'animal. » 3 The Structure and Physiology of fishes explained and compared with these of man ond other animals ; Edinburgh, 1785. «In the back part af the occiput, near the joïning of the head with the spine, two « holes, not larger than to admit the head of small pin, are found at the distance of an inch «each other in a large fish. Each of these feads into a capacious winding canal or concha, «whichdescribes nearly 4 complete circle. The two concha are separated from each otlier by «thin partition. Each auditorius externus is continued. The meatus is Iodged in the hollow «iost betwen two thick cartilages; and as there is no membrana tympani, it opens into a «large sac, which contains a white or opake matter, with a quantity of clear watery looking, «but viscid matter, etc. » (Page 48.) 664 RECHERCHES ANATOMIQUES P. Camper dit affirmativement que l'organe de louïe de Ja raie n'a aucune communication avec fair atmosphérique qui est ren- fermé dans sa caisse, qui est la cloison ‘; il blâme Geoffroy d'at- tribuer une ouverture extérieure à loreille ?. Jean Hunter fait remonter ses propres recherches, sur la struc- ture de Forgane de louïe des poissons, avant Fannée 1760; ül revendique en sa faveur lhonneur d'avoir découvert le canal de communication entre le vestibule membraneux et le dehors, dans le genre raie, et affirme avoir vu cette disposition avant que Geoffroy en eût parlé. La phrase par laquelle il indique Torgani- sation de l'oreille de la raie ne laisse pas dans l'esprit l'incer- titude et l'obscurité que nous avons reprochées au travail de Geoffroy. Cependant l'ouvrage de J. Hunter *, dédié à Joseph Bank, n'a été publié qu'en 1786, et postérieurement à celui de Monro. Vicq-d'Azyr* n'a donné qu'un aperçu rapide sur l'anatomie des poissons : dans deux endroits différents de ses ouvrages, il parle de l'organe de fouiïe de ces animaux”; il cite Geoffroy, dont il connaissait le mémoire sur l'organe de l'audition de la raie, et déclare avoir inutilement cherché une ouverture extérieure dans l'oreille de ce poisson : à cet égard, il adopte l'opinion de 1 Mémoire sur l'organe de l’ouïe des poissons, par Petrus Camper. Mémoires de mathématique et de physique présentés à l'académie royale des sciences par divers savants; tome VI, 1774. 2? Page 194. 3 « In some fishes the external communication, ormeatus, enters at the union of the two « perpendicular canals; which is the case with all the ray kind, the external orifice being «small, and placed on the upper flat surface of the head; but it is not every genus or «species of fishes that have the external opening.» An account of the organ of Hearing in Jishes.— Observations on certain parts of the animal æconomy; 2° édition; Londres, 1792, p- 84. 4 Mémoires sur les poissons; 1% mémoire, page 165, tome V; édition de Moreau de Ia Sarthe. 5 Mémoire de la structure sur l'organe de l'ouie des Oiseaux, comparée avec celle de l'organe de l'ouïe dans l'Homme, les Quadrupèdes, les Reptiles et les Poissons, œuvres de Vicq-d'Azyr, tome IV, page 338.— Mémoire sur les Poissons, tome V, page 179. SUR LA STRUCTURE DE L'ORGANE DE L'OUÏE. 665 P. Camper, et donne l'analyse du mémoire de l'illustre savant hollandais dans une note jointe à son propre travail. Comparetti’ a reconnu, à n’en pas douter, les ouvertures fer- mées par une membrane fibreuse, qui sont situées sur le crâne, vers Îa région occipitale, et qu'on nomme communément fenétre ovale; il a vu ces ouvertures sur la roussette, lange et d'autres squales , ainsi que sur les raies; mais il ne paraît pas avoir re- connu Île canal établissant une ligne de communication entre le sinus médian et Vextérieur? ; cependant une phrase semblerait in- diquer qu'il a connu ce canal, s'il ne l'attribuait pas au passage d'un cordon nerveux, dans le squalus squatina. M indique claire- ment l'existence de la fenêtre ovale dans le squalus catulus et dans le squalus catulina, où nous l'avons aussi observée et décrite. Les figures données par Comparetti sont très-imparfaites, et ne donnent aucun indice de l'existence du tube ascendant “à L'ouvrage de Scarpa parut dans la même année que celui de Comparetti, et, si le professeur de Pavie s'exprime d’une manière plus claire et plus précise que Comparetti, il n’a pas été plus heureux que lui pour découvrir Ia vérité : on ne sait ce qui doit étonner le plus dans ce célèbre anatomiste, ou de lerreur qu'il a commise, lui dont tous les travaux démontrent la plus rare sa- gacité, ou de la manière dont ïl traite Monro, sur ce qu'il dit de l'existence, dans les raies, d’un conduit établissant une commu- nication entre le labyrinthe et l'extérieur”. Scarpa, contre lopmion 1 Andreæ Comparetti observ. anatomiceæ , de aure interna comparata. Patavii, 1789. 2 « Cute cranii posteriore recisa, in parte media et superiore capitis rajæ, et squali «occurrit substantia mollis, mucosa, contenta in foyea, qua retecta se præbent duo fora- «minula majora, quæ molli membrana occlusa sunt et duo alia minora magis externa, et “anteriora, etc.» (Observ. Lxv, page 226.) 3 «Minus profonda et magis ampla est fovea superior, quæ impletur humore mucoso, «sub cute cranïi latente in catulina et catulo, ubi, muco detracto, hinc illine apparet « foramen ovale, membranula firma occlusum; qua discissa aditus paratur ad foveam ante- «riorem canalis posterioris. » (Page 231.) 4 Tabul. II, fig. 1,2, 3,4,5,6, 7. 5 « Quamvis Geoffroeius olim monuerit raiam, cum pluribus de causis, tum ob organ: «auditus structuram, cum reptilibus animalibus convenire; et Joh. Hunterus ostéi cujusdam B,. 84 666 RECHERCHES ANATOMIQUES de Geoffroy, de Jean Hunter et de Monro, refuse à l'oreille des poissons cartilagineux toute communication avec l'extérieur. Il admet seulement l'existence d’une ouverture sous-cutanée, fermée par un couvercle membraneux, et il la nomme fenétre ovale. Le canal ouvert au dehors, et dont l'autre extrémité commu- nique avec le labyrinthe membraneux, quoique bien décrit par Monro, n’est pas admis par Scarpa, qui accuse de folie lanato- miste écossais ‘, et pense qu'on a pris des conduits muqueux pour des conduits auditifs, car autrement, suivant lui, 1l faudrait admettre que Fair et l'eau peuvent pénétrer dans la cavité de l'oreille jusqu'au siége immédiat de l'audition, sur la pulpe nerveuse, ce qui est aussi absurde que contraire à la vérité?. Si Scarpa nie formellement l'existence d’un canal ouvert à l'ex- térieur, il admet celle d’une fenétre ovale, et il la décrit avec pré- cision *; cependant nous trouvons peu de clarté dans la division qu'il fait du vestibule en trois sacs“. IL faut que Pokl* n'ait guère disséqué que des sturioniens et «auditus externt in cartilagineis piscibus mentionem fecerit; et Monrous exterrum hoc au- « ditus ostium descripserit fusius atque delineaverit, veniam nihilominus nos impetraturos « fore speramus, si pronunciare veritas cogit Geoffrocium sententiam suam, non sat firmis “argumentis ex anatome desumptis comprobasse; Hunterum autem, atque Monroum «vehementer super hac re sibi &4LLUCINATOS fuisse, Etenim nullum prorsus adest ostium «auditus extus adapertum in cartilagineis piscibus , ejusque oco, sub aspero horum «animantium tegumento, fenestra ovalis reperiunda est membranaceo operculo, a nemine «huc usque memorato, obducta quæ fenestra in cartilagineis piscibus communicationis «“rationem inter sonantia corpora, et immediatam auditus sedem constituit Jonge ab ea « diversam, quam, qui in horum animalium sectione minime versati sunt, ex Hunteri et « Monroi descriptione mente concipere aliquando possent. » (Præfatio, pag. 1 et 2.) 1 Monrous in opere cui titulus Physiology of fishes, sect. 11, Ç 1v, tom. VII, fig. 1 et 2, docet in raja prope juncturam capitis cum spina adesse foramina duo exigua, quæ ad aures ducunt, Qua in re vehementer sibi kallucinatus est, ostia nimirum ductuum muco— sorum, ut manifestum est, pro auris meatubus accipiens, Etenim omnino nullum est in cartilagineis piscibus ostium auditus extus adapertum, membranaque fenestræ ovalis sub communi tegumento recondita jacet, et cooperta. (Anat. disquis. : De auditu et olfactu, pag. 9.) 2 Page 9, note d. 3 Sv;—Svr, page 9. 4 Sur. 5 Expositio generalis anatomica organt auditus per classes animalium, ete. auct. Christ, Eduardo Pohl; Vindobonæ, 1818. SUR LA STRUCTURE DE L'ORGANE DE L'OUIÏE. 667 des poissons osseux, pour dire d'une manière générale que, dans les poissons, les cavités de l'oreille et de l'encéphale communiquent librement entre elles, et forment, en quelque sorte, un réservoir commun :. I indique l'existence des deux ouvertures fermées par une membrane qui, dans les chondroptérigiens, représentent la fe- nétre ovale, mais il ne nomme aucun poisson en particulier, et il se tait sur Île canal ascendant dont nous étudions maintenant a disposition dans Îes raies ?. En indiquant les deux ouvertures que le cobitis fossilis présente sur la région occipitale, il les considère comme analogues à la fe- nétre ovale* ; mais depuis lui Weber a démontré qu’elles donnent passage au sus impar, par lequel le labyrinthe et la vessie aérienne communiquent ensemble. Dans quelques chondroptérigiens, le labyrinthe, suivant Ca- vus“, n’est pas libre, mais renfermé dans l'épaisseur des parois des os du crâne, et le labyrinthe cartilagineux est beaucoup plus vaste que Île labyrinthe membraneux. Il existe encore chez ces poissons, outre les trois amas de matière amylacée , les trois canaux et les poches du vestibule, un moyen de communication entre l'intérieur de oreille et le milieu, qui transmet les sons; c’est un canal en cul-de-sac, sortant de la paroï interne du labyrinthe, se portant en haut et en dedans vers la face postérieure et supérieure du crâne, où son extrémité est fermée par une membrane. Cette membrane, 1 « Communicatio tamen libera inter ea persistit, cam interna, cavi pars, aperta, nullo « pariete cartilaginoso a cranio separatur. » (P. 7 —S 1v.) « In omnibus piscibus cavum auditus cum eo encephalï libere communicat, sed in osseis «stricto in sensu unam eandemque cavitatem constituit. » (Sur, page 5.) 2 « Chondropterysïü. præter jam notatas differentias secundum ill. Scarpa adhuc alias «memoratu dignas ostendunt. Ad occiput nempe sub integumentis communibus duo «apparent foramina, membrana tensa obturata, quæ directe cum vestibulo communicant, «et quæ in branchiostegis desunt. » (Pag. 8.) « Miratus sum, has aperturas in cobiti fossili, pisce osseo,, invenire, penitus cum lis «“convenientes, dum omnia alia cum apparatu osseorum concordant, ita ut hac ratione «transitum reperire credas ab osseis ad cartilagineos, » (Pag. 8.) 4 Lehrbuch der zootomie, etc. Von Cart. Gust. Carus; Leipsig, 1818. Pag. 225, (361. 84* 668 RECHERCHES ANATOMIQUES qu'on peut comparer à celle de la fenétre ovale dans oreille hu- maine, se trouve encore revêtue, en dehors, par la peau. Cette disposition se rencontre surtout dans la raie et le requin, mais elle ne paraît pas exister dans le pétromyzon. Ce seul passage du livre de l'un des plus habiles et des plus sa- vants anatomistes de l'Allemagne, prouve que les idées qu'il avait sur l'oreille des poissons cartilagineux étaient tout à fait inexactes. M. Carus n'indique dans cette description que la fenétre ovale, et il ne fait aucune mention du canal dont lorifice supérieur s'ouvre au dehors ‘. En 1815, lorsque nous commençämes nos recherches sur fa structure de l'oreille dans les animaux vertébrés, nous étudiâmes cet organe dans les poissons, nous constatâmes l'existence du canal ascendant chez la raie; mais, connaissant les travaux de Geoffroy et de Monro, nous insistâmes peu sur l’histoire de cette disposition; plus tard, reprenant nos travaux, nous étudiâmes de nouveau ce conduit, nous Île fimes dessiner. Dans le mémoire accompagné de figures, que nous lümes à cette époque à Faca- démie des sciences, ce canal était représenté et décrit. Plus tard nous connümes l'ouvrage de M. E.-H. Weber?; nous vimes que les recherches de cet habile anatomiste s'accordaient avec les nôtres; qu'il avait soigneusement observé l'oreille des chon- droptérigiens, et particulièrement celle des raies. C’est surtout sur Îa raie bouclée (raia clavata), la torpille (raëa torpedo), la raie aigle (raia aquila), la pastenague (raia myraletus ), que ses recherches ont porté. Exactitude et précision dans la description , 1 Lorsque nous composions ce mémoire, M. le professeur Carus n'avait encore publié que Ja 1re édition de son ouvrage; mais, dans la 2° édition, ce célèbre anatomiste fait connaître les découvertes de M. Otto, sur le Zepidolopruus trachyrhincus, «uber die gehor- organe des Zepidoloprus trachyrhincus und cælorrhyncus, etc. Voyez Zeitschrift fur phy- siologte, von F. Tiedemann und Treviranus, tom. II. p. 86. Darmstadt 1826.» Et celles de Ch. E. H. Weber sur les raies et particulièrement sur la rara aquila. Tom. I. p. 450, S 435. Traité élémentaire d'anatomie comparée, traduit de l'allemand, par A. J. L. Jourdan. Paris, 1835. ? De aure et auditu hominis et animalium., pars 1e, De aure animalium aquatilium. Auctore Ern. Henr. Webero; Lipsiæ, 1820, SUR LA STRUCTURE DE L'ORGANE DE L'OUÏE. 669 clarté dans les figures, tout est réuni chez ce savant zootomiste. Non-seulement M. E.-H. Weber décrit dans les raies le canal ascendant, qu'il nomme sinus auditorius | mais encore il indique le muscle annexé à ce canal et l'existence de Îa fenétre ovale dans les raies et dans les squales. Nous n’aurions pas poursuivi nos investigations sur ce point du sujet qui nous occupe depuis long- temps, sinous eussions connu plustôt l'ouvrage de M. E.-H. Weber; cependant nos propres recherches ne seront peut-être pas inu- tiles, puisque aujourd’hui encore plusieurs anatomistes semblent douter de l'existence de ce conduit, ou ne font aucune mention de cette voie de communication entre le labyrinthe membra- neux et l'extérieur; notre travail, indiquant l'existence du canal ascendant dans un plus grand nombre de chondroptérigiens, appellera plus vivement l'attention des naturalistes sur ce point; ils vérifieront nos observations, et toute incertitude sera désor- mais détruite. M. de Blainville‘ ne donne pas d'indications suffisantes sur la structure de l'oreille des chondroptérigiens; il dit que le vesti- bule membraneux, rempli d’un fluide aqueux, communique, jusqu'à un certain point, avec l'extérieur, au moyen d'un orifice ovalaire percé à la partie supérieure et postérieure du crâne. La peau qui passe dessus cette espèce d'orifice vestibulaire ou de fenêtre ovale n'a cependant éprouvé aucune modification *. Ces paroles ne peuvent se rapporter qu'à la fenétre ovale qu'on rencontre sur les squales et les raies, mais elles ne paraissent pas désigner le canal ascendant, que nous savons exister dans ces poissons et dans les chimères. En décrivant l'oreille des squales, il dit : «qu’elle fend à communiquer avec Fextérieur par un orifice ovale, situé à peu de distance de Ja ligne médiane de Focciput. Cet orifice n'est pas fermé par une membrane particulière, mais la peau qui passe dessus adhère fortement dans toute sa sur- 1 De l'organisation des animaux, vu Principes d'anatomie comparée, etc., tom, I; Paris, 1822. 2 Pag. 554 et 555. 670 RECHERCHES ANATOMIQUES face, et ne diffère nullement de ce qu'elle est dans le reste du corps. » Le savant que nous venons de citer n’a voulu sans doute parler dans ce passage que de la fenétre vestibulaire, et non du canal ascendant. W à commis une inexactitude, en affirmant que cette fenêtre ovale n'est pas fermée par une membrane particulière ; enfin ilindique , comme propre ausquale milandre, outre louver- ture vestibulaire, un canal en tout semblable au canal ascen- dant, sinus auditorius externus de M. E.-H. Weber, existant dans les raies. Ce canal du milandre ne paraît aux yeux de M. de Blainville qu'une disposition comparable au système lacunaire”. Quant à l'oreille des raies, M. de Blainville se borne à dire, pour le canal qui nous occupe, qu'on trouve également dans ces poissons l'orifice occipital communiquant avec la cavité du Haby- rinthe et recouvert par la peau ; if ne dit pas si le canal se prolonge sous l'enveloppe cutanée du crâne, s'il existe là, en outre, une fenêtre ovale fermée par une membrane; si Ia peau est percée pour servir d'orifice externe au conduit; enfin, si ce conduit est pourvu d'un muscle, Dans l'histoire de l'oreille de Ia chimère, il n’est rien dit de l'existence du: canal ascendant ?. L'ouvrage de M. Desmoulins*? contient, quant aux figures et à la description de l'organe auditif des squales et des raies, une multitude d'erreurs ou d'inexactitudes : ainsi, les canaux demi- circulaires verticaux; d'un côté, communiquent sur le milieu de la nuque, avec les canaux de l'autre côté, et les ampoules mi- 1 Aucun doute ne peut. plus être émis sur l'existence du canal ascendant et sur sa libre ouverture au dehors dans Îes squales comme dans les raies, où ces orifices sont multiples chez quelques espèces; d'après les nombreuses dissections que nous avons faites dans ces derniers temps, nous pensons qu'on ne doit plus contester que plusieurs squales ne pré- sentent des pertuis au sommet de [a tête. M. Buchanan les a décrits avec soin dans [e squa- lus canus. La figure qu'il a tracée! établit une grande ressemblance dans la disposition de cet organe entre les raies et les squales, C’est donc à tort que Scarpa, Bell, Macartney, ctc:, ont refusé ces canaux, avec des orifices au dehors, aux squales et aux raies. 2 Pages 562 et 563, 3 Anatomie des systèmes nerveux des animaux vertébrés, etc., par F. Magendie, A. Desmoulins ; Paris, 1825. SUR LA STRUCTURE DE L'ORGANE DE LOUIÏE. 671 toyennes communiquent aussi ensemble par une sorte d'arcade transverse, continuation du canal membraneux. Sans doute cet anatomiste aura-pris des conduits mucifères pour un canal de communication entre les tubes semi-cireulaires des deux oreilles, et c'est la fenêtre ovale qu'il veut désigner en disant que les parois cartilagineuses des canaux ont tout à fait disparu au pourtour de cette antichambre commune des deux appareils, qui n'est séparée de l'eau où se meut l'animal que par une peau amincie’. Qu'il y a peu de rigueur et de précision dans cette manière de s'exprimer! Dans les lecons de M. G. Cuvier sur anatomie comparée, pu- bliées par C. Duméril?, il n’est rien dit des ouvertures de l'organe auditif dans les poissons chondroptérigiens , et plus spécialement de celles de l'oreille des squales et des raies; mais; dans son histoire naturelle des poissons, M. Cuvier 2 signalé les faits prin- cipaux de la disposition de fappareiïl auditif des raies *. Il dit «que le labyrinthe membraneux adhère par une espèce de ligament à un endroit de la face supérieure du crâne, percé d'une, petite ouverture, et fermé par une membrane sur laquelle est une pe- tite cavité membraneuse recouverte par la peau : c'est là toute la communication de ce labyrinthe avec l'extérieur.» Ces paroles pourraient faire croire que M. Cuvier n'a voulu parler que de Ia fenêtre ovale ; mais une note bibliographique, ajoutée à cette des- cription rapide de loreïlle en général, prouve que cet illustre professeur avait une connaissance exacte de la disposition des parties, en disant que Scarpa a nié mal à propos la communica- tion avec le dehors, découverte par Monro dans la raie”. De toutes ces recherches historiques, il résulte: 1° que les ouver- tures de l'oreille des poissons cartilagineux sont connues depuis 1 Livre III, page 410, 2€ partie. 2 Lecons d'anatomie comparée, par G. Cuvier, etc., recueillies et publiées par C. Dumérä, tome IT; Paris, an vint. 3 Histoirenaturelle des Poissons, par M. Ie baron G. Cuvier etpar M: Valenciennes, tome I, page 464. 4 Page 461, note. 672 RECHERCHES ANATOMIQUES longtemps; 2° que leur existence est encore contestée; 3° que de nos jours les anatomistes ne sont pas d'accord sur la disposition de ces ouvertures‘, et qu'ils confondent le plus souvent la fe- nétre ovalaire, qui est commune à presque tous les chondrop- térigiens, avec le canal ascendant ( sinus auditorius internus et externus et meatus auditorius de Weber ) ouvert au dehors, et primitivement indiqué par Geoffroy, décrit par Monro, Jean Hunter, MM. Weber, * Huschke, * Buchanan “, etc., dans les raies, les squales , etc., et dont nous cherchens ici à mettre l’exis- tence et la disposition définitivement hors de contestation. Nous ne prétendons point à la gloire d’une découverte, maïs nous cherchons à dissiper des incertitudes, à faire cesser toute contestation sur un point d'anatomie, contestation qui devrait s'élever dans cette science bien moins que dans beaucoup d’autres sciences, car ce qui repose sur des faits est d'un positif qui ne permet pas les opinions contraires; et, s'il survient des dissidences, le plus court chemin de les faire cesser est de recourir à l'examen des parties, d’où résultera la solution définitive de fa question. C’est cependant ce qui n’a pas été suivi, tant la marche de l'esprit humain est parfois peu philosophique: voilà ce qui prouve qu'un nouvel exa- men des choses que lon croit le mieux connues et régulièrement enregistrées, devient souvent trés-utile, en démontrant que nos pré- tendues connaissances ne sont parfois qu'une série de présomp- tions, d'inexactitudes ou d'erreurs. C’est ce que nous avons cher- ché à prouver par ce court exposé historique. Maintenant nous 1 M. Weber les a décrites en 1820; M. D. de Blainville en a contesté f'existence en 1822, et confondu Ja fenêtre ovalaire avec le canal ascendant; enfin la description donnée par M. G. Cuvier en 1828 n'est ni assez claire, ni assez explicite. 2 «Gaudeo equidem observationibus meis de sinu auditorio externo cum vestibulo membranaceo communicante, in pluribus raïarum ordinibus repetitis, injectionibus argenti vivi comprobatis, præclari Monroï, primi inventoris honorem contra Camperum potissimum et Scarpam defendi. Hujus enim merita de piscium cartilaginorumaure,ita Camperi et Scarpæ gloria obscurata sunt, ut ex anatomicarum memoria plane fere exciderint.» Libr.: cit., p. 95. 3 Beiträge zur physiologie und naturgeschichte, ete. Weimar, 1824. 4 Physiological illustrations of the organ of hearing, etc. London 1828, p. 107 — Meatus auditorius externus of the squalus canus. SUR LA STRUCTURE DE L'ORGANE DE L'OUÏE. 673 terminons ces débats par la description et Ia représentation des parties (voyez les planches et les descriptions particulières). Des ana- tomistes, critiques judicieux, pourraient encore rendre de grands services par l'examen rigoureux de ce qui a été fait, et par une étude attentive et une description plus circonstanciée et plus exacte des parties qu'on croyait déjà suffisamment connues. CHAPITRE XVII. ORGANE AUDITIF DE LA RAIE BOUCLÉE (Raïa clavata, L.). APPAREIL QUI ÉTABLIT UNE COMMUNICATION ENTRE LA CAVITÉ DU VESTIBULE MEMBRANEUX ET L'EXTÉRIEUR. (Voy. pl. X, fig. 2; pl. XI, fig. 2 et 3; pl. XII, fig. 1, 2, 3, 4). 1° Tube ou canal ascendant (sinus auditorius et meatus au- ditorius de Weber). Sous ce nom, nous désignons le conduit qui fait communiquer l'intérieur du sac avec le dehors : ce conduit com- mence près le tiers supérieur de la poche commune formant le vesti- bule membraneux (le sacculus et le sinus médian, quisont réunis en une seule cavité); de là, il se porte droit en haut, le long de la face externe du tube commun (tubes membraneux anté- rieur et postérieur ) auquel il adhère, puis il traverse Ia paroi crânienne supérieure, et devient sous-cutané (voy. pl. XIT, fig. 3, u, t, 8,5); alors il se renfle considérablement, change de direction et devient horizontal; ses parois, de blanches et transparentes qu’elles sont, prennent une teinte noirâtre : ce tube se porte d’abord en dedans, puis en arrière et en dehors, et forme ainsi un cercle presque complet autour d'un petit muscle dont nous allons parler; il s'engage ensuite dans l'épaisseur de la peau qu'il traverse obli- quement dans l'étendue de deux lignes, diminue de diamètre, et s'ouvre à l'extérieur par un orifice très-fin (Meatus auditorius ex- ternus de Weber. (Voy. pl. XIE, fig. 3; pl. XIE, fig. 4, r; pl. XI, fig. 2,p, fig. 3, 2.) Le tube ascendant contient un liquide chargé d’une matière blanche, comme amylacée, que nous nommons ofoconte ; et, lors- 5. 85 674 RECHERCHES ANATOMIQUES qu'on ne trouve pas l'orifice extérieur, on n'a qu'à presser Ja peau de {a région environnante et Ton voit sortir de cette matière blanche, ce qui fait découvrir très-facilement l'ouverture et le canal. Dans l'intérieur de la cavité du labyrinthe, le tube ascendant de- vient excessivement mince, c'est pour quoi ilest difficile de s'assurer de la manière dont il s'ouvre dans le sac; cependant nous croyons pouvoir affirmer qu'il s'y abouche librement. 2° Vers Torifice extérieur, dans l’espace d'environ deux lignes, le tube ascendant se rétrécit également, mais pas d’une manière aussi notable : ses parois sont en cet endroit plus résistantes {fibro-cartilagineuses); serait-ce parce qu’elles sont formées par la peau? Dans le reste de leur étendue, ces parois sont minces, composées d’un tissu cellulaire assez résistant, et tapissées à leur intérieur d’une membrane d'apparence muqueuse , très-fine. Entre la peau et la paroi cartilagineuse et supérieure du crâne, la face supérieure du tube ascendant, dans sa partie horizontale, est in- timement liée à la peau; sa face inférieure correspond à une ex- cavation longue d'environ deux pouces et large de neuf lignes. Cette cavité est divisée en deux par un trousseau ligamenteux, mais en avant les deux côtés peuvent communiquer ensemble (voy. pl. XIT, fig. 2, 2°), tandis que, postérieurement, ils sont séparés par le ligament (même fig., f, f') : cette dépression biloculaire con- tient, de chaque côté du tube ascendant, un muscle particulier à la fe- nétre ovale (voy. même fig., 2,2), et de plus les deux loges sont rem- plies par une substance gélatineuse,transparente,retenue en position par une espèce de membrane hyaloïde, qui se détache assez facile- ment des parois solides de cette excavation; alors on voit que Ia ca- vité elle-même est tapissée par une membrane d'apparence séreuse. 3° Le muscle du tube ascendant naît sur une petite éminence au devant et un peu en dehors de la fenétre ovale (pl. XW, fig. 2, 0,0), delaïlse porte horizontalement en dedans et un peu en avant pours’inséreraux parois mêmes du tube(pl. XIT, fig. 2, p, p). Comme ce dernier forme une espèce de cercle dont le muscle occupe le centre , il s'ensuit que celui-ci s’insère à toute la partie évasée du SUR LA STRUCTURE DE L'ORGANE DE L'OUÏE. 675 tube ascendant. Le muscle est maintenu dans ses rapports et ses mouvements par un faisceau fibreux qui lui envoie une expansion pour lui servir de gaïne. D’après sa direction, ce muscle doit avoir pour usage de comprimer le tube ascendant, et en même temps de tendre la peau qui recouvre l’espace concave, pour fa rendre plus propre à transmettre, à la fenêtre ovale, les ondes sonores du liquide aumilieu duquellanimal est plongé.(Voy. pl. X, fig. 2; pl. XI, fig. 2, 0; fig. 3, 85 pl. XIL, fig. 1, , 9; fig. 2,0, n,p; fig. 3, r; fig. 4,p.) 4° La fenétre ovale correspondant à l'espace concave dont nous parlons, en arrière et en dedans du muscle (voy. pl. X, fig. 2; pl. XL fig. 2,2; fig. 3, f; pl. XIL, fig, 1, f, f; fig. 9, à, c; fig. 3, q), est fermée par une membrane fibreuse, transparente, assez résistante , en rapport, par sa face interne, avec le vestibule ou l'espace situé entre les tubes mernbraneux semi-circulaires et les parois des ca- naux cartilagineux, lequel espace est rempli par la périlymphe. Toutes ces parties (tube ascendantavec son muscle et la fenétre ovale) ne présentent point de différences notables dans la raie bouclée, la raie blanche (raia batis) et la raïe noire, la torpille, etc.,si ce n'estque, dansla raïeblanche, le cercle formé par la partie horizontale du tube ascendant est complet, tandis que dans les deux autres espèces, il ne forme que les + d’un cercle. La fenétre ovale paraît aussi un peu plus petite dans la raie bouclée que dans les deux autres espèces. Le volume du muscle est proportionnellement un peu plus considérable dans Ia raie blanche, Le tube ascendant n’a qu'une seule ouverture à l'extérieur chez ces trois espèces, tandis que sur plusieurs autres espèces, par exem- ple, la raie aigle (raia aquila), en présente plusieurs. Dans la torpille, (raia torpedo) il paraît aussi n'avoir qu'un orifice externe. Nous avons examiné ces dispositions sur un très-grand nombre de variétés de raies qu’on apporte toute l'année dans nos marchés et sur plusieurs pastenagues; nous les avons récemment examinées sur Îles côtes de la Méditerranée, et particulièrement à Venise, avec M. Becquerel, sur plusieurs variétés de torpille (raia tor- Ex J 676 RECHERCHES ANATOMIQUES pedo ), et nous n'avons pas trouvé d'assez grandes différences pour les signaler. Sur ces torpilles l'organe auditif et surtout le tube ascendant et son orifice au dehors sont d’une proportion inférieure à celle de ces mêmes parties dans les autres raies. CHAPITRE XVIII. ORGANE AUDITIF DE LA CHIMÈRE ANTARCTIQUE ( Chimæra callo- rynchus, L.). (Voy. pl. XIE, fig. 5, 6, 7, 8.) L’oreiïlle de ce chondroptérigien a plus d’une ressemblance avec celle des raies. Sa situation est la même, ainsi que son volume, mais elle n'est pas complétement séparée du crâne, comme dans les raies, et déjà on voit une disposition de ce genre dans les chon- droptérigiens à branchies libres, et particulièrement les estur- geons, où cette communication, entre la cavité crânienne et le la- byrinthe cartilagineux, n’est fermée que fort imparfaitement par une expansion ligamenteuse. Dans les squales, les anges, les raies, etc., une cloison cartila- oineuse interdit toute communication entre la cavité cérébrale, celle de oreille et les liquides; celle du crâne et celle du 1aby- rinthe sont distinctes et séparées. Dans les esturgeons, il n’y a pas de cloison cartilagineuse, mais il existe le ligament dont nous venons de parler; enfin, dans le genre chimère, une ouverture, moins grande que dans les sturioniens, se voit entre le fabyrinthe et le crâne, etelle est en partie fermée par une cloison fibro-cartilagineuse assez forte, s'étendant obliquement d'arrière en avant et de haut en bas, et recouvrant, en grande par- tie dans cette direction, le canal membraneux postérieur et le sac. L’oreille de la chimère est grande, relativement à la taille de l'individu, et elle paraît dans des proportions plus fortes que celles du fabyrinthe des raies. Canaux et tubes demi-circulaires. Les trois tubes semi-circu- laires membraneux sont séparés des parois cartilagineuses par un SUR LA STRUCTURE DE L'ORGANE DE L'OUIÏE. 677 espace plus grand que dans beaucoup de poissons osseux et que dans les mammifères, mais moins considérable que dans les raies. Tout le labyrinthe cartilagineux, c'est-à-dire les canaux et le ves- tibule peuvent être isolés facilement de la gangue cartilagineuse dans laquelle ils sont plongés, à peu près comme dans les oiseaux on isole le labyrinthe osseux de la substance diploïque; c’est en- core un point d'analogie entre les raies et les chimères (voy. pl. XIE, fig. 5, 6, et 7). Le liquide contenu dans ces canaux cartilagineux pa- raît être le même que celui par lequel est baigné l'encéphale, et ici les chimères se distinguent des squales et des raies. Des trois tubes membraneux, l'antérieur et le postérieur se res- semblent pour leur étendue, leurs formes: lun et l'autre offrent une ampoule en se terminant séparément, lun en avant, l'autre en arrière, sur le sinus médian. Is sadossent ensemble par leur extrémité non renflée, et forment le tube commun vertical, qui est en connexion avec un troisième tube s'élevant de la partie moyenne et supérieure du sinus médian, comme dans les raies. Le tube demi-circulaire externe est renflé à son extrémité antérieure qui -aboutit au sinus médian, près de l’ampoule du tube demi-circulaire antérieur, et par son autre bout il s’insère à la partie supérieure de ce même sinus médian, entre le tube commun et lampoule du tube postérieur. (Voy.pl. XII, fig. 5, 6, 7,etla description des planches.) Sinus médian. M est large; son plus grand diamètre est d’ar- rière en avant; en bas, il se rétrécit dans son point de contact avec le sac. Il reçoit, en haut, par ses deux extrémités, les ampoules des tubes verticaux et du tube horizontal ou externe. Sa partie moyenne et supérieure reçoit le tube commun et l'extrémité pos- térieure du tube externe; on voit s'élever de cette partie moyenne et supérieure dans le point correspondant à la terminaison du tubs commun, un quatrième tube parallèle au tube commun, et adossé à son côté interne, Canal ou tube ascendant. Ce tube s'élève de la partie moyenne et supérieure du sinus médian, adossé, dans sa moitié inférieure et par son côté externe, au canal commun qui le recoit dans une 678 RECHERCHES ANATOMIQUES légère dépression; la seconde moitié de sa hauteur est contenue dans l'épaisseur des parois cartilagineuses de la voûte du crâne; enfin, il devient sous-cutané, traverse la peau, et s'ouvre à l'exté- rieur très-près de Ia ligne médiane, à peu de distance de celui du côté opposé. Isolé du tube commun et des deux tubes membra- neux verticaux, et situé au-dessus du sinus médian, le {be ascen- dant peut être comparé à un matras dont la panse serait déprimée sur les côtés interne et externe, et un peu allongée en avant et en arrière. La moitié inférieure, c’est-à-dire la partie qui s'étend du sinus médian aux parois cartilagineuses, est d’un calibre égal dans tous ses points, et sa structure, quoique membraneuse, paraît avoir un peu plus de consistance que celle des tubes demi-circulaires membraneux. La portion supérieure de ce canal, surtout dans le point correspondant aux parois cartilagineuses du crâne, est lége- rement dilatée et fusiforme, et dans cette partie dilatée Les parois du canal sont colorées par un léger pigmentum noirâtre, tandis que partout ailleurs elles sont parfaitement blanches. La substance de ce tube membraneux se rapproche un peu de la densité fibro- cartilagmeuse. Devenu sous-cutané, il ne décrit aucune courbure, et n'offre aucun renflement. Nous avons cherché s'il existait dans ce point quelques faisceaux charnus embrassant le canal, comme nous en avons trouvé dans Îes raies, mais nous n'avons pu eû re- connaître; cependant nous n’oserions aflirmer qu'il n'en existe point, parce que analogie nous engage à croire à la présence de ces trousseaux charnus. Le poisson soumis à nos investigations anatomiques, avait été longtemps conservé dans de mauvais al- cool, et lon sait que dans ces circonstances, il est difficile de dis- tinguer des fibres musculaires d'avec le tissu cellulaire, ou de petits faisceaux ligamenteux. L'orifice extérieur nous a paru plus distinct et plus grand que dans les raies. Du mercure introduit par cet orifice extérieur, à l'aide d'un tube capillaire approprié, a parcouru facilement tout le cours du canal et distendu le sinus médian, le sac et les tubes demi-circulaires membraneux. SUR LA STRUCTURE DE L'ORGANE DE L'OUIE. 679 Ouverts sur l'autre oreille, ce tube ainsi que le sinus médian ont montré qu'ils contenaient une matière blanche, comme amy- lacée (otoconie), et ‘une liqueur lactescente; cette inspection ne nous à laissé apercevoir aucune valvule. Sac où saccule. Au-dessous du sinus médian, est situé le sac; il est moins grand que le sinus médian, arrondi, et communique avec ce dernier par un canal très-eourt; il contientausside cette ma- tière amylacée, que nous avons nommée ofoconte, et une liqueur blanche. Ce sac ne remplit pas entièrement la partie du vestibule cartilagineux à laquelle il correspond, et l'espace qui les sépare est occupé parla pérélymphe ou humeur de Cotugno, quiest ici Ia même que celle par laquelle l'encéphale est baïgné.(V'oy. pl. XIE fig. 8,2.) Nous n'avons pas aperçu à la paroi supérieure du crâne, près de l'orifice du tube ascendant, d'ouverture fermée par une membrane, et qu'on pût comparer à celle qui existe danses raies, les squales, etc., qu'on a nommée fenétre vestibulaire. I se pourrait, néan- moins, que le conduit cartilagineux, longeant le canal ascendant qui communique avec l'extérieur, tint lieu de fenêtre du vestibule. Ce conduit cartilagineux est, en haut, beaucoup plus large qu'il ne faut pour loger le tube membraneux, et sa portion sous-cutanée embrasse le canal detrès-près; mais, entre son ouverture et les parois cartilagineuses, on voit un petit espace circulaire où il n'existe qu'une lame cartilagineuse très-mince et comme membraneuse. Le nerf acoustique envoie son faisceau principal au sinus mé- dian et au sac, et les ampoules antérieure et postérieure reçoivent chacune un filet nerveux. (Voy. pl. XIE, fig. 5, ?; fig. 8, 2.) L’oreïlle d'un grand nombre de poissons présente donc avec l'extérieur des communications plus ou moins directes, médiates ouimmédiates. Tantôt ces ouvertures, placées au sommet du crâne, sont fermées par des membranes, comme Heusinger les a décrites d’après le /epidoleprus; tantôt elles correspondent à la base du‘crâne et sont closes par des feuillets membraneux , ainsi que G. Cuvier 680 RECHERCHES ANATOMIQUES en a indiqué la disposition dans les mormyres, les miripristis ; tantôt, enfin, ces ouvertures correspondent à la partie posté- rieure de la tête, par deux canaux qui bientôt se réunissent en un seul pour établir une communication avec la vessie aérienne, ainsi que E.-H. Weber d'abord, et nous ensuite, Favons démontré dans les cyprins, les cobites, les spares, Îles clupes, etc; enfin, une dernière voie de communication avec le dehors est celle que nous venons de décrire dans les raies et les chimères, que Monro avait déjà signalée dans les premiers de ces poissons, mais dont P. Camper, Scarpa et plusieurs autres anatomistes nièrent l'exis- tence. Aujourd'hui, d'après les travaux de E.-H. Weber, et d’après nos propres recherches, consignées dans cet opuscule et dans plusieurs autres mémoires, que nous avons lus à l'acadé- mie des sciences et que nous publierons plus tard, on ne peut plus élever de doute sur ce point, Enfin, une disposition semblable se voit dans l'oreille des chi- mères, et ici nous sommes le premier et même le seul qui ayons parlé de ce mode de structure chez ce poisson. Dans les sciences, ilne suffit pas toujours de signaler un ou plusieurs faits nouveaux et curieux, il faut encore les lier avec les connaissances qu'on possède déjà, et chercher à indiquer les usages des parties dont, pour la première fois, l'existence est pro- clamée. Ici, on peut souvent perdre le guide qui, dans les sciences expérimentales, doit sans cesse nous conduire, l'observation. Alors on la remplace par des jugements à priori, par des présomptions ou des théories plus ou moins ingénieuses, mais dont on ne peut affirmer la justesse. C’est à quoi nous sommes réduits pour expli- quer les fonctions des canaux et des ouvertures de l'oreille dontnous venons de faire l'énumération. En nous bornant au canal'ou tube ascendant, que nous avons SUR LA STRUCTURE DE L'ORGANE DE L'OUÏE. 681 décrit et fait représenter dans les raies et les chimères, nous dirons que dans les premiers de ces poissons on a cherché à comparer ces ouvertures : 1° A Îa fenétre ovale ou vestibulaire; mais cette comparaison ve peut plus être admise , puisque ce pertuis, fermé par une mem- brane, existe à côté du canal ascendant. Scarpa le compare à a fenétre ovale, et E.-H. Weber en fait une fenétre ronde. 2° Avec la fenétre ronde ou cochléenne; cette opinion est inadmissible, car la fenêtre ronde appartient au limaçon , et dans les poissons il n'existe pas de cochlée véritable. Nous insisterons sur cette circonstance dans le mémoire qui vient après celui-ci ( de l'oreille du brochet: voyez aussi ce que nous avons dit de l'oreille de Talose, chap. HF). 3° Comparerons-nous ces conduits aux aqueducs? Nous l'avions pensé d'abord, mais fexamen des aquedues dans les mammifères nous a fait reconnaître que ces canaux ne sont que des moyens de transmission des vaisseaux. (Voyeznos Recherches anatomiques et physiologiques sur l'organe de l'ouie et sur l'audition dans l'homme et les animaux vertébrés, Paris, 1836. ) D'ailleurs, dans les classes animales où ces aqueducs sont le plus développés, ils ne communiquent pas avec Îe labyrinthe membraneux, ils s'ouvrent en dehors de ce Iabyrinthe sur fa ca- vité qui contient la périlymphe, tandis que dans les raies, les squales et les chimères, ces canaux ascendants s'ouvrent dans a cavité du sinus médian et du sac, et par eux lon peut faire sortir la matière calcaire du sac et lerdolymphe. 4° Serait-ce plutôt une cavité tympanique? Les poissons en sont privés : le premier nous avons signalé l'existence d'un petit osselet comparable au marteau, ou mieux encore, à l'étrier dans un grand esturgeon ; mais sur plusieurs poissons de [a même espèce, que nous avons disséqués depuis ce premier examen, nous n'avons plus rencontré cette même disposition : un ligament très-court, mais fort, remplaçait le petit noyau osseux. La cavité du tympan est placée entre le conduit auditif et le labyrinthe; elle est fermée 5. 86 682 RECHERCHES ANATOMIQUES par un diaphragme membraneux de lun et de l'autre côté; toujours ce labyrinthe membraneux est fermé. Dans aucune espèce animale pourvue de tympan, on ne parvient du dehors jusque dans la cavité du labyrinthe membraneux, sans avoir à traverser des cloisons membraneuses; et ici 1 n'en existe point. Si lon fait de ouverture sous-cutanée, fermée par une membrane et située près du canal ascendant, une fenétre ovale, on ne peut plus considérer ce canal ascendant comme une cavité tympanique. 5° Ce que nous disons de la cavité du tympan, nous Ie répé- tons pour le conduit auditif externe, st l'on comparait sérieuse- ment le canal ascendant avec ce conduit auditif. 6° Ce canal ascendant est donc une anomalie ; une disposition qui se trouve en dehors de toutes les autres dispositions, enfin un état exceptionnel? On pourrait le croire st, dans la recherche des faits, on ne se laissait pas diriger et conduire par un esprit philosophique, véritable flambeau dans l'étude des sciences. Nos investigations anatomiques générales nous ont toujours démontré qu'il existe une grande unité de plan dans la nature, et que, si des dispositions singulières semblent parfois se refuser à se faisser classer et rapprocher d'autres dispositions bien connues et appré- ciées dans leurs fonctions, c'est qu'il est des points intermédiaires qui nous sont inconnus, ou bien nous ne remontons pas jusqu’au type primitif de l'organe dans certaines classes animales ou au type primitif de Forganisation fœtale. Cette voie est celle que nous allons suivre, et peut-être lui trouverons-nous un aboutissant vers le point où nous voulons arriver. M. Huschke”, admettant l'existence d’un appareil auditif dans les insectes, considère comme tel les #rachées. Déjà Comparetti avait accordé des organes de Touïe aux insectes, et il les plaçait derrière les yeux. Il considérait un stigmate comme un conduit auditif externe; mais, les observations de Comparetti ayant été faites sur des insectes desséchés depuis longtemps, les physio- 1 Beiträge zur Physiologie und Naturgeschichte, ete; Weimar, 1824. SUR LA STRUCTURE DE L'ORGANE DE L'OUÏE. 683 logistes n'avaient eu que peu de confiance dans les données de cet auteur, dont Îles descriptions et les figures ne présentent ni clarté ni précision; cependant, ainsi que le fait observer irès-ju- dicieusement M. Huschke, le lieu qu’il assigne à ces organes res- semble beaucoup à celui qu'ils occupent dans les crustacés et dans les animaux vertébrés. Ce dernier physiologiste croit qu’on peut considérer comme appartenant à un appareïl de l'audition, ou de la respiration, un stigmate placé dans le locusta verrucivora, vers l'insertion des ailes, ainsi que la trachée qui conduit dans un cul-de-sac. Il prétend que les canaux du labyrinthe représentent les trachées des insectes. Dans les poissons, les trachées des insectes sont remplacées par Îa ligne latérale, et cette analogie a déjà été indiquée par MM. Spix et Oken. De même que cette rangée de trachées par- court dans les insectes les deux couches musculaires du dos et de l'abdomen, de même on observe sur les poissons des poches et des tuyaux semblables entre les deux grandes couches des muscles inter-costaux. M. de Blainville a pensé qu'on pourrait considérer dans Îles in- sectes certaines trachées comme des rudiments d'oreille. Une pe- tite ouverture en forme de stigmate, à la face postérieure de la tête, dans les cigales', conduit dans un sac qu'il est disposé à considérer comme le principe d'un organe auditif, Chez beaucoup de poissons, cette ligne latérale est formée d'une serie de petites poches secrétant du #ucus, et le nez, l'œil et l'oreille sont précisément sur le trajet de cette ligne latérale, d'où M. Huschke conclut, peut-être un peu vite, que ces trois organes sensoriaux ne sont que des poches mucipares , développées et or- ganisées chacune selon Îa fonction qu’elle est appelée à remplir. Sur cette ligne latérale doit donc s'ouvrir l'oreille, et cette forme rudimentaire , qui se voit dans linsecte, la nature en a laissé un souvenir sensible dans les raïes. Déjà Monro * avait signalé deux 1 Page 566. 2 The structure and physiology of fishes, ete.; Edinburgh, 1785. 86 * 684 RECHERCHES ANATOMIQUES petites ouvertures par lesquelles Le labyrinthe s'ouvre au dehors. La justesse de cette assertion, mise en doute et même niée par Scarpa et par M. de Blainville’, a été reproduite et démontrée par E.-H. Weber”? et Huschke#, ainsi que par nous, et l'histoire de cette disposition forme le principal sujet de ce mémoire. Ainsi, d'après ce système des analogues, présenté par M. Huschke, mais que nous ne suivrons pas dans les dévelop- pements qu'il fui donne et dans toutes les conséquences qu'il en tire, l'oreille ne serait qu'une modification du petit sac, de la trachée et du stigmate de Finsecte ou qu'un des cryptes de la ligne latérale du poisson; et le canal ascendant des raies et des chimères, d’après ce même système, serait la permanence d'un état antérieur avec accroissement du canal et de l’orifice à l'exté- rieur d’un des cryptes de cette ligne latérale du poisson ; les oto- lithes, comme les otoconies (lapilli de Toreïlle), résulteraient de la secrétion plus grande de la matière calcaire que lon trouve dans les follicules de cette ligne latérale, et que l'on rencontre bien plus abondante encore vers les trous de conjugaison du rachis de beau- coup de reptiles, et particulièrement de reptiles batraciens. Nous nous arrétons ici, et nous laissons à d'autres de prononcer sur {a valeur de toutes ces opinions. Notre but principal était de signaler des faits et de mettre fin à des incertitudes ; nous croyons lavoir atteint par ce travail, que nous nous proposions de rendre plus complet par lexamen de beaucoup de poissons que nous avons fait venir de Ia Méditerranée; mais les circonstances nous commandaient de faire connaitre es résultats que nous avons déjà obtenus, et qui nous paraissent sufli- sants pour décider la question depuis longtemps en litige. 1 Principes d'anatomie comparée, tom. [, pag. 562. ? De aure et auditu hominis et animalium aquatilium, etc.; Lipsiæ, 1820. 3 Beiträge zur Physiologie und Naturgeschichte, etc. in-4°, Weimar, 1824. SUR LA STRUCTURE DE L'ORGANE DE LOUÏE. 685 CHAPITRE XIX. . ORGANE AUDITIF DU BROCHET (Æsox lucius). L'oreille du brochet, déjà étudiée et décrite par plusieurs ana- tomistes ‘, est construite d'après le type de celle de tous les poissons osseux; cependant elle offre une petite particularité déjà indiquée : nous voulons parler de l'appendice qu'on a considéré comme un rudiment de limaçon. (Voy. pl. XI, fig. 4, n.) Plusieurs brochets de grande dimension ont servi à nos investi- gations, et nous ont fourni l'occasion d'étudier l'oreille dans ses moindres détails; Ia figure que nous en donnons se distingue par une exactitude rigoureuse. ( Voy. pl. XIE, fig. 4 et 5 ) L’oreille du brochet est située à droite et à gauche du cerveau, entre la cinquième et la huitième paire de nerfs; elle occupe des cavités latérales qui ne sont nullement distinctes de la cavité crânienne renfermant l'encéphale; aussi le liquide qui remplit le crâne communique-t-il librement avec l'organe auditif, de sorte que tout le liquide céphalo - rachidien peut être considéré comme remplissant les fonctions de l'humeur de Cotugno ( péri- Iymphe). Des trois tubes demi-circulaires deux sont enchaînés, c’est-à- dire qu'ils passent autour de colonnes osseuses qui les tiennent fixés dans leur situation; le troisième, qui est le canal demi- circulaire antérieur, est libre ou n’embrasse aucune colonne os- seuse. II résulte de la disposition qui vient d'être remarquée, qu'il wy a de conduits osseux que pour les tubes demi-cir- culaires postérieur et externe, et qu'il n'y en a point pour lan- térieur. Chacun des trois tubes semi-cisculaires offre une ampoule à lune de ses extrémités ( e, , g, fig. 4, pl. XII). Chaque ampoule 1 Par Casserio, Geoffroy, P. Camper, Vicq-d'Azyr, Scarpa, Comparetti, Huschke, etc. 686 RECHERCHES ANATOMIQUES reçoit un filet nerveux ; deux ampoules sont antérieures (e et /), et la troisième est postérieure (g). Cependant l'oreille du brochet offre une petite particularité : c'est qu'il semble que le tube externe est aussi pourvu d'une ampoule à son extrémité postérieure; mais ce n'est qu'un petit renflement (2) que le canal subit au moment de s’aboucher dans le sinus médian; au reste, ce renflement se dis- tingue parfaitement de toutes les ampoules en ce qu'il ne reçoit pas de filet nerveux , caractère générique et constant des ampoules des tubes semi-circulaires. Le sinus médian (1) n'a guère que deux prolongements, l'un en haut et l'autre en avant. Le prolongement postérieur est presque nul, et donne attache à ampoule postérieure 9, ainsi qu'à l'appen- dice ». Le prolongement supérieur se divise pour former deux tubes Æ et /, et se fixe au crâne par un épanouissement fibreux, qui part de l'endroit même de la bifurcation. Le prolongement anté- rieur est le plus considérable; il se renfle un peu vers l'extré- mité », et donne attache supérieurement aux ampoules e et f. Ce renflement recoit un petit faisceau de filets nerveux, et contient un petit lapillus ou otolithe qu'on aperçoit à travers les parois membraneuses : le lapillus dont il s’agit est représenté isolément en ec, fig. 5, pl. XIE. Inférieurement le Sinus médian communique avec le sac 0; celui-ci, d’une forme ovale contient, dans son intérieur deux otohthes, dont un postérieur, plus petit, et l'autre antérieur, plus grand; tous les deux sont représentés en a et b, fig. 5, pl. XII Ils nagent dans un liquide albumineux et sont recouverts, à Tune de leurs faces, d’une membrane très-molle, dans laquelle semble aboutir les filaments nerveux propres au sac. La cavité du sac communique avec celle du sinus médian. L'origine du nerf auditif n’est presque pas distincte de celle du nerf de a cinquième paire; elle a lieu sur le côté de Ia moelle allongée. Le nerf auditif constitue un court faisceau qui se ramifie tout de suite pour fournir des filets aux ampoules et aux parties de l'oreille dans Iesquelles sont contenus Îles SUR LA STRUCTURE DE LORGANE DE L'OUÏE. 687 otolithes. W ÿ a trois simples filets pour Îles ampoules et deux pinceaux de filets, dont l'un va à l'extrémité antérieure du sinus médian pour s'épanouir près du petit otohthe contenu dans cette partie; l'autre pinceau s'épanouit sur le sac vers la membrane molle qui revêt la face interne des deux lapilli venfermés dans cette poche. Entre le sac et l'ampoule postérieure , le smus médian donne naissance à un appendice membraneux en forme de massue ( cysticule), qui se porte en bas et en arrière vers le trou occi- pital (voyez », fig. 4, pl. XII). Cet appendice, dont les parois ont la même structure que celle du reste du labyrinthe membraneux, est creux, en forme de poche; il communique librement avec le sinus médian, ne contient que du liquide sans lapillus, et ne reçoit pas de filet nerveux. Ce singulier organe, qu’on considère comme propre au brochet, a été regardé par Scarpa comme un rudiment de fimacon. Nous ne pouvons pas partager opinion de ce savant anatomiste, et, pour appuyer notre sentiment, nous nous contenterons tout simplement de dire ce que c’est que le limacon des animaux supérieurs. Le limacon en effet est une cavité creusée dans {a substance osseuse, laquelle est tantôt recourbée en spirale et divisée en deux loges par une cloison membraneuse et osseuse; tantôt elle est presque droite, non divisée par une cloison, mais contient un cartilage annulaire, comme dans les oiseaux et plusieurs reptiles sauriens, cartilage dont la fonction paraît être Ia même que celle de la lame ostéo- membraneuse qui divise l'intérieur du limacon des mammi- fères en deux rampes. Le vestibule membraneux n’envoie aucun prolongement dans {a cavité du limaçon, ainsi que nous lavons fait voir dans la description de Toreille humaine. Le limacon ne contient rien autre chose que du liquide de Cotugno, ou péri- lymphe, et n’a aucune communication avec la cavité du labyrinthe membraneux formée du sac, du sinus médian et des canaux semi- circulaires. Il est donc tout à fait inexact de considérer une portion du vestibule membraneux comme formant un limacon, puisque 688 RECHERCHES ANATOMIQUES ces deux parties n'ont rien de commun entre elles, lune étant une simple cavité à parois solides, et l'autre un organe mem- braneux. La comparaison de Scarpa peut être assimilée, pour son exactitude , à celle que les anciens anatomistes ont faite entre les lapilli de l'oreille des poissons et les osselets du tym- pan des animaux supérieurs. Si quelque chose peut être considéré comme un rudiment de limaçon dans les poissons, c'est la cavité qu'on observe chez certains d’entre eux, dans les gades et parti- culièrement dans le gadus morrhua, au-dessous du sac, cavité qui s'étend en arrière dans Îa base du crâne et qui est pleme de liquide, et mieux encore ce qu'on observe sur l’alose. ( Voy. ) ï chap. IL.) Un appendice analogue à celui du fabyrinthe du brochet se voit dans l'oreille de plusieurs autres poissons et appartient également à lune des poches membraneuses du vestibule. Ainsi, dans la bau- droie, dans Îles grondins, ete., on aperçoit un petit appendice , 9 ; , sphéroïdal s'ouvrant dans le vestibule; mais, au lieu de corres- pondre avec le sinus médian, il adhère au sac. Cet appendice considéré comme un limacon avait déjà été apercu et signalé dans le brochet par Casserio”, qui le fait communiquer par un double pédicule avec le sacculus et avec le sinus utriculeux; il dit qu'il contient un fluide aqueux°?. Geoffroy ne parle point de cette q J petite arrière-cavité, que P. Camper* a représentée sur sa seconde planche, fig. 5 ct 6. I prend pour un ligament attaché à la bourse cet appendice, et il l'appelle tersor bursæ. Suivant lui, ce ligament gagne le trou occipital pour se fixer au côté du canal de Fépine *. ! Julii Casserii Placentini, etc. De vocis auditusque organis, etc. Ferrariæ , 1600. — Idem. Pentæstheseïon hoc est de quinque sensibus liber,, etc. Venetiüis, 1609. ? Tabula XII, fig. 1v, LL, MM, pag. 216. — Organi auditus lucii piscis declaratio. 3 Mémoire sur l'organe de l'ouïe des poissons, par Petrus Camper.— Dans Îles mémoires de mathématiques et de physique présentés à l'académie royale des sciences par divers savants, tom. VI, pag. 177. Paris, 1774. 4 On serait étonné de voir ici M. G. Cuvier ( Histoire naturelle des poissons, tom. I, pag. 460) considérer encore cet appendice comme un ligament, lorsqu'en parlant de Camper il dit: « qu'il nommait {ensor bursæ un appendice ou plutôt un ligament plus « prononcé dans le brochet que dans beaucoup d'autres poissons, » si ce grand naturaliste, n'avait pas décrit ailleurs, comme nous le verrons, cet organe avec ses véritables caractères, SUR LA STRUCTURE DE L'ORGANE DE L'OUÏE. 689 Cette description de P. Camper est très-mexacte, car la partie n’est point ligamenteuse et de plus elle est libre. Les figures du brochet que cet anatomiste célèbre nous a laissées sont peu claires, et don- nent une fausse idée de Ia disposition de l’organe de l’ouïe dans ce poisson. Cet appendice a été bien mieux représenté par Comparetti ‘ et par M. Huschke?; l'on voit dans les figures qu'ils en ont faites qu'il est libre, pyriforme, placé en arrière, précisément à l'entrée du canal vertébral. Scarpa désigne cet appendice sous le nom de canalium semi- circularium appendix, et pourtant ül le fait sortir par un pédicule étroit du sèxus utriculiforme ou sinus médian (voyez pl. IE, fig. 9, tt ). I indique un filet nerveux provenant de fa première paire spinale, s’insérant au fond de cet appendice. P. Camper avait aussi indiqué un filament dans ce même lieu, mais il le considérait plutôt comme un ligament que comme un nerf; enfin Scarpa dit qu'on pourrait considérer cet appendice comme le rudiment d'un quatrième canal demi-cireulaire, et il donne pour raison que du mercure instillé dans ce petit sac passe dans le sinus médian et les tubes semi-circulaires Ÿ. Cette communication ne prouve rien, et l'existence d'un quatrième canal semi-circulaire serait la seule exception qu'on pourrait citer, car jusqu'iei on n'a jamais trouvé plus de trois canaux demi-circulaires. 1 Vesicula pyriformis cum collo, ad saceum maÿorem superius firmiter aflixo. ( Voyez tab. IL, fig. x1x et xx. ) Additur in hoc vesica peculiaris ac pyriformus, cujus corpus mobile insidet extremæ cayveæ acusticæ, imo latet in foveola ad principium canalis spine, et collum ascendens per- sequitur Jimbum sacci majoris superiorem, pag. 277.— Observ. LxVI, pag. 248. Andreæ Comparetti Obserpationes anatomicæ de aure interna comparata. Patavï, 1789. 2 M. Huschke, en décrivant Ia figure 1 de Ia planche re, dit: Appendice vésiculeux qui AE Un: Sp se porte vers Îe canal vertébral, s'attache par son autre extrémité au sac Îapillaire et à Tam- poule du canal demi-circulaire externe, et se vide dans cette dernière. (Voyez Beiträge zur Physiologie und Naturgeschichte, ete, Weïmar, 1824.) 3 Dicere penè rudimentum quarti canalis semi-circularis, pag. 21, $ IX. — Anatomicæ disquisitiones de auditu et olfactu. 5. 87 690 RECHERCHES ANATOMIQUES Cet appendice pyramidal n'avait pas échappé à l'observation de Vicq-d'Azyr, qui ne partage pas l'opinion de P. Camper, mais qui considère cette partie comme une cavité subalterne continue avec la bourse élastique également creuse et transparente, et qui n’en diffère que parce qu'elle forme un petit cul-de-sac dont les paroïs sont plus épaisses. La description que MM. G. Cuvier et C. Duméril donnent de cette cavité accessoire de l'oreille du brochet ressemble beaucoup à celle de P.Camper. Cet appendice creux tient, suivant ces deux célèbres anatomistes, à [a partie postérieure du sinus par un canal très-mince, et se fixe par son autre extrémité au crâne, tout près du bord du trou occipital; c'est en quelque sorte une troisième division du sac : on ne l’a trouvé jusqu'ici que dans ce seul poisson”. Nous avons vu que sur ce dernier point ils sont dans l'erreur. C'est probablement cet appendice que M. G. Cuvier veut désigner lorsqu'il dit dans son grand ouvrage d'ichthyologie 3, en parlant des appendices du sac des poissons cartilagineux, qu'on ne peut guère douter que cet organe ne représente la petite cavité, seul vestige du limacon qui soit demeuré aux reptiles, etc. Cette conclusion doit probablement s'étendre au sac des poissons osseux, malgré sa position en arrière. M. de Blainville“ considère cet appendice comme exclusive- ment propre au brochet, et il indique son insertion sur lampoule du canal horizontal postérieur, mais il ne le compare à aucune des parties de l'oreille des mammifères. Tout ce que nous venons de rapporter relativement à cet ap- pendice démontre que les zootomistes ne sont nullement d'accord sur sa situation rigoureuse et sur son insertion au labyrinthe mem- braneux; car ils font terminer son pédicule au sac, au sinus mé- 1 Mémoires de l’Académie royale des sciences, année 1779. 2 Lecons d'anatomie comparée, tom. 2. pag. 457. 3 Histoire naturelle des poissons, édition in-8°, Paris, 1828, tom. 1, pag. 468, 4 De l'organisation des animaux , etc. Paris, 1822, tom. 1, pag. 555. SUR LA STRUCTURE DE L'ORGANE DE L'OUIE. 691 dian, à ampoule d'un canal semi-circulaire , à ce canal semi-circu- laire luiméme, où simultanément sur des points différents de ces parties. Sés analogies sont encore bien moins déterminées, et les opi- nions à cet égard sont tout aussi variées. Nous dirons , pour porter plus de rigueur dans l'histoire de cet organe, 1° Que cet appendice n'appartient pas exclusivement au brochet, car nous démontrons dans ce mémoire qu'il en existe d'analogues sur oreille du grondin, du bar, de la baudroie, etc., mais avec quelques différences ; 2° Qu'il ne peut être assimilé à un limacon : A, parce que sa situation en arrière est contraire à cette ana- logie, et qu'il n'y à aucune exception à cet égard : toujours [a co- chlée correspond à la partie antérieure du labyrinthe; B, parce qu'il est dépourvu de nerfs, et que partout ou nous voyons un rudiment de limacon, nous trouvons un cordon nerveux volumineux, destiné à cette cochlée plus ou moims imparfaite : c'est ce que nous remarquons dans les oiseaux et les reptiles; C, parce que cet appendice ne contient que du liquide sans aucun lapillus (otolithe), et nous mvoquerons encore ici l'exemple des. oiseaux et des reptiles, où l'extrémité inférieure de la cochlée rudimentaire renferme une matière pulvérulente (otoconie); D, parce qu'il communique avec le labyrinthe membraneux, et que jamais, soit dans les mammifères, soit dans les oiseaux où les reptiles, il n'y a de voie de communication entre Îe limacon et le sac, le sinus médian, ou les tubes demi-membraneux Une des rampes du limaçon est ouverte dans le vestibule osseux, et le liquide qu'il contient est de la périlymphe et non de l'endolymphe. E. Enfin nous ne pouvons admettre l'existence d'un limacon qu'avec la coïncidence d'un appareil vocal, et nous savons que les poissons en sont complétement dépourvus. Si quelques-uns de ces 87* 692 RECHERCHES ANATOMIQUES animaux produisent un bruit ou un son particulier, comme par exemple la trigle guerneau, la trigle grondin, plusieurs cottes. comme le cotte grognant, des zées, des cobites , des balistes , ete , c'est par un mécanisme tout autre que celui d'un larynx *. Tous les reptiles dont l'oreille possède un simple rudiment de cochlée ont un appareil de phonation, et ils font parfois entendre un bruit assourdissant : c’est ce que disent plusieurs voyageurs naturalistes en parlant des crocodiles de l'ancien continent, et des caïmans qui habitent les immenses fleuves de l'Amérique; leur voix varie même, et elle diffère surtout à l'époque de leurs amours ou lorsqu'ils se livrent entre eux des combats. Quelle peut donc être l'analogie de cet appendice, et à quel organe pouvons-nous le comparer ? Dans beaucoup de reptiles pourvus d'un appareil vocal, n'y a cependant pas de voix; mais c'est que ces animaux sont à une période de leur développement où l'organe de la respiration res- semble à celui des poissons, et ce n'est que plus tard qu'ils auront des poumons. Ainsi les larves des batraciens et certains reptiles, tels que le protée, laxoloth, la sirène lacertine, etc., qui ne sont peut-être que des larves, sont dans le cas que nous venons d’indi- quer. Tci l'organe de l'ouïe offre encore une disposition toute parti- culière : es branchies en panache appartenant à ces animaux sont situées dans la trompe gutturale et le tympan, et sortent par une ouverture que M. Huschke croit être le trou auditif externe. On a dit depuis fongtemps que l'existence de la voix proprement dite est subordonnée à celle du larynx, et que celui-ci est lié à l'exis- tence des poumons. Nous ajouterons, en thèse générale, que a pré- l'aCe n'est qu'un frôlement que les cottes, Tes balistes, Tes cobites, les trigles, Les «zces, etc., font naître. Ce n'est que lorsque saisis de crainte, ou agités par quelque autre « affection vive, ils se contractent avec force , resserrent subitement leurs cavités intérieures, « chassent avec violence les différents gaz renfermés dans ces cavités, que ces vapeurs, sor- «tant avec vitesse et s’'échappant principalement par les ouvertures branchiales, en froissent « {es opercules élastiques; et, par le frottement toujours peu soutenu, font naître des sons « dont le degré d'élévation est inappréciable, et qui par conséquent n'étant pas une voix, et «ne formant qu'un véritable bruit, sont même au-dessous du sifflement des reptiles, » Lacépède, Discours sur la nature des poissons. SUR LA STRUCTURE DE L'ORGANE DE LOUÏE. 693 sence d'un limaçon suppose toujours celle du larynx et des poumons. Nous pensons que cet appendice postérieur deloreïlle du brochet doit être considéré comme un vestige de La communication bien connue aujourd'hui entre Île labyrinthe membraneux des poissons et la vessie aérienne. La dissection de cet appendice, sa situation vers loccipital, nous portent à établir cette analogie, que nous appuierons en disant que les esoces sont précisément placés entre deux familles (les clupes et les cyprins) où nos dissections nous ont fait connaître cette communication *, déjà signalée par M.E.-H. Weber; et, depuis lui des dispositions analogues ont été indiquées dans les mormyres qui sont, d'après le système zoolo- gique de G. Cuvier, placés très-près des ésoces. Nous aurions voulu pouvoir poursuivre cette analogie dans les bichirs, les lépisostrés, les vastres, les érythrins, les élopes, ete. ; mais ces poissons sont étrangers aux mers qui baignent nos côtes, et nous n'avons pas eu jusqu'ici l’occasion de pouvoir vérifier cette disposition anatomique. En considérant larrangement des deux branches résultant de a bifurcation du canal membraneux, que M. E.-H. Weber appelle Sinusimpar, on voit que chacune d'elles ressemble à l'appendice dont nous parlons, et qu'elle s'insère précisément entre la terminaison des canaux demi-circulaires et la partie postérieure du sinus mé- dian; cest ce qu'on peut vérifier sur les cyprins, les loches, le silurus glanis, ete. } Voyez notre premier mémoire présenté à l'académie des sciences, et sur fequel MM. G. Cuvier et C. Duméril ont fait un rapport. 694 RECHERCHES ANATOMIQUES CHAPITRE XX. ORGANE AUDITIF DES CYPRINS. Déjà M. E-.H. Weber a prouvé par ses belles recherches que l'oreille de la carpe (cyprinus carpro) est une des plus curieuses parmi celles des poissons, en ce qu'il yaun appareil accessoire dans lequel on peut reconnaître tous les éléments d'une cavité tympa- nique. Cet appareil accessoire existe, comme on sait, en dehors du crâne et en arrière de l'occiput; il présente trois pièces osseuses (osselets) soudées entre elles, et dont la dernière adhère à la vessie natatoire, qui fait ici fonction de membrane du tympan”. Cette chaîne d'osselets est paire et renfermée dans un sac fibreux, qui vient s'ouvrir en communiquant avee le trou e (pl. XIE, fig. 1, 21 de manière que l'intérieur du crâne n'est pas séparé de la cavité du sac qui contient les osselets. Or, toute la capacité du crâne est remplie par l'encéphale et par un liquide oléagineux, lequel sac se continue, accompagné par le Tiquide, à travers le trou e, jusque dans le sac fibreux ; d’où il résulte que l'organe de l'ouïe et la chaîne des osselets sont baignés par le même liquide, et que les vibrations perçues par lune de ces parties doivent l'être en même temps par l'autre, L'organe de louïe est composé d'un sac à pierres (g, fig. 2, pl. XIII), d'un sinus utriculiforme (2), et de trois tubes semi- circulaires (1, n, p). Le sac à pierres ou saccule est contenu dans une cavité particu- lière, laquelle est creusée dans la base du crâneg. Les saccules des 1 Deaureet auditu hominis et animalium ; pars 1a.—De aure animalium aquatilium , etc., tab. ur et1v., Ern. Henr. Weber. Lipsiæ, 1820. 2 Cette chaine osseuse a aussi été représentée par Bojanus. Voyez Anatome Testudinis Europeæ. Wilnæ, 1819, et, quoique ce dernier ouvrage soit d'une date antérieure à celui de M. E.-H. Weber, cependant la découverte de cette chaine des osselets dans les poissons, appartient incontestablement à M. E.-H. Weber. Voyez, le parergon, p. 171, la fig. 194 (1,2, 3, 4), de l'ouvrage de Bojanus. SUR LA STRUCTURE DE L'ORGANE DE L'OUÏE. 695 deux côtés sont tellement rapprochés fun de Fautre qu'ils se tou- chent presque, et qu'il n’y a qu'une lame cartilagineuse très-mince qui les sépare. Chaque saccule contient deux pierres ou lapilli (otohithes) : Tune de ces pierres est Ia plus grande, c'est la posté- rieure, et elle est représentée isolément dans la fig. 3, 4; l'autre pierre est antérieure, elle est figurée en D, fig. 3. Ces deux pierres sont séparées par une cloison, laquelle divise le Saccule en deux loges imégales; elles nagent chacune dans un liquide clair, subgélatmeux (erdolymphe ). Le saccule reçoit deux filets ner- veux, dont chacun va s'épanouir vers une des pierres. Par sa partie supérieure let antérieure le saccule communique avec le sinus médian (4, fig. 2, pl. XIE). Celui-ci se distingue par la brièveté de sa portion horizontale et par Fabsence de tout prolongement postérieur. I contient un otolithe qu'on a figuré isolément en c, fig. 3, pl. XIE; et près de cette petite. con- crétion.il reçoit l'épanouissement dun filet du nerf acoustique. A son-extrémité antérieure il donne attache aux deux ampoules z et # (fig. 2, pl. XIIT); postérieurement if reçoit l'insertion de l'extrémité non ampoulée du tube semi-circulaire postérieur, et donne attache à lampoule /. En haut il se prolonge vers o, pour recevoir les extrémi- tés nonampoulées des tubes demi-circulaires (met », fig. 2,pl: XIE; Chacune des trois ampoules :, £, l, reçoit un filet nerveux. Hn'y a que les tubes semi-circulaire externes et postérieur qui soient enchaînés, l'antérieur ne l'est point. Dans la carpe la branche maxillaire inférieure du nerf triqu- meau: semble être double, parce que le nerf maxillaire supérieur fournit des filets à la partie inférieure comme à {a partie supérieure du museau. Le véritable nerf maxillaire inférieur sort du crâne par un orifice séparé, un peu plus en arrière que le:nerf maxillaire supérieur, et pénètre bientôt dans un canal osseux, qui parcourt les pièces de l'opercule et de Ta machoire inférieure, en se com- portant par conséquent comme le nerf dentaire inférieur des ani- maux supérieurs. Ce nerf maxillaire fournit, à l'endroit où il sort du crâne, un filet de einq à six lignes de Tong, qui se dirige obli- 696 RECHERCHES ANATOMIQUES quement en bas, en avant et en dehors, derrière le muscle cor- réspondant au ptérygoïdien, et se réunit à angle très-aigu à a partie gutturale du nerf glosso-pharyngien, pour se continuer avec celui-ci. Dans la carpe il est facile de distinguer le nerf glosso- pharyngien du nerf vague, dont il semble faire partie au premier abord; le glosso-pharyngien est le rameau le plus antérieur, qui a ceci de particulier qu'il sort du crâne par un trou distinct, quoique ensuite il vienne se placer à côté du nerf vague; if se di- vise en deux branches, dont Fune va à la première arcade bran- chiale, et dont l'autre, plus forte, se divise de nouveau en plusieurs rameaux qui se distribuent au gosier, et dont on peut poursuivre quelques-uns jusqu’au tubercule rudimentaire de fa langue. Nous retrouvons donc ici le nerf maxillaire inférieur et le glosso-pharyngien bien caractérisés ; nous retrouvons encore un filet nerveux qui, du premier de ces nerfs, passe au second, tout comme cela a lieu pour lanastomose de Jacobson dans les ani- maux supérieurs : Conséquemment nous sommes autorisés à con- sidérer ce filet comme lanalogue de l'anastomose en question. Nous bornons ici nos descriptions sur l'organe de Faudition dans les cyprins, parce que toutes nos recherches ne font que confirmer ce qu'a dit M. E.-H. Weber, Lorsque nous avons commencé notre travail, M. E.-H. Weber n'avait pas encore publié le sien; mais les recherches de ce savant sont si exactes et si bien faites, qu'il ne laisse rien à dire sur ce point après lui. Plus tard nous donne- rons une nouvelle série de petites monographies de l'organe de faudition chez les poissons, dans laquelle nous ferons connaître des dispositions qui n'ont pas encore été signalées par les anato- mistes; puis, de tous ces matériaux , nous ferons une histoire géné- rale de Fappareil de l’ouïe dans cette classe de vertébrés. Nous procéderons de la même manière pour les reptiles. SUR LA STRUCTURE DE L'ORGANE DE L'OUÏE, 697 EXPLICATION DES PLANCHES. PLANCHE [°. LAMPROIE ( Petromyzon marinus, Petrom. maximus, Cuv, ) Fig. 1. Vue d'en haut, le crâne ouvert, a, orifice de l'évent. b, cavité nasale, dans laquelle mène Tévent. c, orifice du prolongement de l'évent, au-dessous du crâne. d, moelle épinière. \ e, calamus scriplorius, non recouvert par le cervelet, J; J, bulbe rachidien. g, tubercules quadrijumeaux. h, cerveau proprement dit. #,2, lobes olfactifs, terminés antérieurement par les nerfs olfactifs. k,k, nerfs optiques. {, nerf auditif du côté gauche, se rendant dans le bulbe auditif qui est à découvert, m, saïllie cartilagineuse renfermant 1e bulbe auditif du côté droit; sur a face interne de cette saillie, on voit un petit orifice qui est le représentant de l'aqueduc du vestibule; au bas de ce petit pertuis on aperçoit {a moitié d'un orifice plus grand, destiné à livrer passage au nerf auditif. n,n, bords cartilagineux de fa boîte cränienne. 0,0, premières branchies, Fig. 2. Le cerveau et Îles organes auditifs, comme a fig. 18, mais grossis, a, a, lobes olfactifs avec les nerfs du même nom: 5, 83 698 Fig. 4. Fig. 8. RECHEECHES ANATOMIQUES b, différentes saillies cérébrales. c,c, tubercules quadrijumeaux. d, d, bulbe rachidien. e, calamus scriptorius. ff, nerfs auditifs. £, bulbe auditif mis à découvert. h, aqueduc du vestibule. . La face interne de Ia saillie auditive. a, orifice criblé, par lequel passent les flaments du nerf auditif. b, aqueduc du vestibule (Ie tout grosst). La base du crâne, le cerveau étant enlevé; Îa saïllie auditive gauche est ouverte, celle du côté droit est fermée ( grandeur naturelle ). . La cavité qui dépend de lévent; la base du crâne est enlevée pour faire voir cette cavité dans toute son étendue. a, a, saïllies auditives. b,b, restes de l’excavation nasale. c, partie de orifice au moyen duquel l'évent communique avec son arrière-cavité. 5. Bulbe auditif grossi, au travers duquel on voit du gravier ou oto- conte disposé en double demi-lune. a, insertion du nerf auditif. . Partie du bulbe auditif grossi, ouvert et vu en dedans; on aperçoit aussi le gravier ou otoconte. a, nerf auditif. Encéphale sorti du crâne et vu par sa face inférieure; on y voit des points de substance pigmenteuse disséminés. a, a, nerfs olfactifs. b,b, nerfs optiques. SUR LA STRUCTURE DE L'ORGANE DE L'OUÏE. 699 c, glande pituitaire. d, d, nerfs oculo-moteurs. e,e, nerfs vagues. f,f, nerfs acoustiques. ESTURGEON ( Acipenser sturio, L.). Fig. 9. Organe auditif du côté gauche, vu par son côté interne. a, base du crâne ( coupée par le milieu ). b, partie antérieure. c, trou par fequel le nerf de la cinquième paire sort du crâne. d,d, canal semi-circulaire antérieur. e,e, canal semi-circulaire postérieur. ff, canal semi-circulaire externe. g, sinus utriculosus de Weber ou sinus médian. k,h, sac, au travers duquel on apercoit le grand otolithe. i, petite pièce osseuse ( rudiment d'étrier ) ayant sa grosse extré- mité appliquée contre Îe sac et son pédicule adhérent à la base du crâne. k, nerf auditif. 1, branche antérieure se rendant aux deux ampoules antérieures. m, branche postérieure se rendant au sac et à l'ampoule posté- rieure. n, nerf représentant la portion dure de Ia septième paire, sortant du crâne et n’ayant aucun rapport avec l'organe auditif, quoi- qu'il soit appliqué contre le sac. Fig. 10. Petit et grand otolithes, grandeur naturelle. Fig. 11. Osselet représentant l'étrier; grandeur naturelle, a; grossi, b. PLANCHE I. ESTURGEON (Acipenser sturio, L.). Cavité crânienne ouverte; encéphale vu d’en haut. 88” 700 RECHERCHES ANATOMIQUES a, cerveau proprement dit, surmonté d'une espèce de crête membraneuse. b, lobes représentant les tubercules quadrijumeaux. e, cervelet, organe large et triangulaire. d, moelle épinière. e,e, nerfs olfactifs. ff, membranes olfactives. gg» narines. h,h, nerfs optiques. i,i, nerfs oculo-moteurs. k,k, nerfs pathétiques. 1, L, nerfs de fa cinquième paire, ou nerfs trijumeaux. m, m, nerfs acoustiques. n,n, nerf représentant ici la portion dure de Ia septième paire. 0,0, nerfs vagues ou pneumo-gastriques. p;p, canaux demi-circulaires antérieurs. g;q, canaux demi-circulaires postérieurs. »,r, parties supérieures des bulbes auditifs. ’ PLANCHE III. ORGANE AUDITIF DU GRAND ESTURGEON (Acipenser huso, L.), VU pü CÔTÉ GAUCHE. Les lettres qui sont les mêmes sur les deux figures expriment les mêmes parties. à : Hs Ë a,a, a, base du crâne coupée longitudimalement. b,b,b, voùte du crâne coupée dans le même sens. c, partie postérieure. d, partie antérieure. e,e,e, cavité crânienne, f, trou par lequel passe le nerf vague. g, trou par où passe une portion du nerf de la cinquième paire? SUR LA STRUCTURE DE L'ORGANE DE L'OUÏE. 701 h, nerf représentant [a portion dure de Ia septième paire. 2, nerf auditif. k,lm,n,0,p,q, expansion ligamenteuse destinée :à fixer l'organe auditif qui se trouve derrière. r;r, sacculus. ou sac formant Je. vestibule membraneux. UT, sinus median ou sinus utriculosus de Weber, c'est le point de réunion des six extrémités s, £, u, v, %X1 @, des Canaux demi- circulaires. Ÿ, ampoule du canal antérieur, qui va se terminer en v: x; ampoule du canal externe, qui se termineen 4. g, renflement ampulliforme, duquel partent les deux ampoules anté- rieures. , ampoule du canal postérieur, qui se termine en w. #”. rameau postérieur du nerf auditif, fournissant dde filet qui va à Tampoule postérieure, et plusieurs filets e, e, €, e, qui vont au sacculus. “11 t , Tameau antérieur du, nerf.auditif, fournissant des filets a, a, au renflement ampulliforme, un filet y à l’ampoule du canal externe, et un filet 8 à l'ampoule du canal antérieur. La fig. 1 représente l'organe auditif recouvert de son ligament. La fig. 2 représente le méme organe à nu ou dépouillé de son ligament. PLANCHE IV.- ALOSE ( Clupea alosa, L. ) Fig. 1. Alose vue de côté, l'opercule droit relevé et les branchies empor-, tées, à l'exception d'un petit reste. a, mâchoire supérieure. b, opercule droit, vu par la face interne et dépouillé de a mem- brane qui le tapissait. c, opercule gauche, recouvert encore de sa membrane. d, muscle adducteur de l'opercule. 702 Fig. 2. RECHERCHES ANATOMIQUES e, fenêtre vestibulaire. J; faisceau du nerf vague. gy vomer. hk, vessie natatoire. i, point où cette vessie se bifurque, pour se continuer par deux petits canaux, dont l'un £.est à droite, l'autre Zest à gauche, et pour pénétrer dans la substance osseuse du crâne entre le nerf vague et la fenétre vestibulaire. m,m, xeste.des arcs branchiaux, ñn, entrée de l'œsophage, 0; œsophage, p, estomac. g, commencement de l'intestin, qui est coupé. r, rectum. s, anus. t, prolongement appendiciforme de l'œsophage, se terminant par un petit canal dans {a vessie natatoire. u, CŒUT. v,v, substance du foie, qui est situé immédiatement au-dessous de la colonne vertébrale. La tête de lalose vue en-dessous, les opercules écartés et les branchies enlevées. a, museau. b, colonne vertébrale. e,c, les opercules vus par leur face interne. d, d, rudiments des branchies fixés à l'opercule. e, muscle adducteur de Topercule, mis à découvert par l'enlève- ment d’une portion de Ia membrane qui revêt la face interne de l'opercule, que cette même membrane recouvre aussi. f, la fenêtre vestibulaire, trou plus ou moins arrondi, fermé par une membranule transparente, à laquelle aboutit au dedans le Fig. 3. Fig. 4. SUR LA STRUCTURE DE L'ORGANE DE L'OUÏE. 703 vestibule membraneux. Immédiatement derrière cette fenêtre se trouve : g 8 le faisceau des nerfs vagues. h, le petit canal qui, de la vessie natatoire, s'étend jusquà l'organe auditif. ï, le vomer. Squelette de Ia tête de Talose vue renversée. a, colonne vertébrale. b, vomer e c, c, petits canaux ( frompes cystiques ) qui mettent la vessie nata- toire en rapport avec l'organe auditif, On voit le canal du côté droits’engager dans la substance osseuse, tandis que celui du côté gauche, qui est disséqué et découvert dans toute sa Jongueur, pérmet d’apercevoir sa continuité avec le globe osseux. d, endroit où Îa partie cartilagineuse de Îa trompe cystique se continue avec Îa partie osseuse. e , globe osseux postérieur dans l'intérieur du cercle qui circons- crit le canal demi-circulaire externe. ff, globes osseux antérieurs. g g, orifices par lesquels passent les nerfs vagues. hk, k, fenêtres vestibulaires. ë, à, orifices par lesquels passent les nerfs de Ia 5° paire. Organe auditif de l'alose vu d'en haut; la voûte du crâne et l'en- céphale sont enlevés; Ia partie osseuse dans laquelle les canaux demi-circulaires sont engagés est également enlevée, de sorte que ceux-ci se tiennent librement. a, colonne vertébrale. b, fosse pituitaire. "à c, orifice par lequel passent les nerf optiques. d, d, orifices par lesquels passent les nerfs de Ia 5° paire. e; e, globes osseux-antérieurs: 1 © DOS Fig. 0. RECHERCHES ANATOMIQUES f; f; globes osseux postérieurs: 1ous Îes deux ouverts ; dans celui du côté gauche la membrane interne est enlevée; dans celui du côté droit cette membrane existe encore. g, canal demi-circulaire externe: on voit qu'il touche le globe osseux postérieur. À, €anal demi-circulaire anterieur, ë, canal demi-circulaire postérieur. , Æ, organe accessoire , correspondant probablement au limaçon. 1, partie postérieure du sac où sacculus, qui est enfoncé dans la base du crâne. m, commissure auditive supérieure, ñ, commissure auditive inférieure. o, nerf auditif antérieur; on le voit s'enfoncer dans le vestibule membraneux; puis à travers ce vestibule on le voit se diviser en plusieurs filets, dont les deux antérieurs constituent un cercle nerveux autour de Tlotolithe ou lapillus antérieur ; deux autres de ces filets nerveux vont aux deux ampoules anté- rieures, et un dernier filet se rend à l'organe représentant Îe limaçon. p , nerf auditif postérieur, se rendant à l'ampoule postérieure et au sacculus. Crâne de Talose ouvert: l'encéphale et les organes auditifs sont enlevés. a, colonne vertébrale. b, orifice par lequel passe le nerfoptique. c, ce, orifices des nerfs de la 5° paire. d, d, globes osseux antérieurs: on voit sur chacun d'eux un ori- fice étroit , allongé transversalement, lequel est a fenêtre anté- rieure. f 1 ei à | e, globe osseux postérieur du côté droit. La partie osseuse de l'oreille de ce côté est disséquée jusqu'au niveau de ce globe. SUR LA STRUCTURE DE L'ORGANE DE L'OUÏE. 705 F, conduit dans Tequel est logé Ie canal demi-circulaire externe. g, portion du conduit dans lequel est logé le canal demi-circu- laire postérieur. k, large conduit au fond duquel est osé Ie bulbe accessoire ou limacon ; ce conduit est ouvert. 7, à, fenêtre postérieure ; celle du côté droit a été mise plus à dé- couvert que celle du côté opposé, par l'enlèvement d'une a- melle osseuse de Ia base du crâne. k, portion du canal demi-circulaire antérieur du côté droit. L, portion du canaî demi-circulaire postérieur du côté droit. m , partie externe du conduit z. ñ , partie interne du même conduit. Fig. 6. tête d'alose vue de côté. a, &, a, conduits excréteurs mucifères avec leurs ramifications sur lopercule, Ces canaux se rendent dans un sac ou réservoir b. cet d, sont deux autres points par Tesquels des conduits sem- blables viennent se rendre dans le méme’ réservoir. — Le sac b ou réservoir, occupe Ja partie externe du conduit À de Ia figure 5. Fig. 7. Grand otolithe contenu dans le sac. Fig. 7’. Le même otolithe grossi. Fig. 8. Petits otolithes antérieur et postérieur de grandeur naturelle. Fig. 8". Les mêmes otolithes grossis. PLANCHE V. ORGANE AUDITIF DU MILANDRE (Squalus guleus, L.). Fig. 1". Les parties représentées sont vues d'en haut. a, membrane olfactive. b, b, nerfs offactifs. c, globe de l'œï. 5. 89 706 RECHERCHES ANATOMIQUES d, d, nerfs optiques. e,e,e,e, muscles de Tœil. ff, nerfs oculo-moteurs. g,g, nerfs pathétiques. h,h, nerfs de a cinquième paire. i,i, nerfs auditifs, k, k, bulbes auditifs. 1, 1,1, canaux demi-circulaires. m,m,m, nerfs de Ia septième paire. n,n, nerfs vagues pneumo-gastriques. 0,0, canal de communication entre Îe vestibule et l'extérieur. P»p, lobes olfactifs. gg; tubercules quadri-jumeaux. r, cervelet. s,s, éminences olivaires. £,t, corps restiformes. u, calamus scriptorius. v, moelle rachidienne. Oreille droite vue du côté interne. a,a,a, bulbe auditif. b, canal demi-circulaire antérieur. c,c, canal demi-circulaire postérieur. d,d, canal demi-circulaire externe. e,e,e, les trois ampoules. J; canal de communication avec l'extérieur, se divisant en deux. g, première sous-division de ce canal, établissant une communi- cation avec l'intérieur du bulbe auditif. On a représenté une soie qui y est engagée. SUR LA STRUCTURE DE L'ORGANE DE L'OUIE. 707 h, deuxième sous-division du même canal, établissant une commu- nication avec le canal demi-circulaire postérieur. z,1,t, faisceaux des nerfs auditifs. ORGANE AUDITIF DU MAQUEREAU ( Scomber scombrus, L. ). Fig. 3. _ Fig. 4. Fig. 5. Fig. 1. La tête coupée longitudinalement par le milieu ; Le côté gauche de l'organe auditif est vu par sa face interne. a, colonne vertébrale. b, base du crâne. c, orifice destiné au nerf de Ia cinquième paire. d, orifice du nerf vague. e, canal demi-circulaire antérieur. J; ampoule du même canal. £, ampoule du canal demi-circulaire externe. k, canal demi-circulaire postérieur. :, ampoule du même canal. k, sinus utriculosus ou sinus médian. 1, sac ou sacculus logé dans un enfoncement de a base du crâne. m, nerf auditif antérieur fournissant des filets au sacculus et aux deux ampoules antérieures. n, nerf auditif postérieur fournissant des filets au sacculus et aux deux ampoules postérieures. Le grand et le petit lapelli (otolithes), grandeur naturelle. Les mêmes objets grossis. PLANCHE VI. ORGANE AUDITIF DU CONGRE ( Muræna conger, L.). Oreille droite, vue par sa face interne. À, extrémité antérieure. B, commencement de Îa colonne vertébrale. C, partie supérieure. 89” Fig. 3. RECHERCHES ANATOMIQUES a, bulbe auditif ou vestibule membraneux; on voit l'otolithe à travers la membrane. b, sinus médian, communiquant d'une part avec le vestibule membraneux, et de Tautre part avec les deux canaux demi- circulaires antérieur et postérieur. c, ampoule du canal demi-circulaire externe d, d. e, ampoule du canal demi-circulaire antérieur f. g, ampoule du canal demi-circulaire postérieur A. i,K,1, 1, représentent les différents rameaux nerveux de l'organe auditif. Les rameaux 2 et À se distribuent aux ampoules ; du rameau X se détache le fet », qui va au dehors de Ja cavité crânienne, et qui correspond à la portion dure de la septième paire. Les rameaux /, / se distribuent au sacculus. L'encéphale du même poisson, vu par son côté gauche. a, a, lobes olfactifs. b, nerf olfactif. c,ce, éminences antérieures des tubercules quadri-jumeaux. d, nerf optique croisant le nerf optique du côté opposé, repré- senté par e. f; éminences postérieures des tubercules quadrijumeaux. g, cervelet. h, nerf de Îa quatrième paire. :, nerf de la cinquième paire. k, k, les deux origines des nerfs acoustiques. l, moelle rachidienne. ORGANE AUDITIF DE LA BAUDROIE ( Lophius piscatorius, L.). Cette figure représente la moitié gauche du crâne vue par Ia face interne. a, extrémité postérieure. b, extrémité antérieure. Fig. 4. SUR LA STRUCTURE DE LORGANE DE L'OUÏE. 709 c,c,c, base du crâne. d, d,d, boucles du dessus de la tête, e, trou par lequel sort le nerf optique. J, nerf de Ia cinquième paire. g, nerf glosso-pharyngien. h, trou destiné à la sortie du nerf vague ou pneumogastrique. , sinus utriculeux on sinus médian. k, sacculus ayant un appendice à sa partie postérieure; le saccu- lus et Tappendice renferment chacun un /apillus solide, visible à travers Îes paroïs membraneuses. l, canal demi-circulaire postérieur. m, canal demi-circulaire externe. n, canal demi-circulaire antérieur. 0, lapillus contenu dans l'extrémité antérieure du sinus utricu- leux, ou sinus médian, et visible à travers les parois de ce sinus. p… v, ensemble du nerf auditif; les filets sont ici légèrement écartés pour qu'on puisse les distmguer mieux. p, filet de l'ampoule du canal demi-circulaire antérieur. g, petit faisceau nerveux aboutissant au lapéllus du sinus utri- culeux ou sinus médian. r, filet de ampoule du canal demi-circulaire externe. s, faisceau aboutissant au grand otolithe. t, filet de T'appendice du sacculus. u, filet sortant du crâne au dehors de l'organe auditif. v, filet de l'ampoule postérieure. Les trois lapilli ou otolithes de grandeur naturelle. a, lapillus contenu dans Tappendice du sac: b, lapillus contenu dans le sac même. c, lapillus contenu dans l'extrémité antérieure o du sinus médian. 710 RECHERCHES ANATOMIQUES PLANCHE VII. ORGANE AUDITIF DU TURBOT ( P/euronectes maximus , L.). Fig. 1. Cette figure représente Ia moitié droite de Ja tête, vue par a face interne et dépouillée des parties charnues. a, extrémité antérieure. b, base du crâne. c, nerf de la cinquième paire. d, sac logé dans un enfoncement particulier de Ia base du crâne, et contenant deux otolithes qu'on apercoit à travers Îes parois membraneuses. e, sinus utriculeux ou médian. J; ampoule antérieure. g, ampoule externe. hk, ampoule postérieure. 2, canal demi-circulaire antérieur. kÆ, canal demi-circulaire posterieur. l,m, canal demi-circulaire externe. ñ; tronc du nerf acoustique fournissant, 1° un filet à chacune des ampoules; un pinceau à l'extrémité antérieure et renflée du sinus médian; 3° un filet o qui sort du crâne; 4° un grand pinceau au sacculus; 5° un filet isolé à la partie postérieure du sacculus. Fig. 1.a.Les trois /apilli ou otolithes de grandeur naturelle, contenus dans cette oreille. a, lapillus contenu dans Ke bout antérieur du sinus médian ou utriculeux. bete, les deux lapilli qui sont contenus dans le sac. Fig. 2. ORGANE AUDITIF DU SAUMON (Sa/mo salar, L.). Moitié gauche de Ia tête vue par:la face interne. SUR LA STRUCTURE DE L'ORGANE DE L'OUIE. 711 a, canal rachidien. b, nerf de la cinquième paire. c, sacculus, à travers les paroïs duquel on apercoit deux concré- tions pierreuses ( otolithes. ) d, sinus médian, donnant attache antérieurement aux deux am- poules ee, f. Postérieurement à l'ampoule g et à l'extrémité non ampoulée du canal demi-circulaire externe (4). Au-dessous des ampoules e et f, on voit une troisième concrétion pierreuse ou otolithe. Le sinus médian se continue inférieurement avec le sacculus, et supérieurement il se prolonge vers z et k, les extrémités non ampoulées des canaux demi-circulaires antérieur et postérieur. e,k canal demi-circulaire antérieur. gy? canal demi-circulaire postérieur, fh canal demi-circulaire externe. Chacun de ces trois canaux est. enchaîné ou retenu dans un conduit ostéo-cartilagineux. Fig. 2.a. Cette figure représente de grandeur naturelle les trois /apilli ou otolithes. a, petit otohthe du sacculus. b, grand otolithe de la même poche. c, otolithe qui se trouve en dessous des deux ampoules & et f. Fig. 2.b. Cette figure donne Toreïlle isolée et grossie, avec 1es nerfs : elle est prise du même point de vue que dans Îa figure 2, et les lettres ont la même signification. Fig.2. c. Cette figure représente isolément Ies nerfs qu'on voit en place dans la figure précédente. a, filet de Tampoule du canal ek: b, pinceau de filaments qui pénètrent dans l'extrémité antérieure du sinus médian , au-dessous du /apillus qui est à cet endroit. c, filet de l'ampoule f. 742 RECHERCHES ANATOMIQUES d, pmceau nerveux du sacculus. e, petit pinceau nerveux qui se rend à la partie postérieure du sacculus, près du petit otolithe. J; filet de l'ampoule p.. Fig. 3. ORGANE AUDITIF DE L'ANGUILLE ( Muræna anguilla, L.). Cette figure représente la moitié gauche du crâne, vue par sa partie interne. a, le museau. b, a partie postérieure du crâne. ce, voûte de la cavité cränienne. d, base de la même cavité. e, vestibule membraneux. f, canal demi-circulaire antérieur. g, canal demi-circulaire postérieur. hk, sinus médian ou utriculeux. 2, canal demi-circulaire externe. PLANCHE VIII. ORGANE AUDITIF DU GRONDIN ( Trigla gurnardus, L. ). Fig. 1. Cette figure représente la moitié droite du crâne, vue par fa face interne, a, le museau. b, le condyle de Toccipital. c, la base de la cavité du crâne. d, la voûte de la même cavité. e, vestibule membraneux. f, appendice du vestibule membraneux. £, Sinus utriculeux. hk, canal demi-circulaire antérieur. SUR LA STRUCTURE DE L'ORGANE DE L'OUIÏE. 713 z, canal demi-circulaire externe. k, canal demi-circulaire postérieur. 7, nerf auditif antérieur. m, nerf auditif postérieur. Fig. 2. ORGANE AUDITIF DE LA GRANDE ROUSSETTE (Squalus cani- cula, L.). Oreïlle gauche vue par sa partie mterne. A, partie antérieure de Ia tête. B, partie postérieure de Ia tête. a, canal demi-circulaire antérieur. b, canal demi-circulaire postérieur. C, ©, canal demi-circulaire externe. d, sac ou sacculus de Weber. ÆE, smus médian ou sinus utriculeux. F, nerf acoustique qui envoie une branche à chaque ampoule, au sacculus etau sinus médian. G, nerf optique. Fig. 3. ORGANE AUDITIF DU PTÉROIS ( Pterois volitans, Cuv. — Scor- pœna volitans?), L’oreille gauche vue par sa face interne, sans qu'on ait rien enlevé. À, partie antérieure de Ia tête (mâchoire inférieure ). B, partie postérieure de Ia tête. , C, canal demi-circulaire antérieur. 2 D, D, canal demi-circulaire postérieur. 1 . Æ, ampoule du canal demi-circulaire externe. F, canal commun. g, Sinus médian. H, sacculus. L, cavité au fond de laquelle se trouve un conduit qui logeait pro- bablement un petit canal (Sinus auditorius impar, Weber) 2. 90 714 RECHERCHES ANATOMIQUES qui fait communiquer Toreiïlle avec a vessie natatoire ( toutes ces parties molles étaient très-altérées par l'alcool ). Fig.3 a. Lapillus très-mince, creusé en forme de cuiller, dont la face convexe regarde en dedans. Fig. 3 b. a, le sac. b, le sinus médian et Îe canal de communication avec le sac. ce, canal demi-circulaire antérieur. d, canal demi-circulaire postérieur. e, canal demi-circulaire externe. J; tube commun. g, ampoule du canal demi-circulaire postérieur. hk, ampoule du canal demi-circulaire antérieur. t, ampoule du canal demi-circulaire externe. k, vestiges d'un canal qu'on croit communiquer avec la vessie aérienne. PLANCHE IX. RAIE. Vue d'en haut (moitié grandeur naturelle). 4, &, yeux. b, b, ouies. e, museau. d, petit orifice s'ouvrant en haut de la tête, et constituant fa communica- tion du canal ascendant avec l'extérieur. e, le même orifice du côté opposé, vu dans sa continuation avec le canal ascendant. f, ce même canal ascendant se portant d’abord en dedans, puis en avant et en bas, renflé dans son milieu et se jetant au point # dans Îe sinus médian. SUR LA STRUCTURE DE L'ORGANE DE L'OUIE. 715 k, le ,canal, ascendañt. © ë, canal demi-circulaire postérieur. k, canal demi-circulaire éxterne. l, canal demi-circulaire antérieur. PLANCHE:X:! ORGANE AUDITIF DE LA RAIE BOUCLÉE. (Raia clavata, L.). Fig. 1. Moitié droite de Ia tête, vue par laïÿface interne. 3 a, a, a, base du crane; coupée. € Ÿ b,b, dessus de la tête. c, œil, dont on n'apercoit que le rebord supérieur. d, extrémité antérieure. e, nerf olfactif. f; nerf optique, g, nerf pathétique. k;, nerf oculo-moteur. i, nerfs de Ia cinquième paire, unis en un seul faisceau avec les nerfs acoustiques. k, endroit correspondant au trou occipital. L,'T, sacculus. M, appendice antérieur (uéricule). n, appendice postérieur du sacculus ( cysticule). 9, ampoule du canal demi-circulaire antérieur. ?; ampoule du canal demi-circulaire externe. ÿ; ampoulé du canal demi-circulaire postérieur. r,r, canal demi-circulaire postérieur. 5,5, Canal demi-circulaire antérieur. t,t, canal dèmi-circulaïre externe. u, canal de communication du sacculus avec le dehors; ici ce 90 * 716 RECHERCHES ANATOMIQUES canal est coupé en uw; dans la figure 2, il est représenté dans son entier. v, endroit par où le sacculus adhère à a paroi du crâne. æ, nerf de lampoule 0. y, pinceau nerveux destiné à Ia portion # du sacculus (utricule). z, nerf de Tampoule p; 5} pincedu nerveux destiné au sacculus. T, pinceau nerveux destiné au sacculus. ?, filet gagnant le dessus du sacculus. x nerf de Tampoule g. +, nerf de Ia portion » du sacculus (cysticule ). », nerf sortant du crâne. Fig. 2. Labyrinthe membraneux d'une raie, côté gauche, quadruple de la grandeur naturelle. Cette figure, représentant les objets dans des proportions quatre fois plus grandes que dans l'état naturel, a été donnée pour faire bien dis- tinctement connaître toutes Îes parties; pour montrer les différentes branches nerveuses et les noms qu'elles ont recus de nous, enfin pour montrer Îa disposition, la structure et les annexes du canal ascendant, sur l'existence duquel il a pendant longtemps existé des doutes. Nous renvoyons aussi au texte pour tout ce qui est relatif à l'histoire et à la description des parties qui sont représentées grossies sur cette planche X. Le nom de chaque partie se trouve inscrit sur les divers points de cette figure. Fig. 3. Cette figure représente les trois amas de poudre calcaire (otoco- nies) qu'on rencontre dans le sacculus et ses appendices. Ces amas sont mous, et les figures que nous donnons ici ne servent qu'à indiquer le volume approximatif de ces masses qui vues au microscope paraissent formées par de petits cristaux. a, amas contenu dans la partie »# de la figure précédente ; b, amas contenu dans le sacculus /, . SUR LA STRUCTURE DE L'ORGANE DE L'OUÏE. 717 c, amas contenu dans le petit appendice 7. La couleur jaune indique la cavité auditive, distincte de celle du crâne, et remplie par l'humeur de Cotugno. La couleur rouge indique Îa cavité crânienne, qui, dans ce poisson, n’a aucune communication avec Îa cavité auditive. PLANCHE XI. ORGANE AUDITIF DE LA RAIE ( Rata batis, L.). Fig. 1. a; a, membrane olfactive, b, b, ganglions olfactifs. c, cerveau. d, d, tubercules bi-jumeaux. e, cervelet. > f, corps olivaires. £g» calamus scriptorius. h, k, globes oculaires. 2,1, nerfs optiques. k, canal demi-circulaire externe. L, canal demi-circulaire postérieur. m, canal demi-circulaire antérieur. ñ, nerf auditif du côté droit. 0,0, labyrinthe cartilagmeux, d'où lon a retiré les parties molles, ou labyrinthe membraneux. Fig. 2. Oreïlle droite de Ja raie ronce (raia batis, L.), vue par sa face ex- terne. a, partie antérieure. b, partie postérieure. 718 Fig. 3. RECHERCHES ANATOMIQUES c, c,c, c, c, substance cartilagineuse au milieu de laquelle se trouve l'organe auditif. d, ouverture donnant passage à un faisceau nerveux. e,e,e,e, lambeau de peau. ff; smus médian et sacculus. £3 fenêtre ovalaire ou vestibulaire. k,1,Æ, canaux demi-circulairés. l,m, ampoules de deux de ces canaux. n, réunion de deux extrémités des canaux demi-circulaires où il n'y a pas d'ampoule. a, muscle du canal ascendant. p, Canal ascendant sortant de la poche ‘ou utricule médian et mis à nu dans presque toute son étendue, jusqu'à son orifice cutané, décrivant plusieurs inflexions, contracté en o et em- brassé par le petit muscle constricteur. Labyrinthe cartilagineux isolé, de Ia raie ronce (raia rubus, L.), avec Îa partie sous-cutanée du tube ascendant et muscle propre à ce même canal. Ce labyrinthe est vu par sa face externe. a,a, lambeau de peau. b, canal demi-cireulaire antérieur. c, canal demi-circulaire externe. d, canal demi-circulaire postérieur. e,e, parois du vestibule. J; fenêtre ovalaire. g, muscle du canal ascendant. hk,h, canal ascendant. 2, orifice extérieur de ce même canal. SUR LA STRUCTURE DE L'ORGANE DE L'OUÏE. 719 PLANCHE XII. ORGANE AUDITIF DE LA RAIE BATIS, RAIE PLANCHE? etc. (Raia batis, L.) Fig. 1. Cavité éympanique de la raie blanche (raia batis ), vue par sa partie antérieure. a, partie antérieure. b, partie postérieure. c,c, les yeux. d, d, Tambeau de peau rejeté en arrière. e,e, intérieur de Îa cavité, qui est tapissé par une membrane se- reuse, remplie par une humeur gélatineuse contenue ‘dans une membrane hyaloïde. SJ, fenêtres ovales qui s'ouvrent dans Îa cavité labyrinthique, et qui sont bouchées par une membrane qu’on a enlevée du côté gauche. La fenêtre devient ici plus apparente par l'absence de la membrane qui la fermait. £g, g, muscle qui s'insère d'une part sur le crâne, en avant eten de- hors de Ia fenêtre ovale, et d'autre part aux parois fibreuses du k,h, tube ascendant lequel fait un cercle entier autour du muscle. ë, i, endroit par où le canal sort du crâne. k, k, à ce niveau Ie canal ascendant s'ouvre au dehors par un ori- fice assez rétréci. A droite, on a indiqué par des flèches le trajet que parcourt le tube ascendant dans l'intérieur. Vers son orifice extérieur ce tube se rétrécit considérablement, et ses parois deviennent beaucoup plus épaisses, plus denses; est-ce parce qu'il traverse [a peau, ou serait-ce un rudiment de con- duit auditif? Fig. 2. La même cavité, vue par sa face postérieure. a, b,c, c, d, d, e, e; comme pour Ia figure 1. 720 RECHERCHES ANATOMIQUES ff; coupe de Ia cloison fibreuse qui sépare postérieurement T'exca- vation sous-cutanée. g, endroit par où les deux parties de cette cavité communiquent. h,h, couches musculaires sur lesquelles s'étend encore 1a cavité. 1, , fenètres ovales; k, k, canaux ascendants sortant du crâne! par l,L, et communiquant avec l'extérieur par m, m. n,n, muscle s'insérant d'une part sur 0, 0, petite éminence située en-dehors et au-devant de Ia fenêtre ovale. P»p; insertion du muscle sur les parois du tube ascendant. Fig. 3. L'oreïlle gauche de la raie noire, vue par sa face interne. a, lambeau de peau. b, b,b,b,b, coupes des parois cartilagineuses du labyrinthe. c,c,c, sacculus. d, son appendice antérieur. e, son appendice postérieur. f; tube demi-circulaire antérieur. g, ampoule antérieure. k, tube demr-circulaire externe. :, ampoule externe. Æ, tube demi-circulaire postérieur. /, ampoule postérieure. m, nerf de la cinquième paire, qui marche quelque temps de concert avec le nerf acoustique. a, nerf acoustique. o, nerf de {a huitième paire. p, endroit par où Îe sacculus adhère aux parois du crâne. g, fenêtre ovale. r, muscle du tube ascendant. s, s, tube ascendant qui, dans l'intérieur du labyrinthe, passe au devant de #, canal commun, et semble communiquer librement Fig. 4. SUR LA STRUCTURE DE L'ORGANE DE L'OUÏE. 721 par «, avec le sinus médian et Îe sacculus, qui constituent Ia cavité du vestibule. v, orifice extérieur du tube ascendant : ce tube est représenté ouvert, et formant les trois quarts d’un cercle autour du muscle: à une ligne et demie de son orifice extérieur on voit qu'il se resserre considérablement; c'est 1à que ses parois deviennent comme fibro-cartilagineuses, ce qui fait que le tube ascendant reste toujours béant vers son orifice libre. Les mêmes parties de l'oreille de la raie bouclée (raia clavata,L.). a; l, les mêmes parties que ci-dessus. m, canal commun. n, nerf acoustique. 0, fenêtre ovale. p, muscle constricteur du tube ascendant. g, tube ascendant, ouvert, décrivant un cercle presque entier autour du muscle; d se rétrécit aussi vers son extrémité libre, et ses parois deviennent fibro-cartilagmeuses. r, orifice extérieur du tube ascendant. OREILLE DE LA CHIMÈRE ANTARCTIQUE ( Chëmæra callorynchus, L.). Fig. 5. Cette figure représente Îe labyrinthe du côté gauche, isolé. Toutes Tes parties du labyrmthe membraneux qui sont ici à découvert, communiquent librement avec Îa cavité crânienne. a, lambeau de peau du cräne. b, espèce de ligament fibro-cartilagineux, qui est le rudiment de cette cloison cartiagineuse qui, dans d'autres chondroptéri- giens, sépare entièrement Ia cavité du labyrinthe de celle du crâne. c, conduit ou tube ascendant qui fait communiquer la cavité du labyrinthe avec l'extérieur, et qui se continue au-devant du ca- nal commun, jusqu'au sinus médian. dd, canal demi-circulaire antérieur. 91 Fig, 1. RECHERCHES . ANATOMIQUES e , canal demi-circulaire postérieur. J{;f, canal demi-circulaire externe. 9, canal commun. h, sinus médian. 2, nerf acoustique. Cette figure représente les mêmes parties. Le labyrinthe cartila- gineux a été ouvert pour faire voir le Jabyrinthe membraneux à nu; et l'espace qui le sépare de ses parois cartilagineuses estrempli par fa périlymphe. Le labyrinthe cartilagineux, vu par sa face externe: On aperçoit ici la direction des canaux demi-circulaires et la forme du ves- tibule cartilagineux en dehors et vers son, côté externe. A À, partie qui correspond au canal commun et jau canal ascen- dant qui fait communiquer l'oreille interne avec l'extérieur. B, renflement qui correspond au vestibule et qui contient le sac- culus, à la partie antérieure et externe duquel on aperçoit une petite gibbosité correspondant au cysticule. C, D, E, canaux demi-cireulaires, antérieur, postérieur etexterne. L'oreille droite du méme poisson (Chëmère antarctique) non isolée. À, partie antérieure de Ja tête. B, partie postérieure de la tête. C, D, E, E, canaux demi-circulaires antérieur, postérieur et ex- terne. F, canal ascendant qui mène à l'extérieur, et qui se continue en bas jusqu'en #, sinus médian et sacculus. H, sacculus ; I, nerf acoustique. PLANCHE XIIT. ORGANE AUDITIF DE LA CARPE (Cyprinus carpio, L.). a,a, vessie natatoire. Fig. 2. SUR LA STRUCTURE DE L'ORGANE DE LOUÏE. 723 b, mâchoire: supérieure. c, pièce osseuse adhérente à Jaivessie natatoire, et représentant, selon Weber, le marteau des animaux supérieurs. d, enclume selon le même auteur. e, étrier selon le:même auteur. | J; petit ligament au moyen duquel ces trois osselets sont réunis, g première apophyse transverse. h, trou dont est percé Toccipital, et qui. établit une commu- nication entre l'appareil des osselets et Îes. canaux demi- circulaires. Moitié gauche du crâne du même poisson, vue par sa face interne. La tête a été divisée sur la ligne médiane ; l'encéphale, les nerfs et toutes Îes parties molles ont été enlevées pour que l'oreille’ devint plus apparente. a, portion du trou occinital. b, extrémité antérieure du crâne. c, base du crâne. d:, voûte dela même cavité. e, trou par le moyen duquel les osselets ont une communication médiate avec l'appareil auditif. f, trou’ destiné, au passage des nerfs,de la cinquième paire. g, sacculus contenant deux otolithes qui sontun:peu visibles à travers Îles parois membraneuses, À, sinus utriculeux ou sinus médian contenant égalementune pierre. t, k,l, les trois ampoules, dont .deux-sont antérieures et une est postérieure. m;tube demi-cireulaire antérieur. n; tube demïi-cireulaire/postérieur. Ces deux tübesse réunissent en o'et forment ainsi la partie äscendante du sinus utriculeux. pp, le tube demi-circulaire extemie, dont onne voit que le com- mencement et Îa fin. 91 724 Fig. 3. Fig. 4. RECHERCHES ANATOMIQUES Les trois pierres ou otolithes de grandeur naturelle. a, grande pierre du sacculus. b, petite pierre (ou pierre antérieure) du sacculus. c, pierre du sinus utriculeux. ORGANE AUDITIF DU BROCHET (Æsox lucius L.). La moitié gauche du crâne, vue par sa face interne, a,a, base du crâne. b, dessus de Ia tête. c, moitié gauche du trou occipital. d, Tœïl vu par derrière. e, ampoule du canal demi-circulaire antérieur. J, ampoule du canal demi-circulare externe. £, ampoule du canal demi-circulaire postérieur. k, extrémité postérieure et renflée du canal demi-circulaire ex- terne. i, sinus utriculeux ou médian, se divisant en Æ et /, qui sont les canaux demi-circulaires postérieur et antérieur , et se con- tinuant antérieurement en », petit renflement qui contient un lapillus. n, appendice particulier qui se détache de la portion postérieure et inférieure du sinus utriculeux, et qui se dirige vers le trou occipital. 0, sacculus contenant les deux concrétions pierreuses & et b de la fig. 5. p, nerf oculo-moteur; g, nerf pathétique; r, deux cordons for- mant ensemble le nerf de Ia cinquième paire. s, filet de l'ampoule antérieure; 4, petit faisceau nerveux s'épa- nouissant dans la portion #, qui contient un lapillus. u, autre faisceau du nerf acoustique, fournissant, 1° un filet à ampoule f; 2° un pinceau de filets au saceulus, et 3° un filet très-long, qui gagne l'ampouie 2. Fig. 1. SUR LA STRUCTURE DE L'ORGANE DE LOUÏE. 725 , filet étranger à organe auditif, qui contourne le sacculus pour percer Îa paroï du crâne et se distribuer au dehors. . Représentant Les trois otolithes de grandeur naturelle. a, otolithe occupant la partie postérieure du sacculus. b, grand otolithe qui occupe la majeure partie du sacculus. c, grand otolithe contenu dans le bout antérieur du sinus médian, au-dessous de l'insertion des deux ampoules antérieures. PLANCHE XIV. ORGANE AUDITIF DU THON (Scomber thynnus, L.). Vu d'en haut. a, membrane pituitaire. b, b, nerfs olfactifs. c, globe de Tœil. d, d, d, d, muscles de l'œil. e, nerf optique. f; nerf oculo-moteur. g,g, canal demi-circulaire antérieur. h,h, canal demi-circulaire externe. ë, à, canal demi-circulaire postérieur. k, k, nerfs de Ia cinquième paire. 1, L, nerfs acoustiques. m, M, M, M, nerf vague. n, lobe olfactif. 0, 0, couches optiques. . p, cervelet. gg, corps restiformes. r, calamus scriptorius. s, moelle épinière. 726 RECHERCHES ANATOMIQUES Fig. 2. ORGANE AUDITIF DU THON (Scomber thynnus, L:). Cette figure re- présente la moitié gauche de fa tête, vue par la face interne. On voit l'oreille en place, de grandeur naturelle, et située à Ia partie postérieure de Ïa cavité crânienne. Cette cavité com- prend tout ce qui est coloré; elle contient, outre l'encéphale un liquide huiléux, qui remplit à l'égard de l'oreille Ia fonction de Thumeur de Cotugno. a, canal rachidien. b, extrémité antérieure de la tête. c, sac ou sacculus. d, appendice ou sacculus. e, sinus utriculeux ou sinus médian. J;g;k, les trois ampoules. 2, canal demi-circulaire antérieur. Æ, canal demi-circulaire postérieur. , canal demi-circulaire externe. m, passage pour le nerf de la cmquième paire. n, appendice particulier du sinus médian. 0,0,0,0,0, espaces communiquant avec fa cavité cräntenne et ; contenant le liquide huïleux qui, dans les mammifères, est dans la cavité Tabyrinthique, hors des tubes meémbraneux, du sinus médian et du secculws ; et qui occupe aussi les cavités du fimacon. PLANCHE XV. ORGANE AUDITIF DE L'ANGE (Squalus squalina, L. )e Les parties sont vues d'en haut. a,;a, lobes olfactifs. b, cerveau. c, cervelet SUR LA STRUCTURE DE L'ORGANE DE L'OUIE. 727 d, calamus scriptorius. e, moelle épinière. {5 f; nerfs olfactifs. £ g, nerfs optiques. k, k, nerfs oculo-moteurs. ë,i, nerfs pathétiques. k, k, nerfs de Ta cmquième paire. L, L, nerfs auditifs. m, épanouissement du nerf auditif droit sous l’otoconie. m', épanouissement dans les ampoules. ñ, n, nerfs analogues à Ja portion dure de Ia septième paire. 0, 0, 0,0, nerfs vagues. PP, corps fibro-cartilagineux attenant à {a mâchoire supérieure. g, œil du côté gauche, disséqué. s, canal demi-circulaire antérieur. t, canal demi-circulaire externe. u, canal demi-circulaire postérieur. v,v, ampoules des canaux demi-circulaires. æ, gravier ou ofoconte. Y; Y, Ouies. 2,3, branchies gauches. PLANCHE XVI. ORGANE AUDITIF DU PERCA LABRAX L., BAR OU LOUP. Fig. 1. Moitié gauche du crâne, vue par Îa face interne, l'organe auditif étant mis à découvert ( grandeur naturelle ). a, partie postérieure. b, partie antérieure. c, bâse du crâne. 728 Fig. 2. Fig. 4. RECHERCHES ANATOMIQUES d, portion du trou occipital. e, trou par lequel sortait la cinquième paire de nerfs. Lf, sacculus ou vestibule membraneux, contenant un énorme otolithe. g, appendice postérieur du sacculus ou cysticule. h, canal demi-circulaire antérieur avec son ampoule. à, canal demi-circulaire postérieur avec son ampoule. k,k, canal demi-circulaire externe avec son ampoule en avant. 1, endroit par lequel les deux canaux qui se rendent au sinus médian adhèrent entre eux. m, point de réunion ou d'immersion du canal commun dans Îe sinus médian on sinus utriculeux. m', petit otolithe ou /apillus. n,0, les deux faisceaux du nerf auditif antérieur. p,9, les deux filets du nerf auditif postérieur. Lapillus ou otolithe du côté droit ( grandeur naturelle ). a, face interne. b, face externe. a, lapillus où otolithe contenu dans Tappendice du sacculus. b, otolithe où lapillus qui se trouve au-dessous des deux am- poules antérieures. Oreille gauche de la morue ( gadus morrhua, L.). &, portion antérieure du nerf auditif. b, portion postérieure du nerf auditif. ce,c,c, cavité labyrinthique. d, d, d, ampoules des canaux demi-circulaires. e,e,e, ampoule aplatie. ff, canal demi-circulaire antérieur. £g,g, Canal demi-circulaire postérieur. SUR LA STRUCTURE DE L'ORGANE DE L'OUÏE. 729 h,hk, canal demi-circulaire externe. it, otolithe ou lapillus renfermé dans une espèce de poche. k, fosse sous-abyrinthique. Fig. 5. Otolithe vu par ses deux faces. PLANCHE XVII. ORGANE AUDITIF DE LA MORUE ( Gadus morrhua L. ). Fig. a, a, ganglions olfactifs. b,b, nerfs olfactifs. c, c, nerfs optiques. d, d, cerveau. e,e, tubercules bi-jumeaux. J; cervelet. gg, corps olivaires. hk, moelle épinière. ë, 2, nerfs oculo-moteurs communs. k, k, nerfs pathétiques. ll, nerfs de la cinquième paire. m,m, nerfs représentant [a portion dure de {a septième paire. nn, portion antérieure du nerf auditif. 0, 0, portion postérieure du même nerf. P1P; p, nerfs vagues ou pneumo-gastriques. q; q; filet d’anastomose entre le nerf vague et une branche de Ja cin- quième paire. », canal demi-circulaire mterne. s, canal demi-circulaire externe. t, canal demi-circulaire antérieur. u, lapillus ou otolithe. 5. 92 \ st par qe à Sn FE à jt d'ou di , 1 af sd es "e ed Pas: » CAL 1# % sn T5 à 4 3 Les prets tr GRR PTT ns nina Fe ci Lis Sultan bn | LT pps aiaono ro 2 ( ee ESA ont = u'hlols à Lib Fr RC ne meme sais en ‘y Le 4 À ; Fe cifius 93 FLTEL Se tre Part 4 upiso à " #0 2 | à 1 ! | a, LE pidé sn, re sus Rs "4 LL «fe Gi ii qe ea A dans LT x ” At & gel Là Mu UND “san ur mo dy. Lo A » ? 2 L ” RE TE (simeéts ds urtt à naifusf Tai le a» | SE {4 8, (es eur Pots. My! | ai mi ge ae ‘Tu r PTE ME hrs En ge. (0. SIGNE TRAME à + F | É + F, MIAGE TES né, " ee : FA =. empire disss A R < K | A pce PATES 4 #: ETTET & F di sbà Pr | | : à Cu" eus D h n Fe f De OR ir à 0 ét dv Peu rod D NT É a 1 it > sin rx; 7 is Dee io engee Brean Qx4 M ù made d sorièan ” ; j' u Pr ml LA ML APS PER t Re ii L | des core hs + R " tt NT TN" De MUR sage “ Re. le à # ï- LT LA ct br. rbemenits CT CR + | pes Vase: VO re LES k TABLE DES MÉMOIRES CONTENUS DANS LE CINQUIÈME VOLUME DES SAVANTS ÉTRANGERS. Mémoire sur la théorie des nombres; par M. Guillaume Ligri.... Page PREMIER MÉMOIRE sur la détermination des intégrales dont la valeur est algébrique; par M. Joseph LiouviLce DE LUTILITÉ DES MACHINES, «de leurs inconvénients, et des moyens d'y remédier, en assurant l'extension et les progrès de notre agriculture; par M. le baron DE MoroGuEs Mémoire sur les surfaces isothermes dans les corps solides homogènes en équilibre de température; par M. G. LAMÉ Mémoire sur l'influence de certaines professions sur le développement de la phthisie pulmonaire, à l’occasion d’une industrie particulière à la commune de Meusnes, département de Loir-et-Cher; par M. BENOISTON HEACHATEAUNE Re 20 22e ve nes ee seb ain eo da leicee cos “ Note sur la méthode des tangentes de Roberval; par M. J.-M.-C. Dune. Mémoire sur la compression des liquides; par MM. CocLanon et C. Srurm. NouveLLEs OBSERVATIONS sur les principaux produits de lopium; par M. RoBiQuET....... ssodoar Mémoire sur la restauration du périnée chez la femme, dans le cas de division ou de rupture complète de cette partie; par M. Roux SECOND MÉMOIRE sur la propagation de la chaleur dans les polyèdres; par M. G. LAMÉ Mémoire sur le calcul des actions moléculaires développées par les chan- gements de température dans les corps solides; par M. J.-M.-C. DunaMeL. MEmoiRe sur les combinaisons de l’acide chromique avec les chlorures métalliques; par M. Eugène PÉcicoT. .. 76 220 257 267 348 384 418 440 TABLE DES MÉMOIRES, ETC. ExrRAIT D'UN MÉMOIRE sur le mécanisme de la respiration nasale chez les cétacés souflleurs, en ce qui touche particulièrement à la distribution dans appareil de lévent des branches du nerf facial ( portion dure de la septième paire des anciens anatomistes; nerf respiratoire de la face, Ch. BELL); par M. BoursOT SAINT-HILAIRE. ......:.... Page MÉMOIRE sur la probabilité des resultats moyens des observations; démons- tration directe de [a règle de Laplace; par M. Jules BIENAYMÉ. ..... MÉMOIRE sur une question d'analyse aux différences partielles; par MeJoseph MIOUVIÉÉE TE = RemEcc ee ---e-ce--r-e- ce RECHERCHES ANATOMIQUES et PHYSIOLOGIQUES sur l'organe de l’ouie des poissons; par M, BRESCHRE. :, . nf 4e ee metjonsge sole ehneer es #2 sv 07 559 607 Académie des Seiences, Savans Etrangers Tome F7 AN, : loges 2 Fig. 2. favans Etranger Tome 1 ORGANE AUDITIF DES POISSONS. RTE = Es PI Fig 2. Tu ZE Fig. 8. Fig. 5. Fig. 104 Fig. E > à 2. le cerveau et las organe audit 77277772 2on masimus Guy /ove d'en haut le crane ouvert.) Wià 5. cuvite qué dépend de l'évent à Fig. 1, LAMPROIE, Pewon Fig. 3. Jice énterne de lu suit auitive ig. à à base du cräne. Vie. grosse. WG 8 cerveau word du crune. Vi. 9: ESTURGEON, Acipenser Sturio, Figaro: pete et grand lapillur. Fig nu, anrelet © © = représentant l'étrier, FL LA | ORGANE AUDITIF DES POISSONS. dés Wetences, Savans Etrangers Tome W. ; PIE Sa GANE AUDITIF DU GRAND ESTURGEON, Acipenser husol/v#e du cok gauche / Fig. 2. même organe w dépoulle de son ligament. | Academic des Sciences, S'avans Etrangers Tome FD) TA } K Fi. 1. ALOSE. Clupea Alos enlevées , Fé . 6- 7-7 L8-8". Cana Fig. 1. enlevres ALOSE, Liy #° Clapea Alosal.. Canaux 0772 de mHuctfér er et nolithes ORGANE AUDITIF la lte n vue à me porn desruts 77] DES POISSONS N à Li 16. 9,45 big ORGANE AUDITIF DE L° ALOSE. ar parties culemie des Sotnces, Savans Etrangers Tome V id. 1. MILANDRE. Squalus GaleusL./?# île coupée par le milieu Vi. 4: legrand et | KE das vrénecs fanrns Etranger. L Par le milieu) Vi. 4 le gramt et le petit lapin. ORGANE Fig. 1 AUDITIF DES POISSONS: 2. l'oreële droite, vue du coté interne. iè. 3 las mémar objebr gronrer MAQUERE AU, Scomber ? ! CE s + | À : _ RP ee _ = = | < « v 0 L F9 Id *SNOSSIOd SH ALLIGAV AXVOUO . RL SE MOVE V'E GC AELIOUN | A SRE DS US nan agé crusgnrge EE ORGANE AUDITIF DES POISSONS. Academie des Sciences, Savans Etrangers, Tome V: E f PL. 7. | Fig. 2 a: DER Sd 7 : — ; Fig 1. OREILLE DU TURBOT, Pleuronectes maximns L. Fig. 1 &, les trous lapillé . Fig.2. OREILLE DU SAUMON, Salmo salarL.Fi. 24, les troër lapillé : Yiè. 2b, oreille érolée et grosrée. Vië 2 e. ler nerfs qu'on vott en place dant le figure. precedente. 2 —_ Fig. 3. ORGANE AUDITIF DE L'ANGUÎLLE Muræna anguilla jee LA] ORGANE AUDIT S S S. leudémie des J'etences, Javans Etrangers Tôme V: PRRDESPEOISSONS PL. 8 Fig. 2 à. Fig. 4: ORGANE AUDITIF DU GRONDIN, Trigla gurnardusL. motte droite du crane/. Fig. 2. ORGANE"AUDITIF DE LA. GRANDE ROUSSETTE, Squalus CamiculaL. ore“le gauche / Fig. 3. ORGANE AUDITIF DU PTEROÏS, Pteroïs volitans Cuv Fi 3 à. lapillus Kg. 3 b. le Labyrinthe membraneux hors du crane. | el HS s PS ORGANE AUDITIF DES POISSONS. ences S'avans Etrangers Tome V. Plrkxor: E AUDITIF DE LA RAIE. Raïa clavataL/rrotté droite de la tête. Fig. 2. LABYRINTHE MEMBRANEUX DE Coté gauche, quadruple de la grandeur naturelle. Fiè .3. droës amas de poudre calcaire. ORGANE AUDITIF DES POISSONS. 1 <