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+ ei DEA a}. o

HARVARD UNIVERSIT #Y.

LIBRARY

OF THE

MUSEUM OF COMPARATIVE ZOOLOGY.

MÉMOIRES
IL

SOCIÉTÉ ROYALE DES SCIENCES
DE LIÈGE.

Nec temere, nec timide.

DEUXIÈME SÉRIE.

TOME XVII.

DÉPOTS :
LONDRES, PARIS, BERLIN »
chez Wicrims et NoRçaTe, chez Ronr, libraire, chez Faigocanpen u, Sohn,
Henrietta Str., 14. rue Hautefeuille, 10/i, Carlstrasse, 11.
BRUXELLES,

F. HAYEZ, IMPRIMEUR DE L'ACADÉMIE ROYALE DES SCIENCES,
DES LETTRES ET DES BEAUX-ARTS DE BELGIQUE.

Rue de Louvain, 112,

Fe
M9 FÉVRIER 1892.

MÉMOIRES

LR

MÉMOIRES

SOCIÈTÉ ROYALE DES SCIENCES
DE LIÈGE.

Nec lemere, nec timide.

DEUXIÈME SÉRIE.

TOME XVII.

GS

DEPOTS :
LONDRES. PARIS . | BERLIN :
chez Wicuanus et Nor&are, chez Rorer, libraire, | chez Fniepranver u. Sohn,
| : ;
lienrietta Str., 14. | rue Hautefeuille, AO0is, | Caristrasse, 11.

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{1

JT BRUXELLES,

F. HAYEZ, IMPRIMEUR DE L'ACADÉMIE ROYALE DES SCIENCES,
DES LETTRES ET DES BEAUX-ARTS DE BELGIQUE.

Rue de Louvain, 119.

FEVRIER 1892.

TABLE

DES

MÉMOIRES CONTENUS DANS LE TOME XVII.

———

1. Sur la corrélation polaire involutive dans un espace linéaire quel-
conque; par François Deruyts.

19

. Sur une propriété des déterminants symétriques gauches; par
François Deruyts.

3. Mémoire sur la théorie de l’involution et de l’homographie unieur-
sale; par François Deruyts.

4. Essai d’une théorie générale des formes algébriques; par Jacques
Deruyts.

5. Lettres à quelques mathématiciens; par Eugène Catalan.

6. Sur de nouvelles formules pour le calcul du nombre fn de Laisant;
par le D' F. J. Studnitka.

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MIPAREL
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2e

APR 19 1892

LISTE

DES

MEMBRES DE LA SOCIÉTÉ

AU 1% FÉVRIER 1892.

Bree daur
Président, M. M. Lonesr.
Vice-Président, » J. FRAIPONT.
Secrétaire général, » LE PAIGE.

Trésorier-Bibliothécaire, » J. DERUYTS.

Membres effectifs.

1842 Sezys Lonconawrs (baron E. DE), membre de l Académie
royale de Belgique.

1853 Canpëze, E., membre de l’Académie royale de Belgique,
à Glain par Liège.

PAQue, A., ancien professeur de Halécits à à l’athénée

de Liège (Flémalle-Grande).

1855 DewaLque, G.professeur à l’université de Liège, membre
de l’Académie royale de Belgique.

1856
1860

1868
1870

1871

1874

1875
1878

1879
1880

1881
1884

1885
1887

1890

( vin)

CaTaLan, C. E., professeur émérite à l’université, associé
de l'Académie royale de Belgique.

GILLON, A., professeur à l’université.

GRAINDORGE, L. A. J., professeur à l’université.

Masius, V., professeur à l’université, correspondant de
l’Académie royale de Belgique.

VanLair, C., professeur à l’université, correspondant
de l’Académie royale de Belgique.

Van BENEDEN, Éd., professeur à l’université, membre
de l'Académie royale de Belgique. :

FirkeT, Ad., chargé de cours à l’université, ingénieur
en chef au corps des minces.

SWAEN, À., professeur à l’université.

LE PAIGE, C., professeur à l’université, membre de l'Aca-
démie royale de Belgique.

JoRISSEN, A., chargé de cours à l’université.

NEUBERG, dJ., professeur à l’université, correspondant de
l’Académie royale de Belgique.

Fraiponr, J., professeur à l’université. |

Deruvrs, J., chargé de cours à l’université, correspondant
de l’Académie royale de Belgique.

Ronxar, Em., chargé de cours à l’université.

ol

Uracus, P., répétiteur à l'École des mines.

GRavis, A., professeur à l'université.

Lonesr, M., agrègé spécial à l’université.

ForiR, H., répétiteur à l'Ecole des mines.

Deruyts, Fr., docteur en sciences, assistant à l'université.
LauBortE, Er., docteur en médecine, à Verviers.

De HEEn, P., chargé de cours à l’université, membre

de l’Académie royale de Belgique.
Beaupain, dJ., docteur en sciences, ingénieur au corps
des mines.

Membres correspondants.
I. — Sciences physiques et mathématiques.

1842 Laçuesse, directeur divisionnaire honoraire des mines,
à Tournai.
1845 Maus, inspecteur général des ponts etchaussées, à Bruxelles.
1847 DE Cuyrer, A. C., professeur émérite à l’université de
Liège, à Bruxelles.
1852 ETriNGsHausEN (baron Constantin von), membre de
l'Académie des sciences de Vienne, à Graz.
1855 BÈèpe, Em., industriel, à Bruxelles.
1854 PETriNa, professeur de physique, à Prague (Bohème).
1855 Lrais, ancien directeur de l'Observatoire impérial de Rio
de Janeiro, maire de Cherbourg.
TcHéBycHerr, P., membre de l’Académie des sciences,
à Saint-Pétersbourg.
1858 CaLieny (marquis be), correspondant de l’Institut, à Ver-
sailles (France). |
1863 Gossace, membre de la Société chimique, à Londres.
1865 HuGueNy, professeur, à Strasbourg.
TERSSEN, général d'artillerie, à Anvers.
DE Cozner D'Huarr, conseiller d'État, à Luxembourg.
DAUSSE, ingénieur en chef des ponts et chaussées, à Paris.
Fous, F., directeur de l'Observatoire royal de Bruxelles.
1866 LEDENT, professeur au collége communal de Verviers.
1867 BarNarp, président de l'École des mines, à New-York
(États-Unis). ;
Boncompagni (prince Balthasar), à Rome.
Hezwnozrz (von), professeur de physique, à Berlin.
1869 Marié Davy, directeur de l'Observatoire météorologique
_ de Montsouris.
SCHLÔMILCH, professeur d'analyse à l'École polytechnique
de Dresde.

(x)

1870 BerTranD, J. L. F., membre de l’Institut, à Paris.

1871

1872

1875

1874

1875

1876

1377
1879

1380

ImscHENETSKI, membre de l’Académie, à Saint-Petersbourg.

Hexey, L., professeur à l’université de Louvain.

Duréce, professeur à l’université de Prague (Bohème).

Masters, MaxweLz T., membre de la Société royale,
à Londres.

LE BouLeNGé, P., colonel d'artillerie.

VaLLEs, inspecteur honoraire des ponts et chaussées,

: à Paris.

GaRiBaLpi, professeur à l’université de Gênes (Italie).

Kanirz, D' Aug., professeur à l’université de Klausen-
bourg (Hongrie).

Bars, H., membre de la Société royale de Londres.

HermiTE, Ch., membre de l’Institut, à Paris.

Dargoux, G., membre de l'Institut, à Paris.

WinxLer, D. C. J., conservateur du Musée de Harlem
(Néerlande).

Van RYSSELBERGHE, aide à l'Observatoire royal, à Bruxelles.

Mansion, P., professeur à l’université de Gand.

MicHaeuis, O., captain, chief of Ordnance, à Saint-Paul,
Minn., département de Dakota (États-Unis).

DEWALQUE, Fr., professeur à l’université de Louvain.

Bazrour, Th. G. H., membre de la Société royale, à
Londres. |

TissanDiEr, Gaston, rédacteur du journal l« Nature, à Paris.

SYLVESTER, J. J., professeur à l’université d'Oxford.

CzuERr, professeur, à Prague.

CREMONA, Luigi, directeur de l'École d'application, à
Rome.

Weyr, Ém., professeur à l’université de Vienne (Autriche).

IBANEZ, général, directeur de l'Institut cartographique, à
Madrid. :

Srupnitka, F., professeur de mathématiques à l'université
de Prague.

Van DER MENSBRUGGE, Gustave, professeur. à l’université
de Gand. |

1380

1881

1882

1883

1884

1885

1887

(x)

De Tizey, J., colonel, membre de l’Académie de Belgique,
à Bruxelles.

Bonwer, Ossian, membre de l'Institut, à Paris.

SÉBERT, colonel d'artillerie de la marine française, à Paris.

ANGOT, À., attaché au bureau central météorologique de
France, à Paris.

WiEDEMANN, G., professeur à l’université de Leipzig.

PLANTÉ, G., à Paris.

Konzrauscu, directeur de l'Institut physique de Wurz-
bourg.

Quincke, professeur de physique, à Heidelberg.

Giorpano, inspecteur du corps des mines, à Rome.

Guiscarpr, professeur à l’université de Naples.

LaISANT, C. A., député, à Paris.

BeLTrAMI, professeur à l’université de Pavie.

MascarT, membre de l’Institut, à Paris.

- Bounraxowskr, membre de l’Académie des sciences, à

Saint-Pétersbourg.
Breiruor, N., professeur à l'université de Louvain.
Mirrac-LEFFLEr, G., professeur à l’université de Stock-

holm.
Gouès TEixeiR4a, F., ancien professeur à l’université de
Coïmbre. 3

Bierens DE Haan, D., professeur à l’université de Leide.

GERoNo, C., rédacteur des Nouvelles Annales de mathe-
matiques, à Paris.

SCHUR, Fréd., professeur à l’université de Dorpat.

Picquer, répétiteur à l'École polytechnique, à Paris.

DE LONGcHamPs (Gohierre), professeur au lycée Charle-
magne, à Paris.

VanËGER, J. S., professeur, à Jicin (Bohème).

CEsaro, E., professeur à l'université, à Palerme.

Warras, L., professeur à l'Académie de Lausanne.

MENABREA, marquis de Val-Dora, ambassadeur de
S. M. le roi d'Italie, à Paris.

Gucci, docteur en sciences, à Palerme.

1887

1888

1854

1855
1859

(ne)

WüLLxer, professeur à l'École polytechnique d’Aix-
la-Chapelle.

Paazzow, directeur de l’École technique de Berlin.

OcacxE (Maurice np’), ingénieur des ponts et chaussées,
à Cherbourg (France).

II. — Sciences naturelles.

Van BENEDEN, J. P., professeur à l’université de Louvain.

5 KEYsERLING (comte A.pE), membre de l'Académie des

sciences de Saint-Pétersbourg.

5 HAGEN, professeur à l’université de Cambridge (Etats-

Unis).
KLiPsTEIN (VON), professeur à l’université de Giessen.
Dana, J. D., professeur de géologie et d'histoire naturelle,
à New-Haven (États-Unis).
Wesrwoop, professeur de zoologie à l’université d'Oxford

(Angleterre).

WATERHOUSE, Conservateur au Musee Britannique, à
Londres.

KôLLIKER (VON), professeur à l’université de Wurzbourg
(Bavière).

Drouer, H., naturaliste, à Charleville (France).

STAMMER , docteur en médecine, à Dusseldorf (Prusse).

ERLENMEYER, docteur en médecine, à Neuwied (Prusse).

Lucas, H., aide-naturaliste au Muséum d'histoire naturelle,
à Paris.

BLancaarp, E., membre de l’Institut, à Paris.

Geinirz, H.B., professeur à l’École polytechnique, à Dresde.

MarseuLz (abbé DE), entomologiste, à Paris.

Beyrica, professeur à l’université de Berlin.

Marcou, J., géologue, États-Unis.

1860 Du Bois-Reymonp, professeur à l’université de Berlin.

‘1860
1862

1864

1865

1866

1867
1869

1870

1871

1875

( x )

BruGKkE, professeur à l’université de Vienne.

Caspary, professeur de botanique à l’université de Kônigs-
berg (Prusse). 5

Taouson, J., membre de la Société entomologique de
De à Paris.

DuriEu DE MAlSONNEUVE, directeur du Jardin Botanique,
à Bordeaux (France).

BRUNER DE WATTEVILLE, directeur général des télégra-
phes, à Vienne.

Zeis, conservateur au Muséum royal d'histoire naturelle,
à Dresde.

Le Jours, archiviste perpétuel de la Société des sciences
naturelles de Cherbourg (France).

HAMILTON, membre de la Société géologique de Londres.

De Borre, A., ancien conservateur au Musée royal
d'histoire naturelle, à Bruxelles.

RopriGuez, directeur du Musée zoologique de Guaté-
mala.

GOSSELET, J., professeur à la faculté des sciences de Lille
(France).

RADOSZKOFFSKI, président de la Société entomologique
de Saint-Pétersbourg.

Smon, E., naturaliste, à Paris.

TRauTscHoLD, professeur, à Breslau.

Maaise, C., professeur à l’Institut agronomique de Gem-
bloux.

Van HoorEx, docteur en sciences, à Tongres.

Muzcer (baron von), botaniste du gouvernement, à Mel-
bourne (Australie).

Taouson, James, vice-président de la Société seoloeune
de Glasgow.

CAPELLINI (commandeur G.), professeur de géologie à
l’université de Bologne.

CLos, directeur du Jardin des Plantes, à Toulouse.

Hazz, James, paléontologiste de l'État, à Albany (États-
Unis). à |

( xiv )

1873 Wirney, J. D., géologue de l'État, directeur du Geolo-

1874

1875

1876
1377

1878

1879

gical Survey de Californie (États-Unis).

GLaziou, botaniste, directeur des Jardins impériaux à Rio
de Janeiro.

Lapiscad Nerro, botaniste, directeur du Musée de Rio
de Janeiro.

DE Carvazo (Pedro Alphonso), docteur en médecine,
directeur de l'Hôpital de la Miséricorde, à Rio
de Janeiro.

BurmeisTEer , H., directeur du Musée national de Buenos-
Ayres.

Moreno, F. P., paléontologiste, à Buenos-Ayres.
ARESCHOUG, professeur adjoint à l’université de Eund
(Suède.)

GEGENBAUER, professeur à l’université de Heidelberg.

HickeL, professeur à l'université de léna.

WaLpEyEr, professeur à l’université de Berlin.

Huxey, professeur à l’école des mines, à Londres.

Emmer, professeur à l'université de Tubingue.

DE La VALETTE SAINT-GEORGE, professeur à l’université
de Bonn.

Ray-Lankesrer, professeur à l’université de Londres.

Packarp, professeur à l’université de Salem (États-Unis).

FLemmne, W., professeur à l’université de Kiel.

PLaTeau, F., professeur à l’université de Gand.

Rômer, F., professeur à l'université de Breslau.

SaporTa (Gaston marquis DE), correspondant de l’Institut
de France, à Aix (France).

Barrour, 1. B., professeur de botanique à l’université,
à Oxford.

Mac LacaLan, Rob., membre de la Société entomologique,
à Londres.

Herrwic, R., professeur à l’université de Munich.

STRASBURGER, professeur à l’université de Bonn.

BroncniarT, Charles, à Paris.

Werrergy, professeur à l’université de Cincinnati.

1879

1881

18385

1884

(xv)

Bouivar, [., professeur, à Madrid.

RiTSEMA, conservateur au Musée royal d'histoire naturelle,
à Leyde.

Renar», Alphonse, professeur à l’université de Gand.

Key, Axe, professeur à l'École de médecine de Stockholm.

Rerzius, G., professeur à l’École de médecine de Stockholm.

MENEGœINt, professeur à l’université de Pise.

TARAMELLI, professeur à l’université de Pavie.

GEsTRO, D’ R., conservateur au Musée d'histoire naturelle
de Gênes. |

SALVADORI (comte Th.), professeur à l’université de Turin.

Huzz, Edward, directeur du Geological Survey d'Irlande.

SANDBERGER, Fridolin, professeur à l’université de Wurz:

bourg.
TRINCHESE, professeur à l’université de Naples.

tr

ER

LISTE.

DES

SOCIÉTÉS SAVANTES, REVUES, ETC.

AVEC LESQUELLES
LA SOCIÉTÉ DES SCIENCES DE LIÈGE

échange ses publications.

BELGIQUE.

Bruxelles. Académie royale des sciences, des lettres et des
beaux-arts de Belgique.
Observatoire royal.
Société entomologique de Belgique.
Société malacologique de Belgique.
Société royale belge de géographie.
Soctélé belge de microscopie.
Musée royal d'histoire naturelle.

Liège. — Société géologique.
Mons. — Sociélé des sciences, des lettres et des beaux-arts du
Hainaut.

Gand. — athesis, directeur : P. Mansion, professeur à l’université.

ALLEMAGNE.

Berlin. — Xünigliche Akademie der Wissenschaften.

Deutsche Geologische Gesellschaft.

Entomologischer Verein.

Zeitschrift für die gesammten Naturwissenschaften.
Naturhistorischer Verein der Preussischen Rheinlande
und Westphalens.

Bonn.

( xvinr )

Breslau. — Schlesische Gesellschaft für vaterländische Cultur.

Colmar. — Sociélé d'histoire naturelle.

Srlamgen. — Physikalisch-medicinische Societät.

Framefort. — Senckenbergische nalurwissenschaftliche Gesell-
schaft.

Fribourg. — Vaturforschende Gesellschaft.

Giessem. — Oberhessische Gesellschaft für Natur- und Heilkunde.

Gürlitz. — Vaturforschende Gesellschaft.
Oberlausilzische Gesellschaft der Wissenscha/ten.

Güttingue. — Xünigliche Gesellschaft der Wissenschafien und
Georg-August-Universilät.

Naturwissenschaftlicher Verein für Sachsen und Thü-
ringen.

Naturforschende Gesellschaft.

Kaiserliche Leopoldinisch-Carolinische Deutsche Akademie
der Naturforscher.

Halle.

Kiel. — Vaturwissenschaftlicher Verein.
Hÿmigsherg. _— AXônigliche physikalisch-ükonomische Gesell-

scha/t.

Hamdslnumt. — Zofanischer Verein.

Leipzig. — VNaturforschende Gesellschaft.
Metz. — Académie des lettres, sciences, arts el agriculture.
Miumieln. — Xüniglich Bayerische Akudemie der Wissenschaften.

Kôünigliche Sternwarte.
Muuséer. — West/ülischer Provincial-Verein für Wissenschaften
und Kunst.
Offenbach. — Offenbacher Verein für Naturkunde.

Stettim. — £ntomologischer Verein.

Stuttgart. Verein für vaterländische Naturkunde in Wür-

_ temberg. ;
Wieshbadem. — Vassauischer Verein für Nalurkunde.
WVwrzbourg. — Physikalisch-medicinische Gesellschaft inWürz-

burg.
Æwickauw. — Verein für Naturkunde.

( xIX )

AUTRICHE-HONGRIE.

Hermannstadit.
schaften.

Siebenbürgischer Verein für Naturwissen-

Innspruck. — Vaturwissenschaftlich-medicinischer Verein.

Prague. — Xüniglich bôhmische Gesellschaft der Wissenschaften
Kaiserlich-Künigliche Sternwarte.

Vienne. — Xaiserliche Akademie der Wissenschaften.
Kaiserlich-Künigliche zoologisch-botanische Gesellschaft.
Kaiserlich-Künigliche geologische Reichsanstalt.

Agraum. — Académie Sudo-Slave des sciences.

Cracovie. — Académie des sciences.

ESPAGNE.

Madrid. — Real Academia de Ciencias.

FRANCE.

Béziers. — Sociélé d’étude des sciences naturelles.
Bordeaux. — Académie des sciences, belles-lettres et arts.
Société linnéenne.

Sociélé des sciences physiques et naturelles.

Caen. Sociélé linnéenne de Normandie.
Cherbourg. Société des sciences naturelles.
HDijom. — Académie des sciences.

Lille. — Société des sciences, de l’agriculture et des arts.

Académie des sciences.

Lyon.
Société d'agriculture.
Société linnéenne.

Montpellier. — Académie des sciences el lettres.

Namey. — Société des sciences (ancienne Société des sciences natu-
relles de Strasbourg).

Paris.

Sociélé géologique de France.
Société Philomatique.
Muséum d'histoire naturelle.

(xx)

Société des amis des sciences nalurelles.
Académie des sciences.

Rouen.

Académie des sciences. .

Toulouse.
Societé des sciences physiques et naturelles.

Troyes. — Société académique de l'Aube.

Agen.

Société d'agriculture, sciences et arts.

GRANDE-BRETAGNE ET IRLANDE.

Iublin. Royal Irish Academy.
Royal Society.

Édimbourg.

Geological Society.

Fondres. — Geological Society.
Linnean Society.

Royal Society.

Glasgow. — Geological Society.
Natural history Society.
Philosophical Society.

Manchester. — Litierary and philosophical Society.

ITALIE.
Bologne. Accademia delle Scienze.
Catane. Accademiu gioenia di scienze natural.
Gênes. Osservatorio dellu R. Universila.
Medène. — Societa dei naturalisti.
Naples. — Societa Reale.
Palerme. Istituto tecnrco.

Soctela di scienze naturali e economiche.
Circolo matematico.

Pise. — Socteta di scienze naturali.

Rome. Bullettino di bibliogrufia delle scienze matematiche,
publié par le prince B. BoncompaGnr.

Reale Accademia dei Lincer.

Accademia pontificia de” Nuovi Lincer.

R. Comitato geologico d'Italiu.

(RE)

LUXEMBOURG.

Luxembourg. — /aslilutroyal grand-ducal, section des sciences

naturelles et mathématiques.

NEERLANDE.
Amsterdam. Koninklijke À cadenie van wetenschappen.
Harlem. Société hollandaise des sciences.

Musée Teyler.

Balaafsch Genootschap der proefondervindelijke
wijsbegeerte.
Delft. — £cole polytechnique.

Rotterdam.

PORTUGAL.

Coïimbhre.

Journal des sciences mathématiques et astrono-
miques, rédacteur : M. Gomès TEIxEIRA.

Lishonne. Académie des sciences.

RUSSIE.

Helsingfors. — Société des sciences de Finlande.

Moscou.

Société impériale des naturalistes.
Saint-Pétershourg. — Académie impériale des sciences.
Société d’archéologie et de numismatique.
Société entomologique.
Société impériale de minéralogie.

SUÉDE ET NORVÈGE.

Bergen. — Museum.

Christiania. — Xongelige Frederiks Universitet.

Stockholm. — Académie royale des sciences.
Nordist medicinskt Arkiv, directeur : D' Axez Key.
Entoinologiska [üreningen, 94. Drottninggatan.
Acta mathematica, rédacteur : M. Mrrraë-LerFLei,

( xxn )

DANEMARK.

Tidskrift for Mathematik : D' H. G. ZEUTHEN,
professeur à l’université.
Académie royale des sciences.

Copenhasuce.

SUISSE.

Naturforschende Gesellschaft.
Société helvétique des sciences naturelles.

Berne.

Neuchâtel. — Societé des sciences naturelles.

Naturforschende Gesellschaft.

Schafhouse.

AMÉRIQUE.

ÉTATS-UNIS.

American Association for advancement of sciences.

Baltimore.

American Journal of mathematics. (Johns Hopkins
University.) ;

Boston. American Academy of arts and sciences.

Soctely of natural History.
Cambridge. — Museum of comparative zoology.
Columbus. —- Ohio State agricultural Society.

Madison.

Wisconsin Academy of sciences, letters and arts.
New-Haven. — Connecticut Academy of arts and sciences.

Newporé.

Orleans County Sociely of natural sciences.”
New-York. — Academy of sciences. .
Philadelphie. — Academy of natural sciences.

American philosophical Society.

Wagner Free Institute of sciences.
Portland. — Vaiural History Society.

Salem. — The American Naturalist.
Essex Institule.
Peubody Academy of sciences.

NP TE EN

({ XXII )

San-Franeisco. — Californian Academy of sciences.
NVashington. — Smithsonian Institution.
Saint-Louis, Mo. — Polanical Garden.

CANADA.

Ottawa. — Commission de géologie et d'histoire naturelle
du Canuda.

Toronto. Canadian Instilute.

_ Montréal. — Geological Survey of Canadu.

GUATÉMALA.

Guatémala. — Sociedad economicu.

MEXIQUE.

Société Antonio Alzate.
Observatoire inétéorologique central.

Mexico.

Æ'acubaya. — Observatoire national.

RÉPUBLIQUE ARGENTINE.

Buenos-Ayres. — Universidad.
ASEE.

INDES ANGLAISES.

Calcutta. — Asiatic Society of Bengal.

INDES HOLLANDAISES.

Batavia. Koninklijke natuurkundige vereeniging in Neder-
landsch Indië.

(ve)

AUSTRALIE.

Hobart-Kown. Tasinanian Society of nalural sciences.

Melbourne. — Observatoire.

Sydney. Linnean Society.
Royal Society of New South Wales.

SUR

LA CORRÉLATION POLAIRE INYOLUTIVE

DANS UN ESPACE LINÉAIRE QUELCONQUE :
PAR

François DERUYTS,

14

Hi)
ra

rie

SUR

LA CORRÉLATION POLAIRE INVOLUTIVE

DANS UN ESPACE LINÉAIRE QUELCONQUE (1

I. — Représentons par x; et par £,, à variant de 1 àn +1,
les coordonnées homogènes d’un point X et d’un espace
à n— 1 dimensions, situés dans un espace à n dimensions.
Les éléments de cet espace sont rapportés à un polyèdre fonda-
mental à n + 1 faces, qui sont des espaces à n — 1 dimensions.

Considérons une forme bilinéaire symétrique gauche à n +1
variables, que nous représenterons symboliquement par

avec les conditions,

AU= — AA OÙ x —— x, x —=0,

.

i et & variant de 1 à n + 1.

Cette forme, égalée à zéro, définit dans l’espace considéré une
corrélation polaire involutive que nous nous proposons d'étudier
dans ses trails principaux.

Si nous supposons les x, constants, l’équation / — 0 établit
une relation linéaire entre des coordonnées y, de points de
l’espace à n dimensions : nous obtenons donc l’équation d’un
espace plan à n — 1 dimensions.

(*) Ce travail a été présenté à la Société des sciences dans sa séance
de juin 1889.

(40)

Si nous désignons par p un facteur de proportionnalité, cet
espace aura pour coordonnées,

DE — 0 Æ dyolo + Ass ee Uinpalnrss
PËe = — ol + À + Qls ++ GPA RATS (A)
PÉn+ = TT lin — don ale — + — CRE OUUE

nous dirons que cet espace correspond au point X.

En multipliant les équations précédentes respectivement par
Lis Las vs Las Et faisant la somme, nous obtenons,

(EX) = Ésxy + Éolo ++ Es = 0

Donc, à un point de l’espace, X, il correspond un espace plan
à n — 1 dimensions, passant par le point considéré.

Nous appellerons le déterminant, À, des coefficients des x,
dans les équations (A), le discriminant de la forme f; il est
visible que ce discriminant est un déterminant symétrique
gauche. Nous distinguerons, pour la suite, deux cas : 1° n impair;
2° n pair.

II. — Si n est impair, le déterminant À, qui est d'ordre pair,
est un carré. Nous supposerons, d’abord, ce carré difiérent de
zéro. Le système (A) peut alors être résolu par rapport aux
quantilés x,; si nous remarquons que les mineurs À, et A,; de A

sont égaux et de signes contraires, nous aurons les formules,

px Æ 0 + Abo + As ++ AintËnt1s
P'Xo = —AË + O0 + A ++ Asnién10

P'Tnya Fr Ainpië — Aube — AsntiËs EME T A ra6n 0:
Nous déduisons, également de ces formules,

(EX) = Éita + Éote ++ Eten = 0.

Dans la corrélation définie par f—0, à un espace plan

abc 7 cote hell
SME RE

. on obtient :

(5)

à n — 1 dimensions, il correspond un point qui est situé dans
cel espace.

À un point X, de coordonnées x; il correspond un espace &,
passant par X,, et à un point X, de coordonnées x; il correspond
un espace =, passant par X, : on a les relations,

À tout point X de la droite (X,X2), il correspond un espace
à n — 1 dimensions passant par X et par (&,%).
En effet, si l’on prend

X— X, + AX», à

on obtient, d’après les formules (A),

SE ere.
on à
(XE) = (Xe) + A(X222) + ((XE) + (X:2)) À ——= 0,
puisque
(XiE:) = } (aix? — déxi)ax
k -
et
(X2E) — > (aixi — dixe)air,
ik
donc,

A tout espace à n — 1 dimensions Æ passant par (XX), il
correspond un point X situé dans & et dans (Æ,=).
En effet, si l’on a

d’après les relations

el

(6)

On démontrerait de même qu’à tout espace à n — 1 dimen-

il ll

sions, passant par (Æ,%;), il correspond un point de (X,X,) et
qu'à un point de (Æi=2), il correspond un espace à n — 1
dimensions, passant par (X,X:).

La droite (X,X:2) et l’espace à n — 2 dimensions (=,%;) seront
appelés espaces conjugués. Si ces deux espaces ont un point en
commun, ils coincident.

En effet, soient : X le point commun, Æ l’espace correspon-

dant; on a
= XX, + AX0

et
(KE) = 0, (X2xe) — 0,

or, d'après les formules (A),

o) == OT + À»
on à donc :

(XE,) —= (X,5) + A(X2E) — A(X:=1) = 0
el

RE) Ne) A) te)

On peut donc énoncer cette propriété :

THÉORÈME |. — Si une droite rencontre son espace conjugue,
elle y est contenue tout entière et réciproquement. |

En général, à k points X,, X,, …, X,, dont la jonction forme
un espace à £— 1 dimensions, E,a, il correspond # espaces
plans à n — 1 dimensions, dont l'intersection forme un espace
à n —kK dimensions, E,,. Ces deux espaces correspondants
sont conjugués, en ce sens qu’à tout espace à p dimensions
situé ou passant par l’un, il correspond un espace à n — p — 1
dimensions passant ou situé dans l’autre.

Supposons que deux espaces conjugués E,. et E,., ont en
commun un espace à £ — 2 dimensions, E,., : il est d’abord
évident que cet espace E,., coïncide avec son espace correspon-

(7)

dant; par conséquent, si nous le considérons comme étant la
jonction de 4 — 1 points,

, Xi X2, ..…s DAS
el Si

=
1 GQ' 1 0000 Æk—49

sont les espaces correspondants de ces points, nous aurons les
conditions,

L'espace E,, peut être considéré comme étant la jonction
de E, , et d’un point X,; E,_, peut être considéré comme étant
l'intersection de l’espace correspondant de E,., et de =, corres-
pondant de X. Or E,., doit contenir E,,, on a donc de plus les
conditions :

AXE) (RES) = (XE) 0),
et comme conséquence :

(KE) = (X as) = + = (X5,) — 0.

En interprétant ce résultat, nous pourrons énoncer la pro-
position suivante :

THÉORÈME IT. — Deux espaces conjugués à k — 1 et à n —k
dimensions, qui ont en commun un espace à k — 2 dimensions,
coincident.

On démontrerait facilement que, si l’espace E,;, rencontre
son espace conjugué en un espace à 4 — k dimensions, E,_,,
tous les espaces à Æ — h + 1 dimensions passant par E, , et
situés dans E,,, coïncident avec leurs espaces conjugués, et que
* les espaces à n — k + h —2 dimensions passant par E,_,, et
situés dans l’espace à n — k + h — 1 dimensions, conjugué
de E,_,, passent par leurs espaces conjugués.

(#1)

Nous pourrions démontrer loute une suite de théorèmes sur
les espaces qui se correspondent (‘); pour le moment, nous nous
bornerons à énoncer les principales propriétés, en nous réser-
vant de revenir ultérieurement sur ce sujet.

TaéorÈMe III. — Les espaces k dimensions d'un faisceau dont
l'axe est un espace à k — 1 dimensions qui se correspond, et qui
sont silués dans l'espace conjugué à cet axe, se correspondent.

THéoRèmE IV. — Les espaces à k dimensions qui se corres-
pondent et qui appartiennent à un faisceau dont l’espace axial
à k—1 dimensions se correspond, sont situés dans l'espace
conjugué à cel axe.

THÉORÈME V. — Les espaces à k + 1 dimensions qui se corres-
pondent et passent par un espace à k dimensions qui se correspond,
sont situés dans l’espace conjugué à cet espace à k dimensions.

TaéorÈme VI. — Tous les espaces à k + 1 dimensions passant
par un espace à k dimensions qui coïncide avec son espace con-
jugué, et qui sont situés dans cet espace conjugué, se correspondent.

TaéorèME VII. — La jonction de deux espaces qui se corres-
pondent, situés dans deux espaces conjugués qui n'ont aucun
élément en commun, est un espace qui se correspond.

Taéorème VIIL — Tout espace à 1 + h + À dimensions qui
rencontre deux espaces conjugués n'ayant aucun élément en
commun, suivant un espace à i et un espace à h dimensions qui
se correspondent, se correspond.

En particulier, toute droite qui rencontre deux espaces con-
jugués quelconques se correspond, puisque les deux points

(‘) Nous appellerons désormais ainsi deux espaces conjugués qui passent
ou sont situés l’un dans l’autre. *

(9)

d’intersection de la droite avec ces deux espaces sont situés

dans leurs espaces correspondants. On déduit de là, immédia-

tement, qu'une corrélation polaire involutive dans un espace

à un nombre impair n de dimensions, est déterminée par n —1

couples de droites et d'espaces à n — 2 dimensions conjugués.
Soient,

E;, E,_e; 1) Es; QUE) Bjr}, Rue
ces n — 1 couples; on aura à résoudre le problème suivant :

Étant donné un espace à n — 1 dimensions, en trouver le
pôle, ou inversement étant donné un point E,. en trouver
l’espace polaire.

Premier cas : L'espace E,_., rencontre le couple E;, E, ,
(à étant compris entre 1 et n — 1) respectivement en un point E;
et en un espace à n — 5 dimensions E’_:. Soit HŸ., l’espace
à n — 2 dimensions qui unit ce point et cel espace.

H® , a pour correspondant une droite située dans cet espace.
En effet, au point E; il correspond un espace à n — 1 dimen-
sions E;_,, passant par E; et par E'_:. A l’espace E;;, il cor-
respond un espace à deux dimensions E; passant par E; et donc
par E. Il s'ensuit que l’espace H'_; ayant en commun avec sa
droite correspondante le point E’, la contient tout entière.
De plus, puisque cette droite passe par le pôle de E, ,, il en
est de même de H_,. Par suite, les n —1 espaces H, :
(i— 1 ...n—1), étant situés dans l’espace E, ,, se couperont
en un point qui sera le pôle de cet espace E,_..

Second cas : On se donne le point E,, dont il s’agit de déter-
miner l’espace polaire. En faisant un raisonnement analogue au
précédent, on verrait facilement que l’espace à n — 1 dimensions
qui unit les n — 1 droites d'intersection des espaces à deux et
à n — 1 dimensions, (E,E;) et (EE; .), est l’espace cherché.

Nous ne poursuivrons pas plus loin cette étude qui est
l'extension, pour les espaces supérieurs, des propriétés des
Systèmes de droites qui forment les complexes linéaires dans
l’espace à trois dimensions.

(10)

III. — Nous avons supposé jusqu’à présent que le diseri-
minant A de la forme d’involution était différent de zéro.
Supposons À —0; d'après un théorème dû à M. Le Parce (‘),
les mineurs du déterminant À sont proportionnels à la racine
carrée de la valeur de ce déterminant; ces mineurs sont donc
tous nuls dans le cas actuel.

Le système des n + 1 équations linéaires

de UN TEMN NE 0 1)
se réduit à un système de n — 1 équations. Ce système repré-
sente une droite, que nous appellerons droite singulière de la
corrélation.

Prenons sur cette droite, deux points Y et Z, de coordonnées
y, et z,. À un point X, il correspond toujours un espace à n —1
dimensions, parfaitement déterminé par les équations (A).
Muluplions ces équations respectivement par y et z1, Yo el
Z9» e. Yn_1 Et 3,2, et faisons la somme, nous obtenons,

? > y£i= 0
et
e Dr — 0;
on doit donc avoir :
p—0,
D'yE —0

Va

D’après ces considérations,

4° À un point quelconque X de l’espace, il correspond un
espace à n — 1 dimensions bien déterminé passant par la inuis
singulière de la corrélation.

ou bien :

el

(*) Sur les déterminants hémisymétriques d’ordre pair (Société RoyALE
DES SCIENCES DE Bouème, Mars 1880).

(11)

2 À tout point de la droite singulière, 1l correspond un
espace à n — 1 dimensions indéterminé. Cependant, d'après la
nature de la corrélation, cet espace indéterminé doit passer par
la droite singulière.

À un espace à n — 1 dimensions &, il correspond un point X
dont les coordonnées s'obliennent en résolvant les équations (A)
par rapport aux x.. Or, le déterminant des coefficients des
inconnues étant nul ainsi que ses mineurs, il s'ensuit qu'il
existe deux relations linéaires distinctes entre les coefficients
des inconnues. Les coefficients de ces relations linéaires sont,
par exemple, les coordonnées des deux points YetZ.

Pour que les équations (A) soient compatibles, il faut qu'entre
les seconds membres de ces équations il existe les deux mêmes
relations linéaires. On doit donc avoir, ou bien

p=0,
Dés 0

Der 0

Si p — 0, l’espace € est indéterminé et le point correspondant
est indéterminé sur la droite singulière.

Si la seconde condition est remplie, les équations (A) sont
résolubles par rapport aux x; en fonction de deux d’entre elles,
par exemple x, et x,.,, et l'on obtient des formules analogues à

ou bien

et

x À + Bx, + Cr;

le point X se trouve, donc, indéterminé sur un espace à deux
dimensions. Ce plan passe nécessairement par la droite singu-
lière et il est situé dans l’espace &.

En résumé, à un espace à n — 1 dimensions, passant par la
droite singulière, il correspond les points d’un espace à deux
dimensions passant par la droite singulière.

_ Un espace à n —1 dimensions qui ne passerait pas par la
droite singulière ne pourrait avoir de pôle.

D'un autre côté, si & est l’espace correspondant au point X,
tous les points du plan qui unit le point X à la droite singulière,

(12)

ont le même espace polaire, #. Remarquons encore que toutes
les droites qui rencontrent la droite singulière et tous les espaces
à deux dimensions passant par cette droite sont situés dans leurs
espaces correspondants. De plus, ces droites et ces plans sont les
seuls qui puissent jouir de cette propriété.

IV. — Supposons maintenant que le discriminant À, ainsi
que ses mineurs d'ordre n — k, k étant un nombre impair,
soient nuls. Dans ce cas (‘), les mineurs d'ordre n— k—1
sont nuls également. Les n + 1 équations Fm — 0 se réduisent,
donc, à n — k — 2 d’entre elles; ces équations représenteront
un espace à k + 2 dimensions, que nous appellerons espace
singulier de la corrélation. |

D'après le mode de raisonnement dont nous avons déjà fait
usage plus haut, il est facile de démontrer les propriétés suivantes:

1° À un point quelconque de l’espace, il correspond un
espace à n — 1 dimensions passant par l’espace singulier;

2° À un point du support de l’espace singulier, il correspond
un espace indéterminé passant par cet espace singulier ;

9 À un espace à n — 1 dimensions Æ passant par l’espace
singulier, il correspond une (k + 5)" infinité de pôles, situés
dans un espace à k + 3 dimensions, passant par l’espace sin-
gulier et situé dans l’espace & ;

4 Un espace à n — 1 dimensions ne passant pas par
l’espace singulier ne peut avoir de pôle.

D'un autre côté, si Æ est l’espace correspondant à un point X,
tous les points de l’espace à & + 2 dimensions qui unit le
point X à l’espace singulier, ont le même espace Æ pour corres-
pondant.

Tous les espaces à une, deux, …, £ + 2, k + 5, dimensions
qui rencontrent l’espace singulier respectivement en un, deux,
…, k +2, k + 5 points, sont situés dans leur espace corres-
pondant. De plus, ce sont les seuls espaces à ces nombres de
dimensions qui puissent jouir de cette propriété.

(") Nous avons établi ce résultat dans une Note Sur une proprièté des
déterminants symétriques gauches (Mém. Soc. Roy. p. Sc. DE Lièce, t. XVII).

le

(15)

D'autre part, les espaces à n — 1 dimensions passant par
l’espace singulier, E,;,,, forment une (n — k — 5)""* infinité
linéaire, et les espaces à k + 35 dimensions passant par E,,
forment également une (n — k — 5)"°° infinité linéaire. Nous
pouvons donc considérer les plans à n — 1 dimensions, et les
plans à À + 5 dimensions, passant par E,,., comme des points
et des plans à (n — X — 4) dimensions d'un espace à n—k—3
dimensions. Ces points et ces plans peuvent s'obtenir en coupant
les espaces E,,; et E,,, passant par E,,.,, par un espace à
n—k—3 dimensions ne rencontrant pas E,,.. Si donc, on
construit la corrélation polaire involutive non dégénérescente
dans cet espace à n — k£ — 3 dimensions, et si l’on joint tous
les éléments correspondants de cette corrélation à l’espace E,.;,
on obtiendra tous les éléments correspondants de la corrélation
dégénérescente de l’espace à n dimensions.

D’après ce qui précède, l'étude d'une corrélation polaire invo-
lutive, Æ fois dégénérescente (% étant impair) dans un espace
à un nombre impair, n, de dimensions, revient à l'étude d’une
corrélation polaire involutive non dégénérescente dans un espace
à n — k — 4 dimensions.

V. — Recherchons la forme qui, égalée à zéro, représente
une corrélation polaire involutive non dégénérescente, en pre-
nant comme polyèdre de référence un polyèdre dont les sommets
sont les pôles des faces.

Puisque n est impair, nous écrirons n — 2m — 1. Nous
supposerons que le sommet A, du polyèdre de néérence, qui à
pour coordonnées,

A Se AE UE SE
Lui = Gi Lu 0, …, Le, —0,
a pour espace correspondant la face «,, , déterminée par
Eh = Dre 0, .…. É2; 4 = Loi-19
E=0, Éip—=0, …, Bb, 0.

(14)
Nous aurons par conséquent les conditions :
Aa = Qu = Goo —= 0, Aix = do; — PXai-40
ais = dia ee = Uma = 0.
Le sommet A,;, qui a pour coordonnées
L—=0, L—0, Axis — Gris, Lx —0, …, æ,—0,
a pour correspondante la face «,,,
Ë — ONE ONE MED RE ET a DUNQUES = (|
nous aurons donc :
loin = dog = ee = Qy-ya nr = OÙ, Qoios 1 à = PO,
Gorpaaina — 0, Conan —=0.
Nous pouvons toujours supposer

; CEE

Cai-1 L9ÿ

D'après les conditions que nous obtiendrons, la forme d’invo-
lution pourra S’écrire :

ds;
== D : (TosYai-1 Ho a -aYoi) —0;

1 Xoj_1

c'est la forme canonique de la corrélation polaire involutive
dans un espace à un nombre impair de dimensions.

L’équation d’une corrélation k — 24° — 1 fois dégénérescente
s’obtiendra en prenant l’espace singulier sur le polyèdre de
référence; on trouvera facilement que sa forme canonique est

= > (CRUE TR Taj _1Yai) —= 0.

1 To; 1

(15)

VI. — Dans le cas particulier de n = 5, la forme générale

est
CIAGIUE — XL2Y1) + Qs(LiYs — X3ÿ4) Gb CACAUT (TE Xaÿ)

+ UEACEUE En PAIE) ce UEACEUR en LATE)

Que CEACEUR EE XyY5) = (>
la forme canonique est

= A(XiYe = X:Y;) —+ A X3 Ye == X,Y:) = 0.

L’équation du complexe des droites qui se correspondent est,
en coordonnées radiales de PLUCKER,

QoPie + QsDis + Que + sos + ua + Ass = 0;
sa forme canonique est
APye + AsPs; — 0.
Dans le cas de À — 0, c’est-à-dire si l’on a
dose — Usla + yes — 0,

toutes les droites du complexe, d’après ce que nous avons vu,
rencontrent la droite singulière. Cette droite aura pour coor-
données radiales les six quantilés &jo, 43, ..…., @31.

VII. — Supposons maintenant n pair; le déterminant A
. étant un déterminant symétrique gauche d'ordre impair, est nul
identiquement. Les n + 1 équations,

se réduisent à n. Leur ensemble représente un point (X), que
nous appellerons point singulier.

A un point de l’espace, il correspond un espace à n — 1
dimensions, bien déterminé et passant par (X).

(16)

Au point (X), il correspond un espace à n — 1 dimensions
indéterminé de la gerbe (X).

À un espace à n — 1 dimensions, il correspond les points
d’une droite passant par (X) et situé dans cet espace à n — 1
dimensions.

Un espace à n — 4 dimensions, qui ne passerait pas par le
point (X), ne pourrait avoir de pôle.

Un raisonnement analogue à celui que nous avons employé
plus haut, nous montrerait que l'étude d’une corrélation polaire
involutive, dans un espace à un nombre pair, n, de dimensions,
revient à l'étude d’une corrélation dans un espace à n —1
dimensions ne passant pas par le point singulier de la corré-
lation proposée. Nous pouvons prendre pour cet espace à n —1
dimensions, l’espace qui a pour coordonnées

Xi — 0, Xe —= 0, ….) Lo, —= 0, Long — Lony2e

L'étude de la corrélation définie par

n+1

FT ay — 29) 0

ih—1

revient, donc, à l'étude de la corrélation, définie par

fi = > CAAGAUR = LyY) — (0).

ik=1

I suit de là que la forme canonique de f'est, en posant n—m,

Î = > a Tor Yois — Loi_aYas)e

Observons encore que pour étudier les dégénérescences
d'une corrélation polaire involutive dans un espace à un nombre
pair de dimensions, il suffit de connaître les dégénérescences
d’une corrélation dans un espace à un nombre impair de dimen-
sions. De plus, une corrélation dégénérescente ou non dans un
espace à 2n dimensions, est la projection d’une corrélation
dégénérescente ou non dans un espace à 2n — 1 dimensions.

SUR

NE PROPRIÉTÉ DES DÉTEAMINANTS NIMÉTRQUEN AUCHES,

François DERUYTS,

SUR

UNE PROPRIÉTÉ DES DÉTERMINANTS SYMÉTRIQUES GAUCHES,

——— ms —

I. — Soit un déterminant symétrique gauche d'ordre pair,

0 do DR CN TRE
— yo 0 rs A NEVERS
— Us — 0 iS As D Cyan
i— &.
— yx — x — ze (9) .. yo
CR NA ET EE RU

d’après un théorème bien connu, ce déterminant est le carré
d’une expression f, qui est, visiblement, linéaire par rapport
à chacun des éléments a; du déterminant; nous pourrons
donc écrire

A = (axf, + 2),
fi et fa étant des expressions indépendantes de a...

Nous en déduisons :

D. = 2fiaf + (2) = 2f Va.

Si nous remarquons que les mineurs d'ordre 2n — 1 du
déterminant À sont égaux et de signes contraires, nous oblenons
le théorème suivant qui est dû à M. Le Parce (*) :

Les mineurs d'un déterminant symétrique gauche d'ordre pair

(*) Sur les déterminants hémisymétriques d’ordre pair (SociÉTÉ ROYALE
DES SCIENCES DE BoHËME, Mars 1880).

(4)

sont divisibles par la racine carrée de la valeur de ce déterminant.
Nous déduisons de là que si un déterminant symétrique gauche
d'ordre pair est nul, ses mineurs sont nuls.
Supposons maintenant que les mineurs d'ordre 2k soient tous
nuls; il s'ensuit, par exemple, que les déterminants symétriques
gauches d'ordre pair, .

0 UTC) dy5 ee. Ca 2x1 yort:
— Ayo 0 oz se 3,971 Arorri
— is os 0 e. Us 9x1 Ask ;
— on = oo — Usa 0 or_1.2r+:
= Qpours = ati = Ugo ce rot 0

sont nuls, à variant de O à 2{(n — k).

D’après le théorème précédent, tous les mineurs d'ordre 2k—1
de ces déterminants sont nuls. Nous avons donc les relations :

0 Ayo C5 ….. Œiok a or
= yo 0 UEE …. oo x ookri
= 5 = Az 0 ….. Osok ns Asok+i = 0,
— gi —Goora — Ugara + 0 ULTENRTAE

à variant de O à 2{n — k).

Il résulte de là que le déterminant multiple

0 Ua az . ion
—— dy 0 23 …. on
— TT Az 0 o…. Ason
= ions 7 oo — sx nr Tok—1.2n

est nul; en d’autres termes, les mineurs d'ordre 2% — 1
formés avec les 24 — 1 premières rangées du déterminant À
sont nuls. Or, nous pouvons faire en sorte que les mineurs

(5)

formés à l’aide du tableau rectangulaire composé de 2x — 1
rangées quelconques de A soient formés à l’aide des 24 — 1
premières rangées d'un déterminant composé des mêmes élé-
ments que À et qui en ait la même forme et la même valeur.
Il suffit pour cela d'effectuer sur À un nombre convenable de
transpositions de colonnes et de rangées.

Nous pouvons donc énoncer ce théorème :

Si les mineurs d'ordre 2k d'un déterminant symétrique gauche
d'ordre pair sont tous nuls, les mineurs d'ordre 2k — 1 sont nuls
également.

II. — Soit maintenant un déterminant symétrique gauche
d'ordre impair, 2n + 1. Il est nul identiquement. Supposons
que les mineurs d'ordre 2% sont nuls; nous en déduirons,
par exemple,

0 jo As 9x1 Ai orri
— y 0 oz Aa 9x1 An ok+i
— dy3 — do; 0 .. 5.2k_1 As 2k+; — ()
ETx 2
— ions — oo à .. () og _1 24:
— oi dar . = spi 0

i variant de O à 2{n — k) + 1.

Ces déterminants étant d'ordre pair, leurs mineurs sont nuls;
donc on a les relations :

0 Ge e.. Oior 1 iorri
—— je 0 .. Cook, loi 0
2
ia — ou « 0 ox _4.2x+i

à variant de O à 2{n — k) + 1; on peut encore écrire :

0 io Qu Ai on+1

— y 0 e. Coonrs ces (

— ox —— Ag,py Cyr 1on41

C6)

Si donc les mineurs d’ordre 2% sont nuls, les mineurs d'ordre
2k — 1 le sont également. Les résultats que nous avons obtenus
se résument en ce théorème :

Si les mineurs d'ordre 2k d’un déterminant symétrique gauche
quelconque sont nuls, les mineurs d'ordre 2k — 1 sont nuls
également.

Ce théorème est important pour la théorie de l'élimination
et pour la résolution des équations linéaires.

Juin 1889.

MÉMOIRE

SUR LA

THÉORIE DE L'INVOLUTION

ET DE

L'HOMOGRAPHIE UNICURSALE

PAR

François DERUYTS,

DOCTEUR EN SCIENCES PHYSIQUES ET MATHÉMATIQUES,
ASSISTANT À LA FACULTÉ DES SCIENCES DE LIÈGE,
MEMBRE DE LA SOCIÉTÉ ROYALE DES SCIENCES DE LIÈGE.

On sert utilement une science en cherchant
à la ramener à des principes généraux.

Le mémoire actuel a été couronné au concours universitaire

de l’année 1889-1890 ; la question à traiter était ainsi énoncée :

Exposer et étendre les recherches des géomètres sur la théorie

de l’involution et de l’homographie.

Le jury du concours avait proposé l'impression de ce mémoire

aux frais de l'État. M. le Ministre de l'Intérieur et de l'Instruction

_ publique a exprimé le regret de ne pouvoir, à cause de raisons
budgétaires, donner suite à cette proposition.

C'est dans ces conditions que la Société royale des Sciences de
Liège a bien voulu décider de publier dans ses Recueils le
mémoire, tel qu'il avait été présenté au jugement du jury. |

Que la Société royale des Sciences veuille bien agréer les plus

vifs remerciements de l’auteur !

Liège, le 21 octobre 1890.

INTRODUCTION.

L'objet de ce mémoire est l’étude, aussi complète que possible
au point de vue théorique, des involutions et des homographies
des ordres supérieurs.

La plus grande partie de notre travail est basée sur une repré-
sentation géométrique des involutions quelconques.

Les considérations qui nous ont conduit à cette manière de
procéder sont très simples, dans le cas de la correspondance
entre des couples d'éléments de supports rationnels; d'autre
part l’extension au cas général en est immédiate. C'est pourquoi
il nous a paru avantageux de consacrer le premier chapitre de
notre travail à l'étude de l’involution et de l’homographie entre
des couples d'éléments. Nous avons réservé, dans ce chapitre,
une large part à des applications que nous croyons nouvelles.
Nous aurions désiré y exposer, en même temps, des applications
déjà connues, entre autres quelques-unes des belles recherches
de Chasles; nous n'avons pu signaler ces recherches qu’en les
effleurant, en raison des limites que nous avons dù nous
imposer.

Le second chapitre comprend l'étude générale des involutions

d'ordre et de rang quelconques. En partant directement de la

(6)

définition, nous établissons une représentation géométrique dans
les hyperespaces, qui nous permet de retrouver d’une façon très
simple les beaux résultats obtenus par MM. Le Paige, Weyr et
Lerch. De plus, notre procédé conduit à un assez grand nombre
de propriétés nouvelles. Nous signalerons notamment : les
propriétés et les théorèmes concernant les groupes d'éléments
neutres d'espèce quelconque; la recherche des conditions pour
qu’un nombre quelconque d’involutions aient des groupes d’élé-
ments communs, en nombre fini ou infini; le cas échéant, le
nombre de ces groupes et leurs propriétés. Nous avons été
conduit également à quelques théorèmes nouveaux sur les invo-
lutions conjuguées.

Incidemment, nous avons indiqué une extension du principe
de correspondance de Chasles; nous pensons cette extension
nouvelle; du moins, nous ne l'avons pas rencontrée dans les
ouvrages que nous avons pu consulter.

Dans le troisième chapitre, nous exposons quelques applica-
tions de l’involution, ainsi que les constructions géométriques des
involutions cubiques données par M. Le Paige : nous avons
ajouté des remarques qui nous paraissent présenter quelque
intérêt.

Le quatrième chapitre est consacré à l'étude de l'homographie
d'ordre n et de rang n —1. Nous y rappelons les principaux
théorèmes dus à M. Le Paige, en y ajoutant quelques propriétés
nouvelles, notamment sur le groupement des éléments neutres et
sur le nombre des groupes communs à n homographies.

Nous indiquons un mode de représentation de ces homogra-
phies; jusqu'à présent, nous n'avons pu démontrer que ce pro-
cédé fût tout à fait général; néanmoins, par ses conséquences,
il nous a paru digne d’être pris en considération.

(ce)

Nous indiquons également une représentation géométrique de
l'homographie cubique, ainsi que diverses constructions qui s’y
rattachent. !

Comme application de cette théorie, nous montrons comment
on peut engendrer les courbes algébriques d'ordre quelconque,
ainsi que certaines surfaces; comme conséquences, nous dédui-
sons quelques propriétés des courbes et des surfaces cubiques
dues à M. Le Paige. Nous aurions voulu donner plus d'extension
à ces applications et, entre autres, exposer les belles recherches
de MM. Le Paige et Folie; pour les mêmes raisons que ci-dessus,
nous avons dû y renoncer.

Enfin dans le dernier chapitre, nous avons exposé quelques-
unes des propriétés principales de l'homographie d'ordre n et de
rang X. Ces propriétés semblaient tout à fait inconnues, sauf
pourtant les propriétés des éléments multiples qui avaient été
données par M. Le Paige. Nous avons généralisé les résultats
obtenus à ce sujet en recherchant le nombre des groupes d'élé-
ments multiples associés. |

Nous avons émis quelques considérations, qui ne semblent pas
dénuées d'importance, sur ce que l’on doit entendre par éléments
neutres d’une homographie quelconque.

Pour terminer, nous avons fait, d’une façon complète, l'étude
des groupes d'éléments communs à un nombre quelconque
d’homographies. Nous avons démontré les théorèmes qui s'y
rattachent dans des cas particuliers, en nous bornant à énoncer
les théorèmes généraux, dans le but de ne pas étendre outre
mesure ce travail.

Comme on pourra le remarquer, nous n'avons pas introduit
la notion du rapport anharmonique : nous avons pensé que cette

notion serait inutile pour notre étude, parce que dans les cas où

(18:)

elle se présente avec quelque importance elle peut être rem-
placée, même avec avantage, par la notion de l’homographie
ou de l’involution.

Quant au procédé de démonstration, nous n'avons employé ni
la méthode purement analytique, ni la méthode purement syn-
thétique; nous avons employé l’une ou l’autre, suivant qu'elle
semblait donner au raisonnement quelque simplicité ou quelque

élégance.

MÉMOIRE

SUR LA

THÉORIE DE L'INVOLUTION

ET DE

L'HOMOGRAPHIE UNICURSALE.

CHAPITRE LI.

Rappelons brièvement ce que l’on doit entendre par figure de
première espèce ou du premier rang.

Une figure de première espèce est un système simplement
infini d'éléments, tels que chacun d’entre eux est défini, sans
ambiguïté, par un paramètre ou par une fonction algébrique
entière d'un paramètre.

Comme exemples de semblables figures, nous pouvons citer :
les points ou les tangentes d’une courbe plane unicursale; les
points ou les tangentes, ou les plans osculateurs d’une courbe
gauche unicursale ; les points ou les espaces osculateurs d’une
courbe unicursale d’un espace linéaire à un nombre quelconque
de dimensions. Dans un autre ordre d'idées, nous pouvons
encore citer le système des courbes d’un faisceau, ou le système
_des surfaces d’un faisceau : dans ces systèmes, les courbes ou
les surfaces des faisceaux doivent être considérées comme des
éléments.

(10 )

Nous pouvons, par un nombre convenable de projections et de
sections, ramener les éléments d'une figure de première espèce
à être les éléments d'une autre figure de première espèce.

Ainsi, par exemple, nous pouvons ramener les courbes du
second ordre d'un faisceau à correspondre uniformément aux
points d'une droite.

Considérons, en effet, une droite arbitraire passant par l’un
des quatre points de base du faisceau : une conique quelconque
du système rencontre cette droite en un point qui correspond à
celte conique et qui, inversement, la définit.

Nous pouvons même amener les points d’une droite quel-
conque d du plan à correspondre uniformément aux coniques du
faisceau.

En effet, à toute conique du faisceau il correspond un point
d'une droite, passant par l’un des points de base du faisceau; la
droite qui unit ce point à un point fixe quelconque M, coupe la
droite d en un point qui correspond à la conique et qui, inver-
sement, la définit. Nous n'insisterons pas davantage sur ce sujet;
nous aurons, du reste, l’occasion d'y revenir ultérieurement.

1. DÉRINITION. — Si, entre les éléments de deux figures de
première espèce, il existe une corrélation telle qu'à un élément de
l'une des figures il corresponde, sans ambiguité, un élément
de l’autre figure et vice versa, les couples d'éléments homoloques
forment deux séries homographiques ou, plus simplement, une
homographie.

D’après cette définition (*), si

(Ale) 0 052) 262)

sont les paramètres homogènes de deux éléments appartenant

(°) Voir, par exemple, les Mélanges de Géométrie pure de M. de Jonquières,
p. 155.

(GA)

. respectivement à la première et à la seconde figure, et si ces
paramètres sont ceux de deux éléments homologues, il est clair
qu'ils seront reliés par l'égalité à zéro d’une fonction algébrique
du second degré et linéaire par rapport à chacun d'eux.

L’équation d’homographie sera représentée par une forme
bilinéaire binaire, égalée à zéro. Cette équation s’écrira, symbo-
liquement,

f= al}a® = 008 = +. — 0,

ou, sous forme développée,
= Ÿ ax 1:22; — 0,
i et k prenant les valeurs 1 et 2.

Si nous effectuons sur les variables des substitutions linéaires
simultanées, la forme f se transformera en une nouvelle forme
bilinéaire binaire; nous en déduisons que, par projections el
sections, des couples d’éléments homographiques se transforment
en d’autres couples homographiques.

Puisque l'équation f—0 contient trois coefficients indépen-
dants, une homographie est déterminée par trois couples d’élé-
ments homologues.

2. Si deux séries d'éléments homographiques sont amenées
à se trouver sur le même support, il peut arriver qu'à un élément
d’une série il corresponde un élément de l’autre série, coïineidant
avec le premier élément : il est clair que les paramètres de sem-
blables éléments correspondants sont proportionnels. Si nous
introduisons cette hypothèse dans l'équation d’homographie, ou
dans une quelconque de ses transformées par substitutions
linéaires, nous obtenons une équation du second degré. Done,
deux séries homographiques superposées possèdent deux groupes
composés d’éléments coïncidents.

Cette propriété permet de démontrer immédiatement une
foule de théorèmes importants; rappelons seulement les trois
théorèmes suivants, qui nous seront utiles :

Le lieu de l'intersection des rayons homologues de deux fais-

(12)

ceaux homographiques est une courbe du second degré, passant
par les centres des faisceaux.

Le lieu des jonctions des points homologues de deux ponctuelles
homographiques est une courbe de la seconde classe, tangente aux
supports des ponctuelles.

Le lieu des jonctions des points homologues de deux ponctuelles
homographiques de l’espace est le système des génératrices d’une
réglée du second ordre.

8. Soit X, et X,, un couple d'éléments homologues, respec-
tivement de la première et de la seconde série de deux séries
homographiques superposées.

A l'élément X,, considéré comme appartenant à la première
série, il correspond un élément X de la seconde série, qui est,
en général, différent de X;.

Cet élément X coïncide avec X,, si la forme d’'homo-
graphie est symétrique, c’est-à-dire si on a la condition

Aa — Uye

Dans ce cas, les deux séries sont en involution, et le système
doit être considéré comme formé de couples d’éléments déter-
minés sans ambiguilé, par un de ses éléments, quel que soit cet
élément.

L'équation d’involution s’exprimera par l'égalité à zéro d’une
forme bilinéaire binaire symétrique

L = Ado = babe = + = 0,
équation que nous écrirons sous forme explicite :
op = ax lird + afxlix 2 + XloX 2) + GX A2% 2 = 0.

Nous déduisons de la même façon que plus haut les consé-
quences suivantes : 1° une involution est déterminée par deux
de ses couples ; 2 une involution possède deux groupes composés
d’éléments coïncidents.

(15)

[l

1. Choisissons dans le plan un système de référence, et
considérons dans ce système le point dont les coordonnées
homogènes X,, X,, X; sont proportionnelles aux coefficients
do; 4, & de l’équation 9=— 0. Nous dirons que ce point est le
point principal de l'involution, dont l'équation est o — 0.

Si l’involution est décomposable, il existe entre les coordonnées
de son point principal la relation

de Data
d'où
M° M
FA un A oi Pa = À,

p étant un facteur de proportionnalité. Nous en déduisons ce
théorème :

Le lieu des points du plan, qui sont les poinis principaux
d’involutions décomposables, est une courbe du second degré.

Nous désignerons dans la suite sous le nom de courbe
normale du plan, la courbe du second degré dont les équations
sont dans le système de référence choisi :

M° Al
nn on » pl; = A.

Toutes les droites passant par le point principal d’une involu-
tion déterminée par 9—0, peuvent se représenter par l'équation

Ali — Us + K(A3%2 — @iXs) — 0,

k étant un paramètre variable. Ces droites rencontrent la courbe
normale en des couples de points, dont les paramètres (A1, 22)
sont les racines de l'équation .

dal + kaeM AD — (as + ka;)1X = 0.

Si nous désignons par

les racines de cette équation pour une valeur particulière de k,
nous aurons

En éliminant entre ces deux équations le paramètre k, nous
obtenons

do AD) SE a(Al 1À Do SF A1:A2,) + dM 22 — (>

Ainsi, les couples de points d’intersection avec la courbe
normale des rayons issus du point principal d'une involution,
sont les images des couples de celte involution.

D'après ce que nous avons vu ci-dessus (L, 3), une involution
possède deux couples dont les éléments coïncident. Ces couples
sont marqués sur la courbe normale par les points de contact
des tangentes issues du point principal de l'involution.

Réciproquement, ce procédé de représentation permet de
construire les couples d’une involution dont on se donne deux
couples d'éléments, représentés sur une conique par deux couples
de points X, YŸ; X,, Yi.

En effet, on sait que toute conique du plan peut être considérée
comme une courbe normale ; il s'ensuit que les deux droites de
jonction (XY) et (X,Ÿ,) se coupent en un point A, qui est le
point principal de l’involution. Tous les rayons issus de A mar-
quent sur la conique des couples de points, qui sont des couples
de l’involution cherchée.

Si les couples donnés étaient composés de points coïncidents,
le point principal A serait le pôle, par rapport à la courbe nor-
male, de la droite qui unit les deux points représentant les
couples.

(15)

Nous déduirons de là, immédiatement, que si une involution
a ses deux éléments unis imaginaires, tous ses autres couples sont
réels. |

2. Soient À et B les points principaux de deux involutions ;
la droite (AB) rencontre la courbe normale en deux points
formant un couple commun aux deux involutions. Il est, de
plus, visible qu'il n'en peut exister d'autre; nous pourrons ainsi
énoncer le théorème suivant :

Deux involuiions, placées sur un même support, ont un couple
d'éléments en commun.

3. Considérons une corde quelconque de la courbe normale,
passant par le point principal, À, d'une involution, définie par
l'équation

ep — 0.

Représentons par X, et X, les points d'appui de cette corde,
et soient (A1, . 12), (42, .22), les paramètres de ces points.
Puisque les trois points A, X,, X, sont en ligne droite, nous
avons les équations

#1, 0,

do = k ER = ka = 3
P4o 1 Xi, a 29,
Al, A2,

ed — k, = Re lo 6
A A2

pGo — k, + LR

les coefficients k,, k& étant convenablement choisis, et o étant un
facteur de proportionnalité. Si dans l'équation de l’involution
nous remplaçons les coefficients &, &, a par leurs valeurs
tirées des relations précédentes, nous obtenons

Qi k(Alixl, + A:X 2) (M TD AE A1:% 22)

+ Hal, + ar) (12, + 272.) — 0.

Si nous remarquons qu'il existe une infinité de cordes qui

(16)

passent par le point A, nous pourrons énoncer le théorème
suivant :

L’équation d’une involution quelconque peut être considérée,
d'une infinité de manières, comme étant la somme des équations
de deux involutions décomposables.

4. Dualistiquement, nous pouvons considérer les coefficients
de l'équation de toute involution comme étant les paramètres
d’une droite, que nous appellerons droîte polaire de l'nvolution.
On peut démontrer, de la même façon que ci-dessus, que les
droites polaires des involutions décomposables enveloppent une
courbe de la seconde classe, et que les paramètres des points de
contact des couples de tangentes menées à cette courbe des points
de la droite polaire d’une involution quelconque, vérifient l’équa-
tion de cette involution.

Les points unis de l’involution seront les points de rencontre
de sa droite polaire et de la courbe de la seconde classe.

Dans un méme système de référence, le point principal et la
droite polaire d’une involution sont réciproquement polaires par
rapport à la courbe normale.

5. Nous pouvons représenter également des couples en invo-
lution sur une courbe normale d’un espace quelconque (*).
Pour le cas de l’espace à trois dimensions, il suffit de faire usage
de la propriété suivante :

Les plans d'un faisceau dont l'axe rencontre une cubique
gauche, marquent sur cette courbe des couples de points formant
une involution.

Autrement dit : les bisécantes d’une cubique gauche, qui s’ap-
puient sur une droite fixe rencontrant cette courbe, marquent
sur celle-ci des couples de points formant une involution.

(*) Nous appelons courbe normale d’un espace à n dimensions, la courbe
unicursale de cet espace qui est d'ordre n, c’est-à-dire la courbe rationnelle
qui est rencontrée par un espace linéaire quelconque à n — 1 dimensions
en ñn points, distincts ou coïncidents.

(A7)

Nous appellerons la droite fixe, l’axe de l’involution.

Pour démontrer la proposition énoncée, il suffit d'indiquer les
constructions à effectuer pour déterminer l’axe d’une involution,
dont on se donne deux couples, représentés par deux couples
de points d'une cubique gauche C; : soient A, A'; B, B’ ces
deux couples.

Prenons un point M de C; et menons de ce point la transver-
sale d aux deux droites (AA') et (BB'). La droite d est l'axe
de l’involution. ;

Pour obtenir le point correspondant d'un point X donné, il
suffit de rechercher le troisième point d’intersection Y du plan
(dX) avec la cubique gauche.

Remarquons que ces constructions ont encore lieu quand les
deux couples donnés sont composés de points imaginaires con-
jugués, puisque, dans ce cas, les droites (AA”) et (BB) sont
toujours réelles.

Le point M est quelconque; il existe par conséquent une
infinité d'axes pour une même involution. Ces axes forment le
système des génératrices d’une surface réglée du second ordre.
En effet, les axes que l’on peut mener par les différents points
de C; s'appuient à la fois sur trois droites, qui unissent trois
couples quelconques A, A’; B, B'; C, C' de l'involution; ces
axes sont donc les génératrices de la surface réglée du second
ordre, qui a ces trois droites (AA), (BB’), (CC) pour directrices.
Nous voyons, de plus, que les droites qui unissent les couples
de l'involution sont les directrices de la surface réglée. Nous
pourrons donc énoncer les deux théorèmes suivants :

Les plans tangents d’une surface du second ordre contenant
une cubique gauche, menés le long d’une générairice, marquent
sur celte courbe des couples en involution.

Les droites qui unissent les points de couples en involution,
représentés Sur une cubique gauche, sont les directrices d’une
surface réglée du second ordre.

6. Deux droites x et y, rencontrant C; en X et Y, définissent
les axes de deux involutions. On peut construire facilement la
2

(18)

«

droite qui unit le couple commun à ces deux involutions.
En effet, soient d, et d, les droites qui unissent deux couples
quelconques de l’involution (x); f, et f, les droites qui unissent
deux couples de l’involution (y). Du point X, menons la trans-
versale z, commune aux deux droites f, et f, et du point Y,
menons la transversale z,, commune aux deux droites d, et d,.
Les plans (xz) et (yz,) se coupent en une droite d, qui unit le
couple de points communs aux deux involutions (x) et (y).

7. En général, nous pouvons construire des couples en invo-
lution sur une courbe normale de l’espace à n dimensions, en
faisant usage de la représentation suivante :

Les espaces à n — 1 dimensions, qui passent par un espace
fixe à n — 2 dimensions, rencontrant une courbe normale Cn
de l’espace à n dimensions en n — 2 points, marquent sur cette
courbe des couples de points formant une involution. Nous appel-
lerons l’espace fixe, l’espace axial de l’involution.

Étant donnés deux couples d’une involution, AA’, BB’, nous
pouvons, d’une n — 2° infinité de manières, construire son
espace axial. En effet, n — 2 points arbitraires de la courbe Cn,
joints aux deux couples de points AA’ et BB’, donnent lieu à
deux espaces à n—1 dimensions, qui se coupent suivant l'espace
axial de l’involution. L'espace à n — 1 dimensions, qui unit un
point quelconque X à l’espace axial, coupe la courbe en un

n°" point Ÿ, qui est le correspondant du point X.

III

1. LEMME. — Soient deux up SOUS J et l', dont les équa-
tions symboliques sont

ads = 0, babe = 0.

À un élément X,, de paramètre (xl,, xl), il correspond
dans I un élément X,, dont le paramètre (x2,, x2) est relié
au paramètre de X, par la condition

x, axl, + ax,

Æ
DD dxl, + axl:

(19)

À cet élément X, il correspond un élément X; dans l'; si
(x51, x59) est le paramètre de cet élément, on a

NE b,x9, + b:x2
Bee 0 De CD
ou bien
a a,(abs — acb2) + xla(a2h, — be)
13 NT %L(a100 — &b;) + X1a(@2b5 — bi) :

En développant, nous obtenons

r1,251(@05 — abs) + X 1205 1( Gao — dib,)

+ x1,x3 (ab, TR Gob:) + xl,x3(ab, TE 02) TT 0.

Entre les éléments X, et X;, il existe une correspondance que
nous appellerons résuliante des deux involutions I et F. En
interprétant l'équation de cette résultante, nous pourrons énoncer
le théorème suivant : |

La résuliante de deux involutions est une homographie (*).

La résultante de deux involutions est une involution quand
les involutions composantes satisfont à la condition

&Do DE 7 2ab, 3= &oboa = 0.

Cette condition est remplie, quand les points principaux des
deux involutions sont réciproquement polaires par rapport à
la courbe normale du plan où elles sont représentées.

Si, dans l'équation de la résultante de deux involutions, on
suppose

on obtient

(acbi — &ibo)xi + (aob2 — Ads) Lite + (axbe — ab) a? 10}

() M. Le Paige, dans un travail auquel il a bien voulu nous associer,
prend ce théorème pour définition des séries homographiques [Sur les théo-
remes fondamentaux de la géométrie projective (BuLL. DE L'ACAD. ROY. DE
BeLc., février 1883)].

(20 )

D'après cette équation,

L'homographie résultante de deux involutions a pour éléments
unis les deux éléments du couple commun aux deux involutions
composantes.

2. On pourrait démontrer analytiquement que toute homo-
graphie peut être considérée comme la résultante de deux invo-
lutions. Nous nous bernerons à établir, ce qui, du reste, revient
au même, qu'étant donnés trois couples d'une homographie
nous pouvons construire tous ses couples, en la construisant
comme la résultante de deux involutions.

Soient AA’, BB’, CC' les couples donnés; nous pouvons tou-
jours supposer qu’ils sont des couples de points d’une conique
C3; nous conviendrons que A, B, C sont trois éléments d’une
série et que À’, B’, C' sont les éléments correspondants de l’autre
série. Représentons par d et d’ les droites qui unissent un point
fixe quelconque M de la courbe aux points A et A’. Les droites
qui joignent les points M’ de la courbe aux points B et B’
coupent les droites d et d’ en deux séries de points Æ et k'; ces
deux séries sont homographiques; donc (E, 2), les jonclions (kk')
enveloppent une courbe de la seconde classe, o,. Le point M des
deux ponctuelles d et d' se correspond; donc la courbe ©, se
décompose en deux faisceaux de rayons; le centre de l’un de ces
faisceaux est M, le centre du second sera le point P d'intersec-
tion des droites (AB') et (A'B). Soit, de même, P' le point de
rencontre des droites (AC) et (A'C); la droite (PP”) rencontre
les deux droites (AM) et (A'M) en deux points Q et Q’. Ces
deux points sont les points principaux des deux involutions dont
l’'homographie cherchée est la résultante. Pour obtenir le point
correspondant d’un point D appartenant, par exemple, à la série
(ABC), il faut chercher l'intersection M” de la droite (QD)
avec C,; la droite (M”Q') rencontre C au point D’, qui est le
point cherché. La droite (QQ”) coupe la courbe G, en deux
points, qui sont les éléments unis de l’homographie. Il résulte
de là que, pour construire une homozgraphie, connaissant ses

(21)

éléments unis et un couple AA’, il suffit de prendre, pour les
points Q et Q', l'intersection avec la droite des éléments dou-
bles des deux droites MA, MA”, M étant un point quelconque
de C.

Puisque le point M est quelconque dans les deux problèmes
que nous venons de résoudre, nous pouvons énoncer le théo-
rème suivant :

Une homographie quelconque peut être considérée comme la
résultante d’une infinité de couples d’involutions : tous ces couples
d’involutions ont en commun un même groupe, qui est le groupe
des éléments unis de lhomographie.

3. D'après ce qui précède, si l'on donne trois couples
d'une homographie H, on peut déterminer une infinité de cou-
ples de points Q, ©, situés sur une droite d, et qui sont les
points principaux des couples d’involutions dont la résultante est
l’'homographie H. Ces couples Q, Q' marquent visiblement sur
la droite d deux ponctuelles homographiques; les éléments unis
de ces ponctuelles sont l'intersection de la conique-support et de
la droite d. Cette remarque nous conduit à la construction, sur
une droite d, d’une homographie dont on connait un couple QQ'
de points correspondants et le couple des éléments unis : nous
supposerons ce couple formé de deux points imaginaires conju-
gués, fournis par l'intersection imaginaire d’une conique C,

avec d. Les droites qui unissent un point quelconque M de C,

aux deux points Q et Q’ marquent sur C, deux points A et A’.
Pour avoir le point correspondant d'un point Q, de dà, il suffit de
mener Q,A, qui rencontre C, en un point M’: la droite (M'A)
coupe la droite d au point cherché Q}:.

4. Soient deux homographies H et H”, placées sur un même
support; représentons par À,, À;, ou B,, B’, les couples de ces
homographies, selon qu'ils appartiennent à H ou à H'. A un
élément A,, il correspond, dans H, un élément A!, et à cet élé-
ment A’, considéré comme un élément de la série (B;), il corres-
pond, dans H', un élément B,. Inversement, à un élément B, il

(22)

correspond un élément À;; les couples A;B; forment donc les
couples d’une homographie H”. Cette homographie H” possède
deux groupes, composés d'éléments coïncidents; nous retrouvons
ainsi ce théorème (*) :

Deux séries homographiques superposées possèdent deux cou-
ples d’éléments communs.

Les remarques qui nous ont conduit à la démonstration de
ce théorème nous fournissent en même temps le moyen de

* construire les deux couples communs à deux homographies
H et H'.

Nous supposons que le support commun est une conique C2,

et que les deux couples de points P, P'; Q, Q’ sont les points
principaux de deux couples d’involutions dont les résultantes
sont H et H'.
Prenons trois points arbitraires, À,, A, À;, de la courbe C.
Les droites
PA;, PA;, PA;; QA;, QA, QA:

coupent la conique C, respectivement en

M,, M, M; ; M;, % Mi.
Les droites

(P°M), P'ML), (P'M:); (Q'ME), (Q'M2), (Q'M:)
coupent C,, respectivement aux points
B;, B;, B:; B,, 2 B;:.

Construisons la droite des éléments doubles de l’homographie
caractérisée par les trois couples

B,B;; BB; B;B;;
cette droite rencontre C, en deux points K et K.

(‘) Voir, par exemple, le Traité de géométrie projective de M. Cremona.

tes.

(25 )

Si M et M’ sont les points d'intersection de la courbe C, avec
les droites (P'K) et (P'K”), les deux droites (PM), (PM) cou-
pent C en deux points K et K”. Les deux couples de points KK,
et K’K; sont les deux couples d'éléments communs aux deux
homographies H et H”.

5. En interprétant les résultats précédemment établis (E, 5),
nous obtenons la propriété suivante :

Soient deux droites x et y rencontrant une cubique gauche en
deux points X et Y; les plans (Mx) et (My), menés par un point
quelconque M de la cubique, rencontrent cette courbe en des couples
de points X,;, Y;, formant une homographie.

Étant donnés trois couples, X,, Yi; X2, Yo; X3, Ÿs, d’une
homographie, il est possible de déterminer d’une double infinité
de manières les droïles x et y, qui la caractérisent.

Soient, en effet, trois points X, Y, M de la cubique gauche, le
troisième, M, étant variable; appelons d; et d, les droites (MX;)
et (MY,). Les couples de plans

(XX2E), (YYE),

& étant un point quelconque de la cubique, coupent les droites
d, et d en deux séries homographiques quand le point Æ par-
court la courbe.

D’après un théorème que nous avons rappelé plus haut (I, 2),
les jonctions (D,D.) enveloppent une courbe de la seconde
classe. Or, le point M = (d,, d:) se correspond; la courbe

se décompose donc en deux faisceaux de rayons. Le centre

de l’un de ces faisceaux est M; appelons O, le centre du
second.

Si nous remplaçons dans ce qui précède le groupe X2Y, par
le groupe X;,Y;, nous obtenons de la même façon un point O:.
La droite (0:0;) coupe d, et d, en A et B. Les deux droites

x —(AX), y=—=(BY)

(24)

sont les axes des deux involutions dont la résultante contient les

trois groupes
(XV), (X2Y2), (X:Y;).

Si nous projetons du point X les couples de l’involution
définie par (y), nous obtenons une droite (XC); le plan (XAC)
rencontre la cubique suivant une bisécante, qui est la droite de
jonction des éléments doubles de l'homographie : cela résulte
de ce que nous avons vu précédemment.

G. Tnéorème. — Étant donnés trois groupes de trois points
siluës sur une cubique gauche,

Xi, Vas Zi5 Xos Vos Los Xss Vs Lis,

il est toujours possible de trouver un système de trois droites
x, y, 2, rencontrant la cubique respectivement en X, Y, Z, tel
que les plans indiqués dans une même ligne horizontale du tableau

(Xi), (yY:), (23);
(xX2), (YYe), (222);
(&X:), (yY:), (ZZ:)

coupent la cubique en un même point.

Supposons la question résolue, et appelons &;, Æ,, #, les
trois points d’intersection auxquels donnent lieu les plans des
trois horizontales du tableau. Les droites x, y représentent les
axes de deux involutions I, et LD, qui ont respectivement les
couples

D’après ce que nous venons de voir, les trois couples
(Xi, Y;); (X>, Y2); (X3: Y;)

appartiennent à une homographie ; ces trois couples nous per-
mettent de construire cette homographie. Soient D,, D,, les deux
éléments doubles de cette homographie.

= di)

(25)

mar

Appelons f; l’involution dont l’axe est la droite z. Les deux
involutions 1, et 1; ont un couple commun D;, D,; ce couple est
le couple des éléments doubles de l’homographie qui possède

les couples
(X Z;); (Ko 2); (X5, Zs).

De même, L, et I, ont en commun un groupe D;, D;, qui est
le couple des éléments doubles de l’homographie possédant les

couples
(KE, Zi); (Yo 29) ; (Y;, Z:).

Par ce qui précède, nous pouvons construire les couples
(Di; De); (Ds; Di); (Ds, Di).

Pour déterminer les points x, y, z, il suffira de prendre trois
points arbitraires X, Y, Z sur la cubique et de mener de ces
points les transversales respectivement aux trois couples de

droites
(D,D:), (D;D,;); (D,D;), (D;D;); (D:D;), (D;D;).

Nous avons vu que si le point X varie sur la courbe, le lieu
de la droite x est le système des génératrices d’une surface
réglée du second ordre; la directrice de cette surface, qui passe
par X,, par exemple, rencontre la cubique au point &,; le
point #, est donc indépendant de la position du point X. En
conséquence, on trouve, pour les trois droites x, y, z, un sys-
tème triplement infini de déterminations; toutefois, les points
y, do, >; seront déterminés d’une façon unique.

Le théorème que nous venons de démontrer nous sera d'une
grande utilité dans la suite.

‘. On peut encore construire des couples homographiques
sur une courbe normale, Cn, de l’espace à n dimensions, en
appliquant le théorème suivant (*) :

Soient deux espaces à n —2 dimensions, E,_, et E,_,, rencon-

(°) Nous représentons, en général, par E; un espace linéaire à k dimen-
sions.

(26)

trant une courbe normale C,, de l’espace à n dimensions, en
n — 2 points. Les deux espaces à n — 1 dimensions, déter-
minés par les deux espaces E,_, et E} . et un point M de C,,
coupent cette courbe en des couples de points X; et Y;, formant
deux séries homographiques.

Ce théorème est une conséquence immédiate de la représen-
tation des couples en involution, sur une courbe normale de
l'espace à n dimensions. Nous ne croyons pas nécessaire d’indi-
quer les constructions à effectuer pour construire une homo-
graphie dont on connait trois couples ; elles sont identiques à
celles que nous avons indiquées plus haut pour les cas de n— 2
et n — 9.

IV

1. Le principe de la correspondance entre les éléments de
couples en nombre infini a été généralisé par Chasles de la
facon suivante :

Si, entre deux figures de première espèce, il exiS$te une relation,
telle qu’à un élément quelconque de la premiere figure il corres-
ponde m éléments de la seconde, et qu’à un élément quelconque
de la seconde figure il corresponde n éléments de la premiere, on
dit que ces figures sont reliées par une correspondance (m.n).
Nous supposons, bien entendu, que, quel que soit l'élément d’un
groupe d'une figure, il lui correspond toujours le même groupe
d'éléments de l'autre figure.

D’après la définition, si x et y sont les paramètres non homo-
gènes de deux éléments correspondants, il existera entre eux
une relation algébrique entière f(x, y) —0, du degré n en x et
du degré m en y.

Il peut arriver, si les deux figures sont superposées, qu'à un
élément de l’une des figures il corresponde un groupe de l’autre,
tel qu’un de ses éléments coïncide avec le premier : ces éléments
sont les coëncidences de la correspondance; si nous supposons,
dans l'équation f(x, y) = 0, x = y, nous obtenons une équation

De ne D ent ns ie à ds

ee:

(27)

du degré m+n, à une inconnue. Nous pourrons donc énoncer
ce théorème, connu sous le nom de principe de correspondance
de Chasles :

Une correspondance (m.n), placée sur un support unicursal,
possède (m + n) coëncidences (*).

Le degré d'une équation reste le même quand on effectue
sur ses variables une ou plusieurs transformations linéaires ;
par conséquent, |

Une transformation projective transforme une correspondance
(m.n) en une autre correspondance (m.n).

2. Le principe de correspondance a servi de point de départ
à Chasles pour indiquer la manière de construire des courbes
d'ordre quelconque à l’aide de faisceaux de courbes d'ordres
moins élevés.

Voici le théorème fondamental sur lequel repose le procédé
donné par Chasles :

Le lieu de l’intersection des courbes homologues de deux fais-
ceaux homographiques de courbes d’ordre m et d’ordre n est une
courbe d’ordre m + n.

On peut dire que deux faisceaux de courbes sont homo-
graphiques quand, à une courbe de l’un des faisceaux, il ne
correspond qu'une courbe de l’autre faisceau, et réciproquement.

Cela posé, une droite quelconque rencontre les courbes des
deux faisceaux en deux séries de points reliés par une corres-
pondance (m .n). Cette correspondance possède (m -+ n) coïnei-
dences, qui sont les intersections du lieu cherché avec la droite.
Comme cette droite est arbitraire, le lieu est d'ordre (m + n). II
est, de plus, visible que le lieu passe par les points de base des
deux faisceaux (**).

On pourrait énoncer de même le théorème corrélatif, qui
servirait à la construction des courbes de classe quelconque.

(") Voir, à ce sujet, les Principes d’une théorie des systèmes symétriques
d'éléments, par Em. Weyr (Mém. pe La Soc. pes sc. DE BoRDEAUx, t. X).
(°‘) Mélanges de géométrie pure de M. de Jonquières, p. 174.

( 28 )

Voici l'extension de ce théorème pour la géométrie de
l'espace :

Le lieu de l'intersection des surfaces homologues appartenant à
deux faisceaux homographiques de surfaces d'ordre m et d'ordre n,
est une surface d’ordre m + n, passant par les éléments de base
des deux faisceaux.

La démonstration de ce théorème est identique à celle que
nous venons de donner.

8. La difficulté, dans ce mode de génération des courbes et
des surfaces, consiste à établir géométriquement la correspon-
dance homographique entre les courbes et les surfaces des
faisceaux.

Voici une manière d'établir cette correspondance dans le
plan :

1° Soient deux droîtes fixes d,, do, deux points fixes O, et O
el un faisceau de rayons de centre O. Tout rayon d de ce
faisceau coupe les droites d, et do en D, et D,; les droites
(0,D,), (0:D2) se rencontrent en un point M, dont le lieu est
une conique.

Ce procédé a été donné par Braikenridge et Mac, Laurin,
pour la génération des courbes du second ordre.

La conique passe par les points O,, O, (did,) et les points
de rencontre de (0,0) et d et de (020) et d, : cette remarque
suffit pour montrer que par le procédé actuel on peut construire
une conique dont on connait cinq points.

90 Soient deux droites fixes d,, do, deux points fixes O,, O»
et une courbe de la classe m, oc. Toute tangente d de cette courbe
rencontre les deux droites d,, d, en des points D, et D, ; l’inter-
section des jonctions (O,D;), (02D3) est un point M, dont le lieu
est une courbe d'ordre 2m, quand la droite d enveloppe la
courbe oc.

En effet, soit O,D, un rayon du faisceau O, ; il coupe d, en D, :
par ce point D,, on peut mener m tangentes à la courbe o,,. Ces
m langentes rencontrent d, en m points D, et donnent done lieu
à m rayons O,D,. Ainsi, à un rayon O,D, il correspond 2» rayons

(29 )

O,D, ; de même, à un rayon O,D, il correspond »# rayons O,D,.
Si nous coupons les rayons des faisceaux O, et O, par une trans-
versale quelconque, nous obtenons deux séries de points formant
une correspondance (m.n). D'après le principe de Chasles,
celte correspondance possède 2m coïncidences, qui sont les points
de rencontre de la transversale avec le lieu cherché. Ce lieu est,
par conséquent, une courbe d'ordre 2m, C.

Les points O,, O, et (did,) sont des points m“*° de cette
courbe; il suffit, pour le faire voir, de remarquer que par chacun
des points de rencontre de (040) avec d, ou d:, on peut mener
mn tangentes de o,, et qu'à chacune de ces tangentes il corres-
pond le même point O, ou O, de la courbe C.,. Il en est de
même pour le point (did).

Les m tangentes, menées à o, par le point O4 ou O,, ren-
contrent d, ou d, en m points qui appartiennent à la courbe.

Il est visible que les # tangentes à la courbe C,, aux points
m"" O, et O,, sont les droites (0,4), (Ok), …, (O44,) et
(O,k:), (Ok), …, (Oak) ; les points k,, ka, …, 4, et ki,k, ke,
sont respectivement les points de rencontre avec d, et d;, des
m tangentes à &,, passant par les points d’intersection de (0,0),
respectivement avec dy et do.

Si la courbe co, possède «, tangentes multiples d'ordre p4,
a) tangentes multiples d'ordre ÿ:, …, «, tangentes multiples
d'ordre p,, la courbe C.,, possède, outre ses trois points m“"°
& points pi", & points pa“, …, a, Points pK.

Si les droites dy, ds, (0302) étaient des tangentes multiples
de , d'ordres respectifs 6,, Bo, 63, la courbe C,, se décompo-
serait en les droites multiples }(did2)Oif, {(dide)O2} et (010;),
d'ordres de multiplicité respectifs G,, B, f;, et en une courbe
de l'ordre 2m — Ê, — 6, — G;, possédant en O,, O, et (dde)
des points multiples d'ordres m — B, — B;, m — P, — G;,
m— 6, — be.

Nous pourrons, en résumé, énoncer le théorème suivant :

Si un triangle se déforme de telle façon que deux de ses côlés
passent par deux poinis fixes, tandis que le troisième côté reste

tangent à une courbe de la classe m et que les sommets adjacents

2

(50)

glissent sur deux droites fixes, le troisième sommet décrit une
courbe d’ordre 2m.
On pourrait énoncer de même le théorème corrélatif.

4. En particulier, nous pouvons nous proposer de construire
une courbe du quatrième ordre, possédant trois points doubles
donnés O,, 09,0; et passant par cinq points donnés À, B, C, D, E:
c'est la courbe rationnelle du quatrième ordre la plus générale.
Prenons pour points fixes les points O, et O, et pour droites
fixes les droites (0;A) et (0:B). Les jonctions des points C, D,
E à O, et O, déterminent respectivement, par leur intersection
avec (O;A) et (0,B), des points C;, D,, E; et Co, Do, Eo.

Construisons la courbe de la seconde classe, tangente aux cinq

droites
(0,B), (0,A), (CC), (D,De), (EE);

les tangentes de cette courbe rencontrent (0;A) et (0;:B) en des
points D,, D, ; les droites qui unissent ces points respectivement
à O, et O, se coupent en un point M, dont le lieu est la courbe
cherchée.

5. Proposons-nous encore de construire une courbe ration-
nelle du troisième ordre, dont on donne le point double O;, et
passant par six points O;, O, À, B, C, D.

Prenons pour points fixes les points O, et O,, et pour droites
fixes les droites (0;A) et (0:B).

Les droites (0,C), (0,D) et (0,0), (0,D) rencontrent respec-
tivement (0;A) et (0;B) en C;, D, et GC, D,. Construisons la
courbe dela seconde classe, tangente aux cinq droites

(0,B), (024), (0:02), (GC>), (DiD:),

et achevons les constructions que nous avons indiquées plus haut ;
nous obtiendrons une couche du quatrième ordre, qui se décom-
pose en la droite 0,0, et en la cubique cherchée.

Nous pourrons ainsi énoncer les théorèmes suivants :

Toute courbe rationnelle du quatrième ordre peut être engendrée
par le sommet d’un triangle mobile, dont les deux côtés adjacents

(2570)

passent par deux points fixes, tandis que les deux autres som-
mels glissent sur deux droites fixes et que le côté opposé reste
tangent à une couche de la seconde classe.

Toute courbe rationnelle du troisième degré peut être engendrée
par le sommet d’un triangle mobile, dont les deux autres sommets
glissent sur deux droites fixes, tandis que les côtés adjacents
passent par deux points fixes dont la jonction ainsi que le troi-
sième côté du triangle mobile enveloppent une même courbe de
la seconde classe.

6. Soient, dans l'espace, un cône du degré n, C,, et deux
couples de droites fixes, dy, d, et ds, d;. Les deux surfaces
réglées du second ordre, engendrées par les droites qui s'appuient
sur ces couples de droites fixes et sur un rayon # quelconque
du cône, se coupent en une cubique gauche. Si le rayon » décrit
le cône, la cubique gauche correspondante décrira une surface
dont nous nous proposons de rechercher l'ordre.

Remarquons qu'un point M de l’espace appartiendra à cette
surface quand les deux transversales m9, M:,, menées de ce
point aux deux couples de droites d,, d, et ds, d;, rencontrent le
cône C, en deux séries de x points, telles qu’au moins un point
de la première série soit situé avec un des points de la seconde
série sur un rayon du cône. |

Cela posé, la transversale menée d’un point M d’une droite
fixe quelconque aux deux droites d, et d, rencontre le cône C,
en n points. Les n génératrices du cône passant par ces points,
jointes aux deux droites fixes d3, dx, peuvent être considérées
comme les directrices de x surfaces réglées du second ordre.
Ces surfaces rencontrent la droite d en n couples de points, et
donc en 2» points M’ : (M,, M;, … M;,). Si un de ces points M’
coïncidait avec M, ce serait un point de la surface.

A un point M, il correspond 2n points M', et par symétrie
à un point M' il correspond 2x points M. Entre les points M et
M, il existe la correspondance (2n . 2n), qui possède 4n coïnci-
dences : ces coïncidences sont les points de la surface situés sur
la droite d. Comme la droite d est quelconque, nous en dédui-

(32)

sons que la surface est de l’ordre 4n, $,,; si nous observons que
le cône fait partie du lieu cherché, S,, se décompose en une
surface d'ordre 5x, S;,, et en le cône Cn. De plus, la surface S.,
se décompose en une surface cubique n“*.

En effet, si d est une droite quelconque de l’espace, les plans
tangents communs aux deux surfaces réglées du second ordre,
qui ont pour directrices d;, dé, d et d;, d,, d, constituent une
développable de la troisième classe, puisque ces deux surfaces
ont en commun les plans tangents le long de la directrice
commune d.

Par le sommet du cône C,, nous pouvons mener trois plans
osculateurs &, , 4; de cette développable : chacun de ces plans
osculateurs, &, par exemple, coupe le cône suivant n généra-
trices ; les cubiques gauches correspondantes rencontrent évidem-
ment la droite d en n points coïncidents, puisque ces points sont
l'intersection de d avec «. *

Nous pourrons, en conséquence, énoncer le théorème suivant :

Si un triangle se déforme de telle facon que deux de ses côtés
s’appuient sur deux couples de droites fixes, tandis que le troi-
sième côté décrit un cône d’ordre quelconque mais de centre fixe,
le sommet opposé décrira une même surface cubique multiple.
L'ordre de multiplicité de cette surface est précisément égal à
l’ordre du cône choisi.

Il est évident que la surface cubique possède comme généra-
trices rectilignes les droites d,, do, d;, d;, ainsi que leurs deux
transversales communes ds, dé.

‘7. Désormais, nous supposerons que le cône générateur est
du premier degré : les génératrices de ce cône seront ainsi les
rayons d’un faisceau plan.

Proposons-nous de construire, en nous servant du théorème
que nous venons de démontrer, la surface cubique déterminée
par quatre droites d;, d,, d;, d, et trois points À, ,'A,, À; donnés :
c'est la surface la plus générale de l'espèce.

Des points A;, A,, A:, menons les transversales d;, d,; do, d,;
d3, d; aux couples de droites d,, d, et d3, d,. Les trois plans

(55 )

(d,d;), (d:d:), (dsd:) se coupent en un point O : si nous prenons
ce point O comme centre d’un faisceau plan de rayons et si
nous achevons les constructions précédemment indiquées, nous
obtenons la surface cubique demandée.

Observons que cette surface passera nécessairement par le
point d’intersection des jonctions des traces des couples de
droites d,, d,; d;, d, sur le plan du faisceau choisi, et que cette
surface est indépendante du choix du plan du faisceau. Si nous
considérons donc tous les plans qui passent par O, le lieu de
l'intersection des jonctions des traces des deux couples de droites
di, d et d;, d; sur ces plans est la surface cubique cherchée.
Le point O appartient à la surface : nous pourrons, en faisant
usage de cette remarque, construire linéairement autant de points
que nous le désirons de la surface, et nous pourrons énoncer,
en conséquence, le théorème suivant :

Les plans d’une gerbe marquent sur deux couples de droites
fixes des points tels, que l’intersection de leurs jonctions se
déplace sur une surface cubique.

En d’autres termes :

Les rayons de deux congruences du premier ordre et de la pre-
mière classe, qui sont situés dans les plans d’une gerbe, se coupent
en des points dont le lieu est une surface cubique.

Nous pourrons énoncer de même les théorèmes corrélatifs :

Les plans des iransversales menées à deux couples de droites
fixes, par les points d’un plan, enveloppent une surface de la troi-
sième classe.

Les plans des rayons de deux congruences du premier ordre
et de la première classe qui passent par les points d’un plan,
enveloppent une surface de la troisième classe.

On peut démontrer de mème les théorèmes suivants, généra-
lisations des précédents :

Les plans qui enveloppent une surface de la classe m, marquent
sur deux couples de droîtes fixes des points tels que l'intersection
de leurs jonctions se déplace sur une surface de l’ordre 5m.

Les plans des transversales menées à deux couples de droites
fixes par les points d’une surface d’ordre im, enveloppent une

surface de la classe 5m,
5

( 54 )

V

1. Leuue 1. — Soient trois involutions, définies par les
équations
fl = A,1d39 —= aoX À NET + (xt1x2 x x1,x%2;) 25 ax 2729 —= 0,

fa == D,ob,s == TEEN = b, (x2,x 3 == x2,X9;) + b:Xx 2% 30 = 0,

BE Cu = CoXdith + (xx he + 23%) + CX 32% 4 — 0.

Pour que ces trois involutions aient un couple commun, il
faut que leurs points principaux soient en ligne droite. Cette
condition peut s'exprimer analytiquement par la relation

do di A
(ab) (bc)(ca) = | bb bd b |—0.
Len II. — A un élément X,, de paramètre (x!,, x1,), 1l

correspond dans l'involution définie par f, = 0 un élément X»,
de paramètre (x2,, x2), et à cet élément X, il correspond, dans
l'involution définie par / — 0, un élément X;, de paramètre
(TS , LH).

Entre les éléments X, et X,, il existe une relation homogra-
phique.

L'équation symbolique qui lie leurs paramètres est

a,10,5(4b) = 0.

A l'élément X;, il correspond, dans l’involution définie par
fs — 0, un élément X,, de paramètre (x44, x4,). Cet élément X,
est relié à X, par une correspondance homographique dont
l'équation est

dCa(ab)(be) = 0.

Pour que cette correspondance soit involutive, il faut que l’on
ait symboliquement

&G{ab)(bc) = asci(ab)(bc),
si (ab) (bc) (ca) — 0.

(55)

Nous pouvons, eu égard au lemme [, interpréter ce résultat de
la façon suivante :

La résultante de trois involutions sera une involution, quand
ces trois involutions auront un couple commun, c’est-à-dire
appartiendront à un faisceau.

Ce théorème exprime en d’autres termes ceci : soient trois
involutions 1, [’, 1”, appartenant à un même faisceau; supposons
que les couples de ces trois involutions soient les couples de
points d'une même ligne unicursale.

A un point À, il correspond dans I un point B ; à ce point, il
correspond dans L' un point C, auquel correspond dans 1” un
point D; les couples tels que (AD) forment une involution;
c'est-à-dire à D il correspond dans [ un point E auquel corres-
pond dans [' un point F; à ce point F, il correspond dans F” un
point G, qui coïncide avec A.

2. Si la ligne unicursale est une conique, nous obtenons le
théorème de Pascal : Les couples de côtés opposés d’un hexagone
inscrit à une courbe du second degré se coupent en trois points
situés en ligne droite.

Si la ligne unicursale est une cubique gauche, on a cette
propriété :

Les transversales menées de trois points d’une cubique gauche

_ aux couples de côtés opposés d’un hexagone inscrit, s’appuient

sur une même bisécante de la courbe.

Quand les trois points de la cubique coïncident, on retrouve
ce théorème connu (*) :

Les transversales menées d’un point d’une cubique gauche aux
couples de côtés d’un hexagone inscrit, sont dans un même plan.

En général, si nous nous rapportons à la représentation des
couples en involution sur une courbe normale, C,, de l’espace
à n dimensions, nous aurons cette propriété :

Les espaces à n — 2 dimensions, menés par trois groupes de

(‘) Nous pensons que ce théorème est dû à Chasles. Voir l’Aperçu histo-
rique, p. 405.

(56)

n — 9 points d’une courbe normale de l’espace à n dimensions el
s'appuyant respectivement sur les couples de côtés opposés d’un
hexagone inscrit, rencontrent une même bisécante de celte courbe.

Si les trois groupes de 7 — 2 points coincident, le théorème
se transforme en le suivant :

Les espaces à n — 2 dimensions, menes par n — 2 points fixes
d’une courbe normale, et s'appuyant sur les couples de cotés
opposés d’un hexagone inscrit, sont situés dans un même espace

A

à n — À dimensions.

3. En joignant deux à deux n + 4 points, A4, Ao, …, À,.:,,
d'une courbe normale, C,, de l’espace à n dimensions Es, on
obtient divers polygones.

Choisissons, par exemple, le polygone dont les sommets

suecessifs sont :
A,, Ac, …, As, A, ;

n + 2 sommets successifs,
A,; À», 2009 APS À, » Asp A,

peuvent s'associer de trois manières n à n, de façon à former les
trois faces à n — 1 dimensions successives

E,_: = = (A,A, . A, 1À, he

nA1 = = == (AA; HAS An):

Li == (A:A; .… A,4iA,;e).

Appelons ces faces adjacentes, parce qu'elles se coupent sui-
vant la face à n — 3 dimensions déterminée par les sommets
consécutifs

AA AMAR
Nous dirons, d'autre part, que les trois droites

(As1oA,;5), (CELA (A4)

sont les arêtes opposées à ces faces.

à CAT Ps
RS cer a et

(0474)

Eu égard à ces considérations, le théorème établi au para-
graphe précédent peut s’énoncer ainsi :

Trois faces adjacentes à n — 1 dimensions d’un polygone de
n — 4 sommets, inscrit à une courbe normale de l’espace à n
dimensions, rencontrent les arêtes opposées en trois points situés,
avec l’intersection de ces trois faces, dans un même espace à n — 1
dimensions.

Une courbe normale est déterminée par n + 3 de ses points;
le théorème précédent exprime la liaison qui doit exister entre
n + 4 points de l’espace à n dimensions, pour qu'ils soient situés
sur une même courbe normale. Nous allons montrer qu'il
n'est pas nécessaire, pour que n + 4 points soient situés sur une
courbe normale, que la propriété énoncée ait lieu pour toutes les
combinaisons des trois faces adjacentes à n — 1 dimensions d’un
polygone formé par ces n + 4 points.

4

4. On peut définir une courbe normale à n dimensions
comme l'intersection de n — 1 espaces à n — 1 dimensions du
second ordre, ayant en commun un espace générateur linéaire à
n — 2 dimensions; on peut même supposer que ces espaces
sont des cônes du second degré (*).

Soient n + 4 points de l’espace à n dimensions; considérons
ces points comme étant les sommets successifs B,, B,, …, B
B,.,, d'un polygone.

Supposons que les trois faces à n — 1 dimensions de ce poly-
gone,

n +39

E,.-; == (B, B, … B,_,B, JE
(DD BB).
Ey_, = — (B; Bi: B,,1Bs42);

(‘) Nous appelons cône du second degré, dans un espace à » dimensions,
un système simplement infini d'espaces à n — 2 dimensions, E,_», passant
par un espace à n— 5 dimensions, E,_;, que nous désignerons sous le nom
d’espace du sommet, et tel que dans un espace à n — 1 dimensions quel-
conque passant par E,_;, il ne se trouve que deux espaces E,_2. Un tel cône
est coupé par un plan, ne rencontrant pas E, ;, suivant une conique; par
conséquent, un cône du second degré est déterminé par cinq de ses espaces
générateurs. |

( 58 )
rencontrent les arêtes opposées
(B,49B,45) 9 (B,5Bu14) 9 (B,11Bi)

en trois points B, B’, B”, situés dans un même espace à n — 1
dimensions E”_,, avec la face

V (Des = (B:B; 0e B,_1B,).

Les n + 4 points donnés sont, dans cette supposition, situés
sur un cône du second ordre dont l’espace du sommet est E,_..
Projetons en effet les six points

B, D B;, B, 1; B,, B,,:; B,:;

de l’espace E,_; sur un plan quelconque, ne rencontrant pas
E, _; : nous obtenons six points,

r r 0 r PANRE
19 29 no n+29 B,15; B,,:;

les couples de côtés opposés

(Bi, Ba, (Bios Buis)s (Bas Buus)s (Bass Buys)s (Boyrs Boss); (Biys» Bo)

se coupent en trois points situés sur une droite : cette droite est
l'intersection du plan choisi et de l’espace EE”.
Nous en déduisons que les six points

r LA Le LA [A r
10022 B, 1, B,:2 , B':5; n+4

sont sur une même courbe du second degré; c'est ce qui démontre
le théorème énoncé.

Si nous supposons que la propriété du polygone relative à la
face E,_;, a lieu pour n — 2 autres faces adjacentes (c'est-
à-dire pour n — 2 autres faces à n -— 3 dimensions situées, avec
E, _., dans une même face à n — 2 dimensions, E, _.), les n +4
points B,, B,, …, B,,:, B,,, seront situés sur n — 1 cônes du
second degré, ayant en commun l’espace générateur E, _:; ces
points seront, par conséquent, situés sur la courbe normale
d'ordre n, leur intersection.

(59)

Nous pourrons ainsi énoncer le théorème suivant :

Quand, dans un polygone de n + 4 sommets, situes dans un
espace à n dimensions, trois faces à n — 1 dimensions, passant
par une même face à n — 3 dimensions, E,_;, rencontrent les
arêtes opposées en trois points situés, avec E, _;, dans un même
espace à n — À dimensions, et si cette propriété est vérifiée pour
les espaces à n — 3 dimensions situés dans une même face à
n — 2 dimensions, les sommets du polygone seront situés sur une
méme courbe normale.

La propriété sera alors indépendante de la face du polygone
et de l’ordre dans lequel on considère les sommets successifs du
polygone.

5. Ces considérations permettent de construire la courbe
normale de l’espace à n dimensions, connaissant n + 5 points
qui lui appartiennent, A4, A0, .…, A,,0, A, 43

Par n — 1 points, A4, Ao, …, À, _,, faisons passer un espace
quelconque à n — 1 dimensions, E,_,; considérons un des
n — | espaces à n — 5 dimensions, formés en joignant n — 2
points parmi Ay, A2, …, A,_,, par exemple l'espace

E,_:— (AjAs À, 2).
Si, de E,_., nous projetons les einq points
A1 À, Anis Anges Ant
sur un plan quelconque, non situé dans E,_;, nous obtenons
cinq points

B°%,4b;-b,12 B,,>, B,1:;

d'autre part, l'espace E, _, se projette sur le plan choisi suivant
une droite, b, passant par B
Les cinq points

n—1°
Ba, Bb; B, 415 BAY B,:;:

déterminent une conique ; nous pourrons, par des constructions
connues, déterminer le second point d’intersection, B, de cette

(40)

conique avec la droite b; soit E, _, l’espace à n — 2 dimensions
qui unit E, _, et B.

Les n — 1 espaces semblables à E,_;, provenant des n — 1
combinaisons de points A,, A,, …, A,_,, pris n —2 à n— 9,
donnent lieu à n — 1 espaces analogues à E, _,; ces n —1
espaces sont situés dans E, _,; ils se coupent donc en un point À,
qui appartiendra à la courbe normale déterminée par les n + 5
points donnés.

Addition.

Avant d'aborder le second chapitre de notre travail, il nous
semble nécessaire de rappeler brièvement quelques propriétés
analytiques des courbes normales.

Dans un espace à un nombre n de dimensions, et pour un
système de référence déterminé, 1l existe évidemment une seule
courbe d'ordre n, dont les équations sont

M M À

UE nn ee HAUT ORIO En PLnpi = À.

pe Pet
9 2

M. Véronèse (*) a démontré que, étant donnée une courbe
d'ordre n, de l’espace à n dimensions, il est toujours possible de
déterminer un système de référence tel que les équations de cette
courbe soient celles que nous venons d'écrire.

Soient
(AA), (A222), …, (AmsAn),

les paramètres homogènes de # points d'une courbe normale ;
l'équation de l’espace à n — 1 dimensions qui unit ces points

Est)
34 — 29P9) + 7,PM) +. Æ Z14P0) == (

(le signe +, selon que n est pair ou non).

(‘) Behandlung der projectivischen Verhältnisse der Räume von verschie-
denen Dimensionen durch das Princip des Projicirens und Schneidens (Marne-
MATISCHE ANNALEN, Bd. XIX).

(**) Voir notre travail intitulé : Sur la représentation des involutions
unicursales (Buzz. pe L'Acan. RoY. DE BELG., 5° série, t. XIV).

(4)

En général, nous désignons par Pf? la somme de tous les
AM TE ARR
produits X à k des q quantités 5 (= 1, 2, 3, …, q).
Les équations de l’espace à À — 1 dimensions qui unit k points

de cette courbe, seront :

K, == Zi FR zPD 5e z:PE Se ir 2 Zk44P0 = 0,
K= 2 — 2PŸ + 7PP — HE z, PP — 0,

K,_4= 2-7 — Zn 0 + ve LA =)
(le signe +, selon que k est pair ou impair).

IT suit de là que l’espace à n — À dimensions, osculateur à

une courbe normale au point de paramètre D a pour équation

ñn ñn n
Ze — fr) Ze M + () Z5 Li — + TE, : | RME ZyuM —=0,

et que l’espace à 4 — 1 dimensions, osculateur en ce même point,
a pour équations :

k
z1ÀË = RAA SE NON Æ Zu —= 0, |

Zals — | 2 A + ee Ex = 0,

k

. « , . . 0 0 0 0 e . . , ° .

k LA 7
Zn 44 A2 Ft fi) Æn ete ui ZE oc Æ AE —= 0.

Il résulte de ce qui précède que d’un point À, situe en dehors
d’une courbe normale de l’espace à n dimensions, on peut mener
à cette courbe n espaces à n — 1 dimensions, osculateurs. L'es-
pace à n — 1 dimensions, qui unit les points de contact, est
Pespace polaire du point A. Si les coordonnées homogènes de ce
point sont proportionnelles aux quantités

UE Gz, +, UPE An+1

(42)

l'équation de son espace polaire sera

n n
dits — fr) A, +. + (°) az, E tn = 0.

Réciproquement, étant donné un espace plan à n — 1 dimen-
sions, dont l'équation est

b,z, + LEA 100 A byriznra = 0,

l'intersection des n plans à n — 1 dimensions, osculateurs aux
points où cet espace rencontre la courbe normale, se coupent
en un point dont les coordonnées vérifient les équations

21 Zo | Zn |
Er b, b
fl (]
L

Ce point est appelé pole de l’espace à n — 1 dimensions.

On peut déduire de ces équations le théorème suivant :

Dans un espace à un nombre impair de dimensions, le pole
d’un espace à n — 1 dimensions par rapport à une courbe nor-
male, est situé dans cet espace, et réciproquement.

Un espace à £ dimensions, E,, pouvant être considéré comme
la jonction de k# + 1 points de l’espace à n dimensions, l’inter-
section de k + 1 espaces à x — 1 dimensions polaires de ces
k + À points par rapport à la courbe normale, sera un espace à
n — k — 1 dimensions, E, _,_,, appelé espace polaire de E,. On
peut démontrer que tout point de E, a pour espace polaire un
espace à n — 1 dimensions passant par E, _,_,, et réciproque-
ment, et que tout espace à n — 1 dimensions, passant par E,, a
son pôle situé sur E,_,_,, et inversement. On déduit de là
que l’espace polaire de E, _,_, est précisément l’espace E,. On
pourrait trouver facilement, à l’aide des résultats obtenus précé-

demment, les équations de deux espaces polaires par rapport à
une courbe normale.

CHAPITRE IT.

On peut généraliser la conception de l'homographie entre les
éléments de deux figures de première espèce en l’étendant à la
correspondance entre les éléments de n figures.

4. Dérinirion. — Nous dirons que n figures de première
espèce forment une homographie d'ordre n et de rang n— 1 quand
n — 1 éléments, pris arbitrairement dans n — 1 de ces figures,
déterminent sans ambiguïté un élément de la figure restante (”).

Nous représentons cette correspondance par la notation H, ;.
D'après la définition, si nous désignons par

(xl,, cie), (m2, 22), …, (nr, an)

les paramètres homogènes de n éléments correspondants, il est
clair que ces paramètres doivent être reliés par une équation
d'ordre total n et linéaire par rapport à chacun d'eux. L’équation

sera donc une forme n-linéaire égalée à zéro ; nous l’écrirons
symboliquement :

[= aa? … a) = 0D0® … =. — 0;
ou bien, sous forme explicite :
f— > Gp … mL: X2X 8, … Zn, — 0,
ä, k, l, m prenant les valeurs numériques 1 et 2.
(") Voir le Mémoire de M. Le Paige, intitulé : Homographies et involu-

tions des ordres supérieurs (JORNAL DE SCIENCIAS MATREMATICAS E ASTRONO-
micas, année 1885, pp. 27 et suivantes).

(442

En particulier, si les divers éléments des groupes d’une

H°_, sont permutables, c’est-à-dire, par exemple, si les divers
éléments des n séries sont de même espèce et sur un même
support, et si les éléments des groupes peuvent être considérés
comme appartenant à l'une ou l’autre série, sans que pour cela
les groupes soient altérés, nous dirons que de pareils groupes
forment une involution d'ordre n et de rang n — 1. Nous repré-
senterons cette correspondance par };_..

L'équation qui représente une telle involution doit être symé-
trique par rapport aux paramètres des divers éléments : ce sera
donc une forme n-linéaire symétrique égalée à zéro,

[= tuto ce un = babe ee bn = ++ = 0.

Si nous désignons par P{° la somme des produits à à à des
k quantités

l'équation pourra s’écrire, sous forme effective,
n
=) al; = 0;
0

nous ferons usage de cette équation pour étudier les propriétés
de l’involution.

2. Si les éléments des mêmes séries de deux homographies
sont situés sur les mêmes supports, nous dirons que l’ensemble
des groupes communs à ces deux corrélations forment une
Lomographie d’ordre n et de rang n — 2. Plus généralement,
nous dirons que l’ensemble des groupes de n éléments, communs
à n—k homographies d’ordre n et de rang n — 1, forme une
homographie d’ordre n et de rang k, que nous représenterons par
la notation H°.

Nous définirons de même une involution d'ordre n et de
rang k, 1, comme l’ensemble des groupes communs à n —Kk
involutions, 1” ,.

Une H}, ou une |}, sera définie par l'égalité à zéro de n — k
formes n-linéaires, non symétriques ou symétriques.

PR

(45)

Nous commencerons par étudier l’involution générale en nous
servant d’un procédé de représentation qui semble offrir quelque
avantage : 1° parce qu'il permet de présenter les différentes
propriétés de cette correspondance sous une forme qui fait
image; 2° parce que, dans certains cas, il nous permet d'arriver
à des résultats nouveaux, qu’il serait peut-être difficile d'obtenir
par une autre voie.

La théorie de l’involution nous permettra, au moins dans des
cas intéressants, de faire la théorie de l’homographie; c’est pour-
quoi, bien que cela puisse paraître contraire à la logique, nous
avons préféré étudier le cas particulier avant le cas général,

Il

1. Soit une involution d'ordre n et de rang n — 1, représentée
par l'équation

= a + a Po, + + + a, PM + a, — 0.

A cette involution, associons le point de l’espace à n dimen-
sions dont les coordonnées, dans un système de référence déter-
miné, sont proportionnelles aux coefficients

TA &; .. ln1) GES

Nous dirons que ce point est le point principal de l’invo-
lution.

Si l’involution est décomposable en n éléments fixes, ce qui
a lieu quand la forme f est un produit de n facteurs linéaires, il
existe entre les coordonnées de son point principal les relations

do GE on
à : À £ È da, Œ œ,, À
d’où l’on déduit
À? TER A
dj —= = ed, — a ; CUS , ea, = 1e
2 9 20

- p étant un factgur de proportionnalité.

C4)

Nous en déduisons le théorème suivant :

Le lieu des points qui représentent les points principaux des
involutions d’ordre n et de rang n — 1, décomposables en n éle-
ments fixes, est la courbe normale de l’espace à n dimensions.

Cela posé, tout espace à n — 1 dimensions passant par le
point principal d’une involution, définie par f—0, a pour
équation :

7 (x,a, EX Xn41do) + PACE PE re Ln+10) Heu, (td, — BUG) —(,

Bus Do; +, p, étant des paramètres à déterminer par la position de
cet espace.

Les espaces représentés par cette équation coupent la courbe
normale en des séries de n points, dont les paramètres homo-
gènes (24, A2) vérifient la relation

Ma, <= AD ol, Fe 0c0 SE MAT, a,
TE À dogs + dite Æ ce + Aniln 5 | = 0.

Désignons par
A2 12 A1

, ... — —

Al, 22, AN

les racines de la dernière équation et convenons de représenter
par (— 1) Qf la somme des produits à à à des inverses de ces
racines ; nous aurons

(n) (127744
(RNA de ur RÉ R Se RER
do + Oo H °° EE dy,
QU) Cntén=1
DA ES EN Ce
ol Æ le E °° Æ Anim,
n) AE (1777
Que ee AE

doi + Ale H <e + dl,

Si nous éliminons entre ces relations les paramètres 1, Lo, …, ls
nous ohtenons :

ayQU") Ge aQL”, NEC ET an _2Q5") a7 an _1Q{") EU a, Fe 0.

(47)

Ainsi, les groupes de n points d’intersection forment une invo-
lution 15_,, et la relation qui caractérise cette involution est
précisément celle qui est représentée par le point principal en
question. Ces groupes de n points sont, par conséquent, les
images des groupes de l’involution proposée.

2. D'un autre côté, un point de l'espace à x dimensions peut
être considéré comme étant l'intersection de n espaces à n dimen-
sions, dont les équations sont, par exemple :

A, — Alix, + Aloxs + + + Al,x, + Al,ux,u — 0,

A2, — Aix; + Aro + ee + A,xù, + AD, x — 0,

e e 0 e e e . 0 e . e . 0 . Q e e e

An, = ANT + Ano + ve + ANT, + Alniitnu — 0.
Tout espace passant par ce point aura alors pour équation :
A, AR, + WA, + ce + uw, An, — 0,
Lu, Lo; .…, 2, étant des paramètres arbitraires.

Chacun des espaces représentés par cette équation, où les para-
mètres x ont des valeurs déterminées, coupe la courbe normale
en des groupes de n points dont les paramètres homogènes
(A, À) sont les racines de l’équation

À = BA" + k2A2° He + LAN = 0;

les notations Aëï (i— 1, 2, 5, …, n) désignent des formes binaires
d'ordre #, ayant pour expressions effectives

LUS — AU + AM Aa + ve + AAA + Al uAs.
Il résulte de là que l’on peut représenter analytiquement une

involution d’ordre n et de rang n — 1 par l'équation d’un fais-
ceau, d'ordre n — 1, de formes binaires d’ordre n.

(48)

Nous pouvons, du reste, démontrer directement cette pro-
priète.
Soit, en effet, l'équation d’un faisceau de formes d'ordre n

Ê= Ai + Dofo + ee + A,f, = 0,

et supposons données n — 1 racines de cette équation, chacune
de ces racines représentant le paramètre d'un élément d’une
figure de première espèce.

En substituant ces racines dans l'équation, nous pouvons
déterminer, à l’aide d'équations linéaires, les rapports des
n paramètres À..

En substituant les valeurs ainsi obtenues dans l'équation f—0,
nous aurons une équation d'ordre n bien déterminée; n — 1
des racines de cette équation sont celles qui ont servi à déter-
miner les rapports des paramètres À; la n°”° racine sera propor-
tionnelle au paramètre de l'élément complétant le groupe
déterminé par les n — 1 éléments donnés. Cette détermination
se fera en résolvant une équation linéaire.

3. De ces deux façons d'arriver à la représentation d’une
involution 157", en partant de l'équation qui la caractérise, il
résulte que, réciproquement, étant donné le point prineipal d’une
involution, on peut trouver immédiatement son équation sous
l’une ou l'autre de ses formes.

Une involution I”_, étant déterminée par la position de son
point principal, il suit qu'elle est complètement définie par
ñn groupes de n éléments, à condition toutefois que ces groupes
soient indépendants entre eux.

En effet, nous pouvons supposer que les x éléments de chaque
groupe soient représentés par n points d’une même courbe nor-
male de l’espace à n dimensions; l'espace à n — 1 dimensions
qui unira ces n points pourra donc définir complètement le
groupe. Les n espaces semblables correspondants aux x groupes
se coupent en un point qui est le point principal de l’involution.

Si les n groupes ne sont pas indépendants entre eux, les

(49 )

n espaces correspondants, au lieu de se couper en un point, se
couperont en un espace linéaire qui aura au moins une dimen-
sion; par conséquent, il existera au moins une simple infinité de
points principaux qui représenteront l’involution possédant les
groupes donnés.

4. Une involution d'ordre n et de rang 4, I}, est, par défini-
tion, l'ensemble des groupes de n éléments communs à n — k
involutions d'ordre n et de rang n — 1; soient

Ai, A, 5 A

les points principaux de ces n — k involutions, représentées dans
l’espace à n dimensions : nous dirons que l’ensemble de ces
n —k points forme l’espace principal de l’involution 1. Or,
n — k points de l’espace à n dimensions déterminent par leurs
jonctions un espace à n — k — 1 dimensions, E,_,,; par consé-
quent, l’espace principal d’une involution 1? sera un espace à
n — k — 1 dimensions.

D’après les propriétés dont jouissent les points principaux des
n — k involutions 1%_,, dont l* est pour ainsi dire l'intersection,
nous voyons que tous les espaces à n— 1 dimensions, qui passent
par l’espace principal E,_,_, d’une I*, marquent sur la courbe
normale des groupes de n points qui sont les images des groupes
de cette involution.

THÉORÈME. — Un groupe de n éléments d’une KE est déterminé
par k éléments quelconques de ce groupe. ï

En effet, 4 points quelconques pris sur la courbe normale,
Joints à l’espace principal E, ;, de l’involution, forment un
espace à n — 1 dimensions, rencontrant la courbe normale en
n points : k de ces points sont les 4 points pris à l'avance. On
voit de plus que la position de l’espace à n — 1 dimensions
ainsi déterminé ne dépend pas du choix de Æ points donnés; il
en est done de même du groupe de ses » points d’intersection
avec la courbe normale.

4

(50)

L'espace principal E,_,-, d'une involution I? étant un espace

à n —k— 1 dimensions, sera déterminé par l'intersection de

k + 1 espaces à n — 1 dimensions ; nous en déduisons qu’une

I; est définie complètement par £ + 1 de ses groupes, indépen-
dants entre eux.

Soient
A0) A0 0: AE 0)

les équations de k + 1 espaces à n — 1 dimensions qui se cou-
pent en un espace à n — k — 1 dimensions, espace prineipal
d’une involution I. Tout espace à n — 1 dimensions passant par
cet espace aura pour équation :

À, = Al, + woA2, + +. + wAk +1, —0,
Du Los «… La étant des paramètres arbitraires.

Cette équation représente un faisceau d'ordre À d'espaces à
n — À dimensions; les espaces de ce faisceau rencontrent la
courbe normale en des groupes de n points, dont les paramètres
homogènes 2,, À vérifient la relation

LS —= A1 —+ HaA2° + ce + ur AË Go = 0.

La forme Aë (i— 1,2, 5, …, k + 1) a, comme précédemment,
pour expression effective

Aï = AA + Ati" + ce + Ai, )4a2 + LOUE

Nous pouvons donc représenter analytiquement une involu-
tion J} par l’équation d’un faisceau, d'ordre Æ, de formes binaires
du degré n :

f— paf + bofe He + Era = (0.

Nous pouvons, du reste, le démontrer directement : suppo-
sons données # racines de l'équation f— 0, ces k racines repré-
sentant les paramètres de Æ éléments d’une figure unicursale;
en substituant ces Æ racines, nous obtiendrons # équations

LS:

14 A.

(51)

linéaires, suffisantes pour déterminer les Æ + 1 paramètres
homogènes
His Mas ce) Urpa

Si nous transportons les valeurs ainsi obtenues dans l’équa-
tion f— 0, nous obtenons une équation d'ordre n; k racines de
cette équation sont les 4 racines données ; les n — X racines
restantes complètent le groupe de n éléments déterminé par les
k éléments donnés; de plus, ce groupe est indépendant du choix
des 4 éléments déterminatifs, pourvu qu'ils fassent partie de ce
groupe.

5. Nous venons de voir qu'une involution 1; peut être repré-
sentée analytiquement de deux façons : soit par n — k formes
n-linéaires symétriques égalées à zéro,

fa —= als. al» se ae —= O,
= 02 . 42,2 … 02,, — 0,

fox = On — K,y ON — kg se. ON — krn = 0,

(l'espace principal est alors la jonction de n — k points); soit
par les racines d'équations d'ordre n appartenant à un faisceau
d'ordre £ :

= mal? + 202? Zn 0 LE Eyuak ZE qe — 0

(air = aùxl” + aix" 102 + +. + a1,,4027);

(l'espace principal est alors l'intersection de k + 1 espaces à
ñn — 1 dimensions).

Recherchons comment on peut passer d’un système de repré-
sentation à l’autre.

Supposons d’abord l’involution définie par l'égalité à zéro de
n — k formes n-linéaires symétriques.

(52)

Son espace principal sera la jonction de n — k points, dont les
coordonnées sont proportionnelles à

di, GNU IMG (SN Re)

L'espace à n — k — 1 dimensions qu'il déterminera sera l’axe
d’un faisceau d'ordre 4 d'espaces à n — 1 dimensions; l'équation
de ce faisceau sera :

Zi Zo . Zn-k Zn—k+i
ik alo al PAM: (14 PERTE
A a, a2, . QUES, GPS RE 0.
i—1
An — ko an — k, OU an — RATE an — Nr

Les espaces de ce faisceau rencontrent la courbe normale en
des groupes de x points, qui sont les groupes de l’involution ; les
paramètres des éléments de ces groupes sont donc les racines de
l'équation à k indéterminées :

x? x? = 1e a DNA Mn 2 i+1 22 —K+i—1
LR alo al, RO eut al, _43; 4
« û
» AM | a), a), AU PET Ge see = 0.
1==l
an—k, an —k, … an—k,;1 an—k, 1;

6. Soit maintenant une involution I}, définie par l'équation
d’un faisceau d’ordre 4 de formes binaires d'ordre n,

Î= mal? + 242? SF 00 SE Bah + 4e —= 0;

l’espace principal de cette involution est l'intersection des & — 1
espaces à 7 — 1 dimensions, dont les équations sont

ai, = All + Allo + + + Lu — 0,
i prenant les valeurs 1, 2, 3, … k + 1.

Si nous désignons par 49 45 ve %s — k paramètres,

(55)

nous pourrons écrire les équations d’un point quelconque de
l’espace principal sous la forme :

n—k+A n—kHi
—1
a+p(@l k+p 9 a, °,., ak: + Au) b xpAP )
x e 2
er ,
(al,, a, …, ak + 1341) Be
n—k+A n—k2+-1
é _ a ee
> pp (al,, (PP A9 3, 0) ak + leu) > arpAP )
p—2 2
GE ES ER RS A ER |
(al, a, ..….) ak Qi ms 11) B,1
n—k+1 n—k+i
\ —
y arrp(Qls, a, …, ak + 11622) > ar pA 0
x = Movie à
RES RE
ù 1,, a2 k | Be:
(a A a 29 03 a + k+4 +

Lo Axy9s

Lay — Anyie
Les Af-° et B,,, sont des déterminants d'ordre # + 1 (*).
Ce point définit une involution F,_,, qui a pour équation
ape HasAÎ + + a AS TAI PO +
PasaAD Has D + + a uAP TAUPE, + +
daproAh + aus + ee + CNT. Va L PU, —
} urePU, + a:5PU) Cplost SES an+aP4) { B,,: = (.
Les symboles P! représentent les mêmes abréviations que
précédemment (IL, 1, 1).
Nous pouvons encore écrire l'équation de cette involution sous
la forme

ax+2 } ADP + AN PM, +... + Af) PO — By HP eat +

CYR } A pt) + A® Pt, + AP? PP, = B,11P0 —k—9 5 +

. . e e 0 e Q 0 e e 0 Q e 0 e e 0 0 0

n+1 À ap-Hpio + Af-OPO, +. + APONPO, — BP) [= 0.

(*) Nous ne croyons pas nécessaire de développer Hépre 0e de ces
déterminants.

(54)

Si nous considérons tous les points de l’espace principal, il leur
correspond un faisceau d'ordre n — k, d'involutions 1}_,. Les
groupes de base de ce faisceau sont les groupes de l’involution
*; cette involution pourra donc se représenter par les n —k
équations n-linéaires symétriques suivantes :

AO JD per + + AD, PU, — BP; — 0,

AP POLE AP PO, +. + A, PO — BiaPhre 0,

0 e e Û Q e e 0 . e e e

AG-NpE) LE Af-Hpt), + … + AGÈPM), — BPM —0,

*. Nous pouvons encore représenter dans l’espace à n dimen-
sions, une involution [%_, d'une autre manière. Associons pour
cela à une involution 15, l’espace à n — 1 dimensions, E,,,
dont les coordonnées sont proportionnelles aux coefficients de
l'équation d’involution ; en d’autres termes, à l’involution dont

l'équation est
aP —+ a PE), + O0p + a, PE —= O,

associons l’espace à n — 1 dimensions, dont l'équation est

n 0 n
a, Xi ar 1 Ay-1%o Cm 9 2%; CMOS ce n Al — 0.

Nous appellerons cet espace, espace complémentaire de l’invo-
lution.

Il résulte immédiatement de la forme de l'équation de cet
espace, qu'il est l’espace polaire du point principal de l’involution
pour un même système de référence et par rapport à la courbe
normale de ce système.

Des raisonnements analogues à ceux que nous avons faits
précédemment nous conduisent à ce résultat : si des divers points
de l’espace complémentaire d’une involution 1"_,, on mene les
groupes de n espaces à n — 1 dimensions osculateurs à la courbe
normale, les groupes des n points de contact sont en involution
11; l'équation qui caractérise celte involulion est précisément
celle que représente l’espace complémentaire.

( 55 )

Comme conséquence, une involution J? sera représentée dans
un espace à n dimensions par l'intersection de n — k espaces à
n — À dimensions; chacun de ces espaces est l’espace complé-
mentaire de chacune des n — k involutions 1#_,, dont I? est
l'intersection.

Ces n — k espaces se coupent en un espace à Æ dimensions,
que nous appellerons espace complémentaire de If. Si des divers
points de cet espace nous menons les groupes de n espaces oscu-
lateurs à la courbe normale, les groupes de points de contact
seront les images des groupes de l'involution ; de même que
pour une involution 15_, l’espace principal et l’espace complé-
mentaire d'une Î; sont, pour un même système de référence,
réciproquement polaires par rapport à la courbe normale de ce
système. |

8. Nous pouvons encore représenter une involution 1; sur la
courbe normale d’un espace à u = n + m# dimensions de la façon
suivante :

Prenons sur cette courbe m» points quelconques,

Ai, Az; QC ie

et faisons passer par ces points un espace à p — À — 1 dimen-
sions, E,_; 4.

Tous les espaces à u — 1 dimensions qui passent par E, , ;,
marquent sur la courbe des séries de n points, différents des m
points Aë (i— 1, 2, 3, …, m) qui forment les groupes d’une [;.
En effet, Æ points tout à fait arbitraires de la courbe, joints à
l’espace E,_, ,, déterminent un espace à — 1 dimensions, qui
rencontre la courbe en x points dont m sont les points Az et
dont # sont les points pris arbitrairement ; de plus les rôles des
n points d'un groupe, différents des m points Ai, sont interchan-
geables sans que pour cela le groupe soit altéré.

Réciproquement, on peut représenter ainsi une involution
J; dont on connait £ + 1 groupes de n points. En effet, chacun
de ces groupes joints à #2 points fixes quelconques de la courbe,
détermine un espace à p — 1 dimensions; les k + 1 espaces

(56)

obtenus de cette façon se coupent en un espace àu—#%k—1
dimensions, rencontrant la courbe en m points. Cet espace défi-
nira donc, comme nous venons de le voir, l’involution 1% carac-
térisée par les À + 1 groupes donnés. Cette détermination est
possible d’une m“* infinité de manières.

Nous appellerons l’espace E,_; ,, espace axial de l’involution
[;, représentée sur la courbe normale de l’espace à p— n + m
dimensions. |

Nous pourrons, comme conséquences de ce qui précède,
énoncer les théorèmes suivants :

Les espaces à n — 1 dimensions, n fois sécants d’une courbe
normale C, de l’espace à pu. — n + m dimensions, qui rencon-
trent un espace à pm — k — 1 dimensions, E,, ,, m fois sécant
de Cy en un espace à n — k — 1 dimensions marquent sur cette
courbe C. des groupes de n points formant un K;.

Il existe une #“"* infinité d'espaces E,_,, jouissant de Îa
même propriété pour une même involution };.

Dans une involution K à un groupe de k' éléments (k'< k),
il correspond des groupes de n — k éléments formant une K+,.

De notre procédé de représentation il résulte que pour étudier
les propriétés de l’involution, il suffit d'étudier les propriétés
des courbes normales des espaces linéaires. Ce n'est pas généra-
lement à ce point de vue que nous nous placerons dans la suite
de ce travail.

Nous nous servirons de notre mode de représentation pour
transformer la recherche de certaines propriétés de l’involution
en d’autres plus faciles à obtenir; comme corollaires, nous en
déduirons des propriétés des courbes normales, et ainsi notre
manière de représenter les involutions nous servira à deux fins.

(57%)

III
Éléments multiples.

1. En général, £ points d’une courbe normale C, de l’espace

à n dimensions, support d'une 1;, joints à l'espace principal,

E,_;_,, de l’involution, déterminent un espace à n—1 dimensions,
E,_,, qui rencontre la courbe en n — k autres points complétant
le groupe défini par les Æ points donnés. La même chose aura
encore lieu si ces Æ points coïncident en un même point À ; alors
E,_, est la jonction de E, ,, avec l’espace à £ — 1 dimensions
osculateur à la courbe C, au point A. Il existe une infinité
d'espaces à Æ — 1 dimensions osculateurs à C,; donc, une
1; possède une infinité de groupes contenant £ éléments coïnei-
dents; si nous assujettissons ces groupes à une condition supplé-
mentaire, il n’en existera qu’un nombre limité. La condition à
laquelle nous les soumettons, c'est que l’un des n — k points
complétant le groupe déterminé par Æ points, coïncidents en un
point À, soit précisément ce point A; en d’autres termes, nous
recherchons ici le nombre des groupes d’une 1? qui contiennent
k + 1 éléments coïncidents.

En général, nous désignerons par U” le nombre des groupes
contenant / + 1 éléments coïncidents d’une |”.

L'espace à £ — 1 dimensions, osculateur à C, en un point A,
joint à l’espace principal E,_,, d’une involution 1}, détermine un
espace E,_,, qui rencontre C, en n — k autres points (B),

B,, B:, 009 B, k:

Si un de ces points coïncidait avec À, il ferait partie avec A
d'un des groupes cherchés : à un point À, il correspond ainsi
n — k points B.

A un point B, il correspond, dans 1}, des groupes de n — 1
éléments formant une [;=} ; cette involution possède U}=; groupes
contenant k éléments coïncidents en un élément A ; si un de ces

(58)

éléments A coïneidait avec B, il ferait partie avec lui d’un des
groupes cherchés.

Entre les points A et B de la courbe C,,, il existe la corres-
pondance }(n — k), U;=} ; le nombre des coïncidences est pré-
cisément U;, donc,

Ur — (n — k) + U7=};

remplaçons successivement dans cette relation & et n par 4 — 1,
k—92,..1,etn —1,n—2,.….n— k + 1,etajoutons membre
à membre les égalités obtenues, nous aurons :

U—(n —k)k + Ur”.

US: est le nombre des éléments d’une 1"; or, une 157 repré-
sente n — k éléments fixes, donc US" — (n — k); finalement,

U? — (n — k) (k + 1) (.

Nous pouvons énoncer ainsi le théorème suivant :
Une involution X} possède (n — k) (k + 1) groupes contenant
un élément multiple d'ordre (k + 1).

2. En particulier, une involution |”, possède n groupes
composés de n éléments coïncidents : ces n éléments coïncidents
sont représentés sur la courbe C, par les points de contact des
n espaces osculateurs à cette courbe, menés par le point prin-
‘cipal de l’involution.

L'espace à n — 1 dimensions qui unit ces points de contact
est donc l’espace polaire du point principal de l’involution; nous
avons vu que l’espace polaire d’un point quelconque d'un espace
à un nombre impair de dimensions passe par ce point.

Nous pouvons, en conséquence, énoncer cette propriété :

Le groupe des éléments unis d’une involution d’ordre n et de
rang n — 1, quand n est impair, fait partie de cette involution.

() Enix Weyr, Ueber Involutionen n' Grades und kt+r Stufe (Sirzunes-
BERICHTE DER KAISERL. AKADEMIE DER WISSENSCHAFTEN ZU Wien, LXXIX, Il).

ve cf l'ai tee a
NÉE

(59)

3. M. Lerch a généralisé les propriétés des groupes conte-
nant un élément multiple, en recherchant le nombre des groupes
qui contiennent deux ou plusieurs éléments multiples associés.

A r, éléments il correspond dans une involution I, des
groupes de n — r, éléments formant une 1} 7:; cette involution
possède des groupes de n — r, éléments ere un élément
(k— r, + 1), en nombre fini; d'après ce que nous venons
de voir, ce nombre est (n — k) (& —r, + 1).

Cette propriété aura encore lieu quand les r, points donnés
coïncident en un seul À; comme ce point A peut être quel-
conque, nous pourrons énoncer le théorème suivant :

Une involution V possède des groupes composés de deux points
multiples associés, l’un donné d’ordre r, et l’autre d’ordre r; + 1,
(ri + ro —K), et de n—k — 1 autres points simples, B,,
nombre (n — k) (ro + 1).

Il existe donc une infinité de groupes semblables; il en
résulte qu'il n’en existera qu'un nombre fini, satisfaisant à la
condition qu’un des éléments B, coïncide avec l'élément r,"", A.

Comme nous venons de le voir, à un élément A il correspond

(n — k)(r2+1)(n — k — 1)
éléments B.

A un élément B, il re dans Ï; des groupes de n — 1
éléments, formant une 15°} ; cette involution possède des groupes
en nombre fini N°; (ra. se + 1), contenant deux points multi-
ples associés, l’un A, d'ordre r;, et l’autre d'ordre r, + 1 (nous
représentons par la notation N° (a;a2) le nombre des groupes
d'une 1” qui contiennent deux éléments multiples associés
d'ordre a, et d'ordre a) ; ainsi, à un élément B il correspond

Né (ru Ta + 1) éléments A.

Entre les éléments A et B, il existe la eorrespondance
j(n—R(re+ td) (n—k—1), Nr. m+t)4
Le nombre des coïncidences est le nombre cherché ; done,

Né(ra+ 1, ro+ 1) = (n —k)(n —k—1)(r+ 10) + NE (rs. ro+ 1).

( 60 )

Remplaçons dans cette formule k et n par k —1,...k—7r, +1;
n—1,..,n—7r, + 1; nous aurons la suite de relations :

NE (ra. ot 1)=(n—k)(n—k—1) (rot) + Nr A 2 + 1),

Ne us (2.7:+1)—=(n— kjGe— k—1) (re) +NS TE (1 rat 1).

Nm (1. r2 + 1) est le nombre des groupes d’une 1} à ou
ui ra, qui contiennent un élément (r, + 1)"”°, un élément ae

et n — Ti — T9 — 2 autres éléments simples ; donc

Neal Ta A) (ra + 1) (0 —r3 — re) (n —1, — 72 —1)
e—=(r+1)(n—k)(n —k—1).

En additionnant membre à membre les formules de la suite

2 n—r. )
précédente, et en tenant compte de la valeur de Ni (L.ro + 1),
nous aurons

NE (ri m+i)—=in— (in —k—1(r+t(rn+ 0).

Conséquemment :

Une involution 1} possède 215") (r, + 1) (rs + 1) groupes
contenant deux éléments multiples, l’un d'ordre r, + 1, l’autre
d'ordre ra + 1, quand on a la condition r, + ro = k.

4. Supposons que nous ayons déterminé par un procédé
quelconque le nombre des groupes d’une [;, contenant q points
multiples associés, quand la somme des ordres de multiplieité
est égale au rang Æ augmenté de q. Connaissant ce nombre,
quels que soient n, k et les indices de multiplicité, nous nous
proposons de rechercher le nombre des groupes d’une involution
quelconque, qui contiennent q + 1 éléments multiples associés
d'ordres respectifs

tt mel, ue, +, Tu+i,

quand on a la condition

(61)

Prenons un élément À quelconque du support de l’involution
x, et considérons-le comme un élément r,,,""; il lui correspond

?

AP NTI.
dans I; des groupes de n — r,., éléments, formant une Page
cette involution possède des groupes composés de q éléments

multiples associés, d'ordres respectifs

Pa+l, r+l, .,r,+1,

q
en nombre fini

MSTAANTS
Ne ru (HÉMER EEMT re A)I()
puisque

7 :
Der;

chacun de ces groupes contient de plus n — k — q éléments
simples B.

Si un de ces éléments B coïncide avec A, nous aurons un
des groupes cherchés.
A un élément A, il correspond donc

e=N; (i+l,ro+d,., +) X(n—k— 09)

éléments B.

A un élément B, il correspond dans [° des groupes de n — 1
éléments formant une f%=;, qui possède des groupes contenant
q + 1 éléments multiples associés, d'ordres respectifs

RENE SEEN ENT CET E antE
en nombre fini

NE (ratl,ros 14,7, +1, ru),
uIsque
|LTEN ;
> Ti + Toys RES | — k Re 1
(‘) Nous représentons, comme précédemment, par la notation
NP (Ti To de, Tu + 1)

. m . ° 72
le nombre des groupes d’une involution |, , qui contiennent w éléments
multiples associés d'ordres r,, ra, …, Tue

(62)

L'élément r,,,""* de chacun de ces groupes est un élément À ;
à un élément B, il correspond donc

B—= Ni (ritl,rel,.,r +1, ru)
éléments A.

Entre les éléments A et B, il existe la correspondance (x. B) ;
le nombre des coïncidences est le nombre des groupes cherchés;

donc,
Ni+lr+t er +l ru+t)

= Ni (rit, rot, Fr, +1) X (n —k— 09)
+ Ni Gri+ dd, rot, 7 + 1, Ton).
Si nous remplaçons £ —+r,,, par Er, et n —7+r,,, par

n — k + Z'r, nous obtenons :

Nr r, +1, ru +l)= NÉE (ME)

X(n—k—Q) + Nine, rot, 7, +01, Trou)

Nous aurons de même la suite de relations :

n—k+-51r;

ue (ri+1,,7,+01)

mr, Tel, ti) UN
X (n — k— q) + is (n +1, +de, rot, Tou— 1),

He 4 k+x1r;
Ne hanln tr 12) =EN) MD TEE)

AE qje None (ni +lr+1,.,r, +4, 1)

Or, N;_, ne est le nombre des groupes d’une involution
Her” 4 qui ‘contiennent q + 1 éléments multiples d'ordres

pente
PE UE NE ES

ce nombre est
n—r é
NE {nu ++, er, +1,01)

Nour 1,7, +1)X(n—k — 0).

( 65 )

En tenant compte de cette relation et de la suite d'équations
indiquée plus haut, nous obtenons :

qi : /
NAT Ed re Mi, met 1, Tu + À)

j N—T
=(ru+l)(n—k— 0) Nr (a+ r+ tr, a+, +).
De même nous aurons :

Noms (ri +, re + 1, …, T, + 1)
= (r,+l)(n—k— Q + Nas Mebrael .rard)

TNT x — Ty 17
Nes (ri + 4, To + 1)

me URL) NRA "in +1).
Or,
NE pe (ra + 1) = (n —E) (ri + 1);

done, en combinant par multiplication les formules précédentes,
nous obtenons définitivement :

n —& g+1
Né(riti, red, ,r, +1, rt) (7 ” 1x (g+1)! Il (r;+ 1).

Nous pouvons ainsi énoncer la propriété suivante :

Le nombre des groupes d’une involution |}, contenant p élé-
ments multiples associés d'ordres respectifs r, + 1, ra + 1, …,
r, + 1, quand on a

ont

Jen + a

est

Si ri—=7a—.—.7r, —=r, alors les groupes cherchés sont
ceux qui contiennent p éléments multiples du même ordre;
chacun des groupes est compté dans le nombre ("2") op ! (r + 1),
autant de fois que l'on peut permuter entre eux p éléments.

(64)

Donc, le nombre des groupes d’une involution W, qui contien-
nent p éléments multiples associés du même ordre r + 1, quand
RME n—k L x
on a rp —k, est (, )(n E1P C0).

5. Comme généralisation des propriétés que nous venons
d'étudier, il est important de signaler une extension du principe
de correspondance de CHASLEs.

Soient n figures de première espèce, telles qu'à n—1 éléments
A y3 A0 ve, A5 Ayo À,_1 À,, appartenant respectivement à
n — 1 figures, il corresponde a, éléments A; de la ÿ” figure,
et que la même propriété ait lieu quelle que soit la à” figure
restante (î— 1, 2, 3, …, n); nous dirons que ces » figures
forment une correspondance

(a, L9s 6.7) m1 a)

Si les éléments des n figures sont situés sur un même support,
il existe des groupes composés d'éléments coïncidents en nombre
fini.

C’est ce nombre que nous nous proposons de rechercher.

Nous représenterons en général par la notation N(x, +, .….,æ),
le nombre des coïncidences d’une correspondance (&,, &, .…, æ).
À un élément A, de la première série, il correspond dans les
figures restantes des groupes d'éléments en nombre n — 2 fois
infini, et formant une correspondance (æ;, «;, …, «,) ; en effet, à
n — 2 éléments A;, A3 … A; ,, A; -…, À,, appartenant à n — 2
figures restantes, il correspond a; éléments A, de la 7°” figure,
puisque, par hypothèse, à un groupe tel que

ANA, es A aire mA
il correspond a; éléments de la 7°” figure dans la correspondance

proposée

(as os vers An—19 Ge);

(*) Sitzungsberichte der kônigl. bühmischen Gesellschaft der Wissenschaften
(novembre 1885).

#:
6
1
“
«+

( 65 )

Ainsi, les systèmes de n— 1 éléments qui correspondent à un
élément A, forment une correspondance (x, «3, …, æ,_, a),
possédant un nombre fini N(«, «;, …, «,) de coïncidences; appe-
lons B, chacun de ces éléments coïncidents : si un de ces
éléments B coïncidait avec l'élément A,, nous aurions une des
coïncidences de la correspondance cherchée. A un élément A;,
il correspond, de cette façon,

Na, a, .., a)
éléments B.

A un élément B, qui doit être considéré comme n— 1 éléments
coïncidents A, A;,.…, À,, il correspond dans la corrélation
(ay des …, &,), &, éléments A4. Entre les éléments A, et B, il
existe la correspondance

Œ» N(c, Usg mn).

D’après le principe de Chasles, il existe & + Nc, az, .…, a)
coïneidences ; ce nombre est exactement le nombre des coïnci-
dences de la correspondance proposée ; nous aurons donc :

Nu, a, …, à,) = oi + Na, as, …, à).
Nous obtiendrons de même la suite des relations :

Na, 45, …., à) = @o + Nas, a, .…, &,),
Nas, a, ., a) = à3 + Nos, as, .…, «,),
LI L] L2 - LI L] e [2 e L L L] L] .

AC a) nn Ale L,,
d'où :
N (a, Hay es a) = + A+. + a, .

Nous pouvons ainsi énoncer.le théorème suivant :
Une correspondance (ce , a, …, a), formée d’éléments super-

poses, possède Z'a,; coincidences.

( 66)

IV

1. Soient deux involutions du même ordre n et de rangs
k, et k: 1}. : 1; ; ; nous supposons que les éléments de ces invo-
lutions sont représentés par les points d’une courbe normale,
C,, de l’espace à n dimensions, et nous convenons de désigner

ar E à et E __, les espaces principaux de ces deux
ne Lou ; : ;

Si les deux involutions ont un groupe de n éléments en
commun, l’espace à n — 1 dimensions, qui joint les points
représentant les éléments de ce groupe sur C,, doit passer
nécessairement par E, _ roue Ke ESA x, —13 Cet espace devra
passer, en conséquence, par la jonction de E, Shen ec DRE
Or, la jonction de E, _, _,etde E,_; _, est un espace
à 2n — ky — k, — 1 dimensions, E,,, _ k,— K, — 15 ON NE pourra,
par ce dernier espace, mener d’espace à n — 1 dimensions
que si l’on a: 2n —k, —4%,—1 Ln—1, où n <k +.
S'il en est ainsi, l’espace E, _y __z, 1 peut être considéré
comme l’espace principal d’une involution 1e Li, —p dont tous

les groupes appartiendront à la fois à I; et IS ; nous pourrons
ainsi énoncer la propriété suivante :

Quand k, + k, 2 n, deux involutions L, et], , Ont en commun
les groupes d’une involution d’ordre n et de rang ki + ko — n.

Si k + k + 2 < n, les deux espaces E,, _; _,etE, _ k, 1e
se coupent en un espace à n — 4 — k, — 2 dimensions; cet
espace définira l’espace principal d’une involution d’orde n et de
rang ki + k +1.

Nous pourrons done énoncer le théorème suivant :

Quand ki + k + 2 < n, deux involutions JF, et le, sont com-
prises dans une même involution dordre n et de rang k, +k, +1.

Si n était égal à 4, + k, + 1, les deux involutions I, et 1}, ne
pourraient avoir ni des groupes de » éléments en commun, ni
appartenir à une même involution ; elles ont en commun des
groupes composés de moins de x éléments (il en est du reste
de même de deux involutions I}, et 1, satisfaisant à la condition

(67)

ki + k: < n); dans la suite, nous déterminerons le nombre de
ces groupes.

2. Soient deux involutions 1e, 1 k> Na = T4 + D; NOUS SUp-
posons que les éléments de ces involutions sont les points d'une
courbe normale C de l’espace à n, dimensions, E,

Les groupes de je: sont marqués par les points de rencontre
avec C, des espaces à n; — 1 dimensions qui passent par un
espace E, __; y; à 2 — k, — 1 dimensions, espace principal
de 1e ; les groupes de 1: sont marqués par les points de rencontre
avec C,, des espaces à n, — 1 dimensions qui passent par un
espace à n, — k, — 1 dimensions, Bones 1 D fois sécant de
la courbe C,.; ; cet espace E, _, __, est l’espace axial de l’invo-
lution 1: : représentée dans 1e E,

Remarquons que les deux ne ne peuvent avoir de
groupes communs composés de plus de n, éléments.

Tout groupe commun de », éléments, s'il en existe, joint à

l'espace axial, Ë, _ ; __,, donne lieu à un espace E, _, à
No — Î Rd cnsous qui on passer par l’espace ne al
En ,- Cet espace E, __, doit donc contenir E, LE

etE, _ y, ysouêtre dun deE, __; __,etde M :
or, la jonction de ces deux espaces est un espace à
ns — ky — k, — 1 dimensions, En, Ho ED fois sécant
de la courbe C,.; nous pourrons considérer cet espace comme
étant l’espace axial d’une involution FR x, — n» l'éprésentée dans
E, si N> < ky + F2; en conséquence, nous pourrons énoncer le
théorème suivant :

Deux involutions 1j* et 1j® dont les caractéristiques satisfont
aux conditions ki + d. cet Ni = < Do, Ont en commun les
groupes d’une involution d'ordre n; et de rang ki + ko — D.

8. En général, soient n involutions Ci 122 AL)
d'ordres respectifs 4, n:, …, n, et de rangs respectifs Xy, ke, …, k,:
supposons que 7, et n, soient le plus petit et le plus grand des
ordres de ces involutions.

Si les groupes de ces involutions sont marqués par des groupes
de points de la courbe normale C, de l'espace à n,, dimensions,

(1662)

E, , ces n involutions seront représentées par n espaces axiaux

Eng at Ban due, ae

respectivement à
n,—k—1, n,—k—1, …, n,—k,—1
dimensions, et rencontrant la courbe C, respectivement en
nr

y — Ms NM, — Mas os y — ln

rm

points fixes.

D’après ce que nous avons vu quant à la représentation d’une
involution sur une courbe normale d’un espace dont le nombre
des dimensions est supérieur à l’ordre de l'involution, nous
pouvons supposer, sans nuire à la généralité, que les points de
rencontre des espaces axiaux des n involutions 1: (i=1, 2,3,...,n)
et de la courbe CG, font partie de n, — n, points de rencontre
de cette courbe et de l'espace axial de l’involution 17°

Si les n involutions proposées ont des groupes communs
d'éléments, le nombre de ces éléments sera au plus égal à n,;
l’espace à n, — 1 dimensions correspondant à un de ces groupes,
s'il en existe, doit contenir ou être la jonction des n espaces
-axiaux des » involutions. Cette jonction sera un espace à

y ñ; — ; k, +(n, — mu) —1

dimensions, rencontrant la courbe Cn, en n,—n, points ; si donc

Lo n
Jn—VSk<n,
cet espace sera l’espace axial d’une involution d'ordre n, et de rang
— DE + DL

Nous pourrons donc énoncer le théorème suivant :

Si n, et n, sont respectivement le plus grand et le plus petit des
ordres de n involutions, 1 (= 1, 2, 5, …, n), et si les carac-
térisiiques de ces n satisfont à la condition

D n— SE < M,

(69)

ces n involutions auront en commun les groupes d’une involu-
tion d’ordre n, et de rang

n ñn
nm — Ÿ mn + ki

En particulier, n énvolutions 1Ÿ dont les rangs satisfont à la
condition que leur somme soit égale à la somme de leurs ordres
diminuée de l’ordre le plus petit, ont un seul groupe d'éléments en
commun; le nombre de ces éléments est égal à l’ordre le moins
élevé de ces involutions.

Pour déduire ce théorème du précédent, il suffit de remarquer
qu'une involution 1! est un groupe de n, éléments fixes, puisque
son espace principal dans l’espace à n, dimensions est un espace
à n, — 1 dimensions.

Si les conditions indiquées ne sont pas satisfaites, les n invo-
lutions jouissent, quant aux groupes d'éléments qu'elles peuvent

avoir en commun, d'autres propriétés que nous allons essayer
d'établir.

4. Supposons que les éléments des groupes d'une involu-
tion 1. soient représentés par les points d’une courbe normale
quelconque, C,, d’un espace à un nombre a de dimensions, E,
(le nombre a est tel que l’on ait a 2 k;).

D'autre part, nous pouvons regarder un groupe de a points de
la courbe C, comme défini par un point À de l’espace E,. En
effet, les a espaces osculateurs, à a — 1 dimensions, en chacun
des points d'un groupe, se coupent en un point À que nous
appellerons image du groupe. Réciproquement, un point A de E,
définit un groupe de a points sur C,; ces points sont les points
de contact des a espaces osculateurs à C,, menés par le point A.

Si nous considérons les systèmes de a points de la courbe C,,
qui appartiennent à des groupes d’une involution 1}, nous ob-
tenons pour leurs images un système k, fois infini de points A ;
l’ensemble de ces points sera situé sur un espace à k, dimen-
sions, Hz;.

(70)

\

Cet espace est d'ordre et de classe bien déterminés par les
deux indices n, et k,; il possède de plus certaines singularités
en relation directe avec ces indices. Nous nous bornerons à
signaler l'existence de ces singularités; pour le but que nous
poursuivons actuellement, leur étude n'est pas nécessaire. Re-
marquons encore que cet espace Hz, peut être considéré comme
étant l'intersection de (a — k;) espaces à (a — 1) dimensions,
d'ordre, de classe et de singularités bien déterminés par la
nature de l’espace Hy,.

Cela posé, soient n involutions 1;; Se D) de
gnons par Hx,, Hz, …, Hx,, les n espaces re de à ces
n involutions représentées sur une courbe normale C, d'un
espace à un nombre a de dimensions ; le nombre a est choisi
de facon à être supérieur ou égal au plus grand des nom-
bres k(i—1, 2, 5, …, n). Ces n involutions ne peuvent avoir des
groupes d'éléments communs en nombre fini, ou, en général, en
nombre r fois infini, que si les n espaces Hz,(4 — 1, 2, 3, …, n)
ont des points communs en nombre fini, ou si ces espaces se ren-
contrent en un espace à > dimensions : il faut donc que l’on ait

(a—k;) +(a—k)+...+(a—-k,)=a,
ou, en général,
(a — ki) + (a = + (a—#k)=a— 7.

Nous pouvons encore écrire l’une et l’autre de ces conditions
sous la forme
k+k +. +k,=(n—1)a,

k+k+.+k,=(n—1)a+r.

En interprétant ce résultat, nous pourrons énoncer les théo-
rèmes suivants :

n involutions, d'ordres et de rangs quelconques, ne peuvent
avoir de groupes d’éléments communs en nombre fini, que si la
somme des rangs est un multiple de n — 1; le facteur de mul-

tiplicité est le nombre des éléments qui figurent dans les groupes
communs.

(71)

n involulions, d’ordres et de rangs quelconques, ne peuvent
avoir en commun des groupes d'éléments en nombre r fois infini
que si la somme des rangs, diminuée du nombre r, est un multiple
de n — 1; le facteur de multiplicité est le nombre des éléments
qui figurent dans les groupes communs.

5. De ces théorèmes, on peut déduire diverses particularités
intéressantes :

1° Deux involutions 1 1;2 ont toujours des groupes de
k, + k éléments communs en nombre fini : toutefois, k, + k:
doit être moindre ou au plus égal au plus petit des nombres
ni et M;

2% Deux involutions 15: , 17 ont des groupes de k, + k—r
éléments communs en nombre r fois infini, r étant quelconque;

9° Trois involutions de rangs k,, k , k; n'ont des groupes de
LE éléments communs en nombre fini que si la somme
des rangs est un nombre pair;

4° Trois involutions, du même rang k et d'ordres quel-
conques, ne peuvent avoir des groupes d'éléments communs en
nombre fini que si le nombre & est pair ;

5° En général, » involutions, d'ordres quelconques et du
même rang k, ne peuvent avoir des groupes d'éléments communs
en nombre fini, que si le nombre k est un multiple de m—1.

V

Les développements qui suivent ont pour objet la recherche
des propriétés des groupes communs à un nombre quelconque
d’involutions, le problème étant très complexe, sous sommes
obligé de commencer par étudier le cas particulier de deux
involutions, dans le but de bien éclaircir la méthode suivie dans
le cas général.

1. Soient deux involutions 1e: et 152; recherchons combien il
existe de groupes de k, +; dénents du support commun à ces

(72)

deux involutions, qui appartiennent respectivement aux groupes
de r, éléments de 1}! et en même temps aux groupes de n, élé-
ments de 172.

Nous SONO par la notation Ny ke le nombre des
groupes de 4, + k; éléments communs à deux involutions,
J, et 15e Soit À, un élément du support des deux involutions;
il lui D dl dans 174 des groupes de n, — 1 éléments for-
mant une ua Cette Fe a, en commun avec 1, des
groupes de : + ko —1 éléments en nombre ni Ni, le . À cha-
eun de ces groupes il correspond dans 52 ; NE ie — 1)
éléments B qui complètent dans 1° le pre de n, éléments,
dont fait partie le groupe commun.

Si un des éléments B coïnecidait avec À, nous aurions un
groupe de 4, + À, éléments communs aux deux involutions.

D'autre part, à un élémentBil COEDon dans 1}: des groupes
de n; — 1 éléments formant une een nue cette DS a, en
commun avec 1}: 1, des groupes de k, + k — | éléments en nombre
fini, N; de

A on de ces groupes communs, il correspond n, — k,
— k, + 1 éléments À, qui complètent dans 15: le groupe de n7
éléments dont fait partie ce groupe commun.

Entre les éléments A et B, il existe la correspondance

(NET Qu — 2 1) NET 38 (te — hi — he + 1).

D'après le principe de Chasles, il existe des coïncidences (AB)
en nombre

Ne 4 (re (nu — k, — ka + 4) + Ne, _ 2 (re — k — k Gr 1);

chacun des groupes de 4, + k, éléments communs aux deux
involutions proposées, absorbe, à cause de la symétrie, k, + ko
de ces ConCnteS nous aurons donc la formule générale,

| nl
Lo su N;: En (uk —k+1)+ Nr Ga ki kit)
F0 A ———

(75 )

Cette formule donne le nombre NY se en fonction du nombre

des groupes communs à deux involutions, k, € min et du
nombre des groupes communs à deux nt He s
et .

2. a) Supposons dans cette formule k, — k, — 1; nous
aurons
NA Ernn Ce 1)

Ni No
N, 1 = = 9

Or, N57 2: est le nombre des élément d’une 1}?, pris parmi
nr; — ! éléments donnés; ce nombre est donc égal à nr, — 1;
de même

NP 02 —(n, 1);
finalement, on a
NE (ne, — 1) (ne — 1).

Par conséquent : deux involutions d'ordres n, et n, et du pre-
mier rang ont en commun (n, — 1) (ns — 1) couples.
b) Supposons k, — 1, nous aurons
N'1 1 LEARN LA je DAT
Nan — Mt RU Ne
k1 k, + À
N 31 est le nombre des groupes de 4, éléments d’une 1”,
k4 0 ki

pris parmi n, — 1 éléments donnés : ce nombre est égal à
No—1 . .
( is DE donc :

NP 4° Ge — Ei) + (ou — k) (in

N? =

ki + 1

Remplaçons successivement dans cette formule k, et n, par
ki —1, 1 —2, …, l'en, —1,n —2, .….,n —k +1;
nous aurons la suite de relations :

ni —2 no AS LE (in,
TU Nyi_9 12 (re k +1) + (nr — K) ou)

Nul LÉNÈNRE LA

Not le L n 4)

(74)

En sommant cette suite récurrente, nous obtenons :

Nu 7 — . er “ e Se 1 Ë
ki 1 (| k,

c) Supposons k, — 2; nous aurons :

min ny No —1
is k, + 2

D'après ce que nous venons de voir,

eo)

11 k, 1
donc :
, nr Lo
qe — 1) 2 (0) (©)
Nue — Gi) k,
RATE k ; 9 ?
ARS
de même,
k —9
Na? ll (m,— ke) + 9 le ! d |
N—! (OP LE 5 2 k == {l
k,—1 2 k, TU |
Nat n M —k\ fn — 2
1 2 9 1

Finalement, en sommant cette suite, nous trouvons pour le
nombre des groupes de 4, + 2 éléments communs à deux invo-
Ê ns Pa:
lutions 1}: et 1:

DETTE)
pu ns
k, 2 9 k

d) En général, on à :

EE RC | don F
Ne, 2 je ka k

Supposons, en effet, cette formule exacte pour toutes valeurs
de y, n, et k4, et pour les valeurs de k,, au plus égales numéri-

(75)

quement à k, — 1 ; elle aura encore lieu pour la valeur numé-
rique #3.
Nous avons :

N°: _ Nik (re — hi —h+ DNS FN à — hi — ko + 1)
ki k k+k

Par supposition, on a

NI Hi *] ea à
LA k ne k, ko — 7

donc :
RU re es
NP Pa (re — ki — le + À) + Re Li | Fe 1
N'a ñn; Ds Ê ke k
Eu DRE
De même,
N'u—2 Ne (n, k k DV F car ‘ Ua à
pen aNTT ete AE tie
Nu — ; u k2 = :
k—1 ke EL RU
nur! FEB ( TE n h ess “ :
4 k, k. 1

En sommant cette suite, nous obtenons :

CAES IUT see : Pris À
= | k, k

Donc, la formule supposée exacte pour toute valeur de %,
inférieure numériquement à 4, a lieu pour la limite supérieure;
elle est vérifiée pour 4, — 1 et k, — 2 : elle est donc générale.
Nous pouvons ainsi énoncer le théorème suivant :

Le nombre des groupes de k, + K, éléments communs à deux
involutions L;: et I, super posées esi D k, si) Len an +) (GP

(*) Sur le nombre des groupes communs à des involutions supérieures,
marquées sur un même support, par M. Le Paige (Buzr. DE L’ACaD. ROY. DE
BELGIQUE, 5° série, t. XI).

(762)

3. Prenons un élément quelconque du support où se trouvent
placées deux involutions, 17: et JE ; il lui correspond, dans ces
dernières, des soupe de n let ns — 1 éléments formant
deux involutions pin #. et pu Ces deux involutions ont en
commun des groupes de k, + k — 2 éléments, en nombre
(r: 0) Ds Nous obtenons donc cette propriété :

Un élément quelconque du support commun à deux involutions
Le el Le entre dans He) ou | groupes de ky + k, — 1
éléments communs à ces involutions.

On démontrerait de même le théorème plus général suivant :

k éléments arbitraires du support commun à deux involutions
1 el Le, entrent dans (a 1) ne ) groupes de kj + k: —k
éléments communs à ces deux involutions.

4. Supposons que nous ayons déterminé le nombre des
groupes communs à q involutions, quand la somme de leurs
rangs est un multiple de g — 1 ; nous représenterons en général
Nr le nombre des Honnes communs à q involutions

mn Gi, 252.0) CtIpar LUN le nombre des groupes
ne à q involutions IE FE (= 1,2, 5, …, g). Nous nous
proposons, connaissant ces monres de rechercher le nombre
des groupes communs à g + 1 involutions 1} (i— 1, …, q +1)
quand le problème est possible.

5. 1° Soient q involutions 1}, satisfaisant à la condition que
le nombre Z‘%,— 1 (*) est un multiple y de q —1; ces involu-
tions possèdent des groupes de u éléments communs, en nombre
simplement infini. Recherchons combien 1l existe de ces groupes
qui contiennent / + 1 éléments appartenant à des groupes de m
éléments d’une involution donnée, [}"; représentons ce nombre
par (1) PE

A un élément À du support commun aux involutions,
il correspond dans les involutions 1}: CNE: 0); des

(‘) Afin d'éviter toute équivoque, nous dirons désormais qu'un nombre
est un multiple a de b, quand ce nombre est égal au produit ab.

(hs Die)

groupes de #; — 1 éléments formant q involutions, PR. La
somme des rangs de ces involutions est

nu un à

par conséquent, ces q involutions et _} ont des groupes de u—1
éléments communs en nombre fini, MN Ke nous pouvons
combiner les éléments de chacun de ces groupes communs de
ve 1) manières, de façon à former des groupes de ! éléments;
et à chacun de ces groupes de / éléments, il correspond dans
1, (a — 1) éléments B. Si l’un de ces éléments B coïncidait avec
l’élément A, nous aurions un des groupes cherchés; à un élément
, 1] correspond donc

u— 1 (4) |
«= | ] em — (Ne

éléments B.

À un élément B, il correspond dans I” des groupes de m — 1.
éléments formant une 1}; cette involution posséde des groupes
de (m—1)éléments, dont / figurent dans des groupes de y éléments
cou aux q involutions 1}: (i= 1,2, 5, …, q) en nombre fini

WXY 1, À chacun de ces groupes, il nu u. — l éléments
A, qui complètent les groupes de s éléments communs aux q
involutions 1}'. Par suite, à un élément B, il correspond

B— (æ— 1) UX7S!
éléments A.

Entre les éléments A et B, il existe done une correspondance
(«, B); chacun des groupes cherchés absorbe / + 1 des coïnci-
dences de cette correspondance; nous aurons ainsi :

Remplacons successivement dans cette formule ! et m par

(En)

1— 1, 1—9,..,1 et m— 1, m—2, …, m—1l+1; nous
aurons la suite récurrente

= Es
(m — |) . Ar à 1 ae lÉA)xE
(1) re ii ] D
[le 1 (an, —1 (y m—l
(Ho NE Se (A) X,

(XEEES ee à
®X*-! est le nombre des groupes de s éléments communs aux
q involutions 1} qui contiennent un élément pris parmi m— |
U
éléments donnés ; par conséquent, on a :

(XP l — (in ETS n° INR

En sommant la suite récurrente, nous obtenons :
(Xm ns Wnn—1 kB — 1 !
NN; L (m — 1).

G. 2° Soient q involutions 1e (i= 1, 2, …., q), possédant des

2ki—9 Du
groupes communs de {> = éléments : le nombre de ces

groupes est dune doublement infini. Recherchons le nombre de
ces groupes qui contiennent / + 2 éléments appartenant à des
groupes de # éléments d’une involution donnée 1}; soit OX?
ce nombre.

À un élément À du support commun aux involutions, il
correspond dans les q involutions 1: des groupes d'éléments
formant q involutions 1}° me ; ces Rue satisfont à la condi-
tion que la somme ou jure rangs, diminuée de l'unité, est un
multiple, — 1, de q — 1 ; ces involutions ont, en conséquence,
des groupes de w — 1 éléments communs en nombre infini.

Parmi ces groupes, il en existe, d’après ce que nous venons

de voir, un nombre

ou

1 L

(79)

qui contiennent / + 1 éléments appartenant à des groupes de
l'involution [”, et à chacun de ces groupes de ! + 1 éléments il
correspond dans [, (m—!— 1) éléments B. Si un de ces
éléments B coïncidait avec A, nous aurions un des groupes
cherchés.

A un élément A, il correspond donc

éléments B.

A un élément B, il correspond dans 1” des groupes de m — 1
éléments formant une 1”; qui possède des groupes de / +1
éléments, en nombre fini, faisant partie de groupes de s éléments
communs aux g involutions 15 Soit °X”=' ce nombre ; à chacun
de ces groupes de ! + 1 no il correspond p — | — 1
éléments A ; à un élément B, il correspond ainsi

BE 1 1)x"

éléments A. Entre les éléments A et B, il existe une correspon-
dance (&.f); chacun des groupes dont nous recherchons le
nombre, absorbe / + 2 coïncidences de cette correspondance ;
nous aurons donc :

— 9\ {m —l\,
Le 1 don ne
9

ax — © Le,
ne 0 EE

2

remplaçons dans cette formule successivement / et m par
l— 14, ... 1 et m—1,m—,...m—1+ 1; nous aurons la
suite de relations :

1e PME
9 fé | F lue = " (a. En lExr—
cie 01 NEA

l+1

ER =} De
; f° *| {" : tes + (pu — 9)OX7—

Gen 2 =
o)

(080%)

Or, X57! est le nombre des groupes de s éléments qui sont
communs aux g involutions 1° et qui contiennent 2 éléments pris
t
dans » — | éléments fixes; nous aurons donc

EXm- ue É . 1 "Nine !

En sommant la suite récurrente, nous obtenons :

OX" — (: , à ( a 1 Ne À

7. 5° Soient q involutions 15, (i—=1,2,5,.…., q) satisfaisant
à la condition

q
DIE

“Et — Entier = x;

ces involutions possèdent des groupes communs de éléments
en nombre p fois infini. Le nombre fini de ces groupes qui
contiennent l+ p éléments appartenant à des groupes de # élé-
ments d’une involution f}, est donné par la formule

Bo) Go = | “a
vx = | si p te

En effet, si nous supposons cette formule exacte pour toutes
valeurs des quantités k,,n,, m et l, mais pour des valeurs de p
égales au plus, numériquement, à p — 1, elle aura encore lieu
pour la valeur numérique p. D'après cette hypothèse, des rai-
sonnements analogues aux précédents conduisent à la formule :

a m — | Le
(7) (0) Pre se pda
(PXm — D

‘ l+p

Si nous remplaçons successivement dans cette formule, l et m

(EXT L+1 Le

( 81 )

par —1,1— 2, …, 1 et m — 1, m—92,.., m—1+ 1, nous
aurons la suite d'équations

Lle—p\{m—l\ on: —p (Ym—2
p | A | No + (u—p—l+9)9x7
WXyI — l ul P | 13 p 1—2

l+p—1

CP mi q CETTE m>
eee

p+li

Ainsi que précédemment, on trouve

WXm-1 — a ae 1 ON —P.
P bip
En sommant la suite récurrente, nous obtenons d’après la
dernière relation :

wxe(e—p\{m—tllonti-p?,
el en ur

Cette formule, que nous avons supposée exacte pour toute
valeur de p égale numériquement au plus à p — 1, a encore
lieu pour la valeur p; elle est vérifiée pour p = 1 et p —9;
elle est donc générale.

8. 4° Supposons que la valeur de ! soit telle que l’on ait
L + p — y; dans ce cas, le nombre ®X? devient le nombre des
groupes communs aux q involutions 1e: et à |. Ces g +1 invo-
lutions possèdent, du reste, des groupes de x éléments communs
en nombre fini, puisque la somme de leurs rangs :

:
q D k; — pq

FT
est un multiple du nombre q. Nous pourrons donc énoncer
le théorème suivant :

DAS re p—

6

(82)

Le nombre des groupes de y. éléments communs à q involutions
1j et à une involution [}_,, quand on a la condition
1

q
nr

He g—1

est égal à
On por Pl 0 HN TP.
| nie
9. D'autre part, comme nous l'avons vu (IL, v, 1), la condition
pour que q + 1 involutions 1}: = 1,2, 5, …, q, q+1) aient des
groupes d'éléments communs en nombre fini, est

(E étant un nombre entier); le type de ces involutions sera

un No n nya
D Ut AR ROUES

qg —1
p étant un nombre entier.

En effet, si nous désignons par 4,., le plus petit des nombres k&
G—=1,2,.….,Q, q + 1), nous pourrons toujours écrire

(g—1)khu=kh+k+..+Ek —Q,

Q étant un nombre entier positif ou nul. Or, on doit avoir

donc,
Qu +ktie+k) —Q=—q(g —1)E;

par conséquent, Q doit être divisible par q, et nous pourrons
écrire Q = pq. Le type de q + 1 involutions qui ont des
groupes d'éléments communs en nombre fini est donc bien celui

(85 )

que nous avons indiqué. D'un autre côté, si l’on se donne g +1
involutions Je (= 1,2,...,q + 1), satisfaisant à la condition

g+1

D = qu:

le nombre de leurs groupes de x éléments communs sera donné
par la formule

GENE 2 GONE + hou [Ron — “ à
k; k; — p + koi Be — Ryxs

Il suffit, en effet, de remplacer m par n,,,, l par k,,,, et l+p
par & dans la formule qui donne la valeur de ’X”; nous obte-
nons ainsi le nombre des groupes communs à g + 1 involutions,
en fonction du nombre des groupes communs à q involutions.
Nous aurons par le même procédé la suite d'équations :

Op + hou Gong 2e + ke + hu fn —k,
Dee bi D etre mu — k,]?

GUN — 2u + k, = ka SE GNU 597 3= k,_ +- k, 3 k,u Ny-1 F4 k, 1|.
: k,— 2u+k,+k, ki—35u+k, 37 k,+kçu A —= ki

. . . . . . Q . ° e . Q Q . e . e.

On arrive finalement, en se servant d’un résultat obtenu
plus haut, à la relation

en (g—letkee+kh (mt No — ke\.
ki—(g— lu +ks+.. +ku u—k; ue — k2

A

Les formules précédentes, combinées par multiplication,
donnent

ag (Et) ed
i LB — q

Nous pouvons, en conséquence, énoncer le théorème général
suivant :
q + 1 involutions d'ordres n, et de rangs k,, dont la somme

(84)

des rangs est un multiple x de q, ont des groupes de p. éléments
communs en nombre fini

in, — k;

7 PET k) 3

10. En particulier, q + 1 involutions du même rang mg et
d'ordres quelconques n, possèdent des groupes de m (q + 1)
éléments communs en nombre fini

Trou m).
(om

Plus particulièrement encore, le nombre des groupes de q + 1
éléments communs à q + À involutions de même rang q et
d'ordres quelconques n; est égal à

g+1

= (ri — q).
Ce dernier théorème a été donné par M. Le Paige (*).

11. Soient g + À involutions 1};, dont la somme des rangs,
diminuée d'un nombre entier r, est un multiple » de q; ces
q + 1 involutions possèdent des groupes de # éléments communs
en nombre 7 fois infini. Si l’on donne r points arbitraires du
support commun à ces qg + 1 involutions, il leur correspond,
dans les q + 1 involutions 1: , des groupes d'éléments formant
q + 1 involutions 17, (— 1,9, 5, …, q + 1).

La somme des rangs de ces dernières involutions est un mul-
tiple m—7r de q; ces involutions ont done en commun un

nombre
k.

; M hi
ï E Henri

q

de groupes de m — r éléments, et nous aurons cette propriété :

(*) Voir le Mémoire de M. Le Paige (rappelé page 76).

&

( 85 )

Si la somme des rangs de q + 1 involutions 15 est un mul-
1

tiple m de q augmenté de r, r éléments quelconques du support

Mie

g+1
de ces involutions entrent dans II | AR
i 1

s groupes de m éléments

communs à ces involutions.
Plus généralement, à j points du support de q + 1 involutions
I: (j=r + nq) à correspond dans ces involutions des groupes

7 n;, — j éléments formant q + 1 involutions 1} RU la somme

des rangs de ces involutions est un multiple m — (r + (q + 1) n)
de q; conséquemment, ces q + 1 involutions ar ont en
commun des groupes de m— (r + n (q + D) pe en
nombre fini

ai | Den
II n; k;
D A +1))—# }?
et nous pourrons énoncer le théorème suivant :

Si q + 1 involutions ont des groupes de m éléments communs
en nombre r fois infini

r + nq éléments arbitraires du support de ces involutions entrent
dans

‘I N; F117 k;
m—(r+n(g+1))—k;
groupes de m + n éléments communs aux q + 1 involutions.

En supposant r — 0, nous arrivons à ce théorème final :
Si la somme des rangs de q + 1 involutions IF est un multiple
m de q, nq éléments arbitraires du support entrent dans

da Ni k;
m—n(g +1)—k;
groupes de m — n éléments communs aux involutions proposées.

Ces derniers théorèmes sont l'expression la plus générale des
2.
propriétés des groupes d'éléments communs à un système
d'involutions quelconques.

( 86)

12. Pour la suite de notre travail, il est nécessaire d'établir
la solution de quelques problèmes sur les groupes communs à
certaines involutions.

1° Deux involutions d'ordre m et du premier rang ont,
ainsi que nous venons de le voir, des couples communs en
nombre (m — 1)?; si les deux involutions appartiennent à un
même faisceau, c'est-à-dire si elles ont en commun un groupe
de m éléments, il est visible que le nombre des couples communs
se réduira à

2° Plus généralement, soient k + 1 involutions d'ordre m et
de rang &, I 5 — (1,9, 5, …, k + 1), appartenant à un même
faisceau, c'est-à-dire ayant en commun les groupes d’une involu-
ion d'ordre #” et de rang k — 1; recherchons combien ces
involutions ont de groupes de k + 1 éléments communs, qui
ne font pas partie des groupes de l’involution commune [?,.

Représentons ce nombre par la notation CN”(,",); désignons
par A;, un élément quelconque du support des involutions (+ étant
égal à 1, ou 2, ou .…, ou k + 1, selon qu'on le considère dans
l'une ou l’autre des Æ + 1 involutions données).

Prenons # éléments du support, A,, A;, …, À, ,, A,,,,… À,,,,
appartenant respectivement à Æ des involutions données,

We, Op G-Dpm, CH, LL, Up

a
et supposons que ces # + 1 éléments coïncident en un seul
élément À ; il leur correspond, dans ces involutions, des groupes
de m — 1 éléments, formant k involutions d’ordre m — 1 et de
rang k — 1, appartenant à un même faisceau, c’est-à-dire ayant
en commun les groupes d’une involution d'ordre m — 1 et de
rang k — 1 : ces involutions auront des groupes de k éléments
communs, ne faisant pas partie de l’involution commune, en
nombre °N#= (#2!); à chacun de ces groupes, il correspond dans
l’involution restante Ü[”, m— k éléments A,; si l’un de ces

i

(87)

éléments A, coïncide avec les k éléments coïncidents, A,, A, …,
A,,,A,,,,...,/A,,,, nous aurons un des groupes cherchés.

Ce que nous venons de voir suffit pour démontrer qu'entre
les éléments A3, A9, …, A,,,, 1l existe la correspondance

(ne il AIDE — 1 : X (m—), EN mi fr dE à bre, AU

D 'rieErE)

d'après l'extension du principe de Chasles, il existe
— | — |
(+ 1)(m—HONNT, de mo

coïncidences. Parmi ces coïncidences, il en existe qui corres-
pondent à des groupes de k + 1 éléments communs aux 4 + 1
involutions °J} et qui font partie de 1”...

En effet, si l'élément À est un élément k fois multiple de 1”,
il lui correspond, dans cette dernière involution, m — k éléments
qui peuvent se grouper Æ à k de (";°) manières, de façon à
former avec l'élément K*°° un groupe compris dans le nombre
des coïncidences. Puisque l’involution 1#_, possède k (m — k + 1)
éléments Æ fois multiples, il faudra retrancher du nombre primi-
üvement obtenu, # (m —k + 1) (";°); nous obtenons ainsi
pour le nombre des coïncidences utiles de la correspondance :

m—1fm—1 m—k
Œ+t)(m—DONTT, (Ro) kom k+ | : |

Chacun des groupes dont nous recherchons le nombre absorbe
k + 1 de ces coïncidences ; done

CO D mt PE k(in- k+ Hi
k+1

m—14{m—1 m—k+1
ee || k+1 |:

( 88 )

Nous aurons de même :

A (mt _yym—2 fm —92 2
Die (a) = tn — Der (és) — à)" k “.

EN cine ne pen FEI be |

5
A he

)

0 “a 2
et finalement :

E+ON MERE k\.
k \k—1 k+1

Nous pouvons ainsi énoncer ce théorème :

k + 1 involutions, d'ordre m et de rang k, qui ont en commun
les groupes d’une involution d'ordre m et de rang k — 1, ont en
outre des groupes de k + 1 éléments communs en nombre (55).
Ce théorème nous sera d’une grande utilité dans la suite.

VI

Éléments neutres.

4. Soit E,,, l'espace principal d’une involution d’ordre n
et de rang k, [;, dont les groupes sont représentés par des
systèmes de n points d’une courbe normale C,, de l’espace à
dimensions E,.

Supposons qu’à. k points de C,, il corresponde dans 1; deux
groupes de n — k points : dans ce cas, ces Æ points, Joints
à E,_,,, ne déterminent plus un espace à n — 1 dimensions,
mais un espace à n — À dimensions, ? étant au minimum égal à
deux. Tout espace E,_, à n — 1 dimensions qui passera par cet
espace à n — dimensions, marquera sur la courbe C, des
groupes de n — k points qui, avec les X points donnés, forment
des groupes de F:.

( 89 )

D'après la représentation des involutions dans les espaces dont
le nombre des dimensions est supérieur à leur ordre, ces groupes
de n — k points forment une involution d'ordre n — k et de
rang ? — 1.

Selon que à sera égal à 2, ou à 5, ou … à ®, nous dirons que
les groupes de k points qui jouissent de cette propriété forment
les images des groupes de Æ éléments neutres de première,
deuxième, …, ou (p — 1)°* espèce, de l'involution f?.

Nous pourrons ainsi énoncer les théorèmes suivants :

Quand à k éléments il correspond dans une involution 1? deux
groupes de n —k éléments, il leur en correspond une infinité
d’autres qui forment une involution d'ordre n — k et du premier
rang : ces groupes sont les groupes de K éléments neutres de
première espèce de l’involution.

Quand à k éléments il correspond dans une involution 1:
o + 1 groupes de n — k éléments indépendants entre eux, il leur
en correspond une 9° infinilé d’autres, formant une involution
d'ordre n — K et de rang ® (”).

2. Groupes de k éléments neutres de première espèce.
Soit l'équation d’une involution 1% sous la forme

M5 + A2 + + + Ana + 1 =0;

nous supposons comme précédemment que la forme ai? a pour
expression
QE = Molt + AUX Lo + ee + Qi, XS.

L'espace principal E,_,, de cette involution est formé par
l'intersection des 4 + 1 espaces à n — 1 dimensions dont les
équations sont

HU Ma Cut M0!

(ai, = dim + Que + «+ + ai, x).

(*) Le premier de ces théorèmes a été donné par M. Weyr (loc. cit., p. 58).

( 90)

D'après ce que nous venons de voir, la recherche des groupes
de k éléments neutres de première espèce revient à la détermi-
nation du nombre des espaces à n — 2 dimensions qui pas-
sent par E, _; _, et qui rencontrent la courbe C, en k points.
Or, tout espace à n — 2 dimensions’ passant par E,
a pour équations

LE pen ts

al, + 1002, + + + ak — 1, + Pak, = 0,
Pal, + 21002, + + 12 ,ak — 1, + ak + 1: = 0.

Chacune de ces équations représente un faisceau, d'ordre
k — 1, d'espaces à n — 1 dimensions; les espaces de ces faisceaux
rencontrent la courbe C, en des groupes de » points, formant
deux involutions 1}, ; ces deux involutions ont pour équations

ANQlT + Aa + + + A ak — 17 + APakr — 0,
Pal" + 1Pa2r + … + 2% ,ak — 17 + XEak + 1° — 0.

Ces deux involutions ont en commun les groupes de n élé-
ments de l'involution d'ordre n et de rang k — 1, dont l'équa-
tion est

Qu + pour + + + Peak” = {|}.

Le problème revient done à rechercher le nombre des groupes
de Æ éléments communs à deux involutions d'ordre n et de
rang # — 1, | ,, qui contiennent les groupes d’une involution
d'ordre n et de rang k — 92.

Prenons 4 — 2 éléments arbitraires ; il leur correspond dans
les deux involntions 1, des groupes de n — k + 2 éléments,
formant deux involutions 1*-“*?, d'ordre n — k + 9 et du pre-
mier rang, qui ont en commun un groupe de n — k + 2 élé-
ments; d'après ce que nous avons vu (II, v, 12), ces deux
involutions ont des couples communs, ne faisant pas partie du
groupe de n — k — 2 éléments communs, en nombre ("*").

Nous pourrons, en conséquence, énoncer le théorème suivant :

K— 2 éléments arbitraires du support d’une involution I:

(91)

peuvent s'associer à (":*) couples, de façon à former (°5*!)
groupes de k éléments neutres de première espèce de cette involu-
tion Ke.

En particulier, si nous supposons £ = n — 1, et k — 2, nous
obtenons ces propriétés :

Les groupes de n —1 éléments neutres de première espèce
d’une involution Ki, forment une involution d'ordre n — 1 et de
rang n — 5.

Une involution d'ordre n et du second rang possède (°°)
couples neutres (*).

3. En général, à 4 — 1 éléments du support d’une involution
I; il correspond dans cette involution des groupes de n — k +1
éléments formant une 1"; par un choix convenable des 4 — 1
éléments, il peut arriver que cette involution 1*-"*! soit indéter-
minée, c'est-à-dire qu'un de ses groupes ne soit plus déterminé
par un de ses éléments, mais par à de ses éléments; ces groupes
formeront, dans ce cas, une involution d'ordre n — k + 1 et de
rang ?.

Nous dirons que les groupes de # — 1 éléments, qui jouissent
de cette propriété, sont les groupes de Æ — 1 éléments neutres
de première, deuxième, …, ou (9 — 1)°* espèce, selon que sera
égal à 2, 5, …, ou .

Eu égard aux considérations que nous avons émises, quant à
la représentation d’une involution marquée sur une courbe
normale d’un espace dont le nombre de dimensions est supérieur
à l'ordre de l'involution, nous pourrons énoncer les théorèmes
suivants :

Si à un groupe de k — 1 éléments du support d’une involution
LE il correspond dans cette involution trois groupes den—k+ 1
éléments complètement indépendants, il lui en correspond une
double infinite d’autres, formant une involution d'ordre n — k+1
el de second rang.

Si à un groupe de k— 1 éléments du support d’une involu-

(*) Ges théorèmes sont dus à M. Em. Weyr (loc. cit., pp. 58 et 89).

(92)

tion I? il correspond dans cette involution © + À groupes indé-
pendants entre eux, il lui en correspond une o° infinité d’au-
tres qui forment une involution d’ordre n — k +1 et de rang ©.

Æ. Groupes de k — 1 éléments neutres de première espèce.

D’après la représentation d’une involution I} sur une courbe
normale C, de l’espace à n dimensions E, , un groupe neutre
de Æ — 1 éléments neutres de première espèce, joint à l’espace
principal E, ,_, de l*, détermine non un espace à n — 2 dimen-
sions, mais un espace à n — 3 dimensions. Rechercher le
nombre des groupes de £ — 1 éléments neutres de première
espèce d’une 1}, revient à rechercher le nombre des espaces à
n — 5 dimensions que l’on peut mener par E, ,,, de façon à
rencontrer la courbe OC, en £ — 1 points.

Si nous reprenons la représentation analytique d’une I? que
nous avons employée plus haut (IE, vr, 2), tout espace à n — 3
dimensions, passant par Î, ;,, a pour équations

Mal, + AM, + … + Aak — 2, + N0,ak — 1, —0,
Pal, + APa9, + … + APuk — 2, + 1P,ak, = 0,

Pal, + 1002, + … + Pak — 9, + 2Ë,ak + 1, = 0.

Chacune de ces équations représente un faisceau, d'ordre k —2,
d'espaces à n — 1 dimensions; les points de rencontre de la
courbe C, avec les espaces de ces faisceaux forment les groupes
de trois involutions d'ordre n et de rang Æ — 2 : ces trois involu-
tions ont en commun les groupes d’une involution d'ordre n et
de rang k— 3, marqués sur la courbe C, par les points

d'intersection des espaces à #7 — Î dimensions du faisceau
d'ordre # — 5, qui a pour équation

Pal, + paa2, + ve + px sah — 2, = 0.

Le problème revient done à celui-ci : Combien trois involu-
tions d'ordre n et de rang k — 2, qui ont en commun les groupes

(95)

d’une involution d'ordre n et de rang # — 5, ont-elles de groupes
de # — 1 éléments communs ?

Étant donnés £— 4 éléments du support des trois involutions,
il leur correspond dans ces dernières des groupes de n — k + 4
éléments, formant trois involutions d'ordre n — k + 4 et du
second rang : ces trois involutions ont en commun les groupes
d’une involution d'ordre n — k + 4 et de premier rang. Comme
nous l’avons vu, ces trois involutions ont en commun (";*°)
ternes d'éléments. Nous pourrons énoncer, en conséquence, les
théorèmes suivants :

k-— 4 éléments arbitraires du support d’une involution K
figurent dans (5?) groupes de k — 1 éléments neutres de
première espèce de cette involution.

Les groupes de n — 2 éléments neutres de première espèce
d’une involution 1%, forment une involution d’ordre n — 2 et
de rang n — 5 (*).

Toute involution d’ordre n et de quatrième rang possède (°;°)
ternes d’éléments neutres de première espèce. |

Les deux derniers théorèmes se déduisent du premier, en
supposant successivement 4 = n — 1 et £ — 4.

5. En général, à Æ— p éléments du support d'une [? il
correspond dans cette, involution des groupes de n — k + p
éléments, formant une 1”-?; on peut déterminer les k— p
éléments de façon que cette involution [5-"*? soit indéterminée,
en ce sens que les groupes de cette involution ne soient plus
déterminés par p de leurs éléments, mais par p + à : nous dirons
que les groupes de Æ — p éléments qui jouissent de cette pro-
priété forment les groupes de £ — p éléments neutres de
première, deuxième, …, ou ®"" espèce, selon que à est égal à 1,
2, …, OU o.

De là, nous déduisons les théorèmes suivants :

Si à un groupe de k —p éléments du support d’une involu-

(*) Ce théorème est dû à M. Le Paige, Sur les éléments neutres des invo-
lutions (BuzL. DE L’ACAD. ROY. DE BELGIQUE, 5° série, t. XIV).

(94)

tion IS il correspond dans celte involution p + 2 groupes de
n—k+p éléments complètement indépendants entre eux, il lui
correspond une (p + 1)"?* infinité d’autres groupes, formant une
involution d'ordre n — Kk + p ef de rang p + 1.

Si à un groupe de k — p éléments du support d’une involution
L il correspond dans cette involution p + © + 1 groupes de
n — k + p éléments complètement indépendants entre eux, il lui
correspond une (® + p)"®* infinité d’autres groupes, formant
une involution d'ordre n — k + p et de rang p + o.

6. Groupes de k — p éléments neutres de première espèce.

D'après ce que nous venons de voir, un groupe de 4 —p
éléments neutres de première espèce d’une involution [°, repré-
sentée sur la courbe normale C, de E,,, joint à l’espace principal
E,,,, de cette involution, ne détermine pas un espace à
n — p — 1 dimensions, mais un espace à n —p—92 dimensions.

Par conséquent, pour rechercher les propriétés des groupes
de & — p éléments neutres de première espèce d’une involution
:, il suffira de rechercher les propriétés des espaces à n — p — 2
dimensions que l’on peut mener par E, ,, et qui rencontrent la
courbe C, en £ — p points.

Tout espace à n — p — 2 dimensions, passant par E, ,,,a
pour équations, si nous nous en rapportons à la notation précé-
demment employée :

Bal, + 1009, + + 0, ak — p— 1, + A,ak —p, —0,

Aa, + APa2, + ce + A, ak — p — 1, + AP,ak — p + 1, = 0,

e Û 0 e e . ° 0 0 . e Û 0 0 e 0 0 0 e

al, + 10H09, + … + AP,af —p — 1, + ak + À, = 0.

Chacune de ces équations représente un faisceau, d'ordre
k— p — 1, d'espaces à n — 1 dimensions; les points de rencontre
avec la courbe CG, des espaces de ces p + 2 faisceaux forment
p + 2 involutions, d'ordre n et de rang 4 — p — 1, 1, ,; ces
p + 2 involutions 1}, ont en commun les groupes de l'invoiu-

(95)

tion d'ordre » et de rang À — p — 2, marquée sur la courbe C,
par les espaces à n — 1 dimensions du faisceau, d'ordre k —p—2,
qui a pour équation

pol, AE e1a2, RE NQONE © pe-pauk —p—1,— 0.

Le problème revient donc à rechercher le nombre des
groupes de £# — p éléments communs à p + 2 involutions [;,,
qui ont en commun les groupes d’une involution 1;_,_.

Étant donné k — 9 (p + 1) éléments du support des p + 2
involutions 1;_,,, il leur correspond dans ces involutions des
groupes de n — k + 2(p + 1) éléments, formant p + 2 involu-
tions d'ordre n — k + 2(p + 1) et de rang p + 1; ces dernières
involutions, ayant en commun les groupes d’une involution
d'ordre n — k + 2(p + 1) et de rang p, auront de plus ("747
groupes de p + 2 éléments communs. Nous pourrons donc
énoncer les théorèmes suivants :

k — 2(p + 1) éléments arbitraires du support d’une involu-
tion 1}, figurent dans (#5?) groupes de k—p éléments neutres
de première espèce de celte involution.

Les groupes de n — p — 1 éléments neutres de première espèce
d’une involution d’ordre n et de rang n — 1, forment une invo-
lution d’ordre n — p — 1 et de rang n — 2p — 5.

Toute involution d’ordre n et de rang 2(p + 1) possède
des groupes de p + 2 éléments neutres de première espèce, en
nombre (F5).

Ces théorèmes se déduisent du premier d’entre eux, en sup-
posant £—n—1etk—2(p + 1).

7. En particulier, prenons =, le nombre x étant
impair ; nous voyons qu'une involution d’ordre impair n et de
rang n — 1 possède un seul groupe neutre de == léments.

Or, les groupes de l’involution [%_, sont marqués sur la courbe

normale C, de E, par les intersections avec cette courbe des
espaces à n — 1 dimensions qui passent par un point fixe, point

(96)

principal de l'involution; done, en interprétant le théorème
précédent, nous arrivons à cette propriété : Par le point princi-
pal d’une raison Le d’ordre impair, on ne peut mener
qu’un seul espace à 1 dimensions, rencontrant la courbe C, en
—5— points.

“Cette interprétation nous conduit immédiatement à l’expres-
sion canonique des involutions, d'ordre n — 2m + 1 et de
rang 2m.

Soit A le point principal de cette involution, représentée sur

la courbe normale C, de l’espace à x dimensions, et soient
> di, GHD UPE
les coordonnées de ce point.

L'équation de l’involution représentée sera ainsi :

2m
> ajP"ti;,—0, (n— 92m + 1)
Désignons par

M, 29, am + ll;
IRIS À d'oto! 6 HORDE ARE
VE 22 AM + 15

les paramètres des points de rencontre avec la courbe C, de
l'espace à n dimensions, m + 1 fois sécant de C,, qui passe
par À; nous pouvons visiblement écrire les relations suivantes :

[AI 2m+1 A9, 2m+1 am + 1, 2m+1
—= a 2r C4 rt On A Er »

\12, \am + Île
ll ni É St ii
= |— Lo | — SAAOOUNC (74 a D
F M 12% PE am + do
Plon = À + oo EE Ge

Le facteur p est un facteur de proportionnalité, et les coeffi-
cients &y, &, …, &,4u SONt des constantes déterminées.

(97 )

Il s'ensuit que l'équation de l'involution pourra s'écrire :

2m+-1 M, 2m+A1—$ù no 2m+1—i
CRE
: M 21%

(@m+1)

ÀMm + 4, EEE
+ Any Pr: — 0,

Am + lo

ou bien, en remplaçant les expressions Pt”, par leurs valeurs,

et a—2m+1

a; X Il (AT a She AM2X (a) —10;
. a—1

i—1

Nous pourrons donc énoncer le théorème suivant :

Toute involution d’ordre impair n et de rang n — 1 peut se
représenter analytiquement par l'égalité à zéro d’une somme
de Le produits de n facteurs linéaires.

8. Jusqu'à présent, nous ne nous sommes occupé que des
groupes de k — p éléments neutres de première espèce, d’une
involution [°.

Les propriétés des groupes neutres d'espèce quelconque sont
analogues ; cependant, nous ne sommes pas parvenu à faire
cette étude d’une façon définitive, faute d’avoir résolu un pro-
blème préliminaire ; nous exposerons néanmoins la méthode qui
permettra d'arriver au résultat final.

D’après la définition des groupes d'éléments neutres d'espèce
quelconque, un groupe de 4 —p points de la courbe normale C,,
de l’espace E,, qui représente un groupe de £ — p éléments
neutres d'espèce ÿ, joint à l’espace principal E,_., de l'involu-
tion, ne déterminera pas un espace à n — p — 1 dimensions,
mais un espace à (n — p —i— 1) dimensions. Pour rechercher
les propriétés de ces groupes d'éléments neutres, il suffira donc
de rechercher les propriétés des espaces à n — p — (i + 1)
dimensions que l’on peut mener par E, ;,, de façon que ces
espaces rencontrent la courbe C, en 4 — p points.

Si nous supposons que l’involution est représentée analyti-
quement de la même façon que dans les paragraphes précédents,

7

( 98 )

tout espace à n — p — — 1 dimensions, passant par E,,,,
aura pour équations :

APal,+20a2,+...+ nes ak —p— + p-i0k —p ÈS 1 Tiers 0,

Al, + 0a2, +... +22 ak — p—1 +, suak—p—i 2. — 0,

e . e e ° e e 0 . e. . 0 e e

XPH + QD + APR — p— 5, + PET iak + A, = 0;

les facteurs À sont à déterminer par la position de chacun de ces
espaces.

Chacune des équations précédentes représente un faisceau,
d'ordre k — p — 1, d'espaces à n — 1 dimensions; les points de
rencontre des espaces de ces faisceaux avec la courbe normale C,
sont les groupes de p + + 1 involutions, d'ordre n et de
rang # — p — à. Ces involutions ont en commun les groupes de
l’involution, d'ordre n et de rang k — p — i — 1, marquée sur
la courbe C, par les espaces à n — 1 dimensions du faisceau
d'ordre k + p — i — 1 qui a pour équation,

boul, + pa 2, + ppp 0h —p —Ù—2, +07; 0h —p—i1,—=0.

Le problème revient done à rechercher les propriétés des
groupes de k — p éléments communs à p + & + 1 involutions
d'ordre n et de rang £ — p — 1, qui contiennent les groupes
d’une même involution d'ordre n et de rang £ — p — i— 1.

Étant donnés k — (i + 1) (p +1) éléments du support
de ces involutions, il leur correspond des groupes de
n—k+(i+1)(p +) éléments, formant p + i + 1 invo-
lutions d'ordre n — k + (i + 1) (p + à) et de rang i(p + à);
ces involutions contiennent les groupes d'une involution d'ordre
n — k + (i +1) (p + à) et de rang à (p + à) — 1; elles ont, en
plus, des groupes de i(p + + 1) éléments communs en nombre
fini, puisque la somme de leurs rangs est un multiple à (p+i+1)
de p + à (LE, iv, 4) : soit X le nombre de ces groupes; nous
pourrons énoncer le théorème suivant : k—(i + 1) (p + à)
éléments arbitraires du support d’une involution |; entrent dans

(99)

un nombre fini X de groupes de k — p éléments neutres d’espèce 1
de cette involution.

Le nombre X est, comme nous venons de le faire voir, le
nombre des groupes communs à p + à + 1 involutions 1455579 06#9,
qui appartiennent à un faisceau : la détermination de ce nombre
est très compliquée, et, comme nous l'avons déjà dit, nous ne
sommes pas parvenu à un résultat satisfaisant.

Les considérations précédentes nous conduisent encore aux
théorèmes suivants :

1° Une involution d’ordre n et de rang k ne peut avoir des
groupes de k— p éléments neutres d’espèce i, que dans le cas
dek 2 (i + 1) (p + i). 2° Une involution, d’ordre n et de rang
(i + 1) (p + i), possède des groupes de i (p + i + 1) éléments
neutres d'espèce i en nombre fini.

9. Dans ce paragraphe, nous établirons, par un procédé
différent, un théorème général sur les involutions d'ordre n et
de rang n —o, qui nous permettra de former les équations
canoniques de certaines involutions.

Soit E,_,, l'espace principal d’une involution 1;_, , représentée
sur la courbe normale C, d’un espace à n dimensions.

Considérons cet espace E,_, comme la Jonction de + points

AVE A2, .. Av.

ces points étant les points principaux des involutions d'ordre n

et de rang n — 1, dont [> est l'intersection.

Nous supposerons que le point
A(i= 1, 2, 5, .…., &).
a des coordonnées proportionnelles aux quantités
AO ARTE

L'espace à n — k— 1 dimensions, qui unit n — k points de
la courbe C, dont les paramètres sont

Al 22, An RELt ki
—— À = 0 =
11 12% An — ka

(100 )
a pour équations (voir 1, Addition)

Ko 2 — 2Pf00 + 2P09 — + Æ Zn-Pe 0 = 0,

Ki 2 — 2PI0 + 21500 — «+ Æ Lada =

K, = Zyu — Zr42PŸT #) + Z esp k) + gpl —— 0;

nous représentons, comme précédemment, par la notation PF”,
la somme des combinaisons # à à des n — X paramètres des
points de la courbe C,.

Si cet espace doit passer par l’espace E, ,, on doit avoir les
conditions

Nous représentons par la notation K!” ce que devient K, quand
on y remplace les coordonnées courantes z par les coordonnées
du point À, (p et q peuvent prendre les valeurs 0, 1, 2, 3, …, k
et 4, 245, 0)

De ces équations, nous déduisons les conséquences suivantes :
_ 1° Quandk < = on peut, par un espace à ç — 1 dimensions,
faire passer une (n — k(o + 1) —œ)""* infinité d'espaces
à n — k— 1 dimensions, rencontrant la courbe normale d'un
espace à » dimensions en n — k points;

2 Quand k = ce qui a lieu quand n — 9 est un mul-

4?
tiple de © + 1, on ne peut tue pes par un espace à o— 1

dimensions qu’un seul espace à À Le * dimensions, rencontrant la
courbe normale : un Sppece an Saisie en, — ç points;
9° Quand k 7. a , On ne peut mener par un he àp—1
dimensions, d'espace à n—k—1 dimensions rencontrant la
courbe normale d'un espace à n dimensions, que si les coor-
données de ® points A,(i — 1, 2, 5, …, @) de cet espace à o — 1

(101)
dimensions satisfont aux conditions exprimées par le symbole

alo .. al, … al} ... a% CO URL Apo ce pk
al, .… al, .. alx1 … a2, .. (27 ee ad? .-e U7AE — 0

e . « Q ° . 0 . 0 Q

al alé at al 2,07 2, api. (Op,

Ces théorèmes peuvent être interprétés autrement :

1° Une involution d'ordre n et de rang n —® possède une
(n—k(o +1) — De ci nité de groupes de n — k éléments
neutres, quand k <> +; ces groupes forment une involution
d’ordre n — Kk et de on n— (1 +o)k —o;

2° Une involution d'ordre n et de rang n — © possède un seul

n+A ;, j ;

groupe de ç éléments neutres, quand n + 1 est un multiple
dep+1.

10. D'un autre côté, soient les équations d’une involution 1?_ ep:
= aP9 + a1,PO, + + a1, ,P$) + al, PM = 0,
L= a2,P!") + a2,P), +. + a2, PM) + a2,P$") = 0,

le = ap0P0) + an PE, + + apn_1P9) + ao, PU —

Par l'espace principal E,_, de cette involution, menons un

des espaces à n —#k— 1 dimensions, rencontrant la courbe
normale en n — k points; et représentons par

Al, 12, An — k,

Ces) Re 2 0 ? Re—————

PA PRE An — k,
les paramètres de ces n — k points. Nous aurons les relations
suivantes :

MN" 221 an — k,\"-i
al; — xl, TT + al St + al, _# TT ?

: A2 AN —— ke
: ; Lo a a \n—i ; Den
a 1 — — Gas LR ,
p2 œz] M, + «4 9 ja.) + + k Ve E,

en En e — un
do; —= apy | — + as He + app | —— £
Po? | PA M, ?2 12 Pn—k ,

(102 )

t prend les valeurs 0, 1, 2, 5, …, n; les facteurs p sont des facteurs
de proportionnalité et les quantités x des constantes déterminées.
Dès lors, les a de l’involution pourront s’écrire :

Gi 29,\=i ET \ EE
ne +alo| — Het ad, | —— = (|).
1 x) M — Fo

A u a Ê
—= Ne Caen ai Es nn ne RE —= D;
fr ro :| Ce AFTER Poire |

ou bien

n—k n—k

0 a fi =Y al, V, = > x, (aux: + Mao) (10102 RE 119% 2) NX:
1

1
… (EN + AUXN),

n—k

0 = f=Y a2N,=—..… etc,
1

n—k

0 — fo = > axV;=—="… etc.
1
Nous appelons le produit

V, — ï (MX Q1 + AE a),
un
proue none n, et, la racine de ce produit; dans le cas
de k <= ; NOUS pourrons done énoncer le théorème suivant :

T pue on. d'ordre n et de rang n — ® peut se définir
analytiquement d’une (n — k(o +1) —o)""* infinité de
manières, par légalité à zéro de © sommes de n — k mêmes pro-
duits d’ordre u. :

Les groupes des racines de ces produits forment une invo-
lution d'ordre n — k et de rang n — (1 + ©) — +, représentée
par les @(k + 1) équations suivantes :

KO = al, — du + Hal, PE = 0,
KE — a9, — a2,,, Pt" Se 09 PE D — 0,

KP= a7; — aa Ph + Liu An - AP an “0,

à variant de 0 à 4.

(105)

En faisant usage de la transformation indiquée ci-dessus

(TE, 1, 5), nous pouvons remplacer les équations précédentes
par l’unique relation

D A à 2 à SM A A Os ee + HO A
al, al, de al: al,:;
P—
: al, al;;à . al,,; al,;r;
Ÿ 3, .
ad
= PT NA 2 A EE
a? ay ÊCE ap Apr
a? Apr 50 APrik APrrrti

Dans cette équation, les À désignent des paramètres arbi-
traires, et nous avons posé pour abréger :

Den r—=gp(k +1) —1.

En partieulier, nous pouvons énoncer le théorème suivant :

Toute involution d'ordre n et de rang n — o peut s'exprimer
> D ad n+l,,s
d’une seule façon par l’égalité à zéro de ® one dep; mêmes
produits d'ordre n, quand n + 1 est un multiple de © + 1.

Les racines de ces produits sont les racines de l'équation

SE — a rs Er PP mn ON Der
ai, _ al; re ai,_1 al,
P+1 PH +4 9
a? a? ‘. CETTE A?
APn-p den —® 4 00 Apr ap,
gi pri

Le premier membre de cette équation est le canonizani du
système.

(104)

VII
Involutions conjuguées.

1. Soit une involution d'ordre n et de rang k, T°, définie par
l'équation

Mal + 29027 + +. + ak + 2,40k + 17 = 0;

l'espace principal de cette involution, représentée sur la courbe
normale C, de l’espace à n dimensions, est l'intersection de
k + 1 espaces à n — 1 dimensions dont les équations sont :

al,—0, a2,—0, .…., ak,—0, ak+1,—0.

Nous pouvons considérer cet espace à n — k — 1 dimensions
comme étant l’espace complémentaire d’une involution d'ordre n
et de rang n — k — 1, [_,,, représentée sur la même courbe
normale C,. |

Nous appellerons les deux involutions I et [°_,,, involutions
conjuguées.

D’après ce que nous avons vu précédemment, l’espace prinei-
pal et l’espace complémentaire d’une involution 1}, représentée
sur une courbe C,, sont réciproquement polaires par rapport à
cette courbe; nous en déduisons la propriété suivante :

Deux involutions du même ordre sont conjuguées, quand
l’espace principal de l’une est l’espace complémentaire de l autre,
et vice versa. |

2. Cela posé, le pôle de l'espace à n — 1 dimensions ai, — 0,
par rapport à la courbe Q, a pour équations :

ER
0/ a, 1/7 ai, n/ ai

l'espace complémentaire de l’involution I? est la jonction de
k + 1 pôles analogues (i— 1, 2, 5, …, k + 1). Or, chacun de

|

(105)

ces pôles est le point principal d’une involution d'ordre n et de
rang n — À, °1%_,, dont l'équation est

ai, 4 an à
_ Qf: AO TE (0) + aiQ” =
{|

Lou

L'ensemble des 4 + 1 équations o,— 0 (i=—1, 2, 3, ….,k +1)
représente une involution d'ordre n et de rang n — k —1, qui
est l’involution conjuguée de I;.

Si nous employons les formules de transformations que nous
avons indiquées plus haut (IE, n, 5 et 6), l'involution conjuguée
de I? pourra se représenter par le faisceau, d'ordre n — k — 1,

de formes binaires d'ordre n, dont l'équation est :

a = ai,Q%) +

œ7 () DRE LL Ne | | LnCS | PIE ï LED D
al 0 al 1 al k (4) Il k+i
n—k
x a? a?, a, CPE sg
1 e . . Û
ak+1, ak+1, … ak + 1; ak + Vlr:

Si l'involution If était définie analytiquement par n — k formes
n-linéaires symétriques égalées à zéro, on pourrait de même
trouver les deux systèmes de représentation analytique de son
involution conjuguée.

3. Si l’involution I; possède un élément n°, par son espace
principal E,_;_,on peut mener un espace à n — 1 dimensions,
osculateur à la courbe normale C5 en un point A; par suite son
espace polaire, qui est l'intersection de n — k espaces à n — 1
dimensions, polaires de n — k points de E,_,_,, passera néces-
sairement par le point A.

L'espace complémentaire de l’involution passera done par le
point A, et par conséquent cet espace pourra être considéré

(106 )

comme l'espace principal d’une involution 1*_,_, qui se décom-
pose en un élément fixe À et en une involution 15; ,. Nous
pouvons donc énoncer le théorème suivant :

L’involution conjuguée d’une involution d'ordre n et de rang k,
qui possède un élément n°°*, se décompose en un élément fixe et
en une involution d'ordre n — 1 et de rang n —k —1 (*).

On pourrait démontrer, de la même façon, le théorème géné-
ral suivant :

L’involution conjuguée d’une involution d'ordre n et de rang k,
qui possède p éléments n°", se décompose en p éléments fixes et en
une involution d’ordre n — p et de rang n —k — 1.

4. Soit une involution 1} , n' < n, représentée dans l’espace
à n dimensions par son espace axial; cet espace axial est,
comme nous l'avons vu, un espace à n — X" — 1 dimensions
E,_ ;_,, qui rencontre la courbe normale C, de l’espace à n di-
mensions en # — ñn' points

Soit E,, l’espace à #”’ dimensions, polaire de l’espace E,_,, ;,
par rapport à la courbe C,; par E,, on peut faire passer
n —n espaces à n — 1 dimensions, osculateurs à la courbe :
ces n—n' espaces sont les n —n' espaces osculateurs aux
n—N points A;. L'espace E, définira done une involu-
tion d'ordre n et de rang n — k' — 1, possédant n — n' élé-
ments n°".

Comme les n — n' points A; peuvent être pris arbitrairement
sur la courbe C,, nous pourrons énoncer le théorème suivant,
qui est le réciproque des précédents :

A une involution d’ordre n' et de rang k’, il correspond une
(n—n')"* snfinité d’involutions conjuguées d'ordre n et de

(‘) M. Le Paige a donné ce théorème dans le cas particulier de & = 1,
n = 5 : Ueber conjugirte Involutionen (SITZUNGSBER. DER KAISERL. AKAD. DER
Wissenscn. zu Wien, 1881).

(107)

rang n — k'— 1; ces involutions conjuguées possèdent n — n°
éléments n°7.

5. De la représentation de deux involutions conjuguées, il
résulte les propriétés suivantes :

Si une involution d’ordre n et de rang k contient les groupes
d’une involution d'ordre n et de rang ©, l’involution conjuguée à
la première sera contenue dans lPinvolution conjuguée à la seconde,
et vice versa. Si une involution VW est contenue dans une involu-
tion d’ordre n et de rang K, l’involution conjuguée de cette der-
nière sera contenue dans une involution d'ordre n et de rang
n— Kk'— 1, possédant n — n' élements n°".

Supposons que l’involution 1} possède un élément (4+r+1)"";
l’espace à k + r dimensions, osculateur à la courbe au point A
qui représente cet élément multiple, a pour espace polaire un
espace à n — k — r — 1 dimensions, également osculateur à la
courbe C, au point A. Or, l’espace E;,, rencontre l’espace prin-
cipal de 1% en r + 1 points, formant un espace à r dimensions ;
done, l’espace E, ,,, sera situé, avec l’espace complémentaire
E, de I}, dans un même espace à n — r — 1 dimensions.

En particulier, si r — 1, nous pourrons énoncer le théorème
suivant :

Deux involutions conjuguées placées sur un même support ont
les mêmes éléments multiples.

Si une involution I? possède k’ éléments n“*, son involu-
tion conjuguée se décompose en k' éléments fixes et une invo-
lution [°=;. ; or, l'involution 1°-, possède (n — Æ)(k — k' + 1)
éléments (n — k)*", qui sont les éléments (k + 1)“ de l’invo-
lution 1; ; en conséquence, nous obtenons la propriété suivante :
Une involution KE qui possède k' éléments n° ne possède que

(n— k)(k — k’ + 1) éléments (k + 1).

6. Soit une involution I} et soient E,_,, et E,, l’espace prin-
cipal et l’espace complémentaire de cette involution.

Supposons que l’involution I? ait en commun, avec son involu-
tion conjuguée [*_,_,, un groupe de n éléments; dans ce cas, les

(108 )

deux espaces E, et E,_,,, étant situés dans un même espace à
n — 1 dimensions E,, (cet espace est la jonction des n points
de la courbe normale C, qui représentent les éléments du groupe
commun), se coupent en un point À. Or, nous avons vu que les
deux espaces E, et E,_,_, sont réciproquement polaires par rap-
port à la courbe C,; donc, A est le pôle de l’espace E,,, par
rapport à cette même courbe.

Remarquons que le point À, pôle de E,_,, est situé dans cet
espace E, ,; or, si n est pair, cela ne peut avoir lieu que si l’es-
pace E,_, est osculateur à la courbe C, (puisque le pôle d’un
espace à x — 1 dimensions , par rapport à une courbe normale,
ne peut être situé dans cet espace, si n est pair, que si cet
espace E,., est osculateur à la courbe).

S'il en est ainsi, le groupe commun aux deux involutions
I" et I, doit être un élément n° de ces deux involutions;
mais alors ces deux involutions sont l’une et l’autre décompo-
sables : cela résulte immédiatement d'un théorème démontré
plus haut (LE, vin, 5).

Donc : Une involution d’ordre pair ne peut avoir avec son invo-
lution conjuguée un groupe d'éléments en commun, à moins que
ces éléments ne coëncident, et alors l’involution et sa conjuguée
sont décomposables.

Il suffira donc, dans ce qui suit, de considérer les involutions
dont l’ordre n est un nombre impair.

7. Soient E, et E,. l’espace complémentaire et l'espace
principal d’une involution d'ordre n et du premier rang, K.

Si * a en commun avec son involution conjuguée [°_, un
groupe de n éléments, les deux espaces E, et E,, auront un
point commun À ; il y a plus : l'espace E, est situé dans l'es-
pace AE

En effet, tout espace à n — 1 dimensions, E,_,, passant par
E,,. a son pôle P situé dans cet espace E, , et dans l’espace E,;
or, cet espace E, , contient déjà le point A de E,; puisqu'il con-
tient un second point P, il contient tout cet espace.

( 109 )

Puisque l’espace E,_, est quelconque, il s’ensuit que E, , doit
contenir entièrement E,.

Nous pouvons donc énoncer le théorème suivant :

Toute involution d’ordre impair n, et du premier ou du
n — 2" rang, qui a en commun avec son involution conjuguée
un groupe de n éléments, est contenue dans celle-ci, ou bien con-
tient celle-ci.

8. Soient E, ; et E,, l’espace principal et l’espace complé-
mentaire d’une involution LE; si l’involution [2 a en commun avec
son involution conjuguée [_, un groupe de n éléments, les deux
espaces E, et E,_; seront situés dans un même espace à n — 1
dimensions E,_,, et par conséquent ces deux espaces se coupe-
ront en un point À ; ce point À est le pôle par rapport à la courbe
normale de l’espace E, ,.

Donc : Une involution d’ordre impair n, et du deuxième ou du
n — 9° °° rang, Qui a en COMMUN avec Sa conjuguée UN groupe
de n éléments, est contenue avec celle-ci dans une même involu-
tion d’ordre n et de rang n — 1.

Tout espace E,, passant par A et situé dans P, , est l'espace
principal d’une involution 1%, dont l’espace complémentaire
passe par À ; d’après ce que nous avons vu, cette involution |°_>
contient son involution conjuguée. De méme, tout espace E, ;,
passant par E, ;, est l’espace principal d’une involution I? dont
l'espace complémentaire passe par À; en conséquence, cette invo-
lution I} est située dans son involution conjuguée. Nous pour-
rons donc énoncer les deux théorèmes suivants :

Toute involution d'ordre impair n et du second rang, qui a en
commun avec son involution conjuguée un groupe de n éléments,
contient une infinité d’involutions d'ordre n et du premier rang,
qui sont contenues dans leurs involutions conjuguées.

Toute involution d’ordre impair n et de rang n — 5, qui a en
commun avec son involution conjuguée un groupe de n éléments,
est contenue dans une infinité d’involutions d'ordre n et de
rang n — 2, contenant leurs involutions conjuguées.

(110)

9. Supposons maintenant que deux involutions conjuguées F;
et 1°_; aient en commun les groupes d’une involution d'ordre n
et du premier rang; dans ce cas, les deux espaces E, et E,_, sont
situés dans un espace E,.,, espace principal de l’involution
commune; par conséquent, les deux espaces E, et E, ; se cou-
pent en une droite, espace complémentaire de l’involution
commune.

Donc : Toute involution d’ordre n et du second rang, qui a en
commun avec son involution conjuguée les groupes d’une involu-
tion d’ordre n et du premier rang, est contenue dans l’involution
conjuguée à celte dernière. :

De plus, les deux espaces E, et E,_; coïncident (*).

En effet, tout espace à n — | dimensions E, ,, passant par
E,_;, a son pôle P situé dans l’espace E,_, et dans l’espace E,; or,
l’espace E,, contient déjà une droite de E, ; il contient, par
conséquent, cet espace E, tout entier. Puisque l'espace E,., est
quelconque, il faut nécessairement que les deux espaces E, et E,_;
coïincident. Nous obtenons ainsi le théorème suivant :

Toute involution, d’ordre impair n et du second ou du n — 3°"°
rang, qui a en commun avec son involulion conjuguée les groupes
d’une involution d’ordre n et du premier rang, est située dans
celte involution conjuguée ou bien y est contenue.

10. Plus généralement, soient E,_, , et E, l’espace principal
et l’espace complémentaire d'une involution d'ordre n et de
rang 4, [°.

Supposons d'abord que cette involution [7 ait en commun avec
son involution conjuguée [%_,, un groupe de n éléments; les
deux espaces E, et E,_,, ont, dans ce cas, un point commun A.

Toute droite de l’espace E, qui passe par A est située dans
son espace polaire correspondant et définira, par conséquent,
l'espace principal d'une involution [°_, qui contient son involu-

Lion conjuguée.

(*) Nous appelons espaces coïncidents des espaces E,, E;, tels que E; est
compris dans E;.

(411)

De même, tout espace E,, passant par E,_,, contient sa
droite polaire et définira l’espace principal d’une involution I qui
est contenue dans son involution conjuguée. Nous pourrons donc
énoncer les théorèmes suivants :

Une involution d'ordre n et de rang k, qui a en commun avec
son involulion conjuguée un groupe de n éléments, contient une
k— 1%" infinité d’involutions d’ordre n et du premier rang,
contenues dans leurs involutions conjuguées.

Une involution d'ordre n et de rang k, qui possède un groupe
de n éléments en commun avec son involution conjuguée, est

située dans une k — 1°"* infinité d’involutions d’ordre n et de
rang n — 9, qui contiennent leurs involutions conj'uguées.

11. Supposons maintenant que deux involutions conjuguées
J° et 1°, , aient en commun les groupes d’une involution d'’or-
dre n et de rang p, l,.

Dans ce cas, les deux espaces E, et E,_,;_,, espaces principaux
de ces deux involutions conjuguées, sont situés dans un espace
à n—p— 1 dimensions, E,_,_,, qui est l’espace principal de
J, et, par conséquent, ces deux espaces se rencontrent en un
espace à p dimensions E,, espace complémentaire de F°; nous
en déduisons d’abord ce théorème :

Si deux involutions conjuguées ont en commun les groupes
d'une involulion, cette dernière est contenue dans son involution
conjuguée.

Tout espace à p + 1 dimensions, passant par E, et situé
dans E,, est contenu dans son espace correspondant et, par
conséquent, définit l’espace principal d'une involution LI;
contenant son involution conjuguée.

En conséquence : Une involution d’ordre impair n et de.
rang kK, qui a en commun avec son involulion conjuguée les
groupes d’une involution d’ordre n et de rang p, est contenue dans
une (k — p)"* infinité d’involutions d'ordre n et de rang
n — p — 2, contenant leurs involutions conjuguées.

On démontrerait que, dans les mêmes conditions, l’involu-

=p—2

(142)

tion 1? contient une (k — p)""*° infinité d'involutions d’ordre n
et de rang p + 1, contenues dans leurs involutions conjuguées.

12. Supposons enfin que deux involutions conjuguées [ et
J ,, aient en commun les groupes d'une involution 1;_,; dans
ce cas, les deux espaces E, ,_, et E, sont situés dans un espace
à n — k dimensions E,,, qui est l’espace principal de l’invo-
lution [%,; donc ils se coupent en un espace à k — 1 dimen-
sions E,_,, qui est l’espace complémentaire de l'involution 1, ;
nous en déduisons ce théorème :

Si deux involutions conjuguées KE et [,_, ont en commun les
groupes d’une involution L\., , cette dernière involution est contenue
dans son involution conjuguée.

De la même façon que pour le cas de k— 1 et de k— 97,
on démontrerait que les deux espaces E, et E,_;, sont contenus
l’un dans l’autre.

Donc : Toute involution d'ordre impair n et de rang k, quia en
commun avec son involution conjuguée les groupes d’une involu-
tion d’ordre n et de rang k — 1, est contenue dans son involution

conjuguée ou contient son involution conjuguée.

CHAPITRE IL.

Détermination d’une involution J’.

4. Nous avons vu que k + 1 groupes de n éléments déter-
minent une involution 1}, et qu'étant donnés k éléments d’un
k + 2°" groupe, il est possible de trouver les n — k éléments
qui complètent ce groupe; la solution de cette question dépend
d’un problème du degré n — k, puisque cette solution revient à
rechercher les racines d’une équation d'ordre n, à k indétermi-
nées, connaissant k de ces racines.

Étant donnés k + 1 groupes d’une involution d’ordre n et de
rang k, complètement indépendants entre eux,

Gratis Gyu15

pour déterminer les n — k éléments correspondant à k éléments

donnés,
b 2 L, .…. le,

il revient au même de compléter les groupes de deux involutions
de rangs inférieurs.
En effet, par exemple, prenons 4 des groupes donnés

G, G, 000%) G;;

ils déterminent une involution d'ordre x et de rang 4 — 1 ; à
k — 1 des éléments donnés, par exemple, aux éléments

li, L, COLLE) Le

(M4)
il correspond n — k + 1 éléments, dans cette involution 1%, :

k; , h2 DA NOO 0) hrs :

Les n éléments
VAR A 10 I OPA TE ee PAR ARR AE © jte
appartiennent évidemment à l'involution cherchée, [;.
De plus, aux #4 — 1 éléments
OR SSASS RAA tURU

il correspond dans l’involution 1; des groupes de n — k + 1 élé-
ments formant une involution d'ordre n -— k + 1 et du pre-
mier rang; les n — k + 1 éléments

NP REP OTReE
forment un groupe de cette involution.

Prenons encore k groupes parmi les À + 1 groupes donnés;

par exemple,
G, G:;, 200 G, (7

ils déterminent une seconde involution 1;_,. Aux éléments

«

b , L ’ ejeris leo , ls ,

il correspond, dans cette dernière involution, n — k + 1 élé-

ments
lo gs oc.) Une ;
les n éléments

U , LE , 2000 Er D b, L, GIgol0 5 (PA
forment un groupe de l’involution ['; de plus, les n—k+1
éléments

CITE ETES rer

forment un second groupe de l'involution 17".

(115)
Les deux groupes

LTE LES Ci pre 9

CAEPLEN PAACCAROIRE TARA
déterminent l’involution [*-“*!; si nous construisons dans cette
involution le groupe de n — k éléments correspondant à l’élé-
ment /,, ce groupe de n — k éléments sera le groupe correspon-
dant aux k éléments donnés dans l’involution 1? , caractérisée par
les & + 1 groupes G,, Go, .…, Gr:

Le problème revient donc à la détermination de deux involu-
tions d'ordre * et de rang & — 1, et à la détermination d’une
involution d'ordre n — k + 1 et du premier rang.

De la même facon, la détermination de chacune des involu-
tions d'ordre n et de rang # — 1 revient à la détermination de
deux involutions d’ordre n et de rang 4 — 2, et à la détermina-
tion d’une involution d'ordre n — k + 2 et du premier rang. En
continuant de la sorte, nous arrivons à ce résultat, que la déter-
mination d’une involution d'ordre n et de rang Æ revient à Îa
détermination d’involutions du premier rang (”).

2. Comme exemples, nous allons exposer, brièvement les
constructions dans le plan des involutions cubiques représentées
sur un support donné; nous pouvons toujours supposer que ce
support est une conique ou, plus particulièrement encore, un
cercle. Si le support était une courbe unicursale quelconque, on
pourrait, par un nombre convenable de sections et projections,
ramener les points de ce support à correspondre uniformément
aux points de la conique ou du cercle.

Les droites qui unissent deux à deux les points des ternes
d’une involution cubique du premier rang, marquée par les points
d’une courbe du second degré CG, enveloppent une courbe de la
seconde classe, que nous appellerons courbe d’involution.

En effet, toutes les droites du plan qui passent par un point P

(‘) Voir le Mémoire de M. Weyr (loc. cit., p. 58).

(16)

quelconque marquent sur la courbe C, des couples de points
formant une involution KE (I, 11, 4, 2, 5); cette involution a en
commun avec l’involution 1; des couples au nombre de deux.

Ces couples correspondent évidemment aux tangentes de la
courbe d'involution qui passent par le point P; si nous remar-
quons qu'une involution L! est déterminée par deux ternes d’élé-
ments correspondants, nous pourrons énoncer cette propriété
bien connue :

Si deux triangles sont inscrits à une même conique CG, ils sont
circonscrits à une même conique C9, et il existe une infinité d’au-
tres triangles inscrits à C et circonscrits à co.

Ce théorème a conduit M. Le Paige à un premier mode de
construction de l’involution If (*).

Soient donc deux groupes de trois points, æ, Y, z1 et
Ta Ya» Z2, Situés sur une courbe du second degré C:, et un
point x;,; il s’agit de déterminer les deux points y; et z; complé-
tant le groupe défini par le point x; dans l'involution cubique
qui possède les deux groupes donnés.

D'après ce que nous venons de voir, il existe une conique 5
inscrite aux deux triangles (xiy1z1) et (xaYoZa); si de x; nous
menons les deux tangentes à cette courbe &,, ces deux droites
rencontreront la courbe C, en deux points y; et z;, qui sont
les points cherchés.

Il est facile de s'assurer que Si Ty, Vos V3, Tr, Sont les quatre
points d'intersection des deux courbes C, et & , les quatre tan-
gentes à oc, en ces points coupent la courbe G aux quatre
points doubles de l'involution. Ces points sont, du reste, les points
de contact sur C, des quatre tangentes communes aux deux
courbes C et c2.

3. Supposons que les deux ternes x,, y, z1 et &, Yo, Z9
soient deux groupes de trois points d’une droite d. Nous pou-

(*) Voirles Essais de Géométrie supérieure du troisième ordre de M. Le Paige,
pp. 69 et suivantes.

(117)

vons construire les ternes de l’involution en faisant usage de la
représentation suivante :

Les courbes du troisième degré, qui passent par huit points
fixes, rencontrent une droite fixe d en des groupes de trois
points formant une involution cubique du premier rang.

* Cette propriété est évidente, si l’on remarque qu’une cubique
plane est déterminée par neuf quelconques de ses points.

Pour construire l’involution cubique sur la droite d, nous

choisirons les huit points de base du faisceau de cubiques, de
telle sorte que les deux cubiques qui passent par les points
Xi > Jr 215 Los Ya» So S0ient décomposables en trois droites,
et que la cubique, qui donne avec le point x; les deux points
inconnus 7; et z;, Soit formée d'une droite et d’une conique.

Il suffira pour cela d'effectuer les constructions suivantes :

Par %, Yi, 31, menons trois droites quelconques &, b,, c,
el par x;, une droite quelconque a; rencontrant les droites
ai, 01, © en A. Bo, C;. Les droites as = (Ay%2), ba = (Boy),

(18)

C> = (C3z>) rencontrent respectivement les trois couples de
droites

bi, G5 @, G; @, bn
en des points

B;, G; À, C; AÀ;, B:.

Les six points AÀ,, A;, B,, B;, C,, C, sont sur une conique,
puisque l'hexagone A,A;,B;B,C,C,A, est tel, que les intersec-
tions des couples de côtés opposés

AA;, BC; A3B;, CC; B:B;, AC

sont trois points A,, B,, C; situés en ligne droite. La conique C:,
circonserite à cet hexagone, coupe la droite d en deux points
réels ou imaginaires conjugués, qui sont les deux points y; et z;
cherchés.

Le problème revient donc à construire les intersections de la
_ droite d avec une conique dont on connait six points.

Remarquons que le quadrilatère dont les sommets sont A,A;,
B,B; est inscrit à la conique inconnue C,; donc les côtés opposés
de ce quadrilatère,

AA:, BiB:, A:B:;, AB,

et la conique C, rencontrent la droite d en six points
Lis Yas Zas Us Vs Es
formant trois couples d’une involution quadratique K.
Le point w, de la droite d est indépendant du choix des
droites a, by, €, a,; en effet, le point w, est le point correspon-
dant de x; dans l’involution quadratique qui est définie par les

couples :
Lis Vis Los Yo.

Cela résulte immédiatement de l'inspection de la figure.
De même, les couples des côtés opposés du quadrilatère

B;B:C:C,
B;B;, CG; BC, BC

(119)

et la conique C, rencontrent la droite d en six points, formant
trois couples
V1» Zi Le, Us; VER 23

d’une même involution quadratique J{.

Le point w, de la droite d est, de même que le point w,, indé-
pendant du choix des droites a, b4, C1, as.

De ce qui précède, il résulte que les deux points y;, z; sont
les points communs aux deux involutions [°, J}; la résolution de
ce problème dépend d'une question du second degré; par con-
séquent, il faudra transporter les éléments déterminatifs sur un
support du second degré quelconque.

Voici donc les constructions à effectuer :

Prenons une courbe du second degré quelconque, par exemple
un cercle, et d'un point O de cette courbe projetons les points
Lis Yo 745 Los Ya» Z9 et 3 de la droite d'en des points x, y;, x,
Las Yas Les Lse

Les droites (xy;) et (x:y.) se coupent en un point A; les
droites (y;z;) et (y:z:) se coupent en un point B. Les droites

( 120 )

Ax; et Bx; rencontrent la courbe en w! et w,; les droites (zu!)
et (zu) rencontrent respectivement les droites (xiy;) et (x:y:)
en des points À’ et B’ : la droite A'B' coupe la courbe en deux
points, y; et z;, qui, projetés du point O sur la droite d,
donnent deux points, y; et z;, complétant le groupe défini par
le point x; dans l'involution 5 déterminée par les ternes
Lys Yo 715 Los Yo La.

4. M. Le Paige a donné un second mode de représentation
de l’involution K sur une conique; voici la propriété sur laquelle
cette représentation est basée : les coniques d’un faisceau dont
un des points de base est situé sur la conique-support rencontrent
celle courbe en des ternes de points jean une involution
cubique du premier rang.

Étant donnés deux ternes, L1 Yio 215 Vo» Yo, Zos À’ UNE INVO-
lution 1°, voici les constructions indiquées par M. Le Paige pour
compléter le terne défini par un point x, :

Les droites (x1y1), (x:Y2) se coupent en un point A, et la
droite (Ax;) rencontre la conique-support en un point B. Les
droites (Bz,), (Bz,) coupent respectivement les droites (xoy2)
el (x1ÿ1) des points A’, B' : la droite A'B’ rencontre la conique-
support aux deux points cherchés y;, z;; en effet, les trois
couples de droites

(A’B’), (Ax:); (%eÿ), (22B); (xs), (z1A')

(124)

constituent trois coniques décomposables passant par quatre
points fixes A, A’, B, B’, dont l’un, B, est sur la courbe-
support. |

Ces constructions sont encore possibles quand chacun des
ternes donnés est composé de deux points imaginaires conju-
gués et d’un point réel, puisque les droites qui unissent les
couples imaginaires conjugués sont toujours réelles et se coupent
donc en un point réel A.

Remarquons que la droite (A’B’), quand le point x; parcourt
la conique, enveloppe une courbe de la seconde classe; cette
conique d'involution permettra, comme précédemment, de déter-
miner les points doubles de l’involution.

5. Voici encore les constructions relatives aux involutions
cubiques du second rang, qui ont été indiquées également par
M. Le Paige : ;

Étant donnés trois ternes, x, Yi, 213 Xo, Vas 223 X3 Vas 23)
d’une K, compléter le terne défini par deux éléments x;, y,; nous
supposerons, comme précédemment, que les éléments de chaque
terne sont les points d'une conique.

Au point x, il correspond, dans les deux involutions |}, possé-
dant les ternes

Lis Yis 15 Las Yas Ta OÙ Mi, Yi, Las Us, Vs T5

des couples
Yszs Cbt Yize.

Soit [ l'involution quadratique qui possède ces couples : le
point z,, correspondant de y, dans cette involution quadratique,
sera le point cherché.

D'où les constructions suivantes : les droites (x,y1), (xoÿ2) se
coupent en À ;: Ax, coupe la conique en B; (Bz,) et (Bz2) ren-
contrent respectivement (x,Y2) et (x17,) en A’ et B’. Les droites
(xiY1), (t3y3) Se coupent en A, ; (A,x;) coupe la conique en B,;
(B,z,) et (B;z;) rencontrent respectivement (x,y;) et (xiy1) en -
A; et B;. Les deux droites (A'B"), (A!B;) se coupent en un point £;

(12 )

la droite ({y;) rencontre la courbe au point Z,, qui complète le
groupe défini par les deux éléments y, et z,.

Si nous déterminons un second point {,, analogue à £, en
employant un point x; quelconque de la courbe, la droite ét,
rencontrera cette courbe en deux points réels, ou imaginaires
conjugués, qui sont les éléments neutres de l’involution. En
effet, nous savons que le couple neutre d’une FE appartient à
toute involution quadratique correspondant à tout élément quel-
conque; ce couple sera donc le couple d'éléments communs
à deux involutions correspondant à deux points, par exemple
x; Et Lys.

6. On pourrait construire également une involution E sur
une droite en faisant usage de la propriété suivante : Les
cubiques planes qui passent par sept points fixes marquent, sur
une droite quelconque, des ternes de points formant une involu-
tion K5.

Il est un cas où les constructions sont particulièrement
simples :

Soit à construire le point complétant un groupe défini par
deux points x.y, dans une involution 15, dont on connaît le
couple neutre n1, n, et un terne de points Xy, Yi, Z,, dans Îa
supposition que ces éléments sont situés sur une droite. Si le
couple neutre est réel, menons par », et n, deux droites arbi-
traires FAB et ECD (fig. D), et par x, une droite quelconque AD :
les droites (z,D), (y1A) coupent respectivement FAB et ECD
en F et en C. La droite (Cy,) coupe FAB en B; la droite (x,B)
coupe CED en E; la droite EF coupe AC en G et la droite-
support au point cherché z,. En effet, les trois cubiques
formées : 1° des trois droites (BE), (AC), (FD); 2° des trois
droites (EF), (BC), (AD); 5° des deux droites (BF), (ED) et
d’une droite quelconque passant pan G, ont en commun sept
points À, B, C, D, E, F, G, et par conséquent ces trois cubiques
rencontrent le support en des ternes formant une E.

La position du point z, ne dépend pas du choix des droites
FAB, ECD et AD.

(123)

En effet, si x et y sont les points d’intersection des droites AE
et FC avec le support, le point z, est le point correspondant

de y, dans l’involution quadratique définie par les couples
LT, V3 Ni No:

D'autre part, x et y sont des points fixes, puisque ce sont les

points correspondants respectivement de y, et de x, dans les

deux involutions quadratiques définies par les couples y,, x, ;

Mi, No Et Zy> Ya 3 M, 2. Cela ressort immédiatement de l'examen

de la figure I.

Si le couple de points neutres était formé de deux points
imaginaires conjugués donnés, par exemple, par l’intersection
imaginaire d’une courbe réelle C, avec le support, il suffirait de
remplacer dans ce qui précède la conique décomposable formée
des deux droites FB et CD par la conique C,. La figure IT
indique suffisamment les constructions à effectuer.

(12%)

J

7. Si nous prenons comme support d’une involution cubique
une cubique gauche, les constructions deviennent excessivement
simples. Il est, du reste, facile de faire correspondre uniformé-
ment les points d’une cubique gauche aux points d’une droite
ou d’une conique, ou d’une courbe plane unicursale quel-
conque.

En effet, un faisceau de plans, dont l'axe est une bisécante de
la cubique, projette uniformément tous les points de cette courbe
sur une droite, et inversement.

S'il s’agit de transporter les points d’une cubique gauche sur
une conique ou sur une courbe unicursale quelconque, on com-
mencera par transporter ces points sur une droite quelconque et
l’on projettera les points de cette droite sur la courbe unicursale,
et inversement.

Nous avons vu dans la représentation des involutions quel-
conques que les plans d’une gerbe marquent sur une cubique
gauche des séries de trois points formant une involution I.

En partant de là, nous pouvons construire facilement les
ternes d’une involution cubique de seconde espèce, dont on con-
nait un nombre suffisant d'éléments déterminatifs.

ProBLÈMEs. — 1° Construire une KE connaissant trois ternes
d’éléments.

Les éléments des ternes peuvent être donnés soit isolément,
soit par leur plan, soit par une bisécante de la courbe et un point
de cette courbe.

Les trois plans qui unissent les trois points des trois ternes
se coupent en un point À; si l'on se donne deux points x, y
d’un groupe, le plan (Axy) coupe la cubique en un troisième
point z, qui complète le groupe déterminé par les deux points
x et y.

Les points triples de l’involution sont marqués sur la cubique
gauche par les points de contact des plans osculateurs issus du
point A.

Pour construire les éléments neutres de l’involution, il suffit
de remarquer que ces éléments forment le couple commun à

(135)

4

toutes les involutions quadratiques correspondant à tous les
points de la cubique; il s'agira donc de construire le couple
commun à deux de ces involutions.

Prenons sur la courbe trois points quelconques M, M’ et M”;
par la droite AM, menons deux plans quelconques qui rencon-
trent la cubique suivant deux bisécantes (XY), (X'Y") ; soit M'P
la transversale menée du point M’ à ces deux bisécantes; le plan
(AM'P) coupe la cubique en deux points; la droite de jonction
passera par le point A et sera la droite qui unit les éléments
neutres; par conséquent, si MP’ est la tranversale menée du
point M” aux deux bisécantes (XY) et (X'Y'), les deux plans
(AM'P), (AM"P") se couperont suivant la bisécante qui repré-
sente les éléments neutres de l'involution; cette bisécante passe
nécessairement par le point À ;

2 Construire une 5, connaissant le couple des éléments neu-
tres et un terne de points.

Soit d la bisécante qui unit les points neutres; le plan qui
unit les points du terne donné coupe la droite d au point A; ce
point caractérise, comme plus haut, l'involution ;

9° Construire le groupe commun à trois involutions définies
par un nombre sufjisant de conditions.

Soient A, A’, A” les centres des trois gerbes qui caractérisent
les trois involutions : le plan (AA’A”) coupe la cubique en trois
points, qui représentent le groupe commun aux trois invo-
lutions. |

8. M. Le Paige (*) a appliqué la conception de l'involution
cubique à la résolution de nombreuses questions intéressantes,
entre autres à la construction des courbes et des surfaces
cubiques.

Nous allons montrer, par un exemple que nous lui emprun-
tons, en quoi consiste sa méthode.

Pour les courbes cubiques, le principe est celui dont nous

(*) Mémoire sur les courbes du troisième ordre, 24e partie [Mémoires IN-4°
DE L’Acan, RoY. DE BELGIQUE, t. XLV (1882), p. 40].

(1%)

nous sommes déjà servi : les cubiques qui passent par sept points
coupent une transversale quelconque en des séries de trois points
formant une E.

Étant donnés neuf points indépendants entre eux, A4, Ao, …,
As, A9, nous pouvons construire les points d’intersection d’une
droite quelconque À avec la cubique qui passe par ces neuf
points.

En effet, les courbes cubiques du réseau qui a pour points de
base les sept points A,, À,, A;, AÀ,, A;, A6, A, coupent la
transversale À en des ternes de points formant une L; nous
pouvons déterminer facilement trois ternes de cette involution,
car, dans le réseau en question, nous pouvons considérer les
cubiques décomposables formées des éléments suivants : 1° la
conique passant par les cinq points A,, À,, À;, À,, À, et la
droite (A4A;); 2° la conique passant par A,, A., A;, A;, A, et
la droite (A;A;); 3° la conique passant par A,, À, À;, As, A6
et la droite (A,A,). Ces cubiques décomposables coupent la
droite À en trois ternes de points qui suffisent pour définir l'in-
volution KE.

Si nous considérons de même les points d’intersection des
cubiques des deux réseaux dont les points de base sont

A,, A2, A5, À,, A;, À, A4 et A;, A, A5, À;, As, As, As

nous obtenons de la même façon deux nouvelles involutions
[: 1/58
22

Si nous construisons sur la droite À le groupe commun aux
trois involutions E, L, L°, les points de ce groupe seront les
points d’intersection de cette droite avec la cubique passant par

les neuf points donnés.

(127)

Il

1. Les diverses propriétés des involutions quelconques per-
mettent d'énoncer les principales propriétés des courbes ration-
nelles des espaces à un nombre quelconque de dimensions.

Tous les espaces à n — 1 dimensions d’un espace à n dimen-
sions, E,, rencontrent une courbe rationnelle quelconque de cet
espace C,,, d'ordre m, (mZn), en des séries de m points formant
les groupes d’une involution d’ordre m et de rang n.

En effet, la jonction de n points de la courbe C,, détermine
un espace à n — 1 dimensions qui rencontre la courbe en
m points, parmi lesquels figurent les n points donnés; de plus,
cet espace à n — | dimensions ne dépend pas du choix des
n points du groupe; les rôles des points d’un groupe sont donc
interchangeables.

De la même façon : 1° les espaces à n — 1 dimensions qui
passent par un point fixe À de E, marquent sur la courbe C,,
des groupes de m points formant une involution d'ordre m et de
rang n — 1; ® les espaces à n — 1 dimensions qui passent par
un point de la courbe C, marquent sur celle-ci des groupes
de m — 1 points, formant une involution d’ordre m — 1 et de
rang n — 1.

En ayant égard à ces considérations, nous pourrons énoncer
la suite des théorèmes suivants :

THÉORÈME [. — Par un point, situé en dehors d’une courbe
rationnelle d'ordre m, d’un espace à n dimensions, on peut
mener à cette courbe n (m — n + 1) espaces à n — 1 dimensions
osculaieurs.

Autrement : toute courbe rationnelle d’ordre m d’un espace à
n dimensions est de la classe n (m — n + 1); ou bien encore :
les espaces à n — 1 dimensions, osculateurs à une courbe ration-
nelle d’ordre m de l’espace à n dimensions, enveloppent une déve-
loppable de la classe n (m —n +1).

\ (128 )

Taéorème II. — Par un point situé sur une courbe rationnelle
d’ordre m de l’espace à n dimensions, on peut mener n (m — n)
espaces à n — 1 dimensions osculateurs à ceite courbe; les points
de contact de ces espaces sont différents du point chosi.

THéorRèME III. — On peut mener à une courbe rationnelle
d'ordre m, d’un espace à n dimensions, (n + 1) (m — n) espaces
à n — 1 dimensions surosculateurs, c’est-à-dire ayant avec cette
courbe un contact d'ordre n.

TuéorèME IV. — À une courbe rationnelle d'ordre m de l’es-
pace à n dimensions, on peut mener

Ne P
À (” . IL (r, + 1)
£ 4

espaces à n — 1 dimensions, contenant p espaces osculateurs à
r, dimensions, quand on a la condition

Sr, —

Si les espaces osculateurs ont un même nombre de dimensions,
les espaces à n — 1 dimensions qui les unissent sont en nombre

di 1 :) (r + 1ÿ.

e

Taéorème V. — Les espaces à n — 1 dimensions qui ont, avec
une courbe rationnelle C,, d’un espace à n dimensions, p contacts
d'ordres r,, re, …, r, quand on a la condition

pe 4,

forment une développable de la classe

= P
+ AG + 1)

(129 )

.Taéorème VE — Par un point situé en dehors d’une courbe
rationnelle d'ordre m, d’un espace à n dimensions, on peut mener
une (n — 3)" infinité d'espaces à n — 2 dimensions rencontrant
la courbe en n — À points ; n — 3 points quelconques de la courbe
figurent dans (* >") espaces semblables.

THÉORÈME VII. — Par un point situé en dehors d’une courbe
rationnelle d’ordre m de l’espace à n dimensions, on peut mener
une (n — 3 —: 2p)""* infinité d'espaces à n — p — 2 dimensions,
rencontrant la courbe en n — p — 1 points; n — 5 — 2p points

quelconques de la courbe figurent dans ("{?") espaces sem-
blables.

THéorèMe VIIL — À une courbe rationnelle d'ordre m de
l’espace à n dimensions, on peut mener une (n — 2)" infinité
d'espaces à n — 2 dimensions, rencontrant la courbe en n points;
n—2 points quelconques de la courbe figurent dans (*-2*')
espaces semblables.

Taéorème IX. — À une courbe rationnelle d’ordre m de l’es-
pace à n dimensions, on peut mener une {n — 2(p+1)}°" infi-
nité d'espaces à n — p — 2 dimensions, rencontrant la courbe en
n— p points : n — 2 (p + 1) points quelconques de la courbe
figurent dans (*ÿ?"") espaces semblables.

Tuaéorème X. — Par un point situé sur une courbe rationnelle
d'ordre m de l’espace à n dimensions, on peut mener une
(n — 5)" infinilé d'espaces à n — 2 dimensions, rencontrant
celte courbe en n points : n — 3 points quelconques figurent dans
("T2") espaces semblables.

TuéorèMe XI. — Par un point situé sur une courbe ration-
nelle d’ordre m de l’espace à n dimensions, on peut mener une
(n— 3 -- 2p)""* infinité d’espaces à n — p —2 dimensions,
rencontrant la courbe en n—p points : n — 35 — 2p points
quelconques de la courbe figurent dans ("+") espaces sem-
blables.

9

2. Les théorèmes suivants reposent sur cette remarque : Tous
les espaces à n — 1 dimensions d’un espace à n dimensions, qui
passent par un espace à k dimensions, coupent une courbe ration-
nelle d’ordre m en des séries de m points, formant les groupes
d’une involution d’ordre m et de rang n — Kk — 1; si cet espace
à k dimensions rencontre la courbe en p points, l’involution sera
d'ordre m — p et de rangn —k—T.

Si nous nous en rapportons aux propriétés des involutions
d'ordre »m ou m— p et de rang n — k — 1, nous pourrons
énoncer les théorèmes suivants :

TaéorÈme 1. — Par un espace à k dimensions situé en dehors
d’une courbe rationnelle d'ordre m de l’espace à n dimensions, on
peut mener (n — k)(m — n + k + 1) espaces à n — 1 dimen-
sions, qui ont avec la courbe un contact d'ordre n —Kk — 1.

Autrement : Les espaces à n — 1 dimensions qui ont avec une
courbe rationnelle d'ordre m d’un espace à n dimensions un con-
tact d'ordre n — k — 1, enveloppent un espace à k + 1 dimen-
sions de la classe (n — k)(m—n+k+1).

Taéorème 11. — Par un espace à k dimensions rencontrant
une courbe rationnelle d’ordre m de l’espace à n dimensions en
p points, on peul mener (n — k) (m— n — p + k + 1) espaces
à k— 1 dimensions, qui ont avec la courbe un contact d'ordre
n—k— 1; les points de contact sont différents des p points de
la courbe silués sur l’espace à k dimensions.

Tuéorème IL — Les espaces à n — 1 dimensions qui ont
avec une courbe rationnelle d’ordre m de l’espace à n dimensions
p contacts d'ordres r,, ra, …, r,, quand on a la condition

P
> r=n—#%—1,

enveloppent un espace à k + À dimensions de classe

nm—n+k+1\e
[ Je + 2)
e 1

Quand les p contacts sont du même ordre r, la classe de l’espace
enveloppé est ("7 **!) @+1Y.

Tuéorëue IV. — Par un espace à k dimensions situé dans un
espace à n dimensions, on peut mener à une courbe rationnelle
d'ordre m de cet espace une (n — k — 3)" infinité d’espaces à
n— 2 dimensions, rencontrant la courbe en n — 1 points;
n — k — 5 points quelconques de la courbe figurent dans (5?)
espaces semblables. (

THÉORÈME V. — Par un espace à k dimensions situé dans un
espace à n dimensions, on peut mener une (n — k — 3 — 2q)°"°
infinité d’espaces à n—q—1 dimensions, rencontrant une
courbe rationnelle d’ordre m de cet espace en n — p — 1 points :
n — k — 5 — 2q points quelconques de la courbe figurent duns
(PPT) espaces semblables.

Tuéorème VI. — Par un espace à k dimensions rencontrant
une courbe rationnelle d’ordre m de l’espace à n dimensions en
p points, on peut mener une (n — k — 5)"Ÿ"° infinité d’espaces à
n — 2 dimensions, rencontrant la courbe en n + p — 1 points;
n — K — 5 points quelconques de la courbe figurent dans
(PET) espaces semblables.

Taéorème VII. — Par un espace à k dimensions rencontrant
une courbe rationnelle d’ordre m de l’espace à n dimensions en
p points, on peut mener une (n —k—2q—3)""* infinité
d’espaces à n — q —2 dimensions, rencontrant la courbe en
n+p—q— 1 points: n —k — 2q — 5 points quelconques de
la courbe figurent dans (F3?) espaces semblables.

8. Cas particuliers (*) :1°n=2.

THéorèue 1. — Toute courbe rationnelle d’ordre m située dans
. le plan, est de classe 2 (m — 1).

(*) Voir le Mémoire de M. Em. Weyr, rappelé ci-dessus (p. 58).

(132 )

Taéorème [L. — Par un point situé sur une courbe rationnelle
d’ordre m du plan, on peut mener à cette courbe, outre la tangente
en ce point, 2 (m — 2) autres tangentes.

Tuéorème [IL — Toute courbe rationnelle d’ordre m du plan
possède 3 (m — 2) tangentes d’inflexion.

Tuéorèue IV. — Toute courbe rationnelle plane d’ordre m
possède 2 (m — 2) (m — 5) tangentes doubles.

Tuéorème V. — Toute courbe plane rationnelle d’ordre m pos-

6 (m— 1) (m—
D et

: À points doubles.
Les points doubles d’une courbe rationnelle d'ordre m corres-
pondent aux couples neutres de l’involution d'ordre » et du
second rang, marqués sur la courbe par toutes les droites

du plan.

4. 2 n —5; dans ce cas, nous avons à considérer les courbes
rationnelles de l’espace ordinaire.

THéorÈème [. — Toute courbe gauche rationnelle d’ordre m est
de la classe 5 (m — 2).

Autrement : Les plans osculateurs d’une telle courbe forment
une développable de la classe 3 (m — 2).

Taéorèue Il. — Par un point d’une courbe gauche rationnelle
d'ordre m, on peut mener à cette courbe, outre le plan osculateur

en ce point, 5 (m — 5) autres plans osculateurs.

THéorèME II. —— On peut mener à une courbe gauche ration-
nelle d’ordre m, 4 (m — 3) plans surosculateurs.

THÉORÈME IV. — On peut mener à une courbe gauche ration-
nelle d'ordre m, +(m — 3) (m — 4) (m — 5) plans tritangents.

THÉORÈME V. — À toute courbe gauche rationnelle d’ordre m,

(135)

on peut mener 6 (m —5)(m — 4) plans à la fois tangents et
osculateurs.

Tuéorème VI. — Les plans tangenis à une courbe gauche
rationnelle d'ordre m enveloppent une surface de la classe

2 (m—1).

TuaéorèMe VIL. — Par un point situé en dehors d’une courbe
gauche rationnelle d’ordre m, on peut mener à cette courbe (";")
bisécantes.

… D'autre part, un plan quelconque rencontre une telle courbe
en # points, qui peuvent s'associer par couples de (>) manières,
de façon à former (%) bisécantes; donc :

TuéorèmMe VIIL — Les bisécantes d’une courbe rationnelle
d'ordre m forment une congruence d’ordre (”3”) et de classe (7).

La courbe est le lieu des points singuliers de cette con-
gruence, puisque par chacun de ses points il passe une infinité
de bisécantes.

TaéorÈe IX. — Par un point situé sur une courbe rationnelle
> (m—2) (m =
d'ordre m, on peut mener

Les trisécantes d'une courbe gauche rationnelle d'ordre m
sont done en nombre simplement infini; elles forment une sur-
face réglée (*).

M. Weyr a démontré que cette surface est de l’ordre
m — À) (in —9) (m—3 z cs À s: :
En PE ee qui revient au même, qu'il existe

NS
) trisecantes de cette courbe.

3
— 1) (in — 9) (m —3 À . c
MD DU droites trisécantes de la courbe qui rencon-

trent une droite quelconque de l’espace.

(‘) L'étude des trisécantes d'une courbe gauche joue un rôle très impor-
tant dans la théorie de la congruence formée par les bisécantes de cette
courbe; nous espérons montrer cette importance dans un travail subséquent.

(154)

III
Courbes et surfaces d'involution.

1. Supposons que les groupes de n éléments d’une involu-
tion J; soient représentés par des groupes de n points d'une
courbe plane rationnelle d'ordre m, C,, ; si nous unissons deux
à deux par des droites les points des groupes, nous obtenons un
ensemble simplement infini de droites, qui enveloppent donc
une courbe appelée courbe d’involution.

Soit À, un point quelconque du plan : tous les rayons issus de
ce point marquent sur la courbe C, les groupes d’une involu-
tion d'ordre » et du premier rang, I}. Cette involution [} a, en
commun avec l'involution I*, des couples communs en nombre
(m — 1)(n — 1); ces couples correspondent aux tangentes de la
courbe d'involution qui passent par le point A; nous obtenons le
théorème suivant :

La courbe d’involution d’une K}, représentée sur une courbe
rationnelle plane d’ordre m, est de la classe (m — 1)(n — 1).

En particulier, si la courbe-support est une conique, la courbe
d'involution est de la classe (n — 1).

Si nous remarquons que deux groupes de n éléments d’une
involution 1? suffisent pour définir cette involution, nous pou-
vons énoncer le théorème suivant :

Les côtés de deux polygones complets de n sommets inscrits à
une conique sont tangents à une courbe de classe n — 1, et il
existe une infinité d’autres polygones complets de n sommets cir-
conscrils à cette courbe et inscrits à la conique.

M. Weyr (*) a démontré le théorème réciproque : Si, à un
polygone complet de n sommets inscrits à une conique, on inscrit
une courbe de classe n — 1, il existe une infinilé de polygones
complets de n sommets circonscrits à cetie courbe et inscrits à la
conique.

(*) Ueber Involutionen hôherer Grade (Journaz pe CreLss, t. LXXII).

(15)

Les groupes de n sommets forment une involution J”.

La courbe d’involution d’une 1}, représentée sur une courbe
rationnelle C,, (m > 2), possède certaines particularités.

En effet, les droites du plan coupent la courbe €,, en des
groupes de # points formant une 1°; les deux involutions |? et |?
ont des termes communs en nombre (*3) (m — 2); à chacun
de ces termes il correspond des tangentes triples de la courbe
d’involution ; donc : la courbe d’involution d’une NW}, représentée
sur une courbe plane rationnelle d’ordre m, possède (*3") (rm — 2)
tangentes lriples. :

2. Supposons que les groupes d’une [? soient représentés par
des groupes de n points d'une courbe gauche rationnelle C,
d'ordre m; en joignant deux à deux par des droites les points
des divers groupes, nous obtenons une infinité de droites dont le
lieu est une surface réglée appelée surface d’involution de F”.

Les plans d’un faisceau dont l’axe d est tout à fait quel-
conque marquent sur la courbe C,, des groupes de m points
formant une involution [” : les deux involutions FF et I” ont en
commun (x — 1) (m — 1) couples d'éléments; les droites cor-
respondant à ces couples sont les droites de la surface d'involu-
tion qui s'appuient sur d.

Nous pouvons done énoncer le théorème suivant :

La surface réglée d’involution d’une 1? représentée sur une
courbe gauche rationnelle d'ordre m, est de l’ordre (m-—1)(n—1).

Si À est un point quelconque de €, , il lui correspond, dans
l'involution 1}, n — 1 points qui, unis à A, donnent n — 1 géné-
ratrices de la surface d'involution; par conséquent, la courbe C,
est une courbe (n — 1)" de la surface d’involution.

D'autre part, tous les plans de l’espace marquent sur la courbe
C,, les groupes d’une involution L'; les deux involutions JA
ont en commun (”;°) (",°) quaternes ; nous pourrons ainsi énon-
cer le théorème suivant : La surface réglée d’involution d’une 1;
représentée sur une courbe gauche rationnelle d’ordre m, contient
(m — 5)(°;") quadrangles complets plans inscrits à cette courbe.

Ce théorème est dû à M. Weyr.

( 136 ).

3. Si nous joignons. trois à trois les points d'une [? repré-
sentée sur une courbe gauche C,,, nous obtenons une infinité de
plans qui forment une développable, appelée développable d’in-
volution de F7.

Les plans d'une gerbe dont le centre A est quelconque dars
l'espace, marquent sur la courbe C,, les groupes d’une involu-
tion L?.

Les deux involutions I? et I? ont en commun (”;"*) (m — 2)
ternes; ces ternes correspondent aux plans tangents de la déve-.
loppable qui passent par le point À; cette développable est donc
de la classe (mm — 2) ("3").

Les plans de l’espace marquent sur la courbe C, les groupes
d'une J> qui a en commun avec 1, (m— 5) (";') quaternes
d'éléments; par conséquent, la développable d’involution d’une

ï, représentée sur une courbe gauche rationnelle d'ordre ",
possède (m — 5) (";') plans tangents quadruples. |

En particulier, si m — 5, et si nous remarquons qu'une f° est
déterminée par deux de ses groupes, nous arrivons au théorème
suivant :

Les faces de deux polyèdres complets de n sommets inscrits
à une cubique gauche, sont circonscrites à une développable de
classe ("3°), et il existe une infinité d’autres polyèdres de n som-
mets inscrits à celte cubique gauche et circonscrits à la déve-
loppable.

4. Supposons actuellement que sur la courbe gauche C, se
trouvent représentés les groupes d’une involution FE : les points
des groupes, Joints trois à trois, donnent lieu à une double infi-
nité de plans, qui enveloppent une surface appelée surface
d’involution de KE.

On démontrerait facilement, par les mêmes procédés que
précédemment, que cette surface d’involution est de la classe
(27) Gr — 2). |

L'involution 1 possède couples d'éléments neutres ;
les droites qui unissent les points de ces couples sont des
génératrices rectilignes de la surface d'involution.

(137)

Tous les plans de l’espace marquent sur la courbe C,, les
groupes d'une involution I, qui a en commun avec 5, (",°)("°)
quinternes; par conséquent, la surface d’'involution d’une FE,
placée sur une courbe rationnelle gauche C,, possède (”:°) ("3°)
plans décuples.

En particulier, si m — 5, et si nous remarquons qu’une [° est
déterminée par trois de ses groupes, nous arrivons au théorème
suivant :

Les faces de trois polyèdres de n sommets inscrits à une
cubique gauche, sont tangentes à une même surface de classe
n — !; et il existe une double infinité de polyèdres jouissant des
mêmes propriétés.

Plus particulièrement encore, si nous supposons n — 4, nous
retrouvons le théorème dû à M. Cremona :

Les faces de trois tétraèdres, inscrits à une cubique gauche,
sont douze plans circonscrits à une.même quadrique ; il existe une
double in finité de tétraèdres circonscrils à cette quadrique, et dont
les sommets sont situés sur la cubique gauche. :

5. Considérons, en général, dans l’espace à n dimensions,
une courbe rationnelle d'ordre m, C,, et supposons que sur
cette courbe se trouvent représentés les groupes d’une involu-
tion [?, (n > k).:

Si nous unissons par des espaces à n — Î dimensions les
groupes de n points de cette involution, nous obtenons une
k“#* infinité d'espaces analogues : ces espaces enveloppent donc
un espace à k dimensions.

Pour rechercher la classe de cet espace, remarquons que les
espaces à n — 1 dimensions qui passent par un espace à 4 — 1
dimensions quelconque E,_., marquent sur la courbe C,, les
groupes d'une involution d'ordre m# et de rang n — k, I#_.. Les

n—k°

deux involutions I? et 1”, ont des groupes de n éléments com-
muns en nombre (27%) ("#*"). Ce nombre est égal à la classe de
l’espace en question, que nous appellerons espace d’involution

de I? représentée sur la courbe C,..

( 138 )

Nous pouvons donc énoncer le théorème suivant :

L'espace d’involution d’une 1? représentée sur une courbe
rationnelle d’ordre m d’un espace à n dimensions, est de la classe
Ca) Go)

L’involution 1? contient une (4 — 2)""*, une (4 — 4)"°, …,
une (k — 2q)** infinité de groupes neutres de #, & — 1, …,
(&—(q = 1)) éléments de première espèce : les espaces à k— 1,
k — 2,.., k — q — 2 dimensions qui unissent les points de ces
groupes neutres sont autant d'espaces linéaires contenus dans
l’espace d’involution.

Tous les espaces à n — 1 dimensions rencontrent la courbe C,
en des groupes de » points formant une |"; cette involution a,
en commun avec Î?, des groupes de 4 + n éléments communs,
en nombre (”;") (*,*); donc l’espace d’involution de 1? possède
(":") (,) espaces enveloppants ("1").

G. En particulier, supposons m —n, c'est-à-dire supposons
que la courbe rationnelle choisie soit une courbe normale de
l’espace à n dimensions; dans ce cas, l’espace d'involution d'une
I? sera de la classe (77). Or, une involution 1% est déterminée
par k + 1 groupes de p éléments ; nous pourrons donc énoncer
le théorème suivant :

Les faces à n — 1 dimensions de k + 1 polyèdres complets de
p sommets inscrits à une courbe normale de l’espace à n dimen-
sions, sont langentes à un même espace à k dimensions de la classe
Pi), et il existe une k°° infinilé d’autres polyèdres de p sommets
circonscrils à cet espace et inscrits à la courbe normale.

En particulier, si nous supposons k—n—1, p—n +,
nous obtenons la généralisation du théorème de M. Cremona :
Les faces à n — 1 dimensions de n polyèdres de n + 1 som-
mets inscrits à une courbe normale d’un espace à n dimensions,
sont tangentes à un même espace à n — | dimensions de la seconde
classe; il existe une (n —- 1)" infinité d'autres polyèdres de
n + 1 sommets, inscrits à la courbe normale et circonscrits à
l’espace à n — 1 dimensions.

Si k—n — 1, nous voyons que l’espace d’involution d’une [”.,
représentée sur une courbe normale de l’espace à n dimensions,

(139 )

est de la classe (m — n + 1); or, une involution 1, est déter-
minée par # groupes de "= éléments ; nous pouvons done énoncer
le théorème suivant :

Les faces à n — 1 dimensions de n polyèdres de m sommets
inscrits à une courbe normale de l’espace à n dimensions, sont tan-
gentes à un même espace à n —1 dimensions de la classe (m—n+1).

"7. Remarque. — Les espaces d'involution permettent de
retrouver très simplement le nombre des groupes communs à
g+! involutions 1 CSS EU) que npro
blème est possible, c’est-à-dire quand on a la condition

7 Entier — n.
| Ê
En effet, chacune des g-+1 involutions 1° représentée sur la
courbe normale de l’espace à n dimensions, aura pour espace
d'involution un espace à k, dimensions de la classe lue: les
q + 1 espaces d’involution auront en commun des espaces à
n — À dimensions tangents, en nombre fini, puisque l’on a

g+1

J—k)=n;

1

le nombre des espaces communs est

nm — k;

gi
ï A _T > k
NV k, q

Ce nombre est bien celui que nous avons trouvé précé-
demment. |

Cette méthode, quoique très simple, nous semble moins rigou-
reuse que la première; ensuite, pour l'appliquer, il faut que l'on
ait déjà déterminé le nombre des groupes communs à deux
involutions, puisque c’est en connaissance de ce nombre que
nous sommes parvenu à déterminer la classe des espaces d'in-
volution.

i

CHAPITRE IV.

Nous n'avons pu étudier d’une façon complète l'homographie
entre les éléments de n figures de première espèce, faute d’avoir
trouvé un procédé de représentation géométrique qui püt s’ap-
pliquer à tous les cas ; nous sommes donc obligés, pour exposer
les théorèmes fondamentaux de l’homographie, de nous servir de
la représentation analytique.

1. Comme nous l’avons vu précédemment, une homographie
n

1 Entre n séries d'éléments de première espèce, se repré-
sente par une forme n-linéaire, non symétrique, égalée à zéro,

[= al,,a2,; OCR ON sn — b1,,02, ee bn. = +: — 0;
nous représentons les séries d'éléments par la notation
Dinan er DT RE ART

et nous convenons qu’un élément de la série à, aura pour para-
mètres homogènes (xk,, xk:).

De ce que la forme f contient 2° —1 coefficients indépendants
entre eux, nous déduisons d’abord qu'une homographie H?,
est déterminée par 2° — 1 groupes de n éléments homologues.

Si l’on effectue sur les variables (xk,, xks) des transformations
linéaires, la forme f—0 se transforme en une autre forme
n-linéaire F — 0; donc, par projections et sections, des séries
homographiques d’éléments se transforment en d’autres séries
d'éléments également homographiques ; en d’autres termes, les
figures homographiques sont des figures projectives.

A k éléments donnés appartenant à K séries déterminées, il

n

correspond, dans une H°_,, des groupes de n — k éléments appar-

(141)

tenant aux n —K figures restantes et formant une homogra-
phie Hr=*_..

Ce théorème résulte de la définition même des séries homo-
graphiques.

2. Supposons que les n séries d'éléments d’une homogra-
phie H°_, soient amenées, par projections et sections, à se trouver
sur un même support; Il peut arriver, en ce cas, que dans
cette homographie projetée il existe des groupes composés de
n éléments coïncidents. Pour obtenir les paramètres homogènes
(x,, x2) de ces éléments coïneidents, il suffit de supposer, dans
l'équation f = 0, |

nous obtenons ainsi une équation du degré n par rapport à #.

’ e. . , F A 2

Donc, n séries homographiques superposées possèdent n groupes
composés d’éléments coëncidents.

8. En général, dans n séries homographiques superposées
ou non, à un groupe de n — 1 éléments donnés appartenant
à n — 1 séries déterminées, par exemple aux séries #, ?3, .…, 4,
il ne correspond qu'un seul élément de la série à,. Le paramètre
de cet élément est déterminé par l'équation

df
cl, dx1,
NE dl
di,
S'il correspondait à ce groupe de n — 1 éléments deux

éléments distincts de la série 2,, nécessairement on devrait avoir
les conditions

Nous en déduisons le théorème suivant :
Si dans n séries homographiques il correspond à n — 1

(142)

éléments de n — 1 séries déterminées deux éléments distincts de
la série restante, il en correspond une infinite d’autres.

Les groupes d'éléments de n — 1 séries qui satisfont à cette
condition seront appelés groupes de n — 1 éléments neutres de
première espèce.

D'après le théorème précédent, si l’on transforme par pro-
jections et sections les éléments de n séries homographiques, les
groupes neutres de la nouvelle homographie obtenue sont les
transformés des groupes neutres de l’homographie primitive.

Les groupes neutres qui appartiennent aux séries do , gs ce dns
satisfont aux conditions

nu — al,a2,:09 — 0
— Q1,42,909,3 + Alin —= 0,
dxl, Fee L
ut — 4l,a42,a35 — 0
— — a % a Es 000 [a Eu = E
Tan 202,909; n
Chacune de ces équations définit une homographie Ha:

n-1

l'ensemble des deux définit donc une homographie H° x.

Nous pouvons ainsi énoncer le théorème suivant :

Les groupes de n — 1 éléments neutres de première espèce
d’une homographie d’ordre n et de rang n — 1, appartenant à
n— 1 séries déterminées, forment une homographie d’ordren — 1
et de rang n — 5 (*).

Æ. Si nous considérons les n groupes de n — 1 séries formés
à l’aide des n séries homographiques, nous obtenons n homo-
graphies H°=; dont tous les groupes sont les groupes de n — 1
éléments neutres de première espèce de l'homographie proposée ;
les équations de ces n homographies sont

df A, RARE
he = al, 142, . ak Due 1 1akak 2e lys os. ANyn —= 0,
df LCA Qu AU Le VE
— a1,,a2, … ak — 1,4 ,akak + 11 … an, — 0,
dxk

k prenant les valeurs 1, 2, 5, …, n.

() Voir le Mémoire de M. Le Paige, cité p. 45.

(145)

* Les groupes de n — 1 éléments neutres de l’homographie H°.,
sont donc définis par n --3 de leurs éléments; les relations
qui lient (n — 2) à (n — 2), les éléments de ces groupes, ne sont
pas indépendantes entre elles.

Pour le prouver, éliminons, par exemple, entre les équations
précédentes, la variable (xi,, x); nous obtenons la forme

d°f d?f
in duiüdxk dxidxke US
a

daxtdxk, dxtdxks

pour ne pas compliquer notre raisonnement, nous n'écrirons
pas l'expression symbolique de f,; cette expression peut se
trouver, du reste, très facilement.

Si nous donnons à : et à k toutes les valeurs 1, 2, 5, ., n, nous.
obtenons (2) fonctions analogues à f,,, qui, égalées à zéro, repré-
sentent la liaison entre n —- 2 éléments d'un groupe de n — 1
éléments neutres de première espèce.

De ce qui précède, nous déduisons que les groupes de n — 2
éléments appartenant aux séries 1}, 195 «rs ls_us 15445 e-eoln1s ao ces ln
qui, étant combinés à certains éléments de la série ï; ou de la
série 1,, donnent lieu à un élément indéterminé de la série i, ou
de la série ï,, satisfont à la même relation

L

PAU!

5. À n—2 éléments appartenant à n — 2 séries déter-
minées, il correspond dans l’homographie H7_, des couples
d'éléments des séries restantes, formant une homographie
quadratique dont l'équation est

d'f d'f d'f
Et rain D
rie dxtdxk; ce dxi,dxk, RE dxidxk,
d?
+ LioXko f 0.

ddl

(144)

Il peut arriver que, par un choix convenable des n — 2
éléments, cette homographie quadratique soit indéterminée;
dans ce cas, les paramètres des n — 2 éléments satisfont aux
conditions

df D 0 df Hé Ü df : d°f
didet, DO dire MU dre NET D)

Chacune de ces équations représente une homographie
d'ordre n — 2 et de rang n — 5; l’ensemble de ces équations
représente done une homographie d'ordre n — 2 et de
rang n — 6.

Nous pouvons ainsi énoncer le théorème suivant :

Les groupes de n — 2 éléments appartenant à n — 2 séries
déterminées d’une homographie H%_,, qui. laissent indéterminés
les éléments correspondants des séries restantes, forment une
homographie H5=.

Ces groupes de x — 2 éléments sont appelés groupes de n — 2
éléments neutres. Les (2) homographies H° que l’on peut for-
mer de cette façon ne sont pas indépendantes entre elles; nous
verrons plus loin, par un exemple, quelle est leur dépendance.

6. Plus généralement, à n — k éléments appartenant à
n — k séries déterminées, il correspond des groupes de k élé-
ments des séries restantes et formant une homographie H;,. II
peut arriver que cette homographie soit indéterminée ; dans ce
cas, les paramètres des n — k éléments qui lui correspondent
satisfont à 2 fonctions (n — k)-linéaires égalées à 4e: chacune
de ces équations représente une homographie H°7 Hi 1; leur
ensemble représente une homographie Ha 0

Les groupes de n — k éléments qui jouissent de cette pro-
priété sont les groupes neutres de n— k éléments ; si donc nous
avons n 2 k+ 9, nous pourrons énoncer le théorème suivant :

Les groupes den —k éléments neutres d’une homographie H_,,
appartenant à n —k séries déterminées, forment une homogra-
phie He Lx:

(145)

n—12

î prenant les valeurs 1, 2, 3, …, n; supposons que les supports
des mêmes séries de ces homographies coïncident.

Prenons sur le support de la série ?,,, par exemple, n — 1
éléments S

7. Soient n homographies d'ordre n et de rang n — 1, OH"

Ai, ES re Vers A;14, AUTANT

nm

à chacun de ces éléments, il correspond respectivement dans les
n — 1 homographies

(OS) à Fu 19 2H7 4 , .…. - CON, GEOa, , COX | Cp 9

des groupes de n — 1 éléments appartenant aux n — 1 séries
restantes et formant n — 1 homographies d'ordre n — 1 et de
rang n — 2 :

(RES NON em EE AE PP RO A
a
Ces homographies ont les éléments des mêmes séries situés
sur les mêmes supports; elles ont en commun des groupes de
n — 1 éléments en nombre fini, N,_,. À chacun de ces groupes
communs de n — 1 éléments, il correspond dans l’homographie
OH", un seul élément A, : donc, aux éléments .

A, A5, DCE) A;, Aa 2007 A

n ?

du support de la série &,,, il correspond sur ce support N,., élé-
ments A;. Puisque le rôle d’un quelconque des éléments A,,
A9 ,..., À; 2, À;, AÀ;,,, …, À,, est le même par rapport aux n —1
autres, quel que soit cet élément, nous aurons entre ces éléments
une correspondance

(Ne Nes .., Na)

Le nombre des coïncidences de cette correspondance est pré-
cisément le nombre des groupes de x éléments communs aux
n homographies °H°_,; d’après l'extension du principe de Chasles
(LL, u, 4), il existe N,_, x n coïncidences ; nous aurons donc

N, si NA
40

(146)

(Nous représentons par la notation N, le nombre des groupes
de Æ éléments communs à homographies superposées d'ordre
et de rang # — 1.) Nous aurons de même :

k Ne —= (n NS 1) Nos
Ne = (n TE 2) N, 5,

N; = 5N:.

Or, N, est le nombre des couples communs à deux homogra-
phies quadratiques; nous avons vu que ce nombre est égal à 2 :
de là nous déduisons facilement ;

NME SR nn

Donc, n homographies d'ordre n et de rang n — 1 superposées
ont en commun des groupes de n éléments en nombre n!.

_ 4

IL

Dans ce paragraphe nous nous proposons d'indiquer un mode
de représentation de l’homographie H}., :

1. Soient k involutions d'ordre » ét de rang n — 1,1,
(= 1, 2,5, …, k), et une involution d'ordre n — 1 et de rang
k— 1,1. Cette dernière involution possède une (4 — 1)"
infinité de groupes de n — 1 éléments et à chacun de ces groupes,
il correspond, dans chacune des involutions F,, un élément
X, : nous aurons ainsi une (k — 1)" infinité de groupes de
k éléments

AU CSL ET ANNE, QE

formant une homographie d'ordre k et de rang & —- 1. En effet,
à 4 — 1 éléments donnés appartenant, par exemple, aux £ —1
premières séries, X4, X,, ..., X;_,, il correspond respectivement,
dans les £ — 1 involutions

win, Or ., Un

n—1 0 n—1»

(147)

des groupes de n — 1 éléments formant k — 1 involutions,
ME, PE, CS;

l'ensemble de ces £ — 1 involutions forme une involution =
qui a en commun avec 15; un seul groupe de n — 1 éléments;
à ce groupe, il correspond dans l’involution 1%_, un seul élé-
ment X,.

Donc, à 4 — 1 éléments appartenant à 4 — 1 séries, il corres-
pond un seul élément de la série restante ; de plus, les rôles des
éléments des divers groupes ne sont pas permutables ; par con-
séquent, l’ensemble de ces groupes forme une homographie H?..

Nous pouvons, en faisant les conventions nécessaires, énoncer
le théorème suivant :

La résultante de k involutions d’ordre n et de rang n — 1,
par rapport à une involution d’ordre n — 1 et de rang k — 1,
est une homographie d'ordre k et de rang k — 1.

Jusqu'à présent, nous ne sommes pas parvenu à démontrer,
d'une manière satisfaisante, que, réciproquement, on peut déter-
miner le nombre n de façon qu'une homographie H4_, puisse
être considérée comme la résultante de # involutions [_,, par
rapport à une ]}=;.

2. Remarquons, dans ce système de représentation, qu'un
groupe de H°_,, formé de k éléments coïncidents (dans le cas où
les supports des diverses séries coïncident), joint au groupe de
n — 1 éléments de l'involution 1;=;, qui lui a donné naissance,
forme un groupe de n éléments communs aux Æ involutions pe
(i= 1, 2, 5, …, k). Or, les groupes communs aux 4 involutions
%_, forment une involution 1, ; cette dernière involution a en
commun avec 1; , k groupes de n — 1 éléments.

Nous retrouvons ainsi la propriété qu'une homographie H°.,
possède 4 groupes de k éléments coïncidents.

8. Nous pouvons démontrer de même le théorème suivant,
que nous avons déjà établi :

Quand dans une homographie H£,, il correspond à k — 1

(148)

éléments de k — 1 séries, deux éléments distincts de la série res-
tante, il leur en correspond une infinité d’autres.
Soient, en effet, 4 — 1 éléments des 4 — 1 premières séries,

X,, X, OO X4-1,

auxquels il correspond deux éléments distincts X, et Y, de Îa
dernière série. À chacun de ces k — 1 éléments, il correspond
dans les ä — 1 premières involutions P5_,(i= 1, 2,5, Re
des séries de n — 1 éléments formant k — 1 tits DES
l'ensemble de ces dernières forme une involution 1°}, qui a en
commun avec 1;=;, en général, un seul groupe de #7 —1 éléments.
Si donc il correspond aux z — 1 éléments donnés deux éléments
de la série restante, c’est qu’il peut se produire deux cas :

1° Ou bien, les 4 —1 éléments sont tels qu'il leur correspond
non une J#; mais une 1°-;,, qui aura en commun avec 1}; les
groupes d’une [}-*; à chacun des groupes de cette dernière invo-
lution il correspondra un élément X, dans "F7,

2 Ou bien, les z — 1 éléments sont tels qu'il leur correspond
une ]°=;, et que É groupe de #7 — 1 éléments communs à cette
involution et à 1}7;, est un groupe neutre de "I; ,; dans ce cas
encore, il correspond une infinité d'éléments de la dernière série.

A. Le théorème précédent et les remarques qui nous ont
amenés à sa démonstration, vont nous permettre de déterminer
les groupes de k — 1 éléments neutres de l’homographie H;., .

En effet, les groupes de n — 1 éléments neutres de l’involu-
tion Ÿ[%_,, par exemple, forment, comme nous l'avons vu, une
(fi : cette involution a en commun avec H;=;, les groupes
d’une 1}=;. |

Si nous prenons # — 2 involutions ŸJ}_, parmi les ï — 1 invo-

lutions |

(O7 ŒE—1)jn

(2)72
n—1? ee 5009 n—A

leur résultante par rapport à 17; sera une homographie
d'ordre 4 — 2 et de rang k# — 5. Comme nous pouvons choisir
k — 2 involutions, parmi # — 1 involutions, de £ — 1 manières
distinctes, nous pourrons énoncer le théorème suivant :

(149)

Les éléments de k — 1 séries, appartenant à k séries homogra-
phiques, qui laissent indéterminée l’éléement de la série restante, se
répartissent par groupes de k — Q éléments, de manière à former
k — 1 homographies d'ordre k — 2 et de rang k — 5.

Nous représenterons par la notation MH, l'homographie
formée par les groupes d'éléments des séries

DL TE ES RE 7 MR ere nn Re

qui, avee des éléments déterminés de la série z,, donnent des
éléments quelconques de la série +,.

Il existe, d’après ce que nous venons de voir, Æ(k — 1) homo-
graphies semblables.

5. Soient donnés z — 3 éléments des À — 3 premières séries,

par exemple
CON CSS CNE 0 RE

1° On peut déterminer un élément X, , et un élément X,.,
de la k — 2% et de la & — 1°" série, de telle façon que l’élé-
ment de la 4°” série soit indéterminé dans H., ; ces éléments
sont les éléments complétant les groupes définis ps les À — 5
éléments donnés dans les deux homographies ,OH57 et , 9H ;

2° On peut déterminer un élément X;, et un élément X; de la
k— 9%% et de la 4°" série, de telle façon que l’élément corres-
pondant de la £ — 1°" série soit indéterminé dans Hf,; ces
éléments sont les éléments complétant les groupes définis par les
k — 5 éléments donnés dans les deux homographies C9H5,
4 THE 3

3° On peut terminer un élément X}, et un élément X; de
la k — 1°" et de la £°”* série, de telle façon que l'élément cor-
respondant de la 4 — 2*** série soit indéterminé dans H;, ; ces
éléments sont les éléments complétant les groupes définis par
les £ — 3 éléments donnés dans les deux homographies (-?H5=
et (HE

Considérons le groupe formé des n — 1 éléments

ve
X;, X, X3, …. X4_5, AJk_93 X:_ Te

(150 )

il lui correspond dans l’homographie H_, un élément de la
série restante qui est indéterminé. is

En effet, à chacun de ces éléments il correspond respecti-
vement, dans les Æ — 1 involutions

Di aa

n—1) 00
des groupes de n — 1 éléments, formant £ — 1 involutions

= Æ RL —
DR Dane

l’ensemble de ces involutions forme une =; qui a en commun
avec 1}; deux groupes de n — 1 éléments : ces groupes sont les
groupes de k—1 éléments neutres des deux involutions
Œ9p,, M, qui ont donné naissance aux deux groupes

neutres de l’homographie H°_,,

r Tr.

X, 9 X, DJûS X4_5 X_, X4 9
4 rv

X;, X,, O9 0) Xy 5, k—4 X; .

a

Les deux involutions 157; et 157,, ayant deux groupes de n — 1
éléments communs, en ont une infinité d’autres qui forment
une involution |"; par conséquent, au groupe

r 444
X; , X>, OLONPES) X,-5 Xe, Xy1;

il correspond dans l’homographie H°_, une infinité d'éléments
de la série restante.

En résumé, on peut, à # — 3 éléments appartenant à £ — 5
séries, associer deux groupes de deux éléments appartenant à
deux autres séries, de façon qu’à ce groupe de Æ — 1 éléments,
il corresponde dans l'homographie H;_,, un élément indéterminé
de la série restante : tous ces groupes neutres sont compris
dans k (4 — 1) homographies d'ordre k — 2 et de rang & — 5.

L'étude des groupes neutres de 4 — p éléments pourrait se
faire en ayant égard à des considérations analogues : nous
croyons pouvoir abandonner ce sujet pour étudier un cas parti-
eulier intéressant, qui nous conduira aux constructions géomé-
triques de l’homographie cubique.

CA51)

III

1. Trois involutions cubiques ont en commun, en général, un
terne d'éléments ; soient

Al, Al; ADS RAD ÀB1 5: Àd2,

les paramètres homogènes de ces éléments ; les équations des
trois involutions pourront s’écrire :
“

Ÿasairts — aol) (A0, — 1h02) lhir3, — A0) — 0,

C=z

3
D Gi (ail — Ale) (Aix, — AUD) (At B, — 4052) — 0,

i={

3 £
Ÿ Va(ta@ ls — Xalo) (AN, — AUX) (ANS, — AUXS:) = 0.
i—1

À deux éléments de paramètres homogènes
Bi De; LAS URSS

il correspond, dans chacune de ces involutions, des éléments dont
les paramètres respectifs satisfont à la relation

(41 (Alyl; — A;yle) T9 (AZ yl: — 22,yl 2) Œz (A3:yl1 — A3: 2)
Bi (AMoY2 — Al1y 2) Ba (A2Yy2i — A2y22) B5 (1522, — A3,y2:) | — 0,
DA (Al2y5, — A1 1Y92 ) Va (A2y3, — 2 2,75) Y3(A32Y31 — A91y3:2)

ou bien

ylyAyadle, BAD, 95482) — yliyyDaiAle, BAD, 9531)
— yy2y5laAle, GA, 75452) —Y13y US (Al 4, BDs, 9 5ÀS2)
+ yliy2,ySaciMle, B2A2, 73h51) + CURE (ali; Bodo, V3) 94)
+ yly2y9 (ali, BA, V 392) + yl:y2 2,ySa(oAli, BAD, 5181) — 0.

(152)

Cette équation représente une homographie cubique; les
éléments unis de cette homographie sont précisément les éléments
communs aux trois involutions.

En effet, si l’on suppose, dans l'équation précédente,

elle devient :

(M oYs — Ayo) (Aya — ADiYe) (AS2Ya — AS1Yo) (ua, Bo Vs) —0. (À)

r

Nous pouvons ainsi énoncer le théorème suivant :

La résultante de trois involutions cubiques est une homo-
graphie cubique : les éléments unis de cette homographie sont les
éléments du groupe commun aux trois involutions.

2. Démontrons maintenant le théorème réciproque :
Soit l'équation d’une homographie cubique la plus générale

[= aoYylaY2yS + yl1Y2YS2 + GYyl1y2Y 3
+ A53yloY21yS1 + ayl1Y22Y 5e + A5y y 232
+ ay 12y22y54 + Qy12U22Y52 = 0; |
nous allons prouver que celte équation peut, d’une double

infinité de manières, se mettre sous la forme (A) [$ 1].

Soient
Al, Al; re ADP A3; A9

les paramètres homogènes des éléments unis de cette homo-
graphie; nous aurons

Ali A2, 5, GS D SEEN
a TTTES
Al A2 A9 @
MAD NUS 09 5, G, + Π+ @ ;
> ET D MN La M LME
A1:12 2123 A22099 o ! ( )
A1,42,45: (27)

A 212299 da |

(153)

Ces identités sont toujours satisfaites par les valeurs suivantes

des coefficients a :
a} M,A2,45,

——— 1?
do Al 20229

6 (A4,, Ba2: , 391)
— = ——————…——. 7)

d VA (C7 Ba » 2)

ay (any, Bd, 73481)
DE (&is Bo 93)
ay (aile, Bad, Y5A8i)
CE (CE B2s Y5) de
ü; (ayAly, Bodo, 93159)
Fos (CE Bo, Y:)
@ (ayMo, Bal, V3A92)
RUN Manet
a, (chaos BaÂdo, 9 5A9:)
FER (a, Bas Y3)

Nous pouvons considérer ces relations comme étant des équa-
tions dont les inconnues sont

à AZ (a, Bo, 95).

Ces sept équations se réduisent à quatre, en vertu des iden-
tités (C) ; nous pouvons donc, à l’aide de ces quatre équations,
déterminer quatre des quantités inconnues qui y entrent, en
fonction des paramètres

Al; 12; A3;
et des inconnues restantes. Il est facile de s'assurer que cette
détermination peut se faire en résolvant des équations linéaires;
nous pourrons donc énoncer la propriété suivante :
Toute homographie cubique peut, d’une double infinité de

(154 )

manières, être considérée comme étant la resullante de trois
involutions cubiques.

3. D'après cette propriété, la représentation de l’homographie
cubique se ramène à celle de l’involution cubique; dans ce qui
va suivre, nous ferons usage de cette propriété, démontrée pré-
cédemment :

Les plans d’une gerbe marquent sur une cubique gauche quel-

* conque des ternes de points formant une involution cubique du
second rang.

Nous en déduisons la représentation géométrique suivante de
l'homographie cubique :

Soient trois points À, B, C de l’espace et une cubique gauche
quelconque C; : toute corde de cette courbe, jointe aux trois points
A, B, C, donne lieu à trois plans qui marquent sur la cubique
trois ponctuelles homographiques x, y, 7.

Ce théorème peut, du reste, se démontrer directement :

Soient donnés deux éléments X,, Y,, appartenant aux ponc-
tuelles x et y; il n'existe qu'une seule biséeante de la cubique qui
s'appuie à la fois sur les droites AX, et BY,, et qui ne passe ni
par X4, ni par Y,.

En effet, les bisécantes qui s'appuient sur (AX,) marquent
sur C; les couples d'une involution quadratique; il en est de
même des bisécantes qui s'appuient sur (BY,). Les deux involu-
tions quadratiques ainsi obtenues ont un couple commun qui
correspond à la bisécante cherchée, d. Nous avons vu, dans le
premier chapitre, le moyen de construire linéairement cette
bisécante.

La droite d, jointe au point C, donne un plan dont la troisième
intersection Z, avec C;, est le point de la ponctuelle z, complé-
tant le terne déterminé par les points X, et Y,.

Le plan des trois points A, B, C rencontre la cubique-en
trois points qui sont les éléments unis des trois ponctuelles
homographiques.

Soient a, b, c les bisécantes de la cubique passant respective-
ment par les points A, B, C.

(155)
Les plans

(aB), (aC); (bA), (bC); (cA), (cB)
| coupent la cubique respectivement en des points
BAUER Mes Crtr Ar Be

qui sont les six éléments neutres des trois séries homogra-
_ phiques.

Ces six éléments neutres peuvent se disposer par couples, de
manière à former six couples neutres.

Trois de ces couples sont visiblement

B;, CG; : A, C:; ARE:
les trois autres sont
Az, DB; As, CG; B;, CG.

En effet, par exemple, les deux involutions quadratiques défi-
nies par les axes AA, et BB, ont en commun deux couples : ces
couples sont représentés par les points d'appui des deux bisé-
cantes a et b; ces deux involutions coïncident, c'est-à-dire il existe
une infinité de bisécantes de la courbe qui s'appuient à la fois
sur AA, et BB,; par suite, aux éléments A, et B, de la série
des x et de la série des y, il correspond une infinité d'éléments
de la série des z.

Constructions de l'homographie cubique
sur une cubique gauche.

Æ. PROBLÈME Ï. — Construire une homographie dont on con-
naît sept ternes d'éléments, représentés par sept groupes de trois
points d’une cubique gauche.

Nous représenterons par I, I, IL, IV, V, VI, VII ces sept
ternes, et nous conviendrons que X,, Ÿ;, Z, sont les trois points
de la cubique qui composent le 5” terne.

_ D'après ce que nous avons vu (1, ii, 6), nous pouvons tou-

(456)

jours déterminer un système de trois droites rencontrant la
cubique et telles qu'en projetant les éléments des groupes E, I,
III, nous obtenons trois nouveaux groupes, composés chacun de
trois points coïncidents. |

Les quatre groupes restants se projettent en quatre nouveaux
groupes composés d'éléments distincts; nous sommes ainsi
ramenés à construire une homographie dont on connait les points
triples et quatre ternes d'éléments X, I, LIT, IV.

Soit d, une bisécante quelconque de GC; ; les plans

(diXi), (diY;), (diZ:)

coupent le plan x, qui unit les points triples, en trois droites
a, b, c passant par le point de rencontre de la bisécante d, et du
plan 7. |

Prenons un point quelconque A;; de la droite a ; soit d, une
bisécante quelconque s'appuyant sur (A,:X,). Les plans |

(dY:), (d:2:)

coupent respectivement b et c en des séries de points B, et C.
qui sont visiblement en relation homographique; par suite, le
lieu de la droite de jonction (B,C), quand on considère toutes
les bisécantes analogues à d,, est une courbe de la seconde
classe, 2, tangente aux deux droites b et c.

En remplaçant le groupe Il, (X2Y,2%), par le groupe I,
(X:Y;Z;), nous obtenons de la même façon une deuxième courbe
de la seconde classe, c:, tangente également aux deux droites
bet c.

Les deux courbes oc, et 5; ont en commun, outre b et c, deux
autres tangentes qui rencontrent b et c respectivement en B;;,
Co et B;, GC; : les deux systèmes de trois points

à ï 5
A3 B:;, C5; 33) B:;, Cozs

caractérisent chacun l’homographie qui possède les éléments
triples donnés et les trois groupes E, IE, HIT.

( 157 )

En faisant varier le point A; sur «a, recherchons quel sera le
lieu des droites telles que (B5:Co3).

Considérons dans le plan x un rayon quelconque passant par
un point fixe O; cette droite rencontre b et c en B et C.

Au point B, pris comme point B,;, il correspond, ainsi que
nous venons de le voir, deux points A2; et deux points Co.

Il suit de là qu'entre les points G; de c et les points tels
que C, il existe une correspondance (2.2), qui possède quatre
coïncidences : ces coïncidences correspondent aux quatre tan-
gentes que l’on peut mener du point O à la courbe cherchée :
cette courbe est donc de la quatrième classe; nous la désigne-
rons par ©,. 3

En remplaçant, dans tout ce qui précède, le groupe II par le
groupe IV, nous obtenons de même une seconde courbe 5;

Chacune des tangentes communes à 6, et à a, rencontre b et c
en B et C. Les deux droites (BY), (CZ) ont une bisécante
commune d : le plan (dX,) coupe la.droite a en un point A. Les
trois points À, B, C caractérisent complètement l’homographie

satisfaisant aux conditions imposées.
Comme nous avons choisi la bisécante d, d’une façon arbi-
traire, nous voyons que le problème est possible d’une double
infinité de manières.

Remarque. — Au lieu de prendre la bisécante d, tout à fait
quelconque, nous pouvons supposer qu'elle passe par l’un des
points de rencontre du plan x avec la courbe C;; dans ce cas, il
est facile de s'assurer que les deux courbes 5, et s, se réduisent
à des courbes de la seconde classe.

5. PRoBLèME Il. — Construire une homographie cubique, con-
naissant un groupe neutre et cinq ternes de points.

Il est bien évident, d’après ce que nous avons vu précédem-
ment, qu'un couple neutre doit compter, dans les éléments
déterminatifs d’une homographie, comme équivalent à deux
ternes d'éléments.

D'autre part, si nous remarquons que les éléments neutres

(158)

d'une homographie sont des éléments projectifs, nous pouvons
ramener le problème proposé au problème suivant :

Construire une homographie cubique connaissant un couple
neutre, par exemple YZ, les points triples et deux ternes d’élé-
ments X, Yi, Z13 Xo, Yo, Lo.

Soient r, le plan qui unit les points triples et À, un point quel-
conque de ce plan.

Si d est la bisécante de la cubique qui passe par le point A,

les plans
(dY}, (d2)

coupent le plan r suivant deux rayons b et c passant par A

Soit d,, une bisécante quelconque s'appuyant sur AX,;; les

plans
(diY:), (diZs)

coupent respectivement b et c en B, et C..

Les points B, et C, sont reliés homographiquement; le point A
se correspond; done les jonctions css C,) sont les rayons d’un
faisceau de centre O,.

En remplaçant le groupe 1, (X,Y1Z,), par le groupe II,
(X2Y22), nous obtenons de même un second faisceau de rayons
de centre O.. |

La droite (0,0,) rencontre b et c en des points B et C qui,
avec le point A, caractérisent complètement l’homographie.

Puisque la bisécante d est quelconque, le problème est possible
d’une double infinité de manières; de plus, les constructions sont
absolument linéaires.

6. Progième III. — Construire une homographie cubique, dont
on connaît deux couples d’éléments neutres el trois groupes de
trois éléments.

En faisant les mêmes remarques que pour les problèmes pré-
cédents, nous sommes ramenés à construire une homographie

cubique dont on connaît les points triples et deux couples neutres
Vi Z; X,, Z;.

»

(159)

Soit 7, le plan qui unit les points triples; soit d, une bisécante
quelconque de la cubique qui rencontre le plan x en A.

Les plans
(dY), (dZ)

coupent le plan x en deux droites b et €, passant par le point A.
Le plan (6X,) rencontre la cubique C; en des points situés
sur une bisécante d, : cette droite d, rencontre b en B.
Le plan (d,Z;) coupe la droite cen C: les trois points A, B, C
caractérisent l'homographie déterminée par les éléments donnés.
Comme pour les problèmes précédents, nous voyons que nous
pouvons déterminer cette homographie d’une double infinité de
manières.

7. PROBLÈME IV. — Construire une homographie cubique dont
on connaît trois couples neutres Y, Z; X,, Z,; X9, Y:, et un
terne de points X,Y;,Z3.

Nous pouvons obtenir une solution immédiate de ce problème
en effectuant les constructions suivantes :

Soient G le point d'intersection du plan (X,YZ,) et de la
droite (ZX,), et B le point d’intersection du plan (X,Y,2) et de
la droite (YX).

Menons la bisécante commune aux deux droites (BY;) et (CZ:;)
(problème que nous savons résoudre linéairement); le plan (dX;)
rencontre la droite (X,X,) en un point A.

Les trois points À, B, C caractérisent l’homographie.

On pourrait démontrer que le problème que nous venons de
résoudre, ainsi que les précédents, est possible d’une double

infinité de manières; nous croyons pouvoir nous dispenser de
le faire. :

( 160 )

JV

Voici quelques applications des principes que nous venons
d'établir :

1. Soient n faisceaux de rayons que nous supposons reliés par
une correspondance homographique : les rayons homologues se
coupent en (2) points; quand ces points coïncident, le lieu de leur
point de coïncidence est une courbe d’ordre n, passant par les
centres de n faisceaux.

En effet, une transversale quelconque rencontre les groupes
de rayons homologues de ces faisceaux suivant n ponctuelles
homographiques superposées ; il existe sur cette droite n groupes
composés de n éléments coïncidents. Ces points coïneidents sont
l’intersection du lieu en question avec la transversale.

Ce lieu passe nécessairement par les centres A,, A,, …, À, des
n faisceaux.

En effet, par exemple, aux rayons concourants

(A,A,) : (AA), TASSE AT)
des faisceaux dont les centres sont
A, A», GO À, 2 A, Q

il correspond un seul rayon du faisceau A,, et ce rayon passe par
le point de concours des n — 1 Mémo rayons.
Réciproquement, étant donnés - Dhs 3) points d’une courbe
d'ordre n, on peut construire cette courbe comme étant l’intersec-
tion des rayons .concourants de n faisceaux homographiques.
En effet, prenons » de ces points comme les centres de n fais-

n(n +3 il
ceaux et joignons-les aux — —n— Pre points restants ;

n(n+A
nous obtenons ainsi Le groupes de n rayons.
Les rayons de ces dpi rencontrent une transversale quel-

4)
conque en mûr groupes de n points; si nous Construisons

(161)

les groupes d'une homographie d'ordre n et de rang n — 1 qui
possède ces —— groupes, et si nous unissons les points de
ces groupes te n centres choisis, nous obtiendrons n faisceaux
de rayons homographiques; le lieu des intersections concourantes
des rayons homologues est, d’après ce que nous venons de voir,
une courbe d'ordre n qui passe par les _— points donnés
et qui, par conséquent, est la courbe Hands.

Comme une homographie d'ordre n et de rang n — 1 est
déterminée par 2° — 1 de ses groupes, nous voyons que par
le procédé indiqué nous pouvons construire la courbe d’une

A Name ane A
[2" ÉD jee nn “*° infinité de manières.

2. Nous pouvons envisager ce résultat d'une autre façon :

Soit C, la courbe engendrée ; à un rayon quelconque du fais-
ceau dont le centre est A;, par exemple, il correspond des groupes
de n — 1 rayons des autres RER. formant n — 1 faisceaux
homographiques.

Le lieu des intersections concourantes des rayons homologues
de ces n — 1 faisceaux est une courbe du degré n — 1; cela
résulte de ce que nous venons de voir. Cette courbe rencontre le
rayon du faisceau A, en n — 1 points, qui appartiennent évidem-
ment à la courbe C,; à tous les rayons du faisceau A, il cor-
respond toutes les courbes d'ordre n — 1, appartenant également
à un faisceau.

En effet, comme nous l'avons vu plus haut, les rayons des
faisceaux dont les centres sont

MA Lou tAU ee et AA

n?

qui laissent indéterminés le rayon correspondant du faisceau dont
le centre est A,, forment les groupes communs à deux homogra-
phies d'ordre n — 1 et de rang n — 2 (c'est-à-dire une homo-
graphie d'ordre n — 1 et de rang n — 5).

A chacune de. ces homographies il correspond une courbe
d'ordre n — 1, passant par les points

À; A, ..s A A

n°

41

(162)

Les deux courbes C,,, C,., ainsi obtenues définissent un fais-
ceau de courbes d'ordre n — 1; d’après la définition même des
éléments neutres, nous voyons qu'à un rayon quelconque du
faisceau dont le centre est À, il correspond une courbe d'ordre
n — 1, passant par l'intersection des deux courbes C,_, et C..

Le faisceau (A,) de rayons et le faisceau de courbes du degré
n— 1, (C,,, C;1), se correspondent homographiquement :
nous avons déjà démontré qu'à un faisceau du rayon (A) il
correspond une courbe du faisceau (C,_,, CG, _;); réciproquement,
à une courbe du faisceau (C,,, C,_:) il correspond un rayon
du faisceau (A).

En effet, prenons un point quelconque M de cette courbe; aux

rayons
(AM), (A:M), …, (4, M), (AM),

des faisceaux
A, À3, 000) APT) A ,

nm

il ne correspond qu'un seul rayon du faisceau A, : ce rayon
correspond à la courbe; sans cela, à un rayon du faisceau A, il
pourrait correspondre deux courbes du faisceau (G,_,, C,_;).

Nous obtenons ainsi la propriété suivante :

Les droites d’un faisceau de rayons homographiques aux
courbes d'ordre n — 1 d’un faisceau, rencontrent leurs courbes
homologues en n — 1 points dont le lieu est une courbe d’ordre n,
passant par les points de base des deux faisceaux.

3. M. Le Paige (*) a étudié spécialement le cas de n — 5,
pour lequel on obtient les théorèmes suivants :

Le lieu des intersections concourantes de trois faisceaux de
rayons homographiques, est une courbe du troisième degré passant
par les centres des trois faisceaux.

Toute courbe du troisième degré peut, d’une infinité de
manières, être considérée comme le lieu des intersections concou-

(‘) Mémoire sur les courbes du troisième ordre, 24e partie (Mémoires 1N-4°
DE L’ACAD. ROY. DE BELGIQUE, 1. XLV).

(165 )

rantes de trois faisceaux homographiques de rayons dont les
centres sont silués sur la courbe.
Soient A, B, C les trois centres; il existe six rayons,

ai a bib: HE

appartenant par couples aux trois faisceaux, et qui se groupent
des six facons suivantes :

_&, b, ; Gi Gs> 10, C5 - da; Us; bc: binee

de manière à former les six couples neutres de rayons des trois
faisceaux homographiques.

Les six points d’intersection A,, A,, A;:, A;, A:, À, des
rayons de ces couples appartiennent évidemment à la courbe;
par suite, les deux triangles dont les côtés sont respectivement

is Co, b: et , b, » C5
se coupent en neuf points,
À, B, C, A, À, A3, À, À;; À5,

situés sur la cubique. Ces deux triangles sont appelés conjugués
à la courbe; comme les trois points A, B, C sont quelconques,
nous pouvons énoncer le théorème suivant :

Par trois points d’une cubique plane, on peut toujours faire
passer les côtés de deux triangles conjugués à ceite courbe.

La cubique et un système de deux triangles conjugués à cette
courbe sont trois courbes du troisième degré appartenant à un
même faisceau; nous obtenons, en conséquence, la propriété
suivante : ;

Une cubique plane et un système de deux triangles conjugués
à cette courbe sont rencontrés par une transversale quelconque en
trois ternes de points appartenant à une même involution cubique
du premier rang.

4. La conception de l'homographie peut encore servir à la
génération de certaines surfaces, ainsi qu'il suit :
Le lieu des intersections concourantes des plans homoloques

(164)

appartenant à n faisceaux homographiques, est une surface
d'ordre n.

En effet, les plans homologues de n faisceaux homographiques
rencontrent une transversale quelconque de l’espace suivant
n ponctuelles homographiques superposées ; il existe n groupes
composés de » points homologues coïncidents; ces points sont
l'intersection du lieu et de la transversale.

La surface engendrée passe par les axes

ui, os ve, ns À;
des n faisceaux homographiques.

En effet, soit A, un point quelconque de l'axe a, ; aux plans
concourants

(a.A;), (a;A), NU (Cr 14 1)pIN (AE An)
des n — 1 faisceaux dont les axes sont

FLE Pa En 2 AE LC

n ?

il correspond un seul plan du faisceau a,, et ce plan passe
par A.

Comme la surface engendrée contient les axes des faisceaux,
on ne peut pas obtenir, par le procédé précédent, la surface la
plus générale d'ordre n. En effet, à partir de n — 4, les sur-
faces algébriques générales ne contiennent pas de génératrices
rectilignes.

Dans le cas de n — 5, on obtient la surface cubique générale ;
pour le démontrer, il suffira de prouver qu’une surface cubique
peut être engendrée par l'intersection des plans homologues de
* trois faisceaux homographiques.

En effet, prenons trois génératrices a, b, c de la surface, qui
ne se rencontrent pas, et sept points de cette surface.

Les plans qui unissent les trois droites aux sept points donnent
lieu à un système de sept ternes de trois plans qui rencontrent
une transversale en sept ternes de points : ces sept Lernes de

(165 )

points suffisent pour déterminer sur la transversale trois ponc-
tuelles homographiques. Si nous unissons les points de ces
ponctuelles aux trois droites a, b, c, nous obtenons trois faisceaux
homographiques de plans; le lieu de l'intersection des plans
homologues est une surface du troisième degré qui passe par
les trois droites a, b, c et les sept points : cette surface coïncide
avec la surface donnée, puisque par trois droites et sept points
on ne peut faire passer qu'une surface du troisième degré.

Dans les trois faisceaux homographiques qui engendrent la
surface, il existe six plans, .

%j3 o, Bis Bas; Vas V3

appartenant par couples aux trois faisceaux et se distribuant des
six manières suivantes :

di) Pas is Vas oo, Ps os Vs5 is Vas Ps: Vos

de façon à former les six couples neutres des trois faisceaux
bomographiques. Les six droites d’intersection de ces couples
sont visiblement six droites de la surface engendrée.

Les deux trièdres dont les faces sont

Œ Bs: V3 M3 Gas Va»

sont deux trièdres dont les faces se coupent en neuf droites qui
appartiennent à la surface : ces trièdres sont appelés conjugues
à la surface eubique où ils sont inscrits (*).

Il existe d’autres trièdres conjugués à une surface cubique ;
mais nous ne continuerons pas plus loin cette étude, que nous
avons abordée dans le seul but de montrer la fécondité des
moyens de recherches basés sur les homographies supérieures.

5. Quant à la construction des surfaces cubiques, la seule

a

difficulté consiste à établir géométriquement la correspondance

(”) Voir, à ce sujet, les Fondements d’une géométrie supérieure cartésienne
de M. Foie (MÉmorres IN-4° DE L'AcaD. ROY. DE BELGIQUE, t. XXXIX).

(166)

homographique entre les plans de trois faisceaux ; voici quelques
procédés : |

1° Supposons que l'on demande de construire une surface
cubique passant par trois droites données a, b, c, et par sept
points Ai, À:, …, A6, Az.

Traçons dans l’espace une cubique gauche quelconque qui ait
pour bisécantes les droites a, b, c; les sept ternes de plans

(aA;), (bA;), (cA) (i— 1, 2, 5, 4, 5, 6, 7)
coupent la cubique en sept ternes de points X,, Y,, Z..

Construisons, comme nous l'avons indiqué précédemment
(IV, in, 4), les groupes de l’homographie qui est déterminée sur
la cubique gauche par ces sept ternes de points, et Joignons les
points de ces groupes respectivement aux droites a, b, c; les
plans homologues des trois faisceaux ainsi obtenus se coupent
en des points dont le lieu est la surface cherchée.

2° Les plans d’une gerbe coupent les faces d’un trièdre fixe en
des groupes de trois droites qui, joints respectivement à trois
points fixes, donnent lieu à trois faisceaux de plans.

Le lieu des intersections des plans homoloques est une surface
cubique qui possède pour point double le sommet du trièdre fixe.

Ce procédé a été indiqué par M. Salmon.

3° Les rayons d’une gerbe coupent les faces d’un trièdre fixe
en des groupes de trois points ; le lieu de l’intersection des plans
qui unissent ces points à trois droites fixes est une surface cubique
passant par le sommet du trièdre fixe et par les trois droites.

Ce procédé de génération ne permet pas de construire une
surface cubique astreinte à dix-neuf conditions ; la raison en est
que l’homographie cubique caractérisée par ce procédé n'est
pas la plus générale (*).

4° Les plans d’une gerbe coupent trois droites fixes de l’espace

(*) Voir, à ce sujet, notre travail intitulé Génération d’une surface du

troisième ordre (MÉMOIRES DE LA SOCIÉTÉ ROYALE DES SCIENCES DE LIÈGE,
2e série, t. XIV).

(167)

en trois séries homographiques de points qui, joints à trois axes
fixes, donnent lieu à trois faisceaux homographiques de plans :
le lieu des intersections des plans homologues est une surface du
troisième degré passant par les trois axes fixes.

_ L'homographie caractérisée de cette façon sur les droites fixes
n’est pas la plus générale; il s'ensuit que ce procédé de géné-
ration ne peut servir à construire une surface cubique astreinte
à dix-neuf conditions.

5° Ce procédé de génération des surfaces cubiques peut être
généralisé de diverses façons; en voici un exemple :

Les plans qui enveloppent une surface de la classe n marquent
sur trois droites fixes des séries de trois points qui, projetés de
trois axes fixes, donnent lieu à trois séries de plans.

Le lieu de l’intersection des plans homologues est une surface
d'ordre 5n.

En effet, une transversale quelconque rencontre les plans
homologues des trois faisceaux suivant trois ponctuelles super-
posées : entre les éléments de ces ponctuelles, il existe une
correspondance (n.n.n); d'après l'extension du principe de
Chasles, il existe 5n coïncidences, qui sont les intersections du
lieu avec la transversale en question. Ce-lieu contient évidemment
les trois axes des faisceaux.

En particulier, si n.— 2, la surface engendrée est du sixième
degré; plus particulièrement encore, si les trois droites fixes se
rencontrent en un même point et si la surface génératrice du
second degré est tangente aux faces du trièdre formé par ces
droites, la surface du sixième ordre se décompose en une surface
cubique, passant par les trois axes des faisceaux, et les trois
faces du trièdre. Nous pouvons ainsi énoncer ce théorème, dû
à M. Le Paige (*) : |

Si un tétraèdre se déplace de telle façon que trois de ses faces
passent par trois axes fixes, tandis que la quatrième face enve-
loppe une surface de la seconde classe tangente aux faces d’un

(*) Voir, à ce sujet, par exemple, la seconde partie des Essais de Géo-
.métrie supérieure du troisième ordre de M. Le Paige, pages 114 et suivantes.

(168 )

triedre fixe, et que les sommets du tétraèdre situés dans cette face
parcourent les arêtes du trièdre, le quatrième sommet décrira une
surface cubique.

Ce théorème permet réciproquement de construire une surface
du troisième degré passant par trois droites et sept points donnés.

En effet, par l’un des sept points donnés, menons un trièdre
quelconque; les plans qui unissent les six autres points aux
trois droites, marquent sur les arêtes du trièdre choisi des
groupes de trois points; construisons la surface de la seconde
classe tangente aux faces du trièdre et aux six plans correspon-
dant aux six groupes de trois points du trièdre fixe ; achevons
les constructions indiquées par le théorème précédent : nous
aurons la surface cubique cherchée.

M. Le Paige a encore donné une autre construction de la sur-
face cubique.

Voici, en quelques mots, en quoi elle consiste :

Les plans de l’espace marquent sur quatre droites fixes des
séries de quatre points qui, projetés respectivement de quatre axes
fixes, donnent quatre faisceaux homographiques de plans.

Le lieu des intersections concouranies des groupes de quatre
plans homologues, est une surface du quatrième ordre.

Si les quatre axes de projection sont dans un plan, la surface
engendrée se décompose en ce plan et en une surface cubique.

Cette génération de la surface cubique a conduit M. Le Paige
à l’étude d’une configuration extrêmement intéressante (*).

(*) Sur la génération de certaines surfaces par des faisceaux quadrilinéaires
(Buzz. pe L’AcaD. ROY. DE BELGIQUE, 5° série, t. VIU).

CHAPITRE V.

Dans ce dernier chapitre, nous allons étudier quelques pro-
priétés générales des homographies d'ordre et de rang quel-
conques.

1. Par définition, une homographie d'ordre n et de rang k,
:, est l’ensemble des groupes de n éléments, communs à n—
homographies, d'ordre n et de rang n — 1, dont les supports
des mêmes séries d'éléments sont superposés.
D'après cela, à k éléments appartenant à Æ séries déterminées
il correspond, dans les n — k homographies d'ordre n et de
rang n — 1, des groupes de n — k éléments formant n — k ho-
‘ mographies d'ordre n — k et de rang n — k — 1 ; d'après ce que
nous avons vu précédemment, ces n — k homographies ont en
commun (n— k)! groupes communs de n — k éléments (IV, 1, 7).
Nous pouvons, en conséquence, énoncer le théorème suivant :
Dans une homographie d’ordre n et de rang k, à k éléments
appartenant à k séries déterminées il correspond dans les séries
restantes (n — k)! groupes de n — Kk éléments.

2. À k' éléments (4 < k) du support de £’ séries d'une H;
il correspond, dans les n — k homographies d'ordre » et de
rang n — 1 dont H; est l'intersection, des groupes de n —
éléments des séries restantes, formant n — k homographies
d'ordre n — k' et de rang n — k' — 1 ; les groupes communs à
ces n — k' homographies forment un homographie d'ordre n — K”
et de rang k — 4’; donc : à k’ éléments (k' < k) appartenant

(170 )

à K' séries d’une homographie d'ordre n et de rang k, il corres-
pond dans les séries restantes des groupes de n — K' éléments
formant une homographie d'ordre n — K' et de rang k — K'.

8. En général, à k éléments appartenant, par exemple, aux
séries

UE La 0909 les

il correspond, comme nous venons de le voir, (n — k)! groupes
de n — k éléments appartenant aux séries restantes

Vigas rss re

Cependant il peut arriver que, par un choix convenable des
k éléments, il corresponde une infinité de groupes de n — k élé-
ments.

Voici quand cela pourra se présenter :

Supposons que dans les (n — k)! groupes qui correspondent
aux k éléments des séries données, il se trouve deux groupes
composés des mêmes éléments des n — k — 1 séries

lépas Urpos ces nt

tandis que l'élément de la série &, est différent dans les deux
groupes.

Dans ce cas, ce groupe de n — k — 1 éléments est un groupe
neutre de chacune des homographies, d'ordre n — k et de rang
n — k — À, qui correspondent aux k éléments donnés dans les
homographies d'ordre x et de rang n — 1, dont l'homographie
H; est l'intersection.

11 s'ensuit qu'aux k éléments en question il none une
infinité de groupes, composés de n — k — 1 éléments fixes des
séries di » 25 1,1 €t d'un élément quelconque de la série ©.

Nous pourrons appeler ces groupes de k£ éléments, groupes
neutres des séries 14, l2; «… ix, PAT rapport à la série 1.

4. Il peut arriver que dans les (n —k)! groupes den — k
éléments qui correspondent à un choix convenable de k éléments

(171)

appartenant aux séries à, 4, …, 4, il S'en trouve quatre com-
plètement indépendants entre eux et composés, par exemple,
des mêmes éléments des n — k — 2 séries

lrvas 1x49 .…. ln=3) Vn=2»

tandis que les éléments des séries 1,_, et à, varient d’un groupe
à l’autre. :
Dans ce eas, le groupe des n — k — 2 éléments des séries

Veyas pas Oo.) Un-5s Uno

est un groupe de n — # — 2 éléments neutres, commun aux
n — k homographies, d'ordre n — k et de rang n — k — 1, qui
correspondent aux Æ éléments des séries

Uo os ..., lo

dans les n — k homographies d'ordre n et de rang n — 1 qui
définissent l’homographie H}.

Il s'ensuit qu'aux k éléments en question il correspond des
groupes de n — k éléments, composés de n — k — 2 éléments
fixes des séries

Vkyro Vpyas 92929 1h99

et de deux éléments indéterminés des séries ?,_, et 2.

Nous appellerons ces groupes d'éléments, groupes neutres
des séries

du, do, GONG) dz ’
par rapport aux séries ?,_, et ?,.

On pourrait étendre ces considérations à la notion des

groupes neutres de k séries par rapport à p des séries restantes
(p£n—th).

. 5. A k — 1 éléments appartenant à k — 1 séries du support
d’une homographie H°, il correspond dans cette homographie
des groupes de n — E + 1 éléments des séries restantes, qui

(172)

forment une homographie d'ordre n — k + 1 et du premier
ranc Hit

Il peut arriver que, par un choix convenable des k — 1 élé-
ments, cette homographie H*"*' ait des groupes composés de
n — k — i éléments fixes et de à + 1 éléments indéterminés.

Ces groupes de k — 1 éléments sont les groupes neutres de
k — 1 séries, par rapport aux éléments de à + 1 des séries res-
tantes.

De même, il y a lieu de considérer les groupes de # — p élé-
ments neutres de # — p séries, par rapport aux éléments de des
séries restantes. :

Jusqu'à présent, nous n'avons pu mener plus loin l'étude
des groupes neutres d’une homographie : cette question exige la
résolution de problèmes fort difficiles sur l'élimination.

Il

Éléments multiples.

1. Supposons que les 4 + 1 supports de k + 1 séries, par
exemple des séries
ü, to; bon tkt
de n séries formant une H?, coïncident; il peut arriver que,
à k éléments coïncidents de k séries, par exemple des séries

li , Lo, 090 0 Les Ur

il corresponde des groupes de n —k éléments, tels qu’un de ces
groupes contienne un élément X,,, de la série 4,,,, qui soit pré-
cisément le point de coïncidence, X,,:.,, des k éléments
déterminatifs. |

Représentons par N; le nombre de ces groupes.

A un élément X,,:., il correspond (n — k)! groupes de
n — k éléments des séries restantes et, par suite, (n — k) ! élé-
ments X,,, de la série à,,,.

(15)
À un élément X,,, de la série t,, il cond port dans H’ des
groupes de x — 1 éléments appartenant aux séries
D RS A RATE a Es 0 à OR
et formant une homographie H;=;; les supports des séries
ds COPA ne

de cette bite coïncident ; il existe un nombre N':! de
groupes de cette homographie qui contiennent k éléments des
séries

CT EUR D
coïncidents en un même élément X,,.: 4.

n—1

Donc, à un élément X,,, il correspond N; éléments
XD n ee
Ainsi, entre les éléments X,,, et X,....4 il existe la cor-

respondance
- ((u— 1), Ni).

Le nombre des coïncidences de cette correspondance est exac-
tement égal au nombre N;; par conséquent, on à :

À N° —{(n — k)! + Nic.

Remplaçons dans cette formule de récurrence, successivement
mebRpann= ln 02, Re eee 02,201;
- nous aurons Ja suite de relations :

Nr — (n — k)! + N°,

NE in kjt + NEA,

NP = in — k)! + (n —k)!,

(174)
d’où nous déduisons
Ni (n — k)! (k +1) 0.

Si les supports des n séries coïncident, le nombre total des
groupes composés de £ + 1 éléments coïncidents sera

n!

none ne il = (a —h)

Éléments multiples associés.
2. Supposons que les supports des séries

Us dos es Us Ugo ce rs Uri, 1° ritr, +9
d'une homographie H° coïneident.
A r, éléments appartenant aux séries

Dis ds so

il correspond dans l'homographie H° des groupes de n — 7,

11’ 1 Uomti
éléments, formant une homographie Hem

Cette dernière homographie possède des groupes composés
d'éléments coïncidents des séries

y, +92? 006 ordi PRE
en nombre fini
qe DA (Er + 1) (re — Dire + 15 rnb)

La même propriété a encore lieu quand les r, éléments des
séries

(*) Cette formule a été donnée par M. Le Paige (loc. cit., p. 58).

(175)

coïncident ; nous voyons ainsi qu’une homographie H* possède
une infinité de groupes composés de r; éléments coïncidents de r,
séries, de v, + 1 éléments coïncidents de r, + 1 autres séries, et
d'éléments appartenant aux séries restantes. Si done nous
astreignons ces groupes à satisfaire à une condition supplémen-
taire, il n'existera qu'un nombre fini de pareils groupes.

La condition que nous nous imposons actuellement, c'est que
l'élément B de la série i..41 de chaque groupe coïncide avec
l'élément r,“" des séries coïncidentes

Lea DA ER as MORE TELE
, ? 2 nee

appelons À cet élément r,“"*; nous venons de voir qu’à un élé-
ment À il correspond

(n — k)! (ra + D
éléments B.

A un élément B de la série à, , ; il correspond dans les séries
restantes, des groupes de n — 1 éléments formant une homogra-
phie H}_,; cette homographie possède des groupes en nombre
fini, composés de r, éléments coïncidents A, des séries

Us de ces Us

et de r, + 1 éléments coïncidents des séries

tr, +2° r,+5? FN lrr,+2

Soit N°2; (71.72 + 1) le nombre de ces groupes; nous voyons
qu'à un élément B il correspond

NE (Ti. Ta + 1)

éléments A. Entre les éléments A et B il existe la correspon-

dance
(Nat (r.re+ 1), (n — k)! (re + 4));

done, si nous représentons en général par la notation N'(k;,.k;)
le nombre des groupes d’une homographie H£ qui contiennent

(176)

k, éléments coïncidents de 4, séries déterminées et k, éléments
coïncidents de k, autres séries, quand on a la condition
k, + k, = p + 2, nous obtenons la relation

NP (rs + lire + 1) = NET (nr. 2 + À) + (n a k)! (re + 1);
de même, nous aurons la suite d'équations :

Not. rt) = Ni E(r 1, +14) + (n —k)! (+1),

EE (ra — 1 7241) = NES (ra —2.ro+ 1) + (n —- k)! (re +1),

ue (2.r:+1)— Nm Aore+l)+(n —k)!(r+1),

Niue (1 .To+l)=(n—k)!(r +1);

d’où, finalement,
N% (1 + 1). (re + 1)) — (n — k)! (re + 1) (1 + 1)

Si les supports des diverses séries coïncident, le nombre total
des groupes contenant deux éléments (r, + 1)"* et (r; + 1)"
associés, est

Co he 1) $ | eve
Tr +1 Ta + ]
n.!

= (n—#k—1)(n — kb).

Pol Tel

3. Supposons, pour plus de facilité dans ce qui va suivre,
que les supports des n séries d’une H} coïneident; admetions
que nous connaissions le nombre des groupes de cette homogra-
phie qui contiennent q éléments multiples associés, d'ordres de
multiplicité respectifs

TE TC IL ES TEA,
quand on a la condition

TETE. + TR;

(177)

Connaissant ce nombre, quels que soient les nombres n,
et les indices de multiplicité, recherchons le nombre des groupes
qui contiennent q + 1 éléments multiples associés, d'ordres

respectifs
on DÉTENTE ORAN EM RATE
quand on a la condition

Ti + Toto + lo + lou = k

Soit un élément quelconque A du support des n séries ; consi-

dérons À, comme un élément (r,.,)*" des séries
trot +r, +41 2 tr, +ryt+ 942? Ne
trot +Tot-lati+Q ;

il lui correspond, dans les séries restantes, des groupes d'élé-
ments formant une homographie d'ordre n — r,,, et de rang
PEN

Cette homographie possède des groupes composés de q élé-
ments multiples associés, d'ordres

n+l, +, ..., 7, +1,

9
appartenant aux séries respectives

Las ta, ..… ENT

por Us vu pro?

trs rer, cs Vert, +5?

PRE ne D rs ri utq+l PS br tr
en nombre fini, puisque l’on a
TH late +T=k—T,u.
Représentons ce nombre par
NEO Rene A) Sir

arr

(178)

chacun de ces groupes contient un élément B, appartenant à la
série

HU + Ti g+1 ;
si un de ces éléments B coïncide avec l'élément A, le groupe
dont 1] fait partie est un des groupes dont nous recherchons le

nombre.
À un élément À, il correspond done

Tn— A1

nd rl, sm )
éléments B.

A un élément B de la série
ptrs.+routq +1 2

il correspond, dans l'homographie H?, des groupes de n —1
éléments, formant une homographie H*-!. Cette homographie
possède des groupes contenant q + 1 éléments multiples asso-
ciés, d'ordres

AS UT AE OST MEET EU
appartenant aux séries ’

LU Los 0:00 +1?

(

Ti+2 tr, +3? ? trtr, +2

er aq? RUE ee D ren
DUR one trier 2 F9 PR
en nombre fini

in le me Ur ul, Th)

puisqu'on a la condition

sl

(179)

l'élément (r,.,)“** de chacun de ces groupes est un élément A;
done, à un élément B, il correspond

NE (ra +, m4 ur, +1, ru)
éléments A.

Entre les éléments A et B, il existe la correspondance que
nous venons d'établir; le nombre des coïncidences est égal au
nombre des groupes cherchés; par conséquent, on a :

Nifr+ldre+l.,r +1, rutd) — Nom (ni +1, 7, + 1)
+ Neue dr, Ar);
en traitant cette formule de récurrence comme précédemment,
nous obtenons :
Nini+l rt, 7, +1, Tu +01)
(rue NT (nel ir tel r, + 4)
NET q+1 k— Tor APR 5 12 LD AGO) q .

De même, nous aurons la suite de relations :

N—T' 941

kit ++, rm +1)

= (7, + ji me CAESE AAC PINS |

E—r3— Tati 1 + 1),

qg—
. . . . . Û . Û ° e . ° . e Ê Ô e

etc.

En combinant ces diverses équations par multiplication, nous
-obtenons définitivement :

Néifri+ dl ro+l ou, 7, + 1 roi + 1)

= (n — k)! (ri +4) (re + 1) 2, (re + 1) (ou + 1).

Ce nombre est celui des groupes de l'homographie H;, qui
contiennent q + 1 éléments multiples associés, d'ordres à

SE AE SE SPEARS PSS RE A

appartenant à des séries déterminées; le nombre total de ces

(180 )

groupes s'obtiendra en multipliant le nombre primitivement
obtenu par

{1} Pa 4 benoit
ri +1 To+l Tr: +1 Vox + À

le nombre final est
n! (n —k)!

nine vi rul(n—k-qg—A)t

III
Groupes communs à deux ou plusieurs homographies.

1. Soient deux homographies de même ordre # et de rangs k
et 4’ : nous supposons que les éléments des mêmes séries de ces
homographies sont situés sur les mêmes supports.

Ces deux homographies peuvent être considérées comme étant
respectivement l'ensemble des groupes communs à n — k et à
n — k' homographies d'ordre n et de rang n — 1; l’ensemble
de ces 2n — k — k' homographies représente des groupes de
n éléments, en nombre fini ou infini, selon que l’on a les
conditions |

In —k—k —=n, ou On —k—k L n.

Nous pouvons donc énoncer les théorèmes suivants :

L’ensemble des groupes communs à deux homographies d’ordre
n et de rangs k et k', H? ef H},, quand on a k + RW n, forment
une homographie d’ordre n et de rang Kk' + k'—n.

En général, m homographies d’ordre n et de rangs k,, ko, ….k,
ont en commun les groupes d’une homographie d'ordre n et de
rang

quand on a

(181 )

2. Soient deux homographies d'ordres respectifs m et n et
du premier rang, H”, H°, (m < n) : supposons que les supports
des m séries de H” coïncident avec les supports des » premières
séries de H}.

Les deux homographies peuvent avoir en commun des couples
d'éléments de deux séries communes et qui appartiennent à des
groupes distincts de ces deux homographies : nous représentons
par X, ou Ÿ, un élément de la °° série commune aux deux
homographies, suivant que nous considérons cet élément dans
l’homographie H} ou dans l'homographie H}.

À un élément X, de la "* série, il correspond, dans H”,
(m — 1)! groupes de #» — 1 éléments des séries restantes et, en
particulier, (m — 1)! éléments de la p°”"° série; à chacun de ces
éléments, considéré comme élément Y,, il correspond dans H!
(n — 1) ! groupes de n — 1 éléments de la °° série.

Si un de ces éléments Y, coïncidait avec l'élément X,, nous
aurions un des couples communs aux deux homographies.

A un élément X,, il correspond donc

(im — 1)! (n —1)!
éléments Y.

De même, à un élément Y,, il correspond

(n — 1)! (in — 1)!
éléments X..

Entre les éléments X, et Y,, il existe la correspondance
((m=-1)! (n—1)!, (n—1)! (m— 1)!);

le nombre des coïncidences de cette correspondance est le
nombre des couples communs aux deux homographies données
et appartenant aux séries 2 et p; ce nombre sera done

2(m—1)! (n —1)!.

Comme les deux homographies ont en commun les supports
de m séries, le nombre total des couples communs sera

2 ( (m — 1)! (n —1)!.

(182)

8. Soient deux homographies, l'une d'ordre n et de rang 4,
l’autre d'ordre # et du premier rang, H} et H”; nous faisons les
mêmes suppositions que précédemment, quant aux supports
communs aux séries de ces homographies.

À un élément X,., de la série %,,,, il correspond, dans l'homo-
graphie H”, (a — 1)! groupes de (m — 1) éléments et, en par-
ticulier, (mm — 1)! groupes de k éléments des séries

Us Vos oo.)
à chacun de ces groupes, considéré comme formé d'éléments
We Ne ae ES

il correspond (n — k)! groupes de (n — k) éléments dans H; et,
entre autres, (n — k)! éléments Ÿ,.,, de la série ,,,; si un de ces
éléments Y,,, coïncidait avec l'élément X,,,, nous aurions un
groupe de À + 1 éléments communs aux deux homographies et
appartenant aux Æ + 1 séries

lu, te .. ds dati
À un élément X,.,, il correspond donc

{m— i)! (n —k)!
éléments Y,,..

À un élément Y,.,, il correspond dans H?, des groupes de
n— 1 éléments formant une homographie H}=; cette homo-
graphie a en commun avec H}, des groupes de Æ éléments des
séries

du; LEE nie Done Uk
en nombre fini N’=;*.

( Nous représenterons désormais par la notation N;;, le
nombre des groupes de k' + k” éléments communs à deux
homographies H°, et H?,.)

À chacun des groupes communs, considéré comme composé
d'éléments

(183)

il correspond, dans l'homographie H”, un élément X,.,, de la
série Xysy.
A un élément Y;,,, il correspond done N;7} éléments X,.,..
Entre les éléments X,,, ct Ÿ,,,, il existe la correspondance

[1
(me — 1)! (n — ht, NET);

le nombre des coïncidences est précisément le nombre N°”; ainsi
nous aurons la relation :
Ni —(m—1)! (n—k)! + Nr.

Il résulte de la dernière formule que, si l’on a démontré qu'une
homographie du premier rang a en commun avec une homo-
graphie de rang p, des groupes de p + 1 éléments, elle aura
avec une homographie de rang p + 1, des groupes communs
_ de p + 2 éléments.

Or, nous avons démontré précédemment que deux homogra-
phies du premier rang ont des couples d'éléments communs;
par récurrence, nous avons ainsi prouvé que deux homagraphies
du premier et du kK°* rang ont des groupes de k + 1 éléments
‘communs. Cette propriété doit être nécessairement démontrée,
car elle n’est pas évidente à priori.

On peut déduire facilement de la formule précédente :

Ne%—(k +1) (m—14)! (n—kj)!.

Le nombre total des groupes communs à deux homographies
H}, H”, dans les suppositions faites précédemment, est

Lu CL ON Gate

k+A

4. En général, soient deux homographies HF: et H}> M EN
et k + ko < n95 de la même façon que plus haie nous trouve-
rons cette formule de récurrence :

y n Ve —1n Mi Na—1 .
Ny k, ad —| ne Ne k A

(18% )

Il résulte de là que :

4° Deux homographies H; et H;: ont des groupes communs de
k, + k, éléments communs, en nombre fin;

% Le nombre de ces groupes communs appartenant à k; + ka
séries communes déterminées, est

(k, = ka)! (ny EE k;)! (n3 — k2)!

di te
| ki! ke!

: | cu ho

3° Le nombre total des groupes communs, dans les suppositions
que nous avons faites, est

| M2 1 + k)! (ni — ki)! (eh)!

k, + ke PET

5. Prenons un élément quelconque du support d’une série
commune à deux homographies H}: et H}°; il lui correspond
dans ces homographies des groupes de n,—1 et n,— 1 éléments,
formant deux homographies Hem Here ces deux homo-
graphies ont des groupes de Æ, + k, — 2 éléments communs
appartenant à k, + k, — 2 séries communes déterminées, en
nombre fini

?

ke, + ka — à

(ny — ki)! CE “ut

nous pouvons donc énoncer le théorème suivant :
Un élément du support d’une série commune à deux homogra-
phies H}: et H}?, entre dans
1 2
ki + k — 2
(ns — hi)! qu — He rot |

ka—1

groupes de k, + k, — 1 éléments communs appartenant à
k, + k, — 1 séries communes déterminées.

Plus généralement, k éléments des supports de k séries com-
munes à deux homographies H,: et H , entrent dans

GE EN dE le + ls —

ki —k

groupes de k, + k; — K éléments communs appartenant à
k, + ko — k séries communes déterminées.

(185)

6. Soient deux homographies H}: el He: ; elles ont en com-
mun des groupes communs de 4; Le ka 1 éléments apparte-
nant, par exemple, aux séries communes

Uno UP ETC 0) tk, —1°

en nombre infini; recherchons combien il existe de ces groupes
qui contiennent des couples d'éléments des séries 4, et #, d’une
homographie H}, d'ordre » et du premier rang.

Représentons ce nombre par X’.

A un élément À de la série #,, considéré comme appartenant
à l’homographie H}, il correspond, dans cette homographie,
(m — 1)! groupes de 5m» — 1 éléments des séries restantes, et,
en particulier, (m — 1)! éléments de la série . À chacun de
ces derniers éléments, il correspond, dans les deux homographies
H et H}2, des groupes de qu — 1 et de n, — 1 éléments for-
mant ie bb HF us let re

Ces deux homographies ont des groupes’ de 4, + ka — 2 élé-
ments communs appartenant aux séries |

UE L3, .., Ut, —1

en nombre
EN 0)
Que que (ET)

et, en particulier, autant d'éléments B du support &.
À un élément À, il correspond

ki + Ke —
(mm — 1)! (ns —Æ,)! (ne — ki)! | PU °|

éléments B; de même, à un élément B, il correspond

+ it

(on — 1)! (ns — k;)! eu — #3 | =",

éléments A.

Le nombre des groupes cherchés est égal au nombre des

(186 )

coïncidences de la correspondance que nous venons d'établir ;
done
k, + k: — 2
XP —2{m—1)! (n, — k,)! (n, - k)! | \ |

ki —1

Nous pouvons, en conséquence, énoncer le théorème suivant :
Ë k , 1 n D
Deux homographies superposées H et He contiennent

2m Au k)! (ns — ke)! X d : ir)

ki —1

groupes de k + ko — 1 éléments appartenant à Kk, + k, — 1
séries déterminées et comprenant un couple d'éléments d’une HŸ
appartenant à deux de ces séries communes.

7. Soient deux homographies H}:, H}>; recherchons com-
1 2
bien il existe de groupes de k, + ko — 1 éléments communs à
ces homographies et appartenant aux séries
e

CHAN PATRES TOP AS
k+k, -1

qui renferment ! + 1 éléments d'une homographie H7 et appar-
tenant, par exemple, aux ! + 1 séries

Lis Lo, ..…, Up.

Soit X7 le nombre de ces groupes : à un élément A de la
série à, Considéré dans l’homographie H”, il correspond dans
cette dernière des groupes de m — 1 éléments, formant une
homographie H7.

Cette homographie possède des groupes de / éléments appar-

tenant aux séries
las 33 co) rio

et compris dans des groupes de 4, + k, — 1 éléments communs
à H} eva ka en nombre fini X”,': dans chacun de ces
groupes, il figure un élément B de la série 4.

Si un de ces éléments B coïncidait avec À, nous aurions un
des groupes cherchés.

(187)

ra

A un élément À, il correspond done éléments B.

A un élément B, il corr RESROp dans H' et H}> deux homo-
graphies Ho et He ve ces deux nn fie ont en
commun des groupes de k, + k, — 2 éléments communs des
séries pe

Bo Us ee ppp 1
en nombre fini

(u— #4)! (ns =)! Fe in )

k, —1

et donc, autant de groupes de / éléments des séries
l3 V5 CCI ONE) le

A chacun de ces groupes, il correspond (m — !)! éléments A
de la série ?, dans l'homographie H}; par conséquent, à un élé-
ment B, il correspond

(m— I)! (mn —k;)! (n2 — ki)! |
éléments A.

Le nombre X} est égal au nombre des coïncidences de la
correspondance que nous venons d'établir; done :

k [ =9)
XP = X77 + (m — l)! (n, — k;)! CETTE ? ]-

k— 1

Nous aurons, de même, la suite de relations :

ki + k2 —9
da = XP + (me — jt (ni — hi)! (mn — ko)! fe ” }
|
b+k—
Ne NO nt Ce LE) Le js ]-
a

Or, X°7“** est le nombre des couples d'éléments de deux
séries déterminées d’une homographie H”-"', qui sont compris
dans des groupes de k, + k3 — 1 éléments communs de

(188)

k, + k, — 1 séries déterminées de deux homographies H}: et
H}° ; d’après ce que nous avons vu plus haut (V, n1, 6), on a :
ki + ko — 9
XL 0 0) (n, — k;)! (n2 — ka)! | . Le |:

Î pont

Des raisonnements analogues à ceux que nous avons faits
précédemment nous conduisent à la formule :

XP — ({ + 1) (m—1l)! (ni — ki)! (mn — k;)! F . ue

ki — 1

8. Plus généralement, nous pouvons, de même, établir les
résultats suivants :

1° Le nombre des groupes de k, + k, — p éléments communs
à deux homographies 1 ke el H;° , appartenant à ki + k: —p
séries déterminées qui contiennent des groupes de p + 1 éléments
de p + 1 séries déterminées d’une homographie H}, est

k, + ks — 2p
(BA) m1) Ge —#) (met (ES 7).
k — p
2% Le nombre des groupes communs de k; + ko — p éléments,
appartenant à k, + k, — p séries déterminées de deux homo-
graphies H: el H;: qui contiennent des groupes de | + p'élé-
ments de p + | séries déterminées d’une homographie H}, est

ii) is + ka — 2p

| (em — 1)! (ms —E)t (ne — EH)!
p ki — p

= |

9. Supposons que le rang ! de l'homographie H” soit tel
qu’on ait
l+p=k+k—p;

alors, le nombre (A) devient le nombre des groupes d'éléments
communs, appartenant à k, + ks —p séries communes aux
trois homographies H}, H}: , H.

(189 )

Posons
ki + Ko —2p—l—#k;, M = N;;

nous pouvons énoncer le théorème suivant :

Le nombre des groupes de p éléments appartenant à p. séries
communes déterminées de trois homographies superposées H}:,
1
Do Ds
Hi AUTRE quand on a
ki + ko 2 k;
HER

#s 9

est

ul (ru — ka)! (no — ka)! (n3 — k:)!

(eh)! (we — Re)! (uw — K;)!
D'autre part, nous pouvons observer que, si une homographie
Hs a des groupes d'éléments communs avec deux homogra-
5
phies H}t et H}? , il existe un nombre p tel que l'on ait
2 ’

ks+p=k+k—p;

il faut donc que la somme des rangs de deux de ces homogra-
phies, diminuée du rang de la troisième, soit un nombre pair 9p,
ou, ce qui revient au même, que la somme des rangs des trois
homographies soit un nombre pair 2(p + k;).

Du reste, si la somme des rangs de trois homographies est un
nombre pair, ces trois homographies ont des groupes d'éléments
communs en nombre fini : il suffit pour le prouver de montrer
que, dans ce cas, un des rangs est égal à la somme des autres,
diminuée d’un nombre pair.

Soit ki + ko + k; — 2m; nous pouvons toujours écrire :

BU — ka a lé = R,
en admettant que le nombre k; est le plus petit des nombres
k; , be ks.
Or,
k, == ke SF 2m;
donc

ce qui prouve que R est un nombre pair 2p.

( 190 )

Nous pouvons, en conséquence, énoncer les théorèmes sui-
vants :

1° Trois homographies superposées ont des groupes d’éléménts
communs en nombre fini, quand la somme de leurs rangs est un
nombre pair. Le facteur de parité est égal au nombre des éléments
qui figurent dans les groupes communs ;

2 Quand la somme des rangs de trois homographies ko H;° 4
H ne est un nombre pair Qu, ces trois homographies ont des
groupes de p éléments communs appartenant à p séries délermi-
nées, en nombre

um! (ru — k)! Ga ho)! (ns — hs)
| (pu — k;)! (g — K2)! (uw — k;)!

10. Si la somme des rangs de trois homographies H}: k H;° :
HS, diminuée d’un nombre q, est un nombre pair 2m, ces trois
homographies possèdent des groupes de m éléments communs en
nombre q fois infini.

‘En effet, à q éléments appartenant respectivement à q séries
communes déterminées, il correspond, dans les trois homogra-
phies H}', H}>, H}s , des groupes de n, — q, n: —q, ns — q
ne ont trois homographies H} RE H°: ne Hs FE la
somme des rangs de ces trois dernières homographies est un
nombre pair 2(m — q); par conséquent, ces trois homographies
ont des groupes de »m — q éléments communs, en nombre fini;
le nombre de ces groupes est

(m — q)! (nr; — ka)! (re — k2)! (n5 — 3)! :
(m—q—h)! (m—q—k)! (m—q—k;)!

Nous avons démontré de cette façon le théorème annoncé,
ainsi que le théorème suivant :

Quand la somme des rangs de trois homographies, ne
d’un nombre q, est un nombre pair 2m, q éléments quelconques,
appartenant à q séries délerminées, entrent dans

(m — q}! (nm — k)! (ns — ke)! (n5 — ks)!
nm — q — hs)! (m— q —&)! (nm —q —k:)!

(191)

groupes de m éléments appartenant à m séries communes déter-
minées.

11. La méthode que nous avons employée pour établir ces
propriétés est absolument générale : elle permet de déterminer
la condition pour que qg + 1 homographies quelconques aient
des groupes d'éléments communs en nombre fini et, le cas
échéant, le nombre des éléments qui figurent dans les groupes
communs.

Voici encore, pour le cas de g — 5, la méthode à suivre :

Soient trois homographies H}:, H}>, H}° ayant des groupes
communs de # éléments en nombre p fois infini; leurs rangs
satisfont donc à la condition

b+kæ+kp

2

m,

Il faudra rechercher le nombre A de ces groupes qui con-
tiennent ! + p éléments de ! + p séries déterminées d'une
homographie H7'.

Pour arriver à ce résultat, il est nécessaire de résoudre quel-
ques problèmes préliminaires semblables à ceux que nous avons
traités précédemment. |

On supposera, dans la formule qui donne la valeur de A,
l+p—%,; et m—n,; on arrivera ainsi au théorème suivant :

Le nombre des groupes communs de n éléments, appartenant
à y. séries communes déterminées de quatre homographies
Hi, H®, Hé, Hit, est

me: (ru — ki)! (ne — hs)! (ns — ks)! (n, —E,)
Qu — En)! (ue — Re)! (ue — Ki)! (e — k)

quand on a la condition
ki + ko 2E ks nn k,
no

Un raisonnement semblable à celui que nous avons fait dans

(192)

le cas de g=—2, nous permettra d'arriver à ces autres pro-
priétés :

Si la somme des rangs de quatre homographies H} (i=1,2,
9, 4) est un multiple du nombre 5, ces homographies ont des
groupes d’éléments communs en nombre fini : le nombre des éle-
ments qui figurent dans les groupes communs est égal au facteur
de multiplicité.

Si la somme des rangs de quatre homographies superposées est
un multiple m du nombre 3, augmenté d’un nombre r, ces hoïmo-
graphies possèdent des groupes de m éléments communs en
nombre r fois infini : r éléments quelconques de r séries détermi-
nées figurent dans 1h

TL (2, — k;)!

i=4

IL (in — r — k;)!

(im — r)!

groupes, contenant m éléments communs de m séries déter-
minees.

12. Dans le cas général, nous arriverons aux théorèmes
suivants :

Si la somme des rangs de n homographies Hi: (=, 2,
3, …, n) est un mulliple p de n — 1, ces homographies pos-
sédent des groupes de u éléments communs, appartenant à p. séries
communes déterminées, en nombre fini; ce nombre est

i=n

: IL (n, — k;)!
Pérouse
D(u—E#)!

Si la somme des rangs de n homographies H}, Gui}, 2
3, …, n) est un multiple m de n — 1, augmenté d'un nombre r,
ces homographies possèdent des groupes communs de m élé-
ments, appartenant à m séries communes déterminées, en nombre
r fois infini : r éléments appartenant à r de ces séries figurent
dans
i=n
IT (n;, — k;)!

i=n

IT (im — r — k;)!

(m — r)!

de ces groupes.

(493 )

Ces théorèmes expriment, de la manière la plus générale, les
propriétés des groupes communs à un nombre quelconque
d'homographies d'ordres et de rangs quelconques.

Leur démonstration n'offre aucune difficulté spéciale : à cause
de la longueur du raisonnement, nous nous dispenserons de

l'indiquer. Du reste, la méthode à suivre est en tous points
semblable à celle que nous avons employée, pour établir les
théorèmes généraux sur les groupes communs à un nombre
quelconque d'involutions.

Nos théorèmes donnent, comme conséquences, de nombreuses
propriétés concernant les solutions communes à un nombre
quelconque d'équations algébriques à plusieurs variables et de
degrés quelconques.

Nous ne croyons pas devoir développer ces conséquences
dans un travail dont le but est l'étude d’une théorie géomé-

trique.

13

THÈSES ANNEXÉES AU MÉMOIRE.

THÈSE L.

Les rayons de deux congruences du premier ordre et de la
première classe, qui passent par les points d’une surface d'ordre n,
sont situés dans les plans tangents d’une surface de la classe 5n.

— Les rayons de deux congruences du premier ordre et de la
première classe, qui sont situés dans les plans tangents d’une
surface de la classe n, ont leurs points d’intersection situés sur
une surface d'ordre 5n.

THÈSE II.

A l’aide de deux corrélations homographiques entre les élé-
ments linéaires de deux espaces à trois dimensions, superposés
ou non, on peut établir une liaison telle qu'à un point de l’un
des espaces, il corresponde une droite de l’autre espace, et
réciproquement.

En général, aux points d'une droite d de l’un des espaces, il
correspond les génératrices d'une réglée du second ordre de
l’autre espace.

Le lieu des droites d, telles que les réglées correspondantes
soient des cônes, est un complexe tétraédral.

THÈSE Il.

Si les éléments principaux (points et droites) de deux plans
superposés sont liés homographiquement, il existe une conique C

(196 )

telle qu'à tout point de cette courbe il correspond dans chaque
figure une droite passant par ce point. Il existe, de même, une
courbe de la seconde classe K jouissant de propriétés corré-
latives. — Les deux courbes C et K permettent de construire
tous les groupes de l’homographie. — Les deux courbes C et K
ont entre elles un double contact. — Les points et les tangentes
de contact sont les seuls éléments qui se correspondent dou-
blement.

THÈSE IV.

L'équation canonique de l'involution unicursale biquadra-
tique peut se déduire d’une représentation géométrique sur une
conique.

THÈSE V.

Si les éléments principaux (points et espaces à n7 — 1 dimen-
sions) de deux espaces superposés à n dimensions sont liés
homographiquement, il existe n + 1 points tels que leurs espaces
correspondants coïncident, selon que l'on passe de la première
figure à la seconde, ou inversement.

Le polyèdre dont les sommets sont ces n + 1 points est le
polyèdre polaire.

Quand le nombre n est pair, 7 sommets du polyèdre polaire
sont situés dans leurs espaces correspondants; quand le nombren
est impair, tous les sommets du polyèdre polaire jouissent de
cette propriété.

THÈSE VL

Dans les mêmes conditions que dans la thèse V, la considéra-
tion du polyëèdre polaire permet de trouver l'équation canonique
de la corrélation homographique, aussi bien dans le cas d'un
espace à un nombre impair de dimensions que dans le cas d'un
espace à un nombre pair de dimensions.

(197)

THÈSE VIL

La corrélation polaire involutive entre les éléments d’un
espace à un nombre pair, n, de dimensions se ramëne à la
corrélation polaire involutive entre les éléments d’un espace à
n — 1 dimensions.

THÈSE VIN.

La corrélation polaire involutive entre les éléments d'un
espace à un nombre impair, n, de dimensions est déterminée
par n — 1 droites du système et par leurs espaces conjugués.

THÈSE IX.

Il y a une distinction intéressante à établir, au point de vue
des correspondances homographiques et involutives, entre les
espaces à un nombre pair de dimensions et les espaces à un
nombre impair de dimensions.

TABLE DES MATIÈRES.

INTRODUCTION ALU MUENNAIMENAEN ATEN

CHAPITRE I

I

4,2. Définition de deux séries AU : propriétés

C1

LE)

4.

5.

6.

7.

1.

2.

ROHEFAIES AU) ENCR : AMAR E RATES
Définition de l’involution entre Aie séries Hot EL

Il

. Représentation de l’involution binaire dans le plan
. Deux involutions binaires superposées ont un couple

commun . . . CALE

. Théorème sur do apressoh alu Œube DELA

binaire . . . L : :
Seconde À RéccutatiOn de l'involutiôn birbre dans le ant
Représentation de l’involution binaire sur une cubique
gauche : propriétés de cette représentation Û
Construction du couple commun à deux involutions aires
représentées sur une même cubique gauche .
Représentation de l'involution binaire sur une courbe
normale d’un espace linéaire quelconque .

III

La résultante de deux involutions binaires est une homo-
graphie binaire . . . GARE

Construction géométrique des coibles due een
binaire représentée sur une conique

Pages.

10
12

15

15

15
16

16

17

13

18

20

( 200 )

3. Construction géométrique des couples de certaines homogra-

phies binaires représentées sur une droite . . . . .
4. Deux homographies binaires superposées ont deux couples
d'éléments communs . . . . . . AE ie

5. Construction géométrique des couples Hubs homographie
binaire située sur une cubique gauche. ;

6. Théorème concernant la projection de certains Élmente
d’une cubique gauche . . . . . . At

. Représentation des couples d’une nou aie binaire sur
une courbe normale d’un espace linéaire quelconque .

|

IV

1 Principe de correspondance de Chasles . . . . :

2. Application de ce principe à la construction des Des et
des surfaces . . . St :

3. Construction de quelques iorbee à éléments mullioles

4, 5. Constructions de la quartique et de la cubique rationnelle.

6

Là

, 7. Génération de la surface du troisième ordre . . .

V

EE

. Théorème sur la résultante de trois involutions. an
. Interprétation de ce théorème dans le cas où les trois invo-

lutions sont situées sur une méme courbe unicursale . .
3. Théorème concernant certains polygones inscrits aux courbes
normales . . . . RAC RUE SHHNNTECS

N°

Pages. .

4. Conditions pour que n + " ont de l’espace à n Aion

soient situés sur une courbe normale TT
5. Constructions de la courbe normale de l'espace à àn dci.
SIONSe reparle RE

Addition

Rappel de quelques propriétés des courbes normales des espaces
linéaires th PCA RENTREE

40

4

2.

C3

©

Æ

(201)

CHAPITRE II

I
Définition de l’homographie H*_., et de l’involution 1%,
d'ordre x et de rang n —1 . . . . . . tre
Définition de l’homographie H; et de en HE
TU ON ACCES ETIENNE MER En
Il

. Représentation d’une 1*_, sur la courbe normale d’un espace

à n dimensions : propriétés de cette représentation.
Seconde définition analytique de l’involution d’ordre n et de
rang n — 1.

. Une involution |}, est tenue par x groupes 4 n élé-

ments indépendants entre eux . . . ie
Représentation de l’involution d’ordre n et de rang k, 1e
sur la courbe normale de l’espace à n dimensions

ÿ, 6. Formules qui permettent de transformer l’un dans l’autre

IS

8.

ES

N

4.

ÿ.

les deux modes de représentation analytique d’une
involution quelconque . . . : ù

Seconde représentation géométrique dune A voPten Quels
conque sur la courbe normale de l’espace à n dimen-
SONG Le HAN CRE a

Représentation nette Hire votition delanque
d'ordre n sur la courbe normale d’un espace dont le
nombre des dimensions est supérieur àn. . . .

III

. Recherche du nombre des groupes d’une involution J? qui

contiennent k + 1 éléments coïncidents . . .

. Cas d’une involution [*_, quand n estimpair . . aie
. Recherche du nombre des groupes d’une I? au contiennent

deux éléments multiples associés

Recherche du nombre des groupes d'une I; qui one Den

q + 1 éléments multiples associés . . . SATA PRE
Extension du principe de correspondance de Chasles rare

Pages.

43

44

45
47
48

49
51
54

55

57
58

59

60
64

( 202 )

IV

4. Éléments communs à deux involutions du même ordre . .

2. Éléments communs à deux involutions dont les ordres sont
différents . AE : à

3. Éléments communs à un ombre ADAM Ra Tiens :

4. Conditions pour qu’un nombre quelconque d’involutions
aient des groupes d'éléments communs en nombre fini
ou bien en nombre r fois infini .

D. Cas particuliers intéressants .

V

4, 2. Recherche du nombre des groupes de 4, + k; éléments
communs à deux involutions 174 / le MACRO

5. Propriétés des groupes de k, + ES r éléments communs
à deux involutions 1}!, 1}? - |. : SAUT UIE AE

4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Recherche! du nombre des OU DeS communs
à un nombre quelconque d’involutions; cas particuliers.

11. Propriétés des groupes communs à un nombre quelconque
d’involutions quelconques . . . . . .

12, Nombre des groupes communs à certaines involutions qui
appartiennent à un faisceau

VI

1. Définition des groupes de k éléments neutres d’espèce quel-
conque d’une involution I}; D dont jouissent ces

STOUDES DA : SALUE
2. Recherche du nombre des groupes de k dénoite neutres de
première espèce d’une involution If . . .

3. Définition des groupes de £ — 1 éléments neutres depéte
quelconque d’une involution 1}; propriétés dont jouissent
ces groupes . . . LAN LA fE

4. Recherche du nombre a. groupes d k me éléments neutres
de première espèce d’une involution 1?

Pages,

66:
67
67

69
71

71

76

76

84

86

88

89

91

92

( 203 )

5. Définition des groupes de k# — p éléments neutres d'espèce
quelconque d’une involution 1}; Fos dont jouissent
ces groupes . . . : USE Dune ME

6 Recherche du nombre des groupes de k = à démence
neutres de première espèce d’une involution I. .

7. Cas d’une involution d'ordre impair n et de rang n — 1.

8. Exposé de la méthode pour rechercher le nombre des
groupes neutres de # — p éléments d’espèce quelconque.

9. Recherche des groupes neutres de certaines involutions .

10. Expression canonique de certaines involutions

VII
Involutions conjuguées

1. Définition de deux involutions conjuguées; propriétés de
leurs représentations . . . . . Rene

2. Recherche des équations de deux Eolien conjuguées

5. Cas d’une involution I? un un ou plusieurs

éléments 77%) » Aie : Niite
4. Involutions conjuguées tee supérieurs ui invo-
none Lo PS CNE

D. Propriétés simultanées de deux involutions conjuguées .

6, 7. Propriétés de deux involutions conjuguées d'ordre n
du premier et du n — 2°” rang qui ont en commun
un groupe de n éléments. . . . . . :

8, 9. Cas de deux involutions conjuguées d'ordre n et Ca
second et du n — 5°" rang qui ont en commun
certains groupes de n éléments. . . . . . . .

10, 11, 12. Cas de deux involutions conjuguées quelconques
qui ont en commun certains groupes de n éléments .

Pages.

101

104
104

105

106

107

107

109

410

( 204 )

CHAPITRE III

Détermination des involutions quelconques

1. Théorème général concernant la détermination d’une

involution quelconque. . . HT EL TENUE
2. Applications : construction de ab cubique du
DrEDIETATANEMAE An LES LAS CE A AR PC A re
3, 4 Construction de l’involution cubique du premier rang
représentée sur une droite MO 16
5. Construction de l’involution cubique du second rang repré-
sentée sur une conique . . . . Poe 121
6. Constructions de certaines involutions CAbiaUe du cn
rang représentées sur une droite . . . . . . . 122
7. Constructions de l’involution cubique A sur une
cubique gauche . . . . î EU NN 124
$. Application de l’involution cibique à la construction des
GUDIQUES planes 2) \ AE PRE pts tn AE
Il

Applications de la théorie de l'involution
à la recherche des propriétés générales
des courbes rationnelles des espaces linéaires

4, 2. Énoncé des propriétés générales des courbes rationnelles

d’ordre m de l’espace à n dimensions. . . . . . 127

3. Cas des courbes rationnelles planes . . . . . . . . 151

4. Cas des courbes rationnelles gauches. . . . . . . . 132
III

Courbes, surfaces et espaces d’involution

4. Courbe plane d’involution d’une 1? . . . . . . . . 134
2.Surface réglée d'involution (d'une Le PEN 55

( 205 )

3. Développablé d’involution d’une J’

RNSurhacedmvolution dune 194 20200: TU

5, 6, 7. Espaces d’involution d’une 1? quelconque : quelques
propriétés de ces espaces.

CHAPITRE IV

4. Propriétés générales des homographies H,_,

2, Éléments multiples d’une homographie H*., ï

5, 4, 5, 6. Groupes d'éléments neutres d’une homographie He 5
propriétés de ces groupes. Lun, :

7. Groupes de n éléments communs à x RL bis Hr.,
superposées .

Il
Représentation de certaines homographies Hé.

1. Exposé de la représentation. UE SR
2. Recherche des groupes composés d'élénients céinerdents i:
3, 4, 5. Étude des groupes d'éléments neutres.

III
Étude du cas de l’homographie cubique

4, 2. La résultante de trois involutions cubiques du second
rang est une homographie cubique du second rang et
réciproquement . . sue ee

3. Représentation de l’homographie COHQUE Past sur cette

propriété; groupement des six éléments neutres en

six couples neutres. . . . -
4, 5, 6, 7. Problèmes concernant la RÉUSAUE or DU
graphies cubiques astreintes à diverses conditions.

Pages.
1356
156

137

140
141

141

145

146
147
147

151

154

155

( 206 )

IV
Applications
1. Le lieu du point de rencontre des rayons concourants de
n faisceaux homographiques est une courbe d’ordre n
EtICECIDTOQUEMENTE NE MEN ENT ë
2. Transformation du théorème précédent . RE
3. Cas dein — 3; triangles conjugués aux cubiques planes,
lEUTSIPrOPIIE LES RER EEE RE
4. Application de l'homographie à la génération des surfaces
algébriques. Génération de la surface cubique : trièdres
conjugués. . Dee AUTRE
5. Constructions diverses des surares cubiques .

CHAPITRE V

Propriétés générales des homographies H?

1. Dans une homographie d'ordre n et de rang k#, H°. à Æ
éléments, il correspond (x —KÆ)! groupes de n—k

éléments 5 SRE da ONE
2. À k' éléments, k'°< k, il Core ol une une Homo
graphie H? des groupes de n -— k’ éléments formant

une homographie H}- NUS DEN Le RATER
3, 4, 5. Ce que l’on doit entendre par groupes d'éléments
neutres d’une homographie quelconque H? . . . .

Il

Éléments multiples et éléments multiples associés

4. Une homographie H? possède = groupes contenant k + 1
éléments coïncidents LR A Et AN TEE
2. Une homographie H? possède nl (n—k)(n—k—1)

162

163
165

169

169

170

172

( 207 )

groupes composés de r; + 1 éléments coïncidents, de
r, +1 autres éléments coïncidents et de n—k—1 autres
éléments, quand r, + r: — k :

3. En général, une homographie H} possède a en
groupes contenant g + 1 groupes de r; + 1 éléments
coïncidents (? — 1, 2, 3. …, q + 1), quand on a la
CONNUS)

III

Éléments communs à deux ou plusieurs homographies

=

. m homographies d’ordre n et de rangs k,, k, …, k, ont
en commun les groupes d’une homographie d’ordre »
et de rang Zk;—(m—1}n,quand on a 24,2 (m —1}n.
2. Deux homographies H? et H? superposées ont en commun
2 [2] (im — 1)! (n — 1)! couples d'éléments. à
. Le nombre des groupes de £ + 1 éléments communs à
deux homographies H;, H} superposées est : (4 + 4)
(41) (mr —1)! ce) MENU sh à
4. Le nombre total des groupes de k, + k, cu com-
muns à deux homographies Hy, et H}° est : Gi ss
GA) (ns — ki)! (ne — k)!, si on a ne on
5. Théorèmes sur les groupes communs à deux a ni hies
superposées . DS CE RAR
6, 7,8. Deux homographies H, 1. possèdent des groupes
de £+ k>—p dents communs de k, + £: — p séries
déterminées qui contiennent ! + p éléments d’une
homographie H”, en nombre fini : recherche du
nombre de ces groupes . 3 nee
9. La condition, pour que trois np ienate et aient des groupes
d'éléments communs en nombre fini, est que la somme
des rangs soit un nombre pair . EN
10. Si la somme des rangs de trois homographies est un
nombre pair 2m, augmenté d’un nombre q, les homo-
graphies ont des groupes communs de m éléments en
nombre q fois infini : propriétés de ces groupes

O1

M

Pages.

174

176

180

181

182

183

184

185

188

190

( 208 )

41. Exposé de la méthode à suivre pour résoudre le problème
général. NS D PA RRATO MEET LC CRE

19. Énoncé des conditions pour qu’un nombre quelconque
d’homographies aient des groupes d’éléments com-
muns en nombre fini ou en nombre r fois infini :
détermination du nombre de ces groupes

THÈèSESs ANNEXÉES AU MÉMOIRE

Pages.

491

192

195

ESSAI

THÉORIE GÉNÉRALE

FORMES ALGEBRIQUES:

PAR

Jacques DERUYTS,

CHARGÉ DE COURS A L’UNIVERSITÉ DE LIÈGF,
MEMBRE CORRESPONDANT DE L’ACADÉMIE ROYALE DE BELGIQUE,
MEMBRE DE LA SOCIÉTÉ ROYALE DES SCIENCES DE LIÈGE, ETC,

INTRODUCTION.

Dans le Mémoire actuel, nous nous sommes proposé de coor-
donner et de compléter les résultats de nos recherches sur la
théorie des formes algébriques quelconques.

Depuis longtemps déjà les Géomètres se sont efforcés d'étendre
au cas général les résultats essentiels établis pour les formes
à séries de deux variables. La réduction des fonctions invariantes
est la question qui a l'importance la plus considérable.

Dans un Mémoire célèbre (*), CLessch a ramené toutes les
fonctions invariantes à celles qui contiennent n — 1 séries de
variables d'espèces différentes ; les variables dont il s’agit sont
les coordonnées des éléments fondamentaux de l'espace à n — 1
dimensions : elles peuvent s'exprimer comme des déterminants
d'ordres 1, 2, …, n — 1, qui ont pour éléments des variables
d'une même espèce (variables ponctuelles). La méthode de
Clebsch a été particulièrement développée par les auteurs alle-
mands ; elle doit ses plus importants perfectionnements aux
travaux de M. Gorpan.

() Ueber eine Fundamentalaufgabe der Invariantentheorie ( ABHANDL.
DER K. GESELLSCH. DER WISSENSCH. ZU GOTTINGEN, Bd. XVII).

s

(n)

Une autre méthode a été introduite par M. Capezu (*); en
faisant seulement usage des variables de même espèce, le savant
Professeur de Naples a établi que toutes les fonctions invariantes
sont réductibles à des fonctions invariantes contenant n—1 séries.

Dans le Mémoire que nous soumettons à l'appréciation des
Géomètres, nous indiquons une nouvelle réduction; les fonctions
invariantes réduites, que nous appelons covariants primaires,
contiennent n — 1 séries de n variables de même espèce : elles
sont complètement caractérisées par l'annulation de certaines
polaires du premier ordre. En raison de leur simplicité, les
covariants primaires peuvent être soumis à une étude détaillée;
cette étude paraitra particulièrement importante, si l’on considère
qu'elle équivaut à la théorie des fonctions invariantes quel-
conques. Parmi les résultats que nous avons obtenus, nous
citerons notamment la loi de formation des covariants primaires
et la détermination de leur nombre; les questions analogues ne
paraissent pas avoir été résolues, d’une manière générale, pour
les fonctions invariantes de réduction auxquelles on a été conduit
antérieurement.

Nous mentionnerons encore la propriété des covariants pri-
maires de s'exprimer en fonctions entières d'un nombre limité
d’entre eux; la démonstration dont nous avons fait usage repose
sur la réduction des séries de polynômes, qui est due à M. Hir-
BERT, et dont ce Géomètre avait déjà déduit la limitation du
nombre des invariants.

Les différentes parties de nos recherches se rattachent à un
même point de départ : « l'étude des modifications que présente

(‘) Fondamenti di una teoria generale delle forme algebriche (Mew. net
Lincer, 1882).

(in)

une quantité quelconque après une substitution linéaire ».
D'après notre méthode, nous avons été amené à introduire des
fonctions semi-invariantes (*); ces fonctions, qui n'avaient pas
encore été considérées, se présentent d’elles-mêmes dans l’ana-
lyse des transformées; elles sont, du reste, en relation étroite
avec les covariants primaires.

De même que M. Capelli, nous avons fait usage de variables
d’une seule espèce ; les variables contragrédientes et les variables
analogues n'ont pas été introduites, comme étant réductibles.
Les formes algébriques contiennent du reste un nombre quel-
conque de séries de n variables, le nombre n étant lui-même
quelconque.

Pour plus de clarté, nous avons expliqué dans les Prélimi-
naires les notations générales; en même temps, le principe de
la représentation symbolique a été indiqué, afin de permettre
l'emploi des expressions symboliques normales (symétriques par
rapport aux systèmes équivalents de symboles).

Le Mémoire contient différentes parties que nous n'avions pas
publiées jusqu'ici, notamment les chapitres VII et VIIL Les
démonstrations que nous avions établies dans des travaux anté-
rieurs ont été simplifiées en plusieurs points.

La plupart de nos résultats se réduisent, pour le cas de formes
binaires, à des propriétés bien connues, que l’on doit à
MM. Cayzey, AroNHOLD, CLEBSCH, GORDAN, CAPELLI, SYLVESTER, …

(‘) Précédemment, nous avions employé le terme de fonction semi-inva-
riante de première espèce. Nous avons cru devoir simplifier cette dénomi-
nation, parce qu'il ne peut y avoir dans notre Mémoire aucune confusion
avec les quantités qui ont été quelquefois désignées sous le nom de fonctions

semi-invariantes (ou peninvariantes).

(5)

Nous ne pouvons terminer cette Introduction sans exprimer
à M. le Professeur Le Paice notre vive gratitude pour les encou-
ragements dont il a bien voulu nous honorer au cours de nos

recherches.

Liège, le 5 octobre 1890.
JD:

TABLE DES MATIÈRES.

DÉRRO DAC RTONE A EN UNIES LS PEER ne RATE MER EE :
PRÉLIMINAIRES.

Définitions et système des notations . . . . . JT Te

Représentation symbolique . . . . . . . . . .

CHAPITRE I.

Relations entre les fonctions invariantes et les systèmes
transformables.

Systèmes transformables . . . . . . :

Formation des fonctions invariantes au moyen de deux systèmes
coniHasrédients 2 0e NU r,
Transmutation des fonctions invariantes .

CHAPITRE IT.

Étude des substitutions linéaires.

Fonctions isobariques. — Substitutions S,
Opérateurs (h, 1). — Substitutions Sy . . . .
Réduction des substitutions linéaires

CHAPITRE II.

Propriétés des fonctions invariantes et des fonctions
semi-invariantes.

Propriétés caractéristiques des fonctions invariantes . . . . .
Fonctions semi-invariantes . . . .

Expressions symboliques des fonctions invariantes et des fonctions

SEDIAVAr ARE EU PNR. ne
Sources des fonctions invariantes . . . .
Covariants primaires -, 114.) +...

Pages.

15

20
25

52
35
44

47
51

55
67
71

(UE)

CHAPITRE IV.

Réduction des fonctions invariantes.

Pages.
Réduction des fonctions invariantes aux covariants primaires. . . 75
Réduction des covariants primaires … . . . . .:. + . . . 86
CHAPITRE V.
Étude des covariants primaires.
Pquations aux dényeesspantielles A ORNE OS
Proprictes (des ICOEICIEN TSI TN ATEN ES DT
PrOprit tés es Apolaites ee ARE PAR ES DE

Application au développement des fonctions invariantes quelconques. 112
Transmutation des fonctions semi-invariantes . . . . . . . . 116
CHAPITRE VI.

Loi de formation des fonctions invariantes.

Coyvariante dérivés 1.118 ufr Ne NNrn tance 419
Réduction des covariants primaires aux covariants dérivés. . . . 421

CHAPITRE VII.

Détermination du nombre des covariants primaires
linéairement indépendants.

Réduction au cas de formes à séries de n — 1 variables. . . . . 151
Expression du nombre des covariants primaires . . . . . . . 141

CHAPITRE VIIL.

Considérations sur les particularités essentielles des formes

algébriques.
Relation des particularités essentielles et des covariants primaires . 148
Fonctions invariantes d’une particularité essentielle. . . . . . 150
ERRATA 20200 cale le PRIE AS ANR LEE TES MER AT

ESSAI

D'UNE

THÉORIE GÉNÉRALE DES FORMES ALGÉBRIQUES.

PRÉLIMINAIRES.

Définitions et système des notations.

1. NOTATION DES FORMES ALGÉBRIQUES. — Nous désignerons
par xl, x2, ... œu, ... des séries de n variables indépendantes :

Lo LAS A EE RNA

nm?

n°2

LANTA RU

Lys LU ve LU)

Une forme algébrique sera une fonction f algébrique entière et
homogène d’une ou plusieurs séries de variables 1, 22, … xp …
Si la forme f'est des degrés af , «2, … au pour les séries de varia-
bles x1, x2, … xu, nous écrirons :

al a> ape
ol Ed |
ali Nate Val Aa ado Ni ta2i Al, Us ve OU,

X tai, ….at,, «2,02, «a 2,, …. ŒUyaU, … QUy

9 9
X ciel aie 5 Arr g 92 a 2%2n … auPiqutle. qu%n,

(2)

Dans ce développement, la sommation doit être rapportée à
tous les systèmes de nombres positifs ou nuls aî,, «lo, … al,,
aQ,, «22, .…. a2,,... ay, Go, ... au,, pour lesquels on a

al, + al, + ee + al, — al,

ad, + ad + se + a2, — a,
AU Æ AU + ee OU, —ap;
désignent, suivant l'usage,

e « C4
les notations analogues à a no #
les nombres polynomiaux tels que

al!

CAP al! Ode at, !

Dans l'expression de /, les quantités @,, 41,...qu, SON les
coefficients de la forme; moyennant le système de notation que
nous venons d'indiquer, on peut assigner immédiatement Île
coefficient d’un produit quelconque de variables : il suffit d'ob-
server que les séries d’indices des coefficients reproduisent, dans
le même ordre, les séries d’exposants des variables.

Le mode de représentation indiqué pour f s'applique égale-
ment à tout système de formes f, fi,... Par exemple, si la
forme f, est des degrés B1, 69, .…. y, pour les séries de varia-
bles x1, x2, ... xy, on écrira :

A a |
DIE PS6 pPJRELEL EE 00

By,

clope fe x Pr es Pi rare

Sauf indication contraire, les coefficients de différentes formes
doivent être supposés indépendants entre eux.

Quand il ne sera pas nécessaire d'écrire tous les indices
qui affectent un coefficient, nous emploierons les notations
don. pr. etc, au lieu de

dut AAC PA 400 ba p1..ps onfér etc.

CE
De même, nous indiquerons par
ANNE nel

les produits de nombres polynomiaux qui multiplient les coeffi-
cients @,1, .» bp, €lC.

Dans le cas de formes linéaires, le système de notation indiqué
ci-dessus est trop compliqué; nous représenterons les coefficients
par une lettre marquée d’un seul indice. Une forme linéaire telle
que £, s'écrira :

Ë, = E,X4 2e Éo%a + ce + Eine

Nous désignerons sous le nom d'éléments, les variables et les
coefficients de différentes formes; nous appellerons éléments
semblables les différentes séries de variables et, de même, les
séries de coefficients de formes des mêmes degrés par rapport
aux variables. Sous la dénomination de /onclions (des éléments),
nous comprendrons les fonctions algébriques entières et homo-
gènes des différentes séries d'éléments.

2. SUBSTITUTION LINÉAIRE. — Une substitution linéaire est
l'opération qui consiste à remplacer toutes les séries de variables
xl, x2, ..… xu ... par d'autres X1, X2, ... Xu, … de telle facon
que l'on ait en général :

Ty = ay Æ Goo + ve + ak,
Te = du + GX + + + co X,
Li = du + do + + + ax, ,

TX, — Ce D anoX2 niet DANS

Les lettres «; désignent des constantes, que nous appel-
lerons les paramètres de la substitution; le déterminant
D — (HE jy … a, ... a) est le module de S: il doit néces-
sairement avoir une valeur différente de zéro. A moins d’indi-
cation contraire, les paramètres doivent être considérés comme
tout à fait quelconques.

(41)

Tansrormées. — Nous dirons que les variables X1,, X2,, …
Xp,...(k—1,2,...n)sontles do ne deparrsaess La
x, … pour la substitution S.

Toute forme

AU) QI Cal œ Un
FD tt LAN TL ME

aux variables xl, x2,.… xu, a pour nouvelle expression une

forme
RENE he x xs x

des mêmes degrés, aux variables X1, X2, … Xy. Nous dirons que
les quantités À, .. sont les transformées des coefficients ET
ces transformées s'expriment évidemment en fonctions linéaires
des coefficients primitifs.

Soient
,etc.,
ar

les transformées des coefficients b3, 1, ete. de différentes
formes algébriques. Soit, d'autre part,

J—= 9 (aa, bai A TD x, .…)

une fonction de différents éléments : nous appellerons fransfor-
mée de g, la fonction analogue des éléments transformés, savoir :

CANNES ES Ce ONCE)

En général, nous conviendrons de désigner par les lettres
majuscules, les transformées des fonctions représentées par les
lettres minuscules correspondantes.

FONCTIONS INVARIANTES. — Si la transformée G diffère seule-
ment de g par une puissance du module d, nous dirons que g est
une fonction invariante. Nous représenterons les fonctions inva-
riantes par les caractéristiques y; nous aurons ainsi, comme

équation de définition,
Do", vi

(a)

L'exposant zx est nécessairement un nombre entier, positif,
négatif ou nul; car les transformées des différents éléments
(variables et coefficients), exprimés au moyen des éléments
primitifs, sont des fonctions algébriques rationnelles des para-
mètres a; de la substitution.

En particulier, la dénomination d’invariant s'appliquera aux
fonctions invariantes indépendantes des variables; nous appel-
lerons encore covariants identiques, les fonctions invariantes qui
dépendent seulement des variables.

Les sommes de produits de fonctions invariantes sont évidem-
ment des fonctions invariantes, quand elles sont homogènes par
rapport aux différentes séries d'éléments (”).

3. Pozaires. — Soient a; , etc. LATE , etc., deux ie
lise. ss
de coefficients semblables; nous définirons l'opération a — 2 par
la formule
d
Rte DL CAPE EN E
a,

en étendant la sommation à tous les systèmes d'indices corres-
pondants des coefficients a, . et «,, .. Nous appellerons
polaire de g par rapport aux coefficients, toute somme homo-
gène g’ de fonctions, que l’on peut obtenir en appliquant à g une
ou plusieurs DR rons analogues à a’. L'opération O,, par
laquelle on déduit g' de 9, est une spénetion polaire relative aux
coefficients : elle est représentée schématiquement par une
fonction entière des symboles d'opérations tels que qe

(°) Toute forme algébrique est une fonction invariante.

Si l’on désigne par

El = EËtir, + ED, +... + Elie, Em, + ED, +. + ET,
des formes linéaires, le déterminant

(Æ 51: 62, &n,)

est un invariant.

Le déterminant (+ x}, x2, … æN,) est un covariant identique.

(61)

Semblablement, nous appellerons polaire de g par rapport
aux variables, toute somme homogène 9”, de fonctions que l’on
déduit de g au moyen d'opérations telles que

d d d ;
— == = +
Jet ee

Yns Ya. Y, étant des variables analogues à x, x, ...x,. On
écrira
g” = 0,9;

et O, sera une opération polaire relative aux variables.

Si g diffère seulement de g par la substitution d'éléments à
des éléments semblables, il est évident que g, est une polaire
de g; par suite, toute polaire de g, est aussi une polaire de g.

En faisant usage de la formule de Leibnitz, on vérifie qu'une
polaire d’un produit est une somme de produits de polaires des
facteurs.

Notation. — On indiquera par [a’ Jo 19, la fonction ire l'on
déduit de g en appliquant & fois de suite l'opération al. De

même,
ea (4
FM AT

servira à item le résultat obtenu, en appliquant £, fois l’opé-
ration b'2 5 à la quantité [a 2 g ; ce système de notation se
généralise immédiatement et s'applique d’une manière tout à fait
analogue pour les polaires relatives aux variables. |

4. Soient e,, &,..e,e,,e&, … e. deux séries semblables d'élé-
ments (de variables ou de coefficients); ces éléments s’expriment
de la même manière en fonctions linéaires de leurs transformées
ÉD VO BE Et Es tonardonc

de; de;
dE) dE,

(7)

Conséquemment, on peut écrire :

d dE, d LUE d dE, d
me eee >
de. de. dE, me dE; de, dE,
JAN RRNRER TES p.
— —— + _— — ee. + n =
É NE ue dE,
On déduit de là :
d d : d Le d
— eo — — + — ,
ere rt AR dE.
c'est-à-dire :
d d
eg ——E —.
de dE

Les polaires

d’après la dernière équation obtenue, ces transformées peuvent
7? Li
s’écrire :

d
— G (5.
T'x \

Il résulte de là que toute polaire d’une fonction a pour trans-
formée la polaire analogue de la fonction transformée (*).

(*) On doit à M. Carezut une étude approfondie des opérations polaires;
les résultats obtenus par le savant Professeur de Naples ont été publiés
dans les Memorie d. R. Academia dei Lincei (1882) et dans les Aiti d. R.
Academia in Napoli (1837-88).

(90)

Représentation symbolique (*).

5. En général, il est peu commode d’exprimer directement la
transformée G, d’une fonction g des coefficients de formes quel-
conques. Âu contraire, on peut déterminer facilement les trans-
formées des coefficients de formes linéaires et, par suite, la

transformée d’une fonction g, dépendant de ces seuls coefficients.
En effet, pour une forme linéaire

{

Ë, = y + Éalo + ce + ÊX
on a, d’après les équations de la substitution linéaire ($ 2),

En EX, a EX + co + co X
en posant :
Li = GuËs + Gubo + ve + AnËn »

Eo = doi + GpËo + ce + ahEns

DC CARE, ZE CE + ee + CNE

Comme nous allons le voir, à toute fonction g on peut associer
une ou plusieurs fonctions q,, de telle manière qu’une fonction g,
et sa transformée G, déterminent, sans ambiguïté et dans les
mêmes conditions, la fonction g et sa transformée G; à ce point
de vue, g, est une expression symbolique de g, et l’on écrit :

Ds:

G. REPRÉSENTATION DES FORMES ALGÉBRIQUES. — Soit

ner aUy
=) Er ce Pas PME

ñn

(‘) La représentation symbolique a été introduite par Aronxozp et
M. Cayrey (Journal de Crelle, t. XXX, XXXIX et LV). Voir aussi les
Mémoires de CLessca (Journal de Crelle, t. LIX) et de M. CAMILLE JORDAN
(Journal de Liouville, 5° série, t. I).

(181)

une forme algébrique des degrés al, «2, … au pour les séries
de variables x1, x2, … xu. Les relations linéaires qui ont lieu
entre les coeflicients &,,,. et À,, . sont déterminées par la
substitution des variables : elles Se indépendantes des déter-
minations particulières de f.

Considérons x formes linéaires

al, — (441012 + al:xi2 + 0 + CRM

QD, — 02,X2, + a2a 2 + + + a2,72,,

Alu = AA E Alle HE ee + ALU,XK,;

quand on donne à f la détermination particulière

: A œ2 te 7
1È = alu u2,; .… Abu ,

les coefficients @,4 41... o1,:. ont pour valeurs

CTEMOONCAES
CHANCES CHE C7 CA
al, al al, au, au ;

les transformées À ,4 41.41, au, Ont de même les valeurs

1
AI RAS SA en A

Il existe des relations linéaires analogues, d’une part entre
les produits

ai
al Le et Al, ALIUUS
d'autre part entre les coefficients

a
al; au, # A, AOC 117

On peut donc faire correspondre les quantités

æl; au»
APN PEN ES ù

(10)

sans ambiguïté et de telle façon que les quantités transformées
se correspondent de la même manière. A ce point de vue,

: Au V7
est l'expression symbolique de APE au On écrira :

ai CA CA œu 472
— aa le eue 00 ENT

Lot,at, J0 Cl cb CHA AC
: OA ao? OL.
[= al, a2;> .. Abou .
On emploiera des représentations symboliques analogues
pour les différentes formes que l’on aura à considérer.

REPRÉSENTATION SYMBOLIQUE DES FONCTIONS LINÉAIRES. — Soit g'

une fonction linéaire, par rapport aux coefficients de formes
représentées symboliquement par

1
Fo ap , fi=b # ne De) etc.
On aura :
PERS 0
Je » dl CRU Dep En 000

en désignant par g° une fonction des variables seulement. Si
l’on remplace les coefficients par leurs expressions symboliques,
on obtient :

ass 2 g'atis se apr rbtét: ose (Pa +
La fonction g; est du premier degré par rapport aux produits
BEA Gt ie bi

en conséquence g, n’est exprimable que d’une seule manière au
moyen de ces produits. En d’autres termes, g, détermine sans

(11)
ambiguïté la quantité g', si l’on fait correspondre les produits

als Bin

1 œ
al, up . etc.,

aux coefficients

Puisque les coefficients et leurs expressions symboliques ont
des relations semblables avec leurs transformées, les fonctions G',
G', s'expriment de la même manière, l’une au moyen des quanti-

, © al au.
tés 4, + eic., l’autre au moyen des produits al 1... au 1", etc.
D'après ces considérations, on écrira symboliquement :

r 7e ©
DU — 414 au fi==bi5 6,5, ete.
on aura dans les mêmes conditions
G'=6G!.

REPRÉSENTATION SYMBOLIQUE DES FONCTIONS QUELCONQUES. — Soit g
une fonction des degrés w, v, … pour les coefficients de formes

pus al; CA
AN or,

fi = » Cr ba tft avr, ete. …
TPE
Considérons w nouvelles formes semblables à f :
QUE ! CA (L) (u) ., ai :
f DC du. Eli tes cf = ÿ En el VI aNees

soit de même

rl : tie Su ù 12
fi= D cp. He 2 PS cb. atr ’

un groupe de v nouvelles formes semblables à f,, et ainsi de
suite.

On peut toujours trouver une fonction g', linéaire par rapport
aux coefficients de

SE Te Ur RETIRE

(12)

et telle que g' se réduise à g, quand on identifie à f, fn, … les
groupes de formes

f, F1), (a fie 1)

En effet, si l’on écrit

LEE (0)
Dis > SEE 2 VAR AE PARA bas, ne bar. PA

on prendra, par exemple :

6 ave » CUP TP PRNES LE ban. is
Dans les conditions actuelles, la quantité g’et sa transformée G'
déterminent sans ambiguïté get G; d’après ce qui précède, la
fonction g’ et la transformée G' sont complètement déterminées
par l'expression symbolique g, et la transformée G:. Soit, en
équations symboliques,
PE

a CA À UE 00 % 0) 2 &
[= a 1% DE CHER fi —={Ù) 15 . Q'pÊE 0. AE == GARE se APE

Mb A DIE SE RS Det EAN LEGER EURE

On considérera g;, comme une expression symbolique de g, et,
pour indiquer la correspondance qui a lieu entre les fonctions
9, g,, On écrira :

Ts

MONO ET ne CE A RARE cl œb.
f=alx NE = 1% C0 == 0 = a"14 Do U“Uou 9

hi = 01 He =). b',£», etc.

On aura dans les mêmes conditions G= G:.
Pour obtenir g au moyen de g’, on remplacera les coefficients

de
al CAL ai CAT

', ! v4 v
al, Un » Da 7, ee LE n
par les coefficients de f; on remplacera de même les coefficients

de

(15)

par les coefficients de /, ,etc. Les systèmes de symboles a',a”, … a"
sont ainsi équivalents : il en est de même des systèmes b', b”, … b?.
Le nombre des symboles équivalents, relatifs à une forme f, dans
l'expression symbolique g,, est précisément le degré « de la
fonction effective g, par rapport aux coefficients de f.

Si l'on permute dans g' ou dans une partie de g' les coeffi-
cients de

f'; [”, des fs de ne 17 “co [?, ELCs

on obtient une fonction linéaire g”, réductible à g en même
temps que g'. L'expression symbolique g, de g” peut servir à
représenter g dans les mêmes conditions que g'; on déduit done
d'une expression symbolique g: une expression symbolique
équivalente g;', en permutant dans g, ou dans une partie de g/,
des systèmes de symboles équivalents.

"7. EXPRESSIONS SYMBOLIQUES NORMALES. — Ajoutons à g' les
fonctions qu'on obtient en permutant, de toutes les manières
possibles, les formes comprises dans les groupes

ia feet NUE RE cet)

Abstraction faite d’un multiplicateur numérique, nous obtien-
drons une fonction linéaire g; réductible à g, en même temps
que g', et symétrique par rapport aux différents groupes de
formes.

Il est visible que 9; est la seule fonction qui jouisse de ces
propriétés. Soit g,, l'expression symbolique de g;,; on aura,
d’après ce qui précède,

DT 0 GA
be —- bete
Nous dirons que g;, est l'expression symbolique normale de 9.
Ainsi, l’expression symbolique normale est caractérisée par la

propriété d’être symétrique par rapport aux systèmes de symboles
cguevolents (aa, a) (Ch: b7,.: b°):.

(14)

La transformée G, est symétrique en même temps que g;,, par
rapport aux symboles équivalents. Par conséquent, la trans-
formée G;, de l’expression symbolique normale g;,, est l'expression
symbolique normale de G.

Par la définition, l'expression symbolique normale d’une
fonction est tout à fait déterminée; d’autre part, si la fonction est
nulle, il en est de même de sa représentation. En conséquence,
une fonction symbolique normale, différente de zéro, correspond
toujours à une fonction effective différente de zéro.

Dans la suite, les expressions symboliques devront ètre sup-
posées quelconques, sauf indication contraire.

8. Les expressions symboliques se rapportent seulement aux
coefficients des formes; donc, toute opération D,, relative aux
variables, peut être effectuée soit directement sur une fonction g,
soit sur une expression symbolique g, de g. On a :

D,g = D,9;;
et D,g,, est l'expression symbolique normale de D,9.

Exemples. — Les dérivées d’une fonction par rapport aux
variables sont représentées par les dérivées de l'expression sym-
bolique : la même propriété a lieu pour les polaires relatives aux
variables.

CHAPITRE I.

RELATIONS ENTRE LES FONCTIONS INVARIANTES
ET LES SYSTÈMES TRANSFORMABLES.

Systèmes transformables.

9. Soient p,, Ps, … p,, des fonctions qui s'expriment, au moyen
de leurs transformées, par les équations

Pi == OP 2e 0,P; ZE 000 SE Gran
Pe = GP + B3oPe + + + 0,P,. (1)

Pr B,1Pa She 0,2P2 RS PU AUS

les lettres 4 désignant des fonctions rationnelles des para-
mètres &;; de la substitution : nous dirons que (4, Pa, … p,) est
un système transformable (*). Soit (pi, ps, … p:), un deuxième
système transformable : les systèmes (p) et (p') sont cogrédients,
si l’on a des relations

Pi = OPa + OiePe + ++ + 0,P,,

Po = 041, + 02P, + + + 0,P,,

Sp, = 0,1P; EUR 6,2P2 Ar 000 SE de,
e désignant un nombre entier, positif, nul ou négatif.

Ainsi, par exemple, on déduit de (p3, ps, … p,) un système
cogrédient en remplaçant des séries d'éléments par des séries
d'éléments semblables : il en est de même, si l'on multiplie
toutes les quantités p par une fonction invariante.

(*) Par exemple, les variables (ou les coefficients) d’une même série consti-
tuent un système transformable.

(16)

10. Supposons que le système des quantités p est le groupe
complet des dérivées de même ordre d'une fonction invariante
déterminée o,, prises par rapport à différents éléments

nr DEA, oc Po 223 +5

nous admettrons que ces dérivées n'ont entre elles aucune
relation du premier degré.
Si l’on désigne les quantités p par
d ti 1

da, RE dbgs, 111006 dal, … :

les transformées P auront pour valeurs les dérivées
D
d'A Boy, .-- di...

D'après la formule ®, — 97», les relations qui ont lieu entre les
quantités p et P résultent directement des relations qui existent
entre les groupes de dérivées linéairement indépendantes

AS ci Du :
—————————_—_———————————— e © —_— ———__—_———
dass, re dogs, DRE das. Le dB, ONE

Des relations analogues ont lieu entre les dérivées

A ag
Re ONE ie Nan a DUC NES AR USA CCE NN RP re
TRUE MINES Le

d'une quantité quelconque g. Si l'on prend pour g une fonction
invariante +, on obtient entre les dérivées

dit, d'à
Re CES
das. ji des, CIGARE dA nr, RL dB, … dX1, .…

les mêmes équations qu'entre les quantités p et P, abstraction
faite d’une puissance du module 0. En conséquence, si un système
transformable est composé des dérivées (linéairement indépen-
dantes) d’une fonction invariante particulière o1, on obtient un
système cogrédient en remplaçant les dérivées de o, par les dérivées
d'une fonction invariante quelconque o.

(17)

APPLICATIONS (*). — [. En considérant la forme

œl al CA C3
= D É ie au, dl au, Ta te OA e re A cure,
on obtient :
A (DU U
Eau, en Lin NA al | a! (2 4 ! < al al œ
. AU: dx, 1dxle 2 … dxu,""
1 d
nées atee gate pull EE
Fa, Aou, Un

è : £ ; C4 AU
Par suite, les coefficients 81, au les produits x1, “xp

sont respectivement cogrédients aux dérivées

deire.+xb 1 d
? et ?

dx1%4 … dauttn SA das, D'ou

IL. Les produits de dérivées premières de fonctions invariantes
quelconques ®, pi, …, sont cogrédients des dérivées multiples cor-
respondantes de +.

Pour plus de simplicité, nous supposerons qu'il s’agit des
produits de dérivées de +; le mode de démonstration sera le
même dans le cas général. Nous écrirons :

( ds I | do le do ec} dp era;
p= (Ep are - de : .

et nous désignerons par el, e2, … e1, e"2, … les degrés de p rela-
tivement aux dérivées
de de de do
dx1 dx2 da db

Soient ‘
yA, y2, ... LATE »110 B, RER

(*) J. Deruyrs, Sur la différentiation mutuelle des fonctions invariantes
(Buzz. DE L'Acap. ROY. DE BELGIQUE, 5° série, t. XVI). — Sur quelques pro-
priétés des transformations linéaires (I819.).

2.

(18)
des systèmes d'éléments semblables à
x , oe &bo du, 4 bn. (ice

et non compris dans la fonction ç. Prenons

do €A de €2 do EU
D — 1 : È 9 JE RUE AE
# E | Ê = É æ |

de E'2
D 5
| a]
la transformée de 9, est

dæ | do 1°? dœ |°! do |°*°
Ge ll 70) 2 AV | SN 5 où
: | | | nl | | | |

D'après les relations
p— 07 Y is A° u .
— 84 IX = y

mL (0 60
dx d'A da
($ 4), la transformée ®; diffère seulement de ç; par une puissance
de 9; donc @; est une fonction invariante.

Cela posé, le système des quantités linéairement indépen-
dantes p ne diffère pas du système des dérivées

Ho
Ur el 2 el 12 î
dyr &. dy? Fe dar ee db Bar.

quand on donne à ç' la valeur particulière wo. D'après le théorème
énoncé ci-dessus, les quantités p sont cogrédientes des dérivées
p' rapportées à une fonction invariante ©’ quelconque : à part
la notation, c’est le résultat qu'il s'agissait d'obtenir.

11. Deux systèmes transformables (p,, pe, … p,) et (qu; qe,
… Q,) sont contragrédients, si l'on a en même temps que les équa-

tions (1) ($ 9), les relations
D Qi = Ougi + uQe + ve + 0,19»
dQ: — 01291 + da + ++ + 0,094,
9°Q, es 61,qa si 02,Q2 eu EE Oro

: désignant un nombre entier, positif, nul ou négatif.

(19)

Il est visible que deux systèmes, contragrédients à un même
troisième, sont cogrédients entre eux.

Exemples. — 1° D'après les équations de la substitution
linéaire des variables, on a:

Quand g est une fonction invariante o, on a:9—@—9"7®,
puis :

dv do do de
D A PA
NT PTT Nr

_, do FR UMR Lu RUE
SES DR EE D'ÉRNÉREEE : Œ,9 ——)

DOME) RTE FO

— d> d dy do
— = Gg —— Ron = He HA, —:
PR de due Hope

Il en résulte que les variables x et les dérivées . d’une fonction
invariante forment deux systèmes contragrédients (*).

2° Supposons que les quantités p sont les coefficients d’une
forme f; nous aurons p—a,; . , P— À ,1, ….» puis des équa-
tions linéaires

lou ES 259 A1
On déduit de là :
CAE D done
dA cn, me dass, a

Si l’on prend g = o, on a g = 977®, puis :

do do
QT — V6 :
d'A, à 2 das,

d
par conséquent, les coefficients a,1, … et les dérivées Ga,

fonction invariante sont des quantités contragrédientes.

d'une

(*) Voir Sazmow, Algèbre supérieure, trad. par Bazin, p. 98.

(20)

Formation des fonctions invariantes au moyen
de deux systèmes contragrédients.

12. Nous représenterons une fonction invariante o par la

formule
9 = Pi + Piga + + + PQ (2)

en faisant les conventions suivantes : 1° p,, p, … p, sont des
fonctions de certains éléments e ; 2° q;, >, … q, sont des fonctions
d’autres éléments e'; 3° la somme p, qi + Po Qo + ++ + p,q, ne
peut pas être remplacée par une somme analogue, comprenant
un nombre moindre de termes. Ainsi, les quantités py, pa, …. p,
sont linéairement indépendantes, et il en est de même de q,

2 + Qre
D'après l'équation de définition ® — 970, nous aurons :

PQ + PQ + + + PQ, = 97 (piqi + pos + ++ + p,qr). (6)

Remplaçcons dans Q4, Q, … Q, les éléments transformés
E" par leurs valeurs exprimées au moyen des éléments primitifs e”.
En identifiant dans les deux membres de l'équation (3) les multi-
plicateurs des différents produits d'éléments e’, on obtiendra des
équations linéaires L= 0, entre p;, pe, … p, et Py, P,, … P,.
Admettons, pour un instant, que l'on ne puisse pas résoudre ces
équations par rapport à Pr; De, p,; d'après la formule (5), la

quantité
Pad + Poe He + p,q,;

c'est-à-dire ©, serait la somme de r — r' (r° > 0) fonctions des
éléments e’ multipliées par des combinaisons de p}, Po, … p,,
ces combinaisons étant linéaires et à coefficients numériques.
On pourrait ainsi réduire à r — r' le nombre des fonctions
d'éléments e qui servent à exprimer ® [formule (2)]; cette
réduction est contraire aux conventions établies ci-dessus. On
peut donc exprimer p,, Ps, … p, en fonctions linéaires de P,,
P,, … P,; de même, qi, go, … Q, s'expriment linéairement au
moyen de Q;, Qo, … Q,, et réciproquement.

(21)
Supposons que l'on ait les équations
Pi = OnPa + 62Po + + 0,P,,
Q:=— dqu + Gaga + + + 0Qrs

dans lesquelles les lettres 6, 0’ désignent des fonctions des para-
mètres &. D'après la formule (5), on obtient :

r

» Pig = 7. > P:;6;:;

ve 91

puis
RTE °
Bi; =—= 07. 0;;

il résulte de là que les systèmes (p, , Pas. P,); (Qu > Jos ++ Q,) SONt
contragrédients.

Inversement, on vérifie que si les quantités (p4, Po, … p,) et
(Qu> Q2s . Q,) Sont contragrédientes, la fonction

Pi Qi + Poe € ee + P;Qr
est invariante.

Ainsi, toute fonction invariante est la somme des produits des
termes correspondants de deux systèmes contragrédients, et reci-
proquement.

APPLICATIONS. — Ï. Les coefficients a, MA d’une forme /, et, par
suite, les coefficients a, d’une forme semblable, sont contra-

d?
grédients aux dérivées 7, — ER d'une fonction invariante o quel-

conque ($ 11); par conséquent, la polaire Dar d'u.” oo - est
invariante. 1

De même, les variables x, et de variables ne y, sont
contragrédientes aux dérivées © 7 la polaire y de ? est invariante.

D'après ces résultats, les aus quelconques d’une fonction
invariante sont invariantes. (Voir aussi $ 4.)

Soient f’, f',… des formes semblables à f; si on remplace les
coefficients de f par les coefficients de f + ef” + &”f" +», les
multiplicateurs des produits de £’, e”, … dans la fonction ç modi-

(22)

fiée sont des polaires invariantes. On obtient un résultat analogue
en remplaçant les variables x par x + ey + +: (*).
IT. Soient o, o deux fonctions invariantes exprimables par

P = Pig Æ Poe Æ °° + P;Q)
g = Pig + Pie + ee + Dir

dans les conditions indiquées pour la formule (2). Les quantités
(g), (g') sont contragrédientes aux mêmes quantités (p); par
suite, les systèmes (a » 2» q,) eË (qr» > … q.) sont cogrédients
enire eux.
Remarque. — D'après ce qui précède, toute fonction in variante
permet de déterminer des systèmes contragrédients.
Considérons, par exemple, le produit de polaires

Al HOAN AE
Tax? is die

dans lequel y, … a',.… désignent des variables et des coefficients
qui ne sont pas compris dans la fonction invariante quelconque o.
Les produits

hi,

: home ES

ul
VE CC] Yn +0 Cl ee or D PE

de \la dé \/a de \Ef d? \E
Fpù ... ne .. TRE en cu ES ee LL]
dx, dx day di da a

sont contragrédients, si l’on prend

À
HIT hi, ho die TERRE ï

Il résulte de là ($ 10) que les produits

et

un h ai

MB ah

A MPG He Re

sont contragrédients cles dérivées

d'So
Fe Ke “ka pe h h k
dx; ‘dx? … da}
Fe

(‘) Cette propriété des polaires est due à AronxoLn. (Journal de Crelle,
t. LXII, p. 312.)

(25)

Transmutation des fonctions invariantes (*).

13. La considération des systèmes cogrédients permet d’ob-
tenir, d'une manière simple, des fonctions invariantes au moyen
de fonctions invariantes déjà connues. Supposons que la fonction
invariante @ est exprimable, et d’une seule manière, comme
fonction entière et homogène des systèmes de quantités transfor-
mables (p1), (p2), …; nous écrirons ç = (pl, p2, …), puis

PB) 07 (D,p2,:1) (4)

Dans les conditions actuelles, l'équation (4) doit se vérifier
identiquement, d'après les relations linéaires qui existent entre
les quantités (p1), (p2), … et leurs transformées (P1), (P2), …

Soient (p'1),(p'2), … des systèmes cogrédients à (p1),(p2), … ;
abstraction faite de puissances du module 0, il existe entre les
“quantités

(p’1), (p'2), … (P'4), (P'2), …

les mêmes relations qu'entre
(pl), (p92), … (PA), (P2), …
D’après ces relations, on pourra vérifier l'équation
e(P'1, P', …) = 097". 9(p'1, p'2, …),

qui est tout à fait analogue à (4), et dans laquelle 7’ est un expo-
sant différent ou non de 7. Conséquemment :

Si une fonction invariante ® est exprimable, et d’une seule

() J. Deruyrs, Sur la différentiation mutuelle des fonctions invariantes.
— Sur quelques propriétés des transformations linéaires (BULL. DE L’Acap.
ROY. DE BELGIQUE, t. XVI). — Sur la loi de formation des fonctions inva-
riantes (MÉM. DES Sav. ÉrR. puBLiés par l’Acan. Roy. DE BELGIQUE, t. LI,
in-40, p. 7).

(24)

manière, comme fonction entière des quantités (pl), (p2), …, on
n'alière pas la propriété d’invariance en remplaçant dans o les
quantités (p1),(p2), par des quantités cogrédientes (p'1), (p'2).…

Ce théorème excessivement simple donne comme applications
un grand nombre de procédés de transmutation des fonctions
invariantes. Nous indiquerons les résultats principaux auxquels
on est conduit dans cette voie.

14. Une fonction invariante © n'est exprimable que d’une

seule manière au moyen des coefficients &,{ ou, Ces coeffi-
° Là e Là LA) Là d “ Pa r) \
cients sont cogrédients des dérivées D dealer ($ 10) : d'après

le théorème précédent, on n’altère pas la propriété d’invariance
a

en remplaçant dans @ les coefficients a,, .; Da,» .… d’une ou

plusieurs formes f, f, … par les dérivées

die, rite

TT A TON) NS I UE 000
dr1%: Creed Bis ne dx

de fonctions invariantes q4, ga …

APPLICATIONS. — [. Si o, &, … contiennent les mêmes variables
que /4 fo, .… et aux mêmes degrés, on obtient cette propriété :
les fonctions invariantes de fonctions invariantes, considérées
comme formes algébriques, sont des fonctions invariantes pro-
prement dites (*).

Cas particulier. — Si o;, ®, … sont des mêmes degrés que f,
par rapport aux variables, on obtient des fonctions invariantes
en remplaçant dans œ les coefficients de f par les coefficients
de sou + eo + …, et en considérant dans le résultat les multi-
plicateurs des puissances de &’, e”, … (Voir $ 19, {"° applic.)

IL. D’après la proposition énoncée plus haut, on déduit d’une
fonction invariante @ une fonction analogue, en remplaçant les
coefficients d’une ou plusieurs formes linéaires par les dérivées
de ®, D», .… par rapport aux variables.

(*) Aronxoz, Journal de Crelle, t. LXII, p. 555.

(25)
Cas particuliers. — 1° Prenons pour +, une forme linéaire
y = EU + ÉoYo + + Ë,y,

rapportée à des FLICS à y différentes de x; nous retrouvons la
polaire invariante = qi ($ 12).

2° Le déterminant (+ &1,82, … En,) de n formes linéaires
&1,, ë2,, … ën, est un invariant; on en déduit la fonction inva-
riante

d ,
(+ FRE a
dxl, dx2, dxn,

d

d
ar ds "de à un ou

on pourra encore réduire les symboles
plusieurs d’entre eux.

15. Toute fonction s'exprime d’une seule manière au
moyen des variables x1, x2, ….; ces variables sont cogrédientes
aux dérivées a Fe. … relatives aux coefficients de formes
linéaires ($ 10, 1°° applic.).

Par conséquent, on n'altère pas la propriété d’invariance en
remplaçant dans o une ou plusieurs séries de variables par les
dérivées premières de fonctions invariantes, relativement aux

coefficients de formes linéaires distinctes ou non.

APPLICATION. — Supposons que Îa fonction invariante ç con-
tient les seules séries de variables x1, x2, … xt; considérons
t séries de n formes linéaires

A9, MERE ni, {i—=1, 7e OO t),
dont les coefficients ne sont pas contenus dans ÿ; les détermi-
nants ç;,— (+ é1, 299 … En) sont invariants. Nous déduirons
de @ un invariant ®,, en remplaçant les variables x, par
de; : .
PET aile TN 2 in)

Ainsi, toute fonction invariante © peut être ramenée à un inva-
riant ©, par l’adjonction de formes linéaires (*).

() Czesscu, Journal de Crelle, t LIX, p. 4.

( 26 )

Il convient d'observer que l’invariant o, est assujetti à certaines
conditions relatives aux coefficients de

620, Ent;

d'autre part, il n'est pas simple d'obtenir l'expression de o, au
moyen d'un développement quelconque de &.

16. Supposons que la fonction invariante © contient, parmi
d'autres, les séries de variables x1, x2, … xu et respectivement
aux degrés «1, «2, … au; ainsi, l'expression de o est linéaire par
rapport aux produits

D —= aigle. Ur curtt …. quil

?

pour lesquels on a :
al, + als + ee + al, — ol, au + au +. + au, = au

Désignons, comme précédemment, par A, au, 18 Coefli-
cients d’une forme f de degrés al … au pour les variables
xl, … xu; les produits p sont cogrédients des dérivées

Had dg : c SU HA
A à ee. ($ 40, applic. F). Par suite, on n’altère pas la pro-
priété d’invariance en remplaçant dans ® les produits p par les

AU
dérivées correspondantes - TE ou d’une fonction invariante p4.
Ag Xl1

APPLICATION. — Si l’on prend pour une forme semblable à f,
' ’ al au
e=f— > MAC CU D 08 2e Tin

APTE ; d
on obtient la polaire invariante >» Co or ($ 12).
4 ce

17. Les produits de dérivées premières de fonctions inva-
riantes quelconques œ, ®:, … sont cogrédients des dérivées
multiples correspondantes de q ($ 10, applic. IH). D'après le
théorème général énoncé au paragraphe 15, la propriété d’inva-
riance n’est pas altérée quand on remplace, dans une fonction
invariante, les produits de dérivées premières de @, 2, «+. par
les dérivées multiples de o..

(27)
APPLICATION. — La puissance <°**° du déterminant

ss (+ nl à) “)
did Cid

est une fonction invariante ($ 14) : on en déduira une fonction
analogue en remplaçant dans ©° les produits de dérivées pre-
mières de o, , … ®, par les dérivées 2°" correspondantes de
Pi Pas . P,. Îl en est de même quand on considère, au lieu
de o, la s°*° puissance du déterminant

(+ ds dy» de a),
dal dot o0drle

la fonction invariante que l’on obtient dans ce dernier cas est
la £°*° transvection (Ueberschiebung) de 4, pas gun (°).
On déduit encore de +, la fonction invariante

d d di
MR PS

dxl, dx, à dxn,

18. Pour la substitution linéaire la plus générale, les varia-
bles x, x, … x, et les coefficients E, £,, … E, d'une forme
linéaire £, se transforment suivant les équations

T; == a Xy == d;9Xo Sr 00 SE Ne,
Bi or Æ Ge + toné,s (11,2, n)
la dernière formule peut être remplacée par

ni CAEN HE CHERE" RENTE Lin—HËt .

D'après la comparaison des valeurs de x,et de #,_,,,, on voit
qu'il existe des relations analogues entre les systèmes de quantités

(apr » X;, x) et (&n-tttnn14 0 É DEAN Ein) co
(*) Voir pour le cas de n — 2 : Czessca, Theorie der binüren algebraischen

Formen, p. 99; Gorpan, Vorlesungen über Invariantentheorie, t. I, p. 35.
(”) Voir Cayzey, Journal de Crelle, t. XXX.

( 28 )

Prenons, pour abréger,
HR EC. Sent Der

?

ar . — ar en ss x1% ne aile as xusti;

il existera les mêmes relations entre les quantités

(over cn PGA +) et RTE œAtln sen XAS% à

Les produits +. . Sont cogrédients des coefficients ay
d’une forme a variables x1, x2, … xp et des mêmes uns de
Je produit æ1,%7 … D'autre part, si l'on pose

CHANT Col,aln-1 CUS C5 0 C9 co Ce

les produits x1,%» … sont cogrédients des dérivées — se

daxa,
d’une fonction invariante o4 ($ 10).

D'après ces considérations, on peut énoncer la propriété
suivante :

Abstraction faite du changement de «, en a, y,1 n-nyn 0 existe
entre

X,,A etre Al.

les mêmes relations qu’entre des quantités cogrédientes à

4 d , .
Fe les transformées de ces quantités.
pus

En-it49 ci das

19. Pour une fonction invariante

P = pt dons Vpn, .» ete),
l'équation

? (X; A4, nee Bas. etc. .….) 07. ‘4 (xs, Au, OU bas, ee etc. …)

se vérifie identiquement au moyen des relations qui ont lieu
entre les éléments

X,, Au, Fo Bay. etc Mel TU à bg. etc. …

GARE

(29)

D’après la propriété indiquée ci-dessus, on déduira de la
dernière formule une nouvelle égalité en remplaçant : 1° à, par
Anh, n—h19 2° X;; L; par Éia Ed 3° À , Ba, 4 elc.,
a, … dpt, .» ete., par les dérivées

| des 1 dpa
——— , —, etc. …,
CR FACE dbpy, de
9°1 dé, 9°? de

—_—, ——-—, etc …,
al, … To, … SE dBgs,

@p Pos … étant des fonctions invariantes pour lesquelles on a
€ TE
di = 0 1o19 Do 7 gas

On obtient ainsi une équation analogue à

n—i A 9 , EN A IE A
ch da ne Mann
—= 07”. p Eni44 9 NRA, MAMAN
Et. Jo. Be dBe

Conséquemment, si o(x,, Ga. bu, etc.) est une fonction
invariante, il en est de même de

É ; 1 des | dp9 NP
DT En io d Rem EE TT MERCURE (HE
EE Le ee 84, Ar DR

APPLICATIONS. — I. On peut, sans altérer la propriété d’inva-

(*) MM. Cayzey et Svzvesrer ont obtenu ce théorème dans le cas parti-
culier de p, —=#p,—.… (Voir Philosophical Transactions, vol. 144, 1854 ;
Journal de Crelle, t. LXXXV). La méthode de M. Sylvester est basée sur
une propriété des formes préparées, dont M. Le Païce a donné une élégante
démonstration aux Mathematische Annalen (t. XV). La propriété des formes
préparées dont il s’agit se trouve généralisée dans notre travail : Sur quel-
ques propriétés, etc. (loc. cit.).

(30)

riance, remplacer dans &’ les coefficients E de formes linéaires
par les dérivées premières de fonctions invariantes ist AE
relatives aux variables ($ 14). On peut de même remplacer dans
le résultat obtenu les produits de dérivées de qi, @; .… Ps Pas
par les dérivées multiples correspondantes de o; ($ 17). Il en
résulte que l’opération

— : t
à no Ne tee EG oe | 5
dXn_iys oi dan. D LC da, me

appliquée à une fonction invariante ç,, donne comme résultat une
fonction invariante. |

II. En supposant

e

FF (x, a, ba, etc. )s

nous représenterons par &f la quantité

il d 1] l
(7 DATE : ; “ie ei.

SC on ete

Désignons par a, , des coefficients semblables à a,, . et

1

appliquons le théorème général à la polaire

do
=D.
3 dass, Ge

d’une fonction invariante ® indépendante des éléments a, .:
He
nous obtiendrons

; 1 do dé
be > Ê da’ V a }
LE FA nue

Soient yl, y2, …, des séries de variables qui ne sont pas

x ° d .
contenues dans les fonctions a| Te = E si l’on prend :
œli

AAC a?
LAPSTE » Eau, in 1yle 2. y 1,

(51)

on a :

g d
=) ji OA ” }

Les quantités ge yl#it . constituent un système trans-
formable; d'un autre côté, les fonctions invariantes o et o
s'expriment comme somme des produits y1%? y1%r-1.. multi-
pliés par des quantités

: dy |

€ a € (Q)
Arno 2e 7
das.

indépendantes des variables y. Dans ces conditions, les systèmes

de quantités
: ( de |
E a et w
Cale MeAlE te
dass.

sont cogrédients (voir $ 12). Par suite du principe de transmu-
tation, on déduit d’une fonction invariante une fonction analogue,
en remplaçant les coefficients 2,1, … Par les quantités

1 ( do |
W .
Eat, : das, ee

Il est visible que l’on peut introduire simultanément des
modifications analogues pour d’autres séries de coefficients; en

outre, l'opérateur «© peut varier d’une série de coefficients à
l’autre.

CHAPITRE IL

ÉTUDE DES SUBSTITUTIONS LINÉAIRES.

Fonctions isobariques. — Substitutions S,.

20. Soit

LE DU AR (h
= Fa at, CASE Crée Ce 00 Cle IN 4 Loc LP
un produit de coeïlicients et de variables de différentes séries.
Nous appellerons poids de ® pour l'indice i, le nombre

(2
= Ÿ (al, + 2, +.+op) —Ÿr;; (1)

dans cette valeur de x;, la première sommation se rapporte à
tous les coefficients dont le produit ® dépend; la seconde som-
mation est relative à toutes les séries de variables.

D'après les expressions de ® et de r,, on a
dP Ni d®@

— 2) Le

Me Re are |
œ14 7. da, ! r4 (2)

A; + 42, +. : :
Ÿ ( a, ++ au;)a 1 me

Une fonction g est dite isobarique, quand elle est une somme
de produits ®, des mêmes poids 7,,m, … x, pour les indices
1,2, ….n; les nombres 7,, %, … 7, sont alors les poids de 9, et
l’on a par la formule (2)

dg
Abo da,

rs)
Ÿ (al; SE a. es + œl;) da FEU > me Tye Ÿ. (3)

D'après la définition du poids, un produil de fonctions isoba-
riques a pour poids la somme des poids correspondants des

facteurs.

(55)

La fonction homogène g ne diffère de Za,,

un facteur numérique; son poids, pour l'indice &, est la somme
: dq
des poids de a, et de NE
Si l’on désigne par a, , elc., des coefficients semblables
D M
à ay. etc, la fonction La. de la polaire

F dg A . Se .
D EEE ont les mêmes poids. Par suite, les polaires de 9

relatives aux coefficients sont des mêmes poids que g.
Plus généralement, les polaires quelconques d’une fonction
isobarique g sont isobariques et des mêmes poids R, Re, ... Ty.

dg

1. dass,

que par

21. Nous désignerons par S,, la substitution linéaire définie
par les équations

=, el Z h), (4)

e étant une constante arbitraire. Pour cette substitution parti-

culière, on a
An ——EUrs Ar = dy; S (5)

comme transformées des coefficients a,, &, … a, d’une forme
linéaire,
Soit
hotte. ar. aus. queËr,

l'expression symbolique d’un coefficient a; . d'une forme
quelconque; la transformée A,, . sera représentée par

AAUaAqE te. AY Au Ann,
c'est-à-dire par
De
D PTT EE ce au" X AA + Ah + une
ainsi qu'il résulte des équations (5).

En passant des expressions symboliques aux expressions effec-
tives, on trouve :

En + Oh Ho + ŒMh
oies — € D ee

(54)

D'après cette formule et d'après les équations (4), la transfor-
mée d’un produit ®, par la substitution S,, est égale à @.<7*
[voir formule (1)]. Semblablement, une fonction isobarique g,
de poids mi, m:, .… n,, Se reproduit multipliée par se quand on
effectue la substitution S,, (k = 1, 2, … n).

Réciproquement, une fonction g est isobarique et de poids
Tus Tes Ts Quand sa transformée par la substitution S, est
égale à g.e”*, pour h— 1, 2, … n. Cetie propriété se déduit
immédiatement de l'énoncé précédent, si l'on observe que toute
fonction est une somme de fonctions isobariques.

L'expression symbolique normale g,, de g a pour transformée
G,,, l'expression symbolique normale de G ($ 7). En rapportant
les transformées à la substitution S,, nous écrirons :

G — e7*g, Gi, x En Ua 4 R,, (6)

R, désignant un certain reste. Les fonctions G;,, g, étant des
expressions symboliques normales, sont symétriques par rapport
aux systèmes de symboles équivalents; d'après sa valeur, la
fonction R, jouit de la même propriété; R, est ainsi une expres-
sion symbolique normale. D'après la première des équations (6),
on a R,—0; on doit done avoir R,— 0 ($ 7), et par suite
G, — <°* 9. Il résulte de là que lexpression symbolique normale
g., d’une fonction isobarique g, est isobarique et des mêmes poids.

Réciproquement, si une expression symbolique quelconque g,
est isobarique et de poids Ti, T2, .… m,, 0 en esi de même de la
fonciion effective g. En effet, si pour la substitution S, on a

G,— € *9,, on a aussi G — &"g.
Remarque. — Pour une fonction symbolique g, de poids
A dE qe DEN E
dg, AN
De HN 2 = Ts (7)

i ÿ Ü &
rm da; Ci dx;

la première sommation doit se rapporter à tous les coefficients
symboliques; la seconde, à toutes les séries de variables. La
formule (7) résulte de l’équation (3), moyennant le changement
de notation introduit par les coeflicients de formes linéaires ($ 1).

(35)

Opérateurs (h,l). — Substitutions S, ..

22. Nous définirons des opérateurs (, !) par l'équation

dg | dg
(h, DD Ÿ me

RAA AC OCR CSC

als. Au, SC en CA te SE PE CAE RON D CT

X {+ a: du, 01,5; 02.42 — 1,42 +1,.42,;… at au,
nndine du, CRC LA CRE ay AM — 1, au +1...
la première sommation se rapporte à toutes les séries de varia-
bles ; la seconde est relative à tous les coefficients ; la fonction g
est supposée quelconque; les nombres h, { sont distincts et
compris dans la suite 1, 2, … n.
On peut écrire
dg
(a, 1)g=Ù —.(h, le, (8)

de
en désignant par e un élément quelconque (une variable ou un
coefficient). Les éléments e peuvent être des quantités ana-
logues à

PT à Ce CUTESE Dre ? h, D).
On à :

Ratio ALU à te do eaisan

+ «2,4 + etc.

als ..a1,; 42. a2 — 1, «2 +1 … a2,,:.

(A, le” —— %}, (h, l) e"" = 0, (h, l) e"— 0,
Les quantités e’, e” ont, pour les indices h et /, les poids

al, + a, CL 7077 et al, + a2; ++ au; 0 et — 1;

22

les quantités
(het pet: ;«(,1)e"

( 56 )
ont, relativement aux mêmes indices, les poids

al, + ad, + ee + au —1 et al, + a, + cv + ap + À;

A cause des relations
(M0 Ne 10;

on voit que l’opération (h, L), appliquée à un élément e, diminue
d’une unité le poids pour l’indice h et augmente d’autant le poids
pour l’indice |.

D'après la formule (3), on obtient (A, !)g9 en remplaçant dans 9,
de toutes les manières possibles, un élément e par (k, l)e et en
faisant la somme de tous les résultats. Par suite, si g est une
fonction isobarique de poids m, m, … n,, la quantité (h, l)g est
isobarique et de poids mr, m …. my — 1, m + 1 tr

L'opération (h, !) est une combinaison linéaire de dérivées du
premier ordre; en l’appliquant au produit de deux fonctions g, g:;

on obtient :
(k, 1) gg = g.(h, 0) gi + (h, D gg.

_ On a de même, par la formule de Leibnitz :

mn $
(h, Dgn=g. Dar (ta. ge +R) g.g5 Q)
(h, l}" représente alors l'opération (4, !) appliquée m fois de suite.

Remarque. — Une expression symbolique quelconque 9, est,
par définition, une fonction des variables et des coefficients de
formes linéaires tels que a,, a, … a. D'après la formule (8),
on à :

Mise ne Ve, de. (10)

23. Nous désignerons par S,,, la substitution pour laquelle

on à :
= X;+EX,, a —Xx, (le Z l),

(37)
e étant une constante quelconque. Nous pouvons écrire :

€ a
X— x + —{(h,l)x +
1 1

(h, 1x +...;

en effet, pour x —%,, on a:
Ale 5;, 1h lPx = 0, etc...
pour 4 — %;, ON à :
Rav A) 0 etc:
c'est ce qui concorde _. les formules
X;,— x, — Ex), Xi — x (k 2 D).

Recherchons actuellement la transformée d’un coefficient
quelconque
au,

= Aie. au

la, .

Quand on effectue la substitution S,,, les coefficients
Qys A2s ve An + , d'une forme linéaire ont pour transformées

ME di: A —\"4;, On A; = 0} + EU, re A == 08
On à, par suite :

A

9 9 9
ay = ai Ste end). ra. (a2,+eu2,) 7.42% ess

2 2
= al. al lr 2%" RD

€ ci 2 ®
on Da A er qe sos None

9 CHE 9 9

+ 2 al, oran. aol, ao. GOEr |
2
£ _9

+ ro th(et n—1 )al gr, arzl 2 anttitt ala tr, .+...)+ete.

En remplaçant les expressions symboliques par les expres-
sions effectives, on trouve :

2

€ €
A4, L'EAU TE n (h, 1) LE ARS 1.2 (RL? Conti

(38)

D'après les valeurs des variables X et des coefficients A, ,
qe
tout élément e a pour transformée :

e?

1.2

€ E°
—(h, L l> LÉ 1) Le
OUR our (DES

Soit e’, un élément quelconque, différent ou non de e; la
transformée du produit ee’, pour la substitution S, ,, sera :

€ e
A l = {h. [ÿ ..
jesthle æ (De +

A De hip
X CEATOLE doi beam),

c'est-à-dire

2
ee' + = Uh, lee + re L L}? ee! + .…,

ainsi qu’il résulte de la formule (9). De la même manière, un
produit ® d'éléments e a pour transformée :

2
P+ =(R, LP + RP R+.

En conséquence, la transformée d’une fonction quelconque g,
par la substitution S,,, est

2 3

ge Rigr gr, De

On déduit de là cette propriété importante : Pour qu’une
fonction g soit égale à sa transformée par la substitution S, ,, il
faut et il suffit qu’elle satisfasse à l’équation aux dérivées par-
tielles (h, D) g = 0.

Soit g, une expression symbolique de la fonction g; la trans-
formée de g,, dans les conditions actuelles, est

c2
g+ Da, + CE Dg, +;

(59)

elle représente symboliquement la transformée de g ($ 5 );
d’après cette remarque, on a

(A,Dg=(h, 1) gs. (11)

Si 9,. est l'expression symbolique normale de 9, la transformée
G,, est l'expression symbolique normale de G($ 7). Conséquem-
ment, on a en expression Dane normale :

(h, 1) g ={(h; 1) ge. (44°)

24. FoRMULES AUXILIAIRES. — Prenons pour g une fonction
isobarique de poids 7,,m ,… 7, , et désignons par (h,, 4) (h, l) g
la quantité obtenue en appliquant l'opération (h,, 1) à (h, L) g.
Nous établirons les formules

(a, 0) (EL) g —(4 1) (h, D g = —(h;,1) g,

12
(h, 0) (Eh) g —(l, h)(h, 0) g = (7: — #1) 9; (12)

h, L, l, étant des nombres distincts compris dans la suite 1, 2, ….n

L'expression symbolique normale de g est une fonction isoba-
rique 9,,, des mêmes poids que g ($ 21); on a en outre :

(hi, li) (k, l) g = (hi, Li) (à, l) UE

d'après la formule (11”). Par suite, il nous suffira d'établir les
relations (12), en y remplaçant g par 9.
Dans les conditions actuelles, l'opérateur (h, l) doit être rap-

porté à une expression symbolique ; nous ferons donc usage de
la formule (10) :

BD= Sat 3 a

Nous représenterons par x’ et par a’, des séries de variables
et de coefficients symboliques différents ou non de x et de a; en
outre, nous conviendrons de rapporter toutes les dérivées à la
fonction 9,..

(40)

1° On a :
d à
AD (EU =(RDY a) a DR à
1
De ne, DD _— ne DD dx, du,
d°? d

HDDen L tan

et de même :

(6 4) (0 — 22 «, ‘ da, da,da, — 22 4 © da,dx, —
= d
si DOCS = SE »> ne ur + > a} Fa
Je dx, 1 day

On obtient ensuite :

- d 15 d Q
CON AU EN)
00 NUE,

1

ce qui vérifie la première formule (12).

2° On trouve :
(BD(LR) = au naar Dig da, = DD
— DDau + Doi à
(L,R)(R, D = a + D Dax ar —)>ur
Dane + Der, ri

Par conséquent, on a :

CUT ECDIOTEDEE Ja _
13 (Das "da, — Ds a

(M)

Cette équation doit être rapportée à la fonction symbolique 9,, ;
dans le second membre, la première parenthèse est égale à
7. 91,5 LA deuxième a pour valeur 7, . 9, [voir formule (7)]. On

a donc :
(R, l) (4, h) is x (l, h) (R, l) is Ta (z; DEN R Ty) , dis

c'est ce qui établit la seconde formule (12).

25. Théorème. — Si une fonction g est solution des équations
GA) 90 152, — À;
Péquation
(k,l) g = 0

a lieu pour toutes les valeurs de h supérieures à 1.

On a à déduire des équations

(i+141,2)g— 0
‘ les formules
(+3,19 = 0,
en supposant
i+j Zn.
L'égalité
(+ j, à) g —0

est vérifiée par hypothèse, dans le cas de jy — 1; il suffit done
d'établir la formule

(i + 7,1) g = 0,
en supposant
Cr om ON NON CE
Appliquons la première formule (12) au cas de
PSP RE EL EN;

nous obtenons :
(+ ÿ, +1), 5) —(i +1, Di, + Dg=—(i+ j, à) g.

Par supposition,

Q@+1,)g=0, (+7, i+1)g—0;

(22)

nous avons donc
C+ji)g =0:

c’est le résultat que nous voulions établir.

Au moyen de considérations analogues, on obtient cette autre
propriété : Si l’on a (i, i + 1) g— 0 pour i — 1,2, …. n — 1,
la fonction g satisfait à l’équation

(k, Î) = 0,
pour loutes les valeurs de h inférieures à |, (1— 9, 3, ….n).

26. THÉORÈME — Si une fonction isobarique g de poids
Ris To T, SGlisfait à l'équation

(k, l) = 0,
on a
Ty ETS Th = 0 (@):
Admettons pour un instant que l’on puisse avoir

(h, l)g = 0 et 7 —7 ——t,

G étant une quantité réelle différente de zéro. D'après la deuxième
formule (12), nous aurons :

(ha, l}(L k)g —(L h)(R,D g = —<&?.9,
c'est-à-dire
(,l)(Lh)g =—€ 39; (43)

par suite, la fonction g —({, h) q est différente de zéro et satis-
fait à l'équation
(kg =—€ 39. (14)

En remplaçant g par g', on obtient :

(h, l) (£, h) g' Fun (l, h) (h, l) g' Ga (z GE Th) . g' (15)

(*) Voir, pour le cas de n—2, les Mémoires de MM. Cayzey et SYLVESTER
(Philosophical Transactions et Journal de Crelle, t. LXXXV).

(45)

si l’on désigne par zx, m:, … 7, les poids de la fonction isobarique

g'—=({, h) g.
Les nombres 7; et x; ont pour valeurs x, — 1, x, + 1 ($ 22);

on a donc
DA AA I PaeR et es OT EC

D'après la formule (14),
(Lh(Dg = —F(LR)g = —EËg".
Par conséquent on déduit de l'équation (15) :
(D (4 h)g = —2(Ë + 1)g';

si donc on prend
g'=(bh)g ={(h)g,

la fonction g” est différente de zéro.

Les considérations précédentes peuvent être appliquées pour
g’, de la même manière que pour get g'; en continuant ainsi de
suite, on obtiendrait une suite illimitée de fonctions

(BR) SR} ose MbiRo

toutes différentes de zéro; ces fonctions ont pour l'indice les
poids

Tys Ty — 1, Ti, — Q, ee eme TU lee

Or, si g contient les différentes séries de variables «1, x2, …
au degré total Zp, il en est de même des fonctions (k, l)"g; par
suite, le poids de (k, !)"g pour l'indice / peut être représenté par

—dp+t,,

&, étant un nombre positif ou nul. Cette valeur du poids ne peut
pas être égale à 7, — m pour toutes les valeurs m — 1, 2, 5 …
Conséquemment nous avons introduit une supposition inadmis-
sible, en écrivant

Ge Tr Aa
on doit done avoir la relation

Hi Th > 0.

(0229)

2". Tuéorème. — Si une fonction isobarique g a les mêmes
poids pour les indices h, I, et sielle satisfait à l’équation (h, l)g=0,
elle satisfait aussi à l'équation (1, h)g = 0.

Si l’on suppose 6 — 0, c’est-à-dire x, — +, — 0, on obtient
par l'équation (13):

(h, l)(l, h) g = 0.

D'après le théorème précédent, les poids x;, x; de la fonc-
tion g — (l, h) g, supposée différente de zéro, vérifient la
relation

mi — 7, > 0;
on devrait donc avoir

c’est ce qui est impossible dans le cas actuel; on a, par suite,

HE 0) = 0

Réduction des substitutions linéaires.
28. La substitution linéaire S la plus générale est définie
par les équations :
X; —= a X4 + tj X9 Sn CONS UE Xe (à —= 1, 2° … n).

Nous voulons établir que toute substitution S peut être obtenue
en effectuant successivement les substitutions particulières

SE Sur (=, D ee n).

La réduction annoncée se vérifie facilement pour le cas de

n —= 9. En effet, si l’on effectue successivement les substitutions
S;, Ses Su» S+ définies par

r r. r " r " 71,
Ti — EX, La = X3, Xi==X,, Xe — X2 + cXy;

X=X' +, X=X; X'=X, L'=ax,

( 45 )

on obtient :
T1 == eX, ar EEyEaX 0

Lo = EioNy + & (1 + cpu) Xe,
ce que l’on peut écrire :
Ti = au +ayX,
La = daiXy + Goo,
les lettres « désignant des constantes quelconques.

Pour établir la réduction analogue dans le cas général, nous
pourrons donc la supposer exacte pour les substitutions de n — 1
variables. Ainsi, la substitution linéaire définie par

X; == ajX + ajaXo + 00 + CHOSE (S’)
mdr: (j—=1,2,...n —1),
résulte des substitutions
Sp,» Shut oh = 1,2 en —1).
En prenant
CR X NET X NE CAN (Sin)
Xÿ =X", X —X'+aX, B,)
XE-D D u0, KO où + a a, CA

nous obtenons :
se 0 0 0
Xj = Gal Æ dj EE °° Æ Lin 1 n 1 »
ps ñ 0 0 0
Ly = Al + 2,900 Æ 0 + Qnn1ln1 + Tr:

Effectuons en outre les substitutions $, ;, Sos se, Sun 19 On
définies par les équations

0 ? . , û
Xi —X OU Ge =, 1>1;
DR — D AT EME M te, ï Die
mm Ne mr) A0 à 2 D RUE

Dex, ax, in;

(46)

nous aurons :
LT; —= y X + AoX 9 + + CN,

$ S'’
1 ON En: | 59
en prenant
On = Eoja Etje Eee Eau, (1—=1,2,..n —1),

Ann = Ent + Elo EE ot En ann 1 €, -

On peut déterminer «,, &, … e,_, de telle manière que
in Coms ve Ans, n aient des Valeurs quelconques, car le détermi-
nant (+ «,, ax, …, @,_1,, 4) étant le module de S’, ne peut pas
être nul. De plus, le paramètre «,, peut être supposé quelconque,
parce que €, est une constante arbitraire. Dans ces conditions,
S” est la substitution linéaire la plus générale S; nous l’avons
obtenue en combinant les substitutiens

SE SE SEUL On 0

Comme nous l'avons admis, S’ résulte des substitutions

SAIS (h,,4 —1,2, ...n — 1);

la E

conséquemment, S est réductible à

SR AE a).

CHAPITRE II].

PROPRIÉTÉS DES FONCTIONS INVARIANTES ET DES
FONCTIONS SEMI-INVARIANTES.

—_——

Propriétés caractéristiques des fonctions invariantes.

29. Les fonctions invariantes © ont été définies par leur
propriété de satisfaire à l'équation

er oi | (1)

relative à la substitution linéaire S la plus générale. La substi-
tution S résulte des substitutions particulières

Se Sr: h, | — 4, 2, nn;

conséquemment, on peut remplacer la formule (1) par les équa-
tions qui en résultent quand on réduit S àS,, S,,.
Pour la substitution S,, on a :

mes, me, (EZ2H), d=e,
puis
DE 0 (2)
Pour la substitution S,,, on a :
HER: VE 272. UE me X(k 2 D, A LE
P — 9. (3)

Ainsi les équations (2) et (5), rapportées à

Set SR 2 0)

(48 )

suffisent pour caractériser les fonctions invariantes o. D'après la
formule (2), o est une fonction isobarique, de même poids + pour
tous les indices ($ 21); l'équation (5), relative à S,,, est équi-
valente à la condition (4, l{)e — 0 (voir $ 25). Par suite, une
fonction © est invariante quand elle est isobarique et de même
poids x pour tous les indices 1, 2, ..n et quand elle satisfait
‘aux équations
(MOD NUE 10)

Ces conditions sont surabondantes; en effet, les formules
(h, D) o—=0, pour À < I, sont réductibles aux formules (h, D g=—0,
où l’on a À > L, parce que la fonction o a le même poids pour
tous les indices; d'autre part, les équations (h, l)@=—0, pour > l,
se déduisent des équations

Ra +1,i)p—0, (i—1,2,..n —1)

(voir $$ 25 et 27). Nous obtenons ainsi ce théorème : Pour
qu’une fonction © soit invariante, il faut et il sujjit qu’elle satis-
fasse aux équations (i + 1, i)o — 0 et qu’elle soit isobarique et
de même poids pour tous les indices.

30. Comme application, on peut établir la proposition sui-
vante :

Une fonction g des éléments est invariante quand elle se repro-
duit à part une constante, après une substitution linéaire quel-
conque S. ;

Conformément à l’énoncé, nous écrirons :

CHE

8 étant une fonction des paramètres de la substitution S. Nous
pouvons toujours écrire g comme somme g' + g” + … de fonc-
tions isobariques ; nous désignerons par x;, x’, … les poids de
g'; g”, pour l'indice :.

(‘) Les équations aux dérivées partielles des fonctions invariantes ont
été obtenues par M. Cayey (Philosophical Transactions, 1854; Journal de
Crelle, t. XLVII).

(49)
En réduisant S à la substitution particulière

TX} — EX}, Lx = Xy, (k 2 h), ë »

<

G = AE à + SC 1 — ….

on à :

et, d’après l'énoncé,
G—0.g—0,(g + g" +).
Il résulte de là que g est une fonction isobarique.
Si l'on effectue la substitution

di X;,+eXs, 2 —X,, CAT
on à :

ge?

L: Mg Fee

G— g + (RD g +

et, d’après l'énoncé,
G —= 0 . 9:

En identifiant les deux valeurs de G, on obtient

2

0 (&— 1) g + + (D g + th, Da + .…

dans cette équation, les différents termes n'ont pas les nêmes
poids pour les indices k, {. On doit done avoir :

(gs 0 RAA 2 0,
À cause des relations
(k,l)g=—=0, (Lh)g—0,

la fonction isobarique 9 a le même poids par rapport aux indices
h, ! ($ 26). Conséquemment, g est une fonction isobarique, de
même poids pour tous les indices, et solution des équations
(k, l)g = 0; en d’autres termes, g est une fonction invariante (*).

(*) Voir les démonstrations différentes publiées par CLessca (7heorie der
binären Formen, p. 306); Gram (Math. Annalen, t. VIT); Carezut (Mem. dei
Lincei, 1882, p. 582).

L

( 50 )
31. Reprenons l'équation caractéristique
DO. 7;

comme nous l'avons vu, o a le poids x par rapport à tous les

indices; pour cette raison, on dit que x est le poids de la fonc-
tion invariante o.

Soient

Al Pb. 500 USM Re

les degrés de © par rapport aux séries de variables, x1, 22, …,
et aux coefficients de formes algébriques telles que

ÊE ù Ex, co du, .… AUy mis: 2e men;
nous supposerons
al, +alo + +al,—al, a? + ee + 02, — a2,
….) Al + Aa H te + EU, — OU
La fonction © est une somme de produits analogues à

P— Moy, Ms af;

les poids de ® pour les indices 1, 2, …, n sont égaux au poids x
de ©; on a donc :

= Ÿ («ls + a), + + ag) — Ÿ p,
r= Ÿ (ul + 09 + ve + ous) — Ÿ po,

® e. . Ô .

m= (a, +09, ++ au) — V0,

en ajoutant membre à membre ces équations, on obtient :

2 (1 + a + ee + DD

2

TI —
n

dans cette formule, la somme X, se rapporte à toutes les formes,
telles que f, dont dépend la fonction invariante o.

(51)

Fonctions semi-invariantes (*).

32. Soit 4 une fonction isobarique des variables et des
coefficients de formes algébriques (**) ; nous dirons que Ÿ est une
fonction semi-invariante, si l’on a

G +1,40, 1,2, n—1.

En particulier, nous appellerons semi-invariant, une fonction
semi-invariante indépendante des variables.

D'après ce qui précède ($ 29), une fonction invariante est une
fonction semi-invariante de même poids pour tous les indices
2 .;., n.

Exemples. — Si l'on désigne par

RMS POTERIE
des formes linéaires telles que
Ë, — ÉiT ES É2X2 RE Se

le déterminant
El, le .. El,

Ë2 Ë2 … 62;

Re RES
est un semi-invariant (1 — 1, 2, …., n).
Le déterminant des variables

De ni ot NE PRE

DAME SLI se LORS

° . 0 e ° e . 0

GRO UE ON MAP ARR

est de même une fonction semi-invariante.

(*) J. Deruyrs, Sur la généralisalion des semi-invariants (MÉM. cOURONNÉS
ET MÉM. DES SAv. ÉTR. PUBLIÉS PAR L’ACAD. DE BELGIQUE, t. LI, in-4); Sur
les fonctions semi-invariantes (Buzz. DE L'AcaD. DE BELGIQUE, 5° sér., t. XIX).

(**) D’après nos conventions, on doit entendre par fonction, une fonction
algébrique entière et homogène des différentes séries de coefficients et de
variables.

(52)

Il est visible que toute somme de produits de fonctions semi-
invariantes est une fonction analogue, si elle est homogène par
rapport aux différentes séries d'éléments.

33. Pour la suite, il est nécessaire de considérer les nou-
velles fonctions que nous venons d'introduire ; nous établirons
tout d’abord une propriété qui justifie leur dénomination.

D’après la définition, la quantité 4 n’est pas modifiée par les
substitutions S,.,,;; il en résulte, d’après un théorème établi
précédemment ($ 25), que la fonction 4 n’est pas modifiée par
les substitutions S,,,, où l’on a h > L. D'un autre côté, si ba
les poids x, te, …, x, , W se reproduit multiplié par e7* après
la substitution $,, définie par

Xp = EX, (==) ŒZh).
D'après ces considérations, on a :
Ta T T
A GA de tn (4)

en rapportant la transformée W à la substitution

La = ouXs + ado + ass E + + din Xp »
ous, «
X2 — Fées. agoXo + GoN5 + ce + GX,
Ha —= joe Ass X 3 URI ONQ PET Can X n 3
a (S:)
Sa DS É 5
X, —= D nn

.,
Q

.
.….
Q
.

Pour vérifier l'équation (4), on observera que la substitu-
tion S: s'obtient en effectuant successivement des substitutions

S » Sp,2o h D ll, ë h, l — 4, D, NN,

Ainsi, une fonction semi-invariante, de poids ti, Ta, «…., TG,»
se reproduit multipliée par

TA TTI T.

&j1° 99° Qe£ nn

après la substitution S:.

(55 )

On peut encore établir la proposition suivante : une fonction 4
est semi-invariante, quand sa transformée pour la substitution S:
ne diffère de 4 que par un facteur.

Il est d’abord visible que 4 est une fonction isobarique ; de
plus, si lon réduit la substitution S: à S,,,,;, on a :

m=XiteXu, m=X, (ki),

2

ELESS ; €
Me US Ds

$ 1 5% it
SL 1)" Ÿ +

D'après l'énoncé, W doit être le produit de 4 par une quantité
dépendant de «; les différents termes de l'expression indiquée
pour W, ont des poids différents par rapport aux indices i, à + 1:
on doit done avoir (à + 1, i)y — 0. En conséquence, 4 est une
fonction semi-invariante.

Remarque. — Nous avons vu que si une fonction isobarique
satisfait à l'équation (h, !)— 0, la différence des poids pour l'in-
dice L et pour l'indice À ne peut pas être négative.

La fonction 4 est solution des équations (2 + 1, i) — 0 ; par
conséquent, Si ti, To» -., n, SON les poids d’une fonction semi-
‘invariante, on a

TN RS 0, Too TS 0, 0 ur Eu Tin S 0, . Hp Ta > 0.

34. Soit (e), un groupe d'éléments comprenant certaines
séries de variables et de coefficients; nous désignerons par les
lettres 9, des fonctions qui dépendent seulement des éléments du
groupe (e); nous représenterons par les lettres g', des quantités
indépendantes de ces mêmes éléments.

Écrivons une fonetion semi-invariante sous la forme

Ÿ = gigi + 9292 + <+ + 9,95

chacune des quantités 9, g' est nécessairement isobarique, et l’on
peut supposer que le nombre r des termes est le plus petit pos-
sible : ainsi, il n'existe aucune relation linéaire entre g, , go, ..…, 9,

(54) é

Soient r;, , …, n, les poids d’une des fonctions g; nous
dirons que cette fonction g est-un terme principal de 4 par rap-
port au groupe (e), s’il n'existe dans la suite g,, ge, …, g, aucun
terme de poids

ns Tnt ee Mjpis Mie (e > O0),
pour les indices n, n — 1, …, j + 1, j, (j > 2).
D'après les formules (à + 1, &) ÿ — 0, nous obtenons

gui + 1,0) gi + ga(i + 1, à) ge + «ee + g,(i + A, à) g

++ 1,1) + gi +1,t)g2 + + + gi +1,g,—=0,

t— 1, 2, …, n — 1. Ces relations se partagent en équations
isobariques par rapport aux éléments du groupe (e). Suppo-
sons que g, est un terme principal de 4 et considérons les termes
de poids x;, %, …, x, pour (e). L'opération (i + 1, à) diminue
d’une unité le poids relatif à l'indice & + 1; il en résulte, d’après
la définition du terme principal de poids x, z, …, r,, que l’on
doit égaler à zéro la partie de l'expression

De + 1,1) gi + gi +l,ig+e+g.(i+1,ÿg,

qui est de poids x, %, …, x, par rapport au groupe (e). D’un
autre côté, les quantités 91, ga, .…, 9, Ont été supposées linéaire-
ment indépendantes ; par suite, on doit avoir

(+ 1:1)g—=0, = 1,2 nn — 1.

Ainsi, on déduit d’une fonction semi-invariante d, une fonction
analogue g;,, en considérant le multiplicateur d’un terme princi-
pal g, par rapport à un groupe quelconque d’éléments (e).

Si l’on prend successivement pour (e) des groupes d'éléments
comprenant toutes les séries de variables, on déduit d’une fonc-
tion semi-invariante 4, des semi-invariants.

ue

(55)

Expressions symboliques des fonctions invariantes
et des fonctions semi-invariantes.

385. Soit 4, l'expression symbolique normale d’une fonction
semi-invariante 4; on aura :

O—(i+1,1)y=(t +1, i) n..

La quantité (i + 1, 2) Y, est, en même temps que Y,,, une
expression symbolique normale ($ 23); d’après cette remarque,
on a ($ 7): x

AN SON EE Oo e

Du reste, W,, est une fonction isobarique des mêmes poids
que Y et relative à des formes linéaires ; donc, une fonction
semi-invariante a pour expression symbolique normale une
fonction semi-invariante des mêmes poids, relative à des formes
linéaires.

En particulier, expression symbolique normale d’une fonction
invariante est une fonction invariante de même poids, relative
à des formes linéaires.

Soit g, une expression symbolique quelconque qui est une
fonction semi-invariante de formes linéaires ; d’après les relations

{+ 1,6) g, —=0

la quantité g, représentée symboliquement par g,, satisfait aux

équations
G+1,1)g = 0;

d’autre part, g est isobarique et des mêmes poids que g, ($ 21).
Conséquemment, ioute quantité g, représentée symboliquement
par une fonction semi-invariante g,, est une fonction semi-inva-
riante de mêmes poids.

En particulier, si une expression symbolique est invariante, il
en est de même de la fonction effective.

( 56 )

36. Les quantités symboliques sont des fonctions des coefii-
cients de formes du premier degré seulement; par conséquent,
pour obtenir l’expression des fonctions semi-invariantes symbo-
liques, nous aurons à rechercher l'expression effective des fonc-
tions semi-invariantes y’ de formes du premier degré.

Désignons par 4”, une fonction linéaire par rapport à des
séries de variables et à des séries de coefficients de formes du
premier degré : il existe toujours une fonetion d”, réduetible à d”
quand on identifie certaines séries d'éléments. Pour déterminer
complètement la quantité 4”, nous l’assujettirons à la condition
d'être symétrique par rapport aux séries d'éléments qui doivent
être identifiées entre elles. La transformée Ÿ"' de la fonction 4”
ainsi déterminée, est évidemment symétrique par rapport aux
mêmes éléments.

Soient x, , >, …, x, les poids de la fonction semi-invariante d”';
nous aurons, pour la substitution S, 1

(7

ww" — aa Le az AURAI (à)
écrivons dans les mêmes conditions :

y’! — a aa U an .Y"+R, (6)
R désignant un certain reste. En même temps que 4” et W”, le
reste R est symétrique et linéaire pour les éléments que l'on doit
identifier pour réduire 4” à d'; quand on effectue cette réduc-
tion, la fonetion R s’annule, ainsi qu’il résulte des équations (5)

et (6); par suite, R doit être nul dans la formule (6), et l'on a
Y = ojiag a",

en rapportant la transformée Ÿ” à la substitution S,. Par suite,
toute fonction semi-invariante y' de formes linéaires se déduit
d’une fonction analogue 4” de mêmes poids, linéaire pour des
formes du premier degré et pour les séries de variables : on
obtient L' au moyen de 4”, en identifiant certaines séries d’élé-
ments.

Le Ex,

(57 )

37. Supposons que la fonction semi-invariante 4” se rap-
porte à M séries de variables x1, 2, …, et à N formes linéaires
a, b,, .… L, … Nous représenterons par 0, d,, d, ... 0,, les
déterminants d'ordre 1, 2, 5, .… n, formés au moyen des 1, 2,
3, .… n premières colonnes du tableau

n°?

ARC ae
bib b,,
DR AS ER ETES

De même, nous représenterons par ®%, d,, … 0, 0,4, les
déterminants d'ordre n,n — 1, … 2, 1, formés au moyen des
n, n — 1, … 2, 1 dernières colonnes du tableau des variables

LE MAIDEN CS 1 |

LAN LD REED

n°?

n°9

Nous démontrerons le théorème suivant: La fonction Ÿ” est
exprimable comme somme de produits de facteurs dy, da, .… 9

n >
d, D, … 9, ,, et de formes linéaires telles que a, : chacun des pro-
duits contient x; — ñ;,, déterminants d, ou d, (i—1,2,...n — 1).

Cette proposition se vérifie immédiatement pour M — 0,
N=— 1, car le seul semi-invariant du premier degré pour la
forme a, est a, c’est-à-dire un déterminant d,. Pour établir le
théorème dans le cas général, on le supposera exact dans le cas
de M—p, N— », et on le vérifiera pour M =, N = +1
et pour M=—p + 1, N— ».

Supposons que d” se rapporte à M — y séries de variables et
à N—» + 1 formes linéaires comprenant la forme a. Nous
écrirons

L44

UT — 4,59 Re a, 191 mOn mi 9,1 5 5 (7)

a, est ainsi le terme principal de 4”, par rapport au groupe des
coefficients de forme a. D'après ce qui précède ($ 54), o est
une fonction semi-invariante analogue à 4”, pour laquelle on a

( 58 )

M =, N=—y; © a, du reste, pour les indices r et (ŒZ r), les
poids 7, — 1 et.

Dans notre supposition, le théorème énoncé ci-dessus est
applicable à o, ; par suite, oç s'exprime comme somme de pro-
duits de formes linéaires et de déterminants (9), (d'): en parti-
culier, chacun des produits contient 7,_,— 7, + 1 facteurs à, ou
9, si l'on suppose r > 1. Le nombre r,_,— 7, + 1 est au
moins égal à l'unité, puisque l’on a x. ,— 7, 5 0, d'après une
propriété des fonctions semi-invariantes ( 33, Rem.). En sup-
posant r > 1, on peut donc écrire :

DANONE LAS CA EN ONUT AE

CC RAC GE AR EU
pe en ho

l, L 060 (Eh É Ô 2 e e û . e °

® et ®’ désignent des produits de formes linéaires et de déter-
minants 0, , 5; 0, 05, (0 < à < n) : dans ces produits, le nombre
des facteurs d,, d, est t: — t,, ou %, — %,,,— 1, suivant que
l'onaiZroui—r.

En ont toujours r > 1, prenons :

(un (1 0e a,_1 a, sai la, DE ne .X,y rs

?

—Y(- 1ÿ- 1P b, b: . . D, b, Da COR x? n—1 St (12 à
L L Go0 (in L e o . e o

y, est une fonction semi-invariante; d’après la formule (7) et
l'expression de cç, on peut écrire :

11 L u L !
D — = 100 Æ dy_20 + + + 6, >.

Dans le cas de r — 1, le multiplicateur 5,, compris dans
l'équation (7), est une somme X @, de produits Ÿ contenant
Ty — To — 1 facteurs d4, d et rt; — x,,, facteurs d,, 0, (1 à < n).
Au lieu de l'expression indiquée ci-dessus pour 4, on prendra
y, = Y a;®, et on aura évidemment Y”"— d, —

Les considérations qui ont été indiquées pour Ÿ”, sont appli-

(59)

cables à d”’— 4, dans le cas de r > 1; il existe une fonction
semi-invariante 4, telle que l’on peut écrire

11 M re " n rr
D WW — dia = 909 E dy-301 + ee Æ A0, 5.

En continuant de la même manière, on obtiendra une équa-
tion telle que

D ee Ce Ve a 0

D’après les résultats précédents, chacune des fonctions semi-
invariantes d,, L._,… V, est une somme de produits de formes
linéaires et de déterminants (9), (9’) : dans chacun de ces pro-
duits, les facteurs 9,, d; sont en nombre tr; — x,,,, (0 Ki < n).
La fonction L” jouit de la même propriété. Par suite, le théorème
général que nous avons énoncé, se trouve vérifié pour M— p,
N — » + 1, quand on le suppose exact dans le cas de M — y,
N— »; on le vérifie pour M—p + 1, N —», en suivant une
méthode toute semblable : il faut alors considérer, au lieu de
l'équation (7), le développement de la fonction semi-invariante 4”
suivant les variables (x) d’une mème série.

D'après la méthode que nous avons suivie, le théorème
énoncé ci-dessus se trouve complètement établi.

38. Toutes les fonctions semi-invariantes d’ de formes
linéaires, et par suite toutes les fonctions semi-invariantes sym-
boliques, se déduisent des fonctions 4” moyennant l'identification
de certaines séries d'éléments ($ 56); par conséquent, les fonc-
tions semi-invariantes V', de formes linéaires, et les fonctions
semi-invariantes symboliques %,, sont des sommes de produits de
formes linéaires et de déterminants

CPC SRE CNT Ce

tels que
GO |. x1° 1152 DORE 2 Pr

Ps bi DNS DE Ne xD #2, He D2 :
[NET PO RE 2 aN—Ù, AN—in y « XN—iu

( 60 )

chacun des produits contient x,—x;,, déterminants d,,9,(0<i<n),
SI Ty; Te, +. Te, SON les poids de y’ ou de 4, ; on observera encore
que 7, est la différence entre le nombre des facteurs d, et le
nombre des facteurs d, compris dans chacun des produits.

En particulier, un semi-invariant symbolique est une somme
de produits de déterminants d,,d,, … d,; chacun des produits
contient tr; — %;,, facteurs d(i— 1, 2, … n—1) et x, facteurs 0.

Une fonction invariante est une fonction semi-invariante de
même poids pour tous les indices : par conséquent, une fonction
symbolique invariante est une somme de produits de formes
linéaires, de déterminants d,, tels que (H a,, b., … 1,), et de cova-
riants identiques d, tels que (+ x1,, x2,, … xn,):; la différence
entre le nombre des facteurs d, et le nombre des facteurs d,, est
égale au poids de la fonction invariante (*).

Remarques. — 1. Au moyen de n — 1 séries de variables, on
ne peut former aucun déterminant d, ; il résulte de là que le poids
d’une fonction invariante à n — 1 séries de variables ne peut pas
être négatif.

IL. Les covariants identiques sont définis par la condition
d'être indépendants des coefficients de formes algébriques.
D'après le dernier énoncé, tout covariant identique est une somme
de produits de déterminants 9°, tels que (+ x1,, x2, … xn,).

ITT. Toute fonction invariante est une somme de covariants
identiques imultipliés par des fonctions invariantes de poids
posihf ou nul, représentées symboliquement par des agrégats de
formes linéaires et de déterminants d, analogues à (+ a,, b,, … 1).

IV. D’une fonction invariante de formes linéaires (ou symbo-
lique), on déduit une fonction analogue en remplaçant toutes les
séries de coefficients et de variables, respectivement par des séries
de variables et des séries de coefficients de formes linéaires.

Cette remarque permet de retrouver le procédé de trans-
mutation des fonctions invariantes, qui a été indiqué au para-
graphe 19.

(*) Comp. CLesscx, Ueber symbolische Darstellung algebraischer Formen
(Journaz De CRELLE, t. LIX).

(ED,

389. L'expression symbolique normale d'une fonction inva-
riante o, de poids positif ou nul e, est une somme de produits
contenant comme facteurs des déterminants d,, d,, en nombres €’,
e” tels que l’on ait e — e”— e. Chaque couple de facteurs

AE GB A
d = (Æ APE .. xn,)

peut être remplacé par le déterminant correspondant
(EH eibs.rut,)e

Conséquemment, foule fonction invariante ç, de poids € positif
ou nul, a pour expression symbolique normale une somme de
produits ® de formes linéaires, multipliés par des déterminants d,
en nombres £.

Prenons

mi,pmi mis, m2 mŸ mk mk
Rp a te a NT 2 tua Eee
nous aurons :
mi, + mil + + + ml, = mi,
MA + MA + + MA,—= md, etc.

mk, + mk +. + mk= mk,

en désignant par m1, m2, … mk les degrés de o par rapport aux
séries de variables x1, x2, … xk. |
Soit al,, a2,, … ak,, un système de formes linéaires; on peut
écrire
PO; ra are

si l’on représente par O, l’opération polaire

1 | d le ( d le (a d Ai d dE
mi!m2!...mk! "an dal AC Ÿ da2

(a d pe | d fie (a d fe
.. HE Coc Dr ao TE 5

(62)

qui est relative aux coefficients al, a2, … ak. Par suite, l’expres-
sion U
YO, ala2 … ak: Il,

peut servir à représenter symboliquement toutes les fonctions
invariantes, de poids positif ou nul, et des degrés m1, m2, …, mk,
pour les séries de variables x1, x2, …, xk.

Remarque. — Soit ® une fonction invariante de poids négatif,
— n; on peut toujours associer à ç un invariant o, de poids égal
ou supérieur à 7 : on prendra, par exemple, pour 9,, l'invariant

(H É1:Ë 2. En, te,

qui se rapporte à n formes linéaires ë1,, £2,, …, ën.. Dans ces
conditions, o.@, est une fonction invariante à laquelle le dernier
énoncé est applicable.

AO. Soit Ÿ, un semi-invariant symbolique de poids 7,
To y.) T, 3 NOUS ÉCrITONS

es —= Ÿ Ho,

en désignant par Il, un produit de déterminants Oo lO
analogues à

n?
5, — (+ mb: … l));

chacun des produits ID, contiendra x, — 7;,, ou 7, facteurs d.
suivant que l’on ai 1,2, ..,n—1oui—n.

Remplaçons dans l'expression de 4, les déterminants 0, par
les déterminants correspondants [A;] analogues à

[A;] —= (+ d,10,e ee 5) 5
nous obtiendrons la fonction invariante symbolique de poids zéro
= ui:

qui est des degrés tj, m>, …, x, pour les variables x1, 22, …, æn.

(65)

Recherchons dans le développement de [Y,], le coefficient x
du produit

m
Fi = le np pr pu enr

en supposant
MA, + MA, + + + MN; = 7;

Mi + Mia He + Mi, = Ti (8)

CNE

HAS > n [4]

conduit à faire la remarque suivante : Pour obtenir dans I[A,]
un terme contenant le produit ®,, il faut considérer dans les fac-
teurs [A,] les quantités

La formule

arr) 00.
On trouve alors que le coefficient de ®, dans [Ÿ',] est
x —t.4, (9)
si l’on désigne par & le coefficient de ®. dans la fonction
Me (2102) 00) RCE in on) ee.

D'un autre côté, la fonction invariante symbolique [Y,], qui
est de poids zéro, peut s’écrire

T T T
HIS 0 a 02 Pons

an 9

O; étant une opération polaire relative aux coefficients al,
a2, …, an ($ 39).
D’après la dernière formule, on obtient :

9
x — Oo qq le ang 4922, ar, an, an», (10)
si l'on représente par € un facteur numérique positif.

La comparaison des équations (9) et (10) donne :

2
y, = € Oral" halle ane.
€

( 64 )

Additionnons membre à membre les formules analogues, cor-
respondant à tous les systèmes de nombres m1,, m1l;,…, mn, qui
satisfont aux relations (8); d’après la valeur du coefficient £,
nous obtiendrons :

Cu, — O0; alft (+ alia2,)7? 75
«. CE al,a2 .. an — JA (ÉE al ;a2: 4 GO

G' désignant un facteur numérique différent de zéro. En consé-
quence, tout semi-invariant symbolique de poids 1, m2, .…., ñ, se
déduit de

al sue ul}a®.) eme

PÉluliad te an — 1) Cr CE UILUD;PV'ante

au moyen d’une opération polaire O, relative aux coefficients
4122922 4#%a:
Exemple. — Soit

b, be b;
Ye — Où | Ci Co C |;
on trouve :
dy = O, al; (ÆE al,a2,a3;) ,
en prenant
d d d
Des ir
dal da? da5
: {| d dl d d
— 4 _— LUREES RittL
A CN De de
d d
AN A | AL

41. FONCTIONS ANALOGUES AUX SEMI-INVARIANTS SYMBOLIQUES. —
On peut rattacher aux semi-invariants symboliques certaines fonc-
tions que nous aurons à considérer dans la suite; ces fonctions,
que nous appellerons semi-covariants identiques de seconde espèce,
dépendent seulement des variables æ1, x2, … ; elles sont isoba-

(65)

riques et solutions des équations (à, à + 1) — 0, c’est-à-dire

x + Hee—0. 1—1,9,53,...,n — 1.

Ro ne
dal; dx2;,1

Soient — Ty, — T2» …, — 7, les poids d'une pareille fonc-
tion À; en remplaçant les variables x1, x2, … par des coefficients
symboliques a, b, …, on déduit de À une fonction symbolique 4,
de poids ri, to, …, t,, Qui est solution des équations

É b É )
de ee
c’est-à-dire
+ 1,i)—0.

La fonction à, est, par suite, un semi-invariant symbolique.

D’après la correspondance établie entre les fonctions À et (IR
nous pouvons énoncer les propositions suivantes (*) :

1° Entre les poids — 7, — mo, .…, — 1, d’un semi-covariant
identique de seconde espèce, il existe les relations

Ti Tip > 0, = 2, ...,n —1

2° Tout semi-covariant identique de seconde espèce, de poids
— Ty, — Too ve) — M, Se déduit de |

a17: 7e (Æ xlix2.) 2 75 Era T0) de
au moyen d’une opération polaire O, relative aux variables.

Cas particulier. — Les covariants identiques sont des fonc-
tions À de même poids pour tous les indices; par conséquent,
tous les covariantis identiques se déduisent des puissances de
(Æxl;,, x2, …, Xn,), au moyen d'opérations polaires relatives
aux variables.

=

(*) J. Deruyrs, Sur la généralisation, etc., p. 20.

(66)

492. Soit U une fonction algébrique entière et homogène de
quelques-unes des séries de quantités

DA NUIEREEAUU le

DD NUS NES UUS

n)

Un, UNa .. un, ;
on peut énoncer la propriété suivante :

Si l’on a

1 U=0; 22 2 U—= 0 1 ë U=0
due DANS dus à LOI AA act

la fonction U est développable suivant les produits et puissances

des déterminants

dj, (un), (Hotious,) … (Æuu2 um),
u , (s ts .. —= il 2; ces ne

En effet, si l’on remplace vi, par aj; et si l'on considère comme
des constantes les quantités différentes de ul, u2, …., un, on
déduit de U une fonction qui satisfait aux équations

cn

GE On EUR
en dr n

FT

La nouvelle fonction obtenue est, par suite, une somme de
semi-invariants aux symboles al, a2, …, an. D'après l'expression
des semi-invariants symboliques, on obtient la propriété énoncée.

CoroLLaAIRE. — Si U est solution des équations

1 W0 2 É Ù =) 1 L U= 0
——U—=0, —U—0, ... un—1—UÙU—
2 du2 4 dus : dun ?

et contient au même degré < les quantités ul, v2, …, un, la fonc-

tion U est divisible par
(Æ li u2 … un, | ().
(‘) Ce dernier résultat s'obtient aussi comme cas particulier d’un autre

. théorème établi par M. Carezzr (Memorie della R. Acad. dei Lincei, 1882,
p. 576).

(8)

Sources des fonctions invariantes.

43. Soit une fonction invariante aux variables xl, x2, …,
zh, y1, y2, …; désignons par m1, m2, …, mn les degrés de ®
par rapport aux variables x1, x2, …., xn, quelques-uns de ces
nombres pouvant être nuls.

Nous appellerons source de + la fonction qui multiplie dans

le produit
L Alpe En
Ecrivons

m
pe = ton 2. an" + ee + tal Lol en nn FETES

les fonctions { étant indépendantes de x1, #2, …, æn ; t, sera la
source de +. Si nous désignons comme précédemment par x le
poids de +, nous aurons :

07. — To XIP'X 22. Xn +
+ T X1 muxqmle NN ee (11)

Identifions, dans les deux membres de cette équation, les mul-
tiplicateurs de
AAC NET
d’après les formules

Li = iXi + jo + + + Lin X p »

La = An + Goo + + + GX, »

L, = an; + ayoXo + ee + a, X
nous obtiendrons :

mi, mi,

0 mA, m2 mn mn
46 — Où À lo O4 299 + Ann CDS lou en :

NN
aa Lai IE oct

En comparant cette formule au développement de +, on est
conduit au théorème suivant :
Toute fonction invariante o, de poids x, est exprimable par

lala. un),

( 68 )

si l’on représente par [T,] la transformée de la source to, dans
laquelle on a remplacé ax, a, …, a par

al 02, — 12,2):

CoroLLaIREs. — I. Dans toute fonction invariante, la source
est différente de zéro. |

IT. Une fonction invariante est définie par sa source, à part
une puissance du déterminant

CÉMAULD, Le)

III. Toute relation algébrique entre des fonctions invariantes
donne lieu à la relation correspondante entre les sources. D'un
autre côté, toute relation algébrique entre les sources de fonc-
tions invariantes correspond à une relation analogue entre les
fonctions invariantes multipliées par des puissances de

(Er erns)

En particulier, toute relation entre des fonctions invariantes,
indépendantes des variables xn, donne lieu à la relation corres-
pondante enire les sources, et réciproquement.

Remarque. — On déduit de l'équation (11) que la transformée
d’une combinaison linéaire £ des coefficients de o est exprimable
comme fonction du premier degré des coefficients primitifs. En
particulier, si on réduit la substitution des variables au cas de

= Xi +, m—X(kZh),

£ a pour transformée ($ 23)
€ E?
LH ROLE RP LE

Il en résulte que (h, !) £ est exprimable linéairement au moyen
des coefficients primitifs de la fonction invariante o.

44. Soit g une fonction isobarique des coefficients de formes

(69)

algébriques et des variables yl, y2, …; nous écrirons symboli-
quement |
g=Ùn a, X 1 y.
La transformée de g pour la substitution la plus générale est
représentée par
G=ÿu ASOREY.
On a

Ai = ol + Gallo + + + an;

Y, est déterminé par les équations
Ya = au Ys + auYo + ee + on, Ÿ,,
LL TÉs dy Ya + GoVa + + + a YŸ,, EiC.;
tree Ca Va Rue an? Ya Hot CA

conséquemment, on obtient

(ES CAT TELE RE aVitiyu,ipaee Ta)

G=Y nant a+ + 0,8,) XI
» ( 144 209; n% )X (aæ D X99 ve (C7)

Si nous remplacons a, , …, a, par x1,, 22,, …, œn,, la
fonction G devra être remplacée par une quantité [G], et nous

aurons
[G] X (Æ xl172 … xn,

= » ma DCE Trlir, al, 7 xt + rune)

en désignant par p le degré total de g par rapport aux variables

y1, ya, …
Le second membre de la dernière formule représente symbo-
liquement la fonction invariante de poids — p, qui a pour

source g. Conséquemment, foute fonction isobarique g, de degré
total p pour les variables ÿ1, y2, …, est la source d’une fonction
invariantie, de poids — p, obtenue en multipliant par

C2 n)e
la transformée G, dans laquelle on a remplacé «;,, CR Les DUT

MIND UNS

( 70 )

En particulier : Toute fonction isobarique g des coefficients de
formes algébriques est la source d’une fonction invariante, de poids
zéro [G], obtenue en remplaçant a, 2, a, par x1;, x2,, …, xn;
dans la transformée G; les degrés de [G] par rapport aux varia-
bles x1, x2, …, æn sont les poids x,, x,, …, x, de la fonction g.

45. A toute fonction invariante œ on peut associer un inva-
riant ®, tel que l’on ait, en expression symbolique normale,

P : Fo —= > Oal”a2" … ak%.o,

($ 59); dans cette formule, O représente une opération polaire
relative aux coefficients al, a2, ..…, uk et aux coefficients symbo-
liques; m1, m2, …, mk sont les degrés de © pour les variables
LAS TD TRE

Tout coefficient + de ©.o, représenté par

9
Tr = D 0 atome. ro. a2 2. ak En m6,
est la source d'une fonction invariante à n séries de variables

A
E— ÿ Oa [LPT LEE OCA mA gg? ee ak En 2 IT
D'autre part,
g-n= D Oalya2…aké.n0,

est une polaire de 6.0, par rapport aux variables, et l’on obtient
9, en appliquant à +’.o, l'opération polaire

Re à
mt m2 … mkt \” dyl ; dyil fi F7 dyl fi

| d \m2 | d de
se [x 1 — | xn — 5

dy2} dyk

Par suite, ç, est une polaire de .v; en d’autres termes, o;
est le produit de o, par une polaire de 9; la fonction + est égale-
ment le produit de +, par un coefficient de o, qui peut être sup-
posé quelconque. Il résulte de là que tout coefficient d’une fonc-
tion invariante 9 est la source d’une fonction invariante à n séries

de variables, déduite de o au moyen d’une opération polaire rela-
tive aux variables.

(71)

Covariants primaires (*).

46. Soit 4 un semi-invariant de poids #1, t2, .…, %,; est
la source d’une fonction invariante [Ÿ], de poids zéro, contenant
aux degrés m1, T2, …, 7, les variables &1, x2, …, æn ($ 44).
Nous pouvons écrire

=ÿn0, x 10,;

I, désigne alors un produit de déterminants d,, d'ordre i — 1,
2, …, n — 1, analogues à

d, —= (EE CALE . hi),

et en nombres r,— r;,,; [l'0, est un produit de +, détermi-
nants ©,, d'ordre n, analogues à

—= (Æ ab: … L:}:

La fonction invariante [W] sera représentée symboliquement
par la somme de produits

D 1 x AUe
que l’on obtient en remplaçant les déterminants analogues à
d, — (Æ ae … h), d, —= (ÉE CALE ... L,)

par les déterminants correspondants

1 ze ri As oo (2
[A;] us bia bu b. . [a] ES b. D pe CAL
ha he 2 h; Lu Le Le,

(*) J. Deruvyrs, Sur les transformations linéaires et la théorie des covariants
(MÉM. couroNNÉS Er MÉM. DES Sav. ÉTR. PUBLIÉS PAR AE DE BELGIQUE,
t. LI, in-4°).

(**) Voir, pour comparaison, le paragraphe 40.

(72)
On voit immédiatement que dans le développement de

[w] =YŸ fi [A] n'[4,],
la source
=> n0, x n'0,

se trouve multipliée par
TEE ro) en 1.
D'après l'équation symbolique
—Danfa] Xe/ja),

[Y] est le produit de (+ xl4, #2, …, œn,)7»r par la fonction
invariante
x= SJ nfa]x n'o,.

Nous appellerons covariants primaires, les fonctions inva-
riantes analogues à y.
D’après ce qui précède, les covariants primaires

x = Ÿ n [A] X 116,

contiennent les seules variables x1, x2, …, æn — 1 et ont pour
sources les semi-invariants

= NAS NON E

si ® a les poids x,, x, …, x,, les degrés de y par rapport aux
variables x1, x2, …, xn — 1 ont les valeurs

Mi=m— Tr, Mi=m—r,, …, MR—1—=7T,_; — 7;
le poids x de y est égal à +...

Remarques. — I. Les covariants primaires indépendants des
variables sont les invariants les plus généraux, puisqu'ils sont
représentés symboliquement Li des sommes de produits de
déterminants tels que (Æ &, b, …, L,).

(75)

I. Dans le cas particulier de n — 2, les covariants primaires
ont pour expressions symboliques des sommes de produits de
formes linéaires a,, et de déterminants (+ ab2). Par conséquent,
les covariants primaires, dans le cas de n — 2, sont les fonctions
invariantes à une seule série de variables.

4". Le semi-invariant à peut être représenté symbolique-

ment par
Dole alia) en e..

… (Æ al;a2 … an — MA Eee . (Æ ala2 … an)"

O, désignant une opération polaire relative aux coefficients ($40) ;
on déduit de là

[w] — O,al HE (£= al D) 30:
Cu dan ne) Cala. an)

puis, en divisant par (+ «1,22, … æn,)",

x= 0,172 (+ al 442) T7.

É-atbad and ou re Colas. an)".

Si l’on désigne, comme ci-dessus, par x, m1, m2, …, mn — 1
le poids et les degrés de y pour les variables x1, x2, …, xn — 1,
on peut encore écrire

Our ES alu) lala an 2.) on:

(Æ a1402,e … an — 151)". (Æ al,a … an,)T.

Application. — Désignons par D l'opération
D | : Fe ÿ =
dx, dxi; dx2
(+ dd d es
dxi, dx2;, é dxn — 1,, 3

(74)
nous aurons
Dx=0.Da% (+ alua2.) 75. (+ al,a2, … an, ).

Il est visible que cette équation symbolique peut être rem-
placée par

Dx=Dalit 72(Ærlir2.)72 75. (Hadix2 on — 1, 4) 7n
X Dan ulia2.) sms.
“alor don 4e) me li tan)
ou encore, par l'équation effective
Dy = 9.Daxl71 72 ÉÉri/r2)eme
Si l'on écrit
ait 72H xlin2.)72 75... — > e xlmlË … m2 …,
les lettres e désignant des coefficients numériques, on a :

+ s d”
— 0

dxt£daiË … dx} ….?
on obtient ensuite :

Daft 72 (Æ xx)? — Deatpl.…

Il résulte de là que l’opération D, appliquée au covariant pri-
maire y, donne comme résultat la source Ÿ de ce covariant,
abstraction faite d’un facteur numérique différent de zéro.

CHAPITRE IV.

RÉDUCTION DES FONCTIONS INVARIANTES.

Réduction des fonctions invariantes
aux covariants primaires (*).

A8. Soit p une fonction homogène et isobarique, dépendant
seulement des coefficients d’un système de formes. Effectuons la
substitution S définie par |

x, = auXs + Goo + ee + dns = 1,2, ., 1;

la transformée P pourra s’écrire
P — 0jpa + 0e + + + ODr5 (4)

dans cette formule, les lettres 9 désignent des fonctions entières
des paramètres @,; Py, Pos … p, représentent des fonctions
analogues à p. Nous supposerons que les quantités (p) sont
réduites au nombre r le plus petit possible.

. Indiquons en général par [F] le résultat obtenu en remplaçant,
dans la fonction $, les paramètres «,, &2, …, «, par les variables
xl,, x2,, … œn,, (i — 1, 9, … n); nous obtiendrons, par la for-
mule (1) :

[Pa] + [ou] pe + + + [or] p.. (4)

La quantité [P] est la fonction invariante de poids zéro, aux
variables x1, «2, …, xn, qui a pour source p ($ 44); les groupes
de fonctions [@,,],[0,,], … et pr, p2, …, p, dépendent d'éléments

(*) J. Deruyrs, Sur les transformalions linéaires el la théorie des covariants.

(76)

d'espèces différentes; en outre, il ne peut y avoir aucune réduc-
tion pour le nombre r des termes compris dans l'équation (1').
D'après ces remarques et d’après les résultats indiqués au
paragraphe 12, les transformées de p,, pa, …, p, et de [0,,],
[Bo] » …, [8] S’expriment respectivement en fonctions linéaires
de Ps, Pa, …, p. ef de [011], [Be], …, [8].

49. Désignons par S, la suite des quantités du système
Pi Pa», p,., pour lesquelles le poids relatif à l'indice 1 a la
valeur la plus élevée. Soient

do; SPA OO0) D; ; 0006) On

les suites de quantités déterminées par la condition que 8, com-
prend les termes de la suite $,,, pour lesquels le poids relatif à
l'indice j est le plus grand.
Soit p, un terme de la suite $,_,; nous représenterons par
Ty; To, .…, T, les poids de p,, par rapport aux indices 1, 2, …, n.
Si nous effectuons la substitution linéaire

= Xi = ); + EX, , D? —= MG (k > 4); (Say)

la transformée P, de p, est exprimée par

2

pepe nee

122

La quantité (2, 1) p, doit être nulle ou être fonction linéaire
de Py, Po, .…, P,, puisque P, est une combinaison linéaire de p;,
Po .…, p,. Le deuxième cas ne peut pas se présenter; en effet,
la quantité (2, 1) p, a le poids tr, + 1 pour l'indice 1, et d'après
le mode de formation des suites S3, 82, …, S, 1, les quantités
Pis Per …, p, Ont au plus le poids x, pour l'indice 1. On a donc

(2, 1) P: = 0.
Semblablement, si l’on effectue la substitution

La Xe EX, Ur — XX}, (k Z D) (Sa)

(77)

on obtient, pour la transformée correspondante,

2

(5, 2), Pr +

o

€ €

Dep pre Te

La quantité (3, 2) p,a pour poids 7; ,T%, + 1, relativement
aux indices 1, 2. Par hypothèse, les termes de la suite p,,
Do, …, p, qui ont le poids x, pour l'indice 1, ont au plus le poids
x, pour l'indice 2; en conséquence, (3, 2) p, ne peut pas être
une combinaison linéaire de p3, ps, ..., p,. D'après cette
remarque, on à (5, 2) p, — 0. En continuant ainsi de suite, on
obtiendra les n — 1 équations

G+i,i)p=0, 1=1,2,..,n —1. (2)

D'après nos suppositions, la fonction p, est isobarique ; consé-
quemment, p, est un semi-invariant.

50. La transformée P,, relative à une substitution quel-
conque, peut s'écrire :

P, = 0,p4 + 02Po + - + 6,Pn, (5)
moyennant les conventions suivantes :

1° pi, p2, …,pA représentent des fonctions analogues à p, ,po, …;

2% 0,,0,,…, 0, désignent des quantités dépendant seulement
des paramètres &;, ;

3° La formule (3) ne peut pas être remplacée par une for-
mule analogue, comprenant un nombre de termes inférieur à A.

La transformée P, se réduit à p,, si l’on suppose a; — 0 pour
i différent de ÿ, et y — 49 =": —a,, — 1; on peut donc
prendre p, = p,.

D'après le théorème énoncé au paragraphe 48, P, est une
combinaison linéaire de py, Po, .…, P,; nous écrirons:

P,— 6,41Pa + OP + ve + dors (4)

en indiquant par les lettres 0 des fonctions entières des para-
mètres ©.

æ

(78)

Il résulte des formules (5) et (4) que le nombre h ne peut
pas être supérieur à r; on a de plus :

OaPa + Bee + ee + Gr = pi + 62Po + «+ + On.

Par l'identification des coefficients des mêmes produits de
facteurs «,, on obtient des relations du premier degré

L(p)= L'(P} (4)

entre Py » Pos es D, OÙ Pis Pos Pi. Si les fonctions $ (p) étaient
des combinaisons linéaires de À — h, d'entre elles, (h, > 0), la

somme |
Pa + dPa + °° + OerDrs

c’est-à-dire P,, serait exprimable au moyen de h — h, quantités
analogues à p, multipliées par des fonctions des paramètres à; ;
une pareille réduction serait contraire aux suppositions que nous
avons admises au sujet de la formule (3). Ainsi, il y a À fonc-
tions £ (p) linéairement indépendantes; d’après les équations
(4'), les quantités p' sont des combinaisons linéaires de py, Pa, «+ Prs
et l’on peut exprimer h termes de la suüle pi, Pa; …., p, au moyen
des r —h termes restants et de pi, ps, ……, pr. Nous écrirons, en

conséquence, d’après la formule (1) :
P = 4p1 + pe + ee + HP + Yo-1Pi RE Yo+2Pe AAA OO Er Ph 5 (5)

dans cette relation, on a v—7r — h; les fonctions n,, ns, …, n,
dépendent seulement des paramètres «;; et elles sont nécessaire-
ment différentes de zéro, car la transformée P ne peut pas
s'exprimer par moins de r termes ($ 48).

51. Au moyen d'un changement de notation, on déduit de
la formule (5) : e

[PT = [ol pi + [ee] ps + ++ + [oi] pr (5°)

[P,] est alors la fonction invariante de poids zéro, aux variables
xl, 22, …, œn, qui a pour source le semi-invariant p; — p..

(79)

Puisque le semi-invariant p, = p, a pour poids %;,T,, …,T
il se trouve multiplié dans [P,] par

n?

Mn ES tir) ne NE clin un 40) 7e

MCE Tex)

($ 46). D'un autre côté, le développement (3”) de [P,] est réduit
au plus petit nombre possible de termes; on a donc

Écran) (ol, ane). 1(0)

52. Reprenons maintenant la formule (5); nous en dédui-
sons :

[PT = Cul Pa + Le] Pa + 2e + [mo] po + [op] pi + + + [u] ps. (7)

La fonction invariante [P] étant de poids zéro, les termes
correspondants des suites

[wi] 9 [we] ] 3000) CA ? [Hoi] 0] OCCE [m,]
Pas Pas +) Pos Pi: ... D

et

ont leurs poids égaux et de signes contraires. D’après les suppo-
sitions admises relativement à p, — p,, la quantité [n,,,] a pour
poids — ty, — To, …, — n,, et il n'existe dans la suite

[als [els … [te],
aucun terme qui ait, pour les indices 1, 2, …, ë — 1, 1, les poids
De TR Nan Ne sed ne (se > O).
D'autre part, les transformées de

Wah [el

s'expriment linéairement au moyen de [n,],.….,[n,](*); on
_ déduit facilement de là :

(a, 2+1)[mul=0, 11,9, ..,n—1.

1 Voir le paragraphe 48.

(80 )

Ces équations sont tout à fait analogues aux équations (2), et
elles s’obtiennent de la même manière; elles prouvent que [n,.,]
est un semi-covariant identique de seconde espèce ($ 41).

Or, tout semi-covariant identique de seconde espèce, qui a
pour poids — Ty, — T,, …, — %,, se déduit de

in AO Ent on ONE ENT

au moyen d’une opération polaire O, relative aux variables;
nous aurons, d’après la formule (6) :

[u]= 0, [87,
et d’après l'équation (5”) :
O, [P] = Li] pi + 0, [8]. po + ++ + O, [ui]. pr. (8)
On déduit des formules (7) et (8) :
[PT — 0, [PJ = [ui] pa + + + [ro] Do + era] De + + + [me] pr,

en représentant par les lettres n’ des fonctions analogues à
nd ee

La fonction invariante [P] est donc égale à la polaire O, [P,]
augmentée de la fonction invariante de poids zéro, [P] — O, [P,],
qui est exprimable au moyen de r — 1 termes au plus (*). De
la même manière, [P] — O, [P,] est la somme de deux fonctions
invariantes : l’une est analogue à O, [P,], l’autre est de poids
zéro et est exprimable par r — 2 termes au plus. En continuant
ainsi de suite, on trouvera que [P] est une somme de polaires
analogues à O, [P,].

La quantité [P] est la fonction invariante la plus générale, de
poids zéro, relative aux variables x1,x2, …, xn. La fonction

(*) Le plus petit nombre de termes nécessaires pour exprimer [P]—0,;[P;]
est précisément égal à r — X; ce résultat n'étant pas actuellement essentiel,
nous nous bornons à le signaler : on pourra l’établir, soit directement, soit
comme application des propriétés que nous indiquerons dans la suite, pour
les covariants primaires.

( 81 )

invariante | P,], qui est également de poids zéro, a pour source un
semi-invariant p,; [P,] est ainsi le produit de (+ 1, x2, … xn,)”
par un covyariant primaire y (voir $ 46). La polaire O, [P.]
s’exprime comme somme de polaires de (+ x1, x2, … xn) ”,
multipliées par des polaires de y relatives aux variables ($ 3).
Les polaires de (x1,x2....æn,) " qui sont à considérer, doivent
seulement contenir les variables x1, x2, … xæn; elles ne diffèrent
de (+ xl, 22 … œæn,)" que par des facteurs numériques. La
fonction O, [P,] est ainsi le produit de (+ x1, x2, … «æn,)"" par
une polaire de y. D'après ces considérations, le dernier résultat
que nous avons obtenu peut s'énoncer comme il suit : Toute
fonction invariante de poids zéro, aux variables x1, x2, …, xn,
est une somme de puissances du délerminant (Æ x1, x2 ..xn,)
multipliées par des polaires de covariants primaires (*).

53. Soit +, une fonction invariante de poids zéro, relative à
des formes linéaires et aux variables x1, x2, .…, «n; d’après le
dernier théorème, nous pouvons écrire :

n = > Ébrlir2 n NO, (9)

en représentant par y, un Covariant primaire et par O, une
opération polaire relative aux variables x&1, #2, …, æn.

Cela posé, désignons par ® un produit dont les facteurs sont
de deux espèces : 1° des formes linéaires aux variables y1,
y2, …, yk, différentes de x1, x2, …,xn; 2° des déterminants de
formes linéaires, tels que (Æ a, b, … 1).

Nous avons, d’après l'équation (9) :

P.p— > (lis on) D 0):
en prenant ®. {= ® , NOUS pouvons écrire :

®. Pi—= Ÿ Cr ru) 07), (10)

(*) Pour abréger, nous comprenons sous la dénomination de polaires les
polaires relatives aux variables,

6

LE )

puisque l'opération O, se rapporte seulement aux variables
LATE

La fonction @, est du reste le produit d’un covariant primaire
et de formes linéaires aux variables y1, y2, …, yk.

En additionnant membre à membre, un nombre quelconque
d'équations analogues à (10), on obtient :

LA

DÉPPEDIE xl,x2 … xn,)" . Oys. (11)

La quantité 2, Po, est une fonetion invariante de poids positif
ou nul, pour des formes linéaires : elle peut être considérée
comme représentant symboliquement une fonction invariante
quelconque, de poids positif ou nul, relative aux variables

NE D SN NET Ie AURA TE

La quantité o, représente symboliquement, dans les mêmes
conditions, une fonction invariante aux variables

HAL T2, NRA EU PEUR
et de poids positif ou nul.

A ce point de vue, l'équation (11) permet d'énoncer ce
théorème : Toute fonction invariante ©, de poids positif ou nul,
ei relative à ;

En RAD UD MOREL Eoee OUR

est une somme de puissances de
(rire "a

multipliées pur des polaires de fonctions invariantes o' indépen-
dantes des variables xn : chacune des fonctions o’ est représentée
symboliquement par le produit ç, d’un covariant primaire et de
formes linéaires aux variables ÿ1, y2, …, yk.

54. Les fonctions invariantes &’ sont de poids positif ou nul;
on peut donc leur appliquer le théorème précédent, moyennant
un simple changement de notation.

MOIS

(85)
Ainsi, les fonctions o' sont des sommes de puissances de
(rl 2n 1, y1))

multipliées par des polaires de fonctions invariantes g” aux
variables
52 SCIE NP ASQUE 2 AE RO D 7e

Par des réductions analogues, on obtiendra des séries de fonc-
tions invariantes

2 (1)
9

i k
? , . ? (:) (En

k+A
DH UE HA)

qui jouissent des propriétés suivantes :
1° © est de poids positif ou nul et dépend des variables

DES UNS ERA, y en,

OUI
9 gl) est une somme de puissances de
(Æ xlix 2 … an — 1, _iyt,)

multipliées par des polaires de fonctions o"?.

D’après le théorème établi au paragraphe précédent, ©! est
réductible à des produits de puissances de

(+ 402, … xn — 1,yk,)
et de polaires de covariants primaires.

D'après ces différentes considérations, toute fonction inva-
riante æ, de poids positif ou nul, est une somme de covariants
identiques multipliés par des polaires de covariants primaires.
La fonction invariante la plus générale est une somme de pro-
duits de covariants identiques et de fonctions invariantes de poids
positif ou nul ($ 58, Rem. IT); conséquemment, une fonction
invariante quelconque est exprimable comme somme de covariants
identiques, multipliés par des polaires de covariants primaires
relatives aux variables.

( 84 )

Remarques. — 1. Pour des formes algébriques binaires, les
covariants primaires sont les fonctions invariantes à une seule
série de variables ($ 46); pour ce cas particulier, on retrouve le
théorème de réduction qui a été établi par CLezscx et M. GorDAn
au moyen de considérations d’un ordre différent (*).

Il. On retrouve encore par notre résultat l'important théo-
rème qui a été obtenu par M. CapeLui: « toutes les fonctions
invariantes de formes à séries de n variables sont des sommes
de produits de covariants identiques par des polaires de fonctions
invariantes à n — 1 séries de n variables » (**).

Exemple. — Dans le cas de n > 4, la fonction invariante
p CT (E aoll,s) (ÉE biC:3)

est exprimable, au moyen de covariants primaires y, d'après la
formule
p = Qol + 0x2 — 5;
on a:
X1 = (Æ ado) (Æ buts),

X2 = di (Æ duibsoCs) FAT: da (EE AC),

XI = = (+ Aa0C506) 3

6

(‘) Gorpan, Mathematische Annalen, t. III, et Vorlesungen über Inva-
riantentheorie, t. 11, p. 86; CLesscn, Theorie der binüren algebraischen
Formen, p. 26.

(**) Fondamenti di una teoria generale de forme algebriche, $ 74 (Mem.
dei Lincei, 1889).

[Dans un Mémoire antérieur, publié au Giornale di Mathematiche, t. X VIN,
M. CareuLi a étudié les fonctions invariantes à variables ternaires (n—5);
le produit a” D c; Sy trouve réduit aux covariants primaires en x{, æ2
et à des fonctions invariantes aux variables æ1, x2, x5 qui sont divisibles
par (Exi,x2,x5,); quant aux fonctions invariantes ternaires quelconques,
la réduction s’effectue par voie de récurrence. C’est seulement pendant
l'impression de notre Mémoire actuel que nous avons eu connaissance

des recherches que le savant Géomètre italien a publiées au Journal de
Battaglini.]

(85 )

les caractéristiques Q représentent les opérations polaires
[ae ga) ges) (952) (es a)
61 \" dt) V d22/ (°° 4x2) © ax2/ | dut) |’
mms [fe a) (ea) (2
3—— — | —|x2 —||7x
7 2 [7 dt dx1) V7 dx?

ah)

55. Application. — Les formes algébriques f, f1, … étant
des fonctions invariantes, peuvent s'écrire :

si l'on désigne par Q:y une somme de produits de covariants
identiques et de polaires d’un covariant primaire y relativement
aux variables. Toute fonction invariante o de f, f,, …, est une
somme de fonctions invariautes des termes

OO TORRES CO NO AE

considérés comme formes algébriques ($ 14, Applic.). Consé-
quemment, ® est une somme de fonctions invariantes des cova-
riants primaires

considérés commes des formes algébriques proprement dites;
la réciproque est du reste évidente, si l’on observe que les
coefficients de y!,…, s'expriment linéairement au moyen des
coefficients de f, f1,.… .

Les covariants primaires 1,2, .…, contiennent Îles seules
séries de variables x&1, x2, …, «œn — 1 ; d’autre part, les fonctions
invariantes de formes algébriques sont réductibles aux covariants
primaires. Par suite, toutes les fonctions invariantes des formes
Î, fi, .…, peuvent s’oblenir au moyen des covariants primaires
de yl,#2, .…., y, y. si l’on considère 1,2, …, comme des
formes algébriques aux séries de variables x1, x2, …,œn — 1.

(86)

Réduction des covariants primaires (*).

56. D'après les résultats indiqués ci-dessus, les covariants
primaires sont les fonctions invariantes qu’il importe le plus de
considérer. Nous établirons que ces fonctions fondamentales
s'expriment comme sommes de produits et de puissances d’un
nombre limité d'entre elles. Nous prendrons comme point de
départ un remarquable théorème, qui a été établi récemment
par M. Higerr (**), et qui peut s'énoncer de la manière sui-
vante :

Soit donné une suite illimitée de polynômes #,, #,, …, €, …,
homogènes par rapport à k quantités Vi, Vi, …, V3 ©l existe
toujours un nombre p tel que toute fonction de la suite #,, #,, …,
peut s’écrire

CELA 7 A YaŸa ARE V0
Yo Yes sp etant des polynômes homogènes par rapport à
Vas Vous eiVer

La démonstration suivante est à peu près la reproduction de
celle qui a été indiquée par le savant Auteur.

Si l’on suppose 4 — 1, le théorème est évident, puisque les
polynômes $ se réduisent à des puissances de v, multipliées par
des constantes.

Il suffira donc d'établir la proposition énoncée, en la supposant
exacte pour des polynômes à Æ — 1 variables.

Soit q le degré du premier polynôme #; on peut remplacer
U > Vos …., ©, par des combinaisons linéaires d’autres quantités
indépendantes v;,v2, …,v,, de telle manière que la nouvelle
expression de #, contienne le terme w.

(*) J. Deruyrs, Sur la réduction des fonctions invariantes ( Buz. De
L'ACAD. ROY. DE BELGIQUE, 5° série, t. XX).

(*) D. Hisert, Zur Theorie der algebraischen Gebilde (NACHRICHTEN
DE GoerTiNGuE, 1888, p. 450. Voir aussi Mathematische Annalen, t. XXXWVI,
p. 475).

(87)

Désignons par ou Ga …, la suite des polynômes GA La és
rapportés aux quantités %, %, …, v,; le résultat qu'il s’agit
d'obtenir se trouvera établi, s’il existe un nombre b tel que l’on
ait. :

G, = AE ax Va = DEN EUE VrpQe: (1)
Puisque l'on a
, —= G: Cr + ee, (e 2 0);

on peut écrire :

Ç, Ge v,Gh + R; 2 (2)

0 ___ ,q—1 1—2 LME
HET er 7 Ag + + À,,9 3

en représentant par y et par À des fonctions entières et homo-
gènes de Up V9» ces Up et de V9 3 V9 ces Vpe
Soient

An,uo AÀu2,1s es

les termes de la suite À4,, À,, … qui sont différents de zéro; le
théorème de M. Hilbert étant supposé exact pour des polynômes
à & — 1 variables, il existe un nombre £, tel que l’on ait :

nn AS. (Au, 19 92,15 os 0,4) 5 (3)

dans cette formule et dans les formules suivantes, la caractéris-
tique $ désignera une somme de polynômes homogènes par
rapport à %,%3,.. ,%, Multipliés respectivement par les fonc-
tions comprises sous le signe £.

Si l’on prend {, = t, on obtient par la formule (3) :

41 Ê, (An Aotalese A4)»
puis :
R— P,( ne è Fe .… R!) = FA NOR AE

On peut appliquer aux polynômes
RER PCR, 5 AA,

les considérations qui viennent d’être indiquées pour les poly-

( 88)
nômes A°; par conséquent, il existe un nombre t, tel que l'on

ait :
R=R— LCR Res R;)

q—3 à æ
po eo 0e (Ro se)

En continuant ainsi de suite, on obtiendra des systèmes de
polynômes
DANS è ps ee bo 1, D, 5, a)

déterminés par les relations

po RE? —1) — fi (RIT. Ro ES Ri") ”
F2
TE A ml i+1 < e + A0,

t,, étant un nombre égal ou supérieur à {_,. Dans le cas de
i— q, on a AR? —0 et on obtient d’après les équations (4) :

ME = it CRUEL 2 OGC 0) RY) DES LCR RE Go) R;,)
+ ff (CR EN - R}.) ++ RE CRE, de AU …)
On déduit encore des équations (4) que
DES er ON Ne er RO
q—1
s'expriment comme sommes des quantités
1 Je - M;
Fe

multipliées par des polynômes aux variables %, v3, …,v,; on
écrira donc :

= (TC Ho e RE);
en posant {,_,—p. De la dernière équation et de la formule (2), -
on déduit :
G, a VaGi + Vraie FR ATEN VreG p ‘
c'est la relation (1) qu'il s'agissait d'obtenir.

57. Au moyen du théorème de M. Hilbert, uous démontre-
rons que pour un système donné de formes algébriques, tous les

(89)

semi-invariants sont fonctions entières d’un nombre limité
d’entre eux.

Soient :
als al, 9221 CRAN
5 = aa. n
Ce ml aie: MD ee al 1, 1 a2, 5
1 (l à
= gi À … a'1® "a 9221 .… a 2%? =...) etc.

les équations symboliques des coefficients de formes à séries de n
variables ;
DÉS AN GT Go dt ele,
sont des systèmes de symboles équivalents; on a
al + als +. +al, —=al, 42, + a2 +. + 2, — 02, etc.,

ai, «2 … étant des constantes.

Tout semi-invariant 4 a pour expression symbolique normale
une somme de produits de déterminants d,, d'ordre i—1,2,...,n,

tels que
CLIS DE OT Le

RUES D

les lettres a, b, … , l désignant des coefficients symboliques quel-
conques ; nous écrirons en conséquence :

ÿ = D Il5,.
Prenons

et remplaçons les déterminants d, par les déterminants corres-
pondants

( 90 )

Soient

put. m2,

Qu De)

a 122002: :

les produits de coefficients «1, a2, … , qui sont contenus linéaire-
ment dans la fonction Z Il)’; nous aurons :

dl; + dbls +... + dbl,—=xl, db2, +..+ 02, — 42, etc.

et des relations toutes semblables entre les exposants des produits
analogues à ®.

La quantité 2 [ID° peut être considérée comme représentant
symboliquement une fonction g des coefficients

I. db bo Lo UE

de formes à plusieurs séries de p variables, telles que z,, 22, …., 243
nous écrirons à cet effet :

RO UE. Je, à |
on, PR po 0e (51)
a SE) pole 924 … a9%02e ce te ete.

et nous ferons correspondre les équations sunbalhqes (5)et(5').
La quantité g est une fonction algébrique entière et homo-
gène par rapport aux différentes séries de quantités

à ADI dbly.…, etc,

parce que le semi-invariant d est homogène par rapport aux
séries correspondantes de coefficients ay. 1,» etc. Les expres-
sions symboliques Z 11), et ZI)" sont nement isobariques ;
par conséquent, la fonction effective g est isobarique.

D'après la relation qui existe entre les expressions symboliques
2 I, et 211, on réduit la fonction g à d, si l’on remplace
chacune des séries de quantités telles que

db db, FLD

(91)

par les coefficients

a
ape ad aie

déterminés par les équations

a; = db ME

ei &j 43 (2 — 4, D .……, n).

Son ae :
nee

Nous conviendrons de désigner par la caractéristique g, toute
fonction homogène et isobarique des coefficients

Far. dl y … ie

qui est représentée symboliquement par une expression analogue
à ZIlo.

Ainsi, tout semi-invariant Y correspond à une fonction
g = ZT)" et réciproquement; en outre, toute relation entre les
fonctions g donne lieu à la relation analogue entre les semi-
invariants correspondants. On établira donc que les semi-
invariants Y sont des fonctions entières d’un nombre limité
d’entre eux, en prouvant que les fonctions g sont des sommes de
produits d’un nombre limité d’entre elles.

58. Les fonctions g sont des polynômes homogènes par
rapport à des quantités v,, %, …, , qui sont les coefficients

Ab de boot

Considérons la suite g;, g>, …, g, … , des fonctions g rangées
par ordre de degré croissant ou non décroissant (*). D’après le
théorème de M. HigerT, on pourra écrire :

Ir = Vs + Vigo + + VrpU ps (6)
p est un nombre indépendant de la valeur de r; 7h, ÿ,23 +. ; ÿro

sont des fonctions entières de w,,%, …., v.

(‘) Nous ne comprenons pas, parmi les fonctions-y, les constantes numé-
riques.

(92)

Nous avons considéré »,, %, …, »,, comme les coefficients de
formes à plusieurs séries de y variables telles que z,,z,, …, 2, :
effectuons, sur les variables dont il s’agit, la substitution linéaire

r Ï ?
Zi = dy Z, + ao Lo + ce + qu Zu

r LA Là
Ze = du Li + 002 Le + ee + op Lu,

r r r g
Zu Gui Æ Gp Æ ve + cpu;

en désignant par G et par F, les transformées des fonctions g et
7, nous aurons, d'après la formule (6) :

G, — TG, = T,2G + ce. + T,pGp:
. Remplaçons dans cette équation les quantités

La r r
it di » ...) Xp ,
par les variables

zi is z2;, ... Zfÿs (à == 1, 2: 0. &);

nous obtenons :

[G1= [PAT TG] + [rallGe] + + + [Ge], (7)

en indiquant par [G] et par [[], les fonctions invariantes, de
poids zéro, aux p séries de variables z1, z2, …, zu, qui ont pour
sources les quantités g et y (voir $ 44) (").

D'après la formule

a (12

Œ+Al +2 "TT +1

Q
Il
1
=
Se
l
A
=
&

(‘) La source est actuellement le coefficient des plus hautes puissances
de z1,, 22,, …, zuu.

On à :

et OM OU UD nc 78

ee a) HANTEET
Soit q;, le degré de la fonction [G,] par rapport à chacune des
séries de variables comprises dans le groupe
ze; + À, Ze +2, ..…., Ze, +i,
î—=1,2,...,n. Appliquons aux deux membres de l'équation (7),
l'opération

d d d q;
dze, +1 dze, +1 dze, +1
&+1 E, +2 E +1
d d d
D — IT | dz,+2 dze, +9 GÉRÉE
i=1 +1 6 +2 CS
d d d
dre, + i. dze;+ à dze ti. .
DRE EU +2 &+i

nous obtenons immédiatement (*)
D[G,]= Dr, J[G] + D[T21[G]+ + + D[r,][G] (9)

( +) Si l’on suppose n = 5, la fonction g est représentée symboliquement
par une somme de produits de déterminants tels que

[42 La 11

CRU EAN E

da
& À LE LAURE AN ES
CRECOINCE
on a
d d d |95

d d \g2: | dzk dk, dci,

| d É dz% dz9; d d d

dzi, d d da540 dr) dzie
dz5: dz3; d d d

(94)

59. Nous rechercherons séparément les valeurs de D [G,] et
de D[T,][G].

1° La fonction D [G,] est égale à D [G,]’, si l’on désigne par
[G,]' l'ensemble des termes de [G,] qui contiennent seulement
les variables

ze 4 , ZE+ foto? ….) ZE+ pu j
He 0 RES : een D
ZE; + 1 ZE os à ge TR
D'après les formules (8) et (8) on a :
lu 0 nn
[G,] =9, li (æ ze ZE; + 249 Le A)
et par suite
54 n ue. di
D[G,.]= 9,.D il (= ur Zoe ui) | (10)

Si l’on écrit

ll ET ee je — > 1212728797 ns

n étant un facteur numérique, l'opération D est représentée par

detB+Y+.….
D te > 1 dz1% dz2Ê y )
17250200
la quantité
D. IL /— z6,+1 )"
1 Gjar (|
a pour valeur
> y. a! ESA

c'est-à-dire une constante numérique € différente de zéro. On a
donc par la formule (10) :

D [G,] = #9,

(95)

9 La. fonction D[T,][G;] étant égale à D[T,][G;], contient
. comme facteur la quantité 9;.

D'autre part, la fonction invariante |F;][G:;] est de poids zéro
et de degré g; pour les séries de x variables

ZEN Et 2, ee NE ES

on peut donc écrire symboliquement :

PIGI= 0H }asrt drds ae),
0. désignant une opération polaire relativeaux coefficients ($ 39).
On obtient dès lors :
D{r,][G]= 0,D I des as
i—1

ze; +1

si l’on observe que les opérations O,, D se rapportent à des
éléments différents.

En considérant seulement les variables relatives à D, on écrira :

D[r,1[61= £. 0,V, : (11)
D nero me Te Q:
nn ho e ET
=
QE; + 1 ae, +i HI P er
€, +1 e, +2 ï E; +2

La polaire OV, qui est relative aux coefficients, est une
somme de produits de polaires des facteurs

= RARE qEt2 9 NE a dE D ARRETE
toute polaire de V, est un déterminant analogue à

SEE Pet D+9 15 ce i)?

par conséquent, O, V est une somme de produits de déterminants,
telle que ZI’ : il en est de même de l'expression symbolique

(96 )

de DT] [G;], d’après la formule (11). Ainsi, D [F,,] [G;] est une
fonction g; comprise parmi celles qui ont été désignées par Ja
caractéristique g : et comme nous l'avons vu, g; contient comme
facteur, la fonction g;.

6O. D'après les considérations précédentes, l'équation (9)
peut s’écrire :
Ê 69, = Yi + 99 + oo + gp.

Nous déduisons de là, une relation entre les semi-invariants 4
de formes à séries de n variables, en tenant compte de la réduc-
tion des fonctions g aux semi-invariants d ($ 57).

Soient
Yrs Yi Ya 000) Dp) vL. ÿ9 00090 ÿe

les déterminations de 4 qui correspondent aux déterminations

0

Ga OHOMTEMRREC 0 Oo + 0ho be ob 0
de g ; nous aurons :
Ch = Yi + Ve + se + Ve.

Puisque 9, est la fonction g la plus générale, 4, est un semi-
invariant tout à fait quelconque du système considéré de formes
à séries de n variables.

D'autre part, la fonction g; étant divisible par g,, on a

W—=b.Y.4;
et le facteur d; est nécessairement un semi-invariant. On a ainsi :
D = Vida Æ Yade Æ ee + Does à (12)

dans cette formule, 44, d, …, d, désignent des semi-invariants
indépendants de la détermination de ,.

Les semi-invariants d;, 4, …, d, se rapportent aux mêmes
éléments que &,, mais ils les contiennent à des degrés moindres.
On peut appliquer à chacune des fonctions d;, une réduction
analogue à celle que la formule (12) exprime pour à,. En con-

RP

(97 )

ünuant de même, on trouvera que fout semi-invariant d, est une
fonction entière de 4, %e,.…, 4.

Les covariants primaires ont pour sources les semi-invariants;

_et les relations qui ont lieu entre les sources donnent lieu aux

relations analogues entre les covariants ($ 43, Cor. ID). Par
conséquent, {out covariant primaire d’un système de formes
algébriques quelconques est une somme de produits et de puis-
sances d’un nombre lintité de covariants primaires du système.
Cas particuliers. — I. Les covariants primaires indépendants

des variables sont les invariants ($ 46, Rem. 1); par suite, les

invariants d'un système de formes sont fonctions entières d’un
nombre limité d'entre eux. Ce résultat a été obtenu par
M. Hizserr (*).

IT. Dans le cas de formes binaires, les covariants primaires
sont les fonctions invariantes à une seule série de variables; on
retrouve donc ce théorème qui est dû à M. Gorpax : « pour les
formes binaires, les covariants à une série de variables sont
fonctions entières d’un nombre limité d’entre eux » (**).

61. Toutes les fonctions invariantes sont des sommes de
covariants identiques multipliés par des polaires de covariants
primaires.

Les covariants identiques se déduisent des puissances de
(Æ % %9 … xn,) par des opérations polaires ($ 41). D’après la
réduction des covariants primaires, les fonctions invariantes d’un
système de formes algébriques se déduisent d’un nombre limité
d’entre elles au moyen d’additions, de multiplications et d’opé-
rations polaires relatives aux variables.

(*) Nachrichten de Gœttingue, année 1888, p. 452; Mathematische
Annalen, t. XXXVI, pp. 521 à 551. |

(**) Le théorème de M. Gordan a été établi de diverses manières. Voir :
Gorpan, Journal de Crelle, t. LXIX; Mathematische Annalen, t. I; Vor-
lesungen…., t. I; Cressca, Theorie der binären Formen; Mervens, Journal

de Crelle, t. C, et Sifzungsb. der kaiïserl. Akad. zu Wien, 1889; HizBerr,

Mathematische Annalen, t. XXXV.

CHAPITRE V.

ÉTUDE DES COVARIANTS PRIMAIRES ().

—_—_— 6

Équations aux dérivées partielles
des covariants primaires.

62. Par définition, les covariants primaires sont les fonctions
invariantes, à # — 1 séries de n variables, qui ont pour sources
les semi-invariants : ils peuvent être représentés symboliquement
par une somme de produits de déterminants analogues à

PL ONCE AIR AC

b, ba 0e b, ba be .e b,;
RONA ht ES The

i ayant les valeurs 1,2, …,n — 1. Par suite, les covariants pri-
maires y satisfont aux équations

d d
my —0, 22—yx—0, …, an—2 ———— 7—0.
Ha AE “
Réciproquement, une fonction invariante +, aux n — 1 séries
de variables x1, x2, .…,xn — 1, est un covariant primaire, si elle
satisfait aux n — 2 équations

d

= —0.
EN À

d d
0 eV eo ml en Te

(*) J. Deruyrs, Sur la loi de formation des fonctions invariantes, p. 4
(MËM. couroNNÉs ET MÉM. DES SAV. ÉTR. PUBLIÉS PAR L'ACAD, DE BELGIQUE,
t. LI, in-4o); Sur les fonctions semi-invariantes (BuzL. DE L’Acap. DE Bez-
GiQuE, 5° série, t. XIX); Sur les covariants primaires (Isin., t. XX).

(99)

Observons d'abord que le poids x de la fonction invariante o
ne peut pas être négatif ($ 58, Rem. 1); le produit

QE T2. A)

est, par suite, une fonction invariante de poids zéro, qui a pour
source la source o° de 9. D’après les conditions de l'énoncé, on
a les n —- 1 équations

| Ca 0 9 GE 0 He "—0 |
Re —— — Ù, LXZ — — U, 0 XN — US
+ dx2 . dx3 ? ? dan? (1)

Soit o, l’expression symbolique normale de +’; la fonction ®!
est une somme de produits de formes linéaires telles que

DNA UC AN DER ROAD à (2)

l'expression symbolique normale 9, de la source o° s’obtiendra
au moyen dev, , en remplaçant les formes (2) par les coefficients
correspondants

a; b,, … o, b:, … Or) b,,

D'après les équations (1) et d’après les propriétés des expres-
sions symboliques normales ($ 7), on obtient :

de ;
} — 0, L—= 4, 2 ..., SEE 1 ,
e dxi +1 : )
ou encore
de, de,
EU 0 Er 10 D
= da; d dbir ; : : i i

Remplaçons dans ces équations les formes
da; ba; ….) os bs, ms) Ans bi,, COQ)
par les coefficients

DR DR NES Na. 0e RATS brune

(100 )

nous devrons remplacer en même temps g: par g et nous
obtiendrons

ou encore
(e + 4: ) g—0.
Il résulte de là que la source © = v\ du covariant o satisfait
aux équations

2 DID EN 2 La me

Par conséquent, © est un semi-invariant et @ est un covariant
primaire.

63. Application. — Soient mi, m2, …, mn — 1 les degrés
d'un covariant primaire y par rapport aux séries de variables
xl, x2, …,xœn — 1. D'après l'expression symbolique de y qui a
été rappelée ci-dessus, le covariant primaire % ne contient qu’un

seul produit
almror … an — 175"

formé au moyen des variables du tableau triangulaire

=
.

xl; DA
x2, XD Dar
TS
x3, X3 x33 “St (x)

.

on —14, xn—1 axn—1; ..… xn—1,,
Cette propriété caractérise les covariants primaires.

Pour le vérifier, nous observerons que toute fonction inva-
riante différente de zéro doit avoir sa source différente de zéro ;
en d’autrés termes, elle doit contenir le produit

mN—1

AA NT OMR ph EME

(101)

si m1, m2, …,mn— 1 sont les degrés par rapport aux variables
xl, x2, …, x — 1. Cette condition n'est pas remplie pour les

polaires
; d : d : d
— RAS … ID IR
dx2 “dus ‘”? den — 1?
quand la fonction invariante +, aux variables x1, x2, …, œn — 1,
ne contient qu'un seul produit

DAT TOR SN A,
formé au moyen des éléments du tableau (7). On doit donc avoir

d
À — 9 — 0, 2—»—0, …, ns D 5 = (js
cd : re 1 Se din —1” è

par suite, @ est un covariant primaire.

Propriétés des coefficients des covariants primaires.

. 64. Comme nous l'avons vu ($ 44), toute fonction homogène
et isobarique des coefficients de formes algébriques est la source p
d’une fonction invariante [P], à n séries de variables ; la fonc-
tion p est ainsi un coefficient de [P]. D'un autre côté, [P] est
une somme de covariants identiques multipliés par des polaires
de covariants primaires, relatives aux variables. On déduit de
là que toute fonction homogène et isobarique des coefficients de
formes algébriques, est une somme de coefficients de covariants
primaires.

Exemple. — On a

|
ab; = (ab; + a:b;) + 9 (ab; — a:b;) 5

db; + a;b, est le coefficient de xl,xl; dans le covariant pri-
maire @;04; @103 — a:b, est le coefficient de x1,x2; dans le
covariant primaire (Æ a 40,2).

(102 )

65. Tout covariant primaire y des degrés m1,m2,…., mn —1

pour les variables x1, x2, …, xœn — 1 et de poids +, peut s’écrire
symboliquement ($ 47) :

n -1 à È
x—= 0, Il (Æ al 422 … a)" ME all a2, … an,)7, (3)

i—1

O, désignant une opération polaire relative aux coefficients (on
doit du reste supposer mn — 0).

La source de x est le semi-imvariant

n—i . Ê
y= 0, I (Æ al, a2, … a)" "HE ol, a2, … an,)7, (4)
i=1
qui a les poids

An—=r+Ml, 7=7+mMm2, …, mar +M—A, 7,7.

La comparaison des expressions symboliques de y et de d
permet dénoncer la propriété suivante : Si mj,m2, …,T, SOnt
les poids de la source à d’un covariant primaire y, il n’existe
aucun autre coefficient de mêmes poids et il n'existe aucun
coefficient qui aît, pour les indices 1, 2, …, i — 1, i, les poids

Fis Fos +.) Hits Fj TE) (e > 0).

66. D'après la formule (3), toute combinaison linéaire g des
coefficients de + peut s’écrire symboliquement

n—1 \
qg= 0, n État ar) Halo 074) (0)

chacun des produits II contenant m9 — m1 + 1 déterminants
d'ordre 2 tels que

(alu ak. di), 1—=1,2;,n — 1.
De la même manière, on aura

n—1
Q= Ÿ 0. 1 (AA A5.) (AIT A2. An)

pour la transformée de q, par une substitution linéaire des
variables.

(103)

Les coefficients transformés A, sont déterminés par l'équation

4

À; — & 04 Sn 9j Æ ce + XnjOh 5

il résulte de là, d’après la formule (4), que la fonction Q contient
la source d multipliée par

n—1
0 — > Il (@= 4, x1 O9, 2 odo &, xi) e. (Æ ir X99 co RUN.

Si la quantité 0 est nulle, on obtient, par un changement de
notation :

n—1
> IT (Æ alu 0239 …. dix) … (HE al, a … an,) = 0,

et d'après la formule (5), la quantité q est nulle quand on la
rapporte à un covariant primaire quelconque des degrés ml,
m2, …, mn — 1. En conséquence, si une fonction linéaire q des
coefficients d’un covariant primaire y n’est pas nulle identique-
ment (d’après la définition des covariants primaires), cette fonc-
tion linéaire a pour transformée Q, une expression qui contient
nécessairement la source .

Au moyen de ce théorème, nous démontrerons la proposition
suivante :

Entre les coefficients de covariants primaires linéairement
indépendants, il n’existe aucune relation du premier degré qui ne
résulte pas de la définition générale des covariants primaires.

Considérons, en effet, des covariants primaires 1, y2, ….,
linéairement indépendants ; contrairement à l'énoncé, supposons
entre les coefficients une relation du premier degré g — 0, qui
ne résulte pas de la définition générale des covariants primaires.
La transformée G sera nécessairement nulle et, d’après ce qui
précède, elle doit s'exprimer au moyen des sources Ÿ1, d2, …,
des covariants primaires 1, y2, … La relation G— 0 se par-
tage en relations isobariques {— 0, entre les coefficients des
divers covariants. Soient, en général, x, 2, …, nr, les poids d’un
semi-invariant compris dans la suite 41, 42, … Désignons par x;
le maximum des valeurs de x,; désignons de même par 7;

(104)

la plus grande valeur de x, qui se trouve associée à x, — 7:;, ete.
En considérant, dans l'équation G — 0, les termes de poids Ti;
T2 T,, ON Obtiendrait une relation linéaire entre les sources d
de certains covariants de la suite 41, x2, .… (c'est ce qui résulte
de la propriété énoncée au paragraphe 65). Ainsi, les covariants
primaires :y1, y2, … ne seraient pas linéairement indépendants,
comme nous l'avons supposé. Par suite, il ne peut exister aucune
relation linéaire g —0 entre les coefficients de y1, y2, …

Propriétés des polaires de covariants primaires.

G'7. ExPRESSIONS 1RRÉDUCTIBLES. — Soit $ une fonction isoba-
rique quelconque

f = Wii + Woo Æ ee + W,D,;

les lettres w désignent des fonctions des variables ; les quantités
représentées par P,, Pa, .…,P, dépendent seulement des coefli-
cients de formes algébriques.

Cela posé, nous dirons que Xw,p, est une expression irréduc-
tible de #, quand on ne peut pas la remplacer par une somme
analogue comprenant moins de r termes. Pour la suite, nous
aurons à faire usage des considérations suivantes :

4° Dans une expression irréductible Ÿ — Zwp, les quantités p
indépendantes des variables s’expriment linéairement au moyen
des coefficients de $.

En effet, tout coefficient $' de $ est une fonction £ du premier
degré de p, , Po …, p,; d'autre part, les équations $’ — $ sont
résolubles par rapport à p,,P2,…,p,, puisque le nombre des
fonctions £ linéairement indépendantes ne peut pas être infé-
rieur à 7.

2 L'expression F — Zwp est irréductible, s’il n'existe aucune
relation du premier degré entre les quantités

; Wis Vos -…)s Wys Pi» Pas DCO) Pr: ?
Soit
WiPi + Wa + ++ + WPh

(105 )

une expression de £ comprenant le plus petit nombre possible
de termes; on doit établir l'égalité r — p.

Les coefficients de $ sont des fonctions linéaires £ de p,,
De, … p,; il en est de même de p', pe, .…, p;, d'après ce qui pré-
cède; dès lors, si l’on identifie les multiplicateurs de p4, pa, …. , p,
dans les expressions

D w;:p; el y WP: ;
1 1

on obtient w,,we, …,w, comme sommes des quantités wi, We, …, W,
multipliées par des facteurs numériques. Les fonctions w,,
Was , W, Sont, par hypothèse, linéairement indépendantes; on
doit done avoir r —p : c’est le résultat que nous voulions
obtenir.

68. Reprenons encore l'expression symbolique des covariants
primaires y, de poids x et des degrés m1, m2, …, mn — 1 pour
les séries de variables x1, x2, …, xn — 1. Nous écrirons :

x=0,% (+ al, A2 an,)T,
en prenant
n—1
a (al ra2-).107) ane
1
Soit
D = Wipi + Wap + ++ + WP, (6)
une expression irréductible de °; nous aurons

x = W0.p} (Æ al, … an.) + +. + w,0,pi (+ al, a2 … an,)7,

puis |
X = Win + WaPa + + + WP (7)

Pis Pos …, p, étant des quantités indépendantes des variables.

Les quantités p?, p?, …, p° sont des fonctions du premier degré
des coefficients de -/°; p,, pa, …, p, sont les fonctions semblables
pour le covariant y. Ces deux séries de fonctions sont en même
temps linéairement indépendantes ; car toute relation linéaire
entre les coefficients d’un covariant primaire y correspond à la
relation analogue pour -° ($ 66).

(106 )

Puisqu’il n’existe aucune relation du premier degré entre les
fonctions w,, Wo, .…, W,5 Pa, Pa, …, p,, la formule (7) fournit une
expression irréductible du covariant y ($ 67). En conséquence,
les expressions trréductibles des covariants primaires de mêmes
degrés m1, m2, …, mn — 1, contiennent le même nombre r de
termes.

Remarque. — La source 4 du covariant y jouit de cette pro-
priété qu'aucun autre coefficient ne peut avoir les mêmes poids ;
par suite, la source est un multiplicateur indépendant des varia-
bles dans toute expression irréduetible de .

Nous désignerons par p, ce multiplicateur, dans la formule (7);
nous aurons alors

1

= D (Ho, 29, miprémit (8)
|

69. Nous désignerons par Q une opération telle que Q$ est
une somme homogène de covariants identiques, multipliés par
des polaires de Ÿ par rapport aux variables. Dans la suite, les
caractéristiques Q affectées d'indices auront des significations
analogues. Cela posé, toute fonction Oy, déduite d’un covariant
primaire y, contient la source 4 de ce covariant.

La fonction

Qy = OÙ: . Pi + QUE. Pa + ce + QW,. p,

étant invariante, ne diffère de sa transformée que par une puis-
sance du module; on a donc

WP, + Woo + ce + WEP, = 07(Qwips + Quipe + + + QW,p,),

si l’on représente par W' la transformée de la fonction Qw. En
identifiant les coefficients des divers produits de variables, on
obtient des relations

f (P;, P:, 020%) P) = £ (Pis P2» LE ‘one

dans lesquelles $, £, désignent des fonctions linéaires différentes

(107 )

de zéro. La quantité P(P,, P,,…., P,), qui est la transformée
de L (pi, Pa …, P,), ne peut pas être indépendante de la source
Pi = Ÿ ($ 66); par suite, la quantité Q:/, supposée différente de
zéro, doit contenir la source du covariant primaire .

70. Soient y1l, y2,.…., yt, des covariants primaires : repré-
sentons par 7; la valeur de la fonction :/° [formule (6)], quand
le covariant primaire :y, que nous avons supposé quelconque, a
la détermination particulière k. Nous aurons, en expressions

irréductibles :

Ch wk,. ph, + wk,. ph: + ce +uwks. pk, (6”)

xk=wk,. ph, +wk,. ph + ce + wk,,. ph. (7°)

D'après les propriétés établies ci-dessus ($ 66), il n’existe

aucune relation du premier degré entre les différentes quantités

pli, p2; …, pt, sè les covariants primaires y1, 2, …, yt sont
linéairement indépendants.

Comme conséquence, on peut établir la proposition suivante :

Quand les covariants primaires y, y2,…, yt sont linéairement
indépendants, une fonction

Qol + Oo + ee + Oui
ne peut pas être nulle, à moins que les quantités
Dal, Qy2, …, Qt
ne soient nulles séparément.

En effet, l'égalité
Ÿ oxi — 0

fournit des relations du premier degré entre les multiplicateurs
P1;,P2, …, pl; de pareilles relations ne peuvent avoir lieu que
si elles sont identiques : on doit donc avoir

Qi —= 0, (92 — 0, Cr Q,xt — 0.

(108 )

‘71. On déduit immédiatement de la formule (6')

Qux°ke = P'k ° QAwk, + p'he 5 O,wk ce + D'kx . a,wk,s.

Remplaçons les différentes variables par des coefficients de
formes du premier degré et substituons à al, a2, …, an — 1, les
variables x1, x2, …, œn — 1. En employant des parenthèses pour
indiquer cette modification, nous écrirons :

Jountt=} ph te} ue |+ + }phit.)œwket (0)
D'après la valeur de ;y° [formule (6)], on a, en général :

d
al —2—0, …, N — 2 ——ÿ"— 0,
À Tone

et, par suite :

al ny = 0, …… an — 2 — où —0;
en effectuant la modification qui a été indiquée ci-dessus, on voit
que {Qy°} satisfait aux équations
d
ess … en en
du reste, {Qy°} est une fonction invariante ($ 58, Rem. IV);
conséquemment Qy;} est un covariant primaire.

La fonction ° n’est pas modifiée quand on remplace tous les
coefficients a par les séries de variables x, et réciproquement; il
résulte de là que les covariants primaires /°k et {Qy°k| sont des
mêmes degrés par rapport aux variables; leurs expressions irré-
ductibles doivent contenir le même nombre de termes rk ($ 68).
Par suite, la formule (9) fournit une expression irréductible
de fQy'k}.

La source de {Qy°} s’obtient en considérant dans y° le multi-
plicateur de al%'a2}° … an— 1%"; et en remplaçant les variables
par des coefficients de formes linéaires ; d'après cette remarque,
on voit que la source de | Qy°} est la quantité { Qu, {.

( 109 )
Quand les sources
Jowlit, jouait, …, À Qui, |
n’ont entre elles aueune relation du premier degré, les covariants
1Mx1f, 1x2 f, à AXE À

sont linéairement indépendants et il en est de même des diffé-
rentes fonctions {Qwk;} (voir $ 66). Conséquemment, si les
quantités O,wk, n’ont entre elles aucune relation linéaire, il en
est de même des fontions Q,wk,, où l’on a

2. Soient

mis, M2, …, MN —A1,

les degrés du covariant y# pour les variables x1, #2, …, xn — 1 ;
d’après la formule (8), on a

, n—1 Û ee )

ÉTÉ load, ee MP, (8')

4

On a, du reste :
M4, 16, (1 9, ., n 1), (10)

si l’on représente par n4£,, 1%, …, nk, les poids de la fonction
Q;wk, pour les indices 1, 2, …, n ; en effet, la quantité wk, et ses
polaires ont les mêmes poids —m1,, — m2,, …, —mn—1,, pour
les indices 1, 2, …, n — 1; pour obtenir la formule (10), il
suffit d'observer que le poids varie de la même manière pour
tous les indices quand on multiplie une polaire de wk; par un
covariant identique.

Cela posé, admettons qu’il existe une relation linéaire entre
les fonctions Q;wk, ; on aura, par exemple :

au, SE EN; ee + eOywhy — 0, (11)

les lettres « désignant des facteurs numériques différents de zéro.

(10 )

Cette relation peut être supposée isobarique; on a alors :

li: = pa; = «0 — #h;, (2 127 n);
puis
us = WA = + — wh,,
à cause des formules (8') et (10). Dans ces conditions, on
obtient

Q,%1 = O,w1, pla + Qwlo û ple Sr 900 Se QUI Pl

y == Qu, « pla SE QUwl . ple Re 010 cr Qwl,s . Pl

Oil = Gwh pli + wo. plo + + + ul. plu.
D'après ces relations et d’après la formule (11), la fonction
eQ%1 + 90971 +. + 2x1

est indépendante de la source pl, du covariant y, ; par suite, elle
doit être nulle ($ 69). :

Nous dirons que les opérations Q, Q, … Q, sont linéairement
indépendantes pour y1, 72, …,yt, quand aucune des fonctions
Q,yk ne peut s'exprimer comme combinaison linéaire de

Qxk, Qyk, …, Quxk, Quxk, …, Qxk;

les quantités
_ Gwls, OU2, …, QU

ne peuvent alors satisfaire ni à la formule (11), ni à toute autre
formule analogue.

En tenant compte de la propriété établie au paragraphe pré-
cédent, on obtient ce résultat : [7 n’existe aucune relation du
premier degré entre les fonctions Q,wk;, si les opérations Q,Q....Q,
sont linéairement indépendantes pour y1, 72, …., yt.

93. Si les covariants primaires y1, y2, …, yt n’ont entre
eux aucune relation du premier degré et si les opérations
Q,, 0, …, Q, sont linéairement indépendantes pour y1,y2,.….,"yi,

la fonction
Qi + Qy2 + + + Qyi

(111)

a pour expression irréductible une somme de rl + r2 + + + rt
termes (rk étant le nombre de termes d’une expression irrédue-
tible de yk). :
En effet, on a, par la formule (7”) :
t E=t, j=rk
ÿ Axe = ù Qwk, . xk; :
1 KA, j—1
L'expression contenue dans le second membre de cette équa-
ton est irréductible, parce que les fonctions O,wk; et yk, sont
linéairement indépendantes ($$ 67, 70, 72).

‘74. Soient y1,:y2, …, yt des covariants primaires qui n'ont
entre eux aucune relation du premier degré; si les opérations
Q,, Q@,.., Q, ne sont pas linéairement indépendantes pour
X 1 Y2 -…, yt on peut toujours donner à la somme

Xl + 092 + +. + Q,yi
une expression

Ohy'A + Qy'2 + ce + 0, xl (li Al},

HE TO ON ÉOMESE X1, Soient des fonctions linéaires de y1,
%2, …, yt et que les opérations Q,, O;, …, Q,: soient linéaire-
ment indépendantes pour y;, Ye, …

En effet, si l'on a par exemple

dy —= 2029 | + e3Q:;%1 nr CO IEE 8,Q,%1 :

on peut écrire
t
D Qt = (42 + coy1) + 0:(%3 + 6341) + ee + Qi + ex).
1

D'après cette formule, Q, 2 et Q, y1 sont des fonctions des
mêmes degrés : en supputant les altérations de degrés que
l'opération Q, produit par rapport aux variables, on trouve que
42 + © y! est une fonction homogène et, par suite, un covariant
primaire, ‘1; il en est de même de

LI— 45 + el, …, vt— 1 —= y + sx.

(112)
On peut donc remplacer la somme

QYl + Qo92 + + + OQ,yi
par
Qix'A + 02 + + 0 jy — 1.

Les covariants primaires XL 2, … n'ont entre eux aucune
relation du premier degré; si les opérations Q,, Q:, …, Q; , ne
sont pas linéairement indépendantes pour y;, .…, y't— 1, on peut
appliquer à £Q'y" la réduction indiquée pour 2Q. En continuant
ainsi de suite, on obtiendra le résultat annoncé.

Application au développement des fonctions invariantes
suivant les polaires de covariants primaires.

‘75. D'après la réduction des fonctions invariantes aux cova-
riants primaires, toute fonction invariante © est exprimable sous

la forme
P —= C,y1 + 42 + co + Q,yt;

nous pourrons toujours supposer qu’il n'existe aucune relation
du premier degré entre les covariants primaires y1, 72, …, yt et
que, d'autre part, les opérations Q,, O,, …, Q, sont linéairement
_ indépendantes pour y1, y2, …,-yt. Dans ces conditions, la fonc-
tion o a pour expression irréductible :

p — O,wl, . pli 2e Qa,wl, .Plo + ce + AW, pl Sri, 00G

+ Qui, . pl, +. + ohvl,,. pt,

(voir $ 75). La quantité pl,, qui est la source de 1, est une
combinaison linéaire des coefficients de o; par suite, pl, est la
source d'une fonetion invariante ol, aux variables x1, x2, …, «n,
que l'on déduit de ç au moyen d’une opération polaire rela-
tive aux variables ($ 45). La fonction invariante ol, ayant même
source que yl, ne peut différer de 1 que par une puissance de
(Æ xl1x2, ….xn,). Conséquemment, les covariants primaires 1,

(115 )

42 …, y auxquels une fonction invariante + est réductible, sont
des quotients de polaires de ©, par des puissances du déterminant
Ext x2 . xn,).(°):

Applications. — I. Quand une fonction invariante o est de la
forme Qy1, les expressions irréductibles de ® et de ses polaires
différentes de zéro contiennent le même nombre de termes :
c'est ce qui résulte du théorème énoncé au paragraphe 75.
Réciproquement, on peut énoncer la propriété suivante : Si les
expressions trréduclibles de œ et de ses polaires comprennent
le même nombre de termes, ® est de la forme Q;y1.

En effet, si l'on a comme ci-dessus

ge = xl + -- + Qyt,

l'expression irréductible de @ contient r1 + 72 + … + ri
termes. D'un autre côté, la polaire de 9, qui est le produit de -y1
par un covyariant identique, a pour expression irréductible une
somme de 1 termes. D'après les conditions de l’énoncé, on doit

done avoir
D OS D Où

(*) Exemple. — La fonction invariante

— 2 12
$ P—= (EË Gi0,2) CAE
peut s’écrire

À (22 d | | 1 : d ; 1 z
— — |Xx2 — | sl «+ — —— + —%3,
Hanoi) die a UE

si l’on prend
x] —= aa DE (eue 10%)

x2= OT (SE ab),
x3 = (E a,1b,5).
On a, d'autre part :
À 1 GP NE
mis) +
d | d die
re (1 = CE

er (eo) HORS
0e DAS AR RE da Te QE

( 114)
c'est-à-dire :
AU Et, el eo O IE

II. Si une fonction invariante o' est réductible aux covarianis
primaires us
HN Mr, (Eh Lt);
la fonction o' multipliée par un covariant identique, est une
somme de produits de polaires de © par des covariants identiques.

Pour l’établir, il suffit d'exprimer, dans le développement de o',
les covariants y1, y2, …, yt, au moyen des polaires de o.

76. Les covariants primaires que l’on peut déduire de ©, au
moyen d'opérations polaires, sont des combinaisons linéaires
de y1, #2, …, y.

Soit, en effet, un covariant primaire, dont le produit par un
covariant identique est une polaire de 9, relative aux variables;
d’après la formule

gp = Qxl + 92 + + + Ov, (12)
nous aurons une relation de la forme
Qv = Qyl + 052 + «+ Qt,

dans laquelle Qy représente le produit de y par un covariant
identique. Il résulte de là que les fonctions y, 1, 72, …, yt ont
entre elles une relation du premier degré ($ 70); par hypothèse,
les covariants 1, 72, …, yt sont linéairement indépendants : en
conséquence, est une combinaison linéaire de y1, y2, …, y.
Si l’on suppose o— 1, on obtient cette propriété : Au moyen
d’une opération polaire relative aux variables, on ne peut pas
déduire d’un covariant primaire un autre covariant primaire.

Application. — Soient
Se LR Soon
des coyariants primaires

XV EiXl + E2X2 + ee + Ext, (= 1,200 ) (15)

(115)

obtenus comme combinaisons linéaires de y1, y2, …, xl et de
telle manière que le déterminant

EE —= (ee £1,£99 ee Eu)
soit différent de zéro.

Représentons par £.:; le mineur de c; dans le déterminant &;
si les opérations Q,,, Q, …, Q,, sont définies par les formules

schématiques
Qi = ED + 600 + 4 + 0,

on a identiquement :
Q,x! SE Q,%2 + ce + Q,yt = Qux'1 + D9%'2 + ce + Q,,% (Fa (14)
Nous dirons que les développements
er Ÿ Qixt et Re > xt

sont équivalents par transformation linéaire. Cela posé, nous
établirons le théorème suivant :

Tous les développements d’une fonction invariante o, au moyen
de covariants primaires, sont équivalents entre eux par transfor-
mation linéaire (*).

Considérons la fonction invariante ©, développée suivant la
formule (12) et suivant une formule analogue :

QE Qux1 == Qu 2 + ce + Gtix'"'th . (1 5)

D'après les résultats indiqués aux paragraphes 75 et 76,
X°1, y”2,… sont des combinaisons linéaires de y1, y2, …, yl
et réciproquement; du reste, il n'existe aucune relation du pre-
mier degré entre les fonctions y” ou y. On a donc, —teton
peut écrire yi— yi, d'après la formule (153).

(*) Dans le cas de formes binaires, on retrouve un résultat connu. Voir
CLesscx, T'heorie der binären Formen, p. 19; Gorpan, Vorlesungen über
Invariantentheorie, t. 1, p. 82.

(116)
En faisant usage des équations (12), (14) et (15), on obtient :
(Qu 1 — Qux'1) + (Q2x 2 — Quo 2) + ve + (QULT — Quy't) = 0.

À cause de l'indépendance des covariants primaires y', la
dernière égalité peut être remplacée par

QuX 1 —= Qux'1, Q2Y 2 = Que 2, Nov == Q,,Y'1,

(voir $ 70). I résulte de là, d'après les équations y"i = y'i, que
les formules

Dore, Let Nr

sont identiques; en d’autres termes, les développements (12) et
(15) sont équivalents par transformation linéaire : c’est le résul-
tat que nous voulions obtenir.

Transmutation des fonctions semi-invariantes.

177. Comme nous l'avons vu ($ 54), les fonctions semi-inva-
riantes quelconques permettent de déterminer des semi-invariants;
par suite, elles se rattachent directement à l'étude des covariants
primaires. Nous indiquerons d’une manière succincte des modes
de formation analogues à ceux que nous avons établis pour les
fonctions invariantes ($$ 12 à 19).

Désignons, comme précédemment, par S: la substitution
linéaire des variables définie par les équations

X; — diX; + &;, ki + ve + An Xp 9

i— 1, 2, … n; nous représenterons encore par les lettres 0 des
fonctions des paramètres de la substitution.
Soient

Get ENT RETENU RS Chen qr)

des groupes de fonctions des éléments (variables et coefficients) ;

(117)

nous dirons que les systèmes (pa, Pa, …, p,), (Pis Ps, …, pr), Sont
cogrédients pour la substitution S:, si l’on a, pour la substitu-
tion Si, les relations

D; = 64 Pi + BP + + + 0,,P,,
CRÉES € , à € a
Œnbes 00 GA D; —6;,P; + 8,2 P: + 00 + 6,,P;, J —= 4, d ...) 7 3
Ep» 693 +. €, étant des constantes.

Nous dirons que les systèmes (pr, Pa; .…., D), (Qi Aa» se» Qi)
sont contragrédients pour la substitution S., si l'on a, dans les
mêmes conditions :

Û a au …. ae Q; = ji + qe + ce + 6jqre
Par des considérations analogues à celles que nous avons
développées aux paragraphes 10 et 11, on obtient les résultats
suivants :

1° Pour la substitution S:, les coefficients &,4 44, € les pro-
duits x1%1: .… œu%» sont respectivement cogrédients des dérivées

d°4 agen 1 dy

œ|
dr;

da
den dau," ie CNRC LANCE
d’une fonction semi-invariante (UE

2 Les produits de dérivées premières d’une ou plusieurs
fonctions semi-invariantes quelconques Ÿ, 4,, … et les dérivées
multiples correspondantes de 4 constituent des systèmes cogré-
dients pour la substitution S:. |
_ 35° Pour la substitution Êa les variables x et les coeffi-
cients &,1,., Sont des quantités respectivement contragrédientes

aux dérivées

dy dy
et

dx da, 2

8. On peut de même énoncer les théorèmes suivants :

1° Toute fonction semi-invariante est la somme des produits

(118)

des termes correspondants de deux systèmes contragrédients pour
la substitution S.

2° Si une fonction semi-invariante 4 est exprimable d’une seule
manière comme fonction entière des séries de quantités (pl),
(p2), …, on n’altère pas la propriété de semi-invariance en rem-
plaçant dans d les quantités (pl), (p2), …, par des quantités
(p'1), (p'2), …, cogrédientes pour la substitution S.

On déduit de là des conséquences tout à fait semblables à
celles qui ont été indiquées aux paragraphes 14 à 19 : il suffit
de remplacer dans les énoncés, la dénomination de fonction
invariante par la dénomination de fonction semi-invariante.

CHAPITRE VI.
LOI DE FORMATION DES FONCTIONS INVARIANTES (‘).

Covariants dérivés.

9. Soit © une fonction invariante aux n — 1 séries de

n variables
DA TN SNA;

soit f une forme quelconque aux y séries de variables
2
FAI DES A ANNEES (42 n—1}:

Nous désignerons par R(/, ©) le produit
1 ot mod 4, dr)

xD —— …
+ dy dy dy{ dyls dyle dy,
d d d d d d
nor ÉSRE, ss Feu ie f 5e f
dy2 dy2 dy2 dy2, dy2 dy2,,
df df df dpi af d/
0 0 dy dyj duyjs dyjs dy |
; ? ? d? dy d? d?
2 ai — ——
dxi dxi dxi dxA, dxi: dx1,
d d: : d
PRE aide dy ? d?
dx2 dx2 dx2 dx9, /dx2, dx2
de ? . dy d? d? dy
x Te x2 == oo A0 nr ee a 02e) DAS Ame pur)
‘ dx’ dxi’ dax’ DAC A RECONNU

(‘) J. Deruvrs, Délermination des fonctions invariantes de formes à plu-
sieurs séries de variables.

( 120 )
en introduisant les conventions suivantes :
1° Dans les déterminants d'ordre k, on a à — k — j;

2° y1, y2, …, yj représentent des séries de variables com-
prises dans le système x1, x2, …, xp;

5° Le produit Il, se rapporte à toutes les valeurs — 1, 2, …,
n — 1 et aux valeurs ÿ — 0, 1, 2, …, k que l'on peut donner à
dans les déterminants d'ordre k;

4 Le produit R(f, ©) contient r;, et r,; déterminants d'or-
dres à, n, analogues à ceux qui sont indiqués explicitement ;
du reste, les séries de variables y peuvent avoir des détermina-
tions distinctes ou non, dans les différents facteurs du produit IT;;.

Cela posé, la fonction R(/, ©) est invariante, car elle est une
somme de produits homogènes de polaires et de déterminants
des dérivées premières relatives aux variables. Remplacons les
produits de dérivées premières de f et de œ par les dérivées
multiples correspondantes de f et de ©; nous déduirons ainsi
de R(/, ©) une fonction invariante ($ 17). Nous représenterons
par [R(f, ®)] cette nouvelle fonction invariante, en supposant
que les dérivées multiples de / et de © sont indépendantes
des variables.

Nous dirons que [R(f, ®)] est un covariant dérivé de f et de +.

La fonction R(/ œ) satisferait aux équations

d Rod 0

Ms = ee D Ron un RATS
si les produits de dérivées du premier ordre de f et de o étaient
indépendants des variables. On obtient précisément [R(7, o)]
en remplaçant dans R(f, ©) les produits de dérivées premières
de f et de © par des dérivées multiples indépendantes des varia-
bles ; la fonction invariante [R(f, o)] satisfait done aux équations

d
nn re
do

(12 )

elle contient, d'autre part, les seules variables x1, 22, …, x — 1:
par conséquent, tout covariant dérivé est un covariant primaire.

80. Écrivons symboliquement :
= (=(ala)" (222) (ar);

le semi-invariant, qui est la source de [R(/, o)|, est représenté
en expression symbolique par

PU DNS bi lt)

b), b2, Nu):

by; bj: bj;
le Na d

altal.. out ÙÙ |dct, dt, © ax1,|#, ()

ADS CAMION d

dr2NUdEs dx 2,

d d d

dxt, dxi dxi!

si l’on désigne par b1, b2, …, bj des symboles compris dans la
suite al, a2, …, ap.

Réduction des covariants primaires
aux covariants dérivés.

81. Nous nous proposons d'établir que tout covariant pri-
maire d'une forme quelconque f est une somme de covariants
dérivés de f. A cet effet, nous démontrerons le théorème suivant :

Tout semi-invariant symbolique 4, contenant les symboles
al, a2, …, au peut être obtenu au moyen de covariants primaires
symboliques y, exprimables seulement au moyen des symboles

(12 )

différents de al, a2, …, ap; le semi-invariant 4, est réductible
à une somme de termes tels que

bi, ble 6 40 b1, (1)
A DE 0 MEN CN

HS UNE ENS

; d d d
dy; ot | —— .…. =;
= II dx, dx le dx1 1 %2. (2)
de, 1, j—0 5
d d d

dx2, dx2 dx2;

d ,d d

PILE ? E
dx ‘dxi dxt'

(Les lettres b représentent, comme ci-dessus, des symboles com-
pris dans la suite al, a2, …, ap).

La réduction que nous voulons établir se vérifie immédiate-
ment dans le cas de m —0; en effet, tout semi-invariant sym-
bolique Ÿ, s'écrit, à part un facteur numérique,

mi 7 A
dE de 0 Gi,
d d d
"| dx, dx 4 dx2; on
1—1
d d d
de MN

x est le covariant primaire qui a pour source d,; mi, m, …, m
sont les poids de 4, ($ 47, Applic.).

D'après cette remarque, nous établirons le théorème énoncé,
en le considérant comme exact pour u = k et en le vérifiant
pour == k + 1. Nous admettrons done que tout semi-invariant

(123)

symbolique Y, contenant les symboles al, a2, …, ak, est une
somme d'expressions analogues à

DAT RDA SAME DAS (r!))

DD, KA 07e;

b' D'OISE PORTE
a on atle (21)
de, i=1,j=1

d d d

dx2, dx> 16 dx2;

d d _d

cts 16 dxi

Dans cette formule, la notation (r;) doit être interprétée de la
même manière que la notation (r;;) employée ci-dessus pour
i— 1,2,...,n; les lettres b' représentent des symboles quel-
conques compris dans le groupe al, a2, …, ak; le covariant
primaire y! se rapporte aux symboles différents de al, «2, …, ak :
du reste, d' et y, doivent être supposés indépendants de ak + 4,
ak + 2, …

Remarque. — Soient x’ le poids du covariant y;; x; TT
les poids du semi-invariant W' pour les indices 1, 2, …, n.
Si l’on effectue la substitution linéaire

Le

DENEN, MN; (k Zi),

les quantités b;, b,, y; ont pour transformées eb;, b,, eTy;;
en même temps, on à

d d d d
ms re end a
dx; dx; dX, dx,
S , dy, Q A , « T; dx
La transformée de = doit être égale à : ‘=; on a donc
do do

i it n
, 0 , ! r
Ti —=T ++ ruse +Ÿr,,
j—0 DO

(12)

pour 4 — 1, 2, 5, …, n. On déduit de là :

Ü
m—mu—= dr, (—1,9,..,n — 1). (3)
j—0

82. Désignons par y, un semi-invariant symbolique qui
contient, outre les symboles al, a2, …, ak, le nouveau symbole
ak + 1; afin de simplifier l'écriture, nous remplacerons la nota-
tion ak + 1 par a.

La quantité Y, est développable comme somme de produits
aña… a", multipliés par des fonctions JC indépendantes du
symbole a. Soit r, la valeur maxima de «,; désignons par 7, ;
la valeur maxima de «,, qui se trouve associée à à, = 7, ;
en général, nous supposerons que r,; est la valeur maxima de &;
qui se trouve associée à

En = Try Ann Pants os Gn lip

ONTAT r che
Le produit a ‘a... a" est le terme principal de 4, par rap-
port aux coefficients a,, 4, …, @,; Si nous écrivons

Ti Ta LR di Oo a
me CN OC 2e > CHA NES CCE TO

la fonction JT, est un semi-invariant indépendant du symbole a
($ 34); nous représenterons AN, par la notation Ÿ; que nous
avons employée ci-dessus pour désigner un semi-invariant relatif
aux symboles al, a2, …, ak.

Soient

r r La
THE To Te et os d pop Up

les poids de Ÿ, et de 4, pour les indices 1, 2, …,n; nous aurons
r—= 7, —#,. Suivant notre supposition ($ 81), on peut écrire

, Rx
V5 = > de, 2

et on a, comme nous l'avons vu :

Dr=n—mu (En) (5)

\ (1%)

83. Soit
PTE Via)’; Tr (4 : i
Ÿ = So ‘A2 ° Qi Qiié ee A" + > Ja, lt .. ae GE
le développement de 4, suivant les puissances de
CHERE PSS EAN ASP AE RER ERENT ALS

La fonction JG est nécessairement du degré total r, + hs
par rapport à a;, a,,,; d'un autre côté, r,,, est, par supposition,
l'exposant de la plus haute puissance de &., qui multiplie

7 T. 4 T; 2 n , 0 CCE
SE EEE ne ; en conséquence, la fonction 9, est divisible

n n—1

par &* et nous pourrons écrire :

BP Vi Vigo r CA Can Cr a
v = Joy. a ‘ar... a," + > DOC CC RE ICE NU)

Pour la valeur numérique à, on a (+1, à), —0, c’est-à-dire

: : ; e FAT NT

(EM, 1) JG au. aa el asr

u c a jy jy a ;
+ Ÿ (SEE) TER UD ana ae 0);

on obtient, par suite :
+1, 9% 0; (5)

(il faut toutefois observer que cette équation a lieu pour la valeur
numérique #, et non pas pour ? = 1, 2, 5, …, n — 1).

D’après l’équation (4), 96, a, pour les indices : et à + 1, les
poids r; — 7; et x, : il résulte de la formule (5) que la diffé-
rence des poids de 9%, pour les indices à, + À ne peut pas être
négative; on a ainsi

ee Tri = 0,
ou encore
T; FT Ti Vin = 0 9 (6)

d’après les relations

La a
NT D NT Te ml Ale

(126)
84. Les formules (5) et (6) fournissent les relations

ù rÿ PAM (è = 1,9, .….,n —1).

j=0

Par suite, il existe au moins un système de nombres p,; posi-
tifs ou nuls, non supérieurs aux nombres r;;, et pour lesquels
on à

î

> O5 = Tip (= 1,2, 2 0) (7)

=)

nous pourrons former la fonction

Qi Co GCO (FM (p:)

DA DA ba bb Ce bugs
Ho, 00 Me b'2, b'2, … b'2,
D be db DO QU

da d d d d

a "Il — AE . RNA RES ,
dx, dæi, dxi;,4 dxA, dxi, dxl, | Xs»
did d dd dd
da, da did dx, dx2 dxr2,
d d d dd d
di, du dr dxi, dis dx

que nous désignerons par V0 (*). Cette fonction peut évidem-

%_, si l'on observe que la lettre a tient lieu du
dos

symbole ak + 1; VO est ainsi un semi-invariant sn bolique
Le terme principal du symbole a, dans V0, est a/ta?? CARE
d’après la relation (7), et ce terme principal est multiplié par

ment s’écrire

(") De la même manière que dans la formule (2’), on doit donner à à
toutes les valeurs 1, 2, …, n et à j les valeurs O, 1, 9, …, à

(127)

_ [formule (2')] (*). Faisons la somme des fonctions V°
k

correspondant aux différents termes de

r dx j
Ÿs En do, 9

nous obtiendrons un semi-invariant Z V0, tel que + X V0 et y,

ont le même terme principal asa … a, multiplié par la même
n

fonction d;.

85. Soit aa”. a" le terme principal du symbole a dans
le semi -invariant UA + 2 Vo. La définition du terme principal
conduit aux relations suivantes entre les nombres

Tu—as cs To, Ti et Vins Tan oc Vios Tu:
ë == LEA Ne ] Fe OT

1° Onar,, Zr,, et en général r,, Z r,; si l’on a

Tin = ls Mini = Tps ces Vin ligue

2% Les termes correspondants des deux séries

Vus Taeto cs Vas Ti et Vans Tan-as ces Vos Ta

ne peuvent pas être tous égaux en même temps.

Les considérations qui ont été développées pour 4, sont appli-
cables à 4, + ZVT; par conséquent, il existe une fonction + ZV',
analogue à ZV° et telle que si a *’a/? … a”? est le terme principal
de 4, Æ ZV0 Æ XV”, il existe Hire les nombres Vois Ta des rela-
tions analogues à celles qui ont lieu entre les exposants r,,, r..
En continuant de la même manière, on obtiendra des semi-inva-
riants

DNA ED NEIL 4 ED NU

tout à fait semblables à + ZV0 (**).
(‘) On doit prendre le signe + ou le signe —, suivant que 2;&r;4, est

pair ou impair.
(**) Tous les signes + et — ne se correspondent pas nécessairement.

(128 )

Soit a/*a!® … a" le terme principal du symbole a dans le
semi-invariant

NES) NE) Nes =D à

supposé différent de zéro ; les exposants r,, re, …, r, Satisfont
aux Conditions suivantes :

11On ar aires

2 On ne peut pas avoir r,;, > r,.,; si les relations

PNR NN UE ENONCE Von, iyt

ont lieu simultanément ;

5° On ne peut pas avoir en même temps les n égalités

Von Peniins Ton = Ton ces Ta Tenue

Ces propriétés permettent d'établir que pour une valeur sujfi-

samment grande de t, on a 49 = 0.
En effet, dans la supposition contraire, on aurait une suite

illimitée de nombres r,,, r,,_1, …, ra. D'après la première
condition indiquée ci-dessus, le nombre r,, ne peut pas croître
quand £ augmente : il peut décroitre, mais, à partir d’une certaine
limite (4 > ('), il conservera la même valeur.

Pour t > t', le nombre r, ,_, ne peut pas augmenter en même
temps que {; en conséquence, r,, et r,,, auront des valeurs
constantes quand £ dépassera une certaine limite. On obtiendrait
de proche en proche la même conclusion pour r,,_2, ln-5» «Vue
On aurait donc, pour une certaine valeur de t :

Vin Ten) Vin = Toni ce.) Va Te r,ae

D’après la troisième propriété des nombres r,,, les égalités
précédentes sont impossibles à moins que l’on ait 9° — 0.
Nous pouvons done écrire, d’après la formule (8) :

ie D NUE VIEET EN V1,

t étant un nombre convenable.

(129 )

Le semi-invariant (,, relatif à &+1 symboles al, a2, …, ak+1,
est donc une somme de semi-invariants V0, V', …, exprimables
ds
€ Ck+1 : À

Comme nous l'avons fait observer ($ 81), il résulte de là que
tout semi-invariant relatif aux u symboles al, a2, …, au est une

+ ie
somme de semi-invariants FA définis par la formule (2).
(]
122
Exemple. — Dans le cas de u — 2, n > 3, prenons

sous la forme

| al; al: al, al, al;
ae b, be a, a2, a2;
Ci Co C3
On trouve
1 1 I
al, al: fes Fe Si
a2, a2, a2;
W— | d d Xs
d d d
dx1, dxl EE
dxl, dxl, dxi,
al ail:
d d d
aa le ——— k
27 dxi, dx; dx1; X,,
a2, 042;
d d d
dx2, dx2,\\ dx2:-
k | TE
Xe 2 bacs 0 NS 7 (E DC) ,

86. Considérons maintenant les semi-invariants symboli-
ques Ÿ, relatifs à une forme quelconque représentée par

[= (at) (ai) re (au) RCE

d'après le théorème que nous venons de démontrer, ces semi-

,

dy,
des
Supposons que d, représente la source d’un covariant pri-

maire x de degré w par rapport à la forme f; la fonction y,

contiendra w systèmes équivalents de symboles relatifs à f ($ 6).

L'expression y; contient tous les symboles compris dans 4, à

l'exception de al, a2, …, au ($ 81); par conséquent, y’ repré-
9

invariants s'expriment linéairement au moyen des fonctions

(130)

sente symboliquement un covariant primaire y' de degré u— 1
par rapport à f.
D’après la comparaison des formules (1) et (2), le semi-inva-

r
8

de
covariant dérivé de f et de y’. La réduction de 4, aux fonctions
dx.
@
naison linéaire des sources de covariants dérivés [R(/, x')].
Nous pouvons ainsi énoncer ce théorème :

Tout covariant primaire y, de degré u par rapport à une
forme f, est une somime de covariants dérivés obtenus au moyen
de la forme Î et de covariants primaires y', du degré u — 1 par
rapport à Î.

Nous pouvons appliquer ce théorème, en remplaçant w par
u—1,u—9, …, 2, 1. Par conséquent, la méthode des covariants
dérivés permet d'obtenir les covariants primaires d’une forme f
au moyen des covariants primaires indépendants de f. De même,
les covariants primaires d’un système de formes /, ,, … se dédui-
sent des covariants primaires indépendants des différentes formes:
ces derniers covariants sont nécessairement des constantes. Par
suite, {ous les covariants primaires d’un système de formes quel-
conques s’obliennent par la méthode des covariants dérivés.

Puisque les fonctions invariantes sont réductibles aux cova-
riants primaires, les résultats que nous avons obtenus permettent
de déterminer toutes les fonctions invariantes de formes quel-
conques à une ou plusieurs séries de # variables.

Cas particulier. — Si l'on suppose n— 92, les covariants
dérivés de formes à une série de deux variables sont les trans-
vections ($ 17). On retrouve, par l'application des résultats pré-
cédents, le mode de génération que M. Gorpan a fait connaitre
pour les covariants de formes binaires (*).

riant

représente, à part un facteur numérique, la source d'un

établit done que la source du covariant y est une combi-

(‘) Voir, pour ce cas particulier : Cresscn, Theorie der binären algebrai-
schen Formen, p. 102; Gornan, Vorlesungen über Invariantentheorie, t. IL,
p. 48; Camizce Jorpan, Mémoire sur les covariants de formes binaires
(Journaz pe LiouviLee, 5° série, t. Il et V).

CHAPITRE VIL

DÉTERMINATION DU NOMBRE DES COVARIANTS PRIMAIRES
LINÉAIREMENT INDÉPENDANTS.

8'7. Nous nous proposons de rechercher le nombre des
covariants primaires linéairement indépendants, de degrés don-
nés par rapport aux variables et par rapport aux coefficients de
formes quelconques (*). Soit 4 un covariant primaire de poids x
et des degrés m1, m2, …, mN — 1 pour les séries de variables
x1, x2, …, x — 1; la source de y est un semi-invariant 4, qui
a les poids

Ti Ml+T, T—MÎ+LT, …, 7 —=MN—Âl+7, x, —7,

pour les indices 1, 2, …, n; les fonctions y et à sont des mêmes
degrés par rapport aux coefficients de formes alsébriques. De
plus, si des covariants primaires sont linéairement indépen-

dants ou non, il en est de même des sources 4 et réciproque-
ment ($ 43, Cor. III). En conséquence, nous avons à résoudre

(*) Dans le cas de n —92, les covariants primaires sont les fonctions
invariantes à une seule série de variables ; la détermination du nombre de ces
covariants primaires particuliers est due à M. Caycey. Le résultat indiqué
par l’illustre Géomètre a été établi d’une manière complètement rigoureuse
par M. Syzvester ; plus récemment, il a été obtenu de différentes manières.
Voir : Caycey, Philosophical Transactions, vol. CXLV ; SyLvesrer, Journal
de Crelle, t. LXXXV; Carezrt, Memorie della R. Acad. dei Lincei, 1889;
Hiserr, Mathematische Annalen, t. XXX; Srron, Mathematische Annalen,
t. XXXI; J. Deruyrs, Mémoires de la Société royale des sciences de Liège,
2e série, t. XV.

(132 )

la question suivante : Trouver le nombre des semi-invariants ,
linéairement indépendants, qui sont de poids r,, m, …, m, et de
degrés donnés par rapport aux coefficients de formes algébriques.

88. Soit g une fonction isobarique des coefficients de formes
algébriques, pour laquelle on a

(5,2)g—=0, (4, 3)g—0, .…, (n,n—1)g—0. (1)

D'après une propriété que nous avons établie ($ 64), la fonc-
tion g est une combinaison linéaire des coefficients de cova-
riants primaires : nous écrirons

g—= Lx + Lane + ce + Lin,

en indiquant par La 17e …, $,y. des combinaisons linéaires
isobariques des coefficients de covariants primaires y,, #2; .…, y, :
nous pouvons supposer que y;, #2 -, 4, SOnt linéairement indé-
pendants.

Nous aurons, d’après les équations (1) :

C++ +l D Loti +(i+ ti Pat —0,
DS EN

(2)

Chacune des fonctions (i + 1, i) £y’ est exprimable linéaire-
ment au moyen des coefficients de y" ($ 45, Rem.); d'autre part,
entre les coefficients de covariants primaires ,, #2, .…, y, linéai-
rement indépendants, il ne peut exister aucune relation parti-
culière du premier degré ($ 66). On doit donc avoir, d'après
les formules (2) : |

ir LDLM=0, G+1,)Pu—0, … (Gtl,) Lx 0,

i—9, 5, …, n —1.

Par suite, le nombre des solutions g, linéairement indépen-
dantes des équations

(5,2)—0, (4, 5)—0, …, (nr nr —1)=0,

est égal au nombre des fonctions y" satisfaisant aux mêmes

(133 )

équations et correspondant à des covariants primaires y" linéai-
rement indépendants; il est évident, du reste, que les fonctions g
et fy' doivent être des mêmes poids et des mêmes degrés par
rapport aux coefficients des formes algébriques.

89. Recherchons actuellement le nombre des fonctions £y'
correspondant à un covariant primaire donné y’ et pour les-
quelles on a

(HA 004 5) =D ALU (nn 41) =10:

Soient
r La LA (2
F1 79 » se. Tn—1 , Tn 9

les poids de la source 4’ du covariant y’. Au lieu de y', nous
pouvons considérer le covariant primaire
, : nue
en CE al ae) Ne
…. (+ alu. an — 1)" Et ae al,a® … He.
qui est des mêmes degrés et de même poids et qui se rapporte
aux formes linéaires al,, a2,, …, ah,; nous avons vu, en effet,
que si la fonction {”y' satisfait à une condition exprimable linéai-
rement au moyen des coefficients de y’, la fonction analogue fy°
satisfait à la même condition, et réciproquement ($ 66).
La fonction isobarique £y°, qui doit satisfaire aux équations

(à +1,5) Pr —0(i—92,5,.…,n—1),

s’écrira, d'après la valeur de ° :
) ’

Le == (Æ al,a2 .s an)" fl Gus (5)

G,, est alors une fonction homogène et isobarique qui dépend
seulement des coefficients

al,, al, arr L
a2,, a2, RE PAPA

e e 0 0 ° e . . o 0 e
de.

an —1,, an— 12, .., an —1|,,

(134)

et qui satisfait aux équations

(5, 2) Ga — 0, (4, 3) Gr —0, .…, (n, (Or 1) Gen = 0, (4)

d
al D nl 02 Gui 0, 0009 an —9 C0. (5)

dan—1

90. Nous établirons que la fonction G., est un produit de
déterminants
(Æ aloa2, … airs), ( alia2 … a),

pour lesquels i a les valeurs 1, 2, …, n — 1.

Cette propriété est évidente pour n = 2; car O, se réduit
alors à un produit de puissances de al, et de al,. Nous établi-
rons la propriété énoncée, en la supposant exacte pour ue

D'après les équations (4), C1 peut être considéré comme
une somme de semi-invariants des formes linéaires

alex + ax; + + + al,x,,

Ans + Q2X; + + + A2,X,,

an — loto + ee + an —1,x

nn)

relatives aux n — 1 variables x, x,, …, %,; conséquemment
($ 58), G,., est une somme de produits de coefficients h, et de
déterminants d'ordre i— 1,2, …, n — 1, tels que (HAk; … l,,);
h, k, …, L désignant des séries de coefficients comprises dans la
suite al, a2, …, an — 1. Pour i — n — 1, le seul déterminant
à considérer est (+ al,a2, … an — 1,); on peut done écrire

Gus ‘so (Æ al,a2; … an — 15) à GE

« désignera un nombre positif ou nul et G représentera une
fonction homogène et isobarique des coefficients

al, al: , . 7 al, _1,

a2,, a, UD, MEL

an—1,, an—1:, …, an—1, 1.

(155)
D’après les équations (4) et (5), on a

(3,26 =0, (43)G—0, …, (n—1,;n—2)GÇ—0, (4)
d d d
ONE ER D C0 an 2 ee ms QD 1 (57
2aPrE ais ds Ÿ î 20 ani) a 6?

Il résulte des formules (5) que G' est un agrégat de déter-
minants analogues à

(SAUT EU SANT SAR Sr 1e

les lettres £ désignant des nombres compris dans la suite 1,
2, …,n— 1 ($ 42). Pour i— n — 1, le seul déterminant pos-
sible est (+ al,a2, … a — 1, ,); nous écrirons en conséquence

œ —(+ al,a2, … an — 1: \ cu :
G" est alors une fonction des coefficients

al, al:, se al, ;

a, a, TT Le

an —%, an—%, …, an—2,.,.

D’après les formules (4') et (5’), la quantité G" est une solu-
tion isobarique et homogène des équations

(En 2) —= 0, (4, 3) —= 0, CODO (n — 4, n — 2) — 0,

JA G ue 0
DO D D se "p)
(IN das : dan — 2

al
ainsi, G” peut être représenté par la caractéristique G,_, et on a
G-4 — (+ al,a2, … an — 1,)j.( al,a2, .… an — 1 Gn-

Par supposition, (Cp est un produit de déterminants

(Æ al,a2, … ai), (+ al:a2,… at:11),

(136)

pour lesquels on à 0 <i<n — 1; en conséquence, (CR ! est à un
produit de déterminants

(alia2. ai.) Wet | a15a2. @;11),

où l'on a 0 <i<n. C'est le résultat que nous avions annoncé.

91. Reprenons maintenant la formule (3) : d'après l’expres-

sion de Ga toute combinaison linéaire et isobarique £y° des

coefficients de y°, qui satisfait aux relations
GO US) 0 ne) 0:
peut s’écrire
La = alias (+ ata2)?! (+ a1,a2,) 2

PES . (Æ al: … ai). (+ al,a2, … an,)i".

La fonction a les mêmes degrés que y°, par rapport aux coeffi-
cients al, a2, …, ah ; on doit done avoir

En + ER = T;, — Ti, U 1, DA …n — À); (6)
du reste, les exposants £,,, :, ne peuvent pas être supposés négatifs.

Si la fonction £:y0 a les poids 7,, x, …, x, pour les indices
1, 2, …, n, on doit avoir, d’après les équations (6) :

20 = Eh Re Con En OPEN RE Th

T2 — Ego HE 72,

ce Tee \ (7)
Tir +7,

7 En act Ts.

Les valeurs de €, , &, sont complètement déterminées par les
équations (6) et (7); pour que ces valeurs ne soient pas néga-
tives, comme il convient, il faut et il suffit que l'on ait

Pi — r = =
Th Tn > 0, Fn4 ET Tn-4 > 0, basis 1To unit To > 0,
T

mA 7y > D, The — Ty > 0, 200) Ti — 7 > 0, (8)

Ti Tate HT, = Ti HT He +7.

(137)

Les nombres x!, x, …, x, sont les poids du semi-invariant

LA r LA r
Zn To 27
al, ! (Æ.a,a9,) ? Du

qui est la source de 0 ($ 89); le dernier résultat que nous
avons obtenu peut donc s’énoncer de la manière suivante :
« Il existe une fonction £-y° de poids x, >, …, x,, pour laquelle

on a
Gb) 0, (4 3)=0" (2, n—1)=0;

si les poids x, x, …, x, de la source de :/° vérifient les rela-
tions (8); si les relations (8) n’ont pas lieu, il n'existe aucune
fonction {”/° satisfaisant aux conditions indiquées. »

Désignons, comme précédemment, par Ly une combinaison
linéaire isobarique des coefficients d’un covariant primaire y":
il existe le même nombre de fonctions {y' et f-y° pour lesquelles
on à (3, 2) — 0, … (n, n — 1) — 0 (voir $ 88).

Par conséquent, ?/ existe une fonction {y'de DOIUS Ti To Te
qui est solution des équations

(5,2)—0, (4,5)—0, …, (n,n—1)—0,

si les poids mr, sr, …, tn, de la source de J' Satisfont aux rela-
tions (8); dans le cas contraire, il n’existe aucune fonction {y
vérifiant les conditions énoncées.

92. Désignons par la caractéristique g les fonctions homo-
gènes de poids æ, m, …, 7%,, qui dépendent seulement des
coefficients de formes /, f;, .…, et qui satisfont aux équations

(3,2)—0, (4, 3)—0, …, (n,n—1)—0.

Le nombre des fonctions g, linéairement indépendantes, est
égal au nombre des fonctions {y qui satisfont aux mêmes
conditions ($ 88).

Soit [ri, x, …, x,] le nombre des semi-invariants linéaire-
ment indépendants, de poids x;, x, …, rx, et des degrés r, r,, …
pour les formes f, f,, …; soit [(r,, &, …, r,)] le nombre des

(158)

fonctions g des mêmes degrés r, r,, … par rapport à f, /,, …
D'après le théorème énoncé au paragraphe précédent, on a

[(r, Le z.,)| = [ri ONE à r,|, (9)

«

en étendant la sommation à tous les systèmes de valeurs de x,
Th, Ta, QUi satisfont aux relations (8).

93. Les différences x, — ñ;, …, t;-—";,,, … ne peuvent pas
être négatives, parce que les fonctions g ont les poids x;, m, …, T,
et satisfont aux équations (3, 2) g = 0,.…., (à + 1, à) g —0, …
(voir $ 26). Nous ferons usage de la formule (9) en supposant

rm > T : Soient alors 6,, €, …, 6, des nombres positifs ou nuls

pour lesquels on a
Co HG +. + C, =,

2e ml OC CT on
d’après les formules (8), on pourra écrire :
[(r1 as +) 7) —Y E7 Le Bo de Cool = Co ben a 2e
en donnant à &,, &, …, &, toutes les déterminations possibles.
On déduit de là que le nombre
(D VAN Ne GLEN, ee z,)]
est égal à
[ri, 7e, a 7,] + > [ri + Li, Te — Go, …, m, —6,],
si l’on suppose & > 1, € — 0.

On est conduit de même à considérer des suites de nombres
définis par la formule

ICT Tales F0 | la este) ts)
— { (x SE a donne AE 7).
On trouve que [(x;, %&, …, x,)|? a pour valeur

[7, 93 7] a DIET + Lis To — os Tue eile

si l'on suppose
ee NE 0) 0 Eu — 0.
Pour 7j — n — 1, nous obtenons :
[Cr Tailles r,) [= — io lé

nous déduisons de là, d’après les réductions précédentes :
[rm T9 + T,] —=Y(—1} [(n+e, To 9 F5 Ego 7, —€,) |; (10)

dans cette formule, on as €, + €, + + +6, et la sommation
se rapporte aux termes que l’on obtient en donnant, de toutes
les manières possibles, à &, €, …, &,, les valeurs 0 et 1.

94. Supposons que l’on ait symboliquement :

— œ2
f=aliaié … ani =,

fi — 01h28 D — etc
D'après les équations (1), les fonctions g, relatives à f, f,, …
peuvent être considérées comme combinaisons linéaires des

semi-invariants de formes à séries de n — 1 variables #, #, …
Les formes dont il s’agit sont représentées par

al 97? ;
= al; \Q . al* 142%? - A

|

F= ne ANDRE PET
si l’on prend
a'i—mai—au SO, B'i— fifi SO, etc.
U, — A3%e + ls + + ax, bd, — bare + + + b,%,, etc.

Les fonctions g ont été supposées des degrés r, r1, … pour

(‘) Nous comprenons ici parmi les formes des systèmes (F es (F),
les quantités représentées par

alta … auée, bAPbOÉE …. bF*, ete

( 440 )

les formes f, f,, …; par conséquent, le nombre que nous avons
désigné par [(r;, x, …, x,)] ($ 92) est le nombre des semi-inva-
riants linéairement indépendants, de poids x, T:, …., T, et des
degrés r, r,, … pour les groupes de formes (), ($,), … à séries
de n — 1 variables.

D'un autre côté, [r;, &, …, x,] est le nombre des semi-inva-
riants qui sont linéairement indépendants, de poids m;, &, …., t,
et des degrés r, r,, … par rapport aux formes /, f,, …

Ainsi, on obtient par la relation (10) le nombre des semi- |

invariants linéairement indépendants pour des formes à séries
de Jo — n variables, quand la détermination correspondante est
connue dans le cas de — n — 1.

De proche en proche, la question peut être ramenée au cas
de 6 — 1, pour lequel toute fonction des coefficients est un
semi-invariant.

Il y a lieu de remarquer que pour établir l'équation (10),
ON à SUpposé > & > T; … > ",. Quand les relations précé-
dentes ne sont pas satisfaites, le nombre [r,, x, …, 7,] des semi-
invariants est égal à zéro ($ 35, Rem.).

Cas particuliers. — I. Si l'on prend n —2, notre méthode
concorde avec celle que M. Hizserr a exposée pour les formes
binaires à une seule série de variables.

IL. Quand on suppose 7, = % — + — ",, on obtient par la
relation (10) le nombre des invariants linéairement indépendants
d’un système quelconque de formes.

Par exemple, prenons le cas des invariants du troisième

degré pour une forme biquadratique ternaire f=a;=a;=a;;
nous aurons 7, — 4. Le nombre des invariants considérés à
pour valeur

Le, 4, 41—[(4, 4, 4] —1[(5, 4 5)] —[(5, 3, 4] + [(6, 3, 5)]

Dans cette expression, [(4, 4, 4)] est le nombre des invariants
de poids 4 et de degré total 3 pour les formes binaires

LA YTEReRS 114
z 19

Q 3 5 QE SE,
£ = 0 — 00 — ae, F'—= A =: :,

F "= aa, = aa, = ad}; a”, = a = a —= CA TS

cn ré. D ont

(14)

les invariants dont il s’agit peuvent être représentés symbolique-
ment par
| a (aa), aa (= ax) (= aa),
aa (+ @a:;) (Æ aa; ), aj?aa (+ aa:) (Æ aa; )(+ @a} );

on obtient ainsi [(4, 4, 4)] — 4. Semblablement [(5, 4, 5)] est
le nombre des semi-invariants de degré total 5 pour les formes #
et de poids 4, 5 pour les indices 2, 3. On trouve [(5, 4, 3)] —4
et de même [(5,5,4)]—0, [(6,3,3)]—1. On a donc{4,4,4]—1,
ce qui est exact, car la forme f a un seul invariant du troisième

1 TI \E
.

degré : I=(+ aaa;)

Expression du nombre [m, 7%, …., ñ,].

95. Soit € (r,, &, …, r,) un nombre qui dépend de 7,,
Hem 7 6 SOIT

une fonction linéaire par rapport à chacune des séries de para-

mètres
vd, ul», .… vi

D A AT LE, S'ASC HAN

Un, UN, .. un...
Nous définirons le nombre

Lo = Loris 72 +, 7,)

par la formule
= E(mt+h—l, m+ji— 2, … 7, +j,—n)
Dans ces conditions, on a
LR Ge Dore EN NET = cu (ms, as es PU CA)

en supposant
n+i>ji+t>0

(142)

et

Ÿu

= © .
Dr Lys se ta

de même, si w',®”, … sont des fonctions linéaires analogues à o,
on peut écrire
Lo te Do ee — Dane (41°)

96. Soit frs Te T, | le nombre des fonctions qui sont
indépendantes des variables et satisfont aux conditions : 1° d'être
de degrés r, r,, … pour les coefficients des formes f, fi, …;
2° d’être de poids m, m;, …, ñ,; 9° de n'avoir entre elles aucune
relation du premier degré.

Prenons
D NUE ESNICiI
pl UD) Ur UD
DRANNUNE M UT

nous voulons établir que l’équation

[71 Toy ve) Ta] =} 7; To es Ty EX (°) (12)

détermine le nombre des semi-invariants linéairement indépen-
dants, de degrés r, r,, … pour les formes f, f,, … et de poids x,,
Tea) ee > Too Si l'ON 8 mn, > >; .… > ,. Les cas pour lesquels
On N'a PAS TG > M. 7%, SON Sans importance, puisque alors
On ur. ee m0

Si l’on suppose n — 2 et x, > m, on a, par la formule (10) :

[ris To] — [(r, m2) ] —{[(71 il 1)};

(*) Dans le cas den —5,ona
A—vlju2u3;—uliu2;u5—vlau2,05; + uloud;u5, + ul 02,05 — ul; Du,
et le nombre {710 Tan Ts A à pour expression
171, T2 75 — À mi, To+l, 7 —1 | — }n+l, m—1, T3 |

+irn+l, To + 1, Ts —2|+)7r,+9, Ta—|, | I} Tr +92, To, T5— 2 |,

CA45 )
d’après la définition des nombres
Fa Er ter mem mi},
on obtient :
[tæ, = jm, mt, (Gus, m—1)]= re, #1};

on déduit de là :

[ris Fo] = À T1 Fo Lie
en prenant
j ul, ul,
À —
u9, v2,

Ainsi, la formule (12) est vérifiée pour n = 2; nous l’établi-
rons dans le cas général, en la considérant comme exacte pour
des formes à séries de n — 1 variables. A cet effet, nous ferons
usage de l'équation (10); nous rechercherons d’abord l’expres-

r

sion des nombres [(x;, m, …, x)].

9'7. Par définition ($ 92), [(m, &, …, r,)] est le nombre
des fonctions qui jouissent des propriétés : 1° d'être de poids x;,
Te M; 2° d'être de degrés r, r,, … pour les coefficients des
formes f, f;, ….; 93° de s'exprimer comme semi-invariants linéai-
rement indépendants, par rapport aux groupes de formes (f),
(F,), … à séries de n — 1 variables.

L'égalité (12) est considérée comme exacte pour des formes
à séries de n — 1 variables; en supposant nm > Tr >. "r,,
on peut donc écrire :

(rs, T3) +. = À (ra T2) ++) Ta) to ja?

dans cette formule, on à :

v?, DD .. u2,

, US9 V9 v3,
?

Ua UN; … un,

ED (ri Te; r,)| désigne le nombre des fonctions linéaire-

(144)

ment indépendantes, de poids x; ñ:, …, x, et des degrés r, r,, …
pour les groupes de formes (#), (#,), … D'après la définition
des groupes ($), … (voir $ 94), les formes Sd, … sont des
fonctions linéaires des coefficients de /, f,, … Par suite, on.a :

rome er ENT, Le PUTAlE
puis ras a
[trs Ge be 7) | A 10 an le Er UE (40”)
Pour obtenir la dernière formule, nous avons supposé
Te > Ts > 7,5 Quand ces relations ne sont pas vérifiées, l'équa-
tion (10') n’a plus lieu en général : le premier membre est égal
à zéro, le second membre n'est pas toujours nul. Toutefois, si
pour une valeur de ? supérieure à 1, on a rm — x; — 1, la
formule (10) est encore exacte. En effet, on peut écrire

va ol, > euduBy … (uiçut + À, — vint + 1,)….;
’ r ’ RE r r 2 r Gr
ue T9s +) Tn Ant F5 F9 ve) Ti 1, Fiy4s ces Ty 1 A!
1
— el 7; mo + h — 2, …) Tu t+T—i—1, Tu ts —i—1,..{
— delr,m+h—Q,.., rat s—i—1, 7u+r—i—1, ft;
19 2 (Ar + , ,

si l’on observe que les nombres {mx,, m, …, x,l ne sont pas
modifiés par les permutations de x,, 2, …, %,, On obtient dans

le cas actuel
(4 (4 LA — (
Pris me, ml ar = 0

98. L'équation (10), dans laquelle on a supposé x, 57... ©7r,,
peut s’écrire :

TN

La
[z:, T2, …. 7, | — > (— 1) ÿ [(r+e, T9 E9s F3 Ex Qao;\) 7,—6,) |;

E—=0)

la sommation Ÿ’ doit alors se rapporter à tous les termes obtenus
en donnant à &, &, …, &, les valeurs 0 ou 1, de telle manière
que l’on aite +e +-.+e, 6.

Prenons

(145)

il résulte des relations x, > æ … > rx, que si l’on n’a pas
Te > Ts > Ts il eXiste un nombre à supérieur à l'unité, pour
lequel on à x, — 7;:, — 1. Conséquemment, on peut toujours
écrire, d’après la formule (10') : |

Tr, L
> [irie, T9 ——E9 yes ai] = | TI Es Mo 9, cs ME, or A!
1àÀ

Si l’on prend

ua UD. LEO)

2 & D: NE
u3 US UE

A’! 2 — &; D — &; NN — &
‘on un un

2 — €, D — €, n—E,

et si l'on tient compte des formules générales (11) et (11'),:on
obtient successivement :

[À
> [(ri+e, T9 — E9s Ty — e,)] —} TE, Mo, Tao ce 7, Sul NE
1
- n—1

PS ml Aire, 7,7, 7. supra (10”)

€—0

99. Désignons par ® le tableau rectangulaire

Do DD Heu
DS NUS ME VUS

;
DINNONS te Ne UILe

d’après les valeurs de €,, €, …,:e,, les déterminants A” ont
e rangées composées des n — 1 premiers termes des rangées
correspondantes de (9 et n — 1—: rangées composées des
_n — 1 derniers termes des rangées restantes de (D; de plus,
la somme Z’A” se rapporte à tous les déterminants A” que l’on
peut ainsi obtenir. Cette remarque permet d'établir légalité

Far
> A — À;,
tO

si l’on pose
DOUDOUS UD ee un

UD NUD> A UT LUS- eo ÉD De

un, Uflo ... UE UN: Den un
Considérons en effet le développement de

vd, + Z. v?, v9; Em vd, ue va, ai DE
Us 2 AUS 00 te Z(UI2 LUDO EE 2 UD,

UNo + Z.UM UN; HZ. Us … UN, +7.unN, ;

le coefficient de z° est la somme des déterminants obtenus en
prenant dans € rangées (ou colonnes) le multiplicateur de z,
et dans les rangées (ou colonnes) restantes, les termes indépen-
dants de z. On trouve ainsi deux expressions différentes du
coefficient de z‘; en les identifiant, on obtient :

100. Reprenons maintenant la formule (10”); nous pourrons
l'écrire :

n—1

[1 T9 3 ces Fi Ÿ (— 1} 7 + E,, T9y ee

EU

) La? | Aul, 4
ou bien encore, d’après les relations générales (11) et (11°),

[ri Sion Fr] = 70 F9 vs 7, De lutte

La somme

(*) Cette égalité peut aussi se déduire d’une propriété des déterminants
multiples, que nous avions obtenue comme généralisation d’un théorème
établi par M. Le Pace, dans son Mémoire : Sur quelques points de la théorie
des formes algébriques. (Voir : Mémoires de la Sociëte royale des sciences de
Liège, 2e série, t. IX.)

(147)

est égale au déterminant

nous obtenons donc

Re rire Ge

c’est la formule (12) que nous avions indiquée pour le nombre
des semi-invariants linéairement indépendants, de poids x,
To, …, 1, €t des degrés r, r1, … pour les formes f, f;, …

CHAPITRE VIN.

CONSIDÉRATIONS SUR LES PARTICULARITÉS ESSENTIELLES
DES FORMES ALGÉBRIQUES.

Relation des particularités essentielles avec
les covariants primaires.

101. Soient f, f,, … des formes algébriques à une ou plu-
sieurs séries de # variables ; nous dirons que le système /, fi, …
a une particularité essentielle, s’il existe entre les coefficients
de f, f1, … des relations algébriques entières et homogènes

gi— 0, gi 0 x (0)

qui ne sont pas altérées quand les formes f, f,, … sont modifiées
par une substitution linéaire quelconque des variables ; on devra
donc joindre aux relations (1) les équations

J q

G 0% G 0, _@)
G;,, Ga, … étant les transformées de g, go,

Chacune des fonctions g, peut s'écrire Lee GAS GE EE 2
comme somme de fonctions isobariques. Soit G, la transformée
de g,, obtenue en effectuant successivement les substitutions
définies par

X; = EX,

X;/— a Xi Se dyaXo + oo + an X

n?

= 1,9, 25m

(149 )

D’ après l'équation G, = 0, relative à toute substitution linéaire,
nous aurons

44
7 To F
G,— 76° … ee rs En Ge + ++ = 0,

en désignant par

A ARE RE EE APNARIES A
les poids de gy1, yo
On obtient, par suite,

Gi —= — 0, G2 = 0, …
et si l’on suppose
- ax — À, aÿ = 0, (Zi),
on trouve :
Qu—0, gs2—0,

Ainsi les équations g, — 0, G, — 0, … peuvent être rempla-
cées par
Ju = 0, y — OS Gaves

Il en résulte que les équations g, —0, go —0, … d’une par-
ticularité essentielle peuvent être supposées isobariques.

102. Considérons pour un instant f, fi, … comme des formes
dont les coefficients n’ont entre eux aucune relation ; les trans-
formées G4, Go, … des fonctions Ji» Jos …, Supposées isobariques,
deviennent des fonctions invariantes [G;], [G+], … si l'on rem-
place les paramètres «, de la substitution par les variables xÿ,

($ 4%). La fonction invariante [G,] est exprimable comme somme
irréductible de covariants identiques, multipliés par des polaires
de covariants primaires -y1,y2, .. , yt; d'autre part, y1,y2, ….,y£,
multipliés par des covariants identiques, sont des polaires de[G,],
relatives aux variables ($ 75). Pour la particularité essentielle

définie par les équations (1), on a

puis
[G]—0, x1—0, »2—0, …, yt—0:

(150 )

o

La condition invariante g, — 0 peut donc être remplacée par
EI 2 OR UE

on obtient un résultat analogue pour les conditions G — 0...
Par conséquent, toute particularité essentielle est définie par
Pidentification à zéro de certains covariants primaires des formes
f, fi, .…, considérées comme formes quelconques (*). -

Fonctions invariantes d'une particularité essentielle.

103. Soit © une fonction algébrique entière et homogène .
des variables et des coefficients des formes /, f,, … Supposons
qu'au moyen des équations (1) et (2) d'une particularité essen-
uelle, on puisse vérifier la relation

P—— 00.

étant le module d’une substitution linéaire quelconque des
variables, x étant un nombre entier positif, négatif ou nul :
nous dirons que o est une fonction invariante de la particularité
essentielle.

: Pour éviter toute ambiguïté, nous appellerons régulières, les
fonctions invariantes des formes f, /1, …, supposées quelconques.
Les fonctions invariantes régulières sont évidemment des fonc-
tions invariantes de toute particularité. Mais il n’est pas certain
a priori que toutes les fonctions invariantes d’une particularité
peuvent se déduire des fonctions invariantes régulières. En effet,
soit À une fonction homogène des variables et des coefficients
des formes j, f;, …, considérées comme quelconques : nous

écrirons
H — 07 + R,

(*) M. Gran a fait observer que toute particularité essentielle est définie
par l’annulation des fonctions invariantes représentées actuellement par
[G;], [Gal]. … (Mathematische Annalen, t. VID).

(151)

en supposant que H contient les paramètres 2;; de la substitution
au degré n7x, x étant un nombre entier positif, négatif ou nul.
Il peut arriver que la quantité R soit différente de zéro quand
f, (1, .… sont quelconques, mais que d’autre part on ait R — 0,
d’après les équations (1) et (2).

Dans ces conditions, À est une fonction invariante de la par-
ticularité, sans être une fonction invarjante régulière. Toutefois,
il.peut se faire que d’après les équations (1) et (2), la quan-
tité À soit exprimable comme fonction invariante régulière #
de f, fi, .…, et de telle manière que l’on ait

h=h —Rh",

h"_ étant une quantité nulle d’après les équations (1) et (2);
dans ce cas, la fonction invariante À de la particularité se déduit
d’une fonction invariante régulière }'. Nous nous proposerons
de résoudre la question suivante : Peut-on obtenir, au moyen
des fonctions invariantes régulières, toutes les fonctions inva-
riantes d’une particularité?

104. Pour notre but, nous aurons à faire usage d’une pro-
priété des covariants primaires réguliers, rapportés à une parti-
cularité.

Désignons, commé précédemment, par la caractéristique ©,
une opération telle que Q$ soit une somme homogène de cova-
riants identiques, multipliés par des polaires de # relativés aux
variables; nous pourrons énoncer le théorème suivant : Si, pour
une particularité, les covariants primaires réguliers 41, 72, …., yt
sont linéairement indépendants et si l’on a dans les mêmes con-
ditions

Qol + Q,%2 + + Qyt —=0,
on a aussi
Qi + 092 +. + Qt = 0,

dans le cas tout à fait général.
Supposons, en effet, que l’on ait dans le cas général

R — Q,y1 + y = 207 + Q,yl 2 0.

(152 )

Les covariants primaires y1, m2, D) n'auront entre eux
aucune relation du premier degré, puisqu'ils jouissent de cette
propriété quand ils sont rapportés à la particularité. D'autre
part, si les opérations Q,,.Q,, …, Q, ne sont pas linéairement
indépendantes pour y1, y2, …., yt, on pourra écrire :

R— Qy'1 +092 + … + OX (5)

en faisant les conventions suivantes : 1° Vas Mas ce: sont des Cova-
riants primaires linéairement indépendants, exprimables comme
fonctions du premier degré de 4L V2, ts 2%1les opéra
tions Q;, Q:, …, Q, sont linéairement indépendantes pour y'Î,
X 2, , y (voir $ 74).

La fonction invariante R étant supposée différente de zéro.
on déduit de l'équation (3) que les covariants primaires 1, y2, .…
multipliés par des puissances de (+ x1,x2, … æn,), sont des
polaires de R relatives aux variables ($ 75). Rapportons ce
résultat à la particularité pour laquelle on a R = 0 ; nous voyons
que les fonctions x, Cest-à-dire des combinaisons linéaires
de :y1, y2, …,yt, devraient être nulles d’après les conditions de
la particularité. Cette conséquence est contraire à nos supposi-
tions; par suite, la fonction R doit être nulle dans le cas général,
ainsi que nous l’avions annoncé.

105. Soit o une fonction invariante quelconque d'une par-
ticularité essentielle; d’après la définition, on pourra vérifier
la relation

p—07.#, (4)

en faisant usage des équations de la particularité : nous pourrons
toujours supposer que o se rapporte à des séries de variables
y1, y2, …, différentes de x!, x2, …, xn.

Désignons, comme précédemment, par [D] la transformée
de ®, dans laquelle on a remplacé les paramètres à, , «2, …, a,
de la substitution, par les variables

mA D OO ne (CEA O2 ES UL)E

(155)

si la quantité o couhent au degré total e les ARE YA y

le produit
' pue (Æ cha an, )? (5)

est une fonction invariante régulière ($ 44).
4.
D'après les équations (4) et (5), on a pour la s puueuns

essentielle :
[®] — ? « (Æ LA . an, )”

puis
p”
DR PR RO Re AN. 6
: (Eli. cn,)T Tr (6)
la fonction @ étant t indépendante de x1, x2, .…, x, on a néces-

sairement x + p 7 0, et la fonction a est du degré x + p par
Ir QU HAN ee St: {. > h

_ 106. Soit
at p = Qi + Qy2 + +. + Qyt,

le développement de la fonction invariante régulière ©’ suivant
les polaires de covariants primaires 1, 2, …, yt. Supposons
que les covariants 1, 72, …, yt sont des ons linéaires
de y1, y2, .…, yt quand on les rapporte à la particularité essen-
tielle ; nous pourrons remplacer la dernière équation par

o° — gp” + Quxl + yy2 + ee + y Xl» (7)

en désignant par o” une fonction invariante qui s’'annule pour
la particularité.
D’ Que l'é cn (6), la quantité +’ est divisible par

(HE xia2, … an, )T+P
quand on à la Luis à À particularité il en est de même de
cu ZE QyY2 Æ ee + de Ur:

d’après la formule (7).

(154)

Si l’on observe que g' et Q,,y1 + … contiennent au degré
x + p chacune des séries de variables x1, x2, …, xn, on obtient

OC OTE
xt Pr + Q2%2 SCO GX) = 0, (8)

UN 92;5, em,
pour la particularité essentielle.

Les opérations
d d

XŸ —— Q,, IQ ———— (y, os
dati + 1 ; dxi + 1 7

sont comprises parmi celles qui ont été représentées par la
caractéristique Q; d'autre part, les covariants primaires 1,
42, yh n'ont entre eux aucune relation linéaire quand on
les rapporte à la particularité essentielle : par l'application du
théorème énoncé au paragraphe 104, on voit que les équa-
tions (8) ont encore lieu quand les covariants y se rapportent
à des formes algébriques sans particularité. Il résulte de là que

OuXl ar 000 5e Dyy, Xl

c'est-à-dire ® — +”, est toujours divisible par

(Æ xl ÉD .. xn,)T Te re

(voir $ 42, Cor.) ; en d’autres termes,

sd
(Æ xx 2 … TN Jane

11

est une fonction invariante régulière o,. Pour la particularité,
on a g’— 0, et l’on peut écrire au lieu de l'équation (6) :

p —9"
(CE xA,x2; 500 LU di A Vo

Die

Conséquemment, toute fonction invariante ç d’une particula-
rité essentielle se déduit d’une fonction invariante régulière œ.

(155)

107. Nous appellerons covarianis primaires d’une particula-
rité essentielle, les fonctions invariantes © de la particularité qui
dépendent des seules variables x1, x2, …, xn —- | et qui satis-
font aux équations |

x so, 22 3 — 0, RE 0 Hem VU

Cela posé, nous établirons que tous les covariants primaires
d’une particularité essentielle se déduisent des covariants pri-
maires réguliers. é

La démonstration de cette proposition est 1out à fait analogue
à celle qui a été indiquée pour le dernier théorème.

Soit +, une fonction invariante régulière dont on peut déduire
le covariant primaire o de la particularité essentielle; nous

écrirons :
| api + Mal + Qy2 + ee + xl, @)

en supposant que pour la particularité @g s’annule, et qu'en
même temps les valeurs de 1, y2, …, yt sont linéairement

indépendantes.
D'après la définition du covariant +, nous obtenons :

d

à ———— (01 + Do2 +... +Q 0)
ra 1X 2X D4)) au

(10)
PEN EN RE Î

pour la particularité à laquelle la fonction 9 se rapporte.

11 résulte de là que l'équation (10) a lieu dans le cas tout
à fait général ($ 104); par suite,

Quoi + Qy2 + + + Qyl
se réduit à un covariant primaire régulier y ($ 62), et l'on a,
d’après la formule (9) :
AA + %X

Les fonctions @{ et &!', rapportées à la particularité, ont pour

(156)

valeurs o et 0 : conséquemment, tout covariant primaire o de la
particularité invariante se déduit d’un covariant primaire régu-
lier. y L

Ainsi, par exemple, supposons que les formes f, /1, … con-
tiennent les seules variables x1, x2, …, x — 1 et satisfont aux
conditions invariantes

les covariants primaires de f, f,, … se déduisent des covariants
> A

primaires réguliers ; par suite, ils s’obtiennent au open 1 la

méthode des covariants dérivés (E hs eh

ERRATA.

Page 5, ligne 5 ; au lieu de exprimées, lisez : exprimées.
— 11, dernière ligne; au lieu de f, f”, lisez : f’, f'.

— 192, ligne 14; au lieu de /, lisez : f’.

— 192, — 15; — frs lisez Se
— 192, — 925; — a, lisez : a".
— 51, — 5; — somme, lisez : sommes.

— 52, formule (1); au lieu de n;, lisez : 7;.
— 100, dernière ligne, et page 101, première ligne; la notation m doit

être remplacée par n'.

. LETTRES

A

QUELQUES MATIHEMATICIENS

E. CATALAN.

LETTRES

QUELQUES MATHEMATICIENS.

————— <<

À M. Hermile.

Merci de votre bonne lettre, si affectueuse et si encourageante.
Je me permets de vous signaler, dans le tome JII (*), la propo-
sition suivante, horriblement simple, mais peut-être nouvelle :

Soit

((—ax)?=S,+R,,
p étant un nombre entier. Le reste R, — la fonction proposée,
multipliée par un polynôme entier, facile à former.

A l'instant, je trouve cette autre relation :

F' 1
dP |
ne) PU 1er :
dx? a malt ) (p + };

qui me semble curieuse. Je me demande si, en admettant les
différentielles à indices quelconques, de notre Maitre Liouville,
elle serait générale (**). Mais je n'ai pas le temps de chercher la
solution de ce problème.

Salut très affectueux de votre très vieux Professeur.

Liège, 8 octobre 1888.

(*) Mélanges mathémaliques, p. 251.
(**) Nouvelles Notes d’Algèbre et d'Analyse, p. 45.

(Qu)

Il

A M. G. de Longchamps, Professeur au Eycée Charlemagne.
Mon cuer LoNGcHAMPs,

Je reçois ta lettre, dont je te remercie.

Avant que le Mémoire me revienne, je vais te dire l'impression
qu'il m'a laissée, quand je l'ai rapidement parcouru.

Au fond, tes nouvelles fonctions sont des séries. J'accorde
qu'elles sont convergentes. Sont-elles nouvelles, sont-elles plus
simples que celles dont on a fait usage jusqu'à présent ?

Là est la question.

Par exemple (si j'ai bonne mémoire), tu fais d’assez longs
caleuls pour développer, en série, la fonction

y — Ji: “dx.
0

Or,
x° x x°
CON ES =, Se 0
{| 12 4.2.5
Donc
x° Da x?
DER Pre a EE NE EE PE Eu 009
AS ARR DIN) 1.2.3.7

Ta série est-elle plus simple que celle-ci ? J'en doute.

Ce n’est pas tout.

Tu crois qu'avec les isobares (*), tu intègres, dans tous les cas,
l’équation de Riccati. Cette annonce m'avait, autrefois, fait dresser
l'oreille, comme si j'étais un vieux cheval de trompette. A la
lecture, je n'ai pas été converti. Ton intégrale, me semble-t-il, est
un développement en série, + conforme à ceux que l'on connait,
développements employés, en particulier, par Liouville, et repro-
duits dans le Cours d'Analyse de Duhamel. Insistons un peu
sur ce point.

(* Je ne chicane pas sur les mots nouveaux ; mais celui-ci, très conforme
à l'étymologie, me semble un peu barbare. J'aimerais mieux...

(5)

Liouville transforme ainsi l'équation de Riccati :

d°y | B |
— —|A+—)7y. 1
de ne 1 (1)
Soit, s’il est possible,
y où + br ex + 5 (2)

et, par conséquent,

au(x — 1)2 + bB(B — 1)xf? + cy (y — 1)aŸ? +

(3)

B
— [a + - (ax* + DRPERicx) ee },
|

puis le caleul bien connu. Fais-tu autre chose ? Surtout fais-tu
plus ? Je ne le crois pas; mais je désire me tromper (*). Du reste,
De Tilly et Mansion sont d'excellents juges, très compétents, et
très bien disposés pour toi. De leur part, tu n’as pas à redouter,
comme de “**, un parti pris. À propos de ***, qui done jugera
son... ? Quel drôle de livre!

Ton vieux Collègue et ami.
Liège, 10 mars 1889.

III
A. M. Hermite.
Mon cer Monsieur HERMITE,

En publiant, au commencement de l’année dernière, les Nou-
velles propriétés des fonctions X,, je croyais bien ne plus m'oc-
cuper de ce sujet.

Mais l’on revient toujours
A ses premiers amours !

(*) Je m'élais trompé : M. de Longchamps remplace, par une série unique,
de quotient de deux séries.

(Q5)

Au commencement de cette semaine, en étudiant votre savant
Cours de la Sorbonne (ce que je n'avais pas encore fait : je me
le reproche), je suis tombé sur la célèbre formule de Gauss :

on

= 2) ec (DM)

Elle m'a fait songer à un rapprochement signalé en 1879,
par suite de la comparaison avec cette autre formule :

EEE Lo 4]

—2)-x x. A) G£i)

À — x

que je crois avoir trouvée dans ce temps-là. Mais ce rapproche-
ment n’était que éypographique, pour ainsi dire. On peut faire
mieux.

En effet, soit, pour plus de clarté, X, —f, (x). Dans la for-
mule de Gauss, changeons x en - ; nous aurons :

SA æ ( 1 |
ee D RH HAZeUE

Donc, par ma formule (?) :

©0 C9” |

2 De oi =D À E<1,
Ant ille =
ou, ce qui est équivalent,

© 1

>

se:

“(0 ©

Si je ne me fais illusion, cette égalité (A) est curieuse, et doit
avoir des conséquences nombreuses.

X,1X, (AN UNE

(0)
Remplaçant X,, X,, X;, … par leurs valeurs connues, on trouve,

comme développement du premier membre :

x° 4 x 16 x?
D OR peer ere MS REn Se ent te

+
5x 5(5—x)(5 2) 4 (5—527)(55 300 +3)

2
XL + —
2

et, comme développement du second,

1 1
x + 3° (5% — 1) + LT — 1) (5x° — 3x)
1
er (5x° — 3x) (352° — 50x° + 3) + +.
De là résulte :

1 1
ES 0) PA (9 JON
x 12 66

puis les sommes d’une infinité de séries, assez compliquées.

Je me borne, mon cher et illustre Collègue, à cette simple
indication. Si vous pensez que le sujet mérite d’être creusé,
envoyez-moi, par carte postale, ce seul mot : Continuez.

Salut affectueux.
Liège, 8 novembre 1889.
IV
A M. Hermite.
Mon cHer Monsieur HERMITE,

Voyez, encore une fois, comme les beaux esprits se rencontrent !
Il y a deux jours, j'ai reçu, de M. Miller, les derniers numéros de
l’Educational Times. Naturellement, mon attention s’est portée
sur votre nom, et sur la Question 9852. Maintenant, écoutez le

reste.

(8)

La série
(n + 2)(n + 3) …. 92h
2usin

X + L° + D + + Que 2e

est, comme l’a remarqué Binet, le développement de

1—VA—ux
ee
2

A la page 62, j'ai donné la formule

k(k +3
(To + Tan? + Ton + of + at + = ina
ou
L k(k +3
(+ x + 92° + Da +) —1 +ie+ . De
e , y k
Le pie membre égale (£) à
Mais, à cause de
(Arr,
Jr ren
on a
' 1 + VA — 4x
UE à am
puis
yU—y)= x.
Donc
k
X
puis
1 ER, k k(k+3),
— y) = EC + ———…—…—— % + ...:
Un TE 1 :

ce qui est votre formule.

Salut affectueux.
Liège, 51 mars 1890.

(‘) Mélanges mathématiques, t. Il, p. 65.

(125)

V
A M. Hermite.
Cuer Monsieur HERMITE,

Trois jours passés à Bruxelles m'ont empèché, jusqu'à présent,
de répondre à votre lettre du 4 avril.

Et d’abord, je ne vous ai jamais, au grand jamais, supposé
l'intention de m'adresser un reproche quelconque : bien au con-
traire ! Donc, laissons de côté ce petit point.

Je crois vous avoir mandé que, dans le Mémoire présenté,
samedi, à l’Académie de Belgique, j'ai indiqué certaines pro-
priétés dont jouissent vos polynômes T,, ou, après un change-
ment de lettres, vos intégrales.

Xe
=) ——— 5,

T — 4

(j'appelle A, ce que devient X, par le changement de x en a).
Je vous remercie de m'avoir fait connaitre la belle formule

= 9 a— à + V1 -= Jux + x?
Le = > UM NES
ONE: V1 — Sax + 0° l—a

="

(A)

Eu la comparant à la formule (79) de mon deuxième Mémoire
(p. 26) (*), j'arrive à un résultat qui m'étonne un peu.

Pour rendre plus facile la comparaison, je change, dans (A),
æen z, a en°x :

2 z— x + VA —9xz + z

V1 — 2xz + 7°

co
D 2%
0

() z—c+V/1—2%m+r À. zH
Ç PSE SSNT ARS Ÿ X, (B)
(Ù

2

EU)

Mais, J, était une fonction de a; done, dans (A”), on doit

prendre
1: ne dt
Jr : D"

afin que le nouveau J, ne diffère, de l’ancien, que par le change-
ment indiqué. Si je ne me trompe, le nouveau J, est done votre
polynôme P,. Ceci admis, (A) devient

à 2 sr lb Fe
Dre 4)
ET VA — 2rz + 7° l— x
ou, d’après (B) :
amer x
V1 —9xz + z D P,z = D X, C
D mi © ms in ri (2

Prenons les dérivées des deux membres, par rapport à z :

di meme N° il Z— x o vi
VA —2127+2" > HP TEE = ———) D ar — > X,2":
2 0 21/4 _9xz + 7 Û

ou, par l'équation de définition :

co (2)
Ar) > np EE) > P,z" 9.

Ainsi

D [re — (An + 1)zx + (n + 1)z°] Date 9
EUR
ou enfin, parce que P, — 0 :

> Lu — (Qu + 1)2x + (n + 1)z°] D 7. (D)

=

Voilà ce qui m'étonne. Ai-je commis des fautes, ou vous ai-je
mal compris? L'avenir nous l’apprendra.

î
L
’
F
u
L:

(D)

Agréez, je vous prie, avee mes remerciements, l'assurance des
sentiments affectueux de
Votre bien dévoué très Ancien.
Liège, 16 avril 1890.

P. S. La formule (D) est exacte; elle s'accorde avec la rela-
onentre/P.,,1P:, 2; 2410").

VI
A M. Allix, Capitaine du Génie (à Gap}.
Mon JEUNE CAMARADE,

Merci de votre aimable et intéressante lettre du 11. Si je n'y
ai pas répondu immédiatement, c'est parce que, en ce moment,
une bronchite me tient : je suis agrémenté d’un …., sans compter
d'autres mauvaises choses.

Vous me dites que ma définition des incommensurables soulève,
chez vous, beaucoup d’objections (du moins, tel est le sens de
vos paroles). Lorsque, vers 1836 ou 1837, je donnai cette défini-
tion, je ne me flattai point d’avoir, du premier coup, atteint la
perfection. J'avais ouvert la voie : c'était assez pour commencer.
Puis, je n’ai jamais écrit pour les abstracteurs de quintescence ;
cer, comme dit Leibniz (?) : « Il n’y a pas moyen de contenter
ceux qui demandent le pourquoi du pourquoi. » Comme je l'ai
narré à Brisse, quand j'étais sur les bancs, on ne jurait que par
Bourdon : « |/7 est le nombre qui, multiplié par lui-même,
reproduit 7. »

Il n'avait oublié qu’un point :
C'était d'éclairer sa lanterne.

(") Cette relation est

En + 1LiPurs —(2n +1) xp, + nP, 1 = 0.

(12)

Pour la Géométrie, c'était encore pis. Legendre, dans sa mau-
vaise Géométrie (renouvelée d'Euclide), dit, en termes presque
aussi solennels que barbares : « Je dis qu'on aura surface
CA — © CA x cire CA (*) ». Puis il ajoute:

« Car si = CA X circ CA n'est pas l’aire du cercle dont CA est
» le rayon, cette quantité sera la mesure d’un cerele plus grand
» ou plus petit. » Pourquoi? Il a oublié de le dire.

En d'autres termes, l’illustre Auteur de la Théorie des fonctions
elliptiques admet qu'il ÿ a des cercles de toutes les grandeurs ;
ou encore, que, l’atre du cercle est une fonction continue du rayon.

Si l’on admet cela, que reste-t-il à faire? Rien, ou très peu de
chose.

Ce qui m'a toujours mis de mauvaise humeur, quand j'étudiais
la Géométrie de Legendre, c'est l'espèce de mauvaise foi de
l’'Auteur. En effet, avee ses démonstrations bi/arres (qui ne
démontrent pas), il a l'air de dire, au malheureux lecteur : « Voyez
comme Je suis rigoureux! » Et il ne l’est pas plus que Bezout,
lequel avait, du moins, le mérite de la clarté.

Je pourrais continuer cette critique : le sujet est presque
inépuisable. Pour abréger, je vous citerai seulement le fameux
Lemme préliminaire sur les surfaces (p. 242).

Que siguifie l'expression : « Une surface convexe est moindre
que » ?

Quoi qu'il en soit, dans mes Éléments de Géométrie (18453),
j'ai défini la longueur d’une ligne, l'aire d’une surface, le volume
d’un corps. Il faut croire que mes définitions n'étaient pas mau-
vaises, car elles ont été adoptées par mes successeurs, en partucu-
lier par MM. Y et Z, …, qui, dans l ‘ur grosse Géométrie, se sont
emparés (ou parés) de toutes mes idées, sans jamais me citer.

Ici, j'ouvre une petite parenthèse.

Dans mon volume de 1845, je disais (p. 155) :

« En employant des rectangles, …, et en employant des poly-

(‘) Cet énoncé, et tous ceux du même genre, faisaient dire à Lacroix
(d’après ce qu'on m'a rapporté) : « Il y a donc un ange qui lui a soufflé son
théorème! »

a Éd

(15)

» ones, … arrivera-t-on à la même limite? Et même, en conser-
» vant le second procédé, toutes ces séries conduiront-elles à la
» même limite? La réponse est aflirmative; mais la démonstra-
» tion de l'identité des résultats ne parait pas être du ressort des
» Éléments (*). Nous admcttrons donc cette identité. »

Vous voyez que ceci est de la bonne foi scientifique. 1 paraît,
d'après Y et Z, que “** a complété, en ce point, ma théorie. J'en
suis bien aise.

Si le Doctcur me permet de sortir aujourd'hui, je mettrai à la
Poste les Mémoires que vous m'avez demandés. Je désire que
vous puissiez avoir la patience de les lire, et la bonne fortune d'y
ajouter quelque chose.

Que mettriez-vous à la place du mot éndéfini ? Il s’agit d’une
chose qui ne finit pas. Je crains que vous en disiez autant de ma
lettre. Done, je termine brusquement.

Votre bien dévoué très Ancien.
Liège, 17 mai 1890.

VII
A. M. Casorati (**) (à Pavie).
Monsieur,

Je quittais Liège, quand j'ai reçu le beau Mémoire que vous
m avez fait l'honneur et le plaisir de m'offrir. Cette circonstance
de déplacement vous explique le retard de ma réponse.

J'ai lu votre Mémoire avec le plus vif intérêt, et j'ai admiré la
manière simple et élégante dont vous établissez votre jolie

formule :
C “| à
=—|— + — .
ORNE:

(‘) Allusion aux Lemmes sur les infiniment petits.

(**) Cette lettre n’est point parvenue à destination. Le savant Professeur
est mort avant d’avoir pu en prendre connaissance. Ces détails m'ont été
communiqués par Mie Eugénie Casorati, fille de mon regretté Collègue. :

(NE)

Atteint-elle le but que vous vous étiez proposé? Est-elle
d'accord avec l'idée commune ? Il me parait que non. Voiei l’un
des motifs de mes doutes.

R, étant supposé positif, C ne change pas quand on y remplace
R; par — R,. En particulier, si l'on considère le caténoïde, dans
lequel R, = — R,, puis la sphère dont le rayon serait R,, on a,
pour ces deux surfaces, en deux points correspondants, C — Re
Ainsi, le caténoïde et la sphère auraient même courbure. Cette
conclusion est-elle d'accord avec « l’idée commune »? Je vous le
demande.

Autrefois, je me suis occupé de cette question de la courbure
des surfaces, question sur laquelle je n'ai rien publié. Depuis la
lecture de votre Mémoire, mes vieilles idées sont revenues ; et
voici la solution (provisoire) qui en découle.

Coupons un ellipsoïide AMB (*), par un plan GHF, parallèle au
plan tangent en M.

Soient À la distance de ces plans, et E l’aire de la calotte ellip-
soïdique. D'autre part, considérons la sphère qui aurait O pour
centre, et OM = c pour rayon. SoitS l'aire de la calotte sphérique,

&

correspondant à la calotte ellipsoïdique. Il me semble qu'on
pourrait prendre, comme valeur de la courbure en M, la limite
de & répondant à À— 0. Il est vrai que l'expression de E

(*) Ce sera l’ellipsoïde osculateur, si la surface donnée est convexe.

(147)

contient des intégrales elliptiques (*). Mais si l'on développe cette
expression suivant les puissances de À, et qu'ensuite on fasse
À — 0 [dans = il est possible que le résultat soit simple. N'ayant
ici aucun livre, je ne puis effectuer ce calcul. Je me contente de
vous en indiquer le principe, me proposant d'y revenir, peut-être.
(Je suis dans mon 77°" printemps.)

Agréez, Monsieur, etc.

Spa, 17 juin 1890.

VIII

A M. Azzarelli (à Rome).

MonsIEUR,

Le dernier numéro des Afti, que j'ai reçu hier, contient une
Note sur la courbe formée par les projections d’un point sur les
tangentes à un cercle, Note au sujet de laquelle je désire vous
soumettre quelques remarques.

La courbe dont il s’agit est la podaire du cercle : dans un cas
particulier, elle se réduit au Limaçon de Pascal. Cette courbe,
archi-connue, même par les Aspirants à nos Écoles (de France),
ne mérite pas, me semble-t-il, d’être traitée dans un Recueil
académique. L’Auteur de la Note y déploie un bien inutile luxe
de ealcul ; et, véritablement, #! a pris une massue pour écraser
une mouche ! (proverbe français). Vous allez en juger, si ce n’est
déjà chose faite.

C étant le point donné, soit MP une tangente au cercle AB. Si
l'on fait :

COR OB— a, QE =

et que l’on mène OD parallèle à MP, on a

u = à + b cos o, (1)

(”) Voir, dans le Journal de Liouville, mon Mémoire sur l’aire de l’ellip-
soide, etc.

( 16 )
équation de la podaire. On en conclut :
| u! — — b sin o, (2)
(5)

Si l’on achève le rectangle MPCE, la diagonale PE est la nor-
male, en P, à la podaire (*).

u'= — b cos »

La formule

ds? — du? + u°’d

devient
ds® — (a? + 2ab cos & + b°?) de’;

puis, si l’on fait © — 29 :

ds — 4 (a? + D? + 2ab — 4ab sin” 6) dé.

(4)
Il résulte, de celle-ci :
? Î 4ab
5 = Ÿ ab) f ds | — , Sin? 6. 5
( V (een (à)

Donc l’arc BP, de la podaire, est équivalent à l'arc d’une ellipse
facile à construire; ete.

Je pense qu'en voilà assez...

Je suis, Monsieur, votre dévoué vieux Confrère.
Spa, 26 juillet 4890.

*) Propriété connue, presque évidente. Le lieu du point E est la circon-
P
férence décrite sur CO comme diamètre.

(17)

IX

A M. Tallquist (à Helsingfors).

Comment, Monsieur, vous avez déjà publié une demi-douzaine
de Mémoires, sur un sujet très difficile, et vous n'avez que
vingt ans !

Vos pareils, à deux fois, ne se font pas connaitre,
Et, pour leurs coups d'essais, font de grands coups de maître,

4

comme dirait Corneille (ou à peu près). Permettez à un vieux
Mathématicien, qui s’est occupé, il y a quarante-six ans, des
surfaces-minima; permettez-lui, dis-je, non seulement de vous
témoigner toute sa sympathie, mais encore la surprise de trouver
tant de talent chez un tout jeune homme! Abel, votre illustre
quasi-compatriote, avait plus de vingt ans quand il a commencé
à devenir célèbre. Puissiez-vous, plus heureux que lui, poursuivre
une longue carrière, si brillamment inaugurée!

J'ai lu, avec un vif plaisir, votre détermination expérimen-
lale…, et J'en ai écrit déjà à un Confrère, M. Van der Mensbrugge,
gendre et continuateur de Plateau. Je ne puis lire vos autres
Mémoires, faute de connaître les langues dans lesquelles ils sont
écrits.

Il me semble que vous ne citez pas le travail, bien remar-
quäble, de Ribaucour, sur les élassoïdes (c'est le nom qu'il a
imaginé ; il est plus court que surface-minima. De plus, celui-ci
est moitié français, moitié latin : il est hybride).

Ne connaissez-vous pas le Mémoire de Ribaucour, ou le
Rapport que j'ai fait sur ce Mémoire? L’Auteur a obtenu, en 1880
ou 1881, le prix proposé par l’Académie de Belgique. Je regrette
de ne pouvoir vous envoyer aucun de ces deux opuscules.

Je croyais la dénomination de caténoïde due à Bour, profond
Géomètre, mort très jeune, et que j’ai beaucoup connu.

A propos des élassoïdes, voici une autre hypothèse que j'ai
exposée, jadis, à l’Université de Liège : « Tout élassoïde peut

2

(18)

étre engendré, de deux manières, par des courbes égales. » Cette
hypothèse est-elle fondée? Est-ce que M. Lie, dont je nc connais
pas les ouvrages (à cause de la langue), n'a pas démontré
quelque chose de ce genre ?

Je termine cette lettre, déjà trop longue. A la fin des vacances,
je me ferai traduire ceux de vos Mémoires qui ne sont pas en
français. J'ai la persuasion qu'ils ne modifieront pas la bonne
opinion que j'ai conçue de vous.

ACCES

Liege, 6 septembre 1890.
X
A M. l'Abbé Gelin (à Huy).
Mon cHer COLLÈGUE,

Votre formule supposée :

L(+ a) (1 + ab) (A + ab°) (1 + ab")
1 —b" (1 — 0") (b — b°) (1)
pi Come) a er Et

est fort intéressante (elle m'a donné de la tablature et des insom-
nies). Mais celle n'est pas nouvelle. En septembre 1843, Cauchy
a démontré celle-ci, qui ne diffère pas de la vôtre :

1 en) (tre)

(+x)(A+tx).. (140 na) il LS = FR —— tx? +.
St (1—t) (1—")
2
(1 KA Le) (n—2) (n—1) n(n—1) (2)
a 7 2 at +t ? x".
1 —1 }

(Comptes rendus, p. 560.)

Le grand Géomètre n'écrit pas le terme général du second
membre : il est clair que ce terme est

MAPS PS East) ue
à

' (A{—t)(1—#).. (1 —1,) P (5)

(19)

Ainsi :
P=n
(+ x) (1 + Ex) (A + Lx) = 1 + ÿ T, (4)
p=t
Remarques. — 1° D'après la forme du premier membre de
l'égalité (2), T, est un polynôme entier, à coefficients entiers.
2° Conséquemment, la fraction contenue dans T, est réduc-
üble à un semblable polynôme; ou, ce qui est équivalent (avee
un changement de lettres) :

RE
( ce) an Deer e Re

: (t— x)(1 — à) (1 — x). (1 — x?)

9° Ce théorème, qui me parait fort remarquable, n’est pas
nouveau non plus : il est énoncé et démontré dans l'A /gébre de
Bertrand (1° édition). Il en résulte ces deux-ci :

Parmi les racines de l'équation

(ae — 1) (ae 1). (a 1) — 0
se trouvent toutes celles de l'équation
(x — 1) (x? — 1). (x? — 1) = 0;
Si N est un nombre entier, la fraction

(N° — 1) (NF 1). (NP — 1)
EN — 1)(N°— 1)... (IN — 1)

est reductible à un nombre entier.

4° Si l'on suppose x = 1, n — w , et qu'on remplace t par q
(q < 1), l'égalité (2) devient
241 + g}A + gif + qi (1 + g)..
nes) 1) (ge) (lg)

laquelle est due, je crois, à Jacobi.

= |

(20 )
5° Posons, comme Jacobi et Legendre :

4 1 + A + qi).
: ( ni di si &. (6)
BU +qNu 2 gg) x g).

On sait que

q g q Le
IE ER PR PO IENR QR A en ER Er Le 7
de) eo dense

L'égalité (5) est la même chose que

D +

260 —] e 5 2 3
PP Me rene Te tete

Celle-ci parait différer de la précédente. Cependant, elle en est
une conséquence.
En effet, la soustraction donne

BG —1 + ALI RATER ES (7)

Te)
Permettez-moi d'en rester là.
. Liège, 5 juin 1891.
XI

A M. l'Abbé Gelin.

I

La formule de Cauchy (C. R., sept. 1845) se trouve, au moins
en germe, dans l'{ntroduction à l'Analyse d'Euler. Seulement, le
grand Helvétien y considère le produit indéfini

ZL—= (A + xz) (1 + à) (1 + x°x) …

(‘) Recherches sur quelques produits indéfinis, p. 1.
(””) Jbid., p. 51.

(21)
Il obtient, très simplement (comme toujours) :

x qe

X
BE ———@° 2 —— ————Û——©° 5 +.
1x x) (I) (1x) (1x)

Z—1+

C'est ce que vous aviez cherché. Ainsi que je vous le mandais
dans ma lettre du 5 juin, si l'on suppose z= 1, x —q <1,on
a cette formule de Jacobi (?) :

q d

+

er Tue quart

(+ {+ A + he = +

Il

Je reprends la formule de Cauchy :

(HT) tr) (+ rx) = A1 + S TT (1)

p=1
dans laquelle
(1 — L”) A— 1 ï, We (1 AU ir) p(p—1)

re CNE TR) Done a

Evidemment, T, est la somme des produits, p à p, des

n quantilés
DT EE RE AM Re

Soient, par exemple,

n—=5, p—= 72.
On a
al Se).

U

Ten nEer

rp2
et aussi :
ET AUS RON EN EENCE EONS c]

= x [1 + BR 20 EE 26 UNE].

(22)
Conséquemment,

1—6)(1 — 1
be UN APN Ut nn
(= ie)

ou
(H+t+ ++) + = ++ 90 +00 + + PE +;
ce qui est exael.

II

Les questions précédentes m'ont conduit (ou ramené) à ces
deux problèmes :

1° On prend p termes, dans la suite 1, 2, 5, .., n. On fait la
somme de ces p nombres. À quoi est égale la somme S,., de toutes
les sommes partielles ?

2° Trouver les sommes X
nombres entiers ?

»,v des produils, p à p, des n premiers

J’obtiens :
4° Sy, p == Cyu,2 DE (CE ve
22 x ST Cou, s X Cure.

Cette seconde formule est d'autant plus remarquable qu'elle
est, pour ainsi dire, isolée : les expressions de X,,, et de X,,, sont
- beaucoup plus compliquées.

Remarques. — 1° Si n est premier, supérieur à 4, X, ; est
divisible par n°.

2° Si n + À est premier, X, ; est divisible par (n + 1}.

9° Il ya üne relation entre les deux problèmes.

Votre dévoué vieux Collègue,

E. C.
Liège, 17 juin 1891.

a de et à ‘à

SDIE

DE NOUVELLES FORMULES

POUR LE CALCUL

DU NOMBRE I DE LAISANT;

le Dr F. J, STUDNICKA,

PROFESSEUR A L'UNIVERSITÉ DE PRAGUE.

SUR

DE NOÛUVELLES FORMULES

POUR LE CALCUL

DU NOMBRE II DE LAISANT.

Dans mon Mémoire Sur l'analogue du nombre IT (*), j'ai pris
comme argument du sinus hyperbolique dont la valeur est 4, le
nombre < Il; je me propose actuellement de faire connaître de
nouvelles formules qui se prêtent à une détermination commode
de cette constante introduite par M. Latsanr.

Dans son Essai sur les fonctions hyperboliques (**), cet auteur
en a déterminé la valeur par la formule

mn — /(1 + V9), (1)

et, en le calculant directement par les tables de logarithmes, au
moyen de la valeur approchée

V9 — 1,4149 1556 …,

il à trouvé, avec six décimales,

n = 0,8315755870.

WI =

() Mémoires de la Société royale des sciences de Liège, 2° série, t. XIV.
(**) Paris, Gauthier-Villars, 1874, p. 22.

(2)
Dans la suite de ses recherches (*), il a donné, en s’appuyant

sur la formule

AM dl
QU RL RU EEE
9 5

la valeur de II à l’aide d’une série :

Aie 1 1 1 :
A (2)
qui se déduit aussi directement de (4) lorsque l’on fait usage de
l'identité
— = 1
IH AVS) = Vale (|
V2

Afin de remplacer les égalités (1) et (2) par des formules qui
permettent d'atteindre le but qu'on se propose d’une manière
plus rapide, on peut recourir, soit à des développements en
séries plus convergents, soit à des fractions continues. Cest
l’objet du présent travail.

I. — Si l’on emploie la formule connue

(*) Il la déduit de la formule plus connue :
1 1
u—=tg.u — -tef.u + —tg.x —
5 >

par de simples substitutions; elle se déduit d’ailleurs immédiatement, par
inversion, de la formule aréométrique

(**) On se rend compte de la lenteur avec laquelle converge cette série,
en observant que si l’on emploie les 10, 20, 50, 40, 50, ... premiers termes,
on obtient, par IT, 4, 7, 11, 14, 18, ... décimales exactes.

(5)

et que, en ayant égard à (1), on fasse

x = 1 + V2,
d’où l’on déduit

m—I=V9, x+1—V9(1+ V0), 922—1—5 +412;

on obtient immédiatement, après de courtes réductions,

= 2 PEN) 1
1 TO) Ne CNRS ER Re
( ) LEE 1) à 4 Voyit

ou, en introduisant II

1 1
I == 2/9 + 4 RS RES RE FF — “tee L (5)
De4Vo 5(5+4AV/9$ 5(5+z4v9ÿ

Comme on a, avec une grande approximation
5 + 4 V/9 — 10.656 854 249 499 …,
la série converge rapidement.
Ainsi les cing premiers termes donnent
nn — 1,762 747 174016,

dont les dix premières décimales sont exactes.

II. — Pour obtenir un développement en fraction continue
convenable, observons que

l

2
2 +
Drrines

He lo 0

+

D’après la formule (27) du Mémoire cité dans mon introduc-
tion, la fonction continue a la valeur :

Lx 2 + (n— 92) & (n —3)2" +
Dh —

2 25 + (n — 12° + (n — 2)2" 1 +

7

(Q 0.)
Par suite, on à:

1 1 QE (m2 + (n — 1,925 +
D = + — SE DE CNT ai ee LD OU ATTEND TETE .
2 27+(n—1 2" +(n—92)2" A0,
Si l’on désigne simplement par IT, la n° réduite de IT, on
trouve :

à a 9H + (a}2re Je (io = 1)E2tn +
PNEU 25 Qu (n — 1,27 DbÉ (n — D)20: Shsiieies

(4)

Il n’est pas nécessaire de montrer que cette valeur se calcule
aisément, par le procédé connu, au moyen des réduites précé-
dentes.

On a ainsi le tableau :

29) Ho

51121291701169

2] 5 |12

2 22 7

108198519578
1691408 | 985 Fe

29] 70

En s'arrêtant au 20° rang, on trouve la fraction

95 299 558
38 615 965.

Lorsque l’on fait n — 8, on trouve
ll, = 2[l.2578 — |. 985] — 1.762 747
où les six décimales sont exactes (*).
Par ce second procédé, où les logarithmes naturels inter-

viennent, l’approximation est encore plus rapide.

(‘) D’après mon calcul, on trouve, avec vingt décimales exactes :

n — 1,762 747 174 039 086 046 91 …

er dé

(ro):

Remarque. — On pourrait également, en faisant usage de
l'identité déjà citée, poser

nt auf t + =) 16)

V/9

puis, par la méthode d’Euler (*), transformer la série

{ 1
a. A ee (6)

Von
en une série plus rapidement convergente.

On a ici, pour la n° différence

QUE n—1 n—92
1 | > D 2 22 1 À.
+ (Ne — — + à
HERO k+n]

k A

Mais on n'arrive pas à une formule plus convenable en pratique ;
au contraire, en faisant la somme des termes de la nouvelle
série, on retombe sur la série (6).

(*) Si l’on pose
SU, —U, EUx = U,; +H:::,
et si l’on pose :
Alu y = Aiur-1 — AU,
on a
Us AUS AE US
UNE NT

& ,—

+...

comme on le démontre facilement à l’aide du CES des opérations.

us
en
se re
De:
# ” À

LULU

3 2044 1