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MÉMOIRES 


PRÉSENTÉS PAR DIVERS SAVANTS 


A L'ACADÉMIE DES SCIENCES 


DE L'INSTITUT DE FRANCE 


ET IMPRIMÉS PAR SON ORDRE 


PARIS 


IMPRIMERIE NATIONALE 


M DECGC LXXVII 


MÉMOIRES 


PRÉSENTÉS PAR DIVERS SAVANTS 


‘A L'ACADÉMIE DES SCIENCES 


DE L'INSTITUT IMPÉRIAL DE FRANCE 


MÉMOIRES 
A L'ACADÉMIE DES SCIENCES 


DE L'INSTITUT IMPÉRIAL DE FRANCE 


ET IMPRIMÉS PAR SON ORDRE 


SCIENCES MATHÉMATIQUES ET PHYSIQUES 


= 0 


TOME DOUZIÈME 


PARIS 
IMPRIMERIE IMPÉRIALE 


M DCCC LIV 


TABLE 


DES MÉMOIRES CONTENUS DANS LE DOUZIÈME VOLUME 


DES SAVANTS ÉTRANGERS. 


TRAITÉ entomologique et pathologique de la gale de l'homme, par M. le D'H. 
BouRGuIGNON.............. rate ur DT SR EE 


SUR L'ACCROISSEMENT en diamètre des plantes dicotylées, par MM. Duranp et 
MANOUR NE ET Tan mn ienn ste sllatele ee a ce ee ee 


Mémorres sur la vision, par M. L. L. VALLÉE. ......................... 


Mémoire sur les eaux de pluie recueillies à l'observatoire de Paris, par 
NASA ARR A RE nee ele Gien lee leleie ele e Ur D ieleleuss ei: cle eee 


RECHERGHES sur la série de Lagrange, par M. Ré CHIO ee rc ee 


Mémoire sur le papyrus des anciens et sur le papyrus de Sicile, par M. Phi- 
DHPPe PAR TATORE RP ere eee teen 


CC 


Mémorre sur l'établissement des arches de pont, envisagé au point de vue de 
la plus grande stabilité, par M Yvon VILLARCEAU.................. de 


FIN DE LA TABLE. 


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MÉMOIRES 


PRÉSENTÉS PAR DIVERS SAVANTS 


A L'ACADÉMIE DES SCIENCES 


DE L'INSTITUT IMPÉRIAL DE FRANCE. 


TRAITÉ 


ENTOMOLOGIQUE ET PATHOLOGIQUE 


DE 


_ LA GALE DE L'HOMME, 


PAR H. BOURGUIGNON, 


DOCTEUR EN MÉDECINE, LAURÉAT DE L’ACADÉMIE DES SCIENCES, 
EX-INTERNE ET LAURÉAT DES HÔPITAUX, 
MEMBRE DE LA SOCIÉTÉ DE MÉDECINE DE LA VILLE DE PARIS. 


AVANT-PROPOS. 


Ce n’est pas sans un vif intérêt qu'on porte aujourd'hui 
son examen sur la science médicale : en effet, aucune doc- 
trine ne fait loi, aucun système ne rallie les esprits. D'où 
vient cette apparente indifférence au point de vue des doc- 


SAVANTS ÉTRANGERS. — XII. 1 


LA 


2 TRAITÉ ENTOMOLOGIQUE ET PATHOLOGIQUE 
trines? La polémique n'a pourtant rien qui l'entrave, la 
presse est prompte à répandre les idées, les chaires sont 
ouvertes à qui veut se faire entendre; et pourtant aucun 
grand maître ne se montre, aucune idée, aucun système 
ne profite de ce moment propice pour s'imposer à la foule, 
toujours prête à saluer les novateurs de ses applaudisse- 
ments; en un mot, pourquoi cette halte? Ne serait-ce pas 
parce que la médecine, après avoir cherché à se constituer 
comme science eœacte, semble enfin comprendre, dans notre 
temps de positivisme, qu'elle s'était trop hâtée de conclure? 
Reconnaîtrait-on aujourd'hui combien se sont abusés ceux 
qui ont voulu classer, résumer et faire de la synthèse? 

La médecine, qui a besoin du concours que lui prêtent 
toutes les autres sciences pour faire des progrès véritables, 
ne peut que les suivre à grande distance : c'est ainsi que la 
chimie, la physique ont depuis longtemps des lois, des prin- 
cipes qui leur servent comme de base sur laquelle elles 
s'élèvent, tandis que la médecine en est encore, sous beau- 
coup de rapports, à la période hypothétique. Chacun a pu 
remarquer aussi quelle influence la philosophie a tou- 
jours eue sur la médecine, et aujourd'hui comme autrefois 
il est facile de voir combien l'esprit de la science médicale 
réfléchit avec fidélité les idées philosophiques régnantes ; 
ainsi, de même que l'éclectisme règne dans l'empire de l'idéo- 
logie, de même aussi l'éclectisme règne en médecine : temps 
de repos, temps de critique, pendant lequel les esprits 
n'en sont pas moins à l'œuvre pour marcher vers le progrès. 

Un coup d'œil général sur la science médicale le prou- 
vera suflisamment. Cette science, envisagée du point de 
vue le plus élevé, se divise en trois grandes branches 
principales, qui comprennent l'anatomie, la physiologie 
et la pathologie. Rien n'échappe à cette division; car 


DE LA GALE DE L'HOMME. 3 


nous entendons par anatomie la science de la structure 
de tous les êtres organisés; par physiologie, la science de 
leurs fonctions, et par pathologie la science de leurs ma- 
ladies. Ce n’est point dans l'homme seulement que se trouve 
l'explication des mystères que sa constitution nous pré- 
sente. Cette explication se trouve dans toute la nature: 
l'homme résume la création, il en est le chef-d'œuvre. S'a- 
dresser directement à lui pour se rendre compte des secrets 
de sa structure, de ses fonctions, de ses maladies, c’est ou- 
blier qu'il est, en toutes recherches, une méthode philoso- 
phique qu'il faut suivre sous peine de laisser sur son che- 
min des problèmes insolubles, méthode qui consiste à 
procéder du simple au composé; en un mot, étudier la cons- 
titution, les fonctions et les maladies de l'homme sans con- 
naître la constitution, les fonctions, les maladies des êtres 
placés au-dessous de lui, c'est oublier que la connaissance 
des faits complexes résulte de la connaissance des faits sim- 
ples ou isolés. Ces vérités triviales semblent avoir été com- 
prises, puisqu'on est censé exiger du médecin des connais- 
sances en histoire naturelle, du moins pour ce qui est de 
l'anatomie et de la physiologie; car pour la pathologie com- 
parée, on ne lui en donne pas la moindre idée. Mais malgré 
ces connaissances en histoire naturelle, il faut en convenir, 
le médecin aborde l'étude de l'homme sans avoir de notions 
bien précises sur l'organisation des êtres inférieurs; et tel 
phénomène ou telle fonction qui reste pour nous incom- 
préhensible, serait peut-être explicable, si nous avions ob- 
servé avec soin tout ce qui dans la nature aurait pu mettre 
sur la voie de son interprétation. 

L'anatomie a depuis longtemps fait connaître tout ce que 
la main armée du scalpel pouvait découvrir ; mais comme 
l'anatomie, ou plutôt la connaissance de la structure de 


1. 


l TRAITÉ ENTOMOLOGIQUE ET PATHOLOGIQUE 
l'homme, n’a pas seulement pour but la notion de ce qu'il a 
de grossier, mais bien de tout ce qui le constitue, comme 
trame interstitielle, ou comme organisation intime, tant 
solide que liquide, il est arrivé que la structure intime de 
beaucoup de nos organes, ainsi que les propriétés des li- 
quides, est restée inconnue : de là des difficultés pour cons- 
tater des lésions cachées, mais réelles; car, pour apprécier 
un désordre, il faut avoir une idée bien nette de ce qu'est 
la nature dans son intégrité. 

La chimie, nous le savons, a dosé les éléments pondérables 
qui constituent les différents liquides, chyle, sang, lait, etc. 
mais l'observation n'a point saisi les fonctions de ces élé- 
ments. Le sang, par exemple, est le siége de modifica- 
tions qui intéressent au plus haut point l'organisme, et les 
fonctions des éléments qui le constituent nous sont incon- 
nues. Nous ignorons comment la nutrition s'opère, à quel 
élément du sang l'assimilation réparatrice emprunte ses pro- 
duits organisateurs. Est-ce aux dépens du sérum, qui tient 
en suspension de la fibrine et de l'albumine ? est-ce aux 
dépens des corpuscules alimentaires qui sont transportés 
dans la circulation générale, non plus seulement par le canal 
thoracique, mais par les veines de l'estomac elles-mêmes, 
comme MM. Sandras et Bourchardat l'ont démontré ? Ces 
corpuscules alimentaires vont-ils au poumon, pour y subir 
un premier travail qui les prépare à l'élaboration? est-ce 
pour y oxyder leur fer? s'y rougir? ou sont-ils de prime 
abord les éléments de l'organisation, le principe de la chair 
solidifiée ? Connaissons-nous, non pas la nature du fluide 
nerveux, car apprécier la nature des choses est à jamais 
au-dessus du génie de l'homme, mais ses lois, ce qui règle 
ses phénomènes, et quelles conditions sont plus ou moins 
favorables à sa production ? Connaissons-nous comment les 


DE LA GALE DE L'HOMME. Q] 


glandes fonctionnent ? comment l'absorption et les sécré- 
tions s'opèrent ? Tous ces faits qui dominent la physiologie 
sont à peine entrevus, et, puisqu'ils constituent la santé, 
nous pouvons tout au moins douter que celle-ci nous soit 
connue. Dire que la santé résulte de l'harmonie de toutes 
les fonctions, quand ces fonctions sont inconnues, c'est se 
payer de mots, c'est exprimer un fait, sans se préoccuper 
de ses causes essentielles : la santé n’est jamais pour nous 
que relative; on peut tout aussi bien la définir un état de 
maladie inappréciable à nos sens, qu'un état physiolo- 
gique opposé à l'état de maladie. On pourrait soutenir que 
nous touchons tous à des degrés différents aux maladies, 
par nos organes ou nos fonctions; à tel point que si la phy- 
siologie de l’homme nous était parfaitement connue, il est 
peu d'organisations que l'analyse trouverait irréprochables. 

Voilà, si nous ne nous abusons, quant à l'anatomie et à 
la physiologie, le véritable état de la science médicale; et 
comme la pathologie offre avec elles un rapport naturel, on 
peut facilement prévoir à quel progrès elle est parvenue. 

En pathologie, comme en anatomie et en physiologie, 
les travailleurs se sont jetés avec empressement sur toutes 
les études d'une exécution facile; ils ont interrogé de l'œil 
el du scalpel les organes malades, et en peu d'années 
une science toute nouvelle, l'anatomie pathologique, à 
étendu immensément le cercle de nos connaissances. Mais 
bientôt le zèle s'est ralenti, à tel point qu'aujourd'hui on a 
beau scruter les cadavres, ils restent muets devant d’ha- 
biles observateurs. On dirait que tout a été vu et connu. 
Si la nature morte ne révèle plus ses secrets, c'est:que nos 
moyens d'investigation sont restés au-dessous de nos be- 
soins: l'inconnu nous trouve impuüissants, parce que nous 
manquons de procédés nouveaux pour analyser ses mys- 


6 TRAITÉ ENTOMOLOGIQUE ET PATHOLOGIQUE 

tères, parce que nous nous obstinons à vouloir trouver sur 
les cadavres les causes des maladies, alors qu'ils ne présen- 
tent que des effets. Aussi M. Andral était-il guidé par une 
haute raison quand il interrogeait la nature vivante pour 
découvrir la cause de ses souffrances : et ses recherches 
sur le sang montrent suflisamment quels succès attendent 
les travailleurs qui dirigeront leurs recherches en ce sens. 

Nous constatons depuis longtemps les ravages de la 
phthisie, du cancer, de la fièvre typhoïde, de l'esthiomène, 
de l'éléphantiasis des Grecs, du choléra; et nous restons 
spectateurs effrayés devant ces maux qui nous trouvent 
impuissants pour les combattre. En effet, qui de nous 
oserait prétendre connaître la cause essentielle et le trai- 
tement rationnel de ces maladies? Ce n'est pas en constatant 
la présence des tubercules pulmonaires, des ulcérations in- 
testinales, etc. etc. qui ne sont qu'une conséquence, qu'un 
eflet éloigné d'une cause profonde et générale, qu'on arri- 
vera à découvrir la cause cachée de la phthisie et de la 
fièvre typhoïde. 

Une méthode aveugle, anti-philosophique, nous a donc 
toujours guidés dans cette voie périlleuse. On ne saurait 
trop le redire, il y a chez nous des faits physiques, des 
faits chimiques, des faits anatomiques, des faits physiolo- 
giques et des faits pathologiques. 

La connaissance des phénomènes vitaux ou morbides ne 
peut résulter que de l'interprétation vraie de ces divers 
ordres de faits. Nous ne pouvons prétendre définir à notre 
époque la force vitale où un principe morbide; maïs si tant est 
que cela soit possible, les sciences physique, chimique, 
anatomique, physiologique et pathologique, peuvent seules 
nous y conduire. Sans doute que nous ne saurons jamais 
pourquoi les molécules s'agrégent pour former des cris- 


DE LA GALE DE L'HOMME. 
taux, pourquoi telles ou telles conditions réunies font ger- 
mer une plante, pourquoi deux corps de nature différente 
développent de l'électricité, se repoussent ou s'attirent, 
pourquoi les mondes qui gravitent dans l'espace s'y tien- 
nent suspendus: on pourra, à l'exemple du grand Newton, 
découvrir des lois, mais on ne pénétrera jamais l'essence 
des forces mises en jeu. C'est là le secret de la nature. La 
vie, l'électricité, l'attraction s’étudient, mais ne s'expliquent 
pas. Chaque minéral, végétal ou animal, a sa structure in- 
time, ses propriétés, ses phénomènes cachés, ses fonctions, 
ses lois; voilà ce que nous pouvons connaître. L'étude de 
l'homme à l’état de santé ou de maladie nous a sans doute 
révélé sous beaucoup de rapports d'importantes notions; 
mais si nous sommes riches d’un grand nombre de faits, 
nous manquons de conclusions, d'accords, de principes 
généraux, de lois, et cela parce qu'on s'en est tenu à la 
superficie des faits : nous observons les symptômes et 
nous négligeons les lésions essentielles dont ils ne sont 
que le résultat. Un exemple nous fera mieux comprendre : 
une chlorose à son début, avant qu'elle soit compliquée de 
troubles graves dans les organes et leurs fonctions, alors 
qu'elle consiste dans une altération légère du sang, échap- 
pait autrefois à l'observation; aujourd'hui, au contraire, 
que la chimie nous a fait connaître la cause essentielle et 
presque la nature de la maladie, il nous suffit de rendre 
au sang l'élément constitutif qui lui manque pour réta- 
blir la santé. Eh bien! dans toute maladie grave, le mé- 
decin devrait ainsi procéder et appeler à son aide, non- 
seulement la chimie, mais toutes les sciences qui peuvent 
lui prêter un concours efficace. Croit-on que si l'on eût 
éclairci tant de points de physiologie encore inexpliqués, 
et porté son investigation sur tous les produits morbides. 


7 


8 TRAITÉ ENTOMOLOGIQUE ET PATHOLOGIQUE 
vivants et mortifiés, susceptibles d'une analyse chimique, 
microscopique, etc. etc. qu'on ne fût pas arrivé à des no- 
tions plus précises? Pour nous, nous en avons la con- 
viction, et nous restons persuadé que des expériences 
variées à l'infini, pour étudier l'altération primitive dans 
la phthisie, le cancer, la fièvre typhoïde, le choléra, etc. 
etc. etc. ne seraient pas restées sans résultat pour l'hon- 
neur de la médecine et le bonheur du genre humain. Ge 
n’est point à l'Institut qu'on accueillera nos espérances avec 
un sourire d'ironie et d'incrédulité. Dans ce sanctuaire de 
la science, on sait ce que l'esprit humain peut attendre de 
l'avenir : les travaux de MM. Dumas, Flourens, Boussin- 
gault, Milne Edwards, Rayer, Lallemand, Andral, et ceux 
des Muller, Vogel, Henlé, Weber, etc. etc. nous montrent 
assez ce que les études physiologiques promettent à la 
science médicale de progrès certains en pathologie et en 
thérapeutique. Quoi de plus philosophique, en effet, que de 
porter ses études sur l'embryogénie, comme l'a fait M. Vel- 
peau ; sur les altérations du sang; de cimenter, à l'exemple 
de M. Rayer, l'alliance inséparable qui doit unir l'iatrique 
humaine à celle de tous les animaux. Cette grande idée 
renferme en germe la régénération de la médecine, et si 
quelque chose nous étonne, c'est l'indifférence des hommes 
avides de renom en face de cette grande vérité. 

De ces généralités nous sommes en droit de conclure 
que la science médicale a fait d'incontestables progrès; que 
les notions acquises ont porté, en anatomie, sur la structure 
grossière de l'homme, sur les tissus susceptibles d'une dis- 
section facile, et non sur la trame interstitielle des organes, 
ni sur la constitution élémentaire des liquides vivants; 
qu'en physiologie, la dynamique a surtout attiré l'attention 
des observateurs, et qu'ils n'ont point pénétré dans l'es- 


DE LA GALE DE L'HOMME. 9 


sence des phénomènes, qui touchent aux fonctions secrètes 
des organes et de la nutrition; qu'en pathologie on a trop 
souvent pris l'effet pour la cause, en cherchant sur le cadavre 
l'explication des maladies, qui n'y laissent que leurs effets. 

Il est clair qu'en se servant des mêmes moyens On arri- 
verait aux mêmes résultats : 1l faut donc de toute nécessité 
user d'une méthode nouvelle et appeler à son aide des ins- 
truments plus perfectionnés. A l'avenir, l'œil et le scalpel 
seront insuflisants ; le microscope doit remplacer notre ap- 
pareil optique, et les expériences chimiques et physiques 
tenir lieu du scalpel. 

On comprendra un jour, à l'aide de ces nouveaux moyens 
d'observation, les modifications que subit la molécule ali- 
mentaire dans l'assimilation réparatrice; on verra quel rôle 
joue le corpuscule du sang dans la circulation, en le sui- 
vant dans ses transformations diverses ; on saura au juste 
sur quelle partie solide ou liquide porte primordiale- 
ment l'altération morbide dans les affections générales, 
phthisie, fièvre typhoiïde, etc. etc. on confiera au pou- 
mon, à l'estomac, au foie, ces trois grands modificateurs 
du sang, une élaboration médicatrice qui portera sur toute 
l'économie; on fera, en un mot, de la chimie vivante. On 
saura si le sérum du sang ne contiendrait pas seul les alté- 
rations morbides dans certaines affections générales, si lui 
seul ne renfermerait pas l'élément inflammatoire, comme 
le prouvent les modifications apportées dans sa composi- 
tion et dont l'excès de fibrine est une conséquence: on 
avisera alors à modifier ce sérum dans ses qualités ou sa 
quantité, en épargnant les produits solides ou les corpus- 
cules, et cela afin d'aider à la guérison, en ménageant les 
forces dont la nature a besoin. 

On montrera que les préparations antimoniales et mer- 


SAVANTS ÉTRANGERS. — xII. 2 


10 TRAITÉ ENTOMOLOGIQUE ET PATHOLOGIQUE 
curielles, si efficaces dans l'inflammation, agissent surtout 
en modifiant chimiquement les liquides; qu'il en est ainsi 
de l'iodure de potassium et de nos médicaments les plus 
efficaces. On portera son attention sur le système lympha- 
tique et sur la composition de a Iymphe dans les maladies, 
études trop négligées et pourtant bien riches de faits nou- 
veaux; car un système circulatoire, aussi important que celui 
des vaisseaux blancs, joue dans l'absorption un rôle qu'on 
a trop oublié. Les vaisseaux Iymphatiques, en effet, parais- 
sent être, dans bien des cas, la voie exclusive que suivent 
cerlains liquides morbides pour infecter l'économie, dans 
la syphilis, par exemple. En un mot, la physiologie, éclairée 
par les vivisections, doit infailliblement doter la science 
médicale de connaissances nouvelles, importantes, et la 
fin du x1x° siècle, livrée aux études positives, laissera le dog- 
matisme oiseux, dont Broussais a été le dernier écho, aux 
spéculateurs émérites qui voient dans la médecine une 
science faite et dans les élucubrations de cabinet une source 
infaillible de progrès. Quand les fonctions des organes ou 
des appareils d'organes seront comprises, quand les altéra- 
tions ou maladies seront connues et toujours curables, le 
vitalisme pourra hasarder ses hypothèses, constituer la 
science de la vie; mais jusque-là soyons organiciens, ob- 
servons, constatons les faits. 

Il faut donc le reconnaître avec satisfaction, les travail 
leurs ont senti le besoin d’avoir recours à de nouveaux ins- 
truments pour se livrer à l'étude des maladies, et le mi- 
croscope est un de ceux qu'ils ont le plus généralement 
employés dans cette intention. Mais ici encore l'homme 
s'est montré irréfléchi, l'amour du merveilleux l'a emporté 
chez lui sur l'amour de la vraie science, ou plutôt il a cru 
qu'il rendrait d'autant plus de services que ses travaux 


DE LA GALE DE L'HOMME. 11 


seraient plus curieux, plus extraordinaires, plus transcen- 
dants; et d'un seul bond il est allé, des solides, qu'il con- 
naissait à peine, étudier dans les humeurs les infiniment 
petits, dont il a vu la structure, maïs dont il a imparfaite- 
ment compris l'usage et la destination. 

Il aurait dû se rappeler que dans une science tous les 
faits s'enchaînent étroitement, et que vouloir comprendre 
les phénomènes vitaux à l'aide de l'inspection des liquides, 
sans connaître les tissus capillaires où ils circulent, et lin- 
térieur des organes où ils s'élaborent ou fonctionnent, 
c'était au moins s’abuser sur ses moyens, à part les inconvé- 
nients qui devaient en résulter pour l'étude microscopique 
elle-même. Cette étude encore si incertaine, si difficile, de- 
mande en effet une longue école, des essais transitoires ré- 
pétés, avant d'arriver à l'inspection des globules de lait, du 
pus, ou du sang. Ces réflexions permettront de comprendre 
pourquoi les recherches micrographiques nous ont con- 
duit à des notions encore peu profitables dans l'application, 
pourquoi surtout les observateurs ont été si souvent en 
dissidence sur les questions les plus simples, et cela au 
grand détriment du crédit de la science microscopique. 

Ces faits nous ont frappé : il nous a semblé qu'on pour- 
rait reprendre avec utilité l'étude de la constitution hu- 
maine, saine ou malade, là où l'œil et le scalpel l'avaient 
laissée, et cela, non pas en se servant des moyens les 
plus puissants que l'optique met à notre disposition, mais 
en appelant seulement à notre aide une amplification 
appropriée à nos besoins. Partant de cette idée, nous 
avons pris un microscope composé, d'une amplification 
de 7o diamètres, redressant l'image, et nous l'avons ap- 
pliqué à des recherches pathologiques. L'anatomie et la 
physiologie nous offraient d’utiles travaux à entreprendre; 


2, 


12 TRAITÉ ENTOMOLOGIQUE ET PATHOLOGIQUE 

mais nous avons obéi aux exigences de notre position, et 
c'est à la pathologie que nous nous sommes adressé de 
préférence. D'ailleurs, notre position comme interne nous 
engageait à profiter des matériaux que certains hôpi- 
taux mettaient à notre portée, et devait naturellement 
influer sur le choix des maladies qui ont fait l'objet de nos 
recherches. 

Cherchant donc, dans le cadre nosologique, les affections 
qui étaient les plus propres à mettre en relief les avantages 
attachés à ce mode d'observation et à montrer ce que l’ana- 
tomie, la physiologie et la pathologie peuvent en attendre, 
il nous a paru que les maladies de peau offraient un vaste 
champ d'étude encore inexploré, et parmi elles, la gale a 
fixé notre choix. 

Tel était notre but; mais c'est à l'application qu'il en 
fallait venir, et là des difficultés devaient être surmontées: 
on le conçoit facilement; employer le microscope dans les 
conditions ordinaires de son usage; prendre une parcelle 
de débris organiques, de production pathologique, et la 
porter sur la platine du microscope, c'était rester dans 
d'étroites limites, sans étendre le champ de l'observation 
et des découvertes. Il fallait user d’autres moyens d'étude. 
Nous avons enlevé du socle qui le supporte le tube d'un 
microscope de M. G. Oberhaeüser, et nous l'avons fixé à 
l'extrémité d’un levier dans l'intention d’en faire un micros- 
cope mobile. Ce tube du microscope a été articulé à un 
genou jouissant, par la disposition des pièces qui le com- 
posent, de tous les mouvements imaginables, et ce genou 
à mouvements multiples a lui-même été fixé à l'extrémité 
d'une tige horizontale, qui s'étend et s'allonge à volonté, en 
passant à frottement dans la mortaise d'une tige verticale 
qui la supporte. Cette tige verticale, qui s'élève ou s’abaisse, 


DE LA GALE DE L'HOMME. 13 


est solidement soudée à une base en plomb qui soutient 
tout l'appareil. Comme on le comprend par ce peu de mots, 
le tube du microscope, armé de son oculaire et de ses len- 
tilles, est devenu, grâce à cette disposition, une sorte de 
lunette qu'on peut braquer dans toutes les directions ima- 
ginables, et par conséquent promener avec facilité sur un 
malade, quelle que soit la région de son corps qu'on veuille 
observer. Mais pour tout microscope, la lumière diffuse est 
l'obscurité : 1l fallait donc employer un appareil d'éclairage 
spécial, car tous les moyens usités jusqu’à ce jour pour 
éclairer les corps opaques ne pouvaient nous être d'aucune 
utilité. Cet appareil d'éclairage devait avant tout réunir deux 
conditions indispensables : 1° produire un foyer lumineux 
assez intense pour suflire à l'absorption du système optique; 
2° concentrer les rayons de lumière à l’aide d’une forte 
loupe sur le point précis de l'observation. Au moyen de ce 
microscope, d'une lampe et d’une loupe, jouissant tous d’une 
grande mobilité, nous avons pu nous livrer à des recherches, 
on peut le dire, toutes nouvelles; car jusqu'à ce jour on 
n'avait jamais fait passer tout le corps d'un malade sous le 
microscope pour observer la nature en travail, dans ses 
fonctions normales ou pathologiques. C'est donc un champ 
inexploré et tout nouveau que nous présentons aux obser- 
vateurs; entre leurs mains, l'application d'un pareil instru- 
ment, légèrement modifié suivant les besoins, sera d'un 
usage profitable pour un grand nombre de branches des 
sciences naturelles. À l'avenir, on pourra porter le micro- 
scope sur les plantes, sur les animaux, sans altérer en rien 
le produit soumis à l'observation; le chimiste lui-même 
pourra lemployer pour découvrir le travail moléculaire 
s'opérant sur de grandes masses; l'industrie, enfin, devra 

trouver un grand secours dans toutes les branches où le 


14 TRAITÉ ENTOMOLOGIQUE ET PATHOLOGIQUE 

travail à l'œil nu est impossible. Nous ne nous abusons pas 
dans ces prévisions; si l'avenir les dément, c'est qu'on 
n'aura pas su utiliser un moyen précieux. En effet, quand 
on à pu, avec un instrument, observer les mœurs de l’aca- 
rus, étudier toutes ses fonctions, le voir couver ses œufs; 
quand on à pu suivre le développement et la guérison 
d'une maladie de point en point; quand on a pu localiser 
le mal avec précision, on a quelque raison de dire que 
cet instrument peut, dans d'autres mains, être un puissant 
moyen d'observation. 

Le mémoire que nous présentons à l'Institut a pour objet 
l'étude de la gale, considérée dans ses causes et ses effets. 
Nous avons traité ce sujet avec tout le développement dont 
il était susceptible. Pour que ce travail fût consciencieux 
et complet, nous n'avons reculé devant aucun sacrifice de 
temps, de peine et d'argent. Et encore, à quel résultat 
serions-nous arrivé, si nous n'avions été secondé dans cette 
difficile entreprise. Qu'il nous soit donc permis de rendre 
‘hommage au zèle éclairé d'un noble artiste, qui aura rendu 
d'éminents services à la microscopie, à M. G. Oberhaeüser, 
car la science trouve toujours en lui un interprète intelli- 
gent et dévoué. 

Quelques mots sur les procédés que nous avons suivis 
doivent trouver place dans cet avant-propos. 

Trois microscopes nous ont tour à tour servi, suivant 
les besoins de l'observation. 

1° Le microscope mobile, à image non renversée, qui jouit 
de la propriété de donner une brillante lumière d’une grande 
netteté. Ce microscope, fabriqué par M. G. Cberhaeüser, 
n'est pas encore répandu dans le commerce; nous en avons 
le premier constaté toutes les qualités. 

2° Un second microscope, ou le microscope pancratique , 


DE LA GALE DE L'HOMME. 15 
qui nous a servi à des dissections partielles, quand il s'agis- 
sait, par exemple, de dépouiller les œufs des débris qui 
adhèrent souvent à leur enveloppe. 

3° Un grand microscope composé a été employé dans 
toutes les études minutieuses se rapportant à l’organisation 
de l'acarus; ce microscope nous a procuré un grossissement 
de 850 à 900 fois, donné par la combinaison d’un jeu de 
lentilles n° 10 et l'oculaire n° 3 : amplification considérable 
et la plus élevée à laquelle il soit possible d'atteindre aujour- 
d'hui, tout en restant dans les conditions d’une bonne 
observatio  __ :ompresseur armé de deux lames minces de 
1/A de millimètre d'épaisseur nous a été d'un grand secours: 
tout micrographe qui étudie les infiniment petits ne saurait 
s'en passer; comme moyen d'éclairage, nous avons fait 
usage de l'appareil de M. Dujardin. Quelques auteurs, nous 
le savons, ont refusé à cet appareil optique les avantages 
que d'autres lui attribuent; quant à nous, nous devons 
dire qu'il nous a été d’une inappréciable utilité; sans lui il 
nous eût été impossible de concevoir l'inextricable agence- 
ment des pièces qui composent la tête de l'acarus. La lu- 
mière artificielle d'une lampe nous a été souvent nécessaire 
pour saisir des détails d'anatomie et de physiologie qu'on 
ne juge bien qu'à l'aide de cette vive lumière, tempérée 
par un diaphragme à verres de différentes couleurs. Enfin, 
il va sans dire que nous avons fait un fréquent usage des 
réactifs les plus variés, tant pour augmenter la réfringence 
des tissus de l’acarus, que pour mettre en relief leur vitalité. 

Tous les faits que nous avançons ont été vus cent fois 
avant d'être définitivement admis, et comme beaucoup 
d'entre eux échapperont nécessairement au premier abord 
aux entomologistes qui seraient tentés de les vérifier, car la 
grande habitude d'étudier le même objet vous donne à la 


16 TRAITÉ ENTOMOLOGIQUE ET PATHOLOGIQUE 
longue une habileté qu'on n'aurait pas dans le principe, 
serait-on le plus habile des observateurs, nous prions ceux 
qui contesteraient la présence de tel ou tel organe, de nous 
permettre de leur fournir la preuve de son existence. 

Nous croyons que ce travail donnera une Juste idée des 
avantages qui sont attachés à ce nouveau mode d'observa- 
tion; car ce que nous avons fait pour la gale, on pourra 
de même le faire pour d'autres maladies. 

Cet ouvrage renfermera trois grandes divisions ou trois 
parties principales : dans la première, il sera traité de l'his- 
torique de tous les travaux qui ont paru sur la gale; dans 
la deuxième, de l'entomologie de l'acarus : il était en eflet 
logique d'étudier préalablement la cause de la maladie; 
dans la troisième partie, nous nous occuperons de la gale 
proprement dite. C'est à l'hôpital Saint-Louis que toutes ces 
recherches ont été faites : elles nous ont demandé deux an- 
nées d'étude, tant pendant notre internat qu'après notre 
sortie des hôpitaux; aussi est-ce pour nous un devoir de 
remercier les administrateurs qui ont mis un laboratoire 
à notre disposition, bien que notre temps d'internat fût 
expiré. 


DE LA GALE DE L'HOMME. 17 


PREMIÈRE PARTIE. 


DE L'HISTORIQUE DE LA GALE ET DE L'INSECTE 
QUI LA PRODUIT. 


1]. Dans toutes recherches scientifiques, il est bon de remon- 
ter le cours des siècles, et d'examiner par quels progrès insen- 
sibles l'esprit humain arrive enfin à la vérité; à part l'intérêt phi- 
losophique qui se rattache à de pareilles études, on y trouve 
l'avantage de voir peu à peu s'étendre l'horizon dont on vient 
fermer les limites, et lon prend ainsi une connaissance anticipée 
des faits qui vont être en discussion : c’est pourquoi nous allons 
faire l'historique des travaux qui ont paru sur la gale, depuis les 
temps les plus reculés jusqu’à nos jours. 

2. Pour mettre de la méthode dans cette exposition chronolo- 
gique, nous diviserons le passé en deux grandes époques dis- 
tinctes : 1° depuis les temps anciens jusqu'à la propagation des 
sciences dans l'Occident, c’est-à-dire depuis deux ou trois mille 
ans avant J. C. jusqu’au xvi° siècle ; 2° depuis le xvi° siècle jusqu'à 
nos jours. Grâce à cette division, l'analyse historique, à laquelle 
nous allons nous livrer, se prêtera à un court résumé de l'esprit 
des diverses doctrines qui ont tour à tour prévalu dans la science 
médicale, au sujet de la gale. 


CHAPITRE PREMIER. 


ÉTUDES HISTORIQUES DE LA GALE, DEPUIS LES TEMPS LES PLUS RECULES 
JUSQU'À LA PROPAGATION DES SCIENCES EN OCCIDENT, C'EST-À-DIRE DEPUIS 
DEUX OU TROIS MILLE ANS AVANT J. C. JUSQU'AU XVI SIÈCLE. 


3. Les savants se sont fréquemment demandé si la gale était 
où non connue des anciens; ils ont compulsé les auteurs avec 


SAVANTS ÉTRANGERS. — XII. 3 


18 TRAITÉ ENTOMOLOGIQUE ET PATHOLOGIQUE 
minutie, et toute phrase ou expression qui pouvait se prêter à une 
interprétation a été longuement commentée. Des médecins mo- 
dernes d’une grande érudition, et entre autres, parmi les dermato- 
logistes, Biett et M. Rayer, n'ont pas cru voir dans les textes la 
preuve irrécusable que la gale füt connue des anciens. De si 
graves autorités sont d’un grand poids dans une semblable dis- 
cussion; devant elles nous pourrions décliner notre compétence 
et nous tenir dans une sage réserve; cependant, comme on pour- 
rait avoir quelque raison de croire que la gale est aussi vieille que 
le monde, nous exposerons toutes les pièces du procès, et cela 
avec impartialité. 

h. De tous les auteurs qui ont recherché dans les anciens 
écrits les passages qui pouvaient faire allusion à la gale, aucun n'a 
cité certains versets de la Bible, où il nous parait être question de 
cette maladie; nous lisons en effet dans le xin° chapitre du lévi- 
tique, verset 6° : « Et die septimo contemplabitur : si obscurior 
« fuerit lepra, et non creverit in cute, mundabit eum, quia scabies 
«est : lavabitque homo vestimenta sua et mundus erit. » Scabies 
nous dit la Bible, mot qui, pour les Latins, a la signification Ywpa 
des Grecs, et qui, comme nous le verrons plus loin, se rapporte 
incontestablement à la gale. Nous pourrions citer plusieurs autres 
versets de la Bible, où 11 paraît être question de la gale, de la gra- 
telle, mais comme le texte est discutable, nous nous en abstiendrons. 

9. M. Dezeimeris (Dictionnaire de médecine, tome XI , article 
Gale) est convamceu, et nous permet de croire par de nombreuses 
citations empruntées aux anciens, que la gale ne leur était pas 
inconnue. En effet, Hippocrate parle de la psore dans plusieurs 
passages de ses écrits, et sil y a parfois équivoque, c’est que le 
même mot a été employé nominativement et adjectivement : aussi 
faut-il s'en rapporter, pour fixer son opinion, au sens qui résulte 
indubitablement d’un ensemble d'expressions, dont la significa- 
ton clairement précisée ne saurait laisser aucun doute dans l’es- 
prit. Hippocrate nous dit! : « Lepra et pruritus, et scabies (Ÿwpa), 

* De Affectionibus, ed. Linden, t. Il, p: 182. 


DE LA GALE DE L'HOMME. 19 


«et impeligines, etvitiligo, et alopeciæ, a pituita frunt. Sunt autem talia 
«turpitudo magis quam morbi. » Le mot Ywpa, scabies, mis à côté 
de ceux de lepra, pruritus, vitiligo, qui désignent chacun une ma- 
ladie différente, nous indique manifestement un sens précis et 
isolé dans l'esprit de l'écrivain. Ce qui prouve qu'il est bien ici 
question de la gale, maladie contagieuse, c'est qu’Aristote se sert 
du même mot, en iüi donnant une précision qui lève toute incer- 
titude à cet égard : il se demande dans les Problèmes! : « Cur a 
«tabe, etlippitudine, etscabie (Ywpa) capiuntur, qui appropinqua- 
«rint : ab aqua autem intercute, aut febre , aut stupore attomito, 
«aut aliquo ex numero cæterorum malorum capi nequeunt? » Il 
répond : «Sed scabies (ÿ dè Ywpa) magis quam lepra, cætera- 
«que vitia generis ejusdem , afficere potest : quoniam per summa 
« corporis errat et humore manat glutinoso : genus namque pru- 
«rientium omne tale est. Itaque id ipsum quia per summa oritur 
« glutinosumque est, nimirum idirco attingere potest: cætera ne- 
« queunt, vel quia non per summa proveniunt , vel quia persistere 
«suam ob siccitatem non possunt, quamvis per summam cutem 
« oriantur. » 

6. Galien lui-même s'explique clairement sur l'étiologie de la 
gale, et il la dit contagieuse? : « Et quidem quod aeris pestilens sta- 
«tus febrem afferre consuevit, nemo sanæ mentis dubitavit, sicuti 
«et pestilenti morbo laborantium conversatio periculosa, ne inde 
« contagium contrahatur , quemadmodum ex scabie et lippitu- 
«dine. » Ce qui ne permet aucun doute sur la signification précise 
de ce passage, c'est que Galien a soin dans plusieurs autres endroits 
de ses ouvrages de rapprocher les mots scabies et lppitudo, 
parce que la blennophthalmie est essentiellement contagieuse et 
qu'à ce titre il est rationnel de placer sur le même rang la scabies, 
qui, parmi les nombreuses maladies de peau, offre un caractère 
bien tranché de contagion. On sait, de plus, que Galien ne regar- 
dait comme maladies contagieuses que trois où quatre affections : 


! Sect. vit, Probl. 8, t. IV, p. 91, éd. de Duval. 
? Galien, De Different. febr. lib. I, cap. ii. 


[22] 


20 TRAITÉ ENTOMOLOGIQUE ET PATHOLOGIQUE 


l'ophthalmie en question, la peste et la psore. Quelques savants ont 
voulu voir synonymie entre les mot scabies et lippitudo, mais Galien 
ne permet pas le doute à ce sujet; les détails qu'il donne sur le 
traitement de la gale, contre laquelle il conseille les préparations 
sulfureuses, le prouvent suffisamment. 

7. On a fait grand bruit d'un passage de Paul d'Égine, où il 
semble établir une grande analogie entre la gale et le psoriasis, 
analogie qui permettrait de conclure que le mot scabies désignait 
une maladie squammeuse, furfuracée, et non la gale proprement 
dite. Voici ce passage! : « Uterque affectus (lepra et scabies) cutis 
‘aspritudo est cum pruritu, in qua corpus absumitur colliquatur- 
“que, originem ex melancholico humore trahens : sed lepra al- 
« tam cutem orbiculatim depascitur, et piscium modo squamulas ex 
«se remittit; scabies vero summa infestat potius, varie figurata, 
« furfur raceaque remittit. » Il est certain que dans l'esprit de Paul 
d' Égine le mot scabies désignerait ici une autre maladie voisine de 
eue de la lèpre, et AR A PER le psoriasis, dont la Jorme 
est variable; tandis que la lèpre donne des plaques squammeuses 
disposées en cercle, et quand il ajoute furfuracea remitlit, on ne peut 
attribuer ce caractère à la gale. Mais l'opinion de Paul d’ Égine 
lui est personnelle; qu'il ait vu la gale dans le psoriasis, cela n'a 
rien de bien surprenant; n'a-t-on pas vu commettre de plus gros- 
sières erreurs en pathologie? D'ailleurs, un auteur d’une autorité 
au moins égale à celle de Paul d Égine, Actuarius, qui cependant 
avait les ouvrages de Paul d’ Égine entre les mains , car il les copie 
souvent, s’est bien gardé de tie cette erreur. Actuarius, en 
effet, nous dit clairement qu'il y a des caractères bien tranches 
entre la lèpre et la psore ? : « Minus post elephantem mala est 
AëTpa, cui scabies et huic impetigines succedunt : sed lepra al- 
«tus descendit et orbicularia exanthemata facit, et carnis quas- 
« dam colliquationes ac Xerdas (hoc est quamulas) remittit, unde 
«etiam nomen adepta est. Non ïia profunde scabies (Ÿwpa) pe- 


* Paul Eginæt. lib. IV, cap. 1. 
* Actuarii Wed. sive Method. medend. lib. Il, cap. 11. 


DE LA GALE DE L'HOMME. 21 


«netrat, et varlis figuris insignitur, nec furfuracea corpuscula reji- 
«cit. Lepram melancholicus succus committit : sed scabiem varii 
«humores, earumque variæ miscelæ constituunt. Communis utri- 
«que est cutis asperitas et pruritus. » 

8. On a voulu voir aussi dans la psore le lichen agrius de Wil- 
lan; mais le lichen n’a rien de contagieux, et nous avons prouvé 
que la psore avait ce caractère pour les anciens. Il nous semble 
superflu de nous étendre longuement pour prouver que le mot 
scabies des Latins est la traduction fidèle de Ÿwpa des Grecs. On 
n’en pourra douter, si lon se rappelle que les deux mots scabies et 
psora étaient synonymes pour les Latins : Pline en donne des 
exemples. Le mot Ywpa avait été latinisé. 

9. Celse est le premier médecin qui, chez les Latins, ait de- 
crit la scabies comme une maladie; mais avant lui plusieurs poëtes 
en avaient fait mention d’une manière assez claire pour nous mon- 
trer qu'ils entendaient par le mot scabies le mot Ywpa : amsi Ho- 
race!, Prudence?, font allusion à la démangeaison de la gale dans 
divers passages de leurs poëmes. Cicéron nous dit* qu'elle cause 
une cuisante jouissance. Ausone note qu'elle est due à un principe 
contagieux". Juvénal5 remarque qu'il est une gale pour les ani- 
maux comme pour l’homme, et Quimte-Curce’, qu’elle est conta- 
gieuse au suprême degré. L'opinion de ces auteurs n'est pas sans 
quelque valeur; elle montre que la gale était pour les Romains, 
comme pour nous, une maladie tellement connue des gens du 
monde, qu'il n'était pas nécessaire d’être médecin pour en parler 
sciemment. 

10. Le passage où Celse traite de la scabies a été l'objet de 
sérieux débats; on a vu là, non la description de la gale, mais bien 
celle du lichèn agrius. Un fait prouve que cette manière de voir 

! Hor. Epist. hb. I, x. 

* Aurel. Prudentii Ilepi SreGav&v, lib. I, v. 254. 

* Cicero, De Legibus, b. I, cap. xvir. 

* Ausone, Edyllia, n° 335. 


* Juven. Satir. I, v. 78. 
* Quinte-Curce, Hist. lib. IX, cap. x. 


22 TRAITÉ ENTOMOLOGIQUE ET PATHOLOGIQUE 

est au moins hypothétique, c'est qu'on trouve ailleurs dans 
Celse une description détaillée du lichen, avec celle de ses diffé- 
rentes variétés. Celse entendait si bien parler d’une maladie dif- 
férente du lichen, quand il se sert du mot scabies, qu'il cite le 
mouton, sur lequel elle existe comme chez l'homme : rapproche- 
ment qu'il n'eût point fait à coup sûr, sil eût voulu parler du 
lichen, car la maladie du mouton est, suivant lui, contagieuse, 
et le lichen n’est point contagieux. Columelle ! parle aussi de la 
scabies comme d’une maladie propre aux moutons, et il conseille 
de la guérir au plus vite, si lon veut éviter qu’elle ne se commu 
nique à tout le troupeau. Enfin, Pline et Végèce? font aussi des 
remarques qui prouvent, d’une manière incontestable, que la con- 
tagion de cette maladie ne faisait point question pour les anciens. 

11. Il faut maintenant compulser les auteurs arabes, pour 
suivre la chaine des traditions qui, sans jamais se rompre, nous 
conduit, par une transition insensible, des anciens écrivains jus- 
qu'à l'époque du moyen âge. 

12. Rhazes* est le premier auteur arabe qui fasse mention de 
la gale; il lui assigne pour cause la malpropreté, et pour carac- 
tère esssentiel la contagion. « Ægritudines vero quæ de uno 
«transeunt ad alium sunt lepra, et scabies, et phthisis, et febris 
« pestilentialis. Quæ tune accidunt quum aliqui in mansionibus 
«angustis cum hominibus ista patientibus.... sedent. 

Haly-Abbas estencore plus explicite“ : « Maxime hæc (scabies) con- 
«tingit comedentibus multum et accipientibus ea cibaria quæ gros- 
«sos gignant chimos, et qui a balneis abstinent; est autem pruri- 
‘ginis maxime illi qui non lavatur. Multiplicantur namque sordes 
«in corpore residentes. Scabiei autem signa sunt pustulæ parvæ, 
«que rubeæ incipiunt, dehinc aperiuntur, et est cum eis pruritus 
«imsignis. Et magis in manibus frunt et inter digitos, ac in cubitis 


* Columelle, lib. VIL. 

* Végèce, lib. IT, cap. 11, p. 103, éd. Gesner, 1781. 
* Rhazes, De Med. ad Almanz. liv. V, ce. xxvur. 

* Omnia opera Ysaac. Lyon, 1515, in-folio. 


DE LA GALE DE L'HOMME. 23 


«et ossanio et confinibus, non numquam autem in toto fiunt cor- 
«pore. » Cette description est presque irréprochable. 

Avicenne, quoique moins explicite qu'Haly-Abbas, ne mérite 
pas moins d’être cité; il nous dit! : « Et est prætera, ex ægritudi- 
« nibus quædam, quare de uno ad alium transit, sicut lepra et 
«scabies, et variola, et febris pestilentialis, et apostemata pu- 
«trida. Et non accidit plurimum nisi inter digitos, quia sunt debi- 
« liores. » 

13. Jusqu'à présent aucun des auteurs cités n’a laissé entrevoir 
que la gale pourrait être produite par un insecte. Avenzohar, bien 
qu'il ne regarde pas l'acarus comme une cause de contagion, parait 
cependant l'avoir observé plus d’une fois. Cet auteur mérite à ce 
titre une mention toute particulière. Il nous dit? : « Orientur aliqui 
«in corpore sub cuti exterius pediculi parvunculi qui, cum exco- 
«riatur cutis, exeunt animalia viva tam parvuncula, quod vix pos- 
« sunt videri. » 

14. Ainsi, pour les Arabes, le mot scabies est bien le nom 
d’une maladie contagieuse qui siége de préférence aux extrémités 
supérieures, surtout entre les doigts. Enfin Avenzohar, le premier, 
semble avoir découvert l'acarus chez des galeux. Les doctrines 
que professaient les Arabes au sujet de la gale eurent bientôt 
cours dans toute l'Europe savante. À partir de ce jour, l'existence 
de la maladie ne fait question pour personne; on ne recherche 
pas davantage si elle était ou non connue des anciens : ces deux 
vérités sont acquises à la science. Les auteurs qui suivent ob- 
servent la gale; ils la décrivent avec plus ou moins de précision 
et avec une perfection d'autant plus grande, qu'ils s’approchent 
de nous davantage. Parmi eux, nous devons citer : Constantin 


l’Africain$, Arnaud de Villeneuve *, Bernard de Gordon”, Pierre 


! Lib. I, fe. 16, tr. I, Cap. VI, LXVII. 

* Theicir. lib. II, Cap. XIX. 

* Viaticum. 

* Arnald. Villanov. Breviar. lib. Il, Cap. XLIN. 


* Gordon, Lilium medicine, particula I, cap. xx1v, rubr. 1 et 2. 


24 TRAITÉE ENTOMOLOGIQUE ET PATHOLOGIQUE 
d'Abano!, Brunus, Théodoric, Lanfran, Gaddesden? et Guy de 
Chauliac. Tous ces auteurs varient quelque peu dans la descrip- 
üon qu'ils donnent de la gale; mais tous la regardent comme 
contagieuse. 

15. Nous avons suivi d'âge en âge toutes les publications qui 
ont été faites sur la gale, et nous sommes arrivé au xiv® siècle 
inclusivement. Le xv° siècle n'offre aucun progrès véritable à en- 
registrer : la gale a sa place dans le cadre nosologique; on la traite 
comme du temps des Grecs et des Romains, c’est-à-dire avec des 
préparations sulfareuses. Il faut qu'une idée nouvelle vienne don- 
ner un plus grand intérêt à cette maladie pour que nous y trou- 
vions les éléments d’une discussion intéressante. C’est qu’en effet 
on semble entrevoir la cause véritable de la gale; on parle d'un 
insecte qui la produit, et à partir de ce jour une voie inconnue 
jusqu'alors est ouverte à l'observation. Aussi avons-nous trouvé 
dans ces considérations une raison suffisante pour motiver la di- 
vision que nous avons établie dans cette partie historique de notre 
travail. 

16. Arrêtons-nous un instant sur cette première période que 
nous venons de parcourir, et demandons-nous, après avoir exposé 
les preuves qui militent en faveur de telle ou telle opinion, si les 
anciens étaient tourmentés par cette maladie? Quant à nous, il 
nous semble qu'on pourrait répondre à cette question par laflir- 
mative. Pourquoi voudrait-on, en effet, que les Israélites, les 
Grecs et les Romains eussent été exempts d’une affection qui 
frappe sur nous depuis un grand nombre de siècles, quand beau- 
coup de maladies de peau qui les affectaient alors se remontrent 
encore aujourd'hui avec la même gravité? On aurait quelque droit 
de soutenir que la gale n'existait pas dans l'antiquité, si, vers le 
temps où elle est clairement décrite, de nouvelles perturbations 
étiologiques, dans le climat et les habitudes des peuples, pou- 
vaient faire croire au développement de cette maladie. Comment 


* Petri Aponen. Conciliat. different. diff. 180, $ 3. 
* Gaddesden, Rosa anglica, ed. Schopfhi, 1505; in-4°, p. 1112. 


DE LA GALE DE L'HOMME. 25 


supposer qu'une affection nouvelle ait apparu pour la première 
fois sur le globe vers le xrr siècle, et cela, nous le répétons, sans 
qu'aucune grande cause perturbatrice puisse en rendre compte. 
Soutenir que les anciens ne se sont pas clairement expliqués sur 
cette maladie est une vérité discutable: mais vouloir en con- 
clure qu'ils n’y étaient pas soumis, voilà ce que nous ne saurions 
accepter. N'est-il donc pas certain, pour tout homme qui a étu- 
dié l'histoire de la science médicale, qu'une foule d’affections qui 
ont dù exister de tout temps et que les peuples dans leur enfance 
confondaient entre elles, ou que même ils ont complétement mé- 
connues, sont passées sous silence dans leurs écrits? Si la gale 
était due à des causes auxquelles les peuples anciens ne pouvaient 
être exposés, on aurait quelque raison d'avancer qu'ils en étaient 
exempts ; mais la condition essentielle de la contagion pour cette 
maladie étant la présence de l’acarus, il faudrait supposer que la 
création ou le développement spontané de cet insecte ne date que 
du jour où la maladie a été connue et mentionnée, supposition 
qui n'a pour elle aucune raison qui la justifie. En résumé, nous 
pensons, avec la plupart des auteurs, que les Hébreux, les Grecs 
et les Romains laissent entendre dans leurs écrits qu'ils connais- 
saient la gale; et de plus, comme rien ne nous autorise à avan- 
cer que la psore ait tout à coup surgi pour frapper les peuples 
modernes, mais qu'il est au contraire plus philosophique et dans 
les lois de la nature de croire que la cause de la maladie, ou la- 
carus, a existé de tout temps, nous restons moralement con- 
vaincu que les anciens ont été comme nous afligés de cette ma- 


ladie. 


CHAPITRE Il. 


RÉSUMÉ ANALYTIQUE DES TRAVAUX PUBLIÉS SUR LA GALE, ET PRINCIPALEMENT 
SUR L'ACARUS SCABIEI, PENDANT LES XVI‘, XVII, XVIII ET XIX° SIÈCLES. 


17. Déjà dés le xvr° siècle, des naturalistes et des médecins du 
plus grand mérite signalent l'acarus comme cause de la gale, ou 


SAVANTS ÉTRANGERS. — XII. ne 


26 TRAITÉ ENTOMOLOGIQUE ET PATHOLOGIQUE 

du moins ils lui accordent une large part dans les symptômes de 
cette maladie, Parmi eux, nous pouvons citer Rabelais, Scaliger, 
Ambroise Paré, Ingrassias, Joubert, Gabucinus, Aldrovande. 

Rabelais parle deux fois du ciron de la gale, dans la vie de 
Gargantua et de Pantagruel. Au livre If, chapitre 1, de l’origine de 
Pantagruel, il dit : « qui engendra Enay, qui feut tres expert en 
matière d’oster les cirons des mains »; puis livre II, chapitre xxv, 
lorsqu'il fait dire à Panurge : « Mais d’ond me vient ce ciron icy 
entre ces deux doigtz? Cela disoit : Tirant droict vers Her Trippa 
les deux premiers doigtz ouuerts en forme de deux cornes, et 
fermant au poing tous les aultres. » 

18. Scaliger s'exprime aimsi dans son Traité adressé à Cardan 
en 1357! : «En écrivant sur l'acarus d’Aristote, vous l'avez juste- 
ment comparé avec le garrapale. . . :. Les Padouans le nomment 
pedicello, les Tauriniens, scirro, et les Gascons, brigant. Il est ad- 
mirable, sa forme est globuleuse, 1 est si petit qu'on a peine à la- 
percevoir. . . .. H se loge sous l'épiderme, en sorte qu'il brûle par 
les sillons qu'il se creuse. Extrait avec une épingle et placé sur l'ongle, 
il se mel peu à peu en mouvement, surtout s’il est exposé aux rayons du 
soleil. En l'écrasant entre deux ongles, on entend un petit bruit, et on 
en fait sortir une matière virulente aqueuse. Ce ricin, produit de la 
malpropreté, s'attache à la barbe, aux aisselles, à laine. » A lire 
cet extrait, on ne saurait douter que Scaliger n’ait bien vu lacarus. 
Cependant les derniers mots qui ne sont pas soulignés donne- 
raient à penser que notre célèbre naturaliste a fait confusion; il a 
donné pour siège à l'acarus des régions fréquentées plus souvent 
par le pediculus. Sauf cette légère erreur, la présence de l'insecte 
sous l’'épiderme, ses sillons, sa forme globuleuse, ne peuvent s’en- 
tendre que de lacarus scabier. 

19. Ambroise Paré est encore plus explicite; voici dans quels 
termes 1l s'exprime : « Les cirons sont de petits animaux toujours 
cachés sous le cuir, sous lequel ils se traisnent, rampent el se 
rangent petit à petit, excitant une fascheuse démangeaison et gra- 


* Scaliger, De subtlitate ad Cardunum, exerc. 194 


DE LA GALE DE L'HOMME. 27 


telle. .... Les cirons se doivent tirer avec espingles ou aiguilles; 
toutefois il vaut mieux les tuer avec onguens et décoctions faites 
des choses amères et salées. Le remède prompt est le vinaigre, 
dans lequel on aura fait bouillir du staphisaigre et sel commun. » 
I y a dans ces mots du père de la chirurgie tout un traité de la 
gale; en effet, il nous parle de l'acarus, des désordres qu'il cause 
et des moyens à employer pour le détruire. On voit que Paré 
avait eu de nombreuses occasions d'observer des galeux, dans les 
armées et dans les hôpitaux militaires. Ce passage étonne par sa 
précision et sa clarté; mais ce qui surprend encore davantage, 
c'est qu'il soit resté inaperçu pendant tant de siècles. 

20. Aldrovande remarque que le pedicello ou sciro rampe 
entre « la peau et l’épiderme, qu'il infecte surtout les pieds et les 
mains, se creusant des espèces de galeries sinueuses, et formant 
des vésicules non suppurantes; que si l'on crève ces vésicules, ül 
en sort des animaux si petits, que pour les apercevoir il faut de 
très-bons yeux et une vive lumière. » 

21. Le premier ouvrage appartenant au xvii siècle où il soit 
question de lacarus est le dictionnaire della Crasca, imprimé en 
1612. On lit à l'article Pellicello : « É un piccolissimo bacolino , 1l 
quale si genera a rognosi in pelle, e rodendo cagiona un acutissimo 
pizzicore.» Cette remarque mérite de fixer l'attention, attendu 
que la célèbre lettre de Cestoni a eu pour prétexte ces quelques 
mots du dictionnaire della Crusca. 

22. Mouflet, auteur anglais, parle de l'acarus dans le recueil ! 
de ses intéressantes observations. On y lit : « Les cirons sont les 
plus petits des animaux connus ; ils prennent leur origine ou sur 
le vieux fromage, ou sur la cire, ou sur la peau humaine. Les 
gens du peuple attaqués de la gale, les en retirent avec la pointe 
d'une épingle. Les Allemands les appellent seuren, et la manière 
de les prendre, la chasse des seuren. Ces animaux se trouvent sous 
l'épiderme , y creusent des galeries et occasionnent par là un pru- 
rit très-incommode. Les parties du corps où la peau est le plus 


* Theatrum insectorum. Londres, 1634. 


28 TRAITÉ ENTOMOLOGIQUE ET PATHOLOGIQUE 

fine sont celles où ils se multiplient de préférence. En les tirant 
avec une épingle et en les plaçant sur l’ongle, on les voit remuer, 
surtout si on les expose au soleil. 17 faut observer que les seuren ne 
se trouvent pas dans les pustules, mais à côté. » À côté des pustules, 
nous dit Mouflet; et il avait raison, car l’acarus ne se trouve ja- 
mais dans leur intérieur. Ce précieux avertissement mérite d'autant 
plus d’être remarqué, que les auteurs précédents et la plupart de 
ceux qui vont suivre ont prétendu avoir rencontré le sarcopte 
dans les pustules; fait matériellement impossible. 

23. Jusqu'à présent il a été souvent parlé de lacarus; mais au- 
cun auteur n'a cherché à nous en montrer la forme. Hauptmann', 
le fondateur de la pathologie animée, est le premier qui ait eu 
recours au microscope pour en découvrir l'organisation. Il nous 
en a laissé une figure; mais cette image représente tout ce qu'on 
veut : c’est la naissance de la microscopie, et l'instrument a plus de 
part que l'observateur dans l'imperfection de la figure. Quoi qu'il 
en soit, il le représente pourvu de six pattes et de quatre crocs. 
Notons de plus qu'Hauptmann compara l’acarus scabiei à la mite 
du fromage, et qu'il crut saisir entre eux de notables différences. 

24. Comme nous l'avons déjà laissé entrevoir, les Allemands 
savaient fort bien à cette époque que l'acarus formait le caractère 
distinctif de la gale; le mot seuren est pour eux synonyme du mot 
acarus. En effet, le docteur allemand Haffeuroffer? nous dit : « La 
quatrième espèce de poux prend naissance entre l’épiderme et la 
peau, dans l'intervalle des doigts des pieds et des mains. Sa forme 
est celle des œufs de papillons. Il est, en effet, rond, blanc, et si 
petit qu'on peut à peine le voir; il rampe sur la peau, et occa- 
sionne par sa morsure un prurit insupportable. 1! ne sort jamais, 
el reste loujours caché entre la peau et l'épiderme. On l'appelle acarus, 
iron, pedicello; en allemand, hebendige, seuren, etc. » 

25. Plus tard, en 1664, Giuseppe Laurenzio, médecin littéra- 
teur italien, dans son dictionnaire intitulé : Amalthea, à l'article 


* Dans un ouvrage sur les eaux de Walkenstein. Leipzig, in-8°, fig. 
* Nosodochium cutis affectus. Ulm, 1660, p. 177 et 102. 


DE LA GALE DE L'HOMME. 29 


Acarus ; disait : « Vermiculus exiguus, subcutaneus, rodens (pedi- 
« cello) »; et à la lettre T. Teredo : « Vermisin ligno nascens; caries; 
«item acarus rodens carnem sub cute (pedicello). » 
Le bon La Fontaine, au milieu du xvir siècle, dédia une pièce 
de vers charmants à la gale, où nous lisons : 
On voit mille cirons, jaunes, blancs, rouges, bleus, 
Disputer de brillant avec les pierreries; 


Et de la gale vient le nom de galerie, 
Bien véritablement et sans plaisanterie. 


26. Etmüller! est cité comme ayant laissé des figures représen- 
tant l’acarus de la gale; on se demande, toutefois, si c’est bien 
réellement un acarus qu'Etmüller a vu au foyer de son microscope. 

27. C'est à cette époque, 1687, qu'il faut rapporter la lettre si 
remarquable que Cestoni adressa al signor Redi, gentiluomo aretino, 
et intitulée Osservazioni interno a pellicelli del corpo umano. Les faits 
qu’elle relate étaient si contraires aux idées régnantes, que Ces- 
toni crut prudent de mettre sa responsabilité à couvert sous le 
pseudonyme de Giovan Cosimo Bonomo. I dit dans cette lettre que 
c'est la lecture de Particle Pellicello, du dictionnaire della Crusca. 
dont nous avons déjà parlé, qui tenta sa curiosité et lui suggéra 
l'idée de faire des observations sur la gale. Si cette lettre intéres- 
sante sous tant de rapports pèche par quelque chose, c’est par 
l'excès de précision dont l’auteur aurait fait preuve dans ses re- 
cherches. En effet, quoique nous regardions Cestoni comme un 
habile et consciencieux observateur, nous ne pouvons pourtant 
nous défendre d'un certain degré d’'incrédulité , quand nous le 
voyons trouver l’acarus là où tous les modernes l'ont en. vain 
cherché. 

Cestoni nous dit « qu'il vit plusieurs pauvres femmes, dont les 
enfants étaient galeux, tirer avec la pointe d’une épingle, des plus 
petites pustules, avant qu’elles fussent müres et purulentes, il ne sait 
quoi, qu'elles écrasaient sur longle, non sans un petit craque- 
ment, et qu'à Livourne les galériens se rendaient le même ser- 


* Acta eruditorum. Leïpsius, année 1682, p. 317. 


30 TRAITÉ ENTOMOLOGIQUE ET PATHOLOGIQUE 

vice. Doutant cependant que les cirons fussent réellement des 
vers, il résolut de s’en assurer : pour cela, il s’adressa à un galeux, 
en lui demandant l'endroit où il sentait la plus forte démangeai- 
son, et celui-ci lui ayant montré un grand nombre de pustules 
non encore purulentes, il en ouvrit une avec la pointe d’une 
épingle très-fne ; et, après avoir exprimé la liqueur contenue, il en 
tira un petit globule blanc, presque imperceptible, qu'il soumit à 
un examen microscopique. Îl ajoute que cette observation lui 
prouva, avec toute la certitude possible, que c'était un ver dont 
la figure approchait de celle des tortues, de couleur blanchätre, 
le dos d’une couleur un peu plus obscure, garni de quelques poils 
longs très-fins. Le petit animal montrait beaucoup de vivacité dans 
les mouvements; 1l avait sir pattes, la tête pointue et armée de 
deux petites cornes ou antennes à l'extrémité du museau. » Cestoni 
ne s’en tint pas à cette première observation; il la répéta un grand 
nombre de fois sur diverses personnes attaquées de la gale, d'âge, de 
tempérament, de sexe différents, et en diverses saisons de lan- 
née : il trouva toujours des animaux de même figure. Il en vit 
dans presque toutes les pustules aqueuses. I dit dans presque toutes, 
parce qu'il lui a été quelquefois impossible d’en trouver. Il ajoute : 
«Il est très-difficile d’apercevoir ces insectes sur la superficie du 
corps, à cause de leur extrème petitesse et de leur couleur sem- 
blable à celle de la peau. Cependant, je les y ai vus marcher plu- 
sieurs fois, surtout dans les plis, les articulations, les rides et les petits 
sillons de la peau. Hs s'ntroduisent d’abord par leur tête aiguë, et 
ils s’agitent ensuite, rongeant et fouillant, jusqu'à ce qu'ils se 
soient entièrement cachés sous l'épiderme, où il nous est facile 
de voir qu’ils savent se creuser des espèces de chemins couverts, 
ou des routes de communication d’un lieu à l’autre, de sorte 
qu'un insecte produit quelquefois plusieurs pustules aqueuses ; 
quelquefois aussi j'en ai trouvé deux ou trois ensemble, et, pour l'or- 
dinaire, fort près l'un de l'autre. étais fort curieux de savoir si ces 
petits animaux pondaient des œufs, et après de longues recher- 
ches, j'eus enfin la satisfaction de m'assurer de ce fait; car, ayant 


DE LA GALE DE L'HOMME. 51 


mis sous le microscope un ciron pour en faire dessiner la figure, 
je vis sortir de la partie postérieure de cet animal un petit œuf 
blanc, à peine visible et presque transparent : il était de figure 
oblongue comme un pignon. .... J'avoue donc, ajoute-t-il, que 
Je suis très-porté à croire que la gale, nommée par les Latins sca- 
bies, et décrite par eux comme une affection de la peau et comme 
une maladie très-contagieuse, n’est autre chose que la morsure des 
petits insectes dont j'ai parlé, lesquels, rongeant continuellement 
la peau, y font de petites ouvertures par où s’extravasent quelques 
gouttes de sérosité et de lymphe. Cette sérosité ou lymphe extra- 
vasée forme les pustules aqueuses, dans lesquelles ces vers, conti- 
nuant à ronger, causent une extrême démangeaison, et lorsque le 
malade se gratte, il augmente le mal et la démangeaison; il dé- 
chire, non-seulement les pustules aqueuses, mais encore la peau 
et les petites veines dont elle est parsemée, d’où s’ensuivent de 
nouvelles pustules, des plaies et les croûtes qui se forment sur les 
plaies. En effet, on ne voit jamais de ces plaies dans les endroits 
du corps où les doigts ne peuvent aisément atteindre, lors même 
que ces endroits sont tout couverts de gale, la seule morsure du 
ciron ne produisant que des pustules aqueuses. Au reste, ces petits 
animaux sont sous la peau par tout le corps; mais ils se rassemblent en 
plus grande quantité dans les articulations, parce qu'ils s’'introdui- 
sent et se nichent avec facilité dans les plis de la peau. En quelques 
parties qu'ils soient d’abord logés, il s’en trouve bientôt dans les 
mains, et surtout entre les doigts; car en y grattant les parties où 
l'on sent la démangeaison, les ongles rencontrent des cirons qui 
ne peuvent en être entamés, parce qu'ils ont la peau très-dure, 
et ces cirons, se glissant sous les ongles, et en se faisant des routes 
sous la peau, se nichent plus facilement entre les doigts que par- 
tout ailleurs, et s’y font des espèces de nids, où ils déposent leurs 
œufs en si grande quantité, qu'un petit nombre suffit pour en 
couvrir bientôt tout le cu Il me semble, continue Cestoni, que 
tout ce que ] ’ai dit] jusqu 1cl peut servir 4 expliquer pourquoi la gale 
est si contagieuse. Les cirons passent aisément d’un corps à un autre 


32 TRAITÉ ENTOMOLOGIQUE ET PATHOLOGIQUE 

par le seul contact de ces corps; car ces petits animaux ayant une 
extrême agilité, et n'étant pas tous continuellement occupés à se 
creuser des passages sous l'épiderme, il s'en trouve quelques-uns 
sur la superficie de la peau, et ils sont alors très-prompts à s’atta- 
cher à la première personne qui se présente, et, en quelque petit 
nombre qu'ils aient été reçus, ils se multiplient prodigieusement 
en pondant des œufs. I ne faut pas s'étonner de ce que la gale se 
communique par le moyen des linges et autres hardes qui ont servi 
aux personnes galeuses; car il peut y rester quelques cirons. Ils 
vivent même hors du corps jusqu'à deux ou trois jours, comme 
jai eu lieu de m'en assurer plusieurs fois par l'observation. On 
comprend aisément comment la gale se guérit par les lessives, les 
bains, les onguents composés de sels, de soufre, de vitriol, de 
mercure simple, précipité, sublimé, et d’autres semblables dro- 
gues corrosives et pénétrantes; car ces drogues s’insimuent dans les 
cavités les plus profondes, dans les labyrinthes les plus reculés de 
la peau, et y tuent infailliblement les cirons. » 

C’est, au dire de Cestoni, dans les petites pustules, avant qu’elles 
fussent müres et purulentes, qu'il vit de pauvres femmes extraire 
un je ne sais quoi qu’elles écrasaient sur l’ongle, non sans quelque 
bruit. Il répéta l'expérience , et après avoir exprimé la liqueur con- 
tenue, il üra de la pustule un petit globule blanc presque imper- 
ceptible, que le microscope lui montra sous la forme d’une tortue. 
Comment Cestoni a41l pu extraire des acarus de petites pustules 
non encore mures? C’est ce que nous ne saurions comprendre; car 
jamais, comme on le verra, l'acarus ne se trouve dans les pus- 
tules : c’est loin d’elles que nous avons soin d'aller le chercher et 
que nous le trouvons toujours. C’est qu'en effet il ne saurait vivre 
dans une pustule, et quand par hasard il s’en développe une dans 
son voisinage, bien loin de s’en approcher, il détournerait plutôt 
son sillon pour l’éviter. D'ailleurs, en supposant qu'il füt dans le 
voisinage de cette pustule, la crever avant d'extraire le petit ani- 
mal serait le moyen le plus sûr de ne jamais l'atteindre. I y a 
donc, dans ces détails que nous donne Cestoni, quelque chose 


DE LA GALE DE L'HOMME. 33 


qui plaide fortement contre lui, et sil ne mentionnait d’autres 
faits qui font croire qu'il a réellement vu lacarus, on pourrait l'ac- 
cuser d’avoir montré l'exemple d’une indigne supercherie, qu'un 
docteur gascon a suivi de nos jours. Cestoni va plus loin : il nous 
dit qu'il a vu l'animal au microscope. Il faut bien le croire; car la 
couleur et la forme qu'il lui prête sont réelles. Mais, dit-il, il avait 
six pattes, six pattes antérieures, probablement, puisque la figure 
qu'il nous a laissée porte bien les six pattes en question. Il ne nous 
dit rien des pattes postérieures, attendu qu'il pouvait difficile- 
ment les voir en observant l'insecte dans cette position. Plus loin, il 
ajoute : « Ils savent (les acares) se creuser des routes de communication 
d'un lieu à l'autre, de sorte qu'un seul insecte produit quelquefois 
plusieurs pustules aqueuses. » Il aurait trouvée plusieurs acarus en- 
semble, et pour lordinaire fort près l'un de l'autre. Toutes ces asser- 
tions sont dénuées de tout fondement : jamais le même insecte n’a 
produit plusieurs pustules; car, quand pustules il y a, il ne joue 
qu'un rôle bien secondaire dans leur développement. Jamais on 
ne rencontre deux ou trois acarus ensemble!, et fort près l'un de 
l'autre. Cestoni était fort curieux de voir si ces petits animaux 
pondaient des œufs, et après de longues recherches, il eut enfin 
la satisfaction de pouvoir s'assurer du fait; car, ayant mis un ciron 
au microscope pour en faire le dessin, il vit sortir de la partie posté- 
rieure de l'animal un petit œuf blanc à peine visible et presque transpa- 
rent. Les acarus, en effet, pondent des œufs, mais en avoir vu 
pondre sur le microscope et surtout par la partie postérieure, voilà 
qui est plus que surprenant; car ce que l’acarus pond fréquem- 
ment sur le microscope et par la partie postérieure, ce ne sont 
point des œufs, mais bien des matières excrémentitielles. Il a vu ces 
petits animaux se glisser sous la peau, par tout le corps, sous les ongles, 
et se faisant des routes de communication. Toutes ces assertions sont en 
complète opposition avec ce que l’observation démontre. Et réelle- 
ment il ne nous serait point impossible de démontrer, à l'aide d’une 

! Si ce n’est de jeunes larves, mais leur petitesse est telle qu'elle sont à peine 
visibles à l'œil nu. 


SAVANTS ÉTRANGERS. — XII. 5 


34 TRAITÉ ENTOMOLOGIQUE ET PATHOLOGIQUE 


sévère critique, que Cestoni avait quelque peu raison de se cacher 
sous un pseudonyme. Grâce à cette apparente modestie, il échappait 
à toute atteinte, et si par hasard sa lettre trouvait quelque crédit 
parmi les savants, ce qui en effet arriva , il lui était toujours permis 
de s’en déclarer l’auteur et de revendiquer l’honneur qui s’y ratta- 
chait. Aussi, treize ans après la publication de sa lettre, notre Ita- 
lien, voyant qu'il ne serait pas sans profit pour lui de récla- 
mer ce qui véritablement lui était dû, écrivit-il une seconde lettre 
à Vallisnieri, où il prouvait sans peine que le prétendu Giovan 
Cosimo Bonomo n’était autre personnage que lui Diacinto Ces- 
toni, et comme il pouvait alors impunément fronder la faculté , il 
ajoute dans cette lettre : « Les médicaments internes, ceux que les 
médecins donnent aux galeux à prendre par la bouche ne servent 
absolument à rien, et ne sont bons, à proprement parler, qu’à en- 
graisser les charlatans. » Conséquence sagement déduite du rôle 
que l’acaras lui semblait jouer dans la maladie. En résumé, nous 
accorderons que Cestoni a parfaitement compris comment l’humeur 
mélancolique selon Galien, l’altération du sang selon Avicenne, Pa- 
cide mordant évaporé du sang selon Sylvius Deleboé, le principe 
fermentescible selon Van-Helmont, n'étaient pour rien dans la 
production de la gale; mais nous le blâmerons sans ménagement 
d’avoir avancé des faits que la same observation condamne, et 
qui nous autorisent, à bon droit, à suspecter sa bonne foi, même 
pour les vérités qui, trop souvent, dans sa lettre se trouvent à côté 
de l'erreur. 

28. Morgagni nous donnerait à penser que l'opinion de Cestoni 
était à l’ordre du jour en Italie; car 1l nous dit, dans sa 55° lettre, 
qu'il crut avoir retiré l’acarus des vésicules chez une dame qui, à 
la fin d'une maladie grave et longue, eut une éruption critique 
très-abondante sur tout le corps. 

29. La figure que Cestoni a donnée de l’acarus fut longtemps 
considérée par les savants comme un spécimen irréprochable de cet 
insecte. Ainsi Richard Mead la copia dans ses Transactions philo- 
sophiques, et Backer dans son Employement of microscope. 


DE LA GALE DE L'HOMME. 35 


30. Lorry!, qu’on ne peut soupçonner d’avoir ignoré tout ce 
qui a été écrit sur les maladies de la peau, car son livre, si re- 
marquable par l'ordre et la clarté avec lesquels les affections cuta- 
nées s y trouvent exposées, montre à chaque page la vaste érudi- 
tion de son auteur; Lorry doutait de l'existence de l'acarus. Les 
iémoignages d'observateurs tels que Richard Mead ne lui sem- 
blaient pas offrir toutes les garanties désirables pour qu'il se ran- 
geât à leur manière de voir. 

31. Tels étaient les matériaux imparfaits que les classificateurs 
avaient à leur disposition pour placer l’acarus au rang qui lui con- 
venait dans le systema nature. Aussi Linné offrit:il trois fois à ses ad- 
versaires l'occasion de lui adresser de sévères reproches sur la trop 
grande confiance qu’il avait dans ses prédécesseurs, sans se don- 
ner la peine de vérifier l'exactitude de leurs travaux. Ces critiques 
n'avaient que trop raison. Linné, en eflet, classa d’abord l’acarus 
de la gale dans les insectes aptères, genre Acarus, sous le nom 
d'acarus humanus subcutaneus, puis plus tard sous celui d’acarus 
scabiei; enfin, une troisième fois il commit la faute de le confondre 
avec la mite de la farine, et cette dernière opinion fut celle qu'il 
conserva définitivement, se fondant sur cette considération, que 
les nourrices communiquent souvent la gale à des enfants (atteints 
d'erythema intertrigo) en saupoudrant les parties malades avec de 
la farme de froment. Voilà, du reste, la description que Linné 
nous donne de l’'acarus dans sa Faune suédoise : « Très-petit, à peine 
de la grosseur d’une lente, un peu arrondi, tête à peine visible, 
bouche et pattes rousses ou jaunâtres, ventre en forme d'œuf, de 
couleur aqueuse, marqué sur le dos d’une double ligne en crois- 
sant ou de deux lignes courbes brunes. .... 11 habite sous la 
peau de l’homme, où il cause la gale. Dès qu'il a déterminé une 
vésicule , il s'éloigne un peu en suivant les rides de la peau; il s’ar- 
rête de nouveau et occasionne de la démangeaison. Avec de l'ha- 
bitude, on peut l’apercevoir, à l'œil nu, caché sous l'épiderme. On 


© De morbis cutaneis, p. 230. 


36 TRAITÉ ENTOMOLOGIQUE ET PATHOLOGIQUE 

l'extrait facilement avec une épingle; placé alors sur longle, il se 
meut à peine ; mais réchauffé par l'haleine , il se met à courir avec 
rapidité. » Il n'y a rien dans cette description qui ne se trouve dans 
la lettre de Cestoni, si ce n’est la couleur de la tête et des pattes, 
vues à la loupe ; et comme ces mêmes organes ont aussi cette cou- 
leur rousse chez le sarcopte du fromage ou de la farine, on ne 
saurait dire de quelle espèce d'acarus Linné entend parler. 

32. Ce que nous venons de dire pour Einné s'adresse à Fabri- 
cius, avec cette différence, toutefois, que Fabricius classe l'acarus 
siro, mite de la farine, l'acarus scabiei, Vacarus exulcerans (des 
animaux) de Linné, sous un seul et même nom!. Il nous dit dans 
son traité : « L’insecte est la cause et non le symptôme de la mala- 
die, ce qui prouve l’analogie des boutons avec la gale des végé- 
taux, la nature contagieuse du mal et la manière de la guérir. » 
Ajoutons cependant, pour être juste, que Fabricius modifia plus 
tard son opinion, et qu'il donna en 1805 à l'acarus les caractères 
génériques suivants : « Suçoir à gaîne bivalve et cylindrique, deux 
palpes de la longueur du suçoir; blanc, pattes couleur de rouille, 
les quatre postérieures munies de longs poils. » 

33. Nysandre, disciple de Linné, traita de la gale dans une 
thèse qu'il soutint sous la présidence de son maître. Nous n’en ci- 
terons aucun passage , attendu qu'il reproduit les idées régnantes, 
en considérant toujours l'acarus scabiei comme congénère de Paca- 
rus stro, mite de la farine. 

34. Plus tard, Casal? décrivit le terrier de l’acarus comme l'a- 
vaient fait ses prédécesseurs ; Geoffroy donna une description de 
l'acarus de la gale, et Pallas établissait contre Linné la différence 
qui existe entre l’acarus scabiei et l'acarus de la farine. 

39. Il faut arriver à de Geer“, cet entomologiste du premier 
ordre, pour voir la question traitée avec toute la lucidité et Fim- 


! Fabrici Syslema entomologiæ, édit. 1775, p. 803. 

* Histoire naturelle et médicale des Asturies. Madrid, 1762. 

* Insectes des environs de Paris, 1 762. 

* Mémoire pour servir à l'histoire des insectes. Stockholm, 1778: 


DE LA GALE DE L'HOMME. 37 


portance qu’elle mérite. De Geer maniait le microscope avec su- 
périorité, il observait lui-même ; aussi Lui fut-1l facile de constater 
quelle notable différence existait entre l’acarus de la gale et la mite 
de la farine. Le premier entre tous les observateurs, il nous donne 
un dessin d’acarus, on pourrait dire presque irréprochable : la tète 
en est fidèlement reproduite ; il ne lui représente bien que quatre 
pattes antérieures. Cestoni, on se le rappelle, lui en figurait six. 
C'est par la face ventrale qu'il l'examine, l'insecte reposant sur le 
dos; aussi a-t-il dessiné les quatre pattes postérieures, qu'aucun 
micrographe n’avait encore pu distinguer. Cette figure de de Geer 
pourrait soutenir le parallèle avec les dessins d’acarus de quei- 
ques modernes micrographes, ceux de M. Raspail, par exemple. 
Voici quels caractères de Geer assigne à cet insecte : « Mite un 
peu arrondie, blanche, à pattes roussâtres, courtes, surtout les 
postérieures; ces quatre pattes postérieures munies de longs poils ; 
les quatre tarses antérieurs en tuyau, et terminés par un petit 
renflement en forme de vessie; tête en forme de museau court, 

cylindrique, arrondi au bout et garni de quelques poils; surface 
du corps comme raboteuse et parsemée de plusieurs poils. » À de 
Geer revient encore le mérite d’avoir le premier mentionné les 
pelotes ou ventouses qui terminent les pattes antérieures; seu- 
lement on se demande pourquoi il ne les a pas figurées sur le 
dessin qu'il nous en a laissé. Il ajoute ailleurs : « La mite ôtée de 
dessous l’épiderme ne se donne d’abord aucun mouvement ; mais 
peu après elle commence à remuer les pattes et à se mouvoir, 
quoique assez lentement. » ; 

36. À de Geer succède un observateur non moins remarquable, 
Wichmann, qui décrit l’'acarus avec une grande précision. Des 
deux figures d’acarus par Wichmann, une première représente l'in- 
secte vu par la face dorsale, de telle sorte qu'elle complète l'image 
que nous en avait donnée de Geer par la face ventrale. La tête, 
les quatre pattes antérieures et les longs poils des quatre pattes 
postérieures, qui dépassent de chaque côté de l’abdomen, sont 
fidèlement tracés; Wichmann a donné de plus le dessin de lacarus 


38 TRAITÉ ENTOMOLOGIQUE ET PATHOLOGIQUE 
exulcerans de Linné. Cette seconde figure ne saurait être toutefois 
comparée à la première pour sa netteté; l'insecte était probable- 
ment recouvert de débris organiques, comme il arrive souvent, 
quand on l'enlève du lieu où il se niche. Wichmann complète 
d’ailleurs, autant par ses figures que par son texte, la description 
de Cestoni; il dit surtout d’une manière très-explicite que lacarus 
est la cause exclusive de la gale. 

37. Jean Hunter assure avoir examiné l'insecte de la gale au 
microscope sur des galeux de la Jamaique !. 

38. Après lui, deux classificateurs cherchent de nouveau à pla- 
cer Ja gale et l'acaras aux rangs qui leur conviennent dans le cadre 
nosologique et dans l'histoire naturelle. L'un d'eux, Pinel, tient 
compte des opinions des micrographes; il fait mention de l'acarus, 
il Jui attribue le prurit, mais il ne voit pas en lui la cause de la 
contagion. Aussi n'est-ce que très-secondairement qu'il en di 
quelques mots. Le second, Latreille, s’en fiant aux figures de 
Cestoni et de Wichmann , trop incomplètes pour guider un classifi- 
cateur, fait de l'acarus son genre Sarcopte, sous-classe des Acères, 
ordre des Soleno-stomés, famille des Tiques. Les caractères qu'il 
lui donne sont les suivants : « Corps aptère , sans distinction de tête 
ni d’anneaux; organes de la manducation formant un simple avan- 
cement antérieur au suçoir sans palpes apparentes; huit pattes 
courtes. » Comme on vient de le voir, Latreille avait classé l’acarus 
de la gale à la place qu'il lui paraissait devoir occuper. Mais quel 
ne fut pas son embarras, quand, par une de ces vicissitudes si 
communes dans les sciences naturelles, l'acarus, qui avait été si 
bien observé par tant d'auteurs, fut de nouveau mis en doute, 
puis nié d’une manière absolue? C’est qu'en effet des dermatolo- 
gistes célèbres, Albert, Biett et plusieurs autres, avaient en vain 
cherché Facarus; de telle sorte qu'on resta convaincu pendant 
quinze ans, en France, qu'il n'avait jamais existé. Aussi les theo- 
ries humorales se donnèrent-elles de nouveau carrière. Le vice ga- 
leux joua un grand rôle dans les complications des dermatoses : 


* Observations sur la maladie de l'armée de la Jamaïque; 1788. 


DE LA GALE DE L'HOMME. 39 


une gale rentrée était chose redoutable; il y eut des gales vésicu- 
leuses, pustuleuses, sèches; enfin, l'imagination, à défaut des yeux, 
s'évertuait à découvrir comment une maladie si générale chez 
quelques individus, guérissait si facilement et en peu de jours 
avec des topiques. Grandes étaient les discussions sur l'étrange 
opinion des anciens, quand tout à coup un docteur gascon vint, 
au grand étonnement de chacun, prouver que les anciens avaient 
pourtant raison; il se faisait fort, et il le démontra, de trouver 
cet acarus dont on niait l'existence. Latreille, trop facile à se 
laisser convaincre, car cette découverte le sauvait d’une pénible 
alternative, appuya de son crédit cette importante nouvelle, et 
bientôt la présence de l'insecte de la gale fut de nouveau acceptée 
sans conteste. 

39. Nous étendrons-nous longuement sur les conséquences dé- 
plorables de cet événement? Dirons-nous sans dégott comment 
ce médicastre des bords de la Garonne eut la coupable infamie de 
se jouer de la confiance publique, et d’en imposer, avec un cy- 
nisme sans exemple dans les annales de la science, aux savants 
distingués dont la curiosité avait été justement excitée? Raconte- 
rons-nous enfin les séances publiques où le charlatanisme le plus 
effréné reçut la plus honorable sanction; comment ce misérable 
fut prôné, récompensé, comme l'aurait été le plus consciencieux 
des travailleurs? Non! nous laisserons à d’autres le soin de se 
complaire dans de si déplorables débats. 

A0. La conséquence naturelle de cette soi-disant découverte fut 
de frapper l'attention de tous ceux qui se trouvaient à même de la 
vérifier. En effet, maîtres et élèves s’évertuèrent à trouver l’'acarus 
là où Galès disait le rencontrer, c'est-à-dire dans les vésicules et 
les pustules; et comme cet insecte ne vit jamais dans les vésicules 
et pustules , il fut impossible aux observateurs honnètes de l'y dé- 
couvrir. Dés lors, le doute s'insinua de nouveau dans les cons- 
ciences, puis bientôt l'incrédulité fut encore une fois complète. 

A1. M. le docteur Mouronval (1820) fit même, sous l'inspira- 
tion de ces idées, un gros volume, où il prouve avec un sérieux 


10 TRAITÉ ENTOMOLOGIQUE ET PATHOLOGIQUE 
imperturbable comme quoi l'acarus ne saurait exister, puisqu'il 
ne l’a pas trouvé après les recherches les plus attentives. Pour mon- 
trer quelle était alors l'opinion générale sur la présence de l'aca- 
rus, il nous sufhira d'ajouter que ce livre fut reçu avec faveur. 

A2. Cependant une question qui avait si diversement agité les 
esprits depuis plusieurs siècles n’en pouvait rester là. Un auteur 
devait se présenter, qui, reprenant la question ab ovo, soumettrait 
à une scrupuleuse analyse les travaux des anciens, et comparerait 
leurs dessins des divers acarus avec ceux qu'avait donnés Galès. 
M. Raspail fut cet auteur. Il démontra sans peine que l'acarus pré- 
senté par Galès comme étant celui de la gale n’était autre chose 
que la mite du fromage. La démonstration en était facile, les in- 
sectes du fromage permettant à chacun de les reconnaître dans les 
dessins de Galès. Cette découverte fit grand bruit et grand scan- 
dale; quant à Galès, il se tint coi et ne releva pas le gant. 

Ces recherches de M. Raspail eurent deux effets pour consé- 
quence : 1° de prouver que Galès aurait mérité une juste répres- 
sion, si, comme cela pourrait être , les écrivains convaincus de mau- 
vaise foi et d'escroquerie en fait de science, étaient justiciables de 
la loi; 2° de bien établir que les anciens avaient réellement vu 
l'acarus, ce qui était mettre les observateurs dans une meilleure 
voie pour le retrouver. 

43. Mais comme le moindre effet de ces discussions était de 
faire beaucoup de bruit; elles éveillèrent l'attention d’un jeune 
Corse, alors étudiant en médecine à la faculté de Paris, M. Re- 
nucci, qui, habitué dans son enfance à voir ses compatriotes faire 
la chasse aux acarus, n'eut pas grand’peine à l'extraire à l'aide d’une 
aiguille , et à en fournir à la consommation de tous les microgra- 
phes, avides, comme on le pense bien, de se faire enfin une opi- 
nion arrêtée sur un sujet depuis si longtemps controversé. Cette 
découverte de M. Renucci, car elle fut généralement considérée 
comme telle, prouva aux plus incrédules que la gale était réelle- 
ment bien due à un insecte particulier. Comme ci-devant, des 
réunions scientifiques eurent lieu, et, si elles prouvèrent une fois 


DE LA GALE DE L'HOMME. A1 


de plus combien Galès s'était indignement joué du public, elles 
réhabilitèrent Cestoni, de Geer, Wichmann et tous les observateurs 
qui, à leur exemple, avaient donné des figures, grossières il est 
vrai, mais du moins réelles de lacarus scabiei. Cette fois, il n’y 
eut plus de dissidence ; tout le monde accepta le fait, et la gale fut 
regardée comme dûment produite par un insecte. 

hh. M. Raspail, qui déjà avait prêté à ces discussions le con- 
cours de ses recherches bibliographiques et micrographiques, ob- 
serva, avec plus de soin qu’on ne l'avait fait jusqu'alors, le petit 
animal en question! ; un mémoire qu'il publia à cette époque résu- 
mait l’état de la science à ce sujet. 

Nous aurions pu passer succinctement sur le mémoire de M. Ras- 
pail, mais comme le persiflage est l'arme par excellence à laide de 
laquelle M. Raspail prétend faire preuve de savoir, comme M. Ras- 
pail ne vise à rien moins qu'à se poser comme chef de doctrines 
populaires à l'endroit de la médecine, science dont il ignore la pre- 
mière notion; comme il prétend avoir découvert l'étiologie patho- 
logique de toutes les maladies (son Traité d'histoire naturelle de 
la santé et de la maladie, en fait foi); comme il prétend guérir avec 
une panacée, le camphre, les affections internes de toute nature; 
comme, parmi ses écrits, quelques-uns jouissent d’une juste au- 
torité et portent le cachet d’une intelligence supérieures nous ex- 
poserons avec quelques détails, les FANS de cet écrivain et nous 
les commenterons. 

45. Voyons d’abord ce que nous dit M. Raspail touchant l’in- 
secte qui avait si vivement excité sa sagacité micrographique. Le 
résultat d’une étude poursuivie avec soin nous fournira le cadre de 
la description suivante, écrit M. Raspail. 

« En lobservant sur le dos, l'insecte de la gale humaine à 
lair de lécaille de certains poissons, dont les quatre pattes anté- 
rieures et le museau représentent les appendices radiculaires qui 
s'implantent dans la peau. En effet, non-seulement la carapace de 
de lacare a les contours sinueux d’une écaille de poisson, mais 

* Mémoire comparatif sur l'histoire naturelle de la gale. In-8°; Bailli, 1834. 


Ld SAVANTS ÉTRANGERS. — XII, 6 


42 TRAITÉ ENTOMOLOGIQUE ET PATHOLOGIQUE 

encore elle est striée de même par des stries concentriques et en 
réseau qui forment des mailles en fuseau. Outre ces stries, et sur 
ce travail de petites lignes qui donnent les irisations des franges 
lumineuses, on observe un assez grand nombre de petits points 
ronds et brillants, sur chacun desquels s'implante un poil roide, 
mousse et blanc, qui ne devient bien visible que lorsqu'on place 
linsecte sur le flanc pour l'observer de profil ; les deux rangées qui 
vont du dos aux pattes antérieures et aux côtés de l'anus sont celles 
qui ont les poils les plus longs. Le rostre purpurin, plat et arrondi, 
porte quatre poils aigus et dirigés d’arrière en avant; il s’insère et 
peut se cacher sous la carapace. Les quatre pattes laissent voir trois 
de leur quatre à cinq articulations, hérissées de poils, à travers leur 
transparence purpurine ; elles sont terminées toutes les quatre 
par un ambulacre, lequel est formé d’une tige qui s'évase au 
sommet. Vers la partie postérieure du corps, on observe quatre 
longs poils qui appartiennent aux QUATRE PAIRES DE PATTES, les- 
quelles sont cachées sous le ventre, et puis quatre poils plus courts 
et intermédiaires, aigus comme les quatre autres, qui s’implantent 
sur les bords de l'abdomen , deux de chaque côté de l'anus. Si l'on 
place l’acare sur le dos et représentant sa surface inférieure à l’ocu- 
culaire, tous ces divers appareils mettent en évidence leur origine 
et leur complication. On voit le rostre et les quatre pattes anté- 
rieures s'implanter en évantail dans les échancrures d’une espèce 
de plastron bordé de rouge, divisé au milieu par une ligne longi- 
tudinale rouge; ce qui lui donne assez l'air de la moitié antérieure 
d'une chasuble de prêtre catholique. Tout le reste du corps est 
d'une blancheur de nacre de perle. Les quatre pattes postérieures 
sont tout aussi compliquées, tout aussi purpurines, mais non aussi 
complètes que les antérieures; elles s'implantent aussi dans les 
échancrures de la partie postérieure du plastron, dont les bor- 
dures rouges paraissent là après s'être interrompues sur les flancs. 
On distingue assez bien, sur chacune de ces quatre pattes, la 
pièce basilaire et fémorale, triangle dont l'hypoténuse regarde la 
parte antérieure du corps, puis les quatre articulations, mais plus 


DE LA GALE DE L'HOMME. 43 


serrées que nous ne les avons rencontrées sur les pattes antérieures; 
mais ici point d’ambulacre, lequel est remplacé par un long poil. 
Cet acare en marchant a l'air d’une tortue, par son organisation 
générale et sa torpeur. Sa transparence et sa blancheur le font pa- 
raitre mou au microscope; mais ne craignez pas de le blesser en 
le pointant au bout d'une épingle; il est dur et tellement corné dans 
toutes ses parties, qu'il faut plus d'efforts que la piqüre d'une épingle 
pour l'écraser, il faut toute la pression de l'ongle et encore on le man- 
que, à cause de la roideur de ses poils du dos, qui le font glisser sous 
l'ongle et bondir loin de là. 

« En décrivant le rostre de l'acarus de la gale, ajoute M. Ras- 
pail, on a dû sans doute remarquer que je n'ai parlé ni des palpes, 
ni des mandibules, ni des yeux; je n'ai voulu faire entrer dans ma 
description que ce que j'avais distinctement vu et ce que chacun, 
guidé par ces données, pourrait tout aussi bien distinguer que moi. 
Cependant sur le rostre de l’'acare du cheval, Jai vu et dessiné deux 
palpes qui, chez l’acare de l’homme, se cachent sans doute sous le 
chaperon. Quant aux mandibules, Je ne les ai jamais aperçues faisant 
saillie au dehors, ce qui me porterait à croire que cet appareil joue 
et fonctionne sous le chaperon du rostre, sans jamais le dépasser, 
au moins quand on observe l'acare, loin des chairs qu'il a l'habi- 
tude d'entamer. » 

A6. Si le lecteur arrète un instant sa pensée sur les passages 
que nous avons soulignés dans cette description de l'acarus, il 
reconnaîtra comme nous, combien M. Raspail est resté au des- 
sous du talent micrographique qu’on pouvait attendre de lui, et 
qu'il a moins fait ici pour la pathologie animée que de Geer et 
Wichmann. En effet, si cet aperçu de linsecte de la gale résultait 
d’une étude poursuivie avec soin, M. Raspail aurait résisté à la tenta- 
üion de nous faire de spirituelles comparaisons, il n'aurait pas parlé 
de quatre à cinq articulations aux pattes; il n'aurait pas donné aux 
extrémités postérieures une pièce fémorale basilaire et géométri- 
quement conformée; il ne nous aurait pas présenté l'msecte bordé 
de pied en cap d’une armure cornée qui le rend invulnérable; 

6. 


A TRAITÉ ENTOMOLOGIQUE ET PATHOLOGIQUE 

enfin, il aurait vu ce que la moindre inspection nous force à décou- 
vrir, des palpes et des mandibules. M. Raspail, si rigide envers 
les autres, aurait donc pu se montrer plus scrupuleux sur les faits; 
en un mot, ici comme partout ailleurs, l'imagination a étendu et 
embelli le champ de vision du micrographe. 

A7. Dans cet article sur l’acarus, M. Raspail ne prétend qu'au 
rôle de naturaliste; dans ce qui va suivre, c'est comme patho- 
logiste qu'il se montre, et nous allons voir avec quels frais d'i- 
magination notre dermatologue crée de toute pièce les causes 
et les symptômes d’une maladie. M. Raspail nous a dit : « Dés que 
l'acare rampe sur la peau, on éprouve, à moins que l'épiderme ne soil 
dur et calleux, une légère démangeaison, qui ne provient que de l'ap- 
plication successive des ventouses ambulatoires de l'insecte sur ce plan 
organisé, et du petit frôlement des poils qu'il traine à sa suite. La 
démangeaison prend bientôt le caractère d’un prurit incommode 
et qui porte à se gratter dès que lacare plonge son rostre et l'appa- 
reil fouisseur de ses mandibules dans l'épiderme, pour y creuser son 
terrier, On comprend que cet effet passera inaperçu, comme symp- 
tôme, qu'il ne sera considéré que comme un infmiment petit effet 
local, si Pacare est seul de son espèce à cet ouvrage. Mais si ces Im- 
sectes sont en nombre considérable et que tout le corps en soit presque 
couvert, on conçoit quel mouvement fébrile et quelles impatiences 
nerveuses doivent être le résultat presque immédiat de ces mulliers 
de petites piqûres envenimées. » 

Il paraît que M. Raspail a l'épiderme bien chatouilleux, car les 
malades n'ont jamais conscience de la promenade de l'acarus sur 
leur tégument. Le fait est si vrai que beaucoup d’entre eux ont vu 
lacarus imciser leur épiderme, le soulever et s’y blottir, sans qu'ils 
aient éprouvé lamoindre sensation agréable ou douloureuse!.M.Ras- 
pail couvre tout le corps d'insectes envenimés, il les voit par mil- 
liers dévorer leur proie, etc. etc.; on dirait qu'il les a comptés 
sur tout le corps et en grand nombre; mais tout cet épouvantail 


© Bien plus, les acarus du cheval et du mouton ne font éprouver aucune sensa- 
tion quand ils courent sur la peau de l'homme. 


DE LA GALE DE L'HOMME. 45 


est de pure invention de sa part; la moindre observation dément 
de pareilles assertions. 

Continuons. La faconde de l’auteur mérite de fixer notre atten- 
tion. Il ajoute : « L’acare ne fouit pas l'épiderme sans profit et 
sans but. Il faut qu'il vive, qu'il ponde et mette son œuf à l'abri 
de tout accident. Nous avons vu que la présence d’un œuf dans 
un tissu imprime à ce tissu l'impulsion d’un développement inso- 
lite et d'une élaboration anormale, car à peine l'œuf de l'acare est-il 
pondu sous l'épiderme, qu'il s'opère là une élaboration de nouvelle na- 
ture , une transsudation limpide qui, contenue par un épiderme devenu 
imperméable en s'atrophiant, s’'arrondit en vésicule phlycténoïde de fort 
petite dimension; organe d'incubation qui éclate et se vide, dès que le 
Jeune acare vient d'éclore, qui se dessèche et tombe en croûte pendant 
que le jeune acare va chercher ailleurs et sa pâture et l'occasion d'un 
accouplement, afin de venir ensuite tracer à son tour son sillon sous- 
cutané, el y venir déposer ensuite l'espoir de ses générations de malheur 
pour l'espèce humaine. L’acare fuit de ce lieu d’incubation dès qu'il 
y a pondu son œuf; nul insecte, en effet, ne saurait vivre dans le 
milieu où se développent ses'œufs, car dans cette classe d'êtres vivants, 
comme dans les classes supérieures, la nutrition fœtale est diamétrale- 
ment opposée à la nutrition adulte. 

« La vésicule d’incubation varie de dimensions et de forme, 
selon la nature et l’élasticité des tissus envahis, elle est d'autant 
plus grande que lépiderme est plus tendre et se prête mieux à 
l'afflux de la sérosité qui suinte en dessous. » Mais citer textuel- 
lement jusqu'au bout nous entraînerait trop loin; nous allons, en 
conséquence, résumer la substance de ce qui suit. Selon M. Ras- 
pail , « partout où il se développe une papule de gale, il est en droit 
d'y voir l'œuvre d’un acare. Gomme les peaux les plus tendres sont 
celles qui se prétent le mieux aux goûts et aux habitudes de l'insecte, 
on doit en conclure que les surfaces buccale, nasale, anale, etc. réu- 
nissent toutes les conditions propres à l'y attirer, et alors s’il s'introdui- 
sait par une de ces ouvertures, on imagine facilement les sérieux dé- 
sordres qui en résulteraient, etc. etc. 


A6 TRAITÉ ENTOMOLOGIQUE ET PATHOLOGIQUE 

Tout ce qui suit est de cette force. Jamais, nous ne craignons 
pas de le dire, aucun auteur n’a poussé si loin l'abus de prendre 
le produit de son imagination pour des réalités, car M. Raspail 
paraît écrire en homme convaincu. Comme on le verra d’après 
nos recherches, il est faux de dire que œuf soit l'occasion d’un 
travail morbide; que l'insecte quitte ses œufs dès qu'il les a pon- 
dus; qu'une papule de gale soit nécessairement produite par un 
acarus; et qu'enfin il puisse s’introduire par les ouvertures natu- 
relles. Vraiment, tout ce que nous venons de lire a quelque lien 
de parenté avec l'assurance de Galès, et si la critique avait quel- 
que intérêt à pousser plus avant son examen et à scruter les inten- 
tions, nous en arriverions à un syllogisme accablant pour ce mi- 
crographe émérite. 

A8.M.Renucci, à qui revient l'honneur d’avoir définitivement fixe 
en France l’opinion des médecins et des savants sur la nature de la 
cause de la gale, nous a laissé un petit traité de cette maladie. I 
en a faitle sujet de sa thèse pour le doctorat. M. Renucci a repré- 
senté le dessin de l'acarus. L'image qu'il en donne est plus exacte 
que toutes celles passées en revue jusqu'à ce moment : la tête est 
mieux reproduite; nous ne pouvons toutefois féliciter l’auteur de la 
complaisance qu'il a mise à donner comme une manière d'organe 
de la vue au petit animal. Les articulations des pattes sont va- 
guementindiquées, mais tout au moins est-ce la nature fidèlement 
représentée; les ventouses terminales sont aussi mieux signalées. 
Enfin, les pattes de derrière observées, l'acarus étant sur le dos, 
n'ont point cette forme triangulaire, à hypothénuse tourné en 
avant, comme nous avait dit M. Raspail. Toutefois, ce spécimen 
amplifié n'indique rien de sa structure intérieure; c’est toujours 
une ébauche imparfaite de sa forme. 

M. Renucci traite de la maladie que produit lacarus avec cette 
circonspection qui tient d’un médecin sérieux, il nous parle du 
sillon qu'il a bien vu et de la place véritable qu’occupe lacarus ; 
mais comme les autres, son imagination vient à son secours quand 
il veut expliquer comment les vésicules se développent, com- 


DE LA GALE DE L'HOMME. 47 


ment les complications surviennent. Il voit même dans ces com- 
plications, les signes de différentes variétés de la maladie, et 
comme ses prédécesseurs il admet une gale vésiculeuse, pa- 
puleuse et pustuleuse. M. Renucci conseille plusieurs méthodes 
de traitement, une entre autres qui consisterait dans la destruction 
ou l'ablation de l'animal sans se préoccuper des complications. 
Enfin, cette dissertation sur la gale, est, sans contredit, ce qui a 
été publié de mieux pensé et de plus exact jusqu'en 1835. 

49. M. Renucci ne fit pas seulement de la gale le sujet de sa 
thèse ;1l présenta aussi à ce propos un mémoire à l’Académie des 
sciences. Ce mémoire donna lieu à un rapport que firent MM. de 
Blainville et Duméril, et dans lequel ces savants signalaient avec 
une précision bien remarquable tous les desiderata que le travail 
de M. Renucci laissait après lui. Nous ne pouvons résister au plai- 
sir de citer les passages de ce rapport, où les illustres membres 
de l’Institut semblaient nous tracer la ligne de conduite que nous 
avons suivie dans nos recherches : « Toutefois, disent les rappor- 
teurs, dans ces efforts, très-louables sous certains rapports, nous 
ne voyons pas que l’on se soit suffisamment occupé de l’histoire 
naturelle de cet insecte, parasite de l'espèce humaine , comme les 
deux espèces de poux qui la tourmentent, et qui par conséquent 
croît sur elle, et se propage d’individu à individu, comme les au- 
tres parasites, ainsi que Cestoni l’a reconnu le premier. Mais les 
œufs sont-ils déposés par la mère dans un lieu d'élection? et celui- 
ci est-il au-dessous de l’épiderme comme cela est probable ? Est-ce 
l'œuf dont la présence détermine la formation de la vésicule 
aqueuse, en appelant par l'irritation au point indiqué une certaine 
quantité de fluide, comme cela nous semble également assez pro- 
bable? Est-ce quand l’acarus est adulte, et en état de se repro- 
duire qu'il quitte la vésicule dans laquelle il a vécu pendant son 
jeune âge, en creusant sous l'épiderme un sillon plus ou moins 
tortueux? ou bien a-t-il été déterminé à cet abandon par la sup- 
puration ou la dessiccation de cette vésicule, et va-t-il en former 
d’autres dans un lieu plus ou moins éloigné? Voilà quelques-unes 


18 TRAITÉ ENTOMOLOGIQUE ET PATHOLOGIQUE 


des questions intéressantes, du moins pour l’histoire naturelle, qui 
sont encore à résoudre. Leur résolution, quelque complète quelle 
soit, ajoutera assez peu au système de traitement de cette ma- 
ladie, plus dégoütante encore que dangereuse. » Toutes ces ques- 
tions ont fixé notre attention d’une manière particulière, et nous 
croyons avoir été assez heureux pour n’en laisser aucune sans so- 
lution. 

50. Vers cette époque, 1834, parut un mémoire de M. le 
d' Albin Gras, élève comme M. Renucci à l'hôpital Saint-Louis: 
cet opuscule, qui fit moins de bruit que tous ceux que nous avons 
cités, leur est pourtant supérieur sous tous les rapports. Le 
meilleur esprit a présidé à la rédaction de ce travail; toutes les 
questions importantes y sont posées avec netteté et discutées avec 
discernement. 

M. Albin Gras donne à la vésicule l'importance que comman- 
dent les doctrines encore professées, elle est pour lui le caractère 
pathognomonique de la maladie; il décrit le sillon ou cuniculus, 
indique avec exactitude à quel endroit de ce sillon se trouve l’aca- 
rus, il note surtout avec grand soin que linsecte ne se trouve 
jamais dans la vésicule, et que celle-ci n’a jamais de communi- 
cation avec le cuniculus; il ne lui a pas échappé non plus 
qu'il y avait indépendance entre le sillon et la vésicule, qu'en 
un mot l'existence de l’un n’entraînait pas absolument celle de 
l'autre. Il aurait vu des sillons aux pieds, aux plis des bras, aux 
fesses, etc. etc. 

M. À. Gras n'a point observé l’'acarus au microscope; tout ce 
qu'il en dit est emprunté à M. Raspail. Il aurait conservé des in- 
sectes vivants trois ou quatre jours, à une température de 15 à 
18° centigrades : cette observation est Juste, sauf une légère exagé- 
ration; enfin, il a soumis lacarus à l'action toxique de divers 
réactifs et il a noté quelle résistance vitale linsecte opposait à 
chacun d'eux. Comme ces expériences n’ont pas été faites au foyer 
du microspope, il y a, dans les chiffres que nous donne M A. Gras, 
quelques erreurs quant à la durée absolue de la vie, sous l'in- 


DE LA GALE DE L'HOMME. 19 


fluence de tel ou tel réactif. M. A. Gras termine son opuscule par 
des considérations pathologiques sur la cause présumée de la 
gale. Il se demande si le sarcopte est réellement la cause de la 
gale, ou si l’on doit le considérer comme un parasite qui accom- 
pagne cette affection? Pour décider ces questions, il eut recours 
au moyen le plus propre à les éclaircir : il se donna plusieurs fois 
la gale, en plaçant sur ses bras des acarus vivants, et, de ses 
expériences, il conclut que le sarcopte de l’homme doit être con- 
sidéré comme la cause essentielle de la gale, et comme l'élément 
contagieux de cette affection : conséquence logique, à laquelle de- 
vait arriver un bon observateur. Comme on a pu en juger, le 
mémoire de M. À. Gras est substantiel, rien n'avait été écrit sur 
la gale qui fût mieux raisonné et plus sagement déduit. Il s’en 
faut pourtant qu'il ait eu, aux yeux des auteurs classiques, l’auto- 
rité suffisante pour les convaincre. 

91. M. À. Gras, persuadé sans doute qu'il fallait posséder une 
grande habitude du microscope pour aborder l'étude entomolo- 
gique de Pacarus, avait laissé à d’autres le soin de remplir cette 
lacune. Deux auteurs le comprirent, et se mirent à l'œuvre dans 
le but de compléter ce qui restait ainsi inachevé. MM. Leroy et 
abbé Vandenheckc de Versailles furent ces auteurs. Ils présen- 
tèrent le 30 décembre 1834, à la société des sciences naturelles 
de Seine-et-Oise, le résultat de leurs recherches microscopiques 
sur lacarus scabiei. C'est pour la première fois que des observa- 
teurs essayent de découvrir, à travers l'enveloppe impénétrable 
de l’insecte, quelle est son organisation intérieure ; et si MM. Le- 
roy et Vandenheckc avaient eu quelque expérience du micro- 
scope, tout porte à croire qu'ils nous eussent donné une descrip- 
tion anatomique et physiologique de lacarus de quelque valeur. 
Mais, par malheur, ces deux observateurs maniaient probablement 
pour la première fois ce délicat instrument, de telle sorte qu'il 
n’est pas une seule illusion d'optique qui ne leur ait donné le 
change : ils ont pris des parties solides pour des canaux, des pé- 
nombres pour des muscles, des hachures pour des dents, enfin 


SAVANTS ÉTRANGERS. — XII. 7 


50 TRAITÉ ENTOMOLOGIQUE ET PATHOLOGIQUE 

on ferait l'anatomie d’un quadrupède qu'on ne décrirait pas avec 
plus d'assurance l'attache vigoureuse des fibres musculaires, et les 
nombreux conduits qui, en portant partout une vie luxuriante, 
facilitent les mouvements des diverses parties. Nous le dirons sans 
crainte d'être taxé d’exagération, jamais travaux microscopiques 
ne seront plus propres que celui de MM. Leroy et Vandenheckc, 
à montrer quelles grossières erreurs on doit infailliblement com- 
mettre, quand on s’avise de publier des recherches microscopi- 
ques, sans avoir, au préalable, fait de longues et consciencieuses 
études à ce sujet. Cette sévère, mais juste critique dit assez 
combien il est à regretter, pour la science microscopique et ento- 
mologique, qu'une pareille publication ait vu le jour. Nous allons 
en citer quelques passages, car faut-il encore que chacun soit Juge 
dans ce débat. 

52. MM. Leroy et Vandenhecke nous disent : « A la partie an- 
térieure et latérale de la face ventrale et à la base des deux paires 
des membres antérieurs, se trouvent des tubes creux de subs- 
tance cornée, de couleur rouge-brun. De la partie moyenne de 
chacun de ces tubes, part un prolongement qui marche d'avant 
en arrière et de dehors en dedans. Ce prolongement, qui a tou- 
jours été en diminuant de capacité, se contourne, marche alors 
de dedans en dehors pour se terminer en forme de boule, dans 
l'extrémité évasée d’un autre tube plus étroit rubané dont l'autre 
extrémité reçoit de la même façon la terminaison du prolonge- 
ment opposé. Lorsqu'on examine ces tubes à un assez fort gros- 
sissement, on remarque qu'ils contiennent le système musculaire lo- 
comoteur de l'insecte!! Voici la disposition de ce système, ajoutent 
ces messieurs : À la partie antérieure de chaque tube, dans F'es- 
pace compris entre le membre et la première paire et la tête, se 
trouve un gros muscle allongé dont la partie principale se rend 
dans toute l'étendue de la partie mférieure de ce membre. Un fais- 
ceau interne va s'attacher aux parties internes de la tête; enfin, 
à sa partie interne, ce muscle se termine par une pointe et marche 
à la rencontre de celui du côté opposé ; un autre gros muscle situé 


DE LA GALE DE L'HOMME. 51 


entre la première et la deuxième patte; enfin, un dernier petit 
muscle se trouve à la partie la plus externe de la base du membre 
de la deuxième paire. » Toutes ces parties, que les auteurs pren- 
nent pour des conduits, ne sont autre chose que des organes so- 
lides, qui constituent la charpente cornée de l'insecte et auxquels 
s’articulent des pièces qui entrent dans la composition des pattes. 
Quant à placer des muscles dans ces prétendus conduits, c'est une 
idée assez singulière, et dont il est inutile de faire ressortir l’é- 
trange originalité. Le conduit strié, transversal, n’est autre chose 
qu'une fente, qui occupe la couche la plus superficielle de la face 
ventrale, c’est-à-dire sur un plan optique qui ne saurait avoir des 
rapports avec l'extrémité postérieure des tubes en question. Enfin, 
ces muscles, si gros, si distincts par leurs attaches et leurs divisions, 
ne sont autres choses que des pénombres dues à l’inexpérience des 
observateurs, qui n’ont point su saisir le point véritable où le foyer 
optique donnait aux organes leur aspect réel. Illusions optiques, 
difficiles à éviter quand on aborde de prime abord l'étude d’un 
insecte si petit, à une amplification si considérable, et, tout le porte 
à croire, avec un instrument imparfait. Tout ce que MM. Leroy 
et Vandenheckc nous rapportent de la structure du corps de l'aca- 
rus est d’une complète inexactitude; quant à ce qu'ils nous disent 
de l'agencement des pièces de la tête, c’est au MOINS aussi singu- 
lier. Ils donnent à l’acarus de belles et bonnes dents, ils lui font 
mâcher ses aliments, et des muscles solides mettent en mouve- 
ment les fortes mandibules qui entament les chairs. 

Une considération plaide toutefois en faveur de ces messieurs: 
l'intérêt de la science les guidait dans leurs travaux ; il y aurait in- 
justice à ne pas leur tenir compte de leur louable intention. 

53. Il nous reste, pour conduire l'histoire chronologique de 
la gale et de l'acarus jusqu'au moment où nous nous sommes mis 
à l'œuvre, à parler de quelques entomologistes modernes dont 
les travaux ont fait époque, et à passer en revue les divers auteurs 
classiques qui, dans leurs traités de maladies de peau, ont parlé de 
la gale. Parmi les naturalistes dont les travaux nous ont fourni des 


7- 


52 TRAITÉ ENTOMOLOGIQUE ET PATHOLOGIQUE 


notions et des analogies applicables à notre sujet, nous devons 
citer MM. Hermann, Milne Edwards, Lyonnet, Dufour, Dujar- 
din et surtout messieurs Dugès et Audouin, qui, ayant fait des 
observations microscopiques sur des genres qui touchent de près 
à l'acarus scabiei, nous ont facilité l'intelligence de la structure si 
compliquée de cet insecte. 

5h. C'est en vain que nous avons cherché parmi les travaux 
des naturalistes micrographes, un traité spécial sur l'anatomie et 
la physiologie de l'acarus scabiei chez l'homme. Par une sorte 
de fatalité bien regrettable, c’est précisement linsecte qu'il im- 
portait le plus à l’homme de connaitre, qui nous était le plus com- 
plétement ignoré. M. Dugès a donné des notions nouvelles sur la 
structure anatomique du sarcopte de Latreille, ou sur la mite 
grande 
famille des Acariens, M. Dugès garde un silence absolu sur l'aca- 
rus de la gale de homme : voici tout simplement ce qu'il en dit : 
«Nous nous bornerons à avertir le lecteur, que l'acarus exulcerans 
de Linné, acarus scabiei (de Geer), celui enfin dont M. Raspail a 
donné la figure, n’est pas le ciron de la gale humaine, animalcule 
fort rare et d'une existence problématique; mais celui de la gale du 


du fromage; mais dans ces intéressantes publications sur la 


cheval. » 

L'opinion de M. Dugès, bien faite pour surprendre au premier 
abord, s'explique pourtant facilement, si l'on se reporte à lé- 
poque où ses mémoires ont paru; en 1834, en effet, on avait fait 
justice de l’escobarderie de Galès, on ne croyait plus à l’acarus 
scabiei; il est donc tout naturel que M. Dugès mette son existence 
en doute. 

95. Parmi les auteurs classiques modernes qui ont écrit sur la 
gale, nous devons mentionner messieurs les docteurs Biett, Ali- 
bert, Rayer, Cazenave et Chedel, Gibert. Biett et Alibert ont 
donné des descriptions de la gale, remarquables à bien des égards; 
mais où les doctrines humorales trouvent une trop large place; ils 
semblent pressentir qu'il y a là un imconnu qui leur échappe, et 
qu'un Jour ce mystère sera dévoilé; Alibert surtout soupçonnait 


DE LA GALE DE L'HOMME. f 53 
la présence d’un insecte dans ces désordres si étendus, et pourtant 
si prompts à disparaître. 

56. M. le docteur Rayer!, à qui une vaste érudition ne laisse 
rien ignorer, voit bien dans l’acarus la cause de la gale, mais il se 
tient dans un sage éclectisme, il concilie les divers systèmes , il 
reste fidèle à cette méthode classique qui a pour elle la sanc- 
tion du temps, et qu'on ne saurait enfreindre sans y être autorisé 
par une conviction déduite de l'observation ou des faits; et comme 
l'expérience n’a pas encore prononcé sur ces questions litigieuses, 
il place la gale dans la famille des maladies de peau, où elle 
devait être alors incontestablement rangée, dans les inflamma- 
üons vésiculeuses. Il la définie d’après les caractères les plus 
tranchés, c’est-à-dire d'après le siége et la forme de la vésicule, 
d’après les démangeaisons. M. Rayer décrit les symptômes dans 
les différents âges, il en fixe la durée, apprécie l'influence de 
l'invasion ou de la disparition de la maladie au point de vue 
d'une pathologie plus générale, mais en blämant Ramazzini et 
Testa d’avoir pu croire que la rétrocession de la gale était capable 
de produire l'hématurie et des affections du cœur. L'article des 
causes nous expose avec un ordre et une lucidité remarquables 
les diverses doctrines qui ont tour à tour régné dans la science. 
Ces savantes citations nous ont été d’un grand secours dans l’expo- 
sition que nous avons faite des divers auteurs qui se sont occupés 
de la gale. Comme nous l'avons dit, l'honorable membre de l’Ins- 
titut sait donner aux progrès l'importance qu'ils méritent, et après 
avoir fixé l'attention d’une manière toute particulière sur le rôle 
que joue l'acarus dans le produit de la maladie, il en donne un 
dessin où la forme extérieure de l'insecte est fidèlement reproduite. 
La gale pour M. Rayer n’est plus vésiculeuse, pustuleuse, sèche; 
il ne voit dans ces symptômes que des complications, et non des 
caractères propres à marquer différentes formes d’une même ma- 
ladie. Le diagnostic, le pronostic, le traitement, sont exposés avec 
non moins d'exactitude et de talent. En un mot, cet article Gale 

* Traité théorique et pratique des maladies de peau, t. 1, 1835. 


54 TRAITÉ ENTOMOLOGIQUE ET PATHOLOGIQUE 
est un traité précieux, où l'observateur, le savant et le médecin 
se montrent avec une égale supériorité. 

57. Messieurs Cazenave et Schedel! ont aussi publié un excel- 
lent article sur la gale. La position exceptionnelle de M. Caze- 
nave, comme médecin de lhopital Samt-Louis, attaché au service 
des galeux, lui permettait, trois ans après la publication de la 
dernière édition de l'ouvrage de M. Rayer, de nous faire faire 
quelques pas de plus en avant, et d'accorder plus d'importance 
qu'on ne l'avait fait jusqu'alors à la cause de la gale, à l'acarus 
scabiei. En effet, quoique M. Cazenave suive, dans sa description, 
la même méthode que celle de ses prédécesseurs, quoique le 
même esprit préside à l’mterprétation des faits, on n’en remarque 
pas moins une tendance manifeste à regarder l’acarus comme la 
cause exclusive de la maladie ; le traitement, sauf des cas excep- 
tionnels, est purement local, les théories humorales sont laissées 
à d’autres temps; la pathogénie de cette affection vise à une unité 
qui domine les caractères sur lesquels on se fondait naguère pour 
la définir et la spécialiser. Nous ne terminerons pas cet alinéa 
sans remercier M. Cazenave du bienveillant intérêt qu'il a pris à 
nos travaux; c’est avec une généreuse abnégation qu'il a mis tous 
ses malades à notre disposition; sans lui, notre bonne volonté 
pour faire ces recherches eût été vaine : nous comprenons l’éten- 
due du service que M. Cazenave nous a rendu, et nous ne lou- 
blierons jamais. 

58. Deux ans plus tard (1840), M. Gibert, médecin aussi à 
l'hôpital Saint-Louis, a publié une seconde édition de son traité 
pratique des maladies de peau. Quoique plus récent que les deux 
derniers ouvrages dont nous venons de parler, il s’en faut pour- 
tant que celui de M. Gibert les égale par l'indépendance de ses 
doctrines; l’hippocratisme et le galénisme jettent sur le tableau 
que l’auteur nous fait de la gale, une teinte de cette dyscrasie hu- 
morale qu'on voudrait voir abandonnée depuis longtemps. Le 
genre des maladies que M. Gibert traite à hôpital Saint-Louis 


! Abrégé pratique des maladies de peau, 1838 


DE LA GALE DE L'HOMME. 05 


nous rend compte du reste de ses opinions, à propos de la ma- 
ladie sporique; ce n’est qu'accidentellement qu'il traite des galeux : 
il ne saurait donc avoir l’occasion ni la nécessité de faire des obser- 
vations sur cette maladie, et par conséquent de sentir le besoin 
de modifier ses doctrines. 

59. Nous devons mentionner les noms de plusieurs natura- 
liste et docteurs allemands qui, persuadés de l'existence du sar- 
copte, ont su lutter avec une louable opposition contre les funestes 
doctrines d’'Hanhemann : ainsi Aithen, Rosenstein, Paulet, Sla- 
mius, Kehler, Baüm, de Siebold, Aohde, Hyland, Veiel Kraüse, 
Elb, Vezin, etc. etc. etc. qui tous attribuaient à un insecte les acci- 
dents qui arrivent à un galeux. 

60. Tel était l’état de la science sur la gale et son insecte, 
lorsqu’en 1843 nous avons entrepris de traiter cette question sur 
toutes ses faces et de manière à ce qu’elle fût vidée à jamais; les 
moyens nouveaux que nous mettions en usage (voyez la descrip- 
tion de notre microscope mobile, à l’'avant-propos) nous permet- 
taient de tenter cette difhcile entreprise, et, nous le croyons, 
notre attente n'a pas été trompée. 

Nos travaux touchaient à leur fin, quand M. le docteur Hebra, 
de Vienne, publia, dans les Annales des maladies de peau, un ex- 
cellent article sur la gale de l’homme, où se trouvent énoncées 
certaines conclusions auxquelles nous étions nous-même arrivé. 
M. Hebra pose en principe : 

1° Que la présence des sillons et des sarcoptes est absolument 
nécessaire au diagnostic de la gale; 

2° Que la gale se communique par le transport du sarcopte ; 

3° Que cet insecte se trouve presque toujours aux mains et 
aux pieds ; 

« 4° Que les efflorescences observées proviennent, d’une part, 
du travail des sarcoptes pour creuser leurs sillons dans lépiderme ; 
de l'autre, de la pression et du frottement ; enfin, que les ulcéra- 
tions sont causées par les malades qui se grattent; 

«5° Qu'il suffit, pour guérir la gale, de détruire les sarcoptes, 


56 TRAITÉ ENTOMOLOGIQUE ET PATHOLOGIQUE 


de faire des frictions aux mains et aux pieds avec une pommade 
contenant des substances insecticides; 

« 6° Que les récidives proviennent d’une nouvelle infection, ou 
de ce que les sarcoptes n’ont pas été détruits; 

«7° Qu'il n'existe point de dyscrasie psorique ; que la gale n’é- 
pargne personne, et atteint aussi bien les individus rachitiques 
que ceux qui sont en bonne santé; que sa durée prolongée doit 
nécessairement avoir une influence nuisible sur l'organisme, car 
un système aussi important que celui de la peau ne peut être trou- 
blé dans ses fonctions sans qu'il en souffre : d’ailleurs, des exsuda- 
tons continuellement répétées sur la peau doivent nécessairement 
donner lieu à un manque de liquide, à une anémie, à un dépérisse- 
ment général ; “ 

« 8° Que les métastases de la gale sont des chimères, qui n’ont 
été réellement inventées que dans les livres, et non des faits obser- 
vés au lit du malade. » 

Telles sont les conclusions du docteur Hebra. On ne saurait trop 
en louer le bon esprit; elles sont l'expression d’une observation 
exacte, ou plutôt c’est la vérité logiquement et sévèrement déduite 
de l'analyse des faits. Mais M. Hebra n'apporte point dans cette 
description les preuves matérielles sur lesquelles il base ses opi- 
nions, de ces preuves enfin que le dogmatisme même exige dans 
toute démonstration, et qui seules donnent aux faits la puissance 
d'une explication inattaquable. * 

C’est que M. Hebra a observé à l'œil nu, ou à l’aide d’une faible 
loupe ; c’est qu'il n’a pas fait de la cause de la gale une étude ap- 
profondie. Aussi se trompe--il sur le siège qu'occupe lacarus; il 
ne dit rien de la physiologie pathologique de cet insecte, par rap- 
port aux accidents qu'il cause; il ne sait rien de sa propagation, 
de ses mœurs;1l n’a rien vu de sa structure intime. Les œufs de 
linsecte, qui ont une importance si grande dans la production de 
la maladie, et surtout de ses récidives, sont complétement passés 
sous silence. Chez M. Hebra, le médecin seul est en cause; le na- 
turaliste ne se montre pas. Aussi l’opuscule de M. Hebra eût-il paru 


DE LA GALE DE L'HOMME. 57 


longtemps avant le nôtre, qu'il nous füt encore resté un vaste tra- 
vail à effectuer ; il est arrivé aux conclusions auxquelles les der- 
matologistes français auraient dû être conduits, quand M. Re- 
nucci est venu leur montrer l'existence indubitable de l’acarus. 

M. Hebra n’est pas allé au delà de ce que permettait une saine 
logique, dès qu'il fut bien établi que lacarus était la cause réelle 
de la gale. Nous le répétons donc, il s’en faut que le docteur de 
Vienne ait traité la question avec toute l'étendue qu’elle méritait; 
et ses compatriotes, en quittant la France, après avoir suivi nos 
leçons!, emportaient sur leurs notes les éléments d’une disserta- 
tion aussi intéressante que celle qu'il a publiée. 

Ici se termine ce que nous avions à dire sur la seconde période 
chronologique de l’histoire de la gale. 

61. Arrètons un moment notre attention sur les doctrines qui 
ont tour à tour prévalu dans la science médicale, quant à la nature 
et aux causes cachées de cette maladie. Une affection telle que la 
gale, capable de déterminer sur la peau des éruptions de diverses 
natures, ne pouvait tenir, pour les médecins du moyen âge, qu'à une 
altération générale de l'économie, et suivant les temps, on appelait 
à son aide, pour comprendre d’où venaient les accidents, la théorie 
ou la doctrine pathologique alors à l’ordre du jour; c’est ainsi que 
leffervescence des esprits, l'acidité des humeäürs , la crudité de la lymphe 
donnaient aux intelligences supérieures l'explication des phéno- 
mènes morbides. Plus tard, on laissa de côté ces doctrines qui 
préjugeaient trop de la nature des altérations; on rejeta des termes 
trop précis dans leur signification, et dés expressions plus géné- 
rales, plus vagues ; et par conséquent plus en rapport avec l’état 
des connaissances, vinrent remplacer l’'effervescence, l'acidité et la 
crudité qu'on prêtait au divers fluides; le mot vice , auquel on ajou- 
tait adjectivement ceux de dartreux, galeux , fut alors généralement 
adopté comme le plus propre à donner une idée de la lésion inté- 


! On sait que les internes des hôpitaux de Paris font souvent des leçons cliniques 
aux médecins étrangers qui viennent en France avant d'enseigner ou de pratiquer 
la médecine dans leur propre pays. 


SAVANTS ÉTRANCERS. — XII. 8 


58 TRAITÉ ENTOMOLOGIQUE ET PATHOLOGIQUE 

rieure, ou de la nature de la maladie, C’est en vain que des obser- 
vateurs du premier mérite venaient expliquer la cause naturelle de 
la gale; la présence d’un insecte enfoui sous lépiderme, irritant 
incessamment la peau, cet organe important de la sensibilité et 
de l'exhalation, ne paraissait qu’un épiphénomène de la maladie à 
des esprits prévenus et imbus des doctrines d’un étroit galénisme. 
D'ailleurs, comment de profonds théoriciens n'auraient-ils pas 
imposé à la masse des esprits leurs doctes interprétations, quand 
cet insecte, découvert par les uns, était bientôt nié par les autres. 
Ainsi donc les théories humorales, vagues soupçons d’altérations 
véritables dont la chimie et la physique nous donneront peut-être 
un jour l'explication, faisaient rejeter bien loin toute localisation 
de la maladie. C’est en vain que -Mouflet, Wichmann, de Geer, 
démontraient le siége de la psore; l'observation dut céder le pas 
aux hypothèses qui jusque dans ces derniers temps ont prédominé, 
et fait loi dans la science comme dans la pratique. 

62. En dernière analyse, si nous jetons un coup d'œil rétros- 
pectif sur l’histoire de la gale et de son insecte, plusieurs grands 
faits frappent l'esprit et l'intéressent. On se demande si réellement 
les anciens étaient affectés de cette maladie; on cherche à se rendre 
compte, et l’on y parvient facilement, du vague de ces théories à 
l’aide desquelles on croyait expliquer les désordres qui l'accompa- 
gnent; on constate avec intérêt l'influence qu'eut sur l'interpréta- 
tion des accidents l'emploi du microscope ; mais un fait qui plus 
que tout autre attire l'attention, c’est la lutte prolongée entre les 
localisateurs ; qui voyaient tout dans la présence de l'insecte, et les 
théoriciens imbus de doctrines galéniques, qui trouvaient la cause 
de l'affection dans un vice des humeurs; ce sont les étranges pé- 
ripéties qui ont successivement agité les esprits relativement à 
l'acarus ; car quoi de plus inexplicable et de plus curieux que de 
voir cet insecte tant de fois découvert et tant de fois nié de nouveau. 
En effet, n'est-il pas incompréhensible qu'un fait simple en lui- 
inème, d’une si grande importance relative et d’une si facile cons- 
tatation, ait rencontré tant de fois une opposition insurmontable 


DE LA GALE DE L'HOMME. 59 


avant d’être accepté définitivement dans la science. Si ces obstacles 
que rencontrait la vérité étaient un fait isolé dans la science mé- 
dicale, passe encore; mais malheureusement ce que nous avons 
vu pour la gale est applicable à beaucoup d’autres maladies, et 
s’il a fallu trois ou quatre mille ans avant que la présence de l'a- 
carus fût irrévocablement admise, combien de milliers d'années 
ne-faudra-t-il donc pas discuter et combattre, pour substituer à 
toutes les hypothèses et à tous les inconnus qui tiennent lieu 
de doctrines, une connaissance véritable des lésions qui pro- 
duisent les accidents ou les symptômes des maladies. Ces re- 
cherches historiques ont pour le médecin philosophe un puis- 
sant intérêt; elles lui montrent ce qu'un mince progrès coûte de 
siècles et de labeurs; elles lui permettent de juger ce, qu'on peut 
attendre de l'avenir, après ce qu'a donné le passé, et sil jette un 
coup d'œil sur les transformations qui s’opèrent de nos jours dans 
les sciences comme dans les arts, il se plaît à calculer leur -in- 
fluence sur la science qui importe le plus à l'humanité, sur la 
science médicale. 


60 TRAITÉ ENTOMOLOGIQUE ET PATHOLOGIQUE 


DEUXIÈME PARTIE. 


63. Comme on peut en juger par les travaux de mes prédé- 
cesseurs, deux points sont acquis définitivement à la science : 

1° L'existence de l’acarus scabiet; 

2° La présence de cet insecte comme symptôme pathognomo- 
nique de la gale. 

Nous pouvons donc, sans discussion préalable, aborder l'étude 
microscopique de ce parasite, et rechercher quel rôle il joue dans 
la production de la maladie. 

Cette seconde partie de notre mémoire comprendra lentomo- 
logie de l'acarus en général, c’est-à-dire son anatomie, sa phy- 
siologie et son ovologie; et pour plus de méthode, cette seconde 
partie sera divisée en trois chapitres. 


CHAPITRE PREMIER. 


DE I’ANATOMIE DE L’ACARUS. 


64. L'acarus de la gale, chez l'homme, est un petit insecte d’un 
üers de millimètre en longueur et d'un quart de millimètre en 
largeur, par conséquent sensiblement oblong. Plusieurs entomo- 
logistes ont cherché à préciser le rang qu'il doit occuper dans la 
famille des acariens; M. Dugès, entre autres, la placé dans la cin- 
quième famille, à palpes adhérents, avec les hypopes et les sar- 
coptes. Nous avons déjà laissé entendre que l'acarus scabiei n'avait 
pas été assez suffisamment étudié pour qu'on püt le classer avec 
connaissance de cause à la place qu'il doit occuper, et qu'une clas- 
sification vraiment naturelle ne sera réellement possible qu'après 
des recherches microscopiques nouvelles. Nous n’insisterons donc 


DE LA GALE DE L'HOMME. 61 


pas davantage sur le rang qu'il faut assigner à l’acare de l’homme 
parmi les acariens; avec le temps, les classificateurs se chargeront 
de ce soin, et nous nous estimerons heureux, si nos travaux peu- 
vent leur être de quelque utilité pour arriver à ce but. 

65. L’acare de la gale est d’une couleur blanchâtre , rosée ; 
des débris organiques adhérents à l’insecte, ou les fluides con- 
tenus dans son intérieur lui donnent parfois d’autres teintes, mais 
qui ne sont que passagères. Sa couleur blanchâtre, dans son en- 
semble, n’est cependant pas partout uniforme; les pièces solides 
intérieures qui lui servent comme de squelette, d'une teinte rouge- 
brique, et qui sont surtout placées vers l'extrémité céphalique, 
donnent à cette extrémité un aspect rougetre qui tranche sur les 
parties abdominales, quand on observe l'acare à la lumière ré- 
fléchie et à un grossissement de 50 diamètres. A cette amplification, 
on distingue facilement une face dorsale et une face ventrale : la 
face dorsale, d’une convexité variable , Suivant que l'insecte est plus 
ou moins gorgé de liquide, laisse apercevoir des lignes ou sillons 
ainsi que des poils. La face ventrale est légèrement arrondie, mais 
à un degré beaucoup moindre que la face dorsale. La tète! occupe 
l’une des extrémités du corps de l’insecte (pl. 2, fig. 8, a); elle porte 
les organes de la manducation. L'ouverture anale est à l'extrémité 
opposée (r). Les pattes sont au nombre de huit, quatre en avant et 
placées de chaque côté de la tête (pl. 2, fig. 8, b, 6, b, b), quatre 
en arrière (e, e, 0, o); elles sont toutes les huit placées à la face ven- 
trale. Les pattes antérieures se terminent par un tube armé d’une 
ventouse, et les postérieures par un long poil : ces appendices de 
terminaison sont les principaux organes de la progression. 

Tel est l'aspect général que présente l’acarus extérieurement ; 
mais si l’on porte son attention sur chacune de ces parties isolé- 
ment, l’organisation intérieure révèle des détails infinis qui cap- 
tivent l'observateur. 


La tête n’est pas représentée avec netteté, attendu que le foyer optique porte 
sur l'ensemble de l'insecte et non sur l'extrémité céphalique exclusivement. Le com- 
presseur et les réactifs employés ont d'ailleurs aussi leur part dans sa déformation. 


62 TRAITÉ ENTOMOLOGIQUE ET PATHOLOGIQUE 


66. L'enveloppe extérieure du corps est continue dans son 
ensemble, depuis l'extrémité céphalique jusqu’à l'extrémité anale ; 
c’est en vain qu'on cherche un thorax distinct de l'abdomen, et à 
fortiori le protothorax, le mésothorax et le métathorax de certains 
insectes. Le corps n’est qu'une cavité où les organes plus ou moins 
distincts de la nutrition sont contenus. Cependant, si l'observation 
se répète sur un grand nombre d'insectes, surpris dans divers états 
de réplétion, on distingue, sur les bords latéraux du corps, des 
contours irréguliers; ainsi de chaque côté de la tête on voit le corps 
déborder légèrement, de façon à empiéter sur la base de chaque 
patte (pl. 1, 4, #). En dehors de celles-ci, ou plus postérieure- 
ment, l'abdomen est comme sinueux (pl. 1, fig. 3); on dirait des 
scissures profondes qui divisent cet abdomen, et si l’on compte 
les régions principales que ces scissures semblent isoler, on en 
voit une première antérieure qui correspond à l'insertion de la 
deuxième paire de pattes et s'étendant derrière celles-ci de c en d, 
puis une seconde région allant du point d au pointe, enfin une 
troisième comprise entre le point e et la scissure /, où se remar- 
quent des rudiments de poils. Si l'œil s'arrête un instant sur ces 
diverses régions, que les scissures limitent distinctement, il dé- 
couvre une analogie frappante entre ces trois régions et celles 
qui, chez certains insectes, représentent un thorax, où mieux un 
proto, un méso et un métathorax; il voit, dans cette organisation 
de l’acarus, un dernier vestige d’une structure plus complète el 
qu'offrent les insectes placés à un degré plus élevé dans léchelle 
animale; il n’en découvre que les vestiges, disons-nous: en effet, 
si l'acarus est plein de vie, s'il veut fuir le danger qui le menace, 
quand le compresseur le retient prisonnier, par exemple, on le 
voit luttant avec énergie contre l'obstacle qui Parrête, s’efforcer 
en se traînant de tourner son corps à droite, à gauche; et dans 
ces derniers mouvements de latéralité, les divisions, ou les scis- 
sures que nous avons notées sont d'autant plus profondes, à droite, 
par exemple, que l'insecte tend à se tourner davantage de ce 
côté, et d'autant moins visibles à gauche (pl. 1, fig. 3), à tel 


DE LA GALE DE L'HOMME. 63 


point qu’on cherche vainement de ce côté la trace des scissures. 
En un mot, les scissures sont des sortes de plis résultant d’une 
fausse articulation à mouvements plus ou moins étendus; aussi 
disparaissent-elles dans une réplétion exagérée de l'insecte, qui, 
moins agile, se remue tout d’une pièce sans pouvoir se courber 
latéralement, ou lorsque la compression est portée à un certain 
point. 

67. La face dorsale est très-variable dans sa conformation 
extérieure; sa convexité diffère suivant l’état de vacuité ou de 
réplétion de l'abdomen, et présente une courbure généralement 
régulière; cependant, on voit quelquefois une voussure qui part 
du train postérieur de l’insecte et va se perdre vers le pseudo- 
thorax. Cette face dorsale est armée de nombreux organes des- 
tinés à servir de point d'appui à lacarus quand il fouille son 
sillon sous-épidermique. Ces organes sont nombreux et d’une 
structure différente; on en distingue facilement de trois espèces : 
les uns (pl. 1, fig. 1, c, c, c, c), généralement au nombre de seize, 
occupent la partie moyenne et postérieure ; ils sont symétrique- 
ment rangés sur le côté; leur longueur est de 0*"*:03 et leur lar- 
geur de o*""*01; ils prennent naissance dans l'épaisseur de l’en- 
veloppe tégumentaire, par une sorte de follicule, et s’étendent en 
forme d’appendice conique à base large et à sommet plus ou moins 
obtus; ces organes sont cornés et présentent un canal intérieur 
(pl 1, fig. 2). Quand on les observe dans la verticale, alors qu'ils 
ne sont pas couchés ou inclinés, ils simulent assez bien les aspé- 
rités que présentent chez d’autres insectes les ouvertures des 
trachées ou les stigmates, mais la moindre attention rectifie 
cette illusion d'optique. D’autres appendices moins volumineux 
et moins longs se rencontrent dans le voisinage des précédents 
(be fig. 1, d, d, d), et servent comme de transition entre les 
premiers décrits et ceux dont il nous reste à parler. Ces derniers, 
incomparablement plus nombreux, sont disséminés au centre de 
la surface dorsale suivant les lignes concentriques #, i, i; ils figurent 
de petits tubercules coniques dont la base va se perdre dans l’épais- 


64 TRAITÉ ENTOMOLOGIQUE ET PATHOLOGIQUE 

seur du tégument, et dont le sommet est très-aigu : ce sont tout 
simplement des productions épidermiques sans canal intérieur; 
leur longueur, égale à la largeur qu'ils ont vers leur base, est de 
o"li®-0083!. Ces trois espèces de productions cornées, qui ne 
sont autre chose que des rudiments de poils à bulbes plus ou 
moins développés, concourent tous au même usage; leur volume, 
leur longueur, leur position sont appropriés au rôle qu'ils sont 
destinés à remplir, eu égard à la conformation de la face dorsale : 
en effet, comme cette face est convexe, il est facile de comprendre 
comment les appendices pileux et cornés qui sont les plus petits, 
et qui occupent le sommet de la convexité, peuvent s’arc-bouter 
contre l’épiderme lorsque l'acarus s’en est recouvert; on comprend 
aussi comment les appendices du second ordre, moyens en volume 
et placés plus bas sur le plan incliné que présente la face dorsale, 
peuvent encore atteindre lépiderme, attendu qu'ils ont plus de 
longueur que les précédents, et donner un point d'appui à l'insecte 
lorsqu'il cherche à poursuivre sa voie souterraine ; enfin, il ressort 
avec la même évidence que les appendices les plus longs, les plus 
volumineux et les plus forts peuvent de même prêter à linsecte 
un secours efficace; car leur éloignement du centre de la convexité 
est proportionné à leur longueur, de telle sorte qu'ils peuvent, 
tout aussi bien que les plus petits, s’arc-bouter sur les parois in- 
ternes du sillon que l'insecte s'est frayé?. La face dorsale offre 
encore en f, f (pl: 1, fig. 1), et plus postérieurement en g, 4, des 
poils symétriquement placés; ils semblent être des organes de tact. 
Elle est sillonnée en tous sens par des rides ou plis, destinés à se 
prêter à l'amplification de l'insecte, quand il se gorge de lymphe, 
ainsi qu'aux divers mouvements qu'il effectue sur lui-même, comme 


* Nous devons dire, une fois pour toutes, que nous adoptons le millimètre pour 
unité, et que toutes les mesures qui exprimeront le volume réel des objets ayant 
moins d'un centième de millimètre, seront portés jusqu'au dix millième de milli- 
mètre : 0,0089 exprimeront, zéro millimètre, 85 dix millièmes de millimètre. 

* Ces appendices ont un intérêt qu'on était loin de soupçonner : tout porte à 
croire que l'acarus de l'homme seul en est pourvu, parce que lui seul, de tous les 
acarus connus, vit sous l'épiderme. 


DE LA GALE DE L'HOMME. 65 


la figure 3 de la planche 1 nous en a donné l’exemple. Notons 
enfin deux autres petits poils, très-ténus et situés en avant, à l’en- 
droit où le corps empiète légèrement sur la tête, quand elle se 
réfléchit en bas ou quand elle se rétracte fortement en arrière 
(pl. 1, fig.1,e,e). : 

68. La face abdominale ou inférieure (pl. 2, fig. 8) est légè- 
rement convexe; elle présente, comme la face dorsale, des plis 
dirigés en différents sens (pl. 1, fig. 4), et qui ont les mêmes 
usages. Un de ces plis attire surtout l'attention; il est placé (m) 
au-dessous des extrémités postérieures de la pièce sternale et des 
épimères; il est profond et parait une ouverture transversale 
propre à une fonction spéciale (la ponte). Les acarus qui ont subi 
plusieurs métamorphoses, et qui sont à la période de la ponte, 
soni seuls pourvus de cette ouverture. L'insertion des pattes, surtout 
celle des pattes postérieures (n, n), se voit très-bien sur cette face 
inférieure; on aperçoit encore, à travers les téguments, quelques 
pièces cornées qui servent comme de squelette intérieur; enfin, cette 
face abdominale présente, comme la face dorsale, quelques poils 
très-ténus; on en compte sept (pl. 1, fig. 4) : deux entre les épi- 
mères, trois au niveau du pli profond dont nous avons parlé, et deux 
autres entre chaque paire de pattes postérieures vers leur naissance. 

69. L’enveloppe extérieure qui constitue la face dorsale est dis- 
posée, par rapport à celle qui forme la face abdominale, de telle 
façon qu’elle la déborde à l'endroit où elles se rencontrent, et 
de la réunion de ces deux faces résultent les bords; c'est presque 
l'aspect que présente la partie convexe ou supérieure de la cara- 
pace d’une tortue, par rapport à la face inférieure. L’acarus, en 
effet, offre une grande analogie de forme avec ce chélonien, sur- 
tout pour ce qui est de la disposition de la tête et des pattes anté- 
rieures. Le bord qui réunit les deux faces est plus ou moins tran- 
chant, suivant l’état de réplétion de l'insecte; toutefois, en avant 
vers l'insertion de la tête et des pattes, il présente toujours une 
sorte de plan incliné, dirigé de haut en bas et d’avant en arrière 
vers la face ventrale, et c’est sur ce plan incliné que la tête et les 


SAVANTS ÉTRANGERS. — XII. 9 


66 TRAITÉ ENTOMOLOGIQUE ET PATHOLOGIQUE 


pattes prennent naissance, en s’abritant ainsi sous le corps. Les 
pattes postérieures, insérées à une grande distance des bords, 
sont naturellement recouvertes par l'abdomen. On remarque sur 
les bords, de chaque côté, au niveau du tiers postérieur, trois 
appendices cornés, coniques et pointus (pl. 2, fig. 8, r, à, à); ils 
permettent à l'acarus de prendre latéralement des points fixes dans 
ses laborieux efforts pour soulever lépiderme. Enfin, postérieu- 
rement, de chaque côté de l'ouverture anale r, on voit trois poils 
à bulbe très-prononcé (4, k, ), qui servent d'organes de tact vers 
cette région postérieure. 

Telle est la conformation extérieure de l'insecte : si nous avons 
négligé quelques détails, c’est à dessein; ils trouveront leur place 
ailleurs. 

70. Nous, suivrons dans la description anatomique de l’acarus, 
la méthode la plus propre à bien faire comprendre la structure 
de ses organes; nous exposerons avec suite les parties qui ont en- 
semble des rapports de fonction; en un mot, nous suivrons une 
méthode physiologique. Ainsi, avant d'aborder l'étude de la con- 
formation des pattes antérieures, nous décrirons les pièces du 
squelette intérieur auxquelles elles empruntent des points d’at- 
tache et dont elles ne semblent être que la continuation. 

71. L'organisation intérieure de l’acarus est très-compliquée, à 
tel point que tous les auteurs qui nous ont précédé se sont géné- 
ralement contentés de faire une description de ses organes les plus 
apparents, sans chercher à dévoiler la structure anatomique des 
parties profondes. Observé à laide de la lumière réfléchie et par 
réfraction, lacarus présente une conformation intérieure un peu 
différente, suivant qu'on lexamine par la face dorsale ou la face 
ventrale : non pas qu'il soit impossible d'apprécier cette confor- 
mation, en faisant passer le foyer optique par les divers plans de 
son épaisseur, de la face dorsale à la face ventrale, et récipro- 
quement; mais comme on peut, à l’aide du compresseur, l’exami- 
ner alternativement sur l'une et l’autre de ces faces, il est préfé- 
rable d'en agir amsi. 


DE LA GALE DE L'HOMME. 67 


Si donc on place un acarus sur des lames de verre de 1/4 de 
millimètre d'épaisseur, solidement collées aux deux branches du 
compresseur, et de manière à présenter, sur un premier plan op- 
tique vers l'observateur, sa face ventrale, on y remarque une enve- 
loppe extérieure transparente, sillonnée de plis et laissant voir des 
organes qui semblent constituer un squelette intérieur. Ces organes 
solides (apodèmes) qui frappent l'attention sont longitudinalement 
situés vers le tiers antérieur du corps : l’un d’eux occupe la ligne 
médiane (pl. 2, fig. 8, g); les autres, les régions latérales (f, f), de 
telle sorte que ces trois apodèmes divisent la partie antérieure du 
corps en quatre espaces à peu près égaux. Ces trois organes inté- 
rieurs sont d'apparence cornée, d’une couleur rouge-brique : leur 
structure, leur position, leurs articulations avec des parties qui 
entrent dans la charpente solide des pattes, tout prouve qu'elles 
sont destinées à offrir des points d'attache aux muscles. Celle de ces 
pièces qui occupe la partie moyenne est simple, insymétrique (pl. 1, 
fig. 6, m) dans une portion de son étendue; arrivée au point p, elle 
se continue par deux branches à droite et à gauche, de manière à 
former en avant une sorte de concavité où vient se placer la base 
de la tête. La disposition de cette pièce à la face ventrale et sur la 
ligne médiane, sa division en deux branches qui vont se porter à 
la première paire de pattes antérieures pour lui fournir des points 
d'union, lui font tout à fait jouer le rôle d’une sorte de sternum. 
Elle est aplatie de manière à présenter une face inférieure et une 
face supérieure: celle-ci est en rapport avec un conduit particulier 
qu'on pourrait appeler æsophagien (pl. 5, fig. 33,a etc, c, c); 
cette pièce sternale est de 0,0694 en longueur et 0,0089 en lar- 
geur; elle laisse voir, vers la moitié antérieure de sa longueur, 
une sorte d’épaississement qui ferait croire qu’elle est double et 
divisée: il n’en est pourtant rien. Au point où cet épaississement 
se termine en / (pl. 1, fig. 6), cette pièce sternale est flexible, 
de telle façon que sa moitié antérieure peut se porter à droite ou 
à gauche dans les mouvements de latéralité de l’avant-train de l'in- 
secte. Vers son extrémité antérieure, au point p, la pièce ster- 


9: 


68 TRAITÉ ENTOMOLOGIQUE ET PATHOLOGIQUE 


nale se divise en deux branches qui se dirigent en avant et en 
dehors; ces deux branches sont symétriques, et présentent, après 
un court trajet, une double division (pl. 1, fig. 6, r, r). De ces deux 
divisions, une première s'articule au point (r, r) avec un anneau 
dont on ne voit qu'une demi-portion, une seconde se dirige en 
avant et en dehors où elle s'unit en v, v avec l'extrémité interne 
de deux pièces qui constituent la base de la patte. Il est facile 
d’apercevoir sur la face inférieure de la pièce sternale (celle que 
nous observons), et cela pour son tronc comme pour ses branches, 
une sorte de bordure, ou de liséré qui forme relief sur elle {r). Ce 
relief n’est autre chose que la trace d’une division que présente la 
pièce sternale avant son complet développement. : 

Cette doublure ou liséré semble avoir pour but de donner plus 
de solidité à l'organe, et comme on l'aperçoit d'autant mieux que 
l'acarus est plus près de subir une métamorphose, on peut voir là 
une de ces crêtes rugueuses qui marquent chez beaucoup d'insectes 
le premier travail d’un dépouillement encore éloigné. Le bord 
antérieur des deux branches sternales n’a qu'un rapport de conti- 
guité avec la tête : 1l donne probablement insertion aux fibres mus- 
culaires qui, du tronc, se rendent aux organes cornés de l'appareil 
céphalique. 

72. Les deux autres pièces latérales (pl. 1, fig. 6, n, n) parais- 
sent être, d’après leur forme, leur structure , leur position et leurs 
usages, l'analogue des pièces écailleuses qui, chez beaucoup d’in-. 
sectes, servent à donner insertion aux parties formant la base des 
pattes et qui portent le nom d’épimères : Vanalogie est si complète 
que nous n’hésitons pas à leur donner le même nom. Ces pièces 
latérales, où épimères, sont au nombre de deux, d'apparence 
cornée, un peu courbées suivant leur longueur, de telle sorte que 
leur extrémité postérieure se porte en dedans et leur extrémité 
antérieure en dehors : celle-ci est double et fournit une première 
division externe (s, s) qui s'articule avec l'anneau de la deuxième 
paire de pattes, puis une seconde division interne (4, k) qui se 
rend en dedans vers la première patte, et qui donne insertion à 


DE LA GALE DE L'HOMME. 69 


\ 


des ligaments destinés à unir la première patte à la deuxième 
vers le bord externe de l'anneau : en un mot, les épimères sont 
pour la deuxième paire de pattes ce que les deux branches de la 
pièce sternale étaient tout à l'heure pour la première paire. L'épi- 
mère offre, comme la pièce sternale, un relief qui déborde sur 
sa face inférieure et se termine, comme elle, par une extrémité 
obtuse. 

73. Avant d'aborder la description des parties solides qui cons- 
tituent le squelette des pattes, nous devons revenir sur la pièce 
sternale qui, indépendamment des divisions qu’elle fournit à 
droite et à gauche à la paire de pattes, présente encore à noter 
une disposition fort curieuse. Soit un acarus placé sur sa face ab- 
dominale, c’est-à-dire ayant sa face supérieure ou dorsale sur le 
premier plan vers l'observateur : sr dans cette position on fait 
jouer le système optique de la superficie de linsecte à ses parties 
profondes, on aperçoit derrière la tête, dans la direction des deux 
premières pattes (pl. 1, fig. 5, a, a), une lame mince, et comme 
isolée au milieu du tissu intérieur : cette lame présente une 
double courbure,une première suivant les bords ,une seconde sui- 
vant ses faces, dont la supérieure est convexe, et l’inférieure con- 
cave. Cette lame paraît isolée, avons-nous dit; mais si lon com- 
prime assez fortement l'acarus, on voit bientôt l'extrémité externe 
briser ses attaches et se diriger en arrière (pl. 1, ne TN E)e 
tandis que l'extrémité interne se porte en avant, de manière 
à empiéter sur la tête (c, c) et à laisser voir en s’effaçant une 
branche qui, tout à l'heure, était verticale et produisait l'ombre 
du point b, b (pl. 1, fig. 5). La compression, en effet, en couchant 
suivant un plan oblique cette branche verticale, l'a mise en évi- 
dence, et nous la montre servant de point d'union entre la pièce 
sternale qu’on aperçoit profondément et la lame mince qui était 
au-dessus d'elle (pl. 1, fig. 7, d, d). Cette pièce verticale, ou 
d'union , est donc complétement masquée quand on observe l'in- 
secte suivant son épaisseur : il faut, pour la voir, qu’elle s’étende 
sur les branches latérales de la pièce sternale ou au-devant d'elles, 


70 TRAITÉ ENTOMOLOGIQUE ET PATHOLOGIQUE 


et cela sous l'effort d’une compression méthodique. Il est clair 
qu’en relevant par la pensée les points c, c (pl. 1, fig. 7), on les 
verra entrainer la pièce verticale en arrière et la masquer enfin 
complétement: d'où les points ombrés que nous avons notés en 
b, b (pl 1, fig. 5). Gette lame mince, à double courbure, d’ap- 
parence cornée, a des points d'union par son extrémité externe 
avec la branche interne de l’épimère : des ligaments, dont on aper- 
coit la trace fugitive quand la séparation s'opère sous l'influence 
de la compression, servent à unir ces pièces entre elles. Si main- 
tenant nous cherchons à nous rendre compte du rôle physiolo- 
gique de cette lame à double courbure, seule pièce solide qu'on 
rencontre à la face dorsale, et qui, réunie en dedans et profondé- 
ment à la pièce sternale, en dehors à la branche interne de l'épi- 
mère, semble établir un rapport de fonction entre la première et 
la deuxième paire de pattes, on découvre bientôt qu’elle tient lieu 
d’une sorte de clavicule et qu’elle contribue pour sa part à main- 
tenir l’épimère dans sa position respective. Ce mécanisme est facile 
à concevoir: quand l’épimère se porte en dedans, il rencontre l’ex- 
trémité externe de la lame mince, et comme celle-ci est unie à la 
pièce sternale, il y a nécessairement entre toutes ces parties un 
rapport de fonction. Nous sommes donc en droit de voir dans 
cette lame mince un organe remplissant le rôle d’une clavicule. 

74. Maintenant que nous avons décrit les organes qui forment 
les bases sur lesquelles les pattes prennent leur point d'appui, 
nous pouvons exposer comment celles-ci sont constituées. Un aca- 
rus, placé dans sa position naturelle, c’est-à-dire reposant sur la 
face ventrale et soumis à une légère compression, agite ses pattes 
en tous sens et permet de saisir vaguement leur structure inté- 
rieure : mais, pour en bien concevoir la véritable conformation, 
il faut augmenter la compression, et la pousser jusqu’à opérer la 
déchirure des points d'attache qui unissent la lame claviculaire à 
l'épimère : à ce degré de compression en effet, et lorsque la lame 
claviculaire s’est déplacée, on aperçoit au-dessous d'elle une ligne 


transversale qui lui est parallèle (pl. 3, fig. 13, b, b, b, b), etqui 


DÉ LA GALE DE L'HOMME. 71 


se présente avec la même structure et la même disposition pour 
les quatre pattes antérieures. 

Nous parlons d’une simple ligne, mais si l'on retourne le com- 
presseur, de manière à présenter la face ventrale sur un premier 
plan vers l'observateur, on aperçoit une seconde ligne qui ofre 
tout à fait la même disposition (pl. 2, fig. 9, d, d, d, d) et qui se 
trouve seule visible; pour découvrir la première, il faut faire des- 
cendre le système optique vers la face dorsale !, Ces deux lignes, 
à peu près parallèles, ont le même aspect quant au volume et à 
la couleur; c’est presque l’image de la lame claviculaire décrite 
plus haut. Elles sont bien distinctes, occupent un plan différent et 
se continuent vers leurs extrémités, de manière à se confondre : 
avec un peu d'attention on ne tarde pas à constater qu'elles for- 
ment un seul et même tout, ou, ce qui revient au même, qu’elles 
représentent un cercle complet. Lorsque le compresseur fonc: 
tonne, 1l altère souvent les organes au point de les rendre mé- 
connaissables, mais aussi souvent il les dispose de la manière la 
plus heureuse pour en bien faire comprendre la disposition : 
c’est ce qui est arrivé pour l'acarus de la planche 3, fig. 11, où 
lon voit l'anneau couché sur ses bords (p, p; p, p) : dans cette 
position on constate facilement qu'il forme un tout bien complet. 
Cet anneau, comme toutes les autres pièces solides, est rougeâtre 
et d'apparence cornée; il suit le mouvement des pattes, et oc- 
cupe, à l’état de repos, le plan incliné dont nous avons parlé 
quand il a été question des contours de l'insecte. De cette facon, 
son grand diamètre transverse est perpendiculaire à l'une des 
pattes, qui, elles-mêmes, prennent naissance sur le plan incliné, 
ou sur le bord, compris entre la face dorsale et la face ven- 
trale. Il n’est peut-être pas inutile de rappeler, pour bien nous 

? Dans nos microscopes, la position de l'objet soumis à l'observation est inva- 
riable; c'est le corps du microscope armé de lentilles et de l'oculaire qui seul 
s'élève ou s'abaisse, quand l'œil cherche à observer les divers plans qu'un corps 
transparent quelconque présente dans son épaisseur. Nous appelons système optique 


le tube du microscope armé des lentilles et de l'oculaire, et foyer optique le point 
précis où l'organe qu’on veut examiner se présente avec la plus grande netteté. 


72 TRAITÉ ENTOMOLOGIQUE ET PATHOLOGIQUE 


faire comprendre, que les bords antérieurs de lacarus présentent 
une grande épaisseur vers la région qu'occupent la tête et les 
pattes : et comme ces bords vont en fuyant en dessous, c’est à la 
faveur de cette disposition que les pattes peuvent manœuvrer fa- 
cilement sous linsecte, bien qu'il se traîne sur sa face ventrale. 
Par suite de l'inclinaison de l'anneau ou du cercle, le compresseur 
a pour action naturelle de porter en avant le demi-cercle qui cor- 
respond à la face dorsale, tandis que le demi-cercle qui corres- 
pond à la face ventrale se porte en arrière: la pl. 3, fig. 13, a 
et b, ou mieux la pl. 3, fig. 11, p, p, p, p, donne une idée de la 
position que prend l'anneau sous l'influence de la compression. 

L’anneau que nous venons de décrire a de nombreux rapports 
avec les pièces qui sont liées de fonction avec lui. Ainsi, en dedans 
il prend naissance, pour la première paire de pattes, à la division 
externe des branches sternales (pl. 1, fig. 6,r, r), et pour la 
deuxième paire à la division externe de lépimère (même figure, 
s,s.) Cette insertion à la pièce sternale et à l’épimère se voit sur 
la plupart des figures; elle est disposée de telle sorte, quant à la 
conformation des surfaces et à la laxité des liens d'attache, que cet 
anneau se meut autour des points r,rets,s, comme centre, dans 
tous les sens imaginables. En dehors, le cercle offre des articu- 
lations plus compliquées ; nous ne pouvons les décrire avant d’avoir 
fait connaître les pièces avec lesquelles il a des rapports de fonc- 
on. Ces pièces font partie intégrante des pattes : les figures 14 
et 15 de la planche 3 les représentent à un grossissement de 850 
et de 900 fois. Comme la structure est la même pour les quatre 
pattes antérieures, il nous suffira de faire la description de l'une 
d’elles pour en donner une idée exacte. 

75. Prenons pour exemple la deuxième patte droite, l'insecte 
reposant sur la face ventrale (fig. 14); pour la mettre en position, 
on peut la transporter par la pensée à la figure 13, c’est-à-dire à 
la place de la patte marquée g. Cette figure 14 offre sur un pre- 
mier plan, une demi-portion de l'anneau, 7, et, sur un second 
plan, une pièce à double branche qui forme un triangle irré- 


DE LA GALE DE L'HOMME. 73 
gulier, dont la base serait en dehors suivant la ligne courbe @, et 
le sommet en a. Les deux lignes principales de cette pièce sont 
disposées transversalement, se réunissent et forment en dedans, vers 
leur point de terminaison en a, une surface articulaire; en dehors 
elles s’écartent et se rendent isolément, l’une en ligne droite en 6, 
l'autre obliquement en y, où elles rencontrent un ligament qui 
les réunit. Les trois angles qui résultent de la réunion de ces 
deux branches et de leur ligament sont le siége de deux articu- 
lations principales, savoir : une première en dedans (a), une 
seconde en dehors et en arrière (y). La première articulation a 
lieu avec la division interne d’une des branches sternales (pl 1, 
fig. 6, v, v), où avec la division externe de l'épimère pour la 
deuxième paire de pattes, et la seconde articulation avec la demi- 
portion inférieure de l'anneau y. L’anneau, en eflet, est plutôt 
ovale que circulaire, et c’est vers l'extrémité externe de cet ovale 
qu'a lieu l'articulation. Plus profondément au-dessous de cette 
première pièce, sur un troisième plan, se remarque une se- 
conde pièce à peine visible (pl. 5, fig. 14 x), attendu qu'elle est 
masquée par presque toute l'épaisseur de la patte; ce qui revient 
à dire que les parties solides qui entrent dans la conformation du 
squelette sont doubles à la base des pattes : l’une se trouve à la 
face dorsale, nous venons de la décrire; l’autre à la face ventrale, 
nous allons nous en occuper. Si l’on retourne le compresseur, la se- 
conde pièce, que l’on soupçonnait à peine, se montre dans tous ses 
détails, tandis que la première s'aperçoit profondémenten, fig. 15. 

La seconde pièce est en rapport avec la face de flexion de la patte, 
et présente quelque analogie de forme avec la première : comme 
celle-ci, elle a deux branches principales (Sete, fig. 15), mais in- 
comparablement moins longues, attendu qu'elles se réunissent 
après un court trajet en un seul tronc qui se dirige en dedans! et 
se termine par une surface articulaire (a): en un mot, cette pièce de 
la face de flexion forme aussi un triangle dont la base est en w et le 

? Car il ne faut pas oublier que le corps de l'insecte présenterait toujours les 
mêmes rapports avec la patle. 


SAVANTS ÉTRANGERS, — XII. 10 


74 TRAITÉ ENTOMOLOGIQUE ET PATHOLOGIQUE 

sommet est très-allongé en a ; celui-ci s'articule avec la division in- 
terne de la branche sternale, ou avecla division externe de l'épimère, 
divisions qui viennent ainsi se placer entre les deux extrémités four- 
nies par la pièce de la face d'extension, et par celle de la face de 
flexion. L’angle postérieur et externe y s'articule avec l'anneau en un 
point commun avec le même angle de la pièceprécédemment décrite. 

Ces pièces, tant celle de face de flexion, que celle de la face 
d'extension sont curvilignes et en sens inverse, de telle sorte 
qu'en se réunissant vers leurs extrémités en dedans et en dehors, 
elles forment un cercle complet. La pièce qui occupe la face 
d'extension est convexe supérieurement et concave inférieurement ; 
l'inverse a lieu pour la pièce de la face de flexion. Nous aurions 
voulu dessiner les articulations qui lient ces pièces entre elles, 
mais cela nous a été impossible, attendu que la compression 
affaisse toujours les parties de manière à les superposer suivant 
leur longueur en masquant les articulations et leurs ligaments. I] 
est à peine nécessaire d'observer que la patte doit sa forme circu- 
laire à la disposition de ces pièces solides, qui décrivent chacune 
un demi-cercle, et forment, comme l'anneau déjà décrit, la base 
du cône dont la patte donne l’image dans son ensemble. On a dû 
remarquer que ces deux pièces, formées en dehors par deux bran- 
ches, sont simples en dedans. Cette conformation a ses raisons 
d’être; en effet, le mouvement d’adduction des pattes antérieures 
est très-borné, mais comme elles peuvent se fléchir en dedans, ce 
mouvement est augmenté d'autant, et cela grâce à la conformation 
de cette double pièce, car si elle avait eu en dedans l’écartement 
fixe qu’elle présente en dehors de Gen y, la flexion eût été très- 
bornée et le mouvement d’adduction à peine sensible. 

76. Nous donnerons à l'anneau et à ces deux dernières pièces, 
les noms techniques qui semblent leur appartenir : ainsi l'anneau 
sera désigné sous le nom de hanche, et les deux pièces qui consti- 
tuent par leur ensemble un anneau secondaire sous ceux de fro- 
chanter et de trochantin; les organes dont la description va suivre 
prendront les dénominations de cuisse, jambe, tarse, etc. etc. 


DE LA GALE DE L'HOMME. 75 


77. Au-devant des deux dernières pièces irrégulièrement 
triangulaires que nous avons décrites, se voient d’autres organes 
qui, comme elles, sont doubles, transverses, curvilignes, et réunis 
en dedans et en dehors. Seulement, ces organes n'ont plus ni le 
même volume, attendu qu'ils sont plus près du sommet du cône, ni 
la même solidité, surtout du côté de la face d'extension, où ce 
sont plutôt des ligaments que des pièces cornées. On peut s’en 
assurer sur la planche 3, fig. 14, où l’on voit en w une ligne courbe, 
concave en avant, qui se rend à droite et à gauche aux extrémités 
d’une autre ligne plus large, mais aperçue vers un plan plus profond 
et par conséquent moins visible (o). Dans la figure 15, au contraire, 
cette ligne profonde est seule mise en relief (») et nous montre 
deux points d'attache à ses extrémités, où elle reçoit l'insertion 
du ligament transverse que nous avons noté en w, figure 14. Ce 
ligament n’en concourt pas moins pour sa part à former, avec la 
pièce cornée à laquelle il s’unit, un cercle complet propre à donner 
à la région moyenne de la patte une forme arrondie : il est facile 
de s’en assurer en observant les pattes en mouvement, ou bien en 
faisant passer le foyer optique dans toute sa longueur et dans la 
direction de leur axe central; quand, par exemple, la patte se 
présente en haut, et comme posée verticalement sur sa base, 
alors on aperçoit fort bien une série d’anneaux qui se débordent à 
mesure qu'on avance vers la base, et qui sont inscrits l’un dans 
l'autre à mesure qu’on arrive vers le sommet. On a encore une 
idée parfaite de cette disposition en anneaux des articles des pattes, 
quand on observe celles-ci dans une flexion exagérée; la planche A, 
fig. 17, nous en montre un exemple (r, r,r, r). 

Après cette pièce solide et ce ligament, on voit (pl. 3, fig. 14, 
u et ») un autré article, également composé de deux parties, 
l'une ligamenteuse (x), située vers la face dorsale; l’autre très-forte, 
vaguement dessinée en » et plus nettement présentée (figure 15 , we). 
Cette pièce, comme on le voit, est double en dedans et simple en 
dehors, ce qui lui donne trois extrémités ou trois facettes articu- 
laires. Deux extrémités seulement sont reliées par un cordon liga- 


10. 


76 TRAITÉ ENTOMOLOGIQUE ET PATHOLOGIQUE 


menteux : c’est la plus postérieure des deux. De cette conformation 
résulte encore un cercle complet, en tout semblable à celui que 
formait l'article précédent, si ce n’est qu'il a sensiblement moins 
d’étendue. Enfin, en poursuivant l'observation plus avant vers l'ex- 
trémité de la patte, on constate encore la présence d’un article 
plus petit et offrant une disposition semblable de tout point aux 
autres articulations (fig. 15, p). Peut-être pourrait-on considérer 
comme un cinquième et sixième article les derniers organes 
qui forment le sommet du cône de la patte (fig. 14, n° 5), du 
moins l’exemple de quelques entomologistes nous autoriserait à le 
faire : quoi qu'il en soit, la patte se termine par une extrémité 
obtuse, rugueuse, garnie de longs poils et armée d’un tube creux 
et flexible. Parmi ces poils, il en est qui sont toujours tronqués 
(fig. 14, pl. 3, n° à), ce qui leur permet de fournir un point 
d'appui à la patte, quand le tube qui lui fait suite vient à se briser, 
ou quand elle se fléchit fortement sur ce tube. Un petit appendice 
conique, qui prend naissance au milieu de ces poils, a le même 
usage; un très-long poil qui se détache aussi de l'extrémité de la 
patte en dehors du tube (fig. 14, 7'), semble être un organe de 
tact. Toutes ces parties présentent à leur naissance une extrémité 
bulbeuse, et de leur ensemble résultent la temte foncée et l'appa- 
rence de corps solides qui termineraient la patte. Nous avons 
dit qu'elle se continuait par un tube (fig. 16, pl. 3, a) creux et 
flexible; en effet, la patte ne jouit de la plénitude de ses fonctions 
qu'à la condition d’être armée de ce conduit, qui lui-même porte 
à son extrémité un organe membraneux et contracule, sorte de 
houppe ou mieux de ventouse qui adhère fortement aux corps sur 
lesquels elle s'applique par l'effet du vide qui se produit à son in- 
térieur. Le tube et la ventouse ont été nommés l’ambulacre de 
l'acarus, et avec quelque raison, car c’est l'appareil actif de la pro- 
gression. Ces deux organes ne forment qu'un seul tout; une partie, 
rétrécie en forme de col, les réunit l’un à l’autre, et le canal inté- 
rieur du tube communique largement avec la cavité intérieure de 
la ventouse ou de la caroncule. Celle-ci est membraneuse en appa- 


DE LA GALE DE L'HOMME. 77 


rence, mais composée probablement par un tissu particulier qui 
tiendrait du tissu musculaire et tendineux, et chez lequel une 
grande souplesse et une grande élasticité s’allieraient à une solidité 
remarquable. Le tube a 0,041 de longueur, 0,0057 de largeur, 
et la caroncule, 0,0117 tant en longueur qu’en largeur. 

78. La patte antérieure est, en outre, formée par une enve- 
loppe extérieure tégumentaire , très-mince, transparente, sillonnée 
de plis articulaires vers la face de flexion, et se continuant avec 
l'enveloppe tégumentaire du tronc. Quand le compresseur étend 
fortement les pattes, on les voit se continuer sans interruption 
avec le tronc; mais quand l'acarus est observé dans sa position na- 
turelle , il est difficile à l'œil de suivre le tégument dans ses replis 
articulaires. Un tissu mou, légèrement opalin, dans lequel on dis- 
tingue très-facilement des fibres musculaires et des vésicules où la 
respiration et la circulation s’opèrent, complète la structure de la 
patte antérieufe. Nous reviendrons plus loin.sur ces importants 
organes. N'oublions pas de noter que la patte est armée à sa sur- 
face extérieure, et surtout vers son côté externe, de poils plus ou 
moins longs : il ÿ en aurait un ou deux pour chaque article. Ces 
poils se voient sur beaucoup de figures. Nous avons à dessein passé 
sous silence une pièce solide, et qui paraît comme supplémentaire 
dans le squelette de la patte antérieure; nous voulons parler 
de cette partie rougeâtre et d'apparence cornée qu'on aperçoit 
pl. 1, fig. 6, 0, 0, 0, 0, et pl. 2, fig. 10, a, a; elle est placée à la 
partie interne de la base de la patte, entre l'anneau et les deux 
extrémités internes des pièces triangulaires qui forment le pre- 
mier article; elle naît de la division externe de l’épimère et de la 
branche sternale; après un court trajet en dehors, elle vient se 
terminer à la face abdominale par un follicule volumineux qui 
donne naissance à un poil. Cette pièce supplémentaire suit l'anneau 
dans tous ses mouvements; son principal usage nous parait être 
d'offrir des surfaces d'insertion à un grand nombre de fibres mus- 
culaires, lesquelles acquièrent une puissance d’autant plus grande, 
que le point où elles s’attachent et qui remplit les fonctions de 


78 TRAITÉ ENTOMOLOGIQUE ET PATHOLOGIQUE 


levier, les entraîne plus lon du parallélisme dans les mouvements 
si étendus de l'anneau. Les fibres musculaires s’aperçoivent très- 
distinctement quand la patte est en mouvement; dans l’état du re- 
pos, au contraire, elles se perdent au milieu des autres tissus. 

[ci se termine ce que nous avions à dire sur les organes qui ser- 
vent de squelette aux pattes antérieures, et qui remplissent chez 
l’'acarus scabier les fonctions du système osseux. 

79. L'étude des pattes postérieures va nous offrir de nombreuses 
analogies de forme et de structure entre les pièces que nous venons 
de passer en revue et celles qui entrent dans leur composition. 
Ces pattes postérieures sont, comme les antérieures, au nombre de 
quatre, quand linsecte est parvenu à son complet développement. 
Elles sont placées, comme on Fa vu planche 2, fig. 8,e,e,e,e, 
sur les côtés de la face ventrale, et dirigées dans l’état du repos en 
arrière et en dehors!'. Un petit espace sépare les deux pattes d’un 
même côté, c'est-à-dire qu'aucun ligament n’établis entre elles un 
lien de communication : leur forme générale est celle d’un ovale 
qui s’effilerait à chacune de ses extrémités. L’extrémité antérieure 
et interne prend naissance dans l’épaisseur même, ou dans linté- 
rieur du corps (pl. 2, fig. 8, /, L, 1, 1); l'extrémité postérieure et 
externe donne naissance à un poil long et fort (d, d, d, d). Les 
pattes postérieures ont, comme les antérieures, une face d'extension 
en rapport avec la paroi abdominale, et une face de flexion, géné- 
ralement en rapport avec les corps sur lesquels l'acarus repose : la 
face d'extension ne s'aperçoit qu'à travers l'épaisseur de l'abdomen, 
quand lacarus est dans sa position naturelle, ou de la patte elle- 
même, quand linsecte est placé sur le dos. Elles naissent, comme 
les antérieures, d’une pièce cornée, qui est plongée dans les tissus 
superficiels de l'abdomen, et dont la forme varie pour les deux 
pattes d’un même côté. Cette pièce représente tout à fait celle 
que nous avons appelée épimère pour les pattes antérieures; et 
comme rien ne répugne à ce que nous acceptions cette analogie, 


* Le graveur a oublié de désigner la deuxième paire de pattes postérieures par 
les lettres e, e, indiquées dans le texte : le lecteur rectifiera facilement cette erreur. 


DE LA GALE DE L'HOMME. 79 


nous leur donnerons le même nom. Cet épimère des pattes posté- 
rieures est d'apparence cornée, rougeâtre; il a 0,0050 d'épaisseur 
et 0,033 de longueur, il se termine à la surface tégumentaire de 
l'abdomen, äu moment où il donne naissance à un appendice corné 
et comme onguiculé qui longe la patte en dehors (pl. 2, fig. 8, 
n, n, n, n). Cet appendice est toujours tronqué pour celle des 
pattes qui se trouve en avant, tandis qu'il s’efhile en pointe pour 
celle qui est en arrière; 1l suit les mouvements de la patte quand 
elle se fléchit ou s'étend. À partir du point où cet appendice on- 
guiculé prend naissance, la patte devient tout à fait libre à l'exté- 
rieur, c'est-à-dire qu'elle fait saillie sur la face abdominale !, et dans 
ce point l'enveloppe extérieure de l'abdomen se continue sur elle 
de manière à lui fournir une gaine complète. Quant à limiter le 
point précis où l'enveloppe de l'abdomen s'étend sur la face d’ex- 
tension de la patte, c’est une disposition difficile à rendre, attendu 
que cette région ne saurait jamais se voir à nu; qu'on tourne l'in- 
secte sur la face dorsale ou ventrale, toujours d’épais tissus couvri- 
ront ce point de communication entre la patte et l'abdomen. A voir 
les mouvements étendus de flexion et d'extension dont jouit la 
patte, on est en droit de supposer qu’elle devient libre et saillante 
pour la face d'extension, à l'endroit même où l'appendice ongui- 
culé prend naissance. Quoi qu'il en soit, l’épimère, vers son extré- 
mité antérieure ou abdominale, n’a pas la même conformation pour 
les deux paires de pattes; en effet, il est courbé en forme de crosse 
en dedans et en arrière pour la première paire de pattes, tandis 
qu'il est droit et comme coupé en biseau pour la deuxième (pl. 2, 
fig. 8, L, LL, 1). De même que nous avons vu l’épimère des pattes 
antérieures donner naïssance à des pièces qui forment leur base, à 
l'anneau, par exemple, de même aussi l’épimère des pattes posté- 

© L'usage du compresseur est nécessaire pour mettre en complète évidence toutes 
les parties qu'on veut observer, mais il a l'inconvénient de les niveler suivant un 
plan mathématique, et quand un réactif très-réfringent a donné aux tissus une 
grande transparence, on ne distingue plus les ombres qui se voient naturellement 


quand l'insecte est seulement plongé dans l'air ambiant : de là vient que tous nos 
dessins manquent de relief et se réduisent à des lignes. 


80 TRAITÉ ENTOMOLOGIQUE ET PATHOLOGIQUE 


rieures est continué par plusieurs pièces plus où moins circulaires 
et d’une complication presque inextricable. Pour avoir une idée 
nette de la disposition de ces parties, on placera un acarus d’une 
transparence parfaite entre les lames du compresseur, on linfil- 
trera d'acide sulfurique presque pur, et on l’observera à un gros- 
sissement de 4oo diamètres. Dans ces conditions d'observation, il 
sera facile de constater, en tournant alternativement l’acarus sur 
ses faces ventrale et dorsale, et en faisant passer le foyer optique 
dans les différents plans d'épaisseur de la patte, qu’elle est formée 
dans le point e, e, e, e, pl. 2, fig. 8, par une série de pièces su- 
perposées qui toutes sont articulées avec l'extrémité postérieure 
de l'épimère en m, m, m, m, autour d'un petit appendice conique 
qui le termine en ce point. 

Pour bien concevoir l'agencement de ces diverses pièces, nous 
examinerons d'abord l'acarus du côté de sa face abdominale, et 
nous le disposerons de telle sorte, que l'extrémité céphalique soit 
dirigée en arrière et l'extrémité anale en avant, et cela afin d’ob- 
server ses pattes postérieures suivant leur longueur. Pour plus de 
précision, mettons la figure 8, pl. 2, dans cette position, et choi- 
sissons parmi les pattes postérieures, car l'organisation est la 
même pour toutes, une de celles qui sont à droite, marquée 
n° 4 par exemple, et transportons-la par la pensée, toujours dans 
cette position, sur la planche 4, fig. 19. Cette figure nous 
montre une pièce irrégulièrement triangulaire, formée de trois 
branches, une transversale et deux latérales (a, a, a); les deux 
latérales se réunissent en d où elles s’insèrent sur l’épimère. 
Cette première pièce est sur un premier plan; on en voit faci- 
lement une seconde, au-dessous d'elle, dont les extrémités se 
découvrent en b, b, vers un plan plus profond, et qui est des- 
sinée isolément dans la figure 20, b, b; elle n’a que deux bran- 
ches réunies en d à l'épimère, et qui seraient libres par les deux 
autres extrémités c, ce, si elles ne s’articulaient avec un organe (e) 
dont nous allons parler tout à l'heure. Les figures 2 1 et22 montrent 
encore cette seconde pièce à double branche (b, 6) La disposition 


DE LA GALE DE L'HOMME. 81 
de ces deux premières pièces ainsi superposées, est d’une évi- 
dence palpable ; et la certitude n’est pas moins entière pour ce qui 
regarde une troisième pièce, placée par conséquent sur un troi- 
sième plan : celle-ci occupe la face d'extension, car, ne l'oublions 
pas, c’est la face de flexion qui se présentait sur le premier plan 
tout à l'heure. Chercher à se rendre compte de la disposition de 
la pièce qu'il nous reste à observer à travers les deux premières 
que nous avons décrites, serait chose difficile; c’est pourquoi, nous 
préférons comprimer fortement l'acarus afin de rendre la transpa- 
rence aussi complète que possible, et continuer notre étude, en le 
plaçant la face dorsale vers l'observateur. Les choses ainsi dispo- 
sées, la troisième pièce se trouvera sur un premier plan (fig. 23, 
pl. A), et l'on constatera sans difficulté qu’elle présente un ovale 
irrégulier, ayant aussi un pont d'insertion sur l'épimère, et une 
extrémité libre au milieu des tissus. Cette sorte d’anneau diffère 
tellement des autres parties par sa forme, son volume, sa position, 
qu’on ne saurait le révoquer en doute. Nous appuyons sur lexis- 
tence réelle de ces trois organes, attendu que les entomologistes 
micrographes ne seront pas embarrassés pour démontrer comme 
quoi une seule et même Lane diversement disposée nous a induit 
en erreur. Îl en sera de même pour bien d’autres organes dont 
nous aurons à parler; on doutera, avec raison, et l’on nous accu- 
sera d’avoir mal observé, ce qui sera moins logique. Mais nous ré- 
cusons à l'avance tous ces jugements portés à la légère; ce sont des 
faits mdestructibles, incontestables, que nous mentionnons et dont 
nous serons toujours prêt à fournir la preuve. Ces trois pièces ainsi 
superposées occupent toute l'épaisseur de la patte à sa naissance ; un 
tissu intérieur et des plans musculaires les séparent. Elles sont 
confondues et à peine dessinables dans le point où elles prennent 
naissance sur l’épimère; mais vers leurs larges extrémités, où elles 
sont en rapport avec le premier article, on les distingue facile- 
ment. Elles semblent représenter quant au nombre, et à la ri- 
gueur quant à la conformation, l'anneau et les deux pièces trian- 
gulaires de la patte antérieure. 


SAVANTS ÉTRANGERS. — XII. 11 


82 TRAITÉ ENTOMOLOGIQUE ET PATHOLOGIQUE 


80. La pièce que nous avons dessinée (pl. 4, fig. 20, 21 et 22) 
en bb, est placée entre celles que nous avons notées fig. 19, a, a, 
et fig. 23, f, [; elle donne insertion, vers ses extrémités en c (fig. 20, 
21 et 22), à un premier article situé transversalement, et qui 
est indiqué par les lettres e, e, e. Ce premier article offre une 
disposition difficile à bien rendre : deux branches entrent dans sa 
composition; une première , qui parcourt transversalement la 
patte de c en c (fig. 20), s'articule à ses extrémités avec la pièce 
basilaire intermédiaire à b; la seconde représente un arc de cercle 
qui serait sous-tendu par la première. Cet arc de cercle prend 
naissance sur la branche transversale (pl. 4, fig. 22 ,e);il n'a point 
de situation fixe; 1l tourne autour d’un axe que représente la 
branche transversale qui lui donne naissance. Cependant, il est 
généralement placé dans la région de la patte qui dépend de la 
face dorsale ou d'extension. En examinant avec soin le mécanisme 
de ce premier article, on comprend presque la nécessité de sa 
conformation; en effet, les mouvements de flexion de la patte 
postérieure sont peu étendus par rapport aux mouvements d'ex- 
tension : dans la flexion, tous les articles tendent à se rapprocher, 
et ils se touchent réellement quand elle est exagérée; mais alors 
la face d'extension serait privée de parties solides propres à lui 
donner de la consistance, et à offrir des points d'insertion aux 
fibres musculaires, si Pare de cercle situé au milieu de cette région 
dorsale ne satisfaisait à cette double nécessité. Il est facile, du 
reste, de se rendre compte de: cette conformation du premier 
article; il sufhra pour cela de fixer un moment son attention sur 
la figure 22, qui montre la partie transversale du premier article 
en e et l'arc de cerele qui en dépend en i. Dans cette figure, la 
patte.est fortement étendue, et l'arc de cercle, cédant sous l'at- 
traction des fibres musculaires, ou mieux du compresseur, est venu 
se placer en 7; mais qu'on se représente la patte dans une flexion 
exagérée , et l'arc de cercle viendra se placer de l’autre côté de sa 
corde ; vers l'extrémité ide la patte. 

81. Comme pour les pattes antérieures, nous avons maintenant 


DE LA GALE DE L'HOMME. 83 
à décrire des pièces transversales qui forment autant d'articles 
isolés; ainsi, sur les figures 19, 20, 21 et 22 de la planche A, on 
voit aux points k, h, k un second article; un troisième est désigné 
par les lettres #, k, k; enfin, la patte se termine par uné réunion 
de follicules qui donnent naissance à des poils et à deux tuber- 
cules coniques (pl. 2, fig. 8, 0, 0, 0), mais surtout à un long poil 
qui remplace aux pattes postérieures le tube armé d’une ventouse 
que nous avons décrit aux pattes antérieures. Il va sans dire que 
ces divers articles décrivent une courbe suivant leur surface, et de 
façon à présenter une concavité vers l'axe central de la patte. 
Comme nous avons dessiné ces articles vus par la face de flexion, 
nous n'avons pu mettre en relief les ligaments qui unissent l’extré- 
mité de chacun d'eux, de manière à les transformer en cercle com- 
plet : d’ailleurs la conformation des pattes postérieures étant la 
même que celle des pattes antérieures, il est mutile d’insister 
davantage à cet égard. 

Telle est la description anatomique des divers organes qui cons- 
tituent le squelette des pattes antérieures et postérieures : nous 
reviendrons plus tard sur les fonctions de ces appareils de la pro- 
gression, dans le chapitre qui traitera de la physiologie de l'acarus 
en général. 

82. Nous allons maintenant faire l'exposition des pièces solides 
qui composent la tête. 

L'étude microscopique de la tête de l'acare est d’une difficulté 
imouie ; il nous a fallu une observation suivie, de plusieurs heures 
par jour pendant plusieurs mois, avant d'arriver à bien saisir le 
métanisme, ou plutôt la structure de chacune des parties qui, 
par leur réunion, forment cet important appareil. Il est nécessai- 
rement indispensable de réunir dans ces; recherches toutes les 
conditions les plus propres à faciliter l'observation; ainsi, on aura 
recours à l'acide sulfurique pur, ou seulement étendu d’une partie 
d’eau : nous donnons la préférence à ce réactif, non-seulement à 
cause de sa grande réfrangibilité, mais encore en raison de la sin- 
gulière propriété dont 1l jouit, d'opérer une sorte de dissection 


84 TRAITÉ ENTOMOLOGIQUE ET PATHOLOGIQUE 

des différents organes de la tête. Rien n’est plus curieux, en effet, 
que de voir, sous l’action énergique de cet acide, les différentes 
pièces se dissocier, se séparer, tout en conservant leur forme pri- 
mitive, de façon qu'on peut en quelque sorte les étudier isolé- 
ment. Il est vrai qu'il faut une patience à toute épreuve, et sacri- 
lier des centaines d’acarus, avant que le hasard vous serve suivant 
vos souhaits, car l'organe que vous voulez observer exige souvent 
bien des tentatives avant de se présenter de la manière la plus 
propre à bien faire comprendre sa structure; mais avec de la per- 
sévérance on y arrive cependant. La tête de l'acarus a 0,065 de 
long et 0,054 de large. Nous l'avons dit déjà, elle occupe une 
des extrémités du corps, entre les pattes antérieures; extérieu- 
rement elle se continue avec le tégument qui recouvre la face dor- 
sale et abdominale, et comme elle a beaucoup moins d'épaisseur 
que le corps, on l’aperçoit à peine quand le foyer optique s'arrête 
sur une de ces faces : c’est ce qui a lieu pour la planche 1, fig. 1, 
a. La face dorsale présente un plan incliné vers la tête; à l'endroit 
où elle se continue avec elle, il existe une duplicature qui est 
d'autant plus sensible que la tête se rétracte davantage dans lépais- 
seur du corps. Cette duplicature disparaît, au contraire, quand Pin- 
secte fléchit fortement la tête vers la face abdominale, ou bien 
encore lorsque le compresseur la met dans une extension forcée, 
ce qui du reste a lieu pour toutes les figures. Vers la face abdo- 
minale, la tête se dessine de même sur un plan inférieur, et la 
même disposition donne lieu aux mêmes remarques; notons cepen- 
dant qu'un pli très-persistant laisse, mème dans une forte com- 
pression, les traces du point où le tégument quitte le corps pour 
gagner la tête; il en résulte une sorte de ligne blanchâtre, qu’on 
pourrait attribuer à la présence d’un organe profond, si l’on ne se 
mettait en garde contre cette illusion d'optique. 

Pour la face dorsale, deux petits poils à peine visibles (pl. 1, 
lig. 1,e, e) marquent l'endroit précis où la tête est réunie au tronc. 
Notons aussi que la planche 1, fig. 7, montre la position que prend 
la tète quand elle se rétracte vers le corps. 


DE LA GALE DE L'HOMME. 85 


83. Comme nous l'avons fait pour les autres parties déjà dé- 
crites, nous examinerons la tête par sa face d'extension et sa face 
de flexion, et suivant l’ordre de superposition ou les divers plans 
qu'offrent les organes. La tête est irrégulièrement ovalaire, et plus 
large vers sa base que vers son extrémité; le tégument qui la re- 
couvre est lisse et transparent. Quand on l’examine vers sa face 
d'extension (l’insecte reposant sur sa face abdominale), à une am- 
plification de 5oo fois et une compression portée à l’extrème, on 
aperçoit un premier, organe symétriquement constitué (pl. 5, 
fig. 24, a, a) par deux parties, lesquelles donnent naissance (11) 
à une ligne ligamenteuse simulant un arceau et allant se réunir 
vers la ligne médiane f. Cet organe est formé, avons-nous dit, de 
deux parties symétriques placées à la base de la tête et sur les 
côtés : une première externe (a a), une seconde interne {c c). Ces 
deux branches sont réunies en avant au point :; et en arrière ;, une 
lame mince confondue avec elle les relie l'une à l'autre, de telle 
sorte que ce double organe forme un seul tout qu'on pourrait 
enlever dans son ensemble; il recouvre ainsi les organes profonds 
qui passent au-dessous de lui, et contribue pour sa part à limiter 
en arrière la base de la tête. La lamelle d'union se voit en d; elle 
est très-mince, d'apparence cornée et rougeâtre; elle décrit une 
courbure, de manière à dessiner une concavité qui regarde en 
arrière. Nous verrons plus loin à quoi sert cette première pièce. 
Tous les organes qui sont en avant de celui que nous venons de 
décrire sont sur un plan un peu plus profond , mais, comme rien 
ne les masque, on les aperçoit facilement en abaissant légèrement 
le système optique : ce sont les palpes (m, m) et les mandibules 
(n, n). Les palpes se continuent en arrière jusqu’à l'extrémité pos- 
térieure de la tête, mais dans ce point, la première pièce à arceau 
les recouvre. On voit en k le palpe droit pénétrer vers un plan 
plus profond, ce qui laisse entendre qu'il faut observer ces palpes 
vers la face de flexion pour en avoir une idée nette. Retournons 
donc le compresseur de manière à mettre en évidence la face infe- 
rieure de la tête (pl. 5, fig. 25). Une pièce médiane, en forme 


86 TRAITÉ ENTOMOLOGIQUE ET PATHOLOGIQUE 

de fer à cheval, frappe surtout l'attention dans cette figure; cette 
pièce est formée par deux branches latérales (0, 0) qui s'étendent 
en arrière (p) et se terminent en avant par une sorte de tubercule 
renversé en dehors (rr). Cet organe, d’une teinte très-foncée, est 
beaucoup plus épais que toutes les autres’ parties solides de la 
tête; il laisse voir en p, au-dessous de lui!, une petite lamelle 
arrondie fort importante, sur laquelle nous reviendrons. Les deux 
organes que nous venons de mentionner aux faces d'extension et 
de flexion, offrent cela de particulier qu'ils ne s'étendent pas en 
avant; ils semblent destinés, tout en concourant à d’autres fonc- 
tions, à consolider le squelette de la tête vers sa base : notons 
aussi que la pièce en fer à cheval se prolonge plus loin en arrière; 
c’est ce qu'il est facile de constater sur les figures 25 et 26, pl. 5.. 
En dehors de cette pièce en fer à cheval et sur un plan plus pro- 
fond, s’aperçoivent les palpes (pl. 5, fig. 25, t, t); ils sont larges 
en arrière, rétrécis en avant, où ils se terminent par un article en 
forme de pointe acérée et à courbure dirigée en dedans. En dehors 
de ces premiers palpes, on en voit deux autres moins volumi- 
neux, aussi terminés par une partie rétrécie, qui s’effile en pointe 
très-aiguë; ce sont de faux palpes ou des palpes secondaires qui 
se confondent en dedans avec les premiers et n’ont que la moitié 
de leur longueur, ou plutôt qui naissent en y, y de la tige-mére 
des palpes principaux : ceux-ci occupent, à droite et à gauche, les 
régions latérales de la tête; ils sont formés par une branche in- 
terne, laquelle vient se perdre en arrière sous lextrémité anté- 
rieure de la pièce en fer à cheval, et d’où semblent naître des 
appendices dirigés en dedans et en avant (2, z et w), appendices 
qui concourent à former le plancher sur lequel reposent les man- 
dibules, ou mieux ce que les auteurs ont appelé la lèvre. La branche 
externe des palpes fixe les limites de la tête en dehors; on la voit 
en y, puis en x, où elle se recourbe en dedans pour aller se con- 
fondre en v avec la courbure de la Eee en fer à cheval, du moins 
autant qu'on peut en juger, car il s’en faut qu'il soit facile de 


! Ou mieux au-dessus de lui, quand l'insecte est sur le dos. 


DE LA GALE DE L'HOMME. 87 
déterminer la part que prennent tous ces organes à former l'ombre 
épaisse signalée en cc (pl. 5, fig. 24). La branche externe des 
palpes principaux laisse voir sur sa longueur plusieurs points de 
séparation qui figurent autant d'articles dont elle se compose; ces 
articles sont difficiles à bien voir, cependant on en compterait 
quatre ou cinq (pl. 5, fig. 32, e, e, d, d). Les faux palpes pour- 
raient être considérés comme formés aux dépens d’un article, et 
remplaceraient ici les crochets dont sont armés les palpes d’un 
grand nombre d'insectes, et mème de beaucoup d’acariens. La 
branche interne parait offrir également des traces de division, 
mais nous renonçons à les figurer, tant il est difficile de faire la 
part de ce qui appartient à telle ou telle partie dans cette inextri- 
cable complication. Avant de quitter la face inférieure de la tête, 
revenons sur trois pièces transversales qui semblent prendre nais- 
sance sur la branche interne des palpes, et qui se dirigent en 
dedans et en avant (pl. 5, fig. 26, y, 8, p). Ces pièces concourent 
très-efficacement à former le plan profond sur lequel reposent les 
mandibules; les tissus intérieurs et les téguments qui les tapissent 
complètent ainsi ce qu'on appelle la lèvre et le menton. 

8h. En dedans des palpes, sur le même niveau et dans une 
sorte de ramure qu'ils forment aux dépens de leur branche interne, 
se trouvent les mandibules. Celles-ci sont appuyées sur la lèvre 
qui leur sert de plancher et les masque vers la face inférieure de 
la tête; vers la face supérieure ou d'extension, au contraire, elles 
sont pour ainsi dire à découvert; c'est pourquoi nous examinerons 
de nouveau la tête par sa face supérieure, pour bien concevoir la 
disposition de ces mandibules. Elles s’aperçoivent très-facilement 
au-dessous et en avant du double organe dont les branches se réu- 
nissent en arceau au-dessus d'elles (pl. 5, fig. 24, n,n, ou mieux 
encore pl. 5, fig. 27, a, a). Les mandibules sont en apparence au 
nombre de deux et placées côte à côte; un petit espace ou sillon 
qui occupe longitudinalement la partie moyenne de la tête les 
sépare : elles sont oblongues, arrondies en dehors, presque recti- 
lignes en dedans; de manière qu'on formerait un ovale complet 


88 TRAITÉ ENTOMOLOGIQUE ET PATHOLOGIQUE 


en les rapprochant par la pensée. Elles présentent vers leur milieu 
une ligne transversale (pl. 5, fig. 27, bb) qui fait légèrement relief 
sur leur face supérieure : cette ligne mérite de fixer l'attention, 
attendu qu’elle sert de point d'arrêt aux mandibules quand elles 
se portent en arrière. Leur extrémité postérieure est bordée d’une 
doublure d'apparence cornée, d’une teinte plus foncée que les 
parties antérieures (d, d, fig. 27, pl. 5), et qui se termine en 
dehors par un appendice obtus recourbé en dedans (ee). En avant, 
elles sont divisées dans une très-petite étendue (ii) : la division 
externe est plus longue et se porte sur l’interne ; elle n’est autre 
chose qu’un onglet qui s'étend ou se fléchit à volonté. La figure 27 
le montre fermé, et la figure 28 le représente ouvert (kk). Nous 
avons laissé entendre que les mandibules étaient simples, mais la 
vérité est qu'elles sont réellement doubles : on peut déjà s’en con- 
vaincre en observant avec soin la figure 28, pl. 5, où une seconde 
mandibule s'aperçoit de chaque côté à travers la transparence de 
la première. Cette seconde mandibule se voit avec tous ses carac- 
tères, si l’on porte le foyer optique vers un plan plus profond, ou 
mieux si lon retourne l'acarus de façon à placer la face inférieure 
en dessus : dans cette position, on aura la figure 29, /, /, où la 
lèvre a été omise à dessein. Comnre on le voit, ces mandibules 
secondaires ont la même forme que les premières, si ce n'est 
qu'elles sont un peu moins longues et terminées, en avant, non 
pas par un onglet mobile, mais par deux courtes divisions armées 
de hachures, sorte d’organe de préhension et de trituration. Ces 
doubles mandibules sont unies par les faces qui se superposent et 
se meuvent ensemble!. Des fibres musculaires nombreuses qui 
s'nsèrent vers leurs extrémités postérieures, et surtout autour de 
l'appendice corné des mandibules à crochets, les mettent en mou- 
vement (pl. 5, fig. 24, w; et pl. 5, fig. 27, p); enfin, rappelons- 


nous que les arceaux des pièces qui sont tout à fait superficielles 


! L’acarus du mouton ou du cheval, dont nous faisons en ce moment l’entomo- 
logie, est également pourvu de mandibules doubles. 


DE LA GALE DE L'HOMME. 89 
à la face supérieure, sont en rapport avec les mandibules à cro- 
chets. 

Sur le même plan que les mandibules, et derrière elles, on voit 
un petit corps sphérique, terminé en pointe en avant, et qui occupe 
l’espace laissé libre entre elles (pl. 5, fig. 24, 0, ou mieux pl. 5, 
fig. 27, f); ce petit corps est rougeâtre, d’une substance solide ; 
il jouit d’une grande liberté dans les mouvements de rotation qu'il 
décrit autour d’un axe qui le traverse verticalement; il ne se meut 
que sous l'impulsion qu'il reçoit des mandibules; son mécanisme 
est des plus curieux. 

85. Tels sont les organes intermédiaires qui se trouvent dans 
la première moitié antérieure de la tête; mais derrière les man- 
dibules, sous les fibres musculaires, s’en voient d’autres qui sont 
dignes du plus grand intérêt. 

D'abord, c'est un conduit cartilagimeux placé longitudinalement 
sur la ligne moyenne et qu’on voit représenté planche 5, fig. 31, m, 
ou mieux figure 30, m, parce que dans cette figure il est joint à 
un organe avec lequel il a des rapports de fonction : nous vou- 
lons parler d’une membrane valvulaire, placée à la base de la 
tête, à l'endroit où elle communique avec le tronc; cette mem- 
brane est plutôt une petite languette cornée, si l'on en juge à sa 
couleur et à sa consistance quand elle entre en jeu. Elle est ronde 
ou ovalaire, libre en avant (pl. 5, fig. 30, m), et présente en ar- 
rière des rapports de contiguité et peut-être de continuité avec la 
courbure antérieure de la pièce en fer à cheval, qui est placée au- 
dessous d’elle. La languette valvulaire est donc libre en avant; sur 
les côtés et de tous ces bords libres partent des fibres musculaires 
à peine visibles qui se dirigent en avant; mais les fibres muscu- 
laires latérales se perdent à droite et à gauche où elles se rendent 
aux parties solides, tandis que les fibres les plus antérieures ren- 
contrent, après un court trajet, une sorte de ligament transverse sur 
lequel elles s’insèrent : ce ligament transverse se rend lui-même 
sur les côtés, où l’on ne saurait le suivre. En examinant avec soin 
la figure 30, pl. 5, on apercevra les fibres et le ligament. Rien 


SAVANTS ÉTRANGERS. — XII. 12 


90 TRAITÉ ENTOMOLOGIQUE ET PATHOLOGIQUE 


n’est plus intéressant que de voir cette languette en mouvement: 
c’est elle qui règle les fonctions de la déglutition; enfin, tranchons 
le mot, elle remplit le rôle d’une valvule à l'isthme du gosier. De 
pareilles assertions auront droit de surprendre et avec raison, car 
c’est bien loin de ce qu'on avait entrevu sur l’organisation intérieure 
des acariens. Mais nous ne saurions trop le répéter, ce que nous dé- 
crivons nous l'avons vu, bien vu, et nous le démontrerons facile- 
ment à quiconque aura de bons yeux et l'habitude du microscope. 

86. Telle est l'organisation intérieure de l'appareil céphalique. 
A l'extérieur, un tégument transparent offre une enveloppe de 
protection à tant d'organes; et sur ce tégument extérieur on voit 
des follicules armés de poils, véritables organes de tact qui sont 
au nombre de six et disposés par paire : deux se voient sur la 
partie antérieure et supérieure des palpes (pl. 5, fig. 24 et 32); 
deux autres prennent naissance sur ces mêmes parties, mais à la 
face inférieure; on les aperçoit se montrant en y sur la même 
même figure. La troisième paire occupe la partie moyenne de la 
face inférieure (pl. 5, fig. 25, r, r). 

Nous pouvons, maintenant que nous avons décrit les différents 
organes que renferme la tête, chercher à les rapporter aux divi- 
sions que les entomologistes ont établies dans cet appareil. 

On divise généralement la tête des insectes en six paires d’ap- 
pendices, savoir : 

La lèvre supérieure ; 

2° Les mandibules : 

3° L’épipharynx; 

4° L'hypopharynx ; 

5° Les mächoires: 

6° La lèvre inférieure. 

Non pas que nous prétendions appliquer d’une manière précise 
à notre acarus cette division, qui n’est absolument vraie que pour 
les insectes placés plus haut dans échelle animale. Les entomo- 
logistes sauront mieux que nous quel organe appartient à tel ou 
tel appareil, : 


DE LA GALE DE L'HOMME. 91 


1° Lèvre supérieure. — Si Von doit comprendre sous ce nom 
les parties qui forment le premier plan supérieur de la tête, la 
lèvre supérieure serait constituée en arrière par la partie rétrécie 
de la pièce à arceaux qui limite les mouvements des mandibules 
en arrière (pl. 5, fig. 24, b, b); plus en avant, par le rapproche- 
ment des palpes; enfin, par la membrane d'enveloppe qui va s’effi- 
lant et s’arrondissant de facon à former une ouverture buccale, à 
travers laquelle passent les mandibules. 

2° Mandibules. —— Les mandibules sont ces quatre organes su- 
perposés deux à deux, qui se terminent, les supérieures, par un 
onglet mobile, les inférieures, par une division en hachures qu'on 
voit bien planche 5, fig. 29, et qui donnent insertion en arrière à 
des fibres musculaires nombreuses. 

3° Epipharynx. 11 comprendrait le corpuscule placé entre les 
mandibules, et qu'elles mettent en mouvement: les branches s0- 
lides et postérieures de la pièce à arceaux, sous lesquelles passent 
les fibres musculaires des mandibules. 

4° Hypopharynx. — Il serait formé par le conduit buccal qui 
correspond à la partie inférieure et postérieure des mandibules , 
par la valvule qui règle les mouvements de la déglutition, par la 
pièce en fer à cheval ou le palpigère (pl 5, fig: 25, o, o); enfin, 
par la naissance de l'œsophage (pl: 5, fig. 33, b, b). 

5° Mächoires. — Elles comprendraient les palpes depuis leur 
naissance au palpigère jusqu'à leur double terminaison en pointe 
aiguë; le faux palpe (pl. 5, fig. 25,5, s) équivaudrait aux an- 
tennes des autres insectes. 

6° Lèvre inférieure. — Elle serait constituée par les parties so- 
lides qui partent du bord interne des palpes et forment ainsi un 
plancher solide à la tête (pl. 5, fig. 25, w, w et z, z), en avant, 
par le rapprochement de l'extrémité des palpes et l'enveloppe que 
rejoint sur les côtés la lèvre supérieure. 

87. Si nous ne nous sommes pas mépris sur les fonctions de la 
valvule décrite plus haut, elle fait supposer l'existence d’un conduit 
particulier et propre à recevoir les fluides nourriciers, en un mot, 


12, 


92 TRAITÉ ENTOMOLOGIQUE ET PATHOLOGIQUE 
d’un conduit æsophagien; c’est ce qu'en effet l'observation dé- 
montre. Pour bien voir ce canal alimentaire, on placera l'acarus 
sur le dos, la face abdominale regardant l'observateur; on le com- 
primera légèrement après l'avoir infiltré d'essence de térébenthine, 
par exemple; dans ces conditions, on apercevra facilement le jeu 
des mandibules et de la valvule, et si l’on suit plus en arrière les 
parcelles d'essence qui ont franchi la valvule, on les voit parcourir 
un trajet donné et pénétrer, après des mouvements de va-et-vient, 
jusque dans la partie moyenne du corps. Ces parcelles ne sont 
point disséminées, comme on pourrait le croire, au milieu d’un 
tissu vasculaire ou celluleux; non, elles sont renfermées dans un 
conduit bien limité, et c’est en le suivant qu'elles vont se perdre 
dans la portion abdominale proprement dite. 

La planche 5, fig. 34, nous présente ce conduit œsophagien; on 
le voit naître de chaque côté de la valvule (b, b, pl. 5, fig. 33), 
passer sous la courbure de la pièce en fer à cheval (car lacarus est 
sur le dos), suivre son trajet et se montrer en toute évidence dans 
l’espace libre compris entre la tête et les branches sternales (a, fig. 3), 
plus loin il pénètre sous la pièce sternale elle-même, la déborde 
de chaque côté (c, e, c), et va se perdre vers une cavité stomacale 
qui n'est autre qu'un tissu vésiculeux où la digestion s’élabore. La 
ligure 34 nous représente le conduit œsophagien vu par la face 
dorsale; il contient des globules, que ses contractions font voyager 
Jusqu'en e, où l'on en voit quelques-uns. On distingue facilement 
les fibres latérales du conduit membraneux (Hg. 33); celles qui le 
limitent en avant et en arrière sont dissimulées par la compression ; 
pour bien les voir, il faut les observer en fonction, alors qu'elles 
se contractent et font avancer les fluides alimentaires. L'æsophage 
se trouve à égale distance de la face dorsale et de la face abdomi- 
pale, il est entouré de tissus mous qui le maintiennent en posi- 
uon; ses fibres paraissent de nature musculaire et légèrement 
opalines. 

88. C'est en vain qu'on cherche à suivre ce conduit æsopha- 
gien dans l'abdomen proprement dit; arrivé au point e de la figure 34, 


DE LA GALE DE L'HOMME. 93 
ses fibres deviennent tellement ténues qu'il est impossible de les 
suivre. 

Il était d’un grand intérêt de rechercher si l’'acarus scabiei pos- 
sédait ou non des organes propres à l'élaboration des fluides nour- 
riciers; ce point d'anatomie a souvent fixé notre attention, et 
jamais nous n’avons rien distingué qui eût l'apparence d’une cavité 
stomacale ou intestinale bien circonscrite. Il nous est bien arrivé 
de rencontrer des vésicules plus ou moins volumineuses et douées 
de contractions particulières; mais elles n’avaient rien de fixe quant 
à leur siège, et beaucoup d’acarus n’en présentaient pas la moindre 
trace. Ainsi donc, les humeurs que lacarus absorbe dans nos 
tissus suivent le conduit æsophagien, et se répandent irrégulière- 
ment au milieu d’un tissu particulier appelé sarcode, et dans lequel 
s’opèrent à la fois l'élaboration des aliments et lacte de la respi- 
ration. Ce tissu sarcodique intérieur est commun à toute la cavité 
comprise entre l'enveloppe tégumentaire des deux faces dorsales 
et abdominales, c’est une sorte de parenchyme celluleux, à mailles 
tellement déliées qu'il est impossible d’en bien saisir la structure 
entrelacée, et au milieu duquel circulent des vésicules sphériques 
plus ou moins colorées et des granules généralement noirätres. Ce 
parenchyme sarcodique occupe tous les interstices intérieurs de 
l'insecte, l’intérieur des pattes par exemple; il entoure la pièce 
sternale et les épimères, en un mot il existe partout, et partout 
circule dans ses mailles l'humeur limpide qui constitue le fluide 
nourricier. Nous avons dit qu’il renfermait des vésicules sphériques: 
il faut ajouter que ces vésicules occupent plus spécialement cer- 
taines régions du corps, les régions antérieures, la base des pattes, 
et une ligne longitudinale qui masque constamment le conduit 
œsophagien vers la face dorsale. La figure 36, pl. 6, nous donne 
une idée imparfaite de la réunion de ces vésicules ou globules par 
groupes irréguliers. Il n’est pas rare de rencontrer vers la partie 
moyenne du corps, un peu en arrière, à la pièce sternale et aux 
épimères, une ligne sinueuse dessinant comme une membrane 
d’enveloppe qui renfermerait des vésicules; cette membrane 


94 TRAITÉ ENTOMOLOGIQUE ET PATHOLOGIQUE 
paraît recevoir le conduit œsophagien , et la cavité irrégulière 
qu’elle circonscrit est le siége de contractions particulières qui 
mettent en mouvement les globules emprisonnés par cette mem- 
brane. Ces contractions s’opèrent de droite à gauche, et sous leur 
influence les globules intérieurs voyagent dans ce même sens ; 
enfin, on dirait une sorte de cavité intérieure, très-irrégulière, 
douée de fonctions spéciales; et comme elle communique directe- 
ment avec le canal alimentaire, peut-être pourrait-on voir là une 
cavité plus spécialement destinée à recevoir le liquide nourricier 
qu'absorbe insecte. Il s’en faut que cette membrane très-dia- 
phane, dont il est impossible de saisir la structure, se montre chez 
tous les acarus; parfois on n’en découvre pas le momdre vestige; 
c’est donc avec une grande réserve et sans en garantir la véritable 
existence que nous la mentionnons. La figure 35 x, à, 1, pl.6, en don- 
nerait l’image infidèle. Vers la région postérieure du corps, le tissu 
sarcodique est généralement parsemé de granules miliaires, noi- 
râtres, et, dans certains cas, ces granules sont réunis par groupes 
réguliers, de manière à faire croire qu'ils sont contenus dans une 
cavité; c’est ce que semble indiquer la figure 36 a. Ces granules 
sont généralement des produits excrémentitiels, et de leur réunion 
résulte un amas globuleux, rouge-brun, très-foncé en couleur, 
qu'on voit distinctement, figure 35, b. Ils se rencontrent très-fré- 
quemment dans l’ouverture anale (c), ou au milieu du conduit qui 
lui fait suite (d): bien des auteurs anciens ont pris ces résidus 
naturels pour des œufs. Ces fèces suivent donc un conduit parti- 
culier de a en e pour être expulsés au dehors. L'existence mdu- 
bitable d'un canal œsophagien et celle non moins certaine d’un 
intestin rudimentaire destiné à lexpulsion des fèces, nous font 
croire qu'on découvrira un Jour, à laide d'instruments plus per- 
fectionnés, un appareil digestif qui rendra un compte plus satis- 
faisant des fonctions de la digestion. 

89. Tous les organes que nous avons décrits sont mis en mou- 
vement par de nombreuses fibres musculaires dont nous allons 
maintenant nous occuper. Ainsi les pattes antérieures renferment 


DE LA GALE DE L'HOMME. 95 


à l'intérieur des fibres musculaires longitudinales, qui partent 
de l'extrémité de la patte à l'endroit même où le tube de l'am- 
bulacre prend naissance, et se rendent, en devenant de plus en 
plus nombreuses, vers la base de la patte (pl. 5, fig. 18,e,e, e): 
quelques-unes s'arrêtent sur les pièces cornées qui forment les ar- 
ticles, mais la plupart suivent la patte dans toute sa longueur, tra- 
versent l'anneau et vont se confondre avec d’autres fibres qu'on 
voit planche 5, fig. 33,k,k.Les pattes postérieures sontaussi abon- 
damment pourvues de fibres musculaires (pl. 3, fig. 12, x, x); 
quoiqu'il soit difficile de dessiner celles qui se trouvent à leur in- 
térieur, elles n’en existent pas moins comme il est facile de le 
constater quand la patte entre dans ses mouvements alternatifs de 
flexion et d'extension. 

On se rappelle combien les fibres musculaires qui président 
aux fonctions des mandibule sont nombreuses : outre cet usage , 
elles ont encore pour action d’exciter les contractions du tissu sar- 
codique en prenant sur lui leur point d'attache, et, comme il est 
facile de s’en assurer, elles ne sont pas sans avoir une grande in- 
fluence surles mouvements péristaltiques dont ce tissu est le siége. 
Indépendamment de l'impulsion qu'il reçoit de ces fibres muscu- 
laires et de celle des pattes, le tissu sarcodique est encore excité 
à des contractions énergiques par des plans musculaires qui nais- 
sent de la face dorsale et abdominale, et dont on constate la pré- 
sence sur des acarus pleins de vie. C'est sous l'effort harmonique 
de tous ces muscles que le liquide intérieur circule dans toutes les 
parties de l'insecte. 

Nous avons semblé dire que les épimères étaient libres au mi- 
lieu du tissu sarcodique, mais c'était de notre part une erreur vo- 
lontaire. Car il est facile, très-facile de constater, en examinant l'in- 
secte par la face ventrale, qu'ils donnent attache par leurs extré- 
mités postérieures à des fibres blanchätres (pl. 3, fig. 12, 8, 6), 
lesquelles s'épanouissent en arrière pour aller se confondre avec 
les fibres musculaires qui vont aux pattes postérieures. Ces linéa- 
ments blanchâtres, qui se détachent des épimères, sont-ils tendi- 


96 TRAITÉ ENTOMOLOGIQUE ET PATHOLOGIQUE 


neux? servent-ils à fournir aux épimères une situation fixe, alors 
qu'ils prêtent un point d'appui aux pattes dans l'acte de la progres- 
sion? servent-ils à les relier aux pattes postérieures de manière à 
établir une sorte d'harmonie de fonction entre les extrémités anté- 
rieures et les postérieures? C’est possible; mais nous croyons pou- 
vOIr assurer que ces linéaments entrent aussi pour leur part dans 
les contractions des mouvements intestins, attendu qu'ils se per- 
dent entre le tissu sarcodique et l'enveloppe abdominale. 

Les organes qui entrént dans la composition de l'appareil de 
la tête, et qui sont destinés à exercer les plus grands efforts, les 
palpes par exemple, ont assurément un système musculaire très- 
puissant : nous n'avons pourtant pu en saisir le moindre vestige ; 
il est vrai de dire que l'agencement si compliqué des pièces de 
cet appareil explique du reste notre impuissance. 

Enfin, quel nom donner à un organe qui a longtemps piqué 
notre curiosité (pl: 3, fig. 12, w, 4)? De quelle nature sont ces 
fibres qui partent du centre du corps et vont s'irradiant vers la 
cavité abdominale ? Sont-elles tendineuses, musculaires, nerveuses ? 
Questions pleines d'intérêt et que nous ne saurions résoudre. Ces 
fibres naissent bien d’un ganglion ou d’un globule comme sphé- 
rique (v), elles occupent bien une position centrale, elles s’irra- 
dient bien vers la périphérie; mais de là à pouvoir assurer qu’elles 
sont de nature nerveuse, il y a trop lon pour que nous osions 
nous prononcer; Car pour que nous avancions un fait, 1l nous faut 
la certitude qu'il ne puisse un jour être mis en doute. 

Pour ne rien laisser à décrire de toutes les parties qu'on peut 
aujourd'hui apercevoir, mentionnons, en terminant l'anatomie de 
l’'acarus, deux prolongements de l'enveloppe extérieure, en forme 
d’appendice pileux qu'on voit entre la tête et la première paire de 
pattes (pl. 5, fig. 24, x æ), appendice qu'on ne découvre bien 
que par l’action de l'acide sulfurique pur, dont nous ne voyons pas 
l'importance, et qui suit la patte dans ses divers mouvements. 

90. Nous terminerons là tout ce que nous avons à dire sur la 
structure anatomique de l’acarus. On s’étonnera, nous n’en dou- 


DE LA GALE DEL'HOMME. 97 


tons pas, de nous voir borner là notre description, car enfin, cet 
insecte respire, il se multiplie, et il n’a nullement été question 
des appareils qui président à ces fonctions. Notre silence doit 
laisser entendre qu'on ne distingue rien dans l’insecte qui res- 
semble à des stigmates, à des trachées, et quant aux organes géni- 
taux, la dissertation à laquelle nous nous livrerons dans le cha- 
pitre suivant complétera ce qui paraît inachevé, et ne laissera, 
nous l'espérons du moins, aucune question qui n'ait été discutée 
et résolue. 


CHAPITRE IL. 


PHYSIOLOGIE DE L'ACARUS DE LA GALE DE L'HOMME. 


91. Nous aurions pu exposer les fonctions de chaque appareil 
après l'avoir décrit, et traiter ainsi en même temps de l’anatomie 
et de la physiologie ; mais à part les longueurs et la confusion que 
cet ordre eût entrainées dans le chapitre précédent, nous n’en 
aurions pas moins été obligé de faire un article purement physio- 
logique pour des fonctions incontestables dont les appareils nous 
sont inconnus : c'est pourquoi nous avons préféré traiter séparé- 
ment des fonctions de l’acarus en général. Nous gagnerons à cette 
division de donner plus d'unité et peut-être plus d'intérêt à notre 
dissertation. Nous suivrons, autant que possible, dans ce chapitre, 
l'ordre que nous avons adopté dans la description anatomique. 
Ainsi nous traiterons successivement et dans autant d'articles 
séparés : 

1° Des fonctions de la locomotion; 

2° Des fonctions de la nutrition, qui comprendront la nutri- 
tion proprement dite et la respiration; 

3° Des fonctions de sécrétion, auxquelles nous rapporterons les 
métamorphoses et l'expulsion des fèces ; 

4° Enfin, des fonctions de reproduction ou de la génération : 
ce qui nous conduira tout naturellement à traiter de lovologie 
ou de l’embryogénie. 


SAVANTS ÉTRANGERS. — XII. 13 


98 TRAITÉ ENTOMOLOGIQUE ET PATHOLOGIQUE 


ARTICLE PREMIER. 


DES FONCTIONS DE LA LOCOMOTION. 


92. S'il est vrai, comme on Pa dit avant nous, que l'acarus 
soit comparable à une tortue, ce n’est pas seulement par sa forme ex- 
térieure, mais c’est encore par ses allures et la disposition qu'il aime 
à donner à sa tête et à ses pattes, quand il repose ou sommeille 
endormi sur sa face abdominale. Comme la tortue, en effet, sa 
tête et ses pattes sont alors rétractées sous la carapace; on n’en 
voit que les extrémités : mais qu'une douce température vienne 
réveiller ses sens engourdis : qu'un corps étranger l’excite ou le 
tourmente, bientôt 1l soulèvera son lourd abdomen à l'aide de 
ses pattes postérieures, et portera plus spécialement par ce mé- 
canisme, en bas et en avant vers la surface où il repose, sa tête 
et ses pattes antérieures; quand son corps est ainsi soulevé, la face 
dorsale présente un plan incliné en avant. Mais pour que la pro- 
gression ait lieu, 1l faut que l’insecte étende les pattes antérieures, 
qu'il porte en dedans et en avant lambulacre qui les termine, 
qu'il le fixe en faisant le vide à son intérieur, et opère, sur ce 
point devenu fixe, une traction qui le portera facilement en avant, 
attendu que son corps, soulevé par les pattes postérieures, n’a plus 
à vaincre la résistance du frottement. Dans cette fonction, le point 
fixe est en avant à l’'adhérence des ambulacres; la puissance au 
milieu, les fibres musculaires des pattes la représentent; et la ré- 
sistance en arrière, c’est tout le corps. L’ambulacre reste fixé jus- 
qu'à ce que la patte dont il dépend ait développé toute la puis- 
sance qu’elle est capable de fournir; mais tout en restant fixe, 1l 
se trouve bientôt en dehors et en arrière, attendu que le corps 
de la patte avance sur lui. Pour faciliter ce mouvement de pro- 
gression, le tube terminal se courbe suivant toutes les inclinaï- 
sons possibles; il se fléchit en tous sens sur la ventouse sans que 
le point fixe soit pour cela déplacé. Les pattes antérieures jouissent 
d’ailleurs de mouvements parfaitement isolés, c’est-à-dire que la 


DE LA GALE DE L'HOMME. 99 
flexion et l'extension de l'une d'elles n’entrainent pas nécessaire- 
ment un mouvement semblable pour les autres. 

93. On juge bien de l'usage de chacune des pièces qui entrent 
dans la composition des pattes, en observant l'insecte sur la face 
dorsale, car alors rien ne masque leurs mouvements depuis leur 
base jusqu’à leur extrémité libre. Dans cette position, l'anneau 
laisse facilement voir sa forme circulaire ‘ainsi que ses mouve- 
ments sur un axe fictif qui passerait par son point d'insertion à 
la branche sternale ou à l'épimère. Qu'on se figure un cercle placé 
à peu près verticalement dans le repos, tenu dans cette position 
par un point d'attache situé à l'une des extrémités de son axe 
transversal, se mouvant de manière à se présenter obliquement, 
puis horizontalement, et l’on aura une idée des fonctions de l’an- 
neau quand la patte se fléchit ou s'étend. En un mot, de vertical 
qu'il se trouve quand la patte est étendue, il devient horizontal 
quand elle se fléchit, en décrivant un quart d’arc de cercle. On voit 
encore très-bien, par cette face abdominale, comment les deux 
pièces triangulaires, qui seraient le trochanter et le trochantin 
des auteurs, sont unies à droite et à gauche, et courbées suivant 
leur longueur, de manière à former un cercle complet. La ligne 
qui passerait par le centre des mouvements qu'elles décrivent dans 
la flexion et l'extension représente, comme pour l’anneau, un arc 
de cercle à courbure plus où moins marquée. On découvre avec 
la même facilité comment la patte peut se prêter à un mouve- 
ment d’adduction considérable, grâce à la disposition de ces pièces 
triangulaires, qui forment un triangle dont le sommet correspond 
à la face d'adduction, et la base à celle d’abduction. Enfin, il n’est 
pas moins facile de distinguer comment les autres articles se rap- 
prochent dans la flexion, et s'éloignent l'un de l'autre dans l’ex- 
tension. Il n’est pas rare de voir le dernier article, celui qui porte 
le tube de l'ambulacre, se fléchir exclusivement, entraînant avec 
lui tout lappendice ambulatoire en dehors et en arrière, sans que 
le reste de la patte participe à ce mouvement de flexion : ce petit 
phénomène est bien propre à donner une idée de la puissance 

19: 


100 TRAITÉ ENTOMOLOGIQUE ET PATHOLOGIQUE 
des fibres musculaires qu'on voit se contracter énergiquement à 
l'intérieur de la patte, à mesure que lambulacre se fléchit. Les 
nombreux poils tronqués qu'on aperçoit à droite et à gauche du 
tube de Fambulacre à sa naissance, fournissent à la patte des 
points d'appui très-efhicaces quand elle se fléchit outre mesure. 
94. Pendant que les pattes antérieures se meuvent de cette 
manière, les postérieures ne restent pas inactives; en effet, on les 
voit se fléchir en avant et disparaitre sous la carapace, puis repa- 
raître de nouveau en dehors dans les mouvements d'extension. 
Lorsque le corps n’est pas trop replet, linsecte s'appuie sur le 
dernier article des pattes postérieures, qui sont armées pour cet 
usage de deux petits tubercules coniques et comme cornés; mais 
quand l'abdomen est trop volumineux, les longs poils qui ter- 
minent les pattes postérieures servent eux-mêmes de point d'ap- 
pui, et l'abdomen, ainsi fortement soulevé, permet à la tête et aux 
pattes antérieures de porter sur le plan où linsecte se traîne. 
95. Indépendamment des mouvements qu'il exécute à l’aide de 
ses huit pattes, l'acarus jouit encore de la faculté de se mouvoir 
sur lui-même : ainsi, il peut tourner la tête à droite et à gauche, 
l'étendre ou la fléchir, sans que les autres parties entrent pour 
cela en activité, Il peut de même imprimer à la partie antérieure 
de son corps des mouvements de latéralité sans que le train pos- 
térieur se déplace, et comme nous l'avons déjà dit, la pièce ster- 
nale se courbe alors vers son milieu, de telle sorte: que sa moitié 
antérieure suit la direction de la tête, pendant que sa moitié pos- 
térieure reste immobile sur la ligne médiane. L'acarus est d’au- 
tant plus libre dans ses déplacements de côté, que son corps est 
moins gorgé de liquide : on conçoit facilement qu’un corps qui peut 
ainsi se prêter à une distension exagerée doit offrir, quand il est 
presque vide, de profonds sillons résultant d’une surface en excès, 
attendu que le contenu n’est plus en rapport avec le contenant; c'est 
pourquoi lon voit la surface dorsale et la surface abdominale, 
mais surtout la surface dorsale, sillonnées transversalement de plis 
profonds quand linsecte est soumis à un jeûne prolongé; ces plis 


DE LA GALE DE L'HOMME. 101 


sont parfoistellement prononcés, que les petits appendices coniques 
qui recouvrent la face dorsale changent de direction en suivant le 
tégument qui se plisse, et de manière à tourner en haut, puis en 
avant, leur extrémité pointue, qui est ordinairement dirigée en 
arrière. L’acarus prend quelquefois un tel volume, que sa panse 
devient pour lui un lourd fardeau qui le fait trébucher au moindre 
mouvement; dans cet état d'obésité exagérée, il est impropre à 
creuser son sillon, et se trouve condamné à attendre que la diges- 
tion l'ait rendu plus dispos et plus agile pour qu'il se remette à 
l'œuvre. Il va sans dire que les poils nombreux dont le tégument 
est parsemé lui viennent en aide pour la progression, en même 
temps qu'ils sont pour lui des organes de tact. 

96. Lorsqu'on retire l'acarus de son sillon pendant le jour, on 
le trouve toujours engourdi et comme insensible; il reste dans cet 
état si la température est froide, mais si une douce chaleur le 
réveille de sa torpeur, il étend ses petits membres, se soulève et 
essaye de reconnaître dans quel lieu inconnu il se trouve; puis 
bientôt il se met en marche, parcourt les plis de la peau, cherche 
son ancienne demeure, et sy blottit dès qu'il Pa trouvée. Ce fait 
de voir l'acarus revenir ainsi à son premier gîte, frappe votre at- 
tention; vous l'en retirez de nouveau pour le déposer à quelques 
centimètres de distance, et ce n’est pas sans intérêt que vous le 
voyez recommencer ses pérégrinations, jusqu’à ce qu'il ait retrouvé 
la trace de son sillon, où il se cache comme tout à l'heure. On 
se demande alors si l'acarus ne serait pas doué d’un appareil de 
vision, dont il est impossible de découvrir le moindre vestige , 
tant il paraît chercher son terrier; et si, pour se faire une opi- 
nion à cet égard, on tend des embuches à l’insecte, si on lui pré- 
sente une pointe d’aiguille très-acérée qu'on fait jouer devant 
sa tête, il vient imprudemment se heurter contre elle : enfin, si 
l'on tente divers autres moyens pour s’assurer s’il a réellement 
des yeux, on reste bientôt convaincu que, jusqu'à présent, rien 
ne permet de le supposer. L’acarus ne revient cependant pas tou- 
jours au sillon d’où on l'a tiré; parfois, il prend une autre route, 


102 TRAITÉ ENTOMOLOGIQUE ET PATHOLOGIQUE 


fait de longs circuits, et sa marche devient par moments si accé- 
lérée, qu'il est difficile de le suivre à l'aide du microscope mobile. 
À en juger par les longues promenades que nous lui avons vu 
faire au pas de course, il pourrait de la main parvenir à l'épaule 
en moins de dix minutes. La grande préoccupation de lacarus, 
quand il voyage sur la peau, est de trouver un lieu convenable, 
où il puisse se creuser une nouvelle demeure; pour cela, il suit 
avec soin les plis de la peau, s'arrête aux moindres aspérités de 
l'épiderme qui pourraient lui présenter un point facile à atta- 
quer; il tâte surtout la base des poils, dont le follicule tend à sou- 
lever l’'épiderme, et si l'endroit lui semble propice, il se met à 
l'œuvre. L'insecte enlevé du sillon, une ou deux heures après que 
le malade s’est couché, est d’une agilité extrême; 1l prend sa course 
sans y être excité : il est manifestement à l'état de veille. 

97. Le sarcopte, nous pouvons le dire par anticipation, ne 
creuse pas indifféremment son sillon sur toutes les régions du 
corps; non, il a des préférences, et son instinct le sert admira- 
blement dans son choix. C’est ainsi qu'il a une prédilection mar- 
quée pour les mains; soixante et dix fois sur cent, à la période 
d'incubation, c’est uniquement là qu’on le rencontre. Qu'on ne 
croie pas qu'il se trouve si souvent exclusivement sur les mains 
parce que c'est par les mains qu'on le gagne : il y a d’autres 
moüfs pour qu'il en soit ainsi. L’acarus est un insecte fouisseur, 
admirablement conformé pour entamer nos tissus et s’en recou- 
vrir. Mais malgré l'heureuse disposition de ses organes, 1l s’en 
faut que toutes les régions de notre tégument lui offrent un accès 
également facile; il y a pour lui, à cet égard, une grande diffé- 
rence entre la peau de la main, des parties génitales, et celle 
de lavant-bras, par exemple. La peau de la main, en effet, est 
très-souple; elle présente des plis nombreux, que recouvre un 
épiderme pour ainsi dire mobile sur le derme ; organisation en 
rapport avec les fonctions de cette extrémité , et sur laquelle il 
est inutile d’insister. Ajoutons, de plus, que la circulation capil- 
laire y est très-active, et que l’épiderme forme des étuis à des 


DE LA GALE DE L'HOMME. 103 


papilles abondamment pourvues de suc nutritif, avec lesquelles 
l'insecte se trouve immédiatement en rapport. L’acarus rencontre 
donc là les conditions les plus propres à lui faciliter le soulève- 
ment de la couche la plus extérieure de la peau : aussi est-ce 
avec facilité qu'il incise l’épiderme des mains et qu'il le détache 
afin d'y trouver un abri. À l'avant-bras , au contraire, l’épiderme, 
très-adhérent au corps muqueux, est fortement étendu sur le 
derme , et ce n’est généralement qu'après les plus grands efforts que 
l'acare parvient à y tracer son cuniculus. Il lui faut une demi- 
heure pour qu'il s’enterre complétement à la main, tandis qu'il 
met une heure et plus à lavant-bras, et encore est-ce souvent après 
avoir entrepris plusieurs sillons qu'il abandonne, que, de guerre 
lasse, il pousse jusqu’au bout cette laborieuse entreprise. Toutefois, 
un acarus que nous avons placé sur notre avant-bras gauche, le 
14 février 1846, ayant rencontré entre la base de deux poils 
une pellicule épidermique toute détachée, s'y est blotti, et en 
moins de vingt minutes il a disparu sous l’épiderme. Cet acarus 
même ne laisse pas que de nous préoccuper : nous l’avions placé 
sur lavant-bras parce que dans ce lieu il était à l'abri de toute 
atteinte extérieure, en même temps que nous pouvions facile- 
lement l'observer. Mais le malin parasite nous a joué un mauvais 
tour; il paraît que notre avant-bras n’était pas de son goût; cette 
nuit, à la faveur de notre sommeil, il est allé chercher fortune 
ailleurs. Quoi qu'il en soit, nous allons nous tenir en éveil, et nous 
rendrons compte de ce qu'il adviendra. Comme notre intention 
est de nous donner la gale, nous recommencerons l'expérience, si 
celle-ci venait à avorter. 

98. Quand linsecte, après bien des tâtonnements, a fait élec- 
tion d’un lieu propice au décollement de l'épiderme, on le voit 
se soulever sur les longs poils de ses pattes postérieures, de façon 
à se placer presque verticalement sur la peau; cette position lui 
étant plus favorable, à ce qu'il paraît, pour inciser la première 
pellicule des téguments. Le microscope mobile, qui donne un 
maximum de grossissement de 70 fois, permet de l'observer quand 


104 TRAITÉ ENTOMOLOGIQUE ET PATHOLOGIQUE 

il est ainsi à l'œuvre; mais comme il est impossible, à ce degré 
d'amplification, de bien saisir le jeu des palpes et des mandibules, 
on ne comprendrait pas pourquoi il reste aimsi immobile, si 
bientôt on ne voyait sa tête disparaitre sous une légère pellicule 
épidermique qu'il a incisée, puis détachée : il continue ce travail 
pendant un quart d'heure, et quand la tête et les pattes anté- 
rieures sont déjà recouvertes, 1l se retire, et lon croit qu'il va 
aller chercher ailleurs un lieu plus favorable. Il n’en est pourtant 
rien; cette manœuvre est calculée et nécessaire : aussi le voit-on 
tourner son train postérieur à droite où à gauche, se soulever 
comme tout à l'heure sur ses longues pattes, et entamer l’épiderme 
au point précis où la pellicule, qui est déjà détachée, adhère au 
corps muqueux. On ne sait trop d’abord dans quel but il vient 
ainsi soulever l'épiderme plus en dehors, mais l’on s'en rend 
bientôt compte; en effet, la portion d'épiderme qui a été détachée 
directement devant l'acarus, et qui recouvrait sa tête, serait imsuf- 
fisante pour donner passage à son pseudo-thorax, dont le volume 
devient tout à coup très-considérable; aussi l’acarus est-il obligé 
d'élargir la voie déjà frayée, et ce n’est que quand il est certain 
qu'il pourra entrer de front dans cette large ouverture, qu'il y 
pénètre pour n’en plus sortir. À partir de ce moment, on le voit 
détacher l'épiderme sans trop de peine et porter sa tête de droite 
à gauche, en décrivant une courbe à convexité antérieure. Ces 
premières diflicultés surmontées, l’insecte avance rapidement, car 
alors il peut user de tous les organes dont il est pourvu pour se 
frayer une voie souterraine. Les appendices pileux et cornés que 
nous avons signalés à la face dorsale et sur les côtés, entrent 
en action et lui fournissent des points d'appui très-eflicaces. Tous 
ces organes, en effet, si bien disposés quant à leur forme et leur 
longueur, se fixent dans la paroi interne de l'épiderme détaché, 
se couchent sur le dos de Finsecte quand il avance, pour se 
hérisser, lorsque son train postérieur tend à se porter en arrière. 
Sous l'influence de tous ces efforts, l’acarus est bientôt com- 
plétement caché, et c’est seulement alors qu'il se repose de ses 


DE LA GALE DE L'HOMME. 105 


longues fatigues. Les appendices cornés que l'acarus de Fhomme 
porte sur sa face dorsale ont une extrême importance : lui seul, 
parmi tous les acarus connus aujourd’hui, en est pourvu, parce qu'il 
est également le seul qui soit destiné à vivre dans un sillon. 

Nous avons parlé de laction des palpes et de celle de tous les 
organes propres à faciliter l'introduction du sarcopte sous lépi- 
derme, sans dire quelle part les mandibules prennent à cette fonc- 
tion : c’est une lacune qu'il importe de combler. On se rappelle 
la structure des mandibules (84), leur forme, leur position : quand 
une fois l’'épiderme est incisé , elles entrent en jeu, et ce sont elles 
qui le détachent du corps muqueux. Pour cela, elles se portent 
en avant, et au delà de la pointe acérée des palpes, par des mou- 
vements alternatifs de va-et-vient; et comme leur extrémité an- 
térieure est obtuse, elle frappe sur les adhérences qui s’opposent 
à la marche de l'insecte; elles font, en un mot, fonction de fou- 
loirs. L’impulsion qui les pousse en avant, et qui vient des fibres 
musculaires , est des plus énergiques, et si, grâce à une petite bor- 
dure transversale qu'elles portent sur leur face supérieure, elles 
ne venaient s'arrêter sur les arceaux des pièces latérales (83), 
elles seraient entrainées en arrière bien au delà du point qu’elles 
ne doivent pas dépasser. L’inspection au microscope permet de 
constater que l'onglet des mandibules supérieures concourt peut- 
être pour sa part au décollement de lépiderme, attendu qu'il 
se redresse avec force chaque fois qu'une mandibule devient libre 
au-devant des palpes. Le petit organe qui sépare les mandibules 
en arrière, et qui fait fonction de poulie quand elles s’avancent ou 
se retirent, entre aussi en action dans cette circonstance. Nous 
aurons d’ailleurs occasion de revenir sur cette importante fonction 
des mandibules. 

Les sillons des femelles, à la période de l’accouplement, ainsi 
que ceux des mäles, sont à peme visibles à l'œil; nous doutons 
même que le mâle fasse des sillons proprement dits : tout porte 
à croire qu'il se contente de chercher un abri momentané sous 
l'épiderme pendant vingt-quatre ou quarante-huit heures. 


SAVANTS ÉTRANGERS, — XII. 14 


106 TRAITÉ ENTOMOLOGIQUE ET PATHOLOGIQUE 


Nous ne nous étendrons pas davantage sur le sillon, puisque 
nous serons obligé d’en parler avec détail quand nous traiterons 
de la gale proprement dite : et comme les palpes et les mandibules 
ont surtout pour action de concourir aux fonctions de la nutrition, 
nous compléterons ce qu'il nous reste à dire sur leurs usages, dans 
le deuxième article, qui suit. 


ARTICLE II. 


DES FONCTIONS DE LA NUTRITION. 


99. L'acarus puise à deux sources pour entretenir sa vie; il 
trouve sur nos tissus des liquides essentiellement nutritifs, et dans 
l'atmosphère les éléments constitutifs de air nécessaires à tout 
être vivant. 

Un acarus privé de l'une de ces deux conditions essentielles ne 
saurait vivre longtemps; et encore ne pourraient-elles satisfaire 
toutes deux aux besoins de sa vitalité, s’il n’en réunissait une troi- 
sième non moins indispensable : nous voulons parler d’une tem- 
pérature convenable. Ainsi il ne peut se nourrir et respirer qu’au 
milieu d’un air ambiant de 25 à 35° centigrades; au-dessous, à 
10°, par exemple, 1l meurt au bout de quelques heures. En hiver, 
si nous le laissions par mégarde hors de notre étuve, il succom- 
bait au bout de peu de temps, tandis qu’en été, il vivait sur notre 
bureau pendant deux jours et plus. Le besoin le plus impérieux 
pour lacarus, quand il a été extrait de son sillon, est donc de se 
garantir du froid et de s’enfouir au plus vite sous l’épiderme, et 
comme il trouve sur nos téguments tout ce qui est nécessaire à son 
existence, c’est-à-dire des sucs liquides, déjà élaborés et d’une facile 
digestion, de Pair qui revivifie son sang, il y resterait plusieurs 
semaines sans changer de lieu, comme cela arrive à la femelle lors 
de la ponte. Mais absorber nos humeurs, soulever l'épiderme, aspi- 
rer les principes nutritifs que l'exhalation cutanée pourrait lui four- 
nir ne suflit pas à notre insecte : ses besoins sont d’un ordre plus 
élevé; il lui faut une proie luxuriante sur laquelle il puisse se 


DE LA GALE DE L'HOMME. 107 


repaitre et assouvirses petits instincts carnassiers; ses palpes et sur- 
tout ses mandibules sont admirablement conformés pour cela. On 
le comprendra facilement, si l’on se rappelle l'onglet des mandibules 
supérieures et la pince à dentelures des mandibules inférieures. 
Quand lacaras se sent pressé par la faim, il plonge l'onglet dans 
nos tissus, il les ponctionne, les pince, les malaxe, en fait sortir 
les liquides qu'ils contiennent, les corpuscules du sang; de telle 
sorte que ceux-ci affluent abondamment et deviennent ainsi d’une 
absorption facile. Tous les soirs, généralement à la période de 
la ponte, il quitte la place qu'il a occupée le jour et prolonge son 
sillon, après avoir eu toutefois la précaution de perforer l’épiderme 
au-dessus de lui; il fait ainsi une petite ouverture qui marque ses 
stations, et pourrait servir à calculer approximativement depuis 
combien de jours 1l habite le même cuniculus. Cette petite ouver- 
ture faite à l'épiderme semble avoir pour usage de donner à l'air 
un accès facile, tout en préparant aux jeunes acarus qui viendront 
à naître une voie de sortie toute frayée. Quand l’insecte veut pous- 
ser son sillon plus avant, les palpes principaux et les faux palpes 
s’écartent; leurs extrémités cornées, si acérées, s'enfoncent dans 
le tissu adhérent, puis elles se rapprochent vers la ligne médiane ; 
par ce mécanisme, tout le tissu compris dans l’écartement des 
palpes cède sous leurs efforts, et, les mandibules soulevant lépi- 
derme, une place nouvelle est bientôt fouillée. Les palpes, avec 
leurs différents articles et leur extrémité postérieure si large et si 
forte, sont, du reste, merveilleusement conformés pour cet 
usage; la pièce en fer à cheval avec laquelle ils ont des rapports 
de fonction, semble produire l'effet d’un ressort qui se tendrait 
quand ils s’écartent, et reviendrait ensuite sur lui quand ils se 
rapprochent. Mais une fois l’épiderme détaché, l’insecte n'aurait 
pu le soulever qu’à la condition de faire de l'extrémité de sa tête 
une espèce de boutoir, si, comme nous l'avons déjà vu, la nature 
ne l'avait pourvu d'organes propres à remplir cette fonction. Ces 
organes sont les mandibules, dont les fibres musculaires entrent 
en contraction, de manière à leur imprimer un mouvement alter- 


14. 


108 TRAITÉ ENTOMOLOGIQUE ET PATHOLOGIQUE 


natif de va-et-vient; et comme l’espace laissé libre entre l'ex- 
trémité des palpes ne pourrait contenir les deux mandibules à la 
fois, quand l'une s'avance, l’autre se retire et lui fait place. Ce 
mouvement des mandibules est fréquent, et à en juger par leur 
vitesse, elles doivent imprimer un choc d’une grande puissance re- 
lative : il faut bien qu'il en soit ainsi, pour qu'un insecte d'un tel 
volume puisse briser les adhérences qui unissent l'épiderme au 
corps muqueux. Rien n'est plus curieux que de voir les mandi- 
bules en fonction, car bientôt l’organisation révèle des détails vrai- 
ment bien remarquables : ainsi leurs fibres musculaires, qui nais- 
sent sur une grande étendue vers la face dorsale, se réunissent et 
se pressent en se dirigeant vers la base de la tête, où elles fran- 
chissent un étroit passage, avant d'aller s'épanouir sur les mandi- 
bules elles-mêmes. Quel effet doit-il résulter du point d'appui ou 
du frottement que les fibres musculaires reçoivent en franchissant 
ce passage rétréci ? Chacun le devine : l'avantage de détruire leur 
parallélisme , de leur fournir un point d'appui qui double leur 
puissance, mais aussi une tendance à porter, à droite, la mandi- 
bule du côté gauche; et à gauche, la mandibule droite; dispo- 
sition essentiellement nuisible à leur fonction, si la nature n'avait 
su faire tout pour le mieux. En effet, on n’a pas oublié le petit 
corpuscule corné qui sépare les mandibules en arrière, et qui rem- 
plit le rôle d'une petite poulie sur laquelle elles frottent dans leurs 
mouvements. Eh bien! comme ce petit corpuscule est fixe, il s’op- 
pose à ce que les mandibules se rapprochent, et qui plus est, 1l 
leur vient en aide en tournant toujours sur son axe vertical, dans 
le sens même où la mandibule est entrainée.- 

100. Nous avons expliqué par quel mécanisme linsecte de la 
gale pénétrait sous l'épiderme, et comment il faisait affluer vers 
son rostre les liquides propres à le nourrir. Lorsque ces liquides 
baignent ses mandibules, il les absorbe par une sorte de succion, 
les fait pénétrer dans son conduit alimentaire placé entre les man- 
dibules qui sont en dessus, et la lèvre qui est en dessous; conduit 
contractile (84), qui chasserait ces liquides absorbés vers la base 


DE LA GALE DE L'HOMME. 109 
de la tête et même jusque dans l'intérieur du tronc, s’il n'y avait 
un obstacle à franchir sur ce trajet. Cet obstacle, placé vers l'ar- 
rière-cavité buccale, est constitué par une valvule (85) qui règle 
les mouvements de la déglutition, et s’abaisse pour livrer passage 
aux matières alimentaires. Le jeu de cette valvule est très-intéres- 
sant à observer. Si l'on inonde l'insecte d’eau tiède ou de sérum, 
on la voit s'abaisser ou se relever d’une manière régulière, et 
donner passage à quelques globulins qu'on suit distinctement de- 
puis leur entrée à l'ouverture buccale, jusqu’à leur introduction 
dans la cavité abdominale. Mais si c'est un liquide toxique qui 
tend à pénétrer l'acarus, on voit celui-ci se crisper sur lui-même, 
rétracter fortement sa tête, clore avec soin toutes les ouvertures 
perméables qui laisseraient au poison une introduction facile; 
puis les mandibules entrer en mouvement, et chasser, par d’é- 
nergiques contractions, le fluide qui menace sa vie; la valvule 
reste dans une contraction fixe, volontaire et instinctive, et ferme 
amsi hermétiquement l'ouverture du canal œsophagien. Mais, 
quoi qu'il fasse, l'acarus ne saurait s'opposer longtemps à l'ab- 
sorption de ce breuvage empoisonné qui l'envahit par tous ses 
pores; déjà ses forces abandonnent, le jeu des mandibules se 
ralentit, et la valvule, obéissant à cet état général d’affaissement, 
se baisse et se relève jusqu’à ce qu’enfin la vie s'éteigne compléte- 
ment. Notons à ce propos, que la tête et les pattes ne donnent 
plus depuis longtemps aucun signe de vie, qu'on voit encore le 
tissu sarcodique, animé de ses mouvements intestins, entretenir 
une active circulation. La vie organique est donc chez notre in- 
secte, comme chez les animaux d’un ordre supérieur, la dernière 
à s'éteindre. 

En observant la valvule en mouvement du côté de la face abdo- 
minale, on constate facilement qu'elle est obliquement placée dans 
cette situation anormale au-dessus des mandibules, de façon à 
offrir un plan incliné en arrière. Lorsqu'elle donne passage aux 
humeurs, son bord antérieur s’affaisse, et elle tend à devenir hori- 
zontale pour reprendre bientôt sa place primitive. Pendant ce dépla- 


110 TRAITÉ ENTOMOLOGIQUE ET PATHOLOGIQUE 
cement, son bord postérieur reste fixe vers la courbure de la pièce 
en fer à cheval qui est en dessous, et avec laquelle on le dirait uni 
par des fibres ligamenteuses. 

101. Au delà de la valvule, vers sa face supérieure qui regarde 
en haut et en arrière, naissent les fibres du tube œsophagien (87) : 
ces fibres sont continuées vers la face dorsale et sur les côtés, 
tandis qu’elles laissent une petite ouverture vers la face ventrale, 
un peu en arrière de la pièce en fer à cheval. En un mot, le tube 
œsophagien présenterait un canal complétement fermé, s'il n'avait 
une petite ouverture sur sa paroi inférieure, au moment où il va 
franchir l'espace laissé libre entre la tête et les branches de la pièce 
sternale. Cette petite ouverture est disposée dans le sens le plus 
favorable à sa déhiscence, c'est-à-dire transversalement, par rap- 
port aux fibres musculaires de lœsophage; elle a pour fonction 
spéciale de donner passage à l'air, et comme elle se ferme com- 
plétement quand l'æsophage contient des liquides alimentaires, 
celui-ci offre alors un canal complet. Nous n'avons pas donné le 
dessin de cette petite ouverture, par laquelle s'opère l'acte de la 
respiration, attendu qu’on ne peut la distinguer que quand laca- 
rus respire au milieu de Vair ambiant, et sans être comprimé, ou 
mieux quand elle fonctionne, car à l'état de repos on ne saurait 
en découvrir le moindre vestige à travers les tissus qui l’enve- 
loppent. D'ailleurs, nous allons décrire avec soin les faits qui dé- 
montrent son existence, et cela avec d'autant plus de raison, que 
les fonctions digestive et respiratoire vont tout à l'heure devenir 
communes, le conduit œsophagien étant commun à lune et à 
l'autre. 

102. La question de savoir comment lacarus respirait, et à 
l'aide de quel organe cette fonction s'exécutait, nous a longtemps 
préoccupé; car jamais, dans nos recherches, nous n'avions décou- 
vert la moindre trace de trachées, ou d'ouvertures exclusivement 
destinées à donner passage à l'air : ce fait négatif nous surprenait 
d’autant plus que plusieurs entomologistes ont mentionné, chez les 
acariens, des stigmates propres à la respiration. 


DE LA GALE DE L'HOMME. 111 


Comment des acares si voisins de notre acarus scabiei présen- 
teraient-ils l'appareil respiratoire ordinaire aux imsectes, lorsque 
celui-ci en est dépourvu? Il y avait là, nous l’avouons, quelque 
chose qui nous semblait difficile à accorder. Nous ne sommes pas 
entomologiste, mais nous soupçonnons, en y mettant toute la 
réserve commandée par notre position de profane, qu'on s’est trop 
hâté de conclure, et qu'on s'est mépris en voulant fonder les 
caractères d’une classification sur des dispositions anatomiques 
tirées de la structure d'organes qui ne sont indispensables à la vie 
que d’une manière éloignée, tels que les palpes, les mandibules, 
les articles des pattes, etc. etc. Les appareils fonctionnels de la 
vie végétative fourniraient peut-être des caractères immuables, 
essentiels, appartenant incontestablement à tous les individus d’une 
même famille. 

Il nous est bien permis d’en appeler à des études plus sérieuses 
quand nous voyons ce que l'on sait des acariens, en comparaison 
de ce qu'il reste à en découvrir. Revenons à la fonction de la res- 
piraton. 

Pour bien concevoir le mécanisme de la respiration, 1l faut 
choisir un acarus plein de vie, aussi transparent que possible, et 
le placer entre les lames du compresseur, en dirigeant la face 
abdominale de l'insecte vers l'observateur, et de façon à le tenir 
en place sous une compression ménagée. On lexaminera à un 
grossissement de {oo fois environ, en ayant soin de fixer son atten- 
tion vers la base de la tête, vers l’espace qui la sépare des branches 
de la pièce sternale : le foyer optique portera sur un point inter- 
médiaire à la face dorsale et à la face ventrale, et on l’éclairera à 
laide d’une lampe. Quand les choses seront ainsi disposées, on 
verra une bulle bleuâtre, très-ombrée vers ses bords, mieux éclai- 
rée vers son centre, franchir de temps à autre cet espace libre 
intermédiaire à la tête et aux branches sternales, et bientôt, avec 
quelque attention, on constatera que cette bulle pénètre par l'ou- 
verture buccale, suit un trajet direct, passe sous la valvule et ses 
annexes, et vient enfin se perdre vers l’espace libre dont nous 


112 TRAITÉ ENTOMOLOGIQUE ET PATHOLOGIQUE 

avons parlé. Quand observateur a plusieurs fois suivi le mel de 
cette bulle, 11 s'arrête naturellement sur les détails du mécanisme 
qui la met en mouvement, et bientôt 1l remarque avec intérêt 
qu’elle pénètre dans la bouche au-dessous des mandibules, entre 
celles-ci et la lèvre, qu’elle ne suit pas le conduit buccal alimen- 
taire qui communique avec la valvule, mais un canal isolé tout 
à fait en rapport avec le tégument qui tapisse la face de flexion 
de la tête. Il voit de plus, qu'arrivée au niveau de la valvule, 
cette bulle, comprimée sur elle-même, est soumise à des mou- 
vements alternatifs de va-et-vient qui la portent en avant et en 
arrière; 1] constate enfin que c’est une bulle d'air. À mesure que 
les contractions se multiplient, la bulle pénètre plus profondé- 
ment, et si une autre bulle, imtroduite auparavant, se trouve plus 
en arrière et plus séparée de la bulle nouvellement entrée, on voit 
ces deux bulles se confondre, non-seulement sous l'effort des con- 
tractions du conduit respiratoire qui les renferme , mais aussi sous 
l'influence de cette attraction réciproque qui opère si facilement, 
sous le microscope, la fusion des bulles d'air entre elles. Le séjour 
prolongé de l'air dans ce tube, et les déplacements qu'il éprouve, 
ont sans doute pour but de le mettre en équilibre de température 
et de le préparer à la décomposition qu'il va subir, car de temps 
à autre on voit la petite ouverture æsophagienne devenir béante, 
et sous l'influence de contractions harmoniques avec celles qui font 
refluer l'air en arrière, livrer à celui-ci un libre passage dans 
l'œsophage. Ce curieux phénomène se répète plusieurs fois dans 
une minute, et toujours dans le même ordre fonctionnel. L’ab- 
sorption de Pair par l'ouverture buccale n’est pas continue, le vo- 
lume de la bulle d'air absorbée parait régler la fréquence de 
l'introduction d’une quantité d’air nouvelle. Il s’en faut de même 
qu'il y ait un rapport proportionnel entre Fair qui pénètre par 
l'ouverture buccale, et celui qui franchit l'ouverture œsopha- 
gienne; plusieurs mouvements de déglutition sont généralement 
nécessaires pour l'absorption complète et définitive d’une quantité 
d'air absorbée d’un seul coup par la bouche. Lorsque l'ouverture 


DE LA GALE DE L'HOMME. LS 
œsophagienne (sorte de glotte) ouvre passage à l'air, il s'y préci- 
pite en abondance; mais bientôt les bords de l'ouverture se rap- 
prochent et s'opposent à son introduction complète. 

Nous avons également constaté que les acarus du cheval, du 
mouton, de la farine et du fromage respirent par la bouche. 

103. Nous pensons avoir expliqué clairement le mécanisme de 
l'acte de la respiration, nous allons maintenant suivre l'air dans 
le canal œsophagien. Le fluide qui a pénétré dans l'œsophage s'y 
accumule sous la forme d'une bulle oblongue et volumineuse qui 
occupe quelquefois jusqu’à la moitié de sa longueur, et comme ce 
canal est animé de mouvements intestins très-remarquables, Pair 
est soumis à un déplacement continu qui le pousse insensiblement 
vers la cavité digestive et respiratoire proprement dite. L'æso- 
phage, comme on le juge facilement aux contractions énergiques 
des fibres musculaires qui composent ses parois, est des mieux 
constitués pour remplir cette fonction. Ces contractions rétrécissent 
dans certains endroits son calibre, et l’augmentent dans certains 
autres, de telle sorte que l'air est soumis à une sorte de flux et 
de reflux qui le comprime et le mélange. Au premier abord, ces 
contractions paraissent irrégulières, mais si l’on observe avec soin 
leurs successions répétées, on reconnaît, non sans étonnement, 
qu'elles sont isochrones et qu’elles simulent des mouvements de 
systole et de diastole très-réguliers : la surprise augmente encore 
si l'on vient à les compter, car on constate qu'il y a le plus souvent 
seize mouvements de systole et de diastole par minute. Dans ces 
déplacements successifs, l'air atmosphérique pénètre jusqu'à la 
cavité abdominale, où il se mélange avec des bulles d'air déjà en 
partie assimilées, puis revient de nouveau en avant; de telle sorte 
que Fair subit dans l'æsophage un premier travail d’assimilation, 
et ce n’est que quand il a été modifié dans sa composition élé- 
mentaire qu'il pénètre enfin dans le tissu sarcodique, où 1l va se 
dissoudre. Une fois répandu dans le parenchyme intérieur, qui 
constitue le sarcode, l'air entre dans la circulation générale, et 
il est souvent possible de suivre la dissolution insensible de ses 


SAVANTS ÉTRANGERS. — XII. 15 


114 TRAITÉ ENTOMOLOGIQUE ET PATHOLOGIQUE 
bulles au milieu d’un tissu comme vésiculeux. On assiste, pour 
ainsi dire, à l'acte de la respiration. 

Les bulles d'air ainsi mtroduites ne se rendent pas indifférem- 
ment dans toutes les régions de l'abdomen : toute la partie pos- 
térieure de cette cavité est plus spécialement destinée à lélabo- 
ration des liquides alimentaires, tandis que les régions antérieures 
paraissent être le siége de Passimilation de Fair atmosphérique. 
Les grands centres de la respiration se voient surtout en avant; 
ainsi la planche 6, fig. 36, représente en a a un groupe de vési- 
cules assez bien imité, qui communique en arrière avec le tissu 
sarcodique général, tandis qu'il se porte en avant presque ex- 
clusivement à la deuxième paire de pattes antérieures; il en est 
de même d’un autre groupe situé plus en dedans, en bb, et qui 
fournit à la première paire de pattes. Ces centres circulatoires 
sont en communication directe avec des vésicules de mème nature 
qui remplissent la cavité intérieure des pattes auxquelles ils cor- 
respondent. Vers la face dorsale, on voit généralement une réu- 
nion de vésicules se dessiner au-dessus de lœsophage et le mas- 
quer dans toute sa longueur. La planche 5, fig. 34, d, nous 
représente un acarus qui, par exception, n'avait qu'un très-petit 
nombre de vésicules accumulées dans ce sens : aussi l'avons-nous 
dessiné pour bien montrer l'existence de l'œsophage. D'autres cen- 
tres de circulation respiratoire existent vers les parties postérieures, 
mais ils sont moins dévéloppés que ceux qui occupent les parties 
thoraciques. Tous ces groupes de vésicules sont agités d’un mou- 
vement continu de va-et-vient, qui s'opère de droite à gauche, 
el réciproquement; et dans ce mouvement elles se déplacent, se 
mélangent, disparaissent, et sont remplacées par des vésicules 
nouvelles. Les contractions qui opèrent ce déplacement général 
représentent assez bien les mouvements intestinaux, péristaltiques 
et anti-péristaltiques : le corps entier de linsecte y participe. Frès- 
étendues et très-énergiques au centre de l'abdomen, ces contrac- 
tions vont s'affaiblissant vers la périphérie, où on les aperçoit avec 
peine, surtout en arriére. Les vésicules qui cireulent au milieu du 


DE LA GALE DE L'HOMME. 115 
tissu sarcodique sont globuleuses, dépressibles; leur volume varie 
avec la quantité d’air introduite; on dirait une bulle d’air divisée 
à l'infini et en partie dissoute au milieu d’un liquide où elle a 
perdu ses qualités optiques, tout en conservant certaines propriétés 
essentielles à l'air atmosphérique , telle que la compressibilité. L'ex- 
trémité abdominale de l’œsophage est un grand centre de cireu- 
lation, et les vésicules qui s'y forment sont toujours plus volumi- 
neuses; elles deviennent plus petites à mesure qu'elles pénètrent 
vers des régions plus éloignées du centre. 

104. Tout ce que nous venons de dire du mécanisme de la 
respiration est, à peu de chose près, applicable à la digestion : en 
effet, quand les liquides ont franchi la valvule qui règle les temps 
de la déglutition, ils se répandent dans l'œsophage, où ils circulent 
sous l'influence de ses contractions, comme cela a eu lieu pour 
l'air atmosphérique, et sont ainsi conduits dans le tissu sarcodique, 
qui occupe plus spécialement la région abdominale. Lorsque le 
liquide ainsi absorbé est composé de lymphe sans mélange de glo- 
bules, on le voit se perdre au ruilieu des fluides déjà en circula- 
tion, et l’on ne saurait dire ce qu'il devient; mais quelquefois 
on aperçoit dans l'humeur que charrie lœsophage des corpus- 
cules blancs et rouges de notre sang, de telle sorte qu’on peut 
les suivre quelque temps après leur entrée dans la circulation gé- 
nérale. Ces petits globules ne sont pas entrainés dans les grands 
centres circulatoires avec la même rapidité que les bulles d'air, 
ils séjournent quelquefois des heures entières vers la terminaison 
de l'æsophage, et ce n’est qu'après avoir été longtemps en con- 
tact avec le fluide sanguin qu'ils finissent par aller se perdre dans 
les centres circulatoires antérieurs proprement dits. Ces détails 
sembleraient laisser entendre que le tissu sarcodique est un vaste 
réseau où l'air atmosphérique et les humeurs alimentaires se mé- 
langent sans distinction de temps et de lieu; il n’en est pourtant 
pas tout à fait ainsi : nous avons dit en effet qu'on voyait assez 
souvent (88) une sorte de membrane faire suite aux fibres de 
l'œsophage, s'étendre à droite et à gauche en décrivant une courbe 

15. 


116 TRAITÉ ENTOMOLOGIQUE ET PATHOLOGIQUE 


à convexité antérieure; membrane qui semblait contenir des 
liquides, les isoler des grands centres de la circulation placés 
plus en avant et plus inférieurement, et donner l'idée d’une cavité 
plus spécialement destinée à contenir les liquides nutritifs avant 
qu'ils fussent dispersés dans la circulation générale. Il serait peut- 
être permis de soupçonner dans la disposition de cette mem- 
brane une sorte de cavité intestinale, mais tout cela est si fugitif 
qu'il serait téméraire de trancher cette question d’une manière 
précise. 

105. L’acarus semble avoir des heures détermimées pendant 
lesquelles 1l se nourrit de préférence; ainsi, au dire des malades, 
c’est de dix heures à minuit qu'il les tourmente d'une manière 
plus précise. Nous savons à laide de quels organes 1l aspire nos 
humeurs, et par quel mécanisme il peut irriter les papilles ner- 
veuses qui surmontent le derme. Ce n’est que quand il est gorgé 
qu'il reste immobile et qu'il digère, et généralement il est tellement 
repu, qu'il peut facilement rester vingt-quatre heures sans que la 
faim lexcite à prolonger son sillon et à tourmenter sa proie. Si 
l’'acarus assouvit sa faim de préférence pendant les premières 
heures de notre sommeil, ce n’est pas qu'il y soit excité par 
une nécessité de ses besoins physiologiques : les habitudes du 
malade règlent seules à cet égard celles de l’insecte. Aussi certains 
ouvriers, les vidangeurs et les chiffonniers, par exemple, qui sont 
obligés, par la nature de leurs travaux, à prendre du repos et du 
sommeil pendant le jour, n'éprouvent-ils aucune démangeaison 
tant qu'ils sont en activité; mais dès qu'ils se couchent, serait-ce 
à nudi, ils ressentent les mêmes tourments que les autres malades 
à minuit. Il est facile de se rendre compte de ces changements 
d'habitude auxquels l'acarus se prête avec facilité. Pour qu'il se 
nourrisse, qu'il laboure nos tissus, il faut qu’une douce tempéra- 
ture donne à ses membres toute leur agilité, et que les parties où 
il siége de préférence soient en repos. Où trouverat-il toutes ces 
conditions réunies, si ce n’est quand le corps, chaudement étendu, 
se livre à un sommeil qui engourdit sa sensibilité? Nous ne nous 


DE LA GALE DE L'HOMME. 117 


étendrons pas davantage sur ce sujet : nous aurons à y revenir 
quand nous traiterons de la pathologie. 

106. Nous avons vu comment l'acarus se nourrit, comment il 
digère. Mais toute fonction d'absorption entraine de toute néces- 
sité une fonction de sécrétion; et si l'insecte absorbe des aliments, 
ce qu'ils contiennent d’inassimilable doit être rejeté au dehors : 
c’est en effet ce qui a lieu. Cette fonction excrémentitielle aurait 
pu être traitée dans le même article que la digestion, attendu 
qu'elle en dépend : nous préférons l'isoler, dès que nous sommes 
forcé d'admettre une fonction de sécrétion pour les métamorphoses. 


ARTICLE IT. 


FONCTION DES SÉCRÉTIONS. 


107. Nous avons noté, dans la première partie (88), que la 
région postérieure du corps de l’acarus présentait parfois une accu- 
mulation de granules noirâtres irrégulièrement disséminés dans le 
tissu sarcodique : ces granules ne sont autre chose que des parties 
alimentaires inassimilables, et peut-être des produits nouveaux de 
sécrétion destinés à être expulsés au dehors. Mais avant d’être re- 
jetés, ces granules se réunissent de manière à former un corpus- 
cule noirâtre, ovale ou sphérique, qu’on aperçoit souvent distinc- 
tement vers la région anale, dans des positions qui n’ont rien de 
fixe. Souvent aussi, ces sortes de bols excrémentitiels sont surpris 
au milieu d'un conduit particulier qui tient lieu d’un véritable 
rectum, ou bien encore ils sont réunis au nombre de trois ou de 
quatre au pourtour de l’ouverture anale elle-même, où ils adhè- 
rent à des poils qui bordent cette ouverture. Ce conduit particu- 
lier est manifestement membraneux, et constitué par des fibres 
musculaires susceptibles de se contracter sur le bol fécal et de l’ex- 
pulser. La planche 6, fig. 35, montre ce conduit d'une manière 
évidente. L’extrémité de ce rudiment de canal intestinal est quel- 
quefbis si dilatée et tellement béante, qu’on croirait qu’elle a livré 
passage à des corps bien plus volumineux que ceux formés par les 


118 TRAITÉ ENTOMOLOGIQUE ET PATHOLOGIQUE 
fèces, à des œufs, par exemple; mais cette hypothèse n’a jamais 
pu se traduire en fait, attendu qu'il nous a toujours été impos- 
sible de constater de visu par quelle voie les œufs sont pondus. 
108. Occupons-nous maintenant de la fonction de sécrétion la 
plus importante pour l'acarus, de celle qui a pour but la repro- 
duction d'une enveloppe nouvelle. Il est soumis, comme beaucoup 
d'insectes d’un ordre supérieur, à un dépouillement périodique, 
à une véritable mue quand s’opèrent les métamorphoses, sans que 
nous puissions dire pourtant quelle est la fréquence et l'époque 
précise de ces métamorphoses. Les premiers indices qui indiquent 
d'une manière certaine un dépouillement procham, sont une 
irrégularité dans les contours des pièces solides intérieures, tels 
que la pièce sternale, les épimères, les articles des pattes, les 
palpes, etc. etc. un plus grand épaississement des contours de 
ces organes, une plus grande difficulté pour fixer le foyer optique 
sur un point déterminé de structure intérieure, enfin lexistence 
de pénombres inhérentes aux parties elles-mêmes, et qu'on attri- 
buerait à limperfection des lentilles, si l'on ne savait expliquer 
cet eflet. Il y a dans l'aspect général un empâtement qui s’op- 
pose à une observation nette, tous les organes intérieurs sont 
comme recouverts d'une couche plastique; on voit bien qu'ils ten- 
dent à s’emboiter dans des organes sécrétés sur eux comme sur 
un moule. Lorsque la sécrétion a acquis plus de densité, toutes 
les parties solides prennent la teinte rougeâtre qui doit leur appar- 
tenir, et bientôt on a deux acarus emboités l'un dans l’autre. À cet 
état, linsecte est soumis à un jeûne prolongé, il reste plusieurs 
jours immobile, à l'extrémité de son terrier; il maigrit, et souvent 
on le croirait desséché et privé de vie : il n’en est rien; ce som- 
meil léthargique ne sera pas de longue durée. Peu à peu, à l'aide 
des mouvements intérieurs, et sans doute aussi par l'effet de la 
sécheresse qui existe à la paroi interne de l’ancienne enveloppe, 
celle-ci se sépare du tégument de nouvelle formation, et bientôt, 
comme il est facile de le constater sur les contours du corps, il 
y à un espace libre entre les deux enveloppes. Quand les choses 


DE LA GALE DE L'HOMME. 119 
en sont à ce point, le dépouillement est facile à opérer; pour cela, 
le test, qui est devenu une enveloppe imutile, se fend verticale- 
ment au milieu de la face ventrale, vers l'extrémité des épimères ; 
et l'acarus, à l'aide de mouvements énergiques, tire ses pattes 
des étuis qui les renferment. Celles-ci lui servent ensuite pour 
dépouiller sa tête, qu'il retire comme d’un capuchon. Le même 
effet se produit pour les pattes postérieures, et quand le reste 
du corps s’est débarrassé des lambeaux qui le recouvrent encore, 
l'acarus apparait petit, chétif, amaigri, mais très-agile. Que fait- 
il alors, quand il se dépouille, non sous notre microscope, mais 
dans son sillon? c'est ce qu'il serait diflcile de dire; peut-ctre 
perce-t-1l lépiderme qui le retient prisonnier, et va-t1l s'enfouir 
dans un autre lieu : ce qui le ferait supposer, c'est que nous 
avons quelquefois trouvé, à l'extrémité des sillons abandonnés, 
des débris tégumentaires. Un jour, au début de nos recherches, 
nous observions un acarus qui nous semblait contenir dans son 
intérieur un acarus plus petit, formé à son image ; et comme nous 
ignorions encore que l’acarus füt sujet à des métamorphoses, ce 
phénomène piqua vivement notre curiosité. Nous cherchions à nous 
rendre compte d’une disposition si nouvelle pour nous, en faisant 
varier le degré de compression, lorsque nous vimes l'enveloppe 
extérieure se déchirer entre les deux pattes situées à gauche de 
la tête, et livrer passage à tout l’acarus qui était contenu intérieure- 
ment. La figure 37 de la planche 6 représente ce dépouillement 
artificiel avec une grande vérité. Voici comment il s’opéra. Sous 
un premier effort de compression, la tête se retira de son four- 
reau (b), vint se présenter à la déchirure faite entre les deux 
pattes, traversa ce détroit, s’effila, puis elle reprit le volume 
qu'elle a en c (fig. 37 bis). Après la tête, vint la première patte 
gauche, puis la patte droite, enfin deux autres pattes antérieures 
dans le même ordre que les précédentes. Ces quatre extrémités 
se prêtèrent avec facilité à l’étroit passage qu'avait suivi la tête, 
et comme celle-ci elles s'effilèrent et prirent la forme qu’elles 
ont en d, d, d, dès qu’elles furent libres. Parvenue à ce point. 


120 TRAITÉ ENTOMOLOGIQUE ET PATHOLOGIQUE 

cette métamorphose s'arrêta; 1l fallut une compression plus forte 
pour provoquer l'expulsion du corps, qui, une fois devenu libre, 
vint s'épanouir dans la position qu'il offre planche 6, fig. 37 bis. 
Nous avons observé plus de mille acarus sous le microscope, 
cependant ce phénomène ne s’est produit qu'une seule fois : nous 
le regrettons, parce qu'il nous aurait certainement fait assiter à la 
régénération de tous les organes intérieurs qui se forment aimsi 
lentement dans le but de remplacer ceux qui seront bientôt mis 
hors d'usage ; nous regrettons au même titre d’avoir observé ce fait 
dès le début de nos recherches, car alors nous ignorions complé- 
tement l’intéressante organisation de l’acarus, et nous ne pouvions 
tirer aucun profit de cette observation. Remarquons toutefois, au- 
tant que ce dessin, fait à un si faible grossissement, peut nous 
permettre d’en juger, que tous les organes importants de la vie de 
relation se voient dans lune et dans l'autre figure, et même jus- 
qu'aux mandibules, de telle sorte que le tissu sarcodique manque 
seul à l’organisation complète du test vide de la figure 37. La mé- 
tamorphose qu'éprouvait cet insecte n’était pas la us , puisque 
déjà il avait ses huit pattes. 

Nous ne chercherons pas à faire comprendre comment des 
pièces aussi compliquées, et si profondément placées, peuvent 
être extraites à l'extérieur, et se suppléer par une sorte de création 
nouvelle; une étude faite sur des insectes d’un plus grand volume, 
chez les crustacés, par exemple, en donnerait une facile explica- 
ton. D'ailleurs, faire l'application de ce qui se passe chez d’autres 
insectes à lacarus, nous entrainerait trop loin de notre but; nous 
laisserons d'autant plus volontiers cette lacune à combler, qu'il 
nous semble à peu près impossible, aujourd’hui, avec nos gros- 
sissements de 8 à 900 fois, de découvrir les détails infinis des 
métamorphoses : celles-ci doivent être fréquentes, à en juger par 
le nombre d'insectes qu'on rencontre en voie de dépouillement. 
Ce qui paraît certain, c'est que la première métamorphose donne 
à la jeune larve huit pattes au lieu de six, et fait du mâle 
un insecte parfait, avec tous les organes qu'il conservera sa vie 


DE LA GALE DE L'HOMME. 121 


durant; du moins les acarus mäle du mouton et du cheval per- 
mettent de le croire. La femelle, au contraire, subit plusieurs dé- 
pouillements qui paraissent modifier légèrement son organisation, 
et qui sont subordonnés à ses fonctions, suivant la période de sa 
vie. Ainsi, après la première métamorphose, elle est propre à l'ac- 
couplement; après la seconde ou la troisième, à la ponte. Après 
la période de l'accouplement, c’est-à-dire après la première méta- 
morphose, un petit organe situé en a (fig. 12, pl. 3) manque et 
n'apparait qu'après la seconde. Le volume de la femelle augmente 
à chaque métamorphose. 


ARTICLE IV. 


FONCTION DE LA REPRODUCTION OU DE LA GÉNÉRATION. 


109. S'il est une question physiologique qu'il importe au mé- 
decin de discuter avec soin quand il traite des fonctions de l'aca- 
rus, c'est imcontestablement celle qui concerne sa reproduction, 
car aucune n’est plus intimement liée à la pathologie proprement 
dite. Il nous suflira d’énoncer les propositions suivantes pour jus- 
tifier cette assertion. 

C'est en se multipliant que lacarus donne à la gale toute sa 
gravité. 

C’est en arrêtant la reproduction de Vacarus qu'on guérit la 
maladie. 

Pour être atteint de la gale, il faut de toute nécessité qu'un ou 
plusieurs acarus se transmettent d’un galeux à un individu qui ne 
l'est pas. 

Si l'acarus transmis est seul de son espèce, et c’est presque 
toujours par un seul, dans les conditions ordinaires, que s'opère la 
contagion, il pourra être mâle ou femelle. Si c’est un mâle, la propa- 
gation des acares étant impossible, un seul insecte fera donc naître 
les accidents connus de la psore. Si, au contraire, c'est une fe- 
melle, il faudra supposer, ou que cette femelle restera seule comme 
le mâle, sans accouplement possible, et sera comme lui cause 


SAVANTS ÉTRANGERS. — xII. 16 


122 TRAITÉ ENTOMOLOGIQUE ET PATHOLOGIQUE 


unique de la maladie, ou qu'elle aura été fécondée avant d’a- 
voir été transmise. Dans les deux premières suppositions de la 
transmission d’un seul acarus mäle, ou d’une femelle non fé- 
condée, la gale serait due à la présence d’un seul insecte; dans 
la troisième supposition de la transmission d’une seule femelle 
fécondée par anticipation, tout s'expliquerait : des générations 
successives propageraient la maladie. Mais ces trois hypothèses 
ne sont pas les seules qu'il soit permis de former; il pourrait 
encore arriver que plusieurs acarus transmis fussent tous mâles, 
ou femelles non fécondées, et dans ce cas, ces insectes en petit 
nombre développeraient les accidents psoriques avec plus d'in- 
tensité que s'ils eussent été seuls, mais avec moins de facilité que 
si une seule femelle fécondée eût été transmise. Ce n'est pas gra- 
tuitement que nous imaginons toutes ces hypothèses; elles peu- 
vent se traduire en fait, et bien des erreurs de diagnostic ont été 
commises, faute de les avoir prévues. 

I est nécessaire de faire une autre observation, afin d'apprécier 
le rôle de linsecte dans l'étiologie de la gale : c'est que jamais 
nous n'avons rencontré d’acarus mâle dans les sillons, et cepen- 
dant le mäle doit exister. Mes observations d’entomologie com- 
parée sur les acares du cheval ou du mouton en particulier, me 
les ont montrés doués d’aptitudes génésiques si développées; ils 
présentent parmi eux les mäles en si grand nombre, ils sont sous 
tant de rapports identiques à l’acarus de l'homme, qu’on peut 
conclure à priori du connu à l'inconnu, et avancer que le sarcopte 
mäle humain est, comme celui des animaux, prodigue de ses 
faveurs. 

Nous apprécierons, à l'article diagnostic, les conséquences que 
peut avoir sur la marche de la maladie la transmission d’un 
plus où moins grand nombre d'insectes. C’est de la génération 
qu'il s’agit en ce moment; à ce titre, la présence ou labsence du 
mâle doit surtout nous occuper”. 


* Nous avons dit que nous n'avions jamais rencontré de mäle; cela tient sans 
doute à ce que nous ignorions alors les nombreuses métamorphoses que subissent 


DE LA GALE DE L'HOMME. 123 


Nous avons tenté plusieurs expériences dans le but de constater 
s'il n’y avoit réellement pas de mâles parmi les acarus qui offraient 
tous la même organisation. Pour cela, nous avons placé une quin- 
zaine d’acarus bien vivants dans deux petites lames à godets, où 
ils pouvaient circuler à leur aise, et nous les avons observés au 


les acarus, la nécessité plus absolue pour la femelle que pour le mâle de vivre 
dans un sillon, et la faculté dont jouissent les femelles de pondre un grand nombre 
d'œufs éclosables, après un seul accouplement et plusieurs métamorphoses. — L'é- 
tude entomologique et physiologique de l'acarus du mouton nous a en effet donné 
l'explication de plusieurs phénomènes applicables à l'acarus de l'homme, entre 
autres de la fécondation, dont les femelles sont douées par le fait d’un seul ac- 
couplement. — Voici, en effet, à quels changements sont soumis les acarus du 
cheval et du mouton. — Quand la larve, pourvue seulement de ses six pattes, 
éprouve la première métamorphose qui la fait insecte parfait, elle devient mâle ou 
femelle, et avec des caractères tellement tranchés, que la moindre observation suffit 
pour distinguer les deux sexes. Le mâle suit les phases de son existence sans éprou- 
ver de métamorphose : il croît en volume, est propre à plusieurs accouplements, 
mais sans subir de transformation. La femelle, au contraire, a pour caractères dis- 
tinctifs, à l'état d'insecte parfait, de porter de longs poils aux deux paires de pattes 
postérieures, d'être pourvue, à la région postérieure de la face dorsale, de deux 
appendices sous forme de tubercules saillants, destinés à être recouverts pendant 
l'accouplement par deux ventouses que le mâle porte à la région postérieure de la 
face abdominale; enfin, elle manque d’un organe particulier, probablement propre 
à la ponte, qui ne se développe qu'à la troisième phase de ses transformations. — A la 
deuxième métamorphose, la femelle perd les insignes de son sexe, les appendices 
saillants qu'elle porte à la région postérieure de la face dorsale disparaissent, et la 
deuxième paire de pattes postérieures est armée, non plus d'un long poil, mais 
comme les quatre pattes antérieures, d'un ambulacre à ventouse. Enfin, à la troi- 
sième métamorphose, elle conserve la ventouse de la deuxième paire de pattes, porte 
souvent des œufs ou des rudiments d'œufs dans la cavité abdominale, et se trouve 
pourvue d'un organe particulier, à la fois solide et membraneux, qui semble destiné 
à donner passage à l'œuf lors de la ponte. — Un simple coup d'œil suffit pour dis- 
tinguer si la femelle est à la période, soit de l'accouplement, soit à l'état transitoire 
pendant lequel elle n’est propre ni à la fécondation, ni à la ponte, soit enfin à la 
période de la ponte. —Si l'on nous a bien compris, il est entendu que la fécondation 
n'est possible qu'à la première métamorphose , qui fait de la femelle un insecte par- 
fait, qu'un seul accouplement féconde des pontes successives, malgré les deux mé- 
tamorphoses qui le suivent, et que la ponte elle-même n'est possible qu'a la troi- 
sième génération. — Tels sont les faits importants que nous a révélés l'étude des 
acarus du cheval et du mouton, et dont l'application à la physiologie de l'acarus de 
l'homme devait expliquer certains phénomènes, qui, à bon droit, nous causaient 


16. 


124 TRAITÉ ENTOMOLOGIQUE ET PATHOLOGIQUE 


microscope pendant la nuit, aux heures où ils veillent habituelle- 
ment et à une douce température, en les mettant enfin dans les 
conditions les plus propres à éveiller leurs instincts génésiques : ils 
étaient tous très-vivants et d’une agilité extrême; on les voyait se 
heurter, passer l'un au-dessus de l'autre; mais jamais nous n'avons 


quelque surprise. — En effet, ce n'était pas sans étonnement que nous trouvions, 
dans les sillons, des acarus toujours semblables quant à leur organisation, fréquem- 
ment suivis dans le cuniculus d'une traînée d'œufs, à tous les degrés d'incubation ; 
en un mot, ayant tous les caractères du sexe femelle : de telle sorte que, ne rencon- 
trant jamais de mâles dans les sillons où l'acarus en général nous paraissait con- 
damné à vivre , nous en arrivions à conclure que la présence du mâle n'était que 
secondaire dans la fécondation. Ce fait, tant de fois constaté, d'acarus suivant 
leur sillon pendant une ou plusieurs semaines sans en sortir, et pondant derrière 
eux, au fur et à mesure que j'enlevais leurs œufs, c'est-à-dire sans accouplement 
nouyeau une fois le sillon commencé, permettait de supposer, à bon droit, que 
l'approche fréquente du mâle n’était pas nécessaire à la fécondation de la femelle. 
— L'étude des fonctions génitales de l'acarus du mouton à justifié cette dernière 
observation et nous en a donné l'explication, en nous montrant que la liqueur sémi- 
nale, une fois reçue, conserve sa propriété fécondante, même après plusieurs méta- 
morphoses. — Comparant donc entre eux les acarus de l'homme et du mouton, 
nous en avons conclu que le premier subissait, comme le second, des métamor- 
phoses successives : la planche 6, fig. 37, le prouve, attendu que ce n'est pas une 
larve, mais bien un insecte complet qui se transforme. — Nous avons compris, enfin , 
comment l'acarus femelle de l'homme, fécondé une fois pour toutes par un simple 
accouplement, pouvait pondre dans le même sillon sans en sortir, puisqu'il devait 
être, comme celui du mouton, impropre à l'accouplement à la période de la ponte. 
— Nous supposons de plus, et l'avenir le démontrera, que le mâle, loin de vivre, 
comme la femelle, dans un sillon qu'il poursuit pendant plusieurs semaines, doit 
se contenter de fouir l’épiderme momentanément, pour obéir à l'instinct de sa con- 
servation : il est probable qu'il se cache sous l'épiderme afin d'y absorber des sucs 
nourriciers et se mettre à l'abri des agents extérieurs qui, pendant le jour, pour- 
raient causer sa mort, el l'enlever de l’épiderme. — Si la fixité est une condition 
absolue pour la femelle à la période de la ponte, la mobilité, au contraire, est une 
nécessité pour le mâle. Tout porte à croire qu'il pénètre sous l'épiderme, et en 
sort pendant la nuit, à l'heure de notre premier sommeil, et qu'il en est de même 
pour les femelles avant qu'elles aient subi les deux métamorphoses qui les rendent 
impropres à l'accouplement. Il est d’ailleurs difficile de dire si c'est sous l'épiderme, 
dans des sillons spéciaux, ou à sa superficie, que cet accouplement s'opère. — 
D'autres observateurs, guidés par ces indications, trouveront sans nul doute le 
mäle , que nous avons en vain cherché dans les sillons, surtout s'ils font usage du 
microscope mobile. 


DE LA GALE DE L'HOMME. 125 


pu entrevoir la moindre velléité de rapprochement. Un autre jour, 
nous en avons mis dix dans les mêmes conditions, une troisième 
fois seulement quatre; et, dans ces expériences, ils sont toujours 
restés des heures entières sans laisser apercevoir qu'ils sentissent 
le besoin de l’accouplement. Comme on le pense bien, pendant 
cette observation, nous comparions avec soin les formes exté- 
rieures de ces insectes, dans l'espérance de saisir quelques carac- 
tères distinctifs des sexes, mais nous ne vimes jamais entre eux 
la moindre différence. 

110. L'expérience que nous tentions nous paraissait peu con- 
cluante, car des acarus ainsi dépaysés, devaient bien plutôt obéir à 
l'instinct de leur conservation particulière qu'à celui de leur repro- 
duction; et, pour faire la part des influences extérieures dans l’in- 
différence de nos acarus, il nous vint à l'idée de mettre dans 
les mêmes conditions plusieurs acarus de fromage (sarcopte de 
M. Dugès): et quel ne fut pas notre étonnement de voir des in- 
sectes si voisins montrer des aptitudes génésiques si différentes. 
Du premier coup d'œil, en effet, il nous fut facile de distinguer, 
parmi ces mites de fromage, des individus de sexes différents : 
les uns volumineux, allongés, aux pattes sveltes, bien propor- 
tionnées, presque gracieuses, et animés de mouvements lents et 
compassés; les autres plus petits, trapus, à pattes antérieures 
presque difformes, et jouissant d’une agilité sans pareille !. Les 
premiers, toujours occupés à se défendre, les seconds attaquant 
avec audace, luttant avec énergie. Ce tableau si animé et rendu 
encore plus expressif à la faveur d’une amplification qui tra- 
duisait des instincts, et peut-être des sentiments de haine, de ja- 
lousie et d'amour, captiva longtemps notre curiosité : pour mieux 
la satisfaire, deux sacoptes, lun mâle, l’autre femelle, furent sé- 
questrés et soumis ensemble à une pareille observation. Ainsi 


‘ 
* Les caractères qui distinguent l'acarus mâle du mouton ou du cheval sont 
encore plus tranchés. On le rencontre très-fréquemment accouplé. — Nous publie- 
rons sous peu un travail complet sur la gale de ces animaux, fait à Alfort en com- 


pagnie de M. Delafond. 


126 TRAITÉ ENTOMOLOGIQUE ET PATHOLOGIQUE 


isolés des autres, ces deux acares se livrèrent à tout leur instinct, 
et nous rendirent témoins de ces ébats dont les animaux en rut 
donnent souvent le spectacle. On croiroit à peine aux ruses, aux 
expédients employés par le mâle, à l'indifférence, au flegme de 
la femelle; on nous accuserait de faire injure à la nature, si nous 
montrions qu’elle a prodigué les mêmes faveurs à la mite du fro- 
mage qu'à des animaux supérieurs. Qu'il nous suflise de dire qu'à 
ses premières avances, le mâle fit succéder des provocations plus 
expressives ; que la femelle, sortant enfin de son indifférence, ré- 
pondit à la violence par la violence, et que, dans cette lutte achar- 
née, la victoire, longtemps douteuse, resta enfin à linfatigable 
agresseur. Le physiologiste, l'entomologiste surtout, n’auroient pu 
voir ce tableau sans un vif intérêt; car ils eussent constaté avec 
quelle perfection les organes sexuels sont développés chez les sar- 
coptes : vingt fois ils auraient pu mesurer de Pæil le volume, la 
longueur, la forme de l'organe sexuel mâle, quand le sarcopte, 
croyant l’accouplement possible, s’épuisait en efforts superflus pour 
atteindre le but de ses désirs; enfin, ils auraient vu l'accouplement 
s'effectuer, et le calme succéder à une lutte si prolongée. Mais re- 
venons à notre sujet, et laissons à d’autres observateurs le soin de 
faire l'anatomie et la physiologie du sarcopte : cela leur sera facile 
si nous en jugeons par ce simple aperçu. 

111. Ainsi donc notre acarus scabiei, mis dans les mêmes condi- 
tions que le sarcopte, est loin de se comporter comme lui, et quoi que 
nous ayons pu faire jusqu'à présent, nous n’avons pu découvrir chez 
lui le moindre caractère distinctif des sexes. On se gardera de pren- 
dre pour des parties sexuelles un petit organe en forme de pointe 
de lance (pl. 3, fig. 12, a), de la couleur et de la consistance des 
parties solides. Sa position, sa structure et sa forme ont attiré 
notre attention; mais nous avons constaté que tous les acarus sans 
exception, même ceux qui portent des œufs dans l'abdomen, sont 
doués de ce petit organe, dont nous ne pouvons préciser l'usage. 

Nous mentionnerons aussi un petit poil d'une finesse extrême, 
qu'on apercoit très-difficilement sur la ligne médiane, vers la face 


DE LA GALE DE L'HOMME. 127 


ventrale, et qu'on pourroit prendre pour un cordon diversement 
plié, appartenant aux organes génitaux. Quelques insectes ayant 
l'organe sexuel mâle ainsi conformé, on serait porté, à priori, à 
voir là une analogie de forme et de fonction; mais il n’en est rien. 
Si nous parlons de ce filament, c’est plutôt pour montrer que rien 
ne nous a échappé, que pour combler une lacune insignifiante 
(voir pl. 9, fig. 56, o). 

112. Puisqu'il ne nous a été donné de rencontrer que des aca- 
rus tous femelles, avons-nous, du moins, pu découvrir, dans l'ab- 
domen de ces insectes, des ovaires, des tubes qui en tiendraient 
lieu, et surtout un oviducte? Nous avons fait de nombreuses re- 
cherches à ce sujet, et nous sommes obligé de le confesser, nous 
avons été impuissant à découvrir le moindre vestige de ces or- 
ganes : ils existent très-probablement, car les œufs naissent d’un 
germe particulier ou de plusieurs ovaires, à l'existence desquels 
nous devons croire, bien qu'on ne puisse les découvrir. Nous 
avons souvent cru apercevoir dans le tissu abdominal des vésicules 
que nous prenions pour des ovaires, mais qui, vérification faite 
sur une plus grande échelle, n'étaient autre chose que des œufs à 
leur premier degré de développement. Les œufs, en effet, se dé- 
veloppent chez l'acarus avec une fécondité extraordinaire. Quand 
un œuf est arrivé à un développement complet, et qu'il est sur le 
point d’être pondu, un second œuf rudimentaire s'aperçoit ordi- 
nairement dans un point quelconque de l'abdomen; car, chose sin- 
gulière! les œufs occupent toutes les régions imaginables du corps 
de l'insecte. Ainsi la planche 6, fig. 38, a, a, nous présente l'œuf 
dans sa position la plus ordinaire, au milieu de l'abdomen, entre 
les pattes postérieures. Dans la planche 7, fig. 39, b, l'œuf, au 
contraire, occupe le point central du corps, il empiète sur la pièce 
sternale et sur un des épimères, et, phénomène bien digne de re- 
marque, le jeune insecte contenu dans l'œuf se développe à l'in- 
térieur de lacarus qui le contient, comme s’il avait été pondu. 
On aperçoit, en effet, dans l'œuf des formes qui se dessinent: on 
dirait qu'il a subi comme trois jours d'incubation, et l’acarus 


128 TRAITÉ ENTOMOLOGIQUE ET PATHOLOGIQUE 


est plein de vie. Tous ces faits ont vivement excité notre cu- 
riosité, car ils paraissent s'éloigner beaucoup des idées générale- 
ment reçues. Mais si nous avions quelque raison d’être surpris, 
de voir ainsi des œufs naître irrégulièrement dans toutes les par- 
lies de l'abdomen, quel n'a pas dû être notre étonnement, lors- 
qu'un jour nous avons rencontré sous le microscope un acarus 
d'un volume énorme et qui contenait dans son corps quatre œufs 
déjà en partie développés (pl. 7, fig. 4o, c, d, e, f), à tel point 
qu'ils montraient, pour la plupart, l'embryon déjà parfaitement 
organisé. Ainsi les œufs c, f laisseraient déjà voir les ambulacres 
des pattes antérieures, s’il était permis de les observer isolément. 

113. Moins heureux que les observateurs qui nous ont pré- 
cédé, nous n'avons jamais vu d'acarus pondre sous nos yeux; 
nous ne pouvons donc dire : l'œuf suit telle ou telle voie, franchit 
telle ou telle ouverture. Nous en sommes réduit à former des hy- 
pothèses à cet égard. Deux ouvertures pourraient livrer passage aux 
œufs : une première presque commune avec lanus; une seconde, 
en forme de fente, transversalement placée sur la face ventrale, 
un peu en arrière de la pièce sternale et des épimères. Voici 
sur quelles raisons nous nous fondons pour motiver notre réserve : 
très-fréquemment nous avons vu le cloaque de la région anale 
fortement distendu et largement ouvert, bien au delà de ce que 
nécessiterait le passage du bol fécal, et de plus, cette déhiscence 
ne portait pas également sur toute l'étendue du tube qui con- 
duit les fèces; maintes fois 1l nous a été facile de constater que 
l'ouverture en question offrait plusieurs parois ou plusieurs lèvres, 
les unes superficielles et plus déjetées en dehors, les autres 
plus profondes, et appartenant spécialement au tube intestinal ru- 
dimentaire. La planche 6, fig. 35, c donne assez bien l'idée de 
cette disposition : de telle sorte que, sans pousser trop loin l'in- 
duction, on pourrait croire à lexistence d’un conduit particulier 
destiné à la ponte des œufs, et qui serait placé au-dessus du 
canal intestinal. Ces données, bien qu'incertaines, pourraient nous 
faire voir là un oviducte. 


DE LA GALE DE L'HOMME. 129 


Les raisons qui donnent quelque vraisemblance à la deuxième 
hypothèse sont les suivantes : 

IL existe, et c'est M. Milne Edwards qui, un jour, en a fait la 
remarque en examinant un acarus à notre microscope, il existe, 
dis-je, vers le tiers antérieur du tronc, du côté de la face ven- 
trale, une ligne sinueuse terminée par une courbe à concavité 
antérieure (pl. 3, fig. 12, bb), ligne ineffaçable chez certains 
acares, quel que soit le degré de compression qu'on exerce sur 
elle, et qui montre parfois les caractères d’une fente quand on 
fait jouer sur elle le système optique. Pourquoi une apparente 
ouverture d’une telle étendue à l'enveloppe extérieure et dans 
une telle région, si ce n’est pour donner passage aux œufs, 
comme cela a lieu chez tant d’autres insectes? Telle est la ques- 
tion qu'on se pose naturellement, et qu'on a quelque tendance 
à résoudre dans le sens que nous venons d'indiquer, quand on 
voit les œufs approcher d'autant plus de cette ouverture, qu'ils 
sont plus près de leur développement complet, et surtout quand 
on remarque quelle juste proportion semble exister entre le vo- 
lume de l'œuf et cette fente. 

Toutes ces raisons ne nous permettent pourtant pas de dire 
si la ponte s'opère par cette fente transversale de la face ven- 
trale, ou par l'ouverture qui nous a paru exister vers la région 
anale. 

114. Il y avait sans doute une expérience à faire pour rencontrer 
plus sûrement des acarus mâles: c'était de prendre plusieurs larves 
au moment de l’éclosion, de les déposer sur la peau à l’état de 
liberté, ou renfermées sous des verres de montre, et de suivre 
le développement des Jeunes insectes dans les diverses phases de 
leur existence. Nous avons tenté ces essais sans résultats impor- 
tants. Ces mêmes expériences ont été répétées sur plusieurs per- 
sonnes, en déposant des œufs sous une pellicule de leur épiderme, 


L L'aspect de cette fente, représentée également à la figure 4, pl. 1, en m, a 


été exagérée par le graveur; elle à la teinte des plis qui sillonnent l'enveloppe de 
l'insecte. 


SAVANTS ÉTRANGERS. — x11. 17 


130 TRAITÉ ENTOMOLOGIQUE ET PATHOLOGIQUE 

et cela sans plus de succès. Nous n’en sommes qu'à demi sur- 
pris: bien des causes imprévues devaient troubler l'évolution de 
l'œuf. 


CHAPITRE III. 


DE L'OVOLOGIE OU DE L'EMBRYOGÉNIE DE L'ACARUS. 


115. Fidèle au plan que nous avons tracé, nous abordons 
l'étude de l’acarus scabier à l'état d'œuf et à l'état de larve. Nous 
allons suivre l'insecte dans ses développements successifs, depuis 
le moment où le contenu de œuf entre en travail pour s’animer, 
jusqu’à celui où le jeune acarus, déjà pourvu de tous ses organes, 
peut devenir une cause d'irritation pour le sujet qui le porte. 
L’acarus femelle, dans la vie d'isolement qu'il mène à la période 
de la ponte, semble exclusivement satisfaire à deux besoins, ceux 
de se nourrir et de procréer: il poursuit sa route vers des lieux 
nouveaux, sans jamais faire un retour vers la famille qu'il laisse 
derrière lui. Chaque ponte est ordinairement de quatre œufs, et 
demande trois à quatre jours pour être complète. Pendant ce 
temps l’acarus déroge à ses habitudes, il reste à la même place, 
et ce n'est que quand les quatre œufs sont pondus qu'il s'éloigne 
d'un millimètre toutes les vingt quatre heures. Il prolonge aimsi 
son sillon pendant quatre à cinq jours, puis il fait une ponte 
nouvelle encore de quatre œufs, et ainsi de suite. Notre attention 
a été fixée pendant plus d’un mois sur plusieurs insectes dont 
nous enlevions les œufs à mesure qu'ils étaient pondus, et nous 
avons pu en extraire ainsi Jusqu'à seize pour chacun d'eux. Le 
plus souvent les œufs sont déposés par couvées de quatre, et dans 
ce cas, ils sont rangés par paire, suivant la largeur du sillon. Quel- 
quefois cependant les œufs se touchent par leurs extrémités et sur 
une seule ligne, de sorte qu'on les trouve cachés sous l'épiderme sur 
une longue trainée parfaitement régulière ; dans ce cas, la ponte est 
généralement plus nombreuse, par séries de quatre à huit œufs, par 


DE LA GALE DE L'HOMME. 131 
exemple. Quoique l'insecte ne montre aucun intérêt pour la géné- 
ration qu'il laisse ainsi derrière lui, il faut pourtant dire qu'il évite 
avec un soin particulier de les maculer de ses fèces: celles-ci, en 
effet, sont accumulées en avant des œufs, et ne les recouvrent 
jamais. Quand l'œuf est pondu, il s'imprègne d’un suc qui lui 
permet de prendre de fortes adhérences sur la paroi inférieure 
du sillon, et souvent l'adhésion est telle qu'il faut user de grands 

. ménagements pour ne pas crever sa légère pellicule d'enveloppe, 
quand on cherche à l'enlever. Le côté de l'œuf qui est en rapport 
immédiat avec le tégument présente comme de petites matrices 
extérieures dans les points où l’adhérence a lieu, ce qui laisserait 
à penser que lexhalation cutanée porte directement à l'œuf des 
produits nutritifs. L'air ambiant, grâce aux petites ouvertures que 
linsecte fait à l'épiderme à chacune de ses stations, peut aussi 
parvenir facilement jusqu'aux œufs, et leur fournir les éléments 
d'une respiration en quelque sorte latente. 

L'étude de l'œuf nous a longtemps préoccupé; nous voulions 
suivre et représenter heure par heure toute son évolution, depuis 
le moment de sa ponte jusqu’à celui où le jeune acarus brise la 
coque qui le retient prisonnier. Nous avons dans ce but soumis 
les œufs à une incubation artificielle en les exposant à la douce 
chaleur d’une petite étuve qui remplaçait la chaleur naturelle du 
corps. Ces expériences nous ont conduit à des résultats pleins 
d'intérêt, et pourtant les difficultés de pareilles études sont telle- 
ment insurmontables, qu'il nous a été impossible de réaliser tout 
ce que nos espérances se plaisaient à entrevoir. L’œuf, en effet, 
est un corps d’une conformation et d’une structure bien défavo- 
rables à l'observation microscopique; quel que soit le plan de son 
épaisseur où l'on porte le foyer optique, toujours la lumière ré- 
fractée forme des ombres qui enlèvent à l'observation toute sa 
netteté et sa précision. Veut-on diminuer ces obstacles inhérents 
à la forme de l’objet en le comprimant sur une de ses faces? il 
se crève et inonde le champ de l'instrument. Voici cependant les 
moyens qui nous ont le mieux réussi dans cet examen. Pour juger 


17: 


132 TRAITÉ ENTOMOLOGIQUE ET PATHOLOGIQUE 


du temps de lincubation nécessaire au développement complet 
de l'embryon, des œufs ont été déposés sur une lame de verre, 
et portés au foyer du grand microscope: nous en notions avec 
soin l'aspect intérieur, et nous déposions la petite lame, sans 
toucher à l'œuf, dans une petite boîte destinée à être placée à 
l'étuve. Quelques heures après nous portions la lame sur le com- 
presseur pour observer de nouveau au grand microscope. Toutes 
les lames subissaient la même opération, et pour toutes nous 
notions avec exactitude le progrès de lincubation. À priori, nous 
espérions beaucoup de ces observations; il nous semblait qu’elles 
devaient nous conduire à des résultats importants ; il n’en fut 
pourtant rien. Sans doute qu'il était rationnel de placer l'œuf dans 
toutes ces conditions, pour bien saisir le travail de l’organisation 
intérieure ; car en le laissant dans une position invariable , on 
l’observait avec suite, sans courir le risque de déposer ce corps 
ovoide tantôt sur une face et tantôt sur une autre ; mais un œuf 
soumis à l'examen microscopique sans le secours d'aucun réactif 
propre à augmenter sa transparence , est un corps toujours couvert 
d'un voile presque impénétrable; de telle sorte que toutes ces 
expériences faites sur des œufs dont nous ne troublions pas le 
travail organisateur ne nous amenaient qu’à des résultats grossiers ; 
elles nous donnaient vaguement le temps de Pincubation, et rien 
de plus. Il nous fallut donc en venir à un autre mode d'examen; 
à sacrifier tous les œufs soumis à l’étude, en les infiltrant de 
réactifs, et attendre ainsi d’une longue observation, un peu livrée 
au hasard, l'explication que ne pouvait nous donner une incuba- 
tion méthodique. Des œufs nouvellement extraits de leur sillon, 
ou provisoirement déposés à l’étuve, nous servirent donc alors à 
découvrir ce qu'il nous importait de connaitre. Les plus puissants 
objectifs, la lumière la plus pénétrante, le compresseur, vinrent 
en aide à ce difficile examen, et c’est en observant des centaines 
d'œufs que nous sommes parvenu à comprendre quelle modifi- 
cation éprouve leur contenu avant de produire un acarus. 

116. L’œuf est un corps ovoïde parfaitement régulier, de 0,2 


DE LA GALE DE L'HOMME. 153 


en longueur et de 0,1 en largeur, ayant une des extrémités un 
peu plus volumineuse que l’autre. IH varie quelquefois de forme 
et de volume: mais c’est par de rares exceptions. Il est blanc à 
l'œil nu et de l'apparence d’une petite vésicule remplie de liquide. 
Son aspect au microscope est différent suivant que le foyer op- 
tique porte à sa superficie ou sur son point central. Quand on 
cherche à examiner ses contours avec netteté, le centre se marque 
d’une ombre impénétrable ; lorsque le foyer porte au contraire 
sur son centre, mais superficiellement, on aperçoit des granules 
infiniment petits et sphériques. Quand le foyer porte vers le 
point tout à fait central, les bords de l'œuf décrivent comme un 
double cercle, dont le jeu des rayons réfractés par un corps ovoïde 
rend parfaitement compte. 

117. Pour bien comprendre la structure de l'œuf et $on évo- 
lution embryonnaire, nous diviserons par vingt-quatre heures les 
points d’arrêt, ou mieux les phases diverses par lesquelles il passe 
successivement. 

Nous aurions bien désiré trouver dans les auteurs des notions 
applicable à l'étude de l'œuf de l'acarus scabiei, car elles nous 
eussent facilité l'intelligence des phénomènes que nous avions à 
interpréter; mais la science entomologique est assez pauvre à ce 
sujet, et sauf le traité d'ovologie d'Hérold sur les araignées ! { De 
generatione aranearum in ovo), on ne trouve aucun écrit ex pro- 
Jesso sur la matière. Le livre d'Hérold, d’autres l'ont dit avant 
nous, pèche d’ailleurs sous le rapport de la clarté. On ne sait 
trop ce qu'il entend par le jaune de l'œuf, par le vitellius, et 
l’analogie qu'il a voulu établir entre les parties constituantes de 
l'œuf des araignées et celles de l'œuf des oiseaux, paraît être la 
principale cause de l'ambiguïté qu'on lui reproche. Dans tous les 
cas, ce qu'il dit de l'œuf des araignées n’est que très-mdirecte- 
ment applicable à celui de l’acarus scabiei. Ici encore nous nous 
contenterons donc d'exposer ce que l'observation nous a révélé, 
laissant au temps le soin d'établir si les œufs des acariens en gé- 


* Exercitationes de animalium vertebris carentium ovi formalione. Marburgi, 1824. 


134 TRAITÉ ENTOMOLOGIQUE ET PATHOLOGIQUE 
néral suivent dans leur développement une marche réglée, inva- 
riable, qu'on pourrait convertir en loi. 

L'œuf, au moment où il vient d’être pondu, présente une en- 
veloppe extérieure transparente, lisse, et d’une consistance assez 
marquée. Cette membrane est formée par une trame partout ré- 
gulière, sans apparence de fibres, et d’une épaisseur égale dans 
toute son étendue. Sa paroi interne, également lisse, est en rapport 
avec un liquide incolore, un peu visqueux, qui tient en suspension 
des granules noirâtres, qu'on voit quelquefois agités d’un mou- 
vement de trémulation, du mouvement Brownien. C’est en vain 
qu'on cherche à découvrir une membrane secondaire intérieure 
qui serait séparée par un liquide particulier de l'enveloppe exté- 
rieure. Pendant plusieurs jours, il y a un rapport immédiat entre 
le liquide séreux intérieur, les granules qu'il tient en suspension 
et la paroi interne de la membrane. Celle-ci renferme, en un mot, 
un liquide incolore, plus dense que l'eau, d'apparence albumi- 
neuse, qui tient en suspension des myriades de granules. C’est 
en vain qu'on cherche à y découvrir une cicatricule ou une petite 
vésicule intérieure qui servirait de germe ou de noyau au travail 
organisateur ; 1l n'y a nulle apparence d’organe spécial, où le 
commencement de l’évolution se trahirait tout d’abord. L'œuf de 
l'acarus est donc bien différent de celui des araignées, puisqu'il 
ne montre aucune apparence de cicatricule; on ne voit que le vi- 
tellius au moment de la ponte; de telle sorte qu'il est partout d’une 
même structure; son organisation est aussi simple que possible; 
enfin, un liquide séreux, contenant en suspension des granules, 
et renfermé dans une membrane d’enveloppe : tels sont les élé- 
ments constitutifs d’où sortira la larve de l’insecte. 

Les premiers effets de l'incubation ne se trahissent par aucune 
modification appréciable au microscope ; peut-être les granules 
changent-ils de forme et de volume; mais ces corpuscules sont 
si petits, qu'il serait difficile de préciser qu'elles transformations 
ils subissent. Cependant, au bout de quarante-huit heures, on 
aperçoit dans l’ensemble de l'œuf quelque chose d'insolite, de 


DE LA GALE DE L'HOMME. 135 
petites vésicules apparaissent : elles sont répandues partout; on 
dirait qu’elles naissent des granules eux-mêmes. Bien que la plu- 
part semblent se produire spontanément au milieu du menstrue qui 
tient les granules en suspension, il est très-difficile, pour ne pas 
dire impossible, de préciser au juste quelle part les granules ou 
le liquide séreux ont à la production de ces vésicules. Souvent 
les granules nous ont semblé se dissoudre, et les vésicules nais- 
saient alors du sérum lui-même; d’autres fois les granules se 
trouvaient eux-mêmes emprisonnés dans des vésicules à parois 
très-distinctes. Toutefois il est incontestable, 1° que la plupart 
des granules se dissolvent; 2° que des vésicules naissent de toutes 
pièces au milieu du menstrue; 3° enfin, que des granules eux- 
mêmes se trouvent englobés au milieu d’une enveloppe particu- 
lière. Nous nous servons du mot vésicules, c’est à tort; le mot 
cellules rendrait mieux compte du fait lui-même et de la manière 
dont nous le concevons. Nous allons d’ailleurs exposer les trois 
modes d'action qui réagissent sur le contenu de l'œuf, et qui 
donnent lieu à ces phénomènes. 

Quand une douce chaleur fait sentir son influence sur un œuf, 
quelques cellules apparaissent au milieu du menstrue; ces cellules 
n'ont pas, dans le principe, de parois distinctes; on dirait plutôt 
une goutte de matière grasse, et peut-être la place qu’elles occu- 
pent, voire même les éléments qui leur donnent naissance, leur 
sont-ils fournis par les granules qui, pendant ce premier travail, 
sont déjà notablement moins nombreux. Ces changements sont 
très-distincts pendant le troisième jour. Mais à mesure que les 
granules diminuent, les cellules augmentent en nombre et en 
volume. Les plus anciennes, et par conséquent les plus volumi- 
neuses, se dessinent d’une manière plus tranchée sur la masse 
où elles sont plongées: leurs parois prennent du corps; ce ne 
sont plus seulement des gouttelettes d’une densité partout égale; 
ce sont réellement des cellules. La plupart sont diaphanes, et 
comme tout l'œuf en est rempli, elles sont irrégulièrement dis- 
séminées au milieu des granules qui sont encore intacts. Les 


136 TRAITÉ ENTOMOLOGIQUE ET PATHOLOGIQUE 


cellules sont sphériques; or des corps sphériques, quelle que soit 
leur nature, ne peuvent s’accumuler sans laisser entre eux des es- 
paces vides entre les points tangents qui les unissent, aussi les 
granules sont-ils répandus entre les cellules, sur leurs parois, 
et surtout dans les espaces libres qu’elles laissent entre elles. 
L'œuf, à ce moment de l'incubation, est un composé de granules 
entremélés à des cellules diaphanes, disséminées dans un li- 
quide assez dense, le tout vu à travers une membrane intérieure 
d'une certaine épaisseur. Ou mieux encore des granules dissous, 
des cellules de nouvelle formation, irrégulièrement répandues 
dans l’intérieur de l'œuf, et des granules disséminés autour des 
cellules, mais surtout entre elles : tel est l'aspect de l'œuf au troi- 
sième jour de l'incubation. La planche 7, fig. 41, nous montre 
un œuf vu à cette période de l'évolution. Cette figure semble 
représenter un grand nombre de cellules granuleuses : c’est qu’en 
effet les cellules recouvertes de granules ont tout à fait cet as- 
pect. Mais qu'on vienne à comprimer l'œuf outre mesure, au 
point de le rompre, comme cela est arrivé pour celui repré- 
senté par la figure 43, et l'on verra les granules, libres de se 
disperser sur une large surface, laisser voir les cellules à nu, 
et celles-ci alors auront l'aspect de gouttelettes huileuses !, n’of- 
frant plus de granules renfermés tout à l'heure en apparence 
dans leur intérieur. Il ne faudrait pourtant pas croire que ces 
gouttelettes ou ces cellules fussent réellement composées de ma- 
tière grasse; elles en ont presque l'apparence, attendu qu'elles 
ne sont pas miscibles au sérum où elles nagent: c’est faute d’en 
connaître précisément la nature que nous nous servons de ce 
terme un peu vague de gouttelettes huileuses. 

118. Du troisième au quatrième jour, les cellules éprouvent 
un notable changement. Pour s'en rendre compte, il faut les 
isoler par la pensée en petits groupes de quatre à cinq, et con- 
sidérer chaque groupe comme le centre ou le foyer d’un travail 


* Cette observation au sujet des gouttelettes huileuses est applicable aux vésicules 
que nous avons décrites dans le tissu sarcodique, au paragraphe 88. 


DE LA GALE DE L'HOMME. 137 
particulier. Si ce travail a pour but de confondre les points par les- 
quels les cellules se touchent, et d’absorber ou de dissoudre la pa- 
roi au point même de contact, on conçoit facilement que l'intérieur 
de ces quatre ou cinq cellules se confondra bientôt, et ce change- 
ment s’opérera encore bien plus sûrement si les parois extérieures 
des cellules s’unissent latéralement entre elles, de manière à n’en 
faire qu'une seule. Mais les parois des cellules, en s’unissant ainsi, 
emprisonneront à leur intérieur les granules qui se trouveront in- 
tercalés entre elles, et comme ces granules sont un élément de 
développement, sous l'influence de leur présence, les parois qui 
les contiennent se distendront et formeront ainsi une cellule unique 
trés-régulière. Tel est le curieux phénomène que présente l'organi- 
sation à son principe de vitalité : il est général, toutes les parties 
de l'œuf y participent. 

On comprend maintenant comment des cellules d’un certain 
ordre peuvent réellement contenir des granules à leur intérieur. 
Qu'on généralise par la pensée.ce changement successif, ou plutôt 
cette fusion des cellules, et lon concevra sans peine les progrès 
du travail organisateur. 

À la fin du quatrième jour, toutes les cellules, ainsi formées aux 
dépens de cellules plus petites, éprouvent une modification ana- 
logue , mais sur une plus vaste échelle : ce qui se passe à la super- 
ficie de l'œuf est bien propre à en donner une idée. Jusqu'à ce 
moment nous n'avons donné à l'œuf qu’une seule membrane d’en- 
veloppe; mais, à la fin du quatrième jour, une seconde membrane 
apparaît. À peine en voit-on un vestige qu'aussitôt elle se sépare 
de celle qui est tout à fait extérieure, de telle sorte qu'un espace 
libre et rempli d’air les isole complétement. Ces deux membranes 
n'ont donc aucun rapport : la plus extérieure protège l'œuf, la se- 
conde est en rapport direct avec l'embryon; elle est destinée à en 
faire partie intégrante. La membrane intérieure se forme aux dé- 
pens de toutes les cellules qui occupent la superficie de l'œuf. 
Pour cela, toutes ces cellules s'unissent latéralement, en s’épa- 
nouissant en dehors et de manière à former, par cette union, une 


SAVANTS ÉTRANGERS. — XII. 18 


158 TRAITÉ ENTOMOLOGIQUE ET PATHOLOGIQUE 


membrane partout continue. D'un autre côté, comme tout le con- 
tenu de ces vésicules, liquide et granules, se répand dans une 
membrane plus vaste que celle représentée tout à l'heure par la 
capacité des cellules, il en résulte que cette membrane de nouvelle 
formation peut revenir sur elle-même et avoir moins de capacité 
que l'enveloppe tout à fait extérieure. De là aussi l’espace libre qui 
sépare ces deux membranes. La figure 42 montre d'une manière 
très-distincte la membrane intérieure qui vient de se développer. 
Les points a,'a, a, a désignent la coque de l'œuf; et les points b, b, 
la membrane interne. 

119. Cinquième jour. Le changement qui vient de s’opérer à 
la superficie de l'œuf pour former la membrane intérieure s'étend 
aussi aux cellules qui occupent le centre. Celles de seconde forma- 
tion s'unissent entre elles et donnent lieu à des cellules plus consi- 
dérables que les premières en emprisonnant toujours les granules 
qu'elles contenaient, ainsi que celles qui se trouvaient à l’état de 
liberté vers leurs pots de contact. Parmi ces cellules ainsi agran- 
dies et ainsi pourvues de granules, quelques-unes se soudent en- 
semble à leur point de contact, qui se montre alors sous forme 
de ligne ou plutôt de linéament solide, avec teinte opaline assez 
distincte; les parties, en un mot, tendent à acquérir de la solidité 
et à présenter une forme; l'organisation va sortir'du chaos : c’est ce 
que la planche 7, figure 44, montre assez clairement. En effet, déjà 
à la superficie de la membrane intérieure et vers lune de ses extré- 
mités se montrent deux appendices (a, a), qui sont les premiers 
vestiges de la première paire de pattes antérieures; nous pouvons 
mème certifier que les cellules volumineuses aperçues aux points #4, 
k sont destinées à former la deuxième paires de pattes antérieures: 

120. Sixième jour. L'évolution arrivée à cette période marche 
d'ordinaire avec une grande rapidité; ainsi les appendices, qu'on 
ne faisait que soupconner vingt-quatre heures auparavant, se mon- 
trent durant le sixième jour de la manière la plus manifeste (pl. 7, 
fig. 45). La première paire de pattes se voit en d, d, la seconde 
en e, e, et la première paire de pattes postérieures en f, f. Si ces 


DE LA GALE DE L'HOMME. 139 


dermers appendices paraissent dirigés en avant, c'est qu'une légère 
compression les a portés en ce sens. Ces appendices sont toujours 
obtus et irréguliers : ils naissent de la membrane intérieure, ou 
plutôt la force qui tend à les produire les pousse de dedans en 
dehors, de telle sorte qu'ils entraînent cette membrane à me- 
sure que leur saillie est plus considérable. On dirait des espèces 
de bourgeons qui pousseraient sur un tubercule, si ce n’est que 
leur enveloppe serait la même que celle du corps qui leur don- 
nerait naissance. Ces appendices résultent constamment de trois 
groupes de cellules, où mieux de trois cellules principales qu’une 
force d'expansion intérieure pousse à venir faire saillie dans un 
lieu donné. En examinant avec soin les appendices de la figure 45, 
marqués d, d, e, e, on entrevoit des lignes transverses qui im- 
diquent les points d'union de ces cellules soudées lune au bout 
de l'autre. Les traces de ces divisions sont mieux marquées sur la 
figure 46, pl. 8 en a, a et b, b, pour les pattes antérieures; et 
aux points c, c, pour la première paire de pattes postérieures. Ces 
trois groupes, comme nous aurons à le dire plus loin, sont desti- 
nés à former celui qui est le plus à l'extrémité, les tubercules, 
les poils, le tube et la ventouse qui terminent la patte antérieure ; 
les tubercules coniques et le long poil de la patte postérieure. 
L'observateur ne manquera pas de remarquer qu'on n’aperçoit 
aucun vestige de la deuxième paire de pattes postérieures sur 
cette figure 46, où la première paire est pourtant déjà si déve- 
loppée : il ne faut pas s’en étonner, la deuxième paire de pattes 
postérieures ne se montre que plus tardivement. Son apparition 
marque noû pas la dernière phase de l’évolution de l'œuf, mais le 
dernier perfectionnement du Jeune insecte lui-même. Ses deux 
dernières pattes postérieures ne se montrent en effet que huit ou 
dix jours après son éclosion, alors qu'il passe de l’état de larve à 
celui d’insecte parfait. Au moment où les appendices des pattes 
apparaissent, une voussure se montre à l’une des extrémités, du 
côte des appendices des pattes antérieures. Cette voussure est la 
première saillie de la tête. On la distingue sur un plan plus pro- 
18. 


140 TRAITÉ ENTOMOLOGIQUE ET PATHOLOGIQUE 

fond , pl. 8, fig. 46, au point f, et mieux encore sur la figure 47, 
même planche, laquelle représente le mème œuf, vu par la face 
dorsale de linsecte, tandis que la figure 46 le représente vu par 
la face ventrale. Ainsi, à la fin du sixième jour, on découvre faci- 
lement les appendices de toutes les pattes et celui de la tête. L’em- 
bryon alors est très-reconnaissable ; on peut toujours apercevoir 
ses extrémités antérieures et postérieures ; disons plus, déjà l'ab- 
domen se dessine d’une manière manifeste, par rapport aux par- 
ties qu'on pourrait appeler thoraciques ; ainsi, sur la figure 47, 
pl.8, on voit très-bien en 1, à, une ligne transversale smueuse, qui 
marque les limites d’un groupe considérable de cellules, spéciale- 
ment destinées à former le tissu sarcodique abdominal. Ces deux 
figures 46 et 47 sont aussi très-propres à faire comprendre deux 
remarques que nous avons à faire une fois pour toutes, attendu 
qu'elles sont applicables à presque toutes les figures qui concernent 
l'œuf. Quand on examine la figure 6, par exemple, il semble 
qu'il y ait deux membranes d’enveloppe : une première, qui serait 
la coque de l'œuf, et une seconde, qui serait la membrane interne 
dont nous avons parlé, laquelle contiendrait l'embryon. La mem- 
brane externe existe, il est inutile de le dire; mais la membrane 
interne, qu'un trait semble figurer en 0, 0, n’existe pas. Cette sorte 
de poche intérieure, dans laquelle le jeune acarus paraît enveloppe, 
n'estautre chose qu'une atmosphère de liquide comme albumineux, 
qui, sous l'effet du compresseur, s'étend régulièrement autour de 
lembryon, de manière à simuler une membrane d'enveloppe. 
Cette apparence ne résulte pas d’une illusion d'optique, car le 
liquide est bien réel, mais c’est l'aspect qui donne le change, et 
qui pourrait induire en erreur au premier abord. Cette obser- 
vation suflira pour que personne ne s’y laisse prendre. La mem- 
brane interne devient elle-même partie composante de l'insecte ; 
elle en formera le tégument : ce qui prouve que les choses sont 
bien ainsi faites, c'est que cette apparence de membrane n'existe 
jamais dans un œuf qui est près d'éclore, alors que l'embryon 
n'est plus entouré de ce nuage albumineux. 


. DE LA GALE DE L'HOMME. 141 


L'autre remarque que nous avons à faire est relative à des cor- 
puscules granuleux, sphériques, que l’on aperçoit en dehors de 
l'embryon, entre lui et la coque extérieure. Ces corpuscules, avec 
leur membrane d’enveloppe et leurs granules intérieurs, seraient 
en tout comparables aux globules du mucus et du pus, s'ils con- 
tenaient en outre, comme ces derniers, un ou plusieurs noyaux. 
Is résultent d’un groupe de cellules qui, en se fusionnant, se sont 
trouvées en dehors de la sphère d'activité qui réunit les parties 
en un seul et même tout: on dirait une superfétation; aussi sont- 
ils isolés et irrégulièrement répandus dans l’espace libre que la 
coque et l'embryon laissent entre eux. On les voit distinctement 
sur les deux figures 46 et 47, et notamment sur la figure 46, aux 
points P; P;P: 

121. Septième jour. des appendices des pattes s’effilent vers 
leurs extrémités, en augmentant graduellement de longueur, et 
cela sous l'influence d’une force d'expansion intérieure qui solli- 
cite la membrane interne et son contenu à s'étendre en ce sens. 
Cette sorte de pousse linéamenteuse a pour but de donner nais- 
sance au tube et à la ventouse de lambulacre. La planche 8, 
fig. 49, montre en a, a, a, cette première apparition des organes 
essentiels de la progression. La première paire de pattes posté- 
rieures participe comme les antérieures au développement plus 
manifeste : elles montrent déjà leur long poil terminal, sous l’as- 
pect d’une petite ligne qui part de Pncténité de la patte. La crois- 
sance de ce poil est très-active : nous avons calculé qu’elle pouvait 
être de 0",001 par heure. 

122. Huitième jour. Les mèmes organes prennent un carac- 
tère plus distinct. L'extrémité des appendices acquiert une forme 
plus tranchée. Des points anguleux se montrent en saillie sur les 
contours tout à l'heure réguliers de la membrane intérieure : les 
uns indiquent le siège précis des différents articles, les autres sont 
les premiers vestiges des poils qui bordent les pattes. La figure 50 
met en relief tous ces progrès évidents dans le développement de 
l'embryon. Déjà même on devine la destination des trois groupes 


142 TRAITÉ ENTOMOLOGIQUE ET PATHOLOGIQUE 


de cellules mentionnés plus haut comme faisant constamment par- 
tie intégrante de la patte. Le plus extérieur, qui termine lappen- 
dice, sert à former l’ambulacre ; le groupe du milieu, les deuxième, 
trosième et quatrième articles, et le groupe qui est en rapport avec 
le tronc, les deux pièces triangulaires. On aperçoit aussi à cette 
époque l'anneau, qui commence à pondre ; mais tout cela est encore 
si peu développé, si peu consistant, qu'une compression tant soit 


peu exagérée fait rentrer dans le néant ce premier simulacre 


de Loan eau Pendant le huitième jour de lincubation, appa- 
raissent encore, pour la première fois, la pièce sternale et les épi- 
mères. La planche 8, figure 50, en donne un exemple. La pièce 
sternale se voit entre la première paire de pattes en r, un des épi- 
mères antérieurs en $, et l'épimère postérieur du mème côté en 1. 
Cette figure laisse même apercevoir, en y, un appéndice armé 
d'un poil. On le prendrait volontiers pour une patte qui tend à 
se produire, mais c’est tout simplement un poil avec son follicule. 
Il se portera plus tard transversalement en dehors, quand la larve 
pourra s'étendre à son aise, après l’éclosion. 

123. Neuvième jour. Tous ces organes se dessinent plus fran- 
chement. L'ambulacre est complétement formé; les articles des 
pattes s’aperçoivent plus distimetement; la pièce sternale avec ses 
deux branches antérieures, les épimères, enfin les longs poils des 
pattes postérieures, sont complétement développés. Pendant que 
ces modifications s’opèrent aux pattes, la tète se développe dans 
une même proportion, et déjà il est facile de constater la forme 
bien définie des palpes et des mandibules. Il est vrai qu'il faut, 
pour apprécier le degré de perfection de ces organes, user d’une 
compression qui les désagrége et les déforme, de telle façon qu'il 
est impossible de les représenter aussi nettement qu'on les à vus, 
C’est pourquoi la figure 51 ne reproduit que très-infidèlement la 
forme des pattes et des mandibules. Ce même œuf de la figure 51, 
observé par la face dorsale, laissait déjà voir les petits appendices 
ou tubercules cornés de la face dorsale, ainsi que plusieurs des 
plis qui sillonnent l'enveloppe extérieure. 


DE LA GALE DE L'HOMME. 143 


124. Dixième jour. L’mcubation a conduit l’organisation jus- 
qu'à ses dernières limites. Le jeune insecte est complétement 
développé. Un jour encore, et tous les organes dont il a besoin 
pour vivre seront entiérement consolidés; il pourra briser son 
enveloppe. La figure 52, planche 9, nous présente un œuf des- 
siné à ce degré de développement. Les pattes s'y voient avec 
toutes leurs parties solides, ainsi que la pièce sternale et les épi- 
mères. La pièce sternale et les épimères offrent, à leur extrémité 
postérieure, une division qui n'est autre chose qu'une soudure 
encore incomplète de deux parties qui, isolées dans le principe, 
finissent par se réunir en une seule brarïiche. On aperçoit encore 
très-bien sur cette figure, en a, a, les appendices armés de poils, 
qu'on pourrait prendre pour le rudiment d’une patte, si on.ne les 
voyait se fondre sur l'enveloppe abdominale et porter les poils 
auxquels ils donnent naissance dans une position perpendiculaire 
aux contours de l’insecte. Cette remarque est en tout point appli- 
cable aux poils qu’on voit en b, b, même figure. Ce même œuf, 
vu par la face dorsale Mig. 53), nous montre les tubercules cornés 
des trois espèces parfaitement organisés. On sait qu'ils servent de 
point d'appui à l’insecte quand il veut prolonger son sillon. Cette 
figure permet, de plus, d’apercevoir le tube æsophagien d, qui va 
se perdre dans le tissu sarcodique abdominal. Quant à ce tissu 
sarcodique lui-même, il se forme aux dépens des cellules, et, 
suivant toute apparence, les granules, que celles-ci laissent en 
liberté quand leurs parois s’absorbent, sont destinés, les uns à 
former ces gouttelettes huileuses qui circulent au milieu du pa- 
renchyme intérieur; les autres, de tout temps reconnaissables, car 
leur forme et leur structure ne paraissent pas s’altérer, sont re- 
pandus au milieu du tissu sarcodique, surtout vers les grands 
centres de la circulation. C’est ainsi qu’on reconnaît ces granules 
sur la figure 53 de la planche 9, dans la direction de l'œsophage, 
et, sur les côté, aux endroits où la région thoracique proémine 
sur les pattes. 

Nous fixons le terme de lincubation à dix jours en moyenne; 


144 TRAITÉ ENTOMOLOGIQUE ET PATHOLOGIQUE 

mais on conçoit facilement qu’elle peut varier d’un à deux jours, 
suivant les conditions plus ou moins favorables dans lesquelles le 
malade se trouve. Ainsi, un ouvrier qui, par la nature de ses tra- 
vaux, aurait les mains longtemps exposées à une basse tempéra- 
ture, retarderait certamement les progrès de l'organisation de l'œuf. 
Nous sommes en droit de le croire, car notre étuve, dans ses va- 
rations de température, retardait ou avançait le temps de léclo- 
sion d'une manière assez régulière. L'embryon, arrivé à cette 
perfection, c’est-à-dire pourvu des organes essentiels de la nutri- 
tion et de la progression, est en état de vivre comme individu. 
Aussi, vers le onzième Jour, on verra l'œuf céder sous les efforts 
du jeune imsecte, se fendre transversalement ou longitudinalement 
dans toute son étendue et lui livrer passage. Nous avons eu maintes 
fois l’occasion d'assister de l'œil à l'éclosion de l’insecte, soit d'œufs 
soumis à l'incubaton artificielle, soit d'autres œufs, nouvellement 
extraits de leur sillon. Il n’est pas sans intérêt de voir la jeune 
larve essayer ses membres, et mouvoir pour la première fois les 
palpes et les mandibules; mais comme il m'y a, dans la structure 
des appareils et leurs fonctions, rien qui ne soit connu, nous ne 
nous y arrêterons pas davantage. Notons seulement que la larve, 
quoiqu'elle n'ait que six ‘pattes, jouit d'une agilité extraordinaire 
et bien supérieure à celle d’un acarus pourvu de ses huit pattes. 
Cette différence dans lagilité de lacarus, suivant son âge, est tel- 
lement tranchée, qu'il suffit souvent d’apercevoir une larve en 
mouvement pour certifier que ce n’est pas un acarus arrivé à sa 
perfection. La larve de l'acarus présente une structure si peu diffé- 
rente de celle qu’elle aura huit ou dix jours après l'éclosion, qu'il 
est inutile d'en faire un dessin minutieux. Aussi l’'avons-nous tout 
simplement esquissé à la figure 54, planche 9. Nous avons vu 
éclore cette larve; elle n’a bien que six pattes et ce sont mani- 
festement celles de la dernière paire qui manquent. Si l'on en 
doutait, il suflirait, pour se convaincre qu'il en esf ainsi, de jeter 
les yeux sur la figure 55, où cette dernière paire de pattes vient 
de se produire, ce que l’on reconnait facilement à la différence 


DE LA GALE DE L'HOMME. 145 


de volume des pattes postérieures entre elles. Le jeune acarus de 
la figure 55 a été trouvé sur nous le vingt-huitième jour de lap- 
parition de la maladie; il est, pour ainsi dire, complétement déve- 
loppé. Si la dernière paire de pattes avait acquis le volume qu'elle 
aurait eu quelques jours plus tard, on pourrait considérer lin- 
secte comme parvenu à son dernier degré de perfection. Le dé- 
veloppement complet de la dernière paire de pattes postérieures 
n’est pourtant pas le seul changement que doive éprouver l'acarus 
pour passer de l'état de larve à celui d'imsecte parfait; il est un 
phénomène plus général qui le métamorphose en quelque sorte : 
nous voulons parler de la première mue. C'est là, en effet, la 
dernière phase que la larve subira pour revêtir enfin tous les ca- 
ractères de l'insecte parfait. Il se passe généralement huit à dix 
jours entre l’éclosion de œuf et la première mue de la larve à la- 
quelle il a donné naissance. Nous avons pu nous en assurer sur 
un jeune acarus qui était depuis dix jours dans son premier sillon, 
et que nous avons surpris se dépouillant des derniers lambeaux 
de son enveloppe. Il est en partie représenté planche 56, où l'on 
voit les débris de son test, embarrassé dans les longs poils de deux 
de ses pattes postérieures, en r, r, r. 

Ici se termine l'étude de linsecte de la gale. Nous en avons fait 
l'anatomie, la physiologie et l'ovologie : comme ces trois questions 
capitales ont un rapport direct avec la pathologie, nous en ferons 
de fréquentes applications dans la troisième partie, qui traitera de 
la gale proprement dite!. 


! Comme c'est en raison de mes recherches d'entomologie que l'Académie a voté 
l'impression de mon travail dans les Mémoires des Savants étrangers, la partie 
médicale en a été distraite; j'ai cru devoir la faire paraître à titre de supplément 
dans un tirage à part. 


SAVANTS ÉTRANGERS. — XII. 19 


LG TRAITÉ ENTOMOLOGIQUE ET PATHOLOGIQUE 


ADDITION 


AU MÉMOIRE PRÉCÉDENT. 


Les dernières feuilles de cet écrit étaient sous presse, quand un 
hasard a fait découvrir à M. Lanquetin, élève externe à l'hôpital 
Saint-Louis, qui cherchait des acarus pour M. Bourgogne, prépa- 
rateur, le sarcopte mâle de la gale de l'homme. On se rappelle 
que noûs n'avions jamais pu rencontrer d’acarus mâle : aussi est-ce 
avec empressement que nous nous sommes remis à sa recherche, 
après avoir toutefois constaté l'exactitude de la découverte impré- 
vue de M. Lanquetin. L’acarus mâle, disons-le par anticipation, 
ne fait pas de sillon, et comme nous l'avons toujours cherché dans 
le cuniculus que trace l'insecte, on comprend facilement pourquoi 
nous n'avons jamais pu le trouver. 

Si nous nous étions livré à l'étude des acarus en général, et 
plus spécialement de celui du mouton et du cheval, avant d’entre- 
prendre nos recherches sur Pacarus de lhomme, tout porte à 
croire que la présence de cet arachnide mâle ne nous aurait pas 
échappé. Instruit alors, comme nous le sommes aujourd’hui, 
des conditions dans lesquelles la fécondation s'opère, des méta- 
morphoses que linsecte subit, nous aurions su que la femelle, 
une fois fécondée , ne réclame plus l'approche du mâle; qu'un seul 
accouplement suffit à la fécondation d'un grand nombre d'œufs, 
alors même que la période de la ponte ne succède pas directement 
à celle de laccouplement : nous aurions facilement compris pour- 
quoi les acarus fécondés ne sortaient plus de leur sillon; pourquoi 
enfin nous ne trouvions pas de mâle dans les sillons proprement 


4 


DE LA GALE DE L'HOMME. 147 
dits, attendu que la fécondation ne peut s’y faire. La loi de la fixité, 
à la période de la ponte, pour les femelles fécondées; et celle 
de la mobilité, pour les femelles non fécondées, et surtout pour 
les mâles, nous aurait frappé. De ces études d’entomologie com- 
parée, en un mot, nous aurions infailliblement conclu, comme 
nous l'avons fait depuis, et avant la découverte réelle du mäle, 
que lacarus femelle, à la période de la ponte, faisait seule de 
longs sillons, et que la femelle, à la période de laccouplement, 
et surtout le mâle, pendant toute sa vie, se contentaient de fouir 
l’'épiderme pour y trouver un abri, y vivre et s’y accoupler. 

Partant de ces données générales, j'ai transporté de nouveau à 
lhôpital Saint-Louis mon microscope mobile, et avec l'agrément 
de M. Hardy, qui a succédé à M. Bazin dans le service spécial aux 
galeux, je me suis mis à la recherche du mâle. Cmgq malades, 
atteints de la psore depuis plusieurs mois, couverts d’éruptions, 
et qui portaient aux mains de nombreux sillons, avaient fatigué 
mes minutieuses Imvestigations pendant plusieurs heures; je déses- 
pérais de mon exploration, quand j'aperçus, sur un sixième ma- 
lade, un petit insecte enfoui sous l'épiderme : c'était un mâle. 
Je lai dessiné immédiatement au microscope, et en ai adressé le 
dessin à l'Académie des sciences, dans sa séance du 20 octobre 
1891, ainsi qu'une courte description des caractères distinctifs de 
l'insecte. J'offris de plus à l'Académie de faire graver le dessin et 
d'en jomdre un /ac-simile, à titre de supplément, à tous les exem- 
plaires du tome XIT des Savanis étrangers. Une commission, par 
l'organe de son rapporteur, M. Duméril, proposa, dans la séance 
du 27 octobre, d'accepter l'addition proposée, et l'Académie 
ratifia par son vote les conclusions du rapporteur. 

Comme nous aimons à rendre justice à qui de droit, nous cite- 
rons un passage qui prouve qu'Eichstedt a, sinon découvert, du 
moins soupçonné l'existence de l’'acarus mâle. 

Nous lisons dans l’Anatomie pathologique de G. Simon, de 
Berlin, 1846, une notice de Froriep, où il est dit; « Qu'Eichstedt 
voulant examiner si, par hasard, il existait aussi librement des 


19. 


148 TRAITÉ ENTOMOLOGIQUE ET PATHOLOGIQUE 

acarus sur les mains et dans les plis de la peau, entreprit, à l'aide 
d'une forte loupe, des recherches sérieuses sur les mains des 
galeux. Jamais il ne trouvait d’insecte libre sur les mains; mais il 
en voyait souvent qui étaient enfouis dans la peau, sans former de 
sillons, de manière à n'être recouverts que par une couche très- 
mince d’épiderme, Ces insectes apparaissaient comme de petits 
points blancs à peine visibles, sans former de soulèvement, bien 
moins encore de vésicules. Eichstedt prend les acarus ainsi logés 
pour des mâles. Ils se distinguent de ceux qui sont trouvés dans 
les sillons, principalement parce qu'ils sont un peu plus petits, que 
les segments du corps se dessinent plus nettement, que les soies 
paraissent plus longues. » On voit, par cette citation, que nous 
avons fait à Pichstedi la part qui doit lui revenir, en reconnaissant 
qu'il a entrevu l’acarus mâle. Dire que le mâle se distingue de 
ceux qui sont logés dans les sillons, principalement parce qu'il est 
plus petit, parce que les segments de son corps se dessinent plus 
nettement, que ses soies paraissent plus longues, n’est pas signaler, 
tant s’en faut, un caractère de valeur propre à distmguer un mâle 
d'une femelle. Sans vouloir contester à Eichstedt la valeur de ses 
recherches sur la gale, à propos du mäle, on peut dire qu'il lais- 
sait après lui, au point de vue entomologique et pathologique, un 
grand vide à remplir. 

Quoi qu'il en soit, nous allons donner la description de l’acarus 
mâle; dire quelques mots de sa physiologie, surtout au point de 
vue des fonctions de la reproduction, et déduire, de ces deux 
ordres de faits, quelques applications à la pathologie. 

L'acarus mâle de la gale chez l'homme est, comme la femelle, 
testudiniforme; son volume, qui dépasse à peme celui d’une jeune 
larve, est de 1/5 de millimètre en longueur, de la tête à la région 
anale, et de 1/6 de millimètre en largeur. Nous l'avons it et 
gravé, planche 10, fig. 58 ; et, pour rapprocher les points de 
comparaison à établir A ai et la femelle, celle-ci est également 
représentée, figure 57. Le mâle est figuré à un grossissement 
de 300 diamètres; la femelle, à une amplification de 180 dia- 


DE LA GALE DE L'HOMME. 149 
mètres seulement; et, bien qu'il y ait 120 diamètres d’amplifi- 
cation en faveur du mâle, la femelle, comme il est facile de le 
voir à l'œil nu, l'emporte encore d’un quart sur lui. On aurait une 
idée assez exacte de la différence réelle qui existe entre le volume 
du mâle et celui de la femelle, en comparant entre elles les 
figures 8, planche 2, et 58, planche 10. Mais le volume, les 
formes extérieures, ne peuvent offrir que des caractères distinctifs 
secondaires ; les organes génitaux seuls ont une importance réelle, 
décisive : fixons donc sur eux notre attention. 

L’acarus mâle porte ses organes sexuels, comme la plupart des 
acarus, du côté de la face abdominale, entre les épimères des 
pattes postérieures (fig. 38, pl. 10, f, f). La femelle, placée au- 
dessous (fig. 57), ne présente, au contraire, rien de semblable 
dans la même région. L'appareil génital se distingue parfaite- 
ment, quand on place linsecte entre les deux lames de verre 
du compresseur, et de façon à diriger la face abdominale en 
dessus, du côté de l'observateur, comme dans la figure 58 
Il est composé de trois parties principales : une première, qui 
prend naissance entre les épimères de la dernière paire de pattes 
postérieures, et se divise en deux branches f”, f'; une seconde, 
P; p, comprise dans les divisions de la première; enfin, une 
troisième, r, r, également enclavée dans les deux divisions de la 
seconde. 

La première partie, large à son extrémité antérieure, se ré- 
trécit en f, s'élargit de nouveau, puis bientôt se divise en deux 
branches, qui se dirigent en arrière (f', f'), superficiellement par 
rapport au second organe, dont les divisions se portent directement 
en dessous et en dehors. La seconde partie, p, p, se trouve cir- 
conscrite, en avant, par les deux branches de la première à leur 
naissance; elle présente au point médian, d’où partent ses propres 
divisions, un corpuscule en forme de glande en s. La troi- 
sième partie est circonscrite en avant par la seconde; elle porte 
également un corpuscule glanduleux {, qui prend naissance sur la 
ligne médiane, vers son bord externe, et se dirige en avant vers 


150 TRAITÉ ENTOMOLOGIQUE ET PATHOLOGIQUE 

la glandule s de la seconde partie. Des filaments, qui se déchirent 
sous l'effort du compresseur, se rendent de lun à l’autre des cor- 
puscules glanduleux. Enfin, les branches du troisième organe vont 
se perdre en arrière et en dehors r, r. 

Telle est la disposition des organes composant l'appareil génital, 
examinés sur le premier acarus mâle que nous ayons trouvé. Nous 
ajouterons qu'il était peu favorable à lobservation : lune des 
pattes, celle placée en dedans et à droite, avait été blessée par 
l'aiguille, aussi ne s’est-elle pas étendue comme les autres. On ne 
sera donc pas surpris d'apprendre que nous n'avons pu découvrir, 
et par conséquent dessiner un organe qui se remarque sur les 
acarus mäles des autres espèces animales, nous voulons parler de 
l'organe essentiellement propre à la copulation, qui nait d'ordi- 
naire dans l'abdomen, au miveau et au-dessous de l'appareil décrit 
plus haut, sous l'apparence d’un filament, et qui va s’effilant à 
mesure qu'il se dirige en arrière. Ce filament, qui n’est autre 
chose qu'un pénis rudimentaire, sort de sa gaine pendant l'accou- 
plement, à quelque distance de l'ouverture anale, sans avoir rien 
de commun avec cette dernière, et pénètre amsi dans le cloaque 
de la femelle. On voit facilement ce pénis rudimentaire sortir des 
organes sexuels de la femelle, chez les acaras du cheval ou du 
mouton, quand on les observe au microscope pendant laccouple- 
ment. Le compresseur permet même d’éloigner le mâle et la 
femelle accouplés, à ce point seulement, de mettre entre eux un 
espace libre, au milieu duquel apparaît le pénis du mâle. Lorsque 
la compression diminue, les deux insectes se rapprochent, et lor- 
gane rentre dans le cloaque de la femelle. Si la compression est 
poussée trop loin, la séparation complète s'opère, et le pénis du 
mäle rentre complétement dans sa gaine intérieure : en un mot, 
tout porte à croire, par analogie, que l'acarus de l’homme a son 
spermatophore, bien que nous n’ayons pu le constater. Il nous 
aurait été possible, il est vrai, de pousser plus loi notre examen, 
en sacrifiant les autres mäles que nous avons trouvés: mais ils 
devaient servir à d’autres sujets d’études. 


DE LA GALE DE L'HOMME. 151 

L'appareil génital de l'acarus de l'homme plonge au milieu du 
ussu sarcodique, qui l'isole mème de la face interne de l'enveloppe 
abdominale. Il n’a aucun rapport avec les épimères des pattes 
postérieures g, g, qui naissent à son niveau dans le tissu sar- 
codique. Il va sans dire que les pattes postérieures /, { — m, mm, 
que la compression a fortement aplaties sur la face abdominale, 
sont tout à fait libres en dehors, depuis leur naissance à l'épi- 
mère, bien qu'elles paraissent, par le défaut de perspective dans 
les divers plans, occuper le même point du foyer optique que 
les organes génitaux. L’imtestin rudimentaire qui conduit les 
fèces à l'ouverture anale passe au-dessus de l'appareil génital, si 
l'on considère l'insecte reposant sur l'abdomen; il passe, au con- 
traire, au-dessous, dans la position que nous avons donnée à l'in- 
secte (fig. 58). 

Les organes génitaux de l’acarus mâle de l'homme ont un déve- 
loppement considérable eu égard au volume de l'insecte : il s’en 
faut que ceux de l'acarus mâle du cheval ou du mouton soient 
aussi apparents. Îl sera donc facile, sans y apporter une grande 
attention, de distinguer le mâle de la femelle. Si par hasard, 
l'insecte mâle se trouvait recouvert, comme cela arrive quelque- 
fois, de pellicules ou de corps étrangers qui empêéchassent d'aper- 
cevoir les organes sexuels, l'observateur pourrait encore recon- 
naître le mâle de la femelle à l'inspection des pattes postérieures. 
Le mâle, en effet, porte constamment un ambulacre armé d’une 
ventouse à la dernière paire des pattes postérieures (fig. 58, m, 
m), tandis que la femelle est pourvue d'un long poil aux mêmes 
pattes (fig. 57, e, e). Il suffit donc de découvrir l'extrémité de 
la dernière paire des pattes postérieures pour dire, avec certi- 
tude, si c'est un mäle ou une femelle qu'on a sous les yeux. 
Mais les organes génitaux, l’ambulacre armé d’une ventouse, ne 
sont pas les seules différences d'organisation qu'on remarque entre 
le mâle et la femelle : la conformation des épimères des pattes 
postérieures offre un caractère distinctif aussi constant, comme il 
est facile de le voir en comparant les épimères des pattes posté- 


152 TRAITÉ ENTOMOLOGIQUE ET PATHOLOGIQUE 
rieures du mâle (fig. 58, q, g), qui sont réunis en une seule pièce, 
avec ceux de la femelle (fig. 57, x, x). 

L'inspection de la face dorsale permettrait encore, jusqu'à un 
certain point, de reconnaître les sexes. Nous avons dit ($ 67) que la 
femelle porte sur la face dorsale, qui est convexe et smueuse, des 
appendices cornés de trois espèces, différents en volume et en 
grandeur, et d'autant plus petits qu'ils sont plus rapprochés du 
sommet de la convexité. (Voyez pl. 1", fig. 1, les organes mar- 
qués t, t,i, —d, d,d, etc, c, c.) On se rappelle qu'ils rendent 
possible la marche de l’insecte dans les sillons; eh bien! ces ap- 
pendices cornés, si nécessaires à la femelle, manquent en grande 
partie chez le mäle, sa face dorsale est plus plate, et lon n'y 
compte guère que quelques appendices du volume de ceux mar- 
qués d, d, etc, c. 

L'acarus mâle diffère encore de la femelle par son aspect gé- 
néral; il n'est jamais blanchâtre, brillant, replet, globuleux, mais, 
au contraire, noirâtre, aplati, irrégulier dans ses contours. Un 
angle rentrant se remarque principalement sur ses bords, au ni- 
veau des pattes postérieures. Son agilité est extrême. Déposé sur 
la peau en même temps qu'une femelle, celle-ci agite à peine ses 
pattes, que déjà il fuit avec rapidité. 

Les différences d'organisation que nous avons mentionnées 
entre le mäle et la femelle doivent nécessairement entraîner quel- 
ques modifications dans leurs fonctions vitales, et fournir des no- 
tions nouvelles applicables à la pathologie. Arrétons donc notre 
attention sur ces divers points. 

L'acarus mâle passe, comme la femelle, par l’état de larve, avec 
six pattes seulement, avant d'arriver à l’état d’insecte parfait, et 
rien pendant cette phase de son existence ne fait soupçonner quel 
sera son sexe. Mais bientôt la première métamorphose se prépare; 
l'insecte jette sa première enveloppe et apparaît pourvu de ses huit 
pattes et des organes propres à son sexe : tel il sort de cette pre- 
mière transformation, tel il restera toute sa vie. Il existe pour vivre 
et s'accoupler; suivons-le dans laccomplissement de ses fonctions. 


DE LA GALE DE L'HOMME. 153 


Qu'il se trouve sur la peau, par l'effet d’un développement ré- 
gulier qui d’embryon la fait insecte parfait, ou qu'il y soit trans- 
porté par l'effet d’une transmission directe, d’un galeux à un 
homme sain, son premier soin est de trouver un gite. Il met à 
cette recherche une activité extraordinaire; il explore la peau en 
tous sens, et s'arrête à toutes les aspérités de l’épiderme. On di- 
rait qu'il a conscience du danger qu'il court et qu'il a hâte de 
rencontrer un abri : au bout de quelques minutes, il fait enfin choix 
d’un lieu propice et attaque l'épiderme avec non moins d’ardeur 
et d'activité, si bien, qu'au bout de dix mmutes ou d’un quart 
d'heure, il est complétement caché sous l'épiderme. Le malade, 
comme nous l’avons déjà dit pour la femelle, n’a d’ailleurs aucu- 
nement conscience de ce travail de l’insecte ; 1l ne ressent aucune 
démangeaison. | 

L'organisation de lacarus mäle rend compte de son agilité et 
de sa force, relativement plus considérables que celles de la femelle. 
Il n’a pas à trainer, comme celle-ci, un lourd abdomen à peine 
soulevé par les pattes postérieures ou les longs poils qui les ter- 
minent. Son corps est trapu, de diamètres sensiblement égaux, et 
toujours en parfait équilibre sur le plan où il repose. Les pattes, 
pendant la marche, supportent larrière-train et le tiennent tou- 
jours de niveau avec la tète. Mais ce n’est pas tant à la confor- 
mation essentiellement plus avantageuse de son corps, que le mâle 
doit la liberté de ses mouvements, qu’à la ventouse ambulatoire 
qui arme sa dernière paire des pattes postérieures. Cette puissance, 
en effet, double l'activité de sa marche, indépendamment de la 
supériorité qu'elle lui assure dans les luttes qu'il doit soutenir 
avec les femelles. 

Une fois caché sous l'épiderme, l’insecte mâle y pompe, comme 
la femelle, les sucs nourriciers que réclament ses besoins, et la 
nuit suivante, 1l quitte son gite pour aller à la recherche des fe- 
melles. J’en ai observé plusieurs sur un malade soumis à l'expéri- 
mentation, et toutes les vingt-quatre heures, ils abandonnaient 
le lieu où ils avaient séjourné la veille. Le mâle, d’ailleurs, ne 


SAVANTS ÉTRANGERS. — XII, 20 


154 TRAITÉ ENTOMOLOGIQUE ET PATHOLOGIQUE 

se trompe pas dans le choix des femelles qui sont propres à Pac- 
couplement ; guidé par son instinct, il sait éviter les sillons où 
vivent les insectes parvenus à la période de la ponte, et découvrir 
le gite des femelles non fécondées. Celles-ci ne font pas de sillons 
proprement dits, mais elles n'abandonnent pourtant pas, aussi 
fréquemment que les mâles, la place qu'elles ont occupée; elles y 
restent quelquefois plusieurs jours, et ne font d’ailleurs à lépi- 
derme ces petites ouvertures qu'on remarque sur les longs sillons 
qui renferment des œufs, que quand elles ont tracé un cuniculus 
d'un centimètre, par exemple. Ainsi cachées, les femelles at- 
tendent l’arrivée des mâles, qui, grâce à leur agilité, peuvent, 
d'ailleurs, en peu d'heures, explorer en quelque sorte tout le 
corps du malade. Lorsqu'un mâle a rencontré le gîte d’une femelle 
vierge de tout accouplement, il y pénètre par l'ouverture encore 
béante, détache lépiderme , élargit l'encemte, s'il la trouve trop 
étroite, et attaque la femelle, Nous avons trouvé, sur les onze 
heures du soir, deux mäles et une femelle sous la mème pellicule 
épidermique et se livrant une lutte acharnée : troublés par le 
contact de notre aiguille , qui avait détaché la voûte cutanée qui 
les recouvrait, et peut-être aussi par l'impression de l'air exté- 
rieur, Les mâles abandonnèrent les femelles et résistèrent à toutes 
les excitations que nous pümes provoquer en les ramenant vingt 
fois sur les femelles. 

Nous cherchons, en ce moment, à l'hôpital Saint-Louis, à sur- 
prendre les insectes mâle et femelle accouplés; nous avions, dans 
cette intention, réuni sur un mème malade, cinq mâles trouvés 
avec les plus grandes pemes sur une cinquantaine de galeux, et 
parmi deux ou trois cents insectes. De jeunes femelles rencontrées, 
comme les mâles, sous lépiderme, mais non dans des sillons pro- 
prement dits, avaient également été déposées dans le voismage 
des cinq mâles que nous observions avec soin, et qui abandon- 
naient quotidiennement leur gite. Nous attendions beaucoup de 
ces expériences préparées avec tant de soin, quand le malade , 
manquant à l'engagement qu'il avait pris de rester à Fhôpital, se 


DE LA GALE DE L'HOMME. 155 


prèta à un erreur Imvolontaire de la part du surveillant qui con- 
duit les galeux à la frotte, se frictionna avec les autres malades, et 
tua, par une seule friction, tous les mâles que nous avions accu- 
mulés sur lui. Depuis lors, deux autres malades nous ont Joué le 
même tour, malgré les apparences du plus entier dévouement. 
On ne saurait imaginer quelles diflicultés entourent de pareilles 
études. L'individu le plus mdifférent ou le plus résolu, ne voit pas 
longtemps de sang-froid les insectes s’accumuler sur lui; son ima- 
gmation grandit les impressions qu'il ressent et les périls impos- 
sibles qu'il court. Nous allons encore continuer ces observations, 
dont le résultat définitif sera publié dans le journal de médecine 
l'Union médicale; mais nous doutons qu’elles nous conduisent au 
but désiré. 

Nous n'avons, jusqu'à ce jour, rencontré que sept mäles ; et 
dans les rapports suivants : deux fois, deux mâles réunis avec une 
seule femelle, soit quatre mâles pour deux femelles seulement ; 
deux autres fois, un mâle seul avec une femelle; enfin, une troi- 
sième fois, un mâle seul sans femelle. Les mâles que nous avons 
trouvés au nombre de deux avec une seule femelle étaient à 
’état de veille, aux prises l'un avec l'autre, derrière la fe- 
melle, qui cachait sa tête sous l'épiderme, et d’une sécheresse et 
d'une maigreur extrêmes: à prenmère vue, ils ressemblaient bien 
plus à de petits morceaux d’épiderme racornis qu'à des insectes 
vivants; mais, à leurs mouvements, aux déplacements qu'ils 
éprouvaient en se renversant à droite ou à gauche, on les dis- 
tinguait facilement. Ces mâles, réunis fortuitement dans le gite 
de la même femelle, se disputaient très-probablement sa conquête, 
et la victoire incertaine laissait les lutteurs épuisés de fatigue et 
de besoin. Les quatre mâles, trouvés ainsi deux à la fois avec une 
seule femelle, ont présenté cet état de maigreur et de dépé- 
rissement. Îl faut pourtant ajouter que, placés sur la peau et à 
l'entrée d’un petit soulèvement de l'épiderme , ils n’ont pas tardé à 
s’y blottir et à s’y cacher. Les mâles rencontrés avec une femelle 
pour chacun d'eux, étaient manifestement en rut: car, à pee dé- 


20. 


156 TRAITÉ ENTOMOLOGIQUE ET PATHOLOGIQUE 
posés sur la peau, ils ont pris la fuite en toute hâte, ce que ne fit 
pas le mâle trouvé seul et surpris dans le sommeil. 

D'autres considérations font encore facilement comprendre 
pourquoi l’accouplement ne s'effectue pas sur la peau. L'acaras de 
l'homme est un insecte essentiellement fouisseur; l’organisation de 
ses palpes et de ses mandibules le prouve : d'autre part, la fonc- 
tion si importante de la reproduction ne pouvait s'opérer dans un 
lieu où rien n'aurait protégé les insectes contre les causes exté- 
rieures de destruction. Le moindre souffle, le moindre frottement 
les aurait emportés: le froid les aurait saisis. D'ailleurs, jamais 
aucun observateur n’a trouvé, même accidentellement, des insectes 
sur la peau. Il pourra nous arriver de rencontrer des mâles pen- 
dant la nuit, à la recherche des femelles, ou de jeunes larves 
abandonnant le sillon où elles viennent d'éclore ; nous pourrons 
même ainsi gagner la gale; mais hors de ces circonstances, l'in- 
secte né se trouvera jamais sur les téguments. 

Nous croyons pouvoir conclure, en nous fondant sur toutes ces 
raisons, que l'accouplement a lieu sous lépiderme. 

IL va sans dire que nous avons essayé de mille façons à provo- 
quer l'accouplement sous nos yeux, soit en portant un mâle tenu 
en charte privé dans le terrier d’une jeune femelle, soit en met- 
tant plusieurs mâles parmi un grand nombre de femelles empri- 
sonnées dans des lames de verre à godets, etc. etc. Tous nos 
efforts ont été vains. 

I ne nous serait pas impossible de dire dans quelle situation 
réciproque doivent se trouver le mâle et la femelle pendant lac- 
couplement, en prenant pour base de nos déductions la disposi- 
tion des organes sexuels, la conformation des insectes eux-mêmes 
et le mode suivant lequel l'union des sexes a lieu chez les autres 
acarus. Mais comme , après tout, nous formerions des suppositions 
purement gratuites, nous préférons nous abstenir de toute hypo- 
thèse. 

Le nombre des mâles est loin d'atteindre celui des femelles ; 1l 
n'y a certamement pas un mâle pour dix femelles. Suivant que 


DE LA GALE DE L'HOMME. 157 
la contagion de la gale est due à une ou plusieurs larves du sexe 
femelle, ou à une ou plusieurs femelles fécondées, un galeux 
peut présenter plusieurs sillons, plusieurs acarus, sans qu'aucun 
mâle se trouve parmi ces derniers. 

Nous traiterons cette question avec le som qu'elle mérite, dans 
les applications que nous allons faire de toutes ces données à la 
pathologie, et qui se trouveront dans les cent exemplaires tirés en 
supplément. 

Un mot en terminant, à propos de la description synthétique 
qu'on pourrait donner de lacarus, au point de vue de la classifi- 
cation. 

Nous avons dit ($ 64) que nous ne nous hasarderions pas à 
définir l'acarus en quelques mots, encore moins à le classer; at- 
tendu que, définir un être, supposait la connaissance exacte des 
individus mâle et femelle qui, scientifiquement, le constituent; et 
que le classer, supposait également la connaissance des différents 
genres qui composent la famille à laquelle il appartient. Or, comme 
ni l'être en particulier, ni les genres de sa famille n’étaient con- 
nus, nous avons cru devoir nous abstenir de toute définition et 
de toute classification. 

‘étude des acariens, nous ne saurions trop le répéter, est à re- 
faire, malgré les travaux de MM. Latreille, Dugès, Gervais, Hey- 
den, Hering, Dujardin, etc. etc. Mais comme aujourd'hui le mâle 
et la femelle de l’acarus de l'homme nous sont parfaitement con- 
nus, nous pouvons en donner une description synthétique et jeter 
ainsi le premier jalon de la classification des acariens. 

Caractères généraux : —Insecte testudiniforme ; tête à deux palpes 
adhérents, latéraux, onguiculés, et faux palpes, à quatre man- 
dibules, superposées par paire, didactyles, les deux supérieures 
armées d’onglet; — quatre pattes antérieures articulées, pourvues 


d’un ambulacre caronculé ou à ventouse; — respiration par lou- 
verture buccale, et non à l'aide de stigmates ou de trachées. 
Femelles : — quatre pattes postérieures articulées, terminées 


par un long poil; — épimères des pattes postérieures séparées ; 


158 TRAITÉ ENTOMOLOGIQUE ET PATHOLOGIQUE 
— nombreux appendices cornés sur la face dorsale ; — métamor- 
phoses ; — 1/3 de millimètre en volume. 

Mäles : — Organes sexuels très-distincts:; —— ambulacre caron- 
culé ou à ventouse à la dernière paire des pattes postérieures; — 
épimères des pattes postérieures réunis ; — appendices cornés 
dorsaux en petit nombre ; — 1/5 de millimètre en volume. 

Larves : — Hexapodes, sans organes sexuels distincts 


DE LA GALE DE L'HOMME. 159 


EXPLICATION 


PLANCHES. 


PLANCHE PREMIERE. 


Acarus vu par la face dorsale à un 


grossissement de 275 fois. Cette 
face dorsale est naturellement con- 
vexe; dans cette figure, le com- 
presseur l'a rendue plane. 


à. Tête de l’acarus entrevue au 
delà du foyeroptique, qui 
porte exclusivement sur le 
dos. 

b. Ouverture anale. 

cecc. Appendices coniques et cor- 
nés; les plus développés, 
à canal intérieur. 

dddd. Appendices cornés, plus pe- 
tits que les précédents. 

ece.  Follicules pileux et petits 
poils, qui marquent le 
point précis où le tégu- 
ment s'étend du corps sur 


la tête. 
ff. Follicules et poils. 
it Appendices cornés du der- 


nier ordre : les plus petits 
en volume. 

kkk.  Contours extérieurs du corps 
de linsecte, qui s'éten- 
dent sur les pattes de ma- 
nière. à les abriter. 


Appendice conique de la face dor- 
sale, avec son follicule et son ca- 
nal. Au grossissement de 550 fois. 


3. Représente, à 260 fois d'amplifica- 


tion, les sinuosités qui apparais- 
sent quand l'insecte se tourne à 
droite ou à gauche. 


a. Convexité antérieure du corps, 
qui empiète sur la tête. 

b.  Convexité latérale, qui dé- 
borde sur a première 
paire de pattes. 

c- Scissure de séparation entre 
les parties du tronc qui 
empiètent sur les deux 
paires de pattes. 

dd'. Scissure produite par l'incli- 
naison du corps à droite 
en d, et effacée en d'. 

ee. Scissure prononcée à droite 
ene, et effacée par la ten- 
sion du corps à gauche 
en €’. 

ff. Tubercules cornés, de forme 
conique, qui sont plus ou 
moins en relief, suivant 
inclinaison du corps à 
droite ou à gauche. 

k. Follicule d'un appendice cor- 
né, vu debout, et quon 
pourrait prendre pour un 
stygmate. 


L. Elle montre, à 560 diamètres d'am- 


160 TRAITÉ ENTOMOLOGIQUE ET PATHOLOGIQUE 


Fig. 
d plification, les divers plis ou sil- 
lons de la face abdominale. 


m. Sillon profond, ou fente qui 
persiste à tous les degrés 
de compression. (Le gra- 
veur a exagéré sa teinte et 
sa profondeur.) 

nn. Point précis où la patte pos- 
térieure devient libre sur 
la face abdominale. 


5. À 260 fois de grossissement. 

aa. Pièce’ claviculaire, vue par 
la face dorsale. 

bb. Point où la branche verti- 
cale qui vient de la pièce 
sternale, s'unit à la lame 
claviculaire. 

6. À un grossissement de 5oo dia- 
mètres. 

m. Pièce sternale, 

nn. Épimères. 

L Partie cornée qui fait relief 
sur la pièce sternale, du 
côté de ia face abdomi 
nale. 

kk. Divisions internes de l'épi- 
mère. 

rr. Divisions externes des bran- 
ches sternales, qui don- 
nent naissance à l'anneau 
de la première paire de 
pattes. 


Fig. 
ss. Divisions externes des épi- 


mères, qui donnent nais- 
sance à l'anneau de la 
deuxième paire de pattes. 
tt... Brancheexterne del'épimère, 
qui fait suite à celle qui 
donne naissance à l'anneau. 
v. Branche interne de la pièce 
sternale, qui s'articule avec 
les extrémités internes des 
deux pièces trochanter et 
trochantin, à la première 
patte antérieure gauche. 
0000. Appendices cornés dépen 
dants dela branche externe 
de l’épimère ou de la pièce 
sternale, et donnant nais- 
sance à un follicule pourvu 
d'un poil. 
1. Bordure cornée qui faitrelief 
sur la pièce sternale. 
7. À un grossissement de 250 fois. 
ce. Pièce claviculaire, portée en 
avant par l'effet de la com- 
pression, et de manière à 
laisser voir, la branche ver- 
ticale qui l'unit à la pièce 


sternale. 

d. Branche verticale d'union 
entre les pièces sternale et 
claviculaire. 

We Pièce sternale. 


L Pièce claviculaire. 


PLANCHE 2. 


8. Acarus vu du côté de la face abdo- 
minale; soumis à une forte com- 
pression. À 300 fois d’amplifica- 
tion. 


a. Tête entrevue au delà du 
foyer optique. 


} Voyez la première patte antérieure gauche. 


bb. Pattes antérieures. 

cc. Ambulacres des pattes. 

dd. Longs poils qui terminent les 
pattes postérieures. 

ge. Pattes postérieures. 

ie Épimères. 

CE Pièce sternale. 


DE LA GALE DE L'HOMME. 161 


Fig 
ii.  Tuberculesconiquesetcornés. 


kkk. Pois et leurs follicules. 

ll. Épimères des pattes posté- 
rieures. 

mm. Point précis où la patte de- 
vient libre. 

nn.  Appendices cornés, qui ter- 
minent J'épimère des pat- 
tes postérieures. 

00.  Tubercules coniques, qui ter- 
minent le dernier article 
des pattes postérieures. 

r. Ouverture anale. 


Fig. 
9. A un grossissement de 320 fois. 


dd.  Demi-portion de l'anneau, 
vue par la face abdomi- 
nale. 


10. À un grossissement de 200 fois. 


a. Appendice corné, armé d'un 
poil, qui prend naissance 
sur dla continuation de la 
branche externe de l'épi- 
mère. 


PLANCHE 3. 


11. Montre, à un grossissement de 180 
fois, l'anneau étalé horizontale- 
ment sur ses bords, et la pièce 
claviculaire obliquement éten- 
due en avant, de manière à lais- 
ser voir la branche verticale qui 
l'unit à la pièce sternale. 


00. Extrémité interne de la bran- 
che claviculaire, réunie à 
la branche verticale. 

ppp. Anneau de communication 
entre le corps et les pattes. 

tt. Articulations de l'anneau à la 
branche sternale et aux 
épimères. 

12. Montre, à un grossissement de 340 
fois, les fibres musculaires qui 
naissent des épimères et des pat- 
tes postérieures. 


a. Apparence d'organe sexuel. 

b.  Pli tégumentaire qui simule 
une fente, et que la com- 
pression ne peut effacer. 

ææx. Fibres musculaires des pattes 
postérieures. 


SAVANTS ÉTRANGERS. — XII. 


BB. Fibres musculaires qui nais- 
sent des épimères. 

we. Fibres musculaires ou ner- 
veuses. 

v.  Ganglion central, probable 
ment de nature nerveuse. 

13. Insecte représentant, à un grossis- 
sement de 3bo fois, les deux 
demi-portions de l'anneau, vues 
en même temps par la face dor- 
sale. 

«aa. Demi-portion superficielle. 
bb. Demi-portion profonde. 

14. Différents articles des pattes, vus 
du côté de la face d'extension, à 
un grossissement de 65o fois. 

a. Point où les deux branches 
de la pièce superficielle se 
réunissent en une seule. 

8. Branches transverses de cette 

pièce. 

Branche oblique. 


% 


Ligament qui réunit les deux 
branches en dehors. 

7... Demi-portion de l'anneau vue 
sur le premier plan. 


21 


162 
Fig. 


TRAITÉ ENTOMOLOGIQUE ET PATHOLOGIQUE 


r. Seconde pièce du premier 
article, vue profondément. 

».  Ligament du second article. 

0. Pièce solide du second ar- 
ticle, 

u.  Ligament du troisième ar 
ticle. 

v. Pièce solide du troisième ar- 
ücle. 

af. Quatrième article. 

5. Cinquième article. 


6. Tube de l'ambulacre. 

y. Canal intérieur du tube de 
l'ambulacre. 

æ. Long poil. 


15. Articles des pattes antérieures, vus 


par la face de flexion, à un gros- 
sissement de 850 fois. 
a. Extrémité allongée de la 
deuxième pièce triangu- 
laire. 


Fig 
B. 
7: 


PH 


g a 


Branche antérieure. 

Branche postérieure. 

Ligament qui réunit les deux 
branches. 

Branche solide du deuxième 
article. 

Branche double du troisième 
article. 

Quatrième article. 

Cinquième article. 

Tube terminal. 


16. Tube terminal des pattes anté- 


rieures, à un grossissement de 
850 fois. 


€. 


PLANCHE 1/4. 


17. Première paire des pattes anté- 


18. 


rieures dans une flexion exagé 
rée, et laissant voir la ligne 
courbe que décrivent les articles, 
à un grossissement de 350 dia- 
mètres. 


rrr. Pièces solides des deuxième 
et troisième articles, vues 
du côté de la face de 
flexion, et montrant le 
demi-anneau qu'elles dé 
crivent. 


ee, Fibres musculaires qui pas- 
sent parl'axe , ou le centre 
de la patte; à un grossis 
sement de 450 fois. 


Naissance du tube au cin- 
quième article. 

Tube de l'ambulacre et son 
canal intérieur. 

Ventouse terminale. 

Col qui unit le tube et la 


ventouse. 


19. Pattes postérieures à 375 fois de 


grossissement. 


da. 


bb. 


h. 


Pièce qui se trouve sur Île 
premier plan de la patte 
postérieure, vue par la face 
de flexion. 

Pièce qui se voit sur un se- 
cond plan, ou qui est in- 
termédiaire dans l'ordre 
de superposition. 

Tubercule corné qui termine 
l'épimère. 

Branche transverse du pre- 
mier article. 

Second article. 

Branche en arc de cercle du 
premier article. 


DE LA GALE 


Fig. 
90. Patte postérieure à 375 fois de 


grossissement. 
bb. Pièce qui occupe le second 
plan. 
cc. Extrémité de la pièce précé- 
dente et points où elle 
s'articule avec le premier 
article. 
e. Branche transverse du pre- 
mier article. 
h. Deuxième article. 
im. Arc de cercle du premier ar- 
tücle. 
k. Troisième article. 
m. Naissance du poil terminal. 
g-. Poil terminal. 
21. Patte postérieure à 375 fois de 
grossissement. 
b. Pièce intermédiaire. 


cc. 


€. 


Extrémités de la pièce pré- 
cédente qui s’articulent 
avec le premier article. 

Premier article. 


cc. 


DE L'HOMME. 163 
Fig. 
h. Deuxième article. 
k. Troisième article. 
22. Patte postérieure à 375 fois de 
grossissement. 
b. Pièce intermédiaire. 


Extrémités de la pièce pré- 
cédente. 

Branche transverse du pre 
mier article. 

Deuxième article. 

Arc de cercle du premier 
article, vu dans une forte 
extension de la patte. 


. Pattes postérieures à 390 fois d'am- 


plification. 


JT. 


PLANCHE 5. 


24. Tête de l'acarus représentée du côté 


de la face dorsale, à un grossis- 
sement de 580 fois. 


aa. 


bb. 


cc. 


Branches externes de la pièce 
à arceaux, ou superfi- 
cielles. 

Arceaux de la pièce superfi- 
cielle. 

Branches internes de la pièce 
à arceaux. 

Lamelle qui unit les bran- 
ches de la pièce à arceaux 
et qui la limite vers la 
base de la tête. 


TH. 


Pièce annulaire vue du côté 
de la face d'extension, et 
la plus superficielle de ce 
côté. 

Arc de cercle du premier 
article, vu au-dessous de 
la pièce annulaire précé- 
dente. 


Réunion des deux arceaux. 

Point où le palpe s'efface 
sous la pièce superficielle. 

Union des arceaux à la pièce 
superficielle. 

Palpes. 

Mandibules. 

Petite pièce cornée qui tourne 
sur un axe vertical. 

Prolongement de l'enveloppe 
extérieure, placé entre la 
tête et la première paire 
de pattes. 


. Fibres musculaires des man- 


dibules. 


164 TRAITÉ ENTOMOLOGIQUE ET PATHOLOGIQUE 


Fig. 

25. Tête de l’acarus vue par la face ab- 
dominale, à un grossissement 
de 4oo diamètres. 


oo. Pièce en fer à cheval la plus 
superficielle. 

p.  Valvule placée au-dessous de 
la pièce en fer à cheval. 

nr.  Extrémités antérieures de la 
pièce en fer à cheval, et 
point où se perd la bran- 
che interne des palpes. 

ss. Faux palpes. 

tt... Palpes principaux. 

vu. Réunion des palpes à la pièce 
en fer à cheval. 


n 


Appendices transverses qui 


n 


concourent à former la 
lèvre inférieure. 

77. Branchesexternes des palpes, 
et point précis où le faux 
palpe s'insère. 

ww. Appendices transverses. 


96. Plancher inférieur de la tête, ou 
mieux pièces solides qui forment 
la lèvre. 


BG. Appendices transverses qui 
naissent en dedans des 
palpes. 

77: Appendices qui naissent des 
tubercules de la pièce en 
fer à cheval. 

[22 Autres appendices transver- 
ses de la lèvre. 


27. À 450 fois d'amplification. 


aa. Mandibules. 

bb. Barre transverse qui fait re- 
lief sur les mandibules. 

dd. Bordure cornée qui limite 
la mandibule en dedans 
et en arrière. 


Fig. 

ee. Tubercule corné qui termine 
la mandibule en arrière et 
en dehors. 

J... Organe solide qui tourne sur 
lui-même dans les mouve 
ments des mandibules. 

it. Onglets des mandibules, 

p. Fibres musculaires des man. 
dibules. 

26. 

k. Onglet des mandibules dans 

l'extension. 
29. 


LL. Mandibules secondaires. 


30. À 430 diamètres d'amplification. 


m. Conduit alimentaire placé 
au-dessous et entre les 
mandibules. 


n.. Valvule mobile. 


0. Fibres musculaires de la 
valvule. 
r.  Ligament antérieur sur le- 


quel se rendent les fibres 
musculaires antérieures de 
la valvule. 


31. 


m. Tube alimentaire buccal qui 
conduit les aliments vers 
la valvule. 


32. À 420 fois de grossissement. 


ee. Scissure qui sépare les ar- 
ticles des palpes. 

90. Idem. 

ss.  Follicule armé d'un poil. 

tt... Pièce à arceaux vue profon- 
dément. 

yv. Poil qu'on aperçoit sur un 
plan plus profond. 


DE LA GALE DE L'HOMME. 165 


F 

33. Naissance de l'æsophage et fibres 
musculaires des pattes antérieu- 
res, à 460 diamètres de grossis- 
sement. 


a.  OEsophage. 

b. Naissance des fibres muscu- 
laires de l'œsophage de 
chaque côté de la valvule. 

ccce. OEsophage débordantla pièce 
sternale, 


Fig. 
it.  Valvule. 
kk. Fibres musculaires qui se 


rendent vers la patte. 


34. À 380 fois de grossissement. 


d.  OEsophage vu du côté de la 
face dorsale; 1l contient 


des globules. 
e.  Globules qui se répandent 


dans le tissu sarcodique. 


PLANCHE 6. 


35. Tram postérieur de l'acarus , à 279 
fois de grossissement. 


c. Ouverture anale. 

d Canal intestinal rudimen- 
taire. 

b. Bol excrémentitiel. 

ui. Ligne qui semble limiter une 
sorte de cavité stomacale. 


36. Centres circulatoires, à 275 dia- 
mètres de grossissement. 


aa.  Vésicules occupant un centre 
de circulation. 

bb.  Vésiculesoccupant un centre 
de circulation. 

a.  Sorte de poche où les fèces 
sembleraient s’accumuler. 

d. Canal intestinal rudimen- 
taire. 

c. Ouverture anale. 


37. Acarus qui s'est dépouillé sponta- 
nément de son enveloppe sous 
l'influence de la compression, à 
une période de métamorphose. 


a. Ouverture artificielle à tra- 
vers laquelle le corps de 
l'acarus a passé. 

b. Tête qui semblerait encore 
pourvue de ses organes 
intérieurs. 

c. Tête de l’acarus dépouillé de 
son tégument. 

ddd. Pattes antérieures de l'aca- 
rus. 

A1 
38. Insecte qui contient un œuf dans 
son abdomen, à 375 diamètres 
d'amplification. 


aa.  OEuf contenant des granules. 


PLANCHE 7. 


39. Représente en b, un œuf déjà en 
partie développé, et situé plus 
antérieurement que cela n’a lieu 
habituellement. 


40. Acarus dont l'abdomen renferme 


quatre œufs, à des degrés diffé- 
rents de développement. 


e.  Œuf ayant subi approxima- 
tivement cinq ou six jours 
d'incubation. 


166 TRAITÉ ENTOMOLOGIQUE ET PATHOLOGIQUE 


Fig. 
$ d.  OEufs déjà développés. 
e. Idem. 
f. Idem. 


A1. OEuf au troisième jour de l'incu- 
bation, à un grossissement de 
375 diamètres. 


42. OEuf au quatrième jour d'incuba- 
tion, à un grossissement de 450 
diamètres. 


43. OEuf qui s’est crevé sous le com- 
presseur, au quatrième jour d'in- 
cubation; son contenu, qui s'est 
répandu au dehors, est composé 
de granules et de cellules comme 
huileuses. 


4. OEuf au cinquième jour d'incuba- 
tion, à un grossissement de 375 
diamètres. 


aa. Appendices de la première 
paire de pattes antérieures. 


je bb. Groupes de cellules qui for- 
meront la deuxième paire 
de pattes antérieures. 

c. Groupe de cellules destiné à 
la première paire de pattes 
postérieures. 

kk. Groupes de cellules desti- 
nées à former l'extrémité 
moyenne et terminale de la 
deuxième paire de pattes 
antérieures. 


45. OEuf au sixième jour d'incubation , 
a un grossissement de 375 fois. 


dd. Appendices de la première 
paire des pattes antérieures. 

ce. Appendices de la deuxième 
paire des pattesantérieures. 

Jf. Appendices de la première 
paire des pattes posté- 
rieures. 

ii  Appendices des follicules pi- 
leux latéraux. 

gg. Cellules isolées, remplies de 
granules. 


PLANCHE 8. 


46. OEuf au sixième jour. de l'incuba- 
tion, à un grossissement de 450 
diamètres. 


aa. Première paire des pattes an- 
térieures, portant la trace 
des trois groupes de cel- 
lules qui l'ont formée. 

bb.  Deuxièmepaire des pattes an- 
térieures, portant la trace 
des trois groupes de cel- 
lules qui l'ont formée. 

ce. Première paire des pattes pos- 
térieures, portant la trace 
des trois groupes de cel- 
lules qui l'ont formée. 


f.  Appendice formant la tête 
de l’'acarus , vu sur un plan 
profond. 


oo. Couche de liquide albumi- 
neux, simulant une se- 
conde membrane d'enve- 


loppe. 

pp. Cellules granuleuses, non 
comprises dans le travail 
d'organisation, et répan- 
dues au milieu de l’espace 
libre compris entre la 
coque extérieure de l'œuf 
et la membrane qui re 
couvre l'embryon 


DE LA GALE 


Fig. 

N7. OEuf déjà représenté fig. 46, et vu 
du côté de la face dorsale de 
l'insecte. 

ii. Ligne sinueuse formée par 
un groupe de cellules plus 
spécialement destinées au 
tissu sarcodique abdomi- 
nal. 


48. OEuf au sixième jour de l'incuba- 
tion : l'embryon qu'il contient 
est vu sur le côté, et laisse voir 
très-distinctement les trois grou- 
pes de cellules qui forment cha- 
que patte. 


kk. Cellules qui terminent la 
patte. 
ggg- Cellules qui occupent la par- 
tie moyenne de la patte. 
IL Cellules qui se perdent dans 
le corps de l'insecte. 


m.  Rudiment de l'anneau. 


A9. OEuf au septième jour d'incuba- 


DE L'HOMME. 167 
Fig. 
tion, en partie recouvert d'une 
pellicule épidermique ; à une am- 
plification de 45o fois. 


aa. Lignes qui naissent de l'ap- 
pendice terminal des pat- 
tes pour former le tube de 
l'ambulacre. 

e.  Pellicule épidermique qui 


recouvre l'œuf. 


50. OEuf au huitième jour de l'incuba- 
tion, laissant voir les épimères: 
à un grossissement de 300 fois. 


r. Pièce sternale. 

s. Épimères. 

t. Épimères de la première 
paire des pattes posté 
rieures. 

y.  Appendice d'un follicule, 
pourvu de son poil, qu'on 
pourrait prendre pour une 
patte rudimentaire. 

51. OEuf au neuvième jour d'incuba- 


tion, à 45o fois de diamètre. 


PLANCHE 9. 


52. OEuf au dixième jour d'incubation, 
présentant l'embryon compléte- 
ment développé; à un grossis- 
sement de 450 fois. 


aa.  Appendices qui supportent 
un poil et son pellicule. 
bb. Appendice qui supporte un 


poil et son follicule. 


53. Mème œuf que celui présenté fi- 
gure 52, mais vu par la face 
dorsale. 

d. Tube æsophagien recouvert 


de granules. 


54. Jeune acarus à l'état de larve, qui 


est éclos sous nos yeux. Le gros- 
sissement est de 375 fois. 

55. Jeune acarus enlevé sur nous, huit 
jours après son éclosion. La 
deuxième paire de pattes vient 
de se développer à l'occasion de 
la première métamarphose, aussi 
est-elle visiblement moins volu- 
mineuse que la première paire. 


56. Arrière-train d'un acarus surpris au 
milieu d’une métamorphose. 
0. Poil filamenteux qu'on serait 


tenté de prendre pour un 
organe sexuel. 


168 TRAITÉ ENTOMOLOGIQUE ET PATHOLOGIQUE 


rr.  Lambeau d'épiderme dont 
V'acarus se dépouille. On 
reconnaît parfaitement , 
aux tubercules cornés que 


PLANCHE 10, 


57. Acarus femelle, vu par la face ab- 
dominale, à un grossissement de 
180 diamètres, et montrant l'ab- 
sence des organes génitaux entre 
les pattes postérieures. 


a. Tête. 

bbbb. Pattes antérieures. 

cccc. Ambulacres à ventouse. 

dddd. Pattes postérieures. 

ee. Poil quitermine la dernière 
paire des pattes posté- 
rieures. 

ÉTA Épimères des pattes posté- 
rieures, séparés, tandis 
qu'ils sont réumis chez le 
mâle. 


58. Acarus mâle, représenté par la face 
abdominale, à un grossissement 
de 300 diametres. 


h. Tête. 


ce lambeau porte avec 
lui, qu'il faisait partie du 
tégument de la face dor- 
sale. 


kkkk. Pattes antérieures. 

titi. Ambulacres à ventouse. 

gg.  Épimères des pattes posté- 
rieures réunis et non sé- 
parés, comme sur la fe- 
melle. 


Je Organe faisant partie de 


l'appareil génital. 


J'f'. Branches dépendantes de 


l'organe précédent. 

pp. Organe faisant partie de 
l'appareil génital. 

s. Glandule dépendant de l'or- 
gane précédent. 

rr. Organe faisant partie de 
l'appareil génital. 

t. Glandule dépendant de l'or- 
gane précédent. 

LUIL. Pattes postérieures. 

mm.  Ambulacre à ventouse qui 
termine la dernière paire 
des pattes postérieures. 


mie des Sciences, Savants Etrangers. Tom. XII, PI. 1ère 


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Cravé par Dorromée 


ACARUS DE LA GALE CHEZ L'HOMME. 


Académie des Sciences. Savants Etrangers. Tom. XII. PL. 2. 


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Grave par Borromée- 


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Academie des Sciences Savants Etrangers. Tom. XII. PIS: 


Gravé par Borromés 


ACARUS DE LA GALE CHEZ L'HOMME 


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Académie des Sciences. Savants Etrangers. Tom. XII. 


Cravé par Borrornée . 


ACARUS DE LA GALE CHEZ L'HOMME. 


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Grave par Borromeée. 


ACARUS DE LA GALE CHEZ L'HOMME. 


Fig . 58. 


LEZ 


BAINS 


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Fig. 56. 


Grave par Borromée 


ACARUS DE LA GALE CHEZ L'HOMME . 


P1.7.. 


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DE LA GALE CHEZ L'HOMME, 


ie des Sciences, Savants Etrangers. Tom. XII. 


ACARUS DE LA GALE CHEZ L'HOMME. 


Académie des Sciences. Savants Etrangers. Tom. XII, Plo. 


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Cravé par Borromée 


ACARUS DE LA GALE CHEZ L'HOMME. 


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SUR L'ACCROISSEMENT 


EN DIAMÈTRE 


DES PLANTES DICOTYLÉES, 


PAR MM. DURAND ET MANOURY. 


I n’est personne peut-être à qui il ne soit arrivé, en regar- 
dant un grand arbre et en reportant ses souvenirs sur sa graine, 
de se demander comment ce géant de la végétation a pu sortir 
d’un si petit œuf. 

C'est, se répond-on, par des acquisitions successives, par des 
combinaisons nouvelles de la matière venant du dehors, que ce 
végétal s'est accru, la graine, une fois germée, étant une matrice 
organisée qui combine en d’autres matrices douées de la même 
faculté, si elles se trouvent placées dans les mêmes circonstances, 
les matériaux de l'air et de la terre. 

Mais par quel mécanisme le développement en hauteur et en 
diamètre de ce végétal a-t-1l lieu? 

C'est une question qui a fixé l'attention des physiologistes de 
tous les temps. Le phénomène d’accroissement en diamètre, celui 
dont on s’est le plus occupé, n’a cependant commencé à être ex- 
pliqué d’une manière convenable que par deux hommes célèbres, 
Grew et Malpighi, qui étudiaient à peu près à la même époque. 

Ces deux savants attribuèrent l'accroissement en diamètre des 
tiges dicotylédones à un fluide organisateur qui coulait entre le 
bois et l'écorce, et que Grew nomma cambium. 


SAVANTS ÉTRANGERS. — XII. 22 


170 SUR L'ACCROISSEMENT 


Suivant Grew!, le cambium formait directement le bois et 
l'écorce; d’après Malpighi?, il donnait seulement naissance au liber, 
dont les couches se transformaient successivement en aubier. 

Hales, qui vint après eux, pense que les émanations du corps 
ligneux* forment la nouvelle couche de bois au moyen de la séve 
montante, et que les émanations du liber forment en même temps 
une nouvelle couche libérienne au moyen de la séve descendante. 

Le célèbre Duhamel-Dumonceau a fait un grand nombre d’ex- 
périences, la plupart fort ingénieuses, pour éclaircir ce sujet 1m- 
portant. Il tire de ses expériences la conséquence que le liber se 
convertit, chaque année, en bois. « Lorsqu'au printemps, dit-il", 
le bois se sépare de l'écorce, il se forme dans le vide une subs 
tance particulière (le cambium) qui sert de moyen d'union entre 
la couche de bois et la couche de liber, lequel doit former la nou- 
velle couche ligneuse. » 

Knight, dans ses recherches sur la formation de l'écorce’, dé- 
crit des expériences d’où il conclut que jamais le liber ne se 
change en aubier. 

M. de Mirbel, dont les opinions ont varié sur le développement 
en diamètre des tiges, émet d’abord celle® que le cambium est la 
source de l'accroissement du végétal; que cette substance régéné- 
ratrice, qui n’est renfermée dans aucun vaisseau, transsude à tra- 
vers les membranes et se porte partout où de nouveaux dévelop- 
pements s’opèrent; que c’est le cambium qui développe et nourrit 
le liber; que ce dernier (le liber) étant composé de tissu cellu- 
laire et de bois, il se fait une séparation entre ces deux parties 
constituantes : le tissu cellulaire, en se portant vers l'extérieur, 
entraîne avec lui les couches les plus externes du liber, tandis que 


* Anatomy of plants. 

* Plantarum anatome. 

* Traité de la végétation. 

* Physique des arbres. 

* Philosophical transactions of the royal Society of London ; 1808. 

* Traité d'anatomie et de physiologie végétales ; éléments de physiologie végétale et de 
botanique. 


DES PLANTES DICOTYLÉES. 171 


les couches les plus intérieures du même liber se réunissent au 
bois. 

M. Kieser soutient! que la séve monte des racines par le bois 
dans les feuilles; qu'après avoir subi, dans les parties vertes de la 
plante, l’action de l'air et de la lumière, elle redescend, à l’état de 
suc nourricier où de cambium, entre l'écorce et le bois, se dépose 
entre ces deux organes en formant une nouvelle couche d’aubier 
et une nouvelle couche de liber. 

En 18:16, M. de Mirbel revint sur l'opinion qu'il avait émise 
dans ses précédents ouvrages. Il reconnut qu'il s'était trompé, et 
déclara que le liber ne devient jamais bois. «Il s'écoule (nous 
transcrivons)? entre le liber et le bois une couche qui est la con- 
ünuation du bois; cette couche régénératrice est le cambium. Le 
cambium n’est point une liqueur qui vient d’un endroit où d’un 
autre; c'est un tissu très-jeune qui continue le tissu plus ancien : 
il est nourri et développé par une séve très-élaborée. Le cambium 
se développe à deux époques de l’année entre le bois et l'écorce, 
au printemps et à l'automne. Son organisation paraît identique 
dans tous les points; cependant, la partie qui touche l’aubier se 
change insensiblement en bois, et celle qui touche le hiber se 
change insensiblement en liber. Cette transformation est percep- 
üble à l'œil de l'observateur. » 

M. Dutrochet a émis, sur l'accroissement en diamètre une 
opinion que nous devons faire connaître. Suivant ce célèbre phy- 
siologiste®, les couches ligneuses de nouvelle formation qui se 
développent, chaque année, sont séparées des anciennes par une 
couche mince de médulle ou tissu utriculaire. C’est cette couche 
de médulle qui, d’après M. Dutrochet, donne naissance aux cou- 
ches ligneuses. Au printemps, l'accroissement en épaisseur com- 


! Mémoire sur l'organisation végétale, qui a remporté le prix proposé par la Société 
theylerienne; 1812. 

* Note insérée au Bulletin des sciences de la Société philomathique ; 1816. 

* Mémoires pour servir à l'histoire anatomique et physiologique des animaux et des 
végétaux, t. I. 


22. 


172 SUR L'ACCROISSEMENT 


mence par la formation de cette couche mince de médulle; bien- 
tôt, par la propriété de donner naissance à des fibres longitudi- 
nales, cette couche de moelle produit les vaisseaux qui lenvi- 
ronnent et constituent ainsi une sorte de canal médullaire destiné 
à devenir plus tard la nouvelle couche ligneuse. 

M. Achille Richard, qui admet la théorie du cambium professée 
par M. de Mirbel, ne donne pas à ce mot la même signification 
que le célèbre professeur du Jardin des Plantes. Pour M. Richard, 
en effet, le cambium! n’est point le tissu qui se transforme en 
liber et en aubier; il fournit seulement aux tissus déjà formés les 
matériaux qui leur sont nécessaires pour donner naissance à un 
nouveau liber et à de nouvelles couches ligneuses. Ces nouveaux 
tissus se montrent d’abord sous la forme d’utricules avant de de- 
venir fibres ou vaisseaux : ainsi la couche celluleuse qui unit le 
bois à l'écorce se transforme en aubier et en liber, et cette couche 
celluleuse s’augmente et se reproduit incessamment par l’afflux de 
sucs nutritifs, c’est-à-dire du cambium, comme les tissus animaux 
s’augmentent ou se reproduisent incessamment au moyen du sang. 

Enfin, dans un travail récent? fait conjointement avec M. Payen, 
M. de Mirbel semble revenir à l’opinion le plus généralement ad- 
mise sur la nature du cambium. En effet, il atteste que le cam- 
bium ou la matière globulo-cellulaire (comme il l'appelle aussi) 
précède toujours l'apparition des cellules. 

Ces diverses théories proposées pour expliquer le phénomène 
d’accroissement en diamètre des tiges dicotylées, quoiqu'elles dif- 
fèrent pour la plupart les unes des autres, se ressemblent néan- 
moins par deux points importants : 1° elles font intervenir un 
fluide nourricier sur la nature duquel elles ne sont pas d'accord, 
et qu’elles désignent le plus généralement sous le nom de cambium ; 
2° elles admettent une similitude complète entre les tissus utri- 
culaires primitifs et les tissus fibro-vasculaires. 

A toutes ces théories, que nous désignerons par un nom com- 


! Nouveaux éléments de botanique et de physiologie végétale. 
© Comptes rendus de l'Académie des sciences. Juin 1843. 


DES PLANTES DICOTYLÉES. 173 
mun : {héories du cambium, 1 y a déjà longtemps qu’on en a opposé 
une autre, dont les premiers éléments descriptifs sont dus à de 
Lahire, à À. G. Agricola, et ensuite à Aubert Dupetit-Thouars. 

De Lahire émit! l’idée que les bourgeons sont les agents essen- 
tiels du développement des tiges en diamètre, et que c’est de leurs 
bases que partent et descendent les fibres qui augmentent la grosseur 
des végétaux. Cette nouvelle théorie, décrite en peu de lignes et 
sans preuves à l'appui, ne fut pas remarquée des physiologistes. 

Vinrent les travaux d’Agricola, dans lesquels on trouve, entre 
autres choses relatives à la question que nous examinons, le pas- 
sage suivant : « On peut donc dire? avec vérité que les branches, 
jets et feuilles, ont aussi des racines par le haut, etc. Oui, il est 
certain que si quelqu'un seulement veut ouvrir les yeux et faire 
attention, il découvrira véritablement qu’on voit quantité de mil- 
liers de petites racines avec leurs fibres, aux branches et jets, en 
tout temps. » 

Mais personne ne voulut ouvrir les yeux : on ne fit pas plus 
d'attention aux idées d’Agricola qu’on n’en avait fait à celles de 
de Lahire. 

Vers le commencement de ce siècle’, un célèbre botaniste 
voyageur, Aubert Dupetit-Thouars, reproduisit la théorie d’abord 
proposée par de Lahire; mais il Pappuya sur tant d'expériences 
nouvelles, que les phytotomistes furent obligés de examiner. Mal- 
heureusement, ce fut pour la combattre : une seule voix s’éleva 
pour la défendre, celle de Turpin; mais bientôt cette voix lui fit 
défaut : Turpin annonça qu’il s'était trompé. 

Il était réservé à un autre botaniste voyageur non moins célèbre, 
M. Charles Gaudichaud, d’être le continuateur de ces idées, de 
les étendre et de les compléter par des travaux innombrables. 

Dans cette théorie, telle que M. Gaudichaud la soutient, on 
admet bien, ainsi que dans les théories du cambium, que les 


* Mémoires de l'Académie des sciences, 1719. 
* Agriculture parfaite, I* vol. p. 202. 
* Essais sur la végétation considérée sur le développement des bourgeons. 


174 SUR L'ACCROISSEMENT 


tissus végétaux passent par divers degrés de fluidité avant de se 
constituer et de se solidifier; mais on refuse de comprendre le 
cambium comme on l'avait généralement compris et on en repousse 
jusqu’au mot lui-même; on n'admet aucune similitude entre les 
tissus cellulaires primitifs ou parenchymateux et les tissus vascu- 
laires fibreux. Ces tissus fibro-vasculaires sont regardés comme ne 
se formant que dans les feuilles, les bourgeons et les embryons, 
et l'accroissement en diamètre des tiges dicotylées se fait par la 
descension de ces tissus fibro-vasculaires et par le développement 
des tissus parenchymateux qui rayonnent du centre à la circon- 
férence. L 

Tel est l’état de la question sur l'accroissement en diamètre des 
tiges dicotylédones. 

Comme on le voit, on est loin d’être d'accord sur ce point de 
la science, malgré le talent des hommes qui s’en sont occupés, et 
malgré la conviction qui en anime quelques-uns. Et cependant il 
serait fort important (aujourd’hui surtout que la question fores- 
tière préoccupe vivement les esprits) de savoir positivement à 
quoi s’en tenir à cet égard; car, puisque les principes anatomiques 
de l'une ou de l’autre de ces théories ne peuvent être également 
vrais, nécessairement il en est de même des principes physiolo- 
giques qu’on en déduit. 

C’est dans cet état que nous avons trouvé la science, lorsque 
nous avons été nous-mêmes amenés, nous allons dire comment, 
à nous en occuper. À 

Chacun sait que la betterave, dans la première année de sa vé- 
gétation, forme de six à dix petites couches ligneuses, séparées 
les unes des autres par de larges bandes de tissu cellulaire. C'est à 
M. Dutrochet, dont la mort récente laisse un vide dans la physio- 
logie expérimentale, que nous devons d’abord cette observation!. 
Cet ingénieux expérimentateur avait en outre annoncé que ces 
couches ligneuses se formaient à l'extérieur, comme d’ailleurs on 


" Mémoires déjà cités de l'auteur, I" vol. p. 158. — Voyez aussi Gaudichaud, 
Organographie, pl. XII, fig. 1, 2, 3, 4. 


DES PLANTES DICOTYLÉES. 175 


l'a admis pour toutes les autres plantes; mais, par suite d'idées qui 
lui étaient propres sur l'accroissement en diamètre, il craignit 
plus tard de s'être trompé. En conséquence, il nous chargea de 
vérifier ce fait d’accroissement; ce que nous nous empressämes de 
faire. 

Nous reconnümes alors que les couches ligneuses dans la bet- 
terave se formaient à l’extérieur, et que, par conséquent, M. Du- 
trochet ne s'était point trompé; mais, en même temps, nous pen- 
sâmes que cette plante, par la nature de son organisation, était la 
plus propre à éclairer la question de l'accroissement en diamètre. 
si on la prenait pour objet de ses expériences. 

Voici le raisonnement que nous fimes : 

Pour connaître le développement d’un organe, il faut remonter 
aussi loin que possible dans l'histoire de sa vie; c’est par la con- 
naissance de ce qu'il fut qu'on parvient à expliquer ce qu'il est; 
mais pour cela il faut pouvoir embrasser son organisation d’un seul 
coup d'œil. Or avec nos grands arbres, avec la plupart de nos 
plantes, qui ne forment qu’une couche ligneuse chaque année, et 
chez lesquelles les tissus cellulaires ne restent jamais bien isolés 
des tissus fibro-vasculaires, comment suivre pas à pas le dévelop- 
pement des tissus ligneux, et surtout proclamer, d’une manière 
irréfragable, la complète indépendance des tissus parenchymateux 
et de ces tissus ligneux? On en voit tout de suite l'impossibilité 
en n'instituant des expériences que sur de pareils objets. 

C'est là, sans doute, la principale cause du débat qui existe 
entre les physiologistes depuis Duhamel et de Lahire. 

Avec les betteraves, nous crûmes que nous'ne rencontrerions 
pas ces inconvénients, que nous pourrions assister, pour ainsi dire, 
au développement progressif des tissus ligneux, et surtout voir 
l'indépendance, si indépendance il y avait, des tissus parenchy- 
mateux ou cellulaires et des tissus fibreux. 

Nos prévisions se sont justifiées. 

Les expériences que nous avons faites sur ces plantes consti- 
tuent bien la partie essentielle de notre travail; cependant, nous y 


176 SUR L'ACCROISSEMENT 

avons joint une série de recherches sur les greffes de différentes 
natures, c’est-à-dire en fente, par approche, dans la moelle, etc. 
et sur des décortications circulaires pratiquées sur des pereskia et 
des citrus. 

Les expériences que notre travail renferme se divisent donc 
naturellement en trois séries : 1° celles qui ont été faites sur les 
betteraves; 2° celles qui se rapportent aux différents genres de 
greffes; 3° enfin, celles qui sont relatives aux décortications cir- 
culaires. 

Nous allons décrire la manière dont chacune de ces expériences 
a été exécutée, et indiquer les résultats qu’elle a produits. 

Nous nous sommes contentés d'étudier les faits; quant aux 
causes, nous les avons négligées. En conséquence, nous n’avons 
fait intervenir ni la séve descendante, ni le cambium, ni le suc 
nutritif, ni le tissu générateur, ni le fluide globulo-cellulaire, ni 
même les corps animés; parce que nous avons pensé qu'avant de 
nous occuper des causes physiologiques des développements di- 
vers, nous devions étudier ces développements eux-mêmes dans 
leurs effets les plus matériels. 

Cela dit, nous soumettons immédiatement au jugement de nos 
maîtres et nos procédés et nos résultats. 


$ 1". BETTERAVES. 


A. EXPÉRIENCES FAITES SUR LES BETTERAVES PENDANT LA PREMIERE ANNÉE 
DE LEUR VÉGÉTATION. 


IL Le À août 1846, il fut enlevé à une betterave, à 8 centi- 
mètres au-dessous du sommet et dans toute sa circonférence, 
quatre couches et tout ce qui leur correspondait à la partie supé- 
rieure, de telle sorte que la partie conservée n'était plus qu'un 
cylindre surmonté par l'axe du bourgeon. Ce cylindre avait en tout 
8 centimètres de hauteur sur 48 millimètres de circonférence, et 
il ne se composait plus que d’une seule couche concentrique en- 
tourant l’étui médullaire. 


DES PLANTES DICOTYLÉES. 177 


Toutes les parties mutilées furent laissées à l'air bre; on ne 
chercha nullement à les protéger contre l'atteinte des agents exté- 
rieurs. Bientôt les parties mises à l'air se cicatrisèrent et formèrent 
une nouvelle écorce: le bourgeon terminal se développa et pro- 
duisit de nouvelles feuilles; le cylindre prit de l'accroissement. 
On remarqua, en même temps, que la betterave se fendait au- 
dessous du point où les couches avaient été enlevées. 

Le 1% octobre.suivant, cette betterave a été arrachée ; le cylindre 
avait alors grandi de 7 centimètres: Œuant à son accroissement en 
diamètre, il n’était pas le même dans toute son étendue : il était 
plus considérable dans la partie la plus rapprochée des feuilles, 
et les endroits qui s'étaient le plus développés avaient 14 centi- 
mètres de circonférence. 

Cette betterave, coupée longitudinalement par le centre, offrit 
les caractères suivants : la couche qu'on avait respectée lors de 
l'opération avait considérablement augmenté de diamètre, mais 
uniquement en tissus cellulaires. Cinq nouvelles couches s'étaient 
formées à l'extérieur : c’est vers les parties les plus épaisses que 
le plus grand nombre de couches existait, et ces parties étaient 
les plus rapprochées des feuilles: elles étaient, d’ailleurs, recou- 
vertes d’une écorce parfaitement constituée et facile à détacher. 

La partie inférieure de la betterave, c’est-à-dire celle à laquelle 
on n’avait rien enlevé, avait pris beaucoup d’accroissement; mais 
cet accroissement n'avait eu lieu que dans la couche la plus rap- 
prochée du centre, celle qui correspondait directement à la partie 
conservée du cylindre. Les autres couches qui, par suite de l'opé- 
ration, ne communiquaient pas avec les feuilles, étaient restées 
dans leur état primitif : c'était évidemment par suite de ce phé- 
nomène que la betterave s'était fendue. 

Afin de reconnaître le nombre de nouvelles couches formées, 
ainsi que leur origine, nous avons fait bouillir cette betterave 
dans l’eau pendant le temps nécessaire pour désagréger ces couches 
les unes des autres; et par la dissection, nous avons pu isoler les 
cinq nouvelles couches formées au sommet du cylindre, et cons- 


SAVANTS ÉTRANGERS. — xII. 23 


178 SUR L'ACCROISSEMENT 


tater que leurs filets ligneux émanaient directement des feuilles 
qui s'étaient successivement développées. À laide de cette dissec- 
tion, nous avons pu voir encore que la couche la plus extérieure 
correspondait avec les feuilles dont le développement était le 
plus récent. De toutes ces couches, c'était celle-ci qui descen- 
daït le moins; la couche la plus intérieure était, au contraire, 
celle qui descendait le plus et qui était, en même temps, la plus 
forte et la plus ligneuse. Les couches intermédiaires, quant à 
leur longueur et à leur développement, étaient en rapport avec 
leur âge. 

Ainsi, les feuilles qui se sont d’abord développées après lex- 
périence sont celles qui ont donné naissance à la couche la plus 
intérieure, c’est-à-dire celle qui est la plus longue et la plus forte. 
Les feuilles, au contraire, qui se sont développées les dernières 
sont celles qui ont produit la couche la plus extérieure, laquelle 
est la moins longue et la moins épaisse. Les figures 1 et 2 mon- 
trent bien la formation successive de toutes ces couches, d’après 
la formation également successive des feuilles dont nous avons 
suivi, dans leur marche descendante, les faisceaux fibro-vascu- 
laires. 

Ces faits concordent de tous points avec la règle générale des 
agencements, exposée par M. Ch. Gaudichaud! pour les dicotylés, 
et par M. Hugo Mohl? pour les monocotylés. 

II. Le 21 Juillet, on a enlevé à une betterave, sur une lon- 
gueur de 10 centimètres, plus de la moitié de sa partie supé- 
rieure, en laissant le bourgeon entier à la partie restante. La partie 
tronquée a cessé de s’accroître, tandis que l'autre s’est augmentée 
considérablement ; les deux côtés voisins de la partie mutilée ont 
pris un tel accroissement, qu'ils ont formé de chaque côté deux 
colonnes (A 4’, fig. 3) d'une épaisseur d'environ 4 centimètres 
chacune. 

Au moment de l'opération, il y avait six couches partout; lors 


* Voyez Gaudichaud, Organographie, pl. VIT, fig. 41, 42, 43, etc. 
* Voyez Martius, Anatomie des palmiers, pl. II, fig. 5. 


DES PLANTES DICOTYLÉES. 179 


de la dissection, on en retrouvait exactement le même nombre 
sur le côté mutilé, et qui n'avaient même pas pris d'accroissement 
sensible, tandis que sur le côté où le bourgeon et les feuilles ont 
toujours continué d'exister, les couches ont beaucoup gagné en 
épaisseur, Ces couches, qui primitivement formaient un cercle 
continu avec les couches parallèles du côté opposé, ayant été écar- 
tées par suite de leur augmentation en épaisseur, les cercles 
s'étaient brisés aux points où le végétal ayait cessé de s’accroitre. 
Ce phénomène était surtout dû au développement du tissu cellu- 
laire, qui avait eu lieu du centre à la circonférence. 

De plus, il est à remarquer que les deux côtés formant co- 
lonnes s'étaient chargés de nouvelles couches : trois sur un côté 
À, cinq sur l'autre 4° (fig. 4). Le côté qui a donné cinq couches 
nouvelles est celui qui a pris le plus d’accroissement : ce côté était 
le plus garni de feuilles, et la couche du centre était beaucoup 
plus développée que celle qui la suivait; celle-ci, à son tour, l'était 
beaucoup plus que la suivante, qui elle-même l'était plus que la 
couche extérieure, c’est-à-dire la dernière formée. 

La plaie s’est cicatrisée et a reproduit une nouvelle écorce sous 
laquelle de nouvelles couches se sont formées; ces couches sont 
surtout plus apparentes vers la partie la plus voisine des feuilles. 
Par leur position, elles coupent à angle droit les couches concen- 
triques d’ancienne formation, mais elles se trouvent être la contt- 
nuation de celles qui se sont formées à l'extérieur en même temps 
qu'elles. 

I. Le mème jour (21 juillet), un anneau fut enlevé (fig. à) 
sur une betterave dans une hauteur de 3 centimètres. La partie 
laissée avait 12 centimètres de circonférence : une couche avait 
été enlevée. Au bout de peu de jours, la plaie s'était cicatrisée 
et une espèce d’'épiderme s'était reformée; une augmentation sen- 
sible en grosseur avait eu lieu à la circonférence. Au mois d’oc- 
tobre, la circonférence est de 18 centimètres 5 millimètres. Une 
nouvelle écorce s’y est reproduite, ayant tous les caractères de 
l'écorce des parties non dépouillées. 

23. 


180 SUR L'ACCROISSEMENT 

Sous cette écorce de nouvelle formation amsi qu'au-dessus, c'est- 
à-dire dans la partie située immédiatement sous les feuilles, se 
sont formées des couches nouvelles (fig. 6) qui se perdent et 
disparaissent vers la partie inférieure de la cicatrice; on les voit 
distinctement descendre des feuilles dans la région supérieure, 
de là dans la partie moyenne ou décortiquée, et de celle-ci dans 
l'inférieure, toujours en suivant les contours superficiels. Là , comme 
ailleurs, les couches du centre, qui sont de formation plus an- 
cienne , sont les plus fortes, les plus longues, etc. 

IV. Une betterave a été fendue par le milieu, et létui médul- 
laire n’a pas éte également partagé. La plaie s’est desséchée de 
manière à représenter un épiderme sous lequel une certaine quan- 
tité de matière verte s’est développée, mais il ne s’y est formé ni 
écorce ni couche ligneuse; des racines sont sorties de la plaie, 
surtout du côté où l'étui médullaire était resté, tandis que le côté 
opposé, quoique placé dans les mêmes circonstances, n'a pas jeté 
de racines. 

V. On a fendu longitudinalement une betterave, en laissant un 
côté plus fort que l’autre. La plaie, comme ailleurs, a formé une 
nouvelle écorce et des couches dont les plus apparentes étaient 
rapprochées de la circonférence, lesquelles, par leur position en 
dehors, se trouvaient sous les feuilles. 

VE Le 21 juillet, on a, dans une hauteur de g centimètres, 
dolé une betterave tout autour, de manière à enlever l'écorce, et 
même, sur plusieurs points, une portion de la couche la plus 
extérieure. Cette betterave, ainsi décortiquée, avait 10 centimètres 
de circonférence. 

Le 1% octobre, cette même partie avait 35 centimètres sur 16 
de hauteur. En la coupant en travers, On a pu s'assurer qu'à sa 
partie inférieure il ne s'était formé ni écorce ni couche nouvelle : 
à cette partie, on voyait les endroits où la couche extérieure avait 
été enlevée lors de lopération, et on pouvait encore suivre les 
portions de cette couche que l'instrument avait respectées. 

C'est donc par l'allongement des filets vasculaires préexistants 


DES PLANTES DICOTYLÉES. 181 


du centre, et par le développement du tissu cellulaire, que se 
sont produits les accroissements en hauteur et en largeur. 

Cependant, avant d’enlever lécorce et les parties de la couche 
que l'instrument devait emporter, on avait fait une coupe annu- 
laire (BB', fig. 7) qui avait partagé deux des couches concen- 
triques. Il est à remarquer que la partie supérieure a pris plus 
d’accroissement et a formé une espèce de bourrelet muni d’une 
écorce sous laquelle on a trouvé de nouvelles couches descendant 
même au-dessous de ce bourrelet, et finissant bientôt par se 
perdre. 

Cette expérience, comme beaucoup d’autres d’ailleurs, nous a 
démontré qu'il n’y avait d’écorce complète qu’où les fibres des- 
cendantes étaient déjà arrivées, ou, en d’autres termes, que la 
présence des fibres est nécessaire à la régénération de l'écorce. 

VIT. Après avoir fendu une betterave, dans une partie de sa lon- 
gueur, presque par la moitié, un des côtés a été enlevé par une 
coupe transversale (fig. 8). La partie enlevée présentait six couches 
entièrement formées, et la partie laissée était munie de son bour- 
geon. La plaie, dans toute sa longueur, s'est vite cicatrisée; elle 
s'est recouverte d’une écorce, et dans certains endroits des espèces 
de mamelons ou protubérances (D, fig. 9) se sont développés. 
Dans ces mamelons, on a trouvé jusqu’à quatre couches distinctes, 
qui se terminaient vers la partie amputée. 

VIIT. Après avoir enlevé à une betterave (fig. 10) le bourgeon 
terminal, on a fait un trou d’une certaine profondeur dans l’étui 
médullaire avec une mèche de vilebrequin. Par suite de cette opé- 
ration, un grand nombre de bourgeons se sont bientôt formés tout 
autour de ce trou, qui s’est considérablement élargi par les effets 
de cette nouvelle végétation, et le corps de la betterave a pris un 
grand développement. 

À la dissection, on a trouvé que les filets ligneux des bourgeons 
extérieurs avaient suivi la marche ordinaire, c’est-à-dire qu'ils 
étaient descendus sous l'écorce; mais les bourgeons du centre, 
ceux qui étaient placés près de l’orifice de l'ouverture, ont pré- 


182 SUR L'ACCROISSEMENT 


senté un phénomène tout à fait nouveau, et, selon nous, du plus 
haut intérêt pour la question qui nous occupe. 

Dans la partie supérieure seulement de la cavité, il s'était formé 
une écorce sous laquelle on voyait aisément descendre les fibres 
ligneuses des bourgeons les plus rapprochés de lorifice de la ca- 
vité. Ces fibres, arrivées au point où cette écorce n’était plus con- 
sistante (P, fig. 11), changeaient de direction; elles se portaient 
de haut en bas, à travers toutes les couches concentriques exté- 
rieures de la betterave, pour aller tôt ou tard, suivant les greffes 
et les décurrences qu'elles formaient, tout en parcourant leur 
route, sur les tissus ligneux des zones intermédiaires, rejoindre 
la périphérie (£ E, fig. 11), et là se mêler aux fibres des bour- 
geons extérieurs. : 

Dans une expérience de même nature, nous avons obtenu les 
mêmes résultats; seulement l'excavation, plus large et moins pro- 
fonde, était couverte d'une écorce dans toute son étendue. Aussi 
les filets radiculaires des bourgeons descendaient-ils vers la base 
de la cavité avant de se diriger vers la périphérie. 

Voilà les expériences que nous avons faites sur la betterave pen- 
dant la première année de sa végétation. 

Ce n'est pas à nous de dire, sans doute, de quelle importance 
ces expériences sont pour l'anatomie, la physiologie et la question 
de l'accroissement en diamètre des tiges des dicotylés; nous de- 
manderons seulement la permission d’en tirer la conséquence, que 
les deux marches principales des tissus ligneux qu'on a observés 
dans les monocotylés se sont présentées dans les betteraves. 

Presque tous les palmiers s’accroissent par des faisceaux fibro- 
vasculaires qui descendent des feuilles dans toute l'épaisseur des 
tiges; après avoir cheminé vers le centre, dans une longueur plus 
ou moins grande, ces faisceaux changent de direction; ils se dirigent - 
en dehors, se rapprochent par conséquent de plus en plus de la cir- 
conférence, arrivent sous l'écorce, là se divisent en ramifications 
capillaires, et s'anastomosent avec les faisceaux voisins et s'y con- 
fondent, quand ils n'atteignent pas les racines pour y pénétrer. 


DES PLANTES DICOTYLÉES. 183 


Dans les dracæna, les cordyline, etc. les faisceaux fibro-vascu- 
laires naissent également des feuilles, mais ils se dirigent promp- 
tement vers la périphérie du corps ligneux, d’où ils continuent 
leur mouvement de descension jusqu'aux extrémités inférieures 
de la plante. 

Ces observations sont dues à M. Hugo Mobl, et surtout à M. Gau- 
dichaud', qui a fait non-seulement une étude suivie des palmiers, 
mais des dracæna, des cordyline, etc. 

Or, dans la première année de la végétation de la betterave, 
les feuilles sont réunies au sommet de la plante, et les dernières 
venues sont situées au centre. Ces jeunes feuilles, quoique réelle- 
ment supérieures, sont cependant au-dessous de celles qui les ont 
précédées dans l’ordre des développements. Ce phénomène est dû 
à deux causes : l'une, à ce que le bourgeon primaire s’est peu 
allongé, et l'autre à ce que la partie tigellaire des feuilles les pre- 
mières formées a pris plus de développement que celle des autres. 
Hé bien! les filets ligneux des feuilles ne tardent pas à se diriger 
vers la périphérie de la plante; mais on comprend que ces filets 
ligneux sont tous obligés, dans cette route (moins ceux qui éma- 
nent des feuilles cotylédonaires), de croiser les fibres ligneuses 
des feuilles qui se sont développées auparavant. 

N'est-ce pas ainsi que les choses se passent dans les cordyline et 
les dracæna? Nous l'avons constaté nous-mêmes dans ces dernières 
plantes, avant que nous eussions connaissance des belles observa- 
tions de M. Gaudichaud. 

Maintenant, toutes les fois que nous avons creusé le centre 
d’une betterave et qu'il est né des bourgeons vers l'orifice de 
l’'excavation, les filets ligneux de ces bourgeons sont toujours des- 
cendus le long des parois internes de cette excavation: arrivés au 
fond, ils se sont dirigés de haut en bas dans le centre de la plante, 
en rejoignant tôt ou tard la périphérie. 


! Voyez Gaudichaud, Recherches sur l'anatomie et la physiologie des végétaux 
monocotylés. (Comptes rendus des séances de l'Académie des sciences, séances du 
30 août et du 27 septembre 1847.) 


184 SUR L'ACCROISSEMENT 

N'est-ce pas ce qui a lieu dans la plupart des palmiers? Ces 
analogies frappantes que nous trouvons entre les dracæna, les cor- 
dyline et les betteraves, et entre celles-ci et les palmiers, montrent 
une fois de plus qu'il n’y a rien de tranché dans la nature, qu'il 
n’y a partout que des nuances et non des lignes de démarcation, 
des transitions harmonieuses et non des saccades. 


B. EXPÉRIENCES FAITES SUR LES BETTERAVES LA SECONDE ANNÉE DE LEUR 
VÉGÉTATION. 


Les résultats que la betterave nous avait fournis étaient assez 
importants pour nous engager à l’étudier la seconde année de sa 
végétation. 

Aussi nous avons, au mois d'avril, fait planter des betteraves 
qui avaient été arrachées à l'automne de l’année précédente. Ces 
betteraves avaient, au moment de leur plantation, cinq à huit 
couches ligneuses. 

Nous enlevämes aux unes le bourgeon terminal, que nous lais- 
sämes aux autres. 

Nous pensions que la betterave sur laquelle cette suppression 
avait été faite ne fleurirait pas, mais qu'en revanche elle produi- 
rait des bourgeons en nombre plus ou moins considérable. 

Nos prévisions ne tardèrent pas à se confirmer. Sur les bette- 
raves dépourvues de bourgeon terminal, plusieurs bourgeons se- 
condaires se développèrent; sur celles où le bourgeon terminal 
avait été conservé, on n’apercevait pas de nouveaux bourgeons, 
au moins sur le corps de la plante. 

Les premières ne fleurirent pas; les dernières donnèrent des 
graines. Les unes et les autres, à l'époque où on les a arrachées, 
présentaient presque toutes, de haut en bas (à partir seulement 
du corps de la plante), des côtes plus où moins sensibles. 

Chez les betteraves auxquelles on n'avait fait aucune suppres- 
sion, le bourgeon terminal s’est allongé; il s’est couvert de feuilles; 
et à l'aisselle de quelques-unes il s'est développé un bourgeon. 


DES PLANTES DICOTYLÉES. 185 


Ces plantes ont fleuri et fructifié, mais elles n’ont formé que de 
minces couches ligneuses qui disparaissent souvent dans les par- 
ttes inférieures du corps de la betterave. Ces couches n’ont pas la 
même épaisseur dans toute la périphérie de la plante : elles sont 
plus épaisses du côté où les feuilles sont situées. C’est surtout à 
cette inégalité d'épaisseur des couches que sont dues les petites 
cannelures qu’on remarque sur ces betteraves. 

Dans les betteraves où le bourgeon terminal avait été supprimé, 
les côtes étaient très-considérables. Chaque betterave ressemblait 
à une série de petites betteraves soudées à une autre plus grosse 
qui aurait été placée au milieu d'elles. Mais si, de prime abord, 
on pouvait se les figurer ainsi, 1l suffisait de les couper en travers 
pour dissiper cette illusion : on s’apercevait, en effet, que les côtes 
n'avaient qu'un même centre, celui de la betterave sur laquelle 
elles s'étaient développées. 

Chaque côte est placée au-dessous d’un bourgeon. 

Dans les betteraves qui présentent ces côtes extraordinaires, la 
végétation néanmoins n’a été arrêtée sur aucun point. l 

Le fait le plus remarquable de ces développements si inégaux, 
c'est que là où sont les mamelons ou côtes, il y a dix, onze, 
douze, treize, quatorze, quinze, seize, dix-sept et même dix-huit 
couches ligneuses, tandis que des côtés où il ne s’est pas formé 
de mamelons, on ne trouve que le nombre de couches ligneuses 
qui existait lors de la plantation de la betterave. 

Chez notre ami M. Liazard, de Sannerville, qui avait fait 
planter un champ de betteraves pour en récolter la graine, nous 
avons remarqué que celles où le bourgeon central ne s’est pas 
développé ont végété absolument comme les nôtres et présentent 
par conséquent les mêmes phénomènes. 

Ainsi, dans toutes les betteravas où le bourgeon terminal n’a pas 
végété, et où d’autres bourgeons se sont développés à la partie su- 
périeure du corps de la plante, il s'est toujours formé au-dessous 
de ces bourgeons, et seulement au-dessous, des couches ligneuses, 
quoique les parties voisines aient végété comme à l'ordinaire. Ces 


SAVANTS ÉTRANGERS. — XII. 24 


186 SUR L'ACCROISSEMENT 


effets se sont produits tout naturellement; la nature n'avait pas 
été contrariée dans sa marche, comme cela aurait pu être si lon 
eût fait des coupes transversales, longitudinales, etc. Ces faits sont 
donc naturels, et, par cela même, ils sont beaucoup plus impor- 
tants pour les conséquences qu’on en peut tirer. 

Pourquoi s’est-il produit dans les mamelons en question sept 
à huit nouvelles couches, tandis qu’à côté il ne s’en est formé 
aucune ? 

Nous avons examiné les endroits où de nouvelles couches ne 
s'étaient pas formées, afin de nous assurer si les tissus de ces par- 
ties étaient les mêmes que ceux pris dans les mamelons. Or l’exa- 
men le plus attentif des uns et des autres ne nous a rien appris, 
sinon que tout était semblable dans ces tissus. 

Quant aux nouvelles couches ligneuses, on en suivait les fibres 
jusque dans les bourgeons placés au-dessus, comme d’ailleurs nous 
l'avons observé dans les expériences précédentes. 

Ce sont donc les fibres des feuilles appartenant aux bourgeons 
développés secondairement sur la betterave qui ont formé les nou- 
velles couches ligneuses. Mais quand un de ces bourgeons était 
un peu éloigné des autres, les fibres de ses feuilles sont descen- 
dues sans se réunir à celles des feuilles des bourgeons voisins. 
De là un espace sans couches ligneuses nouvelles, tandis qu’à côté, 
sous un bourgeon, plusieurs couches bien formées ont produit 
des mamelons. 

Lorsqu'on ne fait à la betterave, la première année de son exis- 
tence, aucune suppression de bourgeon central, elle ne présente 
pas de cannelures, et elle a le même nombre de couches ligneuses 
dans toute sa circonférence. Ceci n’est pas difficile à concevoir. De 
bonne heure, la betterave se couronne d’un bouquet de feuilles 
au centre duquel est un bourgeon qui ne s’allonge guère la pre- 
mière année, Les feuilles sont tellement rapprochées, qu’elles pa- 
raissent être disposées en verticilles de cinq. Par suite de cet ar- 
rangement, les filets ligneux semblent émaner en même temps 
de toutes les feuilles composant chaque verticille ; ils descendent, 


DES PLANTES DICOTYLÉES. 187 


sans former de couches bien distinctes, tant qu'ils sont dans la 
portion formée par le collet'; mais arrivés au-dessous du point 
où les premières feuilles ont émergé de la tige, ils se rangent en 
couche et en forment une d’une égale épaisseur à peu près dans 
toute la tige radiciforme. Chaque verticille de feuilles donne lieu 
aux mêmes résultats. 

Vers la fin de la seconde année de sa végétation, la betterave 
présente quelques cannelures. Pendant cette seconde année, le 
bourgeon central s’est considérablement allongé, les entre-nœuds 
sont par conséquent très-espacés; les organes appendiculaires qui 
naissent alors n’entourent pas la tige, comme lorsque le bourgeon 
était caché au milieu des feuilles. Aussi de petites cannelures, 
dans la direction de ces organes, se remarquent sur la partie de 
la betterave qu'on appelle vulgairement racine. 

En terminant pour le moment les expériences que nous nous 
étions proposé de faire avec la betterave, nous appelons l’atten- 
tion de l'Académie sur un fait qui n’est peut-être pas sans intérêt 
pour l’importante industrie de la fabrication du sucre de bette- 
rave. 

Les méthodes employées pour conserver les betteraves ne les 
mettent pas à l'abri d’altérations dont la conséquence principale 
est une diminution notable de la matière sucrée. 

Ces méthodes consistent : l'une, à mettre ces tiges radiciformes 
en tas, à l'air libre; l'autre, à les placer dans des fosses ou silos; 
la troisième, dans des magasins couverts. Avec les deux derniers 
moyens, on évite généralement les effets de la gelée, mais non 
ceux de la fermentation. Celle-ci est d’autant plus active que Fair 
qui enveloppe les betteraves est moins souvent, moins largement 
renouvelé. 

* Si nous appelons cette partie le collet, c’est pour nous conformer à l’idée com- 
mune, qui considère les cotylédons comme la limite de la tige et de la racine; car 
le collet, qui n'est qu’une surface sans épaisseur, est, souvent placé beaucoup plus 
bas que les feuilles cotylédonaires, comme, par exemple, dans la betterave : par 


conséquent, les cotylédons sont bien, dans ce cas, au-dessus du point qui sépare 
le système ascendant du système descendant de l'embryon. 


24. 


188 SUR L'ACCROISSEMENT 


Aussi est-ce en établissant des courants d’air que l’on diminue 
cette fermentation, quand on ne l’arrête pas tout à fait. 

Mais alors survient un inconvénient. Les betteraves poussent des 
feuilles et des bourgeons, et une partie du sucre de la plante est 
employée à la production de ces organes. 

Ces phénomènes de végétation se produisent presque aussi vite 
dans l'obscurité qu’à la lumière : seulement, dans le premier cas, 
les nouvelles pousses sont blanches et très-sucrées; dans le second, 
elles sont vertes et renferment à peine du sucre. Néanmoins, dans 
l'une et l'autre de ces circonstances, la substance sucrée a consi- 
dérablement diminué dans la betterave. 

Après un procédé qui permettrait de dessécher à peu de frais 
la betterave, en en conservant toute la matière sucrée, le meilleur 
serait celui qui empêcherait ces plantes de fermenter et de végéter 
après leur arrachage. 

Or nous avons observé que les betteraves coupées au-dessous 
du point qu'on appelle collet” ne poussent ni feuilles ni bour- 
geons, alors même qu’elles sont en terre. Elles augmentent, dans 
cette circonstance, lorsqu'elles sont ainsi privées de leur collet 
avant la fin de leur première année de végétation; elles augmen- 
tent, disons-nous, en tissu cellulaire et en matière sucrée, et, ce 
que nous ne pouvons trop répéter, sans avoir ni feuilles ni bour- 
geons, et sans jamais ajouter de nouveaux filets ligneux à ceux 
qu’elles contenaient auparavant. 

Si, après avoir arraché les betteraves, on les coupait au-des- 
sous du collet, elles ne végéteraient plus. On pourrait alors les 
placer d'autant plus à l'air et à la lumière, pour empêcher leur 
fermentation, qu'on n'aurait plus à craindre le développement des 
feuilles et des bourgeons. 

Mais la plaie qu'on fait ainsi sur les betteraves, en leur ôtant 
la tête, ne devient-elle point une cause d’altération qui amène, 
par suite, la pourriture de la betterave? C’est une question que 


* Si nous continuons à nommer cette partie de la plante collet, c’est pour ne 
pas créer un autre nom, et surtout pour nous faire comprendre de tout le monde. 


DES PLANTES DICOTYLÉES. 189 
nous nous sommes faite d’abord, et à laquelle nous pouvons ré- 
pondre aujourd’hui. 

Après l’arrachage, si on étête les betteraves au-dessous du col- 
let, et que l'amputation ait été faite dans une partie saine, les 
betteraves ainsi coupées, exposées à une température de 12 à 
15 degrés, dans un air sec, se cicatrisent en très-peu de temps, 
et on peut les conserver sans qu’elles pourrissent. 

Nous avons voulu nous rendre compte des effets pratiques du 
moyen que nous proposons pour la conservation des betteraves. 

Au mois de novembre, des betteraves, dont le jus pesait 7 de- 
grés à l’aréomètre, ont été divisées en deux lots. Aux betteraves 
de lun, on a coupé la tête au-dessous du collet, tandis que les 
autres sont restées dans l'état où on les emmagasine ordinaire- 
ment. Ces deux lots ont été placés dans un endroit sec, à l'abri de 
la gelée, et où l'air se renouvelle aisément, et y sont restées du 
mois de novembre à la fin de février. 

Alors on a extrait le jus de ces betteraves. Celles qui avaient 
conservé leur collet avaient presque toutes donné des signes de 
végétation, tandis que les autres n'avaient donné ni feuilles, ni 
bourgeons. 

Les betteraves qui avaient donné de longues pousses ont fourni 
un jus marquant 2 à 3 degrés; celles qu’on avait coupées au-des- 
sous du collet, au contraire, ont fourni un jus qui marquait de 6 
à 7 degrés. 

Les collets de betteraves peuvent être employés à l'extraction 
du sucre ou à la nourriture du bétail. 

Nous ne savons, au juste, quel parti on pourra tirer de l’obser- 
vation que nous faisons ici, relativement à la conservation des bet- 
teraves; mais nous croyons qu’elle peut devenir utile, et ce motif 
seul nous a déterminés à la faire connaître. 


190 SUR L'ACCROISSEMENT 


$ I. DIFFÉRENTES ESPÈCES DE GREFFES:. 


L. Greffe de jasmin officinal faite dans la moelle. — Cette greffe 
a été exécutée au mois de mai 18/46. 

La greffe (fig. 12) avait été taillée en pointe arrondie et enfon- 
cée dans l’étui médullaire. On ne fit aucune ligature. 

Peu de jours ont suffi pour qu’elle se développät. Sa première 
végétation fut arrêtée par des pincements rapprochés; cependant 
elle repartit avec vigueur et donna quatre rameaux assez vigou- 
reux. Ces rameaux acquirent au moins 30 centimètres de longueur 
chacun. 

L’étui médullaire ne pouvant suflire à l'accroissement en dia- 
mètre, le sujet se fendit par la moitié. Alors la fente se remplit 
d'un gros bourrelet qui semblait être d’une organisation toute cel- 
luleuse; mais lorsqu’au mois de décembre suivant on fit la dis- 
section de cette greffe, on reconnut qu'il n’en était pas ainsi 
(fig. 13). 

En eflet, des parties de la grefle, on voit des fibres sortir, 
s’élancer d’abord à travers le tissu cellulaire et la moelle, puis 
ressortir à l'extérieur, s'épanouir sur le sujet, se marier avec lui, 
et enfin s'appliquer de manière à former une couche bien dis- 
tincte (fig. 13). 

Il est à remarquer qu'à la partie du sujet qui est au-dessus du 
point où les fibres de la greffe arrivent, il n’y a pas eu d’organi- 
sation sensible. 

IL Greffe de rosier faite en 1846. — Cette greffe fut faite en 
fente, c'est-à-dire qu'après avoir coupé net la tête du sujet (fig. 14) 
vers un point où la tige était bien droite, mais au-dessus d’un 
nœud occasionné par la suppression d’un petit rameau, la greffe 


* La plupart des greffes qui suivent sont décrites dans les Mémoires du Muséum, 
par André Thouin. Nous ne les avons répétées et nous ne les reproduisons ici que 
pour éclairer l'organographie et la physiologie des grefles, et, par suite, la question 
de l'accroissement en diamètre. 


DES PLANTES DICOTYLÉES. 191 


fut alors taillée comme pour la greffe en fente ordinaire. Ne de- 
vant mettre qu'une greffe sur le sujet, elle fut taillée en lame de 
couteau, c’est-à-dire en coin très-allongé, plus épais sur un côté 
que sur un autre; cependant on eut soin de laisser de l'écorce des 
deux côtés. Le sujet fut alors fendu sur un seul côté, et la greffe 
y fut introduite de manière que le point où était le liber du sujet 
se trouvât bien en rapport avec le même point du côté extérieur 
de la greffe. 

Le sujet se dessécha vers la partie supérieure, d’un côté, et 
Jusqu'au-dessous de la partie inférieure de la greffe, de l'autre 
côté, comme on le voit sur la figure 15. Cependant la greffe re- 
prit, émit des feuilles et des bourgeons, et elle se souda avec le 
sujet, mais seulement vers sa partie inférieure; la partie supérieure 
ne pouvait se souder, puisque le sujet était mort vers ce point. 

La greffe développa deux bourgeons. Ces bourgeons ne prirent 
pas un développement considérable , mais cependant ils poussèrent 
assez bien. L’un d’eux était placé en dedans, c’est-à-dire sur la 
ligne verticale du sujet; l'autre, en dehors, se trouvait vers le 
point d'insertion de la greffe et de la partie supérieure du sujet. 

Plus tard, ayant procédé à l'anatomie de la plante, on a aisé- 
ment reconnu, le tissu cellulaire ayant été enlevé avec précaution, 
que chacun des bourgeons avait produit des filets ligneux. 

Des filets ligneux appartenant au bourgeon placé en dedans, 
les uns étaient descendus de manière à se marier avec ceux du 
bourgeon opposé, c’est-à-dire qu’en s'étendant sur la tige ils 
s'étaient reportés au dehors; les autres étaient descendus vertica- 
lement et s'étaient lancés à l’intérieur, en suivant toujours la ligne 
de l'écorce. Il n’y avait là aucune soudure du sujet avec l'écorce, 
puisque cette partie de la greffe était dans la moelle du sujet. 
Mais ces filets ligneux, arrivés à la base de la greffe, ont tourné 
sa partie inférieure et se sont rejetés en dehors du sujet, et là ils 
se sont épanouis en se soudant avec lui. 

Les fibres du bourgeon placées au dehors sont descendues jus- 
qu'à un point où elles se sont détournées de la verticale, se lan- 


192 SUR L'ACCROISSEMENT 

çant, par faisceaux, sur le sujet; elles le recouvraient mème dans . 
quelques-unes de ses parties mortes. Il était très-facile de voir ces 
fibres croisant celles du sujet qui suivaient la ligne verticale, tandis 
qu’elles-mêmes étaient obliques. Il était encore facile de voir ces 
faisceaux de fibres tournant le nœud, lequel était desséché et 
proéminent. 

IL. Autre greffe de rosier faite en fente, ainsi que la précédente, 
vers la fin de février 1846. — Cette greffe fut faite courte et nantie 
d’un seul bourgeon, qui se développa peu de jours après l'opération. 

Le sujet se dessécha du côté opposé à la greffe, et le bourgeon 
(fig. 16) continua de végéter, sans cependant prendre beaucoup 
de développement. Lors de l'anatomie, on a trouvé à la base de 
ce bourgeon une quantité de fibres formant un bourrelet mince 
qui embrassait la base de la partie supérieure de la greffe, pour 
s'épanouir ensuite sur le sujet jusqu'en un point où les fibres 
s'étendent de plus en plus, croisent les faisceaux fibreux ancien- 
nement produits par le sujet, réunies elles-mêmes en faisceaux for- 
mant des espèces de cannelures recouvertes et croisées par les 
fibres de nouvelle formation. Ces fibres émanent de la greffe ; elles 
suivent, en les croisant, toutes les ondulations des fibres du sujet, 
et en descendant elles surmontent les petits angles que forment 
leurs faisceaux. On voit ces fibres devenir moins nombreuses, ou 
même complétement disparaître en s’éloignant de la greffe. 

IV. Greffe par approche (bradley), mais dont le sujet a conservé sa 
téte (fig. 17 et 18). — Au mois d'avril 1846, après avoir sur deux 
espèces de daphne, le daphne laureola et le daphne dauphin, enlevé 
deux esquilles, et fait sur chacune des plaies deux nouvelles 
incisions formant deux languettes opposées qui avaient leur point 
de réunion à la plante, lune vers le haut et l’autre vers le bas, on 
les a croisées, comme il est indiqué dans le Cours de culture et 
de naturalisation des végétaux d’A. Thouin, et ligaturées ensuite. 

En très-peu de temps la soudure s’effectua, et alors la tête du 
daphne laureola fut enlevée, ainsi que celle du daphne dauphin. 

Le pied de daphne devenu dauphin continua de végéter, et en 


DES PLANTES DICOTYLÉES. 193 


septembre 1846, nous en fimes l'anatomie. Il fut reconnu que 
partout où les plaies des daphne avaient été en contact, un fort 
bourrelet de tissu cellulaire s'était formé sur les bords et s'était 
réuni de manière à ne faire qu'un corps. Tout ce tissu cellulaire 
ayant été enlevé, ainsi que lécorce, on a aisément vu de nom- 
breux faisceaux de fibres qui étaient descendus des parties supé- 
rieures à travers le tissu cellulaire, laissant entre eux des espaces 
assez considérables, lesquels étaient complétement remplis par du 
tissu utriculaire. 

© On voyait même beaucoup de faisceaux de fibres, isolés des 
autres parües fibreuses, suivre cet isolement comme dans le vide 
(bien qu'ils fussent dans le tissu cellulaire), se rapprocher des 
autres faisceaux fibreux, s'y souder et faire couche avec eux, 
comme on peut le remarquer sur la figure 18. D’autres faisceaux 
enfin, s'étant lancés à travers le tissu utriculaire, se sont portés 
aux parois du sujet et sont remontés entre les deux sujets, sans 
avoir eu occasion de se réunir ou de se souder, et, par consé- 
quent, sont restés isolés, même vers leurs extrémités. 

V. Greffe de daphne par approche. — Après avoir coupé la tête 
du sujet en biseau ou bec de flûte et avoir creusé dans la plaie 
une gouitière triangulaire, on tailla la greffe en triangle, sans la 
détacher du pied auquel elle appartenait, et on l’appliqua de ma- 
nière à remplir exactement la rigole triangulaire du sujet (fig. 19 
et 20). 

La soudure eut lieu, ainsi qu'on devait le présumer. Lors de 
l'enlèvement de l'écorce et du tissu cellulaire, il fut reconnu que 
de nouveaux faisceaux fibreux s'étaient formés. 

Les uns sont descendus sur la partie inférieure de la greffe et 
y ont pris peu d’accroissement, tandis que les autres, et c’est le 
plus grand nombre, ont quitté la greffe par faisceaux pour se 
réunir plus tard sur le sujet en l'embrassant. 

Il y eut même quelques faisceaux qui, après être descendus 
sur la greffe du côté du biseau du sujet, se trouvèrent arrêtés par 
celui-ci et rebroussèrent chemin. 


SAVANTS ÉTRANGERS. — XII. 25 


194 SUR L'ACCROISSEMENT 

VI. Sur un echinocactus multiplex, il fut fait, au mois de juin, 
un trou à la partie supérieure, de manière à enlever le bourgeon 
central; l'extrémité d’un cereus grandis fut taillée, à sa partie imfé- 
rieure, de telle sorte qu’elle pût remplir la cavité (fig. 24) formée 
par l'enlèvement du bourgeon terminal de lechinocactus. Tout fut 
disposé pour que l'une füt bien remplie par l'autre, et qu'il y eût 
soudure comme dans une greffe, ce qui eut lieu peu de temps 
après; mais la soudure ne s’effectua que d’un seul côté, et insen- 
siblement la greffe semblait sortir de sa cavité, de telle façon 
qu'elle se trouva isolée du sujet, n’y adhérant que par un seul 
point (aa'), qui, cependant, lui a permis de prendre un beau dé- 
veloppement (fig. 25). 

A l'anatomie, nous avons reconnu que, de tous les bourgeons 
de la greffe, des fibres ligneuses descendaient sous l'écorce (qui, 
comme chacun sait, est fort épaisse) jusqu’à la partie inférieure, 
en entourant l'étui médullaire. Là, celles qui étaient du côté op- 
posé au point où la greffe et le sujet se mariaient tournaient la 
plaie en divers sens, l’enveloppaient, se réunissaient aux fibres du 
côté où la soudure avait lieu en deux forts faisceaux (aa', fig. 26), et 
s’enfonçaient ensemble entre l'écorce et la partie ligneuse du sujet; 
enfin, arrivées à une petite profondeur, elles se ramifiaient, s’af- 
faiblissaient et disparaissaient à peu de distance. 

VIT. I y a six ans, M. Manoury greffa un echinocactus Eyriest, 
Turp., sur un cereus peruvianus, variété monstruosus, DC. La greffe 
et le sujet ont parfaitement végété. Voulant savoir de quelle ma- 
mire l’un et l'autre se sont mis en communication, nous avons par- 
tagé la plante longitudinalement, et voici ce que nous avons reconnu: 

1° Que de la base du corps ligneux de la greffe il part des 
fibres radiculaires qui, en remontant, se dirigent sur le sujet, pour 
descendre ensuite en rampant sur la périphérie du corps ligneux 
de celui-ci; en outre, on voit des fibres descendre de la greffe 
directement sur le sujet; on voit encore que les faisceaux vascu- 
laires sont beaucoup plus gros à mesure qu’on les observe plus 
près du point de jonction de la greffe avec le sujet; 


DES PLANTES DICOTYLÉES. 195 


2° Que quelques courtes racines naissent du point de jonction 
de la greffe avec le sujet et se perdent, pour ainsi dire, dans le 
parenchyme cortical de ce dernier; 

3° Que d’autres racines plus fortes s’échappent de la base réelle 
de la greffe, descendent dans le parenchyme médullaire ou cen- 
tral du sujet, se ramifient ordinairement et dirigent leurs divi- 
sions, à travers les couches ligneuses, dans le parenchyme exté- 
rieur ou cortical du même sujet. 

Comme on le voit, cette greffe présente à la fois ce que l’on 
observe dans les greffes ordinaires et dans les boutures; mais le 
parenchyme central du sujet n’a point souffert de l’action de la 
greffe. 

VIIT. Dans une des rues de notre ville se trouve un tilleul 
argenté qui a été greffé sur un tilleul ordinaire. Depuis cinq ou 
six ans, à peu près, le sujet est mort dans une portion notable de 
sa circonférence ; au-dessus de cette partie morte, la greffe a formé 
un bourrelet très-sensible, d’où sont descendues des aggloméra- 
tions de fibres. Quelques-unes de ces agglomérations ont végété 
en dehors des parties mortes du sujet, conséquemment exposées 
à l'air libre, tandis que d’autres sont descendues entre l’écorce et 
le bois altérés. 

Pour nous confirmer dans l'idée que ces réunions de faisceaux 
fibro-vasculaires appartenaient à la greffe, nous les avons fait vé- 
géter à part. Elles ont développé des feuilles et des bourgeons 
qu'il a été facile de reconnaître pour des organes du tilleul ar- 
gente. 


$ III. DÉCORTICATION CIRCULAIRE. 


EXAMEN DU BOURGEON DANS TOUTES LES PHASES DE SON DÉVELOPPEMENT. 


I. Sur un cactus (pereskia-bleo), au mois de juin 1846, il fut 
pratiqué une décortication annulaire d’une hauteur d'environ 
12 millimètres, près d'un œil O (fig. 21) chargé d’un faisceau 

25. 


196 SUR L'ACCROISSEMENT 


d’épines. Un bourrelet B se forma bientôt à la partie supérieure 
de lincision, et en même temps le bourgeon commença à se dé- 
velopper; mais craignant que, conjointement avec le bourrelet de 
la partie supérieure, la plaie ne se recouvrit trop vite, on enleva 
ce bourgeon lui-même avec une portion d’écorce, de façon à allon- 
ger la décortication et à lui donner environ 3 centimètres de hau- 
teur. Comme la figure le montre, déjà le bourgeon, cependant, 
avait émis des fibres ligneuses qui s’étendaient sur l'ancienne 
couche, ainsi qu’on le voit en ff". 

Le bourrelet, à la partie supérieure, continua de s’accroitre, 
se gonfla considérablement, et il produisit de petits mamelons 
blancs formés de tissu utriculaire, desquels sortirent d’autres ma- 
melons coniques allongés comme des glands qui s'élèvent au- 
dessus de leur cupule. Quelques-uns donnèrent naissance à cinq, 
à six et même à sept de ces petits mamelons coniques. 

A l'anatomie, on a trouvé l'intérieur du bourrelet formé par 
une couche ligneuse très-épaisse, dont un certain nombre de fibres, 
les plus extérieures se réunissant par faisceaux, traversaient le 
tissu cellulaire du bourrelet, dans lequel elles se divisaient pour 
former de petits cônes allongés. Ces fibres n’atteignirent cependant 
pas l'extrémité de chaque cône (fig. 22); il y avait à la partie mfé- 
rieure de celui-ci une petite coiffe semblable à celle qui existe à 
l'extrémité des jeunes racines qu'on désigne sous le nom de spon- 
gioles. 

IT. Au mois de mai, sur une tige d'oranger, l'écorce fut enlevée 
complétement dans une longueur de 9 centimètres, et aux deux 
extrémités (fig. 27 et 28) le liber fut altéré. On enferma ensuite 
la partie décortiquée dans un tube de verre dont on scella les deux 
extrémités. Bientôt, de toutes les parties mises à nu et où le liber 
n'avait pas été altéré, il suinta une liqueur blanchâtre qui s’épaissit 
de jour en jour, et forma ensuite des mamelons parenchymateux , 
qui, très-rapprochés les uns des autres, semblaient constituer une 
espèce de couche. 

Aux deux extrémités de la partie mise à nu, là où commençait 


DES PLANTES DICOTYLÉES. 197 


et finissait la décortication, les bords inférieurs et supérieurs for- 
mèrent à la fois un bourrelet très-prononcé (B B', fig. 27), plus 
développé à la partie inférieure qu'à la partie supérieure. Ces deux 
points étaient isolés, non-seulement par la décortication, mais en- 
core par l’altération que le liber avait subie. 

L'opération n’empêcha pas la partie supérieure de végéter. Un 
bourgeon assez fort (C) se développa et se couvrit de feuilles qui 
continuèrent à vivre Jusqu'au moment où eut lieu l'anatomie de la 
plante. 

Ayant fait bouillir, laver et enlever tout le tissu cellulaire de la 
partie supérieure de la plante, on trouva toutes les fibres du bour- 
geon C embrassant la tige, et descendant de manière qu’on pou- 
vait les suivre distinctement jusque dans le bourrelet supérieur, 
qu'elles n’ont pu franchir, parce qu’au-dessous il n'y avait pas de 
tissu cellulaire; mais ici elles se sont roulées de toutes les manières 
dans le peu de tissu utriculaire qu’elles avaient à leur disposition. 

Dans toute la longueur de la partie décortiquée où une couche 
épaisse de tissu cellulaire existait, nous n'avons trouvé aucune trace 
de fibres ligneuses, et, chose remarquable, il n’y avait dans l’é- 
norme bourrelet inférieur aucune trace de filets vasculaires. 

Ayant également examiné la partie inférieure de ce bourrelet, 
nous avons constaté qu'il ne s’y était formé aucune couche fibreuse. 

IL. Sur un autre oranger, même décortication que dans la 
figure précédente, mais seulement sur une longueur de 6 centi- 
mètres environ. 

Cet oranger, peu vigoureux à sa partie supérieure, ne déve- 
loppa que quelques faibles feuilles, à une très-grande distance de 
la décortication. Cependant deux bourrelets se formèrent, et, pen- 
dant quelque temps, ils furent à peu près de même grosseur. 
Bientôt des points verts apparurent sur le bourrelet inférieur, et 
de ces points sortirent des bourgeons dont quelques-uns s’allon- 
gerent et donnèrent des feuilles; cependant l'incision ne s’arrêtait 
pas près d’un œil. 

Lors de l'anatomie, nous avons constaté que les fibres formées 


198 SUR L'ACCROISSEMENT 


par le développement des feuilles, aussi rares que faibles, de la 
partie supérieure du sujet, n’arrivaient que jusqu'à une certaine 
distance du bourrelet, dans lequel nous n’avons pu trouver que 
du tissu cellulaire; et, ainsi que dans l'expérience précédente, le 
üssu utriculaire formé dans la partie décortiquée ne nous a pré- 
senté aucune trace de tissu fibreux. 

Mais il n’en a pas été de même dans le bourrelet inférieur. 
Ayant enlevé, avec toutes les précautions possibles, le tissu cellu- 
laire de ce bourrelet et des Jeunes bourgeons, nous avons reconnu 
(fig. 23) que de la base des jeunes bourgeons descendaient des 
fibres ligneuses. Ces fibres étaient la continuation des parties 
fibreuses des feuilles et s'épanouissaient sur la tige de manière à 
ce qu'on püt les suivre aisément à l'œil nu; elles descendaient 
plus ou moins bas, suivant qu’elles appartenaient à des bourgeons 
de formation plus ou moins ancienne. Parmi ces bourgeons, qui 
étaient nombreux, trois sont représentés dans la figure 23 (B B' 
B") et sont nés à des époques différentes. Le plus vieux, placé un 
peu au-dessous de la coupe, présentait les fibres les plus longues, 
les plus fortes. Ce bourgeon a été pendant quelque temps seul 
sur la tige, et il avait projeté ses fibres de manière à l'envelopper. 
Les bourgeons nés ensuite étaient parfaitement indépendants de 
ce premier bourgeon, et leurs fibres, qui sont descendues, ont 
enveloppé celles du bourgeon premier né. Dans les bourgeons 
naissants, où à peine existaient les rudiments des feuilles, déjà 
des fibres très-minces apparaissaient, mais très-courtes et croisant 
toujours en dessus, de manière à les recouvrir, les fibres de for- 
mation plus ancienne. 

Cette expérience nous a permis d'assister, non-seulement à la 
formation d’embryons de bourgeon, mais à celle de fibres ligneuses 
que nous avons pu suivre dans les diverses phases de leur déve- 
loppement. 

Cette étude nous a permis de reconnaître nous-mêmes une ana- 
logie (signalée depuis longtemps par les botanistes) entre les faits 
qui s’'accomplissent dans la formation de l'ovule, dans celle de 


6 DES PLANTES DICOTYLÉES. 199 


l'embryon, dans la germination de la graine, enfin dans le déve- 
loppement de la jeune plante, et ceux que nous avons remarqués 
relativement aux bourgeons d'oranger. 

En effet, l'ovule naissant n’est qu'une petite masse de tissu cel- 
lulaire; c’est ce qu'on pouvait voir dans les points proéminents du 
bourrelet qui ont donné naissance à nos bourgeons. Lorsque l’ovule 
est fécondé, l'embryon se forme; lorsque nos points se sont colorés 
en vert, ils sont bientôt devenus des bourgeons parfaits; si leur 
végétation se füt arrêtée là, ils eussent pu être comparés à des 
graines arrivées à leur maturité. Maintenant les graines, dans leur 
germination, développent leurs feuilles, leur tige, et forment leur 
racine; c'est encore ce que nous avons observé dans les bourgeons 
de notre oranger. Les jeunes plantes, après la germination, ont à 
la fois deux systèmes, l'un ascendant, l’autre descendant; les bour- 
geons en question ont présenté le même phénomène, puisque en 
même temps qu'ils s’élevaient dans l'air, leurs fibres ligneuses des- 
cendaient. 

Nous bornons là l’exposition des faits que nous avons observés 
sur les dicotylés. Ils s’enchainent et concordent entre eux, quoi- 
qu'ils soient le résultat d'expériences opposées : cette circonstance 
en fait la force. 

Aussi nous croyons-nous autorisés à en tirer les conséquences 
suivantes : 

Les trois modes de développement qui ont été annoncés par 
M. Gaudichaud sont exacts : développement en hauteur des végé- 
taux par la superposition d'individus vasculaires distincts; accrois- 
sement en largeur par la descension des tissus fibro-vasculaires de 
ces individus; enfin accroissement, en tous sens, des tissus cellu- 
laires qui rayonnent dans toutes les directions et qui forment la 
trame des deux premiers. 

Quoique notre travail soit intitulé : De l'accroissement en dia- 
mètre des végétaux dicotylés, nous ne voulons pas le terminer sans 
faire connaître les études que nous avons faites sur le mode de 
développement et la marche des tissus ligneux dans quelques 


200 SUR L'ACCROISSEMENT 


plantes monocotylédones, particulièrement dans les dracæna et les 
cordyline. Ces études nous ont fourni des résultats identiques à 
ceux que nous avons observés dans les dicotylés. 

Nous avons fait des boutures avec des tronçons de tige du cor- 
dyline australis. Après quelque temps, deux ou trois bourgeons se 
sont développés vers le sommet (fig. 29, DD’). Lorsque les bour- 
geons ont eu chacun dix à douze feuilles, on a arraché les bou- 
tures, à la base desquelles on a trouvé une assez forte souche laté- 
rale (fig. 30, S), longue de 6 centimètres, d’où s’échappaient un 
grand nombre de racines fibreuses. 

On a procédé à la dissection de ces boutures, et on a aisément 
reconnu que les filets ligneux partaient de la base des bourgeons 
ou jeunes rameaux, et sc aitn tes jusque dans les souches, et 
de celles-ci dans les racines (fig. 30). 


oires de l'Academie des Sciences. Savants Etrangers. Tom. XII. 


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té ebgravé par Borromée d'après les notes der Auteurs 


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lémoires de l'Académie des Sciences, Savants Etrangers. Tom. XII. 
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Mémoires de l’Académie des Sciences, Savants Etrangers. Tom. XI. PL 3. 


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Æmoires de l'Academie des Sciences, Savants Etranéers. Tom XIL 


#,gravé par Borromée- d'apres ler noter des Auteurs. 


Danser 


DES PLANTES DICOTYLÉES. 201 


Fig. 5. 
Fig. 6. 


Fig. 8. 


Fig. 9. 


EXPLICATION DES PLANCHES. 


PLANCHE PREMIÈRE. 


Betterave à laquelle on a enlevé quatre couches et tout ce qui leur corres- 
pondait, à la partie supérieure, sur une longueur de 8 centimètres. Dans 
cette partie, la betterave n'était plus qu'un cylindre avec une seule 
couche, surmonté d’un bourgeon central. 


. La même, coupée longitudinalement par le centre, deux mois après, afin 


de montrer, 1° que la couche qu'on avait respectée (C) avait considéra- 
blement augmenté de diamètre, mais uniquement en tissus cellulaires ; 
2° cinq nouvelles couches (1, 2, 3, 4, 5) qui s'étaient formées à l'exté- 
rieur. 

Betterave à laquelle on a enlevé plus de la moitié de sa partie supérieure, 
en laissant le bourgeon entier au sommet, et dont les bords de la cica- 
trice ont formé, par leur accroissement, deux colonnes À À’. 

La même, coupée transversalement, afin de faire voir les couches qui se 
sont formées, sur le côté À, au nombre de trois, et sur le côté À’, au 
nombre de cinq. 

Betterave sur laquelle on a enlevé un anneau de 3 centimètres de hauteur. 

La même, coupée longitudinalement, pour montrer les cinq nouvelles 
couches qui se sont formées (1,2, 3, 4, 5). 


PLANCHE II. 


7. Betterave avec une entaille annulaire BB, ayant sectionné deux couches 


concentriques, et à laquelle on a enlevé ensuite, au-dessous, dans une 
longueur de 9 centimètres, l'écorce, et même, sur plusieurs points, une 
partie de la couche la plus extérieure. Ni écorce ni couches nouvelles ne 
se sont formées au-dessous de l'entaille, tandis qu'au-dessus on peut 
voir trois nouvelles couches (1, 2, 3) se perdant au-dessous. 

Betterave fendue par la moitié dans une partie de sa longueur, et dont on 
a enlevé un des côtés présentant six couches ligneuses. 

La même, montrant les couches nouvelles formées dans les mamelons qui 

ont paru sur la précédente du côté amputé, D. 


SAVANTS ÉTRANGERS. — XII. 26 


202 SUR L'ACCROISSEMENT 

Fig. 10. Betterave à laquelle on a enlevé le bourgeon central, et fait un trou dans 
l'axe médullaire. 

Fig. 11. La même, pour faire voir les bourgeons formés autour de la cavité, et 
montrer que les fibres radiculaires de l'extérieur avaient suivi la marche 
ordinaire, À À’, et que les fibres ligneuses des bourgeons BB’, situés 
près l'orifice de la cavité, étaient descendues, au contraire, le long de 
cette cavité, sous une espèce d’écorce disparaissant à une certaine pro- 
fondeur, P, pour, de là, changer de direction, se porter à travers les 
couches concentriques de la betterave, rejoindre la périphérie et se 
mêler aux fibres des bourgeons extérieurs, E. 

Fig. 12. Grefle de jasmin officinal dans la moelle. 

Fig. 13. La même, pour faire voir la marche des fibres qui se sont développées 
dans la grefe. 


PLANCHE III. 


Fig. 14-15. Grefles de rosier, en fente. 

Fig. 16. Autre-grefle de rosier, en fente. 

Fig. 17-18. Grefles par approche, suivant la méthode anglaise, du daphne dauphin 
sur le daphne laureola. 

Fig. 19-20. Grefles par approche du daphne dauphin sur le daphne laureola. 

Fig. 21. Décortication annulaire sur le pereskia-bleo, près d'un œil O, qu'on a 
ensuite enlevé en allongeant la plaie, mais après qu'il avait émis des 
fibres ligneuses ff. B, bourrelet formé à la partie supérieure, présen- 
tant de petits mamelons blancs coniques. 

Fig. 22. La même, coupée longitudinalement. Les fibres ligneuses du bourrelet 
n'alteignent pas l'extrémité des petits mamelons coniques, qui est en- 
tièrement cellulaire. 

g. 23. Oranger sur lequel on a fait une décortication annulaire et qui présente 
trois bourgeons développés: l'un, B, au-dessous du bourrelet inférieur, 
les deux autres, B° B", dans ce bourrelet même. 


Fi 


PLANCHE IV. 


Fig: 24. Greffe de cereus grandis sur l'echinocactus multiplex. 

Fig. 25. La même, où l'on fait voir la marche des fibres dans le sujet. 

Fig. 26. La même, coupée transversalement au-dessous des deux faisceaux de fibres 
aa. 

Fig. 27. Tige d'oranger sur laquelle on a enlevé l'écorce complétement sur une 
longueur de g centimètres, et présentant un bourrelet inférieur B, plus 
gros que le supérieur B'. 


DES PLANTES DICOTYLÉES. 203 

Fig. 28. La même tige avec le bourgeon C, qui s’y est développé, et la direction 
de ses fibres. 

Fig. 29. Bouture d'un tronçon de tige du cordyline australis, avec deux bourgeons 
ascendants DD)’, et une souche latérale S, d’où s'échappent des racines 
fibreuses. 

Fig. 30. La même, préparée pour faire voir les fibres ligneuses partant de la base 
des bourgeons, descendant dans la bouture, de 1à dans la souche, puis 
dans les racines. 


C'est par erreur qu'on a mis au bas des planches : Dessiné et gravé par, elc 
Lisez : Réduit et gravé par Borromée, d’après les dessins des auteurs. 


204 MÉMOIRES 


MÉMOIRES 
SUR LA VISION, 


PAR M. L. L. VALLÉE, 


OFFICIER DE LA LÉGION D'HONNEUR, 


INSPECTEUR GENERAL. DES PONTS ET CHAUSSÉES EN RETRAITE. 


PREMIER MÉMOIRE. 


SUR LA FIGURE MATHÉMATIQUE DES SURFACES RÉFRINGENTES 
DE L'OEIL 
ET SUR LEURS DISPOSITIONS LES UNES PAR RAPPORT AUX AUTRES. 


1. Les savants qui se sont occupés de l'œil ont pensé, en gé- 
néral, que les surfaces réfringentes de cet organe étaient engen- 
drées par des ellipses, des hyperboles ou des paraboles; mais 
c’est à peu près à la simple inspection que leurs conjectures se 
sont formées relativement à ces courbes. Il y a une autre courbe, 
toutefois, dont M. Chossat a parlé (voy. Annales de chimie et de 
physique, 1. X) et que Descartes avait signalée, qui jouit de pro- 
priétés optiques toutes particulières et tout à fait en rapport 
avec les besoins de la vision. Nous avons donné à cette courbe le 
nom d’optoide, et nous nous occupons dans ce mémoire d’exami- 
ner jusqu'à quel point elle convient aux surfaces de l'œil. Nous 
présentons l'étude de l’optoiïde avec beaucoup de détail, afin que 


SUR LA VISION. 205 


nous n'ayons pas à y revenir dans les mémoires subséquents, et 
afin que nous puissions être compris par un grand nombre des 


personnes que la théorie de la vision intéresse. 
( 


CHAPITRE PREMIER. 


DE LA COURBE QUE NOUS NOMMONS OPTOÏIDE, ET DE SES PROPRIÉTÉS 
SOUS LE RAPPORT DE LA GÉNÉRATION DES SURFACES RÉFRINGENTES DE L'OEIL. 


2. Soit SAS (fig. 1) la courbe de séparation de deux milieux 
différemment réfringents; R un point rayonnant, et F un point 
vers lequel un élément uv infiniment petit de la courbe SAS’ 
réfracte un rayon incident qui lui est envoyé par le point R. Il 
est clair que si l'élément infiniment petit væ, contigu à uv, fait un 
angle convenable avec uv, le rayon incident envoyé sur l'élément 
væ sera aussi réfracté en F : d'où l’on voit que tous les éléments 
de la courbe SAS’ peuvent être placés les uns par rapport aux 
autres de telle sorte que les rayons émanés du point R soient tous 
réfractés vers un même foyer F. 

3. La courbe SAS’ qui jouit de cette propriété est ce que 
nous nommons une optoide simple, c'est-à-dire une courbe qui 
renvoie vers un point F les rayons émanés d’un point R. 

Il est évident qu’une telle courbe est divisée en deux parties 
symétriques par la droite RF. 

L. Il est évident aussi que la surface qu'elle engendre en tour- 
nant sur cette droite, prise pour axe, réfracte vers un même 
point les rayons émanés d’un autre point, sans qu'aucune aberra- 
tion de courbure soit produite. Nous donnerons aux surfaces ainsi 
engendrées le nom de surfaces de révolution optoidales, et nous 
appellerons, en général, oploides composées les surfaces réfrin- 
gentes qui changent un faisceau de rayons normaux à une surface 
en un autre faisceau de rayons normaux à une autre surface. 

9. Soit À (fig. 2) l’origine des coordonnées; AX l'axe des 


abscisses; AY l'axe des ordonnées; R le point rayonnant, situé 


206 MÉMOIRES 

sur l'axe des x; F le foyer, situé sur le même axe; Mm un petit 
arc d’une optoïde simple; RM le rayon incident envoyé au point 
M; MN la normale en M; MF le rayon réfracté, et x! — AP, 
y —= PM, les coordonnées du point M. En désignant par d la dis- 
tance du point R à l'origme, par f la distance de l'origine au point 
F, et en faisant le coeflicient différentiel 


dy 
Free 


nous aurons, pour les équations, savoir : 


de RM, y— 2 (x + d); 


d+ x 
du MN 2 (rL 
2 » ne 
de MF, y — y — per (x — x); 
ce qui donne 
tang ARM= 2; 
tang MNX — — = 
lang MEX = — 


6. Si nous représentons par À l'angle d'incidence RMN', par r 
l'angle de réfraction NMF, et par / le rapport du smus d'incidence 
au sinus de réfraction pour les deux substances que sépare l’op- 
toide, nous aurons l’équation 


sin. t — | sin. r. ; (A). 


Cela pose, de ce que, tang à — — tang NMR'— — tang 
MNR" = — tang (MNX — ARM), il résulte que 


SUR LA VISION. 207 
d+r+y 


tang U—= der 


Menons NP parallèle à RMR' et FF" parallèle à MN, on aura 
tang r — tang (MFX — MNX), 


ou ‘ 
— x —7yi@ 
tang r — le (B) 
On a, en conséquence, 
sin. D — ORNE PURE 
Vidæs+y el +{(d+r)e—y |? 
Sin. r — ÉATERe 


Vif—z yep} +{(f—x)0+r 1? 
valeurs qui, substituées dans l’équation (A), donnent 


d+x+y@ 


PSN A PEU PUS REUTERS PER J—z—re t 
Vissrel luisie re Vus Une 


et en effectuant les calculs mdiqués, on obtient pour l'équation 
différentielle de loptoide simple 
Jdyæ(dæz)dz PE 


= (C) 
Vr+(d+x) Vr + (f—z} 
Cette équation, dans laquelle 1l faut distinguer avec som le signe 
de la différenciation d et la distance d, est la même que celle du 
Traité de la lumière de Herschell, t. I, p. 118. 
7. Elle va, dès à présent, nous faire connaître si l'optoïde 
peut devenir quelquefois une section conique. Soit 


F—=2mrztnx 
l'équation de cette section conique : on aura 


dy=-(m+nx)dzx, 


1 
y 


208 MÉMOIRES 


valeur qui, substituée dans l'équation (C), donne 


m+d+nz+x —fEmnz + x 
tie Th y a eDeRee 21 pr 
V(d+zx}+amæt+na V(f— x} 2 mana 


Nous remarquerons d’abord que si l'on fait dans cette équa- 
üon æ — 0, y — 0, et qu'on remplace », qui est la valeur du 
rayon de courbure au sommet de la section conique, par la 
lettre r, affectée dans ce qui suit à la désignation de ce rayon, on 


obtient 
ldr 


SR Tee pr (£) 


Expression qui donne la distance focale AF (fig. 2) dans le 
cas où le point M se confond avec l’origine A. Or, si la section 
conique est osculatrice en À à l’optoide, il arrivera que pour la 
surface de révolution décrite par loptoide, pour celle qui sera 
décrite par la section conique, et pour la sphère dont le rayon 
sera le rayon de courbure r, les rayons de lumière infiniment pro- 
ches de l'axe de révolution se réfracteront en F; donc la formule 
(E), si souvent employée dans nos mémoires |1 14]!, est bien 
celle qui donne la distance focale f dans le cas des surfaces sphé- 
riques réfringentes. 

8. Maintenant, mettons l'équation (D) sous la forme 

P+Qz+Re+Sa+Ta—o. 


I faudra que cette équation soit satisfaite par une infinité de va- 
leurs de x, ce qui donne 


DONNERAI MN = UUU = © 


Si donc on pouvait trouver pour une valeur arbitraire de d des 
valeurs de /, m,n et f qui satisfissent à ces équations, les valeurs 


! Les nombres, comme celui-ci, qui sont entre des crochets, renvoient à l'ou- 
vrage de l'auteur intitulé : Théorie de l'œil, publié de 1844 à 1846. Cet ouvrage 
contient quatre de ses mémoires, lesquels, dans les comptes rendus de l'Académue , 
sont indiqués par une même série de numéros. Dans cette série, ce premier mémoire 
sur la vision et le suivant sont le V* et le VI. 


SUR LA VISION. 209 
qui s’ensuivraient pour m et n donneraient des sections coniques 
dont tous les points renverraient les rayons lumineux vers un 
même foyer. Mais il est aisé de voir que la dernière de ces équa- 
tons est 


(a +aÿ 8 (n += 0, 
ou 
UE T0 
ce qui donne 


y à 


et montre, sans aller plus loin, que, d ayant une valeur finie, les 
sections coniques ne peuvent jamais devenir des optoïdes. 

9. Voyons ce que devient la courbe quand d est infini. Dans 
ce cas, l’équation (D) prend la forme 


_i(m—f)+(n—i)z|=V(f—+onrtre 
GP) P+olmf—Pmi—2x(m—f}(nl+P—:1) 
— 2fn(nPlHPB Ii) + (nl+HEP 1) —o. 


Et comme léquation (C), lorsque d — co, se change en f 
lr 


TES à 
disparaît, et cette équation se trouve satisfaite en faisant n l? 
+ PB — 1 — 0. Or, on tire de cette équation et de l'équation 


Im : , . r 
OU Ji TA le premier terme de l’équation précédente 


Im 
1— FE les valeurs 
=" 1 


1f—f 1—P 
re A CURE EE 


lesquelles, si on substitue l’équation 
b b 
P—=r-r+-t (F) 
à l'équation 
j M— 2 mr Enr, 


. SAVANTS ÉTRANGERS. — XII. 27 


210 MÉMOIRES 


deviennent 
b2 (l—i)f b? 1— 
==; -—= —. (G) 
a (l a L 
Donc, si les demi-axes a et à de la section conique (F) sont 
# a ! ! D , 
déterminés au moyen des équations (G) que nous venons d’obte- 
nir, d étant mfini, l'équation (C) sera satisfaite, c'est-à-dire que la 
section conique sera une optoïde!. 


à Ë : : b? À À 
10. Si cette section conique est une ellipse, — sera négatif: les 
a 


équations (F) deviendront donc , 
RUE UE ee qe 
SR EE pe D 


et l’on en tirera, en désignant par c l'excentricité V/a? — b?, 


LE > 1 a", 


(4 


ce qui donne, par la construction de la valeur de /, les deux 
foyers F et F’ (fig. 3) de l’ellipse AN A”. 
Donc l'indice de réfraction { étant égal au rapport = du demi 


grand axe à l’excentricité, et les rayons lumineux étant parallèles 
à AX et dirigés dans le sens AX, le foyer des rayons réfractés 
sera situé en F, c’est-à-dire au foyer de l'ellipse le plus éloigné 
du sommet A. 

11. I est clair que le foyer F' de l'ellipse est aussi un foyer 
de rayons réfractés. En effet, un rayon quelconque r m, qui ren- 
contre l’ellipse en un point m, la rencontre aussi en un autre point 
n, et s'il est dirigésdans le sens r m en arrivant en m, il faut, pour 
que / conserve sa valeur, ou pour que la lumière passe, dans un 
cas comme dans l’autre, par exemple du milieu le plus rare dans 
le milieu le plus dense, il faut, disons-nous, que le rayon arrivant 
en n soit dirigé de { en n : d’où l’on voit que le point F’ est le 


* Descartes a démontré synthétiquement cette propriété pour le cas de l'ellipse 
{Dioptrique, 8° discours). 


SUR LA VISION. 211 
foyer des rayons dirigés dans le sens { n, comme F est celui des 
rayons dirigés dans le sens r m. 

12. En remontant à l'équation (A) du n° 5, on voit que, sous 
le rapport analytique, elle s'applique tout aussi bien à la droite 
MF" (fig. 2), telle que F'MN — NMF, qu'au rayon réfracté MF 
lui-mème. En substituant, dans ce qui précède, la ligne MF à la 
ligne MF, on*a tang r — tang (MNX —— MFX), et, en défini- 

fi %0 


Hnaer 
près, a la valeur donnée par l’équation (B). Or, dans la valeur 


trouvée plus haut (6) de sin. r, f — x — y @ est le numérateur 
d’une fraction dont le dénominateur est affecté du signe Æ : donc 
l'équation (C) convient également aux rayons renvoyés suivant MF 
et suivant MF”. Ainsi le point F’, sous le rapport analytique, est 
aussi un foyer comme le point F, et, physiquement, le dernier 
correspond, dans le cas de l'ellipse, aux rayons dirigés en sens 
contraire de ceux qui sont réfractés vers le premier. 

13. La section conique étant hyperbolique (fig. 4), on a, en 
désignant toujours l'excentricité par c, 


J s 3 : 
ve, tang == : c’est-à-dire que tangente r, au SIgne 


a 
[= >; f— «Etc, 


ce qui place les foyers F et F’ aux foyers mêmes de l’'hyperbole. 
L'infini étant à la fois à droite et à gauche de l'axe imaginaire 
PQ, les rayons qui arrivent sur la branche MAN sont dirigés dans 
le sens F'F et se réfractent en F, tandis que ceux qui arrivent sur 
la branche M'A’N' sont dirigés dans le sens FF’ et se réfractent 
en F’. 
be s : 
14. Dans le cas de la parabole on a — — 0, et les équations 
a 
(F) donnent 
[het D A — CO. 
Et comme on a 
b? l—1 
= — = 0, 
«a 1 


27. 


912 MÉMOIRES 

l'équation de cette parabole est y — 0 X x: d’où lon voit qu’elle 
se confond avec l'axe des y et que, l étant égal à l'unité, les rayons 
lumineux parallèles conservent leurs directions en la traversant et 
concourent, par conséquent, à une distance f égale à l'infini. 

15. Tout ce qui précède, en ce qui concerne les sections co- 
niques, considérées comme des optoïdes, peut se tirer de l'équa- 
tion (C), dans laquelle on fait d — co, ce qui donne immédia- 
tement par l'intégration une équation du second degré. 

Opérons d’une manière générale sur cette équation (C). En l'in- 
tégrant, nous aurons 


VE + (+ a) = —1Vy + (f— 2) +0, 


dans laquelle V P + (f — x} est le rayon vecteur RM (fig. 0), 
partant du point R, rayon que nous désignerons par la lettre u, 
et Vr + (f— 2°}? un autre rayon vecteur FM, partant du pomt 
F, et que nous désignerons par la lettre t. 

16. L’optoide passant par l'origine A, pour laquelle on a 
T—0, ÿ — 0, en même temps que u= + d'et t— +f, 
l'équation précédente, pour le point À, devient 


d'=I Lf + C, 
ce qui donne 


Vræt@+a —d=1(f—Vyr +2). (#6) 


C'est, en quantités fimies, l'équation de loptoïde. 
16 bis. Si l’on fait disparaître les radicaux, et que l'on fasse 


21{fd(i+E)+i(p +) À 
a —2} Ce 
2(1—P) d+EBf) 


1 — À 


De 


81fd(d+1f}(l+) 
(1 — h} 


SUR LA VISION. 213 
CE où De 2 mn DS 
U—e? Î 
LAHEP GE) 
TE 


on aura 
y*— 2(A—Bz — À) + Cx +DÉ+H+Es+x —o (l) 


pour l'équation générale cherchée. 

On voit qu'elle est du 4° degré et qu'elle se résout par rapport 
à y comme celles du second. 

17. Si l'on fait x— 0 dans cette équation, on trouve pour y les 
quatre valeurs 


Y—= 2% 0 
y=+EVi(d+if)(f + là). 


Ces valeurs font voir que l'axe des y est tangent à l'optoïde au 
point À (fig. 5), et qu'il coupe cette courbe en deux points S et S, 
dont l'un S est au-dessus de l'axe des X. 


En faisant y — 0 dans l'équation générale, on trouve 
C+Dr+E à + 2 —o, (K) 
équation qui est satisfaite quand on fait 
21 2 d 2 (d+1 
Ti — Li: D pa ME ce 


Nous reviendrons plus loin (25) sur ces valeurs. 

18. Pour construire facilement loptoïde, mettons dans l'e- 
quation (H) les rayons vecteurs u et t (15), au lieu des expres- 
sions \/ y? + (d + x)?, VY + (f — x)?, ce qui nous don- 


nera au moyen des nouvelles variables u et t l'équation très-simple 


19. Le point R étant, sur l’axe des X, Le centre d’où divergent 
les rayons vecteurs u, et F celui d’où divergent les rayons vec- 


214 MÉMOIRES 


teurs {, les points M de la courbe sont ceux auxquels corres- 
pondent deux droites RM — u, FM — #, qui satisfont à l’équa- 
tion précédente, et qui sont les rayons des deux cercles décrits 
des points R et F comme centres, de sorte que ces deux cercles 
donnent le point M. Il est clair, d'après cela, que si l'on se donne 
{ arbitrairement, l'équation (L) donne le rayon u correspondant à f. 

20. Elevons par les points R et F les droites RR’, FF", per- 
pendiculaires à AX3 prenons les u positifs sur RR' au-dessous de 
l'axe AX; les { positifs sur FF’ au-dessus du même axe; rappor- 
tons RA en Ra, FA en Fa’, et menons la droite a a’ qui passe par 
le point À et coupe AX à 45 degrés; puis, sur la droite aa’ pre- 
nons, à partir du point 4’, une grandeur 


æ ’ 
aa 


/ === 
a C——-, 


ou, ce qui revient au même, construisons le point C de manière 
qu'une grandeur am étant prise arbitrairement, et la grandeur 
am calculée de façon qu'on ait am — l X a'w', les droites aa’, 


mm', aient pour intersection le point C, on aura 
OMR RIRE AT ENT CRE AAC CE 


ce qui donne bien 


Cela posé, si du point R comme centre, avec un rayon quel- 
conque Rm, on décrit l'arc »m MM, et qu'on mène la droite mC, 
qui coupe FF’ en m'; puis que l'on décrive du point F comme 
centre, avec Fm’ comme rayon, l'arc m MM, il coupera, en gé- 
néral, l'arc mMM' en deux points M et M’ qui appartiendront à 
l’optoïde; car on aura 

am— l X a m', 
ou 


Rm—Ra—=l(Fa —Fm'), 


SUR LA VISION. 215 
ou 


u— d—=l(f—t). 


21. On remarquera que le même arc mM'M.(fig. 5) coupe 
aussi la droite RR' en n, et que si lon mène la droite n C, qui déter- 
mine sur FF'un autre rayon vecteur Fn’, les arcs mM'MNn,n'N,se 
coupent en deux points N et N’ qui appartiennent à l’optoïde. En 
effet, les grandeurs am, a'm', ayant été prises positivement, leurs 
analogues an et an’ doivent être prises négativement : on a donc 


On — QU. 
ou : 
—Rn—Ra——l(Fr —Fa), 
ou 


—u—d—=l(f—t), 


qui n’est pas autre chose que l'équation (H), dans laquelle le ra- 
dical Vr + (d + x)?, égal à u, devient négatif. 

22. La suite des points tels que M donne, comme on voit, la 
branche de courbe AMB, représeñtée par les équations 


VER = if VEUT 
u—d—1(f—+ 


. (M), 


et les points tels que N donnent la branche VNSZ, représentée 
par les équations 


Vr + (d+ a) +d= 1 (VP + a) — f) | (N). 
md (te) 


23. Il est aisé maintenant de calculer les abscisses x des points 
V, B,Z. On a, savoir: 


216 MÉMOIRES 
Pour le premier V (fig. 5), 
u+d—l(t—f), 
RV+HEFV=RF,ouu +t—= d+/f; 
LU; 


ce qui donne 


Re 2 APT OA 


l— 1 
Pour le second B, 


Rd = Et), 
RD—FD=RF,ouu —t— d+f, 


d'où l’on tire 
READ ET. 
L+ 


Et pour le troisième Z, 
au+d—l(t—f), 
RZ—FZ—RF,ouu —t— d + f, 
X = 1 + jf, 
équations qui conduisent à 


X—AZ— 212, 

24. Si, avec ces valeurs de X, on forme les facteurs x — A V, 
æ—AB,x— AZ, leur produit, égalé à zéro, donne l'équation 
(K), dont A V, AB et AZ sont par conséquent les racines. 


SUR LA VISION. 21 

25. On peut aussi calculer directement la valeur de AS 

(fig. 5) obtenue plus haut (17). Pour cela, nous remarquerons 
que le point S est tel qu'on a les trois équations 


I 


Bt AS. 
TEEN ANS RES 
a+ d—i(i— }f); 


lesquelles, par l'élimination de x et t, donnent 
AS—= EE Vl(d+1f) (jf + td). 


26. Mais les points les plus essentiels pour décrire l’optoïde 
sont les points V, B, Z : voici une construction qui les fournit très- 
simplement. Transportons de la fig. 5 à la fig. 6 les points R, A, 
F, a, a’, C, etc. et menons par le point C (fig. 6) la droite C2, 
inclinée à 45 degrés. Elle coupera les lignes RR', FF’, en deux 
points z et z’, et les droites z'a, za! et zz', menées en diagonales 
dans le trapèze aa'z'z, couperont l'axe AX aux points cherchés. 
D'où l'on voit que si l'on se donne un trapèze aa'z'z, dont les 
côtés non parallèles soient tous deux obliques sur les côtés paral- 
lèles, et qui soit coupé par une droite AX perpendiculaire à az, 
les diagonales et les côtés obliques de ce trapèze donneront les 
quatre sommets V, À, B, Z, de l'optoïde pour lequel on aurait 
Rd AT" etaC:aC::l:1. 

Le moyen qui vient d’être exposé (18-21) de construire lop- 
toïde est, comme on doit le voir, simple et commode, lorsque 
_ les distances de d et J sont petites. Mais il est d’un emploi diffi- 
cile quand ces distances sont grandes, parce qu'alors les points 
R, a et C étant éloignés, la figure prend trop d’étendue ; et il est 
en défaut quand d ou f sont infinis, puisque, dans ce cas, les 
points R, a et C passent à l'infini. 

Du L'objet du point C (fig. 5) étant de donner des grandeurs, 
telles que a’ m'et a n, qui soient dans un rapport / avec les gran- 


SAVANTS ÉTRANGERS. — XII. 28 


218 MÉMOIRES 
deurs correspondantes am et an, 1 est facile de remédier à ces 
inconvénients. 

Pour cela, construisons sur la distance focale A F (fig. 7) le 
carré AF a’ G, et par son angle G menons la droite GD, telle 
qu'on ait GH : HI: : 1: ; décrivons, avec un rayon vecteur R m, 
pris arbitrairement, un demi-cercle m MN n, qui coupera AX en 
deux points » etn; par ces points élevons les verticales ms, nr, 
et par les points s et r où elles rencontrent GD menons les hori- 


zontales sm et rn', nous obtiendrons les grandeurs a. m — 


A m An 2 : Pu= 
re a n — et il est clair que les arcs m'M, n° N, décrits du 


point F comme centre, donneront sur le demi-cercle m MNn, 
les points M et N de l'optoide. 

28. Supposons que l'on ait d — AR — , ou, ce qui est la 
même chose, que le point R s'éloigne à une distance infinie de 
l’origine À, les ares de cercle tels que m M (fig. 7) deviendront 
des droites telles que ms (fig. 8), et les constructions demeurant 
d’ailleurs les mêmes, la nouvelle figure déterminera une courbe 
AMEB, pour chaque point M de laquelle, A étant l'origine des 
coordonnées, on a les deux équations 


Dane 
(@+ff+P = — am}; 


d'où l’on tire en éliminant am’, 


L—: — 
9 
TEE 6) —— L + T'. 
d4 2} l L # 


Or, HI étant supposé plus grand que GH, ou / => 1, cette équa- 
üon est celle d’une ellipse. 

29. Il est aisé de voir que cette courbe est touchée en E par 
la droite GD (fig. 8), et que si l'on mène par le point F la droite 
FD, inclmée à 45 degrés, elle détermine sur GD un point D, tel 
que GK et DK sont les grandeurs des deux axes de l’ellipse AMED. 

30. En faisant HT plus petit que GH, on est conduit à une 
courbe ouverte AMT (fig. 9), qui n’est autre chose que l'hyper- 


SUR LA VISION. 219 


bole correspondante au cas de / 1, dont AA'est le plus grand 
axe et F l’un des foyers. 

31. Si, dans l'équation générale (16 bis) on suppose d — , 
elle se change en une autre, qui n’est pas autre chose que la ne 
cédente, et qui convient à l'ellipse ou à l'hyperbole, selon que le 
nombre | est plus grand ou plus petit que l'unité. a demi-ax -axe 


; 


+3 
horizontal est égal à nr le demi-axe vertical à TE 


et le rapport du grand axe à la ligne AF (fig. 8), éga NI au He 
grand axe augmenté de l'unité, devient égal à L. 

On peut, avec ces procédés, construire synthétiquement lop- 
toïde dans tous les cas possibles. 

32. Mais les opérations graphiques étant peu précises, et celles 
dans lesquelles on applique loptoïde à l'œil présentant des cons- 
tructions où les lignes se coupent sous des angles quelquefois fort 
aigus, 1l est nécessaire de recourir au calcul pour obtenir numé- 
riquement les abscisses et les ordonnées des points qu'on veut con- 
naître exactement. On pourrait se servir, à cet effet, de l'équation 
générale (16), mais le procédé suivant sera d’un emploi beaucoup 
plus simple. 

33. Considérons la branche AMB (fig. 7) et le point M de 
cette branche. Ce point est l'intersection des cercles respectifs 
dont les centres sont en R et en F, et dont les rayons sont u et f: 
on aura donc pour le point M, 


d+f— + = 
LE + y —= À. 


Or, on tire de ces équations 


290 MÉMOIRES 

Si donc op prend arbitrairement u, la première des trois équa- 
tions précédentes fournira { en nombres, la seconde x et la troi- 
sième y. 

34. Afin de nous donner x, nous avons quelquefois fait usage 
d'un autre moyen. Soit (fig. 7) a m'— @; la condition que le 
point M soit l'intersection des deux cercles m M, m M, donnera 

ld+/f 


ee Vitae itde 


B—: 


d’où l'on voit qu'en se donnant x on peut en déduire @, ce qui 
conduit ensuite à la valeur de y. 

39. Cherchons la tangente MT au point M de la courbe AMM' 
(Hg. 10), R et F étant l’un le point rayonnant et l’autre le foyer. 
L'équation focale de cette courbe (22) estu— d—1l(f— +), 
d’où l'on tire en différenciant 


GOT NN AIS 


Or, si l’on porte sur les rayons vecteurs respectifs RM, FM, à 
parur du point M, les deux lignes MV, MW, telles que lon ait 
M V égal à ! X M W; puis que l’on élève par les points V et W 
les perpendiculaires VT, WT, elles se couperont en un point T, 
et si par ce point et par le point M on mène la droite TM, elle 
sera la tengente cherchée; car Mm étant un élément imfiniment 
petit de l'optoïde, et les droites mv et mw, Mv et Mw, étant res- 
pectivement parallèles et perpendiculaires à MR et à MF, on a 
mv— du, mw —= dt, et les triangles Mvm et TVM, Mwm et 
TWM étant semblables, la droite TM est le prolongement de Mn. 

36. La normale MN s'obtient aussi très-facilement. Prenons sur 
MR et MF deux longueurs égales MV, MG; menons ensuite qu 
puis construisons le point N de manière qu'on ait NG : NV ::1: 1. 
Il est clair que si l'on a cette proportion, les droites VT et + GH 
seront les sinus d'incidence et de réfraction pour le cercle dont 


SUR LA VISION. 991] 


le rayon est MV, et que leur rapport sera égal à /; donc la droite 
MN, menée par les points M et N, est la normale cherchée. 

37. Au moyen de cette construction commode des normales, 
on peut déterminer graphiquement la développée de l'optoide et 
en déduire ses rayons de courbure. Mais pour les obtenir avec 
précision, il faut recourir à leur expression différentielle. Afin 
d'éviter des calculs un peu compliqués, nous nous bornerons à la 
considération de ceux qui répondent aux sommets A, B, V,Z 
(fig. 5) de la courbe. 

38. Son équation (16 bis) est 


Y — 2 An Bir ir} ph C xD LE 0; 
mettons-la sous la forme 

DORE A RS Eure 
en faisant 


MA = Br y 


F NC Dir 7e he 
Prenons les différentielles de ces expressions, et posons 
dM 
TES = — B NU == re 
dN 
adrien Di SE "ri 0, 


Nous aurons, conséquemment, en différentiant l'équation de la 
courbe, 


Concevons qu'un cercle, d’un rayon r, ait son centre sur l'axe 
des x, à une distance + a de l'origine; son équation sera 


P—=2r (2 — a) — (x — a}, 


ce qui donne pour ce cercle 


292 MÉMOIRES 

39. Cela posé, prenons sur loptoide un point dont les coor- 
données soient x’ et y', et supposons que le cercle passe par ce 
point et par le point infiniment voisin, c’est-à-dire que le cercle 
et l'optoïde aient en ce même point une tangente commune. Il 
est clair qu'on aura pour le cercle 


TL ie, 7 DE. 1 dy dis d'y 
ne nelle ae 
ce qui donne 
ÿ?—=02r(x — a) — (x — a); 
r — (x — a) 2Py?+Q 
Tr M) 


et en éliminant x — a, on trouve 


B—2x)y°+C+2Dx +3Er?+4z" 
h(Y?—A—Ba—x?) 


: 


y 


expression d'où l'on peut tirer le rayon r du cercle tangent à l'op- 
toïde au point (x', y’). 

40. Supposons que y’ soit égal à zéro, le pot de contact sera 
sur l'axe des x, et le cercle passera par le point correspondant de 
l'optoïde et par le point infiniment rapproché en dessus. Mais 
tout est symétrique entre les deux courbes par rapport à l'axe 
des x : donc le cercle passera aussi par le point de loptoïde 
imfmiment rapproché et situé au-dessous de laxe : donc r sera 
le rayon du cercle osculateur. On a conséquemment pour ce 
rayon 
C+2Dx + 3Exr?+4zxs 


TE 
&(A+Bz —z°) 


Al. Si l'on fait x — 0 dans cette équation, le rayon de cour- 
bure correspond à l'origine, et si l'on substitue dans son expres- 
sion les valeurs suivantes 
21(d+1f)(f +14) 
HE 
8Lfd(d+Lf}(i— à} 

(EE) 


= 


== 


, 


SUR LA VISION. 993 


tirées du numéro 16 bis, on trouve 
h À 
LR 
C 


ou 


L. JA(E a) ; 
_  f+td? 


valeur pareille à celle qu’on tire de l'équation (E), dont l'exacti- 
tude a déjà été démontrée (7). 

En mettant au lieu de x’, dans l'expression générale du rayon 7, 
les abscisses des trois autres sommets suivant lesquels axe des x 
coupe l’optoïde, on trouverait les rayons de courbure correspon- 
dants à ces sommets. 


CHAPITRE Il. 


DES DIVERSES ESPÈCES D'OPTOIDES À ESSAYER DANS LA GÉNÉRATION 


DES SURFACES DE L'OEIL. 


42. La disposition des surfaces réfringentes de l'œil par rap- 
port au point rayonnant et au foyer de chacune d'elles, conduit 
à considérer ces surfaces comme engendrées par quatre espèces 
d'optoides : 

Premièrement, les optoïdes pour lesquelles le point rayonnant 
et le foyer sont situés sur les deux côtés opposés de la courbe, 
cette courbe tournant sa convexité vers le point rayonnant. La 
surface extérieure de la cornée, dans le cas de l'œil raccourci et 
de l'œil allongé, est de celles qui peuvent être produites par des 
optoides de cette espèce. 

Secondement, les optoides dans lesquelles le point rayonnant 
et le foyer sont du même côté de la courbe, f étant plus petit que 
d, et cette courbe tournant sa convexité du côté d’où la lumière 
arrive. La surface antérieure du cristallin pourrait être engendrée 
par une de ces optoides. 


29/1 MÉMOIRES 

Troisièmement, les optoides auxquelles correspondent encore 
un point rayonnant et un foyer situés du même côté de la courbe, 
en même temps qu'on a d => f, mais dans lesquelles la concavité 
est tournée vers les rayons arrivants. La surface postérieure du 
cristallin est dans ces conditions par rapport à /, f et d. Nous ver- 
rons jusqu'à quel point elle offre l'exemple d'une surface engen- 
drée par une telle optoïde. 

Quatrièmement, enfin, les optoïdes qui ne différent de la pré- 
cédente qu'en ce qu'on a d  f. Les surfaces réfringentes du 
corps vitré ne seraient-elles pas produites par des optoïdes de cette 
quatrième espèce? C’est ce que nous aurons à examiner. 

A3. Nos exemples seront pris-dans l'œil n° 1, tel qu'il se trouve 
décrit par les chiffres du tableau du n°605 de la Théorie de l'œil. 
Nous avons sur cet œil n° 1 beaucoup de calculs tout faits; nos 
lecteurs le connaissent, et, par ces raisons, il nous convient de 
l'employer ici. Quant à l'inconvénient qu'il présente d’avoir des 
surfaces centrées sur le même axe, nous devons, pour aller du 
simple au composé, accepter maintenant cet inconvénient. Plus 
tard nous reviendrons sur cet objet. D'après cela, pour chaque 
exemple de courbe optoïdale, nous trouveronsles valeurs de /, de d 
et de f au tableau précité du numéro 605, et nous pourrons cons- 
truire l'optoïde. 

Ah. Les courbes obtenues sont représentées avec une échelle 
de deux millimètres pour un. La droite AV (fig. 11) est l'axe 
optique; les génératrices correspondantes à l'œil raccourci seront 
au-dessus de AV, et nous mettrons au-dessous de cet axe celles 
qui correspondent à l'œil allongé. Nous supposerons que le point V 
soit pour l'œil raccourci et pour l'œil allongé le point d’inter- 
section du fond de l'œil et de l'axe optique. Les points À et A, 
tels que AV — 21. 984 et A'V — 22.308, sont les sommets 
respectifs de la cornée [605 et 606], pour les deux yeux dont 
il s’agit. 

A5. Première Espèce. Exemple : Surface extérieure de la cornée. 
Considérons d’abord l'œil raccourci. D’après le tableau précité du 


SUR LA VISION. 225 
n° 605, on aura {— 1. 33, d — oo, f — 34. 987, et loptoide, 
conformément à ce qu’on a vu précédemment (28), sera l’el- 


lipse, 
EP = (— i1fz + ( nl ÉTE 
pour laquelle on a, 


demi grand axe a — 19. 97114 


demi petit axe b — 13 . 1673, 


le grand axe de la courbe coïncidant avec l'axe optique de l'œil. 

Cette courbe est représentée en AB (fig. 11), et l'on a pour les 
coordonnées du point B, x — 2.025 et V7 

6. Pour l'œil allongé, le tableau précité du n° 605 donne 
[= 1.33, d — 250, f— 35.362, et l'optoïde est de l'espèce 
des courbes représentées en AMB (Hg. 5 et fig. 7), et dont la 
construction se trouve exposée aux n° 20 et 2 7- Elle pourrait donc 
s’obtenir au moyen du compas et de la règle, mais non pas sans 
quelques difficultés résultant de ce que la valeur de d, avec une 
échelle double de l'échelle naturelle, étendrait considérablement 
a grandeur de la figure. 

47. Le calcul appliqué à cette courbe donne la formule 


P— — 81.027353 + 1 -300559V136797.899044 + 441.905284 a 


d'où l’on tire par le procédé du numéro 34, pour les abscisses 
T— 2 .02b etxz — 2.50, 


P— 1.8671ety — 5.682, 
P — 1.939 et y — 6 . 280. 


Le point dont les coordonnées sont x — ». 025 et y—5, 682, 
se trouve représenté en B' (fig. 1 1), et la courbe cherchée est A’B/. 
L8. DeuxiÈME ESPÈCE. Exemple : Surface antérieure de la cap- 
sule. On a [605] pour cette surface, dans le cas de l'œil raccourci, 
[= 1. 909; d — — 30. 460 et f — 29. 269. Les centres R et 


SAVANTS ÉTRANGERS. ie 29 


226 MÉMOIRES 

F (fig. à) sont en conséquence tous deux situés sur le côté droit 
du sommet À, et très-près lun de l'autre, ce qui donne des 
cercles de construction se coupant sous des angles fort aigus; d’où 
il résulte que la détermination graphique de leur point M de 
rencontre est peu précise. Nous avons dû, en conséquence, cal- 
culer la formule 


— 14651 + V 2.14652 —0.04307x 


0.018081 


@ = 


et nous avons trouvé, avec le secours de cette formule et de l'équa- 
bon 


RENÉ 50h = Ge): 
pour les points de la figure 11, savoir : ; 
Dérten, Do 8 REY TE 7 
PU ME MMOG Ne pi 
RTE NS; ne L78 COTES 200: 
Au moyen de ces valeurs, nous avons pu construire exacte- 
ment la génératrice CDEF. 
A9. Dans le cas de l'œil allongé, le tableau précité |6où| 
donne { — 1. 009, d — 33. 943 et f — 32, 439. La courbe 


cherchée C'D'E’F" diffère peu de la précédente, ainsi qu'on le voit 
par les valeurs obtenues au moyen de la formule : 


® = 100.076718 Æ 55.30668 13.272432 — 0.054388 x. 


Ces valeurs sont : 
Pont:Dlz on QE 0 878 etiy 2229197 D; 
Point E,, x 


| 


DÉRAE—R4700 tua, 20 Le 


Point F°, x OO ARE PE) DA 


| 
5 
| 


SUR LA VISION. 227 


50. Troisième EspécE. Exemple : Surface postérieure du cris- 
‘tallin  ow antérieure du corps vitré. D’après le tableau précité 
605], on a pour cette surface, dans le cas de l'œil raccourci, 
1= 0. 933; — d— 11. 679 et f — 9. 000. Le point rayon- 
nant R et le foyer F (fig. 12) sont encore l’un et l'autre à droite 
de l’origine À; mais contrairement à ce qui a lieu pour les exem- 
ples de la seconde espèce, le point R est plus éloigné du sommet À 
que le point F. Il en résulte qu'après avoir construit la droite GI, 
telle qu'on ait GH : HI : : 0. 933 : 1, il faut prendre le rayon 
Fm’, d’un cercle de construction tel que m'M, plus grand que Fa’, 
ce qui donne au moyen des lignes m's, sm, un rayon Rm, avec 
lequel se décrit l'arc Mn, qui donne le point cherché M. Les 
points tels que M ont donc des abscisses négatives. 

On voit par la figure que les deux arcs m'M, mMn, se coupent 
sous un angle très-petit, ce qui oblige à recourir au calcul pour 
avoir des constructions exactes. 


51. Il donne 


P— — 17.00068 7.701350 V4.847813 + 0790276 z, 
et nous avons tiré de cette équation et de la valeur 


= VU EP —(— x. 


pour les points respectifs M, N, P, Q, les chiffres suivants, sa- 
VOIr : 


z—= — nie su. 1488set pe13v. 626); 
D PE SE GO MIS MATINS 
TER 8, @ 1296 . 140 et-y —= 7 480; 
z—=— 4, @— — 7.647 ety — 10 . 399. 


En construisant les valeurs de æ et y nous avons obtenu la 
courbe AMNPQ, dont un petit arc est rapporté sur la figure 1 1 
en GHI. 


29. 


298 MÉMOIRES k 

Or, il sufit de regarder la courbe AMNPQ (fig. 12) pour re- 
connaître qu'elle est lom de présenter la figure bien connue de 
la partie postérieure du cristallin; mais ce n’est pas ici le lieu 
d'examiner cette circonstance. (Voy. le chapitre III.) 

92. Dans le cas de l'œil allongé, [— 0. 933, — d— 12.675 
et f — 9.624. On a en conséquence 


@——17.00068 + 7.721352 V/4.847813 — 0.790276 a, 


ce qui donne pour les cmq points L, M, N, O, P, de la fig. 11, 
savoir : 


hab e=eh hlmpieby tete 
D MR GR On EC 51" 0B 0; 
D P— — h .843°et y — 7. 066; 
z—— 4, @——6. 973 ety— 9. 479; 
LE 5 0 == 9). 600 el y — m0 


D'où lon voit que l'optoïde cherchée KLMNOP, est bien peu 
différente de celle qui précède. 

93. QUATRIÈME ESPÈCE. Exemple : Surface du corps vitré. On 
trouve [605 } pour cet exemple, dans le cas de l'œil raccourci, 
comme dans le cas de l'œil allongé, bien que, à la rigueur, ils ne 
soient pas absolument les mêmes, {= 1.01, d — 9. 086 et 
[= 9: 380. La courbe, ainsi que dans la troisième espèce, n’a 
que ses parties à peu près adjacentes au sommet qui soient situées 
en deçà de la verticale passant par ce sommet. ; 

Nous avons trouvé pour les trois points S, R, Q (fig. 11), savoir: 


D 1 Pt ed b6og-etyE—, 5 A8 
D —12 20H83. 6oo-ety —.6 -082: 
DES NC 0 000 y — 0.120) 


En construisant ces points, on obtient la ligne TSRQ. Nous 
l'avons rapportée en T S’, au-dessous de l'axe AV, attendu qu’elle 


SUR LA VISION. 229 
est sensiblement la même pour l'œil raccourci et pour l'œil 
allongé. . 

54. Cette ligne TSRQ, et les lignes précédentes GHI, KLM, 
ne doivent pas, quant à la vision, satisfaire le lecteur. Nous allons 
nous occuper, dans le chapitre qui suit, des objections que sou- 
lève leur forme et de la question de savoir jusqu’à quel point les 
quatre espèces d’optoïdes que nous venons de construire peuvent 
convenir à la génération des surfaces réfringentes de l'œil. 


CHAPITRE III. 


EXAMEN DES OBJECTIONS QUE SOULÈVE L'OPTOIDE SIMPLE, 


CONSIDÉRÉE COMME GÉNÉRATRICE DES SURFACES RÉFRINGENTES DE IOEIL. 


55. Le chapitre qui précède fait voir qu'il y a des cas où les 
courbes optoïdales ne sont pas, comme génératrices des surfaces 
réfringentes de lœil, d’une nature admissible. 

En effet, la partie postérieure du cristallin ne présente pas, en 
réalité, la figure AMNPQ (fig. 12); d'où il suit que la surface de 
ce corps, du côté de la rétine, avec la condition dé 4 1 et de 
d=>f, ne peut ètre une optoïde simple, c'est-à-dire une optoïde 
du 4° degré. De même, les surfaces : ringentes du corps vitré ne 
peuvent avoir la figure QRST (fig. 11% | 

56. La forme bien connue de la membrane eristalloïde ne s'ac- 
corde pas non plus, du moins en ce qui concerne l'œil n° 1, avec 
la théorie qui admettrait des optoides pour toutes les surfaces ré- 
frmgentes du globe oculaire ; car la surface antérieure de la cap- 
sule ayant la figure ABCD (fig. 13) des optoïdes de la seconde 
espèce, la surface postérieure de cette capsule appartiendrait à 
la troisième espèce. Cette surface présenterait, en conséquence, 
la figure MBNP, ce qui donnerait un point B d’intersection des 
lignes ABCD, MBNP: de sorte qu'au lieu d’une membrane com- 


230 MÉMOIRES 


prise entre deux courbes à peu près équidistantes, on aurait une 
forme absolument inadmissible. 

97. Mais on peut dire que cette objection a été résolue par 
avance aux n® 372-378 de la Théorie de l'œil. À quoi tient-elle, 
en effet? Uniquement à ce que lmdice déterminé par M. Chossat, 
pour la première couche du cristallin; est moindre que celui de 
la capsule: or nous avons fait voir, dans les numéros cités plus 
haut, qu'il résultait, de la comparaison des nombreux chiffres ob- 
tenus pour des yeux d'animaux, que les indices augmentent de 
l'extérieur de la capsule au noyau. 

On nous dira peut-être que nous devions, d'après cela, réfor- 
mer les indices de l'œil n° 1. Nous n'avons pas pris ce parti, parce 
que c'était d’une faible utilité, et parce qu'il aurait semblé que 
nous éprouvions le besoin, pour l'objet que nous nous proposions 
alors, de modifier les chiffres obtenus par M. Chossat. 

98. On peut encore reprocher aux optoiïdes obtenues qu'elles 
ne sont pas assez ouvertes en ce qui concerne le devant de la 
cornée; mais on remarquera que loptoide s'ouvre ou se ferme 
plus ou moins, à mesure que / croit ou décroit; d’où il suit qu'avec 
une plus forte densité de la cornée nous aurions des courbes aux- 
quelles on ne trouverait rien à redire sous ce rapport. 

59. Nous ferons remarquer aussi que la figure du cristallin n’est 
pas la même pour l'œil raccourci et pour l'œil allongé, ainsi qu'on 
le voit parles coordonnées rapportées aux n° 48 et 49. C'est chose 
assez naturelle; car, dans l'œil allongé, le cristallin comprimé à 
son bord équatorial doit prendre un certain allongement dépendant 
de son plus ou moins de mollesse. Nous l'avons dit ailleurs et nous 
reviendrons sur ce sujet. 

60. H résulte de ce qui précède que, lorsque nous écrivions 
les pages 403 et suivantes de la Théorie de l'&il, nous nous per- 
suadions, à tort, que‘toutes les surfaces réfringentes du globe pou- 
vaient être des optoides simples, de telle sorte qu'un point rayon- 
nant vert, par exemple,} étant situé sur l'axe optique, tous les 
rayons admis dans la pupille:fussent successivement réfractés du 


SUR LA VISION. 231 
foyer de l’optoïde précédente, pris pour point émergent de la sui- 
vante, au foyer de cette dernière, et, en définitive, réunis tous 
avec rigueur en un même point de la rétine. Cette théorie, qu'un 
travail déjà considérable justifiait quant aux surfaces convexes 
de l'œil, était assurément fort séduisante’. 

Mais il fallait achever le calcul pour se prononcer, et l'on voit 
qu'il ne justifie pas nos prévisions en ce qui concerne les sur- 
faces non convexes. Sufhirait-1l que les surfaces convexes fussent 
optoidales? Telle est une des questions qui doivent faire l'objet de 
nos recherches subséquentes. 

61. En résumé, nous devons conclure de ce qui précède : 

1° Que les optoïdes de la première espèce pourraient convenu 
aux surfaces extérieures de la cornée, les éloignements du point 
considéré variant de 0",25 à l'infini; 

2° Que les densités du cristallin augmentant de l'extérieur au 
noyau , les optoïd®es de la seconde espèce conviendraient aux sur- 
faces postérieures de la cornée et aux surfaces des couches du 
cristallin et de la capsule convexes vers le devant de l'œil; 

3° Que les optoïdes de la troisième espèce conviendraient pour 
les petites facettes, de deux millimètres à peu près environnant 
l'axe optique, des surfaces réfringentes concaves vers le devant de 
l'œil comprises entre le centre du noyau et le corps vitré ; 

4° Que les optoides de la quatrième espèce, mais seulement 
en ce qui concerne de petites facettes, comme les précédentes, 
conviendraient pour les surfaces réfringentes du corps vitré; 

5° Que le noyau du cristallin devrait être homogène, et qu'il 
devrait avoir d'assez fortes dimensions pour qu'il fût rencontré par 
tous les rayons émanés des objets situés sur l'axe optique ou tout 
auprès de cet-axe. 


! Cette théorie va prendre, dans le VI° mémoire, une forme un peu diflérente 
de celle qui vient d’être indiquée; mais non moins salisfaisante, non moins com- 
plèteret non moins rigoureuse, 


239 MÉMOIRES 


CHAPITRE IV. 


DE LA DISPOSITION DES SURFACES REFRINGENTES DE L'OEIL, DANS LA VISION 


À DES DISTANCES DIFFÉRENTES ; CONCLUSION DE CE MÉMOIRE. 


62. On a été longtemps sans s'apercevoir que les parties anté- 
rieures du globe oculaire n'étaient pas disposées symétriquement 
par rapport à l'axe optique, c'est-à-dire par rapport à l'axe de la 
cornée. Îl paraît que la première observation importante sur cet 
objet est celle de D. W. Sæmmering, qui s’assura que, dans l'œil 
du cheval, le devant du cristallin et celui de la cornée ont des axes 
différents. 

63. Vers 1818, M. le docteur Chossat, opérant avec les instru- 
ments du collège de France et par les conseils*de M. Biot, s'oc- 
cupa de déterminer d’une manière précise les formes des parties 
principales des yeux de divers animaux, et plus particulièrement de 
ceux du bœuf. I trouva, 1° que les surfaces de la cornée et du cris- 
tallin étaient ou paraissaient être des surfaces de révolution; 2° que 
l'axe de la cornée était incliné en dedans, c’est-à-dire vers les na- 
seaux de lanimal, de 9 à 10 degrés de plus que l'axe de la sur- 
face antérieure du cristallin; 3° que ce dernier axe était inclmé, 
aussi vers les naseaux, d'environ 5 dégrés de plus que celui de la 
surface postérieure. 

64. Nous avons nous-même observé, après M. Chossat, la forme 
du cristallin renflé du côté externe, dans les yeux du lapin et de 
la pie. 

Mais, dans l'œil humain, les circonstances que nous venons d’in- 
diquer n’ont pas, que nous sachions, été remarquées. Le docteur 
Krause, opérant six ans après M. Chossat, et prenant pour modele 
le travail du docteur génevois, a dü porter son attention sur les 
circonstances dont il s’agit : toutefois il place le cristallin de 
l'homme sur l'axe optique, et représente, du moins dans le seul 


SUR LA VISION. 233 
écrit que nous connaissions de lui, toutes les surfaces réfringentes 
comme centrées sur cet axe. 

65. Serait-ce une faute qu'il aurait commise ? Nous n’en se- 
rions pas surpris. Pour opérer, le docteur Krause tranche d’abord 
l'œil en deux, avec un rasoir; puis il mesure les dimensions de la 
section ainsi obtenue : or l'action du rasoir, quelque bon qu'il 
soit, déplace nécessairement les parties qui résistent plus que leurs 
voisines; d’où il résulte qu'après avoir fait la section on doit être 
obligé de remettre en place, selon les idées qu'on se fait, les par- 
ties déplacées, afin de remédier au désordre produit. Ainsi, les 
altérations dues à la mort; celles qui s’'epèrent pendant l'extraction 
du globe et son nettoiement; enfm, celles que l'imagination de 
l'opérateur apporte dans l'arrangement et dans le rétablissement 
des figures à mesurer, n'ont pu manquer de vicier, jusqu'à un 
certain point, les résultats qu' on doit à M. Krause. 

66. En faisant bien attention à ce qu'il dit à l'égard de la surface 
du fond de l'œil, on voit clairement qu'il a sur cet organe des idées 
de symétrie trop absolues; car, il fait violence aux faits, à ceux 
qu'il a lui-même constatés, pour établir, en critiquant Tréviranus, 
que cette surface est un ellipsoïde à trois axes inégaux régulière- 
ment placé par rapport à l'axe optique [268-272]. Il est donc 
manifeste que le docteur Krause, malgré tout le mérite de son 
travail, s'est laissé influencer par des opinions préconçues, ten- 
dantes à donner à l'œil humain une régularité qu'il n’a pas. 

67. Il était presque impossible aux expérimentateurs d'éviter 
cet écueil. Les difficultés à vaincre pour avoir, d’après le mort, 
des mesures satisfaisantes de l'œil dans le vivant, sont tellement 
grandes, qu'on ne peut pas laisser de côté l’action incessante de la 
théorie qu'on est porté à se faire. Or, ils supposaient tout natu- 
rellement les vitres de l'œil, comme dans une lunette, centrées 
sur un même axe, et rien n'était plus propre à fausser leurs idées. 
On doit donc, quant à lobjet dont il s’agit, s'appliquer mainte- 
nant à revenir sur les nombreuses fautes qu’on a du faire. 

68. Nous allons en citer une qui montre la nécessité d'opérer 


SAVANTS ÉTRANGERS. — XII. # 30 


234 MÉMOIRES 

avec une certaine rigueur, On voit, en lisant les livres d'anatomie, 
que, à l'inspection d'un œil coupé en deux, beaucoup de per- 
sonnes ont pensé qu'elles pouvaient , à vue de nez, comme on dit, 
déterminer le sommet de la cornée et la direction de son axe : 1l 
faut reconnaître que ce moyen n'est pas satisfaisant. En effet, une 
courbe B' AA°B (fig. 14) étant donnée sur le papier, et cette 
courbe ayant un axe, il faut, pour déterminer cet axe, opérer à 
peu près ainsi qu'il suit. D'abord, mener une droite arbitraire AB; 
puis calquer soigneusement la figure et placer le calque, mis à 
l'envers, de façon que la courbe donnée et la courbe calquée coïn- 
cident parfaitement. Ensuite il faut marquer sur la courbe donnée 
les positions A’ et B' que prennent les points À et B; enfin, me- 
ner une droite PQ, de manière qu'elle divise en parties égales 
les droites AA’, BB': la droite PQ ainsi construite est l'axe cher- 
ché, et de sa détermination résulte celle du sommet C et de la nor- 
male C P. N'est-il pas clair qu'en substituant le sentiment à de 
pareilles opérations, lorsqu'il s'agit de construire l'axe optique 
auquel on veut rapporter la figure et la position du cristallin, on 
est dans une voie bien peu rassurante pour la vérité? 

69. Nous reconnaissons toutefois que, pour déterminer sur un 
même œil toutes les courbures des pièces de cet organe, ce qui 
était d'une grande utilité, le docteur Krause ne pouvait pas opérer 
par de meilleurs moyens que ceux qu'il a choisis et que M. le 
docteur Chossat avait employés. Mais la question change quand 
on se propose de déterminer, par exemple, inclinaison des axes 
de la cornée et du cristallin : alors, on peut opérer d’une manière 
plus sûre que celle dont le docteur Krause a fait usage. Il est évi- 
dent que si, après avoir nettoyé le globe, on le place dans une 
cuvette, à peu près moulée sur sa forme ordinaire, en donnant à 
son axe une position autant que possible horizontale, et qu'ensuite, 
avec des cieaux, on enlève une petite calotte de la sclérotique au 
droit du cristallin, puis une calotte plus grande, puis les parties de 
l'iris, des procès ciliaires et du corps vitré situés en deçà du plan 
passant par l'axe, lesquelles empêchent la vue de pénétrer dans 


SUR LA VISION. 235 
l'intérieur, on doit arriver, sans efforts qui puissent rien déplacer, 
ni sensiblement altérer la cornée, à juger bien des positions res- 
pectives que présentent les axes des surfaces réfringentes. Quoi- 
qu'on n'ait guère opéré ainsi, du moins nous le croyons, sur des 
yeux humains très-frais, et en se débarrassant de tout préjugé tou- 
chant la régularité prétendue des surfaces réfringentes de l'œil, 
on peut cependant tirer des observations faites ls conséquences 
importantes qui vont suivre. 

70. Soit BAD (fig. 15) la cornée de l'œil d’un bœuf, A le 
sommet de BAD, A’A l'axe, E le côté extérieur du globe et I son 
côté imtérieur. Puisque le cristallin est plus épais à l'extérieur qu’à 
l’intérieur (63), le rayon central [740] À’ À s'infléchira dans l'œil, 
et 1l viendra percer la rétine en un point M, situé mtérieurement 
par rapport à l'axe optique AA. Cela posé, nous remarquerons 
que le rayon virtuel [251] correspondant au point M sera une 
droite Ma, sensiblement parallèle à A'AP, et comme les rayons 
virtuels sont normaux à la rétine [261], la tangente au fond de 
l'œil aura une direction MN perpendiculaire à A’AP : d'où il suit 
que l'axe optique A'AP devra être incliné en P sur la rétine IME!. 

71. Cette conclusion se vérifie, en effet, sur les yeux de bœuf, 
comme on le voit par les figures 41 et 42 de la Théorie de l'œil, 
dessinées par un procédé qui présente quelque exactitude [249], 
et elle se vérifie également sur les yeux de lapin représentés sur 
les figures 43 et 44 du même ouvrage. 

L'œil de pie (fig. 17) accuse aussi le même résultat; car il est 
manifeste que, dans cet œil, l'axe OP de la cornée ne peut être 
normal au fond MPQ du globe. 

72. D’après cela, ilest naturel de se demander si, chez l’homme, 
le rayon dirigé suivant l'axe optique, lorsqu'il atteint le fond de 
loœil, est réellement normal à la rétine. Les travaux du docteur 
Krause semblent, à beaucoup d'égards, résoudre négativement 
cette question; car on peut remarquer : 

! C'est ce que nous avons dit de l'œil humain dans les notes (e) el (x) de la 
Théorie de l'œil, pages 137 et 149. 


30. 


236 MÉMOIRES 


Premièrement, que le plus court diamètre de œil joint, sui- 
vant lui [269], un pont de la partie inférieure interne posté- 
rieure du globe avec un point de sa partie supérieure externe 
antérieure, tandis que le plus long joint un point de la partie in- 
férieure externe postérieure avec un point de la partie supérieure 
interne antérieure, ce qui fait déjà présumer que le plan tangent 
à l'extrémité postérieure de laxe optique est incliné avec cet axe; 

Secondement, que, pour l'œil n° 1 {267}, les points N et N' de 
la section horizontale {voy. la fig. 49 de la Théorie de l'œil) sont 
un peu rentrés en dedans, tandis que ceux n et n’ de la section 
verticale sont un peu en dehors, ce qui, en repoussant l'idée de 
symétrie à droite et à gauche, indique encore au point P (fig. 15) 
une inclinaison du plan tangent sur axe optique A'A; 

Troisièmement, que, pour l'œil n° 2 [267], on est par les 
mêmes motifs conduit à la même conséquence. 

73. Nous ajouterons que les lois de l'anatomie philosophique, 
si bien développées dans ces dermers temps, permettent de dire, 
en partant des observations de Sæœmmerimg et de M. Chossat (62 
et 65), que, dans l'œil de lhomme, les axes des surfaces réfrin- 
gentes de la cornée et du cristallin s'inclinent en dedans par leur 
partie postérieure, à mesure qu'on arrive à une surface plus en- 
foncée dans l'œil, et que, en même temps, le cristallin doit être 
plus épais du côté externe qu'il ne l'est du côté interne. Or, il ré- 
sulte de là, comme nous l'avons dit n° 70, pour l'œil du bœuf, 
que le rayon central est infléchi; qu'il arrive sur la rétine en un 
point M (fig. 15), différent du point P; que la tangente en M est 
perpendiculaire à laxe A’ P, et que cet axe n’est pas normal en P 
au fond de l'œil IME. 

7h. On doit donc admettre comme principe que, en général, 
les parties extérieures de l'œil ne sont pas disposées symétrique- 
ment par rapport à l'axe optique, et que, par conséquent ; les sur- 
faces réfringentes ne sont pas centrées sur le même axe. De plus, 
l'analogie nous conduit à penser que le polygone des axes, dans 
toute son étendue, a sa concavité du côté interne. 


SUR LA VISION. 237 

75. D'après cela, prenons les points A’, B', C, D', E’, F', G' 
(Big: 16), pour les sommets des principales surfaces réfrmgentes 
de l'œil, les surfaces convexes À”, B', C’, étant optoïdales dans toute 
leur étendue, et les dernières D’, E’, F', G', optoïdales seulement 
dans leurs parties rencontrées par le pinceau des rayons émanés 
du point émergent situé sur l'axe optique. Occupons-nous d’abord 
de la vision à l'infini, c’est-à-dire du cas de l'œil raccourci, et sup- 
posons, afin de ne pas trop nous écarter des idées recues, que tous 
les axes aient des directions A’A, B'B, C'C, etc., très-faiblement 
infléchies les unes sur les autres. Le foyer le plus éloigné, suivant 
des calculs analogues à ceux des n°® 605 et 606 de la Théorie de 
l'œil, sera situé en un certain point A; les foyers suivants B, 
C, etc., se rapprocheront; le foyer D correspondant à la surface 
postérieure du cristallin sera le plus rapproché (ce sera une sorte 
de point de rebroussement) et les autres foyers E, F, G, s’éloi- 
gneront de plus en plus, de manière que le dernier G soit sur 
la rétine. 

76. Concevons maintenant qu’une personne placée debout, et 
considérant un objet à l'horizon, ait ses deux yeux A etB (fig. 21) 
disposés comme nous venons de le dire : les axes optiques corres- 
pondants seront les deux droites AX, BY. Imaginons que cette 
personne, sans baisser la tête, porte sa vue sur un petit objet pour 
l'examiner avec beaucoup de soin. Au moyen de ses mains, elle 
placera cet objet dans le plan médian, en un point R, tel qu’on 
ait BR — AR — 0"25, et ce point, pour des yeux conformés 
comme l'étaient les nôtres 1l y a vingt ans, sera au-dessous du plan 
XABY d'une hauteur C'R que nous croyons devoir porter à un 
décimètre : d’où il résultera que les axes optiques BY, AX, au- 
ront décrit les angles YBR, XAR, d'au moins 23 degrés. Ces 
angles, évalués ainsi au plus bas, sont très-considérables, ce qui 
montre invinciblement, suivant nous, que l'œil se sera déformé. 

77. Considérons, dans le plan YBR, sur lequel la figure 18 
est supposée faite, le mouvement subi par l'axe optique, et soient, 
sur cette même figure, a'a la position première de cet axe et AA 


238 MÉMOIRES 

sa position nouvelle. La pupille, toutes choses d'ailleurs égales , 
quant à la clarté, se sera rétrécie; l'iris, en conséquence, aura 
opéré dans son plan un resserrement de la sclérotique; les muscles 
droits interne et inférieur se seront contractés; le droit externe 
et le droit supérieur se seront relâchés; le nerf optique, sinueux 
dans l'œil raccourci, aura pris une position moins smueuse NOP 
(hg. 18); la partie interne MN de la sclérotique se trouvera pres- 
sée contre l'orbite, et il s'ensuit tout naturellement que les parties 
intérieures de l'œil se seront portées vers l'extérieur. De plus, le 
cristallin se sera avancé et le globe se sera allongé, ainsi que 
nous l'avons dit au n° 606 de la Théorie de l'œil. 

78. Si donc A’, B',C’, D’, E’, F’, G', sont les sommets des nou- 
velles surfaces réfrmgentes, ils correspondront à un polygone d’une 
courbure plus forte que celle qu'il a dans la figure 16. Les axes 
A’A, B'B, CC, etc., seront donc plus inclinés entre eux que dans 
cette dernière figure, et si l'on suppose que les surfaces réfrin- 
gentes antérieures, en se modifiant, se soient maintenues optoi- 
dales, on concevra que la vision, dans l'œil allongé A'MNN, 
puisse s'accomplir comme que dans le cas de l'œil raccourci. 

79. Imaginons que, l'œil s'étant allongé et infléchi, la courbure 
du polygone des axes se trouve un tant soit peu trop forte. Qu’en 
résultera-t-1l ? C’est que les rayons réfractés, au lieu de donner un 
loyer rigoureux G, seront, après la dernière réfraction, tangents 
aux deux nappes d'une surface caustique. Or, dans ce cas, on 
aura sur le fond de l'œil une image allongée dans un certain sens, 
et l'on peut admettre que, en conséquence de la conformation 
de l'organe, la direction de l'allongement soit située dans le plan 
a'A"Aa; on aura donc en G une petite image mn. 

Maintenant, examinons l'action des deux muscles obliques. Il 
est clair que cette action, en appuyant l'œil contre Forbite, rap- 
prochera la périphérie M'N' de la périphérie MN et diminuera la 
courbure du polygone des axes. Et comme cette action ne déforme 
pas sensiblement l'œil dans le plan AA, perpendiculaire au plan 
de la figure, elle ne modifiera les surfaces réfringentes qu’en res- 


SUR LA VISION. 239 
serrant les génératrices et en les rapprochant les unes des autres, 
principalement à leurs parties externes , d’où il suit qu'elle devra 
tendre à raccourcir l'image mn. On conçoit par là que les deux 
muscles obliques, au moyen d’une action exercée dans des limites 
convenables et combinée avec les autres changements éprouvés par 
l'œil, pourront réduire à un point l'image placée en G. 

80. Pour nous faire une idée claire des choses, nous nous figu- 
rons que les six muscles de l'œil, lesquels s’épanouissent sur la 
périphérie du globe, font l'office de six mains à doigts éventaillés 
formés par les fibres musculaires. Ces fibres, en appuyant plus 
ou moins sur telles ou telles parties, modifient la convexité de 
ces parties, et en même temps la longueur du globe, son flé- 
chissement et la direction de l'axe de la cornée, lequel, d’ailleurs, 
continue de se porter exactement sur le point qu’on veut observer. 
Leur action extérieure déforme évidemment les organes intérieurs ; 
ils sont déplacés, et leurs changements sont nécessairement en 
rapport avec les particularités que présentent le bombement de la 
cornée, l'allongement de la sclérotique et les dispositions fibreuses 
de ces membranes. Enfin, à ces moyens de déformation de l'œil, 
il faut encore ajouter les contractions et les dilatations de l'iris, 
lesquelles resserrent tous les arcs du cercle qui l’unit à la scléro- 
tique, ou repoussent ce celkle en dehors, ce qui modifie la forme 
extérieure du globe et en même temps élargit ou rétrécit la papille”. 

81. Les six muscles et les autres causes dont il s’agit sont donc, 
en quelque sorte, autant d'agents qui nous sont soumis. Si le 
tableau de la rétine est diffus, notre volonté, avec le secours de 
ces nombreux agents, produit toutes les modifications de figure 
qui sont nécessaires pour amener les rayons émanés d’un point 
rayonnant situé sur l'axe optique à se réunir en un foyer sur 
la rétine. 


? L\ (a) ! = LA 
L accomplissement de ces mouvements compliqués doit néces- 
! I est bon de remarquer que le nerf oplique, qui est plus ou moins tendu 


quand l'œil se porte en dedans, ne doit pas être absolument sans action sur la 
figure du globe : il est probable qu'il contribue à son infléchissement. 


210 MÉMOIRES 

sairement exiger un certain temps, et c'est ce qu'on reconnaît en 
effet quand on se sert du microscope et des lunettes; car il ne faut 
pas seulement mettre ces instruments, ce qu'on appelle au point 
de l'observateur, pour qu'ils fonctionnent convenablement , 11 faut 
encore qu'après les avoir mis à ce point, l'œil se dispose de ma- 
niére que la vision s'opère bien, ce qui prend toujours quelques 
secondes. Ceux qui n’ont pas l'habitude d'observer avec des ins- 
truments d'optique, et qui ont de très-bons yeux, s’'aperçoivent par- 
faitement, en commençant chaque observation, de la nécessité 
qu'éprouve l'organe de se monter comme il convient. 

52. En résumé, la question principale de ce mémoire était 
d'examiner, au moyen du caleul, si les surfaces réfringentes de 
l'œil pouvaient être des optoides simples; elle est à présent réso- 
lue, et elle l'est négativement. Si l'on se reporte à ce que nous en 
avons dit dans la Théorie de l'œil [719-724], on verra que M. Sturm 
était guidé par un juste sentiment des choses, quand, il y a quel- 
ques années, il repoussait les idées vers lesquelles nous penchions 
quant à l'optoïde. Nous tenions, dès lors, à traiter la question à 
fond : c’est une tâche que nous venons de remplir. 

83. Nous conclurons, d'ailleurs, de ce mémoire : 

Que, dans le vivant, en général, l'œil humain a ses surfaces re- 
fringentes centrées sur des axes différents ; 

Que, dans l'œil agissant et raccourci, les axes doivent former 
un polygone un peu convexe en dehors, et que le cristallin doit 
être plus épais du côté externe que du côté interne; 

Que, dans l'œil allongé, le polygone des axes doit avoir une 
convexité plus grande que dans l'œil raccourci, et que le cristal- 
lin doit ètre aussi plus renflé du côté externe; 

Que, dans l'œil dirigé beaucoup en dedans, la courbure du 
polygone des axes doit avoir une convexité plus prononcée, en 
même temps que le cristallin doit être plus renflé à l'extérieur ; 

Que ces dispositions paraissent s’'accorder avec les situations 
el les formes des organes musculaires qui donnent à l'œil ses 
mouvements, qui l'allongent et le courbent, et qui modifient néces- 


SUR LA VISION. 241 
sairement sa figure et celle de ses parties intérieures, en raison de 
la direction du point regardé et de son éloignement ; 

Enfin, que les surfaces réfringentes, tant pour l'œil raccourci 
que pour lœil allongé, pourraient à la rigueur être optoïdales, 
savoir : les surfaces convexes dans toute leur étendue, et les sur- 
faces non convexes dans l'étendue seulement de la petite calotte 
enfermée par le pinceau qui peint sur la rétine le point vu sur 
l'axe optique. 


Nora. J'ai supprimé, à la fin de ce mémoire, divers calculs relatifs à des expé- 
riences à faire pour tâcher de savoir si la surface antérieure de l'œil, dans la vision 
d'un point plus ou moins éloigné, ne serait pas quelquefois une optoïde simple. Le 
motif de cette suppression tient à ce que le mémoire suivant donne, par le moyen 
d'une optoïde composée, et dans chaque cas de vision, la solution du problème que 
les optoïdes simples, comme on le voit dans l'exposé présenté du n° 719 au n°724 
de la Théorie de l'œil, semblaient devoir résoudre. Cette nouvelle solution, due à une 
optoïde composée, étant infiniment supérieure à celle des optoïdes simples qui me 
paraissait nécessaire , les expériences dont je viens de parler n'ont plus, actuellement, 
la valeur que je leur attribuais, et il m'a semblé superflu d'en parler dans ce mé- 
more. 


\ 


SAVANTS ÉTRANGERS. —— XII. 31 


242 MÉMOIRES 


DEUXIÈME MÉMOIRE. 


SUR LES FONCTIONS DE LA CORNÉE, 
PIHINCIPALEMENT GONSIDEREES DANS LES RAPPORTS DE CETTE MEMBRANE 


AVEC UN THÉORÈME NOUVEAU, DÉDUIT DES LOIS DE LA REFRACTION, 


ET SUR LES IMAGES RÉFLÉCHIES ET RÉFRACTÉES. 


CHAPITRE PREMIER. 


PROPOSITIONS RELATIVES AUX RAYONS BRISÉS PAR LA RÉFLEXION 
ET PAR LA RÉFRACTION. 


8h. Depuis la présentation de notre dernier travail à l'Acadé- 
mie des sciences, nous avons démontré plusieurs faits qui jettent 
beaucoup de clarté sur la vision. Nous allons les établir ici, en 
commencant par une démonstration générale et géométrique de 
la loi de Malus pour les rayons réfléchis et réfractés | 355 bis], de- 
monstration qu'il nous a fallu trouver d’abord pour arriver aux 
vérités que nous soupconnions. 

85. Proposrion I. — Théorème. Si un faisceau de rayons lu- 
mineux homogènes soumis à la condition d’être normaux à une 
surface EME! (fig. 19), sont brisés par une surface réfringente 
SAS, les rayons réfractés formeront un second faisceau et ils se- 


ront normaux à une autre surface cms. 


! Il est clair que les rayons incidents sont également normaux à toutes les sur- 
faces, en quelque sorte concentriques a Z2MX, qui coupent, pour chacune, tous 
les rayons incidents à une même distance de EME. 

La dénomination de surfaces concentriques, employée ici et dans ce qui suit, 
exprime que partout ces surfaces sont équidistantes dans le sens des normales. 
(Voy. ci-après, p. 246, la note du numéro 92.) 


SUR LA VISION. 243 
Soit, dans le plan de la figure, un rayon IMA du premier fais- 


ceau, À le point où il rencontre la surface réfringente SAS et M 
le point où il rencontre la surface ZME, à laquelle les rayons in- 
cidents sont normaux. Imaginons que par le point À on mène 
la normale AN à la surface SAS, et que le plan de la figure soit 
celui du rayon incident IMA et de la normale AN, c’est-à-dire 
qu'il soit le plan dans lequel s'opère la réfraction. Décrivons du 
point À comme centre, avec AM comme rayon, le cercle MDM' 
et abaissons MP perpendiculairement sur AN, Nous pourrons 
prendre MP pour le sinus d'incidence, et si rq est le sinus cor- 
respondant de réfraction, rAR sera le rayon réfracté. Menons par 
les points À et M les tangentes AV, MV, aux contours SAS, EM5, 
de la surface réfrmgente et de la surface normale aux rayons in- 
cidents; ces tangentes se rencontreront en un point V. Par ce 
point menons la droite V m perpendiculaire au rayon réfracté r AR, 
et décrivons le cercle mdm' dont le centre est en A: nous allons 
prouver que les rayons réfractés, tels que rÂR, sont normaux à 
une certaine surface como, comme les rayons incidents [Mi sont 
normaux à la surface 2M3. 

86. Concevons dans l’espace Les sphères dont les centres sont 
en À et dont AM et Am sont les rayons, puis les cônes droits 
MVM', mVm', dont les sommets sont en V et qui touchent les 
sphères suivant les cercles respectifs MM, mm’. Il est clair que si 
le point À se meut sur la surface réfringente SAS et qu'il en- 
traine avec lui le rayon incident IMA:i et le rayon réfracté rAR, 
les sphères MDM', mdm', se mouvront en variant de rayons, en 
même temps que le sommet V des cônes MVM', mVm', variera, 
et que si le point À suit une courbe donnée sur SAS, par exemple 
l'intersection du plan normal MAN et de la surface SAS, les 
cercles MM’ et mm! seront les caractéristiques de deux surfaces 
envoloppes que nous appellerons E et e (la fig. ne les indique pas), 
dont les enveloppées respectives sont les sphères mobiles MDM’, 
mdm', ou les cônes mobiles MVM', mVm!. 

87. Cela posé, nous remarquerons que chaque enveloppée 

EYE 


244 MÉMOIRES 
sphérique ou conique MDM’,M V M, touche, en un point tel que M, 
la surface LME, ce qui donne sur cette surface une ligne de con- 
tact, qui est une ligne MM, M, M,, non indiquée sur la figure, 
passant par tous les points tels que M. Maintenant, faisons tour- 
ner le plan NAV autour de la normale AN; les enveloppes E et e 
varieront, et si on les considère comme des enveloppées, il y 
aura deux positions consécutives de E qui se couperont ou se 
toucheront suivant la ligne MM, M, M., laquelle sera une caracté- 
ristique. De mème, deux positions consécutives de e donneront 
une caractéristique analogue mm, m,m,. Or, la première de ces ca- 
ractéristiques engendrera évidemment la surface enveloppe ÈME, à 
laquelle tous les rayons incidents sont normaux, et la seconde don- 
nera une surface om, de tout point analogue à la surface ÈmE, 
et à laquelle tous les rayons réfractés seront normaux. Done, etc. 

88. Prorosirion Il. — Corollaire. I est clair que l'enveloppée 
sphérique ou conique MDM', MVM', produit deux nappes ME, 
E'M'E, dont la première seule ÈME est normale aux rayons in- 
cidents; et 1l est aisé de voir que la seconde Y'M'E" serait nor- 
male aux rayons réfléchis, tels que M'A/, si la surface SAS était 
celle d’un miroir courbe: d’où l'on voit que le théorème du n° 85 
s'applique au cas de la réflexion comme à celui de la réfraction!. 

89. Prorosrrion II. — Corollaire. I suit de là que les rayons 
réfléchis ou réfractés par une surface S étant normaux à une sur- 
face È, sont soumis à la loi des normales de cette surface, loi 
d'où résultent les deux nappes de chaque surface des centres de 
courbure. Il faut en conclure : 

1° Que les rayons émanés d'un point et réfléchis ou réfractés 
par une surface forment deux systèmes de surfaces développables 
dont les arêtes de rebroussement composent deux nappes de caus- 
tique touchées lune et l'autre par tous ces rayons ; 


* Ce corollaire n’est autre chose que la proposition démontrée par M. Ch. Dupin 
dans ses Développements de géométrie, L. I, p.194; on voit ici que c’est une simple 
La démonstration que nous don- 


conséquence d'une proposition plus générale. 
nons de cette proposition nous a été suggérée par le travail même de M. Dupin. 


SUR LA VISION. 245 
2° Que les développables d'un système rencontrent normale- 
ment celles de autre système ; 

3° Que la surface réfléchissante ou réfringente S est coupée 
par les développables d’un système suivant une suite de lignes 
telles que deux points consécutifs de ces lignes donnent des rayons 
réfléchis ou réfractés qui se rencontrent. Ces lignes, comme nous 
l'avons dit ailleurs [279], sont ce qu'on nomme les lignes de ré- 
Jtexion ou de réfraction. 

90. Prorosirion IV. — Corollaire. Supposons que les rayons 
émanent d'un point R et qu'ils soient réfléchis ou réfractés par 
une surface S,; ils seront, avant de rencontrer cette surface, nor- 
maux à toutes les sphères dont le centre sera en R: donc les rayons 
réfractés, comme Malus l’a prouvé !, seront soumis à la loi des nor- 
males d’une surface courbe; donc ils seront normaux à une autre 
surface, et conséquemment à une série d’autres surfaces, concen- 
triques à la première?. 

Si ces rayons réfléchis ou réfractés rencontrent une autre sur- 
face réfléchissante ou réfringente S,, ils seront de nouveau brisés 
et encore soumis à la loi des normales; ce qui résulte aussi des 
publications de Malus et de M. Cauchy 5. 

Et s'ils sont de nouveau brisés par d’autres surfaces S,,S,....5,, 
réfléchissantes où réfringentes, entremêlées comme onle voudra, 
la loi de Malus se conservera toujours. C’est ce que M. Dupin a 
démontré, pour le cas de la réfraction, par des considérations 
relatives aux déblais et aux remblais#, et, pour le cas de la ré- 
flexion, comme on l'a vu plus haut (note du n° 88), par des con- 
sidérations purement géométriques. 


! Voyez, dans le VII volume du Journal de l'École polytechnique, les pages 1 et 84 
des deux beaux mémoires qu’il a publiés. 

* Ces surfaces ayant les mêmes centres de courbure, nous les appelons des sur- 
faces concentriques. (Voy. ci-dessus, p- 242, la note du n° 85.) 

* Malus avait démontré que les surfaces développables qui se croisent suivant 
chaque rayon étaient rectangulaires après la premiére réfraction ; M. Cauchy a étendu 
à la seconde réfraction la loi démontrée pour la première [355 bis]. 

* Applications de géométrie, p. 191. 


216 MÉMOIRES 


Le théorème du n° 85, dû aux beaux travaux de trois de nos 
grands géomètres, est donc établi, dans ce qui précède, de la ma- 
mière la plus élémentaire, la plus complète et la plus générale. II 
va nous conduire à deux autres théorèmes très-intéressants pour 
la vision. 

91. Prorosrrion V. — Lemme. Une surface réfringente quel- 
conque SAS (fig. 19) est caractérisée par rapport aux surfaces 
ÈME, como, auxquelles sont respectivement normaux les rayons 
incidents et les rayons réfractés, par la propriété que si lon 
abaisse d’un point À, pris à volonté sur SAS, des normales AM, 
Am, aux deux surfaces 2ME, omo, ces normales sont entre elles 
dans le rapport / du smus d'incidence au sinus de réfraction. 

D’après ce qu'on a vu précédemment, les trois droites VA, VM 
et Vm, sont perpendiculaires à AN, AM et Am; donc on a 
AVM— MAN, AVm— mAN : c'est-à-dire que les angles AVM, 
AVm, sont égaux aux angles d'incidence et de réfraction. Mais 
AM et Am sont les sinus de ces angles dans le cercle dont le 
rayon est VA : donc, etc. 

Il est aisé de voir que cette propriété est caractéristique, car 
elle peut servir à trouver la surface SAS, étant donné les deux 
surfaces EME, «mo, comme on va le démontrer dans la propo- 
sition qui suit. | 

992. Proposirion VI. — T'héoréme. Etant donné deux surfaces 
2ME, Z'M'E' (fig. 0), on peut toujours trouver une surface 
réfringente SGPS', passant par un point P et agissant avec une 
valeur quelconque { du rapport des smus d'incidence et de ré- 
fraction, telle que les rayons incidents étant normaux à la surface 
ÈME, les rayons réfractés soient normaux à la surface Z'M'X'1. 

Abaissons, du point P, les normales PM et PM sur les sur- 
faces données EME, Z'M'Z", et prenons sur PM’ une quantité Pm, 
telle que le rapport de PM à Pm soit égal à /; puis, concevons 
qu'on porte sur chacune des normales de la surface Z'M'Z' une 


® La figure ne donne ici que des idées tres-restreintes ; 1l faut concevoir dans 
l'espace les grandeurs indiquées. 


SUR LA VISION. 247 


même longueur M’ : il est clair que toutes les extrémités m de 
ces normales donneront une nouvelle surface om, qui pourra 
être substituée à la surface donnée Z'M'X': car les droites nor- 
males à l’une seront normales à l’autre. 

Cela posé, pi be toutes les normales de la surface como 
d'une quantité £ — mn, et diminuons toutes celles de la surface 
ÈME d'une quantité ! X k = MN; il est clair que les extrémités 
des nouvelles normales donneront deux nouvelles surfaces Gnh, 
GNH, qui se couperont suivant une ligne passant par le point G, 
ligne dont tous les points seront éloignés d’une même quantité 
de la surface como, et d’une même quantité L X k de la surface 
EME. Si donc on fait varier k, depuis + œ jusqu'à — , les 
surfaces Gnh, GNH, varieront, leur ligne d’intersection passant 
par le point G sera une courbe mobile dans l’espace, et la surface 
SGPS’, engendrée par cette courbe, sera une optoïde composée 
(4), jouissant de la propriété d'avoir tous ses points éloignés des 
deux surfaces omo,-2MÈ, de deux distances dont le rapport 
sera égal à celui des smus d’mcidence et de réfraction. Donc, la 
surface ainsi obtenue SGPS’ réfractera les rayons incidents, nor- 
maux à 2MÈY, suivant des normales à la surface como ou à la sur- 
face donnée Z/M'X1. 

93. Prorosrrion-VIL. — Corollaire, Étant donné dans l'espace 
deux ponts Ret F, l'un R d'où émanent des rayons homo- 
gènes, l’autre F, qui doit servir de foyer, et ces deux points étant 
séparés par des surfaces réfringentes quelconques S,, S,, S.,..…. 
Sr, auxquelles correspondent des valeurs L, 1, L.... 1, du rap- 
port des sinus d'incidence et de réfraction, on peut toujours faire 
passer une de ces surfaces, Sy par exemple, par un point donné, 
et trouver pour cette surface une figure telle que les rayons éma- 
nés du point R soient, en définitive, réfractés au foyer F. 

En effet, les rayons émanés, du point À, en sortant de la 

* Il est aisé de voir que si les courbes EME, Z'M'Y', qui représentent les sur- 


faces données, sont des cercles, la courbe SGPS”. qui représente l'optoide com- 
posée demandée, sera une optoïde simple (3). 


248 MÉMOIRES 


surface Sy_,, seront normaux à une suite de surfaces concen- 
triques; parmi les surfaces de cette suite prenons-en une quel- 
conque, telle que ZME (fig. 20); imagmons que le point F, qui 
n'est pas sur la figure, devienne un point rayonnant, et que ses 
rayons soient réfractés par les surfaces SuSre. . SH lavec 
des valeurs du rapport des smus d’mcidence et de réfraction égales à 


1 1 1 


ne : les rayons arriveront à la surface Sy, normale- 
OT NORC TEL ù 


ment à une autre suite de surfaces concentriques, parmi lesquelles 
on pourra en prendre une quelconque telle que Z'M'Y’ (fig. 20); 
donc, la question de trouver la surface cherchée sera celle dont 
la solution vient d’être indiquée. Donc, etc. 


CHAPITRE IT. 


DE LA VISION, CONSIDÉRÉE DANS SES RAPPORTS 
AVEC LES DEUX DERNIÈRES DES PROPOSITIONS PRÉCÉDENTES, 
ET CONSIDÉRÉE DANS SA PERFECTION. 

94. I résulte du corollaire qui termme le chapitre premier 
que si parmi les surfaces réfringentes SSSR S duécristallin 
et du corps vitré, lune S 4 de ces surfaces se modifait convena- 
blement, un point rayonnant situé sur l'axe optique, et envoyant 
dans cet organe des rayons homogènes, aurait toujours un point 
unique pour image sur la rétine. Mais il faudrait pour cela que 
la surface Sy subit, par rapport aux autres, de certaines défor- 
mations, et c'est ce qu'il est difficile d'admettre. 

95. Par le même corollaire, on voit que si, au lieu d'attribuer 
ces déformations à l’une des surfaces du cristallin ou du corps vitré, 
on les attribue à la surface extérieure de l'œil, la condition d’un 
foyer unique sera satisfaite. Or, ici l'anatomie vient puissamment à 
notre secours pour montrer que la cornée remplit réellement le 
rôle que nous venons d'indiquer. En ellet, cette membrane, en 
ce qui concerne la forme qu'elle se trouve dans la nécessité de 
prendre, est soumise à un grand nombre de forces, savoir : 


SUR LA VISION. 249 

Premièrement, les actions des fibres des quatre muscles droits, 
fibres qui sont distribuées au pourtour de la cornée et qui agis- 
sent dans les plans tangents au globe. Et nous ferons remarquer, 
en passant, que ces actions sont jusqu'à un certain point indé- 
pendantes de l'action générale de chaque muscle pour tourner le 
globe dans une direction donnée ou pour l'allonger. 

Secondement, les actions des cordons rayonnants de l'iris, les- 
quelles actions sont aussi distribuées au pourtour de la cornée, 
mais comprises, comme forces, dans le plan de l'iris. 

Troisièmement, les actions des cordons circulaires iriens. 

Quatrièmement, les actions des fibres des muscles obliques , 
lesquelles, comme dans le cas des muscles droits, sont jusqu’à un 
certam point indépendantes de l’action générale des obliques. 

Cinquièmement, les résistances qu'opposent aux déformations 
les différentes parties de la cornée et de la sclérotique, d'après 
les épaisseurs diverses que présentent ces membranes dans leur 
périphérie. 

Sixièmement, les résistances de même sorte produites par la 
conjonctive, qui adhère à la cornée, et dont la rigidité, en dehors 
du segment qui leur est commun, ne peut être sans influence sur 
les variations de forme du devant de l'œil. 

Septièmement, les actions de l'enveloppe appelée fascia, la- 
quelle, à partir du plan de l'iris, enferme la partie postérieure du 
globe, est traversée par tous les muscles, leur est soudée, et pro- 
duit entre eux et le pourtour de la cornée une certaine solidarité 
de mouvements. 

Huitièmement, l’afflux plus où moins grand du sang dans l'œil’, 
ce qui, en augmentant où diminuant la pression intérieure, tend 
à rapprocher ou à éloigner le globe de la forme sphérique, et 
fournit en chaque point de sa surface une action nouvelle, qui 
change les rapports de toutes les autres actions, et qu'on sent en 
soi pendant la durée des observations que l’on fait avec soin(81). 

! C'est cette cause probablement qui donne aux yeux les différents degrés de 
brillant qu’ils peuvent présenter chez un même individu. 


SAVANTS ÉTRANGERS. —- XII. 32 


250 MÉMOIRES 


96. Ces causes, exercées sur un globe élastique peu consistant, 
sont certainement fort agissantes. On les connaissait toutes; mais, 
pour les rapprocher et pour faire apprécier leur commun con- 
cours à la question de donner à la cornée des figures qui, à chaque 
instant, convinssent à sa fonction, il était nécessaire, sans doute, 
de connaître le théorème du n° 92. 

Ce théorème important nous montre, en cela et de nouveau, 
combien la géométrie peut porter de lumière sur la physiologie 
de l'œil. Au surplus, les causes que nous venons d’énumérer ne 
sont pas, comme on le verra plus loin (104), les seules qui con- 
courent à la modification des formes de la cornée. 

97. Si ces causes, pourra-on nous dire, ont un résultat si 
puissant, ne devrait-on pas en conclure que la figure qu’elles don- 
nent à la cornée, dans les différents cas de vision, suffit à l’expli- 
cation de tous les phénomènes? Non. En effet, si l’on suppose le 
corps vitré homogène, lirisation des images subsiste, à moins 
qu'on n'admette avec d'Alembert que les couleurs gênantes ne se 
neutralisent [23/4], hypothèse qui ne soutient quelque examen 
que dans le cas de la vision du blanc, et qui a contre elle, dans 
tous les cas, laffaiblissement d'intensité de l’image : or, c'est un 
vice grave; car, l'œil étant pourvu d’un appareil concentrateur [687], 
il n’est pas raisonnable de supposer que la vision nécessite une 
déconcentration. 

98. D'un autre côté, on remarquera que si le corps vitré était 
homogène, les déformations de la cornée, comme on l’a vu n° 423 
de la Théorie de l'œil, ne pourraient pas donner des différences 
de rayon de courbure suflisamment grandes, en sorte qu'il fau- 
drait toujours un fort allongement de l'œil pour bien juger des 
objets rapprochés, ce qui, en éloignant le globe de sa forme presque 
sphérique, gènerait et même empêcherait ses mouvements dans 
l'orbite, lesquels ont besoin d’être libres et faciles, parce qu'ils 
ont une amplitude considérable. 

D'ailleurs, beaucoup d’autres faits établissent la non-homogé- 
néité du corps vitré [800-803 |. 


SUR LA VISION. 251 


99. Tout cela fait voir que le mécanisme de l'œil est très-compli- 
qué:et il ne faut pas en être surpris, car la création, comme ses 
œuvres le prouvent, abonde en moyens qu'elle a su parfaitement 
grouper, et il est tout naturel qu'elle les ait accumulés dans la dis- 
position de la vue, afin de donner à cet organe toute la perfec- 
ton possible. Ainsi, elle savait, ce que nous seul savons encore 
en écrivant ces lignes, qu'une surface convenablement déterminée, 
entre plusieurs qui brisent les rayons, suffit pour les amener à un 
foyer unique (93). Comment n’aurait-elle pas appliqué à l'œil une 
propriétél qui convient si éminemment à sa perfection? 

100. D'après ce qui précède, et d’après ce que nous avons 
exposé dans les mémoires précédents, admettons: 

1° Que le corps vitré soit composé de couches, afin que l'aber- 
ration de réfrangibilité n'ait aucun effet d'irisation sensiblement 
nuisible à la vision [688]; 

2° Que, par cette même composition du corps vitré, l'œil n'ait 
pas besoin d’allongements considérables, qui, en passant de la 
perception d’un objet éloigné à celle d’un objet rapproché, lui 
donneraient une forme susceptible d'empêcher ses mouvements 
dans l'orbite, ou, tout au moins, de les gêner; 

3° Que les surfaces réfringentes du globe soient centrées sur 
des axes différents. 

4° Que, le globe étant élastique et peu consistant, il s’'infle- 
chisse sous l'effort des muscles quand l'axe optique se dirige à 
gauche, à droite, en haut ou en bas, et que la convexité du poly- 
gone des axes soit en conséquence modifiée, quelquefois même 
portée dans un plan nouveau, mais tout cela entre des limites 
extrêmement resserrées ; 

5° Que, par les mêmes changements de direction de l'axe op- 
tique, le cristallin, organe qui présente aussi beaucoup de mol- 
lesse, notamment dans l'homme, serré d’un côté et se portant 
vers le côté opposé, s'aplatisse du côté interne et se renfle du 

* On verra dans un des mémoires suivants que cette propriété concilie, jusqu’à 
un certain point, les idées de M. Sturm et les nôtres. 

32. 


259 MÉMOIRES 

côté externe, de façon à recevoir la forme observée chez le bœuf, 
le cheval, etc. (62 et 63), forme qui doit se retrouver, comme 
résultat d’une loi générale, tout au moins dans certains cas de 
vision où il est nécessaire que cette loi ait des effets très-sensibles; 

Il y aura mathématiquement trois moyens d'expliquer une 
vision excellente dans le sens de l'axe optique. 

101. En premier lieu, toutes les surfaces réfringentes, les unes 
convexes, les autres concaves, les premières dans toute leur éten- 
due, les dernières pour une petite partie seulement, seraient des 
optoïdes simples, à quelque distance que fût le point rayonnant 
(83). 

En second lieu, il n'y aurait d'optoides simples, avec les restric- 
tions qui viennent d’être indiquées, que les surfaces réfringentes 
correspondantes à une seule distance du point rayonnant, l'infini 
par exemple, et pour les autres éloignements de ce point, la forme 
d'optoide serait plus ou moins altérée; mais la cornée, avec sa 
puissance corrective, suppléerait au défaut d'optoïdalité rigou- 
reuse. 

En troisième lieu, les surfaces réfringentes, dans aucun cas, 
ne seraient des optoïdes simples, et toujours la figure d’optoïde 
composée prise par la cornée préviendrait, comme puissance cor- 
rective, Vaberration de courbure, de manière que l'image eût 
toute l'intensité correspondante à la réunion de la totalité des 
rayons admis par la pupille. 

102. Ces trois solutions, en ce qui concerne la vision ordinaire 
(celle d’un point qui envoie sa lumière directement dans œil au 
travers d’une masse d'air), sont des solutions équivalentes; mais 
au point de vue général de l'œil, considéré dans toutes ses fonc- 
tions et dans ses états divers de maladie ou d'infirmité, la première 
nous semble se recommander ici comme la meilleure. 

103. En effet, pour la vision ordinaire, cette première solu- 
tion laisse en réserve la puissance corrective de la cornée, de sorte 
que cette puissance tout entière reste libre pour s'employer à des 
cas accidentels de vision. Ainsi, l'œil pouvant avoir-quelqu'une de 


SUR LA VISION. 253 


ses parties disproportionnée à l'ensemble, soit en volume, en 
force, en densité, ou bien cette partie pouvant être atteinte d’une 
lésion permanente ou d’une affection passagère, ou bien l'objet 
pouvant être vu au travers d'une loupe, d’une lunette, d'un mi- 
croscope, d’un télescope, ou bien, enfin, par le moyen de rayons 
réfléchis ou réfractés, et la cornée, par la puissance de ses défor- 
mations, notamment dans le cas très-remarquable des images ré- 
fléchies et réfractées , lequel cas sera examiné chapitre HT, la cor- 
née, disons-nous, remédiera aux défauts que, sans cette puissance, 
et dans ces divers cas, présenterait la vision. 

Les deux dernières solutions, au contraire, ne laissant pas dis- 
ponible une aussi grande puissance corrective de la cornée, l'œil 
dans ses déformations, et dans les cas exceptionnels que nous ve- 
nons de mentionner, fait plus promptement défaut au besoin d'une 
vision excellente, même dans des cas de légère maladie, de légère 
infirmité, etc. 

104. Maintenant on remarquera, d'après ce que nous avons 
admis au n° 100 que les causes qui influent sur les formes que 
prend la cornée sont plus nombreuses que nous ne l'avons supposé 
au n° 95, et qu'il faut ajouter à ces causes: 

Premièrement, le plus ou moins de convexité du polygone des 
axes, car cette convexité varie suivant le degré de pression exer- 
cée par les deux obliques sur le globe, et les seules conditions 
auxquelles ce polygone soit assujetti, c'est que l'axe optique dirigé 
sur le point vu, soit un de ses côtés, et que ses autres côtés aient 
les directions les plus convenables pour la vision; 

Secondement, les formes des surfaces du cristallin, qui, plus 
ou moins pressé en dedans par ces mêmes muscles obliques, varie 
nécessairement de figure ; 

Troisièmement, les formes des surfaces réfringentes du corps 
vitrée, formes qui, dans les mêmes circonstances, varient aussi ; 

Quatriëèmement, l'organisme de la cornée par lames [29] dont 
les fibres ont de certaines dispositions: 

Ce qui fait, avec les causes énumérées au n° 99, douze groupes 


254 MÉMOIRES 

de forces diverses agissant à chaque instant sur la forme de la mem- 
brane extérieure de l'œil, lesquelles forces, par une sorte d’équi- 
libre variable entre elles, déterminent continuellement cette forme. 

105. Passons à des objections qui peut-être nous seront faites, 
etimagimons que lon nous dise : « Tout cela estadmissible en thèse 
générale; mais il faut prouver qu’on n’arriverait pas, pour le de- 
vant de la cornée, à une surface tout autre que celle dont lins- 
pection nous donne l'idée, par exemple, à une surface presque 
tangente à laxe optique, ou qui serait beaucoup en avant du 
globe oculaire, où qui aurait des inflexions que l'œil ne presente 
pas. » La réponse est facile. 

En premier lieu, on sait par le théorème du n° 92 que la sur- 
face cherchée peut être menée par un point pris à volonté : donc 
on peut la faire passer par un point de la cornée tel que le som- 
met de cette membrane; ce qui déjà montre qu'il ny a dans la 
distance nécessaire absolument rien qui puisse répugner. 

106. On remarquera, en second lieu, que si les axes étaient 
donnés avec les sommets des surfaces, avec leurs écartements, 
avec les valeurs de L,, L,, l,, etc., on pourrait caiculer les surfaces 
optoïdales qui satisferaient mathématiquement à la question, et 
que, d'après le chapitre I du mémoire précédent, la surface anté- 
rieure de la cornée serait engendrée par une optoïde tout à fait 
admissible. Or, si ce ne sont pas exactement des optoïdes simples 
qui existent dans le globe par l'effet des forces en équilibre qui 
le sollicitent, ce sont du moins des surfaces resserrées ou évasées 
dans les sens convenables, et l'on peut en conclure que la cornée. 
qui n'a besom de subvenir que pour faire en quelque sorte l'ap- 
point de conditions déjà presque remplies, différera très-peu, dans 
sa surface extérieure, d’une optoïde simple qui s'accorderait par- 
faitement avec le sentiment que nous avons de l'œil. 

107. Et comme la cornée présente deux surfaces, les change- 
ments de lune entraînent nécessairement des changements de 
l'autre; d'où 1l suit que, si la densité de cette membrane diffère 
de celle de l'humeur aqueuse, l'appoint dont nous venons de par- 


SUR LA VISION. 255 


ler se fera au moyen de deux surfaces, liées entre elles par des 
épaisseurs et des degrés de rigidité variables et en rapport avec 
les besoins de l'œil, au lieu de se faire par le moyen d'une seule 
surface. Or, il est présumable que la solution, avec deux surfaces, 
convenablement dépendantes lune de l’autre, a l'avantage d’être 
plus facile encore que si une seulement de ces deux surfaces était 
disponible. 

108. On voit donc que, dans ces doctrines, tout s’enchaine 
étonnamment bien; et 1l nous semble qu’elles jettent une lumière 
utile sur la destination des muscles obliques. Cette destination 
était considérée comme fort obscure, et on était loin de penser 
que leur objet principal dût être celui d'agir comme de larges 
mains à doigts éventaillés (80), pressant l'œil contre la partie in- 
terne de l'orbite, et graduant les pressions sur chaque point, de 
façon que le polygone des axes devienne tel que les deux surfaces 
de la cornée amènent l'image de la rétine à ne présenter aucune 
diffusion sensible. 

109. Aurions-nous quelques faits propres à justifier ces théo- 
ries? Il est clair que, dans une matière si nouvelle, la physiologie 
ne doit pas nous en fournir beaucoup; nous en présenterons tou- 
tefois d'assez nombreux dans la suite, et nous allons, dès à pré- 
sent, en indiquer plusieurs, dont trois, qui nous occuperont les 
derniers, sont relatifs à des affections que nous avons éprouvées. 

110. On sait que, si l'on se presse l'œil avec le bout du doigt, 
la vision ne passe d’un objet à un autre, quand la pression a ac- 
quis un certain degré, qu'avec beaucoup de difficulté. Or, si le 
globe, et notamment la cornée, doivent être ajustés d’une cer- 
taine manière pour donner à l'objet vu toute la netteté possible, 
la pression du doigt, dès qu’elle se fait sentir, oblige la cornée de 
modifier un peu plus fortement sa figure, ce qui, tant que la mo- 
dification nécessaire n'excède pas certaines limites, s'opère sans 
gêner la vision. Mais si la pression continue d'augmenter, les 
forces qui produisent les déformations de la cornée deviennent 
insuffisantes, et les efforts qu'on fait, instinctivement, nous causent 


256 MÉMOIRES 

de la souffrance, comme si la sclérotique, exposée en quelque 
sorte à des déchirements, se refusait aux mouvements que la cor- 
née tend à lui imposer pour s'accommoder elle-même aux besoins 
de la vision. 

111. Voici le second fait. Il y a six ou sept ans, nous avons 
eu sur le blanc de Pœil droit, tout auprès de Piris, un petit abcès 
qu'il a fallu brûler par de nombreux attouchements de pierre in- 
fernale, ce qui nous a laissé contre et en dehors de la cornée, sur 
la conjonctive, dans l'angle externe du globe, une petite excrois- 
sance de deux à trois millimètres de ‘longueur horizontale et 
d'environ deux de hauteur. Cette excroissance altérait un peu 
la figure de Piris; et nos deux yeux, qui jusque-là ne nous avaient 
donné que des sensations pareilles, eurent des actions différentes, 
le droit donnant au contour des objets une diffusion très-notable. 
Cependant, cette diffusion nous permettait parfaitement de lire 
avec cet œil; elle n’était pas sensible quand les deux yeux agis- 
saient, et elle nous aurait permis de croire que notre œil droit 
était excellent, si le gauche n'avait pas été d’une bonté supérieure. 
Or, il nous semble qu'il faut attribuer le défaut dont il s'agit à ce 
que la conjonctive et la cornée, auprès de la sclérotique, ayant 
perdu leur souplesse, les proportions des forces qui sollicitent cette 
dernière membrane avaient changé, ce qui lui ôtait la possibilité 
de prendre les formes que nécessitait unewvision normale. 

112. La saillie de lexcroissance dont il s'agit a diminué peu à 
peu. Elle est même devenue presque insensible; mais nous avons 
eu, en 1844 et1845, de longues et fortes inflammations au mème 
œil, et, depuis leur guérison, la cornée a toujours présenté à son 
bord extérieur un cordon opaque et blanchätre dont l'intensité 
de couleur diminue en approchant du centre et qui commence à 
dispar aître, qui même a disparu dans les parties qui, s'étant épais- 
sies Les dernières, étaient apparemment moins compromises. Cepen- 
dant, la vision de notre œil droit est encore défectueuse; nous 
voyons les objets comme au travers d’une gaze et avec un certain 
sentiment de gêne, A la chasse, par exemple, nous jugions parfaite- 


SUR LA VISION. 257 


ment de la remise des perdrix aux plus grandes distances, et 
quoique, maintenant encore, peu de personnes en jugent mieux 
que nous, il est certain que notre vue, dans ce cas, a beau- 
coup perdu. N’est-il pas présumable, d’après cela, qu'après la dis- 
parition de l'excroissance, la cornée a contracté du côté externe 
une certaine roideur, ce qui produit un effet analogue à celui que 
produisait l’excroissance, de sorte que cette membrane, en ce qui 
concerne ses changements de forme, ne peut pas recouvrer les 
moyens de remplir normalement ses fonctions? 

113. Le quatrième fait se rattache au précédent. Il consiste en 
ce que nos besicles, à verres convexes du n° 15, nous causent 
une fatigue qui bientôt nous interdirait le travail, si nous ne nous 
appliquions pas avec un soin extrême à maintenir l'accomplisse- 
ment des conditions suivantes : 1° que les centres des verres aient 
un écartement bien convenable; 2° que les branches soient cour- 
bées outre mesure, si l’on peut parler ainsi, afin que les axes 
optiques tombent normalement sur les verres; 3° que l’objet con- 
sidéré ne soit jamais sensiblement éloigné de la juste portée de 
ces mêmes verres. Or, il est clair, premièrement, que si ces con- 
ditions sont enfreintes, c'est la cornée qui doit, par des déforma- 
tions plus fortes, pourvoir à l'appoint (106) qu'une bonne vision 
exige; et, secondement, que ces déformations deviennent tout 
naturellement fatigantes, et même douloureuses, quand elles ex- 
cèdent un certain maximum. Ainsi, le défaut de souplesse de notre 
cornée explique le quatrième fait. 

114. On doit présumer, d’après ces faits, que toutes les lésions 
des organes musculaires et autres qui environnent la cornée, et 
celles de la cornée elle-même, produisent des désordres analo- 
gues à ceux que nous venons de citer. 


SAVANTS ÉTRANGERS. — XII: 33 


258 MÉMOIRES 


CHAPITRE II. 


COMPLÉMENT DE LA THÉORIE DES IMAGES RÉFLÉCHIES ET RÉFRACTÉES. 


115. La question des images réfléchies et réfractées, ainsi 
que nous l'avons dit au n° 292 de la Théorie de l'œil, est une 
bonne fortune pour la science, en ce que, la vision de ces images 
étant produite par des faisceaux de rayons tout à fait en dehors de 
la loi des rayons émis par un point ordinaire, elle permet d’inter- 
roger l'œil sur des circonstances exceptionnelles propres à dévoiler 
son mécanisme. Nous ne savions pas, lorsque nous nous occupions 
des objets vus par réflexion et par réfraction, il y a plus de trente 
ans, que nos recherches s’appliqueraient aussi positivement qu'on 
va le voir à la justification des idées émises dans le chapitre pré- 
cédent; mais, comme on le voit, nous étions persuadé que les 
images en question devaient être, en quelque sorte, une pierre 
de touche pour apprécier la bonté des systèmes relatifs à l'organe 
de la vue. Aussi, avons-nous consacré un livre tout entier, le livre IV 
de la Théorie de l'œil, à l'examen de ces images. 

Ce livre, toutefois, laissait à résoudre une difhiculté très- 
grande que nous n'avions pas expliquée, à beaucoup près, d’une 
manière satisfaisante [340]. Les faits géométriques déjà établis 
dans ce mémoire vont, ce nous semble, la lever complétement. 

116. Prenons les choses où elles en sont à la fin du livre IV, et 
occupons-nous tout de suite des objets submergés dans leau 
et vus par réfraction, dans le cas où le globe oculaire et l'objet 
sont rapprochés. 

Nous avons établi [337] qu'un point quelconque de l'objet en- 
voie dans l'œil des rayons qui, à cause de la réfraction, arrivent 
sur la comée PRQ (fig. 23) comme s'ils émanaient d’une petite 
droite verticale mn [330] située dans l'air, chacun des points v 
de cette droite envoyant une lame développable rvt de rayons. 
On sait d’ailleurs que l'étendue angulaire de cette lame est à peu 


SUR LA VISION. 259 
près à son maximum pour le point v, correspondant à l'axe optique : 
qu'elle diminue en approchant des points extrêmes m et n, et 
qu’elle se réduit, pour le premier de ces points, à un seul rayon, 
de couleur rouge, et pour le second , aussi à un seul rayon, d'une 
couleur violette. 

Nous donnerons à cette petite droite mn le nom d’aigrette. 

117. Cela posé, concevons qu'un spectateur placé, par exemple, 
dans une baignoire, considère un bouquet submergé, son œil 
étant aussi près que possible de l'eau, l'axe optique étant incliné 
de 35 degrés avec l'horizontale, le bouquet se trouvant éloigné de 
25 centimètres, et faisons cette hypothèse, dont il va falloir cons- 
tater l'exactitude, que l'œil soit exactement monté comme sil 
s'agissait de la vision du même objet placé dans Pair. 

Il est démontré que pour lobjet submergé la rétine, au lieu 
de recevoir l’image du bouquet, recevrait une autre image , dans 
laquelle, au lieu de chaque point, se trouverait l'image d’une 
aigrette. De plus, il est aisé de voir par le calcul [317] que si 
l’on suppose l'ouverture de la pupille seulement de 3 millimètres, 
les aigrettes, dans le cas que nous examinons, auront chacune une 
longueur de 2"%00, environ. D'où il suit que le bouquet en ques- 
tion, placé dans l’eau, et peint au moyen d’aigrettes parallèles de 
cette longueur, serait bien loin d'être vu nettement. 

118. Or, l'expérience dément ce résultat : donc l'œil ne reste 
pas monté comme il le serait pour la vision d’un objet ordinaire. 
Et il faut bien remarquer que ceci est indépendant de toute théo- 
rie : car il est rigoureusement établi par la géométrie, qu’on ver- 
rait des aigrettes si l'œil était monté comme il l'est dans le cas 
d’un objet situé dans l'air, et il est prouvé, par l'expérience, qu'on 
voit l'objet nettement, et que, par conséquent, l'œil prend une 
forme qui annule les images des aigrettes, ou, autrement dit, 
qui opère de telle sorte que chaque aigrette mn soit contractée 
en un point unique v situé sur l'axe optique. 

119. D’après ce qu'on a vu dans le chapitre qui précède, cette 
conclusion, au premier abord si surprenante, n’a rien que de na- 

33 


260 MÉMOIRES 

turel, puisqu'il sufhit à la réalisation du fait en question que la 
cornée, dans sa partie MN (fig. 23), prenne une figure convenable 
et susceptible d’être construite géométriquement (93), qui renvoie 
les rayons dans les mêmes directions que si l’objet était dans l'air. 
Mais suivons notre sujet, afin de bien voir comment se résolvent 
toutes les difficultés secondaires qu'il soulève. 

120. Nous nous demanderons, en premier lieu, quel est le 
changement de forme qui doit s'opérer dans l'œil. La réponse est 
aisée. Supposons le spectateur debout, et ne considérons que le 
point correspondant à l'axe optique : il sera peint sur la rétine, 
avant le changement de forme, suivant une petite droite verticale. 
Concevons que le polygone des axes des surfaces réfringentes 
augmente ou diminue de convexité dans le plan vertical, c’est 
alors dans ce plan que s'opéreront les plus grands changements de 
réfraction, et dans le sens horizontal elles demeureront à peu près 
ce qu'elles étaient. Donc la petite image linéaire et verticale res- 
tera linéaire, et sera plus courte ou plus longue selon que le po- 
lygone des axes se courbera plus ou moins. Par là on comprend 
que, sil s'infléchit convenablement, l’image, au lieu d’être une 
droite, ne sera plus qu'un point. 

121. Mais comment, pourra-t-on dire, l'œil de l'observateur 
est-il amené à faire cette manœuvre, qui, toute simple à concevoir 
qu'elle est, est cependant fort compliquée? Par l'emploi, répon- 
drons-nous, de la faculté qu'il exerce continuellement : c’est celle 
de se monter comme il faut qu'il soit monté pour discerner bien 
les objets. Or, on les verrait confusément si les aigrettes ne dis- 
paraissaient pas; d'un autre côté, l'œil, en se portant sur l'objet et 
en se montant selon l'éloignement, change les proportions de ces 
aigrettes : 1l est donc averti, par les variations de leur grandeur, 
qu'elles ne sont autre chose qu'un phénomène accessoire, comme 
la confusion elle-même, quand elle provient de ce que l'œil n'est 
pas adapté aux circonstances. De plus, par la sensation perçue de 
leur amoindrissement, on a le sentiment des mouvements néces- 
saires pour qu'elles s’anéantissent. Donc, la cornée, sans sortir de 


SUR LA VISION. 261 


ses habitudes et de son jeu continuel, prend la forme qui convient 
pour rendre nette l’image de l'objet. 

122. Il est fâcheux, sans doute, qu'il y ait autant de considé- 
rations de haute géométrie mêlées à tout ceci; mais, pour le ma- 
thématicien, rien de plus décisif peut-il se présenter? Il sait que 
pour le point rayonnant S (fig. 22), placé dans une masse d’eau 
terminée au plan PQ, l'œil OO reçoit les rayons qui lui arrivent 
comme s'ils émanaient par lames coniques de la petite droite ver- 
ücale rr'; il sait qu’en vertu de cette loi, une horizontale MN se- 
rait vue comme un ruban mn; qu'une ligne inclinée TU serait 
vue comme un ruban en pointe Tv’, et qu'une ligne verticale 
serait vue sous sa véritable apparence, si l'œil conservait la figure 
qu'il a dans le cas de la vision dans l'air; 1l sait, par le fait!, que 
nous voyons toutes ces lignes sous la même apparence, quelle que 
soit leur inclinaison; il sait que, pour produire ce résultat, il suf- 
fit, après que l'œil s'est monté pour la distance, qu'il s'opère un 
infléchissement de ses axes réduisant à une déformation faible, et 
partant possible, le changement que doit éprouver la cornée : il 
conçoit donc que la difficulté de vision qui semblait invincible 
puisse disparaître entièrement. 

123. Et si le physiologiste vient au secours du géomètre; s'il 
fait voir que l'œil n’est pas un corps solide, mais un globe élas- 
tique d'une faible consistance, lequel se déforme sous une petite 
pression des doigts, et par conséquent sous la pression des muscles 
qui le sollicitent; s'il fait voir que le cristallm est suspendu de 
telle manière qu'il doit se déplacer quand l'œil s’allonge ou se 
raccourcit; s'il fait voir que les axes de la cornée et des deux faces 
du cristallin sont trois axes différents dans certains animaux (63 et 
64); que, en conséquence, le cristallin, qui s’aplatit en dedans et 
s'étend en dehors, en même temps qu'il se porte de côté, sont des 
cas particuliers d’une loi générale, d’après laquelle varient les sur- 


! Ce fait se constale avec la plus grande facilité, puisqu'il suffit, en prenant un 
bain, d'approcher les yeux de l'eau et d'examiner un papier submergé sur lequel 
soient tracées des lignes diversement inclinées. 


262 MÉMOIRES 

faces réfringentes et leurs axes, le physiologiste et le géomètre 
reconnaîtront de concert que le but et les moyens se concilient 
parfaitement dans l’organisation de l'œil, pour amener la vision 
des objets submergés, vus de près, à s’opérer d’une manière aussi 
satisfaisante que celle des objets placés dans l'air, sauf les altéra- 
tions d'intensité et de couleur qui résultent du trajet de la lu- 
mière dans le milieu réfringent. 

124. On nous dira, sans doute, que nous avons expliqué les 
choses tout autrement au n° 340 de la Théorie de l'œil. Cela est 
vrai; mais nous n'avons pas dissimulé que l'explication que nous 
donnions était difficile à admettre [341]; nous avons dit qu’elle ne 
semblait pas toutefois devoir être absolument repoussée, et que, 
bien qu’elle laissât beaucoup à désirer, elle présentait tout au moins 
l'avantage d’un exposé dans lequel se voyaient tous les éléments géo- 
métriques de la question. I peut nous être permis de dire, d’après 
cela, que nous ne présentions au n° 340 qu’un essai d'explication. 

125. Après avoir traité avec détail le cas des objets submer- 
gés, il serait superflu de nous occuper des autres cas de réfrac- 
tion ou de réflexion. Il est évident, pour les personnes qui liront 
le livre IV de la Théorie de l'œil, que ce livre et ce qui précède 
donnent l'explication complète, cherchée par Newton, d'Alembert 
et d’autres géomètres | 290], de la vision des images réfléchies et 
réfractées, lorsqu'une des deux caustiques de réflexion ou de ré- 
fraction est linéaire. 

Il ne reste donc à traiter que le cas où les caustiques sont l’une 
et l’autre non linéaires. 

126. La vision s'explique encore dans ce cas, puisque les rayons 
qui correspondent à un point rayonnant, el qui ont été réfléchis 
ou réfractés, étant soumis à la loi des normales, il sufhit que la 
cornée prenne une forme convenable pour que les rayons recus 
dans l'œil concourent en un point sur la rétine. 

127. Mais y aura-t-il toujours un point vu? Non, sans doute, 
car si les caustiques étaient placées, par exemple, en avant de 
l'œil, les rayons arriveraient en convergeant sur la cornée, ce qui 


SUR LA VISION. 263 
ne donnerait que la sensation d’une lumière vague et ne pourrait 
donner celle d’un point. 

128. Les caustiques se trouvant en arrière de la cornée, y 
aura-il toujours un point vu? C’est une question intéressante, 
mais dont l'examen serait long. Nous nous bornerons à dire qu'il 
n'y aura probablement de point vu que dans le cas où lune des 
deux caustiques serait touchée par les rayons dans un espace suf- 

_fisamment resserré pour que la cornée püût parvenir à réunir tous 
ces rayons en un même point du fond de l'œil. 

129. Sur laquelle des deux caustiques sera situé le point vu, 
sil y a un point vu? Evidemment ce devra être sur celle qui sera 
touchée dans l’espace le plus restreint par les rayons admis dans 
la pupille. 

150. Il est clair que, pour traiter à fond ces questions, il fau- 
drait examiner quelques exemples au moyen de la géométrie et 
vérifier les faits par l'expérience, ce qui exigerait des surfaces 
réfléchissantes et réfringentes de définition rigoureuse, donnant 
par elles-mêmes, ou par leur combinaison deux à deux, des caus- 
tiques non linéaires. Nous n’avons pas fait ce travail, qui pourrait 
conduire à des résultats curieux, mais qui serait maintenant d’un 
ordre très-secondaire, en ce qui concerne la théorie de Pœil. 

131. Avant de quitter cette matière, revenons encore à la vision 
des objets placés dans l’eau, et nous remarquerons que la puissance 
des infléchissements du polygone des axes est telle qu’une ligne 
droite de 2 millimètres de longueur (117), sur laquelle se croisent 
les rayons réfractés qui donnent la sensation d’un point submergé, 
a une action qui se réduit, par les déformations que causent ces 
infléchissements, à celle d’un point concentrant en lui tous les 
rayons qui touchent cette droite. On voit que c'est une puissance 
bien grande, et toutefois on ne peut guère la nier; car, nous l'avons, 
ou du moins nous croyons l'avoir très-positivement établie. 

132. Les déformations de l'œil, bien qu'elles soient faibles, 
sont donc, non-seulement très-réelles, comme nous l'avons sou- 
vent dit, notamment au n° 81, mais encore très-énergiques. 


264 MÉMOIRES 

153. Il était déjà bien clair que l'action de l'œil n'étant pas la 
même à droite et à gauche, en dessus et en dessous, il ne devait 
pas être régulier par rapport à l'axe optique; mais il devient évi- 
dent que, pour lui donner la puissance que présentent ses défor- 
mations, il fallait que les surfaces réfringentes eussent des axes 
différents, afin que le changement du polygone des axes eùt de 
grands résultats, sans que la forme du globe et la figure de la 
cornée se modifassent trop sensiblement. 

154. Autre remarque. Dans la vision des objets submergés, les 
rayons qui partent d’un point rayonnant et qui arrivent sur la cornée 
n'étant pas normaux à une sphère dont ce point soit le centre, une 
au moins des surfaces réfringentes de l'œil ne peut être de l'es- 
pèce de celles qui s'obtiennent par la révolution d'une optoïde 
du 4° degré sur son axe. Faut-il conclure de là que l'optoïde 
simple ne sert pas de type dans l’organisation de l'æil? Ce qui 
est certain, c’est que ce type n’est nullement essentiel. On doit 
mème reconnaître, contrairement aux vues énoncées du n° 719 
au n° 724 de la Théorie de l'œil, que la solution par loptoïde 
composée, avec des surfaces réfrngentes d'ailleurs mdéterminées, 
est ce qu'on peut obtenir de plus satisfaisant; car, cette solution 
laisse toute liberté de choisir ces surfaces de façon que la vision 
dans des directions inclinées sur l'axe optique soit la meilleure 
possible. C’est un objet important, sur lequel nous reviendrons. 

135. Il pourrait arriver toutefois que læil ne présentät Jamais 
de surfaces réfringentes en forme d’optoides simples, et que la 


considération de ces optoïdes fût pourtant d’une grande utilité 


quand on s'occupe de la vision, comme les He De sont 
la base des théories et des calculs astronomiques, bien qu'aucun 
astre ne décrive une section conique. Nous nous sommes déjà 
servi ainsi de la considération de loptoïde (106), et il est pos- 
sible que d’autres géomètres l'emploient à plus tard, comme nous 
l'avons employée et comme nous lemploierons encore, pour as- 


seoir les idées que nous aurons à comparer. 


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MÉMOIRE 
SUR LES EAUX DE PLUIE 


RECUEILLIES À L'OBSERVATOIRE DE PARIS, 


4 
PAR M. BARRAL. 


S I. 


HISTORIQUE DES RECHERCHES FAITES JUSQU'À CE JOUR SUR LES EAUX DE PLUIE. 


Plusieurs savants se sont occupés de recherches sur les eaux 
de pluie. 

Dans sa dissertation sur l’analyse des eaux, Bergman pose dans 
des termes que l’on peut encore accepter de nos jours le pro- 
blème que de pareilles recherches devraient, selon nous, avoir 
pour but de résoudre. «Il ne faut pas s'étonner, dit-il!, si l’eau 
qui coule à la surface de la terre n’est jamais absolument pure : 
la pluie et la neige elles-mêmes, quoique produites naturellement 
par les plus subtiles vapeurs et comme distillées d’une manière 
bien plus parfaite que dans nos laboratoires, avec quelque soin 
qu'on les recueille, se trouvent encore altérées différemment suivant 
les saisons, suivant les chmats et autres semblables accidents. » 

Personne ne révoquera en doute la vérité de ce principe; mais 

! Opuscules chimiques et physiques de M. T. Bergman, traduits par M. de Mor- 
veau, t. IT, p. 89; Dijon, 1780, in-4°. 


SAVANTS ÉTRANGERS. — XII. 34 


266 MÉMOIRE 
il n'est pas plus possible aujourd'hui que du temps de Bergman 
de dire comment les climats, les saisons ou telles autres circons- 
tances indéterminées influent sur la nature et la composition des 
matières dissoutes dans l'eau de pluie. 

Relativement aux substances que contiennent les eaux météo- 
riques, le célèbre chimiste suédois s'exprime ainsi! : 

« La neige recèle une très-petite partie de sel marin calcaire et 
donne quelques faibles indices d'acide nitreux; lorsqu'elle est ré- 
cemment fondue, elle est absolument privée d’air et d’acide aérien, 
qui existent plus ou moins abondamment dans toutes les eaux; ne 
serait-ce pas ce qui la rend nuisible aux animaux ? 

« L'eau de pluie est communément altérée par les mêmes ma- 
tières, mais à plus grande dose. Il est évident qu’elle les trouve 
suspendues dans l'atmosphère, dont elle balaye en quelque sorte 
toutes les immondices. C’est pourquoi on ne la recueille jamais 
pure; elle n’en est que très-peu chargée quand les pluies ou les 
neiges ont duré pendant plusieurs jours. » 

Ainsi du chlorure de calcium et de l'acide azotique, telles 
étaient les matières que, dans le siècle dernier, lon admettait 
exister dans les eaux de la pluie. Mais en quelles proportions se 
trouvent ces matières? Quelques tentatives ont été faites depuis 
pour résoudre cette question, ainsi que pour rechercher si d’autres 
substances ne se rencontraient pas encore dans la pluie. 

Dalton? a trouvé par l'analyse des eaux de pluie de tempête, 
tombées au mois de décembre 1822 aux environs de Manches- 
ter, c'est-à-dire à quelque distance de la mer, que ces eaux ren- 


1 
7500 


lermaient de chlorure de sodium ou 133 grammes par mètre 
cube. 


< 5 ; En FE 
Brandes* à fait régulièrement, en 1825, des recherches sur 


* Opuscules chimiques et physiques de M. T. Bergman, traduits par M. de Mor- 
veau, L. IE, p. 95; Dijon, 1780, in-4°. 

? Edinburgh Journal of scrences , t. HT, p. 176. 

* Jahrbuch der Chemie und Physik von Schweigger, t. XVIII, p. 153; et Klap- 
roth'sche Versammlunq des Apotheker-Vereins zu Herford, 8 sept: 1826. 


SUR LES EAUX DE PLUIE. 267 
les eaux de pluie tombées à Salzuflen. Ce météorologiste a eu 
pour but de déterminer qualitativement quelles étaient les diverses 
substances organiques ou minérales contenues dans chaque eau 
tombée, et ensuite de trouver quel poids leur ensemble formait 
pour chaque mois. ' 

Pour faire ses déterminations qualitatives, Brandes prenait dans 
des verres bien lavés avec de l’eau distillée sur de la potasse jus- 
qu'à ce qu'elle ne donnât plus aucun trouble avec l’azotate d’ar- 
gent, une demi-once (15 grammes environ) d’eau de pluie, et y 
ajoutait 5 gouttes de l'un @e ses réactifs toujours amenés au même 
point de concentration. Ces divers réactifs étaient au nombre de 
onze, savoir : chlorure d’or, chlorure de platine, azotate d'argent, 
sulfhydrate d’ammoniaque, oxalate d’ammoniaque, dissolution de 
potasse caustique, phosphate d'ammoniaque, azotate de baryte, 
azotate de plomb, eau de chaux, prussiate de potasse. 

Comme exemple des détails donnés par Brandes sur ses ob- 
servations faites pour chaque pluie, nous citerons ce qui con- 
cerne la pluie du 1% janvier 1825. Voici la traduction de ses 
paroles : 

«Janvier 1. Pluie de brouillard. Elle était à chaque instant 
troublée et rendue blanchâtre par des flocons grenus, et avait 
une odeur moite. Le chlorure d’or produisit une coloration#er- 
dâtre, qui disparut par la potasse caustique. Le chlorure de pla- 
tine donna un précipité blanc comme neige et d'apparence lai- 
neuse. L’azotate d'argent, après quelques heures, donna une 
coloration d’un rouge vineux très-net, et après 12 heures se mon- 
trèrent un grand nombre de pellicules qui présentaient l'aspect 
de lulva purpurea, et qui par l'agitation se changèrent en flocons 
très-déliés, après quoi la liqueur prit une teinte rosacée. Dans 
cette pluie, il fut mis en évidence, par les réactifs, une quantité 
prédominante de pyrrhine, du chlorure de sodium, beaucoup de 
sulfate de chaux et un peu de carbonate. La pluie de la nuit de 
cette journée ne fut pas trouble; elle présenta beaucoup de flocons 
très-filamenteux, ayant une odeur moite. Elle contenait moins de 

34. 


268 MÉMOIRE 


pyrrhine, plus de carbonate ét chlorhydrate de soude, et moins 
de sulfate de chaux que la précédente. » 

On comprend que des observations de cet ordre, qui n’indiquent 
que du plas où du moins dans chaque pluie, sans tenir compte de 
l'abondance de l’eau tombée, ne peuvent avoir que très-peu d’in- 
térêt. Dans tous les cas, Brandes tire de ses recherches qualita- 
tives les conclusions suivantes, qui, selon lui, caractérisent l’eau 
de pluie: k 

« Lorsque nous considérons, dit-il, l'ensemble que donnent les 
essais précédents, nous croyons que le plus souvent les eaux de 
pluie différent les unes des autres. Dans son aspect, l'eau de pluie 
est claire, transparente, ou plus ou moins troublée et rendue 
opaline par une matière organique tenue en suspension, qui pa- 
rait tantôt pulvérulente (poussière météorique), tantôt flocon- 
neuse, filamenteuse, feutrée et membraneuse. 

« Le trouble de la pluie est en général blanc, rarement rouge, 
brun, verdâtre. De temps en temps, toute la masse de l’eau pré- 
sente une coloration brunâtre et laiteuse. 

« L’odeur de l'eau de pluie n’est pas en général sensible; cepen- 
dant, de temps en temps, elle est fade, moite, désagréable, ma- 
récageuse, et, au printemps, elle devient plus souvent balsamique 
et fippelle celle des fleurs ou des prairies; plus tard, elle se rap- 
proche de celle des betteraves, des genevièvres, de matières en 
putréfaction; puis, en hiver et en automne, de celle du chlore, 
de fucus brülés et aussi d'acide prussique. 

« Sa saveur n'est pas en général sensible; cependant elle est 
fraiche, moite, marécageuse, putride, aromatique, douce, pi- 
quante, semblable à celle des amandes amères. 

« L'eau de pluie n’est presque jamais pure; elle contient des 
matières organiques et des sels. Quant à ce qui concerne la dose 
des sels, cette remarque générale suffit, à savoir que cette dose 
est plus grande en hiver et en automne et plus faible en été, que 
très-rarement les sels manquent tout à fait, de telle sorte que de 
l'eau de pluie d’une pureté absolue serait un cas extraordinaire. » 


5 


SUR LES EAUX DE PLUIE. 269 

Brandes a toutefois essayé de doser quantitativement, mois par 
mois, l'ensemble de toutes les matières organiques ou salines 
contenues dans les eaux de pluie. Pour cela il évaporait, dans une 
capsule de platine chauffée par une lampe à alcool, trente onces 
(612 grammes) du mélange de toutes les eaux tombées en un 
mois, et il pesait le résidu sec. Il a obtenu les résultats suivants : 


Poids des résidus secs pour 1 mètre cube 


Mois. (1,000,000 de parties). 
SÉCN Et RPRE E E AMONENUR E LE TEEN CP 65,5 
NC RO Ea EL: EC POULE AL TA IE CENNPAEIEE STAR Te RUES A 3, à 
NERO On ci eo ER ce PER EPONS D'AERE IS EE dd oui Ut EE 2. 
Ave PR are ver le DA ES À SHOT 1,4 
MAT NS PRE lee Mate Me le el LE Te = Va lete ee fa de 0, 8 
SUN NAME ARIANE ee IR 
Jeter nftel-tiod di er cepelieay ee depleperee 1,6 
US AE SES SAT A SAR CEE ne EEE 2, 8 
Septembre...:...:.:........................ CR | 
Octobreseemet 4h Sansasns nt a. iepreet 3, 1 
NCA do cheradeddhodorobor Ada nd:at 2,7 
Décembre: ? ne NAE EL ARR CE AUS EM ENT 379 

TOTAL secte 31, 2 
MOYENNE mensuelle............... 91 


La masse saline totale que recueillit Brandes par l’évaporisation 
de 12 fois 30 onces d'eau (7,344) ne s'élevait pas au delà de 
275 grains (505 milligrammes). Il est évident que sur une aussi 
petite quantité de matière il était difficile de faire une analyse 
quantitative bien exacte. Aussi Brandes ne la-il pas tenté, et il 
s’est contenté encore d'essais qualitatifs. Il conclut de ces essais 
que le résidu salin total provenant de toutes ses évaporations men- 
suelles contenait, en 1825, selon ses propres expressions : 

« De la résine; 

« De la pyrrhine, matière végéto-animale ; 

« Du mucus; 

« Du chlorure de magnésium; 

« Du sulfate de magnésie ; 

« Du carbonate de magnésie ; 

« Du chlorure de sodium; 


270 MÉMOIRE 


« Du sulfate de chaux; 

« Du carbonate de chaux; 

« Du carbonate de potasse; 

« De l'oxyde de fer; 

« De l'oxyde de manganèse ; 

« Des sels ammoniacaux (nitrate ?). » 

Brandes calcule ensuite que, d’après la quantité d’eau tombée 
en 1829, quantité s’élevant à 6,373 mètres cubes par hectare 
(637%",3 en hauteur), les eaux de pluie ont déversé sur Salzuflen 
16k,770 de sels divers. 

Mais ces chiffres ne sauraient, selon nous, être regardés comme 
pouvant fournir un renseignement météorologique de quelque 
valeur. En effet, aucune précaution n'était prise par Brandes pour 
retenir les sels volatils, comme par exemple les sels ammoniacaux, 
et rien ne prouve qu'il s'était arrangé de manière à éviter eflica- 
cement l'introduction de matières étrangères accidentelles dans 
les eaux qu'il évaporait à l'air libre. 

Cette critique paraîtra complétement légitime, si l'on remarque 
que Brandes n’est pas certain de l'existence du nitrate d’ammo- 
niaque etqu'il signale beaucoup de matières, telles que les oxydes de 
fer et de manganèse et le chlorure de potassium, dont la présence 
dans les eaux de pluie a été révoquée en doute par M. Liebig. 

La matière organique dont il s’agit dans le mémoire de Brandes, 
et qui est caractérisée par la propriété de donner avec l'azotate 
d'argent une coloration rouge sous l'action de la lumière, avait 
été signalée antérieurement par Zimmermann dans des recherches 
publiées par extrait à la fin de 1824 !. Zimmermann lui donna le 
nom de pyrrhine. Hermbstädt remarqua cette substance dans l’eau 
de la mer Baltique recueillie près de Doberau. Krüger observa 
que lair de la mer à Rostock donnait la même coloration aux 
sels d'argent. Brandes rapporte qu’en 1821 il eut l’occasion de 
constater que l'air de la saline de Salzuflen agissait de la même 
manière sur l’azotate d'argent très-étendu. Berzélius, qui a aussi 


! Kasiner’s Archv, t. 1, p. 257. 


SUR LES EAUX DE PLUIE. 271 


remarqué ce phénomène sur les bords de la mer, lattribue à une 
matière organique que l’eau saline abandonnerait à l’atmosphère. 
Dans le mémoire de Brandes dont nous venons de donner une 
analyse, ce chimiste pense que la matière de Zimmermann ne 
doit pas être regardée comme définie, mais que c’est un mélange 
de résine, de mucus et d’une substance végéto-animale. 

Les travaux entrepris par Zimmermann à Giessen ont été con- 
tinués par M. Liebig. Voici comment s'exprime ce savant | : 

« Depuis deux ans et demi, je m'occupe de l'analyse des eaux 
de pluie, travail qui a été occasionné par un mémoire relatif aux 
météores aqueux, de M. Zimmermann, professeur de chimie à 
Giessen et mon prédécesseur. 

«M. Zimmermann croyait avoir trouvé dans les eaux de pluie 
du manganèse, du fer, de l'acide carbonique, de la chaux, du 
chlorure de potassium et point de chlorure de sodium. 

«Le but de mes recherches était de démontrer que le chlorure 
de potassium, le fer et le manganèse n'existent pas dans l’eau de 
pluie. En deux ans, j'ai analysé 77 résidus par l'évaporation d’au- 
tant de différentes eaux de pluie, recueillies dans des vases de 
porcelaine et évaporées à une douce chaleur. Ils contenaient tous 
du muriate de soude et pas une trace de potasse; le manganèse 
et le fer manquaient également, si les eaux étaient préalablement 
filtrées. 

« Les eaux contenaient en même temps des substances orga- 
niques, que je cherchai à détruire par la chaleur. En chauffant le 
résidu obtenu par lévaporation de 10 livres d’eau d’une pluie 
d'orage, jobservai un léger fusement, et cela me suggéra aussitôt 
l'idée de rechercher lacide nitrique dans toutes les eaux de pluie. 
Parmi mes 77 échantillons d’eau, il y en avait 17 qui provenaient 
de pluies d’orages; or ces 17 contenaient tous de l'acide nitrique 
en quantités très-différentes, combiné ou à la chaux ou à l’am- 
moniaque : parmi les autres, au nombre de 60, je n’en trouvai 
que deux qui continssent des traces d'acide nitrique. 


* Annales de chimie et de physique, 2° série, t. XXXV, p. 329 (1827). 


2792 MÉMOIRE 

«Après la mort de M. Zimmermann, on m'a remis tous ses 
appareils et de plus 50 résidus d'eaux de pluie recueillies en 
1821, 1822 et 1823; parmi celles-ci, 12 contenaient de l'acide 
nitrique ou plutôt des nitrates. » 

Dans ce premier travail, M. Liebig était préoccupé du rôle 
que l'acide azotique, produit dans les orages, pouvait jouer dans 
les différents exemples de nitrification naturelle que lon connaît 
à la surface de la terre; plus tard, il a moins insisté sur ce sujet, 
et toutes ses idées se sont tournées vers la détermination de l’am- 
moniaque que les eaux de pluie pouvaient renfermer, et vers l’im- 
portance d’un pareil fait pour l’agriculture. Ainsi, dans lIntroduc- 
tion à son Traité de chimie organique, il cherche à prouver que 
l'atmosphère contient assez d’ammoniaque pour fournir à l'alimen- 
tation en azote d’un hectare de forêts, de prairies ou d’une récolte 
quelconque de blé, de betteraves, etc.; il pense que l'ammoniaque 
atmosphérique est fournie aux plantes par l’eau pluviale, et il 
ajoute : « Des expériences exécutées avec beaucoup de soin et de 
précision au laboratoire de Giessen ont mis hors de doute lexis- 
ience de l’ammoniaque dans l'eau de pluie; ce corps a échappé 
jusqu'à présent aux observations, parce que personne n'a songé à 
s’'enquérir de sa présence. L'eau de pluie qui a servi à nos expé- 
riences a été recueillie à six cents pas au sud-ouest de Giessen, 
dans un endroit d’où le vent passait sur la ville. Tout le monde 
peut s'assurer de la présence de lammoniaque dans les eaux plu- 
viales d’une manière très-simple, en évaporant presque à siccité 
de l’eau de pluie récemment tombée, après y avoir ajouté un 
peu d'acide sulfurique ou d'acide hydrochlorique. Ces acides, en 
se combinant avec l'ammoniaque, le privent de sa volatilité; le 
résidu contient alors du sel ammoniac où du sulfate d’ammo- 
niaque, que l’on reconnaît à l’aide du bichlorure de platine, et 
plus facilement encore à l'odeur pénétrante qu'il dégage lorsqu'on 
y ajoute de l'hydrate de chaux pulvérisé. 

« L'ammoniaque se rencontre également dans les eaux de neige. 

! T. I, p. cr, traduction de M. Charles Gerhardt, 1840. 


SUR LES EAUX DE PLUIE. 273 


Plusieurs livres de neige prise au mois de mars, à la surface d’une 
couche de dix pouces de hauteur environ, ont donné, par l’éva- 
poration avec l'acide hydrochlorique, un résidu de sel ammoniac 
qui, par l'addition de la chaux, dégageait beaucoup d'ammo- 
niaque; la couche de neige inférieure, qui touchait le sol, en 
contenait une proportion bien plus grande. Il est remarquable 
que l'ammoniaque contenue dans les eaux de neige et de pluie 
présente une odeur fort prononcée de sueur et d'excréments, ce 
qui dénote clairement son origine. L'eau distillée trouble toujours 
le sous-acétate de plomb, en raison du carbonate d’ammoniaque 
qu'elle renferme; ce n’est qu'en ajoutant à l’eau, avant de la dis- 
üller, de l'alun ou un acide minéral, qu'on peut l’en priver com- 
plétement. » . 

Non-seulement M. Liebig est ainsi arrivé à penser que, dans 
l'eau de pluie, l’ammoniaque Joue le rôle capital, mais il a même 
affirmé que l'acide azotique ne devait s’y trouver, au moins dans 
le centre de l'Europe, qu'en quantité insignifiante. Voici comment 
il s'exprime à cet égard dans sa Chimie appliquée à la physiologie 
végétale et à l'agriculture? : «IL est impossible de doser l'acide ni- 
trique contenu dans l'eau des pluies d'orage; deux ou trois cents 
livres -d’eau de pluie filtrée ne fournissent que quelques grains 
d'un résidu coloré, où le nitrate ne représente qu’une quantité 
fractionnaire. » Et plus loin il dit? : «On peut admettre qu’en 
Europe la quantité d'acide nitrique portée sur la terre par les 
pluies est infiniment petite, et que si l'acide nitrique produit par 
les éclairs exerce une influence favorable sur la végétation, cet 
effet ne doit pas être considéré comme provenant d’une source 
d'azote. La plupart des contrées ne reçoivent par an que 12, 
beaucoup d’entre elles que 8 pluies d'orage; de sorte qu'il est na- 
turellement impossible de découvrir la présence de l'acide nitrique 
dans les eaux de rivière et de source. » 

Telles étaient les notions un peu vagues que l’on possédait sur 

? Traduction de M. Géhardt, p. 321 (1844). 

? Ibid. p. 323. 


SAVANTS ÉTRANGERS. — XII. 35 


274 MÉMOIRE 


les matières contenues dans les eaux pluviales, lorsque, dans le 
courant de 1850, MM. Chatin et Marchand y joignirent, par des 
communications successives faites à l'Académie des sciences !, la 
révélation du fait de la présence presque constante de liode et 
même du brome. 

Au mois de mars 1851, du 12 au 19, M. Isidore Pierre, pro- 
fesseur de chimie à la Faculté des sciences de Caen, a recueilli 
une certaine quantité d’eau de pluie tombée à une distance de la 
mer évaluée de 30 à 4o kilomètres, dans le but spécial d'y re- 
chercher la dose de sel qui y serait contenue. Voici les détails 
que ce savant donne sur ses expériences : « Deux grands flacons, 
lavés et nettoyés avec le plus grand soin, dit-1l?, ont été placés 
au milieu du jardin de la maison que j'habite, de manière à être 
à l'abri des éclaboussures et de la chute des corps étrangers qui 
auraient pu dénaturer d’une manière notable les résultats que je 
voulais observer. On n’eut rien à redouter de la poussière entrai- 
née par les vents, puisque le temps est resté constamment plu- 
vieux pendant toute la durée de lexpérience. 

«Chacun de ces deux flacons étant surmonté d’un entonnoir 
de verre de 21 centimètres, neuf, bien lavé et bien nettoyé, l'on 
obtint ainsi un peu plus de 5 litres d’eau prise proportionnelle- 
ment sur toutes les averses d’eau qui tombèrent. Cette eau devait 
évidemment représenter la composition moyenne de la couche 
d'eau tombée sur le sol. 

«Cette couche, calculée d’après la quantité d’eau reçue dans 
les entonnoirs, fut de 78 millimètres pour l'espace de temps pen- 
dant lequel on a continué de la recevoir. 

« En évaporant avec soin, dans une petite capsule de porcelaine 
bien propre et pesée d'avance, 5 kilogrammes de cette eau, j'ob- 
tins un résidu pesant 123 milligrammes, soit par litre ou par 


! Le premier travail de M. Chatin est mentionné dans le compte rendu de l'Aca- 
démie des sciences, t. XXXI, p. 280; celui de M. Marchand, même volume, 
p- 499. 

? Annales agronomiques, t. 1, p. 471 (mai 1851). 


SUR LES EAUX DE PLUIE. 275 


kilogramme un résidu de 24 milligrammes 6/10 de substances 
fixes. On a trouvé à l’aide des réactifs ordinaires, dans ces 1 23 mil- 
ligrammes de résidu, 17 milligrammes 434 de chlore qui, trans- 
formés par le calcul en chlorure de sodium, représentent 28 mil- 
ligrammes 737 de cette substance, où 5 milligrammes 3/4 par 
kilogramme d’ea@!. 

« Si l'on admet, ce qui ne doit pas être éloigné de la vérité, 
que l’état de salure de cette eau représente la moyenne salure de 
l'année; si l’on admet, en outre, que la quantité d’eau qui tombe 
annuellement à Caen y forme une couche de 1 mètre, la masse 
d'eau reçue par un hectare de terre pèserait 1 million de kilo- 
grammes et contiendrait 57 kilogrammes 1/2 de chlorures, c’est- 
à-dire de quoi fournir à plus de 3 récoltes de betteraves, à plus 
de 10 récoltes d'avoine, à plus de 25 récoltes de froment, la 
quantité de chlorures que les analyses de M. Boussingault nous 
montrent comme l’un des éléments constitutifs de ces récoltes. 

«Sf, comme les expériences précédentes nous portent à le 
croire, les eaax de pluie contiennent partout ou presque partout 
des matières salines en proportion notable, nous retrouvons en- 
core, dans ce mode de restitution, un de ces moyens mystérieux 
qu'emploie si souvent la Providence pour répandre et renouveler 
au loin les principes de vie et de fécondité. La.même cause que 
nous accusons sans cesse d’entrainer peu à peu dans les fleuves, 
et de là dans la mer, une partie des matières solubles essentielles 
à la fertilité de nos champs, cette même cause les leur ramène 
périodiquement par une sorte de mouvement de circulation con- 
tinuel dont les exemples se multiplient chaque jour à nos yeux, 
à mesure que nous pénétrons plus avant dans l'étude des phéno- 
mènes naturels. 

« La détermination des principaux éléments de ce résidu offrait 
trop d'intérêt pour que je ne cherchasse pas à l’effectuer au moins 


* Les nombres que donne M. Pierre correspondent par mètre cube d'eau à 245,6 
de résidu salin et à 35,5 de chlore. 


35, 


276 MÉMOIRE 
approximativement. Cet examen m'a conduit aux résultats qui vont 


suivre : 
Milligr. 
Ubloruretdeisodinm. 17 .."81.. ao ep 22,03 
CE COR GAL SCT TIC CIE, 1,80 
Ne MT DENT PT à DIE. 1,46 
CAC. Li 0 eds craie fer MU: 22e 1,10 
SnIfate de SOUS nets seit menu Ne ® 4,94 
POtasse RE ET EN EE RECENSE RE 4,68 
CHOEUR ALER EEE 3,66 
HT a pÉS “aan don ae ed GuTibe . 322 


« Beaucoup de carbonate de chaux, qui se trouvait sans doute 
dans l’eau à l’état de bicarbonate soluble, des matières organiques 
diverses et des substances dont la nature n’a pas été déterminée. 

« Les éléments que nous venons de citer sont précisément de 
ceux dont l'analyse chimique a indiqué la présence dans la plu- 
part des eaux courantes et dans les eaux de la mer, avec la diffé- 
rence que les sels de potasse et de chaux y paraissent surtout 
proportionnellement plus abondants. La proportion totale de 
chaux s'élève à plus de 13 milligrammes, c’est-à-dire à plus de 
> milligrammes 6 par kilogramme!, et la quantité d'acide sulfu- 
rique à plus de 1 milligramme 7 par kilogramme?; en d’autres 
termes, en nous plaçant dans les conditions que nous admettions 
précédemment, 1 hectare de terre recevrait annuellement, par 
l'intermédiaire des pluies, plus de 58 kilogrammes 8 de chlorures, 
dont au moins 44 de sel marin, plus de 17 kilogrammes d'acide 
sulfurique ou plus de 33 kilogrammes de sulfates divers, plus de 
26 kilogrammes de chaux, ete. » 

Dans ses analyses, faites uniquement sur les eaux d’un seul mois, 
M. Isidore Pierre ne s’est occupé de rechercher ni lammoniaque, 
ni l'acide azotique; la méthode qu'il employait, celle de la simple 
évaporation dans une.capsule, ne permettait pas d’ailleurs d’ob- 
tenir ces deux corps, qui se volatilisent dans de pareilles con- 
ditions. 


2F,6 par mètre cube d’eau de pluie. 
* 15,7 par mètre cube. 


SUR LES EAUX DE PLUIE. 277 

Dans un mémoire récemment publié! sur l'oxydation de l'am- 
moniaque dans le corps de l'homme, M. Henry Bence Jones, chi- 
rurgien de lhôpital Saint-Georges à Londres, après avoir rapporté 
des expériences d’où il résulte qu'après l’ingestion du carbonate, 
du chlorhydrate et du tartrate d’ammoniaque, ainsi que de l’am- 
moniaque liquide et de lurée, on retrouve de l'acide azotique 
dans les urines, déclare qu’il est probable que cet acide existe en 
tout temps dans l'air de tous les lieux et joue dans la végétation 
un rôle non moins important que celui attribué à l'ammoniaque. 
M. Jones ajoute à son mémoire un appendice dont voici la tra- 
duction littérale : « Sur l'acide azotique de l'eau de pluie. Durant 
janvier, en différents jours de pluie, de l'eau pluviale a été re- 
cueillie à Londres, et de petites quantités en ont été évaporées 
avec du carbonate de potasse tout à fait pur; et Je trouvai que 
l'acide azotique y était toujours présent et pouvait être découvert 
parfaitement dans une pinte d’eau de pluie (6 dixièmes de litre 
environ) par le réactif à l'amidon. 

« De plus, dans de l'eau de pluie recueillie dans le même temps 
à Kingston dans le Surrey, à Melburgh dans le Dorsetshire à plu- 
sieurs milles de toute ville, et près de Clonakilty dans le comté 
de Cork, lorsque le vent du sud-ouest régnait, Je trouvai une quan- 
tité évidente d'acide azotique. » 

Si diverses recherches ont été effectuées pour accuser la pré- 
sence, soit de l'acide azotique, soit de lammoniaque, dans les eaux 
de pluie, il n’y en a pas encore eu de publiées relativement aux 
quantités qui peuvent s'y rencontrer. Par une communication qu'a 
bien voulu nous faire M. de Gasparin postérieurement à notre 
travail, nous savons seulement que, dans de l’eau recueillie à 
Orange par les soins de ce savant. agronome, M. Payen pour 
les eaux de l’année 1845-1846, et M. Wurtz? pour les eaux de 


. * Philosophical transactions of the Royal Society of London, for 1851, part. Il, 
p- 409. 

* Je doïs faire remarquer ici que l'analyse de M. Wurtz est postérieure à la pré- 
sentalion de mon mémoire à l'Académie. 


278 MÉMOIRE 

l'année 1850-1851, ont trouvé des quantités d'ammoniaque dont 
l'azote représente plusieurs kilogrammes tombés par chaque hec- 
tare. Ce résultat montre que la dose d'azote fourni aux plantes 
par la pluie n’est pas négligeable, et est sans doute de mème ordre 
que celle des chlorures et sulfates trouvés par M. Isidore Pierre 
dans les résultats que nous avons cités précédemment. 

De tous les détails historiques dans lesquels nous venons d’en- 
trer, il ressort bien évidemment qu'il est impossible de rien con- 
clure des travaux exécutés sur la question qui nous occupe, rela- 
tivement aux variations que les saisons ou les climats, selon les 
expressions de Bergman, peuvent amener dans les matières que 
la pluie déverse sur le sol. Il reste aussi bien des doutes à éclairer 
sur l'existence et sur la quantité de plusieurs matières qui ont été 
signalées dans la pluie. D'un autre côté, si lon peut soupçonner 
aujourd’hui, d'après les recherches effectuées, que les matériaux 
de la pluie doivent jouer un rôle dans la végétation, il reste com- 
plétement à définir leur action et à trouver pour chaque lieu la 
valeuy de l'influence exercée chaque année par ce grand météore 
sur les récoltes. L’atmosphère est sans doute un vaste laboratoire 
où des combinaisons se produisent entre les éléments gazéiformes 
qui y circulent. Les eaux de pluie doivent contenir la plus grande 
partie de ces combinaisons. 


S II. 
OBJET DE CE MÉMOIRE. 

Nous avons pensé que si lon parvenait à doser les matières 
que chaque eau de pluie ramène sur le sol après avoir en quelque 
sorte balayé l'atmosphère, on fournirait à la météorologie un élé- 
ment dont on pourrait tirer parti pour expliquer un grand nombre 
de faits. Nous avons, en conséquence, résolu de chercher si la 
chimie ne pourrait pas livrer à la science des résultats numériques 
qui viendraient prendre place à côté de ceux enregistrés aujour- 
d'hui dans un si grand nombre de localités, par l'observation du 
baromètre, du thermomètre, de l'hygromètre, de ludomètre, des 


SUR LES EAUX DE PLUIE. 279 


girouettes indiquant la direction des vents, etc. Le mémoire que 
nous soumettons à l'examen de l'Académie démontrera, nous l’es- 
pérons, par les résultats que nous a fournis l'étude chimique des 
eaux recueillies tant sur la terrasse que dans la cour de l'Obser- 
vatoire de Paris, qu'il est possible de dire avec précision, et mois 
par mois, les quantités des matières suivantes existantes dans les 
eaux météoriques : 

1° Azote, « 

2° Acide azotique, 

38 Ammoniaque , 

4° Chlore, 

5° Chaux, 

6° Magnésie, 
et toutes les autres substances que la continuation de pareils tra- 
vaux pourra faire découvrir. 

Après plusieurs tâätonnements, nous sommes arrivé à nous tra- 
cer une méthode que nous croyons propre à mener à la décou- 
verte de la vérité. Mais dans une matière aussi délicate, nous 
avons dû nous défier de nous-même: aussi ne présentons-nous 
nos premières recherches que comme un premier pas, et nous 
avons pensé que peut-être nos efforts ne sembleraient pas à l'Aca- 
démie indignes de conseils qui nous empêcheraient de nous éga- 
rer. Si les chimistes et les physiciens voulaient bien nous encou- 
rager, füt-ce même par la critique scientifique de nos recherches, 
à les poursuivre, nous nous croirions suffisamment récompensé, 

; $ UT. 
. HIT 
IMPORTANCE DU PROBLEME À RESOUDRE. 

Dans ces dernières années, on a vivement agité, parmi les chi- 
mistes et les agronomes, la question du rôle de l'atmosphère dans 
la végétation. Quelle part a l'azote de l'air? quelle part a le sol 
dans la nutrition des plantes? Est-il vrai que l'agriculteur n'a à 
s'occuper que de fournir des sels minéraux au sol, comme le sou- 
tient un célèbre chimiste allemand? Les sels ammoniacaux, au 


280 MÉMOIRE 

contraire, sont-ils le principal élément que les engrais doivent 
contenir? Si les plantes prennent de l'azote à l'atmosphère, ce 
qui n’est pas douteux pour quelques récoltes, comme l'a prouvé 
M. Boussingault, cet azote provient-il de lammoniaque contenue 
dans l'atmosphère et fournie aux végétaux par l’eau de pluie? Sur 
tous ces points, un travail du genre de celui que nous avons en- 
trepris doit jeter le plus grand jour, si du moins on en juge par 
les conséquences que l’on a déjà tirées des connaissances très- 
imparfaites acquises jusqu'à présent sur ce sujet. 

La citation de lopinion présentée par un habile chimiste, 
M. Malaguti, dans des leçons faites récémment sur la chimie agri- 
cole, donnera la mesure de la gravité de la question que nous 
soulevons. 

« Quelle est, dit M. Malaguti’, l'importance de la vapeur d’eau 
dans l'air? Elle est énorme, et peu de mots suffiront pour vous 
le prouver. 

« Si l’on évapore beaucoup d’eau de pluie, elle laissera un ré- 
sidu plus ou moins considérable. Ce résidu est en partie formé 
de poussières qui voltigent toujours dans l'air et de quelques sels 
solubles, parmi lesquels figure le sel marin; on y trouve aussi 
des sels ammoniacaux, et spécialement du nitrate d’ammoniaque, 
si l'eau examinée est de l’eau d'orage, car la foudre en sillonnant 
l'atmosphère y produit de l'acide nitrique et de lammoniaque. 
La vapeur aqueuse de l'air, en tombant sous forme de pluie, ba- 
laye l’espace et entraine avec elle des matières qui, introduites 
dans la terre, exercent une influence heureuse sur la végétation. 
En effet, personne ne peut contester aujourd’hui les bons effets 
du sel marin et des sels ammoniacaux sur les plantes; mais en 
nous plaçant au point de vue de la végétation naturelle, en dehors 
tout à fait de l'influence de Part, nous voyons dans les matières 
salines apportées par les pluies sur la terre un des éléments de 
l'existence des végétaux. 

«Il n’en est point qui ne contienne de l'azote. Ce principe est 

* Leçons de chimie agricole, p. 15 (1848). 


SUR LES EAUX DE PLUIE. 281 
aussi indispensable que le carbone, l'oxygène, l'hydrogène. Mais 
où certaines plantes trouveraient-elles de l'azote, si ce n’est, en 
partie au moins, dans les sels ammoniacaux que les eaux du ciel 
apportent sur la terre? Ce que je viens de dire de l'azote est ap- 
plicable à la soude; dans certaines cendres, on trouve constam- 
ment de la soude : la présence immanquable de cette matière 
prouve qu’elle est un élément de vie et d’existence pour les plantes 
d'où l’on a tiré ces cendres. Or il peut arriver que lanalyse la 
plus exacte ne fasse pas découvrir la moindre trace de soude dans 
le terrain où ces plantes ont végété. D'où viendra donc la soude, 
si ce n’est de l'atmosphère, où elle se trouve transportée par 
l'évaporation de la mer, sous forme de sel marin ou muriate de 
soude? | 

« La vapeur d’eau atmosphérique, qui par sa condensation se 
transforme’ en pluie, sert de véhicule pour introduire dans la terre 
_des matières nécessaires à l'existence des végétaux. » 

Beaucoup de chimistes et d'agriculteurs répondront à M. Ma- 
laguti qu'il a émis des hypothèses plutôt que des vérités hors de 
toute contestation. Mais n'est-il pas vrai que si Fon avait des chiffres 
certains démontrant qué les pluies apportent, dans tel pays, tels 
ou tels éléments en quantités connues, toute espèce de doute 
cesserait à l’instant même. Ainsi, par exemple, dans les belles 
recherches de M. Boussingault relatives aux matériaux que divers 
assolements enlèvent aux engrais ‘et à l’excédant de l'azote con- 
tenu dans les récoltes par rapport à celui fourni par les fumiers, 
un élément important eût été déterminé, si l’on avait eu l'azote 
apporté par les eaux de pluie. M. Boussingault a terminé son tra- 
vail en montrant que plusieurs hypothèses pouvaient expliquer le 
phénomène. « L’azote, a-t-il dit!, peut entrer directement dans 
l'organisme des plantes, si leurs parties vertes sont aptes à le 
fixer; cet élément peut encore être porté dans les végétaux par 
l’eau toujours aérée qui est aspirée par leurs racines. Enfin, il est 


! Économie rurale, t. Il; et Annales de chimie et de physique, t. LXIX, p.366 (1837). 


SAVANTS ÉTRANGERS. — XII. 36 


282 MÉMOIRE 

possible, comme le pensent quelques physiciens, qu il existe 
dans l'air une infiniment petite quantité de ns ammonia- 
cales. » Si un udomètre placé au milieu des champs où se faisaient 
les expériences capitales de M. Boussingault eût recueilli Peau des 
pluies, si eette eau eût été analysée, on aurait pu savoir laquelle 
de ces trois hypothèses devait être adoptée ;-et une question encore 
pendante aujourd’hui serait probablement résolue. 


$ IV. 
MÉTHODE D’ANALYSE EMPLOYÉE. 


Dans une recherche de la nature de celle que nous avons en- 
treprise, alors qu'il s’agit de doser des matières qui sont tellement 
diluées dans une grande masse d’eau qu’elles ne peuvent devenir 
perceptibles qu'à l’aide de la concentration, il y a deux écueils à 
éviter. On doit s'arranger de manière à ne faire aucurte perte, et 
aussi de manière à n'introduire dans la matière à analyser aucune 
substance étrangère provenant, soit d'accidents, soit des réactifs 
employés. 

Les eaux que nous avons analysées nous ont été remises, avec 
un soin religieux dont nous lui sommes très-reconnaissant, par 
M. Charles Mathieu, astronome attaché à l'Observatoire de Paris, 
telles qu’elles ont été reçues dans les deux udomètres situés dans 
la cour et sur la plate-forme de cét établissement. Nous n'avons 
pas cru, avant d’avoir reconnu toutes les difficultés de la question 
par l'étude préliminaire que nous soumettons aujourd'hui au ju- 
gement de lAcadémie, devoir solliciter de la bienveillance de 
M. Arago et du zèle si éclairé de cet illustre savant pour l'avance- 
ment des sciences, aucune modification aux udomètres servant de 
récipient pour les eaux météoriques. Nous avons pensé d’ailleurs 
que la Commission dont nous demandons à l'Académie la nomi- 
nation jugera mieux que nous des modifications qui pourraient 
être faites à ces appareils dans l'intérêt de la science. 

Ces udomètres se composent chacun d’une vaste cuvette cir- 


* Saussure, Recherches chimiques sur la végétation. 


SUR LES EAUX DE PLUIE. 283 
culaire en fer ayant 0,76 de diamètre et 0**",4536 de surface. 
Un rebord de o",09 de hauteur circonscrit les cuvettes, qui au 
centre présentent une profondeur de 0",17 mesurée à partir du 
plan supérieur de la circonférence du rebord. Les deux cuvettes 
ont été recouvertes d’une couche de peinture. Cette couche a com- 
plétement disparu de ludomètre de la plate-forme; elle existe 
encore en partie sur la cuvette de ludomètre de la cour. Les eaux 
tombent par le centre des cuvettes à travers quelques petits trous 
dans un tuyau en cuivre qui les amène dans un réservoir en zinc 
pour la plate-forme, dans un réservoir en cuivre pour la cour. 
C'est de ces réservoirs que l’on tire l'eau pour mesurer les hau- 
teurs qui figurent dans les tableaux météorologiques mensuels 
publiés par l'Observatoire. L’eau mesurée est ensuite versée dans 
de grands flacons de verre qui nous sont aussitôt livrés. 

Nous avons reçu, durant les 6 mois de juillet à décembre EN 1, 
les eaux de ludomètre de la plate-forme, durant 5 mois, d'août à 
décembre 1851, les eaux de l'udomètre de la cour; un accident 
nous a privé des eaux de la cour tombées en juillet. 

Aussitôt que noûs recevons les eaux de pluie, nous les filtrons 
sur des filtres de papier préalablement bien lavés, pour débar- 
rasser les eaux d’un certain nombre d'insectes et d’une assez 
grande quantité de poussière grisâtre qui y est tenue en suspen- 
sion et que nous n'avons pas encore dosée. Nous avons pris des 
mesures pour que ce dosage qualitatif et quantitatif s’effectut à 
partir de janvier 1852. Nous en ferons donc mention l'an prochain 
dans le mémoire que nous soumettrons alors à l'Académie. 

_ Les eaux sont versées, pour effectuer leur concentration, dans 
une cornue de verre tubulée ayant 4 à 5 litres de capacité. Dans 
la cornue est mis à l'avance un centimètre cube d’acide sulfurique 
très-pur et concentré. La cornue est chauffée par un bain d'huile. 
Les eaux nouvelles sont introduites au fur et à mesure des be- 
soins, à l’aide d’un entonnoir fixé à demeure dans la tubulure de 
la cornue, entonnoir descendant presque jusqu'au fond et tou- 
Jours couvert. Il va sans dire que deux opérations distinctes sont 
36. 


284 MÉMOIRE 


menées de front pour les eaux de la cour et pour celles de la plate- 
forme de l'Observatoire. 

La vapeur d’eau est condensée à l’aide d'un courant d’eau 
froide dans un réfrigérant constitué par un tube de verre entouré 
d'un manchon. Les eaux condensées tombent, au sortir de ce 
réfrigérant de verre, dans un flacon de verre bouché, mais mis 
en communication avec l'atmosphère par un petit tube recourbé 
ayant une ouverture très-effilée. 

Les eaux de condensation, afin de ne rien perdre, soit en acide 
azotique, soit en iode ou autres matières volatiles non retenues 
par l'acide sulfurique, sont à leur tour distillées, avec les mêmes 
précautions, en présence de deux grammes de carbonate de po- 
tasse bien pur. Cette dernière précaution ne nous a pas été sug- 
gérée immédiatement. Elle est employée rigoureusement à partir 
du 1% janvier 1859. 

Lorsque les eaux de pluie de‘tout un mois sont ramenées au vo- 
lume de 1/2 litre à à litre, nous arrêtons ïa concentration. Ce moment 
arrive plus ou moins rapidement, car nous avons eu à évaporer des 
eaux dont la quantité était comprise entre 7 litres environ pour le 
mois de décembre et 34 litres pour le mois de juillet. Les eaux con- 
centrées ont pris une couleur jaune paille. On les sature par une 
dissolution étendue de bicarbonate de potasse pur. La liqueur sa- 
turée est évaporée jusqu'à consistance d’unetrentaine de centimètres 
cubes environ dans une petite cornue de verre chauffée doucement 
et circulairement. Les vapeurs sont encore condensées comme pré- 
cédemment et recueillies dans un flacon où l’on a mis 1 0 centimètres 
cubes d'acide chlorhydrique pur, afin de retenir quelques traces 
d'ammoniaque qui s'échapperaient dans le cas où l'on aurait mis 
un léger excès de bicarbonate de potasse pour la saturation. 

Les 30 centimètres cubes restants dans la cornue et qui donnent 
déjà une cristallisation abondante sont évaporés. à sec dans une 
capsule de platine, à l’aide d’une étuve à eau bouillante. Le résidu 
salin sec ainsi obtenu est pesé, puis bien pulvérisé. Il pèse de 3 
à 4 grammes. Il contient les matières à doser, étendues dans du 


SUR LES EAUX DE PLUIE. 285 


sulfate de potasse, ce qui est un avantage, car il est facile de les 
fractionner et d'en prendre des quantités déterminées. pour les 
diverses analyses à effectuer. 

Les eaux condensées de la première distillation sont amenées, 
comme nous l'avons dit, à concentration sur du carbonate de po- 
tasse; nous employons les mêmes précautions dans cette opération 
que dans la première; nous condensons la vapeur produite, et 
elle forme l’eau distillée que nous employons dans notre labora- 
toire pour tout ce qui concerne les recherches actuelles. 

L'eau condensée provenant de la concentration de la liqueur 
acide réduite à moins d’un litre, puis saturéé par de la potasse, 
est évaporée avec de l'acide chlorhydrique et du bichlorure de 
platine; nous obtenons ainsi une petite quantité de chloroplatinate 
d’ammoniaque, dont le poids nous fournit quelques milligrammes 
d'azote à ajouter à la quantité déterminée par les dosages effectués 
sur le résidu salin principal. Ainsi, en résumé, notre procédé 

analytique est le suivant : 
j 1° On évapore en vase clos et à part toute l’eau d’un mois, 
soit de la terrasse, soit de la plate-forme, de manière à avoir tou- 
jours une vérification des résultats obtenus; cette -évaporation, 
faite avec un seul centimètre cube d'acide sulfurique bouilli, 
donne une liqueur concentrée À et une liqueur condensée B. 

2° La liqueur À, qui a un volume de 500 centimètrés cubes 
à un litre, est neutralisée par une dissolution étendue de bicar- 
bonate de potasse, et alors amenée lentement en vase clos à ne 
plus avoir que 4o à 50 centimètres cubes, ce qui donne une 
nouvelle liqueur concentrée A’ et une liqueur condensée C. 

3° La liqueur concentrée À’ est ramenée à siccité dans une 
étuve à eau bouillante, et donne un résidu principal R. 

Dans ce résidu R se trouvent presque toutes les matières exis- 
tantes dans les eaux de pluie, etfil forme le sujet de la plupart 
des recherches analytiques de notre travail. 

On y dose l'azote total par la combustion d'une fraction déter- 
minée dans l’oxyde de cuivre, l'azote à l'état d’ammoniaquè par 


286 MÉMOIRE 


la calcination avec la chaux sodée et le tébrage par la méthode 
de M. Péligot; la différence donne l'azote à l'état d'acide azotique. 

On dose dans un poids connu de ce résidu R : le chlore, par 
une dissolution normale d’azotate d'argent; la chaux, par la pré- 
cipitation à l’aide de l'oxalate d’ammoniaque; la magnésie par la 
calcination, avec du carbonate de soude, de la liqueur filtrée ra- 
menée à siccité. 

4° La liqueur C, évaporée avec de lacide chlorhydrique et du 
chlorure de platine, puis reprise par de l'alcool éthéré, fournit 
quelques traces d’ammoniaque échappées par la concentration de 
la liqueur A. 

5° La liqueur B, distillée avec 100 centimètres cubes d'une 
dissolution de bicarbonate de potasse, donne quelques traces 
d'acide azotique et d’iode échappées à l'évaporation de l’eau plu- 
viale avec de l'acide sulfurique. 


$ V. 
VÉRIFICATIONS DU PROCÉDÉ ANALYTIQUE EMPLOYE. 


Afin de connaître le degré de précision présenté par nos re- 
cherches, nous avons fait quelques vérifications au double point 
de vue de savoir, 1° si nos réactifs ne contiendraient pas quelques- 
uns des éléments retrouvés dans les eaux de pluie; et 2° si, ayant 
introduit intentionnellement un poids connu de ces éléments dans 
de leau pure, on obtiendrait, par la méthode précédemment in- 
diquée, les matériaux ajoutés. 

Les conséquences les plus importantes à retirer de l'analyse de 
Veau de pluie sont relatives à la dose de l'azote qui y est contenu, 
soit à l'état d’ammoniaque, soit à l'état d'acide azotique; c’est sur 
ces éléments qu'ont porté particulièrement nos recherches. 

L'acide sulfurique concentré que nous employons a été distillé par 
nous dans une cornue de verre* et nous avons eu soin de rejeter 
la première partie des vapeurs condensées et de ne pas pousser 
la distillation jusqu’à ses dernières limites. Cet acide sulfurique 
n’exerce aucune action pour décolorer lindigo ou pour colorer la 


SUR LES EAUX DE PLUIE. 287 
dissolution du proto-sulfate de fer dans de l'acide sulfurique étendu 
de son volume d’eau, et en présence d’une lame de fer décapée. 

Le bicarbonate de potasse qui nous sert à saturer nos liqueurs 
concentrées a été par nous obtenu à l’aide de la calcination du 
bitartrate de potasse, de la reprise de la matière par l’eau pure, 
d’un passage d’acide carbonique à travers la liqueur, et de la cris- 
tallisation. Nous dissolvons 5o grammes de bicarbonate de potasse 
dans un litre d’eau pure. 

Pour neutraliser 1 centimètre cube de notre acide sulfurique 
normal, 1l nous faut 76 centimètres cubes de la dissolution po- 
tassique. Ce-sont là les seuls matériaux étrangers que nous intro- 
duisons dans nos eaux de pluie, et les doses mazima que nous en 
employons. Or, en faisant ainsi du sulfate de potasse, et en en 
analysant 1 gramme tant par la chaux sodée que par l’oxyde de 
cuivre, nous n'avons pas obtenu la moindre trace d'azote. 

D'un autre côté, nous avons pris 140 milligrammes d’azotate 
d'ammoniaque pur du commerce, et nous les avons dissous dans 
5k,370 d’eau distillée du commerce; nous avons ajouté à la liqueur 
1 centimètre cube d’acide sulfurique normal, nous avons éva- 
poré, comme nous avons dit, Jusqu'à consistance de 750 centi- 
mètres cubes, et alors nous avons saturé par 65 centimètres cubes 
de la dissolution potassique. La liqueur neutre, concentrée d’a- 
bord jusqu’à 6o centimètres cubes dans une cornue de verre en 
condensant les vapeurs produites, puis ramenée alors à sec dans 
une petite capsule de platine chauffée dans une étuve à eau chaude, 
nous a fourni un résidu salin pesant 38,493. Ce résidu (n° 1) 
bien pulvérisé, a été soumis à l'analyse. 

Dans la mème quantité 5k,370 de la mème eau distillée, nous 
n'avons pas mis d’azotate d’ammoniaque; mais, sauf cette diffé- 
rence, nous l'avons traitée comme la dernière. Il a fallu 75: cen- 
mètres cubes de la dissolution potassique pour la saturation, et 
nous avons obtenu un résidu sec (n° 2) pesant 35,545. 

Une portion de l’azotate d'ammoniaque employé a été soumise 
à l'analyse. Voici les résultats obtenus : 


‘ 


288 MÉMOIRE 


I. Par la chaux sodée et le saccharate de chaux, deux opéra- 
tions ont été faites : 

D'abord 1 0 centimètres cubes d’acide sulfurique correspondants 
à 08,17 d'azote exigeaient 910 divisions de la burette pour la 
neutralisation. * : 

Or, avec 08,584 d’azotate d’ammoniaque, il n’en a plus fallu 
que 355, et pour 06,654. de ce même sel, 290 divisions. Le calcul 
donne alors 


Azote pour 100. 


DE NOR IE SO FD OC te M ee PS 18,27 
As Ce due en ete ne tee ein dei et ie Mes Ina à La De ee URI 18,23 
MOTENNE.- 22 = qe ee nec 18,25 


Si l'azotate d’ammoniaque employé avait été pur, il n’eût con- 
tenu que 17,0 pour 100 d'azote à l'état d’ammoniaque. 

IT. Par l'oxyde de cuivre nous avons traité 06,246 d’azotate 
d'ammoniaque, qui nous a fourni 71,5 centimètres cubes d’azote 
à la température de 12°, le baromètre marquant 758%,;2 à 
17,25. On déduit de là une quantité totale d’azote égale à 34,30 
pour 100 d’azotate d’ammoniaque. 

En conséquence, on déduit de là que l’azotate d’ammoniaque 
employé contenait pour 140 milligrammes 


Milligr. 

Azote à l'état d'ammoniaque..................... 25,6 
Azote à l'état d'acide azotique. ................... 22,4 
AZOTE TOTAL, . =. sye - « de 2 48,0 


Comme on pourrait supposer que la calcination d’un azotate 
avec de la chaux sodée serait peut-être susceptible de fournir de 
l’ammoniaque en petite. quantité, nous avons pris 1 gramme d’a- 
zotate de potasse bien pur que nous avons fait cristalliser trois 
fois et ensuite dessécher dans une étuve, et nous l'avons traité 
comme pour une analyse organique. La dissolution d’acide sulfu- 
rique a exigé pour la saturation 9 10 divisions de la burette, nombre 
exigé directement; nous n'avons donc pu mettre ainsi en évidence 
aucune trace d’ammoniaque. 


SUR LES EAUX DE PLUIE. 289 
Maintenant nous avons soumis à l'analyse le résidu n° 1 pro- 
venant du traitement de l'eau contenant les 140 milligrammes 
d’azotate d’ammoniaque. Voici les résultats obtenus : 
1° Par la chaux sodée. Nous avons fait deux analyses : dans 
l'une, avec 08,534 de matière, il a fallu 901 divisions de la bu- 
rette, et dans l’autre, avec 06,766 de matière, 890, l'acide seul 
exigeant 925 divisions de saccharate de chaux; en conséquence , 
nous avons obtenu les résultats suivants rapportés à 36,493 de 
résidu salin : 


Milligr. 

Expérience AM ER RL NET EMMA ERRIEE . 29,4 
Expémence) LEP CEE EP AN EE TE PRE CET 29,2 
MOoxEnNE. ts int 4. ANSE 29,3 


2° Par l'oxyde de cuivre. Nous avons fait également deux ana- 
lyses. Dans l’une nous avons obtenu, avec 05,525 de matière em- 
ployée, 6%,25 d’azote à la température de 15°, le baromètre 
marquant 746%",1 à 18°; dans l’autre, avec 08,733 de matière 
employée, 9,25 d’azote à 14°, le baromètre marquant 748"%",3 à 
17°,5. De ces chiffres nous concluens, en rapportant à 36 493 de 
résidu salin : 


Milligr 
Expérienceplahe stress Eco Ebie 47,4 
Expénrenceille-rectieee: : ee PA 50,5 

MOYENNE... ........c..... A8,9 


L'eau provenant de la distillation de la liqueur saturée, étant 
évaporée avec de l'acide chlorhydrique et du chlorure de platine, 
n’a fourni qu'une trace impondérable de chloroplatinate d’ammo- 
niaque. 

Quant à l'eau condensée provenant de la distillation de la masse 
totale de l’eau, elle formait 4k,451 et elle a été distillée de nou- 
veau avec 100 centimètres cubes de la dissolution normale de 
bicarbonate de potasse. Nous avons ainsi obtenu un résidu pesant 
56,066. Nous en avons dosé deux fois l'azote par la combustion 
dans l'oxyde de cuivre; ces deux analyses nous ont fourni : 


SAVANTS ÉTRANGERS. — XII. 37 


290 : MÉMOIRE 

I. Avec 18,004 de matière, 2%,25 d'azote à 10°, le baromètre 
marquant 762%%,7 à 14°,5; 

II. Avec 26,030 de matière, 4%,5 d'azote à 11°,25, le baro- 
mètre marquant 761%%,4 à 15°. 

De là nous concluons en rapportant au résidu entier : 


Milligr 

pement eee eee eee Cie 13,47 
Fxpéiencellier. ee - remet. el re 13,22 
MOYENNE sie 13,34 


Le résidu salin ne nous donnait d’ailleurs aucune trace d’am- 
moniaque. 

En conséquence, nous trouvons donc dans l'eau distillée où 
nous avons introduit 140 milligrammes d’azotate d’ammoniaque : 


Milligr 

Aaôte ‘total "06: mériter MORE RER 62,2 
à l'état d’ ammoniaque PA RD SU 18 Dane 80 1 29,3 

à l’état d'acide azotique..........,......... 32,9 


Comme nous l'avons dit, nous avons mené parallèlement, avec 
la même quantité d’eau distillée, une opération identique, mais 
sans rien ajouter. Le résidu (n° 2) que nous avons obtenu, ayant 
été soumis à l'analyse, nous a fourni les résultats suivants : 

1° Par la chaux sodique. Nous avons employé 08,258 de ma- 
üère; il a fallu 735 divisions de la burette, l'acide sulfurique seul 
exigeant 736 divisions. Nous concluons de cette analyse, en rap- 
portant à la totalité du résidu salin obtenu (35,545): 

Azote à l’état d’ammoniaque, 3,1 

L'absence de matière nous a empêché de recommencer cette 
expérience; mais le résidu salin n'ndiquait bien, par les réactifs, 
que des traces très-faibles d’ammoniaque. 

2° Par l'oxyde de cuivre. Nous avons fait deux analyses de la 
manière suivante : 

L. Avec 08,857 de matière employée, nous avons obtenu 2%,25 
d'azote à 11°,5, le baromètre marquant 762"",7 à 16°. 


SUR LES EAUX DE PLUIE. 291 
II. Avec 18,066 de matière employée, nous avons obtenu 2%,25 
d'azote à 11°,5, le baromètre marquant 760%",5 à 1°,8. 
De ces analyses, nous concluons les quantités d'azote suivantes, 
rapportées à tout le résidu salin : 


Analyse [4702 0-..- BC ELU Marta open te 9,5 
LT El adioedeaedbin sec bd nd Hero adionie 8,6 
MOYENNE... .............. 9,1 


Les eaux condensées de la distillation étaient complétement 
pures; nous n’avons rien pu en retirer. Par conséquent, l'expé- 
rience faite parallèlement à celle où nous avions introduit 140 mil- 
ligrammes d’azotate d’ammoniaque nous indique qu'il faut re- 
trancher 9 milligrammes de l'azote total et 3""-,1 de Pazote à 
l'état d'ammoniaque. Notre procédé d'analyse nous fournit donc : 


Milligr. 
Azotetotel PRE EE PEN RE CNRS LEO TT RO 53,1 
à l'état d'ammoniaque...,....,.......,.... 26,2 
—— à l'état d'acide azotique......,............. 26,9 


Nous avions introduit, d’après les analyses rapportées plus haut, 
- dans 140 milligrammes d’azotate d’ammoniaque du commerce : 


Milligr. Milligr. 

Azotetotal MERE LEA AE 48,0 d'oùerreur... 5,1 
à l'état d'ammoniaque... 25,6 d'oùerreur... 0,6 
——— à l'état d'acide azotique.. 22,4 d'oùerreur... 4,5 


On voit donc que nous pouvons répondre de 5 milligrammes 
d'azote dans chacune de nos expériences mensuelles. Cela corres- 
pond à 110 grammes par hectare pour un mois, ou 660 grammes 
pour six mois. Devant les 15 kilogrammes que nous trouvons plus 

. loin, cette erreur est complétement négligeable. 
Avant de passer aux détails de nos recherches sur chaque élé- 
ment constitutif des matériaux contenus dans les eaux de pluie, 
nous demanderons la permiggion de faire une dernière observa- 
tion. La méthode que nous venons d'exposer diffère essentielle- 
ment de celle qui a été suivie par Zimmermann, Brandes et 

37: 


2992 MÉMOIRE 

M. Liebig pour des essais qualitatifs, et de celle qui a ensuite été 
adoptée par M. Isidore Pierre et par M. de Gasparin pour des 
analyses quantitatives. Ces savants ont évaporé Jusqu'à siccité les 
eaux de pluie pures ou bien les eaux de pluie auxquelles ils avaient 
ajouté de l'acide sulfurique; nous n'évaporons qu'à consistance 
de moins d’un litre l’eau de chaque mois, et nous neutralisons 
alors la liqueur. Dans la méthode de nos devanciers, il se fait 
une perte considérable d'acide azotique, si lon évapore à sec les 
eaux auxquelles on a ajouté de l'acide sulfurique. C'est ce qui ex- 
plique pourquoi, nous le pensons, M. Liebig a pu regarder l'acide 
azotique des eaux de pluie comme n'étant pas susceptible d’être 
dosé. Brandes a évaporé les eaux de pluie de Salzuflen, et M. Isi- 
dore Pierre celles de Caen, sans prendre aucune précaution pour 
empêcher les pertes des sels ammoniacaux ou de l'acide azotique. 
Aussi Brandes a-1l laissé en doute la question de savoir s’il avait 
bien réellement obtenu de l’azotate d’ammoniaque en faisant suivre 
cette substance dans l'énumération des substances dosées par lui 
qualitativement seulement, d'un point d'interrogation. 


S VI. 


OBSERVATIONS SUR LES QUANTITÉS D'EAU RECUEILLIES. 


Les eaux qui nous ont été remises contenaient toutes une certaine 
quantité de matières diverses en suspension, que nous avons sé- 
parées par la filtration sur du papier Berzélius sans essayer de les 
doser pour les six mois sur lesquels portent les recherches con- 
tenues dans ce mémoire. Lorsqu’elles ont été réduites à la con- 
centration moyenne d'environ 3/4 de litre, elles présentaient 
toutes une coloration jaunâtre très-sensible, et le résidu salin pro- 
venant de la dessiccation après saturation s’est toujours trouvé gri- 
sâtre. Dans les tableaux suivants, nous inscrivons les poids de’ 
l'eau soumise à l'évaporation et ceux des résidus salins obtenus 
après saturation. 


SUR LES EAUX DE PLUIE. 293 


POIDS POIDS 
DE L'EAU DU RÉSIDU 


soumise à l'analyse. | salin sec obtenu. 


EAUX DE LA TERRASSE. 
kil. 
34,000 
8,130 
Septembre 10,440 
Octobre 20,300 
15,830 
6,970 


95,670 


Août 1851 9,560 
Septembre 11,940 
Octobre 22,810 
Novembre 17,860 
Décembre É 8,240 


70,410 


Par suite de circonstances indépendantes de notre volonté et 
de celle de M. Charles Mathieu, qui, comme nous lavons dit, a 
bien voulu se charger de nous fournir les eaux de l'Observatoire, 
nous n’avons pu recevoir les eaux tombées dans la cour en juillet. 
D'un autre côté, il ne nous a pas été remis : 


POUR LA TERRASSE. 


Hauteur de pluie Poids d’eau 
en centimètres. en kilogrammes. 
d En juillét.”.......,.... 0,9, correspondant à... 3,920 
Entdoûtn tuner 0,4 correspondant à... 1,814 
En novembre. ...*.... (0,4 correspondant à... 1,814 


294 MÉMOIRE 


POUR LA COUR. 


Hauteur de pluie Poids d’eau 
en centimètres. en kilogrammes 
Et ot eLiae LE, 0,5 correspondant à... 2,269 
En octobre......1:... 0,3 correspondant à... 1,361 
En novembre ......... 0,5 correspondant à... 2,269 
TOTALE, Matane 5,899 


Ces quantités d’eau de pluie étant ajoutées à celles que nous 
avons analysées augmenteraient les doses des divers éléments que 
nous avons trouvés. Il est impossible de dire, dans l’état actuel 
de nos connaissances, comment varient ces éléments d’une pluie 
à une autre. Seulement il nous paraît qu’en admettant que dans 
chacun des mois ci-dessus il faudra augmenter les éléments trou- 
vés dans la proportion des eaux réellement analysées à celle des 
eaux qui eussent pu nous être remises, nougaurons une approxi- 
mation sufhisante. 

Dans tous les cas, pour qu'on puisse comparer les poids d’eaü 
que nous avons analysés à ceux qui se déduisent des hauteurs 
portées dans les tableaux météorologiques publiés mensuellement 
par l'Observatoire, nous plaçons ci-après en regard ces hauteurs 
d’eau et les volumes qui s’en déduisent, en les multipliant par la 
surface des udomètres (0,4536 mètre carré). 


EAUX DE LA TERRASSE. 


HAUTEUR VOLUMES 
DE PLUIE D'EAU TOMBÉE 


en centimètres, calculés. 


cent. lit. 


8,127 36,864 
2,604 11,812 


Septembre è 2,305 10,455 
Octobre 4,585 20,798 
Novembre : 3,879 17,577 
Décembre : 7,371 


104,877 


SUR LES EAUX DE PLUIE. 295 


EAUX DE LA COUR. 


HAUTEUR VOLUMES 
DE PLUIE D'EAU TOMBÉE 


en centimètres. calculés. 


cent. 


lit. 
2,824 12,810 


Septembre 2,931 13,095 
Octobre 5,279 23,918 

A,347 19,268 
8,099 


77,190 


Si l’on ajoute aux 95,670 d’eau de pluie de la terrasse qui 
nous ont été fournis les 7*,548 qui ont été jetés par accident, on 
trouve 103k,218; et si l'on ajoute aux 704,410 d’eau de la cour 
les 55,899 également jetés par accident, on obtient 76%,309. Les 
deux nombres 103k,218 et 76,309 ne diffèrent de ceux déduits 
des mesures des hauteurs 104k,877 et 77*,190 que dans les 
limites d'erreur provenant d’un mesurage au poids qui est tou- 
jours constant, et d’un mesurage au volume qui ne donne pas les 
mêmes quantités lorsqu'il est effectué à diverses températures. 

Pour se faire une juste idée des causes des variations que l’on 
trouvera dans les doses des matériaux déterminés dans les eaux 
des pluies de chaque mois, il est nécessaire de connaître les di- 
rections des vents qui amènent ces pluies. De pareilles données, 
rapprochées de l'analyse des eaux de chaque mois, deviendront, 
nous le pensons, ay bout de quelques années, des éléments mé- 
téorologiques d’une haute valeur. En conséquence, nous ayons 
réuni dans les tableaux suivants fous les renseignements que nous 
ont fournis sur la question les registres de l'Observatoire. 


296 MÉMOIRE 


HAUTEURS 
DATES OBSERVATIONS D'EAU TOMBÉE OBSERVATIONS 
DES JOURS A Pere SUR LA DIRECTION 


, SUR LES PLUIES, — — — , 
de pluie, des vents de pluie. 


Cour. Terrasse. 


MOIS DE JUILLET. 


M Perou 1 mille mil. | 
Pluie à 10° 40® matin 


Tonnerre et pluie à 3h 30 soir... } 20,40 | 19,00 
Pluie à 9" soir 


Pluie à peu près toute la journée. . 


Pluie violente à‘ 10° soir 
Tonnerre à minuit 
Pluie abondante pendant la nuit... 


Pluie à partir de 3" 
Pluie dans la nuit du 9 au 10.... 


Pluie à 4° 5 matin 
Pluie à 2 30" soir 


1 ; SUR Vent variant du N. au 
8 Pluie de midi à 2 N.N.O. 


SUR LES EAUX DE PLUIE. 297 


HAUTEURS 
D'EAU TOMBÉE 
mesurées 
le leudemain matin. 
——— t— 


OBSERVATIONS OBSERVATIONS 


SUR LA DIRECTION 


SUR LES PLUIES. « 
des vents de pluie. 


Cour. Terrasse, 


SUITE DU MOIS DE JUILLET. 


| mil, mill, 
Quelques gouttes de pluie à 4? soir. NT SPRL 
Quelques gouttes de Ruical0+30%. | 1 Fi 


Pluie dans la nuit du 19 au 20... 


Orage dans la nuit du 22 au 23.. Vent E. à 9" soir le 22 
Pluie de 1" 30" soir à 4"........ et S. à 9° matin le 23. 


Pluie dans la nuit du 28 au 29.... 


3 . Pluie etéclairs à soir 


Pluie dans la nuit du 29 au 30... 13,95 | 14,95 


MOIS D'AOÛT. 


| l à 
Pluie dans la nuit du 31 juillet 1: 0,60 0,50 


> JO EE ane ti EE 
Pluie et tonnerre à 3 soir. ...... | 
7 Pluietrès-forte etorage de 4 à 5" soir. 5,00 4,27 


SAVANTS ÉTRANGERS, — XII. 38 


298 


DATES 
DES JOURS 


de pluie. 


29 


30 


| —— 


MÉMOIRE 


HAUTEURS 
D'EAU TOMBÉE 
mesurées 
le lendemain matin, 
———  —— 


OBSERVATIONS 


SUR LES PLUIES. 


Cour. Terrasse, 


OBSERVATIONS 
SUR LA DIRECTION 


des vents de pluie, 


SUITE DU MOIS D'AOÛT. 
mill. mill. 
Pluie dans la nuit du 14 au 15...) 1,60 15010 
Pluie de 6? 45% soir à 7»........ PAPE) STATE Ce 
À for ne tit ON 0 
Pluie à midi et de 8° à 8! 50"..... a 2 N.O. F 
Pluie à 3! et à 8 45" soir... ..... js qu N. O. 
MOIS DE SEPTEMBRE. 
Quelques gouttes de pluie à 9° soir. # » | ” » | O.N.0. 
Pluie continue de midi à 3 fr. Fa ok o 
Pluie à Bou E Le) nt Hi 9,00 | N. 
Pluie à matins. Ce. LOUE DE out N. O. 


SUR LES EAUX DE PLUIE. 299 


HAUTEURS 
OBSERVATIONS D'EAU TOMBÉE OBSERVATIONS 


mesurées 
le lendemain matin. SUR LA DIRECTION 


SUR LES PLUIES. RS 


des vents de pluie, 
Cour. Terrasse, 


a —————_—_— 


SUITE DU MOIS DE SEPTEMBRE. 


| mill, mill. 


Quelques gouttes de pluie à 3" soir.| 2,46 2,05 
Pluie de 6° à 8 30" soir 


S 


S. violent. 


Pluie à midi 


Pluie abondante à 8! 30" matin... 35,30 
Forte pluie de 1} à 2} 45® soir... 2 


—_——— "| 


Pluie dans la soirée 


300 


DATES 
DES JOURS 


de pluie, 


MÉMOIRE 


HAUTEURS 
OBSERVATIONS D'EAU TOMDÉE 
mesurées 
le lendemain matin. 


SUR LES PLUIES. — mm — ++ 
Cour. Terrasse. 
— 


SUITE DU MOIS D’OCTOBRE. 
mill, mill. 


4,80 4,00 


Pluie à midi et de 3" à 8° 307:.... 


MOIS DE NOVEMBRE. 


Quelques gouttes de pluie à midi, 
et pluie continue de 1" à 3° soir. 


Pluie à 9! matin, et 
de midi à 3" 


OBSERVATIONS 
SUR LA DIRECTION 


des vents de pluie, 


SUR LES EAUX DE PLUIE. 


“ HAUTEURS 
. OBSERVATIONS D'EAU TOMBÉE 


mesurées 
. le lendemain matin, 
SUR LES PLUIES. — —— — 


Cour. Terrasse, 


SUITE DU MOIS DE NOVEMBRE. 
Ernest 


Neige dans la nuit du 16 au 17...| 


Pluie à 9" soir 


OBSERVATIONS 
SUB LA DIRECTION 


des vents de pluie. 


Neige dans la nuit du 23 au 24... 
Pluie à 2} et à 8* soir 


Pluie abondante à 3° soir 17,15 | 15,00 


Pluie à 9° matin Wu 4 ar 
Pluie à 4° 3,00 | 2,63 


MOIS DE DÉCEMBRE. 


Petite pluie fine à 9! mat. et 3* soir. 
Bruine à 10° soir 


Pluie fine de 3° à 11! soir 


302 MÉMOIRE 


HAUTEURS 

DATES OBSERVATIONS D'EAU TOMBÉE OBSERVATIONS 
mesurees 

le lendemain matin. 

SUR LES PLUIES, A 


DES JOURS SUR LA DIRECTION 


de pluie. des vents de pluie. 
Cour. Terrasse. 


SUITE DU MOIS DE DÉCEMBRE. 


Pluie à 9 soir... 


Pluie à 9° soir 


Pluie à 3" soir 


Comme, durant le semestre qui fait le sujet de ce mémoire, 
les eaux n’ont pas été recueillies immédiatement après chaque 
jour de pluie, il est impossible de rapporter exactement à chacun 
des points de la rose des vents la quantité de pluie qui lui cor- 
respond. Cependant les chiffres précédents peuvent servir pour 
définir la pluie de chaque mois par la direction générale des 
vents qui la principalement apportée. Ainsi, nous trouvons que : 

Durant juillet, le vent de pluie dominant a été celui du sud, 
car Les vents ESE, SSE, S, SSO, OSO, ont apporté ensemble 
5owil, 78 de pluie sur 81,27 qui sont tombés; 

Durant août, lé vent de pluie dominant a été aussi celui du 
nord-ouest, car les vents NNO, NO, ONO, O, ont apporté en- 
semble 23%ill,24 de pluie sur 28,24 ; 

Durant septembre, le vent de pluie dominant a été celui du nord- 
ouest, car les vents N, NO, ONO, O, ont apporté ensemble 
Ra bo Sun 2921: 


SUR LES EAUX DE PLUIE. 303 


Durant octobre, le vent de pluie dominant a été celui du sud- 
ouest, car les vents S, SSO, SO, ont apporté ensemble 37mill,85 
de pluie sur 52,79 ; 

Durant novembre, le vent de pluie dominant a été celui de 
Vouest, car les vents SO, O et NO ont apporté ensemble 37 mil- 
limètres de pluie sur 431,47 ; y 

Enfin, durant décembre, le vent de pluie dominant a été celui 
du nord-est, car les vents NNO, NE et S ont apporté 12 milli- 
mètres sur 171,90. 


$ VII. 
DÉTERMINATION DE L'AZOTE. 


Nous avons résolu de doser l'azote contenu dans nos résidus sa- 
lins principaux par la combustion à l'aide de l'oxyde de cuivre et 
par la mesure des volumes, afin d’avoir l'azote total renfermé dans 
ces résidus indépendamment de toute hypothèse sur son mode de 
combinaison dans les eaux de pluie. Nous dirons seulement que 
la potasse signalait dans tous les résidus salins, avec une grande 
facilité, la présence de lammoniaque, et que la dissolution du 
protosulfate de fer dans l'acide sulfurique y décelait également 
dans tous, sans aucune exception, la présence d’azotates. 

Nous avons fait deux dosages sur chaque résidu salin, afin 
d'éviter toute chance d’erreur, et nous avons pris la moyenne des 
deux résultats obtenus. Voici les détails de nos expériences : 


MOIS MATIÈRE AZOTE 


auxquels appartiennent : b PRESSION. 
à EMPLOYÉE. TROUVÉ. 
LES MATIÈRES ANALYSÉES. 


EAUX DE LA TERRASSE. 


gr. ec. mill. 
0,504 18,0 à + 10° | 759,3 à + 16° 
0,349 12,5 à +11° | 764,7 à + 12° 


SIN 0,670 13,5 à + 09° | 751,2 à + 16° 
lee 0,257 5,0 à + 12° | 759,6 à + 15° 


304 MÉMOIRE 


MOIS MATIÈRE AZOTE 


auxquels appartiennent Ë : 
, EMPLOYÉE. TROUVÉ. 
LES MATIÈRES EMPLOYÉES. 


SUITE DES EAUX DE LA TERRASSE. 


gr. cc, 
0,463 13,5 à + 09° 


Septembre. 
gi Yen 0,348 10,0 à + 12° 


0,588 7,0 à + 09° 


Octobre. .. 
0,534 6,0 à + 11° 


0,701 9,0 à + 11°5 
0,714 10,0à + 11°5 


Novembre . 


0,614 14,0 à + 11° 


Décembre 
0,561 12,5à + 9° 


EAUX DE LA COUR. 


13,5à + 9° 
10,5 à + 12° 


12,75 à + 11°5 
9,75 à + 11°5 


Septembre 


14,5à + 9° 


Octobre 
19,0 à + 10° 


12,5 à + 11° 
12,5 à + 12° 


Novembre 


13,0 à + 10° 


Décembre 
15,25à+ 8° 


PRESSION. 


mill. 
755,8 à + 9°5 
757,5 à + 12°5) 


756,4 à + 13° 
755,2 à + 12° 


759,8 à + 15°5 
751,0 à + 15° 


758,6 à + 13° 
751,7 à + 12° 


751,2 à + 16° 
757,3 à + 12°5 


764,4 à + 16° 
764,7 à + 14°5 


756,3 à + 10°8 
758,5 à + 12° 


759,8 à + 17° 
752,2 à + 14° 


766,5 à + 13° 
758,3 à + 9°5 


De tous ces éléments fournis par l'analyse, le calcul déduit, 
pour la quantité totale d'azote de chaque résidu salin mensuel, 
tant des eaux de la plate-forme que des eaux de la cour de FOb- 
servatoire, les nombres contenus dans les tableaux suivants : 


SUR LES EAUX DE PLUIE. 305 


ANALYSES. 
MOYENNE S. 
I. IT. 


a —— 


EAUX DE LA TERRASSE. 


gr. gr. 
0,1548 0,1633 
. 0,0867 0,0839 
Septembre 0,1287 0,1255 
Octobre 0,0522 0,0548 


0,0597 , 0,0641 
0,1069 0,1056 


EAUX DE LA COUR. 


0,0816 0,0783 
Septembre 0,1384 0,1408 
Octobre 0,1447 0,1411 
0,0776 0,0834 
0,0926 0,0919 


L'évaporation à sec des liqueurs acides, après la neutralisation 
par du bicarbonate de potasse, a été faite en vase clos, en conden- 
sant, comme nous l'avons dit, les vapeurs pour évaporer l’eau obte- 
nue avé l'acide chlorhydrique et du bichlorure de platine. Cette 
modification au procédé que nous avions d'abord employé n’a été 
introduite que pour les eaux de la cour de décembre, et pour celles 
de la terrasse de novembre et de décembre. Elle nous a été suggé- 
rée parce que, malgré les précautions que nous prenions pour ne 
pas mettre un excès de bicarbonate de potasse dans la neutralisation 
des liqueurs acides, nous avions constaté quelquefois, au moment 
d'arriver à siccité sur un bain-marie à l’eau, une légère odeur am- 
moniacale. Nous avons voulu dès lors éviter cette cause d'erreur. 

Nous avons obtenu les quantités suivantes de chloroplatinate 
d’ammoniaque : : 


Lérrasse de-novembne. 7.7.2. 220 ee seen 0,203 


Terrasse de décembre... ...................... 0,097 
Gourdedécembres# mai essimmnest 0,361 


SAVANTS ÉTRANGERS. — XII. 39 


306 MÉMOIRE 


D'où l’on déduit les quantités d'azote suivantes : 


Grammes. 
Terrasse demoyembre LL ce c Lt LL 0,013 
Terrassede décembres LL UM CU 0,006 
Courde décembre 14e nee ete ble eee ele re 0,023 


En neutralisant la liqueur avec précaution avant de lévaporer 
jusqu'à siccité, on peut annuler à peu près toute perte d’ammo- 
niaque; cependant nous aurons toujours soin dans nos recherches 
subséquentes d'aller retrouver les quantités, si faibles qu’elles 
soient, qui tendront à s'échapper lors de Lx dernière concentration. 

Nous n'avons pas, dans les eaux des six derniers moïs de 1851, 
fait d’une manière régulière la seconde distillation, sur du car- 
bonate de potasse, des eaux déjà distillées sur de l'acide sulfu- 
rique. Nous avons constaté précédemment, en vérifiant nos pro- 
cédés d'analyse, qu'on retrouverait ainsi quelques milligrammes 
d'azote échappés à l’état d'acide azotique. Afin de n'enregistrer 
à l'avenir que les résultats météorologiques aussi parfaits que pos- 
sible, nous faisons régulièrement les doubles distillations à partir 
de janvier 189. Les chiffres contenus dans le présent mémoire 
ne sont à cet égard que des minima qui pourraient être augmentés 
pour chaque mois de 10 milligrammes d'azote, sans que nous 
ayons à craindre de dépasser la vérité. Nous ne ferons pas toute- 
fois cette augmentation, afm de ne donner que les résultats dé- 
duits directement de nos analyses. Nous tenons seulement à faire 
remarquer que, bien que lon puisse trouver peut-être que leur 
grandeur est tout à fait mattendue, les nombres constatés sont au- 
dessous de la vérité et que la limite de l'erreur est de 10 pour 100. 

Cela posé, et en tenant compte seulement des rectifications né- 
cessaires pour les petites quantités d’eau qui ne nous ont pas été 
livrées, quantités qui ne s'élèvent du reste qu'à 7 p. 0/0 des eaux 
analysées, nous obtenons les chiffres suivants pour représenter 
l'azote total trouvé dans les eaux de pluie de chaque mois : 


SUR LES EAUX DE PLUIE. 307 


AZOTE TOTAL DES EAUX DE LA TERRASSE, m 


PAR MÈTRE CUBE 


SUR L'UDOMÈTRE. PAR HECTARE. Fos 


gr. kil. gr. 
0,177 3,902 4,668 
0,094 2,072 10,509 
Septembre 0,127 2,800 12,165 
Octobre 0,054 1,190 2,660 


Novembre 0,084 1,852 4,761 
Décembre 0,119 2,469 16,069 


Totaux pour six mois. . . 0,648 14,285 50,832 


MOYENNE 


Si, au lieu de prendre la moyenne des 6 doses mensuelles 
d'azote contenues dans chaque mètre cube d’eau, on calculait 
, l , à 
d'après les 08,648 renfermés dans 103X,218 d’eau de pluie totale, 
; P 
on aurait 68,397 pour la dose d'azote renfermée dans un mètre 
cube de toutes les eaux mélangées. 
D'un autre côté, s'il était permis de doubler la quantité totale 
d'azote amené dans le sol tant à l’état d'ammoniaque que d’acide 
. q I . 
azotique, pour les eaux de pluie d’un semestre, on trouverait 
28k,570 sur un hectare pour toute l'année 1851. 


AZOTE DES EAUX DE LA COUR. 


PAR MÈTRE CUBE 


SUR L'UDOMÈTRE, PAR HECTARE, de 


0,099 
Septembre 0,140 
Octobre 0,151 
Novembre 0,091 


| Décembre 0,115 


0,596 


308 MÉMOIRE 

Si, au lieu de prendre la moyenne des six doses d'azote con- 
tenues dans le mètre cube d’eau de chaque mois, on calcule d’a- 
près la somme totale de tout l'azote trouvé et d'après les 76!,309 
d'eau analysés, on obtient une quantité d'azote représentée par 
75,939 par mètre cube ou par 1,000 kilogrammes d’eau de pluie. 

En admettant, d’un autre côté, que l’on puisse passer du chiffre 
obtenu pour cmq mois pour un hectare à celui que donnerait une 
année entière, on trouve 31* ,231 pour l'azote amené par les eaux 
de pluie, tant à l'état d'ammoniaque que d’acide azotique, sur 
un hectare de terrain à la hauteur de la cour de l'Observatoire 
de Paris. 

D’après les chiffres précédents constatés pour les deux udo- 
mètres de cet Observatoire, on peut regarder comme parfaitement 
démontré que les eaux de pluie, celles au moins qui ont traversé 
l'atmosphère de Paris, ont jeté sur le sol au minimum 31 kilo- 
grammes d'azote par hectare. Ce chiffre n’est point exagéré, 
puisque les expériences qu ont servi à le constater ne sauraient 
présenter qu'une erreur er moins de 10 p. 0/0, soit de 3 kilo- 
grammes. 

Dans nos recherches commencées sur les eaux de 1852, cette 
erreur est réduite à 1 p. o/o, et dès lors des comparaisons inté- 
ressantes pourront être faites sur les changements que présente- 
ront les eaux suivant les saisons et suivant les lieux. Quant à pré- 
sent, le résultat obtenu nous paraît toutefois d’une importance 
que nous essayerons de faire ressortir par quelques rapproche- 
ments. 

M. Boussingault, en étudiant comparativement six assolements 
différents sur son domaine de Bechelbroum, a trouvé constam- 
ment dans les récoltes un excédant d'azote par rapport à celui 
introduit par les engrais. Voici les chiffres qui résultent de son 
travail, qui sert aujourd'hui de base à toutes les supputations de 
l'agriculture ! : 


* Economie rurale, t. I, p. 190. 


SUR LES EAUX DE PLUIE. 309 


DURÉE GAIN EN AZOTE || 


ASSOLEMENTS. DANS L'ENGRAIS. DANS LA RÉCOLTE. EN UN AN 
DES ASSOLEMENTS, 
sur un hectare. 


il, kil. kil. 
RS INOFANSSe- 2820028 50,1 
Poire. idem. ....... 50,8 
Fc n ER O mr c idem. ....... 58,9 


Ne voit-on pas, puisque le chiffre moyen de l'excédant obtenu 
par M. Boussingault ne s'élève qu’à 19 kilogrammes par an et par 
hectare, qu'il n’est peut-être pas présomptueux d'admettre que 
ce gaim d'azote a pu être fourni aux récoltes par la pluie qui, à 
Paris, en 1851, a donné au sol une quantité d’azote qu'on peut 
estimer à 31 kilogrammes ? 

Il est certainement évident qu'il doit y avoir une perte des sels 
ammoniacaux et des nitrates que les eaux de pluie amènent sur 
le sol. Mais si l’on fait attention que, d’après les chiffres rappelés 
par M. Boussingault! et d’après les expériences de Hales?, un 
hectare de choux peut transpirer en 12 heures 20,000 kilo- 
grammes d’eau, et un hectare de houblon 2,440 kilogrammes, 
on conviendra qu'on doit tenir compte des matières azotées ap- 
portées aux récoltes par les eaux de pluie. 

D'un autre côté, la théorie des jachères serait éclairée d’un 
jour nouveau, si l’on connaissait en plusieurs lieux les quantités 
d'azote données au sol par la pluie durant chaque saison. On sait 
que le résultat moyen de la jachère en France est une récolte 
de 10 hectolitres de blé tous les deux ans. Or, cette récolte ne 
correspond qu'à 19 kilogrammes d'azote. Les pluies ayant pu 
fournir durant ce temps 60 kilogrammes d’azote, on voit qu'il suffit 


! Économie rurale, t. I, p. 28 et 29. 
© Slatique des végétaux, expériences II et IX. 


310 MÉMOIRE 


d'admettre que les plantes auront pu utiliser seulement le tiers 
de l'azote apporté par les pluies pour que les phénomènes de ja 
jachère reçoivent une explication tout à fait plausible. Comme on 
esüme’ seulement au quart environ de la pluie la quantité d’eau 
qui sert à l’entretien des rivières et des fleuves, on ne peut élever 
aucune objection contre la source que nous attribuons aux subs- 
tances réparatrices de la fertilité du sol. La jachère, en donnant 
le repos à la terre, lui fournit seulement le moyen d'attendre 
que les pluies lui apportent les engrais disséminés dans l’atmo- 
sphère. 

Récemment, MM. Lawes et Gilbert ont publié un mémoire 
sur les récoltes successives que donne un même terrain constam- 
ment ensemencé de céréales et recevant divers engrais?; ils ont 
trouvé que, durant sept années -successives, le même sol, qui 
n'avait reçu la première année et une fois pour toutes que du 
phosphate et du sulfate de chaux, ainsi que du silicate de potasse, 
avait continué à fournir des récoltes assez considérables en fro- 
ment de la manière suivante : 


ANNÉES. PAILLE. 


kil, kil. 
1,035,4 1,256,4 
1,616,5 3,042,3 
1,354,0 1,697,3 
1,259,8 2,133,7 
1,067,9 1,920,5 
1,376,5 1,810,6 
1,121,8 1,930,8 


8,832,9 13,791,6 
1,261,8 1,970,2 


* Cours d'agriculture, par M. de Gasparin, t. Il, p. 270 (2° édition). 
* The journal of the Royal agricultural society of England, t. XII, p. 1; et Journal 
d'agriculture pratique, 3° série, t. IV, p. 167. 


SUR LES EAUX DE PLUIE. 311 
Ce fait peut paraître étonnant au premier abord; mais si l’on 
calcule la quantité d'azote totale enlevée chaque année tant par le 
grain que par la paille de froment, azote que, d’après les expé- 
riences de M. Boussingault, nous supposons être de 1.96 p. 0/0 
dans le grain et de 0.29 p. 0/0 dans la paille, on verra que nos 
expériences sur l'eau de pluie peuvent en rendre parfaitement 
compte. En effet, les récoltes de MM. Lawes et Gilbert conte- 
naient les quantités suivantes d’azote : 


AZOTE AZOTE 


ANNÉES. DU GRAIN. DE LA PAILLE. 


kil. kil, 
20,3 3,6 
30,8 8,8 
26,6 4,9 
24,7 6,2 
21,1 5,6 
27,0 5,2 
22,0 5,6 


DOTAUXE RL Net 172,5 39,9 
Moyennes 24,7 5,7 


Si ce sol renfermait une certaine quantité d’azote, ce que les 
cultivateurs appellent de la vieille force, n’est-l pas évident que 
lon peut admettre que les 30 kilogrammes d’azote enlevés chaque 
année moyenne ont été rendus par la pluie, puisque, à Paris, 
nous avons trouvé dans les eaux météoriques une quantité d'azote 
s’élevant au delà de ce même chiffre de 30 kilogrammes. 

Ce n’est pas que nous voulions prétendre que les résultats de 
l'analyse des eaux de pluie tombées à l'Observatoire de Paris 
soient applicables à d’autres contrées. Notre but est seulement de 
montrer l'importance de la question et de faire voir combien 
il serait intéressant que des recherches de la nature de celles 
sur lesquelles nous insistons, fussent faites avec tout le soin dési- 
rable en différents lieux. Les agriculteurs admettent que dans les 


312 MÉMOIRE 

régions méridionales il faut moins d'engrais que dans les contrées 
du nord. Cette pensée est exprimée de la manière suivante par 
M. de Gasparin dans son Cours d'agriculture ! : « L’atmosphère 
restitue à la terre une partie des sucs fécondants qu’elle perd par 
leS productions. Cette propriété rend l'usage des engrais de moins 
en moins indispensable en avançant vers le midi. Ce fait est in- 
contestable, » N’est-l pas, en conséquence, possible, nous dirions 
volontiers probable, que dans des pays voisins de l'équateur on 
trouverait, par l'analyse, que les eaux de pluie contiennent des 
quantités plus considérables d'azote que dans notre climat ? 

Dans tous les cas, il résulte des analyses rapportées plus haut 
que l'eau est inégalement chargée de matières azotées selon les 
divers mois, et que les matières azotées qui sont amenées par les 
pluies sur un hectare ne sont nullement proportionnelles aux 
quantités d’eau tombées. Ainsi, en juillet, une hauteur d’eau de 
8mill, 127 a apporté 3k,902 d'azote, et, en août, une hauteur d’eau 
de 2% 604, c’est-à-dire trois fois moindre, a versé sur le sol 
2k,072 d'azote, c’est-à-dire une dose seulement moitié moindre. 
La somme des quantités d'azote des trois mois de juillet, août et 
septembre, est à celle des trois mois d'octobre, novembre et dé- 
cembre, comme 8 est à 5. s 


$ VIIL. 


DÉTERMINATION DE L'AMMONIAQUE ET DE L’ACIDE AZOTIQUE. 


Nous avons déjà dit que les réactifs décelaient avec la plus 
grande évidence tant de lammoniaque que de l'acide azotique 
dans les résidus salins à l'analyse desquels nous avons ramené 
l'étude des eaux de pluie. Mais quel est dans Tazote total que 
nous avons dosé celui qui est à l’état d'ammoniaque et celui qui 
est à l'état d'acide azotique? Pour résoudre cette question, nous 
avons soumis à un double dosage d'azote chacun de nos résidus 
salins à l'aide de la calcination avec de la chaux sodée, en absor- 
bant l’'ammoniaque dégagée par de l'acide sulfurique titré et en 


* TI, p. 315 (2° édition). 


SUR LES EAUX DE PLUIE. 313 


saturant ensuite celui-ci par une dissolution normale de saccharate 
de chaux, suivant le procédé de M. Péligot. Nous avons ainsi 
obtenu constamment des quantités d'azote fort inférieures à celles 
que nous avait fournies la combustion par loxyde de cuivre; or, 
on sait que le procédé de M. Péligot n'indique pas l’azote qui est 
à l’état d’acide azotique. Une soustraction nous donnera donc ce 
dernier. Quant à l'azote existant à l’état d'ammoniaque, nous le 
confondrons avec celui qui peut-être existe dans la très-petite 
quantité de matière organique indéterminée que l’eau de pluie 
renferme. Nous n’avons pas trouvé, quant à présent, de procédé 
susceptible de séparer cette matière organique. 

Nous avons vu précédemment, dans le paragraphe V de ce mé- 
moire consacré aux recherches de vérification de nos procédés 
d'analyse, que de l’azotate de potasse pur ne fournit aucune trace 
d'azote par la calcination avec la chaux sodée. Aucune portion de 
l'azote de l'acide azotique ne se transforme ên ammoniaque dans 
les conditions où se fait cette expérience. 

Les nouveaux dosages d'azote que nous avons effectués par le 
procédé de M. Péligot nous ont fourni les résultats suivants : 


EAUX DE LA TERRASSE. 


MATIÈRE AZOTE 


EMPLOYÉE. TROUVÉ. 


gr. 
LP EIRE 0,572 
be 0,583 
CSN ET CO a EU Er Te 0,558 
Ms ne de 00 MAMA ro as ae c'e UP HN 0 77 
Re 0,927 
See 1,061 
abat 0,855 
cure 1,236 
DotkEnE 0,694 
. 0,784 
PURE 0,440 
* 0,448 


SAVANTS ÉTRANGERS, — XII. ho 


314 MÉMOIRE 


EAUX DE LA COUR. 


MATIÈRE AZOTE 


EMPLOYÉE. TROUVÉ. 
gr. G gr. 
0,604 0,0042 
0,858 0,0063 
0,734 0,0084 
0,937 0,0105 
0,872 0,0048 
1,377 0,0072 
0,966 0,0046 
1,095 0,0046 
0,546 0,0055 
0,538 0,0055 


Septembre 


Octobre 


Novembre 


Décembre 


De ces expériences nous concluons, en rapportant les quantités 
trouvées au poids total de chaque résidu salin, les résultats sui, 
vanis : 


ANALYSES. 
= | MOYENNES. 
1 MERE 


DOSAGE DE L’AZOTE DES EAUX DE LA TERRASSE PAR LA CHAUX SODIQUE. 


gr. gr. gr. 

0,0999 0,1116 0,106 
0,0413 0,0417 0,042 
0,0166 0,0147 0,016 
0,0182 0,0189 0,019 
0,0366 0,0369 0,037 
0,0252 | 0,0247 0,025 


LA COUR PAR LA CHAUX SODIQUE. 


0,0253 0,0267 0,026 
Septembre 0,0422 0,0413 0,042 
Octobre... 0,0210 0,0199 0,020 - 
Novembre 0,0183 0,0162 0,017 
Décembre 0,0332 0,0337 0,033 


SUR LES EAUX DE PLUIE. 315 


En tenant compte de la petite quantité d’azote échappée à l'état 
de carbonate d’ammoniaque et dosée à l'état de chloroplatinate 
d'ammoniaque, et en rapportant les résultats trouvés aux quantités 
totales d’eau de pluie de chaque mois, nous faisons la séparation 
de l'azote sous ses deux formes, résultat auquel nous voulions 
arriver. 


AZOTE AZOTE 
à l'état à l’état 


D'AMMONIAQUE. D'ACIDE AZOTIQUE. 


AZOTE DES EAUX DE LA TERRASSE. 

gr. gr. 
0,177 0,118 
0,094 0,046 
Septembre 0,127 0,016 
Octobre ; 0,054 0,018 


Novembre LE 0,084 0,056 
Décembre 0,112 0,031 


TOM . FENNE. ERM ET 0,648 0,285 


à ‘En rapportant à lhectare , -on trouve: 
ki 00 kil, 

Pour six mois. g 14,285 6,283 
Pour un an. ps d 28,570 12,566 


AZOTE DES EAUX DE LA COUR. 


0099 0,032 
Septembre. 0,140 0,042 
Octobre 0,151 0,021 
Novembre $ 0,091 0,019 
Décembre 0,115 0,056 


6,596 0,170 


En rapportant à l'hectare, on trouve: 


k. kil, 
Pour cinq mois à 13,138 9,390 


Pour un an 31,531 22,536 


316 MÉMOIRE 

En examinant les chiffres précédents donnés pour chaque mois, 
on reconnait que, tandis qu'il y a pour ceux qui représentent 
l'azote total des eaux de la terrasse et des’ eaux de la cour une 
concordance parfaite, à l'exception toutefois du mois d'octobre, 
qui pour la terrasse parait un peu faible, cette concordance dis- 
paraît pour les nombres qui regardent l'ammoniaque ou l'acide 
azotique. Nous ne chercherons pas à expliquer ce fait quant à 
présent. Nous remarquerons toutefois que les récipients métal- 
liques sur lesquels sont reçues les pluies dans les deux udomètres 
peuvent exercer une influence bien connue pour la transformation 
de l'acide azotique en ammoniaque, équivalent à équivalent. Mais 
cette transformation se fait, comme on sait, sans changer en rien 
la quantité d'azote total. D'un autre côté, on n’a pas encore cons- 
taté que la transformation inverse de lammoniaque en acide azo- 
tique puisse avoir lieu dans de pareilles circonstances. Conséquem- 
ment, quand même on voudrait faire jouer un rôle quelconque 
au fer, au cuivre et au zinc des udomètres, ce rôle ne pourrait 
infirmer en rien ce fait remarquable d’une dose considérable d’a- 
zote apporté à la végétation par les eaux de pluie, et sur cet autre 
fait qu'une grande portion de cet azote est dans les eaux de pluie, 
à coup sûr, à l'état d'acide azotique. 

Ce dernier fait n’était pas prévu dans l'état actuel de la science; 
car on admettait que lacide azotique ne devait se rencontrer que 
dans les pluies accompagnées d’orages. M. Liebig est même allé 
plus loin, comme nous l'avons vu, en soutenant que cet acide 
n'existait dans les pluies orageuses qu'en quantités impondérables. 
M. Liebig attribuait une forte prépondérance à l’ammoniaque; le 
contraire résulte de nos recherches. Nous rappellerons seulement, 
comme nous lavons dit plus haut, que M. Jones a constaté de 
son côté la présence de l'acide azotique dans des pluies recueillies 
en des localités très-éloignées les unes des autres de la Grande- 
Bretagne, durant janvier 1851. Les deux questions des doses 
d’ammoniaque et des doses d'acide azotique des pluies doivent 
donc être étudiées séparément et devenir des éléments météoro- 


SUR LES EAUX DE PLUIE. 317 
logiques importants, et rien n'autorise à négliger l'un au détri- 
ment de l’autre. 

D'après les analyses précédemment rapportées, on calcule les 
doses d’ammoniaque suivantes pour le second semestre de 1 851 : 


AMMONIAQUE DES EAUX DE LA TERRASSE. 


. 


PAR MÈTRE CUBE 
SUR L'UDOMÈTRE. PAR DECTARE. É À 
d'eau de pluie. 


0143 3 771 
0,056 5,631 
Septembre ; 0,019 1,820 
Octobre 0,022 1,083 
0,068 3,855 
0,038 5,452 


0,346 21,612 


————— | 


Si, au lieu de prendre la moyenne des six doses obtenues par 
mètre cube d’eau pour chaque mois, on calcule d’après la dose 
totale d’ammoniaque contenue dans 103k,218 d’eau, on trouve 
35,352 pour le chiffre de la proportion de ce corps contenue dans 
le mètre cube moyen d’eau d'un semestre. 

Si l’on suppose qu'on puisse, par approximation, doubler la 
quantité d'ammoniaque tombée en six mois seulement par hec- 
tare, afm d’avoir la restitution annuelle ainsi faite au sol, on 


trouve 15X,264, à la hauteur de la terrasse de TObservatoire de 
Paris. 


318 MÉMOIRE 


AMMONIAQUE DES EAUX DE LA COUR. 


PAR MÈTRE CUBE 


MOIS. SUR L'UDOMÈTRE, PAR HECTARE. 


d’eau de pluie. 


gr. kil. 

0,038 0,842 

Septembre 0,051 1,124 
Octobre * 0,026 0,573 
Novembre 0,023 0,507 
Décembre 0,068 1,499 


0,206 


Si, au lieu de prendre la moyenne des cinq dôses obtenues 
par mètre cube d’eau pour chaque mois, on calcule d’après la 
dose totale d’ammoniaque contenue dans 765309 d’eau, on 
trouve 28,700 pour le chiffre représentant la proportion d’ammo- 
niaque que renferme le mètre cube d’eau moyen. 

Si l'on suppose que l'on puisse, par approximation, passer de 
cinq mois à une année entière, on obtient 10F,908 pour la resti- 
tution annuelle ainsi faite au sol par les eaux de pluie à la hau- 
teur de la cour de l'Observatoire de Paris. 

L'infériorité relative de la quantité d’ammoniaque que donne 
le calcul pour les eaux de la cour comparées à celles de la ter- 
rasse provient de ce que les eaux du mois de juillet, qui se sont 
montrées pour la terrasse très-riches en ammoniaque, n’ont pu 
être analysées pour la cour. 

L'influence, sur la végétation, des sels ammoniacaux qui se 
trouvent dans l'atmosphère a été regardée depuis longtemps comme 
une chose probable. Voici sur ce point comment s'exprime Théo- 
dore de Saussure! : « Si l'azote est un être simple, s’il n’est pas 
un élément de l'eau, on doit être forcé de reconnaitre que les 


* Recherches chimiques sur la végétation, p. 207 (1804). 


SUR LES EAUX DE PLUIE. 319 
plantes ne se l’assimilent que dans les extraits végétaux et animaux 
et dans les vapeurs ammoniacales ou d’autres composés solubles 
dans l'eau qu'elles peuvent absorber dans le sol et dans l’atmo- 
sphère. On ne peut douter.de la! présence des vapeurs ammonia- 
cales dans l'atmosphère, lorsqu'on voit que le sulfate d’alumine 
pur finit par se changer, à l'air libre, en sulfate ammoniacal d’alu- 
mine. La supériorité des engrais animaux sur les engrais végétaux 
ne semble tenir en grande partie qu'à une plus grande proportion 
d'azote dans les premiers. » 

L'opinion de Théodore de Saussure. a chaque jour gagné de 
nouveaux partisans. Cependant la très-petite proportion de carbo- 
nate d’ammoniaque que les recherches successives de MM. Gri- 
ger, Kemp et Fresenius ont seulement pu mettre en évidence, est 
devenue, entre les mains de quelques chimistes, un argument 
contre cette manière: de voir. L'analyse régulière d'un certain 
nombre de pluies devra faire cesser tous les doutes à cet égard. 
Déjà nos analysés démontrent que dans les eaux il existe assez de 
composés azotés en dissolution pour n’avoir pas besoin de re- 
courir à l'hypothèse de l'absorption directe de l'azote gazeux de 
Pair, ou même à celle de l'absorption dans le végétal du gaz azote 
simplement dissous dans les eaux que la séve charrie dans tous 
les organes des plantes. 

Les chiffres obtenus par MM. Gräger, Kemp et Fresenius 
sont tellement différents les uns des autres, qu'on a eu recours, 
pour expliquer les différences constatées, à l'idée que peut-être, 
dans les réactifs des deux premiers de ces chimistes, il se trou- 
vait à l'avance une certaine quantité d’ammoniaque,. Mais il ne 
nous paraît pas qu’on doive nécessairement rejeter leurs détermi- 
nations, à cause de ce doute; car il est très-probable que l’ammo- 
niaque contenue dans l'air doit varier beaucoup, non-seulement 
d'un lieu à un autre, mais encore avec le temps dans un même 
lieu. 

M. Gräger a fait ses recherches à Mulhouse, pendant quatre 
Journées pluvieusesge mai 1845. M. Kemp a recherché l'ammo- 


320 MÉMOIRE 

niaque contenue dans Pair pris à g1 mètres au-dessus de la mer 
d'Irlande. M. Fresenius a opéré pendant quarante jours d'août 
et septembre 1848 sur l'air pris sur une hauteur située à l'extré- 
mité de la ville de Wiesbaden. Rien ne peut, a priori, porter à 
penser que ces trois déterminations devaient donner les mêmes 
résultats. Voici d’ailleurs les 3 chiffres obtenus : 

Sur 1 million de kilogrammes d’air, 


M:iGraper-. 470-4000. cp 333 gr. d'ammoniaque. 
NPD AE PR nee 3,880 idem. 

Air diurne. .., 98 idem. 
M. Fresenius..{ Air nocturne. : 169 idem. 

En moyenne... 134 idem. 


D'après le poids de la couche d'air qui pèse sur un hectare, 
poids que l’on peut évaluer à 102,600,000 kilogrammes, en ad- 
mettant la pression uniforme de 760 millimètres de mercure, si 
l'on suppose d’ailleurs à l'air atmosphérique une composition uni- 
forme, on calcule que l'air situé au-dessus d’un hedree contien- 
drait les quantités suivantes d’ammoniaque : 


D'après les analyses de M. Grâger.....:....,........ 34,2 

: de M Kemp: 40. eee 398,1 
Jour he 10,1 

de M. Fresenius..{ Nuit......... 17,3 


En moyenne... 13,7 


M. Fresenius! pense que l'on peut expliquer la plus grande 
richesse én ammoniaque de Fair nocturne « par les phénomènes 
qu'offre la nutrition des plantes et par cette circonstance que 
lammoniaque qui s’accumule dans lair pendant le jour et pen- 
dant la nuit est dissous, puis précipité par la rosée au lever du 
soleil. » 

Les chiffres précédents sont beaucoup plus considérables qu'il 
n’est nécessaire pour rendre compte des quantités d’ammoniaque 
que la pluie ramène sur le sol, d’après nos analyses. Mais il faut 
remarquer que les analyses de MM. Gräger, Kemp et Fresenius 

? Annales de chimie et de physique, 3° série, t. XXVI, pP214. 


SUR LES EAUX DE PLUIE. 321 
n’ont porté que sur de l'air en contact avec la terre; or, il n’est 
pas démontré que la dose d’ammoniaque n°y est pas plus forte que 
dans les hautes régions atmosphériques. 

Mais quelle est la cause de la présence tant de lammoniaque 
que de lacide azotique dans les eaux de pluie? Nous nous ran- 
geons- volontiers sur ce sujet à l'opinion de M. Boussingault!. « La 
supposition la plus vraisemblable, dans l’état actuel de la science, 
dit ce savant chimiste et agriculteur, est de considérer comme 
Vorigine des substances azotées des végétaux, et par suite des 
animaux, soit les vapeurs ammoniacales de l'atmosphère, soit 
lammoniaque formée aux dépens de lazote de Pair, pendant la 
combustion lente des matières hydrogénées. Une des conséquences 
de cette supposition, c'est d'admettre que le carbonate d’ammo- 
niaque préexistait déjà dans l’atmosphère avant l'apparition des 
êtres vivants sur le globe. Le phénomène de la constance des 
orages tend à justifier cette opinion. On sait, en effet, que toutes 
les fois qu'une série d’étincelles électriques passe dans de Pair 
humide, il y a production et combinaison d'acide nitrique et 
d’ammoniaque; le nitrate d’ammoniaque accompagne d’ailleurs 
constamment l’eau des pluies d'orage; mais ce nitrate, étant fixe 
de sa nature, ne saurait se maintenir à l’état de vapeur : c’est 
d’ailleurs du carbonate ammoniacal que lon a signalé dans l'air. 
En rappelant les réactions que j'ai fait connaître, on conçoit aisé- 
ment que lammoniaque du nitrate amenée sur la terre par la 
pluie, mise en contact avec les roches calcaires, se volatilise en- 
suite à l’état de carbonate lors de la prochaine dessiccation du sol. 
Ainsi, en définitive, ce serait une action électrique, la foudre, 
qui disposerait le gaz azote de l'atmosphère à s’assifhiler aux êtres 
organisés. En Eürope, où les orages sont rares, on accordera 
peut-être difficilement autant d'importance à l'électricité des 
nuages. Cependant, en négligeant ce qui se passe en dehors des 
tropiques, en considérant uniquement la zone équinoxiale, il est 

à Annales de chinue et de physique, t. LXXI (1839); et Économie rurale, 2° édit. k 
t. I, p. 725. 


SAVANTS ÉTRANGERS. — XII. hi 


322 MÉMOIRE 

possible de prouver que, pendant l'année entière, tous les Jours, 
probablement à tous les instants, il se fait dans l'air une conti- 
nuité de décharges électriques. Un observateur placé à l'équateur, 
s'il était doué d'organes assez sensibles, y entendrait continuelle- 
ment le bruit du tonnerre. » 

La présence de l'acide azotique dans les eaux de chacun des 
six MOIs que nous avons analysées ne saurait être un argument 
contre l'hypothèse que cet acide ait une origine électrique. Avant 
de se résoudre en nuages, puis en pluie, la vapeur d’eau a par- 
couru des régions atmosphériques assez diverses pour qu’on puisse 
admettre que la zone équinoxiale, foyer constant de production 
d'acide azotique, exerce de l'influence sur les eaux qui tombent 
en tous lieux, 

D'après le tableau des directions des vents de chaque pluie des 
six derniers mois de 1851, que nous avons donné précédemment, 
il n’y a pas lieu de s'étonner de ce que nous avons toujours trouvé 
de l'acide azotique dans les eaux de pluie mensuelles, puisque 
tous les mois il est tombé de la pluie par les vents du sud et du 
sud-ouest. IL y aurait à voir, par l'analyse des eaux de pluie de 
différents climats, et, dans un même lieu, en séparant les pluies 
suivant la rose des vents, si réellement les contrées méridionales, 
où les orages sont plus fréquents, fournissent une plus grande 
quantité d'acide azotique. Peut-être aussi la présence d’une grande 
ville, présentant un grand nombre de foyers en ignition constante, 
peut exercer de l'influence sur les matériaux dissous dans les eaux 
de pluie. Des expériences comparatives peuvent seules résoudre 
toutes les questions que ce sujet soulève, non-seulement au point 
de vue agricolé ou météorologique pur, mais encore au point de 
vue de l'hygiène publique. . 

Les quantités d'acide azotique anhydre ou réel que nous avons 
trouvées durant le second semestre de 1851 dans les eaux de pluie 
de chaque mois sont ainsi réparties : u 


SUR LES EAUX DE PLUIE. 323 


EAUX DE LA TERRASSE. 


PAR MÈTRE CUBE 


SUR L'UDOMÈTRE. PAR HECTARE, À js 
d’eau de pluie. 


ee es 


gr. kil. gr. 
DTA PPEME ANR PARAITRE 0,228 5,026 6,012 


FORME eee opel MA din db 0,185 4,078 18,604 


Depiembre. neue 14e eiialne Or IeR 0,428 9,435 40,996 
CCPbrer A ES eat HO 0,139 3,064 6,847 
PRO RIRNQ EL ANNE Rs 0,108 2,381 6,121 
se ON Sn dal A 0,312 6,879 44,763 


1,400 30,863 123,343 


En admettant qu'il soit possible de passer de six mois seule- 
ment à une année, on obtiendra 614,726 pour représenter la 
quantité d'acide azotique réel versé sur un hectare de terre en 
un an, à la hauteur de la plate-forme de l'Observatoire de Paris. 

Si, au lieu de prendre la moyenne des six doses contenues 
dans le mètre cube d’eau de chaque mois, nous rapportons toute 
la quantité d'acide azotique trouvée pour six mois à l’eau totale 
recueillie, nous obtenons 138,563 pour représenter la quantité 
d'acide azotique existant dans le mètre cube d’eau moyen. 


EAUX DE LA COUR. 


PAR MÈTRE CUBE 
SUR L'UDOMÈTRE. PAB. HECTARE. 


d’eau de pluie. 


PR et Ki. es 
0,258 5,687 5 21,811 
Septembre 0,378 8,333 31,658 
Octobre 0,116 2,557 4,799 
0,278 6,129 13,860 
0,228 5,026 27,669 ÿ 


1,258 27,732 


- 394 MÉMOIRE 

En admettant qu'il soit possible de passer de cinq mois seule- 
ment à une année entière, on obtiendra 74ko71 pour repré- 
senter la quantité d'acide azotique réel versé sur un hectare en 
un an, à la hauteur de la cour de l'Observatoire de Paris. 

Si, au lieu de prendre la moyenne des cinq doses contenues 
dans le mètre cube d’eau de chaque mois, nous rapportons toute 
la quantité d'acide azotique trouvée pour cmq mois à l'eau totale 
recueillie, nous obtenons 168,297 pour représenter la quantité 
d'acide azotique existant dans le mètre cube d’eau moyen. 

Il serait, selon nous, prématuré de chercher à discuter, pour 
l'acide azotique aussi bien que pour l’ammoniaque, les variations 
mensuelles que nous avons constatées; nous voulons poursuivre 
nos expériences durant plusieurs années, afin de faire disparaître 
toutes les influences accidentelles. Mais, dès à présent, un fait 
d’une haute importance est démontré : c’est la quantité considé- 
rable de l'acide azotique déterminée ci-dessus. Les nombres 
que nous donnons sont des minima, différant peu de la vérité. 
Is sont peut-être de nature à ramener l'attention sur le rôle 
que cet acide joue sans doute dans un grand nombre de phéno- 
mènes encore très-obscurs; nous voulons parler de la nitrifi- 
cation. 

Tout le monde connaît les expériences faites par Cavendish et 
décrites dans un mémoire lu, en 1784, à la Société royale de 
Londres. Cet illustre savant a fait voir que, si l'on ajoute à de l'air 
atmosphérique assez d'oxygène pour porter sa proportion du 1/5 aux 
3/7, qu'on introduise le mélange dans un appareil convenable, 
et qu'on tire un grand nombre d’étincelles électriques à travers 
le gaz, on observe à chaque étincelle une très-petite diminu- 
tion dans le volume des deux gaz. En continuant longtemps l’ex- 
périence, on parvient à absorber complétement les deux gaz dans 
de Veau de chaux ou une dissolution de potasse, et on obtient 
de l'azotate de chaux ou de l’azotate de potasse. Cavendish et La- 
voisier ont aussi obtenu de l'acide azotique en brülant de lhy- 
drogène ävec de loxygène mélangé d'azote. Plus récemment, 


SUR LES EAUX DE PLUIE. 325 


M. Kulhmann! a fait voir que l'ammoniaque se transforme en 
acide azotique au contact de loxygène et de l'éponge de platine, 
à une température de 300 degrés. Des faits bien positifs démon- 
trent donc que l'existence de lacide azotique dans l'atmosphère 
n'a rien qui doive étonner. 

Mais les quantités d'acide contenues dans l'air ont-elles quelque 
influence sur la production naturelle des azotates, non pas dans 
les lieux bas et habités, où des matières animales jouent certai- 
nement un rôle, mais dans quelques localités où les efflorescences 
salpêtrées se rencontrent d'une manière aussi curieuse qu'inex- 
pliquée jusqu’à ce jour. Quand on parcourt la belle collection de 
mémoires publiés par l'Académie des sciences à l’occasion du con- 
cours ouvert en 1775 pour un prix proposé sur la formation du 
salpètre?, on reconnait que, dans l’opinion de Lavoisier, les ma- 
üères animales n'auront une acüon bien nette que dans la forma- 
tion de l’azotate de potasse, mais que l’azotate de chaux se pro- 
duit dans des terrains crayeux, à la surface qui est en contact 
avec l'air, sans qu'il y ait des matières organiques en-quantité bien 
appréciable. Lavoisier dit expressénrent que «le tuffeau de la 
Touraine étant une pierre fort poreuse, fort susceptible d'imbiber 
l'humidité, d’être pénétrée jusqu’à un certain point par l'air et par 
les substances gazeuses qu'il charrie, elle réunit toutes les circons- 
tances favorables 4 la formation du salpétre terreux.» Dans un 
mémoire qui suit celui de Lavoisier et Clouet, sur les terres na- 
turellement salpètrées existantes en France, le duc de la Roche- 
foucauld, en parlant de la génération du salpêtre dans la craie 
des environs de la Roche-Guyon, regarde comme très-probable 
«que l'action seule de l'air suffit pour imprégner la craie d'acide 
nitreux, et que l’état de division de la craie favorise cette impré- 
gnation; que l’action de l'air augmente aussi sensiblement la quan- 
üté d'acide marin que contenait la craie, et vraisemblablement 
aussi la quantité d'acide vitriolique : peut-être, pour déterminer 


* Expériences chimiques et agronomiques , P. 19. 
? Mémoires des Savants étrangers, L. XI, 1 786. 


326 MÉMOIRE 

ces faits avec toute l'exactitude que mérite leur importance , 
serait-il bon de répéter ces expériences à différentes élévations 
et d'y jomdre des observations sur l'état de l'air ambiant. » 

Dans la description que le docteur John Davy donne des nom- 
breuses grottes salpêtrées de l'ile de Ceylan, ce savant attribue ! 
la production du nitre à la décomposition du feldspath contenu 
dans une roche calcaire et magnésienne et à l'action de l’oxygène 
et de l'azote de l'air. Ces derniers se combineraïent sous des in- 
fluences encore imexpliquées et donneraient de l'acide azotique 
qui se combinerait à son tour avec la potasse, la chaux et la ma- 
gnésie. Dans les analyses que John Davy donne des roches sal- 
pètrées, 1l n’y en a qu'une qui indique la présence de matières 
animales. Aussi Davy réfute-t1l énergiquement l'opinion de ceux 
qui veulent absolument que la production du nitre soit due à la 
présence de ces matières. L’humidité et l’action de Pair, tels sont, 
selon lui, les agents qui produisent du nitre dans un mélange 
convenable de terres alcalines. 

Si les pluies contiennent constamment de l'azotate d’ammo- 
niaque, si les quantités qu'on y rencontre sont plus considérables 
en de certains'lieux, il n’est peut-être pas téméraire de penser 
que cet azotate d’'ammoniaque serait pour quelque chose dans la 
formation de quelques nitrières. Tous les observateurs sont d’ac- 
cord sur ce fait, que ce n’est qu’à la surface des terrains contenant 
des carbonates de potasse, soude, chaux, magnésie, que la pré- 
sence du nitre se manifeste, L’azotate d'’ammoniaque des pluies, en 
arrivant en contact avec ces carbonates dans des lieux où l’eau ne 
séjourne pas, mais suffisamment humides, doit donner lieu à une 
double décomposition d’où résultent des azotates de potasse, 
soude, chaux, magnésie, et du carbonate d’ammoniaque qui se 
produit à cause de sa volatilité. Cette réaction est conforme aux 
lois générales de la chimie; et sans rien affirmer absolument; il 
est peut-être permis d'incliner à croire qu'il n’y a rien d’impos- 
sible à ce qu’elle se produise dans plusieurs nitrières naturelles. 


* Travels in Ceylon, p. 31. 


SUR LES EAUX DE PLUIE. 327 


$ IX. 
DETERMINATION DU CHLORE. 


Pour déterminer la quantité de chlore existant dans les eaux 
de pluie, nous avons pris 500 milligrammes de chacun des ré- 
sidus salins obtenus comme il a été dit précédemment, et nous 
les avons dissous dans l’eau pure. Une portion de la matière qui 
ne s’est pas dissoute a été séparée de la liqueur par la filtration. 
Cette liqueur a été ensuite acidulée avec de l'acide azotique, et 
à l’aide d’une dissolution titrée d’azotate d'argent contenant un 
milligramme d'argent par centimètre cube, nous avons pu arri- 
ver, avec une grande précision, à doser le chlore des chlorures 
de nos eaux de pluie. Nous avons obtenu les résultats suivants : 


EAUX DE LA TERRASSE. 


\ PAR MÈTRE CUBE 
SUR L'UDOMETRE, PAR HECTARE. dennde pluie. 
CPP ET QU RE 
0,147 3,240 3,876 
0,029 0,641 | 2,916 
Septembre 0,029 0,641 2,777 
Octobre 0,044 0,970 2,167 


0,043 0,948 2,437 


DORA AE MER ET 14,173 


MOYENNE 2,362 


En doublant pour passer, par approximation, de six mois à une 
année entière, on trouverait 12*,880 de chlore apportés par les 
pluies sur un hectare. 

En rapportant tout le chlore trouvé à toute l’eau recueillie, au 
lieu de prendre la moyenne des six doses ci-dessus, on obtient 
28,829 de chlore par mètre cube d’eau moyen. 


328 ‘MÉMOIRE 
EAUX DE LA COUR. 


PA MÈTRE CUBE 


MOIS. SUR L'UDOMÈTRE. PAR HECTARE, À 4 
d'eau de pluie, 


kil, 


gr. 
2,874 


gr. 
0,034 
Septembre 0,024 
Octobre 0,036 
0,057 


En passant par une proportion de cinq mois à une année en- 
uère, on trouve le chiffre approximatif de 75,985 pour repré- 
senter le chlore apporté par les pluies sur un hectare. 

En rapportant tout le chlore trouvé à toute l’eau recueillie, au 
lieu de prendre la moyenne des cinq doses ci-dessus, on obtient 
18,996 de chlore par mètre cube d’eau moyen. 

Un fait remarquable s’est présenté dans nos recherches, c'est 
l'absence du chlore dans les eaux de pluie de décembre, tant de 
la cour que de la plate-forme de l'Observatoire. Il est peut-être 
permis d'attribuer cette circonstance au peu d'influence qu'ont eue 
sur les pluies de ce mois Les vents venant de l’ouest. 

Il y aurait lieu de rechercher à quel état se trouve le chlore 
dans les eaux de pluie. On sait toute la difficulté que présente le 
problème d'attribuer, dans un mélange, à telle ou telle base tel ou 
tel acide. Cette difficulté est bien plus grande lorsque l'exiguité 
des quantités de matières sur lesquelles on peut opérer limite le 
nombre des expériences. La nécessité de faire avec un soin extrême 
les recherches que nous avons précédemment décrites sur l'azote, 
et de répéter plusieurs fois nos analyses sur un point que nous 
regardions comme capital, nous a d’ailleurs empêché de conserver 


R SUR LES EAUX DE PLUIE. 329 
assez de matière pour que nous pussions doser la soude. Mais, 
quoiqu'il y ait certainement dans les eaux de pluie une portion de 
chlore à l'état de chlorure de calcium et de chlorure de magné- 
sium, nous pouvons, par une approximation qu'a faite sur ce point 
M. Isidore Pierre dans les analyses que nous avons citées précé- 
demment, admettre que tout le chlore était à l'état de chlorure 
de sodium, afin de rechercher combien au maximum il peut se ren- 
contrer de sel marin dans les eaux de pluie à Paris. Le calcul 
nous donne les résultats suivants : 


EAUX DE LA TERRASSE. 


PAR MÈTRE CUBE 


SUR L'UDOMÈTRE. PAR HECTARE. . ë 
d’eau de pluie. 


Septembre 
Octobre 


TOTAUS. 22 M EE CR 10,612 


MOYENNE 


En doublant pour passer de six mois à une année entière, on 
trouve le chiffre approximatif de 21F,224 pour représenter le sel 
marin apporté par les pluies sur un hectare à la hauteur de la 
plate-forme de l'Observatoire de Paris. 

En rapportant tout le sel trouvé à toute l’eau recueillie, on 
obtient 48,662 de sel par mètre cube d’eau moyen. 


SAVANTS ÉTRANGERS. — XII. k2 


Es 


330 MÉMOIRE ù 


EAUX DE LA COUR. 


PAR METRE GUBE 


SUN S'UDOMÈTRE. PAR HECTARE. X Ë 
d'eau de pluie. 


Août 
Septembre 
Octobre 
Novembre . . 
Décembre 


+ POTAE RE MR 2 EE 15,168 


MOYENNE 3,036 


En passant par une proportion de cinq mois à une année en- 
üère, on trouve le chiffre approximatif de 134,159 de sel apporté 
par les pluies sur un hectare. : 

En rapportant tout le sel trouvé à toute l’eau recueillie, au lieu 
de prendre la moyenne des cmq doses ci-dessus, on obtient 36,2 23 
de sel par mètre cube d’eau moyen. 

Les deux nombres obtenus par mètre cube d’eau moyen, 


gr: 
Pour 1a)terrasse: se ARE CUT CRU), NE AIRE 4,662 
Pour la COULEURS. LANR RES. LAN, 3,223 
Fournissent une moyenne de...............,... 3,942 


Ce nombre est très-inférieur à celui de 133 grammes trouvé 
par Dalton dans les eaux de pluie de Manchester, mais il se rap- 
proche beaucoup de celui de 58,768 obtenu par M. Isidore Pierre 
pour les eaux de pluie de Caen. L’éloignement de Paris des bords 
de la mer explique suffisamment la différence que nous trouvons 
pour que nous n’ayons pas besoin d’insister à cet égard. Le chiffre 
par nous obtenu devait être nécessairement plus faible que celui 
constaté beaucoup plus près de l'Océan. 


SUR LES EAUX DE PLUIE. 331 

Il y a bien longtemps que l’on a signalé l'influence des pluies 
sur l'état de salure des rivières et même sur les récoltes. Nous 
n’en citerons comme exemple que ce qu’en a dit: Pline : « Les 
pluies même font changer le goût des eaux de quelques rivières. 
IL est arrivé trois fois, au Bosphore, que des pluies salées ont fait 
mourir les céréales; trois fois aussi les pluies ont répandu sur les 
champs arrosés par le Nil une amertume qui a causé un désastre 
en Egypte 1, » 

Mais si de pareils accidents constatés non loin de la mer sont 
regardés comme naturels par tout le monde, quelques personnes 
n'accepteront peut-être pas sans contestation la possibilité du trans- 
port de particules salines à plus de 160 kilomètres dans l'intérieur 
des terres. Aussi rappellerons-nous quelques faits de nature à 
faire évanouir toutes les objections. Dans les Annales de chimie 
et de physique?, nous trouvons la note suivante : Sur la distance 
à laquelle les ouragans transportent les molécules salines de la mer. 
« Le 5 septembre 1821, il s’éleva vers midi, à Newhaven (Amé- 
rique), une tempête du sud-est qui alla toujours en augmentant, 
et acquit, à la tombée de la nuit, une violence extraordinaire. Le 
lendemain matin, les fenêtres de la ville étaient couvertes de sel, 
les feuilles des arbres situées du côté du vent tombèrent dessé- 
chées en peu d'heures. À Hébron, distant de 30 milles (4o kilo- 
mètres environ) de la côte, les feuilles de tous les végétaux, le 
matin du 4 septembre, étaient salées. On assure même avoir fait 
cette remarque à Northampton, qui est placé à 60 milles (80 kilo- 
mètres) dans les terres. » 

Dans le même recueil, nous lisons encore une note ainsi con- 
çue ÿ : Transport de poussières à de grandes distances par le vent. 
« Le 19 janvier 1823, dans la nuit, le vaisseau anglais le Clyde 


} wAliqui vero et imbre mutantur amnes. Ter accidit in Bosporo, ut salsi deci- 
« derent, necarentque frumenta : toties et Nili rigua pluviæ amara fuere, magna 
“pestilentia Ægypti. » (Lib. XXXI, cap. XxIX.) 

* 2° série, t. XX, p. 101 (1822). 

? T. XXX, p. 430. 


h2. 


332 MÉMOIRE 


faisait route du sud au nord, en face de la partie de la côte d’A- 
frique comprise entre la rivière Gambie et le cap Vert, mais à 
une distance de cette côte qui surpassait 200 lieues; le matin, 
l'équipage fut fort surpris de trouver que les voiles étaient cou- 
vertes d'un sable de couleur brune et composé de parties très- 
fines. Le vent avait soufllé avec assez de force, la nuit précédente, 
dans les directions comprises entre le N E. et VE. » 

« Le journal auquel nous empruntons ce fait, remarque M. Arago, 
qui a inséré cette note dans les Annales, ne dit pas si le sable a 
été recueilli et analysé chimiquement. »——M. Arago ajoute ensuite : 
« Voici quelques détails relatifs à un phénomène analogue; ilsm'ont 
été communiqués par M. Schabelski, voyageur russe extrêmement 
distingué : 

«Lorsque le bâtiment se trouvait par 23 degrés de latitude 
nord et 21°,20° de longitude ouest de Greenwich, nous fümes 
témoins d’un phénomène très-remarquable : le matin du 22 jan- 
vier 1822 (nous étions alors à 275 milles nautiques (370 kilom.) 
des côtes de l'Afrique), nous aperçümes que tous les cordages du 
navire étaient couverts d’une matière pulvérulente dont la couleur 
rougeâtre approchait de celle de l'ocre. Ces cordages, vus au mi- 
croscope, offraient de longues files de globules qui semblaient se 
toucher. Les seules parties qui avaient été exposées à l’action du 
vent du nord-est présentaient ce phénomène; il n’y avait aucune 
trace de poussière sur les faces opposées. La poussière en ques- 
tion était très-douce au toucher et colorait la peau en rouge. » 

Ainsi le transport de particules salines et de poussières de di- 
verses natures à de grandes distances est un phénomène qui ne 
peut être révoqué en doute, et Leuwenhock, en Hollande, et Fal- 
ber, dans le Sussex, avaient fait, dès 1703, de justes remarques 
en disant que le vent devait porter au loin les sels de la mer. 

Au point de vue de la nutrition des plantes, ce transport a une 
grande importance; car les chiffres que nous avons donnés pré- 
cédemment démontrent que les quantités de chlorure de sodium 
ainsi fournies aux récoltes sont loin d’être négligeables. Ces quan- 


SUR LES EAUX DE PLUIE. 333 


utés peuvent rendre compte de la soude et du chlore que lon 
trouve dans les récoltes, lors même que l'analyse n'indique pas 
dans le sol des traces perceptibles de ces substances. S'il est vrai, 
comme semblent l'indiquer les très-curieuses expériences de M. le 
prince de Salm-Hortsmar sur la végétation de l’avoine!, que le 
chlore et la soude jouent un rôle déterminant dans la fructifica- 
tion, on comprendra toute l'importance que les pluies venues à 
propos doivent avoir sous ce rapport en agriculture. 


S X. 


DE L'IODE, DE LA POTASSE, DE L'ACIDE SULFURIQUE, DE LA MATIÈRE ORGANIQUE 
DES EAUX DE PLUIE. 


La présence de liode signalée dans les eaux de pluie par 
MM. Chatin et Marchand, comme nous l'avons dit plus haut, a 
attiré notre attention. Nous avons constaté que ce corps s’échap- 
pait dans la distillation de l'eau de pluie avec l'acide sulfurique, 
qu'on en retrouvait des traces en distillant de nouveau les eaux 
avec du carbonate de potasse. Mais tous les procédés connus jus- 
qu'à présent ne nous ont pas rendu les quantités que nous intro- 
duisions directement dans les eaux avec une exactitude qui per- 
mette de comparer les résultats obtenus. I nous a été démontré 
qu'on ne peut pas répondre d’une fraction de milligramme d'iode 
dans les eaux d’un mois, et la quantité qui y existe ne paraît pas 
même s'élever à ce chiffre. 

La recherche de la potasse, dont l'existence dans les eaux de 
pluie a été indiquée par les uns, mais aussi a été contestée par 
les autres, ne nous a pas paru pouvoir être entreprise par nos 
procédés analytiques. Le verre des vases récipients et des cor- 
nues de distillation cède des quantités de cet alcali tout à fait 
comparables à celles que l'on retrouve par l'analyse. Dans de pa- 
reilles conditions, alors que nous ne pouvions monter des appa- 
reils complétement en platine ou en autre métal suffisamment inat- 
taquable, nous n’avons pas cru devoir consacrer à une recherche 

* Annales de chimie et de physique, 3° série, t. XXXII, p. 461. 


334 MÉMOIRE 


qui a toujours laissé des doutes une portion de la petite quantité 
de matière que nous pouvions soumettre à nos opérations ana- 
lytiques. 

Quant à l'acide sulfurique, nous n’avons pas essayé non plus 
de le doser. Il nous eût fallu distraire dans ce but une portion 
des eaux qui nous étaient livrées, et diminuer la probabilité du 
succès de nos investigations sur des substances plus importantes à 
connaître dans l’état actuel de la science. Dans les années qui vont 
suivre, et pour lesquelles nous avons l'intention de continuer notre 
travail, nous serons en mesure de combler cette lacune. 

Nous n'avons pas essayé*de doser la matière organique conte- 
nue dans les eaux de pluie, matière signalée par Zimmermann et 
Brandes, comme nous l'avons dit dans l'historique qui est à la 
tête de ce mémoire. Cette matière est complexe ; Brandes la re- 
gardait comme formée de mucus, de résine ét d'une matière 
végéto-animale, Nous avons pensé que nous devions d’abord cher- 
cher à lisoler et à en étudier les propriétés, avant d'essayer des 
dosages, qui laisseraient trop à désirer. 


$ XI. 
DÉTERMINATION DE LA CHAUX. 


Tous les résidus salins que nous avons obtenus contenaient de 
la chaux en quantités notables. Pour doser cette base, nous avons 
précipité par du chlorure de sodium les traces d'argent existant 
dans les liqueurs qui nous avaient servi à doser le chlore; nous 
avons ensuite ajouté aux liqueurs filtrées du chlorhydrate d’am- 
moniaque, de l’ammoniaque et enfin de loxalate d'’ammoniaque. 
Ce dernier sel a produit des précipités qui ont été recueillis sur 
des filtres, puis ces filtres ont été incinérés, et la chaux a été 
pesée à l'état de carbonate. Nous sommes arrivé aux résultats 


suivants : 


SUR LES EAUX DE PLUIE. 335 


EAUX DE LA TERRASSE. 


CHAUX CHAUX CHAUX 
DE L'EAU PAR MÈTRE CUBE 


de l’udomètre. É ES (ER d’eau de pluie. 


gr kil. gr. 
0,342 7,539 9,019 
0,071 1,565 7,139 
Septembre 0 041 0,903 3,927 
Octobre 0,066 1,454 3,251 


Novembre 0,069 1,521 3,910 
Décembre 0,062 1,367 8,898 


0,651 14,349 36,144 


MOYENNE 


En doublant pour passer de six mois à une année entière, on 
trouve 284,698 pour représenter la quantité de chaux apportée 
par les pluies sur un hectate de terrain. 

En rapportant toute la chaux trouvée à toute l’eau recueillie, 
on obtient 68,307 par mètre cube d’eau moyen. 


EAUX DE LA COUR. 


CHAUX CHAUX CHAUX 


DE L'EAU PAR MÈTRE CUBE 
PAR HECTÂRE. x , 
de l’udomètre. d’eau de pluie. 


gr. 1. gr. 
0,121 2,667 10,228 
Septembre } 0,124 2,732 10,385 
Octobre [ 0,039 0,859 1,613 
Novembre 0,093 2,050 4,620 
Décembre ; 0,048 1,082 5,825 


Foraox. NPA EE 0,425 9,390 


MOVERNEN CE 2. ue us oies ele 


336 MÉMOIRE 


En passant, par une proportion, de cinq mois à une année en- 
tière, on trouve 22,536 de chaux apportée par les pluies sur un 
hectare de terrain. 

En rapportant toute la chaux trouvée à toute l’eau recueillie, 
on obtient 56,506 par mètre cube d’eau moyen. 

La moyenne des deux déterminations de la chaux des eaux de 
la plate-forme et de la cour de l'Observatoire donne 5£,906. Ce 
nombre est plus considérable que celui de 28,6 trouvé par M. Isi- 
dore Pierre pour les eaux de pluie recueillies à Caen en mars 
1851. Faut-il attribuer la différence obtenue à la différence des 
époques, ou bien le bassin calcaire au centre duquel se trouve 
Paris exerce-t-il une influence sur le phénomène? La suite de nos 
recherches pourra seule résoudre cette question, que nous ne 
faisons que poser aujourd’hui. 


$ XIL. 
DÉTERMINATION DE LA MAGNÉSIE. 


Les liqueurs qui ont fourni la chaux ont été évaporées jusqu’à 
siccité; alors on leur a ajouté un peu de carbonate de soude, et 
l'on a chauffé le résidu salin au rouge sombre. En prenant la ma- 
tière saline par l'eau, on a eu un dépôt de magnésie, qui a été 
recueilli sur un filtre; le filtre a été incinére, et la magnésie a été 
dosée à l’état de carbonate. Les opérations ont fourni les résultats 
suivants, rapportés au poids total de chacun de nos résidus salins : 


EAUX EAUX 


MOIS. 
DE LA TERRASSE. DE LA COUR. 


gr. 
0,016 
0,013 


Septembre 0,009 
Octobre 0,009 
: 0,017 

0,008 


0,072 


SUR LES'EAUX DE PLUIE. 337 


Mais la matière imsoluble dixis d'eau que nous avons obtenue, 
comme nous l'avons dit précédeñment en parlant de la détermi- 
nation du chlore, se trouvait composée de matière organique, 
d'un peu de carbonate de zinc, d’un peu de nhosphate ammo- 
niaco-magnésien, et de phosphates de fer et de cuivre. Chacun 
des filtres qui avaient recueilli les matières insolubles ayant été 
incinéré, nous avons obtenu, en effet, les cendres du filtre re- 
duites, des résidus pesant les poids suivants : 


EAUX EAUX 


DE LA TERRASSE. DE LA COUR. 


gr. 
0,015 
0,020 
Septembre 0,022 
Octobre... ... 0,036 


Novembre 0,018 
Décembre 0,009 


0,120 


Or, une quantité égale à 08,097 de l’ensemble de tous ces ré- 
sidus mélangés ayant été traitée par l'acide azotique, puis par 
lammoniaque et le succmate d’ammoniaque, a fourni une belle 
coloration bleue à cause du cuivre, puis un précipité de succinate 
de fer. On a alors ajouté un peu de sulfhydrate d’ammoniaque 
pour précipiter le zinc et le cuivre. Après a filtration, la liqueur, 
évaporée avec du carbonate de soude, a fourni un poids de 66,027 
de carbonate de magnésie, correspondant à 08,013 de magnérie, 
soit pour la totalité 06,252, une quantité de magnésie égale à 
08,033. Cette quantité de magnésie existant dans 58,500 des ré- 
sidus salins, et. ceux-ci pesant en tout A18,081, on voit qu’en 
totalité nous retrouvons ainsi 08,246 de magnésie que nous par- 


SAVANTS ÉTRANGERS. — XII. 13 


338 MÉMOIRE 
tageons dans le rapport de 6 à 5, de manière à reporter 08,134 
sur la terrasse et 08,113 sur 14 cour. Nous avons alors pour la 


magnésie : 
. Par hectare. Par mètre cube, 
Terrasse (6 mois). 05,206 4*,541 28,000 
Cour (5 mois).... 0,173 3,813 2 ,240 


La présence du fer, du cuivre et du zinc n'a rien qui doive 
surprendre, et il est impossible d'en tirer aucune conséquence, 
puisque les cuvettes des udomètres de l'Observatoire sont en fer, 
et les tuyaux de déversement ainsi que les réservoirs, en cuivre. 
Quant à la présence de l'acide phosphorique, elle n’a pas encore 
été signalée dans l'eau de pluie; comme nous n'avions plus assez 
de matière pour faire quantitativement un dosage très-délicat, nous 
nous sommes contenté de constater la présence de ce corps, sauf 
à prendre à l'avenir des mesures pour le déterminer. 


$ XIII. 
CONCLUSIONS. 


Les recherches qui sont détaillées dans ce mémoire ne résolvent 
pas encore toutes les questions que lon peut poser sur la compo- 
sition des matières contenues dans les eaux de pluie d’un même 
heu. En les continuant, on verra comment ces matières se mo- 
difient avec les saisons et avec les vents régnants. Ainsi, on pourra 
déterminer une partie du rôle que les pluies doivent jouer dans 
les phénomènes géologiques qui se passent dans l'écorce de notre 
globe. La comparaison des résultats obtenus à Paris avec ceux 
que donneront des expériences faites en d’autres localités, mettra 
sur la voie de l'explication de beaucoup de faits obscurs. 

L’atmosphère peut être considérée comme un vaste laboratoire 
encore inexploré. L'analyse des eaux de pluie est un moyen de 
se rendre compte d’une partie des phénomènes qui $y pro- 
duisent et qui doivent exercer une si grande influence sur la vie 
de tous les êtres végétaux ou animaux qui peuplent la surface de 
la terre. 


SUR LES'EAUX DE PLUIE. 339 


En attendant de nouvelles expériences, un fait nous semble 
bien constaté, c'est la présence dans les eaux de pluie de grandes 
quantités d'azote, tant à l'état d'ammoniaque qu'à l'état d'acide 
azotique. Cet azote, rapporté par les pluies sur le sol de nos 
champs cultivés, rend compte d’un grand nombre de faits agri- 
coles de la plus haute importance. La jachère devient une pratique 
rationnelle. Le moins d'importance des engrais dans les contrées 
méridionales s'explique parfaitement, et peut-être certains cas de 
mitrification naturelle cessent de rester relégués parmi les phé- 
nomènes dont l'obscurité n’est pas diminuée quand on les attribue 
à une force catalytique. 

Mais il est nécessaire que notre travail soit continué pour lever 
tous les doutes; nous tâcherons de ne pas rester au-dessous de 
l'engagement que nous contractons de le poursuivre, et de per- 
fectionner nos méthodes d'investigation, en demandant à lAca- 
démie de vouloir bien juger ce mémoire comme un premier essai 
sur une matière très-délicate. 


(2) Fa—Fu+F'u bee Sn u. fu) + 


340 RECHERCHES 


RECHERCHES 


LA SÉRIE DE LAGRANGE, 


PAR M. FÉLIX CHIO, 


PROFESSEUR DE MATHÉMATIQUES À L'ACADÉMIE ROYALE MILITAIRE, 


ET DOCTEUR AGRÉGÉ À L'UNIVERSITÉ DE TURIN, 
e 


(PRÉSENTÉ À L'ACADÉMIE LE 8 JuiN 1846.) 


PREMIER MÉMOIRE. 


De toutes les formules qui servent à déterminer les racmes des 
équations, ou à développer en série une fonction quelconque de 
ces racines, celle de Lagrange, appelée ainsi du nom de son 
illustre auteur, est, sans contredit, l’une des plus connues et des 
plus intéressantes. Sous sa forme générale, elle s'exprime, comme 
on sait, de la manière suivante : 

Soit l'équation 


(1) UT fx — 0, 
et soit & une de ses racines, et Fœ une fonction quelconque de x, 


on aura 


si 54 u.f"u) +-etc. 


du * 1.2.3 du 


- : 1 0h u 
en faisant, pour plus de simplicité, == = 
11 


SUR LA SÉRIE DE LAGRANGE. 341 


La discussion de cette série embrasse deux points différents, 
selon qu'on cherche, soit la condition de sa convergence, soit le 
caractère qui distingue la racme qu’elle représente, de toutes 
les autres de l'équation dont la même série a été tirée. Ce sont 
ces deux points qui vont former lobjet de ce travail. Le premier 
a déjà été traité, d'abord par Lagrange lui-même, et ensuite 
par M. Cauchy, qui a obtenu à ce sujet des résultats très-remar- 
quables. Mais, en ce qui concerne le second point, nous avons la 
confiance d’être dans la vérité en disant que ce qu'on connait sur 
ce sujet laisse encore beaucoup à désirer, et lon nous pardon- 
nera d'affirmer que le plus important des résultats obtenus à cet 
égard demande à être rectifié. Aussi avons-nous pensé que c'était 
la partie de notre travail qui se rapporte à ce dernier point qu'il 
fallait faire paraître la première. 

L'objet de ce premier mémoire est donc de faire connaître la 
nature et les propriétés caractéristiques de la racine donnée par 
la série de Lagrange, et de montrer de quelle manière il faut 
faire usage de cette série, pour obtenir séparément toutes les 
races de l'équation proposée. 

Nous ne pouvions, pourtant, aborder cette question sans la 
faire précéder d’une considération très-importante, tendante à si- 
gnaler certains systèmes de valeurs du paramètre u, qui entre dans 
la formule (1) ci-dessus, lesquels, sous certames conditions ‘très- 
simples, rendent la série (2) nécessairement convergente. D'ail- 
leurs, il va sans dire que les propriétés que nous avons reconnues 
à la racine donnée par la série (2) reposent sur l'hypothèse que 
cette série soit convergente. Or cette hypothèse entraîne des con- 
séquences indispensables pour faire ressortir toutes les propriétés 
de la racine en question, conséquences que nous n’eussions Jamais 
été à même d’en tirer, sans emploi d’un théorème très-fécond 
sur la convergence des séries en général, dont le célèbre savant 
de France, déjà nommé, a récemment enrichi l'analyse. C’est donc 
à ce théorème, qui réduit la loi de convergence du développement 
d’une fonction d’une variable suivant les puissances entières de 


342 RECHERCHES 

cette variable à la simple loi de continuité de la méme fonction, 
et de sa première dérivée, que nous devons la satisfaction d'avoir 
surmonté certaines difhcultés qui nous avaient longtemps arrêté. 
C’est aussi pour nous un devoir qui nous est imposé par la gra- 
titude, d'ajouter que, si notre travail est jamais digne de lindul- 
gence des géomètres, c’est dans la bienveillance dont M. Cauchy 
nous a honoré que nous avons puisé la persévérance et le cou- 
rage avec lesquels nous avons supporté tout ce qu'une pareille 
matière avait pour nous de pénible et de laborieux. 

Mais avant d'entrer en matière essayons de rappeler sommai- 
rement l'état où la question faisant l’objet de ce mémoire se 
trouvait au moment où nous avons entrepris de l’étudier. Tout ce 
ui était connu à cet égard se résume dans les résultats consi- 
gnés par Lagrange dans deux de ses écrits très-célébres. L'un est 
le mémoire on a publié en 1768 dans les volumes de l’'Acadé- 
mie de Berlin, sous le titre : Nouvelle méthode pour résoudre les 
équations littérales par le moyen des séries; l'autre est la note XI de 
sa résolution des équations numériques. Ce n’est point notre des- 
sein*de donner ici une analyse entière du premier de ces écrits, 
qui, d’ailleurs, embrasse plusieurs points. Mais, de tous les résul- 
tats remarquables qui s’y trouvent, nous tenons à signaler celui-ci : 
c'est que toute équation proposée peut se ramener à la forme (1) 
ci-dessus de plusieurs manières, et que la manière de réduction 
choisie à cet effet contribue à déterminer l’ordre de la racine 
donnée par la série. Cependant nous oserons dire que ce travail, 
admirable à certains égards, nous semble incomplet par rapport 
à la gr qui nous occupe, par deux raisons principales : 

° En ce qu'il ne donne pas un caractère propre et suflisant 
pour PI chaque racine de toutes les autres, lorsque la pro- 
posée a tous ses coefficients déterminés, 

2° En ce qu'il n'indique pas de quelle manière 1l convient de 
réduire l'équation proposée à la forme (1), pour obtenir, à l'aide 
de la série (2), chaque racine en particulier; ce qui, à nos yeux, 
est incontestablement le point essentiel de la question. 


SUR LA SÉRIE DE LAGRANGE. 343 
Dans le second des écrits que nous venons de citer, Lagrange 
a présenté la question sous une forme qui nous semble plus nette. 
et peut-être plus précise. Il l'a présentée à peu près ainsi qu'il 
suit : Supposons que l'équation proposée ait ses coefficients tous 
déterminés, et rangeons dans l’ordre de leur grandeur ses diverses 
racines réelles; lon demande laquelle de ces racines on obtient 
par la série (2). Les résultats obtenus par Lagrange, à ce sujet. 
sont compris dans le théorème suivant. 
Supposons que la proposée ait été réduite à la forme (1) «i- 
dessus, de telle manière que f (x) soit de la forme 


(3) f(æ) =A+Bz+Cr +Dzx+E zx +... 


Si & est la racine la plus petite, ou, autrement, la plus appro- 
chée de zéro, on aura 


dfu 1 & fu 
du EP QULE 


NME ER 
(Voir page 223 de la note citée.) 


Mais, après avoir examiné ce théorème avec toute l'attention qui 
nous était commandée par l'autorité si imposante de Lagrange, 
nous oserons affirmer qu'il n’est point généralement vrai. Pour 
s'en convaincre sur-le-champ, il suffit de considérer ces deux 
exemples 


(5) 6,01—x+(0,1) a (x—5) (x—6) (x—6,1) — 0 


è 5,o01—x+(0,1) x’ (x—5} — o 


qui se trouvent discutés au $ II de ce mémoire. 


Le respect profond que nous portons au nom du grand géo- 
mètre italien nous a. imposé la tâche d'examiner, sous toutes ses 
faces, la démonstration du théorème dont il s’agit; et nous avons 
trouvé ($ III) qu’elle est absolument insuffisante par plusieurs rai- 


34l RECHERCHES 


sons, dont la plus saillante est la manière même de réduction de 
l'équation proposée à la forme (1), qui a été prise pour fonde- 
ment de la même démonstration. En effet, cette manière revient 
à supposer que la proposée étant 


(6) NE) 0 
elle est ramenée à la forme (1) ainsi qu'il suit: 


(7) u—x+(x—u+kF (x))—o, 


en sorte qu'on a 
(8) PE de PE 


où, remarquons-le bien, u et À sont deux quantités imdétermi- 
nées qui, d’après l'esprit de l'analyse de Lagrange, peuvent être 
choisies à volonté. ! 

Or, par cela mème, nous démontrons au $ IT que la série de 
Lagrange tirée de l'équation (7), loin de donner constamment une 
même racine, quels que soient « et k, comme limdique le théo- 
rème de Lagrange, est susceptible, au contraire, de fournir une 
quelconque des racines simples de la proposée, pourvu qu'on 
choisisse d’une manière convenable les valeurs de u et #. I y a 
plus : nous indiquons encore quelles valeurs il faut attribuer à ces 
quantités u et k, afim d’attemdre ce double but, que la série de 
Lagrange soit convergente, et que la racine qu'elle donne soit 
précisément celle des racines de la proposée qu'on aura désignée 
d'avance. 

Ce qui précède suffit pour donner une idée sommaire de 
l’état où se trouvait la question au moment où nous l'avons entre- 
prise. Au reste, il nous a paru que cette question demandait à 
être considérée sous deux points de vue. L’un consiste à montrer 
de quelle manière il faut ramener toute équation proposée à la 


SUR LA SÉRIE DE LAGRANGE. 345 
forme (1), pour que la série de Lagrange soit convergente, et 
puisse nous fournir telle racine de la proposée qu'il nous plaira 
d'obtenir. C’est ce qui forme, comme nous l'avons déjà dit, l’un 
des objets du $ IL, et d'où il résulte une méthode pour résoudre 
les équations numériques. Quoiqu’elle suppose, comme celle de 
Newton, que l’on ait déjà la valeur de la racine qu'on cherche, 
avec un certain degré d’approximation: elle sera pourtant, nous 
l'espérons, Jugée digne de l'attention des géomètres. L'autre 
point de vue, sous lequel nous avons considéré la question, con- 
siste à déterminer a priori l'ordre de la racine donnée par la 
série de Lagrange, en supposant que la proposée ait été réduite 
à la forme (1) d'une manière quelconque convenue d'avance. 
Mais nous ne pouvions résoudre ce dernier problème sans établir 
auparavant un mode quelconque de distinguer et de ranger entre 
elles les diverses racines de toute équation donnée. Ainsi l'on 
nous pardonnera d’avoir exposé, au $ IV, avec d'assez longs dé- 
tails, celui des divers modes de distinction et d’arrangement 
des racines de toute équation proposée, que nous avons cru devoir 
choisir de préférence, comme le plus propre à nous conduire à 
une solution satisfaisante du problème indiqué tout à l'heure. Nous 
croyons inutile d’entrer dans de plus grands détails sur l'objet de 
ce mémoire, car un simple coup d'œil, jeté sur chacun des para- 
graphes qui le composent, suffira pour en montrer, d’une manière 
complète, l'esprit et la portée. 


S I. 
Soit l'équation 
(1) DD (T)—10. 
et soient 
Dis Usa His hi à 33 


SAVANTS ÉTRANGERS. — XII. 44 


346 REÉCHERCHES 


les différentes racines réelles, ou imaginaires, de Péquation 


(2) f(a)= 0, 


en sorte qu'on ait, pour la plus grande généralité possible, 


(3) Pa} (he (en (x us) 2 M0, (su), 


ÿ (x) étant une fonction quelconque de æ,.réelle ou imaginaire , 
algébrique ou transcendante, et seulement assujettie à ne pas de- 
venir infinie, pour æ égal à une quelconque des racines ci-des- 
sus de l'équation (2). 

La formule de Lagrange tirée de Fe (1) sera 


dfu 1 d fu 


1.9 du 1:00 0 


CONRCENTE 


Cela posé, regardons, dans cette série, u comme un paramètre 
variable, et cherchons la condition de sa convergence dans le cas 
où lon attribue à u des valeurs situées dans le voismage de la 
quantité u;, u; étant une quelconque des racines de l'équation (2) 
que nous venons d'appeler u,, u,, u,..... Un 

À cet effet, commençons par considérer la valeur particulière 
u — u;, ou, mieux, une valeur de u infiniment rapprochée de u.. 
Dans ce cas, le terme général de la série (4), savoir: 


1 d” f"(u) 


12.06. -0m d'u! 


se réduit à zéro, ou, mieux, devient infiniment petit, comme on 
peut s’en convaincre eu égard à la nature de la valeur assignée 
précédemment à f (x). Mais ce n’est pas là encore une preuve 
sûre de la convergence de la série. Car la loi de convergence de 
toute série ne dépend pas, comme on sait, de la valeur absolue 
de ses termes, mais de la limite vers laquelle converge le rapport 
de deux termes consécutifs quelconques, à mesure que les indices 


SUR LA SÉRIE DE LAGRANGE. 347 


de ces termes tendent vers l'infini. Cherchons donc cette limite 
par rapport à la série qui nous occupe. Pour cela faisons 


(5) Ja = (x —u)0(a). 


où 0 (x), d’après l'équation (3), est certainement une fonction qui 
ne peut devenir infinie pour u — ui. 
En ayant recours à la formule connue 


(6) dP (u.v) — u dPv + p dud\" 


e 
LA Ta 
1 


hi e ) dud—v + etc. .... 


l'on en*tire 


(7) de far == dé (um. 8 (apr 
= de (a — ui)". 0(a)" + (m2) dO(u)" dM— (nu; )" 


re RE 2 in ns (a — u;)" + etc... 


1.2 


ou bien 


Épe e dr? @ (u)" 1 (Cart 


d'a" 1.2.9, (im — }) 
Ou) eu tu;)" 


dus LA CERTES 
laquelle formule, en y changeant m en m —+- 1, nous donne 


1 d" (a)"# 
(9) I 2 gta) (uw) 


1.2.3.4...(m+i) du” 
dO(n)"# (u—u;) 


du 1.2 


Or, en désignant par R la limite qu'on cherche, limite qui est 
h4. 


348 RECHERCHES 

la même vers laquelle converge le rapport du premier membre 
de la dernière équation, divisé par le premier membre de celle 
qui la précède, à mesure que m tend vers l'infini, on aura 


(10) R = Ou) + À w + Ba + Cow +... 


où, pour abrèger, l'on a fait u — u; — w, et où les coefhcients 
A, B,C, etc., sont des fonctions de x et de Fimdice »m, mdice qui 
doit être ici regardé comme infini. 

A la vérité, la fôrme sous laquelle nous venons d'obtenir R ne 
serait d'aucune utilité, s'il fallait calculer R pour une valeur finie 
quelconque attribuée à w. Car les coeflicients À, B, C deviennent 
infinis à cause de la valeur infinie qu'il faut attribuer à », comme 
on peut le voir en essayant le calcul du seul coeflicient A, pour 
lequel on trouve, toute réduction faite, 


dO(u) 


du 


(11) Am 


Mais la formule (10) est sans doute suflisante pour détermmer 
la valeur de R dans le cas particulier où u = u;, ou, autrement, 
dans le cas où l'on a w — 0. Car, dans cette hypothèse, les 
termes de cette formule renfermant les coefficients À, B. C, etc. 
s’évanouissent tous, et l’on a simplement 


(12) ROME 
ou bien 
(15) R — f'(ui). 


Car en différentiant l'équation (5) par rapport à x, et faisant 
après la différentiation & = u;, on trouve 0 (u;) — f" (u:), où par 
f'{u;) nous entendons le premier coeflicient différentiel de f{u;) 
par rapport à u;. | 


SUR LA SÉRIE DE LAGRANGE. 349 


De l'équation (13) nous tirons d’abord cette conséquence : que 
la série (4) est convergente ou divergente pour u—ui, ou, plus 
rigoureusement parlant, pour u infiniment rapproché de a; suivant 
qu'on aura 


(14) mod. Tmiecousr; 


en désignant par mod. f’{u;) le module de la quantité f{u:). 

Mais il y a plus : l'équation (13) entraine encore une conse- 
quence autrement importante à signaler. En effet, la limite R, 
savoir celle vers laquelle converge le rapport de deux termes con- 
sécutifs quelconques de la série (4), à mesure que les indices de 
ces termes tendent vers l'infini, est certainement une fonction con- 
tinue de u, ou elle est, au moins, telle, pour des valeurs de u 
voisines de u;. Il résulte de là qu'il existera nécessairement un sys- 
tème de valeurs de u, situées dans le voisinage de u;, qui, tout en 
différant de u; d’une quantité finie, s’en approcheront toutefois 
tellement, que la valeur correspondante de R différera de f'{ui) 
si peu, qu'elle sera plus grande ou plus petite que l'unité, en 
même temps que ceci aura lieu pour f’{u;). D'où vient le théo- 
rème que nous allons établir. 

Tuéorëme (A). — La série (4) est convergente, ou divergente 
pour toutes les valeurs de w en nombre infini, renfermées entre 
deux certaines limites /; et l';, comprenant entre elles la quantité u;, 
selon que mod. f'{u;) sera ou => 1. 

Mais cette proposition étant*fondamentale, il est bon de la 
démontrer d’une. manière plus rigoureuse. Pour cela nous nous 
appuierons sur le beau théorème de M. Cauchy, au moyen duquel 
ce grand géomètre ramène la loi de convergence du développe- 
ment de toute fonction d’une variable t suivant les puissances en- 
tières de cette variable, à la simple loi de continuité de la mème 
fonction, et de sa première dérivée. Ce théorème a été énonce 
par M. Cauchy de plusieurs manières, dans ses exercices de phy- 
sique et d'analyse, et dans nie de ses mémoires. Nous en 
rapporterons ici l'énoncé, qu'on trouve dans les comptes rendus 


\ 


320 RECHERCHES 
des séances de lInstütut de France, année 18/44 (deuxième se- 
mestre). 

Tuéorëme De M. Caucuy. — Supposons que f(t) et f'(t) res- 
tent fonctions continues de la variable { —r eV pour toutes les 
valeurs du module r de cette variable inférieures à une certaine 
limite k; supposons encore que la fonction f{{ l ou l'une quel- 
conque de ses dérivées devienne infinie pour r — #, et pour une 
valeur convenablement choisie de l'argument p; alors k sera la 
limite extrême et supérieure au-dessous de laquelle le module Fr 
pourra varier arbitrairement, sans que la fonction /{t) cesse d’être 
développable en une série convergente , ordonnée suivant les puis- 
sances entières et ascendantes de f. 

Pour faire usage de ce théorème, nous ss remplacerons l'équation 
(1) par la suivante: 


(15) u—x—+lf(x) = 0, 


où / est un paramètre variable. 
Ce qui nous conduit à remplacer la série (4) par la suivante : 


t* df{u) ( dife (u) 

(16) mteitf fees a rate EEE En 
t d d'J'(u) 
1.2.8:4 1 dut 


Ainsi, la condition de convergence de la série (4) se réduit à 
ce que la série que nous venons d'écrire soit convergente pour 
un module de { égal ou supérieur à l'unité, Cela posé , désignons 
par S (!) cette série (16). La série (4) devra être désignée en con- 
séquence par S (1), car elle se déduit de S (f) en y faisant { — 1. 
Or, pour trouver la condition de convergence de la série S (t), 
appelons & celle des racines de l'équation (15) qui est donnée par 
cette série. Cette racine, eu égard à un autre théorème de 
M. Cauchy, devra être regardée comme une fonction continue de 
t. Pour qu'elle soit donc développable en série convergente sui- 


‘ SUR LA SÉRIE DE LAGRANGE. 351 

vant les puissances ascendantes de #, il suflit, en vertu du théo- 
h; (l Fe 

rème rappelé plus haut, de considérer D dont la valeur, tirée 


de la différentiation de l'équation (15), est 


da sh f (a) ; 
(17) dE REF) 


et 1l faudra chercher le plus petit module + de 1, par rapport 
auquel le second membre de cette dernière équation devient dis- 
continu. Pour cela il faudrait établir l'équation 


(18) NC 


où d’abord l'on devrait mettre pour & sa valeur en fonction finie 
de t, si cette valeur nous était connue; et, ensuite, il faudrait cher- 
cher le plus petit module des racines { de l'équation en {, dans 
laquelle se réduirait la dernière après la substitution dont nous 
venons de parler. Mais la fonction Jinie en !, exprimant la racine «. 
nous étant inconnue, voici comment nous nous tirerons de cette 
difficulté, dans le cas où l’on suppose que la valeur de u est égale 
à u;, où prise dans le voisinage de cette quantité. D'abord, si nous 
supposons u exactement égal à u;, il est évident que la racine « 
se rédura alors à u;, quel que soit {. Par suite l'équation (18) 
deviendra pour u — u; 


(19) 14 fl {u) — 0: 


équation du premier degré par rapport à {, et qui nous donne, 
pour le module cherché r de 1, 


1 


(20) Ro SO ra 


Par suite, la série S (1), savoir celle qui se rapporte à l’équa- 
üon {1}, sera convergente ou divergente pour & — w,, suivant 
qu'on aura 


mod J'{u;) ou = 1, 


résultat qui est le même que nous avons déjà obtenu plus haut. 


852 . RECHERCHES 


Faisons maintenant u — u; + w, w étant réel ou imaginaire, 
mais peu différent de zéro. Alors, pour trouver le plus petit des 
modules des racines qu’acquerrait l'équation (1 8) résolue par rap- 
port à {, si l'on y mettait, préalablement, pour & sa valeur finie 
en fonction de {, nous nous y prendrons ainsi qu'il suit. 

Nous observons, avant tout, que le module 7 de ?, qu'on 
cherche, peut être regardé comme donné par la formule 
1 


(21) T — mod -——- — ) 
Ÿ ft) — mauf(s) 


pourvu qu'on y entende par + une des racines de l'équation 


(22) = Er 


résultant de l’élimmation de t entre l'équation 
(23) + w—x+tf{x) = 0, 
et sa première dérivée par rapport à x 

(24) —1+{tf(x) = o. 


En effet, en réfléchissant avec attention sur l'origine , que nous 
venons de signaler tout à l'heure, de l'équation (22), on s’aper- 
çoit que les racines de cette équation, d’une part, ne sont que les 
racines multiples que l'équation (23) peut acquérir par de conve- 
nables valeurs attribuées à {; et, d'autre part, représentent toutes 
les valeurs de x qui, substituées dans l'équation (24), donnent les 
valeurs qu il faut attribuer à { pour que l'équation (23) acquière, 
en conséquence, une ou plusieurs racines multiples. Mais il est 
facile de se convaincre que toute valeur de t, qu'on obtiendrait 
de l'équation (18) si lon y mettait pour & son expression en fonc- 
tion finie de t, est propre à rendre une racine double la même 
racine @. D'après cela, il est évident que la valeur de #, ou bien 
son module 7 qu'on cherche, peut être regardé comme donné 


SUR LA SÉRIE DE LAGRANGE. 353 


par la formule (21), pourvu qu'on y entende par æ une racine 
convenable de l'équation (22)..La question est ainsi réduite à dé- 
mêler la racine x, indiquée tout à l'heure, de toutes les autres 
racines appartenant, de même qu'elle, à l'équation (2 2). À cet 
effet, il faut observer que, puisque en faisant w — 0, la racine de 
l'équation (22), convenable à notre objet, est x — ui, ce qui donne 
ce résultat déjà trouvé plus haut 


. 
1 


mod f'(u;) ” 


il est évident que pour w non égal à zéro, mais seulement très- 
petit, la racine x de l'équation (2 2), qui convient à notre objet, 
sera celle, ou, mieux, l’une de celles qui se trouvent dans le voi- 
sinage de u;. 

Tâchons donc de déterminer ces racines. Pour cela écrivons 
l'équation (2 2) sous cette forme 


GS) w+ [(u—2)f(2)+f{a)] — 0, 


et commençons par remarquer que l'équation 


(26) (& — 2) f'{x) + f(x) = 0 


a toujours, au moins, deux racines égales à U;; car sa première 
dérivée, étant 


(27) (ui — x) f(x) = 0, 


a toujours une de ses racines égale à u;. 

Ajoutons que la même équation (26) pourra acquérir trois ra- 
cines égales à u;, ou quatre, ou même davantage, selon qu’on 
aura où seulement f"{u;) — 0, ou bien à la fois f'{u;) — 0, € 
(a) = 0, etc... comme on peut s’en convaincre tout de suite 
à l'inspection des dérivées de la même équation, lesquelles sont: 


celle du second ordre. . J'{x) + (x — u;) f(x) —0; 
(28) celle du troisième ordre 2 f(x) + — 0) f(x) — 0. 


SAVANTS ÉTRANGERS, — XII. 45 


354 RECHERCHES 

Or il est impossible de déterminer celles des racines de léqua- 
tion (25) qui se trouvent dans le voisinage de a;, sans considérer 
séparément les différents cas que nous venons de signaler par rap- 
port à l'équation (26). Partant, supposons, en premier lieu, que u; 
ne soit qu'une racine double de cette même équation (26), en sorte 
qu'on ait 

J'(&) > où <o; 


alors son premier membre sera divisible par (x — u;}. Nous pour- 
rons ainsi établir l'équation 


(29) (au) (er) ff) (eu) 0(æ) 


9(æ) étant une fonction qui ne s’évanouit ni ne devient infinie 


pour æ — u;. Par suite l'équation (25) devient 
0 (x) 

3 2 n À 2 - — ! 

(30) w@ — (x u;) Fa] 0 

ou bien 


ALL UE) | du /ef'(s 
(31) (ui — x} — |) Te 


Et, en appliquant à la dernière de ces équations la formule de 
Lagrange, on aura 


— : ‘of (w) P} d J' (wi) 
(32) Em Ko \ NT M (LE) 
ci d ff (uw) ï 
1 12.3 duÿ (re) 1 (etc... 


Telle est l'équation qui donne explicitement, et sous forme de 
série, les racines de l'équation (22) situées dans le yoismage de u, 
et cela dans le cas où l’on a 


fi) roù <10: 


Mais ces racines sont encore susceptibles d’être exprimées en série 


SUR LA SÉRIE DE LAGRANGE. 355 
composée de termes tous indépendants de la fonction O{u;) et 
de ses dérivées, ainsi qu'on va le voir. Posons 


f'(u) 
(33) LE G(u:) ; 
l'équation (32) deviendra 
; Sr w dy a dy 
(34) CT — U; + © RE nent lobe Panel (OlQe « 


Cela pose, en différentiant par rapport à x l'équation (29), et 
divisant le résultat par & — u;, on trouve 


(35) (a —u;) d'(x) + 2 0(x) = f"(x), 
ce qui nous donne, en y faisant x — u;, 


(36). bla) 


2 


En différentiant l'équation (35) on obtient 


(37) (2 — wi) 0(z) + 3 0'(x) — f(x). 
D'où l'on tire, en faisant x — u;, 

. ! (ui) 
(38) du), — EMI, 


On trouvera de même 


(39) 0 [u) — J"(&) its (mu — etc. . - 


A l'aide de ces valeurs on pourra facilement calculer les coeffi- 
cients des termes de la série (3/4), dont nous nous contenterons 
ici de déterminer les trois premiers seulement. 


En vertu des équations (33) et (36) on a d'abord 


(40) NI — É J = 


4. 


356 *:  RECHERCHES 


Mais la même équation (33) nous donne 


dy ul f'(u) J' (ui) 4'(u:) 
(41) HRRS COS ICT EU 


équation qui, en vertu des valeurs de O{u;) et de 6'(u;), tirées 
des équations (36) et (38), nous fournit la suivante : 


a AT rien 


(42) dut UNS 3 Jf'(u} 
Partant l'équation (34) deviendra 
(43) r—u+\/270), o |: — à LEA —- etc... 


Telle est la formule qui représente, en fonction de f {u;) et de ses 
dérivées, celles des racines de l’équation (22) qui se trouvent 
situées dans le voisinage de u;, et cela dans le cas où l'on a 


f'{u) > ou < 0. 


Mais ici il y a une observation importante à faire. C’est que la 
dernière formule cesserait de servir à la détermination de x, si 
lon avait f'(u;) — 0. Pour s’en convaincre, il faut considérer 
ceux des termes de la série (34) qui sont affectés des puissances 


fractionnaires a vs etc... En nous bornant au seul terme 


affecté de FE on trouve 


(4) EE = — 
j iVx 
et le second membre de cette équation devient imfini, lorsqu'on 
y fait x — u;, attendu que la valeur de y, donnée par l'équation 
(40), se réduit, dans ce cas, à zéro. 
Mais on trouve sans peine l'équation qui doit remplacer l'e- 
quation (43) dans l'hypothèse actuelle. Posons 


(45)  fa)=(c—uwr(x), f(x) =(x— x) (x) 


m(xæ), @(x) étant deux fonctions qui ne s’évanouissent ni ne de- 
viennent infinies pour æ = ü;. 


RER EE 


SUR LA SÉRIE DE LAGRANGE. 357 


Par suite, le premier membre de l'équation (26) pourra se 
mettre sous cette forme 


(6) (ui x) f'{x) + f (a) = (ui > 2} [6 (a) — (x) 


Ainsi, l'équation (25) deviendra 


m(æ) —@(x) 
(47) + us) 2 ee) Le, 
ou bien 
A wr(x) jh es 
(48) FRET ere ee 


d’où l’on tire, par la formule de Lagrange, 


RARE om (ui) Lx | ñ (ui) £ ; 
PEER r(u)—@{u) | 1.2 du, | r{(u) —@(a) MER 


Reste à déterminer les termes de cette série en fonction de J (ui) 
et de ses dérivées. C’est là un calcul qu'on exécutera sans peine, 
Pourvu qu'on remarque qu’en différentiant par rapport à x, plu- 
. « . C: , . ,7 
sieurs fois de suite, les équations (45), on a ces deux suites d'é- 
quations 


(50) 7 (ui) — Nc) Rush — J° (en). Tu) — MCE etc... 


2 3 
” (u) ; "(m) " J" (ui) 
61 eue 2, ete LE, gt) = LU, co 


Eu égard à ces valeurs, et à ce qu'on a JR) = 0; l'équation 
(49). tout calcul fait, se transformera en la suivante : 
Li 


(Ba) r—m+aw2f0,, 


Telle est la formule qui donne les racines de l'équation (2 2) 
situées dans le voisinage de u;, lorsqu'on a f'(u)= "08 et f'(a:) 
> où 0. 


358 RECHERCHES 


Considérons maintenant le cas où l’on a fu) — 0, f"{u;) 
étant = où 0 : alors l'équation (26) aura trois racines égales 
à u;, ainsi que nous l'avons déjà observé plus haut. Nous poserons 
par conséquent 


(53) (r — ui) fx) — f(x) = (& — wi) Y(x). 


L'équation (25) devient par là 


(54) U;, — Z + VS 10 


et en y appliquant la formule de Lagrange on a 


(55) SE OU FRE es d Fa 


Ÿ (u) 1.2 du, \y(u) 
& LT f' (u;) 
| hiastrdie (e ) AE de 


Or, en exécutant d'abord les différentiations indiquées par les 
coefficients des termes de cette série, et en observant ensuite que 
la différentiation de l'équation (53), répétée autant de fois qu'il 
faut, nous donne, à cause de l'hypothèse f” (u;) — 0, 


Fe (us ! Dit (ui) 7 ; 
ET ME A: L y (u;) ne d'u) 2% ee... 


on parviendra à changer l'équation (55) dans la suivante 


sf _, M ( S mi 


f' (ui) SAP A{u;) NE Fu) 
1 1 f' (ui) f" (uw) 9 f'(w).f" (ui) 
F5 ® Ï BC 5 pe) LT TI PAT | rie 


équation, qui donne en fonction de f {u;) et de ses dérivées les 
racines x de l'équation (22) situées dans le voisinage de u;, dans 
le cas où l’on a f'{u) = 0, f'(u;) étant => ou < 0. L'on voit 
de plus que ces racines sont au nombre de trois. 

D faut ajouter que cette équation deviendrait illusoire si l'on 


SUR LA SÉRIE DE LAGRANGE. 359 
avait f'(u;) — 0, comme on s’en apercevrait si l’on poussait plus 
loin le calcul des termes de la série, qui en compose Île second 
membre. Mais ce fait n’a rien d'étonnant, et il tient à ce que l’é- 
quation (2 2) n’a jamais qu'une seule racine voisine de u;, lors- 
qu'on a f'(u;) —= o, les autres dérivées f'(x;), f'(u;) ete... étant 
quelconques. Cette vérité, facile à démontrer en général, l’a déjà 
été précédemment, dans l'hypothèse de J'(u) — 0, et J'(u:) 
= où <T o. Nous la démontrerons encore pour le cas, où l’on 
suppose f'{u;) — 0, et à la fois f'\a}— 0, J'(u;) étant => ou 
<T oO. 

Alors nous poserons léquation 


58), fa=(r—um(x, la) = (z2--u) @ (2), 


m(x) et @,(x) étant deux fonctions qui ne s'évanouissent ni ne 
deviennent infinies pour © — u;. 
Ainsi l'équation (25) pourra s’écrire sous cette forme 


(59) w + (u; — x) | Re @) —= 0; 
ou bien 

] 1 “m(x) 14! 
(60) vo re médee «2: 


D'où l'on tire par la formule de Lagrange 


à PERE w mr (u;) 
(61) PET TU NT" M HE 


équation qui, d'une part, montre que, dans l'hypothèse actuelle, 
l'équation (22) n’a qu'une racine située dans le voisinage de u;; 
et, de l’autre part, offre le développement de cette racine suivant 
les puissances entières de w. Nous ne voulons pas nous arrêter 
ici à déterminer les coefficients des termes de cette dernière série, 
en fonction de J{u), et de sés dérivées J'{u), f°(w}, ete., ce 
qui, d'ailleurs, ne présente aucune difficulté, Nous ne croyons pas 
non plus devoir considérer les autres cas qui résultent des autres 


x 


360 RECHERCHES 


hypothèses, qu'on peut encore faire sur les valeurs des dérivées 
f'{u), f'{u), etc... L'analyse précédente montre elle-même 
la marche qu'il faudrait suivre pour déterminer, dans chacun des 
cas en question, les formules propres à donner celles des racines 
de l'équation (22) qui se trouvent dans le voisinage de w;. Mais 
nous nous hâterons de revenir au véritable objet qui nous a con- 
duit à la discussion de l'équation (22), objet qui consiste, comme 
on sait, à déterminer le plus petit des modules des racines qu'ac- 
querrait l'équation (18) résolue par rapport à #, si lon y mettait 
préalablement pour & sa valeur en fonction finie de {. Ce module 
Tr, d’après les raisonnements déjà exposés, sera donné par l’équa- 
tion (21), où lon doit avoir soin de mettre à la place de x une 
des racines de l'équation (22) situées dans le voisinage de u;. Or 
ces racines, qui peuvent, d’ailleurs, être une ou plusieurs, géné- 
ralement se déterminent sans peine au moyen de l'analyse pré- 
cédente, et, en particulier, elles sont données par la formule (43) 
si f'(u;) et f'(u;) sont lun et l'autre => ou < 0; ou par la série 
(52), si l'on a f'(u;) == o et f'{u;) = où 0; où enfin par la 
série (55), si l’on a à la fois f’{u;) = ou 0, f'(u) — o, 
fa) 0; 

Cela posé, puisque la série S(1) est, comme on sait, conver- 
gente ou divergente, selon qu'on a 7 => où 1, on en conclura 
que la condition de sa convergence, pour a pris dans le voisinage 
de w;, sera . 


(62) mod f'(x) 1, 


où il faut faire attention, 1° qu'en général x doit recevoir, pour 
sa valeur, celle des racines de l'équation (22) qui se trouve dans 
le voisinage de u;, ou une de celles qui s’y trouvent, si l'équation 
(22) en a plus d’une de pareilles; 2° qu’en particulier x doit rece- 
voir la valeur donnée par l'équation (43), ou par l'équation (52), 
ou bien par (57) lorsqu'on a, ou f'{u;) et f'{u;) lun et l'autre 
rot ofto Mu) totem" (nr) tou C6;70ù enfin /”(u;) 
— 0, et f'(u;) et f{u;) lun et l'autre => ou 0. 


SUR LA SÉRIE DE LAGRANGE. 361 


Partant, si Ju) et f'(u;) sont tous deux différents de zéro. 
on aura, tout calcul fait, pour condition de convergence de la 
série S (1) 


(63) mod. [ J'(u) + Va of (x) fT 
He (fu) + PM) TS 


Si l'on à f'{a;) — 0, et f” (a) = où — 0, la condition de con- 
vergence dont il s’agit sera 


(64) mod. [a J'{ai) à 2 fui) a 


ri — L f (x) ae fe 


ü; 


et si f' (uw) — 0, f' (ui) et f” (u:) étant tous deux différents de 
zéro, la condition de convergence de la série S(1) deviendra 


(65) mod. | f{u) + 9 lu a) 


Il serait facile de former explicitement en fonction de œw, et 
des dérivées de f(u;), la condition de convergence de la série S (1), 
pour toutes les autres hypothèses qu'on pourrait encore faire sur 
les valeurs des dérivées de J (u). Mais les premiers membres 
des inégalités précédentes (63), (64), (65), eu égard notamment 
à ce qu’elles ne contiennent que des puissances positives de w, 
suffisent, 1° Pour montrer que les conditions de convergence 
qu'elles expriment ne manqueront pas d’être satisfaites, si l'on a 
mod. f' (a;) 1, etsi, en même temps, w est très-petit ; 2°pour nous 
convaincre qu'il en sera de même des conditions de convergence 
de la même série S (1), correspondantes à des hypothèses autres 
que les précédentes, qu'on pourrait encore faire sur les valeurs 
des dérivées de f ( u;). Car, certainement, ces conditions s’expri- 


SAVANTS ÉTRANGERS, — x1I. 46 


362. RECHERCHES 

meraient de manière à ne contenir que des puissances positives 
de w, entières ou fractionnaires: et si elles doivent avoir un terme 
indépendant de w, ce terme ne pourra être que f’(u;), tout aussi 
bien que cela a lieu pour les inégalités ci-dessus (63), (64), (65). 
Nous avons donc dans ces inégalités, ou, pour mieux dire, dans 
l'inégalité (62), une confirmation de la vérité du théorème (A). 
Au reste, nous nous bornons aux développements que nous venons 
de donner de la démonstration de ce théorème, en nous réser- 
vant de revenir sur cette matière dans le second mémoire faisant 
suite à celui-ci, et que nous espérons publier bientôt. 

En général, étant donnée une série, dont les termes soient des 
fonctions d’un paramètre u, on pourrait appeler période de con- 
vergence de la même série, considérée comme une fonction de 
ce paramètre, le système de toutes les valeurs de u, comprises 
entre deux limites quelconques / et l', pour lesquelles valeurs la 
série est toujours convergente ; en sorte qu'en faisant varier u 
insensiblement depuis 4 — 1, jusqu’à u — |’, la somme de la série 
demeure constamment une quantité fimie. 

Cette dénomination une fois adoptée, si nous supposons qu’on 
ait mod. f'{u;) 1; il résulte du théorème (A) que la série (4) 
jouit, par rapport à u, d'une période de convergence, dont les 
limites /; et l'; comprennent entre elles la quantité u;. Mais remar- 
quons bien qu'il pourrait se faire (et il ne serait pas d’ailleurs dif- 
ficile d’en citer des exemples) que la série (4) fût continuement 
convergente pour toutes les valeurs de x renfermées entre deux 
limites comprenant entre elles plus d'une racme réelle de lé- 
quation f (x) — 0. Aussi, par période de convergence relative 
au paramètre u, et renfermant la racine réelle u; de f (x) = 0, 
nous n’entendons pas une période telle que ses deux limites ne 
comprennent jamais que la seule racine u;. Mais, au contraire, 
rien ne s'oppose à ce qu'en certains cas les mêmes limites, outre 
la racine u;, mdiquée dans l'énoncé même de la période, renfer- 
ment encore d'autres racines de la même équation f (x) = 0, 
inférieures ou supérieures à cette même quantité uj. D'après Ja 


SUR LA SÉRIE DE LAGRANGE. 363 


dénomination que nous venons d'adopter, on dira encore que les 
périodes de convergence de la série (4) relatives à u, et dont les 
limites renferment quelques-unes des racines de l'équation f(x) 
A = 2] Q 
— o, peuvent être en certain nombre, et chacune d'elles se dis- 
tinguera des autres par celle ou celles des racines de f(x) — 0, 
dans le voisinage de laquelle ou desquelles seront situées, de part 
et d'autre, les valeurs de u composant la même période. 


$ IT. 
Soit l'équation 
(1) u—x—+tf(x) — 0, 


laquelle est la même que l'équation (15) du paragraphe précé- 
dent, mais où nous regarderons u comme une quantité réelle et 
constante, et { comme un paramètre variable et toujours réel. En 
outre, nous y regarderons f (x) comme une fonction réelle quel- 
conque dé x, continue, ainsi que sa dérivée, pour toute valeur 
de x, ou, du moins, pour celles que nous aurons à considérer 
dans ce paragraphe. Ajoutons que, sans nuire à la généralité de 
la question, nous pouvons supposer que f (x) ne s’évanouit, ni 
devientinfini pour x —u, en sorte que cette fonction ne renferme, 
ni au numérateur, ni au dénomimateur, le facteur u — x élevé à 
quelque puissance que ce soit. 

Cela posé, reprenons la série S(t), qui a été considérée dans 
le paragraphe précédent, savoir : 


1.2 du 1.2.3 du 


(2) u + tf(u) + ms HG NIRe tt d'f°(u) 


— etc... . 
résultant de l'application de la formule de Lagrange à l'équation 
(1) ci-dessus. Supposons que cette série soit convergente pour 
toute valeur réelle de t, comprise entre les limites — let + l, 
et appelons toujours à la racine qu’elle représente. 

D'après les hypothèses que nous venons de faire, il est évident 
16. 


364 RECHERCHES 
que cette racine æ& est une racine réelle pour toute valeur de + 
comprise entre les limites — / et + 7 mdiquées tout à l'heure. 
Mais elle jouit d’autres propriétés qu'il importe de faire connaître, 
et que nous allons énoncer dans les théorèmes suivants. 

Taéorème 1. — Nous disons, d’abord, que cette racine & est 
toujours croissante ou toujours décroissante, par rapport à {, pour 
toute valeur de { renfermée entre les limites de convergence — / 
et + 7 de la même série. Nous disons, de plus, qu'elle est crois- 
sante ou décroissante, selon que la quantité réelle f (u) est posi- 
tive ou négative. 

En eflet, en différentiant l'équation (1) par rapport à x et à !, 
et changeant ensuite x en &, on a 


da J. (a) 


(ô) ASE 


ds opt k mile pr à d f (a) 
en désignant par f' (a) le coeflicient différentiel SEA 


Or, le théorème de M. Cauchy, rappelé au paragraphe précé- 
dent, et relatif à la loi de convergence du développement de 
toute fonation d'une variable, montre que toute valeur de {, com- 
prise entre les limites de convergence — let + /, sera toujours 
inférieure à celle qui, conjointement avec la valeur correspon- 
dante de æ, tirée de la série S (1), rendrait le dénominateur ci- 
dessus 1 — { f' (œ) égal à zéro. Par suite, ce même dénomina- 
teur, pour toutes les valeurs de { comprises entre les limites — / 
et + /, doit toujours conserver le même signe. Mais il est facile 
de voir que pour { = 0, et pour { très-approché de zéro, valeurs 
pour lesquelles la série S (t) est évidemment convergente, le dé- 
nominateur dont il s’agit demeure toujours positif. Car le produit 
t f'(&), pour f très-petit, devient lui-même très-petit; à cause de 
la présence du facteur {, et à cause de ce qu’à mesure que # con- 
verge vers zéro, @ converge vers u, eb par suite f'(œ) converge 
vers f’{u). Il résulte de là que, tant que la série S (1) est conver- 
gente, le dénominateur 1 — +1 f° (x) est toujours positif. 


SUR LA SÉRIE DE LAGRANGE. 3065 
Considérons maintenant le numérateur f (æ). D'abord il con- 
serve, lui aussi, le mème signe pour toutes les valeurs que prend 
« dépendamment des valeurs que peut acquérir { entre les limites 
— let + 1. En effet, si, pour de pareilles valeurs de 4, f (x) 
pouvait changer de signe, il faudrait des parmi elles, il y en eüt 
une de nature à rendre f (æ) égal à zéro, ce qui ne peut avoir 
lieu à moins qu'on n'ait 4 — u, et f (u)— 0; résultat contraire 
à l'une des hypothèses établies sur la nature de f (x) au commen- 
cement de ce paragraphe. 
D'ailleurs, ce même numérateur f(x) devient égal à f(u) 
lorsque { — 0, car & se réduit alors à u. De on et de tout ce 
qui- précède, nous concluons que la valeur de © , donnée par 


l'équation (3), conserve toujours le même signe A toute valeur 
de {, pour laquelle la série S(t) est convergente, et, de plus, 
qu'elle est toujours positive ou toujours négative, selon que / (u) 
est, lui-même, ou positif ou négatif : ce qui démontre le théo- 
rème en question. 

Corollaire. — Supposons que la série S (4) reste convergente en 
faisant { == 1; en d’autres termes, supposons que la limite / soit 
supérieure à l'unité ; alors la série S (1) sera convergente. Cela étant, 
on conclura du théorème précédent que da racme de l'équation 


(4) gd f{z) #0; 


donnée par la série S(1), sera plus grande ou plus petite que «, 
suivant que f (u) sera positif ou négatif. 

En effet, si f (u) est positif, la racine donnée par la série S (1) 
est, en vertu du théorème précédent, croissante par rapport à {; 
et puisque en faisant {= 0, cette racine se réduit à u, il faut qu'en 
faisant t— 1, ‘elle soit plus grande que u. On démontrera de même 
que, si f (u) est négatif, la racine donnée par la série S (1 1} sera 
plus petite que u. 

Tuéorëme 2. — Soit toujours l'équation (1). Partageons ses 
racines réelles en deux classes, en rangeant, dans la première, 


366 RECHERCHES 

toutes les racines plus grandes que le terme u, et, dans la se- 
conde, les autres racines, savoir celles qui sont plus petites que u. 
Nous disons que la racine &, donnée par la série S(f), est tou- 
jours, parmi toutes celles qui.sont de la même classe qu'elle, la 
racme qui s'approche le plus de la quantité u, premier terme de 
l'équation (1). 

La démonstration de ce théorème est très-simple. D'abord, il 
est évident que la racine & donnée par la série S ({) converge 
vers u, à mesure que { converge vers zéro, comme nous l'avons 
déjà observé. D'ailleurs, cette racme à est toujours une racine 
simple pour toute valeur de { comprise entre les limites de con- 
vergence — / et + l; car, pour de pareilles valeurs de £, la fonc- 
tion dérivée — 1 —+- 1 f' (x) du premier membre de l'équation (1) 
demeure toujours différente de zéro, comme nous l'avons remar- 
qué au commencement de la démonstration du théorème 1. Ainsi, 
il est certain que, quand l converge vers Z6TO , la racine & est la 
seule de toutes les racines de l'équation (1 (1) qui converge vers la 
limite u. D'où nous pouvons déjà conclure que, pour { — o et 
pour { très-voisin de zéro, la racme & sera certainement celle des 
racines de l'équation (1) qui s'approche le plus de u. Cela posé, 
en faisant varier depuis 110 Jusqu'à t— + |, il est évident 
que œ, comparée aux “seules racines qui sont de la même classe 
qu'elle, continuera, pour toute valeur de t, à être la racine la 
plus approchée de u, aussi longtemps qu'aucune racine de lé- 
quation (1) ne viendra à acquérir pour { — +, une des valeurs, 
qu'avait déjà acquise la racme & elle-même, pour une valeur de t 
comprise entre { — o et t = 7. Il suffit donc de faire voir que 
ce cas est impossible, pour que le théorème qui nous occupe soit 
complétement démontré. Or admettons, pour un moment, le cas 
en question comme possible, et concevons, pour fixer les idées, 
que 7’ étant une quantité comprise entre o et 7, la racine @ ac- 
quière la valeur a pour t == +, et la valeur b pour {== 7'; ce qui 
revient à supposer que la somme de la série S (+) soit a, et celle 
de la série S (7') soit b. Cela admis, supposons que, pour { — 7, 


SUR LA SÉRIE DE LAGRANGE. 367 
la proposée (1) acquière, outre la racine a, donnée par la série 
S (r), une autre racine égale à b et donnée par la série S (7). Il 


ll 


en résulterait que l’on aurait à la fois 

(5) u—b+rf(b}—o, tu—b+rf(b) —o, 
ce qui signifie que l'équation 

(6) u—b+tf(b)—0 


résolue par rapport à { acquerrait deux racines {— 7, et {— 7; 
ce qui est absurde; car cette équation est du premier degré par 
rapport à t. . 

Le théorème que nous venons de démontrer fait naître cette 
autre question. Est-ce qu'il ne pourrait pas être généralisé de 
manière à conclure que la racine « est celle de toutes les racines 
de la proposée, soit de même classe, soit de classe contraire, 
qui s'approche le plus de la quantité u? La réponse ne saurait 
être que négative. Car d’abord la démonstration précédente se 
résume en ceci, qu'aucune des racines de la proposée ne peut 
prendre, pour { — 7, une de ces valeurs particulières par les- 
quelles la série S (t) a dû passer, en faisant varier { insensible- 
ment depuis { — o jusqu'à { — 7. Or, cette impossibilité ne suf- 
firait pas à démontrer la proposition générale que nous venons de 
nous proposer. En effet, il pourrait se faire que, depuis { — o 
jusqu'à  — +, une racine d’autre classe que à s’approchät de x 
en moins, tandis que à s’en approche en plus, ou vice versa, en 
sorte que, pour {— r, celle-là finit par s'approcher de u autant, 


et même plus que &, sans qu'elle doive pour { — + acquérir 
une de ces valeurs par lesquelles doit passer & en vertu de la 
variation de f entre les limites { — o et {1 — 7. 


A l'appui de la remarque que nous venons de faire, nous allons 
produire un exemple. 
Soit 


(7) 3,76 — x — (0,1) æ (4,5 — x) = 0. 


368 -  RECHERCHES 


En comparant cette équation à la formule (4), on üre 
(8) d —= 570, (rie (010,2 (4,5 — x). 


D'ailleurs elle a ses trois racines réelles, lesquelles étant désignées 
par æ,, æ,, æ,, ont, pour leurs valeurs approchées, 


JM 007 MN Q00E 


(9) a — 


Or, en calculant quelques-uns des premiers termes de la série 
S (1), tels qu'ils deviennent en vertu des équations (8), on verra 
que la même série donne actuellement la racine x, — 2,507... 
Mais si on forme les différences u — x, et 7, — u, l’on trouve 


u — %, — 3,70 — 2,507 — 1250 


(10) 
Eu 4,999 — 3,76: — 1,235. 


D'où il suit que la racine x, et la racme x,, données par la série 
S (1), sont de classes contraires, et la première d’entre elles 
approche du terme u — 3,76, plus que la seconde. Cet exemple 
démontre donc, à la dernière évidence, qu'il est de toute néces- 
sité, pour la vérité de la conclusion du théorème 2, que la racme 
x, donnée par la série S (t), ne soit comparée qu’à celles qui sont 
de la même classe qu'elle, ainsi que nous l'avons fait dans l'énoncé 
du même théorème. Mais venons aux conséquences qui peuvent 
sen déduire. Il s'applique certainement aussi à la série S (1), 
comme celle qui se tire de la série S (t) en y faisant { — 1. Par 
suite, ce théorème et le corollaire du théorème 1, combinés, 
amènent cette conclusion, qui résume, pour ainsi dire, toutes les 
propriétés de la racine donnée par la série de Lagrange. 
THéoRèME 3. — Si f(u) est positif, la série S(1) représente 
une racine de l'équation (4) plus grande que u, et s’approchant 
de uw plus que toute autre racine de la mème équation, qui, 
comme elle, se trouve plus grande que u. Si, au contraire, f (u) 
est négatif, la racine que la même série S (1) représente, est plus 


SUR LA SÉRIE DE LAGRANGE. 369 


petite que u, et en approche plus que toute autre racine, qui, 
comme elle, se trouve plus petite que u. 

Ce théorème va nous aider à déterminer l'ordre ou le rang qui 
convient à la racine donnée par la série S (1), lorsque les racines 
de l’équation (4) sont supposées rangées entre elles, ou dans 
l’ordre de leurs respectives grandeurs, ou d’après un autre carac- 
tère distinctif quelconque. Mais, à ce sujet, il est nécessaire d’é- 
tablir les préliminaires suivants. 

Préliminaires. — Désignons par ordre de grandeur, à com- 
mencer par la plus petite, par 


A u ! ! U 
DEN DS D an At: SE : T p—15 Tps 


les diverses racines réelles de la première dérivée de l'équation (4) 


(11) ne at) | 


racines que nous supposons être au nombre de p, et qui sont évi- 
demment toutes indépendantes de la quantité u. 

Ces p racines, conjointement avec l'infini négatif et positif, nous 
offrent les limites de p+-1 intervalles, que nous indiquerons 
par (— 00.2"), (x,..2,).....(x,..co), en entendant généra- 
lement par (2°..2';,,) l'ensemble de tous les nombres compris 
entre les limites x’; et 4:.,. Or, par la théorie de la réalité des 
racmes de toute équation, nous savons qu'entre les limites de 
chacun de ces intervalles, la proposée, savoir l'équation (4), ne 
peut jamais acquérir plus d’une racine réelle, qui d’ailleurs n’aura 
effectivement lieu que pour des valeurs convenables de u. Par 
exemple, pour que la proposée ait une racine comprise entre les 
limites +’, et 2’,, il faudra, comme on sait, que les deux résultats 


u— x, + f(x), etu — x, + f(x) 


soient de signe contraire; ce qui entraine la nécessité que u soit 
une moyenne entre‘les quantités 


2 — f(x), et x, — f(x). 


SAVANTS ÉTRANGERS. — XII. 47 


370 RECHERCHES 

Cela pose, désignons par x celle des racines de l'équation pro- 
posée qui, lorsqu'elle est réelle, se trouve comprise entre les 
limites — oo et »',; par »,, celle qui, étant réelle, sera comprise 
dans l'intervalle (x,..,), ete... 

Ces racmes æ,, #,, æ,,..2,,,, étant réelles, s'exprimeront par 
des moyennes de la forme suivante. 


(2) =M(— 00.7), M (ant) ns M (a 126); 


en désignant M par (a..b) une quantité quelconque comprise entre 
a et b. 

Ainsi, nous appellerons x, la racine du premier ordre, x, celle 
du second, etc... et, en général, nous appellerons x; la racine 
de la proposée de lordre 1; et nous entendrons par là celle des 
racmes de la proposée qui, étant réelle, se trouve comprise entre 
les limites æ';_, et x, en sorte qu'on à 


(1 3) A —= M (re ‘ SLA 


formule’ propre à reproduire toutes les précédentes, en attribuant 
à 1 les valeurs 1, 2, 3, ...p, et remplaçant l'indice o et l'indice 
p' +1 par — 00 et 100: 

Ajoutons, ce qui est au reste, par le théorème de Rolle, un 
résultat bien connu, que les dernières formules entrainent les sui- 
vantes. 


(AE MEET ec à VAE OR IR nt des MAD AE 
dont une quelconque est 
(15) ARE MEANS PRIE 


laquelle, toutefois, ne subsiste qu'autant que x; et x,,, sont deux 
quantités réelles. - 

Les p + 1 racines de l'équation (4) que nous venons de signaler 
et de distinguer, soit entre elles, soit d'avec les autres de la même 


SUR LA SÉRIE DE LAGRANGE. 371 
équation (4), jouissent de quelques propriétés qu'il importe de 
faire connaitre, 

Première propriété. — x; étant, d’après la notation que nous 
venons d'adopter, une quelconque de ces racines, nous disons 
d'abord que, regardée comme une fonction du paramètre 4, elle 
est ou toujours croissante, ou toujours décroissante par rapport à 
ce même paramètre. 

En effet, en différentiant l'équation (4) par rapport à x et à u, 
et changeant ensuite + en x;, on aura 


= dx; 1 

(16) Ta == MAT nr 

Mais, en vertu de l'équation (13), x, tant qu'elle est réelle, est 
toujours une quantité comprise entre æ';_, et æ;, qui sont, comme 
on sait, deux racines consécutives de la première dérivée (11). 
De là il devient évident que le dénominateur — 1 + f(x) doit 
toujours conserver le même signe pour toute valeur réelle que 
peut acquérier x; dépendamment du paramètre 4. Pour de pareilles 


sde et 5 
valeurs de x; la quantité + ci-dessus sera donc, ou toujours 
au 


positive, ou toujours négative : ce qui sufht pour démontrer la 
propriété en question. 

Une seconde propriété des racines de l'équation (4), x,, æ,, x... 
Z,, Cest que, prises dans l’ordre de leurs indices, comme nous 
venons de les écrire, elles sont, par rapport au paramètre u, alter- 
nativement croissantes et décroissantes, ou vice versa. 

Pour démontrer cette propriété, il suffit de faire voir que, si 
æ; est une racine croissante par rapport à u, la racine x;,, sera 
nécessairement une racine décroissante par rapport au même pa- 
ramètre. Or cela se démontre très-simplement aimsi qu'il suit. 

La formule (15) montre que les deux résultats 1 — f’{x;) et 
1— f(x), qu'on obtient en substituant dans le premier 
membre de l'équation (11) x; et x;., au lieu de x, doivent être 


affectés de signe contraire. Par suite, eu égard à la valeur de = 
[1472 


47. 


372 RECHERCHES 


1 1 . 3 \ dis; . à 
donnée par l’équation (16), et à celle de 7 qu'on tirerait de 
l'équation (16) en y changeant ? en i + 1, on conclura que ces 


dis 


deux quantités _ et sont affectées de signe contraire, Ce qui 
prouve la proposition qu'il fallait démontrer. 

Corollaire. — Les racmes d'ordre impair, x,, æ,, æ,..... , en 
vertu de ce qui précède, seront toujours, évidemment, ou toutes 
à la fois croissantes, ou toutes à la fois décroissantes, et il en 
sera de même des racines d'ordre pair, æ,, &,, æ,..... 

De plus, si les racmes d'ordre impair sont croissantes, celles 
d'ordre pair seront décroissantes, et vice versa. — IL est bon 
d'ajouter que les deux quantités 1 — f’(-— co), et 1 — f(x) 
doivent être toujours de même signe. Car si elles étaient de signe 
contraire, la première dérivée (11) devrait acquérir une racine 
comprise entre — co et 4, : ce qui est contraire à la signification 
que nous avons attribuée à x;. 

Au contraire, les deux quantités 1 — f’(x;) et 1 — f(x.) 
doivent être de signe contraire, eu égard à la formule (1 5). Il s’en- 
suit qu'on aura les deux suites de signes que nous allons écrire; 
Savoir : si 


l7) if (— 00) = — 
on aura 
(18) 1—f{x)——, 1—-f(a)—=+, 1 — f(x) ——: etc... 


Partant, on aura, en général 


dx; Sat 1 EEE 
(19) a el a 
où le signe + à lieu lorsque 1 est pair, et le signe — lorsque 


est impair. 

Ce qui prouve que, dans le cas actuel, les racines de la pro- 
posée d'ordre impair sont décroissantes, et les racines d'ordre 
pair croissantes. 


SUR LA SÉRIE DE LAGRANGE. 373 
Si, au contraire, l’on a 


(20) 1—/f (— oo) = +, 


il en résultera 


(2 00) CP LT EE do 9 Es 1 OEE 


et l’on en conclura que les racines d'ordre impair sont, actuel- 
lement, croissantes, et celles d'ordre pair décroissantes. 

Tels sont les préliminaires qu'il fallait établir. Essayons main- 
tenant de déterminer l’ordre appartenant à la racine & donnée par 
la série S(1) tirée de l'équation proposée (4), en suivant toujours 
le mode de distinction et d’arrangement des racines que nous 
venons d'adopter. 

La question revient à déterminer le rang que la racine & peut, 
dans tous les cas, occuper dans la suite de termes 


(22) DST ND Mr Tps Tp+a 


formée par celles des racines de la proposée (4) qui sont indiquées 
par les formules (12) et (13). 

Pour cela, nous TEA qUELONS d'abord que la racine & (celle 
qui est donnée par la série S (1) appartient toujours au nombre de 
celles des racines composant la suite (22), qui EE croissantes par 


rapport au paramètre u. En effet, la valeur de _ qu'on tire de 


l'équation (16) en y changeant x; en &, étant 


da L 
(2 3) Fa == Cu 
doit demeurer toujours positive, attendu que le dénominateur 
1 — f'(æ) reste toujours positif, ainsi que nous l'avons fait voir 
à l'occasion de la démonstration du théorème 1 de ce paragraphe, 
et à laide du théorème de M. Cauchy, cité dans cet endroit. 
Cela posé, supposons, pour fixer les idées, que ce soient les 


374 RECHERCHES 

racines impaires &,, &,, &,... qui se trouvent croissantes, et que, 
par suite, celles d'ordre pair soient décroissantes (bien entendu 
par rapport à u); et cherchons, dans cette hypothèse, de quel 
ordre peut successivement devenir la racine &, donnée par la série 
S{1), tandis que u varie entre les limites — co et + ©, de 
manière à prendre toutes les valeurs propres à rendre la série S (1) 
convergente, Ces valeurs peuvent être partagées en plusieurs 
groupes, compris chacun dans un des intervalles que nous avons 
signalés, ét indiqués plus haut par (— co... x’), (a. 2,),.... 
(x,..00). Supposons, en général, que u reçoive une valeur eom- 
prise entre les limites z'ietxi,,, en sorte qu'elle soit une cer- 
taine moyenne entre ces deux racines de l’équation (11). Alors, 
pour déterminer l’ordre qui convient à la racine «, 1l faudra re- 
connaître, auparavant, les deux racines croissantes de la proposée 
(4) les plus approchées de a, lune en plus et l'autre en moins. 
Pour cela, il convient de distinguer les deux cas de ? impair et 
de # pair. 

Si : est impair, les deux racines en question ne peuvent être 
que x, et &;.,, pourvu, toutefois, que celles-ci soient réelles. On 
voit, de plus, que ces deux racines resteront toujours, l'une, 
savoir x; plus petite, et l’autre, savoir T;+,, plus grande que u, 
pour quelque valeur que ce paramètre vienne à prendre entre les 
limites x’; et æ';,,. Car, tant que les deux racines x; et x,., restent 
réelles, on a toujours, par les formules (12) et (13), 

CA ue SARA 2 En OR nee, 
quel que soit u, depuis u — — co, jusqu'à u — + 00. 

Ainsi, x, et x, étant réelles, la racine &, donnée par la série 
S{1), tandis que u varie entre les limites x’; et x':,,, sera, en 
vertu du théorème 3, tantôt celle de l’ordre 1, savoir æ;, tantôt 
celle de lordre 1 :+ 2, ou æ.,,, selon qu'on aura f (u) < 0, 
ou f .u) == o. Si l'indice à est pair, les deux racines croissantes 
les plus voisines de u, d’un côte et de l'autre, ne peuvent appar- 
tenir, au plus, qu'à l'un de ces deux couples, dont le premier est 


SUR LA SÉRIE DE LAGRANGE. 375 
ri, et æ,,, et l’autre x;,, et x;,,, pourvu, cependant, que ces 
trois racmes soient réelles. Ainsi, ces trois racines étant réelles, 
on peut conclure du théorème 3 que l'une d’entre elles sera, cer- 
tainement, celle des racmes de l'équation (4) que la série S(1) 
représente, tandis que le paramètre a varie entre les limites +’; 
et x: 

Les résultats que nous venons d'établir à l'égard de l'ordre de 
la racine æ, donnée par la série S (1), sont très-importants en ce 
qu'ils montrent d’une manière très-évidente que l’mdice de l'ordre 
de cette racine, loin de demeurer constant, pour quelque valeur 
que ce soit de u, peut, au contraire, s'accroitre à mesure que u 
croit lui-même, en sorte que nous pouvons établir ce théorème: 

TuéorÈme !. — Soient les racines de l'équation (4) d'ordre 
impair, saVoir : 


des racines croissantes; et soit u’ une première valeur de u com- 
prise entre les limites x’; et æ';,,, et pour laquelle la série S(r) 
est convergente, et les racines croissantes x; et x;,;, si t est im- 
pair, ou bien x; ,, æ;:,,, et ;,., si à est pair, acquièrent des va- 
leurs réelles. Concevons que de cette première valeur u’ de x, on 
passe à une seconde valeur u, de cette variable, comprise entre 
les limites x’; et ',,,, où ? dépasse : au moins de trois unités, 
si à est impair, ou de cinq unités, si # est pair; et supposons que 
cette seconde valeur u, soit de nature à rendre convergente la 
série S (1), et réelles les deux racines de la proposée, x;, et x;., 
si à est impair, ou bien les trois racines de la proposée æ;,,, x, 
@/.,, si à est pair. Alors l'indice de l’ordre de la racine @ est, à 
coup sûr, plus grand, pour cette dernière valeur u,, que pour la 
première u — u'. 

Nous ne nous arrêterons pas ici à examiner séparément le cas 
où les racines croissantes de l'équation (4), au lieu d'être celles 
d'ordre impair, comme nous l'avons supposé précédemment, se- 


raient celles d'ordre pair. Car on voit sans peine comment il faut 


376 RECHERCHES 


modifier les résultats précédents, pour en obtenir ceux qui con- 
viennent à cette dernière hypothèse. Mais nous passerons tout de 
suite à établir un rapprochement très-important entre les résultats 
que nous venons d'obtenir, sur l’ordre de la racine donnée par la 
série S (1), et un théorème devenu très-célèbre par le nom de son 
auteur. Je veux parler du théorème de Lagrange, cité dans la pré- 
face de ce mémoire, et qu’on trouve dans la note XI de la réso- 
lution des équations numériques de ce grand géomètre. 

Pour mieux voir les conséquences de ce rapprochement, con- 
tinuons, pour fixer les idées, ä*admettre l'hypothèse que ce soient 
les racines d'ordre impair qui sont croissantes. Il sera facile de 
modifier les raisonnements suivants, de mamière à les rendre ap- 
plicables à l'hypothèse inverse. 

Concevons qu'on ait attribué à u une valeur # comprise entre 
les limites æ'; et x';,,, et de nature à rendre convergente la série 
S (1), et réelles la plupart des racines composant la suite (22), 
d'ordre inférieur à 1, et, notamment, les racines x; et x;,, sitest 
impair, ou bien #; ,, æ.,, et æ;,, si i est pair. Alors en rangeant, 
pour un moment, les racines réelles de la proposée entre elles, 
d'après un nouveau caractère distinctif, savoir d’ après leurs res- 
pectives grandeurs, il est évident que la racine 4;, qui, dans le 
premier mode d’arrangement précédemment adopté, est celle de 
l'ordre #, si elle est réelle, occupera dans la suite formée par les 
racines réelles rangées dans l'ordre de leurs grandeurs, une place 
dont le rang ne pourrait être qu'égal à ?, ou bien inférieur à à 
d'un petit nombre d'unités. D'ailleurs, 1l est bon de rappeler que 
la racine à donnée par la série S(1), pour la valeur u = u, que 
nous venons d'indiquer ci-dessus, comparée aux autres racines 
d’après le mode d’arrangement adopté, ne peut être que +; ou 
ti4, Si t est impair, ou bien l’une de ces trois x;:_,,4;,,,4;,,sit 
est pair. D'après cela, il est évident que si, pour un moment, on 
compare la racine œ aux autres racines réelles, par rapport à sa 
grandeur, comme nous venons de le suggérer ci-dessus, elle devra 


8 
prendre parmi celles-ci un rang qui pourra, sans doute, être 


SUR LA SÉRIE DE LAGRANGE. 377 
moindre que i, mais qui, en général, sera d’autant plus élevé, 
que l'indice : et le nombre des racines réelles de la proposée, 
comprises entre les limites — co et u, sont plus grands. 

Il résulte de là cette conséquence incontestable que, contrai- 
rement au théorème de Lagrange déjà cité, la racine &, donnée 
par la série S (1), ne peut pas représenter toujours la racine la 
plus petite de l'équation (4). Mais,.tout au contraire, elle repré- 
sente une racine susceptible de devenir, par rapport aux autres 
racines réelles, d’un ordre d’autant plus élevé que la quantité u 
est plus considérable. 

Comme, eu égard à la haute autorité justement accordée au 
nom de Lagrange, la conclusion que nous venons de tirer pour- 
rait rencontrer quelque résistance, pour en mettre la vérité dans 
tout son jour, nous croyons devoir produire les exemples sui- 
vants. 

Soit, en premier lieu, l'équation 


(24) 6,05 — x + (0,1) 2° (x—5) (x—6) (x—6,1) — 0. 
Sa première dérivée, très-facile à former, peut s’écrire ainsi : 


(25) — 10 + æ (æ— 5) (x —6) (3x—-12,2) 
+ à (æ— 6,1) (2%3—11)—o. 
Sous cette forme, on s'assure aisément qu’elle a ses quatre racmes 
toutes réelles; et en les désignant, d'après la notation introduite 
dans ce paragraphe, par #,, æ,, æ,, æ,, on trouvera 
(26) EM ECO ONE, M (NP 
z', — M (5.6), Sa = MA6av.: 62): 


Venons, maintenant, aux racines de la proposée elle-même (2/4). 


SAVANTS ÉTRANGERS. — XII, 48 


378 RECHERCHES 

Par la simple substitution des premiers nombres naturels au lieu 
de x, on s’assurera sans peine qu’elles sont toutes réelles. Et en 
les désignant, d’après la notation adoptée, par #,,x,, æ,, d,, &,, 
on aura 


| 


M{o..r), a, = M(4::5); 


(27) M (6,2..6,3). 


IE teN meer PA 
| 


Die UbE (3 OL) LUE 


| 


Cela posé, en comparant cette même équation à la formule (4), 
on a 


(28) u— 6,0, f(x) —(o,1)x (x—5)(x—6)(x— 6,1). 


En outre, il est facile de voir que, des deux conditions (17) 
et (20) établies plus haut, c’est la condition (17) qui se trouve ici 
satisfaite. Ce qui prouve que les trois racines d'ordre impair, x,, 
r,, æ,, sont décroissantes, et celles d'ordre pair, x, et x,, sont 
croissantes. Par suite, eu égard à ce que la racine & donnée par 
la série S (1) est toujours une racine croissante, on voit que cette 
série, telle qu’elle résulte de l'équation (24), ne peut donner que 
la racine x, ou bien la racine x,. Mais, d’un autre côté, on a 


(29) Jf{u) = f (6,05) — — 0,009608156. 


De cette valeur négative de f (u), on conclura, eu égard au 
théorème 3, que la série S (1) doit donner celle des deux racines 
croissantes de la proposée (24) qui se trouve immédiatement au- 
dessous de 6,05, laquelle, d’après les formules (27), n’est autre 
que celle du quatrième ordre, savoir x,. Tout ce que nous venons 
de dire est confirmé par les résultats suivants. En calculant les 
sept premiers termes de la série en question, on trouve 


SUR LA SÉRIE DE LAGRANGE. 379 


: f(u) = — 0,009608156 
Le ; _. — +- 0,0001184385 
NE ie — + 0,0003530337 
(30) CE — — — 0,0000174637 
EE . _ — — 0,0000256084 
= _ — —+- 0,0000023042 
è d' f’(a) 


Mass es Vu — —+- 0,00000230/à 


En nous arrêtant à ces termes, on aura pour somme de la série 
6,040824. 


IL est facile de vérifier que ce nombre est la valeur approchée 
de la racine x, de l'équation (24) à une unité près du sixième 
ordre décimal. I suffit, pour cela, de faire dans le premier 
membre de cette équation (24), d'abord x — 6,040824, et puis 
æ — 6,040825; on obtiendra, de la sorte, deux résultats de 
signe contraire. 

Maintenant, remarquons que la racine de la proposée (24), égale 
à 6,040824, que nous venons de voir être celle du quatrième 
ordre, d’après le mode d’arrangement des racines que nous avons 
adopté dans ce paragraphe, demeure encore celle du même rang, 
lorsqu'on range les racines de la proposée d’après leurs grandeurs 
respectives. Ce résultat, auquel vient de nous conduire l'exemple 
choisi, est donc en parfaite contradiction avec le théorème de 
Lagrange, qu'il s'agissait d'apprécier. 

Nous pourrions multiplier à l'infini les exemples qui offrent des 
résultats contradictoires avec ce théorème, Mais on comprend que 

48. 


380 RECHERCHES 
cela serait parfaitement inutile. Nous nous bornerons donc à ce 
second exemple. 
Soit l'équation 
(31) 5,001 — x — (0,1) a (x — 5} — 0. 
Sa première dérivée est 
(32) — 1 — (0,2) (x — 5) (2x — 5) — 0. 
On trouvera sans peine que les trois racines de cette équation 


sont réelles, et qu'en les désignant: par 4”,, x’,, ’,, elles auront 
pour leurs valeurs 


(33) 2,—M(=oo.0), x, —M(2..3), à, —M(4..5). 


En ce qui concerne les racines de la proposée (31), on se con- 
vaincra qu’elles sont aussi toutes réelles, et qu'elles peuvent s’ex- 
primer par les moyennes suivantes. 


(34) DM (— oo #S0), TN — (tua), 
= M{4E), E —=1M)(50: 507); 


Reste à voir laquelle de ces racines la série S{1) représente. 
On à dans ce cas 


(35) a — 5,001, f(x) —' (0,1) & (x — 5}; 
d’où il suit qu'on aura 
(36) 1—f (— 00) Lo. 


Par conséquent les racines x, et x, seront décroissantes, et x, et x, 
croissantes par rapport au paramètre u. La série S (1) appliquée 
à l'équation (31) ne peut donc donner que x, ou x,. Mais on a 


(37) f{u) = /f (5,001) — — 0,0000025. 


De ce résultat négatif et du théorème 3, on conclura que la 
série S (1) doit donner la racine immédiatement mférieure à 5,001, 


SUR LA SÉRIE DE LAGRANGE. 381 
laquelle, d’après les formules (34), est x. Cette conclusion est 
confirmée par le calcul des premiers termes de la série, On trouve 
en effet 


f (a) —= — 0,000002)010 
(38) : —- — —+- 0,000000006256 
—= Lu — — 0,00000000023/78. 


Ces valeurs prouvent d’abord la convergence de la série, con- 
vergence qui était d’ailleurs assez démontrée parce que 5,001 est 
une quantité très-voisme de la racine double, et égale à 5, de l’'é- 
quation f(x) — 0, ($ I.). Ensuite elles donnent, pour somme de 
la série, 


d,0009975, 

, e 
nombre qui représente la valeur approchée de la racine x, à une 
unité près du septième ordre décimal, ainsi que le confirment les 
deux résultats, de signe contraire, qu'on obtient en substituant 
dans le premier membre de la proposée (31) x — 5,0009975, 
et x — 5,0009976. 

Mais la racine désignée par x,, et regardée comme celle du 
quatrième ordre, d’après le mode d’arrangement des racines ici 
adopté, demeure encore la racine du même rang, lorsqu'on déter- 
mine sa place, en la comparant aux autres par rapport à sa gran- 
deur. Nous avons donc, dans l’exemple que nous venons de con- 
sidérer, un second résultat contradictoire avec le théorème de 


Lagrange. 
S Ill. 


Après avoir démontré que le théorème de Lagrange sur l'ordre 
de la racine donnée par la série de Lagrange, désignée par S (1) 


382 RECHERCHES 


dans les paragraphes précédents, n’est point généralement vrai, on 
est naturellement porté à se demander quelle est la cause qui a 
pu entrainer ce grand géomètre dans l'erreur. Pour cela, nous 
avons à considérer la démonstration que Lagrange a donnée de 
son théorème. Elle se trouve dans la note XI de sa Résolution des 
équations numériques. À la vérité, cette démonstration a été rap- 
pelée par d’autres géomètres, et notamment par Lacroix dans le 
tome [ de son Calcul différentiel. Mais partout, au fond, elle est 
restée la même; en sorte qu'on peut dire que nous n'avons du 
théorème en question qu’une démonstration, celle de Lagrange, 
dont l'examen va former l’objet de l'analyse suivante. 

Mais nous devons faire remarquer tout d’abord que l’objet de 
ce paragraphe est double. L’un est celui que nous venons de si- 
gnaler; l'autre consiste à montrer de quelle manière il faut se ser- 
vir de la série de Lagrange pour en obtenir séparément toutes les 
races réelles et simples de toute équation proposée 

+ 


(1) F (x) — 0, 


dont le premier membre F (x) est ici supposé une fonction réelle 
quelconque de x. 

Nous venons de dire racines réelles et simples; réelles, parce 
que c’est aux seules racines réelles que nous voulons nous borner 
ici; simples, parce que la série de Lagrange ne saurait être néces- 
sairement convergente lorsque la racine qu’elle devrait donner est 
multiple, comme nous l'avons déjà remarqué au commencement 
de la démonstration du théorème 1 du paragraphe IT. 

Hâtons-nous de dire que, pour remplir ce second objet, nous 
avons adopté un mode de réduction de la proposée (1) à la forme 
necessaire 


[ 


(2) u— x+ f(x) —o, 


qui rentre dans celui même que Lagrange a suivi comme fonde- 
ment de son théorème. 


SUR LA SÉRIE DE LAGRANGE. 383 
Avant tout, rappelons sommairement la démonstration du théo- 
rème de Lrgranse: telle qu'elle a été donnée dans la note déjà 
citée. 
Lagrange suppose d’abord que l'équation (1) soit réduite à la 
forme (2), de manière que f (x) soit une fonction de x entière et 
rationnelle , telle que 


(3) f&=A+Bz+Cz +D zx +... 


Nous remarquerons en passant que cela revient à mettre léqua- 
tion (1) sous la forme 


(4) u—x+{[z—u+kF(x)] —o, 


u et À étant deux quantités constantes et entièrement arbitraires. 
Cela posé, soient, pour employer les notations de Lagrange, 


les diverses racines réelles ou imaginaires de léquation (1). 
Lagrange fait voir d’abord que, Ÿ (x) étant une autre fonction 
de x entière et rationnelle, on aura, en général, 
É L (a ï , 
(5) EE = Wu) + W (0) (2) 
Ai Henens “etc 


1.2 


L2 


du u" 
que » est un nombre entier et positif, et que l'on ne doit re- 
tenir que les termes qui contiendront des puissances négatives 
de a. 
Nous ajouterons, de notre part, que la formule (5) subsiste 
même en supposant que la fonction Ÿ (x) ait des facteurs en x 
communs avec le premier membre de l'équation (1), par exemple 


 (u) — _ et Wy(u) — HE (=). et observant de plus 


384 RECHERCHES 
2 — œ,æ& — (,...auquel cas celui des termes de la mème for- 


YE 


s . . Va #4 éd 
mule (} u B, etc., savoir —, ENS Eve 
le (5) qui contient « o te., savoir —, où —, s'évanouirait 
æ 


de lui-même. Cette remarque est, sans doute, de la dernière évi- 
dence. Mais nous tenons à la faire explicitement; car, à ce qu'il 
nous semble, c'est faute d'y avoir eu égard, que Lagrange se 
trompa dans la conclusion qu'il tira de son analyse, comme nous 
le verrons plus bas. 

Maintenant supposons, avec Lagrange, que dans la formule (5) 
n soit infiniment grand. On pourra alors regarder la fonction 
nr (mi) * comme ne contenant que des puissances néga- 


= 
tives de u. Même chose pour les fonctions W'{u) X fu, 
W'{u) X fu, etc. Quoique cette hypothèse ne soit pas exacte 
pour toutes ces dernières fonctions à l'infini, il suffit cependant 
qu'elle le soit pour les premières d’entre elles en nombre très- 
grand; car les restantes pourront être négligées en vertu de la 
convergence lacitement admise de la série composant le second 
membre de l'équation (5). Nous pouvons ainsi regarder cette série 
comme allant à linfini sans aucune interruption. 

Mais, d'autre part, Lagrange démontre qu'en désignant par 
[W(u)] cette dernière série, et par [II {u)] celle qui en résulte par le 
changement de W{u) en I{u), la fonction f (u) restant la même, 
on aura 


(6) 1 [W(a)] X[N(x)]=[F(2) XI(u)]. 
# [W(a)] : Ma] [Y(u) à N(u)] 
D’après la seconde de ces deux formules, et eu égard à la for- 


mule (5), si lon fait 


ÿ(u) 


u"+r 


Far 


n étant toujours très-grand, et r un nombre quelconque fini, le 
quotient de la quantité 


: (he 
(7) DH ec... 


SUR LA SÉRIE DE LAGRANGE. 385 
divisée par la quantité 
Ÿ 
(8 L+É+.. 


s'exprimera par la série 


@)  w+ru-tfa + (ufr) 


ut f°u) + etc... 


dont les termes sont tous indépendants de la fonction Y. 
Cela étant, Lagrange admet que n étant, par hypothèse, un 
nombre infiniment grand, les deux A ci-dessus (7) et (8) 


se réduisent à leurs premiers termes . et — —, & étant la plus 


petite des racines réelles de lion (1). ee hypothèse ad- 
mise, le quotient de la quantité (7) divisée par (8) se réduirait 
à a, et le théorème faisant l’objet de cette discussion se trouve- 
rait par là démontré. 

Mais l'hypothèse précédente, sur laquelle s'appuie Lagrange, à 
savoir que le quotient mentionné tout à l'heure se réduise tou- 
jours à &, n étant infiniment grand, n’est point CRRCRREnS ad- 
missible. En effet, il faudrait pour cela que la proposée n'eüt pas 
de racines imaginaires, et que Ÿ & ne fût jamais nul pour aucune 
des valeurs que peut comporter Ÿx d’après l'esprit de l'analyse 
de Lagrange. Mais, au contraire, aucune de ces deux conditions 
n’est exigée par l’analyse mentionnée. Bien plus : la seconde de 
ces deux conditions, loin d’être exigée par cette analyse, y est 
absolument contraire. Car, d’après cette même analyse, et no- 
tamment eu égard à la remarque faite plus haut à propos de la 
formule (5), la fonction (x) est entièrement arbitraire, et seu- 
lement astreinte à être une fonction de x entière et rationnelle. 

D'où il s'ensuit qu'il est permis de la regarder comme ayant 
des facteurs en x, x — 4, x— GB, etc., communs avec le pre- 
mier membre de l'équation (1), ce qui rendrait nuls Ÿ &, Ÿ &, etc. 


SAVANTS ÉTRANGERS. — XII. 49 


386 RECHERCHES 

Partant, pour faire ressortir la véritable valeur qui convient, d’après 
l'esprit de l'analyse de Lagrange, au quotient de la quantité (7) 
divisée par (8), on ne peut s'empêcher de considérer distincte- 
ment les différents cas de Ÿa4 — 0; ou Ÿa — o, et à la fois 
ŸB— o, etc. Pour cela, nous nous y prendrons de la manière 
suivante. 

Supposons toujours (hypothèse conforme à celle sur laquelle 
s'appuie Lagrange) que le premier membre de l'équation (1) soit 
une fonction réelle de x. 11 s'ensuit que les racines imaginaires de 
cette équation, s'il y en a, ne peuvent être que conjuguées deux 
à deux. Ainsi, en désignant par &, et &’,, les deux racines imagi- 
naires conjuguées, dont le module commun est 7,, et l’argu- 
ment ®,, on aura : 


(io) 87, (cos @,+V—1sin Gi) Eh: (cos®,—\/—1sin@,), 


d'où il vient 


| 


+ 
(11) SLT TE 2 (À, cosn@, + B, snmn@,) 

en faisant, d’après la théorie des quantités imaginaires, 

(12) Ÿ |r, (cos @, + V— à sin @,)] — A, + B, (VE 


Une équation analogue à celle (11) aura lieu pour toute autre 
couple de racines imaginaires. 

Cela posé, soient dans leur ordre de grandeur, 7, Æ; 7. 
T;.,... les modules des couples des racines imaginaires conju- 
guées €, £, & €», elc., et soient &, &, @,,..@, @,:,.. les ra- 
cines réelles de équation (1). 

Nous disons que, quel que soit Ÿ(x), le quotient de la quan- 
üté (7) divisée par la quantité (8) tombera toujours dans lun de 
ces deux cas : ou il ne représentera aucun résultat numérique et 
déterminé (comme étant la limite de quotients qui varient d’une 
manière vague et discontinue à mesure que n tend vers l'infini); 


SUR LA SÉRIE DE LAGRANGE. 387 


ou bien il donnera la puissance r d’une d’entre les racines réelles 
de la proposée. Il y a plus : à l’aide de valeurs convenables don- 
nées à la même fonction Ÿx, le quotient dont il s’agit peut être 
amené à représenter successivement chacune des racines réelles 
de l'équation (1). 

Pour démontrer ce théorème soit a; la plus petite des racines 
réelles de la proposée, qui ne sont pas communes à l'équation 
Ÿx — o. Soit encore 7; le plus petit de tous les modules des 
racines imaginaires de la proposée, qui ne sont pas communes à 
l'équation Ÿ x — o. Distinguons de plus ces deux cas : l'un, lorsque 
a; est  7;, l’autre, où a; est => m;. Dans le premier cas, pour 
connaître la véritable valeur du quotient de la quantité (7) divisée 
par (8), nous écrirons ces deux quantités sous la forme suivante, 
eu égard à l'équation (11). 


(15) = [vu+() vo, + (2) Va, + etc... 


+ 2 (2) (A, cos n@, + B, sin n@,) + etc.. | 


(14) = ÊTEZ (£) "vo + ete... 
+ 2 OC cos (n+r)®@, + B, sin(n+r) g) +. 


Or le quotient de la première de ces quantités divisée par 
l'autre se réduit évidemment à æ; en faisant n — co. Car, eu 
égard aux hypothèses faites sur a; et 7;, et notamment à ce qu’on 
suppose ici & <Z %;, les termes des expressions (13) et (14) qui 
suivent le premier se réduisent tous à zéro, parce que chacun 
d’eux est le produit de deux facteurs, dont l’un ou l’autre est égal 


EL 
i 


à zéro. Ainsi, par exemple, le terme (=) Ÿ a, est égal à zéro 
“ 
parce que, par hypothèse, ou le facteur Ÿ à, est lui-même égal à 


ë ë CA : : . . 
zéro, ou bien la fraction — est moindre que l'unité, d’où il suit 

œi \" : SP 
(=) — 0 en faisant n infini. 


œ 


49. 


388 RECHERCHES 
Mais si l’on à &; >> 7;, alors, eu toujours égard à l'équation 
(11), il faut écrire les deux quantités (7) et (8) sous la forme 


(15) - [A: cosn®;+ B;sin n@; + (5) v œ, —+- (2) v œ, + etc. . 


(16) 2 [Ai cos (n + r) @i + B: sin (n + r) Gi +... 
+(2) va+(l) ver...) 


Le quotient de la première de ces quantités divisée par la seconde 
se réduit, comme on le voit sans peine, à 


mi (A; cos n @; + B; sin n @;) 
(17 A;cos(n+r)@+B;sin(n+r)@ 


Or cette dernière quantité a évidemment une valeur vague et indé- 
terminée; car les arcs n @; et (n + r) @;, dans l'hypothèse de n 
infini, peuvent indifféremment représenter un nombre entier ou 
fractionnaire de circonférences. Ainsi cette quantité, analytique- 
ment parlant, n’est autre chose que l'indication de ce fait, que les 
différentes valeurs que le quotient dont il s’agit acquiert en fai- 
sant varier n (nombre entier) à l'infini, sont, dans le cas où a; est 
= #;, discontinues, ne s’approchant jamais constamment d'aucune 
limite. 

D’après ce qui précède, il est facile de trouver la valeur qu'il 
faut attribuer à Ÿ{x) pour amener le quotient qui nous occupe 
à représenter la puissance r de telle racine réelle que lon voudra 
de l'équation (1), par exemple de @;. On prendra, à cet effet, pour 
Y(x) une fonction quelconque, qui ait en commun avec F (x), 


pa 
1° les facteurs &æ — &,,..:æ—«œ; ,, contenant toutes les racines 
réelles &,, &,,...@; , qui sont moindres que ; 2° les facteurs 
LE VE CE T — Es, À — E; es correspondant à toutes 


les racines imaginaires conjuguées, dont les modules sont aussi 
moindres que @. La valeur de Ÿ{x), ainsi déterminée, réduira 
sans doute la valeur du quotient dont il s’agit à la puissance @;. 


SUR LA SÉRIE DE LAGRANGE. 389 

R est donc constant que le quotient de la quantité (7) divisée 
par (8), considéré en lui-même, est, en vertu de la fonction arbi- 
traire Ÿ, susceptible de plusieurs valeurs, savoir celles que nous 
venons d'indiquer dans le théorème précédent. Certes, parmi ces 
valeurs, il y en a une qui est celle de la somme de la série (9)- 
Mais l'analyse de Lagrange ne montre pas, remarquons-le bien, 
laquelle d’entre elles sera, dans chaque cas, la valeur de la même 
série. Par conséquent, la démonstration dont il s’agit est insuffi- 
sante à prouver le théorème que Lagrange voulait par là établir, 
et elle n’est propre, au plus, qu'à prouver que la série (9) repré- 
sente la puissance r d’une des racines réelles de l'équation (1), 
sans rien indiquer encore de ce qui distingue cette racine des 
autres. ‘ 

Mais il est encore un autre point de vue sous lequel la dé- 
monstration de Lagrange peut être facilement réfutée. C’est la 
manière même de ramener toute équation proposée à la forme 
(2), sur laquelle s’appuie la même démonstration. Cette manière 
consiste, comme on l’a vu, à réduire toute équation proposée à 
la forme (2), avec cette seule condition que, dans la formule de 
réduction, f (x) soit une fonction entière de x de la forme (3). 
Or si l'équation proposée est (1), la fonction f(x) satisfera à la 
condition mentionnée si l’on fait 


(18) fa) =z—-u+RkF(x), 
ce qui revient à écrire l'équation (1) sous la forme 
(19) u—z+{[r—u+kF(x)] —=0o, 


où il faut remarquer avec soin que u et k sont deux quantités 
constantes qui, d’après l'esprit de l'analyse de Lagrange, restent 
imdéterminées, et qu'on peut, par suite, choisir à volonté. Or. 
la série de Lagrange tirée de l'équation (19), loin de donner 
constamment la plus petite racine de l'équation (1) (ce qui de- 
vrait être si le théorème de Lagrange était vrai), en disposant con- 


390 RECHERCHES 
venablement de u et k, peut toujours remplir cette double con- 
dition : 1° qu’elle soit convergente; 2° qu’elle nous donne telle 
racme réelle et simple que l’on voudra de toutes les racines de 
l'équation (1). ï 

Supposons, par exemple, que & soit une des racines réelles et 
simples de l'équation (1), et qu'il s'agisse de la trouver au moyen 
de la série de Lagrange appliquée à l'équation (19) : les valeurs 
de u et X qu'il faudra prendre à cet effet sont les suivantes. 


Règle. — Prenons pour z une valeur très-voisme de &, de la 
forme 
(20) Hi EUR 


h étant très-petit, et tel que la première dérivée 
F' (x) 0 
n'ait pas de racines comprises entre les limites x et «. 


La valeur de w étant ainsi fixée, prenons pour k la valeur don- 
née par la formule 


(21) k = — 


v étant une quantité quelconque choisie à volonté, égale à u, ou 
très-approchée de u, et comprise entre les limites à et u : v satis- 
fera à ces conditions s’il est, par exemple, de la forme 


(22) vi i@ bike, 


où Ô représente un facteur numérique égal ou inférieur à l'unité, 
qu'on peut choisir arbitrairement. 

Ainsi, en mettant dans l’équation (19) au lieu de 4 sa valeur 
précédente, on aura la formule de réduction 


(23) a—r+fo—u— 5 t]=0. 


et à l'aide du théorème (A) du paragraphe 1, et du théorème 3 


SUR LA SÉRIE DE LAGRANGE. 391 


du paragraphe IF, il sera facile de prouver que la série de Lagrange 
tirée de l'équation (23) est convergente, et qu’elle offre précisé- 
ment la racine & qu'il s’agit de trouver. 

Commençons par démontrer la première partie de cette propo- 
sition, C'est-à-dire que la série de Lagrange tirée de l'équation 
précédente est convergente. 

Pour cela, nous observerons, avant tout, que lorsque k — o, 
et par suite u— v — 0, l'équation 


(24) x — u — 


qu'on obtient en égalant à zéro la fonction comprise entre paren- 
thèses dans le premier membre de léquation (23), a une racme 
multiple égale à u, et partant à «, laquelle est une racine double 
si F'(œ) — ou 6, triple si F’(«) — o, et à la fois F’(a) 
> où — 0, etc. 

Pour s'en convaincre, il suffit d'observer que les diverses déri- 
vées de léquation (24) sont 

1 — i OM Tr) = 6 Nix) 0 etc. 
dont la première est vérifiée par identité lorsque x — «, car par 
hypothèse v — x. 

Mais en vertu des équations (20) et (22), les racines x de lé- 
quation (24) peuvent être considérées comme des fonctions con- 
tinues de k. (Voir le Mémoire sur la nature et les propriétés des 
racines d’une équation qui renferme un paramètre variable , tome Il 
des Exercices d'analyse et de physique mathématique, par M. Cauchy.) 
Il résulte de là que, pour des valeurs de k très-petites ou de u 
et v très-approchées de «, l'équation (24) aura deux ou pue 
racines très-voisines de @. 

Soit w une de ces racines; on pourra l'obtenir en série ordon- 
née suivant les puissances de u — à — + h, ainsi qu'il suit. 


392 RECHERCHES 
Substituons dans l'équation (24), au lieu de u sa valeur & Æ b, 
il viendra 


F (x) 
F'(v) 


ré F{z)) 
(25)  a+h—x+ = + ht (ait) — 


(v) 

Or, en observant que la valeur de v fournie par (22) est sup- 
posée maintenant différente de zéro, on conclura que « est une 
racine simple de léquation 


2e 
F 


(26) X — x + se 


en sorte qu'on pourra établir la relation 


F (x) 
(27) art (a— x) (x), 


z (x) étant une fonction qui ne s’évanouit ni ne devient infinie 
pour med: 
L'équation (25) deviendra ainsi 


(28) œ — x + pp: 


d'où l'on tire, au moyen de la série de Lagrange, 


h RS [a 1 1 
(29) Do a ie En () ete a. 

Nous nous dispensons d'exprimer les coefficients des diverses 
puissances de À en fonction des dérivées de F(x), parce que 
cela est très-facile, en suivant une marche analogue à celle du pa- 
ragraphe I. 

La valeur de w donnée par l'équation précédente peut être 
mise sous la forme 


(30) w—a+ 0 h, 


SUR LA SÉRIE DE LAGRANGE. 393 
étant un facteur qui, en vertu de l'équation (29); se développe 
en série suivant les puissances entières et positives de hk, ainsi 


qu'il suit : 


(Mel 


DÉRERTES ECRES ES PUS 


Cela posé, en comparant l'équation (23) à la formule 


u— x + f(x) = 0, 


on a 


2 s der EF" (zx) 

(x) — L RE (v) ? e 

te Hd! Fa) F'(a+0 h) 
A en ere 


en y mettant pour w et v leurs valeurs données par les formules 
F'(a+ôk) 
(30) et (22). De plus, en développant la De Faeoi) Suivant 


les puissances de h, on trouvera 


(z) 


(a) 


(32) f(w) = + h (8 — 8) = “ete. 

Or en faisant attention que 0 est un facteur arbitraire, et que 6’, 
en vertu de l'équation (31), s'exprime en une série de termes 
proportionnels à des puissances positives de h; en se rappelant, de 
plus, que & est une racine simple de l'équation (1), en sorte que 
F” (x) est une quantité différente de zéro, on conclura de la valeur 
précédente de f’ (w) que, pour k très-petit, on aura nécessai- 
rement 


(33) mod f (w) — mod ( 1 — 


SAVANTS ÉTRANGERS. — XII. 50 


\ 
394 RECHERCHES 

D'ailleurs, nous remarquerons que w étant une racine de l’é- 
quation (24), dont la valeur est, comme nous venons de voir, 
très-voisine de u, on peut dire inversement que, dans l'équation 
(23), u représente une quantité très-voisine d’une des racines de 
l'équation (24). Donc, eu égard au théorème (A) du paragraphe [, 
nous conclurons de l'inégalité (33) que la série de Lagrange tirée 
de léquation (23) est convergente. 

Première remarque. — La conclusion précédente subsiste tou- 
Jours, même lorsqu'on supposerait v égal à &; cependant, dans ce 
cas, la racine w et la quantité Ÿ' ne seraient plus données par les 
séries qui composent les seconds membres des équations (29) et 
(31); car les coeflicients des termes de ces séries deviendraient 
alors infimis. Mais il est facile de voir que à serait alors une racine 
multiple de l'équation (26), en sorte qu'en ayant recours à un 
artifice analogue à celui suivi dans le paragraphe 1, on parvien- 
drait à exprimer %, et par suite 0’, en série ordonnée suivant les 
puissances ou de Aï ou de h*, etc., selon qu'on aura F” (x) == ou 
Lo, ou bien F”(&) — 0, et en mème temps F” (œ) = ou <o. 
Ainsi la valeur de f' (w) — 1 — Fee pourra toujours s'exprimer 
en série ordonnée suivant les puissances positives entières ou frac- 
tionnaires de h, et l'inégalité (33) sera toujours satisfaite pour 
très-petit. 

Deuxième remarque. — L'équation (29) offre, sous forme de 
série, la valeur d’une des racines voisines de & qu’acquiert l'équa- 
üon (24) lorsqu'on attribue à u et v des valeurs elles-mêmes voi- 
sines de œ&. On peut ajouter, pour surplus, que les racines men- 
onnées peuvent être toutes développées en séries convergentes à 
l’aide de la formule de Lagrange. Soit, par exemple, u — à + h, 
etu — à + h', h et h' étant très-petits. 

L’équation (24) pourra s’écrire ainsi: 


(34) hF'{v) + (a — x) F'(v) +F (x) —o; 


et observant que l’on a 


SUR LA SÉRIE DE LAGRANGE. 395 
Fo) = F'(o +R) = Fa) + WF'(o + eh), 


étant un nombre compris entre o et 1, et faisant, pour plus de 
simplicité, i — L'EF'(a+eh), ‘équation (3/4) deviendra 


REF'(v)+Æ(a—x) Fa) +(a—x)i+F(x) =, 


ou bien 
35) AF'(v)L(a—z)it+[(a— + F'(a)+F(x)]—0o. 


Maintenant, en observant que & est une racine double de lé- 
k q 
quation 


{a—x)F'(a)+F(x) = o, 


lorsqu'on suppose EMa) = "ou "0 hypothèse que nous adop- 
terons ici pour abréger, on pourra poser l'équation 


(a— x) F'(a)+F(a)=(x—0}9 (x), 


® (x) étant une fonction qui ne s'évanouit ni ne devient infinie 
pour æ— 0. 


Ainsi l'équation (3 5) deviendra 
h F'(v) + (œ — x) i+ (a —x) ® (HE 0: 
d’où l'on tire 


(x—a)i—h}#F{(r) 


(& — x} — TE 


, 


et par suite 


i—hF (+) 


2 (x) 


(36) PAU EE passes) 


396 RECHERCHES 

En ayant égard à la double valeur du radical, et en appliquant 
à l'équation précédente la série de Lagrange, on obtiendra deux 
series distinctes, qui représenteront précisément les deux racines 
voisines de œ qu'acquiert l'équation (24), lorsque u et v ont des 
valeurs voisines elles-mêmes de &, et dans l'hypothèse de F” (x) 
Hour 0; 

Reste maintenant à prouver que la série de Lagrange tirée de 
l'équation (23) doit nécessairement offrir la racine &. Pour cela, 
il faut se rappeler que u est, par hypothèse, une valeur appro- 
chée de &. Or, peut-être n'est-il pas inutile de faire remarquer 
qu'en disant que u est une valeur approchée de &, nous n’enten- 
dons pas dire seulement que u s'approche de &, mais par là 
nous entendons dire encore que si u est  &, alors de toutes 
les racines supérieures à 4, æ est la plus approchée de ce para- 
mètre, et que si u est => &, alors de toutes les racines inférieures 
à u, & est celle qui s'approche le plus de ce même paramètre. 

Cela bien retenu, en ayant égard au théorème 3 du $ 2, il est 
facile de voir que la proposition dont il s’agit sera démontrée, si 
l'on fait voir que l’on a 

AS F (u) 
f(u)= — Foy QUES 0 
selon que u est inférieur ou supérieur à &. 

A cet effet, nous observons que l'on a 

F(u) __ F(«+h) nu hE'(a+eh) 


EN ESA) en EEE) 


en mettant pour u et v leurs valeurs données par les formules (20) 
et (22), et retenant que & est un nombre compris entre o et 1. 
Or, comme on suppose que l'équation F' (x) = o n’a pas de 
racines comprises entre les limites & et u — à + h, elle n'en 
aura pas non plus entre les limites & + € h et à + 0 h; car ces 
deux limites se trouvent comprises entre les premières & et u, 


SUR LA SÉRIE DE LAGRANGE. 397 


parce que non-seulement &, mais par hypothèse aussi 4, est com 
pris entre o et 1. On aura donc 


"{ 
F" (x 


aæa+eh) 
+ 50: 


et par suite 
F (u) 
— Fr) ZX ou —- 0, 
selon que À est — ou = 0, Ou, ce qui revient au même, selon 
Que u est inférieur ou supérieur à ®œ. À 

On conclura donc, en vertu de la remarque faite plus haut, 
que la série de Lagrange tirée de l'équation (23) représente pré- 
cisément la racine & : ce qu'il fallait démontrer. 

En résumé, il résulte de l'analyse qui précède, que l'équation 
(1) étant donnée, et 4 étant une valeur approchée d'une de ses 
racines, par exemple &, on aura la valeur exacte de cette racine 
en appliquant la série de Lagrange à l'équation (1) ramenée préa- 
lablement à la forme (23). Ajoutons qe, pour que l’on soit sûr 
que la racine obtenue de la sorte représente effectivement «, il 
faut, comme nous l'avons remarqué plus haut, que la première 
dérivée de (1) n'ait pas de racines comprises entre les limites w 
et @. 4 

Pour montrer une application de cette règle, soit l'équation 


(37) F xt 1731 Ti g7a d— 183 —10x7+60,5— 0, 


laquelle rentre dans l'équation (24) du SIL. On sait qu'une de 
ses racines, savoir celle désignée par æ, dans l'endroit cité, est 
comprise entre les limites 6 et 6,1,eta pour valeur 6,040824... 

Supposons qu'il s'agisse de trouver cette racine par la règle 
précédente, et dans l'hypothèse qu’elle soit seulement connue à 
0,01 près. Nous prendrons ainsi w — 6,05, ce qui est une 
valeur de x suffisante pour notre objet; car, par les formules 
(26) du $ II, on voit que la première dérivée de l'équation don- 


398 RECHERCHES 

née (34) n'a pas de racines entre les limites x, et u — 6,05. Cela 
posé, prenons, par un premier essai, 0 — 10 0DAICE qui 
donne F°{v) = F° (6,05) — — 10,1232. Pour plus de simpli- 
cité, nous pouvons réduire la valeur précédente de F'{v) à celle-cr: 


F'(v)—= — 10, 


laquelle correspond à une valeur de v inférieure à u — 6,05, 
mais toujours comprise entre x, el u, et qui par suite est conforme 
à la règle dont il s’agit. 

Ainsi l'équation (23), en y mettant pour u, F (x), et F” (v) les 
valeurs précédentes, deviendra, toute réduction faite, 


6,05 — r<+o,1x'(xæ — d)(x— 6)(x — 6,1) — 0, 


équation qui est la même que l'équation (24) du $ Il, où nous 
avons en effet reconnu que la série de Lagrange, appliquée à cette 
équation, donne, conformément à la règle précédente, la racme 
quatrième de la proposée (34), savoir celle dont la valeur est, 
comme nous l'avons déjà dit, 6,040824, à moins d’une unité près 
du sixième ordre décimal. 

En terminant ce paragraphe, je ferai remarquer que lorsque 


dans la formule (23) on fait v — u, elle devient 
| REhN ue 
(38) ot (out) —0; 
et si l'on y applique la série de Lagrange, on obtient, tout calcul 
fait, 
Fu 1 : F'u ë Fu (Fu) (F'u) 
die RTE (Fu) TUSTIUR (Fa) RER Up “Hoieleane 


laquelle est la série même qu'Euler a donnée le premier dans la 
seconde partie de son Calcul différentiel (chap. 1x, art. 234), et 
que Lagrange a rapportée à la page 214 de la note xt de sa Réso- 


lation des équations numériques. 
Au reste, il ne sera pas inutile de remarquer que la série d'Euler 


SUR LA SÉRIE DE LAGRANGE. 399 
précédente pourrait aussi s’obtenir à l’aide de la série de Lagrange 
appliquée à l'équation (1), après l'avoir préalablement réduite à 
la forme 

(z—u)F(u) 
PF) 


C'est là ce dont on peut s'assurer au moyen d'un calcul qui ne 
présente aucune difhculté. 


$ IV. 


Revenons aux propriétés caractéristiques de la racine æ, savoir 
de celle des racines que fournit la série de Lagrange, tirée de 
l'équation proposée 


() F(e) =: 
celle-ci ayant été réduite préalablement à la forme 
(2) u—x+f(x) = 0 


de quelque manière que ce soit. 

En jetant un coup d'œil sur les résultats obtenus à cet égard 
au $ Il, on s’apercevra que les propriétés dont il s’agit reposent 
sur la forme propre de l'équation de réduction (2). Or, il est essen- 
üel de rappeler ce que nous avons déjà remarqué dans la préface, 
à savoir que toute équation peut se ramener à la forme (2) ci- 
dessus de plusieurs manières différentes. Il y a plus : le nombre 
des manières dont cette réduction peut s'effectuer est infini; elles 
sont toutes comprises dans la formule suivante : 


(3) u—x+|x—u+kF(x)| —=o, 


où u est un nombre arbitraire quelconque, et k un facteur quel- 
conque même arbitraire, et qu’on peut supposer, soit dépendant, 
soit indépendant de +. Ajoutons que les résultats obtenus dans le 


4100 RECHERCHES 


paragraphe précédent démontrent que, par un choix convenable 
des valeurs de w et k, qui entrent dans la formule (3), nous pou- 
vons amener la racine & à devenir une quelconque des racines 
simples de la proposée. On voit par là que le rang qui convient à 
la racine &, dans la suite des termes formés par les racines de la 
proposée, rangées entre elles, d'après un de leurs caractères dis- 
tincüfs quelconques, dépend nécessairement de la manière dont 
la proposée a été réduite à la forme (2). 

Cela posé, supposons que la proposée (1) ait été réduite à la 
forme (2) d’une manière quelconque, fixée d'avance : ou, ce qui 
revient au même, supposons que dans la formule (3) les valeurs 
du terme « et du facteur k aient été, d'avance, arbitrairement 
déterminées. Admettons, de plus, que les racmes de la proposée 
aient été préalablement rangées, entre elles, d’après un caractère 
distinctif quelconque, arbitrairement choisi. 

Cela étant, si l'on applique la série de Lagrange à la formule (3), 
la racine & qu'on obtiendra sera nécessairement d’un ordre déter- 
miné. Or, c’est cet ordre qu'il s’agit de reconnaitre a priori. 

Nous avons déjà donné, au $ IT, un essai de solution de cette 
question, en nous fondant sur le mode d’arrangement des racmes 
de la proposée que nous y avons exposé, et qui, d’ailleurs, s’ap- 
puie sur la considération des racines réelles de la première déri- 
vée. Nous allons, maintenant, résoudre la même question en par 


tant d’un nouveau mode d’'arrangement des racines de la proposée, 


5 
mode bien préférable à celui que nous venons de rappeler, soit 
par sa généralité, soit par l'importance des résultats auxquels il 
conduit. 

Le mode d’arrangement dont il s’agit se fonde sur le théorème 
suivant de l'illustre Fourier, relatif à l'analyse des équations déter- 
minées. 

Soit F (x) [premier membre de la proposée (1)] une fonction 
de x, réelle et entière, et du degré m; et soient 


F'(x), F'(x), F'(x).... Ft (a), 


SUR LA SÉRIE DE LAGRANGE. 401 


ses diverses dérivées, depuis la première jusqu’à celle de l'ordre 
m, laquelle, comme on sait, est indépendante de x. 

A l'aide de ces fonctions, formons la suite que nous allons 
écrire : 


(K) For), Fm0{r), Fi 3{2)... .F(x), F'(x), FU), Fa). 


Soient, en outre, a et b deux nombres réels quelconques, dont b 
soit = a. Si l'on substitue, d'abord, dans les fonctions de la 
suite (K) au lieu de x la valeur æ — a, et l'on marque le signe 
correspondant de chaque fonction, on aura une suite de signes 
qui présentera un certain nombre de permanences n. Si ensuite 
on substitue dans les mêmes fonctions, au lieu de x, la valeur 
æ— 0, on aura une autre suite de signes qui présentera un 
nombre de permanences n'. 

Cela posé, le théorème de Hounes consiste en ce que l’équa- 
tion (1), savoir : 


Fix) — 0, 


a précisément autant de racines réelles ou imaginaires comprises 
entre a et b, qu'il y a d'unités dans la différence n—n', laquelle 
d’ailleurs ne peut jamais devenir négative. (Voir l'ouvrage de Fou- 
rier, Analyse des équations déterminées, livre H, pages 87 et sui- 
vantes.) 

Ce théorème entraine évidemment cette conséquence. C’est que 
toute racine réelle de la proposée, si, après avoir été augmentée 
. d’une quantité positive et infmiment petite w, on la substitue au 
lieu de x dans la suite (K), doit nécessairement produire une suite 
de signes renfermant un certain nombre de permanences qui 
sera particulier à cette racine, et qui variera nécessairement d’une 
racine à l'autre. Il résulte de là que ce nombre de permanences 
offre un caractère distinctif propre à distinguer chaque racine 
réelle de toutes les autres. Ainsi, c'est précisément d'après ce ca- 
ractère que nous distinguerons et rangerons entre elles les diffé- 
rentes racines de la proposée. En sorte que nous désignerons par 


SAVANTS ÉTRANGERS. — XII. 51 


402 1ECHERCHES 
æ, celle des racines de la proposée qui, étant réelle, si, après avoir 
été augmentée de la quantité w ci-dessus, on la substitue au lieu 
de æ dans la suite (K), amène une suite de signes renfermant une 
seule permanence; et en général nous désignerons par x; celle des 
racines qui, étant réelle, si, après avoir été augmentée de w, était 
substituée au lieu de x dans la suite (K), produirait une suite de 
signes renfermant 1 permanences. 

Désignées de la manière que nous venons d'indiquer, et ran- 
gées dans l'ordre des indices placés à leurs pieds, les racines de 
la proposée formeront la suite 


(R) Lis Lys Tye ee Lis Litres + + Emi ms 


où nous appellerons +; la racine de l'ordre général i, comme étant 
celle dont on tire toutes les autres, en faisant son indice 1 — 1, 
DEA TL AN ET. 

Si l’on fait attention à ce fait constant, que le nombre des per- 
manences présenté par la suite (4) varie de mamière à ne jamais 
diminuer, mais ou à rester le même, ou à croître jusqu'à ce qu'il 
devienne égal à m, à mesure que le nombre substitué à x devient 
de plus en plus grand, on s’apercevra que la racine de l’ordre ? 
étant réelle, elle devra nécessairement être plus grande que toute 
autre racine d'ordre inférieur, x;_,, par cela seul que ces deux 
racines, substituées dans la suite (K), donnent par hypothèse, la 
première { permanences, et la seconde i-—p seulement. On voit de 
là que dans la suite (R) les racines de la proposée sont aussi ran- 
gées dans l’ordre de leurs respectives grandeurs, en sorte que:si 
ces racines, par des valeurs convenables des coefficients de l’équa- 
tion proposée, venaient à être toutes réelles, alors en les ordon- 
nant, pour un moment, par rapport à leurs respectives grandeurs, 
chacune d'elles acquerrait le même rang ou le mème ordre qui 
lui convient, d’après le mode d’arrangement que nous venons de 
signaler et d'adopter. Ce mode d’arrangement a donc beaucoup 
de rapports avec celui qui consisterait à ranger les racines réelles 
d’après leurs respectives grandeurs, sans tenir aucun compte des 


SUR LA SÉRIE DE LAGRANGE. 103 


racines imaginaires. Ils diffèrent pourtant entre eux en ce que, 
selon le premier mode d’arrangement, celui qui se fonde sur le 
théorème cité de Fourier, et que nous venons d'adopter, l'indice x, 
marquant l'ordre de la racine x;, dépend à la fois, soit du nombre 
des racines réelles qui précèdent la racine x;, comme étant plus 
petites que celle-ci, soit du nombre de celles des racines imagi- 
naires qui, d’après le théorème de Fourier, doivent aussi être 


censées précéder la même racine x;. Au contraire, si l’on range 


les racines de la proposée purement et simplement d’après que 
grandeurs, alors la suite résultant de cet arrangement ne peut ren- 
fermer que les racines réelles de la proposée, et l'indice t de 
l'ordre de la racme x; ne dépend que du nombre seul des racines 
réelles inférieures à cette même racine. Ainsi, l'indice le plus 
grand que pourrait acquérir une racine quelconque, serait jus- 
tement égal au nombre des racines réelles que renferme l’équa- 
tion proposée. Au reste, si dans la suite (R) on connaissait la na- 
ture de la racine que chaque terme représente, on pourrait for- 
mer sur-le-champ la suite composée des racines réelles, rangées 
dans l’ordre de leurs grandeurs respectives. Il suflirait, à cet effet, 
de supprimer dans la suite (R) tous les termes correspondants à 
des racines imaginaires, et de modifier ensuite les indices des 
termes restants, conformément à la place que ces termes se trou- 
veraient occuper, après la suppression indiquée tout à l'heure. On 
aurait ainsi une nouvelle suite, celle précisément qui résulterait 
de larrangement des racines réelles d’après leur ordre de gran- 
deur. 

Nous avons cru devoir entrer dans les détails précédents, pour 
montrer que le mode de distinction et d’arrangement des racines 
que nous avons adopté, quoique fondé sur une propriété des ra- 
cines qui, Jusqu'ici, n’est pas encore rangée au nombre des pro- 
priétés élémentaires, se rattache pourtant à une des premières 
notons des racines, celle de leur grandeur. Au reste, il s’applique 
aussi aux racines des diverses dérivées de la proposée. Ainsi, pour 
la première dérivée 


404 RECHERCHES 
(4 F{x=0, 
nous désignerons par 4’; celle de ses racines qui, étant réelle, si, 


augmentée de w, on la substitue au lieu de x dans la suite de 
fonctions 


(K') Fm (x), Fm (x),: F'(x), F'(x), 


produirait une suite de signes renfermant : permanences. De cette 
manière, les racines de la même équation formeront la suite 


! ! 1 ! 


(R') RE via Re Di, Libre: Lm-2s M mie 
De mème les racines de la seconde dérivée 
(5 F'(n)=— 0 


composeront la suite 


(2 1 (2 2 


(R') 2 gratis ol ungte id, at 


en désignant par x’; celle des racines de cette équation qui, aug- 
mentée de w, et substituée au lieu de * dans la suite des m —1 
fonctions 


tk") Ft{x), Fm) (x)... F'(x), F'(x), 


amènerait une suite de signes renfermant & permanences. 
En général, nous désignerons par æ°); la racme de lordre à de 
la dérivée de l’ordre n 


(6) RG) 0" 


et nous entendrons par cette notation xl; celle des racmes de 
cette équation qui, augmentée de la quantité positive et mfmi- 


ment petite w, et substituée dans la suite des (m — n + 1) 
fonctions 
(Ktr) FU) (x), F-(x). 0. .Fu+n{x), Fti(x), 


produit une suite de signes renfermant : permanences. 


SUR LA SÉRIE DE LAGRANGE. 405 


Avant de venir à la question faisant l'objet principal de ce para- 
graphe, nous nous arrêterons encore ici à faire connaitre certaines 
formules par lesquelles les racines de la proposée sont liées à 
celles de ses diverses dérivées. Mais nous ferons, tout d’abord, 
deux remarques qui nous seront très-utiles pour nous rendre 
raison des formules que nous avons en vue d'établir. 

Première remarque. — La première remarque consiste en ce 
que, si dans la suite (K) on substitue, au lieu de x, une racine 
simple quelconque de la proposée (1), augmentée ou diminuée 
de w, par exemple x; + w, x; étant une racine simple, les deux 
fonctions . consécutives F'{x) et F(x) présentent nécessairement 
une permanence ou une variation, selon que l'on prend w avec le 
signe positif ou négatif. 

En effet, on à d’abord sensiblement 


(7) Pro) EF (x). 


Mais F’ (x) dans le voisinage de x — x; ne change pas de signe, 
car x; est une racine, par hypothèse, propre seulement à l’équa- 
üon F (x) — o. Par suite, eu égard à la dernière équation (7), 
on conclura que les signes des deux quantités F (x; + w) et 
F' (x; + w) présentent une permanence ou une variation, selon 
qu'on prend w avec le signe positif ou négatif. 

Deuxième remarque. — La seconde remarque que nous tenons 
à faire, c’est que toute valeur a qui, étant substituée dans les trois 
fonctions consécutives F+1(x), FW{x), Ft-1(x), faisant partie de 
la suite (K), rend la fonction intermédiaire F( (x) égale à zéro, et 
donne pour les deux autres deux résultats de même signe, est 
nécessairement l'indice de l'existence de deux racines imaginaires. 

Cette proposition est vraie, que a soit ou ne soit pas une ra- 
cine de la proposée. Mais nous nous bornerons à la démontrer 
pour le cas où a n’est pas racine de la proposée. Pour cela nous 
remarquerons, d’abord, que la suite de signes résultant de la 
suite (K), en y faisant x — a + w, renferme nécessairement deux 
permanences de plus que celle qui résulte en faisant dans la même 


406 RECHERCHES 

suite (K) x — a — w. Car les trois fonctions F"+'{x), F'(x), 
F1 (x), par la remarque précédente, et en vertu de hypothèse que 
nous venons de faire, offrent deux permanences pour & — a +09, 
et deux variations pour &æ — a — w. De plus, les autres fonctions 
composant la suite (K) conservent chacune le même signe, pour 
toutes deux ces dernières valeurs de x. 

De là on conclura, eu égard au théorème de Fourier, que la 
proposée devra avoir deux racines réelles ou imaginaires, entre 
les limites infiniment resserrées à == à — w et x —= a +- 0. Mais 
il est essentiel d'ajouter qu'il ne peut rester aucun doute que ces 
deux racines soient imaginaires. Car, si elles étaient réelles, elles 
devraient évidemment être toutes deux égales à a, et par suite, a 
devrait rendre zéro F(x) et F’{x), ce qui est contraire à notre 
hypothèse. 

TaéorëME 1. — Supposons toutes trois réelles les racines #;, 
x, et al, dont la première est, d’après la notation adoptée, 
celle de l'ordre r de la proposée, et les deux autrès sont celles 
des ordres i — n et i de l’équation dérivée de l'ordre n (6). Ces 
trois racines seront toujours liées entre elles par l'équation sui- 
vante : 


(8) De ML ae) 


Pin i 


en observant que par la notation M (p..q), nous entendons tou- 
jours, comme au S IL, une moyenne quelconque entre les quan- 
utés réelles p et q. 

Pour faire voir la vérité de cette formule (8), il suffit de dé- 
montrer que la suite (K), pour x — x!) +-w, présente un nombre 
de permanences toujours égal ou supérieur à ?, et pour 2 — 
1), + w, elle en présente un nombre toujours inférieur à i. Or, la 
première partie de cette proposition est évidente, par cela même 
que x!) est la racine de l’ordre à de la n°" dérivée (6). Quant à 
la seconde partie, nous la démontrerons ainsi qu'il suit. Suppo- 
sons, pour un moment, qu'en faisant x — xl), +-«w dans la 


ip 
suite (K), il en résulte une suite de signes renfermant 7 perma- 


SUR LA SÉRIE DE LAGRANGE. 407 


nences. Alors nous observons d’abord que la partie de la suite (K), 
composée des fonctions 


(9) Fm (x), Fm (x)... Ft (x), F'(x), 


présentera nécessairement i— n permanences pour 4— x"), + «, 
à cause de ce que x!), est, par hypothèse, la racine de l’ordre 
i— n de la dérivée n°" (6). Il résulte de là que la suite entière 
(K), pour la même valeur æ— x, + w, ne peut présenter 


une suite de signes renfermant à permanences, qu'autant que la 
partie de la suite (K), composée des n + 1 fonctions suivantes 


(10) Fear (hot (oJoasl'ale) (x) {x}, 


ième 


présentera, pour la valeur de x en question, n permanences. Or, 
ce dernier cas est impossible. Car alors ces dernières fonctions, 
pour æ — a), + w, devraient acquérir toutes le même signe. 
D'ailleurs, pour cette mème valeur de x, F"+{x) et F" (x) seront. 
elles aussi, affectées de signe semblable, en vertu de la première 
des deux remarques faites plus haut. Ainsi, les trois fonctions 
F1 (x), F(x), F2 (x) offriraient, nécessairement, deux per- 
manences pour la dernière valeur de x signalée tout à l'heure. 
Mais la fonction F" (x) change de signe, lorsque de la valeur 
æ— a", + « on passe à x — 1"), — w. Il résulte de là que 
les trois fonctions ci-dessus, F"+1 (x), F" (x), F1 (x) présente- 
raient deux variations pour la dernière valeur x — 2), — % : 
en sorte que, pour cette valeur de x, la suite entière n'offrirait 
plus, en conséquence, que i — » permanences. Par suite, eu égard 
à la seconde remarque faite plus haut, la proposée aurait deux 
racines imaginaires, ou, suivant le langage de Fourier, déficientes, 
entre les limites infiniment resserrées, entre elles, æ — x!), + « 
etæ—4"), — w. De plus, lune de ces deux racines serait pré- 
cisément celle de l'ordre , savoir +; : ce qui est contraire à l’hy- 
pothèse établie que la racine x; soit réelle. 
Le théorème 1, que nous venons de démontrer, a son réci- 
proque, que nous allons énoncer de la manière suivante : 


408 RECHERCHES 

TuéorÈmE 2. — Soient toutes trois réelles les racines x;, æ;,,, 
et x!, dont les deux premières sont celles des ordres ? et i+n 
de la proposée, et la troisième est celle de l’ordre à de la n°" dé- 
rivée. On aura 


(11) CDN M AE 

Pour démontrer ce théorème, considérons en particulier la 
formule 
(12) a Music) 


qu'on tire de la formule générale (11) en y faisant n — 2. 
Le raisonnement que nous emploierons à cet égard sera tel, 
qu'on pourra l'appliquer à toute autre formule du même genre. 
La question se réduit à faire voir que la partie de la suite (K) 
comprenant les fonctions suivantes au nombre de m — 1, 


(GLS À Dee Qu SUN Cu AS LS CSC Co DC CNT 


doit nécessairement présenter un nombre de permanences égal ou 
supérieur à 1, où bien un nombre de permanences inférieur à 6, 
selon qu'on fait + —x;., +4 w, ou bien x — +; + w. Supposons, 
d'abord, que l’on fasse 3— x;,, + w. Alors la suite entière (K) 
devra nécessairement offrir à + 2 permanences, car x;., est la 
racime i + 2 de la proposée. De là, en observant que les trois 
fonctions (x), F'{x) et F (x) ne peuvent offrir, au plus, que 
deux permanences, on en conclura que la partie (13) de la suite 
(K) rapportée ci-dessus offrira, certainement, un nombre de per- 
manences égal au moins à à. 

Soit, maintenant, æ — 2; + w. Dans cette hypothèse, il est 
évident que la suite entière (K) présentera justement à perma- 
nences, car 2; est la racine de l'ordre t de la proposée. D'ailleurs, 
dans ce cas, les deux fonctions F'{x) et F (x), en vertu de la pre- 
mière des deux remarques établies plus haut, donnent deux ré- 
sultats de même signe, savoir une permanence. Il faut donc con- 


SUR LA SÉRIE DE LAGRANGE. 109 
clure que la partie (13) ci-dessus de la suite (K), pour x=— x; + w, 
ne peut présenter, au plus, que i— 1 permanences. 

Nous ajouterons aux deux théorèmes 1 et 2, que nous venons 
d'établir, les remarques suivantes: . 

1° Les trois conditions du théorème 2, à savoir que les trois 
racines %;, &;4, et x!) soient réelles, peuvent avoir lieu, chacune 
indépendamment des autres, tant que l'indice n n’est pas égal à 1. 
Mais si l’on avait a — 1, ce qui revient à comparer les racines de 
la proposée à celles de la première dérivée, la réalité des deux 
racines +, et &;,, entraînerait nécessairement, d'après le théorème 
de Rolle, celle de la racine x. En sorte que pour n—1, on peut 
dire que le théorème Il subsiste, rigoureusement parlant, sous 
ces deux conditions seules, que les deux racines x; et x;,, soient 
toutes deux réelles. 

2° Les deux formules (8) et (11) peuvent être remplacées par 
d’autres plus générales encore, savoir la formule (8) par 


(14) a M (a af), 
et la formule (11) par la suivante : 
Hé a+) M (9: -a0),). 


Pour se convaincre de la vérité de ces deux formules, il suffit de 
regarder la dérivée (6) de l'ordre n comme une équation princi- 
pale. Alors la dérivée de l'ordre p +n 


(1 Fun (a) 
de la proposée, deviendra’ celle de l’ordre p de l'équation (6), et 


par suite, les deux formules (8) et (11) entraimeront les deux ci- 
dessus (14) et (15). p 

3° Si l’on suppose que les racines de la proposée soient toutes 
réelles, alors les deux formules (8) et (11) deviennent une suite 
nécessaire du théorème connu de Rolle. En effet, d'après ce théo- 
rème, on a d'abord 
(17) de M (ais 


SAVANTS ÉTRANGERS. — XII. 52 


410 RECHERCHES 
d’où 1l vient 

(18) e— Mir.) 
lesquelles formules combinées donnent 
(19) di M (x...) 
et en général, 

(20) mb Mésrag:si)s 


formule qui est la même que la formule (11). 
. q ie . 
D'ailleurs la formule (17) et celle qui en résulte, en y chan- 
geant 1 en i—1, montrent qu'on a encore 


(21) min) 
d’où il vient 

(22) a Mi rs): 
lesquelles combinées amènent celle-ci, 
(23) Ba (al 25); 
et, en général, 


(24) Be M RE a 


\ 


formule qui coïncide avec la formule (8). 

4° Si les deux racines x!), et a, qui entrent dans la for- 
mule (8), se trouvaient imaginaires, cette formule deviendrait 
alors illusoire. Mais si l’une seule de ces deux racines était ima- 
ginaire, alors l'autre pourra “toujours ètre regardée comme une 
des limites, inférieure ou supérieure, de la racine x. 

Une observation pareille peut se faire à l'égard de l'autre for- 
mule (11). 

° On remarquera, enfin, que lorsque, dans les Rene (8) 

et tu 1), l'une des racines qui y entrent, par exemple x!°,, ac- 


SUR LA SÉRIE DE LAGRANGE. 411 
querrait un indice moindre que zéro, elle devra être remplacée 
par l'infini négatif. De même, lorsque l'une de ces racines. par 
exemple x:,,, acquerrait un indice supérieur à 1, elle devra être 
remplacée par l'infini positif. 

A l’aide des deux théorèmes précédents, nous en allons établir 
un troisième, dont nous ferons un usage important en son lieu. 
THÉORÈME 3. — Soient les deux équations algébriques 


(25) N—10: et Y — 0; 


dont l’une est du degré m, et'a pour inconnue x; et l’autre est 
8 . 
du degré m', et a pour son inconnue y. 
Supposons que la dérivée n°" 


(26) XV —=,0 

de la première de ces équations, soit la même que la dérivée n'°" 
(27) Y°= 0 

de l’autre, En sorte qu'on ait identiquement 

(28) | XO— ym, 


après avoir préalablement changé y en x dans le second membre 
de cette dernière équation. 

Les racines des deux équations proposées (2 b) seront liées entre 
elles par les formules suivantes : 


(29) Li — M (een . 1Yipur) 
(30) Yi —M Eee * Din) 


dont la seconde se déduit de la première en y échangeant entre 
elles y et x, ainsi que n et n’. 

Il va sans dire que ces deux formules ne subsistent qu'autant 
que, pour la première, x;, Vin Yisn SOnt trois racines réelles; et 
pour la seconde, Ji Ti-w et di,, Sont aussi trois racines réelles. 

Il est bien entendu que y; est la racine de l'ordre i de la seconde 

52. 


112 RECHERCHES 
des équations (25), de même que x; est celle du même ordre de 
la première de ces équations. 

La seconde des deux formules (29) et (30) étant une suite né- 
cessaire de la première, il suflira de démontrer celle-ci. À cet 
effet, nous observons d’abord, qu’en vertu de l'équation de con- 
dition (28), on aura 


(31) xl") — pe 


a" et y"? étant, l'une, la racme de l’ordre 1 de l'équation (26); 
et l’autre, la racine de même ordre ? de l'équation (27). 
Mais en vertu du théorème Il, on a 


(32) MEME ne 

De cette équation et de la précédente (31), on tire 
(33) a") — M (Poeme): 
laquelle, en y changeant 7 en it — n, nous donne 


(34) al). = M ( . GE nn) 


Par suite, eu égard à la formule (8), faisant l'objet du théo- 
rème |, on tirera des deux formules précédentes (33) et (33), 


(35) TX; — M (pa QUE 


ce qu'il fallait démontrer. 

À l'égard du théorème que nous venons de démontrer, nous 
ferons les deux remarques suivantes : 

1° Si, dans la formule (29), les deux racines y; , et y;,, de- 
viennent imagmaires, la même formule deviendrait illusoire. Mais 
si lune seule de ces deux racines devient imaginaire, alors l’autre, 
restant réelle, représentera encore la limite inférieure où supé- 
rieure de la racme +. Même remarque à propos de l’autre for- 
mule (30). 

2° Si, pour des valeurs particulières attribuées à ? et à », l'in- 


SUR LA SÉRIE DE LAGRANGE. 413 
dice i— n de la racine y;_, devenait inférieur à l'unité, ou celui 
de y:,, devenait supérieur à m', degré de la seconde des équa- 
tions (25); alors la racine y;_, devra être remplacée par l'infini 
négatif, et l'autre y;,, par l'infini positif. 

Même conclusion pour les deux racines x;_,, et x;,,. 

Venons maintenant à la question qui forme l’objet principal de 
ce paragraphe, celle de déterminer l’ordre qui convient à la ra- 
cine @, que représente la série de Lagrange, lorsqu'elle est appli- 
quée à une équation algébrique quelconque, réduite préalable- 
ment à la forme (2), de quelque manière que ce soit, 

La règle à suivre pour cet objet est la suivante. 

Règle pour reconnaitre l'ordre de la racine &. — Cherchons le 
nombre des permanences que renferme la suite (K) lorsqu'on y 
fait x — u. Soit p ce nombre. L'indice de l’ordre de la racine « 
sera toujours supérieur à p, si l'on a f (u) = o; et il sera tou- 
jours égal ou inférieur à p, si lon a f(u) 0. Il y a plus. Si la 
proposée a ses racines toutes réelles, alors l'indice de l'ordre de 
la racine & sera toujours justement égal à p + 1 ou à p, selon 
que l'on a f (u) => ou Lo. 

Cette règle découle du théorème 3 (S I) d’une manière trop 
évidente pour qu'il soit nécessaire de nous arrêter ici à la démon- 
trer. Nous aimons mieux faire remarquer une conséquence impor- 
tante qui en résulte, et qui est analogue au théorème 4 du S Il. 
C'est que l’ordre de la racme & est un nombre entièrement dé- 
pendant de la valeur du terme x, de sorte qu'en faisant croître 
indéfiniment cette quantité, le même ordre est réduit à croître 
jusqu’à devenir quelquefois le plus élevé de tous les ordres des 
racines de la proposée. 

Aussi la règle précédente fournit-elle une nouvelle preuve de 
Pmexactitude du théorème de Lagrange que nous avons examiné 
au paragraphe précédent. 

Au reste, cette règle est remarquable en ce qu’elle nous fait 
connaître, soit exactement, soit dans certaines limites, l’ordre de 
la racine &, sans aucune connaissance préalable sur la nature et 


h14 RECHERCHES 


la valeur des autres racines de la proposée ou de celles de quelque 
autre équation liée à la proposée d'une manière connue. Toute- 
fois, réfléchissons que la connaissance préalable des racines d’une 
des dérivées de la proposée, ou d'une autre équation liée à la 
proposée d’une manière quelconque, peut devenir très-utile pour 
déterminer a priori ordre de la racine &, et peut méme, quel- 
quefois, nous dispenser d’avoir recours à la règle précédente. Dans 
ce nombre se trouve l'équation qu'on tire en égalant à zéro la 
fonction f (+), qui entre dans le premier membre de l'équation (2). 
C'est ce qu’on va voir par le théorème suivant. 

THÉORÈME 4. -— Soit toujours la proposée (1), et supposons 
que sa première dérivée (4) ait ses racines toutes réelles. 

Soit de plus a; une quantité réelle, et la racine de l’ordre x de 
l'équation 


(36) fa) — 


les autres racines de cette équation étant quelconques, réelles ou 

imaginaires, et f (x) étant une fonction entière de x, et la même 

qu'on obtient en ramenant la proposée à la forme (2). 
Supposons encore que l'on ait 


(37) mod HNTARESNE 


En vertu de cette condition, la série de Lagrange S (1), tirée 
de la proposée (1), et regardée commeune fonction de w, jouira, 
d’après le théorème (A) du $ 1, du système de convergence, COM- 
posé des valeurs de a parmi desquelles se ‘trouve la même quan- 
tite u;. 

Cela posé, en nous bornant aux valeurs de a composant le sys- 
tème indiqué tout à l'heure, nous disons, 1° que l'indice de Fordre 
de la racine & sera constamment le même pour toutes ces valeurs 
de u; 2° qu'il ne pourra jamais devenir, quels que soient a, et 
J{x), qu'égal à i—1,ouài, ouài+1; 3° que si 1 — f(— co) 
est une quantité positive, l’ordre de la racine & sera précisé- 
ment t, si & est impair; eti—-1, Où i + 1, si à est pair, Le con- 


SUR LA SÉRIE DE LAGRANGE. 415 
traire aura lieu si 1 — f (— co) est une quantité négative : savoir 
l’ordre de la racme & sera alors t, si test pair, et i — 1 où à +1 
si à est impair. 

Nous commençons par démontrer la première partie de ce théo- 
rème, celle par laquelle on affirme que l’ordre de la racine & est 
le même pour toutes les valeurs de 4 composant le système de 
convergence dont les limites renferment la quantité u;. Nous nous 
appuierons à cet effet sur le théorème suivant de M. Cauchy. 

Lorsque les différents termes d’une série sont des fonctions 
d’une même variable u continues par rapport à cette variable, dans 
le voisinage d’une valeur particulière pour laquelle la série est 
convergente, la somme de la série est aussi dans le voisinage de 
cette valeur particulière, fonction continue de u. (Voir Cours d’a- 
nalyse algébrique, par M. Cauchy, chap. vi, SI, p.131 et suiv.) 

Nous ferons observer, avanttout, que les valeurs de a composant 
le système de convergence ci-dessus indiqué, rangées dans l’ordre 
de leurs grandeurs, formeront une suite de termes tels, que l'un 
d’eux quelconque différera infiniment peu, soit de celui qui le 
précède, soit de celui qui le suit. Dès lors, supposons, pour un 
instant, que U étant une de ces valeurs de u, la série S (1) donne, 
pour u — UÜ, la racine de l’ordre p, savoir z,, et pour la valeur 
consécutive u — U.+- À (h étant infiniment petit), celle de l'ordre 
g, savoir x,. Il en résulterait que la série S (1) cesserait d’être 
continue dans le voisinage de à —U, comme nous allons le faire 
voir. 

D'abord, eu égard à ce que la première dérivée {4) a, par hy- 
pothèse, ses racines toutes réelles, on tirera de la formule (8), 
relative au théorème 1, 


(38) 2, —=M(s,,..2,) 2 —M(r,..!). 


Or.ces deux dernières formules montrent que les deux racines x, 
et x, pour une même valeur de u, diffèrent toujours l’une de 
l’autre d’une quantité finie, à moins qu’elles ne soient égales entre 
elles, auquel cas on aurait g—=p + 1, et la valeur commune des 


A16 RECHERCHES 
deux racines serait x’. Mais pour u — U, ce cas est impossible; 
car il est contraire pré principe par lequel la racine donnée par la 
série S (1) est toujours une racine simple pour toute valeur d’un 
paramètre quelconque comprise entre les deux limites de conver- 
gence de la même série, comme nous l'avons remarqué à l’occa- 
sion du théorème 1 du $ IL Il est donc certain que les deux ra- 
cines x, et x, pour la valeur u — U, diffèrent entre elles d'une 
quantité finie. Mais, d’un autre côté, il est évident que la valeur 
de &, correspondante à u — Ü + h, est sensiblement égale à 
sé qu'elle acquiert pour u = U. On conclut de là que les deux 
valeurs qu'acquièrent les deux racines ï, tx, l'une x,pouru—U, 
et l’autre x, pour u—U+h, diffèrent aussi nécessairement entre 
elles d’une quantité finie. Par suite, si la série S (1), pour u = Ù, 
donnait la racine x,, et pour u —UÙ + h la racine x,, elle cesse- 
rait évidemment d’être continue dans le voismage de u = U. Ce 
qui est en parfaite contradiction avec le théorème de M. Cauchy, 
ci-dessus cité. 

La première partie du théorème A est, par là, démontrée, et 
il sera, par suite, facile d’en démontrer. la seconde. Supposons, 
en effet, que ce soit x, la racine donnée par la série S (1), p sera, 
d'après ce qui précède, un nombre constant pour toutes les va- 
leurs de u composant le système de convergence dont il est ques- 
tion. Partant, tout se réduit à chercher la valeur de cet indice p, 
correspondante à une des valeurs de u appartenant au système 
de convergence indiqué tout à l'heure. Nous choisirons, à cet 
effet, la valeur particulière n = u;. Dans ce cas, la série S (1) se 
réduisant à son propre terme, on voit, sans peine, que la racine 
De devient égale à u;. D'ailleurs, remarquons que f (x) étant, par 
hypothèse, une fonction entière de x, l'équation (36) a sa dérivée 
du second ordre commune avec la proposée (1). Par suite, la for- 
mule (29), en y faisant n = n — 2, et remplaçant y par u, nous 
donnera 


(39) or Miui::. ut), 


SUR LA SÉRIE DE LAGRANGE. 417 
Ti, U;, et ü;,, étant la racine de l'ordre i de la proposée (1), et 
les racines des ordres i — 2 et i + 2 de l'équation (36). 

Or cette dernière formule, en y changeant successivement 
ED 201, + y et 1-2 nous en fournit quatre autres, 
dont la considération nous met à même de conclure que l'indice 
p de la racine æ, ne peut-être que l’un de ceux-ci, i —} ,tetit1, 
En effet, si P pouvait être inférieur à à -—1 » par exemple égal à 
1 — 2, alors la racine à serait di; et comme la série de Lagrange 
est croissante avec le paramètre u ($ Il), il s’ensuivrait que, pour 
des valeurs de x supérieures à u;, la racine 2, deviendrait plus 
grande Que u; : ce qui est contraire à la formule 


(40) Ga —M{u;. .u), 


qu'on déduit de la précédente (39) en y changeant à en à — 2. 
De même, si P pouvait devenir égal à 12, en sorte que æ 
fût la racine Li++, 1l en résulterait que, pour des valeurs de x in- 
férieures à u;, la racine Zi+, deviendrait plus petite que u; : ce qui 
p'us pet Ï 
4 1 
répugne à la formule 


(41) Lits = M (u;. Ua), 


qu'on tire de la formule (39) en y changeant à en i + 2. 

La seconde partie du théorème 4 est donc démontrée. En ce 
qui concerne la troisième partie du même théorème, il faut d’abord 
remarquer qu’en vertu de l'hypothèse faite, que les racines de la 
première dérivée (4) soient toutes réelles, les propriétés générales 
des diverses racines de la proposée, que nous avons signalées au 
S Il!, d’après le mode d’arrangement des racines y adopté, con- 
viennent encore toutes, ainsi que leurs corollaires, aux racines de 
la proposée, rangées et distinguées entre elles de la manicre adop- 
tée dans le présent paragraphe. Ceci admis, et eu égard encore à 
la propriété de la série de Lagrange, d’être toujours croissante par 
rapport au paramètre u, on se convaincra parfaitement de la vérité 
de la troisième partie du théorème 4. 

© P. 364 et suivantes. 


Di 
© 


SAVANTS ÉTRANGERS. AIT, 


118 RECHERCHES 

Ce théorème entraine quelques conséquences qu'il est impor- 
tant de signaler. 

1° Rappelons-nous, d’abord, ce qui a déjà été soigneusement 
remarqué (note au $ 1), à savoir que le système de convergence, 
par rapport à u de la série S (1), et caractérisé par ce que ses 
limites / et l'comprennent la valeur à — u;, peut quelquefois être 
tel, que ses limites / et l', outre la valeur u = u;, comprennent 
encore &;,;, 43... Ces quantités exprimant les racines consécu- 
tives à u; de l'équation (36). Or, nous pouvons, à l'aide du théo- 
rème précédent, entrer à cet égard dans quelques détails inté- 
ressants. 

D'abord, supposons que les limites / et ! du système de con- 
vergence dont il s’agit comprennent les deux racines u; et u;... 
Alors, en vertu du théorème précédent, la racine & donnée par la 
série S (1), en supposant que lon ait 1 fo (— D)> O, serait 
1°, à ne considérer que la quantité u;, la racine x; si 1 est impair, 
et x, ou bien x;., si à est pair; 2° à ne considérer que la quan- 
tité u,,,, la racme x; ou #;,, si à est impair, et æ&;,, si à est pair. 
Or, pour que ces résultats s'accordent entre eux, il faut conclure 
que, dans le cas actuel, la racine & ne peut être que x; si 1 est 
impair, et æ,, si à est pair. Si, au contraire, on admet que lon 
ait 1— f(—co)<o, par un raisonnement analogue au précé- 
dent, on conclura que la racine & ne peut être, de que æ: sit 
est pair , et æ;,, sic est impair. Ainsi soit l'équation 


(4e) u—x+(o;r)a (x — 5) (x — 6) (x — 6,1) — 0. 


Nous avons déjà reconnu, au $ IL, que sa première dérivée a ses 
racines toutes réelles. D'ailleurs, en la comparant à la formule (2), 
on obtiendra 


(45) f(x) = 0,1 2 (x — 5) (x — 6) (x — 6,1); 


en sorte que l'équation (36) a, elle aussi, ses racines toutes réelles, 
qui sont 


(44) D OU O 0 0 10 10 1 


SUR LA SÉRIE DE LAGRANGE. 419 


En outre, attendu que les deux racines égales à 6 et 6,1 sont 
_ très-rapprochées entre elles, et que l'on a 


(45) fe (6) = — 0,36, et f'(6,1)— + 0,40931, 


il résulte du théorème (A) du $ I que la série S (1), déduite de 
l'équation (42), jouira d'un système de convergence dont les li- 
mites / et l' renfermeront les quantités u, — 6 et u, — 6,1. Par 
suite, eu égard encore à ce qu'on a ici 1 — f (— oo) 0, on 
conclura que, pour toute valeur de u comprise entre 6 et 6,1, 
par exemple pour u — 6,05, la série S (1) donnera toujours la 
racine du quatrième ordre de la proposée, savoir x, : ce qui s’ac- 
corde avec les résultats obtenus à cet égard au $ HE. 


! 


Soit encore donnée l'équation 
(46) ; u—zx—(0,1)a (x — 5} —0, 


dont la première dérivée a ses racines toutes réelles ($ Il), et qui, 
comparée à la formule (2), nous donne 


(7) f(&)= 2 (où) (2 — 5}, 


en sorte que l'équation (36) devient ici une équation du quatrième 
degré, dont les quatre racines sont toutes réelles et ont les valeurs 
suivantes : 


(48) UN OUR OO UNE 0. 


La série de Lagrange, appliquée à l'équation proposée (46), ne 
manquera pas de jouir de deux systèmes de convergence par rap- 
port à u, tels que les limites de lun comprennent, entre elles, 
les deux racines u, et u, égales entre elles, et égales à zéro, et les 
limites de l’autre, les deux autres racines u, et u, égales aussi entre 
elles, et ayant pour valeur commune 5. Or, d’après ce que nous 
avons établi précédemment, et eu égard à ce qu'on a encore 


ft col 


420 RECHERCHES 

on conclura que la série S (1), pour toute valeur de u appartenant 
à la première période, donnera constamment la racine du second 
ordre, savoir x,, et pour toute valeur de « appartenant à la seconde 
période, donnera constamment x,, savoir la racine la plus grande. 

Supposons, maintenant, que les deux limites let l'comprennent, 
entre elles, les trois racines consécutives de l'équation (36), ;, 
üi, 2 Alors les résultats qu'on en déduirait, comme consé- 
quences nécessaires du théorème 4, pourraient encore s’accorder 
entre eux sous certaines restrictions qu'il est bien facile de de- 
terminer, Mais si, en poussant plus loin ces suppositions, nous 
admettons que les mêmes limites comprennent, entre elles, plus 
de trois racines consécutives de léquation (36), on se convaincra 
sans peine que le théorème 4 entrainerait des résultats contra- 
dictoires entre eux. Nous tirons de là ce théorème. 

TuéorèmE 5. — Si l'équation algébrique (1), savoir F (x) — 0, 
est telle que sa première dérivée (4), savoir F' (x) — 0, ait ses 
racines toutes réelles; si, en outre, on ramène la proposée (1) à 
la forme (2), u — x + f (x) — 0, en sorte que f(x) soit une 
fonction entière de x; il est impossible que la série S (1), tirée 
de l'équation proposée, puisse acquérir un système de conver- 
gence composé de valeurs du paramètre u, renfermées entre 
deux limites / et l’ qui comprennent entre elles plus de trois 
racines consécutives! de l’équation (36), savoir f (x) — 0. 

Ce dernier théorème nous fait connaître une propriété dont 
jouit la fonction f (x) qui entre dans l'équation réduite (2), lorsque 
la première dérivée de la proposée a ses racines toutes réelles. 
C'est que f(x), en lastreignant toujours à être une fonction en- 
tière de +, ne pourra jamais acquérir un facteur réel de la forme 


! Peut-être est1l bon d’avertir que les racines consécutives y mentionnées ne 
sont point astreintes à être toutes réelles. En d’autres termes, la conclusion de ce 
théorème peut être ainsi énoncée: 

La série S (1) ne pourra jamais acquérir un système de convergence par rapport 
a u, dont les limites u — l et u — l! renferment, entre elles, deux racines u, et 
üixp de l'équation (36), telles que leurs indices teti+p différent entre eux de 
plus de deux unités. 


SUR LA SÉRIE DE LAGRANGE. 421 


x— a, élevé à une puissance dont l’exposant soit supérieur à 3. 
Car si l'on avait, par exemple 


(49) f{æ)=(z— a) Y (x), 

Ÿ (x) étant une autre fonction entière de x, alors, eu égard au 
théorème (A) du $ I, la série S (1), en vertu de la dernière valeur 
de f (x), serait nécessairement convergente pour u — a, où pour u 
pris dans le voisinage de a. D'ailleurs a étant, par hypothèse, une 
racme multiple dont le degré de gnultiplicité est égal à 4, on en 
conclurait que le système de convergence composé des valeurs 
de a situées dans le voisinage de a comprendrait quatre racines 
consécutives de l'équation (36). Ce qui est contraire au théorème 5 
établi ci-dessus. 

Au reste, ce n'est pas que la propriété précédente de f (x) ne 
puisse être démontrée autrement qu'avec le secours des théorèmes 
h et 5. Mais elle a été choisie comme exemple propre à démon- 
trer le parti qu’on peut tirer des théorèmes indiqués tout à l'heure 
pour découvrir les propriétés des racines des équations algé- 
briques. Ajoutons qu’elle peut encore être confirmée à l’aide de la 
formule (29) relative au théorème 3, ainsi qu’on va le voir. 

Supposons que l'équation (36) ait une racine quadruple telle 
qu'on ait uw — ui, ui; Uu.,; et soit a la valeur commune 
de ces quatre racines. D'abord, nous disons que la première 
dérivée de la proposée (1) devrait avoir une racine égale à u; — 4. 

En effet, cette équation et celle (36) offrent un couple de deux 
équations telles que la première dérivée de la première d’entre 
elles est en même temps la seconde dérivée de l’autre. Par suite, 
x’; étant la racine de l’ordre : de l'équation (4), on aura par la 


formule (29), en y changeant x en x’, y en u, et en faisant r — 1, 
! 
n — 2. 


(50) Ti M (u;...u;.,), 
d’où il vient 


(51) RERREM (ani 


4129 RECHERCHES 

De cette dernière formule, et eu égard à ce que, par hypothèse, 
la racine x;,, est réelle, et que lonau;—u;,, —u;,,—u;,,, on 
conclura que la racme x',, ne peut acquérir autre valeur que u;. 
On aura donc l'équation 


(59) Fia)=0o, 


laquelle entraine cette autre, 


(53) 1— fu) — 0, 


ou, ce qui est la même chose, 


(54) ACT 


Or, ce dernier résultat est contraire à l'hypothèse que u; soit une 
racme multiple de l'équation (36). Car cette hypothèse entraîne 
la condition 


(55) T(u}==\o. 


Nous ne pousserons pas plus loin les conséquences du théo- 
rème 4. Mais, en terminant, nous remarquerons que lorsqu'on 
propose une équation sous la forme (2), et telle qu’en y appliquant 
la série S (1), celle-ci acquiert un système de convergence COM- 
posé de valeurs de u, parmi lesquelles se trouvent deux racines 
de l'équation (36), dont les indices différent entre eux de plus de 
deux unités, on sera par là assuré que la proposée et sa première 
dérivée ont des racines imaginaires. Ainsi, soit, par exemple, 


(56) u—x-+h(x—a,)(x — a,)(x—a;).. (x —a») —0, 


di, &, 4,....4m étant des quantités réelles quelconques, rangées 
dans leur ordre de grandeur. 

[est évident qu’en y appliquant la série de Lagrange S (1), on 
obüendra, en prenant À assez petit, une série qui jouira certaine- 
ment de systèmes de convergence par rapport au paramètre variable 


SUR LA SÉRIE DE LAGRANGE. 493 


u, dont les limites / et l’ comprendront, entre elles, plus de trois 
des quantités indiquées ci-dessus : 


di, ds As.  Am- 


Nous conclurons de là que l'équation (56) et sa première dérivée, 
en prenant assez petit, finiront par acquérir nécessairement des 
racines imaginaires. Cette conclusion peut, d’ailleurs, se confir- 
mer par les principes ordinaires de l'algèbre. 


SECOND MÉMOIRE. 


Dans ce mémoire, j'envisage la série de Lagrange sous le rap- 
port de sa convergence. Après les résultats très-décisifs obtenus 
par l’illustre Cauchy sur la convergence des séries en général, et 
en particulier sur celle de la série de Lagrange, on s’étonnera, 
au premier abord, que j'aie eu le dessein de faire de ce point 
l'objet principal de ce mémoire. Aussi me hâterai-je de dire quel 
a été le motif qui m'a engagé à traiter ce sujet. 

Lagrange, au $ IV de son mémoire de l'Académie de Berlin 
pour lannée 1768, intitulé : Nouvelle méthode pour résoudre les 
équations littérales au moyen des séries, a donné une règle pour dé- 
terminer la condition de convergence de sa série, en supposant 
que son terme général ait une valeur réelle quelconque. Mais en 
examinant attentivement cette règle, j'ai reconnu qu’elle n’était 
exacte qu'autant que le terme général de la série remplit cer- 
taines conditions que j'ai signalées dans le cours de ce mémoire 
(voir $ Il). Je me suis de plus aperçu que, lorsque ces conditions 
sont remplies, la règle de Lagrange mentionnée, non-seulement 
e$t vraie, mais elle peut encore se transformer en une autre jJouis- 
sant d’un énoncé très-simple, et qui dépend, en définitive, du 
minimum d’une fonction d’une seule variable. La nouvelle règle 
dont je viens de parler, lorsqu'elle a lieu, offre encore l'avantage 

* Présenté à l'Académie des sciences le 14 juin 1847. 


424 RECHERCHES 


d'être comparable à la belle règle que M. Cauchy, dans son mé- 
moire sur divers points d’analyse (tome VII des Mémoires de lIns- 
titut), a trouvée pour la même série de Lagrange, en supposant 
que le terme général de cette série ait une valeur quelconque , réelle 
où imaginaire; et cette comparaison nous conduit à une simplifi- 
cation de la règle de M. Cauchy que nous venons de citer, sim- 
plification qui, tout en n'ayant lieu que lorsque le terme général 
de la série vérifie les conditions plus haut mentionnées, me semble 
pourtant digne de quelque remarque. Les résultats que je viens 
d'indiquer sommairement forment l'objet des quatre premiers pa- 
ragraphes de ce mémoire, et pour y parvenir, il m'a sufli de mo- 
difier un peu la méthode même que Lagrange, dans l'endroit cité 
de son mémoire de Berlin, a suivie pour établir sa règle de con- 
vergence. Mais je n’entrerai pas à cet égard dans de plus amples 
détails, et je finirai ce préambule en disant que pour épuiser, 
autant qu'il était en moi, le sujet de mes recherches, j'ai, dans le 
dernier paragraphe, examiné une proposition d'Euler, que ce 
grand géomètre a énoncée dans son mémoire qui a pour titre : 
Observationes circa radices æquationum. (Nouveaux. Commentaires de 
Pétersbourg, tome XV.) Il n'a été facile de faire voir que cette 
proposition est aussi inexacte, et que la méprise d'Euler dérive 
de la même source que celle dans laquelle est tombé Lagrange 
en cherchant à démontrer sa proposition de la note XI de la 
Résolution des équations numériques. 


SI. 
Sort 
(1) DU NT ENTRÉES 
une série réelle ou imaginaire, et supposons que la valeur numé- 
rique ou le module du terme général u; soit une fonction donnée 
de l'indice : développable en une somme de termes tous positifs, 


et liés entre eux d’après une loi quelconque. 
Comme le module de a; est dépendant de l'indice x, il en sera 


SUR LA SÉRIE DE LAGRANGE. - 2 195 


de même des termes dont la somme compose ce même module. 
De plus, ces termes dérivant les uns des autres d’après une loi 
connue, nous pouvons concevoir qu'ils dépendent d’un certain 
nombre d’indéterminées m, n, r, 5.... et qu'ils s’obtiennent, 
pour un même indice i, en attribuant à ces indéterminées cer- 
tains systèmes de valeurs entières déduits d'équations propres à 
les déterminer. D’après cela, soit S;, , ,, un quelconque 
des termes en question, on aura 


(2) Module nn = 2S4r vu 


la somme E se rapportant aux seules indéterminées m, n,r,s.... 
généralement censées, comme nous l'avons déjà dit, recevoir des 
valeurs entières en nombre déterminé, qu'on déduira d'équations 
données a priori. Inutile de dire que, dans cette somme, l'indice à 
est considéré comme constant. 

Cela posé, eu toujours égard à l'hypothèse essentielle que le 
module de u; est donné par une somme de termes tous positifs, 
il est évident que ce module ne peut converger vers zéro à me- 
sure que son indice # croît indéfiniment, qu'autant que chacun 
des termes positifs, compris dans la somme ci-dessus ?, converge 
lui-même vers zéro. D'ailleurs, entre tous les termes qui com- 
posent la somme X, certes il y en a un qui sera le plus grand de 
tous, quel que soit l'indice i. Soit T; ce terme, qui sera néces- 
sairement une fonction du seul indice i, et par suite, indépendant 
des indéterminées m, n, r, s.... Alors, si l’on désigne par N, le 
nombre des termes dont se compose la somme E, le module du 
terme général u; sera évidemment inférieur à la valeur du terme 
général N; X T; de la nouvelle série formée parles termes 


N, IAE N, TT; N: 11508 Go .N: T;, N:,, Ti: getc. .« 
. 
et il sera supérieur au terme général T,; de la série 


RES 4 Tue 


SAVANTS ÉTRANGERS, — XII. 54 


126 RECHERCHES 
en sorte qu'on aura 

mod u; & N;T,;, 
et 


mod u; => T:. 


Partant, en désignant par R le module de la série (1), on aura 


2 
evidemment 


. NÉ AT 
3 R— où Him = 
(3) << No 
et en même temps 
; Hies 
(4) + R=ouz lim—, 


N;., étant le nombre des termes dont se compose la somme Y 
lorsque : devient 1 + 1, et les limites 1ci indiquées se rapportant 
à à mfiniment grand. 
Or, si le rapport Bu our ? infiniment grand a pour limite 
ar app N, P AUNOLE 24 e 
l'unité, il est clair que les formules (3) et (4) se réduiront à la 
suivante : 
: JE 
5 = lim 
» (5) 5 


Ainsi nous pouvons énoncer cette proposition. 
Lemme À. — Soit la série simple 


(1) UT RON LUE AE 


dont le terme général est u;, et supposons que le module de ce 
terme soit exprimable en une somme de termes tous positifs, de 


la forme suivante : 
. . 
(2) . mod Uu, — D S;. M INTENSE: 


la somme È se rapportant aux indéterminées m, n, Fr, S.... cen- 
sées recevoir des valeurs entières, en nombre déterminé, propres 


SUR LA SÉRIE DE LAGRANGE. 497 


à satisfaire à des conditions données. Soit, de plus, N; le nombre 
des termes dont se compose la somme È, et supposons que la 
limite = converge vers l'unité pour à infiniment grand. 

Admettons enfin qu'au moins pour à très-grand, on puisse dé- 
terminer en fonction de : le maximum de $S; » » r ,.. cette 
quantité étant regardée comme une fonction des seules indéter- 
minées entières m, n,r,S$.... et & étant constant. 

En désignant par T; ce maximum, le module R de la série (1) 
sera 


(5) Rime 


et la même série sera, par suite, convergente ou divergente, selon 
qu'on aura 


(6) lim TIQUE 


Remarque. — 1 est bon de remarquer que la condition (6) est 
en même temps la condition nécessaire et suflisante pour la con- 
vergence de la série multiple ayant pour terme général la quantité 


S;, MENT, Et 


1,M,n,r,S.... elant les divers indices de ce terme, et con- 
servant les mêmes valeurs que précédemment. 

Par conséquent, lorsque les conditions du lemme seront rem- 
plies, on pourra affirmer que la série simple, dont le terme gé- 
néral u; a pour module 


MOUEU— DS atarsn 


et la série multiple ayant pour terme général la quantité toujours 
positive 


#S, min) ire tte 


présentent cela de remarquable, qu’elles sont toujours à la fois 
convergentes ou divergentes. 


54. 


128 RECHERCHES 

Pour montrer une première application du lemme précedent, 
Je choisirai pour exemple le développement du rayon vecteur el- 
liptique suivant les puissances de lexcentricité, pour le cas où 


3 : ; NET D 5 
l'anomalie moyenne est égale à —. Prenons pour unité le demi- 
2 


grand axe de lellipse, désignons par c son excentricité, par 
lanomalie moyenne comptée du périhélie, et par r le rayon vec- 
teur. On aura, parle n° 22 du second livre de la Mécanique céleste : 


(7) r=1 += c cost — — cos 2 (Leone cos 31— 3 cost) —etc… 
no 1.252: 


2 


2 


Le terme général de cette série est, abstraction faite du signe, 


c' 


Ta see ie cos it—i(i—-2)— cos (i — 2)t 


Es i (11) (= 4} cos {t—4)t — etc.. . 


1.2 


les termes compris entre parenthèse étant continués jusqu'à ce que 
l’on arrive à un facteur (1 — 2r)-* dans lequel i — 2r est négatif. 

Si l'on fait t{ égal à un angle droit, ce terme devient nul lorsque 
ï est impair, et dans le cas de à pair il devient, abstraction faite 


du signe, égal à 


c 1—2 1—2 Ë (1) i—2 
(8) ee | ul) Pts 2 (— 4) 
EE ee EE (i— 6) + ete... | 
Ainsi la série (7), lorsqu'on y fait t — = rentre dans la série 
(1), pourvu que lon pose 
(9) U; — 3E es Goijse ki pre ï (i feu ae 


RTE 


1.2 


SUR LA SÉRIE DE LAGRANGE. 429 


le signe +- ayant lieu si ? est un multiple de 4, et le signe — si 
ï est simplement un multiple de 2. 
De l'équation (9) on tire 
c' L (ii) (i—2).(i—m+i) 


Gi 0) val. num. ma RUE ET RE SEL Em (E—2 my) 


la somme X se rapportant à la seule indéterminée m, qui doit 
être censée susceptible des valeurs entières et positives comprises 
dans la suite 

Ë 


(CAL IS LAS DO SE 
2 


En comparant l'équation (10) à l'équation (2) du lemme (A), 
on trouve 


(11) D MONT ES Cie 


» 


1.2.3..m.1.2.32. (i—1)9" 
les indéterminées m, n, r, s.... se réduisant, comme on voit, à 
la seule m. L'on a de plus 
ï 
N; es = —- 1, 
en sorte qu'on à 
NE +8 
lim ZE  & ==, 3 
N; l+2 Û 


Ainsi le lemme (A) est applicable à l'exemple qui nous occupe, 
et il ne reste qu'à chercher la valeur à laquelle se réduit la quan- 
tité qui se trouve dans ce lemme désignée par T:. Autrement dit, 
la difficulté se réduit à chercher le maximum de la quantité qui 
représente le second membre de l'équation (11), cette quantité 
étant considérée comme une fonction de », et l'indice à étant sup- 
posé constant et très-grand. 

Pour cela nous aurons recours aux deux formules de Stirling 


Vr. a+ 


T 
€ 


OO — 


æ étant très-grand ; 


430 RECHERCHES 
tae— 


œ(x—1)(æ—2}))..(x—y+i) — 


(x—y) + 


æ et y étant trés-grands, et 7 désignant le rapport de la circonfe- 
rence au diamètre. 
On tire de ces formules 


: t(i—a)...(i—m+a) = 


On aura par là 


- c' U(i—1)(i—2)...(i—m+i) ,. ds 
(12) 1:2.3...(1—1)27 2-07 (Ten) 


2 ia (i—a)s te c'(i—2m)" 


emsm(i—m)e(i—3)s 2m" (i— m)-" (ii) 


Cela posé, en faisant m — y i, le second membre de léqua- 
tion précédente se réduira à 


(13) PRES EE. f: 


ieiri—pg)s Law} 


Partant, le maximum T; indiqué dans le lemme (A) se réduit ac- 
tuellement au maximum de la dernière quantité considérée comme 
une fonction de la variable y. D'ailleurs, avec un peu de réflexion, 
on s'aperçoit que la valeur de ge, qui, substituée dans la quanuté 
(13), la rend un maximum, doit coïncider avec celle même de y 
qui donne le maximum de la simple quantité 


(14) ec(1—24) 


A pu (a ur Mes 


SUR LA SÉRIE DE LAGRANGE. 431 

En effet, soit V le logarithme hyperbolique de da quantité {1 3), 
on aura 
memes BL RT (1) 
Mais t étant très-grand, le second terme du second membre de 
cette équation s’évanouit vis-à-vis du premier. On a ainsi sensi- 
blement 
p_ ecfi—2p) 
(15) V—=i log A ETAT 
équation qui démontre que la valeur de x correspondante au 
maximum de V, et, par suite, à celui de la quantité (13), coïn- 
cide, en définitive, avec la valeur de x, qui donne le maximum 
de la quantité (14) : ce qu'il s'agissait de prouver. 

Maintenant, supposons que y représente effectivement la valeur 
que nous venons de mentionner, on aura alors pour la quantité T, 


2 ec(1—2p) 
Le imsr(i—p): Lens 


US M ec(i- 24) 


d'où il vient 


T, APANETN EA 
Ainsi, la série qui a pour terme général le second membre de 


l'équation (9) sera, en vertu du lemme (A), convergente ou diver- 
gente, selon qu'on aura 


… 


(16), ll 
2m —) 


en retenant que y représente ici la valeur qui rend un maximum 
le premier membre de cette inégalité. Ajoutons qu'il est aisé de 
s'assurer, par les principes du calcul différentiel, que la valeur de 

ALT D à F ï a É 
uw, dontils agit, est la racine comprise entre o et + de l'équation 
transcendante, 


(17) — —C 


132 RECHERCHES 


Le résultat auquel nous venons de parvenir est celui même que 
l'illustre Laplace a obtenu le premier dans un article inséré dans 
la Connaïssance des temps pour l'année 1828. 


« SIL. 


Considérons présentement la série dont le terme général est 


1 d#[r(2)] 


1 EU ER 2, 
) s 1.2.9.4..1 dei+t 


k étant un nombre constant quelconque, et 7 (t) une fonction don- 
née du paramètre f. 

Voyons, avant tout, dans quel cas le second membre de l'équa- 
tion (1) pourra s'exprimer par une somme analogue à la somme È 
considérée dans le lemme (A). Pour plus de simplicité, nous sup- 
poserons que 7 ({) soit une fonction réelle de t, et que t soit un 
paramètre réel. Alors, en développant 7 ({) suivant les puissances 
quelconques de #, soit 


(2) m(t—AU+BÉ+CE+....+Hp, 


et désignons par À le nombre des termes dont se compose ce dé- 
veloppement. L'on a, comme on sait, 


(3) [r 0] 


où È indique la somme de tous les termes qu’on déduit de la for- 
mule soumise à ce signe, en attribuant aux indéterminées m, n, 
r, s.... toutes les valeurs entières et positives propres à satis- 
faire à l'équation 


CRE TÈU 


LA 


Ar y Br À C:. er pam+bn+er-ete, de 


1.2.9. MA 9. Ne 220. Te 


(4) TEMPS ET RE UNE 
En faisant 


(5) u— am —<+- bn + cr + etc. 


SUR LA SÉRIE DE LAGRANGE. 435 
et désignant par / la somme i + k, on tire de l'équation (3), 


dti[r (b)} 


(6) val Qume 


1 
— val. num. FL » 


FM La RU Ar M MODE TIO (A te)" (Be)". T4 
le signe È ayant toujours la même signification que précédem- 
ment. 

Pour que la somme comprise dans le second membre de l’équa- 
tion (6) soit comparable à celle considérée dans le lemme (A), il 
faut qu'elle se compose de termes tous positifs. Or, pour cela, les 
conditions nécessaires et sufhisantes se réduisent d’abord aux deux 
suivantes : 

1° Que les différents termes du polynôme qui représente le 
développement de 7 ({) soient tous affectés du même signe; 

2° Que le produit u (u —1) (u — 2),...(u—1+#1) soit lui- 
même toujours affecté du même signe, pour toute valeur de u 
tirée de l’équation (5). 

Examimons dans quels cas cette dernière condition sera remplie. 
Ï faudra d’abord que les facteurs u;u —1,u—92...u—1l—+1, 
demeurent tous affectés du même signe, ou bien que le nombre 
des facteurs négatifs reste toujours de la même parité pour toute 
valeur de u tirée de l'équation (5). Mais on voit sans peine qu'en 
supposant pour un moment que, parmi les facteurs en question, 
il y en ait de positifs et de négatifs, il est impossible que le 
nombre des facteurs négatifs soit toujours de la même parité, 
quelle que soit la valeur de u tirée de l'équation (5). H faut amsi 
tâcher de rendre les facteurs u, u — 1... tous de même signe. 
Or ceci peut avoir lieu en deux cas différents : 1° en prenant les 
exposants a, b, c... négatifs, leurs valeurs numériques étant 
d’ailleurs quelconques, hypothèse qui entraîne pour u des valeurs 
toutes négatives en vertu des équations (4) et (5); et par suite les 
facteurs u, u —1,u—2...u— [+ 1, deviendront eux-mêmes 
tous négatifs; 2° en prenant les exposants a, b, c... tous positifs, 


SAVANTS ÉTRANGERS. — XII. 55 


A3% RECHERCHES Î 

leurs valeurs étant toutes plus grandes que l'unité, et pouvant 
être entières ou fractionnaires. En effet, dans ce cas, il est évi- 
dent que la valeur de u tirée de l'équation (5) résultera toujours 
supérieure à lexposant 1. Par suite, l'hypothèse que les exposants 
soient tous supérieurs à l'unité entraine la conséquence que u soit 


toujours supérieur à £, 
grand. 

I ne faut pas, toutelois, omettre d'observer que par rapport 
aux exposants a, b, c...1l y a encore un autre cas à considérer. 
C'est celui où ces exposants étant tous positifs, Jun d'eux, par 
exemple a, se réduit à zéro, les autres ayant tous des valeurs en- 
tières. Car alors les valeurs du produit 


u(u—1)(u—2)...(u—1l+:1) 


correspondantes à des valeurs de u inférieures à /—1, se réduisent 
toutes à zéro. D'ailleurs les valeurs du même produit correspon- 
dantes à u plus grand que / — 1 restent évidemment toutes po- 
sitives. 

En résumé, le second membre de l'équation (6) se composera 
de termes tous positifs, alors seulement que seront remplies les 
deux conditions suivantes : 

° Que les termes À #, B&, Gt... soient tous de même signe ; 

2° Que les exposants a, b, c... soient tous de même signe, 
savoir : ou tous négatifs, leurs valeurs numériques pouvant être 
quelconques; ou tous positifs, leurs valeurs étant toutes supé- 
rieures à l'unité et pouvant être entières ou fractionnaires. De 
plus, dans le cas des exposants positifs, on remarquera que lun 
d'eux pourrait se réduire à zéro, si les autres sont tous entiers. 

Maintenant, supposons que les deux conditions précédentes 
soient remplies. En comparant l'équation (6) à l'équation (2) du 
lemme (A), on tire 


1 ufu—1)(u— 2). .(u—l+1) 


a\m bin er 
Pra18#9.mit.2%81 (Ar) "(Bt?) (C4)... 


Se NE num, = 


SUR LA SÉRIE DE LAGRANGE. 435 
De plus, le nombre N; des termes compris dans la somme X re- 
présentant le second membre de l'équation (6), a, comme on sait, 
pour valeur 


1+a) (i+o2)..,.(i1+2 —2 
No ln létaher(+a 
TA À 
ui lé è Nr! M: k 
D'où il vient FR = ! pour i infiniment grand. 


Partant le lemme (À) est applicable à la série (1), en conser- 
vant toujours l'hypothèse que la fonction 7 (t) remplisse les deux 
conditions signalées précédemment; et d’après ce lemme, toute la 
difficulté se réduit à chercher la valeur la plus grande que puisse 
acquérir la valeur numérique de la quantité 


1 u(u—1)(u—2)....(u—1l+à) 
Mn PP RG 
pour toutes les valeurs entières et positives de m, n, r, s... qui 
satisfont à l'équation (4), u étant toujours donné par l'équation (5), 
et 1 étant regardé comme constant. 

Comme, dans cette recherche, on peut supposer i très-grand, 
et par suite les nombres m, n, r, s.... eux-mêmes très-grands, 
la quantité précédente est susceptible, dans cette hypothèse, d’une 
transformation très-utile pour la détermination de sa plus grande 
valeur cherchée. Cette transformation s'obtient à l’aide des formules 
de Stirling déjà employées dans l'exemple du paragraphe précé- 


dent. Par leur moyen on trouvera d’abord, sensiblement, 


1 u(u—1) (u—-2)..{(u—1l+1 
(fa er (BE (GrY 


UBrFar3/em.a.29nn.1 2.2.7. 
SRE au" Ate\m fBt'\n /C4i\r 
(u—l}m?nt...7 (u —1l) 


. » m n u 
faisant ensuite - — BL, ==, etc... - = v, et. observant que 
l t F L 


55. 


4136 RECHERCHES 


lon a ; == - —= 1, pour à très-grand, les équations (4) et (5) 
deviendront 

(8) EE SN ER ES À 

(9) v—au+by+cr+...., 


et l'équation (7) se transformera en la suivante : 


(10) Lt Era ME APN CNTA TU 


CAE LE ie ac Pcueu too) do» © IG 


= ler CNET EN] 


1 \ 
(u—a1)? 12 pv, 4m? 
, 


Ainsi la question êst ramenée à chercher la valeur la plus 
grande que puisse acquérir le second membre de l'équation (10) 
pour toutes les valeurs positives de w, », p... qui vérifient l’é- 
quation (8), v étant supposé déterminé par l'équation (9). 

Or, en faisant attention que : est censé très-grand, par un rai- 
sonnement analogue à celui employé dans l'exemple du $ 1, on se 
convaincra que les valeurs de g, », p... etv, qui correspondent 
au maximum mentionné du second membre de l'équation (10), 
s'obtiennent en regardant les mêmes quantités D, D, D: -net v 
comme constantes dans le coefficient 


v° 
. — 
1 à 1 1 


ORACECPENENES 
et comme seulement variables dans la puissance 
OF (EE At°\p Be » [CE \p i 
ER 2 Ar AA 
De la sorte, en faisant 
PE : , ë 
PAR Ed sers 
tout se réduit à chercher la valeur la plus grande de N, considéré 
comme une fonction des variables p,-», p... et v, liées entre 


SUR LA SÉRIE DE LAGRANGE. 437 
elles par les équations (8) et (9), et en retenant que toutes ces 
variables, excepté v, n'admettent que des valeurs positives. 

Tel est le problème que nous allons résoudre. 

Pour cela, il est d’abord évident qu'il faudra chercher le maxi- 
mum ou les maxima de N, s'il en a plusieurs, ce mot étant pris 
dans le sens qu'on lui attribue dans le calcul différentiel. Si N 
avait plusieurs maxima, on devrait évidemment prendre pour sa 
valeur la plus grande cherchée le maximum maximorum, savoir 
le plus grand de tous les maxima trouvés. Mais nous allons voir 
que N n’a qu'un seul maximum. En effet, d’après les principes 
connus du calcul différentiel, on a 

d 


(12) D =dulog "+ du (log 1)+ d » (log ei) ete, 


et, en même temps, » 


(13) du+ dv + dp+...—0o, du —adu+bdr +cdp +... 


d’où il vient, comme on peut facilement s’en convaincre, 


v \a At v \b Be? v \cCt° 
(0 Er rt rl nef 


Désignant par K une indéterminée quelconque, on tirera de l’é- 
quation (14) 


(15) KA |), » KB | 


v 


b }] [a 
) l p=KGe(=) etc hr 
v 1 V—1 
en sorte qu'il ne reste qu'à trouver les valeurs de K et v. 
À cet effet, nous substituerons les valeurs précédentes de y, 


v, p... dans les équations (8) et (9) : ce qui donne 


(16) RE PE TOR ENINOR Er ts 


v \° AE RTE 
ET te 
V—1 "3 v—]1 v—1 
et finalement 


(17) At(a—v) (=) +86 6-0) (=) +cr(e—) (2) +. IE: 


vV—1 


138 RECHERCHES 


Telle est l'équation qu’en dernière analyse il faudra résoudre, et 
dont la discussion va nous faire connaître si N a effectivement des 
maxima, et sil en atun seul. On remarquera d’abord que v devant 
satisfaire , non-seulement à l'équation (17), mais aussi à ‘équation 
(9); eu égard aux hypothèses faites sur les exposants a, D, c..., 
sa valeur devra toujours être de la nature que nous allons signaler. 
Si ces exposants sont positifs, v ne pourra être que positif, et 
compris entre les limites a et À, a étant l'exposant le plus petit, 
et h l'exposant le plus grand, ou bien entre les limites 1 et h, si 
l'exposant a est nul, les autres étant tous entiers. Car dans ce der- 
nier cas la somme X, qui représente le second membre de l’équa- 
tion (6), se réduit à la somme des termes seuls, qui correspondent 
à u >> l — 1. Si les exposants a, b, c... sont négatifs, v ne 
pourra avoir qu'une valeur négative, laquelle sera, de plus, tou- 
Jours comprise entre l’exposant négatif le plus petit, et l’exposant 
négatif le plus grand. Or l'équation (17) a toujours une racine v 
qui satisfait aux conditions que nous venons de mentionner. Car 
le premier membre de cette équation change évidemment de signe 
quand de la valeur  — a on passe à la valeur v — À. On voit, 
en outre, que dans le cas où a se réduit à zéro, les autres expo- 
sants étant tous entiers, la même équation (17) se réduit à la sui- 
vante : . 


— Av B (60) (2) Cf) oo; 
laquelle, à cause de ce que son premier membre change de signe 
lorsqu'on passe de v — 1 + w, àv—h, w étant positif et très- 
petit, et À étant toujours l’exposant le plus grand, a une racine 
positive comprise entre les limites v — 1, v — . J'ajoute que lé- 
quation (17) n’a jamais qu'une seule racine comprise entre l’expo- 
sant le plus petit a, et exposant le plus grand À, ou bien entre 
les limites 1 et À, si l'exposant a est nul. Il suffira de démontrer 
cette proposition par rapport au cas des exposants positifs. Car une 
marche analogue s'applique aux cas des exposants négatifs. 


SUR LA SÉRIE DE LAGRANGE. 439 
Pour cela, écrivons l'équation (17) sous la forme suivante : 


(18) Aev() +Bév() + cr (+. 


ae (2) 6Bé (EE) ete... 0. 


En observant que le nombre des termes affectés du signe + est 
égal à celui des termes affectés du signe —, soit X la somme des 
premiers, et Ÿ la somme des seconds; l'équation RCE se 
réduira à 


NE 0: 


Cela posé, soit & une racine positive de cette équation, je dis 
qu'elle n’en aura pas d’autres positives. Pour le prouver, suppo- 
sons, pour fixer les idées, que & soit compris entre b et c, en 
sorte qu'on ait 


D AE le AO 


En comparant entre eux deux à deux les termes correspondants 
des deux sommes X et Ÿ, on aura évidemment 
} 


: ) << E re(=).. 


da—1 


(19) Afa a (= j'= At a }, Bi (— ) Bee 
car x —b— a; et l’on aura encore 


(20) Céa(=) Ge (= Eta( 


car l’on a 


D'OISE 
. 


Or supposons, pour un moment, que l'équation (18) ait plu- 
sieurs racines positives. Alors nous pouvons concevoir que æ soit 
la plus petite. Dans cette hypothèse, comme pour v << «, le pre- 
mier membre de l'équation (18) est négatif, pour des valeurs im- 
médiatement supérieures à æ, ce premier membre deviendra évi- 
demment positif, et l'on peut ajouter qu'il restera toujours positif 


440 RECHERCHES 


pour toute valeur de v comprise depuis v — 4, jusqu'à v égal à 
l'infini. Ainsi pour v =>, on aura toujours 


X—Y=—o. 


Ce qui prouve que l'équation (18) n'a qu'une seule racine posi- 
üve, laquelle est, comme nous l'avons déjà dit, comprise entre 
les limites a et L. Cela démontre en même temps que la quantité N 
ne peut avoir, au plus, qu'un seul maximum. 

Et pour faire voir que ce maximum existe effectivement, on 
n'aura qu'à reconnaitre si la racine positive v de l'équation (18), 
dont nous venons de nous occuper, satisfait aux conditions du 
maximum prescrites par le calcul différentiel. Pour lever toute 
espèce de doute à cet égard, nous montrerons brièvement que 
ces conditions sont réellement remplies. 

Commençons par supposer que les variables 4, », p... se ré- 
duisent aux deux seules 44 et v. Alors les équations (8) et (g) se 
réduiront elles-mêmes aux suivantes : 


+v—i1, v—au+br. 


Et eu égard à ces équations, la variable indépendante sera une 
seule. Supposons que ce soit ge, la question se réduira à faire voir 
que l'on aura 


(2 1 d 
21 2 

N dp° ee 
ou bien, en faisant p — log N, 
(22) # — 0 
Or on trouve, tout calcul fait, 


& p 1 1 (a—b} 


Aa à mn » v(v —:)? 


d'où l’on voit tout de suite que la condition (22) est remplie, car 


SUR LA SÉRIE DE LAGRANGE. ul 
u, v et v sont des quantités positives, la dernière, v, étant de plus 
supérieure à l'unité. 
Supposons, en second lieu, que les variables w, », p... se 
réduisent aux trois g, », p; alors les équations (8) et (9) devien- 
dront 


+v+p—=i,v—=ap +by+cp. 


Par suite, les variables indépendantes se réduisent actuellement 

à deux. Supposons que ce soient u et ». Les conditions du maxi- 

mum sont, comme on sait, 
d& p 


dp d d 
(23) D <o Lo tr x me — | 
du dy du dy 


Or, l'on trouve 


& p LPS FA 1 (a—c) ] 
ne la eee Hume 
d 1 1 b—c) 
——— ++), 
v v p v (v—1) 
dp Fa, (—c)(ae) 
dudy [+ u (v—:1) |. 


Par conséquent, toute réduction faite, et remarquant de plus 
que l’on a 


(c— a} + (c—b) + 2 (c—a) (c—b) = (b—a}, 


on obtiendra 


by — ( AE 15 LME ape (+) 
p 


d p® dy? du dy v (v—1) & \p v (v—1) 
1 fa (c—a) 1 
+i(i+ } + 
» \p v (v—1) PE] 


À l'inspection de ces valeurs, et en faisant toujours attention à 
ce que les valeurs de a, v, p et v sont toutes positives, celle de 


SAVANTS ÉTRANGERS. — XII, 26 


442 RECHERCHES 
v étant de plus supérieure à l'unité, on reconnait que les condi- 
üons du maximum (23) sont remplies. 

Je ne pousserai pas plus loin ce calcul, car à l'aide des résul- 
tats précédents, on sent que les conditions du maximum de N 
seront toujours remplies, quel que soit le nombre des variables 
LÉRCENT PES 

Maintenant, si l'on se rappelle la quantité qui, dans le lemme 
(A), se trouve désignée par T;, on voit que, dans le cas de la 
série (1) qui forme l'objet de ce paragraphe, elle aura pour valeur 


R étant le maximum de N, dont nous venons de nous occuper, 
et , p...v étant censées représenter les valeurs correspondantes 
à ce même maximum. 

On aura, par suite, 


UT 
limite = — R; 
d’où résulte le théorème que nous allons énoncer. 


Tuéorëme (B). Soit la série ayant pour terme général 
1 ditk [x (£)]' 
(1) RS NU 0 
Supposons que 7 ({) soit une fonction réelle du paramètre réel £, 
développable en une somme de termes affectés tous de même 
signe, et tels que l’on ait 


m(—=AC+BÉ+CE+...+H#é, 
les exposants 4, b, c, remplissant les conditions précédemment 


indiquées (p. 434). 


Posons 


Cyr 


SUR LA SÉRIE DE LAGRANGE. 443 
et soit R le maximum de N, N étant considéré comme une fonc- 
tion des variables positives pu, », p... et de la variable v, liées 
entre elles par les équations 


(8) H+v+Hp... Ii. 
(9) v—au+br+cp+... 
les variables x, », p... étant en nombre égal à celui des termes 


du polynôme 7 (f). 
La série (1) aura pour son module R, et sera, par suite, con- 
vergente où divergente, selon qu'on aura À ou = 1. 
Corollaire. — Si l'on suppose k — — 1, la série en question 
se réduit à la série de Lagrange exprimant une racine de l’équa- 
tion 


t—2+m(z) — 0. 


Nous avons, ainsi, par le théorème précédent, une règle pour 
déterminer le module de la série de Lagrange tirée de l'équation 
précédente, pour le cas où 7 (t) est une fonction réelle remplis- 
sant les conditions signalées dans le cours de ce paragraphe 


(p.454). 


$ II. 
#& 
, Avant d'aller plus loin, je placerai ici la remarque suivante. 
Évidemment le lemme établi dans le $ I ne saurait s'appliquer à 
une série dont le terme général a; fût développable en une somme 
de termes indistinctement positifs et négatifs. Car alors la somme 
algébrique des termes composant u; peut converger vers zéro à 
mesure que 1 croit indéfiniment, sans qu'il soit nécessaire, pour 
cela, que chacun des termes de cette somme converge lui-même 


vers zéro. Ainsi, par exemple, soit la série dont le terme général 
est 


(1) u—(Atw+BË+CE +...) 
56. 


nn RECHERCHES 
Pour que cette série soit convergente, il sufhit qu'on ait 


(2) val. num. (AUHBÜ+HCE..)<i. 


De plus, si les termes A {, B #... sont positifs et négatifs, la 
condition précédente n’entraine certes pas celle-ci, que chacun 
des termes irréductibles dont la somme compose la puissance 
du polynôme At + Bi +... converge vers zéro, pour € infi- 
niment grand. 

Ajoutons, ce qui d’ailleurs est bien facile à concevoir, que la 
condition que je viens de mentionner, exprimant que chaque 
terme de la puissance 


(At+BÈ+CE+...) 


converge vers zéro pour à infiniment grand, serait la condition de 
convergence, non pas de la série simple (1), mais de la série mul- 
tiple, dont le terme général étant désigné par Si mn», +. au- 
rait pour valeur 


(aNSaEnnE 2. 0 andjeut el AÉ- tools VAtan Npje (CHINE 


1:22 3-Me ls 20 del. 2501 


i,Mm,n,r, 5... étant les indices de ce terme, supposés capables 
de toutes les valeurs entières et positives propres à vérifier l’e- 
quation 


D END EN ON 


Mais cette dernière série, quoique ayant la même somme que la 
première, en est toutefois bien différente, et l'on commettrait une 
erreur très-grave de les confondre, et de croire qu’elles soient tou- 
Jours toutes deux à la fois convergentes ou divergentes. 

Les réflexions précédentes s'appliquent aussi à la série de La- 
grange, savoir à celle qui a pour son terme général | 


1 dm[r(t)} 


A2 D ele 


SUR LA SÉRIE DE LAGRANGE. 445 
Supposons 


r(t}—=Au+BÉ+CE+... +Hé, 


les coefficients A, B, C... et les exposants a, b, c... étant quel- 


conques. On aura, comme nous l'avons vu au paragraphe précé- 
dent, 


1 d [x (t)] 1 u(u—1)(u—2)...(u—i—2) ne 4 
) APE ET IT È- 1227 3eme 2-3 4 (At ) (B l) fe 
le signe X se rapportant à M, n, r, S... censés ici susceptibles de 


toutes les valeurs entières et positives qui vérifient l'équation 
ep Et = 


dans laquelle : est regardé comme constant, et u étant d’ailleurs 
toujours donné par l'équation 


D — Am} 0n-}- Cri. 


Or nous remarquerons que le lemme (A) cesse d’être applicable 
à la série précédente, dès que la fonction 7 (t) ne remplira plus 
les conditions signalées au paragraphe précédent comme néces- 
saires pour que la somme Z composant le second membre de 
l'équation (5) ne renferme que des termes positifs. Autrement dit, 
la condition qui exprime que chaque terme compris dans la 
somme 2 mentionnée tout à l'heure se réduit à zéro, pour : infi- 
niment grand, généralement parlant, ne coïncidera pas avec la 
condition de convergence de la série de Lagrange, ayant pour 
terme général le second membre de l'équation (4). Mais elle sera, 
au contraire, la condition nécessaire et suffisante pour la conver- 


gence de la série multiple, dont le terme général S; » 4, rs - 
serait 


Sim mr ee ee pe nn E (A) (BE). 


LT 209 em. 122.012. 


44G RECHERCHES 
les mdices t, m,n,r, s... et la quantité u conservant toujours 
les mêmes valeurs que ci-dessus. 

D'ailleurs, il est bien entendu que cette dernière série ne doit 
jamais se confondre avec la série de Lagrange proprement dite. 

Ce qui précède va nous être utile pour apprécier une règle 
que Lagrange a donnée dès lan 1768, pour déterminer, en gé- 
néral, la convergence de sa série. Cette règle peut s’'énoncer ainsi 
qu'il suit. 

Règle de Lagrange. — Soit 


Lars 1 d[x(t)]' 
(4) Hé Romeo à 


1. 


le terme général de la série de Lagrange, 7 (t) étant une fonction 
réelle de { de la forme 


m(t)—=AC+BÎ+HCE+... 


où (ce qui est essentiel à remarquer) À, B, GC... et a, b, c... 
sont des coefficients et des exposants quelconques. 
Désignons par AÀ,, B,, C,... les valeurs numériques des coeff- 


cients À, B, GC... et posons * 
Ne (rnhole) A al Je 
v—1 & DUR p 
Cherchons enfin le maximum de N considéré comme une fonc- 


tion des variables positives p, », p... et de la variable quel- 
conque v, liées entre elles par les équations 


HV Hp...—=i1, v— au + by +cp +... 


les variables pe, », p... étant en nombre égal à celui des termes 
qui composent le polynôme 7 (t). 

Soit R ce maximum. La série sera convergente ou divergente, 
selon qu'on aura À ou => 1. 

Ajoutons que les valeurs de pu, », p... correspondantes au 


SUR LA SÉRIE DE LAGRANGE. 447 


maximum de N dépendent, en dernière analyse, de la valeur de 
v, qui est elle-même une racine de l'équation 


tv 


A (a—v) (")" +8, (b —v) + (0) +0, 


UE v—1 


x 


à l'égard de laquelle il est essentiel de retenir que la règle de 
Lagrange prescrit de prendre le paramètre { avec un signe tel, 


2 tv Daci b Ës 
 — ré , ela quel que soit le sign 
que la quantité — résulte positive, et cela quel q gne 


de ce même paramètre dans le terme général de la série. 

On voit sans peine que cette règle rentre dans celle que nous 
avons donnée à la fin du paragraphe précédent, si toutefois les 
coefficients À, B, C... le paramètre f et les exposants a, b, c... 
remplissent les deux conditions signalées dans l'endroit cité (p.434). 
Dans ce cas, la règle de Lagrange est donc exacte. Mais hors de 
là, on se convaincra aisément qu'elle est généralement inexacte, 
et qu'elle aurait pour effet d'offrir pour la série un module su- 
périeur au vrai ‘module. En effet, elle exprime, en dernière 
analyse, la condition nécessaire pour que chaque terme de la 
somme ? composant le second membre de ‘équation (5), se ré- 
duise à zéro pour à infiniment grand. Il résulte de là, eu égard 
aux considérations exposées au commencement de ce paragraphe, 
que cette règle, loin de se rapporter à la série simple de Lagrange, 
détermine, au contraire, toujours généralement parlant, la con- 
dition de convergence de la série multiple qui a pour terme gé- 
néral la quantité soumise au signe Z dans l'équation (5), savoir: 

1 u(u—1)...(u—i+0) 


= —————— (A eh" (B (CE)... 


a Pme and iensss 
u étant toujours déterminé par l'équation 
2 0 TE ES EC 


et, m,n,r, $... étant les indices de ce même terme supposés 


448 RECHERCHES 


susceptibles de toutes les valeurs entières et positives qui vérifient 
l'équation 


MN ITHS...—\t. 


Mais, répétons-le encore une fois, on commettrait une erreur 
très-grave si l’on confondait cette dernière série multiple avec la 
série simple, dite communément la série de Lagrange. 

Je terminerai ce paragraphe en plaçant ici une réflexion propre 
à nous montrer la source de la méprise commise par Lagrange au 
sujet de sa règle, que nous venons de discuter. Lorsqu'une série 
étant donnée, on se propose d’en déterminer le module, sans 
doute il est permis de transformer le terme général de la série 
d'une manière quelconque, dans le but de faire ressortir la valeur 
du module cherché de la série. J’ajouterai que c’est en ces trans- 
formations habilement imaginées, que consistent les artifices ana- 
lytiques propres à nous faire surmonter les difficultés de la ques- 
tion. Mais dans tous ces calculs une chose est indispensable; c’est 
que le terme général de la série, considérée sous sa forme nou- 
velle, conserve toujours la même valeur que lorsque la série était 
sous sa forme primitive. Lorsque cette condition n’est pas rem- 
plie, on passe, sans s'en apercevoir, de la série primitive à une 
autre qui, tout en ayant, généralement, la même somme que la 
première, jouira cependant d’un module qui pourra différer de 
celui de la première série. 

Appliquons cette réflexion à la série même de Lagrange. Assu- 
rément on peut, comme l'a fait Lagrange, transformer le terme 
général de cette série dans la somme È, représentant le second 
membre de l'équation (5). Une pareille transformation est même 
utile, comme nous l'avons vu au S II, pour déterminer, en des cas 
donnés, le module de la série. Mais tout résultat obtenu par cette 
transformation à l'égard du module de la même série ne peut 
être regardé comme généralement exact, qu'autant que le terme 
général de la série demeure toujours rigoureusement égal à la 


8 
somme de tous les termes compris dans le symbole X. Or, le dé- 


SUR LA SÉRIE DE LAGRANGE. 449 


faut de l'analyse qui a conduit Lagrange à sa règle citée consiste 
précisément en ce qu’elle revient à prendre pour terme général 
de la série, non la somme totale des termes compris dans le 
signe È mentionné tout à l'heure, mais seulement la quantité 
soumise à ce même signe. On a ainsi altéré le véritable terme 
général de la série de Lagrange, et dès lors 1l n’est pâs étonnant 
que la condition de convergence trouvée par ce grand géomètre 
ne coïncide avec le véritable module de sa série, que dans les cas 
que nous avons signalés au $ I, ainsi que nous l'avons déjà fait 
remarquer plus haut. 


$ IV. 


Reprenons la règle énoncée dans le théorème (B) qui termine 
le S IL. Elle est susceptible d’être transformée en une autre, qu'on 
peut énoncer d’une manière très-simple. Mais avant de faire con- 
naître cette transformation, je m'arrêterai ici à examiner ce que 
la même règle devient, lorsque le paramètre { se réduit à zéro. 

D'abord, il est évident que t se réduisant à zéro, la série serait 
divergente, si les exposants a, b, c... étaient négatifs. D'ailleurs 
dans ce cas la quantité N, considérée au $ II cité, serait toujours 
infinie, pour toute valeur de w, v, p... et v. Ecartons donc l'hy- 
pothèse des exposants négatifs, et supposons, par suite, qu'ils 
soient tous positifs, remplissant les conditions établies-au même 
$ II. Alors il faut considérer distinctement les trois cas suivants : 

1° Le premier cas est celui où les valeurs des exposants sont 
toutes supérieures à l'unité. Alors, en admettant, pour fixer les 
idées, que a soit l’exposant le plus petit, il est évident que, 
quelles que soient les valeurs de y, v, p... tirées de l'équation 


(1) HvHp...—i, 

la valeur de v donnée par l'équation 

(2) v—=au+br +cp+... 

sera toujours égale ou supérieure à l’exposant plus petit a. 


SAYANTS ÉTRANGERS. — XII. 57 
. 


450 RECHERCHES 


D'un autre côté, la valeur de N, donnée par l'équation (11) du 
S IT, peut se mettre sous la forme 


: UC UTU TEA B\r /C 

B) eee el (:) GC) 
De cette équation, et eu égard à ce qui précède, :l résulte que 
la valeur de N sera toujours égale à zéro pour { — 0, en sorte 
que la série, actuellement, ne pourra être que convergente. 

2° Le second cas est celui où l’exposant le plus petit a est égal 
à l'unité. Alors il est clair que la plus petite valeur de v serait 
l'unité même. Ainsi la valeur de N serait toujours égale à zéro, 
excepté pour v — 1. On voit d’ailleurs sans peine que la valeur 
v — 1, entraine pour g, v, p... les valeurs suivantes: 


LIN PSUENO DE I0 EL 


On aura ainsi, 


CY=a Cÿ = (Ji ce. 


Par suite, la valeur de N déduite de l'équation (3) se réduira à 
N—A, 


en sorte que la série sera convergente où divergente, selon qu'on 
aura 


À — ou = 1. 


3° Le troisième cas a lieu lorsque a — 0, les autres exposants 
étant tous entiers. Il faut alors se rappeler ce qu'on a remarqué 
à la page 438 du $ IT, savoir que dans ce cas la somme 


ln u(u—1)..{(u—1+ 2) 


ti 


(A4) (Bié)e ve 


nn ML ArO rene 


représentant le terme général de la série de Lagrange, se réduit 
à une somme de termes correspondants à des valeurs de u toutes 


. 


SUR LA SÉRIE DE LAGRANGE. 451 
supérieures à à — 2. D'où il résulte qu'en $agissant d'évaluer 
cette somme par le moyen de la transformation indiquée par l'é- 
quation (10) du $ IF, il faut se borner aux seules valeurs de v égales 
ou supérieures à l'unité. Mais pour des valeurs de v supérieures 
à l'unité, celle de N tirée de ‘équation (3) devient évidemment 
égale à zéro. Tout se réduit donc à chercher le maximum de N 
dans l’hypothèse de v — 1. Mettant cette valeur de v dans l'équa- 
tion (3), et faisant a — 0, on obtient 


û (sf 


l'équation (2) se réduisant à la suivante : 
(2) . 1 bY+cp +... 


et l'équation (1) restant la même. 

Il s'agira de la sorte de chercher le maximum de la dernière 
valeur de N, N étant considéré comme une fonction de Liv, p.n. 
liées entre elles par les équations (1} et (5). Mais les valeurs de ces 
variables correspondantes au maximum mentionné, s’obtiennent 
directement en écrivant les équations (15), (16), (1 7) du $ IT sous 
la forme suivante : 


et en faisant ensuite dans ces équations a — 0, t—0,v—1, et 
ë vt à L SN rELO 
égalant à z la valeur de —, qui prend la forme indéterminée -, 
V—1 Le] 
On aura ainsi : 


57. 


152 RECHERCHES 


(9) KA, tr KB?, po —KCz, etc... 
(ue ER prrorer. 

el 

(11) —A+B(b—i1)#t+C(c—i1)zx +... —o. 


L'équation (11) a nécessairement une racine positive et n’en a 
qu'une seule, car son premier membre ne présente qu'un seul 
changement de signe. D'ailleurs cette racine est précisément celle 
qui convient à notre objet, puisqu'elle rendra positives les valeurs 
de a, v, p... tirées des équations (9). Il est bien entendu qu’ac- 
tuellement les coefficients À, B, C... sont censés tous positifs, 
ou bien tous de même signe; car présentement le terme général 
de la série se réduit, comme on le voit sans peine, à la somme 


suivante : S ‘ 
(12) Pare CANIN Etes Am Br. Cr... 
PRET (hp De 29 PULr A 20e lee. 


De plus, celte somme ne saurait se composer de termes affectés 
tous du même signe, qu'à la condition que À, B, C... soient 
eux-mêmes tous de même signe. 

Je passe maintenant à faire connaitre la transformation annon- 
cée au commencement de ce paragraphe. 


Faisons dans l'équation (17) du S II, 


t+r 
Vi — 
x, 
d'où il vient 
ut 
MON 


SUR LA SÉRIE DE LAGRANGE. Ÿ ‘ss 
Substituant ces valeurs dans l'équation (17) mentionnée tout à 


l'h A . t+z 
eure, On aura, en divisant par FETE 


(13) Afe(a—1)—1] (+2) + B [x (0 — 1)— 4 (a) +... —0. 


Comme, d’ailleurs (page 438), la racine de l'équation (1 7) du SIL, 
convenable à notre ‘objet, est celle comprise entre les limites 
v—a et v—h, si a est différent de zéro, ou bien entre les Li- 
mites v — 1 el v — h, si a se réduit à zéro, et que x est donné 


. à t À , . 
en v par la relation ci-dessus x —= — , il s'ensuit que la racine x 
V—1 id 


de l'équation (13), qui convient à la question, est celle qui se 
trouve comprise entre les limites 


t 
T— — tr — —, 


h—1 a—1 


si a > où  o, ou bien 


si a se réduit à zéro. 

Cherchons maintenant à exprimer le maximum R de N en fonc- 
tion de cette dernière racine x. En substituant , 1° dans les équa- 
tions (16) et (15) du S I, pour — sa valeur précédente t + x; 
2° dans le second membre de l'équation (11) du même para- 


graphe, au lieu de v, L, v, p... leurs valeurs en fonction de x, 
on trouvera pour R l'expression suivante : 


(14) p— Atte) + B(t+ a) +0 (em) + 2. 
RE ANR TE) HT LIEU 


FA 
On voit d’ailleurs que l'équation fondamentale 
Rift) = Al Bi Cé +... 


donne 


(15) F (a) = A (ta) B(1+ 2) + C (ta) +. 


454 ; RECHERCHES 
d'où il vient, en vertu de l'équation (14), 


(16) er tilee H 


T 


On reconnait de plus que l'équation (13) rentre dans la suivante : 


(hp}uilaa 


x 


5; (=) am (t+x) — 7 (4x) —0o. 


Cela retenu, observons encore, 1° que d’après la relation 


z 1 T ES 
__ —— Ne: # = + 2] f 1 Le PACE 
— ile rapport = est positif, si les exposants a, b, c... sont 


eux-mêmes positifs, car dans ce cas v est toujours positif et supé- 

: MPINS » æ : 

rieur à l'unité; 2° que le même rapport = est négatif, conservant 
L2 


d’ailleurs une valeur numérique inférieure à Funité, si les expo- 
sants a, b, c... sont eux-mêmes négatifs ; car alors v est lui-même 
négatif. D'après ces remarques, en écrivant 7 (1x) et sa seconde 
dérivée par rapport à x sous la forme 


ma) = Ai) Bi) cr (++ ee 
m'i(t+x) = A a(a—a) (ani) Bt 26 (1) (+1 Efr+. + 


il en résulte visiblément l'inégalité suivante, eu égard ax condi- 
tions assignées au $ [l, par rapport aux termes A {°, Bt... et 
aux exposants 4, b, €... 


r'(t+x) 


(18) 


z (+ x) 


Mais, d’un autre côté, si lon cherche pour un moment le mi- 


rm (t+x) 


nimum de ar rapport à x, d'aprés les principes du calcul 
P PP P P 


T 
différentiel, la valeur de x correspondante à ce minimum corres- 


pondra précisément à celle des racines de l'équation (17) que 
nous avons signalée précédemment. Il résulte de là que la règle 
donnée à la fin du $ IT rentre dans la suivante, digne de remarque 
par sa simplicité. 


SUR LA SÉRIE DE LAGRANGE. 455 


Règle (C) ou transformée de la règle énoncée dans le théorème (B). — 
Soit la série de Lagrange ayant pour terme général 


1 di[r(t)] 
1.223.171 Cr 


, 


mr (t) étant un polynôme de la forme At Bt Cf... + Ho, 
qui remplit les conditions établies dans le S II (page 434). 


Soit R la valeur numérique du maximum de la fonction 


m(t+x) 


, 
TZ 


correspondant à une valeur de x comprise entre les limites 
L2 


AE t 
BE et x — —, 


si a << ou => o, ou bien 


SA — 0: 
La série en question sera convergente ou divergente, selon 
qu'on aura 


R < ou => 1. 


Maintenant, il est intéressant de rapprocher la règle précédente 
de celle que lillustre Cauchy a donnée pour la convergence de la 
série de Lagrange, dans son mémoire intitulé : Mémoire sur divers 
points d'analyse (tome VIIT des Mémoires de l’Académie de Paris). 
Voici cette règle : 

Règle de M. Cauchy. — Soit x (x) une fonction quelconque 
de x, et posons 


m(t+zx) 


(19) N— 


æ 


456 RECHERCHES 


En faisant ensuite #3 — re*-1, établissons l'équation 


dN dx Vi , 
tes [am (t+x) —m(t+x)]| —o, 


ou bien, plus simplement, 
mr (f+x)—m(t+ x) —o, 


qui est là même, comme on voit, que l'équation obtenue plus 
- haut (17). 

Parmi les racines réelles où imaginaires de cette équation, 
résolue par rapport à x, considérons celles qui rendent négative 
la partie réelle de expression 


d T° æ 
(20) MINES ee) 


m(t+x) 


Soit & celle de ces racines qui, substituée dans la valeur de N 
donnée par l'équation (19), lui fait acquérir le module le plus 
grand. 

La série de Lagrange, dont le terme général est 


1 di [x (+) ]' 
a riad 


sera convergente ou divergente, selon qu'on aura 


d m({+a) 


L2 


mo 


HOUSE 
o 
M. Cauchy appelle modules maxima tous les modules de N 
correspondants à celles des racines de l'équation (1 7) qui rendent 
négative la partie réelle de l'expression (20). D'après cette déno- 
mination, le module de ARTE s'appeler le module maxi- 


[2 


mum maximorum, Ainsi la règle de M. Cauchy peut encore s’é- 
noncer de cette autre manière, 

La série de Lagrange ayant pour terme général l'expression (21), 
où la fonction 7 (1) est supposée avoir une valeur quelconque, 


SUR LA SÉRIE DE LAGRANGE. 457 
est convergente ou divergente, selon que le module maximum 


(t+ x) 


maximorum de = — est inférieur ou supérieur à l'unité. 

Cette règle, comme on le voit, est générale, ou, autrement" 
dit, elle est vraie, quelle que soit la fonction 7 (1). À ce titre, 
elle doit être regardée comme un résultat analytique de la plus 
haute importance par rapport à la série de Lagrange. Mais si nous 
nous bornons aux cas où 7 (t) est de nature à remplir les condi- 
tions indiquées au $ IT, conditions nécessaires pour lapplication 
de la règle (C), que nous avons exposée plus haut; alors celle-c1, 
étant comparée à celle de M. Cauchy rapportée tout à l'heure, 
offre une simplification de cette dernière, comme nous allons le 
faire voir. : : 

En jetant les yeux sur le tableau des opérations sur lesquelles 
reposent les deux règles, on reconnait que ces opérations sont les 
mêmes, avec cette différence que, d’après la règle de M. Cauchy, 
il faut, à la rigueur, considérer toutes les racines de l'équation (17), 
qui rendent négative la partie réelle de l'expression (20), et choisir 
celle d’entre elles qui donne au module de sie la valeur la 
plus grande. D'après notre règle, au contraire, la racine de l'é- 
quation (17), convenable à la question, se reconnait à un carac- 
tère bien autrement plus facile et commode, car elle est précisé- 
ment l'unique racine réelle de la même équation (17), qui se 
trouve comprise entre les limites 


t t 
L—= —, TX —= —, 
hk—1 a—1 


si a => où 0, ou bien 


si a se réduit à zéro. 

D'ailleurs, en se rappelant que cette racine jouit de la propriété 
de rendre positive la valeur de l'expression (18), on voit qu’elle 
rendra, par suite, négative la valeur de l'expression (20). D’après 


SAVANTS ÉTRANGERS, — XII. 58 


158 : RECHERCHES 

cela, en réfléchissant que les deux règles, étant toutes deux exactes, 

doivent s’accorder à donner le même module pour la série, nous 
* pouvons conclure que la racine réelle de équation (17) dont nous 


parlons est précisément celle qui donne ce que nous avons appelé, 
1 à : At + x) 
d'après M. Cauchy, le module maximum maximorum de =. 


F 
Partant, je ne sais si je me trompe, mais la règle (C), lors- 
qu'elle a lieu, me semble pouvoir être regardée comme une sim- 
plification de celle de M. Cauchy, en ce sens qu'elle réduit le 
nombre des opérations prescrites par cette dernière, en nous fai- 
sant connaître d’une manière très-facile la racine convenable de 
l'équation (17), sans qu'il faille pour cela chercher d’abord (comme 
Pexigerait la règle de M. Cauchy), toutes les racmes qui rendent 
négative la partie réelle de l'expression (20), puis comparer entre 


(t+ x) 


. T7 
elles toutes les valeurs qu'acquerrait le module de ———— en vertu 
à T 


des mêmes racines, afin d’en choisir la plus grande. 
Je terminerai ce paragraphe en signalant deux cas où l’on re- 
connait tout de suite la divergence de la série de Lagrange. 


Premier cas. — Soit à l'ordinaire 
di [#(t) |! 
(ar) Loire [r (t)] 
: 1269.11 dti 


le terme général de la série, et supposons que 7 (t) soit un poly- 
nôme en {, qui remplit les conditions indiquées au $ IT (p. 434). 
Je dis que la série sera divergente si l'on a 


val. numérique 7° (t) => 1. 
En effet, le module R de la série étant, d’après la règle (C), 


R — val. num. 


L 2 


où on doit entendre par + une certaine racine réelle de l’équa- 
tion (17), que nous avons déjà signalée en son lieu, la valeur de 


SUR LA SÉRIE DE LAGRANGE. . 159 


ce même module R, eu égard à la composition du premier paerbre 
de la même équation (1 AY pourra se réduire à 


R — val. num. 7 (t+ x). 
Mais l’on a 


SCENE (H+5)T +8 bre (+2) +. ve 


D'ailleurs, on se rappellera (page 454) que x étant la racine de 
équation (17), qui se rapporte au module R, le rapport . est 


toujours ou positif, sa valeur étant quelconque, ou négatif, en 
conservant une valeur numérique moindre que l'unité. Il résulte 
de là, en retenant de plus que a, b, c... étant positifs , ils ne, 
peuvent jamais être mférieurs à l'unité, que les puissances 


æ\a—1 æ\ b—1 
(1+2) : (1+°) OUC QUE 


conservent toujours des valeurs supérieures à l'unité. On aura ainsi 
val. num. m'(t+-x) >> val.num. (A ai Bb Cet +...) 
ou, ce qui est la même chose, 

val. num. 7° (tx) => val. num. 7° (+); 


ce qui prouve le théorème énoncé. 
Second cas. — Le cas précédent n'est pas le seul où l'inégalité 


co RE 


est un signe certain de la divergence de la série de Lagrange. 

En voici un second. Soit 7 ({) une fonction réelle et continue 
entre deux limites quelconques t — l et t— l'. Supposons de plus 
que l'équation 


(22) m ((+ x) — 0, 


résolue par rapport à æ, n'ait que des racines réelles qui soient, 
58. 


460 RECHERCHES 
en outre, ou toutes positives, ou toutes négatives, étant d’ailleurs 
toutes renfermées entre les limites Let l, entre lesquelles 7 (t) 
est, par hypothèse, continu. 

La série sera divergente quand on aura 


ra (oui 


Pour démontrer cette proposition, il convient d'établir auparavant 
le lemme suivant. 

Les hypothèses précédentes étant conservées, je dis que l'équa- 
tion (17) aura toutes ses racines réelles, parmi lesquelles il n'yen 
aura qu'une seule négative ou positive, selon que celles de léqua- 
tion (29) seront, par hypothèse, ou toutes positives ou toutes né- 
gatives; et c’est précisément la racine négative ou positive que 
nous venons de mentionner, qui correspond au module de la série. 
En effet, en construisant la courbe dont l'équation est 


m(t+x) 


re 


et où x et y sont les coordonnées rectangulaires d’un point quel- 
conque de la courbe, on voit sans peine que la branche corres- 
pondante aux abscisses positives, ou bien négatives, selon que les 
racines de léquation (22) seront supposées elles-mêmes positives 
ou négatives, doit renfermer autant de points ayant des coordon- 
nées maxima, qu'il y aura d'unités dans m — 1, m étant le degré 
de la fonction 7 (x). D'ailleurs, la courbe doit encore renfermer 
une autre branche située du côté des abscisses négatives ou posi- 
tives, selon que les racines de l'équation (22) sont positives ou 
négatives, laquelle branche s’étendra à l'infini, et renfermera né- 
cessairement un point dont l’ordonnée sera un minimum. Il suit 
de là que l'équation 

dy / 

= — 2m ({+x) — 7m (1x) — 0, 


dx 


du même degré que l'équation (22), et la mème que l'équation 


SUR LA SÉRIE DE LAGRANGE. A61 
(17), aura nécessairement m — 1 racines positives el une racine 
négative, ou bien m — 1 racines négatives et une racine positive, 
selon que celles de l'équation (22) serontsou toutes positives, ou 
toutes négatives. D'autre part, on sat, d'après la théorie des 
maxima et des minima, que la racine négative ou positive de l'e- 
quation précédente est la seule de toutes ses racines qui rendra 
positive la quantité 


. 
1 dy ay m'(t+x) 
y de à m(t+x) 


Elle sera donc aussi la seule qui rendra négative l'expression (20), 
et l’on en conclyra, d’après la règle de M. Cauchy, qu'elle sera 
la racine correspondante du module cherché de la série. 

Cela posé, venons à la proposition que nous avons en vue de 
démontrer. 

En développant 7 (1x) selon les puissances de x, on à 


mie) = 70 + 7 (it) + 7 (1) À + ete. 


en sorte que, dans ce développement, les coefficients des diverses 

puissances de x, pris dans l’ordre où ils se succèdent, seront ou 

tous de même signe, ou alternativement positifs et négatifs, selon 

que les racines de l'équation (22) seront, par hypothèse, ou né- 

gatives ou positives. De là, eu égard au lemme précédent, il ré” 
sulte que le développement de 7° (1+-x); savoir : 


mt) 7 (im (hr tr" (1) = +... 


1.2 


pour la valeur de x correspondante au module R de la série, se 
composera nécessairement de termes tous positifs. 
On aura donc 


R=7T{(t+x) 1, 


et, par suite, la série sera divergente si æ' (t) = 1. 


462 RECHERCHES* 


$ V. ’ 
« 

Discussion du théorème qu'Euler a donné dans son Mémoire inti- 
tulé : Observationes circa radices æquationum. {Vorr les Commen- 
taires de l'Académie de Pétersbourg, î. XV.) 

Soit l'équation algébrique du degré m, 


A B G D 
(1) 1 = + — + + Het... 
T T T 


T 
Ecrivons-la sous la forme suivante : 


B C D 
(2) ALES HS core lC at o! 
pa æ | * gas æ 


Î 


La série de Lagrange tirée de l'équation (2) devient 


où l'on doit faire x — À après les différentiations. 

Or cette dernière série rentre précisément dans celle qu'Euler 
a trouvée au $ V de son mémoire ci-dessus cité. 

A vrai dire, lillustre géomètre de Pétersbourg a présenté la 
série (3) sous une forme différente de celle sous laquelle je viens 
de l'écrire; mais comme l'écriture d'Euler est plutôt compliquée, 
Je me dispenserai de la rapporter ici, et je me bornerai à remar- 
quer qu'il partage les termes de sa série en plusieurs ordres, ap- 
pelant termes du premier ordre ceux qui sont du premier degré 
par rapport aux coefficients B, C, D, E..., termes du second 
ordre ceux qui sont du second degré par rapport aux mêmes 
coefficients, et de la sorte le terme général de la série (3), savoir: 


1 del B [e n 
—(+s+) 
Ca T 


1.2.3. 1 d'a" 


SUR LA SÉRIE DE LAGRANGE. 163 
renferine l’ensemble de tous les termes qui, d’après Euler, repré- 
senteraient les termes de l’ordre n. 

Cela posé, ce géomètre, aux $$ IX et X de son mémoire cité, 
a énoncé la proposftion suivante. 

La série (3) représente toujours la racine numériquement la 
plus grande de toutes les racines de équation (1). 

Cette proposition a été rappelée par M. Menabrea dans ses 
Mémoires sur la série de Lagrange, et il a ajouté qu’elle rentre 
dans celle de Lagrange contenue dans la note XI de la Résolution 
des équations numériques. 

Effectivement, voici comment la proposition d'Euler peut se 
déduire de celle de Lagrange. Faisons donc l'équation (1) 


ER TS 


Ua 


elle deviendra 

(4) 1—Ay+By +Cy + Dy + etc... 

qu'on réduira à la forme exigée par la proposition mentionnée de 
Lagrange, ainsi qu'il suit: 

(OP a Déc ae Em 54 Of 


D'ailleurs, f (y) et F.(y) désignant deux fonctions quelconques 
de y, et cette variable y étant une racine de l'équation 


(6) u— 7 + f (y =, 


on aura, à l’aide de la série de Lagrange appliquée à re (6), 


(7) F(y=Fro+Fu x fu + — [Eu x fuf 


1.2 du 


1 LS 
1,2.3 d LÉ u x f'ul FR CiEE 


164 RECHERCHES 


Si donc l'on pose : ” 
B : 2 3 

(8) PER EP Geste 
(9) F()=pe=x 

L ë ” 
l'équation (7} deviendra 

1 . 1 d ; 
Ge] Pen a AO CE nl | || 
AE - f 1.2 du 
1 d 


série qui rentre facilement dans celle d'Euler, comme on peut 
s'en convaincre. 

Il y a plus. La valeur précédente de f (y) étant entière par rap- 
port à y, la proposition de la note XI, déjà mentionnée, laquelle 
suppose seulement f (y) entier ou développé suivant les puis- 
sances entières de y, serait applicable à la série (10). On en con- 
clurait donc que la série (3) représente la racine la plus petite y 
de équation (5), ou, ce qui revient au même, la racine la plus 
grande x de l'équation (1) : ce qui serait la proposition d'Euler. 

Mais est-ce que de la coïncidence des deux propositions men- 
tionnées de Lagrange et d'Euler, coïncidence remarquée la pre- 
mière fois par M. Menabrea, et que nous venons de démontrer 
par l'analyse précédente, on doit conclure que ces deux proposi- 
tons sont l’une et l’autre exactes? Non assurément. 

En effet, premièrement, il faut observer que cette coïncidence 
n'infirme d'aucune façon les arguments décisifs à l'aide desquels, 
M. Cauchy et moi nous avons fait voir l'inexactitude de la pro- 
position de Lagrange : d’où il suit que celle d’Euler est inexacte 
aussi. D'ailleurs, il est facile de se convaincre que la démonstra- 
üon qu'Euler a essayé de donner de sa proposition est entachée 
du même vice que celle de la proposition de Lagrange. 

C'est ce que nous allons faire voir brièvement. 


SUR LA SÉRIE DE LAGRANGE. 465 


Soient les racines de l’équation (1) rangées dans leur ordre de 
grandeur, à partir de la plus grande, 


di, On, A... Qi, Li,,.. 0m, 


et supposons que @; soit la racine fournie par la série (3). Appe- 
lons de plus S, la somme des puissances du degré n de toutes les 
racines de l'équation (1), n étant un nombre entier positif. 

Euler prouve que l'expression qui représente $, en fonction des 
coefficients de l'équation (1) coïncide avec la puissance du degré n 
de la série (3), pour n infiniment grand. On aura donc, pour n 
infini, 


Au) EC po 00 Ha +, +... =, 
d'où l’on tire à 
CCR CES 


ou bien 


pr SARA EI AS 


&i &i i 


Mais cette dernière équation ne peut être vérifiée sans que @; 
soit la racine la plus grande. D'où découle la proposition d'Euler. 

Telle est la démonstration de ce géomètre; et l’on voit-par là 
qu'il a essayé d'établir sa proposition en s'appuyant sur la consi- 
dération de la somme des puissances semblables des racines, cette 
somme étant exprimée en série et en fonction des coefficients de 
l'équation (1). Mais il est essentiel d'observer que si Ÿ (y) désigne 
une fonction quelconque entière de y, les racines de équation (4) 
‘ou bien de l'équation (5) étant, en vertu des notations adoptées, 


C7 da LA PE 4) a Ai drE An 
on obtiendra, par la formule du n° 12 de la note XI de la Réso- 
lation des équations numériques, appliquée à l'équation (5), 


SAVANTS ÉTRANGERS. — XII. 59 


166 RECHERCHES 


a V2) + a 4) Het... Vu + Vu x fu 


(14) Na se rs [Yu X fra] + ete. 


1.2 du 


où Ÿ u — = L'N— . (=) , et où lon ne doit retenir que les 
termes affectés des puissances négatives de u. Bien entendu qu'il 
faut faire u — " après les différentiations, et donner à fu la valeur 
fournie par l'équation (8), lorsqu'on ÿ change y en u. 

On tirera, de plus, de l'équation (7), en y faisant 


(15) 17) ÆRE* 


“ ; 1 ‘d [' 1 : 
(16) M qu'a x pue lPuxf u|+-etc... 
y ; 


1.2 du 


: yu 
où D u — 


—, et où il n’y a aucun terme à rejeter. 

u 

Or, si dans l'équation (16) l’on attribue à fu la valeur fournie 
l 


par l'équation (8), en y changeant y en u, et lon fait de plus 
D — D alors la racine y se réduit à celle fournie par la série (3) 
d'Euler, savoir -, et, par suite , l'équation (16) se change en 
celle-c1 : | : . 
(17) a y (=) = du +d'u X fu + etc... 

Cela posé, en rappelant la propriété démontrée par Lagrange 
(nôte XI, page 227 de l'ouvrage cité), en vertu de laquelle, si 
l'on désigne par (du) et (IL u) la série précédente, et celle qu'on 
en üre en y changeant Du en Ilu,; on aura 


(18) (@u) : (a) = (SE). 


lu 


Si, de plus, on observe qu'en supposant n infiniment grand, la 
série composant le second membre de l'équation (14) jouit de la 


SUR LA SÉRIE DE LAGRANGE. 467 


propres rappelée Aa à l'heure (car alors on n'aura plus aucun 
terme à y rejeter), on déduira des équations (14) et (17) divisées 


l'une par l'autre, : . 
me) da” eve) ka) te) 
sa nee sen pue ah on ah (=) 
is) ete: . ut + (ut) fu + : € [(u—) fru)|+ete 


Le second membre de l'équation (19) coïncide avec la série (3) 
d'Euler, en retenant toujours qu'il faut attribuer à fu et à u les 
valeurs déjà mdiquées. 

La série d'Euler, généralement parlant, doit donc être regardée 
comme résultant, non pas (à l'exemple d'Euler) de la simple com- 
paraison entre, d'une part, la puissance du degré n — 1 d'une 
racine quelconque, et, d'autre part, la somme des puissances du 
degré n de toutes les racines; mais elle doit être regardée comme 
résultant de la comparaison entre, d’une part, le produit qu’on 
obtient en multipliant la puissance du degré r — 1 d’une racine 
quelconque par la valeur qu'acquiert une fonction entière et arbi- 
iraire Ÿx, en y faisant æ égal à la valeur réciproque de cette 
même racme, et, d'autre part, la somme de tous les produits 
semblables qu'on obtient en multipliant la puissance du degré n 
de chacune des racines par la valeur qu'acquiert Ÿ x, lorsqu'on y 
fait x égal à la valeur réciproque de cette même racine, 

Cela retenu, on n'aura qu'à répéter les raisonnements exposés 
au $ III de mon premier mémoire, dans le but de prouver l’inexac- 
titude de la proposition de Lagrange, pour se convaincre que le 
premier membre de l'équation (19), renfermant la fonction Ÿ tout 
à fait arbitraire, n’admettra une valeur finie et déterminée qu’au- 
tant qu'il se réduirait à @; : ce qui, notons-le bien, n’exige pas 

59, 


168 RECHERCHES SUR LA SÉRIE DE LAGRANGE. 


nécessairement que @; soit la racine la plus grande, mais seule- 
ment que à; étant, par exemple, comme nous venons de le sup- 
poser, la ragine de l’ordre 1, l’on ait 


, 
Bo) 4()=ov()=c..v(5)=e 
conditions que l'on peut toujours remplir, en choisissant convena- 
blement Ÿ (x), qui, par hypothèse, est une fonction entière et 
arbitraire. 

Nous avons donc raison, ce me semble, de dire que la méprise 
d'Euler dérive de la même source que celle commise par Lagrange. 
Le premier de ces grands géomètres s’est contenté de comparer 
la série qui offre la puissance du degré n — 1 d’une racine quel- 
conque de l'équation donnée à la série qui représente la somme 
des puissances semblables du degré n (n étant infiniment grand) 
de toutes les racines de la même équation, et il ne s’est pas aperçu 
que sa série pouvait résulter d’une comparaison bien plus géné- 
rale. Le second : au contraire, a bien reconnu la nécessite de cette 
dernière comparaison “ mais quand il s'est agi de déterminer la 
véritable valeur du quotient rapporté à la page 227 de son ou- 
vrage cité, Savoir, 


ñ 2 E n y 
PÉpEeE bre ls #2 É. uietez Hal 
QE E : E 
(a, 8, y... désignent d’après Lagrange les racines de l'équation 


donnée), il s'est trompé pour n'avoir pas eu égard à la multipli- 
cité des expressions algébriques qu’admet la fonction entière et 
arbitraire Ÿ x. 


MÉMOIRE 


. SUR 


LE PAPYRUS DES ANCIENS 


ET SUR LE PAPYRUS DE SICILE, 


PAR PHILIPPE PARLATORE, 


PROFESSEUR ET DIRECTEUR DU JARDIN BOTANIQUE AU MUSÉE D'HISTOIRE NATURELLE DE FLORENCE, ETC 


I y a déjà un an je m'occupais du papyrus de Sicile pour en 
parler dans le second volume de ma Flore d'Italie avec les autres 
cypéracées qui croissent dans la péninsule et dans les iles ita- 
liennes. En parcourant les différents échantillons de cette plante 
dans l'Herbier central italien qui se conserve au Musée d'histoire 
naturelle de Florence, et dont j'ai la direction, j'eus le bonheur 
d'y trouver, outre ceux que j'avais rapportés de mes excursions 
ou que j'avais reçus d’autres botanistes siciliens, un échantillon 
de Nubie, que mon ami M. le chevalier Figari, du Caire, m'avait 
envoyé en 1844 avec une riche collection de plantes d'Égypte: et 
d'Éthiopie. Cet échantillon, quoique mcomplet, me présentait néan- 
moins des différences dans l’ombelle et surtout dans les involu- 
celles de chaque rayon de celle-ci; ces involucelles avaient, du 
reste, cinq ou six foholes au lieu de trois, comme on l’observe 
ordinairement dans le papyrus de Sicile. Ces différences m’enga- 
gèrent à faire des recherches sur cette plante ainsi que sur celle 


470 MÉMOIRE 


de Sicile; et c'est après avoir obtenu des renseignements ou des 
plantes de Nubie, d'Égypte et de Syrie, et avoir suivi l’histoire 
du papyrus et consulté différents herbiers et musées dans mon 
dernier voyage au nord de l'Europe, que je crois être arrivé à 
connaitre que le PPS Sicile, que tous les botanistes consi- 
dérent aujourd” hui, d’après Linné, comme la même plante que 
celle d'Égypte, est une espèce bien distincte, introduite en Sicile, 
probablement de la Syrie, peu avant le x° siècle, au temps de la 
domination arabe; et que le papyrus des Egyptiens, maintenant 
presque ou tout à fait détruit en Egypte, appartient à la même 
plante qui vit encore en Nubie. A raison de l'intérêt que présentent 
ces recherches pour la botanique et pour l'illustration d’une plante 
si justement célèbre chez les anciens, qui ont fait usage de son 
papier pour nous transmettre leurs connaissances, j'ose soumettre 
les résultats de ces recherches au jugement de l'Académie des 
sciences de Paris, espérant que ce nouveau travail y trouvera le 
même accueil bienveillant qu'ont déjà eu le bonheur d’y obtenir 
quelques-uns de mes travaux. 

Le papyrus de Sicile est une plante de la famille des cypéra- 
cées, appartenant au genre Cyperus; il a un rhizome gros, très- 
étendu horizontalement et rampant, d’où descendent de grosses 
fibres radicales (racines) nombreuses, d'une couleur brune et 
presque noirâtre , couvertes de fbrilles délicates, qui se présentent 
disposées régulièrement (comme c’est le propre des plantes aqua- 
tiques) lorsqu'elles nagent dans les eaux sans se fixer au sol. De 
ce rhizome s'élèvent verticalement des tiges triangulaires ou quel- 
quefois un peu scabres aux angles vers le sommet, hautes de 8, 
10,412} Vêt quelquefois jusqu'à 14 et 16 pieds parisiens, sem- 
blables à des jones, de 1 pouce 1/2 à 2 pouces de diamètre au 
bas, et allant en diminuant au haut; ordinairement dépourvues 
de feuilles et seulement garnies dans leur partie mférieure, sur 
une longueur de moins d'un pied ou rarement d’un peu plus, de 
larges gaines au nombre de cinq, de six, et quelquefois de huit, 
de les inférieures sont plus courtes, mais plus larges, et les 


SUR LE PAPYRUS. a71 


supérieures beaucoup plus longues, imbriquées et disposées sur | 
trois rangs, rétrécies en une pointe aiguë au sommet, et d'une 
couleur rougeâtre qui, dans les inférieures, tend au brun. Rare- 
ment se développent des feuilles; ce qui arrive quelquefois, non- 
seulement dans l'état de culture de la plante, dans nos serres 
(ainsi que j'ai été à mème de l'observer au mois de mai de cette 
année (181) dans le jardin botanique de l'Université de Berlin), 
mais aussi dans l’état sauvage de la plante, comme je l'ai vu sur 
les bords d’une branche de la rivière Anapo, près de Syracuse, 
au mois de septembre 18/45. Les feuilles qui se développent dans 
la plante sauvage (et que je conserve dans l’Herbier central ita- 
lien) ont ordinairement une longueur de 2 à 3 pieds; elles em- 
brassent la tige par le bas, et sont lancéolées, aiguës, carénées en 
dessous, rudes et comme en scie sur les bords vers le sommet 
de la feuille. La tige est plus délicate et beaucoup plus courte que 
dans les individus qui ont seulement des gaines. Dans la plante 
cultivée à Berlin, que je viens de mentionner, J'ai vu seulement 
développées en feuilles:les deux ou trois gaines supérieures, ces 
feuilles étant de la même forme que dans la plante sauvage, mais 
plus courtes et d’un vert plus pâle et presque blanchätre dans leur 
page inférieure; dans da même plante, dont la tige était tres- 
basse, j'ai vu aussi, passées à l’état de feuilles, les folioles les plus 
extérieures de l'involucre; elles étaient dirigées en bas et beäu- 
süup plus longues que l'ombelle, qui du reste était pèu dévelop- 
pée. Cyrillo avait déjà noté la‘ présence, quoique rare, des feuilles 
dans le papyrus de re qu'il a même figurées dans sa seconde 
planche?. : 

Les tiges, qui croissent en touffes et qui sont très-simples, se 
terminent au haut par une ombelle qui, par sa grandeur et sa 
forme, contribue beaucoup à l'élégance de la plante. Cette om- 
belle est enveloppée à sa base par un involucre beaucoup plus 
court qu’elle, composé de plusieues folioles (bractées) en forme 
d’écailles lancéolées, carénées en dessous, très-aiguës au som- 

? Dominici Cyrilli Cyperus papÿrus. Parme, 1796; typis Bordonianis, p. vu. 


172 MÉMOIRE 

_met, et d’une couleur presque rougeâtre, et dont une partie pé- 
ètre, en décroissant toujours en grandeur, au milieu des rayons 
qui composent l’ombelle. Les folioles extérieures embrassent cette 
ombelle à son état le plus jeune; elles sont alors dirigées tout à 
fait en haut et forment une espèce de pyramide presque triangu: 
laire et rougeûtre portée au sommet des jeunes tiges de la plante, 
mais elles s’écartent plus tard peu à peu et se dirigent vers le 
bas, à cause de l'éloignement des rayons de lombelle les uns des 
autres, dont nous parlerons tout à l’heure. Ces rayons, en elfet, 
sont très-nombreux, longs de 1 pied à 1 pied 1/2, quelquefois même 
ils ont jusqu'à 2 pieds; ils partent de tous les points d’une espèce 
de réceptacle presque sphérique qui se trouve au centre de l'om- 
belle, de sorte que quelques-uns se dirigent tout à fait en haut, 
d’autres latéralement, et d’autres enfin en bas; tous sont délicats, 
et surtout ceux qui se trouvent sur les côtés, et qui sont plus 
longs, se courbent un peu par suite de leur faiblesse : il en ré- 
sulte ainsi une ombelle large et en forme de sphère, qui, par 
l'inclinaison de ses rayons, prend un aspect très-élégant. De forme 
un peu triangulaire comme la tige, à angles obtus, ces rayons 
sont verts, lisses ou seulement quelquefois un peu rudes vers le 
sommet lorsqu'on y passe les doigts de haut en bas. Chaque rayon 
est enveloppé complétement à sa base par une petite gaine parti- 
culière, étroite, longue d’un peu plus d’un pouce, triangulaire et 
tronquée ; il porte à son sommet deux ou trois épis, plus rarement 
quatre, formés d’épillets d’une couleur jaunâtre, qui plus tard 
devient d'un rouge brunâtre. Les épis, qui, avec le rachis, ont 
généralement 1 pouce de longueur, sont entourés au bas d'un 
involucre secondaire, ou involucelle, composé de trois folioles 
qui naissent l’une au-dessus de l’autre, mais sont très-rapprochées 
entre elles, de sorte qu’elles semblent partir d’un même point : 
ces folioles sont vertes, filiformes, canaliculées dans leur page 
supérieure, à bords un peu rudes lorsqu'on y passe les doigts du 
baut'en bas, avec une carène dans leur page inférieure ; elles sur- 


5 
passent de beaucoup en longueur les épis, mais elles sont beau- 


SUR LE PAPYRUS. 473 


coup plus courtes que les rayons : plus rarement on trouve une 
quatrième foliole beaucoup plus courte, presque en forme d’a- 
rête, et plus rarement encore celle-ci se développe de manière à 
égaler presque les trois autres. Les épillets sont linéaires, ses- 
siles, dirigés presque horizontalement, un peu éloignés lun de 
l'autre au bas du rachis, plus rapprochés au sommet, où se trouve 
un épillet terminal; ils sont composés d’écailles imbriquées d’une 
manière distique, ovales, obtuses, à carène verte, rougeñtres sur 
les côtés et blanchätres vers les bords; elles renferment deux 
squamules de forme lancéolée, aiguës et persistantes, un peu plus 
longues que le petit fruit, soudées d’abord par leur bord externe 
avec le rachis et avec la partie inférieure du bord de l’écaille su- 
périeure du côté opposé, de sorte qu’on peut à cet état les déta- 
cher ensemble avec celle-ci; elles sont plus tard tout à fait hibres, 
et lorsqu'elles se dessèchent, elles se contournent en spirale à peu 
près comme les valves du fruit de certaines légumineuses'. Les 
étamines, au nombre de trois, alternent avec les squamules et 
correspondent, l'une à l'écaille ou bractéole, et les autres aux deux 
angles latéraux du petit fruit; les filaments sont filiformes et sou- 
tiennent des anthères linéaires jaunâtres avec un appendice allongé 
et blanchâtre; les grains du pollen sont lisses et sphériques. Le 
style est long, filiforme, blanc; il se montre au dehors avec ses 
trois stigmates courbés et lisses. L'achame ou petit fruit est de 
forme allongée presque triangulaire, un peu convexe et comme 
ayant un angle à sa partie externe, concave à sa partie interne, 
obtus au sommet, lisse et d’une couleur brune. 

La plante que je viens de décrire sur des individus vivants de 
Sicile se plait à vivre sur les bords des petites rivières ou des 
ruisseaux dont les eaux peu profondes coulent d’une manière 
douce et lente. Elle se trouve seulement dans la partie orientale 
et méridionale de la Sicile, le long des bords d’une branche de 
la rivière Anapo, qui conduit à la célèbre source Ciane, que les 

© Pour avoir plus de détails sur ces squamules et sur leur valeur morphologique, 
on pourra consulter le second volume de ma Flora italiana. 


SAVANTS ÉTRANGERS. — XII. 60 


474 MÉMOIRE 


Syracusains appellent vulgairement Testa di Pisima, à S.Cosimano, 
près de Mill, où elle a été notée pour la première fois par Boc- 
cone, et où je lai vue aussi; et le long de la rivière Cantara, près 
de Calatabiano, et à Spaccaforno , d’après ce qu'en écrit M. Gus- 
sone’. M. Presl? assure que M. Gussone l’a trouvée aussi sur le 
bords du Fiume freddo, près de Taormina; mais je ne vois pas 
cette localité indiquée dans les ouvrages de mon illustre ami Gus- 
sone, publiés même après celui de M. Presl. Le papyrus forme 
un ornement magnifique des bords de ces petites rivières, car il 
y croit abondamment et s’y élève avec ses tiges et ses ombelles 
élégantes d'une manière presque gigantesque. 1 y a aux alentours 
de lAnapo un endroit plus large que le reste, qu’on appelle le 
Camerone (grande chambre), dont tous les côtés sont couverts de 
papyrus, qui y végète en abondance au point d'y former presque 
une espèce de forêt; les eaux limpides baisent doucement la partie 
basse de la plante, qui élève ses tiges à la hautetr de 12 à 16 pieds, 
et réfléchissent les ombelles penchées et majestueuses qui en 
couronnent le sommet. En me trouvant au milieu de ces papyrus, 
Je me croyais transporté comme en rêve dans un pays des tro- 
piques. 

Autrefois le papyrus de Sicile vivait abondamment aussi près 
de Palerme, dans des espèces de petits lacs formés par une petite 
rivière nommée Paptreto, grâce à la quantité des plantes de papy- 
rus qui s'y trouvaient. Cette rivière avait sa source à Aimsindi, 
maintenant Denisimni, à un demi-mille presque de distance à 
l'ouest de Palerme, qu’elle traversait anciennement en passant 
entre la vieille ville et une autre partie qui était alors connue pour 
cela sous le nom de Transpapyretum; mais cette petite rivière ayant 
été desséchée en 1591 à cause du mauvais air que donnaient ses 
petits lacs marécageux, le papyrus y fut par conséquent tout à fait 
détruit. 

Michel, célèbre botamiste FRET a écrit avoir vu le papyrus 


* Flore siculæ synopsis, vol. I, p. 47. 
* Cyperaceæ et gramineæ siculæ , p. 15. Pragæ, 1820. 


SUR LE PAPYRUS. 475 
dans des lieux marécageux de Calabre, ce qui a été répété, peut- 
être sur son autorité , par Linné, Willdenow, Kunth, etc.; mais je 
ne sache pas que le papyrus soit une plante de Calabre; ni Cyrillo, 
dans sa monographie de cette plante, ne dit l'y avoir vue, ni 
M. Tenore n’en parle dans sa Flore napolitaine. On ne trouve 
dans l'herbier de Micheli, qui se conserve au Musée d'histoire 
naturelle de Florence, aucun échantillon du papyrus de Calabre; 
il y en a seulement un qui vient de Sicile. Guilandini, en parlant 
du papyrus de Sicile, dit qu'il croît abondamment dans ce pays, et 
qu'il est connu dans cette île, en Pouille et en Calabre, sous le 
nom de papiro; mais il ne dit pas que cette plante soit spontanée 
dans ces provinces du royaume de Naples!. Je pense, du reste, 
comme on le verra par” la suite, que dans la plante de Guilandini 
il faut reconnaitre quelque espèce de cyperus où de scirpus bien 
distincte du papyrus. D’après Strabon?, on devrait croire que le 
papyrus se trouve aussi sur les bords du lac Trasimèene, près de 
Pérouse; mais Je ne connais pas de botaniste qui lait vu dans cet 
endroit, et moi-même, quoique Jaie visité plusieurs fois ce lac, 
Je n'ai pas été plus heureux dans mes recherches : il est probable 
que Strabon a confondu avec cette plante quelque autre espèce de 
cyperus. 

Le papyrus de Sicile est une plante vivace qui, observée à l’état 
sauvage, commence à fleurir dans le mois de juillet, et prolonge 
sa floraison jusqu’en septembre; les ombelles, les tiges se des- 
sèchent plus tard, prennent une teinte jaunâtre et périssent en 
entier, mais le rhizome rejette toujours de nouveaux bourgeons, 
qui continuent l'existence de la plante. 

Tout à fait identique à la plante de Sicile, est celle qui croit 
en Syrie, sur les bords de la Méditerranée, à Mumkalid, à sept 
heures de distance au nord de Jaffa. Je puis l'affirmer d’après un 
échantillon que je dois à la bonté de M. le docteur F. Pestalozza, 


! Melchioris Guilandini Papyrus, hoc est commentarius in tria C. Plinu mujorts 
de papyro capita. Venetis, 1572 ,"p. 108. 
? Lib. XVII. 


60. 


176 MÉMOIRE 

de Beyrouth, et qui avait été recueilli dans ce lieu par M. l'abbé 
Michon. Cet échantillon, qui présente son ombelle bien dévelop- 
pée, quoique dépourvue de fleurs (mais je possède aussi d’autres 
rayons de la même plante avec les épis déjà flétris), est parfai- 
tement identique au papyrus de Sicile par ses gaines, au nombre 
de six, ses tiges hautes de plus de huit pieds, les folioles extérieures 
de linvolucre dirigées vers le bas, les rayons délicats qui naissent 
de tous les côtés sur cette espèce de réceptacle conique qui est 
au centre de l’ombelle, et se dirigent en tous sens par les involu- 
celles, généralement au nombre de trois, et beaucoup plus courtes 
que les LayORE. M. Pestalozza m'écrit, dans sa lettre du 5 avril de 
cette année (1851), que, dans la plante vivante, lombelle pré- 
sente la forme d’une sphère, comme je l'ai décrit plus haut pour 
le papyrus de Sicile, et que les indigènes donnent à la plante de 
Syrie le nom de papir. Il ajoute que cette plante se trouve aussi 
en abondance ‘près d’Acre et de Sur (Tyr), où on l'emploie pour 
fabriquer des nattes, et près des bords de la mer, entre Kaïfla et 
Jaffa. 

Cette identité des deux plantes de Sicile et de Syrie avait été 
déjà remarquée par G. Bauhin, le seul botaniste qui ait su recon- 
naître d’une manière claire qu'il y avait dans le papyrus deux es- 
pèces différentes, qu'il a nommées dans son fameux Pinax!, l'une 
Papyrus syriaca vel siciliana, et l'autre Papyrus nilotica vel ægyp- 
liaca. Cependant, dans son T'heatrum botanicum, en parlant de la 
première, 1l mdique, comme habitation de la plante, seulement la 
Sicile?. Bruce, dans ses voyages en Nubie, en Abyssimie, etc”, dit 
que le papyrus vient aussi en Syrie, sur les bords du Jourdain, 
du côté gauche du pont qu'on appelle le Pont des fils de Jacob, où 
il a trouvé les eaux profondes seulement de 2 pieds 9 pouces, 


* C. Bauhini Penax Theatni botanicr. Basileæ, 1671; lib. I, sect. 3, p. 19. 

© GC. Bauhini Theatri botanici sive historiæ plantarum, etc. iber primus. Basileæ, 
1658; sect. 3, cap. x, p- 354. 

> Travels to discover the source of the Nile, second edit. Edimburgh, 1805; vol. 7, 
P: 119. 


SUR LE PAPYRUS. ge 177 


entre le site de l’ancienne ville de Pénéas et le lac Tibériade!, 
qui est probablement le même lac dont parlent Théophraste et 
Pline à propos du papyrus. Théophraste, en effet, écrit : « Nasci- 
«tur et in Syria papyrus circa lacum quo et calamus aromaticus? », 

que Pline a un peu changé dans les mots suivants : « Nascitur et 
«in Syria circa quem odoratus ille calamus lacumÿ. » Si nous pou- 
vions nous reposer sur l'assertion de Bruce, nous serions forcé 
de dire que la plante du Jourdain est identique avec celle qu'il à 
recueillie dans deux endroits différents de la basse et de la haute 
Égypte ainsi qu’en Abyssinie, excepté seulement, selon lui, quel- 
ques différences de beauté, de force et de taille; et que toutes 
sont dans toutes leurs parties parfaitement semblables à la plante 
décrite par les anciens*. Mais Bruce, qui, du reste, a décrit et 
figuré, comme nous le verrons plus tard, la plante qui pour nous 
est le vrai papyrus égyptien, n’a malheureusement pas dit de 
quelle localité il a choisi la plante qui a servi pour sa figure et sa 
description, de sorte que ces différences de force, de beaute, de 
hauteur nous laissent en doute sur la détermination de la plante 
du Jourdain dont il est ici question. Je n’ose donc pas, faute 
d'échantillons, affirmer si cette plante est la même que le papyrus 
de Sicile ou celui d’ Égypte. I en est de même pour la plante que 
Pline dit croître sur les bords de l'Euphrate, près de Babylone®. 


* C'est le même lac qu'on appelle aussi du nom de lac de Génésareth ou de mer 
de Galilée. 

© Theophrasti philosophi-.clarissimi De historia plantarum lbri IX et decimi prin- 
cipium; De causis sive generalione planturum libri VI ; Theodoro Gaza interprete. Basi- 
leæ, 1534, p. 58. e 

* Historia plantarum, Gb. XIII, cap. XI. 

* «I collected specimens in Syria, from the river Jordan, from two different 
“places i in Upper and Lower Egypt, from the lakes Tzana and Gooderoo in Abys- 
«sinia, and it was with the utmost pleasure I found they were in every particular 
«intrinsically the same, without any variation or difference from what this plant has 
«been described to be by the ancients. Only I thought that those of Egypt, the 
«middle of the two extremes, were stronger, fairer, and fully a foot taller, than 
«those in Syria and Abyssinia. » (Bruce, Travels, vol. VIT, p. 115.) 

Historia naturalis, lib. XII, cap. XI. 


178 d MÉMOIRE 

Peut-être appartient-elle au papyrus d'Égypte; car Guilandini, 
dans son célèbre commentaire sur les trois chapitres de Pline, 
dit, à propos de cette dernière localité, que Pline a ajoutée aux 
autres déjà connues avant lui, qu'il a rencôntré cette plante au 
confluent du Tigre et de l'Euphrate, et ïl le considère comme 
tout à fait identique avec le papyrus du Nil et avec celui du lac 
ci-dessus mentionné. « Quod vero, écritil, subjungit Plinius, pa- 
« pyrum gigni quoque m Euphrate circa Babylonem , testor vidisse 
«me in Chaldæa qua duo amnes Tigri et Euphrates concurrunt, 
«per amplas paludes ex quibus papyrum nihilo discrepantem a 
« Niliaca Gennesareticaque meis manibus erui atque evulsi”. » 

Cependant je ne puis pas me reposer sur l'autorité de Guilan- 
dini pour assurer que le papyrus du Tigre et de lEuphrate est 
le même que celuï de Nubie; car d’abord il y a des différends 
parmi les botanistes anciens sur l'identité du papyrus du Nil et 
celui d’ Égypte mentionnés par Plme?, et ensuite parce que Gui- 
landini n’a décrit ni la plante de Syrie, ni celle d’ Égypte, quoi- 
qu'il les eût vues sur les lieux mêmes, n'ayant pas su tirer de ses 
voyages tout le fruit qu'on aurait dû attendre d’un observateur, 
aimant mieux parcourir les pays étrangers en homme érudit qu’en 
naturaliste. Son opinion, du reste, a très-peu de valeur ici; car, 
comme je l'ai avancé plus haut, Guilandini s'est trompé sur le 
papyrus de Sicile. 

D'après tout ce que je connais maintenant d'une manière posi- 
üve, je puis, pour la distribution géographique du papyrus sici- 
lien, établir que c’est une espèce qui aime à vivre dans les eaux 
peu profondes des petites rivières et des ruisseaux qui coulent 
lentement, ainsi que dans les lieux marécageux, à peu de distance 
des bords de la mer, entre le 32° et le 38° degré de latitude nord 
et le 12° et le 34° degré de longitude à l'est de Paris. 

Il est aussi intéressant pour la géographie botanique que pour 


* Guiïlandini, Papyrus, elc. p. 147. 
Voyez De Lobel, Plantarum histoniæ, etc. Londini, 1665, p. 39; C. Bauhini 
Theatri botanicti, üibr. I. Basileæ, 1658, p- 324, etc. 


SUR LE PAPYRUS. 179 
l'archéologie et l'histoire, de connaître si le papyrus de Sicile est 
vraiment imdigène de cette ile, ou s'il y a été introduit de la 
Syrie. Il ne peut pas y avoir de doutes que le papyrus de Syrie 
ne soit beaucoup plus ancien que celui de Sicile; car, comme je 
viens de le dire, il était déjà connu des anciens, même de Théo- 
phraste, etc., qui en ont parlé dans leurs ouvrages. Alors le papy- 
rus n'existait pas du tout en Sicile, ni à Palerme ni à Syracuse ; 
car autrement nous ne saurions expliquer sur cette plante cé- 
lébre, objet alors d’un grand intérêt pour les peuples, le silence 
des auteurs grecs et romains, et même des poëtes et des écri- 
vains qui vivaient à Syracuse. Théophraste, Dioscoride, Pline ne 
font pas mention du papyrus de Sicile; ni Diodore de Sicile, ni 
Théocrite n’en parlent aucunement, quoiqu'ils soient Siciliens et 
ce dernier mème de Syracuse; ni Ovide non plus, qui a parlé 
dans ses Métamorphoses du Ciane, ne fait aucune mention du pa- 
pyrus, qu'il a nommé seulement à propos du Nil. La première 
notice que Je connaisse du papyrus de Sicile est dans une relation 
d'un voyage fait à Palerme dans le x° siècle par un Arabe très- 
instruit, du nom d'Ebn-Haucal ; lequel, en décrivant certaines es- 
. pèces de marais formés par les eaux qui provenaient des environs 
de Palerme et coulaient dans la direction de l’ouest à l'est (ce 
qui me fait croire que c'étaient les mêmes eaux qu'on a plus tard 
nommées le fleuve Papireto), écrit de la manière suivante : «E 
«tra questi paludi giace una fondura coperta tutta di papiro, che 
« è quella pianta di cui si fanno i fogli da scrivere. Essendo in 
« Egitto io credeva non nascesse il papiro in alcun altro paese della 
«terra, ma l’ho trovato in Sicilia, La pin parte è attorta in go- 
« mene per le navi, e il resto serve a fabbricare fogli per il sul- 
«tano che ne ha appena quanto gliene fa d’uopot.: 

Ce fut deux siècles plus tard, au temps de la domination des 
Normands en Sicile, qu'on commença à parler de la rivière Papi- 


* Voyez les Frammenti di Jest Arabi sulla Sicilia musulmana, traduits et illustrés 
par. mon savant compatriote Michel Amari, extraits de l'Appendice all” Archivio sto- 
rico italiano, t. IV, p. 15. 


180 MÉMOIRE 


reto, qui séparait la partie ancienne de la ville, appelée Paleopoli 
(car elle fut la première à être habitée), de l’autre partie vers le 
nord, qu'on nommait le T'ranspapyretum. Nous trouvons en effet ce 
dernier mot dans l'Histoire de Sicile du célèbre écrivain normand 
Hugues Falcand'. Fazzello, historien sicilien non moins célèbre 
du x° siècle, parle d'une manière très-étendue du Papireto, et 
décrit très-bien la plante du papyrus qu'on trouvait sur ses bords, 
et qui était connue sous le nom de papero. Je crois mtéressant de 
reproduire ici sa description : « Hæc urbis pars in medio flumen 
« Papyreto habet, qui post peractam frumenti in multis pistrinis 
“triturationem versus portum egreditur. Oritur extra mœnia ad 
«milliaria fere dimidium a fonte quod in crypta nascitur, sara- 
« cenico idiomate Ainsettime dicta, et quæ hodie corrupto voca- 
«bulo dicitur Ainsindi. Hoc flumen statim extra mœnia, intra 
« quoque efformat stagna nonnulla et paludes in quibus copiose 
«papyrus gignitur. Est hæc junei species satis longa, octo fere 
« pedes, caulem habet triangulum , atque in extremitate gerit lanu- 
«ginem ad instar capillorum, atque inde locus et flumen obtinue- 
«runt nomen Papiro.» Mais, comme J'ai eu occasion de le dire 
plus haut, cette petite rivière et ces lacs furent desséchés en : 591 
par ordre du vice-roi comte d'Abeldelista, et le papyrus y fut de- 
truit?. Les eaux de la rivière furent en partie destinées à l'irriga- 
tion des champs, comme on le voit même maintenant, et une 
autre partie passe toujours, ainsi qu'on me l'a dit, sous la ville de 
Palerme, et fournit l'eau à boire aux habitants d’une portion de 
la ville mème, Il existe encore une plaine à Palerme qui occupe 
la place où était autrefois le fleuve Papireto, et qu'on nomme 
maintenant pour cela 1! Piano del Papireto, en sicilien Pipiritu, 
dont une partie a été dernièrement destinée à un Jardin public, 

! Voyez aussi la Descrizione di Palermo antico ricavata dagli autori sincroni e 1 
monumenti dei tempi da Salvatore Morso R. professore di linqua arabica; ediz. seconda ; 
Palermo, 1827, où l'on donne aussi une carte topographique de l'ancienne ville de 
Palerme. 


? Voyez Scinà, Topografia di Palermo e dei suoi contorni; Palermo , 1818, dans les 
notes, à la page 55. 


SUR LE PAPYRUS. 481 
où, presque comme pour y perpétuer le souvenir du papyrus, on 
y cultive cette plante, ainsi que dans les jardins de plusieurs sei- 
gneurs de Palerme et de Sicile. Boccone, célèbre botaniste paler- 
mitain du xvnr siècle, dans ses Recherches et observations natu- 
relles publiées à Amsterdam en 1674, écrit de la manière suivante 
à propos du papyrus de Palerme, dans sa 27° lettre, adressée à 
M. Ange Buonfanti, touchant les plantes rares qui croissent dans 
le royaume de Sicile : « Pour ce qui est s'il en croist proche de 
Palerme ou non, vous sçavez aussi bien que moi qu'il y en a eu 
et qu'il y en a maintenant bien proche de ladite ville. » Il veut 
sans doute, dans le premier cas, parler du papyrus qui vivait sur 
les bords de la rivière Papireto; et peut-être fait-il allusion, dans 
le second cas, aux papyrus qui pouvaient être alors cultivés dans 
les environs de Palerme. Mais la notice que Boccone donne du 
papyrus dans ce petit, mais intéressant ouvrage que je viens de 
citer, est digne de l'attention des botanistes pour la description 
qu'il donne de cette plante, et surtout parce qu'il y dit l'avoir 
observée dans les marais de $S. Cosimano, qui est à une-lieue au- 
dessous de la terre de Mililli et des monts d'Hybla, à trois lieues 
et un tiers de Syracuse. Îl ajoute encore qu'on lui a assuré que le 
papyrus se trouvait aussi tout proche de la ville de Syracuse, dans 
un endroit appelé la Maddalena. I paraît que ces observations de 
Boccone sur le papyrus ont été tout à fait négligées des botanistes, 
qui ne les ont jamais citées, que je le sache du moins, et cela est 
d'autant plus remarquable que, vers la fin du siècle passé, il s’éleva 
à Syracuse une grande dispute entre Xavier Landolina et l'abbé 
Secondo Sinesio, qui soutenait que le comte César Gaetani, homme 
d'un vrai mérite en archéologie , avait été le premier à découvrir 
le papyrus à Syracuse, au lieu de Landolina, qui se croyait l'au- 
teur de cette prétendue découverte!, dispute qui prit de grandes 
dimensions, même à l'étranger, car il y avait des voyageurs qui 
réclamaient aussi la priorité. Cependant l'existence du papyrus à 

! Voyez Scinà, Prospetto della Storia litteraria di Sicilia nel :secolo: decimottavo. 
Palermo, 1827, vol. III, p. 246. 


SAVANTS ÉTRANGERS. — XII. 61 


482 MÉMOIRE 


Syracuse n’est pas du tout ancienne; car non-seulement les an- 
ciens historiens et les poëtes n’en ‘parlent pas, comme je lai dit 
plus haut, mais il n’en est nullement question dans l'ouvrage de 
Jacques’ Bonanni et Colonna, duc de Montalbano, savants éeri- 
vains siciliens Dell antica Siracusa illustrata, publié à Messine en 
1624, dans lequel on se tait sur le papyrus, quoiqu'on y dé- 
crive la rivière Anapo et la source Ciane, qu’on voit même repré- 
sentées à la première page de l'ouvrage sous forme humaine, au 
milieu de roseaux. Si le papyrus avait existé dans ces endroits 
célèbres, Bonanni non-seulement en aurait parlé, mais il aurait 
certainement préféré au roseau cette plante classique et caracté- 
ristique de Syracuse pour la mettre en tête de son livre. On voit 
donc bien que le papyrus a été introduit à Syracuse dans le 
.xvi siècle, entre la publication de l'ouvrage de Bonanni (1624) 
et celle de l'ouvrage de Boccone (1674). Probablement qu'il a été 
apporté -dans les localités ci-dessus citées de l’Anapo et de Ciane, 
soit de l'endroit de la Maddalena dont parle Boccone, soit de S. Co- 
simano, où le papyrus se trouvait abondamment, mème du temps 
de Boccone, car il écrit ly avoir vu «en prodigieuse abondance », 
de sorte qu'il lui semblait voir «un bois de piques couronné de 
plusieurs ombelles comme un panache. » Landolina a néanmoins 
le mérite d’avoir le premier, de nos temps, fabriqué avec le pa- 
pyrus de Syracuse du papier à l'instar des anciens; ce papier fut 
recherché par les savants et les antiquaires de l'Europe, et reçu 
avec des éloges même par les Académies!. Je dois à l’obligeance 
de M. Pinder, numismate distingué, d'avoir vu-à la bibliothèque 
royale de Berlin un morceau de ce papier provenant de Lando- 
lina; il est bon, et certamement supérieur à celui qu'on fait au- 
jourd’hui même à Syracuse, seulement par curiosité, et sur lequel 
on peint ordinairement la plante même du papyrus: 
Quant au papyrus de Nubie, je dois, pour sa description, m'en 
rapporter en#grande partie à ce que M. Figari m'en a écrit dans 


* Voyezle discorso XIX , Del papiro siciliano ; danses ouvrages du chanoine Gre- 
gorio, t. 1, p. 122. ! 


SUR LE PAPYRUS. L85 


une longue lettre du 5 janvier de cette année, tout. en me bor- 
nant aux caractères qui distinguent plus particulièrement cette 
plante de celle de Sicile. Dans cette lettre, il eut la complaisance 
de satisfaire à plusieurs de mes demandes sur le papyrus de 
Nubie, qu'il avait recuerlli lui-même, et sur celui d'Egypte, si 
par hasard il avait été à même de le voir dans ce pays. 

La plante dont je possède l'échantillon déjà mentionné au com- 
mencement de ce mémoire, a été trouvée par M. Figari dans un 
vaste marais de la Nubie supérieure, non loin des bords du fleuve 
Blanc, presque sous le 7° degré de latitude nord. Ce marais forme 
une espèce de lac au moment où y arrivent les eaux de la pluie; 
mais ses eaux n'ont pas plus de cinq pieds de profondeur, car les 
plus gros hippopotames ne peuvent pas y nager aisément. Le sol 
au fond du marais est noir et argileux, mais “ papyrus croît seu- 
lement sur les bords, où le sol est tout à fait boueux et où l’eau 
ne surpasse pas la hauteur du rhizome; quelques petites îles se 
trouvent au milieu du marais, sur lesquelles se montre aussi le 
papyrus, mais leur distance ne:permet pas de l'y recueillir, C'était 
le 2 mscpiembre 1838 que M: Figari se trouvait dans ce -marais 
pour y herboriser; le papyrus n'avait pas encore de fleurs, mais 
ses ombelles étaient déjà bien développées. Les indigènes du pays 
assuraïent à mon ami que la floraison de cette plante commence 
vers la fin de septembre et se termine vers la fm de décembre, 
c’est-à-dire qu’elle commence quand la floraison du papyrus de 
Sicile est déjà finie. La plante de Nubie meurt en'entier pendant 
le mois de janvier, à l'exception de son rhizome, qui continue à 
vivre pour développer sès bourgeons dans les mois de juillet et 
d'août suivants, après les pluies tropidales de mai, juin et juillet. 
Elle forme des-toulfes plus ou moins épaisses, et ses tiges, qui 
ont une forme triangulaire comme :celles de la plante. de, Sicile, 
ne s'élèvent pas autant que celle-ci, mais n'atteignent ordimaire- 
ment qu'une hauteur de 5 ou 6 pieds parisiens; il est extrème- 
ment rare, d’ LS M. Figari, d'en trouver de plus ‘hautes jusqu'à 
ro pieds. Les gaînes sont nombreuses; elles recouvrent la tige 

é Gi, 


EM MÉMOIRE 

dans son tiers inférieur, ordinairement sur une étendue de 18 ou 
20 pouces. Les bractées qui forment linvolucre sont dressées et 
s'adaptent sur les rayons de l'ombelle, dans l'intérieur de laquelle 
elles pénètrent, aussi bien que dans le papyrus sicilien. Ces rayons 
sont nombreux, plus gros, mais plus courts que dans la plante de 
Sicile, car ils n’ont que de 3 à à pouces de long; leur surface 
présente des sillons bien marqués; ils sont tous dressés sans 
qu'aucun d'eux diverge des autres, de sorte qu'il en résulte une 
ombelle de la forme d'un panache de crins, dont le sommet s’in- 
cline un peu d'un seul côté. M. Figari m'écrit qu'il croit que dans 
le plus grand nombre de cas cette inclinaison doit avoir lieu de 
l'est à l'ouest; car il a observé qu’elle était ainsi dans tous les 
individus de papyrus qu'il rencontra ; il m'écrit également que 
cette forme de lombelle s’observe quand celle-ci a acquis tout 
son développement; car dans l’état jeune, elle ressemble parfai- 
tement à un pinceau, avec les rayons du centre un peu plus éle- 
vés que ceux des côtés. La petite gaine tronquée qui embrasse la 
partie inférieure de chaque rayon est moins serrée que dans le 
papyrus de Sicile; mais ce qui mérite de notre part bicgy plus 
d'attention, c’est le nombre et la proportion des folioles des invo- 
lucelles avec les rayons eux-mêmes. Ces folioles sont plus larges 
et à bords plus rudes que dans la plante de Sicile; elles sont gé- 
néralement au nombre de cinq ou de quatre, quelquefois encore 
au nombre de six. Elles sont plus longues que les rayons, car 
elles ont d'ordinaire de 6 à 7 pouces de long; ce qui fait une 
différence très-intéressante par rapport au papyrus sicilien, dont 
les folioles sont toujours beaucoup plus courtes que les rayons : 
l’'ombelle offre ainsi une longueur ordinairement d’un pied, et 
plus rarement davantage. J'ai dit plus haut que ni moi, ni M. Figari, 
nous ne possédions les fleurs de la plante de Nubie; ce que je 
regrette beaucoup, parce que cette circonstance m'empèche de 
compléter la description de la plante et d'en donner les figures 


analytiques. È 
Une fois connu que celle-ci est une espèce bien distincte par 


SUR LE PAPYRUS. 185 


de nombreux caractères de l’espèce de Sicile et de Syrie, il me 
restait encore une tâche très-importante à remplir, c'est-à-dire à 
connaître le papyrus de lÉo gypte. Je savais déjà qu'il était de- 
venu extrêmement rare dans ce pays; car beaucoup de voyageurs 
et de botanistes qui y avaient été ont parlé dans leurs ouvrages 
de la rareté de cette plante, que d’autres n'ont pas vue du tout. 
Forskal, botaniste danois qui a visité l'Égypte en 1762, n’en parle 
pas dans sa Flore arabique- égyptienne’. Delile, qui fut le bota- 
niste de l'expédition française en Egypte, auteur aussi d'une Flore 
de ce pays, dit seulement? qu’elle se trouve à Damiette, où la 
vue aussi Savary. Celui-ci dit l'avoir trouvée encore près du lac 
Menzalé’; tous deux affirment que c'est une plante très-rare. Il 
en est de même de beaucoup d’autres voyageurs qui ont visité 
l'Égypte. Dans un ouvrage récemment publié sur ce pays par Clot- 
Bey, il ne mentionne pas le papyrus, quoiqu'il décrive l’état actuel 
du pays sous tous les points de vue, même sous celui des plantes 
qui y végètent. M. Figari, interrogé par moi sur la rareté ou la 
non-existence du papyrus en Egypte, m'écrit de la manière sui- 
vante : « Quoique j'aie parcouru pendant.de longues années toutes 
les régions de l'Égypte, et particulièrement la vallée du Nil, Je 
n'ai Jamais été assez heureux pour y rencontrer le papyrus. Je tiens 
pour faux ce que disent certains voyageurs qui prétendent lavoir 
vu spontané dans la haute Egypte; car cette région n'offre pas 
les conditions favorables pour que cette plante puisse y croître; 
elle manque tout à fait de lacs, de marais, d’étangs; le sol est 
très-élevé, ete peu de canaux qu'il y a contiennent de l’eau seu- 
lement pendant trois mois de l’année. Malgré les conditions favo- 
rables de la moyenne Égypte et surtout de la pee région for- 
mée par le bassin de la province du Fayoum, on n’y trouve pas 

? Flora ægyptiaco-arabica, sive descriptiones plantarum quas per Ægqyptum inferiorem 
et Arabiam Felicem detexit, illastravit Petrus Forskal Prof. Havn. post°mortem auctoris 
edidit Carsten Niebuhr. Hayniæe, 1775. 

Flore ægyptiacæ illustrahio, dans la Description de l'Égypte, Fees natu- 


relle, t. II, p. 50. 
; Lettres sur l'Égypte, t. I, p. 322. 


486 MÉMOIRE 


du tout le papyrus, mais au contraire en abondance le Typha et 
plusieurs espèces de jones, de Scirpus et de Cyperus, surtout le 
Cyperus dives, qui, à cause de sa grandeur, a été probablement pris 
par les voyageurs pour le vrai papyrus. Je suis même persuadé 
que les anciens Égyptiens employaient cette plante pour en fabri- 
quer du papier, comme ils le faisaient du papyrus. J'ai visité tous 
les grands lacs, les marais, les canaux, les rizières du Delta et 
des de adjacents qui forment la basse Égypte, mais j'ai toujou rs 
été désappomté dans mon espérance d'y trouver le papyrus; Fy 
ai vu seulement les mêmes espèces de plantes que je viens de 
mentionner ci-dessus. » D’après toutes ses recherches, M. Figari 
croit que le papyrus n’existe plus en Égypte, et qu'il en a dispatt 
comme le Nelumbium speciosum (Faba ægyptia des anciens), les 
deux plantes n'étant pas originairement indigènes de PEgypte. Il 
croit aussi que le papyrus y fut introduit anciennement de la 
Nubie, etqu'il s’y acclimata et propagea spontanément dans les 
marais et étangs du Fayoum et du Delta, mais qu'une fois que 
le culte que les anciens avaient pour cette plante vint-à lui man- 
quer, et que des changements notables eurent lieu dans le sol de 
l'Egypte, la plante y devint peu à peu plus rare, jusqu'à en dis- 
paraitre complétement. Cette opmion de M. Figari est d'accord 
avec ce qu'en pensait Bruce, voyageur du siècle passé, que J'ai 
dejà cité, et que j'aurai encore occasion de citer dans ce mémoire. 
I croit que le papyrus ne peut pas être originaire de l'Egypte, 
car il n'aurait pu résister avec ses tiges Flo, son ombelle trop 
lourde, etc., à la force ‘du vent du un pays plat; d le croit venu 


de l Éthiopie: é 


! «The papyrus seems lo me lo have come down from Ethiopia, and to have 
«been used in Upper Egypt immediately after the desuse of hieroglyphies, » et plus 
bas : «Early however, as papyrus was known, it does not appear lo me ever to 
«have been a plant that could have existed in the Nile, or, as authors have said, 
«been proper lo it. Its head is too heavy, and in a plain country, the wind must 

“have too violent a hold of it. The stalfs is small and feeble, and likewise too tall, 
“the root Loo short and slender to stay it against the violent pressure of the wind 
‘and current : Therefore I believe it never could be a-plant growing in the Nile 


SUR LE PAPYRUS. 187 


Pour connaitre le papyrus de l'Égypte, il faut donc avoir re- 
cours aux descriptions de ceux qui en ont parlé dans des temps 
plus anciens que le nôtre, quand cette plante vivait encore dans 
ce pays, ou du moins y était bien plus abondante qu'aujourd'hui ; 
c’est une recherche que je crois devoir être intéressante pour 
connaître l'histoire du papyrus et pour accorder une juste valeur 
aux descriptions des anciens naturalistes. Sans remonter jusqu'aux 
époques d’Alcée et d’Anacréon, et d’autres poëtes et historiens 
anciens, qui ont cependant parlé du papyrus dans leurs ouvrages, 
et sans rappeler la naissance de Moïse; qui fut déposé au milieu 
des papyrus du Nil, etc., car on ne trouve pas dans tout cela des 
descriptions de la plante, nous dirons seulement que Théophraste, 
père de la botanique, a décrit deux espèces de papyrus, qu'il 
appelle Fune papyrus et l'autre sari. Pour la première des deux 
plantes, il écrit : « Nascitur non in altitudine gurgitum, sed prope 
«intra duo cubita, nonnusquam etiam minus : crassitudine radicis 
«qua vola viri robusti, longitudine super dena cubita provenit : 
« superterram ipsam radices obliquas, tenues, densasque in limum 
« demittens : sursum quos papyros dixere profert triquetros, an- 
« gulatos, magnitudine quaternorum fere cubitorum, coma inutili 
“exilique fastigiatos, fructus nullius fæcundos, ex multisque 
«radicis partibus erumpentes. » Quant à la seconde, voici la des- 
cription qu'il en donne : « Sari in aqua provenit circa paludes pla- 
«naque ubi Nilus recesserit. Habet radicem præduram, flexuosam- 
“que, ex qua quæ saria vocant exeunt : his longitudo duorum 
«cubitorum, crassitudo pollicaris. Triangulum id quoque papyri 
«modo et comam similem gerit!. » 

Personne ne peut douter que dans le papyrus de Théophraste 
on ne doive reconnaître un vrai papyrus, et très-probablement 
celui de Nubie; car il décrit la plante d'Egypte d’une manière 
très-reconnaissable et comme ayant une tige de la hauteur de 4 cou- 


* «itself or in any very deep and rapid river.» (Bruce, Travels, etc. vol. VII, p. 117, 
118.) < = 
* Historia plantarum. Basileæ, 1534, lib. IV, cap. 1x, p. 58. 


488 : MÉMOIRE 


dées, c’est-à-dire de presque 6 pieds parisiens. Mais nous ne pou- 
vons pas voir dans son sari un vrai papyrus, ni surtout la plante 
de Sicile; car il donne à sa plante des tiges de 2 coudées de hau- 
teur, c'est-à-dire de $ pieds, tandis que re papyrus de Sicile est 
plus grand même que celui de Nubie et de l'Egypte. Par consé- 
quent, nous croyons que Guilandini s’est beaucoup trompé quand 
il a prétendu reconnaitre dans le sari de Théophraste la plante 
de Sicile!, que du reste, d’après son ouvrage, il ne paraît pas 
avoir jamais vue lui-même. Il en est de même de G. Bauhin, qui 
a rapporté le synonyme de Théophraste et de Guilandini à la 
plante sicilienne, peut-être sur l'autorité de ce dernier et sans se 
donner la peine d’en vérifier l'exactitude. Le sari de Théophraste 
est toujours une plante douteuse; mais je crois ne pas me trom- 
per en disant qu'il faut y voir une des espèces de Cyperus où de 
Scirpus qui abondent même maintenant dans les lieux marécageux 
de l'Égypte, et très-probablement le Cyperus dives; car la forme 
triangulaire de la tige, comme dans le papyrus, et la hauteur de 
cette tige, de presque 3 pieds, ne laissent pas, à mon avis, de 
doute que le sari de Théophraste ne soit une espèce de Cyperus 
ou de Scirpus. 

Dioscoride parle.du papyrus, mais ne le décrit pas; il n’en donne 
que le nom et les propriétés; ce qui lui arrive très-souvent pour 
les plantes dont il s’est occupé?. Il n’en est pas de même de Pline, 
qui en donne la description suivante, tout en s'étendant avec beau- 
coup de détails sur la manière d’en fabriquer le papier : « Papy- 
«rum ergo nascitur in palustribus Ægypti aut quiescentibus Nil: 
gnant, duo cubita non excedente altitudine 
« gurgitum, brachiali radicis obliquæ crassitudine, triangulis late- 
«ribus, decem non amplius cubitorum lonoitudine in gracilitatem 
« fastigiatum, thyrsi modo cacumen includens. Semine nullo ; aut 
‘“usu ejus alio quam floris ad deos coronandos*. » Cette descrip- 


“ aquis ubi evagatæ sta 


* Guilandini, loc. cit. p. 108. 
? De materia medica, lb. 1, cap. XVI. 
* Historia naluralis, Gb. XIII, cap. xI. 


SUR LE PAPYRUS. 189 


tion du papyrus, qui est presque la même que celle de Théo- 
phraste, présente néanmoins une différence de hauteur dans la 
tige, qu'on dit être de 10 coudées, c'est-à-dire de presque 1 5 pieds 
parisiens, de manière à faire croire que Pline a décrit dans sa 
plante plutôt le papyrus de Sicile que celui de Nubie. Mais il est 
à remarquer que Pline, en copiant généralement ses devanciers, 
et Théophraste de préférence pour l'histoire naturelle, au lieu de 
se proposer pour modèle la nature elle-même, a quelquefois es- 
tropié le sens des auteurs, comme il paraît l'avoir fait dans le cas 
présent. En effet, Guilandini, dans son Commentaire déjà plu- 
sieurs fois cité sur les trois chapitres de Pline sur le papyrus, croit 
devoir corriger le texte de l'auteur en mettant « triangulis lateri- 
« bus » après « decem non amplius cubitorum longitudine », en fai- 
sant observer que Théophraste a employé ces mêmes mots non pas 
pour les tiges, mais pour la racine, et que le papyrus qu'il avait 
lui-même vu en Egypte ne s'élevait tout au plus que jusqu'à 
7 coudées de hauteur. Je transcrirai ici ses paroles mêmes, qui 
feront mieux connaître la chose : « Ex qua Theophrasti eratione, » 
dit-il, après avoir transcrit la description du papyrus donnée par 
Théophraste, « facile est cujus intelligere, qua ego ratione per- 
« suasus duo in Plinio verba sede non sua jacentia, alio reponenda 
« censuerim, Cum enim in Ægypto peregrinarer et magna cura m 
«omnes ejus regionis stirpes inquirerem, nunquam potui in pa- 
« pyrum incidere cujus thyrsi seu virgæ ad summum septem cubita 
«excederent. Quare cogitare mecum cœpi vel non intellexisse Pli- 
«mum quæ à Theophrasto dicuntur, cujus criminis tantum virum 
«reum agere pudet, vel ei certe transcribentium (incuriane dicam 
* an inscitia)) vim esse factam : hos enim longitudinem decem cu- 
«bitorum radicibus attributam ad scapos hastiliave seu caules im- 
« perite nimis transtulisse mihi persuadeo!. » 

Cependant la forme d’un thyrse que Pline attr Re au papyrus 
d'Égypte me paraît être une chose essentielle pour voir dans sa 
plante le papyrus de Nubie; car c'est précisément comme un thyrse . 

* Guïlandini, op. cit. P- 107. 


SAVANTS ÉTRANGERS. — xl. 62 


490 MÉMOIRE 


que se présente lombelle.de celui-ci, par suite de la disposition 
de ses rayôns, dont les supérieurs où ceux du centre sont un peu 
plus longs que ceux des côtés, comme je lai dit plus haut er dé- 
crivant la plante de Nubie. 

Presque contemporains de Guilandini, vivaient, dans le même 
siècle (le xvr), Césalpin, Prosper Alpin, Lobel,-Matthiole, les 
deux frères Bauhin, qui ont pa rlé du papyrus dans leurs ouvrages. 
Quant à Matthiole, il n'a fait que répéter, dans ses Commentaires 
sur Dioscoride!, la description de Pline, en donnant une figure de 
la plante qu'il a copiée de T'Historia plantarum de Lobel, comme 
l’auteur lui-même le dit. Ces figures, pour la forme de lombelle, 
représentent le vrai papyrus de Nubie; mais nous ne pouvons pas 
assurer qu'il ait eu.en vue cette plante; car il ne l'a pas décrite avec 
des caractères reconnaissables? Césalpin, dans son ouvrage De 
plantis, a décrit sans aucun doute la plante de Sicile, comme on le 
voit, non-seulement par sa description, la première qui en ait été 
donnée par un botaniste, mais encore parce que, suivant son as- 
sertion, cette description a été faite sur la plante cultivée dans 
le jardin botanique de Pise, et qu'il avait reçue des lieux mare- 
cageux de la Sicile. Nous reproduisons ici toute sa description : 
«Papyrus quem vulgo in Sicilia piperum vocant, juncos fert 
«cypero longiores crassioresque, ad quaterna aliquando. cubita 
«“accedentes, angulis obtusis : folia a radice brevia: adulto | junco 
«nulla, in cacumine comam latam, ex numerosis parvis juncis 
« triangulis constantem, in quorum summis flocci sunt rufi, Cypero 
«similes inter foliola terna : radices habet lignosas, crassas, Ha- 
«rundinis modo geniculatas, numerosa sobole in obliquum ten- 
«dentes, odore et sapore Cyperum æmulantes, sed infirmius ; 
« subrufas : ex inferna earum parte :radiculæ multæ descendunt 
« fibrosæ, ex superna autem frequentes junci assurgunt, qui dum 
«tenelli sunt dulci succo constant; venit in hortum Pisanum ex 


Matthioli Opera que extant omnia, hoc est Commentarü in libros VI Pedacu Dios- 
corwodis Anazarbei De medica materia, etc. Editio altera. Basileæ, 1674, p. 138. 
* Lobel, Animadversiones. Londinæ, 1605, p. 38. 


SUR LE PAPYRUS. Ag 
« palustribus Siciiæ!. » La forme de l'ombelle, qu'on dit être large, 
comam latam, et le nombre trois des folioles de chaque. involu- 
celle, foliola terna, sont plus que suffisants pour nous assurer que 
Césalpin a décrit le vrai papyrus sicilien. Quant à ce qu'il a dit 
des tiges, qu'elles-ont une hauteur de 4 coudées, c'est-à-dire de 
presque 6 pieds parisiens, je me permettrai de faire observer que 
Césalpin a décrit la plante cultivée et non spontanée, et qu'il arrive 
bien souvent, dans nos serres ou dans nos orangeries, de ne pas 
voir se développer le papyrus de Sicile dans toute sa magnificence, 
comme il se montre dans son lieu natal. 

D'une autre part, nous trouvons dans Prosper Alpin quelques 
caractères qui peuvent nous engager à considérer le papyrus d'E- 
gypte comme la même espèce que celui de Nubie. Ce botaniste 
italien, qui a séjourné en Egypte pendant trois ans, nous décrit 
le papyrus du Nil en ces mots : « Papyrus quam Berd Ægypti no- 
<minant, est planta fluminis Nili, binis aut pluribus caulibus rec- 
«tissimis supra aquam sex septemve cubitibus assurgens, caulium- 
«que in fastigiis: scapus imnumeris capillamentis, longis rectisque 
« contextus, cernitur. Foliis quaque constat multis, rectis, ensifor- 
«mis, tiphæ aliquatenus similibus, triangularibus ac mollibus?. » 
La direction des rayons de l'ombelle, qu'il dit être rectis, la planche 
qu'il en donne, où tous les rayons sont en effet droits et dressés, 
le nombre des gaines, qu'il dit être multis (car dans ses folis il 
faut*voir des games); me semblent prouver que la plante ÉSYP- 
üenne était la même que celle de Nubie. Et cette opinion, j'ai pu 
la changer en certitude dès que j'ai eu le bonheur de voir, dans 
le riche musée égyptien de Berlin, deux échantillons de papyrus 
qui ont été trouvés par M. Passalacqua dans une catacombe de 
Thèbes. Ces deux échantillons, vus déjà par Kunth*, sont entiers 


* De: plants, Gb. VE Andreæ Cæsalpini Aretini, etc. Florentiæ, 1583. 

* De plantis ægyptis. Venetüs, 1592, p. 43. 

* Voyez ses Recherches sur les plantes trouvées dans les tombeaux égyphens par 
M: Pussalacqua} dans les Annales des sciences naturelles de Paris, vol. VIII, 1826. 


p. 418. 


192 MÉMOIRE 

et très-bien conservés; leur longueur est de presque 6 pieds, et 
les rayons de l'ombelle sont dressés, ce qu'on pourrait du reste 
attribuer à la manière d’arranger ces papyrus; mais il n'y aura 
plus de doute qu'il ne faille rapporter ces échantillons à la plante de 
Nubie, lorsque l'on aura observé les folioles des involucelles, qui 
sont ordinairement au nombre de cinq et plus rarement de quatre. 
Les figures du papyrus, si souvent données par les Égyptiens dans 
leurs sarcophages, leurs monuments, etc., viennent confirmer ce 
fait que j'ai eu le bonheur de découvrir; car elles nous repré- 
sentent toujours cette plante avec les rayons de lombelle dressés, 
de sorte que celle-ci forme une espèce de calice. M. le professeur 
Lepsius, si bien connu par son voyage et ses travaux sur l'Egypte, 
et dont j'ai eu l'honneur de faire-la connaissance personnelle à 
Berlin, me disait qu'il avait déjà noté le manque de correspon- 
dance entre les figures du papyrus représenté par les Egyptiens, 
et la plante que tous les botanistes considéraient comme le vrai 
papyrus, et qu'il était très-satisfait de voir que la plante de Nubie 
expliquait la raison pour laquelle les Égyptiens représentaient le 
papyrus toujours en forme de calice. 

Je ne parlerai pas de ce que Jean Bauhin nous a laissé écrit 
sur le papyrus, parce qu'il dit n'avoir jamais vu cette plante, et 
qu'il se borne à copier principalement les descriptions de Prosper 
Alpin et de Lobel, dont il a aussi copié la figure’. « Cum nobis », 
c’est amsi qu'il commence son histoire du papyrus, « incognita 
«hæc est nec unquam visa, etc. » Je passe aussi sous silence d’au- 
tres botanistes qui ne donnent pas de descriptions originales de 
cette plante. Mais il n’en est pas de mème de G. Bauhin, homme 
d'un talent supérieur, qui forme, avec son frère, une époque dans 
l’histoire de la science, pour avoir le premier réuni sous une même 
plante, comme synonymes, les différents noms donnés à cette 
plante par les auteurs qui l'avaient précédé. C’est à lui que nous 
devons, comme Je l'ai dit plus haut, la distmction des deux espèces 


! Historia plantarum, etc. Auctoribus Joh. Bauhino et Joh. H. Cherlero. Ebro- 
duni, 1651, t. Il, p. 306. 


SUR LE PAPYRUS. 193 
de papyrus, le papyrus syriaca vel siciliana et le papyrus nilotica vel 
ægyptiaca. Quant à celui-ci, 1l ne nous en donne dans son Thea- 
trum botanicum' aucune description; il reproduit seulement celles 
de Pline, de Prosper Alpin, etc., mais il décrit la première, c’est- 
à-dire le papyrus syriaca vel siciliana, de la manière suivante : 
« Radicibus est subrufis, lignosis, crassis, geniculatis, numerosa 
« sobole in obliquum tendentibus, cyperi odore et sapore sed in- 
« firmiore, ex quarum parte inferna multæ radiculæ fibrosæ des- 
«cendunt, ex superna autem frequentes scapi assurgunt, qui dum 
«tenelli sunt dulei succo constant : qui cypero fiunt longiores, 
« crassioresque, sæpe cubitos quatuor excedentes (etsi sex, inter- 
« dum septem dicat Pena), angulis obtusis (triquetris, tomentitia 
«medulla farctis, Pena). Folia adimum brevia cyperi aut spar- 
«gani, adulto scapo nulla : in cacumine coma lata ex numerosis 
« parvisque junceis triangulis constans : in quorum summis flocci 
«rufi, apicibus prominentibus; in se collecti, quorum ortum fo- 
« liola radiatim, ut in cypero, ambiunt?.» Dans'cette description 
de la plante de Sicile, qu’on voit être très-semblable à celle de 
Césalpm, G. Bauhin a négligé le caractère important des trois 
folioles de l'involucelle, qui avait été donné par le célèbre bota- 
niste italien. Il a aussi, comme Guilandini, cru devoir rapporter 
à la plante de Sicile le sari de Théophraste, que nous avons vu 
ne pas pouvoir lui appartenir; et il a enfin copié pour cette plante 
la figure de Lobel, comme l'ont fait tousles botanistes du xvi° siècle. 
I est à regretter que Bauhin n’ait pas donné les différencés des 
deux espèces de papyrus qu'il venait d'établir. Peut-être que cela 
a contribué à les faire confondre ensemble par les botanistes pos- 
térieurs, même après la grande réforme apportée dans la bota- 
nique par le génie de Linné. La cause de cette erreur est due, à 
mon avis, principalement à la rareté de la plante égyptienne, que 
presque aucun botaniste n’a vue, et à la croyance générale que le 


IMP, 323. 
PN333: 


194 MÉMOIRE 


papyrus de Sicile, cultivé dans nos jardins botaniques depuis 
Pépoque de Césalpin!, est le même que celui d'Egypte. 

Il serait long d'exposer ici tout ce qui a été dit sur. le papyrus 
par les botanistes et par ceux qui s'en sont occupés dans ces der- 
mers siècles par rapport au papier des anciens; car généralement 
ils n’ont fait que répéter, sans y apporter beaucoup de jugement, 


tout ce qu'avaient écrit sur ce sujet Théophraste, Pline, ete.; ils 


ont presque tous confondu ensemble les deux espèces, y compris 
le celèbre Ray, qui, dans son papyrus nilotica, a réuni le papyrus 
nilotica:sive ægyptiaca et le papyrus syriaca vel siciliana de G. Bau- 
hin, en disant : «Nos enim non distinguimus”. » Je me bornerai 
donc à rappeler ici les observations particulières des savants qui 
ont contribué à nous donner quelques connaissances nouvelles sur 
les deux espèces de papyrus dont il est question dans ce mémoire. 

Je ne répéterai pas ce que j'ai déjà dit de Boccone à propos 
du papyrus de Sicile : J'ajouterai seulement que, dans son Musée 
de physique*, il à donné une figure de l'ombelle du papyrus sici- 
lien, et qu'une figure de toute. la plante se trouve dans le Pam- 
phyton siculum de Cupani* : ces botanistes adoptèrent tous deux, 
pour la plante de Sicile, le nom que lui avait donné G. Bauhin. 
Dans le siècle passé, Jean Scheuchzer ayant trouvé, dans les 
plantes de son herbier, des rayons du papyrus de Sicile avec les 
épis au sommet, erut y voir une nouvelle espèce de cyperus, qu'il 
a décrite comme telle dans sa célèbre Agrostographie”, quoique 
avec hésitation, sous le nom de cyperus enodis, nudus culmis eva- 
ginis brevibus prodeuntibus spicis tenuioribus, et qu'il a en partie 
représentée dans la figure ‘14 de sa table VIT; mais son contem- 
porain Micheli a déjà fait connaitre que cette plante n'était autre 


! J'ai déjà dit plus haut que Césalpin cultivait dans le jardin botanique de Pise 
le papyrus de Sicile : je ne connais pas d'autre botaniste qui l'ait cultivé en Europe 
avant lui. - 

? Raji, Historia plantarum. Londini, 1693, t. IL, p. 1302. 

* Boccone, Museo di Jisica. Venezia, 1697, bib. VIT sinist. fig. 6. 

* Pamphyton siculum, vol. IE, tab. 158. 

* Scheuchzer, Agrostographia. Tiguri, 1719, p. 387. 


SUR LE PAPYRUS. 495 


chose qu'un rayon de l’ombelle du papyrus sicilien!. Le comte de 
Caylus, aidé pour la partie botanique par le célèbre Bernard de 
Jussieu, présenta à l'Académie royale des inscriptions et belles- 
lettres de Paris une dissertation sur le papyrus que nous trouvons 
imprimée dans les Mémoires de littérature de cette Académie*. 
Dans cette dissertation, l'auteur, après de longs aperçus histô- 
riques, croit « pouvoir conclure que le papyrus de Sicile était à 
peu de chose près bien connu en botanique, et qu'il était à sou- 
haïter qu'on eût autant de connaissances sûres à l'égard du papy- 
rus d'Égypte. » IL déclare « qu'il y a entre ces plantes une grande 
affinité, » mais il ne sait pas mdiquer les caractères qui les dis- 
ünguent, n'ayant pas les moyens de faire connaître la plante d’ É- 
sypte. Il montre que dans le papyrus de Sicile on ne peut pas 
voir le sari de Théophraste, et, se fondant sur le témoignage de 
Strabon, qui dit que le papyrus ne croît que dans l'Égypte et aux 
Indes, il est porté à supposer que ce pourrait bien être la plante 
d'Égypte que le papyrus qui venait d'être découvert par Poivre à 
Madagascar, situé à l'entrée de l'Inde’; mais le vrai Papyr us d'É- 
gypte ne croit pas aux Indes orientales, comme l’a affirmé Strabon., 
et la plante de Madagascar (reconnue plus tard sous le nom de 
papyrus madagascariensis par Wilidenow) n’est pas la même espèce 
que celle d'Egypte. Les figures de l’ombelle du papyrus sicilien 
données par le comte de Caylus ne sont pas exactes, quoique, dans 
son ensemble, l'ombelle, par sa forme, se rapproche de la vérité. 

Nous devons à Bruce, célèbre voyageur anglais du siècle passé, 
la première et la seule figure que nous possédions jusqu'ici du 
papyrus d'Égypte, si l’on en excepte la figure médiocre que nous 


! Micheli, Nova plantarum genera. Florentia, 1729, p. 44. 1 faut observer que 
Micheli a figuré un rayon de l'ombelle du papyrus avec quatre folioles dans l’invo- 
lucelle et avec quatre épis; mais le peu de longueur des premières, par rapport aux 
seconds, montre bien qu'il a voulu figurer la plante de Sicile, quoiqu'il l'ait mal fait. 

? T. XXVI, p. 267: Paris, 1750. 

 P.297 Il est à remarquer que, malgré ce que dit ici Strabon, dans un autre 
passage de son livre il assigne également le lac Trasimène comme habitation au pa- 
pyrus, ce dont j'ai déjà fait mention au commencement de ce mémoire. 


196 MEMOIRE 

en a donnée Prosper Alpin. Dans cette figure, comme dans sa des- 
cription, nous trouvons un long rhizome horizontal, une tige trian- 
gulaire qui se rétrécit vers le sommet, haute tout au plus d’un 
peu plus de 10 pieds (je suppose que ce sont des pieds anglais), 
enveloppée à sa base par de nombreuses gaines sur une longueur 
de plus d’un quart de la longueur totale; l'ombelle présente les 
folioles de l’involucre dréssées, et un grand nombre de rayons 
qui se dressent tous et se courbent d’un seul côté, comme nous 
l'avons vu pour la plante de Nubie. Ges rayons se terminent par 
quatre folioles de même longueur qu'eux, au milieu desquelles 
se trouvent quatre épis!. Bruce, outre qu'il a recueilli le papyrus 
en Syrie, dans le Jourdain, comme nous l'avons déjà dit, a trouvé 
cette plante dans deux endroits de la basse et de la haute Égypte, 
etsur les bords des lacs Tzana et Gooderoo, en Abyssinie?. Quoique 
nous ignorions de quelle localité est la plante qui a servi pour la 
figure qu'il a donnée, il est certain qu'il a décrit et figuré la plante 
que nous croyons ètre le vrai papyrus d'Égypte. 

Après ce qui avait été écrit sur le papyrus de Sicile par le 
comte de Caylus, et sur celui d'Égypte par Bruce, on aurait dü 
s'attendre à ce que Linné, qui vivait à la même époque que ces 
deux auteurs, distinguàt les deux espèces. Il n’en a pas été ainsi: 
Linné les a confondues ensemble dans son Species plantarum sous 
le nom de Cyperus papyrus, comme on le voit d’après les syno- 
nymes qu'il y a rappertés, et pour avoir mis dans les localités la 
Calabre, la Sicile, la Syrie, l'Egypte*; dans son Systema nature, 
il décrit certainement la plante de Sicile, car il lui donne pour 
caractère involucellis triphyllis, quoiqu'il cite l'ouvrage et la figure 
de Bruce‘. 

Rottbôl, dans ses Descriptiones et icones rariorum et pro maxima 
parte novarum plantarum”, qu'on peut considérer comme une espèce 


‘ Bruce, Travels, vol. VIT, p. 129-130; et vol. VIT, tab. 2: 

* Idem, vol. VIT, p. 135 et 119. 

* Linné, Species plantarum, 3° édit. 1764, p. 60. 

* Linné, Systema nature, edit. 13°. Lugduni, 1796, t. Il, p. 155 
Havniæ, 1786, p. 32, n. 42. 


SUR LE PAPYRUS. 197 
de monographie de quelques genres des Cypéracées et des Res- 
tiacées alors connues, décrit, quoique très-incomplétement, le 
papyrus, et il ne manque pas de noter que l'échantillon de son 
herbier présentait des involucelles à quatre folioles, au lieu de 
trois, comme l'avait dit Linné; il se plaint aussi du manque d’une 
description complète et d’une bonne figure d’une plante connue 
depuis une époque si ancienne. Pour tâcher de remplir cette 
lacune, Cyrillo, dans sa Monographie du papyrus, a décrit soi- 
gneusement (excepté pour ce qui regarde les fleurs et le fruit) et 
figuré la plante de Syracuse, qu'il a considérée comme parfaite- 
ment identique avec celle d'Egypte. « Quæ usque adhuc adnotatæ 
« sunt, écrit-il, ostendunt papyrum syracusanam ægypuæ, cujus de- 
« scriptio prostat apud Plinium et Theophrastum simillimam esse. » 
H n'avait qu'à comparer sa description et sa figure avec celle de 
Bruce, qu'il cite, pour voir les différences entre les deux plantes. 
Dans la même erreur sont tombés Willdenow, qui a formé le 
genre Papyrus, que je n’admets pas’, et employé pour le Cyperus 
papyrus de Linné le nom spécifique d’antiquorum*; et Kunth, qui, 
du reste, écrit avoir fait sa description sur un échantillon de 
Sicileï. J'ai consulté les herbiers de ces deux célebres botanistes, 
et Je n’y ai trouvé que des échantillons de la plante provenant de 
Sicile, ou bien cultivée dans le jardin botanique de Berlin. 
M. Presl° et M. Gussone®, dans leurs ouvrages sur les plantes de 
la Sicile; M. Bertoloni, dans sa Flora italica’, ont aussi confondu 
ensemble les deux plantes, comme on le voit par leurs syno- 
nymes, quoiqu'ils aient décrit seulement la plante de Sicile. 

* Dominici Cyrilli Cyperus papyrus. Parma, 1796, p- 10. 


? Voyez, pour les raisons, le second volume de ma flora italiana. 
* Dans les Abhandlungen der kün. Akademie der Wissenschaften in Berlin, 1816, 
P- 70. k 
* Kunth, Enumeratio plantarum. Stutigardüiæ et Tubingæ, t. Il, p. 64. 
; Cyperaceæ et Gramince sicule. Pragæ, 1820, p. 15. 
* Flore siculæ prodromus. Neapoli, 1827, vol. I, p. 45. Supplementum ad Floræ 


siculæ prodromum. Neapoli, 1832, fasciculus primus, p. 11.— flore siculæ Synopsis. 
Neapoli, 1842, vol. I, p. 47. 
? Vol. I, p. 274. 


SAVANTS ÉTRANGERS. — XII, L 63 


198 MÉMOIRE 

D'après tout ce que nous savons maintenant d’une manière cer- 
taime sur les localités du papyrus de Nubie, nous pouvons le con- 
sidérer comme une plante tropicale, qui vit sur les bords des lacs 
et dans les lieux marécageux de la Nubie et de FAbyssinie, entre 
le 7° et le 13° degré de latitude nord, et le 25° et le 35° degré 
de longitude à l'est de Paris. 

Je crois donc devoir reconnaitre les deux espèces de papyrus 
que nous avons décrites sous les noms de Cyperus syriacus pour 
la plante de Syrie et de Sicile, et de Cyperus papyrus pour celle 
de Nubie et d'Abyssinie. J'ai préféré le nom spécifique de syriacus 
pour la première à celui de siculus, par la raison que nous avons 
vu que la plante de Syrie-est la même que celle de Sicile, et 
que celle-ci n’est pas originaire de cette ile. Je retiens pour l'autre 
le nom de Cyperus papyrus, quoique Linné ait confondu ensemble 
les deux espèces, et même décrit plus particulièrement sous ce 
nom la plante sicilienne, afin de conserver à notre plante sa dési- 
gnation propre de papyrus, car c’est en elle, comme nous avons 
tâche de le démontrer, qu'il faut voir le véritable papyrus des an- 
ciens Égyptiens. 


CYPERUS SYRIACUS. Parl. 


C. umbella decomposita, globosa, radiis numerosissimis, tenui- 
bus, longissimis, superioribus erectis, medis sive lateralibus lon- 
gioribus, curvulis, inferioribus brevioribus, dependentibus; invo- 
lucri polyphylli umbella multo brevioris foliolis exterioribus reflexo- 
pendulis, involucelli 3-rard 4-phylli foliohis fHiliformi-linearibus, 
canaliculatis, margine sursum scabriusculis, elongatis, radio sem- 
per multo brevioribus; spiculis anguste linearibus, remotiusculis, 
in spicas 1-3 dispositis; squamis ovatis, obtusis, perigonii squa- 
mulis lineari-lanceolatis, acuminatis, achenio sublongioribus; ache- 
nio oblongo, triquetro, externe convexo-angulato, interne COnCavo, 
apice obtuso, levi (fusco) squamis subdimidio breviore; calamo 


elato (8-16 ped.), apice triquetro, basi obtusangulo, plerumque 


À SUR LE PAPYRUS. 199 
aphyllo, basi tantum vaginato vaginis sub-6 acuminatis, vel folioso 
folüis late lineari-lanceolatis, acutis, carinatis, margine apicem 
versus serrulato-scabris; rhizomate crasso, repente. 

Papyrus quem vulgo in Sicilia piperum vocant. Cæsalp. De 
plant. p. 191 (anno 1583). 

Papyrus syriaca vel siciliana. C. Bauh. Pin. p. 19 (anno 1671), 
excl. syn. Theophrasti et Guilandini, et Theatr. botan. p. 333 
(anno 1658); Boccon. Recherches et observat. natur. p: 205 (anno 
1674). 

Cyperus omnium maximus, papyrus dictus (locustis minimis). 
Monti, Cat. stirp. agr. bonon. prodr. p. 1 4 (anno 1719). Mich. Nov. 
pl. gen. p. 44 (anno 1729) et herb. 

Cyperus papyrus. Linn. Sp. pl. p. 70, quoad pl. sic. Cyril. 
Monogr. p. 5. Presl, Cyp. et gram. sic. p. 15. Guss. FL. sic. prodr. X, 
p. 45. Kunth, Enum. pl. W, p- 64, quo ad pl. sicul. et syriac. et 
herb. Bert. FT. ital. 1, p. 274. Guss. Syn. fl. sic. 1, p. A7, exclus. 
ab. omnib. nonnull. synon. 

Papyrus antiquorum. Willd. /n Abhandl. der kün. Akademie der 
Wissenchaft. in Berlin (anno 1816), p. 70 et herb. 

Papyrus sicula. Parl. /n Hooker's Journal of Botany. June, 1851, 


P. 189. 


ICONES. 


Cyril. Monogr. tab. 1-2. icon. nostra 1°. 

Papyri siculi paniculæ fragmentum. Boccon. Mus. di fisic. 
p- 315, tab. 7 simistr. fig. 3. 

Juba o panicula intiera di papyrus sicula. Boccon. Mus. di fisic. 
p: 315, tab. 7 sinistr. fig. 6 (umbellam tantum, sed non bene 
refert). 

Cyperus maximus, umbellatus, syriacus vel siculus papyrus 
vulgo. Cup. Pamph. sic. IL, tab. 138. Bonan. tab. 13. 

Habitat in Syriæ et Siciliæ aquis haud profundis lenteque fluen- 
tibus, nec non in paludosis non procul a mari Tyrrheno inter 32 

63. 


500 MÉMOIRE 


et 38 gradus latitudinis septentrionalis. Floret ab julio ad sep- 
tembrem. 


CYPERUS PAPYRUS. Parl. 


C. umbella decomposita, erecta, apice subnutante, radis nu- 
merosissimis, longis, ommibus erectis, superioribus sive centralibus 
longioribus; involueri polyphylli umbella multo brevioris foliolis 
exterioribus erecto-patulis, mvolucellis 4-5-6 phyllis, foliolis an- 
guste linearibus, canaliculatis, margine sursum scabris, longis- 
simis, radio longioribus; spiculis. .. squamis... achenio... 
calamo elato {5-6 ped. raro usque ad 10) triquetro, obtusan- 
gulo, tertia parte inferiore vaginis numerosis acuminatis tecto; 
rhizomate crasso, repente. 

Hérupos. Theophr. Hist. plant. hb. IV, cap. 1x. Dioscor. lb. f, 
cap. X. 

Papyrus. Plin. Hist. nat. Lib. XI, cap. xx. 

Papyrus quam Berd Ægypti vocant. Prosp. Alpin. De plant. 
ægypt. p. 43 (anno 1592). 

Papyrus nilotica sive ægyptiaca. C. Bauh. Pin. p. 19 (anno 1671) 
excl. syn. Guiland. 

Cyperus papyrus. Linn. Sp. pl. p. 70, quoad pl. Ægypt. Kunth, 
Enum. pl. W, p. 64, quoad pl. Ægypt. et Abyssin. 

Icones. Bruce, Travels, vol. VIIL, tab. 4-1, icon. nostra 22. 

Habitat in paludosis Nubiæ superioris, prope fluminis Albi 
ripas, sub 7° gradu latitudinis septentrionalis, et Abyssiniæ mter 
9 et 13 gradus ejusdem latitudinis. Olim in quiescentibus Nili 
aquis crescebat. Floret octobni-decembri. 


SUR LE PAPYRUS. 501 


EXPLICATION DES PLANCHES. 


PLANCHE PREMIÈRE. 


PAPYRUS DE SICILE. 


N° 1. Cette figure représente la plante entière extrêmement réduite et croissant 
en toufle, telle qu'on la voit sur les bords d'une branche de la rivière 
Anapo, près de Syracuse. 

. La même plante vue dans des dimensions plus grandes et montrant ses 
racines, une partie de son rhizome, les gaînes, peu nombreuses, qui 
recouvrent la base de ses tiges, une jeune tige, et une tige adulte de la 
hauteur de 12 pieds parisiens, coupée presque au milieu et terminée par 
son ombelle complétement développée. 

3. Un rayon d'ombelle réduit à presque un tiers de sa grandeur naturelle, avec 
ses gaines à sa base, son involucelle et ses épis. 

& Un épillet entier trois fois plus grand que nature. 

. Écaille de la fleur, vue sur sa face externe. 

La même, vue sur sa face interne. 

La même, vue de côté. 

Les deux écailles du périgone, vues sur leur face externe. 

. Partie de la rachiole avec deux de ses dents portant les écailles du périgone, 
e, e. 

10. Partie de la rachioie r, dont la dent inférieure porte l'écaille de la fleur E, 
un peu écartée pour montrer l’écaille du périgone e, soudée avec la ra- 
chiole et avec la partie inférieure du bord de l'écaille de la fleur supé- 
rieure Ë. 

11. Partie de la rachiole r, dont une dent supporte une écaille de la fleur E, un 
peu écartée pour montrer les écailles du périgone e, e, légèrement entor- 
tllées, et leur position relativement à l'achaine a. 

12. Pistil et étamines; o, ovaire; s, style et stigmates; t, étamines. 

13. Achaine vu sur sa face interne. 

14. Le même vu sur sa face externe. 

(Les figures 5 à 14 sont six fois environ plus grandes que nature.) 

15. Diagramme de la fleur. 


12 


cHuguE 


Qt 
© 
12 


MÉMOIRE SUR LE PAPYRUS. 


PLANCHE II. 


PAPYRUS DE NUBIE ET PROBABLEMENT D'ABYSSINIE. 


. Papyrus de Nubie de la hauteur de 6 pieds parisiens, dont l'ombelle n'offre 
pas encore de fleurs. Cette figure a été exactement copiée d'un dessin fait 
sur les lieux par M. Figari, et qu'il a eu la bonté de m'envoyer. 

. Un rayon de l'ombelle de la plante précédente, réduit à un tiers de sa.gran- 
deur naturelle. 

. Papyrus probablement d'Abyssinie. Figure réduite de celle qu'a donnée Bruce 
dans la relation de ses voyages. 

. Rayon de l'ombelle de la plante précédente. 


BE 


PLT. 


Tom. 12. 


cad. des Seiences /Savantr Etrangers] 


Jyrtacus Varl. 


S' 
4 


Cyperu 


AE Zallant sculpsit . 


N Hemond ump : 


Zom. 1/2. PL. I 


LZ 


Cyperus  Papyrur art. 


A Hmond imp AE, Talent seulp : 


MÉMOIRE 


SUR 


L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 


ENVISAGÉ AU POINT DE VUE DE LA PLUS GRANDE STABILITÉ: 


PAR M. YVON VILLARCEAU. 


PREMIÈRE PARTIE 


(PRÉSENTÉE À L’ACADÉMIE DES SCIENCES DANS SA SÉANCE DU 10 NOVEMBRE 1845). 1! 


—_ç— 


1. Les travaux des ingénieurs et des géomètres sur la théorie 
de l'équilibre des voûtes ont eu principalement pour objet, depuis 
Coulomb, l'examen de la stabilité des voütes construites où pro- 
Jetées. Malgré les savantes recherches auxquelles ils se sont livrés, 
les solutions proposées sont encore loin de satisfaire aux exigences 
de l’art de l'ingénieur : elles n’offrent à celui-ci que des moyens 
peu directs et assez incertains pour modifier les constructions à 
l'état de projet, dont elles ont fait connaître le défaut plus ou 
moms prononcé de stabilité: et le plus souvent ce n’est qu'après 
une suite de tâtonnements qu'on parvient à satisfaire aux condi- 
tions d'équilibre indiquées par les méthodes en usage. 

Les solutions dont nous parlons seraient donc principalement 

! Pour le Rapport, voir les Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, 
tome XXIIT, séance du 9 novembre 1846. 

‘ 


504 MÉMOIRE 

utiles dans le cas où les éléments de la construction auraient été 
fixés d’une manière irrévocable; elles serviraient à faire connaître 
si le projet doit être admis ou rejeté. Mais aussitôt que l'on con- 
sent à apporter quelques modifications dans la courbure, soit de 
l'intrados, soit de Pextrados, ou dans les épaisseurs des voussoirs, 
on peut envisager la question sous un autre point de vue, et se 
proposer de déterminer complétement la forme de la voûte, de 
telle sorte qu'il en résulte une construction jouissant de la plus 
grande stabilité possible, et assujettie d’ailleurs à des conditions 
particulières qui sont relatives aux dimensions de l'arche en lar- 
geur et hauteur, à la charge qui doit s'élever au-dessus du plan 
horizontal tangent à l'extrados et à la résistance des matériaux 
employés. Le problème ainsi posé est celui qui se présente ordi- 
nairement dans la pratique. 

Dans une série non encore terminée d'articles publiés dans la 
Revue de l'Architecture et des Travaux publics de M. César Daly, 
nous avons présenté la théorie de l'équilibre des voûtes en ber- 
ceaux cylindriques sous le point de vue qui vient d'être indiqué. 
Parvenu à l'examen du cas particulier des ponts, la nécessité 
d'avoir égard à l'action du massif qui charge la voûte nous a pré- 
sénté quelques difficultés. Nous n'avons pu lever ces difficultés 
qu'en assujettissant l’extrados à une discontinuité théorique, pré- 
sentant, 1l est vrai, peu d'inconvénients dans la pratique, mais 
laissant à l’esprit une impression peu favorable. La solution que 
nous avons donnée dans la Revue de l'Architecture résulte d’une 
condition arbitraire, celle de légalité de pression par unité de 
surface dans tous les joints de la voûte : on peut conserver cette 
solution comme se rattachant à la classification que nous avons 
donnée des questions relatives à l'équilibre des voûtes. Mais rien 
n'oblige absolument à satisfaire en toute rigueur à la condition de 
luniformité des pressions dans les Joints, et l’on peut maintenir la 
continuité de la surface extrados, sans qu'il en résulte une varia- 
tion de pression trop considérable. Ajoutons que notre précédente 
solution n’est pas complète, analytiquement parlant : nous n'avons 

LA 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 505 


effectué que l'une seule des deux intégrations qui doivent con- 
duire à l'équation de la courbe intrados, de sorte que le résultat 
final dépend de tracés ou de quadratures. Abandonnant la condi- 
tion qui avait eu pour conséquence la discontinuité de l’extrados, 
nous avons obtenu, depuis ce premier essai, une solution analy- 
tique complète, edcpeHdeaEns de la solution graphique. Nous 
pensons que le mémoire actuel, qui renferme l'exposé de nos re- 
cherches, ne sera point indigne de fixer l'attention de l'Académie 
des sciences, ‘et offrira d'utiles renseignements aux ingénieurs. 

Nous nous bornons dans ce mémoire à l'examen du cas le plus 
important des arches de pont en berceaux terminés par des plans 
de tête perpendiculaires à l'axe, celui d'une arche chargée d'un 
massif terminé supérieurement par un plan horizontal. 

Les équations finales que nous obtenons ne peuvent être réso- 
lues directement. En laissant de côté le moyen que présenterait 
la construction de tables spéciales pour tirer à vue la valeur des 
inconnues, nous sommes obligé d’avoir recours aux méthodes de 
tâtonnements, telles que celles des fausses positions ou des courbes 
d'erreurs; mais les tätonnements se distinguent ici de ceux que 
nous avons signalés plus haut, en ce que, soit qu’on les effec- 
tue graphiquement ou numériquement, ils correspondent à des 
constructions stables, ce qui n’a pas lieu dans l’autre cas. Cette cir- 
constance permet même de réduire le nombre des essais, attendu 
que si l'un d’eux ne s'éloigne pas trop de satisfaire aux données 
de la question, on peut adopter l'hypothèse sur laquelle il est 
basé, et modifier l'une des données, la demi-ouverture, qui n’est 
jamais détermmée ‘avec une rigoureuse précision, en laltérant de 
quelques centimètres, de manière que les équations de condition 
soient satisfaites. ÿ 

La solution que nous.proposons conduit à des formes de l'in- 
trados différentes des formes généralement usitées, mais dont le 
tracé peut néanmoins » on par les procédés qu'on emploie 
lorsqu'il s’agit d’anses 
aux habitudes des ingénieurs : seulement ; il arrive à ceux-ci de 


e panier. En cela nous nous conformons 


SAVANTS ÉTRANGERS. — XIL. 64 


506 MÉMOIRE 


déterminer les rayons de courbure de manière à donner à l'in- 
trados une forme qui diffère le moins possible de celle d’une 
demi-ellipse, où de n’employer qu'un seul arc de cercle, sans 
qu'aucune raison les porte à préférer ces courbes à d’autres, sinon 
la simplicité de leur construction; tandis que, d’après notre théo- 
rie, les rayons de courbure varient suivant une loi différente de 
celle qui a lieu dans l’ellipse, et dans le cercle où les rayans de 
courbure sont constants. 

Le tracé-de Fintrados, au moyen de ses rayons: de courbure 
que nous pouvons construire géométriquement, nous offre une 
solution du problème. L’exactitude de cette solution ne dépend 
que de celle du trace; et se trouve suffisante dans la plupart 
des cas. 

2, Nous avons cru devoir faire précéder Pexposé de notre théo- 
rie d’une discussion sur l'indétermination du problème des voûtes 
en berceau, indétermimation qui ne peut être levée qu'en ayant 
égard à la compressibilité de la matière des voussoirs; mais la 
théorie de la déformation des corps solides d’une structure ana- 
logue à celle des pierres à bâtir nous a paru trop peu avancée 
pour tenter utilement d’en faire la base d’une théorie de léqui- 
libre des voûtes. Nous avons donc dû diriger nos recherches d’un 
autre côté, en nous proposant d'obtenir des résultats indépen- 
dants, autant que possible, de la compressibilité des matériaux, 
Nous croyons avoir atteint notre but en substituant à la voûte en 
berceau une construction purement idéale, dont on peut soumettre 
toutes les circonstances au calcul, sans craindre d'y rencontrer 
l’indétermination dont nous venons de parler, ét telle, néanmoins, 
qu'en la comparant à la voûte proposée, on puisse ‘aflirmer évi- 
deniment que si la première est en équilibre, il en sera de même 
a forliori de la seconde. Les conditions que lon fixe en envisa- 
geant le problème de cette manière sont confirmées & posteriori 
par üne discussion relative aux effets pgoduits par les surcharges 
accideñtelles. 

La considération des différents modes d'action des matériaux 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 507 


- qui composent le massif, sur les voussoirs, met en évidence une 
autre indétermimation qui se présente à un haut degré près des 
plans de tête, dans les arches dont les parements extérieurs sont 
extradossés en gradins. Pour éviterga difficulté que présente cette 
nouvelle indétermination, nous sommes obligé de substituer à 
Parrangement plus ou moins fortuit des matériaux du massif, une 
autre disposition idéale présentant quelque analogie avec les cons- 
tructions usitées, et qui jouit de la propriété de donner lieu à 
des pressions normales à l’extrados et déterminées. L'action des 
matériaux du massif sur les reins de la voûte provenant de cette 
disposition idéale est la même que si la voûte était chargée d’un 
fluide ayant la densité et la forme du massif. Nous aurions pu, 
comme ‘plusieurs auteurs, partir immédiatement de l'hypothèse 
de la fluidité; mais il nous a paru bon d'indiquer à quel mode 
de disposition répond cette hypothèse que nous adoptons, d’ac- 
cord en cela avec de-savants ingénieurs. 

L'application des équations-de l'équilibre au système idéal dont 
nous nous occupons ne peut se faire sans restrictions : on sait 
que ces équations ne sont satisfaites que lorsque les corps, ‘après 
avoir été comprimés ou distendus, sont parvenus à un état per- 
manent, sous l'influence des forces extérieures. Les résultats que 

nous déduisons de ces équations sont donc uniquement relatifs à 
‘état normal de la voûte après le décintrement, et la question de 
l'inflexion reste entière : on observera toutefois que nous fournis- 
sons les moyens de l’aborder, en déterminant la forme finale de 
la voûte. Quoique nous ne traitions point cette question in extenso, 
nous indiquons cependant les causes qui peuvent produire lin- 
Jlexion, et les moyens d'en éviter les principales. Nous sommes 
porté à croire que si les pieds-droits sont mébranlables et les 
joints de la voûte trés-fins, une construction réalisée suivant nos 
principes ne donnera lieu qu'à une dimmution de flèche si petite, 
qu’on pourra presque ne pas s’en préoccuper. , 

* Sous les restrictions qui précèdent, nous avons mis le problème 
en équation, et ramené les principales difficultés analytiques à l’in- 
64. 


508 MÉMOIRE 


tégration de l'équation différentielle de la courbe intrados. Cette 
équation contient un radical recouvrant un polynôme du quatrième 
degré; et son intégration, qui dépend des fonctions elliptiques, 
exige, comme on le sait, la décomposition du polynôme en ses 
facteurs du premier degré, ou la résolution d’une équation du 
quatrième. L'expression algébrique des racines est ici nécessaire 
pour conserver à la question toute sa: généralité; nous avons pu 
l'obtenir par la réduction de ces racines en séries ordonnées sui- 
vant les puissances des épaisseurs, en bornant là, comme dans 
tous nos calculs, approximation aux termes du second ordre, ce 
qui suffit parfaitement. À l'aide de développements analogues, 
nous avons réussi à éviter l’emploi des fonctions elliptiques de 
troisième espèce, et obtenu une intégrale qui se simplifie nota- 
blement dans le cas assez ordinaire où la voüte et le massif peu- 
vent être considérés comme ayant la même densité. La faible 
charge des voütes de pont au-dessus de la clef rend le module 
peu différent de l'unité, de sorte que lon peut suppléer aisément 
aux tables de fonctions elliptiques. Enfin, nous présentons deux 
vérifications analytiques qui, jointes à des confirmations d’une 
autre nature, ne nous permettent-pas d’avoir le moindre doute 
sur l'exactitude de nos développements. 

Nous limitons l'usage de l'équation de courbe intrados à la 
détermination de l’inconnue principale, regardant le calcul des 
différences finies comme plus praticable lorsqu'il s’agit de calculer 
une suite de coordonnées de divers points d’une courbe : la mé- 
thode que nous indiquons à ce sujet fait tout dépendre de lex- 
pression du rayon de courbure, et nous affranchit du besoim de 
recourir aux fonctions elliptiques pour effectuer ces calculs. 

Les constantes introduites par l'intégration sont au nombre de 
trois. Ce sont : 1° la hauteur de la charge qui s'élève au-dessus de 
la clef; 2° l'épaisseur àsla clef; 3° une ligne égale à la hauteur 
d'une colonne de la matière des voussoirs dont le poids produi- 
rait sur une base horizontale la pression qui a lieu dans le vous- 
soir de clef. En supposant donnée la première de ces constantes, 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 509 
l'une des deux autres reste arbitraire dans les arches du genre de 
celles en arc de cercle, où la direction du joint des'naissances n’est 
point fixée. Si l’on prend pour la troisième constante une valeur 
mdiquée par la résistance des matériaux, l'épaisseur à la clef en 
résulte. Dans les arches en anse de panier, où le-joint inférieur est 
sensiblement horizontal, les deux dernières constantes sont néces- 
sairement déterminées; mais il peut se faire que leurs valeurs 
données par le calcul répondent à des pressions auxquelles les 
voussoirs soient incapables de résister, ou tellement faibles, qu'il 
en résulterait un emploi peu économique des matériaux : il de- 
vient alors nécessaire de modifier les données dans un sens que 
nous indiquons suivant le cas. Il est d’ailleurs convenable de se 
ménager la possibilité de faire varier les données dans de certaines 
limites, afm de pouvoir, au besoim, tenir compte de l'effet des 
surcharges accidentelles. 

L’épaisseur à la clef est l'inconnue à la détermination de laquelle 
se ramène la solution du problème des arches de pont, et, en 
l'absence de tables, on n’en peut obtenir la valeur que par des 
approximations successives. Nous donnons, dans chaque cas, des 
valeurs approchées qui diffèrent assez peu des valeurs exactes de 
linconnue dont il s’agit, pour servir utilement de point de départ 
dans les calculs d’approximations successives. 

L'importante question de la poussée contre les culées, dont la 
solution sert de base aux calculs relatifs à l'établissement de ces 
dernières, est résolue au moyen de nos formules, dès qué la dé- 
termination de l'épaisseur à la clef est effectuée. 

Nous, terminons la première partie de notre mémoire en pré- 
sentant le résultat de eomparaisons entre des arches établies sui- 
vant nos principes et des arches en arc de cercle ayant mème épais- 
seur aux naissances. Ces dernières offrent moins de convexité vers 
les reins; et la différence des deux intrados parait assez petite 
pour qu'on soit tenté d'adopter l'arc de cercle, à cause de la faci- 
lité qu'il offre dans la construction. On tomberait néanmoins dans 
une grave erreur en admettant cette conséquence : en effet, nous 


SON 114 MÉMOIRE 

faisons voir, dans le cas de Parc de cercle, qu’à l'endroit où celui- 
ci s'écarte le plus de l'intrados construit suivant notre théorie, la 
résultante des pressions dans les joints peut se rapprocher de l'ex- 
trados, jusqu'à n’en être plus distante que d’une quantité égale 
au tiers de l'épaisseur des voussoirs : cela donne lieu, vers l’ex- 
trados, à des pressions par unité de surface, doubles de celles qui 
ont lieu dans l’autre arche, tandis que la pression vers lintrados 
décroît jusqu'à devenir nulle. Il est facile d'en conclure que les 
voussoirs devront, dans te cas, présenter une résistance double 
de celle qu'exigerait l'application de notre théorie. Les intrados 
des arches en anse de panier diffèrent aussi de nos courbes par 
une moindre convexité vers les reins, et donnent lieu à des re- 
marques analogues aux précédentes. 

La convexité vers les reins dans les arches de pont présente 
des avantages dont il est bon de profiter : car, outre la plus grande 
facilité qui en résulte pour l'écoulement des eaux, elle offre-un 
aspect agréable et un caractère de hardiesse que lon aime à ren- 
contrer dans les constructions de ce genre. 


INDÉTERMINATION DU PROBLÈME DE L'ÉQUILIBRE DES VOÛTES EN BERCEAU. 


3. On est dans l'habitude, lorsqu'il s’agit d'appliquer les prin- 
cipes de la statique, de considérer les corps comme absolument 
durs et incompressibles, et il est exact de dire, comme l'a fait 
remarquer M. Poncelet, que lorsque les corps compressibles où 
extensibles sont parvenus à un état permanent, sous l'influence 
de forces extérieures, l'action de ces forces est la même que si 
ces corps étaient vraiment invariables de forme. Nous raisonnerons 
dans cette hypothèse, afin de n'employer que les principes les 
plus simples de la statique. 

Considérons done une porüon de voûte comprise entre deux 
plans de joint quelconques, etsupposons connue l’action, sur cette 
voûte, de la portion du massif de maçonnerie qui agit sur elle, 
ainsi que, le poids même de cette portion de voûte; nous dési- 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 511 
gnerons par R la résultante de ces deux forces, qui en général ne 
se réduiront point à un couple. Les autres forces extérieures qui 
sollicitent la voûte sont les pressions ou réactions qui s’exercent 
sur chacun des plans de joint extrêmes; soient T et T'les résultantes 
de ces forces. La vote étant en berceau, et les plans de tête per- 
pendiculaires à l'axe, l'action des forces reste la même dans deux 
tranches d’égale épaisseur, déterminées par.des sections paral- 
lèles aux plans de tête; nous pouvons dès lors considérer l’équi- 
libre d’une tranche infiniment petite, ou simplement appliquer le 
principe relatif à léquilibre d’un corps sollicité par trois forces 
situées dañs un même plan, principe qui consiste en ce que la 
résultante, de deux des forces est égale et opposée à la troisième. 
Prenons donc un point quelconque r, sur la direction de R; puis, 
par ce point, menons deux droites qui rencontrent les surfaces des 
joints extrêmes en deux points { et l, et décomposons R suivant 
ces directions : les composantes de R pourront théoriquement être 
regardées comme égales et opposées aux réactions inconnues T 
et T”, d’après le principe énoncé. Si lon réduit, en effet, les sur- 
faces de contact aux seuls points { et {, et que l’on ait égard à 
l'hypothèse relative à la dureté parfaite, en supposant d’ailléurs 
les points { et {’ susceptibles de réagir dans tous les sens, les 
réactions T et 1’ deviendront effectivement égales et opposées 
aux composantes de R obtenues ci-dessus. 

En réalité, pour que les forces égales et opposées à ces com- 
posantes puissent être regardées comme donnant l'expression des 
réactions T et T’, il faudra, 1° que leur point de concours r, situé 
sur R, soit tellement choisi qu’elles ne deviennent point. des forces 
de traction, à moins qu’on ne veuille avoir égard à l'adhésion des 
mortiers (le maximum de leur intensité dépendrait alors de cette 
adhésion); 2° Les directions des composantes devront faire, avec les 
normales aux surfaces de joint, des angles inférieurs à l'angle du 
frottement, et dans le cas où l’on aurait égard à la cohésion des 
mortiers, ces angles devront rester plus petits que le plus grand 
des deux angles de frottement et de cohésion; 3° enfin, les points 


512 MÉMOIRE 

Let fl ne devront point être assez voisins de l’intrados ou de l'ex- 
trados, eu égard à l'intensité de T et T', pour que les voussoirs 
se brisent vers ces parties. Les -intensités T et T' se trouveront 
limitées par la considération de l'étendue hypothétique des sur- 
faces de contact et de la position des points { et l'; il faudra 
que T et T' rentrent dans les limites qui en résulteront. 

Malgré ces restrictions, qui limitent l'étendue dans laquelle les 
points r, { et peuvent être pris arbitrairement sur la direction 
de R.et les surfaces extrêmes, le problème qui consiste à déter- 
miner T et T' reste susceptible d’une infinité de solutions. (On a 
coutume de limiter encore les solutions en partageant la voûte 
en deux parties symétriques au moyen d'un plan vertical mené 
par l'axe et le sommet; et par motif de symétrie on admet 
que la réaction T qui a lieu au sommet est horizontale.) Toute- 
fois, quel que soit le système de valeurs que lon admette pour 
T et T’, ces valeurs une fois fixées, les résultantes des réactions 
dans tous les plans de joints compris entre les extrêmes se trou- 
vent déterminées; on les construit graphiquement avec la plus 
grande facilité. En effet, considérant le premier voussoir à parür 
du ‘sommet, on compose l'action de la charge qui le sollicite, 
avec son propre poids, puis la réaction T qui a lieu au sommet de 
la voûte, avec la résultante des premières forces; la résultante des 
trois forces est égale et opposée à la réaction du deuxième vous- 
soir sur le premier, et par conséquent égale à la réaction du pre- 
mier sur le deuxième, et de même sens que cette réaction résul- 
tante. On obtient ainsi de proche en proche toutes les réactions 
intermédiaires, et la dernière, obtenue par le même procédé, 
doit, si l’on opère bien, coïncider avec celle T° faisant partie du 
système de valeurs T et T' d'où l’on est parti. Les réactions inter- 
médiaires sont assujetties, quant à leurs intensités; directions et 
points d'application, aux mêmes conditions que ci-dessus, pour 
que l'équilibre puisse avoir lieu; et ce n’est que lorsqu'on a trouvé 
un système de valeurs de T et T' tel que toutes les autres réac- 
tions qui en résultent satisfassent à ces conditions, que l’on est 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 513 
fondé à regarder l'équilibre de la voute comme pouvant être 
stable. Ordinairement, quand on à trouvé une-solution, il est 
rare qu'on n'en trouve pas une infinité d’autres comprises entre 
des limites plus ou moins resserrées, mais 1l est impossible de 
prévoir laquelle de ces solutions se réalisera, où même si l’équi- 
libre aura lieu, sans introduire dans le calcul la considération de 
la compressibilité de la matière des voussoirs. Or, avons-nous 
dit, la théorie de la déformation des corps solides tels que les 
pierres à bâtir, est trop peu avancée pour que lon puisse en faire 
la base d’une théorie de léquilibre des voûtes. C’est ce qui nous 
a mis dans la nécessité de substituer à une voûte proposée la 
construction idéale dont il a été question au n° 2, et qui va être 
décrite dans un instant. Rappelons cependant que le mode d’ac- 
tion sur les voussoirs, du massif qui charge la vote, doit offrir - 
un nouveau genre d'indétermination dont nous aurons à nous 
débarrasser en procédant d’une manière analogue ; mais.pour ne 
point compliquer inutilement les discussions, nous supposerons 
d'abord que laction de la charge s'exerce normalement à l'extra- 
dos des voussoirs, sauf à ramener ensuite à ce cas celui dont 
nous nous occupons actuellement. 


ÉQUATIONS DE L'ÉQUILIBRE D'UNE VOÛTE EN BERCEAU SOUMISE À L'ACTION 
DE FORCES AGISSANT NORMALEMENT À L’EXTRADOS. 


L. Considérons une portion de 

voûte comprise, d’une part, entre ne 
deux plans parallèles aux plans %, 
des têtes, et distants d’une quan- ls ee 
tité quelconque À, qu'on pourra, & 
si lon veut, supposer égale à Le 
l'unité linéaire ou même infini- RS 

ment petite, et, d'autre part, ter- = 
minée par deux plans perpendi- : op) 
culaires à l’extrados. F 


SAVANTS ÉTRANGERS. — XII, 65 


514 MÉMOIRE 

Supposons la voüte ‘divisée en voussoirs infiniment petits, par 
des plans de jomt normaux à l’extrados. De cette division résul- 
tera la possibilité d’assigner la position du centre de gravité de 
chaque voussoir élémentaire : nous nommerons courbe des centres 
de gravilé la courbe passant par tous ces centres. 

Prenons sur chacune des normales un point voisin de lintrados 
situé à une distance du centre de gravité correspondant, égale à 
celle qui sépare l’extrados de ce même centre; nous obtiendrons 
une nouvelle courbe que nous appellerons, pour abréger, intrados 
fictif. 

Imaginons maintenant que, sans 
altérer en rien le poids des vous- 
soirs élémentaires, la position de 
leur centre de gravité et l'action 
des forces normales à lextrados, 
on les déforme de manière à ré 


duire la surface de contact de 
deux voussoirs voisins, à l'étendue 
de lélément superficiel corres- 
pondant aux arêtes ou génératrices qui ont leurs pieds sur la 
courbe des centres de gravité. Faisons, de plus, abstraction des frot- 
tements des voussoirs et de la résistance qu'oppose l'adhésion des 
mortiers à leur glissement les uns sur les autres. 

IL'est évident que si l'équilibre peut exister dans un système 
établi suivant ces hypothèses, il existera a fortiori dans un sys- 
éme où des séries de voussoirs infiniment petits seront changées 
en voussoirs de dimensions finies, et lorsqu'on remplacera le con- 
tact de deux arêtes par celui des surfaces de joint comprises entre 
l'extrados et lintrados fictif, c'est-à-dire lorsque la presque totalité 
de la surface de chaque joint sera rétablie, de manière à donner lieu 
aux frottements, et à pouvoir mettre en Jeu l'adhésion des mor- 
tiers, suivant le besoim; le rôle de ces forces étant de s'opposer 
au glissement quand il tend à sé produire. Nous dirons plus; c'est 
que ces dernières forces ne se développeront pas, tant du moms 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 515 


que la voûte restera soumise aux seules forces qu'on aura fait 
entrer dans les équations de son équilibre : en effet, puisque 
l'équilibre est supposé devoir. exister sans l'intervention des frot- 
tements et adhésions, il n'y aura aucune tendance au mouvement 
dans un sens déterminé pour quelque voussoir que ce soit, et 
comme le frottement ne prend naissance que par suite de cette 
tendances il est clair qu’il ne se produira aucun frottement; il en 
sera de même des effets de l'adhésion des mortiers. Ces forces 
ne se développant point dans notre voûte à son état normal, il 
est inutile, comme on le voit d’ailleurs assez clairement, de les 
faire entrer dans les équations de son équilibre. 

Pour compléter la transformation de la construction idéale en 
la construction réelle proposée, 1l eût fallu rétablir le contact des 
voussoirs dans toute l'étendue comprise entre l’extrados et l'in- 
trados, tandis que nous l'avons étendu seulement à l'espace com- 
pris entre la première de ces courbes et l'intrados fictif, comme 
cela aurait lieu si l’on pratiquait dans les joints un refouillement 
d'une profondeur égale à la très-petite distance qui sépare l’in- 
trados fictif de l'intrados réel, distance qui n'attemdra jamais 
qu'un petit nombre de centimètres. Nous allons donner la raison 
de la nécessité qu'il en soit ainsi, du moins théoriquement. Dans 
la construction idéale, la résultante des pressions dans les Joints 
passe par l’arête de contact située sur la courbe des centres de gra- 
vité, où bien par le milieu du joint limité, comme nous venons 
de le dire dans la construction réelle; et l’on peut admettre qu'a- 
près le rétablissement du contact des surfaces planes de joint, la 
pression se distribuera uniformément sur ces surfaces, de même 
qu'on admet en pratique que les pressions se distribuent unifor- 
mément sur les surfaces quand les résultantes passent par leurs 
centres de gravité. C’est sur cette hypothèse que l'on s'appuie pour 
déduire des expériences connues les coefficients de résistance à 
Técrasement. On sera d'autant mieux fondé à admettre l'égalité 
de la répartition des pressions, qu'on pourra la faciliter par l'in- 
troduction dans les joints d'une mince couche de ciment très-fin. 

c 65. 


516 MÉMOIRE 


Si nous avions étendu la surface de joint jusqu'à l'intrados réel, 
la compressibilité de la matière des voussoirs eût pu avoir pour 
effet de déplacer la résultante des pressions, en tendant à la ra- 
mener vers le milieu du nouveau joint, et nous eussions eu à 
considérer le lieu géométrique de son point d'application aux 
divers voussoirs; l'introduction des coordonnées de.cette courbe 
dans les équations du problème les compliquerait beaucoup plus 
que ne le fera la considération de l'intrados fictif qui, dans tous 
les calculs, exclura l'intrados réel. Pour nous, moyennant les con- 
ventions précédentes, les courbes des centres de gravité et des ré- 
sultantes des pressions se confondront en une seule et même courbe. 
Quant à la condition relative au refouillement des joints, pour 
que ces courbes se confondent théoriquement, on pourra juger, 
d'après le faible mtervalle qui sépare les intrados réel et fietif, 
du peu d'importance qu'il y aurait à sy conformer pratiquement, 
dans le plus grand nombre des cas. Si l'on s'abstient d'effectuer 
ce refouillement, il n'en pourra résulter qu'une faible variation 
de la pression par unité de surface dans Pétendue de chaque joint. 

Enfin, disons que la résultante des pressions étant assujettie à 
passer par les centres de gravité, c'est-à-dire très-près du milieu 
de l'épaisseur des voussoirs, et à être normale aux plans de joint, 
gré de stabilité. En 
effet, quand la voûte sera soumise accidentellement à des charges 


la voute acquerra par cela même un grand de 


auxquelles on n'aura pomt eu égard en fixant les conditions de 
son établissement, l’action de celles-ci sera, tant que l'équilibre 
pourra subsister, de déplacer le point d'application et la direction 
de la résultante des pressions en faisant varier lintensité de cette 
dernière. Or, pour que le point d'application de la résultante 
puisse se déplacer dans un sens ou dans l'autre, sans trop se rap- 
procher de Fintrados ou de lextrados, il est évident qu'il doit 
coincider avec le point milieu de l'épaisseur lorsque les surcharges 
dont il s’agit n’ont pas lieu, c’est-à-dire lorsque la voute est sou- 
mise à l'action des seules forces qu'on a fait entrer dans le calcul 
qui a servi de base à sa construction. D'un autre côté, la direction 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 517 


de la résultante des pressions devant pouvoir s’écarter de celle 
qui répond à l'absence des surcharges accidentelles, sans cepen- 
dant faire avec la normale aux plans de joint un angle qui atteigne 
le plus grand des deux angles du frottement et de la cohésion, il 
est également évident que la résultante des pressions doit être nor- 
male aux plans de jomt dans l’état ordinaire de la voûte. Or l'é- 
quation (d) du numéro suivant exprime précisément la même 
condition à laquelle 1l nous sera facile de satisfaire. Il résulte de 
ces considérations que le système dont nous nous occupons jouira 
d’une très-grande stabilité, ainsi que nous l'avons annoncé plus 
haut. Nous aurions presque pu nous dispenser de les présenter 
ici, tant elles sont évidentes : nous ferons seulement observer qu'en 
nous fondant sur ces considerations, il nous eût été facile d'éviter 
la substitution d’un système idéal à la réalité; mais 11 nous a 
semblé bon de présenter nos idées dans l'ordre où elles se sont 
produites. 

Quant à la stabilité au point de vue de l'effet de surcharges 
accidentelles considérables; pour la constater sûrement, il resterait 
à s'assurer que, sous l'influence de ces surcharges, la résultante 
des pressions ne peut nulle part se rapprocher de Fintrados ou 
de lextrados d’une quantité inférieure au tiers de l'épaisseur des 
voussoirs; que la pression maximum par unité de surface n'excé- 
dera pas la charge que peuvent supporter les matériaux sans in- 
convénient; enfm, que la direction de la résultante ne s’écartera 
de la normale aux plañs de jomt, que de quantités mférieures aux 
angles .de frottement et de cohésion. 

5. Ceci posé, avant de former les équations de l'équilibre du 
système idéal décrit ci-dessus, nous devons rappeler ce que nous 
avons dit, n° 3, relativement à l'application aux corps compres- 
sibles, des équations d'équilibre établies pour des corps de forme 
-mvariable, et faire remarquer que les conséquences auxquelles nous 
pourrons être conduit, s’appliqueront seulement à la voûte par- 
venue à son état permanent. Si nous déterminons la forme que 
doit conserver la voûte dans cet état, nous ne serons pas dispensé 


518 MÉMOIRE 


pour cela de rechercher la forme qu'on doit lui donner pendant 
qu'elle repose surses cintres, forme qui soit telle, qu'après le décin- 
trement elle se change en celle qui répond à létat permanent. 
En un mot, la question de l'inflexion de la voüle restera tout en- 
tière; mais nous aurons fourni le moyen de laborder en déter- 
minant une donnée indispensable de la question, la forme finale 
de la voûte : n'ayant point l'intention de la traiter ic1, nous nous 
contenterons d'indiquer les causes qui peuvent contribuer à pro- 
duire l'inflexion et les moyens d'éviter les principales. 

Une des causes de linflexion des voûtes est dans la diminution 
de longueur de l'arc de la voute, mesuré dans le sens de l'extra- 
dos ou dans celui de lintrados, d’où résulte une diminution de 
la flèche ou un surbaissement : cette diminution de longueur de 
la voûte provient de la compression qu'éprouvent ses parties, et 
souvent de celle du mortier dans les joints; 1l importerait done 
de diminuer l'épaisseur de ceux-ci, et d'employer, pour les rem- 
phr, des mortiers ou ciments qui se solidifient promptement ou 
avant que les effets de la compression puissent devenir sensibles. 
Disons que les constructeurs habiles se sont rendu compte de ces 
eflets, et qu'ils emploient, pour les prévenir, les moyens dont il 
est question ici. Mais une autre cause de linflexion ou du sur- 
baissement, à laquelle on ne paraît pas avoir beaucoup fait atten- 
tion, provient de l'habitude où l'on est d'opérer le décintrement 
avant d’avoir achevé le massif ou tout au moins chargé les reins: 
or les formes d’arches généralement adoptées ne s'éloignent pas 
beaucoup de celles que notre théorie assigne aux voütes char- 
gées; si donc ces formes conviennent à l'équilibre sous l'influence 
de la charge, elles ne conviennent plus en labsence de cette 
charge, et la voûte, abandonnée à elle-mème lors du décintre- 
ment, doit se déformer en se surbaissant, ce qui arrive effecti- 
vement. On éviterait la plus grande partie de cet effet, en n'o- 
pérant le décintrement qu'après la construction entière du massif. 
Il pourrait bien se produire encore une inflexion, mais elle serait 


1 ! 


générale, et la déformation beaucoup moindre que dans le cas 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 519 
contraire, où la clef s’abaisse, tandis que les reims se relèvent; le 
surbaissement final se trouverait donc considérablement diminue, 
il ne proviendrait plus alors que du resserrement des Joints et de 
la compression des voussoirs. 

Maintenant, désignons par : 


1 

a’, y les coordonnées d’un point quelconque de lextrados, 
rapportées à des axes OX et OY, l’un horizontal, l’autre vertical. 
et parallèles aux plans des têtes; 

a l'angle de la tangente en ce point avec l'axe des x: 

æ, y les coordonnées du point de la courbe des centres de gravité 
situé sur la normale à l’extrados menée par le point (+’, y}: 

æ', y’ les coordonnées du point de Pintrados fictif situé sur la 
mème normale : 


520 MÉMOIRE 

ds', ds et ds” les éléments de chacune des trois courbes précé- 
dentes, compris entre la normale à l'extrados et une autre nor- 
male menée par le point mfmiment voism, dont 4° da’, y + dy! 
sont les coordonnées; 

e l'épaisseur de la voûte au point (x', y), c’est-à-dire la partie 
de la normale comprise entre lextrados et l’intrados réel; 

e l'épaisseur fictive, ou la partie de la normale comprise entre 
l'extrados et l'intrados fictif; 

5 la distance qui sépare le milieu de l'épaisseur réelle du vous- 
soir de la position de son centre de gravité, de sorte qu'on ait la 


D— 


p,petl p" les rayons de courbure des trois courbes en leurs 


1 
— €: 


2 


. L 
relation - € 
2 


points situés sur la même normale; 

dP le poids du voussoir mfmiment petit, compris entre les deux 
normales infiniment voisines: 

& le poids de l'unité de volume de la matière des voussoirs: 

N' la pression normale exercée sur lextrados, par unité ‘de 
surface, au point (x', y’); 

T la résultante des pressions exercées perpendiculairement au 
premier joint de la partie de voüte considérée, par les parties 
extérieures de la construction; 

T, la résultante des pressions exercées perpendiculairement au 
dernier plan de joint, par la voüte elle-même, sur les parties de 
la construction avec lesquelles elle est en contact : à cause de la 
réaction égale et contraire à l'action, T, exprimera en même temps 
l'intensité de la réaction reçue par le dernier voussoir; le sens de 
cette réaction sera contraire à celui de T,,; 

tet , les pressions par unité de surface correspondantes à T 
et T,; 2 

u la hauteur variable d’une colonne prismatique de la matière 
des voussoirs, dont le poids produirait, sur une base horizontale, 
la pression { par unité de surface, d’où &u — t; 

d la hauteur de la colonne correspondante à {,, de sorte que 
l'on ait ou, —t;; 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 521 

ï le rapport dela. densité des matériaux qui composent la 
charge de la voûte à celle des voussoirs, de sorte que le poids 
de l'unité de volume des premiers soit i&. 

Les forces extérieures à l'arc de voûte sont : 

1° La pression résultante T qui agit en un point (x, y) de la 
courbe des centres de gravité, perpendiculairement à la normale à 
l'extrados ou parallèlement à la tangente à cette courbe, c’est- 
à-dire en faisant l'angle a avec l'axe de x; ses composantes sui- 
vant X et YŸ, sont respectivement T cosaæ, et T sinæ. 

2° La pression T, agissant à l’autre extrémité de l'arc de voute 
en un point (x,, y.) de la courbe des centres de gravité, suivant 
une direction opposée à celle de la tangente à l’extrados, ou fai- 
sant avec l'axe des x l'angle 1 80° + à,; de telle sorte que ses 
composantes suivant X et Y, sont — T, cosa, et — T, sina,. 

3° Les divers poids dP des voussoirs, dont les points d'appli- 
cation appartiennent à la courbe des centres de gravité : leurs 
composantes suivant X et YŸ, sont zéro et dP. 

4° La pression exercée normalement sur chacun des VOuUSsSOirs 
élémentaires avec l'intensité N’ par unité de surface. Or, la pro- 
fondeur de la voûte parallèlement à l'axe étant À, la surface élé- 
mentaire de l’extrados est Xds’, d’où résulte N'Xds’ pour la valeur 
de l'action exercée sur un voussoir élémentaire. On la supposera 
dirigée vers le centre de courbure, (S'il en était autrement, comme 
cela pourrait avoir lieu, dans le cas d’arches complétement sub- 
mergées ou destinées à recouvrir des conduites souterraines, le 
signe de N' se trouverait changé.) Les coordonnées des points 
d'application de cette force sont celles +’ et y de lextrados. On 
obtiendra ses composantes, en observant que la normale fait avec 
l'axe des x, l'angle 90° + æ, et avec l'axe des y l'angle a, dont 
les cosinus sont respectivement — sinx et+-cosæ; les composantes 
de cette force sont donc: 


suivart X, — N'Àds sin — — N'Ady'; 
suivant Y, —- N'Àds cosa == + N'dx’. 


SAVANTS ÉTRANGERS. — XII. 66 


599 MÉMOIRE 


Si nous appliquons maintenant à la portion d'arc de voüte les 
six équations d'équilibre d’un corps solide qui doivent également 
être satisfaites dans le cas d'un système de corps solides, nous 
remarquerons que toutes les forces agissant dans des plans paral- 
lèles, la somme des projections de ces forces sur un axe perpen- 
diculaire à ces plans est nécessairement nulle. L'une des équa- 
tions dite de translation est ainsi naturellement satisfaite. Si, pour 
plus de simplicité, on suppose À infiniment petit, ce qui ré- 
duit toutes les forces à être situées dans un même plan, celui 
des x y, les directions des forces coupant les deux axes ou bien 
leur étant parallèles, les moments de rotation autour de ces axes 
seront nécessairement nuls, et deux des équations dites de ro- 
tation seront également satisfaites : en sorte qu'il suflit d'écrire 
les équations qui expriment que les sommes des projections des 
forces sur les axes X et Y sont nulles, et celle exprimant que la 
somme des moments de ces forces autour d’un troisième axe per- 
pendiculaire au plan des deux premiers, est également nulle, 

Ces équations sont 


— T, cosa, + T cosa — fN'Ady — 0, 
— T, sina, + T sma + fN'Adx + fdP — 0, 


— , T, cosa, + y T cosa — fN'Ay'dy 
+ x, sine, -—1lsme — fN'Xx' da! k* [ædP 


Nous passerons facilement aux équations relatives à l'équilibre 
d'un voussoir élémentaire en réduisant dans les équations (a) les 
différences 4, — &, à la différentielle dæ, x, — x, et y, — y à dx 
et dy; les intégrales contenues dans les mêmes équations se ré- 
duiront à un de leurs éléments, et les différences de deux termes 
composés de même en &, æ, y, T, et a, x, De n se réduiront aux 
différentielles de ces termes. De cette manière, és équations diffé- 
rentielles du problème seront 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 523 

— AT cosæ — N'Àdy — 0, ; 

—_ d.T sina + N'Àdx' + dP — 0; ÿ 

—d.yT cosa+-d.xT sinæ—N'À (y dy +x'dx) — xdP —o. (c) 


Nous allons changer la forme des deux premiers termes de la 
dernière de ces équations, en effectuant comme il suit les diffé- 
rentiations indiquées : 


d.yT cosa — yd.T cosæ + T cosa dy, 
d.xT sina — xd.T sina + T sina dx. 


Au moyen de ces relations, et en observant que l'on a cosæ 
t 1 


d A d cp a 

sind — LE nous pourrons mettre l'équation {c) sous la 
ds ds £ 

forme 


— yd.T cosa + x d.T sma — T (Œ dy — = da) 
— N'À(y dy + x'dx) — xdP — o. 


Or nous pouvons simplifier cette équation au moyen des équa- 
tions (b); multiplions la première de celles-ci par y et la deuxième 
par +, puis retranchons, il viendra 


— y d.Tcosa +xd.T sinx — N’A (ydy + xdx') —xdP — o. 


De cette équation et de la précédente on déduit 
dx’ dy’ p ; ; , 
T e dy —T dx) HNAT(y —y)dy He —2) da] — 0; 


mais comme les points (x, y) et (x', y) sont situés sur la même 
normale à l'extrados, les coordonnées x et y satisfont à l'équation 
de cette normale, qui peut se mettre sous la forme 


(y — y) dy +(a > 2) de —0, 


24 MÉMOIRE 


a 


et l'équation dont nous nous occupons se réduit à 


dæx' dy rs 2 
ad — 5 dx — 0, (d) 


en supprimant le facteur T, qui ne peut être nul : on en tire 


dy xD dy 


dx dx” 

Ainsi l’équation (c) indique que la tangente à la courbe des centres 
de gravité doit être parallèle à la tangente à l'extrados. 

Exprimons analytiquement la condition fournie par l'équation (d): 
pour cela nous observerons que les différences des coordonnées 
des points de l’extrados et de la courbe des centres de gravité situés 
sur la même normale, ne sont autre chose que les projections sur 
les directions de ces coordonnées, de la distance - e qui sépare 
le centre de gravité de l’extrados; nous aurons donc les relations 


= —e sin, 

ri +e cos 4; 

d'où, en différentiant, ; 
InUrEe Le cosa da —:sinx de, 
dy = dy — =e sina dæ += cosade. 

Mettant ces valeurs de dx et dÿy dans l'équation (d), celle-ci devient 


dx! And 
}da es (cosa + sina æ) de = 0. 
2 


ds 


1 


dy Ô 
he (cosa + — sin 
ds 


/ 
7 


> 


dx’ 
ds! 


Or le facteur de da se réduit à zéro, et celui de de à +, à cause 
dy’ s dx’ : ; 

de qe = Sin, et — — COSA; il en résulte 
Œs Œs 


de — 0, 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 525 


ou, en intégrant 


e — constante. 


Telle est la condition exprimée finalement par l'équation des mo- 
ments!'; nous en déduirons immédiatement une relation entre 
l'épaisseur variable £ et la quantité 9 qui sépare le point milieu 
de l'épaisseur du voussoir de son centre de gravité; cette relation 
indiquée plus haut est 


1 1 
et 
2 2 


d'où 


BE") (e) 


équation qui fixera la valeur de e quand celle de 9 aura été dé- 
terminée, et dans laquelle il est bien entendu que e désigne dé- 
sormais une constante. 

Les équations du problème se trouvent actuellement réduites 
au système des équations (b) et (e). Toutefois, dans le but de 
simplifier lintégration des premières, nous allons former avec 
celles-ci un système de deux nouvelles équations propres à les 
remplacer, et que nous emploierons par la suite avec les équa- 
tions (b). Écrivons ces équations sous la forme 


d.T cosæ — — N'À sina ds' 


d.T sina — + N'À cosa ds’ + dP. 


* I eût été facile d'établir & priori cette condition, en observant que les plans 
de joint sont normaux à l'extrados, et que la courbe des centres de gravité est per- 
pendiculaire aux plans de joint, ce qui établit le parallélisme de.cette courbe et de 
l'extrados, et entraîne comme condition la constance de la quantité Le. De cette 
manière, les quatre forces qui sollicitent le voussoir élémentaire passent par un 
même point, le centre de gravité, et l'équation des moments est naturellement 
satisfaite. L'on eût pu ainsi poser immédiatement les équations (b) sans passer par 
les équations (a). Mais il nous a paru convenable de suivre, autant que possible, 
une méthode uniforme. 


5926 MÉMOIRE 

Multiplions, d'une part, la première par cosæ, la deuxième 
par sinæ, et ajoutons; puis, d'autre part, multiplions la première 
par sinæ et la deuxième par cosæ, et retranchons : nous aurons 


cosa d.T cosa +- sina d.T sina — sina dP, 


cosa d.T sm — sinæ d.T cosa —= cosa dP +- N'Xds': 
la différentiation donne d’ailleurs 


d.T cosa — cosa dT — T sina dæ, 


d.T sina— sinx dT + T cosa da. 


Pour former avec ces valeurs celles des premiers membres des 
équations précédentes, il suffit de multiplier la première par cosæ, 
la deuxième par sim, et d'ajouter; puis ensuite de multiplier la 
première par sm, la deuxième par cosæ, et de retrancher; on 
obtient ainsi immédiatiement 


dT — sin dP, 


T da — cosa dP —+- N'Àds!. () 


Telles sont les combinaisons que nous nous proposions d’ob- 
tenir. On pourrait former immédiatement ces équations en éga- 
lant à zéro les sommes des projections des forces qui sollicitent 
un voussoir, sur deux axes, l’un tangent à l’extrados, l'autre normal 
à cette courbe. Il faudrait seulement faire attention à ce que, si 
l'on prend pour lun des axes la normale menée par l'une des 
extrémités de l'élément ds', la projection de T sur la partie de 
cet axe dirigée vers le centre de courbure est nulle, et la projec- 
tion de la force (T + d'T) sur la mème partie s'obtient en mul- 
tipliant par cos(g0° + da) où — sinda; la composante a dès 
lors pour expression — Tdx, en négligeant les infiniment petits 
des ordres supérieurs. Les autres composantes s'obtiendraient 
sans difficulté. 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 527 


6. Nous allons maintenant nous occuper de déterminer la po- 
sition des centres de gravité et le poids d’un voussoir élémentaire. 


Considérons le voussoir compris entre deux plans normaux 
infiniment voisins, faisant entre eux l'angle da des deux tangentes 
consécutives : décomposons la surface base du voussoir en tranches 
infiniment minces au moyen d’arcs de cercle de rayons variables r, 
décrits du centre «de courbure; soit dr la largeur d’une de ces 
tranches, sa surface sera rda dr, et, si nous prenons les moments 
par rapport à une droite située dans le plan de la base, et pas- 
sant par le centre de courbure, le moment élémentaire de la 
tranche aura pour expression r'da dr. En se rappelant que £' 
désigne le rayon de courbure de l'extrados, on aura, pour ex- 
pression de la somme des moments élémentaires 


da [° DUT — 


te 


[p°—-(p— e)] da, 


or 


ou en réduisant, 
; G e° 
SDS Se) vicr 
p p' ai . 
Soit d’une autre part dS la surface base du voussoir élémentaire, 
son expression est 


dS = fr rdr=—=|[p" — (p°—-e)] da — ep (: — =) da; 


PTE 


5928 MÉMOIRE 
celle de la distance du centre de gravité au centre de courbure 
. L . . 
est d’ailleurs p° — (: EE DE il s'ensuit que le moment de la 
2 
surface est 
ep (1 =) (p— 1e +5) da 
P 2p" P 2 : 
Egalant maintenant la somme des moments au moment de la 
somme, on aura, en supprimant les facteurs communs, 
E 1 €? 1be 1 e e] 
1—i+is=(i—!i) iii + Si), 
p 2 p 2 p e 
on en tirera ensuite, en développant, réduisant et résolvant, la 
valeur suivante, 


CASE P 7 
a ro cel 


2p 


(") Pour ceux des lecteurs qui connaîtraient nos articles sur les voütes insérés 
dans la Revue de l'Architecture, nous allons montrer que l'expression de à donnée 
dans le premier article s'accorde exactement avec celle que nous venons de trou- 
ver, malgré la différence de forme que présentent les deux expressions. 

La valeur de à obtenue dans ce Recueil a été tirée de l'équation 


1 
ne et nee 
qui donne ° 
Ce au gad u 70 
d'ou 
ETES 
12 
d— " 
p—è 


Or la courbe des centres de gravité n'était point assujettie à être parallèle à l'ex- 
trados. Si nous joignons cette condition qui revient à 


1 
p—=p+-e— à, 
2 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 529 


La quantité Le étant toujours une petite fraction, on est en droit 
q 1 P 


de développer le deuxième membre de l'équation précédente, sui- 
vant les puissances de cette quantité, ce qui donne 


mais, par la suite, nous nous contenterons d’avoir égard aux 

termes du premier et du deuxième ordre de petitesse, en regardant 
€ È crasl ù 

le rapport — comme étant du Premier, ce qui réduira la valeur 
P 


à 
de — à 


1 


P 


è 1 
On NS (g) 
L2 
et nous dirons que cette quantité est du deuxième ordre. 


Quant au poids du voussoir, son expression sera 


dP— AIS — ep" (1 — ) da, 
ou bien | 
dP — we (: a =) ds. 
2p 
Cette expression et la précédente (g) ont lieu indépendamment 
de toute condition tirée des équations de l'équilibre ; nous allons 


d'ou 
1 
Ce Co à 
2 


l'expression précédente deviendra 


Or cette relation est identique avec celle que nous venons d’oblenir dans le 
mémoire actuel. 


SAVANTS ÉTRANGERS. — XIf. 67 


530 | MÉMOIRE 

les combiner avec léquation (e), de manière à en déduire de 
nouvelles valeurs qui satisfassent à cette équation. Substituons 
dans l'équation (g) la valeur (e) de s bornée à son premier terme, 
puisque nous négligeons les termes d'ordre supérieur au deuxième: 
il viendra d’abord 

=; (h) 


Ô) 1 
6 2 p 


puis ensuite, mettant cette valeur dans l'équation (e), on aura 
1e . 
= (: —|- ES — }: (1) 


Pour former avec cette valeur celle de dP, on peut remplacer 
par e le qui entre dans la parenthèse du deuxième membre, 
car cette parenthèse étant multipliée par e en dehors, il n’en ré- 
sultera qu'une erreur du troisième ordre : on aura ainsi 


… ds'; 


dP —= we (: —- ; =) (: —— £ 


p 


© [| » 


puis, en effectuant le produit des parenthèses, et y négligeant les 
termes du deuxième ordre, de manière à ne négliger finalement 


que ceux du troisième, 


dP—#wÀc (: me : #1) ds. (J) 


6 dP s 
Maintenant, les valeurs de e et de 7 ne se trouvent dépendre 
S 


que du rayon de courbure. 

Il reste à substituer cette valeur de dP dans les équations (b) 
et (f); nous allons le faire, et en même temps y remplacer la 
résultante T par son expression kegaæ, dans laquelle Xe est l’éten- 
due de la surface du joint, et p la hauteur du prisme*dont le 
poids produirait la pression T sur la surface Xe, si elle était hori- 
zontale, Disons, en passant, que l'usage de la hauteur g est ici le 
même que celui des hauteurs manométriques dans la mécanique 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 531 
des fluides; il à, comme ces dérnières, l'avantage de rendre plus 
saisissable. pour l'esprit l'intensité des pressions, que tel ou tel 
nombre de kilogrammes par mètre carré : 1l sert, d'un'autre côte, 
à mettre en évidence l'homogénéité des différents termes des 
équations, de telle sorte qu'il n'y entre plus que des lignes et des 
rapports numériques. Ces considérations nous ont décidé à rem- 
placer partout les pressions par unité de surface, au moyen des 
hauteurs qui les représentent; les premières, que nous avons dé- 
signées par {, sont d’ailleurs liées à celles-ci par la relation 


(= Gp. (4) 
Nous écrirons donc 
— heu, dT med. 


Ces valeurs et celle (7) de dP étant portées dans les équa- 
üions (b) et (f), on aura, en divisant ensuite par æÀe, 


d.p cos — — _ dy’, 


me 


à N’ Fi 1 ; 
d.u sna = + — dx + hi—;3<) ds’, 
p 


| 


du ep sing ds’, 


€ 1 N' , 
uda — HRe) cosa ds + + ds. 


Des deux premières de ces équations ne peuvent être imtégrées 
sans que l'on se donne lexpression de la variable N'en fonction 
de l'une des coordonnées; les deux dernières, au contraire, quoi- 
qu’elles n’en soient que des combinaisons, conduisent facilement 
aux valeurs de p et du rayon de courbure p', quel que soit N°. 


En effet, à cause de smads = dy'et ne — da, on peut mettre 
la troisième équation (/) sous la forme 
du dy — : e sing da; 


67. 


532 MÉMOIRE 

or cette équation s'intègre immédiatement, et si lon désigne par 
u, et h les valeurs de p et y qui ont lieu pour 4 — 0, on aura, 
en intégrant à partir de ces limites, 


Rnb Mr aié (LE, c0se). (m) 


D'autre part, substituons la valeur de y ürée de cette équation, 


dans la dernière équation (/) divisée par dæ, et observons que 


ds" 
—— = p', NOUS aurons 
da 


Bo + ÿ h —e(i cosa) == (p— je) cosa + — pis 


ürant ensuite la valeur de p’, il viendra 


/ 1 . 
BY FREE (1 — 2 cosa) 


États Soir Gi si d ! (n) 


— + € COS4 
Co] 


Les équations (m) et (n) sont équivalentes aux deux premières 
équations (/), et pour pouvoir faire usage des unes et des autres, 
il devient indispensable de préciser la valeur de N° en fonction 
des coordonnées; c’est ce que nous allons essayer de faire en exa- 
minant les diverses manières dont les charges que supporte la 
voûte peuvent agir sur les voussoirs. 


INDÉTERMINATION DE L'ACTION DES CHARGES SUR LES REINS DES VOÛTES 
DANS LES ARCHES DE PONT. 


7. Nous ne nous occuperons point dans ce mémoire des arches 
dans lesquelles les plans de joint s'étendent jusqu’au plan horizontal 
tangent à l’extrados. Dans les autres cas, on distinguera l'action 
exercée sur la voûte par la construction en assises horizontales qui 
forme les parements extérieurs, et celle que produit la masse, plus 
où moins irrégulièrement disposée, des matériaux qui remplissent 
l'espace intermédiaire. 

La disposition irrégulière des matériaux d’un massif formé par 
un blocage de maçonnerie ou composé de parties semi-fluides, 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 533 


tel qu'un massif de terre ou de béton, rend tout à fait impossible 
la détermination de leur action sur la voûte. Tout ce que l’on 
pourrait faire de mieux à cet égard serait de recourir au calcul 
des probabilités pour de Les le mode d'action le plus probable 
de cette partie du massif. 

Nous allons voir que la disposition presque régulière de la 
construction par assises horizontales présente autant de difficultés. 

La répartition de la charge sur les différents voussoirs dépend, 
dans ce cas, de la pose des assises horizontales dont les extré- 
mités s'appuient sur les reins de la voûte, et des tassements qui se 
produisent pendant la construction et après le décintrement. Les 
effets qui se produisent pendant la pose, et le tassement, dépen- 
dent essentiellement du soin qu’apportent les ouvriers pendant la 
construction, et de la nature des matériaux employés : de là nait 
limpossibilité de tenir compte, dans le calcul, de circonstances si 
variables et si difficiles à apprécier. C’est à cette variation que 
tient l'indétermination des actions exercées par les assises hori- 
zontales sur les voussoirs des plans de tête. Pour bien nous rendre 
compte des effets de la pose des assises horizontales, il nous suf- 
fira d'examiner les cas extrèmes qu'elle peut présenter. 

Le plus souvent, dans les constructions de voûtes chargées, les 
voussoirs des plans de tête ne se terminent point vers l'extrados 
par une surface cylindrique ayant cette courbe pour directrice, 
mais bien par deux surfaces planes, l’une horizontale et passant 
par l’arête supérieure du voussoir, l’autre verticale et passant par 
larête inférieure située sur l’extrados. Au moyen de cette dispo- 
sition en gradins, on met de niveau les faces horizontales des vous- 
soirs avec celles des assises de maçonnerie qui forment les pare- 
ments extérieurs de la voûte. Ë 

Nous examinerons diverses circonstances de la pose des as- 
sises, dans cette disposition par rapport aux voussoirs. Il est 
facile de voir que les faces verticales des assises peuvent être plus 
où moins serrées, et même que la face verticale de contact d’une 
assise avec le voussoir peut ne supporter aucune pression, SOit 


534 MÉMOIRE 

pendant la pose, soit après que le tassement a été produit; cela 
dépendra principalement de la pose de l'assise considérée et de 
celle des assises voisines. Il pourra donc-y avoir un plus où moins 
grand nombre de voussoirs dont les tÿes ne recevront des assises 


adjacentes aucune pression horizontale; de même que pour d’autres 
voussoirs, ces pressions pourront aussi être plus ou moins con- 
sidérables. D'un autre côté, la pression verticale qu'une pierre 
appartenant à une assise exercera sur la face horizontale de la tête 
du voussoir correspondant à l’assise inférieure, dépendra de plu- 
sieurs circonstances, telles que l’exécution plus ou moins parfaite 
des surfaces de joint, et la longueur de la partie de la pierre con- 
sidérée engagée entre les assises supérieure et inférieure, du côté 
opposé à la tête du voussoir : on conçoit encore une exécution 
ou une pose assez imparfaites, pour que quelques-unes des faces 
horizontales de joint communes à l'assise et au voussoir inférieur 
ne supportent aucune pression; de même aussi, il pourra arriver 
que ces pressions soient très-grandes, comme dans le cas où la 
“pierre dont il s’agit aurait une plus grande épaisseur vers la tète 
du voussoir que vers le côté opposé!. Il est permis encore de se 


! Ayant bien saisi ces particularités, on s’expliquera aisément les ruptures que 
présentent parfois les voussoirs dans une direction perpendiculaire à celle des plans 
de joint, et vers le tiers ou la moitié de leur longueur à partir de l'intrados. 
Lorsque les résultantes des pressions sur les plans de joint des voussoirs passent 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 535 


représenter un cas dans lequel les pressions horizontales et verti- 
cales transmises par les assises à la tête du voussoir seraient nulles 
en même temps : ce serait celui où le système des assises hori- 
zontales se tiendrait de lui-même en équilibre, comme dans les 
constructions égyptiennes; la voüte serait simplement touchée, 
sans être pressée par ces assises, et ne serait d'aucune utilité dans 
la, construction, de telle sorte qu'on pourrait la supprimer, et 
qu’elle devrait se tenir en équilibre d'elle-même si l'on voulait la 
conserver. 

De ce qui précède, il faut conclure qu'il est impossible d’assi- 
gner aucune valeur déterminée aux composantes horizontale et 
verticale de l’action exercée par les parties du massif sur chaque 
voussoir; il est donc également impossible de les soumettre à 
aucun calcul précis. Nous serons obligé, pour lever la difficulté 
qui résulte de cette indétermination, de procéder à l'égard du 
massif comme nous l'avons fait pour la voûte; nous lui substitue- 
rons une disposition idéale donnant lieu à des pressions normales 
déterminées : il y aura ensuite à examiner sil est convenable de 
passer, sans modifier le jeu des forces, du système idéal dont il 
s’agit, à telle disposition des matériaux que l'on se proposera de 
réaliser. 


près de l'intrados, les joints s'ouvrent vers l'extrados, d'une quantité plus ou moins 
appréciable à l'œil. Le voussoir est alors dans le cas d’un solide encastré vers l'une 
de ses extrémités, et sollicilé à l'autre par une force non dirigée dans le sens de sa 
longueur. Cette force est ici la résultante des pressions horizontales el verticales 
exercées par les assises contiguës ; il y a possibilité de rupture dès que cette résul- 
tante prend une direction oblique par rapport à la longueur du voussoir. La rup- 
ture tend à se produire le plus près possible de da section d'encastrement'ou de la 
courbe de la résultante des pressions ; et elle y est facilitée, non-seulement parce 
que le moment de la force qui produit la rupture va en croissant vers ce point, 
tandis que le moment des résistances à la rupture décroît avec la section du vous- 
soir, mais encore parce que la pression totale exercée par les voussoirs adjacents se 
trouve concentrée: dans, le voisinage de cette section, et qu'il en résulte en°ces 
points une désagrégation de la matière du voussoir, qui n'attend pour se manifester 
que le concours d'une nouvelle force. Ces considérations indiquent l'importance 
qu'il peut y avoir à assurer la direction normale de l'action de la charge sur les 
voussoirs. 


536 MÉMOIRE 


DISPOSITION DE LA CHARGE EXTÉRIEURE D'UNE ARCHE, DONNANT LIEU 
À DES PRESSIONS NORMALES DÉTERMINEES. 


8. Dans le but d'abreger les descriptions, disons comment on 
5 1 

pourra passer de la disposition en gradins dont il a été question 

dans le numéro précédent, à la disposition idéale que nous nous 

proposons d'étudier. Supposons d’abord, dans la première, la 
ivision de la voûte en voussoirs effectuée au moyen ‘de plans 

d le 1 t to ffect yen ‘de pl 

normaux infmiment rapprochés : les deux faces de la tête de chaque 


voussoir qui déterminent les gradins seront mfimiment étroites; 
imaginons actuellement qu’on sépare le corps et la tête des vous- 
soirs suivant la surface extrados, c’est-à-dire suivant la surface qui 
passe par les arêtes extérieures des plans de joint normaux; on 
aura isolé de chaque voussoir un prisme triangulaire ayant pour 
base un triangle rectangle de côtés infmiment petits, et dont l'hy- 
poténuse répond à la face de contact de ce prisme et du vous- 
soir, Substituons enfin aux assises horizontales de la disposition 
ci-dessus, une série de prismes verticaux ayant pour bases les 
faces horizontales des prismes triangulaires que nous venons de 
définir, et limités, dans le sens vertical, par un même plan hori- 
zontal dont le niveau ne soit pas inférieur à celui du point le plus 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 537 


élevé de l’extrados. On obtiendra de cette manière une disposition 
dans laquelle chaque voussoir se trouve accompagné d’un prisme 
triangulaire et d’un prisme quadrangulaire, et telle que les actions 
exercées par le massif sur les voussoirs seront normales à l’extra- 
dos et déterminées. 

En effet, dans le système que nous examinons, la force qu’un 
voussoir reçoit du massif est la pression normale exercée par la 
face du prisme triangulaire par laquelle il est en contact avec lui, 
en faisant toutefois abstraction du frottement; mais on pourrait 
dire que cette force ne se développe pas, si l’on admettait que la 
face hypoténuse et la face verticale du prisme triangulaire fussent 
en contact parfait au moment de la pose, l’une avec le voussoir, 
l'autre avec le prisme quadrangulaire adjacent; du moins, il n’au- 
rait lieu qu’en vertu de la compressibilité de la matière du prisme, 
qui lui permettrait de descendre un tant soit peu sous l'influence 
du poids du prisme superposé et du glissement occasionné par 
l'inflexion de la voûte. Nous négligerons donc ici le frottement, ce 
qui revient à supposer normale l’action du prisme sur le voussoir. 
Déterminons maintenant l'intensité de cette action; pour cela, nous 
aurons à considérer l'équilibre du prisme triangulaire. 

Afin de simplifier les notations, nous placerons l'axe des x dans 
le plan horizontal qui limite les prismes quadrangulaires à leur 
partie supérieure. 

Les forces que reçoit le prisme triangulaire sont au nombre de 
quatre : ce sont les trois pressions exercées perpendiculairement 
sur ses trois faces longitudinales, et le poids de ce prisme; nous 
devons faire abstraction de ce poids, qui est une force infiniment 
petite du deuxième ordre à cause des deux dimensions infiniment 
petites du prisme, et ne doit point, pour cette raison, figurer dans 
des équations entre les autres forces qui sont infiniment petites 
du premier ordre. 

Soit ds’ le côté hypoténuse de la-base du prisme triangulaire, 
les côtés horizontal et vertical de cette base seront dx’ et dy; les 
étendues superficielles des faces correspondantes seront respecti- 


SAVANTS ÉTRANGERS. — XII. ’ 68 


2e 


538 MÉMOIRE 

vement Ads, Adx' et Ady'. N' désignant comme ci-dessus linten- 
sité de la pression normale par unité de surface, l'intensité de la 
pression exercée par le voussoir sur le prisme sera N'Ads!, et 
comme cette force est dirigée du centre de courbure vers lex- 
trados, ses composantes horizontale et verticale seront N'Ads'smaæ 
et — N'Ads’ cos «. 

Soit H’ la pression horizontale par unité de surface exercée par 
le prisme triangulaire sur la partie adjacente du massif, et que, 
réciproquement, celle-ci exerce sur la face verticale du précédent; 
la force exercée contre le prisme par la partie adjacente du massif 
sera H'Ady', et dirigée vers les x négatifs, la convexité de l’élé- 
ment ds’ étant supposée du côté des x positifs. 

Enfin, la face horizontale du prisme triangulaire reçoit une 
force verticale qui n’est autre chose que le poids du prisme qua- 
drangulaire correspondant, où i&y dx’, en désignant par à le 
rapport de la densité du massif à celle de la voûte, de sorte que 
is représente le poids de l'unité de volume du massif, ainsi que 
nous Pavons dit plus haut. 

Egalons à zéro les sommes des projections horizontales et verti- 
cales des forces qui sollicitent le prisme triangulaire ; nous aurons 


N'Ads’ sinx — H'Ady — 0; — N'Ads cosa + iæy dx = 0, 


ou bien 
NÉSITRANE— im y; 
ou encore 
N = = 707 (0) 


La pression normale N' par unité de surface se trouve aimsi 
déterminée; et de ce que cette pression et la pression H' ont pour 
valeur commune la quantité imy, on en conclut que le mode de 
disposition des matériaux du massif dont nous nous occupons ici, 
donne lieu à la même distribution des pressions, que si le massif 
était un liquide de densité correspondante au poids iæ de l'unité 
de volume. 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 539 


Nous aurions pu, comme plusieurs auteurs, partir immédia- 
tement de l'hypothèse de la fluidité; mais il nous a paru bon 
d'indiquer à quel mode de disposition répond cette hypothèse 
que nous allons adopter dans ce qui va suivre. Nous signalerons 
à ce sujet la tendance d’un bon nombre d'ingénieurs à remplacer 
généralement la disposition en gradins des parements extérieurs 
par celle résultant d’un extrados continu , avec assises horizontales 
coupées obliquement en leur intersection avec l’extrados. Cette 
disposition de l'appareil des têtes peut donner lieu à des pressions 
normales, mais leurs intensiiés restent indéterminées; il ne fau- 
drait que séparer les prismes triangulaires, des assises horizontales, 
pour diminuer notablement l'indétermination et se rapprocher de 
notre disposition idéale : si lon avait à redouter la rupture de ces 
prismes en leurs angles aigus, on pourrait les construire d'une 
matière plus résistante, et même, dans certains cas, les rattacher 
aux pierres supérieures, c'est-à-dire les faire alors de la même 
pièce que celles-ci. 

On dira peut-être que, si l'on applique aux appareils consistant en 
assises horizontales et voussoirs en gradins les formules relatives 
à l'équilibre du système formé de prismes disposés verticalement 
et reposant sur des prismes triangulaires détachés des voussoirs, 
ou celles relatives à l'hypothèse de la fluidité des matières du 
massif, on ne courra aucun risque relativement à la stabilité de 
la construction proposée, puisque celle-ci donne lieu à des liai- 
sons résultant du croisement des pierres des assises horizontales, 
que ne présente pas la disposition du massif en prismes verticaux, 
et que, d’autre part, le passage de l’état fluide à l’état solide éta- 
blit des liaisons favorables à la stabilité, et sur lesquelles on n’a 
pas compté. Nous n’invoquerons point ces raisonnements, qui sont 
plus spécieux qu'exacts, attendu que les liaisons établies dans la 
construction ont pour résultat précisément d’empécher les charges 
de se répartir sur les reins de voûte, comme elles le feraient si 
ces liaisons manquaient absolument, ou dans le cas de la fluidité. 

Nous avons indiqué, dans la note du n° 7, la nécessité d’assu- 

68. 


540 MÉMOIRE 

rer la direction normale des pressions exercées par le massif; nous 
croyons donc ne pouvoir mieux faire, et sur ce point nous sommes 
d'accord avec de savants ingénieurs, qu’en adoptant l'hypothèse de 
la fluidité, et en engageant les constructeurs à se conformer, dans 
l'appareillage des parements extérieurs, aux conséquences de cette 
hypothèse, par l'adoption de dispositions propres à la réaliser, 
ou à en choisir qui se rapprochent le plus possible de celle que 


nous avons décrite, et que nous allons soumettre au calcul. 


APPLICATION DES FORMULES DE L'ÉQUILIBRE AU CAS OÙ LES PRESSIONS NORMALES 
EXTÉRIEURES AUX VOUSSOIRS SONT PROPORTIONNELLES À LA HAUTEUR DE LA 
CHARGE QUI S'ÉLÈVE AU-DESSUS DE CEUX-CI. 


9. Nous partirons de la valeur de N' obtenue dans le numéro 
précédent, et qui donne 


En substituant cette valeur dans les deux premières équations (l), 
on à 


d.u cosæ — — = dy", 
du sina — + 7 dx + Gi — = = ds’. 
Quant à l'équation (m), elle reste la même, 
B—Wb—= y — h — : e (1— cosa), 
et l'équation (n) devient 


1 
Re AE rm (1 — 2 cosx) 


HS Les (p) 


1Y —- € cos « 


Cette expression du rayon de courbure de l'extrados offre un 
moyen très-simple de construire cette courbe : nous reviendrons 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 541 


plus tard sur ce sujet. Nous allons maintenant nous occuper de 
l'intégration des équations différentielles ci-dessus, ou mieux de 
la première d’entre elles, comme plus simple, ce qui suffira, 
puisque la valeur de y résulte d’une intégration effectuée pré- 
cédemment. 

On obtient immédiatement, en intégrant la première de ces 
équations, à partir des limites g,, 1 et h relatives à w, cos et y’, 


\ pe — pu cosa — = (y? — à); 


pour éliminer p, multiplions par cosæ l'équation qui donne la 
valeur de 4 —- y, et ajoutons membre à membre avec celle-ci, il 
viendra 


be (1—cos &)—(y —h)cosa— 5 e(1— cosæ)cosæ en (y®—#). (q) 


En exprimant dans cette équation cosa en fonction de tango 


ly' : 0 b nr 5 
dont la valeur est T on aurait l'équation différentielle de la 
À +] 


courbe extrados, qui semble présenter, pour l'intégration, plus de 
facilité que l'équation différentielle de lintrados; mais il convient 
mieux d'obtenir l'équation de l'intrados!, et dans ce but nous ne 
nous laisserons point arrêter par des difficultés qui sont plutôt 
apparentes que réelles. 

Pour passer de l’équation (q) à celle relative à lintrados, il 
suffit de remplacer y’ par sa valeur en fonction de y”; en effet, cos 
conserve la même valeur pour les points des trois courbes situés 
sur une même normale à l’extrados, ces courbes étant parallèles 
en vertu de la constance de + e. Or les coordonnées y’ et y” ne 
différent que d’une quantité égale à la projection verticale de e; 
on a donc 


Y—=7Y —e cosa: 


* Nous voulons parler ici de l'intrados fictif, que nous désignerons simplement 
par la dénomination d'intrados, à moins que nous ne prévenions du contraire. 


542 MÉMOIRE 


nous déduirons de cette équation la valeur initiale de y”, en fai- 
sant à la fois y — hk et à — 0; soit h" cette valeur de y”, il vient 


RARE"; (r) 


équation qui, combinée avec la précédente par voie d'addition et 
de soustraction, donne 


Y+h=y + h —e (1 + cosa), 
y —h=7y —h+e(i—cosa); 


multipliant celles-ci membre à membre, il vient 


fa 


V— = y" — h3— 2e (y" cosæ — h") — e* (1 — cos'a); 


substituant, enfin, cette valeur et la précédente dans l'équation (q), 
nous aurons 


bo (1 — cos) — (y" — h”) cosa + : e(1— cosa) cosæ 


L (4 /2 Q (4 " 
oies (y? — h?) — i(y" cosæ — h") — = (1 — cos'æ). 

C'est ici le lieu de remarquer que si l’on considère la quan- 
tité e comme étant du premier ordre de petitesse par rapport aux 
rayons de courbure, ou aux coordonnées que l’on suppose de même 
ordre, la quantité y, est du premier ordre de grandeur par rap- 
port à ces dernières : en effet, le deuxième membre de cette 
équation ne contient que deux termes ayant e en dénominateur, et 
qui sont pour cela du premier ordre de grandeur, réunis sous la 


L . 
forme — (y? — #"*:); la différence de ces termes reste en général 
2e 


d’un ordre de grandeur supérieur à celui des coordonnées, puisque 
le facteur de cette différence y’ — k" est en général d’un ordre 
de grandeur plus élevé que e : il faut donc que le deuxième 
membre, et par suite le premier, soient du premier ordre de 
grandeur, généralement. On observera que si, vers le sommet de 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 543 
l'intrados, y" — }" devient très-petit et même nul, le facteur 
1— cosa devient nul en même temps, et l’ordre de y, reste in- 
déterminé vers le sommet, d’après l'équation précédente; mais l’ex- 
pression (p) de p' montre que le produit de e par g, est constam- 
ment égal au produit de quantités de l’ordre des coordonnées. 
Nous sommes donc autorisé à regarder 4, comme étant du pre- 
mier ordre de grandeur. 

Posons, pour abréger et simplifier les discussions, 


: 2€p. 


q == 5 (s) 
la quantité q sera, d’après ce qui vient d’être dit, de l’ordre de 
q q À P q 
grandeur des coordonnées et des rayons de courbure. Multiplions 
. . LI 2e . . 
l'équation ci-dessus par — ou par sa valeur —, il viendra 
Bo iq 
Y°— he 


U " he° 
HièbEe J mm h") cosæ ie 


(1 — cosa) cosæ 


° 
2e 


— F (y" cosa — h") — = (1 — cos’a). 


Cette équation est du deuxième degré par rapport à cosæ; mais 
observons que cos’x n’affecte que des termes du deuxième ordre, 
de sorte que si, comme nous sommes convenu de le faire, nous 
négligeons ceux du troisième, il suffira ici d’y substituer à cos 
et à 1 — cosa, leurs valeurs obtenues en négligeant ceux du pre- 


CE 


mier. Or la valeur de 1 — cosæ est ——— aux termes près du 


q 
premier ordre, d’après l'équation précédente, d’où résulte pour 
ya, p' 


la valeur de cosæ, au même degré d'approximation, 1 — - 


2 
nous pourrons donc, en ne négligeant que les termes du troisième 
ordre, mettre le deuxième terme du deuxième membre sous la 
forme 

4e? y°'—Rh"*? 


Fig GENE) COSX, 


544 MÉMOIRE 


et écrire le dernier terme de ce membre ainsi qu'il suit : 


e? €? Y—h"* 
LE Et LP Veoûses 
q q g) 


Au moyen de ces valeurs, l'équation précédente deviendra 


he + ohe—e? 2e 2e ;, 
À — COSQ = — [ES Qt — 4 — 2 
q 1 q 

Le? Y°— h'2 €? e° y— h"2 

CD UE NE ] COST 

31q q q q 
on en déduit 

2e 2e e° e? /h .\ y°—h" 

és @ NA (7 ER) € JL © ONE, (Os fn 


: : 2e y ; 
ou bien en ajoutant et retranchant — 4" dans la parenthèse du 
9 


premier membre, et tirant la valeur de cosæ, 
Y°—h®+e(2h"—e) 
MR ten So) 


q 
COS u 
NÉ ARE GE ee (u) 
1 — ——— 


— + — (1 —i) (Y— - 
q 1q tq 


Telle est l'équation différentielle de l'intrados qu'il reste à inté- 
as 2 dy" 
grer, en y supposant cosæ exprimé en fonction de tangæ ou de aa 


10. Avant de procéder à lintégration de cette équation, nous 
aurons à exprimer les quantités w et p”, puis ensuite & ou d, en 
fonction des ordonnées de l’intrados. 

L’équation (m) donne immédiatement, au moyen de la valeur 
ci-dessus de y — k, 


p— pe y" —# + Se (1— cosa); 


et si nous observons que e est du deuxième ordre par rapport à y, 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 545 
on aura une expression de g exacte Jusque dans les termes du 
deuxième ordre relativement à cette quantité, en mettant à la 
place du facteur 1 — cosæ la valeur obtenue plus haut en négli- 
geant les termes du premier ordre; le dernier terme du second 


F a Be ” 2 AY RE 
membre de l'équation précédente pourra s’écrire = e ? —, Ou, 
< { 
. 1 S . 
en vertu de l'équation (s), = (y — k"*) : il vient donc 
‘ Ho F 
: 2 [Es i ". " 
SE RE (v) 


Quant à l'expression du rayon de courbure, observons qu'en 
vertu du parallélisme des trois courbes, on a 


p' = p" ne e; 
«substituant cette valeur et celle de y dans l'équation (p) dont 
nous chasserons les dénominateurs, nous aurons 


(p"+e) [y + (1 — ie cosa] — ep, + e (Q'—#") + e°(1 — cos) 
— 3 € (1— 2 cosa); 


divisant tout par ?, et ayant égard à la relation (s), puis effectuant 
les réductions qui se présentent, il viendra d'abord 


CNT Û " 1—i A AOL EUE Cum 7 
p (r + 7 e cosa) + ey Totmné oc CY 0) 


2 e 
+ 2 (1 — COS&) + — e° cosa, 
puis ensuite 
“for r PUR " 2 €? 1—i 7 " 
p (r + e cosa) RE ienniel have ik) 
" 1 [4 A 
Fr ei = €” COS&, 
TT) 
et enfin ! 
- 4e? 1—i e ; DAY TI EME 
g—2eh + 2 +2 — e(Y—h)—=[=—;) 1 c084 
” 1 3 i 0 7\3 (w) 
RES 2 1—i s 
+ e cosæ 


SAVANTS ÉTRANGERS. — xII. 69 


546 MÉMOIRE 


Nous reviendrons plus loin sur cette expression du rayon de 
courbure, et nous indiquerons le parti qu'on en peut ürer pour 
substituer à l'emploi de l'intégrale de l'équation (x), celui des 
constructions graphiques. Actuellement, nous nous bornerons à 
opérer la vérification de cette expression, en observant qu'on doit 
pouvoir la tirer de l'équation (u) par la différentiation. 

En effet, différentions cette équation en y faisant préalable- 
ment disparaître le dénominateur du deuxième membre, il viendra 


e(2h"—e) 2e à F, ; e? /4 AVE € 
—|1— tn h CG }—— | sina da 
De it ain eue 

+oosa[(Gi-n+(-i)À] dj =? dy 


Or, on a dy" — sin ds” — p" sina da; substituant cette dernière 
Y p . , 

valeur à la place de dy”, et supprimant ensuite le facteur commun 

sin dœ&, on aura 


2: y 1 IDE e [4 ñ 
2e + e cosa Hi (5 i) Lcosa|— 1 — = 
q Û i \3 q q 
2 (ii) e(y—h) ef ve E 
. —+it—-i= 
1 q igÿ \3 q 


Nous pouvons mettre dans le dernier terme du second nombre 
& Y—h"° 31; à S s As 
au lieu de ———, la quantité 1 — COS, d'après ce qui a été dit 


ci-dessus; puis, en transposant le dernier terme déMa parenthèse 
du premier membre, et multipliant par g°, nous aurons 


" 1 1 7 SEE 2 (1—i) 
2 p [+ e cosa | = gt —2 eh" + e + : 
i û 
e? /4 3 2e f4 \ puys 
+ — [- —1 1 — COS UE COS 
Û È ) sa) i (a F 


Or le dermer terme du second membre étant du deuxième 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 547 


ordre, on peut mettre à la place de p”, sa valeur obtenue en né- 
gligeant les termes du premier, et l'équation donne ici 2 p"y"— 4, 


en négligeant ces termes; il en résulte que le dernier se réduit à 
e 


AG à : He 
DEEE (2 — ) cosæ, et, par suite, la somme des deux derniers à 
l 


(2 


AC È 2e? [4 : 
= (; == i) ny (5 == i) cos &«. Mettant ces valeurs, ‘achevant 
L . 


la réduction des termes en e, puis tirant la valeur de p’, il vient 


2 


au AN dE Ce 
gg —2eh+-—+2— y —K)—È (gi) e oose 
3 à i CAE 


a 2 : 1—i 


Mist 


— e CoSæ 
. 
valeur identique avec celle obtenue précédemment. 

Nous pouvons déjà remarquer que, dans Thypothèse 1— i, 
cette expression devient plus simple que celle (p) du rayon de 
courbure de l’extrados. On pourra encore observer que, dans la 
même hypothèse, le second membre de l'équation (a) ne contient 
que des puissances paires de y”, d’où il est facile de conclure que 
la courbe qu’elle représente devient alors symétrique par rapport 
à l'axe des +. Le numérateur de la valeur de p” conserve le même 
signe pour des valeurs égales ‘et de signe contraire de y”, tandis 
que le dénominateur change de signe. Le rayon de courbure prend 
alors des valeurs égales et de signe contraire, comme cela doit 
être, puisque les courbures en deux points symétriquement placés 
par rapport à l'axe de x sont nécessairement de sens contraires. 

Actuellement la détermination de la distance 4 du centre de 
gravité au milieu de l'épaisseur du voussoir devient très-simple: 
en effet, nous déduisons de l'équation (h) 


$ 1 e* 
= 
12 P , 


on peut substituer ici p” à la place de p', puisque leur différence 
est égale à e, et qu'il n'en peut résulter qu’une erreur du troi- 
sième ordre que nous négligeons; de plus, on peut à p” substi- 


69. 


548 MÉMOIRE 
tuer sa valeur, en y négligeant les termes du premier ordre, la- 


quelle se réduit à %_; alors il vient simplement 
2Y 


hs de à à (x) 


en ayant égard à la relation (s). 
L'expression (1) de l'épaisseur variable & se change de même en 


ee; et. (y) 


Dans le système que nous considérons, les épaisseurs croissent donc 
) q 
proportionnelkement aux ordonnées de lintrados, et la constante e 
est l'épaisseur qui aurait lieu au point où l'intrados couperait l’axe 
LE T P 
des x si cette intersection était possible. 


DEVELOPPEMENT DE L'ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE DE L'INTRADOS. 


11. Nous avons à former l'expression du coefficient différentiel 


dy" É 
2, dont la valeur en fonction de cosa est 
5 À 


d 
— es V Si ie 
dx” cos” 


on a d’abord, en renversant les deux membres de l’équation (u), 


e(2h"—e — 1 get 4 k 22h 

Sa Er en AE +) © ) 
1 q° i q° i \3 g° 

cos Y°—h?+4e(2h"— 0e) 


A 7 


élevant au carré les deux membres de cette équation, retranchant 
l'unité, et réduisant ensuite au même dénominateur, on aura, en 
supprimant les termes qui se détruisent, et négligeant ceux du 
troisième ordre, 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 549 


1 dy": 1 faq ue na pay 
— ] ou 1 en | PAIE: be so 

cos & dx"? y—(R —e} 72 ! g qd 

[- — 
Gi) efy—h) eh (y) 
AE TRI ere) ER PA eme 
1 q q 

8 e(y"—k*)  S{—ÿ MR) Qi by} 
ER 

31 q° i q° E 5 


Multipliant haut et bas par g‘ et mettant le facteur commun y"— #" 
en évidence, si, de plus, on pose 


R—(y —}") [ag —(— 2) (+R) +4 — eg; 
ER A eh" (y ue h”) Le = e (y + h") 


1—i 


— 8 


a+ Eabi & FH h") |, (2) 
l'équation précédente deviendra 


dÿ” F 
de [g+(h—e) — y} 
et l’on en tirera 


TTL Lo me 7 ’ 
dx = 2 —————— dy. (a') 
Telle est l'équation qu'il reste à intégrer. 

q q 8 
On sait que l'intégration d'une expression de cette ee 


dans laquelle R* est un polynôme du quatrième degré en y”, con- 
siste dans la réduction aux fonctions elliptiques. Sous la forme (a’), 


Pintégration n’est pas même ramenée aux quadratures, à cause de la 


valeur infinie que prend le coefficient de dy”, quand y"est égal à”, 
et c’est le cas qui se présente pour le premier élément de l'inté- 
grale. Or la réduction aux fonctions elliptiques exige la décompo- 
siion du polynôme R: en facteurs du premier degré, et cette 
décomposition nous présentera une circonstance favorable à la 


550 MÉMOIRE 

réduction de l'intégrale aux quadratures; nous commencerons donc 
par opérer la décomposition du polynôme Re en ses facteurs du 
premier degré. 


DÉCOMPOSITION DU POLYNÔME R? EN SES FACTEURS DU PREMIER DEGRE. 
LIMITES DE LA COURBE INTRADOS DANS LE SENS DES Y. 


12. La question dont il s’agit se résout ordinairement par la 
détermination des racines du polynôme Re égalé à zéro. Dans le 
cas actuel, l’un des facteurs y"— k" est déjà connu, et il ne res- 
terait plus qu’à résoudre une équation du troisième degré; mais 
la forme des racmes étant trop compliquée, lorsqu'on fait usage 
de la formule de Cardan, pour que nous songions à appliquer 
cette dernière, et l'exactitude rigoureuse de la valeur des racines 
n'étant point nécessaire ici, puisque la valeur du polynôme n’est 
exacte que jusqu'aux termes du deuxième ordre inclusivement, 
nous devrons recourir à un autre procédé, celui de la réduction 
des racines en séries ordonnées suivant les puissances de e, dans 
lesquelles nous négligerons les termes d'ordres supérieurs au 
second. 

Nous commencerons par déterminer les parties de chacun des 
facteurs du polynôme du troisième degré, qui sont indépendantes 
des termes du premier et du second ordre : pour cela nous re- 
chercherons les facteurs du polynôme en faisant abstraction de 
ces termes, dont la suppression le réduit à 


Dh) ag — 0% — 4") 


L'un des facteurs du premier degré est en évidence; en égalant à 
zéro l’autre facteur, 1l vient 


ve == h"2 are 2 qi. 
Posons É 


ht og, (6!) 


" 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 551 
on tirera de l’équation précédente, 


V— + EH: 


de’sorte que les deux facteurs cherchés seront H + y et H— y 
(nous changeons ici le signe de la différence y — H à cause du 
signe — qui affecte y dans le facteur du deuxième degré). Le 
produit des trois facteurs, en négligeant les termes du premier et 
du deuxième ordre, est donc 


D'+ 4) (Hey) (A y). 


Désignons maintenant par œ'e, B'e, y'e les termes du premier 
ordre qui doivent entrer dans la composition des facteurs que nous 
nous proposons de déterminer, de telle sorte que le produit de 
ces facteurs soit, à des termes près du deuxième ordre, 

WW + de) (+ y + Fe) (U— y + yo: 

il s'agit de déterminer les valeurs de &', 8’ et y’ de manière que 
les termes du premier ordre provenant du produit de ces facteurs 
soient identiques avec ceux qui font partie du polynôme proposé, 
quel que soit y’. Quant aux termes de l’ordre de y’, il ny a point 
à s’en occuper, puisqu'ils sont nécessairement identiques avec ceux : 
du polynôme, en vertu de la décomposition que nous venons d’ef- 
fectuer. Formons donc l'expression des termes du premier ordre 
que peut fournir le produit des facteurs ci-dessus : on aperçoit 
immédiatement que ces termes ne peuvent provenir que du pro- 
duit du terme du premier ordre de chacun des facteurs, par le 
produit des termes des deux autres facteurs qui sont de l’ordre 
de y”. On a de la sorte, pour les termes dont il s’agit, 


æ«'e (H—+y) (H y’) } B'e (y"+ h”) (H y) —+Yy'e (+ h”) (H+-y"). 
Or la somme de ces termes devant être égale, pour toute valeur 


de y’, à la somme des termes du premier ordre qui entrent dans 
la composition du polynôme du troisième degré, laquelle est 


1—i 


À = eq° œ À eh" (y k"), 


552 MÉMOIRE 


nous allons égaler les coefficients des mêmes puissances de y" 
dans ces deux sommes, et en faisant abstraction du facteur com- 
mun e, nous aurons les trois équations de condition 


a He +- (8 +Y) EE A — qi — h h", 
B+NE BE y 
EURE B+y— a. 
La dernière de ces équations donne 
ce (Sn) )e 
substituant cette valeur dans la première et multiphant la seconde 
par h", il vient : 


(6 + y) lp == (8 — y) Æ — q° LS ppt 
(8 + V) PRES (8 —+y) pre UE ñ h'; 


puis en soustrayant, 


1—i 


1—i 


(EE) 


mais on a (b') 


il en résulte 


l 
et, en substituant cette valeur dans la deuxième des équations de 
condition, 


1—i 


(P+y)H Ha KP, 
ou 
(8+y)H=—< (+ i#; 
on en tire 
B+y=—ih+ns 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 553 
En ayant égard à la valeur ci-dessus de a’ en £'et y, puis se ser- 
vant des expressions de la différence et de la somme de ces deux 


dernières quantités que nous venons de trouver, on formera les 
valeurs suivantes : 


UE 2 
i 
g 1—i 1+i h 
Perret Et 
5 TT 1+i 
Rip 


Actuellement, désignons les termes du deuxième ordre respec- 


tivement par a'e’, B'e:, y'e, de sorte que le produit des trois fac- 
teurs soit 


DH" ae a"et) (HHy'+B'e+ pe) (H—y"+y'e+y'e); 
nous aurons simplement à identifier les termes du deuxième ordre 
fournis Par ce produit, avec ceux du polynôme du troisième de- 
gré, puisque ceux du Premier et ceux de l'ordre de }” se trouvent 
identiques en vertu des calculs précédents. Remarquons à ce sujet 
que les termes du deuxième ordre de ce produit proviendront 
d’abord du produit de chaque terme de cet ordre faisant partie 
d’un facteur, par le produit des deux autres facteurs débarrassés 
de leurs termes du premier et du deuxième ordre; puis ensuite 
du produit de deux termes du premier ordre contenus dans deux 
facteurs différents, par l'autre facteur débarrassé de ses termes 
du premier et du deuxième ordre. Cette remarque nous permettra 
d'écrire immédiatement les termes du deuxième ordre dont il 
s'agit, et en les égalant à ceux contenus dans le polynôme du troi- 
sième degré, on aura l'équation 


œ'e° (H— V2) ie Be: (y"+- h") (H— y") +y'e (y"+-x") (H+-y") 

+ 4’ B'e (H—y)+a'y'e (H+ y") +8 ye (y"+k') 
SR, 7 Eee 
re (y lent sC k 


Gi 


HAT (y — m7, 


SAVANTS ÉTRANGERS. AIT, 70 


2 


554 MÉMOIRE 
qui se décompose, en égalant séparément les coefficients des 
mêmes puissances de y”, en les trois équations suivantes : 


«'H: si (6 2 y’) H}" se a’ (6 == y) H ee B' 2 !h" — - h' 


(2 71 11 # " ! 1 ! 481 (1 
(BY) — (8x (By) + By=<+i— 
RO RE B+ y" —o. 
La dernière de ces équations donne 
CM — — (B’ CE Y'); 
substituant cette valeur dans la première, multipliant la deuxième 


par ", et transposant les termes connus dans les seconds mem- 
bres, il viendra 


(8 PIE (8 y )H 2 (847) 8 y + Fame W= 
(8'+y")Hh"—(8—y")h"=+x (6-7) h'—6'y !h" Me fiseser (1 — i) “he 


soustrayons la première de. la seconde, nous aurons 


Tr: 


nn 


(y) RS)" ((8+ y) (8 +8 — 


mais nous avons trouvé plus haut les valeurs de Ne —— Ne H et 
8° y’; elles donnent immédiatement 


(BED Er) UE 


au moyen de cette relation et de la valeur de +, le second membre 
de l’équation précédente se réduit à 


8 . " 8 Q [2 —i ! 
EE RTE NE 
l { 1 L 
cette même équation donne par suite 


6" CrRs, y’ — 0, 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 555 


Reprenant la deuxième équation de condition, nous aurons, en 
vertu de 8— y" — o et des valeurs déterminées précédemment 
de, B—y,6ety, 

G+i Re 8 


" " HESNIE 
(Ein Eden qi 


d'où, en ayant égard à la même équation 8°— y” — 0, 


g'— TES ee Al n+iiteth#i ft] 
Te 2iH 3 Æ |’ 
En vertu de cette égalité des valeurs de B" et y’, celle de &” se 
réduit à zéro, 

&— 0. 


Dans le but de simplifier les calculs qui vont suivre, nous don- 
. 1 2L . . 
nerons aux expressions de G” et y’ une autre forme. Faisons dis- 
paraître le dénominateur H° de la parenthèse; en tenant compte 
de la relation (b'), nous aurons 


Eee [Ca Hi à) (RH g) (1 + iÿ n'.| 
réunissons les termes affectés des facteurs k'? et g°, il viendra fina- 
lement 


1/2 2 1 2, c 2 .3y 
SP car [Ca “Hgidttet) Ÿ 51 ik |. 
Au moyen des valeurs de «/’, 8’, y', «’, 8", y’ que nous venons 
y: ù y y qu 
de déterminer, les trois facteurs dont nous proposions de former 
Prop 


les expressions en négligeant les termes des ordres supérieurs au 
second, deviennent respectivement 


L 
1—i 1+i h' 1 2%. FN 2 ml " 
He get [iii i)g — Zik +7 
1—i 1+i h" 1 ap. , 2 «pm | à " 
DES oc ee nelle aenlte fer 


70. 


556 MÉMOIRE 


Posons pour abréger 


1Hu R 1 
O— _ ee [ - 
les deux derniers facteurs deviendront 

O + (r— —— e), O — (y rue e); 


et leur produit pourra s'écrire 


de sorte que la valeur (z) de R° prendra la forme 


Re (y! !) (y+ htmnlar e) Le’ — (y e| (d) 


0 ol 

13. Les limites de la courbe intrados dans le sens des y, s'ob- 
uendront en posant _ —= 0, condition qui sera remplie, d’après 
l'équation {a'), lorsque l’on aura R — 0. Or la décomposition que 
nous venons d'opérer, de la fonction R? en facteurs, donne le 
moyen de déterminer les limites dont il s’agit, en posant chacun 
des facteurs égal à zéro : il en résulte, pour valeur des ordonnées 
maxima et minima de la courbe, les quantités suivantes, que nous 
disposons par ordre de grandeur, 


Te), = (a+ — ce), fra +(8+ Te). 


L 


— (e 


L'ordre de grandeur de ces quantités ne parait pas évident si l’on 
ne remonte point aux valeurs de @ et H en fonction de 4”, et si 
l’on ne se rappelle pas que X” est positif d'après la nature de la 
question. D'ailleurs l’ordre que nous venons d'établir est simple- 
ment subordonné aux trois conditions suivantes 


he OT ENT EeeS = 0, Me48 +! 
L 1 t 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 557 
qui évidemment se réalisent dans le cas de la question qui nous 
occupe. 

Nous allons faire voir maintenant que la courbe se compose de 
deux branches séparées, l’une située tout entière du côté des y 
positifs, et comprise entre deux parallèles à l'axe des x menées 


aux distances 4" et ® +- “— e, l’autre située du côté des y néga- 
L 
üfs, et comprise entre deux autres droites parallèles menées aux 
distances — (a+ af + e) ebe— (8 —= in. e). 
{, 

En effet, la condition que le radical R reste réel exige que le 
polynôme Re? soit positif. Or ce polynôme est du quatrième degré 
en y” et le terme affecté de y" est négatif : si l'on fait y — + co, 


la valeur de PR? devient infinie et négative; elle ne change de signe 
que lorsqu'on fait décroître la valeur absolue de y” en la ramenant 


CE A 1—i 1 i 
aux limites extrêmes (e = e) nee (e k — e). Donc 
L L 


la courbe ne contient aucun point situé en dehors de ces limites. 
La valeur de PR? commence à devenir positive lorsque y” atteint 
ces valeurs, puisqu'il n'existe pas de racines égales; et, si l'on 
continue de faire décroître la valeur absolue de y”, on voit que R: 
reste positif jusqu'à ce que y” atteigne les valeurs où il change de 
signe, ce qui a lieu aux limites — (a + 2 — e) et + À"; le 
signe de R? se trouve changé entre ces limites et devient négatif. 
On doit conclure de cet examen que la courbe est composée de 


, . n . . 1—1 
deux branches, l’une située entre les limites — (e — — — e) 


= (a —+ 2 SUR e), l'autre comprise entre les limites O + LE e 
ni 


eth’;etqu'enoutrel’espacecomprisentreleslimites — (a+ 2° de ie e) 


et + }” n’en renferme aucun point, non plus que les espaces situés 
au delà des limites extrêmes. 
L'équation (a') fait connaître l'ordonnée du point où la tan- 


7 


Hel 1 1 = dx == 
gente est parallèle à l'axe des y; en effet, en ce point on a AE 0, 


558 MÉMOIRE 
et l'équation (a') fournit, pour satisfaire à cette condition, la rela- 
tion 


q + — ef — y — 0. 
d'où l’on tire 
LA UN Re (k — e). 


Les limitesobtenues et la détermination des points où la tangente 
est verticale vont nous permettre d'aborder la discussion de la 
forme de la courbe, et de fixer l'usage que l'on devra faire du 
double signe du radical R de l'équation (a). Observons qu’en 
vertu de ce double signe la courbe est symétrique par rapport à 
un axe parallèle à l'axe des y, dont la position ne dépend que du 
choix de la constante introduite par l'intégration, de sorte qu'ayant 
déterminé les circonstances de la forme de la courbe en ne con- 
sidérant à la fois qu'un seul des deux signes, il suffira d’avoir 
égard à la symétrie, pour se figurer les parties de la courbe que 
l'on n’aura point étudiées. 

Occupons-nous en premier lieu de la branche située du côté des 
y positifs, et partons de y"=— k". Supposons d’abord R positif ou 
considérons le signe + dans l'expression (a) de dx". Les limites 
que nous avons reconnues, de la valeur de y”, nous obligent à faire 
dy" positif, or le numérateur de dx" est positif, tant que l'on a 
Y° <q + (}" — ce), la valeur de x” croît depuis y’ = k” jusqu’à 
Y = V q + (h"— e}. À cette valeur de y”, le numérateur de- 
vient nul et change ensuite de signe, ce qui rend dx" négatif au- 
delà de cette valeur; aimsi labscisse décroit d’abord depuis le 


. . . . ñ . . | 
point dont il s’agit, jusqu’à la limite O6 + — e, de V4 : or cette 
1 
limite ne pouvant être dépassée, il faut faire décroître y’, et afin 
que la courbe ne s'arrête point brusquement, nous devons chan- 
! dy’ À 
ger le signe de À de sorte que se trouve encore positif. De 


cette manière le numérateur reste négatif, jusqu'à ce que y” ait 
atteint dans sa décroissance la valeur - Vg + (h" — e); et 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 559 
labscisse continue de diminuer jusqu'en cet endroit : mais + 
delà, le numérateur reprend sa valeur positive, et le rapport Le 


étant toujours positif, æ” croît de nouveau jusqu'à ce que y ait 
atteint la limite X”. Au delà de ce point, il faut faire croitre y”, 
c’est-à-dire prendre dy” positif et aussi le signe de R; il en résulte 
de nouveaux accroissements de x” égaux aux précédents, pour les 
mêmes accroissements dy” et les mêmes valeurs de y”. La courbe 
présente dès lors une reproduction périodique des mêmes formes 
qui lui donne quelque ressemblance avec les cycloïdes allongées. 

Si l'on considère la branche située du côté des y négatifs, on 
reconnaîtra sans peine qu ’elle présente une forme tout à fait ana- 
logue à celle de l’autre branche; et cette branche serait exacte- 
ment symétrique avec la première, par rapport à l'axe des æ, si 
lon avait 1 — 1. On reconnaîtra de plus que la condition de con- 
tinuité dans les parties de cette branche exigera que lon choi- 


sisse le signe de R de manière que _. reste positif comme dans 


la première. Et l'on conclura de cette convention que le signe 
de R sera nécessairement contraire dans les parties correspondantes 
des deux branches. 

Nous nous sommes étendu longuement sur la discussion de la 
forme des deux branches de la courbe, quoique nous ne devions 
utiliser qu’une faible partie de l'une d'elles; mais nons avions à 


2 


ë 3 d : 
fixer relativement aux signes de “- et de R des conventions dont 


l'une nous servira pour l'intégration de l'équation (a'), et l'autre, 
pour la vérification des coefficients que nous présentera l'intégrale 
de cette expression. 


RÉDUCTION DE L'INTÉGRALE DE L'EXPRESSION (@) AUX QUADRATURES. 


14. Nous avons reconnu, après avoir établi cette expression, 
Pimpossibilité de lui appliquer la méthode des quadratures, et 


nous en avons indiqué la cause, dans la présence du facteur V y — x 


560 MÉMOIRE 
au dénominateur de la valeur de dx’. Nous aurons recours au 
procédé de l'intégration par parties, pour faire disparaitre cette 
difficulté, en faisant passer le facteur dont il s’agit du dénomi- 
nateur au numérateur. 

Posons 


V—= (+ h" + 2 — e) Ce: Sn e} ). 
la valeur de R deviendra 
R=\} Vy" — 


et l'équation (a') pourra s’écrire 


=}; (y he 
Ut VNCIERETE (y begus 
VV —kh 


En intégrant et séparant les intégrales, il vient 


" l dy" n ner É 
TE — (q° 2 h'e + e’) de — PE Fe ME Ë dy : 


Effectuons la première Her par parties, nous aurons 


Po RE TE 


Or on a 


D'un autre côté, en appliquant à l'expression de V* la différen- 
tiation logarithmique, il vient 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 561 
et, par suite, 


On devra remarquer qu'aucun des éléments de ces intégrales 
ne devient infini pour La valeurs de, y” comprises entre X" et 
V g + (k"— e), les seules dont nous ayons à faire usage, et que, 
par conséquent, ces intégrales sont propres à recevoir l'application 
de la méthode des quadratures. Mais nous renoncerons à faire 
usage de l'expression précédente de x”, qui serait plus longue à 
calculer que celle que nous obtiendrons plus loim, dût-on, dans 
celle-ci, calculer par quadratures les deux fonctions elliptiques de 
première et deuxième espèce qu’elle renferme. 


SAVANTS ÉTRANGERS, —— XII. 71 


562 MÉMOIRE 


RÉDUCTION AUX FONCTIONS ELLIPTIQUES, DE L'INTÉGRALE DE L’ÉQUATION 
DIFFÉRENTIELLE DE LA COURBE INTRADOS!, 


15, Nous mettrons d’abord la valeur de PR? sous la forme d’un 
carré parfait, en posant 


Q—n) (4h42 Ce) = fe (y —elz, (e) 


relation de laquelle on tire 


: 2 1—1 \° 
e— (y : e) 


et qui donne, en effet, pour la valeur de R?, 


(y"— h") L+ h'+ 2 re e) 


| 


ef 


d'où 


1—1 


RE Es Et 


Nous supposons ici À suscepüble de prendre le double signe; et 
comme y” ne peut recevoir de valeurs qui rendent négatif le fac- 
teur de z, ainsi qu'il résulte des limites fixées précédemment, il 
suit de là que z a nécessairement le signe de R. 

Tirons actuellement de l'équation (e') la valeur de y” en 2; 1l 
viendra d’abord, en développant, 


pc Te QT lg EE Q ie 1 fe Gale DOTE CTI 
j 7) ; E 
Cr) 


1° 


et 


! Ceux des’lecteurs qui, étrangers à la théorie des fonctions elliptiques, crain- 
draient de ne pouvoir suivre les développements dans lesquels nous allons entrer, 
pourront passer immédiatement aux n° 29 et 30, où nous indiquons une solution 
numérique et une solution graphique fondées sur la détermination de l'intrados au 
moyen de son rayon de courbure. 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 563 
puis, en ordonnant, : 


MU ze) ae (rt ele el 


+2 — he LR. 
t 


y 


Multiplions tous les termes de cette équation par 1 + 2°, et ré- 
solvons-la par rapport au produit y” (1 +- z) considéré comme 
étant l'inconnue, il viendra , 


Désignons par Z? la quantité comprise sous le radical, nous au- 
rons, en supposant provisoirement Z susceptible de prendre le 


double signe, 
POH= ei —2) +. (9°) 


L 
Or différentions l'équation (e'), nous aurons 


1—i 


L' 2 = e) dy +(y"—kh")dy"—2z [9 — (y — e}| dz 


25) 2(y— _ e) dy. 


ou, en réumissant les termes affectés des mêmes différentielles et 
divisant par le facteur commun 2, 


[y Hecnccrte 2(ÿ — à] dy 2 [8 — pe] ds; 


mais le premier membre étant ordonné par rapport à y”, et le 
facteur de dz dans le second étant remplacé par sa valeur tirée 
de (f'), cette équation devient 


[e+z te G—2)] dy =Raz; 


564 MÉMOIRE 
d'un autre côté, le facteur de dy” est égal à Z, d'après (g'),: on a 
donc 


Zdy' —Rdz, 
d'où 
dy" dz y, 


Nous avons établi, dans le n° 13, que le rapport _ doit rester 
positif; 1l sufhira, pour faire usage de l'équation {k°'), de donner à Z 
un signe tel, que le rapport 7 Soit également positif. 


Formons actuellement la valeur de Z:° : cette valeur, en ordon- 
nant par rapport à z, et supprimant les termes qui se détruisent, 
devient 


{ii} 


1° 


e 2 LA h'e +- n] 
L 


—i} É 1—i 
en 


u l 


h'e baie z hi, 


ou bien 


ZL?— 21 ©? + z: Le je Er Kimi PACS £ Et co 


Le (a+ — e) 


Nous avons encore besoin de décomposer la quantité Z° en ses 
facteurs du second degré; mais pour cela nous calculerons préa- 
lablement la valeur du coeflicient du deuxième terme : formons 
donc le carré de la valeur de @ équation (c'); nous aurons, en 
négligeant les termes du troisième ordre, 


2 Drm ED Fe 2 2 a. la ;\2 nn 2 
OH a he + (Sie) ag si de 


En ayant égard à l'équation (b'), puis opérant les réductions, cette 
valeur deviendra 


@' — h'? Hg — 2 — he + e li + : t + ï) e°. (#) 


ee 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 565 


Or les termes qui suivent @?, dans le coefficient du deuxième 
terme de la valeur de Z:, sont 


pere etre 2 hu Lun 
L 1 
en faisant la somme de ces termes et de @:, le facteur de z° de- 
vient 


20 


— 1—92i— 32 
., 74 3 
2h? + 2q — 4 k'e + —— 6, 
1 
et la valeur de Z: se réduit à 
10 
FU = À 
SENTE e | +#g —2he+ = e| 
d L 


_e (a + _ e) ; 


mais au lieu de décomposer cette expression en facteurs, il sera 
plus simple de décomposer en facteurs le produit Z'6». 
Posons, pour abréger, 


RE Qi — ANR ee er n=(W + Te) 
il viendra 
LEO — 2 6! + 2 2° O* m° + n° O6: : 


il suffit d’égaler-à zéro le second membre de cette équation, et 
d'en tirer les racines; ces racines sont 


ZL O — = m° ÆE V mi — n° ©». 
Posons encore 


K— m° — n° E:, 


566 MÉMOIRE 
et nous aurons, pour expression du polynôme ci-dessus décom- 
posé en ses facteurs, 


23 @° — (2° 0° + m° -K) (2 @ + m —K). 


I reste à calculer les quantités n° +-K, m° —K, et par suite m"', 
puis le produit — r° 6*. Effectuons les deux dernières de ces opé- 
rations sans réductions d’abord; nous aurons, en écrivant séparé- 
ment les valeurs des trois termes dont se compose — »° @?, 


10 . fl: 
— 1 — 1) 


mi —(h"+-q} —A4{(h" + q"h'e +2 (qe 3 {he 
Rertr 
Oh —— hp" qu) he ge à Te 
= "Mages ie 
Te UE (je ages 


Ajoutons ces équations membre à membre, il viendra, toutes 
réductions faites, et à cause de K° — m' — n° >, 


n m5 CNE é he? 
Ki qe . Gi—i—i) + (ai — à). 


Pour extraire la racine, nous mettrons en évidence le facteur g', 


CPAM AE 
ainsi qu'il suit : 


“k ie fs NE re 
KE aghlir os 26 alfa tarde pi à]! 


+ . à 1 
Elevant les deux membres de cette équation à la puissance -, nous 
. 2 


aurons 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 567 
et enfin : 


L Hop 2e F8 . . NURE D. 
Kg — het Si és (5) = |: (J)) 
Soient maintenant 

M — m° +K, N=— m° —_K; (4) 


nqus aurons, au moyen de la valeur de m°, 


M = h"° +2g — En h'e 


sf nsc pet 
N— hp" + = he + or (: Fr =) €, | 


et la valeur de Z: @° décomposée en ses facteurs pourra s’écrire 
Z 6° — (2: 6: + M:) (2 0: + N°), 


ou bien encore 


2? 6: — M: N°: h+zi) (a +2$) 


d'où l'on tire 


MN ® 3 , 
=+Vh+ar)(i+zs) (m') 

Soit ® un angle auxiliaire lié à z par la relation 
tang® — L2, (n') 


le même angle sera donné en fonction de y’ par cette autre équation 


déduite de (e'), 


en Fo) 
tang® — + à ———————— ———. (0°) 


PR TE A\E 
e°— e Gers r 
L 


568 MÉMOIRE 
On aura réciproquement, pour la valeur de : en fonction de @, 


N ; 
2% tang@;: (p') 
cette équation donne, en différentiant, S 
N de 
dz — e cos” @ 


Substituons la valeur (p') de z dans l'équation (m'), il viendra, 
MN, NE 
1 ——ÆE = V £ E me tang'@ ) (1 + tang'@). 


Divisons membre à membre l'équation qui précède par celle-ci, 
et nous aurons 


de. Liu Lg M rm Peer -m Les 
Z M a PE OL 
cos? @ V (: + use) (1 +tang*@) 
ou 
RE si 
Z M 2 


V cos ® + Si sin*@ 


En remplaçant ici cos*® par sa valeur 1 — sin°@, il vient 
dz _ 1 d@ 


Z HER 
2 


Posons 


= () (q) 


(‘) La valeur de c° peut être mise sous une autre forme. En effet, les équa- 
tions (k') donnent, par soustraction, 
M° — N'— 2K; 
d'où 
M = N° + 2K, 
et, ensuite, 
à 2K 


= ——, 
N'+ ok 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 569 
et, de plus, 


A—1—0c° sin @, (r') 
nous aurons 
LR 
Z M A 
L’équation (k') comparée à cette dernière donnera 
dz dy" 1 d@ ; 
RE — + —, (s’) 
Z R M À 


en faisant abstraction du double signe; et, si nous voulons que 
cette formule soit générale, il suffira que nous disposions des 

d ‘ : 
valeurs de @ et A, de telle sorte que le rapport < soit toujours 
positif, attendu que _ doit toujours l'être, d'après ce qui a été 
dit au n° 15. ; . 

Voici comment on fixera les signes de ces variables : nous avons 
vu qu’en vertu de l'équation (f’), z doit avoir le signe de R; il 
résulte de l'équation (n') que tang@ doit avoir aussi le signe du 
radical R. Or, d’après la variation de signe de ce radical que nous 
avons reconnue n° 13, il faut que tang@ soit de même signe 

dy’ mue : ë 5 
que le rapport le sens positif de ds” étant celui que lon ob- 
œs 
tiendrait en suivant le contour de la courbe depuis les x infinis 
négatifs jusqu'aux x infinis positifs. 
Ainsi, dans la branche inférieure, on fera varier @ de o° à 90°, 
1 5 " 1—1 û 
pour y compris entre k’ et Q + —— €, ce qui donne tang © po- 
de ë : À ñ s DR 1— 1", ae 
sitif : en faisant décroitre y” depuis la limite @ + ——c jusqu'à 
L 
la limite mférieure #”, @ variera de 90° à 180°, et tang@ sera né- 
gatif; il est clair qu’en faisant de nouveau croître et décroître y”, les 
mêmes valeurs de tang@ se reproduiront périodiquement avec les 
mêmes signes, et que ® pourra varier de 180° à 270°, puis de 270° 
à 360°, et ainsi de suite, à cause de tang (180° + @) — tang@. 
On aura donc d@ positif dans toute l'étendue de la branche infé- 
! Dénes L ré ’ 
rieure, et pour que + soit toujours positif, suffira que l’on prenne 
dans cette branche le radical A avec le signe +. 


SAVANTS ÉTRANGERS. — XII. 72 


570 MÉMOIRE 
Dans la branche supérieure ou située du côté des y négatifs, en 
(e —e), 
L 
on pourra faire varier @ de o° à 90°, ce qui rendra tang@ né- 
P Sr : 9 j SpA 
gatif, comme cela doit être ; puis, en faisant croître y” depuis la limite 


: : : 1—i ; i 
faisant décroître y” depuis — (a+ DE e) jusqu'à 
l 


EVE ; 4 1—1 4: Ne 1086 
superieure négative = (e— == e) Jusqu à la limite inférieure 
L /, 
1—1 


négative — (x +2 — e). on devra faire varier @ de — 90° 
ul 


à — 1 80°, ce qui rendra tang@ positif : en continuant ensuite à faire 
décroitre, puis croitre successivement y”, @ prendra les valeurs 
— 270°, — 360°, etc. On aura donc d@ négatif dans toute l’éten- 


1 d® isa 
due de la branche supérieure, et pour que + reste positif, il 


faudra que lon prenne A négatif dans toute l'étendue de cette 
branche. 

En résumé, il faudra, pour pouvoir faire servir Pauxiliaire @ à 
représenter la moitié de l'étendue mdéfinie de la courbe intrados, 
lui attribuer des valeurs croissant indéfiniment à partir de zéro, 
dans la branche inférieure, en donnant à A le signe +; puis lui 
donner des valeurs négatives de grandeurs absolues indéfiniment 
croissantes, en faisant À négatif dans la branche supérieure. L'autre 
moitié résultera de la symétrie avec la première par rapport à un 
axe vertical passant par le point correspondant à @ == 0. On re- 


= Grau "d : 
marquera toutefois que les intégrales J - et J Ad@ que fournira 


l'intégration conserveront les valeurs absolues qu’elles prendraient 
si A et l'amplitude @ étaient positives, puisque les deux quantités 
A et d@ sont toujours de même signe. Fixons encore le signe de 
la fonction Z que nous avons laissé arbitraire dans l'équation (g') ; 


observons que, d’après l'équation (h'), - doit être positif, et que 
la différentielle de z tirée de (p') donne dz de même signe que 
d@, c'est-à-dire positif dans la branche inférieure et négatif dans 
la branche supérieure : il faudra donc que lon fasse pareillement Z 
positif dans la première et négatif dans la seconde; mais nous 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 571 

n'aurons point à avoir égard à cette circonstance, attendu que Z 
3 ; : : dz 
r'entrera dans les équations finales que sous la forme Z? et a 


Au moyen de ces conventions, l'usage des doubles signes se 
trouve fixé, et il deviendra facile de procéder plus loin à la véri- 
fication susmentionnée des coefficients de l'équation de la courbe 
intrados. 

»1 à û dy" 

16. L’équation (a') contient, outre le facteur —. un terme en 
y° qu'il s'agit également de transformer. Or on tire de l’équa- 
tion (g'), 


V— 


ni 
Z———e(1—:) 


2 L 


1 + 2° 


et 1l vient, en élevant au carré, 


Z— 22 Es e(i1— 2) + (—) e?(1—2*)° 


y” — 


G+z} 


puis, à cause de l’équation (4), on en déduit 


PALA ZÆ  dz à se 1—z 2 1—1\u (= 2 dz 
Y Rate 7 i {a+} En | ï ) 8 —=) F7 


Au moyen de la même équation (k') et de cette valeur, l'équa- 
tion (a) devient 


. dz Z° dz jun == 1-72 dE 
2 2 EAN CU Ce | / 
1—1 \2 1—2°\2 dz |! ) 

== V2 GNT == —, 

CSN EE 

Sous cette forme, on voit qu'il n’y a point à se préoccuper du 
signe de Z, puisque cette quantité n’entre qu’au carré et en di- 
viseur de dz, et qu'il n’en résulte que des facteurs positifs. Trans- 


formons d’abord le terme algébrique : le coefficient de dz, dans 
ce terme, ne contenant que des puissances paires de z, son déve- 


72: 


572 MÉMOIRE 


loppement sous forme de fractions ne devra contenir également 
que des puissances paires de z; on pourra donc poser 


1— 2? a a' 


a+ 2) EU ME Tu} (+ 2} 
La réduction au même dénominateur donne 
1—2—a(1+2)+ a, 


et l'on en tre, en égalant les coefficients des mêmes puissances 


de 2’, 


1—4 a, — 1 = 4, 


et, par suite, a — 2 : il vient donc 


17° Re dz dz 


FETE re Net 
(1 2°) (1 + 2°) 1+-2 


or, on a, par les formules connues de réduction, 


f dz z f dz 
2 | — — + | — 
a+ 2) 1+2 1 + 7° 


ajoutant membre à membre cette équation et l'équation différen- 
tielle précédente, il vient, pour l'expression transformée, 


Fr rt Ma 


1+- 2°) 1+ 2° 
( ] 


Transformons le facteur . du deuxième terme du second 


Z° 
(+ 2°) s 
membre de (f), et pour cela reprenons la valeur primitive de Z, 


nous aurons 


7° 21@° +2 2° m° + n° 


GHz? 9 21Ha 


. 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 573 


extrayons mamtenant de la fraction qui forme le second membre 
de cette équation, la partie entière qu’elle contient, la division 


donnera 
z === [0 [SÈ 2 £ Q? : 
FES er 24 qe ( le 


Enfin, extrayons aussi la partie entière de la fraction (—=) qui 
+7 


affecte le dernier terme de l'équation (t), nous aurons 


22) Z21+i1— 0 2 
ms == 1 -— 
2° + 1 + 1 +1? 
et, par suite, 
1—Z7°\e 4 A 
= 
1 +- 2° 1 + 2° (+ 2} 


Au moyen de ces diverses valeurs, l'équation (f'} deviendra 
ÿ qt 


>? 


dé ={g+{ à] 5 [0-2 (0m) 


(+ 2°} 
1—1 


A dl z 1—i \2 1] n n dz. 
- à mé ee (—) £ mere 


ou, en réunissant les termes de même forme, 


dx" —— [O—g (We) + —) e]7+ É (me er | (a!) 
L: _ 1 L : 
+[6-"1 ("el LT Te T4 2 —e.d— | 


17. Exprimons maintenant les facteurs qui contiennent z° en 
fonctions de @, nous aurons d’abord, en vertu de l'équation (p'), 


@* cos*® + N'sin°@ 
@* cos’@ 


1 


[N° 
NE 1 + G tang'® — 


ou 


. @? — (9° — N!) sin°@ 
1 = — ; 
qu @* cos’@ ? 


574 MÉMOIRE 


on en déduit 


1 cos’ @ 
Tee Un @*—N° . 4 
1— S sin ® 
Posons 
EAN 2 3 ' 
a = +, (v°) 
il viendra 
1 cos’ @ 
Tee A TU 1 (c+c;) sin @" 


Nous allons faire voir que c;' est une quantité du deuxième ordre 
de petitesse. En effet, la relation précédente donne, en mettant 
pour c* sa valeur (q'}, 


N° re N° 
LE e: re NT Ci 
et 1l en résulte 
N° IE N° 
D Lu = 2 ___M:): 
ET M’ @° M:@° (@ M ) 


les valeurs (1) de ©°, et (/) de M°, ne diffèrent que dans les 
termes du deuxième ordre, et la différence de ces termes se ré- 


duit à 
1e i\ ls he 
Eee 
î q 


si lon a égard à la relation (4'), on en déduit 


ES Ne 2 


Or pour former la valeur de c;’, en négligeant les termes du 
troisième ordre, on doit négliger, dans les facteurs M, N° et ©», 
les termes du premier et du deuxième ordre, puisque le facteur 
que nous venons de calculer est du second; ces facteurs se ré- 
duisent dès lors à H°, 4" et FF, et il vient simplement 


- c—2 (—) Eh (w') 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 575 


La valeur de c;* est donc effectivement du deuxième ordre, ainsi 

que nous venons de lannoncer. Nous profiterons de cette circons- 

tance pour éviter les fonctions elliptiques de troisième espèce. 
Considérons, en effet, la fonction 


1— (c?+ c;°) sin°@”? 


nous aurons, en développant cette fonction suivant les puissances 
de c;’, au moyen du théorème de Taylor, et nous bornant au terme 
en c, 

1 Fa 1 sin @ de 


AC ypS DNA TO NEED SN ETAT LC 
1— (c?+ c,°) sin°@ 1 — c* sin*@ (1 — c° sin°@) 


1 


et la valeur ci-dessus de , en faisant usage de la formule (r'), 


1 Z° 


pourra s’écrire 


1 cos’ @ sin*® cos ® 3 
1tzt À A‘ 4e 
on tire de là 
1 cos\@ sin*@ cos*@ J 
—— 2 
Gers 2} A L AS 1,2 


puis, au moyen de l'équation (p'), 


z N sin® cos@ sin @cos® kh" 
= + 
172 (2) A° A° H 


C 
+ % N 
(on remplace ici, dans le terme du deuxième ordre, le rapport = 
ù RS op or , 
par + quin'en diffère que de quantités du premier ordre, et ne 
donne lieu, par suite, qu’à des erreurs du troisième). 
En élevant au carré les deux membres de cette équation, il 
vient 


z! N° sin°@ cos’ sin@ cos @ h"° 
LA Le AR OUR — — Ci, 
u+ 2} @e* At AS H° 


576 MÉMOIRE 


ation dans laquelle “tente place de M audera: 
equation dans laquelle H üent la place de = au dernier terme, par 


les mêmes raisons que tout à l'heure. 

Substituons maintenant les diverses valeurs que nous venons 
d'exprimer en fonctions de @, dans l'équation (u’) dont nous mul- 
tiplierons préalablement tous les termes par M, puis à la place de 


az 


d@..…, f S 3 
M 7 Sa valeur < tirée de {s'), et enfin à la place de c;', sa va- 


leur (w'); il viendra, en négligeant des termes d'ordres supérieurs 
8 


au second, 
M dx" — — |6: 2 —(h" —e) + (—)'e:] æ 
c Qi Û E a 
N° sin°@ cos’@ 1—i\2 h"* e° sint@ cos" @ 1 d@ 
m2 2 EE Re li 
+2 (870) [EE ESS 
Re ee 1—i\2 [cos ® rs Te 
[8 n al 1 ) e 1[ A' +4 i H° 9° A5 À 
1 1)\ 2 cos’ d@ 1—1 MN sin® cos® 
+4(— J'e ra NA Ce ARTE ; 


I devient indispensable de présenter ici le développement de 
chacun des coefficients, que l'on effectuera sans peine au moyen 
des valeurs de @?, m° et n°: 


: (Age à 
1® coefhcient — -— [4° — = h'e + = (2 M: ï) A 


ot coefhicient — + 2 [;° == 


" 2 LE 4 
Me+£ihi—5i+e)el 


| 0 


3° coeflicient — + 2 Le — - he + (G I — 1) e |. 


Le quatrième coefhicient n’a point de changement à subir. Quant 
au dernier, observons qu'il suffit d’avoir égard au terme du pre- 


; . MN : ; 
mier ordre, dans la valeur du produit 5 Puisque ce dernier 


coefficient est lui-même du premier ordre. Or nous pouvons tirer 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 577 


M M ; ; 
la valeur du rapport =, de lexpression obtenue ci-dessus de la 


différence @° — M'; elle donne, en effet, 
M° 1—1\2 e° 
= 2 
6° 6 ( i ) g? 


È Je He sl 
en substituant l'unité au rapport — dans le terme du deuxième 
PP @° 


ordre; on en déduit 


Cette quantité ne différant de l'unité que par un terme du deuxième 


ordre doit être réduite à l'unité dans l'expression du produit 
MN. Cet . . 1 (22 oO , 
> cequi réduit ce produit à la valeur de N développée jusqu'aux 
termes du premier ordre inclusivement; or, la valeur (l) de N° 
peut s’écrire 

Hu 


Ne (a ne _ e) ms (e) 


L 


et lors même que k", qui est toujours == e, serait très-petit, on 
aurait encore, aux termes près du deuxième ordre, 


Nb + ee +... 


Le dernier coefficient a donc pour expression 


1—1 1—i\2 
D 0) (—) es. 
L L 


Au moyen de ces valeurs des divers coefficients, l'équation diffé- 
rentielle ci-dessus devient 


du — |; > ++ —ii+i) e]? 
nie? [y en (: —;i+e) e*| er ere 
+ [2 ste Gi-i B) 1) e| [+4 EEE 
—- À er LE r'e+ ("1 FRE 


SAVANTS ÉTRANGERS, — XII. Tè 


578 MÉMOIRE 


Développons les produits indiqués dans le second membre, et 
négligeons les termes d'ordres supérieurs au deuxième, nous 
aurons 


M dx” == — 


- 1 N'sin°@ cos’ @ 
PRSE REY AI" SEA CA 
| @? A5 d@ 


1\5 LT inä 2 
—) , Sin'@ cos 


1—i\2h®  sin@ cos'® 
— e——— (| 
| Red? 


L 


+ 2 [= h'e + (— e:| d mn 
L u r 


18. Commençons par effectuer la réduction des termes du 
deuxième ordre qui ont A’ en dénominateur. Ces termes peuvent 
s'écrire 


1—1i\2 h? in°@ cos’ h"° 
8 (=) RP ass (F sin @ - cos’ e) d®, 


G FH A7 E° 


et la dernière parenthèse de cette expression donne 


AE 


h' - 
— FE Sin ® CON C=RE (: = =) sin°@ : 


or on peut substituer dans cette valeur, à la place de = — “, le rap- 
N° 
port &; qui n’en diffère que de quantités du premier sit et, 


par so ne peut produire que des erreurs du troisième; il 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 579 


en résulte que le facteur 1 — — pourra être remplacé ar c° 
qu EH: P 


d'après (q'), et que l'on aura, en ayant égard à la relation (r') 


’ 


LATE / 
x 1n°® + cos ® — A, (y) 


valeur exacte aux quantités près du premier ordre. 
La somme des termes du deuxième ordre qui ont A’ en déno- 
minateur se réduit ainsi à 


1—1\2 hp? , Sin°@ cos*® ! 
re mn  d@. LA, 


Les termes qui ont A‘ en dénominateur dans la valeur de Mdx” 
peuvent se grouper ainsi qu'il suit : 


2 La: — . k el 2e (G sin ® + cos) d@ 


A 2 h'2 
+ > (1 à)le: Se ( 


un res cos"@) d@ 


16 cos” @ 


LHENEE 
END 2 Er es 2 
MU (2 cos ® — ;; sin €) de. 


(Dans les deux derniers termes, qui sont du deuxième ordre, on 


2 


, pe PU te 
a remplacé le rapport =; par ra M n'en diffère que de quantités 
du premier ordre.) Le premier de ces termes va se réduire aisé- 


ment : en‘effet, ona, en ayant égard aux relations (v'), (r') et (w'), 


N° ©: N° 


— sin ® —+- cos ® — 1 — Sin @ — 1 — (c° + c?\ sin @, 
@? @° 

2 E = h'2 2 & 
g n°® + cos'® — A — 2 C : ) = = sin @ ; 


en substituant cette valeur, le premier terme donne 


à 2 3m | cos @® 1—1\2 R®  sin?@ cos’@ 2 
2[s TEL e] ee 74 = BR come Pol E) 


2 


79: 


580 MÉMOIRE 
Pour transformer le deuxième terme, écrivons la parenthèse sous 
la forme 


RES h' 
F sin ® — cos ® — — (F sin® + cos*®) SE 5) = sin ®; 


puisqu'il s’agit ici de termes du second ordre, on aura d’après (y'), 


19 ve 


MGM = VC PENSE a TR Ep 
EE Sn°@ — cos — A°? + 2 sm®, 


et le deuxième terme donnera 


1 . cos” @ 8 \ R® sin’@ cos'@ 
hp) do + Lier 2j Eee PE 20 (81) 


Enfin écrivons la parenthèse du troisième terme sous la forme 


h'° la 


h ; peer È h à 
2 cos ® — a SINOI—-12 (cos ® Fa sin*@) — 3 Fe sin ®, 
on aura, comme tout à l'heure, 
a 


: ER à 
2 cos ® — ï sm® — 2 A — 3 = sim, 


et le troisième terme deviendra 


32 cos* 16 À"? sin L° cos* 
e° Le RAP AR me 2 "® d@. (c') 


Le seul terme qui contienne A° en dénominateur dans l'équa- 
ton (x') est 


1—1\2 cos’ @ F 
&(= "0: € dg. (d') 

Observons que l'ensemble des termes (z/), (a), (b"), (e”) et (d”) 
est l'équivalent de la somme des cinq termes compris entre le 
premier et le dernier du second membre de (z'); il ne reste, pour 
former l'expression transformée de la valeur de Mdzx”, qu’à réunir 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 581 


ces termes aux termes extrêmes du second membre de (x). Ef- 
fectuant cette réunion, et ordonnant en même temps, il vient 


# 1 1 k . où d 
M dx" — — [at — 5 de+ = (a— it) el Ée 
û l A 
+2 [a — = We +2 LT 4e 
1—i\2 h*  , sin@ cos ® d } (e”) 
Sn 2 ( à ) ENG ares (Q 
eo [= he (—) e*| d _— 


18 bis. Nous allons nous trouver obligé de donner des for- 
mules de réduction applicables à l’équation qui précède. Propo- 
sons-nous d’abord de réduire lexposant élevé qui entre au déno- 
minateur du troisième terme de son second membre. 

On arrivera par la différentiation, et en opérant convenable- 
ment les réductions, à la formule suivante : 


n—1 @ de 


c? 


sin" @® cos"® mæ+n\ sin" @cos"@® m+-n sin” @ cos 
d A%k-1 TUE (m Wa ) d@ a c? A 


sin+l (c] cos"+l (c] 


ne io (CE 


d’où l'on tire inversement 


se 
1 


sin+ @ cos"+! @ o de Ak—1 € A1 (f") \ 
L — \ 
APE (2k—1) 0° mn sin" @ cos" CR 
| DT. c°? A k—3 (Q 


En faisant dans cette formule m—1, n—1 et k —2, il viendra 


sin°@ cos @ fut di sin® cos® 2 de 2 d@ 
ed ere =, 


À ‘ rer ë : sin® cos@ 
D'un autre côté, si lon différentie l'expression ee a CL QUE 
lon opère les réductions, on arrivera à la relation 


QU = fade — (ic) À] 


AS 


582 MÉMOIRE 


d'où l'on déduit inversement 


d@ 1 3 50@ cos® 1 
2— IN TRE A à (g') 


1—c° A 


à l ; ; a À à 
Substituant cette valeur de . dans l'expression différentielle c1- 


dessus, on aura 


sin @ LE 1 TEE cose 2—c* Fa Gr: PR DA] 2 de } 


A 3° A° 1—c° A c?'1—0c°? CA és 


Or cette expression différentielle affectant dans l'équation (e”) un 
terme du deuxième ordre, on peut y substituer à la place de c° 
sa valeur obtenue en négligeant ceux du premier et du deuxième, 
laquelle est, d’après les équations (q') et (l'), 


2q° g 
Ci— HE MA 
h®+2g° H° 5 
on en tire 
1 H: à h": e La h'° h+ q° 
Ty RENE D CN = | . 
ce? 2q° H:°? H° H: 
et, par suite, 
2—c? a ( sn ï.) 1 2—c° H H 
— 1 — }, = Z _ 
LC: h" c? 1 —c°? g° k' 


Au moyen de ces diverses valeurs, le terme qui contient A° dans 
l'équation (e”) se transformera en 


1=i\2h# | ,sinQcos® q°\ ,sm@cos® a 1 Hde) ,,, 
a) eo Er + ja de lun) 


ë cos*® 
Occupons-nous maintenant du facteur —— d@; nous aurons 


s°@ Te) mas d@ sin*@ . 
Ge ip eee. 


A 


co 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 


on peut écrire 


sin*@® 1 1— c* sin°@ — 1 mode 
a mn sl 


on en déduit 


cos*@ 1 /de : de 
" de — = (5 (1 c°) il 
puis, en ayant égard à l'équation (J/'). 


cos’ @ 1 


ain (2 —ade + ae) 


et le deuxième terme du second membre de (e”) devient 


9 [y che ar] [2 d@ = A de SANT) sin® cos® 


0 (| A 


983 


| (i') 


Réunissons les expressions (4") et (1’) aux deux termes extrêmes 


du second membre de l'équation (e”), puis ordonnons; il viendra 
" A " &e° 4 2 7n 1 &. Ne 
Mdr — Lg —24 e HS) —fr 5 e Hifi ï) e:| 


1—i\2 Hh"° 
Syinyee 


u 


q 


Tislrtemi]a (5) (14 5) etage 


g° 


e° 1—i\3 fe ï 
Ha gite + (—) (Sert ares 
t 3 1 1 q° A 


1—i,y 1—1\2 : sin® cos@ 


1—i\2 h"2 sin@ cos@ 
—- 2 (—) AT re 


}(j") 


Avant d'écrire l'intégrale de cette expression, nous réduirons les 
coefficients de ses différents termes. Et d’abord considérons la 


quantité 


2 à gs Aie 
2 [e he] 


584 MÉMOIRE 


qui fait partie des deux premiers coefficients : substituons à c° sa 


valeur 
LRU 2 K 
PTE 
qu'on obtient en vertu de M° — N°—2K, la quantité ci-dessus 
deviendra 
ke? 
g° Fabties 
. M: : 
K 
Soit, pour abréger, 
2 ju ke 
K, — q — = h RSS 


4 


la valeur de K pourra se mettre sous la forme 
J P 
1—1\s Ra 
canapés feed 
L 
et la même quantité deviendra 


K, 1 


K, — 2 | | (+) 2 —)' (+): 
î q i /79q 
en divisant haut et bas par K,, et substituant ensuite q* à la place 


de K,, dans le terme du deuxième ordre; mais si nous réduisons 
en série le facteur de ME, la quantité dont il s’agit aura pour ex- 


pression 
Ts | hk'2\ €? 
MONS 
t q q 


effectuant le produit indiqué ici au moyen de la valeur (7°) de M:, 
cette quantité deviendra 


1+-1 1 ; ; RE 
We + ag — 2 (=) lets (Ti 3è—3—2(i—iû)e 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 585 


Réduisons les termes du deuxième ordre, ces termes deviendront 
successivement 


ON 
Lise —3+2(1—1) (2+25+<)le 


5 Ti—si—3+4 8i+4ë+ol i} (2 Jale 


7 & e° " y 
sfr—ite+:i] = ha gi —2 he 


7. (#) 
1 2 . : … HU 
Te i+sitito(iiy —— je’ 

E valeur va nous servir à opérer la réduction des coefficients 
de © < et Ad@ dans l'équation (j"); en effet, pour former le pre- 


ES nous devons ajouter au second membre de (#”) les termes 
HE 
— + À she S[i—sitétat ;y —|e 
g° 


En ajoutant et réduisant, il vient 


2 0 —1 


coeff, de < = = RM + g — 0 he + e*. 


Pour former le coefficient suivant, il faut ajouter au même membre 
les termes 


1—1\2 H° i—i\s HR. 
2 (—) —e — 9 |— me Ce 
s F L q 
SAVANTS ÉTRANGERS, — XII. . 74 


586 MÉMOIRE 
et changer ensuite le signe du résultat : effectuant ces opérations, 
on à 


coeff, de A d@ —— [a +2q — 2 Sr pe 


RTE 20. "a L 9 
le 0 TA Dee Ë 


On peut donner au coefhicient de e° une autre forme en rempla- 
_ He k° 
çcant H° par sa valeur #* + 2 q°, d’où résulte — — 2 + —; on 

d q 


trouve, en faisant cette substitution, 
coeff. de Ad@ — — [a+ Do pie 
L 
VAT 2601. Tue 
Eh LEZ es 77 = ste Per 2,2 4 
+2 (Ti 3U— 3—2(1 —i) DIE. 


En réunissant les termes en e* du coeflicient du terme suivant, 


on aura 
sin® cos® 3  23r CICLE à RE 
coelf. de d——= 2 La rh Gi -izhsiÿs)e] 


Au moyen de ces valeurs réduites des coeflicients, l'équation (}") 
devient finalement 


2i—1 \ d@ 
AE | A7 
1-1 yy 1/26 É : Vire 
—[n2g 2 —h ei (Ei-3i 32 ai} =)e:]ade 
2 21 2/8). . RANIE Q sin® cos@ ” 
2 | —ihe+iQi-ii (ii) FOUR (l) 
+0 [— he (je: d Le ER 


A? 
sie (Ze Ë ere 


L g l 


Mdx'=+ [a 


SUR L'ÉTADLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 587 


19. Maintenant l'intégration de l'équation différentielle de l'in- 
trados se trouve dépendre des fonctions elliptiques. En effet, 
posons, comme le fait Legendre, 


® de nl \ re 7 
F(e)= fe. Elce)— ffade; (m') 
posons en même temps 


2i—1 
74 


A=h®+q—2he+ 


e?, 
l 


B—#":+0 pose +E(Di-sr-3 — 2 G—ip=)e 


nous aurons, en intégrant l'équation (l’), et supposant x” nul en 
même temps que @, 


Mz'=A.F(c,@)—B.E(c,@)+C EE +D DE GRR a 


SE Ki 


() Nous ferons remarquer que les coeflicients B et C, comparés aux expres- 
sions (l') et (j'), donnent 
B—M, C—K. 


Ï1 est probable qu'en suivant dans l'intégration une marche plus directe, on 
aurait obtenu ces relations a priori. Cela eût été d'autant plus intéressant que nous 
ne pouvons affirmer leur exactitude que jusque dans les termes du deuxième ordre 
inclusivement. (Au lieu de rechercher les moyens de réduire les développements 
analytiques dans cette partie du Mémoire, nous avons préféré consacrer le temps 
dont nous pouvions disposer, au calcul des Tables que l'on trouvera à la fin de la 
deuxième partie.) 

Les équations précédentes simplifient la valeur de c° qui devient 

C 


C——; 
B 
et l'on peut écrire VB à la place de M, dans l'équation (0"). 
74. 


588 MÉMOIRE 


Telle est l'équation de lintrados qu'il s'agissait d'obtenir, et dans 
laquelle +" se trouve implicitement affecté du double signe, en 
vertu de la relation (0'). Nous n’avons tenu compte que de lun 
des deux signes en discutant les parties des deux branches de la 
courbe qui s'étendent vers les x positifs; la symétrie autour d’un 
axe qui se confond actuellement avec l'axe des y en vertu de la 
valeur nulle de la constante de lintégration, nous a dispensé de 
nous occuper des deux signes à la fois. On voit maintenant qu’en 
ayant égard au double signe de tang®, l'équation (0°) représente 
la courbe dans toute son étendue. 

On remarquera, ainsi que nous l'avons annoncé plus haut, que 
l'expression de 2" perd deux termes lorsqu'on suppose i = 1; 
en effet, cette hypothèse rend nuls les coefficients D et G, en 
mème temps qu'elle simplifie les valeurs des trois premiers. 

Avant de faire usage de léquation ,(0") en lappliquant à la 
question des arches de pont, il convient d'indiquer un procédé 
rapide pour le calcul des fonctions F et Æ, et de vérifier l’exac- 
ütude des coefficients (n°). 


CALCUL DES FONCTIONS À ET E. 


20. On emploie deux procédés différents pour le calcul de ces 
fonctions, suivant que le module c est voisin de l'unité ou de zéro. 
I est facile de voir que, dans la question des arches de pont, ce 
module diffère peu de lunité : en effet, c? ne diffère de 1, en 


vertu de l'équation (q'), que de la quantité _ or le carré "* de 
l'ordonnée du sommet de l'intrados est en général assez petit par 
rapport à 2 q*, à cause de la grandeur du produit ep, équation (s); 
c® diffère donc peu de Funité. 

Dans cette hypothèse, on calcule une échelle de modules c,, 
Cys Cye + Cn par les formules suivantes: 


G—= —— , PR: (GLZ= 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT, 589 


on calcule pareïllement une série d’ danplitudes Pis Par Pis. 
par les équations 


sin (2@,—@) — csm®, 
sin (2@, —@,)— c, sin@,, 


sin (2@,—@.) —c, sin®,, 


NON Ce) NES LC EE 


et l’on s’arrète, dans le calcul des modules, au module c, qui de- 
vient égal à l'unité, du moins, au degré d'approximation que l’on 
veut obtenir; on poursuit le calcul des amplitudes jusqu’à celle &, 
qui correspond à c, — 1, d’où résulte l'égalité de toutes les ampli- 
tudes suivantes. On a ensuite, entre les fonctions F des modules 
et amplitudes de mêmes indices, les relations 


F(cu. @x) == log tang [ 45° + = @.). () 
He, 40 ee Fu, Pa), 
JDE Cl : FE Pn-1) 


F(e, @) = = F(c @) 
ACE :) a HE F(c,; @.). 
FE, @) = 2 F(a,@)) 


(‘) Le logarithme qui figure ici est un logarithme népérien ou hyperbolique. 


590 MÉMOIRE 


On en déduirait, en multipliant ces équations membre à membre, 


2 2 2 


{c, @)- in” pete. LA AQQGE LÉ 5 log tang (45° e.). 


IEC OL ECO CE ICS EC 


mais le calcul de la fonction E exige, lorsque c diffère peu de 
l'unité, que l'on fasse usage des fonctions F intermédiaires. 

Au moyen des modules, amplitudes et fonctions F précédem- 
ment calculées, les formules suivantes serviront au calcul de la 
fonction E : 


E(c,, @,) = smG,, 
E(c. Er) TZ ( 1 C1) E(c, ’ Qi) + L = ch) Fi; ’ Ph) — Cn1 sin@_; 
cer n- 2] = \ I Te Cn—2) Eice On) 1 ( 1—Cn- 3 Fc, (Gps d) TT Cn—a sn@,_…, 


E(c,,@.)=(1+@)Elc, @.)+{(1—c)F(c,@.)—c,sm@,, 
Elfe, @,)=(r1+0)E(c,@,)+(1—0c)F(c,,@,)—csm@,, 
c,@)=(i1+c)E(a,@)+(i1—c)F(c,@,)—c sine. 


/ 


Les formules qui précédent peuvent paraître longues à calculer; 
pourtant il n’en est rien, dans le cas qui nous occupe : en général, 
il sufbra de calculer un seul module et une seule amplitude, ce 
qui réduira le calcul de F et de Æ à l'emploi de la première et 
de la dernière formule de chaque série. 

On pourrait profiter de la petite différence que nous admettons 
entre ç et l'unité pour réduire les intégrales (m”) en séries ordon- 
nées suivant les puissances de (1 — c*); nous préférons nous en 
tenir aux formules que nous venons de reproduire, attendu qu'elles 
sont encore facilement applicables au calcul des fonctions F et Æ 
lorsque c diffère beaucoup plus de lunité que nous ne l'avons 
supposé. 


I 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 591 


5 
VÉRIFICATION DE L'EXACTITUDE DES COEFFICIENTS (n°). 


21. Nous ne prétendons pas donner ici la vérification générale 
de ces coefficients, ce qui conduirait à des calculs fort pénibles; 
mais seulement les vérifier dans quelques cas particuliers. Nous 
allons différentier l'équation (o"), et pour cela, considérons la 
fonction 

1 sin@ cos@ À 


A! 1 


nous aurons, en différentiant, 


sin® cos@ cos @— sin* c*sin*@cos’@ 
JET en en mL mL 


et, en faisant successivement dans cette formule k — 1, k — 
et £ — 3, nous obtiendrons les différentielles des parties variables 
des derniers termes du second membre de (0”). Quant à celles 
des premiers termes, elles résulteront de la suppression du signe f 
dans les équations (m”). Nous aurons ainsi 


d 208 @—sin? in? s° 
Mdx'= A © BAdO + C(PiRe | see )de 


AU 


cos" @—sin°@ ,5n°® cos'@ n [cos @—sin® , 50° ® cos'@ 


Or nous avons, équation (s’), 


1 d@ a dy’ 
M ANR 
et, d’après l'équation (a'}, 
1 d@ ds" 
MA ER ef pe 


en faisant abstraction du double signe; on en tire 


da ! ill 
MA = + (kh e) Yi: 


592 MÉMOIRE 


; À dx" 
égalant le second membre de cette équation à la valeur de MA a 


tirée de l'expression de Mdx”, il vient 


g°+(k"—e)} —-y*—=A—BA+C (cos:g — sin @ + c° me 


At 


(p°) 


x: D CR des PES) Ha G CET 3c° MES) \ 


Cette relation entre y” et @ étant générale, doit pouvoir être aisé- 
ment vérifiée dans certains cas particuliers. 

Soit, en premier lieu, y” — k" ordonnée du sommet de l'intra- 
dos, l'équation (0°) donne tang® — 0, d'où sin @ — 0, cos'@ — 1, 
et A — 1. Ces valeurs étant substituées dans l’équation (p"), il en 
résulte la relation suivante entre les coeflicients, 


g—2he+e —A—B+C+D+G. (q”) 


Soit, en second lieu, Y—=— (x AG eus e) ordonnée du point 
L 


de la branche supérieure le plus voisin de l'axe des x, l'équa- 
tion (o’) donnera pareillement tang@ — o, et l'on aura comme 
tout à l'heure sin@ — o, cos @ — 1 ; mais le point dont il s’agit 
appartenant à la branche supérieure, nous devrons, d’après ce qui 
a été dit au n° 15, donner à A le signe —, d’où résultera A — — 1. 
Substituant ces valeurs dans l’équation (p"), il viendra 


g—2he+e—} eh (—)'e=a-B+c-D+6. (r') 


Soustrayons membre à membre cette équation de la précédente, 
nous aurons d'abord 


1—i 


LE he+( fe 2 D: 


1 
puis, en divisant par 2 et transposant, 


DS [ne + e). 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 593 


Or cette valeur de D est précisément celle qui fait partie des 
équations (n”); il est donc seulement nécessaire de vérifier la rela- 
tion (q") pour que les deux équations (q”) et (r') se trouvent à la 
fois vérifiées. 

Il suffit de jeter un coup d’æil sur les équations {»") pour voir 
que la somme des termes de l’ordre de q° contenus dans les se- 
conds membres, en y changeant le signe de B, se réduit effecti- 
vement à q°, ainsi que l'exige la re (g"). La somme des coef- 


ficients des termes du premier ordre qui ont tous le pour facteur 


1-+i 4 1—1i 
est — 2 + 2——— -+2—, somme qui se réduit évidem- 
l L L 


ment à — 2, comme dans l’équation (q”). Enfin, cette même équa- 
tion exige que la somme des coeflicients de e*, dans le second 
membre de (n"), se réduise à l'unité. Or cette somme est 


h" h'° hk"° 
Efri-T its r +3 +2 (1—1} e Tite) 


prete R(4i—è—2+2—hitai=s =). 


On pourrait encore appliquer l'équation (p”) aux ordonnées ex- 
x CE LH D hier ) lesquelles 
trèmes y O + 6 et y ( — e) pour lesq 
on a tang@— + et sin°®— 1; mais alors on a A + Vie, 
VIB=C 
B 


ou, d’après la note du n° 19, À — + , et la vérification 


ne pourrait s’opérer algébriquement qu'au moyen de développe- 
ments fort longs dans lesquels nous nous dispenserons d’enirer, 
pensant que les vérifications précédentes et la comparaison des 
valeurs numériques fournies par l'équation (0”) avec de nombreux 
tracés déduits de Pexpression (w) du rayon de courbure, prouvent 
suffisamment l'exactitude de nos formules. 


DÉTERMINATION DES CONSTANTES. 


22. Avant de nous livrer à l'examen des deux cas principaux 
que présente la question des arches de pont, lesquels sont ceux 


SAVANTS ÉTRANGERS. — XII. É 79 


594 MÉMOIRE 


des arches dites en arc de cercle et des arches en anse de panier, nous 
croyons devoir résumer ici les diverses formules auxquelles nous 
sommes parvenu dans les numéros précédents, en les présentant 
dans l’ordre de leur application, et modifiant l'expression” de 
quelques coefficients suivant les indications fournies par la note , 
du n° 19; et cela, dans le but d’éviter de faire dépendre un coef- 
ficient de la différence de grands nombres peu différents. Il résulte 

de cette note que l'on a 


B—M:, Ds Fe: 


Or, d’après la note du n° 15, on a d’ailleurs 


MN" °K, 
et, par suite, 


B—= NE IN EC: 


Enfin, nous avons trouvé dans le même n° 15, 


2 


1—1\2 H° 
Où M — 2 (—) — €; 
q 
1l en résulte 
fa —i\z, H :. 1—i\2 / cp? P 
@— M +2(— é=B+ai(—) (245) er 
pr i on 


Nous nous servirons de ces relations pour déduire des équations 
(s), (1), (0'), (n°), (0°), etc., les formules qui vont figurer dans 
le tableau suivant : 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 


Tableau des formules relatives à l'équation de la courbe intrados. 


R—h + e 
ep, 
C , =; ox h'° 
N— h"2 +0 — ie +(—)(: +22) e° 
ë 
Dre 7 


AR+ g —2khe+ e° 


1° 


| 


g 


| " Bi, fins LL ARE 
RE Lg — 2h id Mo rl mn | 


Bt OPEN: 


ca 1e 
B 
Art 
=) (rss , ) 
4 O° 0 
tang*®© — 5 


A— 1 — c° sm@ 


@ de 
li (ce, ®) sl a | par les formules du n° 20, 


ou par les Tables de 


E(c, €) a in Ad@ | fonctions elliptiques. 
VB.2"—A.F(c,@) —B.E(c, @)-+— C2 


EN 


| 


2 à 


75. 


595 


1 (5) 


D sin® cos@  C sing cos® | 


596 MÉMOIRE 


Il résulte de l'inspection de ce tableau, que si l'on considère 
comme donné le rapport à de la densité du massif à celle de la 
voûte, les formules qui le composent ne se trouvent renfermer 
d’autres constantes indéterminées que les trois quantités e, p, et h. 

23. Les données ordinaires d’un projet d’arche sont : la demi- 
ouverture, la hauteur sous clef à partir des naissances, ou la 
flèche, puis la hauteur de la charge au-dessus de la clef, que 
nous avons désignée par À. (Nous verrons, dans la deuxième partie, 
comment on ramène à dépendre de ces données, la solution des 
questions où l'une d’elles serait remplacée par une condition rela- 
üve à la différence de niveau des naissances et de la chaussée.) 
Il résulte de cette énumération, que le nombre des inconnues à 
déterminer se réduit effectivement aux deux seules quantités e 
et g,. On a coutume de ne point avoir égard à la charge À dans 
le calcul d’une arche, et cependant elle mérite plus d’attention. 
Disons d’abord que la hauteur de cette charge provient ordinai- 
rement, dans les ponts, d’un lit de maçonnerie en béton, repo- 
sant sur le plan horizontal tangent à l’extrados, d’une couche de 
cailloux, d’une autre de gravier, d’une couche de sable, et enfin 
du pavé lui-même, quant à la chaussée; dans les ponts-canaux, 
plusieurs de ces couches sont remplacées par une couche d’eau. 
Nous supposerons remplacée, pour le calcul, la hauteur de cha- 
cune d'elles par la hauteur d’une couche de la matière du massif 
qui aurait le même poids, ce qui se fera en la multipliant par le 
rapport de sa densité propre à celle du massif; et ce sera la somme 
de ces hauteurs réduites que nous désignerons par k. 

Actuellement, distinguons les deux espèces d’arches dont nous 
devons nous occuper. L’équation de l'intrados que nous avons 
obtenue ci-dessus est celle d’une courbe qui diffère assez du cercle 
pour qu’on ne doive pas nous supposer l'intention de lui substi- 
tuer un arc de cercle, même vers le sommet : néanmoins, pour 
éviter toute confusion, nous désignerons par arches incomplètes 
celles du genre des arches dites en arc de cercle, dans lesquelles 
les tangentes extrêmes à l’intrados réel feront, avec l'horizontale, 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 597 


un angle moindre que 90°; et nous nommerons arches complètes 
les arches en anse de panier où ces tangentes extrêmes sont ver- 
ücales. Ces dénominations se justifient par la considération des 
angles que font les tangentes menées au sommet et aux extrémités 
de l'intrados. 

Soient f et q la flèche et la demi-ouverture données. Dans le 
cas des arches incomplètes, se donner ces deux quantités, revient à 
faire passer la courbe intrados par un point donné dont la position 
est celle des naissances, et il ne peut résulter de l'expression des 
coordonnées x” et y” en fonction de f et g, qu'une seule équation 
de condition entre les données et les inconnues du problème; d’où 
il suit que, dans les arches dont il s’agit, on peut prendre arbi- 
trairement l’une des quantités e et ,. Dans le cas des arches com- 
plètes, outre cette condition résultant des données f et g, il en 
existe une autre introduite par la verticalité des tangentes extrêmes, 
et qu’on exprimera en écrivant dans léquation propre à fournir le 
maximum de l'abscisse de l'intrados réel, à la place de y”, sa va- 
leur en fonction de f. On a donc ici deux conditions qui suffiront 
pour déterminer e et pu. 

La constante y, est la valeur au sommet de l'arche, de la va- 
riable & dont nous avons expliqué le caractère au n° 6. Cette 
variable exprime, ainsi que nous l'avons dit, la hauteur d’une 
colonne de la matière des voussoirs dont le poids produirait sur 
une base horizontale la pression qui a lieu dans les joints normaux. 
Cette quantité, d’après l'expression (v), croit depuis le sommet de 
l'arche avec les ordonnées, et 1l importe que la plus grande valeur 
qu’elle puisse prendre ne dépasse jamais une certaine limite fixée 
par la résistance des matériaux employés. Nous désignerons par y 
la valeur de y au point inférieur de la voûte, ou dans le joint des 
naissances. Il est bon de connaître à peu près la plus grande des 
valeurs de x ou de p, qu’on puisse adopter. Or Navier, dans son 
Résumé des leçons sur l'application de la Mécanique, n° 176, fixe 
la limite des pressions que l'on peut employer avec sécurité dans 
les arches, à 610 kilogrammes pour une surface de 25 centimètres 


598 MÉMOIRE 
carrés. On en déduit w—100 mètres, si lon prend pour poids 
du mètre cube, & — 2440 kilogrammes; c’est le poids du liais 


de Bagneux : les autres pierres employées aux environs de Paris 
donneraient des valeurs de x un peu plus fortes, à cause de leur 
moindre densité. Suivant Navier, on ne s’exposerait donc point à 
trop charger les voûtes, toutes les fois que x ou y, ne dépasserait 
pas 100 mètres. Ïl va sans dire que les matériaux employés doi- 
vent présenter, quant à la résistance, les qualités des pierres em- 
ployées dans les bonnes constructions, comme celles que Navier 
a dû avoir en vue, lorsqu'il a énoncé son assertion. Nous pouvons 
présenter un exemple frappant dans lequel on reconnaîtra facile- 
ment que la limite w — 100 mètres a été dépassée; les piliers 
prismatiques de laqueduc de Spolette ont plus de 100 mètres de 
hauteur, et sont chargés d’une énorme construction à leur partie 
supérieure : il est facile d'en conclure, malgré le défaut d'indica- 
ions sur la dureté et la densité des pierres employées, que la 
valeur de y à la partie inférieure des piliers, doit excéder 
100 mètres. 

Nous allons maintenanttirer de Péquation (v) une relation entre 
u, et u,. Cette équation est 


pe Le Un UN # pe ie . (y"° h':); 


Ho 


nous rappellerons qu’on y a négligé les termes du deuxième ordre 
qui se trouveraient être du troisième par rapport à y : or, si nous 
négligeons les différences des coordonnées de l'intrados réel et 
de l'intrados fictif, qui sont du deuxième ordre de petitesse, nous 
aurons, à ces différences près, au point inférieur de l'intrados, 


jy 

d'où 
Y+Hk—=Tf—+ok, 

et 
DRE JUrae) 


Bo fo 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 599 


substituant cette valeur dans l'équation précédente, et écrivant y, 
au lieu de x, on en déduira 


Li = Wo + Î + pen) (#) 


CT 


on tire inversement de cette équation 


FE 2h) 


bc ie door ae 


(a) 
expression dans laquelle f pourrait être négligé devant y, au dé- 
nominateur du dernier terme. 

L'usage de ces équations est facile à saisir : dans le cas des 
arches incomplètes où p, est arbitraire, on fixera la limite y, ar- 
bitrairement, mais de sorte qu'elle ne dépasse pas 100 mètres 
par exemple, et l’on déduira y, de l'équation (a”). Lorsqu'il s'agira 
d’arches complètes, et que y, et e auront été déterminés de manière 
à satisfaire aux deux conditions énoncées plus haut, on fera usage 
de l'équation (f) pour calculer y, et s'assurer que sa valeur ne 
dépasse pas la limite de y qu’on aura adoptée; si elle la dépassait, 
il faudrait nécessairement modifier les données du projet. 


CAS DES ARCHES INCOMPLÈTES, DITES EN ARC DE CERCLE. 


24. Nous avons vu dans le numéro précédent qu’une des deux 
constantes e et y, reste arbitraire dans les arches incomplètes : cela 
résultera avec évidence des calculs qui vont suivre. En général, 
on m'a aucune raison de se donner a priori l'épaisseur à la clef, 
ou en un joint quelconque, tandis qu'au contraire on est inté- 
ressé, dans le but d'économiser les matériaux, à utiliser leur ré- 
sistance, à faire supporter à chaque joint la plus grande charge 
possible par unité de surface. Il est clair, en effet, qu’un joint 
devant résister à une charge totale déterminée, si la pression 
par unité de surface est inférieure à celle maximum que la pierre 


600 MÉMOIRE 


ou le mortier pourraient supporter sans inconvénient, la surface 
du joint, et par suite, le volume du voussoir seront plus grands 
que si la pression par unité de surface était portée au maxi- 
mum, la pression totale restant la même. Nous ajouterons, à ce 
sujet, une observation qui eût peut-être été mieux placée ail- 
leurs, c’est que la condition que la résultante des pressions passe 
par le milieu de l'épaisseur est également favorable à la diminu- 
tion de l’étendue des surfaces de joint; cela résulte de ce que la 
pression par unité de surface va en augmentant vers les extrémités 
de la surface de joint dont se rapproche la résultante des pres- 
sions : en eflet, lorsqu'elle a atteint son maximum vers ces points, 
elle se trouve, dans les autres, plus ou moins au-dessous de ce 
maximum, et la pression totale devient moindre que pour un joint 
d’égale étendue dans lequel la résultante des pressions passerait 
par le milieu, et où la pression par unité de surface serait portée à 
la même valeur maximum que dans le premier. Donc, si la pres- 
sion totale que supporte le premier est donnée, en faisant passer 
la résultante des pressions par le milieu du joint, on pourra ré- 
duire son étendue sans augmenter la pression maximum par unité 
de surface. 

Ces considérations doivent engager les ingénieurs à adopter 
autant que possible les plus grandes valeurs des pressions par unité 
de surface dans les joints, ou de la quantité p qui les représente. 
On pourra se donner généralement L, a priori, pourvu qu'il n'excède 
pas 100 mètres suivant Navier, et l’on déduira y, de l'équation (u”) 
que nous reproduisons en y joignant sa relation avec q*: 


Disons cependant qu'on pourrait au besoin profiter de ce que 
la quantité y, reste arbitraire pour l’assujettir à quelque condition 
particulière. 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 601 
Il reste maintenant à déterminer e. Nous allons former une 
équation entre cette quantité, la flèche f et l'ordonnée du point 
inférieur de l'intrados, que nous désignerons par y’. Rappelons 
que l’intrados fictif et l’intrados réel sont distants de la quantité 29, 
différence entre l'épaisseur réelle & et l'épaisseur fictive e, mesurée 
suivant la normale [voir équation (e)]. Il en résulte que la valeur 
de l'ordonnée du point inférieur de l'intrados réel est 


y + 24 cosa., 


en désignant par l'indice 1 les quantités qui se rapportent à ce 
point. L’ordonnée du sommet de l'intrados réel est 


h +2 d3 


mais la différence de ces ordonnées est égale à la flèche f, d'où 
il suit que l’on a 


D set 20, cos: 


mettant ici pour 20, et 20, leurs valeurs tirées de (x), et prenant la 
valeur de y”, il vient 


if + k" + 5 = (h"— y", cosa,). 


Or le dernier terme du second membre étant du deuxième ordre, 
on peut y substituer à y”, et cosa, leurs expressions privées des 
termes du premier et du deuxième ordre. Remplaçant d’abord x” 
par y’, — f, la parenthèse devient 


Yi (1 — cosæ) — f; 


. HR" 
mettant ensuite pour 1 — cos@, sa valeur approchée : 


ou 


SAVANTS ÉTRANGERS, — XII. 7ê 


602 MÉMOIRE 
f(f-+-2h") 


{° 
reduit à 


, et f + h" à la place de y”,, l'expression précédente se 
(f+k) (f + 2 k)\ 
f(: AR 


et il vient finalement 


1 1 1 e° (ARR 2h) 7 
PRES ESS É à Le (w”) 


g | 
On pourra le plus souvent négliger le dernier terme de cette ex- 
pression. 

Soit de même x”, l'abscisse du point inférieur de lintrados 
ficüf, on aura évidemment 


2, —=9ÿ + 24 sind, 


et la valeur de sina, dans cette équation pourra se déduire de 
celle de 1— cosa, obtenue plus haut en négligeant les termes du 
premier et du deuxième ordre : nous aurons ainsi les deux rela- 
tions 


+oh!) 
1 —— cos, = 


A , 


JU +2h) 
JE 2 


PE ICOS 


d'où, en multipliant membre à membre et extrayant ensuite les 
racines, 


. Tor + IN ARE 3 + 2 h" + h" 
SIN COS EN — VE [2 — | 
g F 
La première des deux équations précédentes donnerait d’ailleurs 
1 . . . 
la valeur approchée de - 4, en écrivant comme il suit : 
2 


J(f+ 2h) 


. 1 
Sim o — . 
2 2q 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 603 
On a enfin 


La valeur ci-dessus de +”,, en passant tous les termes dans le pre- 
mier membre, donne l'équation de condition 


1 e? (f+2h "(f+ oh) 

EE (fe 8) EE fa À — 5 — 0, (x') 
dans laquelle le second terme sera le plus souvent négligeable. 

C’est maintenant du système des équations (s”) jointes à (v'), 
(w"} et (x’), qu'il s’agit de tirer la valeur de l'inconnue e. On com- 
prend l'impossibilité de l'élimination et la nécessité de recourir 
aux méthodes de tâtonnements ou d’approximations successives. 
On pourra y procéder soit en s'aidant de tracés fondés sur lex- 
pression (w) du rayon de courbure p”, soit au moyen des seuls 
calculs numériques. Voici, en nous en tenant pour le moment à 
ces derniers, comment il faudra sy prendre : on attribuera à 
linconnue e une valeur hypothétique plus où moins approchée, 
dont nous allons bientôt donner le moyen de fixer les limites; 
puis, s'étant donné y, dans les limites indiquées plus haut, on cal- 
culera y, q* et y’, par les équations (v”) et (w”); on calculera en- 
suite +’ par le système des équations (s") dans lesquelles on fera 
y —= 7, et lon substituera cette valeur pour x”,, dans le premier 
membre de l'équation (x”) qui devrait s’annuler, si la valeur hypo- 
thétique de e d’où l'on est parti se trouvait être égale à celle cher- 
chée. Comme il n’en sera pas généralement ainsi, on fera varier 
ensuite cette quantité, et lon recommencera les calculs, ce qui 
donnera, pour le premier membre de (x°), un résultat différent 
du précédent : une simple proportion suflira pour corriger en 
grande partie l'erreur de e; et, si l'on substitue la valeur qui a 
subi une première correction, on aura un troisième résultat déjà 
beaucoup plus voisin de zéro que les deux premiers. Enfin ces 
trois résultats fourniront un moyen de corriger la valeur de e au- 


76. 


604 MÉMOIRE 


tant qu'il est nécessaire, soit en employant les courbes d’erreurs, 
soit en ayant recours à tout autre procédé d'interpolation. (Nous 
avons indiqué un de ces procédés déduit du théorème de Taylor, 
au $ xzvi de l'Équilibre des voütes en berceaux cylindriques, troi- 
sième article.) 


LIMITES DE LA VALEUR DE €, DANS LES ARCHES INCOMPLÈTES, 
DITES EN ARC DE CERCLE |. 


25. Nous obtiendrons une limite inférieure de la valeur de e, 
en partant de cette considération, que le rayon de courbure de 
l'intrados au sommet est plus grand que le rayon du cercle pas- 
sant par les naissances et tangent à l'intrados en son sommet, Cette 
assertion se vérifie aisément : en effet, d’après l'équation (w) dans 
laquelle on fera, pour plus de simplicité, abstraction des termes 
du premier et du deuxième ordre, le rayon de courbure va en 
décroissant à partir du sommet de lintrados. Or, si le rayon de 
courbure au sommet était égal à celui de l'arc tangent et passant 
par les naissances, la diminution du rayon de courbure ne per- 
mettrait pas à la courbe d’attemdre les naissances, et celle-ci 
serait embrassée par l'arc de cercle dont le rayon est constant; il 
en serait de même a fortiori si le rayon de courbure de l’intrados 
se trouvait au sommet être plus petit que le rayon de l'arc tan- 
gent. Donc, pour que lintrados passe par les naissances, il faut 
que ce rayon de courbure au sommet excède le rayon de l'arc 
tangent. On peut conclure de là que l'intrados embrasse Pare de 
cercle vers le sommet, et de ce qu'ils passent tous deux par les 
naissances, 1l résulte que l'angle de la tangente extrême à lintra- 
dos, avec l'axe des x, excède celui de la tangente à l'arc de cercle 


? P.S. Les Tables que nous donnons à la fin de la deuxième partie de ce 
Mémoire dispenseront de recourir aux formules proposées aux n° 25 et 27 pour 
obtenir une valeur approchée de linconnue e, dans le cas de ? — 1. Si le rapport 
ne différerait pas trop de l'unité, la solution déduite des mêmes Tables serait une 
solution approchée qui dispenserait encore de l'emploi de ces formules. 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 605 
avec le même axe, ou bien que la normale à l'extrémité de l'in- 
trados fait avec l'axe des y un angle plus grand que celui de la 
normale au cercle menée par le même point. Cette dernière re- 
marque fournit le moyen de fixer une limite supérieure de la 
valeur de e. 

Dans les calculs relatifs à ces limites, nous regarderons les in- 
trados réel et fictif comme se confondant en une même courbe, 
et nous négligerons les termes du deuxième ordre. 

Soient p’, le rayon de courbure de lintrados au sommet, et r 
celui du cercle tangent à l'intrados en ce point et passant par les 
naissances. 

La première proposition s'exprime analytiquement par l’méga- 
lité 

PRET. 


Or on a entre la flèche, la demi-ouverture et le rayon 7, l'équation 


g’—f{(2r —/f), 


d’où l'on tire 


se 2 

FRE 

d’un autre côté, si nous faisons ÿ— k" — h + e et cosa — 1 
dans l’équation (w), nous aurons 
g’—2eh — ? G 

gta 4 3 Li " 
2 TNT (y) 

RE 


substituons ces valeurs dans l'inégalité 2p"°, => 2 r équivalente à 


. CÉAEE 20 
la première, et pour q° sa valeur 2 En il viendra 


606 MÉMOIRE 
d'où 
faune {een ( es) 


et, a fortiori, 
2e[u —i if (u$)feis (re à). 
On en üre 
Te 


Telle est la limite inférieure de e. Quant à la limite supérieure, 
elle se déduira de l'autre proposition, qu'on pourra traduire de 
cette manière : le cosinus de l'angle à, de la normale extrème à 
l'intrados avec l'axe des y, est plus petit que celui de la nor- 


male au cercle; or ce dernier cosinus a pour expression ou 


2 


2 La de à 
il — f ; mais à cause de la valeur ci-dessus de 2 r ou de 2 r f, 


2 fr : 
“ : 2 EU 5 
la valeur de ce cosinus est 1 — — me: on a donc l'inégalité 
Cham 
2 7 
COSE, T1 — ——. 
[ram 


Substituons à la place de cosa,, sa valeur (u), en ÿ mettant pour 
y” la valeur y, donnée par l'équation (w"), puis k + e à la place 
de k”", et négligeons les termes du deuxième ordre; il viendra 

\ 


f(f+2h)+2e(f+h) 


2 


q 1 


ed 
12) A 
d° i vi 
ou, en développant et réduisant, 
Ni} 
h HER 
f(f+2h) 2ef 1 ke 1 
LU CH pme 2 nn 07 MEN 
q° 1q g q g 
er Las 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 607 
Cette imégalité sera vraie, à plus forte raison, si, pour simplifier, 
on supprime au dernier terme la quantité ÊLaS J; qui sera positive 
L 
dans les cas ordinaires de la pratique; multipliant ensuite tout 
par g° ou par sa valeur 2 “# il viendra 
l 
. CE 
Ff(f+ 2h) (+5) 
è g° 
2 (ue —ÿh) —f ( +£) 
PF 


(a) 


NT 


ES 


inégalité qui donne la limite supérieure de la valeur de e. Cette 
limite et celle précédemment déterminée laissent entre elles un 
intervalle assez considérable : nous indiquerons, sans toutefois en 
garantir la généralité, un moyen de déduire de ces limites une 
valeur approchée de e; il consiste à doubler la limite inférieure, 
prendre la moitié de celle supérieure, et ensuite la moyenne des 
deux résultats, ce qui revient à ajouter à la limite inférieure le 
quart de la limite supérieure, où à prendre pour valeur appro- 
chée de e, l'expression 


g/(1+ 5) uen 
sn 10 ( +5) 


Le calcul des valeurs limites ou de la valeur approchée de e, 
suppose qu'on a préalablement calculé &, par la formule (v”), au 
moyen de la quantité donnée . La correction de la valeur appro- 
chée s'opère ainsi qu'il a été dit au numéro précédent. 


CAS DES ARCHES COMPLÈTES, OU EN ANSE DE PANIER. 


26. Nous avons fait voir au n° 23 comment les deux condi- 
tions résultant d’une flèche et d’une demi-ouverture données, 
jointes à celle de la verticalité des tangentes extrêmes, suffisaient 
pour déterminer les deux constantes inconnues e et 4. Pour plus 


608 MÉMOIRE 


de simplicité, nous substituerons à l'inconnue x, la quantité q', 
liée à celle-ci par la relation 


cp 
TER 


de sorte qu'ayant déterminé g° et e, on déduira de cette équation 
la valeur de pu. 

Nous exprimerons d’abord que la tangente extrême à l’intrados 
réel est verticale. Pour cela, observons que labscisse d’un point 
quelconque de cette courbe a pour expression 


x'— 90 sing; 
nous aurons donc aux naissances de cet intrados, 


d(x" — 2 à sma) — 0, 
d’où 
dx" d.20 da 


— — SINnQ "99 coSX — 10. 
dy dy dy" 


Or nous avons, par l'une des équations (x), 


1 € 71 
28 — 3m); 
on en lire 
d.2è 2 eA 20 
Tir 
D'un autre côte, l’on a 
dx" ds" da ras. 1 
— —= Cot®, ARE) SE: 
dy p dy pe" dy p'sinæ 
substituant ces valeurs, il vient 
She gt 20 
COLE SIN COtL — 0, 
on ‘ol 
ou 
20 . 20 
j=——"sinœ tango — ——0, 
JL 
et, par suite, 
: yo 2 
sim tango — —|1 nie 
o 20 ep 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 609 

Il y aurait à substituer à 20, & et p”, leurs valeurs en fonctions 
de y”, et à tirer la valeur de cette ordonnée; mais nous opérerons 
plus simplement. L’équation précédente montre que le produit 
sing tanga est très-grand, ou que « est voisin de 90°, comme on 
pouvait le prévoir. Cette circonstance permet de faire sina — 1 


ae 2è ae 2 
et de négliger — devant l'unité au deuxième membre : on a alors 
G 


AR 
tanga — 
Eliminant tanga entre cette équation et l'équation (a’), il viendra 


F R 


PE EE) g + (h—e) — y? 


Fr 


ou bien en affectant de l'indice 1, les variables de cette expres- 
sion qui répondent aux naissances de lintrados réel, et prenant la 
valeur du dénominateur du second membre, 


[/4 1/2 CA 
PH pm = SR 


Designons actuellement par y”, l'ordonnée du point de lintrados 
fictif où la tangente est verticale, et pour lequel on a cot& —- 0, 
la même équation (a’) fournira la relation 


1/2 9 [/4 
PET NE EEE 
ou, à cause de — e — h, 
Vi q° he 


Cette valeur permet de mettre l’équation précédente sous la forme 


la A 2ù 
Y: rai Yi == Yi 1% 
d’où 
7 7 2 à, R 
MN LE 7) 


SAVANTS ÉTRANGERS. — XII. 77 


610 MÉMOIRE 

La différence des ordonnées des points de lintrados fictif corres- 
pondants aux tangentes verticales des deux intrados est, comme 
on le voit, une quantité du deuxième ordre, ce qui permet de 
substituer dans le second membre }”,, 9, et R, à y, à etR,, puis 
à ces quantités, leurs valeurs en y négligeant les termes du pre- 
mier ordre; de cette manière, on a d’abord 


Y°: 


Actuellement, la valeur (z) de R* devient 


la 


(y; he) (ag — y ht), 


et, en ayant égard à la valeur de y,”, 


Re —[g— (he —h)] [g + he — #1], 
ou 


Re — gi —(h® —h};; 


mais à cause de }” — h — e, le dernier terme de cette expression 
est du deuxième ordre, ce qui la réduit à g'. Substituant cette 
valeur et celle de 4, dans la différence ci-dessus, 1l vient 


,2 
1 1 € 


Dam 67; 
ou, à cause de y, — g +, 


mn " 1 
Ÿ2 Lie Varcort 


On en déduit finalement 
1 e° 


i=V + — NV: 


Quant à l'angle (90° — «,) du dernier joint avec l'horizontale, 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 6Il 


il se déduira de la valeur de tanga obtenue plus haut, et l’on 
aura 


1 


e? 
tang (90° — a) — Es 


Maintenant nous allons faire usage d’une autre expression de ds 
que nous avons formée pour le cas des arches incomplètes; elle 
est 


inf +" + 3 (h° — y", cosa): 


or l'expression de tanga donne y”, cosa, — 2 4, sina,; cette valeur 
n'introduirait dans y”, qu'un terme du quatrième ordre, nous de- 
vons donc n’en tenir aucun compte, de sorte que la valeur précé- 
dente se réduit à 


A = 3 JA : = pr. 


I s’agit actuellement d'éliminer y", entre cette équation et celle 
obtenue plus haut qui exprime la valeur de la même quantité. 
Cette dernière donne , en négligeant les termes du quatrième ordre, 


[2 == g° += h2 bre 5 e°. (c") 
Élevons la précédente au carré et éliminons 1°, il viendra 
2 : ! Cr W\a 2 ;" 2 CG 
gg +h — 3e —=(f+#) RL (rt) ps 


on en tre, à cause de h — h" — e, 


CRUE " EE cl 2 LEA 2 VES —) 2 
P=Jf+ ah) + a he — Er Ne 
et en mettant au dernier terme, pour g*, sa valeur approchée 


ff + 28h"), 
g=f(f.+ 2h") + 9 he 


A RL nt 


FF —+2h) 
A1: 


612 MÉMOIRE 


I reste à former l'équation qui lie la flèche f à la demi-ouver- 
ture g : on a ici, comme dans les arches incomplètes, 


2, == +20, sina,, 


et nous avons vu qu'on peut faire sing, — 1, tandis qu'on à 
RCE 
20, — 3m): 


Substituons à y”, et g°, leurs valeurs approchées f--h"et f(f+-2 h”}, 
il viendra 


PENREE U IP 


DÜ TE 3 frs 


et l’on aura l'équation de condition 


" 1 Le + h? 


2 Mu 5 7 
Re EE (e”) 


La détermination des constantes e et g* dépend maintenant de 
la résolution du système des équations (d”), (e”) et (c”) jointes 
aux équations (s") dans lesquelles on fera y” — y," et à” — x". 
L'élimination ne sera pas plus praticable ici que dans l’autre cas; 
on sera encore réduit à l'emploi des méthodes de tâtonnement, 
et voici comment on devra s’y prendre : 

On partira d’une valeur hypothétique de e plus ou moins ap- 

P à l pe P 
prochée, que nous ferons bientôt connaître; puis, au moyen de 
l'équation (d”'\ dans laquelle on a #” —= h + e, on calculera la 

q I 

° (4 ! ,! 
valeur correspondante de q°. Celle de y”, sera donnée par l'équa- 
tion (c”) ou celle qui la précède, et l’on se servira de cette valeur 
particulière de y’ pour calculer, au moyen des équations (s”), celle 

(4 Z a (4 A 
correspondante de +” qui deviendra x”, : cette valeur devra être 
1 air « se (24 > Li A 2 
portée dans l'équation de condition (e”) qui pourra n'être pas satis- 
faite. Il faudra alors avoir recours aux méthodes de correction 
indiquées à la fin du n° 24, pour corriger la valeur de e d’où l’on 
est parti, et recommencer les calculs jusqu'à ce qu'on en ait dé- 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 613 
terminé une qui satisfasse à l'équation (e”). Toutefois, il ne faut 
pas oublier que la valeur de y, ne doit pas dépasser certaines 
limites dont il a été question au n° 23. On devra donc, après 
avoir obtenu les valeurs de e et q° qui satisfont à l'ensemble des 
équations du problème, calculer la valeur de & par l'équation 


cp, (F1) 


et en déduire celle de y, par l'équation ({”)} que nous reprodui- 
sons ici, 

3 j (f RE k') mt 
SAT Ou SC 0D 16h la? (g”) 


ou de la suivante qu'on obtient en éliminant u, et q° entre celle- 
ci et les équations (d”) et (Wos 


bn 


—— . JF + 2h) SE 1 ‘Hige I ) (h"\ 
— ; Œ + ih + f = : (2 Dre Ent) 


En changeant #” en k -+- e dans les deux premiers termes, cette 
Bean P 
expression devient 


ANTENNES Au : th (+) 
BR HU ES EEfa (Te 


Le dernier terme est très-petit, lors même que e atteint quelques 
mètres; il suffit, pour cette raison, de considérer les seuls premiers 
termes dans la discussion de la valeur de y, : on reconnait ainsi 
que cette grandeur y, est d'autant moindre que e devient plus grand. 
Si donc la valeur trouvée de e est très-grande relativement, et 
qu'il en résulte une valeur assez petite de y, ou de faibles pres- 
sions dans les joints, ce qui serait contraire aux principes de l’éco- 
nomie dans les constructions, on en conclura la nécessité de mo- 
difier les données. Du reste, nos formules basées sur l'hypothèse 
que e et p sont l'un petit et l’autre très-grand cesseraient d’être 


applicables. 


614 MÉMOIRE 


VALEUR APPROCHÉE DE € DANS LE CAS DES ARCHES COMPLÈTES, 
OU EN ANSE DE PANIER. 


27. La discussion qui nous a servi, n° 25, à fixer les aeux h- 
mites de e, dans le cas des arches incomplètes, pourrait être repro- 
duite ici; mais ce serait sans application utile à notre objet. En 
effet, si nous voulions appliquer les deux propositions sur les- 
quelles nous nous sommes appuyé pour arriver aux deux inéga- 
lités (2°) et (a”), nous devrions, dans les calculs qui les précèdent, 
remplacer q°* par sa valeur (d”) en e, et nous obtiendrions, au 
lieu de l'inégalité (7°) qui donne une limite inférieure, l’exprés- 
sion d’une limite supérieure fort éloignée de la vraie valeur de e, 
et telle que nous pourrons, en partant d'autres considérations, 
obtenir une autre expression de la limite supérieure dont la valeur 
sera exactement moitié moindre. 

Quant à la condition qui nous a fourni l’autre limite, et qui est 
exprimée par l'inégalité 


au 
+ f° 


COS 


à cause que cosa, est ici égal à zéro, elle se réduit à 


aife 


g+f* 


LH] 
le 


ou à 


ii : (71 
e ie (#”) 


Cette condition, relative aux données seulement, ne peut rien 
fournir qui soit relatif aux limites de la valeur de e; elle conduit 
à cette conséquence remarquable, que les arches chargées doivent 
toujours être surbaissées. 

Nous ne nous proposons ici que de donner une limite supé- 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 615 


rieure de la valeur de e qui ne différera pas considérablement de 
la valeur exacte. Il résulte de la comparaison de nombreux tracés 
de notre courbe intrados avec des demi-ellipses ayant pour demi- 
axes les longueurs f et g, que l'intrados présente toujours plus de 
convexité vers les reins que la demi-ellipse correspondante, et 
que, par suite, il embrasse complétement cette dernière depuis le 
sommet jusqu'aux naissances. Cette circonstance indique que le 
rayon de courbure de lellipse au sommet est plus petit que celui 
de la courbe intrados au même point; écrivons cette inégalité, en 
mettant pour le rayon de courbure de lellipse son Ft 


connue Li et pour le rayon de courbure de lintrados, sa valeur p”, 


tirée de (y), nous aurons 


Substituons pour 4°, sa valeur (d”), et faisons disparaitre le déno- 
minateur du second membre: il viendra, à cause de # — h +e, 


2 (£ +h}S fa fh+afe —Ÿ (2 LE Fr) € 


or, à étant 1, on peut le remplacer par l'unité, dans le premier 
membre, ce qui augmentera l'inégalité. On peut aussi négliger 
le terme en e° dans le second “iSrbBUe car le facteur de e° est 
: Ê ; : k" : 
très-petit, d'abord parce que 1 — ri et le rapport 7 sont très- 


petits, ensuite parce que les deux petits termes où entrent ces 
quantités sont de signes contraires et tendent à se détruire : on 
pourra donc écrire 


2(e+h) = DE +2(e+h) f, 


616 MÉMOIRE 
ou 


et l'on en déduit 


e+h=: cb tj") 


L'élimination de g° entre l'équation (d”) et l'inégalité (2°) eût 
conduit à une limite supérieure de e - h, double de celle que 
nous venons de déterminer. On peut obtenir une valeur appro- 


n io 
chée de e + h en prenant les : de la valeur limite donnée par 


l'inégalité (j") (nous donnons cette indication comme ressortant de 
nombreux calculs et tracés); on pourra mème en faire usage pour 
se former une idée approchée des dimensions auxquelles on arri- 
vera au moyen de valeurs données de /f, g et k. La correction de 
la valeur de e s'effectuera comme il a été dit au n° 26*. 

S'il nous est permis de raisonner sur la valeur approchée de e, 
comme si elle était exacte, nous dirons que l'épaisseur augmente 


avec la flèche et aussi avec le rapport J c’est-à-dire avec f, lorsque 
ÿ 


 N.B. Les Tables qui sont à la fin du Mémoire nous ont permis de rechercher 
ultérieurement des formules empiriques pour calculer l'épaisseur à la clef &,, dans 
le cas des arches complètes où l’on a à — 1. Nous avons trouvé, pour les surbaisse- 


EP 5 : RE 1 1 
ments usités qui sont compris entre les limites 5 ete 
4 


0,79876 f — 0,22864 g 1 


€ + h  , à — près; 
i c 4307 
er 
g\° 1 
a+h—= P CET — 100€) à Mis près. 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 617 


g reste constant, et nous ajouterons que lorsqu'on aura trouvé e 
et p,, l'un évidemment trop grand et l’autre beaucoup au-dessous 
de la limite 100 mètres par exemple, il faudra, pour diminuer e 
et augmenter f, diminuer la flèche, ce qui augmentera en même 
temps le surbaissement; il n’y aura aucune difhiculté à le faire, 
puisqu'il suffira, pour avoir la même hauteur de la clef au-dessus 
des eaux, d’exhausser les naissances. Si l'épaisseur était évidem- 
ment trop petite et donnait lieu par conséquent à de très-grandes 
valeurs de y,, ce serait l'indication d’un trop grand surbaissement, 
ou de trop petites valeurs de f; il serait moins facile de remédier 
à cet inconvénient. 

Ces considérations montrent que les arches en anse de panier 
se prêtent plus difficilement aux conditions qu'on peut vouloir 
leur faire remplir, que les arches incomplètes ; cela tient à ce que, 
dans les premières, tout se trouve déterminé au moyen des don- 
nées, au lieu que. dans celles-ci, lune des deux constantes reste 
arbitraire. Il ne faudra donc point s'étonner si nos formules rela- 
tives aux arches en anse de panier conduisent quelquefois à des 
valeurs de e et x, inadmissibles dans la pratique. 

La deuxième partie du Mémoire présentera des exemples pro- 
pres à mettre en évidence les effets produits par la variation des 
données. Nous ne pouvions ici que les indiquer sommairement. 


POUSSÉE DE LA VOÛTE ET DU MASSIF CONTRE LES CULÉES. 


28. Nous n’aurons que peu de mots à dire concernant les piles. 
En admettant que le pont se compose d’arches égales, on voit que 
les poussées horizontales exercées au sommet des piles se font 
équilibre, et que chaque pile doit résister à une action verticale 
égale à la somme des composantes verticales des pressions exer- 
cées sur les joints des naissances des deux arches contiguës, aug- 
mentée du poids de la partie du massif qu’elle supporte directement. 

Désignons par T, la “valeur de la pression totale T dans le 
plan des naissances, et soit toujours À la longueur de la voûte 


SAVANTS ÉTRANGERS. — XII, 78 


618 MÉMOIRE 
parallélement aux génératrices; on aura T, par l'équation (k) ou 


celle qui suit: 
TT, = Ge; (&") 


la valeur de w, sera donnée a priori dans le cas des arches incom- 
plètes, et par l'équation (4”) dans le cas des arches complètes, Les 
composantes horizontale et verticale de cette pression seront 


T,cosa,, T, sine, (d”) 


et lon déduira la valeur de l'angle &,, de l'expression de la tan- 


2 


d F : 
gente FL qui devient, en vertu de {a') et (d'), 


j (4 [2 " [2 ni # IE ci 
Vo free : fe (- : )] 


Co EE 


lang d, — (ne) 


après qu'on y aura mis pour y, sa valeur (w') dans le cas des 
arches incomplètes : dans le cas des anses de panier, on a 


1e | a À 
tan oc = ET 
5 (9 i) 6 PA 3 q 


La somme des projections verticales des pressions exercées par 
les deux arches voisines sur une pile, est généralement 


2T, sina. 


Maintenant supposons que les plans de joint extrèmes des deux 
voûtes se rencontrent suivant les arêtes extrêmes des extrados, de 
sorte que la pile n’ait à supporter directement aucune partie du 
massif; la section horizontale de la pile sera égale à la somme des 
projections horizontales des surfaces de joint passant par les naïs- 
sances; elle aura pour expression 


2 Àe sina.. 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 619 
En divisant la somme des pressions verticales par cette section, 
on aura pour valeur de la pression par unité de surface que sup- 
portera la pile à sa partie supérieure, 
T, 
Xe? 
ou, d’après l'équation (4), 
Th. 


Dans cette hypothèse, on voit que la pression par unité de sur- 
face transmise verticalement à la pile sera précisément celle qui 
a lieu dans le plan des naissances; de sorte que si les assises de 
la pile présentent la même résistance que les voussoirs inférieurs, 
il suffira de donner à la pile, lorsqu'on n'aura égard qu'à la charge 
supérieure, une section horizontale égale à la somme des projec- 
tions des plans de joint extrêmes. 

S'il existe un intervalle horizontal entre les deux arêtes exté- 
rieures des deux derniers plans de joint, la pile aura à supporter 
directement une partie du poids du massif qui donnera lieu à une 
pression par unité de surface de beaucoup inférieure à æp, de 
sorte qu'on pourra évidemment donner à la pile toute largeur qui 
ne sera point inférieure à la somme des projections horizontales 
des épaisseurs extrèmes, lorsqu'il suffira d’avoir égard à la charge 
supérieure. ; 

Quant aux cultes, elles sont d’abord soumises à l'action de 
la force totale T, [équation (4") |, faisant l'angle à, avec l'axe des : 
les coordonnées de son point d'application sont 


1 . À 
m4", + -\e sind,, 
2 (2 
(n°) 


2 1 
Cr RE GE | 


mais les culées reçoivent en outre les actions horizontales exer- 
cées par le massif qu'elles encaissent. Pour déterminer la résul- 


78. 


620 MÉMOIRE 
tante de ces actions et son point d'application, nous aurons recours 
à la relation (0) obtenue au n° 8, laquelle est 


H— 1), 


H’ désignant la pression horizontale par unité de surface exercée 
par les prismes triangulaires sur les parties adjacentes du massif. 
L'équilibre de celui-ci exige que la culée exerce des réactions 
égales et opposées. La pression transmise à la culée sur une éten- 
due superficielle verticale dy située à la profondeur y’, est donc 


imÀy'dy', 
et son moment 
imÀy* dy, 
le tout, comme dans l'hypothèse de la fluidité. 

Pour obtenir les valeurs de la résultante et de son moment, 1l 
suffit d'intégrer ces expressions entre des limites qui sont les or- 
données du sommet et du point inférieur de l'extrados : soient y’, 
et y, ces ordonnées, nous aurons 

Yo Rs ù 
(o”) 


Yi = Yi —e cos 


Intégrons maintenant les expressions différentielles précédentes et 
désignons par U et l'intensité de la résultante et l’ordonnée de 
son point d'application, il viendra 


LE (p") 


2 
DR 20 
) Mine 


Ed 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 621 
résultat qu'on mettra sous la forme 


; a 7° ane Yo Le n° 


; (q°) 


3 Yo+Yi “ 
afin de faire disparaître l'indétermination qui se manifesterait dans 
le cas où la différence de niveau y, — y, serait très-petite. 

La partie de la culée située au-dessus du plan des naissances 
devra être construite d’après les mêmes principes que les murs 
de réservoirs, pour résister aux pressions élémentaires dont la 
force U se compose, à cela près qu’il faudra substituer la densité du 
massif à celle de l'eau et tenir compte de la pression représentée 
par la hauteur À qui s'exerce au niveau du sommet de l’extrados. 

Connaissant maintenant les forces T, et U, leurs directions, et 
les coordonnées de leurs points d'application, on aura toutes les 
indications que la théorie abstraite de l’équilibre de la voûte et 
de son massif peut fournir, pour procéder au calcul de létablis- 
sement des culées. 


CALCUL DES COORDONNÉES, INCLINAISONS DES JOINTS, RAYONS DE COURBURE, ETC. 


29. Ayant déterminé par les procédés indiqués aux n° 22 et 
suivants, les valeurs des constantes e, y, ou q°, les coordonnées 
des points extrèmes de l’intrados seront connues : on se trouvera 
dès lors en mesure de procéder au calcul des coordonnées inter- 
médiaires et des diverses quantités qui leur correspondent; on 
aura en même temps un moyen de vérifier l'exactitude des cal- 
culs, si l’on emploie la méthode des différences finies, comme 
nous allons le faire. Il est facile de se figurer quelle difficulté il 
y aurait à calculer, au moyen des formules (s"), Pabscisse x” en 
fonction de l'ordonnée y” qu'on se donnerait arbitrairement; en 
admettant qu'on fit ce calcul, il resterait à faire celui de lincli- 
naison des joints, par l'équation différentielle (a'). Le moyen que 
nous allons indiquer, fondé sur emploi du rayon de courbure, 
aurait pu nous dispenser, à la rigueur, d'effectuer l'intégration des 


622 MÉMOIRE 


équations différientielles du problème, mais la détermination des 
constantes aurait présenté plus de difficultés. 

Nous allons nous proposer d’abord de calculer les différences 
finies des coordonnées de la courbe intrados, en prenant pour 
variable indépendante l'angle &« des normales avec la verticale : 
nous ferons varier & de quantités constantes que nous désignerons 
par Ac, et les coordonnées +”, y” du point où la normale fait 
l'angle æ varieront de quantités Az”, Ay” qu'il s'agit de déter- 
miner. Nous ne prétendons point donner l'expression exacte de 
ces différences, mais seulement des expressions dont le degré 
d'approximation sera d'autant plus grand que la différence “a 
sera elle-même plus petite. Pour fixer les idées, nous supposerons 
qu'on veuille tenir compte, dans les valeurs de Ax” et Ay”, des 
termes du deuxième ordre ou en e*, afin qu'on soit sûr que les 
valeurs de x" et y” obtenues par les additions successives des Az” 
et Ay” ne soient point en erreur dans les termes du premier 
ordre : il faudra, pour simplifier les calculs, choisir Aa de telle 
sorte que les termes en Ax soient, ainsi que ceux en Ax' et Ay, 
de l’ordre de e ou du premier ordre. La différence A x sera assez 


petite quand elle n’excédera pas de beaucoup le rapport = qui s’est 


présenté au commencement de nos calculs comme type des quan- 
tités du premier ordre. 

Ceci posé, nous déduirons les expressions de Az”, Ay”, de 
celles des différentielles dx" et dy", en mettant à profit une pro- 
position due, nous le croyons, à Legendre, et qu'on peut énoncer 
de cette manière : Si dans un système d'équations différentielles 
du premier ordre, on change les différentielles en différences 
finies, on peut donner au résultat un degré d’exactitude qui s’é- 
tende aux termes du deuxième ordre inclusivement, en augmentant 
en même temps chaque variable dépendante ou mdépendante de 
la moitié de sa différence finie. 

Appliquons cette proposition aux valeurs suivantes de dx" et dy”, 


da" —p'cosa da, dy —p"sina da, 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 623 
nous aurons 
Ax" — (o" Ne Ap") cos (a+ - Aa) Aa, 
2 2 (r”) 


CHR 


Ari (p" <= = Ap') sin (a+ Aa) A. \ 


. 1 
Or, observons qu’en présence du facteur A«, l'expression p'+ - A p" 
2 


n’a besoin d’être exacte que jusqu'aux termes du premier ordre 
inclusivement; nous déduirons cette expression de celle (w) du 
rayon de courbure p”, en mettant cette dernière sous la forme 


pP—=Y(y,a), 


et désignant par Ÿ une fonction des deux quantités y” et &. Dif- 
férentions cette expression, il viendra 
dy dy 
ee ns 7 Gu à 
P na CES ER 

si nous passons des différentielles aux différences finies, et que 
nous divisions tout par 2, nous aurons, aux quantités près du 
deuxième ordre, 

AIN es CT ee, 
2 PRE dy" > da 2° 
ajoutons maintenant, membre à membre, cette équation et celle 
qui donne la valeur de p", il viendra 

bia» Diodtuan 


P + =Ap —Ÿ(}y", à) t dy" 2 FER 


mais, en vertu du théorème de Taylor, et en négligeant les termes 
du deuxième ordre, cette expression équivaut à 


PH; ap y (y +; ay;at aa) U 


(*) Nous aurions évité ce tour de démonstration en appliquant immédiatement la 
Proposition de Legendre aux expressions de dx" et d y", mises sous la forme 


Y(y',a) cos qe 


sin 


624 MÉMOIRE 

Pour faire usage de cette formule dans le calcul des valeurs 
de Az" et Ay’, reprenons la valeur de p” équation (w), que nous 
écrirons comme il suit : ï 


rt 2 tr of : 
— q° AGREE A PCR 


ie R2 Û i i 31 7 
Ps mor 1— i fs 


Y' + e cosæ 


t 
En vertu de la formule précédente et de la définition de la fonc- 
ton Ÿ, nous aurons 


1 1 2 1—i D UN EE A 1 
—q—-h'e +— e+— e 6 +ay)- () cre[ Las) 
pe à m2 [ 31 0 2 31 2 PP 
pp 1 1—1 1 2Hoi (6) 
Y'+-AY + —— e cos («+ 12) 
2 i 2 


Cette expression, qui contient plusieurs termes constants, se 
simplifiera notablement dans l'hypothèse ? = 1; mais, quoi qu'il 
en soit, elle renferme encore l’inconnue = A y” : rappelons à cet 
égard qu'il suffit ici d'étendre l'exactitude aux termes du premier 
ordre, d’où il suit qu’on peut substituer à - A y”, sa valeur obte- 


nue à ce degré d’approximation ; nous écrirons de cette manière 
1 1 PRE Aa 
: Ay —= p'sinæ ni (u”) 


et ce sera cette valeur dont il faudra faire usage dans la for- 
mule ({”). 


Résumons ces diverses opérations. 

Après avoir fait choix d’un intervalle Aa, d’après les principes 
énoncés plus haut, et avoir exprimé en rapport d'arc au rayon 
cette quantité qui répondra à un petit nombre,de degrés tel que 
2°, 3° ou 4°, on disposera un tableau par colonnes verticales en 
tête desquelles on écrira les diverses valeurs de & qui seront équi- 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 625 
distantes; deux lignes horizontales seront réservées pourinscrire les 
valeurs de y” et x” (celles de ces valeurs que l’on connaît tout d’abord 
répondent à « — 0, elles sont X"— } + e et zéro); on écrira en- 


. . . . . 1 
suite les logarithmes de sina et cosæ, puis de sin (a IS Aa) et 
2 
1 € 3 Ée 
cos C TA a) : au moyen des valeurs inscrites dans la première 
2 


. 1 
colonne verticale, on calculera p" par la formule (s”), et - Ay" 
2 


par la formule {4”); il sera facile ensuite de calculer P" + 2 Ap" 
2 


par la formule ({”), et les équations (r”) feront connaître A y'et 
A%". On inscrira ces diverses valeurs au fur et à mesure; puis, en 
ajoutant A y” à la valeur de y” inscrite en tête de la colonne, et 
de même Az’ à x”, on aura les valeurs de y" et æ’ qui devront 
être inscrites en tête de la colonne suivante. La vérification des 
calculs contenus dans deux colonnes verticales consécutives s’ob- 


tiendra en prenant la moyenne arithmétique des deux valeurs de P', 


et comparant cette moyenne à la valeur de p" + = Ap' qui répond 
à la première des deux colonnes. Si les calculs sont exacts, ces 
deux résultats devront être sensiblement égaux. 

On continuera de la sorte Jusqu'à ce qu'on ait dépassé les va- 
leurs de y et »”,, dont l’une aura été employée dans le calcul 
des formules (s”), et l'autre en sera résultée, Par interpolation, on 
pourra déduire des nombres contenus dans le tableau, la valeur 
de x” correspondante à y” — y’: et, si l'on a bien opéré, cette va- 
leur devra coïncider avec x”,, sauf quelque légère différence pro- 
venant de l'accumulation des erreurs dues aux termes du troisième 
ordre qu’on a négligés, en supposant que Aa ait été pris assez petit. 

Les calculs étant vérifiés, on pourra compléter le tableau par 
la détermination des coordonnées de l’intrados réel et de l'extra- 
dos et des épaisseurs. 

Le calcul des coordonnées de l’extrados se fera par les formules 


Y —=7Y —ecosa, 


a — x" + e sin. 


SAVANTS ÉTRANGERS. — XII. 79 


626 MÉMOIRE 


La distance des deux intrados, suivant la normale à lintrados 
fictif, est donnée par la double formule 


5 De, nes y 
DO Æe=ÿ: 

64, ‘4 3 q°° 
On en déduit, pour les ordonnées et abscisses Y et X de lintra- 
dos réel, les deux expressions 


Y—Yy +29 cosa, X—2 — 29 sin. 
Enfin les épaisseurs seront données par la formule 
Em e +2 à. 


Ces divers calculs sont de la plus grande simplicité, et les valeurs 
obtenues étant réunies aux précédentes, il en résultera un ensemble 
propre à représenter complétement la forme et les dimensions de 
l'arche parvenue à son état permanent. Le problème que nous nous 
étions posé se trouve dès lors complétement résolu sous le rapport 
analytique et sous celui des applications numériques : quelques? 
mots nous sufhront pour indiquer l'usage qu'on peut faire des 
procédés graphiques, dans le but d'éviter l'emploi des formules (s”), 
quand on n’a pas en vue une exactitude supérieure à celle que lon 
peut obtenir en ayant recours aux tracés. 


SOLUTION DU PROBLÈME AU MOYEN DES PROCEÉDES GRAPHIQUES. 


30. La solution que nous allons donner dépend de la construc- 
üon de la courbe intrados au moyen de son rayon de courbure. 
Il n'entre pas dans notre intention d'expliquer ici comment on 
trace une courbe dont le rayon de courbure est donné en fonction 
des coordonnées; chacun sait comment on peut remplacer un petit 
arc de la courbe par un arc de cercle d’une petite amplitude dé- 
crit avec le rayon de courbure correspondant au point milieu de 
cet arc. Nous renverrons, quant aux précautions à prendre lors- 
qu'on donne aux ares une certaine amplitude, à ce que nous avons 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 627 


- dit sur ce sujet, dans le troisième article de notre Théorie de 
‘équilibre des voûtes, $ xxxvi. Pour que les procédés indiqués 
dans cet article s'appliquent au cas actuel, il nous suffira de donner 
une construction du rayon de courbure : nous transformerons son 
équation (w), en posant 


— q — — }, FE" ee 
q q 0 3 io” 
1—ie a fl e? Et 
= — — == CS =: b En = | 
tang @ AH " a (: AE — €; 
et l'équation (w) deviendra 
y 1, gg +(y'—#h") tangf—a cosa 
ue 2 . y’ + b cosa ° 


Pour construire cette expression, ayant mené deux axes OX, OY, 


TPE ere RAR En à j x 
4 À 
Fy À £ 
f 
| IE y N 
el 
9 k a 
LP J à 
ARE 1 
sn 
p f 
| 
| 
| 
ÎR 
0" 
li 
“e 
FE! 1 


628 MÉMOIRE 

l'un horizontal, l'autre vertical, on fixera le sommet de l’intrados 
sur l'axe des y, à la distance OS — k— — h +-e; par le point S 
on mènera la droite SB faisant l'angle BSY — 6; on Prades en- 
suite sur le prolongement de OX une distance OQ — : qg, etsur 
OY, OQ'— g': cette partie des constructions servira pour tous 
les rayons de courbure. Nous supposerons, pour plus de généra- 
lité, la construction de l'intrados fictif parvenue en un point I 
par lequel est menée la normale IN. Prenons sur cette normale 


les distances IT — a, vers l'extrados; Il — b, dans le sens op- 
posé. Projetons les trois points I, l', [sur l'axe des y, et soient 
P, P’, P" leurs projections; nous aurons DE; PP’ — a cosa, 


PP’ — bcos«, et, par suite, 
OP" = y + bcosa. 


Actuellement, prolongeons la droite IP jusqu'à sa rencontre avec 
la droite BS en L, nous aurons PL — (y — k") tang 6 ; rabat- 
tons le point L en L’sur la droite O Y, de sorte qu'on ait PL'—PL., 
il viendra 


PL'— + {(y"— }')tangf — a cosa|, 
suivant que l'on aura PIX æ PP’ : pour former le numérateur de 


la fraction qui multiplie - à g, dans la valeur de p”, il reste à 


ajouter avec le signe MATE la quantité + + PL'à qg, ce > qui se 
fera en transportant parallèlement à elle-même la droite P'L' en 
Q'p', de facon que le point L' tombe en Q', et le point P' en p' 
qui devra être situé par rapport à Q’ du même côté que P' par 
rapport à L’. De cette manière, on aura 


Op = q + (y — h') tangB — a cosa. 


Le rayon de courbure s'exprimera au moyen des lignes que lon 
vient de construire, et l’on aura 


= 002. 


| 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 629 

. Pour éviter la construction de lignes,de grandes dimensions dans 
le sens des x, ce qui obligerait à donner à l’épure de grandes 
dimensions à la fois dans le sens des x et dans celui des y, nous 
rabattrons le point P” en P” sur le prolongement de l'axe des x, 
de sorte que l’on ait OP” — OP". Or, si nous joignons P"p', et que 
nous menions QR parallèle à P"p', il est facile de voir que lon 
aura OR — p”, car les triangles semblables OQR, OP"p' donnent 


la relation 


OR __ © 
0Q ou 


qui coïncide avec l'équation précédente. La position C du centre 
de courbure s’obtiendra ensuite, en portant sur la normale, de I 
en C, la distance IC == OR. 

Cette construction du rayon de courbure de Fintrados fictif 
donnera le moyen de construire en même temps l’extrados, puisque 
ces courbes sont parallèles et distantes de la quantité e. Quant à 
l'intrados réel, il sera facilement donné par la construction des 
épaisseurs dont l'expression (y) est 
e? 1! 


CPE 1 
CREME RER 
PA 3 q° 


- En effet, prenons sur l'axe des x la distance OE"=— e, et menons 


par le point E’ une droite E’E", parallèle à OY; menons ensuite 
par le même point E’ une autre droite E’E" faisant avec la pre- 


+ sh de 1 À Ê 
mière un angle dont la tangente soit — ou - - ; l’abscisse PJ, 
o 6 3 q° 


Ho 


du point J de la droite EE” ayant y” pour ordonnée, sera la valeur 
de l'épaisseur £ correspondante au plan de joint qui se projette 
en IN. Si donc on fait IE —e, et que l'on porte ensuite de E en 
la distance PJ — e, le point à ainsi déterminé appartiendra à l'in- 
trados réel. 

Il ne sera peut-être pas sans intérêt d'indiquer par une figure 
la disposition qu’affectent l’extrados et l'intrados fictif construits 
par le procédé qui vient d’être mdiqué, et dans l'hypothèse 1 = 1. 


630 MÉMOIRE 


La figure ci-Jointe rend sensibles les particularités de la dispo- 
sition dont il s’agit: 


ÆErtrades 
| e Antrado 
_ D - X 


Î L 
Lritrrzrps, A 


31. Voici maintenant l'usage que l’on pourra faire du tracé de 
l'intrados au moyen du rayon de courbure, pour la détermination 
des constantes (n° 22 et suivants), lorsqu'on voudra obtenir leurs 
valeurs approchées, sans avoir recours aux formules (s°), ou qu’on 
pourra s’en tenir à l’exactitude dont les procédés graphiques sont 
susceptibles. On déduira des considérations relatives aux limites 
de e exposées n* 25 et 27, une première valeur approchée de 
cette inconnue, L’équation (v"), n° 24, donnera y, en fonction de 
l'arbitraire ps, dans le cas des arches incomplètes, et q se déduira 


de la relation g — 2 . déjà plusieurs fois mentionnée. Dans 
le cas des arches en anse de panier, la quantité q devra ètre tirée 
de équation (d”), n° 26. Au moyen de e et q, il sera possible 
de construire l'intrados réel, et si lon a préalablement tracé une 
droite parallèle à l'axe desæ, à la distance / au-dessous du 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 631 


sommet de cet intrados, on constatera si cette droite rencontre la 
courbe à une distance de l'axe des y égale à la demi-ouverture nm 
ou différente de celle-ci. Dans le premier cas, la valeur de e d'où 
l'on sera parti sera la valeur cherchée; dans le second, il faudra 
recommencer le tracé en adoptant une valeur de e différente: de 
la première, et appliquer pour la correction de cette valeur l'une 
des méthodes dont il a été question à la fm du n° 24. Il est clair 
que le dernier tracé correspondant à la valeur de e qui donne la 
demi-ouverture ou abscisse g, pour une flèche f ou une ordonnée 
égale à h + €, + J, présente la solution graphique du problème 
qui consiste à déterminer la forme entière de l'intrados et de l’ex- 
trados, puis les inclinaisons des plans de joint et les rayons de 
courbure. Dans le tracé définitif comme dans les tracés prélimi- 
naires, la construction des courbes se trouve ramenée à celle d’arcs 
de cercle de plus ou moins d’étendue, ainsi que nous l'avons an- 
noncé dans le n° 1. 

On pourra vérifier l'exactitude des tracés successifs ou du tracé 
définitif dans le cas des arches incomplètes, en calculant l'angle 
extrême &, par la formule (m”), où y”, doit avoir la valeur donnée 
par l’équation (w'), et comparant cet angle à celui donné par le 
tracé; ces angles doivent coïncider, quelque fausse que soit l'hy- 
pothèse sur la valeur de e. Dans le cas des arches en anse de panier, 
si l'on mène une droite parallèle à l'axe des x à une distance égale 
à f au-dessous du sommet de l’intrados réel, il faudra que la nor- 
male au même intrados menée par le point d'intersection de la 
droite et de l’intrados coïncide avec cette même droite. 


COMPARAISON DES ARCHES ÉTABLIES SUIVANT LES PRINCIPES PRÉCÉDENTS, 
AVEC CELLES DONT L'INTRADOS PRÉSENTE LES FORMES AUJOURD'HUI EN USAGE. 


32. Ayant eflectué divers tracés d’arches incomplètes, confor- 
mément à la théorie que nous venons d'exposer, nous avons com- 
paré ces tracés à ceux fournis par des intrados ayant en réalité la 
forme d’ares de cercle, et assujettis aux mêmes conditions rela- 


632 MÉMOIRE 

tives à la flèche et à l'ouverture que les précédents. Les voûtes en 
arc de cercle présentent, ainsi que cela doit être, moins de con- 
vexité vers les reins que les intrados déduits de notre théorie, et 
il semble, au premier abord, qu'il ne doive y avoir aucun incon- 
vénient à s’en tenir à l'emploi de Parc de cercle, à cause de la 
facilité de sa construction. On tomberait néanmoins dans une grave 
erreur en admettant cette conséquence. En effet, si, comme il est 
vrai, l'arc de cercle et la courbe théorique, qui coïncident au 
sommet et aux naissances, laissent entre eux un assez faible inter- 
valle vers les reins, on admettra aisément qu’en remplissant cet 
intervalle, c’est-à-dire en passant de l'intrados indiqué par la théo- 
rie à l'arc de cercle, on n'ajoutera pas sensiblement à la charge 
totale de l'arche, et que dès lors la situation de la résultante des 
pressions restera sensiblement la même que dans le premier cas. 
Cette résultante passera vers le milieu des joints qui répondent à 
l'appareil théorique. Or supposons qu’en substituant l'appareil en 
arc de cercle à ce dernier, on conserve néanmoins les mêmes épais- 
seurs, ou encore, des épaisseurs constantes égales à celles qui ont 
lieu aux naissances, il arrivera que vers le tiers de la distance de 
celles-ci au sommet, à l’endroit du plus grand écart que présentent 
les deux courbes, les points qui correspondaient au milieu des 
anciennes épaisseurs se trouveront plus voisins du nouvel extra- 


o , A ! Q ! 1 1 x ë 
dos, au point de n’en ètre éloignés que du 3 ou du î de lépais- 


seur totale : la résultante des pressions s’approchera donc d'autant 
de ce nouvel extrados, et la distribution des pressions dans chaque 
joint se trouvera considérablement modifiée. On peut facilement 
reconnaitre que l'addition de matière provenant du passage de la 
courbe théorique à l'arc de cercle, doit avoir pour effet une 
augmentation de la charge générale de la voûte, si la diflérence | 
de convexité est notable, et qu'il en doit résulter une plus grande 
convexité dans la courbe de la résultante des pressions; celle-ci doit 
donc en réalité se rapprocher plus du nouvel extrados que s'il n'y 
avaitaucune augmentation de charge. Admettons seulement qu'elle 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 633 


s’en rapproche en définitive d’une quantité égale au tiers! de l’é- 
paisseur du voussoir, la pression totale dans le joint n'ayant pu 
qu'augmenter, il en résultera que la pression par unité de surface 
deviendra au moins double de celle primitive qui était uniforme : 
or, si la pression primitive était déjà égale à la limite des pressions 
qu'on peut faire supporter sans inconvénient aux voussoirs, il arri- 
vera que ceux-ci ne seront plus capables de résister à l’action de 
forces dont les intensités ont été doublées; de là naïtront des phé- 
nomènes plus ou moins prononcés de rupture par écrasement, 
et qui pourront compromettre gravement la stabilité de la cons- 
truction. Inversement, on conclura de ces considérations, que si 
des arches en arc de cercle présentent toute la stabilité désirable, 
on pourrait leur substituer des arches établies suivant nos prin- 
cipes, et dans lesquelles les pressions maximum par unité de sur- 
face se trouvant réduites de moitié, par exemple, il serait facile 
de réduire en même temps les épaisseurs, et, par suite, les frais de 
construction, d’une quantité notable. 

Enfin nous ajouterons que les mêmes considérations s'appliquent 
aux arches en anse de panier construites d'après des procédés qui 
donnent à l’intrados une forme plus ou moins voisine de celle des 
ellipses. Toutes ces courbes présentent, comme l'arc de cercle, 
moins de convexité vers les reins que celles que nous proposons. 
La deuxième partie de ce mémoire sera accompagnée d'épures 
qui présenteront la comparaison des profils circulaires ou ellip- 
üques avec ceux dont nous avons exposé la théorie. 


! En se basant sur le principe assez généralement admis de la proportionnalité 
des profondeurs d'impression aux intensités des pressions, on démontre ce résultat 
bien connu : que si deux corps prismatiques sont en contact suivant une face plane, 
et qu'on vienne à les soumettre à des pressions dont la résultante perpendiculaire 
à cette face, et située dans un plan qui la partage symétriquement, passe à une 
distance d’une arête, égale au tiers de la distance de cette arête à celle opposée, la 
pression par unité de surface, vers la première, s’élèvera au double de la pression 
moyenne, tandis qu’elle décroîtra jusqu’à devenir nulle vers l'arête opposée. 


SAVANTS ÉTRANGERS. — XII. 80 


634 MÉMOIRE 


DEUXIÈME PARTIE. 


33. La deuxième partie de notre travail diffère, à quelques 
égards, du mémoire qui a été présenté à l'Académie des Sciences 
dans la séance du 14 décembre 1846, et sur lequel un rapport 
a été fait dans la séance du 26 octobre 1852. 

Ce mémoire, dans lequel nous avions restreint nos formules au 
cas ordinaire où les matériaux qui forment le massif peuvent être 
considérés comme présentant sensiblement la même densité que 
les voussoirs, renfermait divers exemples de lapplication de ces 
formules par voie de tâätonnements, au cas des arches complètes 
dites er arc de cercle, et des Tables à double entrée pour le cas 
des arches complètes ou en anse de panier, tables qui dispensaient 
d'effectuer les calculs par tâätonnements dont il vient d’être ques- 
tion pour le cas des autres arches. Nous avions profité de la faci- 
lité que nous offraient ces tables pour nous livrer à l'examen d’un 
assez grand nombre d’arches en anse de panier construites depuis 
longtemps. Le mémoire était suivi d’une application de la théorie 
générale, au cas où la charge qui s'élève au-dessus de la clef est 
très-grande, et nous avions choisi pour exemple celui que nous 
offre l'appareil connu, dans l'art des constructions, sous le nom de 
poitrail. 

Dans leur rapport, MM. les Commissaires ont exprimé le désir 
que des tables fussent aussi construites pour abréger les calculs 
relatifs à l'établissement des arches dites en arc de cercle. Au mo- 
ment où l'impression de notre mémoire a été décidée, nous avons 
songé sérieusement à nous rendre au vœu exprimé par la Com- 
mission, et à combler ainsi une lacune que nous regrettions nous- 
mème de laisser dans notre travail. 

Après un mür examen, nous avons reconnu que le problème 
relatif aux arches incomplètes, qui nécessiterait la construction 
de tables à triple entrée, si l'on tenait à conserver les données et 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 635 


inconnues que nous avions introduites dans la première partie de 
notre mémoire et dans le mémoire présenté en dernierlieu, n'exige 
que le calcul de tables à double entrée, si l'on exclut les termes 
du deuxième ordre ou dépendants du carré des épaisseurs, et 
que lon substitue aux données et aux inconnues d’autres quan- 
tités. (Par exemple, à l'égard des données, il convient de substi- 
tuer la quantité h" — h +- e à la donnée 4.) De cette manière, on 
n'aurait, il est vrai, que des valeurs approchées des inconnues, 
et qui conviendraient dans les cas les plus ordinaires; mais on 
aperçoit la possibilité de construire une nouvelle table à double 
entrée, d’une petite étendue, qui fournisse la correction de la 
valeur de l’inconnue principale. Le même ordre d'idées s'applique 
au cas des arches en anse de panier, et la construction d’une table 
à simple entrée est alors suflisante. Théoriquement, la solution 
déduite de cette table exige une correction; mais on peut s’as- 
surer que, dans les circonstances les plus défavorables, la cor- 
rection qui porterait sur la différence de niveau du sommet de 
l'intrados ou des naissances avec la chaussée, dépasserait à peine 
un millimètre, et que, dans les limites ordinaires de la pratique, 
la correction qui resterait presque toujours au-dessous de cette 
quantité, serait toujours négligeable : en sorte que la table relative 
aux arches en anse de panier peut être considérée comme donnant 
des solutions exactes au point de vue pratique. Cette table, d’un 
usage très-simple, remplace la table à double entrée que nous 
avions construite tout d’abord. Quant à la transformation que 
nous faisons subir aux données, elle est telle que l'une ou l’autre 
arbitrairement, des deux quantités À et p,, peut toujours être 
donnée a priori. 

Nous exposerons dans cette deuxième partie les principes qui 
nous ont guidé dans la construction des tables pour les deux es- 
pèces d’arches dont nous traitons, et nous insérerons ces tables 
à la fin du mémoire. Comme elles dispensent d'effectuer, par voie 
de tâtonnements, les calculs ou tracés qui seraient indispensables 
sans leur secours, nous ne donnerons point d'exemple de ce genre. 

80. 


636 MÉMOIRE 


I ne serait nécessaire de recourir à ces procédés, que si l'on vou- 
lait avoir égard à la différence de densité du massif et des vous- 
soirs. Or nous pensons que les ingénieurs qui tiendront assez à 
la précision pour avoir égard à cette différence, ne reculeront pas 
devant l'emploi des méthodes de calcul ou des méthodes gra- 
phiques qui ont été indiquées dans la première partie. Faisons 
remarquer, à ce sujet, qu'en supposant seulement le produit 
(1 — :) k' du même ordre de petitesse que les épaisseurs, ou du 
premier ordre, ce qui est très-admissible dans les arches de pont, 
il serait possible de joindre à nos tables de nouvelles tables des- 
tinées à corriger la solution obtenue en faisant i — 1. Le temps 
nous manque absolument pour entreprendre ces nouvelles re- 
cherches. 

L'étendue déjà considérable de notre travail, et la crainte d’a- 
buser de la facilité que l'Académie a bien voulu nous offrir pour 
l'impression, nous déterminent à ne point publier ici le chapitre 
sur l'établissement des appareils dits poitrails, lesquels, bien qu'ils 
présentent une grande analogie avec les arches de pont, ne doivent 
point cependant être considérés comme étant des cas particuliers 
d’arches de pont proprement dites. 


SIMPLIFIGATION DES FORMULES GENERALES POUR LES CAS ORDINAIRES 
QUE PRÉSENTENT LES ARCHES DE PONT. 


34. Les deux éléments de réduction auxquels nous aurons re- 
cours sont le rapport désigné par #, de la densité du massif à celle 
des voussoirs, et la hauteur de la charge qui s'élève au-dessus 
du plan horizontal tangent à l'extrados. 

Le plus souvent, et c'est d’ailleurs l'habitude du plus grand 
nombre des ingénieurs, on peut négliger la différence de densité 
du massif et des voussoirs. C’est ce que nous ferons dans tout ce 
qui va suivre, en posant 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 637 
Cette relation permet d'effectuer immédiatement une;grande sim- 
plification dans les formules {s”), en y réduisant à zéro les coeffi- 
cients D et G et les termes des autres coefficients qui ont (1— ;) 
pour facteur. 

Quant à la hauteur de charge 4, cette quantité! est très-grande 4 
par rapport à l'épaisseur dans les tunnels et dans les poitrails 
dont il a été question au numéro précédent. La grandeur de h 
permettrait aussi des simplifications, et rendrait praticable l'emploi 
des séries à la place des fonctions elliptiques; mais nous ne nous 
occuperons point de ces constructions, par la raison énoncée en 
terminant le même numéro. Dans lés ponts, au contraire, la 
hauteur À est très-faible, et presque toujours plus petite que l’é- 
paisseur de la voûte. Nous avons déjà dit au n° 20 que la petitesse 
de À permet de réduire l'échelle des modules des fonctions ellip- 
tiques au premier de la série, et qu'il suffit de calculer une seule 
amplitude en outre de celle qui sert de point de départ à la série 
des amplitudes. Nous avons fait de diverses manières le calcul de 
l'erreur qui en résulie, et nous nous sommes assuré qu’elle est 
à peu près insensible dans le cas des ponts. Néanmoins, dans le 
calcul des tables, nous nous sommes astreint à ajouter la petite 
correction nécessaire pour obtenir le degré d’exactitude que l’on 
atteindrait en tenant compte, dans le calcul des fonctions ellip- 
tiques, d’un module et d’une amplitude de plus. 

Nous commencerons par opérer sur les fonctions elliptiques 
des transformations indiquées par la petitesse de À ou de k”. L’ex- 
pression de tang*®, équations (s”), montre que si l'on y prend y” 
égal à l'ordonnée du point inférieur de Vintrados, l'angle @ sera 
plus voisin de 90° que de zéro : comme nous ne ferons usage des 
équations (s”) que pour établir une relation entre les coordonnées 
du point inférieur de lintrados, il convient ici de substituer à 
l'angle @ son complément; posons donc 


E — JO D: 


Nous avons dit en outre que le module c est très-voisin de l'unité 


638 MÉMOIRE 


dans la même hypothèse relative à X”: pour cette raison, nous 
lui substituerons son complément b donné par la formule 


Dh Te: 
si l'on fait, de plus, 
: sinŸ — b, 
d'où 5 


cosŸ — c, 


on aura l'échelle suivante des modules : 


sinŸ, — tang* 


CHR 
ee 


2 
ee) 
F 
| 
æ 
5 
5 
FA 
[l 
É 


celle des amplitudes deviendra 


cos (2 Ë, — Ë | — cosË cosy, 


cos (2 Ë, — Ë) — cosË, cosw,,, 


cos (2 Ë, — Ë,_,) — cosË, , cosŸ, 


Dans le cas où les angles Ë seraient très-petits, on ne pourrait 
plus se servir de ces formules; mais on en déduit les suivantes 
qui ne présentent pas les mêmes difficultés : 


sim (2 Ë, — Ë )— sin £ + cos’ Ë sin*Ÿ, 


sin (2 Ë, — Ë;) — sin’ Ë, +- cos’ É, sin’ Ÿ,, 


sin (2 Ë, —Ë, ;)==ssim" 6, , cos 6, sin ÿ,2,. 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 639 
Ces dernières formules ne sont pas logarithmiques : il en existe 
d’autres qui ont l'avantage de l'être, mais elles exigent que les 
modules se succèdent dans l’ordre inverse de celui que nous avons 
adopté; nous les aurions rapportées, s’il nous avait été nécessaire 
d'effectuer les calculs au delà du premier module. Les précédentes. 
qui nous serviront au calcul de l'erreur que l’on commet en s'ar- 
rêtant à ce module, montrent actuellement la rapidité avec laquelle 
l'angle &, se rapproche de sa valeur limite, lorsque + est très-petit 
ou que c diffère peu de l'unité. 
Enfin, les deux systèmes de formules propres au calcul des 
fonctions elliptiques elles-mêmes deviennent : 


F (cr, ®r) — log cot = LE 


JE (ce) PCR.) 
cos 3 Ve 
Fer @;) = ni Fes Ei), 
EE À 
F(ce,@)=—— F{c, @); 
cos? — Ÿ 


FE. Pa) —— COS Éo 


(c D ©...) —20cos = Vs E(Cn, Dr) +2 sin? = F(cns Pr) —cos (2 Ë —ÉE,_), 


640 MÉMOIRE 
35. Nous limiterons d’abord l'emploi des formules précédentes 
en faisant n — 1. De cette manière, il sera mutile de calculer ,, 


et il suffira d'appliquer la première des formules qui donnent la 
série des £. Le calcul des fonctions F et E se réduira ainsi à celui 
des formules extrêmes de chacune des deux séries. 

Ceci posé, les premières équations (s”) donnent, en vertu de 


CS) 
h—Rh+e, 
fat 
Ag æ+(k— ee}, 


B—= C —+ h', 
B y*—h 

oO À — — 
ang? — à 


De cette dernière équation on tire les trois relations suivantes : 


a B— y" 
angtE — — ———, E 
= 


k'® B— y" B. y"*—h"* 


0 cos me Spin 
yY° B—kh* y B—k* 


dont la première sera particulièrement utile. 
Nous avons posé plus haut : smŸ—b, etb®=—1—c";ils ensuit 


sinŸ — V 1 — c'; 
= B—C ; ï PT RL 
Or, 1—c°—— en vertu des équations (s”), 1 vient donc 
w 
VB 


La valeur de A’ est 


NE sin @ COS Pt b: sm'®, 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 641 
ou 


A — sin°Ë + cos'Ë sin°Ÿ; 


de cette expression comparée avec la première des relations non 
logarithmiques entre les amplitudes, rapportées plus haut, on tire 


A — sin'(2Ë, — Ë): 


mettant dans la valeur précédente de A*, pour sin'Ë, cos'£ et sinŸ, 
leurs valeurs données ci-dessus, il vient 


pa MB ART) LR 
PE) à 
et l'on a simplement 
A—sin(2Ë, — Ë) = 2; 
J 


Le troisième terme de la valeur de x” devient de même 


C sin@ cos@ ER: B—R" y 


a V5  sinf cosé VB — y" Vi 


(en supposant les angles @ et £ compris entre o° et go°), ou, en 
vertu de la relation précédente, 


C sing cos@ cos® 
_— — VB— y cos(2Ë — Ë 
ta — VB — y" cos( ) 
Les fonctions elliptiques limitées dans leur développement, 
comme il a été convenu, se réduisent à 


F(c, @) — - log cot = &, 


cos — Ÿ 
2 


El(c,®)—2 cos! ÿ cos Ë, + 2 sin*-Ÿ logcot=Ë, — cos (2Ë, — Ë). 


SAVANTS ÉTRANGERS. — XII, 81 


642 MÉMOIRE 
A l'aide des valeurs que nous venons d'obtenir, et à cause de 
D—0o,G— 0, l'expression de + x” se réduit d’abord à 


La —,.F(c,@)—VB.E(c,p)+VB—7y"* cos(2Ë — Ë) 


(on écrit ici le double signe devant x", parce que l’on suppose les 
angles @ et Ë compris entre o° et 90°, ce qui suflit dans le pro- 
blème des arches de pont) : en substituant dans cette dernière 
équation les valeurs des fonctions F et £, il vient 


1 
A — 2Bsin° — Ÿ RE 
: 7 2 2 1 — 1 
SE Gi los cot -Ë, — 2 VB cos’ - Ÿ cosé, 
== 1 Oo 2 2 
V B cos 
] 


VB NV BEA) cos (26 €) 


On peut encore chasser l'angle Ÿ : en effet, l'on a 


1 DE C 
cost E YU = à + cos — 1 + 4/1 —i + VE 
2 B VB 
ce qui donne 
_… : . =: 
2\/B cos -d— VB+ VC. 
D'un autre côté, le numérateur de la fraction qui multiplie 
1 Lyme: 
log cot— £, peut s’écrire 
À asia dAsrndilts 
2 
or on a 


a Mae 
2 3 


et, par suite, 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 
d'où 


A— THB — ie): 


soit, pour abréger, 


il viendra finalement 


643 


35 bis. Sans entrer dans tous les développements qui seraient 
nécessaires pour effectuer les calculs, nous allons dire brièvement 
comment nous avons obtenu la correction qu'il faut apporter à la 
valeur de x” pour parvenir au même degré d’exactitude que si 
nous avions poussé le calcul des fonctions elliptiques jusqu’à l’em- 


ploi de l'amplitude &,. 


Nous avons posé d’abord 


E —Ë +o, 


s désignant-une quantité très-petite que nous avons obtenue en 


appliquant le théorème de Taylor à la relation 
sin? (2Ë6, — Ë,)— sin'é, + cos’é, sin’: 
la valeur de o est, aux termes près des ordres supérieurs, 
1 1 
S—> coté, tang* y. 


Quant à la valeur de tang = : de la relation 


2 B cos! -4 — VB + VC, 


81. 


644 MÉMOIRE 
on tire 
2 \/B sin’ = == VB =- VE. 
d'où 
' 


? = ÿ 
ADO NV == 
Ps VB+VC 


quantité dont la quatrième puissance est très-petite. 
En faisant toujours usage du théorème de Taylor, on trouve 
aisément 


1 1 1 coté 1 
2 — _ — — i_ 
log cot = Ë, — log cot F £, time tang 5 Ÿ, 


x 1 1 
COSÉ, — COSË, — cosË, tang*-Y. 


À l'aide de ces valeurs, on obtient pour expressions approchées 
des corrections à appliquer aux fonctions F et E, 


EF — = tang* = [log cot -E, == me). 


sin Ë, 


dE == tang' = Ÿ [log cot =E — cos: 
et l'on en déduit, pour la correction de la valeur absolue de æ’, 


Aa" — — \/Btang* -Ÿ 11 logeot LE + (2 1) cosé|, 


Seine 


en négligeant les quantités de l'ordre de tang® = ÿ. Dans cette 


Ua 


expression, la parenthèse croît à mesure que £, diminue ou que 
tend vers zéro; mais le facteur tang‘ = Ÿ décroit plus rapidement 
que la valeur de la parenthèse n’augmente, et d\x’ s’annule avec h”. 

Une expression encore susceptible de simplification est celle de 


la tangente de l'angle & que fait la normale à l'extrados avec la 
verticale : l'équation (m") dans laquelle les quantités æ et y” ont été 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 645 
notées de l'indice 1, devient, en rétablissant la généralité de cette 
formule, 


langa — J ) ( Ÿ ), 
A— 7° 
on entire aisément, au moyen des relations précédemment établies 
entre les quantités À, B et C, et négligeant les termes en e. 


; 2 PTE (B EE 
A mn on 
De CU 
2 AzYy* 
COSŒ — 5 


La dernière de ces équations va nous fournir un moyen plus 
rapide de calculer l'angle &. En y substituant la valeur de A en 
fonction de C obtenue précédemment, puis multipliant haut et 


2 
bas par gr ma 


Y°—h® 2e 
1— 2 — —— 
C 3 C 
COS — 
VE ñ PRET 
1——|1—2 _- 
:| C | C 
soit 
< mm pra 
COS MINE 2 c ; 
d'où 


4: == 
snm-&4 — + VE 
2 


1 : . 1 : a Û » CRC ! 
équation qui sera très-propre à déterminer l'auxiliaire a’; la valeur 
de cosa deviendra 


h'= 
C Q 


646 MÉMOIRE 
or, si l’on néglige les termes du quatrième ordre, elle se réduira à 
p 2: ed à 7 
COS —= COL" — CG SsIn°® : 
on en déduit aisément 


î Car: F 
sin (& — à) — G Sna. 


œ] © 


Cette équation, jointe à celle qui donne l'angle 4’ par le sinus de 
sa moitié, sera d’un emploi plus commode que les formules précé- 
dentes, pour calculer l'angle &. 

L'interprétation géométrique de cette relation entre les angles & 
et œ est facile. Déterminons, en effet, l'angle des intrados réel et 
LT : d.20 1 e* dy" Le È 
fictif; son expression est ——--";, en vertu de l'équation (x): 

$ q as 
or, en négligeant les termes du troisième ordre, cette expression 
coïncide avec la valeur de 4 — «, donnée par l'équation précé- 
dente. Il en résulte que l'angle à’ est l'angle que ferait avec l'axe 
des x la tangente à une courbe dont les éléments seraient symé- 
triques avec ceux de l'ntrados réel par rapport à la tangente à l'in- 
trados fictif. 

Avant d'aller plus lom, il est indispensable de résumer les 
relations que nous venons d'obtenir; nous y joindrons une rela- 
tion nouvelle en posant C — 4 Q*, Q* étant une quantité qui nous 
servira dans le calcul des coordonnées par voie de différence. Pour 
éviter le recours à la première partie du mémoire, nous repro- 


duirons les notations. 


RÉSUMÉ DES FORMULES SIMPLIFIÉES POUR LE CAS OÙ LE MASSIF ET LA VOÛTE 
SONT DE MÈME DENSITÉ. 


Notations. 


36. L’axe des y est vertical et passe par le sommet de l'arche; 
l'axe des x est horizontal et situé dans un plan parallèle au plan des 
têtes, qui est élevé au-dessus du plan tangent à l’extrados d’une 
quantité À représentant la hauteur d'une couche de matériaux 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 647 


de même densité que le massif et dont le poids serait égal à celui 
des couches de densités diverses qui surchargent la voûte. 

Nous désignons par : 

ha hauteur de la charge qui s'élève au-dessus de la clef ré- 
duite à la densité du massif, comme il vient d’être dit, en sorte 
que À désigne l’ordonnée du sommet de l'extrados: 

e l'épaisseur fictive de la voûte ou la distance constante entre 
l'extrados et l'intrados fictif, mesurée suivant la normale commune 
à ces deux courbes; 

h" lordonnée du sommet de l'intrados fictif; 

x, y et p' les coordonnées et le rayon de courbure de l'ex- 
trados; 

æ", y et p" les coordonnées du point de l’intrados fictif situé 
sur la normale à l’extrados menée par le point (z', y’); et le rayon 
de courbure de l'intrados fictif, au point (x", y’); 

X, Y les coordonnées du point de lintrados réel situé sur la 
même normale; 

æ l'angle de cette normale avec l'axe des y ou du plan de joint 
passant par le point (x, y‘) avec la verticale; 

a’ un angle auxiliaire très-peu différent de &, et dont la signi- 
fication géométrique a été donnée à la fin du numéro précédent. 

e l'épaisseur réelle, ou la distance comprise entre le point (x, y’) 
de l’extrados et le point (X, Y) de l'intrados réel; 

à la distance comprise entre le milieu du joint réel et le milieu 
de lépaisseur fictive, en sorte que 20 désigne la distance des 
points (x", y’) de l'intrados ficüif et (X, Y) de lintrados réel; 

& la hauteur d’une colonne prismatique de la matière des vous- 
soirs, dont le poids produirait sur une base horizontale la pres- 
sion qui a lieu dans le plan normal à l’extrados mené par le point 
CARAE 

À la dimension de l'arche dans le sens perpendiculaire au plan 
des têtes ou parallèle aux génératrices; 

& le poids de l'unité de volume de la matière des voussoirs et 
du massif; 


648 MÉMOIRE 


T et { la pression totale et la pression par unité de surface qui 
ont lieu dans le plan normal à l’extrados mené par le point (x', y’); 

U la poussée horizontale qui résulte des actions exércées par 
le massif sur la face verticale de la culée qui passe par l'arête 
inférieure de l’extrados; 

u l'ordonnée du point d'application de cette résultante ; 

V le volume des matériaux de la demi-arche et du massif limité 
dans le sens horizontal par des plans verticaux menés par le som- 
met et le point inférieur de l’extrados parallèlement aux généra- 
trices ; 

f la flèche de l'arche, ou la montée; 

g la demi-ouverture. 

Les indices o et 1 serviront à désigner les valeurs particulières 
que prennent les diverses variables au sommet de la voûte et 
aux naissances (à l'exception de l'indice 1 qui affecte les lettres Ÿ 
et £ dans les expressions des modules et amplitudes des fonctions 
elliptiques). 

Voici maintenant les relations dont nous aurons à faire usage 
pour calculer labscisse d’un point de lintrados fictif en fonction 
de l'ordonnée, déterminer la situation de la normale et l'intensité 
des pressions : 


RME Ne) (1) 


g— 2e, (2) 
A — q° + (h” — e}?, 


A — —————, 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 649 


" 


sin(2Ë — = +, ne EE | 
æ"=A'log cot=£ —(\/B+\V/C) cosË,+(\/B-/B—y")cos(2Ë—Ë); (4) 


VE) RE 


(Pour plus de clarté, on a supprimé les doubles signes, ici et 
dans les expressions suivantes; on pourrait toujours les rétablir au 
besoin, en se rappelant que les courbes intrados et extrados sont 
symétriques par rapport à l'axe des y : tout se rapporte ainsi à la 
partie de l'arche située du côté des x positifs.) 


2 log cot - LÉ, (= 


ae VERTE à, | 
C rñ e° 
Vlr |, 
2 A— y" | 
COS — ri ee te ES: 
Vip ee | 
tanga — — Vi (6) 


on peut aussi calculer l'angle & au moyen des deux formules 


sin = a — \/ =: sin(x — a) ?Ÿ sine. (6 brs) 


el UE Gen or dm (7) 


(‘) I arrive souvent que le deuxième et le troisième terme du second membre 
sont peu différents : il faut alors calculer ces termes avec une figure de plus que 
le premier, à moins qu'on ne remplace ces deux termes par le suivant, que l'on 
obtient après quelques transformations, 


a sin?(2É, — Ë) l 
2 VC cos (2 £ — Ë) L cos£, |‘ 


Quant au dernier, il est presque insensible pratiquement; malgré cela, nous en avons 
tenu compte dans le calcul des tables dont il sera question ci-après. 


y” cos’ (2Ë — Ë) 


SAVANTS ÉTRANGERS. — XII. 82 


650 MÉMOIRE 


FÉL é—e+as, 8) 


Où | = 


Y— y! -Hadcosx, , y y} -- e cosa, 


L (9) 


Ti COS Li — Lil CISIN. 


| 


Les ordonnées des points extrêmes de l'intrados fictif sont 
ah, Yinf+h Had — 26, cosa,; (10) 
celles des points extrêmes de l'intrados réel sont 
Y—h+ad, Y—/f+h+o20,; (11) 
et la valeur de la demi-ouverture est 
g—=X, — x", — 28, sma. (12) 


Les relations entre les pressions qui ont lieu dans les plans de 
joint extrêmes données par les équations ({”) et (x”) sont enfin 


1 JU +2F) | 
PEU LT IDE AU | 
(13) 
ee ee nn) | 
PTT 3(m—f)" 


Nous n'avons point à dire ici comment on devra se servir de 
ces formules, et pratiquer, suivant le besoin, les éliminations. En 
traitant de la construction des tables destinées à éviter les calculs 
par tâtonnements, nous montrerons, dans les numéros suivants, 
comment nous avons fait usage de ces formules; mais nous devions 
les rassembler tout d’abord. 


DE LA CONSTRUCTION DE TABLES APPROPRIÉES À LA DÉTERMINATION DES INCONNUES, 
DANS LE CAS DES ARCHES INCOMPLÈTES , DITES EN ARC DE CERCLE. 


37. De ce qui a été exposé au n° 24, il résulte que si lon 
se donne, dans le cas des arches incomplètes, les quantités /, g, 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 651 


h, pu où p et 1, et que l’on attribue à l'épaisseur e une valeur 
hypothétique, on pourra calculer la valeur de 4 en fonction des 
cinq autres quantités, à l'aide des formules générales. Comme 
nous ‘avons fait à — 11, la valeur de g n'est plus fonction, au 
moyen des équations du numéro précédent, que de quatre va- 
riables mdépendantes; mais Fhomogénéité de nos formules per- 
met, de substituer aisément la recherche des rapports des variables 
à la recherche de leurs valeurs absolues!, en sorte que le pro- 
blème serait ramené à celui de la construction de tables à triple 
entrée, problème à peu près inabordable pratiquement. Or la dif- 
ficulté qui se présente ici peut être levée en substituant à la don- 
née h, l'ordonnée Ÿ, du sommet de l'mtrados. Les problèmes qui 
se présentent dans fa construction des chemins de fer comportent 
plutôt, comme données relatives aux arches de pont, les diffé- 
rences de niveau de leurs diverses parties, que l'épaisseur rigou- 
reusement déterminée des couches de matériaux qui s'élèvent au- 
dessus du sommet de l’extrados. 

Admettant donc la quantité Y, comme Tune des données du 
problème, nous remarquerons que;:si lon fait abstraction des 
termes du deuxième ordre ou qui ont en facteur le carré de l’é- 
paisseur e, et que, de plus, on prenne pour inconnue la quantité 


1 ET Ê : A ’ Ê 
Q°ou 30; l'épaisseur e disparaitra complétement des équations; 


en sorte que g sera seulement fonction de f, Y, et de l'inconnue Q*. 


© Nous profilerons de la circonstance pour présenter une remarque qui eût peut: 
être été mieux placée ailleurs, et que le lecteur aura sans doute faite. Les rela- 
tions que nous avons établies, ayant lieu entre des rapports de grandeurs linéaires, 
restent les mêmes dans les arches de profils semblables, où les longueurs homo- 
logues sont entre elles dans un!mêmie rapport : il s'ensuit que, dans les! arches sem- 
blables, la quantité. y, qui détermine des pressions .par unité superficielle entre les 
voussoirs en des points semblablement placés, est proportionnelle aux dimensions 
linéaires homologues des arches que l'on compare. La pression lotale par unité de 
longueur mesurée parallèlement aux génératrices de l'intrados, qui est représentée 
par me; et détermine la poussée dans le joint inférieur quand #4 prend da valeur 
particulière y, , se trouve, par suite, proportionnelle au carré des dimensions homo- 
logues. 

82. 


652 MÉMOIRE 

En effet, se donnant Q°, Y, et f, les équations (11) et (10) don- 
nent À = Y, et y’, —f+-h", auxtermes près du deuxième ordre; 
les équations (3) donnent C— 4Q°, B— C-+h"*; et, en faisant 
y —= 7" dans les équations (4), celles-ci permettent d'obtenir la 
valeur de x", qui, en vertu de (12), est égale à g, aux termes près 
du deuxième ordre. Introduisant les rapports de lignes au lieu de 


. . Ü " 
leurs valeurs absolues, il arrive que 7 par exemple, n’est plus 


fonction que de FE et de Fe et que la solution approchée du 
problème se trouve dépendre de la construction de tables à double 
entrée seulement, 

En suivant la marche qui vient d’être indiquée, nous avons 
calculé effectivement des tables qui présentent la suite des valeurs 


À Y, : 
de 2 relatives à des valeurs fixes de — et à des valeurs variables 


j Q° ; TA 1 
du rapport +; dix tables de ce genre ont été calculées pour des va- 


d'A 1 4 
leurs de — égales à 0,4; 0,5;0,6:....;1,2; 1,3. Or, la recherche 
Q° L Y DE 
de la valeur de F en fonction de Fe et de ; à l’aide de ces tables 


eût été pénible; il eût fallu même en augmenter très-notablement 
l'étendue pour les adapter à cet usage. Pour obvier à ces incon- 
vénients, nous avons pris le parti de retourner chacune des dix 
tables, c'est-à-dire de calculer par voie d'interpolation, à l’aide des 
tables primitives, de nouvelles tables qui donnent directement la 


Q° : Y, J + / 
valeur de 5 en fonction de — et de ?. Nous avons formé de cette 


manière la première des tables à double entrée que l'on trouvera 
à la fin de ce mémoire, sous le titre de Table 1. L’étendue que 
nous lui avons donnée nous paraît répondre aux exigences de l'art 
des constructions. Nous ne présenterons point ici les détails rela- 
ufs au calcul des tables; disons seulement que nous avons fait 
usage des formules d’intercalation mentionnées, à propos du calcul 
des, éphémérides des planètes, dans un mémoire sur la déter- 
mination de leurs orbites, inséré dans la Connaissance des Temps 
pour 1852. 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 653 


; Q° : 
La Table [ donne la valeur approchée de —, et, par suite, celle 


de Q°, aux termes près du deuxième ordre. Cette première approxi- 
mation permet de calculer la valeur des termes négligés, et d’en 
tenir compte ensuite. En effet, ces termes étant du deuxième ordre 
ou dépendants du carré de e, il suffit d'obtenir la valeur approxi- 
mative de e en fonction des données. À cet égard, se donnant u, 
par exemple, la deuxième équation (13) fait connaître 4, et, si 
lon élimine q* entre les équations (2) et (3), il vient 


Éper nr à 
Q —e|(p Rate : e). 
d'où 
Q: 
__—_— mn 
ts — RTE 
J 


i 5 J FIST 2 : 
équation dans laquelle on pourrait négliger ; eau dénominateur. 


La valeur trouvée de e, pour être admissible, doit, en vertu de 
l'équation (1), donner une valeur k —h"— e qui,ne soit pas né- 
gative, et qui soit au moins égale à celle réclamée par l'expérience. 
Si, au lieu de se donner y, on se donnait k, il viendrait par 
l'équation (1), 
CS EE (15) 
L1 
la valeur de x, s’en déduirait : 


De nr (16) 


et la première équation (13) donnerait celle de y; cette dernière 
devrait être compatible avec la résistance des matériaux employés, 
pour que la solution fût admissible. 

Dans les deux cas, il est donc possible d'obtenir une valeur 
approchée de e; nous allons dire actuellement quel usage il con- 
vient d’en faire, pour corriger la valeur de Q* déduite des tables. 


654 MÉMOIRE 


38. Enuméronsles quantités négligées dans Le calcul de la Table 1. 
1° Nous avons fait 4” — Y,; il résulte de la première équauon 
(11) que #” doit recevoir la correction 


d\h" LEGS do. 


2° Nous avons pris y’, —f + k"; la deuxième équation (10) 
montre que l’on doit appliquer à y”, la correction 
\ y, = Ah" + 20, — 29, cosæ,, 
ou simplement 
\y, = — 24, cos®, , 
en vertu de la relation précédente. 


3° Le terme en e* de la valeur de A’ ayant été néglige, 11 s'en- 
suit que æ&’, doit subir la correction spéciale 


log cot Ê ë, 
2 


[0 


e*. 


(Aa) = — 


| 


VB+ VC 

4° Nous avons fait simplement g — x”,; il résulte de l'équation 
(12) que g doit recevoir la correction Sax", — 20, sin, : comme, 
d'autre part, la valeur de g ne doit pas changer, on a cette équa- 


tion de condition, , 


d\x’, — 20, sind, — 0, 


dans laquelle nous devons regarder d\x”, comme étant la variation 
ere de $ : As 
e æ', qui résulte des trois corrections que nous venons d'indi- 
quer, et d’une correction inconnue d\(Q°) ou À C qu'il s'agit de 
(4 


déterminer : +”, étant donc considéré comme fonction de À", y", 
et C, nous aurons 


dx, 


ae Ce dsma—tos 


(4 dz, L/A dx”, (2 
(A\æ,) + (5) Has d\y, + 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 655 
dans cette équation, (&) désigne la dérivée partielle de x’, par 
rapport à k”, obtenue en faisant abstraction de la variation que +”, 

ë ë 7 me " da”, " 
subit par suite de ce que y’, varie avec k”; le terme F d\y", com- 
prend cette variation. 

Substituant les valeurs obtenues plus haut de ({\x”,), A het Sy", 


7 


NN qe 4A\(Q:); il viendra 


L 
et observant que l’on a D Aa 


1 
log cot — É, 


dx", 2 dx”, À 
ve D leg ae man (O1 = 0: 


Nous avons d’ailleurs, première équation (8), 


ou, en négligeant les quantités du troisième ordre, équation (3), 
" 2NenpN7 
h , 2 Ch = 3 & Yi: 


En négligeant les quantités du deuxième ordre dans la première 
équation (5), ce qui ne donnera lieu qu’à des erreurs du qua- 
trième dans le resultat, on aura encore 


2 1 1 


Gsine VF) By) 


F y cos (26, — Ë) VE 


Substituant ces valeurs dans l'équation de condition, on en tirera 


1 
1 t —Ë, 
ŒetE 


de dx" î 
GN(O:) =) RE — () | 
ac (Q ) VB + VC FE C\dh 2008 (26 — £) VB— y," 


e*.(17) 


Pour faire usage de cette formule, il reste à déterminer les 


Mae a 
valeurs des deux dérivées a À (} On peut les obtenir de 


deux manières différentes. 


656 MÉMOIRE 
En premier lieu, si l'on effectue les différentiations à l’aide des 

expressions du n° 36, et que l’on néglige la variation du dernier 

terme de x”, on parvient, après des transformations que nous 

nous dispenserons de reproduire, aux deux valeurs suivantes : 


dx"; n 2 VB VB—=y"- EE ——— 

()= h D logeot: Ë— É — (VB—+\VC) siné| fe sh = 
2ÿ1 "VB cos(26, — Ë) 

2. a 1° tang(2Ë —EË) + h nf 2 oosé cos(2Ë, —E)] | 


Ce NN log cot- 2 LE — (VB + V0) singe 


TONER VE (VB+ VC) CVBVB— 7" 


cos(2£, — Ë) cos Ë, 1 
a Ve ei Se eve moe — Ë)] | 


En second lieu #1 désignant la dérivée partielle de x", par 


, ‘dh" (2 
rapport à 4”, il vient, en vertu de ce qui a été dit plus haut, 
dx"; ire dx”, dx", dy", 
db () dy, dk? 


ou simplement, 
de, ( “ de, 


CN en dy, 
d dy" à : 0 ; k 
à cause de D = — 1, 2 équation (10). Or, on a, équation (6), 
" A y" 
0 — 
dy", = Vre— me VE y 


valeur qui donne, en ayant égard aux relations établies au n° 35, 
et négligeant les termes du deuxième ordre, 


de 1 VB? J'\cos(2Ë — Ë) 


dy, 2ycos(2Ë —E) 2VB— y" 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 657 
Maintenant, C ou 4AQ* étant, en vertu du retournement des 
tables, une fonction de g et Y, ou de x”, et k”, il vient 


dC= Tr de, + TE dW': 


2 


: bo Bb dx ë : 
pour obtenir la dérivée partielle Fo on doit supposer Q: ou C 


constant; alors cette équation, en y faisant dC — o, donne 


dc d(Q:) 
D enaulad di Ta 
2, ip 09 due A0) 
de”, dr”, 


A ; CL , : . 7 
La dérivée partielle _. s'obtiendra pareillement en faisant dk" — 0, 


et il viendra 


den Le 14 1 
pri boh fou 


À l’aide de ces diverses valeurs, on tirera de l'équation (14), 


dog cot — 5% 
1 
SFR Ÿ VE C F6 s (26 — E) VB— 7," d(Q:) 2 k d(Q*) 
Ta 3 = Ve 1 VB TE — EE (19) 
_ VER. ,/1ml8 
C \y'icos(2 & —Ë) VB— y" ) 


La quantité f étant une constante, les deux dérivées que renferme 
cette expression peuvent s’écrire 


nt qu 
== t 2 
RAS 
J f 


SAVANTS ÉTRANGERS. — XII. 83 


658 MÉMOIRE 


Or, les nouvelles dérivées partielles que nous venons d'écrire se 
déduisent aisément des tables retournées, en prenant les diffé- 


5 Q: ue e 
rences de la fonction — successivement dans le sens vertical et 


dans le sens horizontal, et faisant usage de la formule connue 


du 1 1 1 1 
sms Ant EE Aer sas tantdlo (as) 
l 2 3 4 | 


qui sert à obtenir la dérivée d’une fonction u réduite en table, au 
moyen de ses différences Au, Au,... et de la différence cons- 
tante Az de la variable. 

IL suffit ici de faire Ax — 0,1, ce qui conduit à prendre les 
différences de dix en dix termes dans le sens vertical, et de terme 


: - d (Q° 
en terme dans le sens horizontal, pour obtenir des valeurs de = 


€ 
et, par suite de AQ?, qui corrigent assez exactement celles de 


Q:. Les tables primitives ou des valeurs de % auraient bien pu 
MERE A 1 FN PRE Le 

donner immédiatement les dérivées partielles > Mais il n’au- 

a "n 

© 1 


FT 
à cause de la divergence de la série des différences Au, Au... 


rait pas été possible d’en déduire aisément les dérivées tant 


qu'à cause des limites relatives à — qu'il eût fallu reculer en aug- 


mentant démesurément l'étendue de ces tables. 
Nous avons calculé les tables qui donnent les valeurs de la 


(Q*) 


: UE di ; 

fonction ——; on les trouvera à la suite des tables de la valeur 
2 € 

de ou sous le titre de Table IT. Ayant obtenu une valeur approchée 


de e, comme il a été dit au n° 37, on en déduira aisément, à 
l'aide de la Table LE, la correction d\(Q:) à appliquer à la valeur 
de Q* fournie par la Table I; et l'on aura, par les équations (11), 
(8) et (3). 


RENE 


TS (21) 


Les valeurs corrigées de Q* et k" pourront être appliquées au 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 659 


calcul d’une valeur plus exacte de e au moyen de lune ou de 
l'autre des formules (14) et (15), suivant les cas !. Connaissant 
actuellement Q*, k”, e et p,, l'emploi d’un petit nombre des for- 
mules du n° 36 fournira tout ce qu'il est nécessaire de connaître 
pour procéder au calcul des coordonnées, rayons de courbure, 
poussées, etc. 


CONSTRUCTION DES TABLES POUR LE CAS DES ARCHES COMPLÈTES, 
OU EN ANSE DE PANIER. 


39. Nous avons vu, n° 26, comment la condition de la verti- 
calité des tangentes extrêmes introduit une équation de condition 
entre les constantes, et réduit d’une unité les arbitraires du pro- 
blème relatif aux arches complètes. Il est clair, si lon se reporte 
aux considérations présentées n° 37, que la substitution de la 
constante #” à la constante À permettra de ramener la solution du 
- problème à la construction d’une table à simple entrée. C’est ce 
qui se vérifiera du reste aisément par le fait même. 

L'équation de condition que nous venons de rappeler est (d”'} 


PA 7 7 2 el R'(f+h") ait 
g=f(f+ah) +ale— {fi on : 


en éliminant q° entre celle-ci et équation (3), il vient immédia- 
tement 


OR : 1 W(f+R)\., 
0 na (a qi ea 
!? Nous indiquerons un moyen d'éviter le calcul de d (Q°), et d'obtenir néan- 
moins une solution exacte jusque dans les termes du deuxième ordre. Ce moyen 
consisterait à accepter la valeur approchée de Q° comme exacte, et à en déduire les 
valeurs de e et g° : procédant ensuite au calcul des coordonnées ou au tracé de l'in- 
trados, on s’arrêterait à l'ordonnée de l'intrados réel, qui répond, soit à la flèche, 
soit à la demi-ouverture données, et l'on prendrait à la place de l’une d'entre elles, 
celle fournie par le calcul ou le tracé. A la vérilé, ce ne serait pas la solution du 
problème proposé, mais bien celle d'un problème du même genre, dans lequel les 
données différeraient trés-peu des données du problème primitif. Or‘il est très-rare 
que les données soient tellement bien fixées, qu’on ne puisse leur faire subir, en pra- 
tique, la très-pelite variation qu'entraînerait le mode de solution qui vient d'être 
indiqué. 


‘83. 


660 MÉMOIRE 
équation à laquelle il faut Joindre la valeur de y”, obtenue n° 26, 


PS PR de 


On tire de celle-ci, 


R' 
RS ie -— — > 26; (22) 


cette valeur permet d'écrire C sous la forme 


Cafe —f)+3t+)e (22 bis) 
ou bien 


en ee 
2f(2y J) TUTe 3 f(271—/) € (23) 
D'un autre côté, les équations (10) et (11) donnent 
Me dite 2 dico: 


or observons que 29, et cosa, sont des quantités du deuxième 
ordre; leur produit étant du quatrième, on aura donc, à des 
quantités près de-cet ordre, 


de (24) 


Maintenant, il est évident que, si l'on se donne l’ordonnée Y, des 
naissances, et l’une des quantités f et 4”, on pourra, en négligeant 
les termes du deuxième ordre, obtenir la valeur de x”, à laide 
des équations (24), (22) et (23), jointes à la relation B —C +- L'° 
et aux équations (4). La demi-ouverture g tirée de l'équation (e”) 
peut d’ailleurs s'écrire 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 661 


elle se réduit à g — x",, lorsqu'on néglige les termes du second 
ordre. Ainsi la quantité g est fonction des deux variables Y, et f 


ou k”; et le rapport + se trouve, par suite, être fonction d’une 
a 1 
seule variable qui est e où —, suivant que l’on se donne l’une 
1 1 7 
ou l’autre des deux variables f et k”. 
La Table III insérée à la fin de ce mémoire contient, dans une 


première colonne, la suite des valeurs de L et, dans une seconde, 


1 
les valeurs correspondantes de L. Le rapport 3 des nombres de 


1 


la deuxième et de la première colonne est donné dans une troi- 
sième colonne. De cette manière notre table permet de trouver 
l'une des trois quantités f, g et Y, au moyen des deux autres. I 
est vrai que, théoriquement, les valeurs tirées de la Table II sont 
seulement approximatives, mais nous verrons bientôt qu'en pra- 
tique, on peut les considérer comme exactes. 

Les valeurs de f et k” étant connues, du moins approximati- 
vement, il devient possible de calculer l'épaisseur e, en se don- 
nant l’une ou l’autre des quantités y, et h. 

En premier lieu, soit donné y, : la deuxième équation (1 3) fait 
connaître pu, à l’aide de y. L’équation (c”) jointe à la relation 
h — h" — e donne 


1 1 2, 
Ve —h — g—0he + 3 € 


et, à cause de g® —2eu,, on obtient immédiatement 


1 Ya —"h"° se 
GE —_—_—————— (2 6) 
Bo — ie e 


. Te 1 
La valeur de e s’en déduira en négligeant d’abord le terme ;eau 


dénominateur, et y substituant ensuite sa valeur obtenue par une 
première approximation. 


662 MÉMOIRE 


On obtiendrait aussi la valeur de e sans passer par g,, au moyen 
de la formule 


ess Merle + : Lu 
nr (7) 
“ vit 6(t1—f) 


mais, comme la valeur de y, sert au calcul de q*, il sera préfé- 
rable d'employer l'équation (26). 

Quelle que soit, au surplus, celle des deux expressions (26) 
et (27) dont on ait fait usage, la solution trouvée devra, pour être 
admissible, satisfaire à de certaines conditions. Nous ne mention- 
nerons pas la condition e => 0, attendu que les valeurs de y, et pe, 
seront toujours prises beaucoup plus grandes que y’. et À"; cette 
condition sera donc toujours remplie. Mais il faudra que lon ait 
toujours e h", et, en outre, que la quantité h — k"— e qui en 
résultera, ne soit point inférieure à une limite fixée par les con- 
ditions particulières à l'établissement de la chaussée. Si ces con- 
ditions ne sont pas remplies, il faudra modifier les données. On 
diminuera l'épaisseur e en choisissant des matériaux plus résis- 
tants. 

En second lieu, si lon se donne la hauteur À de la surcharge, 
on aura immédiatement 


eh}, (28) 


et il y faudra s'assurer si la plus grande valeur de pr est compa- 
tible avec la nature des matériaux employés. À cet égard, on aura 
par l'équation (27), 


el 


Li — + h — : e, (29) 


2e 

et la première équation (13) fera connaître ensuite y. Dans le cas 

où la valeur de y, se trouverait être trop forte, il faudrait aug- 
menter e et par suite À”. 

La valeur de e étant supposée connue au moins approximati- 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 663 


vement, nous avons à rechercher quelles corrections doivent subir 
les inconnues du problème déduites de la Table IL. 

40. Les variables f, g, Y,, entre lesquelles la Table IL établit 
une dépendance mutuelle, sont au nombre de trois; et l’on peut 
se donner deux de ces variables arbitrairement, ce qui fournit 
trois combinaisons distinctes : mais, la demi-ouverture g étant tou- 
jours au nombre des données, nous n’aurons à examiner que les 
deux combinaisons qui comprennent les deux systèmes de don- 
nées g, Y, et CPS | 

Première combinaison. — Etant donnés g et YŸ,, trouver la cor- 
rection de la valeur de f tirée de la Table II. 

Les quantités négligées dans la construction de cette table sont 
faciles à rétablir, maintenant que la valeur de e est connue ap- 
proximativement. Soit, en effet, d\f la correction inconnue de f. 

1° L’équation (22) a été appliquée en négligeant le ‘terme du 
deuxième ordre et faisant usage d’une valeur seulement appro- 
chée de /; on aura donc 


aenpphus ne 


2° L’équation (22 bis) donne lieu à des corrections du même 
enre; leur somme est 
5 


AC— (y — ff +3 (1 +as)e. 


3° La valeur de x”, a été calculée en négligeant le terme du 
deuxième ordre contenu dans A/; nous devons donc, en vertu de 
l'équation (4) et de la valeur de A’, appliquer à x’, la correction 
spéciale 

1 
log cot — Ë, 
2 

d\x’ — —— 3 se -— e?. 
(e0 3 VB+VC 


4° Le terme du deuxième ordre ayant été négligé dans léqua- 


664 MÉMOIRE 


tion (25), si nous désignons par d\+”, la correction de 4", qui ré- 
sulte de celles que nous venons d'indiquer, et que nous obser- 
vions que g doit conserver une valeur constante et donnée, nous 
aurons 


Or, x”, peut être considéré comme une fonction des deux variables 
h" 


h" et c en vertu des équations (22) et (23), puisque f n'entre 
dans +”, que par ces variables; et l'équation précédente devient 


, dx”, dx" 2 y 
Ga) + ar Mac ile — 0, 


ou, en mettant pour (d\x’,), d\k" et 4\C leurs valeurs, 
P 


1 
1 t — 
ee EE AË Hd : de PAT 
Er |\ = + = —2% 1 22 — e 
3 VB+VC C dk" [ sa RUE 


on en tire 


y k' dx”, ( =) dx”, 
RE cm à = 
DR AM €: VB + VC C C dh dC 


On peut encore utiliser ici les différences obtenues _ calculant 
la Table IT, pour éviter le calcul direct de la dérivée © -, En effet, 


puisque +", est fonction de k" et C, on a 


n 
dx", 


dr a à qR' Sd 


et, comme k” et C sont d’ailleurs fonctions de la seule variable f, 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 665 
en vertu des équations (22) et (23) privées de leurs termes du 
deuxième ordre, on a, pour expression de la dérivée totale, 


dx", dx", dk" dx", dG 
Fa sn or = 7 AE TL 
Lf dh" df dC df 


ou, en vertu des mêmes équations, 
da”, ae 


nie 0 Der 


FR à dx" ; . k n 
La valeur de la dérivée partielle a qu'on en tire étant portée 
d Aa , j 
dans celle de Ph il vient, à cause de "= y”, — f, 
€ V . 
1 t — 
RES 2 ë ‘ L' dx”, dx", 
RON HUE AVE NTGOD | Goëf à 1e 
= E = É (30) 
e? 3 dx”, 


Il est clair que, y’, étant constant, on peut substituer à la déri- 
q 
dE 


2 


, de 


vée TE la dérivée — qui se déduit immédiatement des diffe- 


d— 


A e L ; Naud; 
rences fournies par la Table IE. Quant à la dérivée ——, nous en 


x 1] 
dc 
avons donné l'expression, (18). Cette expression et quelques-unes 
de celles qui servent à calculer x”, ou g reçoivent des simplifi- 
cations provenant de la condition particulière aux arches com- 


plètes !; nous nous dispenserons de les présenter ici, attendu que 


! Les quanütés k” et C (22) et (23), étant privées de leurs termes du deuxième 
ordre, fournissent aisément la relation 


qui permet de simplifier le calcul de x”: et de ses dérivées partielles, dans le cas 
des arches complètes. 


SAVANTS ÉTRANGERS. — XII. 84 


666 MÉMOIRE 
nos tables n’ont pas besoin d’être étendues au delà des limites que 
nous leur avons données, et que, sauf cette application, l'exposé 
des formules serait sans objet. 

Deuxième combinaison. — Etant donnés f et g, trouver la cor- 
rection de la valeur de Y, tirée de la Table IL. Soit d\ Y, la correc- 


tion cherchée. 
1° À cause de y’, — Y,, on tire de l'équation (22) 


PSN CTI MER 
d\h des ae: 


2° L'équation (22 bis) donne 
AC = 4 AY +3 (1 +as)e. 


3° La valeur de x”, doit, comme plus haut, recevoir la correc- 
tion spéciale 
1 
log cot — Ë, 
2 21 
(A\z,) EE 35 LUE ef: 
VB + VC 
à cause du terme du deuxième ordre négligé dans A. 
4° g étant donné, et 4\x”, désignant l’ensemble des corrections 


que doit subir +”,, l'équation (25) donne encore 


(24 
d\T der: 


Or, x’, se trouve être ici fonction des deux variables 4” et C, si 
l'on conçoit y”, remplacé par sa valeur "+ f, équation (22); il 
s'ensuit que l'équation précédente peut s’écrire 


n 
dx”, 


dx”, 
dk" dC 


dh" AC — 


ee? —10; 


(aa) + (5) AW + == 


1,28 LE RAA TE ; s ÿ à 
(T) désignant la dérivée partielle de x", relative à k”, et prise 
{ 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 667 


en faisant abstraction de ce que C dépend implicitement de }". 
Substituons les valeurs précédentes, il viendra 


log cot — Ë, D à TA " " 
LE Be peine 
SA JEAN | C\ar c | ac C 


DOTE 


d'où 


k' “ W®\ dx’, 
© + + — — 2{1+2 —) — 
Pa MB Vel HONALC Ce 2( 1 = dc 


Voici maintenant comment on utilisera les différences obtenues 
dans la construction de la Table III, pour éviter le calcul de la dé- 


2 


d 
1 
rivée (TF 


). D’après ce qui a été dit il yaun instant, on a 
1 1 dx” ER 
de, =(T _ à) di + = dC: 


on en tire, pour la valeur de la dérivée totale de x, par rapport 
à h", puisque cette quantité reste seule variable indépendante, 


dx", fdz”, dx’, dC 
ALES (Fe) dG dh'? 
Or, On a 


dG dC dy 


D — WF: FC (WE 
en vertu des équations (22 bis) et (22): il vient donc 
da”, de’, 
dk" =) ST 40° 
84. 


668 MÉMOIRE 


et, par suite, 


2 4 h" dx", ( a m) dx 1 
= ; 2:12 
Sy, 2 VB + VG C C dh C dC 3 
CS aa » (31) 
dk" 


en mettant y”, à la place de f + }". 
Maintenant, soient 
DE ei € = AS 
60) Ji 
cs 
Y 
premier de ces rapports étant une fonction du second considéré 
comme variable indépendante, qui est donnée par la Table IT, on 


» a Fe dd 
valeurs auxquelles . on peut substituer les rapports Le et Le 


aura 


FR Fe dé, 


: : era: 2 ; 4 D 
et la valeur du coefficient différentiel TA déduira des différences 
. ER LA 
successives de la quantité _ et de la différence constante des va- 


leurs de L. Mais, f étant une constante donnée, on a 


1 


" I”, — #", dy" à 
dr, dre id ie 
1 1 


substituant ces valeurs dans la précédente équation, on en tire 
7 1 2 dz 1 
Jde = —/fTz dy",, 


sais dy; 
d'où, à cause de _ 1 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 669 
On obtiendrait une expression encore plus simple de la valeur 


2 


T1 
de Tire en posant 
(2 


! Ps £ hi 


F j LETG Ya. 
(Les quantités z' et € désignent ici les nombres contenus dans 


la troisième et la première colonne de la Table IL.) Ces relations 
donnent 


dé — > da, dé £ dy"; 
" dz' 
et l'on a, à cause de dz — a dé, 
1 (SEE atalhes dl 
Fi — y de dy" 19 
dy 4 
d'où, en vertu de 7 nr HR 
a! 
dæ, JS ie dz' ex He fl : 
SP De ne pie sol 
È Û Y, 


Nous n'avons pas fait usage de cette formule, parce que la fonc- 

tion ? n’était pas encore calculée, quand nous avons entrepris le 
d'Y, 

calcul de la Table V, qui donne la valeur de Y, — 


Les expressions (32) et (33) sont, comme on Le ‘ae entière- 
ment formées de quantités que l’on peut déduire aisément de la 
Table IT. En joignant l’une ou l’autre à la deuxième équation (18), 


"lt 1 ‘ d'A EU 
on a tous les éléments nécessaires pour calculer _ à l’aide de la 
formule (3 1). 
Les deux formules (30) et (31) ont été appliquées au calcul des 
à ; Y, 
deux Tables IV et V, qui donnent, lune les valeurs de —A\f, et 
E 


» Y eu EN Ê 
l'autre celles de — A\Y,. Ces deux tables ont été placées à la suite de 
e 


670 MÉMOIRE 

la Table IT. Nous les avons insérées dans ce mémoire, non pour en 
recommander l'usage, mais pour montrer, au contraire, que l'on 
peut se dispenser d'y recourir, attendu que les corrections que 
l’on en tire sont tout à fait négligeables dans la pratique. En effet, 


la plus grande valeur de = d\f donnée par la Table IV, est+-0,0005; 


elle se rapporte à — 0,67 : on en déduit ff — 0,000ù e Y;; 
1 k" 1 


LAT Le ke 
à cause de e  h”, il vient A f 0,000 + N,="or, Cm 
1 L 1 


est ici égal à 0,33, on a donc d\f  0,0005 (0,33): Y,, ou 
J\'f—0,000054 Y,. Si l'on suppose, par exemple, Y, — 18,5, 
quantité qui n’est pas atteinte dans les constructions modernes, 
on aura d\f  0",001. On aurait de même, par la Table V, avec 
ces données, — {\ Y,  0",0048. Nous ferons observer que ces 
nombres se rapportent à des surbaissements inusités : la limite de 


. . . 1 . . 
surbaissement admise dans la pratique est 33 encore convient-1l 


mieux de prendre le surbaissement entre : et = Or le surbais- 
Li 
Y, 
la Table II]; en partant de ce nombre, et supposant Y, — 18",5, 
on trouverait d\f  0",00026; — AY,  0",0012. Les sur- 


1 al 4 $ D xl 4 
sement = répond à une valeur de = égale à 0,733 environ, d'après 


. ._ 1 . . 
baissements plus voisins de ÿ donneraient des corrections encore 


plus faibles. On voit donc que, dans les limites de la pratique, on 
n'aura pas à cramdre de faire une erreur de plus de 1 millimètre, 
ou à peu près, sur des différences de niveau qui seront à peine 
déterminées d’ailleurs à ce degré d’approximation, lorsqu'on se 
dispensera de corriger les valeurs tirées de la Table IL”. 


! Si l'on tenait à appliquer les corrections de f ou Y;, on se servirait, pour les 
calculer, de nombres fournis par les Tables IV et V, et de la valeur approchée de e 
obtenue au n° 39. À l’aide de la valeur corrigée de f ou de Y, — y", on calculerait 
au besoin la valeur corrigée de k”, par la formule (22) mise sous la forme 
=. ii e: 
3f(2971—/f) | 


on aurait ensuite € par l'équation (26) ou par l'équation (27) jointe à la deuxième 


p" y 3 f 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 671 


POUSSÉE DE LA VOTE ET DU MASSIF CONTRE LES CULÉES, INCLINAISON DU DERNIER 
JOINT SUR LA VERTICALE, VOLUME D’UNE DEMI-ARCHE ET DE LA PARTIE CORRES- 
PONDANTE DU MASSIF. 


A1. La réduction des formules du n° 28 est très-simple; nous 
nous contenterons d'en présenter les résultats, renvoyant à ce 
numéro pour tout ce qui est relatif à l'exposé et à la discussion. 

Les équations réduites qui donnent la valeur générale de l'angle « 
ont déjà été présentées n° 36; nous reproduirons l'expression de 
la tangente, en y mettant à la place de y” l'ordonnée y”, du point 
inférieur de l’'intrados fictif, et pour À sa valeur (3) : on aura ainsi, 
pour déterminer l'angle &, du dernier joint avec la verticale , la for- 
mule 
VOTE 


tango, — ai 
5 : g + (h"—e) — 7," 


à laquelle on pourra trouver plus commode de substituer les deux 
suivantes : E 


eL(rTÉRSS y —h;"2 : Dee ñ . A 
ina, —\/ En Sin (æ —@;)—> sim. (34 bis) 


Ces formules serviront particulièrement dans le cas des arches in- 
complètes, dites en arc de cercle, et la valeur de y”, qu'il con- 
viendra d'employer est celle donnée sous la marque (w”), 
ï (+R) (f+2n)7 e EE 
Penme ent. 
3 g q 
(On évitera l'emploi de ces formules en déduisant l'angle &, par 
voie d’interpolation, lorsque les calculs ou tracés qui vont être 
indiqués dans les numéros suivants auront été effectués.) 


équation (13); et dans le cas de k donné, par la relation e — k" — h. Disons enfin 
ee 1 : 5 
que les quantités Q° — = et q— 2e, nécessaires pour le calcul des coordon- 


nées et le tracé, s'obliendraient à l’aide des formules (23) et (13), si la valeur de 
ne se trouvait pas déjà déterminée. 


672 MÉMOIRE 


Dans le cas des arches complètes ou en anse de panier, on aura 
simplement 


mn 


e° 
COL, — 3 a (36) 

Pour obtenir les diverses coordonnées qui se rapportent au plan 
de joint extrème, on aura d'abord 


20, (+ )E, (37) 
puis ensuite 
2, —= g +24 sina, (38) 


équation à laquelle on joindra la valeur précédente de y”, dans le 

cas des arches incomplètes; mais, dans le cas des arches com- 

plètes, il sera plus court d'employer les valeurs suivantes, tirées 
des relations obtenues n° 26: 

1 €” 

a”, =" 7e U + W) = 


[ " 1 ne (39) 
vs —=f +h + ah F 


Les piles ou culées sont soumises à l’action des pressions qui 
ont lieu dans le joint inférieur; la résultante de ces pressions, per- 
pendiculaire au plan de ce joint, est 


D — mel, (40) 
et passe par le point dont les coordonnées sont 


2 1 


A = QE Es D È e SIN, 


Lan 


| 


1 
ÿ Yi 3 € cosœ. 


Les composantes horizontale et verticale de T, sont d’ailleurs 
T, cos, et T, sinc.. 
Les culées reçoivent en outre les actions horizontales exercées 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 673 
par le massif qu’elles encaissent. La résultante de ces actions dé- 
pend des ordonnées des points supérieur et inférieur de l’extrados, 
qui sont 

Vo 
(A2) 


Yi = ÿ — ecosa.. 
La valeur de cette résultante est 
U — À (n° — 1°); : (43) 
elle agit horizontalement dans le plan qui a pour ordonnée 


1 

3 (Cr 10) 
= —— — S 

3 Ë À 3 VIH 

yo) 

Sn Y 


RP ent 2R LS (44) 


Enfin, le volume V des matériaux de la demi-arche et de la 
partie du massif limitée horizontalement par des plans verticaux 
menés par les génératrices du sommet et du point inférieur de 
l'extrados, s’obtiendra en observant que le poids æ V de ce volume 
est égal à la composante verticale T, sina,; on aura donc 


V — Àey., sinæ, (45): 


expression dans laquelle sinæ, pourra être pris égal à 1, lorsqu'il 
s'agira d’arches complètes. 

A l'égard des piles, nous rappellerons que, si les extrados des 
deux arches voisines ne se coupent pas au-dessus des derniers 
plans de joint, ou si, en d’autres termes, ceux-ci conservent leur 
largeur, les assises horizontales des piles, à leur partie supérieure, 
seront soumises à des pressions verticales représentées par des 
hauteurs qui n’excéderont pas g; en sorte que, les piles étant 
supposées construites de matériaux aussi résistants que ceux de 
la voûte, il suflira, pour qu'elles résistent au poids des voûtes 
et du massif, que leur largeur ne soit pas inférieure à la somme 


SAVANTS ÉTRANGERE. — XII, 85 


674 MÉMOIRE 


des projections horizontales des joints des naissances. L'excès de 
largeur à leur donner dépendra de l’action de causes étrangères, 
telles que celle de Peau dans les grandes crues, etc. 


CALGUL DES GOORDONNÉES, INCLINAISON DES JOINTS, RAYONS DE GOURBURE , 
ÉPAISSEURS, ETC. 


A2. Nous renverrons au n° 29 pour ce qui est relatif à l'objet 
même des calculs; nous présenterons immédiatement l'expression 
du rayon de courbure de lintrados fictif réduite en vertu de lhy- 
pothèse 1 == 1. La formule (s”), en ayant égard à la valeur de Q: 
tirée de la deuxième équation (3), se réduit à 


" 3 NJ 
D = —— —. (46) 


Nous profiterons de la forme simple de cette expression, pour 
obtenir une valeur de p" + is Ap" beaucoup plus approchée que 


celle à laquelle se réduirait notre formule ({”) en y faisant 1 — 1. 
L'expression de p” donne 


UT] = 1 
iQ, re? ç ; 
Day Q = osœ 


On aura également en un autre point où la normale fait l'angle 
& + A avec la verticale, 


(p" - Ap’)(y + Ay) = Q! — : e® cos(æ + Aa). 
Cette équation et la précédente donnent par soustraction 


(y — Ay')Ap" + p'Ay = — : e° [cos (4 + Aa) — cosa | 


= + =etsin (a se Aa) sin-Aa: 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 675 
de celle-ci, on tire exactement 


2 1 1 
p'Ay'— —e*sin (+ 12e) sin — Aa ° 
3 2 2 


Motén 0 
àf HE J +A ÿ 
Si, maintenant, on substitue à A y” sa valeur approchée 
Ayo = (e' ane . ap") sin(a ZE . Aa) Aa, 


, ail 5 : 
et que lon remplace au numerateur 2 snm-A@ par Ac, il viendra 
2 


1 1 
re ee 
2 2 3 
A p — 


: sin(a + s) Aa) A. 
1 2 
+ Œ — sr) sia(+! a) À 
2 2 
Faisant disparaitre le dénominateur, et rangeant Ap'* avec les 


quantités connues, on en déduit 


1 1 
Fr RE 0 
!l . 
Ap" = 5 sin(a + - Aa) Aa. 
L 2 
+ = CA sin («+ 13e) Aa 
2 2 


On voit qu'en négligeant e* et À p*, on ne négligera dans Ap” que 
des termes du troisième ordre; les erreurs qui en résulteront se 
compenseront en partie, puisque les termes négligés sont de signes 
contraires (*). De cette manière il vient simplement 


1 1 
— p'*sin 1+ las) Aa 
2 2 


: Ap" = 


, 


3 1 
+ Z ge" sin («+ _ s4) Aa 
2 2 


(*) On éviterait l'erreur que nous négligeons, en prenant p" pour variable indé- 


2 


pendante au lieu de «, et faisant Ap — — € V 3 dans ce cas, à cause de 


85. 


676 MÉMOIRE 
d'ou, en ajoutant p” aux deux membres et réduisant, 
Y'+p'sin (+1) Aa 
PH App (4) 
ÿ Sent in (s +4- aa) Aa 
2 


Cette valeur est très-approchée; elle ne donne que 7 à 8 milli- 
mètres d'erreur sur des rayons de courbure de 60 mètres environ, 
et dans l'hypothèse de A4 — 2°. 

On peut obtenir d’autres expressions de même forme, et qui 


roi Fr # ë 3 
diffèrent de la précédente en ce que les deux facteurs 1 et -de p” 
2 


au Due Pneus et au dénominateur, sont remplacés respective- 


5 | — 


ment par = - et 1, ou même par o EE 5 ; 


Voici l'usage de cette formule : en partant des valeurs initiales 
de œ> ÿ et x” $ qui sont respectivement Z6rO, h' et zéro, et faisant 
varier l'angle 4 d’une quantité Aa égale à 2° ou 3°, les accroisse- 
ments de y” et x” se déduiront de la valeur de p” 


et de celle de p" + - - Ap”, jointes aux deux suivantes: 


AY (e" ca = Ap') sin (a+ = Ac) A«, 


Nr — (e' ES AF') cos (a 2e Aa) AG. 
. 1 . 1 E] . : . A 
A cosa — — 2sin C + —-Aa)sin-Aa, l'équation précédente donnerait très- 
2 2 
approximativement 
RU UE 
A'cosa — 2 CMS EEE 
[2 3 [A 
PRE 
2 


L'emploi de cette formule exigerait le recours aux tables de sinus naturels; elle 
serait facile à appliquer de & — 0° à & — 90°; mais, entre go° el 180”, on ne pour- 


3 
rail s'en servir qu'aulant que la constante” — À p" aurait une valeur absolue inférieure 


ww] 


au minimum de p". Entre 180° et 360°, il faudrait faire Ap° = +-.e V= 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 677 


Non-seulement la valeur de p” + = Ap" sert à obtenir Ay’ et 


Az”, mais elle offre en mème temps un précieux moyen de véri- 
y 
s 1 np 
fier les calculs successifs de p” et y”. En effet, ayant obtenu, au 
1 °c! ! a © ! El 
moyen de p" + -Ap", la différence Ay”; celle-ci ajoutée à y” fera 
2 
connaître la nouvelle ordonnée y” + Ay” du point où la normale 
fait avec la verticale l'angle & + Aa : et, si lon calcule à Faide 
de cette ordonnée la nouvelle valeur du rayon de courbure, et 
que l’on fasse la demi-somme de cette valeur et de celle de p" 
d’où l’on est parti, on obtiendra un résultat qui coïnciderait avec 
P q 


1 : x Tr à 
p" + - Ap" si nos formules étaient rigoureusement exactes. Dans 
2 = 
Ver 1 
tous les cas, on prendra la différence entre p” -+ - An” et la 
P P 5 


moyenne dont nous venons de parler. Cette différence ou erreur, 
qui prendra un signe déterminé suivant le sens de la soustraction, 
devra être très-faible, et sensiblement nulle au sommet de l'intra- 
dos; mais, si l’on détermine de la sorte plusieurs erreurs consé- 
cutives, en faisant varier chaque fois l'angle & de la quantité cons- 
tante Aa, il faudra que la marche de ces erreurs présente une 
régularité facile à reconnaître; autrement on sefäit averti de l’'exis- 
tence de fautes matérielles dans le calcul. 

A l’aide des valeurs obtenues de æ, y'et x’, les équations (8) 
et (9) permettront de calculer l'épaisseur variable s et les coor- 
données de l’intrados réel et de l’extrados. On pourra vérifier ces 
dernières quantités et l’abscisse x”, en prenant leurs différences 
successives. 

Nous observerons qu'il n'est pas nécessaire de conserver la 
même valeur de Aa dans toute la suite des calculs. S'il s’agit, par 
exemple, d’une arche complète, où l’angle à atteint sensiblement 
90°, on pourra, à partir de 30° ou environ, augmenter l'inter- 
valle Ac de moitié, sans inconvénient, si l'mtervalle primitif s’est 
trouvé être assez petit de o° à 30°; on pourrait même, à partir 
de 6o°, doubler la valeur primitive de Ac. Les trois séries de cal- 
culs devraient alors être vérifiées séparément. 


678 MEMOIRE ' 
SIMPLIFICATION DU TRACE DE L'INTRADOS FICTIF AU MOYEN DE SON RAYON 


. DE COURBURE,. 


A3. L'hypothèse (1 — 1) réduit la valeur de g', n° 50, à 
DR ch G " ë rs. 1QF / ; 
HREEUTE 2 (4 — je) (49) 
et celles de & et b à zéro. En même temps, la quantité a devient 


= 


e° 

—. 5o 
- (50) 
La forme qui en résulte pour l'équation du rayon de courbure de 
lintrados fictif appropriée à la construction géométrique est 


p" == . q PT (51) 


Nous allons indiquer sommairement la construction dont il s’agit. 


MDN. . NENNNUERS: La tbçed à 
Lt 
sr 
€ Ç 1 D Le ! 
PALIER LOUE = | À 
ni — . NS Er = 
Se - 
x | >: 7 
J F NS 1e S. 5 
ay 
sb h M, 
‘R | 
bp: 
0" 
Ÿ EME C 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 679 


Ayant mené deux axes rectangulaires, lun OX horizontal, 
l'autre OY vertical, on fixera le sommet de l'intrados fictif sur 
l'axe des y, à la distance OS — h" — h + e. On marquera sur le 


prolongement de OX un point Q, à la distance OQ == - q, et sur 


OY un autre point Q, à la distance 0Q! — qg'. Supposons, pour 
plus de généralité, la construction de l’intrados fictif parvenue en 
un point | par lequel est menée la normale IN. Prenant sur cette 
normale la distance Il — a vers l'extrados, et projetant les points [ 
et F sur Paxe des y en P et P', on ‘aura OP — y" et PP — «4 cosa. 
On portera cette longueur PP supposée positive, de Q' en p' vers 
l'origine O, la distance Op sera égale à la quantité qg — a coso. 
Si, ayant rabattu le point P sur le prolongement de l'axe des x 
en P”, on joint ensuite P"p', et que l’on mène QR parallèle : à P"p, 
la droite OR sera égale au rayon de courbure qu'il s'agissait de 
construire. En effet, les triangles semblables QOR, P"O p' donnent 
la relation 


qui comeide avec l'équation (51) mise sous la forme 


hi 1 
q — acosa 


Portant OR de I en C sur la normale, le point C sera le centre 
de courbure de lintrados fictif et de l'extrados à la fois, puisque 
ces deux courbes sont pAallèles; pour construire lextrados, on 
PC la distance e qui les sépare de I en E. 

* La construction de l’intrados réel résultera de celle des ae 
seurs vraies £; leur expression est 


œ 
» 


e—e+; sy " (52) 


Prenons à cet effet, sur l'axe des x, OE' -= e, et menons par le 


680 MÉMOIRE 

point E’ une droite EE’, parallèle à OY; menons encore, par le 
même point, une autre droite E'E” faisant avec la première, et 
dans le sens indiqué par la figure, un angle dont la tangente soit 


: . : l'abscisse PJ du point J de la droite E'E”, qui a pour ordon- 
A y’, sera égale à l'épaisseur réelle & du joint qui répond 
à IN, Si l'on porte donc sur la normale la longueur Er — PJ 
de E en à, le point { appartiendra à lintrados réel. 

[ nous parait suflisant d'avoir repris la construction simplifiée 
du rayon de courbure; nous renverrons, quant à l'usage qu'il 
convient d’en faire, au n° 30 qui contient déjà les indications 


nécessaires à cet égard, 


DONNÉES EXPERIMENTALES RELATIVES À LA LIMITE DE LA RESISTANCE DES MATERIAUX 
EMPLOYES DANS LES CONSTRUCTIONS. 


4h. Nous nous sommes assez longuement étendu, n* 6 et 23, 
sur la convenance qu'il y a de substituer dans les formules, aux 
charges par unité de surface, la hauteur d’une colonne prisma- 
tique de la matière employée, dont le poids produirait sur une 
surface horizontale la charge ou la pression qui a effectivement 
lieu : nous ne reviendrons pas sur ce sujet. Rappelant seulement 
que cette hauteur a été désignée par x, et qu'elle est liée à la 
pression { par unité de surface, et au poids # de l'unité de volume 
par la relation 


nous allons présenter un tableau des diverses valeurs que prend 
cette quantité , dans les expériences où l'on produit l'écrasement 
des matériaux, et au moment de cet écrasement. 

Nous extrayons les données de ce tableau de l{ntroduction à la 
Mécanique industrielle de M. Poncelet (p. 308); mais nous substi- 
tuons aux densités le poids & du mètre cube. Pour déduire y de 
ces données, il a suffi de multiplier par 10000 les résistances 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 681 


relatives au centimètre carré et de diviser ensuite par æ, ce qui 
revenait à multiplier par 10 le quotient de la résistance par cen- 
timètre carré divisée par la densité. De cette manière nous avons 
formé le tableau suivant : 


VALEUR 

de {e 

MATÉRIAUX SOUMIS À L'ÉCRASEMENT. du La au moment 
centimètre 


F < de 
mètre cube. arr 


CIARGB 


l’écrasement. 


Pierres volcaniques, granitiques, siliceuses et argileuses. 


Basaltes de Suède et d'Auvergne 
Lave du Vésuve 

Lave tendre de Naples 

Porphyre 

Granit vert des Vosges 

Granit gris de Bretagne 

Granit de Normandie 

Granit gris des Vosges 

Grès très-dur, blanc ou roussâtre 
Grès tendre 

Pierre porc ou puante (argileuse) 
Pierre grise de Florence 


Pierres calcaires. 


Marbre noir de Florence 

Marbre blanc veiné, statuaire et turquin 

Pierre noire de S'-Fortunat, très-dure et coquilleuse . 
Roche de Châtillon, dure et un peu coquilleuse..... 
Liais de Bagneux, très-dur et à grain fin 

Roche douce de Bagneux 

Roche d’Arcueil 


— 1 
Pierte de Saillancourt. 


Pierre ferme de Conflaus 

Pierre tendre (lambourde et vergelée) employée à 
Paris, résistant à l'eau 

Lambourde de qualité inférieure, résistant mal à l'eau. 

Calcaire dur de Givry 


SAVANTS ÉTRANGERS. — XII. 86 


682 MÉMOIRE 


CHARGE 


par 
centimètre 
mètre cube, Carré. 


au moment 
de 


l'écrasement. 


MATÉRIAUX SOUMIS A L'ÉCRASEMENT. 


Calcaire tendre de Givry 


Calcaire jaune oolithique de Jaumont, ( 1° qualité. . 


près Metz 2° qualité. . 
Calcaire jaune oolithique d’Amanvil- ( 1° qualité. . 
liers, près Metz 2° qualité. . 
Roche vive de Saulny, près Metz (non rompue)..... 
Roche jaune de Rozéreuilles, près Metz 
Calcaire bleu à graphite, donnant la chaux hydraulique 
de Metz (non rompue) 


Briques. 


Brique dure, très-cuile 

Brique rouge 

Brique rouge pâle (probablement mal cuite) 
Brique de Hammersmith 

Brique de Hammersmith, brûlée ou vitrifiée 


Plätres el mortiers. 


Plâtre gàché à l'eau 

Plâtre gâché au lait de chaux. .................. 
Mortier ordinaire en chaux et sable 

Mortier en ciment ou tuileaux pilés............... 
Mortier en grès pilé.. 

Mortier en pouzzolane de Naples et de Rome 

Enduit d'une conserve antique près de Rome 

Enduit en ciment des démolitions de la Bastille 


Beaucoup d'ingénieurs expérimentés admettent comme étant 
dans de bonnes conditions les constructions où les charges per- 
manentes n’excèdent pas le dixième de celles qui produiraient la 
rupture instantanée, c'est-à-dire celles où la valeur maximum de 
n'excède pas le dixième des valeurs de fL insérées au précédent 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 683 


tableau. En se reportant aux pierres calcaires autres que les 
marbres et pierres noires, mais fermes et de bonne qualité, on 
verra que les valeurs correspondantes de x réduites au dixième, 
sont à peu près comprises entre 180 mètres et 43 mètres, limites 
qui se rapportent : la première au liais de Bagneux, la seconde à 
la pierre de Saillancourt deuxième qualité. La limite 100 mètres 
résultant des chiffres admis par Navier, tient presque le milieu 
entre les deux nombres précédents. Si la charge permanente peut, 
dans tous les cas où l’on emploie des pierres de fort échantillon, 
être portée au dixième de la charge de rupture, on voit que l'em- 
ploi de pierres aussi résistantes que le liais de Bagneux permet- 
trait de s'écarter beaucoup de la limite proposée par Navier; el 
aussi, combien il serait prudent de se tenir au-dessous de cette 
limite, s'il s'agissait de construire une arche avec des pierres cal- 
caires telles que celles de Saillancourt ou de Conflans. 

Dans le cas de forts échantillons, la valeur de y, qui répond 
au joint inférieur d’une arche de pont devrait donc se trouver au 


plus égale au — de la valeur de x donnée au tableau; et dans le 
10 
cas de faibles échantillons, elle n’en devrait pas atteindre le = 


ou le = (Voir la Mécanique industrielle de M. Poncelet, n° 26Ur | 


RÉSUMÉ 


CONCERNANT L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT DANS LESQUELLES LA VOÛTE 
ET LE MASSIF PEUVENT ÊTRE SUPPOSÉS D'ÉGALE DENSITÉ. 


45. Nous nous proposons de présenter ici, d’une manière suc- 
cincte, la suite des opérations à effectuer pour déterminer complé- 
tement une arche de pont, afin que les ingénieurs qui n'auraient 
pas lu notre mémoire, ou qui, l'ayant lu, auraient perdu de vue la 
marche que nous avons suivie, puissent cependant procéder sans 
difficulté aux diverses opérations qui se rattachent à l’établisse- 
ment des arches de pont. Si, pour ne pas augmenter le nombre 
déjà considérable des répétitions, il nous arrive de renvoyer à 


86. 


684 MÉMOIRE 


certains chapitres du mémoire, nous aimons à croire que le lec- 
teur pourra comprendre sans peine ce qui fera l’objet du renvoi. 

Les notations ayant été reproduites au commencement du n°86, 
nous renverrons à ce numéro pour ce qui les concerne. 

Dans les applications, on connait ordinairement les épaisseurs 
des diverses couches de matériaux de densités différentes de celle 
du massif, qui forment la chaussée proprement dite; on devra 
commencer par calculer l'épaisseur d’une couche ayant la densité 
du massif, et dont le poids serait égal au poids des diverses cou- 
ches dont nous venons de parler. L’axe des x devra être placé au- 
dessous du niveau de la chaussée, d’une quantité égale à la diffé- 
rence entre l'épaisseur totale des couches données et l'épaisseur 
calculée, cette dernière étant supposée la plus petite; dans le cas 
contraire, il faudrait placer l'axe des x plus haut que le niveau 
de la chaussée, d’une quantité égale à la même différence. 


USAGE DES TABLES. 


Arches incomplètes, dites en arc de cercle. — Les données sont : 
f la flèche, g la demi-ouverture, et Y, ordonnée du sommet de 
l'intrados réel. (Si l'on se donnait l'ordonnée Y, des naissances, 
au lieu de Y,, on en déduirait ŸY, — Y, — f). À l'aide de ces 


£ Y 
données, on calculera les rapports T'et —: et la Table I (fin du 
mémoire) fera connaître, par voie d’'mterpolation, la valeur appro- 
2 
chée de os d’où l’on déduira celle de Q:. 

Pour corriger la valeur approchée de Q*, il faut obtenir une 
valeur approchée de l'épaisseur fictive e. La détermination de 
cette dernière dépend d'une nouvelle donnée, qui est lune ou 
l'autre des quantités p, et À. 

1° Soit donnée la quantité jL qui mesure l'intensité des pres- 
sions dans le joint des naissances, et que lon pourra prendre 


k 1 . c ñé 
égale au — de la valeur de pr inscrite à la dernière colonne du 
10 


tableau du n° 44, si les matériaux dont on dispose sont compris 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 685 


dans ce tableau (autrement il faudrait déterminer y, par des 
expériences spéciales) : on fera 


h" — Y,,: (o) 
puis, on aura 


JF + 2h") 
Te a f)e (1) 


Le calcul de e se fera en négligeant d’abord =e au dénominateur 


du deuxième membre, et mettant ensuite dans ce dénominateur, 
à la place de e, sa valeur trouvée; la seconde valeur obtenue sera 
d’une exactitude suffisante. Pour que cette valeur de e soit admis- 


sible, il faudra que la quantité À — h" — e qu’on en tirera ne 
soit pas négative, et soit au moins égale à celle que réclame la 
pratique. 


2° Soit donné k au lieu de y, on aura 
Die = 6e RE—N DUR (ir) 


et l'on pourra ne calculer les valeurs exactes de y, et pu par les 
formules 


7 2h" 
MUR OR pu = pu + f + I, (1v) 


qu'après avoir obtenu les valeurs corrigées de Q*, k” et e, comme 
il va être dit dans un instant. 

La solution ne sera admissible qu’autant que y, sera compa- 
tible avec la nature des matériaux employés. 


: x . 
Dans l’un et l’autre cas, à l’aide des valeurs de ? et de —, on 


ürera de la Table IT, la valeur correspondante de une et, de 


686 MÉMOIRE 


celle-ci jointe à la valeur approchée de e, on déduira la correc- 
tion d\(Q:) de la constante Q*. 

Ayant ajouté cette correction à la valeur approchée de Q*, on 
se servira de la valeur corrigée, pour calculer 4” par la formule 


1 e* 


hk neue Nero 


dé (v) 
et l'on pourra calculer une valeur plus exacte de e en faisant usage 
des formules précédentes et des valeurs corrigées de k” et Q*. On 
aura d’ailleurs dans le premier cas h — DR EN = 0 
dans les deux cas, 


g— rem = 2|Q@ + he— Le]. (vi) 


Arches complètes, dites en anse de panier. — Les données sont 
ici deux des trois quantités f, g et Y, prises arbitrairement. (On 
ne peut pas se donner ces trois quantités simultanément et satis- 
faire en même temps aux conditions de stabilité qui caractérisent 
notre théorie.) Ayant calculé le rapport des deux quantités don- 
nées, la Table IL fera connaître le rapport de l’inconnue à l'une 
des données, d’où l’on déduira l'inconnue elle-même. À la vérité, 
la solution n’est qu'approchée, théoriquement parlant; mais nous 
avons montré, n° 40, qu'on peut, en pratique, la regarder comme 
exacte, les erreurs restant toujours au-dessous de celles que com- 
porte l'exécution. Au reste, nous avons donné, dans ce même 
numéro, le moyen de corriger la solution, à l'aide des Tables IV 
et V; mais, nous le répétons, il ne sera jamais nécessaire d’effec- 
tuer cette correction. 

La solution déduite des tables ne devra être acceptée qu'autant 
qu'elle pourra satisfaire d’ailleurs à de certaines conditions rela- 
üves au débouché, au passage des bateaux , au niveau de la chaus- 
sée, etc. Autrement, il faudrait modifier l’une des données. 

Pour déterminer l'épaisseur e, il est nécessaire de joindre une 
nouvelle donnée 4, ou h aux précédentes. 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 687 


1° Soit donné y, d'après les mêmes considérations que dans le 

cas des arches incomplètes, on pourra calculer e par les formules 
1 "(27 — f) 

DNA eE—- “ELA (vu) 


m 
2 F Yi 
Les LAN D EE 


6(m—f)] 


(on réduirait, sans erreur sensible, le dénominateur de la valeur 
de 2e à, — 7y",). Mais il sera préférable d'employer les suivantes: 


y —f) nent) 
pp —f = FD, = (vit) 


1 
on ES 


. . L 
la seconde de ces valeurs s’obtiendra en négligeant d’abord 3° 


au dénominateur. Les ordonnées k” du sommet de l’intrados fictif 

et k du sommet de l’extrados et l'épaisseur à la clef e, se calcu- 
P 

leront par les formules 


= fe, he, &—ÿ;—f—h. (1x) 


En supposant 4, notablement plus grand que y”, il faudra, 
pour que la solution soit admissible, que lordonnée 4 ne soit 
point inférieure à une certaine limite fixée par les conditions par- 
ticulières à l'établissement de la chaussée. 

Si l’on veut plus d’exactitude, on recalculera e par la formule 

ja 
Ge SPA tIEE (1x bis) 
as 
Bo 3 
2° Soit donné À au lieu de (a, On aura, en vertu des formules 


précédentes, 


688 MÉMOIRE 
et l'on calculera y, par les formules 
k" 
Ho — Mare + h" — 


2e 


€; 


| — 


NY) e 
NAS os 1) 

Pen FOUR ANV copre Pou : 

Il faudra que la valeur de p, ne soit pas incompatible avec la 
résistance des matériaux; autrement, on devra modifier les don- 
nées. 


Dans les deux cas, connaissant y, on calculera 


q* —= 2€; 
Lo er " ma SALES TAUE k" 2,2 (xn) 
Q dires ea M PU) "Y Es Éd 


Si, dans le premier cas, on a évité de calculer y, on emploiera 


la formule 


2 
De [Q: + ke — Le]. (xt) 
qui donnera g* en fonction de Q* et offrira, d’ailleurs, un moyen 
de vérification. 


POUSSÉE DE LA VOUTE ET DU MASSIF, INCLINAISON DU JOINT DES NAISSANCES, 
VOLUME DES MATÉRIAUX. 


Arches incomplètes, dites en arc de cercle. — L'angle &, du jomt 
des naissances avec la verticale, s’obtiendra à l’aide des formules 
suivantes : 


2 7 1 à hk" h") à 
Ps —iffi TE, | 
(x1v) 
sin = a JA me ci) sin! | 
Mme AE 6 Q° à 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 689 


À la valeur précédente de y, on joindra celle de l’abscisse 4”, 
qui se déduit des équations 


A D Or des pe | 

2 1 EUR (fn), ou 2 6 Q° (f (ps (à) | Exv) 
2, —= g + 20, sma. | 

Arches complètes ou en anse de panier. — On obtiendra l'angle o, 


par la formule 1 


coto, — - - (xvi) 


et les coordonnées du point inférieur de l'intrados fictif, par les 
relations 


(xvn) 


| 
n | 


Dans les deux espèces d’arches, la poussée T, exercée norma- 
lement au plan de joint des naissances contre les piles ou culées 
est 


Li oAe; (xvurr) 
les coordonnées du point d'application de cette résultante sont 


{à 


1 . 
æ, x’,  -esin@,, 
2 


| 


(xix) 
| 


" 1 
h—=Yi — AGCOS 


les composantes horizontale et verticale de T, sont d’ailleurs 
T, cosa, et T, sina.. 

Les culées sont, en outre, soumises aux actions horizontales pro: 
duites par le massif qu’elles encaissent; la résultante U de ces 


SAVANTS ÉTRANGERS. — xII. 87 


690 MÉMOIRE 


actions dépend des ordonnées des points supérieur et mférieur 
de Pintrados, qui sont 


pe = ee 

! 4 L ( (xx) 
Yi}: — eCOSA — Y, — -eECOSu:; 

et l’on a 


U = æÀ - (1° — y). (xx1) 


Cette résultante U agit horizontalement dans le plan dont l'or- 
donnée est 


DR ne 06 (our) 
3 Yi + Yo À 1 


Enfin le volume V de la demi-arche et de la partie correspon- 
dante du massif a pour expression 


V — eu, sino.. (xxur) 


\ 
\ / 


Dans les arches complètes on a sensiblement sm&, = 1. 
(Voir n° 41 les remarques relatives à la largeur des piles.) 
On peut obtenir une vérification relative aux poussées horizon- 
tales par léquation suivante : 


Sen, — T, cosa, + U, (xxHI bts) 


qui se déduit de la considération de l'équilibre des forces qui sol- 
licitent l'ensemble de la demi-voûte et du massif, projetées hori- 
zontalement, ou des équations du n° 9. 

Les imtensités, directions et points d'application des forces T, 
et U doivent servir de base à Pétablissement des culées; 11 y aura 
encore à examiner quelles sont les plus grandes variations que 
peuvent subir ces quantités sous l'influence des surcharges acci- 
dentelles, tassements, ete., pour procéder avec sécurité à l’eta- 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 691 
blissement des culées. Cependant, si l'on procède à l'égard de 
celles-ci comme nous l'avons fait à l'égard de la voûte, il pourra 
bien être suffisant de s'en tenir aux charges moyennes. 


CALCUL DES COORDONNÉES, INCLINAISONS DES JOINTS, RAYONS DE COURBURE, 
ÉPAISSEURS, ETC. 


Les calculs suivants supposent le projet bien arrêté : On n'aura 
besoin de les effectuer que lorsqu'il s'agira de passer à l'exécution. 

ax, yet p" étant les coordonnées et le rayon de courbure de 
l'intrados fictif correspondants à l'angle & d'un plan de Joint avec 
la verticale, et Ax”, A7”, Ap' les accroissements finis que prennent 
les coordonnées et le rayon de courbure lorsqu'on fait croître & 
d'une quantité finie Aa; on a, pour calculer ces accroissements, 
les formules ‘ 


1 
+ pe" sin (« == a) A œ 
2 


1 L 1 1 


+ 
Ë 


3 : 
LEP (c+1s4) _ ) (xxiv) 
2 2 


NE (e' LEE Af') sin (a _ : Aa) Au, 


2 


AE (e' Lips - ap") cos (2 Loge = Au) Aa, 


dans lesquelles l'angle Aa en dehors des signes sinus et cosinus 
doit être exprimé en rapport d'arc au rayon. Cela se fait en mul- 
nt ; T es 
tipliant le nombre de degrés correspondant par ra (x désignant 
le rapport de la circonférence au diamètre) : on évite ce calcul 
en se servant des tables que l'on trouve pages 214 et suivantes 
des Tables de Callet. Les trois dernières des formules précédentes 
87. 


692 MÉMOIRE 


sont seulement approximatives, et d'autant plus exactes que Aa 
est plus petit. 

Dans la pratique, on prendra A égal à 2° ou 3°, et l'on fera 
varier l'angle & de la même quantité Ax, du moins pendant une 
grande partie des calculs. On devra commencer ces calculs en 
attribuant à æ, y” et x" les valeurs zéro, 4" et zéro, qui ont lieu 
au sommet de lintrados fictif. Chaque fois que l’on aura obtenu 
une nouvelle valeur de p”, il conviendra de Pajouter à la précé- 
dente, et de prendre leur moyenne arithmétique ; le résultat devra 


dévur 7 1 
différer très-peu de la dernière valeur calculée de p” + - Ap”, 
2 
ce qui offrira un moyen de vérification. (Voir n° 42.) 
On déterminera ensuite l'épaisseur vraie e mesurée suivant la 
normale à l’extrados, par les formules 


e? 1 €? 


2 0 — = DENES 


(4 / A 
= , E —e +20: (xxv) 


HDI 


puis les coordonnées X, Y de lintrados réel et celles +’, y de 


l’extrados, par les relations 


! (4 


y" + 29 cosa, y —= y — ecosæ, 


Y 
/ (xxvi) 


X x" "0 sim, m— Te SIN. 


Les valeurs de y” et p” sont vérifiées chaque fois, ainsi qu'il vient 
d'être dit; mais les autres quantités ne l'étant pas, il conviendra, 
à leur égard, d'employer le procédé des différences. 

Parvenu à une valeur de & qui excède l'angle à, déterminé plus 
haut, on recherchera par voie d’interpolation les valeurs corres- 
pondantes de Y et de X : ces valeurs devront très-peu différer 
de Y, + f et de g (Y, désignant l’'ordonnée du sommet de lin- 
trados ou 4" + 2 0,), et offriront ainsi un moyen de vérification 
générale des calculs. 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 693 


TRACÉ DU PROFIL DE LA VOTE AU MOYEN DU RAYON DE COURBURE 
DE L'INTRADOS FICTIF. 


Indépendamment de la quantité g déterminée précédemment, 
les constantes nécessaires pour effectuer le tracé sont : 


= 7 —32{(r — se)== de 
1 q 3 Li 
2 e° 
DES SE (xxvIT) 
3 q 
PRET 1 e? a 
tang EE D = ee 
3 q 2q 
ES 
On remarquera que cet angle E,E'E", dans le cas des arches 


complètes, se trouve être égal au complément de l'angle &, du 
dernier joint avec la verticale, ou à l'inclinaison de ce joint sur 
l'horizon. 

Nous renverrons au n° A3, pour ce qui est relatif à la construc- 
tion du rayon de courbure p” de l'intrados fictif. Ajoutons cepen- 
dant une remarque sur la manière de procéder au tracé. 

L'arc que l’on se propose de décrire avec un rayon p” étant 
supposé très-petit, mais non pas infiniment petit, on atténuera 
l'erreur commise par ce fait, en décrivant le petit arc à l’aide du 
rayon de courbure correspondant ou à peu près au milieu de cet 
arc. À cet effet, il faudra s'y prendre à deux fois, du moins vers 
le sommet de l’intrados; la première fois, on déterminera le rayon 
de courbure correspondant à l'extrémité connue de l'arc à décrire, 
et l'on décrira avec ce rayon un arc d’une amplitude donnée en 
degrés. On prendra alors le milieu de cet arc et l’on construira le 
rayon de courbure ‘correspondant; on se servira de ce nouveau 
rayon pour tracer définitivement l'arc d'amplitude donnée : on ob- 
tiendra de cette manière une suffisante exactitude. Lorsque l’on aura 
décrit de la sorte plusieurs petits arcs d'une même amplitude, on 
pourra prévoir assez approximativement la position du point milieu 


694 MÉMOIRE 
de l'arc à décrire, pour éviter de faire le tracé de cet arc à deux 
reprises différentes. 

Nous allons maintenant présenter quelques applications des 
règles qui viennent d’être exposées. 


L] 
L 


APPLICATIONS. 


ARCHES INCOMPLÈTES, DITES EN ARC DE CERCLE. 
PREMIER EXEMPLE. 


Pont d'Iéna, à Parts. 


A6. Les calculs suivants ont été faits en partant de données que 
nous avons lieu de regarder:comme un peu incertaines : mais il 
s'agit seulement ici de montrer par un exemple l'usage de nos 
tables et de nos formules; pour cette raison, nous nous sommes 
dispensé de faire des recherches dont le résultat nous eût peut- 
être obligé à recommencer les calculs. 

Les données sont : 


Démrouvertune ere RENE T1 
Flèche. dense de à TPE Dr O 
Ordonnée du sommet de Fintrados.. Y, — 2",05413 (); 


à ces quantités, nous jomdrons la hauteur 4, qui représente la 
charge dans le plan des naissances, et nous supposerons 


js == 66%042, 
et le poids & du mètre cube, 


æ —244ho kil. 


(°) Les décimales qui figurent ici et dans la valeur de 4, tiennent à ce que nous 
avons voulu utiliser des calculs faits en partant de la quantité À comme donnée, 
laquelle était égale à 0°,90. 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 695 


Nous suivrons la marche tracée dans le numéro précédent. Il 
vient d'abord 


POP EG6 e 684 
=— 41 7: ——0,68471. 
J J 


A l'aide du premier de ces deux nombres, la Table 1 donne 
aisément : j 


1" différ. | 2°diff. 


—- 0,938: — 39 


+ 0,9342 


d’où : 
ONE OCEAN ONE E 6,8902 
Date PLOPr eee rreee + 0,79466 
di TOUTES À + 26 
ce — 7,6851; 
7 
on en déduit 
valeumapprochée "PE PL LE Q°— 69,166. 
ÉQUATION (1). ÉQUATION (11). 
2:h"— 4,108 1. Q°— :1,8399 
ben RTE Bo — 50872-27772 
SF +2h) : 1° approximation. . -..... Le — 0,0627 
= — — oi 
3 (um —f 
Fe bec FE set 
U— 61,926 
2 
h'— 2,094 3 COTON CE 1. — 9,8866 
o—h'— 59,872 
fi SU dénom 60,642." "°0" 1.— :1,7828 


2° approximation. . ....... 1. e — 0,057: 
7 


696 MÉMOIRE . 
,. Y, 
La Table IT donne, à l’aide des valeurs de ; el F 
219 Le OH BD MEME 1. — 9,5359 
€ 
1. 6 — 0,1142 
d’où d'(Q:)— ANT Sr er De 
MAeUICORTIBÉ-- ee ere re O9 6e 1. — 1,84269 


ÉQUATION (v). 


1.6 — 0,778: 
1. 6Q°— 2,6208 


L —— —7,4934 
6Q° 7:49 
Y — AOBAR DE 2 ATEN ec REA: Pin a 1 Y, — 0,31 26 
CE 
SE Ye 10/0060 RER OR SEMI IRL CEA PRE 1. — 7,8060 — 
6 Q° 
ST rue 0 2 de DATI T 0e Dee 1. R"— 0,31127 


En se servant de cette valeur et de celle de Q*, on peut obtenir 
une valeur plus exacte de l'épaisseur fictive e. À cet effet, on a: 


ÉQUATION (11). 


Bo —= 61,926 


Bo — h"— 59,878 


2e 0,766 (‘) 
1. Q°— 1,84269 


dénom. — 60,644 ........... BR ot d 1. dénom. — 1,78279 
valeur corrigée, . .... Dh lythocaaecenmdanc atuue lt ef L e — 0,059g0 


L e*— 0,11980 


Nous devons faire remarquer que la surcharge h = h"—e—0",90 
environ ne pèche pas par excès de petitesse : elle présenterait 
plutôt l'excès contraire. 


(‘) Ce nombre provient d'une première approximation obtenue en faisant usage 
de la valeur 0,770 employée plus haut. 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 697 


ÉQUATION (vi). 


1. 2 — 0,30103 
1. e — 0,05990 
lt — 1,79187 


PR NENOE PodHEoodcotero ere deu 1. g*— 2,15280 
L'épaisseur à la clef, adoptée dans la construction du pont 


d'Iéna, est 1",25, nombre qui excède de o",1 environ l'épaisseur 
fictive que nous venons de déterminer. 


Calcul de la poussée. 


ÉQUATIONS (xtv). 


f+HR— 5,04773... 1. — 0,700 Pie Na D AIO NE EPA 1 — 1,40500 
PEU Lx Le;85008 CÉSAR Ro ce 2e 00 1 — 0,62254 
c.1.q® — 7,84720 el hr meer 1. — 1,32668 
+ h") (f+-2h" EP LE pe 
(2 2IÔE ER Loeere MORT EEE oO om ro do 1 — 2,44475 
q —— ' 
ACT tue FES 587394 « CRE CCE 
Gi ai 10H10 ie 1. sin — 9,44097 
1. —— 796700 2 —, ———— 
q CASE EEE 1. sin — 9,7248 
3° terme ——0,00693... 1. — 7,84094 and OMD A1... 1. sin — 7,2182 
(*) J—  5,0408.. 1.7’, —0,70250 a — 32° 8° 33" (“).. 1. sine — 9,72593 


1. cosa, — 9,92774 


Dans les calculs suivants, nous déterminerons les poussées par 
unité de longueur de la voûte, mesurée parallèlement aux géné- 
ratrices. Pour avoir les poussées totales, il suflira de multiplier 
ensuite par la longueur À. 

(*) Si, à l’aide des valeurs que l'on vient de déterminer, on calcule +", puis q 
par les formules du n° 36, on trouvera pour la valeur de q précisément celle qui 
nous a servi de point de départ. L'accord de nos Tables avec le calcul direct se 
trouve vérifié dans cet exemple; il en est de même pour les deux exemples présentés 
plus loin. Or on pouvait craindre que la substitution des différencés finies aux dif- 
férentielles ne laissät subsister des erreurs un peu sensibles. 

(”) En calculant & par l'équation (6), n° 36, on trouve «& — 32° 8' 37"; la dif- 
férence 4” entre cette valeur et celle que donnent les équations (xiv) est tout à fait 


négligeable. 


SAVANTS ÉTRANGERS. — XII. 88 


698 rA MÉMOIRE QE 
ÉQUATIONS (xv). 
1 (f+h")= 0,7031 
CE 
1. iœ 74934 
g—=12,5 1. 20, — 8,1965 
nd) Sn — 1 00084 -m de maintes sinistre ne CEE ele 57022 
a — 12,5084 
| ÉQUATION {xviit). 
$ l'a 3,3873y 
lp — 1,81319 
1. e — 0,059g90 
T 1 
Poussée normale au plan des naissances. . Fe 182170 kil... 1. — 5,26048 
T 
Composante verticale. ............. — sinci—096919....1-""ELr 1. — 4,9864r 
Composante horizontale. . .......... = Posa, — 21942480 L5. 12, . — 5,18822 


ÉQUATIONS (xix) ET (xx). 


s QE É e — 9,75887 
2 
re 8iD4) ——+ 0,30095...... 1. — 9,48480 
2 
AE cost —— 0,48597...... . — 9,68661 
2 
me 12,8138 
N— 45548 
Yo— 0,8998.....:. — 9,99415 
Ji 40688....... 1. — 0,60947 


ÉQUATION (xx1). 


Yi —36,5590.... -.. L—0ù,21893 
Do (08007 re 1. — 9,90830 
1 — Jo" — 15,7453 3 
OR vu) =—N7:0720 ere 1. — 0,89612 
1. æ— 3,38739 
U 
19209 KAEE 2 L— 4,28351 
ÉQUATION (xan). 
Pa 216733909700. ME 1. — 1,82840 
Dino; Ta 1. — 9,86245 
N° — 70° —66,6312 
31° —n")= 22,2104........ L —1,34655 
UT 238202... 1. — 0,45043 
ÉQUATION (xxx bis). Vérification. 
T U : 
FREE 17317 Ke 1: — 5,23919 


Let —"1,85177 
Loep —5,23916 


erreur — 3 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 699 
T 


La résultante _ des pressions qui sollicitent les culées norma- 


lement au plan des naissances se trouve déterminée, ainsi que les 
coordonnées x, et y, de son point d'application; et sa direction 


est définie par l'angle &,. La résultante — des pressions horizon- 
À 


tales qu’exerce le massif sur la face verticale de la culée passant 
par l'extrémité inférieure de l'extrados, et l’ordonnée u de son 
point d'application, sont aussi connues par les calculs précédents. 
Ces données, jointes à la connaissance de la profondeur à laquelle 
doivent descendre les fondations des culées et de la résistance du 
sol avoisinant, doivent être complétées par des hypothèses sur 
l'action des surcharges accidentelles et l'effet des tassements, pour 
qu'il soit possible de procéder à la détermination de la forme 
et des dimensions inconnues des culées. 

Au lieu du volume V des matériaux, nous allons calculer la 


V 3 A 
surface > du profil de la demi-arche et du massif. 


ÉQUATION (xxr11). 


V 
Fe 39" 72 FEU 1. — 1,59g02. 


Il nous reste à déterminer la forme de la voûte. 


Calcul des coordonnées , inclinaisons, rayons de courbure, épaisseurs. 


Le tableau ci-joint présente le détail des calculs numériques. 
Ces caleuls sont basés sur les formules (xxiv), (xxv) et (xxvi), 
dans lesquelles on a fait l'angle constant Aœ égal à »°. 


88. 


700 MÉMOIRE 


FORMULES. 


y'+ p'sin(a++Aa)Ac 
he Dave 5 pf abe'sinfiitts 
: FT “ y'+ip'sin(z+ +Aa)Aa 


AY —(p"+}Ap')sin(a+{Aa)Aa, 


Az" — (ep +: Ap") cos(a + ? Aa) Aa. 


Pour vérification : 


+ A P°m — 2 (pm + P'mn) — erreur. |4, p'sin(a+ }Aa)Aa 


p'sin(a + }Aa) Aa 


ÿ + CA sin (æ + 3 Aa)Aa.. 


y —=7Y —ecose, +p'sin(a++Aa)Aa 


CA x" esina, : 


p'sin( 
{ 


.[>"+ 5 p'sin 


Y—7y' +20 sina, 


X— x" —2dcosa. 


CONSTANTES. 
Soit Aa — 2°. 
Aa— 0,039066 
1 Aa — 8,54291 
Q°— 69,613 


1e? — 0,11980 


1 e 
LE 5œ 74934 


"+ 2 p'sin(a+-+A a) Aa.. 
é 2+-FAa)Aa]. 
a+-+Aa)Ac]. 


8,24186 
999998 
6,78477 
8,54284 
9,6427 
2,04773 
o 
0,1392 
69,174 

1,83994 
0,31127 
1,92867 
8,31344 
0,02058 
2,06831 
0,0102g 
2,07860 
0,31562 
031777 
1,2652 
8,31129 
0,06936 
0,02048 


1,17911 


0,00638 
Le) 
0,00638 
1,1543 
2,09/1 


o 


S,54282 
9»99974 
8,71880 
9:99940 
26171 
8,54231 
9,6424 
2,06821 
1,179311 
0,4389 
69,174 
1,83994 
0,31559 
1,92435 
8,78606 
0,06110 
2,12091 
0,03093 
219986 
0,32824 
0,933443 
1,91816 
8,77987 
0,06047 
0,06024 
1,14940 
33,4164 
65,947 
32,973 
32,973 
o 
8,60872 
c,05964 
0,04006 
1,14720 
0,9210 
1,2192 
78090 
6,3518 
78087 
0,00644 
0,00022 
o,o0644 


1,1543 


4° 


8,84358 
9,9989û 
8,94030 
9:99834 
748321 
8,54125 
9,6416 

2,12845 
2,32251 
0,4382 

69,179 

1,83995 
0,32806 
1,91189 
8,99510 
0,09888 
2,22733 
0,04944 
2,27 077 
034778 
0,35732 
1,20235 
8,95556 
0,01360 


32,5005 
63,588 
31,794 
31,794 


1,1545 
2,1391 


2,3220 


9,01928 
999761 


0,38445 
1,48058 
9,10938 
0,02029 
0,12864 
1,04773 
31,0878 
60,478 
30,239 
30,240 
1 
907913 
0,05751 
0;11099 
1,14160 
1,0836 
3,5481 


2,59495 
0,4004 2 
0,41406 
1,45456 
919180 
999209 
0,15556 
0,98199 
29,3900 
56,959 
28,180 
28,481 


1,1552 
2,3611 
4,4748 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 701 
S EN ARC DE CERCLE. 


GMAISONS DES PLANS DE JOINT, RAYONS DE COURBURE, ÉPAISSEURS. 
14° 


9,38368| 9,41034| 9,48998 | 9,53405 | 9,57358 9,64184 | 9,67161 | 9,69897 | 9,72421 1 
998690 | 9:98284| 9,97821 | 9,97299 | 996717 9:95366 | 994593 | 9:983753 | 9.92842 | 9.918557 | 
9,41300| 9,46594| 9,51264 | 9,55433 | 9,59188 9,65705 | 9,68557 | 9,71184 | 9,73611 | 9,75859 
9,98494| 9:98060| 9,97567 | 9,97015 | 9,96403 9,94988 | 994182 | 9,93307 | 9,92359 | 9,91336 
7:95591| 8,00885| 8,05555 | 8,09724 |. 8,13479 | 8,16886 | 8,19996 | 6,22848 | 8,25475 | 8,2790 8,30150 |B 
8,52785| 8,52351 | 8,51858 | 8,51306 | 8,50694 | 8,50019 | 8,49279| 8,48473 8,47598 | 8,46650 | 8,15627 
9,6296 9:6255 9,6209 9,6157 9,6098 9,6034 9,5963 9,5886 9,802 9,9711 9,561? 
2,8830| 3,09184| 3,31264 | 3,54235 | 3,77908 | 4,02134 | 4,6792 | 4,51783 | 4,77028 | 5,02461 | 5,28026 
21747] 799948 | 8,72168 | 938881 | 10,00552 | 10,57625 | 11,10505 | 11,59553 | 12,05097 | 12,47425 | 12,56702 
0,4262 0,4222 0,4177 0,4128 0,4072 0,4012 0,3947 0,3878 0,3804 0,372 0,3641 
69,187 69,191 69,195 69,200 69,206 69,212 69,218 69,225 69,233 69,241 69,249 
1,84003| 1,84005| 1,84008 | :1,84o11 1,84014 | 1,84018 | 1,84022 | 1,84026 | 1,84031 1,8,036 1,84041 
0,45974| o,49022| 0,52017 | o,54929 | 057739 | 0,60437| 0,63022 | 0,65493 | 0,67854 | o,7o110 | 0,72266 
1,38029| 1,34983| 1,31991 | 1,29082 | 1,26275 | 1,23581 | 1,21000 | 1,18533 | 1,16177 | :1,15926 1,11770 
9:33620| 9,35868| 9,37546 | 9,38806 | 9,39754 | 9,40467 | 9,40996 | 9,41381 | 9,41652 | 9,11828 94 1qp5 
0,21687| 0,22839| o0,23739 | 0,24438 | o0,24977 | 0,25390 | 0,25702 | 0,25g30 | 0,26093 | 0,26199 0,26257 
3,09917 | 3,32023 | 3,55003 | 3,78673 | 4,02885 | 4,27524 | 4,52494 | 4,77713 | 5,08121 | 5,28660 | 5,54285 
0,10843| 0,11419| 0,11869 | 0,12219 | 0,12488 | 0,12695 0,12851 0,12965 | 0,13046 0,13099 0,13129 
3,20760| 3,43442 | 3,66872 | 3,90892 | 415373 | 4,40219 | 4,65345 | 490678 | 5,16157 | 5,41759 5,67412 
0,49125| 0,52117| 0,55023 | 0,57826 | 0,60518 | 0,63096 | 0,65561 | o0,67917 | 0,70167 | 0,72318 0,74373 
0,50618| 0,53585| o,56451 | 0,59206 | 0,61844 | o0,64367 | 0,66:78 | o,69080 | o0,71279 | 0,73381 | 0,75390 
1,36536| 1,33515| 1,30563 | 1,27702 | 1,24949 | 1,22310 | 1,19783 | 1,17370 | 1,15065 | 1,12863 | 1,10758 
9,32127| 9.34400| 9.36118 | 9,37426 | 9,38428 | 9,39196 | 9,39779 | 940218 | 9,40540 | 9,40765 | 9,40ÿ08 
989321 | 9,85866| 9,82421 | 9,79008 | 9,75643 | 9,72329 | 9,69062 | 9,65843 | 9,62663 | 9,59513 | 9,56385 
0,20954| 0,22080| o,22971 | 0,23673 | 0,24226 | 0,24658 | o,249g1 | 0,25245 | 0,25433 | 0,25565 | 0,25650 
0,78201| 0,72220| 0,66713 | o0,61671 | o0,57073 | d,52880 | o,49048 | o0,45544 | 0,42328 | 0,39367 | 0,36631 
…|24,0044 |22,3785 | 20,8886 19,2353 18,3126 17,2112 16,2181 | 15,3225 14,5134 13,7803 13,1145 
- | 16,383 43,267 40,424 37,848 35,524 33,429 31,541 | 29,836 28,294 26,895 
23,192 21,634 |20,212 18,924 17,762 16,715 15,770 | 14,918 14,147 13,447 
23,193 21,635 20,213 18,924 17,762 16,715 15,770 | 14,918 14,147 13,447 
1 1 1 o 0 o o 0 0 o 
9,44358| 9,50024| 9,54988 | 9,59395 | 9,63348 | 9,66921 | 9,70174 | 9,73151 | 9,75883 | 9,78411 | 9,50746 
0,04680| 0,04274| 0,03811 | 0,03289 | o0,02707 | 0,02063 | 0,01356 | 0,00583 | 9,99743 | 9,9883 | 997847 
0,27770| 0,31640| 0,35472 | 0,39260 | o0,43001 | 0,46689 | 0,50320 | 0,53890 | 0,57394 | 0,6082 0,64159 |R 
Mn| 1,11378| 1,10342| 1,09172 | 1,07867 | 1,06431 | 1,04865 | 1,03172 | 1,01352 | o,99410 | 0,97346 | 0,95164 
| 2,7685 1,9884 2,2209 2,4637 2,7146 2,9727 3,2362 3,5043 3,7762 40511 4,3286 
74052 8,3159 | #®,0764 97814 10,4355 | 11,043: 11,6082 12,1344 |12,6249 |13,0825 | 13,5098 
79931 7:9836 | 8,0136 8,0427 8,0708 8,0978 8,1236 8,1483 8,1719 8,1945 8,216: 
3368 | 7,4239 | 7,5035 9767 76444 7071 77654 7:8199 78708 79187 7:9637 
79400 | 7,9664 | 7,9918 8,0157 8,0380 8,0585 8,0773 8,0g42 8,1094 8,1229 8,1347 
0,00898 | 0,00963| 0,01032 | 0,01103 | 0,01177 | 0,01253 | 0,0132g | o0,01407 | 0,01486 | 0,01565 | 0,01645 
0,00217| 0,00265| 0,00319 | 0,00377 | 0,00441 | 0,00510 | 0,00583 | 0,00660 | 0,00743 | 0,00829 | 0,00920 
0,00871| 0,00926| 0,00981 | 0,01037 | 0,01091 | 0,01144 | 0,01195 | 0,01242 | 0,01286 | 0,01327 | 0,01364 
1,1568 1,1979 1,1982 1,1589 1,1597 1,1604 1,1612 1,1620 1,1628 1,1635 1,1643 
2,8g10 | 3,1o11 | 3,322 | 3,5527 3,7900 4,0328 4,2799 4,5302 4,783 5,0379 5,2939 
72193 | 7,9968 | 8,7185 9,3850 |10,0011 |30,5712 |11,0992 |11,5889 |12,0435 |12,4660 | 12,8587 


702 MÉMOIRE 

Chaque colonne verticale est calculée isolément jusqu'à p”. 
Ajoutant Ay”’ et Aa” aux valeurs de y” et +" qui se trouvent dans 
la même colonne, on obtient les y” et x” de la colonne suivante, 
et l’on continue les calculs jusqu'à p” mclusivement. Revenant alors 
à la colonne précédente, on y effectue la vérification mdiquée, et 
l'on poursuit ainsi les déterminations successives jusqu'à la der- 
nière colonne verticale. La marche des erreurs, par sa régularité, 
indique suffisamment l'exactitude de toutes les valeurs obtenues, 
sauf celle de x”. L’abscisse x”, de même que les coordonnées 4’, y, 
X, Y et les épaisseurs &, ne peuvent être vérifiées qu'à l'aide de 
leurs différences successives. 

Le calcul qui vient d’être présenté constituë une véritable inté- 
gration par quadratures : il convient d'en comparer le résultat à 
celui que fournissent nos Tables ou que donne l'intégration effec- 
tuée au moyen des fonctions elliptiques. 

Nous avons trouvé y, — b",0408, 2", — 12",508/4, et 
æ, — 32° 833"; il s'agit de tirer du tableau, par interpolation, 
les valeurs de x” et de & correspondantes à la valeur y" == 5",0408. 
Soit n là fraction de l'intervalle de 2° à laquelle répond 7’; il 
viendra pour déterminer n, en prenant les différences 1" et 2° 
de y" à parür de & — 32°, 


na (n 


— 0 
0,0162—n.0,25565 + Alarsy) 0,00085, 


d'où, en négligeant le dernier terme, 
n — 0,0633: 


cette valeur étant substituée dans le deuxième terme ne donne 
rien de sensible. On en déduit 


n(n—:) 


2'— 12,47425 + n.0,39367 —————— 0,01736 
2 
partie proportionnelle... . + 0,02492 
2° différence... ........ + 0,00079 
——— LL 
z'— 19,5000 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 703 


En comparant cette valeur à +”,, on voit que les erreurs accu- 
mulées de notre calcul ne s'élèvent qu'à 0",0084. 

Quant à l'angle &, on aimmédiatementæ— 32°+-n.2°—392°736", 
ce qui donne une erreur de 57”, quantité que l’on peut parfai- 
tement négliger dans une question de ce genre. On ferait dispa- 
raitre l’erreur qui affecte +”,, soit en diminuant la demi-ouverture 
de 0",008 dans la construction, soit en appliquant les nombres 
du tableau jusqu'à à” — 12%,5084; mais alors on produirait 
dans y’, une erreur de 0%,005 environ; c’est-à-dire qu'il faudrait 
élever la chaussée ou abaisser les naissances d'autant. 

Le calcul des coordonnées y” et x” ayant été poussé jusqu'aux 
centièmes de millimètre, l'inexactitude des dernières décimales 
n'a pas du s'élever par accumulation jusqu'au chiffre des milli- 
mètres. On peut regarder les écarts entre le calcul par quadratures 
et le calcul par les Tables, comme provenant de ce que l'inter- 
valle Ax n’est point extrémement petit, plutôt que des termes du 
troisième ordre négligés dans les formules générales. 

Dans la pratique, on n'aura jamais besoin d'effectuer les cal- 
culs qui précèdent avec autant de figures que nous en avons em- 
ployé, le nombre des déterminations successives de e pourra être 
réduit, et les calculs du tableau précédent pourront quelquefois 
être remplacés par la construction graphique. Si nous n’avons pas 
abrégé les calculs, c’est que nous tenions à comparer les résultats 
des deux méthodes d'intégration. 

Les mgénieurs que n’effrayeront point les longs calculs pré- 
sentés en dernier lieu, feront bien de les exécuter ou d’en sur- 
veiller l'exécution, qui ne peut exiger plus de un à deux jours. 
de travail, suivant l'habileté du calculateur. Lorsqu'on songe à 
l'importance des constructions, aux accidents graves qui peuvent 
naître du défaut de bonnes proportions, ou de ce que l'ingénieur ne 
s’est pas bien rendu compte du jeu des forces en faisant son projet, 
on a de la peine à concevoir que l’on ne consacre pas aux calculs 
qui font la base fondamentale du projet, le quart ou la dixième 
parue des soins que l’on consacrera à l’enjolivement des dessins, 


704 MÉMOIRE 


Calcul des constantes nécessaires à l'exécution du tracé 


ÉQUATIONS (XXYIT). 


1. Q°— 1,84269 2 
1 2 —0,30103 Lar108260 
La Q— 214372 le7—0,11980 
Jon AIRE 1. q—:,07640 2 
a Us Le p937a 
7 —\00670nee rer 1.9 —1,06732 CNE ET AM os 1. = 8,86731 
= 5 ,9617 1.29 — 1587743 


ES h 
LE E"— 0" 10° 37". l.tang — 7,48988 


Au moyen de ces quantités, on pourrait effectuer le tracé en 
suivant les indications données n% A3 et A5. L’épure du profil 
de la voûte étant faite, soit en suivant ce procédé, soit à l’aide 
des coordonnées calculées au tableau précédent; si l’on trace sur 
la même épure l'arc de cercle tangent au sommet et passant par 
les naissances, on trouve que le plus grand écart entre l'intrados 
circulaire et celui de notre épure est de 0,14 à peu près; cet 
écart se manifeste à une distance de la verticale qui passe par le 
sommet, égale à 0,7 environ de la demi-ouverture. Nous avons 
dit, en terminant la première partie du mémoire, que l'écart, assez 
faible en apparence, des deux intrados ne serait pas une raison 
pour substituer l'arc de cercle à celui que nous proposons. 

La planche I présente le profil d'une demi-arche, et la planche If 
l'élévation d'un pont projeté sur les données du pont d'Iéna. 


DEUXIÈME EXEMPLE. 


Arche à grande portée, de 5 mètres de flèche et près de 45 mètres d'ouverture. 


47. Soient données : f — 5"; 9 — 22",4957; Y, — 2,514; 
& —100",071; æ=— 2440 kil. La charge maximum y, répond 
à peu près à la limite 100" de Navier, et au dixième de la résis- 
tance absolue de la roche d’Arcueil, eu égard à la différence des 
densités. (Les chiffres décimaux qui figurent dans ces données 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 705 


proviennent, comme dans l'exemple précédent, de ce que nous 
avons voulu utiliser des calculs faits avec d’autres données.) 
En suivant la marche indiquée n° A5, nous trouverons d’abord 


o 


e RS 7 hionni, = — 0,5018. 


La Table I donne, relativement à la valeur de F 


Y 
" 


0,5 | 6,8732 
0,6 | 79654 


d'où : 
POUDIO DE -PeneRl-rcenee 6,8732 
partie proportionnelle. ...... + 306 
2! différence: . 4m. tt. + 1 
œ 6,903 
FT ,909q 
of 
valeur approchée..... Q°— 172,598 
L 2 
ÉQUATION (1). ÉQUATION (11). 
bi f— 95,071 1 Q?— 2,23704 
= 02 2810 1. — 1,96558 
Pre ACTE NAN TRE AR FRET bi, 
2h'— 5,028 val. app.... le —0,27146 
J—+-2h"— 10,028 2 
JPF+2h")—= 50,140|... 1. — 1,7002 1 ÉD 
" 2 
| ff+2h Jos AU OV ee CCE a dde L — 0,09537 
3(41—f) ILmerie 
us ob, 805a.à À —1,97724 dénom.=— 93,627........ 1 —:,97140 


1e — 0,26564 


SAVANTS ÉTRANGERS. — XII. 89 


706 MÉMOIRE 
Pour corriger la valeur de Q*, nous aurons recours à la Table II 


. [2 Ye 
qui donne, avec les valeurs précédentes de É et 7 


d'(Q?) 
— CHE CU EMA L — 9,53071 
1. e° — 0,53128 
d'où OMS Te 7e 1. — 0,0619g 
valeur corrigée. . ...... CEE Eden 1. Q°— 2,239098 
ÉQUATION (v) 
1.16 — 0,77815 
1. 60° — 3,01808 
e? 
1= œ 10102 
Yo 2,5 AOL ER . 1. Y, — 0,4004 
Le? - 
TE ,—— 0,0082...4...: 1 — 7,9136 — 
valeur corrigée., ....... RU pond re Ri——0,39800 


À l’aide de cette valeur, nous allons calculer une autre valeur 
de e plus exacte. 


ÉQUATION (11). 


do — h"— 99,3894 


2 
(à posteriori)... .. à E—.1,2072 1. Q?— 2,23993 
dénoms 2-0 ——199:0266::0- 01 1. — :1,97140 
valeur corrigée. .... GB his one Re le — 0,26853 


1. 2 — 0,30103 
L Bo — 1,97724 


J5— 20200. 1: g— 2,54680 
1. 2 — 0,53706 


dc 


>. cat 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 707 


La comparaison de 4" et e donne À — 0,65. Or la hauteur 
de la charge À peut être réduite à peu près comme il suit : 


HAUTEUR RÉDUITE 
MATÉRIAUX EMPLOYÉS. ÉPAISSEUR. | DEXSITÉ. à la densité 2,44 


‘des voussoirs. 


2° Caïlloux et gravier... 
| 


3° Sable 


0,256 


Épaisseur réduite, À— 0,65 


La solution est donc réalisable. Dans ce cas, les ordonnées sont 
rapportées à un plan horizontal situé à 0,10 au-dessous du ni- 
veau du pavé. 


Calcul des poussées, etc. 


ÉQUATIONS (x1v). 


GALCUL DE Yi. CALCUL DE &,. 
J+h— 75058... L— 0,87540 no 56,144........... 1 — 1,74930 
== CEE oo Canoe 1. — 0,7978 
f+2h— 0,012 |... 1. —:,00052 < a) Re 
| ENTER PRE 1. — 1,69780 
eue Les Re ROIS ont ere re 1 — 2,84199 
(4h) (f+2u") Tree diff. — 8,85581 
— — 0,21386|... 1. — 9,32912 1 Te : 
q° Di — 19042. 2. 1. sin — 9,42791 
1—id.— 0,78664|. .. 1: — 9,89578 di—31 4 26 ...... 1 sin — 9,7128 
ppt S 0185 CCM IT NON EC 1. sin — 7,2260 
3 # RENTE À HUE 
e He AO) re 0 1. sina, — 9,71398 
1 —— 799026 1. cosa, — 9,93229 
q 
E 1 
3°terme— 0,01282.... |. — 8,10789 


7 


= 749208. PR 0,87465 


ÉQUATIONS (xv). 


L3—0,47712 


2 


LE 
Lg noi 
1. 20, — 8,38854 


20, sina — 0,01266.... 1. —8,10252 


9 — 22,4997 


7 


x’, — 22,50836 


ÉQUATIONS (xIx). 


1 
1. — e — 9,96750 
2 


à e sin — 0,48026.... 1. — 9,68148 
2 
1 
- COS — 0,79394.... 1. —9,89979 
æ, — 22,9886 
}— 6,6990 
ÉQUATIONS (xx). 
Vi =—10:00: 1 —19;81201 
DD D00D CC EEE «— 077129 


MÉMOIRE 


ÉQUATION (xvi1). 


lu, — 2,00031 


Leu; — 2,26884 
La—3,3873g 


tro T, 


—— 453138 kd....... 1. — — 5,65623 
À À 
T, L 
nr Vo CÉL EME SRE ED L — 5,37021 
—— Cosa — 387721. te... 1. — 5,58852 
ÉQUATION (xx1). 
MANU SG Ur L — 1,54245 
Vo? 012975 4e A Ï 


. — 9,62582 


rare 72266... 1. — 1,23612 
2 
La — 3,38739 
U : 
Car 42025 kil. .... LL — 4,62351 
ÉQUATION (XxxI1). 
DO ONNEEE ETC 1.— 2,31368 
Vo a NE .— 948873 
76 — 9° — 209,636 
ZUN®—n)— 68,545... 1. 8,83598 
Din Te 8e 1. — 0,59986 
ÉQUATION (xxr11). 
sn - DOTE RTENMEENT 1. — 1,98282 
ÉQUATION (xx1it bis). Vérification. 
1f U 
= cosai drone kel: 1. — 5,63321 


Les — 2,24577 
. Laœep —5,63316 


erreur — 5 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 709 

Nous renverrons, pour ce qui concerne l'usage des quantités 

que nous venons d'obtenir, à ce qui a déjà été dit dans l’exemple 
du numéro précédent, à l'égard de quantités analogues. 


Calcul des coordonnées , inclinaisons des joints, rayons de courbure, épaisseurs. 


Le tableau ci-après offre les détails des calculs effectués en sui- 
vant la marche qui a été indiquée dans l'exemple relatif au pont 
d'Iéna : nous nous bornerons à comparer les valeurs de x”, et @, 
déduites du tableau par interpolation, à celles qui ont été déduites 
des Tables. Désignant toujours par n la fraction de l'intervalle de 2° 
à laquelle répond y” — 7",49298, nous avons pour déterminer n, 

n(n—:) 


0,23917 — n.0,41655 + ———.0,00066, 
2 


d'où l'on tire, en négligeant le dernier terme, 
n—0,57417, 

et, en ayant égard à ce dernier terme, 
n—0,57435., 


Avec cette valeur et les différences de x” relatives à & — 30°, 
il vient 
n(n—:)(n — 


. 0,05083 + I ape Am 0,00434 
2.3 


2" — 22,08359 +- n.0,69327 — 


n(n—:1) 


MEME MARS. Mende à 22,08359 
partie proportionnelle … .... + 0,39818 
2° différence............. + 620 
3° différence.............. + 25 
d’où æ'— 22,48822 
or nous avons trouvé 2’, — 22,50836 
l'erreur est donc 0,0201 


quantité moindre que la millième partie de la demi-ouverture. 


PO APE P 


Ar —(p +? 


FORMULES. 


,Y'+ p'sin(a+ + Aa)Aa 


Ten 
+ 


3e sm 


= p++Ap')sm(a+;Aa)Aa, 


2 APp') cos( + + Aa)Aa. 


Pour Vérification : 


P'm + 3 AP'm —3(P'm + ma) erreur. 


y =} — ecosa, 


z'—x"+esina, 
ta 
20———Y 
3 q° 
E—e+ 20 


Y— y" + 20 cosa, 


X— x" — 205in«. 


CONSTANTES. 
Soit Aa— 2°. 
Aax— 0,0349066 
1. Aa— 8,54291 
Q2— 173,701 
Le —0,53706 
L 3 —0,47712 
1. 2e? — 0,05994 
h— y" —22%,50680 


TS 
ru e? 
2 Nil 


(a+ + Aa)A a” 


ER 


. esinæ. 


MÉMOIRE 


sin(æ + + Aa).. FN. AE 


.cos(æ++Aa)........... 


sin (æ + è Aa)/AGe "tee 


.cos(a—+—+Aa)An,....... 


MENCOSMe eee PRIE 
” 

LU D AA ES LOR AE +20 
“ 

Die es Se ET 
De COST. Par ee ce 
Q®— Le’ cosa. ......... 

2 1,2 x | 

[OI Teñcos2] EE 
Solsepbpe wrong. où 
” 

[AE osseuses 


sp l'sin(æ—++Aa)Aa...... 


p'sin(a+%Aa)Aa...... 
y"+p'sin(a+}Aa)Aa 
1 p° sin(aæ +} Ax)Aa 
Y sel ERASNEe 
[y"+  p'sin (a+ Aa) Aa]. 
ARTE p' HSE À à) À a]. 


8,241186 
9:99995 
6,78477 
8,54284 
0,0599 
2,50580 
0 
1,148 
172,603 
2,23709 
0,39895 
1,83810 
8,62287 
0,04196 
2,94776 
0,02098 
2,56874 
0,40616 
0,40972 
1,83454 
8,61931 
0,37738 
0,04162 
2,38440 
68,881 
136,637 
68,318 
68,319 


2° 


8,51282 
999974 
8,71880 
999940 
7.26171 
8,54231 
0,0597 
2,94742 
2,38440 
1,147 
172,604 

2,23709 
0,40610 
1,83095 
9,09266 
0,12378 
2,67120 
0,0618g 
2,73309 
0,42671 
0,43665 
1,82101 
9,08272 
0,36332 


0,12098 
2,30845 
67,756 
132,440 
66,220 
66,223 
à 
8,81139 
0,26827 
0,06477 
1,85469 
0,6927 
2,4492 


1,8640 


7:9192 
6,4620 
79189 
0,00830 
0,00929 
0,00830 
1,864: 
2,5997 
2,384 


4° 


ARCHES INCOMPLÈTES | 
PROJET D'ARCHE À GRANDE PORTÉE, DE 4A",991 D'OUVERTURE ET 5°,000 DE FLÈCHE, = 


6° 


A: 


8° 10° 


8,84358| 9,01923| 0,14356| 9,280 
9:99894| 9:99761| 9:99579| 9,998 
8,94030| 9,08589| 9,19433| 9,280 
9:99834| 9:99676| 9:99462| 9,991 
7:48321| 7,62880| 7,73724| 7,82 
8,54125| 8,53967| 8,53753| 68,581 
0,058g | 0,0576 | 0,0557 | 0,05 
2,66840| 2,85866| 3,10536| 3,39f 
4,69285| 6,86745| 8,87668| 10,71 
1,145 1,142 1,137 1,13 
172,606 {172,609 li72,614 172,62 
2,23705| 2,23706| 2,23708| 2,23 
0,42625| 0,45616| o0,49211| 0,58 
1,81080| 1,78090| 1,74497| 3,70 
9,29401| 940970! 9,48221| 9,52 
0,19679| 0,25686| 0,30354| 0,33 
2,86519| 3,11552| 3,40890| 3,78 
0,09840| 0,12843| 0,15177| 0,168} 
2,96359| 3,24395| 3,56067| 3,90 
0,45715| 0,49353| 0,53261| 0,57 
0,47182| 0,51107| 0,55153| 0,590} 
1,79613| 1,76336| 1,72605| 1,68)8h 
9:27934| 9,39216| 9,46329| 09,51 
0,33738| 0,30303| 0,26358| o,22lh 
0,19026| 0,24670| 0,29060| 0,8 | 
2,17460| 2,00923| 1,83476| 1,66 | 
64,684 |60,381 |55,587 |50,8 | 
125,065 [115,968 {106,418 | 97,284 
62,532 |57,984 |53,209 
62,536 |57,991 |53,217 
n 7 8 
gpiia2u1l 9,28776| 9,41209 
0,26747| 0,26614| 0,26428 
0,12945| 0,19398| 0,25828 
1,85127| 1,84560| 1,83772 
0,8171 1,0131 1,2676 
4,8223 | 7,0614 | 9,1350 
7:9394 | 79693 | 8,0052 
6,7830 | 6,9885 | 7,1488 
79383 | 7,9669 | 8,0009 
0,00870| 0,00932| 0,01012 
0,00061| 0,00097| 0,00141 
0,00868| 0,00927| 0,01002 
1,8645 | 1,865: | :1,8659 
2,6771 | 2,8679 | 3,1154 
4,6922 | 6,8665 | 8,853 


L SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 711 
MDITES LN ARC DE CERCLE. 


22° 26° 28° 30° 32° 


9,38368| 9,44034| 9,48998| 9,53405 957358 9,60931| 9,64184|  9,67161 9:69897| 9:72421| 9,74756 
9:98690| 9.98284| 9,97821| 9,97299| 9:96717| 9,96073| 9,95366| 9,94593| 993753] 9,92842| 9,91857 
9,41300| 9,46594| 9,51264| *9,55433| 9,59188|° 9,62595| 9,65705| 9,68557| 9,71184| 9,73611| 0,75859 
9:98494| 998060! 9,97567| -9,97015| 9:96403|  9:95728| :9,94988| 9,94182| 9,93307| 9,92359| 9,91336 
7:99591| 8,00885| 8,05555| 8,09724| 8,13479| 8,16886| 8,19996| 8,22848| 8,25475| 8,27902| 8,30150 
8,52785| 8,52351| 8,51858 8,51306 8,50694 8,50019 8,19279 8,48473 8,47598 8,16650| 8,45627 
0,0468 | 0,0428 | 0,038: 0,0329 0,0271 0,0207 0,0136 0,0059 9:9979 99884 9:9785 
4,06868| 4,43621| 4,81772|  3,20973| 5,60960| 6,01535| G6,42540| 6,83855| 7,25381| 7,67036| 8,085 
13,88867| 15,26027| 16,50814| 17,64663| 18,68832| 19,64422| 20,52359| 21,33444| 22,08359| 22,7:686| 23,41930 
1,114 1,104 1,092 1,079 1,064 1,049 1,032 1,014 0,994 0,974 0,922 
172,637 172,647 |172,659 |172,672 [172,687 |172,702 |ige,zag |172,737 [172,757 |192,777 172,790 
2,23713|  2,23716| 2,23719| 2,23722| 2,23726| 2,23730| 2,23534| 2,23738| 2,23743| 2,23748| 2,23754 
0,60945| o0,64701| 0,68284| o,71682| o,74893| o0,77926| o,80790| o0,83496| 0,86057| o,88482| o0,90782 
1,62768| 1,59015| 1,55435| 1,52040| 1,48833| 1,45804| 1,42944| 1,40242| 1,37686| 1,35266| 1,32972 
958359] 969900! 9,60990! 9,61764| 9,62312|. 9,62690|  9,62940| 9,630go| 9,63161 9,63168| 9,63122 
0,38335| 0,39719| 0,40729| o0,41461| 0,41988| o0,42355| o,42599| o,42746| o0,42817| o0,42823| o0,42778 
4,45203| 4,83340| 5,22501| 5,62434| 6,02948| 6,43890| 6,85139| 7:26601| 7,68198| 8,09859| 8,51535 
019167] 0,19860| 0,20364| o0,20730| 0,20994| o,21177| o0,2129g9| 0,21373| o0,21408| o,21412| 0,21389 
4,64370| 5,03200| 5,42865| 5,83164| 6,23942| 6,65067| 7,06438| 7,47974| 7:89606| 8,31271| 8,794 
0,64856| 0,68425| 0,71800| 0,75007| 0,78028| o0,80881| o,83578| 0,86130| o0,88547| o,90841| 0,93020 
0,66686| 0,70171| 0,73469| o0,76579| 0,79514| o0,82286| o,84907| 0,87388| o,89741| o,91974| 0,94098 
1,60938| 1,57266| 1,53775| 1,50468| 1,47347| 1,44398| 1,41615| 1,38984| 1,36492| 1,34133| 1,31894 
956529] 9,58151| 9,59330| 9,60192| 9,60826| 9,61284| 9,61611| 9,61832| 9,61967| 9,62035| 9,62044 
0,13723| 0,09617| 0,05633| o,o1774| 9,98041| 9,94417| 9,g0894| 9,87453|  9,84090 9:80783| 9,77521 
0,36753| 0,38151| 0,3g201| 0,39987| o0,40575| :0,41005|  0,42315| 0,41526| :0,41655| o,41721| o,41722 
137160! 1,24787| . 113849]  1,04169| 0,95590| 0,87938| 0,81085| o0,74915| 9n,69327| o,64244| o0,59595 
42,431 38,918 | 35,839 33,144 30,784 28,710 26,881 25,259 23,816 22,525 21,366 
81,319 | 74,757 | 68,983 63,928 59,494 55,591 ‘52,140 49,075 46,341 43,891 
40,674 37,378 | 34,492 31,964 20,747 27,795 26,070 24,538 23,170 21,945 
40,680 37,382 34,495 31,966 29,749 27,796 26,071 24,538 23,170 21,945 
6 4 3 2 2 1 1 0 0) Co) 
9,65221| 9,70887| 9,75851 9:80258|  9,84211 9:87784| 991037] 9,94014| 9,96750| 9,99274| 0,01609 
025543] 0,25137| 0,24674| o,24152| 0,23570| 0,22926| 0,22219|  0,21446| 0,20606| 0,19695 0,18710 
0,44896| : 0,51153|. 0,57346|  0,63471| 0,69520| 0,75482| ‘ 0,81352| , 0,87124| .o,92790| o0,98342| 1,03 779 
1,80067|. 1,78390| 1,76498| 1,74390| 1,72068| 1,69535| :1,66798| :1,63855| 1,60716| 1,57380| 1,53850 
2,2680 | 2,6523 | 3,0527 3,4658 3,8889 4,3200 4,7574 5,2000 5,6466 6,0966 | 6,549: 
14,3376 | 15,7718 | 17,0816 | 18,2813 | 19,3835 | 20,3990 | 21,3371 | 22,2057 28,0115| 23,7603 | 24,4572 
8,1226 | 8,1601 8,1960 | > 8,2300 8,2621 8,2924 8,3210 8,3481 8,3737 8,3980 | 8,4210 
7,9063 7:6004 7:6860 77640 78357 79017 79628 8,019 8,0727 8,1222 8,1686 
8,1095 8,1429 | 8,1742 8,2030 8,2293 8,2531 8,2747 8,2940 8,3112 8,3264 | 8,3396 
001326] 0,01446| o0,01571| o0,01698| o0,01829| 0,01961| o,020g4| o0,02229| o0,02364| o,02500| a,02636 
0,00321| 0,00399| 0,00485| 0,00581| o0,00685| o0,00797| o,00918| o0,01046| o0,01182| 0,01325 0,01474 
0,01287| 0,01390| 0,01493| 0,015g6| o0,01695| o,017g1| o0,01882| 0,01968| o,02047| o,02120| 0,02186 
1,8691 1,8703 1,8715 1,8728 1,8741 1,8754 1,8767 1,8781 1,8794 1,8808 1,8822 
4,0815 4,4501 4,8326 5,2257 5,6266 6,0332 6,4442 6,8582 72743 7:6916 8,1094 
13,8855 | 15,2563 | 16,5033 | 17,6408 | 18,6815 | 19,6363 | 20,5144 | 21,3240 22,0718 | 22,7637 | 23,4046 


712 MÉMOIRE 

Quant à la valeur de &, elle est 30° +- n. 2° — 31° 8° 55” au 
lieu de 31° 10° 13", d’oùil résulte que l'erreur sur à, est de 1° 18”, 
quantité négligeable au degré d'approximation que nous nous 
sommes imposé. 

Les erreurs sur x”, et &, auraient été évidemment réduites en 
prenant Aa égal à 1°. Si l'on veut réaliser l'ouverture proposée, 1l 
suffira de faire croître y’, de la quantité 0",0201 tango, —0",0122, 
et il en résultera la nécessité d'élever la chaussée ou d’abaisser 
les naissances de 1 centimètre environ. 


Calcul des constantes nécessaires à l'exécution du tracé. 
ÉQUATIONS (XXVI1). 


L Q?— 2,23993 


2 
1. 2 — 0,30103 Ron 982891 


1 2Q° — 2,54096 1. 6° — 0,53706 


g— 18%,7672: - LULU Lg —u,27840 : 
——_— 1. — e° — 0,36097 

g! = 18 ,5166....:.; 1. q —1,26756 3 
 ————— a—0",12234 .... la —9,08797 
En — D 2656 Log—:1,57443 


EE E"— 0°11"12"..4 |. tang — 7,51314 


Le tracé de l'intrados comparé à Farc de cercle tangent au 
sommet et passant par les naissances donne, entre ces courbes , un 
écart qui s'élève jusqu'à 0",30 environ, et qui se présente vers 
les 0,7 de la distance de l'axe de la voûte aux naissances. C'est à 
cette comparaison des deux intrados que s'applique la discussion 
du n° 32. 

On peut voir, planches Let IF, le profil de l'arche que nous 
venons d'étudier et une élévation de pont construite sur ce profil. 
On a figuré, planche Il, un mode de disposition de appareil des 
têtes qui semblerait se prêter à la réalisation approximative des 
actions normales de la charge sur l’extrados de la voûte. Le sens 
vertical ou horizontal du lit de carrière serait indifférent, dans 
cette disposition, si lon pouvait négliger l'effet des surcharges 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 715 


accidentelles, puisque les pressions horizontales et verticales en 
un point donné du massif seraient égales, conformément aux con- 
séquences de lhypothèse de la fluidité. Nous n’osons pas insister 
pour que l'on réalise la disposition indiquée dans la figure; nous 
avons voulu seulement donner une idée de l'aspect que présente- 
rait un semblable mode d’appareiller les parements extérieurs. 


ARCHES COMPLÈTES OU EN ANSE DE PANIER. 


Exemple d'un projet d'arche à grande portée, de 60",070 d'ouverture. 


A8. Il nous a semblé bon de présenter un exemple des grandes 
dimensions que nos formules permettent de donner aux'arches de 
pont, sans sortir des conditions de grande stabilité, ni exposer les 
voussoirs à des pressions trop considérables. 

L’arche en pierre de la plus grande dimension que l'on con- 
naisse est celle du pont de Vieille-Brioude (sur l'Allier). Cette 
arche a 54,20 d'ouverture et 21 mètres de flèche; le projet 
dont nous nous occupons présente encore plus de hardiesse » 
comme on va le voir. 

Soient données en premier lieu : 


Demi-ouverture........... g—30",035... |. g—:1,47763 

Ordonnée des naissances. ... Y,—18 ,7480.. 1. Y, —1,27295 

d'où Ÿ —W:,602071 11° —0,20468 
1 


Si l’on cherche ce nombre dans la Table IIL, colonne marquée 


2 on trouvera, par interpolation, qu'il répond à 
x? » P P | P 


L_ 0,865903 ... 1. — 9,93747 


d’où 1162830277 1 — 1,22042 
puis, à cause de y”, — Y,, 


if = JOUE - cire 1. — 0,40040 


SAVANTS ÉTRANGERS. — XII. 90 


714 MÉMOIRE 


On voit ainsi que la somme de l'épaisseur à la clef et de la 
surcharge ne s'élève qu'à 2",5142 : il convient donc d'employer 
des matériaux résistants, pour ne pas avoir une surcharge trop 
faible. Supposons que les matériaux dont on dispose soient Cca- 
pables de résister à la charge permanente représentée par 


pi — 112,926... 1.1 — 209048 
et soit 


a — 24h4o kil... L & —3,38;39; 


ë 1 . A mal 
y, ne sera qu'environ le — de la hauteur 1803 mètres qui répond 
10 


à la rupture du liais de Bagneux (voir le tableau du n° A4). Si 
l'on s'en tient aux prescriptions rapportées par M. Poncelet, on 

à À ; L ; 
ne courra aucun risque en adoptant le chiffre ci-dessus. L'emploi 
de la charge y, que nous proposons aurait contre lui le dire 
de Navier, qui limite les charges à 100 mètres dans les arches 
de pont; mais nous devons penser que cet ingénieur n'a pas pré- 


x . She : . . . 
tendu les fixer ainsi à — pres : il avait en vue les constructions 
10 


telles que tout le monde les pratiquait à son époque, construc- 
tions dans lesquelles la stabilité s'éloigne plus où moins de la 
grande stabilité que nous avons assignée aux nôtres. 

Calculons x, et e: 


ÉQUATIONS (vrr). 


2ÿa =] 121,262. À l—u,32761 : : 
27 f) — 253803 L=f (271 —f)= 228700 
W—j— 96,092 Lt — y + f) — 1,96558 
3 (ii — f)— 288,276 | DEEE L — 2,15981 val. appr.... Î.e —0,27142 
1.3 —0,47712 
ai) : 
ua 0e 1. — 0,07822 te 0622 Te 1. — 9,79480 
SU —f) aie 5 
Uo— 94,895. ........ 1 —:1,97724 | dénominat. — 93,0037. .. -...... 1 — 1,96850 
uote Ji 10281 EE 1 — 196558 
ni 2 # 2° val. appr.. .. Île —0,26850 
= GMT .… L=—9,79138 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 715 


ÉQUATIONS (1x). Calcul plus précis de e, ÉQUATION (1x bis). 
ll POS .— 0,40040 V5 15488 EN 1 — 2,54591 
M GENE RER 270%% à 1. — 0;7y78 
Nu Aller REP A 
Flyi—S) 


1 
10 à e° — 0,05988 


— (y —h"?) — 172,604. ..... 1.=— 2,28705 
SR Re e° —0,0084 ...... 1. —7,92225 do — = 92,389 
3 f(2Y1—J) EE sa) 1e F 
R'— 2,5058. ... 1. h"—0,39895 
dénomin. ... — 93,008...... 1. — 1,96852 
DNS FO EE LIT TAN CRIE EE 0 val. corr... e— 1,8558(")... 1. e — 0,26853 
h = 0,6500 


ÉQUATIONS (x11). 
D g —176,105,.. 1. ep, — 224577 
‘ 1, 2— 0,30103 
q® — 352,209|... 1. g*° — 2,54680 
— he ——4,650...... 1. — 0,66748 — 
1. e— 0,53706 


2 
1 1s Ne 9,82391 


2 
Ma eu 7208 SC DES 1. — 0,36097 


Q— 173,751... 1. Q?— 2,23993 


On peut remarquer actuellemét que les constantes Q?, e, du, q° 
et X” sont précisément les mêmes que dans l'exemple précédent. 
Nous avons choisi nos données de manière à retrouver ces cons- 
tantes : en cela nous nous sommes proposé d'utiliser les calculs 
relatifs aux coordonnées, rayons de courbure, etc., présentés dans 
cet exemple. 


(*) Si l'on voulait se servir de cette valeur de e pour corriger la solution, à l'aide 


Y 


de la Table IV, on trouverait J < 0,0001, d'où d'f < 0",00002. 


e? 


90. 


716 MÉMOIRE 


Sans cette circonstance, nous aurions pu nous dispenser d’ef- 
fectuer le dernier calcul de e, car le logarithme de cette quantité, 
obtenu en dernier lieu, ne diffère de celui obtenu précédemment 
que de trois unités du dernier ordre. 

En se reportant à la valeur de e, on voit comment le bon em- 
ploi des matériaux conduit, malgré des dimensions si considé- 
rables, à une épaisseur à la clef qui n'a rien d’'exagéré, et que 
probablement tout ingénieur, en l'absence d’une théorie aussi 
approchée que la nôtre, et augmentée notablement. C’est du moms 
ce que l’on peut induire de l'examen des constructions existantes, 
où l'on trouve des épaisseurs de voûte de 2 mètres à 2,25 pour 
des portées imcomparablement moindres que 6o mètres. 

Si, au lieu de se donner y, on se fût donné À, on aurait cal- 
culé e et x, par les équations (x) et (x1) : la valeur trouvée aurait 
fait admettre ou rejeter la solution. 


Calcul des poussées, etc. 


ÉQUATION (XVI). | 1" ÉQUATION (xvix). 
e° À 1e? 
L ——7,99026 a LE 
q q 
1 3— 047712 VER 8 7000 eee 1. — :,27276 
4 " 2 
a —8g" 48 48".......... a EN te RE PRE 1. -— 8,78590 
< 1. sina, — o 3 q° 
1. cos — 7,51314 g— 30,035 
æ',— 30,09608 
ÉQUATION (xvir). ÉQUATIONS (xix). 
1 ep — 2,3 ê 
T T nn : 10 “le sint—  0,42790... Î. Les 9,96790 
= = sin a, — 508628. kil... .— 5,70640 à “ 
À 1 
T — COS 4; — 0,00302..-0u/. 1, — 7,48064 
— cos a, — TODBa Ne Miele 1 — 3,21954 A AE 
? di — 31,02398 


N—= 18,74498 


ot lé af 


D 


"nn “ws ÉÉOt c E "D 


RS LS Cole oi De in, = - | 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 


ÉQUATIONS (xx) ET (xx1). ÉQUATION (xx11). 
Ja 1874196... l'y, — M27281 M°— 6583,09....... 1. — 3,81843 
Vo EE PES D LV — 9,81291 jo Canne ol 
Ji — 391,259. - . 4... 1 — 2,54562 J°—7JY — 6582,82 
de 0 422. Te 1 — 9,62582 | 1 , À 
PA ï 9 2 ler DO 27e EE 2e 1 — 3,34129 
p— 9" — 350,831 ldéson eeeies 
PRET ERA ee 1. — 0,04 rt 7e CRE 
ae ii u — 12,2089........ 1 — 1,09722 


1. & —3,38739 


PSone ÉQUATION (xx1H1). 
— 428016 kil..... 1 — 5,63:146 


>| 


ÉQUATION (xxurt bis), vérification. 


Œ U 
cos Mn 20008 VER 1. — 5,63314 


Loep —5,63316 


erreur — 2 


Nous reviendrons tout à l'heure sur l’emploi des quantités U 
et T, dans le calcul des culées. 


Calcul des coordonnées , inclinaisons des plans de joint, rayons de courbure, épaisseurs. 


De ce que les constantes Q*, e, q°.et h' sont les mêmes que 
dans l'exemple du n° 47, il résulte que le tableau annexé à ce 
numéro fournira toutes les quantités demandées, pour des angles & 
compris entre o° et 34°; il reste donc à poursuivre le calcul jusque 
vers 90°. 

Nous donnons la suite de ces calculs dans le tableau ci-jomt, 
où nous avons fait Aa — 3°, de 32° à 62°; et Au — 4°, de 62° 
à 90°, afin d’abréger les calculs. Dans ce tableau, les constantes, 
sauf Ax, sont les mêmes que dans le précédent; et les valeurs de 
x" et y”, qui nous ont serñ de point de départ, sont celles du 
précédent tableau qui se rapportent à & — 32°. 


— 208 1144... 1 — 2,31901 


718 


FORMULES. 


Q®— Le° cosa 


p— = 
J 


Y + p'sin(æ+ + Aa)Ao 


+i4p—p"— : D 
p nié p y'+ip"sin(a+—+Aa)Aa 


Ay'—(p"+;Ap')sin(s +7}Aa)Ao, 


Ax'— (p"++Ap')cos(a + +Aa)Aa. 


Pour vérification : 


P'm+34Pm—3(Pm+/P'mr)= erreur. 


Y —=Y — ecosa, 


r'— x" + esing, 


Y— y" + 2dcosa, 
X— x" — 20 sina 


CONSTANTES, 
a — — ——— 


Aa—= 3°. Aa— 4". 


Aa— 0,0523599 Ax— 0,0698132 


1. Ax— 8,71900 1. Au — 8,84394 


Q— 173,751 


1. 5 e° — 0,05994 


(= 7:67036 


aa 
z'— 22,776086 


1 6° 
een Tr 1uE 


MÉMOIRE 


4 sin(æ++Aa) 
.cos(aæ+ + Aa) 


. sin(a+}Aa)Aa....... 
.cos(a—++Aa)Aa. RAT CI 


-p 
p 
p'sin(a+}Aa)Ax 


y" p'sin(æ++Aa)Aa.. 


+p'sin(a+};Aa)Aa 


Y'+3p'sin(a+rAa)Ac. 
.[y"+ p'sin(a+-1A a) A a]. 
- [y/ + 3 p'sin (247 A a) A a]. 


F(P°m + P'nx1) 
ENST 


ns 
erreur 


Vérification =. 


l. esima 


50 


972421 
9,92842 
9:74189 
9,92112 
8,46089 
8,64011 


22,77686 
0,974 

17237707 
2,23748 
0,88482 
1,35266 
9,81355 
0,65095 
8,32 131 
0,32547 
8,64678 
0,92019 
0,93686 


0,62644 
0,94646 
22,929 
43,354 
21,677 
21,677 
o 
9:99274 
0,19695 
0,98342 
1,97380 


6,0964 
23,7603 


8,3264 


35° 


9:75859 
9,91336 
9»77439 
990518 
8,19339 
8,62418 
9:97330 
8,29680 
23,72332 
0,940 
172,811 
2,23797 
0,91891 
1,31866 
9,81205 
0,64871 
8,94551 
0,32435 
9,26986 
0,99161 
0,96707 
1,30320 
9:79699 
9:92738 
0,62602 
0,84602 
20,829 
40,200 
20,100 
20,100 
0 
0,02712 
0,18189 
1,06444 
1,52016 
6,7766 
24,7878 
8,4321 
8,1907 
-8,3455 


0,02500 
0,01325 


0,02705 
0,01551 
0,02216 
1,8829 
8,3190 
23,7082 


36° 


9,78934 
9,89653 
9,80351 
98874 
8,52251 
8,60641 
9:95647 
8,92282 
24,56934 
0,905 
172,846 
2,23766 
0,95050 
1,28716 
980967 
0,64516 
9,56798 
0,32258 
9,89056 
0,98082 
0,99522 
1,27276 
© 979527 
9:87917 
0,62412 
0,75713 
19,971 
37,480 
18,740 
15,740 
o 
0,05787 
0,16506 
1,14254 
1,46238 
7,4604 
25,7119 
8,4636 
8,2529 
8,3601 
0,02908 
0,01790 
0,02291 
1,8849 
8,9457 
24,5514 


A1° 


9,81694 
987778 
9,82968 
9,86563 
8,54868 
8,58663 
993772 
9,51694 
25,32647 
0,866 
172,885 
2,23776 
0,97986 
1,25790 
9,80658 
0,64059 
10,18793 
0,32029 
10,50782 
1,00807 
1,02151 
1,24446 
9»79314 
9,83109 
0,62107 
0,67778 
18,109 
35,116 
17,558 
17,558 
o 
0,08547 
0,14631 
1,21790 
1,40059 
8,1463 
26,5440 
8,4930 
8,3099 
8,3708 
0,03112 
0,02041 
0,02349 
1,8869 
9,9704 


25,3060 


984177 
9,85693 
9,85324 
9,84566 
8,57224 
8,56466 
9:91687 
10,16801 
26,00425 
0,826 
172,920 
2,23786 
1,00724 
1,23062 
9,80286 
0,63513 
10,80314 
0,31796 
11,12070 
1,03355 
1,04613 
1,21804 
9:79028 
9,78270 
0,6:1699 
0,60632 
17,007 
33,045 
16,522 
16,521 
>! 
0,11030 
0,12546 
1,28914 
1,33494 
8,833: 
272934 
8,5204 
8,3622 
8,3773 
0,03314 
0,02303 
0,02384 
1,8889 
10,1918 
25,9812 


| 
| 
» |! 
| 


U EN ANSE DE PANIER. 


ALCUL DES COORDONNÉES, INGLINAISONS DES PLANS DE JOINT, RAYONS DE COURBURE, ÉPAISSEURS. 


1. 


88425 
80807 
Ds: 
D79419 
0 1254 
M51315 
86801 


0,02845 

2,02388 
1,8930 
Jhsirro 
11236 


9,90239 
977946 
9:91069 
9»76395 
8,62969 
8,48295 
983940 
12,0034 4 
27,034 41 
0,691 
173,060 
2,23820 
1,07991 
1,15889 
9,78858 
0,61458 
12,61802 
0,30729 
12,92531 
220099 
1,11144 
1,14844 
9:77813 
9,63139 
0,59997 
0,42795 
14,417 
28,152 
14,076 
14,075 


991857 
9»74756 
992603 
9:73021 
8,64503 
8,44g21 
9,80700 
12,60341 
28,06236 
0,642 
173,109 
2,23832 
1,10049 
1,13783 
978286 
0,60654 
13,20995 
0,30327 
13,51322 
1,12090 
1,13076 
1,12707 
9:77300 
9:97718 
0,99292 
0,37773 
13,739 
26,857 
13,428 
13,427 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 


59° 


9:93307 
971184 
993970 
9:69234 
8,65870 
8,41134 
9»77178 
13,19634 
28,44009 
0,591 
173,160 
2,23845 
1,12046 
1,11799 
9:77669 
0:59799 
13,79433 
0,29899 
14,09332 
1,13970 
1,14go1 
1,10868 
9:76738 
992002 
0,58530 
0,33115 
13,122 
25,690 
12,845 
12,843 


62° 


9,94593 
9,67161 
9,95366 
9,64184 
8,79760 
8,48578 
9»73195 
13,78164 
28,77124 
0,539 
173,212 
2,23858 
1,13930 
1,09928 
9,89688 
0,78864 
14,57028 
0,39432 
14,96460 
1,16347 
1,17906 
1,08769 
9,88529 
957347 
0,76787 
0,37452 
12,9684 
24,4784 
12,2392 
12,2374 


996073 
960931 
996711 
9,97398 
8,81111 
8,41752 
9,66925 
14,54951 
29,14576 
0,468 
73,283 
2,23876 
1,16285 
1,07991 
9,88702 
077094 
15,32045 
0,38547 
15,70592 
1,18927 
1,19606 
1,06512 
9 87623 
948264 
0,79202 
0,30384 
11,9100 
23,1392 
11,6196 
11,6177 


70° 


9:97299 
9,53405 
9:97821 
948998 
8,8:215 
8,33392 
9:59399 
15,30153 
29,44960 
0,393 
173,358 
2,23894 
1,18474 
1,09420 
9,87636 
0,79225 
16,05378 
0,37612 
16,42990 
1,205D8 
1,21563 
1,04415 
9,86630 
9,37807 
0,73502 
0,23882 
11,3292 
22,1443 
11,0721 
11,0701 


74° 


9,98284 
9,44034 
9,98690 
9,38368 
8,83084 
8,22762 
9,90028 
16,03655 
29,68842 
0,316 
173,435 
2,23914 
1,20911 
1,03403 
9,86487 
0,73261 
16,76916 
0,36630 
17,18546 
1,22451 
1,23390 
1,02464 
9,85548 
9,29226 
0,71694 
0,17876 
10,8151 
21,1720 
10,5860 
10,5840 


999040 
9:31788 
999335 
923967 
8,83729 
8,08361 
9:37782 
16,75349 
29,86718 
0,239 
179,912 
2,23933 
1,22410 
1,01523 
9,85252 
0,71205 
17,46556 
0,35603 
17,82159 
1,24218 
1,25094 
1,00647 
984376 
9,09008 
0,69785 
0,12305 
10,3569 
*20,3050 
10,1525 
10,1501 


24 


9:99575 
914356 
9599761 
9,01923 
8 84155 
7,86317 
9,20350 
17,49134 
29,99023 
0,160 
173,991 
2,23953 
1,24183 
9:99770 
9,83925 
0,69064 
18,14198 
0,34532 
18,48730 
1,25869 
1,26687 
0,98952 
9,83107 
8,85272 
0,67775 
0,07124 
99481 
19,5278 
9:7639 
97617 


9:99894 
8,54358 
9»99974 
8,54280 
8,84368 
738676 
8,90392 
18,12909 
30,06147 
0,080 
179,671 
2,23973 
1,25838 
0,98135 
9,82503 
0,66839 
18,79748 
0,334 19 
19,13167 
1,27410 
1,28179 
0,97370 
9,81738 
8,36046 
0,65672 
0,02293 
959797 
18,8288 
9,4144 
9,4124 


18 


20 


1 
0,17088 
0,04799 
1,48211 
1,11684 
10,8866 
29,1165 
8,5924 
8,4948 
8,3719 
0,03912 
0,03110 
0,02359 
1,8949 
12,0270 
27,6033 


1 
0,18710 
0,01609 
1,53851 
1,03774 

11,5657 
29,6009 
8,6136 
8,5322 
8,361 2 
0,04 108 
0,03406 
0,02297 
1,8969 
12,6264 
28,0283 


2 
0,20160 
9:98037 
1,59074 
0,99581 

12,2405 

30,0308 
8,6336 
8,9667 
8,3454 
0,04301 


0,03687 |- 


0,02219 

1,8988 
13,2189 
28,1032 


0,21446 
9,94014 
1,63855 
0,87125 
12,9160 
30,4098 
8,6524 
8,5983 
8,3240 
0,04492 
0.030966 
a,02109 
1,9007 
13,8027 
28,7316 


19 
0,22926 
9»87784 
1,69535 
0,75482 

13,8000 
30,8411 
8,6760 
8,6367 
8,2853 
0,04743 
0,04332 
0,01929 
1,9032 
14,5688 
29,1024 


0,24152 
9,80258 
1,74389 
0,63472 
14,6718 
31,193 
8,6979 
8,6709 
8,2320 
0,04988 
0,01687 
0,01706 
1,9097 
15,3186 
29,4027 


20 
0,29137 
. 970887 
1,783g0 
0,51153 
15,5298 
31,4723 
8,7183 
8,7011 
8,1587 
0,05228 


0,09025 


0,01441 

1,9081 
16,0510 
29,6382 


0,25893 
9,98641 
1,81522 
0,38584 
16,3722 
31,6824 
8,7372 
8,7276 
8,0551 
0,05/,60 
0,05341 
0,01139 
1,9104 
16,648 
29,8138 


29 
0,26428 
9,41209 
1,89772 
0,25828 
171974 
31,8280 
8,750 
8,708 
7:8986 
0,05689 
0,05634 
0,00792 
1,9127 
17,4593 
29:9339 


20 
0,26747 
911211 
1,85127 
0,12945 

18,0038 

31,9127 
8,7719 
8,7704 
76151 
0,05909 
0,05894 
0,00412 
1,9149 

18,1332 

30,0025 


719 


co à 
9:99974 
8,5428-|Ê 
8,84368 
73868 |} 
ca 
18,78581 
30,084 40 |} 
: é 
173,791 
2,23993 
1,27383 
0,96610 
980978 
0,64533 |} 
19,43114 
0,92266 
19,75380 
1,28850 
1,29965 
0,95895 
9,80253 
8,3457- 
0,63464 
—0,02217 


92401 


31,9402 
8,7870 
8,7871 
co 
0,06124 
0,06124 
o 
1,9170 

18,7858 

30,0232 


720 MÉMOIRE 

La marche des erreurs affecte une grande régularité : d’un 
autre côté, les valeurs des coordonnées autres que y”, et celles 
des épaisseurs, ayant été vérifiées par les différences successives, 
il n’est pas Miele qu'il se soit glissé quelque fagte de calcul 
assez notable pour qu’on doive s’y arrêter. 

Pour comparer le résultat fourni par notre tableau à celui que 
donnent les Tables, il convient ici de rechercher à quelle valeur 
de & répond le maximum de labscisse X de l'intrados réel, et la 
valeur correspondante de Y; nous comparerons ensuite @ à l'angle 
2, calculé plus haut, et le maximum de X à la demi-ouverture g, 
puis Ÿ à Y,. Soit n la fraction de l'intervalle Ax — 4° comptée à 
partir de go° vers 0°, à laquelle répond le maximum de X; nous 
aurons, pour expression générale de X, dans le voisinage de go°, 
à l'aide des différences de X prises dans le même sens que n, 


0 à 4 n(n —:) n(n—1)(n—2) : 
X — 30,0232 — n.0,0205 — ————. 0,0479 — TH TT 0,0036, 

2 2.6 

MMS : dx 
d'où lon ture, en posant — — 0, 

dn 

2n—1 3n° — Gn +72 

O— — 0,0207 — . 0,079 — —————. 0,0086. 
2 6 


Cette équation donne, en réduisant et tirant la valeur de n d’une 
certaine maniere, 


0,041 


A , 
0,886 + 0,036 n 
d'où 


n— + 0,046: 


La valeur correspondante de æ& est 90° — n./°, ou 89° 48° 55": 
cet angle étant comparé à la valeur de æ, calculée directement, 
donne une différence de 7” qui est tout à fait insensible ; et même, 
pour pouvoir répondre de lexactitude de cette différence, il fau- 
drait avoir déterminé les différences de X avec une figure de plus. 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 721 
L'expression générale de Y, en partant de & =— go°, s'obtient 
de la même manière que celle de X; elle est 


n{n—:) 
Y— 18,7858— n. 0,6526 — — " 0,0213. 


, 


En substituant la valeur de n dans les expressions de X et Y, il 
vient 

X — 30,0232, Y — 18,756; 
OF NOUS avions 

g— 30,035., Y, — 18,7480; 


les erreurs sont donc 


— OON18 24027 + o”,0081. 


On pourra généralement négliger de telles erreurs dans la pra- 
que. Pour les réduire, il eût fallu prendre des valeurs de Aa 
plus petites que celles employées. 

La valeur de l'épaisseur e qui figure dans la dernière colonne 
du tableau fera connaître la largeur minimum des piles : en effet, 
cette largeur doit être au moins égale au double de la projection 
horizontale du joint extrême, ou à-2e dans le cas actuel, et dans 
l'hypothèse où les matériaux qui forment les assises des piles pré- 
sentent autant de résistance que les voussoirs. La largeur des piles 
serait donc au minimum de 3%,834. 


CALGUL DES CONSTANTES NÉCESSAIRES À L'EXÉCUTION DU TRACE. 


Ces constantes étant évidemment les mêmes que dans l'exemple 
précédent, nous renverrons à cet exemple, en rappelant que, si 
, Sr 1 e. LEA ! ” ’ : 
l'angle E' E'E" n’était pas déjà déterminé, on le ferait, sans cal- 
cul, égal au complément de à. 

On trouvera, planches I et IF, le profil de l'arche qui vient 
d’être calculée et l'élévation d’un pont à plusieurs arches construite 
sur ce profil. 


SAVANTS ÉTRANGERS, — AN. , g1 


722 MÉMOIRE 

En comparant le tracé de l'intrados à celui d'une demi-ellipse 
ayant pour demi-axes la flèche et la demi-ouverture de l'arche 
qui nous occupe, on verra que l'écart de ces courbes s'élève jus- 
qu'à 0,40, et qu'il a lieu vers les 0,7 de la distance des nais- 
sances à la verticale qui passe par le sommet. Si l'on voulait subs- 
ütuer l’ellipse à notre intrados, en donnant pour épaisseur à la 
voûte celle que nous avons trouvée pour les naissances, et qui est 
1,92, on trouverait, en raisonnant comme au n° 32, que la résul- 
tante des pressions pourrait passer à une distance de l’extrados 
elliptique égale à 0®,59, quantité qui n’est que les La environ de 

13 

l'épaisseur. Or, les pressions ne s'exerçant que surune étendue triple 
de celle-ci ou égale à 1,77, il s'ensuit que les joints s'ouvriraient 
à l'intrados d’une profondeur de 0",15 autour du point où les 
deux courbes présentent le plus grand écart. La pression moyenne 


y serait représentée par la valeur de y relative au jomt considéré, 
1,8558 


multiphiée par = 1,0, et la pression vers l'extrados, par 


1377 
cette même valeur mulüpliée par 2,1. Cette dernière serait donc 


plus que double de la pression qui aurait lieu dans notre sys- 
tème. 

L'exemple que nous venons de présenter montre que, sauf les 
difficultés d'exécution, on peut construire des arches de très- 
grande portée dans les conditions d'une très-grande stabilité, sans 
donner à la voûte des épaisseurs exagérées. Nous ne croyons pas 
avoir fixé la limite du possible : dans cet exemple et le précé- 
dent, les charges maximum que supportent les voussoirs n’excèdent 
pas 112%,33; tandis qu'en employant le lis de Bagneux par 
exemple, on pourrait charger les voussoirs jusqu'à 180 mètres, 


1 1 
sans excéder le — de la charge de rupture. 
10 


La nécessité de donner un large débouché aux arches des ponts 
qui traversent nos grands fleuves a reçu une nouvelle confirmation 
dans ces derniers temps. On s'accorde à admettre qu'une partie 
des désastres survenus aux environs d'Orléans en 1846 est due 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 723 


au manque de débouché du pont de Vierzon et à la présence du 
remblai par lequel on aborde ce pont du côté du sud. 

On conçoit, en effet, que des arches à grande portée, assises 
sur des piles fortes et peu nombreuses, présentent un débouché 
total plus grand et plus facile qu'une série de petites arches éta- 
blies sur des piles un peu plus faibles, mais plus nombreuses. 

Avant de passer en revue divers ponts construits en France ou 
ailleurs, nous allons présenter quelques considérations sur l’établis- 
sement des culées dans les ponts où les arches sont er anse de panier. 


DÉTERMINATION DE LA FORME QU'IL CONVIENT DE DONNER À LA PARTIE SUPÉRIEURE 
DES CULÉES (DIGRESSION). 


49. Nous prendrons pour exemple les culées sur lesquelles 
devrait s'appuyer l'arche étudiée dans le numéro précédent. 

D'après ce qui a été dit jusqu'ici, nous considérerons la partie 
déterminée du profil d'une culée comme étant formée par : une 
verticale passant par le point inférieur de l'intrados, la ligne de 
Joint des naissances, la verticale menée par le point inférieur de 
l'extrados, et une horizontale menée au niveau du sommet de 
l'extradas ("). Nous supposerons la culée terminée latéralement 
par le plan des têtes, quoique, dans certains cas, il soit préférable 
de donner aux culées une largeur croissante à partir du massif, 
au moyen de murs en aile. Le problème à résoudre est la déter- 
mination de la forme qu'il convient de donner à la partie exté- 
rieure du profil de la culée, ou à la partie qui limite la face de 
la culée opposée au massif, cette face étant supposée perpendi- 
culaire aux plans des têtes. 


(") Si l'on pouvait compter sur la résistance du sol aux abords du pont, il suffi 
rait d'élever les maçonneries de la culée jusqu'à la hauteur du point inférieur de 
l'extrados, puisque la parlie supérieure de la culée doi seulement résister à l'ac- 
tion exercée par le massif agissant comme un fluide; mais il serait à craindre, dans 
le cas d'un débordementdes eaux, que les abords ne fussent emportés ou du moins 
profondément ravinés, ce qui compromettrait la stabilité du pont. Il sera donc 
généralement plus prudent d'élever les maçonneries des culées jusqu'au niveau du 
sommel de l'extrados. | 


g71. 


724 MÉMOIRE 


Considérons l'équilibre de la partie de l'une des culées limitée 
dans le sens vertical par deux plans horizontaux dont les ordon- 
nées sont y, et y, égales respectivement aux ordonnées du som- 
met et du point inférieur de l’extrados. Admettons que, suivant 
l'habitude, on ne tienne aucun compte de la butée des terres qui 
s'exérce sur la face de la culée opposée au massif, Rappelons que 
le massif exerce sur la culée la mème pression que si le massif 
était un liquide ayant la mème densité, s'étendant jusqu'au plan 
horizontal tangent à l’extrados, et soumis, à sa partie supérieure, . 
à une pression représentée par la hauteur y, — À des matériaux 
qui s'élèvent au-dessus de ce plan. La culée est censée soumise à 
la même pression verticale s’exerçant sur sa partie supérieure. 

Ceci posé, faisons passer un axe vertical O"Y par le point infe- 
rieur de l’extrados, et conservons le même axe des æ que dans 
tout ce qui précède. 


l 
L 
Î 
} 


k A 


Soient x et y les coordonnées d’un point du profil de la face 
de la culée opposée au massif; 
p le poids de Ja partie de la culée qui est limitée inférieure- 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 725 
ment par un plan horizontal ayant y’ pour ordonnée, augmenté 
de la charge que supporte la culée supérieurement; 

æ” le poids de l'unité de volume des matériaux qui composent 
la culée; 

f le coefficient de frottement moyen de ces matériaux que nous 
supposerons, pour plus de simplicité, disposés par couches hori- 
zontales infiniment minces. (La lettre f ne figure avec cette nou- 
velle signification que dans ce numéro; on ne la confondra donc 
pas avec la flèche des arches.) 

Nous avons vu, n° 29, que la résultante des forces horizontales 
exercées par le massif sur la culée est représentée par 


Jay dy, 
lorsque l’on a i — 1. 
La condition d'équilibre de la portion de culée limitée infe- 
rieurement à l’'ordonnée y, que fournit la considération des forces 
horizontales, est simplement 


Jp = foÀy dy, 
lorsque l'on fait abstraction de la cohésion. Différentiant cette ine- 
galité et substituant pour dp sa valeur 


dp = &'Àzdy, 


on en déduit 
pa, 
y! CE ire ZT. 


IL est possible de satisfaire à cette inégalité de bien des manières 
différentes. Soit f’ un nombre plus petit que /, on pourra écrire 


LRU pr a" 
. Y=f 3; 
et Le profil de la culée sera une ligne droite passant par l'origine 
des coordonnées et inclinée au-dessous de l'horizontale, d’une 


quantité moindre que l'angle du frottement multiplié par le rap- 
port de la densité de la culée à celle du massif. 


726 MÉMOIRE 
Soit a une constante positive, l'inégalité précédente sera encore 
satisfaite si l'on pose 


d'où 


et même, si dans cette relation on remplace f par f'; mais cela ne 
sera pas nécessaire, puisque le poids des terres qui viendront s’ap- 
puyer sur le prolil de la culée déterminera une pression verticale 
sensiblement égale au poids de la culée lorsque a sera une petite 
longueur, et que, par suite, le frottement limite fp se trouvera 
à peu près doublé. 

Si nous supposons & —"#, et que nous prenions avec M. Bois- 
tard / — 0,76, nous pourrons donner au profil une inclinaison 
de 37° 14" sur l'axe des x. Les bases supérieure et inférieure du 
trapèze qui forme les faces latérales de la partie des culées dont 
nous nous occupons, devraient excéder respectivement ce et — 
ou 0%,854 et 24,60 environ; la largeur moyenne de ce trapèze 
serait donc plus grande que 12",73. 

Le frottement développé peut théoriquement prendre toute 
valeur nécessaire à la stabilité dans le cas actuel; mais, en pra- 
tique, 1l convient que la poussée horizontale exercée sur la culée 
reste inférieure à la cohésion des matériaux dont elle est formée, 
alors même que cette poussée serait inférieure au frottement théo- 
rique. 

Soit x la cohésion par unité superficielle, Ia condition d'équi- 
libre relative à la cohésion serait exprimée par l'inégalité 


\ 


XAÂT == = GX (Y—Y");. 


d'où, a désignant une constante positive, 


se ati (y! 


dE Sn 


21 
SE Yo} 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 727 


Le profil fourni par cette considération est une ‘parabole dont 
l'axe coïncide avec l’axe des x, et la concavité est dirigée vers les 
æ positifs : cette parabole coupe l'horizontale menée par le som- 
met de l’extrados au point dont l'abscisse est a', puisque léqua- 
tion du profil est satisfaite par le système de valeurs + — 4’, 
y — y On pourrait aussi satisfaire à l'inégalité précédente en 
substituant dans l'équation de la parabole un coefhicient x x à 
la place de ce dernier. 

IL faudrait, pour se conformer aux indications de quelques in- 
génieurs, employer celui des deux profils rectiligne et parabolique 
pour lequel l'abscisse x relative à la même valeur de y’ est la plus 
grande. 

Soit ! l'excès de l’abscisse du profil rectiligne sur celle du profil 
parabolique pour une même ordonnée y', et posons 


m 1m 1 Co 
er timéiireh mupited 
d'où 
PER cu 
LS ES 
on aura 


I=a—a+%+T{m — y): 
an n 2 
la quantité a — a élant arbitraire, nous pourrons, pour fixer les 


idées, la supposer assujettie à la condition 


7° 


° 
10% 
on 


SE 
et l'on aura simplement 
DOTÉ RSR | 
l= = (m eh Ê 


Sous cette forme, on voit aisément que l'on aura d’abord ! — o 
pour y =— 0; c’est-à-dire que les deux profils se couperont en un 
point de l'axe des x qui aura pour abscisse æ — a. La différence 
restera positive tant que l’on aura y < 2m, et les deux profils se 


728 MÉMOIRE 

couperont de nouveau au point dont l’'ordonnée est y == 2m; au 
delà, la quantité ! deviendra négative, c'est-à-dire que le profil 
parabolique aura son abscisse plus grande que le profil rectiligne 


d'une quantité qui deviendra _. (: Yi — m) au point le plus bas 
des deux profils, 

Soient æ — &" -—— 2440 kil., x— 10000kil., et, comme plus 
haut, f — 0,76; on aura n — 4",10, m— 5,39. Les deux pro- 


fils se rencontreront au point dont l’ordonnée est 10",78; et, en 
observant que lordonnée y’, est 18",74, on trouvera que l'écart 
horizontal de ces profils s'élève jusqu'à 18,19. Cette grande diffé- 
rence tient au coefficient x que nous avons lieu de croire beaucoup 
trop faible, (Dans les expériences relatives à la cohésion, les blocs 
sur lesquels on a expérimenté se détachaient en tournant autour 
d'une arête au lieu de glisser horizontalement sur leurs bases.) Il 
ne serait pas nécessaire de doubler le coeflicient x pour que les 
assises du profil parabolique deviennent toutes moindres que celles 
du profil rectiligne. Si lon observe d’ailleurs que l’on n’a pas tenu 
compte de la butée des terres, on n'hésitera pas à adopter ce 
dernier profil dans toute l'étendue comprise entre les plans hon- 
zontaux dont les ordonnées sont y, et y. 

Ayant admis, soit le profil rectiligne, soit le profil mixtiligne, 
déterminé à l’aide d’une valeur convenable de x, il ne serait pas 
sans intérêt de faire l'application de l'équation des moments à la 
portion de la culée limitée mférieurement par l’ordonnée quel- 
conque y. Pour cela, il faudrait supposer connue la loi de répar- 
tition des pressions dans Île plan inférieur, admettre, comme 
Navier par exemple, qu'elles varient uniformément entre les limites 
de Pabscisse x, de sorte qu'en désignant par uw" la hauteur qui 
représente la pression en un point du plan (y) dont Ë” serait l'abs- 
cisse, On puisse poser 


u” œies u”. Ju: DE" : 


l'équation des moments, jointe à celle des projections verticales 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 729 


des forces, servirait à déterminer les valeurs des constantes EUR 
et b en fonction de y. La quantité y”, qui deviendrait fonction 
des deux variables imdépendantes y' et £", devrait être assujettie 
à ne point prendre de valeur négative, car ce serait supposer que 
l’on tient compte de la résistance à la rupture par traction; mais 
cette condition ne pourrait être vérifiée qu'a posteriori. Ajoutons 
encore qu'il ne parait pas probable que les pressions varient dans 
l'étendue de couches horizontales formées de parties disjointes, 
commes elles varieraient dans l'étendue de la surface de Joint de 
deux blocs uniques!. 


© Nous allons présenter ici la détermination des constantes et b de l'équation 


Pete 124 
pour le cas du profil rectiligne. - 
Soit, pour abréger, 


l'équation du profil rectiligne s'écrira 


22 


L 
T—a+—7Y, 
1 


et l'on aura 


dy — ul dx. 
L 
Formons l'équation d'équilibre des forces qui sollicitent la portion de la culée 
comprise entre les plans horizontaux (y',) et (y') projetées sur l'axe des y. Le poids 
d'une tranche horizontale d'épaisseur égale à dy' est 


J 


dp—#")1xdy — x" = zdx. 
i 


La composante parallèle à l'axe des y de la réaction élémentaire exercée contre le 
plan (y') sur l'étendue Ad" est 
— gd — — m'A(p", + LE)dE". 


Intégrant ces deux expressions, la première entre les limites x, et æ, la seconde 
entre les limites £ — o et £ — x, puis égalant la somme des deux intégrales à 
zéro, 1l vient 

fl 1 


= (Ra) — px — = b x — 0, 
oi 2 


Prenons actuellement les moments autour d'un axe passant par le point M (voir 


SAYANTS ÉTRANGERS, — XI. 92 


730 MÉMOIRE 
On pourrait encore faire un autre usage de l'équation des mo- 


ments. Considérons l'équilibre de la partie de la culée qui est 


la figure), afm d'éliminer ceux des forces horizontales développées dans le plan 
inférieur, Le moment élémentaire de dp, dans le sens de x vers y, est 


sf 


ai 


z°dæ, 


celui de la composante parallèle à l'axe des y de la réaction élémentaire développée 
dans le plan (y') est d'ailleurs 


— w'A(u", E + bE)dE", 


Quant au moment élémentaire de la poussée horizontale exercée par le massif 
contre la culée; soit v l’'ordonnée variable du point d'application, on aura pour 
expression du moment de la poussée élémentaire æAudu, autour de M, 


mÀ(y —v)udv, 
quantité qui doit être intégrée entre les limites ÿ', et y". 


Effectuant entre leurs limites respectives les intégrations des trois expressions 
précédentes, et égalant la somme à zéro, il vient 


b i 
= (a — a) — — 2° — ae ne (Y°—3y 0° +2) — 0. 


Cette équation, jointe à celle des forces verticales, donne d'abord 


— 2po 2 —br—— 2 + xx, 
i i 
+ Ju et +-2 ba — + de — Der + (y = 3Y Yo° + 2%") 
i i 


En ajoutant membre à membre, il vient 


m(u" + bx) — f Gift —&) + (y 3y M +2") 
L 


Soit 
p'e—pot+bx, 


en sorte que p’. représente la pression qui a lieu aux points du plan (y) où 
celui-ci est limité par le profil de la culée, on aura 
NE 


de (em) +2 (y —3Y Yo + 2%); 
tÊT 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 731 


limitée inférieurement par le plan (y'). Les forces qui sollicitent 
cette partie de la culée sont : 1° son propre poids augmenté de 


les équations précédentes fournissent aisément les valeurs séparées de p”, et b: 


7 J J a i” ! 
Barr ——(2x— 2) (7° 
CA LUE: Tab 


Ne (nes) oi! 


b=—— + — (y —53y 7e + 270"). 
= Ù pe : 


3Y Yo + 2%"); 


i WU æ 


H convient d'exprimer les valeurs de æ et x, en fonction de y’ et y. Or, si nous 


posons 
J 
c——a, 
l 
nous aurons 
ci 
l 
z——(y +c), 
Se en 
d'ou 
1 
(yo c): 
Ty = — Yo + 
J: 


à l'aide de ces valeurs, il viendra 


Pose) ee D neo UE 
“= (2 }U Die —— ; 
enr G 1 (y + c) 
" He —3 y p° +29" 
Bo— Y + (2 ] (ar Lee di do 
ds nr (y + c) 
Life er Sedan ot Mr nef sy 
CN EC y +c Rire (y +c) 5 
Supposons, pour fixer les idées, que l'on ait # — 1, et que les quantités y',etc 


soient nulles, le profil de la culée sera triangulaire et passera par l'origine des coor- 
données; alors les formules précédentes donneront 


g'. — f y! pi = (1 — f2)y - 


dans le cas de f — T ces valeurs deviendront, à cause de y — o etc —0, 
ann er rem 
Ba ÿhr. Bo Ye 
9 9 


La comparaison de ces nombres montre que les pressions varieraient seulement de 
deux neuvièmes de leur valeur moyenne dans l'étendue d'un même plan horizontal. 


De cette maniere, il y a lieu de croire que l'hypothèse de la variation uniforme des 
1 
pressions ne serait pas très- “ent de se réaliser. En prenant f — FF — RQ 
2 
on trouverait b — o; d'où g" = - a quantité constante avec y. 


92. 


732 MÉMOIRE 


la charge qui peut agir supérieurement; 2° la poussée horizontale 
exercée par le massif; 3° les réactions qui se développent contre 
le plan (y')}. Les composantes horizontales et verticales des pre- 
mières forces sont connues, et donnent par un simple changement 
de signe les valeurs des composantes des réactions dans le plan (y). 
Les moments des premières forces sont pareillement connus, en 
sorte que, si l'on substitue dans l’équation des moments les com- 
posantes connues de la résultante des réactions contre le plan (y), 
cette équation ne contiendra d’autres inconnues que les coordon- 
nées du point d'application de la résultante des réactions. 

Soient Ë et » ces coordonnées, l'équation des moments pré- 
sentera une relation entre £, » et y qui n’est autre chose que 
l'équation de la droite suivant laquelle agit la résultante des réac- 
tions. La direction de cette résultante dépend de la valeur de Y 
que l'on considère, de sorte que, pour chaque valeur de y, On aura 
une droite particulière. Si lon suppose construites les diverses 
droites qui répondent à toutes les valeurs possibles de y’, les inter- 
sections deux à deux des droites consécutives détermineront leur 
courbe enveloppe. Pour obtenir l'équation de cette courbe, il suf- 
fra, suivant la théorie connue des courbes enveloppes, d'éliminer y’ 
entre l'équation des moments et sa dérivée par rapport à la même 
quantité y. 

Si l'on fait »:— y’ dans l'équation des moments ou de la droite 
suivant laquelle agit la résultante des réactions, cette équation 
fournira l'abscisse £ du point d'application de la résultante dans 
le plan (y'). L'équation que l’on obtiendra ainsi entre Ë et » est 
celle du lieu géométrique des points de rencontre des résultantes 
des réactions exercées sur les divers plans (y) avec ces mêmes 
plans. Cette courbe est celle que l’on nomme courbe des pressions. 
La direction de la résultante s'obtiendrait en tirant de l'équation 


l ; ; 3 
entre Ë, » et y’ le rapport . qui est égal à la tangente de l'angle 


formé par la résultante avec l'axe des x, et compté de x vers y. 
On aurait encore cette direction en menant par le point de ren- 
contre avec le plan (y') une tangente à la courbe enveloppe. 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 733 


Au lieu de développer l'analyse qui vient d’être indiquée, nous 
nous bornerons à présenter la détermination de la direction de la 
résultante des pressions et la construction de la courbe des pres- 
sions, dans le cas très-simple où le massif et la culée ayant la 
même densité, le profil extérieur de celle-ci est rectiligne, et 
aboutit dans sa partie supérieure à l'origme des coordonnées, la 
poussée exercée par le massif étant supposée, contrairement à ce 
que nous avons admis Jusqu'ici, commencer à se produire en ce 
point. 

Nous aurons recours à des considérations très-elémentaires de 
statique et de géométrie, et quoique les données actuelles soient 
sensiblement différentes des données primitives, le résultat sera 
cependant de nature à faire entrevoir ce qui devrait se passer s'il 
s'agissait de celles-ci. 


Y 


Soient OC le profil rectiligne de la culée faisant avec l'hori- 
zontale l'angle a’ (); 7 l'ordonnée d’un plan horizontal MM': G le 


centre de gravité du triangle OMM' dont l'ordonnée est : y; Hle 


() Cet angle ne doit pas être confondu avec l’auxiliaire 4’ des n° 36 et suivants. 


734 MÉMOIRE 
point d'application de la poussée horizontale exercée par le massif 
et dont l'ordonnée est aussi =D en vertu de l'hypothèse de la 


fluidité. 
Le poids de la partie supérieure de la culée limitée au plan MM 
est =alyx, la résultante des pressions horizontales produites sur 
‘ - : Û ’ ; ; 
celte partie par le massif est simplement > may: D’après ce qui 
vient d'être dit, ces forces concourent au point G, et la direction 
de leur résultante s’obtiendra en menant par ce point deux droites, 
l'une verticale, l'autre horizontale, respectivement proportionnelles 
aux intensités de ces forces, ou aux coordonnées x et y, et ache- 
vant le parallélogramme qui se résout ici en le rectangle G'GH'R. 
De cette manière, le triangle G'GR que lon obtiendra sera sem- 
blable au triangle M M'O; l'angle G'GR sera égal à l'angle MM'O 
et aussi à l'angle M'OX que fait le profil avec l'horizontale. Il s'en- 
suit que la direction GR de la résultante des réactions est cons- 
tante pour les divers plans horizontaux MM, et que cette direc- 
tion fait avec la verticale un angle égal à celui du profil avec 
l'horizon. On voit déjà que la condition d'équilibre relative au 
frottement est que ce dernier angle soit moindre que l'angle du 
frottement. 
Soit £ l'abscisse du point P où la résultante des réactions ren- 
contre le plan MM’; l'angle G'GR étant égal à COX ou 4’, on aura 


E — MN + NP — HG + NG tangæ, 


ee LD 
102 s 1 
ou, à cause de HG —- -x, et NG — : Y', 
2. É 
= 2% = y tang a! 
Se an Sax. 


Exprimons d'abord £ en fonction de x : en vertu de 
1 LA 
y —=T lang « , 
il viendra 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 735 

Si l'on suppose a égal à l'angle du frottement, et que l'on 
prenne, comme quelques auteurs, tang œ — _ on aura Ë — pe 
la résultante des pressions passera, comme on le voit, très-près 
du milieu de la base MM’; pour qu'elle passät exactement au 
milieu, il faudrait que l'on eût tangæ — TE — 10-701, OÙ 
œ — 35° 15 52". Cette valeur de tangæ' est presque la moyenne 
exacte entre le coefficient . et le coeflicient 0,76 imdiqué par 


M. Boistard. 

En éliminant x entre les deux dernières équations, et chan- 
geant ensuite y en 7, nous aurons pour équation de la courbe des 
pressions, 


ou 


sin2æ Ë. 


5 | © 


D—= 


Cette équation montre que la courbe des pressions se réduit ici 
à une ligne droite passant par l'origine et inclinée sur l'axe des x 


d’une quantité égale à - sin 2œ ; c’est la droite OP de la figure. Son 


: EPL Pre AS DA W n0 ’ 
inclinaison serait égale à = dans le cas de tangæ — 
1 


dans le cas de tangæ — Tee Dans cette dernière hypothèse, la 


droite OP se confondrait avec la direction PR des pressions. 

Généralement, les directions PR menées par les divers points P 
étant toutes parallèles, n’ont pas de courbe enveloppe, ou du moins 
une telle courbe doit se réduire à une droite parallèle à PR, dont 
on ne considérerait que les points situés à l'infini. 

Nous terminerons cette digression en faisant remarquer que 
l'établissement de la culée d’une arche complète serait entièrement 
fixé d’après ce que nous venons d'exposer, si le plan horizontal 
passant par le point inférieur de l’extrados, contre lequel s'appuie 
le dessus de la culée, présentait une résistance Imdéfinie; si, par 


736 MÉMOIRE 


exemple, le roc vif affleurait à ce niveau. Dans le cas contraire, 
il y aura à considérer une autre portion de la culée sollicitée par 
des forces connues qui sont : 1° les actions qu'exerce la partie de 
la culée que nous venons d'étudier; 2° la force de direction presque 
verticale T, que nous avons calculée précédemment; et sollicitée 
en outre par les forces mconnues qui proviennent, tant du propre 
poids de la construction, que des réactions du sol et des actions 
fortuites ou accidentelles, lorsqu'on en voudra tenir compte. 


EXAMEN RAPIDE ET SUGCINCT DE QUELQUES ARCHES DE PONTS DECRITES 
DANS LES OUVRAGES DE PERRONET ET GAUTHEY. 


90. Dans les numéros précédents, nous avons présenté avec 
les plus grands détails ensemble des calculs à effectuer pour fixer 
définitivement les formes et dimensions d’une arche projetée, 
ainsi que les poussées auxquelles l'arche devra donner naissance 
dans son état normal. Nous nous abstiendrons d'entrer ici dans 
ces détails :-examimant diverses arches décrites dans les ouvrages 
de Perronet et Gauthey, nous prendrons, soit dans le texte, soit 
dans les figures qui l’accompagnent, les dimensions principales 
de ces arches. La quantité k qui suppose la construction terminée 
supérieurement par un plan horizontal, tandis que le profil du 
pavé et des trottoirs est loin d’être rectiligne, ne peut être esti- 
mée qu'en remplaçant ce profil par une droite horizontale dis- 
posée de manière à ne pas changer la superficie de la section. Le 
plus souvent les données nécessaires ayant manqué, nous avons 
supposé À très-voisin de 0",65. L'incertitude qui aflecte cette 
quantité affecte également les ordonnées Y, et Y,, mais leur dife- 
rence va en est exempte. 

Partant des données spéciales à chaque cas, nous nous propo- 
serons de déterminer les constantes principales à l'aide de nos 
Tables, comme s'il s'agissait de faire un avant-projet. Nous sui- 
vrons dans ces calculs la marche tracée au n° 45. La comparaison 
des valeurs trouvées avec celles adoptées pourra donner lieu à une 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 737 


courte critique : et, en ce qui concerne les arches en anse de pa- 
nier, nous espérons que le rapprochement des résultats auxquels 
l'examen de chaque arche en particulier nous aura conduit, pourra 
jeter quelque lumière sur la question des limites qu'il convient 
d’assigner au surbaissement des arches de cette espèce. 


ARCHES INCOMPLETES , DITES EN ARC DE CERCLE. 
Pont de Valence, sur le Guadalaviar. 


Cet ouvrage, dit Gauthey, est composé de dix arches de 
13 mètres d'ouverture, dont la flèche est à peine de 1",3. En 
l'absence d'autres données, nous supposerons l’ordonnée du som- 
met de l'intrados égale à 1",69, et nous admettrons qe les maté- 
riaux dont on a pu disposer présentent une résistance au moins 


1 


égale à celle des pierres de Saillancourt 2° qualité, dont le — 
10 


est 42,9. Les données seront ainsi : 


0 00m oies Vo :60 nl 20 


Et Yo 
d'où OO en 
rf J 
s Q° 
Avec ces deux derniers nombres, la Table 1 donne + =— 18,961, 
et l'on en déduit (valeur approchée) Q: — 32,044. On trouve 


ensuite par la formule (1), w, = 41",551, et, par la formule (ni) 
(valeur approchée), e — 0",793. On tire ensuite de la Table If, 


705) — 0,3482, d'où 


e2 


N(Q*} == No;21 9 
puis 92232263. 
Par la formule (v),1l vient X” — 1%,684; et, en reprenant le calcul 


de e par la formule (11) à l'aide des valeurs corrigées, on trouve 


SAVANTS ÉTRANGERS. — XII. 93 


738 MÉMOIRE 

finalement e — 0",7986. La valeur  — 0,885 qui en résulte 
n’est pas trop faible. Cette quantité pouvant, en pratique, recevoir 
une moindre valeur, on en conclut que le pont de Valence aurait 
pu être construit avec des matériaux moins résistants que nous 
ne l'avons supposé : les épaisseurs auraient alors reçu un accrois- 
sement égal à la réduction de lordonnée À. 


Pont de Pont-Sainte-Maxence, sur l'Oise. 


Ce pont, construit par Perronet, est formé de trois arches de 
23%,39 d'ouverture et 2",09 de flèche; l’épaisseur des voûtes au 
sommet est de 1,46. Aux parements extérieurs, les voussoirs se 
prolongent jusqu'au plan horizontal tangent à l’extrados : nous 
ferons abstraction de cette particularité. Les piles, au lieu d’être 
plemes comme d'ordinaire, consistent en quatre colonnes de 2",923 
de diamètre, groupées par deux aux extrémités de chaque pile, 
de manière qu'il existe entre les colonnes intérieures un espace 
égal au diamètre de ces colonnes : en outre, les plans des têtes 
passent par les axes des colonnes extrêmes, de telle sorte que les 
moitiés extérieures des mêmes colonnes servent d’avant-becs et 
d’arrière-becs. La distance d’une tête à l’autre ou la largeur du 
pont est de 12",667. D’après les dessins de Perronet, on peut 
admettre que l’ordonnée du sommet de lintrados est égale à la 
flèche. Nous admettrons, en outre, que la hauteur À ait été fixée à 
0",65. Les matériaux employés dans la construction des voutes 
sont les pierres de Saillancourt, et des pierres des environs de 
Pont-Samte-Maxence, qui ont présenté à lessai une résistance 
environ quatre fois plus grande que celles de Saillancourt. 


Les données sont ainsi : 


g=lr6gb ronge 2r 09h 0",65;, 12% 667, 


Te 9 purs Y 
d'où OO 0 


of J 


Avec ces deux nombres, on tire de la Table [: ? — 19,098: 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 739 


d’où (valeur approchée) Q* — 81,656. Les formules (0) et (1nr) 
donnent {valeur approchée) e— 1",44, et l’on a, par la Table IT, 
Ÿ(Q°) » à 
ni = 0,3422, d'où 


AO 50,716 
puis Q: — 82,366. 


Par la formule (v), on a ensuite 


hk' — 9M,0813, 
d’où 


DRETENME 
Actuellement les formules (1v) donnent 
li 007074 u, — 60",838. 


On aurait pour épaisseur réelle à la clef e, — 1",44, quantité qui 
diffère seulement de 2 centimètres de celle adoptée par Perronet. 
Au reste, ce rapprochement tient uniquement au choix que nous 
avons fait des données Y, et h. Quant à la valeur de w,, on voit 


: 1 j : 

r'elle est environ — de la résistance absolue 581 mètres des 
q TE 

: : 5 : 1 Due 
pierres de Saillancourt 1"° qualité, et environ mn de la résistance 


de celles de Pont-Sainte-Maxence, d’après ce qui a été dit plus 
haut. Il est facile d’en conclure que si nous avions pris pour don- 
née y, == 8,1 à la place de L, nous aurions obtenu une valeur 
de e un peu plus faible et une valeur de À d'autant plus forte. 
Déterminons maintenant la limite inférieure de l'épaisseur des 
piles. Pour cela nous aurons d'abord, par la première équa- 


tion (xu1), 
V 


g* — 167,960, 
95. 


740 MÉMOIRE 
puis ensuite, par les formules (xiv), 


DEMO LE ME 30 11 
On en déduit pour la largeur minimum 2esins, à donner aux 
piles en leur partie supérieure, 2e sna, == 1",119. La charge que 
supportent les piles en cette partie est représentée par {4,; si lon 
veut que les piles ne soïent pas plus chargées à leur base, il faudra 
à trés-peu près augmenter leur largeur d'une fraction égale au 
rapport de la hauteur des piles à la quantité 1; or cette hauteur 
étant de 5,846, il faudrait augmenter la largeur ci-dessus de la 


fraction sus — 0,096, ou de o",107, ce qui porterait la limite 
60,838 

inférieure de la largeur des piles à 1,226, et la limite inférieure 

de la section horizontale à 1",226.X ou 15"%,53. Pour comparer 

cette section à celle réalisée par Perronet, nous pourrons réduire 

à trois le nombre des colonnes qui supportent le poids des arches, 


à cause de la situation des colonnes extrêmes; de cette manière, 
p, . A c 
la somme des sections horizontales sera 3 = (Bone not; us: 
4 


En comparant ce nombre à la limite théorique 15*%,53, on voit 
que le célèbre ingénieur ne s'en est écarté que de la fraction 0,296 
ou environ trois dixièmes. À vrai dire, les colonnes qui servent 
de piles supportent une charge verticale un peu moindre que y, 
attendu que le poids des voûtes à été diminué au moyen de 
lunettes pratiquées dans le sens de la longueur du poni. Quoi qu'il 
en soit, on peut conclure, de la comparaison que nous venons 


e a L , ; NOT 
de faire, qu'il serait suffisant d'augmenter de : la largeur limite 


2e sin à, des piles, lorsqu'il s'agira d'établir des ponts dans des 
conditions comparables à celles que présente celui de Pont-Sainte- 


Maxence. 
Pont de Mirepoix, sur le Lers. 


Ce pont est formé de sept arches de 19,5 d'ouverture et de 
2%,612 de flèche. Les autres données nous manquant, nous sup- 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 741 


poserons l’ordonnée du sommet de l'intrados égale à 1,567, et 
nous admettrons que les matériaux présentent une résistance au 
moins égale à celle de la pierre de Saillancourt 2° qualité. En 


à UE 1 rte 
fixant la limite des charges au — de la résistance absolue, nous 
10 
aurons le système de données suivant : 
= 97: == 2612 NT — We 5072: WU — 220, 
ass g Y 
d'où PR 3,7328; ne ONE 


En procédant comme dans le premier exemple, on trouvera 
me OT 6/1 hi—=n%56607!: e—\0",9830; 
L'on: 67: Q° — 38,610. 


L’épaisseur e pourra paraître un peu forte, et la charge 4 un 
peu faible; pour diminuer la première et augmenter la seconde, 
il sufhrait de faire g, un peu plus fort (50 mètres par exemple). 


Pont de Homps, sur l'Aude. 


Ce pont, construit par M. Ducros, se compose de trois arches 
de 21,4 d'ouverture et de 2",87 de flèche. (Nous n’aurons point 
égard aux petites cornes de vache que lon a pratiquées dans le 
voisinage des têtes.) Nous compléterons les données précédentes 
par des nombres supposés. Soient donc 


J 10870 Ar 07: Nan RE 02652? 
à Y 
d’où 1 — 3,728); 1010; 
J J 
on trouvera, en procédant comme dans le deuxième exemple: 


Q° — 46,508: Re 714 C1 0020; 
pe AP;7 62% = 477,766. 


742 MÉMOIRE 


’ fa : Me 

La valeur de x, répond à - environ de la résistance absolue de la 
. . . 1 
pierre de Saillancourt 2° qualité, et se trouve au-dessous de — 
12 


de celle qui se rapporte à la 1" qualité. 


Pont de Pesmes, sur l'Ognon. 


Ce pont, construit par M. Bertrand, est composé de trois arches 
de 13",64 d'ouverture et de 1",19 de flèche; l'épaisseur à la clef 
adoptée dans la construction est de 1,19, égale à la flèche. 
Comme dans les exemples précédents, nous Joindrons à ces 
nombres des données hypothétiques; nous partirons des données 
suivantes : 


De 0 00280 0 MO Et: 547: h — 0";647, 


, 1 es Y 
d'ou = DIR OLS Se uit 


puis, en suivant la même marche que précédemment, 
OR 5216; Ra ne Tor 80e 
Do — K0%,332; D 41,564. 


L'épaisseur réelle à la clef 8, — 0",9 qu'on en déduit est moindre 
de 0,29 que celle adoptée dans la construction, et cependant la 


. nr + 1 . 
valeur de y, est mférieure au — de la hauteur qui représente la 
10 


résistance absolue des pierres de Saillancourt 2° qualité et de Con- 
flans. 


Pont Fouchards, sur le Thouet, à Saumur. 


Ce pont, construit sur le projet de M. de Limay, est formé de 
trois arches de 25,99 d'ouverture et de 2,635 de flèche. Nous : 
supposerons les données qui nous manquent. Soient 


g— 12,995; f—2m,635; Y,—1",8445; pu, — 62,5 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 743 


(la valeur de y, répond à — de la résistance absolue de la roche 
10 


douce de Bagneux); on aura d’abord 


F5 — 49816; FT 0,7: 


puis, pour résultat final des calculs, 
OÙ 79,409; CR 12,2 0407; Ra 1,8379; 
R—0",5562; | pu — 59,772. 


On pourrait faire ici les mêmes remarques qu'à l’occasion du pont 
de Mirepoix. 


Pont de Saint-Diez, sur la Meurthe. 


Ce pont, construit sur les dessins de M. Lecreulx, se compose 
de trois arches de 12 mètres d'ouverture sur 1 mètre de flèche, 
et de deux petites arches latérales en plein cintre de 4 mètres 
d'ouverture. Nous ne nous occuperons que des premières. Les 
données étant encore incomplètes, nous admettrons les suivantes: 


ONE ES UOE NEA RS h — 0,65, 


= 
d’ot —\6,0; Ho 
où o 1 


St 


Le calcul conduit aux résultats que voici : 
OT te RP 2006 e — 0",6466 : 
Do— 12%,700; DRM ENCL EE 
La valeur de u, répond à peu près à — de la résistance absolue 
des pierres fermes de Conflans. 
Pont de Brunoy, sur l'Hyères. 


Ce pont a été construit sur les dessins de Perronet; il se com- 
pose de trois arches de 5,846 d'ouverture et de 0",783 de 


744 MÉMOIRE 

flèche. L'épaisseur des voûtes à la clef est de 0",65; l'ordonnée 
du sommet de l'intrados peut être évaluée à 1 mètre et quelques 
centimètres. Nous prendrons cette ordonnée égale à 1",0170, et 
la hauteur A égale à o",50; en sorte que les données seront 


== 22,023: fo, 1030 NN Pos oEnt Ro 50, 
d'ou L = 3,783; += 1,3. 
On en déduit, par le calcul : 


06,784 RESORT BP — ON ONE 


Bo = 137,941; ju — 14,777, 


puis l'épaisseur réelle à la clef &, — 0",5179, quantité momdre 
de 0,13 Île adopté : 
e 0",132 que celle adoptée par Perronet. La valeur de 4, répond 


à — de la résistance absolue de la lambourde de qualité infe- 


8,7 


: PA 3 HUE ê 
rieure, et à — de celle de la pierre tendre employée à Paris. 
22 w 


Pont de Rosot, sur l'Hyères. 


Ce pont a été construit, comme le précédent, sur les dessins 
de Perronet; il est formé de deux arches de 7",80 d'ouverture 
et de 0",975 de flèche; l’ordonnée du sommet de lintrados est 
de 1,25 à 1°,30, d’après les dessins de Perronet; l'épaisseur des 
voûtes à la clef a été faite de 0",812, et les voussoirs sont en 
grès très-dur. Au lieu de supposer que lon ait à sa disposition 
des matériaux aussi résistants, nous admettrons que les matériaux 
ne présentent pas plus de résistance que le mortier ordinaire. En 


1 TE 1 
prenant le — seulement de la résistance absolue représentée par 
10 


219 mètres, et supposant l'ordonnée du sommet de lintrados 
égale à 1%,2675, nous aurons pour données 


gi= 8%,9o0 Ùù fStop 9m ME 67 pere a 17084 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 745 
Y 
d'où T1 — 4,00: Pr 1,3. 


R 


On déduit de ces nombres: 


Q'i92G; 22e 68 5960 300 Bi 618; 
hk — 0",6653; ph ="20%)/8 70: 


L’épaisseur réelle à la clef est 8, —— 0",6022 : elle est moindre 
que celle adoptée par Perronet de 0,21, et cependant la plus 
grande valeur de y est extrêmement faible. La construction, réa- 
lisée avec des matériaux beaucoup plus résistants que nous ne 
l'avons supposé, présenterait donc une très-grande stabilité. La 
hauteur À est, du reste, très-admissible dans la pratique. 


Pont de la Concorde, à Parts. 


Ce pont, construit sur les dessins de Perronet, se compose de 
cinq arches d'ouvertures et de flèches inégales : la chaussée est 
disposée en pentes qui s'étendent seulement aux quatre arches 
latérales; elle est de niveau dans le sens de la longueur sur l'arche 
du milieu seulement. Il est facile de reconnaître qu'il était impos- 
sible de substituer au projet de Perronet celui d’un pont hori- 
zontal formé de cinq arches égales, sans élever le niveau des 
abords ou abaisser celui des naissances d'au moins 50 à 60 cen- 
umètres. Nous nous occuperons seulement de l'arche du milieu, 
qui a 28,6 d'ouverture et 2",99 de flèche, et à laquelle on a 
donné 1,14 d'épaisseur à la clef : supposant l’ordonnée du som- 
met de l’intrados égale à 1",794, et la charge À égale à 0,65, 
nous aurons les données suivantes : 


DR 0 NP Ode ATOM NT om 


f 


SAVANTS ÉTRANGERS. — XI, g4 


d’où D — 4,7827; += 06. 


746 MÉMOIRE 
A l'aide de ces nombres et des précédents, on trouve la solution 


O2 — 80,435 RAR 702), € — 1 M6 piL 
et 7 CAN = Lt dE 


l'épaisseur réelle à la clef s'en déduit €, — 12,144. Cette dimen- 
sion coïncide à peu près avec celle adoptée par Perronet. Quant 


n \ 1 . F0 
à la valeur de y, elle répond à 73 environ de la résistance absolue 


7 
des pierres de Saillancourt, que l'on a employées dans la cons- 
truction. 


ARCHES COMPLÈTES , DITES EN ANSE DE PANIER. 


Pont de Nogent, sur la Seine. 
ÿ 
Ce pont, construit par Perronet, se compose d'une seule arche 


de 29",24 d'ouverture et de 8,77 de flèche, dont la voûte est 
construite en grès très-dur : malgré les rampes légèrement incli- 
nées qui conduisent au milieu, nous procéderons comme si la 
chaussée était exactement horizontale dans le sens de la longueur 
du pont. En ajoutant aux données précédentes la charge k — 0,65 
prise hypothétiquement, les données seront 


460673 ho 60: 


En suivant la marche indiquée n° A5, nous aurons d'abord 


q £ 

h M OO IE 

quantité qui répond sensiblement à un surbaïssement de —, On 
10 


tire ensuite de la Table Ill, relativement à la valeur de D 


fi 
” — 0,81006, d'où Ÿ, — 10,826: 
et les équations (x) donnent : k" — 2",0443, e — 1°,3943; 


puis il vient, par les équations (x1), p, — 42", r12; pu, —51%,776; 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 747 

et l'équation (xxm) donne, pour la superficie du profil de la demi- 
; PV 

arche et de la partie correspondante du massif, se ebh=72"1,192. 


La charge représentée par g, est un peu faible, puisque les 
voussoirs ont été faits de grès très-dur; l'épaisseur est d’ailleurs 
peu différente de celle adoptée dans la construction, qui est de 
1,60 pour les voussoirs des têtes, et de 1,30 pour les vous- 
soirs intermédiaires. On eût pu diminuer l'épaisseur des voussoirs 
sans exagérer la charge w, en diminuant la flèche et élevant 
d’autant les naissances, afin que le sommet de l'intrados restät au 
même niveau. La diminution de l’épaisseur aurait ainsi permis de 
réduire linclmaison des rampes. 

En effet, soit f — 8",44, ce qui revient à diminuer la flèche 
de 0",33, et, tout en conservant la même valeur de 9, portons la 


1 . . 
valeur de uw, à 58,1 ou au — de la résistance absolue des pierres 
He es P 


de Saillancourt 1" qualité, les données seront 


g=14",62; f8,4h; pp — 58,1, 


d’où 5 1,7322. 
On aura, par la Table II, 


f S. == m 
D. 0,83265, puis Y, — 10",136. 
Les équations (vin), en ayant égard à la première équation (vu), 
donneront p, — 48,990; e —1",0481; et il viendra, par les 
formules (1x), k" — 1%,6901; À — 0",6420; puis, part l'équa- 
: Y s - 
tion (xxu1), + — 60"1,894. [La formule (1x bis) donnerait plus 
exactement e — 1%,0482; on voit que la deuxième équation (vu) 
est suffisamment approchée.] 

Ces nombres, comparés à ceux qui résultent des données pri- 
mitives, présentent une réduction de 0,346 sur les épaisseurs, 


94. 


748 MÉMOIRE 


ou de près de - sur les premières. La surface du profil de la 
4 
voûte et du massif serait réduite de plus de = silest vrai de dire 


7 
que les culées devraient être élevées de 0",33 de plus que dans 
la première solution; mais l'élévation des naissances faciliterait le 
débouché. La solution que nous présentons ici eût donc offert 
des avantages marqués sur celle adoptée par l'illustre constructeur 
8 q 
de nos plus beaux ponts. 


Pont de Mantes, sur la Seine. 
La chaussée de ce pont formé de trois arches inégales, est 
disposée en rampes des deux côtés à partir du milieu; la pente 
1 . 
est de —, Nous ferons abstraction de cette pente, et nous ne nous 


72 
occuperons d'abord que de l'arche du milieu, dont l’ouverture et 


la flèche sont respectivement 38,98 et 11,37 : la charge peut 
être estimée approximativement à 0",74. Les données sont ainsi: 


CR UC EME RC EE AIO 7, 


d'où = —1,7142, et, par la Table IN, Y, — 13",753. En procé- 


dant comme dans l'exemple précédent, on trouve 
RSR ER RUE e— 12,631; B==)90%/075; 


V 
eo 5 Rap. m.q 
Ph = 70,498; = — 115"%,01. 


Les pierres employées à la construction des voûtes du pont de 
Mantes sont celles de Saillancourt, dont la résistance absolue est 
représehtée par 581 mètres. La valeur de p, coïncide avec le 
dixième de cette dernière quantité, tandis que celle de y, s'en 


écarte notablement : elle répond en effet à : environ de la résis- 


tance absolue des pierres de Saillancourt. Si, à l'exemple de beau- 
coup d'ingénieurs, on n’a égard qu’à la pression au sommet, on 
trouvera que la pierre employée présente une suffisante résis- 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 749 


tance. Cela est du reste assez admissible, puisque c’est au sommet 
que les pressions varient le plus par l'action des surcharges acci- 
dentelles, et que ces dernières ne produisent que peu d'effet sur 
les voussoirs inférieurs : si donc les voussoirs peuvent résister à 
la charge a, au sommet de la voûte, et en outre à l'action des 
surcharges, il est vraisemblable qu'ils résisteront encore à la 
charge u, qui a lieu dans les plans des naissances, augmentée de 
ses très-faibles variations. Quoi qu'il en soit, il serait évidemment 
préférable d'employer de la pierre plus résistante. 

L’épaisseur adoptée dans la construction est de 1",949; mais 
Perronet avoue qu'on aurait pu la réduire à 5 pieds ou 17,624, 
nombre qui coïncide à très-peu près avec la valeur e, — 1",6431 
que fournit notre solution. On doit remarquer que cette réduc- 
tion de l'épaisseur à la clef eût permis de diminuer la pente lon- 
gitudinale de la chaussée. 

Actuellement nous allons examiner s’il n’eût pas êté possible, 
sans élever les abords, de construire un pont horizontal formé 
de trois arches égales ayant leurs naissances au niveau de l'étiage. 
(Les naissances dans la construction sont à 0",974 au-dessous de 
l'étage.) 

Les arches latérales ont 35",07 d'ouverture, et les piles ont 
7,80 de largeur : en ajoutant au premier de ces nombres la 
demi-ouverture 19,49 de l'arche du milieu, on a pour la demi- 
longueur du débouché 54,56, dont le tiers donne, pour la demi- 
ouverture d'arches égales, g = 18,1 867. La demi-longueur du 
pont s'obtiendra en ajoutant la largeur d’une pile à la demi-lon- 
gueur du débouché, ce qui donnera 62,36, et pour la pente de 


la chaussée, = 62,36 — 0,866. La hauteur du sommet de la 


chaussée au-dessus du plan des naissances est égale à la longueur 
formée par la flèche de l'arche du milieu, l'épaisseur adoptée 
dans la construction et la hauteur que nous supposons équiva- 
lente à 0",74 : en déduisant de cette somme la pente 0",866, 
et la profondeur 0®,974 à laquelle les naissances ont été placées 
au-dessous de l'étiage, nous aurons la différence de niveau des 


750 MÉMOIRE 


abords du pont et des naissances relevées à la hauteur de l'étiage, 
égale à 12,219 =— Ÿ.. élévation actuelle du sommet de l'in- 
trados de l'arche du milieu au-dessus de létiage est d’ailleurs 

M,37 — 0",974 — 10",396, tandis que l'élévation des autres 
arches est moindre de 0%,487. Il importe que la solution cher- 
chée donne une flèche peu différente de 10,396, afin que le 
débouché ne soit pas diminué et que la navigation puisse se faire 
avec la même facilite. 

Re donc, g=ñ48"n867:%, =h 9% at9::-l lo 6es 
d'où = — 1,4884. On déduit de ces données, par la Table HIT, 


FE 10 ,301; ce dernier nombre n’est inférieur à 10",396 que 
de 0",095, et il excède ceux qui répondent au niveau du sommet 
. de Fintrados des arches latérales de 0",392. En poursuivant le 
calcul, on trouve 


=" quo e— To: Lu 197% 002: 
u, — 68",204; . 21689 "193%2. 


Dans cette solution, les pressions sont un tant soit peu moindres 
que dans la précédente, et, quoique l'inégalité des arches ne per- 


; V 
mette pas de comparer directement les sommes des surfaces a 


des deux profils, notre solution aurait évidemment présenté une 
économie notable des matériaux des votes, indépendamment des 
avantages qui se rattachent à l’horizontalité de la chaussée et à 
l'élévation des naissances, et cela sans que le niveau des abords 
ait été changé. : 


Pont de Neuilly, sur la Seine. 


Le pont de Neuilly, construit par Perronet, est formé de cinq 
arches terminées du côté des têtes par des voussures qui donnent 
à l'ensemble de la construction un caractère de, hardiesse fort 
remarquable, Nous n’aurons point égard à ces voussures, qui exi- 
geraient une théorie à part, et nous appliquerons nos formules 
comme sil s'agissait d'intrados purement cylindriques. À cela 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 751 


près, les arches sont en anse de panier surbaissée au quart; leur 
ouverture est de 38*,98, la même que celle du pont de Mantes. 
L’épaisseur des voûtes à la clef est de 1,624, et la hauteur 
moyenne de charge peut être évaluée approximativement à 1,15. 

Quant aux pierres employées à la confection des voussoirs, 
elles sont de provenances diverses!; toutefois leur qualité ne 
paraît pas devoir être estimée beaucoup au-dessous de celle des 
meilleures pierres de Saillancourt. 

Soient données 


ge= 194905 fig" 7455 oh, 15; d'où ? — ?; 


on aura, par la Table IIT, L= 0,89759, d'où Ÿ, — 10",857; 
puis par les formules (x), #" — 1",112; e— — 0",038. 

La valeur négative de e que nous rencontrons ici, et déduite 
de la relation e — h” — h, montre que la donnée À est mcom- 
patible avec les autres. Il est visible, en effet, qu’en diminuant h, 
la valeur de e deviendrait positive, mais sans pouvoir dépasser la 
limite 1,112, ni même l’atteindre tout à fait en faisant À — 0. 

Nous allons changer les données, en conservant cependant la 
demi-ouverture g; et nous astreignant à conserver également l’or- 
donnée Y, des naissances : pour calculer cette ordonnée, nous 
ferons la somme des trois quantités 


Charge approximative. .............. 1,15 

Epaisseur à la clef adoptée. .,........ 1 ,624 

Flèche adepte An". aber een PAIE 9 ,749 
d'où, Ordonnée des naissances... ..... Yema 27,519 


* On trouve dans une Note jointe au Mémoire de Perronet sur l'épaisseur des 
piles et la courbure des voûtes , le résultat d'expériences qu'il'a faites sur les! pierrés 
de Saïllancourt employées par lui à la construction du pont de Neuilly. L'habile 
ingénieur paraît avoir fait usage des hauteurs de charge à la place des pressions par 
unité de surface; il dit en effet qu'il faudrait, pour opérer la rupture de la pierre 
en question, la charger du poids d'une colonne de 1580 pieds de hauteur de la même 
pierre. Ce nombre, ramené aux nouvelles mesures, donne 513”,2, résultat inférieur 
à celui que fournit notre tableau pour les pierres de Saiïllancourt 1"° qualité: 


752 MÉMOIRE 
Soient donc 


7 — 19 1008 Era 510: AE 000 


d’où _ — 1,508: 


on en déduit, par la Table III, f — 10",731. Ce nombre, com- 
paré à la donnée primitive, répond à une surélévation du som- 
met de l'intrados d’un mètre à très-peu près : le niveau des nais- 
sances restant d’ailleurs le même qu'auparavant, il est clair que 
la nouvelle flèche sera plus favorable à Ja navigation et à l’écou- 
lement des eaux que celle adoptée par Perronet. Il reste à voir 
si les avantages de la nouvelle solution se maintiendront dans les 
éléments qu'il nous reste à déterminer. Or, en poursuivant les 
calculs, on trouve 


= 1% 5820; Ale 2396") "tu —1542066809; 
LU 75",224; — 921,67, 
puis C—12900;: 

Cette valeur de l'épaisseur réelle à la clef comparée à celle réa- 
lisée par Perronet présente une réduction de 0",386 ou d'à peu 
près un quart. Quant à la valeur de y, elle répond à = ou : 
environ de la résistance absolue 5 13 mètres déterminée par Per- 
ronet : pour ne faire travailler la pierre qu’au = il faudrait em- 


ployer la roche de Chätillon par exemple, dont la résistance 
absolue est représentée par 742 mètres, La valeur de y, est loin 
d'attendre la limite indiquée par Navier; mais sans recourir à 
l'autorité de cet auteur, il est admissible que la solution déduite 
de notre théorie aurait pu être réalisée avec des matériaux un peu 
plus résistants que ceux employés, et, à la rigueur, avec ces der- 


. . . 1 , 
niers, si l'on se rappe ue le coefficient —:est proposé pour 
ppelle q s'est proposé p 


des constructions qui ne jouissent pas d’un degré de stabilité com- 
parable à celui que nous pouvons atteindre. Les avantages de notre 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 753 


solution sont assez manifestes pour que nous ne croyons pas devoir 
insister davantage. 


Pont d'Orléans, sur la Loire. 


Ce pont, construit sur le projet de M. Hupeau, est composé 
de neuf arches inégales, dont les naissances sont établies à 0,325 
au-dessus des basses eaux. L’arche du milieu a 32,484 d’ouver- 
ture et 9",09b de flèche; l'épaisseur à la clef est de 2",111 pour 
cette arclie. Quant aux autres arches, leurs dimensions sont suc- 
cessivement décroissantes. Les arches des culées ont 29,885 
d'ouverture, 8,121 de flèche et 1,787 d'épaisseur à la clef. La 
longueur totale du pont entre les culées est de 334",839 : quatre 
des piles ont une largeur de 5,522; la largeur des quatre autres 
est de 5%,847, ce qui donne, pour la largeur totale des huit piles, 
h5",476; en sorte que le débouché des neuf arches est de 
279,363. La pente longitudinale du pavé du pont a été réglée 


NE a 3 ai: 4 
de part et d’autre à en. d’où il suit que la différence de niveau de 
10 


ri ; , 1 324°,83g 

a chaussée au milieu du pont et à ses OTas s’é ève Q - 

la cl É lieu du pont et abords s’él = S 
10 2 


— 1,504. La hauteur de charge h peut être évaluée approxima- 
tivement à 0,85. 


Nous ferons remarquer qu'en construisant le pont d'Orléans, 
lon a cru convenable de réserver, dans le massif, des cavités qui 
ont pour effet de diminuer la charge. Cette manière de décharger 
les voütes nous parait vicieuse dans l'application que lon en a 
faite jusqu'ici. Pour concilier de semblables dispositions avec les 
exigences de la théorie, il faudrait que les voûtes des arches pré- 
sentassent des solutions de continuité dans leur courbure, aux 
endroits où les naissances des voütes en décharge s'appuient sur 
les reins de la voûte principale. Nous ferons abstraction de ces 
particularités dans ce qui va suivre, en supposant le massif plein. 

Nous nous dispenserons d’étudier en particulier l'arche du 
milieu, et nous examinerons s'il n'aurait pas été possible d'établir 
à Orléans un pont horizontal formé d’arches égales et en même 


SAVANTS ÉTRANGERS, — XII, 95 


754 MÉMOIRE 

nombre, sans changer les niveaux des abords du pont et des 
naissances. En conservant la largeur totale des piles, on a pour 
chacune d'elles 5",6845, moyenne des largeurs inégales qui 
ont été adoptées dans la construction. L'ouverture d’une arche 
devient égale à = 279,363 — 31",0403. L'ordonnée des nais- 
sances, pour larche du milieu, est égale à 9°,095 + 2%,111 
1 0%,85 — 12",056:; déduisant la différence de niveau 1",504, 
nous aurons 104,552 pour ordonnée des naissances, dans le pont 
horizontal, en conservant le niveau des abords. Nous réduirons la 
hauteur » en la prenant, comme dans l’exemple précédent, égale 
à o",55. De cette manière nous aurons d’abord les données sui- 
vantes : 


J—19%9202; NE 1102000 LD oo: 
d'où - — 1,47085. 
On en tire, au moyen de la Table HE, f — 8",8542, ce qui donne 


. . 1 ‘ 1 . 
lieu au surbaissement NE La flèche que nous déterminons ici 
59097 


est moindre que celle de l'arche du milieu du pont d'Orléans de 
o%,241, et plus grande de 0",733 que celle des arches extrêmes. 
En ayant égard à ces différences, et observant que nos intrados 
sont plus convexes vers les reins que ceux pratiqués jusqu'ici, on 
aperçoit, sans calcul, que le débouché correspondant à la valeur 
de f que nous venons de déterminer, excède celui que présentent 
les arches du pont d'Orléans. Nous devons cependant constater 
que la réduction 0",241 de“la montée de l'arche dite marinière, 
bien qu’elle soit assez faible, appor terait peut-être quelques obs- 
tacles à la navigation par les hautes eaux. En poursuivant les cal- 


culs, on trouve 
hihi Goodies high Li MODS; 
p, — 58",447;  —— 661,682, 


À 


puis CEE RP TE 


ns . mue Din ati 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 755 


L’épaisseur à la clef que nous obtenons est de beaucoup momdre 
que celles adoptées dans la construction, et qui varient de 2%, 1 11 


à 1,787; la réduction dans les épaisseurs varie par conséquent 
16 EL 1 ! : 1 

à La valeut de y, répond très-sensiblement au — de la 
10 


2,2 2, 
résistance absolue des pierres de Saïllancourt 1" qualité. Nous 
ignorons quelle était la résistance des pierres de Mignier et de 
Beaugency qui ont été employées; celles de Beaugency sont signa- 
lées comme dures. Malgré le défaut d'indications plus précises, 
nous sommes porté à regarder la solution précédente comme 
offrant d'assez grands avantages sur celle adoptée. 


Pont de Gignac, sur l'Hérault (arche du milieu). 


L’arche du milieu de ce pont est surbaissée au tiers, et son 
ouverture est de 48,70, d’où 


g—24",35; ff 16%,2333, tr 1 25 
En admettant ces données, on trouve parla Table IT, Y,—22",160, 
d'où Ÿ, — f ou y’, —-f — 5,927. Or, on voit qu'en supposant 
par exemple e compris entre 2 mètres et 3 mètres, k serait com- 
pris entre 5",9 et 2,9 : ces valeurs de À étant de beaucoup su- 
périeures à la hauteur de charge strictement nécessaire, on voit 
qu’en admettant la valeur donnée de f, on serait conduit à sur- 
charger la voûte d’une masse énorme de matériaux tout à fait 
inutile. L’inconvénient que nous rencontrons ici tient au surbais- 


1 b : : : : 
sement >, qui conduira toujours à de pareils résultats dans les arches 


de grande ouverture. Mais nous avons la ressource de diminuer la 
flèche, ce qui nécessite simplement une élévation égale du som- 
met des piles ou des naissances. Pour fixer les idées, nous subs- 
tituerons aux données primitives les suivantes : 


ge 35: Dr 5 a Den ol d'où ?— 129947: 


99. 


756 MÉMOIRE 
À l'aide de la Table IF, on en déduit Ÿ, = 15%,5375; puis, en 


achevant les calculs, il vient 


DNS DE SD OO ie TOLRE 


RIT; 72786 ù O0 7m (O 
En prenant y, moindre que 100 mètres, la valeur de e croîtrait 
et celle de h diminuerait. Nous ne donnons les chiffres précé- 
dents que pour montrer leffet de la variation du surbaissement. 
H est clair qu’en consultant certaines convenances locales, on trou- 
verait le moyen de fixer d'une manière moins arbitraire les valeurs 
de f et de y, ou h. 


Pont de Vizille, sur la Romanche. 


Ce pont, construit par M. Bouchet, sur la route de Grenoble 
à Briançon, consiste en une arche unique de 41,90 d'ouverture 
et de 11,69 de flèche. Nous supposerons la hauteur de charge h 
égale à 0",66. Les données seront ainsi 


J=120%,90$ Jr 60614000 d'où? —1,79213. 


Par la Table III, on en déduit Y, — 13",7426; et, en achevant les 
calculs, 


h" — 9% 0451; PS0 07 uit 1000 209716 


puis E—179020! 


L'épaisseur adoptée dans la construction est de 1,9; notre 
solution aurait donc permis une économie de 0,557 sur l’épais- 


: 1 È ARE 
seur des voussoirs, ou de 33 de l'épaisseur réalisée. La valeur de y, 


n’est pas excessive, elle supposerait l'emploi de pierres présentant 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 71272 
la résistance du calcaire de Jaumont 1" qualité, travaillant au —. 
10 


La roche douce d’Arcueil employée à Paris offrirait une résistance 
plus que suffisante. 


L 1 ï de Vizille est —— Där consé- 
Le surbaissement du pont V a et par consé 


: 1 1 * . 
quent assez éloigné de 3 et -; c’est à celte circonstance que nous 
ï 
devons de n’avoir pas rencontré les difficultés relatives aux don- 
nées, qui se sont présentées dans quelques-uns des exemples pré- 
cédents. 


Pont de Céret, sur le Tech. 


Comme presque tous les ponts qui datent de la mème époque, 
le pont de Céret a été construit en plein cintre. Il se compose 
d'une seule arche de 45 mètres d'ouverture, dont les pieds-droits 
s'appuient contre des rochers. La forme de plein cintre a telle- 
ment exhaussé le sommet de la voûte, que l'on est obligé de fran- 
chir des pentes très-rapides pour arriver au milieu du pont. Malgré 
l'abondance des eaux torrentielles qui descendent des Pyrénées, 
il n’est guère probable que l’on ait élevé si considérablement le 
sommet de la voûte dans le but unique d'offrir un grand débouché 
à l'écoulement des eaux. 

En examinant les dessins du pont de Céret, on reconnait aisé- 
ment qu'il aurait été possible d'établir à sa place un pont hori- 
zontal formé d’une arche en anse de panier, et de se passer des 
fortes rampes ae existent aux abords. Admettons, par exemple, 


le surbaissement —— F3 qui donne, pour l'ouverture de 45 mètres, 


une flèche de DE 857. Cette flèche, comparée au rayon 22,50 
de l'arche en plein cintre, présente une différence de 9",643 dont 
on aurait pu abaisser le sommet de l'intrados, en conservant le 
même plan des naissances; en élevant les naissances d'une frac- 
tion de, cette quantité, pour ne pas trop réduire la hauteur du 
débouché, on abaisserait le sommet de l'intrados d’une quantité 
égale au reste. Dans tous les cas, l'établissement des culées serait 


758 MÉMOIRE 
facilité par la présence des rochers contigus. (Voir l'exemple du 
n° 49.) 


Faisons le calcul avec les données suivantes : 
jean bo; fin den 0e d'où ? — 1,75. 
Nous trouverons, par la Table HE, Y, — 15",338; puis ensuite 
h'— 221690; te == 10100: An 070%804; 
H— 70 200; = 149% 00: 


La valeur de e n’a rien d’exagéré; celle de y exigerait dans les 
matériaux des voussoirs une résistance ‘comprise entre celles de 
la roche de Châtillon et celle du calcaire de Jaumont 1"° qualité. 
On doit prévoir assez aisément l'effet des variations de f et de k 
par rapport à e el, pour que nous n'insistions pas davantage sur 
ce sujet. 


Pont de Tours, sur la Loire. 


Ce pont est composé de quinze arches en anse de panier sur- 
baissée au tiers, de 24,4 d'ouverture, ce qui donne 8",1333 de 
flèche; les piles ont 4",87 d'épaisseur. 

Avec les données f — 8",1333 et k — 1,b, on trouve, par la 
Table IL, Y, — 11,103, d'où Y, — f — 2",970, quantité égale 
à la somme de l'épaisseur réelle à la clef et de la surcharge h. En 
prenant À dans les limites usuelles, l'épaisseur serait encore très- 
considérable pour une assez faible ouverture, et les pressions dans 
les PRE resteraient très-faibles, ce qui impliquerait un emploi 
peu économique des matériaux. La cause des inconvénients qui 
se présentent ici est, comme pour le pont de Gignac, dans le 


surbaissement = - 


Nous Ho obtenir une solution exempte de pareils 1 incon- 
vénients en diminuant la flèche des arches, ce qui permettrait 
d'élever les naissances et favoriserait l'écoulement des eaux, sans 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 759 
que le niveau de la chaussée füt changé; nous irons plus loin. 
La construction du pont de Tours a été signalée par une suite de 
désastres paraissant avoir eu pour origine la difficulté de fonder 
les piles, et la facilité avec laquelle se sont produits les affouille- 
ments. Il nous semble qu’en réduisant le nombre des piles et leur 
largeur, on aurait réduit d'autant les difficultés du travail des 
fondations, et que, d’un autre côté, la largeur du débouché se 
trouvant augmentée, les affoullements auraient été moins à re- 
douter. On peut objecter à cette manière de voir, que les const- 
quences de la chute des arches, par suite de vices de fondation 
des piles, seraient plus graves que danse cas d’arches de moindres 
dimensions; cependant il faut reconnaître que les chances de 
pareils accidents seraient bien diminuées : en outre, il n’est pas 
impossible aujourd’hui de s'assurer que des piles établies dans 
des conditions déterminées pourront résister à des charges don- 
nées. En nous plaçant à ce point de vue, nous proposerions de 
composer le pont de treize arches, et de donner aux piles 4 mètres 
seulement de largeur. Le débouché des quinze arches est de 
366 mètres; la somme des épaisseurs des piles est de 68,18, 
ce qui donne une longueur totale entre les culées de 434,18. 
De ce nombre déduisons 48 mètres, épaisseur totale des douze 
piles, et nous aurons pour le nouveau débouché 386,18, nombre 


qui excède celui du pont de Tours de 20%,18, et dont le = est 
1 


29%,70615. Telles seraient les dimensions des ouvertures des 
arches. Au lieu de nous donner la flèche, nous admettrons la con- 
dition que l'ordonnée des naissances reste la même : or, d’après 
les planches de l'ouvrage de Gauthey, cette ordonnée peut être 
évaluée à environ 10,80. Soient donc 

g=1414%853n; Y—402680: hk — 0,65: 


on trouve la solution suivante : 
== 87,82705., ME 'ar,97245, ee ur 3522: 
m . — m - V — m, 
MW 44% 169; eu, =—53r,837; + —=7! 1,182. 


760 MÉMOIRE 

On observera que la flèche excède celle adoptée dans la cons- 
truction, de 0",68/4; elle est donc plus favorable à la navigation 
et à l'écoulement des eaux. L’épaisseur ne présente rien d’exa- 


1 # ! 1 1 LA Ci 
géré, et la valeur de y, répond à Pa de la résistance absolue des 
10, L 


pierres de Saillancourt 1" qualité. Si lon admet que les maté- 
riaux présentent une résistance même un peu inférieure à celte 
dernière, la solution que nous venons d'obtenir pourra être regar- 
dée comme préférable au projet qui a servi de base à l'établisse- 
ment du pont de Tours. 

Quant aux piles, les nombres précédents donnent &, = 1*,376, 
dont le double est 2",752 : or cette quantité est de beaucoup 
inférieure à la largeur 4 mètres des piles; les matériaux intérieurs 
des piles n'auront donc pas besoin de présenter une résistance 
aussi grande que celle des voussoirs, les parements extérieurs 
seront seuls assujettis à la condition d’être aussi résistants que les 
voussoirs sur une profondeur égale à l'épaisseur de ceux-ci, et 
encore suffira-t-1l qu'il en soit ainsi vers la partie supérieure des 


piles. 
Pont des Chavannes, à Ghalon-sur-Saône. 


Ce pont, construit par Gauthey, est composé de sept arches 
surbaissées au tiers, ayant 13 mètres d'ouverture, et par consé- 
quent 4%,3333 de flèche. L'épaisseur des piles est de 4,55. Si 
nous admettons que la charge au-dessus de la clef soit o",65, 
les données seront 


qu 60 MU SES RE t0r, 6 do = (LD, 


et l'on obtiendra la solution suivante : 
Ve— 5%,9155; RO M = MO NICAE 
u, — 18.980; p — 23M884; © = — 211,928. 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 761 
L’épaisseur est un peu forte pour des arches d'aussi faible portée ; 
la valeur de x, est en même temps très-faible : les pierres de la 
moindre qualité présenteraient une résistance suflisante. Cons- 
truites avec ces valeurs, les arches pécheraient plutôt, si cela 
était possible, par un excès de stabilité que par l'excès contraire. 

Si le pont était à reconstruire, nous ne nous arréterions pas 
aux chiffres que nous venons de trouver. On lit, en effet, dans l’ou- 
vrage de Gauthey, page 101: « La disposition du terrain ne per- 
mettant pas d'élever suflisamment la surface du pavé du pont, 
les grandes eaux montent jusqu’à la clef des arches; et afin de 
compenser la diminution de largeur que leur débouché éprouve 
à mesure qu'elles s'élèvent, on a pratiqué dans la partie supé- 
rieure des piles des ouvertures ovales de 2",6 de largeur.» En 
consultant les planches qui RepEEEnt le même ouvrage, on 
trouve que la hauteur du pavé au-dessus des naissances est de 
6,30 environ. 

Pour obvier à l'inconvénient signalé par Gauthey, il faudrait 
augmenter le débouché, ce qui peut se faire de diverses manières : 
par exemple, en réduisant lépaisseur des piles. Réduisons cette 
épaisseur à 3",50, les six piles donneront un accroissement de 
débouché égal à 6.1",05 — 6",3, lequel, réparti également entre 
les sept arches, donne pour chacune un accroissement d’ouver- 
ture égal à o",9 : les nouvelles dimensions des ouvertures seront 
de la sorte 13,90. Nous pourrions aussi élever les naissances; 
mais conservons leur posilion et celle du niveau de la chaussée: 
l’ordonnée des naissances pourra être prise, d’après les dessins de 
Gauthey, égale à 6%,30 environ. En partant des nouvelles données 

(== 6,95; N==1620 0; h — 02,65, 
on trouvera la solution suivante : 
LAPS: LR = 65984406 Au 000$; 
Li NOR O2 \ u, — 24,872: = 251,104. 


e 
SAVANTS ÉTRANGERS. —"XIL. 96 


762 MÉMOIRE 

Indépendamment de l'accroissement du débouché dù à la réduc- 
tion de la largeur des piles, la flèche que nous trouvons ici, et 
qui excède celle adoptée de 0®,291, détermine un nouvel accrois- 
sement du débouché; et lon aperçoit, sans calcul, que laccrois- 
sement total excède de beaucoup celui qui est dü aux ouvertures 
pratiquées au sommet des piles. Les considérations présentées 
dans l'exemple Faéedenss au sujet de la largeur des piles, sont 
applicables ici. L'épaisseur à la clef est très-admissible, et la valeur 
de y, excède à peine celle trouvée dans la première solution; en 
sorte que les pierres les moins résistantes pourraient encore être 


employées. La surface = du profil de la demi-arche et de son 


massif est augmentée de - environ, mais cet accroissement est en 


partie compensé par la Aaron de largeur des piles. 

Nous ne donnons pas la solution one comme étant la 
meilleure; mais elle suffit pour montrer la facilité avec laquelle 
l devient possible de satisfaire aux diverses conditions du pro- 


: 4 : ie 1 
blème en substituant à un surbaissement trop voisin de ; un autre 


n . . ñ . 1 1 
qui soit moins éloigné de à 
Pont de Neuville; sur l'Ain. 


Ce pont, construit sur le projet de M. Aubry, est formé de 
deux arches de 29,20 d'ouverture. D’après les planches dè Gau- 


they, la flèche paraît être égale à —- de l'ouverture. Soient 


gia4860 18" %6B6 Ar hk-— 02,65, 
on aura la solution 


Y,—10",4491; h"— 1%,8523; 


ee —12,2099: 
TV 
2 


nu, — 45,431; pu, — 54",795; — 651,879. 


Ces nombres sont réalisables, si l'on dispose de matériaux dont 
la résistance ne soit pas notablement inférieure à la, résistance 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 763 
de la pierre de Saillancourt 1"° qualité. Le dessin que nous avons 
sous les yeux ne nous permet pas de comparer l'épaisseur adoptée 
dans la construction avec celle que nous venons de déterminer... 


Pont de Roanne, sur la Loire, 


Ce pont est formé de sept arches surbaissées au tiers, de 
23",4o d'ouverture, et, par conséquent, de 7",80 de flèche. En 
admettant ces données, on aurait y”, — f ou 6, + h — 2",8478; 
de sorte qu’en prenant k dans les limites habituelles, l'épaisseur &, 
excéderait 2 mètres, et la valeur de y, serait assez faible. Comme 
précédemment, ces résultats tiennent à ce que le surbaissement 

n K 1 
est égal à à . 

Le niveau de la chaussée paraît, d’après les dessins de Gau- 
they, supérieur au sommet de l’intrados d'environ 1,7. En con- 
servant. le niveau de la chaussée, nous nous proposerons de ré- 
duire la flèche en nous astreignant à la condition que l’ordonnée 
du sommet de l'intrados n’excède pas 1",7. L’élévation des nais- 
-sances qui en résultera favorisera l'écoulement des eaux. Prenons 
par exemple pour nouvelles données { 


TE TOUR 0 0 RÉ 102057 


il viendra 
Ni 4 8 ae ap no de ao u; 
È à V 
Bi — 38%,399; du — 46%,021; 3 — 44"3,505, 
puis & — 0",9742. L’ordonnée du sommet de l'intrados réel est 
&, + h — 1%;62/42, quantité un peu moindre que 1,7 : ainsi 


notre solution exhausse le sommet des arches de 0",076. Quant 
aux naissances, leur ordonnée se trouve être, au pont de Roanne, 
égale à 10,7 + 7,8 — 9",9 : or nous trouvons Ÿ, — 8",62/; 
les naissances sont donc exhaussées'de 0",876 dans notre solu- 


96 


764 MÉMOIRE 


ï 1% ‘ 1 RIRE 
tion. La valeur de y, répond à AE de la résistance absolue de la 


12, 
pierre de Saillancourt 1° qualité, et à — environ de celle de la 
pierre ferme de Conflans. Les nombres que nous venons d’ob- 
tenir seraient réalisables; peut-être même l'accroissement de dé- 
bouché dû à l'exhaussement du sommet et des naissances de l’in- 
trados eût-1l sufh pour éviter la ruine du pont de Roanne survenue 
pendant la terrible inondation qui a désolé les populations rive- 
raines de la Loire, dans l'hiver de 1846-47. Mais on aurait évité 
plus sûrement les effets désastreux des grandes crues, en cons- 
truisant les arches de ce pont dans le système de celles que nous 


nommons arches incomplètes. 


Pont de Frouards, sur la Moselle. 


Ce pont, construit par M. Lecreulx, est composé de sept arches 
dont le surbaissement est compris « entre le tiers et le quart, » dit 
Gauthey, et dont les ouvertures sont de 19,5. D'après les des- 
sins de ce dernier ingénieur, le surbaissement peut être évalué à 


, 


je QU la flèche à 5",3571. En partant des données 
9,04 


CN NN LE ETES d'où ? 
on trouverait y — f Où & + h — 0",88b1; en sorte que la 
somme de l'épaisseur à la clef et de la hauteur de charge 4 n’at- 
temdrait pas seulement 0,9. La moindre valeur admissible que 
l’on attribuerait à 4 laisserait pour &, une valeur inadmissible en 
raison de sa petitesse, et à laquelle répondraient d'énormes pres- 
sions dans les joints. La cause de ces inconvénients lient à ce que 


ô aa 1 sa el : : 
le surbaissement est trop voisin de ; : ainsi les données doivent 


être modifiées. En conservant l'ouverture des arches, admettons la 
condition que la différence de niveau des naissances et de Îa 
chaussée, qui parait être de’ 7",35 environ, d’après les dessins 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 765 


de Gauthey, reste la même, et attribuons comme dans d’autres 
exemples, à la hauteur h, la valeur 0",65; les données seront 


19" 78; V—=178,95; D 0265 
au moyen de quoi, l’on aura la solution suivante : 


10580073: RER H909 6107000: 


| 


LS AE, l'O u, —= 40,605; — 311,900, 


>| 


puis & — 0",7928. 

Cette solution est plus favorable sous le rapport du débouché 
et de la facilité du passage des bateaux, que le projet réalisé par 
M. Lecreulx, puisque la flèche excède celle du pont de Frouards 
d'environ 0,55; l'épaisseur à la clef est très-admissible, et la 
résistance mesurée par p est — de la résistance absolue des 

10, 
pierres de Saillancourt 2° qualité, et _"_ de celle de la pierre 
10,7 


ferme de Conflans. Le surbaissement auquel répondent les valeurs 


de g et de f est 


3,3009 


Pont des Tuïleries, à Paris, sur la Seine. 


Ce pont, construit sur les dessins de Mansard, est formé de 
cinq arches inégales : l'ouverture de l'arche du milieu est de 23,5; 
celles des arches latérales sont de 22,2 et 21",0. La chaussée du 
pont forme deux rampes, et les naissances des arches sont situées 
à des niveaux différents. Les dimensions des flèches ne sont pas 
données dans Gauthey, et'il est difficile de les obtenir à l’aide 
des planches de son ouvrage. Nous allons examiner s’il n'aurait 
pas été possible d'établir un pont horizontal composé d’arches 
égales, en satisfaisant principalement à la condition que le sommet 
des arches ne fût pas sensiblement moins élevé que celui de l'arche 
du milieu du pont des Tuileries, le niveau des abords restant le 


766 MÉMOIRE 

même, La différence de niveau des abords et du sommet de l'arche 
du milieu paraît être d'environ 1",7 à 1”,8, d’après les dessins de 
Gauthey. La somme des cinq ouvertures est 109",9, dont le cin- 


7 ? } E 1 \ 
quième est 21,98; essayons le surbaissement = —, la flèche sera 
25° 


5 i 


de 6",7632, et en prenant # == 0",65, les données seront : 
= 1009;, = 0 7092 MES DE 00: 


À l'aide de ces nombres, on obtient la solution 


V8, 35, hi 5408 ue 0008: 
CET ET COUCHE EEET ENT 
DUS & — 1%, 1102: il s'ensuit &, +- k — 1",7602. Ce nombre 


est compris entre les limites 1®,7 et 1",8 que nous ont fournies 
les dessins de Gauthey. Autant qu'on en peut juger d’après les 
mêmes dessins, la position des naissances donnée par la valeur 
de Y, serait à peu près au niveau de celles de l'arche du milieu 
du pont des Tuileries. L’épaisseur que nous venons de trouver 
est très-admissible, et la valeur de y, est compatible avec l'emploi 
des pierres de qualité inférieure, telles que celles de Saillancourt 
2° qualité et de Conflans. En supposant que les dessins de Gau- 
they ne nous aient point induit en erreur, on voit que notre solu- 
ton présente des avantages marqués sur celle qui a été réalisée. 


Pont de Dôle, sur le Doubs. 


Ce pont, construit par M. Guéret, est composé de sept arches 
imégales surbaissées au tiers, dont la plus grande a 18",80 d’ou- 
verture, et, par conséquent, 6",2667 de flèche. Les piles ont de 
3",25 à 3",d0 d'épaisseur. On trouve dans le Tableau général 
des ponts de Gauthey, que le débouché total est de 122,40. 
D'après le dessin que donne cet auteur, on peut estimer qu'il existe 


A 


une différence de niveau de 7",0 à 7",10 entre le niveau de la 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 767 


chaussée aux abords du pont et les naissances : soit 7,05. Ce 
nombre, comparé à la flèche de l'arche du milieu, donpe 0",7833 
pour la différence de niveau entre celui des abords du pont et 
le sommet de cette même arche. Proposons-nous de déterminer 
les dimensions principales d’un pont horizontal formé de sept 
arches égales, dans lequel on conservera le niveau des abords et 
celui des naissances, en augmentant d’ailleurs le débouché par la 
réduction de la largeur des piles. La largeur moyenne de celles-ci 
étant de 3,375, la somme pour les six piles est 20",25; nous 
pouvons, sans hésiter, réduire la largeur de chacune d'elles à 
3 mètres, ce qui augmentera le débouché de 2,25, et élèvera la 


somme des ouvertures à 124",65, dimension dont le - est 


- 
ü 


17,807. Prenons donc pour données 
g—8",909; né 00: h — 0,65; 


nous obtiendrons la solution que voici : 


| 


f BAbñOS: he #7 /hoin9; 


bo — 29,065; pu —-35",149; 


— 0%,8519; 


| 


>< & 


29"%,943, : 


puis € — 0",8297. 

Cette solution serait réalisable avec les pierres à bâtir les moins 
résistantes; mais elle peut pécher en ce que le sommet des arches 
est ici moins élevé qu’au milieu du pont de Dôle de 0,726, dif- 
férence des valéurs de f. Une telle réduction de la flèche peut 
être nuisible à la navigation et dangereuse dans le cas de grandes 
crues. On diminuerait ces inconvénients en élevant les naissances, 
ce qui aurait pour effet de diminuer l'épaisseur à clef et d’exiger 
l'emploi de matériaux plus résistants; mais il est clair que l’on ne 
parviendrait pas pratiquement à réduire ordonnée du sommet 
de Pintrados à 0,783. 


768 MÉMOIRE 


+ Pont de Lavaur, sur l'Agoüt. 


Ce pont, qui date seulement de 1775, est composé d’une grande 
arche en anse de panier, approchant du plein cintre, dont l’ouver- 
ture est de 48,7, la même que celle de Parche du milieu du 
pont de Gignac. L’épaisseur de la vote à la clef est de près de 
SE Te 

: Cette grande épaisseur, dit Gauthey, est une des causes des 
dégradations qui se sont manifestées à ce pont. Les accidents ne 
proviennent point, d’ailleurs, d’un manque de force de la part 
des culées, qui sont très-épaisses. » À cette cause, on peut, selon 

Ta P P 
nous, ajouter la grande épaisseur de la surcharge. 

Nous avons vu déjà que, dans le cas des grandes arches, le sur- 

co 1 # : = f 1 
baissement ; entraine des inconvéniens, et que le surbaissement ë 
exige des matériaux très-résistants et de faibles épaisseurs à la 

: EVs 1 . ; ë 
clef. Les surbaissements voisins de 35 réussissent bien dans les 
arches d’assez grandes dimensions : nous adopterons ici un sur- 

. CMS 1 1 
baissement un peu plus voisin de 3 0 36: et, en prenant, comme 


plus haut, 0",65 pour hauteur de la surcharge, nous aurons les 
données suivantes : 


TE CYR TETE NOR 0070 h==10%305: 


Avec ces données, on obtient la solution: 


VC 0020, D 2 JN0O:, NE ——:1,0700; 


Leo dust Son : —= 10088074 


puis & — 1%,6850. 

La flèche adoptée dans la construction paraît être de 21 à 
22 mètres. La réduction que nous lui faisons subir exigerait un 
exhaussement des naissances d'au moins 7,5, si le sommet de 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 769 
lintrados devait être maintenu à la même hauteur. En l'absence 
de renseignements suffisamment exacts surle niveau de la chaussée 
et la nécessité de le maintenir, ou la convenance qu'il aurait pu 
y avoir de l’abaisser, nous ne discuterons pas la valeur de Y,. Nous 
ferons remarquer que l'épaisseur réelle à la clef que nous obte- 
nons excède, de quelques centimètres seulement, la moitié de celle 
qui a été adoptée. Quant à la valeur de w,, elle montre que les 


. . . . . 1 
voussoirs seraient soumis à des pressions pouvant atteindre le — 
12 
. « . 1 
de la résistance absolue de la roche d’Arcueil, ou le - de celle 
9 


du calcaire de Jaumont 1"° qualité. 


æ Pont d'Ingersheim, sur le Fecht. 


Ce pont a été construit en 1 773 par M. Clinchamp, ingénieur 
militaire. Il se compose de trois arches en anse de panier dont le 


. 1 1 
surbaissement est entre : et, et dont les ouvertures sont de 1 5,3 


et 18,3. D’après le dessin de Gauthey, la chaussée serait disposée 
en pentes très-douces de part et d'autre du milieu du pont, et 
les naissances seraient à 5",4 environ au-dessous du niveau de la 
chaussée aux abords du pont. 

Si l'on fait abstraction de la légère pente pour l'arche du milieu, 
et que l’on partg du surbaissement = et de l'ouverture 182,3 
comme données, d’où résulte 1e 4%,0667, on trouvera €, + } 
— 0%,2909, quantité évidemment inadmissible dans la pratique. 

Si l'on se propose l'établissement d’un pont horizontal de même 
débouché et formé de trois arches égales, et que l'on ajoute la 
condition que la différence de niveau des abords du pont et des 
naissances soit de 5,4, les données seront d’abord 


NO, 10: Vi 1510 
et l'on trouvera f — 4®,5762; €, + h —0",8238. Il est évident 


qu’en attribuant à k une valeur comprise dans les limites ordi- 


SAVANTS ÉTRANGERS. — XII. 97 


770 MÉMOIRE 

naires, l'épaisseur à la clef restera encore très-petite et répondra 
à des pressions très-considérables dans les joints. Il suflirait d’éle- 
ver les abords de quelques décimètres, pour obtenir une solution 
admissible en pratique. Si les exigences locales ne le permettent 
pas, il conviendra de renoncer aux arches en anse de panier, et de 
recourir à l’emploi des arches incomplètes. Au reste, 1l semble 
que l'ingénieur a fait quelque chose d’analogue, car en examinant 
le dessin du pont d’Ingersheim dans l'ouvrage de Gauthey, on 
reconnait que l'intrados est formé d’un arc de cercle de grand 
rayon raccordé avec les pieds-droits, au moyen de deux arcs de 
rayons beaucoup plus petits. En prolongeant le tracé de l'arc prin- 
cipal jusqu'aux pieds-droits, on aurait un intrados circulaire très- 
peu différent, au fond, de celui dont il s’agit. La direction des plans 
de joint dans le voismage des naissances peut seule établir une 
différence marquée entre les deux genres d’intrados : ne sachant 
pas au Juste quelle est cette direction, il nous est impossible de 
dire si les arches du pont d'Ingersheim appartiennent à la classe 
des arches en anse de panier ou à celle des arches en arc de cercle. 


Pont de Vieille-Brioude, sur l'Allier. 


On Hit dans Gauthey : « Ce pont a été bâti en 1454, par les 
entrepreneurs Grenier et Estone, aux frais de la dame du lieu. 
Il est composé d’une seule arche en arc de cercle de 54,2 d'ou- 
verture, et de 21 mètres de flèche. C’est la plus grande de toutes 
les arches qui existent en France, et probablement en Europe; elle 
n'a que 4",9 de largeur, ainsi que les levées qui y aboutissent. 

«La voûte est formée de deux rangs de youssoirs posés lun 
sur l’autre, sans que lon ait pratiqué entre eux presque aucune 
liaison; l'un est en pierres volcaniques, et l'autre en grès très- 
dur. Les pierres n’ont que 0",20 à 0,25 d'épaisseur sur 0,65 
au plus de longueur de coupe. Le pont est fondé solidement sur 
deux rochers qui s'élèvent au-dessus des basses eaux. » 

Il est moins probable que la grandeur de la flèche ait été 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 771 


fixée par la nécessité de donner de la hauteur au débouché, que 
par l'obligation où croyaient être beaucoup de constructeurs des 
siècles passés d'éviter le plus possible les formes éloignées du 
plein cintre. La grande hauteur de l'arche a nécessité l’établisse- 
ment de rampes très-rapides qui se prolongent à une assez grande 
distance des deux côtés du pont. Le sommet du pavé est, d'après 
le dessin de Gauthey, élevé d'environ 24,6 au-dessus des nais- 
sances. . 

Nous supposerons qu'il s'agisse de construire un pont hori- 
zontal, à une seule arche en anse de panier de 54,2 d'ouverture, 
et que l’on ait à utiliser la résistance de matériaux du genre de 
ceux qui ont été employés au pont de Vieille-Brioude. (Les cons- 
iructeurs de ce pont ont dû s'imposer une telle condition d’éco- 
nomie, puisque les frais ont été supportés par la dame du lieu et 
non pas par une province ou partie de province.) Nous admettrons 

+ 


. .. 1 . 1 Æ 
un surbaissement voisin de D soit —; et une hauteur 0,65 de 


charge au-dessus de la clef. De cette manière, les données seront 
D TROTO ON 4 20807 R— 0265! 


On en déduit 


ma 6trapas van 08858 a3309;: 
li — 000070; fa —114%116; RER 
puis & — 1",3399. La présence des deux rochers dont parle 


Gauthey, permettrait d'appliquer ici les notions que nous avons 
exposées au n° 49 sur l'établissement des culées. Le profil d’une 
culée serait un trapèze rectangle dont les bases supérieure et infé- 


rieure de niveau respectivement avec le sommet de l’extrados et 


: : : : : + 0°,65 16”,29 
les naissances, auraient des dimensions qui excèdent —— et 
0,76 0,76 


ou 0,9 et 21,4 environ. Il est clair que la partie des rochers 
s'élevant au-dessus du plan des naissances serait comprise dans 


97- 


772 MÉMOIRE 
la culée déterminée par ce profil, moyennant un raccordement 
convenable avec les maçonneries. 

En supposant que la flèche trouvée laisse un débouché sufli- 
sant, on voit que l’ordonnée 16,25 du plan des naissances per- 
mettrait un abaissement du sommet du pavé égal à 8,35. On ob- 
servera que l'épaisseur réelle à la clef 1",34 excède peu la somme 
des épaisseurs des deux rangs de voussoirs, laquelle serait 
1%,30 au plus, selon Gauthey. Enfin la valeur dep, est très-loin 


d'atteindre le — de la résistance absolue des piérres volcaniques 
10 


et des grès durs; elle répond à — de celle de la roche d’Arcueil. 


9; 


La solution que nous venons de trouver, bien que s’écartant 
un peu des habitudes actuelles des ingénieurs, mous parait très- 
admissible dans les conditions d'économie que nous nous sommes 
imposées. Hors de ces conditions, 1l eût été facile, en augmentant 
la flèche de quelques décimètres, d'obtenir des épaisseurs plus 
considérables, sous de moindres pressions. 


REMARQUES RELATIVES AUX ARCHES DE PONT EN ANSE DE PANIER. 


51. Nous venons de passer en revue un assez grand nombre 
de ponts actuellement existants, et nous avons fait l'application de 
notre théorie aux données relatives à ces ponts, comme s'il se füt 
agi de procéder à leur construction. Dans beaucoup de cas, les 
résultats du calcul appliqué aux arches en anse de panier nous ont 
montré une incompaübilité entre les données, et nous avons été 
obligé de les modifier, pour arriver à la détermination d’un sys- 
tème d'éléments de construction qui püt satisfaire à la fois aux 
conditions d’une très-grande stabilité et aux exigences d'une éco- 
nomie bien entendue. En nous bornant toujours aux arches en 
anse de panier peu chargées au-dessus de la clef, ou dans lesquelles 
l'ordre de grandeur de la hauteur qui représente la charge est 
celui de l'épaisseur, 1l nous semble résulter des applications pré- 
sentées dans le numéro précédent, et des courtes discussions aux- 
quelles elles ont donné lieu, quelques conséquences importantes. 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 773 


1° Le surbaissement des arches complètes doit rester compris entre 
le tiers et le quart, et même ne point atteindre ces limites, du moins 
tant que les matériaux employés seront des pierres calcaires, même 
les plus résistantes. IL s'ensuit que les arches en plein cintre ne 
doivent point être adoptées dans la construction des ponts : nous 
avons dit ailleurs qu’elles répondent à des charges infinies au- 
dessus de la clef, et que les voûtes qui s’en rapprochent le plus 
sont celles des tunnels, en raison des charges considérables qu’elles 
peuvent avoir à supporter. 

2° Le surbaissement des arches complètes doit être d'autant plus voisin 
du tiers ou du quart, que les ouvertures sont moindres ou plus grandes. 
Cette conséquence, déduite de faits particuliers, est facile à expli- 
quer : en effet, dans les arches de pont, la hauteur k de la charge 
au-dessus de la clef, qui sera plus généralement prise pour donnée 
que la quantité u,, peut être regardée comme indépendante des 
dimensions du pont en hauteur et largeur; elle ne dépend que de 
la nature et de l'emploi des matériaux qui composent la chaussée. 
La hauteur À est donc une grandeur absolue très-peu variable et 
qui se trouve, dès lors, être une fraction des autres dimensions, 
d'autant plus grande, que celles-ci sont moindres. Or nous savons 
que les formes d’arches doivent se rapprocher du plein cintre à 
mesure que les hauteurs de charge sont plus considérables (et il 
faut entendre ici les hauteurs relatives); donc, la forme des arches 
en anse de panier doit se rapprocher d'autant plus du plein cintre 
que ces arches ont une plus faible ouverture, 
Les ingénieurs sont aujourd’hui dans lhabitude d'employer les 
surbaissements un tiers et un quart, et le plus souvent le premier 
de ces rapports; mais il est rare qu'ils adoptent des nombres inter- 
médiaires, qui seraient cependant de beaucoup préférables. 

Notre théorie, envisagée dans toute sa généralité, laïsse le choix 
entièrement arbitraire de deux données, entre les trois quantités f, 
g et Y;; mais, d'après ce qui vient d’être dit, les deux arbitraires 
doivent, dans la pratique, être assujetties à la condition que le 
surbaissement qui en résultera tombe entre le tiers et le quart. 


774 MÉMOIRE 

Les valeurs admissibles de ce surbaissement seront, dans chaque 
cas, assez peu variables, pour que l'on soit tenté de regarder le 
rapport des deux arbitraires restantes comme ne pouvant pas être 
donné absolument a priori, et de rechercher, ailleurs que dans 
les circonstances locales, les raisons de ce rapport. Développons 
notre pensée. 

Jusqu'ici nous avons considéré les arches comme soumises uni- 
quement à l'action du poids de leurs diverses parties, et aux 
actions et réactions mutuelles de ces mêmes parties. C’est en ayant 
égard à la résistance des matériaux employés, et au peu de varia- 
bilité de la quantité k, que nous avons été conduit à établir les 
limites du surbaissement dans les arches complètes. Mais on con- 
coit que, si l’on tient compte en mème temps des surcharges acci- 
dentelles et des chocs que les voitures lourdement chargées peuvent 
occasionner, on parvienne à déterminera pression maximum par 
unité de surface à laquelle les voussoirs seront soumis, et qui se 
développera, soit dans l’état d'équilibre, soit dans l’état de vibra- 
tion résultant de chocs plus ou moins répétés. Les pressions dé- 
pendront naturellement des hypothèses que l'on fera sur les sur- 
charges et le mouvement des voitures; mais elles dépendront aussi 
de la constitution physique et géométrique des arches, que nous 
supposerons toutefois établies conformément à la théorie de léqui- 
libre des arches non soumises à des actions accidentelles. Or, 
comme nos équations laissent deux des trois quantités f, g et Y, 
entièrement arbitraires, on doit profiter de cette indétermination 
pour satisfaire à la condition que, dans le nouvel état du système, 
la pression maximum qui pourra se développer n'excède point 
une limite donnée, l'amplitude des oscillations étant d'ailleurs 
supposée très-petite. 

L'analyse mathématique de cette partie de la question de la 
stabilité des voûtes dépend de l'intégration des équations aux dif- 
férences partielles, et notre intention n’est pas de l'aborder en ce 
moment. 

À défaut d’une solution théorique, l'expérience doit être con- 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 775 
sulitée; mais les ponts actuellement existants ne peuvent fournir 
que peu de renseignements, leurs formes et dimensions relatives 
n'ayant point été déterminées de manière à satisfaire à nos équa- 
tions. Il serait fort à désirer que l’on appliquât notre méthode à 
quelques-uns au moins des nombreux ponts ou viaducs dont la 
construction des chemins de fer exige l'établissement. Comme il 
est toujours possible, en faisant varier assez peu la flèche ou lor- 
donnée des naissances, de ramener l'épaisseur à la clef aux dimen- 
sions usitées, qui ne dépendent que de l'ouverture, il y aurait en 
cela de quoi rassurer les plus timorés d’entre les ingénieurs, et, 
dans ce cas, l'important avantage d'obtenir la plus grande stabilité 
que puisse présenter une arche dont les dimensions principales 
sont données. 

Les arches incomplètes n'étant, au fond, que des portions d’arches 
complètes seraient l'objet de considérations analogues à celles qui 
ont été présentées relativement aux restrictions que les surcharges 
accidentelles doivent apporter dans le choix des données; mais les 
arches incomplètes comprenant une arbitraire de plus, il restera 


toujours plus de latitude à cet égard que dans le cas des autres 
arches. 


RÉFLEXIONS GENERALES SUR LA THÉORIE EXPOSÉE DANS CE MÉMOIRE: 


52. Les deux conditions que nous avons établies pour obtenir 
une très-grande stabilité dans les arches de pont, sont que la 
résultante des pressions dans les joints passe très-près du milieu 
de l'épaisseur des voussoirs, et que cette résultante soit normale 
aux plans de joint. Pour remplir le mieux possible la première de 
ces deux conditions, nous avons supposé, dans la mise en équa- 
tion, les surfaces de joint réduites à celui de leurs éléments qui 
rencontre la courbe des centres de gravité, et nous avons admis que 
le contact étant ensuite rétabli sur des portions égales du plan de 
joint de part et d'autre de l’élément primitif, les pressions se 
réparüraient uniformément sur toute l'étendue du nouveau joint : 


776 MÉMOIRE 
les défauts d'exécution des surfaces de joint ou d’homogénéité 
des voussoirs et des mortiers pourraient empêcher qu'il en füt 
ainsi; mais ce sont là des causes accidentelles. La seconde condi- 
tion, relative à la direction normale de la résultante des pressions, 
a été remplie par le seul fait que les actions tangentielles ou frot- 
tements n’ont point été introduites dans les équations de l'équi- 
libre : il est facile de réaliser cette condition dans la pratique, à 
l'aide de quelques précautions apportées dans la pose des voussoirs. 

Nous avons vu comment les accidents de rupture qui se mani- 
festent après le décintrement, dans les voûtes partiellement extra- 
dossées en gradins, peuvent être attribués à ce que la résultante des 
actions exercées par les assises sur les voussoirs est alors dirigée 
obliquement à l'extrados. L'indétermination des actions exercées sur 
la voûte dans ce genre de constructions et dans le cas où le massif 
est un simple blocage, jointe à des considérations théoriques, nous 
ont fait rechercher une disposition des matériaux formant le massif, 
qui, au frottement près (et il est inutile d’y avoir égard), donne 
lieu à des pressions normales égales à celles que produirait un 
liquide de même densité que le massif et soumis supérieurement 
à la même charge que celui-ci. C’est à cette disposition que s'ap- 
pliquent ensuite nos calculs. IL n’est pas indispensable qu’elle soit 
réalisée en toute rigueur; il suffit, pour que nos calculs fournissent 
des indications satisfaisantes, que l’on supprime la disposition en 
gradins, comme le font déjà beaucoup d'ingénieurs, ou que la 
surface extrados soit sensiblement continue, sinon dans toute l’é- 
tendue de la voûte, du moins dans l’espace où linclinaison des 
Joints avec la verticale s'étend de 18° à:75° environ. 

Les résultats auxquels nous sommes parvenu ! sont essentiel- 


? I ne sera pas sans intérêt de montrer jusqu'à quel point la manière abstraite 
dont les géomètres du siècle dernier ont traité les questions de statique, leur per- 
meltait cependant d'obtenir des solutions applicables aux cas de la pratique. Ces 
géomètres assimilaient l'équilibre des voûtes à celui d'un système d'éléments maté- 
riels de dimensions infiniment pelites : c’est de cette manière qu'ils ont trouvé que 
la forme d'équilibre d’une voûte infiniment mince et d'épaisseur constante devait 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 777 


lement relatifs à l'état de la voûte après le décintrement, celle-ci 
étant supposée soumise aux actions de son poids, de la surcharge 
permanente et aux réactions mutuelles de ses parties; de sorte 
qu’il faut encore rechercher quelle doit être la forme de la voüte 
sur ses cintres, pour qu'elle prenne, après leur enlèvement, la 
forme déterminée par la théorie que nous avons exposée. En un 


être celle d'une chaïnette renversée, lorsque la voûte est soumise uniquement à 
l'action de son propre poids. 

Dans la question des arches de pont soumises à des forces normales dues à la 
pression d’un liquide, la manière de faire des anciens géomètres conduirait à des 
résultats identiques avec ceux qu'on déduirait de nos équations en y faisant i — 1, 
et négligeant les termes dépendants des épaisseurs autres que le terme fini 


1 
el ——@ : l'expression (w) du rayon de courbure traitée ainsi, donne immédia- 
2 


tement 


2Y Li 


Nous avons obtenu cette équation sous une autre forme, dans notre deuxième article 
sur T'Equilibre des voûtes en berceaux cylindriques, en nous plaçant au point de vue 
abstrait des géomètres. ë 

Or si l'on néglige seulement les termes du deuxième ordre dans le cas de i — 1, 
Ja première équation (xxiv) se réduit à 


on a d’ailleurs par l'équation (vi), entre g', ®, R'cte, la relation 


2 


q ) 2 
——= Q°+h'e — - 61, 
2 3 


d'où il suit que les deux relations précédentes seraient identiques, si les termes 
2 
h'e Po pouvaient se réduire à zéro ou être négligés. Or, dans les arches de 


\ 


pont, h" étant généralement supérieur àe d’une fraction assez faible, le produit h"e 
est du deuxième ordre, et l'opposition * signe de ces termes atténue l'erreur com- 
mise en les négligeant entièrement. On peut donc dire que la solution abstraite ne 
diffère de celle plus approchée que nous avons obtenue, que de quantités du 
deuxième ordre, et nous ayons vu qu'en pratique ces termes sont presque négli- 
geables. La transition de la solution abstraite à la solution pratique consisterait à 


SAVANTS ÉTRANGERS. — XII. 98 


778 MÉMOIRE 


mot, la question de l'inflexion est encore à résoudre; mais elle 
ne nous paraît pas susceptible d’être traitée rigoureusement, si 
lon n'étudie en même temps celle de l'équilibre du cintre lui- 
même, question dans laquelle le mode de pose des voussoirs ne 
devra pas être négligé. Toutefois, nous croyons avoir établi que, 
si l'on s’astreint aux formes que nous proposons, si l’on prend les 


1 
décomposer la constante — g° en un produit de deux facteurs finis e et y, le pre- 
2 


mier élant très-petit par rapport au second, mais non pas infiniment petit. 

L'assimilation faite par les anciens géomètres, de-leur systène idéal avec une 
voûte ou une arche de pont, n'était pas suffisamment justifiée a priori, et l'on 
conçoit que les ingénieurs n'aient tenu aucun compte de résultats théoriques ainsi 
obtenus; mais il n'en faut pas moins remarquer l'espèce d’intuition qui a permis 
aux premiers de poser le problème de manière à obtenir des solutions beaucoup 
plus approchées qu'on ne devait rationnellement s'y attendre. 

La solution approchée dont il vient d'être question donne lieu à une remarque 
digne d'intérêt : c’est que, à ce degré d'approximation, la courbe intrados coincide 
avec la courbe dite élastique, dans un de ses cas particuliers. Considérons, en effet, 
l'équilibre d'une verge élastique assujettie à la condition de couper normalement 
l'axe des y en un point fixe dont l'ordonnée soit k', et sollicitée du côté des x posi- 
üifs par une force P parallèle à l'axe des x et de même sens que cet axe, dont l'or- 
donnée du point d'application soit b"; on aura, la concayité de la verge étant tournée 
du côté des y positifs (voir le Traité de Mécanique de Poisson, 2° édition, n° 308), 


2 P (b" 2) 
= (= y 
p £ 
. 
équation où & désigne un coefficient qui dépend des dimensions de la section trans- 
versale de la verge et du coefficient d'élasticité de la matière dont elle est formée. 
Les conditions d'identité de cette équation et de l'expression renyersée du rayon 


de courbure 


Le 
pe" Q°° 
sont 
" In 1 
—0, ==— 
B Q - 


La première indique que la force P doit dre appliquée dans le plan qui limite le 
massif supérieurement. Cette condition est facile à remplir au moyen d'une tige 
rigide disposée parallèlement à l'axe des y et liée invariablement à la courbe élas- 
tique en son extrémité libre : la force P s'appliquerait au point où cette tige ren- 
contre l'axe des x. Si l'on conçoit une disposition toute pareille pour la partie de 
la verge située du côté des æ négatifs, et dans laquelle Ja force P soit de sens 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 779 


précautions convenables dans l'exécution et la pose des voussoirs, 
et que, d’ailleurs, on ait le soin de ne décintrer qu'après un cer- 
tain avancement, sinon l'achèvement entier du massif, l’inflexion 
de la voûte sera très-faible, ou du moins incomparablement plus 
petite que les.inflexions observées jusqu'ici! 

Quant à l’action des surcharges accidentelles et des chocs pro- 


opposé à la première, il est évident que l’on pourra supprimer le point fixe; il y a 
plus : les deux forces P égales et de sens opposés pourront être remplacées par une 
troisième lige rigide de longueur égale à la corde qui joint les deux extrémités 
libres de la verge, et placée dans l'intervalle compris entre les deux premières tiges, 
de manière à coïncider avec l'axe des x. En supposant mesurée la compression 
qu'éprouverait la troisième tige, sa valeur P permettrait de déduire, de la seconde 
équation de condition, la valeur du paramètre Q de l'équation de l'intrados. 

Nous ne pouvons exposer ici comment l'appareil que nous venons d'examiner 
pourrait être utilisé dans la résolution des questions relatives aux arches de pont, 
ni comment on parvient, par de simples raisonnements, à vérifier la dépendance 
mutuelle des trois quantités f, g et Y\ dans les arches complètes, et à distinguer le 
cas où ces arches se réduisent au plein cintre; chacun le devinera aisément. Mais 
la construction de nos Tables permettant d'obtenir une exactitude très-sufMisante, 
le rapprochement de deux problèmes aussi différents en apparence que ceux des 
arches de pont et des lames élastiques n'offre plus qu'un intérêt purement spé- 
culatif. 

1 Nous ne pouvons exposer dans ce mémoire les recherches que nous avons 
entreprises sur la détermination de la forme à donner aux cintres supposés parfai- 
tement rigides, pour que le profil de la voûte, après le décintrement, devienne 
identique avec celui qui résulte de notre théorie, dans le cas où l'opération du 
décintrement serait effectuée après l'achèvement du massif : le résultat de ces 
recherches est trop incomplet. Nous avons pu obtenir l'expression des limites de 
l'accroissement de flèche qu'il conviendrait de donner aux cintres : malheureu- 
sement, on ne possède aucune notion satisfaisante sur l’élasticité des pierres à bâtir 
et des mortiers ou ciments. Pour nous faire une idée de l'ordre de grandeur de 
l'inflexion du sommet d'une arche, inflexion qui est toujours en raison inverse du 
coefficient d’élästicité de la matière de la voûte, nous avons été réduit à supposer 
que les ciments solidifiés se contractent à peu près comme les youssoirs eux-mêmes, 
et à prendre un coefficient d'élasticité moyen entre ceux que l'on emploie ordinai- 
rement pour le bois et la fonte de fer. En faisant l'application de nos formules et 
de ce coefficient moyen aux grandes arches que nous avons étudiées n° A7 et 48, 
nous avons trouvé des variations de flèche notablement moindres qu'un centimètre. 
Ces résultats nous paraissent confirmer l'opinion énoncée dans le texte, malgré l'in- 
certitude que présente le coefficient d’élasticité employé. Beaucoup d'ingénieurs 
assurément regarderaient de pareilles inflexions comme négligeables dansla pratique. 


98. 


780 4 MÉMOIRE 
duits par le mouvement des lourdes voitures', nous avons vu 
que l'un des moyens à employer pour en prévenir les effets dé- 
sastreux consiste à faire en sorte que dans l’état d'équilibre de 
la voûte non soumise à ces actions, la résultante des pressions 
passe très-près du milieu de l'épaisseur, et soit normale au plan 
de joint. Or notre théorie comprend déjà ces conditions. Mais il 
résulte des remarques du numéro précédent, que l'une des arbi- 
traires du problème est assujettie pratiquement à rester dans des 
limites assez restreintes, pour qu'on doive plutôt la regarder 
comme une indéterminée dont on ait à profiter pour satisfaire 
aux nouvelles conditions statiques ou dynamiques résultant de la 
considération des surcharges accidentelles. Voici donc une nou- 
velle question à traiter dont la solution devrait précéder Pappli- 
cation de la théorie de l'inflexion de la voûte et de l'équilibre 
des cintres°?. 

Tels sont les deux importants problèmes à résoudre pour que 
la question de l'établissement des arches de pont soit entièrement 
résolue : la théorie exposée dans le présent mémoire nous paraît 


! Le mouvement des locomotives sur les ponts et viadues détermine des pres- 
sions variables dues au mouvement relatif de leurs différents organes; en sorte que 
pour tenir compte de la surcharge qui en résulte, il faudrait connaitre les valeurs 
de ces pressions : à cet égard, nous renverrons aux n°” 20 et 28 de notre Théorie 
de la stabilité des machines locomotives en mouvement. 

? Ici les diflicultés provenant de l'indétermination des pressions dans les joints 
ne pourraient être levées par le procédé qui nous a réussi lors de la mise en équa- 
tion : il serait de toute nécessité d'introduire l’élasticité des voussoirs. En attendant 
qu'une solution rigoureuse se produise, on pourrait procéder par voie de tâtonne- 
ments. Attribuant, par exemple, à l'indéterminée dont nous avons parlé, une valeur 
prise entre de certaines limites, et faisant l'application de notre théorie, on exami- 
nerait, à l'aide des procédés en usage, quelles sont, pour un mode donné d'action 
des surcharges accidentelles, la situation du point d'application, la direction et l'in- 
tensité de Ja résultante des pressions en chaque joint; et l'on ferait varier l'indéter- 
minée jusqu'à ce que l'on parvienne à des valeurs telles, que les trois éléments de la 
résultante des pressions restent compris dans des limites que la pratique tolère. Si 
l'étendue des valeurs de l'indéterminée qui satisfont à ces conditions restait sensible, 
on en profiterait pour choisir celle qui se rapproche le plus de la valeur donnée pri- 
mitivement. 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 781 
être le véritable point de départ dans l'étude de cette matière 


difficile. 


ADDITIONS. 


INTÉGRATION DE L'ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE DE L’INTRADOS FICTIF 
PAR LES SÉRIES. 


La théorie des fonctions elliptiques n'étant connue que d’un 
très-petit nombre d'ingénieurs, nous présenterons ici Pexpression 
en séries de l'équation de l'intrados fictif, pour le cas où le massif 
et la voûte sont supposés d’égale densité. 

En faisant ? — 1 dans les équations (z) et (a') (première partie 
du mémoire), et posant, pour abréger, 


VPN Va Cr 
gg —2he+ze, (œ) 


l'équation différentielle (a) peut se mettre sous la forme 


— dx" {et q"° 3 q"° dy" ] 
q UE A 1 Y°— Re V ER (8) 


a 


La quantité sous le premier radical dans le second membre, étant 


. 1 . . . 
élevée à la ile es de simpl 
evée à la puissance À l'équation (8) devient , après de simples 


transformations, 
| 1e 1 1 e? h"2 4 
—_— _ + — — = 
1 3 9° E ( 5 3 =) 2q" ( ) 
: a 1.3/5 1e\fh" ) y ] 
LG LEE 76) (») 


782 MÉMOIRE - 
La loi de la série comprise sous les parenthèses est manifeste. 
Il reste à obtenir une suite d'intégrales de même forme. Posons 
généralement 
TT SH 
A [(5—:) ‘dr | (5) 
au moyen des formules connues de réduction des expressions des 


différentielles binômes, nous aurons, entre les diverses intégrales 
À, la relation suivante: 


DELA at 
>m À, — Fe ( 1) (2m— 1) A _;; (e) 


et chacune d’elles se trouvera ramenée à ne plus dépendre que 
de l'intégrale 


A = | == 16 + + To ni] + const. 


La condition que l'intégrale de l'expression (y) donne &" =— 0 
pour y’ — h”, détermine une valeur nulle de la constante. 
On peut donner à À, les formes suivantes : 


VF VE 
og EE 
V+N — Vy'—R h" VE h" 

Us 


dont l'identité avec la précédente se vérifie aisément. Le dernier 
de ces logarithmes donne, pour expression de À, en série, 


PF PR Sn pre 

A EEE ER (EE) ES) +. 
"+ h"| 37 +h 5\y+h 7 \Y +h 

Cette série.est très-convergente, lorsque y’ — À” est une petite 

fraction de y” + }”. F 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 783 


En faisant successivement m —1,m— 2,... dans la relation (e), 
on a ; 


= — à) — l'A: 


LA = EE —1) — 34. 


d'OS Er 

pan) — ER ) ca 

DE) ele cle rue 
DA) ad an) meute") ‘716 


Intégrant actuellement l'expression (y), et supposant, comme 
ia été dit, à — o pour y — #”, il viendra 


| % 1 1 €? h"° 
EVER (+ : ï ur À, 


2\2 3q" 2q 


Telle est l'une des formes que lon peut donner à l'équation de 
la courbe intrados fictif, à l’aide des séries. 


sin2 m À, 


2m 


784 MÉMOIRE 

Les fonctions A,, À,, etc,, sont susceptibles d’être mises sous 
d’autres formes. Soit, en désignant par des lettres gothiques les 
sinus, cosinus hyperboliques et leurs fonctions inverses, 


108 À, — T5 
d’où 
ER à Dr 
sin 2 A, — +\/ 0 TN VIESE (8) 
puis 


A, — sin À, dA,; vpn 


on aura les relations suivantes : 


2 À, — 105 À, sin À, — 1A,, 
105 À, sn A, — 3A,, 
6AÀ, — cs À, suA, — 5A,, 


& 
> 
| 


Ces expressions peuvent être substituées les unes dans les autres. 
Il y a plus : la nouvelle forme donnée à la fonction À,, permet de 
la développer au moyen des sinus hyperboliques des multiples 
de 2 A,; il suffit, pour cela, de développer si" À, et d'intégrer 
après avoir tout multiplié par dA, : on trouve ainsi 


am sin (2m—2) À, 2m(2m—a) sm(2m—4)A, 


Res Ce eur, Le TT 


1 2Mm— 2 2 2m—4 2 L 2% 00m 


Enfin, au moyen des fonctions trigonométriques, si lon pose 


je 
COS — EE, 
; ÿ 


# 


LR ANR SN 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 785 


d'où 
sin - 9 — +/? —; cos-0 = es gd 
2 _2Y 2 2Y 2 + 
puis 
A ner 

LE cosÔ ? (») 
on aura 

tang*"—18 

AVAL, = 7 (2m—1)A .,, 
cosû 


et, par suite, 
À, — log tang (45° + =6), 
2 À, — secô tang 0 — 1 AÀ,, 
À À, — secÜtang'0 — 3A,, : } (£) 
6 À, — sec tang‘0 — 5A,, 


ss agen henslelete, à 0 ere otre 


L’angle 0 et la fonction À,, dans les formules qui dépendent 
des sinus hyperboliques, étant affectés du double signe, il devient 
inutile de conserver le signe + qui affecte le premier membre 
de l'équation de l'intrados. On voit d’ailleurs clairement que la 
fonction À,, est une fonction impaire de 4 dans les formules qui 
contiennent les fonctions trigonométriques, et de À, dans les autres, 
comme cela doit être. 

Les formules que nous venons de présenter auraient pu servir 
au calcul de notre Table I: et elles serviraient, au besoin, à en 
augmenter l'étendue. Toutefois, la concordance parfaite entre les 
résultats qu’elles fournissent et ceux qui sont consignés dans cette 
même table offrent une nouvelle preuve de l'exactitude de nos 
calculs. Donnons un exemple de l'application numérique des for- 
mules précédentes : supposons qu'il s'agisse de construire l’une des 


SAVANTS ÉTRANGERS. — XII. 99 


786 MÉMOIRE 

tables dont se compose la Table 1; nous exclurons les termes du 
deuxième ordre et nous observerons que l’équation (4) comparée 
à la deuxième équation (3), n° 36, donne 


Dr x (o) 


de cette manière, la série deviendra 


AREAS 3/k"° 155 LINE Ve 2-37 RAAE 1.3-019 fi \* 
he Gala otiioh ie lo 4e afro) de (e) 


Au même degré d’approximation, lon a 


7 r. 72 a 1" mn 1 J 
SN ER ET re et NE NX ang: 0 =. (p) 


nl Y à : 
Si l'on se donne le rapport +, on voit que les fonctions A,, A... 


seront des constantes pour chacune des tables, et que 1 sera une 
A à Q Q° ni 
fonction de F ou de F seulement. 


Soit, par exemple, 
Li 


= 


Yo SRE 

f Tr 0,7; 
on aura 
tang - 0 = VE d'où =0 82° 6081",675 0 60%41081,35, 
puis 


A, —n1,53508 175: LÀ —0,283264 1; LA, —0,711086; 
LA. —1,235668; LA, — 1,805/42; 1 A — 2,40111. 


À l’aide de ces valeurs, on obtient la formule 


2 


— (8,141054) (£) — (A (2:70397) (5) 
— (7, 82004)(£) — etc., 


PEUR nds Mes | JV 
Sn 1,0860817 — (9.0474914) (8.683238) (2) 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 787 


dans laquelle les nombres entre parenthèses sont les logarithmes 
des facteurs numériques dont ils tiennent la place. Cette formule 
permettrait de calculer avec une grande facilité la table inverse 


de celle qui forme la quatrième colonne de la Table 1; mais elle 
Al ; : : L d'(Q:) ; 
se prêterait moins facilement au calcul de la fonction ANQs) donnée 
€ 


dans la Table IT. 
En faisant, par exemple, À — 5,8, les termes de la série de- 
viendront 
+ 1,53b0817 
— 0,0608224 
— 0,0014334 
— 0,0000709  w 
— 0,000004 
— 0,000p003 
somme — 1,4727502 — L. J d'où 2 — 3,546853;: 
f Q Î 
or ce résultat coïncide, à une unité près du dernier ordre, avec 
celui que nous avons obtenu en calculant nos tables à laide des 


formules du n° 36, et l’on ne pourrait pas répondre d'une unité 


de cet ordre, dans les calculs. Si l’on cherche dans la Table I la 
g { Y Q° 

valeur de = correspondante à + ro et — — 5,8, on trouvera 

; — 3,54685, seules figures que peut donner cette table. 


L'intégrale de l'équation (8) peut encore être exprimée au 
moyen d’une autre série, en posant, comme dans le n° 35 bis, 


COSE = 1 — ——, (9) 


d'où 


} sm Eee VV | (x) 


99: 


788 MÉMOIRE 


sin dx — PS dy": (v) 


on pourra mettre d’abord l'équation (8) sous la forme 


1€ 
5 cos æ Dose 
For (@) 
dy" sinæ 
; 4 dx" 
et l'on aura, à cause de Ti —= cota, 
7 
MAT 
; 3 q° 
cotæ — cot4 = — —, 
sin œ 
d’où l’on tire aisément ° 
! t'es fut 1 
a+; sin. (x) 


L'interprétation géométrique de cette relation entre les angles 
et &« a été présentée dans le n° 35 bis. L’angle & se déduira 
avec facilité du système des équations (r) et (x). 

En éliminant y” et dy’ entre les trois équations (6), (v) et (@), 
et posant, pour abréger, 


g'+h 
il vient 
1€ 
ÿ E(cosx — 52) 
fe a Et (ao) 
Vg°+n® Vi— Ecosa' 


Pour intégrer cette expression, ayant effectué le développement 


24 ; 1 A) 
de la quantité 1 — Ë cos’ à la puissance — -, et multiplié en- 
: > nNRe à D 
suite par £ (cosa’ FE =) da’, nous avons obtenu une suite de 
4 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 789 


termes de la forme cos"x'da' auxquels a été appliquée la formule 
- de réduction 


m —— 


1 . 
foosma' de’ = — smœ cos"—'æ& + 
m 


1 
foosm-ta dat. 


Nous nous bornerons à présenter le résultat des calculs. Posant 


Ë 1.3.2 1.3.5.7 2.4 1.9.0:7.0411% 2.4:6 
RE NS 
9 nn de Na 4161E 3.5 PEER PTE RES mu 


E2 3.5 3 3.5.7:9 3.5 
Ge SR ÉTIUES 
: 2 2 arr Fée tie a 
1.3 E 5.74 p, (a) 
Ce eee brio) 
DIE 
C, —: lt ) 4 
Ë 2.4.6 4 qu 
Se MARS DRE A à j 
1ÉË 3.512 SOA 3.5-7-9.11.19 2.4.6 ». \ 
CC — ill RE es à 4 J 6 
ÿ nl AN UT # CRETE Fr ) 
1.3 Ë fl 5.7 3 5.7.9.11 3.5 
= 1 — &? — &t A 
S 2.4 2 \ VEnRNDe d 6.8.10.12 4.6 ca ) 
___ 2.3.5 Es 7.9 be, (6) 
a = Re (ii LE ro 
Li 
1.3.5.7 Et 
Gs 2 RL qui ) 
on a pour intégrale de l’équation (w), 
TA , arte L . \ 
2 a Ge osier Cisin a'cosæ+C,sima'cos’4-+C,sinæ' cos æ +... | 
+ 14 
“ !\ 


WI | (ic) + 0 smœ + c, sina' cosæt | 1) 


+ 6, sinœ cos'æ + c, sinæ cos‘! + 


/ 


790 MÉMOIRE 


La constante de l'intégration est nulle, attendu que l’on suppose x’ 
nul lorsque y” est égal à k”. On aurait pu se proposer d'obtenir 
l'intégrale sous forme d’une suite de termes procédant suivant les 
sinus des multiples de &' : pour cela il eût fallu transformer les 
puissances de cosinus en cosinus de multiples. L'expression (y); 
qui contient l'angle &' en dehors des signes sinus et cosinus, met 
en évidence la reproduction périodique des mêmes formes de la 
courbe intrados : elle ne pourrait être de quelque utilité que 
dans les cas où la constante Ë serait une fraction assez petite, 
comme dans ceux que présentent les tunnels et les portrails. 

Considérons le cas idéal où lon supposerait l'épaisseur nulle, 
et la hauteur 4" infinie : soit f” la flèche correspondante à la 
valeur maximum de x”: l'équation (w) donne pour condition de 
ce maximum, cosæ — 0; l'équation (x), en y égalant son second 
membre à zéro, et écrivant f” + k" à la place de y”, fournit la 
valeur de la constante g”, 


= ff + 2h), (9 
d’où résulte 


dif 2 k" ñ 
pere) | en 


ge (PR) HET 


La flèche f” étant finie, on voit que la quantité £ est imfiniment 
petite du premier ordre. Cette circonstance réduit l'équation (y) à 


: Peer 


Te sIn« , 
FACE AN) 


2 X 


en vertu des valeurs précédentes; l'équation (o) donne elle-même 


Q'=K) ("+ h) 
Fan 


— COSY. 


Eliminant æ entre ces deux équations, il vient 


nee | Rens a re " 
AVES UE ST 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 791 


Or, on peut négliger ici f” devant A" et mettre 2h" à la place de 
y’ + k", en sorte que cette équation se réduit à 


équation qui n'est autre chose que celle d’un cercle de rayon f”, 
et dont le centre a pour ordonnée k"-- f”. Ce résultat était facile 
à prévoir, d’après ce qui a été dit plusieurs fois à fiégard. des 
hauteurs de charge considérables, 

Nous ne nous étendrons pas sur l'usage que l’on pourrait faire 
des expressions de x’ en séries; nous croyons en avoir assez dit 
pour que chacun, au besoin, puisse aisément tirer parti de ces 
développements. 


= 


PONTS TERMINÉS PAR DES ARCHES SECONDAIRES DE DIMENSIONS 
GÉNÉRALEMENT MOINDRES QUE CELLES DES ARCHES PRINCIPALES. 


Dans l'impossibilité d'aborder ici, sous toutes ses faces, le pro- 
blème que présente l'établissement des ponts formés d'arches iné- 
gales, nous nous bornerons à des indications:sommaires. Ces indi- 
cations sufliront aux ingénieurs qui possèdent les notions relatives 
à l'établissement d’un massif de maçonnerie soumis à l’action de 
forces données. 

Les arches principales et les arches secondaires sont séparées 
par une pile de largeur beaucoup plus considérable que celle des 
piles interposées entre les arches principales. Cette pile peut être 
engsagée comme faisant, en partie, fonction de culée à l'égard des 
deux arches inégales. Le défaut de symétrie de ces arches entraine 
une complication dont la question de l'établissement des piles 
ordinaires se trouve exempte. 

Supposons tout d’abord les diverses parties de la construction 
déterminées, la question à examiner sera celle de la stabilité de 
la pile-culée qui sépare deux arches inégales. À cet effet, consi- 
dérons l’équilibre d’une portion de cette pile-culée limitée dans 


792 MÉMOIRE 


le sens vertical par deux plans menés, l'un par celle des arêtes 
inférieures des deux extrados qui est la plus élevée, l’autre à un 
niveau inférieur d’une quantité quelconque au niveau le moins 
élevé des naissances des deux intrados, les limites dans le sens 
horizontal étant les plans des pieds-droits, et un plan vertical pas- 
sant par l'arête inférieure la moins élevée des deux extrados, 
tandis que les plans de joint des naissances achèvent de déter- 
miner la portion de la pile-culée dont il s’agit. Les forces qui 
sollicitent ce système considéré dans son ensemble, doivent satis- 
faire aux conditions de l'équilibre d’un corps solide; celles d’entre 
elles qui sont censées connues sont : le poids des matériaux qui 
reposent directement sur le plan horizontal supérieur et le poids 
propre du système, puis les poussées exercées normalement aux 
plans des naissances, enfin la poussée horizontale produite par le 
massif contre le plan vertical mené par l’arête inférieure la moins 
élevée des deux intrados. Les points d'application de ces forces 
sont d’ailleurs également connus, en sorte que leur résultante, qui 
ne se réduira pas généralement à un couple, étant prise en sens 
contraire, déterminera la résultante des réactions exercées contre 
le plan inférieur dans le cas de l'équilibre. Sous le rapport de la 
stabilité, la direction, l'intensité et la situation des points d’ap- 
plication de cette force devront satisfaire à des conditions rela- 
tives à la nature des matériaux et à l'hypothèse faite sur da dis- 
tribution des réactions (voir la note du n° A9). La détermination 
des actions intérieures qui se développent dans le système, pré- 
sente des difficultés insurmontables dans l’état actuel de nos 
connaissances en cette matière, et lon ne peut que recommander 
d'apporter dans le choix des pierres et mortiers et leur arrange- 
ment, toutes les précautions nécessaires pour que l'ensemble puisse 
ètre assimilé à un seul corps solide, lors du décintrement des 
arches. 

Supposons que les conditions de stabilité soient remplies à 
l'égard du système limité inférieurement par l’assise correspon- 
dante à celle des naissances qui est la moins élevée; il sera facile, 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 973 


en partant de la résultante obtenue, et au moyen des poids des 
assises inférieures, de construire le polygone des pressions exer- 
cées sur les surfaces de joint des diverses assises jusqu'aux fon- 
dations. Les diverses résultantes obtenues devront pouvoir satis- 
faire aux mêmes conditions que ci-dessus, pour que la stabilité de 
la pile-culée soit assurée. 

Si ces conditions n'étaient pas remplies, on serait dans la né- 
cessité de modifier une ou plusieurs des données du problème 
qui ne seraient pas fixées d’une manière absolue, et le sens de 
ces modifications serait facile à découvrir : une suite de tâtonne- 
ments, en l'absence d’un système de formules appropriées à la 
question, conduirait à la détermination d’un ensemble d'éléments 
qui satisferait aux conditions de stabilité. 

Les différentes manières suivant lesquelles on groupera ceux 
des éléments de la construction que lon pourra regarder comme 
donnés, présenteront autant de problèmes distincts, dont la solu- 
tion dépendra des courtes notions que nous venons d'exposer. 


L'auteur du mémoire qu'on vient de lire, ayant abandonné 
en 1846 la carrière de l'ingénieur pour entrer à l'Observatoire de 
Paris, s’est trouvé, par suite de l'exigence de ses nouvelles fonc- 
tions, dans l'impossibilité de continuer ses recherches sur la théo- 
rie des voûtes, et il s’est décidé à présenter la deuxième partie 
de son mémoire à l'Académie, quoiqu'il n’eût point encore cal- 
culé de tables relatives aux arches dites en arc de cercle, ni pro- 
duit d'application de pareilles tables. 

La nécessité de combler une telle lacune a déterminé l'auteur, 
au moment de l'impression du mémoire, à consacrer la partie 
disponible de son temps au calcul de nouvelles tables : cette 


SAVANTS ÉTRANGERS, — XII. 100 


794 MÉM, SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 
circonstance la empêché de réduire l'étendue de la première 
partie du mémoire, et de rechercher, quant à la seconde, une 
distribution des matières qui lui permit d'éviter les répétitions 
qu'on y pourrait remarquer, 


TABLES 
RELATIVES 
A L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES INCOMPLÈTES, 


DITES EN ARC DE CERCLE, 


ET 


DES ARCHES COMPLÈTES, OU EN ANSE DE PANIER. 


00. 


796 


ls 


3,50 
3,51 
, 3,52 
3,53 
3,54 
3,95 
3,56 
3,57 
3,58 
3,59 
3,60 
3,61 
3,62 
3,63 
3,64 
3,65 
3,66 
3,67 
3,68 
3,69 
3,70 


3,71 
8,72 
3,73 
3,74 
3,79 
3,76 
3,77 
3,78 
3,79 
3,80 


MÉMOIRE 


TABLE I. 


VALEURS APPROCHÉES DE — (Arches incomplètes, dites en arc de cercle.) 


Y, Y Y, y Y, 
—_ 0 — 0,5 | —— 0,6 er — 0, r — 0,8 
J 7 Het 

Difr. Difr, Dit. Difr. Dif. 

3,6144 4,3019 4,9830 5,6600 6,3340 
st 189 226 262 297 333 

3,6333 4,3245 5,0092 5,6897 6,3673 
. | 190 226 262 208 333 

3,6523 4,347a 5,0354 5,7195 6,4006 
190 : 227 263 299 335 

3,6713 4,3698 5,0617 5,7494 6,434 
2 190 227 264 300 336 

3,6903 4,3925 5,088: 5,7794 6,4677 
© | 190 | ©] 208 | ———— | 265 [—— | 301 || 337 

3,709 4,453 5,1146 5,8095 6,5014 
191 229 265 301 338 

3,7286 4,438» 5,141 5,8396 6,5352 
193 À 229 266 303 339 

3,7479 | 4,461 5,1677 | . 5,869g 6,56g1 
- 192 230| 266 303 339 

3,767: 4,484 5,1943 5,9002 |. 6,6030 
| 194 230 268 305 341 

3,7865 | 4,5o71 5,2911 5,9307 6,637: 
—_— | 104 [| 232 | ———| 268 304 | ——| 342 

3,809 4,5303 5,2479 5,9611 6,6713 
à 195 232 270 306 313 

3,8254 4,5535 5,2749 5,9917 6,7056 
194 233 269 i 307 343 

3,8448 4,5768 5,3018 6,0224 6,7399 
196 233 271 308 | . 344 

3,8644 4,6001 5,3289 6,0532 6,7743 
196 254 271 308 346 

3,8840 : 4,6235 5,3560 6,0840 6,5089 
- 197 - 234 || 2790 | ————| 309 | ——-| 346 

3,9087 5 4,6469 5,8832 6,1149 6,8435 
197 235 278u|. 310 347 

3,9234 4,6704 5,4105 6,1459 6,8782 
198 s 236 273 Ets las 349 

3,9432 4,6940 9,4378 6,1771 6,9131 
198 236 27/4 311 349 

3,9630 4,7176 5,4652 6,2082 6,9480 
199 238 279 313 350 

3,9829 47h14 5,4927 6,2395 6,9830 
——— | 199 [© | 2387 | ©) 276 | ————| 313 | ———— | 352 

4,0028 | 4,765 5,5203 6,2708 70182 
200 238 277 315 351 
4,0228 4,7889 5,5480 6,3023 70093000 
200 239 277 315 353 
4,0428 4,8128 9,9797 6,3338 70886 | ,- 
x 202 240 278 SE 354 

4,0630 4,8368 5,6035 6,3654 71240 
201 x 241 ; 279 317 355 

4,083 4,860y 5,6314 6,3971 71595 
© | 200 "| 241 | —©| 279 | — | 318 | ———— | 356 

41033 4,8850 5,6593 6,4289 71991 
203 241 280 318 397 

4,1236 49091 5,6873 6,4607 72308 
abs 203 410333 242 NE 28: EN 319 ne 358 

143 ; 57194 492 72 

RTL ne ET nl | SET LE 359 

41643 4,9576 5,7436 6,5247 73025 
204 244 282 321 359 

4,1847 | 49820 5,7718 6,5568 7,3384 
— | 204 —| 244 | = — | 283 |——— |1322 |——— | 360 

4,2051 5,0064 5,8001 6,5890 73744 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 


2 


TABLE I. 


VALEURS APPROCHÉES DE — (Arches incomplètes, dites en arc de cercle.) 


q Ye V2 
La — — 0, — = 1,0 
RAT 
DiF, DiFr. 
3,5 005€ 676 
1 Hi "13681 77 | 08 
57 
enr 370 De 405 
8,52 Nrno7o7 Le D'7:7574 
& 71 4o7 
3,53 || 7,1168 77978 
372 Loë 
3,54 || 7,1540 7,8386 
Ha) Ep) 372 A 4o8 
, »1912 k 
LASCTE PR RTE PR 
3,56 || 7,2286 AL 7:9204 à 
11 
3,57 || 7,2662 7 79615 
375 412 
3,58 73037 8,0027 
377 413 
3,59 || 7,3414 8,0410 
Pen Er) ee ee A 
3,60 || 7,3792 8,0855 
379 H5 
3,61 || 7,417a 8,1270 
Sea lausss acces? 
“es “ # + 8, à ps 
364 en ve del “à 
Se æ = et ee ii 
»65 || 7,56 , 
Fees ns eh 
e: HE su ge 88 te 
4e rie: vi Eh vu 
36 : é; 584 din 4 
EAAEN Eure 389 er U Or 
3,70 || 7,7631 8,5063 
389 L27 
3,71 || 7,8020 8,54g0 
391 429 
3,72 || 78411 |. 8,5919 
392 L29 
3,73 || 7:8803 8,6348 
- 393 431 
3,74 79196 cn 8,6779 sa 
3,79 || 7,9590 Ÿ 8,7210 
395 433 
«3,76 || 7,9985 8,7643 
306 4135 
3,77 || 8,038: 8,8078 
397 435 
3,78 || 8,0778 8,8513 
398 436 
3,79 || 8,1176 } 8,8949 LS 
3,80 || 8575 | | 8,0386 | **? 


M 
J 


90136 
9,0611 
9,1087 
9,1564 
9,2043 
9,2523 
9,3005 
9,3488 
93973 
9,4458 
94945 
99434 
92924 
9:6415 
96907 
Dosrhor 
97896 
9,8393 
9,8891 


99390 


9:9890 
10,0392 
10,0896 
10,1401 
10,1907 
10,2414 
10,2922 
10,3432 
10,3944 


10,4457 


10,4971 


—= 1,2 


Yo 
F 
96810 
97320 
9,7832 
98345 
9,8860 
99376 
99894 
10,0412 
10,0932 


10,1454 


10,1978 
10,2502 
10,3028 
10,3556 
10,4085 


10,4616 


10,5148 
10,568: 


10,6216 


10,6753 


10,7291 
10,7830 
10,8371 
10,8913 


10,9457 


11,0002 
11,0548 
11,1096 
11,1645 


11,2196 


11,2749 


797 


1,3 


Diff. 


798 


MÉMOIRE 


TABLE I. 


na Q° \ 
VALEURS APPROCHÉES DE FF (Arches incomplètes, dites en arc de cercle.) 


»e 6 DH x? dti 
07! 0,9 — 0,6 — 0, — — 0,8 
Î J J EE de |A 
Dir. Di, Dir. Difr, Di, 
4,2051 5,0064 5,8001 6,5890 3744 
206 245 285 9 323 EU 362 
h,2257 _ | 5,0309 _ | 5,8286 6,6213 7106 
UT PO À ob EE À PE LES MEL 
,2402 ,0994 ñ o ,09 ,44 
207 316 7° | 286 Dhs | 7 ls 
4,2669 5,0800 5,8856 6,6861 74832 
ju AUS Lisp VF 247 se 286 set 326 : 365 
,2 2,104 9142 71 3,91) 
= . 508 |" 7 | 18 _ 287 ’ 326 |? _. 365 
4,90 2,1209 ,942 1 1 , 2 
207 | k 248 254 287 à 327 7 367 
4,329) 5,1543 5,9716 6,7840 79929 
209 249 289 328 367 
4,3500 5,1792 6,0005 6,8168 76296 
s 209 249 | . 289 329 369 
4,3709 5,2041 6,0294 678497 7,6665 
210 250 290 329 369 
4,3919 5,2291 6,0584 6,8826 |, 77034 Ù 
| 9410 | — | 250 | "| 292 | ————— | 331 |————| 370 
44129 5,254 6,0875 6,9157 7»74ok 
; 210 251 | 291 331 371 
4,4339 5,2792 È 6,1166 6,9488 7779 
OPA LE PRE C9 MPAPORT) CEE PR LS Eu 
,4851 20 ,145 É 9820 814 
BALE 253 ; 292 ; 333 | ? 373 
44762 5,9297 6,1791 70153 | .. 7:8519 
212 253 294 334 374 
4,4974 5,3550 6,2045 70487 |, 78893 
À 24 © | 254 | 295 | — "| 335 [———| 375 
4,5188 5,3804 6,2340 70822 |, 79268 
213 255 k 299 336 376 
4,54o1 54059 6,2635 71158 79644 
[214 255 296 336 377 
45615 5,4314 6,293: 71494 |. 8,0021 
. 215 256 2096 338 378 
4,5830 5,4570 6,3227 71832 8,0399 
214 2561]. 2. 298 338 378 
h,6044 5,4826 6,3525 72170 |, 8,0777 
—— | 216 |—— | 257 298 339 380 
4,6260 5,5083 6,3823 72509 8,1157 
à 216 258 299 339 381 
4,6476 5,5341 6,4122 7,2848 8,1538 
217 sA 258 299 ; 341 381 
4,6693 5,5599 6,441 73189 8,1919 
4 217 259 301 | _ 342 382 
46910 5,9858 | _ 6,4722 7,3531 8,2801 
218 259 301 … l'éh2 384 
4,7128 5,6117 6,5023 73873 8,2685 
—— | 118 = 261 - 302 344 385 
k:7346 5,6378 6,5325 754217 8,3070 
219 261 303 344 385 
4,7565 5,6639 6,5628 74561 8,3455 . 
.219 261 303 . [345 ë 387 
h,;7784 5,6900 6,593 74906 8,3842 
320.|.” 262 304 : 345 387 
4,8004 5,7162 6,6235 7,525 8,4229 
220 263 305 347 388 
4,8224 5,7425 6,6540 75598 8,4617 
| 201 | ————| 264 305 348 389 
48445 5,7689 6,6845 75946 8,50oû 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 


VALEURS APPROCHÉES DE 
— 
g Y; Yo 
= —0; 
1 | 6210 pion LE 
Dif. 
3,80 || 8,175 8,9386 
hoo 
3,81 || 8,1975 8,9825 
ho1 , 
3,82 || 8,2376 9,0265 
4o2 
3,83 || 8,2778 90706 
ho4 
3,84 || 8,3182 91148 
—— || | Lot | —— 
3,85 || 83586 |” | 91592 
406 
3,86 || 8,3992 9,2036 
406 
3,87 || 8,4398 |, = 92482 
o 
3,88 || 8,4806 9:2928 
408 
! 3,89 || 8,5214 9:3376 
—— | 410 | ——— 
3,90 || 8,5624 # 93825 
11 
3,91 || 8,6035 & 9,4276 
12 
3,92 || 8,6447 Nes 94727 
1 
3,93 || 8,6860 nes 9,%180 
1 
3,94 || 8,7273 gas 9,5633 
DÉS) ED Loue INRA Br 
3,95 || 8,7688 ba6 9,6088 
1 
3,96 || 8,8104 .| 96544 
417 
3,97 || 8,8521 Lis 9,7002 
1 
3,98 || 8,893y ; 9;7460 
h19 
3,99 || 89358 9»7919 
— | 420 |——— 
4,00 || 8,9778 9,8380 
h22 
4,01 || 9,0200 9,8842 
_ h22 
4,02 || 9,0622 |, : 9,9304 
2 
4,03 || 9,1046 ; , 9,9768 
21 
4,04 || 9,1470 ; 10,0234 
Mural YEN LRU 2058 
4,09 || 9,1895 à 10,0700 
i 2 
4,06 |! 9,2322 : À 10,1168 
4,07 || 9,2750 se 10,1636 
4,08 || 9,3178 3 10/2106 
o 
4,09 || :9,3608 53 10,2578 
DE 
4,10 || 9,4038 10,3050 


Dif. 


42 


h44 
446 


448 


451 
451 
453 
453 
455 
456 
158 
458 
459 
461 
462 
462 
464 
466 
466 
168 
168 
k7o 
k72 
472 


TABLE I. 


—. (Arches incomplètes, dites en arc de cercle.) 


% 1 1 Y 2 x 

= —=!1, 1: = 
J J 1 

DiF. Difr. 

,718 10,4971 11,274 
97 Te 97 516 7 © 
9,7662 10,5487 11,3303 

478 s 517 1 

9,8140 10,6004 11,3858 
480 518 

9,8620 10,6522 11,4415 
481 519 

g9,9101 10,7041 11,4973 

583 | “°° 562 | °°" [55533 

ñ 10,762 11,9 
4 483 d 522 
10,0066 10,8084 11,6094 

_ | 484 524 1 
10,0590 10,8608 11,6657 
186 525 
10,1036 10,9133 .fuu,geui 

Bai 488 # 526 x 
10,192 10, 11, 
AA Mt EP et 
10,2012 11,0187 11,8393 
4go 530 
10,2502 11,0717 11,8922 
491 530 
10,2993 11,1247 11,9492 
_| 492 532 
10,3485 11,1770| _ 12,0063 
493 533 
10,3978 11,2312 12,0636 
4g5 534 
10,4473 11,2846 12,1210 
196 536 
10,4969 11,3382 12,1786 
497 537 
10,5466 11,399 12,2363 
499 539 
10,5965 11,4458 12,2942 
500 540 
10,6465 11,4998 12,3922 
—— | 501 | — | 541 | —— 
10,6966| _ 11,5539| : , | 12,4103 
302 545 
10,7468| | 11,6082| 12,4686 
503 LA 44 5 
10,7971 11,662 | 12,5270 

UE 545 7 

10,8476 11,7171 12,9856 
506 547 

10,8982 11,7718 12,6444 
———— |-507 548 

10,9489 11,8266 12,7033 
5og 549 

10,9998 11,8815 12,7623 
510 551 

11,0508 11,9366 12,821 

5ii È 552 Son 

11,101 11,991 12,880 

= 512 À 553 Lu 

11,1531 12,0471 12,940 

RE Lis g NT! Lis 29 TRS 

11,2044 12,1026 12,9999 


799 


589 
590 


593 
299 


800 


MÉMOIRE 


2 


TABLE I. 


VALEURS APPROCHÉES DE 2 (Arches incomplètes, dites en arc de cercle.) 


de v# 
— — 0,4 — — 
ji Î 
Dif. 
4,8445 9,7689 
229 
4,8667 5,7953 
229 
4,8889 5,8218 
223 
h,ga12 5,8484 
223 
h,9335 5,8750 
224 
4,9559 À 5,9016 
2 
4,9783 “ 5,9284 
5,0008 ut 5,9952 
22 
5,0233 5,9821 
226! . 
5,0459 6,0090 
—— | 226 
5,0685 6,0360 
Fr 227 à 
5,0912 : 6,0630 
5,1140 ju 6,0901 
5,1368 | **" | 6,1173 
228 | , 
5,1596 6,1446 
—— | 229 |— 
5,1825 | 6,1719 
230 
5,205 6,1993 
230 
5,2285 6,2267 
231 
5,2516 à 6,2542 
5,2747 _ 6,2818 
5,2979 Lu 6,3094 
232 | _ 
5,3211 . 6,3372 
2 
5,344 6,364 
3 ma 5! 63 5 
FE ,392 
77 234 927 
5,3g11 6,4206 
——— | 235 
5,4146 6,4486 
234 
5,4380 6,4766 
. | 236 £ 
5,4616 6,5047 
236 
5,4852 6,5328 
237 
5,5089 : 6,5610 
——— | 2 
5,5326 | “7 | 6,5893 


Dif. 


264 


F 0,6 FF erT = 
6,6845 je 75946 dire 8,5006 
307 348 
6,7152 307 76294 349 8,5396 
6,7459 a00 76643 AE 8,5787 
6,7767 309 98 || 8,6:79 
6,8076 309 77344 351 8,6572 
6,8385 2e 77699 353 8,6966 
6,869 QU 7,8048 253 8,736: 
6,9006 cu 78401 ane 8,7757 
6,9317 313 78796 355 8,8154 
6,9630 33 LIEN PERS 8,8552 
6,9943 3a4 79467 ane 8,8990 
70257 a 719825 357 8,9350 
70571 315 8,0182 358 8,9790 
7:0886 316 8,0540 359 9,0152 
71202 317 8,0899 360 9,0554 
7919 318 8,1259 de 90958 
71837 318 8,1620 363 9,1362 
72155 319 8,1983 nes 91767 
72474 Ro 8,2345 364 92173 
72794 2 8,2709 364 9,2580 
79115 2 8,3073 ee 9,2989 
73436 Ds 8,3439 366 93398 
73798 323 8,3805 36 9,3808 
74081 me 8,4172 25e 9,4219 
74405 Jak 8,4540 2e 9,463 
74729 ps 8,4908 370 9,044 
75094 326 8,5278 Mal 99458 
75380 206 8,5648 æ 9,9873 
79706 32 8,6020 37 9,6289 
76033 8,6392 9,6705 
| 328 | —— | 373 | ——— 
7:6361 8,6765 9:7123 


Difr. 


390 


392 


394 


397 


398 
hoo 
4oo 
ho2 
ho2 
lol 
ho 
hos 
Ao6 
ho7 
ho9 
log 
ho 
fai 
hi2 
lh3 
bag 
h15 
16 
h16 
h18 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 


2 


TABLE I. 


VALEURS APPROCHÉES DE — (Arches incomplètes, dites en arc de cercle.) 


g Y Y 24 Y 
J = 0, — = 1,0 er 
ACATT VA J 
DiF. Dif, Di. 
,10 ,4038 10,3050 11,2044 
Dole | les es | 515 
,11 ,447o 10,992 11,2 ; 
vi Ma 77e kyk JET 
4,12 9,4903 10,3997 11,907D 
ARE] PARU a PAPE RU PR | LE 
il k 10, 2 11,3992 
$ ' 435 7 477 . 519 
4,14 || 9,5772 10,4949 11,411 
- 136 478 |——| 520 
4,15 || 9,6208 10,5427 11,4631| 
ne bin6sael À laossgost 7 uassast te: 
“ ,664 10,590 11,152 
DR 8] “? ds Lee Ale 
1 ;70 10, 11, à 
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20 ,840 10, 1,72 
x HE TE = PEN Ia : 527 
,21 Ë 10,831 11, 
S 443 Fbse ft 7% sd 
4,22 || 9,9289 10,8805 11,8305 
1,23 3a| “4 187 | i,8834 | °29 
4,2 < 10,9292 aus 
a o [45 . 489 268 | 531 
,24 || 10,01 10,978: RTE 
RSR 447 EI 489 9009 533 
4,25 || 10,0625 11,0270 11,9898 
418 hg1 533 
4,26 || 10,1073 11,076: 12,0431 
| 449 &g2 535 
4,27 || 10,1522 11,1253 12,0966 
449 4193 536 
4,28 || 101971] ‘| 11,1746 12,1502 
451 494 c 538 
4,2 10,2422 11,2240 12,2040 
— |" 45 || 495 | 1 538 
4,30 || 10,2873 11,2735 12,2578 
453 496 540 
4,31 || 10,3326 11,3231 12,3118 
454 498 541 
4,32 || 10,3780 11,3729 12,3659 
455 499 243 
4,33 || 10,4235 11,4228 12,4202 
456 499 543 
4,34 10,4691 11,4727 12,4745 
>| 457 ©] 501 | — "| 545 
4,35 || 10,5148 11,5228 12,5290 
: 458 502 546 
4,36 || 10,5606 11,5730 12,5836 
459 504 548 
4,37 || 10,6065 11,6234 12,6384 
461 504 548 
4,38 ||10,6526| | 11,6738 12,6932 
461 506 550 
4,39 || 10,6987 11,7244 12,7482 
| 462 ———© | ,507 | — | 551 
4,40 || 10,7449 11,7791 12,8033 


SAVANTS ÉTRANGERS. — XII. 


12,1026 
12,1582 
12,2140 


12,2699 


12,3259 


12,382: 
12,4384 
12,4948 
12,9514 


12,608) 


12,6650 


12,7219 
12,7790 
12,8363 


12,8937 


12,9512 
13,0088 
13,0666 
13,1245 
13,1826 


3,2408 


13,2991 
13,3976 
13,4162 


13,4749 


13,5338 
13,5928 
13,6519 
13,7112 


13,7706 


13,8302 


Dif. 
556 
558 
559 
560 
962 


801 


1,1 Ye 149 Xe 30 
= 1, — — 1; — — 1, 
di fi 


—_—_———_—_——…— | 


12,9999 
13,0596 
13,1195 
13,1795 
13,2397 
13,3001 
13,3606 
13,4212 
13,4820 
13,54 29 
13,6039 
13,6651 
13,7265 
13,7880 
13,8497 
13,915 
13,9734 
14,0355 
140977 
14,1601 
14,2226 
14,2853 
14,3481 
14,4110 
14,474 
14,5374 
14,6008 
14,6643 
14,7280 


14,7919 


14,8559 


640 


802 


Q 


MÉMOIRE 


TABLE LI. 


VALEURS APPROCHÉES DE -—. (Arches incomplètes, dites en urc de cercle.) 
LT 


5,6520 
5,6760 
5,7001 


5,7243 


5,7485 


5,7728 
37971 
5,8215 
5,8459 
5,8703 


5,8948 


5,9194 
5,9441 
5,9688 
5,9939 


6,0183 


6,0432 
6,068: 
6,093: 
6,1180 


6,1431 


6,1682 
6,1934 
6,2187 
6,2440 


6,2693: 


6,5893 
6,6177 
6,646: 
6,6746 
6,703: 


6,7317 


6,7604 
6,7892 
6,8179 
6,8468 


6,8757 


6,9047 
6,9338 
6,9629 
6,9921 


70213 


70506 
7,0800 


71099 


6 


76361 
7:669a 
Dee 
77350 
77681 
7,8013 
78346 
78679 
79013 
79348 
7:9683 
8,0019 
8,0356 
8,0694 
8,1033 
8,1372 
8,1712 
8,2053 
8,2394 
8,2736 
8,3080 
8,3423 
8,3768 
8,4113 
8,4459 
8,4805 
8,5152 
8,5501 
8,5850 
8,6200! 
786550! 


— — (0,6 
f 


Dir. 
329 
329 


Yo 1 
LUE vi 
8,6765 
8,7139 
8,7513 
8,7889 
8,8265 


8,8642 


8,9020 
8,9400 
89779 


90160 


9,0941 
9,092à 
91306 


91690 


92079 


9,2461 
9:2847 
9,3235 
9,36 23 


94012 


9,4402 
94793 
95185 
95977 


9:5970 


9,6365 
9,6760 
9,7156 
97253 


9:7950 
9,8348l 


97123 
97942 
957961 
9,8382 


9,8803| 


9,9226 
99649 
10,007 
10,049 


10,0925 


10,132 


10,178: 
10,2210 
10,2640 


10,3070 


10,3502 


10,3935 
10,4369 


10,4804 


10,5240 


10,9676 
10,6114 
10,6553 
10,6993 


10,7433 


10,7874 
10,8317 
10,8760 


10,9204 


10,9649 


11,0096 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 


TABLE I. 


( : . . \ 
VALEURS APPROCHÉES DE . (Arches incomplètes, dites en arc de cercle.) 


10,7449 
10,79 13 
10,8377 
10,8842 


10,9309 


10,9776 
11,0249 
11,0715 


11,1185 


11,1697 


11,2130 
11,2604 
11,3078 
11,3554 


11,4031 


11,4509 
11,4988 
11,5468 
11,5950 
11,6432 


In59277 


11,9789 


12,0302 
12,0815 
12,1330 
12,1846 
12,2363 


12,2881 


12,3401 
12,9922 


12,4443 


12,4966 


12,9490 
12,6016 
12,6542 
12,7069 
12,7598 


12,8033 
12,8586 
12,9139 
12,9694 
13,0251 
13,0808 
13,1367 
13,1927 
13,2488 
13,5050 
13,3614 
13,4179 
13,4745 
13,5313 
13,5882 
13,6451 
13,7022 
13,7599 
13,8169 
13,8744 


12,6910 
11,7400 
11,7886 
11,8372 
11,885g 


11,9347 


11,9837 
12,0328 
12,0820 
12,1313 


12,2807 


484 


493 


12,8128 
12,8659 
12,9192 
12,9725 


13,0259 


13,0794 
13,1331 
13,1869 
13,2408 
13,2948 


133489 


13,9320 
13,9898 
14,0476 
14,1056 
14,1637 
14,2220 
14,2804 
:14,3389 
14,3975 
14,4562 


14,5151 


13,8302 
13,8899 
13,9497 
14,0096 


14,0697 


14,1299 
14,1903 
14,2508 
14,3115 


14,9722 


14,433 


14,4942 
14,5554 
14,6167 


14,6781 


14,7397 
14,8014 
14,8633 
14,9252 


14,9873 


15,0496 
12,1120 
15,1746 
15,272 


15,3000 


15,3629 


15,426a 
15,4892 
15,5526 
15,6161 


15,6797 


14,8559 
14,9200 
14,9843 
15,0487 
15,1132 


19,1779 


195,2428 
15,3078 
15,3729 
15,4382 


15,9692 
15,6349 
19,7008 


15,7668 


15,8330 


15,8993 
15,9658 


| 16,0324 


16,0991 


16,1660 


16,2330 
16,3002 
16,3675 
16,4350 


16,5026 


16,5704 
16,6383 
16,7064 


16,7746 
16,8429 


101. 


803 


804 MÉMOIRE 
TABLE I. 


Q? 
VALEURS APPROCHÉES DE FF (Arches incomplètes, dites en arc de cercle.) 


Y 
— 0,5 — — 0,6 
Î 


2 
ÿ 


6,2693 7:4678 8,6550 9,8348 11,0096 
6,2947 74981 8,69o1 9,8748 11,0543 
6,3201 - | 75284 8,7253 9,9148 11,0991 
6,3456| 7:9288 8,7606 9,9250 11,1440 
6,3712 | _ | 7,5893 8,7959 9,999: 11,1890 
6,3968 7,6198 78,833 ‘10,0853 1,284 
6,4224 7,6504 8,8668 10,0757 11,279 
6,448: 7,6811 8,9024 10,1162 11,9246 
6,4739 77118 8,9380 | .. 10,1566 11,9699 


6,4997 77426 8,9737 10,1972 11,4154 
7 6,5256 77739 | . 9,0096 10,2379 11,4610 
65516 k 7:8044 9,0454 10,2787 11,5067 
6,5776 p 78354 9,0813  [10,3196 11,9525 
6,6036 78664 9,1173 |. | 10,3605 ” | 11,5983 
6,6297 78975 91939 10,4016 11,6443 
6,6558 | | 79287 91896 o,h427 ‘116904 
6,6820 | | 7:9600. 9,2259 10,4839 11,7965 
6,7083 79913 9,2622 10,252 11,7827 
6,7346 8,0227 92986 10,5665 11,8290 
6,7610 8,0541 9,3350 10,6080 12,8755 
6,7874 8,0856 93716 10,6495 [129220 
6,8139 3 8,1172 9,4082 10,6912 11,9686 
6,8404 8,1488 9,4449 10,7328 12,0153 
6,8670 8,1805 94816 10,7746 12,0621 
6,8936 8,2122 9,5185 10,8165 12,1090 
6,9203 8,2440 9,9954 ©” [10,8585 12,160 
6,947: 8,2759 99924 10,9006 12,2031 
6,9738 8,3079 9,6294 10,9427 12,203 
7:0007 8,3399 9.6666 10,9849 12,2976 
70276 8,3720 9,7038 11,0272 12,3450 
70946 8,4042 97411 11,0696 12,3929 


Se 


4,70 
4,72 
4,72 
4,73 
4,74 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 
TABLE I. 


2 
VALEURS APPROCHÉES DE —— (Arches incomplètes, dites en arc de cercle.) 


Difr, Difr, Difr. Difr. 
13,3489 14,5151 15,6797 16,8429 


12,2302 13,4032 14,574 15,7435 16,9114 
12,2798 13,4576 14,6333 19,8074 16,9800 
12,3294 13,5121 14,6926 15,8714 17,0488 
12,3792 13,5667 14,7519 _ [15,9355 17,1177 


12,1807 


4,75 
4,76 
4:77 
4,78 
4,79 
4,80 
4,81 
4,82 
4,83 
4,84. 
4,86 
4,87 
4,88 
4,89 
4,90 


4,91 
4,92 
4,93 
4,94 
1,95 
k,96 
4,97 
4,98 
1:99 
5,00 


13,1905 14,4559 


12,4291 13,6214 14,8114 15,9998 17,1868 


12,47091 13,676 14,871a 16,0642| . 17,2560 
12,5293 13,7912 14,9309 16,1288 17,3294 
13,7862 14,9907 16,1935 17,3949 
12,6298 13,8414 19,0507 16,2583 17,4646 
12,6803 35,009 


12,7908 13,9921 


12,5790 


602 651 
19,1711 16,3884 17,6043 


12,7814 14,0076 15,2315 16,4536 176744 


12,8322 14,0632 15,2920 16,5190 .[17,7446 
Q 607 656 

12,8831 14,1190 15,3527 16,5846 17,8150 
"| 607 | — | 656 


12,9340 14,1748 15,4134 16,6502 17,8896 


511 560! _ 609 658 

12,9851| _ 14,2308 15,4743 16,7160 17,963 
512 961 610 659 

13,0363 14,2869| _. 15,5353 16,7819 18,0271 

3,0876 bass Dissecel een ILé 

13,0 14,3431 15, 16,84 18,0980 

7 564 | "9" | 613 79) 662 $ 

13,1390 14,3995 19,6577 16,9141| 18,1691 

aassg] 2 ange] 0 Pisogo| 9 [2508 

15,7191 16,980 18,240 
566 | 7%] 615 | "°° |665 

A 14,5125 15,7806 17,0469| .. | 18,3118 
5 566 616 666 

14,5691 15,8422 171135 18,3833 
568 618 667 

13,3455 14,6259 15,9040 17,1802 18,4550 
220 569 619 669 


13,2420 
13,2937 


13,3979 14,6828| _ 15,9659 17,247 18,5269 


670 |——— 

17,314 18,5989 
621 672 

13,5016 14,7970 16,0900 17,3813 18,6710 
522 572 623 672 

13,5538 14,8542 16,1523 17,4485 18,7433 
524 574 624 674 

13,6062 14,9116 16,2147 17:9159| . 18,8157 
625 676 


13,4495 14,7399 16,0279 


13,6586 14,9691 16,2772 17,835 18,8883 


525 [————| 576 | —— | 626 | —— | 677 | —— 
13,7111 15,0267 à 16,3398 17,6512 Li 18,9610 


805 


13,8067 15,1109 16,3233 17,9344 


717 
719 
720 
721 
723 
724 
726 
727 


806 MEMOIRE 
TABLE I. 
VALEURS APPROCHÉES DE — (Arches incomplètes, dites en arc de cercle.) 
g Y, Y, AA Y, Y, 
St —0,4 0,5 0,6 — 0, — 0,8 
FUIT Î ü LANG éd 1 PF 
Dir. Difr. Dir. Dir. Di. 
5,00 ,0546 8,4oû2 57h11 11,0606 12,3925 
La | al" As | 425 Men: 
5,01 || 7,0816 8,4364 9,7784 11,1121 12,4400 
270 323 374 h25 477 
5,02 || 7,1086 | 8,4687 323 9,8158 325 11,19546| 12,4877 î 
272 2 42 
5,03 || 7:1358 ; 8,5010 9,8533 ; 11,1973 . 12,934 7e 
à 271 324 376 Ê 427 479 
5,04 || 7,1629 8,5334 9:890g 11,2400 12,5833 
dE 273 —— | 324 377 | —| 428 | ——| 479 
5,05 || 7,1902 8,5658 99286 11,2828 12,6312 
272 ÿ 326 ë 377 k29 481 
5,06 || 7,2174 8,5954 99663 11,3257 12,6793 
274 326 378 430 481 
5,07 || 7,2448 8,6310 10,0041 11,3687 12,7274 
274 “1327 379 431 482 
5,08 || 7,2722 8,6637 10,0420 11,4118 12,776 
à 279 A 327 : 380 ve 431 és 484 
,09 || 72997 6964 10,0800 11,4540 12,8240 
ë Re rer ou 328 | 580 = 38 [| 484 
2,10 59271! |" 7202 10,1180 11, 32 12,872 
talus | F1 babes 7" 381 sd | TNT 8E 
5,11 || 7,3547 8,7620 10,1561 11,5415 12,9209 
276 329 . [| 382 434 186 
5,12 || 7,3823 8,7949 10,194 11,5849 12,9695 
277 330 382 436 487 
5,13 || 74100 8,8279 10,2325 11,6285 13,0182 
277 331 383 435 188 
5,14 || 74377 8,8610 | | 10,2708 11,6720 15,0670 
——| 277 |——— | 331 384 437 489 
5,15 || 7,4654 8,8941 10,3092 11,7197 13,1159 
278 332 385 437 490 
5,16 || 7,4992 8,9273 10,3477 . 22,7594 13,1649° 
279 332 386 439 hg1 
5,17 || 7,920: 8,9605 10,3863 . | 11,8033 13,2140 
279 333 386 439 492 
5,18 || 7,5490 8,9938 10,4249| , [11,842 13,2632 
280 334 387 ko 492 
5,19 || 7,5770 9,0272 10,4636 11,8912 13,3124 
- 281 - 334 | ——— | 388 h4o 494 
5,20 || 7,6051 90606 10,902/4 11,9992 13,3618 
3 633 281 j 335 5444 389 4 hha 34113 495 
21 6332 0941 10,541 11, 13,411 
k Je" 7" hha36 aol "7216 496 
5,22 || 7,6614 91277 10,5802| , 12,0237 13,4609 
28 2 336 390 443 | 497 
5,23 || 7,6896 9,1613 10,6192 12,0680 _ [13,5106 
282 337 39t 445 497 
5,24 || 7,7178 91990 |. 10,6583 12,1129 13,5603 
à = 283 = 338 n 391 = 445 SIBUE 499 
5,2 »7461 »22 106974 12,1970 13,6102 
Lara || 338 Sika PT 499 
5,26 || 77744 9,2626 10,7366 12,2016 13,6601 
; das 284 de 338 sé 394 163 &h7 3 501 
,27 802 »2 10,7760 12,2 13,7102 
707 | ri 340 Fe 393 447 7 5o1 
5,28 || 7,8313 93304 10,8153 12,2910 13,7603 
285 340 395 s 448 502 
9,29 || 78598 9,3644 10,8548 12,9358 13,8105 
| 286 [© | Shin —— | 399 | ——| 450 | ————| 504 
5,30 || 7,8884 9,3985 10,8943 12,9808 13,8609 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 807 
TABLE I. 


2 


VALEURS APPROCHÉES DE ri (Arches incomplètes, dites en arc de cercle.) 


Y 
n 


13,7111 15,0267| _ 16,3398 17,6512 18,9610 
13,7638 15,0844 16,4026| . 177190 19,0338 
13,8165 15,1422 16,4656 17,7870 19,1068 
13,8694 15,2002 16,5286 17,850 19,1800 
13,9223 19,2582 16,5g17 17,9292 19,2533 


13,9794 15,3164 À 16,6549 17:99:16 19,3267 
14,0286 195,3747 16,7183 18,0601 19,4003 
14,0818 15,4331 16,7819 18,1287 19,474 
14,1352 15,4916 16,8455 18,1975 19,5480 
14,1887 15,5503 16,9093 18,2664 19,6220 
14,2423| _ 15,6090 16,9732 " [18,3354| . 19,6962 
14,2960 15,6679 170372 18,4046 197709 
14,3498 15,7268 17,1014 18,4739 19,8449 
14,4037 19,7859 171656 18,5434 19,9195 
14,4577 15,845: 17,2300 18,6130 10,9943 
14,5118 15,9044 17,2945 18,6827 20,0692 
14,5660 15,9639 173992 18,7025 20,1442 
14,6204 16,0235 | | 17,4240 18,8225 20,2194 
14,6748 16,0831 17,4889 18,8926 20,2948 


14,7294 16,1429| 17,9539 18,9629 20,3703 


14,7840 16,2028 17,6191 19,0333 20,459 
14,8388 16,2629 17,6844 19,1039 20,5216 
14,8936 16,3230 17,7498 19,1745 20,5979 
14,9486 16,3832 17,8153 19,2453 20,6736 
15,0036 16,4436 17,8809 19,3162 20,7498 
15,0588 16,5041 17,9467 19,9873 20,8262 
15,1141 16,5647 18,0126 19,4585 20,9027 
15,1695 16,6254| . 18,0786 19,5 298 20,9793 
15,2250 16,6862 18,1448 19,6013 21,0961 
15,2806 16,7472 18,2111 19,6729 21,1330 
:15,3363 16,8082 18,2775 19,7446 ET 


808 


MÉMOIRE 
TABLE I. 


Q° 
VALEURS APPROCHÉES DE = (Arches incomplètes, dites en arc de cercle.) 


8,0033 


9,3989 
9,4326 
9,4668 
Y,9011 
9,534 


8,0321 
8,0610 
8,0900 
8,1190 
8,148 


9,698 
9,6043 
9,6388 
96734 
9,7081 


81772 
8,2064 
8,2356 
8,2649 
8,2942 


8,3236 


8,3530 
8,3825 


8,4121 


8,4417 


8,47a4 
8,5011 
8,5309 
8,5607 
8,5905 


8,6204 


8,6505 
8,6805 
8,7106 


8,7408 


8,7709 


9,7428 
9:7776 
9,8124 
98473 


9,8823 


99174 
9,99 25 
9:9877 
10,02 29 


10,082 


10,0936 


10,120 


10,1645 


10,8943 
10,9339 
10,9736 
1 Mo 


11,0931 


12,3808 
12,4258 
12,4709 
12,0161 
12,0614 


13,8609 
13,9113 
13,9618| 
14,0124 


14,063: 


11,0931 
11,1930 
11,1790 
11,2192 
11,2534 
11,2997 
11,3340 
11,374 4 
11,4149 
11,4555 
11,4962 
11,5369 
1159777 
11,6185 


11,6599 


‘11,7005 
11,7416 
11,7827 
11,8239 
11,8653 
11,9067 
11,9482 
11,9807 
12,0313 
12,0730 


12,1148 


12,6067 
12,6522 
12,6077 
12,7433 
12,7890 


12,8348 
12,8807 


12,9266 


12,9727 
13,0188 


13,0650 


13 1419 
13,1577 
13,2042 


13,2507 


13,20974 


13,344 
13,3909 
13,4378 
13,4848 


13,5318 


13,5790 
13,6262 
13,6735 


13,7209 


13,7684 


14,139 
14,1648 
14,2158 
14,2669 
14,318: 


14,3693 


14,4207 
14,4722 


14,5237 


14,974 


14,627: 
14,6790 
14,7309 
14,7829 
14,835 


14,8873 


14,9396 
14,9921 
15,0446 


15,0972 


19,1499 
15,2026 
15,2555 
15,3086 
15,3616 


15,4148 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 809 
TABLE I. 


2 
VALEURS APPROCHÉES DE FF (Arches incomplètes, dites en arc de cercle.) 


LE 9 RE po | 4 6, LR nr 
7 , F: , F , F , 


SISe 


Difr. Diff. Dif, Dif. Dir. 
5,30 || 15,3363 16,8082| — |18,2775 19,7446 21,2101 


16,8694 18,3440 19,8165 7e va 
5,32 || 15,4480 16,9306 18,4107 19,8885 21,3647 

5,33 || 15,5040 16,9920| . 18,4774 ñ 19,9607 21,4422 
5,34 || 15,5601 17,036 18,5443 20,0330 ’ 21,5199 
5,35 || 15,6163 à 17,1153 18,6113 FAT 21,9977 
5,36 || 15,6727 17,1770 18,6785 20,1780| * | 21,657 
5,37 || 15,7291 17,2389 18,7458 20,2507 21,7538 
5,38 || 15,7856 17,9008 18,8132 20,3235 21,8320 
5,39 || 15,8423 17,9629 18,8807 
18,9484 » 20,4695 21,9890 


5,31 || 15,3921 


20,3964 21,9104 


5,40. 15,8990 27,4251 
5,41 || 15,9559 17,4874 
5,42 || 16,0128 17,9499 
5,43 || 16,0699 
5,44 || 16,1270 


19,0162 20,5428 22,0677 


,08 20,616 22,1465 
19,0841 681 0,6162 735 4 ee 
20,6897 22,2255 


20,7633 22,3046 
20,8371 22,3838 


684 3 4 
19,3571 20,9110 155 22,4632 [5 


17,6124 19,1522 


17,6751 19,2204 


5,45 || 16,1843 17,7979 19,2887 
5,46 || 16,2417 17,8008 
5,47 || 16,2992 17,8638 
5,48 || 16,3568 17,9269 19,4942 688 
5,49 || 16,4145 3 17,9902 19,630 21,1336 jh 22,7024 ae 
5,50 || 16,4723| _ 18,0536 19,6319 21,2080 22,7024 
5,51 || 16,5302 i 18,1170 19,7009 21,2826 22,8625 
5,92 || 16,5882 18,1806 19,7701 21,3573 22,9428 
5,53 || 16,6463 ne 18,2443 630 19,8394 69 21,432 ia 23,0232 AE 
5,54 || 16,704@ : 18,3082 19,9088 21,5072 23,1038 
5,55 || 16,7629 18,3721 19,9784 21,9824 23,1845 
5,56 || 16,8213 18,4362 20,0481 21,6576 23,2654 
5,57 || 16,8799 2 18,5004 20,1178 21,7330 23,3464 
5,58 || 16,9385 =: 18,5646 20,1877 21,8085 23,4276 
5,59 || 16,9972 = 18,6290 20,257 21,884: 23,5089 


89 1 ———| 645 | 502 |" | 559 1 ©) 8,4 
5,60 || 17,0561 e 18,6935 ; 20,3280 ; 21,9601 ane 23,5903 


19,4256 20,9851 22,5428 


21,0593 22,6225 


SAVANTS ÉTRANGERS. — XII. 102 


810 


VALEURS 


MÉMOIRE 


2 


TABLE TI. 


Q 5 ; 
APPROCHÉES DE == {Arches incomplètes, dites en arc de cercle.) 


q y: YA dé. xs ve 
Lo 0,5 206 —0; + = 
FAIT J J AN Jon 
Difr. Dir, Difr, 3 Dir, 
5,60 || 8,770 10,450 12,1148 13,7684 15,4148 
nn Le IEEE 41:36 Ans les 
5,61 || 8,8012 10,4868 12,1566 13,8199 15,468: 
303 362 | . 419 21 477 
5,62 || 8,8315 10,5230 12,1985 13,8636 15,5214 
D IRAN 303 x 362 k08 420 ae, 478 :n 
9,65 ,861 10,592 12,240 13,911 15% 
305 92) 363 |: FN tés LT de 
5,64 || 8,8923 10,5955 12,2826| 13,9992 15,6285 

- 304 |— | 363 Yon CN CE 
5,65 ||.8,9227 10,6318 12,9247 14,007 12,6821 
s66 || 8.053316 | 066841 612,369 | °21| 26,0550/ 721 a5:73 
9, ,9933 10, 2 12,9 14,0550 19,799 
Le ho 7e clssil 9! 423 ns li8 : o 
9, , 10,7046 12,4092 14,1081| 15, 

a neo LEE test 12 D foû Men] er 
5,68 || g,0145 10,411 12,4516 14,1513| 15,8436 
sé « 307 1 367 A 424 k 482 ne 
» 9,0492 10,777: 12,4040 14,100) 19,80 
9,70 || 9,079 10,8144 12,996 14,24 19,991 
7 ni SPA ae EC Pete FEI Le É 484 
5,71 ,10 10,8911 12,9791 14,290 16,0060 
+ 0 2 [308 ss. | 368 cn [426 7 PE pie 
9,72 »1 10,9 12,021 14,93448 16,060 

Le) ee le LEE AE PT 186 
5,73 || 9,1684 10,9248 12,6645 14,3934 16,1147 
280 . | 310 MIE dl Alle cs 
»74 190 10, 1 12,70 14,4420 10,1 à 

Sos EEE PER RE (PQ CEE | 188 à 
1 5,75 || 9,2304 10,9986 12,7902 14,4908 16,2239 
| E 311 37a h29 488 
5,76 || 9,2615 11,0357 127991 14,5396 16,2786 
311 371 x 431 ! go NEA 
5,77 || 92926 11,0728 12,836 2 14,5886 16,3334 
E 3212 372 43 hgo 
5,78 || 9,3238 11,1100 12,9793 14,6376 16,3883 
e COMI1822 372 432 hg1 
5,79 || 9,3550 11,1472 12,9225 14,6867 16,4433 
— | 313 373 h3e hoz - 
15,80 || 9,3863 11,1845 12,9697 14,7399 16,4983 
ï 313 374 434 || 
5,81 || 9,416 |. 11,2219 13,0091 14,7852 16,9535 
É 314 È 374 434 493 
5,82 || 9,4490 11,2593 13,0525 14,8345 16,6088 
l : 314 379 435 ko4 s 
5,83 || 9,4804 11,2968 13,0960 14,8839 16,6642 
2 315 375 435 495 x 
5,84 || 9,5129 11,3343 13,1399 . | 14,9334 16,7196 
"| 315 377 436 | ——| 496 | ——— 
5,85 || 9,5434 |, ; 11,3720|, ; 19,183 Fe 14,9830 ne 16,7752 
21 J oO] 
5,86 || 0,5750 11,4096 7 13,2268 7 15,0328 ’ 16,8308 
: "(| 3x7 378 438 497 
5,87 || 9,6067 11,4474 13,2706 15,0825 16,8865 
ë 317 377 439 499 
15,88 || 9,6384 |, 11,4851| 13,3145 15,1324 16,9424 
£ 318 . | 379 139 199 
l5,89 || 9,6702 11,5230 13,3584 15,1823 16,9983 
FU 318 380 440 | ———— | 500 |—— 
19,90 || 9,7020 11,9610 13,4024 15,2323 17,094 3 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 


TABLE I. 
O0? 
VALEURS APPROCHÉES DE — (Arches incomplètes, dites en arc de cercle.) 
J CRE DA 9 A 90 CORPS Ep je Yo 
di 1 n J di Ji 
Difr. Dir. Di. Difr. 
5,60 || 17,0561 18,6935 20,3280 21,9601 23,5903 
1 _ [590 ô 646 70 Ê 799 
5,61 171251] 18,7581 20,3983 22,0360 23,6719 
590 648 7oï .761 
5,62 || 17,174 18,8229 20,4687 22,1121 23,7536 
59° 649 705 763 à 
5,63 || 17,2333 18,8878| . 20,5392 22,1884 23,8355 
593 N 650 À 707 763 
5,64 || 17,2926 18,9528| 20,6099 22,2647 23,9176 
594 650 707 765 
5,65 || 17,3520 19,0178| 20,6806 29,341 2 23,9998 
594 652 709 766 
5,66 |[[17,4114| - 19,0830 20,7919 22,4178 24,0821 
296 654 711 768 
5,67 || 17:47:10 19,1484 20,8226 22,4946 24,1646 
297 654 Are 3 769 
5,68 || 17,5307 19,2138| | 20,8938 22,579 24,2472 
598 655 713 770 
5,69 || 17:5905| _ 19:2793| _ | 20,965: 22,6485 24,3299 
— |.599 657 | 714 HN Eee 
5,70 || 17,6504 19,3450| 21,0365 22,72D6 24,4128 
600 658 716 773 
5,71 || 177104 19,4108 21,1081 22,8029 24,h959 
6o1 659 717 779 
5,72 || 17,7705 , 1294767 21,1798 22,8804 24,57091 
603 660 M|\7x18 776 
5,73 || 17,8308 19,9427 21,2516 22,9580 24,6624 
603 | 6G1 719 777 
| 5,74 || 17:89a1 19,6088 21,9235 23,0357 24,7459 
Go4 — 663 —| 720 779 
5,75 || 17,9915| . 19,6751| 21,3955 23,1136 _24,8295 
605 663 722 779 
5,76 ||16,0120| 19,7414 21,4677 23,1915 24,9133 
6o7 665 723 781 
5,77 || 18,0727 19,8079| .. 21,5400 23,2696 24,9972 
| 608 666 724 783 
5,78 || 18,1335 19,874 21,6124 . | 23,3479 25,0813 
608 667 726 784 
5,79 || 18,1943 19,9412 21,6850 23,4263 25,1655 
| 610 668 727 786 
| 5,80 || 18,2553 20,0080 21,7077 23,5049 25,2499 
610 670 728 786 
| 5,81 || 18,3163 20,0750 21,8305 23,5835 25,3344 
K Gi2 671 729 788 
| 5,82 || 18,3775 20,1421 21,9034 23,6623 25,4190 
| 613 672 730 789 
5,83 || 18,4388| 20,2093 21,9764 23,7412 25,5038 
1 À 614 672 732 791 
5,84 || 18,5002 20,2765 22,0496 23,8203 25,5888 
— - Gi4 674 733 791 
| 5,85 || 18,56016 20,3439 22,1229 23,8994 25,6739 
616 | 675 739 793 
5,86 || 18,6232 20,4114 22,1964 _ | 23,9787 25,7591 
617 677 735 795 
5,87 || 18,6849 € 20,4791 È 22,2699 3 24,0582 à 25,8445 
D1c 7 
5,88 ||18,7467 20,5468 77 22,3436 q7 24,1378 73 25,9300 
| 619 -| 679 738 798 
| 5,89 || 13,8086| . 20,6147 22,4174 24,2176 26,0157 
———| 620 679 =| 739 799 
5,90 || 18,8706 20,6826 22,913 2/4,2975 26,1015 


811 


Diff. 
816 


822 
823 


826 


831 


833 


838 


841 


842 


845 
846 
848 
850 
851 
852 
854 
855 
857 
858 


MÉMOIRE 
TABLE I. 


VALEURS APPROCRÉES DE —. (Arches incomplétes, dites en arc de cercle.) 


9:7020 
9»7339 
9,7658 
9»7978 

9,8298 
9,8619 
98941 
9,9262 
9,9985 
9:9908 


11,5610 
11,9990 
11,637 
11,6752 
11,7134 


13,402/ 
13,4465 
13,4906 
13,9349 
13,9792 


15,2323 
19,2825 
15,9327 
15,3830 
15,4333 


17,0543 
171100 
17:1667 
17,2230 


172794 


11,7917 
11,7900 
11,8284 
11,8668 


11,9094 


10,0232 
10,0556 

10,088: 
|| 10,1206 
10,1532 
10,1858 
10,2184 
10,2511 
|| 10,2840 


10,3168 


11,9440 
11,9826 
12,0213 
12,060: 


12,0989 


13,6236 
13,6680 
13,7125 
13,7571 
13,8018 
13,8465 
13,8914 
13,9363 
13,9813 
14,0263 


15,1837 
15,343 
15,5849 
19,6356 


15,6864 


15,737 
15,7883 
15,8393 
15,8904 
15,9416 


17,9359 
17,9925 
174492 
17,9060 
17,9629 
176199 
17,6769 
177340 
17,7913 
17,8487 


12,1378 
12,1768 


10,3497 
10,3826 
10,4156 


10,4487 


10,4819 


10,5150 
10,5483 
10,9815 
10,6149 
10,6483 


12,4514 


12,4909 


12,5304 


12,9700 
12,6097 
12,6495 
12,6893 


140714 
14,1166 
14,1619 


14,2072 


19,990 
16,0444 
16,0959 
16,1454 


16,1990 


14,1809 
14,5268 
14,5727 
14,6188 
14,6649 


14,710 


16,2507 
16,3026 
16,3545 
16,4065 


16,4586 


17,9062 
17,0637 
18,0214 
18,0791 
18,1 369 
18,2529 
18,3111 
18,3693 
18,41276 


16,5107 
16,5629 
16,6153 
16,6677 


16,7202 


10,6817 


12,7291 


14,7972 


16,7727 


18,4860 
18,9445 
18,603: 
18,6618 
18,7206 


18,7709 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 813 
TABLE I. 


VALEURS APPROCHÉES DE = (Arches incomplètes, dites en arc de cercle.) 


Y 
J 


18,8706 20,6826 22,4913 26,1015 
|| 18,9327 20,7507 22,5654 26,1875 
18,9950 20,8189 22,6396 26,2736 
19,0573 20,8872 22,7139 26,3598 
191197 20,9357 22,7883 24,6183 26,4462 
191823 | 21,0243 22,8629 24,6989 26,5328 
19,2449 21,0929 22,9375 24,7796 26,6195 
19,3077| . 21,1617 23,0123 24,8604 26,7063 
| 19,3705 21,2306 23,0873 24,9414 26,7933 
| 19,4335 21,20996 23,164 25,0225 26,8804 
| 19,4966 21,3687 23,2376 25,1037 26,9677 
|| 19,5597 21,4380 23,3129 25,185: 27,0951 
19,6230 21,5074 23,3883 25,2666 27:1427 
19,6863 21,5768 23,4639 25,348 27,2304 
19,7498 21,6464 23,5396 25,4300 27,3183 
|| 19,877: 21,7859 23,6914 25,5939 27,4944 
19,9409 21,8558 23,7674 25,676: 27,5827 
20,0048 © | 21,9259 23,8436 25,7584 27,671 
20,0688 21,996 23,9199 25,8409 2717597 


——————— 


20,1329 22,0664| 23,9963 25,9235 27,8484 


20,1971 22,1368 24,0729 26,0062 27,9373 
20,2614 22,2073 241496 26,0891 28,0263 
20,3259 22,2779 24,2264 26,172: 
20,3g04 22,3486 24,3033 26,2552 


20,455: 22,4195 24,3804 26,3384 
20,5198 22,1905 24,4576 26,4218 


20,5847 22,5616 24,5349 : | 26,5054 
20,6496 ©” [ 22,6328 24,6123| 26,5891 28,5635 
20,7147 22,704 1 24,6899 26,6729 28,6536 
20,7798 22,7756 24,7676 26,7568 28,7438 


814 


VALEURS DE 


0,3407 
0,3403 
0,3400 
0,3397 
0,3394 


0,3391 
0,3389 
0,3386 
0,3384 
0,3382 


0,3380 
0,3378 
0,3376 
0,3379 
0,3373 
0,3371 
0,3370 
0,3369 
0,3367 
0,3366 


0,3365 


0,3364 


0,3360 
0,3359 
0,3358 


MÉMOIRE 
TABLE II. 


d(Q*) 


0,343: 
0,3426 
0,3421 
0,9417 
0,3413 


0,3409 
0,3406 
0,3403 
0,3400 


0,3397 


0,3394 
0,3302 
0,3389 
0,3387 
0,3385 


0,345 
0,3449 
0,3443 
0,3437 
0,3432 
0,3428 
0,3424 
0,3420 
0,3416 


0,3412 


0,3479 


0,3471 
0,3464 
0,3458 


0,3452 


0,3446 
0,344a 
0,3437 
0,3432 
0,3428 


. (Arches incomplètes, dites en arc de cercle.) 


— 0,8 


0,3503 
0,3494 
0,3486 
0,3479 


0,3472 


0,3465 
0,3459 
0,3454 
0,3449 
0,3444 


°,3409 
0,3406 
0,3403 
0,3400 
0,3398 


0,3424 
0,3420 
0,9417 
0,3413 


0,3410 


0,3383 
0,3381 
0,3379 
0,3378 
0,336 


0,3879 


0,3399 
0,3393 
0,3391 
0,338) 
0,3387 


0,3385 
0,3383 


0,3407 
0,3405 
0,3402 
0,3400 


0,3397 


0,3459 
0,3439 
0,3431 
0,3427 
0,3423 


0,3420 
0,3416 
0,9413 
0,3410 


0,3408 


0,3399 


0,3405 
0,3403 
0,3400 
0,3398 
0,3306 


0,3394 
0,3302 


0,330 


FREE 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 815 
TABLE II. 


2 
VALEURS DE 


. (Arches incomplètes, dites en arc de cercle.) 


0,3927 0,3002 0,3977 0,3626 
0,3517 0,3541 0,3565 0,3611 
0,3508 0,3553 5 0,3997 
0,3500 5 0,3542 0,384 
0,3492 35 0,3532 3 0,3972 
0,3484 39 0,3523 l 0,3561 
0,3477 0,3914 3 0,3551 
0,3471 0,3506 0,3541 
0,3465 0,3498 35 0,3532 
0,3459 0,3491 0,3524 
0,3454 0,3485 5 0,3516 
0,3449 0,3464 0,3479 0,3508 
0,3445 0,3459 0,9473 0,3501 
0,3440 0,3454 0,3467 0,3494 
0,3436 0,3449 0,3462 0,3475 0,3188 


a — | 


0,3432 0,3445 0,3458 0,3470 0,3482 
0,3428 0,3440 0,3453 0,3465 0,3477 
0,3425 0,3436 0,3448 0,3460 0,347a 
0,9421 0,3432 0,3444 0,3455 0,3466 
0,3418 0,3429 0,3440 0,3450 0,346 
0,3415 0,3426 0,3436 0,3446 0,3457 
0,3412 0,3422 0,3432 0,3443 0,3453 
0,3410 0,3419 0,3429 0,3439 0,3449 
0,3407 0,3417 0,3426 0,3436 0,3445 
0,3405 0,3414 0,3423 0,3432 0,3441 


0,83403 0,3411 0,3420 0,3429 0,3438 
0,34o1 0,3409 0,3417 0,3426 0,3435 
0,3399 0,3407 0,3415 0,3423 0,3432 


816 MÉMOIRE 


TABLE HI 


ARCHES COMPLÈTES, OU EN ANSE DE PANIER. 


9. 
F 


1,40444 1,01207 1,44710 
1,40578 1,01048 1,44862 


1,40713 1,01800 1,45014 


1,10848 1,02092 | 1,45167 
1,40984 1,02306 1,45320 
1,41120 1,02560 1,45474 
0,95490 1,41257 >| 1,02814 | 1,45629 
0,99724 _| 141304 1,08070 .| 2,45785 
0,9999 1,41532 1,09326 1,45941 


0,96194 1,41670 9| 1,03583 1,46098 


0,96430 : 1,418c9 S 1,03841 1,46256 
0,96667 1,41948 1,04100 1,46414 
0,96904 1,,2088 1,04360 1,46573 
0,97142 1,42229 1,04620 1,46733 


0,97381 1,42370 1,04881 1,16893 


0,97621 1,42512 1,05143 1,47054 
0,97861 1,42654 il 1,05406 | 1,47216 
0,98102 1,42707 1,05670 1,47378 


0,98343 1,42941 1,09939 1,47941 
0,98585 1,43085 1,06200 1,47705 
0,99072 | 1,43375 1,06734 | 1,48036 
0,99316 1,43521 1,07002 1,48202 
0,99961 1,43667 1,07271 1,48369 
0,99807 1,43814 1,07041 1,48537 
7 1,00054 UT ,48962 1,07811 1,48705 
1,00301 1,44111 à 5| 1,08083 1,48874 


1,00549 1,44260 1,08395 1,49044 


1,00798 1,44409 1,08629 1,49215 


1,01047 1,44559 1,08903 1,49387 


1,01207 1,44710 1,09178 1,49960 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 


TABLE IIL. 


ARCHES COMPLÈTES, OU EN ANSE DE PANIER. 


817 


0,750 


752 


0,795 


757 
758 


0,760 


+ 
Y 
Dif, 
1,09178 
2 
1,09455 73 
27/1. 
1,09732 
278 
1,10010 
279 
1,10289 
FA ACT 280 
1,10 
9 281 
1,10850 
282 
1,11132 
283 
1,11415 2 
2 
1,116 
Tr 285 
1,11 
cu QT 
1,122 
. 287 
1,12557 
288 
1,12845 8 
1,13134 É 29 
201 
1,13425 
291 
1,13716 
292 
1,14008 à 
2 
1,14301 9 
299 
1,14596 
200 
1,14891 
1,12188 xl 
115485 | “97 
1,19784 799 
300 
1,16084 
— | 301 
1,16385 3 
116687 |” 
304 
1,16991 
» 304 
1,172 
_ 306 
1,17601 
= | 007 
1,17908 


SAVANTS ÉTRANGERS. — XII. 


ER 
Ÿ 
Dif, 
1,49560 
9 173 
1,49733 
174 
1:49907 
179 
1,90082 
176 
1,90258 
——— | 196 
1,50434 
178 
1,90612 
178 
1,90790 
1 
1,50969 de 
sa 180 
1,911 
LISE 181 
1,51330 
182 
1,51512 
run 182 
1,51 
9 184 
1,91878 
184 
1,92062 
us | 
1,9224 
186 
1,52434 
187 
1,52621 
188 
1,92809 
189 
1,52998 
———| 190 
1,53188 
191 
1,53379 
192 
1,99571 
193 
1,53764 
194 
1,93958 
—— | 195 
1,54153 
195 
1,94348 
1 
154545 | 297 
198 
1,94743 
1 
1,94942 “à 
—— | 200 
1,55142 


103 


Wa FI 4 

Y Y 1] 
Difr. Di, 

0,760| 1,17908 1,95142 
308 201 

761! 1,18216 1,55343 
309 202 

762| 1,18525 1,99545 
310 203 

763| 1,18835 1,95748 
a ,. | 312 BE 204 
Le ET 313 Te 205 

»76 ; , 

nee pare Te ee FE 
le 1,19774 316 a 208 
a ie Fi a 7e 
be né ke 318 a 210 
799 —— 320 — 210 
0,770 vhs aid Fugés ue 
771| 1,21364 ji 1,97411 M 

772| 1,21686 1,97624 
323 219 

778| 1,22009 1,57839 
325 215 

774| 1,22334 1,98054 
= 326 —— | 216 

0,775| 1,22660 1,98270 
327 218 

776| :,22987 1,58488 
328 219 

777| 21,23315 1,58707 
330 220 

778| 1,23645 1,98927 
332 222 

779| 123977 1,59149 
| — | 333 | — | 222 

0,780| 1,24310 1,99371 
8 Pet PL 

1 1,2/ 1; 

d ; 336 D 229 

782| 1,24980 1,99820 
337 227 

783| 1,25317 A 1,60047 
784| 1,25655 1,60274 1% 
340 229 

0,785| 1,25995 1,60503 
342 231 

786| 1,26337 1,60734 
343 231 

787| 1,26680 1,60965 
344 233 

788| 1,27024 1,61198 
8 Pgo | 6143811255 

1,2 o 1,61 

De et Ie APE ane AT 

0,790| 1,27718 1,61669 


818 MÉMOIRE 


TABLE if. 


ARCGHES COMPLÈTES , OU EN ANSE DE PANIER. 


1,27718 1,61669 1,38992 1,69454 
1,28067 1,61906 1,39397 1,69740 
1,28418 1,62144 1,39703 1,70028 
1,28770 | 1,62384 1,40172 1,70318 
1,29124 1,62625 824| 1,40583 1,70610 
1,29480 1,62868 0,829| 1,40996 1,70909 
1,29837 1,63112 826| 1,45412 1,71201 
1,30196 1,63358 827| 1,41830 1,71499 
1,30957 1,63605 828| 1,42250 1,71799 
1,30919 1,63854 829| 1,42672 1,72102 
Ua,3:288 | | 1364104 0,830| 1,43097 | | 272406 
1,31649 1,64356 831| 1,43524 | | 2,72713 
1,32017 1,64609 832| 1,43954 1,73022 
1,32386 1,64864 |" || 833| :,44386 1,73333 
1,32757 1,65120 1,44821 1,73646 
1,39130 1,65378 1,45258 1,793962 
1,33504 1,65638 1,45698 1,74280 
1,33881 1,65899 1,46140 1,74600 
1,34259 1,66:162 1,46585 1,74923 
1,34640 1,66427 1,47033 : 1,75248 


1,35022 1,66694 \ 1,47483 5579575 


1,35406 1,66962 1,47936 1179909 
1,99792 1,67231 1,48392 1,76237 
1,36180 1,67503 1,48850 1,76572 
1,36570 1,67776 1,49312 1,76910 
1,36962 1,68051 1,49776 1,77250 
1,37356 1,68328 1,50243 1,77992 
1,37752 1,68607 1,50713 1:77938 
1,28150 1,68887 1,91186 1,73286 
1,38550 189170 1,51662 5 1,78636 
7 1,38952 FU 1,69454 REPTIE 1,78990 


QE 


0,850 
851 
852 
853 
854 

0,855 
856 
857 
858 
859 

0,860 
861 
862 
863 
864 

0,865 
866 
867 
868 
869 

0,870 


871 
872 
873 
874 
0,879 
876 
877 
878 
879 
0,880 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 


A 


1,92141 
1,92624 
1,53109 
1,53597 


1,54089 


1,94584 
1,55083 
1,55584 
1,56089 


1,56598 


1,27110 
1,97626 
1,98145 
1,58668 


1,59199 


1,99729 
1,60259 
1,60798 
1,61340 
1,61886 


1,62436 


1,62990 
1,63549 
1,64112 
1,64679 


1,65251 


1,65827 
1,66407 
1,66993 


1,67583 


1,68177 


ARCHES COMPLÈTES, OU EN ANSE DE PANIER. 


Diff. 


TABLE II. 


FL ls 
1 Y 
Difr. 
178 0,880 
ia lle 
, 1 
# 5 2 88 
, 2 
ne ne 
1,80067 Lee 
1,80432 884 
——— | 368 
1,80800 0,885 
371 
1,81171 886 
374 
1,81545 887 
377 
1,81922 888 
381 
1,82303 889 
Da82686 | °°° [os 
d; 0,890 
: 387 ô 
1,83073 891 
390 
1,83463 DE 892 
1,83856 | °° || 893 
397 
1,84253 894 
| 400 
1,84653 0,895 
hok 
1,89057 |- 896 
ho7 
1,85464 k 897 
1,85875 ge 898 
1 
1,86290 8 
RER PRE SER l18 EN) 
1,86708 0,900 
8713 Ne 0 
1,87130 1 
À 426 9 
1,87556 902 
430 
1,87986 3 903 
4154 
1,88420 904 
— | 138 
1,88858 # 0,905 
1,89300 6 906 
446 
1,89746 907 
6 450 8 
1,901 0 
Ki ë 455 [19 
1,90651 o 
9 450 909 
1,01110 0,910 


“pe 


1,68177 


1,68777 
1,69381 


1,69991 


h| 1,70606 


1,71226 
1,71851 
1,72481 
1,73117 


1,73759 


1,74406 
1,79099 
1,75718 
1,76383 


1,77095 


177732 
1,78416 
1,79106 
1,79803 


1,80507 


1,81217 
1,81935 
1,82659 
1,83391 
1,84131 


1,84878 


1,85633 
1,86396 
1,87167 


1,37946 


1,88734 


Ses 


1,91110 
1,91574 
1,92042 
1,92919 


1,92993 


1,93475 
1,93962 
1,94455 
1,94992 
1,99454 
1,99962 
1,96475 
1,96994 
1,97518 
1,98048 


1,98583 


1,99129 
1,99672 
2,00226 
2,00786 
2,01392 
2,01929 
2,02505 
2,03091 
2,03685 


2,04285 


2,04893 
2,05508 
2,06131 
2,06761 


2,07399 


103. 


819 


638 


820 


l 1,91973 


1,91149 


1,92806 
1,93649 
1,94502 


1,95365 


1,96239 


1,97123 
1,98018 
1,98925 
1,99843 


2,00773 


2,01719 
2,02670 
2,03637 
2,64618 
2,05612 
2,06621 
2,07643 
2,08681 
2,09733 


2,10802 


2,11886 


2,12988 
2,14106 


2,19242 


2,16397 


2,17971 


MÉMOIRE 


TABLE III. 


ARCHES COMPLÈTES, OU EN ANSE DE PANIER. 


- 
l 
Dif. Diff. 
2,07 399 
796 647 
2,08046 
805 = 655 
,0870 
814 E 663 
A A 
: 2,10036 : 
833 681 
2,1071 
843 MP lGoS 
2,11407 
853 700 
363 2,12107 70 
: | 212816 ‘ 
8 1 
“ 213535 | 7° 
a —— 2 
= Ë 2,14264 vs 
o 
; 2,15004 1 
907 790 
à 2,19704 ä 
4 2,16515 8 
930 2,1728 ra 
942 CRD AE À 783 
2 2,18070 96 
D 218866 | 7 
967 £ 808 
2,1 4 
981 me. 820 
2,20 
994 Pas 
2,21327 
1009———| 846 
2,22173 85 
ne 2,23032 8 À 
di 2,23906 ; 
1052 889 
2,24799 
1069 908 
2,25698 
10 | 919 
2,26617 
1102 934 
2,27991 
1118 991 
2,28502 
1136 7 968 
2,29470 
5 85 
El ecole 
1174 1003 


2,31458 


ire 
ÿ 


0,940 
941 
942 
943 
944 

0,945 
946 
947 
948 
949 

0,990 


991 
992 
93 
g°4 


0,995 
956 
997 
958 
959 
0,960 


961 
962 
963 
964 
0,965 
966 
967 
968 
969 
0,970 


Y, 


2,17971 
2,18764 
220977 
2,21211 


2,22467 


2,23746 


2,29048 
2,26374 
2,27725 


2,29102 


2,30906 


2,31939 
2,334o1 
2,34894 
2,36418 


2,37976 


2,395069 
2,41198 
2,42865 
2,44573 


2,46322 


2,48116 
2,49996 
2,91845 
2,53785 


2,99780 


2,97833 
2,99947 
2,62126 
2,64374 


2,66695 


J 

y 
2,31458 
2,32480 
2,33521 


2,34583 
2,35665 


2,36768 


2,37894 
2,39043 
2,40216 


2,41414 


2,42638 


2,43889 
2,45169 
:,46478 


2,47818 


2,49189 
2,90594 
2,92035 
2,93513 


2,592029 


2,56586 


2,58185 
2,59829 
2,61591 
2,63263 


2,65057 


2,66908 
2,68818 
2,70791 


2,72831 


2,74943 


PP TE 


SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 821 


TABLE IL 


ARCHES COMPLÈTES, OU EN ANSE DE PANIER. 


q 
ïi 


2,66695 2,74943 |. 3,15740 3,20548 
2,69095 2,77132 3,20620 < 3,25172 
2,7a579 | - 2,79402 ) 3,25862 3,30154 
2,74153 ” 2,81760 0 2,32029)|.08 3,35549 
2,76824 2,84213 3,37677| . 3,41432 
5| 2,79600 ! 2,86769 | . 3,44417 _ | 3,47896 
2,82488 K 2,89435 3,51868 3,55064 
2,85500 2,92221 3,60198 3,63103 
2,88645 2,95138 3,6g641 | 3,72247 
291937 2,98199 3,80542 3,82839 
2,95389 ET 7 3,93434 3,99411 
2,99018 3,04809 6| 4,09213 h,10857 
3,02843 3,08394 4,29556 É 4,30849 
3,06886 3,12194 4,58227 4,59146 
3,11175 3,16234 5,07240 5,07748 
7 3n57ho [ 3,20548 co co 


822 MÉM. SUR L'ÉTABLISSEMENT DES ARCHES DE PONT. 


TABLE IV. TABLE V. 
ARCHES COMPLÈTES , ARCHES COMPLÈTES , 
OU EN ANSE DE PANIER. OU EN ANSE DE PANIER. 
= — LU + 
Table pour corriger la valeur de f, Table pour corriger la valeur de Y,, 
étant donnés g et Y.. étant donnés f et g. 


Er? 


+- 0,000 —- 0,0001 ù F — 0,000 
0,0004 0,0001 g | — 0,0003 


0,0004 0,0001 5 — 0,0002 


0,0003 8 0,0001 — 0,000? 


0,0003 0,0001 — 0,0002 


0,0003 0,0000 É — 0,0001 
0,0002 0,0000 l — 0,0001 
0,C002 .. 0,0000 — 0,0001 
0,0002 2. 0,0000 86 | — 0,0001 


0,0001 5 à 0,0000 ] — 0,0000 


0,0001 D 0,0000 .. —— 0,0000 


0,0001 Le) Le] 


FIN DU TOME DOUZIÈME 


Ligne 


14 


3 en remontant 
8 en remontant 


2 
7 en remontant 
équation (h") 


12 
10 
3 avant la note 
8 en remontant 
6 en remontant 
1° équation (34 bis.) 
dernière 
formules du tableau 
Idem. 
colonne 30° 
10 


6 
col. 9°, Diff. ligne 13 


CORRECTIONS. 


Au lieu de : 
€: 
— (1 — cos’ a)° 
F 


deuxième terme 
l'axe de x 
25. 5 
(: + 3 11°) 
dans le même n° 15 
R'(f +R") 
FU +2N) 
dt — 4 
de l'équation (14) 
l'équation (3) 
et il ÿ faudra 
l'équation (27) 
n° —h;"® 
—+ 
ÿ'+ 20 sin 
Y'— 209 cosa 
5,16157 
n° 2g 


Lisez 
e° . 
— (1— cos'a) 
2 
troisième terme 
l'axe des æ 


Be a 
(1 a 1°) 


n° 17 
Lh'(f+h") 
JF +2) 
d—« 
de l'équation (17) 
la 2° équation (3) 
et il faudra 
l'équation (26) 
n° 7" 


y'+ 29 cosa 
Y'—2dsiné 
5,16167 
n° 28 
k 


575 


Memotres présentes par divers savants à llradémée des serences Tome A7. 


BEL 


ARCHE COMPLETE OU EN ANSE DE PANIER A GRANDE PORTÉE 


HEECERELERFE ER 


TI TALE === eme. 


Leketle de 0 "006 pour mètre. 
Ze 2 Ca #4 C2 C2 7 # 4 49 
HHHHHE = + TE + —+ — =| 


=S 


- LOF 


.- 


LE 50 


& . Échelle de 0°"009 pour mètre 
2 5 2 # 
D Re pr om, 


TS 


0 
à 
À ARCHE INCOMPLÈTE DITE EN ARC DE CERCLE, A CRANDE PORTÉE. 
A * 272 
Y 


Léhèlle de 0 "006 pour mitre. 


EE —— + D —# —+# —# + 
CLONE CT er 


Grave sur pierre à lmprmene Impériale, 


Memotres présentés pardivers savants à PL. II. 


F 


LHSTUgenenE DOUCDOCOSOUOUUUTUITUUUE 


: 


Gravè our pierre à lEsprimerie Impèr 


ARCHES COMPLÈTES OU EN ANSE DE PANIER À GRANDE PORTÉE 


ARCHES INCOMPLÈTES DITES EN ARC DE CERCLE, À CRANDE PORTÉE 


RSR DURE RE Re DU Re RARE Le Be De ROLE BUGS RAGE RE DANS a RE RER DA NS DAS RS BE DS a BE BE DS SR DE DS a Be BA DNS ES PE ER EEE RPEERERRERSEREEE CR 


= | 


nn 
ss su EE D 


a 


1 * VAL) \ NP ra 
VER : k ü Fe x 
Sp . 
é EN 
a" x N 
“ ” . 22106 à TA ; rar 2 ps An 
" be bare ac pu > ARR Es 2 LE ad et RRQ 2e anse re a PART AT LA nt pe an dir nn PEER EN EES 
; » 
Des _ p + ; 
L » $ 
: + 


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SUCCESSEUR DE MALLET-BACHELIER, 
QUAI DES GRANDS-AUGUSTINS, 25, A PARIS, 


BACHET, sieur de MÉZIRIAC. — Problèmes plaisants et délectables qui se font par les nombres. . 
3° édiuon, revue, simplifiée et augmentée par À. Labosne, Professeur de Mathématiques. Petit in-8, 
caractères elzévirs, titre en deux couleurs, papier vergé, cuuverture parchemin; 1894 (Züiré à petit 
nombre)... RASE DAS JP IR EE 0 AO La SE EE AUDE RE LE sralnel ee HAOTITS 

BOUSSINGAULT, Membre de l’Institut. — Agronomie, Chimie agricole et Physiologie. 2‘ édition. TomesI, 
I, LU, IV et V; 1n-8, avec planches sur cuivre et figures dans le texte; 1860-1861-1864-1868-1874. 26 fr. 

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BRIOT et BOUQUET, Professeurs à la Faculté des Sciences. — Théorie des fonctions elliptiques. 
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GAHOURS (Auguste), Membre de l'Académie des Sciences, — Traité de Chimie générale élémentaire. 

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2 volumes in-18 jésus avec 230 figures et 8 planches; 1874...............,....,..2. 10 fr. 
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CHIMIE ORGANIQUE, Leçons professées à l’École Polytechnique. 3° édition. 3 volumes in-18 jésus 
avec figures; 1874-1875: Prix pour les souscripteurs...................,.............. 15fr. 
Chaque volume seivend)séparement le TT Mens. Re eee lOLIT: 


DUBOIS (Edm.), Examinateur-Hydrographe de la Marine. — Les passages de Vénus sur le disque solaire, 
considérés au point de vue de la détermination de la distance du Soleil à la Terre; Passage de 1874 ; Notious 
historiques sur les passages de 1761 et 1769. In-18 jésus, avec figures dans le texte ; 1873. 3 fr. 5o c. 


FRENET (F.), Professeur honoraire de la Faculté des Sciences de Lyon. — Recueil d'exercices sur le 
Calcul infinitésimal. Ouvrage destiné aux Candidats à l'École Polytechnique et à l'École Normale, aux 
Élèves de ces Écoles et aux personnes qui se préparent à la licence ès Sciences mathématiques. 3° édi- 
tion. In-8, avec ligures dans le texte; 1873........ AB AAOOU  nRn OM nt one cn A CASTRES Gone) 


INSTITUT DE FRANCE. — Recueil de Mémoires, Rapports et Documents relatifs à l'observation du 
passage de Venus sur le Soleil. In-4, avec 6 pl., dont8 en chromolithographie; 1874... 12 fr. 50 c. 
Ce Recueil contient : 19 Documents officiels relatifs à la mission de l'Académie, à la constitution de sa Com- 
mission et à son fonctionnement; 2° Mémoires, Rapports et Documents qu'elle a suscités ou recueillis dans 
la période qui a précédé le départ des Observateurs. 


SAMIN (3.), Membre de l'Institut, Professeur à l'École Polytechnique et à la Faculté des Sciences de Paris. 
— Petit Traité de Physique, à l'usage des Établissements d'instruction, des aspirants aux Baccalou- 
réats et des candidats aux Écoles du Gouvernement. In-8, avec 686 figures dans le texte; 1870. 8 fr. 

Depuis le commencement de ce siècle, la Physique a été renouvelée dans son ensemble : aussi ne peut-on 
qu'approuver l'Auteur du Petit Traité de Physique d'avoir, même dans un livre élémentaire, exposé cette science 
au point de vue des théories nouvelles, Dès les premiers mots, l’Auteur démontre que la Chaleur est un mouve- 
ment moléculaire, et cette idée guide ensuite le lecteur dans toutes les expériences, et les explique. La ‘Ferre et 
les aimants n'étant que des solénoïdes, on fait dépendre le Magnétisme de l'Électricité. L'Acoustique montre duns 
leurs détails les vibrations longitudinales, transversales, circulaires et elliptiques; elle prepare à l'Optique. 
Cette dernière Partie enfin est l'étude des vibrations de toute sorte qui se produisent dans l'éther; les inter- 
lérences et la polarisation sont expliquées de Ja manière la plus élémentaire, et la Théorie vibratoire est rendue 


accessible à tous. ; ; 
Un tel mode d'enseignement est appelé à rendre un réel service aux Élèves en les délivrant de ce que les 


savants ont abandonné, eu élevant leur esprit jusqu’à de plus hautes conceptions, en leur montrant l’ensemble 
philosophique d’une science déjà très-avaucée et qui semble toucher à son terme. 


PONCELET, Membre de l'Institut, — Cours de Mécanique appliquée aux machines; publié par M. Knerz, 
Jugénieur en chef des Manufactures de l'État. In-8, avec 117 figures dans le texte et 2 planches gravées 
BUT CUIVTE: 18742 + ue mo naiete ee 0 Da aa isiele lose is es ones vie emolaieleni= mess saisie ee sjeiie sie s à =" 1a9fre 


TYNDALL (J.), Professeur de Philosophie naturelle à l'institution Royale de la Grande-Brelagne. — La 
Chaleur, Aode de mouvement. 2! édition française, traduite de l'anglais, sur la 4° édition, par M. l40b6 
Moisuo. Un beau volume in-18 jésus de xxxrr-576 pages, avec 110 figures dans le texte; 1874.. 8 fr. 


TYNDALL (John), Professeur à l'institution royale et à l'École royale des Mines de la Grande-Bretagne, 
— Le Son, traduit de l’anglais et augmenté d’un 4ppendice par M: l'Abbé Morcxo. Un beau volume in-8, 


orné de 171 figures dans le texte; 1869......... Et et MA ne MIE em Pate RAS Mr) à LA 
a J'ai cherché, dit le célèbre Auteur dans sa Préface, à rendre la science de l’Acoustique accessible à toutes 
» les personnes intelligentes, en y comprenant celles qui n'ont reçu aucune instruction scientilique particulière. 
» J'ai traité mon sujet d’une manière tout à fait expérimentale, et j'ai cherché à placer tellement chaque expé- 
» rience sous les yeux et dans la main du lecteur, qu'il puisse la réaliser lui-même ou la répéter. » 11 serait 
impossible, en eflet, de mieux choisir et de décrire dans un style plus attrayant les expériences nécessaires à la 
manifestation des faits et à la détermination des lois qui les régissent. Cet Ouvrage sera donc lu avec un vif intérét, 
non-seulement par les Professeurs, qui.y trouveront toutes les découvertes ayant renouvelé pour ainsi dire 
l'Acoustique depuis quelques années, mais encore par tous les amis d'une science claire ét pratique. 


Se 


LS 
SAS 
fe 


TRS 
set, 


TER TE E 
HAN ARRET