LIBRARY OF THE MUSEUM OF COMPARATIVE ZOOLOGY. LAN Cachan Lean 1. \40<- AU NA NE ur ER gul". Nu . GREC MÉMOIRES SOCIÉTÉ ROYALE DES SCIENCES PRDIE 2:ÉeR. Nec temere nec timide.’ DEUXIÈME SÉRIE. TOME E. | TLRÉGE , , CHEZ H. DESSAIN, IMPRIMEUR. BRUXELLES, CHEZ C. MUQUARDT. _ LEIPZIG, MÊME MAISON, PARIS, CHEZ RORET, 1m'e, RUE HAUTEFEUILLE, 10 bis . 1866. AC 1 EN MES Ris US és a ee MÉMOIRES DE LA SOCIÉTÉ ROYALE DES SCIENCES DE LEÉGE. AE PRIRENT xl LH 3 L AUS Ar Ï Ro MEL feet ) NN D VS UED AA JAPAN $ NA À AE A j IHM PAPA La ii te 16 \ AE dc ( DEA an NTI NNR { ; ll } , RAT AE 14 ROMEUT De Ÿ DNA RS ) M (Lin nn AE te M FANS Fans QUE We Le “ MANQUE | (ie HAS Wi te TN 4 s AU AUTRES ae ee MÉMOIRES DE LA SOCIÉTÉ ROYALE DES SCIENCES DB BIS ER. Nec temere nectimide, DEUXIÈME SÉRIE, FOEVRE K. Ÿ LIÉGE , CHEZ H. DESSAIN, IMPRIMEUR. BRUXELLES, || PARIS, CHEZ C. MUQUARDT. | CHEZ RORET, umre, LEIPZIG, MÊME MAISON. | RUE HAUTEFEUILLE, 10 bis ii {2 Au L (ET HACeS En f 1 Wan (s 1 | juin ji NU Y TOUR FA VAT! il R ù DU SE PUR Chat He a qu STARS 1 TE AE ARTE Ni nl 1e Da HA À À ‘) NT Le CABANE LA A oh ( KE WU }AUE | 4 pitt TN a ù TT A tt 14 CURE ) SA NE (l j FA Ro A À 4 AQU fé { ï pr % OUT tte] YHEUTE Cas EMA PEN) \ ui} at À d PAR JAP A A A a oO N ol RAHQUIUT PAT fi UE AN 12 MU ii 1 SAT A AU ENT RU EAN CANNES EAN FRE nl W LUIsR 1 AN PITE CRAN GPA di 1 \ Ed NT l EISTE DES MEMBRES DE LA SO) GUR ENT AU 1 JANVIER 1867. 2 L Là L : Nota. Les noms des membres fondateurs sont précédés d'un astérisque. Bureau. Président, MM. Cararan. Vice Président, Lacuesse. Secrétaire général, LACORDAIRE. Secrélaire adjoënt, Canpuze. Trésorier, SPRING. Bibliothécaire, De Koxiwex, Membres efjectifs. 1855 “Brasseur, Professeur à l'Université de Liége *GLOESENER, id. id, 1842 Lacorparre, id. id, Noz, id. id. SPRING, id. id. DE Koninck, id. id. CHANDELON, id. id. SELxs Lonccuamrs (Baron de) Sénateur, etc. Meuexs, Lieutenant Colonel d'artillerie à Liége. Trasensrer, Professeur à l’Université de Liége. Lacugsse, Ingénieur des Mines à Liege. nl. LISTE DES MEMBRES {844 Scawr, Répétiteur à! l'Université de Liége. KUPFERSCHLAEGER, J. Professeur id. 1845 Decvaux, Av., Ingénieur honoraire. 1847 De Cuyrer, Préfessunt à l'Université de Liège. SCHWANN, id. 1853 Bëpe, ancien ide id. Canpèze, Docteur en Médecine à Liége. Cnapuis, F. id. à Verviers. Paque, ancien Professeur de Mathématiques à l'Athénée 1855 Dewarour, G. Professeur à l’Université de Liége. Bourvon , Juzes, Docteur en Sciences, à Liége. 1856 Cararan, Professeur à l'Université de Liége. 1857 Houran, Directeur de l'école industrielle à Liége. 1860 Gazon, Professeur à l'Université de Liége. Terssex, Major d'artillerie à Liége. 1861 Perarp, Professeur à l'Université de Liége. Morren, En. id. id. 1865 De Borre, Azrrep, à Jemeppe. Foute, Répétiteur à l'école des mines à Liége. Cuaruier, E. Docteur en Médecine à Liége. Membres correspondants. 1835 D'Owauus p'Hazcoy, Sénateur, à Halloy. Duuorrier, B., Membre de la Chambre des Représentants, à Tournay. Querezer, Directeur de l'Observatoire à Bruxelles, eicaman, Gouverneur de la province d'Anvers. 1842 Van Beneven, Professeur à l'Université de Louvain. 1845 Decaisne, J. Professeur au Museum d'Histoire Naturelle à Paris. De Lime, (Baron 3.) Professeur de chimie à l'Université de Munich. Grapas, Directeur de la monnaie à Londres. Prcouze, Membre de l'Institut à à Paris. STAS, Dour à l'École militaire à Bruxelles, 1844 1845 1847 1848 1849 1850 DE LA SOCIÉTÉ. Hi Nisr, H. Professeur à l'École militaire à Bruxelles. De Veeneuiz, En. Membre de l'Institut à Paris. Kaiseruine (Comte de) Membre de l’Académie de St. Peters- bourg. Marrius (Chevalier de) Secrétaire de l'Académie des Sciences à Munich. Gervais, Professeur à la faculté des Sciences à Paris. SUNDEVALL, id, à Stockholm. Purzeys, Secrétaire général au ministère de la Justice à Bruxelles. Reicnarr, Professeur à l'Université de Berlin. VALENTIN, id. de Berne. Loxcer, id. à la Faculté de Médecine de Paris, STEICHEN, id. à l'École militaire à Bruxelles. LAMARLE, id. à l’Université de Gand. Brecuer, mécanicien à Paris. Simoxorr, Directeur de l'Observatoire de Casan. TonerFkiNe, Général, Aide de camp de l'Empereur de Russie à St Petershbourg. Cowses, Inspecteur général des Mines à Paris. Seycer, Docteur en Médecine à Wiltz. Leconte, Professeur de Mathématiques supérieurs à Anvers. MALHERBE, Juge au tribunal de Metz. Carez, Ingénieur des Ponts et Chaussées à Bruxelles. Vax Bees, Professeur à l’Université d'Utrecht. Maus, Ingénieur en Chef des Ponts et Chaussées à Mons. Navez, Major d'artillerie à Bruxelles. Coquiznar, Colonel d'artillerie à Anvers. Du Bus, B., (Vicomte) Directeur du Musée d'Histoire Naturelle de Bruxelles. Hacen, Docteur en Médecine à Koænigsberg. CHasces, Membre de Finstitut à Paris. Perponxer, Directeur de l'École centrale à Paris. Bosquer, Pharmacien à Maestricht. KuiPsrew, (von) Professeur à l'Université de Giessen. Micnarus, Professeur à l'Athénée de Luxembourg. SCHROETER, Secrétaire perpétuel de l'Académie des Sciences à Vienne, Jacosi, Membre de l’Académie de St Petersbourg, 1852 LISTE DES MEMBRES Ansrer, Professeur de Géologie à Londres. ScuLecez, Conservateur du Museum d'Histoire Naturelle à Leyde. Le Conte, 3. L. Docteur en Médecine à Philadelphie. Poxeezer, Membre de l'Institut à Paris. Lyec, Membre de la Société Royale de Londres. Davinsox, Px., id. STaingeis, Professeur à l'Uuiversié de Munich. Erninesaausen, (von) Professeur de Physique à l'Université de Vienne. LamonT, Direeteur de l'Observatoire à Munich. Daxa, Professeur à Philadelphie. Errinasnausen , (CoxsTanTix von) à Vienne, Pot, Répetiteur de Chimie à Vienne. Wesrwoop, Professeur de Zoologie à l'Université d'Oxford. Parry, à Londres. Warernouse, Conservateur au Musée Britannique à Londres. Perris, Conseiller de Préfecture à Mont-de-Marsan. Prrrina, Professeur de Physique à Prague. Kogzuxer, Id. à l'Université de Wäürzbourg. Durreux, Receveur Général à Luxembourg. Drouer, H., Naturaliste à Charleville. Weser, Professeur de Physique à l'Université de Gôttingen. Scuaar, Professeur à l'Université de Gand. Srammer, Docteur à Dusseldorf. Envenmeyer, id. à Neuwied. Lucas, H., Aide Naturaliste au Museum d'Histoire Naturelle à Paris. Brancuarn. Euize, Membre de l'Institut à Paris. PLrucxer, Professeur à l'Université de Bonn. Havre, (Fr. von) Membre de l'Académie des Sciences à Vienne. Grnurz , B. B. Professeur ‘à l’École Polytechnique à Dresde. Foucauzr, L. Membre de l'institut à Paris B£CQUERELLE, id. id. Desrrerz,, id. id. BABINET , id. id Lis, Astronome à Paris. Duuoxcez, Physicien à Paris. 1857 1899 1869 1861 DE LA SOCIÉTÉ. \ Micuor, (Abbé), botaniste à Mons. JamIN, Professeur de Physique à l'École Polytechnique à Paris. Sencwicx, Membre de la Societé Géologique de Londres. Frrron, Docteur à Londres. Ray, J., Trésorier de la Société d'Agriculture de Troics. Waicnr, D° Th., Membre de la Société Royale d’Edim- bourg à Cheltentam. Scamir, Professeur à FUniversité de Bruxelles. Bincxuonsr (van), Propriétaire à Maestricht. Cauienx (Marquis de) à Versailles. Woop, Epw. à Richmond, Jorkshire. Marseuz, (Abbé de), à Paris. Beyricu, Professeur à l’Université de Berlin. Marcou, J., Professeur de Géologie. Dusois-Rarmowp, Professeur à l’Université de Berlin. Bnücxe, Professeur à l’Université de Vienne. Murrer, J. À., Professeur de Gymnase à Aix-li-Ciapeiie. Murray, À. Membre de la Société Royale d’'Horticulture à Londres. Boucuer De Crevecoeur DE PErruss, Président de la Société Impériale d’Emulation à Abbeville. Cover d'Huarr, Professeur à FAthénée de Luxembourg. Zzxs, Conservateur au Museum Royal d'Histoire Naturelle à Dresde. Maçnus, Professeur de Physique à l’Université de Berlin, Misxe Enwarps, Membre de l'institut à Paris, Favre, Professeur de Géologie à l’Université de Genève. STUDER, id. id, à Berne. Cuzvrorar, Membre de la Société Entomologique de France à Paris. Caspary, Professeur de Botanique à l'Université de Kœ- nigsberg. WarrTumax, Professeur de Physique à Genève. Lamé, Membre de l’Institut à Paris. 5 Barry, Professeur à l’Université de Dublin. Gossace, Membre de la Société Étrangère à Londres. Gugrer, Professeur agrégé à la Faculté de Médecine de Paris. Deuesse, Professeur de Géologie à l'Ecole Normale à Paris. VI 1864 1865 1866 LiSTE DES MEMBRES DE LA SOCIÉTÉ. Tnomsox, Jaues, Membre de la Société Entomologique de France, à Paris. BRuNNER DE WATTENviLze, Directeur Général des Télé- graphes, à Vienne. Guerarnr, (Commandeur) Professeur à l’Université de Bologne. Mirror (de), Directeur dn Museum d'Histoire Naturelle à Turin. Durreu DE Maisonneuve, Directeur du Jardin Bctanique à Bordeaux. DEsmouun, Président de la Société Linnéenne à Bordeaux. Craznr, Directeur des ‘Travaux Maritimes des États- Pontificaux, à Rome. ’ Bernaro, CLaupe, Professeur au Collége de France. Fée, id., à la Faculté de Médecine de Strasbourg. Hucuexx, Professeur au Lycée Impérial de Strasbourg. Dausse, Ingénieur en Chef des Ponts et Chaussées à Paris. Lesozy, Président de la Société des Sciences de Cherbourg. Varcex Crouwezr, Ingénieur en Chef de la Compagnie des Télégraphes Electriques à Londres. Gopwin, Ausrex, Membre de la Société Géologique de Londres. Hamicron, Président de la Société Géologique de Londres. Fourner, Professeur de Géologie à la Faculté des Sciences de Lyon. Rorrieuez, Directeur de la partie Zoologique du Museum d'Histoire naturelle de Guatemala. Eæpenr, Professeur de Mathématique au Collège communal de Malines, I. — Expériences sur la détermination pratique des moments d'inertie des Ganons en bronze, longs et courts de 6 et de 12, PAR COQUILHAT , LIEUTENANT COLONEL D’ARTILLERIE , COMMANDANT DU MATÉRIEL DE LA PLACE D’ANVERS, OFFICIER DE L'ORDRE DE LÉOPOLD . DÉCORÉ DE LA CROIX COMMÉMORATIVE DE BELGIQUE, ET DE PLUSIEURS ORDRES MILITAIRES ET ÉTRANGERS. $ 1. MoYEns DE DÉTERMINER PRATIQUEMENT LES MOMENTS D'INERTIE DES BOUCHES A FEU : UTILITÉ DU PENDULE. Les canons sont généralement composés de solides de révolution, dont les courbes génératrices ont des expressions analytiques connues : ils ont en outre quelques parties irrégulières , telles que les anses, les visières, les crocs de brague etc., dont les masses sont peu considérables relativement au reste de la bouche à feu. Il est donc possible de déterminer par des intégrales les moments d'inertie de ces solides de révolution, et de calculer soit rigoureuse- ment , Soit avec une approximation suffisante, les moments d'inertie des autres parties ; on peut en déduire ensuite le moment d'inertie total de la pièce. Mais ces intégrations supposent une densité du métal uniforme, Loin qu'il en soit ainsi, cette densité varie dans les diverses TOME XIX. 2° PARTIE. I 2 COQYILHAT. — EXPÉRIENCES SUR LA DÉTERMINATION PRATIQUE sections droites de la pièce, et dans une même section, suivant la distance à l'axe de l'âme. La loi générale de la variation de cette densité est connue , mais l'expression analytique de cette variation est encore à trouver. En présence de ces difficultés , nous avons pensé qu'il y aurait quelque utilité à déterminer pratiquement les moments d'inertie des bouches à feu. Les expériences que nous avons faites se rapportent aux canons en bronze longs et courts de 6 et de 12, modèle belge. Nous avons décrit dans une note de la 5° partie de notre ouvrage sur la fabrication des canons, le moyen pratique de trouver les moments d'inertie des projectiles et des corps solides en général, par l'emploi du pendule à axe de rotation horizontal. Il est assez curieux qu'un balancier permette de trouver pra- tiquement les moments d'inertie des corps, moments qui, au premier abord et par leurs définitions , semblent être du domaine des mathématiques pures. Le poids et la position du centre de gravité d'un pendule étant connus , on peut déduire son moment d'inertie du nombre des oscillations qu'il fait dans un temps donné. Sans rien changer à ce pendule , si on ajoute à sa masse un corps, dont le poids et la position du centre de gravité sont donnés, il en résulte un nouveau pendule, dont le poids et la position du centre de gravité seront connus, et dont les oscillations serviront égale- ment à trouver son moment d'inertie relativement à l'axe de suspension. Retranchant le premier moment du second, on obtient pour différence le moment d'inertie du corps ajouté, relativement à Jaxe de rotation. l est facile après de calculer ce moment re- lativement au centre de gravité du corps : de là un moyen simple d'évaluer pratiquement les moments d'inertie des canons , des affüts , etc. , et de tout autre corps dont on aurait intérêt à connaitre celle propriété géométrique. Les oscillations du pendule chargé et non chargé du canon, nous permettent d'évaluer les moments d'inertie de cet appareil dans ces deux circonstances , et la différence entre ces moments, nous donnera celui de la bouche à feu relativement à l'axe de suspension. Le pendule balistique est une machine bien utile dans une + DES MOMENTS D'INERTIE DES CANONS EN BRONZE. 5 artillerie établie sur des bases rationnelles. On peut à la rigueur s'en passer pour la détermination des vitesses initiales des pro- jeetiles, en employant l'appareil électro balistique ; mais il faut reconnaitre que le canon pendule est nécessaire pour étudier les réactions de la charge sur la bouche à feu et de celle-ci sur l'affût; car les vitesses initiales des projectiles ne peuvent servir qu'à évaluer grossièrement la quantité de mouvement de recul transmise à la pièce , et elles sont insuffisantes pour diffé- rencier les effets des diverses espèces de poudre, parce que les résultats de la cible pendule ne concordent pas avec ceux de l'arme pendule. Il ne suffit pas de connaitre les moments d'inertie pour pouvoir apprécier les effets des bouches à feu sur leurs affüts, mais il faut encore avoir des données sur. le mode d'action de la poudre dans l'âme de la pièce et sur Îa quantité de mouve- ment communiquée à celle-ci. Nous avons donc fait précéder le récit de nos expériences de quelques considérations et caleuls concernant ces sujets, et nous sommes entré dans les développements théoriques relatifs à l'emploi du pendule pour la détermination des moments d'inertie des canons : l’exposé de ces expériences à pu se faire ensuite d'une manière suceinete et non interrompue. N 2. CONSIDÉRATIONS SUR LE MODE D'ACTION DE LA POUDRE CONTRE LA BOUCHE A FEU. La force expansive du gaz que produit la déflagration de la charge de poudre , imprime à la bouche à feu une quantité finie de mouvement , que nous représentons par uw. Cette quantité de mouvement est obtenue par une série d'actions successives , suivant une loi de continuité qui dépend du développement graduel des gaz. Au moment où eeux-ci se forment, ils se répandent du lieu qu'ils oceupaient à l'état solide dans les espaces environnants : celle expansion à nécessairement lieu par 4 CoQuILHAT. — EXPÉRIENCES SUR LA DÉTERMINATION PRATIQUE le mouvement des gaz qui réagissent contre la paroi de l'âme et contre la partie postérieure du projectile. Les gaz arrivent avec une certaine vitesse contre les parois du lieu qui les renferme et il en résulte un choc, qui est fonction de cette vitesse et de la masse des gaz. Les interstices qui existent entre les grains de poudre, et le vide plus ou moins grand quil y a entre la charge et la surface de l'âme , en arrière du projectile, présentent , au développement des gaz , un espace assez grand pour que leur densité devienne très-inférieure à celle de la gaiette de poudre dont ils pro- viennent. Sans cet espace, la densité des gaz étant celle des grains de poudre, il en résulterait une tension tellement considérable qu'aucune bouche à feu ne pourrait résister au tir , en supposant toutefois , ce qui n'est pas , que la poudre en roche brulât aussi vite que la poudre en grains. La durée des actions successives des gaz est la même que celle du trajet de l'âme par le projectile : à la rigueur elle est un peu plus longue, parce que Îles gaz agissent encore sur la bouche à feu après le départ du boulet : toutefois cette durée est si courte que l'on peut supposer, que la quantité de mouve- ment g a été communiquée instantanément à la bouche à feu, et est le résultat d'un choc. Ce qui rend eette supposition plus vraisemblable, c'est qu'effectivement les gaz viennent heurter contre les parois de l'âme avec une violence, qui est fonction de leur vitesse et de leur masse. Nous ne nous occuperons pas de toutes les causes qui m- fluent sur le développement plus ou moins rapide des gaz et sur leur tension : causes parmi lesquelles on compte la chaleur produite , les qualités physiques et chimiques des matières qui composent la poudre , etc., mais nous ne pouvons passer sous silence une considération exposée pour la première fois par M" Melsens , dans une note remarquable présentée à l'académie des sciences de Bruxelles. Ce savant professeur , qui s'est beaucoup occupé de cette question , fait voir l'influence d'une haute tem- pérature sur la composition des gaz : sous cette influence, les gaz se décomposent dans leurs éléments plus simples ou moins compliqués , d'où résulte un aecroissement subit de leur tension ; deux volumes de vapeur d'eau peuvent devenir tout-à-coup trois DES MOMENTS D'INERTIE DES CANONS EN BRONZE. 5 volumes d'un mélange d'hydrogène et d'oxigène ; deux volumes d'acide carbonique deviendraient trois volumes d'un mélange d'oxide de carbone et d'oxigène, ete. , etc. Quoique les actions des gaz contre la bouche à feu soient successives , la quantité de mouvement y, est la même que si elles avaient lieu simultanément ; car après chaque choc, le mouvement est le même , que s'il avait lieu à linstant où se produit le choc suivant : on a donc le même résultat pour deux chocs successifs que s'ils avaient lieu ensemble, et n'en for- maient qu'un seul égal à leur somme : en étendant ce raisonne- ment, on voit que la quantité de mouvement produite par une série de pereussions est la même que si toutes ces percussions réunies agissaient au même instant. $ 3. CONSIDÉRATIONS SUR LA QUANTITÉ DE MOUVEMENT IMPRIMÉE A LA BOUCHE A FEU LORS DU TIR. L'action de la poudre détermine la projection du boulet en avant et imprime à la bouche à feu un mouvement rétrograde, qui se communique à l'affut et produit le recul du système. Si l'on suppose le vent anéanti, et si l'on fait abstraction de la masse de la poudre , et de son enveloppe, ainsi que du mode de chargement , la quantité de mouvement du boulet au sortir de l'âme est équivalente à celle transmise à la bouche à feu. Soient donc b la masse du boulet. v la vitesse initiale du boulet, c la masse du canon. V la vitesse de recul du canon pendule; autrement dit, la vitesse que l'action de la poudre imprimerait au canon , si, n'étant pas lié à l'affut , il pouvait céder librement à cette action. ps la quantité de mouvement imprimée à la bouche à feu. On a les relations 6 COQUILHAT. — EXPÉRIENCES SUR LA DÉTERMINATION PRATIQUE y a plusieurs moyens de déterminer la vitesse initiale du boulet; par la portée, par le choc contre une cible pendule, autrement dit pendule balistique , par l'appareil éleetro-balistique et par d'autres mécanismes. C'est cette facilité , de trouver la vitesse initiale du boulet, qui a engagé à s'en servir pour déterminer la quantité de mouvement de la bouehe à feu. Mais la formule (1) exige des corrections ; les hypothèses sur lesquelles elle est fondée sont inadmissibles , et elle ne donne que des valeurs plus ou moins approchées. La charge de poudre a une masse comparable à celle du boulet, et l'on ne peut en faire abstraction. La réaction contre le fond de l'âme ne peut donc égaler l’action contre le boulet, qu'en tenant compte de la quantité de mouvement imprimée aux gaz , dont une partie accompagne le boulet et l'autre le canon, La poudre , renfermée entre le fond de l’âme et le boulet, agit comme une force centrale qui ne peut déplacer le centre de gravité du système soumis à ses efforts. En supposant donc la charge convertie en gaz par une combustion uniforme, on peut admettre par analogie, qu'une moitié de la masse des gaz est animée d'une vitesse moyenne égale à celle du boulet et l'accompagne dans le trajet de Fâme, tandis, que l'autre moitié plus condensée , suit le fond de l'âme avec la vitesse de recul du canon. Soient : v la vitesse initiale du boulet, qui sera aussi celle d'une moitié de la charge de poudre convertie en gaz et accompagnant le projectile. b la masse du boulet. c la masse du canon. p la masse de la charge de poudre. V la vitesse de recul du canon qui sera aussi celle de Fautre moitié de la charge de poudre convertie en gaz et aecom- pagnant le fond de l'ème dans son mouvement rétrograde. Les masses mises en mouvement sont exprimées par : bip masses animées de la vitesse initiale v du boulet. c—+ip masses animées de la vitesse de recul V. Le centre de gravité du système devant rester immobile, it + DES MOMENTS D'INERTIE DES CANONS EN BRONZE. 7 faut qu'il y ait égalité entre les quantités opposées de mouve- ment, ou entre ces masses multipliées par leurs vitesses res- peetives. On a done : (b+Hiplo=(e+ip)V) © On en déduit u=cV—bvu+ip(v—V) (5) La vitesse v du boulet étant plus considérable que celle V de recul, il s'ensuit que le terme £ p(v— V) est positif et que CNE NO 0: Ainsi la quantité de mouvement du canon est plus grande que celle du boulet. Dans ces formules, nous avons fait abstraction du vent, et nous avons admis que la surface d'action des gaz contre le pro- jectile , était la même que contre le fond de l'âme. Mais en supposant l'action des gaz uniforme sur toutes les sections droites de l'âme, la quantité de mouvement transmise à la pièce sera à celle communiquée au projectile , comme le cercle de l'âme est au cercle du mobile, ou comme R? :7?, R étant le rayon de l'âme et r le rayon du projectile. Cette correction faite à notre première hypothèse exprimée par l'équation (1) donne , e bo KR? n=cCV= ——. (4) ri En l'appliquant à l'équation (2) on obtient : ’ WIRE (ce Sr 20) V ri (b+ip) ER On en déduit Ve COR) 0 R° ANT et en multipliant ies deux membres par ç on a u= Ve= (Hip) ; cuk (6) RD) à () Telle est l'expression de la valeur de y, en tenant compte 8 COQUILHAT. — EXPÉRIENCES SUR LA DÉTERMINATION PRATIQUE de la quantité de mouvement imprimée à la charge de poudre, et de la différence entre le calibre de la pièce et celui du projectile. Les canons de siège pèsent environ 250 boulets et ceux de campagne 150 boulets, et le poids de la charge ordinaire de poudre est le ? de celui du projectile. Il en résulte que la quantité représentée par c est toujours très-grande relativement à 1p—b, et que l'on peut sans erreur sensible négliger À p dans le facteur c + £p, formule (6) Cette formule devient donc pour la charge au tiers : RNCS (7) En faisant abstraction de la correction relative au vent , le coëfficient ? de la formule précédente, montre qu'avec la charge au tiers la quantité de mouvement de la pièce l'emporte de # sur 2 celle du boulet. Le facteur est sensiblement égal à #+, dans A2 la supposition assez généralement vraie que le vent est le du calibre ; il en résulte que la formule (7) appliquée aux canons, donne pour la valeur de w, u=VC—ixX(#)bo, ou u = 1,295 b v. (8) La pratique ne confirme pas entièrement les résultats des for- mules (6) et (8), basés sur des hypothèses plus ou moins plausibles , mais qui ne tiennent pas compte de toutes les cir- constances du tir. Des formules plus compliquées , et déduites d'une haute analyse par plusieurs géomètres et artilleurs illustres, n'ont pas réussi davantage à établir la relation entre la quantité de mouvement de la pièce et celle du projectile , et il a bien fallu chercher une solution dans des formules empiriques. Voici celle de M" Roche : u—vo(1+ V2) (9) dans laquelle les notations sont les mêmes que précédemment. DES MOMENTS D'INERTIE DES CANONS EN BRONZE. U Cette expression à été accueillie avec faveur , à cause de son utilité pour certaines catégories de charges, et pour quelques ealibres , mais elle n'est pas d’une approximation suflisante dans beaucoup de eas. M le général Piobert , reprenant la formule (6), fait remar- quer avec raison que le système formé de la pièce et de l'affût a un poids incomparablement supérieur à celui du boulet, et aura une vitesse de recul toujours très-petite, et qu'une très- faible partie des gaz suivra le mouvement du fond de lame. Partant de cette considération et des applications qu'il a faites au tir des canons aux vitesses de plus de 420 mètres , il établit la relation empirique suivante boR po V'(A+C) = —— = + 490 p, (10) dans laquelle outre les notations précédentes on représente par : V' la vitesse du recul du système formé du canon et de l'affût. A la masse de l'affüt. Les résultats de cette formule sont fort souvent d'une exactitude satisfaisante. Cependant quoiquon ait fait, on n’est pas encore parvenu à établir une relation, vraie pour tous les cas, entre la quantité de mouvement de la pièce et celle du projectile. Les nombreuses expériences, faites avec le pendule balistique et avec le canon pendule ou fusil pendule, le démontrent suffisamment. Non seulement les quantités de mouvement de l'arme et du projectile ne sont pas les mêmes , mais les résultats obtenus avec la cible pendule ne concordent pas avec ceux de l'arme pendule, et donnent sur la force motrice de la poudre des indications bien différentes, selon que l'on considère son action sur le projectile ou contre la bouche à feu. Telle poudre semble forte où vive par la vitesse initiale qu'elle communique au boulet , tandis qu'à l'arme pendule elle est classée faible ou lente, et réciproquement. C'est une vérité dont on devrait être plus généralement convaineu , que les effets de la poudre sur la bouche à feu doivent être appréciés au moyen de la pièce elle-même, et qu'à cette fin l'emploi de l'arme pendule est indispensable, TOM: XIX 2° PARTIE; 2 10 COQUILHAT. — EXPÉRIENCES SUR LA DÉTERMINATION PRATIQUE Ces considérations nous font préférer la voie expérimentale, par le canon nées pour déterminer la quantité de mouve- ment g transmise à la pièce. Le n° 7 du mémorial de la savante artillerie française contient sur ce sujet des données précieuses, Nous y trouvons qu'avec la charge au tiers , le produit du poids de la pièce par la vitesse de recul du canon pendule de 12 est en moyenne 4552 : divisant ce nombre par la gravité 9 —9,809, nous obtenons en nombre rond, pour la quantité de mouve- ment transmise au canon de 12 0 Dee ee PE u — 9,800 — 449. (11) La quantité de mouvement de recul du canon de 6 ne nous étant pas connue expérimentalement, nous prendrons pour aps mer la moitié du nombre relatif au calibre de 12. Nous aurons pour la quantité de mouvement de recul du canon de 6 u — 291. (12) Au moyen de ces données, et des moments d'inertie des canons de 6 et de 12 , trouvés pratiquement dans les expériences que nous allons supporter , on pourra déjà faire quelques appli- cations de la théorie des percussions des bouches à feu sur leurs affüis. DES MOMENTS D'INERTIE DES CANONS EN BRONZE. qi FORMULES pour la détermination pratiquo des moments d’inertie des corps solides à l’aido du pendule à axe horizontal. PROPOSITIONS PRÉLIMINAIRES. Ces formules ont déjà été exposées dans notre ouvrage sur la fabrication des canons , nous les reproduisons afin qu'on re soit pas obligé d'y recourir : nous supposons d’ailleurs connus les principes de mécanique sur lesquels elles reposent. $ #. RELATION ENTRE LE MOMENT D'INERTIE TOTAL ET LES MOMENTS D'INERTIE PARTIELS D'UN ASSEMBLAGE DE DEUX CORPS, RELATIVEMENT A UN AXE DONNÉ. Supposons un pendule dont les éléments sont invariables , c'est-à-dire dont la masse, le moment d'inertie par rapport à l'axe de suspension, et la distance de son centre de gravité relativement à cet axe ne puissent changer : et supposons en outre que le pendule soit construit de manière que l’on puisse y placer un canon dans une position déterminée et l'y fixer tout en conservant ces éléments intacts. Il suflira à cet effet que le centre de gravité du canon se trouve, après son placement, dans le plan passant par l'axe de suspension et par le centre de gravité du pendule : et que celui-ci présente un appui convenable pour la pièce. La bouche à feu pourra d'ailleurs être consolidée dans sa position, par des coins se mouvant dans des coulisses parallèles à l'axe de suspension ou par des vis de pression de même direction , de sorte que le déplacement de ces objets, à l'effet d'amener le canon dans la position voulue, ne puisse modifier aucun des éléments du pendule. Le pendule considéré isolément , aura donc toujours son centre 12 CoqQuiILHAT. — EXPÉRIENCES SUR LA DÉTERMINATION PRATIQUE de gravité dans la même position , et un même moment d'inertie relativement à l'axe de rotation, quil soit chargé d'un canon ou qu'il ne le soit pas. Soient M la masse du pendule. m la masse du canon. M'— M + m la masse du pendule assemblé avec le canon. My le moment d'inertie du pendule relativement à l'axe de suspension. on z* le moment d'inertie du canon placé sur le pendule relative- ment à l'axe de suspension. A «° le moment d'inertie relativement à l'axe de suspension du système formé du pendule et du canon réunis. Le moment d'inertie total étant égal à la somme des moments d'inertie partiels, on a la relation, Mu=(M+mu My +mz. (13) Les positions des centres de gravité du pendule seul et du canon étant connues , on en déduit la distance à l'axe de sus- pension du centre de gravité du système formé du pendule et le la pièce réunis. En faisant ensuite osciller le système, on en déduit la longueur du pendule simple synchrone et par suite le moment d'inertie du système : il s'ensuit que, dans la for- mule 13, il n'y a que le moment d'inertie du eanon seul qui puisse être considéré comme inconnu , et en la résolvant, par rapport à #»z* on trouve me —(M+m ju — My. (14). $ D. RELATION ENTRE LE MOMENT DINERTIE DUN PENDULE RELATIVEMENF A SON AXE DE SUSPENSION. LA DISTANCE DE SON CENTRE DE GRAVITÉ AU MÊME AXE ET LA LONGUEUR DU PENDULE SIMPLE SYNCHRONE. Soient L la longueur du pendule simple synchrone avee le pendule de la masse M. DES MOMENTS D'INERTIE DES CANONS EN BRONZE. 15 D la distance du centre de gravité du pendule à l'axe de sus- pension. M K° Le moment d'inertie du pendule par rapport à une droite passant par son centre de gravité et parallèle à l'axe de suspension. La théorie du pendule composé fait voir que l'on a entre ces K° + D° quantités Ja relation L — sabre (15) D Fesons disparaitre le dénominateur et multiplions les deux mem- bres par la masse M, nous aurons M(K°+D°)—MLD. (16) Le premier membre de cette équation exprime le moment d'inertie du pendule relativement à l'axe de suspension , parce que ce moment est égal à celui M K°, augmenté du produit de la masse M par le carré D° de la distance du centre de gravité du pendule à l'axe de suspension : nous coneluons donc d'après le second nombre de cette équation que : « Le moment d'inertie d'un pendule relativement à son axe » de suspension est égal au produit de sa masse M par la lon- » gueur L du pendule simple synchrone , multiplié par la dis- » tance D de son centre de gravité à l'axe de suspension, » G. CONNAISSANT LA DISTANCE A L'AXE DE SUSPENSION DES CENTRES DE GRAVITÉ PARTIELS DU PENDULE ET DU CANON FIXÉ AU PENDULE , EXPRIMER EN FONCTIONS DE CES QUANTITÉS LA DISTANCE AU MÊME AXE DU CENTRE DE GRAVITÉ DU SYSTÈME FORMÉ DU PENDULE ET DU CANON RÉUNIS. (A) Soient outre les notations précédentes D' la distance à l'axe de suspension du centre de gravité du sys- tème formé du pendule et du canon réunis. d la distance à l'axe de suspension du centre de gravité du canon seul. P le poids du pendule. C le poids du canon. 4% CoquiLHAT. — EXPÉRIENCES SUR LA DÉTERMINATION PRATIQUE Nous supposons que, lorsque le pendule est au repos, son centre de gravité et celui du canon se trouvent dans un même plan vertical passant par l'axe de suspension. Nous avons la relation connue. MD + md PD+Cd DES DER CR RL RER 17): D M—Lm P+C CE) $ 7, LES LONGUEURS DES PENDULES SIMPLES, SYNCHRONES AVEC LE PENDULE SEUL ET AVEC LE PENDULE CHARGÉ DU CANON ; ÉTANT CONNUES , EXPRIMER EN FONCTION DE CES QUANTITÉS LE MOMENT D'INERTIE DU CANON CHARGÉ SUR LE PENDULE ; RELATIVEMENT À UNE DROITE PASSANT PAR SON CENTRE DE GRAVITÉ ET PARALLÈLE A L’AXE DE SUSPENSION. Soient outre les notations précédentes : L' la longueur du pendule simple synchrone avec le pendule chargé de la bouche à feu, (M + m) K® le moment d'inertie du pendule chargé du canon, pris relativement à une droite parallèle à l'axe de suspension et passant par le centre de gravité du système. mn x* le moment d'inertie du canon relativement à une droite passant par son centre de gravité et parallèle à l'axe de suspension ; %# x° est la quantité inconnue cherchée. Les moments d'inertie pris relativement à l'axe de suspen- sion , sont î° Pour le pendule seul M (K°+ D* }). 2% Pour le canon mis sur le pendule m ( x° + d° ). 5° Pour le système formé de l'assemblage du pendule et du canon (M+m) (K°+ D"). L'égalité devant exister entre l'expression (5°) et la somme des expressions 1° et 2°on à (M + m) (K° Æ D°) = M (K° + D?) L m0 {x° + d°), (18) DES MOMENTS D'INERTIE DES CANONS EN BRONZE. 4 No L'application de la formule (16) donne : MK +D*)—=MLD, (19) (M+ m0) (K°® + D?) = (M + m) L'D’. (20) Substituant dans léq. (20) pour D’ sa valeur (17) il vient (M + m) (K? + D*) = (MD + m d) L’. (21) Egalant les seconds membres des équations (18) et (21) on à M D +m d) L'=MLD + m (x? + d°). (29) On en déduit pour le moment cherché d'inertie du canon relati- vement à une droite passant par son centre de gravité et parallèle à l'axe de suspension , max = L’ (M Dm d) —MLD— 1m &. 95) Cette équation se prête mieux au calcul en multipliant les deux membres par la gravité g, et exprimant les masses en fonction des poids correspondants, on a alors : Cx =L'(PD+Cd)—PLD— Cd. (24) Pour soulager la mémoire nous rappellerons les quantités que ces lettres expriment. m x° moment d'inertie du canon relativement à une droite pas- sant par son centre de gravité et parallèle à l'axe de suspension. C poids du canon. L'longueur du pendule simple synchrone avec le pendule chargé de la bouche à feu. P poids du pendule non chargé. D distance du centre de gravité du pendule non chargé à l'axe de suspension. d distance du centre de gravité du canon à l'axe de suspension. L longueur du pendule simple synchrone avec! le pendule non chargé. mn masse du canon. M masse du pendule non chargé, 16 COQUILHAT. — EXPÉRIENCES SUR LA DÉTERMINATION PRATIQUE Les quantités P, D, €, d sont les données de la question : on connaitra L et L’ en faisant successivement osciller le pendule d'a- bord seul puis chargé du canon : on aura alors tout ce qu'il faut pour calculer G x? ; et divisant ensuite par g = 9, 809, le quotient sera le moment d'inertie cherché m# x°. RELATION DES EXPÉRIENCES. Description du pendule. Le pendule se composait d'un plateau de balance en bois sus- pendu à une certaine distance d'un essieu horizontal en fer. €et essieu était logé dans un encastrement pratiqué sous un corps d'essieu en bois et assemblé par des frettes de fer et des coins chassés avec force. Quatre montants en bois, partant des angles du plateau se réunissaient deux à deux contre le corps d'essieu en bois : ils étaient chacun recouverts d'une bande de fer, dont le bout replié sous le plateau reliait celui-ci invariablement au corps d'essieu. Les bandes de fer étaient assujeties aux montants par des clous d’applicage et des vis à bois. Le plateau, d'une solidité suffisante pour le poids du canon, était formé de deux rangées de madriers de C6” C6 d'épaisseur, croisés à angle droit, et réunis entr'eux par des chevilles et des vis. Les montants étaient rendus solidaires entr'eux par des traverses en bois, et par des ares-boutants qui servaient en même temps à les maintenir d'équerre sur le corps d’essieu en bois. Le pendule oscillait sur deux couteaux en acier, fixés à l'essieu au moyen d'une tige traversant le trou d'esse et rivée du côté opposé au tranchant. Le pendule reposait sur deux supports én bois, suffisamment élevés et assez écartés pour lui livrer passage lorsqu'il était en mou- vement. Une plaque en fer forgé d'une épaisseur convenable était clouée DES MOMENTS D'INERTIE DES CANONS 17 à la partie supérieure de chacun des supports. Une rainure creusée sur chacune des plaques, dans le prolongement l'une de l'autre et de niveau, servait de crapaudine ou de gouttière propre à recevoir le tranchant du couteau. On donnait aux supports la stabilité et la force d'inertie nécessaires, en les chargeant de masses pesantes, telles que des bouches à feu, servant de lest, et placées sur les traverses qui réunissaient les pieds des supports. Le plateau était horizontal lorsque le pendule était au repos. Des lignes, marquées sur les côtés du pendule, indiquaient les traces du plan passant par l'axe de suspension et par le centre de gravité : par construction elles se trouvaient dans un même plan vertical lorsque le plateau était horizontal. On reconnaissait, à l’aide de points de repère, les distances à l'axe de suspension des canons placés sur le plateau. De forts étriers en fer étaient fixés sous le plateau et servaient à soutenir des chantiers en fonte à canon, propres à augmenter la masse du pendule et à en abaisser le centre de gravité. PLANCHE T. Fieure (1). Projection du pendule, avec un canon sur le plateau vu du côté de la bouche. Ficure (2). Projection et coupe par le plan de symétrie perpen- diculaire à l'essieu. CD, C,D, supports du pendule. EE, essieu en fer, servant d'axe au pendule. ee, couteaux fixés aux trous d'esse. FF, canon placé sur le plateau en bois, ayant le centre de gravité dans le plan qui contient le centre de gravité du pendule et l'axe de suspension. Le canon était soutenu par des coins en bois, suffisamment rap- prochés pour que l'axe de l'âme fut horizontale lorsque le pendule était au repos. Des coulisses adaptées au plateau parallèlement à l'axe de sus- pension, permettaient suivant les besoins, de rapprocher ou d'é- carter les coins qui soutenaient le canon, sans changer en rien 2 ) 18 COQUILHAT. — EXPÉRIENCES SUR LA DÉIERMINATION PRATIQUE l'ordonnée verticale du centre de gravité du pendule, ni son mo- ment d'inertie relativement à l’axe de rotation. HH, NH, étriers en fer fixés sous le plateau. GG, chantiers en fonte chargés et calés sur les étriers, pour aug- menter la masse du pendule et en abaisser le centre de gravité. IT, KK, traverses des supports, que l'on chargeait de bouches à feu pour en augmenter la stabilité. DÉTERMINATION DES ÉLÉMENTS DU PENDULE. Poids du pendule. On pesait séparément, le pendule proprement dit, puis les chanters ainsi que les coins en bois que l'on se proposait d'em- ployer pour assujettir les chantiers et le canon. Le poids total se composant de ces poids partiels et a été trouvé de 1056 #1: 570. Etablissement du pendule. Les pesées étant faites, le pendule a été placé sur ses supports, en faisant entrer les tranchants des couteaux de l’essieu dans les plaques ou coussinets en fer fixés à la partie supérieure des supports. On s’est assuré que les rainures étaient ereusées convenablement, de manière à permettre au pendule d’osciller librement, sans toute- fois pouvoir ballotter, de sorte que les oscillations se faisaient sur un axe unique. : On a ensuite déposé les chantiers sur les étriers, sous le plateau, en les fesant avancer ou reculer jusqu'à ce que le plateau fut hori- zontal; ce dont on s'assurait à l’aide d’un niveau à bulle d'air. D'après ces dispositions le centre de gravité du système se trouvait DES MOMENTS D'INERTIE DES CANONS. 19 dans un plan passant par l'axe de rotation et perpendiculaire à celui du plateau. Les traces de ce plan ont été marquées sur les côtés du pendule au repos à l'aide de fils à plomb appliqués contre ces côtés. Les chantiers ont été consolidés dans leurs positions en les serrant avec des coins en bois jusqu'à ce qu'ils ne pussent ni ballotter ni glisser. En appliquant au besoin des coups de masse contre les chan- tiers, on les déplacait suffisamment dans le sens voulu, pour ra- mener le centre de gravité du système dans le plan passant par l'axe de suspension et perpendiculaire au plateau. L'arrangement des chantiers était tel, que le pendule présentät à peu-près la même masse à droite et à gauche du plan de symétrie perpendiculaire à l'axe de suspension. Le poids des coins en bois non employés était déduit du total des pesées. Distance du centre de gravité du pendule à laxe de suspension. On s'est servi du procédé suivant : Le pendule a été écarté de la verticale de l'angle 0 sous l'effort parallèle au plan du plateau et perpendiculaire à l'axe de suspen- sion: en d'autres termes, l'effort © était dirigé perpendiculairement au plan passant par l'axe de suspension et par le centre de gravité du pendule. L'effort © était mesuré par un dynamomètre à ressort. Soient : D, la distance cherchée du centre de gravité du pendule à l'axe de suspension. æ la longueur de la perpendiculaire abaissée de l'axe du pendule sur la direction de la force ©. P le poids du pendule. On a entre ces quantités la relation __— (25). Aa P sn 8 20 COQUILHAT. — EXPÉRIENCES SUR LA DÉTERMINATION PRATIQUE On mesurait la longueur x à l'aide des points de repère mar- qués à cet effet sur les côtés du pendule. Le dynamomètre était attaché au pendule au moyen d'une corde fixée à un clou enfoncé sur le côté opposé du plateau. On incli- nait de plus en plus le pendule jusqu'à ce que la corde devint parallèle au plan du plateau. Dans cette situation l'aiguille indiquait sur le ressort dynamé- trique le poids auquel correspondait l'effort o. En mesurant la distance x on tenait compte de la moitié de l'épaisseur de la corde. Les expériences ont donné les résultats suivants : OR PE=#1056-%570 og — 258 “645. De l'équation (25) on déduit par l'introduction de ses valeurs : D 1221655- Longueur du pendule simple synchrone avec le pendule expérimenté. Pour déterminer cette longueur, on a compté le nombre d'oseil- lations que le pendule faisait en une minute, et on a calculé la longueur du pendule simple synchrone par la formule : 3600 / L= (26). Dans laquelle on représente par L la longueur du pendule simple Synchrone. la longueur du pendule simple à secondes, correspondante à la latitude du lieu de l'expérience. ne DES MOMENIS D'INERTIE DES CANONS. 21 N le nombre d'oscillations que fait le pendule expérimenté en une minule. La valeur de ! a été trouvée au moyen de la relation entre la longueur du pendule simple à secondes et la latitude du lieu ; rela- tion de laquelle il résulte que la longueur du pendule simple à secondes est proportionnelle au double du cosinus de la latitude. Cette formule est : AGEN 1) dans laquelle ; « et b sont des coëflicients numériques résultats de l'expérience : X la latitude du lieu. Remarquant que cos 2 X — 2 cos.® 4 — 1 — 1 — 2 sin° X et mettant pour « et b les données de l'expérience, il vient 1= 0,990555 X 0,005679 sin° X (27). Suivant l'annuaire de l'observatoire de Bruxelles la latitude à Anvers est X == 51° — 13 — 17” cette valeur introduite dans l'équation (27) donne pour la longueur du pendule simple à secondes dans cette ville 1 = 0,994 (28). Le pendule ayant été légèrement écarté de la verticale et aban- donné ensuite à lui-même, on a compté le nombre des oscillations pendant les 4 ou 5 premières minutes du mouvement : puis on lui a imprimé une nouvelle impulsion et on a recommencé à compter les oscillations. Le nombre total d'oscillations, divisé par le temps employé à les faire a donné pour moyenne N =— 45 (29). Au moyen des valeurs (28) et (29) l'équation (26) donne pour la longueur du pendule simple synchrone avec le pendule expérimenté : L— 1", 955 (50). Tels sont les éléments du pendule qui a servi aux expériences dont nous rapportons les résultats. Ces éléments n'ont pas varié; 99 (COQUILHAT. — EXPÉRIENCES SUR LA DÉTERMINATION PRATIQUE pour s'en assurer on avait soin de les vérifier de nouveau après chaque expérience. Pour distinguer ce pendule de celui formé en ie chargeant d'un canon, nous le nommerons pendule non chargé ; l'autre sera Île pendule chargé. Erreur occasionnée par la perte du poids du pendule dans l'aire. Le pendule plongé dans l'air perd une partie de son poids, ce qui diminue l'action de la gravité terrestre. Mais il est facile de s'assurer que cette perte ne peut influer sensiblement sur les résul- tats obtenus. Le poids du bois introduit dans l'appareil est au plus de 90 kilo- grammes, ce qui répond à un volume de 165,64 décimètres cubes, en prenant suivant l’aide mémoire de l'artillerie française, 0,55 pour la densité du sapin employé. Le restant du poids du pendule consiste en 966k,57 de fer, dont le volume est 154,22 décimètres cubes, 7, 2 étant la densité de la fonte. Les deux volumes réunis font 298 décimètres cubes; d'où il résulte que le pendule plongé dans Fair perd en poids celui de 298 litres de ce fluide. La densité de l'air étant environ + de celle de l'eau, les 298 litres d'air pèseront 0k,551 quantité entièrement négligeable devant le poids du pendule 1056,,57. Nous ne nous oceuperons pas de l'effet que produit la résistance de l'air au mouvement du pendule, effet que les géomètres ont démontré être entièrement négligeable pour de petites oscillations. Détermination de la position du centre de gravité des canons, On a pris les dispositions suivantes pour déterminer la distance du centre de gravité de la pièce au plan vertical passant par Faxe des tourillons lorsque l'âme est horizontale, DES MOMENTS D'INERTIE DES CANONS. 25 On a établi solidement deux chantiers en fonte avec les deux bords supérieurs de niveau, parallèles et suffisamment écartés. Le canon a été placé entre les chantiers et suspendu par les tou- rillons, la lumière au dessous. L'axe de l'âme a été maintenu hori- zontal au moyen de poids attachés à la volée. Dans cette position de la lumière, le centre de gravité de la pièce était le plus bas possible, et l'équilibre obtenu était stable. Pour attacher les poids à la volée, on s'est servi d'un grand anneau de fer, suffisamment solide et assez grand pour pouvoir passer sur le bourrelet de la pièce sans le toucher. L'anneau était placé contre l'astragale, et présentait au point de contact avec la bouche à feu une partie tranchante en forme de couteau, dont l’arête était dans le plan passant par le milieu de l'épaisseur de l'anneau. De cette manière il pouvait osciller libre- ment sur la pièce sans que son point de contact changeñt. 11 se terminait à la partie inférieure par des crochets auxquels on attachait des poids. Soient : C le poids du canon. x la distance du centre de gravité au plan vertical passant par l'axe des tourillons. Î la distance du point de contact de l'anneau au plan vertical pas- sant par l'axe des tourillons. a le poids de l'anneau. o le poids du contre-poids suspendu à l'anneau, rendant horizon- tale la position de l'âme. On à entre ces quantités la relation : 0 = (a+ q)l l d'où x = Ha aone LE Le tableau suivant indique les résultats obtenus avee les sept canons qui ont servi aux expériences : comme renseignement utile on a aussi indiqué les distances de l’axe des tourillons à la tranche de la bouche et au derrière de la plate bande de culasse. TERMINATION PRATIQUE #. NCES SUR LA DE CoOQUILHAT. -— EXPÉRIE 24 ‘SNOILVA4ASAO O9L8'T GOTL'T 8860‘0 8860‘0 CGT 600 OT&S'0 0G60'T 1F60‘0 GeOTT OGSS'T 1F60‘0 G8860°0 8860'T OGGS'T 9860‘0 Ga69'0 06c6'0 FI80‘0 LGLO‘0 0169'0 GLGG' 0 06180 GGGOT | y880‘0 | | 9SSU[N9 9P "Sox opueq-oerd [oyonoq ex op] ‘oxqries aed | oquourriodxo I °P oqouva} tj ®| ouuo4o uouro 9IPLH9P nv onbeuyo In04 |, D SUOI[IINOY S9P oxe,[ ed quessed [R917104 ueyd ne 99914 op 9TAUIS 9P 91099 np 99U8JSI(T ‘SUOIIINOY S9P XI 9P 29UUJSI(T GTI 183 368 688 "SOTIX "HOT I 9P SdI0d "LGLT 9ÂUH UT "OGST 2S91T "GPST °S91T ‘YSLT CÂCH CT ‘008 °Â€H CT "GGST 9591T ‘TSI 2ÂUH UT ‘991n09 %I 9P ŒYNNV LE AATT ‘891$ 2P 2ZU01Y HN STE | wo y op Suor uouvo “ousedues 9p 220014 wo 06 SI ©°P JiMm09 uouv) 008 | UP *299IS 9P 9ZU01 65% 66 u9 9 9p SUOT uour,) 08 | ‘wo pr “ousedue) 9p azu01q 94 FT } wo pop 3moo uour) "OAI ‘49 Id eI 9P EL °P OXANMAN NOILVNDIISHA DES MOMENTS DINERTIE DES CANONS. 25 Placement du canon sur le pendule. On amenait le canon sur le plateau du pendule, dans une direction perpendiculaire à celle de l'axe de suspension et en le faisant avancer ou reculer jusqu'à ce que le plateau devint hori- zontal, lorsque le pendule était au repos, ce dont on s’assurait par l'emploi d'un niveau. Sans changer en rien l'horizontalité du plateau, on mettait les tourillons de niveau. On agissait ensuite sur la volée, pour rendre l'âme horizontale, et on assurait la position de la pièce par des coins se mouvant dans des coulisses ménagées sur le plateau parallèlement à l'axe de suspension. Quelques tâtonnements suffisaient pour amener la pièce dans la position voulue. FI fallait avoir soin , dans ces opérations qui donnaient lieu à des manœuvres de force inutiles à décrire, de ne pas toucher aux chantiers en fonte chargés sur les étriers sous le plateau du pendule, et d'éviter les chocs qui auraient pu altérer les données du système en faussant l'essieu qui servait d'axe de suspension. Un quart de cercle avec niveau à bulle d'air, modéle prussien, appliqué contrela tranche de la bouche, servait à vérifier l'ho- rizontalité de l'âme. Eléments du pendule chargé, Distance du centre de gravité du canon à l’axe de suspension. Des points de repère, marqués sur les supports du pendule et contre les murs du local, servaient à disposer des règles horizon- tales, dont on connaissait les distances au plan horizontal passant par l'axe de suspension. Il était ensuite facile de mesurer, par des moyens qu'on imaginera sans peine, la distance de l'axe de l'âme à l'une de ces règles, et par suite à l'axe de suspension du pendule. TOME XIX, 2° PARTIE. 4 96 COQUILHAT. — EXPÉRIENCES SUR LA DÉTERMINATION PRATIQUE Cette distance était en même temps celle du centre de gravité de la pièce à l'axe de suspension, car ce centre de gravité peut, sans erreur sensible, être considéré comme étant sur l’axe de l'âme. Longueur du pendule simple synchrone avec le pendule chargé. La longueur du pendule simple synchrone avec le pendule chargé, a été déterminée de la même manière que pour celui non chargé, par le nombre des oscillations qu'il faisait dans un temps donné. On en a déduit le nombre des oscillations par minute. L'opération a été répétée plusieurs fois pour chaque pièce, afin d'avoir une moyenne plus exacte. L'application des formules (26) et (28) a permis ensuite de cal- culer les longueurs L’, du pendule simple synchroneavec le pendule chargé successivement des différents canons expérimentés. Ces ré- sultats sont consignés dans le tableau qui va suivre. Calcul du moment d'inertie de la bouche à feu. Le moment d'inertie de la bouche à feu a été calculé, en intro- duisant dans la formule (24), les données qui sy rapportent, trouvées ainsi que nous venons de l'expliquer, ei divisant par 4 = 9,809 la valeur qui en résulte pour Cx°. Le tableau suivant contient tous les éléments nécessaires à ce calcul. ] ANONS EN BRONZE, x 4 DES MOMENTS DINERTIE DES C | Tableau contenant tous les éléments fournis par l'expérience pour calculer les moments d'inertie des canons. ; ei S 3) ; ae à Nombre Longueur du [Moment d'inertie du DESIGNATION NUMÉRO LIEU a : POIDS |S2 5 38 SE d’oscillations | pendule simplelcanon relativement : te 2% /S215825<| par minute synchrone [June droite passant par 52 | dupendule! 8 L|2 2) du pendule | avecle pendulelson centre de gravité de la de la | et année dela | = LS 3 1ST Ci et parallèle à l'axe Se EN dr 20 CNRS MAI DIE PIÈCE. PIÈCE, COULÉE. Je 7 | valeurde P. SÈ = 5 CE Ée É 50 & LE ne pour |moyenne LANG IS Sn S 8 |SReolS» 1,9353]| 1,8686| 42,5230 Canon court de 12 en | bronze de campagne. | 20 Liége 1849. | 898 1,372 44,5 1,8070[ 27,5540 , 20 481 Idem. 26 Liége 1856. 881 : 1,370 44,4 1,8152 334983 | | | Canon long de 12 en | bronze de siége. 113 M” | La Haye 1797.11641,5 ] 1,360 43,8 1,86561 102,7010 | 102,701 | | 98 COQUILHAT. — EXPÉRIENCES SUR LA DÉTERMINATION PRATIQUE Motifs pour lesquels il n’y a eu que sept canons expérimentés. Le pendule a dù être modifié plusieurs fois avant de pouvoir servir aux expériences rapportées. Il a été rendu successivement plus pesant, en le chargeant davantage de chantiers à canon, et on a dû prendre des dispositions pour le rendre plus solide : il a fallu remplacer l'essieu de campagne, qui servait d’axe, par un essieu de côte beaucoup plus fort. Cet essieu, malgré sa force, a pris une courbure sous la charge du canon de 12 long en bronze, avec lequel nous commencions la série des expériences qui viennent d'être rapportées. Mais nous nous sommes assurés que cette courbure de l'essieu est demeurée invariable. Les données concernant le pendule ont done été prises après l’inflexion, qui est restée la même après l’en- lèvement du canon de 12, mais nous n'avons pas jugé convenable de continuer avec les forts calibres. Il est à désirer que ces expériences soient reprises avec des appa- 4 reils convenables et étendues à toute notre artillerie. Comparaison entre les moments d'inertie des canons expérimentés. Les canons expérimentés étaient du modèle belge, qui est le même que celui de Hollande. Les canons de campagne de 6 et de 12, mesurés en calibres, forment des corps géométriques à peu près semblables : il en est de même pour les canons longs du même calibre. On peut s'en assurer par le tableau suivant; qui indique quelques données essen- tielles sur ces bouches à feu. DES MOMENTS D'INERTIE DES CANONS. 29 Comparaison entre quelques dimensions exprimées en calibres, des canons de 6 et de 12 en bronze courts et longs. LONGUEUR Porps n ce DESIGNATION canon MONEN 2\ ‘à D de l'âme où a re des FetonE d'inertie en du poids CANONS. du canon. calibres. | du boulet. Canon court de 6 en bronze de campagne. 16 143 12,369 Canon court de 12 en bronze de campagne. 15 143 30,481 Canon long de 6 en bronze de siége. 26 310 42,151 Canon long de 12 en bronze de siége. 24 292 102,701 Les pièces de campagne de 6 et de 12 sont des corps géométriques sensiblement semblables, et il en est de même pour les canons longs des mêmes calibres : si nous divisons les moments d'inertie des canons de campagne par ceux de siége de même calibre, nous obtenons des quotients à peu près égaux, savoir : moment d'inertie du canon de 6 court 12,369 moment d'inertie du canon de 6 long 42,151 moment d'inertie du canon de 12 court 50,481 moment d'inertie du canon de 6 long 102,701 Ces rapports étant égaux à quelques millièmes près, il faut en conclure que les résultats des expériences sont d’une exactitude satisfaisante. Le canon de 6 long a à peu près le même poids que celui de 12 court, et leurs moments d'inertie sont respectivement —=0,2954 —0,2968 42,151 pour le canon de 6 long, 50,481 id. 12 court. 30 COQUILHAT.— EXPÉRIENCES SUR LA DÉTERMINATION PRATIQUE, ETC. Le moment d'inertie du canon de 6 long l'emporte d'environ © sur celui de 12 court. De deux bouches à feu de même poids et de calibres différents, tirant avec la même charge de poudre et lançant des projectiles de poids égaux, c’est celle de petit calibre qui aura le plus grand moment d'inertie et qui offrira le plus de stabilité dans le tir. Les canons en fonte ont généralement le même poids que ceux en bronze de même calibre, et des épaisseurs plus fortes, mais moins de longueur, afin de compenser l'infériorité de la tenacité de la fonte. Les canons en fonte ont donc une masse plus concentrée, et possèdent des moments d'inertie moins considérables que ceux de bronze du même calibre : aussi fatiguent-ils davantage leurs affüts et la vis de pointage. Les obusiers courts ont ces défauts à un degré plus marqué. IT. — Expériences sur la détermination pratique des moments d'inertie des affüts , PAR COQUILHAT, LIEUTENANT CULONEL D’ARTILLERIE , COMMANDANT DU MATÉRIEL DE LA PLACE D’ANVERS, OFFICIER DE L'ORDRE DE LÉOPOLD , DÉCORÉ DE LA CROIX COMMÉMORATIVE DE BELGIQUE, ET DE PLUSIEURS ORDRES MILITAIRES ET ÉTRANGERS. Ç 1. AFFUT PENDULE. } Il convenait de compléter nos expériences, concernant les moments d'inertie des canons, en les étendant aux affüts cor- respondants, afin de permettre l'application des formules qu'on déduit de la théorie des percussions produites dans le tir. Ayant opéré sur les canons en bronze de 6 et de 12 longs et courts, nous avons recherché les moments d'inertie des affüts de cam- pagne M 1855 de 6 et de 19, et ceux N.M. de siége des mêmes calibres. | Le pendule expérimenté, pour la recherche des moments d'inertie des canons, ne présentait pas des intervalles, assez grands entre les montants du plateau, pour permettre le passage de laffüt et sa fixation dans une position convenable. Mais il était facile de convertir l'affût lui-même en un pendule, en le suspendant la erosse en bas, par les extrémités de l'essieu sur deux appuis solides et de même niveau. 52 COQUIHAT. — EXPÉRIENCES SUR LA DÉTERMINATION PRATIQUE IL était essentiel d'éviter les frottements et le déplacement de l'axe de suspension. A cet effet on avait fixé, aux trous d'esse, deux petits couteaux en acier, dont les tranchants étaient sur une même ligne droite, parallèle à l'axe de l’essieu, et perpendi- culaire au plan de symétrie de l'affût. Ces tranchants étaient reçus chacun dans une gorge peu profonde, ou crapaudine , creusée dans une épaisse plaque de fer vissée à la partie supérieure des deux appuis. L'affüt, suspendu au moyen des couteaux sur les gorges des plaques, oscillait, librement et sans frottementsensible, autour d'un axe unique de rotation. Les couteaux étaient fixés aux trous d’esse, à l’aide d'une tige dont la branche recourbée s'y adaptait parfaitement. La tige débordait le trou d'esse, et était percée d'une fente, dans laquelle on chassait un coin ou elaveite de fer, pour serrer le cou- teau d'une manière invariable contre la fusée de l'essieu. La tige était courbée de telle manière que la lame du couteau devenait verticale, lorsque l'affût pendule était au repos. PLANCHE IT. AÀ. Affüt servant aux expériences, faisant fonction de pendule. B. Supports ou appuis de l'affût. E, Essieu de l'affüt. C. Plaques en fer forgé, fixées à la partie supérieure des supports, et présentant une gorge pour recevoir les tranchants des couteaux. d. Couteaux fixés aux trous d'esse. $ 2. LIGNES DE REPÈRE SUR LES SUPPORTS. Il importait que les traces du plan vertical, passant par l'axe de suspension de l'affût pendule, fussent marquées sur les côtés des supports, et que la position de l'axe lui-même fut reperée, à l'aide de droites parallèles et horizontales connues. DES MOMENTS D'INERTIE DES AFFUTS. J9 L'axe de suspension devait être horizontal, et les gorges des plaques de fer, dans lesquelles devaient s'engager les couteaux fixés à l'essieu, devaient être dans le prolongement l’une de l'autre. On s'assurait que l'axe du pendule était horizontal, au moyen d'un niveau, appliqué sur un fil tendu, ou sur une règle que l'on faisait appuyer par une de ses arrètes sur le fond des gorges ou coussinets de pendule. On relevait au besoin les supports, au moyen de calles en bois chassées au dessous. On vérifiait si les gorges étaient bien dans le prolongement l’une de l'autre, et on les y ame- nait en dérangeant les supports suivant le besoin. On jalonnait l'axe avec des tasseaux, placés au dessus des sup- ports, et fixés par des pointes de Paris; et on marquait l'axe du pendule, sur les faces des tasseaux en contact avec le fil tendu sur les gorges des couteaux. On laissait ensuite pendre deux fils à plomb sur les prolonge- ments de l'axe et contre les supports. Les points de contact ser- vaient, concurremment avec la ligne de l'axe et à l'aide d'une règle et d'un style, à marquer, sur les côtés des supports, les traces du plan vertical passant par l'axe de suspension du pendule. On menait sur les côtés des supports des droites horizontales dont on annotait les distances à l'axe du pendule. Enfin à l’aide d'une règle, appliquée verticalement contre les côtés des supports, on traçait des droites dont on mesurait les distances aux traces du plan vertical passant par l'axe de suspension. On avait ainsi un système de droites horizontales et verticales, dont les distances à l'axe de suspension étaient connues, et qui, dans le cours des expériences, devaient servir à reconnaitre les positions relatives de l'axe de suspension ct d'un point quelconque de l'affüt. Lignes de repère tracées sur l’affut pendule. On avait intérêt de marquer sur l'affût au repos les mêmes lignes que sur les supports. À cet effeton suspendait l’affüt sur les sup- ports, en faisant entrer les tranchants des couteaux dans les gorges des plaques de fer ou coussinets, et on le maintenait au repos. TOME XIX. 2° PARTIE. 5 94 COQUILHAT. — EXPÉRIENCES SUR LA DÉTERMINATION PRATIQUE On traçait, sur la flèche et sur les flasques de l'affût, un système de droites horizontales et verticales, dont on trouvait les distances à l'axe de suspension en rapportant leurs positions aux droites parallèles horizontales et verticales, marquées sur les supports et dont les distances à l'axe étaient connues. Il était facile ensuite de diriger une droite sur chaque flasque, in- diquant la trace du plan vertical passant par l'axe de suspension de l'affût pendule au repos. Le centre de gravité de l'affût se trouvait dans le plan de ces traces. Le système de lignes rectangulaires menées sur la flèche et sur les flasques, servait à reconnaître les distances d’un point quel- conque de l'affût à son axe de suspension et au plan passant par cet axe et par son centre de gravité. $ 3. DÉTERMINATION DU NOMBRE DES OSCILLATIONS DE L'AFFUT PENDULE DANS L'UNITÉ DU TEMPS, L'affüt pendule étant suspendu par les couteaux fixés aux fusées de l'essieu, on lui imprimait une petite secousse, et on comptait le nombre des oscillations qu'il faisait en 2 ou 5 mi- nutes. L'opération ayant été répétée plusieurs fois, on divisait le nombre total des oscillations par le temps employé à les faire, et le quotient donnait le nombre moyen des oscillations pendant une minute. Détermination de la position du centre de gravité de l’affût. Le centre de gravité de l’affüt se trouvait sur le plan vertical passant par l'axe de suspension de l'affût pendule au repos, plan dont on avait les traces sur les flasques par les procédés décrits, Il ne s'agissait plus que de trouver les points où la droite DES MOMENIS D'INERTIE DES AFFUTS. 5) passant par le centre de gravité et perpendiculaire au plan de symétrie de laffüt, venait couper ces traces, pour avoir la posi- tion exacte de ce centre lui-même. Pour l'obtenir, on employait un procédé analogue à celui décrit dans notre ouvrage sur la fabrication des canons pour trouver le centre de gravité des bouches à feu. A cet effet, on prenait, extérieurement aux deux flasques et sur les traces du plan passant par l'axe de suspension de l'affût pendule au repos, deux points également éloignés du corps d'essieu en bois ou de la tête des flasques et ces points formaient les centres de deux tourillons propres à suspendre l'affût pour la recherche de son centre de gravité. L'affüut était soulevé par ces tourillons avec le corps de l’essieu horizontal, à l'aide de moyens faciles à concevoir. On attachait avec un cordage des contrepoïds à la partie la plus légère jusqu’à ce que les traces du plan passant par l'axe de suspension de l'affût pendule au repos devinssent horizontales. Le moment de ces contrepoids pris relativement à la droite passant par les centres des tourillons, était égal au produit du poids de l'affût par la distance de son centre de gravité à la ligne des centres des tourillons. Le poids des contrepoids était connu ; on pouvait mesurer le bras de levier des contrepoids ou la distance de la verti- cale passant par leur point de suspension à la ligne des centres des tourillons; on savait le poids de l'affût par une pesée ; on possédait done tous les éléments pour déterminer à quelle distance de la ligne des centres des tourillons se trouvait le centre de gravité de l'affüt. Nommons A le poids de laffüt. Q le poids des contrepoids. L Ja distance de la ligne des centres des tourillons à la verticale passant par le point de suspension des contrepoids. X La distance cherchée du centre de gravité de l'affüt à la ligne des centres des tourillons. On a l'égalité : LQ = AX X = LQ PAS d'où 96 COQUILHAT. — EXPÉRIENCES SUR LA DÉTERMIMATION PRATIQUE En mesurant la longueur du bras de levier du contre- poids Q on tenait compte de la moitié de l'épaisseur du eordage. Le poids du cordage lui-même était négligé vu son peu d'impor- tance. L'équilibre de l'affût était rendu stable en plaçant les deux tourillons un peu au dessus du plan vertical passant par l'axe de suspension de l'affüt pendule au repos et à égales distances des traces de ce plan et du corps d’essieu en bois. On répèrait la position du centre de gravité sur les deux flasques, on la rapportait à d'autres points connus et on en déduisait la dis- tance de ce centre à l'axe de suspension de l'affût pendule. Hétermination du moment d'inertie de l’afüût pendule pris relativement à une droite passant par son centre de gravité et parallèle à l’axe de suspension. Soient : M la masse de l'affut. MK? le moment d'inertie de l'affût relativement à une droite passant par son centre de gravité et parallèle à l'axe de suspension : laquelle droite est par construction parallèle à l'axe de l'es- sieu et perpendiculaire au plan de symétrie de l'affût. D. la distance du centre de gravité de l'affüt à l'axe de suspension. L. la longueur du pendule simple synchrone avec l'affût pendule. P. le poids de laffüt. G. la gravité. N. le nombre d'oscillations de l'affut pendule pendant une minute. x — 0,994 la longueur du pendule simple à seconde sous la lati- tude d'Anvers. Le poids P de l'affüt est donné par une pesée : on en déduit M par l'équation M g D est connu par les procédés indiqués pour trouver la position du centre de gravité de l'affût relativement à son axe d'oseil- lation. DES MOMENTS D'INERTIE DES AFFUIS: 57 N est le résultat des observations faites en faisant osciller Faffut pendule. L est donné par la relation 3600 x Enfin on déduira MK? de l'équation M (K° + D°) — MLD. À #. RÉSULTATS DES EXPÉRIENCES. Le tableau suivant contient les résultats des expériences et ceux des caleuls relatifs aux moments d'inertie des affuts. Tableau indiquant les résultats des expériences pour la détermination pratique des moments d'inertie des affuts. es) + Lee TJ <= . 21 © Ç d Re D os |3 Sn |S7s RO = S DE = OS ES LRE S & d ‘7 DÉSIGNATION POIDS| &5 || °à lEes & ARE be S & CR Re. 5 cn + D A ere rs 1 D © DS & SES S À des des ÉMIS EE PERTE a à ‘3 À Q USE 5 A se 5 © + 8 8. © .S SE TS > n S Au 4 = œ © À Du 5 8 Ë © ENEURS e F4 AFFUTS. AFFUTS. _ ESS 2 à mé Sreles D « = © E à 2 a ra 5 0 S e = ga E à ain = en) SSSS = = ES Sri Affût de 6 de campagne M. 1853. 295k,5 | 0,3352 | 49 1,4904 11,6652 Affût de 12 de campagne M. 1853. 352,5 | 0,3642 | 44,5 | 1,8074 | 18,8886 Affût de 6 de siége N. M. Affût de 12 de siége N. M. 98 COQUILHAT. — EXPÉRIENCES SUR LA DÉTERMINATION PRATIQUE K D. DONNÉES NÉCESSAIRES A L'APPLICATION DES FORMULES DÉDUITES DE LA THÉORIE SUR LES PERCUSSIONS EXERCÉES SUR LES AFFUTS DANS LE TIR DES CANONS. On ne peut appliquer la théorie des percussions éprouvées par les affüts dans le tir des bouches à feu, qu'en connaissant les posiuons relatives des principales parties qui sont la vis de poin- tage, les axes des tourillons et de l’essieu, la ligne des points d’ap- pui des roues, le point de contact de la crosse avee le sol. Le tableau suivant contient les données nécessaires pour l'affüt de campagne et de siége de 6 et de 12, dans la supposition qu'il repose sur un plan horizontal. Toutefois, ces données, ayant été obtenues sur un seul objet de chaque espèce, sont des résultats individuels plus ou moins rapprochés des valeurs moyennes. DES MOMENTS D'INERTIE DES AFFUTS. 8 4 + EE NE ENT ® Er ee SLR = $ à Sn Et ROME 4 H CON NE SRE LESC SAT R à ao e 0 5 ,® © LS NME SE © «a A DO a N œ (ep) C2 [Ne] us (SAS © CO MH N © Qt [SA ne Qt O9 D D © © ne] © 20 STI KT C9 [Sa [SA Qt ne à x CA = En [de] (SNS — Eu 1 [Ne] LOTS © CA © [(o"e) D (==) OMS (=) 2 2 2 2 O0 En | [er] [BL [ne -] © rn Qt Le) > Qt e ne as = a CE Q9 D (+) I Qt ns © 08ç‘0 *JDJUOZIUOY UNd un Ans jupsodou 29 Sanou sa$ Ans ajuow u079 1nf]0 1 G&9'0 Gyg'0 080 1 DO Len [Re] = C9 Le] So D an £ £ £ = [æ] Q Q [æ] QO I Où Ke) C2 Le) D — £ £ £ £ =; © ni ni © | O0 =] [be] I [=] OT 2 £ = Le [SA Ai | [SA £ 2 Q2 Len | CO [en] D ee sie £ [se =] > C2 1 [°A — © =} 7 LAHAV I 9P NOILLVNOISAQ Poids de l'affût non compris les roues. Poids des deux roues réunies. Diamètre des roues, Hauteur de l'axe des tourillons au dessus du sol. Hauteur du centre de gravité au dessus du sol. Distance du centre de gravité au plan horizontal passant par l’axe des tourillons. Distance du centre de gravité au plan vertical passant par l’axe des tourillons. Distance du point d'appui de la crosse à la verticale passant par le centre de gravité. Largeur du cercle de roue. Distance du centre de gravité à la partie inférieure du flasque. Distance du centre de gravité au corps d’essieu en fer. Distance du centre de gravité au corps d’essieu en bois. Distance entre l'axe de la vis de pointage et l'axe des tourillons. 9949X9 SUOISSNI190 4 QUUOP S2] JUDUIJUOI RVA]QD I A1} 9] SUDP $9 drourad sa fo sop son 12 au 577 ‘ Ano0od Sa410$S99 S9] JUDUAIOUOD saynw410] sa] 4onbyddn I. — Expériences pour la détermination pratique des moments d'inertie des Roues, PAR COQUILHAT, LIEUTENANT COLONES, D'ARTILLERIE , COMMANDANT DU MATÉRIEL DE LA PLACE D'ANVERS, OFFICIER DE L'ORDRE DE LÉOPOLD , DÉCORÉ DE LA CROIX COMMÉMORATIVE DE BELGIQUE, ET DE PLUSIEURS ORDRES MILITAIRES ET ÉTRANGERS. $ f. APPAREIL D'EXPÉRIMENTATION. Les expériences, pour la détermination pratique des momenis d'inertie des roues, exigeaient un essieu dont les fusées per- mettent d'ôter et de remettre facilement les roues sans déranger le restant du système. Il suffisait done d'adapter un essieu, au pendule à plateau qui avait servi à la recherche des moments d'inertie des bouches à feu, pour obtenir un appareil très con- venable. Le corps de l'essieu a été placé, sur le plateau du pendule, hori- zontalement et parallèlement à l'axe de suspension et avec son centre de gravité dans un même plan passant par cet axe et par le centre de gravité du pendule. On était assuré que l'essieu se trouvait dans eette position, lors- que le plateau qui était primitivement horizontal restait encore de niveau après la pose de l'essieu. Le centre de gravité des roues coïncidant avec leur axe de figure, le plateau devait rester horizontal avec ou sans roues. Nous nommons pendule à essieu, ou appareil à essieu, celui DES MOMENTS D INERTIE DES ROUES. 41 formé du pendule et de l'essieu réunis. Le pendule à roues est celui qui résulte de l'adjonetion des deux roues au système. PLANCHE HI, PENDULE A ROUES. E.E. Axe de suspension au pendule à roues. EE’ Essieu adapté au plateau du pendule. R.R. Roues du modèle à expérimenter passées sur les fusées de l'essieu. On expérimentait sur deux roues à la fois, afin de rendre plus sensibles les résultats de leur adjonction au pendule. Il suffisait de diviser par deux les moments d'inertie, obtenus pour les deux roues, pour avoir celui d'un seul de ces objets. Le pendule sans l'essieu, était le même que celui qui avait servi pour la recherche des moments d'inertie des canons; à l'exception qu'au lieu de mettre des chantiers en fonte, sous le plateau, on y avait placé de vieux essieux en fer, afin qu'il fût plus léger, et que son poids devint plus comparable à celui des deux roues. Les essieux étaient fixés à demeure, à l’aide de calles en bois et de coins en fer, retenus par des clous. Les roues étaient serrées, contre le corps de l’essieu, de manière à ne pouvoir tourner, par des elavettes chassées dans les trous d'esse. La masse du système était répartie de manière que le plateau füt horizontal quand le pendule était au repos. Le poids de cet appareil sans l’essieu était de 566 kil. On avait marqué, sur les côtés du pendule au repos, les traces du plan vertical passant par l'axe de suspension et contenant son centre de gravité, et sur ces traces on avait mené plusieurs per- pendiculaires dont les distances à l'axe de suspension étaient connues. Ces lignes servaient de repère pour apprécier la distance d'un point quelconque du pendule à l'axe de rotation. Pour trouver, pratiquement, la position du centre de gravité de ce système, on avait vissé sur les côtés deux vis-à-bois suffisam- ment solides, à égales distances de l’axe de suspension, et sur les traces du plan vertical passant par cet axe quand le pendule était au repos. Ces vis servaient ensuite de tourillons, pour suspendre TOME XIX, 2° PARTIE. 6 42 COQUILHAT. — EXPÉRIENCES SUR LA DÉTERMINATION PRATIQUE l'appareil, que l'on chargeait de contrepoids à une extrémité, jusqu'à ce que les traces du plan dont nous venons de parler devinssent horizontales. Connaissant le poids de ces contrepoids et leur distance à l'axe des petits tourillons, il était facile d’en déduire la position du centre de gravité du pendule. Soient : Q lepoids du contrepoids. L la distance de son point d'attache au plan vertical passant par l'axe des tourillons. P le poids du pendule. æ la distance du centre de gravité du pendule au plan vertical passant par l'axe des petits tourillons, on a entre ces quan- tités la relation. Q1 Sera Les données de l'expérience ont été les suivantes : OO —75x = 0,615 P— 566 Il en est résulté : x = 0,081. L'axe des petits tourillons se trouvait à 1,265 de celui de sus- pension, il s'en suit que ce dernier était distant du centre de gra- vité du pendule de 1,265 — 0,081 — 1,184. La distance du plateau à l'axe de suspension était 1",534. $ 2. PENDULE A ESSIEU POUR EXPÉRIMENTER LES ROUES DE 6 DE CAMPAGNE ET DE SIÉGE. Le pendule reposant sur ses couteaux, on a placé sur le plateau un essieu de campagne n° 1, pesant 65 kilogrammes et dirigé paral- lèlement à l'axe de suspension. DES MOMENTS D'INERTIE DES ROUES. 43 Le centre de gravité de l’essieu était, avec celui du pendule sans essieu, dans un même plan passant par l'axe de suspension. Par cette disposition le plateau était horizontal, lorsque le pendule à essieu était au repos. L'essieu a été fixé à demeure par les moyens indiqués, après qu'on s'était assuré qu'il était conve- nablement placé. Pour trouver la distance du centre de gravité du pendule à essieu à l'axe de suspension, on s'est servi de la formule : __PI+HET _ P+HE Dans laquelle on représente par : L la distance du centre de gravité du pendule sans essieu à l'axe de suspension. |’ la distance du centre de gravité de l'essieu déposé sur le plateau à l'axe de suspension du pendule. P le poids du pendule, non compris celui de l'essieu. E le poids de l'essieu. x la distance à l'axe de suspension du centre de gravité du système, formé du pendule et de l'essieu réunis, autrement dit pendule à essieu. Le corps de l'essieu ayant une épaisseur moyenne de 0",073, on peut, sans erreur sensible, supposer son centre de gravité placé au milieu de cette épaisseur ou à 0,0565 du plan du plateau. Mais ce dernier étant à une distance ! = 1,184, de l'axe de suspension, le centre de gravité de l'essieu était éloigné de l'axe de suspension d'une quantité égale à 1,184 — 0,0565—1,4975. Ce qui donne D 104970) Substituant les données numériques dans la formule précédente: on obtient : __ 566 X 1,184 + 65 X 1,4975 HAPO EX les R so, à 566 65 2165 Ainsi le poids du pendule chargé de l'essieu de campagne était de 566 + 65 = 651 kil. et son centre de gravité était à une dis- tance de 1*,2163 de l'axe de suspension. En faisant osciller le pendule à essieu on a trouvé qu'il faisait 4G oscillations par minute. 4% COQUILHAT. — EXPÉRIENCES SUR LA DÉTERMINATION PRATIQUE La longueur du pendule simple synchrone a été caleulée au moyen de la formule : 3600 x L — ———— N° dans laquelle on représente par : æ —0,99% la longueur du pendule simple à secondes sous la latitude d'Anvers, lieu de l'expérience. N le nombre des oscillations dans une minute — 46. L la longueur du pendule simple synchrone avee le pendule expé- rimenté. En appliquant les valeurs numériques à cette formule, on a (rouvé : Le 691 Expériences avec le pendule à essieu de campagne n° 1, pour rechercher les moments d'inertie des roues de G de campagne et de siège. Les modèles des roues de campagne et de siège sont au nombre de #, savoir : 1° La roue de 6 de campagne 2° La roue de 12 de campagne }dontles essieux ont les mêmes fusées. 9° La roue de 6 de siége 4° La roue de siége de 12, 18 et 24. Les trois premières espèces de roues pouvant s'emboiter sur un même essieu, la recherche de leurs moments d'inertie a eu lieu avec un pendule à essieu de campagne n° 1. La roue de campagne de 12 ne diffère de celle de campagne de 6, que par l'épaisseur du cerele de fer qui est de 0,005 plus forte: il suffisait donc, pour obtenir son moment d'inertie, d'ajouter, au moment d'inertie de la roue de campagne de 6, celui d'une bande circulaire de fer, ayant le diamètre de la roue et la largeur de la jante et 5 millimètres d'épaisseur; ce moment est facile à calculer. LO DES MOMENTS D'INERTIE DES ROUES. 45 On a placé sur le pendule à essieu de campagne n° 1, préparé comme nous venons de le dire, successivement deux roues de 6 de campagne et 2 roues de 6 de siége, et le plateau a continué à être horizontal après leur pose. Les roues ont été serrées fortement chaque fois contre le corps d’essieu, de manière à ne pouvoir tourner, puis on a mis le pendule en mouvement. On a compté le nombre des oscillations qu'il faisait par minute eton a pris une moyenne sur plusieurs essais. Les résultats des expériences sont indiqués au tableau suivant, Le moment d'inertie des deux roues réunies a été calculé au moyen de la formule (24) du mémoire concernant les moments d'inertie des canons : Ra = L'(PD +R d) — PLD — Rd (24) dans laquelle les lettres ont les significations suivantes : R le poids des deux roues réunies. g la gravité terrestre. de le moment d'inertie des deux roues montées sur un même essieu relativement à leur axe de rotation. L la longueur du pendule simple synchrone avec le pendule chargé de l'essieu seulement. L’ la longueur du pendule simple synchrone avec le pendule chargé des deux roues. P le poids du pendule chargé de l’essieu seulement. D la distance du centre de gravité du pendule, chargé de l’essieu seulement, à l'axe de suspension. d la distance du centre des roues à l'axe de suspension. Nommons : MK° le moment d'inertie d’une seule roue relativement à un axe de figure. Le moment d'inertie des deux roues réunies sera 2 MK* et l'on aura l'égalité 29 MK° = R 2. On en déduit pour le moment d'inertie d’une seule roue relative- ment à son axe de rotation R x° R x° MK*° — ?) 46 COoQUILHAT. — EXPÉRIENCES SUR LA DÉTERMINATION PRATIQUE La formule (24) a subi une réduction, parce que, dans l'exé- cution des expériences, on n'a pu remarquer aucune différence entre les nombres des oscillations par minute du pendule à essieu et de celui à roues. Il en est résulté que les nombres représentés par Let L’ étaient les mêmes. Remplaçant L’ par L dans l'équation (24) elle devient Ra =Rd(L— dj: d'où x = Ld— À Cette formule est plus favorable au calcul, parce que le facteur d et le produit d° ne changent pas pour toutes les expériences faites avec un même essieu : il n'y a donc que la quantité L qui soit variable. DES MOMENTS DINERTIE DES ROUES. 2 de es ÿ œ 2 = = e T el œ = 5 2 = Be LE OP a. Eù 5 Æ Q 200 0.0e CE SNA TTSS SOS NNICS S TS O9 [Ne] © © I = [SAM Qt DE Lu ai Qt æR D Qt © ART PSE EP I [er] O2 O9 ni en I ni mi D [Re] mi en SD [er] ©9 O9 ORDER ei bi Lu a Ke) © I I [Sa Qt 2 2 2 ni ni Qt © en ee =] =] [SA LA LE SE I IEEE RE La Lu (en) [ep] Lun Lu [en] [°A] EEE ee ee [en] [°A] © © ni Hi mm Li Lans le © CA Ve] Ve] Hi Li mi ni SR e SA © Ne] GO [SA we] [SA [SA [SA Qt © LS Eu ER] D ee [SA © + Fo RE 5 5 © © 5 à ES 5 SASE BSSBoCE Sex D © ET 5 0 @ mont, S ©@ © mt 5 LGE © Sn ® © Do © À D 5e A+ 0 © # © 1 © #4 (=) E ' SNA = be (@) A Poids de deux roues, valeur de R. Diamètre des roues. Poids du pendule non chargé, valeur de P. Distance du centre de gravité du pendule non chargé à l'axe de suspension, valeur de D. Distance du centre des roues, char- gées sur le pendule, à l'axe de suspension, valeur de d. Poids moyen d'une roue. p 72 oubodiumo 2P 9 9P SONOU S9p OUAOUL,P SIUIMOW 59) 49N9/09 ANOË aout XI j 40 SuuNO] STUIWIA S97 SNO? JUDUITUOD NVIIQUI, ; er À Non chargé. FES Le DE 2 A O SAS BE SES Bis Chargé des deux roues.| = 55® CR | nm CL= Non chargé, se valeur de L. ee Ses 5 nm < BoCcoS s eh LE Chargé des deux roues,| ES 7 , ? o È E e valeur de L”. ‘ SRE Moment d'inertie des deux roues relativement à leur axe de rotation, La ms valeur de Moment d'inertie d'une roue rela- tivement à son axe de rotation, R 2 valeur de MK° — L 29 ‘SNOILVAUAXSIO *a0a1s 9 °6 48 COQUILHAT. — EXPÉRIENCES SUR LA DÉTERMINATION PRATIQUE S 9. PENDULE A ESSIEU DE SIÉGE DE 12, 18 ET 24 POUR LA RECHERCHE DES MOMENTS D'INERTIE DES ROUES DE SIÉGE DE 12, 18 ET 24. L'essieu de campagne n° 1, ayant été enlevé du plateau, on l'a remplacé par un essieu de siége de 12, 18 et 24, pesant 96 kil. et disposé de la même manière que le premier. On s'est assuré que le plateau du pendule au repos était resté horizontal après le placement de l'essieu. Le poids du pendule à essieu de siége de 12, 18 et 24 était 566 + 96 — 662 kilogrammes. En tenant compte, des diverses épaisseurs du corps de l’essieu, on a trouvé que son centre de gravité était à une distance de 1,494 de l'axe de suspension. Le centre de gravité du pendule chargé, de l'essieu de siége de 12, 18 et 24, éiait distant de l'axe de suspension d'une quantité marquée par la formule 266 X 1,184 EL 96 X 1,494 = = 1,299. ‘ 566 — 96 . Le pendule, ayant été mis en mouvement, a fourni un nombre moyen de 46 oscillations par minute : le même nombre qu'avec l'essieu de campagne n° 1. On aurait sans doute trouvé une différence appréciable dans les deux nombres, si on avait eu des appareils de suspension perfec- tionnés, et si l'essieu avait été à une plus grande distance de Faxe de suspension. Les deux roues de siége de 12, 18 et 24 ont été passées succes- sivement sur les fusées de l’essieu, et serrées chaque fois contre le corps d'essieu de manière à ne pouvoir tourner. La forme conique des fusées, et l'inclinaison de leurs axes, ont été causes que le centre de gravité des roues était un peu plus haut que celui de l'essieu, tout en restant sensiblement dans le même plan passant par l'axe de suspension et par le centre de gra- vité du pendule. DES MOMENTS D'INERTIE DES CANONS. 49 La distance de la ligne du centre des roues à l'axe dé suspension, ayant été mesurée exactement, a élé trouvée égale à 1,488. Le tableau suivant contenant les résultats des expériences et les éléments du calcul des moments d'inertie des roues de siége de 12, 18 et 2#, en employant les mêmes formules que pour les roues de 6 de campagne et de siège. 50 COQUILHAT. — EXPÉRIENCES SUR LA DÉTERMINATION , ETC. roues OBSERVATIONS. “uorsuodsns uler le moment d'inertie des | D © > EUR * IT 9p inofeA ‘sono = BEST XN9P S9p 92810U,) S D 2 AT © n20 = &'s à 2 L = dos À TT 9p inofeA ONE Ssss ‘29189 UO d D at 9.0.8 N & à RES d D A S À Æ ae c = S Ÿ S Son OI S À 2H xn9p sop 9818 Ur 2 ES P S9P 95160) © er an'a [= Ni UE w ASE ‘281802 UON S À XT 4 (re) = ——— So ‘p 9p AnoyeA ‘uorsuodsns Q op 9XC.] € opnpuod 97 ans 5998 — -IUU9 SONOI S9P 217099 NP 29UCISI(T à a S “(I °p inoyeA ‘uorsuodsns op 9XU,] E 99189 UOU opnpuod NP 9JIAUIS 9P 91JU99 NP 99UCISI(T ‘4 °P IMoTA Tableau contenant tous les éléments fournis par l’exp 2 DESIGNATION des ROUES. ‘UOIJUJOI 9p 9XE UOS R JUOULIATFUTOI an0I 9UN,p 2THOULP JUSUO op OXU An U JUOULIATFUIOI son0i XN9P S9P AIHIOULP JUAUOT ‘98189 uou epnpuod np Spio4 *Son0I SOP 91J9UPI(T ‘on01 aUn,P SPI04 "A 9P IN9TUA “SNOI XN9P S9P SPIOX = © SE = Sal= — Ÿ S © È A D Dr =) ekE Re ST S © =) US Life) OS = c le nombre des oscilla- | tions du pendule chargé ou non. ! 5,66 + - 662 : : 46 46 ; | | | ., Roue de siége de 12, 18 et 24 moyen en fonte. IV.— Mémoire relatif à différents sujets de Mathématiques élémentaires , PAT J.-N. NOËL, PROFESSEUR ÉMÉRITE DE L UNIVERSITÉ. Ce Mémoire a pour but de démontrer, avec plus de clarté et de simplicité, certains principes élémentaires de quelques théories reproduites ci-dessous, résumant en partie les deux Mémoires: Méthode infinitésimale en géométrie et Notes sur l'analyse infinitésimale. — Liége, H. Dessin, 1859 et 1861. Éléments du calcul infinitésimal. 1. — Le but du calcul infinitésimal est de trouver des nombres finis à l'aide de nombres auxiliaires infiniment grands et infiniment petits. 2. — Tout nombre est fini, si grand ou si petit quil soit, lorsqu'on peut l'écrire avec un nombre limité de chiffres, ou bien lorsque ne pouvant être écrit en chiffres , il est compris entre deux nombres finis donnés. 3. — Les nombres infinis existent nécessairement. On démontre, en effet, que si la racine r ième d'un nombre entier donné n'est pas elle-même un nombre entier , elle est une fraction irréductible n sur d, finie comme étant comprise entre deux nombres entiers immédiatement consécutifs; mais dont les deux termes Lù 59 J.-N. NOEL. — ÉLÉMENTS DU CALCUL netd ont un nombre limité de chiffres chacun et sont deux nombres infinis inégaux , n'ayant chacun qu'une seule valeur toujours inconnue; bien qu'on puisse en calculer les six ou sept premiers chiffres. De plus, les deux termes x et d de la fraction racine r ième ont évidemment chacun une valeur infinie différente pour tout autre nombre entier donné qui nest pas une puissance r ième parfaite. Et comme cela est vrai pour les racines carrée, cubique, quatrième, etc., on voit que non-seulement él existe une in/finité de nombres entiers infinis inégaux; mais de plus ë! existe une infinité de fractions à termes injinis, ceux-ci n'ayant point de commun diviseur. De sorte que chaque fraction, racine r ième, a une valeur finie, toujours inconnue et indéterminable, mais qu'on peut néanmoins calculer souvent avec une approximation suflisante. 4. — On peut toujours concevoir divisée en un nombre infint # de parties égales l'unité queleonque : mètre, litre, kilogramme, jour et degré d'angle ou d'arc circulaire. Or chaque unité renfermant le nombre infini » de parties égales, il est clair que 2,5, 4... unités en contiendront 2n, 5n, 4n, ete. D'où l'on voit qu'un nombre infini peut être un multiple donné et par suite une fraction connue d'un autre nombre infini. En général , on voit que le produit d’un nombre infini par un nombre quelconque fini est lui-même un nombre infini. Donc le quotient, le rapport, de deux nombres infinis est toujours un nombre fini, mais inconnu et inexprimable comme ses deux termes. D. — Soit & un arc circulaire tracé et par conséquent fini. Supposons-le divisé en un nombre infini n de parties égales à x; je dis que chaque partie x est infiniment petite, c'est-à-dire moindre que tout arc donné ou simplement imaginé, si petit que soit ce dernier. Car le diviseur # étant infini , il est plus grand toujours que le diviseur fini d, si grand que soit celui-ci; le quotient x de & par n sera donc toujours moindre que le quotient de a par d, si petit que soit ce dernier quotient. Donc x est infiniment petit. 6. — De même, le quotient de l'unité quelconque divisée par le nombre infini x» est infiniment petit, aussi bien que le quotient x pr INFINITÉSIMAL. D du nombre fini a par le nombre n infini. Ayant doncx=a:n, il vient nxæ== «. Ainsi le produit de deux facteurs, l’un infini ei l'autre infiniment petit, est toujours un nombre fini. On a aussi a:xæ—n. Donc le quotient d’un nombre fini par un nombre infiniment petit est un nombre infiniment grand. 7. — Le quotient de l'unité divisée par le nombre infini » est le nombre x infiniment petit (n° 5 },d'où x — 1 sur n. Multipliant de part et d'autre par le nombre fini « quelconque, il vient ax — a:n. Le produit du nombre infiniment petit x par le nombre fini à quelconque est donc infiniment petit lui-même (n° 6). De Rà résulte que le rapport ou le quotient de deux nombres infiniment pelits est toujours un nombre fini, mais inconnu et inexprimable comme ses deux termes. 8. — Maintenant , si chaque unité est divisée en un nombre infini » de parties égales infiniment petites , il y a une infinité de fractions , à termes infinis , comprises entre 2 et5 , par exemple. Toutes ont le même dénominateur n infini, tandis que leurs numérateurs infinis sont: 2n+1, 2n+2, An +5, 5n—1. Or, beaucoup de ces fractions se simplifient et prennent des valeurs finies exprimables , parce que les deux termes ont un facteur infini commun. Par exemple , l'une de ces fractions se réduit à TE il faut donc que ses deux termes aient un facteur infini commun , contenu 29 fois et 12 fois au numérateur et au déno- minateur. 9. — Il existe une infinité de nombres infiniment petits différents, aussi bien qu'une infinité de nombres infinis (n° 5). Ces deux genres de nombres, trrationnels où inexprimables en chiffres, sont dits infinis et infiniment petits du premier ordre. Et puisque ce sont des nombres inconnus, désignés chacun par une lettre , on peut toujours les soumettre à toutes les opérations du caleul littéral. Or, les produits de 2, 3, 4,... nombres infinis ou infiniment petits sont dits infinis ou infiniment petits du second ordre, du troisième, du quatrième, etc. 10. — On sait que la racine r ième de chaque nombre m entier donné, qui n’est pas une puissance r ième parfaite, est une fraction irréductible finie » sur d dont les deux termes sont deux nombres entiers infinis inégaux. Et comme chaque fois on a m—n"sur d', il en résulte : (SA >= J.-N. NoëL. — ÉLÉMENTS DU CALCUL 1 Î n'=d xXmMm et — X mn. On voit que deux infinis ou infiniment petits du r ième ordre peuvent être l’un de l'autre un multiple donné et par suite une fraction connue. Cela étant vrai pour r —9, 5, 4, etc. , on en conclut que non- seulement il existe une infinité d’infinis ou d’infiniment petits du second ordre, du troisième, du quatrième, etc.; mais de plus, le rapport de deux infinis ou de deux infiniment petits du même ordre est toujours un nombre fini inconnu et indéterminable comme ses deux termes. 11. — Il est évident que la somme de plusieurs nombres infinis ou infiniment petits est un nombre infini ou infiniment petit elle- même. Mais s’il y a une infinité de nombres infinis ou infiniment petits, la somme est un nombre infini du second ordre ou un nombre ini inconnu. 1° Soit n le nombre infini de termes inégaux et infinis de la somme S ; soit #’ le plus petit et” le plus grand de tous ces termes infinis. Il est clair que S> nn et S< nn’; d'où l'on voit que la somme S est comprise entre les deux infinis du second ordre nn’ et nn". Donc elle est un nombre infini du second ordre elle-même. 2° Soit 5 la somme du nombre infini # de termes inégaux et infiniment petits; soit # le plus petit et p le plus grand de ces termes infiniment petits. On a donc S$'>mnet S'6R et C<8R; d'où r>3etr<4. Ainsi rest un nombre inexprimable fini, compris entre 5 et 4; mais plus près de 5 que de 4, vu que 6R a 6 points communs avee €, tandis que 8R n'en a 8 58 J.-N. Norge. — PROPRIÈTÉS INFINITÉSIMALES que #.Le nombre 7 sera toujoursineonnu ; mais on a différents pro- cédés élémentaires pour calculer des valeurs approchées du nombre 7. La plus usitée a sept décimales exactes, savoir : z—=53,1415926 ; d’où C—2R X7. Ainsi pour exprimer en mètres la longueur C de la circonférence, on mesure son rayon R avec le mètre, et l’on multiplie le double du nombre résultant par la valeur approchée de 7.— Si donc R—920 mètres, on aura C—1925",664millimètres . 21. — Maintenant , puisque légalité P—mP" est devenue C—m€, on voit que sil y a les erreurs x et my à supposer que les périmètres P et P” coïneident avec les circonférences C et €’, ces erreurs se compensent où se détruisent toujours ; car toujours on doit avoir æ— my—0. Et puisque cette condition est satis- faite par #=—0 et y—0o, on voit que: Les deux périmètres coïncident avec les deux circonférences, tandis que chaque arc infiniment petit coïncide avec sa corde. 29. — De là résulte nécessairement que, pour les rapports et le mesurage, on peut toujours, sans aucune erreur finale, considérer chaque cercle comme un polygone régulier d’une infinité de côtés infiniment petits et invisibles, dans lequel l’apothème et le rayon sont égaux entre eux. C'est ainsi que le cercle sera désormais considéré. 25. — Tous les cercles sont semblables et ont la même forme ; comme polygones réguliers d'un même nombre infini de côtés infiniment petits et invisibles. De sorte que l'un de ces cercles est exactement en petit ce que les autres sont en grand , et les repré- sente, tant pour l'étude que pour les opérations graphiques et numériques. 2%. — Les circonférences sont des courbes semblables ; car ce sont deux lignes brisées régulières, ayant le même nombre infini de côtés homologues proportionnels comprenant des angles homologues égaux. Les deux courbes dessinent des formes identiques ; vu que l'une est exactement en petit ce que l'autre est en grand. 25. — Soient R et KR’ les rayons des ares A et À’, ceux-ci mesurant des angles égaux aux centres. Concevons les deux ares A et A’ divisés en un même nombre infini x d'ares partiels égaux infiniment petits, se confondant avec leurs cordes égales (n° 21 ). Ces cordes sont les bases des deux systèmes de triangles isocèles égaux , infiniment petits et invisibles , qui composent les deux secteurs cireulaires $S et S’. D'ailleurs, ces deux secteurs sont DU CERCLE. 59 semblables; car ils sont composés de triangles isocèles semblables chacun à chacun et semblablement disposés. D'où il suit que les deux arcs À et A’ sont semblables ; comme étant deux lignes brisées régulières ayant les angles homologues égaux et les côtés homologues proportionnels , et l'on a A: A'=R:R'. — fci encore les contours des deux secteurs dessinent des formes identiques. 26. — Soit À l'aire du cercle dont & est la circonférence et K le rayon ; soit B l'aire et P le périmètre du polygone régulier circons- crit d’un nombre infini x de côtés égaux, infiniment petits et invisibles : KR est donc l’apothème de ce polygone, et l'on a 1 Bb—-—PR- 2 Le périmètre P a une infinité de points communs avec la circonférence ©. Si done P ne coïncide pas avec O, ni B avec A, les différences y et x seront fort petites, d'où l'on aura P=—C+Y7y A et B—A-Lx. Par ces valeurs l'égalité B — : PR devient A + x— Le RU Ry ou A CRO Re 2 2 2 2 Cette égalité est vraie quel que soit le nombre infini n de côtés du polygone régulier circonserit. Or x devenant de deux en deux fois plus grand, P a de deux en deux fois plus de points communs avec C; il approche done de plus en plus de coïneider avee €, ainsi que B avec À , et les différences y et x diminuent de plus en plus. se 1 Les quantités À et CI CR restent donc constantes pendant que 1 ot les variables y, x et la différence “ar Ry—x diminuent de plus en plus ensemble. Et puisque l'égalité proposée ne cesse pas d'exister, il faut que, d'après le principe des deux variables finales (n° 18), on ait il 1 my 0 , ei par suite A C R. Ainsi l'unité « rectiligne et l'unité superficielle s , carré fait sur u, étant sous-entendues comme conséquents des rapports numériques, on voit que : L’aire du cercle a pour mesure le demi-produit des mesures de la circonférence et du rayon de ce cercle. D'ailleurs , la mesure de Cest 27R; done À =7 R?. L’aire du 60 J -N, NOEL. — PROPRIÉTÉS INFINITÉSIMALES cercle & donc pour mesure le produit du rapport z par le carré numérique du rayon R. Faisant reparaitre les unités s et w sous- entendues, la véritable expression de l'aire A est A=sxXz(R:u). Si done R—10 mètres, on aura A—514,16 mètres carrés, à moins d'un demi-décimèêtre carré en plus. 27. — Observons encore ici que l'égalité B— PR est devenue A+ CR, avec la condition Ry—r0. Cette condition fait voir que s'il y a des erreurs à supposer que le périmètre P coïncide avec la cireonférence €, et l’aire B avec l'aire A, ces deux erreurs se compensent ou se détruisent toujours. D'ailleurs, la condition ci- dessus est satisfaite par y—0 etx—0o ; ce qui fait coïneider le périmètre circonscrit avee la circonférenee, et le polygone régulier avec le cercle. Cela conduit de nouveau à la proposition très- importante que le cercle n’est réellement qu’un polygone régulier, etc. (n°22); proposition qui donne immédiatement lexpression de Paire du cercle. Mais puisque le périmètre P du polygone régulier circonserit , d'une infinité de côtés infiniment petits invisibles, coïncide avec la circonférence C, il en résulte qu'on peut toujours,sans aucune erreur finale, admettre que: chaque arc infiniment petit coïncide avec le côté tangent à son milieu, ainsi qu'avec sa corde (n° 21 ). 28. — Le rayon mené au point de contact, milieu commun au côté, à l'are et à sa corde, lesquels coïneïdent, leur est perpendicu- laire. Ainai, 4° Tout arc infiniment petit est perpendiculaire au rayon mené à l’une de ses extrémités ; 2° La demi-corde et le demi- côté, c’est-à-dire le sinus et la tangente du demi-arc x infiniment petit, coïncident avec cet arc, de rayon R donné. Il n’y a donc aucune erreur finale à poser, en trigonométrie : sinus x =x, langente x —=x et cosinus x—R. 99. — Soit S l'aire de tout secteur circulaire, À la mesure de son are et R celle de son rayon. L'arc A est une ligne brisée régulière, ayant une infinité de côtés infiniment petits, ces côtés sont les bases du même nombre infini de triangles isocèles égaux, infiniment petits et invisibles, dont R est la hauteur de chacun. Or chaque triangle ayant pour mesure le demi-produit de sa base par R, on voit que SAR. DU CERCLE: 61 Soit w le nombre de degrés de l'are A : il est clair qu'on à 180 : v—7 R: A; d'où A—7R (v:180). Si done le nombre v est connu , aussi bien que le nombre KR , il sera facile de caleuler la longueur de l'arc A en unités rectilignes, en mètres. Substituant dans l'expression de $ et faisant reparaître les unités s et « sous entendues, il vient, pour calculer l'aire S du secteur circulaire : S=sXr(R:4) (0: 1600): Remarques. — La méthode des deux variables finales donne à [a fois l'induction et la démonstration directe, rigoureusement exacte. Voilà pourquoi nous l'employons, de préférence à la définition descriptive de la courbe, pour établir les propriétés infinitésimales du cercle. Ces propriétés sont nécessaires pour simplifier le plus possible, pour élucider et généraliser la théorie du mesurage dans le cercle et les corps ronds. Mais s'il fallait seulement établir la constance du rapport 7, on dirait : il est évident que la circonférence C se décrit et se détermine avec son rayon R absolument comme la circonférence C avec son rayon R’, c’est-à-dire que C est exprimée en R absolument comme €’ en R’. Si done €’== MR’, on aura aussi nécessairement C= mR ; d'où il vient CRE C- 2h. Dans cette démonstration les infiniment petits sont déguises et non évilés. Enfin, le calcul de la valeur approchée en déeimales du rapport x fait voir que cette valeur approchée est la même pour deux circon- férences quelconques. Mesurage du volume de toute pyramide. 90. — Le mesurage de tout prisme conduit directement, par l'emploi de deux nombres auxiliaires variables et par des calculs algébriques fort élémentaires , au mesurage d'une pyramide quelconque. Mais il faut d'abord connaitre l’expression de la somme Sn° des carrés des n premiers nombres entiers. 1 Or, sin (nt 1) (2n—1) exprime la somme des n premiers termes d'une série et qu'on en retranche la somme desn— 1 62 J.-N. NoëL.—mesurace pu voLuME premiers, 1l reste nécessairement le x ième terme. Donc puisque ce reste est icir?, on voit que Sn = n(n-E1)(2n +1); 1 1 1 1 d'où Sn —=— 75 + — pi np —— NS + Lan. 3 2 qu 6 5] < Soit # un nombre constant moindre que l'unité: il est clair que k 1 donne 2kn r, on aura toujours v << 560. Or, l'angle v du secteur est la somme du nombre infini # des angles plans égaux, infiniment petits et invisibles qui forment l'angle solide du sommet du cône proposé que l’on peut toujours, sans aucune erreur finale, considérer comme une pyramide droite du nombre infini # de faces planes latérales, égales et invisibles. Donc quel que soit le 68 J.-N. NOEL. — RADICAUX IMAGINAIRES nombre des angles plans, füt-il même injini, composant ün angle solide, leur somme est toujours plus petite que quatre angles droits. On peut faire a = 2r, 5r, 4r, Sr, 6r,7r,8r,etc. Esia=r, le sommet du cône tombe au centre de la base; la surface latérale devient alors le cerele dont r est le rayon et l’on a v — 560, comme cela doit être. Reuwarques. — La limite de longueurs devenant, par exemple, de deux en deux fois plus petites ne peut être le zéro absolu, absence de toute longueur ; car la limite et la variable sont nécessairement de même nature. Cette limite est done ici le zéro relatif, c'est-à- dire une longueur infiniment petite : elle est nulle relativement à toute longueur finie, qu'elle ne peut augmenter ni diminuer, puisque alors la somme ou la différence ne serait pas la longueur finie cherchée. D'un autre côté, la méthode des limites suppose que la limite constante jouit des propriétés générales de la variable limitée ; et il faut pour cela que la variable coïncide à l'infini avce sa limite (n° 21). Donc la méthode des limites n'est en réalité que la seconde méthode infinitésimale rendue moins claire et moins simple. Celle- et doit done toujours être préférée à la méthode des limites pour les théories du mesurage et la détermination exacte de nombres finis inconnus. Radicaux imaginaires du second degré. 97. — Ï1 n'existe aueun nombre, exprimable ou non, soit additif soit soustractif, dont le carré ait le signe — ; par conséquent {« racine carrce de tout nombre soustractif n'existe pas, est impossible. Ainsi f/” — # indique une émpossibilité absolue, appelée expression ou symbole imaginaire : e’est un radical imaginaire du second degré, dont la propriété caractéristique est que son carré repro- duise — % exactement. Son cube serait donc alors — 4 DE ; Sa puissance quatrième serait 16 ; ete. 98. — Les radicaux imaginaires du second degré se présentent inévitablement dans les éléments d'algèbre et y sont même très- utiles pour indiquer certaines impossibilités numériques. Or, par suite de la généralité complète attribuée volontairement aux for- mules, et pour conserver à celles-ci cette généralité si importante, DU SECOND DEGRÉ, 69 on est conduit nécessairement à soumettre à toutes les opérations du caleul littéral tous les symboles, imaginaires et autres. En effet, si l'on ne voulait soumettre au caleul que les radicaux réels du second degré, il faudrait toujours supposer a > b dans l'expression V/ & — b. Mais, à cause de lindétermination des nombres que & et breprésentent, il pourrait arriver, sans qu'on püt le prévoir, que l'hypothèse a > b fût absurde et qu'on eût au contraire «a << b ou a — b négatif. On calculerait done alors avec un radical imaginaire comme si c'était un radical réel. On admet donc ainsi forcément que : Le calcul des radicaux imaginaires du second degré est le même que celui des radicaux réels. C'est d'ail- leurs ce qu’on peut vérifier directement. 59. — Par exemple, sil faut multiplier V/a par V/— 16, on observera que — 16 étant le carré de sa racine carrée, doit avoir pour facteur le carré de l'unité de cette racine ; de sorte que V/— 16 est la même chose que V/— 1*X16. Et puisque le produit se trouve en opérant sur le multiplicande comme le multiplicateur en opérant sur l'unité, on voit que Léa VA 16 = 16 81/16. X Wa. Ainsi le produit est imaginaire en même temps que l’un quelconque de ses deux facteurs. 40.—Decequeal/—2—V/—2«*,onaÿ à x —2—aV/—2. Ainsi la racine carrée d’un produit indiqué se trouve en multipliant entre elles les racines carrées des facteurs de ce produit. Donc puisque — 7 —7 X —1e—9—9X —1,ona VEN tete 2 54/0 41. — De plus, —a— ax — 1 ei — b — b X — À : done PA VE An) vs (—1Ÿ = — (Dore Pen ER Le produit de deux radicaux imaginaires, quel que soit l'ordre des facteurs, est donc toujours un nombre réel, mais de signe contraire à celui qu'il aurait si les deux radicaux n'étaient pas imaginaires. 42. — On trouve aussi que le quotient de deux radicaux est imaginaire ou réel suivant que les deux termes de la division sont l'un imaginaire ou tous les deux : chaque fois le signe du quotient est déterminé par ceux du dividende et du diviseur. 70 J -N. NoEL.— RADICAUX IMAGINAIRES 45. — Comparons maintenant les symboles dans x° = — 9 et y? —— 6%. D'abord on sait que, dans le sens relatif de la soustraction et par extension d'idée, le reste algébrique —9 > —64; vu que moins on soustrait plus il reste. Mais parce que — 1 dé- signe l'unité soustractive, il est clair que — 9 et — 64 renferment 9 et 64 de ces unités; done au contraire — 9 < — 64. Ayant done x = 9(—1}et y —64(— 1), il vient x = 3 es ety = 8 V1. D'ailleurs, V— 1 désignant l’unité imaginaire, on a æ < y; car il est évident que : moins le nombre imaginaire contient d'unités de cette singulière espèce plus il est petit. Les expressions de x et de y sont en effet les nombres 5 et 8 d'unités imaginaires. 44. — Actuellement considérons les binômes dans lesquels le premier terme est un nombre rationnel et le second un nombre imaginaire, Or, en effectuant la multiplication et réduisant, on trouve CE NI CET en ETES Le binôme réel à termes positifs «* + b°, est donc ainsi décomposé en deux facteurs binômes dont les seconds termes sont des nombres imaginaires, égaux et de signes contraires. Si donc on le divise par l'un de ses facteurs, il faudra multiplier les deux termes du quotient indiqué par l’autre facteur pour avoir celui-ci. 45.— Le produit des deux binômes a + b Ver etc + d Vert est de la forme générale m» + n V/—1. Et pour que ce produit soit zéro, il faut que l'un de ses facteurs, le second par exemple soit nul ; ce qui exige qu'on ait à la fois c — o et d = 0. 46. — De mème le quotient du premier binôme ci-dessus divisé par le second se ramène toujours à la même forme générale, en multipliant par c — d V/— 1 les deux termes de la division ; ce qui ne change pas la valeur du quotient (n° 44). 47.— Effectuant la multiplication et réduisant, on trouve (a Æ V— 6) = a - b+E2aV—b. Donc pour savoir si un binôme imaginaire donné, telque 1-Lbp/ 8 , est un carré parfuit, il faut le comparer à la formule précédente. Or, ici 2 a—6, a —5, a —9 et 9 —8 — 1. Done le binôme pro- posé est le carré exact du binôme 3 +- V8: celui-ci est donc la racine carrée du premier. DU SECOND DEGRÉ. 71 On verra de même que le binôme 4— 4 5 est la racine carrée du binôme 11 — 8V— 5. 48. -- Pour le double binôme réel du second degré, on a (a EVE = + b +2aVb. La comparaison à cette formule fait voir que la racine carrée du binôme 24 + 8V/ 8 est V8. De même la racine carrée de 191 — 141772 est 7 — V 72. Tel est le procédé ie plus simple pour extraire, quand elle est possible, la racine carrée d'un binôme numérique contenant un radical réel du second degré. Si l'on a 148 — 663” 5et que l'on pose 2a — 66 ou a — 55, le nombre a sera trop grand, puisque son carré surpasse déjà 148. Mais le second terme du binôme proposé revient à 22 V/ 27; et alors la racine carrée de ce binôme est 11 — V/ 27. 49. — On a — 1 pour les cubes des deux binômes imaginaires ou ep NE ee Donc ces deux binômes et — 1 sont les racines cubiques de — 1. 50. Les racines imaginaires de degrés pairs peuvent toujours se ramener aux imaginaires du second degré. En général, la racine de degré 2n de — 1 a toujours 2x valeurs imaginaires du second degré, l'unité imaginaire étant V1. Cest ce qu'on vérifie pour les racines de — 1 dont les degrés sont 4, 6 et8, en résolvant les équations : x + 1 —o, àx$ L1—oetx + 1 — 0. Chacune de ses équations s'abaisse au second degré en divisant les deux membres respectivement par x°, x° et x*; en posant x 1 sur z— v ; en élevant les deux membres de cette équation auxi- liaire successivement au carré, au cube et à la puissance quatrième. Alors on peut calculer les valeurs de v dans chacune des équations résultantes; et ces valeurs étant substituées à v dans l'équation auxiliaire, il en résulte des équations du second degré en x pour chacune des équations proposées. Remarques. — L'unité imaginaire est utile en Trigonométrie pour établir la formule de Moivre; et l'on sait que cette formule sert à résoudre les équations binômes ramenées à la forme x" — 4 72 J.-N. NoEL.— CE QUE SIGNIFIE Vi Ex ou x" — — 1. On peut d'ailleurs calculer chacune des racines imaginaires du second degré, à l'aide des tables de logarithmes. On sait aussi que la construction des polygones réguliers, ordi- naîres et étoiles, se rattache au théorème de Moivre. Ce que signifie V/— À en Géométrie analytique. 2 01. — Considérons l'équation de l'ellipse rapportée à ses axes principaux 2 a et 2 b, sur les axes rectangulaires de symétrie des x ei des y, se coupant au centre de la courbe, savoir : y + ba = «° b°. On sait que 2a > 2%. Soit d un demi-diamètre quelconque et (x, y) Son extrémité sur l’ellipse. On a donc xd. Les x et les y ont mêmes valeurs respectives dans ces deux équa- tions. Eliminant successivement y° et x°, on trouve D Œ = a b°? — (a? — b°?) »°, ad = a? b? + (a? — b?) y. On voit que x = o donne a° pour le maximum de d°, et que par suite : De tous les diamètres 2d de l’ellipse le plus grand est l'axe 2a. On voit aussi que y — o donne b° pour le minimum de d&. Ainsi le second axe 2b est le plus petit de tous les diamètres 24 de l’ellipse. 52. — Actuellement, considérons l'équation de l’hyperbole rap- portée à ses axes principaux 2a et 2b, sur les axes rectangulaires de symétrie des x et des y, se coupant au centre de la courbe, savoir : a y — bd à? = — a? L*. Ce qu'il importe de remarquer d'abord, c'est que cette équation se trouve en changeant simplement 4? en — L° ou b en b V/— 1 dans l'équation de l'ellipse. Il y a donc, dans l’hyperbole, une impossibilité absolue indiquée par VE Tr Or, posant y — o pour avoir les abscisses des points où la courbe rencontre l'axe des x, on aura x — Æ a. De sorte que le pre- mier axe 2a est terminé à l'hyperbole en deux points qui en sont dits les sommets. GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE. 4e) Mais si l'on pose x — o pour avoir les ordonnées des points où Vhyperbole rencontre l'axe des y, on trouvera y? = —l? et y — + by/— 1, De sorte que le second axe serait exprimé par 9b V/— 1. Or limpossibilité indiquée par l'unité imaginaire, prouve uniquement ici que l'hyperbole ne rencontre pas son axe de symétrie des y, et que par suite les extrémités du second axe 2b sont deux points imaginaires de la courbe, lesquels en sont les sommets imaginaires. Ë Le premier axe 2a, rencontrant la courbe, prend aussi ie nom d'axe réel ou transverse ; tandis que le second axe 2b est l'axe non lransverse, comme ne rencontrant pas l'hyperbole : c'est l'axe à extrémités imaginaires ou Taxe imaginaire; bien que 2b, coeffi- cient de/— T, soit un nombre réel exprimable ou non. 53. — Soit d un demi-diamètre transverse quelconque et (x, y) son extrémité sur l'hyperbole. On a done ÿ° + à? — À. Eliminant x° entre cette équation et celle de la courbe, il vient bd — a? 6? + (a +b?) y. On voit que y — o donne a? pour le minimum de d; d’où il suit que : Le premier axe Za de l’hyperbole est le plus petit de tous ses diamètres transverses ou réels. De plus, soit d un demi-diamètre non transverse, de telle sorte que d soit le coefficient de l'unité imaginaire. Il s'agit de calculer le minimum de ce coefficient. Pour cela, puisque l'extrémité de d n'appartient pas à l'hyperbole et que pour ce point les coordonnées de la courbe sont imaginaires de la forme x V/— 1, y VA il en résulte que si l'on substitue ces valeurs, l'équation de l'hyperbole devient 2 y —b? x = a b*. Déià y? + x? — d°?; éliminent done #° entre ces deux équations simultanées, on trouve a d = a? b° —E (a? + 6?) x. On voit que x— o donne b° pour le minimum de d?. Ainsi le second axe 2b est le plus petit de tous les diamètres imaginaires ou non transverses de l’hyperbole. 10 74 J-N. NoëL. — CE QUE siGNiriE V/— À EN 54. — L'abscisse x étant la même dans l'équation de l'hyperbole et dans la double équation ay — + bx de deux droites passant par le centre, on à y ba =— a btet a y —bx =0; b? YHY Ïl est clair que l'abscisse + commune croissant indéfiniment, il en est de même des ordonnées y et y; done au contraire la diffé- rence y — y diminue sans cesse et devient infiniment petite, sans jamais devenir nulle, lorsque y’ et y deviennent infiniment grandes avee x, Donc l’hyperbole s'approche sans cesse des deux droites ay — + bx sans jamais pouvoir les rencontrer, pas même à l'in- fini. Ces deux droites sont donc à la fois les deux asymptotes de l’hyperbole et ses deux diamètres non transverses, éqaux el infinis : ils suivent immédiatement les deux diamètres transverses, infinis et égaux. 55: — La construction des asymptotes, d'après les équations ei- dessus, apprend que : Les axes sont bissecteurs des angles compris par les asymptotes; et de plus, que : Si l’hyperbole est équilatère, c’est-à-dire si ses deux axes sont égaux, les asympiotes sont perpen- diculaires entre elles et bissectrices des angles droits des deux axes. — Réciproquement, si les asymplates sont perpendiculaires entre elles, l’hyperbole est équilatère (démontrer). 56. — L'unité imaginaire est un symbole d'impossibilité absolue et n'a pas d'autre signification. Mais, dans les Annales de Gergonne et dans plusieurs ouvrages spéciaux, différents auteurs ont cru pou- voir établir que |/— 1 est un symbole de perpendicularité. Or, pour démontrer cette proposition, voici le procédé de M. Vallès, en 1841, un peu modifié, à peu près comme ci-dessous, par lau- teur des Véritables principes d’algèbre, en 1865 : « Dans le cercle dont O est le centre et a le rayon numérique, soient AOB et COD deux diamètres perpendiculaires entre eux, le premier étant horizontal. Si l’on a égard à l'opposition des direc- tions, on aura OB——+Laet OA = — a, OC—=<+ae OD—— «. D'ailleurs, puisque OB — OC — + a, il doit exister le moyen d’in- diquer que OB, dans son mouvement autour du centre O, est passé à la position perpendiculaire OC. Supposons que ce moyen con- d’où y — y = betty — y — GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE. 79 siste à multiplier E a par le facteur À, encore inconnu. On aura donc (+ a)i—00, (4). Et comme OC passe aussi à la position perpendiculaire OA ou — a, on a pareïllement OCX i— — a. (2) Multipliant membre à membre les égalités (4) et (2), il vient, réduction faite : oo AE Ainsi V/— 1 est le symbole de la perpendicularité ; c'est-à-dire que le rayon OB ou a, passant à la position perpendiculaire OC, y devient aV/— 1.» Or, cette conséquence est absurde. et voici pourquoi : Puisque OC — a, les égalités (1) et (2) donnent i = 1 eti — — 1. Le pro- duit— 1 de ces deux valeurs différentes n'est donc pas le carré de à, comme le suppose l'égalité = — 1 ; et il est absurde d’en con- clure que i = V— 1. Remarque. — Ce qui a pu tromper Îles différents auteurs, c'est que l'ellipse et l'hyperbole étant rapportées à leurs axes principaux 2a et 2b ; en changeant simplement 4? en—&? ou b enb V/— 1 dans l'équation de l'ellipse, on a ceile de l'hyperbole. Mais si les deux courbes sont rapportées à leurs diamètres conjugués 2a’ et 2’, on trouve aussi que b” ou b’ dans l’équation de l'ellipse devient — b”? ou &'V/— 1 dans celle de l'hyperbole. Or, ici 2% n'est pas per- pendieulaire à 24’ ; done V/— 1 n’est pas un symbole de perpen- dicularité. Calcul des axes principaux. 07. — Les tracés de l'ellipse, de l’hyperbole et de ses asymptotes, d'après leurs équations numériques, sont les plus simples possible lorsque les longueurs des axes principaux sont calculées. Or, pour ces calculs, il faut chercher le maximum ou le minimum d'un dia- mètre, lorsque chaque courbe est rapportée à deux diamètres, 76 J.-N. NofL.—CALCUL DES AXES PRINCIPAUX. rectangulaires ow non, et à son centre. Telle est la courbe repré- sentée par l'équation : Y° + 2ry + 2x — 4; l'angle compris par les parties positives des diamètres sur les axes des x et des y, étant de 69°. D'ailleurs, six = k et y — h satisfont à l’équation, elle est satisfaite aussi par x = — k et y = —h. L'origine est donc en effet au centre de la courbe ; laquelle est une ellipse, puisque la condition caractéristique B? — 4AC négatif est satisfaite, ce binôme devenant 4 — 8 ou — z. Cela posé, pour calculer les axes principaux 2a et 2b, soit d un demi-diamètre quelconque et soit (x, y) son extrémité sur la courbe. k 1 On aura done, à cause de cos 120° — — jet en posant d = v, = Y + ay Ed = v. Les x et les y ont les mêmes valeurs respectives dans cette équa- tion et la proposée. Eliminant donc les seconds membres, om trouvera (0 — 4) y + (Qu — 4) xy + (20 — 4) à = 0. Résolvant cette équation par rapport à y et désignant par «? la quantité variable, mais essentiellement positive, sous le radical, on aura (u— 4)y—=—(v—2)x E uxet (0 — 2) — (20 — 4) (0 — 4) = vw; d'où © — 80 — — 12 — , et v— 4 + (PAT R La plus grande valeur 2 de ce second radical répond évidem- ment à u == 0; et l’on voit que 4 + 2 ou 6 est le maximum de v, d'où a° — 6 ; tandis que le minimum de v est 4 — 2 ou 2; d'où b? — 9. Ainsi les deux axes principaux de l'ellipse proposée sont : Da O6 et 221402 J.-N. NoëL. — CALCUL DES AXES PRINCIPAUX. 77 De plus, le maximum et le minimum de v rendent nulle la quan- tité u° sous le premier radical, et donnent (o —#4)y= — (v —2) x. Substituant done successivement, dans cette équation, le maximun 6 etle minimum 2 de v, il vient les équations des axes 24 et 2 : y = —2rety—0;d'oùn—=—2ein = 0. 1 MAUR Me À cause de cos 60° — — 5 les directions n et n° (ou si l'on veut les coefficients angulaires n et n') satisfont à la condition de perpendicularité nn +1 + (n + n') = 0- Les axes principaux sont toujours perpendiculaires entre eux ; et ainsi leurs équations sont inutiles au tracé de l'ellipse proposée. Pour cela, on construit directement les deux axes, dont on connait les longueurs exactes ou approchées ; d'où l’on déduit les deux foyers et le tracé de la courbe, soit par points, soit par un mouve- ment continu. Enfin, soit E l'aire de l'ellipse proposée : on a ab —19, ub —91/353e E — 92713. 58. — Considérons encore la courbe représentée par l'équation rapportée à deux diamètres dont les parties positives comprenant un angle de 60°, savoir : 2° — Gary — 9x° — — 50, D'abord le binôme caractéristique B° — 4AC est positif iei et se réduit à 56 + 24 ou à 60 ; done la courbe proposée est une hyper- bole n'étant rencontrée que par l'axe des x. Il s’agit de calculer ses deux axes principaux 2a et 2b, le premier réel ou transverse et le second imaginaire ou non transverse. Pour cela, d étant un demi-diamètre quelconque et posant d’—v, on à cette seconde équation Y + ay + =. 78 J.-N. NOëL.—CALCUL DES AXES PRINCIPAUX. Les x et les y ayant mêmes valeurs respectives dans les deux équations, on peut en éliminer les seconds membres, et cela donne (vu + 50) y* — (Gu -- 50) xy —(5v — 30) x° — 0. De là on tire (20 + 50) y = (50 — 15)x + ux et (30 — 15} + (50 — 30) (20 + 50) — u°; d'où D — ko — 45 + et v=2 + V/(49 + de u°). I'est clair que u —0o donne V/ 49 ou 7 pour la plus petite valeur du radical de v, et l'on a v — 2 Æ 7. Or, 7 étant un mini- mum, il en est de même de la somme positive 2 +7 ou 9; et il en est aussi de même de la différence négative — (7 — 2) ou — 5. Donc a° — 9 et b* — — 5. Ainsi on a, pour calculer les axes prin- cipaux cherchés, 2a = 6 et 2b = 2 V5. Les longueurs des deux axes étant calculées exactes ou aussi approchées qu'on le veut, on peut les construire directement, ainsi que les deux foyers, les deux asymptotes et tracer une partie plus >u moins longue de chaque branche de l'hyperbole, soit par points, joit d'un mouvement continu. 99. — Maintenant, l'équation générale complète du second degré, à deux variables x et y, étant donnée numériquement; il est clair que pour passer du système d'axes proposé des coordonnées au sys- tème d’axes parallèles, afin de transporter l'origine au centre de la courbe, il faut changer y en y + hetx en x + k, puis disposer des valeurs de h et k pour faire disparaitre les premières puissances de x et de y dans la nouvelle équation. On aura alors, pour repré- senter la même courbe, l’équation dans laquelle deux diamètres sont sur les axes des x des y, savoir : Ay° + Bxy + Cx° = G. (5) Les nombres A, B, C, G sont donnés de signes quelconques, à l'exception de À, toujours positif. — (On connait les moyens d’a- bréger beaucoup les calculs du développement et du nombre G). L'équation (5) aux diamètres représente une ellipse ou une hy- perbole suivant que le binôme caractéristique B°? — 4AC est négatif J:-N. NOoEL.— CALCUL DES AXES PRINCIPAUX. 7 ou positif : s'il est nul, l'équation représente deux droites parallèles, une seule droite ou est impossible suivant que le nombre G est positif, nul ou négatif. 60. — L'’ellipse étant rapportée à deux diamètres comprenant l’angle quelconque mesuré par l'arc de 8 degrés, dont 1 est le rayon numérique, trouver les formules générales pour calculer les axes principaux 2a et 2 de la courbe. D'abord l'arc 5 étant moindre que 90°, désignons par c son cosinus et par s son sinus. Soit toujours d un demi-diamètre quelconque, (x, y) son extrémité sur l'ellipse (5) et soit posé v = d. Dans le triangle dont d, x et y sont les côtés numériques, l'angle opposé à d est le supplément de 5, et l'on a ÿ° + Lexy + x? = v. Eliminant les seconds membres entre cette équation et la pro- posée (5), puis résolvant l'équation résultante par rapport à y, en observant que la quantité sous le radieal est rendue nulle par le maximum a? et par le minimum b° de v, on aura (Bo — 2c G}° — 4 (Co — G) (Av —- G) — 0. Développant et observant que B? — 4AC est négatif, on trouve . 4G(A+C-— Bec) AG ane CPNCeURe 0 Et puisque les racines de cette équation sont a° et b*, maximum et minimum de v, on a les deux relations : FR C ONE) 4Gs: 2 SL Ec DT RL ARE EU ARR 7 Hs 0 ne a oeep 0 Par ces deux relations générales, il sera facile de calculer les axes principaux 2a et 2b de toute ellipse représentée par une équation numérique aux diamètres, G étant positif. En voici des exemples : Lré [. — Si o — 60°, d'où c — Let s° = si de plus, l'ellipse est représentée par l'équation + Dry + 9x — 4, 80 J.-N. NOEL. — CALCUL DES AXES PRINCIPAUX. 4l est clair qu'on aura successivement : a + =8 ei ab? = 19; &—=6,b—=2e@E- 273. I. — Mais si l’on avait y° — 2xy + 2x° — 4, on aurait a + D = 19 et a b° — 16; d'où E — 47. IT, — Si 0 = 45°, d'où c —s V2 et qu'on ait Sy — 8xy + 6x° — 48, on trouve les longueurs en mêtres des axes 2a et 2b ; d'où l'aire E — 247 mètres carrés. IV. — Enfin, si B — 0, les relations ci-dessus seront celles des axes avec chaque système de diamètres conjugués; tandis que si o — 90°, l’ellipse est rapportée à deux diamètres rectanqulaires. 61. — Maintenant, pour l'hyperbole le binôme B?— 4AC est positif et par conséquent 4AC — B° est négauf. D'ailleurs, en chan- geant b? en — b?, les rélations (4) de l'ellipse deviennent celles de lhyperbole, savoir : IC C BOULE GS 2 LEUR — — ————————— t F D? 6 5 one BAG ON Bac © Etant donc donnée l'équation numérique aux diamètres de l'hy- perbole, ces deux relations feront connaitre les deux axes prinei- paux 2a et 2b de la courbe, 2a transverse et 2b non transverse. On pourra donc alors construire les deux axes, les deux foyers, les deux asymptotes et tracer une partie plus ou moins longue de chaque branche. — Voici plusieurs exemples du caleul des axes principaux 24 et 2 : 1 9 1. -— Si 0 — 60°, d'où c—7% > s—7} etquon ait y + 4xy + 2x° — 4; J.-N. NOEL. — CALCUL DES AXES PRINCIPAUX. 81 les deux relations (5) donnent successivement : a —b——2etab* = 6; a +2 — 6, d—=—1+V7ab=(A+V7) x — 1; 2a = — 2 + V/28 et 2b —(2 + V/28) V— 1. IT. — Si 4 — 90°, les deux équations numériques a? — 2xy = 6 et ÿ° + Axy — x — — 4, représentent deux hyperboles équilatères. Car, d'après les rela- tions (5) , les deux axes de la première sont égaux, aussi bien que ceux de la seconde. ITT. — Enfin, l'équation numérique, rapportée à deux diamètres rectangulaires, savoir : y — Dxy — D = — 4, représente l'hyperbole dont les deux axes sont : 2a—=V8et 20 — 4. Volumes de révolution. 62. — L'origine des coordonnées rectangulaires étant au sommet extrémité de l'axe de symétrie des x, on sait que l'équation com- mune aux trois courbes du second degré est y? = px + q°. Il s’agit de calculer le volume S, engendré par la révolution autour de l'axe des x du demi-segment qui répond à x — h. Pour cet effet, ‘concevons la droite numérique donnée h divisée en un nombre infini n de parties égales à 2 par des plans perpen- diculaires. On a donc h — in,et ces plans parallèles entre eux divisent en même temps le volume S, en # tranches parallèles toutes d'égale épaisseur ? infiniment petite et invisible. Soit T la m ième de ces tranches à partir de l'origine : le plus grand des deux cercles parallèles bases de T répondant à x — im, et la hau- seur à de T étant infiniment petite, il est clair que le plus grand des deux cercles ne surpasse l'autre que d'un infiniment petit du second ordre et l'on peut toujours, sans aucune erreur finale, con- 11 89 J.-N. NOEL. — VOLUMES DE RÉVOLUTION. sidérer la # ième tranche T comme un eylindre droit cireulaire de hauteur 2 (n° 52). Ainsi l'on a T = 7ig ou T = 7 (2pim + qi”). Or le volume $, est la somme de toutes les tranches, depuis m —1 jusqu'à m — n. De sorte que S, = 7 (2pi Sn + qi° Sn°). x D'ailleurs, x infini donne, sans aucune erreur finale, Sn = M, Lx®—My—Nz=H et MAN. Pour rendre homogène chacune de ces équations, soit posé La=H, Mb°=H et Nc°=H ; d'où l'on tire les valeurs de L, M et N. Substituant ces valeurs dans les équations proposées et divisant les deux membres de chacune par H, on trouve les équations homogènes ci-dessous de l’ellip- soïde, de l’hyperboloïde à une nappe et de l'hyperboloïde à deux nappes : x YŸ À es tpet eta>b>c, 2 TURN DR DEEE) et a2b > 2contleurs milieux au centre de la surface, et sont situées sur les axes de symétrie des x, des y et des z. Voilà pourquoi ces trois droites sont nommées les axes prin- cipaux de l'ellipsoïde : 2a est le grand axe, 2b l'axe moyen et 2c le petit axe. Ces trois axes sont terminés de part et d'autre à la sur- face en six points appelés sommets de l'ellipsoide. Le changement de € en—c° ou de c en cJ/—1, dans l’équation de l’ellipsoïde, donne l'équation de l'hyperboloïde à une nappe. Gette dernière surface a donc quatre sommets réels, extrémités du premier axe 2a et du second axe 2b (on sait que 2a<2b) : elle a deux sommets imaginaires, parce que les extrémités du troisième axe 2c n'appartenant pas à l'hyperboloïde en sont deux points imaginaires. Voilà pourquoi le troisième axe 2c est aussi appelé axe imaginaire : c'est une longueur réelle à extrémités imaginaires. Enfin, si dans l'équation de l'ellipsoïde on change simplement b* et c* en—b? et—c° ou b et c en bV/—1 et cV/—1, on aura 86 J.-N. NOEL.-- SURFACES DU SECOND ORDRE. l'équation de l’hyperboloïde à deux nappes. Dans cette surface fe premier axe 2a est seul réel, puisque ses deux extrémités apparte- nant à la surface en sont les deux sommets réels. Maïs le second axe 2b et le troisième 2c (on sait que 2b >> 2e) sont aussi appelés axes imaginaires, parce que leurs extrémités n'appartenant pas à la sur- face proposée, en sont les quatre sommets imaginaires. 67.— Procédant comme pour l'ellipse et pour Fhyperbole, on démontre que: 1° Detousles diamètres de l'ellipsoïde le premier axe 2a est le plus grand et le troisième 2c le plus petit. 2% Le premier axe 2a de l'hyperboloïde à une nappe est le plus petit de tous ses diamètres réels, tandis que le troisième axe 2c est le plus petit de tous ses diamètres imaginaires. 3° Enfin dans l'hyperboloïde à deux nappes le premier axe 2a et le troisième 2c sont l’un le plus petit de tous ses diamètres réels et l'autre le plus petit de tous ses diamètres imaginaires. Il résulte de ces trois propositions que chacune des surfaces douées de centres ne peut avoir qu'un seul système d’axes principaux et de symétrie. 68. — L'étude de cinq surfaces du second ordre et de leurs varié- tés devient très-facile quand on les considère successivement, mais rapportées d'abord à leurs axes principaux et ensuite à leurs axes conjugués. — De plus, la décomposition en uneinfinité de tranches parallèles, toutes d’égale épaisseur infinement petite, et la résolu- tion des triangles sphériques rectangles, conduisent aux formules pour calculer les volumes de segments dans les cinq surfaces rap- portées à leurs diamètres conjugués et à leurs paramètres diamé- traux, quant aux deux paraboloïdes. Il en résulte les formules plus simples en axes et en paramètres principaux donnés numérique- ment. Observons d’ailleurs que si b=—c—4, l'ellipsoide devientla sphère dont a est le rayon numérique ; par conséquent le volume E de l'ellipsoïde devient celui de la sphère, savoir 4 tiers raaa.Ïl faut donc qu'on ait la formule : Cette formule est ainsi démontrée très-clairement et Le plus sim- plement possible. — Si c—b et b—«, on a les expressions des vo- J.-N. NGEL.— SURFACES DU SECOND ORDRE. 87 lumes de l'ellipsoïde allongé et de l'ellipsoïde aplati, comme plus haut (n° 62, coroll. IE et HF). 69. — Les trois propositions plus haut (n° 66) étant clairement démontrées, rectifient les erreurs commises sur les axes 2c des deux hyperboloïdes en admettant que tout nombre soustractif est d’au- tant plus grand que sa valeur absolue est plus petite ; car alors, dans chacune des deux surfaces, le troisième axe 2c serait le plus grand de tous ses diimètres imaginaires ; ce qui est absurde. Nous avons nous mêmes commis ces erreurs, d'abord parce que nous n'avions pas remarqué que {out nombre négatif, considéré en lui-même, est d'autant plus petit qu'il renferme moins d’unités sous- tractives, représentées chacune par—1, Ensuite parce que nous ne connaissions pas bien ce que signifie V/—1 en géométrie analytique. Observons encore que si les axes principaux doivent se tracer sur la figure proposée, lorsqu'on en connait les longueurs, les équations de ces axes sont nécessaires à cet effet; tandis qu'elles sont inutiles, si l’on peut employer une autre figure. 70. — La théorie du maximum et du minimum du second degré, appliqué à chacune des trois surfaces rapportée à ses diamètres con- Jugués, fournit une équation finale du troisième degré, ayant pour racines les carrés des trois demi-axes principaux de la surface. Or, d'après la composition des coefficients avec les racines, cette équa- tion finale donne les trois relations des axes avec un système quelconque de trois diamètres conjugués, dont on connait les carrés numériques. Les trois relations pour l'ellipsoïde fournissent celles pour cha- cune des deux autres surfaces, moyennant les changements de signes de certains carrés : 1l résulte, comme corollaires des trois relations, d'importantes propriétés de Ia surface proposée. Si d'ailleurs léquation finale est numérique et qu'elle ait une racine connue, diviseur du dernier terme, on pourra calculer les carrés des trois demi-axes principaux cherchés, aussi bien que les équations de ces axes. 71. — Pour calculer les axes principaux de la surface rapportée à trois diamètres rectangulaires, d désignant un demi-diamètre quelconque, on a d°=u et les deux équations générales simultanées : Ax° By +Cr+92Dry+2Exz +9 FyzG, 2-4 y +7 0. Eliminant les seconds membres et résolvant l'équation finale par 88 J.-N. NOEL.— SURFACES DU SECOND ORDRE. rapport à x, en observant que le maximum et le minimum de u ren- dent nulle la quantité Q soumise au radical ; résolvant de même l'équation Q—=0o par rapport à y, la quantité Q’ sous le radical est aussi annulée par le maximum et le minimum de w. L’équation Q'=0 est indépendante de z et se simplifie en y posant uv=G. Mais alors w disparait de l'équation, laquelle devient v—(A-+B-Cv° + (AB-LAC-LBC—D°—E* —F°)v -—(ABC-2DEF—CD°—BE°—AF*)—0. Le seul aspect de cette équation, devenue numérique, suffit pour faire connaitre le genre de la surface proposée, rapportée à ses dia- mètres rectangulaires. — On ne peut calculer les carrés des demi- axes de cette surface que si l'équation numérique finale, du troisième degré en v, a une racine connue, diviseur du dernier terme. — (Voir à ce sujet la 2° édit. du Traité de géométrie analytique, Liége, H. Dessain, 1849). Liége, Juin 1865. > V.— Nouvelles Tables usuelles des Logarithmes des nom- bres naturels et des lignes trigonométriques et Tables in- verses, en deux feuilles,accompagnées d'une introduction renfermant un précis de Trigonométrie pure, ainsi que la disposition et l'usage de ces tables, PAR F. FOLIE, DOCTEUR EN SCIENCFS PHYSIQUES ET MATHÉMATIQUES, RÉPÉTITEUR À L'ÉCOLE DES MINES, PROFESSEUR À L'ÉCOLE INDUSTRIELLE DE LIÉGE. AVANT-PROPGS. L'idée première des tables que nous avons l'honneur de pré- senter à la Société royale des Sciences appartient à l'illustre W. Struve qui les fit imprimer pour les astronomes de Pulkova et en fit don aux observatoires de l'Allemagne avec lesquels il était en relation. C'est dans l'un de ceux-ci que l’on a eu l'obligeance de nous les communiquer, et nous avons pu apprécier les nombreux services qu'elles rendent aux astronomes dans leurs calculs préparatoires. On comprend aisément que Struve n'ait pas étendu sa table aux lignes trigonométriques; l'approximation la plus grossière en effet ne tolère pas des erreurs supérieures à quelques secondes dans les angles observés en astronomie; les moindres tables dont on puisse se servir pour cet objet, même dans les calculs de première appro- ximation. sont donc les tables à 5 décimales de Lalande, que l'on emploie du reste très-fréquemment. 90 F,. FOLIE. —— AVANT-PROPOS. Le but que nous nous efforçons de remplir est tout différent ; nous voudrions vulgariser l'application des logarithmes à tous les calculs de l'ingénieur, de l'architecte et de l'arpenteur, et montrer les immenses avantages que présente l'emploi des tables de Struve. Comme dans la pratique la connaissance des angles à une demi- minute près est généralement suffisante, nous avons pu construire des tables analogues pour les lignes trigonométriques, et renfermer en deux feuilles tous les logarithmes que l’on doit chercher aujour- d’hui dans un volume toujours lent et incommode à manier. Avant d'entrer dans le détail de la disposition et de l'usage de ces tables, nous croyons utile de rappeler brièvement les principales formules employées dans la résolution des triangles. Nous croyons avoir observé que la plupart de ceux qui ne s'a- donnent pas à l'étude des mathématiques supérieures oublient sou- vent, alors qu'ils en pourraient retirer des fruits, les principes essentiels de la trigonométrie et le calcul des logarithmes, avec les- quels ils ont été familiarisés dans les colléges. Ce n'est pas cependant faute de voir appliquer ces méthodes très- fréquemment dans toute la série de leurs études ; mais soit qu'elles leur aient été présentées dans les éléments comme hérissées de dif- ficultés (et nombre d'auteurs tombent dans ce travers), soit qu'il leur répugne de se servir de tables dont on ne leur a rendu l’em- ploi ni assez facile ni assez familier, ils en perdent bientôt l'habi- tude. Cette habitude, nous voudrions la donner à tous ceux qui connaissent les quatre premiers livres de la géométrie, et la théorie arithmétique ou même simplement les propriétés essentielles des logarithmes; nous voudrions aussileur montrer les avantages de l’em- ploi si aisé de nos tables sur celui de la règle à calcul que l'on devrait réserver, nous semble-t-il, aux opérations exécutées sur le terrain. On nous permettra d'adresser ici nos remerciements aux as- tronomes à qui nous devons et la connaissance des tables de Struve, et le peu d’habitude que nous avons pu acquérir des calculs trigonométriques ; en premier lieu au célèbre directeur de l'observatoire de Bonn, M" Argelander, qui à mis à notre disposi- tion, avec une générosité et une affabilité exquises, ses excellentes lecons et ses beaux instruments ; ensuite à MM. Schôünfeld et Krüger qui dirigent aujourd'hui, le premier, l'observatoire de Mannheim, le second celui de Helsingfors, et qui se sont souvent distraits de F. FoLiz. — NOUVELLES TABLES USUELLES DES LOGARITHMES, 91 leurs travaux les plus importants pour nous aider de leurs savants conseils. Précis de trigonométrie pure. Nous ne nous occuperons, dans notre précis, que de trigonomé- trie pure; c'est-à-dire que nous n'étudierons pas le moins du monde les fonctions cireulaires ou lignes trigonométriques envisagées dans le cercle; il nous semble naturel cependant, quoique nous ne les : considérions absolument que comme des rapports entre de certains côtés d'un triangle, de leur conserver les dénominations universel- iement adoptées de sinus, cosinus, tangente et cotangente, les seules dont nous fassions usage. Resolution des triangles. Un triangle renferme trois côtés que nous désignerons toujours par a, b, c, et trois angles respectivement opposés à ces côtés : A op- posé à a, B à b,C à c. La relation connue : A E B + C—180°—7, permet de trouver le troisième angle si l'on connait les deux autres; en réalité donc la détermination complète du triangle revient à celle des cinq quantités a, b,c, À, B; et nous verrons, comme la géomé- trie le prouve du reste, que la connaissance de trois deces quantités permet, en général, de déterminer les deux autres. Si le triangle est rectangle, en nommant A l'angle droit, il ne restera à connaitre que Îles quatre quantités a, b, e, B ou C pour la détermination complète desquelles deux quelconques d'entre elles sufliront. Résolution des triangles rectangles. Nous commencerons par ce dernier cas comme le plus simple, et nous allons rechercher les relations qui existent entre les quan- tités a, b, c, B, C; à cet effet, posons d'abord quelques défi- nitions destinées à abréger le discours. (*) (*) On nous demandera peut-être si nos définitions correspondent identique- ment à celles qui sont généralement adoptées ; il est clair qu’en fait il en est ainsi : mais C’est une chose dont nous n'avons pas à nous préoccuper. En effet, le rapport d'un côté à l'hypothénuse ne dépendant que de l’angle opposé est une g2 F. FOLIE. — NOUVELLES TABLES USUELLES Nous appellerons sinus d'un angle le rapport du côté opposé à l'hypothénuse : s b c (1) sin B—=-:+ sin C—=—- (14 (02 . Le cosinus d'un angle est le rapport du côté adjacent à l'hypo- thénuse : (2) cos B — “ cos € — ô, La tangente d'un angle est le rapport du côté opposé au côté adjacent de l’angle droit : b € 5 to B — —. {9 C—= —. G) HET) Et La cotangente d'un angle est le rapport du côté de l'angle droit adjacent au côté opposé : € F- (4) cotg B — LOUIS C— De ces quatre définitions, nous allons déduire quelques rela- tions très-importantes. Les formules 1) et 2) élevées au carré ct ajoutées donnent : “LE ; LB + c° share es SiN°B — cos B — ——— —1, puisque bc? = a°. @ Donc : (5) sin°B + cos B— 1. De même pour l'angle €, quels que soient du reste B et €. Divisées l'une par l'autre ces mêmes formules (1) et (2) con. duisent à : snB 6 c b FA e b | éd B à à ç’% 3): ts = =; donc ein D SC 6 t@B— ——. De mème: te C— ——. o è cos B Bb n certaine fonction de cet angle, que nous aurions pu nommer fonction S, mais à laquelle nous avons conservé la dénomination de sinus pour éviter des notations nouvelles ; et la rigueur exige seulement que nous restions fidèle à notre définition. DES LOGARITHMES. 93 On en déduit encore par la division inverse : B MES | = gr 4e coigB— ;; donc : os B à cos C (7) î cotg B — LT De même : CotgC= Par la multiplication des formules (3) et (4) ou (6) et (7) on arrive à : | : tg B cotg B — SI x7r=1; donc : 1 (8) ts B cotg B— 1. cotg B— gB De même de C. " c Ghxi Si nous comparons les valeurs de + et celles de tirées respec- tivement des formules (1) et (2) ou (5) et (4) nous verrons que: C ‘ p=t8 C—cotg B ; et remarquant que G est le complément de B et réciproquement, nous en conclurons : c a = Sin C = cos B, et que : 9 Le cosinus d’un angle est égal au sinus de son complément ; Di cotangente d'un angle est égale à la tangente de son com- plément ; ou les deux propositions réciproques. Les formules que nous venons d'établir suffisent à la résolution des triangles rectangles. Nous allons aborder les quatre cas qui peuvent se présenter, en réservant les applications numériques jusqu'après l'exposition des tables. 7 Cas. On donne l'hypothénuse a et un angle B. L'angle C est done connu ; et les formules (1) et (2) déterminent les côtés b et c : b—asnB. c— a cos B. 2° Cas. On donne un côté b de l'angle droit et un angle. Les deux angles B et GC sont encore connus, et le 2 côté € ainsi que l’hypothénuse a seront donnés par les formules : 94 F. FOLIE. — NOUVELLES TABLES USUELLES b c—=bcotgB———. a — is B sin B 3° Cas. On donne l'hypothénuse « et un côté b de l'angle droit. Nous cherchons d'abord un angle par la formule (1) sin B=2. Ë a Quant au côté c, on peut le trouver soit par la formule connue c=p/ (a —b0)—= DEA ATE + b) b) (a —b) soit, ce qui est plus expéditif, par (2) c—« cos B, puisque l'angle B est maintenant connu. 4° Cas. On donne les deux eôtés b et c de l'angle droit. H suffirait de déterminer un angle, puisque l'hypothénuse a =4/ 46? + 6°: mais ce calcul est très-long à effectuer ; ici encore, nous chercherons d'abord l'angle B par : Là > nu . (9) (S D me ? puis l'hypothénuse a par (1) : ni oU ” snB Quant à l'aire du triangle, elle se déterminera dans tous les cas MEL l par la formule très-simple : T=3 bc. Resolution des triangles quelconques. Avant d'entrer dans l'examen des quatre cas renfermés dans le problème général, établissons, comme pour les triangles rectangles, les formules dont nous aurons à faire usage. LS Considérons d'abord le triangle acu- CN tangle ABC dans lequel, outre les con- de A = ventions déjà faites, nous ferons cons- DB À tamment la hauteur CD = 4 ; et les DES LOGARITHMES. 95 deux segments de la base respectivement égaux AD à s, DB à r. Dans les triangles rectangles ACD et BCD, en vertu de la for- mule (1), nous pouvons écrire : h — bsin À. h—=asin B. sin À sin B a b D'où : b sin A— a sinB; ou En prenant AC pour base, nous trouverions de même e sin À = a sin C; ou ane et de la comparaison de ces deux formules : sin À sin B sin C (10) —— = & b c c'est-à-dire : les sinus des angles sont proportionnels aux côtés opposés. Reste à démontrer que cette formule s'applique également aux triangles obtusangles. Considérons en effet le triangle A’BC, et nommons a’, b', c' ses côtés, A” B’, C’ ses angles. Comme précédemment, les deux triangles BCD et A’CD nous fourniront par les formules (1 les relations kb" sin A”. h — a’ sin B'; et si nous convenons maintenant de poser (*) (49)bis. sin B'=sin B, ou: sin (180°—B)—sin (7 — B)—sin B; c'est-à-dire de regarder le sinus d'un angle obtus comme étant le sinus de son supplément, la dernière formule deviendra k — «’ sin B’, et, comparée à la précédente, donnera : b'sin A’—= a sin B’. En prenant D’ pour base on aurait de même : c Sin Aa sin Ce: __ (*) En vertu de nos définitions, il n'existe pas de sinus ou de cosinus d’un angle obtus. Ce n’est donc que pour la symétrie des formules que nous écrirons sin B’ qu’on doit toujours traduire par sin B; plus bas, la même raison de symétrie nous fera écrire — cos B’ au lieu de cos B; et pour rester fidèle à nos définitions , nous devrons toujours lire la 2% quantité au lieu de la fre. Tel est le sens précis de nos conventions. 96 F. FoLiE. — NOUVELLES TABLES USUELLES et de ces deux relations : sin À’ sin B’ sin C Drm nee es 5 C> q: f. d. Fig. I. Le même triangle ABC nous conduit à une autre relation très-simple déduite des formules (2). Celles-ci, appliquées aux deux triangles ACD et BCD, donnent en effet : S —b cos Au t— a cos B: Mais c—s +-{ ; donc : (11) ea cos Bb cos A. Pour étendre cette formule au cas où le côté cserait adjacent à un angle obtus, reprenons le triangle précédent ABC et posons A'D=5. Les formules 2, nous donneront dans les triangles A'CE s —0" cos A’ ; et comme {—4 cos B (vu que a’ n’est autre chose que a), et que c'—s—t, il s'en suit : —bÙ" cos A'— a cos B. Convenons actuellement de faire : (*) (11) bis: cosB'——cosB,ou : cos(180°—B)—cos(7—B)—— cosB, ou de regarder le cosinus d’un angle obtus comme étant le cosinus de son supplément pris en signe contraire, cette formule deviendra = 0" eos AL cos BF’, ce. q-f: d. € Fig. IN. Une autre séparation du triangle en deux triangles rec- ee a À tangles va nous faire connaitre des 24 s' —- -\,, relations nouvelles. NE ei Fraçons la bissectrice CD de À Pro Ni) Hi l'angle C et abaissons sur cette droite les perpendiculaires AE=p. BF=9 ; posons CE—e, CF=—f. (*) Voir la note précédente. DES LOGARITHMES. 97 Par le moyen des formules 1} et 2) les triangles ACÇE, BCF — À L C. e—b € ( = 1 gC: de De même en posant dans les triangles ADE, BDF, 4D—", DE—e’ ; DB—{, DF—f, nous aurons : p=s" sin D. e = s eos D. f—t cos D. qi sin D. Remarquons que l'angle D de ces triangles se trouve dans le triangle DBC par la formule : D—180° -B—5C. dans ADC par la propriété de l'angle extérieur : — 1 1 À D A+oC d'où ajoutant : A—B | D—D0 + — 2D=180 ABS ou an / D—99 —— Au moyen des remarques 9) nous pourrons mettre dans les for- mules ei-dessus, au lieu de cos D et de sin D, les valeurs respec- , et ces formules se transformeront er tives sin et cos B— À DEAR see BA B—A pose e=$ sin 3 f=E sin —=—: q=1t 008 Fo Gr d'un côté s AD . B—A EF—e +fÆ=(sti) sin = =csin — D'un auire : 4 EF—e—f—(b—a)cos 30. 98 F. Foie. —— NOUVELLES TABLES USUELLES De mème : B—A B—A p+q={(s +1) cos = € CS . a Et : p+qg—(b+a) sin 5€: Comparant ces formules deux à deux : B— A 2 { c sin — (b—«) cos gt (12) TA 2 (ha) sin ue c COS Divisant ces deux dernières, membre à membre : —( 1 (15) tg 3B— AE Peur CO 90: Sia > b, d'eù À > B, nous écririons de même : US 1 (13) Le JA D) — TT cotg 2. Rew. Cette démonstration est générale parce que tous les angles dont nous nous sommes servis sont toujours aigus, quels que soient du reste les angles A, B, C du triangle ; en outre l'angle : (B—A) 1 “HR selon que B°>A ou AB est toujours aigu ; car si l’onavait B—A)> 5 ou B—AS 7, il en résulteraitB>7+A ce qui est absurde, puisque AÆB+C—7. Un théorème de géométrie traduit en langage algébrique, telle sera notre dernière formule ; mais pour la transformer de la ma- nière la plus propre au calcul, nous devrons invoquer une formule nouvelle que nous chercherons tout d’abord. Fig. IIL. Soit tracé avec l’hypothénuse \ BC du triangle ABC pour rayon un arc de Ja cercle rencontrant en D le prolongement \ du côté BA ; tirons CD et B£ perpendicu- È 3" laire à cette ligne ; BE sera la bissectrice de l'angle B._ DES LOGARITIIMES. 99 Comme B D —BC=a, et que c=a cos B, il s'ensuit : A D—a—acos B=—a(1—cos B). D'ailleurs dans le triangle ACD : AD= CD sin JB; puisque les angles ACD et EBD sont égaux comme ayant leurs côtés perpendiculaires entre eux. Ou bien AD9ED. sin 3B. Enfin le triangle BED nous donne ED-BD en | pe : Boon AD=9.in D Comparant à la 1"° valeur de AD et divisant par «. 1—cos B—2 sin£B. Ou cos B—1—92 sine B. 1 ; ol np. #1 3 B—2(1—sin ÿ }==200s a B, par 5). 4 +-cosB—2—9sin* Nous pouvons done écrire les deux formules : Higesi 1— cos B—9 sin 9B- (4) 1 cos B—2 os?) B. Reste à faire voir qu'elles sont vraies également dans le cas de l'angle obtus. En nous rappelant les remarques 9) et 14 bis) et faisant B-: 7 Bb ne) QD Er D PR Ie une AVE à + B'—180—B=7—B ; d’où IEC CE), nous verrons que : 1600 F. FOLIE. — NOUVELLES TABLES USUELLES 1 + cosB'— 1— cosB; cos BTE. 1 — cosB'— 1 + cosB ; Li AB cos 2 2 et les valeurs substituées dans les formules 14) rendent identique- ment les mêmes formules pour le cas de l'angle obtus B’, e.q.f.d. Ceci posé, nous savons par la géométrie que : le carré d'un côté quelconque d'un triangle est à la somme des carrés des deux autres moins ou plus le double produit d'un de ces côtés par la projection du 2* sur le premier : moins si l'angle opposé au côté cherché est aigu, plus s’il est obtus. Ce théorème, énoncé algébriquement, s'écrira : Pour ABC (fig. 1.) ba +c—"°ct — ac — Qca cosB, ou pour ABC: ba Le +2ct= a+ +9 ca cos B — «a + c*— Qc « cos B', en vertu de 11 bis ) de sorte qu'en général, quelque soit l'angle B, nous aurons la formule : D — a? + « — ac cosB. De même (15) a, = c + b° — 2bc cosA. ct = db — 2ab cosC. De la 1° de ces formules nous déduisons : à @° + c° — b° C0s B— D ac à laquelle nous allons appliquer la transformation annoncée par les formules 14). a c— 0 Dac+a + —t? 2 ac Qac 1 + cos B—1 + DCE 2ac (a + D (aol 8 ! Cac) bd a+ ce — b° Ba 2acÀl— a —6. Par 15) : AB 6 ee A+B 1 Cette formule donnera (A—B), et comme 9 est déjà connu , on aura À et B. Quant au 5° côté c il se calculera par cos (A +B) 12) CR ou par ces (AB) 11) c—acosB + bcosA , formule moins avantageuse , et l'aire par 17) 1 . absinC. (*) 3° Cas. On donne deux côtés a et b et un angle À opposé à l'un d'eux. (*) Si l’on voulait n’employer dans le calcul de l'aire que les quantités dont on s’est déjà servi précédemment, on ferait usage de la formule suivante, que nous donnons sans la démontrer parce qu’elle sort de notre cadre, mais qu’un lecteur un peu exercé trouvera aisément : 2A+B A—B 7:09 ro 0 0 à (a+b)(a—b)f ATB AB RE EN) sin For a cotg 5 n DES LOGARITHMES. 105 : De Par 1 : sin B — — sin À, a £e qui fait connaître l’angle B et par suite C. Le troisième côté se trouvera par : sin C 10 Dies NE à ou par : ) sin À P 11) c = a cos B + b cos A. La 1'° de ces formules est préférable sous le rapport de la rapi- dité du caleul. 1 à L’aire est donnée par 17) : T 9 ab sin C. Ce cas présente une diseussion analogue à celle du même pro- blème en géométrie. 4° Si b sin À > «à, on aura sin B >> 1, ce qui est absurde par >) ; et le problème est impossible. 2 Si b sin À — a, on voit aisément par 1) que le triangle sera rectangle et que son hypothénuse est b, c'est-à-dire que l'angle B est = » Q 7 T droit. — De là résulte sin . — 1; et par5) cos 5 — 0. 3 Si b sin À € «a, on pourra tout aussi bien prendre pour l'an- gle B l’angle obtus que nous appellerons B” que l’angle aigu ; mais pour que cet angle B’ convienne comme B lui-mème, il faut que l'angle B soit > A; alors en effet B—7—B <7—A; donc A+B'<7, ce qui permet l'existence de l'angle C. Or, B > A exige aussi que b > a ; donc, si l'on a en même temps b sin À a, les angles B et B’ conviennent tous les deux ; d’où deux angles C—7—(A+B)-C=7z—(A+B) =7—(At+7—B)=B—A,et par suite deux côtés G et C’ ; c'est-à-dire deux triangles différents mais renfermant les mêmes données a, b et À. Si au contraire, tandis que b sin À < a l'on a b7—A ; d'où A+B'>7, ce qui ne peut con- venir à aucun triangle. (*) 4e Cas. On donne les trois côtés a, b, c. Les trois angles sont fournis par les formules 16 ) : TE ER | p(p—a) 58 (p—a)(p—c C0) p (p—b) 5 /U—0 ED) ICO et l'aire par la formule 18) ET p (p—0)(p—Ù) (p—0. Nous bornons ici notre précis de trigonométrie ; les questions que nous avons résolues sont en effet les seules qui se rencontrent généralement dans lés applications. Le lecteur qui possède bien ces 18 formules comprendra du reste aisément celles que donnent les auteurs dans les problèmes plus spéciaux que nous n'avons pas examinés. Après avoir exposé la disposition des tables, nous en montre- rons les usages dans la résolution numérique des triangles. Des logarithines en général. Nous appellerons avec Serret (**) logarithme d'un nombre ur autre nombre calculé de telle sorte que : Le logarithme du produit de deux nombres soit égal à la somme des logarithmes de ees deux nombres. (*) Nous ne nous occupons pas du cas où D > « el A—90° parce qu'il rentre dans celui du triangle rectangle. (*) Voir ses Eléments d’Arithmétique. DES LOGARITHMES. 107 Ainsi, si a et b désignent deux nombres, L.a et 1.0 leurs logarith- mes, on a par définition : L (acb)=la+té. De là résulte tout d’abord : 1° Que le logarithme de ft est O ; car faisant b=— 1 : L(ax1}= La+l1 ; d'où l.1—0. 2% Que le logarithme de l'inverse d’un nombre est égal au loga- rithme de ce nombre pris en signe contraire. Car si nous faisons = ; d'où a-b=1, la formule capitale devient: 1 1 L1—= l.a+ Le ; et comme 1.1—0 : L.a+ HET : d'où Fe a 3° Que le logarithme d'un quotient est égal à, la différence des ogarithmes des deux termes. a 1 Î PES Sd) EUR ne Car 1. be L(ax 5 )=la+ 1. b La— 1.b. 4° Que le logarithme du produit de plusieurs nombres est égal à la somme des logarithmes de ces nombres. Car I. (abcd..….) = KL. (abcXd...)= Labc+ Ld= 1. (ab x c)+- L.d= 1 (ab) + 1.c4l.d= La+ 1.b+ L.c+4 Id, etc. D'où résulte comme corollaire : a.b:c:.. = La+ Lb+lLct—(m+lnsLp+...) Mnnip.. 5° Que le logarithme de la puissance n"° d'un nombre est Fe à n fois le logarithme de ce nombre. Car = a.a.a. .... répété n fois. D'où I. (a*)=1L a+ ll. a4l. a+::+ répété n fois, 1. (a*)=n x 1. a. 103 F. FoLir. — NOUVELLES TABLES USUELLES 6° Que le logarithme de la racine n° d’un nombre est égal à 10 6 ï ke ; fois Le logarithme de ce nombre. Car faisant a"—b, d’où a=V/ D, la formule précédente devient : L'énxiN be dé le . SE REMARQUE GÉNÉRALE. On voit par ce qui précède que lon peut trouver le logarithme d’une expression qui ne renferme que des produits, quotients, puissances et racines, sans aucun signe plus ou moins, au moyen des logarithmes de tous les nombres qui entrent dans l'expression. à e A EU à j PR MC NET A ee 1 RL nee (LEA SE LEE ce) 3 5 9 1 (fl )= 1 1 1 Qi Lo+ (LL Gal 851 c) 1 ST ES (Le [—5 L e). DES LOGARITHMES. 105 Mais dès que l'expression renfermelesigne + où —, elle n'est plus calculable par logarithmes; ainsi on ne peut pas trouver le logarithme de ab, sil'on ne connaît que ceux de a et de b; de même de a—b ; ainsi encore on ne peut pas trouver 1. a°+b*, connaissant |. « et 1. b ; tandis que, en mettant a*—b°? sous la forme (a +b) (a - b) = 5.4, pour abréger ; (ab=s, a—b=—d) ; on aura I. D a —b— I. Ds. d 2e (1. s+ I. d) ; mais on voit qu'il faut connaitre di- rectement |. s= I. (a+-b) et1. d=— 1. (a—b), et qu'il ne sert à rien de connaitre 1. a et I. b. Ces exemples suffiront pour faire comprendre toutes les appli- cations. Construction des tables des logarithmes des nombres naturels. Pour faire comprendre la possibilité de la construction d'une table renfermant les logarithmes de tous les nombres entiers depuis 4 jusqu'à 10000 par exemple, table qui permettra de caleuler les logarithmes des fractions au moyen des règles exposées plus haut, nous allons montrer qu'en prenant un nombre arbitraire pour loga- rihme d'un premier nombre tout-à-fait quelconque pourvu qu'il ne soit pas 1, il nous sera possible de calculer les logarithmes de tous les autres. Faisons donc arbitrairement 1. 10 —1 ; d'où résulte déjà 1.100—2, 1.1000=—5, 1.10000—%. Ainsi que 1. 0,1=—1 ; 1,0,01=—2 ; 1.0,001——5, etc. Posons maintenant 10 égal à une puissance considérable de t ; ainsi 10—+", et choisissons n de sorte qu'il soit égal à une puissance ñn de 2; soitn=2" ; £ quiest }//10—1,000055 pourra donc à la rigueur se calculer par l'extraction successive de 16 racines carrées, c'est-à-dire en extrayant : 1° la racine de 10 ;2°la racine de celle-ci; 5° la racine de cette seconde, et ainsi de suite. Concevons actuellement qu'on forme toutes les puissances suc- cessives de & depuis la 2%° jusqu'à la (n —1)"* ; &” étant égal à 10, cette suite de puissances nous fournira une échelle de x nombres 419 EF. FOLIE. — NOUVELLES TABLES USUELLES compris entre À et 10 et différant entre eux de moins de 0,06055 de sorte que les nombres naturels 2, 5,....9 se trouveront dans cette échelle à moins de 0,00055 près. Appliquons maintenant à ces nombres les propriétés des loga- . o n rithmes ; puisque el 10 nous aurons : 1 1 PSI M0EE par suites: n n 2 3 PS . 1. PI]. = — ; be, et ainsi de suite ; et en nommant t"®? le nombre qui s'approche le plus de 9, #5 celui qui s'approche le- plus de 5 etc., nous aurons à 0,00002 près : REC 1 EE SC PARU SRE RER DS LOT PE MERE SEC On conçoit de la même manière la possibilité de calculer les loga- rithmes des nombres compris entre 10 et 100, entre 100 et 1000, entre 1000 et 10000. On comprend aussi qu'on peut atteindre ainsi telle approximation que l’on voudra, et obtenir par exemple 4, 5, 6, 7 décimales exactes ou davantage à chaque logarithme d'un nombre naturel. Enfin il est aisé de voir que si l'on prenait toute l'échelle des nombres : LS REN: P,.. lretleurs losarithmes:: Or 21: SE nie on pourrait choisir parmi ceux-ci des nombres qui ne diffèrent de 0,001 ; 0,002 ; 0,005 .…. 0,010 ; 0,011 ; 0,012....... que d'une fraction aussi petite que l'on voudra ; et en prenant les nombres correspondants de la 1° suite, on aura avec autant de décimales exactes qu'on voudra, les nombres qui ont pour logarithmes 0,001 ; 0,002 . 0,010 ; 0,011, ..…… 0,100:°0,101:0,/102;::510:110; 0200: 05000900 0,999. C'est cette dernière table, que nous appellerons table inverse de DES LOGARITHMES. 11i logarithmes, dont nous devons l'idée à Struve ; nous en ferons voir les avantages en parlant de l'emploi des logarithmes. Rex. Lorsqu'on jette un coup d'œil sur les tables, une remarque essentielle se présente immédiatement à l’esprit : cest que si l'on considère une série de nombres successifs et leurs logarithmes, la différence entre l'un de ceux-ci et le suivant est sensiblement la même dans cette série ; d’où l'on conclut que les logarithmes crois- sent à peu près proportionnellement aux nombres ; et réciproque- ment dans la table inverse. Nous ferons un très-grand usage de cette remarque. Disposition et usage des tables des logarithmes des nombres naturels et des tables inverses. + Nous dirons d'abord un mot des petites tables à 5 et à 7 déei- males ; la disposition en est très-pruuitive ; elle consiste à disposer tous les nombres depuis 1 jusquà 10000 dans des colonnes, et leurs logarithmes à côté d'eux dans une 2° colonne ; dans une 5° enfin se trouvent les différences entre deux logarithmes consé- cutUfs. Ces tables renferment toutes deux une foule de chiffres superflus, comme nous le prouverons en parlant de la 2° disposition : en premier lieu les pages qui renferment les nombres de 1 à 1000 ; (mais ce mal n'en serait plus un avec une meilleure disposition) ; en second lieu les caractéristiques, toujours inutiles, et les premières décimales qui le sont souvent et qui ôtent à la table la netteté né- cessaire. Ces défauts toutefois sont peu importants dans la table à 5 déei- males de 3. de Lalande ; mais ce que nous ne pouvons concevoir, c'est qu'un calculateur, qui aurait dû être un tant soit peu familier avec les logarithmes, se soit avisé de publier ces tables étendues, comme le dit le titre, à 7 décimales, c’est-à-dire de transcrire, en employant-une disposition déplorable, les excellentes tables de Callet (*) ; ce qui nous semble aussi impardonnable, c'est qu'on se (*) On voudra bien nous pardonner ces réflexions faites dans l'intérêt de tous ceux qui se servent du calcul ; nous les justifierons en quelques mots. Eu effet, pourquoi 7 décimales ? Evidemment pour obtenir une approximation plus grande, 1192 F. FoLiE. — NOUVELLES TABLES USUELLES serve souvent de ces tables étendues à 7 décimales dans les établisse- ments moyens. Comparons donc sous ce rapport les tables de Lalande aux tables étendues, puis aux tables de Callet. Soit par exemple à multiplier 3150,83X 3450,14—n. 1. 5130—5.4955445 ; d—1588. 3.495594 ; d—14. 1, 3450—3.5552941 ; d—1266. 3.553529 ; d—15. Pour calculer les logarithmes des nombres proposés, personne n’aura le courage, pour ne pas dire la naïveté de multiplier 1588 par 85 et 1266 par 74; autant et mieux vaudrait faire la multiplication directe des nombres donnés. On multipliera donc 74X15 et 84X 14 en forçant les chiffres, ce qui donne 962 et 1162 à ajouter respectivement aux deux logarithmes à 7 décimales. Pour ceux à 5 on se bornera à 7X15 et8X14 ce qui donne 9 et 11 à ajouter, mais les deux résultats étant trop faibles chacun, on ajoutera 9 à l’un et 12 à l'autre, ce qui donnera : or © CO O1 . O1 rs (de) (dA © [ep] [=] © A] Le © CE (=D © 1. 315 £herchons n. Ou trouve : 508 4 1. 1074 ©: 3.0310043.d—4042. 3.0351000.d—40. différences calculées : 465 4 co NA 07 ET tn donc ajomen ne Les a 14 11 TAUL GONC ajou er 3042 —Ù,129, division encore compliquée ; tandis que, d’après les tables à 5 décimales, il faut 4 ajouter 30 =}le Les tables à 7 décimales donnent donc le produit : 10741250 puisque la caractéristique est 7. Celles à 5 donnent 10741000. Par les tables de Callel on trouve 1. 5150,8 —3.1956553. Les parties proportionnelles donneut : - + 42 donc : 1. 5150.83 5.4956595 DES LOGARITHMES. 113 Nous ne parlerons pas de la disposition des tables de Callet qui se reproduit du reste presque identiquement dans celles de Struve. Dans toutes les deux on supprime la caractéristique, c'est-à-dire le chiffre placé avant la virgule dans le logarithme d'un nombre ; en effet les logarithmes de 8,64 ; 86,4 ; 864 ; 8640... ont tous pour partie décimale 9565 et pour caractéristiques respectives 0, 1, 2, 9, etc., puisque chacun est 10 fois plus grand que le précédent ; il en sera de même, comme nous verrons, des fragtions 0,864 ; 0,086% ; etc. dont les logarithmes ont aussi pour partie décimale 9565. Dans toutes les deux encore les nombres sont disposés en deux colonnes, l’une verticale, l’autre horizontale ; celle-ci ne porte que les chiffres 0,1,...9, que l'on doit supposer écrits à la suite du nom- bre placé dans la table verticale ; cette réunion forme le nombre 1. 5450,7 —5.5353827 + 51 1. 5430,74—5.5553878 Ajoutant : Lan —17.0310473 Ensuite : 07 ee différence : 26. Les parties proportionnelles donnent : pour 24,24 AUS 0.06 1,62 0.003 0.16 Co ee pour 26.02 0.0633 ? n — 10741063,3 Calculé directement : n — 10741063,7142. CR 0,4142 La différence entre le nombre exact et le nombre calculé par les tables de Callet est donc de 0,4142 ou de 4 unités sur le 9e chiffre. Les tables à 7 décimales produisent au contraire une erreur de 186, ou de près de 2 unités sur le 6e chiffre. Celles de Lalande enfin une erreur de 63, ou de 0,6 sur le 6e chiffre. Ces résultats sont concluants. Et c’est pour arriver à une erreur 5 fois plus grande que celle que produisent les petites tables de Lalande, où toutes les différences se calculent de tête, que l’on va employer ces fables étendues à 7 décimales qui conduisent à des calculs souvent plus longs que l'opération directe ! Vraiment, on à peine à le croire ! Proscrivons donc l’usage de ces dernières tables. Servons-nous de celles de Lalande quand nous n’aurons besoin que de 5 chiffres exacts ; et dans les cas qui exigent une exactitude plus grande, employons les tables de Caïllet. 15 114 F. FOLIE. -— NOUVELLES TABLES USUELLES dont le logarithme se trouve, comme dans la table de Pythagore, à l'intersection des lignes horizontale et verticale conduites par cha- cune des deux parties du nombre. C’est ainsi qu'on trouvera le log. de : 8 à l'inters. des lignes menées par 80 et O0 : 9051 80622 ES APE Res, Dot Etre #80ket-0##0068 SG PUF RP ARMES LM a RO Get20 9325 GE AR EEE ONE OP Rare: 50800 La caractéristique du 1° sera 0, du 5° 1, du 2* et du 4° 2. Quant aux tables inverses, la disposition en est la même, si ce n’est que les deux colonnes qui renfermaient le nombre renferment cette fois le logarithme, et que le nombre correspondant à ce loga- rithme se trouve ici à l'intersection des deux lignes menées par les chiffres dont la réunion forme ce logarithme. Veut-on savoir p. ex. quel est le nombre qui a pour log. 005, il se trouve à l’inters. des lignes menées par 00 et 5 : 1012 OR Re PT Er ES ORDER 141022 DDO LU En A RE NES et ne 0 D LUE 502 BAD LU Tr at Len or acne ESA ACTA 07 DAT RUE COS TER TES EE RES AD CLR RO La caractéristique manque naturellement dans les logarithmes précédents ; et c’est d’après elle, quand elle sera donnée, qu'on placera la virgule ou les zéros nécessaires dans les nombres cor- respondants, Mais si l’on a un nombre de plus de5 chiffres, ou un logarithme qui en ait davantage après la caractéristique, comment trouver le logarithme du 1°, le nombre correspondant au 2* ? 4" Ex. Trouvez le log. de 3,1416. La table donne : 1.5,14—0.4969;4=—14. En vertu de la remarque (R) nous aurons donc pour 0,16 une différence 0,16 X14—2,2; d'où : 1.7=1.5,1416—0.49712, qui n’est en défaut que de 5 unités sur le dernier chiffre. 2m Ex. Trouvez le nombre qui a pour log. 0.49715. La table donne pour le nombre correspondant à 497 : 5141 d—T En vertu de la remarque (R), pour 0,15 nous aurons la diffé- DES LOGARITHMES. 115 rence : 0,15X7—1,0 à ajouter à 3141 ce qui donne le nombre 3,1420, vu que la caractéristique est 0. Ce nombre n’est en excès que de 4 unités sur la 4° décimale ; il aurait dù être 7—5,1416. Voyons maintenant comment on trouve le log. d'une fraction proprement dite, et commençons par les fractions décimales. Nous avons déjà vu que tous les nombres entiers ou fractionnaires composés des mêmes chiffres, tels que : 8640 ; 864; 86,4; 8,64; ont la même partie décimale 9565 à leurs logarithmes, et pour ca- ractéristiques respectives EN 9, 1, 0 8,64 8.64. 8.64 Où = 5: 0,0864—— ; 000864 donc : 1.0,864—0.9565— 1.10—0.9365—1 1.0,0864—0.9565— 1.100—0.9565—2 1.0,00864=—0.9565— 1.1000=0,9565—5 , etc. Pour éviter des nombres négatifs, nous ajouterons 10 à tous ces logarithmes et nous écrirons : 1.0,864—9,9565 ; L.0,0864=—8,9565 ; L0,00864=—7,9565 ; etc. Ces logarithmes sont à la vérité trop forts de 10 ; d'où résulte que les nombres correspondants sont devenus 10,000,090,000 (nombre dont le logarithme est 10) ou 10 milliards de fois trop grands ; et comme une semblable erreur s'apercevrait à l'instant même dans le résultat, il est inutile de s'en préoccuper. Quand donc la caractéristique d'un logarithme sera 4 le nombre correspondant aura pour plus hautes unités des dizaines de mille ; unités de mille ; NE PS ee RL ES A et Ten TE GG Te nes: dizaines ; DRE ET EN RES er MST Unités SiMpIeS.; CA ès 116 F. Foie. — NOUVELLES TABLES USUELLES An an NOT LE (ler en Ar + ZICTIeSs: DL NN ee ee TE a AGO NC TNe SE ZA a ter ennemies 2etc. à moins qu'on n'opère sur des nombres tout-à-fait considérables, auquel cas la caractéristique 7 indiquerait des dizaines de millions ; Gr 08e US M CE yat At st miIlonsE DA NUS ST RE EE EC ntaines dermiiestetce Nous procédons de la même manière dans le calcul des loga- rithmes des fractions proprement dites. Ex. LE 1.9— 1.5—0.3010— 0,4771. Comme cette quantité serait négative, nous écrirons : 1 £ —0.5010+410—0.4771—0.5010+9.5229—9.8239, résultat qu'on sait être trop fort de 10. Or soustraire un logarithme de. 10, s'appelle prendre le complé- ment de ce logarithme ; et cette opération se fait comme on voit en tant de 10 le dernier chiffre significatif, et de 9 tous les chiffres placés à sa gauche ; chaque fois done qu'on aura à retrancher un logarithme d'un autre, on ajoutera à celui-ci le complément du pre- mier ; et remarquez qu’on ne doit pas pour cela écrire le complé- ment, mais le logarithme lui-même; et lire de tête son complément, opération excessivement simple et qui ne demande que très-peu d'habitude. Ex. 1. 2 ra 1.92—0.5010 —].3—0.4771— A L==—9.8259 On ht 9 et 0 donne 9 2 et 1 donne 53 2 et O0 donne 2 DES LOGARITHMESe 117 5 et 5 donne 8 9 et O donne 9 97 97,4X5IL,4 k Ex. Calculer : HA 1461, 1X832,5 La ne L 97,4-L1.511,4— 11461 ,1— 1.859,53 1. 97,4—-1.9886 1. 511,4—9.70876 1.1461,1—5.16479— 1. 852,3—92.95055— 18.60209 La—9.501045. On indique par un signe les deux logarithmes dont on doit pren- dre le complément et l'on dit : 5 et 8, 13 et 6, 119. 1'et 4/0°et 2, 7cet 7, 14 et 6, 20. 2. et 9, 11 et 5, 16 et 8, 24 et. 8, 32. 8 et 6, 9 et 5, 12 et 8, 20. 2 et 8, 10 et 7, 17 et 9, 26. 2:et 7, Jet 6; 151et 2; 17 et 1, 18: prenant la moitié du résultat, on obtient Lx —9.501045, évidemment trop fort de 10. d'où x—0,2002 au moyen de la table inverse. Nous n'avons plus qu'une remarque à faire relativement à l'em- ploi des compléments ; c'est qu’on doit toujours veiller à ce que le résultat final, s’il est trop fort, le soit au moins de 10, (ou de 20) ; si dans l'exemple précédent on n'avait eu qu’un chiffre au déno- minateur, la somme aurait été trop forte de 10 seulement, et dans ce cas il aurait fallu l'augmenter encore de 10 pour qu’en prenant la moitié, le résultat final füt trop fort, non de 5, mais de 10 ; 118 F. FoLi£. — NOUVELLES TABLES USUELLES ainsi encore, si au lieu d'une racine carrée dans l'exemple même on avait eu une racine cubique ou quatrième, la somme n'étant trop forte que de 20, il aurait fallu l'augmenter, dans le 1° cas, de 10, dans le 21 de 20, afin que le résultat final fût trop fort de 10. Nous aurons l’occasion d'appliquer tous ces principes dans les exemples numériques que nous proposerons sur la résolution des triangles. Construction d’une table de logarithmes des sinus et tangentes des angles. (”*) Par les relations connues 5), 6), 7) et 19), on voit qu’il n’est nécessaire que de calculer directement les sinus des angles de 0° à 45°; car les sinus donnent les cosinus par (5), et ces deux-ci four- nissent les tangentes et cotangentes par 6) et 7). Quant aux angles compris entre 45° et 90°, il est superflu de s'en occuper, puisque : (19) sin(45°-La)=cos(45— a), cos(45°—Æa)= sin(45°— a), tg(45°—a)=cotg(45— a). Soit proposé de trouver les valeurs des sinus de minute en mi- nute de 0° à 45°. Partageons l'arc de 90° en un nombre de parties égales supé- rieures à 2700 ; chaque division a sera plus petite que 2 minutes, et l'on pourra calculer les cordes des ares a, 2a, 5a, ka, Sa, etc. jusqu'à 90° ; tous ces arcs différeront entre eux de a, c'est-à-dire de moins de 2 minutes. Fig, IV. B Fig. IV. Or, si nous considérons une \ corde quelconque BB’ et son apothème 1 CA, nous aurons deux triangles dans cha- C ; eun desquels sinB= —; et comme l'angle a S Best la moitié de l'angle BCB, le côté c la moitié de la corde et le côté a le rayon du cercle qu'on peut faire égal à l’unité, il s'ensuit que : (*) Il suffit évidemment que nous établissions ici la possibilité de la construc- tion d’une pareille table. DES LOGARITHMES. 119 Le sinus d’un angle est la moîtié de la corde qui sous-tend un angle double dans un cercle de rayon—1. En prenant les moitiés des cordes précédemment calculées, nous 1 5] ) aurons done les sinus des angles -- a, & 24, CLS c’est-à- dire d’angles qui croissent à peine de minute en minute. On aurait pu obtenir des intervalles plus petits, et par suite les sinus d'angles aussi approchants que l’on voudrait de 1", 2, 3’, 4’, elc. Des sinus on déduit les cosinus et l'on prend ensuite les loga- rithmes des valeurs numériques obtenues ; comme ce sont toutes fractions, on leur donne pour caractéristiques 6, 7, 8, 9 ; enfin on à : L. tg—Î[. sin— |. cos ; si la caractéristique est <10 on la laissera ; si elle est égale ou plus forte, on supprimera la dizaine qui est de trop. Disposition de ces tables. Nous ne nous occuperons plus de la disposition des petites tables, qui ne présente aucune particularité sur celle des logarithmes des nombres. Toutes les tables au reste, quelle qu'en soit la disposition, ont ceci de commun qu’elles ne vont que jusqu'à 45° en vertu des formules (19); mais comme par ces mêmes formules les sin., cos., et tg. de 450 + a sontles mêmes que les cos., sin., et cotg. de 45°—a, et vice- versa, on a imaginé une disposition qui permet de lire tous les arcs depuis 0° jusqu’à 90° : nous la développerons pour les tables nou- velles que nous publions aujourd'hui. En haut de la page se lisent : Log. sin., Log. tg., Log. cos., et au-dessus de chaque colonne : 0,10’, 20’, 50’, 40’, 50’. . Au bas de la page : Log.cos., Log. cotang., Log. cus., et en-dessous de chaque colonne : 60’, 59’, 40’, 30’, 20, 10°. 120 F. FoLir. — NOUVELLES TABLES USUELLES A gauche on lit tous les nombres de degrés de 0° à 45°, à droite de 44° à 89°. Les nombres de droite répondent aux noms et aux chiffres supé- rieurs, ceux de gauche aux inférieurs. Dans les dernières colonnes, la plupart des logarithmes n’ont que deux chiffres : c’est quand les deux précédents sont les mêmes que ceux du logarithme supérieur dans la même colonne. Nous avons supprimé partout la caractéristique parce qu'elle est constamment 9, sauf les exceptions suivantes dans les log. des sin. et tang., exceptions que l'on ne rencontrera du reste presque jamais dans la pratique, à cause de la petitesse des angles auxquels elles sont relatives. Les logarithmes des sinus et des tangentes de 0910’, 0°20’, 0950’ ont pour caractéristique 7 ; Ceux des sinus et des tangentes des ares compris entre 0°30’, et 5950’ ont pour caractéristique 8. Nous avons eu soin de placer un astérisque devantles logarithmes des sinus et tangente de 5°50’ pour indiquer au lecteur le point précis où commence la caractéristique 9 ; les précédentes sont done 8, sauf les trois premières qui sont 7, et qui ne se présenteront cer- tainement jamais dans un caleul. Enfin la dernière ligne des log. tang. a 0 pour caractéristique. Quelques exemples vont éclaircir ce qui précède. Trouvez Il. sin 52°40’. On cherche 52° à gauche ; 40’ au-dessus dans les colonnes des log. sin. ; à l'intersection des colonnes horizontale et verticale se trouve 7522 ; Donc I. sin 52°40'=9,7522. Trouvez 1. cos 52°40". On cherche 52° à gauche ; 40’ au-dessus dans les colonnes des log. cos ; et l’on trouve à l'intersection le nombre 9252 ; done : 1. cos 52°40/—9,9952. De même on trouvera : \ 1. tg. 52240 —9,8070. DES LOGARITHMES. 121 Quant à |. cotg 52°40’, comme on sait que : 1 Cotg a=——, d'où |. cotg a=— ]. 18 a, on aura: {94 (ga 1. cotg 5240 =— |. t9 52°40'= —9,8070, et l'on se servira du complément sans l'écrire toutefois. Trouvez |. sin 78°20'; 1. cos 78°20'; I. cotg 78°20' ; I. tg 78°20". On cherchera dans chaque cas 78° à droite, 20’ en-dessous dans les colonnes respectives, et l'on trouvera : L. sin 78°20"=9,9909 quoique la table ne donne que 09 ; mais les deux chiffres supérieurs dans la même colonne sont 99 et l'on sait que la caractéristique est toujours 9. L. cos 78°20—9,5058. 1. cotg 78°20'—9,5149. Quant à 1. tg78°20", comme tg «= 1 ; on aura : |. t9 78°20' cotg a ——9,5149, dont on se servira en employant son CompIemente @) Trouvez |. sin 60°. Comme 0’ ne se trouve pas en-dessous, li faudra chercher 1. sin 59°60/= 9,9575. Ilnous reste encore à exposer la disposition que nous avons donnée aux tables inverses. Ici nous avons éprouvé des difficultés sérieuses ; il était impos- sible en effet de supprimer la caractéristique, et en voulant faire rentrer dans notre table tous les logarithmes des sinus et tangentes depuis la caractéristique 7 jusqu'à la caractéristique 0, nous étions obligé à dresser une multitude de tables, et nous n'atteignions plus notre but. Force nous a donc été de nous borner aux logarithmes des sinus et tangentes qui ont 9 pour caractéristique ; et cette restriction ne présente aucun inconvénient dans la pratique, puisqu'elle ne laisse de côté que les angles inférieurs à 5°50”, comme nous l'avons déjà montré. (‘) On doit bien retenir que I. tg (45°Æa)=-1.cotg(459+a). et que I. cotg(45—a)—=—1tg (450—a). 16 122 F. FOLIE. — NOUVELLES TABLES USUELLES S'il arrivait que l’on rencontrât un logarithme correspondant à un angle aussi petit, il faudrait chercher cet angle dans la table directe. La table inverse est divisée en deux parties, celle de gauche pour les sinus, celle de droite pour les tangentes.Chacune d'elles renferme 10 colonnes verticales comme dans la table inverse des logarithmes des nombres naturels de Struve ; à gauche, comme dans cette même table, figurent les deux premiers chiffres du logarithme donné, le 5" étant inscrit au-dessus de chaque colonne. Enfin, les chiffres inscrits dans les colonnes indiquant des minutes et secondes, tandis que le nombre de degrés correspondant se lit également à gauche, sur la même ligne horizontale. Les minutes sont données par les deux premiers chiffres, et le troisième indique des dizaines de secondes ; il eût été inutile de pousser jusqu'aux secondes simples, et cette prétendue exactitude n'eût du reste été qu'illusoire ; nous nous sommes done arrêté aux dizaines de secon- des, et nous avons partout supprimé le dernier zéro, ce qui nous a permis de restreindre les dimensions de la table. Afin du reste d'éviter toute erreur, les chiffres qui indiquent les minutes et celui qui donne les dizaines de secondes sont en carac- tères différents. Il peut arriver toutefois que le nombre de degrés soit plus consi- dérable que celui qui se trouve sur la même ligne horizontale : dans ce cas, un signe (*) placé au-dessus du nombre de minutes et secondes indiquera qu'il faut augmenter le chiffre des degrés d’une unité ; deux signes (**), qu'il faut l'augmenter de deux unités. Quand, d'une ligne à la suivante, le nombre de degrés varie da- vantage, comme, dans la table des sinus, au-delà de 65°, nous avons inscrit deux nombres de degrés sur la même ligne horizon- tale, l’un à gauche, l’autre à droite. Pour les premiers nombres de la colonne (sans signe (*) ) le nom- bre correspondant de degrés est celui même qui est inscrit à gauche ; pour ceux qui suivent avec un (*) ou deux signes (**), on augmen- tera ce nombre d'un ou deux degrés ; pour ceux qui viennent après sans signe (*), on lira le nombre de degrés placé à droite ; enfin on lira un ou deux degrés de plus que le nombre pour ceux que l'on trouvera encore à la suite des autres avec un (*) ou deux signes (**). Pour la ligne horizontale inférieure, cette disposition même de- DES LOGARITHMES. 125 venant trop compliquée, nous avons placé en-dessous de chaque nombre de minutes et de secondes,le nombre de degrés correspondant. Hätons-nous de donner quelques exemples de tous les cas qui peuvent se présenter. Soit 1.sinA—9,004. On cherche 00 à gauche, 4 au-dessus, et l’on trouve à l'intersec- tion des lignes qui passent par ces chiffres : 473 ; à gauche se lit 5° : donc A—5°47'50". Soit I.sinA =9,287. À l'intersection des lignes menées par 28 et 7 on trouve “100 et à gauche 10° ; à cause du signe (*) on prend 11°; Donc A =11°10/0”. Si l’on donne pour L.sinA les valeurs suivantes : 908366 19,985 -29;988%: 19:989/:109:992; les angles À correspondants seront : 7494190". 75°1'40". 763550". 772950”. 79210". Lorsque l’on aura un log.cosin., on cherchera l'angle correspon- dant comme si c'était un log.sin., et l'on en prendra le com- plément. Soit I.cosA=—9,985= [.sinA'; A—740490". A—1555'40". Quand un log.tang. a pour caractéristique 9, la recherche de l’angle ne représente aucune difficulté ; en voici deux exemples : Soit L.(gA=—9,800. A=392°15"0”. —9,895. A=58°0/40”. Si la caractéristique est 0, on procède comme suit : Soit LtgA= 0,107 ; on en conclut : I.cotgA =9,985, et l'on est ramené au cas suivant. Quand on donne un log cotg. avec la caractéristique 9, on cherche l'angle comme si c'était un log.tang. et l'on en prend le com. plément. 124 F. FoLiE. — NOUVELLES TABLES USUELLES Soit I.cotgA—9,985—1.tgA’, A'=580/40'. A—51°5920”. Si la caractéristique est 0, le procédé est plus simple : Soit L.cotg.A—0,107 ; d'où L.tgA—9,895. A—58°0'40”. Nous ne nous arrêterons pas ici à donner des exemples de l'emploi des différences qui est fort aisé, et qui se présentera naturellement dans la résolution numérique des triangles. N.-B. La disposition la mieux appropriée à l'emploi de ces tables consiste à les coller dos à dos sur une feuille de carton. C’est dans cette vue que nous avons placé une partie de la table inverse des lignes trigonométriques à la suite de la table directe, de manière que les deux feuilles dont se composent ces tables soient de même dimension. Résolution numérique des triangles. (°) Triangles rectangles. 1% Cas. a=589.25 + B—67°25. (**) Formules : b—asinB. c—acosB. Lb= L.a+ 1.sinB. L.c— l.a+ L.cosB. La—2.77050 L.cosB—9.58500 I.sinB—9.96525 L.c—2.55550 + c—296.65 Lb=92.75555 - b—545.96 Peas: b—545.96. B—67°23/. Formules : c—bcotgB. a—— sinB (”) Nos exemples sont ceux de Serret, bornés à l'approximation que compor- tent nos tables. On voudra bien comparer nos types de calcul, sous le rapport de la simplicité, à ceux de cet auteur qui est à nos yeux le plus recommandable. Nous sommes bien convaincu qu'il connaît beaucoup mieux que nous les arti- fices que nous employons ; mais nous aurions voulu les voir exposés dans son excellent traité de trigonométrie. () Exemple traité par Serret : a=5892,51. B—6702248/,48 b=5439,24. DES LOGARITHMES. 1925 L.e= 1.64 I.cotgB. La—=1.6— L.sinB. 1.6—9.75557 recherché de nouveau directement. L.sinB—9,96525 L.cotgB—9.61962 1.c—2.55519 c—226,59. L.a=2.77052 a—589,52. En comparant ces chiffres aux précédents, on voit que l'accumu- lation des erreurs ne va guère au-delà d'une demi-unité sur le 4"° chiffre, résultat auquel on n'aurait peut-être pas osé s'attendre. gme Cas. a=589.25 + b—554.96. ù b Formules : sinb=— + C—«CcosB. L.sinB= 1.b— La. [.c— La+ l.cosB. 1.b—9,75557 l.a—92,77050— 1.sinB—9.96527 B—67°23 28". l.cosB—9.58490 d'où ajoutant [.a : 1.c—2.3552 c—9296.60. Ame Cas b—543,96 c—296.60, Formules : t2B— A—= se sie 2 € ” sinB LtgB=— L.b— Ic La 1b— ILsinB. 1.b—9.735557 L.c—2,55594— recherché directement. Lig B—0.58005 ; L.1gB'—9.61997.B'-- 2257". B—67°25/. L.sinB=9.96525—- a] DE La—2.77032. : a—589.95. Certes, on ne peut pas exiger plus d'exactitude. 126 F. FoLiE. — NOUVELLES TABLES USUELLES Triangles quelconques. 1°" cas. A=81°47’, B= 5815". a—701,22. Donc A+B=—120°. C—60. Formules : pu, ne . Re + 2T =bcsinA. sinA sin A Lb= La+ LsinB— I.sinA ; 1.c— La I.sinC— [.sinA. L2T= 16H lc I.sinA, La—2.84585 1.sinB=—9.79148 L.sinC =9.9575. 1.sinA—9.99554— 1.b—2.64176. b—258.96. 1.c—2.78778 c—615.49. Ajoutant avec |.sinA : L2T—5.42508. 2T—266148,6. T=—153074,5. Qme Cas. a=424,l. b - 571,09. C—91°47. h A+B d'où : —1033",5. qe A 2 2 è ’ 1 a—b A+B Formules : tg e Don ts Mo 1 cos (AB) e—(a+b) PC IICEER cos (A—B). ue A+B Le = L.(a—b) — L(a+b)+ je NE) 2 Lc= 1.(a+b)+ I.co = Lénse () Exemple traité par Serret : A—8104712,5 . B—58019/47”,5. C—600. a—10192,24. b—4582,65. c—6135,74. DES LOGARITHMES. 127 a—.0=55,01.atb—795,18. L.(a-—b)=1.72458 L.(a+-b)=—2.90049— * Lg DER 9.284928 — léos 9 0976st + D Ltg 000 AB 96,95 5 9 A5 ù A=98019,75 L. 9.975359 — 0 k B—60° 0',25 [.c=—2.20141 c—159,02. Nous indiquerons seulement la manière de calculer l'aire du triangle par la formule : (a+b)(a—b){ . , A+B A—B .A+B A—B a ——— cnrs 7 (CS mm Z Sin — g pe Outre les logarithmes précédents il faut encore chercher 1.sin —— Posant alors : T='T'—T” on aura : LB A—B LT"= 1.(a+-b)+ L(a—0) +2 Lsin _ —+I.cotg MERE 1.4. B A—B LT"=1.(a+b)+ 1.(a—b) +2 1.cos = + Lg. 4. Si l'on voulait effectuer le caleul, il faudrait avoir soin d'écrire les nouveaux logarithmes nécessaires en-dessous des précédents, afin de n'écrire inutilement aucun chiffre, 128 jme Cas. : bris Formules : sin B—— sin A. c—« — a «219,91. b—951,35. A9T4T IE F. FOLIE. — NOUVELLES TABLES USUELLES fo) . OT=ab sin C. sin L.sinB— 1.b— 1.a+ 1.sinA, ].c= 1.a— I.sinA+ I.sinC. 1.b—92.40026 L2T— L.a+ 1.b+ LsinC. L.a—2,54922— 1.snmA—9.66866 l.sinB—9.72670. 1.sinC,—9.95750. 1.sin C,—8.88565 lc, —2.61106 Le, —1.55919 LOT, —4.67998 1.927°=5-62811 Les quantités 4e Cas. Formules : A=—927°47"45". B,=—52°1220". B,—147°47'40". A+B,=—60°05". C,—120%(moins 5// que nous devons négliger). C,=B:—A—#4°2455". d'où c,—485.6 c,=56,237. QT, —47857,8. 2T,—4947.1. T,=25998,9 T,—2195,55. B,, C, ,c,, et T, répondent à la 1"° solution ; Bb; Cc et Taha 2%. a—608.8 ; b—1565.7 ; c—949.7. (55) cas Rte) p (p—a) 1 (p—a)(p—c) 2 p (p—b) (‘) Exemple traité par Serre : A—927047/44,77. a—2199,12. b—2515,28 dre Solution. B—3201225/,25. C—120°0‘0". c—4084,08. 2e Solution. B—147047/44/,77. C—4024/50/,46. C—3562,495. (*) Exemple traité par Serret (17e édition). [= a=608,775. b—1565,656. c—949,689. 1 1 A=1 1°18:53/.75.—-B-—60015/18",40. 5 C—180265",85. DES LOGARITHMES. 129 p 1 T4 p (p—a)(p—b) (p—0). 1 le es A=-- ÿ [l (p—b)+1.(p—c)—-1(p—a)-—1.p]. 1 1: 18 Bi il (p—a)+1.(p—e)—1.(p —b)—1.p]. { . | 8 = (p—a)+1.(p—b)—1.(p—c)—1.p]. 1 LT = {l(p—aHl{(p-0)Hl(p—0)+lp]. On trouve : a +bc—2p—2999,9 ; d'où : p=1461,1. p—a—852,5. p—0—97,4. p—c—511.4. l.p —5.16472— Nous ne mettons de signe — qu'au 1. (p—a)=2.95055 premier de ces logarithmes, parce 1. (p—b)=1.98860 que seul il est toujours négatif 1. (p—c)=2.70876 excepté dans le calcul de l’aire. 21.1g5-A—18.60209 1 2.1g—-B 20,18599 2 Lg C19,04567 DE —10,79265 1 Î (O—A—7.c: ” de Ligs-A—9.301045 - à 1°1910" | 1 #4 1 1 Y/ ! L18--B—0.242995 - à B=60"1510 (par 3 =B'=29°4450") 1 Lis C=9.522835 —C=1809555/ KO LT —5.596315 —(A+B+C)=90°015 ; 15” d'erreur 2 totale ; T —949089. 50" sur les trois angles du triangle. 17 150 F. FOLIE. — NOUVELLES TABLES USUELLES Il ne sera peut-être pas hors de propos de rappeler ici les prin- cipes qui nous servent constamment de règle dans tous les calculs logarithmiques, et dont un lecteur attentif aura déjà vu l'application dans tous les exemples que nous avons traités. à Le premier de ces principes est de ne jamais écrire un logarithme qu’une seule fois, quel que soit le nombre des quantités qu'il sert à déterminer. Le second, sans lequel le premier serait souvent inapplicable, consiste à toujours écrire le logarithme lui-même, et jamais son complément, n'eüt-on même besoin que de celui-ci. Outre les avan- tages déjà énumérés, cette méthode procure celui de pouvoir écrire beaucoup plus vite le logarithme et le vérifier bien plus aisément. Nous mentionnerons encore un artifice bien connu des calcula- teurs et destiné à appliquer le premier prineipe dans le cas où l’on a un grand nombre d'observations faites toutes dans un même but ; cet artifice peut être utile dans la topographie, quoique ses appli- cations les plus fréquentes se rencontrent dans l'astronomie et la géodésie. Supposons, pour fixer les idées par un exemple simple, qu'une base étant exactement connue, on veuille trouver la distance de deux points visibles des deux extrémités de cette base. Fig. V. PR On pourra mesurer (fig. V) les ee angles A, A’, B, B', et répéter En \ l'observation 20 fois, (dé) 5. Be me \æ , . . ie UE & Pour déterminer la distance ASC É \ cherchée au moyen de ces obser- AS EN vations, On Commencera per cal- ZA É = culer /16s/S6ntéS Na, b, Fa, t0nieau moven des formules connues : sin À HÉRONSINNB 7 ‘sin A LB) ‘sin(A-LB) sin À’ sin B’ LA EC — 0 “sin(AEB) ‘sin(A+B) () On pourra, si on le préfère, supposer qu'on veuille, au moyeu de la base AB et des angles que l’on mesurera, déterminer 20 distances différentes entre des points visibles de ses deux extrémités ; la disposition du calcul restera iden- tiquement la même, DÉS LOGARITHMES. 151 On voit que le côté c se reproduit quatre fois pour chaque ob- servation, donc en tout 80 fois ; il faut cependant n'écrire qu'une fois son logarithme ; pour cela on l'écrira tout àu bas d'une feuille volante, et on le fera glisser successivement aux 80 pl aces qu'il doit occuper. De même, il ne faut écrire qu’une fois pour chaque observation sin(A+-B) et sin(A’+B"). Voici done le type du caleul dans lequel nous représentons par des points les logarithmes à écrire, tandis que le 1° se trouve sur une feuille volante. 1 Obs Os "5e; Ogs. Ame" Os: IÈ P'smCASEB)l Eee 02 a eue Rte DANS LEA At VOA PERRET ST On RSS ne SE Li DEA Po PC etc. TAGS à AR AE ere Ra I Re A One vole | sel = SEE Gn obtient de même L.a’ et 1 &’. Actuellement la distance d peut se déterminer à la fois dans deux triangles différents dont on connait deux côtés et l'angle compris, ce qui fournira une vérification. : Le troisième principe est de ne jamais rendre une formule calcu- lable par logarithmes au moyen de l'introduction d’une quantité auxiliaire, lorsque cette quantité n’est pas utile à connaître dans la suite du calcul. Ainsi quand on voudra se servir de la formule : c—acosB—-bcosA, au lieu de chercher à la rendre calculable par logarithmes en posant : a b 1° « em 1 OU 10 ET sinA sinB e—n(sinAcosB—sinBcosB)— nsin(A+B), 152 F. FoLie. — NOUVELLES TABLES USUELLES ce qui force à chercher trois logarithmes, savoir : La, I.sinA et L.sin(A+B), on conçoit que si l'on a obtenu d'avance ou si l'on doit employer plus tard I.cosA et I.cosB, il sera plus simple de calculer séparé- ment les deux nombres acosB et bcosA et d'en faire la somme. De même si l'on veut déterminer l'angle A donné par asimB CE 1—acosB ? nous montrerons à l'évidence que le procédé le plus simple pour rendre cette formule calculable par logarithmes est toujours plus long et moins exact que le procédé direct. Recherchons d’abord les formules les plus simples de transfor- mation, et pour cela distinguons deux cas, «a<1,a>1. 4° a 1. On pourra poser acosB<=cos C; d'où : 1.cosC— L.a+- l.cosB ; ce qui donne l'angle C, mais entaché d’une erreur inévitable. 1 Ensuite, comme 1 + cosC— 2c0s°— C, on aura : 1 LtgA = L.a+ LsinB— 1.2—2 1. cos ne - : 1 , 1 on doit donc chercher gCpuis cos—C et le doubler, enfin 1.9; 2 en tout donc 5 logarithmes à chercher pour obtenir L.tg.A, outre que l'un d'eux est à doubler ; et de plus, l'on emploie un angle fautif C. sinB 1 2 a>1. On fera : GA = — et l'on posera un = CosC ; — —cosB a F.cosC—— ].a ; ce qui donne l'angle €, fautif comme précédemment ; C+4B C— B . puis, comme : cosC+- cosB=—2 cos , il faudra chercher gr (To DES LOGARITHMES. 133 “ie . g , cos mn ot 1.2, pour obtenir : C+B une ete lab NO cos _ — 10 B; Comme dans le 1" cas, un angle fautif, 5 logarithmes à chercher À ÿ CHR CR OT ÉTOE et en outre calculer Dans ie procédé direct au contraire, on commence par chercher par logarithmes le nombre 1 +acosB, quel que soit «a ; ce nombre sera entaché d'erreur, mais entre le calcul d’un nombre et celui d'un angle, avec toute l'exactitude dont chacun est susceptible, il nya pas à hésiter ; le premier est de beaucoup le plus simple ; on peut même, pensons-nous, affirmer en général que l'erreur sera moins considérable ; sous ce rapport done, l'avantage reste déjà au procédé dircet,. Achevons le ealeul ; on cherchera le logarithme du nombre 1—+-acosB, logarithme plus aisé à trouver encore que celui d'un sinus ou cosinus, et l’on aura : LtgA= L.a+ LsinB— 1.(1+acosB). Type du calcul : L.sinB l.cosB Een | acosB. L.acosB ; d'où : | Piel 1:(1 LacosB) LtgA. En tout donc 4 logarithmes à chercher ; aucune opération inter- médiaire à effectuer, car ajouter une unité à un nombre ne peut pas s'appeler une opération ; enfin pas d'angle auxiliaire à déter- miner. La supériorité de ce procédé est donc hors de doute ; et remarquez que nous avons cependant omis de parler de la difficulté que pré- sente quelquefois la transformation analytique d'une expression que l'on veut rendre calculable par logarithmes. 134 F. FoLie. — NOUVELLES TABLES USUELLES Cette transformation n'est réellement avantageuse que dans le cas où elle n’exigerait pas l'emploi de logarithmes nouveaux dont le procédé direct aurait besoin. Un des exemples les plus remarquables de ce cas se rencontre précisément dans le problème que nous venons de traiter et dont la fin de la solution n’a été qu'indiquée parce que notre intention était d'y revenir dans cette discussion. Le lecteur se rappelle que le calcul de la distance de deux points inaccessibles s'est trouvé ramené à la détermination du 5"° côté d'un triangle dont on connait l'angle opposé et les deux autres côtés ; mais ces deux côtés sont donnés par leurs logarithmes, et pour em- ployer la solution ordinaire, il faudrait chercher les nombres cor- respondants (eause d'erreur) a et b, puis les logarithmes de ab et a—b (nouvelle cause d'erreur). Pour éviter ce passage du loga-. : ! . a—b rithme au nombre, Gauss a rendu l'expression” caleulable par a + logarithmes en la remplaçant par et posant ER == {8.p , Ce QUE «& Î —-—- (20 a—Ùb 1—te.p donne = SE gta p). a+6 1+tg.p Or, Ltg.p - 1.b— l.a. de sorte qu'il est inutile de chercher Îles nombres « et b. En reprenant la formule connue : us & AB , Vars Pi Di : Hs B ss - ph , On pourra déter- miner tous les angles du triangle et par suite la distance cherchée. Nous croyons inutile de donner le type du caleul ; et nous nous serions bien gardé d'entrer dans ces détails, si notre but n'était de réconcilier avec le calcul par logarithmes ceux qui en redoutent les complications imaginaires. DES LOGARITHMES. 135 Le lecteur habitué à se servir des petites tables à 7 décimales et à obtenir une approximation à peine supérieure à celles que fourmis- sent les nôtres, à moins d'effectuer, pour les différences, des caleuls réellement rebutants, s'étonnera sans doute de l'exactitude des résul- tats que nous venons d'obtenir. Et cependant, nous pouvons hautement affirmer que nous avons opéré consciencieusement, sans jamais forcer la décimale dans un sens qui eût pu nous être favorable, comme le lecteur s'en con- vainera du reste s'il veut prendre la peine de vérifier nos calculs. Il eût été trop long de les publier en entier, et c'eùt été même donner une fausse idée de la manière dont ils doivent s'effectuer : car en général, dans l'emploi de nos tables, les différences peuvent et doivent être calculées de tête ; et nous pouvons assurer, par notre propre expérience, que ce procédé n'exige pas une longue ha- bituce. Les détails numériques dans lesquels nous sommes entré auront sufii, nous l'espérons, pour convaincre le lecteur des immenses avantages que procurent ces tables, avantages que nous pouvons résumer en ces trois points. Exactitude suffisante des résultats. (*) Simplicité et brièveté des opérations. Enfin, n'avoir à manier que deux feuilles de papier sur lesquelles se lisent immédiatement le logarithme et le nombre, au lieu de de- voir feuilleter une à une les pages d’un volume, et de perdre à cette opération fastidieuse près de la moitié du temps nécessaire pour ar- river au résultat ! Si l'on compare enfin ces tables à la règle à calcul, qu'on a raison d'introduire dans l'enseignement parce qu'elle ne pourrait être rem- placée sur le terrain, il est hors de doute que celle-ci conduit moins rapidement au résultat, le donne d'une manière moins exacte, et surtout est beaucoup plus restreinte dans ses applications. Nous osons done espérer que tous ceux qui ont à cœur la diffu- sion des méthodes simples et expéditives de calcul s'efforceront de propager l'emploi de ces tables, et nous nous estimerons heureux fl : 1. (‘) A peine 3; unité d'erreur sur le 4% chiffre dans les nombres et 73 minute sur les angles, dans le résultat final, 136 F. FoLiE. — NOUVELLES TABLES USUELLES DES LOGARITHMES. d'avoir pu contribuer à cette œuvre en les publiant ; mais le mérite des services qu'elles rendront doit revenir tout entier à leur véritable inventeur, au plus grand des astronomes contemporains. (*) (*) A la suite de ses fables de logarithmes a cinq décimales pour les nombres ct les lignes trigonométriques, Paris, Gauthier-Villars, Monsienr Houël a donné des tables à quatre décimales analogues à celles de Struve, mais sans citer l’auteur de celte disposition ; peut-être n’a-t-il pas eu connaissance de ces dernières qui ne sont du reste répandues que dans les observatoires de la Russie et de l’Allemagne. Comme elles sont de beaucoup antérieures à celles de M. Houël, c’est en faveur de Siruve que nous revendiquons la priorité de l’idée, jusqu’à preuve du cor- traire. Quant à l'extension de cette même idée aux tables des logarithmes des lignes trigonométriques nous ne pensons pas qu’elle ait élé réalisée jusqu’aujourd’hui. VI. — Des surfaces réglées et des surfaces enveloppes. PAR Lx Docreur G. STAMMER , PROFESSEUR A DUSSELDORF, 1. Toute ligne droite qui se trouve sur une surface quelconque, est contenue dans chaque plan qui est tangent à la surface dans an point de la droite. Cette proposition peut se vérifier de Ja manière suivante : Si ous prenons pour origine des coordonnées un point de la droite, les équations en seront LMI , Y=NZ. Par conséquent l'équation de la surface qui eontient cette droite pourra s'écrire sous la forme Ax—mz) +B(y—n:)—0 , où À et B sont des fonctions des coordonnées. Le plan qui touche la surface à l'origine des coordonnées aura pour équation ax + by—(amtbn)z= (*) Dans une lettre privée adressée à M. Noël, professeur émérite à l'Université de Liége, M. Stammer fait connaître ie but qu'il s’est proposé d’atteindre dans le présent Mémoire. Ne pouvant s’habituer à la méthode infinitésimaie, dit l’auteur, il a tâché de parvenir aux équations différentielles des surfaces réglées et des surfaces enveloppes par une voie indépendante &e cette méthode. 18 138 (5. STAMMER. — DES SURFACES RÉGLÉES où & et b sont les termes de À et B dépourvus de x, y, z. Comme cette équation est satisfaite en faisant TU ES elle prouve le théorème proposé. H s'ensuit que : 4° Le plan tangentà unesurface régléeen un point quelconque contient toutes les droites de a surface qui passent par ce point. Ces droites font done partie de fa ligne d’intersection du plan avec la surface. 2 Deux droites de la surface réglée qui se coupent, déterminent le plan tangent au point d'intersection. H faut toutefois excepier le cas où le point est un point singulier de la surface. 5. La ligne d'intersection de a surface avee le plan tangent au point x’, y',z, se trouve en combinant l'équation de la surface z' = f(x,y") avee l'équation de son plan tangent En posani x» +#, y—y+k et en prenant À et k assez petits, on peut développer f(x,y) d'après la série de Taylor. On a done pour tous les points de la surface assez rapprochés du point ef? F4 =. CN) ÿ > = Ù à d} di D dif A z—g LA —Z3 L k Le } Ar dx’ qu ï Dr lx'du! | ON à 5 ER Et ® Q H RTE à dy” ( ) En substituant dans cette équation pour z sa valeur tirée de équation du plan tangent, on obtient l'équation de la projection de ja ligne d’intersection sur le plan des «y : () Pour distinguer les différentielles complètes des différentielles partielles, nous désignerons les premières par la lettre d, et les dernières par d. ET DES SURFACES ENVELOPPES, 186 - a et pol a nf Eh Rp : G.) an as te \ dx du Ge dj? \ id} 1 EF LPO Pf D'NE S er AT ns le a nl 7 du EN DE Ets pe dx*dy h dx dy \ À GLEN TES Cette équation nous fournit la relation qui doit exister entre les quantités k et Æ pour que tous les points x’—Æh, y'+X soient situés : RE RE sur la ligne d'intersection. Or, le rapport pe N'étant autre Fe VU chose que le coefficient angulaire de la droite qui joint le point x, y au point x’, y’, on voit que: cette droite forme une partie de la ligne d'intersection, lorsque ce rapport est indépendant du point x, y c’est-à-dire de la quantité A. FI faut donc que, pour les surfaces réglées, les coefficients de différentes puissances de } puissent s’évanouir séparément. Ces surfaces doivent donc satisfaire au système suivant d'équations eu P] 72 Ë 2 À : d f Lo df or d ñ à nn dx” dxdy R dy°\ x in da dx La valeur du ÉAppor ne que nous désignerons pour plus de simplicité par À, est fournie par la première équation ; les autre équations sont de condition. Or, la première équation fournit deux valeurs réelles, une seule ou deux valeurs imaginaires, suivant que af a) Did. dpi Gy) dxdy} € dr dy : d Her 140 G. STAMMER. — DES SURFACES RÉGLÉES Nous voyons donc que la surface n'est pas réglée dès que Ps edf dif 2 dxdy de dj - Àl s’agit encore d'examiner si les autres équa- tions sont vérifiées. Pour cela, supposons que les m—1 premières équations aient lieu et cherchons sous quelles conditions la mème équation est alors vraie aussi. Si dans la (m—1)#"e équation on met pour À sa valeur tirée de la première équation on obtient une équation entre les coordonnées du point de contact. Mais comme la surface doit être réglée, il faut que par chacun de ses points on puisse mener des droites ; par conséquent les équations doivent subsister pour toutes les valeurs de x et de y; et comme d’ailleurs ces variables sont indépendantes l'une de l'autre, il faut que les coefficients différentiels pris par rapport à x et y disparaissent sépa- rément ; c.-à-d. (V). D Sd Tia en dE, dù Ep ——— }? TE —7 = — 0, gear C0 ea en Ta dx CHE L (Han — fe ; dx"d Fan de que dy° qe TOUR L IF, dÀ DAME ES dx dy où F,, représente le premier membre de la (#2—1 )ième équation. En multipliant la seconde de ces équations par À et l’ajoutant alors à la premiére, on obtient dmtif m+1 fs j M+Af se en Des GET er) dr Ur (1 RTC: L ORETT RE Goes dE te die de RE 0 A dx TE dy à )- DENQE Si l’on compare cette équation à la m7” des équations (IH), on voit que cette dernière est vérifiée dès que de m / dÀ | dx Fb a )=0 ET DES SURFACES ENVELOPPES. 141 c'est-à-dire dès que dF dÀ dÀ —"—(, —+}——0 ll dÀ te dx dy (ME 3. Examinons d'abord la première de ces conditions ; on & : dE, d"f CHE D gen (HS RS +. . ms di" qu" + è ICS a Par conséquent la condition De ua est vérifiée en même temps \ & | 5, : » a 6 que ——0; et l’on a F3,—, lorsqu'en même temps F,,—$ et h} NES 20 di Reprenons maintena ‘ les équations (IH). La première de ces équations fournit “drdy dy il faut donc ET (VID) Si nous élevons cette équation au carré et que nous la compa- rions à l'équation F,=0, nous trouvons as de dLdy di di 149 CG. STANBER. —— DES SURFACES RÉGLÉES Si gette équation est satisfaite, il en sera de même de l'équation dog A Il s'en suit F0: Mais on a aussi _dF, dF, dF, d Dj dy dia = { de, CAT S dE. et comme — =0, il faut —- 0, par conséquent — =—=0 , et À dy dÀ ni] ’ Ra nu 40 ; et en général F,—0. Il est donc démontré que la surface est réglée lorsque l'équation ( | CRC dxdy dx? dy / est satisfaite par l'équation de la surface, ou bien, en remettant z pour f(x.,y), lorsque Ad be direz ; dxdy.} ‘dx dy et la direction de la droite qui passe par le point x, y, z est faurnie par l'équation qui se réduit maintenant à d?z a?z (HEIN d°z dxdy d'x 0, où = — TT (XD) dy ax d°z d?z dé ET DES SURFACES ENVELOPPES. 143 4. La seconde des deux conditions (VEE) esi satisfaite en même temps que la première. En eflet, en différentiant la première de, équations {XT) d'après x et d'après y, on obtient, en désignant pay F le premier membre de cette équation, ous dE 3 dE fou LE +19} dei ie ct à dx dy dx?dy dxdy” as lady \dr | it fl dr, d'z/ dà. cà ; ŒUy dy Fo di Mais nous avons déjà trouvé (35) que la condition (X) fait éva- QE nouir le terme —— ; il faut donc dy TA AA ee 20) ] ; dx dy ee qu'it fallait prouver. En résumant ce que nous venons de trouver, nous voyons que Î: surface z= f(x, y) ? est réglée, lorsque LP: ÉD dx dy où À est la racine de l'équation 2. 2. 72 dèz a d?z | 2 2x EXO en CR F2 e Il é dx? i ll >. Nous avons reconnu comme un cas spécial l'équation 144 (Gr. STAMMER. — DES SURFACES RÉGLÉES HYrINe At d?z ei. ds dy” Dans ce cas les deux racines de l’équation précédente deviennent égales, c’est-à-dire que les deux droites, passant par le même point, coincident. Tous les plans qui touchent la surface le long de cette droite, ont done deux droites coïncidentes de commun ; par consé- quent un seul et même plan touche la surface le long de chacune des droites déterminées par les équations précédentes. La surface est donc développable. Cette propriété peut aussi être démontrée directement. ; A NU, à sue ; En effet, ne et FA étant les coefficients qui déterminent le plan dx La tangent au point x,y, on trouve la valeur de ces coefficients pour le point x'—x+h, y=y+4k, en substituant ces valeurs et développant d'après le théorème de Taylor dz «dr d?z d?z PR LOT RES ee M d'u T dxdiy Fe D CT 0 RE d Le (EE on on w 2 2. 52 5e dz d°z d2z 1lrdrz Ur) —— — —— —h° + 2—— au FFE dxdy CS rr7ci day d°z dxdy Il est alors facile de démontrer d'après ce qui précède, que les coefficients des différentes puissances de À deviennent égaux à zéro use dz par la valeur particulière de À ; etlona ——- dx Et comme d'ailleurs les plans tangents en x,y et x’,y' ont ces deux points de commun, ils coïncident entièrement. ET DES SURFACES ENVELOPPES. 145 6. Nous venons de démontrer que les surfaces développables sont représentées par l’équation différentielle ANA dr de XII D EE à — | dxdy dx? dy” ( dE ou par son intégrale dz {dz nn Te) où 9 désigne une fonction quelconque. Il reste donc pour les surfaces gauches les conditions d?z d?z d?z d'z0\e (In ANN Dere en EE Feu dxdy a ( 1e dx* dy dy” dxdy dÀ dÀ pe À mn (XI). En substituant dans la dernière de ces équations les valeurs de À dÀ DAME Fe | vi 4 tirées de la première, on obtient une équation entre les différentielles troisièmes. 7. Des surfaces enveloppes. On entend par surface enveloppe la surface qui fouche toutes les surfaces d’une même famille qui va- rient d'après une loi donnée. Les surfaces enveloppées sont données par la même équation qui fournit toutes ces surfaces lorsqu'on y fait varier une ou plusieurs constantes, appelées paramètres. Supposons d'abord que l'équation des surfaces enveloppées ne contienne qu'un seul paramètre ; elle sera de la forme Z={(x, y, à), ou F(x, y, Z, «)—0, où & désigne le paramètre. Si nous représentons par 2=q(x, U) 146 G. STAMMER. — DES SURFACES RÉGLÉES l'équation demandée de la surface enveloppe, il faudra, d’après no- tre définition, pour chacun de ses points d?, dz dZ dz Dr RE dx dx dy dy ou jt de df dp df é ? (x; y}== (te V; æ), FAANR PEL dj dy’ (XIV) puisque dans chacun de ses points elle touche une des surfaces en- veloppées. Les deux dernières équations fournissent x et y en fonc- tions de &, ce qui était à prévoir en ce que dans chacun de ses points la surface enveloppe sera touchée par une autre des surfaces données. En substituant ces valeurs dans la première des équations , elle prendra la forme HCFR a)=p(xe Ya) ; et comme elle doit subsister pour toutes les valeurs de &,il faut aussi df (te Ya) Fée de(x, Ya) do da c'est-à-dire f def dy, dep dx do dy — = —— dx da dy da da dx da dy do Cette équation, comparée aux deux dernières équations, prouve que pour tous les points des surfaces enveloppées situés sur la sur- face enveloppe, il faut RES ; (XV). Comme cette équation exprime, pour chaque valeur particulière de #, une relation entre x et y, elle nous montre que chacune des ET DES SURFACES ENVELOPPES. 147 surfaces données touche la surface enveloppe le long d'une ligne, qui sera courbe en général. 8. Si l'équation des surfaces données est écrite sous la forme F(x;, VOET a) 0, (XVD. nous obtiendrons encore tous les points de la surface cherchée en la combinant avec la condition trouvée. Or, cette condition fournit y en fonction de x et de «, tandis que æ reste indépendant de &. Il faut done, dx, y, x, a) af dE dy dF : dz 0 de de dy da dz da dE dz dy du dy de dy dz dy ) de de dE dz dE dE dz \ di : he \ dy me dz Fo Or, la quantité entre parenthèses n'est autre chose quela différen- tielle compiète de F(x, y, z)—0 qui doit être égale à zéro pour chaque valeur de x; et comme, d'après le développement pré- cédent, . dz -df Le il faudra Le (XVE da ; e }: Cette condition, jointe à l'équation (XVD), fournit l'équation cherchée, 9. Si l'équation donnée contient deux paramètres, le raisonne- ment restera le même, et nous aurons de _df de df dx dx’ dy dx : Mon. di Date ENT FC; VE a, PB) =? (x, y); 0. 148 G. STAMMER, — DES SURFACES RÉGLÉES Chaque valeur de « et G fournit donc une valeur déterminée pour x et pour y ; d’où l'on tire que chaque surface enveloppée est touchée par la surface enveloppe en des points déterminés, On voit en même temps qu'il ne peut exister plus de deux paramètres variables, car, si nous en admettions un plus grand nombre nous auriops autant d'équations pour déterminer x et y ce qui conduirait à des absurdités. En continuant le raisonnement, on trouve que la surface enve- loppe s'obtient en éliminant + et f entre les 3 équations dF dE F 2, B)=0, ———0, ——0. (X (&, y, &, G)=0, — 0, a 0. (XVII Il y a donc deux espèces différentes d'enveloppes, suivant que l'équation donnée contient un ou deux paramètres. La surface qui enveloppe toutes les shpères du même rayon,dont les centres se trouvent sur le même cercle, appartient à la première espèce ; mais lorsqu'on prend toutes les sphères dont les centres se trouvent sur la même sphère on obtient une surface enveloppe de la seconde espèce. 10. Si l'équation donnée est du premier degré z=—ax+-bi;+-c, où les constantes «, b, c contiennent le paramètre «, nous aurons dz da O—— =7x — LR XIX). do da +y da da ) Cette dernière équation fournit « en fonction de x et y ; après avoir substitué cette valeur de « dans l'équation du plan, il viendra da dc dz dz dz da : ( : da a db . de \ da A —(|, QEUE —— did t'dorsdx Li 4 = Si l'on élimine encore @ entre les deux dernières équations, on obtient une équation de la forme ET DES SURFACES ENVELOPPES, 149 GER AE oilu) ou bien, comme dans l'équation de la surface enveloppe il n'entre plus la variable «, dz dz ———— = _—! e }, dy ( dx ) CEE C'est l’équation trouvée déjà plus haut (6) pour les surfaces dé- veloppables. Il est done prouvé en même temps que les surfaces dé- veloppables sont des surfaces enveloppées par des plans dont l'équa- tion ne contient qu'une seule constante arbitraire. 11. Toutes les autres surfaces sont donc touchées par des plans dont l'équation contient deux constantes arbitraires. Pour trouver l'équation de la surface lorsque l'équation des plans tangents est donnée, soit cette dernière écrite sous la forme ax+-by+ez+1=0, où a=p, (a, B), b=p (x), c—p;(&, G). (XXH). Il faut alors (XXI). da db de da db de — y = + — =0, 2 — y +z— —0,. Fo ue 6 de as ae Es Mais en éliminant « et B entre les trois dernières des équations (XXI) on obtient une équation de la forme PAGE b, c)—0; et l'on peut maintenant considérer a et b comme les deux paramètres variables. Nous pouvons donc remplacer les équations (XXIIT), par les équations dc 2 =, y+2— —0. x + : 0, y TE 0 150 G. STAMMER, — DES SURFACES RÉGLÉES Mais l'équation X{a, b, c) fournit d£; dX dx de j da date ide da dx dx de da de db donc : en 1 CL de même ee sn HI de de Par conséquent on obtient l'équation de la surface en éliminant a, b, c entre les équations dx dx dx dx + = 4 — — =ÿÇyÿ— —— EE —-7- D on nn de da” Ÿ de db Remarque. Nous venons de voir qu'il existe des surfaces touchées par des plans dont l'équation contient deux paramètres arbitraires. Un exemple de cette dernière espèce de surfaces courbes est la sur- face engendrée par un plan, pour lequel le produit de ses distances de deux points fixes est constant. Soit ax+by+cz+1=0 l'équation du plan, et prenons les deux points fixes sur l'axe des x à distances égales (+ d et — d) de l’origine des coordonnées. Nous aurons les équations, (p° désignant la valeur constante du produit) 4 (a, b, c)—= pa +b°+c)—1-+ad =0. De là on trouve pour l'équation de la surface Cp (g27) + d?)] [Gf+e) pd) Hp' Cr —d)=0, ce qui exige GP) HE) pra = pe). La surface est donc un ellipsoïde de révolution dont l'axe de rota- tion est la ligne qui joint les deux points fixes. ET DES SURFACES ENVELOPPES. 151 L’équation peut aussi s'écrire u2Lz? r Re p° r°+-d° 19. Arèête de rebroussement. Nous avons trouvé (11) qu'on obtient une surface développable en éliminant le paramètre & entre le système des équations ab ax +by+-cz+ 10, x+y — Hz da da —0. (XXIV). En différentiant encore la dernière de ces équations, on obtient d?b de z—— —0. (XXV). Yy— - J da” da? La dernière équation représente encore un plan ; en éliminant a entre cette équation et la seconde des équations (XXIV), on obtiendra évidemment aussi une surface enveloppée par les tb d plans représentés par l'équation ay z _ —(. da Donc en éliminant « entre les trois équations on obtient un sys- tème de deux équations représentant une ligne courbe qui est située sur les deux surfaces développables.Cette ligne est nommée «rête de rebroussement. Or, pour la même valeur de a le système des équa- tions (XX IV) représente la droite d’intersection de deux plans, qui est située à la fois sur la surface développable et sur un de ses plans tangents ; cette droite est donc une arête de la surface. Ces mêmes plans sont tangents respectivement aux deux surfaces développables dont l'intersection forme l’arête de rebroussement. On en conclut que l’arête de rebroussement est la ligne à double courbure située sur la surface développable et enveloppée par ses arêtes. Note sur les Notiophilus , PAR Mr. Jur. PUTZEYS. Les espèces européennes du genre Notiophilus sont fort peu nombreuses ; mais plusieurs d'entre elles sont sujettes à des varia- tions de taille, de couleur, de forme et de ponctuation assez grandes pour que M. Waterhouse ait pu trouver, pour l'Angleterre seule- ment, matière à 18 espèces. Il est certainement très-facile d'établir un type de chacune des espèces signalées par M. Schaum (Naturg. der Ens. Deutschl. I 62 sq.); mais pour peu que l'on ait réuni un certain nombre de ces insectes, on en trouvera certainement plus d'un que l'on hésitera à rattacher à une espèce plutôt qu'à une autre. Duftschmidt attribuait à la différence des sexes les modifications existant dans la longueur ou la largeur. Dejean n'était pas éloigné de considérer tous les Notiophilus connus par lui en 1826 comme de simples variétés d’une espèce unique. (Voy. Spec. col. IE p. 277.) Le seul but que je me propose dans la présente note est de détailler les variétés auxquelles chaque espèce donne lieu. Pour cela, il faut d'abord fixer bien nettement les caractères essentiels dont la réunion constitue chaque espèce. Deux espèces surtout , aquaticus et palustris, sont très-voisines l'une de l’autre, tellement que Linné et Fabricius les ont confondues 20 154 Jur. Purzeys. — Note sur les Notiophilus. et que, même après que Duftschmidt les eùt distinguées, Gyllenhali, Dejcan et Heer ont continué à les considérer comme de simples variétés. Le N.aquaticus est de taille allongée : la tête n'est pas plus large que le corselet; les stries qu'elle porte sur le vertex sont parallèles ; le corselet a ses côtés fort peu arrondis et se dirigeant obliquement vers la base qui est légèrement rétrécie. Les élytres sont allongées, presque parallèles ; les stries, qui sont très-régulièrement ponctuées, disparaissent presque complètement vers l'extrémité; les 2° et 3° intervalles sont plus larges que les autres, mais Ce caractère n'est plus aussi distinct lorsque Îles points des élytres sont plus gros : le 2° porte, un peu avant le milieu, une fossette irrégulière qui en occupe toute la largeur ; on en remarque une seconde, moins large et moins profonde, vers l'extrémité de la 6e strie ; les intervalles des stries, surtout vers la base, sont finement, mais distinetement ciselés. La couleur générale est un bronzé très-brillant: les pattes sont entièrement noires; les quatre premiers articles des antennes sont ferrugineux en dessous; les palpes sont noirs. Le N. palustris est plus petit, surtout plus court, d'un noir brillant à peine bronzé ; les tibias, les quatre premiers articles des antennes et les 3 premiers articles des palpes sont testacés ; la tête est plus large que le corselet ; les sillons du vertex divergent en avant ; le corselet est arrondi sur les côtés, fortement rétréei avant les angles postérieurs ; les élytres sont ovales, les stries sont plus marquées et les points sont plus gros et moins régulièrement disposés, surtout vers la base ; les uns et les autres restent plus distincts vers l'extrémité; outre les deux fossettes qui existent chez laquaticus, on en remarque une 5° au dessus de la dernière. Les intervalles des stries sont complètement lisses. Dans l’une et dans l'autre espèce, on rencontre des variations de couleur, de forme, de stries et de ponctuation. Quand un caractère disparait et que tous ou la plupart des autres subsistent, il n'y a pas de difficulté ; mais lorsque toutes ces modifications à la fois affec- tent un individu, il peut devenir fort embarrassant de lui assigner son espèce. Les seuls caractères qui m'aient paru bien stables (au moins dans l'immense majorité des cas) chez l’aquaticus sont : SA Juc. Purzeys. — Note sur les Notiophilus. 15 1° La forme du corselet. % Le parallélisme des sillons frontaux. 3° L'absence d'une fossette au dernier quart du % intervalle. Chez le N. palustris, la coloration des tibias, des palpes et des antennes, ne varie que légèrement; il en est de même de la forme des élytres, des stries et de la ponctuation. Voici l'énumération des variétés que j'ai sous les yeux : N. Aouarieus. Linn. La taille est ordinairement d'environ 6 mill. Dans certains in- dividus Pyrénéens, il n'est pas rare de la voir descendre à 4 mill. Ces petits individus, souvent d'un bronzé très-clair, se trouvent dans plusieurs collections sous le nom de N. Germinyi Fauv. Mais le Germinyi appartient à l'espèce suivante : À. Coloration : 1° Coloration générale noir bronzé, parfois d'un bronzé très-clair et brillant. 2 Coloration générale bleu d'acier. Chez plusieurs individus pro- venant : lun de St-Hubert, deux du Harz, un des Eaux-Bonnes (Pyrénées), on remarque de ehaque côté, avant l'extrémité, une tache rougeûtre allongée, isolée. 5° Quelques individus ont l'extrémité des éiytres d'un bronzé très-clair, presque blanchâtre. 4° El n'est pas rare de voir la base des palpes, surtout les articles 1 et 2, ainsi que la base du 5° et même ce dernier entier, fauves, mais non testacés comme chez le N. palustris. 5° La base des übias est parfois d'un fauve sombre; j'ai même quelques individus dont les tiblas sont en entier de cetie couleur. 6° Quelquefuis, Les 2° et 5° articles des antennes sont fauves en dessus. B. Carènes frontales. Ii peut arriver que les sillons frontaux ne soient point parallèles, mais divergent un peu en avant. €. Forme du corselet. Parfois le corselet est un peu plus étroit en arrière, sans cepen- 156 Ju. Purzeys. — Note sur les Notiophilus. dant avoir les côtés,en dessus des angles postérieurs, aussi fortement sinués que chez le N. palustris. D. Forme des élytres : 1° Les élytres sont parfois aussi courtes que chez le N. palustris. J'ai pris à Ostende un individu de cette variété qui réunit en outre les caractères des variétés : À. 4,5, D. 2etG; mais il reste distinet du palustris par la forme de son corselet, l'absence du 2° point au dernier quart de l'élytre et par la coloration des antennes. F. — 1° On représente souvent les élytres comme lisses à l'ex- trémité : c’est le cas le plus rare. Ordinairement toutes les stries, bien que s'atténuant considérablement, peuvent être distinguées jusqu'à l'extrémité ; quelquefois même, elles y restent aussi marquées que chez le N. palustris. F. Stries des élytres. 2 M. Cornelius (Stett. E. Z. 1862. 78) a trouvé à Elherfeld une variété dont les deux premières stries dorsales sont réduites à quelques points en dessous de la base. G. Fossettes des élytres. Chez quelques individus, les élytres portent, avant le milieu, une fossette au dessus de celle qui existe normalement. N. Parusrris Duft. A. Coloration : 1° La coloration générale est parfois, mais très-rarement, d'un bleu foncé : 2 Quelquefois elle est d'un bronzé clair. 3° L'extrémité des élytres est d'un bronzé blanchâtre. 4° Les premiers articles des antennes ne sont d'un fauve testacé qu'en dessous, comme chez le N. aquaticus. b° L'extrème base seulement des tibias est fauve. Chez un individu communiqué par M. Fologne, les tibias sont complètement d'un fauve testacé. Juc. Purzeys. — Note sur les Notiophilus. 157 B. Carènes frontales. Quelquefois, les sillons frontaux sont parallèles, bien que restant toujours plus courts que chez le N. aquaticus. C'est à cette variété qu'appartient le N. Germinyi dont M. Fauvel a bien voulu me communiquer le type. M. Von Bruck m'a commu- niqué un individu de Crefeld qui est tout aussi petit que le N. &er- minyi. C. Forme du corselet. Le corselet peut étre moins cordiforme, mais ses côtés restent toujours plus arrondis que chez le N. aquaticus. D. Forme des élytres. Chez certains individus, les élytres sont tout aussi allongées que celles du N. aquaticus. F. La ponctuation des élytres, beaucoup moins grosse, est parfois aussi peu distincte à l'extrémité que dans le N. aquaticus. G. 1° La 2° fossette, vers l'extrémité du 2° intervalle, est à peine distincte. 2 L'une des élytres porte, sur le 2° intervalle, avant le milieu, deux fossettes égales. H. Ce n'est qu'avec hésitation que je range parmi les simples variétés du N. palustris, 7 individus (à et © ) que j'ai sous les yeux, et qui présentent les caractères suivants: La couleur générale est celle de l’aquaticus, c'est-à-dire bronzé assez clair : les antennes, les palpes et les pattes sont colorés comme dans le palustris; la tête est moins large que dans cette dernière espèce; les six carènes frontales sont parallèles et non divergentes ; le corselet est moins arrondi sur les côtés antérieurs, mais ces mêmes côtés sont moins profondément échancrés vers la base. Les élytres ne sont pas plus allongées que dans le N. palustris, mais elles sont plus convexes, non rétrécies un peu avant le milieu et par conséquent d'un ovale beaucoup plus régulier; elles sont striées et ponetuées comme dans le N. palustris mais ordinairement plus finement et plus régulièrement. L'un de 158 JL. Püorzevs. — Note sur les Notiophilus. ces individus m'a été communiqué sous le nom de N. hypocrita.(f) Curt. Brit. Ent. VI. pl. 254. Chaud.B. M. 1844-4539. N. Roüripes. Schaum D. 3. I. 67. — Cornelius, in Stett. E. Z. 1869.79. Cette espèce est plus grande que les autres (7 mill.); elle est bien caractérisée par sa couleur bronzée, les 4 premiers articles des antennes, les deux premiers articles des palpes, les pattes (sauf parfois les cuisses) testacés ; son corselet de même forme que celui du N. palustris ; ses élytres dont les stries sont entières et très-forte- ment ponctuées, et la 2° fossette placée à l'extrémité du 2° inter- valle. — Les intervalles des stries sont lisses. Les seules modifications que j'ai remarquées, outre celles qui concernent la taille (laquelle n'est parfois que de 5 ‘/, à 6 mill.) sont les suivantes. A. Coloration. 1° Quelques individus sont d'un bronzé obscur. 2° Les élytres sont parfois d'un bronzé blanchâtre, (rarement testacces) à l'extrémité. 9° Les cuisses, surtout les postérieures, sont assez souvent d'un brun plus ou moins foncé. B. Carènes frontales. Elles sont normalement au nombre de 6 et divergent antérieure- ment : 1° Elles sont parfois au nombre de 8. 2° Elles peuvent être parallèles. F. Forme du corscelet. Chez quelques individus, le corselet est moins cordiforme, c'est- à-dire plus large à la base et moins arrondi sur les côtés. (1) Mr. Baudi a décrit (Berl. E. Z. 1864. 196) sous le nom de N. strigifrons un Notiophilus des Alpes du Piémont et dont il m'a communiqué le type. Il le compare au N. aquuticus : je pense qu’il eût mieux valu le comparer au paluslris dont il a la forme, la ponctuation et la coloration. Sous le rapport de la taille, il est égal aux plus petits individus du N. Germinyi (4 mill.); de même que ce dernier, il a les carènes frontales plus parallèles, plus divisées en avant; maisilen diffère principalement par la longueur de ces carènes qui dépassent le milieu des yeux; les élytres sont plus régulièrement ovales et moins profondément ponctuées; la pointe sternale est plus étroite ct plus allongée; les tibias sont d'une couleur testacée tout aussi claire que dans le type du N. palustris. Joz. Purzeys. — Note sur les Notiophilus. 159 F, Chez un seul individu, j'ai remarqué deux fossettes sur le milieu du 2 intervalle de l’une des élytres. En Belgique, cette espèce se trouve à la Barraque Michel, à Mons, dans la Campine et surtout dans les environs de Bruxelles où M. Fologne l'a recueillie abondamment. N. Bicurrarus Fab. Cette espèce, qu'il n'est possible de confondre avec aucune autre d'Europe, si ce n'est peut-être avec la suivante, dont je parlerai tantôt, ne se modifie guère d'une manière sensible. Voici les variations que j'ai observées : A. Coloration. (1) 1° Elytres et corselet d'un noir bleuûtre. 2° La tache testacée de l'extrémité remonte assez souvent jusque vers le milieu des bords où elle devient rougeñtre et se fond insen- siblement. 3° Quelquefois les premiers articles des antennes sont testacés en dessous seulement. F, Carènes frontales. Leur nombre normal est de 6, et elles divergent en avant: 4° Elles sont quelquefois au nombre de 8, par suite du dédoublement des deux carènes externes. (1) On a l'habitude de considérer le N. semipunclatus Fab. (Mant. Ins. I. 188. 5.) comme étant une variété sans tache du biguttatus. J'ignore si une telle variété existe, du rioins je ne l'ai vu signaler d’une manière positive par aucun auteur; cependant M° Schaum (D. J. 1 65) semble croire à son existence. L'ouvrage où Fabricius en parle avec le plus de détails est l'Entomol. Syst. emend. p. 180 n° 6. Voici tout ce qu'il en dit: « Aeneus nilidus, élytris » punclatis, dorso glaberrimo.— Halae saxonium. — Elytra striato-punctata, » in medio ad suturam polita , glaberrima, pcdes nigri. » Le dernier caractère pedes nigri qui est tout-à-fait étranger au N. biguttatus me porte à supposer que l’insecte dont il s’agit appartient plutôt à un exemplaire plus fortement strié de l'aquaticus où du palustris. Je dois cependant ajouter que Mr Kiesenwetter (Stett. E. Z. 1846. 391) parle également du N. semipunctatus Fab. comme ne différant du bigutlatus que par l'absence de tache jaune apicale. Le N. semipunctatus dont parle Mr Staudinger (Stett. E. Z, 1857. 282) me parait être l’aguaticus. Au moins il signale une variété d’un bleu d'acier avec une tache d'un brun sale à l’extrémité des élytres. (Voy. ci-dessus N. aquaticus var. À. 2. 160 Juz. Purzeys. — Note sur les Notiophilus. 2 Elles peuvent aussi, mais cela n'arrive que rarement, être parallèles. C. Forme du Corselet : 1°) Il peut être plus court 2) Ou bien plus large à la base avec les côtés plus droits 5°) Ou plus rétréci à la base 4°) Ou avoir ses angles postérieurs droits et non saillants. D. Forme des Élytres : Elles sont parfois un peu plus allongées. E. Ponctuation du Corselet : 4° Le milieu des côtés non ponctué. 2° 2 fossettes imprimées de chaque côté. F. Stries des Élytres : 1° Les points sont plus peits. 2% La partie du 2° intervalle située entre la base et la fossette centrale est élargie. 3° Les deux premiers intervalles sont plus larges et non COnvExes. 4 La 7° strie est visible presqu’à l'extrémité. G. Fossettes des élytres: f° Le milieu de chaque élytre porte 2 fossettes. 2 Une seule des élytres présente cette anomalie. Ce sont ces deux dernières variétés que l'on confond sou- vent avec l'espèce suivante. N, IV. Puncrarus. Dej. spec. IL. 280.— Fairm. et La B.F.F. I. 9. n°1. Trés-voisin du AN. bigutlatus.. Un individu de cette dernière espèce, réunissant les variétés B. 1°, C, 2° et 4,D., E. 2», F,. 4° et 2% G. 1 pourrait même être aisément confondu avec le IV punclalus. En général, il est un peu plus petit que le N. biguittatus, plus étroit, ses élytres ont leurs côtés plus parallèles; les côtés Jur. Purzeys. — Note sur les Notiophilus. 161 du corselet sont encore moins arrondis en avant, moins sinués avant les angles postérieurs qui, par conséquent, sont moins saillants; la dépression du corselet, à la base du sillon lon- gitudinal, est plus profonde; les deux fossettes, de chaque côté, sont ordinairement moins marquées; les élytres dont les côtés ne sont que très-faiblement élargis au milieu, sont striées et ponctuées moins profondément; le 2° intervalle ex- terne est notablement plus large que les autres dans toute son étendue; il porte, dans son milieu, deux larges fossettes ; ies taches de l'extrémité sont ordinairement moins testacées et moins étendues. Cette espèce semble n'appartenir qu’au midi de la France, à l'Italie, à la Sicile et à l'Espagne. Elle m'a offert les variétés suivantes : B. Les carènes frontales sont parfois au nombre de 6. C. Quelquefois, le corselet est plus rétréci vers la base. E. La ponctuation du corselet varie assez : les espaces la- téraux peuvent être presqu'entièrement ponctués : parfois on n'y distingue qu’une seule fossette. F. Dans un individu, les stries des élytres sont plus marquées ; dans un autre, le 2% intervalle est beaucoup plus large à sa base et se rétrécit jusqu'à la 1" fossette après laquelle ïl n'est guère plus large que les autres. G. Le nombre des fosseites sur les élytres est sujet à varier ; il peut n’en exister qu’une seule au milieu; chez un individu pris en “Toscane par M". Von Bruck, il existe trois fossettes au milieu de l’élytre gauche. N. Punctulatus. Wesm. Bull. Acad. Brux. 1855. I 922. — Schaum D. 3. I 65. Puncticollis Küster Kaef. Europ. XIII. I.— Berl. E. Z. V. 199. Subopacus Chaud. B. M. 1852. 100. Berl. E. Z. 1857. 75 et 1861. 199. Moins large que le Geminatus, plus allongé; tête plus petite. Le front ne porte ordinairement que 6 carènes, dont les deux externes se divisent parfois; ces carènes sont moins paral- 21 162 Jus. Purzevs. — Note sur les Notiophilus. lèles. Le corselet est plus long, plus arrondi sur les côtés, plus rétréci en arrière, plus sinué au dessus des angles posté- rieurs qui, ainsi, sont plus saillants, les intervalles externes, 5, % et 5 sont moins convexes et moins distinctement ciselés. La tache qui occupe ordinairement l'extrémité des élytres pâlit parfois et prend une teinte bronzé-clair analogue à celle que l'on voit chez le N. Geminatus. Chez un individu trouvé à Anvers, les côtés du corselet sont presque droits jusqu'au sinus au dessus des angles posté- rieurs qui sont tout aussi saillants que dans le type. Quelquefois, le milieu de l'élytre porte une 2° fossette au dessus de celle qui est normale ; mais je n’ai pas vu d'individu portant la fossette surnuméraire qui existe souvent dans le geminatus avant l'extrémité du 4° intervalle. Bien que cet insecte paraisse appartenir surtout à l’Europe tempérée, j'en ai vu des individus recueillis par Mr. Von Bruck dans les Apennins de la Toscane et dans les Pyrénées. J'en ai reçu de Marseille et j'en ai vu dans la coll. de M'. de Chaudoir plusieurs ex. venant du Caucase, de la Franseaucasie (Subopacus Chaud.) 1. ind. provenant de la Croatie figurait Gans la coll. Dejcan parmi les biguitatus. N. Gemnarus Dej. spec. V. 589. 4. D'un bronzé noiràtre peu brillant : les 2 1°'° articles des palpes, la base des 4 1‘ articles des antennes et les tibias sont d'un Lestacé rougeûtre. L'insecte est plus large dans toutes ses proportions que le N. Punctulatus; la tète est plus grosse; les carènes frontales sont plus nombreuses et plus parallèles : la partie antérieure des carènes externes est moins régulière et un peu confuse. Le corselet est plus large, muins arrondi sur les côtés qui sont presque parallèles, et ne sont que très légèrement sinués avant les angles postérieurs qui sont moins saillants que dans le punctulatus; toute la surface est plus uniformément ponctuée ; les deux fossettes, de chaque côté de la base, sont plus ar- rondies. Les élytres sont moins allongées; les intervalles externes (surtout 2 à 6) sont moins finement ciselés; les 4° et 5° sont très convexes jusqu'au milieu, et le 7° jusqu'à l'extrémité. Juc. Purzeys. — Note sur les Notiophilus. 165 L'extrémité des élytres est ordinairement d'un bronzé un peu blanchâtre, quelquefois jaunâtre. Var. a. Outre le point tuberculaire placé à l'extrémité du $° intervalle, on en remarque un autre plus petit situé un peu plus haut sur le 4° intervalle. (2 ind. pris par M° Von Bruck dans les Apennins de la Toscane et 1 d'Algérie envoyé par M° Poupillier.) Les ex. de M° de Chaudoir appartiennent à cette variété. Cette espèce parait propre au Bassin de la Méditerranée; j'en ai vu de Toscane, de Sicile, d'Algérie et des Iles Canaries. Mrs Wall et Rosenhauer la disent très-commune en Andalousie où elle serait mêmé l'unique espèce de Notiophilus. Mr Schaum (Berl. E. Z. 1861. 199.) regarde le N Marginatus &Géné, comme étant une simple variété du geminatus. La communication que M" le baron de Chaudoir a bien voulu me donner des Notiophilus de sa collection, m'a permis de dresser le tableau suivant de 17 espèces dont trois sont nouvelles, I. ELYTRA CONCOLORIA. Elytra subcylindrica. Palpis*Fomnino DISris. 0 De OR M AQUAtICUS. Palporum artis 3 primis testaceis. ONE MESA ES MEN A CN IQ ARLES RCE Pronoti angulis posticis acutis. . . . . . Acuticollis. (1) Subacutis. Je NT En ME laticollis#(2) Hibis merisier 0) Longipennis. (3) Elytra oblongo-ovata. I. Pedibus rufis. Anienmsrnis Le De... 00 0. Porrectus. (4) Basi tantum rufis. Un Ne PE Ne EUUpeSe Il. Palpis tibiisque nigris. . . FronseMIEcannata tt PEN 7e -Hardyi-#-(5) Pluri-carinala. . . . . . + Semiopacus. (6) HT. Palporum articulis 3 primis tibiisqne teslaceis. Stria marginalis sicut cæteræ punctata. ,. . Confusus. minus distincte. (7) Interstilia striarum punctulata. . . . . . Orientalis, — — non (8) Striae 22 et 3, ante medium evanescentes. . Semistriatus.(9) ai Postimediumidistinetae WP RARE" Dalustris: (4) voy. ci-après n° 1. (2) voy. ci-après n° 8. (3) voy. ci-après n° 2. (4) voy. ci-après n°5. (5) voy. ci-après no 4. (6) voy. ci-après n° 5. (7) voy- ci aprèsn° 6. (8) voy. Chaud. B, M. 1850. 164. (9) voy. ci-après n° 7. 164 Juz. Purzeys. — Note sur les Notiophilus. IT. ELYTRA BICOLORIA. Striae grosse punctatæ. Stria 1* ante apicem non sinuata. . . . . . Sylvaticus. (40) Sinuata. Interstitio 3° in medio uniloveolato. . . . . Bigutattus. bioyeolato RE ne AV Punetatus: Striæ tenuiter punctulatæ. Angustior, interstitiis glabris, carinulis frontalibus VIe VIDES CRE de ni ET Daourie. Davisii Wat. Mon. nat. n° 5. PA NE Fasciatus. Mäkl. Stett. E. Z. 1857. 335. el N MASIDeL LORS Geminatus. Dej. (voy. ci-dessus). . . .: . . . Eur. m. Alg. Germinyi.Fauv. (Palustris Duf. voy. ci-dessus.) ,. . Syrén. Hardyi.P. 0 (voy. ci-dessus.) 004 0. «+ nn; 1 Terre Neuve. Impressifrons. Moraw. B'ASLUP OS 62 Re Re N AMUT: LaticollisChaud..(voy.-ci-dessus. … + +... . :+ .: Crimée. Latior Wat. 9. (Palustris Duft.) Latus. Wat. 15. (Biguttatus Fab.) Longipennis. P. (voy. ci-dessus). . . Arménie, Marginatus. Géné. rot var. voy. Berl. E. Z. v. 199) MSP HR. No Sandaigne Metallicus. Wat. 2. onstnss in) Newmanni. Wat. 6. (Aquaticus Linn.) Nitidulus. Wat. Ent. Mag. I. n° 3. Nitidus. Wat. 15. (Biguttatus Fab.) io IX Striatus. Lec. Geod. Col. p. 178. . . . . , . Amér. bor, Orientalis Chaud. (voy. ci-dessus.) . . . . . . Himalaya, Palustris Duft. (voy. ci-dessus.) Palustris Steph. (Biguttatus F. voy. Stett. E. Z. 1848-41.) . . . EME SD UNS RE Parallelus Wat. Mon nation 4e Parvulus Wat. Mon. n° 11. Porrectus. Say. (voy. ci-dessus) . . : . . . . Amér. bor, Punctatus Say. (Sibiricus Motsch.) . . . AE Id. Puncticollis. Küst. XII, I, Punctulatus w. VOY+ Berl. E. Z. V. 199.). Lésrépie Punctulatus. Wesm. (voy. ci-dessus. Pusillus. Wat. Mon. n° 10. IV. Punctatus Dej. (voy. ci-dessus). Rufipes Curt. (voy. ci-dessus.) Semiopacus Esch. (voy. ci-dessus. . . . , . . (Calif. Ju. Purzeys. — Note sur les Notiophilus. 166 Semipunctatus Fab. (Biguttatus Fab. : Semistriatus Say. (voy. ci-dessus). . . . . . . Amér. bor. SIDITICUS ER MO(SCRe I SSD MONO ET M ES Dér. Striatus Wat. n° 13. (Biguttatus Fab. Strigifrons. Baudi. ni E. Z. 1864. 196. (voy. ci-dessus. . Piémont. Subopacus Ge nde (re ci- te Poe ua W.). Substriatus Wat. 17. (Biguttatus Fab.) Sylvaticus. Esch. (voy. ci-dessus.) Tibialis Wat. n° 7. (Palustris Duft. voy. Stett. E. 21940410) 0 SRE LE A EU ARRET 22 ÉLENONES Fr dis 4 NRoes IA 2e Etude sur les Amara DE LA COLLECTION DÉ M'. LE BARON DE CHAUDOIR , PAR M', Ju. PUTZEYS. La Monographie des Amaroïdes publiée en 1852 par Zimmer- ann est l’un des travaux les plus complets qui aient été faits sur les coléoptères : tous les détails de l'organisation de ces insectes y ont été étudiés avec le soin le plus consciencieux; des groupes, basés, pour la plupart sur des caractères importants, ont été formés, et si les résultats n'ont pas été complètement satisfesants, il faut s’en prendre, non à l'auteur, mais à la nature de la tâche qu'il avait entreprise. Si l’on n'avait que les À. Brunnea (1), Aegyptia (2), Cottyi (3), Trivialis (4), Bifrons (5), Aulica (6), Consularis (7) et Pa- tricia (8), rien ne serait plus naturel que les genres que l'on établirait sur ces types, qui diffèrent, non seulement par la forme extérieure, mais par des caractères ayant une valeur sérieuse, tels que la présence ou l’absence d’une pubescence épaisse à la partie interne des tibias postérieurs—l’existence de deux fortes dents en dessous des tibias intermédiaires — une dent unique, soit longue et aiguë, soit très-large et obtuse, ou une dent nettement bifide dans l'échancrure du menton — un corselet très-rétréci ou très-élargi à la base etc. (4) Acrodon. (2) Amathitis. (5) Leiocnemis. (4) Amara. (5) Celia. (6) Curtonotus. (7) Brudytus. (8) Percosia. 172 JuL. Purzeys. — Etude sur les Amara. Mais dès que l'on aborde le classement des espèces dans les genres auxquels elles doivent appartenir, on est surpris des ré- sultats auxquels on arrive : des insectes, tellement voisins qu’ils ont pu être confondus (4. Famelica et Biarticulata) se trouvent placés dans des genres différents (Amara et Celia); un même genre (Leiocnemis renferme des espèces courtes, convexes, presqu'orbiculaires (1), d'autres presque cylindriques (2), d'autre allongées, à élytres planes et ayant un facies d’Anchomenus (5). Les caractères, même les plus importants, s’atténuent tellement dans certains cas, que le genre auquel des espèces appartien- nent reste douteux. Tout cela prouve l'unité du genre Amara, tel qu'il a été établi par Borelli et l'impossibilité de le démembrer. Les groupes établis par Zimmermann et celui dont je propo- serai plus loin la création, ne peuvent done être considérés comme ayant une valeur générique : ce sont tout au plus des sous-genres dont les limites sont parfois très difficiles à tracer. Le présent travail n'est point une Monographie. M: le baron de Chaudoir ayant bien voulu mettre à ma dispo- sition sa riche collection d'Amara, qui contient, outre les propres types de cet entomologiste, tous ceux de Dejean, ceux de Gebler, Faldermann, beaucoup de ceux de Mannerheim, Motschulski, Le Conte etc., je ‘n’ai pas cru pouvoir laisser échapper l'occasion d'utiliser des matériaux aussi importants. Mon travail ne sera donc, en majeure partie, qu'une étude faite sur la grande collection dont il s’agit. J'ai, en général, maintenu les groupes établis par Zimmer- mann, tout en tenant compte des recherches accomplies pendant les trente dernières années. Mon examen ayant eu pour objet principal les collections Dejean et de Chaudoir, j'ai toujours cité, soit le Species, soit le Bulletin de Moscou. Quant aux espèces européennes, l'excellent travail de M° Schaum ( Deutsch], Ins. I p. 502 à 550) m'a presque toujours dispensé (1) Cottyi, brevis. (2) Crenata. (3) Cordicollis. Juz. Purzeys. — Etude sur les Amara. 173 4 de m'occuper de la synonymie et je me suis borné à renvoyer à l'entomologiste Berlinois. Je suis resté dans l'incertitude sur plus d'une espèce de FAmérique du Nord. Ces insectes ont eu une chance malheureuse. Dejean les recevait du major Le Conte et les décrivait sans se douter que plusieurs avaient déjà été décrits par Say. Établir une synonymie exacte de ces espèces eût done été le besoin le plus pressant; mais Le Conte ne s'en est pas préoccupé dans son premier mémoire sur les carabiques des États-Unis (1) et lorsque, plus tard, il a essayé une révision des Amara de ce pays, il n'a pas pris la précaution de vérifier les espèces de Dejean; ses diagnoses, en outre, ont été la plupart du temps trop succinctes pour que l’on puisse reconnaitre avee certitude les insectes qu'il a eus en vue. J'ai fait usage de plusieurs caractères dont il est nécessaire que je dise quelques mots : 1° Les stries des élytres partent toutes d’un rebord qui longe la base depuis l’écusson jusqu'à l'épaule; souvent il y a une dépression de ce rebord à la naissance des premières stries ; souvent aussi ce rebord, au lieu de se diriger horizontalement vers l'épaule, remonte jusqu'à ce dernier point. 2 La 8° strie porte quelques gros points en dessous de l'épaule et vers l’extrémité : Ces points sont toujours assez serrés. Dans certains cas, il y a des points semblables, mais plus espacés, entre ces deux séries principales : Lorsque ces points intermédiaires sont placés à égale distance les uns des autres, jai considéré la série comme con- tinue. 9° La strie préscutellaire part le plus souvent de la base de la 2° strie et, se prolongeant obliquement en arrière, elle va se réunir à la strie suturale; quelque fois, cette réunion n'a pas lieu; quelque fois aussi, Ja strie préseutellaire part du rebord basal entre la 1° et la 2° strie; rarement elle est située entre l'écusson et la 1°° strie, mais ce n'est que par l'examen d'un certain nombre d'individus que l'on peut s'en assurer. ‘Il arrive assez souvent que la stric préscutellaire a sa (1) Ann. of Lve, vol, IV (1846,) 174 Juz. Purzéys. — Etude sur les Amara. naissance plus bas que la bäse de la 2° strie, dans une fossette arrondie toujours fort distincte. Ce caractère est très constant. Il n'existe pas dans les Bradytus, Acrodon, Amathitis, Curtonotus, Leirides et Percosia. On ne le rencontre que dans 3 Leiocnemis (n* 91, 92, 95) et dans les Celia n* 51, 66 et 67. C'est dans les Amara quil est le plus fréquent, (n° 1 à 19, 54, 36, 57 et 41.) I. Tibias postérieurs des à pubescens intérieurement. a.) Dent du menton bifide. +. Corselet rétréei en arrière. . . . Bradytus. ++. Corselet. rétréci en avant. . . . Amara. b.) Dent du menton non bifide. +. Corselet rétréei en avant, . . . Acrodon. ++. Corselet rétréci en arrière. . . . Amathitis. II. Tibias postérieurs des & non pubescens intérieurement. A. Pointe du prosternum sans poils sur ses bords ou nen ayant que deux. a.) Episternes métathoraciques longs. *, Tibias intermédiaires des & non bi-ou tridentés en dessous. +. Corselet plus étroit à sa base ‘qu'à l'extrémité. Leiocneniis. ++. Corselet pas plus étroit en avant qu'à 14 baset "ARS NS MI OR TOe erNCehre **, Tibias intermédiaires des 6 bi-ou tri- dentés en dessous. ee RC ONOIU ss b.) Épisternes métathoraciques courts et larges. Leirides. B. Pointe du prosternum portant de chaque côté 5 ou 4 points pilifères. . . . . . Percosia. AMARA Zim. Chez toutes les Amara proprement dites, Ja pointe sternale est sillonnée, mais elle ne porte aucun point pilifère. Juz. Purzeys. — Etude sur les Amara. 175 1: GROUPE. Zim. (Triaena Lec.) La strie préscutellaire porte, à sa base, une fossette arrondie. 1. À, Striatopunctata. Dej. Spec. II 480. 92. — Schaum D. J. I 517. 14. A. Valida Fairm. Ann. S. ent. 1859. 91, — Cf. Berl. E Z. 1861. 206. 29, La collection Dejean contient des individus du midi de Ja France, d'Espagne, de Grèce et de Constantinople. M' de Chaudoir en possède deux autres venant de Lenkoran et qui constituent une variété un peu plus courte, moins convexe et avec les intervalles des stries plus plans, 2. A. Rufipes Dej. Spec. III 478. 21. — Schaum D. J. I. 517. 15. France méridionale, Italie, Grèce et Algérie. M° de Chaudoir (Carab. du Caucase p. 158. 209) en a pris en Georgie une variété plus grande et dont les angles postérieurs sont plus réfléchis. C'est probablement A. Reflexicollis Motseh. Ins. Sib. p. 183. 3. À. Chaudoirii Hochuth. (Schaum D. J. I 518.) M: Schaum signale cet insecte comme une variété bleue de l'A. Rufipes. J'en ai sous les yeux neuf individus et je crois que c'est une espèce distincte. Elle est plus courte que FA. Rufiges, plus large : le rebord basal du corselet est plus fortement sinué; les angles postérieurs sont plus aigus; la base est couverte de points plus gros et ordi- nairement beaucoup plus nombreux; les points des stries sont également plus gros. Kiew. Dans les prairies. 4. A. Erythrocnema. Zim, (cf. Schaum D. J. 1 518, note.) floratis Gaub. 2 ex. du midi de la France étiquetés par Dejean du nom de Rufipes. 176 Juz. Purzeys. — Etude sur les Amara 9 autres de Trieste et un de Syrie. Ce dernier est notable- ment plus long. 3. À. Lepida Zim.— Schaum D. J. 518. 16. 2 ex. du midi de la France, provenant de la coll. Gory. Mes exemplaires viennent des environs de Louvain où l'in- secte se trouve dans les prairies un peu humides. 6. A. Tricuspidata. Dej. Spec. V. 792. 65. Schaum D. J. I 519. 17. Les ex. de la collection Dejean viennent du Nord de l’Alle- magne. M° de Chaudoir en possède d'autres de Sarepta. J'en ai d'Angleterre et des Pyrénées, mais surtout de Liége où cet insecte est très-abondant aux mois de mai et de juin au sommet des graminées dans les prairies. Parfois les angles antérieurs du corselet ne sont pas saillants. 7. A. Strenua Zim. — Schaum D. JE. 520. 18. 5 individus. France Orien:ale. Paris. L’un de mes exemplaires vient de cette derniére localité, l’autre du nord de l'Allemagne. S. À. Scitula Zim. Mannerh. Bull, Mosc. 1845. II 208.— Le Conte Philad. Proc. 1856. 550. Californie. 2 ind. 9. À. Plebeja Gyll. -— Schaum D. J. I. 521-19. Les ex. de la coll. Dejean sont de Suède, des Basses-Alpes et d'Autriche; ceux de la coll. de Chaudoir viennent de Kiew- Cette espèce est des plus communes en Belgique. 10. À. Angustata Say. (Feronia) — Le Conte Philad. Proc, 1856. 350.— Am. Indistincta Hald. Commune dans les parties centrales et méridionales des États- Unis. Ainsi que le fait remarquer M° Le Conte (1. c.) c'est par nadvertance que Zimmermann a placé cette espèce dans son 3° groupe où les tibias antér ieurs sont terminés par une épine simple. $ Ju. Puorzays. — Étude sur les Amara. 17 2 GROUPE. Zim. £a strie préscutellaire porie à sa base une fossette arrondie. 11. A. Similata. Gyil. - Dej. Spee. HF. 461. 5. — Scraum D r15929790! L’'Amara praetermissa (Sahlb. Ins. Fenn. 246 et Dej. Spec. V. 789. 5.) n'est pas même une variété; c’est simplement un exemplaire un peu plus petit, de couleur noire avee les tibias d’un brun obseur; les antennes cont colorées comme dans l'espèce. La coll. &e M° de Chaudoir en renferme plusieurs autres exemplaires un peu plus grands, et j'en possède plusieurs trouvés aux environs de Bruxelles. 12. A. Chalcites. Zim, — Cf. Dej. Spec. IT. 461. 5. A. Congrua Mor. B. 5° P. 1862. Cet insecte, que Dejean a regardé comme une simple variété de l'A. Similata, a été à bon droit décrite comme espèce par Zimmerman?. L'exempiaire de la coll. Dejean vient du Japon; la coll. de Chaudoir en a deux autres du Nord de ia Chine ; j'en possède également deux de ce dernier pays. 15. A. Subconvera. Chaud. (coll.) Long. 8. 9. Lat. 5 !/; 4], miil. D'un noir Brillant en dessus et pour le surplus colorée com- me la Similala. Le corselet est de la même longueur, mais il est plus convexe et notablement plus rétréci vers la base où il est moins large que la base des éfytres; les côtés qui, dans PA: Simi- lata, cessent d'être arrondis à partir du milieu, continuent, dans la nouvelle espèce, à étre arrondis jusqu'à la base; les angles postérieurs sont obtus et beaucoup moins grands ; les deux fossettes de la base sont plus marquées, surtout l'externe qui est aussi profonde que l'autre et presqu'arrondie; les élytres sont plus convexes et surtout moins rétrécies à l'extrémité. Algérie. 5. ind. dont l'un étiqueté par Dejean comme ayant rapporté de Tanger par Goudot. C'est celui ae Dejean é signale dans le Species (HE 469) et qu'il confond avee l'A. Similata. 25 ét 178 Juz. Purzeys. — Étude sur les Amara. 44. A. Saphyrea. Dej. Spec. HE. 465. 4. (4 ind. de la coil. Dejean et venant du Bannat.) 15. À. Ovata. Fab. Schaum. D. 3. E. 525. 20. Obsoleta. Dei. Spec. IIT. 460. 2. Les ex. de la coll. Dejean sont de Suède, d'Allemagne, de Belgique et du midi de la France. M" de Chaudoir en possède de Moravie et de Kiew. En Belgique, elle se rencontre dans toutes les localités. La variété bleue décrite par Kolenati (Melet. ent. £. 45)sous le nom d'A. Adamantina parait se trouver principalement au Caucase et en Crimée. 5° GROUPE. Zim Are et 2° D°:. Je réunis ces deux divisions qui ne diffèrent entre elles que par le plus ou le moins de profondeur des stries à l'extrémité des élytres. Sauf dans les 5 premières espèces et la dernière, la strie préscutellaire est dépourvue de fossette à sa base; ele part de la base de la 2° strie. 16 À. Palustris. Baudi (Berl. Ent. Zeit. 1864. 210.) Cette espèce appartient à la 2° Div. du 5° Groupe de Zimm. La strie préscutellaire part d’un point ocellé situé en dessous de la base. Les caractères signalés par M" Baudi ont été relevés sur un grand nombre d'individus ; ils peuvent done être regardés comme solides. La faible convexité du corselet et des élytres pourraient faire placer l’insecte près de l’A Spreta; mais sa forme courte et la largeur des élytres en arrière le rapprochent de VA. Montivaga. J'en possède un 6 que M° Baudi à bien voulu me donner. La col- lection de M" de Chaudoir renferme une @ que Dejean avait recue de M" Gené, et qui est plus grande et un peu plus allongée que le type. M° Baudi m'écrit qu'au Musée de Turin il existe également deux individus de cette variété. M° Poupillier m'a envoyé d'Alger les deux sexes d’une Amara que je ne crois pas pouvoir séparer de la palustris bien que les Juz. Purzeys. — Étude sur les Amara. 179 angles antérieurs du corselei soient un peu plus aigus que dans le type. 17. A. Montivega. Sturm, — Zimmerm.— Schaum. D. J. 1, 524. 22. Dejean (Spec. HI 461) considérait cette espèce comme une simple variété de coloration de l'A. Ovata. Zimmermann en à parfaitement indiqué les caractères distinctifs. Les ex. de la coll. de Chaudoir viennent surtout de l'Allemagne, quelques uns de Lyon et de la Carniole. En Belgique on rencontre particulièrement cette espèce dans la vallée de la Meuse. M° Rofliaen, de Bruxelles en a pris en Suisse, l'été dernier, un nombre considérable. 18. À. fmpuncticollis. Say. Le Conte |. ce. p. 551, n° 24. Etats-Unis du centre et de l’ouest. M. de Chaudoir en possède de nombreux exemplaires : l’un d'eux figurait dans la coll. Dejean sous le nom d'A. Communis. J'en possède plusieurs venant de New- York. 19. 4, Fallax, Le Conte, Geod. col. ». 90 n° 6, et Proc, Philad. 1856 p. 353. 29. C'est, je pense, à cette espèce qu'il faut rapporter les individus américains de l'A. Similata qui se trouvent dans la coll. Dejean et quisoent signalés dans le Species. Elle parait varier beaucoup , maïs toutes les différences que j'ai pu constater s'entrecroisent dans les nombreux individus que j'ai examinés. Elle est, en général, plus ovale que la séilata; la base du 5° ar- üicle des antennes est plus comprimée et présente une carène un peu plus tranchante ; le corselet est moins court et plus rétréei en avant; ses côtés sont plus droits au-dessus des angles postérieurs ; la base n'est nullement ponctuée ; les élytres sont plus longues, plus acu- rminées à l'extrémité; les stries sont moins profondes au bout : [à série de gros points sur la 8° strie n'est pas continue, mais elle s’in- terrompt une ou deux fois vers le milieu; les épisternes métatho- raciques sont complétement lisses: le dernier segment abdominal 180 Juc. Purzevs. — Étude sur les Amara. porte deux points de chaque côté, rapprochés dans le 6, écartés chez la9. Chez certains individus, le eorselet et les élytres sont plus larges, chez d'autres, le corselet est un peu plus long: parfois les stries des élytres sont très-fines et les intervalles tout à fait plans. Cette espèce semble être très-commune dans les environs de New-York. 20. A. Littoralis Mannerh. Bull. Mose. 1845 n° IT, p. 207. 66. — Le Conte |. e. p. 551. 25. Dejean a confondu cette espèce avee FA, Plebeja dont elle diffère essentiellement. Outre l'ex. de Dejean, la coll. de M. de Chaudoir en renferme un provenant de la eoll. Falderman et originaire du Kamtschatka. D'autres exemplaires, de Sitka, viennent de M. de Mannerheim. Un autre vient de Kadjak , un autre enfin est étiqueté A. Tripartita. Moisch. 21. À. Cupreolala nov. sp. Long. 7. Lat. 5 1/2 mill. Cet insecte, qui est une Amara bien caractérisée, n‘apparüent à aucune des espèces de ce genre décrites par Le Conte. Il est d'un cuivreux tout aussi brillant que la €. Chalcea D. El est assez voisin de l'A. fmpuncticollis et c'est à cette espèce, bien connue, que je vais le comparer. Sa taille est plus petite, plus étroite : la tête est plus large en arrière; les yeux sont moins saillants et moins enchässés. Le corselet est plus convexe, beaucoup moins large vers la base; ses côtés sont plus arrondis (chez l'Impuncticollis ils sont droits en dessous du milieu) ; les angles antérieurs sont plus saillants, mais plus arron- dis; les angles postérieurs sont beaucoup plus obtus ; de même que chez l'fmpuncticollis , la base ne porte qu'une seule impression dis- tincte, linéaire et courte; l'impression externe se borne à une très- faible dépression ; les élytres sont en ovale plus allongé, moins larges à Ja base et se rétrécissant moins à l'extrémité ; elles sont plus convexes, plus profondément striées; les stries sont plus pro- fondes à l'extrémité; les intervalles sont plus relevés: la strie préseuteliaire part de a base de là 2° strice et non pas d'un gros Î QT Jur, Purzuys. — Étude sur les Amara. Î point situé au dessous. Le prosternum du à n'est point ponc- tué et le dernier segment abdominal porte de chaque côté un seul point Anse En résumé, celte espèce diffère : 1° del A. Basillaris en ce que le prosternum du 6 est lisse, le corselet est plus long, moins rétréci en avant, les angles antérieurs sont saillants et les stries sont à peine ponctuées ; d de l'Impuncticollis, en ee qu'elle est plus convexe, moins large, le corselet etses angles postérieurs autrement conformés, a les stries plus profondes et n’a pas de gros point à la base de la strie préseu- tellaire. 5° des Littoralis Mann., inepta Lec,, polita Lec. et convexa Lec. par les angles antérieurs de son corselet qui sont avancés. Je n'ai vu que deux ind. à dans la coll. de M. de Chaudoir, où ils sont étiquetés : (Etats-Unis, Guex.). L'un d'eux a les élytres assez fortement rétrécies en arrière. 29, A. Confusa. Le Conte. Geod. col. p. 89. 2. Proc. Philad. 1856. 5352. 51. Montagnes rocheuses. Nebraska, où elle semble être commune. 1 seul ex. 6. 95. A. Convexa. Le Conte, Geod. col. p. 91. 7. et Proc. Philad. 1856. 592. 95. Lac supérieur. 3 ind. dont l'un du Labrador, provenant de la coll. Dejcan. 94. A. Polita. Le Conte, Geod. col. p.92. 8. Proc. Philad. 1856. p. 952. 92. Nebraska et Nouveau Mexique. 2 ex. dont l'un des bords du Ruper, Baie d'Hudson. 95. A. Nitida. Sturm. Ins. VI, 55. 17. Zimmerm, 2% D. n° 5. — Schaum. D. 3. I. 525. 22. Bejean confondait cette espèce avec la communis. 189 Juz. Puréess. — Étude sur les Amara. 26. À. Communis. Panzer. — Schaum. D. 3. 1. 526. 24, 27. A. Vulgaris. Panzer. — Dej. spec. IX, 465. 5. Lunicollis. Schiôdte. — Schaum. D. 3. FE. 528. 26. Je ne puis pas admetire avee M. Schaum qu'il faille renoncer à laisser à cet insecte le nom sous lequel il a été décrit par Panzer, Illiger, Dejean, Erichson, ete., et sous lequel tout le monde le con- nait, Puisqu’il y a des doutes sérieux sur son identité avec Île Carabus Vulgaris de Linné et que les Harpalus et Amara Vulgaris de Gyllenhall, Dufischmidt et Sturm sont des espèces différentes, il suffit d'indiquer celle-ci par l'auteur dont la descrip- tion ne laisse pas de doute, et de dire A. Vulgaris. Panzer. L'A. Assimilis Chaud. (B. M. 1844. 446) est à peine une variété de la vulgaris, (cf. Berl. E. Z. 1861. 198). Les angles postérieurs du corselet sont plus arrondis et la base est plus faiblement quoi- que distinctement ponctuée. 28. A. Nigrita. Chaud. B. M. 1844. 445. Cest une bonne espèce dont j'ai vu 5 ind. pris à Irkutsk Sibérie.) 29. A. Curta. Dej. Spec. HI. 468. 9.— Schaum. D. 3. Ï. 527. 95. Cette espèce est parfois noire en dessus. Elle est très-commune à Ostende, surtout au printemps; elle se trouve aussi dans la vallée de la Meuse. Les exemplaires de M" de Chaudoir pro- viennent de la France, de la Suisse, de la Styrie et de la Volhynie. 30. A. Trivialis. Gyil. — Dej. Spec. El. 464. G.— Schaum D. 1551: 29, À. Persica. Chaud. B. M. 1842. 827. 70. et 1844. 450. France, Belgique, Allemagne, Espagne, Crimée, Caucase, Arménie, Perse, Sibérie. L'insecte indiqué dans le Species comme venant de l'Amérique du Nord n'appartient pas à cette espèce, mais il est trop in- complet pour qu'il soit possible de décider ce qu'il est. Dans tous les cas, ce n'est pas l'A. Pmpuncticollis, pas plus que FA. Fallaux où Littoralis. Jus. Purzevs. — Étude sur les Amara, 185 A 5. À. Proximu. Intermedia, Chaud. Car. Caucas. p. 159. 242. 5 ex. Georgie méridionale. ._ d’ai dû changer le nom donné à cette espèce par M° de Chaudoir, une autre espèce d'Amara ayant déjà été décrite sous ce nom en 1844 par M' Motschulsky. (L. Intermedius. ns. Sib. 175). 32. A. Spreta. Dej. Spec. V. 791. 64.—Schaum D. J. I. 530.98. Très-commune dans les parties sablonneuses de la Belgique, assez souvent noire. Les individus de la coll. Dejean viennent du nord de l’Allemagne et de la Volhynie. 55. À. Famelica. Zim. — Schaum. D. J. 1. 529. 97, et Berl. E. Z. 1861. 205. 95. Les exemplaires de la collection Dejean étaient confondus avee l'A. Vulgaris. Cette espèce ne se rencontre en Belgique que dans les terreins tourbeux des montagnes à Fest du pays, vers la frontière de Prusse. 34. À, Proteñsa. N. Sp. Long. 8 ‘/,..9.— Lat. 4. 47, mill. D'un noir assez terne, ayant parfois un léger reflet bronzé; le 4° article des antennes et au moins l'extrémité du 2° sont fauves. La tête est assez petite, un peu ridée; les deux fossettes en avant des yeux sont peu distinctes. Le corselet est convexe, plus large que Tong, rétréci aux angles antérieurs qui sont déprimés, saillants, mais peu aigus. Les côtés ne sont pas arrondis après le milieu et ils tombent droit sur la base. Le rebord basal est légèrement bisinué; les angles postérieurs sont droits, mais leur extrémité est obtuse; la base, complètement lisse, n'est déprimée que vers les côtés ; l'impression interne est formée par une ligne droite assez {courte; l'impression externe est assez large, presqu'arrondie, mais très-peu profonde : le sillon longitudinal et l'impression transversale antérieure sont très-peu marqués. Les élytres sont en ovale trés-allongé, plus large aux épaules que la base du corselet, distinctement rétré- 184 Ju. Purzeys. — Etude sur les Amara. cies après le milieu; les épaules sont relevées; le dessus des élytres est convexe; les stries sont très-fines dans toute leur éten- due, à peine distinctement ponctuées ; les intervalles sont plans ; la strie préseutellaire est longue ; elle part de la base de la 2e strie et se réunit en arrière à la strie marginale; la série de gros points sur la 8° strie est interrompue au milieu. En dessous, le corps est complètement lisse; le dernier segment abdominal porte de chaque côté, chez la deux poinis pilifères assez rapprochés. Bords du fl. Ruper, Baie d'Hudson. 2 ind. %. 55. À. Acuminata. Payk. — Schaum. D. J. I. 552. 30 Eurynota. Panz. Dej. Spee. HE. 458. 1. SD. Zimmermann place 4 espèces dans la 5° D” de son 5° groupe. îo Levis st. qui ne paraît pas différer de Ja Familiaris. Voy. Schaum D. 1. I. 555. 51. 9 Familiaris. Duft. 5° Angustata. Say. qui appartient au °° groupe. (Voy. ci- dessus. } 4 Lucida. Duft. (Gemina Zim.) Il ne reste done que les 2° et 4° auxquelles je pense qu'il faut ajouter À. Anthobia Villa. 56. A. Familiaris. Duft. — Dej. Spec. HF. 469. 49. — Schaum D. J.I. 555. 51. Cette espèce est des plus communes dans toutes les parties de l'Europe. M' de Chaudoir en a du Caucase et de l'Algérie. L’A. Perplexa Dej. est une variété qui a le corselet ponctué au milieu et les points des stries sur les élytres plus gros. La coll. Dejean en renferme un ind. de Volhynie. J'en ai pris également un dans les montagnes à l'est de la Belgique. , 57. A. Anthobia villa col. Euroÿ. dupl. 55. n° 5. L.4 M:' Schaum (D. J. I. 555. 51.) réunit cet insecte à l'A. Fa- miliaris; je pense que c'est à tort. J'en ai sous les yeux trois exemplaires : l'un dans la coll. de Mr de Chaudoir, et venant de Milan : les deux autres dans ma propre collection : j'en ai reçu Ju. Purzeys. — Étude sur les Amara. 185 un de M" l'Abbé Marietti, qui était conservateur du Musée de Milan ; l'autre a été pris aux environs de Rome. Ces trois indi- vidus diffèrent de l'A. Fainiliaris par les caractères suivants : les yeux sont plus saillants; le corselet est plus étroit en arrière; les impressions de la base ne sont pas ponctuées; les angles antérieurs ne sont pas proéminents; la strie préscutellaire commence plus bas que la base par un gros point, ce qui n'est pas le cas dans la familiaris où elle part, soit de la base de la 2° strie, soit un peu plus bas, mais toujours sans gros point à sa naissance. Elle diffère de l'A. Lucida par sa taille beaucoup plus grande, égale à celle de l'A. Familiaris et par son corselet moins rétréci en avant. 58. À. Lucida Duft. — Schaum. D. J, FI. 554. 32. Gemina Zim. Dejean avait réuni cette espèce à la Familiaris. ke GROUPE. Zim. La strie préscutellaire ne commence par un gros point que dans la dernière espèce de ce groupe. 59. A. Tibialis Payk. — Dejean. Spec. IT. 471. 12, — Schaum. D. 3, c. I. 554. 55. 40, 4. Basillaris Say.— Le Conte Proc. Philad. 1856. 551. 22, Lucidula Dej. Sp.iTIl. 477. 19. 41. À. Sallei. Chaud. (coll.) Voisine de la précédente ; moins brillante; yeux plus saillants; antennes entièrement testacées ; corselet plus carré; impressions plus faibles et non ponctuées ; stries non ponctuées. Mexique. La collection de €Chaudoir n'en renferme qu'un seul individu sous le nom que j'ai conservé. El n'est pas impossible que ce soit l'espèce indiquée, mais non décrite, par Zimmer- mann sous le nom d'A. Orizabae. 42. À, Insignis Dej. Spec. V 796.71. 24 186 Jus. Purzeys. — Étude sur les Amara. Mannerh. B. M. 1845. p. 208. 68. Le Conte. Proc. Philad. 1856. 550. 21. Tous les exemplaires que j'ai sous les yeux viennent de Californie; il parait cependant qu'on a trouvé cet insecte au Mexique. (Voy. Ménétr. in Bull. Acad. S'. Petersb. 1845 p. 60. 43.) CELIA. Zim. Chez aucune Celia, sauf dans les C. Biarticulata, Abbreviata, Musculus et Grandicollis, il n'existe un gros point à la base de la strie préscutellaire. Toutes ont la pointe sternale longée par un sillon; il n'existe deux points pilifères que dans les espèces appartenant aux 5° et 6° groupe. fr GROUPE. Zim. 45. C. Ingennua Duft. — Dej. Spec. IT. 498. 41. — Schaum, D. J. I. 556. 55. Suède, France méridionale, Espagne. Var. Ruficornis. Dej. Spec. IE. 500. 45. Ne diffère du type que par son corselet un peu plus étroit et à côtés plus parallèles. La collection de M° de Chaudoir en ren- ferme 5 ex. indépendamment de celui qui a été décrit par Dejean. J'en possède un, que M° Solier m'a envoyé jadis sous le nom de Ruficornis et comme identique à celui qu'il avait adressé à Dejcan. Il tient le milieu et forme la transition complète entre le type et la variété. 44. C. Rufo-aenea Dej. Spec. III. 499. 42. Espagne. 2 GROUPE. Zim. 45. C. Complanata Dej. Spec. IT. 496. 39. Dalmatie. 46. C. Fusca Dej. Spec. LIT. 497. 40. Schaum. D. J. I. 557. 56. et 47. C. Cursitans Zim. — Schaum. D. J. I. 558. 57. Ju. Purzeys. — Étude sur les Amara. 187 Ces deux espèces ont souvent été confondues et même, tout récemment, (Berl. E. Z. 1864. 13) M° Kraatz s'est demandé si elles ne constitueraient pas de simples variétés d'une seule espèce, de même que les C. Properans et Fuscicornis de Zimm. Malgré les différences que présentent parfois la coloration, la taille, la forme du corselet, les stries des élytres, je pense qu'il existe des caractères fixes moyennant lesquels les deux espèces peuvent être parfaitement reconnues. J'ai sous les yeux les types de Dejcan de l'A. Fusca, ainsi que d'autres individus qui s'y rapportent exactement. La taille ordinaire de la fusca dépasse un peu celle de la Cursitans. La 1'° est plus ou moins brunätre; la 2° est plus métallique, plus brillante; la Fusca a les palpes et les antennes testacés; chez la Cursitans les palpes sont plus où moinscouleur de poix, les 1° articles des antennes seulement sont testacés, les autres sont bruns. La tête est un peu plus large chez la Fusca. Le corselet, dans cette espèce , est plus convexe en avant, les angles antérieurs sont beaucoup plus déprimés, plus large- ment arrondis; les côtés vont en s'élargissant jussqu’à la base où ils sont de la largeur des épaules; dans la Cursitans, leur plus grande largeur est avant le milieu et ils se rétrécissent distincte- ment vers la base; les bords latéraux du corselet sont plus dé- primés. — Dans la Fusca, les angles postéricurs sont parfois un peu prolongés, mais plutôt en arrière qu'extérieurement comme cest le cas dans la Cursitans. La forme des élyires est très-différente dans les deux espèces : chez la 1", elles forment un ovale large et régulier, dans la 2°, elles sont plus longues, moins larges au milieu, même chez la ©. Les intervalles sont plans chez la Fusca, convexes et un peu inégaux chez la Cursitans. Dans la Fusca, le rebord basal est moins déprimé au milieu et de là il se relève distinctement jusqu'aux épaules ; dans la Cursitans, il se porte plus directe- ment dela base de la 4° strie jusqu'aux épaules qui sont beau- coup plus saillantes. 48. C. Municipalis Duft. — Schaum, D. J, 539. 83. Modesta Dej. Spec. HIT. 482. 24. Les ex. de Dejean viennent de France et de Volhynie, Ceux 188 Juc. Purzeys. — Étude sur les Amara. de la coll. de Chaudoir viennent particulièrement de la Russie et du Caucase. D'après des types de Motschulsky, j'ai pu me convaincre que son Amara Obscuricornis B. M. 1859. 2925 et ses Celia Viridescens (ined.) et Ruthenica (ined.) sont de petits ex. de la présente espèce. 49. C. Ambulans Zim. (Faunus 1. 22. 4.) Transcaucasie. (Coll. de Chaudoir.) Je l'ai recue de M". Motschulski sous le nom de €. Inderiensis et comme venant des bords du lac Indersch. M" de Chaudoir en possède également un individu de la même provenance. 3° GROUPE. Zim. are Do. 50. C. Interstitialis. Dej. IH. 472. 13. Le Conte (1. ce.) p. 555 n° 56. Kamtschatka. La couleur varie du bronzé au cuivreux, au vert et au noir. 51. C. Patruelis Dej. Spec. V. 795. 67. Kamtschatka. Très-distincte de la précédente par sa taille plus grande (10 mill.— La C. Interstitialis n’en a que 8.) et surtout par les angles antérieurs du corselet qui sont proéminents. L'A. Inaequalis (Kirby Faun. Bor. Amer. p. 58 n° 52.) appar- tient à la présente espèce ou à la précédente, mais comme Kirby ne parle pas des angles antérieurs du corselet, le point reste d'autant plus douteux que l'on n'est pas certain de l'espèce à laquelle il compare son Inaequalis. 52. C. Biarticulata Motsch. Ins. Sib. 188. 550. — Schaum. Berl. E. Z. 1861. 205. Sibér. mérid. transbaïcal. Outre les ex. de la coll. de Chaudoir, il s'en trouve deux étiquetés par Dejean du nom d'A. Spreta. 53. C. Erratica. Duft. — Schaum. D. J. I. 540. 39. Jo. Purzers. — Étude sur les Ainara. 189 A. Punctulata. Dej. Spec. IEF. 472. 14. Les ex. de la coll. Dejean viennent de l'Amérique du Nord, Ceux de M". de Chaudoir sont du Nord de l'Allemagne, de Suisse, de Trieste, du Caucase et du Kamtschatka. 2 ex. des Alpes de la Mongolie sont étiquetés par Motschulski Amara Convexicollis. Leur corselet est un peu plus court, plus large, plus arrondi sur les côtés, avec les angles postérieurs beaucoup moins prononcés ; le bord antérieur est plus échanceré et les angles antérieurs plus saillants. Les stries des élytres sont plus fines et moins ponctuées. Je ne puis cependant ÿ voir qu'une des nombreuses variétés de la €. Erratica. 2e 54. 55, Zimmermann a composé cette division de deux espèces mexicaines : Moerens et Lugens: La 1", de 4 ‘/, à 5 lignes de longueur, de 2 à 2 !/, lignes de largeur, est noire, lisse, avec les élytres à peine striées ; La 2 beaucoup plus étroite, noire et ressemblant extrêmement à l'A. Trivialis. La C. Moerens est certainement le même insecte que celui qui figure dans la coll. Dejean sous le nom de Chevrolatii. J'en ai sous les yeux 15 individus, dont 2 appartenant à M'. Chevrolat et 6 à M". Dohrn; ils varient quelque peu, en ce que certains d'entre eux ont les angles antérieurs du corselet un peu plus avancés, la base plus fortement sinuée, les angles postérieurs moins réfléchis et plus arrondis; le 1% article des antennes est plus ou moins rougeàtre. Quant à la €. Lugens, ce n’est qu'avec hésitation que j'y rap- porte un insecte dont M'°. de Chaudoir et Chevrolat possèdent chacun un ex. Il est de la couleur de la oerens, mais moins terne, plus petit, mais à peine moins large; les 3 1° articles des antennes sont fauves; le corselet est plus large antérieurement ses angles antérieurs un peu plus avancés; les côtés sont un peu plus droits avant les angles postérieurs ; mais je ne vois pas la ressemblance extrême avec VA, Trivialis signalée par Zimmermann. 190 Ju. Purzeys. — Étude sur les Amara. L'examen du type de Zimmermann permettrait seul. de vider la question. 4° GROUPE. Zim. 56. C. Californica Dej. Spec. IIT. 474. 16. Le Conte. (I. c.) p. 554. 58. Californie. Sonora. 57. C. Mexicana. Dej. Spec, V. 792, 66. Outre les types de Dejean, M'. de Chaudoir possède de nom- breux individus qu'il a reçus de M'. Sallé. Cette espèce parait être fort répandue au Mexique; j'en possède d'Orizaba, d'Oaxaca et de Chiapas. Les exemplaires que j'ai de cette dernière localité ont les stries plus marquées. »° GROUPE. Zim. Les espèces qui constituent le 5° Groupe des Celia de Zim- mermann ne sont caractérisées que d'une manière tellement sommaire quil n'est pas aisé de les distinguer, d'autant plus que la forme du corselet et la ponctuation des élytres sont très- sujettes à varier. Les C. Quenselii (dont la Honticola n'est qu'une légère variété), Sylvicola et Remota (Remoltestriata) sont bien connues; mais il nen est pas de même de la Tescicola et de la Rupicola. Le seul- caractère distinctif entre ces deux espèces consisterait dans les dimensions du corselet qui, dans la 1°, serait «majusculus» et dans la 2 « minusculus.» Je comprends d'autant moins le sens de ces deux. expressions que je les retrouve dans la diagnose des C. Quenselii (thorace minusculo) et C. Sylvicola (thorace ma- Jjusculo) et que le corselet de l’une des ces espèces n'est sensible- ment ni plus long ni plus large que celui de l'autre. Il ne reste donc plus de caractère saillant que les angles anté- rieurs du corselet qui sont moins avancés dans les C. T'escicola et Rupicola que dans la C: Quenselii. Je suis porté à admettre que M". Motschulski les a bien recon- nues dans les deux insectes quil à décrits sous ces deux noms Ju. Purzeys.— Étude sur les Amara. 191 (Ans. de Sibér, p. 190 n° 548 et 549). C'est done d’après des types de M". Motschulski, envoyés par ce dernier à M". de Chaudoir, que je vais indiquer les caractères qui les sé- parent de l'espèce la plus connue : C. Quenselii, 57. C. Tescicola (*) Zim. Mon. Amar. G. Celia 5e gr. n° 1. — Motsch. Ins. Sib. p. 199 n° 54*. D'un brun plus clair avee un reflet métallique verdâtre; es pattes, les palpes et les antennes sont plus testacés; les yeux ‘sont encore moins saillants; le sommet de la tête est un peu plus ridé. L'insecte est un peu plus grand, un peu plus large; le corselet est un peu moins convexe, plus rétréei à la base; les angles antérieurs sont moins aigus; toute la base est ponctuée, ce qui rend les deux impressions beaucoup moins distinctes. Les élytres, plus planes, sont plus larges en arrière; les épaules ne dépassent pas la base du corselet; les stries sont plus pro- fondes, plus fortement ponctuées et les intervalles sont moins plans; la série de gros points sur la 8° strie est moins inter- rompue. Steppes des Kirghises. 59. C. Rupicola. Zimm. ib. n° 2. Motsch. ib. n° 549. Par sa forme raccourcie, cette espèce a un peu l'aspect de FA. Ovata; elle est beaucoup plus courte que la C. Quenselii; elle est de la couleur de la Téscicola: la tête est plus large; les deux premiers articles des antennes sont plus clairs que les suivants; le corselet est plus convexe, beaucoup plus rétréci antérieurement et ses côtés sont plus arrondis; les angles anté- rieurs, presqu'aussi avancés, sont moins aigus; la dépression le long des côtés est plus prononcée, surtout en avant; les angles postérieurs sont réfléchis ; les deux impressions de la base sont un peu moins distinctes et plus ponctuées; les points s'étendent même sur le milieu de la base; les élytres sont (1) Toutes les espèces de ce groupe portent deux points pilifères à l'extrémité de la pointe sternale. La G. Rupicola semble faire exception. 192 Juz. Purzeys. Étude sur les Amara. beaucoup plus larges, plus courtes, plus rétrécies à l'extré- mité; les stries sont plus profondes et plus ponctuées ; la strie préseutellaire part de la base entre les 1° et 2° stries et non de la base de la 2°; le dernier segment de l'abdomen est fauve, au moins à l'extrémité. Sibérie Orientale. M'. de Chaudoir possède un type de la €. Microcephala (Motsch. Ins. Sib. p. 209.) sauf la couleur, qui est noire, et la tête moins large, je ne vois rien qui distingue cet insecte de la C. Rupicola. 60. C. Quenselii Schoenh. — Dej. Spec. HE. 481. 235. — Schaum. D. J. I. 542. 40. Monticola. Zimmerm.— Dej. Spec. V. 794. 68. Un exemplaire du Caucase, qui se trouve dans la coll. de Chaudoir, représente plus fidèlement l'espèce que plusieurs : des ex. figurant dans la coll. Dejean : ces derniers sont plus ou moins aplatis au dessus des élytres, tandis que celui du Caucase est parfaitement convexe. M'. de Chaudoir possède un ind. de Lapponie dont le cor- selet est un peu plus étroit, avec les côtés plus parallèles ; et un autre du même pays, envoyé par M'. de Mannerheim sous le nom de C. Floricola: ce dernier, plus étroit, a le corselet un peu plus rétréei en avant. — Ces deux insectes ne sont que des var. de la Quenselir. 61. C. Sylvicola. Zimm.— Schaum. D. J. I. 544. 41. 62. C. Remotestriata. Dej. Spec. III. 473. 15. Remota. Zimm. Amérique Russe. Ounalaschka. Les deux ex. (à et ©), types de Dejean, sont en mauvais état, mais ils présentent fort distinctement les caractères essen- tiels de cette espèce ; tout l'insecte est plus étroit que la C. Quen- selii: le corselet est plus long, moins large surtout en avant; le bord antérieur est moins échancré; les côtés tombent plus Juz. Purzeys. — Étude sur les Amara. 195 droit sur la base; ils ne sont largement déprimés que depuis le milieu jusqu'à la base; les élytres sont plus planes en dessus, les siries beaucoup plus fines, plus régulières et à peine distincte- ment ponctuées; les intervalles complètement plans et d'une teinte mate; (c'est, en partie, à cette absence de convexité qu’est due la plus grande largeur des intervalles); les épisternes métatho- raciques sont très-faiblement ponetués. Tous ces caractères ne restent cependant pas réunis dans tous les individus. La coll. de Chaudoir en renferme plusieurs où les bords du corselet sont déprimés jusqu'à la partie antérieure. La C. Indistincta Mannerh. (B. M. 1855. p. 45 n° 96) est une variété dont le corselet est un peu moins étroit antérieurement et dont les intervalles sont un peu moins plans. M'. de Chaudoir en possède un ind. de Kadjak. Je ne connais que par la description la C. Gibba Le Conte (Proc. Philad. (1. e.) p. 555 n° 45); elle me parait être également une simple variété de la Remotestriata. 63. C. Relucens Mannh. B. M. 1853. p. 46 n° 57. Bien qu'assez voisin de la C. Remotestriata, cet insecte me paraît constituer une espèce distincte. La couleur est un brun bronzé très-brillant; la taille est un peu plus courte; le corselet moins convexe, à ses côtés déprimés jusqu'au delà du milieu; les angles antérieurs sont plus avancés et plus aigus; le silion longitudinal est moins profond; le milieu de la base est plus déprimé : les stries sont beaucoup plus profondes, plus inégales et plus fortement ponctuées; les intervalles sont moins larges et convexes ; les tibias intermédiaires et postérieurs sont plus arqués. Kadjak. 6°. GROUPE, Zim. L'unique espèce de ce groupe a, comme celles du groupe précédent, deux points pilifères à l'extrémité de la pointe sternale, 64. C. Saxicola. Zimm. 2 ind. venant de la coll. Falderman. 194 Ju. Purzeys. — Étude sur les Amara. 8° GROUPE. Zim. 65. C. Aurata Dej. Spec. III 475. 17. Le Conte (1. c.) p. 359 n° 49. Californie. 66. C. Bifrons. Gyll. — Dej. Spec. IT. 485. 27. — Schaum. D. J. I. 546. 45. 67. C. Abbreviata. Chaud. B. M. 1842. 898 et 1844. 450. A la description de M. de Chaudoir je dois ajouter que les fossettes externes de la base du corselet sont arrondies comme chez les Leiocnemis et que la strie préscutellaire, commençant par un gros point, ne touche, ni à la base, ni en arrière, la 1° ou la 2° strie. 1 © Astrabad. 9 GROUPE. Zim. 68. C. Rufocincta. Sahlb.— Dej. Spec. IT. 484. 26.— Schaum. D. J. I. 547. 44. Grandicollis. Zim. M'. de Chaudoir possède un certain nombre d’ex. venant d'Arménie qui ne différent que par leur taille plus petite. Laevigata Motsch. J.S. 190. 550. (Var. thor. impunet.) 69. C. Subaenea Lec. Lake sup. 208. — Proc. Philad. 1856. 355 n° 45. États-Unis. 1 ex. envoyé par Mr. Le Conte à M". de Chaudoir. 70. C. Acutangula. Chaud. (coll.) Brunnea, nitida, corpore subtus, labro, palpis, antennis pe- dibusque testaceis. Pronotax brevis, transversus, antice posti- ceque angustaltus , lateribus rotundatis, angulis anticis pro- minulis, posticis subrectis apice acutiusculo; basi rotundatim bifoveolato, foveolis parce punctatis—Elytra ovata, punctato striata. Long. 7. Lat. 3 mill. D'un brun brillant devenant plus clair sur les côtés du cor- selet et des élytres. La tète est assez large; les yeux, sans duc. Purzeys. — Étude sur les Amara. 195 ètre aplatis, sont cependant peu saillants. Le corselet, assez convexe, est plus large que long, presqu'aussi rétréci à la base qu'à l'extrémité; les côtés sont régulièrement arrondis; le bord antérieur est tronqué, ses angles sont déprimés , saillants, arrondis à leur extrémité; les angles postérieurs sont un peu plus ouverts que droits ; leur extrémité est assez aiguë; le bord basal est très-légèrement échaneré au milieu de chaque côté; la base porte deux fossettes assez larges, presqu'arrondies et faible- ment ponctuées ; le sillon longitudinal est peu profond au milieu. Les élytres sont ovales, un peu plus larges à leur base que le corselet, sinuées avant l'extrémité, assez profondément striées ; les stries sont un peu plus fortes à l'extrémité; leurs points quoiqu'assez gros, sont peu distincts; la strie préscutellaire est longue; elie part de la base de la 2° strie et se réunit en arrière à la strie suturale. Un seul ind. & coll. de Chaudoir et indiqué comme venant des Etats-Unis. Par l'avancement des angles antérieurs, cette espèce se rap- proche dé la C. Subaenea Lec., mais elle est très-différente par son corselet beaucoup plus court, plus large, moins con- vexe, surtout sur les bords, par sa strie préscutellaire qui n'est pas libre à son extrémité, etc. 71 . C. Chalcea. Dej. Spec. HT 476. 18. États-Unis. 2 types de Dejean, un de chaque sexe. L’insecte décrit sous ce nom par M'. Le Conte (Proc. Philad. 1856 p. 551 n° 25) ne peut pas être l'espèce de Dejean; _eette dernière est bien positivement une Celia, tandis que Le Conte place la sienne parmi les Amara proprement dites, avec les tibias postérieurs des & pubescents. Dans la coll. de Chaudoir se trouvent plusieurs individus (dont l'un porte une étiquette de Dejean avec le nom de Hybrida) presque noirs, un peu plus larges que le type à de la Chalcea, ayant le corselet plus étroit en avant, les élytres plus courtes et plus larges, leurs stries plus fortement ponctuées et les deux impressions de la tête plus profondes et plus arrondies. Mais d’autres ex. forment le passage entre cette variété et le type de la €. Chalcea. | 196 Juz. Purzevs. — Étude sur les Amara. 72. C. Rubrica Haldem.— Le Conte(l. c.) p. 555 n° 44. Etats-Unis. Plusieurs individus, entre autres l'un envoyé sous cenom par M". Le Conte. 73. C. Musculus Say. — Dej. Spec. IIT. 477. 20 (errore. musculis). — Le Conte (1. ec.) p. 355. 46. États-Unis et Texas. La C. Contempta Lec. Geod. col. p. 95 n° 5 est à peine une variété de cette espèce (voy. Le Conte Proc. Philad. 1856 p. 355 n° 46.) 74. C. Texana. Chaud. (coll.) Trés-voisine de la C. Musculus. Les yeux sont moins sai lants; le corselet est plus large en avant, les angles postérieurs sont un peu plus obtus; les deux fossettes de la base sont plus rapprochées l’une de l'autre et l'espace entre elles est parsemé de quelques points; les élytres sont plus courtes, moins rétrécies postérieurement, moins forte- ment ponctuées; la strie préscutellaire est moins longue. 2 ind. rapportés du Texas par M'. Sallé. Bien que rapprochée de la C. Musculus, elle ne peut être réunie ni à cette espèce ni à la C. Contempta qui a aussi le cor- selet un peu moins rétréci en avant. 7° GROUPE. Zim. 75. C. Injima Duft. — Dej. Spec. HI. 491. 55.— Schaum. D. J. I. 545. 42, Granaria Dej. Spec. III. 490. 52. Les deux insectes décrits par Dejean appartiennent évidem- ment à une seule et même espèce. Un individu, venant d'Autriche, est étiqueté par Dejean du nom d'A. Confusa:il est récemment transformé, brun; la base du corselet est plus fortement ponctuée, ee qui rend les deux impressions moins distinctes; les points des stries sur les ély- tres sont plus gros; la strie préscutellaire est un peu plus longue. Juz. Purzeys. — Étude sur les Amara. 197 ACRODON Zimm. 76. A. Brunneus Gyll. — Dej. Spec. III. 483. 93.— Schaum. D. J. I. 518. 45. A. Lapponica Dej. Spec. V. 795. 69. Cette espèce varie quelque peu dans sa taille, dans la forme et la ponctuation du corselet et dans la ponctuation des stries des élytres. Un des ex. de Dejean porte 3 points pilifères 9 de chaque côté de l'anus. L'ex. de l'A. Lapponica D. n'est ni plus ni moins ponctué à la base du corselet que la Brunnea; seulement, les deux impressions sont moins profondes; la strie qui est au fond de l'impression interne est tout aussi distincte que d'habitude. Un ex. 9 de la Brunnea fesant partie de la coll. Dejean est complètement identique. Il y a dans la coll. de Chaudoir un ind. à rapporté de Ustbuchbarmin par Kindermann. Ses élytres sont noires, les bords du corselet bruns. Il est un peu plus large que l'A. Brunnea. Le corselet est plus rétréci en avant et moins aux angles postérieurs qui sont plus droits, bien qu'arrondis à leur extrémité; la base du corselet et les stries des élytres sont plus fortement ponctuées. La même collection possède un autre ind. © rapporté de Kenaï par Holmberg, et étiqueté C. Amplicollis Mann. Il se rapporte bien à l'insecte décrit sous ce nom B. M. 1853. 47 n° 58. Il diffère de l'A. Brunnea en ce qu'il est un peu bronzé; que le corselet est plus court, plus large, surtout au milieu et plus arrondi sur les côtés; les points des élytres sont moins distincts. Je ne puis voir dans ces deux insectes que de simples va- riétés de l'A. Brunneus. LEIOCNEMIS Zimm. De tous les genres établis par Zimmermann, le genre Leiocnemis est celui qui manque le plus d'unité; il semble s'être formé de toutes les espèces qui ne pouvaient figurer autre part. 156 Juz. Purzeyxs. — Étude sur les Amara. Un corselet rétréci en arrière, les tibias postérieurs des à non pubescents intérieurement, tels sont les caractères communs aux Curionotus el aux Leiocnemis; mais chez les premiers, les tibias intermédiaires des à sont bi-ou tridentés en dessous, tandis que chez les autres, ils sont inermes. Or, ce caractère tend à disparaître chez quelques £urtonotus, tandis que certaines Leincnemis ont les tibias intermédiaires assez distinctement dentés en dessous. La forme générale des Leiocnemis est un ovale court; le corselet transversal est, ou arrondi postérieurement, ou avec des angles postérieurs obtus. Le dernier article des palpes labiaux est plutôt fusiforme qu'oblong; il s’atténue fortement vers l'extrémité qui est presque pointue et seulement tronquée à l'extrême pointe : la ligne de gros points sur la 8° strie des élytres n'est pas complètement interrompue au milieu, comme c'est le cas chez les Curtonotus; la strie préscutellaire est ordi- nairement longue et ce n'est que fort rarement qu'elle porte un gros point à sa base. Les épisternes métathoraciques sont allongés. On y a cepen- dant fait entrer des insectes de forme allongée , à corselet cor- diforme et à angles saillants, à strie préscutellaire courte, et avec les épisternes métathoraciques brièvement trapézoïdaux. (A. Puncticollis, Pyrenaea, etc.) D'un autre côté, on a dù joindre aux Curtonotus des espèces à palpes faiblement tronqués, à strie préscutellaire courte, ayant sur la 8° strie une ligne de points non interrompue, et ne présentant pas des épisternes allongés (A. Helopivides, Nobilis, Spectabilis, Cardui.) On a donc altéré l'unité de chacun des deux genres et l'on a séparé des insectes manifestement voisins, tels qu'A. Cardui, Pyrenaea etc. Le seul parti à prendre me parait être de créer un nouveau genre qui se placera comme intermédiaire entre les Leiocnemis et les Curionotus et qui sera parfaitement homogène dans sa composition : ses caractères seront, au reste, parfaitement tranchés. Toutefois, il ne faut pas se dissimuler que cette élimination ne suffira pas pour donner une homogénéité complète à ce qui restera du genre Leiocnemis; à côté d'espèces courtes, convexes, Juc. Purzevs. — Étude sur les Amara. 199 à corselet transversal, à strie préscutellaire et à épisternes allongés, on continuera à en voir d'autres à élytres presque cylindriques, ou bien aplaties, à corselet cordiforme, ou n'ayant qu'une strie préseutellaire presqu'indistincte et des épisternes carrés. Voici les Leioenemis signalées par Zimmermann. 1°" Groupe. 1. Pyrenaea Dej. 2. Puncticollis De]. 3. Cordicollis Zim. 2 Groupe. &. Crenata Dej. 5. Elongata. Sturm. 3° Groupe. 6. Alpicola Dej. 7. Cuniculina Dej. 4 Groupe. 8. Sabulosa Dej. 9, Dalmatina Dej. 5° Groupe. 10. Eximia Dei. 6° Groupe. 11. Glabrata Dej. 7° Groupe. 12. Nobilis Dej. Les 1", 2%, G°, 7e et 12 passent au genre Leirides: la 5° est identique à la 8° (voy. Siurm cat. 1845 p. 29.) Ïl en reste donc 6 auxquelles je vais en ajouter 21, Ce nombre est certainement destiné à s'accroitre par de nouvelles découvertes, L'Espagne semble être la patrie de prédilection des Leiocnemis, et ce pays, rendu plus abordable par les chemins de fer, ne tardera pas à livrer ses richesses entomologiques aux naturalistes. 200 Juz. Purzeys. — Étude sur les Amaïru. En général la pointe sternale chez les Leiocnemis est sil- lonnée à l'extrémitè et porte deux points pilifères. Les espèces qui font exception sous ces deux rapports sont : Avida, Glabrata, Ooptera et Rotundicollis. | Les Sabulosa, Arenaria et Crenata, sont munies d'un sillon, mais les points pilifères manquent. 77. L. Cottyi, Coq. Ann. Soc. ent. de Fr. 1858 p. 77. Long. 6 ‘/, — Lat. 5 mill. Flavo-brunnea, palpis, antennis pedibusque testaceis. Protho- rax transversus, antice truncalus, angulis anticis lateribusque rotundatis, angulis posticis obtusis; basi foveola oblonga pro- funda atque modice punclulata, punctoque versus angulum notata. Elytra ovata, leviter striata, striis postice subprofundioribus, subtilissime punctulatis ; striola praescutellari brevi ; humeris sube- levatis, vix rotundatis; foveolarum serie in stria 8* in medio interrupla. La couleur générale est un brun un peu plus fauve, devenant beaucoup plus clair sur les côtés et la base des élytres ainsi que sur la marge du corselet; le dessous du corps, les palpes, les antennes et les pattes sont testacés. Les palpes ont leur dernier article mince, en ovale très- allongé, très-atténué après le milieu, distinctement recourbé en dedans vers l'extrémité; la pointe seule est tronquée. La tête porte, entre les antennes, deux impressions linéaires, lisses et peu profondes, mais très-distinetes. Les yeux sont peu saillants. Les antennes n'atteignent pas la base du corselet. Celui-ci est très-court, transversal, tronqué en avant, sinué à la base; ses angles antérieurs, arrondis, sont très-déprimés, ce qui le fait paraitre aussi large à la bëse quà l'extrémité ; les côtés forment un arc régulier jusqu'aux angles postérieurs qui sont très-ouverts et presqu'arrondis. Le rebord marginal est assez relevé, surtout en arrière, mais il est fort étroit. De chaque côté de la base et un peu plus près du bord extérieur que du centre, on voit une impression dont le fond est linéaire et qui s'élève jusqu'au tiers de la hauteur du corselet; elle est entourée de quelques points assez petits, plus nombreux in- térieurement et qui n'atteignent pas le milieu de la base. Près Ju. Purzevs. — Étude sur les Amara. 201 de chacun des angles postérieurs, on distingue une fossette très-petite et presque ronde. La base est assez fortement dé- primée entre les deux impressions linéaires. La ligne longi- tudinale est assez profonde, sauf à ses deux extrémités. Les élytres sont peu convexes, larges, ovales, non sinuées sur les côtés; le rebord basal, déprimé au milieu, se relève jusqu'aux angles huméraux et forme avec le rebord marginal un angle presque droit. Les stries sont fines et peu profondes, très-fai- blement ponctuées : elles sont cependant un peu plus pro- fondes vers l’extrémité; la 7° strie atteint distinetement l’épaule ; la strie préscutellaire est courte. La ligne de gros points sur la 8° strie est interrompue au milieu. Les épisternes métathora- ciques sont allongés, striés intérieurement, non ponetués. Les tibias sont fortement épineux. J'ai vu dans la collection de M". de Chaudoir 6 individus venant d'Algérie. Chez l'un d'eux, les angles postérieurs du corselet sont plus arrondis ; ces angles le sont moins, au contraire, chez un 7° individu des Iles Canaries. Mais ces différences sont peu constantes d’après ce que je puis en juger par deux exemplaires de ce dernier pays, communiqués par M'. Dohrn. 78. L. Aenescens. Schaum. (in coll. Chaud.) Très-voisine de la Z. Cottyi dont elle pourrait bien n'être qu'une variété. Cependant elle présente des différences qui, sauf examen d'individus plus nombreux de lA. Cotlyi, me semblent la distinguer spécifiquement de cette dernière. Elle est plus petite (Long. 5. Lat. 2 ‘}, mill.), d’une couleur plus claire en dessus; les antennes et les pattes sont d’un testacé plus clair; le dessous du corps est d'un brun foncé, parfois noir, ce que je n'ai remarqué chez aucun individu de Ja L. Cottyi, même chez les plus foncés : les angles antérieurs du corselet sont encore plus déprimés et les côtés sont en gé- néral plus arrondis vers les angles postérieurs; les impressions de la base sont moins ponetuées et la fossette externe est presque punctiforme : les stries des élytres sont plus fines, mais plus distinctement ponctuées; elles ne s'approfondissent pas vers l'extrémité, et là 7° n'atteint pas la base. M". de Chaudoir en possède 8 individus recus sous ce nom de M". Schaum qui les à pris à Alexandrie (Egypte.) 26 202 Jour. Purzevs. — Étude sur les Amart. 79. L. Euphratica. Chaud. (coll.) Eone07: 1); bat. 3 #2 M: Flavo-brunnea , palpis, antennis pedibusque testaceis, femoribus apice tibiisque brunneis. Prothorax transversus, antice leviter emarginatus, angulis anticis deflexis rectis apice obtuso, late- ribus subrotundatis, angulis posticis fere rectis; basi late de- pressa atque foveolis duabus oblongis inæqualibus punctatis notata. ÆElytra breviter ovata, levissime striata, striis postice subprofundioribus, subtilissime punctulatis, striola praescutellari longa; humeris subelevalis; foveolarum serie in stria 8* conti- nua. Élytres d'un brun clair ; la tête et le corselet d'un brun de poix; les palpes, les antennes, les bords du corselet, le dessous du rebord des élytres, les cuisses et les tarses d'un testacé rougeâtre. Le dernier article des palpes est étroit, acuminé, mais moins aigu à l'extrémité que dans la L. Cottyi. Les yeux sont peu saillants, surtout en arrière. Le corselet est transversal, très-peu rétréei en arrière et y paraissant même plus large à cause de la dépression des angles antérieurs; il est un peu échancré en avant; les angles anté- rieurs sont droits. Les côtés sont légèrement arrondis jusqu'au milieu et le sont à peine depuis ce point jusqu'aux angles postérieurs : ceux-ci sont un peu plus ouverts que l'angle droit. La base est tronquée, très-faiblement sinuée, un peu dé- primée au milieu; la dépression est beaucoup plus large et plus distincte en approchant des angles; elle porte de chaque côté deux impressions peu profondes ayant dans leur milieu une ligne enfoncée très-distincte; l'intérieure remonte beaucoup plus haut que l’autre : ces impressions sont assez fortement ponctuées; entre elles, au milieu de la base, on voit quelques points et quelques petites stries longitudinales; le rebord mar- ginal est plus élevé dans sa moitié inférieure. Les élytres sont larges, en ovale court, peu rétrécies à l'extrémité où elles sont assez fortement sinuées. Le rebord basal se relève légèrement vers les angles huméraux qui sont presque saillants. Les stries sont très-fines et très-légèrement Ju. Purzeys. — Étude sur les Amara. 203 ponctuées ; elles s'élargissent vers l'extrémité et deviennent moins distinctes extérieurement; la 7° n'est pas distincte en dessous de l'épaule. La strie préscutellaire est assez longue; elle part de la base de la 2° strie et se réunit à son extrémité à la strie suturale. La ligne de gros points sur la 8° strie n’est pas in- terrompue au milieu. Mésopotamie. 80. EL. Dalmatina Dej. Spec. HT. 495. 58. — Schaum. D. Dot TE Long. 8. Lat, 51}, M. Fusco-aenea, palpis, antennis pedibusque testaceis. Oculi sub- depressi. Antennae longiores. Prothorax transversus ad angulos anticos vix angustatus, lateribus rotundatis, angulis posticis obtusis; basi tota, foveolisaue basalibus fere rotundutis, grosse punctatis, margine antico laevi. Elytra lata, ovata, punctaio striata, striola praescutellari longa. Dalmatie, Styrie, Grèce, Sicile. 81. L. Eximia Dej. Spec. HIT. 494 n° 57. Long. 7 ‘/,— Lat. 5 ‘/, M. Castaneo-picea vel picea. Prothorax transversus, antice leviter emarginalus, angulis anticis porrectis rotundatis; basi in medio emarginata, utrinque sinuata, fortiter punclala, bifoveolata, inter foveolas depressa. Elytra convexiuscula, ovata, humeris elevatis, angulatis, striato-punctata, stria praescutellari longa; foveo- larum serie in stria 8 vix inlerrupta. D'un brun de poix, tantôt plus clair, tantôt plus foncé; les palpes et les antennes sont d'un testacé un peu rougeûtre. La tête est petite, les yeux sont assez saillants; les palpes ont leur dernier article moins allongé et plus obtus à extrémité que dans la L. Cottyi; les antennes dépassent de très-peu les épaules. Le corselet est court, transversal, très-arrondi sur les côtés; les angles postérieurs sont arrondis; la base, échancrée au milieu, est sinuée sur les côtés ; les deux impressions sont profondes, mais peu régulières; elles sont fo.tement ponctuées, de même que le 204 Ju. Purzeys. — Étude sur les Amara. milieu de la base qui est déprimé; les points se prolongent tou le long du bord marginal qui est large et relevé; on remarque aussi quelques points le long du bord antérieur. Les élytres sont en ovale court, peu rétrécies à l'extrémité où elles sont assez fortement sinuées ; le rebord basal se relève forte- ment vers les épaules où il forme avec le bord marginal un angle aigu ; elles sont assez profondément striées et fortement ponctuées ; les stries sont beaucoup plus profondes vers l'extrémité; la strie préscutellaire est assez longue; à la base elle est réunie à la 2° strie. La série de gros points su la & st ieest à peine interrom- pue au milieu où cependant les points sont plus distants les uns des autres. La collection de M'. de Chaudoir renferme un assez grand nombre d'individus de cette espèce : parmi ceux provenant de la collection Dejean , il se trouve une variété venant d'Espagne et signalée dans le Species, où la base du corselet ne porte de points que p'ès des deux impressions et dont les stries ne sont pas distine- tement ponctuées. Une seconde variété, étiquetée par Dejean avec un signe de doute, se distingue du type par des élytres notablement plus courtes, plus élargies en avant et dont l'angle huméral est moins relevé; par ün corselet un peu plus large en avant et dont les angles postérieurs sont plus marqués et moins arrondis. La fossette interne de la base du corselet n’est pas linéaire comme dans l'Eixmia, mais plutôt arrondie et limitée en arrière par une petite carène transve sale. L'unique individu de cette variété est une Q prise en Espagne. Dejean avait également mis à part, comme variété de l'A. Exi- mia, deux individus venant du midi de la France et qu'au pre- mie; abord, on serait tenté de regarder comme constituant une espèce. Ils sont plus petits, plus étroits, de couleur brune assez claire ; le corselet, tout aussi court que chez l'Eximia, est beau- coup plus large au milieu et plus régulièrement arrondi; il n'est pas sensiblement rétréci antérieurement et tous ses angles sont à peine distincts. Ces caractères, fort prononcés dans l'un des ex- emplaires, diminuent chez l'autre qui me parait faire la transition vers le type. 82. L. Brevis Dej. Spec. HI, 495. 55. Long. 7 — Lat. 5 ‘/, M. Juz. Purzeys. — Étude sur les Amara, 209 . Castaneo-piceu. Prothorax transversus, antice subangustatus , lateribus rotundaiis, angulis posticis subrotundatis ; basi utrinque profunde sinuaiu, foveolis basalibus laevibus, internc profun- diore oblonga, exierna vero rotundata. Elytra convexa in dorso subdeplanata, breviter ovata, apice leviter sinuata, humeris subelevatis, striata, striis vix punctulatis, apice profundioribus ; foveolarum serie in stria Sin medio rarius interrupta. Voisine de la L. Eximia, mais d'une couleur plus claire. Les antennes sont plus longues; les yeux moins saillants. Le corselet est un peu moins large, plus rétréei vers les angles antérieurs qui sont moins saillants; les côtés sont un peu moins arrondis après le milieu; les angles postérieurs sont plus marqués. Le milieu de la base parait légèrement échancré; la base se pro- longe un peu en arrière en dessous de l'impression interne, puis elle se relève jusqu'aux angles postérieurs ; ni sur la base, ni sur les côtés, ni vers le bord antérieur, on ne remarque de ponctua- tion ; les deux impressions seules portent quelquefois un petit nombre de points inégaux : elles sont très-nettes; lintérieure; qui est la plus profonde, est oblongue; l’autre, plus rapprochée des angles postérieurs que dans l’Eximia, est ronde. Les élytres ne sont pas plus courtes, mais elles sont plus arrondies sur les côtés et moins profondément sinuées avant l'extrémité; l'angle huméral est moins aigu; les stries sont un peu moins pro- fondes, leur ponctuation est trés-faible et les intervalles sont moins relevés; la strie préscutellaire ne touche point en arrière la stiie suturale. La série de gros points sur la 8° strie n'est pas ordinairement interrompue au milieu. La collection de M'. de Chaudoir renferme 3 ind. prove- nant de la collection de M". Dejean et trouvés par celui-ci en Espagne. Un 4° ex. vient de Grenade; il ne diffère des autres que par son corselet plus court et ses stries un peu plus fines sur les élytres. J'en ai vu d'autres exemplaires rapportés d'Espagne par M'. Chevrolat, Bellier et de Vuillefroy. J'en possède un 1e- cueilli jadis en Andalousie par M'. Ghiliani. 85. L. Corpulenta. N. Sp. Nigro-piceu, subaenescens. Prothorax transversus, antice sub- anguslatus, lateribus rotundatis, angulis posticis subrotundatis ; 1% 206 Juz. Puorzevs. — Étude sur les Amaru. basi utlrinque profunde sinuata, foveis basalibus punclatis, ex- lerna vix distincta. Elytra convexa, breviter atque late ovata, apice leviter sinuala, humeris elevatis, slriala, striis tenuiter punctulatis, apice profundioribus. Long.7.— El. 4°}, La. 4 ‘}, M. Intermédiaire entre les À. Brevis et Testudinea. Elle est de la longueur de la Brevis et de la mème couleur, mais ses élytres sont plus larges, plus arrondies; leur surface dorsale est plus convexe; les intervalles sont moins relevés; le corselet est à peu près semblable, mais il est un peu plus rétréci antérieurement, ses angles posté.ieurs sont un peu plus marqués; les deux fossettes, surtout l’externe, sont moins profondes; toute la base, sauf le milieu, est parsemée de points très-inégaux dont les plus gros sont ceux de l'extérieur. La Testitudinea est noire, plus grande; ses élytres sont en- core plus larges et plus arrondies sur les côtés et plus convexes en dessus : le rebord marginal est plus large; la strie préseu- tellaire est isolée; le corselet est plus arrondi sur les côtés; ses angles antérieurs sont plus saillants; sa base n'est pas ponctuée; l'impression interne est moins large et plus linéaire; l'impres- sion externe est très-distinctement arrondie; les yeux sont encore moins saillants; enfin, les épisternes métathoraciques sont beaucoup plus courts. Un individu © communiqué par M". de Vuillefroy comme venant de G:enade. 84. L. Testudinea N. Sp. Atra, vix subaenescens. Oculi haud prominuli. Prothorax transversus, antice leviter angustatus, lateribus rotundatis, angulis anticis promanulis, poslicis subrotundatis; basi utrin- que profunde sinuata, foveolis basalibus laevibus, interna pro- fundiore lineari, externa rotundata. Elytra convexa, brevissime atque latissime ovala, apice leviter sinuata, humeris elevatis, tenuiter striata, striis apice profundioribus, interstitüs planis. Episterna metathoracica subquadrata. & Long. 8 ‘}. —ÉI. 5 — Lat. 4 M. SWLong. 9. —1B15 4) pat 44) °M. Jus. Purzeys. — Étude sur les Amara, 207 D'un noir de poix avec les bords externes du corselet d'un brun rougeûtre de même que les pattes; les palpes et les an- tennes sont testacés. Les yeux ne sont nullement saillants et leur orbite forme, en dessous, une saillie bien distincte dirigée en avant. Le corselet est fortement transversal, très-légèrement échancré en avant, tronqué à la base qui n'est déprimée qu'en dessous de la fossette interne; les côtés sont très-régulièrement arrondis; ils se rétré- cissent cependant un peu vers les angles antérieurs qui sont obtus et légèrement saillants.— Les angles postérieurs sont presqu'ar- rondis, mais cependant bien distincts. Le sillon longitudinal est peu profond, surtout à sa base et son ext:émité n’atteint pas le bord antérieur. L'impression transversale antérieure est complète- ment oblitérée. La base est presque complètement lisse, c'est à peine si l’on parvient à y distinguer deux ou trois petits points. La fossette interne est linéaire, droite : elle ne descend pas jusqu'au bord basal, La fossette externe est petite et arrondie, Les élytres ont leur base un peu plus large que celle du corselet ; elles forment un ovale extrèmement court, un peu plus large aux épaules qu'en arrière : leur surface est très-convexe, surtout la moitié postérieure; les épaules sont très-relevées en angle aigu; les côtés sont régulièrement arrondis, sinués avant l’ex- trémité. Les stries sont fines, peu profondes; les intervalles ne sont que très-légèrement convexes; la strie préscutellaire, qui prend naissance entre la 1**° et la 2% strie, est oblique et courte. Les épisternes métathoraciques sont courts, presque carrés. Le praesternum du 3% porte au milieu quelques points peu distincts. M'. de Vuillefroy m'a communiqué deux Amara venant d'Espagne (sans désignation plus précise) et que je considère comme étant les deux sexes de la présente espèce. La © a les yeux encore moins saillants, les élytres plus larges, plus dilatées au milieu, et les intervalles des stries encore moins convexes. De toutes les espèces qui peuvent servir de terme de com- paraison , l'A. Eximia est la seule qui soit répandue dans toutes les collections. L’A. Testudinea est un peu plus grande et sur- tout beaucoup plus large; sa couleur est plus noire et nul- lement bronzée. La dent du menton est plus courte; les yeux sont moins saillants. Le corselet est plus rétréci antérieurement, 208 Jez. Purzeys. — Étude sur les Amara. moins échancré en avant; ses angles antérieurs sont moins arrondis: le rebord latéral est plus large; la base n'est nulle- ment ponctuée et la fossette externe est plus petite et plus arrondie; l'impression transversale antérieure, qui est distincte et souvent ponctuée chez l'Eximia, est complitement effacée dans la Testudinea. Les élytres sont beaucoup plus dilatées sur les côtés; les épaules sont plus arrondies; les stries sont moins profondes, nullement ponctuées; les intervalles sont moins convexes, surtout chez la ©; la strie préscutellaire est plus courte, plus oblique, plus éloignée, à sa naissance, dela base de la 2° strie. Les épisternes métathoraciques sont plus couris et plus larges : le praesternum du 6 n'offre pas un espace ovalé ponctué; il porte seulement au milieu quelques points épars. L'A. Gravidula Rosenh. pourrait êt'e la présente espèce ou l'une des espèces suivantes ; mais la description me permet d'autant moins de trancher la question que, probablement, le groupe auquel appartiennent ces espèces est largenient représenté en Espagne. 85. L. Arcuata. N. Sp. Aenescenti-nigra. Prothorax transversus, basi angulatim ar- cuatus, lateribus rotundatis, angulis posticis subrotiundatis, basi laevi, foveola basali interna lineari parum profunda, externa rotundata vix perspicua. Elytra convexa, breviter atque late ovala, apice leviter sinuata, humeris elevatis, tenuiter laevi- striata, interstitiis planis. Long: 6.109) PLat 25) M. D'un noir bronzé brillant. Elle se rapproche beaucoup de l'A. Corpulenta, mais elle est notablement plus petite; les deux impressions entre les antennes sont moins larges; les yeux sont plus saillants. Le corselet est transversal; le bord antérieur est légèrement échancré. La base, complètement lisse, forme presqu'un arc de cercle, légèrement échancré au milieu, anguleux en dessous des fossettes internes : cette forme est celle des À. Brevis, Corpulenta, Testudinea etc. mais dans aucune de ces espèces elle n'est aussi marquée qu'ici. La fossette interne Juz. Purzeys. — Etude sur les Amara. 209 est linéaire, courte, peu profonde; la fossette externe, très-petite, ronde, est à peine distincte. Les angles antérieurs sont plus déprimés et plus saillants que dans la Corpulenta; les angles postérieurs sont plus arrondis; les élytres ont à peu près la mème forme; cependant elles sont proportionnellement plus courtes, un peu plus arrondies en dessous des épaules; les stries sont plus fines, nullement ponctuées et leurs intervalles sont complètement plans. M'. de Vuillefroy men a communiqué deux individus venant de Carthagène. 86. L. Rotundicollis Schauf. Rev. Zool. 1862. 499, Lone. 6 ‘,..Lat. 5: ‘/; M. Nigro-picea, antennis libiarumque basi rufo-testaceis. Caput minus, oculi subdepressi. Prothorax breviler cordatus, antice emarginatus angulis anticis porrectis, lateribus rotundatis, ante angulos posticos rotundatos abrupte constrictus ; basi pro- funde atque late foveolata. Elytra breviter ovata, striato-punctata, striola praescutellari brevissima ; humeris elevatis angulatis, D'un noir de poix brillant; l'extrémité des palpes, les an- tennes, la base des tibias et les tarses d’un testacé rougeitre. La tête est petite; elle porte, entre les antennes, un sillon transversal profond qui se recourbe en arrière de chaque côté pour former les deux fossettes interoculaires que l'on voit ordinairement dans les Amares; on remarque sur le vertex un gros point enfoncé. Les yeux sont fort peu saillants, et le développement du bord postérieur les fait paraitre déprimés. Le corselet a à peu près la forme d'un cœur très-court; ses côtés sont très-arrondis, mais, un peu avant la base, ils sont brusquement et fortement rétrécis; le bord antérieur est pro- fondément échancré, un peu élevé dans son milieu; les angles antérieurs sont très-saillants, presque droits et fortement déprimés. Les angles postérieurs sont arrondis. Le milieu de la base, de chaque côté, est occupé par une impression très-profonde au fond de laquelle on aperçoit deux fossettes linéaires; ces im- pressions, de même que la base, ne présentent aucune ponctua- tion : le milieu de la base n'est nullement déprimé; le sillon longitudinal est profond entre Ja base et l'extrémité, et on y 2 210 Ju. Purzeys. — Étude sur les Amara. remarque plusieurs dépressions ; le rebord marginal est assez large. Les élytres sont plus larges que le corselet, en ovale assez court; la base est tronquée; l’extrémité est rétrécie et assez fortement sinuée de chaque côté; le rebord basal est assez relevé, surtout près de l'écusson; ïl remonte légèrement jusqu'aux angles huméraux où il se relève de manière à former une saillie assez prononcée; les stries sont profondes et ponctuées; on n'aperçoit, à la base du 2° intervalle, qu’un faible rudi- ment de la strie préscutellaire. Le bord postérieur des premiers segments abdominaux et toute l'extrémité du dernier sont fauves. Je ne possède qu'un ind. à de ce remarquable insecte qui ma été envoyé par M'. Schaufuss comme venant des montagnes de l'Espagne centrale. M'. de Vuillefroy en a également rap- porté un de l'Escorial. 87. L. Ooptera. Long. 5. Lat. 3. mill. Par la forme de ses élytres, elle se rapproche de la Rotundata , mais son corselet est tout-à-fait différent, La tête et le corselet sont bruns, les élytres d’un noir de poix brillant : la bouche, les antennes, les pattes et le bord externe du corselet sont testacés. La tête est assez large, lisse, munie seulement des deux impressions ordinaires entre les yeux ; ceux-ci sont médiocre- ment saillants. Le corselet est un peu moins long que large, très-convexe, plus fortement arrondi dans sa moitié antérieure que depuis le milieu où il commence à se rétrécir jusqu'à la base; les angles postérieurs sont petits, presque droits, mais leur pointe est arrondie; le bord antérieur est un peu élevé aux deux angles. La base, dont le milieu est un peu prolongé en arrière, est déprimée entre les fossettes internes qui sont séparées des fossettes externes par une carène large et triangu- laire qui n'est que le prolongement de la surface du corselet. Les fossettes internes sont très-marquées, linéaires et remontent obliquement jusqu’au tiers du corselet; les fossettes externes sont arrondies et peu profondes. Toute la base n'est que très- faiblement ponctuée. Ju. Purzexs. — Étude sur les Amara. 2ii Les élytres sont très-convexes, en ovale très-court, fortement arrondies sur les côtés, leurs stries sont presque lisses : la strie préscutellaire est presque nuile et se réduit à un petit point placé à la base entre les 1"° et 2° stries; le rebord basal est arqué depuis l'écusson jusqu'à lépaule qui est anguleuse mais non saiilante. J'ai vu un ind. de eet insecte de la coll. de M'. de Bon- vouloir où il est noté comme trouvé à l'Escurial (Espagne centr.) M". Chevrolat et Bellier de la Chavignerie l'ont égale- ment trouvé dans la mème localité. 88. L. Rotundata Dej. Spec. IT. 492. 54. Long. 4 ‘L. Lat. 2°]. M. Ovata, convexa, supra rufo-brunnea, elytris nigro-piceis, ni- tidis; antennis pedibusque testaceis. Prothorax brevis trans- versus laieribus subrotundatis, angulis anticis deflexis, posticis obtusis; basi impunctato, utrinque cblonge foveolato punctoque versus angulos impresso. Elytra breviter ovata, humeris angu- latis, subtiliter striata, striola praescutellari brevi. La tête, le corselet et le dessous du corps sont d'un brun assez clair, les paties et surtout les palpes et les antennes sont testacés. Les yeux sont assez saillants. Les palpes sont plus épais et moins allongés que dans la L. Cottyi. Les antennes, gros- sissant un peu vers l'extrémité et composées d'articles serrés, n'atteignent pas tout-à-fait la base du corselet. Le corselet est transversal, tronqué antérieurement; ses angles antérieu s sont très-déprimés; les côté; sont fortement arrondis jusqu’au milieu; les angles postérieurs sont très-obtus. Les deux impressions de la base sont complètement glabres; lintérieure est assez large et ne touche pas le bord basal; l'extérieure est très-petite et arrondie. La ligne longitudinale est bien marquée depuis la base jusqu'en dessous du bord anté- rieur. Les élytres sont fort courtes, larges, un peu rétrécies vers l'extrémité qui n'est que très-faiblement sinuée; les épaules sont anguleuses. Les stries, très-fines, s'élargissent vers l'extrémité ; bien que Dejean les signale comme entièrement lisses, il suffit de les examiner obliquement pour voir qu'elles sont légèrement 212 JuL. Pcrzeys. — Etude sur les Amara. ponctuées; la strie préscutellaire est courte. La série marginale de gros points n'est interrompue qu'au milieu. Les jambes sont très-épincuses. Espagne. La collection PDejean ne renferme qu'un seul ind. ©. 89. L. Afjinis. Dej. Spec. HE. 488. 50. Long. 6. Lat. 5 M. Fusco-aenea; palpis, antennis pedibusque testaceis. Oculi sub- prominuli. Prothorax transversus, angulis anticis rotundatis ; lateribus antice rotundalis, dein arcualis; angulis posticis obtusis ; bast bisinuaia; foveola basali interna oblonga profundiore, ex- terna rotundata, basi tota punctulata. Elytra .oblongo-ovata , convexa, postice leviter angustata, humeris nec elevatis, obtusis, striatopunctata; striola praescutellari brevi; foveolarum serie in stria 8 subinterrupla. Le dernier article des palpes labiaux est étroit, un peu allongé, arrondi à son extrémité; les «ntennes sont minces et dépassent la base des élytres. Les yeux sont peu convexes, cnchâssés en arrière. Le corselet est transversal, un peu plus étroit à la base qu'en avant; les côtés sont plus fortement ar- rondis en avant qu’en arrière où ils tombent sur la base avec laquelle ils forment un angle obtus. Le bord basal est un peu échancré au milieu, puis un peu arqué'en remontant vers les angles. Le milieu de la base est assez fortement déprimé ct modérément ponetué. Les deux im- pressions basales sont assez profondes, suriout linterne qui st ovale; l’externe, située assez près des angles postérieurs est arrondie; elles sont l’une et l'autre assez fortement poncetuées. Les élytres sont en ovale un peu allongé, rétrécies et dis- tinctement sinuées vers l'extrémité chez la 2. Le rebord basal est assez peu marquée; il ne se relève que faiblement vers les épaules où il forme un angle très-ouvert. Les siries sont profondes, suriout en arrière, assez légèrement ponctuées; la 7° est fort peu distincte en dessous de l'épaule; la strie préscu- tellaire est très-courte et ne se réunit pas à sa base à Ia 2° Juz. Purzeys. — Étude sur les Amara. 215 strie. La série de gros points sur la 8° strie est à peine inter- rompue au milieu. Cette espèce a quelque rapport avec la L. Brevis, mais sa taille est moindre; le corselet est moins large à la base, moins arrondi sur les côtés; la fossette interne de la base est plus arrondie; toute la base est ponctuée; le: élytres sont proportion- nellement moins larges, plus allongées; les épaules sont moins saillantes : les stries sont plus distinctement ponctuées et la strie préscutellaire, autrement placée, est beaucoup plus courte. Mr. de Chaudoir possède 3 individus dont deux (à et 2) de la collection Dejean. Espagne. Heer (Faun. Helv. I. 91. FF.) signale l'A. À finis D. comme se trouvant à Genève. Mais tout en disant que le corselet est plus court, il ne dit pas qu'il est plus large et d'une forme toute différente; il lui attribue des impressions moins profondes que chez l'A. Bifrons, tandis que c'est le contraire qui est vrai. Je pense que l'insecte trouvé à Genève appartient plutôt à une variété de l'A. Bifrons. 90. L. Fervida Coq. Ann. S. ent. Fr. 1858. 776. Long. 7, Lat. 5 mill. Aenco-brunnea, elytris aeneo-piceis, palpis, antennis pedibusque testaceis. Prothorax subquadratus, postice leviter angustatus, an- gulis anticis deflexis, rotundatis : lateribus ante medium ro- tundatis, dein fere rectis, angulis posticis obtusis, basi depressa, bifoveolata, punciulaia. Elytra oblonga, humeris subdentatis , punclulato-striatis, striola praescutellari utrinque abbreviata, basi foveolata ; foveolarum serie in stria 82 subinterrupta. Bien que voisine de la L. Sabulosa, cette espèce en est cepen- dant bien distincte. Les yeux sont moins saillants. Le corselet est plus étroit et surtout plus long, moins échancré au bord antérieur, beaucoup moins arrondi sur les côtés qui, après le milieu, ne sont que très-légèrement arqués; il est moins ré- tréci aux angles postérieurs, qui sont plus arrondis: le bord basal est plus fortement sinué. La base porte des points beau- coup plus petits : les deux impressions sont plus distinctes; l’in- 214 Juc. Purzevs. — Étude sur les Amara. térieure est linéaire, un peu oblique, l'extérieure est presqu'ar- rondie; le sillon longitudinal est plus distinet en avant; le sillon transversal antérieur l'est moins. Les élytres sont un peu plus ovales; leurs stries, moins profondes, ne sont que faiblement ponetuées. La strie préscutellaire est ordinairement un peu plus courte. La ponctuation en dessous du corps est moins marquée. Mr. Poupillier m'a remis quelques exemplaires de cet insecte, capturé par lui dans les environs d'Alger. La collection de M'. de Chaudoir renferme également des individus provenant de la même localité. N. B. Quelquefois le corselet n'est pas plus long que celui de la L. Sabulosa, mais les autres caractères subsistent. 91. L. Simplex. Dej. Spec. IT. 493. 31. Long. 7 */, Lat. — 5‘), M. Flavo-castanea. Prothorax transversus, antice leviter emargi- natus, angulis anticis subporrectis rotundatis, lateribus angu- lisque posticis rotundatis; basi sinuata, foreolis duabus utrinque leviler punctatis, interna oblonga, externa vero rotundata. Elytra subconvexa, ovata, humeris subrectis, subtiliter striata leviterque punctulata; striola praescutellari longa : foveolarum serie in stria 82 in medio subinterrupta. Entièrement d'un brun marron très-clair, qui est un peu plus foncé sur la tête et au milieu du corselet. Les palpes labiaux ont leur dernier article plus étroit et plus long que dans les maxillaires, et légèrement tronqué à l'extrémité. Les antennes, composées d’articles assez allongés, dépassent les épaules. Les yeux sont peu saillants. Le corselet est court, transversal, un peu plus large à la base qu’à l’extrémité, échancré antérieu- rement ; les angles, qui s’avancent distinetement, sont arrondis; les côtés sont régulièrement arqués jusqu'aux angles postérieurs qui, bien que marqués, sont arrondis. La base, légèrement échancrée au milieu, est bisinuée; elle est déprimée en dessous des fos- settes internes et se redresse un peu jusqu'aux angles posté- rieurs; de chaque côté, on remarque deux impressions dont l'intérieure, assez large, porte au centre une strie profonde qui n’atteint pas la base et remonte jusqu’au premier tiers du corselet; Juz. Puorzeys. — Étude sur les Amara. 215 l'impression extérieure présente la forme d’une fossette arrondie : chacune de ces impressions est entourée de points assez peu marqués. Le sillon longitudinal est peu profond, surtout anté- rieurement; en arrière, il n’atteint pas la base et, en avant, il ne dépasse pas l’impression transversale antérieure qui est assez marquée. Les élytres sont en ovale un peu allongé, assez convexes, presqu’aussi larges en arrière qu'en avant, assez fortement sinuées avant l’extrémité; le rebord basal, déprimé avant le milieu, remonte très-distinctement jusqu'aux angles huméraux qui sont relevés et obtus. Les stries sont fines, très-faiblement ponctuées, surtout vers la base; la strie préscutellaire est assez longue et part de la base de la 2 strie pour se joindre, à son extrémité, à la strie suturale. La série de points sur la 8° strie est faiblement interrompue au milieu. Les épisternes métatho- raciques sont allongés, striés à leur côté interne, non ponetués. Les tibias intermédiaires sont arqués intérieurement. Cette espèce est extrêmement voisine de la L. Dalmatina. Le corselet est un peu plus court et plus large; ses angles antérieurs sont un peu plus avancés; les côtés Sont moins arrondis, surtout inférieurement; les angles postérieurs ne for- ment aucune saillie; la base n’est nullement ponctuée au mi- lieu et les deux impressions le sont beaucoup moins. Les élytres, qui sont un peu plus allongées, sont beauceup plus finement striées, plus faiblement ponetuées et les intervalles sont tout-à-fait plans. La collection de M'. de Chaudoir ne renferme qu’un seul indi- vidu &, provenant de la collection Dejean. M". Chevrolat et Bellier en ont trouvé chacun une © à Valladolid. M'. Vuille- froy m'en a communiqué deux autres, venant l’une de Cartha- gène, l’autre de Murcie. La première est un peu plus courte que le type et la base du corselet est plus arrondie et plus relevée vers les angles; l’autre a, au contraire, la base du corselet plus nettement tronquée, son bord latéral est moins arrondi et moins rétréci vers les angles postérieurs. J’ignore si ces varia- tions ont quelque fixité, et si, par conséquent, il est possible de leur accorder quelqu’importance. 216 Juc. Purzeys. — Étude sur les Amara. 92. L. Indica. Chaud. (coll Long 6 ‘/, —2:/, M. Fulva, pedibus testaceis. Prothoraæ transversus , antice sub- emarginatus, lateribus leviter arcuatis, basi angustior, angulis posticis rectis minulis; basi ipsa foveolis 2 notaia, punctulatis, interna lineari externa minus perspicua. Elytra oblonga, tenuiter striata, punctis striarum vix distinctis; striola praescutellari longa. D'un fauve clair sur les élytres, un peu rougeâtre sur Ja tête et le corselet; les pattes sont d’un testacé très-pâle; il semble, au reste, que l'unique individu que j'ai sous les yeux et quiest en fort mauvais état, soit assez récemment trans- formé. La dent du menton est presqu’aussi élevée que les lobes la- téraux et échancrée à son extrémité. La tête est convexe ; les yeux, médiocrement saillants, sont enchässés en arrière; les antennes sont longues et s’étendent au delà de la base des élytres. Le corselet est transversal, un peu plus étroit vers la base qu’en avant, légèrement arrondi sur les côtés. Le bord basal est bisinué; les angles postérieurs sont très-petits, droits, un peu dirigés en arrière; la base est déprimée sur les côtés; les deux impressions qu'elle porte sont peu profondes, l’interne est cependant plus marquée que l’autre et linéaire; ent e elles on remarque quelques points peu nombreux. Le sillon longi- tudinal est très-fin, indistinet antérieurement. Les élytres sont oblongues, un peu allongées, plus étroites à l’extrémité; leurs st ies sont peu larges, peu profondes, très-faiblement poncetuées ; les intervalles sont presque plans ; le rebord basal se relève jusqu'aux épaules. La strie préseutellaire est longue; située entre l’écusson et la strie suturale qu'elle ne touche pas en arrière. La ligne de points sur la 8° strie est interrompue au milieu. Les épisternes métathoraciques ne sont pas ponctués. De chaque côté de l’anus, on remarque deux points pilifères. 4 ind. © dans la coll. de Chaudoir, rapporté de Finde bo- réale par le D'. Bacon. 92. L. Syriaca. Chaud. (coll.) Juz. Purzeys. — Étude sur les Amara. 9217 Long. 6. Lat. 2'/, mill. Flavo-brunnea; palpis, antennis pedibusque testaceis; oculi parum prominuli. Prothorax transversus, angulis anticis deflexis rotundatis, lateribus ante medium arcuatis, angulis posticis subrotundatis, basi tota punctulata obscureque bifoveolata. Elytra oblonga, humeris subdentatis, punctato-striata; striola prae- scutellari longa. Cet insecte, dont je n’ai vu qu’un seul exemplaire, proba- blement transformé récemment, a assez de rapports avec la L. Sabulosa. Les antennes sont moins allongées; le dernier article des palpes labiaux est plus acuminé; les yeux sont moins saillants. Le corselet est notablement plus court, proportion- nellement plus large, surtout en arrière; les angles antérieurs étant fortement défléchis, la partie antérieure parait plus étroite que la base; les côtés sont moins arrondis; les angles posté- rieurs sont plus obtus, presqu'arrondis; les points qui couvrent la base sont plus inégaux; les deux fossettes sont tout aussi peu distinctes. Les élytres sont un peu plus ovales, un peu moins profondément ponctuées; la strie préscutellaire est plus longue; elle part de la base de la 2 strie et se réunit en arrière à la strie suturale; les gros points sur la 8° strie sont disposés de même. En dessous, la ponctuation est moins prononcée. M' de Chaudoir possède un seul ex. à rapporté de Syrie par Kindermann. 94. L. Diversa. Long. 5 ‘/, — Lat. 25/, M. Fusco-aenea, palpis, antennis pedibusque testaceis ; oculi pro- minuli. Prothorax transversus, angulis anticis rotundatis deflexis ; lateribus rotundatis, angulis posticis obtusis; basi in medio fove- olisque basalibus modice punctulatis, foveola externa rotundata. Elytra oblongo-ovata, profunde punctato-striata, striola prae- sculellari nec abbreviata; foveolarum serie in stria 82 vix inter- rupla. Voisine de la L, Afjinis. Les antennes sont plus épaisses et plus longues, les yeux plus saillants ; le dernier article des palpes est plus distinctement tronqué à étre Le corselet a les 28 218 Jui. Purzeys. — Étude sur les Amara. angles antérieurs beaucoup plus défléchis, ce qui le fait paraitre plus étroit en avant; les côtés sont plus arrondis, surtout en arrière; le bord basal est plus nettement tronqué; la fossette basale interne est beaucoup moins profonde et entourée de quelques points ; l'externe est ronde comme dans l’Affinis. Les élytres sont un peu plus courtes, plus larges et moins profon- dément sinuées à l'extrémité; les épaules sont plus arrondies; les stries sont un peu plus profondes et plus fortement ponetuées; la strie préscutellaire est assez longue; elle part de la base de la 2° strie et se réunit à son extrémité à la strie suturale. Dalmatie. Un seul ind. © qui figurait dans la coll. Dejean par- mi des À. Bifrons. 95. L. Arenaria. N. Sp. Castaneo-brunnea, palpis, antennis pedibusque testaceis. Pro- thorax subquadratus, postice leviter angustatus, margine anteriore subemarginato, angulis anticis deflexis rotundatis, lateribus ante medium rotundatis, angulis obtusis subrotundatis ; basi depressa, obscure bifoveolata, foveolis fortiter punctatis.— Elyira oblonga, humeris elevatis, profunde punctato-striata : striola praescutellari striae 2 basi connexa. Episterna metathoracica glabra. Long. 5 ‘}, — EL. 5 ‘/, — Lat. 2 ‘/. M. Elle a un peu l'aspect de la L. Sabulosa, mais elle est plus petite, plus étroite; les yeux sont un peu moins saillants; le corselet est plus court, plus échancré en avant; la base est plus nettement tronquée; les côtés sont un peu moins arrondis en avant et le sont davantage en arrière ; les angles antérieurs sont plus aigus; le rebord marginal est un peu plus large surtout au-dessus des angles postérieurs lesquels sont plus obtus; les deux fossettes de la base sont plus distinctement arrondies, leurs points sont plus écartés et moins nombreux : il n'en existe pas au milieu de la base. Les élytres sont un peu plus courtes, les côtés sont plus arrondis; les angles huméraux plus relevés; le point préscutellaire est nul; la ponctuation des stries est moins distincte. Le praester- num est lisse, comme dans l'A. Sabulosa, mais les épisternes métathoraciques et les côtés de l’abdomen qui, dans cette espèce, sont fortement ponctués, ne le sont nullement dans l'Arenaria. Juc. Purzeys. — Étude sur les Amara. 219 M° Bellier m'en a communiqué 2 individus rapportés par lui de l'Espagne centrale. 96. L. Sabulcsa. Dej. Spec. IT. 486. 28. L. Polita. Chaud. Car. du Caucas. 161. et Berlin. Ent. Z. V. 198. A. Barnevillii. Fairm. Ann. Soc. ent. 1856. 521. Long: 7. — Dat-095) mul, Aeneo-picea, palpis, antennis pedibusque fusco-brunneis. Pro- thorax subquadratus , postice leviter angustatus, margine ante- riore subemarginato, angulis anticis deflexis rotundatis, lateribus ante medium rotundatis, dein subarcuatis; angulis posticis obtusis apice extus prominulo; basi depressa, obscure bifoveolata, atque fortiler punctata. Elytra oblonga, humeris subdentatis, profunde punciato-striata; striola praescutellari utrinque abbre- viata, basi foveolata; foveolarum serie in stria 82 vix inter- rupta. Episterna metathoracica grosse punctaita. Les yeux sont assez saillants, très-peu enchässés en arrière, le corselet, presque carré, un peu rétréci après le milieu, est assez convexe; le bord antérieur est assez échancré; les angles antérieurs sont arrondis, défléchis; le bord latéral est assez fortement arrondi avant le milieu; de là, il est fort peu arqué et tombe sur la base dont le bord marginal est légèrement échancré au milieu. Les angles postérieurs sont obtus, mais leur pointe fait une légère saillie extérieure : toute la base est déprimée et fortement ponciuée : l'impression basale interne est fort peu distincte; l'externe l’est davantage; le rebord mar- ginal est étroit. Les élytres sont oblongues, légèrement rétrécies à l'extrémité, peu arrondies sur les côtés; le rebord basal ne se relève que près des épaules et y forme une petite saillie externe ; les stries sont profondes et fortement ponctuées, sauf à la base des 4°, 5°, 6° et 7° et à l'extrémité; la strie préscutellaire ne touche ni la 2 strie ni la strie suturale; elle commence au dessous du rebord par un point assez gros. La série de points dans la 8° strie est à peine interrompue vers le milieu. La poitrine etles côtés de l'abdomen sont ponctués. Les 5 individus typiques de la collection Dejean viennent de 290 Ju. Purzuys. — Étude sur les Amara. l'ouest de la France; ils sont d'un brun plus ou moins foncé. L'exemplaire d'Arménie déerit par M° de Chaudoir sous le nom de L. Polita a les stries un peu moins ponctuées que dans le type. M" de Barneville a bien voulu me donner un ex. à de la L. Barnevillii trouvée par lui dans le bois de Meudon. J'en ai vu un second individu dans la coll. de M° de Vuillefroy. Ïls sont un peu plus grands que ceux de Dejean et d'une couleur plus foncée. 97. L. Crenata. Dej. Spec. IH. 507. 49. Schaum D. J. I. 515. 9. 98. L. Avida. Say. (Pelor.) Le Conte Proc. Philad. 1856. 546. I. A. Confinis. Dej. Spec. HE. 510. 52. États-Unis. 99. L. Glabrata. Dej. HI. 489. 51. Long. 7 ‘/, — Eat. 5 ‘/; M. Nigro-aenea, palpis basi, antennis pedibusque rufo-piceis. Prothorax subquadratus, basi subangustatus, lateribus rotun- datis, angulis posticis subrectis prominulis. Elytra ovata, sub- tiliter strialo-punctata, striola praescutellari abbreviata foveola- rum serie in stria 82 in medio tantum interrupta. D'un noir bronzé brillant; les premiers articles des palpes, les antennes et les pattes sont d'un brun parfois assez clair. Le dernier article des palpes labiaux se termine presqu'en pointe; les antennes dépassent à peine la base du corselet. Les yeux peu saillants, sont enchâssés en arrière. Le cor- selet est faiblement rétréei vers la base; il est un peu plus court que large, échancré en avant, avec les angles antérieurs un peu avancés, mais arrondis à leur extrémité. Les côtés sont légèrement arrondis jusqu'au milieu ; de là ils tombent presque directement sur la base où ils forment les angles postérieurs, plus ouverts que l’angle droit, mais ayant une légère saillie extérieure. Le bord basal n’est nullement échancré au milieu, mais il s'abaisse en dessous de la fossette interne; cette dernière est Ju. Purzeys. — Étude sur les Amara. 221 oblongue, très-profonde et très-nette ; la fossette externe est beau- coup plus courte et arrondie; l'une et l’autre sont entourées de quelques points assez petits. Les élytres sont ovales, plus larges à la base qu'à l'extrémité; leurs épaules forment une légère saillie ; leurs stries sont peu profondes et les points sont bien distincts. La strie préscutellaire est à peine distincte; non seulement elle est très-courte, mais elle est interrompue. La série de gros points dans la 8° strie n’est interrompue qu'au milieu. Espagne, Algérie, Calvados, Lyon. 100. L. Montana. Dej. Spec. HI. 487. 29. A. Corsica. Reiche Ann. Soc. ent. Long. 7 ‘/,. — Lat. 3‘/, M. Nigro-picea, palpis, antennis pedibusque testaceis. Prothorax subquadratus, postice angustatus, angulis posticis oblusis; basi depressa, punctulata, bifoveolata. Elytra oblongo-ovata, tenuiter striato-punctata. D'un noir de poix, mais souvent brune dans les individus récem- ment transformés. Les palpes, les antennes, les pattes (à l'exception de l'extrémité des cuisses et de la base des tibias) sont d’un testacé rougeâtre. Le dernier article des antennes est distinetement tron- qué. Les antennes, assez minces, dépassent notablement les épaules. Le corselet est un peu plus large que long, tronqué en avant, médiocrement arrondi sur les côtés, ayant sa plus grande largeur un peu au-dessous du milieu, rétréci en arrière, un peu échancré au milieu de la base et un peu défléchi à partir de ce point jusqu’aux angles postérieurs qui sont obtus, mais font, cependant, une légère saillie extérieurement. Les deux impressions de la base sont ovales, linéaires au fond, surtout l'interne qui est presque du double plus longue que l’autre; cette dernière est située assez près des angles. Toute la base est ponctuée, mais ces points ne sont gros et serrés qu'autour des deux impressions. Les élytres sont en ovale un peu allongé, peu rétrécies à l'extrémité où elles ne sont que faiblement sinuées ; les côtés sont un peu ar- rondis; la base est presque tronquée; le rebord basal se relève un peu vers l'épaule où il forme une petite saillie. Les stries sont 222 Ju. Purzevs. — Étude sur les Amara. peu profondes et très-finement ponetuées; les intervalles sont plans; la strie préscutellaire, partont de la base de la 2° strie, se réunit en arrière à la strie suturale. La série de gros points sur la 8° strie est à peine interrompue au milieu. Cette espèce qui se trouve dans toute l’Europe méridionale, est très-variable dans la forme de son corselet qui est plus ou moins long, plus ou moins rétréci vers la base; celle-ei est plus ou moins ponctuée et les angles postérieurs, ordinairement ouverts, mais bien marqués, sont quelquefois presqu'arrondis. La profondeur des stries et leur ponctuation sont également sujettes à des variations. C'est sur une de ces variétés, plus petite, plus étroite et à corselet plus élargi avant le milieu, qu'a été établie l'A. Corsica Reiche. 101. L. Cordicollis. Zimm. Mon. Amar. gen. VI 1" gr. (Leiocnemis.) Falderm. Faun. Trans. p. 75 n° 67. Long. 8 ‘/,. — Lat. 4 M. Virescenti picea, palpis, antennis pedibusque rufis. Prothorax subcordatus, margine antica emarginata, angulis anticis subrectis deflexis, lateribus rotundatis, ante basim emarginatis den fere reclis; margine basali truncato, ançgulis posticis subacutis, paulo deflexis; basi depressa, oblique bifoveolata, parce punctulata : margine laterali anguste marginata. Elytra in dorso depressa, oblonga, in mare subparallela, humeris obtusis, sat tenuiter striato-punctata, foveolarum serie in stria 82 in medio interrupta; episternis melathoracis punctulatis. Caucase. 7 ind. provenant tant de la collection Dejean que de celle de M° de Chaudoir. 102. L. Subdepressa. Nov. Sp. Long. 8 ‘[,. — Lat. 4 M. Nigro-picea, elytris nitidis, palpis, antennis pedibusque brun- neis. Prothorax subcordatus, angulis anticis prominulis, posticis rectis subprominulis; basi foveolis duabus, interna profunda, externa vero minus distèncta, punctulatis impressa. Elytra oblonga % Jo. Purzevs. — Étude sur les Amar. 295 dateribus subparallelis, humeris elevatis obtusis, in dorso pla- niuscula, sat tenuiter strialo-punctata. Assez voisine de la L. Cordicollis dont elle diffère par son cor- selet moins cordiforme, à côtés moins arrondis avant le milieu et moins rétrécis avant les angles postérieurs qui sont notablement moins saillants, mais cependant plus que chez la L. Cordicollis; les angles antérieurs sont plus avancés; l'impression externe de la base est beaucoup moins distincte et la earène moins forte; les points, également peu nombreux, sont plus gros; l'impres- sion transversale antérieure est moins déprimée. Les élytres sont encore un peu plus allongées et plus parallèles; les stries sont comme celles de la €Cordicollis, mais leur ponctuation est moins distincte; la strie préseutellaire est plus allongée que celle de la L. Planipennis, mais plus courte que celle de la Cordicollis : les épisternes métathoraciques sont semblables à celles de la L. Planipennis, mais plus fortement ponctuées. Alpes du Caucase. La coll. de M° de Chaudoir possède un 6 étiqueté par Mr Motschulsky du nom de Leirus Depressus que j'ai dû modifier attendu qu’il existe déjà deux Amara Depressa, l’une décrite par Zimmermann, l'autre par Le Conte. 105. L. Planipennis. Nov. Sp. Long. 8. — Lat.5 ‘/, M. Nigro-picea, elytris nitidis, palpis, antennis pedibusque brun- neis. Prothorax subcordatus, angulis posticis acutiusculis, basi depressa, foveolis duabus linearibus parce punctulatis utrinque impressa. Elytra oblonga, lateribus parum rotundata, humeris obtusis, striato-punctata, striola praescutellari apice abbreviata ; foveolarum serie in stria 8a in medio tantun interrupta : epister- nis parce punctulalis. Un peu plus petit que la L. Cordicollis; d’une couleur plus foncée et sans reflets métalliques ; les yeux sont moins proéminents, plus enchässés en arrière et limités vers la tête par une carène plus élevée. Le corselet a les angles antérieurs moins défléchis, plus avancés; les côtés sont plus fortement arrondis avant le milieu au dessous duquel ils sont plus échancrés ; les angles postérieurs 224 Juc. Purzeys. — Étude sur les Amara. sont beaucoup plus saillants ; les deux impressions de la base sont plus nettes, à peine ponctuées et la carène située entre la 2° et le bord marginal est moins distincte; l'impression transversale antérieure est plus déprimée. Les élytres sont un peu plus étroites, plus parallèles, plus planes au-dessus; les épaules sont plus relevées, mais à peine plus saillantes; les stries sont plus profondes et leurs points un peu plus gros; les intervalles sont plus convexes; la strie préscutellaire est moins longue, située entre l'écusson et la °° strie. La série de gros points dans la &° strie n'est interrompue que dans son milieu : les épisternes métathoraciques sont un peu plus courts et moins fortement ponetués : les tibias intermédiaires sont plus arqués et plus distine- tement élargis en dessous du milieu. Caucase. (4 6. coll. de M° de Chaudoir.) AMATHITIS Zimm. Tout ce que Zimmermann dit du genre Amathitis, c'est que la dent du menton est simple et que le corselet est fortement rétréci enarrière. Cela suffisait, en effet au but de classement que se pro- posait l’entomologiste allemand, et sa description sommaire de A. Aegyplia pouvait ne pas exiger plus de détails, puisqu'alors un seul insecte rentrait dans le genre. ’ Aujourd'hui, je connais 6 espèces d’Amathitis et probablement ce nombre est destiné à s’accroitre encore. Je serai donc forcé de donner à mes descriptions des développements de quelqu'étendue. Bien que je maintienne le genre tel que Zimmermann l'a établi, je dois faire remarquer que deux espèces de Bradytus (Parvicollis et Abdominalis) devraient y rentrer si l'on ne tenait pas compte de ce que, dans ces deux espèces , la dent du menton est plus ou moins bifide et que les tibias postérieurs des 3 sont pubescents intérieurement. De ce que la dent du menton est simple, il ne faut pas con- clure qu'elle est aiguë comme dans les Acrodon. Cela doit simple- ment signifier qu'elle n'est pas bifide. Par fois aiguë dans l'A. Aegyptia (la seule qu'ait connue Zimmermann) elle devient très- courte, très-large dans d'autres espèces et elle finit même par n'être qu'un simple renflement. Toutes les espèces ont un sillon à l'extrémité de la pointe sternale, mais pas de points pilifères. Juz. Purzevs. — Étude sur les Amara. 2925 104. A. Rufescens Dej. IV 387. (Harpalus.) A. Aegyptia Zimm. (l. e.) Egypte. 6 et 9. 105. A. Subplanata. Long. 8 ‘7, 10 17. — Lat. 3 5/,. 4 Ÿ/, mill. La languette est en triangle allongé, plus étroite que chez les Leiocnemis ei les Curtonotus ; simplement tronquée au sommet qui n'est pas un peu anguleux comme dans ces derniers genres; les paraglosses, membraneuses et transparentes , la dépassent. La dent du menton, très-large et occupant toute l'échancrure, est très-courte et obtuse; le pénultième article des palpes maxillaires est plus court que le dernier tandis qu'il est au moins d'égale longueur dans les Curtonotus : le dernier article des palpes la- biaux, au lieu d'être élargi et fortement tronqué à l'extrémité, s'atténue à partir de la base et à son extrême pointe qui est obtuse. Les mandibules sont épaisses, aussi obtuses au bout que chez les Curtonotus; elles portent extérieurement près de l'ex- trémité quelques rides et quelques points. Les antennes sont médiocrement épaisses, peu allongées; elles dépassent à peine la base du corselet. La tête est assez large; les yeux sont saillants, non enchässés en arrière et séparés du verlex par une carène peu élevée. Les deux impressions du devant de la tête sont assez longues, presque droites, lisses; elles sont bornées exté- rieurement par une élévation assez prononcée en carène obtuse. Le corselet, d’un tiers plus large que la tête, est transversal, rétréci en arrière, très-arrondi sur les côtés et aux angles an- térieurs où il est exactement de la largeur du col; la plus grande largeur du bord latéral est avant ie milieu; de là jusqu'au dernier quart, il est très-légérement arqué; puis il se dirige perpendicu- lairement sur la base où il forme les angles postérieurs qui sont à peine un peu plus ouverts que droits. Le bord basal est un peu déprimé au-dessous de chacune des impressions; le milieu dé la base est faiblement déprimé, mais les côtés le sont fortement ; on y remarque deux impressions, linéaires au fond, et dont l'inté- rieure, parallèle à la suture du corselet, est la plus longue; l'im- pression extérieure, oblique et plus courte, part presque de l'angle postérieur ; toute la base est couverte d'une ponetüation qui est 29 226 Ju. Purzeys — Étude sur les Amara. moins forte au milieu et qui remonte un peu vers la partie externe; le sillon longitudinal, très-peu profond au milieu, n'atteint pas le bord antérieur; l'impression antérieure est profonde et lisse. Les élytres sont ovales-oblongues, un peu plus rétrécies vers l'extrémité qu'à leur partie antérieure; l'angle huméral est plus large que la base du corselet ; il fait, en dessus, une légère saillie. Le rebord basal, déprimé au milieu, se relève un peu jusqu'aux épaules. La surface ‘des élytres est assez plane; les stries sont bien marquées, fortement ponctuées, mais les points disparaissent après le milieu et vers l'extérieur; les intervalles sont légèrement convexes. La strie préscutellaire, peu longue, est située le long de la suture et très-parallèlement à celle-ci; elle ne touche pas Ja strie suturale qui part obliquement de la base de la 2° et se redresse après avoir dépassé l'extrémité de la strie préscutellaire. La 8° strie porte, au-dessous de l'épaule, 4 ou 5 gros points assez espacés, et, à sa partie inférieure, 7 ou 8 points semblables également disposés; ces deux séries sont distantes l’une de l’autre du tiers de la longueur de l'élytre. Le prosternum du à porte au milieu une fossette oblongue fortement ponctuée. Les épister- nes métathoraciques sont allongés et lisses de même que tout le dessous du corps. Dans les deux sexes, le dernier segment abdo- minal porte de chaque côté de l'anus deux points soyeux. Les pattes sont grèles et garnies de poils épineux à leur partie externe; à l'intérieur les pattes intermédiaires et postérieures sont munies de poils plus longs. Le 1°" article des tarses antérieurs est plus allongé que dans les Curionatus et les crochets sont plus grèles et plus longs. Comparée à l'A. Rufescens , elle est plus étroite; le corselet est un peu plus long, moins large en avant, mais proportionnellement plus large à la base ; il est plus rétréci vers les angles antérieurs, plus fortement arrondi sur les côtés; en dessous du milieu, le bord marginal est simplement sinué et se dirige sur la base comme dans l'A. Cordata ; les élytres sont aussi planes, mais un peu plus allongées; les stries sont un peu plus fines. Sibérie. 3 ind. de M'. de Chaudoir proviennent de la coll. Faldermann. 106. A. Songarica. Chaud. (coll.) Bradytus latus. Motsch. Ins. Sib. 178. Ju. Purzxys. — Étude sur les Amara. 297 Long. 12. — Eat. 5 ‘/, mill. Cette espèce diffère des autres sous plusieurs rapports importants. La dent du menton est tellement large et tellement courte qu’elle est, pour ainsi dire, réduite à un simple renflement de l'échan- erure du menton. La languette, au lieu d'être tronquée au sommet, y est arrondie; les mandibules sont plus aiguës à l'ex- trémité, striées intérieurement; le labre est plus profondément échancré; les yeux ne sont nullement proéminents; les antennes (dont les 4 premiers articles seuls existent dans l'individu que j'ai sous les yeux) semblent être plus grèles ; les deux impressions sur le devant de la tête sont plus larges et plus arrondies. Le corselet a beaucoup de rapports avec celui de [a Rufescens mais les côtés se rétrécissent subitement plus loin des angles postérieurs qui, par suite, sont plus grands. Les élytres sont plus rétrécies à leur base : les stries sont très-fines et à peine distinetement ponetuées, mais cependant les intervalles ne sont pas aussi plans que dans F4. Longipennis. Dsoungarie. (# seul ind. ©. dans la coll. de M". de Chaudoir, provenant de la coll. Gebler. Dans le G. Amara, il existe déjà 1° C. Latus. Fab. (A. Apricaria P.) 2 H. Latus. Gyll. (A. Consularis Dft.) 9° A. Lata. Sturm. (A. Ingenua Dft.) Je n'ai done pas pu conserver le nom sous lequel le présent insecte a été décrit par M'. Motschulski, et j'y ai substitué celui sous lequel il figurait dans la coll. Gebler. 107. À. Longipennis. Chaud. B. M. 1844. 448. Par la forme du corselet, cette espèce a beaucoup plus de rapport avec l'A. Cordata qu'avec la Microdera ; elle est, du reste, plus grande; les élytres sont un peu plus allongées, mais surtout plus arrondies sur les côtés; le rebord basal se relève plus for- tement vers les épaules; les stries sont beaucoup moins marquées, moins fortement ponctuées et les intervalles sont tout-à-fait plans. Sibérie Or'° (M's Altaï.) 298 Juz. Purzeys. — Étude sur les ÂAmura. 108. A. Microdera. Chaud. B. M. 1844. 447. Brad. Angusticollis Motsch. Ins. Sib. 180. 522. Encore moins large que la suivante; la tête est plus petite; le corselet, plus étroit, est moins arrondi sur les côtés qui se re- dressent beaucoup plus-tôt, e. à d. au dernier tiers; les épaules sont plus arrondies que dans PA. Cordata et même que dans la Rufescens ; les élytres sont un peu plus courtes et plus arrondies en dessous des épaules. Sibérie Or (Mont. de l’Altaï.) 109. À. Cordata. n. sp. Bradytus Cordicollis Chaud. B. M. 1844. 447. M'. de Chaudoir ayant comparé cet insecte au Bradytus Auri- chaceus, je pense qu'il sera utile d’en faire la comparaison avec PA. Rufescens. La couleur est la même e. à d. d’an brun de poix et plus souvent d'un brun testacé un peu plus rougeâtre sur la tête et le corselet ; la tête est semblable; le corselet est plus long, plus étroit, plus arrondi sur les côtés qui se redressent à une plus grande distance de la base; les angles postérieurs sont done plus grands et ils sont un peu plus aigus ; les élytres sont plus convexes, beaucoup plus ovales; la saillie des épaules est plus relevée; les stries sont un peu plus profondes et les points plus gros. Sibérie Or'° (Mont. de l’Altaï.) LErRipes. (Voy. ci-dessus pag. 199.) Épisternes métathoraciques trés-courts, presque carrés, yeux très-fortement enchâssés en arrière. Strie préscutellaire courte. Ligne de gros points sur le 9° intervalle à peine interrompue au milieu. Angles antérieurs du corselet prolongés en avant. Bord marginal des élytres s’élevant aux épaules. À ceux qui croiraient que ces caractères n’ont pas une bien grande valeur, je répondrai : que toutes les coupes établies dans les Amara ne sont pas des genres véritables, mais des groupes plus ou moins homogènes; que, d’ailleurs, on n’a pas le droit de Ju. Purzeys. — Étude sur les Amara. 229 se montrer bien difficile dans un genre où tous les caractères véritablement scientifiques manquent de fixité. La pointe sternale est ordinairement terminée comme dans les Curtonotus : cependant, chez quelques espèces (Pyrenaeus, Puncticollis, Cuniculinus et Alpicola) elle est rebordée par un sillon et elle porte à l’extrémité deux points pilifères. 110. L. Helopioides. IHecr. — Schaum. D. J. I. 508. #4. Tyrol et Lombardie. 111. ZL. Nobilis. Duft. — Dej. Spec. IT. 504. 74. Schaum. D. J. I. 509. 5. Autriche Alpine. 112. L. Spectabilis Schaum. D. 3. 510. 6. L. Montanus Chaud. B. M. 1857. VII. 37. Illyrie, Carniole, Croatie. 115. L. Cardui. Dej. Spec. V. 798. 74. Suisse mérid., Piémont. 114. L. Puncticollis. Dej. Spec. III. 525. 62. Pyrénées Or's. Cette espèce, que Dejean regarde comme étant la plus commune au Canigou, ne semble pas avoir été retrouvée. 115. L. Pyrenaeus. Dej. Spec. IE. 524. G5. C'est surtout à cet insecte que l’on pourrait appliquer ce que Dejean dit de l’A. Puncticollis «elle se rapproche, par la forme, » des Argutor de Megerle, et particulièrement de la Feronia » Negligens. » M" von Bruck m'en a communiqué des individus très-petits, à élytres plus convexes et dont le corselet est moins élargi au milieu et moins échancré au-dessus des angles posté- rieurs lesquels sont à peine saillants. M" de Chaudoir en possède un dont le corselet est presque carré. La taille varie de 7 ‘}, à 10 mill. 116. L. Calathoides. Motsch. (in coll. Chaud.) Long. 10. — Lat. 4 mill. Niger, palpis, antennis pedibusque rufo-brunneis. Caput obsolete 250 Ju. Purzeys — Étude sur les Amaru. punctulalum. Oculi parvi, parum prominuli. Prothorax sub- quadratus, longitudine latior, antice subangustatus, margine antico in medio truncato, angulis anticis prominulis, lateribus usque ad medium leviter arcuatis, in medio ipso dilatatis, ante basim sinuatis: angulis posticis deflexis, rectis; margine basali emargi- nato ; basi depressa, subtiliter punctulata, foveolis duabus lineari- bus obliquis notata, quarum exterior carinata. Elytra oblongo- ovala, basi subtruncata, postice angustata, punctato-striataz; tibirs intermediis subtus subdentatis. Pour bien faire apprécier eet insecte, je crois devoir le comparer au L. Helopioides avec lequel ïl offre eertains rapports, surtout en ce qui concerne la tête et le corselet. Il est d'un noir profond, assez terne, surtout chez la ©. Les palpes, les antennes et les pieds sont plus obseurs que chez le Helopioides. L’épistôme est moins régulièrement échaneré, ses angles externes ne sont point avancés, mais arrondis. La tête est plus petite, les yeux sont moins grands et tout aussi peu proé minents; les antennes sont moins épaisses. On remarque, entre les yeux, une rangée de petits points depuis lextrémité des fossettes interoculaires jusqu’au sommet du vertex. L'espace entre cet arc et l’épistôme est parsemé de points assez marqués. Le cor- selet est un peu moins convexe, moins large à la base et plus rétréci à l'extrémité. Les angles antérieurs sont plus avancés, plus aigus, plus relevés. Les côtés, bien que plus larges au milieu, sont moins arrondis; ils paraissent formés de deux segments qui se réunissent en ce point. Le rebord externe est moins épais ; les angles postérieurs sont beaucoup plus plans, plus droits et même un peu prolongés extérieurement; l'impression basale interne est plus profonde, l'externe est plus arrondie et n'est bornée que par une carène presqu'indistinete. Les élytres sont un peu plus courtes, beaucoup plus larges aux épaules, d'où leurs côtés plus arrondis se rétrécissent jusqu'à l’extrémité, Leur sur- face, au lieu d’être convexe, est assez aplatie sur le dos. Les épaules, quoiqu'également presque saillantes, sont cependant moins rele- vées de même que la marge externe en dessous. Les stries sont encore plus profondes et leurs points sont plus gros. La strie prés- cutellaire est située de même, entre l'écusson et la strie suturale, mais cette dernière n'est pas réunie à sa base à la 2°. Les épisternes métathoraciques sont un peu moins courts. Les pattes sont plus Jus. Purzeys. — Étude sur les Amara. 251 longues et plus minces. A la partie interne des tibias intermé- diaires du 3, on distingue plusieurs dents peu marquées. Alpes du Caucase. — Coll. de Chaudoir. à et 0. 117. L. Cuniculinus. Dej. Spec. V. 798. 75. Schaum. D. J. 1. 515. 12. Styrie. 118. L. Alpicola. Dej. Spec. IL. 508. 50. — Schaum D, J. I. 516. 15. Les deux seuls ex. de la coll. Dejean viennent de Styrie. CurroxorTus Steph. (Leirus Zimm.) Zimmermann a caractérisé son genre Leirus de la manière suivante : « Mente denté intermedio bifido; thorace cordato aut postice » angustato; tibiis intermediis maris intus bidentatis, posticis » utriusque sexus glabris. Cet insectes diffèrent done des Bradytus par la non pubescence des tibias postérieurs des à et par l'absence de dents à la partie interne des tibias intermédiaires dans le même sexe; ce dernier caractère est même le seul qui distingue les Leiocnemis des Cur- tonotus. Il en résulte que lorsque l’on n'a sous les yeux que la © d'un insecte appartenant à l’un de ces trois genres, il devient nu très-difficile de découvrir auquel il faut la rapporter. M' de Chaudoir (Stett. E. Z. 1859. p. 129) a indiqué un caractère qui permettrait de reconnaitre toujours un Curtonotus: c'est l'absence d'un rebord élevé à l'extrémité de la pointe du prosternum ; c'est par erreur que M' Schaum a mentionné l’ex- istence de ce rebord élevé comme caractère distinctif des Curto- notus (D. J. I. 772. n° 508); sans être rigoureusement exact (en ce sens qu'il tend à disparaitre dans quelques espèces p. ex. C. Fodinae, Nitens, Tristis, Armeniacus,) ce caractère peut-être fort utile dans les cas douteux. Je place, à la suite des Curtonotus, la Feronia Haematopus Dej. qui, par sa forme générale devrait être classée près du C. Alpinus. Mais l'épaisseur remarquable de ses antennes 259 Ju. Purzeys. — Étude sur les Amara. l'éloignent de toutes les espèces du genre auquel, cependant, elle appartient incontestablement. 119. C. Convexicollis. Chaud. (Coll.) Long. 11. — Lat. 5. M. Niger, nitidus, palpis antennisque testaceis, pedibus obscuriori- bus. Prothorax latus, tranversus, convexus, margine antico emarginatus, angulis anticis rotundatis, lateribus ançguste mar- ginatis arcualis, prope basim emarginatis, angulis posticis aculis prominulis. Elytra oblongo-ovata, humeris prominulis. D'un noir brillant, un peu métallique sur les élytres; palpes, antennes et bords du corselet testacés, pattes couleur de poix. Les yeux sont enchàssés en arrière. Le corselet est transversal, un peu rétréci vers les angles antérieurs qui sont largement arron- dis; les côtés sont également plus arrondis que dans le C. Trans- versicollis, plus fortement sinués en dessus des angles postérieurs qui sont plus aigus et plus saillants; les côtés sont également dépri- més; mais le rebord est un peu moins relevé; au milieu, le long du bord antérieur, on remarque quelques points peu serrés et peu profonds; toute la base est ponctuée, mais les points sont moins serrés que dans le C. Transversicollis; les deux fossettes sont plus distinctes. Les élytres sont proportionnellement moins larges, plus convexes; la marge de la base est déprimée au mi- lieu, elle se relève jusqu'à l’angle huméral qui est ainsi plus saillant et nullement arrondi; la strie préscutellaire est un peu plus courte. Les premiers segments abdominaux sont moins for- tement ponctués et les autres ne le sont pas du tout. Les dents situées en dessous des tibias intermédiaires sont d'égale longueur, aussi fortes que dans le C. Aulicus, mais séparées par une échan- crure plus large et moins profonde. La collection de M" de Chaudoir ne renferme qu'un seul indi- vidu & qui a été rapporté de Sibérie par M. Gebler. 1920. C. Brevicollis. Chaud. Bull. Mose. 1850. 151. Long. 10. — Lat. #4 ‘}, M. Niger, nitidus, palpis, antennis pedibusque fulvis. Prothorax latus, transversus, antice posticeque leviter angustatus, angulis Juz. Purzeys. — Étude sur les Amara. 953 anticis subrotundatis, posticis rectis; margine laterali explanato. Elytra voblongo-ovata, humeris subrotundatis. Il diffère du C. Transversicollis par sa taille moindre, sa surface plus luisante et un peu plus verdâtre; son corselet un peu plus arrondi sur les côtés et dont les angles postérieurs sont moins aigus; les élytres un peu plus étroites, les épaules moins arrondies, le bord marginal légèrement sinué avant le milieu. Les épisternes métathoraciques, striés de chaque côté, sont par- semés de points peu nombreux et peu profonds. Les premiers segments abdominaux et les côtés des autres sont ponctués et ridés. Les deux dents situées en dessous des tibias intermédiaires sont peu distinctes et séparées par une échancrure large et peu profonde La collection de M' de Chaudoir ne possède qu'un individu mâle originaire de la Sibérie orientale et qui fesait partie de la collection Faldermann. Elle renferme en outre une variété de la même espèce, étiquetée du même nom par M' de Motschulky. Elle vient du désert des Kirghises et se distingue du type par son cor- selet un peu plus large, plus arrondi sur les côtés et aux angles antérieurs; les angles postérieurs sont plus prolongés; les côtés des élytres sont plus fortement sinués avant le milieu, et les épaules sont un peu moins arrondies. 191. C. Glacialis. Mannerh. Bull. Mosc. 1853. 43. (Bra- dytus. Long. 8. — Lat. 3 ‘/, M. Niger, iridescens; antennarum basi femoribusque rufis. Pro- thorax transversus, lateribus rotundatus, ante basim coarctatus, angulis poslicis acutiusculis ; superficie tota , medio excepto, rugose punctulata; basi oblique bifoveolata. Elytra ovata, in dorso planiuscula, leviter punctato-striata, interstitiis planis. D'un noir brillant, avec des reflets verts et cuivreux. L'ex- trémité du dernier article des palpes, le dessous du 1° article des antennes ainsi que les cuisses (sauf leur extrémité) sont rougeâtres. Les yeux sont assez saillants, fortement enchässés en arrière, bordés intérieurement par une carène élevée; les côtés de la tète portent quelques gros points; les deux impres- sions en arrière de l'épistème sont anguleuses. Le corselet est large, court, transversal, échancré en avant, médiocrement arrondi sur les côtés jusqu'au dernier quart où le bord marginal 30 254 “Juc. Purzeys. — Étude sur les Amara. se redresse subitement pour former les angles postérieurs qui sont un peu plus aigus que droits, et relevés. Le rebord basal est tronqué au milieu et légèrement sinué sur les côtés ; la base est déprimée et, de chaque côté, elle offre deux im- pressions, linéaires au fond, obliques et situées plus près du bord externe que dans les autres espèces; la carène au-dessus des angles postérieurs est peu large et peu distincte. Toute la surface du corselet (sauf le milieu) est parsemée de points assez gros se confondant parfois, mais qui sont plus rares au milieu du bord antérieur et au milieu de la base. Les élytres sont ovales; elles s’élargissent un peu vers le milieu : leurs épaules sont arrondies : les stries sont fines et régulières, et leurs points sont petits et assez espacés : la strie préscutellaire n'est pas très- longue. Les épisternes métathoraciques sont fortement poncetués. La dent inférieure des tibias intermédiaires est plus distinete que l’autre. Mannerheim place cette espèce dans le genre Bradytus. Il n'en avait sans doute pas vu le à dont les pattes postérieures sont glabres intérieurement. Bords de la mer glaciale. 1 8. (coll. de Chaudoir.) 122. C, Nitens. Nov. Sp. Long. 11 ‘/,. — Lat. 5. M, Niger, nitidus, palpis, antennis tarsisque piceis. Prothorax an- tice emarginalus, lateribus explanatis rotundatis ante basim sinua- lis, basi angustatus, angulis anticis subprominulis , rotundatis, pos- ticis rectis, apice tantum extus prominulo. Elytra oblongo-ovata, cénvexa, profunde striata, humeris subprominulis. D'un noir brillant, quoique l'individu que j'ai sous les yeux soit une femelle; les palpes, les antennes et les pattes sont bruns. La tête est plus petite que chez le C. Aulicus, les yeux sont un peu moins saillants ; le dernier article des palpes est plus large. Le corselet est plus large que long, plus étroit à la base qu'à l'extrémité; les angles antérieurs sont avancés et arrondis; les côtés, dont la plus grande largeur est un peu avant le milieu sont arrondis jusqu'au dessus des angles postérieurs où ils des- cendent droit sur la base; ces angles ne sont point saillants; toute la base est couverte de gros points serrés, de même que le milieu du bord antérieur; le sillon longitudinal est profond et ridé; les Juz. Purzeys. — Étude sur les Amara. 9235 côtés du corselet sont largement déprimés et ponctués; le rebord est épais et relevé. Les élytres sont à peine plus larges que le milieu du corselet, légèrement sinuées sur les côtés; le rebord basal descend depuis l'écusson jusqu'à l'angle huméral qui est presque droit; les stries sont très-profondes et fortement ponctuées; les intervalles sont assez Convexes; la strie préscutellaire est un peu plus courte que chez le C. Aulicus. Les épisternes métathoraciques sont striés de chaque côté et très-fortement ponctués de même que les côtés de l'abdomen. La collection de M° de Chaudoir ne renferme qu'un seul individu femelle. Il est indiqué comme provenant de la Chine boréale. 125. C. Fulvipes. Chaud. (coll.) Long. 10. — Lat. 4 ‘/, M. Niger, nitidus, palpis, antennis pedibusque dilute rufis. Pro- thorax lateribus rotundatis nec sinuatis, antice posticeque ungus- tatus, angulis anticis prominulis rotundatis, posticis acutis pro- minulis. Elytra oblongo-ovata, antice subtruncata, postice angus- lata, humeris obtuse angulatis. D'un noir brillant. Les palpes, antennes (sauf la base des art. 2—4)etles pattes sont fauves. Les yeux sont peu saillants. Le corselet est un peu plus court que large, plus étroit à la base ; les angles antérieurs sont saiilants et arrondis; les côtés sont ar- rondis, se rétrécissent légèrement à partir du milieu et sont sinués avant les angles postérieurs qui sont aigus et saillants; Îles deux fossettes de la base sont assez arrondies, profondes, forte- ment ponctuées et assez distinctement séparées par une carène irrégulière; le milieu de la base n’est pas ponctué; les côtés sont un peu déprimés, rugueux; le rebord marginal est aussi épais, quoiqu'un peu moins relevé que dans le €. Aulicus. Les élytres sont ovales, un peu élargies en avant; le rebord marginal est déprimé au milieu, il se relève vers l'angle huméral qui est un peu saillant : les stries sont profondes et fortement ponctuées, leurs intervalles sont un peu convexes. Les épisternes métathoraciques, fortement ponctués, sont sillonnés de chaque côté. Les deux premiers segments abdominaux sont couverts de gros 236 Jue. Purzeys. — Étude sur les Amaru. points; les autres, fovéolés sur les bords, ne portent que des points plus pétits et moins profonds. Les dents en dessous des tibias intermédiaires sont d'inégale longueur ; celle du dessus est de beaucoup plus forte que l'autre. M' de Chaudoir possède un & venant des États-Unis (Mis- souri.) 1924. C. Transversicollis. Long. 12. 13.— Lat. 5 ‘,,. 6 M. Niger, palpis, antennis pedibusque testaceis, tibiis obscurioribus. Prothorax transversus, ad angulos anticos rotundatos subangusta- tus, postice sinuatus, angulis anticis prominulis, medio excepto punctulatus, ad margines explanatus. Elytra pronoto latiora, oblongo-ovata, humeris rotundatis. Noir ou noir brunâtre, légèrement verdâtre sur les élytres; des palpes, les antennes, les pattes et les bords du corselet sont l'un testacé rougeûtre; les tibias sont d'une teinte un peu plus foncée. Les yeux ne sont nullement enchässés en arrière; la tête est parsemée de points et de rides très-apparents, mais peu profonds. Le corselet, en carré transversal, égolement rétréci en avant et en arrière; le bord antérieur est coupé droit; les angles sont arrondis; les côtés sont régulièrement arqués jusqu'au de là du milieu; un peu avant les angles postérieurs, ils se rétrécissent légèrement et tombent droit sur la base; les angles postérieurs sont cependant un peu aigus; le bord postérieur est tronqué, mais abaissé au point où aboutissent les deux fossettes, ce qui le fait paraitre bi-sinué. Les côtés sont déprimés; le rebord est assez élevé. Le bord antérieur, les côtés et la base du corselet sont cou- verts de points assez serrés qui sont plus gros dans les deux fos- settes de la base; l'intervalle entre la carène externe et le bord marginal est même ponctué ; la fossette interne est peu distincte. Les élytres sont de moitié plus larges que le corselet, en ovale allongé, peu convexes; le rebord basal remonte depuis l'écusson jusqu'à l'angle huméral qui est arrondi; le bord marginal est assez large. Les stries sont profondes et ponctuées ; les intervalles sont assez plans; les 3° et 5° sont un peu moins larges que les autres. Les épisternes métathoraciques, sillonnés de chaque côté, portent Ju. Purzeys. — Étude sur les Amara. 237 des points épars. Les premiers segments abdominaux et les côtés des autres sont couverts de points serrés. Les deux dents en dessous des tibias intermédiaires sont à à peine marquées; l'échancrure qui les sépare est large et peu profonde. Amér. Russe. (Akina) 2 ex. dans la coll. de Chaudoir. 125. C. Harpaloides. Dej. HE, 514. 55. Long. 11. 12.—ELat. 5. 5 '/, M. Niger aut piceus, palpis antennisque rufo-piceis, harum basi rufa. Prothorax subtransversus postice angustatus, lateribus ante medium maxime rotundatis, post medium sinuatis, angulis anticis prominulis rotundatis, posticis acutis. Elytra oblongo- ovata, humeris prominulis. D'un brun noirâtre; tête, corselet, cuisses et tibias noirs; palpes, antennes et pattes d’un testacé rougeûtre. Les yeux sont enchässés en arrière. Le corselet est transver- sal, de même largeur à la base qu'à l'extrémité; les côtés sont arrondis jusqu'au-dessus des angles postérieurs, puis sinués ; les angles antérieurs sont légèrement avancés et arrondis; les angles postérieurs sont aigus et proéminents; la base est bi-sinuée ; elle est entièrement couverte de points, plus gros et plus serrés dans les deux fossettes; on remarque aussi quelques points, mais moins gros et moins profonds , le long du bord antérieur. Les côtés sont plus largement déprimés et beaucoup moins ponctués que dans le C. Aulicus, mais le rebord est moins épais. Les élytres sont oblongues-ovales, presque parallèles; le rebord basal va droit sur l'angle huméral, lequel n’est que légèrement rele- vé, mais saillant; le rebord marginal est un peu moins large que chez le C. Aulicus. Les épisternes métathoraciques, striés de chaque côté, sont parsemés de points fort inégaux en grosseur; les deux ou trois premiers segments abdominaux sont ponciués sur les côtés. Les tibias intermédiaires portent en dessous deux dents bien marquées et presqu'égales. La © est plus large, elle a les couleurs beaucoup plus ternes et les stries des élytres moins profondes. M° Motschulsky (ns. de Sib. p. 175) dit que la ponctuation des stries sur les élytres n'est visible qu'avec une forte loupe. J'ai 258 Juz. Purzeys. — Étude sur les Amara. sous les yeux les exemplaires sur lesquels Dejean a fait sa descrip- tion où 1l indique la ponctuation comme assez forte, surtout à la base : en effet les points des stries ne sont qu'un peu plus peuts que dans le C. Aulicus. | Les exemplaires de la collection Dejcan sont indiqués comme venant de Sibérie. M° Motschulsky dit que cette espèce, qui habite de préférence les contrées montagneuses, se trouve dans l'Altaï, et au delà du Baïcal, mais que les exemplaires de cette dernière localité sont plus petits. 426. C. Fodinae. Mannerh. in Humm. Ess. ent. IV. p. 20. Dej. Sp. HI. 518. C. Altaïcus. Motsch. Ins. Sib. 174, 509. Long. 12. — Lat. 4 °/, M. Piceus, palpis, antennis pedibusque rufis. Prothorax subtrans- versus, angulis anticis lateribusque angustissime marginatis rotun- datis, ante angulos posticos rectos constrictus. Elytra oblongo- ovala, humeris elevatis. Cette espèce est une des plus répandues et des mieux connues. La granulation très-fine dont elle est couverte la fait paraitre un peu terne ; les épisternes métathoraciques sont lisses ou très-faible- ment ponctués : les dents en dessous des tibias intermédiaires sont extrêmement petites et peu saillantes. La taille varie et même aussi la forme du corselet qui est parfois plus allongé et plus déprimé vers les angles antérieurs, ce qui le fait paraitre plus étroit en avant. Je possède un individu de cette dernière variété que j'ai reçu de M° Motschulsky sous le nom de L. Parviceps Man- nerh.; les angles postérieurs du corselet sont moins saillants que dans le type et les épaules sont plus élevées. 427 C. Adstrictus. Long. 13. — Lat. 5 ‘/,. Piceus, palpis, antennis, pedibusque rufis. Prothorax convexus, subcordatus, usque ad angulos posticos lateribus rotundatus, hisce acutis prominulis. Elytra lata, ovata, humeris subrotundatis. Couleur de poix en dessus, avec le devant de la tête, les palpes, Ju. Purzexs. — Étude sur les Amara. 259 les antennes, les pattes et le dessous du corps d'un brun roussâtre : la teinte des cuisses est un peu plus claire. Les yeux sont beaucoup moins saillants que chez le C. Aulicus ; le corselet est un peu plus court et plus large que dans cette espèce, moins échancré au bord antérieur, plus arrondi sur les côtés, ceux- ei se rétrécissant plus fortement dès après le milieu; les angles antérieurs sont un peu plus arrondis; les angles postérieurs, formés moins brusquement, sont cependant aù moins aussi aigus; la ponctuation de la base, du bord antérieur et des côtés, est la mème : ces deux derniers sont un peu moins déprimés et le rebord mar- ginal est moins épais; il n'est point intterrompu contre la carène près des angles postérieurs. Les élytres sont un peu plus larges que le milieu du corselet, ovales-alongées; le rebord basal est coupé droit et les épaules sont presqu'arrondies; le rebord marginal est un peu moins large et moins épais. Les épisternes métathoraciques sont fortement striés de chaque côté; leur ponc- tuation est moins épaisse et plus faible que dans le C. Aulicus. Les deux premiers segments de l'abdomen sont assez légèrement ponctués. 2 ex. © et © dans la collection de M" de Chaudoir, indiqués comme provenant des États-Unis et étiquetés Laticollis ? La comparaison que Le Conte fait de son espèce avec l'A. Convexiuscula me parait démontrer qu’il s’agit d’un insecte tout différent du nôtre. 128. Le C. Aulicus est le type d’un petit groupe assez nette- ment caractérisé par le rebord marginal qui est interrompu un peu au-dessus des angles postérieurs, ainsi que par la présence d'une troisième dent assez petite à la partie inférieure des tibias intermé- diaires du mâle. Je ne connais encore que deux espèces qui présentent ces parti- cularités : La première : C. Aulicus. (Panz.-Dej. Spec. III. 515. 56. — Schaum. D. J. I. 511.7.) a le corselet convexe, large et forte- ment arrondi sur les côtés jusqu’à la naissance des angles posté- rieurs. Le L. Caucasicus. Motsch. (Ins. Sib. 78.) est une variété à élytres plus courtes et plus convexes. Une seconde variété a été recueillie au Caucase par M° de 240 Juz. Purzeys. — Étude sur les Amara. Chaudoir ; elles a le corselet plus étroit, beaucoup moins arrondi: sa plus grande largeur est avant le milieu : le rebord marginal est moins relevé; les stries sont plus profondes et leurs intervalles plus convexes. Les quatre individus que j'ai vus dans la coll. de M' de Chaudoir sont de plus petite taille et plus noirs que l'Aulicus. 129. La 2° espèce : C. Gebleri Dej. (V. 799.) se distingue de l'Aulicus par son corselet beaucoup moins rétréci en avant et sur- tout en arrière ; le bord antérieur est moins échancré, les angles postérieurs sont beaucoup plus petits ; les points au milieu du bord antérieur sont moins nombreux; les stries des élytres plus pro- fondes et les intervalles plus convexes; les palpes, les antennes ei Les pattes sont plus obscurs. De même que dans le C. Aulicus, les épisternes métathoraciques ne sont pas striés extérieurement. Cette espèce vient de Sibérie. C'est au C. Gebleri qu'il faut rapporter le C. Uralensis Motsch. décrit trop sommairement dans les Russi. Kaef. (p. 62 note D), . mais dont M de Chaudoir et moi-même avons recu des exem- plaires de M° Motschulsky. 130. C. Bistriatus. Chaud. (coll.) Long. 12. 13. — Lat. 4 ‘/, M. Piceo-subaeneus, palpis, antennis pedibusque rufis. Prothorax convexiusculus, subcordatus, lateribus anguste marginatis, antice subrotundatus, angulis posticis acutis subreflexis. Elytra sub- cylindrica humeris subrotundatis. Très-voisin de C. Convexiusculus dont il diffère par le corselet un peu moins convexe, moins dilaté et moins arrondi sur les côtés avant le milieu, moins rétréci au dessus des angles postérieurs qui sont plus droits et moins saillants; la base est un peu plus large; les élytres sont un peu plus courtes, les épaules moins arrondies et légèrement saillantes; les stries ont moins de pro- fondeur et les intervalles sont un peu plus plans. Les deux dents en dessous des tibias intermédiaires sont très-peu marquées. La femelle est un peu plus large et moins convexe que le mâle. Lenkoran. Je. Purzeys. —-ÆÉtude sur les Amara. 241 151. C. Reflexus. Chaud. (Coll.) Long. 10 ‘/,. 13.— Lat. 4 ‘/,. 5 {/, M. Niger, palpis, antennis, pedibusque rufis. Prothorax subcor- datus, angulis anticis prominulis, posticis subacutis reflexis, margine laterali anguste marginato. Elytra oblonga humeris rotundatrs. Très-voisin du C. Convexiusculus. D’un noir un peu moins bronzé sur les élytres. L'épistôme est moins ridé longitudinale- ment. Le corselet, de même longueur et tout aussi convexe, est plus large et moins cordiforme ; le bord antérieur est moins échan- cré; les angles sont plus largement arrondis; les côtés sont plus arrondis et ne sont sinués qu à la naissance des angles postérieurs ; leur plus grande largeur est au milieu, tandis que dans le C. Con- vexiusculus elle est au premier tiers. Le bord basal est plus for- tement sinué ; il est très-distinetement réfléchi à partir de l'impres- sion interne et les angles sont un peu plus aigus; la base elle- mème est moins déprimée au milieu; les fossettes latérales sont plus distinctement linéaires; la carène est moins rapprochée du bord marginal. Les élytres ont des stries un peu moins profondes et les épaules sont moins arrondies. Les épisternes métathora- ciques sont un peu plus larges, moins distinctement striés extérieure- ment et plus fortement ponctués. Les deux dents en dessous des tibias intermédiaires sont fortes, mais l'inférieure est un peu moins longue que l'autre. 5 individus venant de Terre-Neuve (S'-Pierre-Miquelon). 1 ex. © de la même localité, dans la coll. Chevrolat. 152. C. Contractus. Chaud. (Coll.) Long. 12. — Lat .4 °/, M. Piceus, palpis antennisque basi testaceis. Prothorax subcorda- tus, laleribus explanatis modice rotundatis, angulis posticis acu- tiusculis. Elytra oblonga huineris subrotundatis. La tête et le corselet couleur de poix, les élytres et les pattes brunes, les palpes et les deux premiers articles des antennes testacés. La tête est un peu plus large en arrière que celle du €. Con- vexiusculus ; le corselet est plus large sur les côtés et à la base: ‘ 4 51 249 Jus. Purzeys. — Étude sur les Amara. les angles antérieurs sont plus arrondis; les côtés se rétrécissent beaucoup moins après le milieu ; les côtés sont déprimés; la base est moins déprimée au milieu : le milieu du bord antérieur n'est point ponctué et beaucoup moins déprimé. Les élytres sont à peu près semblables, mais un peu moins convexes et plus larges ; les épaules sont un peu plus marquées. Les épisternes métathoraciques, dont la strie externe est plus courte, ne portent que quelques points sur leur côté interne. Les deux dents placées dans le 3 en dessous des tibias intermédiaires sont bien marquées, surtout la dent supérieure. La collection de M" de Chaudoir renferme plusieurs exemplaires de cette espèce : les uns, provenant de M' Ménétriés et indiqués de Sibérie; un autre portant une étiquette de Dejean sous le nom de À. Corpulenta. Esch. Sibérie; enfin deux autres inscrits par M° Motschulsky, l’un comme Z. Sibiricus Motsch. (Sibérie Occidentale), l'autre comme L. Vicinus Esch. (Désert des Kirg- hises.) 133. C. Substriatus. Reich. (In coll. Chaud.) Long. 13. — Lat. 5 ‘], M. Ater, nitidus. Prothorax convexus, subcordatus, antice posti- ceque punctulatus. Elytra oblongata ovata leviter punctato-striata. D'un noir profond, brillant, avec le 1°" article des antennes et la base des palpes d'un brun testacé; les autres articles des an- tennes, les bords du labre et les tarses bruns. Les mandibules sont plus épaisses, moins aiguës que chez le C. Aulicus; elles ne portent quelques petites stries que vers leur extrémité intérieure. Les deux impressions entre les yeux sont très-profondes ; les yeux sont peu proéminents et non enchässés. Le corselet est très-convexe, très-brièvement cordiforme. Le bord antérieur est largement échancré; les angles antérieurs sont plus arrondis que dans le C. Aulicus; les côtés, finement rebordés, sont arrondis jusqu'au delà du milieu, puis prolongés jusqu'au des- sus des angles postérieurs où ils tombent droit sur la base; la plus grande largeur est avant le milieu ; les angles postérieurs sont aigus et dirigés un peu en arrière; les impressions de la base sont profondes, rapprochées l’une de l’autre, tellement que l'interne est plus près du bord marginal que du centre du corselet; elles sont Jez. Purzuys, — Étude sur les Amara. 245 fortement poncetuées : le milieu de la base, de mème que l'impres- sion transversale antérieure, sont couverts de points plus petits dans lesquels disparaissent les deux extrémités du sillon longitudinal. L'écusson est grand, triangulaire, avec les côtés arrondis. Les élytres sont en ovale allongé, légèrement sinuées sur les côtes avant le milieu, où ciles s’élargissent un peu; leur surface est plus convexe que dans le C. Aulicus: les stries sont très- fines et vont encore en s'atténuant vers l'extrémité et vers les bords où elles sont à peine visibles ; leurs points sont petits, espacés. Les épisternes métathoraciques sont fortement striés de chaque côté et lisses; les premiers segments abdominaux sont parsemés de quelques points. La dent supérieure des tibias inter- médiaires est très-forte; l'inférieure est plus faiblement marquée. La collection de M° de Chaudoir renferme quatre individus à et © sous le nom de Melaneimon Substriatus Reiche. Ils vien- nent du Mexique. 154. C. Somnolentus. Nov. Sp. Long. 12. — Lat. 5 M. Niger, elytris aenescentibus; palpis, antennis pedibusque fuscis. Prothorax subcordatus, angulis posticis acutis subreflexis, margine laterali anguste marginato, foveolis posticis profundioribus. Ely- tra subcylindrica humeris rotundatis. Extrêémement voisin du C. Convexiusculus dont il ne diffère que par des points suivants : le corselet est plus convexe, plus régu- lièrement arrondi sur les côtés qui ne se redressent qu'aux angles postérieurs lesquels sont moins grands; la plus grande largeur du corselet est au milieu; les angles antérieurs sont plus déprimés, plus arrondis; la base est plus échancrée au milieu; les points qui la couvrent sont plus gros et remontent plus haut; les deux fossettes sont plus profondes, plus séparées l’une de l’autre ; la fossette interne est plus longue. Les élytres sont un peu plus larges, les épaules plus arrondies. Les épisternes métathoraciques sont plus fortement ponctués. La dent supérieure des tibias intermé- diaires est trés-forte; l'inférieure est à peine marquée, Un 6, venant d'Ounalaschka, dans la collection de M° de Chaudoir. J'en possède une © provenant de la même localité. 244 Ju. Purzevs. — Étude sur les Amara. 135. C. Castaneus. Chaud. (Coll.) Long. 9 — 11.— L. 5‘/, —4%4:}), M. Elytra picea vel brunnea nitida; palpis, antennis pedibusque rufis. Prothorax subcordatus, antice rotundatus, angulis posticis rectis. Elytra oblonga, humeris subprominulis. Les élytres sont d’un noir de poix brillant qui est plus brun dans les individus récemment transformés; les parties de la bouche, les antennes et les pattes sont d'une teinte beaucoup plus claire. Le bord antérieur du corselet est coupé plus droit que dans le C: Convexiusculus; les angles antérieurs sont un peu plus avan- cés; les côtés antérieurs sont tout aussi arrondis, mais leur plus grande largeur est au milieu, tandis que dans le Convexiusculus elle se trouve au premier tiers; en dessous du milieu, les côtés sont beaucoup moins sinués; les angles postérieurs sont un peu moins saillants. La base est prnctuée et fovéolée de même; on remarque quelques points au milieu, le long du bord antérieur. Les élytres sont plus courtes,moins convexes, plus profondément striées et ponc- tuées; le rebord basal se relève moins vers l'angle huméral qui est plus marqué; les épisternes métathoraciques sont plus forte- ment ponctués. Les dents des tibias intermédiaires sont bien mar- quées, mais l'inférieure est beaucoup moins longue que l'autre. Désert des Kirghises. (Collection de Chaudoir 6 et ©.) 14356. C. Convexiusculus. Marsch. Dej. Sp. IT. 517. 57.— Schaum. D. J. I. 512. 8. (Excl. Syn. ult.) 1537. C. Intermedius. Motsch. Ins. Sib. p. 175. Long. 10.— Lat. 4 ‘/, M. Niger, nitidus, elytris subaenescentibus ; palpis, antennis pedi- busque rufis. Prothorax subcordatus, margine antico parum dila- tato, postice subsinuato, angulis posticis acutis. Elytra subcylin- drica, humeris obtusis. 3 Plus petit que le C. Convexiusculus, proportionnellement un peu plus court; les yeux sont plus saillants : les deux fossettes de la Juz. Purzexs. — Étude sur les Amara. 245 tte sont plus courtes, plus arquées; les côtés du corselet sont moins dilatés, moins arrondis au-dessous du milieu, moins échancrés au-dessus des angles postérieurs qui sont cependant plus aigus. nd Les élytres sont plus profondément striées et ponctuées. Le dessous du corps est comme dans le €. Convexiusculus. Les dents des tibias intermédiaires sont d'égale force. Lacs salins dans les steppes des Kirghises. (Coll. de Chaudoir à etQ.) 158. C. Desertus. Krin. Bull. Mose. 1851. 83. Tab. VIII. F, 2 Leirus Volgensis. Chaud. Bull, Mosc. 1850, 149. Long. 12. — Lat. 4 ‘/,. Niger, nitidus, elytris subaenescentibus; palpis, antennis pedi- busque dilute brunneis. Prothorax transversim subcordatus, antice posticeque angustissimo, in medio dilataio, angulis posticis reclis. Elytra oblongo-ovata, humeris prominulis. Ila beauconp de rapports avec le C, Cribricollis ; mais la tête et le corselet ne sont pas ponctués : la tête est un peu moins large et les yeux sont moins saillants. Le corselet est moins large au milieu, également rétréci à ses deux extrémités, par conséquent, il est moins cordiforme; les deux impressions de la base sont très- distinctes, surtout l'interne qui remonte plus haut que l'autre; les points de la base sont peu serrés, surtout au milieu; le sillon lon- gitudinal est moins profond; il n’y a pas de points le long du bord antérieur; les côtés ne sont pas déprimés; le rebord est tout aussi étroit que dans l’A. Convexiuscula. Les élytres sont en ovale allongé, moins étroites que dans cette dernière espèce, plus larges à l'extrémité que dans le C. Cribricollis ; les stries et leurs points sont un peu vplus forts que dans la Convexiuscula, les épaules sont plus relevées et moins arrondies. En dessous, le corselet est lisse; les épisternes métathoraciques, bistriés, Sont fortement ponctués de même que les côtés des segments abdominaux. Les dents des tibias internes sont assez écartées l'une de l’autre: l'échancrure entre elles est peu profonde. Sarepta. (Coll. de Chaudoir à et Q.) M° Schaum (D. J. I. 512. 8.) rapporte par erreur cette Cspêce au C. Convexiusculus, 246 Juc. Purzeys. — Étude sur les Amara. 159. C. Cribricollis. Chaud. Carab. du Cauc. p. 251. Long. 11 ‘/.. — Lat. 4 ‘/, M. Niger nitidissimus; capite thoraceque grosse punctatis; palpis antennisque brunneis, pedibus rufis. Prothorax transversim sub- cordatus. Elytra oblongo-ovata; in dorso planiora, humeris ele- valis angulatis. Je n'ai rien à ajouter à la description de M° de Chaudoir, si ce nest que le rebord basal des élytres est plus épais, surtout vers l'angle huméral qui est beaucoup plus relevé et plus saillant que dans le C. Convexiusculus. Les dents des tibias intermédiaires sont comme dans cette dernière espèce. Crimée. (Coll. de Chaudoir.) 140. C. Megacephalus. Gebler. Ledeb. R. p. 40 et Bull. Mosc. 1847. 344. Long. 10 ‘/, — Lat. 4 °/, M. Testaceo-fulvus. Caput maximum, oculi vix prominuli. Pro- thorax convexus, transversus, lateribus anticis rotundatis, posticis angustatis, angulis posticis rechis subreflexis; basr obscure bifo- veolata modiceque punctata. Elytra subcylindrica, parum pro- funde punctato-striata, humeris rotundatis. Entièrement d'un fauve testacé. Tête très-grosse; les yeux ne sont nullement saillants, presqu'aplatis; les deux fossettes entre eux sont plus rondes et plus profondes que dans les autres espèces, et entre elles on en remarque une autre triangulaire. Le corselet est court, presque cordiforme; il est, en avant, de la largeur de la tête; le bord antérieur est largement échancré, les angles sont très-arrondis, et les côtés sont très-régulièrement et forte- ment arrondis jusqu’au dessus des angles postérieurs qui sont par- faitement droits. La partie postérieure du corselet est moins lar- gement mais plus fortement déprimée que d'ordinaire; elle est médiocrement ponctuée dans les deux impressions qui sont peu distinctes, et presque lisses au milieu. Le sillon longitudinal, quoiqu'étroit, est profond; le sillon transversal antérieur est très- distinct dans toute son étendue. Les carènes des angles de la base sont à peine marquées. Juz. Purzeys. — Étude sur les Amara. 947 Les élytres, en ovale allongé, légèrement sinuées sur les côtés, ont les épaules arrondies; les stries sont peu profondes, surtout extérieurement, et sont très-faiblement ponctuées. Les épisternes métathoraciques sont striés sur chacun de leurs côtés, et parsemés de quelques points. Les deux dents placées en dedans des tibias intermédiaires sont très-faiblement indiquées. Sibérie. M° de Chaudoir possède un 6 venant de la collection Gebler. 141. C. Armeniacus. Motsch. Bull. de Mosc. 1839 n° 1 p. 83. Tab. VI. F. 4. Long. 11 ‘/,— Lat. 5 M. Testaceo-fulvus. Prothorax convexus transversus postice angus- tatus angulis anticis deflexis rotundatis, posticis rectis prominulis. Elytra ovata parum profunde punctato-striata, humeris subro- tundatis. D'un fauve rougeâtre avec les mandibules, le labre, l'épis- tôme, les côtés du corselet et des élytres ainsi que la suture fine- ment bordés de brun. La tête est de même largeur que celle de lAulicus; les yeux sont moins saillants; la partie postérieure de l’épistôme porte une fossette transversale : les deux fossettes entre les yeux sont moins larges, mais plus rondes; le corselet est un peu plus court et plus large; les côtés sont moins arrondis et se rétrécissent moins aux deux extrémités; le bord antérieur est moins échancré et les angles sont plus arrondis; les angles posté- rieurs sont beaucoup plus petits et moins saillants; la surface est plus convexe ; les côtés ne sont que très-faiblement déprimés et le rebord externe est un peu moins relevé et beaucoup moins épais; la base est entièrement couverte de points moins gros et qui ne s’avancent pas autant; il n'y en a que fort peu le long du bord antérieur; le sillon longitudinal est à peine distinct. Les élytres sont de moitié plus larges que le corselet, ovales, ayant les épaules arrondies et l'extrémité un peu moins sinuée que dans l'Aulicus ; les stries sont beaucoup plus fines, plus faiblement ponctuées et les intervalles sont tout-à-fait plans. Les épisternes mé- tathoraciques, striés le long de leurs bords, ne portent que quelques points à peine distincts. Arménie. (un individu © étiqueté de la main de M" Mot- schulsky). 218 Juz. Purzeys. — Étude sur les Amara. 142 à 151. Ce groupe se compose d'insectes de plus petite taille; on y remarque deux formes. Dans l’une le corselet fortement arrondi sur les côtés un peu avant le milieu et se rétrécissant ensuite jusqu'aux angles postér. ayant les angles antér. très-déprimés et largement arrondis, a la forme d’un cœur tronqué dans sa moitié inférieure. Le milieu du bord antér. est ord. légèr'. relevé au centre; les deux imp‘. de la base sont profondes et la base elle-même est fortement sinuée : ses deux moitiés extérieures sont plus ou moins réfléchies : des points assez nombreux occupent l'imp®* transv® antérieure. Les épaules sont arrondies et les stries sont moins profondes et moins ponetuées; les deux dents placées en dessous des tibias int. des à sont très-marquées, surtout la dent supér. La plupart des esp. sont noires ou brun foncé, avec les patt es de même couleur et la base des art. 2— 4 des ant. plus ou moins foncées. Dans la 2 forme, le corselet est moins rétréci vers la base, moins arrondi sur les côtés et ses angles antér. sont moins réfléchis et moins arrondis; les côtés de la base ne sont point réfléchis. La coloration est ord. brune. La ponctuation du corselet, la forme des élytres, leurs stries, la disposition des dents aux tibias int. sont les mêmes que dans la 1" forme. 149. C. Torridus. Tlig. I. 175. Dej. III. 520. Dauricus. Motsch. Ins. Sib. p. 177. Long. 10. — Lat. 4'/, M. Nigro-piceus, palpis antennisque rufis (hisce articulis 5—5 basi piceis). Prothorax antice atque post medium lateribus angusta- us, angulis posticis rectis. Elytra oblonga, humeris subrotundatrs. Noir ou brun; antennes testacées, avec les aiticles 3—5 d'un noir brun à la base ; les articles des palpes sont également plus foncés dans leur première moitié; les tarses sont fauves. Le corselet est court, transversal, de la même largeur à la base qu’en avant; le bord antérieur légèrement échancré, les angles arrondis, les côtés très-régulièrement arqués jusqu'au delà du milieu où ils se rétrécissent un peu jusqu'au dessus des angles postérieurs qui sont Jus. Purzevs. — Étude sur les Amara. 249 assez grande; la base est largement échanerée de manière que les angles postérieurs sont réfléchis; les deux impressions basales sont profondes, surtout l'intérieure; le mulieu de la base est fai- blement ponetué; l'impression transversale le long du bord anté- rieur l'est à peine. Les élytres sont ovales, les épaules arrondies. Les dents des tibias intermédiaires sont bien marqués, surtout la supérieure. Les épisternes métathoraciques sont ponctuées, distine- tement striés au eôté interne; la strie externe est peu marquée. Le C. Torridus habite l'Europe boréale. l me parait impossible d'en séparer le €. Dauricus, qui est plus petit et se trouve au-delà du lae Baïcal. J'en posséde un 5 étiqueté par M Motschulsky lui-même. 145. C. Melanogastricus. Dej. HT. 519. 59. 144. C. Eschscholitziéi. Chaud. Bull. Mose. 1857 n° 7. Lorsqu'en 1837, M° de Chaudoir à établi cette dernière espèce, il en a indiqué les caractères par la comparaison avec le C. Melano- gastricus Dej., insecte, en effet, très-voisin. Mais, à cette époque, il ne possédait pas le type de l'espèce de BDejean. Aujourd'hui que les types des A. Xelanogastrica et Esch- scholtzit se trouvent réunis dans la même collection et que je les ai tous les deux sous les yeux, je puis indiquer avec plus de p'éei- sion les diffé: ences qui caractérisent les deux espèces. La tète est exactement la même. Le corselet est un peu plus large, plus court et plus convexe dans le €. Eschscholtzii, un peu plus arrondi sur le milieu du bord marginal qui est moins large- ment rebo' dé; les angles postérieurs sont un peu plus petits, moins saillants ; la base est plus déprimée et ses côtés, en dessous des deux fossettes basales, sont plus prolongés en arrière. La ponctuation est la même. Les élytres sont plus courtes. Le rebord basal qui, dans le Melanogastricus, descend vers épaule, remonte au con- traire un peu dans l'Eschscholizii; chez ce dernier, les épaules sont moins arrondies. Le C. Melanogastricus (Long. 11.— Eat 4 ‘/, M.) est noir de poix, d’un noir brillant en dessous; les élytres sont d'un brun assez clair; les palpes, les antennes et les pattes sent d'un testacé rougeätre. 52 250 Juc. Purznvs. — Étude sur les Amara. Le C. Eschscholtzü. (Long. 10. Lat. 4 ‘/, M.) est d'un noir brillant (terne dans la ©): les élytres sont un peu couleur de poix; les deux premiers articles des antennes et la base des suivants, la base des tibias et les tarses sont d’un testacé rougeûtre, le milieu des derniers articles des palpes et des cuisses est brun- âtre. Comparé au C. Torridus, le C. Eschscholtzi est plus grand, surtout plus large, le corselet est plus court, les angles postérieurs sont moins saillants, les côtés sont plus largement arrondis; les deux fossettes de la base sont moins distinctes l'une de l'autre; les palpes, entièrement testacés dans le Torridus, sont ici bruns en partie; la tête parait moins brillante et plus terne, à cause d’une granulation extrêmement fine qui la couvre. La collection de M° de Chaudoir renferme les deux sexes de chacune de ces espèces qui, l'une et l'autre, habitent les possessions Russes de l'Amérique du Nord (Sitka-Kamtschatka.) 145. C. Infaustus. Lec. Proc. Philad. 1856. 347. La collection de M de Chaudoir renferme plusieurs exem- plaires d'un Curtonotus rapportés de Kenai et qui me parait appartenir à celte espèce. Elle diffère de l'Eschscholtzii par son corselet un peu moins arrondi sur les côtés, plus large et moins déprimé aux angles an- térieurs; les deux fossettes de la base sont un peu moins distinctes Tune de l’autre; les épaules sont un peu plus saillantes; les deux dents des tibias intermédiaires sont un peu plus rapprochées Pune de l'autre. Elle diffère du €. Torridus par son corselet un peu moins large, moins arrondi sur les côtés, beaucoup moins fortement et surtout moins brusquement rétréci en arrière; par ses angles posté- rieurs plus droits, moins saillants ; par sa ponctuation moins dense : par la moindre profondeur de l’impression transversale antérieure. 146. C. Holmbergi. Nov. Sp. Long. 11 ‘/, — Lat. 4 5/. M. Très-voisin du €. Eschscholiziüt; un peu plus grand, plus large, avec le corselet plus élargi et plus arrondi en avant, plus rétréci vers la base, les angles postérieurs un peu plus saillants. nl SA Jus. Purzeys. — Etude sur les Amara. 254 La dent supérieure des tibias intermédiaires est très-forte; linfé- ricure est peu marquée. Amérique Russe. Un &. coll. de Chaudoir. 147. C. Striolatus. C. Rufimanus. Motsch. 1. Sib. 176. Long. 40 ‘/, — Eat. 4 ‘/, M. Ne diffère du €. Eschscholizii que par des angles postérieurs du corselet plus déprimés; par ses élytres brunes et très-finement strites-ponetuées : les points disparaissent dès le milieu. Les pattes. sont de la couleur des élytres; les palpes et les antennes sont testacés. La coll. de M' de Chaudoir renferme un individu à venant du Kamtschatka et étiqueié de la main de M° Motschulsky : L. Rufimanus Esch. Ce nom ayant déjà été donné par Kirby (F. B. À. 53. A5.) à une autre espèce, J'ai dù en adopter un autre. 148. €. Alpinus. Fab. Dej. HI. 521. 61. Long. 9 '/, — Lat. 4 M. Piceus, elutris plerumaque brunneis; antennarutn articulo primo femoribusque rujis. Prothorax antice latior, ante medium usque ad basim angustatus, lateribus parum rotundatus, angulis pos- ticis rectis, extus prominulis. Eluytra oblonga, subparallela, humeris subrotundaiis. Noir, avec le premier article des antennes et la base du deuxième, ainsi que les cuisses fauves; souvent les élytres sont également de cetie couleur, sauf le premier intervalle et le bord externe. | : Les fossettes entre les yeux soni profondes et souvent presqu'ar- rondies. Le corselet est peu convexe; les angles antérieurs sont un peu avancés et très-arrondis : les côtés ne sont arrondis que jusqu'au milieu; delà ils tombent presque droit sur la base où les angles, bien que droits, forment une très-petite saillie er dehors. La, base est largement échancrée et fortement ponctuée dans les deux impressions, mais on remarque à peine quelques petits points au milieu; il n'y en a pas au bord antérieur. 959 Juz. Purzers. — Étude sur les Amaru. Le rebord marginal du corselet est plus large que dans les Torridus ; les élytres sont conformées comme dans cette espèce; ordinairement la’strie préseutellaire est un peu plus courte. En dessous, le corps est plus fortement ponctué. Lapponie. 149. C. Caligatus. Esch. (In coll. €haud.) Long. 9'/,. — L. 4M. Niger, nitidus, antennarum articulo 1° femoribusque rufo-brun- neis. Prothorax subtransversus, lateribus parum arcuatis, versus basim leviter angustatus, angulis posticis rectis reflexis nec extus prominulis. Elytra oblongo-ovata, post medium latiora, humeris subrotundalis. D'un noir trés-brillant avec un léger reflet métallique; le 1° article des antennes èt la base du 9° ainsi que les cuisses d'un fauve rougeätre. Le corselet a une forme analogue à celle de PAlpinus, mais il est plus étroit, coupé plus droit au bord anté- rieur et ses côtés sont beaucoup plus arrondis surtout entre le milieu et les angles postérieurs dont la pointe est plutôt défléchie que saillante ; le sillon longitudinal est plus marqué. Les élytres vont en s’élargissant depuis l'épaule jusqu'au delà du milieu : l'épaule elle-même est plus arrondie que dans l'Alpinus et les stries sont un peu plus profondes. La dent supérieure des tibias intermé- diaires est un peu plus épaisse que la 2° qui est faiblement mar- quée. Ile S'-Georges. (Kamtschatka.) Coll. de Chaudoir. 1 indivi- du à provenant de la coll. Eschscholtz. 150. C. Brunnipennis. Dej. V. 800. 71. L. Borealis.? Chaud. Bull. Mose. 1845. 775. (v. Berl. Ent. LL V::498:) Long. 10.— Lat 4 ‘/}, m. Niger, antennis basi rufis, elytris (marginibus exceptis) pedi- busque brunneis. Prothorax convexus, versus basim angustatus, lateribus rotundatis, angulis anticis rotundatis, posticis vero obtusis subreflexis. Elytra elongato-ovata, humeris rotundatis. Fort distincte de toutes les autres espèces, par son corselet très-convexe, plus étroit à la base qu'au bord antérieur; les Jus, Purzeys. — Étude sur les Amara. 255 côtés sont fortement arrondis depuis ces angles jusqu'aux angles pos- térieurs sans aueune sinuation; la base est largement, mais peu pro- fondément échancerée ; les angles postérieurs sont obtus, c'est-à-dire plus ouverts qu'un angle droit; leur extrême pointe fait une faible saillie La base est couverte de gros points qui sont plus forts et plus serrés dans les deux fossettes dont l'intérieure surtout est pro- fonde; on remarque quelques gros points épars au milieu du bord antérieur. Le rebord marginal est plus étroit que dans le €. Alpinus; il est de couleur brune. Les élytres sont conformées et colorées de même que dans cette dernière espèce, mais elles sont un peu plus longues : les épaules sont plus arrondies, les stries sont un peu plus fines, surtout extérieurement et vers l'extrémité. Les épisternes métathoraciques sont un peu creusés au centre. Les dents des tibias intermédiaires sont assez rapprochées : la dent supérieure est surtout bien développée. Labrador. 151. C. Cognatus. Nov. Sp. Long. 10. — Lat. 4*/, mill. Dans la collection Dejean se trouvait sous le nom d’Alpinus un individu (mentionné dans le species JIT. 521) aussi grand que le C. Brunnipennis, ayant la coloration et la ponctuation de l’A/pinus, mais dont le corselet a presque la forme de celui du Brunnipennis; il est très-convexe, plus large; ses angles antérieurs sont aussi arrondis ; les côtés sont plus rétrécis à la base et à l’extrémité, mais ils sont moins arrondis. La dent supérieure des tibias intermé- diaires n'est pas dirigée en arrière ; elle est beaucoup plus forte que l'inférieure qui est assez rapprochée de la première. Norwége. (Coll. de Chaudoir.) 159. C. Picipes. Motsch. Ins. de Sibér., p. 176. Long. 9 ‘/,. — Lat. 4 mill. Piceus, palpis, antennis tarsisque rufo-testaceis ; antennarum articulis 5-5 basi piceis. Prothorax transversim subquadratus, an- lice leviter angustatus, ante angulos posticos prominentes acutos sinuatus. Elytra oblongo-ovata humeris subangulatis. 254 Juz. Purzeis. — Étude sur les Amara. Voisin du C. Forridus dont il diffère par les points suivants : Les yeux sont moins convexes ; le corselet est notablement plus large, surtout à ses deux extrémités ; le bord antérieur est moins échancré ; les angles antérieurs sont tout aussi arrondis, mais les côtés le sont moins : un peu après le milieu, ils se rétrécissent pour s’élargir de nouveau au-dessus des angles postérietirs qui sont grands et saillants, mais un peu moins réfléchis que chez le Torridus : le bord antérieur est plus ponctué. Les élytres sont un peu plus larges ; le rebord basal forme à l'épaule une légère saillie. En dessous, le corps est d’un noir plus brillant et plus fortement ponctué. La dent inférieure des tibias intermédiaires est pres- qu'aussi forte que l'autre. Sibérie occidentale. (Omsk.) La collection de M. de Chaudoir en renferme trois individus. J'en possède également un, venant de M. Motschulsky. 153. C. Pedestris. Nov. Sp. Long. 10. — Lat. 4 ‘/, mil. Piceus, palpis, antennis, pedibusque elytrorum thoracisque mar- gine inflexo rufis. Prothorax convexus, antice posticeque angustatus, angulis aniicis deflexis, posticis subrectis; bast tota margineque antico în medio punctatis. Elytra oblongo-ovata , convexa, humeris roiundalis. Noir de poix, avec les parties de la bouche, les antennes, le bord externe du corselet et des élytres ainsi que le dessous du corps et les pattes bruns. Les yeux sont médiocrement saillants ; les deux im- pressions situées entre eux sont arquées. Le bord antérieur du corselet est coupé droit, les angles sont déprimés et non proémi- nents; les côtés, très-arrondis et ayant au milieu leur plus grande largeur, se redressent au-dessus des angles postérieurs qui sont presque droits; le bord postérieur est légèrement échancré au milieu. La surface du corselet est assez convexe, déprimée vers la base qui, de même que le bord antérieur, est couverte de points très-distincts assez espacés ; les deux fossettes sont profondes et bien marquées ; les côtés ne sont pas déprimés, le bord marginal est étroit, peu relevé, et le sillon qui le longe est ponctué. Ju. Purzuys. — Etude sur les Amara. 255 Les élytres sont ovales, três-convexes, un peu plus larges à la base que le milieu du corselet, sinuées sur les côtés, puis élargies au-delà du milieu. Le rebord basal est peu saiflant, faiblement déprimé au milieu, et se redresse vers les épaules qui sont arron- dies. Le rebord marginal est assez large, surtout au-delà du milieu. Les épisternes métathoraciques sont striés à leur partie interne et à la première moitié de leur partie externe: ils sont fortement ponetués de mème que les côtés des segments abüominaux. La collection de M. de Chaudoir renferme une Q étiquetée sous le nom de €. Tibialis Esch. Elle vient de Udskoe Ochotsk. 154. €. Tristis. Nov. Sp. Long. 9. — Lat. 4 mill. Brunneo-piceus, palpis testaceis; antennis pedibusque rufis. Oculi prominule. Prothorax transversus, lateribus rotundatis, basi an- gustata, angulis posticis rectis, margine basali subsinuato, bast ipsa punclulata, foveolis 2 profundis notata, carinaque acuta ad angulos posticos. Elytra oblonge-ovata, subparallela, humeris obtusis, pro- funde punctato-striata. Corpus subtus punctulatum. Tibiæ inter- mediæ subtus obtuse bidentatæ. Les yeux sont aussi saillants que dans le €. Canadensis, mais la carène interne est moins élevée ; le corselet est un peu plus court, beaucoup plus régulièrement arrondi sur les côtés dont le rebord est plus large et qui se rétrécissent plus fortement avant les angles postérieurs : ceux-ci sont plus saillants; le bord basal est un peu échancré dans le milieu : la base est plus déprimée de chaque côté, un peu moins ponctuée, les deux impressions sont moins dis- tinctement linéaires et la carène externe est beaucoup plus tran- chante. Le sillon longitudinal est plus profond, surtout au milieu. Les élytres sont plus étroites, plus parallèles, surtout en-dessous des épaules, celles-ci dépassant notablement les angles postérieurs du corselet. Les stries, leur ponctuation et le dessous du corps sont comme dans le C. Canadensis. Le prosternum porte au milieu un enfoncement triangulaire qui se prolonge en forme de sillon vers la pointe. Les tibias intermédiaires ont en dessous deux dents peu proéminentes et assez obtuses. 256 Juz. Purzeys. — Étude sur les Amara. Canada boréal. (Owho-Bay.) 4 6 coll. de Chaudoir. 155. C. Canadensis. Nov. Sp. Long. 11. — Lat. 4'/, mill. Piceus, elytris submetallicis :palpis testaceis, antennis pedibusque brunneis ; oculi prominuli. Prothorax transversus, utrinque anqus- tatus luteribus leviter rotundatis, angulis posticis rectis ; margine basali bisinuato, basi ipsa punctulata, foveolisque duabus oblongis punctatis impressa. Élytra convexa, oblongo-ovata , humeris subro- tundatis , striato-punctata ; episternis abdominisque lateribus punctatis. Par son corselet rétréci en avant, cette espèce se rapproche du C. Conoideus ; elle est beaucoup plus petite, plus brillante, avec un reflet verdâtre sur les élytres. Les yeux sont beaucoup plus saillants, moins enchàssés en arrière; le corselet est plus court, moins étroit en avant; ses angles antérieurs sont moins déprimés, ies côtés un peu plus rétrécis avant les angles postérieurs qui sont droits : le bord marginal est simplement bisinué et nullement réfléchi; la base est ponctuée de même, mais l'impression interne est plus oblique et la carène près de l'impression externe est plus élevée ; l'impression transversale antérieure est également parsemée de très-pelits points; le rebord marginal est encore moins relevé et plus étroit : les élytres sont plus convexes, plus courtes, plus arrondies antérieurement et non dilatées postérieurement; les épaules sont presqu'arrondies ; les stries sont aussi profondes que dans le C, Fodinæ, mais les points sont plus gros et les intervalles plus convexes. Tout le des- sous du corps est parsemé de gros points entremélés d’autres points plus petits. Canada boréal. La collection de M. de Chaudoir ne renferme qu'une o. 156. C. Conoideus. Nov. Sp. Long. 42 ‘/,. — Lat. 5 */, mill. Juz. Purzevs. — Étude sur les Amara. 257 Piceus , palpis, antennis pedibusque brunneis. Oculi parum prominuli. Prothorax utrinque angustatus, lateribus leviter rotun- datis ; margine basali utrinque reflexa, angulis posticis reclis ; basi subdepressa, punctulata, utrinque biforeolata. Elytra oblonga, post medium dilatata, humeris prominulis, subdepressa, leviter punc- tato-striata, interstitiis glanissimis. Episterna met. punctata. Cet insecte, dont une femelle se trouve dans la coll. de M. de Chaudoir à la suite du C. Fodinæ, diffère essentiellement de cette espèce : comparé au Fodinæ du même sexe, il est plus grand, plus terne, la tête est plus petite, les yeux sont beaucoup moins proéminents, les antennes un peu moins épaisses; le corseler est notablement plus long, aussi rétréci en avant qu'en arrière : les angles antérieurs sont très-défléchis, un peu plus avancés; les côtés, plus finement rebordés, ne se rétrécissent pas brusquement avant la base, mais ils sont régulièrement arqués depuis le milieu jus- qu'aux angles postérieurs; le bord basal, tronqué au milieu, est légèrement échancré au bas de chacune des fossettes internes et de là se prolonge très-distinetement en arrière, ce qui fait que les angles postérieurs sont réfléchis , mais nullement saillants comme dans le C. Fodinæ ; toute la base est ponctuée; les points sont plus gros autour des deux impressions ; entre le bord amérieur et l'im- pression transversale, on distingue quelques petits points épars. Les élytres sont moins convexes, plus allongées; les côtés sont plus droits en dessous des épaules, mais ils s'élargissent très-distinete- ment dèsle milieu ; le rebord basal ne se relève pas aux épaules qui sont plus saillantes et forment avec le bord latéral un angle droit. Les stries sont beaucoup plus fines que dans toutes les autres espèces, sauf le C. Substriatus, et leurs points sont encore plus petits que chez ce dernier insecte; les intervalles sont tout-à-fait plans. Le dessous du corps est beaucoup plus distinctement ponctué que dans le C. Fodinæ. Les épisternes métathoraciques, par- semés de gros points, sont un peu plus larges en arrière. 157. C. Hyperboreus. Dej. V. 800. 77. L. Longicollis. Motsch. coll. du FI. Amur., p. 95, n° 65, pl. VE, 241 258 Juz. Purzeys. — Étude sur les Amara. Long- 11 ‘/,. — Lat. 5 mil. Niger, palpis testaceis, elytris brunneis, antennis pedibusque dilu- tioribus. Prothorax brevis, antice posticeque æqualiter angustatus, in medio rotundatus, elylris posticis rectis prominulis. Elytra oblongo-ovata humeris rotundatis. Cette espèce a beaucoup de rapports avec le C. Dejeani : elle en diffère par sa couleur plus foncée, presque noire; sur la tête, on remarque un petit point enfoncé entre les deux fossettes ordinaires lesquelles sont conformées comme dans le C. Dejeani. Le corselet a une conformation analogue; cependant il est plus court, un peu plus large, un peu moins rétréci en avant, les angles antérieurs sont plus arrondis; les côtés sont plus distinctement sinués au- dessus des angles postérieurs qui sont plus droits et légèrement saillants ; la base est moins déprimée, un peu moins ponctuée et la fossette externe est moins profonde. Les élytres sont un peu plus larges, les épaules plus arrondies; les stries sont moins profondes et moins ponctuées ; la strie préscutellaire est encore un peu plus courte. Sous tous les autres rapports, cet insecte est semblable au Dejeani dont il n'est peut-être que la Q. Il est cependant nécessaire de remarquer que l'individu unique de la collection Dejean est étiqueté comme venant du Labrador, tandis que le Dejeani est originaire du Kamtschatka. 158. C. Dejeani. Nov. Sp. Long. 11. — Lat. 4. ‘/, mill. Niger, elytris brunneis; palpis, antennis pedibusque brunneo- testaceis. Prothoraæ antice angustior, ante medium dilatalus atque rotundatus, versus basim angustatus, angulis anticis maxime de- flexis, posticis rectis. Elytra elongato-ovata, humeris subrotundatis. La forme du corselet sépare nettement cet insecte de toutes les autres espèces, sauf du C. Hyperboreus. D, Il est, en dessus, d’un brun foncé; les palpes, les antennes et les pattes sont d'une teinte Juz. Porzevs. — Étude sur les Amara. 259 plus claire ; le dessous du corps est noir à l'exception des épimères métathoraciques qui sont bruns. La cète est petite, très-finement ridée; les deux fossettes entre les yeux sont assez petites et peu profondes; les yeux sont peu saillants. Le corselet est d'un tiers plus court que large, plus rétréci en avant qu'en arrière; le bord antérieur est presque tronqué, les angles sont légèrement saillants, très-déprimés et peu arrondis; les côtés sont arrondis dès avant le milieu où se trouve leur plus grande largeur, et de là ils se dirigent presque sans sinuosité sur la base où ils forment les angles postérieurs qui sont droits et non saillants. Le bord postérieur est bisinué en dessous des deux fossettes qui sont profondes et ponctuées ; le milieu de la base porte aussi quelques points. L'impression transversale antérieure est formée par une dépression assez éloignée du bord, peu profonde et lisse. Les côtés du corselet ne sont un peu déprimés qu'en dessous du milieu : le rebord marginal est mince et peu saillant. Les élytres, en ovale ailongé, sont un peu plus larges que le mi- lieu du corselet, Le rebord basal est peu épais, déprimé au milieu ; les épaules sont bien marquées sans être saillantes. Les stries sont moins profondes et moins fortement ponetuées que dans le C. Con- vextusculus ; les points sont à peine distincts après le milieu ; la petite strie préscutellaire est plus courte. Les épisternes métathora- eiques sont un peu moins allongés que dans l'autre espèce, leur ponctuation est moins profonde et moins régulière; les côtés des quatre premiers segments abdominaux sont médiocrement ponc- tués. Les deux dents des tibias intermédiaires sont bien marquées. La collection Dejean ne renferme qu'un seul exemplaire mâle indiqué comme originaire du Kamitschatka et confondu avec le C. Melanogastricus. 159. C. Cribratus. Chaud. Long. 8 °/, — Lat. 5 °/, mill. D'un brun très-brillant : les deux premiers articles des antennes et les pattes sont plus clairs. La tête, assez large et convexe, est couverte de gros points assez inégalement répartis ; les deux fossettes qui, dans ce genre, existent ordinairement entre les yeux, ne sont nullement distinctes. 260 Ju. Purzexs. — Étude sur les Amara. Le corselet est convexe, brièvement cordiforme, t.ès-élargi er avant; le bord antérieur est tronqué, les angles sont arrondis et nullement saillants ; les côtés sont fortement arrondis jusqu'au premier liers où ils ont leur plus grande largeur ; ils se dirigent ensuite obliquement sur la base où ils forment un angle un peu plus ouvert que l’angle droit; la base est fortement dép:imée de chaque côté un peu avant les angles postérieurs qui ainsi sont relevés ; cette dépression forme une fossette unique, ponctuée, assez large, mais qui n'est pas bornée extérieurement par la carène que l'on voit dans les autres espèces ; les impressions transversales an- térieure et postérieure sont très-marquées, fortement ponctuées; toute la surface du corselet porte des points épars; le rebord mar- ginal est assezlarge. Les élytres sont en ovale légèrement oblong, plus larges que le corselet : le rebord basal remonte jusqu'à l'angle huméral qui est très-relevé et saillant; les stries, peu profondes, saffaiblissent sur les côtés et vers l'extrémité ; la strie préscutellaire, située dans le premier intervalle, est courte et très-profonde. En dessous, l’insecte est parsemé de points assez gros. La pointe ster- nale, au lieu d'être simplement arrondie et convexe, est brusque- ment déprimée et aplatie à son extrémité. Les épisternes métatho- raciques sont très-courts et assez larges; ils ne portent que peu de points. M. de Chaudoir possède un individu unique, «, provenant de la coll. Gebler. (Sibérie centrale.) 160. C. Hæmatopus. Dej. spec. V. 769. n° 2153. (Feronia.) Labrador. Les tibias intermédiaires du ,; sont simplement bisinués en des- sous. Les épisternes ne sont que faiblement ponctués. Les antennes sont plus épaisses que dans les autres espèces. BRADYTUS. Zimm. Ce genre, établi par Stephens, a été adopté par Zimmermann, qui lui a assigné pour caractères : 1° Corselet plus étroit en arrière qu’en avant : 2 La dent du menton bifide : Juz. Purzeys. — Étude sur les Amara. 261 3° Les tibias postérieurs des ; garnis d'une pubescence serrée. Or, Stphens s'était surtout attaché à ce que, selon lui, la dent du menton était simple, et ce caractère a été reproduit par quelques entomologistes (1). L'erreur était évidente, aucun des insectes rangés par Stephens parmi les Bradytus n'ayant une dent simple. Il faut cependant reconnaitre que si, dans quelques espèces, la dent est profondément bifide, elle l’est beaucoup moins dans d’autres et particulièrement dans l'une de nos espèces européennes : B. Consularis, et surtout dans le Parvicollis qui peut être considéré comme une Amathitis à jambes postérieures pubescentes. D'un autre côté, le caractère le plus important, la pubescence épaisse des tibias postérieurs dans le o', est sujet à certaines modi- ficaiions : très-prononcé dans les B. Consularis, Lœvistriatus, Fulvus, Apricarius, Parvicollis, il l'est déjà moins dans les B. Au- richalceus, Brevipennis, Parallelus, Minutus, Abdominalis, et dis- parait presque complètement chez le B. Majusculus. La strie préscutellaire est ordinairement longue; elle prend nais- sance à la base de la deuxième strie et se dirige obliquement vers la première à laquelle elle se réunit souvent. Cependant, chez les B. Abdominalis et Parvicollis elle est située entre la première strie et la suture qu’elle longe ; elle s'arrête brusquement sans se diriger vers la première; cette disposition est la même que dans le G. Ama- thitis avec lequel ces deux insectes ont beaucoup de rapports ; chez le B. Exuratus, la strie préscutellaire se compose d’un trait court, partant de la deuxième strie et isolé à son extrémité. Le prosternum des ;: porte ordinairement dans son milieu une fossette oblongue et ponctuée; mais chez les B. Exaratus et Auri- chalceus il n'y a qu'un espace ponctué sans enfoncement, et chez le B. Minutus, on distingue à peine quelques petits points épars. 161.B. Consularis. Duft. — Dej. Spec. TT, 501. #4. — Schaum. D. J. 1. 507. 5. Niger. Chaud. B. M. 1837, n° VII, 55. Europe. Perse. (4) Kirby F. B. A. 54, 55 et 56. (47.) Brullé, Hist, nat, des Ins. IV. 390. 262 Ju. Purzevs. — Étude sur les Amara. 162. B. Lœvistriatus. Chaud, (coll.) Long. 10 ‘/,. — Lat. 5 mill. Niger, nitidus, palpis, antennis pedibusque rujis. Pronotum transversum, antice posliceque angqustatum, lateribus rotundatis, angulis posticis subrectis leviter prominulis, basi foveolis 2 pro- fundis punctalisque impressum. Elytra oblongo-ovata, postice an- guslata salque profunde sinuata; humeris elevatis prominulis ; strialo-punctata, punclis extus apiceque fere evanescentibus. D'un noir brillant; les antennes, les pattes et les épipleures d’un roux ferrugineux ; les palpes un peu plus clairs. La tête est plus large et moins convexe que celle du B. Consularis ; les deux fossettes en avant du vertex sont plus profondes et plus arrondies, Le corselet est d’une toute autre forme ; il est large, arrondi sur les côtés, mais cependant un peu moins arqué après le milieu ; rétréei à ses deux extrémités, mais un peu plus à la base qu'en avant; le bord antérieur est échancré et les angles antérieurs, saillants, sont très-arrondis ; les angles postérieurs sont un peu plus ouverts que l'angle droit, un peu saillants extérieurement. Le bord basal est tronqué. La base n'est nullement déprimée au milieu, mais elle l'est fortement de chaque côté où elle est marquée de deux fossettes larges et plus profondes que dans le B. Consularis; la carène située entre le bord marginal et la fossette externe est plus épaisse et moins oblique que daus cette de nière espèce; ces deux fossettes sont ponctuées, mais plus faiblement que dans le Consularis ; le milieu ne porte que quelques points peu distinets. Le sillon longi- tudinal est large et profond au milieu, très-étroit à la base, mais il ne dépasse pas la dépression transversale antérieure qui est bien marquée sans atteindre le bord. Les élytres sont ovales-oblongues, rétrécies vers l'extrémité où elles sont assez profondément sinuées, plus arrondies sur les côtés que dans la Consularis, un peu moins convexes; le rebord basal se relève à partir du cinquième intervalle, tandis que, dans cette dernière espèce, il ne se redresse qu'au huitième. Les stries sont moins larges et moins profondes surtout extérieu- rement et à l'extrémité ; les points, plus petits que dans le B. Exa- rats, disparaissent presque complètement extérieurement et vers JuL. Purzeys. — Étude sur les Amara. 263 l'extrémité. La strie préseutellaire, s'étendant obliquement de la base de la deuxième strie jusqu'au quart de la strie suturale, est plus longue que dans le B. Consularis et surtout que dans l'Exaratus ou elle est presque rudimentaire. Les intervalles sont plans. Le prosternum du © porte dans son milieu une fossette oblongue et ponctuée. Les épistérnes métathoraciques sont allongés et lisses. Ils sont ponctués dans les B. Consularis et Exaratus et d’ailleurs notà- blement plus courts dans cette dernière espèce. Les tibias posté- rieurs du o" portent une pubescence serrée qui s'élève jusqu’au milieu. Il n'est pas impossible que cet insecte soit le Br. Furtivus Say (Lec. Proc. Chil. 1856. 349)mais, d'après la description, ce dernier aurait des élytres de même forme que l'Exaratus, tandis que le Lœvistriatus les a beaucoup plus longues ; le corselet serait à peine rétréci postérieurement, etc. Etats-Unis. > et ©. Coll. de Chaudoir. 163. B. Fulvus. De Geer. — Dej. Spec. IT. 511. 53. — Schaum. D. J. I. 505. 1. Europe. Sibérie. 164. B. Aurichalceus. — Dej. Spec. TT. 515. 54. Sibérie. 165. B. Brevipennis. Chaud. B. M. 1844. 446. Daourie. Altaï. 166. B. Apricarius. Payk. — Dej. Spec. III. 506. 48. — Schaum. D. J. I. 506. 2. Parallelus. Chaud. B. M. 1842. 827 et Car. Cauc. p. 162. (Lenkoran.) Var. major. Chaud. Car. Cauc. 164. (Caucase.) 167. B. Minutus. Motsch. Ins. Sib. p. 179. Sibérie orientale. 264 Juz. Porzeys. — Étude sur les Amara. 168. B. Exaratus. Dej. Spec. IE. 509. 51. Amér. du Nord. La dent du menton ne parait nullement bifide ni échancrée. 169. B. Parvicollis. Gebl. B. M. 1853. 269. Kirghises. Cette espèce et la suivante ont, dans leur forme et leur coloration beaucoup d'analugie avee les Amathitis ; la disposition de la strie préscutellaire et la non ponctuation des épisternes métathoraciques augmentent cette ressemblance. Mais, ordinairement, la dent du menton, bien que large, est cependant distinctement bifide à l'ex- trémité. 170. B. Abdominalis. Motsch. Ins. Sib, p. 181. Kirghises. 171. B. Majusculus. Chaud. B. M. 1850. 148. Sibérie orientale. 172. B. Simplicidens Moraw. Piceo-brunneus, ore, antennis, pedibus elytrorumque margine testaceis. Menti dens integer. Vertex in medio foveolatus. Prothorax transversus, parum convexus, lateribus explanatis, angulis posticis minutis prominulis acutis, undique (medio excepto) crebre punctu- latus ; sulco transversali antico integro. Elytra ovata, subplana, strüs vix, interstitiis vero crebre punctulatis. Long. 10 ‘/,. — EI. 6. — Lat. 4 ‘/, mill. Je place à la suite des Bradytus un insecte que M. Dohrn m'a communiqué sous le nom ci-dessus et comme venant du Japon. L'unique individu que j'ai vu étant une ©, il m'est impossible d'af- firmer que ce soit réellement un Bradytus. Comme c'est du B. Consularis qu'il se rapproche le plus, c'est à cette espèce que je vais le comparer. La tête, le corselet et les élytres sont d’un brun de poix ; le bord externe de celle-ci et la plus grande partie de la suture sont testacés ; Juc. Purzsvs. — Étude sur les Amara. 265 les parties de la bouche, les pattes, les antennes et la première moitié des mandibules sont également testacées. La dent du menton est large, triangulaire; son extrémité est obtuse et nullement divisée; la languette porte au centre un sillon longitudinal. Le pénul- tième article des palpes maxillaires est un peu plus court que le dernier. Les mandibules, fortes, larges, unidentées à la base, ont leur extrémité courbée et aiguë ; leur moitiés upérieure est fortement striée. Le labre, rétréei en avant, est plus distinetement échancré. L'épistôme est coupé en arc de cercle, ne formant pas un angle au milieu. Les yeux sont un peu moins saillants ; les deux impressions longitudinales sur le devant du front, sont plus longues et divergent en arrière ; elles portent quelques points de même qu'une impres- sion arrondie que l'on remarque sur le vertex. — Le corselet est beaucoup moins convexe, plus large, à peine plus étroit en avant qu'en arrière ; ses côtés sont un peu plus arrondis; les angles anté- rieurs sont moins saillants; les angles postérieurs forment une petite saillie un peu plus aiguë; la marge est plus large et plus plane ; le sillon longitudinal est plus profond; le sillon transversal antérieur, qui disparait au milieu chez ie B. Consularis, est ei bien distinct dans toute son étendue; les deux fossettes oblongues de la base sont moins profondes ; toute la base est beaucoup plus fortement ponctuée, de même que les côtés et la partie antérieure. Les élytres sont plus planes, plus larges, surtout en arrière; l'épine humérale est plus petite; les stries sont moins profondes et moins ponctuées; leurs intervalles sont couverts de points nombreux qui sont cependant moins distincts au milieu &es élytres. Le dessous de l'insecte est entièrement ponctué. Les pattes sont plus longues et plus grèles ; les tibias postérieurs sont plus arqués. Japon. 1 ind. ®. (Coil. Dohrn.) PERCOSIA. Zim. Ce genre forme la limite extrème entre les Amara et les Zabrus. Zimmermann ne le distinguait des Celia que par la dilatation plus forte des tarses antérieurs dans les « : M. de Chaudoir (Stett. E. Z. 1859. 150.) a signalé un caractère beancoup plus net, qui n'ap- partient à aucun autre Amaroïde et qui parait ètre propre aux er 571 266 Juz. Puorzevs. — Étude sur les Amara. Zabrus: c'est la présence de trois où quatre points pilifères de chaque eûté de l'extrémité de la pointe sternale. Si nous ajoutons à cela que dans une des espèces du genre la dent du menton est presque tronquée à son extrémité et moins bifide que chez certains Zabrus de Grèce, nous serons bien près de reconnaitre que les Percosia peuvent être considérés comme des Zabrus chez lesquels la deuxième épine terminale des tibias antérieurs est plus ou moins oblitérée. Je ne place donc les Percosia à la suite des Amara qu'à titre de transition vers les Zabrus. Le nombre des espèces connues est peu élevé. Indépendamment de celles qui font partie de la collection de M. de Chaudoir, on en a encore décrit trois : 1° Timida. Motsch. Ins. Sib. p. 192. 2 Laticollis. Mot-ch. Rüssl. Kaef. p. 58, note 1. 3° Difines. Lec. Geod. coll. p. 87. Les espèces que j’ai pu examiner peuvent se répartir de la ma- nière suivante : I. Episternes métathoraciques aussi longs qu'ils sont larges à leur base. a. Très-fortement ponctués. 172. Obesa. Say Trans. Phil. S. (Feronia.) Dejean confondait avec l'A. Patricia cette espèce dont M. de Chaudoir a signalé le caractère distinctif. (Stett. E. Z. 1859. 131.) b. Faiblement ponctués,. 175. Patricia. Duft. — Dej. III. 502. 45, — Schaum. D. J. I. 549. 46. (excel. syn. ult.) Var. Zabroïdes. Dej. IIT. 504. 46. II. Episternes m. plus courts qu'ils ne sont larges à leur base. a. Corps ovale. 174. Sicula. Dej. Sp, V. 797. 73. b. Corps en ovale court. 175. Reichei. Coq. Ann. Soc. Ent. 1858. 775. M. Coquerel indique deux caractéres qui séparent cette espèce de la précédente. 4° Base du corselet simplement ridée, non ponctuée. J'ai sous Juz. Purzeys. — Étude sur les Amara. 267 les yeux des individus tout aussi fortement ponciués que l'4. Sicula et même plus ponetués que le type de cette dernière. 2 La première strie très-enfoncée en arrière de l'écusson. — Ce caractère est plus ou moins prononcé dans les divers individus des deux espèces. Je ne vois d'autre différence entre les P. Sicula et Reichei qu'une taille plus courte chez ce te dernière. IL. Epist. m. plus longs qu'ils ne sont larges à leur base. a. Finement rugueux. 176. Pastica. Dej. V. 796. 72. b. Ponctués. 177. Infuscata. Nov. Spec. Long. 10 ‘,. — Lat. 5 ‘/; mill. D'un noir assez terne, au moins chez la ?, seul sexe que je connaisse. Dent du menton large, courte, distinetement bifide, tandis que chez la Pastica elle est assez longue, creusée au centre et presque tronquée à l'extrémité. Les deux impressions du front, entre les yeux, sont moins longues et moins profondes; le vertex est plus convexe. Le corselet, notablement moins convexe, est un peu plus court, plus large, plus arrondi vers la base où les angles sont moins droits; plus rétréei et surtout moins déprimé aux angles antérieurs ; les deux impressions de la base sont également pro- fondes, tandis que, dans la Pastica, l'impression interne est moins distincte que l’autre; on ne remarque pas de points en dehors des impressions. Les élytres sont un peu plus allongées; la ligne de points sur la huitième strie est un peu plus distinctement inter- rompue au milieu. Les épisternes métathoraciques qui, dans la Pastica, sont légèrement rugueux, portent ici des points bien distincts. M. de Chaudoir possède trois individus ,» : l'un de Sibérie (coll. Gebler); le second de Songarie avec une étiquette de M. Mots- chulski portant : Percosia Songarica, le troisième étiqueté : P. Timida Motsch. La description qui est donnée de ce dernier insecte (Ins. de Sibér. p. 192) prouve qu'il s'agit d'une espèce bien différente. 268 Ju. Puorzeys. — Étude sur les Amara. Le seul caractère constant qui sépare les Zabroïdes des Aina- roïdes, est l'existence, chez les premiers, de trois épines à l'extré- mité interne des tibias antérieurs. La présence de deux ou trois points pilifères de chaque côté de la pointe sternale, est encore un caractère ordinaire des Zabroïdes, mais cependant, il fait défaut chez les Acorius et il se rencontre chez les Percosia. D'un autre côté, la pubescence interne des tibias postérieurs, Îa fossette ovale et ponctuée du milieu du prosternum des % sont deux caractères de certains genres d'Amuroïdes, et cependant Je les rencontre dans une nouvelle espèce de Zadroïdes que M. Julius Lederer a reçu de Larnaka (partie méridionale de l'Île de Chypre) et qui doit devenir le type d'un nouveau genre. ZABROSCELIS. N. gen. Dent du menton large à ia base, aiguë et non divisée à l'extrémité. Le dernier article des palpes maxillaires est de moitié plus long que le précédent. Les mandibules sont obtuses à l'extrémité, striées intérieurement, mais moins fortement chez le « que chez la 2. Les antennes sont assez minces ; elles atteignent la base du cor- selet; le 5° article est du double plus long que le 2° et un peu plus long que le 5°, surtout chez le ©. Le labre est arrondi sur les côtés, légèrement échaneré au mi- lieu. La tête porte près des yeux le gros point qui caractérise les Amara ; elle est renflée en arrière; les yeux sont un peu moins saillants que chez les Polysitus. Le corselet est brièvement cordi- forme, très-rétréci vers la bise et ses angles postérieurs sont aigus. Les élytres sont en ovale assez court, assez convexes ; la strie pre- seutellaire est longue et oblique ; les épaules sont relevées et un peu anguleuses. Les épisternes métathoraciques sont un peu plus longs que leur largeur à la base ; le segment anal porte à l'extrémité un point chez le s, deux chez la ©. La pointe sternale est rebordée et ne porte pas de points pilifères; le sternum du & porte au milieu une fos- sette ovale fortement ponctuée. Les tibias antérieurs ont à leur- extrémité interne trois épines Juc. Purzeys. — Étude sur les Amara. 269 dont celle du milieu, un peu courbe à l'extrémité, est beaucoup plus longue que les autres ; le côté externe est muni d'épines courtes et nombreuses. Les tibias intermédiaires, un peu courbés en dedans, sont obscurément dentés en scie et épineux extérieurement comme chez les Acorius. Les tibias postérieurs du sont munis intérieu- ‘rement d'une pubescence serrée. Z. Ditomoides. Long. 8.9. — Lat. 5 ‘/,. 4 mill. Ænescenti-picea, ore ; antennis, pedibus elytrorumque margine testaceis. Oculi parum prominuli; vertex obsolete rugoso-punctalus. Prothorax convexus breviter cordatus, ante basim maxime con- strictus, angulis posticis acutiusculis ; basi, antice et in medio punc- tulatus. Elytra oblongo-ovata, parum convexa, tenuiter punctalo- striala. Couleur de poix avec un reflet d’un vert bronzé chez le &. Le menton, les palpes, les antennes, la base des mandibules, les côtés du labre, le bord externe des élytres, l'extrémité de l'abdomen et les pattes sont testacés; les jambes sont un peu plus rougeûtres que les cuisses. Cet insecte ayant les plus grands rapports de forme avec l'Ama- thitis Rufescens, c'est avec cette dernière que je vais le comparer. La dent du menton est plus longue et plus aiguë; la languette est un peu plus large. La tête est un peu plus renflée dans les deux sexes, mais les yeux sont moins convexes; le vertex est parsemé de rides entremélées de points très-petits; le corselet est plus étroit, beaucoup plus convexe, très-cordiforme ; ses côtés sont fortement arrondis et vont en se rétrécissant jusqu'au-dessus des angles posté- rieurs qui sont très-petits et forment une légère saillie en dehors ; leur pointe est plus aiguë que dans l'A. Rufescens ; les côtés, très- déprimés, sont plus finement rebordés ; l'impression interne de la base est plus profonde, plus longue et plus rapprochée du bord externe; l'impression externe est à peine distincte ; toute la base est fortement ponctuée de même que la partie antérieure et centrale. — Les élytres ont la même forme, mais elles sont un peu moins 270 Ju. Purzeys. — Étude sur les Amara. larges, plus convexes, plus finement striées et ponctuées; les épaules sont plus arrondies; la strie préscutellaire est un peu plus longue; les pattes sont plus courtes et plus épaisses. La fossette sternale est plus petite et plus profondément ponctuée; les épisternes métathoraciques sont plus étroits et non ponctués. M. Julius Lederer en a reçu plusieurs individus des deux sexes de Larnaka (Chypre.) M. Baudi di Selve m'en a également com- muniqué un individu venant de la même ile. CATALOGUE DES AMARA DÉCRITES. Abdominalis Mky. J. Sib. 181.(Brad.) Kirghises. 170 Abbreviata Chaud. (Cel.) Astrabad. 67 Aberrans Baudi. Berl. E, Z. 1864. Acuminata Payk. (Am.) . 55 Acutangula P. (Cel.) Am. bor. 70 Adamantina Kol. (Am.) Caucas. 15 Adstricta P. (Curt.) Am. bor. 127 Aegyptia Zim. (Amath.) Egypt. 104 Aenea Meg. (communis var. cf. Heer F. H. 95.) Aenescens P. (Leiocn.) Egypt. 78 Aeruginosa Kol. (curta D. cf. Sch. D. I. 25.) Affinis D. (Leiocn.) Esp. 89 — Motsch. Ins. Sib. 183. Caucase. Agilis Ryl. (Newm. Ent. 1841, 216.) Alpestris Vill. (Leirid.) 110 Alpicola D. (id.) Styrie. 118 — Heer. F. H. 95. (Communis Pnz. var.) Alpina Fab. (Curt.) Eur. bor. 148 Altaica Mky. (Curt.) Altaï. 126 Ambulans. (Cel.) 48 Amica Duf. (Harp. anxius cf. Stett. E. Z. 1850. 181.) Amplicollis Manh. (Cel.) Am. Russe. 76 Analis Fab. (Apricaria PK. cf. D. J. I.) Angustata Say. (Am.) Am. bor. 10 Angusticollis Motsch. (Amath.) Sib. or. 108 Antennata Rsh. (Quenselii sch. cf. D. J. 40.) Anthobia Vill. (Am.) Lomb. 37 Anthracina Hald. (Impuncticollis Say. ef. Lec. Proc. Am. 6. Phil. 1856. 351. Apricaria Payk. (Brad.) 166 Arcuata P. (Leiocn.) Esp. 85 a «77 Arenaria P. (Leioen.) Armeniaca Motsch. (Gurt.) Assimilis Chaud. (Vulgaris var.)(Am.) Ju. Purzevs. — Etude sur les Amara. Esp. 95 Armén. 4141 Atra Steph. (Trivialis var. ef. Stett. E. Z. 1848. 59.) Atrocoerulea St. (Communis Pz. cf. D. J. 24.) Aulica II. (Curt.) Aurata D. Aurichalcea Gebl. (Brad.) Avida Say. (Leioen.) Barnevilliüi Frm. (Sabulosa D.) (id.) Basillaris Say. (Am.) Biarticulata Motsch. (Gel. Biculor Pk. (Aulica Pz. cf. D. J. 7.) Bifrons Gyll. (Cel.) 128 Calif. 65 Sib. 164 Am. bor. 98 96 Am. bor. 40 Sib. 51 66 Bipartita Motsch. R. K. 60 et Amur Kaef. 95. (Interstitialis D.) Bistriata P. (Curt.) Sib. centr. Lenkoran. 150 Borealis Motsch. I. S. 184. (Cel.)interstitialis D. Sib. — Chaud. (Curt.) Brevicollis Chaud. (Curt.) Brevicornis St. (cf. Schaum. D. I. 1. 505.) — Mén. (Curt.) Brevilabris Kirb. F.B.A. 55-46 (Curt.) Brevipennis Chaud. (Brad.) Brevis D. (Leiocn.) Brunnea Gyll. (Acr.) — St. (Bifrons. Gyll. cf. D. I. 45.) Brunnicornis Heer. (Curta D.) cf, D. J. 25. Brunnipennis D. (Curt.) Brunnipes Motsch. col. Calif. 55. Calathoïdes P. (Leirid.) Californica D. (Cel.) — Motsch. R. K. 62. — Col. Calif. 54. (Curt.) Caligatus P. (GCurt.) Canadensis P. (Curt.) Cardui D. (Leirid.) 150 Sib. 120 Am. bor. Altaï. 165 Esp. 82 Eur. bor. 76 150 Calif. Caucas. 116 Calif. 55 Am. Russe. Kamtsch. 149 Canada. 155 Piém. 115 © NI (4 | Juz. Purzeys. — Etude sur les Amara. Carinata Lec. Proc. Phil. 1856. 547. (Curt.) Nebraska. Castanea P. (Curt.) Kirghis. 155 Caucasica Motsch. (Curt.) Caucas.” 128 Chalcea D. (Cel.) Am.bor. 71 Chalcites Zim. (Am.) Jap. Chine. 12 Chaudoirii Hh. (Am.) Kiew. 5) Coerulea Motsch. col. calif. 33.(Cel.) Calif. Cognata P. (Curt.) Norw. 151 Communis Fab. (Montivaga S') (Am) cf. D. 3.22. 17 — Panz. (Am.) 26 Complana!a D. (Cel.) Dalmat. 44 Composita Walk. (Curt. ?) Ceylan. Concinna Zim. (Lepida var.) 5 Conc lor OI. (Fulva D. G. cf. Sch. 1. D. J. n°.) Confinis D. (Avida S.) (Leioen.) Am. bor. 98 Conflata Lec. Proc. Phil. 1856. 352. Calif. Confusa Lec. Am. bor. 22 Congrua Mor. (Am.) Japon. 12 Conoïdea P. (Curt.) 156 Consularis Duft. (Brad.) 161 Contempta Lec. (Cel.) Am. bor. 75 Cont'actula St. (nobilis) cf. DJ, 5. (Leirid.) Contracta P. (Curt.) Sib. 152 Contrusa Schdt. (Famelica Z. cf. D. J. 27.) Convexa Lec. (Am.) 93 Convexicollis P. (Curt.) 119 Convexilabris Schdt. (Apricaria ef. D: J. 2.) Convexior Steph. (Communis. Pz. cf. E. Z. 1848. 39.) Convexiuscula Marsh. (Curt.) 156 — Kirb. F. B. A. 55. 44. Am. bor. Cordata P.(Cordico'lisChaud.)(Amath.) 109 Cordicollis Mèn. Zim. (Leiocn.) 101 — Chaud. (Cordata P.) (Amath.) 109 Corpulenta P. (Leioen.) Espagne. 85 Corsica Reich. (Leioen ) 100 Cottyi Coq. (Leioen.) Alg. 77 35 974 Jur.. Purzeys. — Etude sur les Amara. Crassa Steph. (Consularis Duft. cf. E. Z. 1848. 39.) Crassispina Lec. Proc. Phil. 1856. 351. Crenata D. (Leioen.) Crenatostriata Chaud. (Cre- nata D.) (id.) Cribrata P. (Curt.) Cribricollis Chaud. (Curt.) Croatica Er. (Spectabilis Sch. D. JT. 6.) Cuniculina D. (Leirid.) Cupreolata P. (Am.) Cursitans Zim. (Cel.) Cursor. St. (Familiaris. ef. D. J. 51.) Curta D. (Am.) — Steph. (Spreta D. cf. E. Z. 1848. 39.) Dalii Ryl. Newm. Ent. 1841. 216. Dalmatina D. (Leioen.) Daurica Motsch. (Curt.) Dejeani P. (Curt.) Depressa Zim. cf. D. J. 523 et 556. (Am.) — Lec. Proc. Phil. 1856. 550. Deserta Krin. (Curt.) Despecta Shlb. (Harp.) Curta D. cf. D. J. 25. Difficilis Lec. Proc. Phil. 1856. 351. Diffinis Lec. Proc. Phil. 1856. 554. (Perc.) Dilatata Heer. (Patricia Duft. cf. D. J. 46.) — Motsch. J.S. 189. (Cel.) Discors. Kirb. F. B. A. 40. 56. Discrepans. Marsh. (bifrons Gyll. cf. E. Z. 1848. Distincta Ramb. F. Andal. 169. 5. (Leiocn.) Distinguenda. Mor. B. F. P. 1862. 49. (Brad.) Diversa P. (Leiocn.) Domidua St. (Saphyrea D.) Dubia Motsch. J. S. 187. (Am.) Elegans Ryl. Newm. Ent. 1841. p. 216. L. sup. Caucas. Sib. Crim. Siyrie Am. bor. Anglet. Dalmat. Daourie. Am. bor. Sarepta. Am. bor. ib. Sibér. Am. bor. 59. Andal. Sib. or. Dalmat. Oural. 97 97 159 139 117 21 46 29 80 142 158 138 94 Juz. Purzeys. — Etude sur les Amara. 275 Elongata Lec. Proc. Phil. 1856. 348. Equestris Duft. (patricia Duft.) (Pere.) Erratica St. (Cel.) Erythrocnema Zim. (Am.) Erythropa Steph. (gemina cf. E. Z. 1848. 59.) — Kirb. Eschscholtzii Chaud. (Curt.) — Manh. cf. Lee. Proc. Phil. 1860. 516. Euphratica P. (Leiocn.) Eurynota D. (acuminata Payk.(Am.) Exarata D. (Brad ) Eximia D. (Leiocn.} Fallax Lec. (Am.) Famelica Zim. (Am.) Familiaris Duft (Am.) Farcta Lec. Proc. Phil. 1856. 553. Ferrea St. (communis Pz. cf. D. J. 24.) Ferruginea Payk. (fulva D.G.) (Brad.) Fervida Coq. (Leioen.) Floralis Gaub.(Erythrocn. Z.) (Am.) Fodinæ Mnb. (Curt.) Formosa Schdt. (Nitida St. cf. D. J. 22.) Fulva D. G. (Brad.) Fulvipes P. (Curt.) Furtiva Say. Lec. Proc. Phil. 1856. 349. (Brad.) Fusca D. (Cel.) Fuscicornis Zim. (Cursitans Z.) (Cel.) Gebleri D. (Curt.) Gemina Zim. (lucida Dft.) (Am.) Gibba Lec.'Proc.Ph.1856.555.(Cel.) Gigantea Motsch. J.S. 173. (Curt.) Glabrata D. (Leiocn.) Glacialis Manh. (Curt.) Graculus Heer. (erratica Dft) (Cel.))ef. D.J, 30. Granaria D. (infima D.) (Cel.) L. sup. Eur. m. k Am. Russ. 144 79 5h) Am. bor. 165 81 Am. bor. 19 39 36 N.Mex. Algér. 90 n Sib. 126 163 193 Nebraska. 45 46 Sib. 129 98 L. sup. Sibér. Esp. Alg. etc.99 M. Glac. 121 75 276 Juz. Purzeys. — Etude sur les Amara. Grandicollis Zim. (rufocineta Shlb.) (Cel.) 68 Gravidula Rosenh. (Leiocn.) Andal. 84 Haematopus D. (Curt.) Labrador. 160 Harpalina Lec. Proc. Phil. 1856. 555. N. Mex. Harpaloïdes D. (Curt.) SIb. 125 Helopioides Heer. (Leirid.) Tyrol. 110 Holmbergi P. (Curt.) Am.R. 146 Hyperborea D. (Curt.) Labrador 157 — Lec.A.L.557etProc. Phil. 1856. 549.15. (Brad.) Am. bor. Impresa Motsch. J. S. 188. Sib. Impressicollis Motsch. col. Calif.. 52. Calif. Impunctata Say. (Voy. Lec. Proc.Ph.1856 556. (Pristod.) — Rch. (Erythrocnema Z.) cf. Wien. Ent. Mon. 1858. 275. Impuncticollis Say. (Am.) 18 Inaequalis Kirb. (Cel.) 50 Incisa Grimm. Steierm. col. 51. Styrie. Indica. P. (Leiocn.) 92 Indistincta Hald. (Am.) 10 — Manh. (Cel.) ù 62 Inepta Lec. Proc. Phil. 1856. 351. Oregon. Infausta Lec. (Curt.) Am.R. 145 Infima Kn. (Cel.) 75 — Steph. (Gemina cf. E. Z. 1848. 59.) Infuscata P. (Perc.) Sib. 178 Ingenua Dft. (Cel.) 42 — Steph. (Obsoleta cf. E. Z. 1848. 59.) Insignis D. (Am.) 42 Intermedia Chaud. (Am.) Caucas. 51 — Motsch. (Curt.) Kirghis. 157 Interstitialis Esch. (Cel.) Amb. 49 — Fairm. Sicile. Iridipennis Heer. (Fulva D. G. cf. D. J. I.) Jacobina Lec. Proc. Phil. 1856. 346. Calif. Juz. Purzeys. — Etude sur les Amara. 97 Lacustris Lec. Proc. Phil. 1856. 546. et 1860 516. (Curt.) Lævigata Motsch.J.S.190-550.(Cel.) Lævipennis Kirb. F. B. A. 40. 55, cf. Lec. Proc. Phil. 1856. 555. Lævis Steph. (Familiaris, cf. E. Z. 1848. 59. Lævistriata P. (Brad.) Lapidaria Kolen. M. Ent. p. 54. Lapidicola Heer. (Plebeja cf. D. J. 19) Lapponica D. (brunnea Ghl.) (Acrod.) Lata Fab. (Apricaria Payk. cf. D. J, 506.) — Gyll. (Consularis Duft. cf. D. J. 3.) — St. (Ingenua Duft, cf. D. J. 55.) — Motsch. {(Amath.) Laticollis Steph. (nitida ? cf. E. Z. 1848. 59. — Lec. Proc. Phil. 1856. 947. (Curt.) — Motsch. R. K. p. 58 note 1. (Perc.) Latior Kirb. F. B. A. 56. 47. (Curt.) Latiuscula Chaud.) Helopioïdes) (Leirid.) Lepida Zim. (Am.) — Fairm. (Rufipes. D. cf. D. J. 15.) Levis St. (Familiaris. cf. D. J. 51.) Libera Lec. Proc. Phil. 1856. 549. Liberta Duft. (Ingenua Duft, ef. D. J. 55.) Limbata Schdt. (Vulgaris var. cf. D. J. 26.) Linearis St. (Trivialis albin. cf. Zim.) Littoralis Mann. (Am.) Livida Fab. Schdt. (bifrons Gyll. cf. D. J. 45. Longicollis Motsch. (Curt.) Longipennis Chaud. (Amath.) Longula Lec. Proc. Phil. 1856. 350. Lucida Duft. (Am.) — Steph. (Familiaris cf. E. Z. 1848. 59.) Lucidula D. (Basillaris Say.) (Am.) Luctuosa Germ, (Chlaenius tomentosus D.) Lugens Zim. (Cel.) Lunicollis Schdt. NT L. sup. Kirghis. 68 L. sup. Am. bor. 162 Caucas. Lappon. 76 Sib. 106 Nebraska. Sib. Am. bor. 110 5 Am. bor. Sitkha. 20 Kamtsch. ? 157 Sib. or. 107 Calif. 38 Am. bor. 40 Mex. 54 27 278 J. Purzeys. — Etude sur les Amara. Maculipes Grimm. Steierm. col. p. 51. Styrie. Majuseula Chaud. (Brad.) Sib. or. 171 Mancipium Duft. St. (Patricia Duft.) cf. D. J. 46. Marginata Curt. (Patricia Duft. ef. E. Z. 1848. 39.) Marginella Pert. (9. Oode.) Marginicollis Mor. B. St. Pere 1862. n° 5, (Cel.) Sib. or. Maritima Schdt. (Sylvicola Zim. ef. D. J. 41.) Megacephala Gebl. (Curt.) Sib. 140 Melancholica Schdt. (Municipalis Duft. ef. D. J. 58,) Melanogastrica D. (Curt.) Am.R. 145 Metallescens D. (G. Acorius.) Egypt. Mexicana D. (Cel.) Mex. 56 Microcephala Motsch. (Cel.) Sib. or. D8 Microdera Chaud. (Amath.) Sib. or. 108 Minuta Motsch. (Brad.) Sib. or. 167 Modesta D. (Municipalis Duft), 47 Moerens Zim. (Cel.) Mex. 99 Mongolica Motsch. J. S. 185. (Am.) Sib. Mongol. Montana D. (Leiocn.) 100 — Chaud. (Spectab.Sch.) (Leirid.) Monticola Zim. (Cel.) 60 Montivaga St. {Am.) 17 Morio Mén. Fald. Talyche. Municipalis Duf (Cel.) 47 Musculus Say. (Cel.) Am. bor. 75 Nigra Chaud. (Consularis Duft.) 159 Nigrita Chaud. (Am.) Sib. 28 Nitens P. (Curt.) Chine bor. 122 Nitida St." Steph. (Plebeja Gyll. cf. E. Z. 1848. 39.) Nobilis Duft. (Leirid.) Autr. 111 — St. (Patricia Duft. cf, D. J. 46.) — Letzn. (Spectabilis Sch. cf. D. J. 6.) Obesa Say. (Perc.) Am. bor. 175 ObscuraMotsch.J.S.188.244.(Am.) Omsk. Sib. Obseuricornis Motsch. Russ. K. 58. — Col. Jakoustk. 25. 47 Juz. Purzevys. — Etude sur les Amara. 279 Obsoleta Duft. (Similata Gyll. cf. D. J. 20.) — Dej. (Ovata Fab.) — Schdt. (Trivialis Duft.) Obtusa Steph, (Communis Gyll. cf. E. Z. 1848 39.) — Lec. Proc. Phil. 1856. 348 et 1860. 516, (Curt.) Am. Russ. Ooptera P. (Leiocn.) Esp. centr. 87 Oregona Lec. Proc. Phil. 1856. 349. (Brad.) Oregon. Oreophila Imh. ef. Heer. F. H 91°: (Cel.) Orichaleica Dws. (Bifrons. Gyll. cf. D. J. 45.) Orientalis Hope. Proc. Ent. S. 62. 2) Canton. Orizabæ Zim. (Am.) Mex. 41 Ougsburgeri Heer. (Cursitans Zim. cf. D. J. 37.) Ovalis 81. Cat. (Fallox Lec.) Am. bor. Ovata Fab. Steph. (Obsoleta Dei. cf. E. Z. 1848. 59.) 15 — Motsch. J. S. 186. (Am.) Sib. Ovipennis Motsch. col. Calif.35.(CGurt.) Calif. Pallens St. (Rufocincta Sahlb. cf. D. J. 44.) Pallida Fab. (Fulva D. G. cf. D. J. I.) Pallidula Motsch. J. S. 182. Moraw. B. St. Pet. 1862. 47. (Brad.) Sib. Pallipes Kirb. F, B. A. 39-54. cf. Lec. Proc. Phil. 1856. 350. Am. bor. Palustris Baudi. (Am.) 16 Parallela Chaud. (Brad.) Lenkoran. 166 Parvicollis Gebl. Kirghis. 169 Pastica Zim. (Perc.) Russ. m. 174 Patrata Schdt. (Consularis Duft. cf. D. J. 3.) Patricia Duft. (Perc.) 174 Patruelis Dei. (Cel.) Am. bor. 50 Pedestris P. (Curt.) Am.R. 155 Peregrina Mor. B. St. P. 1862. 51. (Curt.) Sib. or. Perplexa Dej. (Familiaris var.) 36 Persica Chaud. B. M. 18492. 827. 70 et 1844. 430. 30 280 Ju. Puorzeys. — Etude sur les Amara. Petri Humm. (Apricaria Payk. cf. D. J. 2.) Picea St. (Aulica) (Curt.) Picipes Motsch. (Curt.) Planipennis P. (Leiocn.) Planiuseula Rsh. (Sabulosa D.) Plebeja Gyll. (Am) Plebeja Steph. (Communis cf. E. Z. 1848. 59.) — Duft. St. (Patricia Duft. cf. D. J. 46.) Poeciloïdes Heer. (Vulgaris var. cf. D. 3. 26.) Polita Lec. (Am.) — Chaud. (Leioen.) Prætermissa Sahlb. (Simil. D.) (Am.) Pratensis St. (Ovata Fab. cf. D. J. 21.) Proletaria Kn. (Musculus. S. (Cel.) Properans Zim. (Cursitans Z.) (Cel.) Propinqua Mén. (Curt.) Protensa P. (Am.) Proxima P. (Intermedia Chaud.) (Am.) Punctato striata Motsch. col. Amur. p. 96. Puncticollis D. (Leirid.) — Ryl. Newm. Ent. 1841, p. 216. Punctulata D. (Erratica Duft.) (Cel.) Purpurascens Motsch. col. Calif. 31. (Cel.) Pyrenæa D. (Leirid. ) Quenselii Gyll. (Cel.) Rectangula Lec. Proc. Phil. 1856. 555. Reflexicollis Motsch. J. S. 185. (Am.) Reflexa P. (Gurt.) Reichei Coq. (Perc.) Relucens Manh. -(Cel.) Remota Z. (Remotestriata D. (Cel.) Remotestriata D. (Cel.) Revelieri Muls. Ann. Lin. Lyon. IL. 157. (Curt.) Rotundata D. (Leioen.) Rotundicollis Sehf. (id.) Sib. occ. Caucas. (Am.) Nebraska. Am. bor. Hudson B. Pyrén. or. Calif. Pyrén. or. Calif. Caucas. T. neuve. Algér. Am. R. Am. R. Corse. Esp. Esp. c. 52 115 60 2 151 176 65 62 62 88 86 Ju. Porzuvs. — Étude sur les Amara. 281 Rubrica Hald. (Cel.) Am, bor. 72 Rufescens. Dej. (Harp.) (Amath.} 104 Ruficornis D. (Cel.) 492 Rufimana Motsch. d. S. 175. Kamtsch. 146 — Kirb. F..B. A. 35-45. (Curt.) Am. bor. Rufipes D. (Am.) 2 Rufo-Ænea D. (Cel.) 43 — Letzn. (Cursitans Z. ef. D. J. 57.) Rufocincta Sahlb. 68 — Manb. Am. bor. Rugulosa Heer. (Erratica Duft. cf. D. J. 59.) Rupicola Zim. (Cel.) Sib. or. 58 Sabulosa D. (Leiocn.) 96 Saginata Men. fm. Lehm. p.19.(Cel. Sahibergii Zett. (Brunnea Gyli, el. D. J. 45.) Sallei P. (Am.) Mex. 41 Saphyrea D. (Am.) Bannat. 14 Saxicola Mén. (Gel.) Caucas. 64 Scitula Zim. (Am.) Calif, 8 Septentrionalis Curt. Arm.a.Mag. h. Hist. V. 274. Ecosse. — Lec. (Brad.) Proc. Phil. 1856. 359. L. supér. Sicula D. (Perc.) 175 Silvicola Zim. (Cel.) 61 Similata D. (Am.) 11 Simplex D. (Leiocn.) Esp. 91 Sinuata Motsch. J. S. 187. (Am.) Omsk (Sib.) Sinuaticollis Mor. B. St. P. 1862. 217. (Brad ) Sib. or. Solata Coq. (Curt.) . Algér. Somnolenta P. (Curt.) Am.R. 154 Songarica P. (Amath.) Dsoungar. 106 Spectabilis Schm. (Leirid.) Hlyr. 112 Spinipes Schdt. (Aulica D. cf. D. J.7.) Splendida Hald. (interstitialis D. cf, Lec. Proc. Phil. 1856. 555. Spreta D. (Am.) 52 Strenua Zim. (Am.) 7 Strlatopunetata D. (Am.) 1 Striolata P. (Eurt.) Kamtch. 147 96 282 Ju. Purzeys. — Étude sur les Amara. Stupida Lec. Proc- Phil. 1856. 947. (Curt.) Subænea Steph. (Obsoleta cf. E. Z. 1848. 59.) — St. (Ingenua Duft. cf. D. J. 55. — Lec. (Cel.) — M.L. (G. Barysomus.) Subconvexa P. (Am.) Subdepressa P. (Leirid.) Subolivacea M. L. (G. Barysomus.) Subplanata P. (Amath.) Subpunetata Lec. Proc. Phil. 1856. 552. Substriata P. (Curt.) Superans Woll. col. Mad. 48. (Am.) Syriaca P. (Leiocn.) Terrestris Lec. Proc. Phil. 1856. 554. Tescicola Zim. (Cel.) Testudinea P. (Leiocn.) Texana P. (Cel.) Tibialis Payk, (Am.) Timida Motsch. J.S. 192. (Perc.) Torrida III. (Curt.) — Steph. (Apricaria. cf. E. Z. 1848. 39. Transversicollis P. (Curt.) Tricolor M. L. (G. Barysomus.) Tricuspidata St. (Am.) — Steph.? cf. E. Z. 1848. 59. Tridens. Mor. B. St. P. 1862 n° 219. (Am.) Tripartita Motsch. Tristis P. (Curt.) Trivialis Gyll, (Am.) — Duft. St. (Ovata F. cf. D. J. 24.) Tumida Moraw. B. St. P. 1862. 50. (Curt.) Uralensis Motsch. (Curt.) Vagabunda Duft. St. (Communis. ef. D. J. 24.) Calif. Etats-Unis. 69 Algér. 15 Caucase. 102 Sibér. 105 M. Roch. Mex. 135 Madère. Syrie. 93 Nebraska. Kirgh. D8 Esp. 84 Texas. 74 59 Kirgh. Eur.bor. 142 Am. R. 124 G Sib. or. 20 Canada b. 154 30 Sib. or. Sib. Ju. Purzeys. — Étude sur les Ainara. 98: Valida Fairm. (Striatopunctata D.) Varicolor Heer. (cf. D. 3. 19.) Vectensis Daws. (Strenua Z. cf. D. J. 18.) Versuta. Woll. can. col. 51. (Cottyi ?) Viatica Motsch. J.S. 184. (Am.) Violacea Motsch. J.S. 186. (Am.) Viridis Duft. St. (Tibialis ef. D. J. 55.) Volgensis Chaud. (Curt.) Vulgaris Panz. (Am.) — Fab. (Acuminata Payk. cf. D. J. 50.) — Daws. (Communis Pz, cf. D. J. 24.) — Schdt. Duft. (Trivialis Gyll. cf. D. J. 29, — Gyll. Zett. (Erratica Dft. cf. D. J. 39.) Zabroïdes Zim. (cf. D. J. I. 549.) Zimmermanni Heer. (bifrons Gyll. cf. D, J. 45.) Canar. Transhaïcal. Sibér. Sarepta. 138 27 Pl A 2 0 NE LEU HOUR (HAT TTTE À ï COQUILHAT, Norz, Four, STAMMER, Purzeys, TABLE DES MATIÈRES. Expériences sur la détermination pratique des moments d'inertie des Canons en bronze, longs et couris de 6 et de 12. Mémoire relatif à différents sujets de ma- thématiques élémentaires. Nouvelles tables usuelles des logarithmes, des nombres naturels el des lignes trigonométriques Cl tables inverses, en deux feuilles, accompagnées d'une in- troduction renfermant un précis de Tri- gonométrie pure, ainsi que la disposi- tion et l'usage de ces tables. Des surfaces réglées et des surfaces env ioppes. Notes surles Notiophiles. Pages. 51 157 155 | 2% Détkrmuation pratique des moments d'inertie des canons "# Canon pendule . 4 AT OT. Pertc Le Planche L Fig 2 RÉ Poor eme ave À PARLE [e VIII ER nee 1/8 ET VE EE AT M Ur G pr M M D mil H=— C Coupe suivant AB. B FLAT Li ARE Lan 1 ! De pratique des moments d'inertie des uffuts Affut pendule. Planche IL Determination pratique des moments d'inertie des roues Pendirle à Tones. endille t ones Planche IL + ia TABLE DES LOGARITHMES DES NOMBRES NATURELS. N (us 2 3 4 5 6 7 8 9 O1 > Ca (=p] = co Le] N 0 1 2 55 | 7404 | 7419 | 7419 | 7497 | 7455 | 7445 | 7451 | 7459 | 7466 | 7474 56 | 7482 | 7490 | 7497 | 7505 | 7515 | 7520 | 7528 | 7536 | 7543 | 7551 57 | 7559 | 7566 | 7574 | 7582 | 7589 | 7597 | 7604 | 7619 | 7619 | 7607 58 | 7654 | 7642 | 7649 | 7657 | 7664 | 7679 | 7679 | 7686 | 7694 | 7701 59 | 7709 | 7716 | 7725 | 7751 | 7758 | 7745 | 7752 | 7760 | 7767 | 7774 ———_— | ———— 60 | 7782 | 7789 | 7796 | 7805 | 7810 | 7818 | 7825 | 7832 | 7839 | 7846 61 | 7855 | 7860 | 7868 | 7875 | 7882 | 7889 | 7896 | 7905 | 7910 | 7917 62 | 7924 | 7951 | 7958 | 7945 | 7952 | 7959 | 7966 | 7975 | 7980 | 7987 | 65 | 7995 | 8000 | 8007 | 8014 | 8021 | 8028 | 8055 | 8041 | 8048 | 8055 64 | 8062 | 8069 | 8075 | 8082 | 8089 | 8096 | 8102 | 8109 | 8116 | 8192 10 | 0000 | 0045 | 0086 | 0128 | 0170 || 0212 | 0255 | 0294 | 0554 | 0574 11 | 0414 | 0455 | 0492 | 0551 | 0569 || 0607 | 0645 | 0682 | 0719 | 0755 12 | 0792 | 0828 | 0864 | 0899 | 09354 || 0969 | 1004 | 1058 | 1072 | 1106 5 | 1159 | 1175 | 1206 | 1259 | 1271 || 1505 | 1555 | 1567 | 1599 | 1450 14 | 1461 | 1492 | 1595 | 1555 | 1584 || 1614 | 1644 | 1675 | 1705 | 1759 15 | 1761 | 1790 | 1818 | 1847 | 1875 || 1905 | 1951 | 1959 | 1987 | 2014 16 | 2041 | 2068 | 2095 | 2122 | 2148 || 2175 | 2201 | 2227 | 2255 | 2279 17 | 2504 | 2550 | 2555 | 2580 | 2405 || 2450 | 2445 | 2480 | 2504 | 2529 18 | 2555 | 2577 | 2601 | 2625 | 2648 || 2672 | 2695 | 2718 | 2742 | 2765 19 | 2788 | 2810 | 2855 | 2856 | 2878 || 2900 | 2925 | 2945 | 2967 | 2989 —— ————— ———— | ———— 65 | 81929 | 8156 | 8142 | 8149 | 8156 | 8162 | 8169 | 8176 | 8182 | 8189 66 | 8195 | 8202 | 8209 | 8215 | 8222 || 8228 | 8255 | 89241 | 8948 | 8954 67 | 8261 | 8267 | 8274 | 8280 | 8287 | 8295 | 8299 | 8506 | 8512 | 8519 68 | 8525 | 8551 | 8558 | 8544 | 8551 | 8557 | 8365 | 8370 | 8576 | 8582 20 | 5010 | 5052 | 5054 | 5075 | 5096 | 5118 | 5159 | 5160 | 5181 | 5201 21 | 5222 | 5245 | 5265 | 5284 | 5504 || 5524 | 5545 | 5365 | 3385 | 5404 22 | 5424 | 5444 | 5464 | 5485 | 5502 | 55929 | 5541 | 5560 | 5579 | 5598 25 | 3617 | 5656 | 5655 | 5674 | 5692 | 5711 | 5729 | 5747 | 5766 | 5784 24 | 5802 | 5820 | 5858 | 5856 | 5874 | 5892 | 5909 | 5997 | 5945 | 5962 | 69 | 8588 | 8595 | 8401 | 8407 | 8414 || 8420 | 8496 | 8439 | 8459 | 8445 Es L | ne Es | 25 | 5979 | 5997 | 4014 | 4051 | 4048 || 4065 | 4082 | 4099 | 4116 | 4153 | 70 | 8451 | 8457 | 8465 | 8470 | 8476 | 8482 8488 | 8494 | 8500 | 8506 | 26 | 4150 | 4166 | 4185 | 4200 | 4216 | 4252 | 4249 | 4265 | 4281 | 4298 | 71 | 8513 | 8519 | 8525 | 8551 | 8537 | 8543 | 8549 | 8555 | 8561 | 8567 27 | 4514 | 4550 | 4546 | 4562 | 4578 | 4595 | 4409 | 4495 | 4440 | 4456 | 79 | 8575 | 8579 | 8585 | 8591 | 8597 | 8605 | 8609 | 8615 | 8621 | 8697 | 28 | 4472 | 4487 | 4509 | 4518 | 4555 | 4548 | 4564 | 4579 | 4594 | 4609 | 75 | 8635 | 8659 | 8645 | 8651 | 8657 | 8665 | 8669 | 8675 | 8681 | 8686 29 | 4624 | 4659 | 4654 | 4669 | 4685 || 4698 | 4715 | 4728 | 4742 | 4757 | 74 | 8692 | 8698 | 8704 | 8710 | 8716 | 8722 | 8727 | 8755 | 8759 | 8745 50 | 4771 | 4786 | 4800 | 4814 | 4829 || 4845 | 4857 | 4871 | 4886 | 4900 51 | 4914 | 4928 | 4949 | 4955 | 4969 || 4985 | 4997 | 5011 | 5024 | 5058 52 | 5051 | 5065 | 5079 | 5092 | 5105 | 5129 | 5152 | 5145 | 5159 | 5172 55 | 5185 | 5198 | 5211 | 5294 | 5257 | 5250 | 5265 | 5276 | 5289 | 5502 84 | 5515 | 5528 | 5540 | 5555 | 5366 || 5578 | 5591 | 5403 | 5416 | 5428 75 | 8751 | 8756 | 8762 | 8768 | 8774 | 8779 | 8785 8791 | 8797 | 8802 76 | 8808 | 8814 | 8820 | 8825 | 8851 | 8857 | 8842 | 8848 | 8854 | 8859 8871 | 8876 | 8882 | 8887 | 8895 | 8899 | 8904 | 8910 | 8915 78 | 8921 | 8997 | 8952 | 8958 | 8945 | 8949 | 8954 | 8960 | 8965 | 8971 79 | 8976 | 8982 | 8987 | 8995 | 8998 | 9004 | 9009 | 9015 | 9020 | 9025 ET “I ©o Co os x 80 | 9051 | 9056 | 9042 | 9047 | 9055 | 9058 | 9065 | 9069 | 9074 | 9079 81 | 9085 | 9090 | 9096 | 9101 | 9106 | 9112 | 9117 | 9122 | 9128 | 9135 82 | 9158 | 9145 | 9149 | 9154 | 9159 || 9165 | 9170 | 9175 | 9180 | 9186 | 85 | 9191 | 9196 | 9201 | 9206 | 9212 | 9217 | 9229 | 99927 | 9252 | 9958 || 5 | 5465 | 5478 | 5490 || 5509 | 5514 | 5597 | 5539 | 5551 5 | 5587 | 5599 | 5611 | 5625 | 5655 | 5647 | 5658 | 5670 94 | 5705 | 5747 | 5729 | 5740 | 5752 | 5763 | 5775 | 5786 9 9 58 | 5798 | 5809 | 58921 | 5852 | 5845 | 5855 | 5866 | 5877 | 5888 | 5899 | 59 | 5911 | 5922 | 5955 | 5944 | 5955 | 5966 | 5977 | 5988 | 5999 | 6010 | 84 | 9245 | 9248 | 9255 | 9258 | 9263 | 9269 | 9274 | 9979 | 9284 | 9289 || | | | | 9294 | 9999 | 9504 | 9509 | 9515 || 9520 | 9525 | 9550 | 9555 | 9540 86 | 9345 | 9550 | 9555 | 9560 | 9565 || 9570 | 9575 | 9580 | 9585 | 9590 87 | 9595 | 9400 | 9405 | 9410 | 9415 || 9420 | 9425 | 9450 | 9455 | 9440 || 88 | 9445 | 9450 | 9455 | 9460 | 9465 | 9469 | 9474 | 9479 | 9484 | 9489 | 89 | 9494 | 9499 | 9504 | 9509 | 9515 |. 5518 | 9525 | 9598 | 9535 | 9558 Co ox 40 | 6021 | 6051 | 6042 | 6055 | 6064 | 6075 | 6085 | 6096 | 6107 | 6117 41 | 6198 | 6158 | 6149 | 6160 | 6170 | 6180 | 6191 | 6201 | 6212 | 6222 42 | 6259 | 6245 | 6255 | 6265 | 6274 | 6304 | 6514 | 6525 45 | 6555 | 6545 | 6555 | 6565 | 6575 | 6585 | 6595 | 6405 | 6415 | 6425 44 | 6455 | 6444 | 6454 | 6464 | 6474 6505 | 6515 | 6522 en] 12 (e°2] CS (er Le Le] CS a ns Le °] ES (2 Fe] ot 90 | 9542 | 9547 | 9552 | 9557 | 9562 | 9566 | 9571 | 9576 | 9581 | 9586 91 | 9590 | 9595 | 9600 | 9605 | 96109 || 9614 | 9619 | 9624 | 9628 | 9655 92 | 9658 | 9645 | 9647 | 9652 | 9657 | 9661 | 9666 | 9671 | 9675 | 9680 95 | 9685 | 9689 | 9694 | 9699 | 9705 | 9708 | 9715 | 9747 | 9722 | 9727 | 94 | 9751 | 9756 | 9741 | 9745 | 9750 || 9754 | 9759 | 9765 | 5768 | 9775 45 | 6552 | 6542 | 6551 | 6561 | 6571 || 6580 | 6590 | 6599 | 6609 | 6618 46 | 6628 | 6657 | 6646 | 6656 | 6665 || 6675 | 6684 | 6695 | 6702 | 6712 47 | 6721 | 6750 | 6759 | 6749 | 6758 || 6767 | 6776 | 6785 | 6794 | 6805 48 | 6812 | 6821 | 6850 | 6859 | 6848 || 6857 | 6866 | 6875 | 6884 | 6895 49 | 6902 | 6911 | 6920 | 69928 | 6957 | 6946 | 6955 | 6964 | 6972 | 6981 50 | 6990 | 6998 | 7007 | 7016 | 7024 || 7053 | 7042 | 7050 | 7059 | 7067 51 | 7076 | 7084 | 7095 | 7101 | 7110 || 7118 | 7126 | 7155 | 7145 | 7152 52 | 7160 | 7168 | 7177 | 7185 | 7195 | 7209 | 7210 | 7218 | 7296 | 79255 55 | 7245 | 7251 | 7259 | 79267 | 7275 | 79284 | 72992 | 7500 | 7308 | 7516 54 | 7524 | 7552 | 7540 | 7548 | 7556 || 7564 | 7572 | 7580 | 7588 | 7596 | 95 | 9777 | 9782 | 9786 | 9791 | 9795 | 9800 | 9805 | 9809 | 9814 | 9818 96 | 9825 | 9827 | 9852 | 9856 | 9841 | 9845 | 9850 | 9854 | 9859 | 9865 97 | 9868 | 9872 | 9877 | 9881 | 9886 || 9890 | 9894 | 9899 | 9905 | 9908 98 | 9912 | 9917 | 9921 | 9926 | 9950 | 9954 | 9959 | 9945 | 9948 | 9952 99 | 9956 | 9961 | 9965 | 9969 | 9974 || 9978 | 9985 | 9987 | 9991 | 9996 0 1 2 5  5 MG fl 8 9 0 1 2 5 4 5 6 7 8 9 L & 4 æ j 2485 8 VE 9,90655 Log 7 — 049715. — log 2 x — 0,19818. — log D — 0,19612 — log & — 980509. — log 5 — 062200. — log 3 = 9,02003. — log V » — 0,24857. — log WG 9,90055. Er 4 log V rudes 0,20736. — log g — 0,99162. — log 29 — 1,29265. nerats TABLE INVERSE, DONNANT LE NOMBRE CORRESPONDANT À UN LOGARITHME CONNU. Loc.| 0 1 2 5 4 5 DEA 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 {l . : 00 | 1009 | 1002 | 1005 | 1007 | 1009 || 1012 | 1014 | 1016 | 1019 | 1021 5162 | 5170 | 5177 | 5184 | 5192 | 5199 | 5906 | 5914 | 5921 | 3298 | 01 | 1095 | 1026 | 1028 | 1050 | 1055 | 1055 | 1058 | 1040 | 1042 | 1045 5256 | 5245 | 5251 | 5258 | 3266 | 5275 | 5981 | 5289 | 3296 | 3304 02 | 1047 | 1050 | 1052 | 1054 | 1057 | 1059 | 1062 | 1064 | 1067 | 1069 3511 | 5519 | 5527 | 5554 | 3542 | 5350 | 5557 | 3565 | 5375 | 5391 05 | 1072 | 1074 | 1076 | 1079 | 1081 | 1084 | 1086 | 1089 | 1091 | 1094 3588 | 5596 | 5404 | 5419 | 5420 | 5428 | 5456 | 5445 | 3451 | 5459 04 | 1096 | 1099 | 1102 | 1104 | 1107 | 1109 | 1112 | 1114 | 1117 | 1119 5467 | 3475 | 5485 | 5491 | 5499 || 5508 | 5516 | 5524 | 5559 | 5540 | | 05 | 1299 | 1195 | 1197 | 1150 | 1152 | 1155 | 1158 | 1140 | 1143 | 1146 5548 | 5556 | 5565 | 5575 | 5581 | 5589 | 5597 | 5606 | 5614 | 3629 | 06 | 1148 | 2251 | 1155 | 1156 | 1159 | 1161 | 1164 | 1167 | 1169 | 1172 3651 | 5059 | 5648 | 5656 | 5664 | 5675 | 5681 | 5690 | 5698 | 5707 07 | 1175 | 1178 | 1480 | 4185 | 1186 || 1189 | 1191 | 1194 | 1497 | 1199 5715 | 5724 | 5753 | 5741 | 3750 || 5758 | 5767 | 5776 | 3784 | 5793 | 08 | 1202 | 1205 | 1208 | 1211 | 1215 || 1216 | 1219 | 1222 | 1295 | 1227 5802 | 5811 | 5819 | 5898 | 5857 | 5846 | 5855 | 5864 | 5873 | 5889 09 | 1950 | 1255 | 1956 | 1259 | 1242 || 1945 | 1247 | 1250 | 1253 | 1256 3890 | 5899 | 5908 | 3917 | 59926 || 5956 | 5945 | 5954 | 5963 | 5979 b Le | 10 | 1259 | 1262 | 1965 | 1268 | 1271 | 127% | 1276 | 1279 | 1282 | 1285 5981 | 5990 | 5999 | 4009 | 4018 | 4027 | 4056 | 4046 | 4055 | 4064 11 | 1988 | 1291 | 1994 | 1297 | 1500 || 1505 | 1506 | 1509 | 1512 | 1515 4074 | 4085 | 4095 | 4102 | 4111 | 4191 | 4150 | 4140 | 4150 | 4159 12 | 1518 | 1521 | 1324 | 1597 | 4550 || 1554 | 1357 | 1540 | 1545 | 1546 4169 | 4178 | 4188 | 4198 | 4207 | 49217 | 4997 | 4956 | 4946 | 4956 15 | 1349 | 1552 | 1555 | 1558 | 1561 | 1565 | 1568 | 1571 | 1574 | 1577 4266 | 4276 | 4285 | 4295 | 4305 || 4515 | 4595 | 4535 | 4545 | 4555 14 | 1580 | 1584 | 1587 | 1590 | 1595 || 1596 | 1400 | 1403 | 1406 | 1409 4565 | 4575 | 4585 | 4595 | 4406 || 4416 | 4496 | 4456 | 4446 | 4457 À dE 15 | 1415 | 1416 | 1419 | 1492 | 1426 || 1429 | 1452 | 1455 | 1459 | 1442 4467 | 4477 | 4487 | 4498 | 4508 || 4519 | 4599 | 4559 | 4550 | 4560 16 | 1445 | 1449 | 1459 | 1455 | 1459 || 1462 | 1466 | 1469 | 1472 | 1476 | 4571 | 4581 | 4599 | 4605 | 4615 || 4624 | 4654 | 4645 | 4656 | 4667 17 | 4479 | 1485 | 1486 | 1489 | 4495 || 1496 | 1500 | 1505 | 1507 | 1510 4677 | 4688 | 4699 | 4710 | 4721 || 4759 | 4749 | 4755 | 4764 | 4775 18 | 1514 | 1517 | 1591 | 1524 | 1598 | 1551 | 1555 | 1558 | 1542 | 1545 | 4786 | 4797 | 4808 | 4819 | 4851 | 4842 | 4855 | 4864 | 4875 | 4887 || 19 | 1549 | 1552 | 1556 | 1560 | 1565 || 1567 | 1570 | 1574 | 1578 | 1581 | 4898 | 4909 | 4920 | 4952 | 4945 | 4955 | 4966 | 4977 | 4989 | 5000 20 | 1585 | 1589 | 1592 | 1596 | 1600 || 1605 | 1607 | 1611 | 1614 | 1618 5012 | 5025 | 5055 | 5047 | 5058 | 5070 | 5089 | 5095 | 5105 | 5117 91 | 16922 | 16926 | 1629 | 1655 | 1657 || 1641 | 1644 | 1648 | 1652 | 1656 5129 | 5140 | 5152 | 5164 | 5176 | 5188 | 5200 | 5219 | 5224 | 5256 22 | 1660 | 1665 | 1667 | 1671 | 1675 | 1679 | 1685 | 1687 | 1690 | 1694 | 72 | 5248 | 5260 | 5272 | 5984 | 5207 | 5509 | 5391 | 5535 | 5346 | 555$ 25 | 1698 | 1702 | 1706 | 1710 | 1714 | 1718 | 1722 | 1726 | 1750 | 1734 5370 | 5585 | 5595 | 5408 | 5420 | 5455 | 5445 | 5458 | 5470 | 5485 94 | 1758 | 1742 | 1746 | 1750 | 1754 || 1758 | 1762 | 1766 | 1770 | 1774 | 5495 | 5508 | 5521 | 5554 | 5546 | 5559 | 5579 | 5585 | 5598 | 5610 25 | 1778 | 1782 | 1786 | 1791 | 1795 || 1799 | 1805 | 1807 | 1811 | 1816 5625 | 5656 | 5649 | 5662 | 5675 | 5689 | 5702 | 5715 | 5728 | 5741 26 | 1820 | 1824 | 18928 | 1852 | 1857 || 1841 | 1845 | 1849 | 1854 | 1858 5754 | 5768 | 5781 | 5794 | 5808 | 5821 | 5834 | 5848 | 5861 | 5875 | 97 | 1869 | 1866 | 1871 | 1875 | 1879 || 1884 | 1888 | 1892 | 1897 | 1901 | 5888 | 5902 | 5916 | 5929 | 5945 | 5957 | 5970 | 5984 | 5J98 | 6012 28 | 1905 | 1910 | 1914 | 1919 | 1925 | 1928 | 1952 | 1956 | 1941 | 1945 6026 | 6059 | 6055 | 6067 | 6081 | 6095 | 6109 | 6124 | 6158 | 6152 29 | 1950 | 1954 | 1959 | 1965 | 1968 | 1972 | 1977 | 1982 | 1986 | 1991 6166 | 6180 | 6194 | 6209 | 6225 | 6237 | 6252 | 6266 | 6281 | 6295 | | | | 50 | 1995 | 2000 | 2004 | 2009 | 201% | 2018 | 2025 | 2028 | 2052 | 2057 6510 | 6524 | 6539 | 6555 | 6568 | 6585 | 6397 | 6419 | 6497 | 6442 51 | 2042 | 2046 | 2051 | 2056 | 2061 | 2065 | 2070 | 2075 | 2080 | 2084 6457 | 6471 | 6486 | 6501 | 6516 | 6551 | 6546 | 6561 | 6577 | 6592 52 | 2089 | 2094 | 2099 | 2104 | 2109 || 2115 | 2118 | 2125 | 2198 | 2155 6607 | 6622 | 6657 | 6655 | 6668 | 6685 | 6699 | 6714 | 6750 | 6745 55 | 2158 | 2145 | 2148 | 2155 | 2158 | 2165 | 2168 | 2175 | 2178 | 2185 6761 | 6776 | 6792 | 6808 | 6825 | 6859 | 6855 | 6871 | 6887 | 6902 54 | 2188 | 2195 | 2198 | 2205 | 2208 | 2215 | 2218 | 2223 | 9998 | 2254 6918 | 6954 | 6950 | 6966 | 6982 || 6998 | 7015 | 7051 | 7047 | 7065 35 | 2259 | 2944 | 2949 | 2954 | 2259 | 2265 | 2970 | 2275 | 2280 | 2286 7079 | 7096 | 7112 | 7199 | 7445 | 7161 | 7178 | 7194 | 7211 | 7298 || 36 | 2291 | 2296 | 2501 | 2507 | 2519 || 2517 | 2523 | 25928 | 2555 | 2559 7244 | 7261 | 7278 | 7295 | 7511 | 7598 | 7545 | 7562 | 7579 | 7596 57 | 2544 | 2550 | 2555 | 2560 | 2566 | 2571 | 2577 | 2582 | 92588 | 2595 74135 | 7450 | 7447 | 7464 | 7489 À 7499 | 7516 | 7554 | 7551 | 7568 58 | 2599 | 2404 | 2410 | 2415 | 2421 || 2497 | 2459 | 2458 | 2445 | 2449 2586 | 7605 | 7621 | 7658 | 7656 || 7674 | 7691 | 7709 | 7727 | 7745 59 | 2455 | 2460 | 2466 | 2472 | 2477 | 2485 | 2489 | 2495 | 92500 | 2506 7762 | 7780 | 7798 | 7816 | 7854 | 7852 | 7870 | 7889 | 7907 | 7925 40 | 2519 | 2518 | 2595 | 2529 | 9555 | 2541 | 2547 | 2555 | 9559 | 2564 7945 | 7962 | 7980 | 7998 | 8017 | 8055 | 8054 | 8072 | 5091 | S110 41 | 2570 | 2576 | 2582 | 2588 | 2594 | 2600 | 2606 | 2512 | 2618 | 2624 8128 | 8147 | 8166 | 8185 | Sau4 || 8222 | 8241 | 8260 | 8279 | 8299 42 | 2650 | 2656 | 2642 | 2649 | 2655 || 2661 | 2667 | 2675 | 2679 | 2685 8318 | 8557 | 8556 | 8575 | 8595 | 8414 | 8453 | 8455 | 8472 | 8499 45 | 2692 | 2698 | 2704 | 2710 | 2716 || 2725 | 2799 | 2755 | 2742 | 92748 8511 | 8551 | 8551 | 8570 | 8590 | 8610 | 8650 | 8650 | 8670 | 8690 44 | 2754 | 2761 | 2767 | 2775 | 2780 || 2786 | 2795 | 2799 | 2805 | 2812 8710 | 8750 | 8750 | 8770 | 8790 || 8810 | 8831 | 8851 | 8872 | 8892 45 | 2818 | 2895 | 2851 | 2858 | 2844 | 2851 | 2858 | 2864 | 2871 | 2877 8915 | 8955 | 8954 | 8974 | 8995 || 9016 | 9056 | 9057 | 9078 | 9099 46 | 2884 | 2891 | 2897 | 2904 | 2911 || 2917 | 2924 | 2951 | 2958 | 2944 9120 | 9141 | 9162 | 9185 | 9204 || 9226 | 9247 | 9268 | 9290 | 9511 47 | 2951 | 2958 | 2965 | 2972 | 2979 || 2985 | 2999 | 2999 | 5006 | 5015 9555 | 9554 | 9576 | 9597 | 9419 | 9441 | 9462 | 9484 | 9506 | 9428 48 | 5020 | 5027 | 5054 | 5041 | 5048 || 5055 | 5062 | 5069 | 5076 | 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