HARVARD UNIVERSITY.

LIBRARY

OF THE

MUSEUM OF COMPARATIVE ZOOLOGY.

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4 MÉMOIRES …

NV, LT y EAU DE LA
SOCIÈTÉ ROYALE DES SCIENCES

DE LIÈGE.

Nec iemere, nee timide.

DEUXIÈME SÉRIE.

TOME XV.

DÉPOTS :

LONDRES » PARIS ; ESRLIN,
ehez Wicraus et Noncare, chez Rouar, libraire, chez Fniepranpen et Sohn,

Henrtotta Str., 14. rue Hautefeuille, 4otis. Carilstrasse, 11.

BRUXELLES,
F. HAYEZ, IMPRIMEUR DE L'ACADÉMIE ROYALE DES SCIENCES, ETC.
ET DE L'ACADÉMIE ROYALE DE MÉDECINE DE BELGIQUE,
Rue de Louvain, 108.

Sy TA
NOVEMBRE 1888.

De
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MÉMOIRES

SOCIÉTÉ ROYALE DES SCIENCES

DE LIÈGE.

MÉMOIRES

DE LA

SOCIÈTÉ ROYALE DES SCIENCES

DE LIÈGE.

Nec temere, nec timide.

D'EUECTENTEL SERIE;

TOME XV.

RE —————

DÉPOTS :

LONDRES » PARIS, BERLIN »
chez Wicrams et NoncaTe, chez Rorer, libraire, chez Fniepcanoer et Sohn,

Fenrietta Str., 14. rue liautefeuille, 100is, Carlstrasse, 11.

BRUXELLES,

F. HAYEZ, IMPRIMEUR DE L'ACADÉMIE ROYALE DES SCIENCES, ETC.,
ET DE L'ACADÉMIE ROYALE DE MÉDECINE DE BELGIQUE,

Rue de Louvain, 108.

NOVEMBRE 1888.

1O

TABLE

DES

MÉMOIRES CONTENUS DANS LE TOME XV.

. Mélanges mathématiques; par Eugène-Charles Catalan.

. Matériaux pour la faune entomologique de la province de Liège. —

Coléoptères, quatrième centurie; par Alfred Preudhomme de
Borre.

. Sur le calcul du résultat d'un système d'observations directes; par

P. Pizzetti.

4. Sur les semi-invariants de formes binaires, par Jacques Deruyts.

5. Démonstration d’un théorème de von Staudt; par C. Le Paige.

6. Sur les semi-invariants de formes binaires (2° communication);

par Jacques Deruyts.

. Notice historique de la détermination des coordonnées géogra-

phiques de Liège; par C. Le Paige.

LISTE

MEMBRES DE LA SOCIÉTÉ

AU 1% NOVEMBRE 13888.

Bureau.
Président, M. J. DeruYTs.
Vice-Président, > JORISSEN.
Secrétaire général, » LE Pace.
Trésorier, » NEUBERG.
Bibliothécaire, » FRAIPONT.

Membres effectifs.

1842 LaGuEsse, directeur divisionnaire honoraire des mines,
à Liège.

SELys LonGcnawps (baron E. DE), membre de l’Académie
royale des sciences, des lettres et des beaux-
arts de Belgique.

1844 KuPFFERSCHLAEGER, Is., professeur émérite à l’université
de Liège.

1853 Canpëze, E., membre de l’Académie des sciences, des
lettres et des beaux-arts de Belgique, à Glain
par Liège.

1353

1855

1856
1860

1861
1865
1868
1870

1871

1874
1875

1876
1878
1879
1380

1881
1884

1835
1887

( vit )

PiQuE, À., ancien professeur de mathématiques à l’athénée
de Liège (Flémalle-Grande).

DEWALQUE , G., professeur de minéralogie, de géologie et
de paléontologie à l'université de Liège.

CaTaLAN, C. E., professeur émérite à l’université de Liège.

GILLON, A., professeur de métallurgie à l'université de
Liège.

PEraRD, L., professeur de physique à l'université de Liège.

FouiE, F., directeur de l'Observatoire royal de Bruxelles.

GRAINDORGE, L. A. J., professeur à l’université de Liège.

Masius, V., professeur de pathologie et de clinique à l’uni-
versité de Liège.

VanLaiR, C., professeur de pathologie et de thérapeutique
à l’université de Liège.

Van BENEDEN, Éd., professeur de zoologie, de physiologie
et d'anatomie comparées à l'université de Liège.

Firker, Ad., chargé de cours à l’université de Liège.

SPRING, W., professeur de chimie à l’université de Liège.

SWAEN , À., professeur d'anatomie à l'université de Liège.

DE Koninck, Lucien, professeur de chimie analytique et
de docimasie à l’université de Liège.

LE PAIGE, Constantin, professeur de géométrie supérieure
à l’université de Liège.

JORISSEN, A., docteur en sciences, à Liège.

NEuBERG, J., professeur à l’université de Liège.

FRaIPoNT, J., professeur à l’université de Liège.

Deruyrs, J., docteur en sciences, chargé de cours à l’uni-
versité.

Ronkar, Ém., chargé de cours à l’université.

Uracus, P., répétiteur à l'École des mines.

Gravis, À., professeur de botanique à l’université de Liège.

Lonesr, M. assistant de géologie à l’université de Liège.

Forir, H., répétiteur à l'École des mines.

Deruyrs, Fr., docteur en sciences.

LAMBOTTE, Er., docteur en médecine, à Verviers.

DE HEEn, P., chargé de cours à l’université de Liège.

1845

1844

1845
1847

1852

1855
1854

1855

1858

1863
1864

1865

1866

(x)

Membres correspondants.
I. — Sciences physiques et mathématiques.

STAS, J. S., membre de l’Académie royale des sciences,
des lettres et des beaux-arts de Belgique, à
Bruxelles.

STEICHEN, membre de l’Académie, à Bruxelles.

LECOINTE, ancien professeur de mathématiques supé-
rieures, à Bruxelles.

Maus, inspecteur général des ponts etchaussées, à Bruxelles.

DE Cuyrer, A. C., professeur émérite à l'université de
Liège, à Bruxelles.

ETTINGSHAUSEN (baron Constantin von), membre de
l’Académie des sciences de Vienne, à Graz.

BÈèpe, Em., industriel, à Bruxelles.

PETRINA, professeur de physique , à Prague (Bohème).

DuTREuUx , receveur général, à Luxembourg.

WegEr, professeur de physique à l’université de Gottingue
(Prusse).

BLancHaRD, E., membre de l'Institut, à Paris.

Lrais, ancien directeur de l'Observatoire impérial de Rio
de Janeiro, maire de Cherbourg.

TcnéBycuerr, P., membre de l’Académie des sciences, à
Saint-Pétersbourg.

CaLIGNY (marquis DE), correspondant de l'Institut, à Ver-
sailles (France).

Gossace, membre de la Société chimique, à Londres.

BRUNER DE WATTEVILLE, directeur général des télégra-
phes, à Vienne.

HuGuENY, professeur, à Strasbourg.

TERSSEN, général d'artillerie, à Anvers.

De Cozner n'HuarT, conseiller d'État, à Luxembourg.

DAUssE, ingénieur en chef des ponts et chaussées, à Paris.

LEDENT, professeur au collége communal de Verviers.

(x)

1867 BarnarD, président de l'École des mines, à New-York
(États-Unis).
Boncomragni (prince Balthasar), à Rome.
HezunorrTz (von), professeur de physique, à Berlin.
1869 Marié Davy, directeur de l'Observatoire météorologique
de Montsouris.
ScHLômILCH, professeur d'analyse à l'École polytechnique
de Dresde.
1870 BERTRAND, J. L. F., membre de l'Institut, à Paris.
1871 Imscaenerski, professeur à l’université de Karkoff (Russie).
Hexey, L., professeur à l’université de Louvain.
DurRÉGE, professeur à l’université de Prague (Bohème).
Masters, MaxwELL T., membre de la Société royale,
à Londres.
LE BouLenGé, P., colonel d'artillerie.
1872 VaLLës, inspecteur honoraire des ponts et chaussées,
à Paris.
GariBALDI, professeur à l’université de Gênes (Italie).
KaniTz, D' Aug., professeur à l’université de Klausen-
bourg (Hongrie).
1875 BarTes, H., membre de la Société royale de Londres.
HERMITE, Ch., membre de l'Institut, à Paris.
DarBoux, G., membre de l’Institut, à Paris.
1874 WinkLer, D. C. J., conservateur du Musée de Harlem
(Néerlande).
Van RYSSELBERGHE, aide à l'Observatoire royal, à Bruxelles.
1875 Mansion, P., professeur à l’université de Gand.
MicHaeuis, O., captain, chief of Ordnance, à Saint-Paul,
Minn., département de Dakota (États-Unis).
DEWALQUE, Fr., professeur à l’université de Louvain.
Mare, M., examinateur à l’École polytechnique, à Paris.
Maraieu, Em., membre de l'Académie des sciences
(Nancy).
1876 Bazrour, Th. G. H., membre de la Société royale, à
Londres.
1877 Tissannier, Gaston, rédacteur du journal la Nature, à Paris.

1879

1880

1881

1882

1833

(x)

SYLVESTER, J. J., professeur à l’université d'Oxford.

Czu8Er, professeur, à Prague.

Cremona, Luigi, directeur de l'École d'application, à Rome.

Weyr, Ém., professeur à l’université de Vienne (Autriche).

IBANEZ, général, directeur de l'Institut cartographique, à
Madrid.

STUDNICKA, F., professeur de mathématiques à l’université
de Prague.

GENoccui, Angelo, membre de l’Académie de Turin.

Van DER MENSBRUGGE, Gustave, professeur à l’université
de Gand.

LuAGRE, général, secrétaire perpétuel de l'Académie royale
des sciences, etc., à Bruxelles.

DE Tizey, J., colonel, membre de l'Académie de Belgique,
à Anvers.

Bonnet, Ossian, membre de l’Institut, à Paris.

SéBERT, colonel d'artillerie de la marine française, à Paris.

ANGOT, À., attaché au bureau central météorologique de
France, à Paris.

WIEDEMANN, G., professeur à l’université de Leipzig.

PLANTÉ, G., à Paris.

Konzrauscx, directeur de l'Institut physique de Wurz-
bourg.

QuinckE, professeur de physique, à Heidelberg.

GIORDANO, inspecteur du corps des mines, à Rome.

Guiscarr, professeur à l’université de Naples.

LaIsanT, C. A., député, à Paris.

BELTRAMI, professeur à l’université de Pavie.

MascarT, membre de l'Institut, à Paris.

Bouniakowski, membre de l’Académie des sciences, à
Saint-Pétersbourg.

Breiraor, N., professeur à l’université de Louvain.

Mitrac-Lerrcer, G., professeur à l’université de Stock-
holm.

GomÈs TEixEIRA, F., ancien professeur à l’université de
Coimbre.

1834

1885

1837

1888

1842
1845

1845

1848
1852

1855

(exr)

BiERENS DE Han, D., professeur à l’université de Leide.

GERONO, C., rédacteur des Nouvelles Annales de mathe-
matiques, à Paris.

Scaur, Fréd., professeur à l’université de Leipzig.

HazPHen, membre de l'Institut, à Paris.

Picauer, répétiteur à l'École polytechnique, à Paris.

DE LonGcHamPs (Gohierre), professeur au lycée Charle-
magne, à Paris.

VanECER, J. S., professeur, à Jicin (Bohème).

CEsàro, E., professeur à l'université, à Palerme.

Wazras, L., professeur à l'Académie de Lausanne.

MENABREA, marquis de Val-Dora, ambassadeur de
S. M. le roi d'Italie, à Paris.

GuccrA, docteur en sciences, à Palerme.

Casey, J., professeur à l’université catholique de Dublin.

WüLLNer, professeur à l'École polytechnique d’Aix-
la-Chapelle.

Paazzow, directeur de l'École technique de Berlin.

OcacxE (Maurice D’), ingénieur des ponts et chaussées,
à Cherbourg (France).

II. — Sciences naturelles.

Van BENEDEN, J. P., professeur à l’université de Louvain.

KEYsERLING (comte A. DE), membre de l'Académie des
sciences de Saint-Pétersbourg.

HAGEN, professeur à l’université de Cambridge (États-
Unis).

KLiPsTEIN (von), professeur à l’université de Giessen.

Dana, J. D., professeur de géologie et d'histoire naturelle,
à New-Haven (États-Unis).

WeEsrwoop, professeur de zoologie à l’université d'Oxford
(Angleterre).

WATERHOUSE, conservateur au Musée Britannique, à
Londres.

( xt )

1854 KôLLIKER (von), professeur à l’université de Wurzbourg
(Bavière).
Drouer, H., naturaliste, à Charleville (France).
STAMMER , docteur en médecine, à Dusseldorf (Prusse).
ERLENMEYER, docteur en médecine, à Neuwied (Prusse).
Lucas, H., aide-naturaliste au Muséum d'histoire naturelle,
à Paris.
1855 Gæernrrz, H.B., professeur à l'École polytechnique, à Dresde.
1859 MarseuL (abbé DE), entomologiste, à Paris.
Beyricu, professeur à l’université de Berlin.
Marcou, J., géologue, États-Unis.
1860 Du Bois-Reymonn, professeur à l’université de Berlin.
BruGKkE, professeur à l’université de Vienne.
1862 Caspary, professeur de botanique à l’université de Kônigs-
berg (Prusse).
1864 Taouson, J., membre de la Société entomologique de
France, à Paris.
Durteu DE MalsoNNEUVE, directeur du Jardin Botanique,
à Bordeaux (France).
1865 Zeis, conservateur au Muséum royal d'histoire naturelle,
à Dresde.
Le Jouis, archiviste perpétuel de la Société des sciences
naturelles de Cherbourg (France).
Hawizron, membre de la Société géologique de Londres.
DE BorrE, A., conservateur au Musée royal d'histoire
naturelle, à Bruxelles.
1866 RonriGuez, directeur du Musée zoologique de Guatémala.
1867 GosseLeT, J., professeur à la faculté des sciences de Lille
(France).
Raposzkorrski, président de la Société entomologique de
Saint-Pétersbourg.
1868 Renaro (S. Ex. le chevalier), conseiller d'État, président
de la Société impériale des naturalistes de
Moscou.
1869 Simox, E., naturaliste, à Paris.
1870 TraurscnoL», professeur, à Breslau.

1870

1871

1875

1874

1875

Cv)

Mazaise, C., professeur à l'Institut agronomique de Gem-
bloux.

Van HoorEx, docteur en sciences, à Tongres.

Müccer (baron vo), botaniste du gouvernement, à Mel-
bourne (Australie).

Taomsow, James, vice-président de la Société géologique
de Glasgow.

CapELLINI (commandeur G.), professeur de géologie à
l’université de Bologne.

CLos, directeur du Jardin des Plantes, à Toulouse.

Hazz, James, paléontologiste de l'État, à Albany (États-
Unis).

WorTHEN, À. H., directeur du Geological Survey de l'Tli-
nois (États-Unis).

Warrney, J. D., géologue de l'État, directeur du Geolo-
gical Survey de Californie (États-Unis).

GLaziou, botaniste, directeur des Jardins impériaux, à Rio
de Janeiro.

LapisLado Nerro, botaniste, directeur du Musée impérial
de Rio de Janeiro.

DE Carvazno (Pedro Alphonso), docteur en médecine,
directeur de l'Hôpital de la Miséricorde, à Rio
de Janeiro.

BurueisTer, H., directeur du Musée national de Buenos-
Ayres.

Morexo, F. P., paléontologiste, à Buenos-Ayres.

ARESCHOUG, professeur adjoint à l'université de Lund
(Suède.)

GEGENBAUER, professeur à l’université de Heidelberg.

HAckeL, professeur à l’université de léna.

WALDEYER, professeur à l’université de Berlin.

Huxcey, professeur à l’école des mines, à Londres.

Emer, professeur à l'université de Tubingue.

DE LA VALETTE SAINT-GEORGE, professeur à l’université
de Bonn.

Ray-LankesTER, professeur à l’université de Londres.

1875

1879

1881

1885

1834

(xv )

PackaRD, professeur à l’université de Salem (États-Unis).

FLEemmnG, W., professeur à l’université de Kiel.

PLarEau, F., professeur à l’université de Gand.

Rôuer , F., professeur à l’université de Breslau.

SaporTA (Gaston marquis DE), correspondant de l'Institut
de France, à Aix (France).

Bazrour, 1. B., professeur de botanique à l'université,
à Oxford.

Mac LacaLan, Rob., membre de la Société entomologique,
à Londres.

HertTwiG, R., professeur à l’université de Munich.

STRASBURGER, professeur à l’université de Bonn.

BronGniarT, Charles , à Paris.

WETTERBY, professeur à l’université de Cincinnati.

Bozivar, [., professeur, à Madrid.

RiTsema, conservateur au Musée royal d'histoire naturelle,
à Leyde.

RENARD, Alphonse, professeur à l’université de Gand.

Key, AXEL, professeur à l'École de médecine de Stockholm.

Rerzius, G., professeur à l'École de médecine de Stockholm.

MENEGuiINI, professeur à l'université de Pise.

TARAMELLI, professeur à l’université de Pavie.

GESTRO, D' R., conservateur au Musée d'histoire naturelle
de Gênes.

SALVADORI (comte Th.), professeur à l’université de Turin.

Hu, Edward, directeur du Geological Survey d'Irlande.

SANDBERGER, Fridolin, professeur à l’université de Wurz-
bourg.

TRINCHESE, professeur à l’université de Naples.

LISTE

DES

SOCIÉTÉS SAVANTES, REVUES, ETC,

AVEC LESQUELLES
LA SOCIÉTÉ DES SCIENCES DE LIÈGE

échange ses publications.

x $——

BELGIQUE.

Bruxelles. — Académie royale des sciences, des lettres et des
beaux-arts de Belgique.
Observatoire royal.
Société entomologique de Belgique.
Société malacologique de Belgique.
Société royale belge de géographie.
Société belge de microscopie.
Musée royal d'histoire naturelle.
Liège. — Sociélé géologique.
Mons. — Société des sciences, des lettres et des beaux-arts du
Hainaut.

Gand. — Mathesis, directeur : P. Mansion, professeur à l'université.

ALLEMAGNE.

Berlin. — Xôünigliche Akademie der Wissenschaften.

Deutsche Geologische Gesellschaft.

Entomologischer Verein.

Zeitschrift für die gesammten Naturwissenschaften.
Naturhistorischer Verein der Preussischen Rheiïnlande
und Westphalens.

Bonn.

( xvur )

Breslau. — Schlesische Gesellschaft für vaterländische Cultur.

Colmar. — Société d'histoire naturelle.

Erlangen. — Physikalisch-medicinische Societüt.

Francfort. — Senckenbergische naturwissenschaftliche Gesell-
schaft.

Fribourg.

Naturforschende Gesellschaft.
Oberhessische Gesellschaft für Natur- und Heilkunde.

Giessen.
Gôrlitz. — Nalurforschende Gesellschaft.
Oberlausitzische Gesellschaft der Wissenschaften.
Gôttingue. — Xünigliche Gesellschaft der Wissenschafien und
Georg-August-Universilät.
Naturwissenschaftlicher Verein für Sachsen und Thü-
ringen.
Naturforschende Gesellschaft.
Kaiserliche Leopoldinisch-Carolinische Deutsche Akademie
der Naturforscher.

Halle.

Kiel. — Vaturwissenschaftlicher Verein.

Kénigsherg. Künigliche physikalisch-ükonomische Gesell-
schaft.

Landshut. — Botanischer Verein.

Leipzig. — Vaturforschende Gesellschaft.

Metz. — Académie des lettres, sciences, arts et agriculture.

Munich. — Xüniglich Bayerische Akademie der Wissenschaften.

Kôünigliche Sternwarte.
Munster. — West/ülischer Provincial-Verein für Wissenschaften
und Kunst.
Offenbach. — Offenbacher Verein für Naturkunde.
Stettin.

Stuttgart. Verein für vaterländische Naturkunde in Wür-
temberg.

Entomologischer Verein.

Wieshaden. — Vassauischer Verein für Naturkunde.

Wurzhourg. — Physikalisch-medicinische Gesellschaft inWürz-
burg.
Zwickau. — Verein für Naturkunde.

Cux)

AUTRICHE-HONGRIE.

Hermannstadt. — Siebenbürgischer Verein für Naturwissen-
schaften.
Naturwissenschaftlich-medicinischer Verein.

Innspruck.

Prague. — AXüniglich bühmische Gesellschaft der Wissenschaften.
Kaiserlich-Künigliche Sternwarte.

Vienne. — Xaiserliche Akademie der Wissenschaften.
Kaiserlich-Künigliche zoologisch-botanische Gesellschaft.
Kaiserlich-Künigliche geologische Reichsanstalt.

ESPAGNE.

Madrid. Real Academia de Ciencias.

FRANCE.

Béziers. — Sociélé d'étude des sciences naturelles.

Bordeaux. — Académie des sciences, belles-leltres et arts.
Société linnéenne.
Sociélé des sciences physiques et naturelles.

Caen. — Sociélé linnéenne de Normandie.
Cherbourg. — Société des sciences naturelles.

Dijon. — Académie des sciences.

Lille. — Société des sciences, de l’agriculture et des arts.
Lyon. — Académie des sciences.

Société d'agriculture.
Société linnéenne.

Montpellier. — Académie des sciences et lettres.
Société des sciences (ancienne Société des sciences natu-

relles de Strasbourg).

Naney.

Paris. — Sociélé géologique de France.
Sociélé Philomatique.
Muséum d'histoire naturelle.

(xx)

Rouen. — Société des amis des sciences naturelles.
Académie des sciences.

Toulouse. — Académie des sciences.
Societé des sciences physiques et naturelles.

Œroyes. — Société académique de l'Aube.

Agen. — Société d'agriculture, sciences et arts.

GRANDE-BRETAGNE ET IRLANDE.

Dublin. — Royal Irish Academy.
Royal Society.

Édimbourg.

Geological Society.
Londres. — Geological Society.
Linnean Society.
Royal Society.

Glasgow. — Geological Society.
Natural history Society.
Philosophical Society.

Manchester. — Literary and philosophical Society.

ITALIE.

Bologne. — Accademia delle Scienze.

Catane.
Gênes.

Modène. — Societa dei naturalisti.

Accademia gioenia di scienze naturali.

Osservatorio dellu R. Universila.

Naples. — Societa Reale.

Palerme. Istituto tecnico.
Societa di scienze naturali e economiche.
Circolo matematico.

Pise. — Societa di scienze natural.

Rome.

Bulleltino di bibliografia delle scienze matematiche,
publié par le prince B. BoncomPpaGni.

Reale Accademia dei Lincei.

Accademia pontificia de’ Nuovi Lincei.

R. Comitato geologico d'Italia.

(xx)

LUXEMBOURG.

Luxembourg. — /nsthitut royal grand-ducal, section des sciences
naturelles et mathématiques.

NÉERLANDE.

Amsterdam. — Xoninklijke Academie van wetenschappen.

Harlem. — Société hollandaise des sciences.
Musée Teyler.

Rotterdam. — Bataafsch Genootschap der proefondervindelijke
wijsbegeerte.

Delft. — École polytechnique.

PORTUGAL.

Coïmbre. — Journal des sciences mathématiques el astrono-
miques, rédacteur : M. GouÈs TEIXEIRA.

Lisbonne. — Académie des sciences.

RUSSIE.

Helsingfors. — Sociélé des sciences de Finlande.

Moscou. Sociélé impériale des naturalistes.

Saint-Pétershourg. — Académie impériale des sciences.
Société d'archéologie et de numismatique.
Société entomologique.
Société impériale de minéralogie.

SUÈDE ET NORWÉÈGE.
Bergen. — Museum.

Christiania. — KXongelige Frederiks Universitet.

Stockholm. — Académie royale des sciences.
Nordist medicinskt Arkiv, directeur : D' Axez Key.
Entomologiska füreningen.
Actu mathematica, rédacteur : M. Mirrac-LErFLer.

( xxn )

DANEMARK.

Copenhague. — Tidskrift for Mathematik : D' H. G. ZEUTHEN,
professeur à l’université.
Académie royale des sciences.

SUISSE.

Berne. — Vatur/orschende Gesellschaft.
Société helvétique des sciences naturelles.

Neuchàâtel. Societé des sciences naturelles.

Schafhouse. — Vaturforschende Gesellschaft.
AMÉRIQUE.
ÉTATS-UNIS.

American Association for advancement of sciences.

Baltimore. — American Journal of mathematics.
Johns Hopkins University.

Boston. — American Academy of arts and sciences.
Society of natural History.

Cambridge. — Museum of comparalive zoology.
Columbus. — Ohio State agricultural Society.

Madison. — Wisconsin Academy of sciences, letters and arts.
New-Haven. — Connecticut Academy of arts and sciences.

Orleans County Society of natural sciences.

Newport.
New-York.
Philadelphie. — Academy of natural sciences.
American philosophical Society.
Wagner Free Institute of sciences.

Academy of sciences.

Portland. — Natural History Society.

Salem. The American Naturalist.
Essex Institute.
Peabody Academy of sciences.

San-Franeiseo. — Californian Academy of sciences.

Smithsonian Institution.

WVashington.

(exo)

GUATÉMALA.

Guatémala. — Sociedad economica.

MEXIQUE.

Mexico. — Société Antonio Alzate.
Observatoire météorologique central.

Tacubaya. — Observatoire national.

RÉPUBLIQUE ARGENTINE.

Buenos-Ayres. — Universidad.

ASTE.
INDES ANGLAISES.

Calcutta. — Asialic Society of Bengal.

INDES HOLLANDAISES.

Batavia. — AXoninklijke natuurkundige vereeniging in Neder-
landsch Indië.

AUSTRALIE.

Hobart-Town. — Tasmanian Society of natural sciences.
Melbourne. — Observatoire.

Sydney. — Linnean Society.
Royal Society of New South Wales.

MÉLANGES
ATHÉMATIQUES

PAR

EUGÈNE- CHARLES CATALAN,

Ancien élève de l’École polytechnique, Professeur émérite à l’Université de Liège;
Associé de l’Académie de Belgique, de l’Académie des sciences de Toulouse
et de la Société des sciences de Lille;
Correspondant des Académies de St-Pétersbourg, de Turin, des Vuovi Lincei;
Membre de la Société des sciences de Liège,
de la Société mathématique de France et de la Société philomathique de Paris;
Correspondant de la Société mathématique d'Amsterdam, j
de l’Institut national génevois, de la Société havraise d’études diverses
et de la Société d'agriculture de la Marne.

« Ceci est mon testament. »

TOME TROISIÈME.

MÉLANGES
MATHÉMATIQUES.

CCX VI. Section droite du cylindre circonscrit
à un ellipsoide.
(Avril 1884.)
x? y? 3°?
I ee, (1)

étant l'équation de l’ellipsoïde; soient f, g, h, les cosinus directifs
de l’axe OL du cylindre. L'équation de cette surface est, comme
on sait,

P° — mQ — 0, (2)
en posant :
CRU OUMaENz LAN :
on G
M—= — + + —:
de OMR C: |

D'un autre côté, le plan de la section droite est représenté par
fe + gy + hz—0. (4)

Par conséquent, les carrés des demi-axes de cette courbe sont
le maximum et le minimum de

= + y +2, (b)

les variables x, y, z satisfaisant aux conditions (2) et (4).

(a

La règle ordinaire donne

xdx + ydy + zdz —0, (6)
{dx + gdy + hdz —0, (7)
Pf— mx Pg — my Ph — mz
ee CE en Ca (8)

Par la méthode de Bezout, on déduit, des trois dernières
équations :

Pf—
UD led
a
Pg — m
y+g+u T0, (9)
Ph — mz

Z+Ah+u = 0.

C |

Si maintenant on multiplie par x, y, z, et qu'on ajoute les .
produits, on obtient, à cause des relations (5), (4) :

+ p[P?— m(Q + 1)] = 0:

ou, par l'équation (2) :
PÉDEUR (10)

De même, en multipliant par f, 9, h:
à + w[Pm— mP|]=—0,
ou
A = 0. (14)
Ainsi, les équations (9) peuvent être remplacées par :

Qu— ax = Puf, (u°—b\y—=Pug, (u°—c)z— Puh. (12)

Il résulte, de celle-ci, l'équation demandée :

f° g° h2 ù
—10} il
Den De le age qe (e

(5)

IT. Suite. — Menons, par le centre de l’ellipsoïde, un plan
perpendiculaire à la droite dont les cosinus directifs seraient
f', g', h'. Les carrés des demi-axes de la section vérifient l'égalité

DO ONE Re CRE (14)
due à Sedley Taylor (*).

Ces deux équations auront les mêmes racines, si

In EEE (15)

NTI l
LT + — | (16)
LRO ANR

M 'MIV Eee

La droite OL’, dont les cosinus directifs sont f”, g', h', est donc
déterminée ; et, en conséquence :

I. Tuéorèmes. — 1° Toute section d’un ellipsoïde, par un
plan diamétral, est égale à la section droite d’un certain cylindre,
circonscrit à l’ellipsoide.

2° Réciproquement : Tout ellipsoide, inscrit à un cylindre,
admet une section diamétrale égale à la section droite du
cylindre.

3° Si deux ellipsoïdes, concentriques, sont inscrits à un même
cylindre, une section diamétrale de l’un est égale à une section
diamétrale de l’autre.

4° Réciproquement : Si deux ellipsoides concentriques n’ad-
meltent pas de sections diamétrales égales, ils ne sont pas inscrip-
tibles à un même cylindre.

IV. Remarque. — Soient A', B’, C' les projections, sur OL,

() Cours d'Analyse, p. 461; Nouvelles Annales, t. XX, p. 115; etc.

(6)

des sommets À, B, C de l’ellipsoïde (*). Le point M, dont les
coordonnées sont

DOM ay OP DIE Re OC CRE
appartient à cette surface (**). De plus, il appartient à la

droite OL.

Done ce point M est celui où la droite OL perce l’ellip-
soide (***).

Si M' est le point d’intersection de OL’ avec la surface, nous

dirons que M, M’ sont deux points correspondants. Il existe,
entre ces deux points, une relation simple.

V. Tuaéorèue. — Le centre O est également distant du point
M' et du plan tangent en M.

Prenons, avec les formules (16), les équations

UE — ug, A = Ne (17)

D (18)

puis la formule connue :

] x? y ge
Kat to
ou
 fe 9° h°
Il est visible que
1 ï 1
U° — u —
2 2 h? fr g'° h 9
ee 2 7 a —
a° b° c? a b? (ia c°

() Le lecteur est prié de faire la figure.
() A cause de

55

= +S+== + me +nt = 118
ji C

(**) Nous prenons, dans la figure, la partie située au-dessus du plan x0y.

Donc
F2 g° h?
MCE D
Te 9° h? 2

D) ER UF OR ANR RES 2 920
A fr g° h'° fe ( )
db €
C. Q. F. D.
VI. Cylindre de révolution. — Si la section diamétrale de

l’ellipsoïde est circulaire, la section droite du cylindre circon-
serit l’est également : celui-ci est un cylindre de révolution. Par
la théorie connue (*), on trouve :

a D —c° c a —\c°
= : = 0, D VE ; 21
/ ay J b — 0° (Et)

puis, au moyen des formules (16) :

ee De me)
OVER g —0, LEV (22)

Par conséquent :

A un ellipsoide donné, on peut toujours circonscrire un
cylindre de révolution (**);

ou, en d’autres termes :

Étant donné un ellipsoïde éclairé par des rayons parallèles, on
peut toujours le placer de manière que son ombre, sur un plan
perpendiculaire aux rayons, soit un cercle.

() Voir, par exemple, l'Analyse appliquée, de Leroy (p. 165).
(”") Plus exactement, deux cylindres.

(8)

VII. Remarque. — Quand un cylindre de révolution est
circonscrit à l’ellipsoïde, il est circonserit à la sphère concen-
trique à celui-ci, et dont le rayon serait b. L’ellipse suivant
laquelle le cylindre touche l'ellipsoïde est, relativement à cette
surface, une ligne de courbure constante ; et, en outre, une variété
de la courbe appelée polhodie (*).

€CX VII. — Sur deux théorèmes de M. Laguerre (*).

(Août 1884.)

L. PREMIER THEORÈME. — On peut construire trois cercles
osculateurs d’une parabole, qui touchent une tangente à ceite
courbe : cette tangente, et les tangentes aux points d’osculation,
touchent un même cercle.

I. Rapportons la courbe à la tangente Cx et à la nor-
male CA (***).

L'équation sera

(y — ax) — 2by = 0 (”). (4)

Il en résulte :
(y — ax)(y — a) — by — 0, (2)
y — a) + (y — ax — b)y" = 0. (3)

Le cercle osculateur en M, qui touche Cx, est représenté par

ÿ — 2ey + (x — x) — 0; (4)
d'où

(y—p)y +xz—a—0, (y—e)y +y*+1—0. (5)

(‘) Remarques sur la théorie des courbes et des surfaces, p. 54.

(‘*) Savant Géomètre, plein d'originalité, dont on déplore la perte récente.
Je l’ai eu pour élève, au Lycée Saint-Louis, en 1851. (Nov. 1886.)

(‘‘*) Le lecteur est prié de faire la figure.

«*; a est le coefficient angulaire des diamètres ; 26 = corde CA.

(9)

Des équations (2), (5), on tire

4 (y! — a)
y — AX — — = b — “———.
DRE y
Ainsi
: ; (y — a)
(y — a) + aby"=0, y 2 PALIN (6)

La première valeur de y — ax, substituée dans l'équation (1),
donne
Buy ah 0:
puis
by”

Pare 7
(y — a) No

1
Mori

L'élimination de x — « et de p, entre les équations (4), (5),

conduit à
RENTE | ere} Va A |
He, Er ra S Er 0. (8)

y + 2

y
Donc, par substitution des valeurs (6), (7) :
gg — a) — ha(l + y) (y — à) — haï(l + y'Ÿ = 0;
ou, après suppression du facteur y" (*) : |

y'(y — a) — ka(l + y)(1 + ay) = 0. (9)

On simplifie cette équation en posant

its “e
F mn
1 + ay
puis { — a — 5. On trouve ainsi ;
$° — 5u°s — 2a(2 + a) — 0. (10)

() y'= 0 répond à la tangente Cæ.
(”") £est la tangente de l’angle que fait MT, tangente à la parabole, avec
les diamètres.

(10)

Cette équation a une seule racine réelle; donc, des trois cercles
considérés, deux sont imaginaires (*).

IT. Seconp rHÉORÈME (**). — Les projections MP, M'P' de deux
normales MN, M'N' à une ellipse, sur la corde MM’, sont égales
entre elles (***).

Nous supprimons la démonstration, très facile (*); mais nous
énoncerons les propriétés suivantes, conséquences du théorème :

1° Dans l’ellipse, la projection d’une normale MN, sur le demi-
diamètre OM, a pour expression - ; a désignant ce demi-diamètre;

2° Dans l’ellipse, deux cordes parallèles sont entre elles comme
les projections, sur ces droites, des intervalles compris entre les
pieds des normales correspondantes.

(‘) Nous ne poussons pas plus loin cet exercice de calcul. Dans la
démonstration donnée par M. Brisse, on lit :
« l’équation 1 :
9 p
Yÿ5 + ru + et = ()
» dont les racines sont imaginaires. 11 y a donc trois cercles osculateurs
» imaginaires d’une parabole, qui touchent une tangente à cette courbe ».
(N. A., 1884, p. 590).

Étonné d’une pareille conclusion, deux fois énoncée, j'écrivis à l’Auteur :
« relisez donc la page 590 ». M. B. se contenta de me répondre à peu près
ceci : « je n’écris pas pour les savants ; j’écris pour les élèves ». Ultérieurement,
la correction a été faite.

(‘) Cité et démontré par un ancien Élève de Mathématiques spéciales.
(N. A., même tome, pp. 455 et 458). Tout le monde sait que ce pseudonyme
désigne un savant Professeur à l’École polytechnique. En 1848, alors qu'il
suivait mon cours, au Lycée Charlemagne, il se fût dit : Élève de Mathéma-
tiques supérieures. En ce temps là, on avait renoncé à la ridicule dénomi-
nation de Mathématiques spéciales, si justement critiquée par Gergonne.

(‘**) Le lecteur est prié de faire la figure. (Les points N, N° appartiennent
au grand axe.)

(") Par l'emploi des coordonnées, elle est plus courte que celle que
nous venons de mentionner.

(11)

CCX VIII. — Remarques sur un théorème de Fermat.

(Juin 1884.)

I. Ce théorème, l’un des plus importants de la théorie des
Nombres, a été démontré (de la même manière) par Lagrange
et Legendre (*). Habituellement, on l'énonce ainsi :

Tout diviseur d’une somme de deux carrés, premiers entre eux,
est également une somme de deux carrés, premiers entre eux (*”*).

Mais ces grands Géomètres, et leurs successeurs, ont négligé
de faire observer que le diviseur dont il s’agit peut être la somme
de deux carrés fractionnaires (**”).

Par exemple,

DC NE RAMAIT a + ER
II. De la double identité classique :
(a + D) (a +) — (ae Æ 09) + (08 ba), (1)
on conclut
(a + b'){e? + = (aa + 208 — af*} + (ba + Q2aas — bB’),
ou
RTE de + Das — à) " È 2aaB — D?

a + f?

ln

a + fÿ

En général, les fractions entre parenthèses ne sont pas
réductibles à des nombres entiers |"). Conséquemment :

() OEuvres de Lagrange (publiées par Serret), t. II, p. 211; Théorie
des Nombres, de Legendre, t. [, p. 205.

(*) Legendre dit, à l'endroit cité : « tout diviseur de la formule t? + u*.. »
Je ne pense pas que {° + «? soit une formule.

(**) Très probablement, l’omission a été volontaire; la décomposition en
deux carrés entiers étant seule efficace.

(*) a, B sont des entiers arbitraires, positifs ou négatifs.

/ (12)

La somme des carrés de deux nombres entiers est décomposable,
d’une infinité de manières, en deux carrés fractionnaires.

En particulier :

Tout nombre premier, de la forme 4ku + 1, est, d'une infinité
de manières, égal à la somme de deux carrés fractionnaires.

Par exemple,

(6 ( (5)
ALA 5 5/ \43 13/ \13 15

D) +) =) +)
=|—| +=) = NEC
17 17 TE CET RES

III. A, B étant deux nombres entiers, premiers entre eux;
soient a, b deux nombres entiers, premiers entre eux, et tels,
que a? + D? divise A? + B?. D'après le théorème de Fermat, a
fraction

A? + B°

a + b°°

doit être réductible à la forme a? + b'?; a’, b' étant deux nombres
entiers, premiers entre eux. Or, si l’on applique l'identité (1),
on trouve

4 fi

Aa :+ Bb Ab Æ Ba
D RAA PT
et, par conséquent :
ACC Âa + Bb\° Ab Z Ba\?
ETAT Le ! (3)

a? + b? air 0: a + b°
Ainsi, où l’on devrait rencontrer deux carrés entiers, on trouve
deux carrés fractionnaires.

(*) J'iguore s’il existe quelque formule qui donne, sous forme entière, la
valeur du premier membre.

(45)
IV. D'après la Note CXCVIE, si
N— (a + c°)f? — 2[ (a? + b? + c?) — a°b°] fg + (b° + cg, (4)
on à

(a? + CN = À [(a° + 0° + ©) — ab] — (a + cd) ff?

+ kab°c (a? + b? + c°)°

(à)

Supposons que a? + b? + c? soit un carré »?. Alors
(a? + CŸN = { (mc? — 6°) g — (a? + ©) fi? + ka*b?cm°g°

est une somme de deux carrés. Donc, en vertu du théorème,
N est, pareïllement, une somme de deux carrés entiers (*). Mais
l'application de la formule (3) donne deux carrés fraction-
naires (**).

Soient, par exemple,

Ut — À, b° — #4, = 1, Ma) f—2, GE
d’où
25 N — 71° + 72°;

N — el =

25 25

puis

D'autre part, au moyen de la formule (4) : :
N = 409 — 20° + 5° (**).
V. La formule (4) étant écrite ainsi :
N = [(a + &)f—(b + eg} + date fy, (6)

on voit que N est une somme de deux carrés, si fg est un
carre (1%).

(‘) Au moins si les deux parties du second membre sont premières
entre elles.

(”) Cette sorte de paradoxe a été l’occasion de la présente Note.

(‘”") Complément à la Note CXCVI.

QD)

CCXIX. — Sur une formule attribuée à M. Hermite.

(Août 1884.)
J. Dans le Bulletin de Darboux (*), on lit, à propos d'une
Note de M. Stieljes :
« En faisant usage de la relation suivante :

q + kq° + 9q° + 16q° + … = + 2q + 2q+ 2q* + 2q° + -.)

fe 3 5
2 ur EVE) IN …
L(1 + _ (A+ qgY (+ 9)
» qui lui a été communiquée par M. Hermite, l’auteur... »

Corrigeant la faute typographique, et changeant q en — q, on
trouve

b

— 4 q# 3__416 16 ee
Toad dome Des îl DR RU EU à (A)
15229 00e ELA) A0) UT)

Il semblerait donc, d’après M. Stieljes, que cette formule est
due à M. Hermite. Or, il n’en est rien (*).

IT. Remarques. — D'après Jacobi (***), l'égalité (A) peut être
remplacée par celle-ci :

gt 9q° — … 2 5
D fn AE SR AR A MR (B)
1—2q+2qg —9q + 1— 1— 9° 4 — q°

laquelle est plus simple ("”).

(‘) Juillet 1884, p. 105.

(”) Voir, par exemple, mes Motes sur la théorie des fractions continues et
sur certaines séries (pp. 57, 58 ; 1885). Voir aussi les Recherches sur quelques
produits indéfinis (p. 92).

(""*) Recherches…., p. 93.

(”) On peut voir, dans les Votes sur la théorie…., les propriétés qui en

résultent.

(15)

CCXX. — Courbes ayant même longueur qu’une

ellipse donnée.
(Janvier 1885.)

I. Soit une ellipse E, tracée sur un cylindre vertical, et
représentée par les équations
Z
LU — R', 0 —iter. (1)
y
Soit, en second lieu, une courbe C, à double courbure, ayant
pour équations
HR NME Si. (2)

On peut disposer du rayon R' et du paramètre a, de manière
que, dans les développements des deux cylindres projetants, la
transformée E’ de E, et la transformée C' de C, soient égales.
S'il en est ainsi, un arc quelconque de C, et l’are correspondant
de E, auront même longueur.

On satisfait aux équations (1), en prenant

x —=Rcoso, y—Rsino, z—Rtigesino. (5)
De mème :
R°
x —=R'cose, y— R'sine, 27'—=—sinv'cos. (4)
a

La condition d'égalité, entre les transformées E’, C', donne les
relations :
Ro—Ro,- 72 —;; (5)
lesquelles sont vérifiées par

!
@Q —=

1

Si RI=9R; ta—°2hRocotz

Les équations de la courbe C sont donc :

o) - o) .
æ —2kRcos—, y —?2Rsin—, z'=Ritgosino. (6)

(16)
IL. Vérification. — On à :

dx ——Rsinodo, dy —=Recosodo, dz — R tga cos odo;

dx" = — Rsin=de, dy =R cos, TU:

Par conséquent, s et s’ étant les arcs correspondants :

2

ds® — R°(1 + tg'x cos*o) de? — (4 — sin°« sin°&) do’,

,2

cos «
ds"? = ds’;
puis
R 2@ AURA RE M a Mure
ss = da doV/1 — sin?« sin. (7)
COS «,
0

II. Remarque. — Le module de l'intégrale elliptique est le
sinus de l’angle formé par le plan de l’ellipse avec le plan de la
section droite.

Addition. — (Novembre 1884.)

IV. Au lieu des équations (6), prenons, plus généralement :

Rncos se y = Mnsin- 8
X = NACOS-— — RANSIN—-,
=, y —Rnsin= (8)
z'=Rigasino. (9)
Il en résulte
DURS, … (40)

puis, par la formule de Moivre,
(x' + yV—A) — (x —y VA) = ANR" 17 VA cot «. (11)

Ainsi, la courbe C, intersection d’un cylindre de révolution
avec une certaine surface algébrique S, a même longueur que
l'ellipse E.

(17)

V. Remarque. -- La surface S, représentée par l'équation (11),
est rencontrée, en un seul point, par toute parallèle à l’axe Oz.
De plus, si l’on adopte, comme coordonnées, z’ et w, elle est
déterminée par l'équation (9). Cette surface est donc un conoïde
droit, dont une génératrice quelconque a pour équations :

Pig, 2'=Rigasino (‘). (12)
œ n
CCXXI. — Sur une classe de surfaces gauches.

(Novembre 1886.)

1. Génération. — Soient

vi une courbe amb, située
dans un plan horizon-

tal (**), et une directrice

ï / Ai verticale GOz. Si une
É

droite GmH s'appuie sur

| 4 À
L PAT ces deux directrices, en
ANS RE) 2

| Re faisant, avec la seconde,
Len / CR
lABISE MATE kkk
5 fe un angle constant
nr 5 ; É DE
Roue D cette droite mobile engen-

V7 dre une surface gauche
7 >)
p IT. Ligne de striction. —

C'est la directrice recti-
ligne (").

IL. Courbes de niveau. — Soit p la projection horizontale

(*) Ces résultats, peu importants peut-être, sont beaucoup plus simples
que ceux qui ont été trouvés, par Legendre et Serret, relativement à
l'intégrale elliptique de première espèce.

(‘*) Pour fixer les idées.

(***) Nous le supposons égal à 45°, afin d’obtenir des résultats simples.

(“) Toute surface réglée, qui admet une directrice rectiligne, est gauche.
(Traité élémentaire de Géométrie descriptive, 1864, seconde partie, p. 72).

(") Recherches sur les surfaces gauches, p. 22.

2

(18)

d'un point P de Z. A cause de l'hypothèse sur l'angle zGP, les
triangles GOm, Ppm, évidemment semblables, sont isoscèles :
mp —= Pp. Pour une ligne de niveau, l'ordonnée Pp est con-
stante; done mp — z — const. Autrement dit : toutes les lignes de
niveau, de la surface ©, se projettent, sur le plan de l’une d’elles,
suivant des conchoïdes de celle-ci, relativement au pôle O (*).

IV. Équation de la surface. — Si la directrice amb est repré-
sentée par u — af(o), il est clair que l'équation de ZX est
u = af(o) + z. (1)
V. Normale. — La normale à 3, au point P, étant normale
à la ligne de niveau qui passe en P, se projette, horizontalement,
suivant la normale, en p, à la conchoïde cpd. D'après une pro-
priété connue, cette normale pn passe en un point fixe n, situé
sur la perpendiculaire à Omp, menée par le pôle. Donc les nor-
males à la surface ©, en tous les points d’une même génératrice,
rencontrent une droite fixe nQ, parallèle à la directrice Oz.

VI. Paraboloïde normal. — Chacune des normales consi-
dérées rencontre GH et nQ. En outre, elle est contenue dans
un plan perpendiculaire à GH. Conséquemment, le lieu de ces
droites est un paraboloïde hyperbolique, conformément à un
théorème connu.

Addition. — (Novembre 1886.)

VII. Lignes de plus grande pente. — Elles se projettent, sur le
plan horizontal, suivant les trajectoires orthogonales de la direc-
trice amb et de ses conchoïdes. D’après la formule (1), dans
laquelle z doit être considéré comme un paramètre, l'équation
différentielle des conchoïdes est

ENT MIE

(‘) Quand la directrice amb est rectiligne, la surface, nommée hyperboloïde
conchoïdal, est fort intéressante. Le modèle en a été construit par Bardin et
par M. Muret. De plus, au mois de juin 1870, M. Welsch, alors élève à
l'École polytechnique, a publié, sur cette même surface, une étude et une
épure fort bien faites. J’ignore ce qu’est devenu ce jeune Géomètre.

(19)

Une simple considération géométrique, combinée avec le
théorème rappelé dans le paragraphe V, donne

.d__ FO.

en Cr tee V1

du u
ou, par la séparation des variables,

k étant la constante arbitraire. Telle est l'équation qui était
demandée.

VIII. Application. — Dans le cas de l’hyperboloïde conchoïdal,
l'équation (1) est

+2 ();

Sin @

$ = ie Peur

COS w

ou

| . + si - T
al—-—-}—sinœ— $.te|— + |. 3
( k dise 2 " (8)
On voit que la constante k est le rayon vecteur répondant à

© — (.

IX. Remarques. — 1° D'après l'équation (2), le problème des
trajectoires orthogonales d’une série de conchoïdes est toujours
résoluble (**).

2° Si, dans l'équation (2), on pose :

elle devient
vu = aF(o) + |; (5)

(") Nous prenons l’axe polaire parallèle à la directrice, afin que l’inté-
grale (2) s’annule avec w.
(”*) En ce sens qu’il est ramené aux quadratures.

( 20 )

et celle-ci, de même forme que la proposée (1), représente une
nouvelle série de conchoïdes. Conséquemment : les réciproques
R. R',R', … (ou les inverses) (*) des trajectoires orthogonales
T, T', TT”, … d’une série de conchoïdes €, C', C", …, forment une
nouvelle série de conchoïdes.

3° Ce n'est pas tout. Comme les réciproques de deux
courbes orthogonales sont orthogonales (**), si nous prenons les
réciproques D, D’, D”, …, des conchoïdes GC, C', C'', …, ces
lignes D, D’, D", …, constitueront, avec R, R', R'', …, un système
orthogonal. Nous pouvons donc énoncer la proposition suivante :

Taéorème. — Soient des conchoïdes C, C' C”', …, leurs récipro-
ques D, D’, D", …, et les trajectoires orthogonales T, T', T'',
de D, D’, D”, … Les réciproques R, R', R"”, …, de T, T', T'',.….,
sont des conchoïdes, orthogonales aux réciproques D, D', D”.

X. Application. — Si les courbes C sont les limaçons de Pascal,
représentés par
U — ASIN + 3,

auquel cas les réciproques D ont pour équation :

a?

+)
2

Er A TEE
asino+Zz
alors les trajectoires orthogonales T et leurs réciproques R sont
déterminées par les formules :

(‘) La relation wv = «* est celle qui définit deux lignes réciproques.
(**) Propriété connue.
(‘**) Évidemment, ces réciproques sont des coniques dont l’un des foyers
est au pôle.
(”) Si l’on suppose / = 0, on peut écrire ainsi la dernière équation :
2 ==
séc © — Les = )

9

4

Les conchoïdes R sont donc des spirales-chaînettes (?).

(21)

COXXII. — Sur la fonction numérique (7) (*).
(Août 1882.)

[. PROBLÈME. — A étant un diviseur quelconque du nombre
: , g (A)
entier N, évaluer JE ;
Soit, pour fixer les idées, N — a*bñc?. Les valeurs de A sont :
Bus a 00 DU DEN CC ic ab Die Ne
et les valeurs de o(A) :
4; a—14, a(a—1),.…, a«%t{a—14), b—1, b(b—14),.…., bÉ-1(b— 1),
c— 1, c(e—1),.., e'(e—1);
(a —1)(b— 1), a(a—1)(b—1),.…., b8tc/ (D —1)(c —1);
QE DB Ta — 1) (b — 1)(c— 1).

Donc
o(A) a—1 a—1 a—1 b—1 b—1 b—1
— == —— + +... — ——— +... —
A Ge a a #4 a Hs b y b Fr b
ee PP LL
c c c ab
(a —1)(b—1 (a —1)(b—1)

LE QE NE © +

ab ab
3e | : ’

(a — 1)(b—1)(c —1)
+ ——————————
abc

: : o —1 :
Dans le second membre, il y a « fois la fraction —, fois
: b—1 . . —4 à o
la fraction ——, y fois la fraction ——, af fois la fraction
(a—1)(b— 1)

mn — 3 ete. Ainsi l'égalité se réduit à

a te )

4) y(c—1) af(a—1)b—1)
Re pe PEAU

c ab
: aBy (a — 1)(b — 1)(c — 1)
abc

; (1)

(‘) Au sujet de cette fonction, déterminée par Euler, on peut consulter
le Journal de Liouville, t. IV, p. 7.

(2)
puis enfin, à

=: + —]|: + — ||: +]

La formule cherchée est done

ue a É fe. (A)

II. Remarque. — Cette formule, peu élégante, se simplifie
quand N = a“b’c‘d".. Dans ce cas.

DE — abcd.….. (B)

Addition. — (Janvier 1887.)

IL. ProBLèME. — Évaluer ES

De l'égalité (A), on conclut, sans nouveau calcul :

A a F b C
op

et, si

> + a)(4 + b)(4 + c)… (D)
IV. TuéorÈme. — Si N — abecd …, on a

: |
DH REur (E)

23) — on
En effet, le premier membre est
l 1 1 1 1
Pat OS CU 0N bent
1

foÛ

A (a —1)(b — 1)(c —1)

ou
il ( ! a b c
À + EE . — Sons ……,
a— 1! b—1 c— 1 a—1 b—1 c—1
De UN
c'est-à-dire EN:
V. Remarque. — Dans le cas général, on trouve ce résultat

compliqué :
A : ces! : oem c? — 1 :
>| + | | TE nt + nl ( )

CCXXIII. — Équivalences de séries.

(Septembre 18892.)

[. THéoRÈME. — x étant égal ou supérieur à l’unité, les séries
Î Î Ï 1
DAS SOLDE A AT PARA :
9 2 2

== © + ———— + 200%
2x + 4: 5(8x +1) 5(2x+ 1)
ont même limite.
En effet, la première est le développement de
a een)
RP ETe MR E s
QE x + 4/0

et la seconde, celui de

1 +
P 2x + 1 x

dues

(24)

II. Si, après avoir multiplié par dx, on intègre à partir de
x = 1, l’on a donc

L 1 1 1 1
Œ +—— + _— =
Vox 2.5 3.40 4.Bat
hu l 1 1 à
= f(2 — == ——— + | +C.
UE 2.52x+ 1} 45071) 6.7226t1f
Pour x — + w, cette égalité se réduit à
0 p.2+C.
Ainsi,
2x + 1 | 1 1 1
Er
€ 2x DL ND ST UNS AT NN AR DT ms
1 1 1 | (1)
+
T2.50r+ 1) 4.5@x+ 1) 6.704 1

III. Le développement du premier membre est

1 1 1 1

— © — —— +
Pr) RS (AT) APE)

Aiasi encore, au moyen d'une réduction visible :

1 1 1

2 2 ———— —————— +

2.5(27+ 1) 4.560221) 67x41) à
ON ER LA RE VAE @
RE CR I 0

Addition. — (Janvier 1837.)

IV. Dans l'égalité (2), changeons x en = elle devient, après
suppression du facteur x? :

| me x*
00
2.3(2+ a) 4.5(2+ a) 6.72 + x) |

1 4x 117%? 926% | G)
——————— — ———— + —— — ———— —
2.5.4 5.4.8 4.5.16 5.606.352

(25)

Évidemment, la première série est convergente pour loute
valeur positive de x; mais la seconde est divergente dès que x
surpasse 1 (*). Ainsi, l'égalité (3), vraie quand x est compris
entre zéro et un (inclusivement), devient absurde pour x > 1.

Ce n'est pas tout. Si l'on désigne par $ le premier membre,
un calcul facile donne, en vertu de ce qui précède,

s—<teties)-(+i)£isoss : (4)
2 x
Par exemple, si x — 2 :
1 6)
- s—-|£2— = L5 +1 [= 0011 507.

En effet, la somme des trois premiers termes de la série est

1 1
+ — 0,010 417+0,000 792-+0,000 0953—0,01 :
96 ‘1260 * 10 759 ; À +0,000 095=0,011 302
Quant au second membre de l'égalité (3), il devient, pour
TETE
1 1 11 26

RARES QUE © — —— He;
2.5.4 3.4 4.5.4 5.6.4

et cette série est divergente.

V. D'après tout cela, on est conduit à la proposition suivante :
Supposons que, pour les valeurs de x comprises entre zéro et
un (**), on ail :

f(x) = ao + ax + a9x° + + (A)
Soit z — q(x); el, par suile,
fx) = bo + biz + biz? + … (B)

(*) Le terme général est

9nH1—__ np —9
EE
(n + 1)(n + 2)2%+1

Un

(*) Afin de fixer les idées.

( 26 )

St la fonction + a été convenablement choisie, il peut arriver
que la seconde série reste convergente (*), pour des valeurs de x
supérieures à l'unité; et alors l’égalité

L

A + GE + x? + ce — Do + biz + Dax? +, (C)

vraie pour x compris entre 0 et 1, devient absurde pour x > 1.

COXXIV. — Quelques intégrales définies (”*).

(Septembre 1886.)

I. Soient :
“ xd x —àzx\2
a= f ce er D (1)
:
re e%xdx
Bu re (2)
0
Le rx
Pol er 6)
0
© rdx
D— PT) ). (4)

Il est clair que À — B + C — 2D. D'ailleurs, par la formule
de Plana (”),

1 À
DA N pre
4 24
Donc
4
A=B+C——. 1010)

(‘) Bien entendu, on la suppose convergente quand x est compris
entre O et 1.
(‘*) Complément des Notes LIT, XCII, CXXXVII et CXCII. Dans
celle-ci, au lieu de (dt, on a imprimé #4 [formule (A)].
.(**) On doitavoir &? Z x°, sans quoi ces intégrales ne seraient pas, toutes,
finies.
(") Note XXXHI (1. F, p. 95).

(27 )

IL. L'intégrale B, développée en série, devient

k=0 co K=00 co
D D eXxdx er2"7T — > CT ETAT:
k=1

0

k=1:
0
Soit
Q(kr — ax = t,
d'où
tal
DR,
EE
On a donc
G| co (| T2
Bd _— —t{dt,
D moi “
0
ou
LS 1
Be 6
n Dre — aÿ (6)
puis, par le changement de « en -- «,
ICS 1 à
C—-ÿ (7)

IL. Si l’on fait à — an(a < 1), l'égalité (5) devient

> co xdx ; A Ce À 2 { |
GTZ __ pa TT) 2 BLUE CR UEIENN € CRETE
f GES, d j Dar + drcar| 12 (4)
0

1

Il resterait à évaluer les deux sommes :
1 1 1
© È ————©%© E ———— +,
Q—aÿ (2—aÿ (5— a}
À À |

ae pe aie

IV. Sia— À, la première série devient

% n L r°
= = ES oo :

(*) Dans l’état actuel de l'Analyse, ce problème n'est peut-être pas
résoluble. Voir la Vote CXCIHI.

la seconde :

Par conséquent :

B œ xdx |
Fr eT= Lab: e= 77 ra 8 2 (B)
0

c PCT AT DE |
meer Sue .
0
2œ xdx ae PURE É | À
= f e275__À (es PE 2 : ) mr (D)
0

Addition. — (Novembre 1886.)

V. Relation entre deux intégrales. -— On sait que

1 1 1 1 9 æ xdx Fan”

at ur + ———— — = — + :

a a+] a+ 2 2a [ armee | ). (8)
0

D'un autre côté, dans les Recherches sur la constante G, nous
avons démontré la formule

1 1 1 de dx
— — en — ete = 2 f Re (9)
a a+ a+2 elle: + 1]

0

Par conséquent,

De dx Je xdx 1 Œ)
ele re 1] (a? + x°)(e7= EE e7®) = 28 :
0

(0

(*) Dans les Tables de M. Bierens de Haan, je n’ai trouvé aucune de ces
trois intégrales. Cependant, il n’est pas probable qu'elles soient nouvelles.
La première résulte, si l’on veut, du développement de me :
(**) Tome II, page 527.

(29)

VI. Remarques. — 1° Si a — 1, cette égalité se réduit à
celle-ci, dont la vérification est facile :

[© dx 1 ce xdx
2) ed ee (1 + æ°)(eT< — e7*) TA
0 0

le

En effet, les valeurs de ces intégrales sont, respectivement :
1É2,:p2— 50)

2° De même, lorsque a — à :

ne dx L JE xdx 1
ë CHE ? Ua) (ere),
0 0

. . , T ,
La première intégrale a pour valeur + (**). Par conséquent,

1 xdx + 4 9 10
à CPR Ie 16 bare GE

Cette formule est comprise dans celle d’Abel (***).

(‘) Bierens de Haan, T. 58 et 138.

(‘”) Bierens, T. 58.

(**) Mote CXCI. — Si l’on part de l'égalité (E), des intégrations ou des
dérivations, relatives au paramètre a, feront découvrir d'autres intégrales
définies.

(50)

CCXXV. — Relations entre deux théorèmes

empiriques.

(Octobre 1884.)

L 1° THÉORÈME DE GoLpBacH. — Tout nombre pair est la
somme de deux nombres premiers (*).

2° PosruzaTun DE M. BERTRAND. — Quel que soit un nombre n,

supérieur à 6, il exisle toujours un nombre premier, au moins,
. £ D xx).
compris entre n — 2 et > (”*);

ou, à plus forte raison :

Entre n et 2n, il existe, au moins, un nombre premier.
II. Le théorème de Goldbach consiste en ce que
2n = p + q,

p et g étant premiers, impairs (***). De ces deux nombres,
inférieurs à 2n, l’un est égal ou inférieur à n. Ainsi :

Entre n et 2n, il existe, au moins, un nombre premier.

C'est le postulatum de M. Bertrand.

() Suivant M. Enestrôm, le théorème empirique de Goldbach est
mentionné, pour la première fois, dans une lettre d'Euler à Goldbach
(Mathesis, juin 1886, p. 135). M. Desboves a complété, ainsi qu’il suit,
l'énoncé primitif : .

Tout nombre pair, excepté 2, est la somme de deux nombres premiers, au
moins de deux manières.

(Nouvelles Annales, 1855, p. 295.)
(*”) Journal de l'École polytechnique, 50° cahier, p. 129. Ce célébre
poslulatum a été démontré par M. Tchebychef (Journal de Liouville,

t. XVII, p. 581).
(**) Je suppose n > 2.

(31)
IL. D'après le postulatum, on a :

b+1<g<2(b +1);

p, q, étant premiers, impairs. De là résulte

Ainsi, entre 2b et 4b, il existe au moins un nombre pair, 2n,
égal à la somme de deux nombres premiers.

IV. Soit À un nombre premier, moindre que a. De

NI — AN ODA,

or DURE ON NON
on conclut
aTi+q < 2a.

Par conséquent : 1, 5, 5, … 7 étant les nombres premiers,
impairs, qui ne dépassent point un nombre donné, a, il existe,
entre a et 2a, des nombres pairs ayant les formes

1H Qi QUE ge 0e + q;
q étant un nombre premier, impair, qui peut varier (**).

Soit, par exemple, a — 15. Les nombres premiers, inférieurs
44, sont 1,,5,5,7, 11,13. On'a:
2025009625 +023, 0 0225 +47,
96 —7+19, 30— 11 + 19.

() Postulatum de Bertrand.

(””) Si je ne me trompe, cette proposition esl un acheminement au théo-
rème de Goldbach.

(32)

CCXXVI. — Sur une formule de Jacobi (*).
(Janvier 1885.)

I. Transformation. — Cette formule, aussi remarquable que
facile à démontrer, est

(1 + g2)(1 + qg°z)( + q°2) (1 + g'z)…
ques q s q RL
19) qq) “a

Soit Q la valeur commune des deux membres. On a
LQ—=SLU + g2) + PU + g2) + LU + 9ÿz) +

Développant chaque logarithme, on trouve, au lieu de cette
égalité :

Ÿ ACTE AS, q 2 ral 3
Ones 21 31—q (1)
Par suite,
DD Lie ral
DU TE GORE EG: À
ou
£ 9
- |
159 (1—g1— q°) Mg)
q° q° |
—M+ z+ - 7° = : B
| NO RUE NET RUE ®)
M 49 g DATES
Le ee er |

(‘) La plupart des résultats suivants ont été communiqués à M. Hermite,
à l’époque indiquée.
(*) Fundamenta nova…., p. 180.

(35)

IT. Remarque. — Cette égalité donne lieu aux réductions
suivantes :
D PER a Ar ee d
PET de OUI
q & 2 5 # 9
2 À 4 “ 4 ï 2 aX ; Rd 2 : 4 6
RUN MEET ge Sete
| à MESRINE ÇL
Ag OU" AA) 15
SR AT CHEN PE RS
D NE CO TETE
etc.
IL. Suite. — Lorsque z — + 1, la relation générale (B)

produit ces deux-ei :

TR SCO RÉ PAU Pre

EU CON EEC à) CSterateer)

fie + 3 a ge + |
CNT TE NN EE ET AE EE

q GS ONLA
er De | |
Po ee Re CRU TERRE AN :

1 q q à
—| 1 — ee
| TE ie Mo eat) | Ÿ

2 5
x 1 TRE Ar cie 1 > Eu i00 || C
NE RUES QE 0
Dans l'égalité (2), le premier facteur est la transcendante £ (*).

Donc, dans l'égalité (5), le premier facteur est la transcen-
dante & (**).

(") Recherches sur quelques produits indéfinis, p. 52; Notes sur la théorie
des fractions continues…., p. 64.
(”*) Recherches... p. 1.

(54)

En conséquence :

4 9

: CE ñ + 5 2 ! 4 te
or (1 —q°)(1 — 9°) A9) g)(1— 9°)

2 ; (C)
Ée | q q _gq |
= $p | —— — |,
A AN nr Cm
4 9
= Se TT — +5 a — “A
Lg No MR gl qh) D)
LU M ARMA E RER US A «|
LE PRE Eat UN mn
IV. Autres relations. — Lorsque z — 1, le produit
représenté par Q devient B; lorsque z — — 1, ce produit
devient « (*). Donc, en vertu de l'égalité (1) :
D MS meta
L (9) 1 — Q° 24 — q° 31—q° L (E)
A D PR Re
fe)=; q° TETE UT (F)
La différence des premiers membres est
(8) = — L(F) C9:
leur somme est
«eh
Par suite :
A ° 1 qg° 4 q°
rues DD 51—q" 7 (G)
1 q TRE dela
— J'(k) = 8 — < ss. NC
Pro een re ol

(Loc. cit.).
(®) Fundamenta…, p. 105.

(55)
V. Remarque. — On a (*)
LB)= LC + + LC + 9 + LPO + 9) + 5

puis, par le développement de chaque logarithme :

La comparaison des égalités (G), (G’) donne cette identité,

probablement connue :

0. "NT LT CMOS HEURE TUE TE Sn
q CHA PAL CHANT OR EME CAUTS

_— =

ii 90E 4
gi 2 51 Up 21—p 517

VI. Autre identité. — On sait que

6

22424 CNE MAO EE LP LD LU
qu gg) : A=g(tg)(4— 0)
(C7)

GIE q° dé
2p| 14 TE! PORT te NUE > Eee xx
| gp) 0-7 À | d

Done, si l’on élimine $ entre les égalités (C), (C'}, et que l'on
pose, pour abréger :

9

4
a = 1 CRT À RTE 2 1 n *
Et U— gg) (Ag 1-10)
LIRE ORNE RE:
Ag 1—9 1— 0 ?
à (5)
6
LORS SNL RER RIRE et PIRE PA
qu (eq) Ego) 9)
g—i+ À ee Fe
NE) NUE (0) HSE)
on a
A VOB
OT 1

() Mote CLX.
(**) Recherches. , p. 52, note.

(56)

. VIL Suite. — La vérification de cette identité (K) semble
difficile : à plus forte raison le serait-il d'effectuer les dévelop-
pements des deux membres. Mais on peut commencer par la
réduire. À cet effet, j'observe que :

q q'

SEE
un ol "

A'= (1 + q)(1 + qA + q°) + = 88 (),

B'= (1 + qi + gi + ge = 6 (*).

Ainsi déjà, par la suppression du facteur B :

q q°
1 + A RS PAPER LPS No NN”
| See 0 | F

4)

formule connue (

Ce n’est pas tout. Dans la relation (K), la valeur commune
des deux membres est

nr rer er ol | (6)

Dans la série, changeons qg en — q : elle devient

— q PT, q SE
1— À — q° 1— q

c'est-à-dire !:

3 ru
— Lee —- q = se eu, — | (2x)
a ARE re ROUES Pt

Il est visible que le développement de cette nouvelle série est

D Ni(n)q":

>

(‘) Recherches…., pp. 48 et 1.

(O) bide pe de

(***) Jbid., p. 52.

(”) Notes sur la théorie des fractions continues…., p. 15.

(37)

N;(n) représentant le nombre des diviseurs impairs de n (*).
L'égalité (6) se transforme donc en

B 1
ne LL E
puis, à cause de

TR
Sema er

A B & 2 À 1

Rp D 'etng" x D(— HN) (L)
0 1

se s : A
Ainsi, la fonction très complexe, w> est, assez facilement,
développable suivant les puissances de q.

VIIL. Remarques. — 1° D’après ce qui précède, l'égalité (C)
peut être écrite ainsi :

q g g
© + 2 ————— +5 se
0e (A 9) (1 — q°) (1—9) Ag) —9

— ETC )q” x Ÿ— D'PN;(n

1

..

(M)

2° La combinaison des égalités (L), (M) donne cette autre
identité, peut-être nouvelle :

Soin)" = S (— tyran) g" x Ÿ o(2)g". (x)
0 0 0
IX. Équations caractéristiques. — Si l'on pose
Jai 040
RD mue (7)

() Ni(n) est aussi le nombre des diviseurs du plus grand diviseur impair
de n.

(”) Recherches, p. 5. ®;(n) est le nombre des décompositions de n en
parties impaires, inégales.

(58 )

et que l’on représente par f(q) la somme de la série de Lambert :

4

(PAR ÉUR Len A MAR EE CA
IQ A M QE ME 10E
On a
o(qg)=f(q)—f(°) © (8)
La série |
D = = + (9

DÉETTAIN ETTARTEN
peut, également, être rattachée à la transcendante f(q).

En effet, il est visible que

ou, à cause de l'égalité (8) :
D(g)= f(q) — 5f(g) + 2f(q9. (10)

Ainsi, comme nous venons de le dire, la transcendante f(q)
étant connue, l’autre le sera aussi. Mais l’on peut aller plus loin.
La série de Lambert, ordonnée suivant les puissances de q, est,
comme on sait,

q + 29° + 29° + 59" +. + N(n)g" +; (11)

N (n) représentant le nombre des diviseurs de n. Conséquemment,

d(g) = A ()[g® — 5q" + 29°]; (12)

puis, si l’on suppose
va =Y Gr: (5)
C, — N(n) — 3N F) + 9N F) (). (14)

(*) Notes sur la théorie.., p. 14.
(*) Chacun des symboles N G) N (5) doit être remplacé par zéro, quand
la fraction correspondante n’égale pas un nombre entier.

(39)

Addition. — (Novembre 1886.)

X. On a aussi :

So tEES 9 1 — q 0
He | CR g |
1 = Ge AU q° AE qu
ou |
41) — 1 9)]= y) (16)
La comparaison avec la formule (10) donne la relation :
F(Q) + 9) — 4f(g°) + 2f(g°) = 0, (17)

qui caractérise la série de Lambert (*).

XI. Soit, comme précédemment,

fig = X N(n)g". (18)
1
L'égalité (17) devient

SN) [g" + (— qÿ — 4q°" + 2q] = 0.
4

Dans le premier membre, le coefficient de g”, lequel doit être
nul, a pour expression :

2N(4n) — AN(2n) + 2N(n).
Nous trouvons donc ce petit théorème :

Le nombre des diviseurs de 2n égale la demi-somme du nombre
des diviseurs de n et du nombre des diviseurs de 4n (**).

(‘) La sommation de cette série est ainsi ramenée au problème suivant:
Quelle est la fonction Î qui satisfait à la condition (17)?

(*) Évident, mais non signalé, je pense, dans les Traités d’Arithmétique.
On peut le généraliser ainsi :

Soit p un nombre premier. Le nombre des divisvurs de pn égale la demi-

(40)

XII. On peut remplacer l'équation (17) par une autre, plus
simple, et contenant la fonction +. En effet, de l'égalité

p(g) = f(g) — f(q”); (9)

p— 9) = f(— 9) — f(q"),
o(g)=f(9) —f(q);

on déduit :

puis
pig) + p(— g)— 2p(9) = f(Q) + f(— Q) — 4f(g*) + 2f(q*);

ou
p(g) + p(— g) = 2p(q) (). (19)

Autre addition. — (Février 1887.)

XIII L'identité

6

‘à Pt d D RL M) DRE A Mar LA S5= 560 (4)
19 21—$ 51—q* 4—9 21—9 31—4q

peut être généralisée ainsi :

2 5 4

+ (c— a)

x
= +(a—1 + +
lys 4— 7% A— x" 4— x°

A — x

D EE ee

Tr 112 ;,0 0%

somme du nombre des diviseurs de n et du nombre des diviseurs de p°n.
Par exemple :
N(24)—=8, N(120)—16, N(600)—24; et 16 — (8 + 24).

(‘) Cette égalité résulte, immédiatement, de la définition (8).

(41)

Par exemple,

x 2 3 x* x x°
2 + 3 4 + D + 6
1 — x° 1 — x À — x° 1 — x° 1 — x" RENTE
x! x° 9 10
er rt TR ET TRE mr RE
x 2 5 4 5 x°
— + + 3 2 + D + 35
A—x 1—% 1 tre 1 — x À — x
7 8 9 x'°
+ 7 + 4 + 9 b +
À — x À — x 1 1x" 0
COXXVIEI. — Sur les mombres combhinatoires (“*).
(Décembre 1886.)
I. Développement de (x + a)". — Dans ma démonstration

du théorème de Staudt et Clausen, on trouve le lemme suivant :
n étant un nombre premier, supérieur à k,

(Ge en JA + k,

selon que k est pair ou impair (***).

(1)

Si l’on change k en k -— 1, on a donc

Ces Cr ENE A):

(‘) De cette égalité, on conclut la propriété suivante, qu'il est facile de
vérifier et de généraliser :

Soit À la somme des diviseurs d'un nombre entier N, donnant des quotients
impairs.

Soit B la somme des diviseurs donnant des quotients pairs.
Soit, enfin, C la somme des diviseurs de N, impairs.

On a
A=B+cC.

(‘*) Complément à la Vote CLXXX.
("") Note LXX VI.

(42)
et, par conséquent,
Css Ce RH OUIUREE AN(S). (2)

Ainsi, dans le développement de (x + a)” (n premier), la
somme de deux coefficients consécutifs est un multiple de n,
diminué ou augmenté de l’unite.

En outre, d’après l'égalité (2) :

La somme des deux premiers coefficients — Mn —1;
La somme des quatre premiers coefficients — Mn — 2;
La somme des six premiers coefficients — Mn — 5;
: n—1

La somme de tous les coefficients, ou 2" = Mn — : (EA

Enfin, à cause de

À (n — 1)(n — 5)... (n — k —1)
FAUL BUS UNE
Dans le développement de (x + a)” (n premier) :
n—2 n—2)(n —5

1= Jin + 1, \ —,{ n—)2, EST

IL Remarque. — Si n — 2 etn sont premiers, on a, simulta-

nément :
Ce, PENSE C,_», our JITn + 4,

C_», kUA + Co, RDS JT (n TE 2};
et, par suite, plusieurs solutions de l’équation indéterminée

nx —(n —2)y= Eli. (3)

() —!sikest pair.
(**) Cette dernière égalité équivaut à

2n—1— M (n) +1;

conformément au théorème de Fermat.

(45)
Par exemple, pour satisfaire à

13x — 11y = + 1,
on peut prendre :

1 ï

LT [Cu,s cu Cu] FOEUDSS- [Cu,s Ge Cu] 20;
41 T
1 1

im 11 [Gus + Cus] = 46, y — m1 [Cu,s + Cu] = 72
1

Y== 11 [Cu DE Cas] — 84.

Les valeurs correspondantes de x sont :

DM SS GITE
En effet :

45.5—11.6——1, 15.17—11.20—+1, 15.38—11.45——1,
15.61—11.72= +1, 15.71— 11.84 — — 1.

IL. Développement de (x + a)". — Le premier membre de
la relation (2) est réductible à C,_,,, (*). Par conséquent :

Dans le développement de (x + a)"-" (n premier), chaque
coefficient est un multiple de n, augmenté ou diminué de l’unité.

De là résulte que l'équation (5) (**) admet, comme solution :

L
M F7 [Gr 1], Y—= Ciurs (4)

n —9

() Cours d'Analyse de l'Université de Liège, p. 45.

(**) Cette équation (5) est vérifiée, selon le signe du second membre, par

(44)

Addition. — (Février 1887.)
V. Propriétés arithmétiques et algébriques. — De la relation
Crete — JICR);
on conclut aisément
CE CR, Ur)
= M n;

ou
C, -p—1, n—p-4-1 Æ C,-

24 pq
et, à plus forte raison,
Gp Dep) lg)
Fn—q—1t(n—Q—2).…(p +1 =. (6)
Soient :
p+l=a, qg+1—=b, n—a+b+c;
de manière que
a(a + 1)... (a + c) + b(b + 1)..(b + €) = MT (a + b + c);

ou, en appelant o(a, b, c) le quotient, par a + b + c, du premier
membre,

a(a+1)….(a+c)+b(b +1)..(b + c)=(a+b+c)o(a,b,c) (*). (A)

Cette égalité, obtenue en supposant que a, b, c sont des nombres
entiers, dont la somme est un nombre premier, semble prouver,
seulement, que (a, b, c) est un nombre entier. Mais elle est
bien plus générale.

En effet a, b, étant des quantités quelconques, remplaçons a,
dans le premier membre, par — (b + c). Il devient

(— 1)" (db + c)(b + c—1)...b + b(b +1)... (b + c);

() Note LXXVI (t. 1, p. 824). Le signe —, si q est pair.

(*) Le signe — 1, si p et q sont de même parité.

(‘**) D’après les hypothèses précédentes, a et b sont de même parité
quand c est impair, et de parités contraires, quand c est pair.

(45)
ou, selon que c est pair ou impair,
Æ b(b + 1)..(b + c) Æ b(b + 1)...(b + c) — 0.

Ainsi, le premier membre de l'égalité (A) est algébriquement
divisible par a + b + c. Donc, comme on l’a vu, il est arithmé-
tiquement divisible par a + b + c, quand les lettres a et b sont
remplacées par des nombres entiers.

En résumé :
1° Le polynôme
a(a + 1)... (a + c) + b(b + 1)... (b + ce) (”,
est divisible, algébriquement, par à + b + c.
2 Si a, b sont des nombres entiers, le nombre entier
a(a + 1)...(a + c) + b(b + 1)...(b + c),
est divisible par à + b + c.

3° Soit (a, b, c) le quotient : pour toutes valeurs entières de
a, b,on a
(a + b + co(a, b,c) = MU(1.2.5 … c + 1) (*).
4° En outre, si a+ b+ c est un nombre premier,
o(a, b, = (1.2.5...c + 1).
VI. Application. — Soient

D SD ENC CEE
d’où résulte
a+ b+c—13.
On trouve

| =

o(a, b, c) = —(6.7.8.9.10.11 — 2.5.4.5.6.7) — 25200;

QI

1
puis
25 200 = MC (1.2.5.4.5.6).

(") Le signe +, si c est pair.
(‘*) En effet, dans l'égalité (6), le premier membre est divisible par
1.2.5...(n — p— q — 1), c'est-à-dire, par 1.2.5... (c+ 1).

(46)

CCXX VIII. — Application d’un théorème de Binet.
(Septembre 1885.)

I. Dans le Mémoire intitulé : Sur quelques intégrales
définies (*), j'ai démontré que si l’on fait, suivant la notation

de Gauss :

a+
Fa eataiti= ire p TX a PL re RS LH, (1)
a+ 1.2 (a+a')(x+a+1)

on à
pet (1 — 9j!
Eee cie rot ee | À

relation due à Binet.

Soient

La série (1) devient

2x 2x (2x + 2) |
y=l + x + ——— 1%

24 + 3 (2x + 5)(2a + 5) | FI

d

2x (20 + 2)(2x + 4) J | (3)

Orne en

Donc, par le théorème de Binet,

le +2)
ie Me Ce 9 f o*—1({ EE 6) j
VE Pine de. (4)

1 — 0x

IL. Soit A l'intégrale. Il est clair que

1 RAT) 1 eo _—. 1
AE dé — = (1 — 0)d6;
= f À — 6x LR GRAN, )

0 0

(‘) Académie de Belgique, octobre 1885.

(47)
et, si « — À est un nombre entier :

x%—1A —
1

t(4 — 5 k
‘4 ( ) ER 1 [ao + + 20 + AT — 6) da.

À — 0x

q
Le second terme égale

; re) 2 9
te ue) 5e RUN r

n 2 7
r 24: Mas r)

9 9/ 2

Quant au premier, si l'on fait

2
(e

: re

il se transforme en

UT - = ra

x 2 CRU V” Si
2 — s Lx
e M—xjAt+t) x V il le ais tle

0

Par conséquent,

1 ==
A — El —\/ w “ re sin |

1 tes LAS OU EG |

COTE | LOIS

D US DT ON LUN EEE 2
NO ee QU, 4 Éu etenn ur aq Un (7
NOT MORE AH 7 NO RES 5)

( 48 )

24 2x (2x + 2) 2x (2x + 2) (Da + 4)
y—1+ eee me ie NI O
2a+5 (2a+3)\2x+5) (2a+5)(2a+5)(2x +7)

Ainsi : 1° La série (2) reste convergente pour x —1 (*); 2° la
limite de la série (9) est commensurable.

Addition. — (Avril 1887.)

IV. Lorsque x — 1, la série (1) se réduit à

le]

one B «(x + 1) B(B + 1)

= +
(a + a')(x + x + 1)

Aax+ a 152
La condition de convergence est, on le reconnaît facilement,
COTE
Quand elle est remplie, on a, comme expression de la somme :

NC + a’) 1
Sn GE (4 — 0j" —B da ;
RE Re
c'est-à-dire :
F{a + «')F(x' — $)
eee) Fe

Conséquemment, si a, a, f sont des nombres entiers, la
somme s est commensurable (**).

Par exemple, après suppression du premier terme,

3.4 3.4.5
9 ! ee — Yi,

(‘) Pour démontrer directement cette proposition, il suffit d'appliquer le
théorème XIV du Traité élémentaire des séries (avril 1887).
(‘*) On suppose 8 & o.

(49)

COXXIX. — Une récréation arithmétique (*).
(Mai 1885.)

[. p, q étant des nombres premiers; soient : à un diviseur de
q —p (*), a un nombre entier donné, inférieur à p.
Si l'on considère la progression
da 10, 144120, ar 30... (1)

qu'on divise par p les p premiers termes, et que l’on prenne les
résidus positifs correspondants, ils formeront une suile

di, , (ER UE 0. , a, » . QU) (A)
De même, le diviseur q donnera lieu à une suite
Di ADD AN DE EE ONE (B)

Cela posé, si, dans (B), on supprime les termes égaux ou
supérieurs à p, on retombera sur la suite (A).

IT. Exemple :
D —13, 19923. 825) a.
La progression est
9, 7, 19, 17, 29, 97, 59, 57, 49, 47, 59, 57, 62, 67, 72, …
Divisant par 15, on trouve les résidus
MONA ON A 6 ALL 3518 On 604022) 17, LAN
Divisant par 25, on obtient la suite
:

+ + + + +
2,01, 04122472922,04,9, 14, 1946 14 A 002 (B')
+. +
ASS 1181015100
(‘) Tirée, en partie, du Bulletin de l'Académie. Elle a été suggérée par
l’un de ces jeux de cartes appelés patiences.

(‘*) On suppose q > p.

MIN EN a

( 50 )

Celle-ci contient les termes de la suite (A”), rangés comme
ils le sont dans (A).

IT. Démonstration — Les termes généraux des suites (A), (B)
sont donnés par les formules

a+(n—1))=pr+a,, a+(n—1))=qx+b (2)
Si l’on suppose x’ — x, b,. — a, il en résulte
(Ge —n)2=(q — p)x;
q—p = MU() = 0:

NN UXx,

puis, à cause de

ou
a+(n—1)9=a+{(n —1)9 + (q — p)x. (3)

Ainsi, les termes de la progression (1), déterminés par cette
formule, ont leurs résidus par q : 1° inférieurs à p ; 2° égaux aux
termes de la suite (A); 5° rangés dans le même ordre que
Ceux-ci.

[V. Remarque. — Dans la progression
9, 7, 12, 17, 29, 97, 52, 57, 42, 47, 59, 57, 62, 67, 72, 77,

82, 87, 92, 97, 102, 107, 112,
les valeurs de x sont
0,:0,.0, À, 1:12, 9,19, 3, 3, 4,4, 4, 55, 5, 606,7: 1 DB
A cause de q — p — 10, les termes efficaces sont donc :
2, 7, 19, 27, 59, 47, 59, 57, 79, 77, 99, 97, 102, 117, 129, 197,
149, 447, 162, 167, 179, 187, 192.
En effet, si l’on divise ceux-ci par 25, on trouve les résidus
2 7.412,04; 10, 1, 16, A, 58 0 5 AD 207

V. Généralisation. — Les p résidus formant une suite telle

que (A) se reproduiront, sans altération d’ordre, dans toutes les

suiles, analogues à (B), répondant aux diviseurs premiers
compris dans la formule

q=p + J().

Exemple :
PNR D GE
2 400,16 5 VIS
+ + +
213: 92,.8, 1, 7, 0, 6, 12, 5, 11, 4, 10,3, 9.
+ + + + +
19-02, 8014, 1,07, 43,10, 6, 42) 48, 5 MD UT 2 10,
= + +
16: 3, 9:15
HO + + + + + + + + + +
q = 51 : 2, 8, 44, 26, 96, 1, 7, 15, 19, 25, 0, 6, 19, 18, 24,
+ HE PILE SE + + + + + +
30, 5, 11, 17, 25, 29, 4, 16, 16, 22, 98, 3, 9, 15,
+ +
215097,

Addition. — (Avril 1887.)

IV. Dans la démonstration ci-dessus (F), rien n’exprime que
les nombres p, q sont premiers. Cette condition est done super-
flue. En outre, a et d doivent être supposés premiers entre eux,
sans quoi la progression (1) serait réductible à une progression
plus simple (*).

Nous pouvons donc transformer ainsi l'énoncé primitif :

Soit une progression
a, a+, a+ 2, a + 50, …,

dans laquelle a et à sont premiers entre eux. Soient p, q deux
nombres premiers entre eux, et tels que q — p = MU(0). Si l’on
divise, par p, les p premiers termes de la progression, on formera
une suite de p résidus :

Don dorer CPE (A)
De mème, le diviseur q donnera les q résidus :
AREA A CRE (B)

Cela posé, si l’on supprime, dans (B), les termes égaux ou
2 , I]
supérieurs à p, on retombera sur la suite (A) (").

() Après suppression du plus grand commun diviseur entre a et à.

(‘*) Afin que a, = a, on prendra p > a.

bu — à:

(*) Les termes de (B), barrés, ou surmontés d’une croix, sont au nombre
de q — p.

(52)

CCXXX.

Sur la polhodie.

(Février 1885.)

1. Dans les Remarques sur la théorie des courbes et des
surfaces, j'ai donné (p. 59) les équations
2 2 2 2
: ; a? — b’}(a?— c
ar ete CESR Uni nt (4)

?
a v?

(b? — c) (h? — a)

ND UP Eire Be JP ee RE
€ — &)(c2— b? v° -— a }(v° — b°
A NA A ie AE Le sl Fe

de trois surfaces de révolution, contenant la polhodie (ligne de
courbure constante). Ces surfaces de révolution sont, respective-
ment, semblables.

Par exemple, les équations (1) représentent des ellipsoïdes
semblables, parce que les coefficients de x?, y?,2? sont indépendants
du paramètre x.

I. La même propriété subsiste pour les projections de la
polhodie, sur les plans principaux. En effet, la combinaison des
équations (1), (2) donne

TN 2 c
—Ÿ+—. Rte ne (4)

(7)
etc.

(15)

CCXXXI. — Extrait d’une lettre adressée à M. Miller,

Rédacteur de l’Éducational Times.

(Octobre 1885.)

EL. « M. Neuberg m'a communiqué la curieuse identité due à
» M. Edwards (Question 6113) (*), ainsi que les solutions
» données par MM. Symons et Terry. A ce propos, permettez-
» moi de faire la remarque suivante :

» Dans les Comptes rendus (t. LIV), et plus tard dans les
Mélanges mathématiques (**), j'ai donné les formules

RS res El

» relatives aux sommes des puissances 24 + À ou 2k des

» racines de
x + pr + g— 0:

» Au moyen de ces formules, on peut former autant d'identités
» que l’on voudra, analogues à celle dont il s’agit. Il suffit, pour
» cela, d'éliminer p et q entre trois de mes formules. Par
» exemple :

25 (0° + y + 2°)(a + y + 27) = D (a + yf + 2°),
B6, 754 + yô + zt) (a + y + Ya + y + 7)
ee ep ue ol
» Si
x+y+z—=0.,»
C) Si
LT +Yy+ PA — 0,
on a
50 (27 + y7 + 27) = 49 (xt + y + at) (08 + y + 252.

(*) Note XLVIIL

(54)

Addition. — (Octobre 1885.)
IT. Lorsque k égale 2 ou 5, les formules citées (*) donnent :
S—2p, Ss—5pqg, S——7pq; (1)

équations d'où résultent les systèmes suivants :

2 S,
RNA Mine Rosie

Au moyen du deuxième, la relation générale

S, + PSne + 98-53 — 0 (7), (2)

devient
175 S;SS, — 195 SS,,_2 — 49 SES, 3 = Où (A)
III. Remarques. — 1° Cette égalité devient identique, si les

quantités x, y, z vérifient la condition
x+y+z—0.

Ainsi, quels que soient x, y, on a, identiquement :

175 (x + y) — 2% — y" | (0 + y} —x — CAE: +y)—x"—7y"|
LU 125|[(x+y) — x — UE Lee + y)" — x"? — Yi : (B)
+ 49 [(æœ +y) af L(x + y) — a" — el

2° L'identité (B) ne diffère, qu'en apparence, de celle qui

(‘) Tome |, page 186.

(‘*) Si l’on égale les deux expressions de p, on a l'identité trouvée par

M. Edwards.
(**) Note XLVIIL.

(55)
résulte de l'égalité (2), quand on y substitue les valeurs connues :
p=—(+ay+y), q=aylx + y).
Cette seconde forme de (B) est donc

S,— (2° + xy + Y)S, 2 + ay(x + Y)S, 5. (C)

Autre addition. — (Mai 1887.)
IV. La première des équations (1) donne une infinité de
solutions de ce problème :

Trouver une somme de trois bi-carrés égale au double d’un
carré.
Il en résulte, en effet,.que, pour satisfaire à l'équation indéter-

. minée
x + y + 7 — 2”, (5)

il suflit de prendre

Z—=X +7 u = 2° + xy + Y° (4)
: À

V. Remarques. — 1° Si, aux deux membres de l'équation (B),

on ajoute
Q(x°y° + y°z° + z°x°),

on obtient cette autre équation indéterminée :
(a+ y + 2) — Qu + (xy) + (y2) + (zx). (5)
D'après ce qui précède, elle est vérifiée par les valeurs (4).

2% Dans une Note insérée aux Nouvelles Annales (1874), j'ai
donné ou rappelé diverses identités, parmi lesquelles je citerai
seulement celles-ci :

(a + + = (b + €) + (ab + ac) + (ab — ac) + (aŸ, (D)

(+ Be cf (ct + a°.+ (be + ab} + (be— ab? + (be. (E)

(56)
Ilen résulte ce théorème, qui n’a peut-être point été remarqué :

Si un nombre N est la somme de trois carrés, dont deux, au
moëns, soient inégaux, N? est la somme de quatre carrés (*).

CCXXXII. — Sur une propriété numérique.
(Novembre 1885.)

[. ProBLèuE. — La somme des diviseurs de 16 est 31; la somme
des diviseurs de 25 est, pareillement, 51. Y a-t-il d’autres couples
de nombres jouissant de la même propriété ?

Très probablement, le problème, pris dans toute sa généralité,
est fort difficile. Je me borne à considérer ce cas particulier :

Soit p—2" + 1, p étant premier. Pour quelles valeurs de n la

somme des diviseurs de p? est-elle égale à la somme des diviseurs
de 4°?

La premiere somme est
p+p+l=(2 +1} +92 +02.
La seconde est
Dr D Dn-1 4j Dn-2 +. + | — DH 4.
On a donc l'équation

Qt + nH 4 9 + 5 —9mH 4,
ou
g?n—1 Asie Q?n—2 Te 9n—1 Lay 9n—2 — À —0,.

(*) Comme
A+1i+1})=2+2+1,
il est clair que
(a? + a? + a}

n’est pas toujours la somme de quatre carrés. Cependant :
.B—= 27= S+#+1+1?,
=D = 15 Ed Eur?
MAT NS EP EE AREEUNE,

QI O1

O1

tar)

Si n surpasse 2, l'équation est impossible ; car tous les termes,
excepté le dernier, seraient divisibles par 2. Mais
2291 —1—0.

Done la seule solution est p — 5, n — 2.

CCXXXIITI.

Trajectoires orthogonales de
polhodies.

(Janvier 1885.)

I. Une polhodie (*), tracée sur un ellipsoiïde donné, est déter-
minée par les équations
mn rC0 (1)
v représentant la distance du centre au plan tangent (*”).

Il en résulte, par la différenciation,

La condition d'orthogonalité :
dxox + dydy + dzdz — 0, (2)
devient done, si l’on remet d au lieu de 0 :
> = yzdx = 0;
ou, plus simplement,
D af (b* — c°) ru 0. (3)

x

Telle est l'équation différentielle des trajectoires.

(‘) Ligne de courbure constante : le mot courbure se rapporte à la surface
(Remarques sur la théorie des courbes et des surfaces).
(**) Loc cit.

( 58 )

IT. Soient, pour abréger :
a'(b—c)—=g, b'(—d)—h, c(a —b)—K%; (4

et, par conséquent,

d l l
PRE UP PA SAUT (5)
x y

puis
à = 0; (6)

X Z
rh Se
pe FRA)

M étant la constante arbitraire.

D’après Bouquet et Serret (*), les surfaces £, représentées
par cette équation (6), appartiennent à un système triplement
orthogonal. Essayons de le déterminer.

II. En employant la méthode et les notations rappelées dans
la Note CXXXV, on a, par l'équation (5) :

q h k
P—, Q—-, R—-;
“ y z
adx ydy zdz
q ER NANTES
1 ee = nl È £
ne ne Pre
df 0 ENT MIT &
dx Hdi PNR
EG Rte
de quo dy F4 dr USE?
EC Eee
h 9
h+k 1 _g+k.
Tire Rips ST ge ;
B œ
A Mers eV nt
“ 1 kg à hl?
CHU k)8—(g + R)a
ghk?

(‘) Journal de Liouville, t. XI et XIL

(59 )

L'équation différentielle cherchée est donc
gad& + [(h + k)8 —(g + ka |dodg — hBda° = 0 (”). (7)

Les surfaces X3, 2, (en nombre infini), définies par cette
équation, constituent, avec les surfaces È, un système ortho-
gonal triple (**).

IV. Remarque. — Les surfaces Ÿ sont orthogonales à chacun
des ellipsoïdes représentés par les équations (1). En effet, il est
visible, à cause des valeurs (4), que l’on a

Addition. -— (Avril 1887.)

V. Remplaçons les équations (1), (2) par celles-ci :

2 2 2
a y
D Un TES = = G (8)
TO MNENRT è
x? y 7° h (9)
Gore li E ‘
a* b® c'

G, H étant des paramètres variables. L’équation (8) représente
une infinité d'ellipsoïdes homothétiques; et il en est de même
pour l'équation (9). D'ailleurs, les identités :

RE Cul geche st

= + —=+-—0 LE = +R = —0
CN Ne ME De j
sont indépendantes de G et de H. Donc les surfaces À, repré-
sentées par l'équation

q x < y ; 7
a*(b? — c° es b' 2,2 Ée 4 Te Vent)
( JR (c &) La + (a ES 5
sont orthogonales aux deux séries d’ellipsoides.

(") Elle ne diffère, de celle qu'a donnée Serret (Journal de Liouville,
t. XII, p. 246), que par un simple changement de lettres. N'est-ce point là un
argument en faveur de ma méthode ?

(”*) On peut consulter, relativement à l'intégration de l'équation (7),
le beau Mémoire de Serret.

( 60 )
VI. Plus généralement : Soient deux séries de surfaces S, Ÿ,
représentées par
fe, y,2)—=G,. ox, ÿ, 2) —H:

Si une surface S3, appartenant à la première série, est ortho-
gonale à une surface Y;, appartenant à la seconde série; toutes
les surfaces S sont orthogonales à toutes les surfaces X (”).

CCXXXIV. — Deux intégrales définies.

(Décembre 1866.)

I. De la formule

AGE EE 1 5
. e1t — 1 p q q

on déduit :

: 2 LhWz er ax
dx = — — —cot2x
TA — x :
0
20 LIU See e?2x 1
——— dx = — — cot 2x;
. e7 — 1 2x
0
puis
: a etXz a eT fu e?*: ET En)
CRÉÉ ARE la 0ù
ET — 1 TS
5 il
ou

2 © L?0Ux LE e?x* L
1 TTC CS + et) — (67% + 1)|da — 0,

eT* RoReT

ou encore :

LUE __ p—20x «0 Lx 0e
NE € [2 (e? Fa ent) on? 1 | da ns 1 CNRS
T -T&
e7& | ex —_e
0

0

(‘) A-t-on signalé, quelque part, cette propriété évidente ?
(**) Bicrens de Haan, T. 27.

(61)

D'après une formule due à Poisson, le second membre
égale <tgx. Conséquemment,

te x — 9 ee de 9( Br __ p—42 __ 2Xr __ L—20x A
(2e (ce) (A)
0

IT. Il résulte de cette égalité, au moyen de l'intégration rela-
tivement à x :

= je COS € — he PCR rame e—{%? rie (e°** F rer | à

ou
en f- COSX — Dee PARA en les RCE
ou enfin
(ee en)
A ITA COS X — Ne ÉN ail er + 1 + e-2%] da. (B)
CCXXXV. Sur les développées gauches,

(Février 1885.)

I. AB étant une ligne à double courbure, soient C, C’, C”,
les centres des cercles osculateurs, relatifs aux points M, M’,
M", …, de cette ligne. Soient DE, D'E”, D'E”, …, les droites
polaires correspondantes. Le lieu de ces droites est une déve-
loppable À, enveloppe des plans normaux à BA (*).

Soit pris arbitrairement, sur CD, le point P. Menons M'P,
et prolongeons cette droite Jusqu'à sa rencontre, en P’, avec
DEetc(0):

(‘) Voir, par exemple, notre Théorie analytique des lignes à double
courbure.

(”) Construction donnée par Monge. (Application de l'Analyse à la
Géométrie, édition de Liouvicce, p. 596). L'illustre Auteur, pour désigner
l'élément d’une surface développable, dit : une hèdre. Je ne connais pas
d'autre exemple de l'emploi de ce mot.

(62)

Le lieu des points P, P', P”, …, est une développée de AB.
De plus, cette courbe est une ligne géodésique de A.

En effet (*),

MPE — M'PE — 2° — NPE (*);

PN étant le prolongement de M'P.

II. Le lieu des droites MP, M'P', MP”, … est une dévelop-
pable Z,, dont AB est une ligne de courbure (*"*), et dont PP'P"...
est l’arète de rebroussement.

Remplaçons P par Q, et recommençons la même construc-
tion. Il en résulte une nouvelle développable XZ,, dont AB est
une ligne de courbure, et dont QQ'Q" … est l’arête de rebrous-
sement. Soit MT la tangente, en M, à la ligne AB.

(") Démonstration de Monge.
(**) Parce que les triangles rectangles PCM, PCM” sont égaux.
(**) Parce que AMM'... B est une trajectoire orthogonale des génératrices

de }»,.

(65 )

Le plan PMT est tangent à X,, et le plan QMT est tangent
à %. De plus, l'angle de ces deux plans est mesuré par PMQ ;
car les droites PM, QM sont projetées, sur le plan CM, suivant
le rayon MC.

Or, lorsque deux surfaces X,, X, ont une même ligne de
courbure, elles se coupent, le long de cette ligne, sous un
angle constant. Donc

PMQ CONS. —= P'M'Q' = P''M"Q".
CA En résumé :

AB étant une ligne à
double courbure; soient
GH, KL deux de ses déve-
loppées. Si, d’un point M,
pris arbitrairement sur
AB, on mène, aux deux
autres courbes, les tan-
genites MR, MS; l’angle
RMS est constant.

Addition. — (Avril 1887.)

IT. Le dernier théo-
rème, qui est probable-
ment connu,résulte, immé-
diatement, de la considé-
ration suivante :

La surface polaire de AB‘ étant développée dans le plan
tangent suivant DE, la développée PP'P" … se transforme en
une droite pp'p” …, prolongement de MP. De mème, la déve-

loppée QQ'Q” … se transforme en une droite gq'q” …, prolon-
gement de MQ. Or, dans la figure plane ci-contre, on a :

EC er re Ba Pont Me

( 64)

CCXXXVI. — Sur la formule : B(p, 1 — p) = - FEES
Sin {7
* (Juillet 1885.)
I. Le premier membre égale
1
{ 6-11 — 6) ?d9;
0
ou, par le développement en série :
LS pa p(p+1i) 1
+ —_———© —— +
p 1p+1 1:20p4+9
Donc
DU RS RP Cm) 1° es (4)
SL es DM LEE 1.2 p+r2

1 1 1 1
SR RE
siNpr p pr 4=p49—1#p

Par conséquent,

1 p+il 1 (p+l)(p+ 2) 1 de
p+i 2 p+2 20 p +5
51
Pa Ha 1 1 | | U
ip 4=p 9—p
€CCXXX VIE —_ Transformation d’une somme

en produit.
(Avril 1887.)

I. Le Mémoire intitulé : Sur quelques intégrales définies (*),
contient la formule, très générale,

Did) (U)
F(a+8—7)l (y — a) (y —6)T (x + n)T(8 + n) |
Va) (8)T (> + n) 6

Se, tr DT a+ TEE + 2
U

(‘) Académie de Belgique, octobre 1885.

( 65 )

dans laquelle .
DISRIUEENT
Posons :

a—œa+c, pf—=bæc, y—=a+b+c.

La relation (U) devient

Ta + q)T{(b + q)T(c + p)
ne ee A
= Fia+b+c+q)
F(a)F(b)F(c)F(a+c+n)T(b+c+n)
Fa + c)F(b + ce) F(a+ b+c+n)

IL. On a :

aq}
Rae
NEA) ES
non a +4). (b + q +14),
Fc + p)
lc)

F(a+b+c+0q) I

a(a + 1)... (a + q — 1),

= ce + 1)... (ce + p—1),
| (2)

F(a+b+c+n) (a+b+c+q\a+b+c+q+1)….a+b+ce+n—1)?
F(a+c+n)

Fa + c)

=(a+c)(a+c+tl)...(a+c+n—1),

F(b+c+n)

bo —=(b+c)(b+c+1)..(b+c+n—1t) ().

(‘) D'après la première de ces formules, le produit
a(a+1)...(a+q—t1)
doit être remplacé par 1, lorsque qg — 0. D’après la quatrième, le produit
(a+b+c+q{arb+c+q+i)..(a+b+c+n—1),

doit être remplacé par 1, lorsque q — n. Etc.

(66)
Donc l'égalité (1) se réduit à

JC. sa(a + 1). -(0 + 91) X dB 1) (Be 9 1)
X c(c+ 1)..(c + p—1)
X (a+b+c+q(a+b+c+qg+1)..(a+b+c+n—1) (A)
—(a+ch(a+c+l).(a+c+n—1)

X(b+c)(b+c+1) .(b+c+n—1).

|
Cette relation permet, on le voit, de transformer, en produits

fort simples, une infinité de sommes (*). Mais on peut la consi-
dérer d’un autre point de vue.

IT. Changeons c en z, et appelons F(a, b, z) le premier
membre. Nous aurons ce résultat curieux :

Les racines de l'équation

Fab, z)—=0;
sont
—a —(a+1)}, —(a+2),.…., —(a+n—1)

— 0, —(b+1), —b+92),.., —(b+n—1).

De plus, si a—b, ces racines sont égales deux à deux;
el F(a, b, 2) est un carré.

IV. Lorsque n — 2,

Harae
a(a + 1)b(b + 1) + 2abz(a + b + 1 +2)
+ 2(z + A)(a + b + z)(a + b + 1 + 2).

Lorsque n — 5,
F(a, b,z)—

afa + 1){(a + 2)b(b + 1)(b + 2) + 5a(a + 1)b(b + 1)z(a + b+2+ 2)

+ 5abz(z + lj(a+b+1+7(a+b+2+2)

+ 2(3 + 1)(z + 2) (a + b + z)(a + b +1 + 2)(a + b + 2 + 2).

Etc.

(‘) Le lecteur pourra supposer

a—=1, a—=b, a+b+c—=1,etc.

(67)

V. Afin de mettre en évidence le nombre entier n, désignons
par F,(a, b, z) ce que nous avons appelé F(a, b, z).
D'après la relation (A) :

Fa. b,z
Fe (a b, z)

D

—(a+n+z)(b+n +2) (5)

Ainsi, le polynôme F,,,(a, b, z) est divisible par le polynôme
Fi(a:'b, 2).

VI. Si a, b, z sont rémplacés par des nombres entiers, la
fraction (5) est réductible à un nombre entier.

Soient, par exemple,

Le dénominateur est
102 IS EME O0 AN 52;
le numérateur est
DO TL 3.2.045.6 + 3.902.506 «25.486 4440.

On doit trouver

C'est ce qui a lieu.

VIL. Interprétation géométrique. — Changeons a en x, ben y;
de manière que F,(a, b, z) devienne F,(x, y, z). À cause de (A) :
l'équation F,(x, y, z) = 0 représente 2n plans, respectivement
parallèles à ceux qui sont représentés par

MAZOUT

VII. Cas particulier remarquable. — Dans (A), supposons

( 68 )

a—b—c—1. Une réduction évidente donne cette

autre
relation :

(4.2.3..n)ÿ +n(n +2)(1.2.5...n—1)
+ (n —1)n(n + 1)(n +2).(1.2.3...n —2Ÿ
+(n—92)(n—1)n.n(n + 1)(n +2)(1.2.5 nes) (B)

SPORE PO PAIE DU Hs AR EEE

= (PARA ES er ET ES

Ainsi le premier membre, très complexe, égale un carré fort
simple (*).

Soit, par exemple, n — 5. On trouve

(.2.5.4,5)+5.74.2.5.4)+%.5:6.7(1.2.5)

Do 515.6 712) #0 :5.1.5 4.054607

+41.92.5.4.8.3.4.5.6.7—(2.3.4.5.6),
ou

1920? + 55.24? + 840.6? + 12 600.92? + 120.840 + 120.2 520
— 720° ;

ce qui est exact.

CCXXXVIEI. — Représentation des intégrales
elliptiques.

(Mars 1885.)

L. Intégrale de première espèce. — Considérons la surface
dont l'équation est

(a? + 2)a° + (0° + 7°)y* = db?

(1)

(*) La démonstration directe, de l'égalité (B), n'offre aucune difficulté.
Elle résulte de cette remarque :

4.92.3.4.n+1)—(1.2.5..n)/ =(1.2.3..n)n(n + 9).

La formule connue

fo
D — 7 } ABdz 9
0
donne :
XIV dz
v —= ra l° l —
ù V2 + a?)(z? + b*)
. o 9 DA dz
V = limv = 7rb° f a —
Y, ATEN PTE
É V' (2? + a°)(z° + 0°)
Prenant

V’a*cos’o + b'sin*® aV/1 —e* sin

Par suite,

Dr 0 (Co) NI nb; (c):

(6)

Donc, si un corps est limité par la surface (1), par le plan x\
et par un plan parallèle à celui-ci, le volume de ce corps est
représenté, à un facteur près, par l'intégrale de première espèce.

Il. Intégrale de deuxième espèce. — Le problème est un peu
moins simple. Après quelques tätonnements, j'ai été conduit

à l'équation

Il en résulte :

puis, par la formule (2),

CEE SN

Jin)
_ 4 / a Z
UE rf °q } n 9 / 19 Di
PDT DAC

LA

0

(8)

(*) Les lignes de niveau de la nouvelle surface sont, comme celles de la

première, des ellipses.

(70)

La transformation (5) donne ensuite :

Pa FF — >. la
D= 7 doV’1 — esin*® — 7 = E(e, œ), (9)
0
VV umo LT) (10)

IL. Remarques. — 1° Si l'on prend f— b, g = a, on a, plus
simplement :

v — ra'bE(e, o). (11)
2 Soit
di RE Et
no deV”1 — e’sin’o
0
la longueur d'un arc de l’ellipse dont les demi-axes sont a, b;

cet are étant compté à partir d'une extrémité du petit axe.

Il est clair que
v — rabs. (42

CCXXXIX. — Une intégration.

(Septembre 1865.)

I. Soit l'équation du deuxième ordre
my RAT OUyE 0; (1)

J'emploie la transformation connue :

Il en résulte

puis, au lieu de la proposée :

u'—-u—a + 1. (3)
x

(71)
Cette équation, comparée à

u'+ Pu—Q,
suppose

b
P—=—=-, Q—a+1i:
œ

Par conséquent, après une réduction évidente,

a + À

rs Ep ANA
UC pau 0) (4)
puis :
. 1 —0b
RE nr er, 6
y © (1 —b)cx" + (a + l)x°
4 :
—=(1 — À 6
Sir a fe (6)

IL. Dans une infinité de cas, l'intégrale peut être obtenue
sous forme finie. Soient, par exemple,

A D;

Le second membre devient

YA dx 1 7 cdx 12 1 p ex — 2
En — — 2 GRISES :
ACT 02)T 0 cr 249 À 2

Donc

ou, ce qui est équivalent,

SCORE :
y = A + (7)
do

IT. Si b — 1, les formules (4), (6) sont illusoires. Mais alors.
l'intégrale de l'équation (3) est

u=x[e+(a +1)£ x];

(") Comme vérification, on peut multiplier les deux membres par æ-°. Si
l’on prend ensuite les dérivées, on retrouve l'équation (3).

(72)
en sorte que
» = 1. dx :
{ m J sfc+(a+1)£ x]
et, sauf le cas de «a — — 1, il est impossible d'intégrer.
IV. La méthode précédente est applicable à
eyy" + ay" + ayy = 0. (8)

On en déduit l'équation linéaire

u’ ere on AE 1, (9)

br ? MU AE
u — er"! £ + f(x + let ds| (10)

CCXL. — Théorème de Géométrie élémentaire.

puis

(Août 1885) (*).
On doit, à Newton, le théorème suivant :

Si, sur les côtés AC, BC d’un triangle ACB, on prend
AD = BE, et que l’on fasse varier ces distances égales ; le point M,
milieu de la droite DE, décrit une ligne droite (**).

En voici un autre, que l'on peut regarder comme corrélatif
du premier :

Sur les cotés AC, BC d’un triangle ABC, on prend AD = BE.
Si, la base AB restant fixe, le sommet © décrit une circonference
passant par les extrémités de cette base; le point M, milieu
de la droite DE, décrit une circonférence ayant pour centre
le milieu de AB (***).

(*) Complément à la Note CXVIHL

(”) Théorèmes et problèmes de Géométrie élémentaire, 6° édition, p. 127.

(***) La démonstration résulte, immédiatement, du Lemme rappelé dans
la Vote CXVII.

(73)

CCXLI. Problème d'Analyse indéterminée.

(Juin 1878.)
[ Soit l'équation
(ae + y + 2) = a + y + 2 + uw. (1)
Si l’on isole «5, le premier membre devient

[ay + 2) + y'(z + x) + 2e + y) + 2xyz|,

ou
3[(y + z)a* + (y + 2x + (y + 2)yz],

ou enfin
3(y + z)(z + x)(x + y)
Ainsi, la proposée est réduite à
3(y + z)(z + æ)(x + y) = W () (2)
IL. Posons u— 5v, puis décomposons Yv en trois facteurs 4, 6,c;
de manière que

abc — Jr. (5)

Alors :
X—=p— A, y =p — b, A DER CÉS (4)

p désignant, suivant l’usage, la demi-somme des nombres

gb e (tn).
Addition. — (ai 1887.)

HT. On sait que, # étant impair,

1)

(x + y + 2) — (x + y" + 2") = P(y + 2)(z + x)(x + y) (

(‘) C’est uniquement à cause de l'identité
(TX + y + TZ — D — 5 — 2 — 5(y + 3)(3 + d)(x + y),
que je mentionne ce Problème.

*

{**) Sices nombres ne: sont pas tonus pasrs, un seul doit l'être.

Na CENIEVATIE

(74)
Donc, en particulier,
Le + y + 2) —(ù + y + 2°) = A(y + 2) + (x + y);
A étant une constante (*).
Si l’on suppose

on trouve
A — 3. C.Q F.D.

CCXLII. — Une propriété des progressions

arithmétiques (**).

Il suffit de l’énoncer :

Soit une progression arithmétique, composée de n termes.
Si, de n fois la somme de leurs carrés, on retranche le carré
de leur somme, le reste est constant (*).

Exemple :

5( 5+ 724414135419) —( 5+ 7+11+15+19) — 800
= D( 7 +4 A5 +19 +25) —( 7 +11 +15+19+925)
= DA? + 145 +19 +925 + 27?) — (1 +15 + 194+25+27).

(‘) Parce que l’équation est homogène.

(*) Complément au Mémoire intitulé : Sur un développement de l’intégrale
elliplique de première espèce. (p. 24).

(‘**) C'est-à-dire, indépendant du premier terme.

(75)

CCXLIII. — Application du Théorème de Lancret |").

(Septembre 1875.)

I. Ce théorème est exprimé par l’équation

1

1
rar

1
L? r p ? ( )
dans laquelle

A » (ab — b'a”'} 1 » (ab' — ba')c”

ra y ; 19 , PS PE 0 FT
| (a? + b? + ce R abc A

Il en résulte l'égalité
> (ab — ba") — (a? + b° + ce) + [Ÿ (ab ba')c'"}, (A)

qui devient identique si les quantités a, a’, a”, b. b',.…., satisfont
aux conditions connues :
+b+c—1, ag + bb + cc —0, |) ()
TORRES CEE A
Cette relation (A) permet de trouver, d’uneinfinité de manières,

une somme de trois carrés égale à la somme d’un cube et d’un
carre.

IL Exemple. — On satisfait aux conditions (2) en prenant :

9 12 20 2% PT ; 15
a D
25 25 25 25 25 25

ane MT EE SA 20

a'——, b Te mur CS ù

25 25 25

(") Omise dans la Théorie analytique des lignes à double courbure.
(**) Loc. cit ; pp. 15 et 16.

(76)

Il résulte, de ces valeurs :

94
DA DE EIC AE
25
1250 860 270
g'b'—b'a"=————, be"—cb'=——, ca"— ac" cr ;
25° 25°
925 ILES 520 ee CE
Ab DORE LE ter ca — ac SE
Î : 1180
Ÿ (ab bac = (225:20 520. 14 Gb ASS ae
puis
1950? + 860? «+ 270° — 345.925 + 1180”,
ou

950? + 172? + 54° — 54° + 9256”;

conformément à l'énoncé.

Addition. — (Mai 1887.)

LIT. Pour éviter les fractions, on peut remplacer la première
des conditions (2) par celle-ci :

DE 0 NU KE") (3)
Alors (A) devient
> [k(a'b" — d'a") = (a° + D? + 0 + [S (ab' — ba')c"' |. (B)

Si, par exemple, on suppose :

a; Di"; CAPES
a'——1, b'—3, C—= — #4;
UP, Nb OC — 0;

on trouve
(3.24) + (5.50) + (5.22) = 96° + 8°.

(‘) Prenant & et b arbitrairement, on décompose «? + b* en deux

facteurs, de même parité : lun est Æ + c; l’autre, & — ce; etc.

(°770)

CCXLIV. — Conséquences du Problème de Malfatti.
(Octobre 1874) (”).

IL En évaluant, de deux manières différentes, l'aire du
triangle ABC (**), on est conduit à cette proposition :

Si trois quantités f, g, h satisfont à la condition
fon gt 1), (1)
elles rendent identique l'équation
DH + +9 = (++ g +) SAGE) 2)

I. Dans cette identité (2), dont la vérification est plus
longue que difficile :

f + À — tg1A a 1 —tg1B
= (LS 4 — (D OARXS ——
F4 RETET J 82h À + 181B° (8)
)
1 —te1C
h=t A — Bis ny |
#0 1 +igiC ®
Elle exprime done une relation entre
tgIA, tgiB, tg1cC.
Toutes réductions faites, cette relation se réduit à celle-ci :
tutAtg1BteiC— (tg1Atg1B + tg1Btg1C + tgiCtg}A) ()
4
— (IgIA + tg1B + tg1C) + 1 — 0,

laquelle est connue.

(‘) Complément de la Note LXXH.
(Loc til.
@W) Loc cit.
(5) Loc. cit.

(78 )

Addition. — (Février 1886.)

IT. Théorème d’Arilhmétique. — Si f, g, h sont trois entiers,
salisfaisant à la condition (1), la quantité

DORE MEET

est divisible par
f+g+h+i.

IV. Application géométrique. — Remplaçons f, 9, h par x, y, z;
et considérons les équations :
xy + yz +zx =, (5)

DU — xy)( — 2)(1 + x) (A + y) = 0. (6)

La combinaison des deux conduit, d'après la proposition ei-
dessus (1), à l'équation

A+r+y+z) )Ÿ (1 — y°)( 1 — »#)—0;
laquelle se décompose en
X+Yy+z——]1, (7)

Drf—y)(—z)=0. (8)

L'équation (5) représente un hyperboloïde de révolution
(à deux nappes), dont l'axe est la droite isogonale. L'équa-
tion (7) représente un plan perpendiculaire à cette droite, et,
par conséquent, parallèle aux plans cycliques de l'hyperboloïde.
Mais, comme on déduit, des équations (2), (5) :

+ +z—— |,
le plan ne coupe pas l’hyperboloïide.

Quant aux équations (6), (8), elles représentent deux surfaces

(79)

S, », telles, que chacune est située de la même manière, relati-
vement aux trois plans coordonnés.

On vient de voir que l’équation (8) est une conséquence des
équations (5), (6). Donc :

La ligne, suivant laquelle lhyperboloïde coupe la surfuceS,
est située sur la surface Z(*).

V. Remarque. — Trois quantités f, g, h ne peuvent satisfaire,
à la fois, aux conditions

fg+gh+hf=t, f+g+h=—1 ("*.

CCXLV (‘‘)} — Sur la projection stéréographique.

(Mars 1874.)

Taéorème L — Un ellipsoide étant donné, on prend pour
TABLEAU un plan diamétral AOB , et, pour point DE VUE V, l’une
des extrémités du diamètre conjugué de AOB. Cela posé, les per-
spectives de toutes les coniques C, tracées sur l’ellipsoïde, sont
semblables à la section diamétrale AOB (").

CoRoLLaiRe. — Si AOB est une section circulaire (auquel cas V
est un ombilie), les perspectives de toutes les coniques C sont des
cercles €.

(‘) Soit P un plan eyelique de lhyperboloïde. H coupe l'angle trièdre
des coordonnées positives, suivant un triangle équilatéral; et il coupe les
surfaces S, Ÿ, suivant deux courbes $, 5, telles, que chacune est siluce de la
même manière, relalivement aux côtés du triangle. Cela posé, si M est un point
du plan P, commun au parallèle de l'hyperboloïde et à la courbe c,
M appartient à la courbe 5.

(”) On peut se rappeler qu'à notre point de vue, les imaginaires ne sont
pas des quantités. (Cours d'Analyse de l’Université de Liège , p. 167).

(°"*) Tiréc des Comptes rendus.

(“) Après l'impression, j'ai appris que ce théorème appartient, en partie,

au savant Hachette, mon ancien Professeur.

( 80 )

Tuéorème II (Mèmes hypothèses que dans le Corollaire). —
Considérons, dans le plan du tableau, un système orthogonal
formé d’une infinité de cercles e et d’une infinité de cercles e' (*) :

1° les plans P, des coniques GC, dont les perspectives sont les
cercles €, passent lous par une même droite D ;

2° les plans P', des coniques C', dont les perspectives sont les
cercles c', passent tous par une même droite D';

9° Les droites D, D' sont conjuguées, c’est-a-dire que le pôle
de chaque plan P est situé sur D'; et vice versà.

Taéorème IL (Réciproque du précédent). — Soient C les
coniques dont les plans passent par une droite D, et C' les coniques
dont les plans passent par la droite D’, conjuguée de D : les
cercles c, perspectives des coniques C, et les cercles c', perspectives
des coniques C', constituent un système orthogonal.

Remarques. — I. Le système orthogonal est le plus simple
possible quand, les cereles c ayant leurs centres sur l'axe moyen
OB, les cereles c’ ont les leurs sur le demi-diamètre OD — OB,
situé dans le plan principal AOC. Alors les droites D, D’, res-
pectivement parallèles à OB, OD, rencontrent le diamètre OV
en des points R, R'. De plus, OR .OR' = OV”, absolument
comme dans le cas de la sphère.

Il. Puisque, à chaque point M, intersection de deux coniques
obliques (**), correspond un point "», intersection de deux cercles
orthogonaux, l’ensemble de tous les cercles c, c’ (ensemble
déterminé par des points fixes, A, B, pris arbitrairement) con-
stitue un nouveau système de coordonnées. Ce système ortho-
gonal circulaire pourra, peut-être, s'appliquer à certaines ques-
tions relatives à l'ellipsoïde. |

(‘) Journal de Liouville, t. XIX, p. 154.

(**) C'est-à-dire, se coupant obliquement. (Mars 1888.)

(81)

CCXLVI. — Sur l’Hélice-caténoïdique (‘).

(Août 1874.)

I. TuéorÈue. — Soient une chainette AC, située dans le plan 7x,
et une hyperbole équilatère AH, située dans le plan xy (**).
Ces deux courbes ont même axe OAX, même sommet À ; de plus,
Oz est la directrice de AC. Cela posé, la courbe AMI, projetée
suivant les deux courbes données, est une hélice.

Les équations de cette courbe sont :

(ei | & —?

I—— |" +e
D

Si l’on élimine x, on trouve

L4 Z}\

2{4 pal
LÉ FENTE: .

Considérons le cylindre qui contient la chaïnette AC et la
courbe AMI ; soit PM une génératrice de ce cylindre, limitée
aux deux courbes. La dernière équation exprime que

CUS LE
PM == = e® — € ï .

Mais, d’après une propriété connue, le second membre repré-

sente aussi la longueur de l'arc AP. Donc

PM — arc AP. C.Q.F. D.

IT. Si une hélice-caténoïdique est éclairée par des rayons
parallèles, l'ombre de cette courbe, sur un certain plan, est une
hyperbole équilatère (***).

(‘) Réponse (indirecte) à une question proposée dans la Nouvelle Cor-
respondance malhématique (1. 1, p. 67).

(**) Le lecteur est prié de faire la figure.

(***) N'est-ce point au Professeur Guillery que l’on doit le théorème
suivant, attribué parfois à Th. Olivier : L’ombre de l’hélice ordinaire peut
être une cycloïde ?

6

(82 )

CCXLVII. — Un développement de

sin ©
(Mai 1874.)
L On sait que
T fi da -
sinxz , Presence) j; (1)
0
donc
x co ae
en > (— 1)"cos" x fi ” sin"ada. (2)
sin x 0 à
0
L'intégrale définie a pour valeur :
n + À
r È |
ac A 2
2! lo (n
A0
2
Par conséquent,
r( + à
x PSE 9
TRIER 4 nee il n 3 21 £
sinxz 2 Ra ) n a 6)
FI-+1
2
Telle est la formule annoncée.
Addition. — (Mai 1887.)
IT. La somme, développée, est
15
T2 sav
V/7— COSX + — —— COSX — COS°X + COST —.,
1 244 15 172
av? 220"
ou
2 1 1H Ter EME
= = COS —C0P:
V7 = 2 x VAE x
1.5 2 2.4
+ 7 cost — — " cosx LT
2.4 V/7 5.5

(*) Cours d'Analyse, p. 595; Bierens de Haan, T. 6.

(85)

L'égalité (5) devient donc

x T Ar 2 LR
—— —= — — COSX + —— COS'X— — COSX + — cos'x
SIN 1 22 3 2.42
; (4)
2.4
—— COS‘ x + :
3.)
et, lorsque x — 0 :
T Az D M
= 2 — — + (5)
2 DR 2 RATES

HT. Quand cos x est inférieur à l'unité, les termes de rang
impair, dans (4), forment une série convergente; et il en est de
même pour les termes de rang pair. Conséquemment,

x 7

ANR LR ES 1.5.5
—.——|41 + — cos x + COST TR en >
SINT... 9 2 1.4 2.4.6

(6)

Re D” :
= COSLERE COS COST EE Lee 5
3 510)

mais la même réduction n'est pas applicable à la série (5) (*).

IV. La démonstration employée dans le paragraphe (D) est

peu rigoureuse; mais il serait facile de remédier à ce défaut, en
prenant l'expression du reste :

IN

à ? sin"*{odo
HA CoOS ANT —— ,
. À + cosxsina

0

et en faisant voir que ce reste tend vers zéro, même lorsque
cos x — 1. Au lieu d'entrer dans ce détail, posons :

œ
Y—=———, COX —Z: (7)
sin x
de manière que T
— — arc sinz
arc COSz 2
———— (8)

Nue (VE er

(*) Sous le rapport de l'incommodité, elle est comparable à l’une de
celles que j'ai rencontrées en étudiant la constante G (Recherches sur la
constante G..., p. 51). De plus, les termes de la série (5) sont les carrés
des termes de l’autre.

(84)

Tant que z est inférieur à 1,

7 A arc sin z
= 1 — 2° Lt 9
D ed Ve (9)
Or,
arcsinz 2 2.4
—— —=2+ 2 + — 2 +... (*)
V4 —z 5 9.5

Par conséquent,

7 À 1.5, \ 2 2.4.
Y—== MERE 7 mere D +];
2 2 2.4 5

comme ci-dessus (6). En outre, en série convergente,

arc cos z T A7 3 12 2 4.37 :
RE er rt 2% —.….;
Vpn: D) 22 3 2.49
EL SZ — dE
l T Az 0) 41.37 2.4 ()
= = — RE AE RE EE SR
OC Des os eUUsES

»

CCXLVIII — Sur les lignes géodésiques
de l’ellipsoïide.

(Mai 1882.)

1. Introduction. — On doit, à Liouville, le théorème suivant :

« Si parallèlement à la tangente en un point quelconque M
d’une ligne géodésique et à la tangente conjuguée, on conçoit
deux demi-diamètres de l’ellipsoïide, la perpendiculaire H
abaissée de l'extrémité du second de ces demi-diamètres sur le
premier sera constante (**). »

La démonstration géométrique donnée par mon illustre Maitre

() Voir, par exemple, Notes d'Alyèbre et d'Analyse, p. 14.
(*) Journal de Mathématiques, t. XI, p. 22.

(85)

me paraît peu satisfaisante (*). En déduisant le théorème de
Liouville de celui de Joachimstal (ce qui est naturel et connu),
on peut modifier l'énoncé du premier théorème, de manière à
rattacher celui-ci, jusqu'à un certain point, à la théorie de la
polhodie.

IT. Démonstration nouvelle. — Soit MT la tangente, en M,
à une ligne géodésique AMB. Soit FGH la section faite, dans
l'ellipsoïide E, par un plan central, parallèle au plan tangent

Mar M EUR TS
ER US
EE
À Lo
B\
/
/
lai D S
AN de
LÉ i / / \
ae \
Ve |
1
VERRE AL =
0 7
Le
A NS

en M. Soit encore P la distance de ces deux plans. Menons, dans

la section centrale, le demi-diamêtre OG et la tangente HS,

parallèles à MT. Le théorème de Joachimstal consiste en
l'équation :

OG.P = const. (1)

Les demi-diamêtres OG, OH, OM sont conjugués deux à deux;

donc le parallélipipède, déterminé par ces droites, a un volume

constant. Ainsi
P.0G.OH sin GOH = const. (2)

(‘) Ilen est de même de la démonstration publiée, il y a un an, dans les
Nouvelles Annales (1882, p. 49). Qu'est-ce que le savant auteur appelle
tangentes conjuguées sur la surface?

( 86 )

Menons OR perpendiculaire à HS : OR — OH sin GOH.
L'égalité (2) devient
P.OG.R = const. (3)

Comparant avec la relation (1), nous avons donc
OR — const. ;

ce qui est le théorème de Liouville. Mais nous pouvons l’énoncer
ainsi :

Soit MT la tangente, en M, à une ligne géodésique AMB. Si,
par le centre de l’ellipsoïde E, on fait passer un plan parallèle
au plan tangent en M, la tangente HS à cette section centrale,
parallèle à la tangente MT, est à une distance constante du centre.

IT. Remarques. — 1° Le lieu du point R est une courbe
sphérique.

2 La droite HS, tangente à l’ellipsoïde E, est tangente à la
sphère S ayant O pour centre, et OR pour rayon.

3° Le plan tangent, en H, à l’ellipsoïde, est parallèle au plan
GOMT. Si celui-ci était perpendiculaire à FGH (©), le premier
plan coïnciderait avec celui qui est tangent, en R, à la sphère S;
et alors la droite RS serait génératrice d’une développable 5,
éirconserite à l'ellipsoïde et à la sphère. Par suite, le lieu du
point H serait une polhodie. Mais il n'y a pas de lieu du point H,
attendu que le mouvement de la droite RS n'est pas déterminé
par les conditions du problème.

(*) Cette hypothèse, que rien ne justifie, m'avait paru résulter du texte
de Liouville (toc. cit.). Naturellement, elle conduit à des résullats absurdes,
inutiles à rapporter. (Juin 1887.)

(87)

CCXLIX. Théorème d’Algèbre (”).

(Mai 1872.)

1. Si l'on donne les équations

ax + by bx' + cy'

sn na nant nt (1)
dx y—y
X= (x — 2x) —(a — c(x —x)(y — y) —b(y — y}, (2)
Z= (a+ 2')(c + 2) — L° (3)

dans lesquelles les inconnues sont
Fe y’, 2, X, Z;
le produit XZ est indépendant de x’, y', z'.

On tire, des équations (1) :
ch, ! L z Fe
ï ml et Y = {a+ 2)y —bx] (4)

L'égalité (2) peut être écrite ainsi :
X2°2== b(ax’ + by} — (a— c)(ax'+ by')(bx" + cy')— b(bx' + cy'};
puis sous cette forme :
Xz°— (ac — b?) [x 2 (a — cx'y —0by"|;
puis encore sous celle-ci :
X2%— (ac — b°)[(bx" + cy'}x' — (ax + by')y' |. (à)
D'après les équations (1), la quantité entre parenthèses égale

| [y — y} — (2 — y];
c’est-à-dire
(x'y — y'x)z".

(*) Obtenu par une étude sur les Systèmes triplement orthogonaux (voir
la Vote CCXXXIII).

( 88 )

Donc
X2'=— (ac — b°)(x'y — y'x). (6)

D'ailleurs, par les formules (4),

LA
x'y — Yx — _ Lba? — (a — c)xy — by*].

Ainsi
XZ = (ac — D)[ ba — (a — c)xy — by*]. (A)
Addition. — (Juin 1887.)
IL. Interprétation géométrique. — Au lieu des équations (1),
prenons :

ax + by +(x — a)z—0, bx + cy +(y— Bz—0; (7)
puis l'équation auxiliaire :

Lo(e— x} — (a — cie —2)(8— y) —0(8— y) (a +z)(c-+ 7) — 0] ) (8)
ee [ba — (a -— chap — bf|(ac — b?).

Pour toutes valeurs particulières des paramètres «, 6, les
équations (7) représentent deux paraboloïdes hyperboliques P, P';
et l'équation (8) appartient à une surface S, du troisième ordre,
dont les lignes de niveau sont des coniques semblables.

Cela posé, d'après le théorème précédent, si l’on éliminait
x et y entre les trois équations, on trouverait une identité. Done
les trois surfaces se coupent, deux à deux, suivant une même ligne.

CCE. — Problème trouvé en songe.
(9 mars 1886.)

I. Décomposer une fonction donnée, f(x, y), en deux parties
M, N, de telle sorte que Mdx + Ndy soit une différentielle exacte.

La seconde partie égale f(x, y) — M. L'équation du problème

est donc
Mdx + (f(x, y) — M] dy = du. (1)

On doit avoir

dM_ df dM

dy dx dx
ou

dM dM df

de dy dx’

équation aux dérivées partielles, du premier ordre.

Les équations auxiliaires sont :
dM

dx = dy = —- ;

Gel
dx
et leurs intégrales :

df
TX = a + y, n— fase
Jde

Dans L on doit remplacer x par & + y. Ainsi
‘
M — 4 Lay + E(x — y);

pourvu qu’après l'intégration on suppose « égale x — Y.

IL Exemple :
fa, y) = — 5x y + ÿ';
df
dx

= 32° — Gxy — S(x + y) — G(x + y)y;

dl
Ji T dy=(a+y) — 302 = —5(x—y)y"— 2x — Say + y";

dx
M— 2 — 5xy° + y° + (x — y),

N— — 52 y + 52ÿ + y — y — px — y).

On trouve ensuite :

x“ 52 ÿ y

CES CARRE + Su d(x — y).

n

(:305)

CCLI. — Une propriété des systèmes triplement

orthogonaux.
(Mai 1872.)

I. Soient trois surfaces appartenant à un pareil système, et se
coupant suivant les lignes de courbure MA, MB, MC, dont les

CC

ra
tangentes sont MS, MP, MU. Les directions MS, MP sont
déterminées par les équations

dx = pdx + qdy, (4)
dx + pdx dy + qdz
RER 0 CET (2)
rdx + sdy sdx + tdy
dans lesquelles les dérivées se rapportent à la surface AMB.
MS est normale à la surface BMC; donc
dx di dz
== — G)
PORTA EE A

Cette fois, les dérivées sont relatives à cette seconde surface;
et dx, dy, dz sont les projections, sur les axes de coordonnées,
d'un élément Mm de MA.

(91)
L'angle UMS est droit; donc
PP QUE EE (4)
Au moyen des proportions (5), l'équation (2) devient

CDS UNS DEN pL
PARLE 9

0 étant une inconnue auxiliaire.

6; (à)

Soit, en outre,
P —

[(p'—p}s—(p'—p}q"—q\r—0—(q'— qYs]l(r+o\t+0)—s]. (6)

Les équations (5) ont même forme que les équations (1) de la
Note CCXLIX. De plus, P ne diffère, du produit XZ (*), que par
un changement de lettres. Done, en vertu de la formule (A) (*):

P= [ps — pq(r — 0 — gs](rt — s°). (7)
Ainsi, la fonction P dépend, uniquement, de la surface AMB.
I. On tire, des équations (5) (*) :

s (£ + 0)p — qs , (r + 8)q — ps
en Cu

(8)

CETTE

après quoi la substitution dans (4) donne
A+ p°+ qe + [(1 + pit — 2pqs + (1 + gr]6+rt—s—0. (9)
Si R est le rayon de la section normale, tangente à MA :

V1 +p+q

1
—[({+ pt —2pqs + (1+ gr] = Go)

APR die

+ rt—s —0 (**).

Donc, abstraction faite du signe, l’auxiliaire 8 est donnée par
la formule

ARS En (14)
R

() Loc. cit.
(‘*) Voir, par exemple, l'Analyse appliquée, de Leroy, p. 314

(92)

Autrement dit, . est la projection, sur l’axe Oz, du rayon
principal KR.

IL. Si R'est le second rayon principal, on a, par l’équa-
tion (10),

1 TS

RAR pt eg
Donc la formule (7) peut être écrite ainsi :

9 2 His + 1 *
P— [pis — pr — 0 — gs] ET (1. (12)

(*) La réduction de la forme (6) aux formes (7) ou (12) doit, sans doute,
pouvoir être interprétée géométriquement. J'ai cherché cette interprétation;
mais je n’ai rien trouvé de satisfaisant, méme quand les surfaces données
sont des QUARTIQUES homofocales. Quand il en est ainsi, on a (*):

cr Ge) ca Ty
i a? Pubs NE iante
ci(D? — y°) c‘æy ci(a? — x?)
(rm Carpe np A a°b?35 Taie
ca? — x? — PP +vy c$
Tr — AR ge ue CS rl — S— ———.
a?b?z5 a°b?31
Donc :
p?s — pq(r — 1) — gs =
CDUNICAMRAUE cé (a? — b?)cfx
_ FE QU RENE PAR Pa ES HUE
a°b?35 a“ b' a“bz® a‘b'zs
puis
a? — b*)c'?xy
P = —

aSb6z!

(*) Crances Durin, Développements de Géométrie, p. 203.

(95)

CCLII. — Sur la Géométrie de MM. Brocard,

Lemoine, Neuberg, de Longchamps, …. (‘).
(Avril 1886.)

1. THÉORÈME PRÉLIMINAIRE. — St trois droites AP A’, BPB', CPC,
issues des sommets d’un triangle, se coupent en un point P, les
symétriques de ces droites, relativement aux bissectrices inté-
rieures, se coupent en un point Q (**).

Appelons > les angles égaux ACC, BCC”.
Dans les triangles ACC’, ACC", BUC"”, BCC :

AC siny AC” sin(C— 7)
AC enA EL VAC 0 nee)?
BC eine) BC siny
Une sin (A ge y)” BCE sin(B + y)
Donc
AC'.AC" LÉ |
BOABCHAA BC (1)

relation remarquable (***).
Il en résulte :

AC’. AC” BA'’.BA", CB'.CB”
BOPRCANCAL CAT ABTAB ON

() La Nouvelle Géométrie du triangle, créée, il y a douze ans, par
MM. Brocard et Lemoine, est déjà si féconde et si importante, qu’il est
devenu nécessaire d’en écrire l’histoire. M. Émile Vigarié, Élève à l’École
des Mines (Paris), publie en ce moment (juin 1887), dans le Journal de
M. G. de Longchamps, une ‘Étude bibliographique et terminologique, à
laquelle nous renvoyons le lecteur.

() Le lecteur est prié de faire la figure.

(*") Si CMy est une transversale, passant au centre de gravité M, on
peut écrire ainsi l'égalité (1) :

AC.AC" Ay

BC. BC” By
et en déduire d’autres conséquences ( Théorèmes et Problèmes de Géométrie
élémentaire, 6e édition, p. 252). (Mars 1888.)

(9%)

Par hypothèse,
AC’. BA'.CB' — BC'. CA" AB’.

Conséquemment,
AG':BAT/CB = BC ACATABE (2)
C Q.F.D.
IT. Remarque. — On peut dire que les points P, Q sont

associés. Cela posé : si P est le centre de gravité, Q est le point
de Lemoine; si P est un point de Brocard, Q est l’autre point
de Brocard; etc.

€CCLHII.

Problème de Probabilités (‘).
(Novembre 1884.)

1. Combien y a-t-il de nombres de n chiffres, composés, chacun,
de p chiffres donnés? ou encore :

De combien de manières peut-on remplir n cases données, avec
p lettres données, a, b,e, …,f, g, chaque arrangement devant
contenir les p lettres ?

Soit o(n, p) ce nombre de manières. Considérons les arran-
gements composés de x» — 1 lettres, et contenant, soit les p
lettres données, soit seulement p — 1 de ces lettres.

1° A la droite de chacun des premiers, apportons, successive-
ment, chacune des p lettres a, b, c, …, f, g. Nous obtiendrons
po(n— 1, p) des arrangements demandés.

2 Parmi les arrangements composés de » — 1 lettres, il y en
a fn — 1, p — 1) qui ne contiennent pas a, g(n — 1, p — 1)
qui ne contiennent pas b; etc. À la droite de chacun, écrivons
la lettre manquante : nous formerons po(n — 1, p — 1) nouveaux
arrangements, faisant partie de ceux que nous cherchions.
L’équation du problème est donc

q{n, p) = plate — 1)p) ++ qu — 1, p—1)]("). (1)

(*) Extrait d'un Traité, inédit.

(‘*) Dans mon cours à l’Université, j'avais obtenu cette équation (1) au
moyen d'un raisonnement ineæact; ct, en conséquence, je la croyais fausse.
M. Beaupain, l'un de mes meilleurs élèves, me communiqua la démonstra-
tion précédente.

(95 )

II. On peut supposer ç(n, 0) — 0. De plus, il est visible que
o(n, 1)—1. Or, dans le Calcul des différences, on trouve la

formule
Ar(0") = p[A"(o"1) + Ar-t{0"-t)], (2)

dont la vérification est facile, et qui a même forme que l’équa-
tion (1). On satisfait done à celle-ci en prenant

p(u, p) ui AP (0°)
ou

gl, p)—p" — © (p a) et
II. Remarque. — La quantité o(n, p) est le nombre des cas
favorables, dans le problème suivant :

Quelle est la probabilité que les p numéros, contenus dans une
urne, sortiront en n tirages (*)?

Le nombre des cas possibles est p". En effet, on peut remplacer
les n tirages par un seul, effectué au moyen de n urnes (**).

CCLEV. — Quelques décompositions de l'unité (***).

(Juin 1886.)

I. TuHéorÈue ("). — S2 xyz — abe, on a :
: bx SEE CRE ay
“ay +b(a+x) a ay + a(b + y)”
ab ab

À — PRET LS RIRE 1 = RE AT
es + b(a + x) Dee + a(b + y) Gi

ILE ER EP Teen ne

4 xy + b(a + x) xy + a(b + y)

(‘) A chaque fois, le numéro sorti est remis dans l’urne.
. LaPcace, Théorie analytique des Probabilités (1312), p. 195.

) Trouvées en résolvant un problème sur le triangle.
". Ou, plus exactement : Remarque.

( 96 )
II. Application. — Soient :

D b—%, CD;
x 10; y—3, r—2

On doit trouver :

40 15 6 ,
EE — |.
30 + 4,15 Gr 20 + 3.7

9 8 50
——_—_———_——— +4 ——————© + ————— — À,
30 + 3.7 6 + 4.7 20 + 5.13

12 20 15
————_—— + —————© + ———— A
30 + 3.7 64147 90 + 5.13

42 20 45
————— + © + ——— — |],
30 + 4.13 6 + 5.7 920 + 3.7

30 6 20
——— + ————— + —— — |,
30 + 4.15 6 5.7 20 + 3.7

50 62% 20

NET Dot mn
et tous ces résultats sont exacts.
II. Corollaire. — L’équation
(xyz — abc) = 0,

peut être écrite sous les six formes (A).

CCLV. — Conséquences du Théorème de Fermat.
(Septembre 18386.)

I. Soient p, q deux nombres premiers, impairs et inégaux. Si
p ne divise pas q -— 1, on a, par le Théorème de Fermat :

(g A} be JT (p): (1)
Mais

at — 1 |
CET ET EE ï ES 41= MU (q) +1.

(97)
Done, dans l'égalité (1), le premier membre est divisible par q.
Et comme p, q sont premiers entre eux, cette égalité devient :

ten Te (Ra) (A)
De même, si q ne divise pas p — 1 :

BEA 1 = MN (pq): (B)
Quand les deux conditions ont lieu simultanément :

(g— A1} — (p— A1" —= JN (pq), (C)
ou

Pa Delocur 6 delete) wo

IL. p étant impair, &7!— 1 est, algébriquement, divisible par

a + 1. Donc ce binôme est, arithmétiquement aussi, divisible
par a + 1. En conséquence :

p étant un nombre premier, qui ne divise ni a ni a + 1 :
D — 1 = M[p(a +1)|. (E)

De même : p étant un nombre premier, qui ne divise ni à
nia—1: :

at —1=M/|p(a—1)]. (F)

Enfin, si le nombre premier, p, ne divise ni a — 1, ni a, ni
a + 1 (*):
CR JU [p (a — 1)]: (G)

Soient, par exemple,

a— 4, p—T.
On doit trouver
45 4 — MU(108).
En effet,
6 —1— 65.63—5.13.7.9.

(”) Ces trois conditions sont remplies si p surpasse a +. 1.

(98 )

III. D'après (E) et (F) : si le nombre premier p ne divise pas,
à la fois, q + 1etq—1:

(g + 17 — (g — 1 = ON (pa),
ou

1 p—1

re D ed + ee = DIU (pq). (H)

IV. Supposons q impair. Alors le premier membre est divi-
sible par 2 -*, nombre premier avec pq. Donc :

ÉSONOONECS

V. Remarques. — 1° Si p a la forme 4y — 1, le premier

facteur égale
q+i 24.1 q—1 2-1
2 | + | 5 | |

il est divisible par q.

2% Si p— 4u + 1, le second facteur est divisible par q.
VI. Lorsque g — 5, l'égalité (K) se réduit à

Pi =
[a 2 + 1) ? — 11e IT (5p).

Cela posé, d’après un théorème connu (*) :

4° Si p — 8u + 1, le second facteur est divisible par p ;

2 Si p— 8u + 5, le premier facteur est divisible par p (**).

(‘) Serrer, Algèbre supérieure, t. I, p. 109.

(‘’) Je ne pense pas que, dans le cas général, on puisse, a priori,
déterminer quel est le facteur divisible par p, même au moyen de la Loi de
réciprocité, de Legendre. (Alors, bien entendu, q doit être supposé premier.)

(99)

CCLVI. Systèmes articulés.
(Avril 1886.)
I. Préliminaires. — Soit BACD un quadrilatère inscrit. Si

l'angle BAC est rendu fixe, la
diagonale BC est une droite
de longueur constante, glissant
Le Ke entre les côtés de l’angle xAY.
Quant aux côtés, BD, CD, ce
\a sont des cordes dont les lon-
gueurs sont données, et qui
|. appartiennent à un cercle mo-

|
3 Ds EN bile, de rayon constant. Donc
27 l'angle DAx est constant; et
LA le sommet D décrit un segment
> 4 de la droite DA (*). Les posi-

tions extrêmes du point D, sa-
voir : P, Q, sont déterminées
par

AB=BD MAO CDE (EC:

IT. Lorsque l'angle A est droit, l'enveloppe de BC est une
hypocycloide droite. Dans le cas général, cette enveloppe est une

courbe fort compliquée, que nous pouvons appeler kypocycloïde
oblique (***).

III. Les droites BD, CD ont des longueurs constantes; elles

(‘) Théorème connu. Voir, dans mon Application de l’Algèbre à la
Géométrie (1848), une remarquable Note de M. Mannheim.

(**) Quand B vient en A, BD coïncide avec AP ; quand C vient en A,
CD coïncide avec AQ. Par suite, les points P, Q se confondent, si BD = CD.

(***) Il n'est pas difficile de prouver que (oute hypocycloide oblique est
parallèle à une certaine hypocycloide droite. Voir, dans les Nouvelles Annales
(1878, p. 521), unc autre Note de M. Mannheim.

(100).

glissent dans des angles donnés; done l'enveloppe de chacune
est une hypocycloïide oblique.

IV. Prenons, sur la circonférence circonscrite au quadrilatère
ABCD, des points F, G, H, … La propriété démontrée pour le
point D subsiste pour ces divers points; done ils décrivent des
droites passant par le sommet A.

V. De plus, les cordes BF, FG, GD, … enveloppent des hypo-
cycloides obliques. Et si ces cordes sont égales, leurs enveloppes
le sont.

VI. Système articulé. — O étant le centre de la circonférence
circonscrite au quadrilatère ABCD, supposons que les rayons
AO, CO, DO soient trois tiges, articulées en À, O, C. Si la corde
CD est une quatrième tige, le triangle COD sera invariable de

forme et de grandeur. Par suite, quand l'anneau CG déerira la
droite fixe RS, passant en A, le sommet D décrira-également
une droite, passant aussi en A; et l’on aura transformé un mou-
vement rectiligne alternatif en un autre mouvement rectiligne
alternatif.

(101 )

CCLVII. — Sur des sommes de bhi-carrés.
(Mai 1886-Juin 1887.)
I. D'après l'identité connue :
r+y+zs) + (x—y+z)+(x+y—z)+(x+y+z) (4)
= (22° + 29° + 22°) + (Lay) + (4yz) + (4zx)° (°);
la somme de quatre bi-carrés peut être égale à la somme de quatre

carrés (**).
Soient, par exemple,

z—=1, y—2, 2—6.
On trouve

76+ 5° + 3 + 9 — 89? + 8° + 24? + 48°,
ou

2 401 + 625 + 81 + 6 561 — 6 724 + 64 + 576 + 2 504 — 9 668.
. IT. Une autre identité, à peu près évidente :
ee) ==) CEE nl
— —— | 4 ——— | + |__| + | —
2 2 2 2
— + D + c + d°,

donne celle-ci :

— 2 +y ++ = a —yÿ +7 +u°\?
Rss (ee

2 2

a+ y+zt+ uw

PA

au moyen de laquelle on peut résoudre le même problème.
Exemple :

HR UD a 0552 74 073 4

—1089 + 5249 + 5529 + 1 — 9668.

(") Mémoire sur certaines décompositions en carrés, p. 66.
(**) On ne compte pas l'égalité insignifiante :

a! + b! + c! de d' _— (a?)? + (b?}? + (c?} a (d?ÿ?,

(102)
IT. Il est visible que
+ y + fr + yY — (a? + y + y. (3)

Ainsi, la somme de trois bi-carrés, at, b#, cé, est le double d’un
carré, lorsque
C— a + b.

IV. Remarque (*). — Soit
N= (+ xy + y + (x? + ay" + y}
HR + y y) (rx y Et EE
Alors 2N est la somme de douze bi-carrés.
En particulier, si

N— (52° + 3x + 1) + (52° + 9x + 7}
+ (52° + 15x + 19) + (3x? + 2x + 57),
on a

2N = 2° + 2(x + 1) + 2x + 9) + (x + 3Ÿ + (x + 4)
+ (2x + 1) + (2x + 3) + (2x + 5) + (2x + 7).

Exemple :

2[7? + 19° + 57° + 61°] — 1* + 2.9 +9,35 +9 45
SM RE he pi.

ou
2,5 500 — 11 000.

V. Autres identités.

(c— ya — 2) + (y—2y—x)+(c—x)z— y)
2 {hx \ (4)
= (a+ y + —yz— zx — xy) (*) )
gt + y + at + (a + y + 2) = (a + y + + yz + 2x + xy)

2

|
_ (5)
+ [(x + 2)(y+x)| RE iE en +[(z+ y) (x +2)f. |

(*) Peut-elle être utilisée pour la démonstration du théorème empirique
de Waring ?

(‘*) Il en résulte que l’équation
y @e—2) +42) +6 -<)G Ty

représente la droile isogonale.

(103)

CCLVIIT. — Quelques sommations ().

(Juin 1887.)

IX. Lorsque c — 1, le second membre de l'égalité (1) (**) se
réduit à
F(a+n+1)T(b+n+1)
abF(a+b+n+1)

En outre,
F(n +1)
GE = ——
HA) E(q +1)
Donc cette égalité (1) devient
ee F(a+q)T(b +9) F(a+n+1)F(b+n+t1)

De Re
Sl(a+b+1+qgF(g+t) abl(a+b+n+A)F(n + 1) (e)
Si, dans celle-ci, on supprime les facteurs communs, et qu'on

développe complètement le premier membre, elle prend cette
forme remarquable :

ab a(a + 1)b(b +1)
a ———— + +-
{a+b+1)F(2) (a+ b+1)(a + b + 2)F(5)
a(a+ 4). (a+n—1)b(b +1). (b+n—1)

À + |
ee Da be CG Er) 1) F.

a + A)(a + 2). (a + n)(b + 1)(b + 2)(b + n)

sa
(

a+b+t){a+b+2).. (a+ b+n)T(n +1)

X. Remarque. — Dans la série de Gauss :

= CRE RAR
1Y 1.2 (+1)

supposons :
LONG 0 UE 1
(‘) Suite de la Vote CCXXX VIT.

(‘’) Page 65.
(***) Sur quelques intégrales définies, p. 14.

(104)

Elle se change en

me ab a(a + 1)b(b + 1)
(@+06+ 1) (arb+tja+6+2)F()

(6)
Ainsi, le premier membre de l’égalité (5) est la somme des
n + À premiers termes de la série (6).

XI. Etude d’une série. — Pour plus de simplicité, faisons
abstraction du premier terme, et posons :

ab a(a + 1)b(b +1)
ae DO) ee a bob CO |
a(a +4). (a+ n—1)b(b+ 1). (b+ n —1) | (7)

S,=U + Ua +: +Uu,. (8)
D'après l'égalité (5) :

poele nt 2e (es re DORE CESSER
(a+b+1)..(a + b+ n)T(n +1)

1+S, (a+n)(b+n),

2
u ab

ou, ce qui est équivalent,
(a+ n)(b+n)

S,—=—1 + te : (10)
ab

Ainsi, La somme S, s’exprime, fort simplement, au moyen de u,.

XII. Suite. — On a

Ur (a+ n)(b+n)

(11)

u nella+ben+l)

De là résulte que la série est toujours convergente (*). En effet,

{ EE
in + DE —»| ne DE ——1 (*).
u

dEbEn I

nm

(‘) Les constantes a, b sont supposées positives. *
(‘*) Traité élémentaire des séries, p. 23.

(105)
Par suite,

lim.S, = S— —1 + = limfla + n)(b + nju,]. (12)
a

Pour évaluer cette limite, nous nous servirons d’une propo-
sition auxiliaire.

XIIT. THÉORÈME. — Soient quatre nombres a, b, a’, b', tels que
a+ b— a" + b', et soit x une variable indéfiniment croissante.

On a
s Fa + x)F(b + x)
Le Parc) (b x) % (3)

Posons
__ Fa+zx)Tb+x)
Te NB cl

ou, ce qui revient au même :

B(a + x, b+ x)

1 Bt +2, b + x)

Supposons que b’ soit le plus grand des quatre nombres
donnés. Nous aurons D — a — b — a' > 0.

D'après le théorème d’Euler, exprimé par l'équation

MO (oEEr bi a)n
PT Bla’ + à, b— a)

(‘) Tome I, page 156. En passant , je ferai observer que cette équation
revient à celle-ci :

T(p}T(m)T(q+m) _ T(p)T(g+ m)
T(p+m)T(g)T(m) T(g)rim+p)"

laquelle est évidente.

( 106 )

ou, par une formule connue (*) :

b'—aa—a (b'—a)(b' —a— —a')(a— a’
aa AVR E a)(b'—a—1){(a—a')(a—a'+1)

la + 1:52 (a + x)(a' +x +1)

El

Donc
TROT

XIV. Revenons à la formule (12). On a

a(a + 1)..(a + n)b(b +1)... (b+n)

(a + n)(b + nju, —
(a+b+t)..(a+b+n)T(n +1)

_ Pa+rb+1)T(a+n+1)Fbrre4
F(a)T(b) F(a+b+n+1)7(n+1)
et
(a+ 1)+(b+1)=(a + b +1) +1.

Donc, en vertu du théorème précédent,

lim[(a + n)(b + nu,] = TE (14)
puis
UNE F(a+b+1) me
ri F(a + 1) (b +1) (8)
XV. Remarque. — Si a, b sont des nombres entiers, ou, si

lun des deux étant entier, l’autre est fractionnaire, la limite S
est commensurable. Par exemple, pour a = b —1 :
4° (1.2) (12255) (1.2.3.4)

RNA ER LES FRERE EURE RSR ARR

1.35 A192X3.4 12.5X3.4.5 1.2.5.4X53.4.5.6

ou
LAS ELPASS

Cr oo = ie
3 3.4 5.4.5

(‘) Loc. cit

( 107 )

De mème, sia— 1, b— ° :

9 Dit 2.5.8 2
EE —_—,
8 8.11 8.11.14 3
et
2 245 2,5.8 2 5.8
EE RE ———— —>© — 1 + D — _—.
8 8.11 8.11.1% 8.11 14

XVI. Une équation aux différences. — A cause de
(a+ n)(b + nu, ={(n + 1(a+b+n+tlu,,,,
l'égalité (10) peut être écrite ainsi :
ab +S,)—=(n + t(a+b+n+ lus.
Mais

Done, si l'on remplace 1 + S$, par Z, :

abZ, = (n + 1j(a + b + n + 1)AZ,,

(11)

(16)

équation aux différences finies. En vertu de la formule (9), elle

est vérifiée par

(a +1). (a + n)\(b+1)...(b+n)

a ————…— "—
nm

(a+b+lt)..(a + b+ n)F(n+1)

(17)

(108 )

CCLIX. — Sur le Postulatum de Bertrand.

(Juin 1886.)

2n

L. LEume. — Selon que Ca) est pair ou impair,
2n n
La
a a

Il. Considérons le nombre entier

égale zéro ou un (*).

p{n) () (1)

(n + 1j(n + 2)... 2n
ne 41.9...n

Soit p un nombre premier qui divise le dénominateur, et soit p*
la plus grande puissance de p qui divise œ(n).

Comme

(x) 1-275:.9n
pe
UT 2. 5.n)
on à

ou

ZÉRO ICE TE

D'après le Lemme, si 1 est le nombre de ceux, des quotients

entiers
() (2) E
p , p° O p° JN00)

qui sont impairs,
CE (5)

(‘) Note LXXXI, K 3.

(1) P(n) = Cen,n = (0 + 1)Tn+e.
Voir Mote CVII.

( 109 )

II. Exemple, n — 15. — Les valeurs de p sont 2, 5, 5, 7.
11, 15. Pour p — 2, les quotients impairs sont

AAA

Pour p — 5, les quotients impairs sont

T _
ne) NO) RE : a — 22
9 27

Pour p = ÿ, le seul quotient impair est

5
M
25

Pour p— 7, 11, 15, aucun quotient n’est impair.

Donc
(15) — 2.32.5.E,

E étant un nombre entier, composé des facteurs premiers compris
entre 16 et 50.
En effet,

0e 16.17.18.19.20.91.22.25.24.95.96.27.28.29.50
1,2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.15.14.15
17.2.19.92.95.95.2.27.98.29
—17.2.49.9.95.5.2.9.2.99— 94,7:,5 X 17.19.23. 929.

IV. Changeons de notation, et appelons &, 6, y, …, n les
nombres premiers qui ne surpassent pas n (*).
. . 2n on .
Soit a le nombre de ceux, des quotients Er (2), …, Qui sont
œ œ
impairs ;
2n

Soit b le nombre de ceux, des quotients (5) (ah …, qui sont
impairs ;

(110)

Nous aurons, par ce qui précède,
q{n) = «By... 7°E, (A)

E étant un nombre entier, composé des facteurs premiers compris
entre n + 1 et 2n, s’il en existe.

V. Postulatum de Bertrand. — D'après M. Bertrand, entre n
et 2n, il y a, au moins, un nombre premier (*). Autrement dit,
le nombre E surpasse 1 (**). Ce célèbre postulatum équivaut
donc à l'inégalité

pin) > «By... 7. (B)

VI. Remarque. — La Note citée contient (p. 8) cette autre
traduction du Postulatum :

Le nombre entier n, étant supposé compris entre 2" et 2—1,
soient B, y, 9, …, x les nombres premiers impairs, non supérieurs
à n. Soient en outre :

l,, le nombre de ceux, des quotients (5); EE .…, qui sont
ümpairs ;

l,, le nombre de ceux, des quotients (2), (33}» …, qui sont
impairs ;

Si, entre n + 1 et 2n, il y a des nombres premiers, on a
k—l+lb—k +. > 0;
et réciproquement. De plus, le premier membre de cette inégalité
est la quotité de ces nombres premiers.

Soit, par exemple, n — 15; et, par conséquent, k — 3.

On a
B—3, y=—5, d—7, e—11, r— 15;

puis les quotients

Rite) (2
F7 10, als 6, W=É
5 D 7

|
ne
se
A
|
> | O1
al à
LR
|
Fe

(‘) Voir les Votes LXXXI et CCXXV.
(*) Si n surpasse 1, E surpasse n».

(111)

Tous ces quotients sont pairs, excepté (2°). Donc

10; lL — 1, l, = 0, ….

ttes 4

puis
ANT SE SN EE ER
Effectivement, entre 16 et 30, il y a quatre nombres premiers;

Savoir: 17,19, 23, 29.
CCLX. — Théorème d’Arithmétique.
(Juillet 1886.)
Nous avons cité, fréquemment, la propriété suivante, énoncée

dans le Cours d'Analyse (*) :
a, b étant deux nombres entiers, premiers entre eux :

1.2.3...{(a + b—1) :
— entier.
1 ERA AE )0
En voici une autre, du même genre, qui nous paraît curieuse :

n étant premier avec 6, on a :
(A)

ROSE On

D NONXC IN O SP EMNTIE9

— entier.

122:
Pour la démontrer, il suflit de vérifier la relation
—- (") ns F” — *): ut)
7 \p LAS

mp

p étant un nombre premier (**).
1° Soit p — 2. A cause de n—2n'+ 1, la relation (1) devient

= — J +. ee + J 2n — J
DRE AT
(‘) Page 48.
(**) En effet, de
ASB+C,
on conclut
ANA RE
Ge) > (5) Ge)

(122)

ou dE
Qn A Sn EN EtS

ce qui est exact.

% Soit p — 3. On peut avoir n = 6n + Î.

Dans le premier cas, on trouve

an — 15 (Qn') + (2n'— 1);
et, dans le second,
inner 1).
3° Supposons p > 5.

Si (— est impair, on a (*)

done la relation (1) se réduit à

n—2\ :
]+1
p

et celle-ci est évidente.

Al
S1S

Si e *) est pair, posons
On — 4 — I2ap + 2b,
ou
n — 2— ap + b.
La même relation (1) devient

_ fap+b+7?
2a > | ———) + a,
p

Ps
0 — à
p

Or, cette équation est une conséquence des inégalités

ou

p 10
DER:
< 2 < 2
(‘) Note CCLIX.

(115)

CCLXI. — Sur les Nombres de Segner (‘)
(Août 1886.)

XVIIL. Relation entre les Nombres de Segner et les Nombres
de Catalan (**).

Le petit Mémoire intitulé: Sur un développement de l'intégrale
elliptique, de première espèce (***), contient les égalités suivantes :
n—1 (n—2)(n—3)

P
nm 2 2 2 ee E :
ont —1) LEE pee CS 270) 1 y Eer

RP, — 8(35n° — 5n + 1)P,_, + 128(n = 1)P;2—0,():

On en conelut, évidemment, une équation du premier degré,
entre les carrés des Nombres de Segner. Elle parait devoir être
fort compliquée.

XIX. Propriétés nouvelles (*). — 1° Soit i le nombre des
termes impairs compris dans la suite :

(' 3 | È — “| (" — à Ê — J

D A nee en er NN ere
selon que n est pair ou impair, T, est ou n’est pas divisible
par 2: (”).

(‘) Complément à la Vote CVII. (Congrès de Nancy.)

(**) M. l’Amiral de Jonquières m'a fait l'honneur de proposer cette
dénomination, qui n’a point prévalu. Je l’emploie pour abréger.

(***) Académie de Belgique, 10 octobre 1885.

(“) Les nombres entiers P,, P,, P,, …, que M. de Jonquières a bien
voulu calculer, ont les valeurs suivantes :

P,—8, P,—80, P;,— 896, P,—10 816, …

(‘) Addition au paragraphe XVII.
(") Cette proposition résulte de l'égalité

AnTh41 —= Can—2, us (7)

2° Lorsque

n = 5u + À T, = |

Dans les cas contraires,
T,= M (22 — 5).
On sait, et il est facile de prouver, que

Ce. nes JU (2n = 4).

Or,
Con, NAT (n ne 1) Are:
Donc
(n + DT, = AN (2n — 1),
ou

(n —1)T, = JM (2n — 5). (37)
- Cela posé : si n — 5u + 1, cette égalité se réduit à
ET, = MU (2e — 1),
Et comme y et 2 — 1 sont premiers entre eux, on à
Le 2n — 5
T> if (2u — 1) — RE)

Soit n— 5u. Alors

(54 ER 2) 1e Su AU (64 F4 5).

combinée avec le théorème suivant :

s étant le nombre des lermes impairs compris dans la suite

M) (9 6)

Cen,n est divisible par 2°, et le quotient est impair (Mémoire sur certaines
décompositions en carrés, p. 65). Ajoutons que :

1 Sin est impair et égal à 2n° + 1, i— «est positif; 2 T, est divisible
par 2i-*. Enfin, d’après la relation (7) et une propriété démontrée : Si n

est premier avec 6,
Con_i,n-2 = JC (n°? — nn).

(115)

Mais, évidemment, 5x — 1 et 6s — 5 sont premiers entre eux;
donc
DO (62 5) = M (En 5).
Si n — 3u — 1, on trouve, avec la même facilité,

T,= MU(64 — 7) = AU (27 — 5).

3° Dans la suite T,, T,, …, T,, T,,,, …, deux termes consé-
culifs ne sont pas composés des mêmes facteurs premiers.

Pour démontrer cette proposition, je m'appuierai sur le
Lemme suivant, à peu prés évident :

Si deux fractions équivalentes ont leurs dénominateurs premiers
enire eux :

1° Ces fractions se réduisent à un nombre entier ;

2% Leurs numérateurs ne sont pas composés des mêmes facteurs
prerniers.

Ceci admis, prenons l'égalité (2) (”), mise sous la forme
DE MR AT (58)

Si n est premier avec 6, les dénominateurs sont premiers
entre eux; donc T, et T,,, différent par les facteurs premiers
de net de kn — 6 (**).

Soit n—2*5%n, n' étant premier avec 6. L'égalité (58)
devient, si l’on suppose « et $ différents de zéro :
(LE T,

D%+15 641, TT oJa-1z8 1 7?
25 Ep | 2 nr amie

et l’on retombe sur le premier cas.

(‘} Note CVII.
(**) Soit, par exemple, x = 15, ou 4n — 6 = 46. On à

Tis=2.7.45.17.19, Ti, 92. 7.17.19.95,

conformément à l'énoncé.

(116)

XX. Groupes relatifs à un nombre premier. — Soit, comme
ci-dessus (XVIL 5°), p un nombre premier, supérieur à 5. On a
vu que :

Si T, est divisible par p, sans que T,_, le soit, p divise 2n —5.
Les termes

tous divisibles par p, constituent ce que l’on peut appeler : le
premier groupe relatif au nombre p.
Après 2n — 5 — p, on peut prendre

2n—5—5p, 2n — 5 — 5p, …,
ou
3 b) b b 5
LUE PRO te PERS a TON
2 2 2

De ces valeurs résultent une infinité d’autres groupes relatifs
à p; savoir :
T5 , T:,:7 5} 1000") T2, ;
2 2

Tps Ts o.…. T;,;
re 2

T4 Tr EE 11758
2 2

e . . e 0 . e

Les Nombres de Segner, compris dans ces groupes, sont les
seuls qui soient divisibles par p (*).

Cela posé :

Si T, appartient au premier groupe, n est compris entr
et p, inclusivement; |

Si T, appartient au deuxième groupe, n est compris entre Te
et 2p, inclusivement ; ;

Si T, appartient au troisième groupe, n est compris entre
el 5p, inclusivement;

. 0 . e e e 0 e 0 e 0 0 . 0 . . e . . e

p+5
e 2

5p+-5
2

(‘) On reconnaît aisément que :
4° Les groupes n’empiètent pas les uns sur les autres ;
20 Thu, Tops Tapyts ne sont pas divisibles par p.

(17)

Les valeurs de p sont ainsi déterminées par les relations sui-
vantes :
nTPpZMn—-$,

On — 5

De plus, tous les nombres premiers, p, qui y satisfont,
divisent T,.
Soit, par exemple, n — 25, auquel cas :

25 7 p ZM, NAN PR LE
et, par conséquent,
DS p—-29, 061, 0p— 51 p— 41, 0p— A5.

En effet, Ts; appartient au premier groupe relatif à 25, 29,
51, 57, 41, et au deuxième groupe relatif à 15.

XXI. Postulatum. — Soit p un nombre premier, supérieur
à n. S’il divise T,, on a

1 QD. £ 2 — D;
car les relations
On — 5 Dn — 1

ZA 2 5 CR

sont impossibles.

On est donc conduit à la proposition suivante qui ne diffère
pas, au fond, du célèbre postulatum de M. Bertrand (*) :

Entre un nombre entier, supérieur à 5, et son double diminue
de 5, il y a, au moins, un nombre premier (**).

(‘) Voir la Note CCLIX.
(”*) Très probablement, la démonstration rigoureuse doit être fort
simple; mais, jusqu'à présent, je n’ai pu la trouver.

*

(118)

CCLXII. — Lettre à M. De Tilly.

Cher et savant Confrère,

Savez-vous, en effet, intégrer

AU]

se — Ax ‘ (1)
m étant quelconque? S'il en est ainsi, la théorie des équations
linéaires vous doit un progrès considérable, et je me reproche
de n'avoir pas étudié votre méthode. Rappelez-vous que Liou-
ville a cité, avec éloges, le procédé au moyen at Kummer
intégrait, péniblement, l'équation

TO)

Re 0 ay _ (2)
Quant à l'équation

d"= y s

di A

encore plus simple que la précédente, voici ce que je trouve
dans mes notes de mai 1884, et que J'ai donné à mes élèves,
in illo tempore.

Soit 0, une racine primitive de 0" — 1 —0. Une intégrale
particulière est (sauf erreur) : à

co om pere
nm fe Piles RSR Et zu. (4)
: €

0

Ainsi, l'intégrale générale est une somme de m— 1 intégrales
définies, respectivement multipliées par des constantes. Avez-
vous la valeur de y, au moins dans certains cas, sous forme finie ?
Alors, voilà une vraie fabrique d’intégrales!

Soit m— 2. Par ma (?) méthode,

0-2) UE ‘
= 1 e *(e% + e7#) du. (5)

(119)

Mais il est évident (et archi-connu) que :

On doit donc avoir
(2) _æ? x?
Ji (er lent) da = ken (7)
0

Pour déterminer la constante k, je suppose x — 0 :

20 _à? ji.
k=2 f € ? da —=V/2r.

En conséquence :

©

FRS M ee
1 e (e% + e-%)du =V/2re?; (8)
Le

formule probablement connue (*).

Revenant à l'équation (2), je trouve, comme intégrale parti-
culière (toujours sauf erreur de caleul) :

QUE

e 00 um+1 co am+l “ |
1 udue mr fe 6 mi (ee …+et nee (9)
LA
0

0
6, étant une racine primitive de 8" — 1 — 0.
Je désire, mon cher Confrère, que cette lettre soit de nature
à vous intéresser. Puissiez-vous en tirer quelque chose!

Salut affectueux.

E. CG:
Spa, 5 juillet 1886.

(*) Bien entendu, je n’ai pas, ici, les Tables de Bierens

( 120

CCLXIIE. Sur léquation w°— 2° + y + 2°.

(Mai 1885.)

I. Une solution. — Si p désigne un nombre premier, de la
forme 4y. + 1, on peut prendre y? + z?—p (*). De plus, la
condition (w + x) (u — x) — p donne

: U+X—p, u—x— |;
puis

U— Ou, mL.

Soit, comme application, p—75 —64+9, auquel cas u —18.
La proposée est vérifiée par

u— 317, x—56, y—8, z— 5 (“).

IL. Autre solution. — D'après les formules du Mémoire sur
certaines décomposilions en carrés (***), on satisfait, à l'équation

= à + y + 7}, (1)
par les valeurs suivantes :
x —2ay, y—=%6y, 2=—9"+a +8, uv +a +6; (2)
2, B, y étant des nombres entiers quelconques.
En effet, la relation
(a° MOI 7°? — hoyt + 46° horaire By (3)
est identique.
(‘) D'après le beau théorème de Lagrange : {out nombre premier, de la
forme 4p. + 1, est la somme de deux carrés.
(‘*) Comme il arrive souvent en Analyse indéterminée, ce procédé simple,

qui donne une infinité de solutions, ne donne pas foules les solutions ; par
exemple celle-ci :
AAA? — 209? + 256? + 292%.
(‘**) Pages 10 et suivantes. Ces formules s'appliquent à l’équation
générale
ur = 2? + y -+ 3°.

(121)

IT. Remarque. — Pourvu que «, , 7 soient différents de
zéro, et que l’on n'ait pas y?—0? + 2, le nombre u?, somme de
trois carrés, sera le carré d’une somme de trois carrés (*).

IV. Généralités. — 1° On suppose les nombres x, y, z, u
premiers entre eux (**); alors, évidemment, x, y, Z sont premiers
entre eux; X, Y, U sont premiers entre eux; etc.

2° La somme algébrique de trois nombres #mpairs est impaire;
donc ÿ! est impossible qu’un seul des quatre nombres x, Y, 7, u
soit pair.

3° Si y el z sont pairs, u el x sont impairs.

4 Supposons y et z, impairs. Alors

+= —a = MN (4) +2

Des facteurs u + x,u— x, l’un est simplement pair, et l’autre,
impair ; done u et x ne sauraient être entiers. Conséquemment :
des trois nombres x, Y, z, un seul est impair.

9° Relativement au diviseur 5, on établit, avec la même
facilité, les propriétés suivantes :

Un, au moins, des nombres x, y, z, u est divisible par 5; si u
est divisible par 5, aucun des nombres x, y, z n'est divisible par 5.

V. Autre solution. — A cause de
(u + x)(u — x) = y + 2°,

si l’on suppose y et z premiers entre eux, on à, par un théorème
connu :
u+xz—@ +0, u—x—c + dd’:
puis
u— La + D + + d), x = £a + b— cc? — d?),

HUE AMEN ES UN
(‘) Dans le Mémoire cité, j'ai démontré ce théorème : Si u est une somme

de trois carrés, u° est une somme de trois carrées.
(**) Afin de n'avoir à considérer que les solutions primitives.

(12 )
ou, ce qui revient au même :

u=é +++ d, x—à+b—c"—®,)

y = (ac + bd), — 2 (ad + bc).

/

(4)

De ces valeurs résulte l'identité connue :
(a+ 0? + + dY=(a+b—c—d)+h(ac+<bd) +A{adrbc} (); (5)
d’où nous aurions pu partir.

VI. Remarques. — On a vu (IV, 4°) que : des trois nombres
X, V, Z, un seul est impair. Conséquemment, dans l'application
des formules (4), on devra prendre a, b, c, d de manière que
a? + b? — «2 — d? soit impair. En d’autres termes : parmi les
indéterminées a, b, e, d, une seule doit être paire, ou une seule
doit être impaire.

2 Si l’on admettait que, des trois nombres x, y, z, deux, au
moins, sont premiers entre eux, les formules (4) donneraient,

je pense, toutes les solutions de l'équation (1).

CCLXIV. — Nouvelles propriétés des fonctions X, (”).

(Janvier 1887.)

I. Première propriété. — Soit
2 9° 2r
A,—=1 T3 Cri Pr se Li RaCrren (1)

ou, par une sommation facile,

1
À, i (1 — 2x*)"dx. (2)
0

(‘) Elle comprend, comme cas particulier, l'identité (5).
(‘*) Addition à la seconde Note sur les fonctions X, ( Académie de Belyique,
août 1886).

2

(125)

Si l’on fait x — sin +, on trouve
Le
APE cosr2.cosqig (3)
0

Cette intégrale est celle qui entre dans la formule (F) (°).
Donc

1
Ja x(X,+X, + .…)dx —A,, (A)

e
0

21
De + X, 2 + .)dx = (1 — 2x°)"dx. (A”)
0

0

ou

IL. Deuxième propriété. — L'intégration par parties, effectuée
sur l'égalité (2), donne aisément

(2p + 1), — 9pA,s —(— 1). (4)

Par conséquent :

1 5
‘A [(2p+1)x7(X,+X,-0+)—2pa? XX, ste) ]de=( 1. (B)
0

IL. Troisième propriété. — Si, dans l'équation (4), on change
pen p— 1, p— 92, …, 1, on trouve, par addition :

(2p + 1)A,—= A, 4 + A, 3 + + À + d ()

selon que p est pair ou impair (**). Par suite,

1
| [(2p E 1)x"(X, 3 Xe Er +.) “TE C0. Era X,-5 Tu ….) (C)
0

Ta: Lx 00 Fe Xe ans .….) on X| dx — Un OÙ zéro (ie)

IV. Application. — Soit p = 4. On doit trouver

1 .
4 [9x*(Xs SE X2 Su X5) SE 8x" (X; + X,) | dx = 1.
0

(") Seconde Note sur les fonctions X,, p. 9.
Ro ANcausede AU;
(°”") On arrive au même résultat en faisant varier p dans la relation (B).

(124)

4; Ni Le Xe = (5x — 1), X:— E(5ax° — 5x),
X, = $(55x" — 50x° + 5) (*).
Donc

41)
Uk ECS — 18x° + 7x°) — 4(5x° — »)| CHI).

0

955018 07 DORE
ee. = 1;
ADMET

ou

ce qui est exact.
V. Suite. — La relation (5) équivaut à

7. dx[(2p + 1)(1— 2) —(1— Da ce — (1 — 27°) —1 | = ë

0
Dans la parenthèse, la partie négative égale

(1 — 2x) — 1
(4 — 2x) — 1 :

Si done la différentielle est représentée par F(x)dx, on a

(2p + 1)(1— 2x) — 9(p + 1)(1 — 27°} + 1

F(x)— —. (6)
La fraction est la dérivée de
1 — (1 — 2H
2x
Par conséquent :
fRÉcRER A en (Te :

ë dx=(—1ÿ#—1. (E)
“ -

Jo (2p+ 1122) —9( pr 112)

0

(‘) Premier Mémoire sur les fonctions X,, p. 10.

(195 )

VI. Autres intégrales. — Faisons, comme précédemment,
x — SIN p.
Nous aurons :

? (2p+1 cos * 120 — 9 n+-1 )cos"20-+-1 LD
"4 (2p+1} qe 2 )cos”20+- cd ee ne L (D)
« sin*@ sin

T

‘2 (2p+1)cos "20 —2(p+1)cos"20+1 :

0

Addition. -— (Juillet 1887.)

VIT. Remarques. — 1° Le second membre de (E') ne change
pas, quand on y remplace p par p + 2. Conséquemment

2 (2p+5)cos2p— (2p+6)cos"29 —(2p+1)cos20+9p+92
PR TT non ner (0914000 IDD"

NA
sin
e G
Le numérateur est divisible par
À — cos2p — 2sin°.

Done, sous une forme plus simple :

T
e [2p + 2 + cos2p — (2p + 5)cos* 2 ]|cos"2p.cospdp — 0. (F)
ô

2° Cette égalité est une conséquence des formules (5) et (4).
On peut l'écrire ainsi :

‘4 [4 — (4p + 9)x° + (4p + 10) at] (1 — 2x°)rdx = 0. (G)

VIIL Autres intégrales. — 1° Soit

| 4 — (ap + 9)x° + (4p + 10)x* (1 — 2x*) dx = f(x). (7)
0

Le polynôme f(x) a une valeur fort simple. En effet, la quan-
tité entre parenthèses ne diffère pas de

(4 — 2x°)(1 — 5x*) — A(p + 1)(x? — xt).

(1% )

Donc
fx) = (A — 2°) — 32°) — 4(p + 1)(1 — 2x) (x? — xt);

puis
fa) = — 2x — x). (H)

2 La formule (4) équivaut à
1
D (1 — 22 [1 — 2(2p + 1)x”]dx = (— 1}.
0
3° On a, plus généralement,
DA — 26) ael — 2(2p + 1)x°]|dx —(1—2x")x. (K)
0 .
IX. Relation combinatoire. — Dans f'(x), le coefficient
de x” est
Ga 2 es (4p qu 9) Geit— 2) qu (4p M 10) Cr-a(— 2j

ou
Fau ee 2)-t[20, x + (4p + 9)C,, «1 + (2p + )C,, il.

Dans f(x), le coefficient de x”*! est
— (— 2) T2Chir + Cuneu].
Par conséquent,
QC, « + (4p + 9)Ciua + (2p + B)Coe = MU(2E + 1)
— (2k+1 [2Cru,x CANIN (L)
Soient, par exemple, p = 5, k— 5. On doit trouver
2. Cs + 29: Ona + 15 — 7120: + Cale |
(e 2.10 + 29.10 + 15.5 — 7(2.20 + 15),

ou
385 — 7.55.

(”) La propriété exprimée par la première équation est assez difficile
à démontrer directement.

(127)
X. Tuéorèue. — La fonction X, satisfait à l'équation

dr#iX
2 \p+1 n
ex, de mo |

LE EER v ER PR REA EL I ARR re! M
ARILC 1) dx di 9 ( )

Te À
dans laquelle À, est un coefficient numérique (*).

XI. Tuéorème. — La fonction X, satisfait à l'équation

ou Le us X,dx — (x —1} “= ; (P)

p désignant le nombre des intégrations.

XII. THÉORÈME (**). — Si l’on prend les dérivées successives de
la fonction (x?—1)}", la dérivée d’ordre n—p est divisible, algébri-
quement, par la dérivée d'ordre n +p : le quotient égale (x? — 1}.

XIII. THÉORÈME Xi+X++X,
JXERAUXES
ie Ne a el
[ $ dx dx
ae ‘4 UE (S)
2/1 — xe VA— x |
XIV. THÉORÈME. (n + 1)X, + nX; +. +X,
dX, 14
1 ENdR
EE "fi ——— (x. (X)
QVA— x £ VA4— x

XV. TéorèmE. — Si les 2p+1 inconnues a, P, y, …, À satis-
font, de toutes les manières possibles, à la condition

u+f+y+.e +Iixn,
on «a
= Satin PX v+p ,
1.5.5..9p—1 DA Xe (A')

(*) Pour abréger, nous supprimons les démonstrations de ce théorème
et des théorèmes suivants. Elles sont développées dans les deux Mémoires
intitulés : Nouvelles propriétés des fonctions X,..

(**) Énoncé, en 4884, par M. Lucien Lévy.

QIX)
9r T L L PENEE
XVI. TuéorÈME. = f sin"o(xsino-+V”—1coso)"de. (B')

A Re +1
XVII. THéorèME. 1.5.5... 2p — a dx Ÿ X2Xp…. X) |

—1
7 | dar”! n, |

XVIII. Remarque. — Le second membre de l'équation (D')
est réductible à

(D')

en C(n + 2p)
( l'(p)T(n + 2

XIX. THÉORÈME. À Co, ae Cas, see. Cex,2 |
| (EF)
+ F(p + 1)F(2n + 2p + 1)
Fr + 1)7(@p + 1)E(n + p + 1)

XX. TaéorÈME. — Le produit de n termes consécutifs, de la
progression

est divisible par le produit des n premiers nombres entiers.

27 7 se AA AAX |
XXL. Tuéonène. / v. sin"o(cosôsinp +V —1cosp)" |

0

dods \

EE + 1)(8 + «) " sin(n — 1)(8 — ”

sin(9 + x) 2 sine x)

T
= 2 f. sin"@(cosasinp + ”— 1 cosp)"dg.
0
1

XXI. THÉORÈME. a
V4 — 92x + z°

T

2 fi À — 2zx cos* ;
Re EE
(3 A + 4(z — x)zcoso + 4z°(x° — 1)cos'p ‘
0

(129 )

CCLXV (*). — Théorèmes de Géométrie élémentaire.
(Novembre 1884.)

1. Des sommets B, C d’un triangle, on abaisse les perpendi-

SN
“U

culaires BG, CH, sur la bissectrice de l’angle A. D étant le point
où le coté BC touche le cercle inscrit, on a

BD. CD — BG. GH. (1)

(") A l’occasion d’une Note de M. Weill.

( 130 )

Il suffit de vérifier que les triangles BDG, CHD sont sem-
blables. Or, à cause des parallèles BG, CH :

DBG — DCH.

D'un autre côté, les angles BDO, BGO étant droits, la circon-
férence;, décrite sur OB comme diamètre, passe en D, G. Donc

BDG — BOG — z(A + B).
Pour une raison semblable,
CHD =COD 1 :C—8DG ().

IT. Soient KR, T les points où les droites GD, DH rencontrent,
respectivement, CO, BO. La circonférence décrite sur CG, comme
diamètre, contient les points H, R; et la circonférence décrite
sur BH, comme diamètre, contient les points G, T.

On vient de voir que
Done
RDC = 1 — LC;
ainsi l'angle R est droit; ete.

HILL Soient BGDK, CHDL {les parallélogrammes déterminés,
Pun par BD, DG; l’autre par CD, DH : les points B, K, C, L

appartiennent à une même circonférence.
En effet, l'égalité (1) revient à
BD . CD — DK. DL. (2)

IV. Remarque. — E étant le point de contact de AC avec le
cerele inserit, et F la projection de Csur BO ; l’hexagone CDHOFE

(‘) La démonstration est encore plus courte au moyen des formules

trigonométriques.

(151)

est inscrit au cercle décrit sur CO comme diamètre. Dans cette
figure, CD — CE, DIX est perpendiculaire à FO, EF est perpen-
diculaire à OH; etc.

V. Valeurs de GH, GD, HD.

1° Prolongeons BG jusqu'à sa rencontre, en M, avec le pro-
longement de AC. Il est clair que CM — c — b, et que

GH = (ce — b)cos! A.
2° L’angle HGD, complément de GOC, égale

| ASC) HI
De même,

CHDE LC.
Par suite,

GD—{(c—b)sin;C, HD—(c—b)sin{B.

VI. Si l’on construit les parallélogrammes DGMP, DHNQ :
1° P est sur la bissectrice de C; ® Q est sur la bissectrice de B ;
9° les points P, L, D, Q, K sont en ligne droite.

1° On vient de voir que

GD = (c — b)sin ;C;
donc
MP = (c — b)sin :C — MCsin!cC.

Cette expression représente la distance du point M à la bissec-
trice de C; donc CP est cette bissectrice.

2° Pour la même raison, le point N, situé sur AB, a pour
projection, sur OB, le sommet Q.

5° Les points P, Q appartiennent à la droite KDL. Etc.

VII. Le centre O, du cercle inscrit, et le centre 1, de la circon-
férence BKCE, sont également distants du côté BC,
Soit KU perpendiculaire à BK, et rencontrant, en U, le pro-

(132)

longement du côté AC. A cause des angles droits, en K et en C,
BU est un diamètre de la circonférence BKCL.
Soit V l'intersection de KU avec BC. On a
BK GD (c—b}sin £C

es ane nee ee OL l.
sinKBV cosBDG cos(1" — IC)

Ainsi la droite NQ, prolongée, passe en V.

L'angle CVU, complément de KCV, égale { C.

De plus,
CV — 2CD = 2(p — c).
Donc
pa) 0)(pe x) ent
CU—9,(p— cigiC— 92 ee
(p — cig V p p

2

F étant l’aire du triangle ABC. Et comme OD — 2: nous avons,
finalement,
ce qui équivaut à la proposition énoncée.

VIT. Remarque. — Létantle centre de la circonférence BKCEU,
et X étant le milieu du côté BC, le quadrilatère DOXI est un
parallélogramme ; et XGT est une ligne droite.

(135)

CCLXVI.— Application d’une formule combinatoire.
(Septembre 1886.)

I. Cette formule, que nous avons démontrée précédemment (”*),

est

1 1 l (—1y
EE — 1
De NN AR OT ETES (n + 1)C,» q)

En supposant p constant, nous représenterons le premier
membre par À,,,; de sorte que

PL UER om LA à
n+1 (n + DL
IL. Soient
x? x° x
él RE a Re Se PRE =
LA +ag=r-s + + :
(1 + nl + Car + Ge RP re: (4)

p étant supposé entier, positif.

Dans le produit des seconds membres, il y a une partie irré-
gulière, polynôme du degré p, que nous pouvons appeler P,.
Quant à la partie régulière, série commençant par un terme
en x°*', représentons-la, pour un instant, par

Bart + Battre +

Il est clair que :

1 | 1
B (ie D cp | |
y = (— 1) —- RE TReRr: |

1 il |
B e—=(—1}* mn Cyprus + — Coyse — ** 2
P+ p+? p+l P p pH,

(‘) Tome II, page 505.

Ve

(154)

ou, d’après la formule (2) :

1 1

ren MO ——— ,.
(p + 110; a (PE): i

B,41 —
Donc
n—=@Q x"+!

(A+aY L(1+ x) =P, +2 GE mien

IE Sion prend p="1;p—2)p—5./'ontrouvee

D NE TE Te Be ee SET

6

9 | O1

expressions dont la loi parait difficile à saisir. Mais, dans l’éga-

Q02 , Q £ rene g aPp+i ,
lité (5), le premier terme de la série est El Par conséquent,
x?!
P,, = + x)P, + —
P+ { ) Pp p LE 1 ?
ou
xP

P,—=({1 + x)P,; + —;
p

puis, par un calcul très simple,
1 1 1
DENT Er EE oU + x) x? + se + a) ++ a. (6)
p

IV. Remarque. — Lorsque x — 1, les formules (6), (5)
deviennent :

1 : MANS 1 |
P,=—= 274 —9r 0? + PE + + —, (7)
2 6) p
ss 1
2 f 2 —P, + — ji} —— : 8
J p + 2 ) (n + 1jce ( )

Par conséquent,
: ME 17 CARPE UE EQ AA?
tit) 36) +" +30)

AR NEIL EC 1 1.2.5 |
Uolp+t p+2p+t p+s(p+2(p+l) p+4(p+5{p+9{p1) J'

ou
> Aer, et El |

2 ue pe
À ne 2\2) © Date

(9)
| L | 1.2 V9
+ ——— | 1 _——_—©Ù +
(p+1)2? p+2 (p+5)(p+2) (p+4)(p+4-3Xp+92)

ère formule en donne

V. Développements de
une infinité. Par exemple, si p — 5 :

po 1 ARRAONS AO SN NES A

DE — — — È — — ———— + ———— — |:
T3 DD A ONU D 627 (05 N077.0

La série est, évidemment, beaucoup plus convergente que

Î 1 fl Î
PRE ps
2 DU 9

D'ailleurs, si l’on effectue, on trouve, pour l'ensemble des
quatre premiers termes, 0,69575. Par conséquent,

L 92 > 0,69375 — 0,00088, £2 < 0,69575 — 0,00088 + 0,00044;
ou
129210/699287, 06/2410 60531.
En effet,
£ 2 — 069514 …

VI. Remarque. — La formule (9) donne, en fonction de f 2,

la somme de la série
ART 172 1.2.3

LE
P+2 (p+2)(p+5) (p+2)(p+53)(p+4)

C'est un résultat auquel on pouvait ne pas s'attendre, en
considérant celui-ci :

1187

CURE ee p+i
p+2 (p+2\p+5)

pi

= 0)

AUDSS
(p + 2)\(p +3{p+4 |

(*) Cours d'Analyse, p. 50.

(156)

VII. Une limite. — Divisons, par (1 + x}, les deux mem-
bres de l'égalité (6), puis faisons croitre indéfiniment p. Nous

trouvons
Li 13 M) 4 œ J' +2 œ 1e
| 2 | = _— = ….,
#1 (1 + x) 1+x 2U1+x 31 + x
ou
pe
lim Hay — (HE): (10)
et, si x — 1 :

im | | p2. (11)

VIII. Suite. — De l'égalité (5) on déduit, en prenant les
dérivées des deux membres,

pPA+a IL (A +x)=— (1 + x) Eee ce (1) TC F (12)
n=p n,?
et, si x — À :
dP
p—1 0) Eau À . 13
2r-1n PQ 2 +(7) + S (13)
en supposant
1 12 1.2.3
Sy, = 1 — — + re = (14)
PA pipe EPP 10) p 8e)
L'égalité (9) revient à celle-ci :
21 2 — P(Po-1)1 —= Se
Done, par soustraction,
dP,
DELA ES pp : (1 b)
dx 2—1 ;

IX. Remarque. — La formule (6) donne, plus généralement,
dP

em Ul 1: 6

Gap = — pr (16)

relation remarquable, qui caractérise, si l'on veut, les poly-
nômes P.

(157)

CCLXVII. — Théorèmes d’Arithmétique.
(Septembre 1886.)

I. Soit un nombre N, divisible par un nombre premier p. La
somme des diviseurs de N, qui donnent des quotients indépendants
de p, égale p — 1 fois la somme des diviseurs qui donnent des
quotients contenant p, augmentée de la somme des diviseurs
indépendants de p (*).

IT. a, b, c étant des nombres entiers, on a
a(a+1)..(a+ oo Hb(b+1)..(b + 0)
= NC[1.2.3...(c + 1)(a + b + c)] (*).
En effet : 1° le polynôme
ax + 1) (x + 0) Æ y(y + 1) (y + oc),
s’annule quand on y remplace x par — (y + c);

2% Chacune des parties du premier membre est, comme on
sait, divisible par 1.2.5. (c + 1); ainsi

en Een)

— entier;
1256" (ci 1)

puis, o(a, b) désignant un nombre entier :
aa + 4)... (a + €) + b(b + 1)-..(b + c) = (a + b + c)g(a, b) (**).
IT. Remarque. — Si a + b + c est premier,
p(ab)= M (1.2 5. (c + 1)].
() Presque évident

(‘*) Le signe +, si c est pair.
(‘**) Cette propriété généralise celle-ci :

Op+ga E Cn-p-19 = ON (n),

que l’on trouve dans ma Démonstration du théorème de Staudt (Note LXX VI).

(158)

CCLXVIITI. — Deux intégrales définies.
(Mars 1887).

[. Dans la Note sur une formule de M. Botesu, on trouve

1 n n—1 2) pit
fr x LE PER | de —0, U)
: eee Il A + x

F(x") représentant

D" + A + D +

Si l’on fait n — 1, 5, 5, … et que l’on ajoute, on a donc

fl Li = OA Fa)+FG)+e x
HS + — — dx 0.
: Co CE NE l+x (1+ |
Mais
F(x) + F(x°) + F(x°) + + = ——— (").

Conséquemment, la relation ci-dessus se réduit à

LES
jp Dale (A)
PAS) ML EURE

Celle-ci est la première des formules annoncées.

IL. Pour en conclure la seconde, j'observe qu'un calcul fort
simple donne

#x(1 — 2x + x°) ‘ xd 1
a == ——————— — DER . o)
J (A — x) F é (A + x) À 2 @)
0

Donc, par addition :
AT DE 1 B)
ere =] rime

(*) Recherches sur quelques produits indéfinis, p. 65; Sur un tableau
numérique... etc. |

(159)

€CCLXIX. — Sur le théorème de Wilson.

(Août 1887.)

I. Le théorème de Wilson (*) peut s’énoncer ainsi : Le nombre
entier 2n + À est premier ou composé, selon que le produit
1.2.5 ..2n, augmenté de l'unité, est ou n’est pas multiple
de 2n + 1. On y peut joindre les remarques suivantes (**) :

1° Si 2n + 1 est composé, mais non égal au carré d’un nombre
premier,

1.2.3..n —= JC (2n + 1); (1)

2° Si 2n + 1 est le carré d’un nombre premier,

(1.2.5. nÿ — JR (22 + 1); (2)
3° Si 2n + À est compose,

1206202741) (3)
Démonstrations. — 1° Soit

On + 1 = ab;
a étant supérieur à 2 et inférieur à b; de sorte que l’on ait
On AD 0 En:

Les diviseurs conjugués, a, b, se trouvent ainsi dans la suite
1.2.5... n. Donc

4,9.5...n — JiL(ab) = MT (2n +1);
2PSS)

Qn El — De
p étant premier, on doit prendre a = b — p ; le produit
1 AE 3 NN —= JC (p),

puis
(1.2.3... n) — JU (2n + 1).

(*) Nouvelle Correspondance mathématique, &. I, pp. 32 et 110.
(‘*) Elles sont fort simples, mais n’ont peut-être pas été faites.

(140)
3° D'après la théorie des Combinaisons :
1.2.5... 2n = HN [(1.2.5...n)]= I (2n + 1).

Il. Autres remarques. — 1° Soit un nombre entier N, non
divisible par 2, 5, 5, …, p. Soit q le quotient entier de N par p. Si

[tp + 1)(p +2. qf = MN, (4)
le nombre N est composé.

L'égalité (2) subsiste si, dans le premier membre, on sup-
prime les facteurs 2, 5, … p, non diviseurs de 2n + 1. D'ail-
leurs, si l’on pose N = 2n + 1,onaq<n.

2° Dans le produit

(p + 1)(p + 2).….,

on peut supprimer les facteurs non divisibles par 2, par 5, …,
Ou par p.

IT. Application. — On veut savoir si le nombre 221, non
divisible par 2, 5, 5, 7, 11, est premier ou composé. L'égalité
(4) est

(12.13.14.15.16.17.18.19.20) — A (221);

ou, plus simplement,
(15.17.19) = M (221).
Or, 15 divise 221 (*); done, etc.

IV. THéorRèME. -— La somme

à RE RARE | |
S=-+-+-+: =
3 Ne n

n’est pas un nombre entier.

(‘) Ce calcul ne diffère pas de celui que l’on trouve dans tous les
Traités d’Arithmétique.

(14)

Il y a deux cas à distinguer, selon que » est premier ou
composé :
1° n premier. Posons
Apr ACER

A
S = + —— — __ ;
B n nB

TAPER ART EONE
la fraction ; étant supposée irréduetible.

Tous les facteurs premiers de B sont inférieurs à n; done
B est premier avec n; done, d'après une propriété connue (*),
S est une fraction irréductible.

2° n composé. Soit p le plus grand nombre premier compris
dans la suite 2, 5, 4, … n. D’après le Postulatum de M. Bertrand,
p surpasse = ; done, p ne divise aucun des nombres p + 1,...n.
Cela étant, soit

Le dénominateur B est composé de facteurs premiers avec p ;
done il est premier avec p; ete.

V. THéorÈME (**). — Si 2n + 1 est premier,
Con EA1= M2 + 1) (). (à)

On a
2n(2n — 1). (n +1)

C2, PRES

À cause de
2n—In+A1—1, 2n—1—2n+i—92,.. n+1—In+1—n,
le numérateur a la forme

NC (On + 1) + (—1) 1.2.3. 7.

0 . Dog « A A’ , : ë
(*) Si deux fractions irréductibles, =, —, ont leurs dénominateurs premier:
AB'+BaA'

BL"

est irréductible.

entre eux, la fraction
(‘*) Connu.
(***) On doit prendre le signe +., si x est impair.

(142 )

Donc
ï On + 1
cu Cite M ( L je
129.0

Le premier membre est un nombre entier ; donc le numérateur
de la fraction est divisible par le dénominateur. Et comme les
facteurs 2, 3, … n sont premiers avec 2n + 1, cette fraction est
réductible à la forme NT (2n + 1).

CCLXX. — Conséquences d’une division algébrique.

(Août 1837.)
I. Soit à déterminer le quotient entier de x" par (x — 1},
et le reste de la division ; de manière que
x" = (x —1}Q + R. (1)
Si l'on fait x —1+7z,0ona
{+ zx)" —=2"Q + R;

et, par conséquent :

œ

CESR OA PET CRE RE.
R — Crabe UC ET RE ICO Ed
ou bien :
Q— (x —1)"P+4 C0 (ae — 1714 Croft — 1)? aie + C,,, (2)
R= Cy,po(x — 1) + Cup-o(x — 1) + ee 4 1. (3)
II. En opérant autrement, on peut développer Q suivant les

puissances de x. En effet,

x" 1
SE PINS 5
(x —1} x
donc

= EX | \1n—p—2 Al
Q =x" ? + Ce à e Chut" k ASP EUT Ce (4)

( 145 )

II. Identités. — D'après les formules (2), (4), on a, identi-
quement,

Go A) + Cafe — APP + Cox AMP + Ce, | A)

Le FAN 1) m—p—1 m—p—2 .
— X LE Cat a E C,419X Eu POUR Chaire

et, en particulier :

1 ar Ci A7 Ge + Cr

(B)

— 9"-P + DADÉEUEX en. CEE cr Cor ; (),

de Cr Fe Ge ie == (Des = + + Co Qu (C)

IV. Autres identités. — Après avoir mis (A) sous la forme
abrégée :
q=m -p q=m—?P

(CEE En il ) P-4 == > Gone ART se (A 1)
qg=0 g=0

prenons les dérivées d'ordre r, et divisons par 1.2.5 ….r. En
observant que les termes de degré inférieur à r ont des dérivées
nulles, nous avons

q=m—p r
A PrTPALS M—D—G—-Tr
pr Cp © Cp, r (x 1)
qg=0
q=m -p—T
+ M—P—Y-T.
Er D ce 1,p—1 : (CAN A rt 2
qg=0

ou, par un changement de notation,

q=sS
l Ne
D OR D me A NE
qg=0
q=Ss o
Lu Don È Ce Er
q—Ù

(") Le nombre des termes, dans chacun des deux membres, est
m—p+l. ;
(**) Cette relation est due à M. Genocchi. Voir la Note CXC.

(144)

Si, dans cette relation générale, on suppose x — 0, puis
x — 1, on en déduit :

Q=S

> Ce . Gi re 1) = Upts-1,s (E)
q=0
{=

ÿ C C — C F
> p+qg—1,p-1 ° “m-p—q,;s-q —— “m,s ( )
q=0 ‘

Soient, par exemple,
Mm—=8, p—=2, S—5.
On doit trouver :
ER Ces an Css . Ci, TE Cao . Ci ZE Ce,5 = C5:

Ce, + Ci « Co TUE Gi . C1 + Ca = Cs,5;
ou
— 90 + 8.10 — 98.4 + 56 — 4,

20 + 2.10 + 5.4 + 4 — 56;
et ces résultats sont exacts.
V. Seconde forme du reste. — Reprenons la formule
RC IC (x UN) CERN AlE (5)
Dans le second membre, le coefficient de x”“ est

o | sr U |
CG A rx | Cnp=s * Co, g=1 A Cup- - (ER Eat le
ou

C, De. — 1 JR — TEACPEE ® COTES (5)

mais cette expression peut être considérablement réduite.
En effet :

AND SENIN 1.2...p—x

(ee -&° Co, g—œ —

2
19
LE

—a.1.2...m—p+a 1.2..p—q.1.2..q—«

ANDRE UN |

4.2... p—0g1.2..m—p+ra.1.2..q—«

1.2.3...m 115922

QI

M —p+q
1.2.3...p—q.1.2...m _p+q 1.2...m—p+al.2...q a
—\0 C

M,P—Q " /M—p+q,q—X"

(145)

Donc

= 4

C, ni (= GED si Cane (6)

(er,

Observons maintenant que, par la formule (C) :

œ=q
2
Ÿ Ee if CARE To CRETE
+ |
Conséquemment,
A \q—1 . "7
C, EE (= 1) Cou, Û Cr m—p 2 (7)
puis
q—=P?
R ST > (= ECS: 4 CE P+4- FR 1 TE (8)
q=1\
ou

R Es Cine EL Cine . Ctnee a UOUE (— ir D'ACTE (9)
Telle est l'expression demandée (*).

VI. Remarques. — 1° La comparaison des valeurs (3), (9)
donne l'identité :

Cup at — 1} + Copie — 1} + ee + A | (G)
Ga (SE TE Cantet ASE PE NN Po Le LP Een E

et, en particulier :
Cu ER Cine ê Cher = Goes © CR LEE Ces = 1. (H)

2° Si l’exposant m est premier, tous les termes de R, sauf
Cnim-ps SON divisibles par m.

+ Afin d'avoir un énoncé plus simple, neue x” par

— 1. L'égalité (1) devient

x"—1—(x—1)Q+R,, (10)
en supposant

/ mD—1 7 A —2 —1
R —= (DEC E ER CRE . (QE F4 saine + (— 1} (32 m—p 1.

(‘) Je l’ai trouvée en appliquant la formule de Poisson (Note LX VIN).
10

( 146 )
On sait que, » étant premier,

GRR —p = l = JT (1) (5):
Conséquemment :

Si l’exposant m est premier, le reste R', de la division de
x" — | par (x — 1)", a tous ses termes divisibles par m (**).

VI. Division arithmétique. — Dans l'égalité (10), rempla-
cons x par un nombre entier a, tel que, à partir de x = @, on
ait constamment

Q>ZR,

ou
fc, ec ea) 0 ne
ou, après suppression du facteur x — 1 — 3 :

D Ce a Cr EC 0 A0 (11)

Il est clair que les valeurs de Q et de R, répondant à x = a,
seront le quotient et le reste obtenus en divisant le nombre entier
a — | par le nombre entier (a — 1)". En conséquence :

Si a est un nombre entier suffisamment grand, et que m soil
premier, le reste r, de la division de a" — 1 par (a — 1}, est
divisible par m.

VII Remarque. — Soit À la racine positive (unique) de

gi er ice icone ne C gn= 5 et Gal |). (19)

m,p—2

On a
aS1+à (15)

(‘) Note LXXX. Cette propriété résulte, d’ailleurs, de l'identité (H).
(*) Cette division se ramène, évidemment, à celle de

ami+gm2+..+æ41 par (œ—1r-{
Done, si R” est le nouveau reste,

R'= (x — 1)R”.

(147)

VIII. Applications. — Prenons m=—7,p— 2, 5, 4, 5. L'équa-
tion (12) est, dans ces différents cas :

g—1—0, 3 —2172—7—0, 25— 55: — 21z—7—0,

2 002 N50z 1 917-4710

Les limites supérieures correspondantes sont :

Donc

Ainsi, les restes des divisions suivantes :

8 — 1 95 — 1 97 —1 37 — 1

qe Ÿ) 995

? a ? CUVE ES
36 - 30 Me

doivent être des multiples de 7.

8 — 1 2100741518209/595

JR —
TE 7e

= 49799; r—0,

ce qui devait être, à cause de l'équation z—7 —0.

Ÿ : pen : :
2% Si, dans la fraction “=! , on fait a — 10, elle devient

(a—1)? ?

9999999 1111111
EN ET ELA
ilest clair que r —=7.
251 .1+ 95 + 25° + 25° + 93° + 25° + 950

RE 22
Le numérateur est

4+ 25 + 529 + 12167 + 279 841 + 8 115 389 + 186 653 947

— 195 061 897;
donc
DEEE | 195061 897
DOS RUN DU EE MN
On trouve

(148)

4 Dans la deuxième fraction, je remplace 23 par 50,
22Npar 207: |

30 — 1 21 869 999 999 754 1379531 616
RUE A Di
29° 24 589 841 .841

Or,
616 — 88. 7.
Etc.
IX. Généralisation. — Posons
F(x)= f(x)g(x) + (x), (14)

de manière que g(x) et U(x) soient le quotient et le reste de F(x)
divisé par f(x) (*). Ordinairement, si l'on remplace + par un
nombre entier a, la division de F(a) par /(a) ne donne pas (a)
pour quotient, et (a) pour reste. En effet, dans cette opération,
le reste est inférieur au diviseur. Ainsi, nous devons avoir

f{a) > y(a).

Ce n’est pas tout. Afin que Y(a) puisse représenter le reste,
pour une infinité de valeurs de a, nous admettrons que le coeffi-
cient du premier terme de Lx) est positif (**).

Ces conventions étant admises, nous pouvons énoncer le
théorème suivant :

Soit a un nombre entier, supérieur aux racines des équations

Si l’on divise F(a) par f(a), le quotient entier sera œ(a), et le

reste, W(a) (7).

(‘) On suppose, bien entendu, que F(x) et f(x) sont des polynômes
entiers, à coefficients entiers.

(‘*) La même hypothèse est étendue aux coefficients des termes initiaux
de F(x) et de f(x).

(*"”) Je pense que cette proposition, presque évidente, est nouvelle.

(149 )
X. Exemple : Si l'on prend

F(x)= 2 +22 —r ax +ax+l, f(x) =xæxt—x +2,

on trouve
puis

En effet : 1° pour x — 1 :

= SQUL-EL9;

42

2% Pour x — 5 :
2935 ME" 6;

9° Pour x — 10 :

119 111 — 1 092 X 109 + 85;
etc.

XI. Autre exemple :

md (o) =;
puis

œ(x) — LMP + x" =?? HS EG EE hou y(x) je, NH LR 1;

m' désignant le reste de la division de » par p.

Il est clair que a — 2. Ainsi, en particulier : Si l’on divise
311 — { par 54 — 1, le quotient est 57 + 55, et le reste, 55 — 1.

(150 )

CCLXXI. — Sur un théorème de M. Mannheim ()

(Juillet 1887.)

I. Leuue [. — Soient deux quadrilatères inscriptibles ABCD,
ABEF ayant un côté commun AB, et dont les diagonales
coïncident (en direction) : les derniers cotés CD, EF sont
parallèles.

IL suffit de démontrer que les angles AEF, ACD sont égaux.
Or, si l’on trace les circonférences ABEF, ABCD, on a

AEF — ABF — ABD, ACD — ABD.

IT. Lemme IL. -- Soient deux quadrilatères inscriptibles ABCD,
ABGH ayant un côté commun AB, et dont les côtés AD, AH,
BC, BG coïncident deux à deux (en direction) : les derniers
côtés CD, GH, sont parallèles.

En effet, chacun des angles BCD, BGH est le supplément
de BAD.

IT. Leume IL — Soient deux quadrilatères inscriptibles
ABEF, ABGH ayant un côté commun AB, et tels, que les

(‘) Journal de Mathématiques élémentaires; Question 254. La présente
Note a pour objet la généralisation de ce joli théorème.

(151)

côtés AF, BE de l’un, coïncident (en direction) avec les diago-
nales AG, BH de! l’autre : les derniers côtés EF, GH sont
parallèles.

Même démonstration.

IV. Leume IV (Réciproque du Lemme 1). — Soient deux
quadrilatères ABCD, ABEF ayant un côté commun AB, dont
les diagonales coïëncident (en direction), et dont les derniers
côtés CD, EF sont parallèles : ces quadrilatères sont, simulta-
nément, inscriptibles ou non inscriptibles.

Si ABCD est inseriptible, les angles DCA, DBA sont égaux.
Mais, à cause des parallèles, DCA = FEA. Donc DBE — FEA,
et le quadrilatère AFEB est inscriptible.

V. Lune V (Réciproque du Lemme I). — Soient deux
quadrilatères ABCD, ABGH ayant un côté commun AB, dont
les cotés AD, AH, BC, BG coïncident deux à deux (en direction),
et dont les derniers côtés CD, GH sont parallèles : ces quadri-
latères sont, simultanément, inscriptibles ou non inscriptibles.

En effet, les angles correspondants BCD, BGH, sont égaux.

VL Tuéorène |. — Soient deux quadrilatères inscriptibles
ABCD, ABEF ayant un côté commun AB, et dont les diagonales
coincident (en direction). Si l’on prolonge les cotés BE, AF
jusqu’à ce qu’ils rencontrent, en H, G, les cotés AD, BC; la droite
GH sera parallèle à CD, EF et le quadrilatère ABGH sera
inscriptible (”*).

Si HG n'est point parallèle à EF, soit HG’ cette parallèle (**) :
ABG'H est inscriptible. Menons AG, qui rencontre en F' la
droite EF : BEF'A sera inscriptible. Mais, par hypothèse, BEFA
est inscriptible; done F' coïncide avec F.

VII. Remarque. — Dans l'hexagone DFECGH : 1° les côtés
DF, GC, et la diagonale HE, concourent en B; 2° les cotés CE,

(‘) Le théorème de M. Mannheim est un cas particulier de celui-ci.
(*) Non tracée sur la figure.

(152)

HD, et la diagonale GF, concourent en À; 5° les côtés EF, GH
sont parallèles à la diagonale CD. s
Ce résultat est d'accord avec le théorème connu (*).

VII. Tuéorëme IT. — Un quadrilatère inscriptible, ABCD,
étant donné, on en déduit deux autres, ABEF, ABGH, tels que
ADH, AEC, BCG, AFG, BFD, BEH soient six lignes droites.
Cela posé :

1° Si l’un de ceux-ci est inscriptible, l’autre l’est aussi, et les
cotés CD, EF, GH sont parallèles ;

2° Si l’un des côtés EF, GH est parallèle a CD, l'autre l’est
aussi, et ABEF, ABGH sont inscriplibles.

Addition. — (Septembre 18387.)

IX. TuéorÈème IL. — ©, ©, w'' étant trois circonférences
décrites sur une corde commune AB ; on trace, sucessivement, les

doubles cordes BCG, CEA, BEH, HDA, GFA, lesquelles déter-

(*) Tome Il, page 251. Ce théorème est fort ancien; car on le trouve dans
les Collections mathématiques, de Pappus. Voir, par exemple, les Propriétés
projectives, de Poncelct, t. 1, pp.86, 87 (seconde édition).

(153)

minent les sommets CG, G, E, H, D, F d’un hexagone. Cela posé :
1° Le dernier sommet, F, est situé sur la double corde BD ;
2° les côtés GH, EF sont parallèles à la diagonale CD (*).

X. Remarque. — Si les diagonales CD, EH, FG se coupent en
un même point, l’hexagone, appartenant à trois circonférences,
est circonscrit à une conique (**).

CCLEXXIEE. Sur un théorème d’Abel (*”).

(Lettre à M. de Saint-Germain.)

« Hier, 1° mai, votre aimable lettre m'est parvenue : agréez-en
» {ous mes remerciements.

» La veille, j'avais reçu la Note annoncée, tirée du dernier
» numéro des Nouvelles Annales. Quand il a paru, j'étais à
» l'Hospice Dubois, gravement malade. Aussi, la livraison est-elle
» restée non coupée.

» Îl n'en est pas de même pour l'extrait : bien que ma tête
» soit encore un peu faible ("), je me suis hâté de la lire (en
» partie); et je viens vous communiquer quelques remarques,
» suggérées par cette lecture.

LÉ
» De l'équation

» F(x) = f(x) + @,(x) ('}, (2)

(‘) Ce théorème, qui nous semble curieux, résume les propriétés
précédentes. C’est pourquoi nous en supprimons la démonstration directe.
D'ailleurs, au moyen d’une projection conique, on pourrait le généraliser
encore.

(‘‘) Théorème de Brianchon.

(”*) Complément à la Vote LXVII.

(“) « Elle l’est encore trop pour que je puisse étudier votre démon-
» stration, bien compliquée ».

(") « Je pense que vous avez, sous les yeux, ma Vote sur un théorème
» d’Abel ».

(154)
on ne peut, dites-vous, conclure
> F(b)— f(b) + 9,(b); (3)
b étant la valeur extrême de x. Pourquoi ?

» Contestez-vous que la limite de la somme de deux quantités
est égale à la somme des limites de celles-ci?

IL.
» Lorsque, de
x) = He totr);
on déduit
» limF(x) = lim f(x) + limç(r),
ou
» F(&)= /(b) + o(b),

il est sous-entendu que (x), par exemple, varie d’une
manière continue, de x < b à x — b. Si, pour x — b, g(x) est
discontinue, il n’y a plus, ni démonstration, ni théorème.

» Si Je ne me trompe, ceci arrive pour l'exemple choisi par
vous, exemple qui ne me semble pas topique. |

ILLE

» En effet, x étant inférieur à l'unité, on peut, dans le
développement de £(1 + x), grouper arbitrairement les
termes, et écrire, par exemple,

n—=00 &nu—5 In—1 2n Ë
dE L dE
PE Ir) NUE SRRe Bees |
nl AT An — 1 PAT

n=1

Mais, lorsque x — 1, ce groupement arbitraire n'est plus
permis (Th. de Dirichlet). Aussi, au lieu de trouver

» obtenez-vous :

à 1 1 1 5
» re ne ne le EU 2 (LE
D = 4n — 1 ï | 2 À ÿ

» Que résulte-t-il de là, sauf erreur? C’est que la quantile

L x x° 1° x" 3 xt"! x"
» ft) =S=t- ++ +2 + —— — —},

| J 2 En — 9 pe 2n

>

est discontinue pour x = 1 (**).

IV.

» Vous avez donc, me semble-t-il, appliqué mon (?) théorème
» au Cas formellement exclus; et, trouvant un résultat inadmissible
(ce qui devait arriver), vous en avez conclu que le théorème
est faux. Est-ce bien raisonné? Je m'en rapporte à vous.
» Si vous pensez, mon cher Collègue, qu'un extrait de cette
lettre puisse intéresser les lecteurs des N. À., je vous prie de
la faire imprimer (avec vos répliques, bien entendu) (**).
» Dans toule discussion, peu importe qui a tort ou qui a raison :
» le principal est que la vérité se fasse jour ».

ÿ

>

>

ÿ

« Votre bien dévoué vieux Collègue,

E. C.
» Liège, 2 mai 1885. »

(‘) « N'ayant pas le temps de vérifier ce résultat, je m’en rapporte à
» votre affirmation ».

(‘*) « x étant inférieur à 1, elle est

» LU + x) — Ent
» siæ = {Â,elle est

191 Qt

PA+ax) —e,.
» Ergo….. ».

(”"} M. de Saint-Germain m'a répondu dans les Nouvelles Annales. À son
article, j'ai riposté par une lettre. Le procès est encore pendant. (Mai 1888.)

(156 )

CCLXXIILI.

- Remarques sur l'intégrale

+

T
A — £ L(1 — 2acosx + a°)dx (*).
è
(Septembre 1887.)

I. Les valeurs de A ont été trouvées par Poisson (Journal
de l’École polytechnique, 17°% Cahier, p. 617); mais ce grand
Géomètre a commis, dans sa démonstration, une singulière
inadvertance.

« Soit », dit Poisson,

« u —= log(1 — 2acosx + à); (1)
» d'où l'on tire
du À —

D ——

PRE RE LEE NE R RIRARE RP nne l 9
da À — 9acos x + (2)

» Pour fixer les idées, supposons a < 1; nous aurons, en série
» convergente,
1 - à

D ——— "> | + acosx + acos2x + a COS3X + »-; (3)
4 — 2acosx + «°

CL

el, par conséquent,

du
D — — — COS X + ACOS2X + ACOSIX + --- (4)

da

» Intégrant par rapport à a, et observant que w est nul en
» même temps que a, il vient
ad 3

a :
» De NS eeEe (5)
5

(‘) Cette Vote a éte publiée, en partie, dans la Nouvelle Correspondance
mathématique (t. F).

(157)

» d'où l’on conclut

TT 2T :
» 1 ua — j. log(1 — 2a cos x + aà*)dx = 0.

IL. Le développement (5) est faux. En effet, la série a pour
somme,

1 — 2acosx
1— 2a cosx + x°”

. lorsque a est compris entre — 1 et + 1 (exclusivement) (*).

III. La relation (5) est fausse; car, pour x — 0, elle devient

x CENT
—_u—— La ——2£(1—a)— a LS ne re,
ou
2L(1— a) = PI — a).
IV. On peut, ainsi qu'il suit, rectifier le calcul de Poisson.
|
— — COSX
du a — Cosx 2 a
da 1—9acosx + a 2
À — —cosx + —
a a

1° Si a surpasse 1, on a, par le paragraphe IT :

|
À — — cosx \
| | |
— 1 + -C0$7 + —COS2x + —COSFX + ++,
2 a a a
À — — cost + =
a a
ou
du | 1 |
— = 2|- + —cosx + — COS2x + |, (6)
da a a a”
puis
c à | | ù | a. (7)
u—C—)9 & — — COS X — — COS 2X — — COS IX — +. |:
£ a 24° 34°

’

(‘) Traité élémentaire des séries, p. 77.

( 158 )
Pour déterminer la constante CG, faisons a — 1 (*); nous aurons
u— f(1— 2cosx + 1)— 2$(2sinix),
9 f(2sint x) — C—= — 2[cosx + Æcos2x + 4 cos 3x + ..];
done (**) C— 0.

La formule (7) se réduit à

1 1 eu
2 La—=cosx — 7; cos2x — -cos3x — ES)

2

Il en résulte, pour a > 1 :

À — udx — 27 Pa (9)

$ 0
do Soit a < 1.
De

1 — acosx
A AACOST + COST RER
4 — 9acosx + a?
on tire

COSX — a
COSX + ACOSÎX + A COSIX + ++ —

1 — 9acosx + d?
puis

A COSX + + a? COS 2x + 1 a cos 5x He —=—1 1— 9acosx + a?
2 ,
ou bien

acosx + + a cos 2x + La COS SX + -. —= — Lu. (10)

De cette égalité, qui doit remplacer la relation (5), on conclut

dT
À — f udx = 0.
ni

(‘) Cette hypothèse est permise; car la série (7) est convergente quand a
recoit cette valeur limite, bien que la série (6) soit, alors, indéterminée.
(‘") On sait que
L(2siniæ)= — [cosx + cos 2 + 5c0s 5% + .…].

(Trailé élémentaire des séries, p. 106.)

(159)

CCLEX XIV (”). — Sur la démonstration d’un théorème

de Fermat, donnée par Legendre.

(Septembre 1887.) R

I. On lit, dans la Théorie des Nombres (**) :

© THÉORÈME. — Tout nombre premier À est de la forme
DE QT Ps?

» Considérons plus généralement l'équation
» AA =p+Q +1 + 5,

dans laquelle chacun des nombres p, q, r, s, sera supposé
moindre que 5 À, on aura A'A < +A?, ou A’ < A (***).
Et d’abord si on avait A'— 1, il est clair que A serait
égal à la somme de quatre carrés, et la proposition serait
démontrée (").

» Soit done A’ > 1, et parce que A’ est diviseur de
p° + Q? + r? + s?, il sera aussi diviseur de la quantité

» (p — aA"Ÿ + (q — GA) + (r — y A'Ÿ + (s — JA’),

5) NP. Q x , ,
a, , y, à étant pris à volonté. Supposons qu'on prenne ces
indéterminées de manière qu'aucun des termes p — «A,
q — BA, etc., n'excède © A’ ("): alors si l’on fait

» A'A"— (p — aA'$ + (q —GA'Ÿ + (r — y A") + (s — 94),

on aura A’A” < ? A'A’ ou A" < A’. Maintenant si au moyen
de la formule du n° 150 (”) on multiplie la valeur de AA’ par

(‘) Addition à la Note CCXVII.

(**) Tome 1, page 214, édition de 1850.

("**) Voir la Remarque (A).

(”) Voir la Remarque (B).

() Remarque (C).

(") Faute typographique : on doit lire 452. Voir la Remarque (D).

( 160 )

» celle de A'A”, on trouvera pour produit une somme de quatre
» Carrés dont chacun sera divisible par A’A'; de sorte qu’en
» divisant tout par A’?, on aura
« AA — (A — op — Gq — yr — 95) + (ag — Bp + ys — dr)
+ (ar — y p + 0q — Es) + (as — dp + Br — > q).

» Cela posé, si on a A°”— 1, la proposition sera démontrée ;
» mais si on a A” > 1, on procédera de la même manière pour
» obtenir un nouveau produit AA’!" exprimé par quatre carrés,
» et dans lequel on aura A”” < A”. Continuant ainsi la suite des
» entiers décroissants À, A', A”, A’, etc., on parviendra néces-
» sairement à un terme égal à l'unité; donc alors le nombre
» premier À sera exprimé par la somme de quatre carrés (*). »

(A)

N—p+q +r + s — AA; (1)

Soit

et, par conséquent, À > V\. Un nombre donné, N, n’admet
pas, nécessairement, un diviseur premier, supérieur à VAN. Par
exemple, si N — 27, le plus grand facteur premier de N est 5.
Legendre ne démontre donc pas le théorème énoncé : il prouve,
tout au plus, celui-ci :
Si un nombre N est la somme de quatre carrés, tout diviseur
de N, supérieur à VAN, est la somme de quatre carrés.

(B)

= D'après la Remarque (A), la proposition ne serail pas
démontrée.
(C)

On doit avoir, non
mais
il s’agit de la valeur numérique de p — «A’.

(‘) Remarque (E).

(161)

D).
La formule citée est celle d'Euler :
(pt + gd +r + s)(p? + q+r* +5"?
= (pp + qq + rr + ss Ÿ + (pq — qp'+ rs — sr') (2)
+ (pr — qs' — rp + sq) + (ps + qr' —rq — sp).
Si l’on fait :
p=p—aA", q —q—f$A, r'=r — yA', s°—s— dA’", (3)
elle devient
AAA — [pt + q +7 + 8 — A'(pa + 6 + ry7 + s0)f
+ [pig — BA") — g(p — À") +r (s — dA”) — s(r — 7A')f
pire AN)= (SA) r(p pan )Eers (qe BA’)f
+ [P(s — JA!) + q(r — YA) — r(q — BA’) — s(p — aA')F.
Le second membre égalant
LAA' — A'(pa + qB + ry + s0)F + [(æg — Ep)A' + (78 — dr)A'
+ (ar — yp) A" + (dq — 6s)A’| + [us — dp) A" + (Br — rg)A'},
il reste
AA" — (A — ap — Bq — yr — ds) + (aq — Bp + vs — dr) (4)
+ (ar — yp + 0q — Bs) + (as — 9 + Gr — yq),

comme l'écrit Legendre.

(E)

On a vu, dans la Remarque (A), que le théorème énoncé n’est
nullement démontré. Il en est de même, par conséquent, pour
le théorème de Fermat : « Un nombre quelconque est la somme
» de quatre ou d’un moindre nombre de carrés » (*).

(*) Théorie des Nombres, t. 1, p. 215. L'illustre Auteur se contente de
dire : « C’est une conséquence immédiate de la proposition qu'on vien
» de démontrer, et du lemme qui la précède. »

A1

(162 )

Autres Remarques.

I. Lagrange, à qui l'on doit la première démonstration du
théorème de Fermat, n'a pas commis les inexactitudes que nous
venons de signaler; néanmoins, cette démonstration ne nous
semble pas irréprochable. Après avoir énoncé ainsi la proposition
préliminaire :

« Si la somme de quatre carrés est divible par un nombre
» premier plus grand que la racine carrée de la même somme,
» ce nombre sera nécessairement égal à la somme de quatre
» carrés (*) », et l'avoir prouvée très péniblement, Lagrange
ajoute :

« COROLLAIRE. — Si un nombre premier quelconque est un
» diviseur de la somme de quatre carrés qui n’aient point de
» commun diviseur, ce nombre sera aussi la somme de quatre
»_ Carrés.

« Car nommant, comme ci-dessus, A le nombre premier
» donné et p? + q? + r? + s? le nombre composé de quatre
» Carrés qui est divisible par A, il est clair que, si chacune des
» _JaCInes p, q, r, S était moindre que = on aurait

; | A\?
p+g+r+s caf) PAT:

» de sorte que À serait plus grand que f/p? + q? + r°? + 52
» comme on l'a supposé dans le Théorème précédent ; done, ete.
» Or je dis que quels que soient les nombres p, q, …, on peut
à SRE UE ‘ À à
» toujours les réduire à être moindres que 5; car soit, par
JAM . . FE:
» exemple, p > +, il est visible que si
DP+f+r+s
» est divisible par À,

(p— mA} + +r+s

(*) OEuvres de Lagrange, publiées par Serret, t. IT, p. 195. Les défauts
que nous venons de signaler ont été aggravés par Le Besgue, dans ses
Exercices d'Analyse numérique (pp. 106, 107). Ils me semblent avoir été
évités par Serret (Cours d’Algèbre supérieure, troisième édition, t. IT, p. 94).

(165)

» le sera aussi, de même que
(mA — p} + Q +7 + 5. »

Ceci fait, l'illustre Géomètre établit cet autre théorème auxi-
liaire :

Étant donné un nombre premier À, on peut toujours déter-
miner deux nombre entiers, a, b, tels, que a? + b? + 4 soit
divisible par A (”).

IL. On peut former, bien simplement, la valeur de A”.
En effet, des équations

AA Sp? A'A''= Ÿ(p— A},
on tire
rs Din le
— Fe
ou
A'—A—9Ÿop + AD. (à)

III. Dans l'identité d'Euler (D), changeons de notation, de
manière que l'égalité
(a? + PE + 9? + Va? + PB +9 +9)=p+g +r+s (6)

soit vérifiée par :

P— ox +68 +yy" + d',
q—=—£$x + af — dy" +yd", | m
T=—ya + d + «y — Bd, |
S—=— du — yf" + By’ + ad. |
Si l’on pose
+ +y +) —A, (8)

il résulte, des équations précédentes :
Aa — pa — qB — Try — Sd, |
AB — pB + qu + r9 — sy
6 q ; (9)
AY'= py — qd + ra + 56,
Ad = pd + q97 — Tr + sa; |

() Legendre commence par là (Théorie des Nombres, t. 1, p. 211).

( 164 )

puis
et à DE a |
A’ A
2 (10)
BTE Perte) |
Ha JE rave

4

Si chaque fraction était réductible à un nombre entier, le
théorème suivant serait démontré :

Soit N — AA, les trois nombres élant entiers. Si N et À sont,
chacun, la somme de quatre carrés entiers, le quotient de N par A
est, également, la somme de quatre carrés entiers.

Mais cette conclusion (vraie) serait trop précipitée.

Prenons, par exemple,

N—469, A—%66, A’ —17;
puis
p=21, q=h, r—9, s—1, oa—1, B—2, y—5, 0—6.
Nous trouvons, par les formules (9)r:

5 b5 __ 85 145
LGBT TEEN
el

DE ner RU PE

662
9 + 2809 + 79225 + 20449 30492 se
ie 4 336 AE TT O:

En conséquence :

1° Si un nombre N, égal à la somme de quatre carrés entiers,
est divisible par un nombre À, égal à la somme de quatre carrés
entiers, le quotient © peut se présenter sous la forme d’une somme
de quatre carrés fractionnaires ;

*) Si l’on veut, au moyen des formules (9), trouver des valeurs de
; y ,
a’, B', 0’, y’, qui soient entières, on peut faire

D=ASNNQ= AO D NS = ME,
quantités dont la somme des carrés est 462. II résulte, de ces hypothèses :

HOUSE NAS MAN

LENS

(165)

2° Un nombre entier peut être la somme de quatre carrés
fractionnaires (*).
Par exemple,

etc. (**).

IV. Si l’on admet le théorème de Fermat, il en résulte celui-ci,
généralisation du théorème d'Euler, employé par Lagrange :

Tout nombre entier est, d'une infinité de manières, égal à la
somme de quatre carrés fraclionnaires (***).

€CCLXXV. — Sur un théorème de Gauss.
(Septembre 1887.)

[. A la page 285 du Journal de Liouville (tome 11, 1837),
Le Besgue s'énonce ainsi :

« De là ce théorème de M. Gauss :

» La quantité

1 2h(2h— 1)... (h +1)
a pen ten
» esl loujours égale à
2e L(< c),
» en prenant
p = L? + 4M°

» el
a œil = SN ne

(‘) Ces remarques, peut-être nouvelles, complètent ce que l’on a vu
dans la Vote CCX VI.

(**) Dans chaque décomposition, les numérateurs doivent, bien entendu,
être premiers entre eux.

(*””) Voir, ci-dessus, les décompositions de 7.

(166)

Autrement dit :
« Soit un nombre premier
p = L°+ 4M.
» En supposant L = 1 + 4n, on a

4 2n(2n — 1)... (n +1) n
orne une UE | “

Prenons n—6,u—0, M—1; valeurs d’où résultent L—1, p—5.
Nous devons trouver :

A2 AE T10 0078 077

CE Ce CN AE
ou
11.6.7= MU(5) +1,
ou
2— MU (5) Æ 1;
ce qui est faux.
Soient n—6, u— -—1, M—1; et, par conséquent, L— —5,

— 15. L'égalité (A) devient

11.6.7= JU(15) +5,
ou
7 = (5) +5;
ce qui est faux.
IT. L'énoncé de Le Besgue est donc inexact. Voici celui que
donne Jacobi (*) :

« Sit p numerus —4k + 1, atque resolvatur in duo quadrata
» ee — ff, designante ee quadratum impar, ff quadratum par,
» fore + e residuum minimum (quod inter — :p el + Ip conti-
» nelur), numeri
1 (k + A)(E + 9)(k + 3) … 2k
2 DEN

2

» per p divisi; hoc insuper residuum minimum per 4 divisum

(*) Journal de Crelle, t. NE, p. 69. C'est à propos d’une recherche parti-
eulière que j'ai rencontré, par hasard, les Notes de Le Besgue et de Jacobi.
Il ne m'a pas été possible de trouver, dans les OEuvres de Gauss, le théorème
en question.

(1670)

» _semper residuum + 1, relinquere ; ita ut sit aut numerus nega-
» tivus formae — (4n + 5), aut positivus formae 4n + 1 ».

Ainsi, le nombre entier k (ou n) n'est point arbitraire : il
égale Pl.

CCLXXVI. — Exercice sur un Problème
de Géométrie élémentaire.
(Octobre-Novembre 1887.)

L.

Construire un quadrilatère convexe P, dont le périmètre |
et les angles A, B, C, D sont donnés.

Fig. 1. Fig. 2.

Ve
4. Soient Ox, OB, O7, O9 des parallèles (données) aux bis-

(168 )

sectrices intérieures des angles A, B, C, D. Soit la droite GF—},
faisant, avec Oy, un angle égal à 2e Prenons, arbitrairement,
FB—a; puis construisons le point A, symétrique de F, relative-
ment à la droite MN, perpendiculaire à O6 : A est un sommet
de P. Menons AH perpendiculaire à O0, GH perpendiculaire
à O7 : ces droites se coupent en un point H.

Si l’on trace QP perpendiculaire au milieu de AH, PN per-
pendiculaire au milieu de GH; et qu'enfin, par le sommet A,
on mêne MQ perpendiculaire à Oz; on détermine le quadri-
latère MNPQ (*), circonscrit au quadrilatère P, dont tous les
sommets sont connus (**).

2e. Remarque. — Le problème est indéterminé; ce qui était
évident a priori.

IL.

Équations du problème.

8. Il est visible (et connu) que :

Donc
M+P—=N+Q:

le quadrilatère Q est inscriptible à une circunférence (***).

4. Remarque. — Si x, 5, y, à sont les angles consécutifs,
indiqués sur la figure 1 :

a+ M=—7, B+N—7, Y + P— 7, d+Q—7.

(‘) Nous le désignerons par la lettre Q.

(**) On justifie cette construction en se reportant au problème direct :
Au quadrilatère Q, inscrire un quadrilatère P, dont le périmètre soit minimum
(THÉoRÈMES ET PROBLÈMES DE GÉOMÉTRIE ÉLÉMENTAIRE, 6e édit., pp. 20 et 21).
La théorie du kaléidoscope est fondée sur ce problème.

(***) Loc. cit.

(169 )

Mais, par hypothèse, la droite GF fait, avec O7, un angle égal

à ,. Conséquemment :

—2(r7—f6)—C, A—9(r—a)—B, D—2(r — 9)— A.

Ainsi, la construction indiquée équivaut à l'emploi des angles

C, B, A, D.
5. Dans les triangles AMB, BNC :

cos — COS —
BM—a—, BN—b-—;
sin M sin N

donc, #”, n, p, q étant les côtés consécutifs de Q :

EE . A
msinMsinN — a sin N cos 3 + bsinMcos—,

© wIO

9

B
nsin Msin N — bsinMcos 2 + csinNcos à
s Ë pe C : A
psinMsinN— csinN HE + dsinNcos 2°
É : : D ; B
q sin MsinN — dsin Mcos— + asinNcos =
6. Des équations (3), (4), on déduit :
| B S ALU AB B:*€
sin M|mncos — — n cos —| — acos — cos — — ccos — cos — :-
9 2 2 2 2 2
Des équations (5), (7) :
ê ; B C D
sinMsinN|m cos —— n cos — + p cos —
9 9 2
É A B ! A
— asin N cos — cos — + dsin M cos — cos — :
2 2 2 2

Des équations (6), (8) :

C A
M COS — — N COS — + PCOS —— q COS — — Ù.
2 2

9 2 2

(170 )

7. On tire, des équations (5), (7), (6) :

à A
sin N cos —
2
b=m — à : (10)
COS — sin M cos —
2 D
A
n COS—— MCOS— COS — COS —
€ sin M = : : 11
= Sin M — + 4 ——,
CE, (4)
COS — COS — COS — COS —
2 9 DRE
nN B
inN sin N cos ;
cos — sin M cos —
2 2
puis, des trois dernières,
C
Fe n cos Si m cos 5 sinN
Em — + SinM +7
D D
cos — COS — COS — cos —
2 2 2 2
(15)
: A A ; B :
sin N cos — COS — COS — sin N cos —
9 2 D 2)

CAE SRE TS LR ae RE

. C C D À D
sin M cos — cos— cos— sin Mcos—
2 2 2 2
IT.
Simplification.

s. L'équation (15) peut être notablement réduite ; car le coef-
ficient de à est nul. En d’autres termes : dans tout quadrilatère
convexe, dont À, B, C, D sont les angles consécutifs, on a

. A+B ASE CDI
sin COS — COS — + COS — COS —
2 2402 21112

(14)

BC D A
— COS— + COS— COS — |-
GONE SE 0 ; s

(1H)

En effet, si l’on multiplie par 2, cette égalité devient
A + B A — B C+D C— "|
+ COS + ALU CN + CO

. A+B
S cos
sn,

B + C B+C B—C D + A
cos 2 RCI HE COS g + COS

— SIn 2

ou, parce que A+B+C+D— 27 :

Pour la même raison :

C—D PAIE AT) B + C
ne oo — T, ———| + A) — 7.
2 2 o 9
Donc
NA A —B (= |
sin cos — COS + C
2 9 2
PAR CRU BEC BANC
— sil cos ; — C0S +; ;

ou, après multiplication par 2 :
sin À + sinB — [sin(A + B + C) — sinC]
— sinB + sinC — [sin(A + B + C) — sinA |;

ce qui est identique.

9. Remarque. — On sait que
s : ; nr . A+B , B+C . C+A
sinA + sinB+sinC—sin(A + B+C)—4sin SC ÈE So
Par conséquent, dans tout quadrilatère convexe :
ANG UP C . B+C, C+A
COS — COS — + COS — COS — — SIN sin . (15)
2 2 2100 2 2
410. Autre remarque. — Dans tout quadrilatère convexe :
B+C. C+A
Sin —— , (16)

HPARSRP OS Ci.
sin Sins + sine sine — sin

4°
2 2 2

(172)

9 ue B C D
0 — Sin — + = =
9 9 sin 9 sin

\ (17)
B C D A
— Dia Sin —Sin — + Sin — sin —
2 2 2 2
; A B D
5° Se COS — COS — + COS — COS —
2 2 2 9

(18)

IV.

Équations réduites.

41. L'équation (13) est devenue

\

C D D , B
: [eos —- cos — — | sin N cos — — sin Mcos —- |m
2 9 2 2

; (19)
+ nsin Mcos = He HR

Mais on peut la simplifier encore. En effet, le coeflicient de m est

BAC. D AB BAD. DCR
sin COS — — Sin cos — — sin cos —— sin COS —
2 2 2 2 2 2 2
FR A nl A . D—B A+B+D
= —| sin D+2)—sin(r + =) — Sin COS ——
2 2 2 2 2
te . [2B+ A+ C C C
— Sin COS— — Sin | 7 )c0s-— — sin(M + N)cos—-
2 2 2 2

Donc, après suppression d’un facteur, et par des permutations
tournantes :

D
bons —msin(M N) + asinM gsinN, (20)

A
Do cn NT + P) + psin N + msinP, (21)

(175)

B
lcos = Ve tr sin (P + Q) + gsinP + nsinQ, (29)
C 4 à
lcos > — — qsin(Q + M) +msinQ + psinM (*). (25)
V.

Valeurs des inconnues.

42. Si l'on suppose a — 0, le quadrilatère P se réduit à un
triangle MCD, dans lequel

ob = 4 $ —= l **
sinD sinC sinC+D) C+D C D! )
in

En conséquence :

D
sin — sin —
l 2 l L cos M
b = - d = - ——— (©.
2. C’ 2. Doi STATUT À UE)
sin M cos 5 sinM cos 3 COS — COS —

La substitution dans l'équation (3) donne ensuite

sin —

l 2 (5)
7 2sinMsinN
(") En passant, il est bon de faire observer que :
sinP=sinM, sinQ=sioN, sin(P + Q)=—sin(M + N), etc.

(**) L'identité

: : SCD
sinD + sinC + sin(C + D) = 4sin

ne diffère pas de celle-ci :

sin À + sinB + sinC — sin(A + B + C) = 4sin

que nous avons rappelée précédemment.

(174)

43. D'après la nature du problème direct (4, note), on est
porté à croire que cette valeur de m est générale, c’est-à-dire,
indépendante de l'hypothèse faite sur a, et que l’on a aussi,
par un changement de lettres :

L sin 3 U LS L ne |

” 2 sin Msin N° Ris 2 sin Msin N° 19 snMsinN (26)

Tout à l'heure, cette espèce de prévision sera justifiée. En
attendant qu'elle le soit, voyons si les valeurs (25), (26) satis-
font aux équations (20), (21), …

Substituant dans l'équation (20), par exemple, on trouve

DSMDTE care HAUE ne
2cos — sinMsinN = — sin — sin(M + N) + sin — sin M + sin —sinN,
2 2 2 2

ou
D. A+B . B+cC
2cos— sin SIN ———
2 2
27
in sin | __ HAE ns
— — sin —Ssin |B + ————|+ sin-—sin + sin —sin à
2 2 2 2
puis
A+B+C . A+B. B+C . A+B+C en
— 2cos sin sin ——+sin sin| B+ ——
2 D
) (28)
A AB CA ee
moe + sin so |

Le premier membre égale

| AC | —)]
— COS ——— | cos COS (BE
2 y 9

71

nee sin ——
+ SIN ——— sin|B +
2 2
A+B+cC ARC
RD pr me

pi

Oo)

A+B+C A+C . A+B+C. A+C
+ | COS —————— cos Bo eo on De

1 (a : c B B
DENFS cos Ho + COS To) ns io

(175)

Le second membre de l'égalité (28) est

À B B B B

— | cos —— cos| À + —} + cos —— cos! C + —| |;

9 2 2 2 2
donc les deux membres ont même valeur.

44. Remarques. — I. Dans tout quadrilatère convexe, les
angles À, B, C, D vérifient les relations

D. A+B _ B+cC
2 cos—sin sin
9 2 9
in D sin( _. RAR A ER CAMP C
—— sin — sin| B + —— | +sin— sin + sin —sin é
2 2 2 À 2
+C. C+D (29)
2cos—sin Sn
2
in à sin ——) Bob C DER CED
— — sin — sin|C + — | + sin-sin + sin —sin ;
9 2 2 2 2 2
II. Si l’on fait
A9: —2y; C—92z,

l'égalité (28) prend la forme

sin(x+y+2)sin(x +2y+2)—sinxsin(x +y)—sinzsin(y+2) (0)
3
— 9 cos (x + y +z)sin(x + y)sin(y + 2).

Ainsi, la fonction contenue dans le premier membre est calculable
par logarithmes.

(176 )

VI.
Calculs de determinants.

15. Si le système des équations (20), … (25) est déterminé,
nous aurons ce théorème, peut-être nouveau :

Les quadrilatères Q, circonscrits aux quadrilatères P ayant les
mêmes éléments 1, À, B, C, D, sont tous égaux entre eux (*).

Les coefficients des inconnues, dans ces équations, étant :

— sin(M + N), sinM, 0; sinN;
sinM, — sin(N + D), sinN, 0;
0, sinN, sin(M + N), sinM;
sinN, 0; sinM, sin(N + D);

il y a lieu de former le déterminant

—h, {, 0, g
, — } , ,
ne f —h, 9 :
OO PTT OSURE à
JO NU

et d'examiner s’il est différent de zéro quand

—sinM, g—sinN, h—sin(M+N), k'—sin(N+P) (51)

On a
A = — [hA, + fA + gA;], (32)
en supposant :
— h, g, 0 Org f, 0, gq
Ah VE h, 1h , A = LE h, Je 5 À, = — h’, g» 0 |:
D A HOT X “ot

(*) C’est le théorème supposé ci-dessus (15).

(177)

Or :
A =— hhh — f") — gh = — hf — gg — hh'),
= fÉh—P)+ fg = ff — g— HN),
A= fg—ghh—g — g(f—-g—hh).

Done, au lieu de la formule (52) :
A—(f°— g — hh'}; (53)
expression remarquable (*).
16. Revenant aux valeurs (51), nous avons

VA = sin°M — sin?N — sin(M + N)sin(N + P),
ou

QV/A = — cos2M + cos2N — cos(M — P) + cos(M + 2N + P);

et, si P— 7 — M :
STI

Ainsi, quand le quadrilatère Q est inscriptible (ce qui a lieu),

le déterminant À est nul.

(‘) D’après une application donnée par M. Dostor, dans sa Théorie des
déterminants (p. 62), on a

ONE
ff—g—hh=|—1, 0, f
f gg, —hh

Ainsi : le déterminant A, à seize éléments, est le carré d’un déterminant
à neuf éléments. D'ailleurs, par un théorème de Cauchy, 4 est un déter-
minant à neuf éléments; savoir :

1 + 9°, [9» gi — hh/)
A [9 1 + f?, — f(A + Ah)
gA—hh), —fA+hh), f+g + hr?

Nous ferons encore observer que, d’après cette formule, ou d’après la for-
mule (55), la valeur de A dépend, uniquement, de , de 9, et du produit hh'.
12

(178)

47. Comme les équations (20), … (23) ne sont pas incompa-
tibles, et que le dénominateur A est nul, les numérateurs des
valeurs des inconnues (*) doivent, de toute nécessité, être nuls.
Par exemple, le numérateur de la valeur de » étant (après sup-
pression du facteur !)

D
less, fo 9
A L'
cos —, —h k
2°? » 9 0
p = . ’
B ”
cos De (: EN LES à
cos De GUN RE

il doit se réduire à zéro.
En effet,

D A B
w== À, cos Sin Aacos + AÀ,cos DE A,cos ;

D A C
— (ff gt — hh")| h'cos — + feos— — gcos | —0 (*}:
(T9 ] RIRES ;| @
Les valeurs des inconnues m», n, p, q se présentant sous la

forme à, on doit, pour démontrer le théorème énoncé (15),
recourir à la Géométrie (***).

(‘) Dans les formules de Cramer.

l, 0, 9
(2) As — = ne g; O | —= fgh! — h'fa = (}
COHEN PAL

(‘**) J'ai essayé de résoudre, directement, les équations (20), (25); mais,
à cause de la complication des calculs, cette tentative n’a pas réussi.

(179 )

VII.
Propriétés auxiliaires.

48. Si l'on se reporte à la figure 2, on voit que le théorème,
dont il s’agit, peut être énoncé en ces termes :

Soit un quadrilatère non convexe, FAHG, dont la Base FG
est donnée, les autres côtés ayant des pirecrions données (*).

Fig. 3.

Au milieu de AF, on élève la perpendiculaire KMN ; au milieu
de GH, la perpendiculaire IN. On trace encore la droite FM
faisant, avec NMK, un angle égal à H.

Cela posé, MN — const. (**).

(*) C'est-à-dire qu’ils sont parallèles à des droites données.

(**) Autrement dit, quand le point À parcourt FK ; le point N décrit une
parallèle à FM.

Depuis que cette Note est rédigée, un jeune Collègue et ami, M. G. de
Longchamps, m'a fait observer que le théorème à démontrer est compris
dans celui-ci :

Sur les côtés Ox, Oy d’un angle donné, on prend OA = u, OB = v; on

( 180 )

Soient :

FG—I, FA—9r, AFM—2, MFG—6, FAH—y,

T
AHG — — — x.
2

Soit R l'intersection des droites AH, FG.
L'angle HRG —7— (y— x — f); done
LA LLLE PA SAME EELRSREEN LE
sin (y — x — 6)
puis
siny

RG Ur
sin(y — « — É)

Dans le triangle HRG :

HG = RG

sin R To siny sin(y — x — f)
— À
sin H sin(y — x — f) COS &

19. Pour évaluer KN, je m'appuierai sur le Lemme suivant,
facile à vérifier.

Fig. 4.

élève AM perpendiculaire à Ox, BM perpendiculaire à Oy. Cela posé, si les
variables u, v satisfont à une relation ayant la forme

au + bv + C= 0,
le point M décrit une ligne droile.

Cette remarque est très juste ; mais, dans la question actuelle, il s’agissait,
principalement, d'établir la formule MN = const. Le calcul précédent, bien
qu'un peu long, n’est done peut-être pas inutile.

(481 )

Sur les côtés FL, GL d’un triangle FGL, on prend FK —f,
Gl—39; puis on trace les perpendiculaires KN, IN à ces côtés.
Les distances KN, IN sont données par les formules :

sin

1
KN — L{/cosL + lcosG — g],

IN — [gcosL + lcosF — f] (”).

sin L

Dans le cas particulier considéré,

|
STE g=[t-2

siny sin(y — x — 6)
Cosæ

sin(y — à — 8)

En outre, AL étant le prolongement de FA :

LA

L=FLG— Sr — 7,
sinL—— cos(x + y), cosL — — sin(x + y),

G— — . +(y—6$8), sinG——cos{y —£), cosG— sin(y — B).

PA

Nous avons donc

1 { 1 . à MITA
A À ssin(e + y) — Ésin(y —£)+— [—2x as sin(y — a — f)
cos(a+y) | 9 sin(y— 2 — 6) RE

\

(‘) Il en résulte

— 1
LN?— —— |f? + 9? +1? — 29/cosG — 2flcosF — 2fgcosL];
sin? L

puis

KE= f? + g? + — 2glcosG — 2flcos F — 2fg cos L.

Par conséquent, si l’on concoit un angle trièdre O, ayant pour faces F, G, L,
et que l’on construise un point M dont les coordonnées soient f, g, {, on aura

OM = KI.

(18)

Il est visible que KM — x tg «. Par conséquent,

À sin(y — «x — sin(y —
NT Dr pa LAB LR Qu 2 EU (34)
2 cosacos(a + y) Cos(x + y)
en posant
l :
K = — — [since + y) — | — (ga.
cos(x + y) COS «
Or,
1 à : :
K — ie CR sin(x +y)cosa —siny — sin xc0s(x + y) | = 0;
done la formule (34) se réduit à
MN 2si
rs 2cosa cos(a + y) ee re ie gene |

ou, plus simplement, à
MN RE)
2 cosacos(x + y)

(). (55)

Cette quantité étant constante, le théorème que nous avions
en vue est démontré.

20. Soit (fig. 5) ZNYX la parallèle à FM, menée par le
point N, c'est-à-dire le lieu de ce point. Menons FZ parallèle à MN.
Il est clair que, Y étant l'intersection de ZX avec FG :

sinM lsin(y —B+a)

EY = MN —— — — TN 20
sin Ÿ 2 cos(o + y)sinf

lsin(y—6—a) lsinG+a + pli

GY —l + - — = -
2 cos(a + y)sinf 2cos(x + y)sinp

(‘) En reprenant les notations primitives, on a :

wIS

cosa = sinM, Cos(x+y)—=—sinN, sin(y —-8 +a)=sin

Par suite, _.
] —
l 2

2 sinMsinN

ce qui ne diffère pas de la formule (25).

(183)
On conclut, de ces deux expressions,

Sin (PE ene)

GY sinB+a+y) (36)

Fig. 5.
L

Ainsi, la droite ZX divise FG dans un rapport très simple.

VII.

Relations entre les quadrilatères P, Q.

24. Soit w la circonférence, inconnue, circonscrite au qua-

Fig. 6.

drilatère Q circonscrit, lui-même, au quadrilatère P. Formons,

(184 )

autour du centre ©, les angles A, B, C, D. Si le rayon p a été.
pris convenablement, le quadrilatère MNPQ sera celui que l'on
cherchait.

En effet, d'après cette construction,

A—9NMP, B—92QMP;
donc
À + B— 2NMQ — 2M;
etc.

22. Cela posé, on à

m — % sin — :
Fee
Et comme
l sin 9 ei
7 2sinMsinN” .
nous avons ce résultat simple :
37
RE A + B BEIC é

4 cos

238. Si S désigne l'aire du quadrilatère Q, il est visible que
S— 3e'[sinA + sinB + sinC — sin(A + B + C)].

Mais, d'après la formule citée plusieurs fois, la quantité entre
parenthèses égale
A+B 2 B+6GNC+A

- Sin sin
2 2 2

&sin

():

A+ C
| 2
formés par les diagonales MP, NQ; savoir, celui qui a pour mesure

(*) D’après l'inspection de la figure 6, est l’un des deux angles

arcMN + arcPQ
2p |

(185)

Donc, à cause de la relation (37) :

AAC
sin
S £ = 8
—— 3
SLA ER : CB + C (58)
sin - sin
D 2

Ainsi, le rayon et l’aire du quadrilatère Q dépendent, fort sim-
plement, des éléments du quadrilatère P.

IX.
PROBLÈME. — Parmi tous les quadrilatères P, de périmètre mini-

mum, inscrits à un quadrilatère Q (*), quel est le plus grand
en surface ?

24. Les équations (25) et (26) peuvent être écrites ainsi :

A B C D
SI SIN SIN SIN —
2 9 9 2
= —— — — — —sinMsinN.
n p q m l

Donc, si le quadrilatère Q est donné, les angles du quadri-
latère P sont connus (**).
Si l’on désigne par w l'aire de P, on a

du — adsin A + bcsinC, (39)
Qu — absin B + cdsinD. (40)
Soient a’, b', c', d' les dérivées de a, b, c, d, relatives à une

variable indépendante t. La condition du maximum, appliquée
à l'équation (59), donne

(ad' + da'}sin A + (bc + cb')sinC = 0. (#1)

(*) Toujours supposé inscriptible à une circonférence.
(**) Cette remarque préliminaire est importante.

(186)

Mais, par les équations (3), (4), (5) :
A C
a'sinN cos D b'sin M cos —,
B ; D
b'sin Mcos = TT c'sinN cos —,

Û C : 3 A
c'sinN cos — — — d'sin M cos — ;
2 2
puis :

COS — COS —
b' ,’ ! ’ 2 2
b' = — a ——;, C' = à ————,
C D

sin M cos — COS — COS --

2 2 2

: À ALERTE
sin N cos =

42
ee (42)
sin N cos —
d'= — a’

| D
sin M cos—
Donc l'équation (41) devient, après quelques réductions,
4 À ie TE : D
sin — | — asinN cos — + dsin M cos —
2 2 2
ACTE À B \ D
+ sin —|bsinMcos- — csinN cos — | — 0.
2 2 2
L'équation (40) donnerait, semblablement,

PR L C ; A
sin — | — bsinMcos — + asinN cos —
2 9 9

(44)
Due C A
+ sin—| csinN cos — — dsin M cos — | — 0.
9) 2 2

Combinant, par soustraction, (43) et (44), on a

ù :: A + B + C
— asinN sin

B
+ bsinM sin

C+D
— çcsinN sin -

: DDC
+ dsinMsin : — 0,

(187 )

ou
a+c—b+d=#l. (45)

Ainsi, le quadrilatère cherché est circonscriptible à une circon-

férence.

25. Nous avons trouvé l'équation
B C AD C5. D
sinM| mcos - — ncos — | — acos —cos -—ccos cos —, (7)
2 2 2 2 ane

dans laquelle :

sin — sin —
9 2

l
m 2 Pis PRREES
2 sinMsinN

l
” 9sinMsinN dire

Done, au lieu de l'équation (7) :

2 de 2

si

ARPAADUE BR. A a.C è APE C D
— | sin—cos-—sin—cos - | —sinN| acos—cos=—ccos-cos— |: (46)
SH RD Ph 22

Le multiplicateur de : est

| D + B . D—B . A+C k —|
—| sin + sin — sin — sin
D) 2 » 2
17. D—B . A—C . D+C—B—A A+D—B—C
— —| sin — sin — SIN ————— cos
2 4 4
A+B. B+cC FA
— COS sin — — CosM sinN.
L'équation (46) devient
A B CD
— cosM — a cos — cos — — cCOs — COS —- (47)
2 2 D D) 2
On tire, des équations (45), (47) :
sin — si ee
— sin — — sin —
L à ME L sue ne
= -—————, C—= -——/; (48)
DRAC DEN RMANEET
sin N sin sinN sin

2 4

( 188 )

après quoi une simple permutation donne

BA OBD AB: 26
l as sin = l sin 9 sin =
= nan ou Ta US
[9 = [9
sin Msin . sinMsin se

1 pA

26. Remarque. — Les valeurs (48) devant vérifier les équa-
tions (45), (47), il s'ensuit que, dans tout quadrilatère convexe :

ASE UNB CS UD) MA PIC HERBE
1° sin— sin— + sin — sin— — sin sin :
7 2 2 2 2

A Bi ! D
7 COS — COS — sin — sin — — COS — COS — sin — sin —
2 2 2 2 2 2

AB D CG PA EXC

— COS sin - sin .

2 2 2

27. À cause de

: Ÿ ED ne QT D)
Sin SIN Sin — sin? — sin — sin —
(2 9 2 9 le 2 2 2
ER Re NRC RAC =
—+ 4
sinMsinN sin° sin Msin Nsin°
la formule
Qu = adsinA + bcsinC (39)
devient
DR: AUDE à PEU CN D
sin — sin — sin _ sin —
E 2) o) 9 DAT C A : A C
TS UP tte SI COS Ent) SI0 CS EGRE :
sin M sin N sin°
ou
ASE IC,
sin —sin— Sin — sin
le TER TDR
- (50)

HR RIRE C CA
sin SIN —

Tel est le maximum des aires des quadrilatères P.

(189)

28. Le rayon r, du cercle inscrit au quadrilatère P, est donné

par la formule

Ainsi

: B
l DD ONU ; 31
SON SEE G1)

Mais cette expression peut être transformée.

En premier lieu,

D mn
SIN — Sin — Sin — Sin — — ES
DONS AMONT GE
D'autre part,
MALI SRB EC \ .
sin sin = sin M sin N — —. (57)
2 2 e
Enfin,
A + C LE, ,——— ———-
sin = — [nt 49° — Q° + qV' hp — mi]. (52)
2 49°
Par conséquent,
mnpq | (55)

r —
Den 40 — + qe — nr]

29. Remarque. — Un changement de lettres donne
DV 4 — q° + qV ht — n° — mV/ 49 — pt + pl 49? m°:

puis ce théorème, qu'il est facile de vérifier :

Dans tout quadrilatère inscrit, MNPQ, dont les apothèmes
sont OM’, ON’, OP’, OQ, on a
MN.OM'+ PQ.OP'— NP.0M' + MQ.0Q':

ou bien :
Dans tout quadrilatère inscrit, la somme des rectangles formés

( 190 )

par un côté et l’apothème opposé, est constante, si l’on prend,
dans chaque somme, deux côtés opposés.

30. Propriétés numériques. — Changeant de notation, appe-
lons a, b, c, d les côtés successifs d'un quadrilatère inscriptible,
et R le rayon du cercle. En posant

N = (ab + cd)(ac + bd){(ad + bc), (54)
A=(—a+b+c+d\{a—b+c+d)(u+b-—-c+d\a+b+c—d), (55)

nous avons, par une formule connue,

R?— —. 56
A (56)

Il n'est pas diflicile d'établir ce théorème, assez curieux :

A, B, C, D étant des quantités rationnelles, on a

ou, ce qui est équivalent :

4N — d'A A, 4N—D'A—B, 4AN—cA\—=C*, 4AN—d'A—D*. (58)

(191)
Considérons, par exemple, la dernière égalité.

D'après la formule (54),
N = abcd° + (ab + bc + Cd) dd + abc(a? + L? + c)d + abc;
et, par la formule (55) :

A = d— 2° + D + )d' — 8abcd + (n° — b?— €) — 4b°c*.
Conséquemment, après quelques réductions,

AN — d'A = d— {a + b°+ cd — abc + (a* + b? + c'}d’

+ 4abc(a® + b° + c°)d + 4a*b?c?,
ou
4N — d'A = | — (a + D? + c?)d — 2abc |. (59)
Ainsi
LE D=d— (a.+ b° + c°)d — Sabc (‘). (60)

31. Remarques. — I. Posons

Ni— (ab + cx)(ac + bx)(bc + ax),

A—(—a+b+c+ax)(a—b+c+x)(a +b—c+x\a+b+c—x).
Alors, par le dernier calcul,
AN, — Aix = {ax — (a + b°+ dx —2abcF —X* (61)

Le polynôme X est celui que l'on rencontre dans la solution
d'un problème de Newton, et dans un problème relatif à l'ellip-
soïde (**).

(‘) Sid= 0, le second membre est négatif; il s’annule lorsque d = 2R
(voir la note suivante) Donc, si l’on veut que D soit positif, on doit attri-
buer, au premier membre, le signe inférieur.

(**) Notes XI et XII. D'ailleurs, si d = 2R =+x, le triangle ABC est
inscrit à un demi-cercle : on retombe sur le problème de Newton. L’équa-
tion de ce problème est donc

da — (a? + b?+ c?) x — 2abc = 0,

comme nous l'avons rappelé dans la Note XI.

(192 )

I. Si, dans la relation
NV Rp — Q° + qQV' het — nt mV hp? — p° + pVhp®— m°, (55)

on fait :
ce 0 g — (n° + n° + p°)q — 2mnp
PS q En Re 20 V 20e A AUCUNE”
VA
n° — (m° + p° + q°}n — Impq

V 40? — n° = + —
V”A;

2

ete., elle devient identique; ce qui devait être.
82. Suite. — Dans la formule

ns mnpq (52)

20[nV 4 — q° + qu — n°|

substituons les valeurs précédentes, en supposant, comme nous
venons de le faire,

A=(—m+n+p+q)(m—n+p+q)(n4n—p+q)im+n+p+Q) (62)

Un calcul facile donne

de mnpqV À
ko(mn + pq)(mq + np)
Et comme
/N
pe — ie (56)
il vient, finalement,
A
HE mnpqA: | (63)

4(mn + pq)(mq + np)V N,

33. Remarque. — On a, entre le rayon r du cercle inscrit au
polygone P, et le rayon p du cerele circonscrit au polygone Q,
cette relation assez simple :

mnpqV' As Ë (64)

ro =
k(mn + pq)(mq + np)

(193 )

x:
Quelques réductions.

84. Valeur de 1. — Afin de simplifier les relations (53) et
suivantes, nous allons exprimer le périmètre du quadrilatère P,
en fonction des éléments du quadrilatère inscriptible Q.

Vt
M
Supposons a — 0. Alors P se réduit au triangle MCD. La
construction indiquée (*) donne

MM'=— 2msinN, MM'— 24sinN,
MM — MM + MM'° + 2MM°. MM'cosP;
donc
PE — 4sin°N(m° + q* — 2mqcosM). (65)

Soient MP — x, NQ = y : nous avons

x _(mp + ng)(mq + np Aie (mp + ng)(mn + pq) (66)
mn + pq mg + np

(*) Problèmes et Théorèmes, p. 21.

(194 )

D'autre part, la considération du quadrilatère MNPQ donne ces
valeurs connues :
M+Qg —n—p

ME -
CPE 2(mq + np) (67)
VA,
A EME HS (68)
e 2(mq + np)
; TN

2 2(mn + pq)
Par un caleul facile, on trouve ensuite, au lieu de la relation (65) :

mp + nq

Ê = A9 ———— —. 70
_(mq + np)(mn + pq) (2)
35. Nous savons que
nu (mp + LtE np)(mn + pq) (56)
Donc
Fo? = (mp + ng) ;
ou, plus simplement,
Eu (71)
(S

Ainsi, le périmètre |, des quadrilatères P, est une quatrième pro-
portionnelle au rayon et aux diagonales du quadrilatère Q (*).

36. Expression d’un cosinus. — Soient, dans la figure 3 :

MON =, QOP—Y.
Il est visible que

+ y 1 = =
cos — — | VA (AR? — a*)(4R* — c°) — ac |;

2 4R°

. (‘) Ce théorème ne diffère pas de la propriété démontrée dans la Note CCII
(première Remarque). L'énoncé doit être rectifié ainsi : Chacune de ces quatre
distances est une quatrième proportionnelle au diamètre du cercle circonscrit
et aux diagonales du quadrilatère.

(195 )

ou, avec les notations du paragraphe (29) :

x +7 AC — acA

cos — ,
2 AN

(72)
valeur rationnelle.
Nous avons trouvé :

—A—a—(b*+ + d'a—2bed, —C—6c— {a+ b?+ d?)c — 2abd.
De plus, comme on peut le vérifier,

A——Ÿ a + 2Ÿ ab + Sabcd. (73)
De là résultent ces deux formules :

AC — ac À = 9(b° + d — a° — c*)(ab + cd)(ad + bc), (74)

FA 48 2 ac + bd (sl
puis celle-ci :
A+C 1° 2m —p
cos Ne Our IR RER (76)
2 2 mp + nq

.

37. Remarques. — I. On a vu (23, note), que SE est l'angle

des diagonales x, y.
Donc, par analogie avee les formules (68), (69) :

RÉPICUR V’A, _
2 2{(mp + pq) Qi

sin

Cette expression, beaucoup plus simple que celle qui a été
donnée ei-dessus (52), s'accorde avec la formule (76). Il en
résulte, en effet, l'identité

k(mp + ngŸ ={(n + Q — nù — pY ne
+(—m+n+p+q\n—n+p+q\mtn—p+q\m+n+p—). (IA

I. Si a+ ec? — b? + d?, les angles à, y sont supplémentaires :
cette condition est nécessaire et suffisante (*). Quand il en est
ainsi,

(ab + cd)(ad + be

4R° — : = a? A
ac + bd in ()

(") Au moyen du raisonnement dont nous avons fait usage dans la
Note CCLX V, on rend la proposition évidente, sans calcul.

(49% )

CCLXXVITI. — Lettre à M. Battaglini (‘).

Monsieur le Rédacteur,

J'ai reçu, il y a quelques jours, par l'entremise de mon
Collègue Mansion, la dernière livraison du Giornale di Mate-
matiche. À la page 155, on lit ceci :

« La serie a termini positivi
D UHU+e+U, +

» è convergente, se tutti i suoi termini decrescono col crescere
» di n,e se e inoltre, per n— ©, lim nu, — 0... ».

Autrement dit (si je comprends bien) :
« La série à termes posilifs
D WU ++ +U, +.

» est convergente, si tous les termes décroissent quand n croit,
» et si, en outre, pour n — , lim nu, — 0 ».

Cette proposition, émise, il y a soixante ans, par L. Olivier
(Journal de Crelle, 1. IL, p. 54), est fausse, ainsi que l’a montré
l'illustre Abel (**). Comme son devancier, votre Collaborateur
pense que : la série est convergente, si la somme

Uni ts UTES LS OUDNE 3 Us,

tend vers zéro, quand n augmente. Or, cette hypothèse n'est
pas admissible; car la série (***) |
1 sl 1 |
0 + ————————— +...

——— + res + 0 00 + ————
ALPINE NE (n+1) P(n+1) (2n+1) P(2n+1)

(‘) Publiée dans le Giornale di Matematiche (septembre 1887).
(*) OEuvres d’Abel, publiées par.M. Holmboë (1{r< édition, t. 1, p. 1114).
(*") Considérée par Abel.

ms Ed

(197)

est divergente, et cependant

à 1 1
vi Ê +1)£(n +1) ce (2n + 1) £ (2n + |"
Agréez, etc.

Liège, 23 septembre 1887.

CCLXXVIII, — Lettre à M. Hermite.

Mon cher Monsieur Hermite,

En lisant, l’autre jour, le commencement de votre intéres-
sante Note Sur les valeurs asymptotiques, je me disais : « I] me
» semble que j'ai fait des recherches analogues à celles-ci ».
Comme vous allez en juger, je ne me trompais pas.

Hier, j'ai été à Liège; et, dans un vieux cahier, à la date du
11 avril 1870, j'ai trouvé ce qui suit :

« D'après une citation de l’auteur (*), Clausen a donné la
» formule :

» La vérification est facile.

» Le second membre égale
Ÿ xt) [A + 2x" + 2x + 2x + …]
4

— > a) + 25 LAN Vire ER MR Ne rreres Se
1 di

(‘) Curtze.
("*) Je crois que la formule de Clausen est, également, dans les F'unda-
menta.

(198 )

» Soit À, le coefficient de x", et soit N — n? + pn. On voit
» que A, — 2 fois le nombre des solutions de l’équation précé-
» dente, augmenté de À si N est un carré. Mais cette équation
» est N—n(n + p) : le nombre des solutions est celui des divi-
» seurs de N; ce qui fait retomber sur le point de départ. La
» formule de Clausen (formule bien remarquable) est donc
» démontrée ».

En lisant ce que je viens de souligner, on serait tenté de
croire que j'ai voulu vous copier. Heureusement, les dates sont là!

IL.

Parmi les centaines de résultats contenus dans mes Recherches
sur quelques produits indéfinis, permettez-moi de vous rappeler

ceux-ci :
C2 gi co q' à
Dé re ter
1h RU
= |
Donne ue à ae A

Si l’on fait n—di (i, impair), le nombre des solutions de
Péquation
MU NE D — 87,

est égal à la somme des cubes des diviseurs d, etc.
ee e
ss MUR L n (rx*x J >
q A/S cut (**) (p. 116).

(‘) Si l’on met cette identité sous la forme
co co
DET na Bq",

1
1

chacun des coefficients A,, B, égale la moitié du nombre des diviseurs
de 4n — 1.

(**) Le premier membre est la série de Lambert. Dans le second membre,
a + À est le nombre des puissances de 2 qui divisent n.

(°**) ext est l'excès du nombre des diviseurs de An +1, ayant la forme

Au +1, sur le nombre de ceux qui ont la forme 4u — 1.

L. 20" lé

(199 )

IT. — Sur une formule d’Eisenstein (mai 1881).

Cette formule, qui donne une transformation de la série de
Lambert, est

z z° LA z z°
D | LR Et He | — D
Az A7 1-2 1—z (1—<)1 —2°)

a EL A Pt Un ee à il eme N Et
a ps 0

E= (—2)(1—2)(1— 2) (A 28 ir — gr 4 — 7 —.
On peut écrire autrement le second membre. En général,
À n—=@

Ten ee AND

n—=Ù

F(n, p) est le nombre des décompositions de n, en parties égales
ou inégales, non supérieures à p (Recherches., p. 47). Done

pp)
PIN2 n = PA)
eu 0 à Co pp, el
… 29 n=0
Soit
N—n te dE un
2
ou
n N PPIE 1)
2
Alors

égale le nombre de manières de partager N en p parties inégales
= (N, p) (7).

(*) Journal de Crelle, t. XXVII.
(”*) Introduction à l'Analyse, p. 245 ; Recherches... p. 54.

( 200 )
Ainsi, le coeflicient de z" est
(N, 1) — 2(N, 2) + 3(N, 3) — - + N(N, N).

Soit maintenant G(N) le nombre des diviseurs de N. Il est
visible que, dans le premier membre de (A), le coefficient
de z' est

G(N)— G{N — 1) — GIN— 2) + G(N-— 5) + G{N — 7) —G(N—19) >

On a donc cette relation entre deux fonctions numériques, bien

différentes :
(N, 1) — 2(N, 2) + 3(N, 3) — +. + N(N,N) “
—G(N)— G(N—1)—G(N—92)+G(N—5)+ GIN—7)—.. (*).

Application. — Soit N — 19. On doit trouver
(49,4) — 2(19, 2) + 519, 3) — 4(19, 4) +
— G49) — G(18) — GA7) + G(14) + G(12) — G(7) — G(5);
ou (**)
1—2.943.24—4.18+5.5—2—6—2+4+6—2— 3;

ce qui est exact.
IV.

Si j'avais sous les yeux les Mémoires de Liouville, je pour-
rais, peut-être, tirer quelques conséquences de cette égalité (B).
En attendant, si z(N) représente chacun des deux membres,
on a (sauf erreur de calculs) :

(2) —1, (3)
D 18)
u(42)—4, (13)

——1, 54) ——1, ©(5) —=—3, (6)

—1, (9) —=2, ©(10)—1, (11) —2,
= || s(A4)=—1, ©(15)—#4,., (55)
Ces coefficients semblent osciller entre deux valeurs extrêmes.

Qu'en pensez-vous?

(") Est-elle connue ?
(**) Recherches.., Table 1.

( 201 )

\'

D'après votre obligeante indication, j'ai consulté le Mémoire
de Liouville (Journal de Mathématiques, t. V, p. 445). Notre
illustre Maitre dit :

> 10 re ET

» que l'on en déduit en posant

]

V'x — x°

» 2

Rien de plus. Il ne fait pas observer que, si l'on prend

X=V/x f *doV/1— x*sin’o,
0

on à

Somme toute, mon équation

Th | + 3x°

AI PAL MER ee EU À RE

z 4(1— x*)x*
est un peu plus simple que l'équation (5); et l'on en peut écrire,
tout de suite, l'intégrale générale.

( 202 )

VI.

Aussitôt après vous avoir envoyé ma vieille formule :

Le dx
ER RE eu >
« AH at + VOA + avr

a

j'ai reconnu (ce qui n'était pas difficile) qu’on peut la généraliser
ainsi :

Soit y une fonction impaire de x, telle que la quantité

—14VA + y
a — —— ——————— À

y

reste finie, quand x varie entre — a et + a. Cela pose :

ne dx
a —— — (]|,
1+y+V 1 + y

Voilà donc une infinité d'intégrales ayant même valeur. Je
n'ai pas besoin d'ajouter que la proposition est presque évidente.
A-t-elle été remarquée ?

Je vous souhaite, mon cher Monsieur Hermite, la quiétude et
la bonne santé dont jouit, à Spa,

Votre bien dévoué très Ancien,

E. C.
Spa, 27-28 juin 1886.

.( 205 )

CCLXXIX. — Circonférences focales (’).

(Janvier 1878.)

I. Quand on identifie l'équation
y eu b’x° nt ab: (1)
avec
(x — à) + (y — EŸ = (my + nx + l},
on trouve, comme expressions des rayons vecteurs :

c ; c
U=G+-X, WU —A—-X;
a a

puis les équations des deux directrices :

Semblablement, l'équation (1), mise sous la forme
{x — a) + (y — PB} — R° = (my + nx + |},

donne, non seulement l'équation des circonférences focales :

2
af + ÿ—b'|1 2#) QE (2)
mais encore les équations
d a
LT — Ti CHUTES nl

de deux séries de droites, que l’on peut appeler droîtes radicales.
Chacune de ces droites est la corde de contact (réelle ou imaginaire)
commune à l’ellipse donnée et à une circonférence focale (***).

() A propos d’une Note de M. Boset (Buzz. DE L’ACADÉMIE, juin 1887).
(**) Loc. cit.

(°**) En effet, l'élimination de y?, entre les équations (1), (2), conduit à

—æm— —«|] =0.
a C

( 204 )

De plus, la distance d’un point M, de la courbe, à la droite
radicale, et la longueur de la tangente correspondante MT, sont
dans un rapport constant (*).

II. L'équation générale des courbes algébriques, susceptibles
d'admettre des circonférences focales est, évidemment,
P°
Fa PE Po pr (3)
P, Q étant des polynômes entiers (**). Par suite, si une courbe
donnée admet de telles circonférences, son équation devra pou-
voir être identifiée avec la relation (3).

HT. Application. — Soit la conchoide représentée par
x: — (b FETE y) (a? +4 Y°).
Si l'on met cette équation sous la forme

x + Fu et Chute

7
on voit que l'on peut prendre :

a—0, B—b, P—a(y—06), Q—7y.
Donc la conchoïde a un foyer, comme l’a trouvé M. Boset.

IV. L'équation (3) permet de généraliser les propriétés des
circonférences focales et des droites radicales, relatives aux
coniques. En effet, M étant le premier membre de cette équa-
tion, soient S la courbe donnée, et L la ligne représentée par

De) | (4)

(‘} Ce rapport égale celui qui existe entre les distances de M à la direc-
trice et au foyer correspondant.
("*) Ces polynômes peuvent contenir &, 8, R. Par exemple, dans le cas
de l’ellipse, l'équation (5) est
&? 2
(x — x + (y — 2)? vf — —| = (Le — — z)
(Bulletin, juin 1877.)

( 205 )

L'équation (5) est une conséquence de celle-ci et de
M — 0. .(5)

Donc : l’intersection de chaque circonférence focale, avec la ligne
radicale correspondante, appartient à la courbe donnée.

CCLXXX. — Sur les nombres parfaits.

(Lettre à M. Mansion.

Hier, seulement, j'ai pu prendre connaissance de l'intéressante
Note de M. Sylvester, relative aux Nombres parfaits (*), impairs.
Il me semble qu'elle peut être abrégée et simplifiée.

Soit

N — abc? … l’;
a, b, c, … étant premiers, impairs, et rangés par ordre.de gran-
deur croissante. Si N est parfait, on doit avoir

a b l

AB AE HE 4

> 2 (), (1)

O!1
a—1b—1 l—1 1 à
TS EU oi @

Soit P(?) le premier membre de la seconde inégalité. La
Théorie des Nombres, de Legendre, contient une Table des
valeurs de P(?), prolongée jusqu'à ! — 1229 (***). Soit Q(n)
le produit de n facteurs, choisis parmi

a—1 b—1 L—1

et Dm 1

(‘) Mathesis, mars 1888.

("*) La relation (4), bien connue, a été employée par MM. Servais
et Sylvester.

("*”) Le produit P(1) a pour limite zéro. (Voir, par exemple, les Exercices
d'Analyse numérique, de Le Besgue, p. 138.)

( 206 )
Il est visible que :

4° Le minimum de Q(1) est

a — | 9
P(a) — ps Hier

2° Le minimum de Q(2) est
a—1 b—1 2 4

. — —=

7 b Sd ee

P(b) —
etc.

En effet, nous avons

1 1 1
RCE PAT EEE
a b c
Cela posé :
4° Si N est composé d’un seul facteur premier (*), la condi-
tion (2) se réduit à

Celle-ci n’est pas remplie; donc aucun nombre parfait n’est
composé d’un seul facteur premier ; ‘
2 SiN est composé de deux facteurs, le minimum de Q(2) est

ru
Auris:

done aucun nombre parfait n’est composé de deux facteurs
premiers ;

etc.
Pour arriver à un résultat plus curieux, admettons ce Lemme,

dù à M. Sylvester :
Aucun nombre parfait, impair, n’est divisible par 105. Alors,

10 12 1
11 45 9

(‘) On fait abstraction des exposants.

mat

ou
4 2 4 6
PUMA :
1<3 SUN LOT!
c'est-à-dire
PH <—,

ou encore
P(l) < 0,228 5.

D'après la Table, cette condition est remplie à partir de !— 127.

En conséquence (et c'est par là que je termine, faute de
temps) : Si un nombre N, premier avec 105, est parfait, il est
composé d’au moins vingt-six facteurs premiers, inégaux.

4 mars 1388.

P.S. Le logarithme du produit

ME A5%17.19195.29; 31.57 .41-435.47.55 59.064167. 71.
75.79.83.89.97.101.105 .107.109.113

est compris entre 44 et 45. Donc le plus petit Nombre parfait,
impair (s’il existe), contient quarante-cinq chiffres.

CCLXXXI. Lettre à M. Arthur Cayley.

Monsieur,

Un hasard heureux (je me trouve à Paris en ce moment) me
permet de lire l’intéressante Note que vous venez de faire paraitre
. dans les C. R. (5 avril 1888). Je vous remercie, vivement, de
votre appréciation de mon vieux théorème. La démonstration
contenue dans Île Journal de Licuville (t. VIT), st elle est exacte,
est beaucoup trop longue. Mais, vous le savez : les choses simples
arrivent toujours tard. Aussi, c’est sculement vers 1866, que,
laissant de côté mes anciens calculs, j'ai trouvé une démonstra-
tion géométrique, contenue en quelques lignes. Cette démon-

( 208 )

stration qui, me semble-t-il, diffère peu de la vôtre, a été
imprimée dans mes Mélanges mathématiques (1"° édition), puis
dans la seconde édition du même ouvrage (t. I, p. 62).

Agréez, Monsieur, l'expression de mes meilleurs sentiments.

E. C.
Paris, 10 avril 1888.

Vous rappelez-vous que je vous ai fait une petite visite
en 1851? Nous étions jeunes, alors!

CCLXXXIL. — Sur la courbure des lignes.
(Mars 1876.)

- |. PROBLÈME. — Trouver la relation qui existe entre les cour-
bures des trois projections orthogonales d'une ligne L.

Soient MA, MB les projections de L, sur les plans zMy,
zMx, perpendiculaires entre eux (*).

Soit, dans le plan zMXx,
z— f(x), (1)
l'équation de MB.

De même, dans le plan zMy, soit

z = (x), (2)
l'équation de MA.

L'ensemble de ces équations représente L, dont la projection,
sur le plan «My, est représentée, elle-même, par
f() = (y). (5)
Si l’on prend æ comme variable indépendante, on tire, de cette
équation (5) :
dy 14 d°y TADIÉ re of"
Ne UE Lot Nr

dx

(*) Le lecteur est prié de faire la figure.

( 209 )

Par conséquent, A, B, C désignant les rayons de courbure des
trois projections :

il ÎLE 1212 ({ ne 519 12 :
qu Rue creer (4)
? l fr oO
Si a, b, c sont les cosinus directifs de la tangente à L :
(Q / c ù o
FAT N NOMAN SEE (5)

donc, «, 5, y étant les angles correspondants :

sin°æ B sin°B
Morts heal cos |
Le 6)
La sin°y COSY d)
cos a cos G(f"’cos" x — p''eos* 6)

"

Eliminant /”, &”, on trouve cette relation entire les courbures
des trois projections :
cosBsin®B cosæsin®æ Cosysin°y

B A C

(A)
IL Relation entre quatre courbures. — La formule connue :

RC
= = V(dyd!z — dzdy} 7
. 7 (du dzdy) (7)

devient d’abord, à cause de

LA

dy da de dr 0;Metce:
É

1 gp" je (2) É d?z dz 1]
2 ES RTE CRE À A DA ne 1 ee
ep (+ p° + fp"*) L\dx* dx dx da dx dr) |?

(”) On peut abréger ce calcul, mais en le rendant moins clair.

14

( 210 )
puis
eur le à
p° [f?+p"* re fps
Or :
12 12 HAINE = fé Da +0
f EU + {7 El pf aSb$A? È
ci(a? a c’ÿ | c‘ (a? vr b2ÿ
UPS ES Ho? — m''f'2\2 —
ï o a°bSB? ; (f P P [ ) ab$C2
Donc |
1 vs (D? + 5 (a+ ce (à +bÿ
e EX A° B° C2 ?
ou
(| si 6 n° 1n6
Het se ci sin°£ “ re (B)
£ A B° C°
HI. Remarque. — Si y —7 ; les relations(A),(B) deviennent :
sin SIDA MUESEn 2 MSIE
AU OBS Ar NDS
On conclut, de celles-ci :
== A + B. (C)

Ainsi : le rayon de courbure, d’une ligne quelconque, est égal
à la somme des rayons de courbure des projections de cette ligne
sur deux plans parallèles au premier rayon, et perpendiculaires
entre eux (*).

(*) Cuarces Dupin, Développements de Géométrie, p. 88.

ee

(211)

CCLXXXIIT. — Théorèmes d’Arithmétique.
(Mai 1887.)

I. Le triple de la somme de quatre carrés est toujours la somme
de quatre carrés.

Ce théorème résulte, immédiatement, de l'identité

5(a* + ++ d)=(a + b— 60) + (a + d—b)

+ (a+ c— d}ÿ + (b + c + dÿ.

(1)

On peut supposer que les nombres a, b, c,-d soient rangés
par ordre de grandeur décroissante. Cela étant, on a

DID ACTA Ed AND Na EC
Donc, dans le second membre de l'identité, aucun terme n’est nul.

IT. Le quintuple de la somme de quatre carrés est toujours la
somine de quatre carrés.

On a, identiquement,
(a+ b+ + À)=(2a+b)+ (a —920) + (2c+ d)+(c—%Ÿ. (2)

Et comme on peut supposer

bTZcTd,

aucun des binômes n’est nul.

IT. Le produit de la somme de quatre carrés, par la somme
de deux carrés inégaux, est toujours la somme de quatre carrés.

Dans l'identité connue

(a? + b+ € + d)(f? + g°) = (fa + gb) + (ga — fbÿ
AC 00) que 4) F

(212)

je suppose
a TZ b, Cr: FIRE QE

Aucun des binômes n'est nul; etc.

IV. CoroLLAIRE. — Si p est un nombre premier, ayant la
forme ku + 1, le produit d’une somme de quatre carrés, par p,
est toujours la somme de quatre carrés.

Addition. — (Mai 1888.)

V. Le produit d'une somme de quatre carrés, par un nombre
impair, est la somme de quatre carrés (*).

VI. Tout nombre 8n + 4 est la somme de quatre carrées
impairs, dont deux, au moins, sont égaux (**).

(‘) Théorème empirique.

(‘*) La première partie est connue (Recherches sur quelques produits indé-
finis, p. 99). Quant à la seconde, elle semble résulter des décompositions
suivantes :

4A= 1+ 1+1+1i1, 12= 9+ 1+1+1, 20—= 9+9+1+1,
23 —95+ 1+1+1, 36—=925+ 9+Ii+1, 4M4—=%5+9+9 +1,
52=9%5+95+1+I, 60=95+95+9+41, 68—49+9+9+1,
76 = 49 + 95 +1 +1, 84=81+ 1+1+1, 9=8+9+1+1,
0—=8

A9 OA, 10881252 ET 1,1. Le CRETE

(25)

CCLXXXIV. — Sur les lignes géodésiques

des surfaces de révolution (‘).

(Mars 1887.)

Remarques sur la Note.

4. Le curieux théorème de M. Jamet résulte de l'équation
u*do = kds (*), (1)

laquelle résulte, elle-mème, d'une combinaison convenable des

relations

ds t : do t (2)
— —= CONS U° — — CONS. 2
dt ‘ dt

La première exprime que toute ligne géodésique est la trajec-
toire d’un point matériel animé d’une vitesse constante (***).

2. D'après la seconde des équations (2) : Soit une ligne géo-
désique, tracée sur une surface de révolution. Si l’on projette
cette ligne sur un plan perpendiculaire à l’axe, le principe des
aires a lieu pour la projection; ou, ce qui est équivalent :

Soit une surface S, dont toutes les normales rencontrent une
droite fixe, D; et soit C une ligne géodésique de S. Si l’on

(‘) Bulletin de l’Académie de Belgique (1887). A l’occasion d’une -Note
de M. Jamet (Bull., avril 1887).

(‘*) Je modifie un peu la notation adoptée par l'honorable Auteur.

.(*) Propriété bien connue. Dans son premier Mémoire sur les lignes

géodésiques, Liouville s’énoncçait ainsi : « Je prends pour point de départ
» ce théorème connu (ou, si l’on veut, cette définition), que la ligne géo-
» désique pour une surface est celle que décrirait, à la suite d’une impul-
» sion quelconque, un mobile assujetti à demeurer sur la surface et dont
» le mouvement ne serait altéré par aucune force accélératrice. » (Journal
de Mathématiques, t. IX, p. 401.)

(214)

projette C sur un plan perpendiculaire à D, le principe des aires
a lieu pour la projection de C.
En effet, la condition

PNA (5)
déduite des équations
X—x+p(l—z)—0, Y—y+q(Z—z)=0,

prouve que S est une surface de révolution (*).

3. Naturellement, M. Jamet a formé les équations (2) en
appliquantle principe des forces vives et la théorie des moments (**).
Cette méthode, employée par Liouville (***), est ingénieuse et
simple; mais elle a un défaut : elle introduit des éléments
étrangers à la question. Or, il est très facile de former, directe-
ment, l'égalité (1).

4. En effet, l'équation des lignes géodésiques :

dx dy
d. FT l : FA |
= (4)
p q
devient d'abord, dans le cas où
2 = qe + y) — fu): (5)

2

ds(yd?x — x dy) — ds(ydx — xdy) = 0,

(‘) Hour, Calcul infinitésimal, t. I, p. 168.
(‘*) Ou plutôt, en employant les relations fondamentales :

dT

— —=— Ncos),
dl?
d?y
——= — Ncosu,
dt?
d2z
— = — Ncos »;
de?

et en ayant égard à la condition (5).

(‘"") Je viens de le rappeler.

(215)

ou
Es d{(xdy -- ydx)
ne (
ds xdy — ydx
L'intégrale immédiate est
kds — xdy — ydx ; (7)

ou, après transformation de coordonnées (*) :

kds — u°do. (1)

5. Au moyen des équations (1), (5), jointes à la formule
évidente
ds = vd + (1 + f?)du?; (8)

le savant Professeur de Nantes forme, sans s'y arrêter, la relation

k A ESS Es
do—-du? 3 9
La \ u?— k° (

intégrale première de l’équation des lignes géodésiques tracées sur
une surface de révolution

J'ignore si cette intégrale, dont la forme est remarquable,
était déjà connue (**).

Il en résulte, à cause de l'équation (1) :

RE

UV

ds = udu 7 (10)

(°) On sait que

(
ædy — ydx = u?d.arcig Lee u?dw.
va

(*”) Après coup, je m'aperçois qu’elle a été publiée dans la Nouvelle
Correspondance mathématique (t. VI, p. 560).

(216)

IT.
Rayon de courbure d’une ligne géodésique.

6. Remplaçons l'équation (4) par

d. ( 2 d . É
ds ds ds € ds 0)
AP TON dei dan

s et p désignant l'angle de contingence et le rayon de cour-
bure (*).
A cause de 4

nous avons

puis

ou, par la formule (10),

1 Le dz

— = ——— À. —. 15
e udu “ds (5)

LEO , 2 , A dz
Il ne reste done plus qu’à développer la différentielle de —.

7. Il est visible que

z 22 nu? = Je? , V” ARE
d = cosy AE Re (14)

(‘) I est connu que, x, B, y étant les angles de la tangente avec les
axes rectangulaires, on a

? 2 + (d B} + (d F d ss Da d du ee (a |
&? — (d.cosa) + (d cos)? + (d.cosy)} — de WE rs be
etc.

(217)

Pour simplifier le calcul, je pose :

fe
MSIE - (15)
COS p
Il résulte, de ces abréviations :

f TR AT EE à |
—_———— — Sin, ——————-siNx; (16)

VA IEC de Le

puis

cosy — sinÀsinx. (17)

Les formules (15) et (17) peuvent être interprétées géomé-
triquement : |

4° M étant un point de la ligne géodésique considérée,
soit AMB la section méridienne passant en M. Il est clair que À
est l'angle TRu formé par la tangente RMT et la droite Ow,
perpendiculaire à l'axe Oz de la surface ;

2% Du point O comme centre, avec Æ pour rayon, déerivons
uné circonférence OC. Si, du pied de l’ordonnée de M, nous

menons, à OC, la tangente PS, nous
N aurons uOS — y;
ap ù 5° La relation (17) exprime que
x

/ 7 est l’hypoténuse d’un triangle
\ sphérique, dans lequel les côtés de
L | l'angle droit sont les compléments

2
ec de À et de p.

(2181)

8. Par les formules (15) et (17) :

1/ k l
da “LATE du — ie
1+/f"* CA PERRET
d(cos y) ! fo k
——— — sin pe COS À ——— + SN À COS ge ———— ;:
du + f7 uV'u? — [;?
puis
d(cos Va kf" E?f'
aa ea A A DE
U u (A + f'Ÿ Vu (1 + F5)

Au moyen de cette valeur et de la formule (15), on a,
finalement :

UE |
RE rm Ur ST NDS (19)

(Q u®(1 5 FER 750 LORS Je

9. Les sections méridiennes, caractérisées par © — const.,
sont, évidemment, des lignes géodésiques. Quand il en est ainsi,
k — 0 (*}; et la formule (19) devient

{ fa

3?
RENTE
ce qui devait être.

Introduisant le rayon p,, de la méridienne, ainsi que les :

angles À et & (15), on peut donc écrire

4 sin®x sinàcos’u

BU Ps : f .
expression assez simple.
Il en résulte
AR a Li
FAN AU PP AA FATE

(°) Si l’on cherche dans quel cas le rapport © est constant, pour une
même ligne géodésique, on trouve que La surface doit être un ellipsoïde de
révolution. Cette propriété est la réciproque d’un théorème dû à Gudermann.
(LinoeLôr, Calcul des variations, p. 278.)

(219)

CCLXXXV. Une propriété des progressions

géométriques.
(Hadts8 3).
I. Tuéorème. — Soit une progression géométrique, composée
de n termes. Si, den fois la somme des carrés de leurs logarithmes,

on retranche le carré du logarithme de leur produit, le reste est
constant.

IL. CoRoOLLAIRE :
R n(n—1)\ |2
y=n[(@ay + (Pgaht 2 ee + (party) — [las 3 |

représente une parallèle à l'axe des abscisses (**).

CCLXXX VI. — Géométrie de situation.
(Mai 1887.)

PROBLÈME (***). — Sur un échiquier de trente-six cases, placer
six jetons, de manière qu'aucune ligne et qu'aucune colonne ne
contienne un nombre impair de jetons.

Si une ligne contenait quatre jetons, deux colonnes, au moins,
ne contiendraient qu'un jeton. Ainsi, les lignes et les colonnes
employées doivent contenir, chacune, deux jetons. Faisons
abstraction des autres lignes et des autres colonnes ; il nous reste
un échiquier de neuf cases, disposé comme ceci, par exemple :

(‘) Complément à la Vote CCXLII.
(") C’est à cause du Corollaire que le Théorème est énoncé.
(‘**) Proposé par M. Émile Deliége.

(220 )

Les cases non remplies sont au nombre de trois. La question
peut donc être formulée en ces termes :

Sur un échiquier de neuf cases, placer trois jetons, de manière
qu’il y en ail un dans chaque ligne, et un dans chaque colonne.

Ce problème auxiliaire admet (*) 3.2.1 — 6 solutions.

Sur l’échiquier primitif, on peut choisir trois lignes, de
20 manières, et {rois colonnes, de 20 manières. Le nombre

demandé est donc
N — 20.920.6 = 2 400.

CCLX XX VII. Sur les sections eirculaires

de l’ellipsoïide.
(Février 1888.)

I. Lee (**). — OA, OB étant deux demi-diamètres conjugués
d’une ellipse; par l'extrémité B du second, on mène une droite
EBF, perpendiculaire au premier ; et l’on prend, sur cette droite,
les distances BE, BF, égales à ce premier demi-diamètre. On
joint les points E, F au centre O.

Cela posé : 1° La bissectrice de l’angle EOF est, en direction,
l’un des axes de la courbe; 2° 2a, 2b désignant ces axes, on a

OE—a+b, OF—a—b (**).

(‘) En effet, pour former tous les carrés, il suffit de permuter les trois
lignes tracées ci-dessus.

("’) Le lecteur est prié de faire les deux premières figures.

(°"*) Cases, Apercu historique, deuxième édition, p. 562.

( 221 )

IL. Tnéorème. — Soit MN une corde de l’ellipse considérée,
parallèle au demi-diamètre OA. Si, par le milieu G de MN,
on mène la droite HGK, perpendiculaire à MN, et inscrite à
l'angle EOF; le quadrilatère HNKM est un losange, dont le côté
égale OA. En outre :

OH A) OR on)
b' b'

A cause des parallèles HGK, EBEF, le point G est le milieu .
de HK ; donc HNKM est un losange.

De plus,
GK OG
BF OB°
ou
a”
GK = L': 5
puis, à cause de
, x? yÿ°
a° AE D 1

12
—,
12 2
KM —— y" + x° — a”°,
b'?"

HIT. TuéorÈme (*). — Une ellipse étant donnée, on construit
un losange HNKM, dont le côté soit égal à un demi-diamètre OA,
et dont la diagonale NM soit une corde de l’ellipse, parallèle à
ce demi-diamètre. Cela posé, les sommets H, K décrivent deux
diamètres, symétriquement placés par rapport à chacun des
deux axes.

IV. CoroLLaire. — Soit, dans un ellipsoide E, une section
circulaire centrale BOD, et une section circulaire EGF, située
dans un plan parallèle à celui de la première. Toutes les sections
circulaires, telles que EGF, appartiennent à des sphères décrites

(*) Résumé des, deux premières propositions.

( 222:)

avec un rayon égal à OD, et dont les centres sont situés sur un

diamètre OH de la section principale AOC (*)

Une application de la Géométrie

CCLXXXVIIT.
a l’Algèbre.
(Vers 1840.)

Cordes principales. — L'équation d’une surface X étant
Az? + A'y° + A"z° + 2Byz + 2B'zx + 2B'xy :
+ 2Cx + 2C'y + 202 + D — 0 )

considérons un système de cordes parallèles à la direction déter-

minée par .
CAPOT 7
_— — — — £ (2)
G AÉPNA LORRE E
(‘) On trouve, par un calcul facile
b® —c?
(g AOH = — M:
a? — b°
D'ailleurs
a? — b?
tg AOD = -— .
gAOD= 2 /

Donc
G
tg AOH . tg AOD — — —.
a

(295)

puis le plan diamétral conjugué à ces cordes. Celles-ci seront
principales si les cosinus a, b, c satisfont aux conditions connues :

Not DD Bet A'P'E Bec Rat Aer B'ar-rBl

== == —— 5
a b c G)

On sait que, s étant la valeur commune des trois rapports,
(AS) ARE SAR pe AS SpA AE) }
RES) ABB BR — 0 (‘): @)

Cette équation, du troisième degré, a, au moins, une racine
réelle. Par conséquent, dans toute surface du second ordre, il
existe, au moins, un système de cordes principales (**).

Il. Réalité des racines. — Prenons une de ces droites pour
axe des z : les équations (5) devront être vérifiées par a — 0,
D /c—;:1;ice quiexigeique

DOM BE D AE (5)
En même temps, l'équation (4) se réduit à celle-ei :
$ — (A + A'js + AA'— B°— 0, (6)
laquelle a ses racines réelles.

Puisqu’il en est ainsi, la surface X possède trois systèmes de
cordes principales (***). Mais le nombre de ces systèmes ne peut
dépendre du choix des axes; donc les trois racines de l’équa-
tion (4) sont réelles (”).

(‘) Caucay, Exercices de Mathematiques, t. IV, p. 141.

(*) Manuel des Candidats à l'École polytechnique, t. H, p. 42.

(‘**) Pour faire disparaître le terme en «y, on fait tourner les axes Ox,
Oy dans leur plan, en les laissant rectangulaires; etc.

(*) Démonstration donnée à l’École polytechnique. Si je la rappelle, c'est
parce que, fréquemment, on en voit paraître d’autres, fort compliquées.
(Mai 1888.)

(2% )
CCLXXXIX. — Équations dont toutes les racines
sont imaginaires.

(Mars 1869.)

1. THéoRÈnE. — Si l'équation {(x)—0 (*) a toutes ses racines
réelles et inégales, l’équation obtenue en égalant à zéro la seconde
ACL 1 . . . .
dérivée de , a toutes ses racines imaginaires.

Soit
1
Vi ñ ;
et, par conséquent :
A ASE a
fai 15
L'équation y"—0 est done
EE 0: (1)
Or, si l'on suppose
Fa) = (& — d){r — 0) + (x — #, (2)
on a :
RS SI en MR ALU.
fera Ê 2 (x — a)
ou
PAR NS CE &
rt D eme G)
puis

NT Là
pris 6

Le premier membre de l'équation (1) étant une somme de
carrés, cette équation n'a aueune racine réelle (**).

(°) f{æ) est un polynôme entier.
(*) C’est à peu près ainsi que le théorème a été démontré par M. Agarrat
(Nouvelles Annales, 1849, p. 445).

(2%5 )

Addition. — (Mai 1888.)

II. THÉORÈME. — Si l’équation f(x) — 0 a toutes ses racines
réelles, l’equation

f"—f" =0, (A)
a toutes ses racines imaginaires (*).

IT. THÉoORÈME. — Si l’équation

fl" — [0
a des racines réelles, l’équation {(x)—0 a des racines imaginaires.
IV. Application. — Soit f{x)—=X,, X, étant un polynôme de
Legendre. On sait que toutes les racines de X,— 0 sont réelles.
Conséquemment :
L’équation
ŒX, (ie) : à
LAde dx} (8)
n’a aucune racine réelle.

V. Remarque. — On sait que

F 2
2X, = (x +1) + (| (x + 1) (x — 1)

De plus, si l’on fait

f(@) = x" + le + EE + + HE +1, (5)

toutes les racines de f(x)— 0 sont réelles (***). Donc le théorème
ci-dessus (IT) est applicable.

(‘) Évident par la formule (5).
(**) Premier Mémoire sur les fonctions X,, p. 13.
("**) Zbid., p. 52.
A5

( 226 )
Soit, par exemple, n — 5; d'où :
f{x)= 2 +92 +9r+1, fx) =5(+6x+3), f—6(x+53).
L'équation (A), développée, est
nt + 19x° + Dax + D2x + 21—0:
elle n’a aucune racine réelle (”).
VI. Autre application. — L'équation
Un b, À k

+ +
T0 DE 0 Fa y!

a ses racines réelles et inégales (**).

On peut donc prendre, dans l'équation (A),
f(x) = (x — a)(x —b)... (x —k) — > aa — bj(x —c). (x —k)(").

VII. Remarque. — On pourrait supposer que, si la proposée
a des racines imaginaires, la transformée a, nécessairement, des
racines réelles. E n’en est rien. Soit, en effet,

f(x) = x(a° — 1) (x° + 1).
On trouve
PRET ST MDr EE EAUS

et ce trinme ne s’annule pour aucune valeur réelle de x.

(‘) Dans les Nouvelles Annales, 1848, page 568, on énonce, sous le nom
de Gauss, une propriété qui résulte de la formule de Rodrigues. En outre,
l'équation f(x) = 0 (5) étant une simple transformée de X,— 0, le théorème
sur la réalité de ses racines ne doit point être attribué à M. H. Laurent.

(**) Voir, par exemple, une Note de Binet (Journal de Liouville, t. I,
p. 250).

(**) Nous citerons encore, comme équation proposée, celle que l'on ren-
contre dans la fhéorie des inégalités séculaires, et dont un cas particulier
fait l’objet de la Note CCLXXXV.

(227)

CCXC. — Sur une formule de Cauchy.
(Mai 1888.)

I. Dans le tome IV des Anciens Exercices, on trouve cette
relation remarquable, que l'illustre Géomètre démontre au
moyen de la théorie des Residus :

: | 1 à E .
— |—— cotx | + —|-— cot—]) + —|-— cot -| +...
x 3 \x 5 5 \x 5 |

Il est très facile de la vérifier. En effet, elle donne, par inté-
gration,

x x
de œ du x IE 2 5 b
—— {| cos —. cos —. cos —. cos — ++ | — | —: EN À
2 % 6 8 sinx . x . x
sin — Sin —
5 É
ou
ë SIN — Sin —
æ x x D sin x 3 :
COS — . COS — . COS —. COS — eee = — + — . 4
9 n 6 8 ReTUSTRE a (2)
5 5

Cela posé, soient :
P, — cos — cos — cos — +,
2 4 8

œ œ pe
P;— cos — cos — cos — -.…,
6 12 2%

œ €
P; — cos — cos —— cos — -..,
10 20 40
+5

par une formule d'Euler, bien connue, on à :

( 298 )

D'ailleurs (*),

COS — . COS — . COS — . COS — «ee — . : bon
2 ñ 8 1 3 5 ,

donc l'égalité (2) est démontrée.

II. On peut se proposer de sommer la série

ME re N Le
ST + — — + — _ . —= = —
OISE Pot Zn °n

(3)

(4)

Dans l’état actuel de l'Analyse, ce problème n'est peut-être
pas résoluble; mais nous pouvons, du moins, le rattacher à la

série de Lambert.

D'après une formule du Mémoire intitulé : Sur quelques inté-

grales définies (**), on a

1 z z
ei es
Lt a ——— —— É,
5 7 1 — à 2 |

Conséquemment,

JET NDS EN UP Vlr) RATE
— (9 — — — TN QT ER BE,
sig “A (a * — gr)

(*) Sur un tableau numérique, p. 7.
(‘*) Académie de Belgique, octobre 1885.

(5)

(6)

(7)

(‘**) Elle ne diffère, qu’en apparence, de la célèbre formule, due à Poisson

2 e2Bx LEE e—28x
tgx —2 de nn = 0

CCE N
0

Fr

( 229 )

De plus, si l'on fait

q (is g (iv
RTL (9)

on à
2, nr = f(g)— fi) (. (10)

Donc enfin
PACS NE d
Din [Grains 00

III. La relation (11) peut en faire trouver d’autres. Par
exemple celle-ci :

b

(12)
fa
p rare : |

Le changement de x en : donne ensuite

£(co x x x x |
COSX . COS —. COS —. COS —. COS — +.
2 3 k

X x x x
(cos — COS — COS — COS — ….)
2 4 6 8

00 CRE ge) [f(g) — f{q°)] “
COTES q

puis, par soustraction :

£ (cos. cos €. cos ©. cos.) |
gas + alla 5) dq (25)
_/ none eUNTané )] ai |

(*) Notes sur la théorie des fractions continues, p. 14.

( 250 )

Une nouvelle soustraction conduit à cette dernière formule,
assez curieuse :

2 PARENT 8 (14)

CCOXCI. — sr une équation d’Abel.
(Septembre 1886.)

I. Pour éclaircir un passage de la page 46 (*), Holmboë
démontre, d’une manière peu naturelle (**), une propriété de la
fonction

1
Jnrse (1)
Voici comment on peut l'établir :
On à
! €
Y = — ——— ;
J (e® —1Ÿ
donc
; il
PRE eg (2)
Soit y + y! —= u. Alors
e°
7 — Q) ———_—_—
u CT:
puis
; 1
2u +u pur (5)

(‘) OEuvres d’Abel, t. II, {re édition.
(‘*) Page 274.
(***) Nous avons remplacé p et v par y et x.

(251)
Soit encore 2u + w' — v. On trouve
e°
PRE 9 7 a
Ÿ = — 4, D ——
1)
et, par conséquent,

|
Su+v——92.3 1 (4)
etc.
Ainsi : y + y' — 22 vs (2')
Ay +y)+(y + y") —=2y; (5)
6(y + y) +3(y + y") + Ay' + y)+(y'+Y)=—-2.5.y
ou
6(y + y) + (y +y)+ (y +y)—=—-2.5.ys (4)

Jeep) 20 (y yo) (y UE y)
+ 6(y + y") + 5(y"+ y) + (y + y") = 2.8.4,
ou

2(y+y)+26(y +y")+0y"+y")+ (y + y") = 2.5.4.y5; (57)
Chacune de ces équations est vérifiée par y —=(e& — 1)". C'est

ce qu'il fallait démontrer.

IL. Remarques. — 1° Dans ces équations, les coeflicients
numériques forment la table & double entree :

1
1 2 DR TE AN SE
1 9 Fe. 24 ho

(232 )
2% SiN,., désigne le terme placé dans la p°"° colonne et dans

la g°"° ligne :
N

= Nota a EN ue
5° La somme des termes composant la q"”" ligne est 3.4.5...(q+1).
4° Les derniers termes sont :
1j AMoN4e 571.0 .5.4,
II. Une intégration. — Soit l'équation (3'), ou
2y + y) + (y + y") = 2°. (A)

Quoi qu'elle ne soit pas linéaire, il est facile d’en trouver
l'intégrale générale. En effet, multipliant les deux membres
par Ay+y'),ona

2Uy + yŸ + (y + y) (y + y) = DAY + y')y". (6)

Le premier membre est une dérivée exacte si l'on prend
1e“ (*). D'ailleurs, 2e“(y + y')y5 est la dérivée de (ye*)#.
Donc une intégrale première de (A) est

(y + yYer = (ye) + g,

ou
(y + yet = V/(ye) + 9, (B)
ou encore :
ctyE— V/(ye:)t + g.
Ainsi
RS LRU (C)
V(ye) + g + Fi

(*) La dérivée de 1(y+y')° étant

d)
2Ay+y)(y + y") + (y + y) at
on doit avoir
d)
dæ
— —9; etc.
2

: < 0

(235)

et enfin :
d(ye*) ù

e_*— h — EE
LV(ye) + g

(D)
IV. Suite. — Pour simplifier l'intégrale (D), qui n’a pas la
forme normale, posons |
y = u. (7)
Il vient, immédiatement,

du
y=ul h— ][ —— |, (8)
| J Vu + |

du
ES LES EEN RS RES 5
L els ee) (9)

Le système de ces deux formules constitue l'intégrale générale
de l'équation (A).

puis

V. Si la constante g est positive, remplaçons g par g*; puis
posons, comme le fait Legendre,

1
md (40)

Il résulte, de cette transformation :

{l SP NT Le
PA D AA GENE Re ee)
1 + cos o | + COS

puis :

(‘) Si la constante g est nulle, cette formule se réduit à
1
TUTETE

(**) Note CXXX VI (1. IL, p. 177).

y

(254)

VI. Sila constante g est négative, on trouve, avec la même
facilité : |

Addition. — (Juin 18383.)

VII. Généralisation. — Dans l'intégrale
e d z
eh f—., (D)
Le UE
remplaçons e* par une fonction /, donnée; de manière que :

l al
Len EP, à
ï Ou) EE g

Il résulte d’abord, de cette égalité,

RO AU

Ê Vyfÿ+g

ou :
GP} + ET + jy};
puis
4 : À ê 9 3 12 17 J22
AyfŸ £ ul" + Qy'f" + fy") + (fu + gl) ——
et enfin
PPy" + (OL — 100 + 2° y = OP (F)

Ainsi, l'intégrale générale de cette équation (F) est l’équation (E).

(‘) On fait

CCXCIT |”) — Une équation aux différences.
(Février 1880.)

IL. Première méthode. — L'équation donnée étant
Di —nPr+P, (4)
soit y la fonction générative de P,, de manière que
y= Po + Pix + Pox ++ Pan +; (2)

puis, par un calcul facile,

L'intégrale de cette équation linéaire est

Ci QE A à dE FL “) ax. (4)

Malheureusement, la quantité placée sous le signe / n'est pas
intégrable par les procédés connus : on ne peut pas même déve-

de or.
lopper, en série, la fonction e *.

IL. Seconde méthode (**). — En l'appliquant, on trouve qu’on
satisfait à l'équation (1) par

= af (+ ;) a" {da :
0

AE

la vérification est facile (

() Extraite d’un Traité inédit.
(‘*) Due à Laplace ( Théorie des Probabilités).
(‘‘*) En effet,

LA Der TE Dee

ou

l
Pe == [Pau — Pal.

( 236 )

II. Remarque. — Si l'on suppose P,— 0, P, — 1, la for-
mule (1) donne, successivement :

IE Ÿ PTE P, = 50.

Ces nombres sont les dénominateurs des réduites de la fraction
continue

étudiée par Amoretti (*). Ce jeune Géomètre (**) considère la
série
1 { 1

S—=+— + —— + ————
1 A2 (2.

Or, d'après Fourier (***) :

a? at af
VER ——— ee [7 dx cos (x sin x);
2% (2.47 (2.4.67
done

1 fr ie
s— f dx cos (21/—1 sin x),
Te
0

ou, sous forme réelle,

T
1 2sinæ —92sinz I
on (e + e )dx (").
0

(*) Nouvelles Annales, 1855, p. 40.

(**) Mort à l’âge de seize ans!

(***) Théorie de la Chaleur, p. 578.

(*) Pour démontrer directement cette formule, il suffit de développer
les exponentielles.

(257)

CCXCIIT. — Sur une intégrale définie.

(Février 1876.)
I. Soit

Au lieu de décomposer, en fractions simples, la quantité

1
A +x)(2 + x)... (m + x) :
on peut observer que

Fm + 1 + x) (m)

F(1 + x)l(m) feu —_ 5)" :

0

(+ x)(2+x).….(m+ x) = Fm)

Donc
6*(1 Pure 6)" "de. 9
Am T(m). rs cf @)
II. On a
— 1 — 1 — 9
A EN RE PL ARE À
409
Conséquemment,
4 1 —1 1
un met
# x +1 1 x+2
C (5)
({m—1)(m—2) 1 il
19 MES x+m°
puis
1 (,2 m—i Re ee m+1)
DU Fm}: 41 1 2 'm |
ou
m—1 {m—1)(m 2) (m—1) (m—2) (m3)
1 _\o ée È 1.2 5 1.2.3
Al = DEA the de ONE EN,
É ne D 5 ) Cire

MEL ou" selon que ti ;
TT 1 que m est impair ou pair.

(‘) Le dernier facteur est

( 258 )

IT. L'intégrale double, qui entre dans la formule (2), peut
être écrite ainsi :

1 1
f Gap [| sd æ.

Or,

donc

Eat rue
ET TT): Ne @)
e Î

IV. La comparaison des valeurs (4), (5) donne

m1 (m—1)(m—9) (m-1)(m—2)(m-—3)
21 4— 6)" 2/5 1 L A2 1 1.2.3
LT an TE n ;
40 142 \5 D;
0

V. Remarque. — On lit, dans les Tables de M. Bierens de
Haan (1°° édition, T. 167) :

è d: a —4)..:(a — 1
PR LE Ae lur De ee LL à 1e
Cas F AE

Même abstraction faite de la faute typographique, dans le pre-
mier membre, cette formule est inadmissible; car le facteur
fa — n + 1) devient imaginaire pour n > a.

Dans la seconde édition (T. 125), la formule est

+1 dx + _æ@ Dir
(zx — — —1ÿ © LA + 2);
Se) Er

0

ce qui équivaut à

Ji |

Po

se mess m een D RE RE D
NOTES HIER TN à

Il est facile de voir que celle-ci ne diffère pas de la nôtre, au
moins quand » est entier positif. Si m n’est pas entier, le second

membre de l'égalité (7) devient une série divergente, à cause
du facteur p(1 + 2).

VI. Généralisation. — Soit

mie EE I Re AS (8)

m étant une quantité positive quelconque. Les caleuls précédents
ne subissent aucune modification; donc les formules (4) et (6)
sont générales. Par exemple,

sl

AU PA NEEA \e
/ (1 | b) HAT
U Jo

[— ñ à do = — £

VII Remarque. — Comme

[vo 6" SA ju 1d4 die p)*gr— db,
0

on aurait pu prendre, au lieu de la formule (5) :

| 1 ai RAT
es dx SR ARS EM
[AUDE à I 1.2
0 0
ou

re 1 | ne Bd (1

Aie Li de ES —.0..}

" F(mjim 1{mæ+l), A 1.2(m+2), rence | 0)
g 0

Les intégrales

1 41 al
" xx, “ x(x — 1)dx, 20 x(x — 1) (x — 2)dx, …,
r É 0

0

= | NW

ou

| 19
PR
NC | QI
D
CLR
O1 &
nr

®|:

D.
PE re
& | ©
RE

Co)

:

e
nue

=
*
de)
—_——

analogues à celles que contient la série de Binet, sont toutes
commensurables.

(‘) On peut comparer ces résultats avec ceux que nous avons indiqués
dans les Recherches sur la constante G, dans le Mémoire Sur la constante
d'Euler et la fonction de Binet, ete.

( 240 )

CCXCIV. — A propos d’un théorème
de M. Oltramare (‘).

(Décembre 1887.)

I. Ce théorème, presque évident, fait supposer celui-ci :

Soit n, la somme des diviseurs d’un nombre n, inférieurs à n.
Soit n, la somme des diviseurs de n,, inférieurs à ny, etc. Ces
sommes Ny, N°, … tendent vers une limite }, laquelle est 1, ou un
nombre parfait (**).

La seconde partie de l'énoncé est visible : Si n;,, par exemple,
est un nombre parfait p, on aura nj—p, n—9p,… Au
contraire, la première partie, si elle est exacte, doit être très
difficile à démontrer.

IL. Remarque. — Si le terme u, est premier, u, ,, égale 1.

II. Si l'on prend n — 25, on trouve, tout de suite,
m—=1+5—6, nombre parfait. n — 50 donne les résultats
suivants :
n—=1+2+5 +0 +6+10+ 15 — 49,
M=1+2+5+6+7+14+ 901 — 54,
n—=1+92+3+6+9+18 +97 — 66,
n—=1+2+5+6+11+ 99 + 33 — 78,
ny=1+2+35+6+13+96+ 39 — 90,
n—=1+2+3+5+6+9+10 +15 +18+30+45 — 144,

D = 14+2+5+4+6+8+9+12+16+18-+244+56+48-+72— 259,
14763725,

N —=1+5+5+9+15— 33,

No= 1 +5 + 11 — 17,

Ni À.

(‘) Mathesis, déc. 1887.
(‘*) Un nombre parfait p est celui qui est égal à la somme de ses divi-
seurs, abstraction faite de p.

(241)

CCXCV. — Quelques formules elliptiques.
(Février 1887.)

I. Le Mémoire intitulé : Notes sur la théorie des fractions
continues. contient les égalités suivantes :

q— kg" +9q —16q" +... pe Qg+4q" +9 +...

4 — 29 +2q —2q +... 1 + 2q + 2qf +... (1)
Dai She dent Paal Lies 10
4 9 1 a ; 22 *
EAU SE (2)
@\ 2
q + 49 +9 +... — 5 F) O’'(«) (*), (3)
11 2k LA
6''(0) — [o — E{(k)| V= Eu (4)

2
ee) = [ak — EE] À) 2 (5)
Il résulte, des quatre dernières :

k'
q— hg + 99 — 16g% + = [0 — El] _ (6)

T
q + kg + 9q° + 16q° + = < [8 — «k"*] VE (7)

IL. Dans l'égalité (1), chassons les dénominateurs. Elle
devient

(q — kg + 99° — 169% +...) (1 + 2q + 29° + 2q° +...)
+ (g + 49 + 9q° + 169 +...) (1 — 2q + 2q° — 29° + ….) (8)
— 2q(1+ 9 +0 +q8+ ee) (1 +094 20 +) (1 —2q9 + 9q ee),

On sait que

A++ +qg +.) (1 +92q+2q +.) (1 — 99 + 2q—..)

= (1 iœ q La q° + q" 4 q“ — ..) (HE

() Page 55.

(‘*) Page 57.

("*) Recherches sur quelques produits indéfinis, pp. 106 et 107.
16

(242)

Done, si l'on fait

Pig + qq) pi qq ESC
le second membre de l'équation (8) prendra la forme 2qP5.

III. D'après deux autres relations connues,

PT SU a tqs (10)

Pa go 0 En) = (1—8g%r 560 7Q ES EAU

Ainsi, dans le second membre de cette même équation (8), le

multiplicateur de 2q est : 1° un cube; 2° une sixième puissance ;
9° un carré.

IV. Par les formules (6), (7), jointes à celles-ci :

2c

da 2q + 2 age = / EC) (14)
T
/2cok

À — 2q + RTS EN RE (12)

le premier membre de l'équation (8) a pour valeur :

4 /o\? /4k' 1 el 4k'
— |— — E fl — ——|- k®—E — ;
2 É) [Le Ql V = 9 Ë [Le il V=

ou

@\5 __

(° FEV k".

T
Conséquemment

RE
DENON (15)
T

comme on le vérifie au moyen des relations (9) ou (10).
V. L'équation (8) peut être écrite ainsi :
q + 9q° + 2bq% + 49q +...
+ (q—hqt + 9q—16q°+25q%—+.) (q + qi + q+ qi ge) (15)
0)
— (g+ 49 +9q°+ 16942544) (q— gg — ga ge)
=— qbe :

(‘) Recherches. ., p. 8.
(‘*) JZbid., p. 2.

(243)

Posons, pour abréger :

q + 99° +25q%+49q9+ +. — À,
49° +169"+56g"+64q"+ + = À’,
ON RES A ER

,

q— q + q“— g+..—8B

Le premier membre de l'égalité (15) devient

A+ (A — A')(B+ B')—(A + A’) (B— B)— À + 2(AB'— BA’)

Ainsi
À + 9(AB’ — BA')— qP°,

Chaque terme de AB a la forme 2°q*"*; (x ümp., y pair)

9 2? + y?

chaque terme de BA” a la forme y°?q
Conséquemment, notre égalité (13) se réduit à

Ÿxq” + 2Y(x° — y)q" + — Pi.

(14)

D’après celle-ei : dans le développement de qP5, chaque

exposant est, ou un carré, ou la somme de deux carrés (*).

(”") Cette propriété, évidente à l'inspection de l'égalité (15), résulte aussi

de la formule
qP5 == q({ LS 5q° re 5q"? LoR 7424 + 9g4° AT 2,

(11)

En effet, dans la parenthèse, chaque exposant a la forme 2n(n + 1).
Donc, tout terme du premier membre contient une puissance de q marquée

par
Qn(n + 1) + An/(n' +1) +1.

Or, si l’on mulliplie et qu’on divise par 2, ce trinôme devient

WI
to | —=

[(2n + 1)? + Qn’ + 1}] =

[(œ + y} + (œ — y} ] = 2° + y?.

Notons, en passant, que : Le quadruple de la somme de deux nombres trian-

gulaires, augmenté de 1, égale une somme de deux carrés (ou égale un carré).

Par exemple,

5.6 9.10
«|

— 241 — 1(°? 2
5 3 1 =eu 10 +11?

(244)

VI. La combinaison des égalités (14), (11) donne celle-ci :

q( rs: 5q° + 5q° — 19° + 9q“ a …)

2 2 2 e 14
= Ya q® + 2e — pq = aq + 294,4"; Ko
pourvu que
n = x + y”, (46)
A, = (x — y°) (). (17)
Soit, par exemple,
TRE EEE RE ETS
puis
Ass = 81 + 49 — 4 — 36 — 90.
En effet, dans le carré de
1 — 59 + 5q — 79% + 9g — 11q° + 159 —.
le coefficient de g8# est
91.13 + 7.11) — 2. 90 (‘*),
VIT. Développement de P. — Nous avons trouvé
La eu rm No el en (10)
Done, si nous faisons
LAN ñ ni 32TL
> (—1) 9
(18)

LE Cie qU + SHARE TU q + qe q" = qù
ere q'? 2 gi —qg— gi + q' FT qq — ne ci)

la série P se déduira, de «”?, par le changement de q en Q°.

(*) La dernière formule résulte, immédiatement, de l'égalité (11); mais
la démonstration est moins claire que celle qui vient d’être exposée. De plus,
si est le nombre des solutions de l'équation (16), la valeur de A, peut être
remplacée par l’une ou l’autre de ces deux-ci :

An—=22x—kn, An— kn—922y?,
peut-être plus commodes que la première, dans la plupart des cas.
(‘*) Faisons encore observer que :
81—4—17T.11, 49—356— 1.15.
() Recherches." p. AT:

( 245 )

Or,

SA —29 —q+ 2q° + + 290 — 990 —90g6 0084 q°
Las Done eye QI —9qM— 09 q8 + 24"
FOR Ee CES one 2q 5 —9q8— 2006207
—99— Lq°+ qe 29 + 2q° a 2q'0 + 29° + GURDTE

de 2q"° + 2q"—2q'%—2q%—92q" re 245 — 4q% —92q% (19)

122 146

— Q0 + 2q 8 + 29 — 29 + 295 + 4QS + 0 + 2q
— 29% + 297 — 29 + 2q 8 —2q —92q —2q9— 909
+ 29 + ee (*);
done
P=1— 29 — + 2q° + qq + 2q" —9q"—.; (20)
et, d’après ce que l'on a vu ci-dessus (ID) :

(1 LES 2q* — dé ns 2q"° ie q + 24° — 2q** LES )
A 59 + 5g 7 qe qi 0) (21)
— (1 —j—$ = q” de g“—..) (a

VIII. Loi des coefficients. — Soient, dans l'égalité (19) :

a? — » Lg (22)
0
On — (50 + 1) + (HP). (25)

On a
ce 1}q#Ÿ+ x (= 4)" Er te (= fl Entre
Done, si Let l’ sont inégaux,
L,= D (—1)+", (24)

le signe » s'étendant à toutes les solutions, entières et positives,
de l'équation (23).

(‘) Recherches.., p. 41. Ce développement a été obtenu de deux manières
différentes : il y a donc lieu de le croire exact,
(‘”) Cette double égalité devient évidente si l’on fait attention que la for-

mule connue :
a = — (A — qq") — g$)( — q°)…,

P—[(1—qt)(1 — q8)(1 — gt?) (1 — 5)...

donne

( 246 )

Mais, si l’— {, ou
n— SCI
on doit prendre

L,=1+ÿ(—1)r, (244)
pourvu que, dans cette nouvelle formule, L et l’ soient supposés
inégaux (*).

Soit, par exemple,
n = 3.5 —5—70.
L'équation (25) devient
140— (58 El) + (3° El).
Celle-ci est vérifiée par
I SE ee Et err, Ver,
Donc le coefficient de g!# doit être

4 + 2%— 1) = — 1;

ce qui est exact. r

IX. Suite. — L'équation (25) peut être remplacée par
Qn +2— (GTA) + (6H AŸ (*). (25)

Ainsi, sauf le cas où n — 32? = À, L, égale l'excès du nombre
des solutions de l'équation (25), dans lesquelles 1 et l' sont de
même parité, sur le nombre des solutions dans lesquelles ces
nombres sont de parités contraires (***). Mais cet énoncé peut
être simplifié, au moyen des remarques suivantes :

1° On peut substituer, au second membre de l'équation,

(6x + 1) + (6y + 1),
x et y étant posilifs ou négatifs ;
(‘) Recherches…., p. 59.

(*) Jbid., p. 41.
(°*) Loc. cit.

( 247 )
2 Il est visible (et connu) (*) que
(6x + 1) + (6y + 1) — 2 [ (5x + 3y + 1) + (3x — 5y}°]
Donc l'équation (25) devient
An +1 = (5x + 5y + 1} + (5x + 5y},

ou, finalement,
A9n +1 = (3u + 1) + (5v)';

u, v étant des quantités entières, positives ou négatives (**).

Par conséquent : 5 L, égale l'excès du nombre des valeurs
paires, sur le nombre des valeurs impaires, de v.

X. Remarque. — Ce nouvel énoncé suppose que 12n + 1
n’est pas un carré parfait (***). Lorsque 19n + 1 a la forme X,
la valeur de L,, déduite de la règle (25), doit être augmentée
d'une unité.

XI Autre remarque. — Si 19n + 1 est un nombre premier,
comme il a la forme 4 + 1, il est décomposable, d'une seule
manière, en une somme de deux carrés : l’un est (5u + 1}?;
l’autre, (30). On est done conduit à ce petit théorème d’Arith-
métique, à peu près évident :

Tout nombre premier, de la forme 124 + 1, est la somme des
carrés d’un multiple de 5, et d’un multiple de 3 augmenté ou
diminué de 1 (").

() Voir, par exemple, le Mémoire de M. Genocchi (Nouvelles Annales,
t. XII).
(te) De
DER YU Ut Di y = v)
on conclut que :

Si « et v sont pairs, x et y sont de même parité;
Si u et v sont impairs, x et y sont de parilés contraires ;
etc.
("*’") C’est le cas d'exception signalé plus haut.
(”) Dans le cas considéré, L,=— + 2, selon que v est pair ou impair.

(28)

CCXCVI |‘). — Sur le Problème de Pétershourg (“).
(Décembre 1877.)

I. « Pierre, se proposant de jeter en l’air une pièce de mon-
naie, promet de donner à Paul 1 ducat si, dès le 1° coup, cette
pièce étant tombée, montre la face; 2, si cela n’arrive qu’au
2° coup; 4, si ce n’est qu’au 5°, et ainsi de suite, en doublant
à chaque coup. On demande le sort de Paul. »

Les probabilités de l’arrivée de face, au 1° coup, au 2°, …,

au n°", sont
ne MER
Ch D Ce RIT

Les gains correspondants sont
150 00 4, RS 2"! ducats.

Par conséquent, le sort de Paul (ou son espérance mathéma-
tique), est
1 1? 15 AN AT
pas (eee ee) 2
2 2 2 2 2
« Or (dit Lacroix), puisqu'il n’est pas impossible que face
» n'arrive qu'après un nombre de coups plus grand que tel
» nombre qu'il plaira d'’assigner, ne s’ensuit-il pas qu'avant
» de commencer le jeu, il faut supposer ce nombre infini ?
» La mise de Paul doit donc être infinie; mais quel homme
» sensé voudra risquer à ce jeu, non pas une somme infinie,
» ce qui est absurde, mais même une somme tant soit peu forte ?
» Voilà le paradoxe que les géomètres ont cherché à expliquer. »

On n'a peut-être pas fait attention à ceci : Pierre, qui promet
à Paul de lui donner 1", 2°, 4", 8°, …, doit commencer par établir

(‘) Extraite d’un Traîtlé inédit.
(*) Proposé à Montmort, par Nicolas Bernoulli (Mémoires de S'-Péters-
bourg, vers 1720 ; Analyse des jeux de hasard).

( 249 )

qu'il est en état de payer. Si Pierre disait : « Voilà une somme
» de 1024 francs, sur laquelle vous préleverez 1', 2°, 4°, 8°, ….,
» si face arrive au 1°" coup, au 2°%°, au 5°%°, … Si, au 11*"° coup,
» je n’ai pas amené face, la partie sera nulle, et nous retirerons
» nos mises »; il n'y aurait plus de paradoxe : l'enjeu de Paul

devrait être Æ) (@):

IL. Variante. — Pierre promet, à Paul, de lui donner 1!,
ième

DR... SU FACE GNNIVENGU AD COUP, au 22, au nn
Quelle est l’espérance mathématique de Paul?

ue {y ! dl {y JR
= A X 9 +) X 9 ++ n x 9 == Dnion ion

pr

Cette quantité E tend, très rapidement, vers 2. D'ailleurs,
la probabilité que Paul gagnera (la partie s'arrétant, au plus tard,
au n°" coup) est

1 1 1 dl
= + —+e + — —1 — ;
DNA 27 D

: D'Un ‘ 1
et la probabilité que Pierre gagnera est seulement =:

Si donc la mise de Pierre est n francs, la mise de Paul doit
être, d’après la règle des paris :

9"
m= n- <« 2nf.

9n—1

I n’y a plus rien d'excessif.

(‘) Poisson a fait une remarque analogue à celle-ci (Recherches sur la
Probabilité des jugements, p. 75).

( 250 )

CCXCVII. — Sur un cas particulier de la formule
du binôme.

(Août 1888) (”).
I. ‘Soit, en général,
S, = pp) = 1 + Car + Criao2 + ce + Cv su 00m OU

la somme des n premiers termes du développement de (1— x)”,
p étant un nombre entier. La multiplication par 1— x donne,
au moyen d’une propriété bien connue (**),
(A — x)p(p) = op — 1) — Coyn-o nt"; (2)

puis, par le changement de p en p — 1, p—2, … 5, 2:

(U — x)o(p — 1) = gp — 2) — Opens, m0

(— x)p(p — 2) = gp — 5) — Corn-unat",

(1 — x)p{2) — p(1) — Cr 1x".
Mais

1 — x”

pl)=1+x+x + + a — ;

ILE
done, par une élimination facile :

(1 — GPS + [ Con -à+ Cuyin all nt) AT Ur (1) one
À — x° (A)

MU

Cette relation, que nous croyons nouvelle, ramène le calcul
de S,, à celui d’un polynôme composé de p — 1 termes : sin
est beaucoup plus grand que p, le second calcul sera bien plus
simple que le premier.

(‘) Addition à la Mote CCXCVI.

(52) Cm, 9 — Cm—1, 91 = Cm 1, ge

( 251 )

Soit, par exemple, p — 5, n — 100. On aura

100

1 T2 g
Sn [100 + 5 050(1 —x)-++171 700(1—x) ]r'®.

IT. Remarque. — L’équation

== n
1 —— Cut Can ft — 2) + 22 + Cup (Al —xÿ" x" —0 (5)
—_x

a p—1 racines égales à 1.

II. La relation (A) peut être mise sous une forme plus
simple.

On a
S,=(1{—x)?—R

n n°?

R, étant le reste. Donc, en supprimant, dans les deux mem-

1
bres, To

(A2 R,= [C8 + Ou, nf 2) + Ce n (1x) ]x" (). (B)

IV. Remarque. — Le reste R, est le produit de la fonction
proposée, (1— x)", par un polynôme entier.

V. Autre remarque. — On a

EE 1 n+2 .
R, — Ci ip 12" sie (CRT ds ae |0éupar Re 4 + es

donc la relation (B) peut être écrite ainsi :

(1 TA HO Er Ar CAT = CRU Re | |
= Cet = Cy,n-1(1— x) 2e. Cru ex (c) os Li

(C)

(*) Si l’on observe que, pour p — 1,

R,=2+ "rt! EE —

à ÀA— x"
on peut démontrer, directement, l'égalité (B).

(”*) Cette égalité (C) rappelle, jusqu’à un certain point, la formule (6)
de la Note LV (t. I, p. 218).

(252)

Par exemple, comme il est facile de le vérifier : :

(1— x) [15 + 2x + 287 + 562 + 4Bat +]
—1+4(1— x) + 10(1 — x}.

VI. Séries logarithmiques. — Pour abréger, représentons par
A5 + Aix + Aot° + +,
la série contenue dans le premier membre de (C), et par
BBA a) Bu) +. BUS re
le second membre.

Nous aurons
A, + Aix + Aox° + An +

Be
— B(1— x)? + B(1— x) 4e + B, (1 — x)? + - re

1— x
puis, par intégration,
1 1 B, 1
AZ + — A2? + — A +. = EE PS Ce 7
à 5 p—1l(i— x)
B 1 Bee 1
p—2[(1— x)" 1 [1—x 4 ;

Voici done une infinité d’infinités (*) de développements du
logarithme népérien de (1 — x).

VII. Application. — Soient n — 1, p — 2, auquel cas :

DD A 5 À, NUE A ENG RES

(*) Les coefficients A,, A,, …, B,, B,, … sont fonctions de x et de p.

(255 )
La relation (D) se réduit à

— CR EC RON |; (3)
2 5 n 5 :

P(I—x)—

À — x

ce qui ne diffère, qu'en apparence, de la formule connue (*).

CCXCVIII. — Extraits d’une lettre à M. Hermite.
(16 mai 1880.)

… Je suis prédestiné, semble-t-il, à découvrir des théorèmes
connus. Sans la chercher, je viens de trouver une démonstration,
simple, du beau théorème que vous avez donné dans le Journal
de Borchart :

Ce Tux Costa, 290 ct Con4, 395 + ee — JN (p),
p étant un nombre premier, impair.

(Vous vous rappelez, peut-être, que je n’ai pas saisi votre
démonstration ; mais peu importe).

Depuis que j'ai démontré le théorème de Staudt, je m’évertue
à en tirer des conséquences : vous allez voir que votre théorème

en est une.
Du temps que.., j'ai donné cette relation :

2Cun41, 2 B, + DCR 8 Bs + + nn DEEE à Bon = ©
(Comptes rendus, t. LIV). Était-elle nouvelle? Peu importe encore.

Considérons, dans le premier membre, les Nombres de Ber-

(*) Le second membre égale

ou

Fe

(254)
noulli admettant la fraction = (Passez-moi cette locution abré-
viative). Ce sont :

Bee B:,-1)-1 B;5-1)-1 see
Ces quantités admettent, comme coefficients respectifs :
2 Cara p ab DAC Marta s DÉrn PRER sie

Ainsi, dans le premier membre, {a somme des fractions ayant
p pour dénominaleur est

| N
Dp-1 2p—1 LL
p [2° Conti, p-1 An 1Co, 41, 292 + 250 Can44, 395 Ti …] = p ?

N étant un nombre enuer.

. 6 N’ N’’
Le second membre est entier. Or, les fractions US SE TUE
PPS

ne peuvent se réduire entre elles; done chacune est réductible
à un nombre entier. Autrement dit :

= Ap—! _
2" Cipn + 2? Con, 2p—2 + 270 Con4,5p-3 ar op == ANU(P);

ou, en négligeant des multiples de p (d’après le théorème
de Fermat) :

Cri EuE Co, 9p-2 + Con+1, 595 += NN (p).

Notez que c'est seulement après être arrivé à ce résultat, que
j'ai songé à votre théorème! …

(255 )

CCXCIX. — Sur une application du théorème
de Bayes, faite par Laplace (*).

(Août 1888.)

1. Dans son Mémoire, le jeune et savant Professeur à l'Ecole
Militaire (**), énonce ainsi le théorème, sans nommer Bayes :

Principe. — Si un événement peut être produit par un nom-
bre n de causes différentes, les probabilités de ces causes prises
de l'événement (sic) sont entre elles comme les probabilités de
l’événement prises de ces causes, et la probabilité de l’existence
de chacune d’elles est égale à la probabilité de l'événement prise de
cette cause, divisée par la somme de toutes les probabilités de l’évé-
nement prises de chacune de ces causes.

Il en fait l'application au problème suivant :

Si une urne renferme une in finilé de billets blancs et noirs (sic)
dans un rapport inconnu, et que l’on en tire p+q billets dont p
soient blancs et q soient noirs ; on demande la probabilité qu’en
tirant un nouveau billet de cette urne, il sera blanc.

Au moyen d'une méthode bien connue aujourd'hui, l’illustre
Auteur trouve que « la probabi lité entière de tirer un billet blanc
de l’urne » est

FR Eee (1)

Ici, les réflexions et les questions se présentent en foule.
Comment Laplace n'a-t-il pas été frappé de la simplicité de
ce résultat? Comment ne s'est-il pas aperçu que son caleul, fort
simple dans le cas d'une in/inité de billets, deviendrait prolixe et

() Mémoires de l’Académie des Sciences — Savants étrangers, 1774.
(”") En 1774, Laplace, qui avait vingt-cinq ans, signait : de La Place.

(256 )

fastidieux si l’on supposait le nombre des billets égal à dix mille,
par exemple? Comment ne s'est-il pas demandé si la formule (1)
ne subsisterait pas dans le cas d’un nombre quelconque de billets,
supérieur à p + q? etc., ete. (*).

IT. Quoi qu'il en soit, nous rappellerons, ici, la solution du
problème général suivant :

Une urne À contenait, primitivement, s boules. On en a tiré,
au hasard, m boules blanches, m' boules non blanches. Quelle est
la probabilité d’extraire, de l’urne modifiée, une nouvelle boule
blanche (**)?

Après la sortie des m+m" boules, l'urne renferme s— 17 —m'
boules, de diverses couleurs, en proportion inconnue. L'événe-
ment attendu est la sortie d'une boule blanche, de l’urne modifiée.

La probabilité P, de cet événement, ne sera pas altérée, si les
causes dont il dépend subissent des modifications inconnues (***).

Nous pouvons done mettre à part, sans les regarder, 1 boule,
2 boules, 3 boules, …, et même (s—m—m"'—1) boules : P n'aura
pas changé.

Mais alors l’urne A est remplacée par une urne auxiliaire ou
fictive B, contenant, primitivement, m + m'+ 1 boules, et d’où
il est sorti m boules blanches, m' boules non blanches.

(‘) On pourrait faire, aussi, beaucoup de remarques sur la rédaction.
Le futur admirable écrivain s’énonce ainsi : « La probabilité de tirer un billet
blanc de l’urne en vertu du rapport x. » — « Si l’on intègre

P
ft- (is Pt) ass:
P P

comme si l’on intégrait une intégrale! Etc., etc.

("”) Problèmes et théorèmes de Probabilités; Mémoires de l’Académie de
Belgique, 1884, p. 7.

(*”*) Journal de Liouville, t. VI (1841), p. 78; Un nouveau Principe de
probabilités; etc.

( 257 )

On ne peut faire, sur la composition de B, que deux hypothèses :

m blanches, m + 1 blanches,
m'+ 1 non blanches; m' non blanches.

Les probabilités de ces hypothèses sont proportionnelles aux
nombres
mm — 1)... 1.(m'+ 1)m"..9,

(m + 1jm...2 m'{(m—1)..1;

ou, plus simplement, proportionnelles à
M +1, m+l.
Ainsi, #3, # étant ces probabilités :

m'+ 1 on + |
OU ———— D9 —

, 2 D TETE
Mm+m+ 2 M + Mm'+ 2

Mais, évidemment : la première hypothèse est incompatible avec
l’événement attendu; la seconde le rend nécessaire.

En conséquence, la probabilité cherchée, P, est égale à la pro-
babilité =, de cette seconde hypothèse. Autrement dit :

p m +1 (2)
nine on
et ce résultat s'accorde avec la formule (1).
IT. Remarque. — Si l'on à tiré, de l’urne A, » boules

blanches, »’ boules noires, »" boules rouges, ete.; les proba-
bilités d'extraire, à un nouveau tirage, une boule blanche,
ou une boule noire, ou une boule rouge, etc, sont :

m +! m' + 1

= 42

————— © — ——————— ———————
IE IME EME EC CE MI MER MERE EUR
m +1

—
MEM+M +: +R

k étant le nombre des couleurs (*).

(*) Ce mot est pris dans son acception usuelle.

17

(258 )

IV. Dans son Mémoire, Laplace donne une démonstration
du théorème de Jacques Bernoulli, absolument inacceptable.
Du reste, les diverses démonstrations de ce beau théorème, que
je connais, pèchent toutes en quelque point : sauf, peut-être,
celle que m'a communiquée, autrefois, M. Mangon, Lieutenant
d’Artillerie. Malheureusement, elle n’a pas été imprimée.

P.S. UNE DISCONTINUITÉ. — Soël une urne À, contenant b boules
blanches et n boules noires. On les répartit, sans les voir ni les
toucher, entre k urnes auxiliaires, B, C, D, … H. Cela posé, la
probabilité d’extraire une boule blanche, soit de B,'soit de C, etc.,
, b , Q
égale ———, EXCEPTÉ si k surpasse b+ n.

Spa, 50 août 1888.

Fin des Mélanges mathématiques.

ERRATA.

Tome 1, page 254, au lieu de Alesséides, lisez Élassoïdes.

T T
Tome III, page 64, ligne première, au lieu de — lisez

Q7 ? sin pr
— 161, ligne pénultième, au lieu de vien, lisez vient.

— — 212, Ajoulez ceci :

Autre addition. — (Juillet 1888.)

VIT. Le produit (a°+b?)(a'?+b'?)(a’:

+ b”?) … est, généralement, la somme
de quatre carrés (*).

VIT. Si un nombre impair, N, est la somme de deux carrés, chacun des
nombres N?, N5, … est la somme de quatre carrés.

(*) Il peut y avoir exception, si a —b, ou si a’ =, etc.

— main > ame —

LISTE DES PUBLICATIONS DE L'AUTEUR.

Le Géomètre (*).

1. Question proposée au Concours général de 1835.
2. Analyse indéterminée, du premier degré.

3.

© © I ©

10.

14

12.

1158
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
29.
23.
24.

25.

26.

x?
De, CE Te
D RR ET s

Développements de

Journal de Liouville.

Solution d’un problème de Probabilité, relatif au jeu de rencontre. (T. IT )

. Note sur un problème de Combinaisons. (T. IIL.)

. Note sur une équation aux différences finies. ([bid.)

. Addition à cette Note. (T. IV.)

. Note sur la théorie des nombres. (Jbid.)

. Solution nouvelle de cette question : Un polygone étant donné, de combien

de manières peut-on le décomposer en triangles, au moyen de diago-
nales? (/bid.)

Mémoire sur la réduction d’une classe d’intégrales multiples. (Zbid.)

© COS «x d&

———— . M)

(1 + x°)7
Problème de choboene. (lbid.)
Solution d’un problème de Combinaisons. (T. VI.)

Deux problèmes de Probabilités. (/bid.)

Théorème sur la réduction d'une intégrale multiple (/bid.)

Problème de calcul intégral. (Zbid.)

Autres problèmes. (Zbid.)

Note sur la sommation de quelques séries. (T. VIL.)

Sur les surfaces réglées dont l'aire est un minimum. (/bid.)

Note sur une formule de Combinaisons. (/bid.)

Note sur une formule relative aux intégrales multiples. (T. VII.)

Note sur une formule d’Euler. (T. IX.)

Note sur un problème de Mécanique. (T. XI.)

Sur les trajectoires orthogonales des sections circulaires d’un ellipsoïde
(T. XIL)

Note sur la projection stéréographique. (T. XIX.)

Note sur l'intégrale

Journal de Resal.

Sur la constante d’Euler et la fonction de Bine. (T. 1.)

(*) Ce Recueil, dont il n'a paru qu’un fragment de volume, était dirigé par Guicrarn.

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19

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Œ 1 DO à ©!

( 262 )

Comptes rendus des séances de l’Académie des sciences.

. Théorème sur les surfaces développables. (T. XVIL.)

. Démonstration d’un nouveau théorème de Statique. (T. XXIV.)

. Note sur une surface à courbure moyenne nulle. (T. XLI.)

50. Note sur deux surfaces à courbure moyenne nulle. (/bid.)

. Mémoire sur les surfaces à courbure moyenne nulle (extrait). (/bid.)

. Réponse à une réclamation (*). (/bid.)

. Sur le calcul de la latitude, par la méthode de M. Babinet. (T. XLII.)
. Note à l’occasion d’un théorème de M. Serret. (/bid.)

. Sur quelques points de la théorie des séries. (T. XLIIL.)

. Sur la théorie des développées. (T. XLV.)

. Sur uu cas particulier de la formule du binôme. (/bid.)

. Sur une application de la formule du binôme aux intégrales eulériennes.

(T. XLVII)

. Note sur la théorie des équations. (Zbid.)

. Note sur une fonction homogène entière. (/bid.)

. Note sur l'équation du troisième degré. (T. LIV.)

. Sur les Nombres de Bernoulli, et sur quelques formules qui en dépendent.

(Ibid.)

. Remarques sur une communication de M. Le Besgue, relative aux Nombres

de Bernoulli. (T. LVIIL.)

. Sur le calcul des Nombres de Bernoulli. (/bid.)
. Mémoire sur la transformation des séries, et sur quelques intégrales définies

(extrait). (T. LIX.)

. Sur les Nombres d’Euler. (T. LX VI.)
. Remarques sur une Note de M. Darboux, relative à la surface des centres

de courbure d’une surface algébrique. (T. LXXI.)

. Sur une communication de M. Didion, concernant une expression du rapport

de la circonférence au diamètre. (T. LXXIV )

. Sur la constante d’Euler et la fonction de Binet. (T. LXXVIL.)
. Sur la projection stéréographique. (T. LXXVIIL.)

. Sur l'addition des fonctions elliptiques. (1bid.)

52.
. Note sur les Nombres de Bernoulli, (T. LXXXI.)

Note sur les surfaces orthogonales. (T. LXXIX.)

Société Philomathique de Paris.

. Transformation des variables, dans les intégrales multiples (extrait).

(Novembre 1839.)

. Théorème sur la réduction d’une intégrale multiple. (Juin 1840.)
. Problème de Combinaisons. (Août 1840.)

() Voir, dans l’Appendice, la Lettre à M. Élie de Beaumont.

62.

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( 265 )

. Sur un cas particulier de la surface dont l’aire est un minimum. (Mai 1841.)
. Sur certaines séries numériques. (Novembre 1841.)

. De la surface réglée, dont l’aire est un minimum. (Juin 1842.)

. Quelques propriétés de l’héliçoïde à plan directeur. (Novembre 18453.)

. Théorèmes sur les fractions continues périodiques simples. (Novembre 1844.)

Sur la théorie des solutions singulières. (Février 1846.)

. Théorème sur les surfaces gauches. (Février 1847.)

. Théorèmes sur les surfaces gauches. (Novembre 1848.)

. Nouvelle formule de quadratures. (Mars 1851.)

. Sur le dernier Cahier du Journal de l’École polytechnique. (Avril 1854.)
. Propositions sur la théorie des séries. (Mars 1858.)

. Théorème sur les cycloïdes accourcies. (Mai 1858.)

. Sur des suites récurrentes. (Avril 1861).

. Sur l'article 757 du Code civil. (Mars 1862).

Sur les normales à certaines surfaces. (Février 1865.)

Nouvelles Annales de Mathématiques (re série).

. Lettre sur la parabole. (T. I.)

Note sur le rapport de la circonférence au diamètre. (/bid.)

. Sur les fractions décimales périodiques. (/bid )

. Analyse indéterminée, du premier degré. (T. IL)

. Note sur la toroïde. (/bid.)

77. Rectification d’un article sur les séries trigonométriques. (/bid.)
718. Fractions continues périodiques. (T. IV.)

. Remarques sur un problème du Concours d’Agrégation. (1bid.)
. Problème de Malfatti. (T. V.)

. Sur les sphères tangentes à quatre plans donnés. (T. VI.)

. Sur un théorème de M. Serret. (/bid.)

. Théorème sur les pyramides. (/bid.)

. Sur les foyers des courbes d’intersection de deux surfaces du second degré.

(Abia.)

). Addition à un théorème de M. Paul Serret. (1bid.)
. Conditions d'équilibre de quatre forces non appliquées en un même point.

(T. VIL)

. Sur la fonction LX + MY + NZ. (Ibid.)

. Sur les normales aux coniques. (/bid.)

. Lettre sur un postulatum. (Ibid.)

. Théorie des fractions continues. (T. VIIL.)

. Sur le problème de la sphère tangente à quatre plans donnés. (T. IX.)

. Sur l'enveloppe d’une tangente à deux cercles variables. (T. X.)

. Sur la formule de Simpson. (/bid.)

. Théorèmes sur les hexagones inscrits ou circonscrits à une conique. (T. XI.)
. Trigonométrie sphérique. — Théorème de Legendre. (Jbid )

. Note sur la théorie des roulettes. (T. XV.)

(264)

. Sur les sommes des puissances semblables des nombres naturels. (/bid.)
. Sur la sommation de certaines séries. (/bid.)

. Remarques sur une Note de M. Allégret. (T. XVI.)

. Théorèmes sur les aires paraboliques. (/bid.)

. Sur des formules de Wronski. (Ibid.)

. Extraction, abrégée, de la racine carrée. (T. XVII.)

. Théorème sur la série harmonique. (/bid.)

. Note sur les séries divergentes. (T, XVIII.)

. Sur les coefficients binômiaux. (T. XIX.)

. Sur la sommation de certains coeflicients binômiaux. (/bid.)
. Note sur la solution d’un problème. (/bid.)

. Une rectification. (/bid.)

Nouvelles Annales (2 série).

. Sur un problème d’Algèbre légale, et sur une transformation de série. (T. IL.)
. Théorème sur les équations dont toutes les racines sont réelles. (/bid.)

. Sur l’équation du quatrième degré. (/bid.)

. Lettre sur le problème des huit dames. (T. IT.)

. Autres lettres. (Zbid.)

. Sur un problème d’Analyse indéterminée. (T. VI )

. Lettre sur un théorème de M. Lemoine, et sur une Note de M. Vallès. (T. IX.)
j. Sur quelques déveloprements en séries. (/bid.)

. Sur une lettre de M. Le Besgue. (Zbid.)

. Lettre à M. Abel Transon. (T. XII.)

. Sur l'intégration des différentielles rationnelles. (Zbid.)

. Une démonstration de la formule du binôme. (T. XIIL.)

. Propositions relatives à la théorie des nombres. (/bid.)

. Lettre sur une Note de M. Bourguet. (T. XIV.)

. Sur une question proposée par M. Bourguet. (T. XIV.)

24. Sur deux Notes de M.le capitaine Moreau. (T. XVIL.)

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CT à O1 9 —= ©

. Sur un théorème de Miquel. (Ibid.)
. Lettre sur la conique des neuf points, et sur le nombre 10. (/bid.)
. Note sur les aires des courbes paraboliques, (T. XX.)

Nouvelles Annales (3° série).

. Notes diverses. (T. I.)

. Sur la circonférence des neuf points. (T. 1.)

. Sur quelques développements de sin x et de cos «x.

. Remarques sur une Note de M. /bach. (T. HI.)

. Démonstrations de deux théorèmes d’Arithmétique. (/bid )
. Note sur le théorème de Lambert. (Zbid )

. Démonstration d'un théorème d’Arithmétique. (T. {V.)

. Savin Realis. (T. V.)

140.

141.
142.
145.
144.

145

146.
147.
148.
149.
150.
151.
152.
155.
154.
155.
156.
157.
158.
159.
160.

161.
162.
165.
164.
165.
166.
167.
168.
169.
170.
4171:

( 265 )

Journal de l'École polytechnique.

. Mémoire sur les surfaces gauches, à plan directeur. (29° Cahier.)
. Note sur la théorie des solutions singulières. (51° Cahier )
. Mémoire sur les surfaces dont les rayons de courbure, en chaque point,

sont égaux et de signes contraires. (57° Cahier.)

. Mémoire sur la théorie des polyèdres. (41 Cahier.)

Nouvelle Correspondance mathématique.

Remarques sur l'intégrale /° all — 2a cos & + a?)dæx. (T. I.)
0

Bacchus et Silène. (Zbid.)

Sur le Programme de l'École vétérinaire de Cureghem. (/bid.)

Sur un lieu géométrique. (/bid.)

Sur la formule du binôme. (/bid.)

Décompositions en carrés. (/bid.)

Sur les asymptotes des courbes algébriques. (/bid.)

Sur un Mémoire de Libri. (T. Il.)

Sur un théorème d’Arithmétique. (/bid.)

Remarques sur un Mémoire de M. Édouard Lucas. (lbid.)

Sur un produit de sinus (/bid.)

Remarques sur une Note de M. Laisant. (Tbid.)

Sur la transformation des équations. (/bid.)

Note sur un lieu géométrique. (/bid.)

Solution d’un problème proposé par M. Brocard. (Ibid.)

Quelques théorèmes sur la courbure des lignes. (/bid.)

Sur l'intégration de y” + 2%" — y = 0. (Ibid)

Solutions de trois questions proposées. (T. IL.)

Sur le développement de 1 Æ sin (2p + 1).

Centre de gravité d’un arc de cercle (/bid.)

Solution d’un problème proposé pour l'admission à l’École polytechnique.
(/bid.)

Démonstration d’un théorème relatif à la parabole. (/bid.)

Sur la représentation géométrique des intégrales elliptiques. ({bid.)

Intégration de (5 — x)y” — (9 — 4x)y’ + (6 — 3x)y = 0. (Ibid )

Remarques sur divers articles de M. Mansion. (1bid.)

Sur deux théorèmes de Sturm. (/bid.)

Formule combinatoire. (1bid.) #

Sur des séries analogues à la série de Lambert. (Zbid )

L'enseignement des Mathématiques, en Belgique. (Jbid )

Quelques questions d'examens. (Zbid.)

Sur le théorème de Fermat. (T. IV.)

Théorème de MM. Smith et Mansion. (/bid.)

( 266 )

. Une question anglaise. (/bid.)

. Sur un théorème de M Postula. (Jbid.)

. Démonstration des formules de M. Tchébychef. (/bid.)
. Décomposition d’un cube en quatre cubes. (/bid.)

. Sur la méthode des isopérimètres. (7bid )

. Démonstration d’un théorème sur l’ellipse. (/bid.)

. Sur les Nombres de Bernoulli (/bid.)

. Remarques sur une Note de M. Latars. (Ibid.)

. Sur le problème des partis. (/bid.)

. Quelques quadratures. (1bid )

. Sur certaines locutions incorrectes. (/bid.)

- Sur les Nombres de Bernoulli. (/bid.)

. Quelques identités. (T. V.)

. Sur une suite de nombres impairs (/bid.)

. Sur la série de Lamé. (/bid.)

. Solutions de quatorze questions proposées. (/bid.)

. Une propriété du nombre 565. (/bid.)

. Sur la décomposition d’un cube en quatre cubes. (/bid.)
. Sur la Géométrie de la sphère. (/bid.)

. Remarque sur une Note de M. Haerens. (1bid.)

. Sur une épure de Géométrie descriptive. (/bid.)

. Sur les triangles homologiques. (/bid.)

+ Remarques sur une Note de M. Mansion. (Ibid.)

. La Loterie de l'Exposition. (/bid.)

- Sur la notation des Nombres de Bernoulli. (/bid.)

+ Démonstration d’un théorème de M. Hermite.{T. VI.)
. Lettre à M. Laïsant. (/bid.)

. Un nouveau théorème empirique. (/bid.)

. Sur un système d'équations linéaires. (/bid.)

Sur quelques développements de cos mæ et de sin mæ. (1bid.)

. Solutions de sept questions proposées. (/bid.)

. Lettre à M. J. Neuberg. (Ibid.)

. Sur les coniques satisfaisant à quatre conditions. (/bid }
. Sur une propriété des surfaces du second degré. (/bid.)
. Sur la cyclide. (Zbid.)

da VA + æ*

. Sur l'intégrale ne 0 (001)

11

. Remarques sur une série. (/bid.)
. Sur deux Notes de MM. Radicke et Leinekugel. (Zbid.)

Sur la série harmonique. (/bid.)

Sur une équation d’Abel. (/bid.)

Sur la quadrature des courbes paraboliques. (Jbid.)

L'enseignement des Mathématiques élémentaires, en Belgique. (/bid.)
Une nouvelle théorie des tangentes. (Zbid.)

Lettre à M. Hermite. (/bid.)

Lettre à M. Laisant. (/bid.)

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( 267)

ACADÉMIE DE BELGIQUE.

Mémoires.

. Mémoire sur la transformation des variables, dans les intégrales multiples.

1849. Mémoire couronné. (Mém. des sav. étr., in-40, t. XIV.)

. Recherche des lignes de courbure d’une surface. (/bid., t. XXXI[).
219. Sur la transformation des séries, et sur quelques intégrales définies. 1865.

(lbid., t. XXXIHL.)

. Sur les Nombres de Bernouilli et d’Euler, 1867. (Mém. des memb., t XXXVIL.)
. Mémoire sur une transformation géométrique, et sur la surface des ondes.

1868. (Mém. des memb., t. XXXVIIL.)

. Recherches sur quelques produits indéfinis. 1872. (Ibid, t. XL.)

. Notes d’Algèbre et d'Analyse. 1877. (Zbid., 1. XLII.)

. Sur quelques formules relatives aux intégrales eulériennes. 1877. (1bid.)

. Remarques sur la théorie des moindres carrés. 1878. (lbid., t. XLIIT,

re partie.)

. Note sur la quadrature des courbes paraboliques. 1880. (/bid., & XLIII,

9de partie )

. Note sur les fonctions X,, de Legendre. 1880. (/bid.)
. Mémoire sur une suite de polynômes entiers, el sur quelques intégrales

définies. 1880. (1bid..)

. Sur les fonctions X,, de Legendre (2° Mém.). 1881. (/bid., t. XLIV.)
. Sur l’addition des fonctions elliptiques de première espèce. 1882. (Jbid.,

TNA)

. Notes sur la théorie des fractions continues, et sur certaines séries. 1883.

(Ibid., t. XLV.)

. Quelques théorèmes d’Arithmétique. 1834. (Mém. des memb., t XLVI.)
. Problèmes et théorèmes de Probabilités. 1884. (/bid., t. XLVI.)

Sur un développement de l'intégrale elliptique... (/bid., t. XLVL.)

. Sur les fonctions X, (troisième Mémoire). 1885. (/bid.)

. Sur quelques intégrales définies. (/bid.)

. Recherches sur les surfaces gauches. 1866. (Mém. in-8°, t. XVII.)

. Remarques sur la théorie des courbes et des surfaces. 1874. (/bid., t. XXIV.)
. Mémoire sur les fonctions X,, de Legendre. 1879. (/bid., 1. XXXI.)

Sur les fonctions X, (seconde Note). (Wém. in-4°.)

. Sur un tableau numérique, et sur son application à certaines transcendantes.

(T. XLVIL)

242. Remarques sur certaines intégrales définies. (Ibid.)

. Propriétés nouvelles des fonctions X,. (Jbid.)
. Propriétés nouvelles des fonetions X, (supplément). (Jbid.)

Bulletins. (2° série.)

x. Recherches sur les déterminants. (T. XII.)
. Note sur l'intégration d'un système d'équations homogènes. (T. XXI.)

( 268 )

. Application d’un problème de Géométrie à une question d'Analyse indéter-
minée. (T. XXII.)

. De l'intégrale définie qui représente la somme des p + 1 premiers termes
du développement de (x + B}". (T. XXIII.)

. Note sur les surfaces orthogonales. (T. XXVI.)

0. Sur les roulettes et les podaires. (XX VIL.)
51. Sur l'addition des fonctions elliptiques, de première espèce. (/bid.)

2. Rapport sur la quatrième période du Concours quinquennal (1864-1868

,

t. XXVIIL.)

255. Remarques sur l'équation æ7 — 1 — 0. (T. XXIX.)

. Sur la détermination de l’aire de l’ellipsoïde. (T. XXX.)
ÿ. Note sur l'équation de Riceati. (T. XX XL.)

56. Théorème de Géométrie. (T. XXXIL.)

. Note sur une formule de M. Botesu. (T. XXXIIL.)

58. Rapport sur un Mémoire de M. Gilbert. (/bid.)

. Rapport sur un Mémoire de M. Gilbert. (T. XXXVI.)
. Rapport sur un Mémoire de concours. (T. XXXVIIL.)
. Rapport sur une Note de M. Mansion. (/bid )

2. Note sur le problème de Malfatti. (/bid.)

. Rapport sur une Note de M. Reinemund. (T. XXXIX.)
. Rapport sur deux Mémoires de M. Saltel (/bid.)

j. Rapport sur un travail de M. Houzeau. {T. XXXIX.)

. Rapport sur un travail de M. Houzeau. (T. XL.)

. Rapport sur un travail de M. Houzeau. (/bid.)

. Rapport sur une Note de M. Havrez. ({bid )

269. Rapport sur un travail de M. Houzeau. (T XLI.)
10. Rapport sur une Note de M. Le Paige. (/bid.)
71. Rapport sur les tables de Logarithmes de MM. Namur et Mansion. (/bid.)

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. Note sur les Nombres de Bernoulli. (T. XLII.)

. Rapport sur plusieurs Notes de M. Saltel. (/bid.)

. Rapport sur un Mémoire de concours. (/bid.)

. Rapport sur une Note de M. Ghysens. (T. XLIIL.)

. Rapport sur une Note de M. Reinemund. (/bi«.)

. Rapport sur une Note de M. Le Paige. (/bid.)

. Rapport sur une Note de M. Boset. (/bid.)

. Rapport sur une Note de M. Mansion. (T. XLIIL)

. Remarques sur un Rapport de M. Folie. (T. XLIV.;
. Rapport sur un Mémoire de M. Lagrange. (/bid.)

. Rapport sur une Note de M. Mansion. (/bid.)

. Rapport sur une Note de M. Le Paige. (/bid.)

. Rapport sur une Note de M. Ghysens. (/bid.)

. Théorème d’Algèbre. (/bid.)

. Nouveau principe de Probabilités. (/bid.)

. Rapport sur deux Notes de M. Mansion. (T. XLWV.)

. Note sur les hexagones de Pascal et de Briarchon. (/bid.)

( 269 )

. Rapports sur deux Notes de M. Mansion. (T. XLVI.)
. Note sur les hexagones de Pascal et de Brianchon (1bid.)
. Rapports sur deux Notes de M. Mansion (T. XLVIIL.)

2. Rapport sur un Mémoire de M. Souillart. (Jbid.)
5. Rapport sur une Note de M. Le Paige. (T. XLIX.)

. Rapport sur une Note de M. Saltel. (/bid.)
. Rapport sur un Mémoire de concours. (T. L.)

(3e série).

. Carré magique de la Villa Albani. (T. 11.)

. Rapports sur des Notes de MM. Folie, Le Paige, Texeira, Mansion. (T. II.)
. Quelques théorèmes de Géométrie élémentaire. (T. IV.)

. Rapport sur une Note de M. Boblin. (Jbid.)

. Sommaire d’un Mémoire sur la théorie des fractions continues et sur
certaines séries. (T. V.)

. Rapport sur un Mémoire de M. Mansion. (/bid.)

2. Note sur une série double. (T. VI.)

. Rapport sur une Note de M. Sautreaux. (/bid.)

. Rapport sur deux Mémoires de concours. (/bid.)

ÿ. Quelques théorèmes d’Arithmétique. (T. VIE.)

. Rapport sur un Mémoire de M. Neuberg. ({bid.)

. Application d’un nouveau Principe de Probabilités. (T. VII.)
. Rapport sur un Mémoire de concours. (T. VII )

. Note sur un travail de M. Boncompagni. (/bid.)

. Rapport sur un travail de M. Deruyts. (T. IX.)

. Question d'Analyse indéterminée. (T. IX)

. Une récréation arithmétique. (/bid.)

. Rapport sur un Mémoire de M. Ernest Cesàro. (T. XI.)

. Rapport sur un Mémoire de M. Mansion. (/bid.)

. Sur une classe d’équation différentielles. (T. XII.)

. Sur le dernier théorème de Fermat. (Jbid.)

. Rapport sur un Mémoire de M. Ch. Lagrange. (Zbid.)

. Lettre à M. De Tilly. (T. XIIL.)

. Remarques sur une équation trinôme. (/bid.)

. Sur les lignes géodésiques des surfaces de révolution. (/bid.)

21. Rapport sur un Mémoire de M. Beaupain. (T. XV.)

Mémoires de la Société des sciences de Liège.

. Mélanges mathématiques. (T. Il.)
. Théorie analytique des lignes à double courbure. (T. VI.)
. Théorèmes d’Arithmétique. (/bid.)

5. Problèmes et théorèmes d’Arithmétique. (T. X.)

. Mélanges mathématiques. (T. I, 1885; t. IT, 1887; t. III, 1888.)

329.
350.
351.
552.
335.
394.

399.

( 270 )

Annali di malematica, pura ed applicula.

. Sur les différences successives de 17, et sur les Nombres de Bernoulli. (T. Il.)
328.

Sur les équations simultanées homogènes. (T. VII.)

Atti dell? Accademia de’ Nuovi Lincei.

Sur quelques questions relatives aux fonctions elliptiques. (T. XX, 1867.)
Sur quelques questions relatives aux fonctions elliptiques (2e Note.) (1875.)
Sur quelques sommations et transformations de séries. (T. XXII.)

Extraits de trois lettres adressées au prince Boncompagni. (1881.)

Sur quelques décompositions en carrés. (1882.)

Mémoire sur certaines décompositions en carrés. (1883.)

Mémoires de l’Académie de Saint-Pélersbourg.

Recherches sur la constante G, et sur les intégrales eulériennes. (1883.)

Associalion française pour l’Avancement des Sciences.

. 1872. Bordeaux. — Nouvelle formule d'intérêt composé.

— — Théorie des polyèdres semi-réguliers.

. 1874. Lille. — Sur les surfaces orthogonales. — Sur la méthode des

moindres carrés. — Lieu géométrique. — De l’hélice tracée sur un cylindre
dont la base est une chaïnette.

. 1876. Clermont-Ferrand. — Sur les fonctions X,, de Legendre.
. 1877. Le Havre. — Sur la somme des diviseurs d’un nombre n. — Éva-

luation des nombres premiers compris entre des limites données. — Sur
quelques développements de l'intégrale elliptique, de première espèce.

. 1878. Paris. — Sur les lignes de courbure de la surface des ondes.
. 14880. Rheims. — Sur une décomposition en facteurs.
. 1885. Rouen. — Notes d’Algèbre et d’Arithmétique.

Bullettino du prince Boncompagni.

Sur un article du Journal des savants. (T. IV, 1871.)

. Lettre relative à la tombe de Van Cülen (contenant l’extrait d’une lettre

de Lakanal ) (T. VII, 1874.)

. Une polémique entre Goldbach et Daniel Bernoulli. (T. XVIII, 1885.)

Société mathématique de France.

. Communication sur divers sujets. (T. XVI.)

Mathesis.

. Carré magique de la Villa Albani.(T. IL.)

376.
877.

3178.

379.
380.
581.

(271)

. Maximum et minimum d’une fraction. (T. IT.)

. Sur la méthode des isopérimètres. (/bid.)

. Sur uu article des Nouvelles Annales. (1bid.)

. Une démonstration du théorème de Pythagore. (/bi1.)
. Sur un théorème de M. Cambier. (Ibid.)

. Sur le principe de l’homogénéité. (T. IL.)

. Quelques théorèmes de Géométrie élémentaire. (/bid.)
. Sur un théorème de M. Rocquigny (/bid.)

. Un curieux théorème. (/bid.)

. Généralisation de trois propriétés de la cycloïde. (1bid.)
. Sur un théorème d’Abel. (T. IV.)

. Sur les ombilics des surfaces. (T. V.)

. Sur la courbe de Watt. (/bid.)

9, Lettre à M. Mansion. (T. VI.)

3. Lettre à M. Charles Brisse. (/bid.)

. Sur la divisibilité des nombres. (T. VII.)

. Sur les nombres parfaits. (T. VII.)

Journal de M. de Longchamps.

. Sur une limite supérieure des racines. (1880.)

. Sur deux problèmes d’Arithmétique. (/bid.)

. Quelques théorèmes de Géométrie élémentaire. (1883.)
. Remarques sur un travail de M. Calinon. (1885.)

. Sur le pentagone d’Albert Dürer. (1bid.)

. Théorèmes sur les coniques, (/bid.)

. Lettre sur une trisectrice. (/bid.)

. Lettre sur le théorème de Fermat. (1886.)

. Démonstration d’un théorème de M. Delbœuf. (1887.)

. Extraits de plusieurs lettres. (Jbid.)

Bulletin des Sciences.

Théorème de Staudt et Clausen. (1880.)
Lettre au Rédacteur. (1882.)

Journal de Crelle.

Énoncé d’un théorème empirique. (T. XXVIL.)

Revue de l’Instruction publique en Belgique.

Lettre au Rédacteur. (1869.)
Théorèmes empiriques. (1870.)
Analyse indéterminée, du premier degré. (1871.)

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O1 D = © ©

CT
Le
CS

(272)

La Science, journal rédigé par Auguste Blum.

. Arithmétique. — Théorie des Combinaisons. (Mars et avril 1855. )

L’Avenir, revue hebdomadaire (*).

. Application de l’Algèbre.. à la Théologie (**). (Mai 1855.)

Revue scientifique.

. Les dimensions de l’univers visible. — Conférence donnée aux élèves des

Écoles spéciales (Liège). (Juin 1882.)

. Démonstration d’un théorème de M. Delbœuf. (Octobre 1886.)

OUVRAGES PARTICULIERS.

. Éléments de Géométrie. (Paris, 1843; 2e édit. ; Liège, 1865.)
7. Application de l’Algèbre à la Géométrie (Lycée Charlemagne, 1848, in-4°).
. Théorèmes et problèmes de Géométrie élémentaire. (Paris, 1852; Bruxelles,

1879.)

. Manuel des candidats à l’École polytechnique. (Paris, 1857.)

. Manuel du Baccalauréat ès-sciences. (Paris, 1852-1872)

. Traité élémentaire de Géométrie descriptive. (Paris, 1852-1882.)

. Traité élémentaire des séries. (Paris, 1860 ; in-8°.)

. Cours d’Analyse de l’Université de Liège. (Bruxelles, 1870. 2e édition,

1879; in-8°.)

. Application de l’Algèbre au Code civil : l’article 757. (Paris, 1862.)

. Histoire d’un concours. Liège, 1865; br. in-8°.

. Manuel d’Arithmétique et d’Algèbre.

. Manuel de Géométrie. (9e édition.)

. Manuel de Trigonométrie et de Géométrie descriptive. (13° édition.)

. Manuel de Cosmographie. (13° édition.)

. Manuel de Mécanique. (15° édition.)

. Réhabilitation d’un pléonasme. Bruxelles, 1876; in-8°.

. Notions d’Astronomie, (Bibliothèque utile.)

. Solutions de problèmes proposés au Baccalauréat ès-sciences (Paris, 1855.
. Notice sur Charles Boileau (Œuvres choisies de Charles Boileau, 1873).
. Labyrinthe de Crète.

ÿ, Quelques lettres. (Appendice aux Mélanges mathématiques).

(*) Créée et tuée en quelques mois.
(**) Analyse d’un ouvrage de l'abbé Gratry.

TABLE DES MATIÈRES,

CCXVI. — Section droite du cylindre circonserit à un ellipsoïde.
CCXVII. — Sur deux théorèmes de M. Laguerre

CCX VIII.
CCXIX.
CCXX.
CCXXI.
CCXXII.
CCXXIIT.
CCXXIV.
CCXXV.
CCXXVI.
CCXX VIT
CCXXVIIT.
CCXXIX.
CCXXX.
CCXXXI.

CCXXXII.
CCXXXIHIT.
CCXXXIV.

CCXXXV.

CCXXX VI.

CCXXX VIT.
CCXXXVIIL.
CCXXXIX.
CCXL.
CCXLI.
CCXLII.
CCXLII.
CCXLIV.
CCXLV.

Remarques sur un théorème de Fermat
Sur une formule attribuée à M. Hermite :
Courbes ayant même longueur qu’une ellipse donnée.
Sur unc classe de surfaces gauches .
Sur la fonction numérique 4(n) .
Équivalences de séries .
Quelques intégrales définies
Relations entre deux théorèmes empiriques
Sur une formule de Jacobi.
Sur les nombres combinatoires
Application d’un théorème de Binet.
Une récréation arithmétique .
SULANDAIROLE RENAN AEAUENREEES RE NE NN
Extrait d’une lettre adressée à M. Miller, rédacteur
de l’Educational Times .
Sur une propriété numérique.
Trajectoires orthogonales de polhodies .
Deux intégrales définies
Sur les développées gauches .
UE

Sur la formule : B(p, 1 — p) = — 3
Sin PT

Transformation d’une somme en produit .
Représentation des intégrales elliptiques
ÜNEMNtESTANONLNE. re MENT POESIE
Théorème de {iéométrie élémentaire

Problème d'Analyse indéterminée

Une propriété des progressions arithmétiques.
Application du Théorème de Lancret
Conséquences du Problème de Malfatti.
Sur la projection stéréographique

18

Page.

CCXLVI.
CCXLVII.

CCXLVIIT.
CCXLIX.
CCL.

CCLI.
CCLII.

CCLIII.
CCLIV.
CCLV.
CCLVI.
CCLVIT.
CCLVIIT.
CCLIX.
CCLX.
CCLXI.
CCLXII.
CCLXIHIT.
CCLXIV.
CCLX V.
CCLX VI.
CCLX VIT.

CCLX VII.

CCLXIX.
CCLXX.
CCLXXI.
CCLXXII.

CCLXXIHIT.
CCLXXIV.
CCLXXV.

CCLXXVI.
CCLXX VII.

CCLXX VIII.
CCLXXIX.

CCLXXX.
CCLXXXI.

(274)

Sur l'Hélice-caténoïdique.

Un développement e

in æ

Sur les lignes He de l’ellipsoïde.
Théorème d'Alsèbre .

Problème trouvé en songe

Une propriété des systèmes triplement orthogonaux.

MM.
Neuberg, de Longchamps, …

Sur la Géométrie de

Problème de Probabilités M 27000

Quelques décompositions de l'unité

Conséquences du Théorème de Fermat

Systèmes articulés .

Sur des sommes de bi-carrés

Quelques sommations . ;

Sur le Postulatum de Bertrand .

Théorème d’Arithmétique

Sur les Nombres de Segner .

Lettre à M. De Tilly

Surl'équationtu— 1 #7 EN

Nouvelles propriétés des fonctions X,.

Théorèmes de Géométrie élémentaire .

Application d'une formule combinatoire .

Théorèmes d’Arithmétique

Deux intégrales définies .

Sur le théorème de Wilson . ë

Conséquences d'une division algébrique .

Sur un théorème de M. Mannheim . :

Sur un théorème d’Abel. (Lettre à M. je Saint.

Germain.) .

Remarques sur l'intégrale / 7 f 1—2acosx+a°)dx.
0

Sur la démonstration d'un théorème de Fermat,

donnée par Legendre

Sur un théorème de Gauss Me

Exercice sur un Problème de Géométrie élémentaire.

Lettre à M. Battaglini .

Lettre à M. l!ermite

— Circonférences focales.

— Sur les nombres parfaits. (Lettre à M. Mansion.)

Lettre à M. Arthur Cayley .

Brocard, Lemoine,

Pages.

101
105
108
111
115
118
120
1922
129
155
157
158
159
142
150

153
156

159
165
167
196
197
205
205
207

CCLXXXII.
CCLXXXIIT.
CCLXXXIV.

CCLXXXV.
CCLXXX VI.
CCLXXX VIT.

CCLXXX VII.
CCLXXXIX.
CCXC.
CCXCI.
CCXCIT.
CCXCIHIT.
CCXCIV.
CCXCV.
CCXCVI.

CCXCVIT.

CCXCVI.
CCXCIX.

ErRaATA .

(275)

Sur.ia courbure desiiienes 0000

Théorèmes d’Arithmétique. ACER

Sur les lignes géodésiques des surfaces de
révolution .

Une propriété des progressions géométriques .

Géométrie de situation . HA

Sur les sections circulaires de l’ellipsoïde

Une application de la Géométrie à l’Algèbre

Équations dont toutes les racines sont imaginaires.

Sur une formule de Cauchy

- Sur une équation d’Abel

Une équation aux différences . .

Sur une intégrale définie . NUS

A propos d’un théorème de M. Oltramare .

Quelques formules elliptiques.

Sur le Problème de Pétersbourg .

Sur un cas particulier de la formule du binôme .

Extraits d’une lettre à M. Hermite MS

Sur une application du thécrème de Bayes, faite
par Laplace

LISTE DES PUBLICATIONS DE L'AUTEUR .

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MATÉRIAUX

POUR LA

FAUNE ENTOMOLOGIQUE DE LA PROVINCE DE LIÈGE,

COLÉOPTEÈRES

QUATRIÈME CENTURIE
PAR

ALFRED PREUDHOMME DE BORRE,

Membre des Sociétés entomologiques de Belgique, Néerlande, Londres, France, Munich,

Stettin, St-Pétersbourg, de la Société royale des sciences de Liège, etc.

COLÉOPTÈRES DE LA PROVINCE DE LIÈGE,

%,

ne

CENPOURENLE MIA (0)

FAMILLE DES DYTISCIDES (suite).

Colymbetes fuscus, L. (striatus, Aubé). — Taille d'environ
18 millimètres. Ovale allongé, quelque peu rétréei en arrière.
Tête noirâtre, avec le labre, l'épistome et deux petites taches
vagues au devant du vertex, rougeâtres. Corselet brun, avec
les bords latéraux largement testacés, couvert de très petites
strioles irrégulières. Élytres à fond testacé disparaissant, sauf
sur les bords latéraux et dans le fond des stries, sous une
couche de couleur brun-olivâtre; elles sont aussi complète-
ment couvertes de petites stries transversales très rapprochées
et anastomosées; sur chaque élytre, trois séries longitudinales
de points enfoncés; épipleures testacées. Dessous noir, avec
le bord des segments abdominaux brun-rougeûtre, ainsi que
les hanches postérieures et toutes les pattes. Antennes et palpes
testacés. — RD : Angleur, Fetinne, Cheratte. RG : Liège,
Herstal, Saint-Nicolas, Jemeppe, Statte.

Dytiscus punctulatus, Fabr. — Taille d'environ 50 milli-
mètres. Noir brillant en dessus et en dessous, avec le labre,
l'épistome, une bordure latérale au corselet et une autre aux
élytres, d’un testacé rougeûtre. Saillies coxales du métasternum
arrondies au bout. Élytres du mâle ayant chacune trois lignes

(:) Présenté dans la séance du 22 novembre 1887.

QI

(#9)

de points; celles de la femelle profondément creusées de dix
sillons dépassant le milieu de chaque élytre. Pattes noirâtres
plus ou moins tachées de brun-rougeätre. — RD : Tilff,
Beaufays, Verviers. RG : Liège, Loën.

D. marginalis, L. — Taille variant entre 50 et 55 milli-
mètres. Ovale un peu élargi en arrière, un peu busqué en
avant. Noir-verdàtre ou noir-brunâtre, avec le labre, l'épi-
stome, une tache en-V sur le front, les antennes et palpes,
tout le pourtour du corselet, une bordure latérale aux élytres,
avec une petite ligne oblique avant le sommet, testacé-clair,
de même que le dessous du corps et les pattes. Saillies coxales
du métasternum en lancettes un peu courtes, mais pointues.
Élytres du mâle avec trois lignes de points ; celles de la femelle
avee dix forts sillons, dépassant un peu le milieu de chaque
élytre. Une forme aberrante de femelles (conformis, Kunze)
n'a pas ces sillons et ne se distingue des mâles que par l'ab-
sence de la dilatation des trois premiers articles des tarses
antérieurs. — Commun. RD : Angleur, Colonster, Gomzé.
RG : Herstal, Rocour, Waremme.

. D. circumcinctus, Ahrens. — Même taille, mème forme.

Dessus du corps brun-chocolat, avec les mêmes bordures
testacé-rougeâtre au corselet et aux élytres. Une bordure rou-
geûtre autour de l'œil. Dessous et pattes rougeätres. Saillies
coxales plus allongées et plus aiguës. Les femelles ont, comme
les mâles, trois lignes de points sur chaque élytre. Une seconde
forme de femelles (var. dubius), extrêmement rare, a les
élytres sillonnées comme l'espèce précédente. — Très rare.
RD : Grivegnée (M. Miedel).

. D. circumflexus, Fabr. — Taille dépassant peu 50 milli-

mètres. Noir-verdàtre ou olivâtre assez brillant en dessus,
avec le labre, l’épistome, une tache frontale en V, tout le
pourtour du corselet, une bordure latérale et une bande
oblique vers le sommet de l'élytre, testacés. Pattes et dessous

(5)

du corps également testacés, avec la base des segments abdo-
minaux brun-foncé. Saillies coxales très acuminées. Les deux
sexes ont les élytres lisses, avec trois séries de points ; mais
il existe une variété femelle (perplexus), ayant les élytres sil-
lonnées, comme les femelles normales du marginalis. — Rare.
RD : Liège, Les Aguesses (M. Miedel).

Hydaticus transversalis, Pontoppid. — Taille de 15 milli-
mètres. Ovale assez régulier. Noir en dessus et en dessous,
avec l'abdomen un peu brunâtre. Devant de la tête, centre
du front et deux taches sur le vertex, testacés. Corselet avec
les bords latéraux testacés, reliés par une bande transversale
antérieure. Élytres ayant à la base une fascie transversale fer-
rugineuse et, sur le côté, une bande de même couleur, s'élar-
gissant et se décomposant en lanières en arrière; trois lignes
de petits points sur chaque élytre. Pattes antérieures et
intermédiaires testacées, les postérieures rembrunies. —
RD : Les Aguesses, Chaudfontaine.

. H. grammicus, Germar. — Taille d'environ 10 millimètres.
En ovale régulier. Tête testacée, avec un bord postérieur noi-
râtre. Corselet testacé, ainsi que tout le dessous et les pattes.
£lytres noirâtres, tachetées de testacé vers la base et ayant
de plus chacune deux lignes discoïdales testacées, ainsi qu’une
bande latérale s’élargissant et se décomposant en lanières vers
le sommet. — Très rare. RD : Angleur (coll. Chapuis).

Acilius sulcatus, L. — Taille d'environ 18 millimètres.
Déprimé; ovale, avec la plus grande largeur un peu au delà
du milieu des élytres. Tête noire, avec le labre, l’épistome,
deux taches juxta-oculaires, une tache frontale en V et deux
taches sur le vertex, parfois réunies, jaunâtres. Corselet pone-
tué, noir, avec le pourtour jaune et une fascie transverse dis-
coïdale de la même couleur, ayant un prolongement en arrière
de chaque côté, prolongement qui, chez les femelles, se change
en ue dépression pleine de poils ferrugineux. Élytres du mâle

(6)

jaunâtres, très ponctuées, parsemées d’une multitude de très
petits points noirs, se condensant souvent aux trois quarts
postérieurs en une sorte de fascie transverse ondulée. Élytres
de la femelle ayant chacune cinq côtes longitudinales bien
marquées, dont les intervalles sont remplis de longs poils
rougeâtres. Dessous du corps noir, à l'exception du prosternum
qui est jaune, ainsi que des taches latérales à chaque segment
de l’abdomen. Pattes testacées ; une tache noire à la base des
cuisses postérieures. — Commun. RD : Angleur, Sartilman,
Beaufays, Poulseur, Jupille, Visé. RG : Herstal, Rocour,
Jemeppe.

Graphoderes cinereus, L. — Taille de 15 millimètres environ.
Ovale un peu bombé. Tête jaunâtre, avec la partie postérieure
noire, ainsi que le bord des yeux et deux taches frontales en
chevrons, parallèles l’une à l’autre. Corselet testacé, avec la
base assez largement noire, sauf près des angles et une assez
large tache en trapèze au milieu du bord antérieur; angles
postérieurs droits. Élytres brun-olivâtre, couvertes de très
petites taches rondes testacées; une ligne suturale et le bord
externe de la même couleur. Dessous et pattes d’un testacé
rougeâtre. — RD : Les Aguesses (M. Miedel).

10. Gr. zonatus, Hoppe. — Taille de 15 millimètres au plus.
Même forme, mais moins convexe. Même coloration. Au cor-
selet, les bandes noires transverses sont séparées du bord
par un filet de la couleur foncière testacée, et les angles pos-
térieurs sont aigus et dirigés en arrière. Segments abdominaux
tachés de brunâtre sur les côtés. — Rare. RD : Les Aguesses
(M. Miedel).

11. Gr. bilineatus, de Geer. — Taille d'environ 15 millimètres.
Ovale un peu déprimé et un peu élargi en arrière. Mème
coloration que le Gr. cinereus. Au front, une ou deux taches
noires en chevrons. Au corselet, les bandes noires sont plus
étendues, surtout l’antérieure. — RG : Ile Monsin, à Herstal
(M. Miedel).

(7)

12. Cybister Roeseli, Fabr, — Taille de 50 à 35 millimètres.
Déprimé, en ovale un peu rétréci sur les deux bouts et nota-
blement dilaté en arrière du milieu. Couleur vert-olivätre ou
brun-chocolat luisant en dessus, testacé brillant en dessous ;
labre, épistome, bordure latérale du corselet et des élytres,
testacés. Pattes testacées, avec les tarses rembrunis. Saillies
coxales du métasternum très courtes et fortement arrondies.
Élytres du mâle lisses, avec trois lignes de petits points sur
chacune; celles de la femelle couvertes de petites strioles
anastomosées. — Rare. RD : Prés Saint-Denis (M. Miedel),
Les Aguesses (id.).

FAMILLE DES CARABIQUES (addition).

15. (Après C. catenulatus, Centurie 1, n° 26.) — Carabus
catenatus, Panzer. — Taille de 28 à 50 millimètres. Assez
large. D'un noir bleuâtre violacé (parfois virant au bronzé
verdätre). Corselet subquadrangulaire, un peu rétréci en
arrière, sans être subcordiforme comme chez le C. catenulatus.
Côtés bien arrondis en avant, les angles antérieurs et posté-
rieurs également; ces derniers formant de courts lobes sail-
lants, dont la rentrée sur la base se fait à angle obtus.
Élytres assez convexes, nullement échancrées en arrière ; stries
ponctuées; interstries un peu relevés et légèrement crénelés
en arrière; trois séries de caténations sur chaque élytre. —
Cette espèce a pour patrie les parties méridionales de l'empire
d'Autriche. Cependant il y en a eu une capture en Belgique.
La collection de feu Chapuis renferme un exemplaire qui, au
témoignage formel de M. le D' Candèze, a été pris vivant à
Jonckeu, près Verviers. C'est assurément une capture tout
accidentelle et que l’on peut conjecturer être le résultat d’une
introduction à l'état d'œuf, larve ou nymphe.

(8)

FAMILLE DES HALIPLIDES (addition).

14. (Après Haliplus lineatocollis, Centurie HIT, n° 57.) —
Cnemidotus cœsus, Duftschm. — Taille de 4 millimètres
environ. Testacé, avec la tête et le corselet plus jaunâtres et
une tache brune suturale au milieu des élytres. Corselet pré-
sentant en avant une ligne de points médiocres et, en arrière,
une dépression transversale, où s'étend une série de très gros
points à fond rembruni; de chaque côté, trois de ces gros
points sont disposés en triangle. Stries des élytres très forte-
ment ponctuées; leurs points antérieurs très gros et placés
dans une sorte de sillon transversal; tous ces points plus
foncés que le fond de l'élytre ; éntre la 2° et la 5° strie, une
strie rudimentaire ne dépassant pas le quart de l’élytre. —
RD : Jupille (M. Séverin).

FAMILLE DES DYTISCIDES (addition).

15. (Après C. versicolor, Centurie II, n° 65.) — Cœlambus im-
pressopunctatus, Schaller (picipes, Sturm, Aubé, Kiesenw.). —
Taille de 5 millimètres. Oblong, assez convexe. Brun-noisette
clair et luisant, rembruni en dessous, sur le vertex, à la base
du corselet et en lignes longitudinales sur les élytres. Base du
corselet à ponctuation aciculée, assez dense, surtout au milieu.
Élytres grossièrement et densément ponctuées sur le disque,
ayant chacune une strie suturale et deux stries centrales assez
marquées et fortement ponctuées. Une variété femelle
(lineellus) a ces stries presque effacées, la ponctuation plus fine
et la teinte générale plus mate. — RD : Angleur (M. Miedel).

16. (Après D. latus, Centurie IE, n° 66.) — Deronectes duodecim-
pustulatus, Fabr. — Taille dépassant 5 millimètres; plus
allongé, avec les bords latéraux du corselet et des élytres
séparément arrondis et séparés par un angle curviligne ren-

(9)

trant. Brun de poix assez foncé, avec les pattes et les antennes
rougeûtres, ainsi que la tête, le corselet (sauf une bande
antérieure et une macule basilaire bilobée), et douze taches
élytrales sur quatre rangées, deux discoïdales et deux contiguës
aux bords extérieurs. — RG : Herstal (M. Miedel).

17. (Après le précédent.) — D. depressus Fabr. — Taille
d'environ # !/, millimètres. Forme absolument semblable.
D'un testacé jaunâtre, avee le corselet bordé de noir en
avant et présentant sur la base une grande tache noire bilobée.
Suture des élytres noire. Sur chaque élytre, une grande tache
noire discoïdale, rattachée à l'angle sutural de la base par
un arc noir et envoyant vers la suture deux prolongements et
trois autres jusqu'auprès du bord externe, sans le toucher.
Ces taches sont parsemées de quelques linéoles testacées
et, chez une variété (elegans, Panzer), se résolvent en un
système de raies noires longitudinales. — RG : Herstal
(M. Miedel).

18. (Après A. halensis, Centurie II, n° 67.) — Hydroporus
lepidus, Olivier. — Taille d'environ 3 millimètres. Ovale tant
soit peu large, notablement convexe. Noir, avec le bord du
corselet testacé, ainsi que le fond des élytres, d’ailleurs large-
ment maculées de noir comme suit : une tache anguleuse
vers l'épaule, touchant parfois Ja base; au milieu de celle-ci
une petite bande médiane, la suture tout entière, une vaste
tache discoïdale commune, trilobée en avant sur chaque élytre
et se réunissant plus où moins en arrière, par l'élargissement
de la bande suturale, à une autre tache transversale, terminée
en losange, sur chaque élytre; après cette tache, la bande
suturale forme une sorte de trèfle sur le bout de lélytre;
cette maculature varie en étendue et en intensité. Corselet et
élytres couverts d’une pubescence assez dense et très courte,
d’un flave doré. Épipleure testacée, ainsi que les pattes, sauf
les tibias postérieurs et les six tarses, qui sont rembrunis. —

Rare. RG : Herstal (M. Miedel).

(10)

19. (Après A. planus, Centurie IE, n° 75.) — H. Gyllenhalli,
Schiôdte (piceus, Aubé, Kiesenw.). — Taille de 5 1/, milli-
mètres. Ovale un peu allongé, un peu acuminé en arrière.
Ponetuation forte sur les élytres, ainsi que sur la base et le
devant du corselet, affaiblie sur le disque de celui-ci. Brun-
marron, avec tout le devant de la tête, les côtés du corselet et
le bord externe des élytres, rougeâtres, ainsi que les pattes,
les antennes et les palpes. Dessous du corps noir, fortement
ponctué sur la poitrine, les hanches et le premier segment
abdominal, faiblement sur le reste de l'abdomen. — RD :
Beaufays (M. Miedel), Hockay (ÿd.), Baraque-Michel (4d.).

FAMILLE DES GYRINIDES.

20. Gyrinus minutus, Fabr. — Taille d'environ 4 millimètres;
la plus petite de nos espèces indigènes du genre. En dessus
d’un noir bleutre brillant, avec le bord externe des élytres et
du corselet métallique. Pattes, dessous du corps en entier
et épipleures d'un testacé clair. Élytres assez fortement striées-
ponctuées ; les stries finissant un peu avant le sommet, qui
présente une ellipse irrégulière de points et est tronqué un
peu obliquement. Écusson se relevant au centre en une petite
carène longitudinale. — Rare. RG : Corphalie (M. Pfaff).

21. G. natator, L. — Taille assez variable, de 4 !/, à 7 milli-
mètres. Noir, en général assez brillant et virant au bronzé vers
les bords des élytres. Dessous également noir, avee les pattes,
les épipleures, le segment anal et la poitrine, en tout ou en
partie, d’un testacé qui va du roux clair au brun rougeâtre
très foncé. Élytres à troncature arrondie, striées de séries de
points généralement assez petits et assez espacés, surtout sur
le disque. Le sommet de l'élytre, qui est plus ou moins
retroussé, porte une ellipse irrégulière de points, parfois très
forts, parfois très effacés chez les petits exemplaires (var.
Suffriani). Chez les plus grands exemplaires (var. colymbus),

(11)

les interstries, sous un très fort grossissement, laissent faible-
ment percevoir un pointillé. — Très commun et très abon-
dant. RD : Kincampoix, Visé, Herve, Theux, Grandry,
Stembert, Baraque-Michel. RG : Loën, Jemcppe, Statte.

29. G. marinus, Gyll. — Taille de 5 à 7 millimètres environ.
Ovale, avec les troncatures du bout des élytres arrondies.
Noir, plus ou moins bronzé, plus ou moins bleuâtre, avec le
corselet, la suture et les bords extérieurs des élytres un peu
métallescents. Dessous et épipleures noir-bronzé. Pattes tes-
tacées. Stries des élytres à points assez forts, assez serrés et
égaux; une strie elliptique ponctuée sur le bout un peu relevé
de chaque élytre. La variété dorsalis a les élytres d’une teinte
brun-rougeûtre. On a donné le nom d’opacus à de petits exem-
plaires où les stries, surtout sur le disque, sont plus finement
ponetuées. — Moins commun. RG : Loën.

95. Orectochilus villosus, Müller. — Taille de 5 à 6 millimètres.
Allongé et notablement convexe, presque gibbeux vers la base
des élytres, qui sont comprimées latéralement et terminées
chacune par une troncature un peu oblique et arrondie.
D'un brun assez foncé, médiocrement brillant; testacé en des-
sous; couvert d'une pubescence grise veloutée. Labre très
proéminent. Corselet beaucoup plus large que long. Écusson
assez grand. — Rare. RD : Rivière de la Berwinne (D' Cha-
puis). RG : Herstal (id.), Statte (M. Cluysenaar).

FAMILLE DES LUCANIDES.

24. Lucanus cervus, L. — Le plus grand de nos coléoptères
indigènes; le mâle atteint parfois une longueur de 5 !/, centi-
mètres sans les mandibules, et 7 !/, en y comprenant la gigan-
tesque fourche antérieure formée par elles chez les exem-
plaires bien développés; la femelle n'a généralement qu’une
taille de 4 à 4 !/, centimètres, qui est aussi celle des petits

(12)

mâles à mandibules peu développées (var. capra, Oliv.).
Couleur noir de poix, avec les mandibules et les élytres
d'un brun de poix rougeàtre assez luisant. Tête forte, trans-
versalement quadrangulaire, plus large que le corselet chez
les mâles au développement maximum, aussi large seule-
ment dans la variété capra. Les crêtes saillantes qui la
bordent sur les côtés et surtout aux extrémités de la base chez
les grands males, s’effacent graduellement chez ceux dont la
taille fait la transition à cette variété capra, où lesdites crêtes
n'existent pas. En avant, les mandibules forment une énorme
fourche dont les branches se courbent en s’inclinant et se
terminent par une bifurcation en rapprochant leurs bouts ;
une forte dent, précédée et suivie de quelques denticules, se
trouve aux deux tiers de chaque mandibule en dedans. Chez
les exemplaires de la variété capra, ces organes conservent la
même forme, mais sont de proportions plus réduites. La
femelle a une tête plus étroite que le corselet, s’abaissant en
avant et latéralement, avec des angles antérieurs arrondis et
les mandibules, assez fortes d’ailleurs, sont de forme normale,
courtes et dentées à leur bord interne et supérieur. Dans les
deux sexes, la massue se compose de quatre feuillets. Corselet
rugueux, ayant les angles postérieurs remplacés par une large
troncature. Élytres beaucoup plus finement granuleuses, avec
le bord postérieur un peu déprimé au bout. Pattes longues et
fortes; une grande tache oblongue de poils d’un roux doré
à la base des cuisses antérieures. — RD : Chénée, Ougrée,
Embourg, Chèvremont, Beaufays, Tilff, Sart, Strée. RG : Liège,
Bois-l'Évèque, Val-Benoit, Jemeppe.

95. Dorcus parallelipipedus, L. — Long d'environ 20 milli-

mètres et large de 9 millimètres; forme assez cylindrique, un
peu déprimée. Entièrement d’un noir de poix. Mandibules assez
fortes chez le mâle, moins fortes chez la femelle, mais sail-
lantes dans les deux sexes et portant, aux deux tiers de leur
longueur, au côté interne, une dent un peu redressée. Corselet
et élytres densément ponctués. La femelle à sur le front deux

Rs

( 15.)

petits tubercules. — RD : Les Vennes, Wandre. RG : Saint-
Gilles, Bois-l'Evèque, Grâce-Berleur, Flémalle-Haute, Her-
malle-sous-Argenteau, Glons.

26. Platycerus caraboïdes, L. — Taille d'environ 12 millimètres.
Coloration variant du bleu au violet et au vert bronzé métal-
lique. Antennes et pattes noires; celles-ci quelquefois rouges
(var. rufipes, plus fréquente chez les femelles). Tête petite, un
peu excavée en avant, fortement ponctuée; les mandibules un
peu plus développées chez le mâle que chez la femelle. Cor-
selet à côtés arrondis, densément, mais assez finement ponctué;
le bord antérieur à peu près aussi large que la base chez le
male, plus étroit chez la femelle ; les angles postérieurs droits

et même un peu saillants, surtout chez les mâles. Élytres
striées-ponetuées; interstries rugueux, — RD : Sartilman,
Tilff, Chaudfontaine, Neuville-en-Condroz, Verviers, Aubel,
Henri-Chapelle, Hestreux, Baraque-Michel.

27. Sinodendron cylindricum, L. — Taille de 12 à 15 milli-
mètres. Noir assez brillant, avec les antennes et les tarses rou-
getres. Forme cylindrique. Tête petite et déprimée, surgissant
de dessous le corselet qui, chez le mâle, est cylindrique, avec
une forte troncature antérieure, dont la partie supérieure,
largement échancrée, a encore au milieu de cette échancerure
un second sinus, d’où sort une étroite saillie horizontale; la
troncature est parsemée de gros points ombiliqués; le dessus
du corselet a un disque lisse, avee un pourtour offrant une
ponctuation forte, mais espacée. Chez la femelle, le corselet,
très rugueux, est fortement convexe et faiblement creusé de
deux fossettes en avant. Le mâle a le devant de la tête relevé
en une corne assez longue ; la femelle n’a qu'un petit tuber-
cule frontal. Élytres striées, mais les stries fort oblitérées par
la rugosité générale, qui est très forte et très grossière. —
RG : Chènée, Embourg, Beaufays, Dalhem, Mouland, Trooz,
Theux, Goé, Baraque-Michel, forêt d'Hertogenwald. RD :
Liège, Rocour, Loën.

(14)

FAMILLE DES SCARABÉIDES.

Sous-famille 1 : LAPAROSTICTI,

28. Sisyphus Schäfferi, L. — Taille de 7 à 10 millimètres. Assez
globuleux, mais plus large au corselet et aux épaules qu’en
arrière, où les élytres se rétrécissent visiblement. Noir assez
mat. Tête granuleuse ; chaperon sinué en avant. Corselet très
bombé, très densément ponctué. Élytres légèrement striées-
crénelées. Pattes antérieures assez courtes, à tibias portant vers
l'extrémité trois fortes dents externes. Les pattes intermédiaires
et postérieures, remarquablement longues el assez arquées,
chez les mâles surtout, servent à ces insectes à rouler les bou-
lettes de bouse de vache où ils renferment leurs œufs. —

Très rare. RG : Engis, Loën.

99. Caccobius Schreberi, L. — Taille d'environ 5 millimètres.
Suborbiculaire et un peu déprimé sur les élytres. D'un noir
légèrement violacé, avec deux taches rougeâtres sur chaque
élytre, l’une vers le milieu de la base, l'autre au sommet.
Pattes rougeàtres. Chaperon retroussé et sinué en avant. Cor-
selet bombé, ayant en avant chez le mâle quatre petites bos-
settes; en dessous du corselet sont creusées des fossettes
recevant au repos les massues des antennes. Élytres striées-
crénelées; insterstries ponctués. — Rare. RD : Visé (M. le
D: Jacobs).

50. Copris lunaris, L.— Taille d'environ 20 millimètres. Large
et ventru. Noir brillant, avec une pubescence rousse sous la
tête, sur la poitrine et un péu sur les cuisses antérieures. Tête
aplatie, en demi-lune fort large, avec une échancrure en
avant et des angles postérieurs pointus. Au centre se dresse,
chez le mâle, une corne pointue plus ou moins longue, sur la
naissance de laquelle sont deux petites dents postérieures;
chez la femelle, cette corne est remplacée par une saillie

(15)

bifurquée. Chez le mâle, le corselet est rétus en avant, avec
une dépression médiane verticale et, de chaque côté, une aile
ou protubérance anguleuse ; caractères qui disparaissent chez
les mâles peu développés, à corne céphalique rudimentaire
(var. corniculatus); chez la femelle, l'escarpement antérieur du
corselet est très peu marqué et présente trois faibles dépres-
sions. Stries des élytres fortes, mais faiblement ponctuées;
interstrics très convexes. Pattes fortes et courtes. — RD : Re-
mouchamps (D' Candèze). RG : Lixhe.

31. Onthophagus taurus, L. — Taille de 7 à 10 millimètres. En
ovale court et très large, déprimé en dessus. Noir tant soit peu
verdâtre. Dans la variété fuscipennis, les élytres sont brun-
noirâtre. Chaperon plat, avec un bord un peu retroussé, non
échancré en avant. Les mâles au maximum de développement
ont en arrière du front une arête de peu de hauteur, mais des
extrémités de laquelle naissent deux cornes longues, plates et
fortement recourbées; on a formé diverses variétés avec les
mâles, où les cornes acquièrent moins de développement,
diminuent de courbure et finissent par se réduire à de
toutes petites saillies {variétés bos, bovillus, capra, caprellus);
enfin il est des màles (var. femineus) où les derniers vestiges
de ces cornes disparaissent et qu'on ne distingue des femelles
que parce que celles-ci ont, outre la carène postérieure du
front, une autre carène sur la suture frontale. Le corselet est
fortement bombé, ayant chez les mâles une dépression anté-
rieure et deux creux latéraux pour recevoir les cornes. Stries
des élytres fines et finement ponctuées. Interstries plans,
très finement pointillés. Tarses brunâtres. — RD : Huy, Ramet,
Tilff. RG : Jemeppe, Flémalle-Haute, Engis.

52. O. vacca, L. — Taille de 7 à 12 millimètres. Largement
ovalaire. D'un vert noirâtre, plus clair et métallique sur le
corselet, avec les élytres testacées et semées d’une foule de taches
verdâtres ou noires (var. medius) plus ou moins confluentes.
Épipleure entièrement testacée. Chaperon ogival chez le mâle,
semi-orbiculaire chez la femelle, à bord assez retroussé, sur-

(16)

tout en avant chez le mâle. Celui-ci a la suture frontale faible-
ment saillante, mais le vertex prolongé en une lame qui, chez
les grands exemplaires, est quadrangulaire et surmontée d'une
corne plate redressée; chez les petits développements, il n’y a
qu'une lame plus où moins triangulaire. La femelle a, sur la
suture frontale, une forte arête transversale curviligne et, en
avant du vertex, une saillie transversale dont les extrémités se
redressent en pointes ou petites cornes. Corselet fort convexe,
rétus en avant, avec trois enfoncements chez le mâle et seule-
ment deux chez la femelle, où l’on observe une saillie hori-
zontale médiane surplombant le milieu du vertex; ponctuation
dense, granuleuse; angles antérieurs un peu tombants, mais
sans que le bord latéral forme sinus en arrière de l'angle.
Stries des élytres faibles et très indistinctement ponctuées;
interstries plans, portant quelques granulations presque ali-
gnées. — RD : Ensival, RG : Grâce-Berleur, Engis, Loën,
Statte.

55. O. cœnobita, Herbst. — Taille de 7 à 9 millimètres. Large-
ment ovale, assez déprimé sur les élytres. Vert métallique
assez brillant, avec les élytres brun-noïsette, semées d’un petit
nombre de petites taches brunes, non confluentes. Épipleure
entièrement testacée. Chaperon semi-cireulaire, un peu sail-
lant et retroussé en avant chez le mâle, où la suture frontale
est peu saillante et où le vertex se relève en une lame angu-
leuse sur les côtés et portant au milieu une corne plate un peu
redressée; chez la femelle, deux carènes, l’une à la suture
frontale, l’autre en arrière et sans corne médiane. Corselet con-
vexe, densément et granuleusement ponctué, rétus en avant,
avec une dépression médiane, surmontée chez la femelle d’une
saillie quelquefois bilobée; bord latéral un peu sinué en arrière
de l'angle antérieur. Élytres finement striées; ponctuation des
interstries fine. Chez les petits développements des mâles (var.
tricuspis et cuspidiusculus), la corne du vertex s’oblitère gra-
duellement. — RD : Angleur, Embourg, Ramet, Huy, Neu-
ville-sur-Meuse. RG : Val-Benoit, Sclessin, Jemeppe, Glons.

(ES)

54. O. fracticornis, Preyssler. — Taille d'environ 5 à 9 milli-
mètres. Largement ovalaire. Vert assez foncé ou bronzé, avec
des élytres testacées, semées de taches d’un noir verdâtre
nombreuses et confluentes..Épipleure testacée, rembrunie en
avant; le dessous noir-verdâtre. Chaperon semi-circulaire, plus
avancé et tronqué chez les mâles, où la suture frontale est très
peu saillante et où le derrière de la tête porte une lame
inclinée, surmontée d'une petite corne plate redressée:; de
nombreuses variétés (subrecticornis, tricuspidus, sublaminatus,
similis) ont été établies sur le plus ou moins grand développe-
ment de cette armature; la femelle a deux arêtes saillantes,
l’une postérieure, l’autre sur la suture frontale. Corselet con-
vexe, densément ponctué et pubescent, rétus en avant; les
angles antérieurs, en plongeant un peu, déterminent un sinus
à leur suite sur le bord latéral. Élytres à stries très fines et
à ponctuation des interstries fine et presque en séries. —

RD : Jupille, Polleur, Hockay. RG : Engis, Loën.

35. O. nuchicornis, L. — Taille d'environ 6 à 10 millimètres.
Noir, quelquefois avec un assez léger reflet bronzé : élytres
testacées, parsemées de taches noires, mieux limitées que chez
O. fracticornis ct dont une, carrée, assez grande, occupe
toujours la base du 5° interstrie. Épipleure à partie antérieure
noire. Chaperon semi-orbiculaire, un peu tronqué en avant;
chez le mäle, la suture frontale est peu saillante et le vertex
se prolonge en une lame anguleuse, portant une petite corne
plate qui la continue au milieu ; on a considéré comme variétés
les développements moindres (var. Xiphias et trituberculatus) ;
la femelle a deux arêtes transversales saillantes, l’une en
arrière, l’autre sur la suture frontale même. Corselet très
convexe, très rétus, granuleux et pubescent, avec une protu-
bérance antérieure chez la femelle; l'angle antérieur ne plon-
geant pas, le bord latéral n’est pas sinueux à la suite de cet
angle. Élytres à stries assez marquées; les interstries avee des
points plus ou moins en séries. — RD : Grivegnée, Tihange.
RG : Liège.

2]
Ai

(18)

36. O. lemur, Fabr. — Taille de 5 à 9 millimètres. Noir-ver-
dâtre, très pubescent; les élytres testacées, avec une bande
longitudinale verte sur la suture et une série de taches allon-
gées de la même couleur formant une série courbe en fer à
cheval, allant d’une épaule à l’autre en coupant la suture au
milieu. Le chaperon porte chez le mâle une seule arête trans-
versale élevée, placée en arrière du front; chez la femelle
cette arête est moins élevée et doublée d’une seconde, sur la
suture frontale. Corselet bombé, rétus en avant et présentant
quatre bossettes à son point culminant dans les deux sexes ; il
est fortement granuleux. Élytres à stries fines et à interstries
ponctués en séries. Il y a des variétés où les taches des élytres
s’agrandissent et se rejoignent, d’autres où elles tendent à
s’effacer. — Assez rare. RG : Chokier, Lixhe, Loën.

57. O. ovatus, L. — Taille de 4 à 6 millimètres. Subglobuleux.
Noir, avec une courte pubescence d’un gris noirâtre. Chaperon
semi-circulaire, relevé et assez fortement sinué en avant. Sur
le haut du front, une arête transversale assez élevée chez le
mâle, moins élevée chez la femelle, où elle se double d’une
seconde arête arquée, répondant à la suture frontale. Corselet
et élytres densément granuleux ; ces dernières finement striées.
— Commun. RD : Seraing, Ramet, environs de Visé, Tilf,
Méry, Esneux, Huy. RG : Gràce-Berleur, Jemeppe, Flémalle-
Haute, Engis, Glons, Lixhe, Loën.

38. O. furcatus, Fabr. — Taille d'environ 5 millimètres. De
mème forme que l'O. ovatus. Noir un peu métallique, avec des
élytres brun-noirâtre, portant au bout une rangée transverse de
taches rouges interstriales assez confluentes; une tache humé-
rale semblable, souvent effacée. Dans la variété rubellus, Muls:,
les élytres sont entièrement rougeâtres. Pubescence générale
courte, d'un gris un peu flave. Le mâle a le vertex relevé en
une carène dont le milieu saillant est flanqué de chaque côté
d’une petite corne cylindrique dressée. Chez la femelle, cette
armature est remplacée par une arête assez haute coupée

(19)

carrément en dessus. Corselet très densément ponctué. Élytres
striées-crénelées, avec les interstries marqués de granules en
séries plus ou moins régulières. — Très rare. RD. Bressoux
(M. Séverin).

59. Colobopterus erraticus, L. — Taille de 6 à 9 millimètres.
Noir assez luisant, avec une pubescence flave en dessous ; les
élytres d’un brun jaunâtre généralement assez clair, avec la
suture enfumée, parfois entièrement rembrunies. Ovale un peu
large ; les élytres un peu déprimées et tronquées en arrière,
Tête et corselet densément ponetués. Élytres à stries fines et
finement ponctuées. Le mâle a la suture frontale plus marquée
et un tubereule à son milieu. — RD : Bressoux, Tilff, Esneux,
Coo, Hockay, Huy, Ben-Ahin. RG : Herstal, Jemeppe,
Flémalle-Grande, Flémalle-Haute, Engis, Horion-Hozémont,
Fallais, Loën.

40. Coprimorphus subterraneus, L. — Taille de 6 à 7 milli-
mètres. Cylindrique, très peu déprimé en dessus. Noir de poix
assez brillant. Les exemplaires à élytres un peu rougeûtres
forment la variété fuscipennis. Chaperon semi-cireulaire, un
peu sinué en avant, avec une saillie jugale en avant de l'œil.
Une ligne transverse frontale de trois tubercules, égaux chez
la femelle, tandis que, chez le mâle, le médian est plus déve-
loppé. Corselet parsemé de gros points; une fossette sur le
devant de celui du mâle. Écusson enfoncé. Élytres à stries
profondes assez erénelées; les interstries internes relevés en
côtes saillantes, dont chacune est accompagnée de deux lignes
élevées plus petites. —- RD : Bressoux, Ramet, Huy, Tihange.
RG : Rocour, Glons.

41. Otophorus hæmorrhoïdalis, L. — Taille d'environ 4 à
5 millimètres. Ovale un peu large et un peu court. Noir, avec
le bout des élytres largement rouge et souvent (var. sanguino-
lentus) une petite tache humérale de la même couleur. La
tète et le corselet ponetués; ce dernier plus densément chez

4

la femelle. Chaperon semi-cireulaire, très légèrement sinué en

( 20 )

avant et les bords un peu relevés de chaque côté de l’échan-
crure. Joue formant devant l'œil une saillie bien anguleuse.
Suture frontale portant trois tubereules, le médian plus élevé
que les latéraux chez les mâles. Écusson grand, atteignant
jusqu’au quart de la longueur de la suture. Élytres raccourcies
en arrière et laissant à découvert le bout du pygidium. Leurs
stries fortes, lisses en arrière, mais crénelées en avant par de
gros points allongés transversalement. — RD : Bressoux,
Ramet, Quarreux, Sart, Hockay, Baraque-Michel, Hertogen-
wald. RG : Engis.

42. Teuchestes fossor, L. — Taille d'environ 10 à 12 millimètres,
parfois plus petit. Ovale, large, convexe. Noir brillant. Une
variété à élytres d’un rouge acajou a reçu le nom de sylvaticus.
Chaperon assez fortement sinué en avant, ayant sur la suture
frontale trois tubercules, dont le médian forme chez le mâle
une petite corne. Chez le mâle, le corselet est creusé en avant
d’une fossette et plus lisse sur le disque ; chez la femelle, il est
sans fossette et uniformément ponctué. Écusson atteignant le
quart de la longueur des élytres. Celles-ci finement striées-
ponetuées ; interstries lisses. — RD : Jupille, Droixhe,
Angleur, Ramet, Esneux, Strivay, Fond de Forêt, Hockay.
RG : Val-Benoit, Jemeppe, Engis, Herstal, Fallais, Statte.

45. Aphodius scybalarius, Fabr. — Taille d'environ 8 milli-
mètres. Oblong et assez cylindrique, nullement déprimé.
Tête, corselet et dessous du corps noirs; jamais de tache aux
angles antérieurs du corselet. Élytres d'un testacé jaunâtre,
souvent (var. conflagratus) avec une grande tache discoïdale
mal limitée d’un brun sale, aussi ou plus souvent totalement
enfumées ou rembrunies (var. nigricans). Chaperon à peu
près en trapèze, à côtés faiblement arqués ; la suture frontale a
trois tubereules, le médian plus fort chez les mâles. Corselet
rebordé en arrière, déprimé sensiblement en avant chez le
mâle; sa ponctuation forte, mais assez clairsemée, avec une
tache lisse sur les côtés. Élytres striées-ponctuées. — RD :
Seraing. RG : Liège, Jemeppe.

(21)

44. À. fœtens, Fabr. — Taille d'environ 8 millimètres. Ovale
et large. Brillant; noir, avec les élytres rouge-cinabre, ainsi
que des taches aux angles antérieurs du corselet; pattes rou-
geatres; abdomen jaune-rougeàtre. Suture frontale chargée de
trois tubereules, dont le médian fort prononcé chez le mâle, où
il est précédé d’une saillie arquée assez faible. Corselet rebordé
à la base; sa ponctuation clairsemée, avec un espace lisse près
des côtés. — RD : Ougrée, Lize, Colonster, Beaufays, Theux,
Surister, Hockay, Hertogenwald. RG : Jemeppe, Hollogne-
aux-Pierres.

45. A. fimelarius, L. — Taille d'environ 5 à 7 millimètres.
Ovale, convexe. Noir (tout l'abdomen compris), avec les élytres
rouge-cinabre, ainsi que les angles antérieurs du corselet. La
variété autumnalis a été établie sur des individus immatures,
où les parties noires sont restées d’un brun rougeûtre. Chaperon
trapézoïdal un peu sinué en avant; suture frontale précédée
d'une saillie arquée, assez faible chez la femelle; la suture elle-
même porte trois tubercules, égaux chez la femelle, tandis
que, chez le mâle, le médian est plus prononcé. Corselet à
ponctuation assez forte, mais éparse et laissant un espace lisse
sur chaque côté; celui du mâle est creusé en avant d’une
fosseite, Élytres à stries assez fortement ponctuées. — Extrè-
mement commun et abondant. RD : Chénée, Beaufays, Tilff,
Méry, Strivay, Esneux, Comblain-au-Pont, Aywaille, Martin-
rive, Coo, Hockay, Jupille, Huy, Tihange. RG : Liège, Val-
Benoit, Rocour, Herstal, Jemeppe, Flémalle-Haute, . Engis,
Lixhe, Loën, Glons.

4G. À. ater, de Geer (terrestris, Fabr.). — Taille d'environ 4 à
5 millimètres. Large, court et convexe. Noir mat. Chaperon
peu profondément, mais largement sinué en avant. Suture
frontale portant trois tubercules, dont le médian plus fort chez
les mâles ; en avant, dans les deux sexes, une arèête assez longue
et faiblement arquée, plus forte chez les mâles. Corselet densé-
ment ponctué, surtout sur les côtés, sans espace lisse; un

rebord à la base et sur les côtés. Écusson triangulaire, grand
et à base fort large. Élytres assez fortement striées; les points
des stries faibles. Mésosternum en lame saillante. Les cou-
ronnes de poils des tibias postérieurs formées d'une seule espèce
de poils, courts; premier article des tarses postérieurs aussi
long que les trois suivants ensemble. La variété terrenus a les
élytres d'un brun rouge luisant. — Rare. RD : Vaux-sous-
Chèvremont (M. Miedel). RG : Liège (id.).

47. A. pusillus Herbst. — Taille généralement comprise entre
9 et 4 millimètres. Brun de poix foncé, presque noir, sauf le
bout des élytres, qui est plus rougeâtre, ainsi que les angles
antérieurs du corselet; pattes d’un brun de poix assez foncé.
Chez la variété cœnosus, les parties latérales du corselet et les
élytres sont rougeàtres. Chaperon un peu sinué en avant, à
bord plutôt abaissé que relevé. Suture frontale faiblement
saillante, un peu plus accusée aux extrémités, mais sans tuber-
cule médian dans les deux sexes. Corselet assez densément
ponctué, ne présentant aucun espace lisse sur le milieu des
côtés, la base entièrement rebordée. Écusson largement trian-
gulaire ; les côtés en ligne droite du sommet à la base. Élytres
à stries plus ou moins crénelées. Aux tibias postérieurs, les
couronnes de poils sont composées de soies longues et de soies
plus courtes, et le premier article des tarses postérieurs, sensi-
blement égal à l'éperon du tibia, est à peu près aussi long que
les deux articles suivants ensemble. Le mâle ne se distingue
de la femelle que par une excavation du métasternum et
l'éperon des jambes antérieures, qui s’atténue de la base au
sommet, tandis que celui de la femelle est uniformément grêle.
— RD : Sainval près Tilff, Beaufays, Remouchamps,
Quarreux, Coo, Verviers, Huy. RG : Rocour, Bierset, Engis,
Loën.

48. À. granarius, L. — Taille d'environ 5 millimètres, mais
pouvant s'abaisser jusqu’à 5. Brun de poix très foncé et lui-
sant, avec le sommet des élytres et les côtés du corselet vague-

(25 )

ment rougeâtres. Chaperon largement échancré en avant,
ayant la suture frontale relevée chez le mâle en une arête
trituberculée, à tubercule médian bien accentué, et, devant
cette arête, une autre, courte et arquée ; chez la femelle, cette
dernière manque ou n'est qu’à l’état de vestige et celle de la
suture frontale n’a qu'un tubercule médian et les extrémités
effacées. Corselet à ponctuation de deux sortes de points,
médiocrement dense et laissant voir, vers le milieu des côtés,
un espace lisse; la base est entièrement rebordée. Écusson à
contour pentagonal, parce que les côtés se brisent au milieu
et se rapprochent d'une perpendiculaire sur la base. Élytres à
stries crénelées et interstries très faiblement pointillés. Cou-
ronnes des tibias postérieurs en brosses courtes d’une seule
espèce de poils. — Extrêémement commun. RD : Angleur,
Kincampoix, Retinne, Dalhem, Visé, Mouland, Méry, Quar-
reux, Heusy, Baraque-Michel, Huy, La Sarte, Tihange. RG :
Liège, Herstal, Awans, Montegnée, Jemeppe, Chokier, Lixbe,
Loën.

49. A. tristis, Panzer. — Taille de 5 à 5 millimètres. Propor-
tionnellement un peu court. Noir brunâtre luisant, laissant
parfois apercevoir vers le sommet de l’élytre une vague macule
rougeâtre. Parfois (var. cœnosus) les élytres et les côtés du
corselet sont d’un brun rougeàtre clair. Chaperon sans tuber-
cules, mais avec la suture frontale formant une faible arête
transversale. Corselet densément ponctué; point d'espace lisse
latéral ; base entièrement rebordée. Écusson aussi de forme
pentagonale. Stries des élytres plus fines et moins fortement
ponctuées. Couronnes des tibias postérieurs composées de
deux longueurs de soies. Premier article des tarses posté-
rieurs moins long que l’éperon terminal du tibia. Le mâle
a un caractère remarquable consistant dans la dilatation et
l’aplatissement du tibia postérieur en forme de lame de rasoir.
— RD : Beaufays, Louveigné, Quarreux, Solwaster, Baraque-
Michel.

(24)

50. A. quadrimaculatus, L. — Taille comprise entre 3 et
3 !/4 millimètres. Ovale, un peu plus large en arrière. Noir,
avec les élytres ornées de deux taches rouges, l’une humérale,
sujette à disparaitre (var. a Mulsant), l’autre placée sur le
dernier tiers de l'élytre, sujette à s'étendre en arrière (var.
caudatus); quelquefois les deux taches se réunissent en une
vaste tache discoïdale (var. prolongatus). Chaperon sans tuber-
cules; la suture frontale un peu marquée chez le mâle, où son
centre forme une bosse. Corselet densément ponctué ; la base
finement rebordée. Écusson subpentagonal. Élytres à stries
fines et faiblement crénelées. Les couronnes de soies des
uibias postérieurs composées de deux longueurs de poils. —
RD : Embourg, Sainval, Beaufays, Aywaille, Huy. RG :
Rocour, Engis, Loën.

91. À. sanguinolentus, Panzer. — Taille de 3 à 3 !/, milli-
mètres. Ovale-allongé. Noir brillant, avec les élytres rouge de
sang et leur suture noir-brunâtre; généralement aussi une
tache rouge aux angles antérieurs du corselet. Chaperon non
sinué en avant; ses angles jugaux peu proéminents et arrondis
ou plutôt émoussés. Suture frontale sans tubercules. Corselet
densément ponctué, finement rebordé à la base. Élytres striées-
crénelées; interstries plans et finement pointllés. Le mâle a
le métasternum excavé et l’éperon terminal des tibias anté-
rieurs pointu et recourbé; il est droit chez la femelle.
— Rare. RD : M. Miedel l’a trouvé à Embourg, Beaufays
et Ninane.

52. À. depressus, Kugelann.— Taille comprise entre 6 et 9 milli-
mètres. Ovale assez large. Noir luisant, avec les élytres rouges
chez la forme typique (dont je n'ai pas encore vu d'exemplaires
belges), noires chez la variété nigripes, Duft. (atramentarius,
Er.). Chaperon large, semi-orbiculaire, sans sinus antérieur ;
les joues très anguleuses en avant des yeux; la suture fron-
tale, peu apparente, est transversale, non anguleuse au milieu,
mais seulement un peu arquée en arrière; la ponctuation,

(25)

extrêmement fine, le rend presque lisse et très luisant. Cor-
selet à ponctuation dense et assez fine. Écusson large et trian-
gulaire. Élytres à stries fines, presque imponctuées ; interstries
plans, densément ponetués. Le caractère essentiel pour distin-
guer la variété noire de cette espèce de la variété noire de
l'A. luridus se trouve dans la cuisse postérieure qui, outre la
forte ponctuation générale, a sur son tiers ou ses deux cin-
quièmes antérieurs seulement, une ligne de gros points ou
pores pilifères. L'éperon terminal des tibias antérieurs est
plus ou moins cylindrique chez le mâle, complètement en
épine chez la femelle. — RD : Coo (feu C. Van Volxem).

D9. À. luridus, Fabr. — Taille de 6 !/, à 10 millimètres. Ovale-
allongé. Noir assez brillant, avec les élytres d’un testacé jau-
nâtre clair, marquées (dans la forme typique) de deux séries
transversales arquées de taches noirâtres interstriales rectan-
gulaires, les externes des deux rangées assez souvent réunies ;
il y a pour ces taches assez de variations, soit qu’elles dimi-
nuent en nombre, ou en grandeur, soit qu’elles s'augmentent,
s'étendent et se réunissent, surtout vers la base de l’élytre.
Une variété, plus commune que le type (gagates, Muller ou
nigripes, Fabr.) a les élytres absolument noires et assez lui-
santes. Chaperon semi-orbiculaire, sans sinus antérieur, sans
protubérances, à peu près lisse, assez fortement rebordé en
avant ; les joues anguleuses; la suture frontale, peu apparente,
forme au milieu un angle bien marqué, dirigé en arrière. Cor-
selet finement et densément ponctué. Écusson triangulaire.
Élytres à stries indistinctement ponetuées et à interstries pone-
tués presque en séries. Dessous plus pubescent que chez
l'A. depressus. Aux cuisses postérieures, la série de pores
pilifères très marqués n'est pas bornée au tiers, mais s'étend
sur toute la longueur. Éperons des tibias antérieurs en épines
chez la femelle, plutôt cylindriques chez le mâle. — RD :
Embourg, Ninane, Esneux, Sprimont, Le Trooz, Hockay,
Tihange. RG : Bierset, Hollogne-aux-Pierres, Engis, Loën,
Glons.

(26 )

54. A. rufipes, L.— Taille d'environ 10 à 12 millimètres. Ovale-
allongé, assez convexe. D'un brun marron brillant, plus ou
moins rougeâtre, avec les pattes rougeâtres et les antennes
orangées. Chaperon semi-orbiculaire, rebordé, sans autre pro-
tubérance qu'une faible gibbosité chez la femelle; joues angu-
leuses devant les yeux. Corselet fortement rebordé latérale-
ment, Sans rebord à la base, lisse, avec quelques points épars
sur les côtés. Écusson en triangle eurviligne, lisse. Élytres à
stries ponctuées; interstries convexes et lisses. L’éperon ter-
minal des tibias antérieurs plus grèle chez les femelles que
chez les mâles, qui ont le métasternum un peu creusé.
RD : Bressoux, Jupille, Tilff, Strivay, Sprimont, Comblain-au-
Pont, Hockay. RG : Liège, Herstal, Chertal, Rocour, Jemeppe,

* Chokier, Loën, Statte.

55. À. porcus, Fabr. — Taille de 4 à 6 millimètres. Ovale.
D'un noir brillant, avec les élytres d’un rouge un peu violacé.
Chaperon semi-orbiculaire, à bord un peu retroussé, rugueux;
suture frontale trituberculeuse; le tubercule médian un peu,
plus prononcé chez la femelle. Corselet densément ponctué,
<urtout chez la femelle. Élytres à stries larges et profondes,
séparées par des intervalles rugueux et un peu relevés en
rebord vers chaque strie. RG : Engis.

56. À. scrofa, Fabr. — Taille d'environ 5 millimètres. Noir de
poix et couvert d’une courte pubescence flave. Chaperon semi-
orbiculaire, tronqué en avant, plus ponetué chez la femelle
que chez le mâle; chez la première, une gibbosité frontale.
Corselet densément ponctué, à base rebordée seulement auprès
des angles. Élytres striées-crénelées; interstries marqués de.
points en séries. — RD : Verviers (feu Chapuis). RG : Glons,

Engis.

57. A. sordidus, Fabr. — Taille comprise entre 6 et 8 milli-
mètres. En ovale-allongé assez convexe. Tête noire, tachée de
testacé sur le devant du chaperon; corselet noir-brunâtre, avec

(27)

(out son pourtour testacé; une tache brune au milieu de la
partie testacée des côtés; élytres jaune clair, à suture brunâtre
de mème que l’écusson; pattes jaunâtres. Chaperon un peu
sinué en avant; suture frontale trituberculeuse ; le tubercule
médian plus prononcé chez les mâles. Corselet très finement
ponctué, à base rebordée. Élytres striées-crénelées ; la ponc-
tuation très fine des interstries se groupe le long des stries et
cesse un peu avant le sommet de l'élytre. Une variété (quadri-
punctatus) a, sur chaque élytre, deux macules brunes, l’une
humérale, la seconde vers le bout et s’effaçant quelquefois.
— RD : Droixhe, Strivay, Hockay.

58. A. rufescens, Fabr. (rufus Moll, Mulsant). — Taille de 5 à
7 millimètres. Ovale-allongé, assez convexe. Brun-rougeàtre,
rembruni sur la tête et le disque du corselet; point de tache ”
brune aux côtés de celui-ci, quelquefois les élytres sont aussi
rembrunies, ou marquées d’une large tache discoïdale allongée
noirâtre. Chaperon tronqué et sinué en avant; suture frontale
tritubereuleuse; le tubereule médian plus fort chez le mâle.
Corselet densément ponctué, mais les points très fins; base
tout à fait rebordée. Élytres à stries faiblement crénelées; les
interstries plus uniformément ponctués que chez l'espèce
précédente et cette ponctuation prolongée jusqu'au bout.
— RD : Sprimont, Quarreux, Theux, Huy. RG : Jemeppe.

59. À. nitidulus, Fabr. — Taille de 4 !/, à 5 ‘/, millimètres.
Ovale-allongé un peu cylindrique. Tête noire, avec le devant
rougeâtre; le corselet d’un noir brunâtre brillant, n'ayant de
testacé que les bords latéraux et une très fine bordure anté-
rieure; élytres généralement fauves, parfois un peu rougeàtres,
parfois aussi d’un jaune flave; suture rembrunie. Chaperon
trapéziforme; suture frontale à trois tubereules, le médian plus
prononcé chez les mâles. Corselet rebordé en arrière, densé-
ment et finement ponctué. Stries des élytres fines, très faible-
ment crénelées; interstries plans et lisses. — RD : Tilff,
Esneux, Strivay, Sprimont, Theux, Solwaster. RG : Jemeppe.

(28 )

60. À. merdarius, Fabr. — Taille d'environ 3 à 4 millimètres.
Assez étroit. Tête et corselet noirs ; ce dernier a ordinairement
une tache testacée aux angles antérieurs, tache qui est sujette
à disparaitre (var. foriorum) ou à s'étendre à tout le bord
latéral (var. quisquilius); élytres d’un jaune sale, avec la suture
et une étroite bordure externe noirâtres. Chaperon trapézoïdal
à angles émoussés; point de tubereule sur la suture frontale.
Corselet densément couvert de deux sortes de points; sa base
rebordée seulement vers les angles. Élytres à stries assez fines,
faiblement crénelées ; interstries ponctués. Le mâle a le méta-
sternum fortement exeavé. — RD : Huy, Solwaster. RG : Ans,
Rocour, Alleur, Loën, Engis.

61. À. melanostictus, Schmidt-Goebel. — Taille de 4 !L à
6 millimètres. Oblong, un peu large et un peu plus robuste
que les autres espèces suivantes à élytres mouchetées. Tête
toute noire; le corselet noir, avec les côtés rougeâtres. Écusson
noir. Élytres à fond testacé fauve assez rougeâtre et assez lui-
sant; les taches, sujettes d’ailleurs à beaucoup de variations,
se ramènent à l'état minimum à deux taches sur le 5° inter-
strie, après le premier et le deuxième tiers de la longueur,
deux autres sur le 5° interstrie, l’une tout à la base, l’autre en
regard de la 2 du 5° interstrie, puis une large tache à la
partie médiane du 7° interstrie. Dessous du corps noir; les
pattes testacées. Chaperon en demi-hexagone ; suture frontale
portant trois tubereules, dont le médian plus fort chez les
mâles. Corselet à ponctuation dense et inégale ; un rebord à la
base, mais très atténué au milieu. Stries des élytres crénelées;
interstries faiblement pointillés. — Rare. RD : Aywaille

(M. Miedel).

62. A. inquinatus, Herbst. — Taille de 5 à 6 millimètres envi-
ron. Oblong. Tête noire; corselet noir, avec les angles anté-
rieurs testacés ; élytres testacé-jaunâtre, avec une maculature
noire, sujette à de nombreuses variations; dans la forme nor-
male, point de départ de ces variations, il y a : 1° au quart de

(29)

la longueur, une tache composée de trois plus petites, sur les
2°, 5° et 4° interstries; 2° à peu près aux trois quarts, les
mêmes interstries contiennent trois taches contiguës, dont la
médiane devance de toute sa longueur les deux latérales ;
5° une petite tache à la base du 5° interstrie; 4° une bande
longitudinale occupant toute la partie médiane du 7° interstrie
et empiétant le plus souvent sur les 8° et 9°, en se rejoignant
plus ou moins à un petit trait oblique plus en arrière et plus
extérieur. Chaperon en demi-hexagone; un tubercule au
milieu de la suture frontale chez le mäle. Corselet rebordé à
la base; sa ponctuation assez dense et inégale. Stries des
élytres crénelées; interstries assez indistinctement ponctués.
Métasternum plan chez la femelle, excavé chez le mâle. Pattes
d’un testacé clair. — RD : Quarreux (feu Chapuis), Sart
(id.). RG : Laer (M. Van Segvelt).

65. À. sticticus, Panzer. — Taille de 4 à 5 millimètres. Ovale.
Tête noire, avee une tache rougeûtre de chaque côté du cha-
peron, qui est semi-hexagonal, arrondi aux angles. Corselet
noir-brunâtre, largement bordé de testacé sur les côtés; un
rebord latéral bien marqué, un autre à la base, presque effacé
au milieu. Élytres testacées, avec des taches brunes, se rame-
nant normalement au type de deux séries courbées, allant,
l’une de la base du 5° interstrie aboutir vers les trois quarts
de la Jongueur du 5° interstrie;, l'autre se dirigeant depuis le
calus huméral jusqu'entre les 5° et 5° interstries, en arrière de
la terminaison de la première. Stries des élytres crénelées, se
creusant fort à l'extrémité, où les interstries deviennent con-
vexes. Métasternum plan chez la femelle, excavé chez le mâle.
Pattes d’un testacé clair. — RD : Kincampoix, Sartilman,
Colonster, Embourg, Boncelles (M. Miedel).

64. A. tessulatus, Payk. — Taille de 5 à 5 millimètres. En ovale
un peu court, un peu large et un peu convexe. Tête noire,
sans taches. Corselet noir, rebordé à la base, parfois à peine
teinté de rouge ferrugineux aux angles antérieurs. Élytres
d’un testacé ferrugineux luisant, âvec deux rangées courbes

(50 )

de taches assez contiguës et un peu confluentes : la première
partant de la base du 5° interstrie et arrivant un peu avant le
milieu du 5° ; la seconde naissant du ealus, s'épanchant large-
ment en dehors du 7° interstrie sur les interstries externes et
se recourbant ensuite par une ligne transverse en échiquier,
dont la dernière tache est sur le 2° interstrie ; parfois toute la
base est absolument noire. Cuisses d’un brun assez foncé; chez
le mâle, les postérieures se dilatent et sont tout à fait angu-
leuses au milieu. La suture frontale a trois tubercules, dont le
médian plus accentué chez les mâles. — RD : Hockay,
Baraque-Michel. RG : Flémalle-Haute.

65. À. consputus, Creutzer. — Taille de 5 à 5 millimètres. Tête
noire, avec une tache rouge, parfois assez réduite et assez
vague, de chaque côté du chaperon, en avant de l'œil; les
angles jugaux obtus. Corselet noir, assez largement bordé de
rougeâtre sur les côtés, plus étroitement en arrière. Élytres
d'un flave sale, avec le disque longitudinalement marqué
d'une vague tache fauve. Stries légèrement crénelées. Suture
frontale du mâle à trois tubercules. — Rare. RG : Flémalle-

Haute.

66. A. punctato-sulcatus, Sturm. — Taille de 4 à 6 millimètres
environ. Tête noire, sans taches; chapeau à angle jugal plus
petit qu'un angle droit; suture frontale portant trois tuber-
cules, assez apparents chez le mäle, à peu près effacés chez la
femelle. Corselet noir, avee les bords et assez souvent la base,
plus finement, rougeàtres. Élytres d’un flave sale, avec le
disque longitudinalement et vaguement marqué d'une tache
plus foncée; stries ponetuées; interstries poinullés. Métaster-
num fortement excavé chez le mâle, sans que le pourtour soit
relevé et sans pores pilifères; chez la femelle, il est plan et
creusé d’un fin sillon, terminé en arrière par une petite
fossette plus ou moins apparente. Éperon terminal des tibias
antérieurs grêle et pointu dans les deux sexes. — RD : Kin-
campoix, Tilff, Hockay, Baraque-Michel. RG : Flémalle-Haute,

Loën. .

(51 )

Nore. — C'est à M. le baron de Harold que je dois d'avoir pu
établir avec une entière certitude la distinetion entre cette espèce
et l'espèce suivante, qui en est si voisine, l’A. prodromus. Voici
ce que m écrivait, le 15 août 1874, ce savant entomologiste :

« Ce n'est pas la première fois que je suis consulté sur les
deux Aphodius qui vous occupent actuellement. Il m'a fallu long-
temps à moi-même pour me fixer définitivement à leur égard,
mais, à l'heure qu'il est, je suis convaincu que nous avons affaire
à deux espèces parfaitement distinctes et j'ajouterai même plus
faciles à distinguer que certaines autres espèces du même genre.

» Assurons-nous d'abord que nous n'avons devant nous que
les deux espèces en question. Une troisième, extrêment voisine,
est l’A. pubescens, Sturm, mais cette espèce, dont les élytres ont
une forme parfaitement ovalaire, semble être des plus rares.
Je n'en connais, depuis une vingtaine d'années que je m'occupe
du groupe, que trois ou quatre exemplaires authentiques. Enfin,
le pubescens ne me paraît habiter que l'Autriche et l'Italie, d’où
j'ai reçu mes individus par MM. Scheffler et Emery.

» Une quatrième espèce, également voisine, est le tabidus, Er.;
mais cet insecte est d'une forme beaucoup plus cylindrique et n’a
été trouvé Jusqu'ici qu'en Dalmatie.

» Le conspulus avec ses deux petites plaques transparentes de
chaque côté du chaperon, d’une taille généralement beaucoup
plus petite, ne saurait pas non plus nous inquiéter.

» Quant aux auteurs qui se sont occupés des deux espèces en
question, Erichson est toujours le meilleur. Mulsant ne vaut rien;
il a pris des femelles du punctato-sulcatus pour des mäles du
prodroinus, et Thomson (Skand. Col., X) a tout confondu en
admettant une troisième espèce sabulicola (voyez Coleopt. Hefte,
Vip 117).

» Je vois, par votre lettre, que vous êtes sur la bonne voie
pour la distinction de ces deux Aphodius; j'ai done plutôt à vous
confirmer dans celle-ci qu’à vous en indiquer une autre. La con-
figuration de la plaque métasternale joue le rôle principal dans
la distinetion et, quant à moi, je m'en sers seulement et je ne suis
Jamais en doute à quelle espèce rapporter un individu quelconque.

(32)

» Vous savez sans doute que cette plaque, que je désignerai,
pour être plus court, simplement comme métasternum, est
toujours plus ou moins concave dans les mâles, tandis qu'elle
est plane ou même convexe dans les femelles.

» En ajoutant aux différentes formes du métasternum quelques
autres caractères accessoires et corroboratifs de plus ou moins de
valeur, vous obtenez le tableau synoptique suivant :

1. Plaque métasternale non concave dans son
milieu, mais largement sillonnée longitu-
dinalement ; rebord marginal de la base du
corselet parfois indistinet au milieu. . . 92

Plaque non sillonnée largement, mais seule-
ment avec une ligne longitudinale impri-
mée, ou concave dans son milieu; ligne
marginale de la base du thorax toujours
distincte; tubercules frontaux et suture
frontale toujours accusés; éperons des
tibias antérieurs jamais tronqués, toujours
DOINEUST HE EE PNEU

OT

2. Tête sans traces de tubereules; sillon du
métasternum large, les contours de la
plaque pointillés, les points pilifères; ély-
tres pubescentes; éperon du tibia anté-
rieur robuste, tronqué au bout et légère-
mentinféchi Se OMS Er odromus male

Tête avec de légères traces de tubercules;
sillon métasternal profond, mais moins
large, les parties de la plaque à droite et à
gauche presque convexes, contours sans
points pilifères; élytres non pubescentes;
éperon du tibia antérieur acuminé. . . prodromus femelle

O1

Plaque métaslernale très distinctement con-
cave dans son milieu, en outre avec une
fine ligne longitudinale; les contours non
pointillés ; corselet large; tubercules fron-
taux légèrement apparents sur la suture

frontale toujours très distincte; élytres
pubescentes) WMA RENE punclalo-sulcalus tale

Plaque métasternale antérieurement presque
plane, mais postéricurement avec une petite
concavité sensible, lisse ; corselet atténué
antéricurement ; suture frontale distincte,
tubercules à peine indiqués; occiput et
tête en général assez fortement ponctués ;
élytres glabres . . , . . . . . . punclato-sulcatus femelle

(55)

» Voici deux figures représentant les deux formes de tibias
antérieurs :

NIISS

ESS

Ÿ
S
NC WADE

prodromus. o) prodromus. o
punet-sule. 7 Q

» Ce caractère est parfaitement constant et suffit à lui seul
pour connaitre immédiatement le prodromus mâle. Il n'y a que
les femelles du prodromus et du punctato-sulcatus qui se ressem-
blent au point qu'on pourrait les confondre, mais c’est justement
la forme tout à fait différente de leur métasternum qui permet
de les séparer aisément. Cette différence est difficile à reproduire
par une figure; je l’essaie néanmoins :

dy
punet- sule. Q prodromus : 0

» Les deux espèces paraissent très répandues partout et se
trouvent Ici au premier printemps, ensuite en abondance en
automne. Le punctalo-sulcatus varie en ce que la marge jaunàtre
du côté du corselet envahit parfois aussi la base de celui-ci; pour
le reste les couleurs ne prêtent aucun secours pour la détermi-
nation.

» Îl est curieux que les femelles du prodromus présentent des
traces de tubercules frontaux, tandis que les males n’en offrent
absolument aucune. »

Depuis plus de treize ans que M. de Harold m'a écrit cette

5

(54)

lettre, je me suis constamment servi avec le plus grand succès
des caractères indiqués par lui, et, dans les diagnoses que je
donne ici, on les retrouvera avec l'interprétation que mon expé-
rience m'a suggérée être la plus exacte. Je dois pourtant dire que,
lorsque l’on étudie des milliers d'exemplaires, comme j'ai pour
principe de le faire quand l'abondance de l’espèce rend la chose
possible, on trouve de loin en loin quelque individu aberrant et
difficile à classer, où les caractères empruntés à l’éperon du tibia
et ceux de la plaque métasternale, pour ne rien dire des autres,
moins certains en tous cas, semblent se contredire; mais, dans
. deux espèces aussi voisines, 1l n’y a rien d'étonnant qu’en témoi-
gnage d’une communauté primitive d'origine, il y ait quelque-
fois des individus anormaux; leur extrême rareté prouve bien
que les deux espèces méritent d'être parfaitement distinguées
l'une de l’autre.

67. A. prodromus, Brahm. — Taille de 5 à 8 millimètres
environ. Tête noire, sans taches ; les angles jugaux du chaperon
plus petits qu’un angle droit; la suture frontale absolument
lisse chez le mâle, parfois avec des vestiges de tubercules chez
la femelle. Corselet noir, avec les côtés plus ou moins large-
ment testacés. Élytres d'un jaune sale, avec une grande tache
fauve-brunätre à contours vagues sur leur disque, fortement
pubescentes en arrière chez les mâles. Métasternum de la
femelle marqué à son milieu d’un fort sillon longitudinal,
sans fossette postérieure; les parties latérales un peu convexes;
chez le mäle, le métasternum, creusé d'un très large sillon
médian, a les bords de ce sillon relevés en une ceinture plate
ou même un peu creusée et portant un bon nombre de pores
pilifères. Éperon terminal du tibia antérieur tronqué au bout
chez le mâle, en aiguillon acuminé chez la femelle. — Très
commun et très abondant. RD : Embourg, Chènée, Chaud-
fontaine, Beaufays, Tilff, Martinrive, Quarreux, Spa, Hockay,
Hertogenwald, Huy, Tihange, Visé. RG : Saint-Nicolas, Grâce,
Bierset, Flémalle-Haute, Hollogne-aux-Pierres, Engis, Antheit,
Landen, Glons, Lixhe, Loën,

dar

(55)

68. 4. obliteratus, Panzer. — Taille de 4 !/, à 5 !/, millimètres
environ. Tête d'un noir un peu bronzé, avec les côtés rougeà-
tres. Chaperon subhexagonal, à angles jugaux un peu plus
petits que l'angle droit; un fin rebord en avant et sur les
côtés. Corselet noir-verdâtre, avec une bordure latérale tes-
tacée, dilatée aux angles antérieurs; les angles postérieurs
tout à fait arrondis; le disque, à peu près lisse chez le mâle,
ponctué chez la femelle; point de franges de cils sur les côtés.
Élytres pubescentes, testacées ; deux groupes obliques de trois
taches fauves sur les 2° à 4° interstries et une bande longitudi-
nale assez épaisse et assez vague, en prolongement du calus
huméral. Métasternum concave chez le mâle. L'éperon ter-
minal des tibias antérieurs assez mince et relevé en crochet
chez le mâle, plus mince et dans l’axe du tibia chez la femelle.
— RD : Sainval près Tilff (M. Miedel).

69. Ammoœæcius brevis, Erichs. (elevatus, Panzer). — Taille de
4 à 5 millimètres. Noir luisant, avec les antennes et les tarses
rougeàtres. Ovale court et trapu; le corselet fort hombé, les
élytres encore davantage, presque subglobuleusement renflées
et tombant très verticalement en arrière. Chaperon légèrement
sinué en avant, avec des angles bien arrondis aux deux bouts
de cette sinuosité; en dessus un relief faiblement arqué aux
deux bouts. Tête à peu près lisse. Corselet ponctué assez den-
sément sur la base et les côtés, moins à la partie antérieure.
Élytres striées-ponctuées; points des stries assez rapprochés.
Métasternum très faiblement excavé chez le male, plan chez
la femelle. — Extrèmement rare. Il se trouve, dans la collec-
tion de feu Wesmael, un seul exemplaire indiqué comme de la
province de Liège.

=

70. Heptaulacus testudinarius, Fabr. — Taille de 5 à 4 milli-
mètres. Ovale et un peu convexe, pubescent. Tête et corselet
noirs; élytres d’un brun rougeûtre, à taches noires assez nom-
breuses pour former ensemble un dessin de bandes transverses
un peu onduleuses. Chaperon fortement sinué en avant et
s’abaissant dans le centre de cette échancrure. Corselet den-

( 56)

sément ponctué. Interstries des élytres costiformes, un peu
crépelés au sommet par des points pilifères. Le mâle a l’éperon
terminal du tibia antérieur recourbé en crochet. — Rare.
RD : Les Aguesses (M. Miedel).

71. Oxyomus porcatus, Fabr. — Taille d'environ 2 à 5 milli-
mètres. Oblong et presque cylindrique. Noir de poix assez mat
et parfois un peu brunâtre. Chaperon en demi-hexagone, très
abaissé et un peu sinué en avant. Corselet fortement et gros-
sièrement ponctué, avec une forte rigole longitudinale sur sa
base vis-à-vis l’écusson. Élytres striées de dix forts sillons,
fortement crénelés ; interstries en côtes tranchantes. — RD :
Theux, Heusy, Huy. RG : Lixhe. Q

72. Rhyssemus germanus, L. (asper Fabr.) — Taille d'environ
5 à 4 millimètres. En ovale allongé, assez parallèle, nullement
bombé, ni élargi en arrière des élytres. Noir brunätre, avec
les pattes d’un rouge brun. Chaperon rougeàtre sur son bord
antérieur, profondément sinué en avant. Corselet à angles pos-
térieurs amplement tronqués; une bordure de cils jaunes à la
base et sur les côtés; sur le disque, quatre rides transversales
élevées et lisses, dont les deux postérieures s’interrompent et
se réunissent l’une à l’autre au milieu, à la rencontre d’un petit
sillon antéscutellaire. Stries des élytres étroites; interstries
subcostiformes et couronnés par une ligne de granulations.
Cuisses postérieures non renflées. Métasternum du mâle
excavé. — RD : Beaufays (M. Miedel). RG : Hollogne-aux-
Pierres, Flémalle-Grande, Loën.

Led

75. Pleurophorus cœæsus, Panzer. — Taille de 5 à 5 !/, milli-
mètres. Subeylindrique, allongé et étroit. D'un noir brunûtre
ou d'un brun noirâtre, brillant, avec les pattes rougeätres.
Chaperon sinué en avant. Corselet subrectangulaire avec les
côtés arqués, parsemé de fort gros points et marqué sur sa
moitié postérieure d'un sillon longitudinal. Élytres striées-
crénelées. Pattes courtes. — RD : Angleur, Seraing. RG : Liège,
Devant-le-Pont près Visé.

54083

(57)

7h. Geotrupes Typhœus, L. — Taille d'environ 20 millimètres,
non compris les cornes du male. En ovale un peu court, très
convexe; d’un noir luisant. La variété brunneus est fondée sur
des individus plus ou moins immatures, à élytres brunes.
Tête rhomboïdale. Corselet transversal, très court et très large
chez le mäle, où le bord antérieur, très arrondi aux angles, est
un peu plus grand que la base; dans ce sexe, la partie anté-
rieure du disque porte trois cornes : les deux latérales, proje-
tées en avant, dépassant la tête, sauf dans les exemplaires de
petit développement (var. pumilus), à pointes un peu conver-
gentes et avec une dent plus ou moins marquée aux deux
tiers de l’arête supérieure; la corne médiane, plus courte, a la
forme d’un cône à large base, dont la pointe se dirige un peu
en haut. Chez la femelle, le corselet est moins court, à ses
angles antérieurs saillants, et, sur le devant du disque, une
forte arête transversale, accompagnée de chaque côté d’une
courte arête longitudinale terminée en une pointe, Cette arma-
ture s’oblitère notablement dans de petits exemplaires (var.
pusillus, Muls.). Élytres striées-ponctuées. -— Assez rare,
RD : Louveigné.

75. G. stercorarius, L. (putridarius Er.). — Taille d'environ
29 millimètres, ou même davantage, moins variable que celle
du G. spiniger. Ovale, bombé, d'un noir brillant et plus sou-
vent encore d'un noir virant au vert-bouteille; parfois des
reflets bleuâtres ou violètres en dessus, et toujours de cette
teinte en dessous. Corselet lisse, ou présentant à peine
quelques points sur son disque, mais fortement et densément
ponctué près des bords latéraux. Élytres assez grossièrement
striées-ponctuées; les stries au nombre de quatorze, dont
sept viennent aboutir vers la base, entre l'écusson et le calus
huméral, Abdomen densément couvert de points, de chacun
desquels sort un long poil roussàtre; aucune raie médiane
dépourvue de points pilifères. Trois arêtes transversales vers
le bout du tibia postérieur. — Les mâles ont à la cuisse pos-
térieure une dent plus ou moins forte, vis-à-vis de eclle que

(38 )

forme l'extrémité du trochanter ; leur tibia antérieur a la troi-
sième dent (en remontant du bout) de son arête externe un
peu en arrière de l’alignement des autres, et, vis-à-vis de cette
dent, l’arête inférieure porte un denticule précédé d’un simple
renflement de l’arête. — RD : Tihange (M. de Baugnies).

76. G. foveatus, Marsham (putridarius, Mulsant). — Taille d'au
plus 17 millimètres. Mème forme. Couleur généralement plus
vive, souvent bleuâtre, et l’écusson particulièrement plus
bleuâtre et plus métallique. Corselet et élytres se comportant
pour la ponetuation et les stries, comme l'espèce précédente,
ce qui le différencie du G. spiniger, dont il se sépare plus
encore par l'abdomen aussi densément ponctué et pilifère sur
toute la surface que le G. stercorarius. Tibias postérieurs à
trois arêtes transversales. Les mâles se distinguent de ceux du
stercorarius parce qu'ils ont l’arête inférieure du tibia antérieur
pluridentée et que l’antépénultième dent de l'arête externe
n'est pas en retrait d’aiignement ; enfin chez ces même males,
la dent de la cuisse postérieure est très faible et manque quel-
quefois. On remarquera qu’en définitive les femelles re se dis-
tinguent de celles du stercorarius que par leur plus petite taille
et par une légère différence dans la coloration. Cette espèce
n'est du reste pour quelques auteurs qu'une simple variété de
la précédente. — Très rare. RG : J'en ai autrefois pris un
exemplaire à Awans. J'en ai vu un autre pris aux environs de
Huy par M. Engelmann.

77. G. spiniger, Marsham (stercorarius Er., purcticollis, Mulsant,
mesoleius, G.-G. Thomson). — Taille assez variable, allant à
peu près de 15 à 20 millimètres et plus. Mème forme; même
couleur. Corselet offrant une ponctuation dense sur les côtés,
mais envahissant aussi le disque, moins clairsemée chez ia
femelle. Élytres à quatorze stries, plus nettes et moins grossières
que celles des deux espèces précédentes; les sept premières
arrivent aussi sur la base entre l'écusson et le calus huméral.
La partie centrale de l’abdomen est dégarnie, sur une raie

(59)

longitudinale plus ou moins large, des points pilifères qui
couvrent tout le reste; toutefois on en remarque parfois
quelques-uns alignés le long des sutures abdominales, premier
acheminement à des variétés de l'Europe méridionale se rap-
prochant par là du stercorarius. Trois arêtes transversales sur
le tibia postérieur. — Les mäles ont la cuisse postérieure
armée, un peu en avant de la base, d’une dent plus ou moins
forte, vis-à-vis de celle qui termine le trochanter; leur tibia
antérieur a une arête inférieure à plusieurs dents, dont la plus
forte, nullement précédée d’un renflement de l'arête, est plus
ou moins contiguë à l'antépénultième dent de l’arête externe,
fortement sortie de son alignement. — Très commun. RD :
Tilff, Méry, Esneux, Strivay, Huy. RG : Jemeppe, Flémalle-
Grande, Hollogne-aux-Pierres, Awans, Antheit, Landen.

78. G&. mutator, Marsham. — Taille approchant en général de
20 millimètres, mais beaucoup inférieure chez certains exem-
plaires. Ovale, très convexe. Coloration variable, dans les
nuances verdâtre, violacée, purpurine et bronzée, souvent fort
brillante, surtout le dessous du corps, qui est quelquefois d’un
vert doré resplendissant. Corselet fortement ponctué près des
bords, à peu prés lisse sur le disque. Élytres à dix-huit stries,
dont neuf comprises dans l’espace entre l’écusson et le calus
huméral. Abdomen parfois densément couvert de points
pilifères (comme le stercorarius) et plus souvent avec la raie
médiane lisse du G. spiniger. Trois arêtes transversales vers le
bout du tibia postérieur. — Mäles ayant aux cuisses posté-
rieures une dent plus ou moins marquée, faisant paire avec
celle qui termine le trochanter; l’arête inférieure du tibia
antérieur pourvue de deux dents; l’antépénultième dent de
l'arête externe n'est pas, ou est très peu déviée de l'alignement
de cette arète. — RD : Tilf, Méry, Huy. RG : Jemeppe,
Flémalle- Haute.

79. G. sylvaticus, Panzer. — Taille d'environ 14 à 18 milli-
mètres. Ovale court et convexe. D'un noir plus ou moins

( 40 )

violacé ou bleuûtre, rarement avec une nuance verdâtre,
quelquefois encore d’un beau bleu foncé luisant. Corselet à
côtés fortement ponctués et à disque présentant quelques
points, rares chez le mäle, un peu moins clairsemés chez la
femelle. Élytres à quatorze stries, dont sept entre la suture et .
le calus huméral ; ces stries sont ponctuées, mais peu profondes
et assez peu marquées, l’étant à peine plus que les nombreuses
rides transversales qui coupent les interstries et les stries.
Tibias postérieurs ne présentant pas plus de deux carènes
transversales entières vers leur bout, la troisième étant incom-
plète. Cuisses postérieures inermes dans les deux sexes.
L'arête inférieure des tibias antérieurs est plus fortement
dentelée chez le mâle que chez la femelle, mais en même
temps sur une moindre étendue. — Espèce extrèmement com-
mune et qu’on trouve en abondance dans beaucoup de forêts.
RD : Kincampoix, Tilff, Ramet, Ramioul, Huy, Fonds de
Quarreux, Stoumont, Coo, Spa, Sart, Hockay, Goé, bassin de
la Gileppe, Hertogenwald, RG : Liège, Jemeppe, Chokier.

80. G. vernalis, L. — Taille d'environ 18 millimètres, souvent
plus petit. En ovale très court et convexe. D'une couleur noir-
violet ou même bleuâtre, dans la forme typique, seule ren-
contrée en Belgique; brillant. Corselet finement ponctué.
Élytres à peu près lisses, présentant quelques vestiges effacés
de stries. Tibias postérieurs à deux arêtes transversales.
Abdomen densément couvert de points pilifères. — Les mâles
ont la tranche inférieure de leurs cuisses postérieures dentelée
d’une série de denticules souvent mousses ou tronqués; le
tibia des pattes antérieures dans le même sexe a son arête
inférieure en rateau de dents aiguës un peu espacées; de plus,
la dent terminale de l’arête externe est bifurquée. — Peu
commun. RD : Spa. RG : Awans, Hollogne-aux-Pierres.

81. Trox sabulosus, L. — Taille d'environ 9 millimètres. En
ovale court et convexe. D'un gris noirâtre, se rembrunissant
parfois légèrement. Tète rugueusement ponctuée; chaperon

(41)

arrondi en avant. Corselet très densément et grossièrement
ponctué, arrondi sur les côtés, frangé de cils roux latéralement
et à la base; un sillon longitudinal médian assez large, peu
profond à son point central; à droite et à gauche de ce sillon,
une grande fossette peu profonde, limitée extérieurement par
un demi-cerele de trois autres dépressions presque superfi-
cielles. Sur les élytres, des séries subcostiformes de taches de
poils courts et squameux d’un blane un peu jaunâtre; dans
chaque intervalle de ces séries, une double chaine de gros
points enfoncés ; aspect général de l’élytre rugueux. Cuisses
postérieures sans denticulations à leur tranche inférieure. —

Rare. RD : Strée (coll. Verheggen).

82. Trox scaber, L. (arenarius Fabr.). — Taille de 5 à 7 milli-
mètres. Ovale un peu allongé, un peu plus large vers l'extré-
mité des élytres. D'un noir généralement un peu brunûtre,
quelquefois assez brun. Tête densément ponctuée ; chaperon
court et arrondi en avant. Corselet court et transversal, peu
convexe, densément ponetué, avec les angles antérieurs bien
saillants, cilié de roux sur les côtés et la base; le sillon longi-
tudinal médian faible, ayant de chaque côté une légère dépres-
sion. Élytres striées-crénelées, avec les interstries portant des
séries de petites touffes de poils roussätres, qui s’atténuent et
disparaissent même souvent sur les intervalles alternes. Pattes
postérieures relativement assez longues; leurs cuisses sans
dentieules sur la tranche inférieure. — Rare. RD : Heusy
(coll. Chapuis).

Sous-famille 11 : MELOLONTHI.

85. Hoplia philanthus, Sulzer (argentea, Fabr.). — Taille de 7 à
9 millimètres. Ovale, peu rétrécie en arrière. Noire, avec les
élywres d’un brun-chocolat quelque peu violacé, plus claires et
même rougeûtres chez les femelles et certains mâles. Corselet et
élytres parsemés de quelques squamules grises ; d’autres, aussi
assez clairsemées, un peu bleuâtres, sur le pygidium et l’ab-

(42)

domen. Pattes des mâles brun-rougeâtre; celles des femelles
testacé-rougeàtre clair. Chaperon séparé du front par une
suture droite. Antennes de dix articles, quelquefois réduits à
neuf chez la femelle. Corselet sans saillie longitudinale médiane.
Tibias antérieurs tridentés extérieurement., Tarses antérieurs
à deux ongles, dont l'externe très court et l’interne grand et
fendu vers le sommet; tarses intermédiaires aussi à deux ongles
inégaux; tarses postérieurs n'ayant qu'un seul grand ongle un
peu fendu en dessous de sa pointe. — RD : Bressoux, Jupille,
Spa, Goé, Quarreux, Comblain-au-Pont, Huy. RG : Jemeppe,
Bas-Oha.

84. H. farinosa, L. (squamosa, Fabr.). — Taille de 9 à 11 milli-
mètres. Même forme que AH. philanthus. D’un brun rougeàtre
assez clair, densément revêtue de squamules serrées, de cou-
leur variant du cendré plus ou moins roussätre au vert bleuñâtre.
Sur le pygidium, ces squamules sont d’un blanc argenté bril-
lant. Le corselet et les élytres parsemés de courts poils jau-
nâtres. Antennes de neuf articles. Tibias antérieurs bidentés
chez le mäle, tridentés chez la femelle. L'ongle unique du
tarse postérieur non fissile. — Très rare. RD : Hestreux

(M. Miedel), Heusy (coll. Chapuis).

85. Serica brunnea, L. — Taille d'environ 8 à 9 millimètres.
Allongée et parallèle, convexe. D'un roux clair, le front un
peu rembruni. Antennes à massue très grande chez le mâle,
un peu plus courte que le funicule chez la femelle. Chaperon
retroussé cireulairement en avant, grossièrement ponctué;
la ponctuation du front plus elairsemée. Corselet transversal,
densément ponctué; ses angles postérieurs obtusément arron-
dis. Élytres faiblement, mais densément poncetuées, à dix stries
peu profondes. Pattes grèles. — RD : Stembert (feu Chapuis),

Heusy (id.).

86. Rhizotrogus æstivus, Olivier. — Taille d'environ 16 milli-
mètres. D'un testacé un peu rougeàtre, avec la région suturale

(45)

des élytres rembrunie, ainsi qu’une bande longitudinale sur
le corselet, sujette à disparaitre. Pubescence restreinte à la
poitrine et aux euisses. Tête assez grossièrement ponetuée.
Antennes de dix articles, dont les trois derniers forment une
massue, allongée chez le mâle, courte chez la femelle. Corselet
frangé de cils en avant et sur les côtés, assez densément cou-
vert de gros points, dont les intervalles sont encore remplis
par une ponctuation extrémement fine et dense. Écusson à
peine visiblement pointillé. Élytres à suture un peu saillante ;
sur le disque, deux autres côtes à peine indiquées. Pygidium
rugueusement ponctué. Ongles des tarses munis d’une dent
à la base. — RD : Tilff, Visé, Heusy, Huy, Vierset-Barse.
RG : Jemeppe.

87. Rh. solstitialis, L. — Taille d'environ 17 millimètres. Ovale
un peu allongé. D'un brun clair, avec les élytres d'un jaune
paille très pâle; le chaperon, sauf une mince bordure en avant,
les antennes, le corselet et les pattes, d’un jaune rougeûtre.
Pubescence générale flave, se concentrant sur le corselet et
la poitrine. Chaperon coneave, à bord retroussé; tête très
rugueuse, un peu bombée en avant du front. Antennes de neuf
articles, dont les trois derniers forment une massue, allongée
chez les mâles, courte chez les femelles. Corselet densément
ponetué, souvent un peu rembruni au milieu. Écusson grand,
à côté curvilignes. Élytres ayant la suture relevée, ainsi que
quatre faibles côtes ou plis longitudinaux peu réguliers. Pygi-
dium granuleux et pubescent. Pattes longues ; les ongles des
tarses pourvus d’une dent à la base. — RD : Strivay, Remou-
champs, Huy. RG : Liège, Jemeppe, Chokier.

88. Rh. ruficornis, Fabr. — Taille d'environ 11 millimètres.
Ovale un peu court. Testacé jaunâtre, avec la tête, le corselet,
l’'éceusson, la suture et le bord externe des élytres d’un brun
rougeàtre généralement assez foncé. Antennes et pattes rou-
geatres. Les premières ont neuf articles; massue allongée chez
le mâle, courte chez la femelle. Chaperon concave, très gros-

(44)

sièrement ponctué, ainsi que la tête. Ponctuation du corselet
assez fine, voilée par une forte pubescence fauve, qui s'étend
à la poitrine, mais laisse l'abdomen et les élytres presque
glabres. Élytres assez densément ponetuées; la suture et deux
faibles côtes saillantes sur chacune. Pygidium densément
ponctué. — Très rare. RD : Polleur (coll. Chapuis).

89. Rh. rufescens, Latreille. — Taille d'environ 14 millimètres.
Ovale, allongé, un peu rétréci en avant. D'un brun rougeûtre
assez clair, avee des élytres testacées ; la tête et le corselet
entièrement d’un rouge un peu rosé ; les antennes d’un jaune
d’ocre. Chaperon à bord retroussé et rembruni, cilié en avant.
Tète rugueusement ponctuée. Antennes de neuf articles;
massue allongée chez le mäle, courte chez la femelle. Pubes-
cence blond-doré, fine et courte sur le corselet, plus abondante
et plus longue sur la poitrine. Corselet très densément, mais
très finement pointillé. Écusson à eôtés courbes, ponctué.
Élytres à ponctuation assez dense, à suture relevée, avec deux
autres côtes faiblement indiquées. Pygidium à ponetuation
dense, mais peu profonde. — Très rare. Un exemplaire pro-
venant de la province de Liège, sans indication plus précise, se
trouve dans la collection de feu Wesmael.

90. Melolontha vulgaris, Fabr.— Taille de 25 millimètres environ.
il se rencontre des individus d’une petite taille, ayant environ
20 millimètres seulement. Ovale un peu allongé. Tête d'un
noir un peu bronzé, avec le chaperon rougetre. Corselet noir
bronzé brillant, parfois avec le disque rougeûtre (var. disci-
collis), parfois entièrement rouge (var. ruficollis). Écusson
noir-verdàtre. Élytres d’un brun rougeätre sans filet noir le
long du bord externe (caractère essentiel). Dessous du corps
d'un noir brillant, avec une rangée de taches triangulaires en
poils blancs sur le côté des segments abdominaux. Antennes,
palpes, pattes et pygidium, en tout ou en partie, d’un testacé
rougeûtre. Poitrine fortement velue; une assez forte villosité,
sujette à disparaitre, sur la tête et le corselet; une pubescence

(45)

blanchâtre extrèment fine se voit aussi assez souvent sur les
élytres, et, lorsqu'elle prend assez d'extension pour que celles-ci
paraissent enfarinées, on a la variété albida. Quelquefois les
élytres, ainsi que les pattes, deviennent plus ou moins d’un
brun noirâtre ou violacé, très rarement tout à fait noires ; c'est
la variété lugubris (feu Chapuis a pris à Heusy un exemplaire
au summum de cette variété). Ponctuation de la tête assez
forte, plus dense sur le chaperon, qui est finement rebordé et
très légèrement sinué en avant, Antennes de dix articles; la
massue lamellée est très longue et de sept articles chez le mâle,
courte et de six articles chez la femelle. Corselet latéralement
anguleux au premier tiers de sa longueur, les côtés ensuite
redressés et les angles postérieurs pointus. Un sillon médian
et, sur les côtés du disque, deux bandes de ponctuation plus
fine et plus dense que celle du milieu et des régions latérales.
Écusson ponctué au milieu, un peu plus large que long, les
côtés amplement courbes. Aux élytres, la suture est saillante,
et il ya quatre côtes sur chaque élytre, les deux externes en
dehors du calus huméral. Le pygidium se prolonge en une
queue plus où moins longue et plus ou moins large, générale-
ment plus longue chez les mâles. On la trouve parfois échan-
crée au bout (var. lunatus). — Je ne crois pas devoir donner
la liste de toutes les localités d’où j'ai pu observer un insecte
aussi commun que le Hanneton. On le rencontre évidemment
partout chez nous à l'état d’insecte parfait. Mais il serait
important d'arriver à connaitre s’il en est bien de mème à
l’état de larve, où la nature du sol doit exercer une grande
influence pour le choix de ses lieux de développement.

Sous-famille III : PLEUROSTICTI.

91. Phyllopertha horticola, L. — Taille d'environ 10 milli-
mètres. Tète, corselet, écusson, pattes et dessous du Corps
d’un noir le plus souvent bleuàtre, violacé ou verdâtre métal-
lescent. Élytres d’un testacé rougeâtre luisant, parfois d’un
brun très noirätre (variété ustulatipennis). Des poils d’un gris

(46)

noirâtre sur le corselet, les élytres et le pygidium, d’autres,
blanchâtres, sur le dessous du corps. Tête rugueusement
ponctuée ; l'épistome, large en avant, arrondi aux angles, nulle-
ment prolongé en museau. Corselet moins densément ponctué ;
sa base fortement bisinuée. Stries des élytres grossièrement
ponctuées. Le crochet externe des tarses antérieurs très gros
chez les mâles. Les femelles ont pour autres caractères dis-
tinctifs la moindre dimension de la massue des antennes et
l'existence, sur le premier tiers du bord latéral de l’élytre,
d'une rigole élargie, extérieurement limitée par un bourrelet
noir assez épais. — Espèce des plus communes et des plus
abondantes, souvent fort nuisible aux cultures. RD : Jupille,
environs de Visé, Kincampoix, Ougrée, Ramet, Comblain-la-
Tour, Battice, Coo, Trois-Ponts, Sart, bassin de la Gileppe,
Baraque-Michel, Hockay, Huy. RG : Jemeppe, Chokier, Val-
Benoit, Lixhe, Glons, Landen, Fallais, Bas-Oha.

992. Oxythyrea stictica, L. — Taille d'environ 9 à 12 milli-
mètres. En ovale court un peu large, déprimée en dessus. D'un
noir un peu brillant, souvent verdâtre et quelquefois un peu
cuprescent, avec des mouchetures blanches; couverte d’une
pubescenee d’un blanc plus ou moins grisätre ou plus ou moins
flave, beaucoup moins apparente en dessus qu’en dessous. Tête
fortement ponctuée, carénée longitudinalement sur le front;
chaperon en carré long, rebordé en avant et sur les côtés, un
peu sinué antérieurement. Corselet subtrapézoïdal, avec un
angle plus ou moins marqué vers le milieu des bords latéraux,
densément ponetué, sauf sur la ligne médiane lisse et un tant
soit peu saillante; de chaque côté de celle-ci, une série longitu-
dinale de trois points-fossettes remplis de poils blancs. Écusson
en triangle très aigu, ponctué sur sa base. Élytres marquées de
quelques sillons longitudinaux et de points sur leurs inter-
valles; la suture est relevée en forme de côte et on voit sur le
disque deux autres saillies costiformes, l'interne très courte,
l'externe arrivant au calus apical; sur le bord, un peu après
l'épaule, une forte échancrure; l'élytre est marquée d’un

(47 )

grand nombre de petites taches de duvet blanc; celles du bord
et du sommet plus grandes que celles du disque; pygidium
également marqué de plusieurs taches blanches. Tibias anté-
rieurs bidentés vers le bout dans les deux sexes. Les mâles se
distinguent en ce que leur abdomen offre une dépression
médiane longitudinale, où les quatre premiers segments pré-
sentent une tache de duvet blanc velouté. — Espèce extré-
mement commune, parfois d’une abondance nuisible aux
arbres fruitiers, dont elle dévore les fleurs. RD : Angleur,
Embourg, Huy, Theux, Sprimont, Hestreux, Baraque-Michel.
RG : Liège, Glain, Jemeppe, Hollogne-aux-Pierres, Chokier,
Statte.

95. Cetonia aurata, L.— Longue d'environ 20 millimètres et large
de 10; déprimée en dessus. D'un beau vert métallique brillant,
très doré en dessous, moins en dessus. Dessous du corps et
pattes revêtus de poils roux-doré. Tête carrée, arrondie en
avant du chaperon, avec une sinuosité médiane ; fortement
ponctuée; le front portant des poils jaunes. Corselet presque
trois fois aussi large à la base qu’en avant; côtés arrondis;
base trisinuée; ponctuation forte et serrée sur les côtés, plus
faible et plus espacée sur le disque. Écusson grand, triangu-
laire, lisse; une ligne de cils devant sa base. Élytres à côtés
parallèles; suture lisse et costiforme; les vestiges plus ou moins
apparents de deux autres côtes; marquées d’une quantité de
points en forme de croissants, disposés presque en séries;
outre quelques petites taches accessoires, sujettes à manquer,
une sorte de feutre blanc forme sur chaque élytre trois taches
rubanées étroites : la première paire après la moitié et tou-
chant presque à la suture; la 5° au quatrième quart et dans la
même position; à égale distance entre les deux, la 2° paire,
composée de traits plus longs, un peu flexueux, assez éloignés
de la suture, mais fort rapprochés du bord externe. Pygidium
très rugueux. Le mésosternum forme entre les pattes inter-
médiaires une saillie en forme de pommeau globuleux, nulle-
ment aplati. Les males ont l'abdomen sillonné longitudinale-

(48)

ment au milieu. — RD : Angleur, Kincampoix, Tilff, environs
de Visé, Villers-le-Temple, Huy. RG : Val-Benoit, Jemeppe,
Chokier.

94. C. œnea, Andersch (floricola Herbst, metallica Erichs.).
— Taille d'environ 18 millimètres. De la même forme et
presque de la même couleur que l'espèce précédente; d’une
nuance plus bronzée et le dessous plutôt cuivreux-rougeûtre
que doré ; la pubescence plus flave que rousse. Le chaperon
et le front ont leur partie centrale faiblement relevée en carène
obtuse. Ponctuation du corselet relativement plus dense; celle
des élytres clairsemée aux abords de l’écusson. Vers le bout,
le même système de taches étroites transverses; le disque
notablement enfoncé en arrière des deux côtés de la suture.
Pygidium rugueux. Saillie mésosternale non plus globuleuse,
mais aplatie en un petit disque tronqué en avant, arrondi laté-
ralement, finement ponctué. — Rare. Je n'ai pas d'indications
de localités précises pour cette espèce, mais j'en ai sous les yeux
des exemplaires pris aux environs de Liège par M. J. Bourdon
et par feu Wesmael.

95. Osmoderma eremita, L. — Taille d'environ 50 millimètres.
Large et très massif. D'un noir brunâtre faiblement violacé et .
quelque peu métallique. Tête très grossièrement ponctuée;
le chaperon arrondi en avant; chez le mâle, les côtés forment
une crête saillante avant les yeux. Corselet assez large et assez
bombé, ayant sa plus grande largeur au premier tiers anté-
rieur; les angles postérieurs saillants chez Ie mâle, obtusément
arrondis chez la femelle; la base formant un large lobe posté-
rieur ; la surface fortement ct assez densément ponctuée; un
sillon longitudinal médian, dont les bords forment en avant
deux petits tubercules, à côté de chacun desquels il en existe
un autre extérieur, plus faible et souvent même absent chez
la femelle. Écusson triangulaire, très grand, ayant un sillon
lisse au milieu, et ailleurs une ponctuation forte. Élytres cou-
vertes entièrement de rugosités et de points assez confus. Le

(49)

pygidium et le dessous du corps à ponctuation moins marquée.
Chez le mâle, le pygidium est très bombé et son sommet est
recourbé en dessous vers l'abdomen ; un autre caractère du
même sexe est la présence d’une dent saillante sous chacun
des quatre premiers articles des tarses antérieurs. — Très
rare. RD : Tihange (M. Cluysenaar). RG : Jemeppe, Grâce-
Berleur, Waremme (M. de Selys Longchamps).

96. Gnorimus variabilis, L. — Taille d'environ 20 millimètres.
Noir intense, avee une pubescence blane-grisàtre en dessous,
surtout à la poitrine; sur les élytres, quelques petites taches
grises formant deux séries obliquement transversales, se croi-
sant vers le milieu de la suture; des taches semblables aux
bords des segments abdominaux et du pygidium. Tète et cor-
selet densément et assez fortement ponctués. Élytres rugueuses.
Pygidium couvert de petites rides. Celui du mâle bombé et un
peu recourbé en dessous; celui de la femelle échancré au
bout. Les mâles ont aussi les tibias intermédiaires fortement
recourbés, tandis qu'ils sont à peu près droits chez les femelles.
— Très rare. Un exemplaire provenant de la province de
Liège, sans autre indication, se trouve dans la collection
Wesmael.

97. Gn. nobilis, L. — Tailie d'environ 17 millimètres. Vert
métallique brillant, plus ou moins euivreux en dessous, où il
y a aussi une pubescence gris-jaunâtre. Tète et corselet den-
sément ponctués; les élytres très rugueuses ; le pygidium cou-
vert d’aspérités. Caractères sexuels du pygidium et des tibias
intermédiaires comme chez l'espèce précédente. — RD : Huy,
Tihaï ge, Bleyberg. RG : Jemeppe, Chokier.

98. Trichius fasciatus, L. (succinctus, Gory et Percheron). —
Taille d'environ 13 millimètres. Noir, avec la partie posté-
rieure de la tête, le corselet, le pygidium et tout le dessous
du corps revêtus d’une abondante et assez longue villosité

d’un blane plus ou moins jaunätre. Écusson noir. Élytres
4

(50)

jaunes, avec la suture et le bord externe noirs, ainsi que trois
fascies transverses ; la première, généralement étendue à toute
la base, peut : 1° être divisée en deux par un trait jaune;
2° être réduite à une tache humérale, suivie vers l’écusson
d'un petit trait noir séparé; 5° être simplement réduite à une
tache humérale, comme celle du 7r. abdominalis. La deuxième
fascie médiane, généralement contiguë au bord externe, n’at-
teint que très rarement la suture et présente quelquefois un
trait séparé entre son extrémité et la suture. La troisième est
constituée par deux taches rondes apicales externes, plus ou
moins réunies. Il y a enfin des variétés, où des traits noirs
longitudinaux viennent réunir, soit les deux fascies posté-
rieures, soit toutes les trois, et réduire considérablement
l'espace jaune. Angles postérieurs du corselet bien arrondis.
Tibias intermédiaires pourvus au milieu d’une dent bien
apparente. Le mälc a les tibias antérieurs un peu rétrécis
vers le sommet, faiblement bidentés au bout extérieurement,
tandis que leur éperon terminal interne reste toujours de
beaucoup plus court que le premier article du tarse. Au
contraire, la femelle a le tibia antérieur élargi et fortement
bidenté au bout à l'extérieur, en même temps qu'un fort
éperon interne y dépasse le premier article du tarse. —
RD : Spa, Sart, Hestreux, Hertogenwald.

99. Tr. abdominalis, Ménétriés (gallicus, Dej., fasciatus, Gory
et Perch.). — Taille de 11 à 14 millimètres. Noir, avec le der-
rière de la tête, le corselet, tout le dessous du corps densé-
ment couverts d’une forte villosité flave; au pygidium égale-
ment velu, le centre l’est moins longuement, d’où résulte une
sorte de tache ronde. Écusson noir. Élytres jaunes, avec la
suture et le bord externe noirs, ainsi que trois paires de taches
contiguës au bord externe; celles de la première paire ne
s'étendant jamais en fascie basale; les deux autres paires par-
fois prolongées vers la suture, élargies et réunies par des traits
longitudinaux. Angles de la base du corselet presque droits.
Tibias intermédiaires mutiques ou pourvus seulement d'une

(51)

dent assez peu marquée. Caractères sexuels les mêmes que
chez l'espèce précédente. — RD : Ougrée, Angleur, Tilff,
environs de Visé, Huy. RG : Liège, Val-Bcnoît, Saint-Nicolas,
Jemeppe, Chokier, Ampsin, Landen.

100. Valgus hemipterus, L. — Taille d'environ 8 millimètres.
Ovale-oblong et d'aspect un peu anguleux, avec la partie cen-
trale des élytres absolument aplatie. Noir et couvert en dessus
de squamules noires, entremêlées de squamules d’un blanc
sale, formant diverses taches sur la tête, le corselet et les ély-
tres. Squamules blanches couvrant tout le pygidium, sauf deux
taches noires chez le mâle. Dessous du corps revêtu de squa-
mules blanchätres. On trouve quelquefois des exemplaires
dont la couleur foncière est brun-rougeûtre. Corselet avec un
large sillon médian, s'évasant cn arrière et bordé par deux
arêtes saillantes. La femelle se reconnait immédiatement par
un caractère exceptionnel, la présence au bout du pygidium
d'un ovipositeur ou longue tarière dirigée horizontalement en
arrière. — RD : Embourg, Méry, Fond-de-Forét, Huy. RG :
Liège, Val-Benoît, Jemeppe, Flémalle-Grande, Flémalle-
Haute, Engis, Hollogne-aux-Pierres, Glain, Loën.

CORRECTIONS

POUR LES CENTURIES PRÉCÉDENTES.

CENTURIE I.

No 14, au lieu de : RG, lisez : RD.

CENTURIE Ill.

No 95, au lieu de : Michel, lisez : Miedel.

LR D —

D 'DNE

LE CALCUL DU RESULTAT

D'UN SYSTÈME D'OBSERVATIONS DIRECTES

P. PIZZETTE,

PROFESSEUR DE GÉODÉSIE À L'UNIVERSITÉ DE GÈÊNES.

QUE

LE CALCUL DU RÉSULTAT

D'UN SYSTÈME D'OBSERVATIONS DIRECTES (+).

4. Toute théorie des erreurs d'observation se fonde sur le
principe que : un système d'observations directes étant donné,
la valeur la plus convenable, qui en résulte pour la quantité
mesurée, doit être représentée par une certaine fonction
q(XiX2 … %,) assignable à priori (**), des nombres x,,2%9, …, æ
fournis par les observations.

La moyenne arithmétique, comme expression de cette valeur
plus convenable est presque généralement admise et sert de
base à la théorie ordinaire des moindres carrés. Mais, dans une
recherche tout à fait générale, il est évident que l’assignation de
la fonction @ est extrêmement vague et incertaine, et que tout
effort, tendant à démontrer l’acceptabilité générale de la moyenne
arithmétique ou de toute autre moyenne, doit nécessairement
échouer.

n

(*) Présenté à la séance du 22 novembre 1887.

(*) A l’égard de cette assignabilité à priori de la fonction », on doit faire
quelques réserves. On n’entend pas que l’on puisse assigner à priori une
telle forme de qui s’adapte à tous les cas possibles, quelle que soit l'espèce
de la quantité mesurée, et quelles que soient les méthodes expérimentales
employées et leur précision. Dans une recherche générale on doit retenir
seulement que la forme de la valeur la plus convenable de » puisse être
assignée dès que l’on connaît le nombre et le genre des observations et leur
précision relative. Rien n'empêche que pour un genre donné d’observa-
tions, l'expérience ne puisse démontrer l’imperfection d’une forme de 9
précédemment établie, et conduire l'observateur à une autre forme plus
convenable.

(40)

Les recherches les plus remarquables que l’on ait faites, à
l'égard du problème qui nous oceupe, sont celles qui s'appuient
sur le Calcul des Probabilités. Elles sont très connues. Gauss,
dans ses premières études sur la combinaison des observations
(Theoria motus corporum cœlestium) et Laplace, dans son immor-
tel ouvrage sur la Théorie analytique des Probabilités (livre II,
chap. IV, n° 25), ont fixé deux différents principes, moyennant
lesquels on peut déterminer la valeur la plus convenable, si l'on
connait la loi de probabilité des erreurs. Quoique le problème
soit ainsi assez bien défini, l’indétermination de ladite loi de
probabilité nous empêche encore cependant de regarder comme
déterminée la forme de la fonction +. Des principes des Proba-
bilités, on peut tirer seulement cette conclusion presque générale:
si les erreurs positives et les erreurs négatives se présentent
avec une égale facilité, la vraie valeur de la quantité mesurée est
donnée par la moyenne arithmétique, pourvu que le nombre des
observations soit infini. Ce résultat est une conséquence directe
du théorème de Jacques Bernoulli sur les épreuves répétées.

Si l’on fait abstraction des méthodes fournies par le Calcul
des Probabilités, on peut, de même, arriver à la détermination,
ou du moins, à certaines limitations de la forme de la fonction ©.
On y parvient en obligeant la valeur la plus convenable à satis-
faire à des conditions ou à des postulats, qu’on admet à priori
comme nécessaires en général.

Les plus remarquables entre ces postulats sont les suivants :

a) Le résultat le plus convenable & est une fonction symé-
trique des résultats &,, x, .…, >, fournis par les observations,
pourvu que celles-ei soient d’égale précision (*);

b) Lorsque toutes les valeurs observées x,, x, …, x, sont
multipliées par un même facteur c, le résultat 9 doit être multi-
plié par c;

c) Lorsqu'on ajoute à toutes les quantités x, x9, …, x, une
même quantité k, le résultat ç doit aussi augmenter de k;

(*) Lorsque la loi de probabilité n’est pas connue, on entend par obser-
vations d’égale précision, celles dont on doit accepter les résultats avec une
égale confiance.

Cie)

d) Si les observations conduisent à des valeurs æ,, x, .…, 2%,
égales entre elles, la fonction @ égale la valeur commune des
quantités æ (*).

(*) La démonstration donnée par Encre (Astronomische Nachrichten,
1854-57) de l’admissibilité générale de la moyenne arithmétique repose
sur ce postulat : la valeur la plus convenable du résultat de deux observa-
tions, est leur moyenne arithmétique. I] n°y a, à notre avis, aucune difficulté
à admettre ce postulat, mais la démonstration présente, dans la suite du
raisonnement, des imperfections qui en détruisent quasi l'importance.
Voir à ce sujet les observations faites par M. G.-V. ScaraPARELLI dans une
Note publiée dans les Rendiconti dell Istituto Lombardo, anno 1868.

Dans cette même Note M. ScuraPpaRELLI a donné deux démonstrations
différentes et très ingénieuses de la moyenne arithmétique, en admettant
les postulats suivants :

Pour la première démonstration, les postulats a), b), c) ci-dessus énoncés,
et, de plus, une autre condition qui peut s’énoncer ainsi : Si, en mesurant
deux quantités X, Y de la même espèce, on a obtenu les observations d’égale
précision æ,,æ,,..…, æ, pour la première, y,, y,, …, y, pour la seconde,
et, si (2,7, … æ,), ?(Y1Ya + Y,) Sont les valeurs les plus convenables
à choisir pour les quantités X, Y, la valeur la plus convenable de la somme
X+7Y doit s'exprimer par

P(Ti + Vis Da H Ua ce) On HF Yn)-

Dans sa seconde démonstration M. ScuraparELLI se fonde sur ces deux
postulats : 1° la valeur la plus convenable à tirer de deux observations est
leur moyenne arithmétique; 2° si l’on appelle x,, x,, …, æ, les n valeurs
fournies par des observations directes d’égale précision, pour une certaine
quantité mesurée, et si o(x,x, … æ,) est la valeur la plus convenable,
cette valeur peut aussi être exprimée par »(æ,æ!, … æ!), où æ,, 2, …, æ,
sont les moyennes arithmétiques suivantes :

5 La ds + Dn-1# Un

=", x, =

* n— 1

Ty ke + Ty +T +; ; LT FL +: + Lu--1

D = "2% CS Du = ————— .

n— 1

En d’autres termes, les quantités x’, , x, , …, x’, peuvent être regardées

comme des valeurs fournies par des observations directes, auxquelles on

peut appliquer la même forme de fonction +, que l’on applique aux obser-
VAtIONS Ti, Lo...) Le

(6)

Pourvu qu'on fasse quelques réserves sur l'interprétation à
donner au postulat b), tous ces postulats peuvent, du reste,
à notre avis, être généralement acceptés sans restriction. Mais
ils ne suffisent pas, hâtons-nous de le dire, pour déterminer la
forme générale de la fonction ?; ils démontrent seulement
certaines propriétés analytiques remarquables de cette même
fonction. Dans cette note nous avons développé quelques-unes
de ces propriétés, dont nous nous sommes, ensuite, servis pour
faire une recherche assez simple et commode de la différence
qui existe entre la moyenne arithmétique et quelque autre
forme que ce soit de la fonction 9, qui obéisse aux postulats
a), 0), ©), d) C).

Nos formules serviront, si nous ne nous trompons pas, à
démontrer sous un nouveau point de vue, les avantages que la
moyenne arithmétique présente dans la plupart des cas.

2. Une fois admis qu'on puisse assigner à priori la fonction
g(XiXae … >x,) qui exprime le résultat le plus convenable d'un
système d'observations directes, l’acception du postulat a) en
résulte comme une conséquence nécessaire. En effet, à priori,
les lettres x,, x, …, x, peuvent, indifféremment, indiquer les
observations rangées dans un certain ordre ou dans un ordre
quelconque. C'est-à-dire, que o(x;x2 … x,) ne doit pas varier si
l’on permute, d’une manière quelconque, les valeurs numé-
riques substituées aux lettres x, x2, …, x,. La fonction ® est donc
symétrique par rapport à ces lettres x.

Lorsque la forme de + est déduite du Calcul des Probabilités,
par le principe de Gauss ou par celui de Laplace, elle est
nécessairement symétrique par rapport à æ, l'a, …, %,. Quoique
ces principes des deux illustres géomètres soient très connus,
nous les rappellerons toutefois en peu de mots.

(*) Nous devons à M. le général G. Ferrero (Esposizione del Metodo
dei minimi quadrati) l'idée ingénieuse et très instructive de comparer la
moyenne arithmétique avec d’autres formes de moyennes, à l’aide d'un
développement en série. Nos formules simplifient beaucoup cette comparaison.

(27e)

Soit Y(z) la probabilité relative de l'erreur z, ou, plus exacte-
ment 4(z)dz la probabilité que l'erreur d’une observation tombe
entre les valeurs z et z+ dz. Si l’on a effectué les observations
Lys Los Lx Ia probabilité que + soit la vraie valeur de la
quantité mesurée (en vertu du théorème de Bayes sur la proba-
bilité des hypothèses) est propotionnelle au produit

D? — xs). gp — 22) 4 — x).

La valeur la plus convenable pour o est, selon Gauss, celle
qui correspond au maximum de cette probabilité. Si l’on dénote
par F(z) la fonction

la fonction o, est, en conséquence, déterminée par l'équation :
Fo — 203) + Fe — x) + ++ + F(? — x,) = 0. (1)

Il est évident que l'expression (ou les expressions, s’il y a plus
d'une solution) qu'on tire de cette équation, pour +, n'est pas
sujette à varier lorsqu'on permute arbitrairement les quantités x.

Les notations étant les mêmes, Laplace détermine la fonc-
tion @ de manière que le risque total d’erreur soit minimum.
Cette condition est vérifiée lorsque ® est déterminé par l'équation

?
ou dy — 2). Hy — 2)... (y — x, )dy
1 ÿ ob (2)
mo 1É y — 2). y — x) y — x,)dy,
où a et b sont les limites extrêmes entre lesquelles la vraie
valeur de la quantité mesurée peut être comprise (”).

() Six, æ,,

vraie valeur de la quantité mesurée soit ©, le produit

.…, æ, Sont les valeurs observées, et si l’on suppose que la

[11

H.Y{y— æ,). g(y — æ).… dy — di), (&)

(où H est une constante) dénote la probabilité que l'hypothèse » soit affectée
de l'erreur : y — >. La valeur absolue de la différence y— +, mesure, selon

(8)

Si l’on indique, respectivement, par x,, x, la plus grande et
la plus petite des valeurs x observées, et par — €, s’ les limites
de l’erreur d'observation, on a

AXE. bre

Pour toute valeur de y comprise entre a et b, les facteurs du
produit, qui se trouve sous les intégrales dans l’équation (2),
sont tous positifs et différents de zéro. Lorsque y — a, le facteur
d(a— x,) s'annule; lorsque y — b, c'est Y(b — x,) qui devient
égal à zéro; car ces deux facteurs expriment les probabilités des
erreurs limites — €, €’.

L'expression de +, déterminée par l'équation (2), est, elle
aussi, symétrique par rapport à %4, Lo, «…., Lys

La théorie de Gauss, aussi bien que celle de Laplace, con-
duisent, comme il est connu, au principe de la moyenne arithmé-
tique, lorsqu'on admet que la loi de probabilité des erreurs est
donnée par la fonction :

y(z) = AeTt*,

3. Le postulat b) exige que, en multipliant x,, x, …, &, par
un nombre constant c, la valeur & soit aussi multipliée par ce
même nombre. On doit entendre ce postulat à ce titre, que :
si l’on fait varier dans le rapport de c à 1 l'unité de mesure

Laplace, la perte ou le désavantage correspondant à la même erreur. Le risque
mathématique total, relatif à l'hypothèse y = ?, s'obtient alors, suivant les
principes du Calcul des Probabilités, en multipliant les valeurs numériques
de toutes les erreurs possibles par leurs probabilités respectives. Ce risque
total est donc |

J'w- ?) . Y{y — æ)… ua dy + fr —y).v y Lil y—Ln\dy. (B)
& ?

Les limites a et b sont les valeurs de y qui annulent la probabilité (x).
Cela posé, il est évident que, en différentiant (B) par rapport à +, on
obtient, comme condition du minimum du risque total, l'équation (2)
donnée dans le texte. Nos notations sont quelque peu différentes de celles
de Laplace.

(9)

adoptée pour la quantité à mesurer, la grandeur absolue de la
valeur la plus convenable doit rester inaltérée, de manière que,
pendant que les æ,, x, …, x, sont multipliées par c, la fonction ©
est aussi multipliée par ce même rapport.

Si la fonction + peut se mettre sous la forme

pa, FE, — » 9 =). (5)

où F est une fonction quelconque, le postulat b est aussitôt véri-
fié. Si la fonetion @ n’est pas réductible à la forme (5), et si,
d'autre part, il y a homogénéité géométrique entre les différents
termes de la relation

P —= Xi Las æ,.);

il est nécessaire que le second membre de cette relation contienne
des constantes h, k, … qui représentent des grandeurs physiques,
de la même espèce que la quantité mesurée; de manière que
les rapports

p(tiXs … x) (XIXe. . X,) , etes (R)

k k

soient des nombres abstraits (*). S'il est ainsi, lorsqu'on change
l'unité de mesure dans le rapport de c à l'unité, les rapports (R)
restent inaltérés, pendant que les h, k, … restent multipliées
par c. La © résulte par conséquence, multipliée par ce même
nombre c.

(‘) I est évident, par exemple, que les deux relations

Ce a e
P = DT + Le + + Ti) -+ A HT D),

. Li . LT Er

og —=h$SNn—+siNn—+...+siNn —

k oi k
seraient absurdes, si les À et k n’expriment pas des grandeurs de la même
espèce que les æ. Cela posé, ces relations restent inaltérées l’orsqu'on change
l'unité de mesure dans le rapport de c à À, car, pendant que les x sont
multipliées par c, les h, k subissent le même sort, et par suite, + est aussi

multipliée par c.

(10)

Si pourtant on donne au postulat b) l'interprétation que nous
venons d'y attacher, ce postulat n'impose à la fonction
o(xiXe … x,) nulle autre restriction, que la condition élémen-
taire de l’homogénéité géométrique entre les différents termes

de la relation
PPT Te. 0):

Mais le même postulat peut, hâtons-nous de l’avouer, recevoir
aussi une interprétation différente. Ce postulat peut, en effet,
signifier que : si au lieu des grandeurs x, x, …, x,, on a
observé des quantités de la même espèce, mais c fois plus
grandes (en grandeur absolue) cx,, cx,, …, cx,, la valeur la plus
convenable de la nouvelle quantité à déterminer doit être exacte-
ment c fois plus grande que la valeur o© qui convient aux
observations x, Xe, …, %, Si l’on donne cette signification
au postulat b), les seules formes de la fonction +, qui lui satis-
font sont celles représentées par l'équation (3). Mais, à notre
avis du moins, le postulat b), avec cette nouvelle interprétation,
ne peut pas être admis à priori en manière générale. Lorsque,
en effet, on passe d’un système de mesures (x,, x9, …, %,), qui
présentent de certains écarts, à un autre (Cxy, Cxo, …, Cx,), qui
préseutent des écarts c fois plus grands, la précision des mesures
est tout à fait différente; et on ne peut pas prétendre à priori
(dans une discussion générale) qu'une même fonction, avec les
mêmes constantes numériques, puisse exprimer la valeur la plus
convenable, aussi bien dans l’un des cas que dans l’autre.

En négligeant cette seconde interprétation de l'hypothèse b),
nous pourrons nous passer, dans ce qui suit, de tenir compte de
ce même postulat.

4. Nous venons maintenant au postulat c) qui, à notre avis,
n'est sujet à. aucune objection. Ce postulat exige que si l'on
ajoute aux quantités &i, Xe, …, X, UNE Même quantité k, la valeur
la plus convenable s'augmente aussi de k; cela peut s'exprimer
analytiquement ainsi :

euh = (r hitars ha + h),

(11)

ou bien, en développant par le théorème de Taylor

h° RER” ss
h— hA + B + C++... (5)
1,92 1:2%;5
où l’on a fait :
ù d9 ds de
dX dXa QUE LM dx,
dA dA JA > d”
B— — + He + — Ÿ se D f (4)
DL dX DRE OT DT DT,

do

F
= — + He + —— — +3 — +6 À ——
Ti DL DEN E 0 Te PAPER E rl LP 2

?

elc.

L'équation (3) devant se vérifier, quel que soit h, il faut que

l’on ait
APM I0 RG: 0 etc:

Mais, la première de ces conditions remplie, les autres s'en
déduisent identiquement en vertu des formules (4). Donc la
relation À — 1, c’est-à-dire :

à à D

NRA ra (5)

dT; do dx
est la condition nécessaire et suffisante pour que le postulat c}
soit vérifié.

L'intégration de l'équation (5) conduit tout de suite, par les
règles élémentaires sur les équations aux dérivées partielles, à
l'intégrale générale

D? — Lis 9 — Lo, …, 9 —x,) — 0, (6)

où æ est une fonction arbitraire. Le postulat c) exige donc que
la fonction ® puisse se déduire en résolvant par rapport à o une
équation de la forme (6).

L'équation (1) établie par Gauss, à l’aide du Caleul des
Probabilités, c’est-à-dire :

F(— 24) + F(g — 2) + ee + Fe —x,) = 0,

(12)

est une forme particulière de l'équation (6). Done les valeurs
les plus probables déduites, selon le principe de Gauss, de
toute loi de probabilité des erreurs, satisfont toutes, non seule-
ment à la condition d'être des fonctions symétriques des obser-
vations, mais encore à l'équation différentielle (5) et, par suite,
au postulat c). La moyenne géométrique des observations, et bien
d'autres fonctions symétriques, considérées souvent, ne satisfont
pas à l'équation (5) et ne peuvent, en conséquence, convenir
à aucune loi de probabilité des erreurs.

Les valeurs de © que l'on peut calculer suivant le principe
de Laplace, mentionné au 2, satisfont aussi à l'équation (5).
Différentions, en effet, les deux membres de l'équation (2) soit
par rapport à %y, Soit à %o, elC , soit à »,, et ajoutons les dérivées.
Dans ces différentiations on doit considérer aussi bien la fonction
que les a et b comme des fonctions de x,, to, …, x,; car, lorsque
les observations x varient, les limites a et b (voir K 2) doivent
aussi varier. Dénotons pour abréger, par P, la fonction qui se
trouve sous les intégrales dans l’équation (2), et par P., P,, P,
ce que devient la mème fonction, lorsqu'on substitue ®, a, b à y.
Nous aurons

oP, oP op,
Co SAONE

a Sa + ya). y — 2) y)

.

Et, par conséquent, la somme des dérivées partielles de l'équa-
tion (2) donnera :

do da °d |
PV UND Ne et Ep re
dx, À ds JL. dy) s)9y

db |

1 ) 12% 4 se
a 20

DApON ee pe DENON enPi

2 ‘Ar, 2 Din +. dy Wty

Si l’on observe que, par les remarques faites au 2, on a
P, — 0, P, = 0,

et l'équation (7) nous donnera :

ù
Le :

(15)

Et puisque +, comme on doit nécessairement l’admettre, est
comprise entre les limites a et b, et que, par suite, elle ne peut
pas être zéro, on aura

ce qui coïncide avec l'équation (5). C. Q. F. D.

3. Nous admettrons encore le postulat d), c’est-à-dire la
condition que, si les observations sont toutes égales entre elles,
la valeur la plus convenable © est aussi égale à la valeur com-
mune des observations. Si l’on pose

P—X —=Z; D — Lo — Los etc., p—X, — ZX

les postulats a), c), d) sont tous vérifiés, pourvu que la fonc-
tion y soit tirée d'une équation de la forme
F(z, 29, EE) A); (8)

où F est une fonction symétrique par rapport aux lettres z, qui
s’annule lorsqu'on y pose

eue —— 7 — ()
Æn e

Cette dernière condition correspond, évidemment, au postulat d).

6. Les conditions énoncées au paragraphe précédent étant
remplies, il existe des relations remarquables entre les valeurs
que les dérivées partielles de la © prennent, lorsque, après les
différentiations, on pose

Li —= Lo—= + —= X

vi
Puisque © est symétrique par rapport aux lettres x, si, après les
différentiations, on rend toutes les x égales entre elles, on aura :

d9 d? d?
SRE DE ITA
de 107 de Re de dé
Rodin Die done io lon
Ve dy d ARE Aloe dé SL
de Mo De aber De, 1.
9 do HA dr

DL OL dDXOLXOÔT, dXDX OX,

(14)
D'autre part on a, dans notre cas :

d? d» dp
RE
dXi do de

En différentiant successivement par rapport à x, et à x :

do 2? 32
HR RE Re (j
dx dL10 Le dXÔX,
de de de
He SoDee — —= 0
dx DL 10 Te dX VX r
Vo d°9 d de
= ain He + © —
dX 10 Lo dX 102 dXdL IT % DXOXOÔX,
Si dans ces dérivées on pose
Li —= Lo — —L,,;
on aura done, en vertu des équations (9) :
do S ù ©
D 4 ="). (10)
dx, On DL Lo ;
5 3 E) 3
) )? d°? d
+ (n— a ep dat 2) Po (11)
x DLL 9 DL Le dLI0X IL
Si, en particulier,
6 NEA 8 dec (12)
sont les valeurs des dérivées
de de Ÿe de de de

EE D) ? res ?) remis? ee
dx, DC OTID LS UOTE TO MOT UaDES

lorsque, après les dérivations on substitue, à toutes les lettres
Xi Lo …, &, leur moyenne arithmétique X, on aura done :
1 É

Fe Len 9) Y — ,
ñn Di)

(15)

E =

(15)

On peut trouver des relations analogues entre les dérivées
des ordres successifs.

. Nous pouvons maintenant, à l’aide d’un développement
en série, comparer très commodément avec la moyenne arith-
métique une autre forme quelconque de +, qu'on tire d’une
équation de la forme (8).

Appelons X la moyenne arithmétique des valeurs x,,%9, …, æ,
et posons

Gi XIE LU Te —N A SNelC Ur, — Xi

Nous aurons :

2t, —0; (14)
ZP+IZEt, —0; (15)
Zt+Zit,—=0; 2er + 32ti,t,= 0. (16)
d'où l’on tire
9 À
> LRUR = — > (es Ÿ {, ll br 5 Ÿ Fa (1 6")

On a la formule (15) en élevant au carré l'équation (14) ; la
première des équations (16) s'obtient en multipliant Y # ul GE
la seconde des équations (16) en multipliant E £,t, PAS Dit.

Si maintenant

? — g(Xit2.…. %,)

est une relation obtenue en résolvant l'équation (8) par rapport
à ®, on aura, par le développement de Taylor :

ù
px, XX) + Si, À

Tr

à ù d t d |
+ rl ml + —) 17
4. dx: sn 2%, ü (1e)
ù à) dE
its CEE EE NO CCC?
dXi Do dx,

où l’on a employé une notation symbolique très connue. On

(169)

entend, cela va sans dire, que, après les différentiations, on doit
mettre la moyenne X à la place des x,, %a, .…, 2.

En rappelant les notations (12) établies au paragraphe précé-
dent, et en observant que, en vertu du postulat d), on a :

70 0 AE de
le développement (17) devient

La Ju+2y tt.) |

dd

il g 18)
EP 5 L + 5€ > Pt GE Ÿ Lui.) | (18)
<E . ° . 5 , o 5 . . . . . Ê

Le caleul de ce développement, mème des deux premiers
termes, est, en général, très compliqué. Nos formules le simpli-
fient beaucoup. Éliminons, en effet, de l'équation (18), au
moyen des formules (13), (14), (15), (16°), les quantités

RP EE NL OU, All ME At

En réduisant, on obtiendra :

: 1 n°
» —X—- 0 D CP AE

; 6(n—2)(n —1) 2° ho
où 6 et 9 ont les significations données dans le paragraphe pré-
cédent.

8. Si les observations jouissent d’un certain degré de préei-
sion, les écarts 44, t, .…, t, sont des quantités assez petites pour
que les termes écrits dans le second membre de l'équation (15)
donnent une expression assez approchée de la différence o — X.
Il n’est pas difficile cependant de calculer, s’il est nécessaire, les
termes des ordres successifs : il suffit, à cet effet, après avoir
écrit la forme générale de ces termes, d'éliminer, à l'aide des
relations analogues aux équations (13), (14), (16), le plus grand

CAT)

nombre possible des dérivées partielles et des fonctions symé-
triques des f, qui successivement se présentent. Nous donnons
ici les résultats des calculs relatifs au terme du quatrième ordre,
sans en donner la démonstration, car elle ne présente aucune
difficulté. Soient :

HER RATE LL STE D

2
les valeurs que prennent les dérivées partielles

ot, Ste > Ne 5

I ï

,

Sn lise? D —— ;
TANT Te DXT0XZ JA DT; DA DL DLL 4

lorsque, après les différentiations, on pose X au lieu de chaque
lettre x. On à :

2 4
(n—1l)(n — 1) n — 2
3 1
DR mn a m0
(n — 1)(n —2)(n — 5) (ù—2)(n—53) |
Entre les fonctions symétriques, du quatrième ordre, des
écarts {, existent, d'autre part, les relations :

DS RD

É OL 242
DE ae REA 1)
À Î
k 212
D tititite = — Fe De " Dre

Le terme du quatrième ordre du développement (19) peut
s’écrire, avec nos notations :

1
4 \ ,3 He
Fee en + ma Ye

+ 194 SEL, + 24 Ÿ tt
b

(439

En éliminant les quantités qui figurent dans les premiers
membres des formules (20), (21), ce terme devient :

1, | nn 9 , . O(n—3n +5) es
1.2.3.4[(n—1)(n—92)(n— —3) DT (n—9)(n LS
(22)
6(2n — 3) 0 pa é]

(n—1)(n—2) m3)" 2 Te (n—2)(n—53) 12
9. Si l’on admet le principe de Gauss, mentionné dans le
$ 2, pour la recherche de la valeur la plus probable, la relation

d(e — Xi, Pin Vase ip x,) = 0, (25)

dont on doit tirer l'expression de + en fonction de x,, x2,.….,2,,
prend la forme

F(z:) + F2) + + + F(z,) = 0, (24)
où l'on a posé :
P— Li = y P—La— ls P— TL, 2, (25)
1ù-d>
"Ju #z)
y(z) dz

Y(z) étant toujours la probabilité relative de l'erreur z.

Le postulat d) exige, comme il est évident, que F(z) s’annule
pour z—0, c'est-à-dire (pourvu que Y(z) ne soit pas infinie
pour z— 0) que la fonction de la probabilité des erreurs pré-
sente un maximum (ou un Minimum) pour z = 0.

Différentions trois fois successivement la formule (25) par
rapport à x. Nous aurons :

Sr LE = "0

A e
oz, \? 0 a j
Ne + SF) <=0 (26)

dec NUE és PA OEZE
# + 3D F2) — + SF) — = 0.

Xi

D F”(z).

> Fra

Posons

et, par suite,

Les formules (24) nous donneront, en conservant les notations
du 6 :

dz d°z, dz,
a D D en
1

dx: dx?
dz, \? ,
» M = NX — dx + 4 (27)
2Z, ; 5 = 9 =
— | = na — 5° + 5x — À,
RU

l

Et, puisque la première des formules (15) nous donne a — =)
on aura :

DE) ="; A ER

?
d%1/ n ND n°

Cela posé, si (comme nous le supposerons ici) F'(z) ne s’an-
nule pas pour z—0, les formules (26), en y posant

D —=Z—=.:—2,— 0,
nous donneront
na — 1 — 0,
n —1
—— F(0) + 26F(0) = 0,
(n — 1)(n — 2)

2

= F”(0) + no. F'(0) = 0,

dont la première n'est autre que la formule (13), tandis que
les deux dernières nous donnent :

n—1 F”(0) ae (2 —1)(n — 2) F(0)

“TRE EN TO NNRCRAUE TETE SET) QU
Après cela, le développement (19) devient
1 F’(0) 1 F'"(0) ù
DANS RE Ga NUE Na et = NE
. on F0)" 67 F' (0) 2" (2

(20 )

En différentiant une fois par rapport à x,, la troisième des
formules (26), et deux fois par rapport à x, la deuxième des
formules (26) mêmes, on obtient sans difficulté les expressions
de », À qui figurent dans le terme de quatrième ordre calculé
dans le $ 8. Ces expressions calculées et substituées dans la
formule (22), donnent à ce terme de quatrième ordre, la forme

1 | F7 # 5 Er #: _ Y :

VOLE 0 n.\ (FT 0 ie (50)
1 Les si
an \ (FF (E9/0

où l'on a posé, pour simplifier, F', F”, etc., au lieu de F'(0),
F”(0), etc.

40. Bornons-nous, dans tout ce qui suit, à la considération
des cas où la valeur la plus convenable o est déduite d'une
équation de la forme (25), et admettons, par suite, le principe
de Gauss, en appliquant les formules du paragraphe précédent
à des formes particulières de la fonction ÿ(z) qui donne la loi
de probabilité des erreurs.

Si Y(z) prend la forme très répandue :

(= 6e", (51)

on à
F(z) — — 2h°z,

et le développement (29) donne exactement :
pie X — 0,

ce qui devait nécessairement se vérifier, car la formule (51),
comme il est très connu, est la loi de probabilité des erreurs
qui s'accorde avec le principe de la moyenne arithmétique.

44. Supposons maintenant :

HAE Te (52)

Nous aurons :

F REZ

(z) ve UE

F”(0 F'”"(0 1
UM FY(0) — 0.
F’ (0) F’(0) Œ

Par suite, le développement (29) donne

{ = Lderd
Hat ur Gh°n 2 Lo (5)

Les termes négligés dans le second membre sont du cinquième
ordre au moins. Dans le cas de l'hypothèse (52), l'expression
de +, en fonction de x, 2, .…, x,, peut aussi s’obtenir sous
forme exacte. En effet, la formule (25) devient en ce cas :

ARRET EE pe
h h h

}

d'où l’on tire sans difficulté :

PCT . Lo Th
SH SIN LU SIN
p h ) h
tang — — j
Li 9 nl
COS PICOS EE EE COR
! h k

42. Supposons que la la loi de probabilité des erreurs soit

!

g(z) = Ae7 AT (54)

qui correspond, ainsi que les deux précédentes (51) et (32),
à l'hypothèse que chaque erreur positive se présente avec la
même facilité que lerreur négative qui a une égale valeur
absolue. La formule (54) doit toutefois être considérée comme
beaucoup plus générale que les formules (51), (52). On a dans

ce Cas :
F(z) = — 2h°z — 4h°k?z,

E£
D RERO GE je F"(0) = 0.
F'(0)

(22)

Et, par suite, la formule (29) devient

2
X = dt 2
? De (55)
plus des termes du cinquième ordre.

Si les observations sont assez précises (comme il arrive d'or-
dinaire) pour que les termes du cinquième ordre soient négli-
geables, la formule (55) nous démontre combien peu la valeur
la plus probable s'écarte de la moyenne arithmétique, toutes les
fois que la formule (54) diffère peu de la loi commune de pro-
babilité des erreurs (51). Dans ce cas, en effet, le terme h?k2z4,
dans l’exposant de e, doit être très petit vis-à-vis du terme h2z?,
pour toutes les valeurs de z qui sont comprises entre les limites
réelles (*) de l'erreur d'observation. Pour toutes ces valeurs de z
la quantité k?z? doit partant être très petite vis-à-vis de l’unité.
Et les produits

RUE TE

seront des quantités du mème ordre que kz? ; c'est-à-dire que les
produits 224}, k24:, ete., K24, seront très petits vis-à-vis des écarts
ti, do, ete., t,. Le deuxième membre de la formule (35) est,
d'autre part, égal au double de la valeur moyenne de ces pro-
duits Æt5. Or, si l’on considère que les erreurs positives se
présentent avec la même facilité que les négatives, la valeur
moyenne des 45 tend à s’annuler, et l’on se convaincra facilement
de Ja petitesse de la différence ç — X.

Appliquons notre formule (35) au caleul de la valeur la plus
probable dans l'exemple qui suit. On a fait 95 observations

(*) Il est clair que, bien que la formule (34) ne pose pas des limites
mathématiques à la grandeur des erreurs, on peut toutefois concevoir, pour
chaque système d'observation, une limite € qui ne sera jamais surpassée
par la valeur absolue de l'erreur. On peut appeler limites réelles de l'erreur
les deux quantités — €, + &.

(25)

d'égale précision, qui présentent les écarts suivants de leur
moyenne arithmétique :

GRANDEUR NOMBRE GRANDEUR NOMBRE

des des des des

écarts. écarts. écarts. écarts.

0 6
1 4
2 7
5 9
4 6
b) 4
6 6

2

1

co

©
>= LE

19

Ces nombres ne sont pas imaginés ; ils ont été réellement
observés (*). On à :

(*) Ces nombres sont empruntés au Mémoire de MM. Pisarr et Puccr,
Sulla lunghezza del pendolo a secondi(MeMoRIE DELLA R* ACCADEMIA DEI LINCEI ;
Roma, 1835; vol. XV, p. 100). Ils ont été obtenus comme il suit. On a
observé 93 fois de suite le passage d’un pendule par la verticale, et puis,
en ajoutant ou en soustrayant aux temps observés, des multiples convenables
de la durée de l’oscillation, on a obtenu 93 valeurs différentes de l'instant
du passage moyen. La durée de l'oscillation étant connue avec beaucoup de
précision, lesdits multiples, que l’on a ajoutés ou soustraits, peuvent se con-
sidérer comme affectés par des erreurs tout à fait négligeables vis-à-vis des
erreurs propres des observations des passages. Par cela les 95 valeurs diffé-
rentes, obtenues, comme on l’a dit, pour l'instant du passage moyen, peuvent
se considérer comme les résultats de 95 observations directes d’égale pré-
cision. Les nombres de notre tableau sont les écarts entre ces observations
et leur moyenne. Le centième de seconde de temps est pris comme unité.

(24)

En calculant le coefficient Æ? par la méthode que nous don-
nerons au S 15, on trouve :

k? = 0,001657.

Cette valeur substituée dans le second membre de la for-
mule (55) donne :

9 —X—= — 0,051 environ.

Cette quantité est tout à fait négligeable, non seulement
vis-à-vis des écarts des observations considérées, mais bien aussi
par rapport à l'erreur accidentelle qui peut affecter la moyenne
arithmétique des observations mêmes.

43. Nous considérerons maintenant le cas très commun et
bien plus général que les précédents, où la fonction de proba-
bilité des erreurs est seulement obligée à la condition

H— 2) = wa). (56)

Nous supposerons, de plus, que la fonction 4 ne soit pas zéro
pour z—0, et que la méme fonction avec toutes ses dérivées
soit finie et continue pour z — 0. Enfin, admettons encore que,

Re : : 1 d.
en désignant comme ci-dessus, par F(z) la fonction eee
© s ÿ(z) dz
la première dérivée de F(z) par rapport à z ne s’annule pas
pour z— 0. Dans ces circonstances, il est évident qu’on aura,

d’après la formule (56), ces autres relations :

F(—2z)=—EF (2) |
FES AUEN (57)
F(— 2) = — F"(2)

et ainsi de suite, de manière que toute dérivée d'ordre pair sera
une fonction impaire et s'annulera pour z = 0, et toute dérivée
d'ordre impair sera une fonction paire. Il n'est pas difficile de
démontrer, à l’aide de ces considérations, que si la fonction 4(z)
satisfait à la formule (36), le développement (29) perd néces-
sairement tous les termes d'ordre pair. Mais cette même propriété
peut se démontrer d’une manière indirecte et fort simple, comme
il suit.

(25)
A cause de la formule (37), la relation (25), c’est-à-dire
LC Pam Comet ne 1 Cm (25)

est encore vérifiée, si l'on change de signe aux lettres x de même
qu'à o. Une relation tirée de la formule (25), pour exprimer o
en fonction de %,, %9, .…, x, doit donc être telle, que ® se change
identiquement en — lorsqu'on change le signe des lettres
Li, Lo» …., ©. Mais si les %, Xo,..…, %, se changent en — x,
— Lo, …, — %,, leur moyenne arithmétique X se change en —X
et le premier membre de la formule (26) change, lui-même,
seulement de signe. D'autre part, après cette transformation, les
écarts {4 , lo, …., l, deviennent — 4,, — {9, …, — 1,. faut par-
tant que, en changeant les signes des écarts {, chaque terme du
deuxième membre de la formule (29) change, lui aussi, seule-
ment de signe. Or cette condition est bien remplie par les termes
de degré impair par rapport aux écarts {, pendant que, au con-
traire, les termes de degré pair ne changent ni de valeur ni de
signe lorsqu'on change le signe des écarts £ (*). Il est donc néces-
saire que ces derniers termes s’annulent identiquement dans le
développement. Ce qu'il fallait démontrer.

En résumé, dans toute hypothèse, pour laquelle les erreurs
positives et les négatives se présentent avec une égale facilité,
la formule (29) devient :

7
CR LT AO MES (58)
Gn F'(0)
où l’on a réuni dans le symbole Q les termes du cinquième degré
par rapport aux écarts {, et tous les termes de degré impair
supérieur au cinquième.

(") 1 faut bien se souvenir que les différents termes du développe-
ment (29) ne contiennent que les écarts {, le nombre n, et les valeurs
F’(0), F’’(0), etc., que les dérivées successives F(z) prennent pour z — 0.
Ces dernières valeurs ne sont pas sujettes à varier, lorsqu'on exécute les
changements de signe dont il s’agit dans notre théorème.

(.26 )

Nous ne pouvons rien dire en général (*) à l’égard de la
convergence du développement (38). Mais on peut cependant
prévoir que dans tous les cas où les observations jouiront d’un
certain degré de précision, les termes de ce développement,
à partir du premier, diminueront rapidement, à cause de la
petitesse des écarts 4, et, le plus souvent, même le premier terme
sera très petit, comme on l’a vérifié pour l'exemple numérique
du paragraphe précédent.

En donnant à la fonction 4 des formes particulières (qui ne
s'écartent pas trop des lois qui se vérifient expérimentalement
dans la distribution des erreurs d'observation) on peut facilement
se persuader que la différence o — X entre la valeur la plus
probable et la moyenne arithmétique est fort petite, même si le
nombre des observations est très limité. Dans la pratique, si l’on
applique nos formules à des nombres donnés par l'expérience,
il arrivera le plus souvent que cette différence 9—X sera négli-
geable. On pourra affirmer dans ces cas, que la fonction d(z)
ne diffère pas sensiblement de Ae7** pour toutes les valeurs
de z qui correspondent à des erreurs possibles d'observation.

44. Si l’on a un système quelconque d'observations actuelles
d’égale précision, et si l'on fait une hypothèse quelconque à
l'égard de la forme de la fonction d’(z), les formules des articles
précédents peuvent nous servir à l’un de ces deux buts :

Soit à obtenir, par des calculs assez simples, la valeur la plus
probable de la quantité mesurée ;

(*) Nous nous passons de la considération du cas théorique où le nombre
des observations croît sans limites. Si n est infini, et si, comme on suppose
ici, y(z) = ÿ(— z), la moyenne arithmétique X donne la vraie valeur de la
quantité observée, en vertu du Théorème de J. Bernoulli. Les écarts é sont
alors les vraies erreurs d'observations, et ils tendent, en vertu de ce même
théorème de Bernoulli, à se présenter de manière à être deux à deux égaux
et de signe contraire. Par suite, les sommes Z{;, Dr, X tc, 'etc;'deldegre
impair, qui figurent dans le deuxième membre de l'équation (58), devien-
nent zéro, pour infini, et l'équation (38) donne —X, ce qui devait arriver.

(27)

Soit (ce qui arrivera le plus souvent) à démontrer que la
différence entre cette valeur probable et la moyenne arithmé-
tique est tout à fait négligeable vis-à-vis de l'erreur moyenne
du résultat.

Dans tous les cas, une fois que l’on a choisi une certaine forme
pour Y(z), l’assignation des constantes numériques qui figurent
dans cette fonction n’est pas arbitraire, mais doit être faite en
accord avec les résultats de l'expérience. Naturellement, c’est de
la loi de la distribution des erreurs, telle qu’elle se présente
dans le système d'observations qu'on traite, que doivent ressortir
les crileriums pour la détermination approximative desdites
constantes numériques. Îl n’est pas possible de donner des règles
générales sur les voies à suivre dans ces recherches, et, d'autre
part, on ne peut espérer de parvenir qu'à des résultats d’une
grande approximation, comme la nature du problème le comporte.
Toutefois, nous ajoutons ici (comme exemple) des formules qui
peuvent servir à une détermination très simple des constantes,
lorsque la fonction choisie est la formule

dont nous nous sommes occupé dans le paragraphe 12.

Pour beaucoup d’autres formes de 4(z), on peut aisément
obtenir des formules semblables à celles que nous allons exposer
pour la formule (54). Du reste, la formule (54) présente une
généralité si grande vis-à-vis de la forme plus commune Ae-"*,
que l'étude de celle-là peut se considérer comme très intéres-

sante pour un grand nombre de cas.

45. Dénotons par M, la moyenne arithmétique des carrés
de toutes les erreurs dans un nombre infini d'observations.
La racine carrée de M, sera ce que l’on appelle, suivant Gauss,
l'erreur moyenne des observations.

Soient, de même, M,, M;, etc., les moyennes arithmétiques

(28)

des quatrièmes, des sixièmes, etc., puissances des erreurs.

On aura, en posant, pour simplifier :
els NPA Z,

M — A 1 z’Zdz,

—

+
M, — A f z“Zdz,

—

+2
M, — Ua ='Ldz,

— C0

et ainsi de suite.

La probabilité que l'erreur d'observation tombe entre les

limites — œ et + æ étant 1, on aura :

+
af Zdz = 1.

—

La formule (55) donne, d'autre part :

A ne É Phi
M: — D z(2h°?z + Ah°k°z°) Zdz — 24° Î z‘Zdz
ZT «7:
A +0 A +
RE —— Zdz — 2kM,.
Te | ES fe Zd KM,

De là, en tenant compte de la formule (42), et en observant

que le produit zZ s’annule aux limites z = + « :

fl
Me D — 2 M.

72

De même on peut écrire :

 +0 AN LE : +
M, — TE vf z'(2h*z + 4h°k°z5)Zdz — 26 f. zfZdz
2h

—

=

ns M, — 2FM..

(29)

De la même manière, si n est un nombre pair quelconque,
on obtient sans difficulté :

n — 1 ges s

M, —= Top Ne ET 9k Me. (45)

Appelons ensuite M,, M;, M, etc., les moyennes arith-

métiques des erreurs, de leurs troisièmes, cinquièmes puis-

sances, etc., supposé qu'on ne considère que les valeurs absolues

des erreurs mêmes. Si le nombre des observations est infini,
comme précédemment, on aura :

M, =24 f zLdz; M2 f zZdz, etc., (4%)
0 0

Il est facile de se persuader que la relation (45) subsiste aussi
entre ces nouvelles moyennes; c'est-à-dire qu'elle est encore
vérifiée pour n impair; le cas n — 1 fait, lui seul, exception.
On a, en effet :

A

n — 26MS.
è

A Se ù SU
M: vf (2h°z + 4h°k°z°) Lise f z'Ldz —
(RE e
0

Résumons maintenant les relations trouvées, en les rangeant
par ordre, comme il suit :

À J 1 |
M, 2 hè — 2k°M;, M, ——= 9h? —= 24£°M,, |
FOR EN AETET RAT MR EEE ARTE
SET Ha 5» ANTOTT CATTEE es (45)

n — 1
M, — — M
2h°

n—20 2R°M, 2 ,

Il est elair que, si l’on connaissait les valeurs de six, au moins,
des moyennes M, on pourrait calculer e et 4?, par la résolution
d’un certain nombre d'équations du premier degré. Soient,
en effet, M,, M,, …, M, (où les nombres r, s, .…, w sont rangés
par ordre croissant) les six quantités connues. Que l’on considère
les relations, de la forme (45), pour toute valeur de n depuis

( 30 )

n—=r+2 jusqu'à n —w —92, et l'on aura w —r — 3 équations

entre autant d'inconnues [les quantités . et 2? y comprises), d’où
, . { . , . . h

l'on pourra déduire ;; et Æ?. Mais cette détermination a lieu de

la manière la plus simple, si l’on connaît les valeurs des cinq

quantités M,, M, M;, M;, M; Dans ce cas, on fera usage de
deux équations :

1 il
M: — op —2FM,; M;,— he M, — 2K°M,,

qui donnent :
1 2MM, — 2M.M,

RE M, —2MM,
1 2MM, — M;

2 M, SET 2M,M,

(47)

Pour ce qui regarde la détermination des valeurs moyennes
M,, M, M;, M,, M;, elles peuvent se tirer, par voie d'approxi-
mation, des écarts £, si le nombre des observations est très grand,
et pourvu qu'il soit présumable à priori que l'erreur moyenne
de la moyenne arithmétique soit suffisamment petite vis-à-vis des
mêmes écarts. Dans ces circonstances, on peut prendre, comme
valeurs approchées des M, les rapports :

1 UMTS AU 1
120026 20-20 1-2 ti

où 7 dénote la valeur absolue de t.

Hâtons-nous de dire que, si le nombre des observations n’est
pas considérable, nos formules ne peuvent pas conduire aux
résultats attendus. En effet, les valeurs approchées (48) qu'on
prend pour les M ne sont douées d'aucune précision, si le
nombre des observations est petit. Surtout dans le calcul de M;,
M,, M,, les puissances des grandes erreurs sont très grandes
vis-à-vis de celles des petites erreurs, et la présence d’une seule
erreur, de grandeur considérable, décide presque elle seule du
résultat. La détermination de ces moyennes est partant très
incertaine. Il serait préférable alors de se tenir, pour la déter-
mination de h et k, à des méthodes qui n’exigent que l'emploi
de deux quantités M, et M,, qui restent assez bien déterminées,

(51 )

comme l'expérience le démontre, même si le nombre des obser-
vations n’est pas très grand.

Il serait nécessaire, pour notre but, d'exprimer directement
les M,, M, en fonctions de h et k au moyen des formules (59),
(45), et d'en éliminer ensuite A moyennant la formule (42).
Mais l'impossibilité d'exprimer les intégrales en termes finis,
ou par des développements en séries simples et convergents
à la fois, rend inapplicable cette méthode. Toutefois, si la
formule (59) peut être, par approximation, remplacée par cette

autre fonction (*)
g{z) = AU — hkiztje 5, (49)

les intégrations s’exécutent tout de suite et l'on a :

| DR ee 5 l?
ere (51)
A h 4 le

à A £ ) ï East) 15 =] (52)

ANNE RAGE k k
Que l’on pose :
2M;
— M — €,

et les deux équations (52), d’où l’on aura éliminé A, moyennant

la formule (51), nous donnent
19

Se —
2% : je)
— == ————— À ———————— = ,
hr 1+8e 1+8 \W
équation du deuxième degré dont on peut tirer …

(*) Les fonctions (34) et (50) sont nulles pour z — 0, et tendent rapide-
ment vers zéro lorsque z croit. Pour que ces deux fonctions puissent, par
approximation, se substituer l’une à l’autre, il faut et il suffit que les deux
fonctions diffèrent peu entre elles pour toutes les valeurs de z qui sont
comprises entre les limites réelles de l'erreur. En dehors de ces limites les
deux fonctions peuvent avoir entre elles des rapports très différents de
l'unité, mais les valeurs, tant de l’une que de l’autre, peuvent être tout à fait
négligeables. Ces conditions doivent être vérifiées, après le calcul de h et #.

(52)

Ce rapport connu, on calculera k au moyen de l’une des deux
relations (52). Pour ce qui regarde les valeurs des moyennes
M,, M, en fonction des écarts, on fera usage des expressions

27 AE
FR A = Er NU 2 ?
Van — 1) RE.

M,

. . , >r de ,.!
qui sont bien plus approchées que les > — citées plus haut.

Dans notre exemple numérique du 12, on a :

M, == 4,211 , M, — 91,95.
Et, par suite :

PA

k
é— 10,2571; Fe 0,1708,

h? — 0,009701, _Æ° — 0,001657.

46. Jusqu'ici, dans nos applications de la formule (29), nous
avons considéré des cas où la loi de probabilité des erreurs

satisfait à la condition
ÿ(z) = Y(— 2). (52)

L'étude des formes de Y(z), qui ne satisfont pas à la condi
tion (56), et qui correspondent à l'hypothèse que les erreurs
positives et les erreurs négatives ne se présentent pas avec une
égale facilité n’est pas moins intéressante et peut se faire avec
la mème facilité que les recherches précédentes.

Mais afin que cette étude puisse conduire à des formules et
à des règles, qui soient, elles aussi, applicables à la discussion
pratique des résultats d’un système donné d’observation, il serait
nécessaire d'ajouter à ce qui précède une série de considérations
nouvelles qui nous porteraient bien au delà des limites que nous
nous sommes imposées. Mais nous espérons de revenir sur
ce sujet.

(55)

RAPPORT DE M. C. LE PAIGE.

. M. Pizzetti s'occupe, après beaucoup d'autres Géomètres,
d'un problème qui doit se présenter à tous ceux qui ont à cal-
culer le résultat d’une nombreuse série d'observations : je veux
dire, la détermination de la valeur la plus convenable de la
quantité qui a été mesurée.

Le travail qui nous est présenté se distingue néanmoins des
divers Mémoires que nous avons eu l'occasion de lire sur cette
question.

M. Pizzetti reconnait immédiatement l'impossibilité de démon-
trer le principe de la moyenne arithmétique et il est, en cela,
d'accord avec un de nos Confrères, très compétent en tout ce qui
touche à la philosophie de mathématiques, M. De Tilly.

Cependant, en présence de la nécessité absolue où l'on se
trouve de déterminer une valeur spéciale, dépendant des obser-
vations, pour la grandeur observée. M. Pizzetti rappelle les
axiomes que l’on se voit obligé d'admettre lorsqu'on veut obtenir
une fonction analytique représentant la valeur spéciale dont il
vient d'être question.

Ces axiomes sont les suivants :

4° Le résultat le plus convenable ® est une fonction symé-
trique des résultats æ,, x, …, x,, donnés par les observations,
pourvu que celles-ci soient d'égale précision ;

2% Lorsque toutes les valeurs x,, x, …, +, Sont mulupliées
par un même facteur, c, le résultat le plus probable + doit être
multiplié par c;

9° Lorsqu'on ajoute à toutes les quantités &,, 2, …., x,, une
même quantité k, le résultat o doit être augmenté de k;

4° Si les observations conduisant à des valeurs æ&,, >, …, ,,
égales entre elles, o doit être égal à la valeur commune.

6

(54)

Après avoir discuté le sens de ces axiomes, M. Pizzetti essaie
d’en tirer quelques conséquences analytiques.

C'est notamment l’axiome 3 qui le conduit au résultat le plus
intéressant. 3

Admettant que o soit développable par la série de Taylor,
on en déduit l'équation aux dérivées partielles

ONE d'A MNEPNNTE
CNIL ES

d'où l’on tire une relation
F(2 — 2, 9 — Xe, …, o —x,) = 0.
F étant arbitraire.

L'auteur montre que les principes admis par Gauss ne sont
qu'une application très spéciale de cette condition.

Il en est de même des principes admis par Laplace.

C'est ici que vient se placer l'innovation heureuse due à
M. Pizzetti. L'auteur calcule la différence qui existe entre la
moyenne arithmétique des valeurs observées x, x9, …, x, et une
valeur + satisfaisant à l'équation aux dérivées partielles qui vient
d'être écrite.

Pour calculer cette différence, l’auteur est entré dans des
développements analytiques assez longs et qui supposent toujours
que y soit développable par la série de Taylor.

Nous devons cependant dire que la longueur des calculs était
inévitable et que l'hypothèse de l’applicabilité de la série de
Taylor parait justifiée, sans qu'il soit possible d'en donner une
démonstration rigoureuse. :

L'honorable professeur de Gènes suppose ensuite que la relation

F((g — xs) + 5 — ae, 9 — x) = 0,

[

prenne la forme plus simple

GE

F(e 7 x) — 0,

en
_

(35)

où l’on a :
__d.l(z)

—
dz

F(z)
ÿ(z) étant la facilité de l'erreur.

Dans ce cas, en supposant

on trouve

comme on devait s'y attendre, puisque la loi admise conduit
au principe de la moyenne; mais ce résultat justifie, en même
temps, l'exactitude des formules de M. Pizzetti.
L'examen des hypothèses particulières
k(cos + —1

y(z) — Ae (re à js

y(z) AC Heè—RERS
conduit aux expressions suivantes :

—X————— SA;
L Gh°n 2
plus des termes du cinquième ordre ;
2k?
p—X=— 4;

n

plus des termes du cinquième ordre.

On à, en général,

et

(56 )

L'auteur fait usage de ces formules dans le cas d'une série
d'observations instituées pour déterminer la longueur du pendule
à secondes.

Le Mémoire se termine par l'examen de l'hypothèse plus
générale où l’on a simplement

Ur) = 4(— 2).

Dans tous les cas, l'écart entre la moyenne arithmétique et la
valeur o déduite de la forme particulière de d est extrêmement
faible, et il y a, par suite, tout avantage à employer la moyenne
qui donne lieu à des calculs simples et qui conduit, pour la
fonction 4, à la forme généralement admise

C’est la conclusion qui ressort du travail de M. Pizzetti.

Ce Mémoire pourrait être développé et conduirait peut-être
à des résultats intéressants sur les conditions d’existence de la
fonction + et de la fonction 4.

Tel qu'il est, il nous semble une contribution intéressante
à l'étude du problème fondamental du calcul des probabilités
appliqué aux sciences d'observation et nous eu proposons l’in-
sertion dans les Mémoires de la Société.

20 décembre 1887.

Je me rallie aux conclusions de mon savant Confrère.

E. CaTaALan.

CHERE

LES SEMI-INVARIANTS DE FORMES BINAIRES;

PAR

JACQUES DERUYTS,

CHARGÉ DE COURS A L'UNIVERSITÉ DE LIÈGE.

SUR

LES SEMI-INVARIANTS DE FORMES BINAIRES (°).

I. Représentons par

k = kr? + É ; DL A ARS D OO EU

k' = kit + de Jr Te CE

des fonctions isobariques et homogènes des variables x et des
coefficients de formes binaires; nous supposerons ces fonctions
égales à leurs transformées par la substitution x, — X, + ÀX,
%a — X et nous les désignerons, pour abréger, sous le nom de
semi-covariants, comme nous l'avons fait dans un travail anté-
Eur CE).

La quantité 4, est un semi-invariant et l'on a :

dko dk,
rm 0, a 'k;. ; À
dé pape a)
les coefficients k’, … satisfont à des égalités du même genre.

Soit S un semi-invariant contenant au degré p les coeflicients
(*) Note présentée à la Société des Sciences le 22 novembre 1887.

(”) Développements sur la théorie des formes binaires (BuzL. DE L’Acan.
ROY. DE BELGIQUE, juillet 1887).

(29

de k, de manière que chaque terme de S a pour facteur un
produit de la forme

P— ki kE ke, (a+ b+c+ + hp),

1 ï Ein dk | Eur
RES PR ne PT RER M re EN
mdrr el diPedE ces

La substitution x, — X, + AX2, x — X, donne lieu à des
transformations linéaires de même module pour les produits

de dérivées
| d” | d” | Fe |
dryoN\dire dr ë dx

et pour les dérivées

ou

d”?

—— 8—1.b+2,c+.. + mh).
dx”v-dx?” )

Il en résulte que l’on déduira de S un semi-covariant Z en
dmpl

———— d'un semi-
dx"r—0gx0

remplaçant les produits P par les dérivées
covarisnt quelconque :

1 xt + (5 Juattrs He.

Dans tout semi-covariant, et en particulier dans Z, le coefli-
cient de la plus haute puissance de x, est un semi-invariant.
En recherchant ce coefficient pour Z, on voit que l’on obtient un
semi-invariant en remplaçant dans S les produits Kiki … k!,
par lo, (0—=b+2c+.. + mh).

On pourra, en même temps, remplacer dans $ les produits
KE... KP, par les coefficients Y, de xŸ’ dans un semi-cova-
riant l' : 0’ étant égal à $+2y+...+m'p; l'expression de S ainsi
transformée sera encore un semi-invariant et on pourra continuer
ainsi de suite.

On remarque immédiatement que les indices 8, 8", sont les
poids des produits P, P', … par rapport aux coefficients 4, k', …

” Applications. — 1° (kk, — k,k;)? est un semi-invariant : en

(5)

appliquant la transformation précédente aux coefficients k et #',
on obtient le semi-invariant

(2 Épieree
kok,, = | ( | kik_ + “a kk,_» 600 RE (— À )k,ko,
que nous avons déjà obtenu par une voie différente. (Voir le

travail cité plus haut.)
2° La quantité

Ha
5—|k HE |=(AKE)
BU

est un semi-invariant; pour le vérifier, il suflit de prendre la
Rd ne
dérivée a , en tenant compte des formules (A). On en déduit le
semi-invariant
d—(EK EP),

dans lequel l’exposant symbolique p indique que dans d’ les

produits de la forme kikks doivent être remplacés par k,,., et de

même pour les coefficients k', k”.
5° Du semi-invariant

ECRIRE
À —= k k k; ,
ke HE

on déduit un autre, ©, en remplaçant dans 9? les produits
LR RE par koi

Il est visible que ces résultats sont susceptibles de plusieurs
généralisations.

IL. Les coefficients d’un semi-covariant k sont déterminés par

le dernier d’entre eux, k,. On a, en effet, d’après la formule (A) :

1 dk
k ve m(m—1)...(ÿ +1) demi

Le dernier cocflicient k,, permet encore d'écrire le semi-covariant

(6)

sans l'emploi direct de la dérivée symbolique + . En effet, soit
m
KoXE + (rxr-x, + + K,K?

la transformée de k par la substitution x, — X, + 2X,,
Lo Mo; ON A
m
KoX + + KXT = (XX) + | | HR AK) Xe EXT,
d'où
m
K, = ka" + l, ] an ++ k,. (B)

Si le coefficient k,, dépend des coefficients a, de formés telles
que

n
[= ao? + (jure, + e,

K,, dépend de la mème manière des coeflicients A, de leurs
transformées

n\
F—A,X? + es Lee

dans lesquelles on a
À, — (lo;

A, —— doÀ + di; (C)

A>— amer ra Art a. CL.
9

La comparaison des formules (B) et (C) montre qu’à part
une puissance de X2, tout semi-covariant se déduit de son dernier
coefficient en remplaçant les coefficients a; par les dérivées
de = , qui sont elles-mêmes des semi-covariants.

Remarque. — D'après la propriété précédente, toute quantité
homogène et isobarique L peut être considérée comme le dernier
coefficient d’un semi-covariant. D’autre part, tout semi-covariant
est une somme de produits de puissances de x, par des expres-
sions de la forme

Coxi + (?) Core (?) Grece

\
*

(QE)

Co; Ci, Co, …, étant les coeflicients d'un covariant
ue M F
Cars + , Cu tee ++: (*).

Il résulte de là que L est une somme de coefficients de
covariants; nous écrirons L — XC,. Par une propriété des
covariants on à Ci —(i + 0e il en résulte que l’on peut
toujours obtenir pour l équation Fe — L, une solution particu-
lière homogène et isobarique : T — = 3; Gina . Cette remarque est
utilisée ci-dessous.

JL. Etudions actuellement les semi-covariants d'ordre m, qui
ont en commun les p premiers termes

m

m
kr + | Jkar-tz, He. +
1 p—1

een ‘.

Désignons par w le poids de k, et par r, r,, ... les degrés
d'homogénéité de k, par rapport aux coefficients de formes
binaires d'ordres n, n,, …; les coefficients k; seront de poids w+1.
Le coefficient k, doit satisfaire à l'équation

dk,
Te Nés

soit À, une valeur particulière de k,; on pourra prendre
comme solutions linéairement indépendantes les valeurs sui-
vantes de £,

À PE Si, LE LE .. )p + 9e) (D)

si l’on désigne par t le nombre des semi-invariants linéairement
indépendants de caractéristiques w + p,r,ri,.….; n, 1, … et Si
l'on représente par S,, S:, …, S, ces semi-invariants.
De même, les solutions linéairement indépendantes de
l'équation
dk
p+1 .
ae —|(p + 41}k, | (E)

() Voir notre travail déjà cité (p. 8).

(8)
seront représentées par

À

Là ns ’
pH == Si, 4p+4 ae SA ... Àp41 Le Sir

, À pH

si l’on désigne par À,,, une solution particulière de l'équation (E) :
les lettres S’ désignent des semi-invariants linéairement indépen-
dants de caractéristiques w + p +1,r,r,,...n,n,,…; l'indice
représente le nombre maximum de ces semi-invariants.

Les valeurs de k, fournies par la suite (D) donneront pour
},,, une série de {+ 1 expressions linéairement indépendantes.
On peut voir par là que les valeurs de 4,;, linéairement indé-

pendantes sont en nombre
t+l+ 1.

En continuant de la même manière, on verrait que le cocfli-

cient k,, peut avoir

t+l+.. +Tr +1,

valeurs linéairement indépendantes, si l’on désigne par t le
nombre de semi-invariants linéairement indépendants de carac-
téristiques w + p + Ÿ, 7, Tps ee D My ve

Pour p —0, on aura, à l'unité près, le nombre de semi-
covariants d'ordre 7» linéairement indépendants. Il faudra
toutefois remarquer que nous avons supposé k, différent de

zéro.

IV. M. Sylvester a déterminé, par une analyse ingénieuse,
le nombre exact de semi-invariants linéairement indépendants
de poids et de degrés donnés (*). La méthode suivante présen-
tera peut-être quelque intérêt, à cause de sa simplicité.

Nous supposerons qu'il s’agit des semi-invariants de poids w
et de degré r par rapport à une forme d'ordre n : la générali-
sation s’indiquera d'elle-même pour le cas de plusieurs formes.

Désignons par L l'expression la plus générale de caracté-

(*) Journal de Crelle, t. LXXXV.

(9)

ristiques w —1,r,n et contenant (w—1,r,n) termes; cher-
chons à déterminer une quantité C par la condition

dC
— = L. F
Te (F)

Écrivons pour C l'expression la plus générale de caracté-
ristiques w, r, n contenant (w, r, n) termes. L'égalité (F)
fournira (w —1,r,n) équations de conditions entre les coeffi-
cients de C et les coefficients de L. Ces équations de conditions
sont linéaires et indépendantes entre elles, puisque les coefficients
de L sont supposés quelconques. Il en résulte que l'équation (F)
aura (w,r,n) —(w—1,r,n) + 1 solutions linéairement indé-
pendantes. On pourra prendre pour ces solutions

Co; Co+ Si, Co + S2 DO Co + Sss

si l'on désigne par C, une solution particulière de l'équation (F)
et si l’on désigne par les lettres S des semi-invariants linéaire-
ment indépendants et en nombre {= (w,r,n) — (w—1,r,n);
en effet, M. Cayley a établi qu'il existe au moins ! pareils semi-
invariants. Établissons qu'il existe seulement { semi-invariants
linéairement indépendants.

Soit S,,, un semi-invariant différent de S,, S2, ..., S,; la
quantité C = C5 + S,., est évidemment une solution de l'équa-
tion (F). D'après ce qui précède, on doit avoir une relation
linéaire de la forme :

)0Co + A4 [Co Re S,] + A2 [ Co + S;] so

+ [Co + Si] + An Co + Sun] = 0.

Le premier membre de cette équation contient un multiple
de C, et une somme de semi-invariants. La quantité C, n’étant
pas un semi-invariant, on doit avoir

1184 QUx A9 Ste AS: +. + MS + Sr — ( :

cette relation démontre le théorème de M. Sylvester.

(10)

V. D'après ce que nous avons vu ci-dessus, les coefficients
d'un semi-covariant k résultent du dernier d’entre eux. Dans le
travail que nous avons déjà eu l’occasion de citer, nous avons
rencontré des semi-covariants dans lesquels le dernier coeffi-
cient k, et par conséquent tous les autres, sont des dérivées
symboliques du premier coefficient k,. En terminant cette Note,
nous indiquerons la généralisation d’un de ces résultats.

Prenons

dT dT dT dT
— = Ÿ a RQ TE TON tn EDR .

n

en désignant par &,@i,… @,… les coefficients d’une forme
binaire. Le signe 2, indique que la sommation s'étend à un
système s de formes.

Si T est homogène et du degré k par rapport au système 7,

on à
d aT d dT

= ——— ——hÀT |‘). G)
dé do do dé Q ( {
Nous représenterons par h,, h2,… h,, les degrés d’homogénéité
d’un semi-invariant 4, par rapport à des systèmes de formes
Ti To ee On QUi Ont des 8 STATE communs où non; nous dési-
CAFE d
gnerons par ge; Jos _— les dérivées + Correspondant S.
On peut prendre pour ‘valeur du dernier coefficient k,, d’un
1 dk,
semi-covariant, l’expression He dos me le premier
coefficient étant ko.
Nous le prouverons par la méthode récurrente, en observant
que la proposition est exacte pour m—1, d’après la formule (G).

dk
En prenant S — - on à

déoydwo « dome

ES de Ur MN
den de |dt de, dede, … de, \’

(‘) Voir une Note que nous avons publiée Sur quelques propriétés des
semi-invariants (BuLL. DE l’AGAD. ROY. DE BELGIQUE, mars 1887).

(11)

ou bien, d’après la formule (G) pour T — dm ko

do … dom

— == —————

CAS NA (He Dm ST lon
der déni ; |

TER
dé H00 do,

de de dé des … de

La proposition énoncée étant supposée exacte, quand m est
remplacé par #1 — 1, on a :

ES PAT d”"
D Per ha oh neko + = |

de" de" de,

dé do, … do,

La dernière partie du second membre s'écrira de même,
d’après la formule (G) :

d” | ( Rd CES M |

der ‘de, Æ do; se de,, ns de dé do; … de,

nos dt [a dk,
=Mm—T iles. ne VF dr does, dé dos … de, |

En continuant ainsi de suite, on vérifie la formule

mL

—— mt he... ko;

dt

comme cas particulier, on retrouve l’un de nos résultats anté-
rieurs, en supposant les systèmes o,, 52, … s,, identiques.

DÉMONSTRATION

D'UN

THÉORÈME DE VON STAUDT ;

PAR

C. LE PAIGE.

DÉMONSTRATION

D'UN

THÉORÈME DE VON STAUDT (*.

On sait de quelle importance est, pour la géométrie projective,
ce théorème, dùü à von STAuDT, que, par des constructions répétées
de groupes harmoniques, on peut, en partant de trois éléments
donnés d’une ponctuelle, atteindre, soit directement, soit comme
points limites, tous les éléments de la ponctuelle.

Je ne ferai que mentionner les travaux consacrés à ce théo-
rème par MM. Kzein, ZEUTHEN, LüroTH, DarBoux, THOMAE, Scxur,
pE Paous, sans discuter les théories exposées.

C'est le rôle essentiel de cette proposition dans la géométrie
moderne qui nous a engagé à essayer une démonstration peut-
être un peu différente des autres quant à la forme, sinon quant
aux principes sur lesquels elle s'appuie (**).

Nous emploierons, sans les démontrer, les théorèmes connus

(*) Note présentée à la Société royale des Sciences de Liège le 20 dé-
cembre 1887.

(”") Depuis la présentation de cette Note, nous avons communiqué à
l’Académie royale de Belgique une exposition entièrement différente des
théorèmes fondamentaux de la Géométrie projective; cette exposition fait
l'objet d’un petit Mémoire pour la rédaction duquel nous avons été grande-
ment aidé par l’un de nos anciens élèves, M. le D' Fr. Deruyts.

(259

sur les groupes harmoniques et, pour simplifier le discours,
nous ferons usage de la dénomination suivante : nous dirons
que deux points A et B sont distincts lorsque A ne coïncide pas
avec B ou ne tend pas vers une position limite X coïncidant
avec B.

Les deux lemmes suivants découlent presque immédiatement
de la construction des groupes harmoniques.

LeumE LE — Soient trois points À, B, C, distincts l’un de
Pautre ; le conjugué harmonique de chacun d’eux par rapport
aux deux autres est distinct de ceux-ci.

Cette proposition s'énonce souvent de la manière suivante :

Lorsque, dans un groupe harmonique, deux éléments coïn-
cident, un troisième vient coïncider avec eux.

Lemue IL. — Soient deux groupes harmoniques
AP, BQ;
AP', BQ';

lorsque P tend vers P', Q tend nécessairement vers Q'.

THÉORÈME 1. — Si l’on construit les groupes harmoniques

successifs
AC, BC; AC:, BC, …, AC,, BC,_:, …

le point C, aura pour limite B.

En effet C, est situé entre B et CG; C entre B et C;, ete.

Donc C, se rapproche de B.

Le point C; tend donc vers un point limite qui est B, ou un
point B,, distinet de B et situé entre B et C.

Or, si nous imaginons le groupe harmonique

AK;, BB,,

le point K,, qui existe, bien que nous ne puissions l'atteindre
actuellement par la loi harmonique employée, sera distinct de B
et de B, et situé entre ces points.

(5)

Nous voyons que AK,, BB, est le groupe limite vers lequel

tend le groupe variable
ACATRC

Il en résulterait que le point C; tendrait vers deux limites
distinctes K, et B,; ce qui est impossible.

THéorème Il. — Soient trois points À, B, C. Si l’on construit
les groupes harmoniques

ABUURC: D AC/1BC:2 AB BCAN
tels que dans la suite
A(BCB,CB;C … B,C, ….)

chaque point soit conjugué harmonique de À par rapport aux
deux points qui le précèdent B; et C tendent vers une même
limite, située entre B et C.

Il résulte des propriétés des groupes harmoniques que les
points B; marchent dans le sens ABC, et les C, dans le sens
CBA.

Ils tendent vers des limites L, L, que nous supposerons
distinctes. Considérons deux groupes successifs :

AB, ) C,_1B,_, ;
ACC, :

Il résulte alors du lemme II, que B, et C, ne peuvent pas
tendre vers des limites distinctes L, L,.

Abordons maintenant la démonstration du théorème de
VON STAUDT.

Soient trois points À, B, C pris sur une droite u. Il s'agit de
faire voir que, par des constructions répétées de groupes har-
moniques, on pourra atteindre un élément quelconque de u.

S'il n'en est pas ainsi, soient deux points distincts EF, situés,
par exemple, entre B et C, et entre lesquels il ne serait pas
possible de placer des points de la série.

(6)
Construisons les groupes harmoniques successifs

AW, CB;
AW,;, CW;

AW,, CW,

IT est impossible que tous les points W,, soient situés entre B
et E,fcar W, a pour limite C en vertu du théorème I.

Donc, ou W sera dans l’espace FC, ou deux éléments succes-
sifs W,, W,,, seront le premier dans BE, le second dans FC.

Dans la première hypothèse servons-nous de W comme nous
nous sommes servis de C.

Nous aurons ainsi, ou un point W situé entre F et W, ou
deux éléments successifs W, W,,,, comprenant EF.

Si la première hypothèse pouvait se réaliser perpétuellement,
nous aurions des groupes

AW, BC;
AW', BW;
AW”, BW:

et les points W, W', W', … seraient tous compris dans FC, ce
qui est impossible puisque W a pour limite B.

Par suite nous aurons nécessairement des groupes tels que
W,W,:, qui renferment EF.

Si nous employons W,, W,,, au lieu de B et C, nous pour-
rons répéter le même raisonnement. À

Appelons B,C,; BC; B;:C; .… les différents groupes ana-
logues à W,W,,, que nous obtenons, en désignant par B, les
points situés entre B et E, par C; ceux qui sont situés entre F
et C.

B, et C, tendent vers des limites distinctes B, y.

Construisons les groupes harmoniques

AXES

CAE

Le point X, est distinct de B, et C;, mais, en outre, il est
impossible que les points X,, X,, … reproduisent une des séries
B ou C, par exemple.

Nous ne pouvons avoir une série analogue à celle dont il est
question dans le théorème IT; car alors en vertu de ce théorème
les points B; et C; tendraient vers une même limite.

Il est également impossible que les points X, appartiennent
tantôt à la série des B, tantôt à celle des C.

Imaginons en effet que l'on ait

X;—B;,, ou X;—C,,;
de l'existence des groupes harmoniques
AB,,4, B;C; ou AC,s4r, BC;

on déduirait encore, en vertu du premier lemme, que les B; et
les C; tendent à se confondre.

Il résulte de là que les points X, ont une limite £, distincte de
G'et de y.

Nous avons donc

lim (AX,, B;C;) — AË, By.

Supposons que 6 et y soient distincts de EF.

£ est situé entre f et y.

Supposons qu'il soit entre £ et E. Alors X, devant s'approcher
autant qu'on le veut de £ pénétrerait dans cet intervalle. Mais X,
est donné par la même loi que les points B; et C;. Done B ne
serait pas un point limite.

La même démonstration prouve que & ne peut être entre
F'et y. ,

Comme il ne peut être entre E et F, il en résulte que l'hypo-
thèse des points $, y distincts de EF est inadmissible.

Mais si l’on a

lim (AX,, BC) — AË, EF,

il en résulterait que X, finirait par pénétrer dans EF.

(8)

La contradiction cesse si l’on suppose que les points EF ne
sont pas distincts.

Mais alors, il n'existe aucun point de BC (et par suite de u)
que l’on ne puisse atteindre, soit directement, soit comme point
limite.

SEE
LES SEMI-INVARIANTS DE FORMES BINAIRES
(2 COMMUNICATION);

Jacques DERUVYTS,

SUR

LES SEMI-INVARIANTS DE FORMES BINAIRES.

I. Nous avons établi précédemment (*) que tout semi-covariant
k= kox + (el Rae + eo + KT,
peut s'exprimer sous la forme :
k = are] Gt + li | Chatte + + chui] s (A)

si l’on désigne par les lettres C!” les coefficients d'un covariant
L
Cr (CRCM CH) (mire)

Soient r, r', … les degrés d'homogénéité du semi-covariant
par rapport aux formes

on (aott4 ré a,) (œixe)”, TES (0% een ar) (tiroir ..

les covariants Cf peuvent être supposés des degrés r, r', … par
rapport aux formes

fe — (God, … Anis) (axe), 7 = (co os an4+) (miss) ie ..
s, Lt, .… ayant des valeurs quelconques, nulles ou positives.
En effet, on a par la formule (A), C —K, et il en résulte

(‘) Développements sur la théorie des formes binaires (Buzz. DE L'Acan.
ROY. DE BELGIQUE, juillet 1887). i

(4)

que le covariant C°”’ est des degrés r, r', … par rapport à f,, ®,, …

On a encore
(5) ki — (ra + Cf,

donc Cf, et par suite C1 satisfait à la condition indiquée : on
obtiendra le même résultat pour C°, CF, …

On peut démontrer aussi que l’ordre du covariant C!° n’est
pas inférieur à m — p quelles que soient les valeurs de s, t, …

Il suffira de le prouver pour C°; l’ordre de C° est

bo=T(n + s) + r'(n" + 1) + + — Jw, (B)

si w est le poids du premier coefficient C} — k,. D'autre part,
du semi-covariant k, on déduit facilement le semi-invariant

LE Anar He + (f) bo. + k,b6

pour les formes f,, ®,, … et pour la forme f'— (b5b, …) (xix2);
le poids de I est w + m et ce poids est au plus égal à

nn+s)+ rt +++ mm.
; :
on a donc
r(a+s)+r(n'+t)+..+ ms 2(w + m) (C)

Des formules (B) et (C), on déduit la relation que nous vou-
lions obtenir : p, > m.

Si l’on divise par x la partie de l'expression (A), qui est
indépendante de C!, on obtient un semi-covariant k' d'ordre
m — 1. Les considérations précédentes, appliquées à k', con-
duisent à u, > m— 1; etc.

IT. Nous nous servirons de ces derniers résultats, pour com-
pléter l'étude, que nous avons faite précédemment de l'équation :

ARE L, (D)

L étant une fonction isobarique et homogène des degrés r, r', …
par rapport aux coefficients de f, @, …

(5)
En remplaçant les coefficients a;, «;, … par

: « .
GX) + (jui Lo He + QUE,
1

AT? + (4 juré te, + e. + a;xg, etc.

on déduit de L un semi-covariant k, dont le dernier coeficient k,,
est égal à L.
D'après la formule (A), on aura

LYC.

On peut toujours donner aux nombres s, t, … des valeurs
telles que C ne soit pas le dernier coefficient du covariant CP et
alors, on aura comme solution particulière de l'équation (D) :

TO DE
PE

En effet, soit W le poids de L; la valeur du poids est respec-
tivement W pour C®, W — p pour Cf, et

r(n+Ss) + ru +t) + —(W — p)

pour le dernier coeflicicnt de C®. On voit par là que C! n'est
pas le dernier coefficient de C°, si l’on a

Tan +s) +r{(n + + —(W—p) > NW:

cette condition est toujours réalisable par un choix convenable
des valeurs de 5, t, …
Pour le cas particulier de s— 0, {—0, …, on a cette pro-

TOO à . Pie ‘ In! …. Ë
priété : Si W est inférieur à "=, on peut obtenir pour
ds ddr Mer
l'équation 57 = L une solution T® de caractéristiques W +1,

ARC Non
Dans notre première Note Sur les semi-invariants de formes

(*) I suffit d'observer que l'on a

d
d& C1 — (p + 1) Cp

(6)

binaires, nous avons rencontré quelques applications de la der-
nière propriété qui vient d'être indiquée; nous pensons qu'il
n’est pas inutile de reprendre directement les applications dont
il s’agit :

1° Nous avons cherché les solutions de l'équation T—= gk; Là
en supposant connus les p premiers termes du semi-Covariant ,
d'ordre m.

Soient comme précédemment w, r, r', … n, n … les caracté-
ristiques du premier coefficient k, : la quantité k,_, a pour
poids W — w + q — 1. Dans le cas actuel, si nous avons

_IMETN +
De M EE CSN

@r
nous pourrons obtenir pour k,-une solution particulière et il en
résultera pour ce coefficient 1+t+1'+-..+1"7 solutions linéai-
rement indépendantes, si { est le nombre des semi-invariants
linéairement indépendants de caractéristiques w + p + à, r, r",
Hana

2 Pour étudier les semi-invariants de caractéristiques w, r,
r',… n, n' .…, nous avons Considéré l'équation " — L, en sup-

7

posant les caractéristiques de L égales à w—1, r,r',.….n, n', ….:
= In! 5 eue , .
on a actuellement w 7 ==, comme condition de l'exis-
tence des semi-invariants. On a par suite
IN+HTN +
MD "er re
2
ne SUR IQUT

on peut done affirmer qu'il existe, pour l'équation — L, une
solution de caractéristiques w, r,r', … n,n', … : c'est le résultat
que nous avions indiqué.

HI. Dans le premier paragraphe de la présente Note, nous
avons déduit du semi-covariant k le semi-invariant

PES pes He UNE

(‘) Précédemment, nous n'avions pas indiqué cette restriction.

(54)

M —i

En remplaçant dans la formule (A) les produits xx?
(— 1)" ° ‘6,, on obtient

par

I — Ÿ(— 1 Je | cp, — (4) CPb, à MER Let (— so |

Cette relation jointe aux remarques indiquées ci-dessus, donne
le théorème suivant :

Tout semi-invariant du premier degré en’ et des degrésr, r', …
par rapport à f, © … est réductible à une somme de semi-
invariants provenant de transvections (Ueberschiebungen) de la
forme f' sur des covariants des degrés r, r', … par rapport à f,@, …

On en déduit facilement, cet autre théorème donné par
M. Gorpan : Tout covariant de degré x + À par rapport à une
forme f, est une somme de transvections de f sur des covariants
du degré r (*).

On peut établir un résultat du même genre en faisant usage
de la propriété suivante, que nous avons démontrée antérieure-
ment (Première Note, p. 6) :

Tout semi-covariant K des formes Î, ©, … est à part une puis-
sance de X4 une fonction entière de {, © … et de leurs dérivées par
rapport à Xj.

mn — +

En remplaçant xx * par {— 1)"-‘b, on voit que tout semi-
invariant Ê linéaire par rapport à f” est une fonction entière des
semi-invariants

si l'on convient de remplacer les produits b,b,b0, … par b,:4,,, …

(") Cesscu, Theorie der binüren algebraischen Formen, p. 102.

(8)

Done : pour obtenir les semi-invariants de f, @, … linéaires
par rapport à la forme indéfinie {= (bob; …) (xix2), on rem-
placera les produits b,b.b, … par b,,,,,,. dans les fonctions
entières des semi-invariants, qui proviennent des transvections
de f' sur f,o, …

Ce résultat se généralise pour les semi-invariants de degré
quelconque, par rapport à /".

NOTICE HISTORIQUE

SUR LA

DÉTERMENATION DES COURDONNEES GÉDGRAPHIQUE

DÉULIÉGE;:

€. LE PAIGE,

é de Lié
de

Professe à l’'Uni ége,
Membre espon ee ee PAe ne Don Belgique.

NOTICE HISTORIQUE

SUR LA

DÉTERMINATION DES COORDONNÉES GÉOGRAPHIQUE

DENÉTÉGENC):

En parcourant, il y a quelques temps déjà, un manuscrit
d'astronomie appartenant à la Bibliothèque de notre Université,
nous y avons rencontré une détermination, fort ancienne, de la
latitude de Liège. C’est cette découverte qui nous a inspiré
la pensée de réunir les données analogues que lon trouve à dif-
férentes époques et d’en faire l’objet du petit travail que nous
avons l'honneur de présenter à la Société. Ce sera, en même
temps, une contribution à l’histoire des sciences dans notre pays,
contribution de bien peu d'importance, il est vrai, mais peut-
être de quelque intérêt à cause de l’époque à laquelle elle nous
reporte, bien loin de cette brillante période où Liége voyait dans
ses écoles Rudolf, Franco, Engelbert et dans les abbayes voi-
sines, Heriger de Lobbes, Helbert de S'-Hubert, et bien d’autres
sans doute, abacistes ou astronomes dont les travaux faisaient
de notre cité le centre intellectuel qui rayonnait au loin sur la
Lotharingie et la Germanie tout entière (!).

Le manuscrit auquel je viens de faire allusion contient diffé-
rents ouvrages; entre autres une traduction latine du célèbre
voyage de Jean de Mandeville; ce n’est pas sur ce point que je

(*) Présentée à la séance du 19 juin 1888.

(22)

veux appeler l'attention, mais bien sur la partie astronomique.
J'en donnerai, en note, l’analyse, parce que le rédacteur du cata-
logue de nos manuscrits semble ne point avoir découvert l’au-
teur des principaux traités qui y sont contenus (2).

Ces ouvrages astronomiques ont été transcrits vers 1424.
C’est à celte date qu’on peut rapporter la partie liégeoise du tra-
vail : calcul du.calendrier et de nombreuses éclipses de lune et
de soleil ; les autres parties ont été composées à une date anté-
rieure, comme nous le verrons.

Aux feuillets 194 v°, 195 r° de notre manuscrit, en tête d’une
table mtitulée : |

Tabula ad sciendum locum solis de quinto ad quintum diem,
se trouve la ligne suivante :

_ Hec tabula composita fuit Leodij ad latitudinem 50 graduum
6 minutorum procedens de quinario ad quinarium.

La latitude, telle qu'elle résulte des données actuelles est

de 50°37'56" (‘). L'erreur, qui s'élève à 31/56” paraît donc

(‘) J'emprunte ces données à l'Annuaire de l’Observatoire de Bruæelles.
On verra probablement avec intérêt les résultats suivants que je dois à une
obligeante communication de notre savant confrère M. Folie.

La latitude de l'Observatoire de l’Université de Liége (Cointe) a été déter-
minée le 24 et le 26 janvier 1885, par deux observations du passage de
« Persée dans le premier vertical.

Ces deux observations ont donné respectivement

50° 37! 5//,8
50° 37/ 5//,05

Moy. 500 57 5//,4

La longitude du même point, par rapport à Bruxelles, résulte de 28 déter-
minations faites au chronomètre de poche, de juin 1886 à juin 1887. Elle
est de 446,6, en temps, avec une erreur probable moindre que 0:,1.

L'Observatoire de Cointe étant situé à 5,150 m. S. de la façade du Palais,
et à 700 m. W. de l'horloge, on doit ajouter aux coordonnées de Cointe,
en latitude et en longitude, respectivement, 1’42”’, et 25,4.

Les coordonnées de l'horloge du Palais seraient donc

Lat. 500 38’ 48”

Long. 4m49s E. de Bruxelles
ou 5° 14 19/ E. de Paris.

(5)

considérable. Cependant, si l’on songe au peu de précision des
instruments en usage au XV° siècle, et si l’on observe que
même à une date postérieure, la latitude de villes bien plus
importantes que Liége, a été déterminée avec des erreurs beau-
coup plus considérables, on se montrera indulgent pour lastro-
nome qui nous à laissé cette première détermination, — au
moins à ma connaissance — de la hauteur du pôle dans notre
Gite:

Quant à la longitude de Liége, il n’en est fait aucune mention
dans notre manuscrit.

On y rencontre bien, comme je l’ai dit, une table des éclipses
de soleil et des éclipses de lune, entre 1424 et 1462, avec lindi-
cation du commencement et de la durée de l’éclipse. Mais comme
on ignore à l’aide de quels éléments ces nombres ont été cal-
culés et que, d’ailleurs, lon y trouve des erreurs assez considé-
rables, si l’on compare avec les tables de v. Oppolzer, il nous
semble oiseux d’essayer d’en déduire la longitude attribuée à
Liége.

Le manuserit que je viens de citer appartenait autrefois au
monastère des Croisiers de Huy. D’après un livre, imprimé, pro-
venant de cette même maison, il semble que jusqu’en 1513 au
moins, la latitude 50°6 continua à passer pour exacte et qu’on
ne fit, sans nul doute, aucun effort pour corriger cette première
détermination.

Le livre dont je veux parler est PElucidatio fabricæ ususque
astrolabii, de J. Stocfler, imprimé à Oppenheym, par J. Kôbel,
à la fin de l’année 1512 (5).

Au feuillet 5 r°, se trouve une table des latitudes des princi-
paux lieux de l’Europe. On y a ajouté à la main les lignes sui-
vantes :

Yvoñium 50 6 51

6 min.

Un premier annotateur a donc indiqué la latitude d’après les
données de l’auteur anonyme du manuscrit.
Plus tard, on a biffé le chiffre 6 pour le remplacer par le

(6)

chiffre 51. Cette modification a probablement été faite
après 1550, lorsque eut paru le « De Principiis astronomiæ et
cosmographiæ » de Gemma Frisius (4).

Si d’ailleurs on avait voulu, à la fin du XV: siècle, déterminer
à l’aide des cartes construites à cette époque, la longitude et la
latitude de Liége, on aurait certainement obtenu un résultat
bien moins exact que celui qui avait été donné primitivement
par le cosmographe liégeois.

Pour s’en convaincre, que l’on recoure, par exemple, aux
cartes de la cosmographie de Ptolémée, publiées à Ulm en 1482
et où figure Liege, on obtiendra certainement des nombres bien
moins satisfaisants (5).

Il faut laisser s’écouler un siècle environ pour trouver une
nouvelle détermination des coordonnées géographiques de Liége.

Cette fois, c’est au célèbre professeur de Tübingen, J. Stoefler,
que nous l’empruntons.

Elle figure dans son Calendarium Romanum Magnum,
imprimé à Oppenheym, par J. Kübel, en 1518 (6).

Dans l’Abacus regionum, qui fait partie de cet ouvrage, on
trouve (feuillet Ai] v°) :

Leodium, vulgo Ludige aut M. | 0. | 16. | 54.
Lutich.

Ce qui signifie : Latitude 51°; long. occidentale de Tübingen,
16 min. en temps.

La longitude, par rapport à Paris, qui en résulterait pour
Liége, serait donc de 2°42'51"", nombre trop faible de 29'58”.

Quelques années plus tard, en 1524, parut la Cosmographie,
si connue, de P. Apian (?).

Ce géographe, protégé de Charles-Quint, eut de nombreuses
relations avec les Pays-Bas où sa Cosmographie fut réimprimée
un grand nombre de fois, à partir de 1529, avec les additions et
les corrections de Gemma Frisius.

Il fixe la latitude de Liége à 50°50'. L'erreur n’est plus que
de 12/4”.

(7)

Quart à la longitude, elle est donnée moins exactement que
par J. Stoefler, car si on la rapporte à Tübingen, elle est trop
faible de 1°10/38''; si on la rapporte à Leipzig, l’erreur s’élève
à 191934”.

Par rapport à Leysnig, ville où l’auteur est né et que l’on
peut regarder comme centre de ses travaux cartographiques,
l'erreur est du même ordre 1°10' environ.

En 1530, R. Gemma Frisius, dans son livre intitulé : De
principiis astronomie et cosmographiæ (3), que nous avons déjà
cité, modifie légèrement les données de P. Apian.

Il indique, comme mesure de la latitude, 50°51' et comme
longitude, 28.

Si l’on rapporte cette longitude à celle de Louvain où opérait
Gemma, l'erreur n’est que de 1'52”.

La distance entre les deux villes est, il est vrai, extrêmement
faible, et c’est sans nul doute à cela qu'est due, en partie, la
_petitesse de l'erreur.

D’un autre côté, on peut croire que Gemma, en ce qui con-
cerne notre pays, a pu mettre en pratique ses procédés géodé-
siques : notamment, sa méthode topographique et sa méthode
par la comparaison des heures.

Si, au contraire, on prend comme point de départ le méridien
de Paris, la longitude de Liége aurait été de 4°40', en erreur de
1°28' environ.

Pendant de longues années, les données d’Apian continuèrent
à être les seules employées.

Il faut arriver à la fin du XVI* siècle, au règne d’Ernest de
Bavière, pour trouver un nouvel essai de détermination de la
position de Liége.

Ce prince, fort épris, comme l’on sait, d'astronomie et de
chimie, avait attiré à Liége deux astronomes, Stempel et Zelst,
qui firent des observations dans le palais.

On trouve des traces de ces observations dans un petit livre
imprimé à Liége, en 1602, et intitulé : Utriusque Astrolabii
fabrica et vsus (°).

Dans tout le cours de cet ouvrage, la latitude employée est

(8)

d1°; mais on peut croire que les auteurs ne donnent ce nombre
que pour simplifier les calculs.

En effet, ils disent quelque part (1'° pag., p. 38) que les
coordonnées de Liége, sont, d’après P. Apian : Long., 26.40;
lat., 50.40.

Nous ignorons dans quelle édition de P. Apian, ces nombres
ont été puisés. [ls sont, dans tous les cas, remarquablement
exacts.

Si l’on adopte, en effet, la longitude de Paris, généralement
acceplée à cette époque, 23°20', les coordonnées de Liége

seralent :
Long. 5° 20), lat. 50° 40°
Erreurs. + TAN + 2’ 4”

Dans une table des longitudes et des latitudes, contenue dans
ce même ouvrage, on trouve (2° pag., p. 59).

Liége. Long. 22.. Lat. 50.46.

La longitude attribuée à Liége, dans ce passage, est totale-
ment inexplicable.

En effet, les latitudes de Gand, de Louvain et d'Anvers sont
respectivement 22, 20°356', 24°30'; celle de Paris 24°50', de
manière qu'il est absolument impossible de faire état des
nombres qui figurent dans cette partie de la table.

Quant à la latitude, c’est probablement celle que les auteurs
avaient déduites de leurs observations.

Nous pouvons faire remarquer, pour justifier notre opinion,
qu’ils rapportent deux observations de passages méridiens du
soleil, faites à Liége, le 22 juin et le 22 décembre 1599, et
qu'ils en déduisent pour la latitude de Liége 50°45' « quæ
proximèé vera est Poli elevatio Leodij. » (2° pagin., pag. 98).

Ajoutons que l’on pourrait déduire graphiquement, de l'Atlas
de Mercator {!0), pour la longitude de Liége, 27°; Paris ayant,
en long., d’après certaines cartes du même atlas, 23°350'40", et
d’après d’autres 23°15/, on devrait attribuer à Liége la longitude
de 5°29'90" ou 3°45'; la latitude, d’après le même atlas, serail
50°59'30"".

C9)

Dans les tables Rudolphines (!!), l’immortel Kepler donne
aussi les coordonnées de Liége : 50°36’ en latitude, — 0"26"
par rapport à Uranibourg ou + 14" par rapport à Paris, ce qui
nous conduit à une longitude orientale de 3°30".

Sur l’exemplaire de notre Université, une main liégeoise pro-
bablement, a remplacé les nombres primitifs par 50°40" (*),
et — 023".

J'ajouterai, pour finir cette longue nomenclature, que les
tables de La Hire, publiées pour la première fois en 1702, fixent
la longitude de Liége à 3°45’, et sa latitude à 50°40'06”.

Je ne me propose pas de discuter les résultats divers que j'ai
mentionnés.

Sauf les données de 1424 et de 1599, il serait difficile
d'affirmer qu’elles proviennent directement d'observations faites
à Liége. D'un autre côté, cependant, il se pourrait parfaitement
que P. Apian, et surtout Gemma Frisius et La Hire aient eu de
pareilles observations. |

Quoi qu’il en soit, la moyenne des valeurs attribuées à la lati-
tude couduit au nombre 50°38'12"", et celle des valeurs attribuées
à la longitude 3°34'32".

Je ne donne évidemment ces deux nombres que comme simple
renseignement, surtout en ce qui concerne la longitude; uous
pouvons faire observer toutefois que la combinaison des résultats
mentionnés conduit à des valeurs plus exactes que celles qui
ont pu être déterminées directement, au commencement du
XVIIE siècle, par un observateur de la valeur de Philippe de
La Hire.

(*) Ajoutons que dans un Tractatus de horologis, dû au P. François Linus
ou Hall, professeur au Coilège des Jésuites anglais de Liége — où il mourut
en 4675 — cette latitude de 50°40' semble déduite d’une observation de
hauteur du soleil. Voir, à l'Univ. de Liége, ms. 577 (n° 457 du Cat. imprimé),
p. 10-11. Ce n’est pas, d’ailleurs, la seule observation faite à ce Collège.
Nous pouvons signaler des observations d’une comète, du 11 au 16 avril 1665
(v. Corresp. de Sluse, Lettre à Chr. Huygens, du 17 avril 1665, p. 145).

NOTES:

(*) Cf. Canror, Vorles. über Geschichte der Math., 1, S. 761 : Als grosse
Astronomen werden genannt Engelbert von Lüttich, Gilbert Maminot von
Lisieux, Odo Stiftsherr von Tournai. Ueber den Abacus schrieben Heriger
von Lobbes, einem bei Lüttich gelegenen vielgerühmten Kloster, Helbert
von St-Hubertus in den Ardennen, Franco von Lüttich, den wir schon als
Geometer kennen lernten. Auch Rudolf von Lüttich und Regimbold von
Coeln werden aus der unmittelbar auf Gerbert folgenden Zeit als Mathe-
matiker gerühmt. Viele, ja die meisten Pflanzstätten mathematischer Bild-
ung, von welchen die hier genannten Persônlichkeiten ihren Namen, aus
welchen sie ihr Wissen erhielten, liegen in ziemlich engem Kreise um
Lüttich herum, damals dem geistigen Mittelpunkte von Lothringen und
bestätigen so ein Wort des Bernelinus : bei den Lothringern blühe die Kunst
des Abacus.

Voyez également WarTtenBacu, Deutschlands Geschichtsquellen im Mittel-
alter, 2ter Bd., S. 127 : Die Lütticher Schule, welche schon in dem vorigen
Zeitraume sich zu bedeutendem Ansehen erhob, erreichte in dem gegen-
wärtigen (d. h. im XIter Jahrh.) ihren Hôhepunkt; sie war der Leben aus-
strômenden Mittelpunkt nicht für Lothringen allein, über ganz Deutschland
und bis nach England erstreckte sich ihre Wirksamkeit, auch wohl nach
Frankreich.

(*) Ce manuscrit porte le n° 354 (v. Catalogue des manuscrits de l’Uni-
versité de Liége, p. 260, n° 454); il est composé de 79 feuillets, de papier,
numérotés à la mine de plomb, dans l’angle droit supérieur du recto, 167-245.

Le feuillet 467 contient les nombres relatifs à la position des signes du
zodiaque et quelques données numériques dont l'emploi devait être fréquent,
entre autre la déclinaison maxima 25°53'30”.

Les feuillets 168-174 et la première colonne du recto du feuillet 175
comprennent un traité commencant ainsi : Cuiuslibet arcus propositi sinum
rectum invenire, et finissant par ces mots : Et est finis canonum primi mobilis
magistri Jo. de lineriis.

L'auteur du premier traité est donc Jean de Linières (sur cet astronome,
voir plusieurs mémoires insérés dans le tome XII du Bullettino, publié par

c

(12)

M. le prince B. Boncompagni); les suivants semblent également devoir lui
être attribués.

Les feuillets 175 (à partir de la seconde colonne) jusqu’au feuillet 190 re
sont occupés par un traité commencant ainsi : Priores astrologi molus cor-
porum celestium diligentissimis consideracionibus observantes eosdem alio et
altero tempore sub diversis principibus diversarum nacionum posterioribus
descripserunt et finissant par et est finis, deo gracias.

A la suite de ces mots, on trouve le passage suivant : Vota quod a tem-
pore consideracionis ptholemei de lat. augium ct stellarum fixarum usque ad
tempus consideracionis alfonsij de eijsdem mota. est 8° spera el per consequens
stelle fixe et auges per 17 gradus el 8 minuta. Et de consideracione alfonsij
usque ad finem anni æri 1568 mota est per unum gradum 22 minuta
8 secunda et 45 5%, Et sic a tempore consideracionis ptholemei usque ad finem
anni æri 1568 motus est zodiacus mobilis et ymagines ipsius per 18 gradus
50 minula 18 2 et 45 tercia. El cum tempore consideracionis ptholemei stella
antecedens que est in cornu arielis et a qua incipit ymago arietis fuerit distans
a punclo zodiaci fixi per 6 gradus 40 minuta, sequitur quod perfecto anno
æri A568° distabit ab eodem punclo arietis zodiaci fixi per 25 grad. 10 min.
18 2° 45 5° etc.

Ce traité, relatif au calcul des éclipses, a probablement été remanié
vers 1568.

Les feuillets 190 ro à 197 r° contiennent différentes tables.

Les feuillets 197 vo à 199 vo sont occupés par la description d’un instru-
ment analogue à l'astrolabe. C’est probablement l’Equatorium de Jean
de Linières.

Ce traité commence ainsi :

Equatorium planetarum facilis compositionis paruarum expensarum non
minoris ulilitatis omnibus quam instrumentum Campani per quod ad omne
tempus dalum certa loca planetarum infaillibiliter reperiuntur.

Les feuillets 200-218 sont occupés par un calendrier.

Dans les feuillets 219, 220 re, se trouvent figurées 14 éclipses de soleil,
du 26 juin 1424 au 20 novembre 1462 et 51 éclipses de lune, du 5 décem-
bre 1424 au 11 juin 1462.

Comparées aux tables de v. Oppolzer, les dates assignées à ces éclipses
sont généralement exactes.

Différentes tables et écrits de peu d’importance complètent le manuscrit.

Nous le supposons écrit vers 1424, parce que 1° lc calcul des éclipses
commence à cette année; 2 différentes tables sont calculées pour cette
même année.

(5) Elucidatio fabricæ vsusque astrolabii a Joanne Stoflerino Justingensi.
Impressum Oppenheym anno 1515, fo. Univ. Leod. I, 152, 2Pi,

(13)

(*) Gemma Phrysius de principiis Astronomiæ & Cosmographiæ, Deque
usu Globi ab eodem editi. 4°. Imprimé à Anvers par J. Grapheus en octo-
bre 1550. Univ. Gand. Ace. 8546!.

(5) Claudii Ptholemei viri Alexandrini Cosmographia. A la fin :
Anxvo MCCCCLXXXII. Auceusrr vero KazenDas XVII 1MPRESSUM VLME PER
INGENIOSUM VIRUM LEONARDUuM Hoz PREFATI oppipt civis (sic). In-fe. Univ.
Leod. XVII, 1014, 10. Voir la 6° carte de cet atlas.

($) Calendarium Romanum magnum Cæsareæ Maiestati dicatum, D.
Ioanne Stoeffler Iustingensi mathematico authore. A la fin : Impressum in
Oppenheym per Jacobum Kôbel, die 24 martij mensis anno 1518. Univ.
Leod. 1, 122, 5. Un autre exempl. fait partie de ma biblioth.

(*) Cosmographicus liber Petri Apiani mathematici studiose collectus.
A la fin : Excusum Landshutæ typis ac formulis D. Joannis Weyssenbur-
gers : impensis Petri Apiani. Anno Christi saluatoris omnium millesimo
quingentesimo vicesimo quarto mense janu : Phebo Saturni domicilium
possedente. 4°, Univ. Gand. Aee. 8546.

Pour les nombreuses éditions faites par Gemma Frisius, voir l’article
P. Apian, dans la Bibliotheca belgica de M. Ferd. Vander Haeghen.

(5) V. ci-dessus, note 4.

(°) Vtrivsqve astrolabii tam particvlaris qvam vniversalis fabrica et vsvs.
Leodii, typis Chr. Ouvverx, M. D. CIT. 4°. Univ. Leod. Coll. Capitaine, 5907.
Univ. Gand. Math. 1003. C’est par erreur que l'on cite parfois une édition
de 1609.

(1°) Atlas sive cosmographicæ meditationes de fabrica mundi et fabricali
figura. Sumptibus et typis Henrici Hondij. Anno 1607. Univ. Leod. XX,
53, 1.

(*) Tabulæ Rudolphinæ. 1627, p. 54. Univ. Leod. I, 415, 4.

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