HARVARD UNIVERSITY.

LIBRARY

OF THE

MUSEUM OF COMPARATIVE ZOOLOGY.

La

fl MÉMOIRES SOCIÉTÉ ROYALE DES SCIENCES De LIÈCE .

Nec temere, nec timide.

DEUXIÈME SÉRIE.

TOME XILL

DEÉPOTS : LOXDRES, s PARIS; BERLIN « chez Wizrams et Norçare, chez Ronr, libraire, chez Fnisozaxper et Sohn, enxrietta Str., 14. rue flautefeuille, 104, Ceristrasse, 11. n BRUXELLES,

F. HAYEZ, IMPRIMEUR DE L'ACADÉMIE ROYALE, rue de Louvain, 108.

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MÉMOIRES

SOCIÈTÉ ROYALE DES SCIENCES

DE LIÈGE.

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MÉMOIRES

DE LA

SOCIÊTÉ ROYALE DES SCIENCES

DE LIÈGE.

Nec temere, nec timide.

DEUXIÈME SÉRIE.

TOME XIII.

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DÉPOTS :

LONDRES » | PARIS BERLIN chez Wicrams et NorçarTe, chez Rorer, libraire, chez Frisocänper et Sohn, Kenrietta Str., 14. rue lautefeuille, 1005, Carilstrasse, 11. SE 4 Pi BRUXELLES,

F. HAYEZ, IMPRIMEUR DE L'ACADÉMIE ROYALE, rue de Louvain, 108.

DÉCEMBRE 1886.

Libre w

TABLE

DES

MÉMOIRES CONTENUS DANS LE TOME XI

Mélanges mathématiques; par Eugène Catalan.

LISTE

DES

MEMBRES DE LA SOCIÉTÉ

AU 51 DÉCEMBRE 1886.

Bureau. Président, M. CaTaLan. Vice-Président, » Ronkar. Secrétaire général, » LE PAIGE. Trésorier, » NEUBERG. Bibliothécaire, » FRAIPONT.

Membres effectifs.

1842 SeLys Lonccnamps (baron E. ne), membre de l’Académie royale des sciences, des lettres et des beaux- arts de Belgique.

Re. L., ancien recteur de l’université de Liège.

1844 KuPFFERSCHLAGER, Is., professeur émérite à l’université

de Liège. :

1847 DE Cuyrer, A. C., professeur émérite à l’université de Liège.

1853 CanDèzE, E., membre de l’Académie des sciences, des

lettres et des beaux-arts de Belgique, à Glain.

1853 1855 1856 1860 1861 1865

1868 1870

1871

1874 1875

1876 1878 1879 1880

1881 1834

1885

( vm)

PAQuE, A., ancien professeur de mathématiques à l’athénée de Liège.

DEWALQUE, G., professeur de minéralogie, de géologie et de paléontologie à l’université de Liège.

Bourpon, J., docteur en sciences naturelles, à Liège.

CaTaLan, C. E., professeur émérite à l’université de Liège.

GiLLON, A., professeur de métallurgie à l'université de Liège.

Perarp, L., professeur de physique à l’université de Liège.

Foie, F., directeur de l'Observatoire royal de Bruxelles.

GRAINDORGE, L. A. J., professeur à l’université de Liège.

Masius, V., professeur de pathologie et de clinique à l’uni- versité de Liège.

VanLaiR, C., professeur de pathologie et de thérapeutique à l’université de Liège.

Van BENEDEN, Éd., professeur de zoologie, de physiologie et d'anatomie comparées à l’université de Liège.

Firker, Ad., chargé de cours à l’université de Liège.

SPRING, W., professeur de chimie à l’université de Liège.

SWAEN , À., professeur d'anatomie à l’université de Liège.

pe Konincx, Lucien, professeur de chimie analytique et de docimasie à l’université de Liège.

Le Paice, professeur de géométrie supérieure à l'univer- sité de Liège.

JorisseN, docteur en sciences, à Liège.

NEUBERG, J., professeur à l’université de Liège.

FraiponT, J., professeur à l’université, à Liège.

Deruyrs, J., docteur en sciences, assistant à l’université.

Ronkar, Ém., chargé de cours à l’université.

Uraeus, P., répétiteur à l'École des mines.

GRavis, A., professeur de botanique à l’université de Liège.

1842

1845

1844

1845

1348

1852

1855

1854

(x)

Membres correspondants.

Van BENEDEN, J. P., professeur à l’université de Louvain.

LAGUESsE, ingénieur en chef des mines, à Mons.

STAs, J. S., membre de l’Académie royale des sciences, des lettres et des beaux-arts de Belgique, à Bruxelles.

KEYsERLING (comte A. DE), membre de l'Académie des sciences de Saint-Pétersbourg.

REICHERT, professeur à l’université de Berlin.

STEICHEN, membre de l’Académie, à Bruxelles.

Leconte, professeur de mathématiques supérieures, à Anvers.

Macs, inspecteur général des ponts et chaussées, à Bruxelles.

CoquiLaT, général d'artillerie, à Anvers.

HAGEn, professeur à l’université de Cambridge (États-Unis).

KLIPSTEIN (VON), professeur à l’université de Giessen.

Dana, J. D., professeur de géologie et d'histoire naturelle, à New-Haven (États-Unis).

ETTINGSHAUSEN (baron Constantin von), membre de l’Académie des sciences de Vienne, à Graz.

WEsrwoon, professeur de zoologie à l’université d'Oxford (Angleterre).

WATERHOUSE, conservateur au Musée Britannique, à Londres.

Bire, Em., industriel, à Bruxelles.

PETRINA, professeur de physique, à Prague (Bohème).

KÔLLIKER (VON), professeur à l’université de Wurzbourg (Bavière).

DuTREux , receveur général, à Luxembourg.

Drouer, H., naturaliste, à Charleville (France).

Weger, professeur de physique à l’université de Gottingue (Prusse).

1854

1855

1857

1858

1859

1860

1862

1865 1864

1865

(x)

STAMMER , docteur en médecine, à Dusseldorf (Prusse).

ERLENMEYER, docteur en médecine, à Neuwied (Prusse).

Lucas, H., aide-naturaliste au Muséum d'histoire naturelle, à Paris.

BLancHaRD, E., membre de l’Institut, à Paris.

GEinirz, H. B., professeur à l'École polytechnique, à Dresde.

Lrais, ancien directeur de l'Observatoire impérial de Rio de Janeiro, maire de Cherbourg.

TcHéBYCHEFF, P., membre de l’Académie des sciences, à Saint-Pétersbourg.

Micuor (abbé), botaniste, à Mons.

Weicur (D' Th.), membre de la Société royale de Lon- dres, à Cheltenham (Angleterre).

CaLiGny (marquis DE), correspondant de l'Institut, à Ver- sailles (France).

MarseuL (abbé DE), entomologiste, à Paris.

Beyricx, professeur à l’université de Berlin.

Marcou, J., géologue, États-Unis.

Du Bois-Reymon», professeur à l’université de Berlin.

Brucke, professeur à l'université de Vienne.

STUDER, B., professeur émérite à l’université de Berne (Suisse).

Caspary, professeur de botanique à l’université de Kônigs- berg (Prusse).

Gossace, membre de la Société chimique, à Londres.

THomson, J., membre de la Société entomologique de France, à Paris.

BRUNER DE WATTEVILLE, directeur général des télégra- phes, à Vienne. à

Durieu DE MalsoNNEUVE, directeur du Jardin Botanique, à Bordeaux (France).

HuGuEnY, professeur, à Strasbourg.

TERSSEN, général d'artillerie, à Anvers.

De Cozcer »’Huarr, conseiller d'État, à Luxembourg.

(x)

1865 Zeis, conservateur au Muséum royal d'histoire naturelle, à Dresde.

Dausse, ingénieur en chef des ponts et chaussées, à Paris.

Le Jos, archiviste perpétuel de la Société des sciences naturelles de Cherbourg (France).

GopwiN AusTEN, R. A. C., membre de la Société royale de Londres, Chilworth Manor, Guilford (Angle- terre).

HamiLToN, membre de la Société géologique de Londres.

De BorrE, A., conservateur au Musée royal d'histoire naturelle, à Bruxelles.

1866 RopriGuez, directeur du Musée zoologique de Guatémala. Levenr, professeur au collége communal de Verviers. Desans, membre de l'Institut, à Paris.

1867 GossELer, J., professeur à la faculté des sciences de Lille

(France).

BarnarD, président de l'École des mines, à New-York (États-Unis).

Raposzkorrski, président de la Société entomologique de Saint-Pétersbourg.

BoncomraGni (prince Balthasar), à Rome.

1868 Renarp (S. Ex. le chevalier), conseiller d'État, président

de la Société impériale des naturalistes de Moscou.

Czausius, R., professeur de physique à l’université de Bonn (Prusse). |

Hezmnozrz (von), professeur de physique, à Berlin.

CaILLETET, pharmacien et chimiste, à Charleville (France).

1869 Marié Davy, directeur de l'Observatoire météorologique

de Montsouris.

ScaLôMILCH, professeur d'analyse à l'École polytechnique de Dresde.

SIMON, E., naturaliste, à Paris.

Pisco , professeur à l'École industrielle de Vienne.

1370

1871

1872

1875

( xin )

TrauTscHoLD, professeur à l’École d'agriculture à Pétrovs- koï, près Moscou (Russie).

Macaise, C., professeur à l'Institut agronomique de Gem- bloux.

BERTRAND , J. L. F., membre de l'Institut, à Paris.

Van HoorEex, docteur en sciences, à Tongres.

ImSCHENETSKI, professeur à l’université de Karkoff (Russie).

Muicer (baron von), botaniste du gouvernement, à Mel- bourne (Australie).

Henry, L., professeur à l’université de Louvain.

DuRÉGE, professeur à l’université de Prague (Bohème).

MaxweLz T. Masrers, membre de la Société royale, à Londres.

Tuomson, James, vice-président de la Société géologique de Glasgow.

CAPELLINI (commandeur G.), professeur de géologie à l’université de Bologne. ;

LE BouLenGé, P., colonel d'artillerie.

VaLLES, inspecteur honoraire des ponts et chaussées, à Paris.

GARIBALDI, professeur à l’université de Gênes (Italie).

FRADESsso DA SILVEIRA , directeur de l'Observatoire, à Lis- bonne.

Kanirz, D' Aug., professeur à l’université de Klausen- bourg (Hongrie).

CLos, directeur du Jardin des Plantes, à Toulouse.

Barres, H., membre de la Société royale de Londres.

HeRmiITE, membre de l’Institut, à Paris.

Dargoux, membre de l’Institut, à Paris.

Hazz, James, paléontologiste de l'État, à Albany (États- Unis). ‘

WorTHEN, A. H., directeur du Geological Survey de l'II- nois (États-Unis).

Wairney, J. D., géologue de l'État, directeur du Geolo- gical Survey de Californie (États-Unis).

1875

1874

1875

( xin )

GLaziou, botaniste, directeur des Jardins impériaux, à Rio de Janeiro.

Lapiscad Nerro, botaniste, directeur du Musée impérial de Rio de Janeiro.

De Carvazno (Pedro Alphonso), docteur en médecine, directeur de l'Hôpital de la Miséricorde, à Rio de Janeiro.

BureisTer , H., directeur du Musée national de Buenos- Ayres.

Moreno, F. P., paléontologiste, à Buenos-Ayres.

ARESCHOUG, professeur adjoint à l’université de Lund (Suède).

WINKLER , D. C. J., conservateur du Musée de Harlem (Néerlande).

Haypen, géologue de l'État, à Washington.

Van RYSSELBERGHE, aide à l'Observatoire royal, à Bruxelles.

GEGENBAUER, professeur à l’université de Heidelberg.

HickEL, professeur à l’université de Iéna.

WaLDEYER, professeur à l’université de Strasbourg.

Huxcey, professeur à l’école des mines, à Londres.

Mansion, professeur à l’université de Gand.

Micnaguis, O., captain, chief of Ordnance, à Saint-Paul, Minn., département de Dakota (États-Unis).

DEWALQUE, Fr., professeur à l’université de Louvain.

Marie, M., examinateur à l'École polytechnique, à Paris.

Marmieu, Em., membre de l'Académie des sciences (Nancy).

Ever, professeur à l’université de Tubingue.

DE LA VALETTE SAINT-GEORGE, professeur à l’université de Bonn.

Ray-LankesTer, professeur à l’université de Londres.

Packarp, professeur à l’université de Salem (États-Unis).

FLEemminc, W., professeur à l’université de Prague.

Prareau, F., professeur à l’université de Gand.

Rômer, F., professeur à l'université de Breslau.

1875

1876

1877

1880

1881

( xIV )

SAPoRTA (Gaston marquis DE), correspondant de l'Institut de France, à Aix (France).

Bazrour, J. H., professeur de botanique à l’université d'Édimbourg.

Bazrour, Th. G. H., membre de la Société royale, à Londres.

Mac LacaLan, Rob., membre de la Société entomologique, à Londres.

TissaNDiER, Gaston, rédacteur du journal la Nature, à Paris.

Hertwie, B., professeur à l’université de Kônigsberg.

STRASBURGER, professeur à l’université de Iéna.

BLunrscui, professeur à l’université de Heidelberg.

BronGniaRT, Charles, à Paris.

Werrergy, professeur à l’université de Cineimnati.

SYLVESTER, professeur à l’université d'Oxford.

Czuser, professeur, à Prague.

CrEMoNA, directeur de l'École d'application, à Rome.

Wevr, Ém., professeur à l’université de Vienne (Autriche).

IBANez, général, directeur de l'Institut cartographique, à Madrid.

Bouivar, L., professeur, à Madrid.

RiTSEMA, conservateur au Musée royal d'histoire naturelle, à Leyde.

RENARD, conservateur au Musée royal d'histoire naturelle, à Bruxelles.

STUDNICKA, F., professeur de mathématiques à l’université de Prague.

Genoccar, membre de l’Académie de Turin.

Van DER MENSBRUGGE, professeur à l’université de Gand.

LiAGRE, général, secrétaire perpétuel de l'Académie royale des sciences, etc., de Bruxelles.

De Tizzy, J., lieutenant-colonel, membre de l'Académie de Belgique.

Boxer, membre de l’Institut, à Paris.

SÉéBERT, colonel d'artillerie de la marine française, à Paris.

1881

1882

1885

1884

(GC)

ANGOT, A., attaché au burcau central météorologique de France, à Paris.

WiEbEMANN, G., professeur à l’université de Leipzig.

PLanTÉ, G., à Paris.

KouLrauscH, directeur de l'institut physique de Wurz- bourg.

Quincke, professeur de physique, à Heidelberg.

Rey AxEL, professeur à l'École de médecine de Stockholm.

Rerzius, G., professeur à l'École de médecine de Stockholm.

GIORDANO, inspecteur du corps des mines, à Rome.

MENEGHINI, professeur à l’université de Pise.

Guiscarpt, professeur à l’université de Naples.

TaARAMELLI, professeur à l’université de Pavie.

LaisanT, député, à Paris.

BELTrami, professeur à l’université de Pavie.

GEsTRO, D' R., conservateur au Musée d'histoire naturelle de Gênes.

SALVADORI (comte Th.), professeur à l’université de Turin.

MascarT, membre de l’Institut, à Paris.

Bouniaxowski, membre de l’Académie des sciences, à Saint-Pétersbourg.

Hucz, Edward, directeur du Geological Survey d'Irlande.

SANDBERGER, Fridolin, professeur à l’université de Wurz- bourg.

Brerruor, N., professeur à l'université de Louvain.

Mirrac-LerFrLer, G., professeur à l’université de Stock- holm.

GouÈs TeixEira, F., ancien professeur à l’université de Coïmbre.

BiERENS DE Han, D., professeur à l’université de Leide.

TRINCHESI, professeur à l’université de Naples.

GERONo, C., rédacteur des Nouvelles annales de mathéma- tiques, à Paris.

De HEen, P., correspondant de l’Académie royale de Belgique, à Louvain.

(CV)

1885 Scaur, Fréd., professeur à l’université de Leipzig. HazPHeN, membre de l'Institut, à Paris. Picquer, répétiteur à l'École polytechnique, à Paris. pE LonGcHamps (Gohierre), professeur au lycée Charle- magne, à Paris. VanËGER, J. S., professeur, à Jicin (Bohème). CesARo , E., professeur à l’université, à Palerme.

LISTE

DES

SOCIÉTÉS SAVANTES, REVUES, ETC.

AVEC LESQUELLES LA SOCIÉTÉ DES SCIENCES DE LIÈGE

echange ses publications.

BELGIQUE.

Bruxelles. Académie royale des sciences, des lettres et des beaux-arts de Belgique.

Observatoire royal.

Société entomologique de Belgique.

Société malacologique de Belgique.

Société royale belge de géographie.

Société belge de microscopie.

Musée royal d'histoire naturelle.

Liège. — Société géologique. Mons. — Sociélé des sciences, des lettres et des beaux-arts du Hainaut. ALLEMAGNE.

Berlin. — Aôünigliche Akademie der Wissenschaften. Deutsche Geologische Gesellschaft. Entomologischer Verein. Zeitschrift für die gesammten Nalurwissenschaften.

Naturhisiorischer Verein der Preussischen Rheinlande und Westphalens.

Bonn.

( XVII

Breslauw. — Schlesische Gesellschaft für vaterländische Cultur.

Colmar. Société d'histoire naturelle.

Hrlanmgem., — Physikalisch-medicinische Societät.

Frameforé. — Senckenbergische naturwissenschaftliche Gesell- schaft.

E'ribouræ.

Maturforschende Gesellschaft. Giessemn. — Oberhessische Gesellschaft für Natur- und Heilkunde.

Gérliéz. — VNalurforschende Gesellschaft. Oberlausitzische Gesellschaft der Wissenschaften.

Géttingue. — Xôünigliche Gesellschaft der Wissenschaftien und Georg-August-Universilüt. Halle.

Naturwissenschafilicher Verein für Sachsen und Thü- ringen. Natur/orschende Gesellschaft. Kaiïserliche Leopoldinisch -Carolinische Deutsche Akademie der Naturforscher. Kiel.

Naturwissenschaftlicher Verein. Känmigsherg. — Aünigliche physikalisch-ükonomische Gesell- scha/t.

Kandshut. Botanischer Verein.

Leipzig. — Vaturforschende Gesellschaft.

Metz. — Académie des lettres, sciences, arts et agriculture.

Mumieln. — Xüniglich Bayerische Akademie der Wissenschaften. Kôünigliche Sternwarte. Munster. — IWest/älischer Provincial-Verein für Wissenschaften und Kunst. Offenbaelh. — Offenbacher Verein für Naturkunde.

Stedtéimn.

Entomologischer Verein.

Stuttgart. Verein für vaterländische Naturkunde in Wür- temberg.

Wiesbadem. — Vassauischer Verein für Naturkunde.

WWurzhourg. — Physikalisch-medicinische Gesellschaft in Würz- burg.

Zwickau. —- Verein für Naturkunde.

(ru:)

AUTRICHE-HONGRIE.

Hermannséadé. — Siebenbürgischer Verein für Naturwissen- schaften.

Innspruck. — Vaturwissenschaftlich-medicinischer Verein.

Pragwe.

Küniglich bühmische Gesellschaft der Wissenschaften Kaiserlich-Künigliche Sternwarte.

Vienne.

Kaiserliche Akademie der Wissenschaften. Kaiserlich-Künigliche zoologisch-botanische Gesellschaft. Kaïserlich-Künigliche geologische Reichsanstalt.

ESPAGNE.

Madrid. Real Academia de Ciencias.

FRANCE.

Béziers. — Sociélé d'étude des sciences naturelles.

Bordeaux.

Académie des sciences, belles-lettres et arts. Société linnéenne. Sociélé des sciences physiques et naturelles.

€aem. — Société linnéenne de Normandie. Cherbowrg. — Société des sciences naturelles.

Dijon. — Académie des sciences.

Hälle. — Société des sciences, de l’agriculture et des arts. Lyom. — Académie des sciences.

Société d’agriculiure. Société linnéenne. Montpellier. — Académie des sciences et lettres. Naney. — Société des sciences (ancienne Société des sciences nalu- relles de Strasbourg).

Paris.

Société géologique de France. Société Philomatique. Muséum d'histoire naturelle.

(xx)

Rouen.

Société des amis des sciences naturelles. Académie des sciences.

Académie des sciences.

Socteté des sciences physiques et naturelles.

Toulouse.

Hroyes.

Société académique de l’Aube.

Agen.

Société d'agriculture, sciences et arts.

GRANDE-BRETAGNE ET IRLANDE.

Dublin. — Royal Irish Academy. Royal Society.

Édimbourg.

Geological Society.

Londres.

Geological Society. Linnean Society. Royal Society.

Giasgow. — Geological Society. Natural history Society. Philosophical Society.

Manchester. — Litierary and philosophical Society.

ITALIE. Bologne. — Accademia delle Scienze. Catane. — Accademia gioenta di scienze natural. Gênes. — Osservatorio della R. Universila. Modène. — Societa dei naturalistr. Naples. — Societa Reale. Palerme. — /slituto tecnico.

Sociela di scienze naturali e economiche. Circolo matematico.

Pise. — Societa di scienze naturali.

Rome.

Bulleltino di bibliografia delle scienze matematiche, publié par le prince B. BoncompAGnr.

Reale Accudemia dei Lincei.

Accademia pontificia de” Nuovi Lincer.

R. Comitato geologico d'Italia.

(ts)

LUXEMBOURG.

Luxembours<.

Institut royal grand-ducal, section des sciences naturelles et mathématiques.

NÉERLANDE.

Asmsterdam,. — Xoninklijke Academie van wetenschappen.

Harlem. — Société hollandaise des sciences. Musée Teyler.

Rotterdam. — Bataafsch Genootschap der proefondervindelijke wijsbegeerte. Delft. — École polytechnique.

PORTUGAL.

Coïmbre.

Journal des sciences mathématiques et astrono- miques, rédacteur : M. Gomès TeIxEIRA.

Lisbonne. — Académie des sciences.

RUSSIE.

Helsingfors. — Société des sciences de Finlande.

Moscou.

Société impériale des naturalistes.

Saint-Pétershourg. — Académie impériale des sciences. Société d'archéologie et de numismatique. Société entomologique.

Société impériale de minéralogie.

SUÈDE ET NORWÈGE. Bergen. — Museum. Christiania. — Kongelige Frederiks Universilet. Stockholm. — Académie royale des sciences. Nordist medicinskt Arkiv, directeur : D' AxEL KEY. Entomologiska füreningen. Acta mathematica, rédacteur : M. MITraG-LerFLer.

( xxn1 )

SUISSE.

Berne. — Vaturforschende Gesellschaft. Société helvétique des sciences naturelles.

Neuelhñétel. — Societé des sciences naturelles.

Schafhouse. — Vaturforschende Gesellschaft.

AMÉRIQUE.

ÉTATS-UNIS.

American Association for advancement of sciences. Baltimore. — American Journal of mathematics. Johns Hopkins University.

Boston. — American Academy of arts and sciences. Sociely of natural History.

Cambridge. — Museum of comparative z0ology. Columbus. — Ohio State agricultural Society.

Niadison.

Wisconsin Academy of sciences, letters and arts.

New-Havemn. — Connecticut Academy of arts and sciences.

Newport. — Orleans County Society of natural sciences. New-York. — Academy of sciences. Philadelphie. — Academy of natural sciences. American philosophical Society. Wagner Free Institute of sciences.

Portland. — Vatural History Society.

Salem. The American Naturalist. Essex Institute. Peabody Academy of sciences.

San-Frameiseo. — Californian Academy of sciences.

Smilhsonian Institution.

XV ashington.

GUATÉMALA.

Guatémala. Sociedad economica.

( XXII })

MEXIQUE.

Tacubaya. — Observatoire national.

RÉPUBLIQUE ARGENTINE.

Buenos-Ayres. — Universidad.

ASTR.

INDES ANGLAISES.

Caleutta. — Asiatic Society of Bengal.

INDES HOLLANDAISES.

Batavin. — Xoninklijke natuurkundige verceniging in Neder- landsceh Indië.

AUSTRALIE.

Hobart-Towm. — Tasmanian Society of natural sciences. Melbourne. — Observatoire.

Sydmey. — Linnean Society. Royal Society of New South Wales.

ALLOCUTION

PRONONCÉE DANS LA SALLE ACADÉMIQUE DE L'UNIVERSITE DE LIÈGE

LE 7 DÉCEMBRE 1SS4

Mespames, MEssiEURs,

L'émotion me rendrait absolument muet, si je n'avais eu la précaution de préparer, à l'avance, quelques paroles de remerciements pour les honneurs dont vous m'accablez. Elles sont loin de rendre ce que j'éprouve; mais vous connaissez la maxime : Si la lettre tue, l’esprit vivifie.

Je dois, avant tout, rendre grâce à ceux qui ont eu l’idée de cette manifestation, si glorieuse pour moi; et, en particulier, à M. Demaret, le jeune et zélé Président du Comité d'organisation. En second lieu, je prie mon illustre ami Tchébycheff, et MM. Folie, Mansion, Neuberg, Le Paige, … mes savants Confrères, d'agréer l'expression de ma reconnaissance. Malheureusement, quelques-uns de ceux que j'aurais voulu voir ici n'y sont pas. M. Hermite, Président d'honneur, et le plus éminent des Géomètres français, aurait voulu assister à cette cérémonie : des devoirs impérieux le retiennent à Paris. M. le général Liagre, qui ne manque jamais de me prouver sa vive affection, m'avait promis de nous présider : des circonstances doulou- reuses l’empéchent de quitter Bruxelles. Ce matin même, j'ai reçu de mon vieux camarade Tresca, mon ami depuis plus de cinquante ans, une triste lettre : la maladie l'empêche de venir (*). Enfin, M. Souillart, Professeur à la Faculté des sciences, de

(*) Il est mort l’année dernière, après m'avoir, peut-être, sauvé la vie! (Décembre 1886.)

QE)

Lille, et délégué par la Société des sciences, est également retenu par une indisposition.

Vous avez devant vous, Messieurs, le chef-d'œuvre qui met le comble à la réputation dont jouit, si justement, M. Delpérée. L'habile artiste me permettra d'ajouter, à vos chaleureux applaudissements, mes plus vives félicitations.

Enfin, je vous remercie tous, amis connus ou inconnus, vous qui, après avoir rendu possible cette fête, en rehaussez l'éclat par votre présence !

Je serais coupable d'ingratitude si, dans cette rapide énumé- ration, j'oubliais la Belgique, si hospitalière pour moi et pour tous les Français. Mais ce mauvais sentiment n'a jamais eu accès dans mon àâme. D'ailleurs, comment pourrais-je oublier ce que je dois à votre pays? Ne suis-je pas, pour vous, un quasi-compatriote? Ne suis-je pas né à Bruges, comme mon savant Collègue et ami vient de le rappeler ? Aussi, en toutes circonstances, j'ai manifesté l'affection que j'éprouve pour ma seconde patrie (la première, suivant M. Mansion). Permettez-moi d'en donner une preuve.

Il y a quinze ans, je venais de lire, en séance publique de la Classe des sciences, le rapport sur le concours quinquennal. M. Quetelet voulut me présenter au Roï des Belges, présent à la séance.

Après qu'il m'eut adressé quelques félicitations, je lui lançai celte apostrophe, qui l’étonna peut-être un peu : « Sire, puisque » l'occasion s’en présente, je vous dirai que j'ai trouvé, en » Belgique, le bien-être et la sécurité qui me manquaient en » France. J'en remercie la Belgique et son Gouvernement. »

Aujourd'hui, Messieurs, la situation a changé : la France est libre, sinon heureuse; mais ma reconnaissance envers la Belgique reste entière.

M. Mansion, dans son consciencieux et trop bienveillant Rapport, ne s’est pas contenté d'analyser, en excellents termes, des travaux bien arides : il a fait la biographie de l’Auteur. Permettez que celui-ci la complète en quelques points.

Si mes débuts dans la vie furent pénibles, j'ai été cependant,

(ur )

je dois le dire, heureusement servi par les circonstances : les encouragements, surtout, ne m'ont jamais manqué. Tout à l'heure, M. Mansion citait Lefébure de Fourey, à qui je dois d’être entré à l'École polytechnique; mais, dès 1827, de modestes savants avaient bien voulu s'intéresser à moi. Que ne puis-je évoquer ici les images de Lavit, de Douliot, mes excellents Professeurs à l’École gratuite de dessin! Comme je les aimais! Comme ils m'aimaient ! Mais je suis forcé d’abréger.

Encore gamin de Paris (bon gamin!), j’ai vu Legendre et j’ai connu Bouvart : parfois, je fus aide (bénévole) de Hachette et d'Ampère. Après ma sortie de l'École polytechnique, je suis devenu le disciple et l'ami de Liouville, de Sturm, de Lamé, d'Arago, de Chasles. Plus tard, Poisson, Cauchy, Dirichlet, Jacobi, Steiner, Poncelet m'ont accueilli avec une grande bienveillance (*). Deleurs savantes lecons, de leurs entretiens, il est resté quelque chose. Il n’en pouvait être autrement : depnis des siècles, l'influence des milieux est incontestable et incontestée. Le poëte Saadi n’a- til pas fait parler ainsi une humble plante : « Je ne suis pas la rose, mais j'ai vécu dans son voisinage »? Pour moi, ne pouvant m'élever au niveau de mes illustres maitres, j'ai tâché, par reconnaissance, de ne pas rester trop au-dessous d'eux.

Deux passions, Messieurs, ont surtout rempli ma vie : la Politique militante et la Mathématique, comme on disait autre- fois. Un discours sur la Politique serait de mauvais goût, serait déplacé dans cette enceinte. Puis, nous ne serions peut-être pas d'accord, vous et moi. Il n'en sera pas de même, j'en suis convaineu, si je soumets à mes chers élèves, anciens et nouveaux, non une Dissertation sur les délices des Mathématiques (cela

(*) Par suite d’un inexplicable oubli, cette liste ne contient pas le nom de L. B. Francœur, Professeur à la Sorbonne, dont les ouvrages et les lecons furent si utiles au futur Élève de l'École Polytechnique! Vers la fin de sa carrière scientifique, cet excellent Maître me fit l'honneur et l'amitié de me désigner comme son suppléant : j'ai fait, en cette qualité, une lecon. Mais un célèbre Agrégé de Facullé vint se mettre à la traverse, et voulut suppléer M. Francœur malgré M. Francœur. L’honorable Professeur, juste- ment blessé, acheva son cours; après quoi, il donna sa démission.

Qi)

nous ménerait trop loin), mais quelques réflexions, bien simples, relatives au travail intellectuel.

Beaucoup de jeunes gens, surtout les aspirants à un diplôme, s’imaginent que, pour arriver, il suffit de faire, de temps en temps, un effort extraordinaire. Îls se trompent. Pour atteindre un but, même quand on l’aperçoit nettement, rien ne sert de marquer le pas : il faut marclier, marcher constamment. Ici, les exemples et les autorités abondent.

On demandait à Newton : « Comment avez-vous découvert la gravitation » ? — « En y pensant toujours », répondit le grand homme. Après avoir rapporté cette anecdote, Voltaire ajoute : « C’est le secret de toutes les grandes découvertes : le génie, » dans les sciences, ne dépend que de l'intensité et de la durée » de lattention dont la tête d’un homme est susceptible ». C'est presque la pensée que l’on attribue à Buffon : « Le génie est une longue patience ». Enfin, Gauss, vous le savez, avait adopté cette devise : « Pauca, sed bona », qu'il appliquait à son travail quotidien. Il est vrai que Pascal, à l’âge de dix-sept ans, décou- vrait l’hexagrammaticum mysticum; mais, dans les sciences comme dans les lettres, Pascal a été un phénomène unique.

Si le travail modéré et continu est le plus sûr moyen de déve- lopper les facultés cérébrales, il a d’autres effets, plus importants : il est le grand consolateur! Au risque d'être accusé du péché d'orgueil, je me citerai encore comme exemple. À diverses époques, j'ai éprouvé de cruels malheurs de famille, ou j'ai subi le contre-coup d’épouvantables catastrophes. Pour échapper à de tristes pensées, pour ne pas me laisser abattre par le chagrin, je me suis (passez-moi l'expression) réfugié dans le travail. I a calmé mes douleurs de père, de citoyen et de patriote. Done, mes jeunes amis, si les mauvais jours viennent, rappelez-vous que la vie est un combat! En les attendant, travaillez avec ardeur ; et, si ce conseil de votre vieux Professeur est impuissant à vous déterminer, j'y ajouterai un vœu que vous agréerez : « Puis- sions-nous, longtemps encore, travailler ensemble! »

MÉLANGES MATHEMATIQUES

PAR

EUGÈNE-CHamrzezs CATALAN,

Ancien élève de l'École polytechnique, Professeur émérite à l’Université de Liège; Associé de l’Académie de Belgique, de l’Académie des sciences de Toulouse et de la Société des sciences de Lille; Correspondant des Académies de St-Pétersbourg, de Turin, des VMyovz Lincei; Membre de la Société des sciences de Liège, de la Société mathématique de France et de la Société philomathique de Paris; Correspondant de la Société mathématique d'Amsterdam, de l’Institut national génevois, de la Société havraise d’études diverses et de la Société d’agriculture de la Marne.

« Ceci est mon testament. »

TOME DEUXIÈME.

L Fa ie

MÉLANGES : MATHÉMATIQUES.

—2Se—

XCIV. — Problème proposé par M. Steiner. (Juin 1841) (°).

On donne deux plans parallèles. Quelle doit être la figure d’un

corps touchant les deux plans, et dont la surface a une aire donnée, pour que le volume de ce corps soil maximum ? y] J'admets que cette surface est de révolution autour d’une perpendicu- laire aux plans donnés, et qu'elle est symétrique par rapport au plan de symétrie de ces deux autres plans.

Soient O le centre de la courbe méridienne; Ox, Oy les axes coor- donnés, Oy étant l’axe de rotation.

_Ona

() b 5 x OA — a,

demi-distance des plans donnés. L’aire de la surface est

sb b 2.2 f. ads 4x [| adx VA + y? = 4rl?; 0

0

l représentant une longueur connue.

(‘) A cette époque, Steiner était à Paris, et m’honorait de sa bienveil- lance. C’est, probablement, dans une conversation particulière qu’il m'a proposé ce problème.

(2) Le volume est donné par la formule

a b N=—= 2x f. cdy = 28 [| x°y'dx.

0 0

À étant un facteur constant, on doit done poser

b DA [ax VOA + ye y" | ee =}, (1)

Ainsi, avec les notations ordinaires :

UV ieyery, M—= V4 +07,

No Penn (2) VA + y° L'équation dP N—2=— dx se réduit à d 2x y à 1 = = (5) ax | 74 + y” Il en résulte ax y" SION RTC VAT y” puis CALE pr, (4)

Telle est l'équation différentielle de la courbe méridienne.

C):

(*) Je supprime les calculs suivants, devenus inutiles par suite des remarquables Notes de Delaunay et de Sturm, publiées dans le Journal de Liouville en cette même année 1841 (mais au mois d'août). D’après le théo- rème de mon infortuné Camarade, la courbe méridienne est engendrée par un foyer d’une cerlaine conique roulant sur une droite. (Mai 1885.)

(5)

XCV.

Question proposée au Concours général de 1841.

Par un point À, donné sur une courbe du second degré, on mêne une langente fixe AN et une sécante mobile AM. On trace aussi la bissectrice AT de l’angle MAN et la tangente MTN. Quel est le lieu des points M (”)?

Prenant pour axes la tangente ANx et Je diamètre Ay, nous aurons, entre les co- ordonnées x’, y' du point T, une relation de la forme

x'—2my+ny”. (1)

c = F \ _ À NO E x L'équation de la tangente en T est XX = My + Y) + nYyY.. (2)

Menons TQ, MP parallèles au diamètre Ay; soit R le point où AT coupe MP. Onia re HO RES NO API et, par la propriété de la bissectrice,

RP MP AP AM+AP Donc TQ(AM + AP)—= AQ . MP (*),

(‘) J’ignore si une solution de ce problème a été publiée.

(**) Autrement dit :

AD étant une bissectrice du triangle ABC; soient CC’, DD’ deux droiles parallèles, limitées au côlé AB. On a

DD’ CC’ AD’ AC + AC’

(4)

ou (AM + x)y'— yx’,

ou encore, étant l'angle des axes : y'Va + 2xy cos 6 + ÿ = ya — ay’. Si l’on élève au carré, cette équation devient _Y {y + 2x cos 6) = yx? — 2x'y'x. (5) Des équations (1), (2), on déduit yx'* —2y'. xx —(2my + ny*)y — Amy (y + y’) — IAnyy”,

ou yx'® — xx y —= — (2m + ny)y'°.

D'après l'égalité (5), le premier membre équivaut à y'A(y + 2x cos 0). L’équation du lieu est done, après suppres- sion de y'?,

A + n)y + 2x cos 0 + 2m = 0. (#)

Elle représente une droite.

Addition. — (Mai 1885.)

On simplifie les calculs précédents si l'on prend, pour axes, la tangente et la normale en A. x’, y étant les coordonnées du point T :

Ay® + By + x° + Dy —0 (*). (5)

L’équation de la tangente MN, polaire de T, est, par la règle connue :

(2Ay + Bx + D)y + (By + 2x)x° ++ Dy = 0. (6)

(‘) Note LIT. Cette Note renferme une faute de signe : à partir de l’équa- tion (2), on doit lire + D au lieu de — D.

Soit a k; ” X et, par conséquent, y 2k = TE 4 — £? ( / L'élimination de y’ donne à Dk Dy A+ Bh+1 (24y + Bx + 1)k + By + 2x puis (Ay + Bx + D) + 9x. k — y —0. (8)

D'ailleurs, par la formule (7) : — Ky — 2x + y = 0.

Si l’on ajoute, on obtient done, comme équation de la droite A,

lieu du point M : (A — 1)y + Bx + D —0. (9)

Cette équation prouve que la droite À a une liaison remar- quable avec le point de Frégier (*). En effet, le point de Frégier a pour coordonnées :

L'équation de la polaire de ce point est donc

D BD D° A+! A+îi A+1 ou ; (A —1)y + Bx + D — 0. (10)

Ainsi, la droite À est la polaire du point de Frégier. C’est ce que l’on peut vérifier par de simples considérations géométriques.

(*) J’appelle ainsi le point fixe déterminé par le Théorème de Frégier (Nouvezces ANNALES, t. II, p. 186. Voyez aussi la Note LII, déjà citée). (*) Mote LII.

(6)

XCVI. — Lignes de courbure d’une surface gauche. (Février 1864.)

I. AMB étant la directrice, soit MP une génératrice quelconque. T, N Désignons par a, b, c les coor-

+ données de M; par !, m, n les cosinus directifs de cette droite;

| par v la distance MP. IT est clair

É à que

x — «a + lv, — b + mov, (1)

2

a

Dans ces formules, a, b, c, l, m,n sont des fonctions, connues, d'une certaine variable w (*).

Comme dans le Mémoire cité, nous représenterons, par des accents, les dérivées relatives à w, et nous emploierons les. abréviations suivantes :

— C +: NU.

à

AZ VS, Be Yo, C= Jr

(2) = DU DE . — mz'), M— Sn — nm')a', = | ny — mz')x", (3) P — V{nm' mn)!" =! nm'—nmu')a POUTE —mn" a ù HN Q=N 1 R — Ÿ'(nb' — mc')a”

IT. Il existe, entre les quantités N, P, Q, R, une relation simple (**) analogue à

D°— À + 9Bv + Cu° — U°(**) (5) (‘) Recherches sur les surfaces gauches, p. 5.

(‘*) En 1865, je ne l’avais point remarquée. (Mai 1885.) (°**) Recherches sur les surfaces gauches, pp. 6 et 67.

(HT)

D'après les valeurs (1), il est clair que :

/ !

D QE VU, y bit mr, 7 = C + nv,

x"! 2 a’ Fr lus y" 1m b" ce m''v, z 12e c’! + n''v. Donc

(ny mz')x" — [a(b' + MT) — m(c + n'v)] (a! + lv) = [(ub"— me") + (nm — mn')v] («" + lv; puis NE Y'(nb' — mc')a" + v ÿ(nb' —- mc)" + v Sum — mn')a” + 0° > (nn — mn')l”. Dans le deuxième terme du second membre, le coefficient de vest (nd — mc'}l" + (le — na')m" + (na —1b'}n"

ie À n'! "1 / = — Ÿ (um in ue Si l’on compare la valeur de N aux formules (4), on a done la

relation annoncée : N—=R + Qu + Pr. (6)

IL. Soient f, g, h les cosinus directifs de la normale PN à la surface S. On sait que (*) . ny — MZ lz! — nx’ max — ly

pe UT ape pr

D'un autre côté, les lignes de courbure qui se croisent en P sont représentées par les équations

GE D UNE CNE dg dh.

(8)

Parmi les diverses combinaisons de ces formules, je choisirai

celle-ci : DCE Là Ÿx'dx

Judf Fi Jadf

(9)

(*) Recherches sur les surfaces gauches, p. 7.

(8)

La question se réduit à évaluer les quatre sommes indi- quées.

1° ÿ ldx = du » lu! + vdu > [+ dv.

Le troisième terme est évidemment nul. Quant au deuxième, il représente le cosinus de l’angle TMP, si, comme on peut le supposer, la variable u est l'arc AM. Admettons, en outre, que la directrice AMB soit une trajectoire orthogonale des généra- trices : alors

JE Y HET Ci =, (10) et Ÿ dx — dv. (11)

2° > QE —= > x'(x'du + ldv) = du D me = D (a + lv) = (A + 2Bv + Cv) du; ou, à cause de U — 0 : > nid Didue (12) 3° L'angle MPN étant droit, on a Z/f—0; et, par conséquent,

Suf=— TS jdt = — du Ÿ fl.

1 NU = (ny — mz)l —= = Lab" — me") + (nm — mn'}v |l.

Donc Se AIDE 1 ji FRRUIR DL = 2 — me')l (=; im — nin')a SR puis À M Didf=—- du (13)

(*) Parce que 2 (nm! — mn')l = 0.

(9) 4° S'adf= ad fx — du S fx" — dv S fr.

Dans le second membre, la première somme est nulle; la .. , M . . not deuxième égale --. Ainsi déjà :

x df[ = — du Ÿ fx! — = dr. Par la formule (3), ; (14) done D xdf = — = [Ndu + Mdv]. (15)

Rassemblant ces différents résultats, j'obtiens, au lieu de l'équation (9) : dv D'du Mdu Ndu + Mdv

ou Mdr° + Ndudv — MD°du° = 0. (16)

Telle est l'équation différentielle des lignes de courbure de la surface gauche.

IV. Admettons que les génératrices, supposées orthogonales à la directrice AMB (III, 1°), soient les normales principales de cette courbe. Alors les cosinus {, #,n sont proportionnels à a’”,b"',c'" (*).

De là résulte que

R — D (nb — onc'}a" = 0.

(‘) En effet, à cause de w — AM — 5, les cosinus directifs de la tangente MT sont a’, b’, c'; les cosinus directifs de la tangente voisine sont

a'+a”’du, b'+b''du, c'+c''du. Donc les cosinus directifs de la binormale sont proportionnels aux binômes

b'c'’ Dar c'b”?, c'a’’ 2. a'c”’, a'b!’ ts b'a/';

etc.

(10)

Cela posé, considérons les deux lignes de courbure MC, MC! qui se croisent en M. Pour ce point, v — 0; donc

D°=A—I(), N—0. L'équation (16) se réduit à dv? — du? — 0.

Celle-ci exprime le théorème suivant, qui n'a peut-être pas été remarqué :

Les lignes de courbure de la surface gauche, lieu des normales principales d’une courbe GC, rencontrent la directrice sous un angle de 45°.

La réciproque est vraie :

Si les lignes de courbure d’une surface gauche coupent, sous un angle de 45°, une trajectoire orthogonale des génératrices, ces droites sont les normales principales de la courbe.

En effet, Æ 1 étant les racines de l'équation (16) (*”*), on doit avoir R — 0, ou

V'(b'e— cb} = 0.

D'ailleurs, <e

D at = Ù

Or, ces équations sont vérifiées par Rio ho, ie Ro

Done les cosinus directifs de MP sont proportionnels à UM NLRENCIE

Addition. — (Mai 1885.)

V. Lorsque v—0, N—R, D— 1; et l'équation (16) se réduit à Mdv° + Rdu dv — Mdu° = 0. (17)

(‘) A cause de a?+b?+c* = |.

(*) Il est visible que, pour v = 0, É représente la tangente de l’angle formé par la tangente MT et la ligne MC.

(1)

On en conclut Peut EVR + 4M ue ‘à 2M R et M ne contiennent que w; donc le second membre est une différentielle exacte. Si l’on fait

R— — 2M coto, on trouve du | du ne 19 ADN GC 9)

VI. Dans le Mémoire cité plusieurs fois, j'ai donné (p. 67), comme équation du lieu des points pour lesquels la courbure moyenne est nulle :

Pr + Qu + R —

La condition nécessaire et suflisante pour que AMB soit une de ces lignes, est donc R — 0. En conséquence (IV) :

Toute courbe & est une ligne de courbure moyenne nulle, rela- tivement à la surface engendrée par les normales principales

de C (*).

VIL. Remarque. — Au moyen de cette proposition, le théorème démontré dans le paragraphe IV devient évident.

En effet, la somme des courbures des sections principales en M, égale à la somme des sections normales dirigées suivant MT et suivant MP (**), est nulle. Donc la formule d'Euler se réduit à

il k (cos sine) 10; l

et il en résulte (CEE (EE

() Berrrann, Journal de Liouville, t. XV, p. 554.

(**) D'après la formule d’Euler.

(°"") Cette démonstration est celle dont j’ai fait usage pour déterminer les lignes de courbure de l’hélicoide à plan directeur (JouRNAL DE L'ÉCOLE PoLY- TECHNIQUE, 29e Cahier, p. 142). Par la considération de l’indicatrice, on peut encore abréger.

(12)

XCVITI. — Lignes asymptotiques d’une surface gauche.

(Mars 1864.)

I. L’équation de ces lignes est, généralement,

idy® + 2sdxdy + rdx° = 0 (*). A cause de

dp = rdx + sdy, dq —=sdx + tdy,

elle équivaut à dpdx + dgdy = 0.

Or, d'z = pdx + qy + dpdx + dqdy; done on peut prendre, au lieu de l'équation (1) :

dz = px + qd'y.

IT. Dans le cas où la surface est gauche :

ny — ms Lz!— nx’ Pme nadia ml) ly — nz ly — nz

et l'équation (2) devient

> (ny — mz')d°z = 0. De

= GE (D (EC), on tire dx —x'du + ldv,

dx = x’'du° + 2'dudv;

(*) Recherches sur les surfaces gauches, p. 45.

(**) bid., p. 6. (*"") Voir la Note précédente.

(15) el, par conséquent, D (ny — mz')d°x = du? D (ny — mz')x" + 2dudv D (ny — mz')l'.

La première somme a pour valeur N. La seconde égale M (*). Donc, après suppression du facteur du (**), l'équation des lignes asymptoliques est

Ndu + 2Mdv = 0, (4) ou bien

(Po* + Qv + Rjdu + 2Mdv — 0 (*). (b)

[IE Pour simplifier celle-ci, posons

= —— + w, ÿ . > , expression d’où résulte

Q

1 ! dv = — - S du + dw, 2 \P

puis, au lieu de l'équation (5) :

HSE nu 2m 0

IV. Si v— 0, l'équation se réduit à

Rdu + 2Mdv — 0, (7)

Posons, comme ci-dessus (p. 11), R— — 2M coto. Alors, du | = TR TU EN (8)

AMB étant une trajectoire orthogonale quelconque, soit MG la génératrice qui passe en M. Considérons, dans le plan tangent

(‘) Page 6, formules (3).

(*) du—=0, ou w = const., représente une génératrice.

(***) Cette équation (5) n’est pas généralement intégrable; mais on la ramène à une équation linéaire : 1° lorsque R = 0; 2° quand on en connait une intégrale particulière. (Mai 1885.)

(14)

Vi GMT, la tangente MH à la se- HAE Ve conde ligne asymptotique, et les \ DA tangentes ME, MF aux sections \ 4 principales : ces deux dernières \ À Æ droites sont les bissectrices de \ 18 GMH et de son supplément. A l'inspection de la figure, IMdv et d'après la formule (8), | HMG — 9. | Quand il s'agissait des sec- JA tions principales, nous avons / trouvé (p. 11) :

du pi du … = —_ — — cot- 9. dv 9 de dv 2?

Il est clair que ces trois résultats s’accordent.

En résumé, la recherche des lignes de courbure de S se réduit à l'intégration de l'équation (5), beaucoup plus simple que l'équation (16) de la Note précédente.

XCVIIT. — Détermination d’une constante. (1876) (‘).

I. Dans son célèbre Mémoire sur les intégrales définies eulériennes (**), Binet forme, très péniblement, l'équation

2 P.T(2x) — (— 1 + 4x) P. (2x) + L (27) — 4x + 20(2x); (1)

d’où il aurait pu conclure

1 1007 jp > M. Bertrand, par un procédé tout autre, a déterminé cette

(*) Cette Note est tirée du Mémoire intitulé : Recherches sur la constante G, el sur les intégrales eulériennes. (**) Journal de l'École polytechnique, 27° Cahier, pp. 240 et 241.

(HE)

valeur; mais sa méthode est un peu longue. Voici celle que j'expose dans mon cours (*). Soit, suivant une notation souvent employée,

= JF, 155) (3) On a, par une formule connue, dont la vérification est facile :

27 Î 1 p'( (x + 1) = jf ne do FE; eo (**); (4)

æ e*—1 2 et, en conséquence, 1 gr + 1)=k +x$.x —x + Lex + o(x); ou, plus simplement, 1 eu) + fe 2) Lx x + o(r): (5)

k est la constante d'intégration, qu’il s’agit de déterminer. La formule de Legendre :

équivaut à

1 ea) — gl) — ge + À) = (x — 1) L.2 — À En (()

1 p(2x) = k + (2 — 5 L£- (2x) — 2x + 5(2x); donc le premier membre de l'égalité (6) a pour valeur :

il + (25°) 4 no x L:

il / + — 5 +20) ou) 0fr+ ©)

Fi 2

(‘) Plus exactement : que j’exposais. (") À la page 17 du Mémoire cité, on a imprimé dx au lieu de da.

(16)

. Après quelques réductions, cette égalité se transforme en

il

| += + _ m(2x)— (x) (a+) P.(2r).

2

Si l’on fait croître x indéfiniment, le premier membre tend

vers (— k) (*).

Ainsi

il k =, LE):

et enfin, au lieu des égalités (1) et (5) :

LT) = ga) = 5 L (29) + = f.x—x+ (x). (7)

IL. Remarque. — Au moyen de cette formule, l'égalité (6) se

transforme en

2) — sfr +5)=r ef ee

+ — 2 2%

(‘) À cause de

(‘*) A la page 224 du Mémoire de Binet, on lit : 1 « 2u (p+ ) + 2u(p) — 24(2p) —

1 1 1 TE = EL == 0 22p+1) 2.32p+1} s5.4{2P+1)

Avec notre notation, cette égalité devient

1 1 1 1 1 AO ELA ET Æ ——— ©

UT. @x+1) 25%2x+1) 3.4(2x+1)

ou

Done, la formule (8) ne diffère pas, au fond, de celle de Binet.

(8)

+

(17) Addition. — (Juin 1885.)

Il. La formule (8), que Binet n’a pas formellement indiquée, est done une traduction du théorème de Legendre. Si l'on

remplace la fonction a(x), de Binet, par sa valeur : "Rob EU 2 f( meute (

le premier membre de l'égalité (8) devient 5

M un nero 9 ———— | are tg — — arc te À — arctg

e2TE 1 2% x I

He D

| 2

0 LEZ

Au moyen d’une transformation bien connue, la quantité entre

parenthèses.se réduit à

6x? + x + 926°)3

DR = FE, 4a° + 2x° + 6°

Conséquemment, (6x +x + 2593 À ‘1 1 ÉPRr +2): (0 2%

——— QC Le — É CAEN 7 DNS DÉPENS

0 relation qui ne diffère, qu’en apparence, du théorème de Legendre.

IV. Elle est en défaut pour x — 0. En effet, d’après cette hypothèse, on aurait (**)

> PA JL en CEE:

0

(*) Recherches sur la constante G, ct sur les intégrales eulériennes, p. 16

C)Sillon faitz — : le dernier terme devient

Hs z 1

=

19| tt

et il est visible que la fraction tend vers zéro, quand z croît indéfiniment 9

(18)

Or, le premier membre égale

co

dg de rie eg CPS ISÈRE 0 2

0

Voici, je pense, la raison de cette anomalie. x étant supposé positif (*), les formules

SONG É L— a eo 5e (10)

sont équivalentes. Pour x — 0, elles donnent, l’une et l’autre, æ(x) — æ . Néanmoins, elles ne s'accordent plus. En effet, il résulte, de la première,

s(x) — 5(2%) = (x) —D(2x) — E — ver (2 — :| L(2x)—x;

lim [#(x) — (2x) x)|—=lim{o(x) — p(2x) | + x L. BE (2 — P.2—x 2.9 €);

— Jim [o(x:) — p(2x) | To

ou, par la relation (6):

lim [s(x) — 5 2)] =: L eo p.260)

D'ailleurs,

donc enfin

lim [s(x) — s(2x)] _ 20: (11)

(‘) Cette hypothèse est celle de Binet. (2) æ x = 0 pour x — 0.

( 19 )

Prenons maintenant la formule (10). Elle donne

| dus É É | — dx) — ————— = — p —11}# ox) — &(2x) f cm tg CL tg a 0 ou MES TE Bx s(x) —— m(2x) = NA PEL arc ts 2% + 5 0 et, par conséquent, lim [#(x) — (2x) ] = 0; (12)

ce qui est contradictoire avec la valeur (11). Si l’on adopte celle-ci, on trouve, au lieu de l'égalité (9), dans laquelle on ferait x = 0 :

et ce résultat ne diffère pas de la formule (2) (*).

() Ce n'est pas tout. Pour passer de la premiére expression de 5(x) :

à la seconde :

Binet emploie, très heureusement, la formule

© sin fx 1 et +1 1 RE d3 ER ; e27B — 1 4 ex — 1 24

u

due à Poisson; après quoi il met (x) sous la forme d’une intégrale double; etc. Or, ces diverses transformations, légitimes tant que æ est positif, n’ont plus de sens quand æ = 0. Aussi, Binet a-t-il constamment écarté cette dernière hypothèse.

(20)

V (*). D’après la relation connue 1 | LA 15! (x) — pi) = —— (6 gx) — g{1) jf mo dé 0

il est clair que : si x est commensurable, la différence o'(x) — ®'(1) est réductible à l'intégrale d’une différentielle rationnelle (°*).

XCIX. — Sur les lignes de courbure de l’ellipsoïde (**).

(Août 1868.)

I. Si2et y sont les paramètres des hyperboloïdes homofocaux avec un ellipsoïde donné, les lignes de courbure de cette surface sont représentées par À — const., p — const. Si donc l’on part d’une équation de ces lignes, ayant la forme

Adu° + Bdudv + Cdv° = 0, (1)

et que l'on effectue le changement de variables, on devra trouver, comme transformée de l'équation (1), ;

d1.du— 0. (2)

I. Supposons, par exemple, que w soit le rayon vecteur et © la distance du centre au plan tangent. L'équation est alors (") :

uvidu? — uv(a + L° + © — uw) dudo + «bd —0. (5)

(‘) Supprimé, en partie, dans le Mémoire de Saint-Pétersbourg.

(**) On lit, dans le Calcul intégral de Bertrand (p.252) : « Gauss a montré » très élégamment que la fonction (x) peut se calculer sous forme finie » toutes les fois que x est un nombre rationnel ». La proposition énoncée est fausse. Quant à la démonstration de Gauss, elle est longue, difficile et obscure.

(***) Complément des Notes LVEIT et EXT.

(“) Tome 1, page 227.

(A)

De plus : k à \ abc. = +, v—=—(), (4) Àp. et, par conséquent : abc udu = — (adà + udu), dv = — as (FX + Ad).

Au moyen de ces valeurs, l'équation (3) devient

2 2

À (ad) + udu) — ne Au

Qd} + udyu) (udi + du) + (uda + xdu) =0,

ou, après quelques réductions, (xt — p°ÿdadu — 0; (5) conformément à la remarque ci-dessus (1). IT. L'élimination de #, entre les égalités (4), donne

a°b°c° LP = GE: ÿ (6) 12v°?

Telle est donc, inversement, l'intégrale de l'équation (5);

À étant la constante arbitraire (**).

C. — Problème de Géométrie. (Juillet 1862.) On donne une suite de courbes, AB, A'B', …, représentées par

fx, y)=c, (1)

et l’on demande quel est le lieu du pied M de la normale MM’ commune à deux de ces lignes, infiniment voisines.

() Tome I, page 255. On a fait un changement de lettres. (””) Tome I, page 228.

(22)

I. Solution. — Soient x, y les coordonnées de M, et x! — x + dx, y — y + dy les coordonnées de M’. On doit avoir :

dy dy TS = se — (1, 2 TE on = (Ù A + 0.0 —10 (2) Mais dy dy ne Re dy. dy dy dx ; à dx’ dx dx dx TTC donc d l NE dx dx £ OX + —— dy = 0; (5) dx dy puis | d Là, (4 dx 3 dy = \- dx. 2 | dx / J dy ï Q) Pour développer cette équation, observons que df dy dx FN dy

et, par conséquent :

dy df df df &f dy df df df#f

Nr dy dx? dx dxdy dx dy dxdy dx dy° Dr (y REP UUAe cu) dy dy

Au moyen de ces valeurs, l'égalité (4) devient

af Es af “| .df Ê fr. of gl 5

dx dy dx? dx dxdy dy dy dxdy dx dy? ou ROMA | Gp 0) LUE TE dxdy | \dæx dy

(25) IL. Application. a — ÿ + Sax — 6. Suppression faite du facteur 5 : d Le a “

ne

Donc l'équation (5) se réduit à

y + a) (x + y) = 0.

Celle-ci représente l’axe des abscisses et la bissectrice de

l'angle yOx’. En effet, pour tous les points de la courbe donnée,

Q , d Q Q L] A7 0? situés sur Ox, la valeur de % est infinie ; et, d’un autre côté, la bissectrice dont il s’agit est un axe de la courbe (”).

III. Remarque. — Si la quantité f(x, y) est homogène, l'équation (5) l’est pareïllement,; et le lieu demandé se compose, comme dans le cas précédent, de droites passant à Porigine.

IV. Autre remarque. — Considérons la surface S représentée

LG à z = /(x, y). (6)

Alors le problème peut être énoncé ainsi :

Trouver, sur la surface S, le lieu C du pied M de la normale à deux lignes de niveau consécutives.

La projection horizontale de C est donnée par l'équation (5), ou plutôt par celle-ci :

pq(r — = sp" — q°); (7)

p;, 4, r,Ss, t représentent, bien entendu, les dérivées partielles de z. (°) Faisant ’ , 1 , , \\ / 1 æ—=(æ —7y) 7 y= (+ y) \/ 9? on trouve, comme transformée,

_ 1 x V9 [<* + y? + af — 2] — C5:

(24) V. Application. — Soit z = %° + y — 3axy (‘). L'équation (7) est, dans ce cas, 2(x"—ay)(y"—ax)(x—y)+ a(x° + y —ay—ax)\( x — y — ay + ax) —0.

Elle se décompose en x — y —=0, (8)

22° — ay)(y* — ax) + a(x° + y? — ay — ax)(x + y + a) = 0. (9)

L'équation (8) représente le plan bissecteur de l’angle formé par zOx, zOy : solution évidente. Quant à l'équation (9), si l'on fait :

X —=UCOS0, Y—=U SIN,

on la réduit à celle-ci : AS : 5 u°sin®2o + au”(sin o+cosw)(— 1 + sin 2o)— a(sinw+-cos«)—0, (10)

dont la discussion paraît assez simple.

Addition. — (Juin 1883.)

VI. Si l’on fait a” T U —= — ; @ — 8 — —») v 4 l'équation (10) devient ù : a cos” 20 D — 200 COS g — — —-— 0. (11) V2 sing

Celle-ci représente une courbe, réciproque de la précédente, et très facile à discuter.

(") Les lignes de niveau sont des variétés du folium de Descartes.

CI. — Sur une équation différentielle.

(Juin 1870.)

I. Soit (xdx — ydy) = «(dx* + dy). (1)

Posant

 /

sw +y)\/> =) \/ 5 (2)

on trouve (x dy" + y'dx'ÿ = a(dx° + dy”), (5)

ou

(a? — x°?)dy® — 2x'y dx'dy + (a — y*)dx"® = 0. (4) Soient, comme dans ma Note sur l'addition des fonctions elliptiques de première espèce (”) : Gi 4 COS U, NYN— 4 COS V. L'équation (4) devient sin? w sin? vdv? — 9 sin w cos w sin v cos vdudv + sin? v sin*udu® = 0,

ou sin & sin v(du? + dv°) — 2 cos u cos vdudv — 0. (>)

Soient encore (**) :

DIE UOTE ON; 9 4 d'où : É à 1 1 Sin # SIN v— = (cos © — cos 6), LE mUse TICE @ + COS 6),

_

| 1 du? + dv° — = (d8® + da), 2dudv — = (d8? — du);

puis cos 9. d6? — cos ode? = 0,

1 a \/ 4 faite de V/1 = sis = 0 (6)

(‘) Bulletin de l'Académie de Belgique, 2° série, t. XXVII, p. 149. (*) Loc. cit., p. 146.

ou

(26)

II. Si l’on pouvait trouver une intégrale algébrique de l’équa- tion (1), on aurait donc, pour les fonctions de deuxième espèce (à module Vi , un théorème analogue à celui d'Euler. Le

problème, s’il est possible, parait difficile.

IT. L'équation (3) représente les trajectoires orthogonales des courbes (1). D'après la manière dont cette transformée a été obtenue, il s'ensuit que : si l’on fait exécuter un huitième de révolution aux courbes (1), on obtient leurs trajectoires orthogo- nales. Autrement dit : les courbes (1) sont égales, respectivement, à leurs trajectoires orthogonales.

Addition. — (Novembre 1871.)

IV. On üre, de l'équation (3) (en supprimant les accents) :

y=— px + aVA + p'; (7)

puis, en différenciant,

l 2pdx + xdp — Re 5

ou

dx x a { Sn (8) COQ MONTE p°

L'intégrale de cette équation linéaire est

Je fais l 1 — cos — {9° — o — P : 2? 1 + cos formule d’où résulte : Sins 1 + cos pi 1 pi = 4 — ? (1 + cos po) | + cos p} PA sin? @ PU) sin Ed

— ) D = ——— 1 +p° LH (1 + cos op) ju

(27)

puis

: (1 — cos)do (10) —_—"—— — 1 4 V'; + p° (| + eus V/1—Esinte

Ainsi, la valeur (9), de x, est réductible aux intégrales elliptiques.

CII. — Une application de la théorie des solutions

singulières (*).

(Avril 1870.)

I. Soit a? + Pa + Q —0 (1)

une équation intégrale; P, Q étant des fonctions de x et de y. La solution singulière est

P?— 40 = 0 (*). (2)

Pour trouver l'équation différentielle, on élimine a entre la proposée et adP + dQ — 0; (5) ce qui donne dQ® — PdPdQ + QdP? = 0,

OU dQ .dQ\? dP .dP\ /dQ .dQ era) ef t)(Reu) (ae a va V AGE Canin |

(‘) Cette Note a paru, en partie, dans les Comptes rendus (t. LXXI, p- 50).

(**) Proposition contestée par M. Darboux (Comptes rendus, t. LXX, p. 1351); mais les cas où elle est en défaut sont excessivement rares : je crois n’en avoir jamais rencontré.

(38)

Cette équation, ordonnée par rapport à y’, devient

Ay° + By + C=—=0; () en supposant : ei dP dQ ei | = | — = DE >) 9 \dy dy dy dy

oo. un Lure ar) | dx dy dx dy dx dy dy dx mi dP dQ er | C = P—— +P dx dx dx dx |

II. Au moyen de ces valeurs, on peut former le binôme B? — ZAC, qui entrerait dans l'expression de y', tirée de l'équation (5) (*).

Toutes réductions faites, an trouve

{dP dQ dP =.

BAC DE | SRE ARE 7 ( Q) dx dy dy dx (7)

II. Au lieu des formules (6), éerivons

L

7 — Pz'6 + Qx”°, | : (68° + Qua') — P'ab + x'B), (8) 22

|

À — B C-

(

CD

La relation (7) deviendra

B? — 4AC — (P°? — 4Q)(28 — 28} (9)

(*) Évidemment, il est plus court de résoudre l'équation (4), par rap- port à

dQ dQ dx dy dP , dl — +7 — dx dy

Néanmoins, eu égard à l’objet que nous avons en vue, le premier procédé est préférable au second. (Juin 1885.)

(29)

Cette fois, &, «’, 5, B', P, Q sont des quantités quelconques,

LL numériques si l’on veut (*).

“

IV. Soient +, Ê des entiers quelconques, positifs ou négatifs, mais premiers entre eux. Si l’on détermine 4’, 6° par la condition

8 — adB— +1, on aura B? — 4AC — P?— 2Q. (10)

Soient, par exemple, & = 15, 5 — 8 : on peut prendre a —5, $ — 5. Les formules (8) donnent :

A—9—15P + 250, B— 48 — 79P + 1500, C— 6% — 104P + 1690.

Done, quelles que soient les quantités P, Q, l'égalité (10) sera vérifiée. Addition. — (Juin 1885.) V. Si P2— 40 — 1, la relation (9) se réduit à Be LAC (as 28 | (11)

Pour satisfaire, de la manière la plus générale, à la condition indiquée, il suffit de prendre

P—2+1, Q—1( + 1), (12) On peut donc énoncer la proposition suivante : Si l’on fait : A — QE + (ac — 96')a't — (&’ — B')8", B— Dax + 2{ax — af" —x'B)t + 286 —2f — xp, C— SE + (x — 2B)at — (x — B)8,

on aura B? — 4AC — (8° — «'6).

(‘) Ainsi, Ze rapport des deux rorMEes semblables, B? — 4AC, P? — 4Q, est un carré. (Juin 1885.)

(50) VI. Application. — Soient, comme ci-dessus : a—15, 8—8, x —5, p—5. On doit trouver (508 — 981 — 31) — 4(250 — 51 — 6)(AGI — 394 — 40) —1 ;

ce qui est exact (*).

CIII. Enveloppe d’un cylindre de révolution (”).

(Avril 1875.)

I. Progcèue. — Si l’axe MT d’un cylindre de révolution roule sur une courbe donnée, AMB, quelle est l'enveloppe de la surface cylindrique?

Par les considérations les plus élémentaires, on reconnait que :

1° L’intersection de deux cylindres de révolution, égaux entre eux, et dont les axes se rencontrent, est composée de deux ellipses ;

de Si les axes viennent à coïncider, l’une des ellipses se réduit à la section droite; l’autre se transforme en deux génératrices, parallèles à laxe commun, et passant par les extrémités du diamètre 2R de la section droite parallèle au plan des deux axes (***).

Par conséquent, l'enveloppe cherchée se compose de deux parties :

1° Une surface-canal 2, enveloppe d’une sphère inscrite au cylindre donné, et dont le centre décrirait AMB;

(‘) Les formules précédentes sont applicables à la résolution, en nom-

bres entiers, de l'équation X2 — 4YZ — U?;

mais il est clair que la solution directe (absolument évidente) est préférable à l’autre. (‘*) Reproduite, en partie, dans les Remarques sur la théorie des courbes et des surfaces (Mémoires DE L'Acapémie DE BELGIQUE, collection in-8°, 1875). (‘**) Plus exactement, Le diamètre dont il s’agit est la limile de celte per- pendiculaire : dans le problème actuel, ce diamètre coïncide avec la binor- male de AMB.

92 Une surface ré- ALAN glée S, dont on trouve deux génératrices GH, G'H' en prenant, sur la binormale GM6Gr, nu a MG = MG —=R, «t | B menant, par les points

G, G’, des parallèles CNE CARTE NNG AT:

IL. Soient :

œæ, y, z les coordonnées du point de contact M; a, b, c les cosinus directifs de la tangente MT ; l, m, n les cosinus directifs de la binormale MN;

p, r les rayons de courbure et de torsion de la ligne AMB.

On a, par des formules connues (*) :

l m n 1 n DER ac ab = bal om pa ein NE Lt nue mie (2) a c r

al + bm' + cn —=0, (5)

1]! ! , (AU L al + bn + cn — ——; (4)

fe

il

12 * ; [+ m° + n° — 3 ( de 6)

Considérons, en particulier, le point G, dont les coordonnées

(*) Voir, par exemple, notre Théorie analytique des lignes à double

courbure.

(‘*) Dans ces égalités, les accents désignent des dérivées relatives à l'arc

AM—s, pris pour variable indépendante. Pour la discussion des signes, voir le travail cité.

sont & + KR, y + Rm, z + Rn. La génératrice GH, passant en ce point, a pour équations

De Ce CONS OUI © étant une fonction de s, inconnue (*). Écrivons-les ainsi : X—x—Rl—ap, Y—y—Rm—0bp, Z—2z—Rn— cp. (6)

IT. Si la surface s est développable, on doit avoir, avec ces équations (6), les relations

RTE talo; — b— Rm'—= bo + L'o, (7) an Cr A — CONCEACIOE

dérivées des premières.

Comme DDC da bb cc — 10;

on conclut, des équations (7) : — 1 —RIY a —#, —RY =) GES 1 + HAN 2 = o° + DS ŒE ou, à cause des relations (2) et (5):

R? HEC R‘—9. 1 Ces

r?

(S)

SL IFS ro | ro

La troisième égalité est une conséquence des deux premières; done deux génératrices consécutives se rencontrent; ou, ce qui est équivalent, la surface S est développäble (°*).

(*) Cette fonction représente la distance comprise entre le point G et le point où la génératrice GH touche son enveloppe, si la surface s est déve- loppable.

(**) On arrive au même résultat, mais moins simplement, en considérant GH comme l'intersection du plan rectifiant avec un plan parallèle au plan osculateur.

(55)

IV. Soit P le point où la génératrice GH touche son enveloppe. D'après la valeur de o (8) : P r CPR ENT PM EE L € Or, - représente aussi la tangente de l'angle H formé par la tangente MT avec la rectifiante (*); donc le point P est l'inter- section de la rectifiante MR avec la génératrice GH.

V. PP'P''... étant l’arête de rebroussement de la surface S, soient PM, P'M', PM", les rectifiantes passant en P, P’, P", Si l’on développe la surface rectifiante, la courbe AMB devient une ligne droite amb (**). Les rabattements des binormales MG, M'G", … seront les droites mg, m'g', … perpendiculaires à ab, et égales à R ; donc la transformée de l’arête de rebroussement est une droite, parallèle à ab. Conséquemment, celte arête est une ligne géodésique de la surface rectifiante.

CIV. — Quelques identités.

(Mai 1872.)

I. Des expressions de me = = (1), (4), (5) (°°), on conclut (a? + D? + cl + mm + n°) = (al + b'm + cn); (9)

ou, par un changement de notation : (+ y + r)(x + y? + 2°) — (xx + yy + 27). (A) Dans certe identité, les quantités x, y, z, sont proportionnelles

MXN 12:

() Théorie analytique des lignes à double courbure, p. 27. (**) C’est à cette propriété que la rectifiante doit son nom. (°**) Voir la Note CHI.

(54)

Cette condition, évidemment suffisante, est nécessaire. En effet, l'égalité (A) peut être remplacée par

(yz'— zy') + (22 — 22 Ÿ + (ay — yx) = 0 ().

II. De AT EEE TE (1) on déduit

CU END ID EE ICICN VE —-% à $ a D ec be — cb”; (10) VAGÉRERDÉEE

puis, en prenant les deux autres relations de même forme que celle-ci, et faisant la somme des carrés :

NT

(a'a"+0'b'"+c'c")

(l+m°+n*)(a +0" +0?) Ÿ (be'— cb} — de peer ee (11) L'égalité (10) donne encore, en vertu de la condition li era ere =); conséquence des formules (1) : Va? +0 + PT l'a = TS (be! — cb'')a = — Ÿ (ab — ba’ je", ou SIN Ÿ (ab' — ab)en 4e

7 Vase Au moyen des valeurs (11) et (12), la relation (9) devient [ Ja] Ÿ (bc! — cb''Ÿ = D aa" | + [Ÿ (be” - cb'’}a" |"; (15) ou, par le changement de notation déjà employé : + y rt) [(ye—2y'} + (er — 02") + (ay — yr P]= (8)

(ca +y'y" +22") +] (y! —2y" rca 02") y ya" )z f°.

(‘) La relation (9) est une conséquence des formules (2) de Frenet. Inversement, si elle était connue a priori, ces formules en résulteraient.

(Juin 18385.)

(35)

III. Remarques. — 1° Dans cette identité (B), les quantités x, Y, 7, &', … sont assujetties, seulement, aux conditions

a+ +=, xx +yy +27 = 0. (14)

Effectivement, si l’on fait passer tous les termes dans un seul membre, et qu'on ordonne suivant les puissances et les produits de x", y", z''; on trouve, en ayant égard à ces deux conditions,

O — 0.

2° La relation (B) permet, dans certains cas, de transformer, en une somme de deux carrés, le produit d’une somme de trois carrés par une somme de trois carrés.

IV. Application. — Soient :

9 19 SOA a PE QUE 15 a a as nos es 0 ne Ve te

Les conditions énoncées étant remplies, on doit trouver Qh + 7° + 15° ei Ê 1 el —————— —— + ——

25 25) 7 5) © (5 = 10240157 MDAIE = + + © + — |; 25 25 25 ‘2 ou

(2 + 72 + 15?)(16? + 15° + 15°) — 950? + (6.24 + 15.7 + 225) — 950° + 7007;

ce qui est exact.

V. Autre identité. — Soient

Ji

y? ni ue |

(56)

Soient x’, v'’, 2" trois quantités quelconques. On a, identique- ment,

(a? + y + 2) [yet — 29 + (2x — 22) + (ay! — yx" jf = (a + y + 2)(x'x" + y'y" + 72) (C) + [eye — 29) + yat — ae) + ay — ya) (). Si, par exemple :

Gil, QT PSS, DS DV RS D, =), 22;

puis

on doit trouver (5° + + ONE + AG + A4 — (8 + 7° + 4°) 11° + (48 + 28 — 2), ou

(5° + 4 + 27 (15 + A6 + AA) — 88° + 77° + 44° + 74°. C’est ce qui a lieu.

VI. Remarque. — L'identité (C) réduit, à une somme de quatre carrés, le produit d’une somme de trois carrés par une sonvme de trois carrés.

Addition. — (Mars 1878.)

VII. La solution d'un problème sur le triangle (**) conduit à l'identité 4@ De? — (b° + € — a) (e° + à — b?) (a° + b° — €) —

(D? + € — a à + (c° + à — bY + (a + 7 — cd) c?,

(D)

(‘) Cette relation (C) ne diffère, qu'en apparence, de l'identité (A) démontrée à la page 22 de la Théorie analytique des lignes à double cour- bure. (Juin 1885.)

(7) Évaluer, en fonction des côtés, la distance comprise entre le centre du cercle circonscrit et le point de concours des hauteurs (THÉORÈMES ET PROBLÈMES, p. 151).

(57) dans laquelle le second membre est une somme de trois carrés,

et dont la vérification est facile.

VIIL. En voici deux autres, d’après lesquelles le cube d’une somme de trois carrés est, au moins de deux manières, une somme de neuf carrés :

(a +040) = (ab°Ÿ + (be) + (ca*) + [a(a’+0b°) )F+{c(a° 240?) l? +[0(0%+ 0?) P+fa(b"+ ct) Pc +a)1+[b(e+ a?) f — (ba) + (cb?) + (ac) +{b(b + a?) | + | c(b° + a? )F )Pæ+[a(c*+c?) | + {b(a+ ce?) + Le(c?+ b?)P+ + [a (c? +.b?) |? Œ): ] Par exemple : (1 +44 AG = +52 + + 5 + 920 + 40° + 20° + 68° + 34° — À +16 +16 + 10° + 90° + 17° + 34? + 80° + 20°, IX. Décomposition en bi-carrés. — On à, identiquement, (—a+y+z+u) + (a —y+z+u) + (x +y—z+u) + (x +y+ zu) = /} [S a +6 > Ly° — 2ryzu | ; et, si u—0 : —x+y+s) +(x—y+r + (x +y— 2) + (x +y+z) —

4[ Va + 6 > ay |.

On a aussi Ma +y +) = 4 D x + 2 » ay]. Donc, par soustraction,

—mxc+y+s) +(c—y+z) +(x+y—2) +(x+y+z)

TER 2 2 2 Q 2012 — ha? + y + 2°) + 16 x°y°. Le second membre égale

(2x + 2y° + 22°) + (hay) + (4yz) + (4zx);

(‘) On sait que (a?+b?+c?)" est réductible à une somme de lrois carrés (MÉMOIRE SUR CERTAINES DÉCOMPOSITIONS EN CARRÉS, p. 9).

(58 ) en sorte que l'identité devient

D a a nn Cd —

(22° +2y +92) + (4xy) + (y) +(4zx). ()

Ainsi, la somme de quatre carrés peut être égale à la somme de quatre bi-carrés (*). X. Suile. — Soient a— {x +y +), b—4kxy, c—4yz, d = 4zx. On tire, des trois dernières équations,

bd bc cd

DR y — Nr — c J d

puis, en substituant dans la première : 2abcd = dE + b°c? + cd? Si donc cette condition est remplie, et que les fractions P q

bd be cd

—— » — » —

€ d b se réduisent à des carrés pairs, la quantité a? + b? + €? + d?

est la somme de quatre bi-carres.

Autre addition. — (Juin 1835.) XI. Si l’on prend a—yr"—z2y", B—zal— cr, y Ty yiR les formules (15) donnent

g— xxx + y y 720) — xx + y + 2°), 0 =) Gr a SOON 2207) 07 (ae + y + 7°), (16)

PAU] ’

2 2 (ca yy Hz 20) 20e + y 20);

(‘) On ne compte pas la solution énsignifiante :

(a?) + (02) + (02) + (d*)f = af + D + ci + dé.

et le déterminant

PEAU AC ! ‘4

a(y'z""— 2/y"") + y(r'x" — 22") + AC y — Yx se réduit à zéro (*). Donc l'identité (C) devient (+ y + (xx + yy" + zz") — (22 + y + 2)[(yz" — y} + (2x — 02") + (ay + ya). |

(G)

Celle-ci réduit, à une somme de trois carrés, le produit de deux facteurs égaux, chacun, à une somme de trois carrés.

XIT. Application. — Soient

TIRER PO ONE EEE

et, par conséquent :

x——15, y——40, z—51. On a, en supprimant un facteur commun, (2 + 9 + 72) (12 + 13° + 5) — 15° + 40° + 51°. XIIL. Autre identité. — Supposons ASS CONTE EE 2 EUR (17)

Alors, en vertu des formules (16) :

x=x—x'{x+y*+zt), y—=y — y (x + y +2"), ke D — z' PR AE Fe tie me 27); | ( )

puis, au lieu de (G) : (re? + y + 22) [(yz" — 2y'Ÿ + (2x0 — 22") + (ay — ya) . — x? + y” S = A |

On peut donc, d’une infinité de manières, trouver un produit

(‘) A cause de «x + By + yz= 0.

( 40 )

égal à une somme de trois carrés, et dont les deux facteurs soient égaux, chacun, à une somme de trois carrés. Par exemple,

(A2 + 2 + 5°)(29° + 15° + 57°) = 169 + 68° + 11°. XIV. Remarques. — 1° Le premier facteur est arbitraire (*). 2° D'après les valeurs (18), on a YU TY = y TU, RL LT x, TY—YL = Ty —YE done l'identité Fe est la même chose que

(+ y +29) [er ge (ra ae) (y — y'a)

— 2° + y + 2° (**).

3° Celle-ci est, pour ainsi dire, conjuguée de la relation connue : RAR Re DECTE Zue) UT CRE ENCORE laquelle suppose

[A4

x'x'’ + DETE ae z'2 = 0. (*) Soient

et, par conséquent,

=1—(2" + y") On trouve : d—=1—5%2", y—=1—-5y", 3=—-2+5x"+y"); da EE z'y" — { _— gpl = DT) Ie 3'x!" Le x'z" = — 1 +9r" + y

AU Que, URL _ af” LEE L'! puis, en vertu de la seconde Remarque,

(2 + 12+12)[(1 — x” — 27") 24 (—1+ 2x" + y")? + (x! —: y'}] = (A 52) (41 57) 2 + a+ y)

quels que soient x”, y”

(**) Cette petite transformation à pour eflet de simplifier les calculs.

(4) Autre addition. — (Mai 1886.)

XV. En discutant l'identité (F), on trouve ces deux-c1 : (a+b+ c+ dÿ+(a+b—c—d}+{(a+ce—b—dÿ+{(a+d—b—c) — h(a+b°+c+d?), (—a+bh+c+dÿ+(a—b+c+dÿ+(a+b—c+d)+{(a+b+e—d) — 4(a°+0°+ c° + d?), évidentes et connues (*).

On en conclut les identités :

Je

nee) —_— +b° _— É a |

en + —b°— =, 2

a+ b+c'+d!i,

| (L) * re di ee = le

Gb rc +d-\ fn = Hd: + 2 \ a ne Ep — + 9

a+ b—c°+ d?\°? un

d L

qui permettent de décomposer, en carres, une somme de deux, trois, quatre bi-carrés.

Soit, par exemple, le nombre N— 5 108—1#+ 545475. On trouve

N — 49° + 64° + 929 + 16° — 49° + 59° + 16° + 8°.

XVI. Ce n'est pas tout : la relation (M) est un cas particulier de l'identité évidente :

dans laquelle

(°) Realis s’est servi de la première pour établir de remarquables théo- rèmes d’arithmétique (Wouvelles Annales, 1875, p. 219). |

(42)

CV. — Développements de l'intégrale elliptique

de première espèce. (Mai 1872) (*).

I. Pour transformer

3 d = f PEER A) (9 1 V1 — sin? o 0 je pose Lg o —= — tg 6. (2) Vb Cette formule donne sin? 6 : b cos” 8 QE Co) Re Ÿ b cos? 6 + sin°0 Fe b cos? 60 + sin? 6 0 +b F) = le 1 — c° sin pee 35 an , (lp =S 17/4 RER beos?6 + sin?4 ; bcos?8 + sin’ 0 puis Pyl 5 do LE F(c) = a ; VI — (1 — 6) cos 9][1 — (1 — b) sin* 6]

On a, par la formule du binôme :

DRASS on 1) [1 — (1 — b) cos 6] nb ner

(1 — b)" cos” 6,

l'(2p + 1)

1 — b}? sin? 6; o 4 Ty + 07 Fos

[1 — (1 — b)sin*6] FN

() Un extrait de cette Note a été communiqué au Congrès du Havre, en 1877. ("*) A cause de

cos? 0 + bsin? 0 — 1 —(1 — b)sin?6, b cos? 0 + sin? 0 = 1 — (1 — b)cos* 8.

(45) donc

= Ge Lf2n + 1)0(2p +1) Va ù Len A LEE EN ee PRE OR ART 2% ÿ sin? 4d6. F1(c) 2 10 rl (n+ 1 Tp+ DE ) FR dome

La valeur de l'intégrale est

1 j Tlmæs)r(p+:)

DUT UN Par conséquent,

Fn+1)(2p+1)7 EL (p+i ie x .(#

=> > [Ge + 1)E(p + LP (ne + p +1)

k IT. Ée fraction

il lon + 1)F Lu + :)

[TC 2 DF

égale 1.2.5...9n, — 41 55 2n—1 (n+1}n+2).2n, —-2.6.10...(4n—2) me ——— s Ver RAT (1.2.3...n) ND ONE RE) 1.2.5..n 4" V7 [(n + 1)(n + 2). 2n} = L7 12 ES EN De même

5) cu V7 [(p + 1)(p + 2). CIE

EF(p + 1) 4p 19009. (p + 1) p

Done, si l’on suppose n + p — 5, et qu'on fasse

1 (n + 1)(n + 2)... 9n.(p +1)(p + 2).….2pf a ü) HO PES ADEME "D

() Cours d’Anatyse de l'Université de Liège, p. 56. La transformation

précédente peut être effectuée de diverses manières ; par exemple, au moyen de la formule de Legendre.

on aura, au lieu de la formule (4),

Fo) =5 SP, Ep (6)

On verra, tout à l'heure, que P, est un nombre entier (*).

III. Le développement de F{(c), ordonné suivant les puis- sances du module, est

7 lire Ds9} 15:05) = 1+l-) + l— ce | —|] + et. 2 2 2.4/ 2.4.6

Si l’on fait 1 — b — 2x, il devient

7 Xe (A —x)}" | Fi(c) ac >. [Can n 1° ET") à (7)

Dans le développement de (1 — x)", le coefficient de x’ est CAC

n,p°

Donc si l’on suppose encore x + p —5s, et que l'on fasse

é tt p Des — , —S o—ÿr..rcsr 2) Pre

on aura

Conséquemment,

() Cette propriété résulte, aussi, du théorème suivant :

(a+ 1)(a + 2)... 2a .(b + 1) (b +2). 2 1.2.5...(a + b)

= entier,

si a et b sont des nombres entiers (Sur quelques questions relatives aux fonc- tions elliptiques. Seconde Note, p. 14.)

(45)

Et comme 4'Q, est un nombre entier, P, est aussi un nombre entier, divisible par 2°.

IV. Soit, pour abréger,

Fi(c) — > A,(1 — b}"; (12) et, par conséquent : JC) TS; R < nn D (D) mn), (15) d’Fi(c). c Se ; ee ar > n(n — 1)A {1 — b}"-

ANSE + 5 D nA, (1 — by ("*).

On sait que

UF 4 — 5c° dF al (a RE, Où)

b dc? ss c de

Cette relation devient, d’après les valeurs précédentes, be? S nfn — 14)A (1 — by? + (2 — 5e!) SA (1 — b"-! CD n(n—1)A(t — by? +(2— 36) Ÿ nA,(1 —b)

— 6 Y A —0— 0.

Soit encore | — b— 1; et, par conséquent :

bD—A 1, C—(2— tt, 2— 5 —9— 66 + 3;

(‘) A cause de

db c dc b (°*) La dérivée de à est c? b + — b l PÉNUTE

(°**) Lecenpre, Traité des fonctions elliptiques, t. 1, p. 65.

( 46 )

puis, au lieu de la dernière égalité,

? L EN n—1 (o ES £ 2 À nm—1 (2 — 35t + (°) > n(n —1)A N"t + (2— 61 + 50) » nA,l ; (15) Er) D Al = 0.

V. Dans le premier membre, qui doit être nul quelle que soit la valeur attribuée au nombre entier n, le coefficient de 4° est 2A, — À,; le coefficient de £ est

4Ao + 4Âo — GA, — À, + A+. Donc

Dès que » surpasse 2, le coeflicient À, est donné par la Loi de récurrence :

9n°A, — (50° — 5n + 1)A, +(n—1}A, = 0. (16)

La comparaison des formules (6), (12) donne

Donc

EP, — S(5n° — 5n + 1)P, , + 128(n—1)}P,,—0. (17).

Par la formule (5), on trouve

après quoi l'équation (17) donne, successivement : D, = A), D S06 P,— 10 816, ….

On a done le théorème suivant, qu'il serait, croyons-nous, très difficile de démontrer directement :

Soient une suite de nombres P,, P,, P,, …, dont les deux

(47)

premiers sont À et 8, et dont les autres, à partir de n — 2, sont déterminés par la formule :

8 Û P, ZE ne [(5n° 0 Jon ve 124 man 16(n — 1 JE P,_:] G

Tous ces nombres sont entiers (*).

VI. La comparaison des formules

jee nice Ÿ [Cun_u. Re de 1} o 4 (8)

ET

P, = 2".4"0, (11) prouve que

— — ñn p': = 22 > (— 4)? [Con y, ICE p° lo < P < : ou

Ée 9n Sr [ Con, 2 RE. 4 © [ Con», ie (Cour ait 4° [Can - 4, ne C, 2, 2

(18) DE 4 Con 6, ns] Cnes Fi OS

Nous avons ainsi l'expression générale de P,, ou de l'intégrale

(‘) M. de Jonquières, à qui j'avais indiqué quelques-uns des résultats précédents, a eu la patience de calculer les valeurs de P,, jusqu’à n — 17. Les voici :

I 19 1 st se Î LC [2] = 8 S ie I Le

P 9,969, P,— 210.1 781, P, —95,5055, P,—210.558 577, P,=—915.599 569, P,,=— 916,4 506 645, : P—2.7816895, P,,— 915.220 011 095, P,, = 29.412 401 885,

P,,— 2.35 133613 605, P,, — 225.5 850 156227, P,,— 215,2 806 908 617 417, P

Les recherches de ce savant Géomètre sont l’objet d’une Note communi- quée à l’Académie des sciences, et publiée dans les Comptes rendus (séance du 10 août 1885).

(48)

particulière de l'équation (17), relative à P, — 1, P, — 8. Si, dans cette formule, on prend n — 4, on trouve

P, sn se) me) — = —————— |) — 4. ———| 5 +16 16 PONS 1915 1.9

— 70° — 4.20°.5 + 16.6 — 4 900 — 4 800 + 576 — 676;

puis P, — 10 816, comme ci-dessus. VII. Le second membre de la formule

ds 2

de

PC | an ° V1 — (1 — 6) cos’ o][1 —(1 —6)sino] @)

0 ï

T a de dé V'b+(1—06)sin6cos a , V4b + (1 — D} sin? 2%

0

& dx 5e 2 dx Vab+(—0b)sinx V/(1 +0) — (1 —b)eosx 0 0

x — : — CRE —— (). 1 + b V/1 É — 2 in MES He :

0

CS

Ainsi : ; © 1 TS Om 5 19 je À + 5 G + ) (5 relation connue (**). (°) On fait ; 20—= %, puis T TXT = 5 Ne.

(*) Lecenpre, t. |, p. 79.

(49)

VIII. Remarque. — Si, dans la même formule (5), on change b en — b, on obtient, semble-t-il :

F(c) = meer À VT1 — (A + b) cos’ 8][1 — (1 + b) sin° 5]

Mais le second membre n’est réel que pour les valeurs de 0 satisfaisant aux conditions :

1 I cos” 6 Æ TL > sin°8 << DATE € (20) TRUE j

La première équivaut à

Par conséquent, si l’on fait

k D k il sin a = \/ > Sin B — ——— ; 1 +0 V1 +b

on doit substituer, à l'égalité ci-dessus : 7E de Fi(c) = D eme es ee — (9) VE — (4 + b) cos 0][1 — (1 + b) sin? 6] X Moyennant ce changement de limites, l'intégrale F,(c) est développée suivant les puissances de 1 + db (*).

(*) Les conditions de convergence, relatives à la nouvelle série, sont celles qui viennent d’être écrites.

( 50 )

Addition. — (Juillet 1877.)

IX. Reprenons la formule

1 8gp——tg 0, V’b

QC]

(2) plus simple que celle de Lagrange | te (pi — 9) — bis 0. En l’écrivant ainsi : ; wa =Vbtso, (22) : et en supposant 10 “EE Let 2 valeur d’où résulte, comme on sait 21/b ” = (24) on trouve aisément Vb . Fi(c) TR Fi(c), (25) 1 puis D ET rer or ©) (26) Qua vel IST

nd » augmente indéfiniment, le premier membre tend La limite de b, est 1. Donc

2 [FT — = lim (bbsb, …). (27) X. Soit b—"®. La formule (24) devient

— pr RCA

' Ë (28) 5 (P + Q)

(51)

Faisons, comme Gauss :

(Pi + q). (29)

WI —

SERA il LOL p=Vpq;, q=sb+0) m=Vh @=

De là résulte, au lieu de l'égalité (27), F È > D: [0 ne) (30) QT Qi 2 3

Les nombres p,, q,, toujours compris entre p et q, tendent, évidemment, vers une limite commune À. Pour déterminer cette limite, trouvée par Gauss, écrivons ainsi les équations (29), de rang tmpair :

Di pq; PE Piqu Pr = Prin

Il résulte, de celles-ci et de la relation (50) : ENS 5 rs (51)

XI. Les valeurs de q1, go, .… q, (29) donnent, par un caleul aussi simple que le premier :

1 Qu = [+ 4 + pq) + (pe qe) + + (pin — qd}:

La limite du premier membre est À; done

1 A -[p+q+(n—qgi+p—q++(pi—q)+]. (62

Conséquemment :

La quantité }, donnée par la formule (51), est la limite commune : 1° de p,; 2° de q,; 3° de V/pq Ve an 4° de 2 LP 5e 4 + (pa — 1) + (pa — da) + …]

XII. Des formules (51), (52), on conclut

mob nel) pale (53)

(52) La fonction Le déjà décomposée en produit indéfini (50), est donc développée en série. En outre, les deux termes des facteurs de ce produit, ou plutôt leurs carrés, sont les termes mêmes de la série; ce qui est assez remarquable (*).

CVI. — Sur la méthode des isopérimètres. (Juilles 1877) (*).

I. Des formules connues :

1 Bee “H0 T, = 9 (r ar R), R, = V’Rr, 9 Po = — (r + R;), R = V'Rir, “..

> LOI =

(s ue R,_), R, A V'R, ur, °

on conclut les deux systèmes :

Dr =R+R, 2=n+R,,...,9r, =7r, , HR;s,

ARE . CAES CAL ” CARULL o à = Rr,, R° = hi ptocce Ro Rere

puis ViHlo+ +27, =r+R +... +R, ;, R,R; . R,_; . R° —= Rire nd ou | 1 Fe (r + R) + 5 (Ri—r) + (Ro — 7) ++ (Ri—r,)], (4) PT r RSR er (2) R, R R,

Si n croit indéfiniment, les rayons r,, R, tendent vers le rayon d’une circonférence égale à 4 (***). Donc la série (1) et le pro-

(*) Abstraction faite, bien entendu, des facteurs 2 et Q.

(‘‘) Gette Note peut être considérée comme un complément de la pré- cédente.

(***) Pourvu que l’on suppose r—0, R= I. (Éléments de Géométrie, p. 184).

(55 )

. . . 2 n , duit (2) ont une limite commune, dont la valeur est =. En d'au- tres termes :

DL R) + Rene) + (Re), (5) MANN Ne ()

Addition. — (Mai 1886.)

IL. Si l’on suppose toujours r —0,R—1;7r,,etR,., sont l’apothème et le rayon d’un polygone régulier de 2" côtés, dont le périmètre égale 4. Soit c,_, le côté de ce polygone; soit «, , le demi-angle au centre. IT est visible que :

| = (or 1 - DES l Gun es Ce 9 V1 —= —= ; 1 gn—2 [l On n—1 ts Re _ 9n-1 to = 1 2 Che Dur I Re” TU RTL EE ET ES

Par conséquent, 1 T en e nie gn+i ; puis, au lieu de l'égalité (5) : " T

t ia ee ee T EE 2 °8

I T 1 T

SE fo fo 1 he)e 5 PTIT NET (7) G)

(‘) On conclut, de cette égalité (4) :

2 R RENE SE ce T1

nm Fe ("*) Cette formule, peu connue, est un cas particulier de celle-ci : Re ee ne potes n°00; en On ZE SES conséquence de celle d’Euler :

sin æ

GE Gp æ — COS — COS — COS — --- GE 2 4 S

(54)

CVII. — Sur les Nombres de Segner. (Juillet 1870.)

I. Divers Géomètres se sont occupés de ce problème : De combien de manières un polygone convexe, de n côtés, peut-il étre décomposé en triangles, au moyen de diagonales ? (*) Soit T, ce nombre de manières. On sait que

DRE UT, UT ot

Les nombres T,, considérés par Segner (*”), satisfont aux relations suivantes :

DERNIERE EN en 0) (1)

in 6 Re que ()

LA Pass rs n

[0] D'après celle-ci, T, est divisible par n, au moins quand n est premier avec 6. De plus, comme l’a trouvé Binet (”), la fonction génératrice de T, esi —_— En effet, dans le développement de cette LC quantité, le coefficient de x” est 1.5.5...°2n—1 (L., = 4", (3) 4.6.8... 2n + 2

Il résulte, de cette formule,

4n + 2

Ce (4)

C, = “ n + 2 La fraction ne diffère, de la précédente, que par le changement de » en n + 2. Et comme T; — C, —1,on a T,,, —C,..

(°) Journal de Liouville, t. HE et IV. CO Mbid CIE 505: CM) AO SUPPOSE (*) Journal de Liouville, t. IV, p. 85.

* Œ Œ

LT

En outre,

ANA x

PRE NET + Tr He HT, ox +5 (b) 2x

conformément à la remarque de Binet.

IL. On peut vérifier, directement, que G, est un nombre entier. En premier lieu, d’après la formule (3) :

2.6.10 … An —2

n

92,5.4..n +1

Or, 2.6.10… 4n — 2—(n + 1)(n + 2). 2n (*); donc He 19752539 is (n+l)(n+2)..2n El 5 n entier (+) (6) DIS N A 1.92...nX1.92..n+1 De plus, 1 132 = Ce n+2 PES n Mm,n ou DURS Er Crée (7)

III. D'après la génération des Nombres de Segner, ils doi- vent se rencontrer dans les développements qui proviennent de la formule du binôme. Par exemple, comme

AS One UE

_ arc sin Æ — >

on peut écrire : .n + 1

are sinxæ — Ÿ —— 5 n +1 " 4

(‘) Voir ci-dessus, p. 45. (”) Cours d'Analyse de l’Université de Liège, p. 48. (**) Pour # = 0, la fraction est remplacée par !.

(56)

ou bien jç2"+1

Ts ( (8)

© np + |

are Sin X — D o 2n + 1

IV. Dans l'égalité (5), changeons x en x?, puis x en;. Nous aurons

a ru nets MUR CNE NE D LTÉE puis œ x?"+? Te) Tu (9 développement par lequel nous aurions pu commencer. V. Soit y= V1 — x arc sin x; (10) et, par conséquent, X ù TS dose (11) VAE:

Il est très facile, non seulement de développer la fonction y, mais de découvrir de nouvelles relations entre les Nombres de Segner.

Posons, en effet :

2

RD DU (2

] Des relations (9) et (10), on déduit

peut être remplacée par celle-ci :

rHo=5> ()

t°

(Août 1885.)

(57) puis, à cause de A4 — Î : af + Aix + A9 + ADO TEE AT NET + (1 — x°)[SAix° + Box + 7Asxf +

+ (2n + 1)A,x + +] — 0.

Cette égalité donne, successivement :

A, F4 (15) 9.5.7 .2n +1 La fraction 2.4.6..2n —2 1 (2.4... 29n —2) 5.5.7..2n +1 (2n—1)(2n +1)1.2.5...2n —2 sn 1 À ca (An — 1)(2n + 1) Con 2, n-1 Done, par les formules (7) et (2) : A1 1 GR (| Re nd nu n(2n — 1)(2n + 1)T,4 n{n + 1)(2n + 1) Tuse

Dans le produit des fonctions (8), (9), le coefficient de

2n+1

% est

n + 1

TD RTE T, (2n + 1)4* “

1 0 à] 2 "T 5 Se 92n—1 LT + pl En mi 5 Lire CREER

ou NE — |

(CENTER

] n+1

+

| 2 das n à DT, a ; 6 mu 5 lis D ADES —— T, ul <

GER D?2n— 1

(58)

Ce coefficient égale aussi A,. Conséquemment

2 Ja n TT, AN TT, Si TS AT Sport TT 5) à) 2n — 1 15) Dry (| ER | qi Tone n(n + 1)(2n +1) Te Telle est la relation annoncée. En la combinant avec l'égalité rl PP mp à] 4n — 2 LT Di TT, + TT, + ce + Die ue alle = I INA (1) n + on trouve TS Lor lor leu oaE ñ ei 71 Eee ñn—- ARE n+ 2 2h21 5 5 4 1 CENT 1 de 2n(2n — 1) Dante 1

1 ==

(n + 1)(@n +1) “TT n(n + 1)(9n +1) Te ce qui est un peu plus simple.

VI. La méthode précédente peut être généralisée. Soient u, 0, y trois fonctions de x, telles que l’on ait

Y=UD, OU = —— 17 3 nie (17) = » BÉLRRUE » (QE (18) A cause de URL (A = = = Ù — >; y u Ù on à y — 1 v’ DENTS (49) y U

Soit encore

(59 )

Si la quantité . est algébrique, l'égalité (19) fera connaitre, de la manière la plus simple, les coeflicients A,, A9, … A,, En outre, si l’on fait varier la fonction v, on obtiendra des som- mations, en nombre indéfini.

VIT. Exemple :

Î 2x dx VA xt, u'— TU — V1 — xt ë VA — xt 0 La formule du binôme donne À x AE) AS AD ErEe U=X += — + — — + — +, 9) 45 0) E, 77700) 2,4.6 13 JL MALE PA Re Se Abo 2 Do 924. 6 DAC

Soit maintenant .

y=X + Aa + A9 + +. + A Dal + ne;

et, par conséquent,

y — A Axe + JAor + +: + (an + 1) Aa +.

y À + Ant + AQU + + Ant +... On a v” D (2 1 == x”

donc l'équation (19) devient (A — x°)[5A; + JAst + 1545x 7 + + (4n + 1)A4,, 4x0 + ..] + 2[1 + As + Aoù$ + + + A x" +. = 0, Il résulte, de celle-ci : DA, + 2 — , JA, — 54, — 0, 15A,;: — 745 — FAO O 0 (4n 25 1) A RTE (4n Se 5)Ayns TT 0, oo

2.5.7.11-- Zn —5 5.9.15.17...4n +1

Ana ET

Par conséquent

ue 5 dx D 5711. An y=V 1x" To 250 Lan D (21) V/1— x! 2 5.915...4n+1

On trouve, de la même manière,

1 A DIR NRA O 07 11.15.4n 1 1 daVi—ai=r+ +2 Y Re | \)

V1—xt 3 5.9.15.4n41 0

VIII. Développement d’une intégrale elliptique. — Considé- rons la fonction

z — Ver DENT à V1 — xi 5

La dérivée est

DACONEN à Ge | 2 ne a — + fais &

VA —% VA — x, 0 0

Par les formules (21), (22) :

ee HOTTE Te =). ce D. 9.15... 4n+1 5.9.15...4n +1

ou

k co AU A5 An 5 z a ho eee de 5.9

9.15... 4n +1

Donc Ps GE û 07.41.15... Zn —5 Ge ES AE RER ES A ; (25) 5.95 55. 9.43...4n +1 1

21 RER EI dx V1 — xt. ETS : V4 — xt 0

L (24) 1 4 EE ES RTE Ve = SR eee en DE * 5.95 53. 9.15.4n +122 +1

L'intégration . parties donne

mers — f Dee 0 | Anar | pes Fa x "> nor De 0

puis

nn F_ de Le Ja V1 — xf V2 — sin’ © "Va 2) 0 La relation (24) devient 1 ASIE 1 4% 27.11.15... 4n—54n—4 à = r (1/5 — TA D Ro (20) 5 2 DONS 5 0 Er ere D'ailleurs, F N\/5) T 1 ae LE =) à : F ne ele =—)| ee | A 566 2) — 2 2, 2 24) #7 2.2.6) > Done, finalement, T° G) ES 4 Ê D) =) | £ RE AE (ES a -l— 19 2/9 DT INOE DETAMIO RE 7.11 15..4n 5 4n —4 |

55, 9.13..4n +122 +1

( 62 ) Addition. — (Avril 1876.)

IX. D'après la formule de Lagrange, appliquée à l'équation

y = (À + e 0 (27) 6) k AU k(E+S) k(k+4)(k+5

Si l’on suppose a — 2, et que l’on change x en — 4x, on a, par l'équation (27) :

RES À De ANS y=1+ V1 kx (*), nome = (

puis, par la formule (5) :

y'= er (Dr).

Lac + Ton + Tin + Tiat + cf.

Le second membre de l'égalité (28) est, en vertu des hypo- thèses précédentes,

9 É PA Pepe eee ma 1 1.2 1.2.

Par conséquent,

[ox + Ta + Ten + Tin += x" + 7 Her 2 xt (29) X. Remarques. — 1° Lorsque k — 2, le second membre se réduit à

CRE EN VA OS PEN US 2

et l’on retrouve la relation (1).

(‘) BerrranD, Calcul différentiel, p. 520. (‘*) On prend la racine qui donne lim (y =") = 2", pour æ = 0.

(65) 2% En général, le coefficient de x°?”, dans le second membre, est

kk+n+1)(k+n +2)... (k+ 2n —1)

AVIDENS EN

2

ou Cyan, ETES Cyyon 1, n—1 :

Dans cette expression, x est supposé positif. Si n — 0, x"*! devient x", terme dont le coefficient est 1.

XI. Relation nouvelle entre les nombres T. — Pour l'obtenir, prenons l'égalité

(az + a22° + a52 + ce) = Ag! + Aurftt + Age

Le premier membre est le produit de k facteurs, dont les termes généraux peuvent être représentés, respectivement, par

as astP, …. 432”. Par conséquent, si a+p+y +. +i=k+n, (50) où à À, — Ÿ dx: Ug .. A). (31) En particulier : Ÿ nn ° Te 200 D = Crtan-1, NET Cyron_1, n—1: (52) Telle est la relation cherchée. XIL Remarque. — Le nombre des termes, dans le premier

membre, est celui des solutions, entières et positives, de l’équa- tion (50), laquelle renferme K inconnues. On sait que ce nombre égale (CE nr Qi) ;

NIIL. Application. — Soient k— 5, n — 4, Si l’on déve- loppe, directement,

(x + x° + x + Daf + 14x°),

() Note 1.

(62) on trouve, comme coefficient de x :

14.14.1+5.1.1+92.92.1+1.5.1+1.14.1

+ 5.1.1+92.1.1+1.92.1+1.5.1+92.1.2

+ 1.1.92+1.2.92+1.1.5+1.1.5+1.1.14— 90.

Le nombre des termes de cette somme est 15 — C, ,. D'un autre côté, |

Ù Toute = TiTeTs + DUT, + DLT, + DIT; + ToTeTo DO D ERA A DE Da AD D D Lee RAD Dante 0 TA

+ T,T,T, Gi me T,T; + MTS + Ti TT —1%+i+92.9+5+14+5+92+90+5+2.92+5+5

SF 14 — 90 = Cp, — Cuo,5.

Autre addition. — (Juillet 1885.) XIV. L'égalité (32) exprime ce théorème :

La difjérence entre les nombres de combinaisons de k + 2n —1 lettres, prises n à n, puis n — 1 à n — 1, est égale à la somme de produits composés de K facteurs, pris parmi les Nombres de Segner :

LIT NO AMD RU EDR

Le nombre de ces produits est celui des combinaisons de k + n — 1 lettres, n à n.

XV. D'après les égalités

NET; à À] 2 Mie ee Man de Te 2e oo (5) 2%

1 1—V1—4x

ei 2

y 4x

On à

Lx ee Tx° ne T,x° oo = =

( 65 )

ee . 1 , quantité comprise entre Ô et. Conséquemment,

2% É) >| [ RATE Li — + | — + (= HE ————— = ————————— : Ya y y nes 2

y ou 9 2x\? 2x\5 À + ss + = + es pe À + Tir + Tin + Tir y y y

Si donc, dans le premier membre de l'égalité

k k(k + 5 [oo Tan + Tea + Toni + = a+ T gr + te Le. (29)

on fait varier k, de zéro à l'infini, la limite de la somme est D + Tir + Tia + Tia + + (°).

XVI. On a vu que, dans le second membre, le coeflicient A+ À SE. de "7" est Ciio_1 n — Cros nie Si donc k+ n— 5, la somme de tous ces binômes doit se réduire à T,,.. Autrement dit :

k=s l=6

> CSV EE » Cora — Léo: (35) 4=0 k=0 ;

En effet, la première somme égale C..,(**); la seconde ést, pareillement, C. ,,, = G,,,-,; en sorte que l'égalité précédente se réduit à

T3 Te Ces, s TE Co, s—1; (54)

relation connue, facile à vérifier.

XVII. Conséquences de la formule

4kn — 6 LUE — ————— À, (2)

n n

_ (‘) Cette propriété, que l’on n’a peut-être point remarquée, ne diffère pas, au fond, de celle qui est exprimée par la relation (1). (°°) Cours d'Analyse, p. 46.

©

( 66 ) 1° Sin est premier avec 6, T, — A (n) (*).

2 Ona än — 10

n — i Donc, si n — 1 est premier avec 6, T, — I (4n — 10).

3° Si T, est divisible par un nombre premier p, Dorene à D, sans que T,_., le soit, p divise 2n — 5.

4° La plus petite Cat de n, qui rende 2n — 5 divisible par p, est S(P + D).

5° Soit T,., le dernier des nombres T,, T,,,, … divisibles par p, de manière que T,,,,, ne soit pas divisible par p. A cause de An + 4k — 6

Du on Te (55)

n + k p divise n + k.

6 On a

mais non JT (p°?). En effet, dans la suite ANS MD ET ODEETDE un seul terme est divisible par p : c’est le nombre p. 7° La plus petite valeur de n + # est p; ainsi

1 1 k=p—n=p—;(p+5)=;{(p —5). (56)

8° On a donc ce théorème :

Soit p un nombre premier, supérieur à 5. Dans la suite

(*) Remarque déjà faite (1).

( 67 )

. . p—3 ar D Ts, TD, …. TT, à y a loujours —— termes consécutifs divisibles, une seule fois, par p. L'indice du premier de ces termes est £(p + 5); l'indice du dernier est p. Autrement dit : r p—5 DROIT ru b RONO À F,, et les — termes qui precedent T,, sont divisibles par p (*).

9 Les Nombres de Segner, prolongés suffisamment, contien- nent, comme facteurs, tous les nombres premiers (**).

10° Après T,, le premier terme divisible par p est déterminé par l'équation 2n — 5 — 5p; d'où Gp + 5) N—=—(92D + ° 2 \°P 11° Le groupe des multiples de p, one par Tis,is; est composé, comme le premier groupe, de ? = termes. 1l se

termine à T,, Soit, par exemple, p — 11. Le premier groupe est

ë M TE ir Le deuxième : Ts , T ° Ta , T>. Le troisième groupe serait To Ts Ty, Ts; etc.

() Vérification :

T Tis=25.519.25.20.51, Ti—2.5.5.11.19.25.29.31, T,,—22.5.52.7.11.25.29.51, 1 T

mn *

‘) On ne doit pas oublier que T, = MN 2, et que T, = 5.

(1682)

._ CVIII. — Problème de Géométrie analytique. (Décembre 1871.)

Tracer, sur une sphère donnée, une courbe dont les tangentes fassent, avec une droite donnée, un angle de 45°.

1. Si l’on prend pour unité le rayon de la sphère, l'équation du problème est dx* +-dy° = di”. (4) Soient :

X = COS PCOSW, Y—COSPSiNe, Zz==siINnp; et, par conséquent :

dx — — cos @ sin wde — cos « sin çdo, dy = cos p. cos wde — sin & sin çdy,

dz — cos ed.

L'équation devient

V” cos? © — sin? p ; ee ————— /({/@.

do (2) cos L'intégrale de celle-ci est, comme on Île trouve sans peine, œ— u = V/9 are sin (V/2 sin o)— are sin (tg œ). G) | Il. Remarque. — Le second membre devient imaginaire si

l’on suppose o supérieur à 45°. Des considérations géométriques aboutissent à la même conclusion.

( 69 )

CIX. — Une relation combinatoire. (Juillet 1881.)

Par la formule de Clausen (*), ou par les propriétés des Nombres de Segner (*”), on a

arc Sin x MONA IG NON 5h. NÉ ARE A OA EE (1) VA — x° D y ONE

ou

Le terme général du second membre a la forme

1 a #1

2 + 1 (1 — ji Développé suivant les puissances ascendantes de x, il devient

A

SE ne 1 12 1.2

| 2k+1

EE Eee (k+1)k+2) , CORNE |

Dans la parenthèse, le coefficient de x°”7*

est (k+1)(k +2). n

4:9%..n—k

— Ce

Par suite,

arc sin x _® | il 1 1 —_— —)> l —— = C, + UGS mnt (5) VATETE 0 9 > n—1 An + 1

(‘) Traité élémentaire des séries, p. 105. (”) Voir ci-dessus, p. 56.

(70) La comparaison avec la formule (1) donne cette sommation :

| 1 | 1 Ci =Co—=C, 3 + ee Æ —22C, — SA ut ZEN In — 1 MR

/ 2.4.6... 2n (4)

= ————_—_—

Do dora orn'es 1

qu'il est facile de prouver directement.

Addition. — (Août 1885.)

Il. Soit, en général,

21 A = f (1 — x)dx, 0

n étant un nombre entier.

Il est clair que

1 ( il A — €, Eee 5 [CE Horn ae nk EN (6) Si l’on pose = à, on trouve | 1 a f (I 6)" g* dé k, 0 ; c’est-à-dire j | En + 1) F) À 1 ) k 1 lin +1)

DST A RIT ni Tfn+1+.) EE

ou ASS ot IN RSR tn CEE 6 H+ UE. Us nb (6)

La comparaison avec la valeur (5) donne

; (| c | C En | ï D ES A = —— —— C, 9 —..- ——— =" — SONT RE

— —— (7 k+1 nk+A1 (k+1) (2441)... (nk+1) (7)

(71)

CX. Sur les ovales de Descartes.

(Juin 1870.)

1. On doit, à M. Chasles, ce beau théorème : au lieu de deux foyers seulement, elles en ont toujours trois. (APERÇU HISTORIQUE.) Voici comment on peut le démontrer. |

F, G étant les deux foyers con- nus, dont la distance est h, soit M un point de la courbe. Par déji-

TT 7 V Pat / À nilion : A 2 u v

RS \ a bai

S'il existe, sur FG, un troisième foyer H, l'équation de l'ovale,

rapportée aux foyers G, H, sera

+ —|; (2)

a’, b' étant des longueurs inconnues.

Soient f, g les segments Gf, FH de la droite FG. Par un théorème d'Euler : fuÿ + go = (uw + fg). (5)

L'élimination de et de w, entre les équations (1), (2), (5), conduit à celle-ci :

v\2 É : v \? {a° £ © + quo — hb"°? £ — à + hfg, (#) a

laquelle doit être identique, si les inconnues f, g, a’, b’, ont des valeurs convenables. Autrement dit, l'égalité (4) se décompose en

fa = Nb? + fg, (5) “? b'? Ep D A (6) fa b”?

pen TN (7)

On tire, de l'équation (5),

12 __ ÿ 2 ë | b Tr — gh); (8) puis, de l'équation (6), D = 2. (a — gh). (9) a

Ces valeurs, substituées dans la relation (7), donnent celle-ci :

nes, | (10)

On en conclut 2

GR nr

de sorte que les formules (9), (8) deviennent :

Le (10) b b—+Ef() (11)

Enfin, comme f + g — h, on a encore

ba? — h°) &QhE — b?)

Pme oies (4) Les valeurs de /, g, a’, b' étant réelles et finies (**), le théorème

de M. Chasles est démontré.

Il. Remarque. — Les calculs que nous venons de développer démontrent, en outre, la propriété suivante :

(") Pour fixer les idées, supposons a et b positifs. Alors, d’après l’équa- tion (1), chacune des branches de l'ovale est une courbe fermée. Done, dans l'équation (2), a’ et b’ doivent être positifs. Alors, si a surpasse b, le segment f est positif. Dès lors, dans la formule (11), on doit adopter le signe supérieur.

Nous ovmettons la discussion complète, un peu longue.

("*) Excepté si a=Æ+b; mais alors la courbe donnée est une ellipse ou une hyperbole.

(75)

Étant donnés trois nombres à, b, h, on décompose le troisième en deux parties f, g, satisfaisant à la condition

jan LE + & == h. On fail, ensuite : an = —— ) ) —= — ° É b b

rendent identique l’équation

fu? + gv° = h{u* + fq).

CXI. — Intégration d’une équation. (Octobre 1871.)

I. Soit l'équation homogène

xdy* + (x + y)dxdy + ydx* (*). (1) y = ix donne

dx dt

FO ==) =2VrFErri

(‘) On la rencontre en cherchant les surfaces orthogonales entre elles et orthogonales aux surfaces représentées par

LIY3 = Co.

La proposée, dans laquelle x ct y seraient remplacés par x et 6, exprime la condition d’orthogonalité des surfaces inconnues. Voyez le Mémoire inti- tulé : Recherche des lignes de courbure de la surface.., p. 8.

Le problème a été résolu, d’une autre manière, par M. Serret (Journal de Liouville, 1810).

(74) Pour rendre la différentielle rationnelle, je pose

= ——— 1 PEN 0

ou

MACRO URSS Lu

=

Il résulte, de cette expression, la transformée :

dx (u+5)

NOTE =)

9

du.

La fraction égale

+ ü u u—1 u+îi L'intégrale de l’équation (5) est donc

= " Q—AIP

? x w

ou, si l’on remplace w par sa valeur

CHVAREAT ETEeC) ete

DR — 2y — 0) = 2° {R — y — x) (PR — y)

Dans cette équation, b5 remplace +, et

R = Va + y + y. Il s’agit de la rendre rationnelle. A cet effet, je multiplie les deux membres par (2R + 2y + xŸ. A cause de

ou 4R° — (2y + x) = 5x”, j'obtiens

Dai —(R — y — x) (R — y) (2R + 2y + x).

(6)

(7)

(8)

Le produit des deux carrés est, moyennant quelques réductions,

2x + Jay + 1722 y? + 16xy + By — 2R(x° + 4x y + Gay + y).

(75 )

D'autre part,

(2R + 2y+ x) 152% + 422 y +48xy +529 + 2R(7x° + 16x%y +16). L'intégrale (7) devient donc bat== (2x + Jay +172 y + 16xy + Sy) (15x+-42x°y + 48x y +32)

) 1) y +8y) il i y

— fo + ay + y)(a + ka y + Gay? + 4y°)(7x° + 16xy + 16y°) + 2R(2x' + Jay + 1720 + 16xy° + 8y)(7x° + AGxy + 16°) — 2R(A SA + 4° y + 48xy + 52°) (x + 4x°y + Cry? + y).

L'ensemble des deux premières parties du second membre étant représenté par P — 4P’, on a :

P = 26%’ + 201x°y + 6952" y" + 1 418xt y" + 1 880x°y* + 1 G48x° y” + 896xy" + 256y",

P'= 72°+51afy+ 1732" y" + 554x y + 470 y + M1 Da y + 224%" + 647,

P — 4P——2 (22° + 52" y—52y—2y")—= — xx — y)(2x° + Dry + 2y°). De même, les deux dernières lignes se réduisent à

2R(L 4° + 951 y + 2952" y? + 5281 y + 584 y" + 584x y" + 1928y°) —2R (152% + x y+ 2940 y" + 5280 y + D84x° y" + 58S4xy + 128y°)

= 2Ra'(x° + xy + y). Par suite, l'égalité (9) est transformée en

D — — (x — y)(2x° + 5xy + 2y*) + 2R(x° + «y + Y°),

ou

D + (2x +52" y — 5x y" — 2y°) + (22° + 5x°y — 5xy° —Iy5) (10) — ha + xy + y°). On à : AG + ay + y = 4° + 192 y + Dati + 28 + 2x y + 12xy$ + kw, (Bu + 5x°y — 5xÿ" — 2y°}

= ka + AD y — 5x y} — DGA y — 5% y + Dr + hp;

(9)

(160) done Be + ay + Y) — (22 + 52° y — 5xy° — y) — 27° y{x + y); (10) et, finalement, D + 2x — y)(2x° + Day + 2y°) — 27a y x + y). (A). Telle est l'intégrale de l'équation (1).

IL. Autre méthode (* ). — Si l’on pose, suivant l'usage, 2 = }, l'équation

ady® + (x + y)dxdy + ydx° = 0 4 (0) prend la forme | ? + 2p ms (19)

Celle-ci est un cas particulier de l'équation de Clairaut (*). Il en résulte

_ dx p+p+l 2 DE Re ARTE ee (15) z pps er} La fraction p° +- Pp + 1 p(p + 1)(2p + 1) se décompose en 1 1 5) _ + ————— — —— DIRES 2p +1 Donc l'intégrale de l'équation (15) est de | = (2p + 1)(p° + p) ?, (14)

et l'intégrale de l'équation (1) est le système des formules (12), (14).

(‘) On vient de voir que le procédé classique entraîne à des longueurs de calcul.

(**) I y a quelques années, M. Mansion, mon savant Confrère, a démontré ce beau théorème : Toute équation du premier ordre est réduclible à l’équa- tion de Clairaut. (Octobre 1885.)

(470)

On tire, de l'équation (12), ou de la proposée :

R — x — : R— ER FA ne ün ae rm 9 rte R — x 2y ï x ie x? + Day + 2ÿ° — (x + 2y)R p(p + En rt Per 2

x Par suite, l'équation (14) devient gx" + 2xy + 2y° — (x + 2y)RF = C[2R — x — 2yF. Multipliant les deux membres par (2R + x + 2y)5, on trouve, successivement : D2R + x + 2y)[(x° + 2xy + 2y*)(x + 2y) + a°R — (x + 2y)R°} DCS (2R + x + 2y)(R — x — 2y) — const, QR + x + 2y)[2x° + 5xy + 5y° — Qx + Iy)R] — const,

+27) 2x + xy + y) + 2R°— const,

1ot

KR + (y — x)(x + 2y)(y + 2x) = Ua? + xy + y}. (B)

Ka

Cette intégrale (B) ne diffère, qu’en apparence, de l’intégrale (A).

IL. Si, dans la proposée (1), on remplace x par «, y par G, puis que l’on fasse

ax — y", B— y — x,

on trouve que le système triplement orthogonal, déterminé par l'équation donnée, | QUAEICE (15) se compose des surfaces représentées par cette équation, jointes à celles dont les équations seraient : AS + (QY — 2° — à) (27 — x — y*) (2x — y — 7°) 5 (16) tt (x‘ re y Pa y — De a°y*) = (), D + (y — 2° — 27) (227 — 2 — y) (2x — y — 7°) 3 5

ue (ue ne y ie z4 En y°z” LE z°x? ES x°y*) Dr, 0 (*). !

(*) Serrer, Journal de Mathématiques, t. XIT, p. 249.

( 78 )

Addirion. — (Octobre 1885.)

IV. L'équation (1) est un cas particulier de celle-ci : (ax + by)dy°® + Q{a'x + L'y)dxdy + (ax + b''y) dx = 0, (18)

laquelle est linéaire el homogène. La transformation déjà em- ployée donne ap + 2a p + a”

bp + %'p +0" ie

U—=—=

ou, pour abréger, Y—=—Pz: (19)

Différenciant (*), on trouve

dx dP DO PEU. ou dx diP + p) dp —_—— —— + , x P+p P+p

équation dont l'intégrale est

(P + p)x f: dp 5 ares ne P+p 0)

Dans chaque cas particulier, la question se réduira donc à former l’intégrale d’une différentielle rationnelle.

(‘) C'est le procédé de Clairaut.

(79)

CXII. — Une application numérique. (Juin 1871.)

PROBLÈME. — Décomposer, en une somme de deux carrés, le nombre N — 175.755 — 10 185 000 756 409.

I. Je trouve :

N = 2 610 685? + 16.458 895°,

N—(75.10 411) + 16(75.10 615}, N—(75°.275) + 16(75°.155), N—(17.84 691) + 16(17. 41 835), N—(17.75.655) + 16(17.75.625), N— (17.75.99) + 16(17. 75°. 5), N—(17.4115) + 16(17. 46 921), NH 754755) A6 (17.75.2475), N— (17.75.55) + 16(17. 75°),

N — 1 563 197? + 16. 695 585%

(75.441 195) + 16(5 659. 73), N— (752.557) + 16(75°. 55).

Il. Remarque. — Les facteurs premiers de N ont la forme Au + 1.

D'après un beau théorème de Gauss (*), le nombre des décom- positions de N doit être 5 (5 + 1) (5 + 1) — 12. C'est ce qui a lieu.

(‘) Genoccui (Nouvelles Annales, 1854, p. 158).

( 80)

CXIIT. — Problème de Glenie (*).

(Janvier 1871.)

A un cercle donné, inscrire un triangle ABC, connaissant

F la base AB, et tel que l'on ait De SI Ra ns Due che La ARR AC° + BC'— 54B. 1 De 1. Soient : | a AB—%4, AO =R, RE OD ED MATE à a B BC — y. Soit, en outre, z la hauteur CP. ue û E Les équations du problème sont x + Yÿ° = 24”, (1) a + b—R?, (2) xy = 2Rz. (3)

Pour en obtenir une quatrième, qui soit simple, je m appuie sur le lemme suivant, facile à démontrer :

Le carré de la médiane CD égale le carré de la moitié de la base, plus (**) deux fois le rectangle de la hauteur par la distance du, centre à la base. je

On sait que + y —= 2{CD° + &);

(*) Scriptores logarithmici, t. IV, pp. 555 à 412. Suivant Maseres, Glenie était, « en son vivant », Lieutenant au Corps des Ingénieurs. A la fin de sa longuc dissertation, l’Éditeur des Scriptores annonce que le pro- blème a été proposé, en 1794, dans The Ladies’ Diary, et que la solution . de Glenie a paru, dans le même journal, en 1795.

(*) 11 faudrait moins, si le sommet C et le centre O n'étaient pas du même côté de AB.

(81) et lon tire, des équations (5), (4) : (x + y} = Aa + (R + b)z], a — ay + Y° —= 2[ 20° — (R — 92b)z]. Done l'équation (1) devient, après élévation au carré, La® + (R + b)z][2a° — (R — 9%6)zf — 56af. (à)

Celle-ci est du troisième degré, complète, même quand on Ja simplifie au moyen de la relation (2).

IT. La construction donnée par Glenie se rapporte au cas, très particulier, où l’on aurait

4 R—-a, b—-a. 5 5

Quand il en est ainsi, l'équation (5) est vérifiée par z — a. Il résulte, de cette valeur,

= , = eu(2+VÈ), y=u(2— VV);

puis la proposition suivante, qui résume les quatre premières pages de la Note de Maseres :

On prend, sur le rayon OE, OG — ED — {OE. Par les points D, G, on mène, à ce rayon, les perpendiculaires GC, AB. Le triangle ACB satisfait à la con- dition

AC° + BC —54B.

IL. Si l’on veut un problème analogue à celui de Glenie, et con- duisantäune équation du deuxième degré, on peut prendre celui-ci :

À un cercle donné, inscrire un triangle ABC, connaissant la base AB, et tel que AC° + BC — AB. 6

(82)

Si, dans l'équation (5), on divise par 9 le second membre, on obtient celle-ci :

[a + (b + R)z][2a* — (R — 20): = ka, (6) . laquelle est vérifiée par z —

Suppression faite de cette racine, l'équation (6), développée, devient

(R + D)(R — 2b)°2? — 5uR?— 4b°)z + 19atb — 0. || (7)

Par suite,

9 a

[S(R + 90) + V/3(R —%)(5R + 2%) |. (8)

æ

7 2R + b)(R — %)

Addition. — (Octobre 1885.)

IV. A cause de a? — R? — b?, la dernière formule se réduit à

_ R—& M9 (R=0))

Z

[SR + 26) £ V/3(R — 2%) (5R + %)](). (9)

Des équations xy—92Rz, à + y — (a + bz), on conclut c— Va + (R + b}z + Va —(R —b)z,

y=V' À + (R + 0)z — Va —(R — by:

() Pour faire disparaître le radical, on peut faire

R—2b=5f?, 5R+ 2% =; et, par conséquent,

g? — f?)(15f? + g?), etc.

1 1 R=- (+9), DE —0P), =

Mais la simplification est plus apparente que réelle.

(85 ) ou, sous une forme un peu plus simple : Vo dite + VERTE, (0 y=VTR + DR —b+:)—V(R—DR+b— 2) (11)

Dans chaque cas particulier, les formules (9), (10), (11) déter- mineront le triangle cherché.

V. Application. — Soient R —7, b — 1 ; et, par conséquent, a = 4 V3.

On trouve

1 +345);

1e

puis, en rejetant un système imaginaire :

= \/> [2 VV + À / m5 | 6 = ETS = RER = \/3 [2 VAE VE + 5V5 |

La somme des cubes est

2 \/57-V55 57—V/545[8(57—1V/3545)+6(—41+51/545)]

= \/; \/57- V/545 (5 +1V/545) . —_2%V42 1/57 —545—18.52.1/5.

Elle doit égaler 8a5 — 8.48 V/48 : c'est ce qui a lieu. VI. Remarque. — Dans le cas traité par Glenie,

x + y = AC + BC — 4a — 2AB. Conséquemment :

Si une ellipse a pour foyers les milieux F, F' des demi-axes OA,

( 84 )

OA, et que l’ordonnée d’un point M de la courbe soit égale à OF, on aura FM + FM —5FF. VII. Autre remarque. — Les formules (10), (11) donnent lieu à ce petit théorème de Géométrie :

Le triangle ABC étant inscrit à un cercle donné; soient EDF le diamètre perpendiculaire au côté AB, G la projection de € sur EDF :

1° La demi-somme des cotés AC, BC est moyenne proportion- nelle entre les segments DF, EG;

2° La demi-différence de ces côtés est moyenne proportionnelle entre les segments DE, FG.

CXIV. — Problème d’Arithmétique. (Septembre 1871.)

Combien un nombre donné, n, admet-il de diviseurs ayant la forme 4u — 1?

I. Si n est divisible par 2, la réponse à la question est la même pour et pour == : on peut donc supposer n impair.

Cela étant, décomposons » en trois facteurs P,Q,R ; le premier, composé de facteurs premiers ayant la forme 4u — 1, affectés d’exposants pairs (*); le deuxième, composé de facteurs premiers, de cette même forme, affectés d'exposants s#mpairs; le troisième, composé de facteurs premiers ayant la forme 4u + 1.

IT. Soit, pour fixer les idées, P — atbP c/d°e;. (1) Désignons par E(«, B, y, 9, e), le nombre des diviseurs de P,

ayant la forme 4u — 1.

(‘) Par conséquent, P est un carré.

( 85 )

Soit ; A = a*bf'e7'd°'ef',

l’un de ces diviseurs : la somme & + f' + y + 0 + £’ doit être impaire. Elle résulte d’une valeur paire de & + Ê' + y + 9",

jointe à une valeur impaire de &’; ou inversement.

Dans la suite SOA

il y a 3 + 1 nombres pairs et = nombres impairs. Donc E F(x, Bip, €) — F(x, 5, y, d) É + 1)

€ —)

+ Le +06 +1) +16 +1) — Fe, 8» à]

ou

F(«, B, y, d, €) = F{x, B, y, d) + TL + 1)(8+1)(y + 1)(0+41)c. (

De même, Fa, 8, y, d) = F(a, B, y) + | + 1)(8 + 1)(> + 1)9, 1 nd he e-erUb "1

| F(x, B)= F{x) + 2 (x + 1)6.

D'ailleurs,

Donc

Fa, 6,7, 0, €) = [a + (a + 1)B + (a + 1)(8+1)>

+ (a + 1)(8 + 1)(9 ++ 1)9 + (a + 1)(8 + 1)(7 + 1)(0 + 1e];

ou

1 + 2F(o, B, y, d, e) = (x + 1)(B + 1)(> + 1)(9 + 1){e + 1),

2

)

( 86)

ou enfin dl Fa, 8, 9, 3, 9) 5 (N — 1); 6 N désignant le nombre des diviseurs de P. III. Soit - Q = a #06 ct d'°e"€; (4) les exposants étant impairs. Dans la suite OMR TUEE : I b ! b 0 5 Pre il y a _. nombres pairs, —— nombres impairs. La relation (5) est remplacée par celle-ci : 1 ë AGE Por 0e) NS (à)

N’ désignant le nombre des diviseurs de Q.

IV. D'après ce qui précède : 1° le nombre des diviseurs de P, ayant la forme 4. + 1, est © (N + 1); 2° le nombre des diviseurs de Q, ayant cette même forme, est ? N° (*).

Donc :

9° Le nombre des diviseurs de PQ, ayant la forme ku — 1, est

1 1 [ON —1)N + (N + INT] = 5 NN;

% 4° Le nombre des autres diviseurs de n est : NN.

V. Si nous appelons N” le nombre des diviseurs de R, lesquels

(") Si, comme dans les Recherches sur quelques produils indéfinis, nous appelons &, l'excès du nombre des diviseurs de n, ayant cette forme, sur le nombre des diviseurs de #, ayant la forme 4u — 1, il s'ensuit que

EP ME € = 0.

(Octobre 1885.)

( 87 )

ont tous la forme 4u + 1, la réponse à la question proposée est, en conséquence, 1 RES NN'N”’. (6)

Ainsi, ordinairement, un nombre impair a autant de diviseurs ayant la forme ku — 1, que de diviseurs ayant la forme ku.+1 (*).

VI. Remarque. — Il y a exception si tous les facteurs premiers de n, ayant la première forme, sont affectés d’exposants pairs. En effet, quand il en est ainsi,

1 m—=(N—1)N"; (7) et le nombre des diviseurs de n, ayant la forme 4u + 1, est

1 y = SIN + 1)" (°) (8)

Addition. — (Octobre 1885.)

VII. La démonstration contenue dans le paragraphe IT est trop longue : nous l’aurions supprimée, si elle ne se basait sur l'identité a +(a+1)B+ (x + 1)(8 + 1)y + (x +1)(8 +1)(> + da)

+ (a+ 1)(8 + 1)(y + 1)(9 + 1e (9) = + a) + B)(A + >) + 2) + e) — 1,

à laquelle nous reviendrons bientôt (***).

() Par suite, En — 0. (””) Conséquemment, 5. = Ne ("*”*) Cette identité, que je croyais nouvelle, est due à Euler. Mon illustre ami Genocchi l’a rattachée à une formule de Nicole. (Nouvelles Annales de Mathématiques, années 1867 et 1869.) — Voyez aussi, dans le Journal de M. Hoppe (t. LXI, 1876), les Éclaircissements sur une Note relative à la. fonction $.F(x); par M. Genocchi.

(88)

Si l’on fait abstraction des facteurs premiers ayant la forme Lu + 1, il y a deux cas à distinguer.

1° n a la forme 4u — 1. Alors, à chaque diviseur ayant cette forme, il en correspond un ayant la forme contraire. Donc €, — 0.

2% na la forme 4 + 1. Comme

n — abË cd …,

la somme des exposants est paire. Dans le produit qui sert à former les diviseurs de n,

(+a+a+e.+a%)( + b + + ee + D) + + + + + ©),

substituons, à chaque terme, son résidu par 4. Nous aurons

AA + 1e HA)U A+ 1 — ee HA) A + HA)

Le produit a autant de termes égaux à + 1 que n admet de diviseurs ayant la forme 4u+1, et autant de termes égaux à — 1 que » admet de diviseurs ayant la forme contraire. Done e,—1 (*).

VIII. Remarque. — Soit, comme ci-dessus (1), Arathi

un diviseur de ». Les facteurs premiers a, b, c, …, ayant tous la forme 4x — 1, À aura cette forme, ou la forme contraire, selon que la somme

a'+B+y +.

sera impaire ou paire. D'après cela, on est conduit au Problème suivant :

Soient les k suites OMR (Da414 220 88 -

Dan 0 0 0

(‘) Cette démonstration se trouve déjà, en partie, dans les Recherches, pp. 75 et 76.

(89)

On forme les (a+ 1)(6 + 1)... (8+ 1) sommes contenant, chacune, un terme pris dans chacune des K lignes. Combien y aura-t-il de sommes impaires el de sommes paires ?

En représentant par : l'excès du premier nombre sur le second, on aura, d’après le paragraphe précédent,

HP

selon que les nombres «, G, y, …, 0 sont, ou ne sont pas, tous pairs.

CXKV. Comparaison entre deux séries. (Octobre 1885.) I. Posons : u, = (1 + &)(l + ce). (1 + 4,1), (4) S, = ++. +U,, (2) P,—={(1 + «)(1 + a) …. (1 + «,). (5)

Il est visible que S, = IDE —\) (UE (4)

Par conséquent, la somme S, converge ou diverge en même temps que le produit P,; ou, ce qui est équivalent :

La somme S, converge ou diverge en même temps que log. P,. IT. Soient, d’après cela :

ME e)10) (5)

S, = Vi + Vo + ee + U, : (6)

les sommes S genes.

” S, sont, simultanément, convergentes ou diver-

(‘) Voic l'identité (9), p. 87. Pour vérifier cette relation (4), évidente lorsque n = 1, il suffit d'ajouter w,,, à chacun des deux membres.

("*) Pour plus de simplicité, nous prenons des logarithmes népériens; mais les propositions sont indépendantes de ce choix.

(90 ) Aïnsi, les conditions de convergence de la série proposée : Ua + U + HU, + ee se réduisent à celles de la série auxiliaire : Ùy + Vo + eee + VU, + ve

Si les quantités «y, &, …,@,,.… sont positives, il en sera de même pour w, vo, …, v,. Les deux premières conditions nécessaires sont donc

lim£({+a,)=0, limfn P( +a,)] = 0().

La première équivaut à lim «, — 0 (**). Pour satisfaire à la

seconde, il suffit de prendre

il SORTE (7)

k étant une constante positive.

En effet,

ou 1 n £|1 + ee) NES COMPNIS entre VC SRS

Ces deux conditions sont d’ailleurs suffisantes; car la série dont le terme général

1 ) : VU, —= £ £ 2 |. est convergente (***).

En résumé : la série, déterminée par les formules (1), (7), est convergente.

III. Supposons, en second lieu, que les quantités «}, to, …, æ,, soient négatives, mais comprises entre 0 et — 1. Posons

CEE Be

(‘) Trailé élémentaire des séries, pp. 5 ct 17.

(**) Condition évidente « priori.

(°"’) Propriété connue, dont la démonstration résulte de la dernière , remarque.

(91)

et, afin d’avoir encore des séries à termes positifs, prenons

U, —\(1 — B)(1 — f2) . (1 me (8) S, = +Ut+e+U,, (9) PS) 620) 5) (10) Up à ({ 6) (11) Si l’on fait 5 Ba Sa nt (1 2) la série auxiliaire : — Vi — Vo — + — = 006 sera convergente. En effet, | I STORE niri : RENTE Eee

et cette dernière quantité est comprise entre » Ï 1 1 : nité— 1 2 (nt — 1}? Etc. (*). IV. De tout ce qui précède résulte la proposition suivante : 1° Les séries ayant, comme termes généraux : u, = (1 + «)(1 “e a)... (1 aa, v, = PI + a)

sont, simultanément, convergentes ou divergentes ;

(&)) En général, — (© 1 == L o

done, si x ñne surpasse pas À :

— F (1 — x) est compris entre CORRE - 1—x op ON D (USE

Je crois n’avoir vu, nulle part, cette remarque si simple et si utile.

(92)

2 Elles sont convergentes lorsque

1 D, =SE ==

‘ Did k étant une constante positive;

3° Elles sont divergentes si cette constante est nulle.

CXVI.

Problème sur l’ellipse (*). (Mars 1854.)

Parmi toutes les ellipses circonscrites à un quadrilatère, quelle est celle qui diffère, le moins possible, d'un cercle; c'est-à-dire :

Quelle est l’ellipse, passant par quatre points donnés, dans laquelle le rapport des axes soit maximum ou minimum ?

I. L'équation de toutes les coniques passant en A, B, C, D est 2hxy + ab(y — c)(y — d) + cd(x — a)(x — b) — abcd = 0 (*), (1)

À étant un paramètre arbitraire. Si nous transportons l'origine au centre Ï, cette équation

devient 2axy + aby° + cdx° —F. (2)

Les équations du centre sont, comme on sait : 2x6 + cd(2« —a—b)=0, 22 + ab(28—c—d)—0. (5)

La distance «, d’un point de la courbe, au centre I, est donnée

par la formule = à? + ÿ° + 2xy cos 6. (4)

Pour exprimer que le rayon w est maximum ou minimum, on doit joindre, aux équations (2), (4), l'égalité TX + YCOSÈ Y + XCOSO

(5)

Ay + cdx TN ag aby

(‘) Proposé dans les Annales de Gergonne (t. XVII, p. 284); résolu par Steiner (Journal de Crelle, t. A, p. 125). (‘*) Manuel des Candidats à l’École polytechnique, t. 1, p. 477.

(95)

Celle-ei représente deux droites, menées par l’origine, paral- lèlement aux axes principaux de la conique. Chacun des rapports (5) égale x + 2xy COS 0 + YU (6) 21xy + cdx° + aby* F Donc

(E — wcd)x = (u°2 — EF cos 0)y, (F — w*ab)y — (n°1 —F cos 6x ;

puis (EF — w°ab)(F — w*cd) —=(u*1 — F cos 0), (7) ou

(abcd — X?)ui — F(ab + cd — 2 cos é)u° + F°sin*9 = 0. (8)

Telle est l'équation qui donne, pour chaque valeur de , les carrés des demi-axes de la conique correspondante.

IL Admettons que les deux valeurs de w? soient positives ; désignons par x la plus grande, par » la plus petite. Le rapport Ê devant être minimum, on doit avoir y — py' —0, ou

x’, y désignant les dérivées relatives à À.

On a ab + cd — 2 cos 9 F? sin’ 4 + 7 —= = = =D Pi Et F abcd — ?? F abcd — X°

et, par conséquent,

(uw +) (ab + cd — 22 cos 6) CON abc) into ou

NE (ab + cd — 2x cos 0)° ES As en a M 0 PRO (abcd — 1°) sin 9

La dérivée du premier membre étant

7

ne == CPE 0 EH

(94)

il en est de même pour celle du second membre. Ainsi, après suppression du facteur ab + cd — 22 cos 0 (*) :

abcd cos 9 c)

ab+ cd. (0) III. Quand l'angle 0 est droit, l'équation (1) devient, à cause de } = 0,

ab(y — c)(y — d) + cd(x — a)(x — b) — abcd —0.

Le centre I est l'intersection de la perpendiculaire au milieu de AB, avec la perpendiculaire au milieu de CD.

Dans le cas général, la détermination de l’ellipse cherchée repose sur les remarques suivantes, dues, en grande partie, à l'illustre Steiner.

1° D’après les équations (5), le lieu des centres de toutes les coniques passant en À, B, C, D, est l’yperbole H représentée par

(1)

2 Les asymptotes de H sont déterminées, en direction, par

la formule ‘cd in Ve (12) x ab .

5° D'après (6), les carrés des demi-diamètres de l’ellipse E, parallèles, respectivement, à ces asymplotes, sont donnés, eux- mêmes, par cette autre formule :

u° ed + 2 cos 4 V” abcd + ab a ab + cd (5) F bed cos 0, = 7 abc | abed Æ 4 About V/ abcd + abc ee ab + cd

Ainsi, ces demi-diamètres sont égaux entre eux (**).

(‘) Ce facteur ne peut être supposé nul; car il résulterait, de cette

hypothèse, pu? + y — 0.

(‘*) Tnéorème de Steiner (Nouvelles Annales, t. IV, p. 481).

(95)

4 Les axes de E sont parallèles aux bissectrices des angles formés par les asymptotes de H.

IV. De tout cela résulte la construction suivante, assez simple :

JR 7 y ue) Ÿ 4 HA LR lb 1 pe C: ne 41 4 Le Non ( ue LE nu bee je no ei £ a 0 1 [ AT u % : Dee AMEN …. | re dd 124 De H DS D tM | X

Soit pris, sur Ox, OE —V/ab ; et, sur Oy, OF —=V/cd. Par le point E, on mène la parallèle à Oy; on prend, sur cette droite, - EG — EH — OF ; on trace OGY, OHX; et l’on prend arbitrai- rement, sur ces deux directions, ON — OM.

Sur la parallèle à OX, menée par le point N, et qui rencontre Ox en R, Oy en S, on prend NR' =T, NS'— Dxe

Si, par le milieu de AB, on tire la parallèle à OR; et, par le milieu de CD, la parallèle à OS’, l'intersection de ces deux dernières droites est le centre de E.

(96 )

V. Remarque. — D'après les formuies (5), les équations de OR’, OS’ sont, respectivement :

ab cos 8 cd cos 6

————— :— À — U, Dee TER ; TR 0 0

Ainsi, les coefficients angulaires de ces mêmes droites ont

pour valeurs :

ab + cd 9cd cos 8 M —= — ‘

PA PR, 2ab cos 4 ab + cd

La construction précédente détermine done, graphiquement, deux droites dont les coefficients sont compliqués.

CXVII. — Sur la courbe de Watt. (Avril 1872.)

ProBLÈME. — Un quadrilatère ABCD, dont la base AD est lixe, et dans lequel les cotés AB, CD sont égaux, est articulé en A, B, C, D. Trouver l'équation du lieu dé- crit par le milieu M du quatrième côté.

I. LEMME (*), — Si un quadrilatère a deux CÔléS opposés éqaux : 1° ces côtés sont également inclinés sur la médiane des deux autres cotés: 2 la projection de chacun d’eux, sur la médiane,

est égale à lu médiane.

() Énoncé et démontré dans le premier volume de la Nouvelle Corres- pondance mathématique (4874, pp. 51, 65, 161).

(97)

Menons les droites BE, CF parallèles à la médiane MO. Par le point O, menons EOF parallèle à BC. Enfin, traçons les droites AE, DF.

1° D’après la construction, BEOM, MOFC sont des paral- lélogrammes ; donc BE — OM — CF, OE — BM — MC — OF.

2° Les triangles AOE, DOF sont égaux, comme ayant un angle égal compris entre deux côtés égaux, chacun à chacun. Ainsi AE — DF. De plus, ces droites sont parallèles; car les angles OAE, ODF, alternes-internes, sont égaux.

Par suite, les triangles ABE, DCF sont égaux, parce qu'ils ont les côtés égaux, chacun à chacun. Donc angle ABE — angle DCF.

9° Les angles égaux, AEB, DEC, sont supplémentaires, à cause des situations respectives de leurs côtés. Donc chacun d’eux est droit. En même temps, les droites BE, CE, égales à la médiane (1°), sont égales et parallèles aux projections, sur MO, de AB, CD.

IT. ÉQuarION DE LA couRBE. — Soient AO — OD — &, AB— CD — b, BM— CM—c. Soient, en outre, OM = «, MOD — w.

A cause du triangle rectangle CFD, = b— FD.

Pour évaluer FD, prolongeons cette droite jusqu’à sa ren- contre, en G, avec OM. Il est clair que :

FD—DG—FG—asino—FG, FG—V/e— cos ce. L'équation demandée est donc

9 . Po Duo 1|d = D? — [a sin © — V/e — «7 cos wf,

ol

+ CR = «cos Le + Va sin © V/e? — & cos’ à. (1)

1

(98 )

Addition. — (Juin 1885.)

IT. Remarques. — 1° Cette équation (1) peut encore ètre écrite sous les trois formes suivantes :

Qu + — a — bŸ = ka (lb? — n°) sin? ce, | (2) (7 — 0) — 2(O° — n°) + (a° — €) + Qa(b°? — uw) cos 20 = 0, (3)

Qu + © — 0 — bd)

_(&)

ee eee ' 4a°c? — (n° + a? + © — b*)

2 Considérons le parallélogramme MCDH, dans lequel MH — &, DH — c. Si nous menons la droite OH, elle est per- pendiculaire à OM (I, 5°). De là résulte le dispositif suivant, probablement connu et peu pratique :

La tige DH, qui tourne librement autour du point fixe D, est articulée, en H, avec une seconde tige HM. Si les cotés d’un angle droit HOM, dont le sommet est fixe, glissent dans des ouvertures placées en H, M, l'extrémité M de la tige HM décrira la courbe de Wait.

Autre addition. — (Août 1885.)

IV. Dans le triangle DOH,

DH — OH +OD — 2%0H.0Dsine, ou © — OH + a? — 20H. asino, ou (one DE — 40H «° sin’ 0. Et comme

OH — FD — b? — n°, on a, sans calcul, l'équation (2).

V. Soit I le milieu de l'hypoténuse du triangle HOM (HI, 2°).

(99 )

La droite OT — IN — à b. Par conséquent, le mécanisme indi- qué ci-dessus peut être simplifié comme il suit :

Soient trois tiges OT, IH, HD, articulées en O, I, H, D, et dont les deux premières aient même ° » longueur ; soient O, D deux points

fixes. Si la tige IH est prolongée en IM, de manière que IM— IH, le point M décrit la courbe de Wait (*).

1M | (l l (l l »

?I

VI. Supposons OI— I1H— HD (**). Alors OIHD est un qua- drilatère dans lequel deux côtés opposés sont égaux. Done /e point P, milieu de IH, décrit une courbe de Watt.

VII. Enfin, si l’on considère la figure formée de l’heptagone articulé AEKOIHD DAC et du se articulé OKMI, les points A, O, D étant fixes, on voit que le point M, et les milieux P, KR, de IH, KL, décrivent des courbes de Watt. De plus, les deux der- nières lignes, égales entre elles, sont sem- blables à la premiere.

En effet, pour pas- ser de ABCD à cha- cun des quadrilatères ALKO, OIHD, il suffit de changer a en ;, b en 2.

(‘) Contrairement à l’opinion émise dans le paragraphe HI, M. Dwels- hauwers, mon savant Collèguc à l'Université de Liège, pense que ce petit mécanisme est nouveau ct utile.

(**) C'est-à-dire 1 ce

(°**) Tous les côtés de cet heptagonce, excepté AD, sont égaux.

( 100 )

CXVIII. — Développées, et surfaces développables. (1871-1885) L3 I. Tuéorème (*). — Si les génératrices d’une développable

sont normales à la directrice, supposée plane, > est une surface à pente constante.

On prouve aisément cette proposition, au moyen de la réduc- tion à l’absurde.

On peut, aussi, la démontrer par le caleul suivant :

Le plan de la directrice étant pris pour celui de xy, une géné- ratrice est représentée par les équations

TX —a—ûZ, y — 8 — bz, (1) dans lesquelles Ê — œ(a), et bo'(a) + a = 0. (2) Les dérivées des équations (1) sont —1— az, —®(x) = b'z. Donc, pour que deux génératrices conséculives se rencontrent, ! DT A 4 pla) =; (5) ou, par l'équation (2) bb au —"0; puis D + «° = const. (4)

Cette condition exprime que la génératrice fuit, avec le plan xy, un angle constant; etc.

II. La généralisation du théorème précédent semble être celui-ci :

Si les génératrices d’une développable 2 sont normales & la

{*) Réciproque d’un théorème connu.

(101 )

directrice, elles font, avec les plans osculateurs correspondants, des angles constants.

Mais il n’en est rien.

Considérons, en effet, une courbe gauche AMB (*), arète de rebroussement de Z, et dont une développante soit BPC : la génératrice MP est normale, en P, à la directrice BPC. Soit PN la binormale à cette directrice. D’après un théorème connu (**) : la binormale PN, à la développante, est parallèle à la rectifiante MG de la développée. Or, l’angle GMP est variable; done, etc.

kkxk

IT. Ce théorème ayant été peu remarqué ( rappeler la démonstration. Soit MP — w. D'après la définition de la développante,

), nous allons en

arc AM + MP = const, ou S + u = COnSl. (5)

Done, s étant prise pour variable indépendante, w' = — 1.

Soient x, y, z les coordonnées de M; X, Y,Z les coordonnées de P; a, b, c les cosinus directifs de MP ; etc.

Nous aurons :

NN ESS AN RU UT NT RE CUS (6) X' — a'u, Y' — D'u, 10 cu; (7)

SSP ST MONT TA re (8)

DE c'b’° TS c'a' Las a! c’’ Fr L'bLES L'a’’

Les cosinus directifs de PN sont, comme on sait, proportion-

nels à VAS N NO L KT XL XIV PE NX

(‘) Le lecteur est prié de faire les figures.

(**) Théorie analytique des lignes à double courbure, p. 65.

("**) Il avait même, jusque dans ces derniers temps (octobre 1885), été oublié par l’Auteur.

(102)

Donc À, , y élant les angles formés, avec les trois axes, par la

binormale : COS À Cos 2 COS >

Der Go

(40)

ca — ae" db" — ba Soit encore © l'angle MPN : chacun des trois rapports égale

COS 0 V'a(b'c'— CD) si On sait que (*) :

A0 el 1 /b mm b'c’’ c'b!! == A E + 22e ; ca’ ESS AAC = Eure SE 9 PATATE PANNE 18/0 ab —b'a"=-=|- + -), Ÿ u(b'c!— cb") = — » ed 2% PAT ICEE e7

Conséquemment

Lx te [x cos {a 1}coss, eosu=[+ Tom coss, cos=[e+n)coss (1) P A e

Or, les premiers facteurs sont proportionnels aux cosinus directifs de la rectifiante (**); donc le théorème est démontré.

IV. Remarque. — Il résulte, des dernières formules, 2

COS” Ô = RE

[PE

à

Si l'on veut que l'angle 8 soit constant, on doit avoir

Ë — Const: r

la développée est une hélice, et la développante est plane (”*).

V. CorozLaire. — AMB étant une courbe donnée, dont les déve- loppantes sont CPD, C'P'D', …; les binormales PN, P'N’,.. aux points situés sur une même langente MPP'P”… à la première courbe, sont parallèles entre elles.

(‘) Théorie analytique.., pp. 14 et 16.

(*) Loc. cit., p. 27.

("*) Voir les paragraphes IV et V du petit Mémoire intitulé : Remarques sur la théorie des courbes et des surfaces.

(105 )

CXIX. Discussion dune surface.

(Mars 1870.)

PROBLÈME. — Une sphère C est coupée, par un plan GFOy, sui-

Fig. 1. Z \ Ne \ NEUTRE ES T e \ - ee ne 7 Fi / XT fl G / \ / | Ve Ne f RU \ | LA VC \

/

vant une circonférence FG. Sur FG, prise comme circonférence de grand cercle, on construit une sphère D. Quelle est l'enveloppe (*)?

I. Soient OC — b, AC — «a, GOx — 6. Les coordonnées du centre D sont

x—bcos" 0, B—0, > —bsin9cose. (1)

(‘) La question a été traitée, en partie, par Æoutain (Des solutions sinqu- lières. Bruxelles, 1854).

(104 ) L'équation de la sphère variable est donc (x — b cos 0) + y° + (z — b sin 6 cos 8) — a° — b° sin’ 0, ou

g + y + 2° — Lx — b(x cos 29 + z sin 26) + b°— « — 0. (2) Prenant la dérivée, on a

tg 20 —

Ainsi, la surface enveloppe est engendrée par la circonférence KL, dont le plan LOYy fait, avec xOy, l'angle 28 (*). Si l’on écrit ainsi les équations (2), (5) :

b(x cos 28 + z sin 28) = à° + y° + 2° — bx + b? — a}, b{x sin 26 — z cos 26) — 0,

et que l’on fasse la somme des carrés, on trouve, comme équation de l'enveloppe,

(a + y + 2 — ba + D — à) = (x? + à). (4)

I. Les sections par les plans principaux x0y, z0x ont pour équations :

(a? + y — 0x + — à) — Lx, (5)

Gate ba 2 D — 7 bu + 2) () (6)

(‘) C’est ce que l’on vérifie en observant que :

4e O est le centre radical de la circonférence C et des circonférences consécutives FG, F'G';

20 La corde commune, KL, est perpendiculaire à la ligne des centres, DD”;

5° Ces centres, D, D’, appartiennent à la circonférence décrite sur OC comme diamètre;

4° À la limite, DD’ est tangente à cette circonférence;

5e Le rayon DI, parallèle à LK, fait, avec Ox, un angle double de O.

(‘‘) Au lieu de celle-ci, Houlain a trouvé :

(a? + +0 — a) = Lx? + 7°).

Ainsi, la section par le plan zx se composerait de deux circonférences ayant, pour centre commun, l’origine; résultat inadmissible.

(105) La première, qui se décompose en (x — b) + y = a”, + y + b— a —0,

représente la circonférence horizontale ACB, puis une cireon- férence imaginaire, si, comme le suppose la figure, b surpasse a. L'équation (6), du quatrième degré, est irréductible (*).

III. ] étant le centre du cercle générateur LK (situé dans le plan LOy), on a

b OI — OD cos 6 — b cos° 6 cl + cos 26); équation d'un limacon de Pascal.

Done, au lieu de la construction précédente, on peut employer celle-ci :

Sur OC, comme diamètre, on décril une circonférence, à laquelle on mène une tangente TT'; puis l’on abaisse OT perpen- diculaire à TT: I 'est le centre de la circonférence génératrice (**).

(") Au moyen des coordonnées polaires, elle devient

u? — b(1 Æ cos ©) u + b® — a? = 0.

Soient «,, v, les deux racines. A cause de w,u, = b*a*, la courbe ne diffère pas de sa réciproque : elle est donc une anallagmatique. La surface S en est également une. (Nov. 1885.)

(‘*) On vient de voir que l'équation de la section principale est

u? — b(1 + cos 28) u + b? — a = 0, et que

v = O1 = = (1 + cos 20).

WI

Par conséquent, si l’on suppose

u—=VEPp, on à pe? — v° ne " (b? Eu a).

D'après cela, soû pris, dans la circonférence OC, la corde CP = a. Sur OÙ,

comme diamètre, décrivez une demi-circonférence. Soit R le point où elle est

( 106)

IV. La circonférence KL (fig. 1), caractéristique de la sphère D, est une ligne de courbure de S. Ainsi, le premier système de lignes de courbure se compose de cercles, dont les plans passent tous par la droite Oy (*). Le cône de révolution KDL est normal à S, en tous les points de la circonférence KL. De plus, le lieu du sommet D est la circoniférence décrite sur OC comme dia- mètre (**).

V. On a trouvé OI — b cos? 0. D'ailleurs la figure 2 prouve que

—9

= O1 — (b?— a°).

coupée par la circonférence décrite du point O comme centre, avec OP pour rayon. Si, du point 1 comme centre, vous tracez une dernière circonférence

passant en R, les points K, L, o% elle coupe OT, appartiennent à la section principale cherchée.

De plus, Za circonférence KRL est le rabattement, autour de son diamètre KL, de la génératrice. (Novembre 1885.)

(‘) Conformément à un théorème connu.

(*) D’après la figure 2, la droite DI est tangente, en D, à cette circonfé- rence, laquelle est, par conséquent, l'enveloppe des axes des cônes normaux. (Novembre 1885.)

(107 )

Si l'on suppose que le cercle générateur, projeté suivant KL, soit rabattu autour de Oy, dans le plan Xy, l'équation du rabatte- ment sera

(x — b cost 0Ÿ + y° — b? cos! 8 + a* — b?,

ou a + y? — Dbx cos 8 — «7 — b?. (7)

M 0MdonnemyE V/b2— a«2V/— 1. Ainsi tous les cercles de courbure, après qu’ils ont été rabattus autour de Oy, passent par deux points fixes, imaginaires.

L'équation des cercles C”, orthogonaux à ceux-ci, est

a + + bay = b? — où (”), (8)

À étant un paramètre variable. Chacun de ces nouveaux cercles rencontre Ox en deux points fixes, déterminés par

He No TETE

Faisons tourner C’ autour de Oy : il engendre une sphère, dont l'intersection avec S détermine une trajectoire orthogonale des premières lignes de courbure (**), c’est-à-dire une ligne de courbure appartenant au second système. Celui-ci est donc com- posé de courbes sphériques (***).

VI. Remarque. — L'équation (4), étant écrite ainsi : (+ + 2° — dx +) — bx° + 2°), (8) a une gran:le analogie avec celle de la Cyclide de Dupin :

+ gp ++ —E — D) = hax + 67) + 49° — 0?) 22 (°). (9).

() Note sur la projection stéréographique (Jourxaz pe Liouvizee, t. XIX, p. 155).

(‘*) Voir, dans les Remarques sur la théorie des courbes et des surfuces, le paragraphe VE, relatif aux surfaces d’enroulement.

(°**) Propriété connue.

(*) Voir la Note LXXXVIE (t. I, p. 572). Pour éviter toute confusion, nous avons fait un changement de lettres.

( 108 )

Mais la surface S n’est pas la Cyclide (*). Pour le faire voir, changeons x en x + a, dans l'équation (8), et posons

+ Yÿ + —U. En développant, on trouve les deux transformées : ui ka(a — ba + (a+ C7) — 2h? + 2(2a — bju?x + Q(a°+ c°) w°

Le

+ 2[(2a — b)(a° + c) ne ab?|x — b?2? = 0,

— 4x + (7°

(97)

1° ER B°) Le ka°E He 2(y° Es x? ar: 6°) uw? |

— 80Byx — 4(r° — 2°)? = 0;

puis, en idenufiant :

Pour ces valeurs, chacune des équations (8), (9) représente deux sphères égales, confondues.

CXX. — Sur les lignes de courbure (") (Novembre 1885.)

JL. Leume |. — Si les lignes de courbure d’une surface S, appartenant à un méme système, sont orthogonales à une surface Z, l’intersection de S et de À est une ligne de courbure de S. |

Soient L, L', L’ … les premières lignes de courbure. Soit MM'M'' … l'intersection des deux surfaces. Menons MR tan- gente à L, MT tangente à MM'M" … D'après l'hypothèse, MR est normale à Z. Conséquemment, la droite MT, située dans

(‘) Cette proposition résulte, déjà, de l'équation (6), laquelle ne repré- sente pas deux circonférences. (‘*) Note complétive de la précédente.

(109 )

le plan tangent à >, est perpendiculaire à MR. Donc MMM"... est une trajectoire orthogo- nale de L, L’, L’’… ou une ligne de courbure apparte- nant au second système (*).

IT. Remarques. — 1° Le plan RMT est tangent à S; donc la normale MN à cette surface est perpendiculaire à RM : les deux surfaces sont orthogonales en tous les points de MM'M''... Et comme cette courbe est une ligne de cour- bure de S, elle est aussi une ligne de courbure de Z, conformé- ment à un théorème connu.

2° Si les lignes L, L’, L”', … sont planes, leurs plans envelop- pent une développable A. Pour avoir des surfaces 3, il suflit de considérer les surfaces d’enroulement, engendrées par L, L’, L'’, … quand leurs plans roulent, sans glisser, sur A; puis les trajectoires orthogonales G, G', G'', … de ces lignes, après qu'elles sont venues se placer dans un même plan P, puis les surfaces d’en- roulement engendrées par G, G', G’ … : ce sont les surfaces demandées (**).

9° On peut adopter, comme surfaces 2, les normalies à $, passant par les secondes lignes de courbure.

LE Leuue Il. — Si une sphère Z coupe, orthogonalement, un système de lignes L, L', L”, … tracées sur une surface S, l’inter- section est une ligne de courbure de $.

En effet, l'intersection est une ligne de courbure de la sphère, et les deux surfaces sont orthogonales en tous les points de cette ligne. (Lemme 1.)

(‘) Cette démonstration sera, peut-être, jugée inutile; mais je crois qu'on ne saurait être trop clair. (**) Remarques sur la théorie des courbes et des surfaces, p. 15.

IV. Lemne III. —— Étant donnés un cercle C et une droite XY, on projette le centre C en O; puis l’on mène la tangente OA, et, d’un point quelconque M de XY, la tangente MT. Cela pose,

MT —04 —OM (}.

V. TnéorÈmE Î. — Soit une surface S, engendrée par une cir- conférence C, dont le plan contient une droite donnée, XY, et dont le centre se meut dans un plan P, perpendiculaire à XY. Si cette circonférence, dans toutes ses positions, est orthogonale à une sphère donnée, À, dont le centre soit le point O où XY perce P :

1° Les circonférences © forment, relativement à S, un premier système de lignes de courbure;

2° Les secondes lignes de courbure sont déterminées par des sphères ayant leurs centres sur XY (**).

Démonstration. — 1° Représentons par R le rayon de la sphère Z, par o le rayon (variable) de la circonférence C. La condition d'orthogonalité est, évidemment,

=0C —R?;

C désignant le centre de la circonférence génératrice (**). Si, comme on le suppose, cette condition est remplie, l’intersec- tion de S et de Z est une ligne de courbure de S. (Lemme Il.)

2° Soit Z’ une sphère ayant son centre M sur XY, et dont le rayon R' soit donné par la formule

R?— R° + OM.

D'après la réciproque du Lemme ILE, cette sphère ©’, dont le rayon ne varie qu'avec la position du centre, est orthogonale à toutes les circonférences C.

3° Les intersections de S, par les sphères 2, Z’..., sont done

(‘) Cette fois, nous supprimons la démonstration.

(**) Ce théorème renferme, comme cas particuliers, diverses propositions connues.

(‘**) Ainsi, le lieu des centres est arbitraire.

(AM)

les secondes lignes de courbure de S; et, en conséquence, les premières lignes de courbure sont les circonférences génératrices.

VI. Cercles orthogonaux. — Soit, dans le plan vertical Zx, ACB le lieu des centres des lignes de courbure circulaires, dont les plans contiennent l'horizontale Oy (*). Soit FKGH la sphère donnée X, qui doit couper orthogonalement toutes ces lignes. Si

nous rabattons le centre C en C,; que nous menions la tan- gente CT au grand cercle O; que, du point C; comme centre, avec CT pour rayon, nous décrivions la circonférence D,E,, cette ligne est le rabattement de la ligne de courbure circulaire, projetée en DC; etc.

Les rabattements des cercles de courbure sont done les cercles orthogonaux à FHGK, ayant leurs centres sur Ox.

Les traces horizontales des sphères Z', orthogonales à ces

(*) Dans cette petite épure, Ox est la ligne de terre.

(112)

lignes de courbure, sont, par ce qui précède, les cercles ortho- gonaux à C,, et dont les centres sont situés sur Oy. Ces deux systèmes de cercles orthogonaux, situés sur le plan xy, détermi- nent donc, de la manière la plus simple, les deux systèmes de lignes de courbure. |

VIT. Suite. — Si l’on fait OC, — OC — À, les cercles C, sont représentés par x + Yÿ° — 2x + R°— 0. (1)

Ceux qui les coupent orthogonalement ont pour équation 2° + Y° — Juy — R°=— 0 (*). (2)

Elle est vérifiée par y — 0, x — + R. Donc toutes les sphères Z' passent par la circonférence FGHK, située dans le plan _ vertical OZx.

VIIT. Remarque.— Si l’on veut former l'équation différentielle qui caractérise les trajectoires orthogonales des cercles C, on doit éliminer À entre la relation (1) et

DEN MAT

mar Cette équation différentielle est, par conséquent,

da (y° — x° + R°) el + 2x%y — 0. (5) L'équation (2), des cercles orthogonaux, satisfait à celle-ci. De plus, elle contient une constante arbitraire. Ainsi, l’équa-

tion (2) est l'intégrale générale de l'équation (3) (*).

IX. Une anallagmatique. — La section principale de la sur- face S, ou le lieu des points D, E, est une anallagmatique. En effet,

= 2

OD.0E — OC” — CD — R° — const.

() Page 109. (°°) Dans ma Note sur la projection stéréographique, j'ai omis cette Remarque.

(15)

Soit, en général, un pôle O, et une courbe AMB, plane ou à

R N he +

double courbure; puis l’anallagmatique CPD, C'P'D', déterminée par la condition MP —OM —-

D'après une propriété connue, les normales en P, P' se cou- pent sur la perpendiculaire MR au rayon vecteur. On trouve aisément que, ON étant la sous-normale polaire, relative à la

directrice AMB, MR — ON.

CXXE (). — Maximum et minimum de la fonction

DHEA Sr

g = €)

ax +b'x + c’

Xkk

L En supposant a’ différent de zéro (***), on a

(‘) Publiée dans Mathesis (janvier 1882).

(**) Cette question, bien connue, a été traitée récemment dans divers recueils; mais avec des développements et des complications que le sujet ne comporte guère.

(***) Lorsque a’ est nul, on applique la discussion suivante à la fonction

bd'x + c'

1 y a +bT+C

(114) puis, si l'on fait, pour abréger, [= ba — ab, qg— ca — ac': (1)

rer PSG) : (2)

à a{a’x + b'x + c!)

IL Si fest différent de zéro (*), le nouveau numérateur prend la forme f(x — à), pourvu que

g ca — ac’ G) D x à 7 [fo ab'—bx Soient alors : a y—=—-+Y, x —2+ X. (4)

a

Au moyen de ces abréviations, l'égalité (2) devient

CAES X TNT EC) EDIX ee C)Eerc ou (110 X re ANSE XIE ou encore FA C LISE 6) a’ Y X

IL. Il est visible que les maximums ou les minimums de y

L4 « C A] 1 L] répondent à ceux de YŸ, puis à ceux de + ; etc. (**). Le problème se réduit donc à la determination du maximum et du minimum de

S— AX + —. (6)

(‘) Dans le cas contraire, le problème se ramène à la discussion de Fee JEU ax? + b'x + c' (”*) Pour ne pas confondre un maximum avec un minimum, on pourrait désigner ces deux quantités, à la fois, sous le nom de valeurs-limites.

(115) Le produit des deux parties de S est égal à AC. Donc :

1° Si A et C sont de même signe, on doit prendre (*) C X— + fe 5 7 Von @)

en sorte que la fraction proposée a un maximum el un mini-

mum (**); 2° Si À et C sont de signes contraires, y n’a ni maximum ni

minimum. IV. Dans les formules (5), (6) : Aa, C—uac — ca) +b'(ac — ca’)(ba — ab’) + c'(ba — ab’) — a'c[a°c +b'(ab'— ba)]-+ a'c’[ ac" — b(ab — ba’)] —Vaa*cc’. Donc la relation = > 0 devient Ca? + cu — 2aa'ce' + (ab'— bu’) (cb — bc’) > 0, ou

(ac'— ca’) Z (ab'— ba’) (bc — cb”). (8)

Ainsi, quand la condition (8) est remplie, la fraction y a un maximum el un Minimum.

V. Remarques. — 1° On ne peut pas supposer (ac — ca’) = (ab’— ba’) (be — cb’); car alors, d'après une propriété connue, les équations ax +bx+c—0, a'x?+b'x+c—0

auraient une racine commune; et la fraction donnée serait réductible.

(°) Si deux facteurs positifs forment un produit constant, leur somme est la plus petite possible quand ils sont éqaux. (**) Il y a un cas exceptionnel, sur lequel nous allons revenir.

(116)

2% Si, dans la formule (7), C — =. on trouve

B 2A

== =

2 De ces deux valeurs, la seconde annule AX2 + BX + ee et, par conséquent, rend infini Y (ID) : elle ne correspond donc ni à un maximum ni à un minimum (*). Dans ce cas, la formule (7)

doit être remplacée par B

X — — : 7° 2A (77)

la fraction donnée, dont le dénominateur est un carré, a un maximum où un MinTunum.

CXXII. — Une propriété des surfaces conchoïdales (‘*).

(Février 1872.)

1. O étant le pôle, soit O MPQ … un rayon vecteur quelconque, 220 rencontrant, en M, P, Q, … des sur- faces conchoïdales, déduites d’une surface directrice donnée. D'après un théorème connu (***), les normales en M, P, Q, … percent, en un même point N, le plan mené par le pôle, per- pendiculairement au rayon vecteur. Soient, sur le plan des normales, MM', PP’, QQ', … les traces des plans tangents. On sait que l'enve- loppe de ces droites est une para- bole ayant O pour sommet et N pour foyer. Donc l’enveloppe des plans tan- gents considérés est un cylindre parabolique.

(‘) Exception indiquée précédemment.

(‘*) Omise dans le paragraphe IX des Remarques sur la théorie des courbes et des surfaces.

(***) Loc. cit., p. 25.

(17)

II. Remarques. — 1° À chaque rayon vecteur correspond un cylindre parabolique ;

2 Le rayon vecteur est la podaire du cylindre, relativement au point N;

3° L’antipodaire d’un cylindre parabolique, par rapport au foyer d’une section droite, est la génératrice située dans le plan principal.

CXXIII. — Relation entre deux épicyeloïdes. (Janvier 1872.)

I. Soit la circonférence I, roulant sur la circonférence C, double de la première. Le point Q, d’abord situé en À, décrit une épicy- cloiïde à deux rebrous- sements.

MG étant le dia- mètre de [, passant au point de contact M, me- nons l'ordonnée MP, la tangente commune MR, les cordes MQ, GQ.

Il est visible (et connu) que

1 angle MGQ — 5 angle MIQ = angle MCP == ©.

Donc les triangles rectangles CPM, GMQ sont égaux; et MP—MQ. D'après un théorème connu (*), MQ est normale à l’épicycloïde. Ainsi, la circonférence M, décrite du point M comme centre,

avec MP pour rayon, touche, au point Q, l’épicycloïde. Par con-

(*) Attribué à Descartes.

(118)

séquent, cette courbe est l'enveloppe de la circonférence M, variable de grandeur et de position.

II. La tangente MR est bissectrice de l'angle PMQ. Et comme MP — MQ, la droite PQ est perpendiculaire à MR, c’est-à-dire parallèle à CMG. f

Prolongeons cette droite PQ jusqu'à sa rencontre, en S, avec le diamètre perpendiculaire à CA ; nous aurons PS—CM—«.

Ainsi :

Pendant que la circonférence M enveloppe l’épicycloïde à deux rebroussements, la corde PQ enveloppe l’hypocycloïde, à quatre rebroussements, déterminée par une circonférence roulant à l'intérieur de la circonférence C.

Addition. — (Juin 1886.)

III. Achevons le rectangle PCSE; et, du sommet E, abais- sons ER perpendiculaire à la diagonale AS. D'après la théorie des centres instantanés, le point R est celui où la droite AS touche l'hypocycloïde. Mais, d’après les constructions précé- dentes, PQ — 2PR. On a donc ce théorème :

Soit une droite PS, de longueur donnée, glissant dans un angle droit. Si, à partir du point R, où cette droîte touche son enve- loppe, on prend RQ—53RP, le lieu du point Q est une épicycloïde à deux rebroussements (”).

IV. Remarque. — Le point Q peut être pris de part et d'autre du point KR.

(*) Si l’on conserve les notations précédentes, on trouve que les coor- données du point Q sont

a qe R «8 x = > (5 cos g — cos 59), Jon EN EeSn

équations qui sont bien celles de l’épicycloïde.

(149)

CXXIV. — Séries et intégrales elliptiques (*)

EL. Un développement de la fonction f (q).

Soit, comme aux pages 75 à 75 du Mémoire cité :

TEE Lg 1—6

q g nn

Dans la série q q . + TETE I—qg 1—-g 1—$

chaque terme positif peut être représenté par —— ME , @ ayant la forme 4u + 1. De même, ne terme nat pris en valeur absolue, peut être désigné par ——;, b ayant la forme 4u — 1.

a 5« 6a 7a

1° De = + + QU + QU + + QU + q + Aie = 5" ge qé de (q* LE qi ne que ne qe + .….) je S : S est (abstraction faite de g“ + q”) l'ensemble des termes dans

lesquels les exposants de q n’ont pas la forme 4u — 1.

» 4 3a La somme de la série entre parenthèses est =. Done a“ q°° a + 5e 6a Le ge TT, à 1 q“ 1 FETES Ge 1 Fa Ge 2° Semblablement, q° rs =(g + +qt + q +.) +s; EAU puis ” 4 LE q* + S Cet A 0 (5)

SG

() Cette Note est un complément aux Recherches sur quelques produits indéfinis.

(120 ) Silontaita—1, 5,015%:0— 5,7% 41/15" "on trouve

= Eee EN EE D RGP SE SE PE

PU Heat nn Doc et OS Du ete OL 7

1 — 9° il — q° ÿ 1— 9 1 — q OS NUE EU OUR re VE ?

ou, plus simplement :

2

RE M au ne Et | Sa D = ns Ge 4 — q® “ fe “ sb : 45 54 | “ (4) 1 — 9 qe

Tel est le développement, très convergent, de la quantité

1 [2 =) 4 \r Il. Remarque. — Une considération bien simple permet d’abré- ger le calcul précédent. Revenons à la double égalité

LEP NERO 1 = 0 À =) q° 1 — 4 A, 1 (1)

Sig —= Au — 1,e,— 0 (”). Il est donc inutile de conserver, dans les développements des diverses fractions, les termes ayant la forme q“*7". Cette suppression faite, on a

- q pl qq eg ra) qee qu) (qq qu)Ee Eu T du (q° + qj+ q®) Fe Ge qg” no) oo à 5 : 9 qu gs (RE GA q°) A (Ge Ho q*) mer es

(‘) Recherches, p. 74.

(121) Q ne (+ 0" + 0%) + (9° + q° + 9°) + (q° + 97 + 0%) + ….,

1— 9

36

ot et An Et HUIT est pacs EE

À — 4° ou 4 8 a pu Vo 2 Rent CPR AN SENRe 1—9Q A — q° 1 —g ET 5 ; aq? 25 30 Mn nur 9. LE 1—9q

puis, au moyen d’une réduction évidente,

Se EN en En

MR ee Due 7 Dos j g_+q + + q + q” ee Tu qg 1 GE

comme ci-dessus. I. Remarque. — Soit

D q+g+qf g+qg+q" L ER UNIES q+q* As

1 — q° EG 1— 9° l— 4 A cause de mo [20 1) Mine 1 /20 q{ q s cr den Mes RE A > le | 1— q 1 — ®)

IV. Sommation par intégrale définie. — On sait que

2© UN TE < 6 & mi, 1 q ( ), ( )

(‘) Fundamenta nova, p. 105.

(12)

1 — 9" ** sin n(x À.

À + q" eTX — p= TX Ù 0

ou, par le changement de q en q° :

2 ® sin 2(22 À. if LRU © à 1e see : eTÉ — p= TA

0

el que

— 1 +

Cette dernière égalité donne

q # q” Æ de é nes 5 ee +9 D ee 4 f nn D q"sinn(2a £.q). (8) 0

On a aussi

q sin (24 S .q)l

J ue 0) : D D NT EE EC D sin (24 £ . q) 1 — 9q cos (2x P . q) + q°

(Ai

Par conséquent,

PE a ir 1— ME QUE eT*_e \ 0

TA 4 —9q cos (24 Ÿ. q)+q°”

a +, e RME ——— — 60 EG e= 7 1 — 2q cos (2x £. g)+

Ce développement de la fonction _ est un peu plus simple que celui qui se trouve à la page 125 des Recherches ; savoir :

es q , et

sin (x Ÿ.q) Le ras RTE ie RG er Er Ha gl Vo Pro — PRE nm R

(‘) Recherches.…., p. 123. (*) Ibid, p. 121. (*) A la page 124 du Mémoire, le premier membre de l'égalité (452) doit être lu ainsi : SR RSR Nr IRAN 1 — q° 1 — g“ 1 — qô 1 — q°"

(125 )

V. Identités remarquables. — Les formules connues :

I

PA +q+p+p +) (), T

2 FE] ke? MR PRE PRE AE ee enr à 1 — q 1— q 1 — qg° LS donnent : nn ERREUR EU | gA+q+q+q AN res Ra | eue (11) Ar q CASE MAT TE q l os ; SEAT Te) OT gt) Jet ju us (12)

On conclut, de ces deux égalités :

QE + q + + ge + (1 — q — g$ + Q + )] | (15)

© q 4) (à 33 j re =?| rm mme 6 | .

0 !

A cause de :

É & HULEEST EEE (:) k”,

ui gi—q—q +g+.Ÿ}— F) k2k"?("),

() Recherches…., p. 2. (”) Fundamenta…., p. 1114. (**) En passant, rappelons que :

ON MON Are gp +g + queue) ( | T

M ot EN mn ed

- Æi Coiarie ie Var].

(Recherches. p. 402.)

(*) Recherches…., p. 2.

(12% )

le premier membre a pour valeur

Ê) re 2 É) Sr + HR + (1 KP]

œk\?[ /«\2 El c \? we, —. [E a+ + (5) 0 -#|

ke \? ù ;

En = QU HQE ee 0)

: F) A + EP = + 99 + 29° + 29% +), T

2 Ê) (A —k) — 164 + qgf + q9° + 9 +

Donc l'égalité (13) devient

SR Rte) X [CE + 29° + 24° + 2q% + 2) + AGO + qf + 7 + dé]

à (14) ver + D ou On sait que : 1 qÜ+ ++ g +.) — ll de sl | +5 TES

q q° q° 2 (14929 +29 +92q%+..)=1+8 : me +2 Fi +5 TT +. ; q° q° q" OR 21, 2 4 12 AG ee ‘ en ONE

Donc le premier membre de la relation (14) peut être rem-

placé par A[1 + 8B + 16€], en supposant

ql RAR 5 q 1 — q° 1— 1—q

(‘) Recherches.., pp. 2 et 5. (*) Lecenpre, pp. 155 et 154.

B ve q : 9 q ns q q° — q 4 + q' 1 — q° 4 + 9° 2 6 10 4% = - RASE 5 : 12 — 20 ; nr) 1— q =) 2

Par suite,

5 5 7 8A(B+20)—(55—5) T4 (55 5) 9 4757) 9

Il reste à développer, suivant les puissances de q, chacun des deux membres.

Or, il est connu que (*) :

B+20=5 Y (q” + q“ + q“ que) fo

ou, plus simplement, B+9C—5 > GE DOTE

Ainsi, au lieu de l'égalité (15), nous avons :

a (Se fs) (Er fr |

_ ee JP AUE pe (te er na D +

Et comme le second membre a pour développement D get) — e(a]("",

() Recherches, p. 79.

(*) Dans cette nouvelle formule, p _ supposé pair, el à représente le plus grand diviseur impair de p (Recherches…., pp. 115 et suiv.). (°*”) Recherehes..., p. 117.

(1%)

l'équation finale cherchée est

2% DS: vf L st v +) = ÿ g'[es(n) — G(n)|, (17) n étant impair.

En outre, la relation (15) peut être écrite ainsi :

1 : æ 5 g[( ++ +q +) +(l mnt 0 UT q"Es(n); (18) ou, par le changement de q en q° :

GÉRÉE er) Et ee E D d'Es(n), (19)

NI =

n étant impair. VI. Théorèmes d’Arithmétique (”) : 1° Tout multiple de 8 est la somme de huit carrés impairs (**); 2% Si l’on fait n — di, le nombre des solutions de l'équation ++. + — Sn est égal à la somme des cubes des diviseurs d (***); 9° Soitn— 2 + 1,1 et ji’ étant impairs. Soient £j(n) — he

E;(n) la somme des cubes des diviseurs de n. On a

S fat). ()] = se,

=; 24 4° L'identité

RS RE CRM TRE a 2 —— Ho — —— k CAN SA do Re Te : cu a ie (9) (OT)

(‘) Démontrés dans les Recherches.., pp. 100 et 117. (‘*) Résulte de l'identité {11).

(‘**) Même identité (11).

(“) Identité (17).

(*) Recherches…., p. 79.

(127)

n n S ’ >= = fi, (21)

dans laquelle à est un diviseur impair de n, et p un diviseur pair. En conséquence :

entraine celle-ci :

La somme des diviseurs d'un nombre entier n, qui donnent des quotients impairs, se compose de la somme des diviseurs impairs, augmentée de la somme des diviseurs qui donnent des quolients pairs ;

proposition assez visible (*).

VII. Remarques. — 1° Si l'on développe, suivant les puis- sances de q, chacune des fractions composant le premier membre de l’égalité (20), on trouve que ce premier membre équivaut à

—_—————— — — © ——

Par suite,

SLR … 2q° — Sp AR sg. 6q° — TE TA = CURE qe Ag (9) g q° q° CE = ——@© + ——_—©Ù + —— + (CLSC ET à NT 2

9% Cette identité en donne une autre, assez remarquable. D'abord, on peut l'écrire sous la forme abrégée :

2

AÉNTER TR A (a

ñn étant 2mpair.

3° (n—1)q"—nq"

+ F(q°), Tree (g)

Changeant q en — q, et retranchant, on a done

; g° s’ É — 1)9" — n°" ; (n —1)q" + _ U—qgYŸ er (NE CE

(*) Il n’en est pas de même du théorème 1°, implicitement contenu dans le Traité de Legendre (t. IF, p. 135). La démonstration directe, si elle n’a pas été faite, est désirable.

ou n — 1 à n +!

ag = à COR Si l’on fait n — 5 + 2n', et que l'on remplace q? par q, on trouve, finalement,

(n' +1) . — (n° + 2) HA

ra) QE

(25)

Ainsi, la série 1 — 20° 9q — 3° DC) 0 ce 12 Le Ro en lee Pl A) OU EE OURS Ne 00 dont la génération est assez compliquée, a une limite fort simple. En outre, le développement, suivant les puissances de q, est

1 + 92q +5 + 4j +:

3° Par la transposition des termes négatifs, on a encore :

1 2q 5q° 4q°

LT a OU ne ne

Ho NE) og) AUS C4) 1 2q° 5q° kg

CN ET ET

4 Cette égalité (24) présente une particularité curieuse. Si l'on développe les deux membres, suivant les puissances de q, les coefficients de g” sont composés des mêmes parties, disposées en ordres contraires. Par exemple, dans le premier membre, le coefficient de g!? est 5 + 4.2 + 15; et, dans le second. 15 + 2.4 + 5. On vérifie cette propriété en s'appuyant sur celle-ci, laquelle est presque évidente : -

Les valeurs entières et positives (ou nulles) de x, y, qui satis- font à l’équation

(2x + 5)(2y + 1) = In +5,

satisfont à celle-ci :

Ù — y + l=n+ 1.

( 129 ) VIII. Autre développement. — 1° Reprenons la formule

ASC Et APE

Il en résulte :

Pour évaluer le premier membre, j'observe que l’on a, simul- tanément (*) :

NDS GPA EN DIIEET ETES)

gg eg —\/"%) 2 T

à à I 2k' rer 1] + h+ \

done

puis

et, par conséquent,

À (1 —{' 5 9 25 21

LA SERRE ARR RE DEA

k T 1—q° 1—q* 1—q9°* 1—q" 1— q* ï q® qi (25)

+ —— + - 1 — q À — q“

IX. Remarque. — Il est connu que

(‘) Recherches…., pp. 2 et 74.

("*) Les exposants 5,25, 45, …; 4, 20, 56, … ; 9, 21, 53, …; 12, 28, 44, …; forment quatre progressions.

(7) LecenDre, t. III, p. 152.

(150)

On a donc cette identité :

Q 5 5 7 5 9 au Pie CA A Ma rie ÿ] dr A q lg 19 1=qg" 1" Egg 1—09" réductible à

q 1e q° q j° q° q” q° dE CN EP ET TR arr Ge q®

q qi q° (26) Mr eu ne)

Lg 1— 39 X (*). Sur une formule d’Eisenstein. — On doit à ce profond

Géomètre, mort beaucoup trop tôt, la relation suivante, qui donne une transformation de la série de Lambert :

OS SC) É _ 2 | 27 =: Uqu 4 0 01-212) z'0 | — à pere (5)

Dans le premier membre, E représente la remarquable fonc- tion d'Euler : Hz)

On peut écrire autrement le second membre. En général,

= DE F(n, p}z" : (28) |

F(n, p) est le nombre des décompositions de n, en parties égales ou inégales, non supérieures à p ("). Done

pri) z 2 n=x2x a p(p+1) (— 1)" 'p. — D (—1} ‘pF(n, p}z 129)

CN AE) n=1

(‘) Nous arrêtons ici cette Note, sauf à y revenir plus tard. Le sujet est inépuisable; mais il faut savoir se borner. (Décembre 1885.)

(*) Extrait d’une lettre adressée à M. Hermite. (Juin 1886.)

(*‘*) Journal de Crelle, t. XXVII.

() Recherches…., p. 47.

Soit 1 N—="n Le x ou | n —N AE = 2

Alors

F{n, p) = F [x Jr) 1

2

— nombre des décompositions de N en p parties inégales

CHA (N, p) ().

Ainsi, le coefficient de z° est NUE DIN 0) SNS) HN) EEE

Soit maintenant G(N) le nombre des diviseurs de N. I est visible que, dans le premier membre de l'égalité (27), le coeffi- cient de z° est

G(N)— GIN—1)-—G(N —2)-+G{N—5)+ G(N—7)— G(N— 19)

On a donc cette relation entre deux fonctions numériques, bien différentes :

(N, 4) (N, 2) + 3(N, 5) — AN, 4) + … he —G(N)—G(N—1)—G(N—2) + G(N— 5)+ G(N—7)—G(N—19)—. | (50)

Estelle connue? XI. Application. — Soit N — 19. On doit trouver

(19, 4) — 219, 2) + 3(19, 3) — 419, 4) + … — G(19) — G18) — G(17) + G(14) + G(12) — G(7) — C4);

ou (**) 1—9.9+3.91—4.18+5.5—2—6—2+4+6—9—5; ce qui est exact.

(‘) Introduction à PAnalyse, p. 245 ; Recherches…, p. 54. (**) Recherches…., Table I.

(152)

CXXV.

Application de la Géométrie à l’Algèbre et à l’Arithmétique.

(Mars 1877.)

I. On doit, à Liouville, un beau théorème dont un cas parti- culier peut être énoncé ainsi :

Si l’on représente par p le rayon de courbure d’une courbe algébrique, en un de ses points d’intersection avec l’axe des abscisses, el par a l’axe que la tangente en ce point fait avec le

mème axe, On aura 1 men ru) (1)

o Sin’ &

le signe sommatoire s'étendant à tous les points d’intersection, réels ou imaginaires.

Au moyen des formules 3

(LE ON il

{ ed = 6 Æ ——_———— > —— $ LE (Q y" F0 * c0S° mn

l'égalité (1) se transforme en celle-ci : y" D7=—0. (2) ÿ | | On a donc ce curieux théorème Hi 5

=:

Soil lé y) = 0; soient y — 2, y” : la somme des fractions ? YF étendue à toutes les racines de no f(0, x) = 0, est nulle.

fr En particulier, la somme des fractions TU TRS étendue à toutes

les racines (supposées inégales) de l’équation f(x) = 0, est nulle.

(‘) Rapport sur un Mémoire de M. Émile Ghysens (BULLETIN DE L'AcA- DÉMIE, mai 1877).

(153) II. Considérant d’abord ce dernier cas, supposons

a) = (æ — a)(x — 0) … (x — g)(x — h); (5)

et, par conséquent :

1 1 Po + res | ( ;, 1 1 1 1 [œ)= f(x) | Or — f(x) E er Re l 1 à Re ee 0 1 1 | “ , Ge 5 Cr)

puis f'{a) = (a — ba — à) (a — hi, (5) fa) = {a — D)(a — 6) ….(u— h) + — on |: (7)

LPO 1 1 1 ne 2 t'on [tu—b\(a—c).(a—h;f | a—b A a—c Me a—h |‘ Le théorème énoncé ci-dessus peut donc l'être ainsi :

a, b, €, … h étant des quantilés inégales, on a

y 1 1 1 ae 2 [(a—b)(a—c).….(a—h)} [a —b Poe ne car) en ) IT. Exemple :

=, er, o=% De)

Aie À ï 1 ( 1 us 1 AONONERTENTMA TENUE ( 1 ! 1 É 1 ! 1 Her © ++ = + -) —————0; à 00 DOC OO ATEN

(‘) Nouvelles Annales (1877, p. 555).

( 154 ) ou, successivement :

Eh ne 1 "09 19 4.356.416 95 81.107 8110036 025 De 25 5 20 56

(9

2) AL 9 To 20 027.18 EE ONCE ODE US

|

;

(729 . 81 — 929. 256) — 25(27. 16 — 19),

© |

51 625 — 125. 415; ce qui est exact.

IV. Remarque. — D'après les formules (7), (8) :

À f''(a} 1 1 1 = — EE DOTE CITE : (9) 2 f'(a) a—b a—c a —h Soient «, G, y, …, n les racines de f'(a) — 0. On a (6) 1 1 = + ; f(x) x—ax x— x — # el, pour x — a : + 1 1 1 fl (a) vies 1 ATARI SUR 4 (10) CET CNT a — y Par conséquent, 1 1 il 1e 1 1 — + Het — = + He + . (11) a—b a—c a—h 2|[a-—x a—8$ a — y

En d'autres termes : Si une courbe parabolique, représentée par y= (x — a)(x — b).. (x —h),

rencontre en À, B, … H l’axe des abscisses, et que A', B', … G' soient les pieds des ordonnées des points pour lesquels la tangente est parallèle à cet axe, on a

1 1 il 41 1 Î —© + — He + — —= — — + — + 000 + — S AB AC AH 2/]AA° AB AG’

(155)

V. Autre remarque. — De la relation (11), on déduit, par un changement de lettres et une sommation :

ue ns LE ] +0; (19

ü—x a—Bû a —y Ce M) Fo by égalité presque évidente. VI. Venons au théorème général (1), et prenons fe, y) = Xog” + Xi + ee + XX 07 + Xi y + X,, = 0. (15) Dans cette équation : X, est une constante, X, est un binôme, … X,—(x — a)(x — b).. (x — g)(x — h). Les valeurs de y’, y”, répondant à y = 0, sont, évidemment,

indépendantes de X5, X4, … X,_.. Nous pouvons donc, à l'équation (13), substituer celle-ci :

X,-oy + XU + x? FE 0 (*). (14)

Prenant les dérivées, on a 2X, oyy FE NE 0) DU X,, y" + Xm 49 ap Xe = 0, 2X ogg + y) + Any + 2Xn og + Nu ay

7h ! ’ à 1, 2 7? 11 x LE 2X,,_yy Re Xn1y at Xn-2 SE X 19 EUR CE EE 0;

(°) De là résulte la proposition suivante : Soient les courbes C, représentées par l’équation Xn + Xn-1y + Xn—2ÿ? + y$oix, y)= 0,

dans laquelle la fonction y°>(x, y) est assujettie à la seule condition de s’an- nuler avec Y. | Soit, d’autre part, la courbe D, représentée par

Xm + Xm -1y + Xn-oy? = 0.

4e Les courbes € et la courbe D ont les mêmes intersections avec l’axe des abscisses :

2° En ces points d’intersection, les lignes C, D ont mêmes centres de courbure. (Novembre 1885.)

(156)

et, pOur Y — NU a X, TR 0, (1 >)

Xh1Y" Se XIE + 2X, 19 + Xe == 0. (16) On tire, de ces deux équations :

, X,, DIN IX) QE 2XPNEN En + (Xn-1) Xu Xe J (Xe):

on 2X,,_2(X,,) RE 2X, HANE 27 QE (Xn=1) Ge

ee

En conséquence :

La somme des fractions (17), étendue aux m racines de X,, — 0, est nulle.

VII. Application. — Soient : m — 5, Â;=— 25 — x, Xo— 7? X, = X + 4 Au moyen de ces valeurs,

y" x + 1)(52 — 1) — 4x (5x° — 1) + 6x°

y Gr — 1) Les racines de X; — 0 sont 0, + 1, — 1. Ainsi :

2 16—8 +6 S8—6 —_—_—© + ——— + — 1 8 8

ce qui est exact.

(157)

CXXVI. — Sur la décomposition d’un cube

en quatre cubes. (Février 1873) (*).

I. Au moyen de l'identité d'Euler :

a(a5 — 25) b(2a° — bY

Diese RETIRE ni Er l Hat (aÿ + 0°) de (aÿ + b°) q l'identité de Le Besque : Ge — 1) = 5 + (2 — € — 1 — 1 (*) (2) devient ‘ 2 ___9\5 965 __1\5 6(e— 1} = € = | | a) CE ee) c +1 +1

à cause de

c° — 9\$ (2c5 — 1\° do à | —, VC c +1

L OT . 5/0 . .e.

IL. Si l'on suppose c compris entre V/2 et 2, les trois premiers termes du second membre, dans l'identité (5), sont positifs. Afin de remplacer, par une somme de deux cubes positifs, le binôme

260.-41\5 1 lai) —], prenons DA A == — , b = | c +1 Alors

—) (1 AS +1 PAR — AP — (0 +1) = rend lee :

(*) Note publiée, en partie, dans la Nouvelle Correspondance mathématique (t. IV et V).

(**) Exercices d'Analyse numérique, p. 148.

(158)

ou, après quelques réductions,

DC AIN eo GE Dose 1 = | —_—_—— À" + —— |. (4)

c +1 + 1 5c(—c+1) 30 — © + 1)

Par conséquent, l'identité (5) est transformée en

CD

1

2c°— 1 26° — Ge — 1 |° De — Je + 56 — 171 | on | RE ES der ce RE © ——————— . + 5c(—c+1) cc CE)

Chassant les dénominateurs, puis écrivant x au lieu de ec, on trouve

272" (x — 9) (x — à + 1) + 272 (2 — x) (x° + 1} | + (2x — 1) (2x — Ga — 1 + (5x — Où + 5x — 1x + 1) } (A) — 162(x — 1)'x°(x° + 1)°. Dans cette nouvelle identité, tous les cubes sont positifs, dès

que x est compris entre V/5,1 et 2 (*).

IT. Remarques. — 1° Posant

A — (2x — 1)(2x°— Ga — 1), B— (dx — 9Jaf + 5x —1)(x° + 1), on trouve A5 + B°— 972" (7a7 — 561% + 902” — 15028 + 171% — 144x"° + 84x° — 562 + 9x° — 9).

2° Le polynôme entre parenthèses doit être divisible par

(x — x5 + 1); ce qui a lieu. Le quotient est (x — 9)(7a$ — x° + 1). 5° Par conséquent, le premier membre de l'équation 72° — 562 + 9027 — 1502 + 17125 — 144zt + S4z° — 562 + 9:—2—0

égale (2 — 2 + 1) (72 — 3 + 1)(z — 2).

(‘) 5,1 surpasse la racine positive de l'équation

225 — Gr — 1 = 0.

(159 ) IV. D'après la deuxième Remarque,

(225 — 1) (22° — Ga — 1) + (52° — Ja + 52° — 1} (af + 1}

— 97° (0 — 2° + 1) (72° — 151° + 5x° — 2). Le dernier facteur est la même chose que (RUES Nr En Changeant x5 en x, on a donc, identiquement :

(2x — 1) (225 — 62° — 1) + (Ba — Ya? + 52 — 1) (x + 1}

970 — 2 + AY + 1) = 927 (0° — x + 1) (2x — 1}.

(B)

V. L'identité (B) permet de trouver un cube égal à la somme de trois cubes. On en conclut, par exemple, les décompositions suivantes :

6 — 5 + 4° + Ep, 564 — 275° + 40° + 505, 40 2905 — 50 8105 + 2 9415 + 55 059.

VI. Dans (A), tous les facteurs sont des cubes, excepté 162(x — 1} — 27.6 (x — 1}. Pour que cette quantité de- vienne un eube (entier ou fractionnaire), il suffit de prendre

=1+6() \q

la fraction étant comprise entre des limites convenables. Si, par

7

exemple, x —;, on trouve

N°— A+ H+ © + D, en supposant :

N— 18.545. 40 615751 — 250 761 646 674, — 35.9215.9 401. 99 795 — 154 545 930 485, — 5.545. 40615751 — 41 795 607 779,

C— 8.511. 55967854 — 87746 420 752, — 4.407.157 954 851 — 224 590 497 498.

( 140 ) Vérification : N° — 15 768 244 272 459 554 919 519 605 755 070 024.

A°= 5691 100 414 566 556 611 789 117 416 854 195, EH? — 735 001 150 890 984 050 552 405 582 190 159, C— 675 597 806 447 545 1792 824 655 512 299 008, D° — 11 528 544 920 547 669 084 155 429 441 746 752.

Somme : — 15 768 244 279 459 554 919 519 605 7535 070 024.

VII. Au moyen de la substitution indiquée, l'identité (A) devient

(6p*g) Lt6p° + g? + gp + QE ++ pp — (6p°+ q°)|(6p°+ g9 — 29° + (9° — Gp [(Gp° + 4) + d'F à (© (g°) 5 SE ER GA

Celle-ci détermine une infinité de nombres égaux, chacun, à la

somme de deux cubes et à la somme de trois cubes. Par exemple :

2 449 + 1 628 — 1 505 + 407° + 2 488’, 5 714 7055 + 9255 2975 — 9 825 600 + 117 650° + 5 529 550°.

Addition. — (Juillet 1878.)

VIII. Si, dans l'identité, à peu près évidente : (a+ b+ cf —\b+c— a) —(ce+a—b) —(a+b—c) = 24 abc, (D)

on fait

elle devient

5 — + (7° + 50° — 36°)

D 5 — Y°$ + (GaBy). (D)

(Da° + 56 +9 YŸ = (58 + + (50 + De celle-ci, on tire une infinité de solutions de

Fo à + ÿ + 2 + u°.

a— 93, P—2, y—%#; alors :

x —=17, y—121, z2—= #41, En effet,

u— 144, 1—169.

169 — 75 + 1915 + 415 + 1445.

CXXVII. Sur un déterminant.

(Février 1875.)

Dans le tome XIII du Bulletin de l’Académie de Belgique (*), j'ai donné cette proposition :

dét(A+M, B+ N, C+ P, …) — dét (A, B, C, D, …

+ dét (M, B, C, D, …) + - + dét(A, N, C, D, ….) (1) + dét (M, N, P, Q, …).

Soient, comme cas particulier :

TU Ne DEL NqQee

À cause des déterminants nuls, l'égalité (1) se réduit à dE (ES D da CNE)

(‘) Vers 1850.

(**) Le Mémoire intitulé : Remarques sur la méthode des moindres carrés contient diverses applications de ec théorème. (Décembre 1885.)

(142 )

CXXVIITI. — Remarque sur une identité connue. (Aout 1875.)

Cette identité, cas particulier de celle que l’on doit à Euler (*), est

(a + L? + c?)(a? + b° + ce?) = (aa + bb + cc) + (ab! — ba'Ÿ + (be — cb'Ÿ + (ca — ac}. Si les nombres a, b sont proportionnels aux nombres a’, b’, le second membre est composé de trois termes seulement. Ainsi, dans ce cas, le produit d’une somme de trois carrés, par

une somme de trois carrés, est une somme de trois carrés. Par exemple,

(5° + 5? + 4?)(6° + 10° + 7°) = 96° + 5° + 3° — 9 250 (*).

(‘) Voir les Nouvelles Annales, 1874, p. 322

(**) Notre Théorie analytique des lignes à double courbure contient (p. 24) une identité plus générale que celle d’Eulcr; savoir :

Det (by — c3)°? Der = | ad dy — c3)+ (by — 8) Ÿ ac + Lo S'atby—c2) + (cx — ay) Ÿ aa | + Le > a'(by — c3) + (a3 — ba) > ]

+ D aa” ÿ ax — > aa D & |.

Les neuf quantités a, b, e, a’, b', €’, #, 6, > sont, par exemple, des nombres entiers quelconques.

Cette relation permet de décomposer, en quatre carrés, le produil de lrois facteurs éjaux, chacun, à la somme de trois carrés.

(145)

CXXIX. — Sur Iles lignes de courbure planes. (Juillet 1873.)

I. Je rappellerai, d’abord, ce théorème général (*) :

Soient ab, a'b', ab”, … les sections faites, dans une surface S, par des plans P, P', P”, … ayant une enveloppe E. Soient AB, A'B" … ce que deviennent ces lignes lorsque les plans mobiles, ayant roulé sur E, viennent se confondre avec un même plan 7, tangent à E. Soient enfin CD, C'D', CD”, … les trajectoires orthogonales de AB, A'B', AB", … Si le plan x s’enroule autour de E, de manière à prendre les positions P, P', P”, …., les suRrAcES D'ENROULEMENT X, 2’, 2”, …, engendrées par CD, C'D', C’D”, … coupent S suivant des lignes cd, c'd', c"d”, …, trajectoires ortho- gonales de ab, a'b', a”b”, …

IT. Supposons que les courbes planes ab, a'b', ab”, … soient des lignes de courbure de S. Alors les secondes lignes de cour- bure sont les trajectoires cd, c'd', c’d”, …, dont il vient d’être question. Comme je l’ai fait observer dans le petit Mémoire cité, la détermination de ces nouvelles courbes se réduit à la recherche des lignes planes CD, C'D', CD”, … : le premier pro- blème, appartenant à la Géométrie de l’espace, est ramené à un problème de Géométrie plane.

Si l'équation différentielle des courbes AB, A'B', …, rabatte- ments des premières lignes de courbure, dans le plan 7, est

Mdx + Ndy = 0, et que l’on puisse intégrer Mdy — Ndx — 0, les surfaces d’enroulement, contenant les secondes lignes de

courbure, seront connues.

(‘) Bulletin de l’Académie (février 1872). Voir aussi les Remarques sur la théorie des courbes et des surfaces (Mém. in-8°, 1875).

(144)

Addition. — (Janvier 1886.)

III. Remarque. — La solution précédente est en défaut lorsque S est une surface d’enroulement. En effet, dans ce cas, les lignes de courbure ab, a!b', …, égales entre elles (*), ont pour rabattement, sur le plan 7, une courbe unique AB.

Mais, quand il en est ainsi, les secondes lignes de courbure ed, c'd',.…, sont des trajectoires orthogonales des plans P, P',P”,...("*).

IV. Supposons que l'enveloppe E se réduise à un cylindre. Alors chacune des courbes cd, ed’, … est la développanie d’une section droite de ce cylindre. Les plans de ces lignes, au lieu d’être tangents à un cylindre, sont parallèles entre eux, contrai- rement à un théorème connu.

V. Une proposition de Monge. — On lit, dans l'Application de l'Analyse à la Géométrie (***) :

« Mais un plan ne peut être susceptible d’une seule série de » positions, et être mobile d’une manière plus générale que de » rouler sur une surface développable quelconque : done il n'y » à point d'autre surface qui jouisse de la même propriété; » donc la surface engendrée est définie d’une manière complète » lorsque l’on énonce qu’une de ses lignes de courbure est » constamment plane. »

Le sens naturel de la dernière phrase est, semble-t-il, eelui-et : Toute surface qui admet un système de lignes de courbure planes est une surface d’enroulement. Mais cette proposition est fausse. L'illustre auteur a-t-il supposé, tacitement, que les lignes de cour- bure considérées sont égales? Alors son théorème équivaudrait à celui-ci, dont la démonstration, si elle est possible, est peut-être difficile : |

Toute surface qui admet un système de lignes de courbure planes, égales entre elles, est une surface d’enroulement.

(‘) Remarques sur la théorie, p. 15.

(1) Loc. cit.

(‘**) Édition de Liouville, p. 330. Il s’agit de la surface dont toutes les normales sont tangentes à une même développable, c'est-à-dire d’une surface d’enroulement.

(445 )

CXXX. — Sur l’Analyse indéterminée

du second degré.

(Avril 1873.) I. En supposant

DÉNYÈ 2 A, VON IyYL | 221 —10), ONE nious avons trouvé (*) l'identité :

(ea a eye" — 2) (ea — ae) + (ay — ya] FA) 2

(ay +22") (y —2y x + (ax — 27" gygy") TT

Afin qu'elle soit homogène, posons :

\a dl pe nt Mes c'est-à-dire Po +g+h—k; (1) puis, en changeant de notation : ff + gg + hh'— 0, (2) L2+ + h)(gh—Rhg"} + (hf —fh'}+ ({g"—gf">] = ff" + g'g" + h'h'Ÿ (A)

+ [/(g'k" — kg") + gif" — Ph") + h(fg" — g'f")F. De là résulte le théorème suivant :

Lorsque dix quantités entières satisfont aux conditions (1), (2), elles rendent identique l'égalité (A), dans laquelle le produit d’une somme de trois carrés, par une somme de trois carrés, se - réduit à la somme de deux carrés.

Soient, par exemple :

f=6,g—5, h—2, k=7, [= 1, g=2 NW =—6, f'——5, HS DE = 1.

10

(146)

Oa doit avoir

(+ À + 6°)(5° + 5° + 4°) = 55° + 15, ou 41.54 — 1 295 + 169 — 1 594;

ce qui est exact. IL. L'identité (A) a la forme RÉ NTEEORS) ee) ue (B)

D'après une proposition connue, si les nombres U, V sont premiers entre eux, chacun des trinômes Î'? + g'? + h'?, X2 + Y2 + Z? est une somme de deux carrés. Nous avons donc ce théorème remarquable :

Si sept entiers f, g, h, Kk, f ,g', h' satisfont aux conditions : F+g+l—=k, ff + gg + hh—=0,

le trinome f2 + gp’? = h'? est, ordinairement la somme de œ) 7 9 deux carres (@):

IT. Dans ce qui va suivre, nous pouvons supposer f, g, h pre- miers entre eux, et f’, g', h' également premiers entre eux.

En effet, si f, g, h ont un facteur commun, ce facteur doit diviser k; et alors on peut remplacer f, g, h, K par des sous- multiples de ces nombres. De même pour f, g’, h", à eause de la condition (2).

IV. De l'équation (2), on tire, successivement : g°g° + hh°— f?f?— 29hg'h', (g° + R)(g° + h?)= ff + (hg — 9h}, (g° + R)P = Kf? + (hg'— gh'); (C) P représentant f? + 9°? + h*.

(‘) On verra, tout à l'heure, que la propriété énoncée peul subsister, même quand U et V ont des facteurs communs.

(447)

Le premier théorème peut done être remplacé par celui-ci : f2 + 9°? + h°? est une somme de deux carrés, au moins

lorsque kf' et hg'— gh' sont premiers entre eux (*). V. Remarques. — 1° On a, simultanément : (g° + R)P=KÉf® + (hg'— gh'), (RE + PDP = kg" + (FN — hf}, (MAN EEE CSST C AT Ainsi : P est une somme de deux carrés, au moins lorsque kg' et fh'— hf sont premiers entre eux; etc. 2% Le théorème ci-dessus (Il) peut encore être énoncé comme il suit : Soient six entiers, f, g, h, f',g", h' satisfaisant à la condition ff! + gg + hh'—= 0. Si l’une des sommes

fees g+h?, f2 . qi h"®°

est un carré, l’autre est, ordinairement, une somme de deux carrés.

9° Pour satisfaire à la condition (2), f, g, h étant donnés, il suffit, comme on sait, de prendre

PSE TE NÉ OU LE (5)

a, B, y étant des entiers quelconques.

(‘) Soient

==, 9e hr 9, Es, RER 0 SE valeurs qui satisfont aux égalités (4), (2). 11 en résulte kff=6, hg —gh—= 10; puis 8P—6?+10?, P—17 — 4? + 12.

Ainsi, comme nous l'avons annoncé, P peut être une somme de deux carrés, même quand hg'— gh’ et kf’ ont un facteur commun.

(148) Il résulte, de ces formules, P=— bo + & + 9°) — (fo + 98 + hr). (D)

Ainsi, sauf les cas d'exception signalés (s'ils existent), le second membre, somme de trois carrés, est aussi une somme de deux carrés.

VI. Interprétation géométrique. — Soient «, 6, y les coor- données rectangulaires d’un point M; f, d À les cosinus direc- tifs d’une droite OA, passant par l'origine O. Il est visible que

12 me D P étant la projection de M sur OA.

Soit P — A? + B?, ou

puis hi) l Cette égalité, dans laquelle A, B, Æ sont des nombres entiers, exprime que : La distance MP est l’hypoténuse d’un triangle dont les côtés de l’angle droit sont rationnels.

VIL Applications :

4° —/5: D — D EG: q 1 0e D ge. ds Sig ES

P — 58° + 55° + D8° — 1 144 + 1089 + 5564 = 5 897.

Le nombre 5 897, qui est premier, a la forme 4y + 1 : il est dans la somme de deux carrés. On trouve P — 76? + 112; puis, au moyen de la formule (16) :

que el = MP = | — ae |) à \65 65

— (5° + 9°?)(73? + 59°) — 155° + 242°— 9285" + 50’;

mt el ei = el M = —) + —) = |— |) + |—); 55 63 65 63 TENQE

VIII. Remarque. — Les entiers f, g, h, f', g', h" étant supposés différents de zéro :

1° La quantité (bg — gh'}? + k?P?, égale à (+ g° + h?)(g° + h), est un nombre composé ;

2 Ce nombre est une somme de quatre carrés : (hg° — gh'})?, (Er), Gr}, (hlY: pe

3° Îl se réduit à une somme de trois carrés si L = +;

4° Il est décomposable en six carrés.

IX. Autre Remarque. — Plus généralement :

Soient six entiers X, Y, Z, X', Y, z', satisfaisant à la condition XX + yy +22 — 0.

1° Le nombre (zy — yz'}? + (x? + y? + 22)x'? est composé;

2 Ce nombre, égal à (x? + y? + z2)(y? + 2°), est la somme de six carrés.

*) A chaque décomposition de P, en deux carrés, correspond un triangle P S rectangle.

( 150 )

Addition. — (Octobre 1885.)

X. Théorèmes d’Arithmétique. — 1° L'identité (ce + y +1) +(x— y} += + (x + 1) + y + (y + 1} (E) prouve que :

Si un nombre impair, n, est la somme de deux carrés non consécutifs, n + À est la somme de quatre carrés, consécutifs deux à deux.

2° Si l’on suppose y — x + 2, cette identité devient (2x + 5Ÿ + 5 — 0 + (x + 1) + (x +2) + (x + 5). (F) Par conséquent :

Tout carré impair (supérieur à 9), augmenté de 5, est la somme de quatre carrés consécutifs; et réciproquement (*).

(°) Dans le petit Mémoire intitulé : Sur un développement de l’intégrale elliptique de première espèce. (1886), on trouve divers théorèmes sur les progressions. Par exemple, celui-ci :

Dans toute progression arithmétique, lu somme des carrés de cinq termes consécutifs est une somme de quatre carrés.

(151)

CXXXI. — Sur un produit indéfini.

(Novembre 1875.) I. Soit y = (1) (1 —x)(1 — à) ….(), (1) ou .

CU) Pr Pr)

i Pe Eee Re = X + XL + XL + A +... 2 5) 4

9 ( 5 L 6 1 9 I 42 HL+H=-X += + -x" + 2 5) 4 2m ;

ou encore, par la sommation des séries verticales :

x dE 4 x 4 x ie + = RL = 1 Gr 21 — x DA NT? AT

LATE

+. (2)

On tire, de cette égalité (2), en prenant les dérivées :

(‘) Ce produit, considéré par Euler, donne lieu, comme on sait, à la série, très remarquable,

1—g— 2 ++ dt — mt mis + .…, développement de y (Recherches sur quelques produits indéfinis, p. 7).

L'expression de cette série, rapportée dans le Calcul différentiel de M. Ber- trand, est inexacte.

Conséquemment, 1 9 3%? lac + - Ve Ie em D = (à) | LATE x? x = © + © + ————— © + —— c Dep Qt AS? Ur; ) ou, ce qui est équivalent : de æ(l — 2x) x(2 — 5x) x(5 — 4x*) a 016) (1 ITS D) (1 ES x) (1 LA Th) (1 Hs 55)

Pour vérifier l'égalité (5), il suffit de remplacer chaque frac-

tion par son développement en série. Addition. — (Janvier 1886.)

I Si l'on suppose, avec Jacobi,

D (qi (CN Feu

on trouve y 1 D'OR NE (D) NES eee (7) VND ENNNS ET 6 x T III. L'identité (6) peut être remplacée par celle-ci : 1—2g . 4@—59) g'@&— 59) CONTENTER | .

5 k Le Ps 5 5 q ( ch + 000 =— À. (LE Ge Ge pe if Soit w, le terme général du premier membre ; savoir qg"'[n LEE (n ue 1)g"*1] (ge US ES)

En le développant suivant les puissances de qg, on parvient aisément à l’identite :

90

2, 397 #Hu—0q##(n—9)q9#4(n—5)g"#(

n—4)q""+... | (9) = 1 + 29 + 59° + 4Q° +

(‘) Recherches sur quelques produits, p. 92.

(155) IV. On vient de voir que

1— 99 2q9—5 5j —4g 4j —5q 1 ss Op A en qe gt M qŸ a NE qE) ee CU iGP) (CEEX)

D'autre part (*) :

— à = + 5 (A— 9) (1 — q°)

1 — 20 2q9— 5j 5q —4q kQ° — 5q" 1 a —+ ———_— a (

— + ————— —+- .e. ——————————— di Se ARS (NT)

Par conséquent, il y a équivalence entre les séries composant les premiers membres.

CXXXIT. — Deux lecons de Probabilités (1872) (‘*).

I. Règle de la moyenne arithmétique. — Supposons que l'on ait mesuré deux fois, trois fois, … n fois une longueur inconnue, x, et que les résultats obtenus, k,, k2, … k,, soient très peu différents les uns des autres (***). Si toutes ces mesures sont également probables, c'est-à-dire si l’on n’a aucune raison d'en préférer une aux autres, on doit prendre

*

Île ae fe, 42 coox JE | US PNR ROLL Rle" UE (1) n Soit d'abord le cas de deux observations, et, pour fixer les idées, & < k2. L'hypothèse la plus naturelle est que x est com- prise entre 4, et k,, et également éloignée de ces limites. Ainsi ka —2x—%—k,; d'où Len no

X

(‘) Note CXXIV, p. 198.

(‘*) Elles font partie d'un Traité inédit.

(‘**) Cette condition préliminaire, sur laquelle les Auteurs n’insistent pas assez, est absolument indispensable. Si trois observations, par exemple, ont donné environ À mètre, et une quatrième observation, 2 mètres, celle-ci doit être annulée.

(154)

S'il y a trois observations, on peut les combiner deux à deux, en prenant

k, ae Ko ko Que k: k; 2 k, ar D ———— 9 X . 7 2 2

Les erreurs correspondantes seront

k, = ko ks Se ki ko + LE

2 2 2

Es = À —

Si l’on veut que la somme de ces erreurs soit nulle, on à l'équation ee C0

ou EN NE 1

RUN AN NUE

a)

ete.

En général, d’après la formule (1), CR) EE) EEE k,) = 0:

Ainsi, le principe de la moyenne suppose nulle la somme des erreurs.

Il. Remarque. — Cette démonstration, très élémentaire, est peu rigoureuse. On l’acceptera, je l'espère, après l’énumération suivante :

1° Dans la Théorie des moindres carrés (*), Gauss, avant de démontrer (?) la formule (1), s’énonce ainsi, à propos d'un Lemme préliminaire :

« Si l’on objecte que cette convention est arbitraire et ne » semble pas nécessaire, nous en convenons volontiers. La » question qui nous occupe a, dans sa nature même, quelque » chose de vague et ne peut être bien précisée que par un » principe jusqu'à un certain point arbitraire. La détermination » d’une grandeur par l'observation peut se comparer, avec

(‘) Traduction de M. Bertrand (1857) (pp. 6 et 7).

( 155 )

» quelque justesse, à un jeu dans lequel il y aurait une perte à » craindre et aucun gain à espérer. » … « Mais quelle perte » doit-on assimiler à une erreur déterminée ? C’est ce qui n'est » pas clair en soi; cette détermination dépend en partie de » notre volonté... »

« Laplace a considéré la question d’une manière analogue... » Cette hypothèse (*), si nous ne nous faisons pas illusion, n’est » pas moins arbitraire que la nôtre » ; etc., etc. (**).

Ce n’est pas tout. Gauss dit encore : « La moyenne arithmétique » des valeurs observées est la valeur la plus probable de cette » quantité (x), sinon en toute rigueur, du moins avec une » grande approximation, de telle sorte que le plus sur soit tou- » jours de s’y arrêter » (p. 118). Le Géomètre rigoureux par excellence admet donc, comme axiome, une proposition fausse dans certains cas!

2° Encke a fait, pour le cas de trois quantités, une tentative de démonstration; mais elle suppose que la valeur la plus pro- bable est la même que si, au lieu des mesures #,, k, k;, on avait pris & (k, + ka), £ (ki + ), ks.

Comme le fait observer M. De Tilly (***), cette hypothèse est, au fond, un postulatum nouveau.

3° Dans son Traité élémentaire du calcul des erreurs (”), M. Faà de Bruno s'exprime en ces termes :

« La valeur la plus plausible... sera celle dont les différences » avec les valeurs observées seront les plus petites. Si cela est, » il faudra aussi que la somme de ces différences prises en » valeur absolue soit la plus petite possible. Pour réaliser cette » condition algébriquement, nous dirons (sic) que la somme » des carrés des erreurs doit être un minimum. »

Autant de mots, autant … d'erreurs.

(‘) Celle de Laplace.

(””*) Ces raisonnements font songer à, ceux qu’emploie Sganarelle (Le Médecin malgré lui; acte 1, scène VI).

("””) Nouvelle Correspondance mathématique, t. 1, p. 145.

(”) Page 15.

(156 )

Soient, pour fixer les idées, OA — 5, OB — 6, OC — 8. Soit à déterminer le point M par la condition

AM + DM + CM — min. ;

les distances étant prises en valeurs absolues. À cause de BM + CM — BC — 2, le point M, supposé situé entre B et C, doit être le plus près possible de A : il doit se confondre avec B. La formule qui répond au problème de M. Faà est donc x — 6, et non g— TES,

En outre, si l'on veut que AM? + BM° + CM° soit un minimum, on trouve

(x — 5) + (x — 6) + (x — 8) = 0.

4° Meyer, mon savant prédécesseur, admet que « la valeur » la plus avantageuse (sic) du résultat d’un grand nombre d’ob- » servations est celle que l’on déduit de leur moyenne arithmé- » tique (*) ».

9° M. H. Laurent fait un véritable entassement d’intégrales (**).

6° D'après M. De Tilly, excellent juge : « le principe de la » moyenne est établi … lorsque le nombre des données est » infini et lorsqu'il est égal à deux … il est impossible de » démontrer … le principe de la moyenne entre {rois quan- » tits (***) ».

7° Une Théorie analytique des moindres carrés, due à M. Biver, est basée sur la proposition suivante, véritable non- sens :

La dérivée de o (x? + y? + z? + ….) est

p'(x° + Y° + 7°? era .….) x (2x are 2y + 9z + ...) Lo)

(‘) Calcul des probabilités, publié par M. Folie, p. 215. (°°) Traité du calcul des probabilités, pp. 144 et suiv. (***) Nouvelle Correspondance mathématique, t. I, p. 144. (*) Journal de Liouville, 1853, p. 177.

(157)

III. Méthode des moindres carrés (*). — Soit P la proba- bilité du concours des erreurs A;, À;, …, Au, Après avoir démontré (?) la formule

#2 vel 7 D'AHOSANË D Are OPA

Gauss en déduit, comme il suit, la règle des moindres carrés : « IL faut, pour que le produit P devienne maximum, que la

» somme A++ +.

» devienne minimum. Donc le système de valeurs des inconnues, » le plus probable, correspond au cas où les carrés des diffé- » rences … donnent la somme la plus petite possible, pourvu » que toutes les observations soient également présumées pré- » cises. » (sic) (**)

Voici une autre manière, très simple, d'arriver à la même conclusion.

Supposons que des éléments inconnus, x, y, z, … soient liés, à des paramètres a, b, c, … p, a, b', c', .… p', …, par des équa- tions de la forme

V= ax + by + cz +. + p—0.

Si les valeurs de ces paramètres étaient données exactement, les équations ED NEO NE (1)

en nombre égal à celui des inconnues x, y, z, … détermineraient celles-ci.

De plus, on pourrait remplacer le système (1) par l'équation unique Du: (2)

Au lieu de cela, et quelles que soient les valeurs adoptées pour x, y, z, …, les seconds membres des équations (1) sont

() On devrait dire : de la moindre somme des carrés. (‘*) Méthode.., p. 121.

( 158 )

des quantités w, w', w”, …, très petites si les observations ont été bien faites : ces quantités sont les erreurs provenant des observations.

L'équation (2) est remplacée par

Ÿ V? — > w°.

La quantité Zu? ne pouvant être nulle, il est naturel de dispo- ser des valeurs de x, y, z, … de manière qu'elle soit la plus petite possible. On est ainsi conduit au principe de la moindre somme des'carrés des erreurs, découvert, presque simultanément, par Legendre et par Gauss (*).

CXXXIII. — Sur les normales à certaines courbes. (Novembre 18753.)

1. PROBLÈME (**). — Sur la tangente MP à une courbe donnee, AMB, on prend MP — o(s), s désignant l’arc AM, compté à partir d’un point fixe A. Le lieu du point P est une ligne PP'P”... On propose de construire la normale PN, située dans le plan osculateur à la courbe donnee.

x, y, z étant les coordonnées de M, les coordonnées de. P sont, avec les notations ordinaires :

Ge EN UN TEEN EE Cor (1) Par suite : dx, 1 — = «fl + o') + ao, S dy; Te LEE b 2 ’ me nd CU (2) az, ‘ ; — = 1 + 9) + co. ds

(‘) Pour les développements, voir nos Remarques sur la méthode des moindres carrés. (**) Le lecteur est prié de faire la figure.

(159)

Les premiers membres sont proportionnels aux cosinus direc- tifs de la tangente PS ; done l'équation du plan normal, en P, à la courbe PP’, est

DA — af + p) + ap] —0. (5)

Les équations de la normale principale MC, à la courbe don-

née, sont (*) En Nr D re &) a’ b' C {

Les valeurs de X, Y, Z, satisfaisant aux équations (5), (4), sont les coordonnées du point N où la normale PN rencontre MC. Si l’on fait MN — p, on a, par les proportions (4) :

STE ONE COCO EE ES) ON)

On a aussi

X— x —(X — x) — (x; — x) = pa'p — ao. Donc l'équation (3) devient

> (pa'o — ao) [a(i + g) + ao]=0, ou

o 2 En eu +®p)==0,

ou p=e(l +9). (6)

IL. Soit P, le point symétrique de P, relativement à M; soit pa la distance MN, :

Pi= e(1 — ?). Par conséquent, 1 (SE p)= e. (7)

(‘) Voir notre Théorie analytique des lignes à double courbure, p. 9. (*) A cause de 1

MG = eee ve) Va? +b3+0"

( 160 )

Ainsi, le centre de courbure, €, est le milieu du segment déter- ininé, sur la normale principale, par les normales MN, MN, (*).

IT. Supposons que la distance MP soit constante, auquel cas la courbe PP'P”.…. est une sorte de parallèle à la courbe donnée (**).

Alors o' — 0, et

Poe (8)

Donc, si une droite MPQR glisse tangentiellement à une courbe donnée AMB, et que PP’, QQ', RR', … soient les trajec- toires de ses différents points, les plans normaux en P, Q, R, … à toutes ces trajecloires, passent au centre de courbure C, de AMB. Autrement dit, ces plans normaux se coupent suivant la droite polaire CK (*"*).

IV. D’après les formules (2) et (6) :

(dx,

nn = (1 + LÀ + =——— ——, (9)

2 2 2° n désignant la longueur du segment PN de la normale.

Les cosinus directifs de cette droite sont donc (o (Q , g —|a(i + o : —|b( +o)+ bol, —[e( / "|. = [al p') + ap], = LE o') c] = Le + g) + co Par suite, si 8 est l'angle des deux tangentes :

cos = <(! + ®'), n

ou

cos 0— À — cos MCP. (10) ñn

(*) Dès 1857, M. Mannheim a trouvé, pour les courbes planes, des théo- rèmes analogues à celui-ci. (Voir les Nouvelles Annales, les Annali mate- malica, etc.)

(*) Nous l’appellerons pseudo-parallèle.

(‘’*) Propriété connue, évidente par la théorie des axes instantanés.

(161)

En effet, PS est dans le plan osculateur PMC (*), et les an- gles TPS, MCP ont les côtés respectivement perpendiculaires. De plus, par la formule (9) :

AS bn

TE Le % TENTE (is)

Addition. — (Janvier 1886.)

V. Considérons la développable S, ayant AMB pour arête de rebroussement. Le plan tangent en P,à S, contient la tangente PS à la courbe PP’. D'ailleurs ce plan est oseulateur, en M, à l’arête de rebroussement. Donc celui-ci contient PS.

VI. En revenant au cas particulier de PM—const., projetons

la figure sur le plan osculateur PMC. Les tangentes PS, QU, aux pseudo-parallèles, sont perpendiculaires, respectivement, à CP, CQ, … Donc, d’après un théorème connu, l'enveloppe de ces droîtes, c'est-à-dire l’anti- podaire de MP, est la parabole qui a M pour sommet, C pour foyer.

VIF. Courbure de la pseudo-parallèle. —

On a

1 = — » (dx, dy, — dyd’x;), (12)

6 ds

Sol =

quelle que soit la variable indépendante. Supposons que ce soits. Alors, si nous désignons MP par Z :

dx, —=(a + a'k)ds, dy, —(b + b'kjds, dx =(u' + a"kds, dy (b'+ b''kds?,

da dy, —dydx,= |(ab'— ba’)+(ab" —ba")k + (ab! — b'a)k?]ds.

(*) Voir le paragraphe V.

(162)

A cause de RE la formule (12) devient

pourvu que l’on fasse

S— Ÿ (ab — ba} + ED (ab — ba” ÿ + REY (ub" — ba} + 2k Ÿ (ab' — ba’) (ab — ba”) + 2 D (ab" — ba’)(a'b" — b'a”) + 245 Ÿ (ab — ba’”)(a'b"" — b'a”).

il 1 Ÿ (ab — baÿ — _ Ÿ (ab! — ba” Ÿ = ne D

D'(ab— b'a DES

9 Ne 01 0 n lès nr 5 > (ab' — ba')(ab"" — — ba) = — De RSR AE p ()=— _ ; CO NC n\ il D ba)(a ba) — fe AE DC À d'a) DE e ) pi ch+nro [ce n\1 p' D — ba’}(a bd" — b'a) = — Ÿ = Ets ÿ (a CES Ainsi, L m2 (2, 0 ! 1, & A =. p p (d r p° 2 1 p ; ou, après quelques réductions faciles, 1 n° È Se 10 moe | p° 7 La formule demandée est done 1 | k°n° 0) —— n° — k ei mL Lo ro PS = (2)

(‘) Théorie analytique des lignes à double courbure, pp. 15 et suiv. (‘”) Ici, x est un cosinus directif.

(165 )

VIIL. Remarques. — 1° Si l’on suppose r infini, auquel cas la courbe donnée est plane, la formule (14) se réduit à

1 n° — kKop' SE (15) pi LR 2° Nous venons de rappeler que : Den Stat bay >, (ab — ba’) Hs 2, (a'b — b'a”) de ce D'un autre côté (*) : Dubé.

Done, par l'élimination de r et de p :

ÿ (ab — b'a'ÿ — D (ab! — ba} + D (ab' — ba')e" f°. (16) Dans cette identité, a, b, c sont des fonctions d’une variable s, vérifiant la condition

+ DL + — 1.

5° Soit R le rayon de courbure, en C, de la développée de AMB.

On sait que R— op". La formule (14), si l’on adopte le signe +, devient

n° br eRRe On conclut, de celle-ci : : n CHE, O0 a R°

puis l'élégante construction due à M. Nicolaïdès (Nouvelles Annales, 1866, p. 385).

(*) Théorie analytique.., p. 16.

(164)

CXNXXINW. Une intégrale d'équation.

(Juin 1874) (”).

Soit l'équation différentielle

dx dy a LL (1) Va +1 Vy+i

dont l'intégrale immédiate est

fauve) F0 Venell

ou

(x Va + 1) (y + Vo + 1 = : + Va Mi (2)

Comme facteur intégrant, on peut prendre

à = xy + V (a + 1)(y° + 1). (5) En effet, à À \ / À à d ——— | A — | \Va + 1 x y \V y? + 1/ Me pe 9 See © SE dy Va +i Vi dx

De plus, le premier membre de la proposée est une différen- plus,

tielle exacte. Done, si l’on remplace À par — c, et que l'on isole le radical, l'intégrale médiate, mise sous forme rationnelle, est

+? se Uh HE 2cxy == Î — c° == 0. (4)

(‘) Introduction au théorème d'Euler, sur l'intégrale algébrique de

dx dy 1,

V/1 — csinxz V/1—csiny

(165)

CXXXV,. — Sur les surfaces orthogonales. (Juin 1874) (*).

L. ProsLèue. — Déterminer toutes les surfaces 2 qui cowpent. orthogonalement, les surfaces S représentées par

F(x, y: =) = €. (1)

Cherchons d’abord les trajectoires orthogonales des surfaces S. Soit Pdx + Qdy + Rdz la différentielle de F(x,,z). Les équations différenuelles du problème sont :

dx dy =

Les surfaces S, se succédant d’une manière continue, admet- tent une infinité de trajectoires orthogonales ; done les équations simultanées (2) sont toujours intégrables. Si

f(x: LÉ :)— 2, fix, VÉ z) = 8 (5)

en sont les intégrales, celles-ei représentent toutes les trajectoires cherchées, et | à: Î(æ> y, 2) — | f(x, LE 2)| (4)

représente toutes les surfaces 2, 9 étant une fonction arbitraire (**).

() Un extrait de cette Note à paru dans les Compées rendus (séanee du 6 juillet 1874). La méthode est celle dont j'ai fait usage dans le petit Mémoire intitulé : Recherche des lignes de courbure de la surface lieu des points dont la sonvme des distances & deux droites qui se coupent est constante (Acanéme DE BELGIQUE, SavaNTS ÉTRANGERS, t. XXXII).

(”") De là résulte que si, comme on l'a supposé,

Paz + Qdy + Rdz = 0 est intégrable, l'intégration de Pp + Qg—=R

équivaut au problème proposé.

(166)

IT. PROBLÈME. — 1° Reconnaître si les surfaces S, représentées par l'équation (1), appartiennent à un système orthogonal triple ;

2° Trouver, si elles existent, les surfaces Z,, à qui, avec les surfaces S, constituent le système.

Atribuons à la fonction © deux formes particulières, Ÿ et x : si les surfaces correspondantes sont orthogonales, le problème sera résolu. La condition d'orthogonalité est

Me Go pren sent

dx dy dz dx dx Fe dy dy ne dz dz | 5 GG Mens À + — — |] + | — em = () dx 1 dy .dz Ÿ

Dans cette équation : = DUC, LE z)] —V(E) Ti r'|fi(x, Y» 2) — (8). (6)

En chaque point des lignes de courbure de S, déterminées par les surfaces =, on a

f(x, y, =) = Y(E), fix, Ys 2) = GE. (7)

Si done, entre les équations (5) et (5), on élimine deux des trois variables x, y, z, l'équation résultante devra être identique. En exprimant les conditions nécessaires pour que la troisième variable disparaisse ainsi, en même temps que les deux autres, on obtiendra deux équations différentielles, entre Ÿ, 7 et B ().

LIT. ProBLème. — Quelles doivent être la forme d’une fonction F(a, b, x), et les valeurs des paramètres a, b, pour que lon ait,

identiquement, Mano = Dati

1° La fonction F, nulle, quelles que soient les valeurs attri-

(‘) Ce qui précède est tiré du Mémoire. J'ai conclu, de cette méthode, divers systèmes orthogonaux.

(**) Si l’on remplace a, b, æ par æ, y, 7, le problème peut être énoncé ainsi : Trouver l’équation des surfaces qui contiennent des droites parallèles à l’axe Oz.

(167)

buées à x, doit, en particulier, être nulle pour x — 0. Ainsi, déjà, les paramètres satisfont à la condition F(a, b, 0) = 0. 2° Soit y = F(a, b, x) — Fu, b, 0).

Cette fonction y, identiquement nulle pour x — 0, doit être toujours nulle, c’est-à-dire constante. Comme le premier terme est variable et le second terme constant, la condition imposée est absurde, à moins que y ait la forme o(a, b) X, et que les paramètres vérifient l'équation q(a, b) = 0 (*).

3° De |

F(a, b, x) — Fa, b, o) = œ{a, b)X, on conclut que F(u, b, x) = À + àX, les quantités À, À étant indépendantes de x, et la fonction X n'étant pas infinie pour x = 0. En outre, les valeurs des paramètres sont données par les

équations A—10 y À — 0.

IV. Revenons aux équations (3), (5); et supposons, comme précédemment, que les valeurs de x, y, tirées des deux pre- mières, soient substituées dans la troisième. Si le système orthogonal existe, on devra pouvoir disposer des fonctions ®, 7, de manière à faire disparaître z. D'après le dernier paragraphe, le résultat de la substitution a la forme À + 1Z. Et comme les quantités ' + z', d'r' sont indépendantes de z, on a, séparé-

ment : 1f\°? f\2 12 PRO dx dy dz Ca ECC dx dx dy dy D de

ui : Et “ el AN 7

dx dy dz

B + wZ, (8)

(°) La fonction X ne doit pas devenir infinie pour x = 0. Elle peut contenir «& et b.

( 168 )

Nous croyons donc pouvoir énoncer ce théorème : Soient f(x, y, z)=a, fi(x, y, 7) =6

les équations d’une infinité de lignes. trajectoires orthogonales des surfaces S représentées par F(Xx, y, Z) —c. Pour que ces surfaces puissent faire partie d’un système orthogonal triple, les dérivées partielles E. e , … doivent, après l'élimination de x, y, satisfaire aux équations (8), dans lesquelles les quantités À, B, C, À, u, y sont indépendantes de z (*).

V. Au moyen des valeurs (8), l'équation (5) devient (A + 22) —(B + pZ)(0' + #°) + (C + »Z)Ÿ'r — 0.

Cette équation de condition, devant avoir lieu quel que soit z, se décompose en

A — B(' + x) + Chr —=0, à — w(d + 7) + dr — 0.

Par conséquent, d' et n' sont les deux valeurs de ds satisfaisant à l’équation Bt Al (C4) E Ab Ba NE) DUMAS = —=

(a TMC du premier ordre et du second degré. Une équation du premier ordre ayant toujours une intégrale, il s'ensuit que: St les condi- tions (8) sont remplies, il existe deux séries de surfaces 51, 3, formant, avec les surfaces S, un système triplement orthogonal.

Les conditions (8), nécessaires, sont donc suffisantes (**).

(*) Quand l’équation donnée a la forme X+Y+Z=0, les égalités (8) conduisent, assez rapidement, aux conditions XXE RUES à) (XD) AE (0) (à LL" = 9212" — a)(7!— bd),

trouvées par M. Serret (Journal de Liouville, t. XI).

(‘*) Les doutes exprimés dans la Note insérée aux Comptes rendus

(169 ) VI. Application.

(e® + e*)(e + e*) —csin z, ou

L.(e +e)+ p.(e + e) — P.sinz = P.(c). (1)

Donc

É ETS e — e * COS Z P— 0 — Done ee + 6e” e + 6e? SIN Z puis dz dx 6 dy 1 z @) = — _ fe! — =; = - CHCENCEE He ET SIN Z Les intégrales sont € — €" €! — ep? ” a (5) COS Z COS Z Par suite : dre pet l'df fd (e"—e *) sinz dx cosz dy PAU COS? z dfi CAMES CN CAIN = == —— == 9 EE EEE dx dr cos y dz COS” z GIE df\? df\ NE + 67% + 2,(cos z — sin° 2) ei) + ë dx dy dz cos" z

a? cos? z + A1 + cos z— sin?z) +4

— === ,

cos z cos’? z

df dfi df dhi | df dfi _ aps sin® z dx dx dy dy Ÿ de dz co z

mia

(6 juillet 1874) subsistent encorc (février 1886); et je suis loin d’être satisfait de la démonstration employée dans le paragraphe IV. Néanmoins, comme toutes les applications que j'ai essayées, du théorème énoncé, m'ont conduit à des résultats exacts, je le soumets à l'appréciation des Géomètres.

(170 ) Ces valeurs, comparées à

A+AZ, B+ruZ, C+ 22, donnent :

= +4, 1=u +4, B—0, — ab, C—s +4, DE, Tai L'équation (9) se réduit à dx d6 Va + 4 VE+4 L'intégrale de celle-ci est (*) + BE hab + 4 — h°— 0. Par conséquent, les surfaces 5,, 3, sont représentées par (eï — 67%) + (6e! — et) + hfe® — e*)(e — e!) + (4 — h)cos z—0, (er — 6) + (el — eV — get — e fe! — e7?) + (4 — g')cos z— 0.

Elles constituent, avec les surfaces données, un système triple- ment orthogonal.

VII. Cas particulier remarquable. Supposons que l'équation donnée ait la forme

F(x) + Fy) + Fa) = c (*). (10)

Considérons la ligne (inconnue) dont les équations seraient

fl) = y) = FR), (11) puis les surfaces Z contenant cette ligne. Leur équation est fe) — fe) + Al (y) — fe] = 0. (12)

(‘) Voir la Note CXXXIV, p. 164. (**) Chacune des surfaces S, représentée par cette équation, est située de la même manière relativement aux trois plans coordonnés. Si, par

exemple, F(x) = Ax? + Bx + C,

S est une surface de révolution autour de la droite isogonale.

(171) La condition d’orthogonalité de S et de Z est F'(æ) f(x) + (y) fu) — (1 + AE (2) fe) = 0:

Elle devient identique si l'on prend

nl NES HER

u > dx * dy à dz (EN RSRSE = f> ; jf ON re lee Et ou @) Soient maintenant deux surfaces Z,, Z, la première repré- sentée par l'équation (12), la seconde par

fx) — f(x) + el fly) — fa] = 0: (13) La condition d’orthogonalité est [FT + 24) P + (+ (+ APT = 0.

Elle se réduit à une identité, pour x = y —z, si les constantes À, u vérifient la relation

pe O

A +ou+ (1 + A) + &) = 0. (14)

En résumé :

Par la droite isogonale passent une infinité de couples de sur- faces 3,, 3,, orthogonales deux à deux (*), et orthogonales à toutes les surfaces S (**).

VIIL. Suite. — Dans l'équation (10), je prends NH) = TP SE, (15) de manière que les surfaces S sont représentées par sinx.siny.sinz —sinc. (‘) A chaque valeur de 1 correspond une valeur de p.

(”") Ce n’est donc point là un sys!ème triplement orthogonal, dans le sens habituel de l’expression.

(12 ) Les équations (8) deviennent

dx dy dz

cotx _ coty cotz

On déduit, de celles-ci :

Donc

3

da\® f[dx\? fda\? sin?xcos z+cosxsin?z 1 +02—9x2cos?z | LE) = = EE RE PR MER PES = dx dy dz cos' z cos” z

du dB dadB dx dB cosxcosysin®z aB(l — cos? 7)

dx dx dydy dede AUTOS TR cos” z ia PAIE () = sin”ycos’z + cos” ysin?z RP RES dx dy dz cos* z COS* z puis RC D PME), p— ré, CRC ANA cos°z

L'équation (9) est, par suite,

{dx\° x

46— 1) (7) 2 ae — 9 (7) —astet 1) = 0

Celle-ci n’est peut-être pas facilement intégrable ; mais le sys- _ tème triple existe.

IX. Remarque. — Soient, comme précédemment, fa, y, 2)=4 fie, y 2) =6 (5) les intégrales des équations simultanées :

dx di dy si dz @) PATIO IR

(173)

Par la théorie connue :

if if DER OA OU

ne Sper Lo dz i 1 Pr LUS RE op dx dy dz puis __ Ne NE ee LR NT TE TT ENT AETT TR Die dy dz dzdy dzdx dxdz dx dy dy dx 0 étant une fonction de x, y, z, ou une constante. On conelut, de ces proportions : dfdfiudfdf;\ P° ; R— 5 Ÿ — — —_ — — | ë no #4 | dy dz dz dy (17)

La somme contenue dans le second membre est la même chose que

Me + Ce | +=) + |— —| +=) +|(— dx dy dz dx dy dz | Ted dd onda le [4 + — — | ; dx dx dydy dzdz|”? c’est-à-dire, d’après les formules (8), (A + 2Z)(C + :2) — (B + uZ}. Donc, finalement, P° + Q° + R°

(A + A) (C + 72) — (B «> uLŸ — =

(18)

X. Application. — Dans l'exemple ci-dessus (VIIT) : P—cotxz, Q—coty, R—cotz,

cos x COS y

2 Li —)

A = COS 7 COS Z

1 + &° — 22° cos’ z . : aB{1 — cos”z) — ; + uL = — —; cos” z cos” z

AA —

( 174 )

Donc (A + AZ)(C + 22) — (B + 2x) 1 — —— [(1 + 0% — 94° cos z)(1 + B°— 28°? cos? z) — aB{1 — cos’ z}| À cost z ou (A + AZ)(C + 22) — (B + ax) — s Ma 2 (an paint) cost z 32 heu || cos z

D'un autre côté,

: ë | œ° COS° Z B° cos° z COS? z PRSIOIECRSEE Dades ie ce ip 1 — «x cos z nn PUCOS NZ UNSINEEZ

ou, après quelques réductions,

(4 — à cos* z)(1 — ff cos” z) sin° z[P° + Q° + R°]

— COS 2[1 + à + PB? — (x + 5° + 4°6°) cos? z + 35x28? cos! z]. La comparaison avec la relation (18) donne

Û cos’ z NT (1 — x? cos? z)(1 — F° cos! z) sin° 7° ou plutôt,

2 cos z ne sin? y sin? z ”

expression qui s'accorde avec les égalités (16).

Addition. — (Février 1886.)

XI. Une propriété numérique. — L'équation (9) a la forme (Be — Cb}x° + (Ca — Ac)x + Ab — Ca = 0.

Celle-ci étant résolue par rapport à x, la quantité sous le

radical est (Ca — Ac) — 4(Bc — Cb)(Ab — Ba).

(175)

Si on la multiple par C?, et qu’on emploie la transformation ordinaire, on trouve l’identité

CT (Cu — Ac) — 4(Be — Cb)(Ab — Ba) — [Cu + (2B°— AC)e — 2BCbJ — 4(B* — AC)(Be — Ch) | (8)

Par conséquent : A, B, C, a, b, c, m étant des nombres entiers, la quantité C[(Ca — Ac) — 4(Be — Cb)(Ab — Ba) est une somme de deux carrés, si B? — AC — — m°. XII. Suite. — D'après cette remarque, l'identité (A) prend la forme NC° = X*° + Y°,

X et Y étant des nombres entiers. De cette égalité, on con-

clut, facilement, N—=X* + Y”*,

même quand X et Y ont des facteurs communs. L'énoncé précé- dent peut donc être remplacé par celui-ci : A, B, C, a, b, c, m étant des nombres entiers, la quantité

N — (Ca — Ac) — 4(Bc — Cb)(Ab — Ba) est une somme de deux carrés, si B? — AC — — n°.

XIIT. Applications.

LE LS CE CESSE, M On trouve

Ne 409255 — 525 USE AE UT 6 U15 + 107

(176)

CXXX VI. — Sur une intégrale pseudo-elliptique (‘).

I. Une lettre de Fuss à Condorcet, rappelée par M. Darboux (**), contient le passage suivant : . La formule intégrale

e dx VA + x La % RE TEE

» qu'il (Euler) observe pouvoir étre rendüe rationnelle (***) » moyennant la substitution singulière

RM + p° + \/1 — p° pv

» quoiqu'il ait cru autrefois qu'il soit impossible de la réduire » à la rationalité par quelque substitution que ce soit, parce » qu'il en pouvoit (") exprimer l'intégrale par des logarithmes » et des arcs de cercles. »

Je vais montrer, dans cette courte Note, que la substitution employée par Euler, au lieu d'être singulière, est, pour ainsi dire, forcée, en ce sens qu'elle est la résultante de plusieurs transformations simples et connues.

Il. Soit LAIT 2e 5 f° Si l’on fait 1 x —t85p(), (2)

(‘) Nouvelle Correspondance mathématique (1880). À propos d'un travail de M. Hermite, publié dans le Journal de Resal, t. VE, p. 5.

(”) Bulletin des Sciences, mai 1879, p. 226.

(”*) C’est, bien entendu, {a différentielle qui peut être rendue rationnelle,

_ Plus loin, nous reviendrons sur ce mot.

() Lecenpre, Traité des fonctions elliptiques, t. I, p. 9.

(177)

on trouve : 1 — sin" dx — 2 RP ET es 1+2—#4 1 + cos o (1 + cosy) (1 + cos œ) / l 1 — -sin* V A Pa dx V1 0. k ra (1 + cos p} 4 puis 1 l V1 Sin p ly = = — do. 5 He 2 cos ? G) 2° Faisons SZ; et, par conséquent, do cos pdp dz cosp cop 1—2 L’équation (5) devient V/1 — : z° 1 2 dy — Nr uns dz. (5)

Ainsi, y n’est pas une intégrale elliptique (”).

5° Pour faire disparaitre le radical, on peut poser

z : — = sin 6. (6) V9 De là résulte, immédiatement, 1 cos? 040 ER — (7) V9 1 — 2 sin’ 6

(*) D’après cela, dans le fragment rapporté plus haut, ne doit-on pas

lire pourroit, au lieu de pouvoit ? Si, a priori, Euler regardait GES dx

comme la différentielle d’une intégrale elliptique, il devait conclure, comme l'écrit Fuss, à l'impossibilité de la rendre rationnelle.

49

=

(178)

4° Enfin, la transformation habituelle :

(g0—= 1, (8) donne 1 lt === . (9) Voi—"(i +” ou

1 dt 1 dt dt dy = —— + — — : NOM AN ONUEEN a 5° L'intégrale est donc

1 , t+Tl PC ORDER TUE

91/2 PAGES)

+ const.

II. Des formules (2), (4), (6), (8), on tire, successivement :

1—cosp _ 1—cosp 1—1V1—7

XL — = = == 1 + coso sin @ Zz D1° A PONT — ch DEEE \ ARTE V/9 sin 6 V3 U LATE et enfin VA+r—VA—À = —————; L (14) A

ce qui, sauf une insignifiante différence de signes (*), est la trans- formation employée par Euler. Celle-ci, comme je l'ai dit en commencant, était done forcée.

(‘) Dans Verre pv?

3

on peut convenir de prendre négativement le second radical, afin que p—0 donne æ— 0.

(179 ) IV. L'équation (11) donne es. VO rt

On à done, au lieu de l'intégrale (10),

x V2 1 xV’9 + VA + x - arc tg .

Dares YUSf ET GEL E 21/9 Vtieaxt 409 eV 2— V1 + x

ou, sous une forme un peu plus simple,

FAIR ._ x te xV2 + VA + rt = —| are sin + = Le ——— | + const. 21/2 er RO VAE

Si l'intégrale est comptée à partir de x = 0,

"VA+x 1 | _eVo 1, Virat+xv dx — —| arcsin His £ © 9 1 — x aa]. Arr 2 V1+ri—rV 2

0

ou enfin

ENTER 1 ._aV® , VAirzx+zl dx = ———| aresin FU re eRners OE | 91/9 1+7° 4 — x°

0

formule connue (*).

() Cours d'Analyse, p. 158.

( 180 )

CXXXVII. — Sur les Élassoïdes (18272) (‘).

I. Transformation des formules. — Aux formules (87) de mon ancien Mémoire (**), on peut substituer celles-ci, dont la vérification est facile (***) :

x — g'{a) sin a + @"’(a) cos a + Ÿ’(b) sin b + Ÿ”'(b) cos b, y —= p'(a) cos a — p''(a) sin a + Ÿ'(b) cos b — Y”(b) sin b, | (1) z = V—1[œ(a) + g'{a) — Y(b) — '(b)]: |

En particulier : x — (a) sin a + p'(u) cos a + p'(b) sin b + p”(b) cos b, y — (a) cos a — p'’(a) sin a + (a) cos b — E”’(b) sin b, | (2) 2 = VIT + g'{a) — 9(6) — gb] (°

Il. Élassoides algébriques. — Pour en obtenir, il suffit de

supposer que (a) soit fonction de sin a ou de cos a. Prenons, par exemple,

o(a) = cos 2a, (5)

auquel cas les formules (2) deviennent

N Cé X e LA e Là ( cos° a + cos b — — — ; db ro D ed. L ke ; (4) COS? a — COS b— — - V—1 (.

(‘) Surfaces à courbure moyenne nulle. Cette dénomination d’élassoëide a été proposée par M. Risaucour, dans le beau Mémoire couronné, en 1880, par l’Académie de Belgique.

(‘*) Journal de l'École polytechnique, 37° Cahier, p. 156.

(‘*) Elle se fait comme on le voit à l’endroit cité.

(”) Le système (2), ne renfermant qu'une fonction arbitraire, ne con- stitue pas l'intégrale générale de l'équation aux dérivées partielles :

(1 + p°?)t — 2pqs + (1 + q°)r = 0.

() Nous supprimons le calcul, très simple.

( 181 ) Pour éviter les fractions, soient, généralement : cos’ a + cos b—A, sina+sinb—B, cos*a—cos*b —2C, (5) puis l'équation auxiliaire : cos” a + cos” b — 22. (6) Il résulte, des deux dernières :

cos” a—} + C, cos b —1—C, |

De s (7) sin a—1—) —C, sin b—1—)+cC. \ De la première des équations (5), on tire cosÿ a — À? — 2A cos b + cos° b, puis 4A° cos5 b — (A° — cos° a + cos° b}’, c'est-à-dire, à cause des valeurs (7) : 4A°(1 — C} — [A*— 20° — 6CX. (8) On trouve, semblablement, RUE Con) Il 0 Cd 0) (0 (9)

Il resterait à éliminer À, ce qui serait plus long que difficile. Mais il vaut mieux conserver les équations (8) et (9), en y regar- dant À comme un paramètre variable : ces équations représentent la génératrice de l'élassoide (**).

IT. Remarque. — Celui-ci est réel. En effet, soit z — 0, d'où C — 0. Les équations (8), (9) se réduisent à

2 2 CNE 41 — 21) — 16

(*) L'égalité (8) étant connue, il suffit, pour former l'égalité (9), de changer À, C, 1 en B, — C, 1 — j. (‘*) On ne doit pas oublier que

Il résulte, de celles-ci, 2 ! x a y ee, Se équation d’une hypocycloïde à quatre rebroussements.

IV. Rayons principaux. — Reprenons les formules rappelées ci-dessus (*) :

dx = 5'(a)sin ada + 7'(b)sin bdb, | dy = 5’(a)cos ada + x'(b) cosbdb, (10) dz =V/—1[s(u)da — 7/(b) db]; puis les suivantes, qui s’en déduisent : 1 1 | cos — (a + b) sin —(a + b) — 2 2 Re : sin S(«— b) sin = (« —+) (11) 1 Ep eq cotes (eo nb): |

L'équation qui donne les rayons principaux d'un élassoïde est (s® — rt) = (1 + p° + q°). (12) Il s’agit de former s? — rt. Or : dx dy dp dax dy dp NE NON 0 dx dy ag dax dy dgq A Ce PR RD du Ta D GE 0 DT

Par conséquent,

dpdq dpdq =| dæ dy] —— PES da db db da da da) |

VU Ê se dx FA db db} db db|\ da da

et ee GO) D GE 2) D ar anni

(*) Ce sont les formules (87) du Mémoire.

( 185 )

ou dp dq dp dq

# ; du db db da E

UN dE dy dx dy (8)

da db db da

D'après les formules (10), la valeur du dénominateur est,

évidemment, 5'(u) x'(b) sin (a — b).

D'un autre côté, les relations (11) donnent :.

dp __1)— cos b | C9 HO rue, sin & | de 2 me HNRE on

sin® — (a — b) sin®—(a — b)

2 2 2 SVT se 4. — sin b D © 4 a o sin” su — b) sin*— (& — b) Ainsi

dp dg dpdqg 1 sin(a—b)

0 COTE NT da db da Un) 2 puis | DE RE Ce (14) 4s'(a)x'(b)sin* 5 ta —b) D'ailleurs (11), 1 cos* — (a —b) ; 2 (EEE QT) Donc, finalement,

R°= 45'(a)r'(b) cos' = (a — b). (15)

V. Discussion d’un élassoïde. — À la fin du Mémoire, nous avons donné les formules : —2x—(e" + e-")cos m + (e* — e-*) sin m, y = (e" + e7") sin m—(e" — ee") cos m, (16)

—2— 2(m + n).

( 184)

Il résulte, des deux premières : LyR A (e" Pren"); (7) (x cos m — y sin m) —{(x sin m + y cos m) — 4 (1 8)

Soient : X —UCOS&, Y—USIN«.

L'équation (18) devient w*[cos*(m + &) — sin*(m + &)] — 4, puis % 2m = — 20 + arc cos — : (49) u

Quant à l'équation (17), elle donne

2n

ui — Vu? — 16

@ 20 7 (20) L'équation de la surface est done 2 ut — Vu? — 16 NAT ee Le CRE ALU ENRES 21 z ü — arc cos = + 10 : (21)

Celle-ci a la forme z — ko + F(u).

Or, cette nouvelle équation appartient à la surface d’une vis, dont le pas est 2kr, et dont le profil serait représenté par

z— F(x) (')

VI. Remarque. — Si l'on éliminait seulement n, l'équation (21) serait remplacée par le système suivant, qui représente une génératrice quelconque de l’élassoïde :

u? cos (2m + 2) — 4, (22) PRET z = — 2m + D — (23)

(‘) Mémoire, p. 20.

(185)

Cela posé : 1° L'équation (22) représente une infinité de cylindres hyper-- boliques, égaux à celui dont l'équation est

j —x = 4.

2° L'équation (22) représente des surfaces de révolution, égales entre elles.

Quand le cylindre tourne autour de l'axe Oz, la surface de révolution glisse le long de cet axe. On voit donc, de nouveau, que l'élassoide considéré est une surface de vis.

Addition. — (Septembre 1880) (*).

VIT. A Ia fin de son avant-propos, l'Auteur du travail envoyé à l’Académie, s’énonce ainsi :

« M. Sophus Lie... a montré que les surfaces à courbure » moyenne nulle sont, de deux façons, des surfaces-moulures. »

J'ai toujours soupconné, sans pouvoir le démontrer, que les élassoïdes sont des surfaces à génératrice constante. Quant au théorème de M. Lie, il résulte assez simplement, si je le com- prends bien, des formules :

5 = . DT Sade 1 Z1B) Sin bte, y = f s'(a) cos adu + [70 cos bdb,

F— V2" [s(a) + z(b) |.

Soient :

EC sin ada = X, PEU sin bdb — X,,

a 5'(a) cos ada — Y, [0 cos bdb — Y,, V1 s(a) — Z, V1 76) — Z;;

(°) Tirée du Rapport sur le Mémoire de M. Ribaucour.

( 186 ) et, par conséquent : ZX +X, y=N+M, z2—7+ 7, Il est clair que l’on a X= 2), Y=g2); X=/{(2), Y=p{(2)

Construisons les courbes AB, A;,B,, représentées par ces équations; prenons un point C sur la première, et un point C, sur la seconde. O étant l'origine, le som- met M, du parallélogramme construit sur OC et OC,, appartient évidemment à la surface. De plus, si le point C, est fixe, M décrit une courbe égale et parallèle à ACB ; etc. Dans le cas actuel, les profils AB, A,B, sont imaginaires.

B/

Autre addition. — (Mai 1885) (*).

VIII. A la page 150 de mon ancien Mémoire, on trouve, sous la forme suivante, les équations d’un élassoïde : l dope : x — | 6 — 5 y(e” — e) | cos 6 + = (6° + e7”) sin 6, | 2 n = Le to y(e? — | Sin 6 — = be” + e ”) cos 8, z — 0(> — 1); (25) puis, en note :

« D’après la forme de ces expressions, il est probable que » Ja surface peut être engendrée par le roulement d’une certaine » courbe... la trace, sur le plan des xy, est une développante » de cercle. »

(°) Tirée d’une lecon à l’Université de Liège.

(187)

Si l’on fait 1 1 A — €? — 5 PIC mA = (e” + er”), (26)

une génératrice de la surface est représentée par x — À cos 8 + Bosin8, y— Asin 6 — Bécoso, z—(> — 1). Les deux premières formules étant écrites ainsi :

x — B(cos 8 + 6 sin 6) + (A — B) cos 6, y = B(sin 4 — 6 cos 6) + (A — B) sin 09,

lu | (27)

on voit que x, y sont les coordonnées d'un point P, défini de la manière suivante.

Soient décrites les circonférences OA, OB, puis la développante BEF … du cercle OB. Menons la droite OCD faisant, avec OBA, l'angle arbitraire 0; puis con-

struisons Île rectangle DCEP.

. Le lieu du point P, ou

+ 7 la projection horizontale X 7 de la génératrice, est donc ie DA une pseudo-parallèle à

la développante variable BEF. On sait que la normale, en P, est la droite PC (*).

IX. Remarque. — On a, par les formules ci-dessus, ou par l'inspection de la figure,

2 x + y — A? + B°6 — A? + w| & à : D —=

ou

+)

(een

+ y — B° = A?

Ainsi la génératrice, projetée suivant APQ.., appartient à un hyperboloïde de révolution, à une nappe.

(°) Voir page 160.

(188 )

CXXX VIII. Quelques intégrales définies (.

X. Dans un Memoire sur les Nombres de Bernoulli et d’Euler (**), j'ai donné les quatre formules :

C3 2q—1 27 k rs noi œ da 9 TCcoswcos(2q —1)o do (es, 0 ET ent An eut © — 7 cot w sin#?o [3 e° NC 0 0 FR 21 14 in (© d x ‘A 7 COS&SI —1)@ @ E, — vtt Os APT eu RO

DR IQ 2 7 eot © sin +? « e e e + 1 0 0

Il en résulte : æ 21] T io free ñ œ œ 7 cos © cos (2 1) © lc 4 Dee A me 0) eT% — pe 7 © 7 cot c — 7 eot œo Sin T2 e Sr 0 0 4? %d LE, in (29 —1 l a dx 7 COS w sin CRUE 9?24+5 DERNIERE Rene AE 1 ) —— () CAPE Ne 7 eot © sin1+? © € [D e 0 0

Dans (48), je fais « == cot © : le premier membre devient

7 cos 11 © do 7 eot e) —Tcot DSi EG a e =. (9 ; 0 Donc DAcoS EN 1 de T cosuecos(29—1)o do (50) ee — & cot © LS UBeTo ne Tcotc = 7 cotc sin+? © € 0

La même transformation, appliquée à l'égalité (49), donne

à Le COS?? © do 7 coswsin(2q—1)e do 61) 7 et — T etc sin? Eve sin 2? © e e°? +

(‘) Suite de la Note XCIII. ("*) Académie de Belgique, Mémoires in-quarto.

(io) On ne doit pas oublier que P2,_, est un nombre entier, impair. (Note XXXIV.) |

( 189 )

XI. Une rectification. — Des fautes de caleul se sont glissées dans le paragraphe VI (*). Il en résulte que les formules (30), (51) sont inexactes.

On peut, comme il suit, rétablir ce paragraphe (**).

Dans la relation connue :

(2q+2)(2q +1) (2q +2) 2q +1)2q(2q — 1) LOTS EP (2q + 2)(2q + 1) es G2) een dore eo Di 01)

12

remplaçons les Nombres de Bernoulli par leurs valeurs, expri- mées en intégrales définies. Elle devient

jo Tdt + q IV 53 ÉD para ) (55)

en supposant

(2q+1)2q Fee (29+1)2q(2q—1)2q—2) , , 122 1.2.5.4

Il est visible que

(pentes Ne

T = tr ES

Nous avons donc, au lieu de la relation (53) :

°taridt À nt PRATRE HA "4 e?Tt— 1 = f er [Ce 2 1) (rl) q ]

i | (54) oran

4 +1)

() Tome I, p. 596.

("*) Ce nouveau calcul, plus simple que l’autre, date de 1874. (**) Loc. cit.

(*) Le signe +., si qg est impair.

(190 ) ou

LAURE = Een © (= =1Ÿ"]

(g+t) 9 (ù

(25) (q + 1)

Soit, dans la relation (54), t — cot +. Elle se réduit à

Z cos 2 @ — cos (2q + 1 d

e?7 cot? ___ fl sin*1*5 NE (q ce 1)

0

On a aussi (**)

1: sin2po.sin®e do PME 2q — 1 CES neo 4(2q + 1)

0

Donc, par soustraction,

1e COS A OS EN TR 1 57 : eiTot? 1 sin#+5 © a 4(q + 1)(2q + 1) 0) 0 En outre, cos (29 — 1)o do B;,_1 a q Gr 1 se À +q 1 e?7 ct CHE Â sin @ (58)

XII (***). Soit 7e: À —= A cos? x cos gædx ("). (59)

Q

? gatidl rt} 0

est essentiellement positive. Donc le premier terme de l'égalité doit être pris avec le signe supérieur ou le signe inférieur, selon que le nombre q

(‘) L'intégrale

est pair où impair.

(%)) Loc. cit.

(‘**) Ce paragraphe est tiré de mon deuxième Mémoire sur les fonctions X, A p- 20).

(“) On peut consulter, relativement à cette intégrale, la Note que nous avons publiée dans le Journal de Liouville (t. V, p. 115); et, dans le même Recueil (t. VIIT), un remarquable Mémoire de Serret.

(19)

De

cos qx = COS (q — 1)x cos x — Sin(g — 1)x sin +,

on déduit

7

AA “ cos? x sin (g — 1)x sin xdx.

+ 0

L'intégration par parties donne

1: cos? x sin (q — 1)x sin xdx

0

cos?+' x sin qg — 4x 7 g — 1 = PET TE + — À, 4,41 p+l ; q +1

Et comme le terme intégré est nul :

Pine 14 A,, q HS DRETEe p+i, 4-1: (60)

De cette relation, on conclut, facilement,

P—q+2p—-q+k p+q F 2 HET PRE TE SUR PR AP cos,4, dx. (61) 9 ; p+4 p+l Der Pis he

Ps La nouvelle intégrale est nulle si p + q est impair. De plus, le second membre est nul, encore, dans les ças suivants : g=p+2, q=p+4, q—=p+6, …

Done, pour que l'intégrale représentée par A,, ne soit pas

nulle, on doit avoir p—q—= I .2.

Quand il en est ainsi,

F4 z IE DT eee à cos” #1 xdx — 2e cosPHtxdx — r — I fs 0 2:4°0-:p + q

0

et, en conséquence,

À D, (p—g+2)p—g+t).(peg) 1.5.5.p+q—1. (p=u)(p #2) (p10) 2.4.6..p +9

(192 )

Le second membre peut être considérablement simplifié. En premier lieu, la fraction

(a a a) PR ) ME 2.4.6...(p +0) 2.4.6...(p—q) 2 1.9 3 p—q 23.2

D'autre part, b+4

il 2 1.5.5.(p+y—1=— |) 2.6.10 … (2p + 2q — 2);

2

puis, par une transformation bien connue (*),

p+4

11 + + « À 1.5.5..(p+qg—1)= À) (P l,1) 1. ….(p + q)

Enfin,

ho

2 2 (p + 1){p + 2). (p + q)

On a donc

(p—g+2)(p—q+0.….(p +) 1.5.5..p+q—1

(p+1)(p + 2). (p + 0) 2.4.6... p +9 D 0] (Al AAS DE 1)| an à 4 à : DÉPENS ue 102 2 puis A, don De D Du ou 17 T ; 1 cos? x COS Et es (92)

0

() Voir pages 45, 55, …

(195)

XIII. De la formule

Le e2%% Re eT 22: gx — 2 fe SR de TO p=Ta

0

due à Poisson (*), on déduit, par intégration,

(a — (CRC da 2 = COS 7 p IT à (63)

— € 74

et, par différenciation,

] 5) e?ax ne eT20x — Taser adx (64) COS X eTZ D) FC, AR , e. A 0

La combinaison de cette égalité, avee celle-ci :

ca er — pt)? gai f Ce oee nie ù eT% — pa

XIV. Suite. — On à, en série convergente 2 2

9 y \22 Long ou 9 2s 00 pu

a ir For +1)

Donc, si l’on suppose le premier membre de l'égalité (65) développé suivant les puissances de x, le coefficient de x*

doit ètre 9?n+1 a ES a" Ido Fan +1) ACIER Û

(") Voir, sur d’autres conséquences de cette formule, la Vote XXXW. (”*) Note XXXV.

15

Or, — f.cosx (2x) 9 (2x) : (2x)”” À UN AS ae ne ee A 2 =. (nas TT (DA D ae EU — ja D pourvu que l'on suppose B,,_1

A ER ô l(2n + 1)

(4e

Identifiant, nous avons donc

A au À" CEA { Ru —_— 7 pos (63) eTE — p T2 4n

Cette formule ne diffère pas, au fond, de celle de Plana :

Le]

©] aida nn ] È ee in ar Ten }- : ex — | Br

0 Autrement dit, = a da 7 2 da ce (de ET, ; eTX —_ po 3 e27% — 0 0 En effet, cette égalité revient à celle-ci :

Jo ado (eTx TE | ) ‘ Ho ar ere E ==— ; ; ee") DCE

0 0

puis à l’identité

e ado ; n°0 Ge) ne — AP a ns eFx 4 TB}

0 2 e

0 (0

(‘) Mote LIX, p. 208. (*) Note XXXII, p. 92. (ND p.195:

(195)

XV. Comme on le vérifie aisément,

Done, en particulier,

£ 1 jf “cos 2r 18 xdx = — 1 + f.2. (67)

0

La relation (66) va nous donner d'autres intégrales définies, assez intéressantes. Soit X le second membre. Intégrant par parties, on a

DES Î ZF LE 0 MEUX COS 2T or [Xx]* — f° Xdx 0

0

on 2)+ Ch do ae E dois x 9 . AR dé 0 nl Q ä

La dernière intégrale se décompose en

€ Sr € 5 1 = À) Le EC < ASIE

Ainsi

Z 1 TOURS Z. 1 2 xdx cos 2x 18 x == + = Î.9 9 +9 2 L {cos =x) dx. e 2 Le À 2 0

0 ob Ut Si l’on fait; x — +, on a

AT

Par conséquent,

TI

7 1 ANT: aimesntsse Tee 26. (68)

4 4

0

(*) BIERENS DE Haax, T. 286.

( 196 )

XVI. Suite. — Soit AA 1 E — Ji ? [sin (2a + 4)x — sin (2a + 2)x| ts 5 xdx, (69) ‘0 le paramètre a surpassant (— 1).

La quantité entre parenthèses équivaut à

A

À oi 2 sin x cos (2a + 5)x — sin 52 cos 5 x cos (2a + 5)x; donc

ZA 7 E=i fans rensterhdre2 f (1— cos x)cos(2a+ 5)xdx

1 Le

0 0

Pa

pa ge x = fe ? cos(2a+5)xdx — 1 5 cos(2u-ord— fl ? cos(2a+4)xdx, 0 ï

0

ou

Te 2 sin (a+ A)z sin(a + 2)z 2a + 5 2(a + 1) 2{(a + 2)

Prenant les dérivées des deux membres, on a

7 2 Je xdx [cos (Sa + 4)x — cos (2a + 2)x] &S œ 0 2 rx COS (2a +5) sin (2a + 5) — 2 rcos(a+ 1}r (71)

D —_—_—_——— 2a + 5 (2a + 5) —-

wi a

sin(a + 1)x rcos(a+ 2x sin sin (a + 2)r + 2)x Aa + 1} 2(a + 2) Moov

Il y a, maintenant, deux cas à distinguer.

4° Si a est un nombre pair, le second membre se réduit à

% T T

5v 9 2 “9 7? (2a + 3) 2a+2 2a+4

() Si a est un nombre entier, le premier sinus égale Æ 1; les deux 2 2a+5" avec celui que l’on trouve dans la Note LIV, formule (27).

autres termes sont nuls; en sorte que E=+-——. Ce résultat s'accorde

( 197 ) 2 Si «a est impair, cette même quantité égale

ee ms comment memes

Supposant a — 0, 1, 2, 5, …, 2n, nous trouvons donc, suc- cessivement :

RE I P > fa (eos 4x — cos 2x) RU

— + — DANRS AUX 0 : il 4 RTS 2 } *xdx (cos 6x — cos 4x)tg=x ————-——-, e 2 Ge & 6 0 = es il n Te TE xx (cos 87 — cos 6x) ts x +, 2 7 GCRNS

0

[3

2 ax dx (cos kn+2x— cosAnx)tg = x =— ———© —— — —, 2 (4n+1) in 4n+2 0

ds RME CENT ONE { AU: ædx (cos An + 4x — cos 4n + 2x) tg = x 2 0

À T T

= == = A (4än +5) An+2 A4An+4

puis, par addition,

T°

z ee SD l ap ? ædx (cos kn + 4x — cos 2x) tg se 0 (72)

L 1 1 1 1 ae 1 — = — —> È —— 000 + ——————— — ————— | SE RER (an + 3) Ta ‘nr

Pour n infini, cette égalité devient

7 1 2 lin 7 ? xdx cos (4n + 4x tg =

«

fe 1 7 It xdæx cos 2x gx + (1 — G) +25 “ Li PE 1 c'est-à-dire, à cause de la formule (68) :

2 1 ï lim. ff * max cos (in + He gril 2) (75)

0

(198)

CXXXIX. — Une intégration.

(Juillet 1875.) I. Soit l'équation

(ax® + by° + c)dy® + 2fxydxdy + gx*dx? = 0 (*), ou

Laga” + (bg — f)y° + cgldy* + [/ydy + gædxF = 0.

On tire, de celle-ei, fydy + gxdx

dy = EE — © — VE —bg)y" — ag — cy

Le second membre est une différentielle exacte si fr {

EE oi

ou

f° — bg + af = 0;

et alors l'intégrale est

À AU A PU Re D y—B=+-V = aff — ag «y,

(42

ou

ay — B) + afy° + agx* + eg — 0 (”).

(Addition. — Mars 1886.) IJ. En général, posons age + (bg — Php + cg = — a, de manière que | fydy + gxdx = + audy,

el agxdx + (bg — f”)ydy = — «'udu.

(2)

(&)

*) On peut voir, dans la Nouvelle Correspondance mathématique (t. WI,

( p. 21), le problème de Géométrie répondant à cette équation. (**) Nouvelle Correspondance mathématique (t. II, p. 82).

(199 ) Éliminant gædx, on a ces deux équations homogènes, du premier degré : éu(du + dy) = (af + f* — bg)ydy;

ou, si l’on fait af + f° — bg = «k:

u(du + dy) = kydy; (8) et le problème peut être considéré comme résolu. III. Application. — L'intégrale de (2° + y + 1)dy* — Ixydxdy — 2x°*dx? = 0 (9) . (u — y)(u + 2y) — 1? (10)

si l’on pose = 22° + 5ÿ + 2, En effet, la différentielle de l'équation (10) est, suppression faite d’un facteur, udu + (uü — 2y)dy — 0,

ou 2xdx + ydy + dy V 2x? + 5y° + 2 — 0, ou enfin (a + y + 1)dy°* — 2xydxdy — 2x*dx? — 0. (9) CXL. Sur une formule de Jacobhi.

(Octobre 1875.)

I. Cette formule, bien remarquable, se trouve dans une lettre de Jacobi à Legendre, reproduite par le Journal de Crelle (* 2 Elle consiste en : ig—q° GE 7+ gt: Mt gs — qe — .. À5 | u) — j —53. ne LA \ A l'inspection de cette identité, on ne peut savoir si, dans le premier membre, les exposants

TS lee

() 1875, p. 240.

( 200 )

sont les carrés des nombres premiers impairs, autres que 3, ou les carrés des nombres impairs, non divisibles par 5 (*).

Pour trancher la question, il suffit de lire, dans le tome VII du Journal de Liouville, le célèbre Mémoire de Jacobi, relatif à la formule, non moins célèbre :

D — 6 — 2° + nf + a — PA — 5x + Da — 77° + En effet, à la page 92, on trouve l'identité 4 l 2 | D + cu] = D (— 1) 2 bx°”?, (2)

dans laquelle a est un nombre impair non divisible par 5, et b, un nombre impair quelconque (°*). Or, la formule (2) n’est que la formule (1), expliquée.

Il. En 1877, j'ai proposé ce théorème empirique :

Le triple de tout carré impair, non divisible par 5, égale la somme des carrés de trois nombres premiers, autres que 2 et 3(***).

Si l’on supprimait la restriction : non divisible par 5, le théorème empirique ne différerait pas de celui qui résulte de l'égalité (1), mal interprétée. Mais on ne peut la supprimer.

En effet, le nombre 6 075 —5 .45? n’est pas la somme des carrés de trois nombres premiers impairs (").

(‘) Pendant plusieurs années, j'ai admis la première hypothèse. (Mai 1886.)

(‘*) On a imprimé x! au lieu de x°/’.

(*") Voir la Note LXXX VII.

(“) Le carré de tout nombre premier impair, autre que 5, est terminé par À ou par 9. De là résulte que, dans l’équation supposée :

6075 = p+p?+p?,

!

un des nombres p, p', p'' égale 5. Soit p = 5.

Il vient

puis 121 = 2° + y;

équation émpossible. (Mai 1886.)

( 201 )

CXLIE. Une intégrale triple.

(Janvier 1876.)

I. Soit la relation connue (*) :

Ca, eus = Con, n-1° C1 Sie TS Cora, n—2 * Cie An TE c ( 9 D 2n + 1

2,4.6..92n (1) RE ER EE

DANONE ADIEU En général,

lp +1

2 1 nl 0 . 2 odo. —— — cos? odo = — SP œ [Ep + LP

Le premier membre de l'égalité (1) est done la même chose que

4 2= dod3 | cos?’ VAE OST mOCOS UC EE cos?" 6 |- 3/ 0 : | * , 2n +1

Pour sommer la quantité entre parenthèses, je pose 3 gti Y = À COS” © + — COS”? @ COS 4 + + + ——— cos” 8 ; Ce À

d'où 2n

y = cos" q + x° cos”? o cos” 0 + … + x?" cos?" 4;

c'est-à-dire cos?+? p an x°"+? cos°?’+2? pi

NALIÈÉES- Cr 2 2 2 COS — x” cos" 6

La somme cherchée est donc

1 cos?”+? ( Re a °2+? cos?"+? ÿ (x.

COS® ® — x° COS” 4 0

(") Nouvelle Correspondance mathématique, t. IH, p. 159; t. LEE, p. 417; etc. Voir aussi la Vote LXXX VIT.

Par conséquent,

+1 eo .2n+9 2n--2 +24 1 2. Û D 09 1j En COS” ® -— x° cos? 0 7° 3.5.7...2n+1

Il. Remarque. — La fraction

Do Ge 20 JD +4) +! + er [ ( )] cu 1 z'(1 A) z)"dz. 3.5.7..2n+t1 l'(2n + 2)

(1

Donc la relation (2) peut être écrite ainsi :

cos”"#?0 — x°cos""+?9 4 c : Je fl A (= = Ale (E) COS @ — x° cos” 4 T

0

CXLII. — Une formule du binôme. (Février 1876.)

1. La théorie de la décomposition des fractions rationnelles donne, comme cas particulier :

fl (x — a) (x — b)"

Fi l Î Æ —1}" DE) | œ ——————— |: D Le Le bÿ"-?(x— a} (b—a)" +

Si x — 0 (*), cette relation devient

1 Un Î Â PAR 10, Re ee en (ab)" > CN Cup n- se Fe er | Fe)

p=i

(1)

Muluplions les deux membres par (a — b)" ab", et changeons b en — b:

p=n CRD) NN a Dm een (Ge b?). (A). dd E ;

D—1

(") Les constantes a, b sont supposées inégales, et non nulles. ("") A cause de

(—1)r: (= 1) — (— Irre (= 1)7.

Par exemple,

3 — 924 (ab) (a + b) + 4G2(a + b) (ab) (a° + b°

+ 210(a + b)*(ab)' (a + D) + 84(a + b} (ab) (a° + b°) 28 (

a + b}‘(ab) (a + b°)

(a + b)

SM 0) + 7(a + b)(ab}(af + b5) + (a + bY(a7 + D).

IT. Si l’on fait b — ax, et qu'on change # en n + 1, on trouve

HE Ur) PU PO) CA x) alex?) (B) + Cine + 2) Sa + 25 + + + C,,,x” Donc, en particulier, (+ a —(1+ 2 (+ a) + 501 + x) xl + x) + 15(1 + x) x (1 + 2°)

+ 5Dx° (1 + 2°) + 70x*.

(Addition. — Mars 1886.) HI. L'égalité (B) peut être écrite ainsi

(+ xÿ"

= + ax) + Ca + 2) + Co pa of + x) a + + Aa! 5) L 5 + APT + a) Ca + 2 + Co (1 + 2) + + A] CR + 0).

On a, en série convergente,

(1 NE = DATES = (1 ste CA

c x l: 5 x Ÿ : % he 5 x ñn 7 1+C, ——— | EUR EN +B|— | +... ), He m(r) Fa = F

ou

(1 + x)” x" = (1 + x)" + Cul + dub <= 00 <> Ayroces De 1 + x x"+1 + C——— +... (7) MEL)

(9) À = Can- 1,ne (2) B— Co», n° C — Con+t, ns se.

De même,

il 1 (le a) DA Cons — + ee + A + B RE 1+ x (1+ x)" (A+ x)" ou (A + x)”

1 1 — "+! (Aa) Canal+)" + HAS RER SE a M 1+x ({+x)

Par conséquent, l'égalité (3) devient

x" ; a"! B LC 2e Nes l+x (1 + x)

I il Sr (1 su 27)fe Re Ne B CC SE 20 | Sn Cane

1 +x (+ x) ou (A+ x)" ; 1+1 . 1+x 1+ x? Q) TUE ion RAR CRE 12n+42,n LEA CE nca US gti 0 TES OUT MOT NE CE sf

On a ainsi un développement de

(+ x)

x*+1

en série convergente, du moins si la variable x est comprise entre 0 et 1 (*).

Si x égale 1, la formule se réduit à

1 1 = + 9 Cnrn + k Curon + $ Cnpsn + 5 (4)

_

expression connue, facile à vérifier.

(‘) Cette relation (C) a quelque analogie avec une remarquable formule d’Euler, que j'ai démontrée en 1844 (Journal de Liouville, t. IX).

( 205 )

CXLIII. — Sur une série de Legendre (). (Décembre 1875.)

1. Parmi les Notes que l’illustre Legendre a placées à la suite de sa Géométrie, la plus remarquable me parait être celle qui donne, en fraction continue, le développement de

Y(z) Po . ] a° I a” SERRES PRE re US ; a 2+1 1.92(+1)(+2) 1.2.5(2+1)2+92)(+3) =- : ; (1) z a 1 a 1 a” EEE © "+. AE (CA) IP SI (EE) (760) savoir, (4 Va) — — a F$ RE a (2) z +1 + 1 a z+2+ 2 D des Ce développement résulte, d’ailleurs, des équations 1) = ——"— p(2 + 9) (5) z)— o(z == o(z + 2), HEIEUIE SE z(z+ 1) a o(z + 1) UGS z (x) dans lesquelles a d” a ft LR PR er <E (*) (6)

() Tirée, en partie, des Notes d’Algèbre et d'Analyse; en partie, du Bulletin de l'Académie. {Janvier 1876.) (‘*) La formule (4) est l'égalité (1), mise sous forme abrégée.

(206 )

IL. Changeant de notation, soit

2 3

x Da X

LR TO OA Pl ME M RP ENTER Bd oem

Pour évaluer y, ou sommer la série, prenons la dérivée y:

(x y) = (k — 1)x* got

de x*=!

x" x + + octo 1.2.k 12.5 EU

Multiplions par x" les deux membres de cette égalité, et prenons encore les dérivées ; nous aurons de ts

PMR TU

Ho Gens

ou ay" + ky — y = 0. (7)

Telle est l'équation qui, intégrée, ferait connaître y.

IT. On üre, de l'équation (6) :

1 l ñ a TE rs trs |

ou LelE + 1) (8)

y =

La relation (4) devient done, après le changement de notation,

= (9) ÿ ou, ce qui est équivalent, d.o(x, k DRE ee (10) da IV. Lorsque 4£ —*, _ p?Va e—? x UE) => e = Li GTA ONEN

(") Cette équation (10) se rattache au Calcul des différences mélées, dont Biot, et d’autres Géomètres, se sont occupés au commencement du siècle. (”) Lecennre, Eléments de Géométrie (1825), p. 291.

( 207 )

L'équation (9) devient y! 1 eèV£ Fous e—2Ve YA menMeeten"e

Le second membre est la dérivée de

Va —2Vz. éFPinen Ve: donc D eVr + pe?Ve doit satisfaire à l'équation 1 ay +=y —y—=0. (11)

9) €

C’est ce qui a lieu. Connaissant cette intégrale particulière, on trouve, sans peine, l’intégrale générale :

y = AëVE + Be-°V*, (12)

V. Pour réduire, au premier ordre, l'équation

ty Ey = y =0, (7) il suffit d'employer la transformation connue : y = ef, (15) On trouve | au" + uw) + hu —1—0, (14)

Supposons, pour un instant, u'x + ku = 0;

d’où u — Cx-". Le principe de la variation des constantes donne, tout de suite,

dc k kF2 EL GR CE dx

ou dz 4e e = mt ph; (15) dx

équation trouvée par M. Le Paige, au moyen d'une autre trans- formation (*), et réductible à l’éguation de Riccati :

lv À LES rer À 4) ne

(°) Bulletin, 1876, t. XLI, p. 1011.

1£

( 208 )

VI. Par les formules (15) et (9) :

y 1 = — RE k)\. Sr me)

Or, après le changement de « en x, la formule (2) donne

x y) = = k + z [AE EN IEESS Bb & 9 2 Donc il 1 JB kb 0 & k + 2 +

De plus, z — ux'. Conséquemment, l'intégrale de l’équa- tion (15) est, à une constante près, représentée par

XL A — _ | ki + RE (17) A RÉPDIEEE Si, par exemple, k— 1, l'équation dz Ze NE est vérifiée par Rs XL ne 1 + “ (*) 2 + — = ÿ = 0

(‘) Lorsque k — 1, la sommation de la série (6) dépend de la quantité

FT “ eU+x) eos D cos (x sin 6) cos (sin 6)d6.

0

( 209 )

CXLIV. — Relations entre des sommes de carrés. (Avril 1876) (*).

Parmi les innombrables identités relatives à ce sujet, a-t-on remarqué celle-ci :

(a+b+ce—d)+(b+c+d-a)+(e+d+u—bÿ+(d+ a +0 —c') + (a +0 +c—d'}+ (0 +c+d'—a)ÿ+(c'+d'+a—b)+(d'+a+b—c) —(a + b) + (b + c +(ce + dÿ + (d + a Ÿ + (a +0} +(b + 0} +(c + dŸ+(d'+ a) +(a—dÿ +(b— a Ÿ + (c— 0 ÿ + (d— c'} +(a — d'ÿ + (0 — a} + (6 —bŸ + (d' — c}°?

ro

Elle réduit, à une somme de huit carrés, une somme de seize carrés. Par exemple : Po + S + 8° + 10° + 19° + 14° + S° — 5° + 5 + 7? + AO + A1? + 19° + 15° + 9° SUR A DD POSE 22 + 4 CES 5 D? ou k + 9J+Gk+ 64 + 100 + 561 + 196 + 64 — 862

— 9 + 95 + 49 + 100 + 191 + 144 + 295 + 81

+ O+HAG+ + 9+ 4+ 16+ 95 + 95.

(Addition. — Mars 1886.)

IL. Si l’on suppose les quantités

ue a,b,c, d, a', b', c', d' disposées

b CA circulairement, on peut énoncer à ainsi l'identité précédente :

ç’ 1 On ajoute deux termes consé- cutifs, et l’on élève au carré.

À ê On retranche deux termes dont

les rangs diffèrent de trois unités,

et l’on élève au carre.

() Complément de la Note CIV. 14

(210)

On fait la somme de trois termes consécutifs; on en retranche le terme suivant; et l’on élève au carré.

Cela posé, la somme des seize premiers carrés, ainsi formés, égale la somme des huit derniers.

En outre, le premier membre peut être remplacé par

(a+ d'+c—b'}+(d'+c +0 —a")+(c +0 +a—d\ÿ+(b'+a+d-c) +(a +d+c—b) +(d+c+b—a)+(c+b+a—d'ÿ+(b+a+d—c");

c'est-à-dire que l’on peut faire le tour de la figure, dans un sens où dans l’autre.

IT. Application.

ONE EN Een 0 ee 1 + 15° + 7° — 749,

Do 4? + 5? + 9? + 9 + 9? + 5+ 47 + 4 — 94,

5 42+ 2% + 11? + 10° + 15° + 10° + AA? + 8° — 856,

4° A0 + 9° + 142 + 15? + 19° +0? + 0°? + 5 — 856,

5° 749 + 94 — 656.

IV. Autre identité. — Si s et n désignent la somme et le nombre des quantités a, b, €, …. on a |

D (s — 2a)ÿ = (n — js + Ÿ (2a)°. Lorsque n — 5, elle se réduit à > (s — Da) = $ + Ÿ (2a);

en sorte que la somme de cinq carrés est remplacée par la somme de six carrés.

Etc.

(21)

CXLV.

Sur les développantes d’une hypocycloïde.

(Juin 1856) (*).

[. Soit l'hypocycloide à quatre rebroussements, À, repré- sentée par

2 È

CP NÉE

ou

Soit MP la tangente en M, faisant, avee AO, l'angle o. On a :

dE a —= 4 COS’ M J 5 S_ A UNE 6 B— a sin° @ (**), dœ dg ! Dune — = — cos — — sin $ — — a sin° o. ds “2 ds de 2 #

Si AMP — |, les coordonnées du point P sont

z—a—(l—s)cose, y—6+(l—s)sino; ou

5 =— 5 ee — — — 2 ZT —= a COS’ ( «sin e) cos ©,

5)

y = asino + ( — using sin @.

Comme cas particulier, je suppose ! — ? a : la développante B, lieu du point P, passera par le sommet [ de la développée A.

En vertu de cette hypothèse, les formules précédentes se réduisent à

1

1 D AE 2 4 9) COS ©, no En (0) sing. (1)

(‘) Résumé d’une Note publiée dans les Comptes rendus, à propos de deux communications de Lord Brougham. ("*) Cours d'Analyse, p. 494.

(212)

IT. Celles-ci peuvent être écrites ainsi :

1 1

2 EME GS RE OS Co 6), Ave EE ; 1 ; À

VER a(5 sin @ + 5 sin @ — # sin° œ) re sin @ + sin 59);

ou plutôt de cette manière :

NE 610 CAN 4 . : 9) = — — COS 90 + — COS YU = — — $ À 9 ü p ®, ACIDE = inp(*) (

Sous cette forme, il est aisé de reconnaître que la dévelop- pante B est, comme la développée A, une hypocycloïde.

En effet, supposons qu'une circonférence 0", dont le rayon est R', roule à l'intérieur d’une cireonférence O, ayant pour rayon

(42 REURIEE D)

C' étant le point de contact, soient C'O'OA = +, C'O'P — 49 : le lieu du point P est une hypocycloïde dont A' et B' sont deux rebroussements.

(‘) Par suite d’une faute de calcul ou d’une faute d'impression, les for- mules analogues à celles-ci, rapportées dans les Comptes rendus, sont inexactes; mais nos conclusions subsistent,

(215)

Un point quelconque de la circonférence O0” décrit une hypo- cycloïde égale à la première. En particulier, le point M, diamé- tralement opposé à P, en décrit une qui passe au milieu F' de l’arc A'B'. Cela posé, si l’on appelle X, Y les coordonnées rectangulaires de M, on à :

X = 5R' cos @ + R’ cos (p + x — 4p) — R'(5 cos p — cos 59), ]

Y = 5R sing + R'sin (@ + x — 4p) = R'(5 sing + sin 59); ( (5)

ou, à cause de R' —‘ X—%, Y—7Yy.

III. Pour avoir l'équation de la développée, sous la forme F(X, Y)— 0, il faudrait éliminer +, entre les formules (5). Nous allons effectuer, indirectement, cette élimination.

Prenons O[' pour nouvel axe des abscisses ; et appelons p, q les nouvelles coordonnées de M. D'après les formules évidentes

(Re / Se q—=(X— \/3: (4)

p—=R VÆE (cos @ + sin g) + (— cos 59 + sin 5œ)|,

y—=R VE [5(cos @ — sin ®) — (cos 50 + sin 3ç) | Î

On à: 1 ; hé / =, V/3 tee + Sin @) COS le an Ed —\/à (cos ® — sin ©) —sin en le T “ie Cos 30 + Sin 59) — cos (5e 52), . T —\/; (cos 50 + sin 56) —= fin (5952); done p=n|5 cos fe — 7) + COS (3 39 — 5 = — 4R' cos’ (#—5)|

x) 5 sin (e—°) + sin (50 — 5 =) — 4R' sin° —2)|

(24)

puis 2 ‘9 (5)

UN p° + q —={(4R))

puis encore, par les formules (4) : (X + YP + (X — Yÿ—92V2R"; (6)

ou, ce qui est équivalent,

2 2 Gone tet ee

Tel est le résultat cherché.

IV. La tangente T, à l'hypocloïde A, est représentée par

ie. : COS® sinçp

Les développantes de A sont les trajectoires orthogonales de T.

La condition d'orthogonalité est

Un — — + 4 == s dx Eu Donc l'équation différentielle de ces trajectoires serait

ANT NS Rene Des —© + —— = — = 9 dy dx V/dx’ + dy? ou dx a

DS PE ——————

à di

' (9)

d ee à D'après la remarque faite dans la Note XX (t. I, p. 54) (**),

une intégrale de cette équation (9) est l'équation (7).

(*) On conclut de cette équation. en élevant deux fois au cube :

[a — 4 x? + y°)]5 = 108 a°{x? — y°}°.

(**) Et, antérieurement, dans les Comptes rendus.

( 215 )

V. Nous pouvons résumer, comme il suit, les relations qui existent entre l'hypocycloïde A, ses parallèles, l'hypocycloïde B et ses parallèles :

1° De même que la courbe À, et ses parallèles, sont les enve- loppes d'une série de droites parallèles entre elles, et dont l’une, ayant pour longueur a, glisse sur les cotés d’un angle droit ; les développantes de ces courbes sont les enveloppes d’une seconde série de droîtes parallèles, dont l’une, ayant pour longueur o glisse sur les bissectrices de l’angle droit ;

2° A chaque courbe de la première série correspond, dans la seconde, une courbe semblable : le rapport de similitude est À (*).

CXLVI. — Sur les lignes de courbure de l’ellipsoïide et de la surface des ondes (**).

I. Si l’on représente par /, m,n les cosinus directifs de la normale »#n en un point m d’une surface s, et que l’on adopte les notations employées dans la Note LVILE, les lignes de courbure de s seront représentées par

Soient, comme dans le Mémoire sur une transformation géomé- trique et sur la surface des ondes, à, 6, y les cosinus directifs d’une droite OA, perpendiculaire au plan Omnn. Posant

pes Ve Ua (2) on trouve

œ B y I L a et ESA (5) ny—mz z—nx mx—tly k

puis, au lieu des équations (1) :

> a dx __ udu Due

C1

() Voir la Note CXXIHIT. (**) Communiquée, en partie, au Congrès de Paris (24 août 1878).

(216 )

IT. Ellipsoide. — Dans le cas où s est un ellipsoïde, on a

222

ne ne — (b° + c°) VX v° l —= » x? — (1: F (), a? (a* — b?)(a? — c°) ny —mz vyzfi 1 D —© = | — —|( k RRNCN DE Donc _ Eyz GE Nos 4 À uv°du —b°c°dv Dore De

1 1 M Ÿ lee > Yz és =. e (vdx + xdv) _ VXyz 1 { i= 1 | dx | M à _ v'xyz l 2 tue HAE 2 (: D) à x ) __ Vxyz | dit | 1 uv°du — b'c'dv ANT 2 e ba kv + RATE 5) ou bien EVE uv’du — b°cdv D? , Der — «bc 2 : mur + (b° — v°)(c — v?) XYZ uv°du — b°cav ne REP ee RUE AR en. 2 “ *b°c°k 2 " kw + (b° — v°)(c° — v°)

k°0° + (b°—v?)(c—v°) l

(7)

(8)

Si l’on désigne par o le premier membre de l'équation (#4), on a

vp —

DA

>

(b°—c*)(uv°du —b'dv[/Æv°

() Mote EVHIT. (*) Mémoire, p. 5. Are

+(c°—v°

abc? )(uvdu—b?cdo) k2v°+(c7—0°)(a°—0?)][ 4° 0°+(a°—v0°)(0*— v°)] XE—w)]

Ja—v")][kv"+(a"—v

) Le coefficient de dv est nul.

(217)

IT. Suite. — Soient, pour abréger :

pu D ab — cv + (c—v°)(a— 0°) ][k 0° + (a —0°)(0—v?)], Q = YO — cv + (cv?) (a v?)]LE 0 + (af —0?)(b? — v*)], » (10) Q'— » (D —c) CT 0° + (0 —v°)(a?—v°)] 0° + (a v°)(b° = v°)];

alors l'égalité (9) prend la forme : Puv°du — ab’cQdv = qu (10) Qui°du — Q'dv Il s’agit d'évaluer les sommes P, Q, Q’. Chacune est réductible à la forme AR + BE + C. Or, on trouve aisément les valeurs suivantes. 1° Pour P: A = > (b — ©) = 0, B — v? > (DEC? )a?(a?—v")(b2+ Ov) — (a b?)(b—c2)(c— dv, C = (a? — v°)(b° — v°)(c° — v°) ÿ (D? — c) aa? — v°) = — (a — D?) (2 — 6?) (c° — a) (ce? — v°?)(b°? — v°)(c° — v°) ;

2° Pour Q : (tb re a

B —v Ÿ (L° (a —v)(b?+ c— Qu?) (a? —bh?)(b2— c°)(c° — v°)v', C — (a? — v°)(b ie — D (b° — c)(a° — v°) = 0; 3° Pour Q': a DDC = — (a? — b*)(b? — c?)(c° — a?) v*, D = c)b?c?(a? — v°)(L? + €? — 2v°) — (a — , ei C°)(c — à pv (a? + L? + €? — 9v?), C — (a? — v°)(b? — v°)(c° — v°) » (D° —- c°)b°ca? — v°) — (a? — D?) (0? — c?)(c° — a?) (a° — v°)(b? — v°)(c? — v?). Conséquémment, si l’on fait abstraction du facteur

(a? se b?,(b° re c) (c° EE a”),

(218)

on peut prendre : P — vf — (a? — v°)(b? —- v°)(c? — v°), D = (12) Q'— [ho + Ra + D+ c—Qv°)0? + (a? —v?)(b—0?) (c—v°) 0°.

Par suite, après quelques réductions,

u? kuvidu — (a? — v°)(b° —v°)(c"— v'huvdu — kab'edr , _

ji)

Relativement aux coordonnées podaires u, v, l'équation diffé-

rentielle des lignes de courbure est done

Ruv'du — (a? — v°)(b?— v°)(c — v'huvdu — kab'cdv vdu 2

DE TR UT ND TT Go END OU 0 NET ON DE NU ro MOTO 0 TE Tv 14 kuvdu — (u?—u?)(b?—u°)(c — u*)vdo — Fub'edv udv Lo

Chassant le dénominateur, ordonnant, et supprimant un facteur, on trouve uvidu + vu? — à? — bb? — c)dudv + ab’cdv® — 0; (15) résultat connu (*).

IV. Surfaces conjuguées (**). — L'équation des lignes de courbure d’une surface s étant

> ax udu

So d

(4)

celle des lignes de courbure de la surface S, conjuguée de s, sera

> zdX Le udu > adL dv

(16)

Or he

DR A Pa (17)

() Mote LVHIT. (*) Mémoire.…., p. 1. (**) Mémoire.., pp. 5 et 6.

(219)

Il résulte, de ces valeurs :

k » alX = v > ax — u? > ædl (*), kŸ ad = Ÿ sdx — v Ÿ «dl.

(18)

Désignons par & le premier membre de l'équation (16). D'après

les deux dernières formules,

HUE rer ; ou

pp — (® + E)v + u° — 0.

D'un autre côté, l'équation (16) devenant

2

il résulte, de celle-ci :

vdu — udv Q=U —— : udu — vdv

On a donc ce théorème :

(20)

La même fonction 9, is ( u e = pour les lignes de courbure

vdu —

de S, devient égale à ÈS ur Es lignes de courbure de S:

() On a Fan k(vdx + xdv — u*dl — 2udu) — (vx— lu?) dk. — = 2

donc 22 D» adX = Ÿ (ny — mz)(vdx + xdv — u?dl — 2udu) dk 2 Ÿ (ny — mz)(vx — lu?) ; et, en négligeant les sommes évidemment nulles :

1e Ÿ ax = vY (ny — mz)\dx — u? DIT ny — ms)dl,

kT 4ax = 0 Ÿ sax — uw Ÿ sd.

Ainsi u, v, k se comportent comme des constantes.

ou

Le développement de 4Z «d[, donne lieu à la même remarque

( 220 )

ou, ce qui est équivalent :

Am Û , 4 du n 5 La même fonction +, égale à u = pour les lignes de courbure

e 14 A d C— d , de s, devient égale à u ÈS pour les transformées, sur s, des

lignes de courbure de S. En effet, un point M de S, et son conjugué m, ont mêmes coordonnées 4, v.

V. Remarque. — L'équation (19) étant symétrique par rapport aux fonctions ®, ®, les lignes de courbure de s sont représentées, indifjéremment, par

udu vdu — udv D=—, pu ———; dv udu — vdu et les lignes de courbure de S, par udu vdu — udv D = U ——— : dv udu — vdv VI. Surface des ondes. — Soient, pour abréger : U—=(u— a*)(u—b)(u—0), NV ={(v—a)(0"—b°)(v—0c°). (21) Dans le cas où s est un ellipsoïde, nous avons trouvé (HD) : u* kuv‘du + Nuvdu — ka*b'cdv 7 Pusvdu + Uvdo — Fa be dv Donc les lignes de courbure de la surface des ondes sont représentées par l'équation u (vi + Njuvdu — Kab’cdv vdu — udv 0 Ruvdu + (Uu? — Kab'c?)dv udu — vdv que l’on peut réduire à Vaudu® —[(Uv* + Vu”) v°+k{(ab°c —u°v")]dudv+ Uuv'dr®—0. (22) Celle-ci, dont la forme est symétrique, parait néanmoins diffi- cile à intégrer, même quand l’ellipsoïde s se réduit à un cylindre ou à une ellipse (*).

(*) Dans ce second cas particulier, la surface S, représentée par (ax? + by?) (x? + y? + 3?) — ab?(x? + ÿ)=0,

est une cyclotomique à directrice rectiligne. (Note XLI.)

( 221 )

VII. PROBLÈME. — On mène, dans la surface des ondes, O, un demi. diamètre s, parallèle à une normale mn à l’ellipsoide E, conjugué de O. Quelles sont les valeurs de s ?

7H Les coordonnées du point d’inter- section, G, sont vx x ls —— 5, Tr u vy ms — mo S, vz ns — A S; C

done, à cause de la condition connue

a°X?

ed) 2 — 0°

= 0 (),

la quantité s° est racine de l'équation 2

De HPETE) NN 0

que l’on peut remplacer par

ou encore, par TRS VÉPRUEERE 25 A $ — «° Ge)

Le point » est situé sur l’hyperboloïde G, représenté par

x° De ee TE =

(‘) Cette équation, jointe à

X2+Yi+Z— 6, représente la surface O.

(2225)

donc l'équation (25) est vérifiée par s? = g?; et, conséquemment, par s2—?, h étant le paramètre du second hyperboloïde H, homofocal à l'ellipsoïde E, et passant au point #. On a done ce théorème :

Soient m un point de l’ellipsoide E, et g, h les paramètres des hyperboloides G, H qui se coupent en m, et constituent, avec E, un système triplement orthogonal. Si, par le centre O, on mene une parallèle à la normale, en m, à E, et que l’on prenne, sur cette parallèle, OG = g, OH — h; les points G, H appartiennent à la surface des ondes, conjuguée de E.

VIIL. CorozLaime. — Si le point m décrit une ligne de courbure de E, représentée par g — const., l’un des deux points corres- pondant à m décrit, sur O, une conique sphérique : le rayon de la sphère est g.

En d’autres termes :

Le cône C, dont les génératrices, passant par le pôle, sont parallèles aux normales à l’ellipsoïde E, menées en tous les points d’une ligne de courbure, coupe, suivant une ligne sphérique, lune des nappes de la surface des ondes : le rayon de la sphère est le paramètre de l’hyperboloïde sur lequel la ligne de courbure est située (*).

IX. Considérons l’ellipsoïde E, l'hyperboloïde G et le cône C dont la directrice est la ligne de courbure L, intersection de E et de G. Les équations de ces surfaces sont, respectivement :

{‘) Cette proposition complète, nous semble-t-il, un théorème de M. Mannheim : « Sur la surface de l’onde (S,) dérivant de E, la transformée » d’une ligne de courbure de celte surface est telle que les normales à ($,) » issues des différents points de cetle ligne sont respectivement perpendi- » culaires à des diamètres de (S,) égaux entre eux. » (Congrès du Havre.)

(2953)

Soient N,, N,, N, les trois normales, au point #. En désignant

N_ + par p la distance du centre au 9 ze

plan tangent, en m, à l'hyper- boloïde, on trouve :

) cos (N,. N,) Sat ? V'v + p° N.,N) 5 cos (N, a . Va Vo + p°

Prenons, pour plan de la figure, celui qui est normal, en m, à la ligne de courbure. Supposons le centre O projeté, en net en k, sur les normales N,, N, : mn = v, mk — p. Si l’on achève le rectangle, on a

D v

cos Omk = — » COS Onn = —— v + p° Var + p°

donc la normale N,, au cône, est perpendiculaire à Om.

Cette simple remarque donne lieu au théorème suivant, qui complète une proposition due à Lamarle (*) :

1° Si, par le centre O, l’on mène des plans P, parallèles aux plans tangents à l’ellipsoide E, en tous les points d’une ligne de courbure L, le cône C, enveloppe des plans P, coupe E suivant une ligne sphérique : le rayon de la sphère est le paramètre g de l’hyperboloïde sur lequel la ligne L est située ;

2 La génératrice de contact, entre le plan P et le cône, est parallèle à la normale N, à l’hyperboloïide (*”).

(*) Si du centre O de (E) on méne des plans tangents à cette surface menés » des différents points d’une ligne de courbure (m), ces plans enveloppent un » cône du 2° degré qui coupe (E) suivant une ligne sphérique. » (MANNHEIM, Congrès du Havre.)

(*) M. Mannheim a déduit son théorème de celui de Lamarle. Du reste, les deux propositions n’en font réellement qu'une, en vertu du Lemme suivant :

Soient une surface développable È et un cône Ÿ,, ayant leurs génératrices respectivement parallèles. Soient, sur ces deux surfaces, L, L, les trajectoires orthogonales des génératrices : les tangentes MP, M,P,, en deux points cor- respondants, sont parallèles.

(22% )

CXLVIT. — Sur les surfaces enveloppes. (Février 1875.) I. Soit EE, 15 Gb) = (1)

l'équation d’une série de surfaces données; a, b étant des para- mètres variables, indépendants l’un de l’autre. Pour trouver l'équation de l'enveloppe, on doit, suivant la règle ordinaire, éliminer ces paramètres entre l'équation (1) et les équations

df 7 = 0, (2) db is à

On peut opérer d’une manière un peu différente.

II. Si l’on éliminait a entre les équations (1) et (2), on trou-

verait une équation

F(x, y, z, b) —0, (4) représentant (pour une même valeur de b) une enveloppe des surfaces données; et, si l'on éliminait b entre cette équation (4) ar —0, on obtiendrait l'équation d’une surface 2, enveloppe d’enveloppes : je dis que Z est la surface cherchée.

Au lieu d’éiiminer « entre (1) et (2), regardons a comme une fonction de b, définie par cette équation (1). L’équation (1) prend la forme

fLx, y, z ob), b] = 0.

Par suite, . — (| est la mème chose que df df da

NO Er) 5

db da db F)

Cette équation (5) est une conséquence des équations (1), (2); donc les systèmes :

df df l'E da 00 û (a) df df df da AA RERO TEA RE B he da de db F da db ? (B)

sont équivalents.

( 295 )

CXLVIII, — Problème de quadrature. (Juin 1875.)

On donne un paraboloïde de révolution, représenté par 7. B y" + z° — Jar.

Sur le cercle osculateur, en O, à la section méri- dienne OG, on construit le

x cylindre OABz, dont l’équa-

QU tion est 2

Ù = x(a — x).

Trouver l'aire À de la

DEMI-FENÈTRE ODBC (*).

I. En employant les notations habituelles, on trouve aisément

: ——— Vas) LL d A — dx Va + 2ax His (1) V'2ax — y? U

0

L'intégrale relative à y est ÿ

V'9ax

arc sin

Entre les limites données, elle devient arc sin V==. Donc

AO

2a

A — Va f dx Va + 2x are sin V 0

(") Ce problème, analogue à celui de la fenêtre de Viviani, a été traité dans une lecon à l’Université de Liège. 15

( 2% )

Pour réduire aux intégrales elliptiques, je pose

BP = £ — : sin ) QE (5)

fa 1e Aa V5 f sin 4 cos” 646 are sin = V3 sin ) ’ (4)

0 À 12 sin w — VUE 3)

IT. L'intégration par parties donne

te f° sin 8 cos” 0d8 arc sin = V/5 sin )

(0

1 ï sie. F 1 # cos* de — — - | cos’éarcsin|-V/5sin4) | + = _—_—_—___—— 5 2 CAS 2 USSR \V2 1— - sin’ 0 e 4 0 Fr il cos 006 = — + = ————— 5 56 ASIN 5 1 — = sin’ 4 £ 0 puis TE a? A —-a + —B, (à) en supposant Le cos* 448

B — V4 5 ne 1 —— sin" 9 g III. Soit, généralement,

1 cos" 69 nur * de — «(A sin 4 COS + _ y xa A a OS ) 8 f. à 0 1 G] ( ),

() Résultante de deux transformations très simples. (‘*) Ceci est l’artifice de Legendre (Fonctions elliptiques, t. 1, p. 11), un

peu simplifié.

ou 4 — 9 sin* 0 + sin‘ 8

= a(1 — € sin” 6)(1 — 2sin*6) — xc* sin” 9(1 —sin*4)+6+y (1 —sin*0). En identifiant, on trouve

(5e — 2)(c — 1) mn.

A —— 9 ER > ——— : V —= 2 ;

| 5c° 3c* 3c*

o 5 sie el, NSI C° — À :

Ainsi 4. Jens 1 16 Mot COS 1 mn CE)

= LL + A6E(e) — F(p)];

puis T 4 d° A —— + — & + —|1GE(x) — F{u)l. 7 at + 2 LIGE(e) — Fu) (7) CXLIX. — Sur les podaires. (Juin 1875.) I. Élément de la podaire. — Soient, sur une courbe donnée, C,

M, M’ deux points infiniment voisins. Soient P, P' les points correspondant à M, M’, sur la podaire CD de C, relativement à un pôle O. Désignons par « le rayon vecteur OM, par E l'angle de contingence en M, par do l'arc infiniment petit PP”.

Si l'on mène MR parallèle à la tangente M'T", la distance RP’, entre ces deux droites, est un infiniment petit du deuxième ordre. Donc nous pouvons supposer do — PR.

Pour évaluer la longueur PR, j'observe que le quadrilatère

( 298 )

OPRM, ayant deux angles droits, en P et en R, est inscrit à la demi-circonférence décrite sur OM comme diamètre. Ainsi

u . PIR à PR = 2 = sin — — wsine:; 2 2

ou, en négligeant le troisième ordre, PR — ve.

La formule cherchée est done

do = UE; (1) ou ds do — u —: (2) @

Celle-ci exprime que : l’élément de la podaire est à l’élément de la courbe primitive, dans le rapport du rayon vecteur au rayon de courbure de celle-ci (*).

Addition. — (Novembre 1881.)

IL Soit ie) (5) l'équation de la podaire. Legendre a donné cette formule remar-

quable ds = (p + p’)dw (”), (4)

() Traité des fonctions elliptiques, t. IE, p. 588. (**) Nouvelle Correspondance mathématique, t. WE, p. 175.

( 229 ) dont la démonstration est facile (*). D'ailleurs, do — :; donc

e=p+p'(). (5)

IT. Remarque. — On doit, à M. Green, cette autre expression du rayon de courbure :

re (NO (6)

Il est aisé de ramener l’une à l’autre. En effet, d’après une propriété connue, sur laquelle nous allons revenir : u? — p° Et Dies

donc

! LA

udu = (pp + p'p'')do = (p + p')dp; elc.

IV. Podaire de la développée. — On sait que la normale PN, au point P de la podaire, est l’hypoténuse du triangle PON, dans

lequel ON — p'. En outre, cette normale est la diagonale du rectangle MPON ("). Donc MP —»’. De plus, {e lieu du point N,

(‘) Celle de Legendre est trop compliquée. De plus, l’illustre Géomètre ne semble pas avoir apercu la relation (5).

("*) Bulletin de l’Académie, février 1869.

(**) Nouvelle Correspondance mathématique, t. II, p. 175.

(*) Cours d'Analyse, p. 347.

( 230 )

projection de l'origine sur la normale à C, est la podaire de la développée de C.

V. Centre de courbure. — D'après la formule (5), il suffit, pour trouver le centre de courbure de C, de prendre NI—p” (*).

VI. Relation entre trois aires. — Supposons que la courbe C soit fermée, convexe, et qu’elle renferme le pôle O. Appelons C, P, N les aires des trois courbes. Il est visible que

1 27 1 27 1 27 Ê— | pds, P — = do p'do, N — 3 7 p'de. 0 0

0

A cause de la valeur de ds (4) :

. il 27 (| 27 : 1 27 I 27 CRE / pD' do = A pdp — (nr | = + 1 p'do. 0 0 0

0

Le terme intégré est nul; parce que p, p’ ont mêmes valeurs aux deux limites (**). De plus, le troisième terme égale (— N).

Donc P—C + N.

Ainsi : La surface de la podaire équivaut à celle de la courbe primitive, augmentée de celle de la développée (***).

(‘) On peut observer que le lieu du point N est, à la développée, ce que la podaire est à la courbe primitive C. Donc, à cause de æON = w + const., la relation MP — p’ entraîne celle-ci : NI — p”’. Cette démonstration de la formule (5) nous parait fort simple.

(‘‘) Cette remarque a été faite, autrefois, par M. Ronkar, aujourd'hui Professeur à l’Université de Liège.

(‘**) Autrement dit : la couronne comprise entre la courbe et sa podaire, est équivalente, en surface, à la podaire de la développée. Par exemple, la podaire de la développée de lellipse (l’un des foyers étant pris comme pôle) a pour mesure ra(a — b). (Septembre 1886.)

( 251 )

Autre addition. — (Avril 1886.)

VII. Transformée d’une podaire. — Soient une courbe ACB et sa podaire DPE, relative- ment à un pôle M. Enrou- lons la figure sur une surface

& __— développable Z, de manière

2 que ACB devienne A,C,B, ;

è etc.

À L Les droites MC, CP, MP sont remplacées par des

Le lignes géodésiques M,C;,

Le C;P,, M,P,. MP est le plus

de court chemin de M à la tan-

B: gente CP; donc M,P, est,

n sur >, le plus court chemin Ai de M, à C,P,; et l'angle

M,P,C est droit (*). On a

donc ce théorème :

La transformée, sur une développable Z, de la podaire d’une courbe plane ACB, relativement à un point donné M, est le lieu du sommet de l'angle droit d’un triangle M,P,C, formé par trois lignes géodésiques, et dont le sommet M, est fixe, tandis que le côté CP, est tangent au côté A,B;, transformé de AB.

“M

VIIL. Remarque. — Si AB est une ellipse, dont M soit un foyer, la courbe D,P,E, est une transformée de circonférence (**).

(*) Cette proposition, à peu près évidente, est démontrée dans le Calcul des variations, de Moreno et Linpezôr. Elle est d'autant plus remarquable que, dans la transformée plane d’une figure tracée sur une surface dévelop- pable, les angles ne sont pas, généralement, égaux aux angles primitifs.

(**) La question des transformées de podaires est liée à celle des dévelop- pantes. On peut consulter, sur ce sujet, notre Théorie analytique des lignes à double courbure, pp. 61-65.

(232)

CL. — Un théorème d'Ampère. (Septembre 1875.)

« Si l’on réunit toutes les fractions continues qui, réduites » sous la forme la plus simple, donnent s pour somme de leurs » quolients entiers, le nombre de ces fractions sera égal à 2°7"(*).» Le dernier quotient entier (ou incomplet) ne pouvant être 1 (*), à moins que la fraction égale 1, la question ne diffère pas de celle-ci: Combien l'équation Li + La + Ls He + LE, —S

admet-elle de solutions en nombres entiers, avec la condition que x, surpasse 1?

Soit À, ce nombre de solutions.

1° Il est visible que A, = 1.

2° Des identités :

S—Ss—1 +(s—1)—2 +(s— 2) — .. —(s — 2) + 2, on conclut la relation | A,—1+A,, + A, +: + À; puis, de celle-ci : Al +A, + -. + A.

Donc, par soustraction, A, = 2A,_4. Ainsi, les nombres A3, A3, … À, forment une progression, : dont la raison est 2. Et comme A9 — 1 :

A, 9:

(‘) Correspondance mathématique de Quetelet, t. IX, p. 145. Cet énoncé n’est pas très clair. Voici comment je l'interprète : Combien y a-t-il de frac- tions continues (de la forme ordinaire) dans lesquelles la somme des quotients incomplets soit s?

(‘*) En effet,

Do = GES

(235 )

CLI. — Sur les dérivées d’une fraction.

(Février 1876.) I. Soit 1 1 | A—) (A+zx} (1 — x)

On a, k étant positif :

T(k) Re D eu,

(A+ x)

Ye OA EURE (re) TE) Fy = À 7 er dla GE Bi dus, a) 0 0 . d'y AS —(4+B+8 mere 5 CES 0 ae a ET 0 0 0

Pour simplifier l'intégrale double, posons

donc

el

puis, au lieu de la formule (3) : 1 eye DE 1. 7 e uv) Tv(i+x)-u(—x)l'dude. (4)

Le terme général de la puissance n°” est

Fin +1)

T(p + WT(n—p+t) (— 1 janv (1 — x)(l + a.

(25%) Donc l'égalité (4) devient :

à d'y NUE

P(n+1) 1+x)" ? > = ES (uv), ,kEP— EE p- 1d: dv. (ee Ten nn un a 7

L'intégrale double, considérée comme le produit de Ze intégrales simples, a pour valeur

1

VCk + p)T(k + n — p) = TK + nf (4 — 0) gr ido

0 ren fa or

Nous avons done, au lieu du second membre de la formule (5):

V(2k + n)

1 TETE (0 — 63) ;n 140 NT

De (CE DT D op + 1)T{(n — p +1) La quantité Ÿ” représente le développement de

[GA + x)9 — (1 — x)(1 — 0)]" = (20 — 1 + x)".

Par conséquent,

, d'y (2 + n) ; Se Te PT = (e— 52-120 — 1 + x)"de(*). (6) IT. Posons

d” es ne (7)

dax” TEE

P, est un polynôme entier, du degré n, déterminé par la formule

(2k pe nn it (29 — 1 + x)"de. (8)

(‘) Très probablement, le calcul précédent peut être abrégé; mais peut- être, en l’abrégeant, le rendrait-on moins simple.

( 235 ) Pour la simplifier, soit fait

20 — 1 — cos . (9) On trouve, par un caleul facile,

P, — _. A sin#-lo(x + cos œ)"do(*). (10)

Addition. — (Avril 1886.)

II. Si l’on développe (x + cos #)", on a, en supprimant des intégrales nulles,

T 1 sin ‘o{x + cos p)"dp

0

T = 2 f° # sin” -'odo[ x" + C, 2x"? cos p + C, ,x"7" cos +...].

En général, te) \ 1 2 2 sin? @ cos! odp — SR TRE RE + Dés r4)

T 2

Donc : : r n#- lodo — Se = ) 2 : $ . R (e + :) 0 2 Gi 2 n*—'o cos” odp = — TU ME P L + A 0 2 (*) Lorsque k = +, cette égalité se réduit à

Tin +1 a D = = Da (& + cos v)7dy;

0 ce qui est exact. (Motes d’Algèbre et d’Analyse, p. 10.)

(256 )

puis, à cause de F() —V/7 :

T a sin” ‘o(x + cos o)"dop

et enfin, au lieu de la formule (10) :

1 T(X + n) Æ

P_ — n 2k—1 2 rur C = . D ï dons Le Carte dut) —— F ee —— + f larme Creed) ES

IV. Remarque. — Si k est un nombre entier, le second mem- bre est rationnel; ce qui devait être. Soit, par exemple, & — 1; alors

1 1 DANS <50) Ë + = Cox" + LT + «| 5

et, par conséquent,

d'y Tin +2)

de (ape

1 1 Ë + 3 Car"? + 5 Crrriuce | (Ci)

(‘) Le dernier terme contient æ° ou x", selon que 2 est pair ou impair. (‘*) Si, après avoir décomposé y en

1 1 1 = —— + —— |, 211— 2% 1+x

e da A L4 on forme directement > on trouve le même résultat.

(237 )

CLII. — Une construction de l’hyperhole.

(Mars 1876) (*).

I. Lemme. — Étant donné un triangle ABC, on décrit, du sommet C comme centre, une circonférence quelconque. Des points À, B, on mène des tangentes AD, BE, lesquelles se coupent en M. Le lieu du point M est la circonférence circonscrite au triangle ABC.

IL Construction de l’hyperbole. — Soient À, A' les sommets réels; F, F” les foyers; Oy l'axe non transverse. Par F, F", on fait passer une circonférence quelconque : soit C l’un de ses points d’intersection avec Oy. On trace la corde CF, qui coupe, en D, la parallèle AB à Oy. Du point C comme centre, avec CD pour rayon, on trace une circonférence C’. Soient M, M' les points où elle coupe la première circonférence : les points M, M' appartiennent à l’hyperbole, laquelle touche, en ces points, la circonférence C'.

II. Remarque. — L’hyperbole est l’enveloppe de C'.

CLIII. — Développement d’un radical.

(Avril 1886.)

I. Soient | y—=A1+z+ +... + 2, (1)

| co Ur D Ava )5 _(2)

(°) Le lecteur est prié de faire les figures. (”*) Lorsque p — 2, les coefficients A, deviennent un cas seniors des fonctions de Legendre (Deuxième Mémoire sur les fonctions X,, p. 65).

( 238 )

et, par conséquent,

u V'y =1. (3) On déduit, de cette équation,

uy + 2yu'—=0, ; (4) ou

u(A + 22 + 52 + pr) + QW'( + z+ TH + x) — 0. (5) A cette égalité, on péut adjoindre celle-ci : u[1 —(p + 1)2 + parti] + Qu'(1 —z)(1 — x) —0, (6)

résultant de ce que :

er = 2 (7 Jde ) ‘ ANA —(p +de +prtt, (8) (A — 2}

II. La relation (6) équivaut à

[1—(p +1)7 + pz*] > A an + 9{1—z— 7044708) > nA 2-10, ou encore, à

[1 — (p + 1)2 + pr] »: A,7" 0 La (9) + 24 —2— 206 + 2) Ÿ (n + 1)A ur" — 0. 0

1

Le coefficient de z"* est

AU ST (p EUR 1) AE, té P A +OQ[nA,—(n—1)A, —(n—p—1)A, ,1+(n—p—2)4, ,:]=0, (25 p+2) ou OnA,—(2n—5)A,_;—(2n—p—1)A,_, 1+(2n—p—4)A, ,_:—0. (10) (‘) Les équations aux différences finies, déduites des égalités (5), (6), contiennent, respectivement, p + À termes et quatre termes. À partir de

p = 4, la seconde est done plus simple que la première. En conséquence, dans ce qui va suivre, nous négligerons l'égalité (5).

( 259 ) IT. L'ordre de cette équation (10), aux différences finies, est n—(n—p—2)=9p +2.

Done, elle donnera, de proche en proche, un terme de rang quelconque, si l’on connaît, préalablement, les p + 1 termes initiaux 5 A; A, …., A

Evidemment,

Pour trouver A, À;,…, AÀ,, et mème le ferme général, À,, on peut appliquer l’une ou l’autre des méthodes suivantes : 1° D'après la formule

1 — zr+! TT Er (7) on a 2 il u—{(1 —z}({1 — 274) ? (12)

Le développement du premier facteur est

1 1 1.5 e ie RP, ne CS 00 | ————— 3 Du Douce VD Gr pre aq) (9)

Le développement du second :

1 Lip ue 2(p+1) ï Aie, + — Pi + AE Len — A - 0 9 J P: F Cor, a 41" (14)

Faisant le produit, et le limitant à z’?, on aura donc les valeurs initiales demandées ; savoir :

ae 1 1.5.5... 9p—1 : DEVANT DURS PAM 2.4.6. 2p

ua; (2)

( 240 )

on conclut À — zx — — À + 21,7 + «+ (AA, + AA + + + À, A5)7" + +, == HE 8 ou À — 3 + get — SPP DE ZPE2 rt Ë (15) — 1 + 2Az + D (AA, + Ana + + + À, 45)z”;

2

puis + À AA, + AA, 1 A7 090 Se APATE me ] 9, (16) 0

selon la forme de n.

IV. Cette relation (16), inapplicable dès que l'indice n est un peu grand, pourrait servir à prouver la propriété suivante :

4"A,, = entier. (17)

Mais la démonstration est encore plus simple au moyen de la formule (12), jointe aux développements (153) et (14). En effet, si q + 1 n'est pas multiple de p + 1,

1 M DO: Cr ge 1 (a—=p+1qg+q+ti)

et, dans le cas contraire,

Re ane (Een DL TE Hd Lg +4). NE

Or, d’après un théorème connu, 1 1.2.5. 2q

2 SRE — —enUier; Goutal 126 9 58 ie Doc 9 = 1 et, d’un autre côté, AIHI+E divise ATH

V. En résumé : 1° Si l’on suppose

1

œ Zz\r A+z+i+... +7) = ) (LE G,

tous les coefficients C, sont entiers.

( 241 ) 2% Ces coefjicients sont donnés par la formule 9nC,—4(2n—5)C, +487 (2n—p—1)0,_, 1 —4"(2n—p—4)C,_,_2 (18) 5° Ce multiple de 4" se réduit à zéro, sin = AT(p + 1). VI. Remarque. — Si p—=1, la formule (18) devient nC, — 2(2n — 5)C,_1 — 16(n — 1)C,_9 + 52(9n — D)C, ;: = 0. (19) Le caleul direct donne DDC C6 Ce Ce pee

après quoi l’on vérifie, aisément, que

C, ES + Con, n (). (20) Par conséquent, il existe cette relation entre les nombres C.,., : NConn un 2(2n SET D) Con 0, LME LEE 16(x LER 1 ) Con, n—2 (21)

RE J2(2n Ex à) Cru 1 Se 0. Il en résulte, si n est impair :

A 9 Con 2, n-—1 QU SC - 4,n—2 + 80Co_6,n-5 TT JT (n), ou

DCou,n — SCrno,n1 — SOCan-,n-2 — UN + 1).

On sait que G&,,,—=OIt (n+1); donc, par le changement déjà effectué : Con, n UE TOCo_ 9, n 1 == AE (n 2e 2).

Nous avons done ce petit théorème :

Soit n un nombre impair. Si, au nombre des combinaisons de On lettres, n à n, on ajoute 10 fois le nombre des combinaisons de 2n — 2 lettres, n — 1 à n — 1, le résultat est divisible par n +2 (*).

(‘) Ce résultat était évident a priori, à cause de

to

u— (1 7):

(*) Pour le cas de n pair, je n'ai rien trouvé de semblable. 16

(249 )

CLEIV. — Sur une équation algébrique. (Septembre 1876.)

I. L'équation

(ae + A) — à — 9x — 1 —0

a été remarquée depuis longtemps, parce que ses seules racines réelles sont toujours 0, — ©, — 1 (*). Il est facile d'en former d’autres, jouissant de propriétés ana- logues à celle qui vient d’être rappelée. Par exemple : L’équation réciproque

D — (On + 1e + (97 + Dr — 1 — 0 (1)

a trois racines égales à + À, trois racines égales à — À, et 4n — 4 racines imaginaires.

La démonstration, que nous ne développerons pas, est extré- nement simple.

IL. Si l'on supprime le facteur (x? — 1)°, l'équation résul- tante peut être mise sous la forme

La a eee af — (Dr —1 ae — (On —5 x" 1 —0, (2) puis sous celle-ci : DUT HO NA — na — (nn —1)x ft —.—1—0. (5)

Il est évident que le premier membre de cette dernière équation est encore divisible par x? -— 1.

Addition. — (Septembre 1886.)

III. Le quotient est Q en gx" € DE 5x6 ne Gr: 8 TARN x"? re

(re EE 1e

() Cours d'Analyse, p. 505. On suppose # > 1. Je crois me rappeler que Waring s’en est occupé.

(245 )

Ainsi, l'équation réciproque / (9 (n + 1)(n + 2) Ra

x" + 3x2 + Gr + co nt 2 2 (4)

+ Ga + 5x° + 1 — 0,

dans laquelle les coefficients sont les nombres triangulaires, n’a aucune racine réelle.

IV. Soit X,, le polynôme formant le premier membre. Il est facile de voir que Xe (2 + 2 + + à + AP + 2° X,, 4. (b) En effet, le développement du carré est, comme on sait :

in

FD CS OR RE RS OR 26e De Rec Or EN

Donc, en identifiant les deux membres, on retrouve les égalités connues :

DA 2, 065,406 EU) MAO EI56 0 V. Si l'on part de X;— 2° + 52 + 1 = (2° + 1) + x’, on obtient, au moyen de la formule (5) :

Xe = 2n 2n—2 PS 2 1}? Xe = (2 + a" + ee + x + 1) | (6)

2

SF Abe 27 x?""# + ve. + x° = 1) + sat go {x + 1) Fa x", (

Ce polynôme, étant la somme de plusieurs carrés, ne peut s’an- nuler pour aucune valeur réelle de x. La proposition primitive est donc vérifiée (*).

(‘) Au moyen de cette relation (6), et de l’équation (4), on pourrait démontrer la formule connue qui donne la somme des carrés des nombres nalurels.

(244)

CL. la formule du binôme.

(Novembre 1861.)

x étant positif, on a, en série convergente, x x(x —1) x(x —1).….(x —n+1) + — — ——— —

=] + - +

SR Rs Ets cd 1 172 à 10208 70 4 @ qn)

D'un autre côté,

2 9 x{£ .2) 5 5 2 — 1 + AU A AU AIRIS 2 (2) 1 1.2 IDE

Si, dans ces deux développements, on égale les coefficients de x°?, on trouve

RON An £ à 1 1 i 5) — 2j =-— 14 + fl + - + =) —0.. 5) 2 K 5 2) 0 & 2 15 |

Le second membre est la même chose que à l il 1 : 1 JA d9 a + 6) + at mn + 0 + D + 07) +. |» 2 d

ou

1 on 4e Un een 1 Men enr À

Donc enfin,

f'Etenrner eee @

(‘) Comptes rendus, t. XLV, p. 621. (‘”) Probablement, cette intégrale est connue; mais je ne l’ai pas trouvée dans le Recueil de M. Bierens de Haan.

(245)

CLVI. Sur la fonction E(x).

(Mars 1877.)

Soit, avec la notation de Legendre, N N N ONE) MECS A ES p 1 P N, p étant des nombres entiers. Mettons N sous la forme : ap" + bp +... + kp + a, b,c, … k, l'étant inférieurs à p (*).

Il résulte, de cette décomposition,

X = a(p"° + + D + 1) + b(p"— +e+p+l)+.. + k, ou Ce DORON | s en | Ne ann Pen pi er pi (2) p —1 p —1 p —1 On a aussi N—a(p"—1)+.. +k(p—l)+a+b+.+kæ+l (5) Done le quotient entier de N par p — 1 est fa+b+….+k+l EX 4 E | —— ; (4)

p—1 Le maximum du numérateur est n(p — 1). Par conséquent : Le nombre X est compris entre Y et Y —n; ou, ce qui revient au même : Si l'on suppose

l'erreur commise est inférieure à n; p" étant la première puis-

sance de p qui surpasse N.

{‘) Autrement dit, on suppose N écrit dans le système dont la base est p.

( 246 )

CLVII. — Aire d’une figure sphérique.

é (Avril 1877.) I. Le rayon OA étant pris pour unité, soit OC = c. Sur OC, comme diamètre, décrivons une circonférence. À désignant l'aire de la partie supérieure de la sphère, pro- jetée à l’intérieur du cercle OC,

x et y étant positifs.

Soient :

x —= U COS P, y = U Sin F; (2)

alors

T e sin Ÿ | 1 ae [af 6: (5) : é VAR :

puis

A = r — 2E,(c). (4)

II. Remarques. — 1° Lorsque c — 1, la figure sphérique est la fenêtre de Viviani (””).

2 Dans le cas général, le quart de la sphère, dont la projec- tion est ADBO, a pour mesure 7. Donc

E,(c) — aire projetée suivant ADCMO.

(‘) Parce que OM — OC sin ». (*) Voir la Note CXLVIIT.

(247)

LVIEE. — Quelques théorèmes sur les coniques (‘).

I. Si deux coniques ont leurs axes principaux respectivement parallèles, leurs quatre points d’intersection appartiennent à une même circonférence (**).

II. Réciroque. — Si deux coniques se coupent en quatre points situés sur une circonférence, leurs axes principaux sont, respec- tivement, parallèles.

IT. CoroLLAIRE. — Si deux angles ont leurs bissectrices paral- lèles, leurs côtés forment un quadrilatère inscriptible.

IV. Dans l’ellipse, la somme des cordes passant par un foyer, el parallèles à deux diamètres conjugués, est constante (***). La somme dont il s'agit est, avec les notations habituelles :

l 1 (0), | ARRN ERA RRER ENREMNt à : L: — & C0 & 1 — e° cos? | (M

Il faut vérifier que s est indépendante de et de w’, si l’on a, entre ces variables, la relation

9

Boys = —— (2)

Soient £, t’ les deux tangentes, de manière que 5 q tl'— 6e — 1, (5)

La formule (1) peut être écrite ainsi : : 1+À t+t CC) DROLE ENS CF À SRE meme ‘ L—e + 1— 6e? + Fr?

(‘) Trouvés à diverses époques. Je supprime les démonstrations de ceux qui sont presque évidents. (Avril 1886.)

("") Conséquence d’une propriété des surfaces du deuxième ordre, publiée en 1847 (Nouvelles Annales, p. 421).

(°””) Manuel des Candidats, t I, p. 469.

(248) puis sous cette forme :

D(1 — 6°) + (2 — e)(E + 1°?) + op? (A — 6) + (1 — (EF + 1?) + PL

Au moyen de la condition (3), la fraction devient

4 — Ge? + Dei + (2 — &)(Ë +17) 2 — 6

HE) Pepe =) Ainsi ) 2 — € TT ) S= — . Pie a

V. Si, d’un point M d’une hyperbole, pris comme centre, on décrit une circonférence passant par un foyer, et qui coupe, en R, R', la directrice correspondante, l'angle RMR'’ est constant (*).

VI. Soit une ellipse E ayant F, F' pour foyers. Sur FF" et DD'—92b, comme diamètres conjugués, on construit une ellipse E'.

1° Les deux courbes sont doublement tangentes ;

9% La normale commune, en chacun des deux points de contact, est parallèle à DD”.

1° L’équation de E étant ay + b°x* = ab”, (5) on trouve, aisément, que E’ est représentée par cy" + b°(x sin 6 — y cos 0) — b?c? sin° 0. (6)

Les deux courbes seront tangentes si l’on a, pour chacun de leurs points communs :

cy—b’(xsinô—ycosé)cosg b(xsinô—ycos6)sino bfcsin*e A na D 4 D Be orne SR El

ay

(‘) Autrement dit, Le triangle isoscèle RMR’ est invariable de forme. (‘*) Par le théorème des fonctions homogènes.

( 249 )

Les équations (7) se réduisent à l'équation unique :

AU

L — —tg0, 8 PTT & (8) laquelle représente la corde de contact TT’ (*).

2 Le diamètre GG’, perpendiculaire à DD", a pour équation — — COt 6. (9)

Le produit des coefficients angulaires de TT’ et de GG étant b? ! . ? 1 ! Q Q A

— =, TT'est conjuguée à GG’; ou, ce qui revient au même : La normale commune, en T, est parallèle au diamètre DD’.

VII. Soit une parabole P. Du point B, symétrique du som- met À, relativement à la directrice, on mène une transversale, qui coupe P aux points C, D. Les normales CM, DM, en ces points, se coupent sur P.

VIIL. Remarque. — Si la transversale devient tangente, le point M appartient à la développée de P.

IX. Soit un hexagone ABCDEF, duns lequel trois côtés alter- natifs concourent en un point S, et les trois diagonales, joignant

E

() Si Pangle 8 varie, l'enveloppe de E’ est donc E (abstraction faite des deux foyers). (Application de Algèbre à la Géométrie, 1848, p. 536.)

les sommets opposés, concourent en un point R. Cela posé, les trois autres cotés concourent en un point T (*).

Considérons un hexagone auxiliaire, A'B'C'D'E'F', dont les côtés soient parallèles trois à trois. Il est très facile de vérifier

que les diagonales A’D', B'E’, F'C' concourent en un point R'. Mettant en perspective, on a le théorème énoncé. persp

X. Remarques. — 1° D'après la seconde hypothèse, et la réciproque du théorème de Brianchon, l'hexagone ABCDEEF est circonscrit à une conique C.

Pour la même raison, l'hexagone ADEBCF, dont les diagonales sont AB, CD, EF, est circonserit à une conique C’.

De même encore, l'hexagone ABDFCE, dont les diagonales sont AF, BC, DE, est circonserit à une conique C”. Le théorème peut donc être énoncé ainsi :

Lorsque, avec six points donnés, pris comme sommets, on peut construire deux hexagones, respectivement circonscriptibles à deux coniques, on en peut construire un troisième, circonscrip- tible à une troisième conique.

2 La théorie des polaires réciproques donne cet autre théo- rème, corrélatif du premier :

Lorsque, avec six droites données, prises comme côtés, on peut construire deux hexagones, respectivement inscriptibles à deux coniques, on en peut construire un troisième, inscriptible à une troisième conique.

(‘) Non marqué sur la figure.

( 251 )

3° Le premier énoncé peut encore être remplacé par celui-ci : Lorsque, dans un hexagone ABCDERF, les côtés AB, DE et la diagonale CF concourent en un point S; que, de plus, les cotés

CD, AF et la diagonale BE concourent en un point R ; alors les cotés BC, EF et la diagonale AD concourent en un point T (*). 4 Dans la figure auxiliaire, les trois hexagones (**) seraient :

A'C'E'F'B'D, A'C'E'B'D'F, A'B'F'D'E'C'. () De là résulte un théorème corrélatif. Mais nous ne pouvons épuiser

cette intéressante théorie. (”) Non tracés.

( 252 )

CLIX. — Sur la somme des diviseurs de n. (Juillet 1877) (*).

I. Soit la formule de Jacobi :

[A — x) A — (1 — x) (i) — 1 — 5x + Da — 7af + Ja — Al + (**).

Il en résulte, comme l’a remarqué M. Halphen :

Le

(2 D AA SO EN ETS (2)

(5)

A 5x + as — Ta + Ja — AA xt +. Supposons :

1

PRET Pa EE + Aix + An +... + A, x" +, (5)

de manière que les nombres entiers À, sont donnés par la loi de récurrence :

A, Tr DA, Le DA, + Ta 0 + J'ARRS 009 — 0. (4)

Alors, d'après l'égalité (2) : ie re An Tr DA, 3 EUR 144, rer) 504, _ na DA ,_45 FAT (A)

Ainsi, l’on peut trouver la somme des diviseurs de n sans con- naître aucun de ces diviseurs, sans décomposer n en facteurs pre- miers, etc.

(‘) A l’occasion d’une formule de M. Halphen (Bulletin de la Société mathématique, Congrès du Havre).

(**) Note CXL. Le second membre est décomposable en facteurs, d'au moins treize manières (Recherches sur quelques produits indéfinis).

(°**) Recherches sur quelques DNS 39 et suiv. Il est visible que, 2

dans le numérateur, le coefficient de x est, en valeur absolue, la somme

des carrés des n premiers nombres entiers.

( 253 )

IL. J'ignore si l’on a fait attention que l’on peut ramener la recherche de 7e n, au problème de la décomposition d’un nombre entier, en parties entières, positives, égales ou inégales. Pour arriver à ce résultat curieux, il suffit de modifier, légèrement, la méthode employée ci-dessus.

Soit la célèbre formule d'Euler :

(A x)(1— 2°) (1) + =1— 2 — + x +a — x — xt +. (5)

On en conclut, comme Labey (*) :

c++ font

x + 2x — Bat — Ta! + 192 + 15x — …

A — x — 2 +0 + nl — x — xt +.

La fraction 1

A — x — 0 + 2 + x — xt — …

,

développée en série, devient > d(n)x”,

Y{n) représentant le nombre des décompositions dont il s’agit (**).

= L

Du—1)+Qd(n—9;—5V(n—5)—7d(n—7)+120(n—12)+.. (47).

Par conséquent,

() Euzer, Introduction à l'Analyse, t. 1, p. 557.

(”) Recherches…., p. 414.

(°**) Les coefficients 1, +2, — 5, — 7, …, sont donnés par la formule 5 T À

D) =(— 1 —

A

(254)

CLX. — Sur quelques produits indéfinis (). (Août 1877.)

I. Rappelons un certain nombre de définitions et de formules :

1 1 1 1

a = qq — gr = PE Fkg*, (5)

a =(1 — Qi} — qi — qe = () (He ÿg (à

10) B=U + qi + qi + qe = À(kk) Pq%, (5) 1 1 Sr B— (A + (A + qi + dj —=2 S(kq) À, (6) appt, (7) 2 - — = (1 + 2q + 2q° + 2q° + -.), (18) T

lue ge RU — (20) T œ œ@ a CA VV. (2) 7 É

à Jo 1— 59 + 5 —7q +. —05—q * (:) V/2kk", (24) T

œl =

l—q—p+p + ge =q

gg > gg" (”), (52) ES qg” (51) = qq", (56)

() Complément au Mémoire de 1871. Voir la Note CXXXI. (*) s(n) est Ze nombre des décompositions de n en parties positives, entières, inégales ; »;(n), celui des décompositions en parties impaires, inégales ; ete.

( 255 )

= — > (— g)'q(n), (75)

D | —

218 —1 +—j—ÿ—q —q"+ ge + q® + qŸ + qi —.., (79) (1 9 — Q" Va quiee qu —..)

a 415 — (1 i 2q ne 2q° ia 24° +.) » Ein — Ge ( )

Il. Décomposition de la série d’Euler (*). — Si l’on y change x en q°, elle devient

Ag —g+qg" +q"—..—za. (52)

1° Pour la décomposer en deux facteurs, il suffit de prendre l'identité :

En effet, d’après les formules (21), (54) : 0e 0 ee ed et once) > œ(n)g". (A)

2° Pour la décomposer en trois facteurs, on peut d’abord observer que les formules (18), (75) donnent

2 20 G'= Ve _2 T F È

LG qe qe qu. | co 2 = (1 + 2q + 2q9° + 2q° + -) [> (— dep) .

ou

5° Ce n'est pas tout. A cause de la relation (7), on a

s œ—apÿXaxXB;

(") Voir page 255, formule (5).

(256) puis, par le développement (79) : da on ent 0 | 7 Cet UP SET A) » gin)g" x > guy” (). IT. Autres décompositions. — Reprenons la formule re

— (1 + 29 + 2q° + 2q° +.) D (— del) : ()

0

En la combinant avec celle-ci : U—g—qg + qe = (1 +2g + 2qe ee) Ù eu(— 0), (415) 0

on obtient

Le]

(1 HR j° ere (1 ne qu + .…) = Ÿ En A — q)" X £°, 0 ou

co

co 2 (1 = q° Ho) q A q" en .…) =>. Ein — q) D eu | ; (D)

puis, à cause de la formule (75) :

Le)

œ 2 » nue AP = \ (le es QUE 0) > GE TO) no

Ainsi : 1° de même que la série d’Euler est le produit d’une série par le carré d’une série, (B), son carré est le produit d'une série par le carré d’une série, (D).

(°) On a aussi l=Ær Sa et, par conséquent, D gg ge (gg +g + >) À song 0 puis | : Ÿ (n qg® = Pi n)q'! DE g(n ELA Drmm=S sm x D ri (Mai 1886.)

(257)

2% La serie | =. O1 + &0Q° — 65Q° + ee

est un carré (*).

IV. Suite. — D'après les définitions (4), (5),

2 mm et 0 B (A + q)( + g) (A + q°)…

Si l’on groupe convenablement les facteurs, la fraction devient CRT DATE IE OC Er LEE SCT — x X (1 na -T q° rs {ÿ ne q” #42 q” — ….)

= À qq) X U — gp + +]. 0

La comparaison avec (E) donne done, par le changement de 4 en (— q) :

1+g+g + +g" +. (= gg + g + qgé—) NS pn)q" (F) (A — gt — + qù + ge — ) Ÿ qu) gr.

|

Enfin, si l’on élève au carré, on a, d’après la note précédente :

D Emsig = ft — g— qi go + qe) So(n)g"T

ë (G) Le [ (A Lei qe Ge q® A qG® ne x) D: o{n}q" |. Conséquemment : La série

/ 2 1 + 659 + 609 + &i5Qis +,

quotient de deux carrés, (D), est, au moins de deux manières, le produit de deux carrés.

(*) En effet, le produit contenu dans le second membre de (E) est

LA

= QG + 9 +

CA

( 258 )

CLXI. — Sur une formule d'approximation (‘). (Septembre 1877.)

F. Dans la Note XXXVI, nous avons rappelé la solution de ce problème :

De 1 à n (inelusivement), combien y a-t-il de nombres non divisibles par des nombres premiers donnés, «, 6, y, …, 1?

Le nombre cherché est

os

Si l’on remplace cette formule par celle-ci :

e(-ht-Jt- 0

dont le calcul est très simple (***), on commet une erreur

y ) à

x—N —N,

dont il serait fort utile de trouver des limites; mais, chose remar- quable, la valeur de x est, assez souvent, fort petite. Autrement dit, l'approximation résultant de la formule (A) peut, dans cer- tains cas, être très grande.

IL Exemples :

Le n — 1000 000, x—15, B==95, y — 149.

(‘) Addition à la Vote CLVI.

(*) Tome I, page 120. La première Remarque renferme une faute : au lieu de N = 1, on doit lire N — 2.

(*”") Surtout au moyen de la Table IX, de Legendre.

(259)

La formule (A) donne

1 000 0 1 000 000 N— 1.000 000 — (=) — | 0 PE on

15 95 149 1 000 000 ( 000 con) ' 000 sin 1 000 ‘ou + + | ——— | — | —— 15.23 EU POV MANGENT 15.925.149

: = 1 000 000 — 76 925 — 45 478 — 6 711 + 5 544 + 516 + 291 — 22 — 877 017. D'après (A”) :

12 22 148 59 072 000 000 NT UUO0 UD ee een D

Ainsi,

20 0 = CRT Un calcul tout semblable donne N—5695, N'—56948; x < 0,2.

IT. Remarque. — Si n est divisible par tous les nombres pre- miers donnés, N'— N.

CEXII. — Un lieu géométrique. (Octobre 1877.)

Par un des points d’intersection de deux circonférences, on mène la double corde commune ATT'. Par les points de con- tact T, T', on mène les tangentes TM, T'M. Quel est le lieu du point M (*)?

Prenons AB pour axe des abscisses, le point A pour origine. Soient x, y les coordonnées de T; x’, y’ les coordonnées de T’. Nous avons

x? + y? — 2ax — 2By —0, (1) X + Y° — Dax — 26'y — 0. (2)

(*) Le lecteur est prié de faire la figure.

( 260 ) Les équations des tangentes sont (x —a)X + (y —B)Y—0x + By, (—0)X + (y— B)Y = ox + Ly';

ou, à cause de

FORCE

noi (3) (x — a)X + (mx —$6)Y —(x + mB)x, (4) (x — a)X + (nx' — B')Y = (a + mp')x". (à)

Les abscisses des points T, T' sont, par les relations (1), (2), (5):

Lie D Etas (6)

Il faut, entre les quatre dernières équations, éliminer x, x’, m.

L’élimination de x et de x’ donne 2(mY + X)(a+mB)—(EY + aX) (mn + 1) — {x + mb) — 0, (7) 2(mY + X) (x + MB") — (BY + aX) (n° + 1) — Aa + mB) — 0. (8)

Par soustraction, après suppression du facteur 5 — f, on. trouve

2(mY + Xjin — Y{m° + 1) — 2m [2x + m(8 + g)] 00) D'autre part, si l’on multiplie par £", par É, et qu'on retranche : — Da(mY + X) + (in + 1)oX + 2x — m°6B)—0. (10)

Ces équations se réduisent à celles-ci : 2mX + (n° — 1)Y — m2 + m6 + E)]—=0, (9’)

CH — (n° — 1)X + 2mY — 2 ET #| —= (|), (10”)

œ

lesquelles représentent deux droites perpendiculaires entre elles.

( 261 )

EÉcrivons-les ainsi :

[Y — 28 + B'}]m° + 2X — 2+)m — Y —0, (11) (2 ER EE ) me + 2Yin + (X — 22) = 0. (12) œ

L’enveloppe de la première droite est la circonférence repré- sentée par (X — 2aÿ + Y° — 9(8 + B')Y — 0. (13)

_ L'enveloppe de la seconde a pour équation

Y? + (X — a) (so) 0 (14)

œ

Par conséquent, le point M est le sommet d’un angle droit, cérconscrit à deux circonférences : le problème est simplifié (*).

(‘) Nous arrêtons ici cette Note, parce que de pures considérations géométriques prouvent que le lieu du point M est un Limaçon de Pascal. Voir, dans les Vouvelles Annales (t. XV), les curieux théorèmes énoncés par M. Mannheim; et, dans Mathesis (t. [), la démonstration, due à M. Cle- vers. Nous ferons, cependant, les remarques suivantes :

1° Les circonférences, dont il vient d’être question, sont orthogonales ;

2° D’après un théorème connu (Théorèmes et Problèmes, p. 50), l'angle M est celui sous lequel se coupent les circonférences données : il est constant ;

5° Par conséquent, le lieu du point M se compose, généralement, de plu- sieurs Limacons de Pascal (MANNHE1M);

4° Le lieu du sommet d’un angle donné, circonscrit à deux circonférences données, coïncide avec le lieu du sommet d’un angle droit, circonscrit à deux circonférences auxiliaires, orthogonales. (Mai 1886.)

( 262)

CLXIIT. Théorèmes d’Arithmétique.

(Novembre 1877.)

L. Soit b'un nombre premier, non diviseur de a. La fraction

ja a(a + b)(a + 2b)… (a + n —1b)

129255 nm

est reductible a

Soit p un diviseur premier de 1.2.5 … n, différent de b. Pre- nons, dans le numérateur de /, les p premiers facteurs :

a, a+b, a+ 2b, .…., a + (p —1)b.

Parmi ces nombres, il y en a un, et un seul, divisible par p (**). Soit pa' ce multiple de p.

Dans le numérateur de /, les seuls multiples de p sont, comme on le voit sans peine :

pa’, pa + pb, pa’ + 2pb, …, pa + n — pb; ñ' étant le quotient entier de n par p. Dans le dénominateur, les seuls multiples de p sont DD SSD END:

Supprimant, aux deux termes, p"”, nous avons à considérer la fraction auxiliaire a'(a’ + b)…. (a + n'—1b)

16295 200

2

(‘) Ce théorème est dû, peut-être, à EISENSTEIN. (‘‘) Propriété connue.

( 265 )

sur laquelle on peut répéter les mêmes raisonnements. Celle-ci conduirait à a'(a"+b)...(a"+n"—1 0)

4 1, 2 AO NE

=

n” étant le quotient entier de nr’ par p; et ainsi de suite.

De cette manière, on fait disparaitre, des deux termes de /, tous les facteurs premiers du dénominateur. 11 n’y a exception que pour le facteur premier b.

D'ailleurs, par une propriété connue,

nf) ef) TT AT AE

IT. Remarques. — 1° Si b est seulement premier avec a, la

fraction f est réductible à N

PAT OT ? PAPA PME p, p', p”, .… étant les facteurs premiers de b. 2° Si b surpasse n, f est un nombre entier. 9° On peut énoncer le théorème suivant : a et b étant premiers entre eux, tout nombre entier N, premier avec b, divise une infinité de termes de la progression :

ao at ba +25, "(0

4 Soit? = m < 1. On a, en série convergente (**) : TE — 1 RP

a(a + b}(a + 2b)….(a+n—1b)1 ANSE Nr Go

(‘) Ce théorème, évident par la théorie de l’équation a+bz= Ny, est, pour ainsi dire, inverse de celui de Jacobi (Note XXXVI).

(”) Comptes rendus, t. XLV.

(264)

D'après le théorème,

aa+b)..{(a+n—1b) AÀ,. 102-057 De

A, étant un nombre entier. Donc

1 - A, Fm

CLXIV. — Sur une série. (Novembre 1877.)

Soit s, la somme des n premiers termes de la série

il 1 1 — 2 ——— © —_— — —————_—__——— +. a+ (a+t)(a+2) (a+ 1)(a+ 2)(a +5) On trouve : a a+! a + 5a +1 Ne S1— , So 5 — a —— = c00 More ao r Rs (a+ 1)(a+5) (a+ 1)(a+5) Supposons Ne Ge (1) (a + 1)(a + 2). (a + n — 5)(a + n—1)

N, _ étant un polynôme du degré n — 2.

D'après la loi de formation des termes :

Nes (a+ A)(a + 2). (a + n—#4)(u + n —2) @)

1 . Fa+tua+t2.(w+rn—1) 0

(*) Le signe —, si n est pair.

( 265 ) Conséquemment,

(a+n—92)N,;=(a+n—sj(a+n—1)N,:; HA. (5)

Dans cette identité, prenons a = — (n — 1). Elle se réduit à N,o— +1 (*). (4)

Ainsi, le polynôme N,_, devient Æ 1, quand on y remplace a. par 1 — n. Cette loi, évidente pour

N=a+l, Na + 5a +1, N;— 0 + Ga° + Ja +5, subsiste donc pour N,, N3, …, N,_:, N,_. Soit maintenant, d'après les formules (1), (2) :

N,_ 1

ou (a+ n—2)(a+n)N,, E1

(a + 1)(a + 2)... (a + n)

(5)

Sn+1

Pour a — 1 — n, le numérateur devient == | En | =\E

done il est divisible par a + n — 1; et la dernière formule se réduit à N,_1 St A 0 (a +1)(a+ 2).….(a+n—2)(a+n)

C. Q. F. D.

() + 1,sin est pair.

( 266 )

C€CLXV. — Une décomposition en facteurs. (Mars 1878) (*). I. Pour résoudre l'équation x + 2px° + q —0,

dans le cas où toutes les racines sont imaginaires, on peut (**) faire usage de l'identité

254 0pat + qu] a+ V 24 —p}+ql La V 24 —p+q). (A)

Si l’on suppose

sn PEN DE Gi à elle devient

(27) + 9(q — r) (2r)# + q° — [or (re q] (Or — (On) à 9].

LB)

Celle-ci permet de décomposer, en deux facteurs entiers, certains nombres. Par exemple :

105 — 8.105 + 1 — (10° + 10° + 4) (10° — 10° + 1), DIE CE ESP EN RS) QUE D + 5), etc.

I. Sir= q=— 1, la relation (B) se réduit à 9#k+2 pr il == QE 2 Jk+1 + 1} PME 9Dk+1 de 1), (C)

formule de M. Le Lasseur (***).

() Communiqué, en partie, au Congrès de Reims.

(‘*) Manuel des Candidats à École polytechnique, t. X, p. 56.

(°”*) Nouvelle Correspondance mathématique, t. IV, p. 86. Ce simple rapprochement, que M. Le Lasseur a bien voulu admettre, a été l’objet, à Reims, d’une attaque aussi dépourvue de raison que de politesse. (Mai 1886.)

( 267 ) IT. Dans l'identité

x +1 (a+ 1) (a + rV3+ 1) (x? — x V5 + 1),

faisons

Elle prend la forme SUH5 “ 1 == (Gite se 1) (5271 + 5r1 + 15 — 311 = 1) (D) Ainsi, le cube de 53**"', augmenté de l’unité, est décomposé en trois facteurs entiers. Par exemple : (27° + 1) — (27 + 1)(27 + 9 + 1)(27 — 9 + 1).

Il est clair que le nombre des relations, analogues à LB); (C), (D), est indéfini.

IV. Le premier membre de (C) étant une somme de deux carrés, chacun des facteurs du second membre doit être, égale- ment, une somme de deux carrés.

En effet :

AH LL DH LE 1 — (2: Æ. 1} Ne ap 92k+1 LL 9k+1 se 1 — (@E Luis 1} 22 (25

V. Si, pour abréger, on fait 2 — x, on a encore :

1 QI LE DH LE 14 — 97? + 9x + À — 5 Lx 1) & 1},

1 D niet) et); puis 1 2 + 1 — ; Lex + 1) + 1][(2x —1ÿ +1],

ou

1 hat +1 fx + 1 + 1][@x —1Ÿ + 1]: (E) identité évidente et connue (*).

(*) Manuel des Candidats, t. 1, p. 51. Il en résulte que la recherche des facteurs premiers de 2? + 1, se réduit à celle des facteurs premiers, soit de (2x + 1)? + 1, soit de (2x — 1} + 1.

( 268 )

CLXVI. — Sur une classe d'équations différentielles (‘).

(Juin 1878.)

I. Si l’on élimine c entre l'équation Fa, y) = cfa, y) + F(0) (1) et sa différentielle, on trouve l'équation du premier ordre : df d nee) Donc, pour intégrer cette équation (2), à! suffit d’y rem-

af placer — de Par €, absolument comme si f et + étaient les varia- bles cs“.

(2)

IL. Application. — Soient :

c + 2 dt AO SRE L'équation (2) devient xdx xdæ + 2{y + 1)dy

2 1 — (y° + 2y) ————— 2° + (y° + Pi nyas de xx — (y + 1)dy d ou

LG + (y + dy — af + 2y)de ]adx — (y + 1)dy]

— (y + 1)[xde + Xy + 1)dy|dy.

L'intégrale de celle-ei est done

(*) Note tirée, en partie, du Bulletin de l’Académie. (Février 1878.) (*) Relativement à f et +, cette équation (2) est, en effet, une équation de Clairaut, conformément au beau théorème de M. Mansion. (Mai 1886.)

VE du

( 269 )

Addition. — (Mai 1886.) IT. Soit l'équation :

a + y — 2x4

xdx + ydy _. _ | G) + | ——— 5

xdy + ydx xdy + ydx ou

(y? — x°)(ydxe — xdy)(xdy + ydx) = (xdx + ydy). (4)

Il parait difficile d'intégrer celle-ci, même au moyen d’un changement de variables. Mais comme l'équation (5) rentre dans la forme (2), l'intégrale cherchée est, tout simplement,

x + ÿ° = 2cxy + C?. (#)

IV. La méthode précédente, indirecte, nous paraît, néanmoins, assez remarquable : elle s'applique à certaines équations qui ne rentrent dans aucune classe connue. Ainsi, l'intégrale de

= sl + sin do

f= co + sine,

est

quelles que soient les fonctions f,

V. Exemple. — L'équation

COS X + y' COS y

sin x + sin y — COS x COS y SiN(x + y) — — COS? y + y COS* x

Ê COS X + y Cost + sin { COs* x COS* y eee? ( COS? y + y’ COS’ X a pour intégrale : ; | sin (x + y) È : sin © + Sin y = C————— + sin € (*). COS Æ COS y

(‘) On contribuerait aux progrès de l’Analyse si l’on pouvait former un recueil des équations différentielles ayant des intégrales de formes données.

( 270 )

CLX VII. Conchoïdes et podaires.

(Novembre 1878.)

I. Soient des conchoïdes AMB, A'M'B', … ayant le point O

I pour pôle. D'après un théorème connu, les normales aux points cor- respondants M, M', … concourent en un point N, situé sur la per- pendieulaire au rayon OMM … Les tangentes MT, M'T', … sont donc les positions du second côté d’un angle droit, dont le sommet parcourt le rayon, et dont le premier côté passe en N. Conséquemment, l’enve- loppe de ces droites est une parabole ayant N pour foyer, O pour sommet, et dont OMM'…. est la tangente au sommet (*). Si la tangente MT ren- contre NO en R, on trouve le point I, où elle touche la parabole, en prenant MI — MR.

Il. Remarque. — 1° Pour chaque rayon OMM' …, il y a une parabole, dont le sommet est le pôle O.

III. CorozLaine. — Si une droite AB se meut dans un plan, les tan- gentes en M, M', M”, … aux trajec- toires de ces points, enveloppent une parabole (**).

A

(‘) Propriété connue. La parabole est V’anlti-podaire de OMM'..., rela- tivement au foyer N.

(‘‘) Théorème connu. Voyez les Mélanges de Güométrie pure, par M. de Jonquières, p. 29.

PL

(271)

IV. GévérauisaTion. — Soit une courbe AB, s'appuyant sur deux directrices CD, EF. Menons les normales AT, BI à ces

directrices : I est le centre instantané de rotation; donc MI est normale à la trajectoire du point quelconque M. Soient MT ia tangente à cette trajectoire et HGK l'enveloppe de MT.

Relativement à HGK, AB est une podaire; donc HGK est l’anti-podaire de AB; et, par conséquent :

L’enveloppe des tangentes aux trajectoires des points M, M' …, est l’anti-podaire de AB, relativement au centre instantané I.

Pour trouver le point de contact G, il suffit de tracer la normale MN à AB, puis d’achever le rectangle MING.

V. Remarque. — Si la ligne AMB est droite, et que les direc- trices CD, EF soient circulaires, la trajectoire du point quelconque M:est une courbe de Watt (*), et le point I est fixe. Soit alors IP perpendiculaire à AB : le point P est celui où la droite mobile touche son enveloppe.

CLXVIII. — Une propriété des nombres triangulaires.

(Décembre 1878.)

I! suffit de l’énoncer : La différence entre les carrés de deux nombres triangulaires consécutifs égale le cube de la différence entre ces nombres.

(*) Dans le cas Le plus général. Voir la Vote CXVII.

(272 )

CLXIX (‘). — Sur l’homologie. (Décembre 1878.)

[. PROBLÈME, — Sur les côtés a, b, ce, d’un triangle ABC, on prend BL 2 BL C0 CM 0 CM GO UAN EC VINS" de manière que aa" 66" yy = (a — a)(a — x')(b — B)(b — S')(e — y)(e — y): l'hexagone LL'MM'NN' est inscrit à une conique (**).

PAIE Ld

A

|

Q Fi KQ / | À l |

)

Ï

1

1

|

(l

|

0

B’

(gù

Prolongeant les cornes L'M, M'N, N'L, on obtient le triangle

(‘) Tirée, en partie, du Bulletin de l’Académie. (‘*) Théorème de Carnot.

( 275 )

A', B', C’, homologique de ABC. Déterminer, en fonction des données, l’axe PQR d’homologie et le centre O d’homologie. 1° Considérant le triangle ABC et la transversale B’C’, on à AN.BP.CM’— AM’. BN. CP, ou BP BN.AM' (c—+)(b—£)

CEE NEC SEEN de

Une permutation tournante donne ensuite :

Ainsi l'axe PQR divise les côtés du triangle ABC dans des rapports simples et connus. 2 Des triangles BCH, BAH, respectivement coupés par A'B', B'C', on conclut : BL’. CM. B'H — BB’. MH. CL’, BN . AM’. B'H — BB’. M'H. AN.

Donc MH AN.BL’.CM M'H BN.AM.CL'° ou MH Bya £ MH (—e)b #7 6)

Et comme MM'— £' — f, on tire, de cette proportion :

By a NET) ROSES PER € CUP NUIT ENS ERR , 4 Ê Da (oO æ')(b —f#)(e— 7) | a Un (a — à')(b — p'}(c — y) , M'H — (6 dr ie (a as a')(b — 8’) (ce — À (5)

3° On a CH—6 + MH, AH—(b — 8) + MH; puis, au moyen des valeurs précédentes : CH B aBy+(a—x)(b—Bp')(e—))

AH b g x'By + {a — x')(b — B)(c — >) (6) 18

( 274 )

Une simple permutation donne ensuite :

A > r+u-de-vN-8) q De Teen EN De OR 100)

CG a—x' v'ab + (b — B)(a — «)(c nn (8)

IT. Théorème. — Le rapport des distances des sommets À, A!, au centre O, est au rap- port de leurs distances à l'axe PQ, dans une raison

constante (**).

Jen’aitrouvé, dansaucun ouvrage, la démonstration annoncée par Chasles (***). En voici une.

Soient Aa, A'a', Cc, C'e ! perpendieulaires à PQ. On doit avoir

Le

OA Aa OC Cc

OA Aa Oct

ou OA. ÀA'a’ 1e OC. C'c’ : OA’. Aa OC’. Cc (9)

Or : AVG NO AG AQ

donc l'égalité (9) devient OA AQ OC.C'Q do

— = ——

OA A‘Q OC’.CQ

(‘) On vérifie aisément (malgré la complication de ces valeurs) que le produit des seconds membres égale l'unité. C’est ce qui doit étre; car CH . AI. BG = AH. BI. CG. (*) Aperçu historique, seconde édition, p. 84. (’*) A l'endroit cité.

(275 )

Menons QO. D'après un théorème sur les transversales, trouvé autrefois (*) :

ce qui ne diffère pas de la relation (10).

HI. Remarque. — La valeur commune des derniers rapports AC

est AC °

Addition. — (Juin 1886.)

IV. Soient, pour abréger : AO— x. BO—7Yy, CO—:; RO CG D NON AA GA 7 BIT

de manière que pr =p'q Tr". (11)

Du triangle AGC, coupé par BOH, on conclut

BC. AH. GO — BG .CH. AO,

ou aqg'GO — pqAO ;

puis, par un calcul fort simple,

Re AE (12) (p + p')q + pq

X AG (‘) Si trois droites, issues d’un même point O, rencontrent, en À, B, C

et en A’, B', C’, deux transversales, on a

BOND NCA NOR ABIOC CON CAT OP UP OC

(THÉORÈMES ET PROBLÈMES, p. 95.)

(276)

et par une permutation tournante :

y _ G+gr a BH (ge qhr ee gr: (15) ze (r + r')p' (14)

CT (+r)p + TD

Les droites AG, BP, CI sont connues (*); donc les valeurs de x, y, z le sont également.

V. Remarques. — 1° La formule (15) peut être remplacée par une autre. Reprenons, en effet, la relation

(LAS He (19) AG (p+p)g +pq Dans le triangle ABC, on peut substituer le point G au point H, en changeant p en q', q en p'. Ainsi y (q + gp EE 15 TPE ES TA 2° Dans les formules (12), (15), les dénominateurs sont iden- tiques ; donc EU er AG BH (p+p)q + pq Si l’on introduit les aires des triangles AOB, BOC, COA, ABC, on trouve, au lieu de la dernière relation,

AOB pq' ABC (p+ q')p+pq

(16)

(‘) Par exemple, au moyen d'un théorème d’Euler :

2

— 1 AG = —(b?p + cp!) — pp. a ("”) I est d’ailleurs visible que, d’après l’égalité (11) :

P p

(g+g)r'+gr (g+q)p+pq

(277 ) Par conséquent :

Si les quantités p, q, r, p', q', r' satisfont à la condition pqr=p'q'r', elles rendent identique l’égalité

re om pq +pPq +pq JOIE EN TP+Tq+Tp

3° La formule (12) donne, immédiatement, cette autre identité :

r r

pq EE q che P

(|, = See D RC, 4 p{Q+pPd'+pd qg+qr+qr TP+rp+rp QE) 4° Des deux dernières, résulte celle-ci : V0 a'r' Tr ! P1 LEARN RER RBPEP RE BORNE (). (19)

+ pq +pa +pq g+qrT+ qq rq+rp'+rp

5° Si l’on simplifie, autant que possible, chacune de ces égalités, on trouve (pop anne 000)

(‘) De simples échanges de lettres donnent encore trois autres relations, de même forme que les précédentes. (‘‘) Par conséquent, la surface représentée par

Ty = NN —__ |, >: ay + ab + bx est identique avec celle dont l'équation est

œyz == abc.

(278 )

CLXX. — Polaires réciproques. (Décembre 1878) (*).

I. THÉORÈME. — Deux triangles T, T’, polaires réciproques relativement à une conique C, sont homologiques (**).

RÉcIPROQUE. — Deux triangles T, T', homologiques, sont polaires réciproques relativement à une certaine conique (°*).

IL. Remarques. — 1° Soient deux polygones P, P', de n côtés chacun, polaires réciproques relativement à une conique C. Dans P, prenons trois côtés, indéfiniment prolongés : nous formons un triangle ABC, auquel correspond, dans P’, un triangle A'B'C'. Les droites À A”, BB’, CC’ concourent en un centre d’homologie H. Le nombre de ces centres est

n(n — 1)(n — 2)

Ds 125

2 Le nombre N, des triangles ABC, est celui des combinaisons trois à trois, de = droites. On trouve

1 N At + Ajnfn —1)(n — 2)(n— n — 4).

ite.

(‘) Complément à la Note CLIX.

(‘*) Démonstration facile.

(**) Cette réciproque a été démontrée par M. Neuberg, aussi bien que le théorème (Nouvelle Correspondance mathématique, t. V, p. 270). Mon savant Confrère a étendu ses recherches aux fétraèdres homoloyiques.

( 279 )

CLXXI. Question d’analyse indéterminée.

(Juin 1879.) Trouver la loi de formation des nombres à la fois triangulaires

et carrés (PaiiPpe BRETON) (*).

I. L’équation du problème : Au (y +1) 2 y y ?

se transforme, immédiatement, en (2y + 1) — 2(2x) — 1. (1) Si l'on développe V9 en fraction continue, on trouve les réduites : PME AAMOE OMR S TOME 77 D 0 TON 160 408 Par conséquent : 2x—9, 12, 70, 408, QUES A7 0996577, 3: ou y=—1, 008, 49; 7988.

Ainsi, les valeurs de y sont, alternativement, le carré du numérateur d’une réduite de rang impair, et le double du carré du dénominateur d’une réduite de rang pair (**).

(‘) Nouvelle Correspondance mathématique, t. V, p. 285. La question est traitée dans l’A/gèbre d’Euler. (*) En outre, chacun de ces doubles, augmenté de À, est un carré.

( 280 )

IL. Les valeurs générales sont données par les formules

connues :

X = — er 1 EME US 720) AE

1 2y + 1 mL + V2)" + (1 — \22)Al; ou par celles-ci, qui s’en déduisent :

 ë X To Con1 + Con,s + 2C,5 + À Con,7 ses

y = Cane + DO + 2 Cons + ee D'ailleurs [ti Vel) 2) Saone : x Ce + DO + 2 Chu, + +]. Ainsi, les nombres demandés résultent de la formule

il N— = |Cuns + 2Cune + Pme + co]:

ils sont carrés et triangulaires. III. D'après la valeur de 2y + 1, on a dl _ à y =; [1/2 +A1ÿ—(V2— 1) F. Si n est pair, cette formule peut être écrite ainsi : y = DC + 2C,; + CC, ; + DE

et, Si n est 2mpair :

y—= [1 +20 + 2 + + f

(5)

(6)

(8)

(9)

Dans le second cas, y est un carré impair ; et, dans le premier,

y est le double d’un carré pair (*).

(‘)} Voir la fin du paragraphe IT.

( 281 )

IV. Remarques. — 1° N — y (y + 1) est la somme des y premiers nombres entiers. Le problème peut donc être énoncé ainsi :

Déterminer y, de facon que la somme N, des y premiers nombres entiers, soit un carré.

2 Si l'on représente par =“ la réduite de rang n, on a

sr : [a/2 + 1 + a ar],

| (10) Vr 7 22 ({ pu V2)" ER (! 5 VA) puis 1 Rips [(t+ 12 —(1—12)"]=z=N

u,v

Les valeurs de N sont donc

BD Ge) 2 17), (021) (70 99) ft):

Addition. — (Juin 1886.)

V. Dans l'expression de v,, remplaçons # par 2n — 1. Nous aurons :

Von -1 =

1 ele + 1 + (1/2 — 1)" ]. (11)

Soient Va +10, 1—V2——8. Ces deux quantités vérifient l'équation PE — 2 — 1—0. Donc, d’après un théorème connu (**) :

(‘) Cette propriété résulte aussi de la forme des valeurs de y.

(”*) Mémoire sur certaines décompositions en carrés (ATTI DE L'ACADÉMIE pes Nuovi Lancet, 1884, p. 25).

( 282 ) Chacun des denominateurs AND, 20 MG OS NES TAN

est : 1° la somme de deux carrés ; 2° la somme de trois carrés (*).

CLXXILI (*). — Sur une classe d'équations

différentielles. (Juillet 1879.)

I. Dans la première Note sur quelques questions relatives aux fonctions elliptiques, j'ai fait observer que l'intégrale générale de l'équation classique :

IF 1 d

est réductible à la forme

y = E(x) bi 1 (2)

Dans cette égalité, À, sont les constantes arbitraires, et

7 E(x) =" 2 dpVA1— x° sinp = E(x).

0

(‘) I y a, naturellement, exception pour les deux premiers. Quant aux autres, on trouve : 290—= + 2 + L+ 2, 169—=12 + S—12+ + 4°, 985 — 29? + 12? — 242 + 20? + 12°, 5 741 = 29? + 70° — 21? + 20? + 70°,

On peut consulter, sur ce sujet, le travail intitulé : Votes sur la théorie des fractions continues et sur certaines séries (1885, p. 26). (**) Tirée du Bulletin de l’Académie (1886).

( 283 )

Il résulte, de la formule (2), que l'équation (1) peut être transformée d'une manière simple et remarquable. Posons, en effet :

nous aurons

puis, en divisant par X et en différenciant deux fois : g"! KE — = —(*). b)

Addition. — (Juin 1886.)

IT. Remarques. — 1° X étant une fonction quelconque, l'inté- grale générale de l'équation (5) est donnée par la formule (4). On vérifie directement ce fait en observant qu’une intégrale

particulière est 21 — X °

et en appliquant la méthode connue (**).

2° Une seconde intégrale particulière est, évidemment, Za — X Pre

HI. Il n’est pas inutile de vérifier que

D LUE

est l'intégrale générale de l'équation (1).

(‘) Dans le tome V de la Nouvelle Correspondance mathématique (p. 551), j'ai ramené, à cette forme, une équation assez complexe, proposée par M. Escary.

(”*) {nventée, ou du moins très heureusement employée par l’illustre Sturm, dans ses Mémoires sur la théorie de la Chaleur. Il en a déduit son célèbre théorème.

(284 )

Pour plus de clarté dans le caleul, remplaçons, suivant l'usage, x par €, de manière que

YES TE ! 2 po

ou, sous forme abrégée :

y de LRO LUE 6 CG (6)

Les deux premières dérivées de cette équation sont

c(Ey — yE") — ),

CEy” + Ey—(cE" + E”) y = 0. (7) On sait que 1 E — PF E—-[E—F}, F——("); c [ ] b?c ( )s donc LA 1 LA ! 1 hI AA ! , [4 (a EE EE — 5

La substitution dans (7) donne, après suppression du facteur commun E : C

b°

Cy + y +

y = 0;

ce qui ne diffère pas de l'équation (1).

IV. Si l’on veut, de la transformée (5), revenir à la proposée (1), on doit faire z—yl/x. On trouve 4x y" + 4axy — y _ X°

5 8 4x°y X (8)

A cause de X = V/x E(x), cette équation paraît contradictoire avec l'équation (1). Mais un calcul semblable au précédent

donne XD iles de (9) DO TE

(‘) Lecenore, t. I, pp. 66 et 67.

( 285 ) puis DU — 2° )y" + Hal — 2°) — (A — x )y + (1 + 3x*)y — 0; elc.

sa : AU

Ainsi, la fonction —, au lieu d'être transcendante, est alge-

brique et rationnelle. Cela devait arriver; car deux équations différentes ne peuvent avoir même intégrale générale.

V. Lorsque X = V/x E(x), l'équation (5) est donc

LADA OI Ne ART (10)

Cette transformée de l'équation (1), plus simple que celle-ci, a pour intégrale, comme on l’a vu:

3 — b Sel (#)

VI. Généralisation. — L'équation (5) est comprise dans cette

autre : NOZTMEETENXEE [XX" Fe EX" |e — 0; (11)

k désignant une constante donnée. En l’écrivant ainsi :

NN Xe SÉRIE Le Xe NE AR

on reconnait qu'une intégrale première est DAS CPC, (15)

L'intégrale générale a donc pour expression

= xha fi 8) C) (15)

(‘) On arrive à la même conclusion en observant que l'équation (11)

est vérifiée par z —

( 286 )

VII. Remarque. — Sauf le cas où X est un monôme, la méthode précédente ne semble point applicable à l'équation Z®) XP) ie D E (1 5)

p surpassant 2.

Mais soit X — x”; et, par conséquent,

z(P) nou (n—p+l)x? (16) Si l’on essaie 3 = ge, on trouve 2( —1)..(—p+l)=nn—1).in—p+l), (17)

Cette équation algébrique, du degré p, dont la discussion est intéressante, est vérifiée par

1 = 0 (0) et, lorsque p est pair, par

1=—{(n —p+tl).

L'intégrale générale de l'équation (15) (*”*) est done, si p est pair :

z = Ar! + Ba" + Bi + ee + Ars (18) et, Si p est émpair : z — Ax" + ne + ee + À eva (19) VIIL Application. — Soient n — 5, p—#4; auquel cas l'équation (16) devient . ue = 6 (20)

(‘) L'existence de cette racine était évidente «& priori. (‘*) Equation linéaire, à coefficients constants.

( 287 ) L'équation auxiliaire (17) est X(1 —1)(1— 2) (1 —5) = 5 024, ou X— GA + AXE — 62 — 3 024 = 0. Elle a pour racines : | HART sta ==6 a CE 15 V/— fini és QUE CG + VAT), (6 -V28 11). L'intégrale générale de l'équation (20) est donc "5, DURE | E savante [as HAL rs mas ou, sous une forme un peu plus simple, : | V215 2

H] z — Ax° + Br + Cx°sin

£. a) Cu (21)

() Si l’on pose, pour abréger,

V/215

= ‘fQ, 2 ,

les quatre premières dérivées de

Z, = 4° sin(m 1 .a%)

4

DES A A — = æ? sin (m Ê. ax) + mx° cos(m Ê . ax), 5 EE «A 7! — Ê — ne) æ ?sin(m ie ax) + 2mx ? cos(m 16 . AT), GIE 25 1 ns = F+ ni) 2 2 sin(m Le) —(; m æns) 2 2 cos (m ee ax),

OR 2 . M —=|—+-m+mt]x ? sin (m À .ax). : 1602

«A

Égalant à

3024æ ©°sin (mn P.ax)

( 288 }

Autre addition. — (Juillet 1886.)

IX. M. De Tilly m’écrit (*) qu'il sait intégrer

ZW)

— = Axe

z m étant quelconque. C’est là un très grand progrès. En effet, la méthode de Kummer (**), fort ingénieuse, exige des transforma- tions longues et pénibles; et, jusques dans ces derniers temps, j'ai cru que l’intégrale de la simple équation

= ÿ (22)

ne pouvait être exprimée que par des intégrales définies. Voici, en peu de mots, le résultat auquel je suis parvenu, il y a quelques années.

Soit Oy une racine primitive de l'équation binôme x?*° -— 1 —0. L’équation (22) est vérifiée par

.æ anis à

Zi = D 0 (ere ae à) da. (25) La 0

Donc, l’intégrale générale est la somme de p intégrales définies, respectivement multipliées par des constantes.

cette dernière expression, on a donc

ne

2] Mi+S M? — = (Ds

d’où, en négligeant les racines imaginaires,

215 M? = —; 4 etc. (‘) Lettre du 4 juillet. (**) Journal de Liouville, t. IV.

( 289 )

X. Remarque. — Soit p — 1. L'intégrale générale de

serait donc

o© ce? z = À Je HG ECTS (24) Or, cette intégrale est

Ainsi, l’on doit avoir p® # “E ACER LETTRE 0 Si l’on fait x — 0, on trouve k— V/9r. Par conséquent, QE Da JA e (e#+e *)da—=V9re ; (25) Ne formule connue. Dans le cas général, la comparaison de la valeur de z, déduite de la formule (25), avec celle qui résulte de la méthode due

à mon savant Confrère, fera connaître de nouvelles intégrales définies.

CLXXIIT. Théorèmes dArithmétique (*).

(Avril 1886.)

I. Soit N— abfc’.., a, b, e, … étant des nombres premiers, inégaux. Soit x le plus grand des produits aa, b6, cy, … On «

PPS ONU (N)

Supposons sus DES ey>…

(*) A propos de ma démonstration du Théorème de Slaudt et Clausen (Note LXXVI).

19

( 290 ) Il suffit de démontrer que 94m OI (0) CL

Dans le premier membre, le nombre b est facteur autant de fois que l'indique l'expression

(+ (9 (e-

x = LB + y,

Soit

y étant nul ou positif. Il est clair que l’on a # ÿ Gi) a Ge puis et, par conséquent, 1008 308 = CU)

IL. Soient n un nombre pair, el p un nombre premier, supérieur

a 2. On a A1) = JT (p).

Le premier membre égale

54 A pt —P 5 (p— 1}! + nn : - Jai one 1.

En négligeant des multiples de p, on le réduit à (p vsrs 1) ere (p Na Die + (p BA de ETES te 9r—1 + 4

puis à

BRUT | cr, gn—1 PSE Sie SN gr re 9n—1 4 À, quantité nulle, parce qu'elle est composée de n termes, égaux et de signes contraires deux à deux.

(‘) En effet, 1R0E 5. ax = JU (ac);

NA e] « . et, d’un autre côté, les facteurs a*, bP, c/, … sont premiers entre eux, ? ? ? ?

deux à deux.

( 294 )

CLXXIV. — Sur un théorème de M. Pépin. (Septembre 1880.)

I. Dans les Comptes rendus (séance du 16 août), on lit :

« Ainsi les deux nombres premiers 7 et 15 ne peuvent diviser » la somme de trois cubes sans diviser l’un de ces cubes. »

p étant un nombre premier, soit n — +,

D'après le théorème de Fermat, si p ne divise pas a :

a = M (p) E 1. Donc, à étant impair :

di + a +. + a — M (p) + &x, en supposant Le nombre des termes du second membre étant impair, x n’est pas nul. On a donc ce théorème : Si p est un nombre premier, et que i soit impair, la sonrme des puissances +, de 1 nombres entiers, premiers avec p, n’est pas divisible par p.

Addition. — (Juin 1886.)

Il. CoRoOLLAIRE :

n’est pas divisible par p.

IT. Remarque. — Le théorème ci-dessus ne démontre pas la proposition relative au nombre 15, signalée par M. Pépin. Pour la vérifier, il suffit d'observer que les résidus, par 13, des nombres

1, 8, 97, 64, 195, 216, 545, 512, 729, 1 000,

.…

L

+4, —5, +14, —1, —5, —5, +5, +5, +1, —1, …,;

c'est-à-dire + 1, + 5. Done la somme de trois d'entre eux ne peut être nulle.

( 292 )

CLXX V.

(Mars 1881.)

I. Suivant Euler (*), on a, sensiblement,

1 1 = — + — + La = € 200 “Ti6&) à Entre. Dr

& étant un nombre entier (**).

On sait que

: (| We ex sin xdx ps ——— (1) AN UN

ou

Donc,

+1 a+ a+ a?

La quantité entre parenthèses égale

Par conséquent, si l’on appelle A le second membre de

l'égalité (1) :

1 1 k MAr==;er T0 A=— ++ — —— sin xdx; CAN & e et — 1

0

A —e* lim À — if — sin xdx. k x

et, pour a infini :

(*) Correspondance avec Goldbach, p. 221.

(*) Condition évidente, le dernier dénominateur étant «? + a?.

(*") Note LUI.

Sur deux formules d’approximation.

1 EEE 1 1 CB ER s'ieN A A. Rire = — e “+e “+..+e “]sinxdx. (2)

( 295 )

Donc lim A = 7x.

II. Si l’on fait a — 1, 2, 5, on trouve, par application de la formule (1) : r—516666, r—514166, r—5,141 595.

On voit que le second membre converge rapidement vers sa limite.

II. Dans le Journal de M. G. de Longchamps (février 1881), M. Geoffroy a donné une formule que l'on peut écrire ainsi :

, 6 1 (| td) +- | (2) a GA se NP D: a+ a

En la comparant à la formule d'Euler, on voit que la différence des seconds membres est

Cette quantité, nulle à la limite, devient . pour a — 2. Ainsi,

la formule (2) est moins approximative que celle d'Euler.

CLXXVI. — Une surface d’intrados (*‘). (Juin 1881.)

L. On donne, dans le plan vertical OA, une ellipse projetée, en vraie grandeur, suivant A'D'(***); et, dans le plan vertical OB, une ellipse projetée, aussi, suivant A'D'. Une circonférence, dont le plan est perpendiculaire à OA, et dont le centre L'est sur l’hori- zontale OC, rencontre les deux ellipses. Quelle est la surface ainsi engendrée ?

(‘) Bierens DE Haaw, T. 565. ("*) Université de Liège — Salles du second étage. COROMANB PA OID/—= AC CR;

( 294 )

Soient G, H les projections horizontales des points où la géné-

Ç’

7 4

0! D! ratrice coupe les directrices ; soit H” la projection verticale de

ces deux points. Il est visible que le rayon p, de la circonférence génératrice,

est donné par la formule De 7 1H + PH.

in — ! 06, PH (Let OP) 9

Mais :

Done, à cause de O'P — 0G, 0 — Q.

Ainsi, la surface d'intrados proposée appartient à un cylindre dont la base est la demi-circonférence AC'B, et dont les généra- trices sont parallèles à l'horizontale OC.

IL. Si l’on considère le corps limité par le plan horizontal, la surface cylindrique et les plans verticaux OA, OB, AB, on trouve aisément que le volume de ce corps est

e—(r—°)« (0)

a)

(‘) L’aire de la surface d’intrados est donnée par une intégrale ellip- tique, assez compliquée, et peu intéressante.

( 295 )

CLXXVII. — Quelques séries numériques. (1857-1880.) I. Dans la formule PU+l +1) PFU+1)r(+1)

(1) l'(E —1) PORN

UE mn +. (°),

supposons {— 1, l — 1 : elle devient

24 {y spa e 1 Le e nn one oran least in

L 1\° | bre 131) —=1| + ( +(—|) + —1) +... (2 T 2 2 SU 246

ROME . > Donc, par l'élimination de = : T

117 MS 131 VER AE 1—=5|- +11) + —) +15 |——— |) +, (5) 2 2.4 2.4.6 2.4.6.8

résultat curieux ("). En combinant les égalités (1), (3), on trouve :

4 AA ASS) Re AE 55) T ==1l+ 2) +2 —) + -l—— |) +. (4) T 2 \2 3 \2.4 4 \2.4.6

IT. La formule (3) peut être écrite autrement.

Le terme général de la série est, pour n > 0 :

2 =) % DUC On 9

SA

Una =

Soit, comme dans la Note CVII :

4.3.) .. 92n —1 1 C __ Tue

Rooreso dr 2"

(‘) Tome I, page 141.

(”*) Cette égalité résulte aussi du développement de E,(ce) (Lecennre, t. [, p. 65), dans lequel on ferait c— 1. (Août 1881.)

(**) Tome I, page 140.

(”) Second Mémoire sur les fonctions X, (p. 6).

( 296 ) T4, étant le (n + 2)°* Nombre de Segner. Nous aurons

= 2 . Uny4 TE PES n+2

puis, au lieu de la relation (3) :

7 11 15 1— TS + [es 16 16? 16°

IE ST o00 (5)

Voici donc encore une série remarquable, dans laquelle figurent les Nombres de Segner.

CLX XVIII. Une équation aux différences. (Août 1881.) L. Soit (On — lus — 4nu, + (2n + 1) u5 1 = 0, (4)

cette équation (*). En l’écrivant ainsi

Uni — u, Ur nu

= 2 9n +1 On —1 ? (2)

on trouve, immédiatement, u = a +b; (3)

a, b étant des constantes. II. La formule (5) donne u—=a+b, u—4a+b, ue — U, — 3a.

Par conséquent, si les deux termes iniliaux sont entiers, el que leur différence soit divisible par 5, les termes u;, u,, … seront entiers (**).

(‘) Rencontrée en étudiant la fonction X,. (**) Si la Loi de récurrence est

(n + 1) ns — (20 + 1) Un + nün-1 = 0,

il est impossible que tous les termes soient entiers.

( 297 )

CLXXIX. — Application de la Perspective aux séries.

(Janvier 1882.)

I. Considérons la figure formée par un angle rectiligne et un système de parallèles. Si l’on en fait la perspective, sur un tableau parallèle à l’un des côtés de l'angle, on obtient, en général,

Mme TROT AN

da

la figure ci-contre, dans laquelle P est le point de concours des droites A,B,, A,B,, …, A,B,, …, perspectives des parallèles données.

Soient :

OA A TA EN OAES TS

OP VU UBR 0 MO — 2. Nous avons ainsi la représentation géométrique de deux séries : U + We Us He ++, ; (4) VU + Vo H Vs Æ ce + Ve de, (2)

à termes positifs. Si la première est divergente, la seconde sera convergente. En effet, la position-limite de A,B, est PC, parallèle à Ox.

Il. Remarque. — Toutes les séries convergentes (2) ont mème limite, si les termes initiaux U,, Uo, Vi, Va sont constants.

( 298 )

Car la position du point P, et par suite celle du point C

(l'angle yOx étant donné), ne dépendent que de ces quatre termes.

III. Lorsque trois droites PA, PB, PC sont coupées par deux droites OABC, OA'’B'C, on a

OA BC OA’ B'C’

OC AB OC AB (

ou

WU (S, — U — 2) 2, = Vite (2, — di — Ur) S,;5 puis

; Valo (WU + V lim >, = > — iHet See) (é)! (3) Vyllo — UiVo

Addition. — (Juillet 1886.) IV. Exemples. — 1° Soient

M = 0% = 0 = 9, = 2 D =, Va —

QI KO

L'équation (1) se réduit à

2 à) = —92)2,—n 5)

Il en résulte :

En outre,

agen 20 tn : U + 5 n + À

(‘) Voir ci-dessus, page 275. (*”) Le second membre est fini et déterminé si, comme nous l'avons sup- posé, les droites A,B,, A,B, sont concourantes.

( 299 )

20 WU — 1, Ua 0) …. ls ï S, = 27 — 1.

LL IE

(2-1 + 1) (2? + 1) DEN DRE

V. Remarques. — 1° Si l'on suppose SES ES AU 1

On à :

J

puis, par la sommation des colonnes verticales :

Ainsi, les séries (4), (5) ont même limite. 2 Cette limite commune © doit être une transcendante com-

pliquée. Car la série (4) est un cas particulier de celle-ci :

x x? x pe + = <E — + dE x A+ x 41 + x° 1% x

laquelle se rattache à la série de Lambert.

( 300 )

CLXXX.

Sur les nombres combhinatoires (‘).

[. Les nombres C,,1,,G,+, …, C,, sont tous impairs, si m—2—1. Cette condition est nécessaire (**).

II. Soient a+pf+y +... +6—n, 1RDE SEEN

RP PAL DR tn ie DORE EEE

Si deux, au moins, des nombres a, (5, y, …, 0 sont impairs, N est pair (*”).

III. Les mêmes notations subsistant, le nombre (n + 1) N est divisible par : a + À, BEM … 0+1; DHÉOEERIE a +y + |, … c+0+l; a+B+y+l,a+s+d+t, … p+o+6+l; ( IV. Si p est un nombre premier, (se = ON (p) Soi , selon que q est pair ou impair (*). V. TuéorÈmEe. — Si a et b sont premiers entre eux,

POS be t)

np (CN os SO EE 7 (1

(‘) Nous rappelons ici les énoncés de théorèmes publiés dans divers recueils. |

(*) Maruesis, t. I, p. 205.

(**) Im. t. II, p. 48.

(”) Cette propriété, dont la démonstration n'offre aucune difficulté, est probablement connue. (Juillet 1886.)

(") Sur quelques questions relatives aux fonctions elliptiques.

( 501 VI. Si a + b est un nombre premier,

1.2.5 … (a + b —1) 12/5 ax 0412/5710

— entier (‘).

| VII. Con, nn 5 Con, n—1° C>, Ft Ur 5 Cons, n—2: C,, Deus 200

l 2 4.6. 2n Se ere atroce (OL) 2n +1 5.0.7 … (2n + 1)

VIII. TuéorèME. — Si p est premier : L 2 1 2 2 © [CET À + 9 Ce + 5 [C,-12] He. + “7 (per) — entrer ( 15 IX. Con,n + Con, n—1 ° C>, A TUE Ce 2° Gi, à Eur CO E (D — 4" (GE (n— 1) Co, 9 + 2(n — 2) Ce, ; + 5(N—3) Con, ç + +++ + (n —1) Co, 2 =n{(In—1)4° 0).

X. D es Da C,_>, 4 Eh Dre C,_5, CR XI Ca, 3 + — nn QE

. N—5 _(n—4)(n—5) 9-1] ï 4 DES GR OH RE SO OR LL XI 5 + je = (") (| ë | 1 à Dn—1__4

XII. 1 SE 3 C,_10 + 5 Ce + eo + ES Cr — (M (A)

Cd eee À | XIII. > Éshrenars Æ= ds > (ae 4) [CRE IE z Ce

0 ( ;

s, P

Remarque. — Dans les deux dernières égalités, chacun des termes est entier, si n est premier.

(") Corollaire du théorème.

(*) Notes d’ Algèbre et d'Analyse, p. 14.

(°””*) Jbid., p. 20.

(”) Journal de Liouville, t. IV.

(*) Notes d’Alyèbre et d'Analyse.

(”) Sur quelques développements de sin nx ct de cosnx (Nouvelles Annales,

(”) Relation presque évidente. (") Sur un développement de l'intégrale elliptique. (1885). Voir aussi

Note CIX.

( 502 )

p=n

E ES RE ET pou à 2 XIV. D Cmrs 25,5 2p= 1040550701] P= —= (0.226220) (0 XV. TuéorÈME. — p étant un nombre premier, supérieur à 2 :

= à De 52 BP 4 à p — D 2 + JU (p) (B)

Dans l'égalité (A) : À Cup +1—5a, C4, —=0p + 1 — 56", …, a, a',b,b', … étant des nombres entiers. Les équations ap +1=5a, bp+1—50, cp +1—=7c,… sont vérifiées (d’après le théorème de Fermat) par : 5 IC (pl UD NID) ct TOI (ne

Done cette égalité (A) devient

dE à

À + mr? lp Brr2 SOON (p — DES Eee he I (p). (B)

P

XVI. CorozLaiRe. — Les nombres entiers

; 21} A SE + PP + ce + (p — 2), p sont, simultanément, divisibles ou non divisibles par p (”*). Ü il 1 1

XVI. ——C,;+ Croce = (—) ————. (C Nr ET ENT EN Ed a (n + 1)C,,, (0)

(‘) Mémoire sur certaines décompositions en carrés, p. 61. Il résulte, de cette dernière relation, que

(2.4.6.2n) est la somme de 4» carrés impairs.

(‘*) M. Mansion s’est proposé ce problème :

Peut-on avoir 2-1 — 1 — J{ (p°)? Au moyen du Corollaire, la question est ramenée à une autre, peut-être moins difficile. Suivant M. Ern. Cesàro, à qui je l’ai soumise, elle est impossible pour p TZ 45.

( 503 )

Le premier membre égale

1 pt — 1 va Ë —! TE et DT — se x) doc

Le À a" (œ — 1Vde = (— 1} B(p + 1,n=p+t) TP + tee D 0) 1 Una (n + 1)C

n,p

La relation (C) est donc démontrée.

Remarque. — Elle subsiste quand 7 et p sont remplacés par des nombres quelconques, pourvu que p ne surpasse pas n.

CLXXXI. — Carrés magiques. (Décembre 1885.)

I. Avec les nombres 1, 2, …, 16, on peut former le carré magique suivant :

Il en résulte, immédiatement, une infinité de carrés magiques, représentés par

T+ dy æ+liy æ + 14y T+Yy T+ 57 æ + 16y

x +127 T+ 67

( 504 )

II. Exemple : x — 5, y = 5.

Il est clair que le procédé est général.

CLXXXIT. — Intégrales définies équivalentes. (Juin 1886) (*).

I. Un calcul direct, fort simple, donne

CES dx fe —_—_— —© «4, (1) « À + x + VA + 7°

KE

Cette formule a cela de remarquable, qu'elle subsiste quand, dans le dénominateur, on remplace x par X —/(x), f(x) étant une fonction impaire (**).

En effet, À étant la valeur cherchée,

Ne 'dxA+x—V 1 + X°) 1 VAR me = 0 + ———————— . 2X 2 AE X

— & ou, en vertu de l'hypothèse faite sur X : A = «. (") Communication au Congrès de Nancy. (”) C'est-à-dire, satisfaisant à la condition

f 2)= — (a).

(505 )

Il. Applications :

T Ta je F3 dx a dx : 1 + x + VA + x? A+sinx+V/1+ sin?x RET 21 = T fa dx d+g cos x dx x 6) A+sinx+cosx 2

A+sinx+V1+sintx ;

CE

2° X, représentant un polynôme de Legendre, à indice émpair :

ie dx 7, RATER

5° D'après la formule

Lot — k) AU q q° = BR NOTE NET mn CE

la transcendante o(1 — Æ°?) est une fonction impaire, relative-

ment à la variable q. Donc le = 1.

+1 ‘ 1 et A) PT. A —k)

Etc., etc. IT. Remarque. — Toutes les courbes représentées par l'équa-

tion [ D HAE

Dre AO EN An 1+X+V1+X et limitées par x — Æ a, ont des aires égales.

() Dans la deuxième intégrale, X — sin x; dans la troisième, X =sin° x;

dans la quatrième, X — tg x. (*) Note CXXIV, p. 129. 20

( 306 )

CLXXXIII — Sur les fonctions elliptiques

de première espèce. (Mars 1877.)

1. PROBLÈME (*). — Trouver une courbe dont l'arc soit exprimé par lintégrale elliptique de première espèce. De l'énoncé, on conclut

kidu? u°do + du’ — nt nn ; (1) LES) f, g étant des constantes données, et k une indéterminée. Ensuite, 1? du” k 9 2) ,2 Don D on nm — ({ + qu + f°g° + ]. Le trinôme entre parenthèses est un carré lorsque pre 1 (2 2 = aoû —g'). (5) On a done, s’il en est ainsi, u° — Due 2 SE 9, AT ETATT ET) ou 1 du au -— Q? jf — E do = -— ——— RAP 5 AR | f°—w VE] (5)

IT. Pour simplifier le second membre, on peut faire, par

exemple, FER —\ (05 RG H c'est-à-dire uw = f”cos°® + g’sin’o. (4)

(") Résolu par Legendre et Serret.

( 307 ) Il résulte, de cette relation,

do

Ü 00 CR Eee ee 5 HU 2 (9 / fe + g’sin*@ () puis, par une formule connue, GOUT Ë | Æ (o—a)=-——arcts#|"tep): (6) 2 [g ne

IN. Les courbes cherchées (toutes égales entre elles) sont représentées par le système des équations (4), (6), ou par la for- mule unique :

2 y° 2/ NO ee e—a|. (7)

[VEg.

IV. Si s est l’arc d’une de ces courbes, compté, par exemple, à partir de © — 0, on tire, de l'équation (1) : du

1 ds A (f*° =— QE) : 2 AP QE —

ou, au moyen de la formule (4) :

Neue ds — — / J do.

a (8) 2? — (f? — g')sin° oo

Ainsi, conformément à l'énoncé, l’arc s égale le produit d’une longueur constante, par une intégrale de première espèce.

( 508 )

CELXXXIV. — Sur l'Analyse indéterminée.

PROBLÈME. — Trouver des solutions entières de l’équation GÉyEN Tr) EEE) EU (1) I. Le premier membre égale

5x (y + 3) + 5y'(z + x) + 52 (x + y) + Oxyz. Ainsi, 4° doit être divisible par 27. Soit n5 le quotient :

(y + 2)ù + (y + z)x + yz(y + z) = In, ou

(y + z)(z + x)(x + y) = In’. (2)

Donc, si l’on décompose 95 en abc, on a YO GE CET D NE EN YCS

puis, en supposant & + b + c = 2p : D CON Em CN

I. Applications.

1° n— 9

u —= 5. (3) 9, On — 72.

On peut prendre :

u =? On trouve :

En effet,

75 — (5 + LS ou

X —= J, VU On a

CÉ pe ee où

(‘) Afin que x, y, z soient entiers, 2p doit être un nombre pair.

( 509 ) II. Remarque. — Le premier membre de l'équation (1) est

ps —[(p — af + (p — 6 + (p—c}]:

Cette quantité doit se réduire à 27n5 si abc — 9nÿ ; donc, en général, on a l'identité :

(a+b+c)ÿ—(b+e—a)ÿ —(c+a—b}—{(a+ b—c}Ÿ — 24 abc; (A)

ou, si l’on fait

de D SN CV (36° +9° — Ba + (9° +508 — 56) + (50 +56 — 7) +(626r) æ) — (50° +56 +9").

Cette seconde identité résout, d’une infinité de manières, l'équation À ue S+yÿ+r+u—=Ù (). (4) IV. Exemple. — Prenons B= %, D Gr, Il résulte, de ces valeurs : x—1, y—1, z—385, u — 96, t — 38;

puis 15 + 15 + 383° + 96° — 585”

CLXXXV.

Une identité (”). (Mai 1877.) On a, quelles que soient les quantités b, € : 4(100? — 19be + 10cŸ + 216[be(b — cf — 155[ (86° — 11bc + 5c°)(b — c) F + [(256°— 29be + 256°)(b + ce) f°. (‘) On peut comparer cette solution incomplète avee celle qui est déve-

loppée dans la Vote CXX VI. (**) Trouvée en discutant l’équation

d5 — 0h + che? — (2b? — Jbc + 2° )x + (b + c)(b? — Sbc + À) = 0.

(310)

CLXXX VE. Généralisation d’un théorème de M. Laïisant (*). (Octobre 1876.) JL. Taéorème. — La droite qui joint le centre G de gravité

d’un triangle ABC, au centre O du cercle inscrit, divise le cote

moyen BC en deux segments BR, CR proportionnels aux diffe- rences entre ce côlé el les deux autres.

Le théorème de Ptolémée, appliqué au triangle AaA’ et à la transversale OGR, donne

AG. aR . A’O — AO. AR. aG.

Par des propriétés connues :

A'O BA’ ac NME UE =, ER ; AO BA

(*) Nouvelle Correspondance mathématique, t. H et TI (Question 152).

(51 ).

done la relation précédente se réduit à

aR b+c ARNO

(1)

. Ainsi déjà :

_Les distances du point R, aux pieds de la inédiane Aa et de la bissectrice AA, sont entre elles comme la demi-somme des cotés extrêmes est au coté moyen.

Si l’on représente par x, y les segments BR, CR, on peut écrire, sous les deux formes suivantes, la proportion (1) :

dl GR (si PAS 2 b+e J D" D'+c TOR ET TE Ab le Ru WU = Dec J Dee G

La première équation donne

a(c — a)

Ton espece la seconde :

a(a — b) Ye 2a — b — c Donc RCE y a—b ou BR Ca : CRM ET (2) C. Q. EF. D.

IL. O' étant le centre du cercle ex-inscrit à l'angle A; menons la droite GO’. Soit S le point où elle coupe BC. On trouve, de la même manière que précédemment :

as b+c.

Ro ÿ

puis BS a+c L CS a+b (#)

(‘) D'après les proportions (1), (3), {« droite aÂ' est partagée harmoni- quement par les points R, S.

(312)

III. O0”, O'” étant les centres des deux derniers cercles ex-inserits (*); soient T, U les points où les droites GO”, GO" rencontrent, respectivement, CA, AB. Une permutation tournante, effectuée sur la proportion (4), donne

GR DE CUS AUT G d. RME OUT OS

et, par conséquent, BS . CT. AU = CS. AT. BU. (b)

Ainsi, les droites AS, BT, CU (**) concourent en un point V.

CLXXX VII.

Sur l'hexagone inserit. (Octobre 1878) (***).

L TnéorÈme. — Soient a, a’, b, b', €, ce’ les cotés consécutifs J 2 9 2 ? d’un hexagone inscrit; soient «, B, y les diagonales qui joignent

les sommets opposés. On a, entre ces neuf éléments, les relations

(ab + a'B)(be + b'y)(ca + c'a) = (ab + ba)(b'e' + cB)(c'a + y) = (96 — ab')(B7 — be')(ya— ca’) (*). 1° Dans les quadrilatères inserits CA’BC', A'BC'A (°) : by +bc—A'C'. BC, bx + a'b’ — A'B’. AB; et, par conséquent, b'y + be BC ba + ab AB

Une permutation tournante donne ensuite :

cœ + ca CA a'B + ab AB cB + L'c PPT ACOICA

() Non tracés sur la figure.

(”) Non tracées.

(**) Nouvelle Correspondance mathématique, t. V, p. 295.

(*) Prouhet en a donné une autre (Nouvelles Annales, 1858, p. 185).

(") Le lecteur est prié de faire la figure.

(315) Le produit des seconds membres égale l'unité; donc (be + b'yY(ea + c'a(ab + a'B)—=(b'e+ cB\c'a + ay )(a'b' + ba)

2% Dans les quadrilatères inscrits CA'BA, ABCB’ : c.AB +". CA =u.BC, c'’.AB + a.BC—6.CA; ainsi, par l'élimination de CA : (cB + b'e') AB — (26 — ab') BC;

puis, au moyen d’une permutation tournante : (ay + c'a')BC = (87 — bc')CA, (ba + a'b')CA = {ya — ca’) AB.

Conséquemment, (eB + b'c')(ay + c'u')(ba + u'b')= (28 —ub")(8y — be')(7a — ca). (2)

II. Considérons les quadrilatères inscrits B'CA'B, B'AC'B. La formule connue : (ac + bd)(ud + bc)(ab + cd) 6)

Re (a+ b+ e—d\b+c+d—a\e+d+u—b)(d + a + b—c)

appliquée à chacune de ces deux figures, donne (b'e" + cB)(c'B + b'c)(b'6 + ce’) (B+0'+ ec — c'{b'+ c+c—fBhc+c+8—d'Âc+p+b— c)

CHE

b(B+a+b— a)

rc (a'8 + ab)(ag + a'b)(b6 + ua’) (B+b+a—a)(a+u+b—f6\a+a +f6 R étant le rayon du cercle auquel l'hexagone est inserit

La diagonale 6 satisfait donc à l'équation (eg + b'o’)(c8 » cb')(b'8 + cc’) (B+b'+c—c')\(6 + c+c— b'(B+b'+ c'—cÛ—8+b'+c+c) (a'B + ab)(aB + «'b\(b8 + aa’)

EE (G+b+a—a\(B+a+a—b\f+a+b—a)—p+ar+a +b) |

LA

(5)

laquelle parait être du septième degré.

(‘) Voir, par exemple, la Géométrie de Legendre, Note V.

(514)

CLXXXVIII — Sur la partition des nombres.

(Novembre 1878.) I. La formule

CÉNNELS ne ee à

ou

v x° PRES Reese rere.

équivaut à D EU 0 ee (1) Développant chaque exponentielle, on trouve, comme terme général du produit, x x?! x °° F(a+1) 2T(b+1) 5T(c+1) Si donc

a+2b+35+..—n, (2) le coefficient x", dans le second membre de l'égalité (1), sera

1 2 Not) LINE ASE CEA)

le signe Ÿ s'étendant à toutes les solutions entières, non négatives, de l'équation (2). En conséquence, on a ce théorème d’Arith- métique : La somme de toutes les fractions 1 @ 5.40. Ta + 1)E(b + 1e + 1)

est 1.

Il. Remarques. — 1° Le nombre de ces solutions est le coefficient de g", dans le développement de

1 (qi — A — 9) c'est-à-dire Y(n) (*).

(*) Recherches sur quelques produits indéfinis, p. 11.

( 515 )

2% [l y a autant de manières de décomposer n en parties entières, égales ou inégales (*), qu’il y en a de décomposer n en un multiple de 1, augmenté d’un multiple de 2, augmenté d'un multiple de 5, cie.

Soit, par exemple, n — 5. Les décompositions indiquées sont

D'après la proposition énoncée, on doit trouver Û 1 1 1

+ > + —© + — 12099) 9-0 40975

se

1 1 1 +-+-+-— ||. HRENE

C'est ce qui a lieu. III. L'identité 1 2 20.5°.4%.. Pa + DF(b + 1e + 1). peut être écrite ainsi :

Ÿ - — f.

AND a DO) 0 DO SOMMES AXE

(‘) Ce nombre est y(n).

(516)

Par conséquent : Si un nombre n est décomposé, de toutes les manières possibles, en parlies à, 6; 7; …, appartenant aux progressions

1 NON DE SG 0

1

la sor jo unité (* omme des fractions ne égale l'unité (*).

IV. Autre théorème. — Il est visible (et connu) que

— Lx) — 2°) (1 — 2)... ]=x + fi) LH + - ne (5)

Le premier membre égale

: nu — A+x +. + V(n)x +0 sure cl de Li)

Donc l'égalité (5) devient A+ x + + Qin)ar +. er eh. ph (4) A, désignant > /n. Si donc (comme précédemment) u+2b+5c+.. —n, (2) la somme des fractions CUS). POSTES ADS 0 00 050 SON 00 égale Y(n).

V. Application. — Soit, comme ci-dessus, # — 5, d'où

Un) =7 (**).

() Chaque progression ne doit pas renfermer plus d’une partie. (‘*) Recherches... p. 11. (CU) Ibid, p.59:

(317)

Abstraction faite des zéros, les solutions de l'équation (2) sont :

DD Na— 5, 0; a —1, b—9 G—9/Me—A1;

=)

b—1, c—1; a—1, d—1; e—1i.

De plus : JE ep fit [= Donc l 5 9 o AJEL ANT APR a — TEE EN ER EE SE ES ce qui est exact. VI. Remarque. — Le nombre des fractions composant Ÿ(n) égale L(n). VII. Généralisation d’une identité connue. — On a, quel que

soit le nombre entier p :

(ac 0r) ( a 07) (A PP 2e 0PP),. —=1+2+ 2 +2 +. En effet, si l’on multiplie par 1 — x, on trouve 1 — 1 (*). De là résulte la propriété suivante : Tout nombre entier est décomposable, d’une seule manière, en parties appartenant, respectivement, aux progressions ile 2, ÉD Ue D 2D SD ei nEN) D; p, 2p, 5pn (p—1)p; VIIL Exemple. — Soit p — 5 : les progressions sont, si l'on veul : ANSE, 4; 5, 10: 45, 90: 2H 00 015, 00

(‘) Avons-nous besoin de dire que la série est supposée convergente ? (**) Chaque progression ne contient qu’une partie, au plus.

(518)

On peut donc former tous les nombres, non supérieurs à 100, avec un terme de la première, un terme de la deuxième et un terme de la troisième. En particulier, 67 = 9 + 15 + 50.

Addition. — (Décembre 1882.)

IX. Soit ce théorème connu :

Sin=i +1 — 2rd,

a f-see

72

Remplaçons n par 2n : 5” ne change pas et 4 devient 24.

Conséquemment : >| fix fen-nl=s3) fix fun) (A) X. Application. — Lorsque x — 6, la relation est

VTT ES ED ET D) U

PEER ON RTE ee:

O

ce qui est exact (**).

() Recherches.., p. 100.

(”*) Dans le Journal de Mathématiques, Liouville a donné, avec ou sans démonstration, une foule de théorèmes analogues à celui qui est exprimé par l'égalité (A).

(519 )

CELXXNIX. — Sur Ia série de Lamé. (Octobre 1879) (*).

1. Sommation. — Des égalités

|

Us; lo 2F WU,

U;—=U; +,

|

Un = Uni Æ Uno on déduit, par addition : S,—U —U—=S, — U —- Un + Sy — Uni — Us, ou

S, = 20, + Uni — Uo = Un + Unui — 2 (*),

ou enfin

S, EE Un+e TES 2; (1) formule connue. IL, Taéorème. — On a, entre trois termes équidistants, u,,, U,, Ur, et le terme u,=,, la relation RU tr et (U,4) (2) Si l’on fait A+ 1/5 1—1/5 A = ——— ) b = —————————— 9 2

4 2

une formule connue donne

1 Un = (at D), di — (art — DH),

(a” P+HA ___ Dretse))

() Voir, dans la Nouvelle Correspondance mathématique (t. V, p. 199), nos remarques sur l’histoire de cette série. (**) On ne doit pas oublier que les premiers termes de la série sont

LOS, NS AUS

( 520 ) Donc

1 ue ts ni = | (a ati DID) -(a GR) D) ame Der) je

La quantité entre parenthèses est réductible à

(ab) (ar — br?

D'ailleurs, ab — — 1. Par suite, 2 n—p+1 /% 3 Un Un pUnip — 5 (— 1) (v &) à Ua) ; etc. HE. Remarque. — Selon que p = 1 ou n, l'égalité (2) se réduit à * = u° Ur Up = (= 102 ( }, (5) ou à | 9 MA ET == dE (4)

Celle-ci a été donnée par M. Edouard Lucas (**). IV. Généralisation. — Soit une série récurrente : U:, Uos + Uno; U,_1; Uns

dans laquelle

Un, — = PER CS (5)

Soient, conformément à la méthode connue :

1+tVé +1 AE (RE ET ee à

C €

() On suppose w,—= 1, afin que la formule (2) s'accorde avec les expres-

SIOPS : Ps), 0e

(”) Nouvelle Correspondance mathématique, t. 1, p. 74. Nous avons déjà cité le beau Mémoire dans lequel notre savant Collègue a développé quel- ques-unes des propriétés dont jouit la série de Fibonacci, ou série de Lam.

(””") Lorsque c—=1, cette série est semblable à celle qui donne les cosinus des multiples d’un arc x.

(321 )

Si les termes w,, #4 sont tels que l’on ait, en général, de (ob), (5) 2+1 on trouve, comme dans la série de Lamé : Un — Un-plnyp = (— 1) PEU 4 Y". (2) V. Exemple. — Soit c — À, de manière que A 7 DS er L'application de la formule (5) donne HI —MI0 OU: —I08E: après quoi l’on obtient, par la loi de récurrence (5) : MOSS 2, 10220 7. —0108 u —210982/ 1 —92/756,.- D'après ces valeurs,

UE — WU; — U}, ou 1 220° — 16.92 756 — 68°,

conformément à la relation (2).

Addition. — (Aout 1886.)

VI. Remarques. — 1° Cette relation (2) exprime que :

Dans toute serie récurrente, de la forme indiquée, la somme ou la différence des carrés de deux termes quelconques est égale au produit de deux autres termes.

2° Si, dans la série de Lamé, on fait la somme des carrés de deux termes séparés par un nombre pair de termes, cetle somme est un nombre composé (*).

(‘) Dans les Notes sur la théorie des fractions continues et sur certaines séries (1883), on trouvera d’autres propriétés de cette remarquable série.

21

(322 )

CXC. — Sur la formule du binôme. (Décembre 1879.)

I. Si, dans la formule principale de la Note LXVHIT : k vtt

(1)

km + CC Rp +1) Cup HE)" on change k en _ elle devient

1 | = p=r—idt A+HC, xt +C, = (p+1)c, 1+x)" —_———— ; A DA >D (2 ) | ) e (1+t)" 1 ? ( ) 0 et celle-ci, comme on le reconnait facilement, équivaut à la formule de Poisson (*).

II. Si l’on suppose x — 1, on obtient

> 1 rl LH Cat Gna+ + Cu, = (p+1) Cu,pra ze TEL (B) 0

et, inversement,

1 er -1dt 1 1 Ho = —————————— [1 Se Cy, AT 00 Col (C) 0

LEO AR DAEE CPR

Ainsi, l’intégrale définie, contenue dans le premier membre, est la somme de p + 1 fractions fort simples, ayant même dénomi- nateur (**).

(‘) Note LXVII, équat. (1). (*) M. Bicrens de Haan donne (T. IV), d’après Legendre :

l 1\z 1. Cod OC Ê | ® /b— a — 1 6) LE AT) 9) >: | n a+n

le symbole (ren représentant le coefficient ni" de la puissance (b — a — 1)" du binôme (p. 22).

De là résulte, avec les notations habituelles,

1 {1\2 L GR Ne DST (3 | ; CELLES ei G) Di MORE p+n

[l ne nr'a pas été possible de vérifier si cette formule est exacte. (Sept. 1886.)

(325)

III. Remarque. — Le développement en série, de (1 + #7 ("*#, donne, au lieu de cette formule,

A dr? 1 5 4 : CE verni o k | 2 1 1 MS mem doi Mm—p +5

LORE CR Eene TE D Par conséquent, si p est entier positif, la série contenue dans le second membre esf sommable, quoique peu convergente. Exemple : 8.7.6 26

+ cn —

.2.3 DANDE

Lo) O1 be &E|> nn ho ul ec

[V. Il semble, d’après la relation (A), que

cd [ + 0U mr US m,2X TS Q m,pX = (p ) rl —X) À (om?

mais cette formule est inadmissible. En effet, si x est compris entre 0 et 1, l'intégrale contenue dans le second membre est, presque toujours, infinie. Il nous faut done chercher, directe- ment, la valeur du premier membre.

A cet effet, soit

y <a [1 re Cy, iX + (Cour no CRE] (l DE LE (oi (2)

d’où, par un calcul facile :

| FA (= x) y = (l — à) [= nn Cn-s,1% er Cn- 1,977 — je = Gta]

m HT Cuir Cut —. +0,27]

m,p

Le second membre égale

2 —1 : Cent Crea) Dei Ce lite ŒUis + 1 he (Ce Sr VE CR + Ce + 1 — Chi TE Ce See Cr LE (fe

(*) Les signes supérieurs, si p est pair.

( 524 )

ou, d'après la théorie des combinaisons (*) :

Ai Q LS Cni,pX. insl , si | YU EM C4, pri A — x)"+ ; puis 12 Pd y — (| 3 CEE, —1 ns (TJ (G) ,D À (1 ne, LE 0

Par conséquent, la relation cherchée est

À — Conan + Con — + + C2?

M, P

—= £ 2e Er (1 = “ne (D)

V. Remarques. — 1° Inversement :

z x?dx es | (10, x Cu 20 EC, 32? UE ME 0 MC pl (1— x)" (8

et, si »m est un nombre entier,

1x x?dx Fi il C,prat Ce prot PP e. Ex" a F HAT NN TS he (— x)" ons

2° Si l’on suppose

A x) = — Char + Cent — EC, ,x TR; (4)

m, p

il résulte, de légalité (D) :

PAU R— mc (ne x)n fl TE (5) 0

) ra

(‘) Cours d'Analyse, p. 44. (**) Si, dans la formule (2), on fait x = 0, on trouve y — 1. (‘**) Par exemple,

(325 )

Addition. — (Août 1886.) VI. La formule (D) est en défaut quand x—1. Mais, quand il

en est ainsi, le premier membre se réduit à Æ C,._,,, (*). Consé-

quemment : x tendant vers 1, Or (1 — A =" asp

. f* vd ou de == (" (6)

Afin de vérifier ce résultat, j'observe que

AIT 1 td Le ———— —= — x" (1 — x) de ; (1 — pra m (1 — Un 0 puis

Le ne : Je (1 — 1 "dt 1 — 2) SRE UE PERS PAP QU LR ES EL TIg ur) és ne nr Un ter

0

Chr, DE m0, ,P° lim Le x)

ou

Si æ — 1, la fraction prend la forme ©. Le rapport des dérivées des deux termes est, lorsque {= x :

1 — x" (1 — x). m

Et comme cetle quantité a pour limite zéro, la relation (6) est

démontrée.

(‘) Théorème de M. Genocchi (Nouvelles Annales, 1869, p. 152). (**) Pour plus de clarté, nous avons substitué, dans la différentielle, £ à x.

( 526 )

CXCI. — Problème de probabilités (‘). (Mars 1882.)

IL. Un bijoutier possède un diamant brut, dont la valeur est a francs. On lui annonce que ce diamant est brisé en n morceaux. Un amateur, qui ne les a pas pesés, propose de les acheter. Combien doit-il les payer ?

Un raisonnement fort simple, développé dans le Traité de M. H. Laurent (**), prouve que le prix demandé est donné par la formule

pa ff ft —y—2—e) eyes + dydes (1)

dans laquelle les n—1 variables, positives, satisfont à la condition eee ZE (2)

V étant l'intégrale multiple qu'il s’agit d'évaluer, soient :

= ff. dy dz, sf fvdy GEAR c= ff ape. D= ff …yrdyas..

Il est visible que

(5)

V—A—9n—1)B + Un—1)C+(n—1)(n—92)D. | (4)

Mais, d’après la formule de Dirichlet :

bel F(b)T (c)... | Due PORTE AR E n en

2 1 = Be M A D (6)

(*) Extrait de mon Cours à l'Université de Liège. La même question a été traitée, dans le Journal de Battaglini (avril 1886), par M. Ernest Cesàro. ("*) Page 154. C’est dans cet ouvrage que j’ai pris l'énoncé de la question.

TS o1 1o SI

Lun

Donc ss 2 RON (RE) (2)

S RTE 2

FT) re F(n +1) si F(n + 2) je F(n + 2)

et, après quelques réductions

In 7

FE ln +- G)}e (7) ou

2na .

_ In+2) (8)

IT. Si l’on fait n — 1,2, 5, L, on obtient, au moyen de cette

formule : 2 1 | REP Or PE Ge À

2

IT. Remarque. — D'après la formule (3), l'intégrale

2 VE (Ga re y” + 2 + …)dydz … ne

si la somme des n variables, positives, est un.

CXCII. — Sur une formule d’Abhbel. (Septembre 1886.)

I. On trouve, dans les Œuvres (**) de l'illustre Géomètre norwégien , la relation, bien remarquable,

1 1 dl 1 tdt ;

= = RE ——————— .

a a+ 24 (a? + P)(e7— 77!) ( ) )

Il en résulte celle-ci : | | | 1 L s 4 : À — + La ——_—___———— a (a+1l) (a+2) 2a° ef (a?+ 1) (eT—e-71)” (a) 0

(‘) Au lieu de cette valeur, M. Laurent indique celle-ci : 5. (**) Édition de Holmbôe, tome II, page 50.

( 328 )

puis, en supposant, successivement, a — 1, a — ; : T il ©) tdt Ron mor . EC UT NO (2) 1200 (1 + ÉY(e7 — 7°) di * = 2 6 nn ù à

(A+) le ED 2)

IH. Dans (A), changeons a en a + 1, puis ajoutons. Le résultat est

111 1 0 tt

SN, | = PAR

S ad? (a Me 1} (a° + }(eT' — CH) 0

(4) œ tdt ras of [(a + 1} + ê](e7° — e Ti)

Le second membre peut être écrit ainsi :

1 A tdi I = tdt

_— — — — : + ————— © —_——————— €

a . (1 re PF (er — ET) sun 1 û Fe PRICE re re] 0

Par conséquent, l'égalité (4) devient

9a + 1 © {di a +1 a D DU Ma Re | (5)

8Sa(au+1) , (1 + 15) eTat — pui ea) pg-(at2} 0

Q a Q Q 1 4 Q Pour simplifier celle-ci, je suppose == k + 1, c'est-à-dire 4 Là LI e La LI a — =, k& étant un nombre entier. La quantité entre parenthèses k? se réduit à | + (k dE 1)fez = eTE- 2)at FE 0 7 (7 Er

eTK+Hat re e= TH )at

e G ’ (k + 2)k L = Le premier membre égale. Donc enfin :

(B)

SC + 1) 1+ CŸ EE CUT

(k + 2)k? . tdt I (k + 1)[e7* + eTU=2a) LL... +677] (

(*) Par le changement de { en 2.

(25292)

Voici done une nouvelle suite d’intégrales définies, d'apparence très complexe, dont les valeurs sont fort simples. Par exemple :

OT De EURE Der Ti 3 “1 RC) Le — 8 °7t MAT:

(1 + r) F7 nu 3 €

oi ET UNE QUE 0)

elc.

* CXCIEII. — Sur le théorème de Fermat. (Septembre 1886.) I. Si, dans la relation due à Fermat : a —1= ATP) (0), (1) p ne divise pas a + 1, elle devient 1 = Up + 1)}, (2)

parce que le premier membre est divisible par a + 1 (**) et que a + 1 est premier avec p. De même, si p ne divise pas a — 1 :

ar — 1= ON [p(a — 1)]. (5) Enfin, si p ne divise ni a + 1 ni a — 1 (***):

a 1 [pl — 1)]. (A)

() On admet, une fois pour toutes, que a est un nombre entier, non divisible par le nombre premier p, supérieur à 2.

(‘*) En effet, ce premier membre s’annule quand on y remplace a par (— 1). D'ailleurs, on peut l'écrire ainsi :

(a + 1)P-1— Cya(a + 1)2-2 + + Costa +1.

{***) Les trois conditions sont remplies si p surpasse a + 1.

(550 ) IT. Le premier membre, divisé par a? — 1, donne le quotient QT + PS + … + o? + 1. Par conséquent, LH ++. + = M(p). (B) IL. Remarque. — L'équation indéterminée | + +a +. + a 5—p

est vérifiée par a = 2, p— 5. Elle n’admet pas d’autre solution. En effet, si a — 2 et que p surpasse 5, le terme 2°? surpasse p. La même conclusion subsiste, à plus forte raison, si l’on Sup, « supérieur à 2.

IV. Dans l'égalité a — 1 = MU [p(a + 1)], (2)

prenons a + 1 égal à un nombre premier q (*). Elle prend la forme

GS So (ai (4) De même, si p ne divise pas q + 1 : Q +11 = A (pq). (5) Et si les trois conditions sont remplies : GEL GPS JE (R0) (C) Nous avons donc ce théorème :

Soient p, q deux nombres premiers, impairs et inégaux. Si p ne divise pas q? — 1, la quantité

(GE QE 0e est divisible par pq.

(‘) D’après les hypothèses précédentes, p ne divise ni q ni q — 1.

(351 )

V. CorozLaime. — Si p ne divise pas q? — 1, et si q ne divise pas p?— 1, on a, simultanément :

(g +1} —(q—1} = NU), (pH —(p— 1 = MN (pq).

VI. Remarques. — 1° Le premier membre de (C) est décom- p-1

posable en Fete a nr no) = | ;

De plus, q + 1 et q — 1 sont des nombres pairs, premiers avec pq. Par conséquent,

FE TEE Ton 0

2% Ce premier membre égale aussi

al de

2q[C,_a- QU + C5. QU + ee + Cr Donc Case QU Gas e QU He + Cupe = AIU(p) () (E) 5° Il est visible (et connu) que : Cri ip) —1, Cris = OÙ (p) — 1, Donc la relation (E) se réduit à UT RER EU IQ LE

en sorte qu'elle est un cas particulier de (B).

(‘) Par exemple,

Ci0,4 + 75 + Co, 5 « 79 + Cio,s . 75 + Cu0,7 « 7° + Cuo,9 . = NU), ou 10. 78-190 . 76 + 252. 74 + 190 . 72 + 10 = JU (11).

Si, rejetant des multiples de 11, on remplace 7° par 5, 7* par 5, etc.; on a 10.9 +120.4+ 252.5 + 1920.5+10=,M (11), ou enfin

1 956 = NU (11);

ce qui est vrai.

(332 )

VIT. Résidus de puissances. — Dans l'égalité

art 4 = IR (p), (0) supposons p— 20 40) Na; Alors, 11H24 + + 2° — M (p). (6)

Divisons, par p, chacun des termes du premier membre. Les n premiers restes, ou résidus, sont ON Mo et ces résidus, dont la somme est p, se reproduisent dans le même ordre (**). Cela posé, remplaçons 2 par 2°, k étant inférieur à n, et consi- dérons les dividendes : 1, 66 SE an (7) Leurs résidus par p sont, dans un certain ordre, les termes de la ligne (7). En effet, soit, s’il est possible, DB — 914 — JU (p), «, f étant inférieurs à n et inégaux. On tire, de cette égalité, QUE) 4 — ML(2" — 1). Ainsi, le P.G.C.D entre 2-22 1 et 2" 1] serait 2" — 1. Mais, d’après une propriété connue, ce P.G.C.D est 2° —1,

À étant le P.G.C.D entre les deux exposants : dans le cas actuel, À — 1; etc.

VIII. Application. — Soient n — 5, p— 51. On trouve les résidus suivants :

He, NE) AU UE: DU LG OPUS HN CE EUR à Pe 0 RE AS

* , 4 1,9 pe . (*) D’après une propriété évidente et connue, n est premier.

(**) En effet, On

I

p+l, 241 M (p) +2, etc.

IX. Remarque. — La question que nous venons de traiter sommairement tient à la fhéorie des nombres parfaits. Si l'on

suppose HERCULES

ou trouve p=—53, 7, 51, 8191,...;

et ces nombres p sont facteurs des nombres parfaits : 6, 28, 8198, 33 530 336, … (*).

X. Carrés magiques. — Si, dans un tableau de résidus (analogue à celui qui précède), on fait abstraction de la première colonne, on obtient une sorte de carré magique, dans lequel les colonnes et les lignes sont composées des mêmes termes.

Exemple (**) :

Dans la Note suivante, nous allons développer ce sujet.

(‘) Terquem, Nouvelles Annales, 1844, p. 218. Tout récemment, suivant M. Édouard Lucas, M. Seelhoff a trouvé un nouveau nombre parfait ; savoir : 1 152 921 504 606 846 976 X 2 505 845 009 215 695 951.

Voir Mathesis (Août 1886). i

(**) Répondant à p = 127.

(554)

CXCIV. — Propriétés de résidus. (Septembre 1877.)

[. Résidus de puissances. — Dans ses admirables (*) Recherches arithmétiques, Gauss a considéré les résidus, par un nombre premier p, des puissances successives d’un nombre entier a (**); savoir

INT TT titres (1) donnant les résidus : À, Pis Pos pus À, pis (2) de manière que a**' soit, après 1, le premier terme qui, divisé par p, donne le résidu 1.

On sait, au moins depuis Gauss, que n + 1 divise p — 1 (***). Mais l’illustre Auteur n’a pas considéré le cas où n + 1 est

premier.

IT. Supposons qu'il en soit ainsi; et, avec les dividendes

TNT re ce (3) prenons ;

Aa danesars (4)

d'AVareu race (5)

Na mar eva (6)

k étant inférieur à n + 1.

La ligne (4) est composée des termes de la ligne (1), pris de deux en deux ; la ligne (5) est composée des termes de la ligne (1), pris de trois en trois; etc.

(‘) Admirables, sauf les dénominations et la notation. Poullet-Delisle, traducteur de Gauss, dit qu’elles peuvent étonner. De son côté, Legendre s’est raillé des expressions incongrues, adoptées par le Géomètre de Bruns- wick (*). Mais Legendre et Delisle avaient des oreilles françaises.

(**) Recherches arithmétiques, p. 51. Je n’emploie ni la notation, ni les dénominations de Gauss.

(***) Recherches, p. 52. On peut consulter aussi une Note sur les fractions décimales périodiques, publiée, en 1849, dans les Vouvelles Annales.

(*) Recherches d'Analyse indélérminée, p. 15 (1823).

(335) Pour démontrer que toutes ces suites donnent lieu aux résidus

1, Pis Paye Pno

pris dans un certain ordre; remplaçons la ligne (2) par une

circonférence sur laquelle soient placés les résidus AD Dee D D PUIS partant du point O, qui correspond à l'unité, joi- gnons, de deux en deux, de trois en trois, …, etc., les points de division. Chaque opération donne lieu à un polygone fermé (non convexe), dont les sommets sont, dans un certain ordre, les points 1, 2,3, ... n …(*).

Pn—1 71 -I

IT. Application. — Soient : p— 51, n + 1 —5,a— 4. Les suites de résidus sont :

PAPA UM GONE TAG ASS MAT au STE Ge er 2 19 PONT T6

(‘) Ce tour de démonstration est bien connu. Il vient d’être employé, avec avantage, par M. Tarry, dans la solution d’un problème relatif au jeu de domino : De combien de manières peut-on placer, bout à bout, tous les dés, en observant la règle du jeu? (Les doubles sont supprimés.)

(356 )

IV. Généralisation. — Si l'on remplace les résidus 1, p,, Da» .s Ps par n + 1 nombres entiers inégaux :

UTC ONBENT EE TT

n + À étant premier, puis qu'on les prenne de deux en deux,

de trois en trois, …, on formera de nouvelles lignes, composées des

mêmes termes, lesquelles donneront lieu à des carrés magiques. Soit, par exemple, la suite

composée de 7 termes. Il en résulte les nouvelles suites :

NI PTS RAID AIRES RD RER MAD AD NET RS OS 5,142; ALU A2 OS AND EN NNETE RD ERA O T US NT

= = Om = » © 1 [S\] ss EE EN | D"

> 9;

puis le carré suivant, au sujet duquel nous pourrions présenter diverses remarques (*) :

(‘) Le lecteur voudra bien suppléer à ce que nous omettons, dans le

dessein d’abréger.

(337)

CXCV. — Comparaison de deux séries (‘). (Février 1883.) I. TaéorèME. — Soient uy, Uo, .…, U, des quantités positives,

décroissantes. Soient Vi, Vo, …, V, d’autres quantités positives, telles que l’on ait

V1 Vo UV, ko D = >> k > EE > mes > k,_: 2 FX > IE (1) U Uo u,

les limites ko, ky, …, k, étant positives et décroissantes. Si l’on fait

Sy, = U — Ug + Us — ee EU,, (2) 2, = di — 0 + Vo ==) (0 (5) on aura 2 ER (A) > € k,S, QE (ko TR k, }u (B)

1° Des inégalités (1), on déduit : D > Ru, —v> —dhiue, v> us, …, 0, > ku, (5 puis 2, D hifi — üe) + kafus — ui) + + + k, Une — Us) + k,u,.

Dans le second membre, tous les termes sont positifs. Donc, à plus forte raison,

2, > k(us — ue + u3 — -. + We), ou DAS

PART 22 k ) k PAR UC Et ut BUS cu RU: 2, € koi — kofts — 3) — — k,_i(u, 4 — u,).

(*) A propos d’un Mémoire de M. Mansion. (*”) Pour fixer les idées, je suppose n impair.

(338) Dans le second membre, le premier terme, seul, est positif. De plus, on a k (ue — 5) + (ui — us) + + + (uns — u,)] € hafue — us) + kus — us) + 2e + Ko us1 — 0). Done, par addition, 2, vie k,(Uo mr Us NU ich: + Ur — u,) < kou, ou 2, + k,(u —S,) < ki, ou enfin | 2, ES, + (ko — k,}u. (B)

IL. Remarques. — 1° La différence entre les deux limites de 2, est (ko — k,) ui. 2° Cette différence est d'autant plus petite que les nombres Æ décroissent plus lentement. 9° Les nombres v4, t», …, v, Vont en diminuant. 4° Si la série un +" Uo + Uo Sr 000 est convergente, la série Vi — Do + (1000 l’est également. CXKXCVI. — Sur la théorie des ombilies.

(Avril 1883.)

I. La condition d'égalité entre les rayons principaux d’une sur- face est, avec les notations habituelles,

[CA + q°)r — 2pqs + (1 + p°) 1} + 4 (S— rt)(1 + p+g)=0; (1) relation dans laquelle on suppose S°— rt < 0 (*). (2)

Poisson démontre que le premier membre est la somme de

(*) Voir, par exemple, l'Analyse appliquée, de Leroy.

(559)

deux carrés (*); mais la méthode qu’il emploie est peu naturelle. On peut la modifier comme il suit. Regardons s comme une inconnue. Nous aurons

4ASs° + 4Bs + C — 0, (5) en posant : A (1 + p)(l + q°), (4) — B= pql(A + gr + (1 + pt], (5) B° C——— — 4ri(l + p° + q°). 6 D q (6)

De l'équation (5), on tire — B+1/B— AC

D — ROSE MERE A (7)

Or, B? — AC — p°q°[(1 + qgÿr° + 201 + pp + qrt + (1 + pYE] — (1 + p)(A+ IA + gr + 20 + p( + qgrt — 4 + p° + grt + (A + pYË; ou, après quelques réductions faciles,

B—AC——(1+p+q(+qgr—(1+plt. (8)

Cette expression étant négative (**), le premier membre de l'équation (5) est la somme de deux carrés; ete. (***).

IL. Une propriété nuinérique. — Si l'on change de notation et que l’on fasse

N— (a + cYf? — 92{(a + bd? + cc? — a°}fg + (b° + c°)g?, (9)

() Loc. cit., p. 550. (**) Excepté si r l 1+p? 1+49 (‘**) Dès 1866, une démonstration, analogue à la précédente, a élé donnée

par MM. Mister et Neuberg, alors Professeurs au collège de Nivelles (Nou- velles Annales, 2e série, t. V).

( 340 )

on a, identiquement,

(a? + CN = {[(a + D? +)? — à0°]g — (é + é}f}°

+ kb (a + b° + c°)g°. (0)

Ainsi, le produit (a? + C2ŸN est une somme de quatre carrés. IT. Exemple.

DNS = NN Tee On trouve :

N—92555, 25N — 165? + 48° + 96° + 144, ou 95.9 555 — 26 569 + 2 504 + 9 216 + 20 756;

ce qui est exact.

CXCVII. — Généralisation de propriétés de la cycloïde.

(Juin 18853.)

Tuéorème. — Soit une courbe Amb (*), rapportée à des axes rectangulaires Ax, Ay, sur lesquels b se projette en p, q. Soit mt la tangente en un point quelconque de cette ligne, t étant le point d’intersection avec Ax. Si l’on construit le parallélogramme mtAM, le lieu du sommet M est une courbe AMB, transformée de Amb (**). Cela posé, si B est le point de AMB, correspondant au point b de AmB :

l Les figures Ambq, AMBq sont équivalentes ;

2 Si ces figures tournent autour de Ax, l’anneau engendre par la première équivaut à la moitié de l’anneau engendré par la seconde (***).

(‘) Le lecteur est prié de faire la figure.

(‘‘) On voit que la première courbe se déduit de la seconde, comme la cycloïde est déduite du cercle.

(**) Démonstration facile. Voir Marnesis, t. V, p. 185.

(34)

CXCVIII. — Lignes géodésiques d’un parabholoïde. (Mai 18385.) I. Soit le paraboloïde hyperbolique représenté par Z — xYy. (1) En appliquant la méthode de Joachimstal, on trouve, comme équation différentielle des lignes géodésiques de cette surface :

COMTE d d S RUE @)

DEN 2 dy A+x+y Une intégrale première est ds = c(1 + x° + y*)dxdy; ou, à cause de

ds = (1 + y*)dx? + 2xydxdy + (1 + x°)dy* : (5)

dy En EU)

ESF EUR IL. L'équation générale des lignes géodésiques :

2

dy dy UE | | 1 2 6 ——— fn —— D — D — | —= 0 É ,; Gepee [real ds | Dr () se réduit, dans le cas actuel, à

U+ a+ y)y" + 2x — yy)y = 0. (5)

Cette équation (5) ne doit pas différer, au fond, de l’équa- tion (2). Et puisque celle-ci admet l'intégrale (4), il en doit être de même pour l'équation (5). |

En effet, si l’on différentie l'équation (4) et qu'on supprime le facteur

1+yÿ— (+ x)y",

on trouve l'équation (5).

(*) Suivant l'usage, la même lettre s représente un arc et une dérivée partielle. Mais aucune confusion n’est possible.

(542) Conséquemment, le premier membre de celle-ci devient une dérivée exacte, quand on le multiplie par la quantité

L+ÿ—(1+ x)y" TEE

€XCIX. — Problème d’Algèbre ct d’'Arithmétique. (Novembre 1881.)

[. Soit p un nombre premier, supérieur à 2. On forme la

quantité

DHDEN | X —

— (x —1}—! x — 1 ( ) 2 réductible à Ppx, P désignant un polynome entier, à coefficients entiers. Dans quel cas P est-il un carré (*)?

Lorsque p — 5, on trouve P — 1 ; et, lorsque p —7 :

P = 2° — 22° + 52° — 9x + 1 — (x — x + 1}.

Soit, s’il est possible, P — Q? une autre solution du problème, de manière que x? — 1

ne (| (1)

Si, dans cette égalité (1), on fait x — 2, le polynôme Q devient un nombre entier N, et l’on a

2 —_ 9 — 9pN, ou

RE (2)

Or, cette équation (2) n’est vérifiée que par

DEN ND ET ONE 510)

(‘) Cette question se rattache à la célèbre formule de Gauss :

æP— 1

4 = Ep,

sur laquelle nous reviendrons.

(*) Maruesis, t. III, pp. 41 et 80.

(545)

Addition. — (Septembre 1886.)

IT. Reprenons les égalités

gl —1

— (x — 1)" — Ppr, (3) x —1 DRE, ji ER (4) x — 1

Il en résulte

Lx — 1) + Ppx] = Y°ÆE p£°, ou N° — Lx — 1} = p[4Px + 2°], (5) ou encore :

[y + 2(x — 17] [v — I(x — 17] = == 7 NO)

Tous les termes du second facteur sont divisibles par p (**).

Donc p-1

Y—2{r— 1)?

divise 4Px == A8 p

IT. Remarques. — 1° Si p— 4u — 1, Y est divisible par SG | CES):

Donc, d’après l'égalité (5), 4Px — Z? est divisible par (x — 1°.

2 Si p— 4Ap + 1 et que l'on suppose 4 = 1, la même rela-

tion prend la forme B° = p[4 + C*].

Mais p — a? + b?; donc B est une somme de deux carrés. divisible par p. De plus,

4 + CM (p) (°).

(") On sait que le signe supérieur correspond au cas de p— 4u — 1.

(”") Propriété connue. Voir la Théorie des Nombres, de Legendre, 1. I, p- 194.

(**) Propriété connue.

(”) On peut consulter, relativement à cette question, le Mémoire sur certaines décompositions en carrés.

(344)

CC. — Sur un théorème de M. Delbœuf. (Septembre 1886.)

I. Dans le dernier numéro de la Revue scientifique, le savant professeur à l'Université de Liège donne, sans démonstration, un théorème sur la divisibilité des nombres, que l’on peut énoncer ainsi :

Étant donné un nombre entier N, on le décompose en deux parties aa’, bb’ telles, que les facteurs a, b soient premiers entre eux, et que les facteurs a', b' soient, aussi, premiers entre eux.

D’autre part, x, x’ étant deux nombres entiers, pris arbitraire- ment, on cherche quatre nombres entiers, À, À’, B, B’, satisfaisant aux conditions

Aa + Bb—Nx, A'a + A'b'—Nx!.

Cela posé, on a AA' + BB'— JUN). Des relations aa’ + bb'—N, Aa + Bb — Nx, on déduit : a(A — ax) + b(B — b'x) — 0; puis, A— ax +06, B—b'x — a; (1)

@ étant un entier quelconque, positif ou négatif.

De même, A'— ax’ + b'e, B'—bx — «6. (2)

Par conséquent, AA°+ BB'— N(xx’ + 06). (5)

IT. Remarque. -— Si N = f? + g? (*), prenons,

(") Ce qui arrive, par exemple, lorsque N est un nombre premier 4u +1. Voir la Note précédente.

(545) L'égalité (3) devient AA + BB'—(f* + q°)(x° + 0°), ou AA" + BB'— (fx Æ g5) + (fo gx). (4)

Ainsi, dans ce cas particulier, la quantité AA’ + BB’, multiple de N, est une somme de deux carrés.

III. Exemple. Nr 0e, Dee TENTE On trouve :

A'—921+ 990, B'—14— 56, A—55+90, B—205— 536;

puis AA + BB'— 75(7° + 0°) — (56 + 50) + (21 + 85).

CCI. — Sur la droite de Simson.

(Octobre 1880.)

I. Segments de la droite.

1° Dans la figure ci-jointe(”), les triangles rectangles MAC”, MCA' ont un angle aigu égal; done ils sont semblables : MA MC D Mo ma 00 QU IL À ar = 4 2° Lestriangles AMC, C'MA'ont un angle égal (AMC—C'MA"), SRE compris entre deux côtés pro-

portionnels (1°); done ils sont

semblables : MOT MA 40. @

(*) Nous pensons qu’elle n’a pas besoin d’être expliquée.

(346) 5° Par un théorème connu,

MB .MC—9R. MA, ou MC 2R

MA MB’ R désignant le rayon. 4° La valeur commune des trois rapports (2) étant À, On a,

en particulier, S AC .MB

2R

A'C'

(5)

Telle est l'expression de la droite de Simson, limitée aux points A’, C'.

5° De mème, par une simple permutation : . BA. MC TER

CB. MA Do &

LA

B'A’

valeurs des segments. II. Remarque. — Des égalités (5), (4), on conclut AC.MB— BA. MC + CB. MA: propriété connue.

IT. Distance du point M à la droite de Simson.— Soit MP cette distance (*). La circonférence, décrite sur MC comme diamètre, passe en À’ et en B’. Done, par le théorème déjà rappelé :

MA'.MB' MB'.MC' MC’. MA

NID nca ner PERS (3) MC MA MB

(*) Non marquée sur la figure.

(547)

Addition. — (Février 1886.)

IV. Taéorème I. — On donne un angle BAC et un point F. Par les points F, À, on fait passer une circonférence FADE, Soit P la projection de F sur la corde DE déterminée par les côtés de l'angle. Soient, enfin, R, S les projections de F sur ces côtés. Le lieu du point P est la droite RS.

En effet, les points A, E, D, F appartiennent à la circonférence; ADE est un triangle inscrit; etc.

_ Enr

V. Remarques. — 1° La droite de Simson, lieu du point P, est déterminée par le point F et l'angle BAC : elle est indépen- dante de la circonférence ADE.

2° Considérons la parabole ayant pour fover F, et, pour tangente au sommet, la droite RS. La corde DE est perpendiculaire, en P, à la droite FP. Donc cette corde est tangente à la parabole. Autrement dit : quand la circonférence AF varie, la corde DE enveloppe une parabole connue.

VI. THéoRÈME II. — Soient donnés un angle xAy et un point F. Soient AFGH, AFDE deux circonférences quelconques, passant en A eten F, et dont les cordes GH, DE déterminent PQ, droite de Simson (*).

(‘) Voir le théorème I.

(348)

Si l’on construit les parallélogrammes GADK, EAHL, et que l’on trace la droite KL :

1° Cette droite est perpendiculaire à PQ;

2° Elle contient le point de concours des cordes DE, GE QE

VII. Remarque. — L'hexagone GKDELH est décomposé en deux trapèzes GEDK, GELH, et en deux trapèzes HDKG, HDDL. Le théorème peut donc être énoncé ainsi :

Si un hexagone ABCDEF est décompose, de deux manières, en deux trapèzes : 1° les côtés opposés AB, DE se rencontrent sur la diagonale CF ; 2° cette diagonale est perpen- diculaire à la droite de Simson déterminée par les circonférences circonscrites aux trian-

gles AOB, DOE (”*).

(‘) Pour abréger, nous omettons la démonstration. Elle est fort simple si l’on prend, pour axes de coordonnées, les côtés de l’angle xÂy. (‘*) Le 1° est un cas particulier du théorème démontré à la page 251.

( 549 )

CCII. — Sur le quadrilatère inscrit. (Septembre 1885.)

I. TaéorÈème (*). — Sort, dans un triangle ABC, CF la bissec- J

trice intérieure, rencontrant, en D, la circonférence circonscrite.

Soit CG la bissectrice extérieure, rencontrant, en E, la même

circonférence. Soient A’, B', D’, F” les symétriques de À, B, D, F,

relativement à CG. Soient A”, B”, E”, G” les symétriques de À,

B, E, G, relativement à CD. Les quatorze quadrilatères

DA'F'B, DAF'B’, FA'BD’, FAD'B, EA’”G'B, EAF/B”, E’A'"GB, E"AGB”, DEF’G, D'FFG, DE’”P’G”, D'E’FG”, DF'EG, DFE”G sont inscriptibles.

IL. Remarque. — Si l’on opère de même sur les angles A, B, on aura donc quarante-deux quadrilatères inscriptibles, déduits du triangle ABC.

Addition. — (Septembre 1886.)

III. Tuéorème. — Soit ABCD un quadrilatère inscrit. Si l’on projette un des sommets sur les cotés opposés à ce sommet, la distance des deux projections est constante.

Dans la première figure de la Note CCE, remplaçons M par D. L'équation (5) devient AC. BD

DD ; 2R

et celle-ci exprime le théorème énoncé; c’est-à-dire que A'A'— B'B"— C'C’— D'D”

IV. Remarques. — 1° Chacune de ces quatre distances est une

(‘) A peu près évident. Proposé dans Mathesis. Le lecteur est prié de faire la figure.

( 550 )

quatrième proportionnelle aux diagonales du quadrilatère et

diametre du cercle circonscrit.

be. j

LENS

_s

ver ee

27 EE ee be ee ne

_

A

7

\ \ \ \ \ \

\

au

90 A'A" est la droite de Simson, relative au sommet À et au triangle BCD. De même pour B'B”, C'C”, D'D”.

V. Un point remarquable. — ABCD étant un quadrilatère

inserit; soient My la perpen- diculaire à BD, menée par le milieu M de AC, et N> la per- pendieulaire à AC, menée par le milieu N de BD. Le point y, où se coupent ces deux perpen- diculaires(*), jouit de quelques propriétés intéressantes.

1° Le point y est le centre de symétrie du quadrilatère ABCD et du quadrilatère A,B;G D;

(‘) Autrement dit, le point + est le quatrième sommet du parallélo-

À

gramme déterminé par le centre O et les distances OM, ON. De là résulte

que, pour lous les quadrilatères ayant même cENTRE O et mêmes directions

(351)

ayant pour sommets les onrnocentRes des triangles BCD, ACD, ABD, ABC (”).

B, étant l’orthocentre de ACD, soit S le centre de symétrie dont il s’agit : il est le milieu de BB;. La droite NS est parallèle à BB, et égale à la moitié de BB,. Mais cette dernière droite est,

4 VD \

par hypothèse, perpendiculaire à la diagonale AC; donc NS est perpendieulaire à cette diagonale. Comme le centre S est unique, il coïncide avee 7.

2 Le point y est l’intersection commune des droites A'A", B'B”, C!C”, D'D”, déterminées par les projections de À, B, C, D sur les côtés du quadrilatère (**).

Considérons la droite B'B”. Relativement au point B et au triangle ADC, elle est la droite de Simson. D'après un théorème connu (***), cette droite B'B” contient le milieu de BB,; c'est- à-dire le point y.

5° Le point y est le centre commun de deux circonférences sur lesquelles sont situées, quatre à quatre, les huit projec- tions A/, A7, B', …

de diagonales, le point y est invariable. En outre, d’après la première défi- nition, le point y est invariable, aussi, pour toutes les coniques circonscrites à un quadrilatère donné.

() Théorèmes et Problèmes, p. 40.

(*) Voir page 549. Cette propriété a été signalée par M. Émile Lemoine, en 1869 (Nouvelles Annales, p. 47).

(**) Théorèmes et Problèmes, p. 57.

(552)

Dans la première figure de la page 350, les points B', D”, B”, D’ appartiennent à la circonférence décrite sur BD comme dia- mètre (*). Traçons B'D”, B’D”’. Nous aurons

CB CD = CDCR, ABUNAD AD AAIE: ou ; CB CCD UNNNP D 0 NAB OA D BAD. CHOCO DEA AD ED Donc

B'D''— — BDcosC, B’’D'— BD. cos A : — B'D'”.

Le quadrilatère B'D”B”D' ayant deux côtés opposés égaux et les diagonales égales, il s'ensuit que

yB'"—=—yD", yD'—7YyB (“*).

VI. Remarque. — Toutes les coniques inscrites au quadrila- tère ABCD admettent une droite invariable, lieu des centres de ces lignes (***) : c'est la droite MN. Toutes les coniques cir- conscriles à ce quadrilatère admettent un point invariable : c'est

le point y (”).

COLE. — Sur un théorème de Gauss ().

(Janvier 1885.) I. Dans l'égalité

g— "1

4 — Y + p}?, (1)

x — 1

qui exprime ce beau théorème, changeons x en x’, q étant un

() A cause des quatre angles droits.

(**) Pour achever la démonstration, on peut, par exemple, considérer la circonférence passant par les sommets B’, D”, B”’, et employer la réduction à l’absurde.

("**) Théorème de Newton.

(*) On pourra, peut-être, utiliser ce rapprochement, sur lequel nous n’insistons pas. |

(") Complément à la Vote CXCIX.

nombre premier impair, différent de p. Soient Y,, Z, les résultats de la substitution dans Y, Z. Nous avons xl — 1 D — — Yi + p2}; (2) x! — 1 puis, par division,

CD) NE 27;

CENT EN ET) G)

Dans la Noteintitulée : Remarques sur l'équation x" — 1—=0 (*), j'ai démontré que le premier membre est un polynôme entier X, dont les coefficients sont + 1, — 1 ou 0 (**). Donc

Y + p7°

VEpr li et aussi :

nc

Z—X7 — + D. (>)

Ainsi : 1° quelle que soit la valeur attribuée à x (***), le premier membre se réduit à — p ou à + p; 2° tous les coefficients du polynôme

Y? — XY° sont divisibles par p; 5° si l'on fait la division, ce polynôme devient + (Zi — XZ?).

(") Bulletin de l’Académie, mars 1870. (”*) La formation de X est fort simple. Voir la Note citée. Pour abréger, nous ne faisons pas d'applications. Le lecteur pourra, par exemple, supposer

D= 1 —10; valeurs d’où résulte

X = d6 925 + D DS D pt pi6 + pi __ 15 + pt? — LU Hg DS Hat — 9 Has — x +1. (Loc. cit.)

(°**) I y a exception pour x = 1 : la fraction prend la forme 2.

(554)

Addition. — (Octobre 1886.)

IL. Par analogie avec l'égalité (1), prenons

xt— 1

4

= [D* 2e Nr,

EP q (6). Soient U,, V, ce que deviennent les polynômes U, V quand

on y remplace x par x’. Nous aurons l'équation conjuguée

de (2) :

x — À us UE qV; (7)

Ge puis, au lieu de l'égalité (4) :

V-E07; “ Ui + qV’

ee 8 Y° + pZ° PSS NE (8)

Ainsi, les deux fractions sont réductibles à un même polynôme entier (*).

CCIV. Sur une suite de fractions.

(Juillet 1881.)

: b Problème (**). — Au moyen de deux fractions _ go On forme

celles-ci : c di 22 0 d DÉPIE

ob Nb Vers quelle limite tendent-elles ?

“2 étant la n°" fraction, on à

Un

n, —= U,,_1 ae Un; VU, == V,—1 Et V,_0.

(‘) Dans chacune de ces fractions, on prend le signe supérieur ou le signe inférieur, selon que le nombre premier correspondant à la forme 4u — 1 ou la forme 4x + 1 (Lecenpre, Théorie des Nombres, t. I, p. 195).

(‘*) Proposé par mon Collègue E. Morren, en 1868. La question, paraît-il,

se rencontre en Botanique.

(555)

La méthode connue donne

_ + chi

Par conséquent,

UE A lim — = —. v, A Or : A+ Bal A BA BilV5— y, A'+ B—0, A+ B'+(A—B)lV/5— 9. Donc :

2AVB— (V5 —1)u +92, 24 V5 — (V5 —1)a + 2%;

et enfin : RU ARAIASEE 1 )a + 20 lim — = —

v, (V5 == 1) a! + 2" CCV. — Trigonométrie sphérique. (1862.) THÉORÈME. — Si un angle trièdre a pour faces un carré, un

hexagone régulier et un décagone régulier, la somme des angles dièdres égale cinq angles droits (*).

(‘) Ce théorème, ou plutôt cette remarque, provient du Mémoire sur la théorie des polyèdres (JourNaL DE L'ÉcoLe POLYTECHNIQUE, 41° Cahier).

(556)

CCVI.

Une application des déterminants. (Juin 1881.)

I. TuéorèMe L. — Soient : À — RE RE (1)

A=D 0, RA=NURS NE. (2) S'il existe, entre les n° quantités

ASE AE RE nn

GREC

n? —!{ les "UT relations

MONTE, à (3)

p# di ME le carré du déterminant À est donné par la formule :

A° — ABC … L. (4)

°

Cette proposition, que j'ai démontrée 1l y a quarante-sept ans (*) peut l'être, assez simplement, au moyen du théorème de Cauchy, sur le produit de deux déterminants (**).

II. ProBième 1. — Trouver un carré égal au produit de n sommes de n carrées.

(‘) Mémoire sur la transformation des variables. (Acan. DE BRUXELLES, Mémoires couronnés, 1840, p. 17).

(*) Voir, par exemple, la Théorie des déterminants, par M. Dostor, p. 74. Le savant Professeur développe les valeurs générales de A*, relatives aux cas de x = et de n—5; mais, chose singulière, il n’a pas songé, semble- t-il, à la réduction remarquable qu'éprouvent ces valeurs, lorsque les con- ditions (5) sont remplies. Autrement dit, M. Dostor ne signale pas la for- mule (4).

(557)

La solution résulte, spontanément, du Théorème I. I suflira, dans chaque cas particulier, de trouver des entiers, positifs ou négatifs, satisfaisant aux équations (3), lesquelles, à partir de n — 53, sont en nombre supérieur à celui des inconnues (*).

I. Application. — Soit n — 5. Les équations à résoudre sont

ab, + abs + ab; — 0, dCi + oo + Az —= 0,

bc, + bac + b:c; — 0.

Après quelques tâtonnements, on trouve qu'elles sont vérifiées par :

D FRE az = — 2, Di? be — %, b; = 7, Ci — — 29, CU 2e On a donc

A (4° + 5° + 97) (2 + 47 + 77)(29° + 11° + 2°)

1260991607 En effet : 4, 5, —2 A = 2, 4, 7 |—1(8—77)+9(—922—6)—929(21 +8) — 29, 11, 2 — — 966; puis 966 —124.69...966: Addition. — (Octobre 1886.) IV. Autre application. — Soit n — 4, auquel cas les équa-

tions (5) sont

Ÿ ab —0, Ÿ ac —0, Ÿ ad—0, Dbc—0: Ÿ bd —0, D'ad—0:

(*) Les calculs nécessités par cette question incidente nous semblent plus longs que difficiles.

( 358 )

Dans les trois premières, je prends, arbitrairement :

A1— 0} a = 2, D = 5, =, Ci C — — À. (»)

Elles deviennent

a:b; Se ab, = — b, b:c; SF bic, = — 5, . Az + dsCz — 0; puis, Si Gi — 0 Nc; — 0: (6) Gr = = 5. bacs — — D.

On satisfait à ces deux-ci par ces valeurs simples : HD De NES, at. (7) Cela fait, on doit résoudre les équations d, + 243 + 5d;, —0, 5d, + ds — 5d; — d, = 0, D = 6h 0 = On en conclut : 164, + 7ds — 25d; —0, 50d, — 18d; = 0; puis, par exemple : d=5, d—1i, d;—5, dj ——5. (8) D'après les systèmes (5), (6), (7), (8) : A+ 2 + 52)(52 + 12 574 12)(9° + 12 17)(82+ 1194 5? 5?) — 50.56 .6.180 — 180°. 6° — 1 080*.

D'un autre côté :

| 0, DATE 2 | — D — À, 9, 1 9 Æ À — ' é — 5A, + À; — 5A,; De OU EE À | DA RS VE

en supposant : A, — 5(29 + 3) — 5(— 1 — 4) — 150, A3— 5.30 — (6 — 41) — 5{1 — 6) — 180, À, = 5(— 5) — 5 — — 30.

(559 ) Ainsi : Æ À = 750 + 180 + 150 — 1 080.

V. TuaéorÈène II. — Les mêmes choses étant posées que dans le Théorème 1; si l’on fait

À = a D, + aD3 + + + a,D, (‘), on a V= A(Di+D +... + Df)(*. (9)

VI. PROBLÈME II. — Trouver un carré égal au produit d’une somme de n carrés par une somme de n carrés.

La solution est contenue dans l'égalité (9). Soient, par exemple, comme au paragraphe IV :

& = À, us = 2, A; —= UV, ay — D, bi =5, bs — 1, b—— 5; b,= — 1, CC NC: —1l} CG; — 0,

di — 5, di — 1; dz — 5, dy, = — 5.

On trouve : D =56 0 D, 72 D, —0 D, —180: Conséquemment, 10802 — (1° + 2° + 5°)(562 + 792 + 180°) — 50. 38 880: ce qui a lieu.

(*) Les déterminants D,, D,, …, D, sont ceux qui entrent, en numéra- teur, dans les formules de Cramer.

(**) Cette relation est une conséquence immédiate des formules

A?— ABC. L, D? + D +: + Di — BC... L,

données à l’endroit cité. En 1859, je ne m'’en étais pas apercu!

( 360 )

CCVII. — Sur un article de M. Perott (*). (Juillet 1881.)

I. L’Auteur eherche, en premier lieu, » o(k). A cet effet, par des considérations un peu détournées, il trouve l'égalité

N N D q(E) = 1 + > UN, k), (1) dans laquelle o (N, k) est la quotité des nombres premiers à k et non supérieurs à N. On peut l’établir comme il suit. Prenons, successivement, les nombres premiers à Æ et non supérieurs à 12. Nous formerons le tableau ci-dessous.

(‘) Bulletin de Darboux, 1881, p. 57.

( 561 )

Considérons, pour fixer les idées, le nombre 5, qui est premier avec 6, 7, 8, 9, 11 et 12. Si, avec ces six nombres, on prend 1, 9, 5, , on aura tous les nombres premiers à 5, el non supérieurs à 12; c’est-à-dire que l’on a écrit autant de termes que l'indique p(192, 5). Et comme 4— (5), le tableau contient 5, un nombre

de fois égal à (12; Dr (5).

En général, le nombre k, inférieur à 12, est écrit autant de fois que l'indique (12, E) — g(k).

Le nombre total des termes du tableau, ou Di o(k), est done

12

D 12H — 7% of).

Mais il y a exception pour le terme 1. Conséquemment, 12 12 2Ù ok —1+ Ÿ 912,6); 1 [l etc.

Ii. M. Perott écrit la relation connue :

aux 303-30e. e

dans laquelle a, b, c, … sont les facteurs premiers de k (”*).

11 trouve ensuite cette formule remarquable :

2 > QE) = 1 + N—YŸ )) + Ÿ (| - 10)

a, b, c, … étant, cette fois, les nombres premiers qui ne surpassent pas N (**).

(‘) Mélanges mathématiques, 1r° édition (1868), p. 154. J'ai changé les notations de l’Auteur. (‘*) Comme d’habitude, on ne compte pas l’unité.

( 362 )

Divisant par N°, et faisant croître N indéfiniment, on a

ou A M NA LA ES el ee 0 9 d b? 2 2 (4) a, b,c, … étant tous les nombres premiers : 2, 5, 5, 7, 11, …

Euler (non cité par l’Auteur), a prouvé que

5 8 24 48 ce LUN TONNE E donc enfin N | >, CURE Lim . RE ni (5)

formule de M Perott.

CCVIITI. Représentation nouvelle de la surface

des ondes. (Décembre 1880) (**).

I. D’après le théorème de Sedley Taylor, les demi-axes d’une section diamétrale de l’ellipsoïde s, sont les racines positives de l'équation de p—b°)(p—c°)+b°f{p—0)(p—a°)+cg"{p—à)(p—b°?)=0("), (1) dans laquelle e, f, g représentent les cosinus directifs de la

normale au plan sécant. Si p est l’une de ces racines, et que q soit l’autre :

deg" — bg —c) +09 — ca —a)+ cg (g—d)(g —b°)—0. (2)

() Jnlroduction à l'Analyse, t. 1, p. 214.

(**) Supplément à la Vote CXLVI.

(°”*) Mémoire sur une transformation géométrique, p.41. Nous avons changé la notation, afin d'éviter toute erreur.

( 365 ) Lorsque p et q sont donnés, les équations (1), (2) déter- minent e, f, g (*). II. On tire, de ces équations :

€?

PR 2 Ne 2e pa pe 2eme pa 2e en CU OL D'o(p°— a?)(g® — a?)[(p°? — c*)(q° — 6?) —(p° — b?)(g° — &?)] que AE nat Re const

b°c°(p° AL a°)(q° CRE a) (q° el p°)(b? IA c?) 7 ou

e il de 2 2/22 2 2 2 2 2 h2/12 2 2 ) (3) cp — ag a) DEEE —EY(p— 6) — à) Un calcul fort simple donne Ÿ DD? — c°)(p°— a°)(q°— à?) = — (n° — b?\(b— cc — a*)p'g"; (4) donc e° 1 : (5)

bcp? — a) (q° — a?) Te (a? — b?)(u? — c?)p°q° î IIL. Si l'on porte, sur la normale au plan, un demi-diamètre égal à p ou à qg, chacun des points ainsi déterminés appartient à la surface des ondes. Cette surface S est donc représentée par le système des formules : be(p— a(g — a) RD nn 0 En D (6) EE — ap a°b?(p° — ç) (q° Ke c?) |

p, q étant deux paramètres (***) :

(‘) Le problème revient à celui-ci : Couper un ellipsoïde par un plan diamétral, de manière que la section soît une ellipse donnée. (”) A cause de SE =

(°**) Il en résulte les relations connues :

ax? Je, DL etc.

p°

(364) IV. Remarque. — Dans le Mémoire, on trouve (*) :

__ be(p—«’)(bc — aw), TELE

2

(7)

w étant une fonction du rayon vecteur p et de la distance v du centre au plan tangent (**). La comparaison des deux formes de x? donne cette relation très simple :

qu — abc. (8)

Ainsi, la quantité W varie en raison inverse du carré de la distance q.

CCIX. — Sur les lignes de courbure. (Décembre 1880.)

L Équation de ces lignes. — Supposons qu’une surface S soit représentée par les formules

T— Qu, v) "y cu, v), zu), (1)

d’où résultent celles-ci : dx — fdu + ldv, dy = qdu + mdv, dz = hdu + ndv(*). (2)

Si À, u, y sont les cosinus directifs de la normale à la surface, les lignes de courbure de celle-ci ont pour équations, comme on sait :

== (5) Pour les transformer, je considère les courbes coordonnées,

() Page 47.

Æ VER abc(abc — p°w) ( ) p°—v0? (p° — a?)(p° — b?)(p? — c°)

(Mémoire.., p. 48.)

LES (0 . d d d (‘*") Les lettres f, L, g, … désignent, bien entendu, D Te TE .…

( 56 )

passant au point (x, y, z), et représentées, respectivement, par

U —= COnSl., —= const.

(4)

Les cosinus directifs de la tangente à la première sont propor- tionnels à f, g, h. De même, les cosinus directifs de la tangente à la seconde courbe sont proportionnels à !, m, n. Conséquem-

ment (les axes étant supposés rectangulaires) : D +ge+h=0, là + mu + n=0; puis Soient encore, pour abréger : gn—hm—=A, hl—fn—B, fm—gl=0cC,

A? + B? -+ C— V?. Alors :

et, au lieu des équations (3) :

VdA — AdV Fe VdB—BdV VdC — CdV dx tn dy ra dz |

On à, identiquement, Ÿ (VdA — AdV)(BdC — CdB) = 0 ().

Donc les deux équations (3) entrainent celle-ci :

(9)

(BdC — CdB)dx + (CdA — AdC)dy + (AdB — BdA)dz — 0; (A)

ou, ce qui revient au même,

Ÿ (BdC — CdB)({du + ldv) — 0.

(‘) A cause de la relation connue :

> (bc! — cb')a =.

(B)

( 366 )

Les lignes de courbure sont donc représentées par cette équation (B), du premier ordre et du second degré ; ce qui devait être.

IL. Interprétation géométrique. — AB étant une ligne de cour-

bure, ayant MS pour tangente;

soit CD l’arête de rebrousse- ment de la normalie dont MT

est une génératrice. Les cosinus

directifs de MT sont propor-

tionnels à À, B, C (*). Si done

TN est la binormale à CD, les

cosinus directifs de cette droite

sont proportionnels à

BdC — CdB, CdA — AdC, AdB — BdA.

L'équation (A) exprime que les droites MS, TN sont per- pendiculaires l’une à l'autre. Et comme MS est perpendiculaire à MT, la tangente MS, à la ligne de courbure, est perpendiculaire au plan rectifiant MTN ; ou, ce qui est équivalent :

La tangente MS, à la ligne de courbure AB, est parallèle à la normale principale TI de la courbe CD, arête de rebroussement de la normalie déterminée par AB (**).

N

(‘) Formules (7).

(**) Le Calcul différentiel, de M. Bertrand, ne signale point cette pro- priété. Dans celui de Serret, on lit (p. 487, 1868) : « Ainsi, pour qu’une » courbe donnée, tracée sur une surface, soit ligne de courbure de cette » surface, il faut et il suffit que la tangente de la courbe en chaque point » soit parallèle à la droite qui fait avec les axes des angles dont les cosinus » sont proportionnels aux différentiellés

» dcos x’, dcosB, dcosy’,

» a’, f”, >’ étant les angles formés avec les axes par la normale à la sur- » face. » L’Auteur ne semble point s'être aperçu que la droite en question est NI. (Octobre 1886.)

(567)

IL. Remarque. — }, p, y étant les cosinus directifs de MT, ceux de TI sont, comme on sait, proportionnels à dÀ, dy, dy. Donc les proportions (3) expriment le parallélisme des droites MS, TI; et, réciproquement, ce parallélisme donne lieu aux proportions (3).

IV. Autre remarque. — Si À, B, C sont des quantités propor- tionnelles aux cosinus directifs de MT, les cosinus directifs de TN sont, comme nous l'avons supposé, proportionnels aux quantités

BdC — CdB, CdA — AdC, AdB — BdA;

mais les cosinus directifs de TI ne sont point proportionnels à dA, dB, dC. 1° La première proposition résulte des identités :

Ÿ A(BdC — CdB)—0, Ÿ (A + dA)(BdC — CdB) — 0. 2° Nous avons trouvé, ci-dessus,

Ÿ (VdA — AdV)(BdC — CdB) — 0. (9)

D'ailleurs, Ÿ A(VdA — AdV) — 0.

Par conséquent, les cosinus directifs de la normale principale TI sont proportionnels aux quantités

VdA — AdV, NVdB— BdV, VdC— Cd.

CCX. — Sommation d’une série.

(Décembre 1885.)

I. Soit : il APAMMES 122707 S=1+—x+ - ee —@————Û—— 2" —+re (1) DS 5.4.5 (n+1)(n+2)…(2n+1) On a

4% — [ra+nf =B(n+1, n+1)— je (8—€&)"d8.

(n+1)(n+ in T@n+2)

(568) : æ : do =" de S'(—#ÿa = = 0 0

| u de x à À 6 — 0 + — x

L'intégrale indéfinie est

Donc

ou

V x (28 —1)Vx 2 CG ——_— k— x V4 x

Entre les limites 0 et 1, elle se réduit à

x ae n 7 arc tg - h—x ° V k— x Conséquemment,

L 5 a A ° 5 V x(4 — x) k— x

Telle est la somme demandée.

me. =

IT. Pour x=— 1 etx—2, on obtient ces résultats particuliers :

Pr 1 1.2 1.2.5 1.92.5.4 = —= À + + + — LE 5V5 OS US BINGO CS IGITANS A0 & 2 2.4 2.4.6 2.4.6.8

RE —— 2 259 MOV 40 D NAT DCE TN EG SAS III. Si l’on change x en 4x°?; la série (1) devient

D AS NA SA OA

1 + DE ———©X% Æ ————— 7x ; 2.5 5.4.5 4.5.6.7 et la formule (5) : = arc {g =;

( 569 )

ou, sous une forme plus simple :

arc sin x

= ————— / x VA — x? q

IV. Nous avons done cette autre égalité :

are sin x Dé) TE Lk.8 LPS NAS a Ut L° + DS + ————— 1x + .… (5) A SRE DS BETA NPA GNT.

Celle-ci, qui est connue (*), est une conséquence de la formule de Clausen :

Ÿ DAME A4 T2 "46 (aresin x) — x +

x5 + — — + — + (7). 3 2 3019 3.0.7 4

CCXI. — Une transformation de la formule du himôme.

(NME)

I. Si, dans l'expression (a LAAGREE 1)" — (a — Va —1) an on fatn—1l,n—?, n—5,.…, on est conduit à supposer que: (HE 70m) es (270 2V/a — 1 — (24)! — C2 (20) + C_5,2(2a) * — -

(A)

Pour essayer de démontrer cette relation remarquable, faisons a — Cos9. Elle devient

(eos @ + V/—1 sin @) —(cos ® — LT sin ©) 2V/—1sino — (2 cos o}" " — C, 2,,(2 cos o}"* + C5 2(2 cos y)

n—ÿ

(‘) Mémoire sur cerluines décompositions en carrés, p. 60. (**) Traité élémentaire des séries, p. 102.

24

( 570 ) ou

sin 20 " —(2 cos D)" — C,_2,(2 cos)" + C_,2(2 COS @}" —.. (1)

sin @ Or, cette formule est connue (*). La relation (A) est done vérifiée.

IL. Une identité. — Si l'on développe, par la formule du binôme, chacune des quantités (a + Va? —1}", (àa—Va — 1}, trouve, comme expression du premier membre de (A) :

C... a" LE C, 54" (a° — 1) Me Ces (a nee JE ie Conséquemment :

Cao + Cosa" (a — 1) + Ca — 1} + — (Sa)! — C2 a(2a) + Ci 5e (2a)" —

, par exemple, n —9, a V9:

9.16 + 84.8 + 126.4 + 56.2 +1 — 4 096 — 7.512 + 15.64 — 10.8 +1, ou 144 + 672 + 504 + 72 + 1 = 4 096 — 5 584 + 960 — 80 +1 = : 5: LIL. Genéralisation. — Si, dans l'égalité (A), on remplace a par cv — 1, on obtient cette transformée :

(a+Va+b) —(a=vere)

9V/ a + L? (B)

— (24)! + C,_2,(2a)" 5? + C,_2(2a) + En mème temps, l'identité (5) devient

Css Pres Gate PA D) + Ce Æ ae ®(a° ne b?ÿ = (20) + Casa (2a + Cr e(2a)" 0 +

4 (C)

() Nouvelle Correspondance mathématique, & VI, p. 104.

(371)

Celle-ci donne une relation assez simple entre des nombres

combinatoires ; savoir : es LR 2C,5 cha CE QE ni — D ae DC 7 Po EE =. (D)

)

IV. Autres développements. — Soit (a Ars B) = (a=V'a+ Be) —Aa"+ Ba” + Ca" bre (5) On voit d'abord (en supposant b = 0), que A — 2",

En second lieu, si l'on prend les dérivées relatives à b, on a

(a are re — @ TELE &)— nl 2 V7 a? 2) = — 9Ba" ? + 4Ca"— 4 + GDa" ht + D'après (B), le développement du premier membre est

n[ (24) + C-s, (20) + Co (20) 6 + me |.

Par conséquent : Se ë TUE B —= nd, (Ge CES (DA Pre 7 D —— EE DEEE S 5 7 5 à

puis (a 25 V4 SU Be)" + (a Va + &) — 9'g"

ts I | ) + [arrete (Dies Dr eee - CROSS DE EC \ )

et, en particulier :

(i + Va) +( — 1/2)"

| Î | 7 ) (EF) — 9 + np [912 + LE URLS à ET CEE Al | 9 $ a De V. Suile. — Soient, pour abréger : Bras Pa) be C.e: (Pa bee. PP; 1 3 212 l n - 5 £L4 l LI re Dan] 2" ue Co 5 2" Sur 0 Ce 0270" ee. | =Q. 2 5)

Il est clair que:

(a+Va+b) = plVé+rb+o, | … CAR 2) 7er 0) | Par exemple : CEMOETS 5 259, (1— 1/2) = — 169 V2 + 230.

VI. Remarques. — 1° (— b?}" — Q° — P{a? + b?). Done, si n est pair, Q? est la somme de trois carrés; et, si n est impair, P? est le quotient d’une somme de deux carrés par une somme de deux carrés. 2 On a, identiquement : CC soma 0\" Foto) à [Ca AT me) + (a — 7 + b°) ] Vu? + b? se \n +1 ere ont = (a + Va + B) — le — | + B) 5 : À see | 11 SN * + b° [Ca + Va? + i:) — (a —_V/x + b) | (‘). Par conséquent : Si n est pair (supérieur à 2), et que a, b soient des nombres entiers, la quantité

(a RAGE Be) + ce a + Va + Be)"

est une somme de quatre carrés, dont deux sont égaux entre GOT Par exemple, TE ==) >» 92 7: = (o+1/45) + (924115) —9(9 +15.95.15 + 15.9%.152+ 155)

— 51 0492 — 156° + 75° + 75° + 56°.

(°) Vérification facile. (*) Mémoire sur certaines décompositions en carrés, p 50.

CCXEE.

Sur quelques formules de Poisson. (Décembre 1883) (*).

I. Dans la deuxième partie de son célèbre Mémorre sur les intégrales définies (**), Poisson adopte, comme point de départ,

la formule e? EEE Ce?

EP + 2 c0$50 + e ?

| ie IL a p 0 EN nee = er D. [(2i—1)7—0f + p° Fe D [(2è— 1)r + 0f + p°

(1)

conséquence immédiate de cette autre formule, due à Euler :

e? + 2 cos 6 + e =? 2(1 + cos 6)

À 1 @) IL: É ÿ ne L ne el es |

Mais l'établissement de celle-ci est un peu long. Au contraire, il est très facile de démontrer directement, ou plutôt de vérifier, la formule (1).

D'abord, si l’on change p en pl/— 1, elle devient

1 sin p s 1 1 Le — ———— —= = : 2p COS p + COS 1 [(2i—1 }r —0]—p° [(2i 1r +0] = (5)

On à :

1 l 1 Cet eeru0 Fe ET QE ns]

1 1 l I 5 [Qi 1) +6P—p %p re + 0—p Fe 1)7 + = k

(‘} Fragment d’une leçon à l'Université de Liège. (**) Journal de l’École polytechnique, A8 Cahier, pp. 295, 296. ("**) Introduction à l'Analyse, t. 1, p. 120.

(37)

donc la somme des deux fractions est

| Î 1 |

. É 1 2p | (2i— 17 — (5 — p) ne

Soient, pour abréger : O+p—ur, 6 —p—br.

Alors l'égalité (3) se réduit à

1 sin p D <E [ D SE 1 > SUN RE Pre AR to ANNE Hasceeemu neo (4 2/COS) DE COS CNT EN T0 EC UE (@ RC ie , T UT jx\. T bT La première série représente — 1g — (*); la seconde, > tg +. Donc («02 sin (a — b)— sin p ar br 2 2 nn O0 UE == 3 COS p + COS D LED D ar br

etes (CE

II. Dans le même Mémoire, Poisson donne l'importante

formule CCE ’ QE = Fr ren (à) Le 2 sin p e_

0

On peut, comme il suit, la rattacher aux intégrales eulériennes. Soient :

() Traité élémentaire des séries, p. 116; formules 65 et 64. (**) Partant de cette identité, et renversant l’ordre des caleuls, on trou- vera donc la formule (2).

(575)

Un caleul très simple donne, au lieu de l'égalité précédente,

10% 1 — 2% ; fa DANCE pe EU Dra (6) — . ) _ 2 Zz Sin rx e Z (4 Nr PA

Soit encore z— uw? ; et, par conséquent,

, 1 u1= °?> es u= (22) Î T a du — - . (7) $ Tl+u

2 SIN T4 0

Le second membre égale © B(x, 1 — x). Pour vérifier qu'il égale le premier, je pose

0 = sg œ J'obtiens 5 Fising\'—#% feos ç\'-?> nor YA IE : i i 1 | e ; so sin @ 0

L'intégrale est la moitié de

T

z sin ç\'-?* cos g\'—°+ : 1 : + = do — Ÿ ë cos ® sin ©/ . :

© 1—2% Sin © | ‘| de Cos @ 0

1 Tan 1 { DRE d2 \ se DCR ar Eee O1 — 6% "do. ou —%)

[1 0 \ | DE n

Donc enfin

ai B(œ, 1 — &) — . OX — 6)" d ; (8) 0

ce qui est identique.

Ainsi, en partant de cette égalité connue, et -en transformant le second membre, on peut parvenir à la formule (5).

IIE. Soit enfin la relation

ae e2rx 73h e—?"z fl 1 pe ee dx = 9 tg p: (9)

0

CS76 D) N

également due à Poisson (*), et dont nous avons parlé autre

part (**). Si l’on pose :

elle devient

DT y Fr é eng 00 == 9 tg x. (10)

0

Celle-ci a été considérée par Svanberg et M. Hermite (***). Il est facile de la démontrer directement.

CCXIII. — Équations différentielles totales. (Mai 1884) (").

Il y a quelques années, M. Joseph Bertrand a fait connaitre une ingénieuse méthode, qui permet d'intégrer l'équation

Xdx + Ydy + Zdz —0, (1)

quand la condition

ae A) 25 2 se

e

NE ER Er eS YO dz dz dx} CEE NN) est remplie ("). Je me propose de simplifier et de généraliser le procédé en question (").

(‘) Journal de l'École polytechnique, 18° Cahier, p. 298.

(”*) Sur les Nombres de Bernoulli et d’Euler (1867), p. 18.

(""*) Sur l’intégrale...; par M. Charles Hermite (Acanémie pe Turin, 1878).

(“) Leçons à l’Université de Liège.

(") Comptes rendus, 18 décembre 1876. On verra, plus loin, pourquoi nous avons modifié les notations adoptées par M. Bertrand.

(”) Il cessemble beaucoup à celui dont j'ai fait usage dans le Mémoire intitulé : Recherche des lignes de courbure de la surface... (Acapémie De BEL- cique, 1864).

(577)

I. Exposé de la méthode. — L'équation (1) est, en vertu de la relation (2), une conséquence du système auxiliaire :

dx dy dz ? AOL Liv LTUX. (3) Sn ce CT Soient Px, y, 2) — a, (x, y, 2) — 6 (4)

deux intégrales de ce système. D'après un théorème connu, toute autre intégrale est réductible à

F(œ 6) —\C: (5)

En particulier, l’intégrale de la proposée (1) est réductible à cette forme (5). Conséquemment, si l’on prend «, Ê pour varia- bles, l'équation (1) sera transformée en

Mda + Nb — 0; (6) M, N étant, bien entendu, des fonctions de «, B (*).

IL. Remarques. — 1° Si, des équations (4), on tire les valeurs de x, y, pour les substituer dans la proposée, la variable z devra disparaitre (**). Donc, pour abréger le calcul, on peut supposer dz — 0, et même z — 0, si aucune des fonctions X, YŸ, Z ne devient infinie par suite de cette hypothèse.

2° D’après cela, l'équation (1) peut être réduite à

Xdx + Ydy = 0. (7)

Et comme on déduit, des équations (5), (4), en faisant z — 0 :

(‘) A part les applications, la Note de M. Bertrand se réduit à ce qui précède. (**) Propriété connue.

(578) on peut prendre, dans la transformée (6) :

El d5 l l MX CNE Ne xt) (8) dy dx dx dy 95° Si, au lieu de z — 0, on faisait x — 0 ou y — 0, on trouve- rait, Soit :

dB dB do dx M=Y—— 7, N—7—XY—; (9) dz dy : dy dz soil : 16 l l d M 2 OX Next (10) dx dz dz dx

4° Les trois valeurs de M, et les trois valeurs de N, ne sont pas nécessairement identiques : il suffit qu’elles soient proportion- nelles, afin que l'équation (6) ne change pas. On a donc la rela- tion suivante, à laquelle satisfont X, Y, Z:

x dB do da DOM AL MS Re, ee dy dx dx dy dB dERRRNTE da

# Û r

dz dy dy FT dy )° Après quelques simplifications, elle devient

x ee dB da =: y — dénude _.

dy dz dzdy dzdx dxdz

dy dz dzdy

(A) dB dx de) = + Z

© \dx dy dydz

6° Au fond, cette identité ne diffère pas de la condition d’inté- grabilité (2). En effet, les différentielles des équations (4) étant

(l l l dB d d dr + — dy + EG. FE RCE dax dy dz dx dy dz (‘) À cause de ie _ (7) Y X

ces valeurs rendent identique l'équation (6).

(379 )

on à da dy dz

da dé _ dax d8 7 dx dB dx df — da dB da df

dy uz dz dx dzdx dx dz dx dy dydx

et, pour que ces équations simultanées s'accordent avec le sys- tème (4), on doit avoir

GPA UN dX dZ uY dx CNE HE OU dx dy

da dB dax d£ 7 da dB dxdB dadB dxug

CAC NC LANCIA OCT EN NO

etc.

IL. Application. — Soit pris, comme dans la Note de M. Bertrand, l'exemple classique :

(y? + ya + dx + (2° + 2x + a*)dy + (x° + xy + y*)dz — 0; de manière que = PR A NT RE AR EN ENVIE TRE EEE

Le système dx dy dz

a pour intégrales LUZ, TN UE Zi — 0. Si l'on suppose z — 0, on trouve, par les formules (8) :

M—2(y — x), N—2x — y’;

ou, en supprimant un facteur : M——92(2 +xy + y), N=x + y;

ou encore : M— —(a +6), N—o.

( 580 ) L'équation auxiliaire (6) est done — (a? + B) da + «dB = 0 (*).

L'intégrale de celle-ci étant

on a, comme intégrale de la proposée,

YZ ZX EX ———— —C; BE

résultat connu (**).

IV. Équations homogènes. — Si l’équation (1) est homogène, il est clair que rc fr (11) la transforme en

A(adz + zda) + B(6dz + zd8) + Cdz = 0; (12)

A, B, C ne contenant que « et $. Cette nouvelle équation étant écrite ainsi :

dz Ada + Bd£ D 0, (15) z Aa + B5 + C

Ada + Bd3

on voit qu'elle sera intégrable si 55

exacte (***). La condition est

est une différentielle

A B

Do OT

OST SON VEN ET de ai da

i

(‘) Dans la Note citée, M. Bertrand, qui ne fait point usage des for- mules (8), (9), (10), n'explique pas comment il parvient à la dernière équation.

(‘*) On peut comparer le calcul précédent avec celui que donne Lacroix (t. I, p. 508).

(°°) Suivant M. Hoüel, dans cette équation (15), les variables sont séparées (Cours de Calcul infinitésimal, 1. W, p. 144).

( 381 ) V. Application. (y? + z)zdæ + (x° + 2*)zdy — 2x + y)xydz = 0 (). On a:

A=p+l, B=u+l, C=— 9 + BJ,

Ac + BB + C—{(a + B)(1 — af); puis

“ (a + BI — 28)

La seconde fraction égale

dz 5 (BE + A)jdo + (a? + nd 5

Bda + adlB da +- d& a

À — af a + G Donc Las Lie + B) — PU — 8) = Pk, ou nr 1 — ab

Conséquemment, l'intégrale de la proposée est

VI. Remarque. — La condition

É = X

_ Re ee dy dz!

a = ; 5 dz dx F5 (2)

dx dy est susceptible d'une interprétation géométrique assez simple. L'équation

Xdx + Ydy + Zdz—0, (1)

si elle est intégrable, représente une infinité de surfaces S, ayant

pour équation FR VOA) =

(‘) {mité de l'Exercice 24 de M. Hoüel (t. III, p. 254). Dans celui-ci, le premier terme est (y*+x°)zdz : la condition d'intégrabilité n’est pas remplie.

(58)

Les équations (3), ou leurs intégrales (4), représentent deux séries de lignes L : res lignes sont situées sur les surfaces $, c'est-à-dire qu'elles en sont les génératrices.

En effet, les cosinus directifs de la tangente T, à L, au point (x, y, z), sont, d’après les équations (3), proportionnels

aux binômes dZ dY dx dZ dY dx

ay dz dz dx dx dy :

D'autre part, les cosinus directifs de la normale N, à S, sont proportionnels à X, Ÿ, Z. Or, l'équation (4) prouve que ces deux droites sont orthogoneies. En d’autres termes, la tangente T est située dans le plan tangent à S.

Addition. — (Octobre 1886.)

VII. Conditions d’intégrabilité. — Soit l'équation à quatre variables :

Tdt + Xdt + Ydy + Zdz —0. (14)

Si l’on exprime que le produit du premier membre, par un

facteur À, est une différentielle exacte, on trouve les conditions connues :

ee 2e (15)

HENN C107 CZ dy dt :

K a Et (16)

PAT de dent \ae dx ;

" = i+ ne (17) door GO NUE \de dy

VIIT. Remarques. — 1° Les équations précédentes se déduisent les unes des autres, par une permutation tournante. Si l’on continue cette permutation, on trouve une quatrième condition (surabondante) :

_ = Z

_ . AZ _ dx X | + Y dy dx

d'OS — (. 18 dz dy (5

(‘) Dans son grand Traité (t. II, p. 516), Lacroix donne les équa- tions (15), (17), (18); mais non l'équation (16).

(585)

Du reste, il est facile de vérifier que celle-ci est une consé- quence des trois autres. En effet, si l’on divise par TYZ, par XZT, etc.; on peut, pour abréger, écrire ainsi ces quatre équations :

a+b+c=0, b+d+e=0, d+f—c=0, f+a—e—0,. Donc (a+b+c) - b+d+e)+(d+f—c) —(f + a —e) — 0,

ou OU?

2° L'équation (18) ne diffère pas de ie (2). Ainsi, pour que l'équation Tdt + Xdx + Ydy + Zdz —0 (11) soil intégrable, l'équation auxiliaire Xdx + Ydy + Zdz—0 (1) le doit être (*).. IX. Intégration. — Pour fixer les idées, prenons l'équation (18),

écrite ainsi :

I D Ta NE = z dy

e == — dY

dy TH). ro)

dx dy

La proposée (14) est, en vertu de cette condition (19), une conséquence du système auxiliaire (**) :

di dx dy dz = 0 = —— — = — _ (20) (0 Need Z dZ dZ dY dX + — + — — —+ CERN GE EC) dx dy

Celui-ci suppose { = const. — .

(") Celle-ci suppose { — const.

("") A chacune des quatre conditions d’intégrabilité correspond un sys- tème auxiliaire; par conséquent quatre syslèmes, entre lesquels on pourra choisir.

(584)

Si, comme dans le paragraphe I, les intégrales des deux autres équations sont px, y, 2) =, x, y, 2) = 6; (4)

on tirera, de ces égalités, les valeurs de x, y (en faisant varier t), pour les substituer dans la proposée : z disparaîtra, et l’on aura une équation différentielle entre «, 6 et t. Supposons que l’inté-

grale soit Az, 6 D) = C3 (21)

alors l'intégrale de l'équation (14) sera Fete 2) Ve water (22)

X. Aulre méthode.— Elle résulte de la seconde Remarque (VIT). Soit,

IC 00 À) = 6 (25) l'intégrale de l'équation (1), £ étant supposé constante. Pour en déduire l'intégrale de l'équation (14), il suffit de remplacer la constante arbitraire 9 par une fonction de t, convenablement choisie. À ce point de vue, on a

dt {dt dt GR — dt

La quantité entre parenthèses est égale au trinôme Xdx + Ydy + Zdz, multiplié, s'il le faut, par un facteur À. En conséquence,

oi ir) dl 2 dl e)

D’après ce que nous venons de dire, le second membre doit être indépendant de x, y, z, soit actuellement, soit en vertu de l'intégrale (25) (”).

(") Cette méthode n'est pas nouvelle; mais nous croyons en avoir sim- plifié l’exposé.

(585 )

XI. Application. — Soit l'équation connue (*) : y(y + 2)dt + 2(y + 2) + 2(t— x)dy — y(t—x)dz —0. (25) L'équation auxiliaire est ay + z)dx + 2 — x)dy — y(t — x)dz = 0. (26) Pour intégrer celle-ci, prenons, préalablement,

(y + z)dx + (1 — x)dz = 0,

ou dx dy DRNOMOURELNT dont l'intégrale est Yy+Z 28) = 5%. É— x

Cette formule représentera l'intégrale de l'équation (16), si y est une fonction de z, convenablement choisie. Différentiant, on a

(E— x)(dy + dz) + (y + 2)dx = (t — x)dy; puis, eu égard à la relation (16) :

(y + z)dz = z(t — x)dy ;

ou bien dz dy PANTT A ou encore : y — 8.

Ainsi, l'intégrale de l'équation (26) est YTHZ z(t — x)

er (29)

Différentiant de nouveau (en faisant tout varier), on a zft—x\dy+dz) —(y+z)(t—x)dz—2(y+z\dit— dz) = 2{1— x) do; ou, en vertu de la proposée,

— (y + z)di = 2 (1 — x)de,

(*) Moicno, Calcul intégral, p. 511.

ou : de di = Fi L'intégrale est 1 t— C—-. ô

Par conséquent, la formule (19) devient 1

g(t—= x) ut —C ou enfin ly + ZX — C. (50)

YTHZ

Telle est l'intégrale de l'équation proposée.

XIL. Remarque. — Si, au lieu de l'équation (27), nous avions

pris zft — x)dy — ylt — x)dz = 0,

c'est-à-dire

le calcul eût été abrégé.

Théorème d’Arithmétique (‘).

CCXIV. (Décembre 1885.)

net p étant des nombres entiers, la fraction

1316400240 NE 6 0 à 20 = 2D— |

fi TOME est réductible à la forme N 9% ?

N étant impair.

(*) Extrait du Mémoire sur certaines décompositions en carrés

I. On a f APS 2 PEU 26 20 1.92.3.n.9.1.9.5..p.1.9.5.. np

Or, d'après un théorème connu (*),

1.2.5..9p.1.2.5...2n — 2p

.“o =

HO TT ENS SDS TET

=

CCC

CCXY. — Sur le dernier théorème de Fermat. (Mars 1884.)

M. de Jonquières vient de publier, sous ce titre (***), une très intéressante Note, contenant les remarquables théorèmes

suivants : Soient trois nombres entiers, a, b, ©, vérifiant l'équation CRD EIC AE) 1° a et b ne peuvent être, simultanément, premiers ; 2% Si a, supposé inférieur à b, est premier, ce = b + 1. Ea suivant la voie indiquée par M. de Jonquières, on peut trouver d’autres contributions au théorème de Fermat.

I. Préliminaires (").

1° a —1— JR (nb). (1)

(‘) Seconde Note sur quelques questions relatives aux fonctions elliptiques. (‘‘) Voir, dans la Note CLXIIT, le théorème d’Eisenstein. (°”*) Atti dell” Accademia pontificia de’ Nuovi Lincei (20 janvier 1884;

Rome). (”) Je suppose, une fois pour toutes, l’exposant n premier, el supérieur à 5. (Voir la Note XLVIL.) ,

*) Dans les deux premiers paragraphes, le nombre a est premier. P paragrapnes,

(388)

D'après le second théorème de M. de Jonquières,

a"—41 n n(n — 1) n D, NA A PR VPN TE) Las LRU CR @)

n étant premier, tous les coefficients, dans le second membre, sont divisibles par n (*). Ainsi

a" —1—b IN (n) = M (nb). (5)

9e a 1 (n). (4)

n ne divise pas a (1). Done, par le premier théorème de Fermat : (a! — 1)a = JL (n).

a —1— ON (n), (5)

Et comme on a l'égalité (4). 5° Tout diviseur premier, de e — a, divise a — 1.

On a br — (b + 1) — a" = (b + 1 — a)E,

E étant un nombre entier. Soit p un nombre premier qui divise b + 1 — a. D'après un théorème connu, p divise b; donc il divise

b—(b+1—a = a—1. & a + bet c — a sont premiers entre eux. Soient, s’il est possible : a+b= IC (p), c— a (p)

A cause de c — b + 1, on aurait donc

2a — 1 = IN (p). On vient de voir que a—1—JK (p).

Or, ces égalités sont contradictoires; car leurs premiers membres sont premiers entre eux (**).

(*) Propriété connue. (*) Si p divisait 2a— 1 et a — 1, il diviserait 2a — 1 — 2(a — 1) — 1.

( 389 )

5° Da — À et 2b + 1 sont premiers entre eux. Les nombres a + b, b + 1 — a n’ayant aucun facteur com- mun, il en est de mème pour leur somme 2b + 1 et leur diffé-

rence 2a — 1.

II. Inégalités. — 1° Le nombre premier, à, est compris entre nb et V/n(b + 1)

Reprenons l'égalité

[ a" — (b + 1) — D". (2) Le second membre, divisé par (b + 1) — b, devient (CES VénE NCEE D'ÉRUERES Lie Ce quotient est compris entre nb" et n(b + 1)" =". Ainsi ALTER (5) 7 bn (6) D’après M. de Jonquières, b surpasse a. Donc Her EE ARS puis DE TOUT de etc. 5° Le nombre b, qui satisfait à l'égalité (b + 1) — D" = a”, (2) est compris entre n—1 ‘a n—1/q a\/: el —1 +a\/> n n IL. Remarques. — 1° Soit b un nombre entier, supérieur au

nombre entier n. Entre V'nb"—* et Vn(b + 1} =", il y a, tout

au plus, un nombre entier.

Supposons qu'il puisse y en avoir deux, a, et & ; de manière que, & étant le plus grand, on ait :

LATE RME V'n(b +1} 5

ou

On conclut, de ces deux inégalités,

n—1 UE a de = = i0) Si n n

et, à plus forte raison :

° n—1 d, (a — &) = or ñn

Celle-ci est absurde; car le premier facteur est, au moins,

égal à 1; et le second surpasse 1 (*). 2° Le nombre c est compris entre a+ b et (a + b). Soit a le plus grand des nombres a, b. Alors :

5 a + b (4 , 2 (‘ + a” — | 5 2 et, à plus forte raison, - ( + ai c' DUR ou a + b C à 2 Addition. — (Octobre 1886.) IV. Taéorème I. — Si des nombres entiers a, b, ©, premiers

entre eux deux à deux, vérifient l’équation GENE? la somme à + b'ne peut être un nombre premier.

(*) A cause de b>n, a, >V nb

(7)

(591 )

Soit, s’il est possible, a + b — p. Le nombre premier p, divi- sant c”, doit diviser c. Ainsi c — pc’. L'équation (7) devient, par l'élimination de b, Ar n

p” — up NE p = pe". (8)

Tous les termes, sauf na"-'p, sont divisibles par p?; donc

CSS or

Cette relation exige que p divise a ou n. Mais p surpasse a; donc p divise n; ou, plutôt, p — n. Conséquemment,

(UE) RENTE Or, (a + b)" surpasse a” + b". Ainsi

NE ANICUE conclusion absurde.

V. Tuéorème Il. — Si la somme a + b est ibio"e par n, elle est divisible par n°7".

Pour fixer les idées, et abréger, prenons n — 5; et soit, s'il est possible,

a + b= 5g; (9) puis, par conséquent, o = ee (10) L’équation (5q — a) Ha — (bc), ou

(5q) — 5(5q)'a + 10(5q)a° — 10(5q)a° + 5(5qja = 5°c*, (11) est réductible à la forme 55Aqg° + b'qa' = bc", c'est-à-dire à celle-ci : 5AQ° + qa° = 5°c° a ne pouvant être divisible par 5 (*), on doit avoir

q = ÿq..

(*) A cause des relations (9), (10).

(392 )

Par suite, 5°Bq° + q'a — °c".

Cette équation exige que

qu 5g" ().

Donc 5°Cq'” se q''a* = DCE puis g"=5q"", et enfin a+ b= 5'q"".

VI. Taéorème Il. — Si la somme a + b est divisible par un nombre premier p, différent de n, elle est divisible par p'. Prenons encore n — 5, et supposons

a + b = pa, hypothèse d'où résulte C — pe. L'équation (11) est remplacée par (pq) — 5(pq)'a + 10(pqJ'a" — 10(pq}a + B(pqja' = p'c”, laquelle peut être écrite ainsi : Apq° + 5qa = p'e”.

Opérant comme ci-dessus, on trouve :

JE PIS 0 PIS 9e) QU puis a+ b— pq. VIT. Taéorème IV. — Si la somme a + b est divisible par une puissance de n, supérieure à n°7", elle est divisible par n°". Prenant encore n — 5, supposons

n—1

QD 0

() On pourrait écrire, tout de suite,

11h

g =5q"; mais nous croyons rendre la démonstration plus claire en divisant, succes- sivement, par q.

et, par conséquent, ie C—)9C.

De là résulte, sous forme abrégée, l'équation

DAqg° + 5qa—c". Celle-ci exige que

Donc

VIII. Tuéorëme V.— Si la somine a + b est divisible par une puissance du nombre premier p (différent de n), supérieure à p", elle est divisible par p”.

Même démonstration.

IX. Tuéorème VI. — La somme à + b a la forme - P’, ou la forme P”, selon qu’elle est divisible ou non divisible par n.

Cette proposition est un simple corollaire de celles qui pré- cèdent.

X. Tuéorème VII. — La différence ce — à ne peut être un nombre premier autre que n (*). Si, dans l'équation de Fermat, on change c en — c, elle devient

a + D? + ce — 0.

A cause de cette forme symétrique, employée par Legendre, toutes les propriétés relatives à la somme a + b subsistent pour a + cet b + c; c'est-à-dire, en reprenant la notation primitive, pour c — a et c — b. Le Théorème I, seul, peut faire exception.

En effet, si l’on suppose c — a —p, et que l’on répète les raisonnements employés ci-dessus (IV), on trouve p—n,b— n'; puis

DÉCO ES inégalité évidente (**).

() De même pour c — b. (”) On ne peut supposer b'— 1; car celte hypothèse donne

ar + n° = (a + nu)".

( 59% )

Ce cas d'exception étant mis de côté (*), nous pouvons nous contenter d'énoncer la proposition suivante.

XI. Taéorëme VIIL — Chacune des différences ce — a, e — b a la forme : = P°, ou la forme P”.

XIL. CoroLLaire. — Aucun des nombres a + b, e— a,c —b n’est premier.

XIII. Suite. — Soient, s’il est possible : a+b—c", c—a—b", c—b— a". (19)

On tire, de ces équations : 1 1 LA LA 1 LA LA LA LA a—; (a apr!) PIE User), Se DEC) NAS)

puis

Q+Hb—c——(— a7 — br + cr). (14)

NO | =

La relation (7) devient donc

(ax Le c”" PE bin) DE (b’" se c'° CHR GPS (a” + b”7 + DÉS (4 5)

Dans les développements de

@+b+e, (ee—ay, (e+a by, tous les termes, sauf + a'", +b'", £c”, sont divisibles par n (**). Ainsi = Gr — 7 + cr = MU (n);

ou, par l'égalité (14) :

a+b—c— M (x).

(°) On va voir qu'il n'existe pas. (‘*) En effet,

1.2.5..n

ED CAS NEO SN . 2 (N — & — BG)

sia, Bet n — à — $ sont différents de n.

(595 ) XIV. TaéorÈène IX.

1° x + y} — 2 — y" = nxy(x + y)P, (x + y) y ylx + y) uë)

D nn

P— Ha" + Monty + ee + My

2% Les coefficients sont donnés par la formule 1 H, == [Cs,, IE

le signe + répondant au cas où p est impair. 3° Le polynôme P est divisible par x? + xy + y? (”). 1° n étant premier, impair, la première partie est évidente.

2° Pour établir la deuxième, il suffit d'observer que

1 P —— z (a Er Ujhes MEL (HE ps He) Fe a? PU DELL LEA TES Jo)

1

= nxy [ (C4, Ste 1x + (C,_ 1,2 TR In … +(C, + tom

3° Enfin, si l’on fait y— zx, l'équation P—0 entraine celle-ci: (z + 1} — 2" — 1 —=0, laquelle est vérifiée par

9 =—— 2 A ee El Me 5 3

comme on le reconnait aisément. En outre, chacune de ces expressions est racine de l'équation dérivée :

(z +1} — 2 = 0,

quand ? a la forme 6u + 1 (**).

() Et même par (x + y + y°}, si n—= MX (6) +1 (Caucuy, Journal de Liouville, t. V, p. 245).

(*) Ce procédé, plus simple que celui de Cauchy, est dû, je pense, à M. Stern.

( 396 ) XV. Remarques. — 1° Si

n=7T, P= (a + xy + y) ().

1 DA H, a 4,4 Fe a (CE Te Cr pH) Dr ñ C,, HaAD ou (n — 1)(n — 2). (n — neue es)

2.5..(p +1)

n—1 — 1j(n — 2 — ! 7 es Het }(æ DUT. A 2) 21) 2 (n—1)(n —2)(n — 5) (n—1)(2—9% n—1 = ——@ © © ——— + — + |; 219.14 D 5 © 2 elc.

4° Si l’on fait y — x, l'égalité (14) se réduit à © Let VOLE 1 ——— =, +R ++. + + + H,(") (15) n

On A1"

Voici donc une décomposition du nombre —— , en parties entières, additives, différente de celle qui est exprimée par la formule (à peu près évidente) :

91 __ 4 1 | c il c { C Ha RAA ; = 5 11 2 5 ee El re AE) Pere )

() Nouvelles Annales, 1885, p. 520. ("*) Par exemple, 910 _ 4

11

—95—1+4+ 11 + 19 + 95 + 19+ 11 +4 +.

(""”*) Voir ci-dessus, p. 501. Dans la Note intitulée : Sur quelques déve- loppements de sin nx et de cos nx, on trouve cette autre décomposition : 9n—1 __ 7

9 1 = — = — Cros. 28 + Cu 3,2. 2-5 + ...], n n

Mais elle doit être attribuée à M. Bachr (Nouvelles Annales, 1869, p. 562).

(597 )

XVI. Tuéorèue X. — La différence entre les puissances n°" de deux nombres entiers consécutifs, à, a + 1, étant diminuée de l’unité, est divisible par na(a + 1) (a? + a + 1) (”).

Conséquence immédiate du Théorème IX.

XVII. Corozaire. — Si, dans l'équation de Fermat, le nombre a est premier,

a — 1 = JU [nb(b + 1)(0° + b + 1)](*). XVIII. Soit, dans cette même équation (7),

C—a+b—7. Elle devient

n ; ne Le by ty PEN ee y — (a re, b}' — a” PES b"';

ou, par les formules (15) :

P représentant la quantité Ha"-5 + Had + …. + H,b"-5. Le premier membre est divisible par y. Ainsi :

Le nombre y (s’il existe), compris entre zéro et <(a + b) (**), divise nab(a + b) P (”).

(‘) Ce théorème suppose n > 5. Les facteurs a, a+ 1, «+ a+1 sont premiers entre eux, deux à deux. En outre, le troisième égale le produit des deux autres, augmenté de 1.

(”*) Par le théorème de M. de Jonquières.

(" *) A cause de 1 C> 2 (a + b).

(”) J’essaierai de revenir sur cette question. (Décembre 1886.)

( 398 )

NOTE POUR LA PAGE 552.

On sait : 1° que Le lieu des centres des coniques circonscrites au quadrilatère ABCD est une conique H (*); 2° que Le centre I, de H, est le milieu de MN.

Cela posé : y est le point de l’hyperbole H, diamétralement opposé au centre O du cercle ABCD; ou encore : le point y est le centre de la circonférence circonscrile au quadrilatère A'B'C'D', symétrique de ABCD, relativement au milieu 1 de MN.

(*) Une hyperbole, dans le cas où les données ont la disposition actuelle.

FIN DU TOME DEUXIÈME.

ERRATA DU TOME I.

Page 24 La première note doit être rectifiée ainsi :

‘J'ai publié ce théorème en 1844, dans le Cours de Mathématiques, d’Auguste Blum. Dans les Nouvelles Annales (1858), il est attribué à M. Hermite. D'après une Note de M. de Longchamps (Journal, janvier 1886), il est dû à Paoli. Mais Le Besgue, cité par mon honorable Collègue et ami, attribue, au Géomèitre italien, un théorème différent de celui dont il s’agit.

1 1 Page 205, paragraphe VIII, au lieu de —, lisez —. age 205, paragraphe DOUANES

ERRATA DU TOME IL.

Page 39, ligne 6, au lieu de (æy” + yx''}?, lisez (æy” — yx''}. — 4, paragraphe XV, au lieu de N = 4% + G4 + 22? + 16°, lisez N= 41? + 557 + 172 + 72. 1 SEE NS EE Ter — 62, ligne 7, au lieu de — — 1 — V/1 — 47, lisez - =, y y 4x — 67, — avant-deruière. Le facteur 37 doit être suivi de 41.

1 x — 91, — 4, en remontant, au lieu de SL (a), lisez S == —1 —%

= — = 9 — — — ——, lisez

—

sa — À aix g'° À ie qg"

TABLE DES MATIÈRES.

Pages.

Allocution prononcée, dans la Salle académique de l’Université de Liège, le 7 décembre 1884 . I XCIV. — Problème proposé par M. Steiner. : 1 XCV. — Question proposée au Concours général de 1841 | 0 5 XCVI. — Lignes de courbure d’une surface gauche 6 XCVII. — Lignes asymptotiques d’une surface gauche . . . . 12 XCVIII. — Détermination d’une constante . . . . . . . . 44 XCIX. — Sur les lignes de courbure de l’ellipsoïde . . . . . 920 Ca =rbroblèmerde GÉOMEtTIE NM PRE NE RE NO CI. — Sur une équation différentielle. . . . . . HS 25 CII. — Une application de la théorie des solutions Seine ET CIIT. — Enveloppe d’un cylindre de révolution. . . . . . 30 CIV. — Quelques identités . . . LL de QU RSS

CV. — Développements de l'intégrale elliptique de première ESDÉCENS TE NA MANQUE MA Te 42 CVI. — Sur la méthode des obéreetEe RO ie ND VIE Surnles Nombres de Sepnér SN PP NRA CVIII. — Problème de Géométrie analytique . . . . . . . 68 CE Une relaiontCoMPINALOIEEL CEE 60 OX Surles ovalestde Descartes M MP EP PTT GX NIniégration d'une Equation PNEU CT CERN COR AURE AphliCaAtiON QUMEÉFIQUE FACE CRE NN7 0 GX Problème de Glenie 0 RP "LS 0 CAN Problème d'Arithmetique ss MO EE EN SL CV AComparaison entre JEUX SÉTIES NN ON OT NS) NME NProblèmer sur l'ellipse MAPS EE UE TN 209 CINE = SSurrlatcourbe; de Watt nee PEN NE 00 06 CXVIII. — Développées, et surfaces développables. . . . . . 100 CN = Discussionid'unersuriaces En MERE ENS 0 105 CR Sur les lignes idescourburc 0 UE 0 0408 CXXI. — Maximum et minimum de la fonction y — HUE ER 115

. ax+b'x+c

26

CXXII. CXXIIT. CXXIV.

CXXV.

CXXVI. CXXVII. CXXVIIT. CXXIX. CXXX. CXXXI. CXXXII. CXXXIIT. _CXXXIV. CXXXV. CXXX VI. CXXXVII. CXXXVIIT. CXXXIX. CXL. CXLI. CXLIT. CXLIIL. CXLIV. CXLV. CXLVI.

CXLVIT. CXLVIIT. CXLIX. CL.

CLI. CLIT. CLIIT. CLIV. CLV. CLVI. CLVIT. CLVIIT. CLIX. CLX.

( 402 )

Une propriété des surfaces conchoïdales Relation entre deux épicycloïdes. Séries et intégrales elliptiques.

Application de la Géométrie à io. et à l'Arith.

métique .

Sur la- décomposition dun cube en Amar che - Sur un déterminant .

Remarque sur une identité connue . Sur les lignes de courbure planes

Sur l'Analyse indéterminée du second degré .

Sur un produit indéfini.

Deux lecons de Probabilités

Sur les normales à certaines courbes Une intégrale d’équation

Sur les surfaces orthogonales .

Sur une intégrale pseudo-elliptique . Sur les Élassoïdes

Quelques intégrales définies

Une intégration :

Sur une formule de Jacobi.

Une intégrale triple.

Une formule du binôme.

Sur une série de Legendre. Relations entre des sommes de carrés .

Sur les développantes d’une hypocycloïde . Sur les lignes de courbure de l’ellipsoïde et de la

surface des ondes . Sur les surfaces enveloppes Problème de quadrature Sur les podaires . Un théorème d'Ampère. Sur les dérivées d’une fraction Une construction de l’hyperbole . Développement d’un radical . Sur une équation algébrique .

Une application de la formule du binôme .

Sur la fonction E(x).

Aire d’une figure sphérique . Quelques théorèmes sur les coniques Sur la somme des diviseurs de n. Sur quelques produits indéfinis .

Pages. 116 117 119

152 197 141 149 145 145 151 153 158 164 165 176 180 188 198 199 201 202 205 209 211

215 224 225 297 252 253 237 237 242 244 245 246 247 252 254

( 405 )

CLXI. — Sur une formule d’approximation . CLXII. — Un lieu géométrique . CLXIIT. — Théorèmes d’Arithmétique . CLXIV. — Sur une série Re 4 CLXV. — Une décomposition en facteurs . CLXVI. — Sur une classe d'équations différentielles. CLXVII. — Conchoïdes et podaires ? -CLXVIIT. — Une propriété des nombres triangulaires. CLXIX. — Sur l’homologie. CLXX. — Polaires réciproques CLXXI. — Question d'Analyse indéterminée . CLXXIT. — Sur une classe d'équations différentielles. CLXXII. — Théorèmes d’'Arithmétique . CLXXIV. — Sur un théorème de M. Pépin CLXXV. — Sur deux formules d’approximation . CLXXVI. — Une surface d'intrados CLXXVII. — Quelques séries numériques. CLXXVII. — Une équation aux différences CLXXIX. —- Application de la Perspective aux séries. CLXXX. — Sur les nombres combinatoires. CLXXXI. -- Carrés magiques CLXXXII. — intégrales définies équivalentes. CLXXXII. — Sur les fonctions elliptiques de première espèce CLXXXIV. — Sur l'Analyse indéterminée . CLXXXV. — Une identité. RENAN ENT MATE DE CLXXXVI. — Généralisation d’un théorème de M. Laisant. CLXXXVIL — Sur l'hexagone inscrit. CLXXXVII. — Sur la partition des nombres CLXXXIX. — Sur la série de Lamé . CXC. — Sur la formule du binôme CXCI. — Problème de probabilités. CXCIT. — Sur une formule d’Abel . CXCIIT. — Sur le théorème de Fermat . CXCIV. — Propriétés de résidus. CXCV. — Comparaison de deux séries. CXCVI. — Sur la théorie des ombilics . se CXCVII. — Généralisation de propriétés de la cycloïde . CXCVIIT. — Lignes géodésiques d’un paraboloïde . CXCIX. — Problème d’Algèbre et d’Arithmétique CC. — Sur un théorème de M. Delbœuf CCI. — Sur la droite de Simson , . .

+ €) © &

O1 OI O1 O1

O1 O1 O1 O1 QI NO NO == — = —

19 CN |

OI O©1 QI NO 1 & © D D © à N

OI O1 (e]

O1 OI O1 O1 O1 O1 O1

ra Cr

CCIT. CCIIT. CCIV.

CCV. - CCVI.

CCVII. CCVIIT. CCIX.

CCX.

CCXI. CCXII. CCXIII. CCXIV. CCXV.. ERRATA .

V

(404 )

Sur le quadrilatère inscrit .

Sur un théorème de Gauss .

Sur une suite de fractions . Trigonométrie sphérique

Une application des déterminants.

Sur un article de M. Perott. . . . .

Représentation nouvelle de la surface des ondes .

Sur les lignes de courbure .

Sommation UNE SÉrIE NON UN Une transformation de la formule du binôme . Sur quelques formules de Poisson

Équations différentielles.

Théorèmé d’Arithmétique . :

Sur le dernier théorème de Fermat .

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