HARVA RD UNIVERSEL“ LIBRARY OF THE MUSEUM OF COMPARATIVE ZOOLOGY. E, 5 re, nec timide. Done ERLIN “che Hermann, libraire, | chez Frixprinoer u. Sohn, 2 | de la Sorbonne LE Le Carlstrasse, 11. : 2 è ART NU TELTTS \ 2€ de x : L MÉMOIRES SOCIÉTÉ ROYALE DES SCIENCES DE LIÉGE., MÉMOIRES DE LA SOCIÉTÉ ROYALE DES SCIENCES DE LIÉGE. Nec temere, nec timide. TROISIÈME SÉRIE. TOME VI. DÉPOTS : LONDRES. PARIS, BKRLIN » chez Wicuiams et NoreaTe, chez Hermann, libraire, chez Friepränper u. Sohn, lHenrietta Str., 14. rue de la Sorbonne, 8. Carlstrasse, 11. o BRUXELLES, HAYEZ, IMPRIMEUR DES ACADÉMIES ROYALES DE BELGIQUE, Rue de Louvain, 112 AOÛT 1906. SAME T EU SMENT NS (os FEMME IE TND TABLE DES MÉMOIRES CONTENUS DANS LE TOME VI. . Sur la représentation de la forme biquadratique binaire; par J. FAIRON. . Sur les points singuliers des lieux géométriques; par M. STUYVAERT. . Remarques sur un faisceau de coniques; par J. FArRoN. . Sur les nombres plückériens de la courbe d’intersection de deux surfaces algébriques possédant des courbes doubles; par le D' W.-A. VERSLUYS. . Recherches sur les fonctions cylindriques ; par W. KAPTEYw, . Trajectoire lumineuse et distance zénithale dans une atmo- sphère formée de couches planes parallèles ; par G. CESARo. . La matière, sa naissance, sa vie, sa fin ; par P. DE HEEN. . De l'influence d’un contact ordinaire ou stationnaire de deux surfaces sur la développable circonscrite à ces deux sur- faces ; par W.-A. VERSLUYS, 1 . Sur le calcul numérique de la série > more a DA W. KAPTEYN. (+ ps . Observations magnétiques; par M. DEHALU, . Description d’un cristal de calcite du Simplon; par ARTHUR ABRAHAM. . Rhomboëdres direct et inverse qui, modifiant un scalé- noèdre, coupent ses arêtes culminantes en des points situés dans un même plan horizontal, les faces modifiantes partant d’un même point de l’axe ternaire ; par G. CESARO. . Centre de gravité du triangle sphérique; par G. CESÀRo. 14. 15. Sur l’hypocycloïde à trois rebroussements ; par M.-A. Gos. Notes sur l’hypocycloïde à trois rebroussements ; par J. Neu- BERG. SSH E——— AT TEE METTE ir SHOT ed ONE se DUB ER pl TNT Cf NME TA IUUNE UNE RONA 2 LAS A sh tou TT 28408 TT AU HE ‘6e HIER SU UE db, MINE n£ NOATRS tt 4 jé dir TPAQULIE MASSE x rar DU tar o #1 A IN 4 MES TAN f Le LT 5 = ent fan L\ Le # É ATARI SL EUT TE SENTE RTE OELNTTE surtt Lu PALIER AR US HE BTE 1) PA rte AU AUDE , } : 4 : te 41} + es À JL TREÉ hi 1 ane D {105 PU } f RE L 1124 1:48 É ut M MNOBnEAEs aNEMAU da at 008 : = ROMANE EE # “L 1 e Can = = ST. [FAI d 4 LES l ETAT 1 A ANTE 2 ali Er dhrstilonr 00e PPT OO 7 HHAAEE N'ES; x = F T4 | Ze. WVHR FAT AU HYROR 2214725 | NE Î | vi £ »Y171 EU 71 (TITRE * s " ! . 4 f 1 EF (LL: TIMES LUCE NINEUMENLE TRUE Ri4) (ua LYS 3 AIN ES PEU CU ST —- LISTE DES MEMBRES DE LA SOCIÉTÉ (AOUT 1906). Président, M. P. DE HEEN. Vice-Président, » M. DExaLu. Secrétaire général, » (C. LE PAIGE. Trésorier-Bibliothécaire, » J. Faro. Membres effectifs. 1860 Gizzon, A., professeur émérite à l’université. 1870 Masius, V., professeur émérite à l’université, membre de l’Académie royale de Belgique. 1871 Van BENEDEN, Éd., professeur à l’université, membre de l’Académie royale de Belgique. 1878 LE Paice, C., professeur à l’université, membre de l’Aca- démie royale de Belgique. 1879 Jorissen, A., professeur à l’université, membre de l’Aca- démie royale de Belgique. 1880 1831 1884 18385 1837 1890 ( vu) NeuserG, J., professeur à l’université, membre de l’Aca- démie royale de Belgique. Fraironr, J., professeur à l’université, membre de l’Aca- démie royale de Belgique. Deruyrs, J., professeur à l’université, membre de l'Aca- démie royale de Belgique. Uracus, P., docteur en sciences, répétiteur à l’université. Gravis, A., professeur à l’université, membre de l'Aca- démie royale de Belgique. LonesT, M., professeur à l’université, correspondant de l’Académie royale de Belgique. DE HEen, P., professeur à l’université, membre de l’Académie royale de Belgique. Beaupain, J., docteur en sciences, ingénieur principal au corps des mines. 1897 Cesiro, G., professeur à l'université, correspondant de 1898 1900 1902 1906 l’Académie royale de Belgique. HuserrT, H., professeur à l’université, ingénieur en chef au corps des mines. Lonay, H., docteur en sciences, assistant à l’université. Denazu, M., docteur en sciences, répétiteur à l’université. Farrow, J., docteur en sciences, répétiteur à l'université. ABRAHAM, À., docteur en sciences, assistant à l’université. (1x) Membres correspondants. I. — Sciences physiques et mathématiques. 1855 BÈève, Em., industriel, à Bruxelles. 1855 Lrais, ancien directeur de l'Observatoire de Rio de Janeiro. 1865 Hucueny, professeur, à Strasbourg. DAUSSE, ingénieur en chef des ponts et chaussées, à Paris. 1866 LepEenr, directeur de l'École des textiles de Verviers. 1867 Barnarp, président de l’École des mines, à New-York. 1869 Marié Davy, directeur de l'Observatoire météorologique de Montsouris. 1871 Henry, L., professeur à l’université de Louvain. Masrers, MaxweLzz T., membre de la Société royale, à Londres. 1872 VaLLès, inspecteur honoraire des ponts et chaussées, à Paris. GARIBALDI, professeur à l’université de Gênes. KaniTz, D' Aug., professeur à l’université de Klausen- bourg. 1875 DarBoux, G., membre de l’Institut, à Paris. 1875 Mansion, P., professeur à l’université de Gand. Micxaguis, O., captain, chief of Ordnance, à Saint-Paul, Minn., département de Dakota (Etats-Unis). DEWALQUE, Fr., professeur à l’université de Leuvain. 1876 Barrour, Th. G. H., membre de la Société royale, à Londres. 1877 1879 1880 1881 1882 1883 1885 18387 1888 1898 (x) TissanDiER, Gaston, rédacteur du journal la Nature, à Paris. Czu8Er, professeur, à Prague. Van DER MENSBRUGGHE, Gustave, professeur à l’université de Gand. SéBEerT, colonel d'artillerie de la marine française, à Paris. ANGoT, À., attaché au bureau central météorologique de France, à Paris. WIEDEMANN, G., professeur à l’université de Leipzig. Kouzrauscu, directeur de l’Institut physique de Wurz- bourg. Quincxe, professeur à l’université d'Heidelberg. LaIsANT, C.-A., à Paris. MascarT, membre de l’Institut, à Paris. MitrAG-LEerFLer, G., professeur à l’université de Stock- holm. Gouës Trixeira, F., ancien professeur à l'université de Coïmbre. Scxur, Fréd., professeur à l’université de Dorpat. Picouer, répétiteur à l’École polytechnique, à Paris. DE LonGcHamrs (Gohierre), professeur au lycée Charle- magne, à Paris. VANECER, J. S., professeur, à Jicin (Bohème). CEsiro, E., professeur à l’université, à Naples. Warras, L., professeur à l’Académie de Lausanne. GuccrA, professeur à l’université de Palerme. WuLLNER, professeur à l'École polytechnique d’Aix- la-Chapelle. Paazzow, directeur de l’École technique de Berlin. Ocaexe (Maurice n°), professeur à l’École des ponts et chaussées, à Paris. Gorpan, P., professeur à l’université d’Erlangen. 1898 1902 1904 1905 1854 1864 1866 1867 1870 1871 ( X1) KorTEwEG, D.-J., professeur à l’université d'Amsterdam. Lampe, Em., directeur du Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik, professeur à Berlin. Marais, Em., professeur à l’université de Toulouse. Brocar», H., ancien officier du génie, à Bar-le-Duc. Verszuys, W.-A., docteur en sciences, à Delft. LercH, Math., professeur à l’université de Fribourg (Suisse). SCHÔNFLIESS, professeur à l'université de Kœnigsberg in Pr. CareLLi, Alfr., professeur à l'université de Naples. Meyer, Franz, professeur à l’université de Kænigsberg in Pr. W. KaPTEYN, professeur à l’université d'Utrecht. TRAUBE, professeur, à Berlin. II. — Sciences naturelles. Drouër, H., naturaliste, à Dijon. Lucas, H., aide-naturaliste au Museum d'histoire naturelle, à Paris. THouson, J., membre de la Société entomologique de France, à Paris. RopRIGUEZ, directeur du Musée zoologique de Guaté- mala. GossELET, J., professeur à la faculté des sciences de Lille. Raposzkorrski, président de la Société entomologique de Saint-Pétersbourg. MaLaisE, C., professeur émérite à l’Institut agronomique de Gembloux. CaPELLINI (commandeur G.), professeur de géologie à l'université de Bologne. 1873 1874 1875 1876 1877 1878 1379 1881 (6311) CLos, directeur du Jardin des Plantes, à Toulouse. Gzaziou, botaniste, à Rio de Janeiro. De Carvazuo (Pedro Alphonso), docteur en médecine, directeur de l'Hôpital de la Miséricorde, à Rio de Janeiro. Moreno, F. P., paléontologiste, à Buenos-Ayres. ARESCHOUG, professeur adjoint à l’université de Lund. GEGENBAUER, professeur à l’université de Heidelberg. HickEeL, professeur à l’université de léna. WALDEYER, professeur à l’université de Berlin. Eimer, professeur à l’université de Tubingue. De LA VALETTE SAINT-GEORGE, professeur à l’université à 2 de Bonn. Ray-LankesTER, professeur à l’université de Londres. Packarp, professeur à l’université de Salem. FLemmne, W., professeur à l’université de Kiel. PLATEAU, F, professeur à l’université de Gand. 4 Bazrour, I. B., professeur de. botanique à l’université, à Oxford. | Mac LacHLan, Rob., membre de la Société entomologique, à Londres. HerrwiG, R., professeur à l’université de Munich. STRASBURGER, professeur à l’université de Bonn. BronGniarT, Charles, à Paris. WerTrergy, professeur à l’université de Cincinnati. Bozivar, 1., professeur, à Madrid. RitsEemA, conservateur au Musée royal d'histoire naturelle, à Leyde. TaramELLI, professeur à l’université de Pavie. GEsTro, D' R., conservateur au Musée d'histoire naturelle de Gênes. 1881 1883 1884 1898 1904 ( x ) SALvADORI (comte Th.), professeur à l’université de Turin. Hu, Edward, directeur du Geological Survey d'Irlande. TRINCHESE, professeur à l’université de Naples. AGassiz, Alexandre, à Cambridge (Mass.). Berrran, C.-E., professeur de botanique à la Faculté des sciences de Lille. BLancHarD, Raphaël, assistant au Museum d'histoire natu- relle, à Paris, Durran, Th., directeur du jardin botanique de l’État à Bruxelles, correspondant de l’Académie royale de Belgique. Barrois, C., professeur à l’université de Lille. BouLe, Marcellin, professeur au Museum, à Paris. GauDryY, A., membre de l’Institut, à Paris. Osacerr, D., conservateur du Musée de Laval (Mayenne). Porris, AÀ., professeur à l’université de Rome. vON KOENEN, A., professeur à l’université de Gœttingen. DE LorioL, P., géologue, à Fontenex. Pierre, E., juge honoraire, à Rumigny. GranD’Eury, F., ingénieur, à Saint-Étienne. DE ROUVILLE, P., doyen honoraire, à Montpellier. Coccui, J., directeur du Musée, à Florence. DELGano, J.-N., directeur du Service géologique, à Lis- bonne. IAE fe Doi Fit ET no) he «! Re ue DRE “HE op dr 1; Hp | : Cable) Jai itute no srbif F sai Mbmettat LE #anpinaig, 5h 110enn Et 4 : marin Fi æauaioé air pion » arts bé pa int ML PUR TT Sn More A ALT pi juil EMFEAN Ge at But & slpres ie HinLson'E See féoiga ro A ALUT:et: ls es. Sy HER ‘9 n + Dr IAE sin 4 nai CR set 4 ñ MIT TR te DT AESES OUT se aaM Sue nas E LE le LT | uni }hreilraenté: Tec. DÉS ED NN 4 ë MoN a Mae Ent HER RE RATE oi He ain Se 71 CAE (Rp DS &- à at < LA er + CAMP UN EI Xi ou NE Ps à 2 : à re. à ONE ‘ Era fee = rh RO EI TES GLIEN CONNUE IE gutà CHE FT ral + NN CR | À ie oiseau FEONE LEHALTETUpTE ENTSES ST ar MRITTUE ÉTANU PR Ie % £ = VS : N” =2 Fr: 4 ire 7. all Sonata siRert LL ARE, A RENE LISTE DES SOCIÉTÉS SAVANTES, REVUES, ETC, AVEC LESQUELLES LA SOCIÉTÉ DES SCIENCES DE LIÉGE échange ses publications. —8<<— BELGIQUE. Bruxelles. Académie royale des sciences, des lettres et des beaux-arts de Belgique. Observatoire royal. Société entomologique de Belgique. Société malacologique de Belgique. Société royale belge de géographie. Société belge de microscopie. Musée royal d'histoire naturelle. Liége. — Société géologique. Mons. Société des sciences, des lettres et des beaux-arts du Hainaut. Gand. — Muaithesis, directeurs : MM. P. Mansion et J. NeuBerc. ALLEMAGNE. Berlin. — Xônigliche Akademie der Wissenschaften. Deutsche geologische Gesellschaft. Entomologischer Verein. Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik, directeur : M. Lampe (Kurfürstenstr., 159). Naturhistorischer Verein der Preussischen Rheinlande und Wesiphalens. (xvi) Breslau. — Schlesische Gesellschaft für vaterländische Cultur. Colmar. — Société d'histoire naturelle. Erlangen. — Physikalisch-medicinische Societät. Franefort. schaft. Fribourg. Senckenbergische naturwissenschaftliche Gesell- Naturforschende Gesellschaft. Giessem. — Oberhessische Gesellschaft für Natur-und Heilkunde. Gôrliéz. — Vaturforschende Gesellschaft. Oberlausitzische Gesellschaft der Wissenschaften. Gôüttingue. — Xünigliche Gesellschaft der Wissenschafien und Georg-August-Universuät. Natur Dis ensenoieRer Verein für Sachsen und Thü- ringen. Naturforschende Gesellschaft. Kaïserliche Leopoldinisch-Carolinische Deutsche A kademie der Naturforscher. Halle. Kiel. Naturwissenschaftlicher Verein. Kônigsherg. Kônigliche physikalisch-ôkonomische Gesell- schaft. Landshut. Leipzig. Metz. Munich. — Xônigliche bayerische Akudemie der Wissenschaften. Kôünigliche Sternwarte. Botanischer Verein. Naturforschende Gesellschaft. Académie des lettres, sciences, arts et agriculture. Muuster. — West/älischer Provincial-Verein für Wissenschaften und Kunst. Offenbach. — Offenbacher Verein für Naturkunde. Stettin. — Entomologischer Verein. Stuttgart. temberg. Verein für vaterländische db in Wür- Wieshaden. — Vassauischer Var für Naturkunde. Wurzhourg. — Physikalisch-medicinische Gesellschaft in Würz- burg. Zwickau. — Verein für Naturkunde. ( xvni ) AUTRICHE-HONGRIE. Agram. — Académie Sudo-Sluve des sciences. Cracovie. — Académie des sciences. Hermannstadt. — Siebenbürgischer Verein für Naturwissen- schaften. Innspruck. Naturwissenschaftlich-medicinischer Verein. Prague. — Xüniglich bühmische Gesellschaft der Wissenschaften Kaiserlich-Künigliche Sternwarte. Ceske Akademie Cisare Frantiska Josepha. Trieste. — Sociéla adriatica di Scienzi naturali. Vienne. — Kaiserliche Akademie der Wissenschaften Kaïserlich-Künigliche zoologisch-botanische Gesellschaft. Kaiserlich-Künigliche geologische Reichsanstalt. Monatshefte für Mathematik und Physik, rédacteurs : MM. Escuerica et GEGENBAUER, professeurs à l’université. DANEMARK. Copenhague. — Tidskrift for Mathematik : D'° Juez et Fozo- BERG (Romersgade, 9). Académie royale des sciences. ESPAGNE. Madrid. — Real Academiu de Ciencias. FRANCE. Société d'agriculture, sciences et arts. Agen. Béziers. — Société d'étude des sciences naturelles. Bordeaux. — Académie des sciences, belles-lettres et arts. Société linnéenne. Sociélé des sciences physiques et naturelles. Caen. — Société linnéenne de Normandie. Cherbourg. — Société des sciences naturelles. Dijon. — Académie des sciences. ( xvm) Lille. — Société des sciences, de l’agriculture et des arts. Universite. : Lyon. — Académie des sciences. Société d'agriculture. Société linnéenne. Université. Marseille. Faculté des Sciences. Montpellier. — Académie des sciences el lettres. Naney. — Société des sciences (ancienne Société des sciences nalu- relles de Strasbourg). Société des sciences naturelles de l’Ouest de la France. Nantes. Paris. — Société Philomatique. Muséum d'histoire naturelle. Société mathématique de France. École polytechnique. L'intermédiaire des mathématiciens, M. LaisanT (quai des Augustins, 55). Société des amis des sciences naturelles. Académie des sciences. Rouen. Académie des sciences. Société des sciences physiques et naturelles. Faculté des Sciences. Toulouse. Œroyes. — Société académique de l’Aube. GRANDE-BRETAGNE ET IRLANDE. Dublin. — Royal Irish Academy. Royal Society. Édimbourg. — Geological Society. Mathematical Society. Gasgow. — Geological Society. Natural history Society. Philosophical Society. Londres. — Geological Society. _ Linnean Society. Royal Society. Manchester. — Litterary und philosophical Society. ( XX) ITALIE. Bologne. — Accademia delle Scienze. Catane. Accademiu gioenia di scienze naturali. Florence. — /nstitut supérieur. Gênes. Osservatorio dellu R. Universita. Modène. — Societa dei naturalistr. Naples. — Societa Reale. Palerme. Societa di scienze naturali e economiche. Circolo matematico. Pise. — Societa di scienze naturali. Nuovo Cimento, rédacteurs : MM. FeLici, BATELLI et VOLTERRA. Rome. Reale Accademia dei Lincei. Aceademia pontificia de? Nuovi Lincer. R. Comitato geologico d’Italiu. Turin. — Reale Academiu delle Scienze. LUXEMBOURG. Luxembourg. — /astitut royal grand-ducal, section des sciences naturelles et mathématiques. Société botanique du grand-duché de Luxembourg. NÉER LANDE. Amsterdam. — Xoninklijke Academnie van wetenschappen. Société mathématique. Delft. — £cole polytechnique. Harlem. — Société hollandaise des sciences: Musée Teyler. Rotterdam. — Balaafsch Genootschap der proe/ondervindelijke wijsbegeerte. NORWÈGE. Bergen. Museum. Christiania. — Æongelige Frederiks Universutet. (xx ) Gôtehorg. — Æongl. Vetenskaps och Vitterhetssamhälle. Stavanger. — Museum. Æ. Norske Videnskabers Selskabs. Throndhjem. PORTUGAL. Journal des sciences mathématiques et astrono- Coiïmbre. miques, rédacteur : M. Gonès TEIXEIRA. Lisbonne. — Académie des sciences. RUSSIE. Helsingfors. — Société des sciences de Finlande. Kazan. — Sociélé physico-mathémalique. Kharkoff. — Société nathématique. Juriewv. — Université. Moscou. Société impériale des naturalistes. Saint-Pétcrshbourg. Académie impériale des sciences. Archives des sciences biologiques. Sociélé d'archéologie et de numismatique. Société entomologique. SUÉDE. Stockholin. — Académie royale des sciences. Entomologiska [üreningen, 94, Drottninggatan. Acta mathematica, rédacteur : M. MirraG-LErFLer. Upsal. — Société royale des Sciences. SUISSE. Berne. — Vaturforschende Gesellschaft. Société helvétique des sciences naturelles. Genève. — L'enseignement mathématique, directeurs : MM. Feu» et Laisanr (rue Plantamour, 19). Neuchâtel. — Societé des sciences naturelles. Schafhouse. — Vuturforschende Gesellschaft. Zurich. — Vaturforschende Gesellschaft. ( xx1 ) AMÉRIQUE. ÉTATS-UNIS. Austin. — Texas Academy of sciences. Baltimore. — American Journal of mathematics. Johns Hopkins University.) Boston. — American Academy of arts and sciences. Society of natural History. Halifax. — Vova Scotian Institute of Natural Science. Madison. — Wisconsin Academy of sciences, letters and arts. New-Haven. — Conneclicut Academy of arts and sciences. New-York. — Academy of sciences. Museum of nalural history. American Mathematical Society. Philadelphie. — Acalemy of nutural sciences. American philosophical Society. Wagner Free Institute of sciences. Portland. — Vatural History Society. Rochester. — Academy of sciences. Saint-Louis, Mo. — Botanical Garden. Salem. — Essex [nslitute. American Associalion for advancement of sciences. San-Franeisco. — Californian Academy of sciences. Smithsonian Institution. Washington. CANADA. Ottawa. — Geologicul Survey of Canada. Commission de géologie et d'histoire naturelle du Canuda. Toronto. — Canadian Institute. CHILEL Santiago, — Suciélé scientifique du Chili. ( xx! ) MEXIQUE. Mexico. — Société Antonio Alzate. Observatoire météorologique central. Tacubhaya. — Observatoire national. RÉPUBLIQUE ARGENTINE. Buenos-Ayres. — Universidad. ASIE. INDES ANGLAISES. Calcutta. — Asiatic Society of Bengal. INDES HOLLANDAISES. Batavia. — Xoninklijke natuurkundige vereeniging in Neder- landsch Indië. SIBÉRIE. Erkutsk. — Ostsibirische Abtheilung der K. Russischen geogra- phischen Gesellschaft. AUSTRALIE. Adelaïde. — Australian Association for advancement of science. Royal Society of South Australia. Hobart-Town. — Tasmanian Society of natural sciences. Melbourne. — Observatoire. Sydney. — Linnean Society. Royal Society of New South Wales. SUR LA REPRÉSENTATION FORHE BIQUADRATIQUE BINAIRE J. FAIRON RÉPÉTITEUR A L’UNIVERSITÉ DE LIÉGE SUR LA REPRÉSENTATION DE LA FORME BIQUADRATIQUE BINAIRE Nous nous proposons de montrer que la représentation du système fondamental de la forme biquadratique binaire peut s'obtenir sur la cubique gauche par la considération de surfaces réglées du second ou du quatrième ordre dont les équations résultent des covariants du système par des substitutions fort simples. Les surfaces du quatrième ordre que nous employons ont été signalées pour la première fois, croyons-nous, par Cayley (Comptes rendus de l’Académie des sciences, 20 mai 1861) et par Chasles (Jbidem, 3 juin 1861). Le géomètre anglais en a fait une étude plus étendue dans ses mémoires sur les surfaces réglées (*); nous avons utilisé ses résultats. Les surfaces consi- dérées, la huitième et la dixième espèce de Cayley, ont pour courbe nodale la cubique gauche et sont formées, la première par les bisécantes de la courbe qui rencontrent une droite fixe, la seconde par les bisécantes qui rencontrent une conique fixe. On pourra trouver quelque analogie entre certains points du présent travail et les deux premiers numéros de notre Note sur les involutions du quatrième ordre, parue dans les BULLETINS DE (*) Spécialement dans A second Memoir on skew Surface, otherwise Scrolls (PHILOSOPHICAL TRANSACTIONS, 1864) et dans À third Memoïir, etc. (IDEM, 1869). (2) L'ACADÉMIE ROYALE DE BELGIQUE (CI. des sciences, 1900, n° 12). « Nous nous permettrons de renvoyer encore le lecteur à notre mémoire Sur la représentation géométrique dans l’espace des formes quadratiques et cubiques binaires (MÉMOIRES DE LA SOCIÉTÉ ROYALE DES SCIENCES DE Liéce, 1904, 5° sér., t. V), dont nous rap- pelons ci-après quelques formules. 4. Dans ce dernier travail, nous avons rencontré les corres- pondances suivantes : TR BREST © LS Eh 8 9 ro (1) a : Die : A = (2125 — 22) : (2424 — Lo85) : (22% — 7). (2) Par la première, la forme cubique binaire égalée à zéro, É= 0 = ati + Sotite + Salle + 2523 = 0, se convertit en l'équation d'un plan dy + DAyZo + JGZs + a584 = 0. (5) Ce plan rencontre la cubique gauche C;, ayant pour équations deux des formules Z1Z3 — & = 0, Zis — Z2%3 = U, ZaZi — RE — 0, (4) ou les équations paramétriques a ea A À NU (5) en trois points dont les paramètres sont racines de f; — 0. Les plans osculateurs en ces points concourent au foyer de ce plan, ayant pour coordonnées : Zn: Zoe Z3: Zi —= — 3: A9 : — A : Rp. Par la seconde, la forme quadratique binaire égalée à zéro (2 = Be = Box + 271% + P2x5 — 0, (6) (5) ou la forme polaire d D de y? vf: + 2Yi2 fe 2 E = dT4 dTdT, ? dr? ? donne lieu à l'équation d’un hyperboloïde à une nappe Bo(Z1Zs = Ze) Sn Bi(zizs — 925) + Baez: — Zi) — (li; (7) c'est l’hyperboloide correspondant à la forme /f,. Il peut être engendré par les intersections des éléments homologues de deux faisceaux de plans, projetant les points de €; à partir des tan- gentes aux points de cette courbe dont les paramètres sont les racines À et 2’ de l'équation f, — 0. Cet hyperboloïde devient un cône si l’invariant 6,6, — 6? de la forme quadratique est nul ; le sommet de ce cône est le point de la cubique gauche dont le paramètre est À, racine double de f, = 0. Enfin les formules (1) et (6) donnent les équations Boz1 + 26,72 TE Bots — 0, Bo&e DE 2617; + Bo — 0, (8) qui représentent la bisécante unissant les points de paramètres À et V de C;. De ces dernières, on peut facilement tirer les éga- lités Zas — 2 Os — Les ts — 73 1) MEME ira dl (9) 2. Considérons actuellement la forme biquadratique binaire, f:, Que nous noterons ainsi : fi = af = art + LasxËr, + Garixi + hasxxë+ xs. (10) Par les formules (2), la forme polaire, égalée à zéro, A era SRE 1; ; 19e dXdX no ’ donne l'équation do(Z133 = ge) + Ao(Z1Z4 — Zo%s) + (227; — 22) + Qa(27s — 22) (2424 — 2223) + 20: (2475 — 22) (2:24 — 75)? (11) + Da3(24Z; — 2223) (2224 — 25) — 0. (0 ) Cette dernière représente une surface du quatrième ordre qui a pour ligne double la cubique gauche C3, correspondant aux égalités (4) ou (5). Nous l’appellerons la surface 2f,. A leur tour, les rapports (9) permettront d'écrire l’équa- tion (11) ainsi : do"? + (a + NV + @ + LAN (1 + )) | (19) + 2a)1)/ + 2a:(1 + 2) — 0. La surface >f, est donc réglée et est formée par les bisécantes de la cubique gauche dont les paramètres vérifient la rela- tion (12). Cette relation prend les formes 12 (a)? + 24, + a) + 2N (au? + Ia + a) (15) + (ax + 2as1 + ds) = 0, a 1 + @(X + 22 + 2?) + a, + 2uX'(1 + X/) 4) + 5411 + 2a;,(1 + }')— 0. La première montre qu’à une valeur de À correspondent, en général, deux valeurs de 2’; par un même point de C; passent donc deux génératrices rectilignes de la surface. Le plan de ces génératrices rencontre encore la surface suivant une courbe du second ordre qui s'appuie sur C; en deux points dont les para- mètres sont les racines À, À de l'équation (15). La surface appar- tient ainsi à la dixième espèce de Cayley. La seconde équation, qui est du premier degré par rapport aux quantités De MN D MO EU ONE 7. Pas = 1)", Pau )+), Pa = À, coordonnées tétraédriques axialés de la bisécante (4) à C:, montre que la surface 2, est formée par celles des cordes de la cubique gauche qui appartiennent à un complexe linéaire. En faisant À = N = “ dans l’équation (12), ce qui corres- pond à rechercher quelles sont les génératrices de Xf; tangentes à C;, on trouve a: — 0. (C0) Il résulte de ce qui précède, qu’à une forme biquadratique f, on peut faire correspondre une surface réglée Xf,, de la dixième espèce de Cayley, possédant quatre génératrices tangentes à la cubique gauche qui marquent, par leurs points de contact, les racines de la forme f, = 0. Ces génératrices constituent, avec C>, l'intersection de Xf, et de la développable circonserite à C3, X4. — En désignant par À, 2, À, À, les racines de f, — 0, les coordonnées tétraédriques axiales de ces tangentes sont fre = D: Pis —= 2), Pu—93À C==1,9%2 ak fre Pa = 1; de sorte que, si nous nommons P,;, P,:,... les coordonnées d’une des transversales communes à ces tangentes, nous aurons, pour déterminer ces transversales, LE em JP —+ D + 3P::)? ar © DE + P;414 — 0, PioP5e — PisPos + Pile = 0. Ces cinq équations donnent PF(dou; EE 4a,a;) Se GP,,P:;(G0@; sa ka;a; = Ga) + JP (au, — 4aa;) = 0; les deux transversales coïncident donc si les racines de cette dernière sont égales, c’est-à-dire si 108a5(aot, — 4aa; + 30) — 0. Le dernier facteur du premier membre est précisément linvariant I de la forme biquadratique f;. Lorsque 1 — 0, on trouve facilement les coordonnées de cette transversale unique ; ce sont : (13) en se reportant à la relation (14), on constate alors que le complexe qu'elle représente est spécial. (8) Donc, quand l’invariant 1, de f,, est nul, la surface £f, appar- tient à la huitième espèce de Cayley et est formée des bisécantes à la cubique gauche qui s'appuient sur la droite fixe dont les coordonnées sont (15). Les racines de /, sont représentées alors sur C; par les points de contact des quatre plans tangents que l’on peut mener à la courbe par cette droite fixe. On sait que (*) ces points forment un quaterne équianharmonique. — On peut rechercher dans quel cas la surface Zf, est décomposable. L'équation (11), du second degré par rapport à l'expression 242; — z;, a pour diseriminant (&oaz — di) (z17 — 22) + 2 (a; — Gide) (Z1Z3 — 273) (227, — Zi) + (aoug — 2) (2274 — 25). Le premier membre de cette équation sera le produit de deux facteurs de la forme (7) si ce diseriminant est un carré. On trouve ainsi la condition do(dodo + 2asasa; — à — ad3 — da;) = 0, (16) expression dont le second facteur est l’invariant J du système de la forme biquadratique. Donc, la surface YF, se décompose en deux hyperboloides inscrits à la cubique gauche si l’invariant J du système de f, est nul. Dans ce cas, les génératrices de Y/,, tangentes à la cubique gauche marquent, par leurs points de contact, une division harmonique (*). En effet, l’hyperboloïde correspondant au couple À, À a pour équation D (2473 — 25) — (14 + de) (2124 — 2075) + 210)0(227, — 75) = 0. La bisécanie 2:2, sera sur cet hyperboloïde, ou 2,1, formera (*) G. SALMON, Algèbre supérieure, trad. de M. O0. Chemin, 1890, p. 269, et R. SrurM, Darstellung binürer Formen auf der cubischen Raumcurve (JOURNAL DE CRELLE, 1879, t. LXXXVI). (9) un couple de l’involution quadratique ayant À,À, pour points doubles, si 2354 — (1 + de)(3 + Li) + 2e = 0. Cette condition exprime donc que les racines forment sur C; une division harmonique. Elle équivaut à J — 0, car cet inva- riant peut s’écrire : 7929 = ai 21122 — (4 + de(s + à) + 22514] + [22225 — (do + A5) (4 + dl) + 2] + [2234 — (5 + à) 0e + 25) + 22]. 3. Considérons actuellement le point de l’espace de coor- données 2,, 2, 2, 2. Par ce point passe une seule bisécante de C;; l’hyperboloïde correspondant a pour équation : 2 (7173 — 22) (2474 — 257) — (21Z4 — 2275) (z1Z4 — 2243) l (17) + 0 (722, — 72) (2075 — 2) — 0. \ L'intersection de cette surface et de Ÿ/, est du huitième ordre; elle se compose de la courbe double €; et de deux bisécantes de celie-e1. Nous nous proposons de rechercher le lieu du point 2, 2:, Zs 7; pour que ces deux droites coïncident, c’est-à-dire pour que Xf, soit l’enveloppe des hyperboloïdes représentés par l'équation (17). Une génératrice de cet hyperboloïde, rencontrant deux fois Ç;, a pour équations : Z(l + 60) — Qu + du) + zu + Ou) — 0, ZA + 6) — Qzu + du’) + zu? + Qu?) = 0, u et w/ étant les paramètres des points où cette génératrice s'appuie sur la cubique gauche. Ces équations donnent ( 10 ) En éliminant les numérateurs entre ces rapports et l'équa- tion (11), on exprime que la génératrice considérée est sur la surface 2/4. On obtient ainsi : {au + Lau + Cap” + 4kap + à) + 4[app + 2auu(p +) + 2ae* + up +) + Lau + w')+a] + (au + ka + Gau + hay + à) = 0. La surface Ÿf, sera tangente à l’hyperboloïde (17) si le diseri- minant de cette équation est nul. Dans ce cas, les paramètres pe, u/ de la bisécante vérifient la relation : k(aças — dieu + (dos — ds) (pu + u'} + 4(aay — dë) + (aa, — ass) (p + p') (48) + S(aas — &jpp + A(aou; — at)up'(u + p)= 0. Comme on a on en conelut : la surface Sf, est l'enveloppe de tous les hyperbo- loides correspondant aux génératrices de la surface dont l'équa- tion est k(açus — à?) (2435 — 22) + (aods — 5) (2174 — 2:25) + A(asa; —à%)(7,2,— 25) + 4(uya;—d20z) (2275 — 23) (Z1Z4 — 22Z5) u9) + 8(aya; — aë) (2173 — 2Ë) (Z2Z4 — %i) + 4(açazs — aa) (Z121 — 2973) (2173 — 25) = 0. Cette surface, qui est le lieu cherché, est de même nature que la surface >f.. Si l’on fait re dans la relation (18), on obtient 2 AT (age — af)ri + (as — aas)tirs + (Qo4 + Pau; — 5a})xix2 + 2(a;4 — ad;)X 4x3 + (da Tr a)xs] — 0, équation dont le premier membre est, à un facteur numérique près, le hessien H, du système de la forme f,. Nous en concluons que quatre génératrices de la surface (19) sont tangentes à C3 et marquent sur celte courbe les racines du hessien de f,. (11) Nous nommerons cette nouvelle surface XH,. Un raisonnement analogue au précédent fait sur la surface ZH, montre que, réciproquement, la surface 2H, est l'enveloppe des hyperboloïdes correspondant aux génératrices de la surface ÿf,. Les propriétés réciproques de 2f, et ZH, se trouvent réunies dans la développable circonscrite X,, à C;; cette surface est en effet, comme on sait, le lieu des tangentes à la courbe et l’enve- loppe des cônes correspondant à ces tangentes. Aux quatre génératrices de 2H, tangentes à C;, correspondent quatre cônes enveloppés par 2f, ; ils sont les seuls. Nous avons ainsi le théorème : les sommets des quatre cônes tangents à f, marquent, sur C, les racines de l'équation H, = 0; les sommets des quatre cônes tangents à 2H, marquent les racines de f, = 0. On trouve facilement que la condition (16), appliquée à la surface ZH,, est (apag — ai) I? — 0; donc, si la surface XF, se décompose en deux hyperboloïdes inscrits à C;, il en est de même de la Surface XH,. En outre, l’invariant 1 = (/,, f,)* donne, appliqué à H,, la relation (H,, 4,)# =. Donc, les surfaces Xf, et SH, appar- tiennent simultanément à la huitième ou à la dixième espèce de Cayley. Æ. Le raisonnement suivant nous permettra encore de repré- senter, sur C3, les racines de H, et, en outre, de construire la surface 2/1. Aux dérivées partielles du premier ordre de /; correspondent deux plans dont les foyers, A, et A,, sont les points de l'espace définis par les coordonnées Zn: Lo 2 25: = — A3: Lo: — A: D) Zi : Zo - Z3. = — dj: O3 : — A2: A. Les plans passant par ces deux points rencontrent la cubique gauche en des ternes de points de l'involution cubique de pre- mier rang, qui a pour équations : Ag? + A + ur + 7À) + (A + Kw + ») + a = 0, Maur + {Au + uv + À) + GA + Kw + v) + a = 0. (42) Une des bisécantes contenues dans l’un de ces plans peut se représenter par le système Z — ZA + pu) + zsAu= 0, Ze — ZA + pu) + Zu = 0. En éliminant les paramètres variables entre ces quatre rela- tions, nous obtenons l'équation du lieu des bisécantes à €; s’ap- puyant sur la droite A, A, : (aj@s — ai) (Z123 — 25) + (aa; — a) (Z1Zs = 22) + (a — 3) (2274 — 25) + (aa, — ass) (2224 — 75) (Z1Z4 — Z2%5) (20) + (aa, = 2414; ar «) er 23) (Z1Zs tes z3) = mn (UE = CITE) (Z4Z4 = Zez=) (Z1Z3 — 23) —= 0. Ce lieu est, évidemment, une surface appartenant à la huitième espèce de Cayley. Dans l'équation (20), faisons la substitution marquée par les formules (9) ; nous obtenons la condition à laquelle doivent satis- faire les paramètres des points d’intersection des bisécantes pour que ces droites soient génératrices de la nouvelle surface. Faisons . » X CD . ensuite, dans le résultat, À= Ÿ = =; nous trouvons l'équation H, —0. La nouvelle surface, que nous nommerons Z'H,, jouit donc de la propriété que ses génératrices, tangentes à ©, marquent aussi, sur cette courbe, les racines du hessien de f,. Les plans passant par AÇA, et ces quatre tangentes sont tan- gents à C3. Done, les racines du hessien de f, sont marquées sur C; par les points de contact des quatre plans tangents qu’on peut mener à la cubique gauche par la droite joignant les foyers des plans correspondant aux dérivées premières de f, . L'équation précédente peut s'écrire DE UE = À (21) ZH, et >, désignant ici les premiers membres de l'équation (19) et de (2124 — 2025) — 4 (212; — 23) (2274 — 75) = 0 (22) qui représente la développable circonscrite à C;. (15) La relation (21) montre que Z’H,, ZH,, Z, se coupent suivant les quatre mêmes tangentes à C3; en outre, lorsque 1 — 0, les surfaces 2H, et Z'H, sont identiques; les quatre tangentes ont une transversale unique AA,. Les coordonnées de celle-ci sont 2 Pau = Al; — Ag Pi5 —= 03 — dl, Pas = Ads — Ads, 24 2 e 2 Pas —= Us — 2, Pas —= ils — das, Pass —= ose — Qi. 5. Reprenons actuellement l'équation (13). Les génératrices de 2/,, issues du point de paramètre À de C;, se confondent lorsque l'on a (a + 24, + a5) — (a + 2a,à + a) (a2° + 2a:à + à) = 0, condition qui est H, = 0. Il y a donc ainsi quatre génératrices singulières sur Zf,, qui correspondent aux droites de contact de >f1 avec les quatre cônes tangents dont il a été parlé ci-dessus. D'ailleurs, si X = À, le plan unissant les points de paramètres (2, À;, À) devient tangent à X/f, suivant toute la génératrice de contact el est tangent, à la cubique gauche, au point À (*) : Les génératrices singulières de Xf, font partie de l'intersection de cette surface et de 2H, ; elles marquent, sur C3, les racines de H,. Les plans tangents, menés à la cubique gauche par la droite A0, sont tangents à Zf, suivant les bisécantes de C; délermi- nées par ces plans. Il résulte de là une construction simple des surfaces >f, et 2H, dans le cas général : Étant donnée la forme a, on pourra toujours marquer dans l'espace les points À,, À,. Les quatre plans tangents, menés à C; par la droile A,A,, délerminent, par leurs points de contact, les sommets de quatre cônes inscrits à C; et, par leurs intersections avec la cubique, quatre bisécantes. La surface Zf, est déterminée par les huit conditions d'être langente à ces cônes suivant ces génératrices. (*) J. PLückER, Théorie générale des surfaces réglées, leur classification et leur construction (ANNALI DI MATEMATICA, 1867, 2e sér., t. I). (14) Si l’on a déterminé les génératrices de Xf, tangentes à €,, les plans tangents à C; menés par ces droites établissent huit con- ditions pour construire 2H. 6. Dans le cas où 1 — 0, nous savons que les surfaces 2H, et Z/H, se ramènent l’une à l’autre; la surface Yf, a pour droite directrice AA’, ayant pour coordonnées les expressions (15); la surface 2H, a pour droite directrice AjA;. Mais Zf, rencontre 2H, suivant quatre génératrices singulières de 2f, qui s'appuient sur AçA,; 2H, se trouve dans les mêmes conditions relativement à >f, et AA’. Ces huit génératrices coïn- cident en quatre droites uniques, autrement l'intersection des surfaces 2f, et ZH, serait d’un ordre plus élevé que le seizième. Nous en concluons que, si 1 — 0, les génératrices communes aux surfaces Xf,, 2H, sont les quatre bisécantes qui s’apputent simultanément sur les droites AA, et AA’. Les plans tangenis à la cubique gauche, menés par l’une de ces transversales, marquent sur cetle courbe, par leurs points de contact, les racines de a° ou de H, et, par leurs points d’intersection, les racines de H, ou de ai. Étant donnée A,A,, on obtient facilement AA’ et les racines de a;. | — La bisécante menée par le point A), à C3, a pour équations : Zi(do%e — d) + Zodod; — Aide) + Zs(a; — ai) — 0, ACTE = a) + 25(4003 — ide) + Zi dis — d)—10; la condition pour que le point A; (— &@;, 43, — &@2, &) appar- tienne à cette droite est J — 0. La surface Z’H, étant formée des bisécantes à C; qui s'appuient sur A,A,, on en conclut : Lorsque 3 — 0, la surface 2H, est formée de deux cônes du second ordre inscrits à la cubique gauche et qui se coupent selon la bisécante AoÀ, ; les hyperboloïides qui constituent la surface Sf, ont pour génératrice commune AA, et sont tangents aux deux cônes considérés ; les racines de H, sont égales par couples. Les hyperboloïdes formant la surface 3H, se coupent suivant la bisécante à C3 qui marque, sur cette courbe, les couples de (15) racines égales de H, = 0. Enfin, les racines des hessiens des deux f f formes — et = sont égales. 1 CXo 7. Nous savons qu’à un point de paramètre À, pris sur C3, correspondent deux génératrices AA, A4 de la surface Z/,. En écrivant que le plan qui passe par la bisécante 2,4, passe aussi par le point À, on obtient l'équation d'un plan, que nous appe- lons plan du point À, rencontrant Z/, suivant les deux généra- trices considérées et une conique qui s'appuie sur la cubique gauche aux points À,X où elle est tangente aux droites A, 11. Cette équation est LAURE + 2aÀ + ü:) Das Zal 45° Tara 543À mr! 24;) (25) == AU A Bas — 2aX) — Zz(a2À° == 2a;À° + a;}) — 0; de sorte que le foyer À du plan du point À a pour coordonnées : Z1 Zo 5(a2)° + 2a:)° + ay) ay — 342)? — 2a,X . (24) Le LA Hire 3431 — 24; sa 3(ax° + 2a,À + a:) Ce foyer se trouve dans le plan osculateur à la courbe cubique au point de paramètre À. Mais les plans des points À, et X ont aussi leur foyer dans ce plan osculateur qui rencontre ainsi trois fois le lieu du foyer À ; ce lieu est donc une cubique gauche dont les équations paramétriques sont les formules (24). Nous nommerons cette nouvelle cubique C:. — La cubique C; est la courbe double de la surface réciproque de Sf,. Remarquons, en effet, que le plan osculateur à Ç;, au point À, renferme les foyers À et À, des plans des points À et À, de €, lesquels sont sur C: à la rencontre de cette courbe et des plans osculateurs aux points À et À. À la bisécante A de C; corres- pond done la bisécante AA’ de @. Le plan osculateur À est le plan du point À de la courbe C;; celle-ei est donc la courbe double de la surface réciproque de Ÿ/f;, qui est de même nature que 2j. (16) Les équations (24), résolues par rapport à 45, 2, À, 1, donnent, après suppression du facteur [, les expressions © ne D(QeZa + 2A3to + Quts) Ait — 999 — 20,7 (25) À (| EE ——]—————————" —— .,: QoZ1 —— 94225 — 20574 5 (@9Z2 + 247; + 2%) dans lesquelles 24, Za, Z3, 3, Sont les coordonnées d’un point de C:. A tout point de la bisécante À, de coordonnées 5 + 0A;’, 22 + 02, À + OX, 1 + 0, correspond un point de la bisécante AA! de la courbe C:, ayant pour coordonnées A5 + GAS, A2 + GA?, A -+ OA, 1 + 0. Nous aurons donc l'équation de la surface réci- proque de Z/f, en remplaçant, dans l'équation (11), z, za, zz, z respectivement par les dénominateurs des rapports (25). Cette équation, trop longue pour être transerite ici (elle a trente-cinq termes), est du cinquième degré par rapport aux coefficients littéraux de a, mais elle renferme à tous les termes le facteur 1 — a)a; — 4ayaz + Sa. — $i, dans cette équation, on fait la substitution marquée par les formules (1), on trouve LEP Il en résulte que les quatre génératrices de la surface réei- proque, qui sont tangentes à sa ligne double, sont aussi les quatre génératrices de Z/, tangentes à C;. Donc, C; et C; ont quatre tangentes communes marquant sur €; les racines de f, = 0. Ce résultat peut s’obtenir de plusieurs autres manières; en particulier, en considérant les équations de la tangente au point A de C;; ce sont deux des formules ail @u+2a;7z+ az; )— D z—2z + 24 =: aÿ(—2a;z; — 30222 + a) — TA (27, —532:) + 2ÿ)°)—0, af &Z — 34275 —2a:z;) —1 ( Z — 32:27 + 2z,X°)—0, aj( Ut +207; + 274) IL ( Za — 2251 + 24l°)—0, où a} représente la fonction a)àt + 4ay}5 + 6a,2? + 4a:À + @. On voit que, dans les hypothèses a; — 0 et I différent de zéro, ces équations se ramènent à celles de la tangente à C3. Gi) On pourrait démontrer encore que les valeurs de À, racines de H,; — 0, qui donnent naissance aux génératrices singulières de 2f;,, donnent aussi les génératrices singulières de la réciproque. Les multiplicateurs de a}, dans les expressions qui précèdent, ont une signification remarquable. Égalés à zéro, ils repré- sentent quatre plans passant par les sommets du tétraèdre de référence et la droite dont les coordonnées sont les expres- sions (15), l'invariant quadratique étant nul. En outre, le premier et le dernier de ces plans sont les premières polaires des points À, et A, par rapport à la surface Yf.. 8. Appelons P, — 0, P, — 0 les équations des plans corres- pondant aux dérivées premières “E, E de f;,; ces plans ont A, et À, pour foyers. Le plan P, — 0P, — 0, qui passe par l’inter- section de ces plans, a pour foyer le point de coordonnées Zi 3 Lo © Ts 5 La = — (GA; — 004) : (as — 003) : — (ay — 64) : (ay — OA). Ainsi qu'il résulte d'une propriété de la cubique gauche, ce foyer est sur la droite A,A,, de sorte que 9 est le paramètre d’un point de cette droite. De même, appelons P, = 0, P; — 0 les équations des plans ayant respectivement pour foyer les points À;, A; de coordonnées Zi 2 Ta: 252 TL — — 9(QQ, — Q0;) : (GA, + Qu; — 30) : — 3(aoûx — aia2) : 6 (oz — di), Zi 5 222 25: 2 = — O(a3a; — à) : S(4Ay — Ud;) : — (da, + 2aiaz — 50) : 5 (043 — At) ; et correspondant aux dérivées premières du hessien H,. Le plan P, — 0P; — 0 a son foyer au point de paramètre 8 de AA: (*). (*) La condition pour qu’une tangente à C, s’appuie sur la droite AoA4 prend la forme remarquable suivante J.f,—1.H; =0, où = est le paramètre du point de contact; cette expression renferme toutes les fonctions invariantes du système fondamental de f,; sauf le covariant du sixième ordre. 2 (18 ) L’élimination de 8 entre les équations de plans qui le ren- ferment donne PP, — PP, = 0. Cette équation représente une quadrique réglée. Développée, elle peut s'écrire Zi (Qo@s — Sdodyls + Qi) + Ziro(08as + 2aod0; — Vaoaz + Gaia) + (22,2; + 522)(uouias — 3aotoa; + Qaêa;) + (2124 + 92:7;) (aÎas — Adi) — (2222, + 325)(dod;4 — 541050; + 540$) — 2,2, (ai + 2a,a;a; — Jaëa, + 6asas) — zi(aai — 5a,a,a, + 24) — 0. Nous désignons par T=(/f;, H,)', le covariant du sixième ordre de la forme f,;. L'équation précédente peut se déduire de la forme polaire ST Æ HORDE ADR Dies LES Sy RUES dx? REE au moyen de la correspondance marquée par les formules (1). Nous appellerons done la nouvelle surface ET. La substitution (5), faite dans l'équation de ZT, permet d’énoncer le théorème : la surface quadrique ZT coupe la cubique gauche C; en six points dont les paramètres sont racines du cova- riant T du système de f,. La droite qui joint les points de paramètre @ des droites AA, et A/A; engendre une quadrique, réciproque de XT. Lorsque I = 0, l'intersection des plans P, et P, coïncide avec la jonction de leurs foyers; car [= 0 indique que les points racines de E — 0 forment un terne de points de l'involution cubique ayant pour points triples les racines de la forme he — 0, et réciproquement. Dans ce cas, la surface ZT coïncide avec sa réciproque. Lorsque J — 0, les deux droites AÇA, et AA; se rencontrent ; il en est de même de leurs droites réciproques, axes des fais- ceaux de plans P, — 8P, — 0, Pé — 0P; — 0. Les intersections des plans correspondants des deux faisceaux donnent done, pour (19) ZT, un cône du second ordre; dans ce cas, la réciproque de ZT est le plan des droites AÇA;, AGA;. Le foyer de ce plan est le sommet du cône. 9. Les surfaces ZT, Xf,, XH, sont reliées entre elles par cer- taines propriétés qui permettent de les déduire les unes des autres. Considérons le point À, de paramètre À, de C,; soit À son correspondant sur C: ; À est le foyer du plan du point À dans la surface 3f, (n° 7). La droite AA est marquée, dans ce plan, par le plan osculateur en À à la cubique gauche C;. Un point quelconque de la droite AA a pour coordonnées : Zi 2 5 (ao)° + 2a:X° + a) + 0N (a; — 52° — 2a,)°) + 0) SE ——_—_—_—_—— A En substituant ces valeurs dans l'équation de ET, on obtient ÉD 0: (26) dans laquelle le terme du premier degré est disparu comme ayant un coefficient identiquement nul, 1 a la signification bien connue et T est le covariant du sixième ordre où l’on a fait Xi L2 L'équation (26) donne le paramètre 8 des points d’intersec- tion de la droite AA et de la surface ©T, Nous en concluons d’abord que si À est racine de T — 0, les valeurs de @ sont indéterminées et la droite A est une généra- trice de ÈT; les points À, correspondants des points racines de T—O, sont les intersections de YT et de C;; les plans des points À considérés sont langents à lu quadrique. On peut voir que les points de contact sont sur C; (20 ) Après suppression du facteur T, l'équation ci-dessus donne I EE V3I, expression réelle quand l'invariant I est positif. Cette dernière égalité nous permet d’énoncer la propriété curieuse : la surface CT divise harmoniquement les segments tels que XA, compris sur les droites joignant les points correspondants de C; et de C:. Les propriétés précédentes permettent de construire la qua- drique ZT quand on connait Yf,. En reprenant les mêmes caleuls sur les surfaces ŸT et 2H, (à laquelle correspond une nouvelle cubique gauche, C;', ligne nodale de la surface réciproque de YH,), on arrive à l’équation ÊT — 5ÛFT— 0. Celle-ci donne lieu à des conclusions analogues à celles qui précèdent. Nous voyons done que les droïtes joignant les points racines de T — 0 aux points correspondants des cubiques gauches C et C; sont des génératrices de ZT. Ces génératrices sont dans le plan osculateur à la courbe C;; donc, le plan osculateur à C; en un point racine du covariant T est tangent, en ce point, à la quadrique ZT. — La remarque suivante indique une relation directe entre les racines de f, et la surface ZT. On sait que (*) le covariant T ne diffère que par un facteur numérique du produit de trois formes quadratiques. L'une d'elles a pour expression TL (4 + de) — (5 + 1)] — Lauro(ude — 25) : (27) —+ La[ 1225 + M”) = Ask mn Xe)]. (*) G. SALMON, Algèbre supérieure, p. 275. (21) On obtient facilement la bisécante et l'hyperboloïde inserit à la cubique gauche qui correspondent à cette forme, laquelle est le jacobien des formes 2x? — tite + À) + 24) Dry — Xato(Às + À) + 2XSAsA _ La bisécante est la droite d’intersection des hyperboloïdes rela- tifs à ces dernières; l’hyperboloïde est engendré par l’intersec- tion des plans homologues de deux faisceaux projetant les points de C; à partir des bisécantes relatives aux formes (28). Nous avons rappelé, dans notre premier numéro, le procédé consistant à obtenir le même hyperboloïde par deux faisceaux de plans ayant pour axes les tangentes à C; aux points racines de la forme (27). De là résulte que les plans osculateurs à C; en ces points sont tangents à l'hyperboloïde; mais les racines de l'expression (27) égalée à zéro sont racines de T — 0 ; done, les trois hyperboloïdes correspondant aux formes (27) sont tangents, aux points racines de T — 0, à la surface ST. — Les points À de C, correspondant aux racines À de T sur (5, jouissent de propriétés analogues aux précédentes par rap- port à la surface ZT et à la réciproque de >/,. — Lorsque I — 0, les deux racines 8 de l'équation (26) sont nulles. Les droites AÀ sont tangentes à ZT et les foyers des plans des points À se trouvent tous sur ST. Mais, lorsque 1 = 0, tous ces plans passent par la droite dont les coordonnées sont les expressions (15); leurs foyers appartiennent done à une seconde droite. Nous concluons de là que, si [1 — 0, les for- mules (24) définissent une droite génératrice de ZT, le long de laquelle les droites À sont tangentes à cette surface. (22) 10. la surface YT peut donner naissance à certaines sur- faces analogues à Ÿf,; en voici un exemple. Posons pour abréger : A, — 3[5aiaè— 14004,0,0; + Sala; —dj@a, + Vapas — Gains + dada), A, — 5[aèasa; — hajajasts + SAidy + 5Qjd2A3 — 24i4A3 — Ua a$), A, — da? — 2açjdiasa, — Si — Jasaia, + Jaiasa, + Vaoa:d%, A,= 5[aaui — Aa, + 5045 + 5ajaia; — 2a,a,0$ — afa;a;], A 5[5a0i— 1uaa;a + aa — aja,ai + Jaïa, — Gasai + apads]. Le plan polaire du point À [ayant pour coordonnées les expres- sions (24)] de la cubique C;, par rapport à la quadrique Ê", a pour équation LAILY IS + 2A,) Ze A] EE z9[ Ao° LT 3A,) EE > 2A;] + 75[A;— 5AX — 2A,N) — z,[A:° + 24:2° + An] = 0. Remarquons d’abord qu’il passe par le point À de Ç;, résultat indiqué déjà par la propriété de ÈT de diviser harmoniquement la droite AA. Cette équation, comparée à l'équation (25), montre que ce plan est le plan du point À d’une surface ŸF, correspondant à la forme biquadratique Ai Ar + AA,xixe, + GAsntns + LA:xxS + Aix. Nous pourrons done marquer sur C; les racines de cette forme, laquelle peut s'écrire de la manière suivante : At=51.H,—(H,, Hi). 11. Un certain nombre des propriétés précédentes des sur- faces de Cayley, que nous croyons nouvelles, peuvent être faci- lement généralisées ; il en est de même des propriétés relatives des surfaces 2f,, 2H,, Z'H,, ZT. (35) Prenant, comme départ, l'équation de la première sous la forme Q( 2473 — 25) + S0(Z1Z4 — 2275) + C(2224 — 5) + Df(z17: — 25)(2174 — 2275) + 69(Z17s — 75) (za7: — 735) + Dh(zizs — 2:25) (22 — 233) = 0, on voit que la biquadratique correspondante est axi + Afaix, + 6(2b + g)xixs + 4hxxs + cxé = 0 Il suffit donc, dans la plupart des raisonnements ci-dessus, de poser dy — 4, = f, aa = 2b + q, U: —h, U—=C ER SONT ER Ego ro 2 OT BRE EA Et EE Æe STE tavas, 4 NEA 2% ? a ne AD L ea SUR LES POINTS SINGULIERS LIEUX GÉOMÉTRIQUES M. STUYVAERT (GAND) SIBRE LES POINTS SINGULIERS DES LIEUX GÉOMÉTRIQUES J'ai lu, avec le plus grand intérêt, la notice consacrée par M. J. Neuberg aux courbes décrites par le nouvel instrument de M. V. Lebeau (*). Quelques-unes de ces lignes m'ont fait songer à une méthode générale qui m'occupe depuis quelque temps et qui m'a donné jusqu'ici beaucoup de résultats pour la géométrie de l’espace. J'ai déjà utilisé cette méthode ou du moins j’y ai fait allusion dans une note présentée à l’Académie royale de Belgique (*) et dans une thèse annexée à ma dissertation (***). De plus, j'ai consigné, dans un pli déposé aux archives de l’Académie, les résultats que j'ai obtenus jusqu’à présent et que je me propose de développer dans un travail d'ensemble. Mais je n'avais guère pensé aux applications de géométrie (*) J. NEUBERG, Sur les lignes tracées par le curvigraphe V. Lebeau. (MÉ». DE LA SOC. ROY. DES SCIENCES DE LIÉGE, 1904, 3e sér., t. V.) (**) M. STUYVAERT, Sur les plans qui coupent, en six points d’une conique, un système de lignes de l’espace. (MÉM. IN-8° DE L’ACAD. ROY. DE BELGIQUE, 1902.) (**) Inem, Études de quelques surfaces algébriques engendrées par des courbes du second et du troisième ordre. Gand, Hoste, 1902. (GE) plane. Dans les lignes qui vont suivre, j'exposerai la méthode et je l'utiliserai pour des questions contenues dans le travail de M. Neuberg. 1. Considérons deux courbes algébriques planes repReeues par les équations F (x, y; x) = 0, f(x, y; «) = 0, dont les coefficients sont des fonctions entières d’un même para- mètre a. En éliminant «, on a l'équation du lieu décrit par les inter- sections de ces courbes. Or, qu'est-ce que éliminer a? En géométrie analytique, éli- miner «, c’est écrire la condition pour que les équations F — 0 et f— 0 admettent une même valeur de « (au moins). En algèbre, le mot élimination a un sens plus étendu : il comprend, en outre, la recherche des conditions pour que les deux équations soient vérifiées par deux ou plusieurs valeurs communes de &. Pour autant qu’il n’y ait qu’un seul paramètre à éliminer, entre deux équations seulement, le problème est complètement connu; il a fait l'objet d'un travail définitif de M. P. Mansion (*). Les conditions de l'existence de deux ou plusieurs racines communes en « s'expriment par l'évanouisse- ment d'un déterminant rectangulaire (ou matrice) ayant plus de colonnes que de lignes. Il convient d'interpréter géométriquement ces recherches plus profondes de l'algèbre. 2. Pour fixer les idées, je suppose que les équations aient la forme F= ao + bo + co + du + e —0, [= g + h® + ka + l=0, et que a, b, c, …, k, l soient des polynomes en x et y. Les con- (*) P. Mansion, Théorie de l'élimination entre deux équations COEUR au moyen des déterminants. Paris, Gauthier-Villars, 1884. C5) ditions de l'existence de deux racines communes en « (au moins) s'écrivent bescedihe abc e M = JHARAETIEONT = GORE qi & Cette notation signifie que les six déterminants formés en prenant cinq des six colonnes du tableau sont tous nuls. Si deux de ces déterminants sont nuls, par exemple ceux qui sont formés des colonnes (1, 2, 5, 4, 5) et (1, 2, 3, 4, 6), il existe une même relation linéaire entre les éléments d’une colonne quelconque du tableau M, et alors les déterminants à cinq colonnes de ce tableau sont nuls; ou bien, il existe plus d’une relation linéaire entre les éléments des colonnes (1, 2, 3, 4), et alors on a GET) Du 10 M —= #44 J — 0. De EME AT CNT ER) Ainsi la notation M — 0 désigne, en général, un nombre fini de points, savoir les points communs aux courbes représen- tées par l'évanouissement des déterminants (1, 2, 3, 4, 5) et (1, 2, 5, 4, 6), d'où il faut défalquer les points qui annulent le tableau #. Ceux-ci se trouvent d’une manière analogue et l’on a ainsi une méthode récurrente aboutissant à un terme de la forme -HA B[—0, et celui-ci représente tous les points communs aux courbes A—=0,B—0. Rien done de plus facile, en théorie, que de déterminer le nombre et l'emplacement des points représentés par M — 0. La CE.) méthode peut même présenter quelques avantages secondaires : on a le choix des deux déterminants à prendre dans le tableau M; en le faisant avec discernement, on simplifie plus ou moins le procédé ; en variant le choix et en comparant les résultats, on découvrira peut-être quelque propriété des figures considérées. 3. Je reprends les équations FE = at + bo + cx + da + e—0 2 f=gé + ho + ka +l= 0. Elles représentent les génératrices d’un lieu, si a, b, …, g, h, … sont des fonctions de x et y. Il est presque évident que les valeurs de x et y, pour lesquelles F — 0 et f = 0 admettent deux solu- tions communes en «, définissent des points singuliers (en général points doubles) de ce lieu. En effet, supposons que, pour x — y — 0 par exemple, les équations soient vérifiées par deux mêmes valeurs de «. Rem- plaçons y par mx; les équations prennent la forme Fi(x, «)—10, He) = On en tire a valeurs de x répondant aux points de rencontre du lieu avec la droite y — mx, et a valeurs correspondantes de o. Par hypothèse, deux de ces valeurs de « répondent à la valeur x — 0; donc, quel que soit m, la droite y — mx ne rencontre plus le lieu qu’en x — 2 points autres que l'origine, laquelle est un point double. La réciproque peut présenter deux exceptions. Si l'origine est un point double, la droite y = mx ne rencontre le lieu qu’en u — 2 autres points, quelle que soit la valeur de m. Les équa- tions de tantôt, Fix, «) — 0, f1(x, «) — 0, peuvent être considé- rées comme les équations de deux courbes rapportées à des axes a et x; parmi les uw intersections de ces courbes, il doit y en avoir deux sur l’axe des x; ou bien, et voici les exceptions, 1° elles ont un point commun sur l'axe des x et même tangente en ce point, quel que soit #1; 2° une de leurs intersections, sur l'axe des x, est un point double de l’une des courbes et un point (5) simple de l’autre. Dans ce dernier cas, pour x = y — 0, l'une des équations primitives, F — 0 par exemple, admet une racine double «,, et l’autre f — 0 à pour racine simple «,. Ce sont bien là des cas exceptionnels, car : 1° pour avoir un point commun sur l’axe des æ et même tangente en ce point, quel que soit m, il faut que les polynomes F, et j, satisfassent à trois conditions, généralement incompatibles, puisqu'on ne dis- pose que de deux variables x et «; ® il ne suffit pas qu'une valeur de à soit racine double de F — 0 et simple de f— 0; cette circonstance ne donne un point double du lieu que si la courbe F,(x, «) — 0 présente un nœud pour toute valeur de m, ce qui exige de nouveau plus de deux conditions. Au reste, ceci sera démontré plus loin d’une autre manière. En général, M — O0 donne tous les points singuliers du lieu. Le principe établi ci-dessus conduit à deux séries de consé- quences. Dans les questions générales, où a, b, c, … représentent des formes ternaires indépendantes l'une de l’autre et les plus géné- rales d’un ordre donné, on cherche le nombre des points singu- liers et, par suite, le genre du lieu géométrique. Je traiterai ce problème à la fin de cette étude. Dans les questions spéciales, où les coefficients des formes a, b,c, .… sont des nombres ou des fonctions entre lesquelles il existe des relations constantes, on peut trouver l'emplacement des points singuliers du lieu. Sans doute, il y a d’autres procédés pour trouver ces points : par exemple, on cherchera l'équation du lieu, puis les premières polaires de trois points non en ligne droite et enfin les points communs à ces trois courbes. La méthode actuelle a toutefois l'avantage de ne pas exiger la con- naissance de l'équation du lieu et d'utiliser des courbes d’un ordre moindre que dans l’autre procédé. Æ. 11 faut que j'examine encore quelques cas particuliers qui peuvent se présenter. D'abord, si les groupes de points représentés par l’évanouis- sement des tableaux M et » ont un point commun, on pourrait CS) craindre que ce point, ayant été défalqué comme annulant m, ne soit perdu dans l’énumération. Soient » et v’ les ordres respectifs des courbes (1, 2, 3, 4, 5) et (1, 2, 5, 4, 6); elles ont généralement w/ points communs, dont les uns A, B, C, … annulent le tableau m (1, 2, 5, 4)et les autres A’, B’, C’, .… le tableau M. Si un point A coïncide avec un point À/, les courbes n'ont, en dehors de ce point, que w/ — 2 intersections; donc, ou bien A est double pour l’une des courbes, ou bien celles-ci se touchent en A. De toute façon, ce point compte double sur l'intersection des deux courbes et, si on le défalque une fois parce qu'il annule m, il reste compté parmi les points qui annulent M; donc, quand on cherche seulement le nombre des points M, la circonstance examinée ici n'est pas une source d'erreur. Mais, si l’on cherche l'emplacement des points singuliers, un point déterminé ne peut être écarté du groupe M par ie fait seul qu'il annule m. Il faut, avant de le rejeter définitivement, voir si, par hasard, il n'annule pas les autres déterminants tels que (1, 2, 4, 5, 6) du tableau M. Je suppose qu'un point soit, par exemple, triple sur la courbe (1, 2, 5, 4, 5) et simple sur (1, 2, 5, 4, 6). Il semble qu'il y ait, en ce point, trois nœuds coïncidents du lieu et que ces nœuds réunis forment un point triple. Il n’en est rien. En eflet, cher- chons les conditions d’un point triple du lieu; on sait qu'elles s’écrivent, en général, | GRNOBNC OUEN GÉNIE = (i}- | DE Il y a donc une même relation linéaire entre les éléments correspondants de ces trois lignes; donc, dans chacun des déter- minants de la matrice M, il y a une même relation linéaire entre les éléments correspondants des lignes 2, 3, 4 et des lignes 1, 4,5. On peut utiliser cette relation de manière à annuler les éléments des lignes 1 et 2 par exemple, et le point considéré est double sur la courbe représentée par le déterminant en question. Ainsi (9) un point ne peut être triple sur le lieu que s’il est au moins double sur chacune des courbes représentées par un détermi- nant de M. Remarquons enfin que les courbes représentées par les déter- minants du tableau M ne sont pas nécessairement des courbes proprement dites, mais peuvent être des systèmes de lignes et que ces systèmes peuvent avoir en commun une courbe c (ou un ensemble de courbes). L'évanouissement de M représente alors, outre la courbe ©, un certain nombre de points isolés, intersections des parties restantes des systèmes représentés par les cinq déterminants. 5. Je vais appliquer sommairement les principes précédents à un premier exemple; j'en traiterai ensuite un autre d’une manière plus approfondie. Un certain lieu résulte (p. 55 de l’article de M. Neuberg) de l'élimination de x et 6 entre les relations GP = Sfr, By = 2x (x + p), = er, ou de 6 entre les équations lesquelles peuvent s’écrire B° + 4p° 6 — 4p°x —0, 2B® — py8 + 2p°x — 0. Les conditions de l’existence de deux racines communes en & sont : 1 4p° — Àp°x° x — 2p°x M = Py P ==) x —py 2px x — py SEX (10) Le déterminant (1, 2,5, 4), développé, donne —py = 0, le déterminant (1,2, 5, 5). 2p°x(p'y" + 2p'x* + 2x°) = 0. Ces deux déterminants s’annulent pour æx=y—0, point double indiqué par M. Neuberg. Ce point convient évidemment, puisqu'il annule les deux dernières colonnes de M. Par analogie avec une remarque précédente, on devrait s'attendre à ce que ce point soit un point quadruple du lieu. En réalité, le lieu analy- tique (éliminant de Sylvester des équations F et f) comprend, outre le lieu géométrique, la droite x — 0 comptée double. Car, pour æ=— 0, les équations F— 0 et f— 0 ont respectivement B — 0 comme racines double et simple. De plus, si l’on fait y = ax + bd, on a deux équations en æ et 6 qui pour toutes valeurs de a et b ont respectivement le point x = 6 — 0 comme point double et comme point simple. On se trouve donc dans un cas exceptionnel du n° 8. L'origine, point quadruple sur le lieu analytique, est done seulement double sur le lieu géomé- trique. Les deux déterminants s’annulent encore pour y = 0 et x — — }”, ce qui donne encore deux points doubles imaginaires, répondant effectivement à la question, car ils n’annulent pas le déterminant œ — py 2p°x u (ME) 9 X et, par suite, ils n'annulent pas non plus le tableau des trois premières colonnes de M. 6. À un autre endroit de son travail (p. 25), M. Neuberg ayant trouvé les équations 1 + cos*o cos” 4 L = À ——— ; Y—= — QG Sin 4 J . 1 2 sin 0 (11) fait observer que l'élimination de 6 ne donne pas de résultat assez simple. Sans chercher cette équation, je puis trouver, par la méthode précédente, des points singuliers du lieu. Avant de procéder à cette recherche, je ferai une observation sur l'exemple en lui-même. D’une part, il est assez mal choisi, parce que les équations précédentes étant résolues par rapport à x et y, il est trop simple de calculer les dérivées = et = et de chercher pour quelles valeurs de © le quotient de ces deux dérivées est indéter- miné; bien qu'il faille une certaine sagacité pour ne pas laisser échapper les points doubles à l'infini et que, pour décider si les points singuliers sont nodaux ou cuspidaux, le calcul soit beau- coup moins simple. En tout cas, si les équations n'étaient pas résolues par rapport à x et y, l'avantage de la méthode actuelle se verrait mieux. À un autre point de vue, l'exemple est bien choisi : par la variété des cas particuliers qu'il présente, il indique bien jus- qu'où s'étend le champ d'application des procédés que j’ai exposés et à partir de quelle limite ils cessent d’être utilisables. En posant cos 0 — k, j'ai les relations HER l5 == DR pes = à ou encore, en rendant homogène par l'introduction de la troi- sième variable z, DR + (QaŸz° + x°)E° + az — x? — 0, az — yh° + y = 0. Les conditions de l'existence de deux racines communes en sont az? Da°z? + x° a°z° — j° u?z° Dr des te a°z? — 7° M=|| az —}y y = 0 QT ol T4 y E arr D y (25) J'omets la quatrième colonne et j’obtiens un déterminant qui, développé, donne (1) a°2°[3a°y°z? + y(u°z" — à°) — (a°z° — x) ] = 0. En omettant la troisième colonne, j'ai de même (2) ayz [5 (a°z* — x?) — 4y°] — 0. Ces équations sont vérifiées pour z — 0, quels que soient x et y; on vérifie d’ailleurs que z est facteur au moins à la troi- sième puissance dans chacun des déterminants du tableau M. D’après une remarque antérieure, on peut en induire que les points de l'infini sont des points quadruples du lieu, lequel se composerait donc d'une sextique et de la droite de l'infini comp- tée quatre fois. Mais ce n’est jusqu'ici qu'une conjecture, car les équations (1) et (2) étant du troisième et du quatrième degré en #, il ne peut être question de quatre racines communes. Pareillement, il faut accorder une attention spéciale au point (x — z—0) à l'infini sur l'axe des y et aux points cycliques (z — 0, x? + y? — 0), mais on ne peut encore affirmer que ces points sont simples ou singuliers sur la sextique. En dehors des points à l'infini, les équations (1) et (2) révèlent encore l’existence de six points singuliers, savoir d’abord les deux points 7 =} az — x — 0, puis les quatre points définis par les relations 5(a°z? — x°) — y, 5 y" 2 + y'(a°z° — à) — (a°z° — x) — 0; celles-ci peuvent s’écrire plus simplement, en supprimant des facteurs y et a2z? — x? dont il a été tenu compte auparavant : ky° = 27a°z, x? —= — Sa°z°. J'appelle P et P/ les deux premiers points ; ils répondent à la question, car ils annulent les deux dernières colonnes de la (15) matrice M. Les quatre derniers points seront désignés par Q,, Q:, Q:, Q; ils ou imaginaires conjugués deux à deux et répondent encore à la question, car ils n’annulent pas le déter- minant a°z° 0 a°3° — x° 0 az — y y 0 0 az y 0 0 0 0 y qui fait partie du tableau des colonnes 1, 2, 5, 6 communes aux deux déterminants considérés de M. "7. Je pourrais m'en tenir à ce qui précède; car j'avais annoncé seulement un moyen de trouver des points singuliers d’un lieu analytique. Mais il est possible d'aller plus loin. On a vu que les points P et P’(y — 0, x — + az) sont des points singuliers du lieu. Pour ces points, les équations F= ak + (2a°r° + à) + (a°z* — x°) — 0, {= ak — yk + y—0 doivent être vérifiées par deux mêmes valeurs de £ (au moins). En fait, pour ces points, les équations admettent, l’une la racine double k — 0, l’autre la racine triple & — 0. On devine déjà que, puisque deux racines communes coïncident, P et P/ sont des rebroussements ; mais quelle conséquence géométrique peut-on urer du fait qu'une troisième racine de f— 0 vient se confondre avec les deux autres? Pour répondre à cette question et à toutes les questions ana- logues, supposons en général les polynômes F et f ordonnés par rapport aux puissances croissantes de Æ et posons REA LUE EN, SN 52) ENT fu +kv + kw + .…, (14) U, V, W, .…, u, v, w, … étant des fonctions de x et y. Pour un point fixe du lieu, par exemple l'origine, les équations sont véri- fiées généralement par une mème valeur de k et l’on peut sup- poser que cette valeur soit £ — 0. Donnons à Æ une valeur infiniment petite. Le point du lieu infiniment voisin de l’origine est donné par les équations sui- vantes, en négligeant les infiniment petits d'ordre supérieur au premier, Ù + AV — 0, u + kv = 0, d'où Uv — uV = 0. Mais les coordonnées x et y de ce point sont aussi des infini- ment petits; done, si l'on appelle U, l'ensemble des termes d'ordre & en æ et y de la fonction U, on a par hypothèse U = Vs = 0 et, dans l'équation précédente, les termes du pre- mier ordre infinitésimal sont Uvo — uV, = 0. Cette relation donne la direction de la tangente au lieu à l'origine. Si l'on a vw — 0, c'est-à-dire si £ — 0 est racine double de f—= 0, la dernière relation équivaut à w, = 0, c'est-à-dire que la génératrice f est tangente au lieu, au point considéré. Si w, est identiquement nul (c'est-à-dire si les coeflicients de x et de y dans w, sont nuls), la tangente est indéterminée et l'origine est un point double ; on se trouve dans le second cas exceptionnel du n° 8. Si U,w, — ,V, est identiquement nul, sans que v, le soit, on a de même un point double répondant à une seule valeur commune de £Æ et l’on se trouve dans le pre- mier cas exceptionnel du n° 8. Enfin si l'on a vw = V, = 0, c'est-à-dire si À — 0 est racine double des équations F—0 et f — 0, l'origine est encore un point double, comme on le savait. On considère alors les termes U + AN + ÆW — 0, u + ko + kw — 0, (15) et, en éliminant £,on a UE VE MW He Vi. —= (| u Ov w u OU w Pour avoir les termes du second ordre infinitésimal, il faut, puisque U,, V,, wo, v) sont nuls, prendre, dans les deux pre- mières colonnes, les termes du premier degré en x, y et, dans les deux autres, les termes indépendants de x, y : Vi Wo ÙU VW == (UD = 2 uWo) — 0. UE UTELD, U UT Ainsi les termes du second ordre forment un carré, de sorte que le point double est un point de rebroussement. Si, en outre, w, = 0, c'est-à-dire si k — 0 est racine triple de f— 0, on a simplement # — 0, de sorte que la tangente au point cuspidal du lieu est aussi la tangente à la génératrice f. On étend sans peine ce raisonnement à des cas d'ordre plus élevé. La démonstration pourrait se faire, sans infiniment petits, en considérant l'éliminant de Sylvestre, mais la notation est pénible. 8. J'applique ces résultats à l'exemple traité. Pour les points Per P/(y = 0, x = + az), k = 0 est racine double de F = 0 et racine triple de f = 0. Ces points sont donc des points cuspi- daux du lieu et la tangente en ces points n’est autre que la génératrice f, laquelle, pour & = 0, est simplement y — 0, ou l'axe des x. Pour les points Q(r=+a VE y=2 Tv) (16) les équations F = 0 et f— 0 se réduisent à RE GK? + 9 —(% + V3 (k—V/5) = 0, D + 35h + 5/5 — (k + V5) (2% HV) — 0, les signes supérieurs et inférieurs devant être pris ensemble. Done, pour chacun de ces quatre points Q, les équations ont une racine double commune en k et les quatre points Q sont aussi des rebroussements. Si l’on a z— 0, et x, y quelconques, les équations F — 0 et f—= 0 ont trois racines communes, &k— x, k—Æ+—1; de plus, la racine & — œ est double pour F — 0. Et enfin, si l'on pose z— mx + ny, les équations résultantes ñ 3 F, É 1) = et fi F. k) — 0 y y ont respectivement le point (=, =”) y m pour point double et pour point simple, quels que soient #= et n. Pour Æ£ = ©, on est donc dans un cas exceptionnel du n° 8 et le lieu se compose de la droite de l'infini comptée quadruple et d'une courbe du sixième degré. Pour savoir si le point à l’infini de l'axe des y(x = z = 0) est singulier sur la sextique, posons z— mx; les équations résultantes sont 2 F) [a*m°k® + (2a°m° + 1)Æ° + (aŸm° — 1)] = 0, y am F) k5 — k° + 1 —0. y Li Là æ e. LA La seconde (en considérant = et k comme variables) a les points simples — 0, 4 — 0 et :——0, k— EMA CHATS) La première a pour points doubles = = 0 et k quelconque. Un cas exceptionnel du n° 8 est donc triplement réalisé et le point x = z = 0 est sextuple sur le lieu analytique, donc double sur la courbe du sixième ordre. On pourrait opérer d’une manière analogue pour les points cycliques; mais, pour aller plus vite, je vais suivre une autre voie. On pouvait prévoir que le point à l'infini de l’axe des y serait double sur la sextique; car, quelque valeur finie que l'on donne à x, il en résulte quatre valeurs de Æ seulement; aucune de es valeurs n’est infinie puisque £ — æ répond à z — 0. Ainsi le point à l'infini de l'axe des y est un point euspidal ayant pour tangente la droite de l'infini. Les autres points de la sextique situés à l'infini sont les points cycliques, car en faisant x? = — y? et en éliminant y, on n’a qu'une équation du qua- trième degré en k. Par raison de symétrie, les points cycliques doivent être tous deux doubles ou tous deux simples. La pre- mière hypothèse est impossible, puisque la droite de l'infini contiendrait alors sept points de ia sextique ; cette droite a donc, sur l’axe du y, quatre points coïncidents communs avec la courbe. Ainsi le rebroussement à l’infini sur l'axe des y est une singularité d'ordre supérieur analogue au rebroussement kéra- toïde (voir SaLmon, Courbes planes). Pour connaitre l'espèce de singularité que l’on rencontre ici, il faut absolument l'équation de la courbe ou du moins la forme de cette équation. Comme la figure est visiblement symétrique par rapport aux deux axes coordonnés, cette équation ne contient que les puissances paires des variables et, d'après ce qui précède, elle peut s’écrire Ze (x, y”, 2°) + x (2° + y°) = 0, @ étant une fonction du second degré. Les premières polaires des trois sommets du triangle de réfé- rence sont : d d d 2 + 6xÿ + 4xy — 0, 1— + 2xy = 0, Le + 2z9 = 0, x y z (18 ) Trois de leurs points communs coïncident en x = z = 0; donc trois points doubles de la courbe y sont concentrés. La première polaire d'un point quelconque a la forme et possède donc un point d’inflexion au point x = z — 0; deux de ses tangentes y sont confondues avec la tangente au point singulier que j’analyse; celui-ci résulte done de la réunion d’un nœud et de deux points cuspidaux. Ce point doit donc, dans les formules de Plücker, diminuer de huit unités la classe de la sextique et, comme il y a en outre six points cuspidaux P, P’, Q4, Q:, Q:, Q., la classe de la courbe est nm 0005 18 SU, résultat conforme à l'équation tangentielle donnée par M. Neuberg. 9. Dans les questions générales, on peut supposer qu'il n’y ait que des points singuliers isolés. Cette hypothèse est faite implicitement par les auteurs qui établissent qu’une courbe rationnelle est de genre zéro. Je puis faire la même supposition pour résoudre le problème plus général que voici : chercher le genre d’une courbe représentée par deux équations contenant un même paramètre. Soit d’abord un tableau rectangulaire à k lignes et £ + 1 colonnes dont tous les éléments sont des formes linéaires ternaires; désignons par t, le nombre des points repré- sentés par l'évanouissement de cette matrice. D'après ce qui a été expliqué au début du présent travail, on a Cette formule de réduction donne k(k + Ds rm (ki —AŸ + (k—2Ÿÿ — ee EI = — 3 (19) Si les éléments du tableau étaient des formes toutes d'ordre n, le nombre des points serait n'k(E + 1) 2 Soient ensuite deux équations, l’une de degré m en x, y, z et contenant le paramètre variable à la puissance ; l’autre de degré 7 et contenant ce paramètre à la puissance ». Le lieu est, en général, de l’ordre my + ny. Supposons u > v. Les R points doubles du lieu annulent un tableau à u + y — 1 colonnes, dont y — 1 lignes contiennent des formes d'ordre m et — 1 lignes des formes d'ordre n. En omettant la dernière ou l’avant-dernière colonne, on a deux courbes de degré [m(y—1} + n(u — 1)]; ces courbes ont [m(y — 1) + n(u — 1)[ points communs, d’où il faut défalquer ceux qui annulent le tableau des pu + y — 2 premières colonnes. En omettant, dans ce tableau, la première ou la dernière ligne, on a deux courbes, respective- ment d'ordre my + nu — 2m — n et mv + nu — m — 2n, dont il faut compter les points communs et en défalquer les R, points qui annulent un tableau M, déduit de M par la suppression de la première et la dernière ligne ainsi que des deux dernières colonnes. Ainsi, R— (my + nu —m—n) — (my + nu —m— n) (my + nu — m —In) + R,, ou R=({m+n)(m + nu— m—n) — mn +R. Considérons le tableau M,(k < » — 1) déduit du tableau M par la suppression des Æ premières et des k dernières lignes ainsi que des 2% dernières colonnes; on aura pareillement, en appe- lant R, le nombre des points qu’il représente, R,—= [mr + np —{(k + 1)m—(£+1)nf — [nr + nu—(k+2)m—(k+1)n][mr+ne—(k+1)m—(k+2}n] + Riu ou Rs (m + n) [ms + nu —(k + 1)m— (6 + 1)n] — mn +R. (20) On peut continuer ainsi Jusqu'au tableau M,_, qui ne contient plus que a — » lignes et dont tous les éléments sont d'ordre n; il s’'annule pour R,_, = #&n'(u—»)(uw — y + 1) points. La formule de réduction donne donc R—{(»—1){m + n) (ms + nu) — £(m + n)v(y —1) — mn(s — 1) + EN (u—r)(u—v+ 1). Connaissant l’ordre my + nu du lieu géométrique et le nom- bre R de ses points doubles, on a le genre g = (my + nu — 1) (my + nu — 2) —R, ou g = (my + nu—1)(my + nu—2)—(>—1)(m+n)(m + nw) + Em + nn) — 1) + mn(r —1)—# nu — v)(u —» +1). Si l'onam—n— 1, la courbe est rationnelle et l’on trouve effectivement g = 0. REMARQUES SUR UN FAÏISCEAU DE CONIQUES J. FAIRON A L'UNIVERSITÉ DE LIÉGE ACNEREEN an © REMARQUES SUR UN FAISCEAU DE CONIQUES 1. Considérons la conique fondamentale C,, représentée par les équations paramétriques F9 En = à AU Désignons par À, le paramètre d’un point P, de cette courbe, et par d, le côté P P, du quadrilatère complet inscrit P, P,P;P,. Ce côté a pour équation du — Zi == Za(xi + 14) + Ze —= 0, et pour pôle, par rapport à C2, le point de coordonnées Zi5 Za: 23 — Du: (À + À):2. L’équation dsd3s + disdas + didss = 0, ou bien 3z2+ 22355) 1at Dash — 5202523 21732) 12 — D242eD = 0 (1) représente une conique passant par les quatre points considérés. Si nous supposons que les quantités À, sont racines d’une forme biquadratique binaire égalée à zéro, = a07i + hate + Oarirs + 4GLIAÉ + axé — 0, l'équation (1) s'écrira : K=a2; + 40925 + Q325 + 4Gstets + Dos + huizyz> 0. (2) (4) Cette dernière formule peut encore se déduire de /, — 0, mise sous la forme di f4 d/4 as le + 2x POUl + A VS 1%2 2 uns dXi dXy dXo dXa par la correspondance (*) : 2 » L 2 e e. L.4 Li : Lio. Lo —= Zy . Lo: Ze. (3) La conique (2) a pour discriminant l'expression GG qui est l’invariant cubique, J, de la forme /,. Dans le cas où cet invariant est nul, cette conique se ramène à un système de deux des droites d,,; l'équation (2) et, par exemple, celle-ci dysds = Ù sont identiques. Mais cette dernière peut s’écrire : L 2 K + = (ex — à) [Aude — Ou + 39) (5 + À) + 22 Au] = 0; on doit donc avoir 214% — (A + À) (A3 + À5) + 2254 = 0, égalité montrant que le pôle de la droite d,, est sur d;, et réeci- proquement. On a ainsi une démonstration de la propriété de l’invariant J exprimant, quand il s’'annule, que les racines de f, sont conju- guées harmoniques. (*) Voir à ce sujet un article de M. NEUBERG, Mathesis, 1901, p. 244, et notre travail « Sur un système de représentation géométrique des formes algébriques binaires » (Mémoires de la Société royale des sciences de Liége, 1901, 3e sér., t. INT). (5) Nous avons trouvé (*) que l’évanouissement de l’invariant quadratique de /,, [= aa, — aa; + 304, exprime la condition pour que la conique (2) puisse se repré- senter par les formules fa, di dfs An 2 TS 7 de dr NE: 4 A 4 ° ° e où — est le paramètre d’un point de C,. Il exprime aussi que les Lo racines de la forme biquadratique constituent un quaterne équianharmonique. 2. L'équation (1) peut s’écrire ainsi : 32: Te 921222 À4 + (Z435 + 22) Ze — 322251 1haÀs (4) A — À,[ 3217: — (2125 + 222) DA + 53, DAX — 324%] = 0, le signe sommatoire portant seulement sur À,, À, Às. Lorsque À, varie, nous obtenons un faisceau F de coniques, telles que le paramètre de chaque élément est le paramètre d’un point de C,; cet élément passe par ce point et par trois points P,, P,, P; qui sont des points de base. * Si l’on considère À,, À, À; comme étant les racines d’une forme cubique binaire égalée à zéro B= = bxi + 50ixixs + 5bixix + bixé — 0, RE fai : l'équation du faisceau se transforme en celle-ci : Dozi + 3byzize + b2(2133 + 222) + b:z22; ñ —— A[ bozs + bi(zits + D) + 30:227z SR bszs | —= 0. ( ) Les trois coniques du faisceau ayant pour paramètre respec- tivement À,, À, À;, sont tangentes à la conique fondamentale aux (*) Voir le renvoi de la page précédente, (6) points P,, P,, P;; leur équation peut se tirer d'expressions de la forme dasdu + 2dydi3 = 0 où dy, est la tangente au point P;,, à C2. Le quatrième point de base du faisceau vérifie le système byri + 3Diz172 + Valzyts + 225) + D:3275 — 0, b,z129 + D, (2175 + 225) + 5biz:zs + LS — 0, qui donne pour les coordonnées de ce point Z:%e:25 = 2 (bib, — bi) : (bb, — bobs) : 2(boba — D?). C'est le pôle B, par rapport à ©, d'une droite b dont l'équation est (bob: —— bi) Zi Ets (Lohs = bib) Z2 + (bb; — bi) Z3 = 0, qui rencontre la conique fondamentale aux points dont les para- mètres sont les racines du hessien H; = (/;, f)°? de la forme fs. 3. Il est évident, d'après ce qui précède, que la conique de paramètre À, du faisceau F, rencontre ©, aux points dont les paramètres sont racines de la forme biquadratique bixi+(5b,—àb,)xîxe+ 5(b3—2b,)x tx + (bs— 3ab)xiai—b;ré=0, (6) décomposable de cette manière (x — Axe) D = 0. Le discriminant de cette conique, invariant cubique de la forme précédente, s’écrira donc : 2b, 3b, GES Ab b, Dr Ab, 3,20, (bah) 0 5abLil b, — 2b, b;— 31 —92Xb; cette formule coïncide avec le covariant primaire du troisième (7) ordre Q; = (f;, H;)! de la cubique fs, où À = que nous exprimons ainsi par un déterminant à trois lignes. Nous concluons de là que les coniques dégénérées du faisceau s'obtiennent en remplaçant À, dans l'équation (5), successivement par les racines de Q;— 0. Les couples de droites correspon- dantes sont P,P, et P;B, PP; et P,B, P;P, et P,B. Le point M; relatif à la racine de Q; — 0,-qui fournit le premier couple, se trouve (n° 2) à l'intersection de P;B et C,; mais ce couple est (n° 1) conjugué harmonique du couple P,P,, la droite M;P; passe donc par l'intersection des tangentes en P, et P, à C2. Nous avons retrouvé, par ce raisonnement, la propriété carac- téristique des racines de f; et Q,; d’être telles qu’une racine de Q,; et les trois racines de /; forment toujours une série harmonique, et aussi un mode connu (*) de représentation du système fonda- mental de la forme cubique binaire dans le plan. Cette repré- sentation consiste en ce que, les racines de /; étant figurées par les points de contact des côtés d’un triangle circonserit à ©, , les racines de Q; sont marquées sur cette conique-support par les trois droites joignant les points de contact aux sommets opposés, et celles de H,; par les points de contact des tangentes menées à la courbe par le point d’intersection de ces trois droites. 4. Le point de paramètre À marquera, sur la conique fonda- mentale, avec les points de base P,, P,, P;, une division équi- anharmonique si l'invariant quadratique de la forme (6) est nul. Cet invariant peut s’écrire : 12 [ (Bob: —— b;) À + (b5bs Te bb:) À + (bib: Pres b2) |; c’est le hessien H; de la forme f;. Il résulte de là que deux coniques du faisceau figurent sur Ç, une division équianhar- monique ; elles sont déterminées par l’un quelconque des points d'intersection de la droite b avec C, et les quatre points de base. (*) G. SALMON, Traité de géométrie analytique (sections coniques), trad. de MM. Résal et Vaucheret, 1884, p. 664. Voir aussi notre Mémoire cité, PAU (8) De là résulte aussi la propriété des racines de H; de former chacune, avec les racines de /;, un quaterne équianharmonique. 5. Si, dans l’équation (4), nous considérons À,, À, À; comme étant racines de Q; = 0, nous obtenons un nouveau faisceau, G, de coniques. Le diseriminant de l'une quelconque d'entre elles peut s'écrire R?. fs et l'invariant quadratique signalé au numéro précédent est R.H,, expressions dans lesquelles R est l’invariant de /;. Ces expressions montrent que les propriétés des racines de /; et Q;, ou des ternes de points P,P,P; et M,M,M; (celui-ei correspondant aux racines de Q;) sont réciproques entre elles; que les points racines de H;— 0 jouent le même rôle par rapport à ces deux groupes. 6. L'équation du lieu de l'intersection des coniques du faisceau F avec la tangente correspondante au point À de ©, s'obtient facilement par l'élimination de À entre la formule (5) et celle-ci Z1 ——= 272 + z:h° —= 0. Ce lieu se compose de la conique fondamentale et de la courbe cubique représentée par 2 (b0z, + 2,72 + Dors) + 22, (0074 + 20,2: + Vizs) (biz, + 2,7: + b:7:) SE 25 (b134 == 2b,7; + b;z:)° —= 0, équation qui peut se déduire de par la substitution (3). (9) Il résulte du mode de génération que cette courbe est tangente à la conique €, aux points P,, P,, P;; qu'elle a pour point double le point B obtenu au moyen des coniques considérées au n° 4 et des tangentes à la conique fondamentale aux points racines du hessien, lequel point B est l'intersection des droites Dozs + 2b32o + bezz — 0, b,z; + 9D,z: + D:z; —= 0; que cette courbe rencontre la droite b aux trois points d'inter- section des côtés correspondants des deux triangles homologiques qui sont P,P.P; et le triangle formé par les tangentes aux points M,M,M;. Ces points sont aussi les intersections des côtés correspondants du triangle M,M,M; et du triangle des tangentes aux points P,P,P;. La courbe cubique correspondant au faisceau G passe par les trois mêmes points sur b et a le même point double B. Pour d’autres propriétés de cette cubique, voir notre mémoire cité, n° 55. ‘7. On pourrait facilement, à l’aide des faisceaux F et G, obtenir sur la conique fondamentale la représentation de la plu- part des covariants des systèmes composés de la forme cubique f; et d’autres formes binaires. En voici deux exemples, aisés à vérifier. À la forme (f3, f1)' — où f, est une forme linéaire — corres- pond une sécante de C,, laquelle est tangente, au point B, à la conique du faisceau G qui a pour paramètre À, racine de 1 — 0. Cette sécante marque, par suite, sur C@, l'image des racines de (f5, f,)! = 0. Nous obtenons, par cette remarque, une construction nouvelle des éléments doubles de l'involution qua- dratique qui correspond à un point donné (À) dans une invo- lution cubique du second rang dont on connait les points triples P,, Po, P;. On considère à la fois les faisceaux F et F relatifs aux formes cubiques binaires f; et f;; ils passent respectivement par les (10) points B et B’ qui correspondent aux hessiens de ces formes. Les tangentes en ces points à deux coniques de ces faisceaux, déterminées par un même paramètre À, forment deux rayons homologues de deux faisceaux projectifs de droites. La conique engendrée par l'intersection de ces rayons répond à la forme biquadratique (Q;, Q:)' et marque, sur C,, les racines de cette forme. En remplaçant les faisceaux F et F’ par G et G/ (cor- respondant à Q; et Q;), on construit la conique relative à la forme (f3, f:)! et, sur C,, les racines de cette forme. SUR LES NOMBRES PLUCKÉRIENS DE LA COURBE D'INTERSECTION DE DEUX SURFACES ALGÉBRIQUES POSSÉDANT DES COURBES DOUBLES PAR Le D' W.-A. VERSLUYS AR MART MEME HALO : | à x e A VITE A HOT FRDANAUE à ONPMEMCIT RU INTERNE MAUAZA ti (A ie TITRE. * ÿ DTUTIONAT À + 1 SRE LES NOMBRES PLUCKÉRIENS DE LA COURBE D'INTERSECTION DE DEUX SURFACES ALGÉBRIQUES POSSÉDANT DES COURBES DOUBLES $ 1. Des formules donnant les nombres plückériens de la courbe d'intersection de deux surfaces algébriques U et V en fonction des singularités de ces deux surfaces se trouvent indi- quées dans le Repertorio di Matematiche superiori, 1. Il, de E. Pascal, page 325. On trouve la démonstration des formules principales dans les ouvrages de SaLmoN, Geometry of three dimensions, $$ 542-344, et de L. CremonA-CurTzE, Oberflächen, $ 117. Pour les singularités de la courbe d'intersection de deux surfaces développables, ces formules ne sont plus applicables, puisque les surfaces développables possèdent généralement une arête de rebroussement et une courbe nodale. Dans les formules données par Pascal et dans les démonstrations de Salmon et de Cremona, les deux surfaces U et V sont supposées ne pas pos- séder de courbes doubles. CE On peut appliquer, au cas plus général de la présence de courbes doubles, les formules données par Paseal, en les modi- fiant légèrement. Dans toutes les formules, sauf celles pour les singularités 6 et H, il suffit de substituer pour les nombres y et 0 les valeurs B et H. Les formules qui donnent les singularités et H deviennent : B = Nu + Ni + Lo H — NiËe + NË: + 0; c’est ce que je me propose de démontrer. $ 2. Supposons que la surface U est du degré nr, possède une courbe cuspidale du degré v, et une courbe nodale du degré £,. De même, la surface V est du degré n, et possède des courbes cuspidales et nodales respectivement des degrés % et Eee Les surfaces U et V ont un contact ordinaire en 0 points et un contact stationnaire en 7 points. Soit s la courbe d'interseetion des surfaces U et V ; je suppose que cette courbe ne se décom- pose pas; son degré sera n — nn. Les y points de contact stationnaire sont des points de rebrous- sement 5 de la courbe s (*). La courbe cuspidale », de la sur- face U rencontre n:», fois la surface V en des points de rebrous- sement de la courbe s. En effet, un tel point P est un point double de la courbe d'intersection s, et les tangentes aux deux branches de la courbe s coïncident avec la droite d'intersection du plan tangent en le point P à la surface V et du plan tangent double de la surface U en ce point P. De même, les ny points de rencontre de la courbe cuspidale > avec la surface U sont des points stationnaires de la courbe s, ce qui donne la relation B— MY + Noys + XL: Les à points de contact ordinaire des deux surfaces U ét V sont des nœuds H de la courbe s (**). La courbe nodale & de (*) SALMON, loc. cit., $ 344. (F*) IbEn. \ (5) la surface U rencontre la surface V n:£, fois en des points qui sont des points triples ordinaires + de la surface composée des deux surfaces UÜ et V et de sa courbe nodale. Des trois branches de la courbe nodale qui passent par un point +, l’une appartient à la courbe &, les deux autres appartiennent à la courbe s. Un point r est done un nœud H de la courbe s. Les n,£6, points de rencontre de la courbe £, avec la surface U sont également des nœuds H de la courbe s, ce qui donne la relation H= né + N£E, + d $ 3. Cremona et Salmon déterminent le rang r de la courbe s à l’aide d’une surface L du degré n, + n; — 2, qui est le lieu des points pour lesquels les plans polaires par rapport aux sur- faces U et V se coupent suivant des droites qui rencontrent la droite arbitraire /. Si les équations de la droite / sont GE + Uy + 437 + a —= 0, Dix + boy + b:z + b, —0, l’équation de la surface L sera di lo ds (Ur b b b: b ps 1 2 4 \, U, U, U; U, Vi V: Vs Vs En un point de rencontre P de cette surface L avec la courbe d'intersection s, les deux plans polaires sont les plans tangents aux surfaces U et V en ce point P. Leur droite d’intersection est done la tangente à la courbe s au point P, d'où il suit que le rang de la courbe s est, en général, Tr = Na + Na — 2). Pour les points y et d, les deux plans tangents coïncident: donc pour ces points, on a Dee U; : V; — UV (6) et le déterminant L s’annule pour les points -; et 0. La surface L passe done par ces points doubles et y rencontre la courbe 5, tandis que les tangentes en ces points à la courbe s ne reneon- trent pas, en général, la droite arbitraire !. Le rang de la courbe s sera done diminué pour chaque point Ô et y. $ 4. Soit m le nombre de fois que la courbe s rencontre la surface L en un point d. Alors il faut diminuer de m» le rang de la courbe s pour chaque point d. Le point à étant un nœud de la courbe s, ce nombre #» est au moins égal à 2. Prenons le point d pour origine des coordonnées et le plan tangent commun pour plan z — 0. Les équations des surfaces UÜ et V seront : O—2z+ ax + 2hxy + by + 2gxz + 2lyz +etc, O—z+ ax + 2hxy + d'y + 2g'xz + U'yz + etc. En n’écrivant que les termes du degré le moins élevé dans l'équation de la surface L, on obtient : du a UE 3 b, be b; b, 2ax + 2hy + 2gz 2hx + 2by + Az 1 (ni —1)z je 2a'x + 2hy + 2g'z 2x + %'y + Y'z 1 (nn: —1)z Les deux dernières rangées de ce déterminant deviennent identiques pour x = y — z — 0; l'origine se trouve done sur la surface L, et l’on voit facilement que l’origine est un point simple. La surface L rencontre la courbe s en plus de deux points si cette surface est tangente à une des deux branches de la courbe s qui passent par le point 0. Coupons donc la surface L par le plan z—0. On trouve facilement que les termes du premier degré de l'équation de la courbe d'intersection Z sont : (ab, — bias\}(h — h')x + (b — b')yt + (ais — bia) a — a')x + (h—h)yt GED La direction de la tangente à la courbe X en le point d dépen- dra donc, en général, des paramètres &, &, a,, b,, b,, b, de la droite arbitraire /. Cette tangente ne coïncide done pas, sauf pour des positions particulières de la droite /, avec une tangente en le point à à la courbe s. Un point à compte ainsi pour deux intersections de la courbe s avec la surface L. Il faut donc dimi- nuer de 2 le rang de la courbe s pour chaque point à. $ 5. La direction de la tangente à la courbe Y au point de contact des deux surfaces U et V est indépendante de la position de la droite /, sous la condition : h—h b—? aa hier En effet, les termes du premier degré dans l'équation de la courbe Ÿ sont alors Do(abs — abs) + (abs — a3h,){ (a — a)x + (h —h')y}, et l'équation de la tangente est (a — a')x + (h— h')y = 0. La condition Re bi a— a’ h — h' indique que les deux surfaces ont à l’origine un contact station- naire y (*). La tangente à la courbe s est alors aussi (a — a’}x + (h —h')y = 0. La courbe s rencontre donc la courbe Y trois fois en un point y. La courbe Z étant située sur la surface L, la courbe s (*) SALMoN, loc. cit., $$ 203 et 204. (8) rencontre en un point Y trois fois la surface L. IL faut done dimi- nuer de 5 le rang de la courbe s pour chaque point y. $ 6. Pour chaque point de la courbe cuspidale »,, les quatre fonctions dérivées U,, U,, U, et U, sont nulles. La surface L passe done par la courbe »,. Je démontrerai que la surface L possède en chaque point de la courbe cuspidale le même plan tangent que la surface U. Prenons pour origine des coordonnées un point quelconque de la courbe cuspidale ». L'équation de la surface U sera alors de la forme 0 = 2° + ax° + etc. Les termes du degré le moins élevé des fonctions dérivées U,, U, et U, seront donc du second degré. Le terme du degré le moins élevé dans la fonction U; sera 23. Le terme le moins élevé du développement du déterminant L sera donc le terme Cz, ce qui démontre que l’origine est un point ordinaire de la surface L dont le plan tangent coïncide avec le plan tangent double z — 0 de la surface U. Considérons maintenant un point À où la courbe », rencontre la surface V. Ce point À est un point stationnaire de la courbe 5, et la tangente à la courbe en ce point se trouve dans le plan tangent double de la surface U. Nous venons de voir que ce plan tangent double est aussi le plan tangent de la surface L au point À La tangente à la courbe s au point stationnaire À se trouve donc dans le plan tangent en À à la surface L. Par consé- quent, un point À compte pour trois intersections de la courbe s avec la surface L, et la présence de chaque point À diminue de trois unités le rang de la courbe s. Évidemment, il en est de même des points d’intersection de la courbe », avee la surface U. $'7. On voit facilement que la surface L passe par la courbe nodale £,, que cette courbe est une courbe simple de la surface L et que le plan tangent à la surface L en un point quelconque de la courbe &, dépend de la position de la droite L. Un point 7, où (1) la courbe Ë, rencontre la surface V, est un nœud de la courbe s et un point ordinaire de la surface L, tandis que pour des posi- tions quelconques de la droite /, les tangentes à la courbe s ne seront pas situées dans le plan tangent de la surface L. Un point + compte donc pour deux intersections de la courbe s avec la surface L, et la présence d’un point + diminue de deux unités le rang de la courbe s. Il en est de même des points de ren- contre + de la courbe E£, avec la surface U. Des $$ 3-7, il résulte que le rang de la courbe d'inter- section s est : T = Nylo(ns + No— 2) — 99 — Q(niEs + Nobs) — 5% —3 (nie + Nova), r = ninafns + N9 — 2) — 2H — 56. $ 8. Une bitangente o de la courbe s est aussi une bitangente commune des deux surfaces U et V, telle que les deux points de contact avec la surface U coïneident avec les deux points de contact avec la surface V. Les bitangentes des deux surfaces U et V formant deux congruences, les bitangentes communes doivent satisfaire à quatre conditions. Il existe donc des bitangentes com- munes en nombre fini. Ainsi, en général, il n’existera pas des bitangentes communes satisfaisant en plus aux deux conditions de la coïncidence des points de contact (condition qui est néces- saire, mais pas suffisante), ce qui donne pour le cas général : a— (0, Si les deux surfaces occupent des positions particulières, la sin- gularité d’une tangente double w peut se présenter. Par exemple, si les deux surfaces sont des surfaces développables, une tangente commune des deux arêtes de rebroussement est une tangente double © de la courbe d’intersection s (*). (*) CREMONA, loc. cit., $ 101. (10) $ 9. Une tangente stationnaire v de la courbe s est aussi une tangente stationnaire des deux surfaces U et V. Les tangentes stationnaires des deux surfaces U et V forment deux congruences. Il existe donc un nombre fini de droites qui sont des tangentes stationnaires communes des deux surfaces U et V. Pour que l’on ait une tangente stationnaire de la courbe s, il faut que la tan- gente stationnaire commune des deux surfaces U et V soit tan- gente à ces surfaces au même point. Parmi des droites en nombre fini, il n'existe, en général, aucune droite satisfaisant à une nouvelle condition; done : v = (. Un plan G qui est deux fois oseulateur à la courbe s ren- contre les deux surfaces U et V suivant deux courbes qui ont deux contacts d'ordre 2. Un plan qui coupe les deux surfaces U et V suivant deux courbes qui ont un seul contact d'ordre 2 (ce sont les plans osculateurs de la courbe s) doit satisfaire à deux conditions. Les plans G doivent done satisfaire à quatre condi- tions; par conséquent, il n’existera, en général, aucun plan oscu- lateur double G de la courbe s, donc G —= 0. Des six formules : n = Ne, T = Naf + No — 2) — 2H — 586, B = f, H = H, C0, Q = , D = on déduit, à l’aide des formules de Cayley-Plücker, les expres- sions pour les autres singularités de la courbe s. Ces six formules sont les mêmes que les formules indiquées par Pascal, sauf la (11) substitution de H et de B pour à et y. On trouve donc pour les autres singularités aussi les mêmes formules, sauf cette substi- tution (*). Les valeurs de H et de B sont maintenant : H = 0 + nié + M, B = + Na + Nos. $ 10. Pour les surfaces développables, la valeur de GB se simplifie un peu, puisque pour ces surfaces on aura, en général, x = 0, ce que je démontrerai. Prenons l’origine des coordonnées en un point de contact de deux surfaces développables U et V, et prenons pour les axes des x et des y les deux génératrices le long desquelles ces deux surfaces sont tangentes au plan z— 0. Les équations des sur- faces U et V sont : 0O—z+ ax + 2gzx + Azy + etc., 02 + d'y, + 2g/2x + U'zy + ete. La condition pour un contact stationnaire est : (@a—a)(b—8)=(h=h) (°. Elle devient ici : — ab’ = 0. Done, a = 0 ou b — 0, ce qui exprime que le plan z=0 doit être un plan tangent stationnaire « d’une des deux sur- faces U et V. Cette condition étant évidemment suffisante, on obtient ce théorème : Deux surfaces développables ont seulement un contact stalionnaire si un plan stationnaire à de l’une des deux développables est un plan iangent de l’autre. (*) Dans la formule, pour y se trouve une petite erreur qui ne se trouve plus dans la traduction allemande. (**) SALMON, loc. cit., $ 204. (122) On voit facilement que : Si un plan tangent commun de deux surfaces développables est un plan stationnaire des deux surfaces, le point de contact est un point triple de la courbe d’interseciion s; nt triple de la surface composée ce point triple n'est pas un pot des deux surfaces U et V. Delft, octobre 1904. ÉLÉCEPÉERCENES LES FONCTIONS CYLINDRIQUES W. KAPTEYN RECHERCHES LES FONCTIONS CYLINDRIQUES Dans la première partie de ce mémoire, nous nous proposons de déterminer la valeur de quelques intégrales contenant des fonctions cylindriques de première espèce. Dans la seconde partie, nous présenterons quelques applications de ces formules sur la sommation de certaines séries composées des mêmes fonetions. PREMIÈRE PARTIE 1. Dans une communication à l’Académie des Sciences d’Am- sterdam (*), nous avons démontré indirectement la formule + & d, (1) sue f 36-048. où J, représente la fonction cylindrique de première espèce, pour n positif et impair. Cherchons à présent à démontrer cette formule directement, » étant un nombre entier positif quelconque. | (*) Séance du 28 décembre 1904. (22) Posons, pour y arriver, # J,(x — nf Pre LI 4 J,(8) Q 7 EL — Ed © n . J, ( 6) 8 (Eh 0 alors il est évident que P, — Q:. En différentiant Q,, le résultat sera différent selon que » est zéro ou plus grand que zéro. En effet, on trouvera dQ _ f'* dia — 8) J,(8) Je) J, (a) Pr ne 0 dans le premier cas, tandis que dans le second on obtiendra d Q, 1 a : = = / [i-i(a — B)—d,41(e —6)] (6) B 1 dB = 2 (OZ En Qu). Pour obtenir une seconde relation où entrent P, et Q,, multi- plions l'équation connue d,_i(a — 6) — J,(a — 6) —J,(a — 8) 2n a— 6 J\(8 Pa ns | par 20 df et intégrons entre les limites 0 et « ; on trouve &B B a — 2n LE) 54 4 Qu = mn L: su | J,(x — 819, (B)d£ — Qu ou 2h . Q, Ste — Ca ae 9): (5) En posant n — 1 dans ces deux relations et ayant égard à l'équation P;, = Q,, il vient 4 tr oo 2 ou 1Q, =? Q + D 1Q, Q — = dœ En différentiant la première de ces équations et en introdui- , d sant la valeur trouvée pour ee , on obtient l'équation différen- telle dQ, 240 + seb) 0, "©. + — æ a da œ da° da Or, cette équation admet l'intégrale particulière et c'est justement l'intégrale que nous cherchons, parce qu’elle remplit les conditions dQ, da pour a—(. De cette valeur de Q, se déduit immédiatement celle de Q,; en effet, Supposons maintenant qu'on a généralement Q, = J,;4 (æ) ; OR) alors la relation dQ, El (O2 FES Q::1) dœ montre que l’on aura aussi Qu: = J,yo(z) ; par suite, l’équation (1) est établie. Cette démonstration nous permet en mème temps de déter- miner la valeur de l'intégrale P,,; en effet, œ E 1 P; Te on (Qr-1 Se Qu) Er Q, oE On (J, an J,42) ra Jui = . d,1(x) ou d,r(a #4, (a — (2) TT À 9. ( fl J, (6) d£. n « a —$ 2. Les formules (1) et (2) ne sont que des cas particuliers des formules plus générales : OUI CE EN (5) nl Fe Jk(6)d6 = R,, J,4r(x) dE 5 J;(8) ki (4) FE af J,(a« — 6) E Se k étant un nombre entier positif quelconque, excepté la valeur —0, qui dans la dernière de ces formules n’est pas admissible. Pour les démontrer, différentions d’abord l'intégrale S,; alors on aura ds () — | 7 2 (Su à SA): Une seconde relation se déduira ensuite de l'identité connue 2n d,_1(œ TA 8) 2= Jqa(x — 6) = Eu 2 J,(e — $). (02) En effet, en multipliant cette équation par . d6 et en inté- grant entre les limites 0 et «, on trouve ; e (b) S,-1 + Sr = = (S, + R,). & Or, d’après les formules (3) et (4), on a Fe he set eg Eds ci LE a y)dy — —= Jyya LL LS S, _. J, (x He #( = ) —— dy —= Ju a—y k 0 et, d’après les équations (a) et (b), ds, S = S, = 2 FA 2(k + 1) So + S = = (S, + R;) — ; S; ; -par suite, pee he k +1 ds, "7, S— S— — — — : : da k En introduisant ces valeurs, les relations récurrentes (a) et (b) donnent successivement J s—# d4 S die et de la même manière dre dr J;,5 R; he d) Re din ; n 3. Déterminons maintenant l'intégrale d ŸJue — 8)3, (6)dé, 0 qui est en rapport intime avec l'intégrale [sn (x — E) _. dB. 0 Il importe ici de distinguer les deux easn—2ketn—2k+ 1. Dans ces deux cas, on aura respectivement (5) ci le DD AE Nan C1} Ed one 0 CYA MPa (#)dB=2| dada (ANS | ose u = Jo(z — 8)J,(8) dB; du f*dhi(x — 6) (1] Soit alors on aura Ti — . JU + J, (a) du _ [EI (&—5) d3, (x) (J Or, d'J,( — 8) 1 dJ,ia —$) D EE J — B)—0 da & — $ d nn”) ou £ — — 6 is ee Ja —D). da ER É par suite, du AJ, (ax — 6}, dy ee d3,(æ) SR _ RE d 0 era 0 D'après l'équation (3), cette équation différentielle s’écrit plus simplement du nJ,. (a FE 2 + U — dr hs je TE J,1l as À En introduisant dans l'intégrale générale 2 J M A sine + Beosa en ina — 9)" 2 8 0 les conditions évidentes du xa—Q0O:u—=0, Ne quand #7 —0, (4 du a—0:u—0, — 0 quand n > 0, de on trouve aisément VAT — 6)J,(8)d8 — sin « 0 Je pi@dp=n fl sine 9 us (y En difiérentiant la première de ces équations, on obtient, après une légère réduction, . Jo(a — B)d,(8)dB — Jo(x) — cos «. (10) De ces deux formules se déduiront successivement toutes les autres ; en effet, 0 Jo(a — B)J. (8) CHEN Jo(c — À) [A2 fus 2n,( — sine Je o(& — B)d:(8)d8 — fl uepf 3: fausse ete., ce qui prouve les formules (5) et (6). Æ. Cherchons à présent la valeur de l'intégrale [sut 0166. 0 Pour y arriver, nous démontrerons d'abord la formule (7) "A HG — 8) cos 6dB — ado(a). 0 En posant u— f Ne— res gas fn) cos (x — y) dy, on aura, par différentiation, (a) JU J(y) sin («x — y) dy + J,(x) d? é dJ ue f Jo(y) cos (x — y)dy + a), dc du 0 d'u + u—= —]J,(x). de par suite, (11) Cette équation admet l'intégrale uw = a«J4(a), et c'est précisé- ment l'intégrale chérchée, parce qu’elle remplit les conditions que pour «a — 0 on au —0 ET — (® Si maintenant nous substituons w — aJ{(a) dans l'équa- tion (a), il vient (b) [0 sin (x — y)dy = «d,(x) ou (8) se Je — f) sin 6d6 = aJ,(a). 0 En différentiant l’équation (8), on obtient Ve Ji(a — 6) sin 6dB — sin à — «Jo(a) ou (Te L J(y) sin(æ— >) dy = sin & — aJ,(x). 0 Cette équation (c) avee l'équation (b) suffit pour calculer l'intégrale [sut 5)1,(9as 0 En effet, on aura la relation récurrente sn ss. (eds = ae 1 [7 sin (e— ads e j) Hope Û y Jh Jo(a — 8)J, (8) dé € 0 — fn (« — 6)d,_.(6)dB, 0 (12) ‘2 Jo(a — 8), (8)d£ 0 où l'intégrale est connue d’après le paragraphe précédent. 5. Considérons en dernier lieu l'intégrale Se d,(a — Je Pas D'après la formule connue IE) = 2r* ue | ; Nr ANT DRE est 0 At x (x) r.A.5...(2k — 1) s (xz) ( z) Z, 0 on aura 9 co { RTL | te né DS Ca s,(d8 f_ costez Bz)(1 — 2)f-5dz 0 0 Or, on sait (*) que se 0 ee ae) OU : VAT 1 1 sin (n arc sin Z) J,(8) sin (6z)dz = —— 0 1, (p)I (x) = — 4 Ÿ 3,3, (x) Bi(x + p) + Ji(x —p) = 2 Ÿ (1, — 3,,,)J, (x) 1.3 = 2 > (1 RT J,44 RS 29,14)d,(x) 1.3 4 œ no J,, (x) — DENUC x) oi or J(x + p)— (x —p)= 2048(x) — 2 3 [,3,,(x) + Jn4e J,(x)] a 428 8 = 2J,J,(x) — 2 > [d_4 Ja(r) + ad (e)] 2.4 = 9 Ÿ [da J,_1(x) = J, 1 J,1(x)] 2.4 DT 2 » Ê Per J,u(x) Ze LE d,-1(x)]. Pour déterminer en premier lieu la somme de la série » nJ, (a) J, (x), 1.3 multiplions l'équation LA Jr — a + f)— dx +a—8)—=4 2x —6)J,(x) 1. ex par + d6 et intégrons entre les limites 0 et «. De cette manière, on obtient, d'après la formule (1), œ / ‘y, Sante) f pote —a + #)— HE + à — 9): 0 En ajoutant à cette équation D 10 = Ù an}, (e) 3, (x — Saut) (@)= 50 (œ — +) + Ji(x + a)], Ca (16) on trouve la somme cherchée Ÿn3, (93, (= EE (@ — à + di (e + 2) el 7 . or —a+8)—d(x + à — B)]d8. Ce résultat prend une forme plus simple si l’on écrit, d'après la formule (1), h(&— à) ={ ue pe dB En substituant ces valeurs, il viendra D nJ,(æ)J, (x) 1.3 œ 2 œ+z a] | f Me + 9 48 + [| Jo(x + «0 | dr “ ou, en posant successivement B— a — y et B— a+ y, = œ < dif — al a 0) Ÿn3,03,@—5 fa») ET de. | …. 1.5 CA )2 CAE PR Il est évident que cette équation aura lieu pour toutes les valeurs réelles des variables & et x. En attribuant à « une valeur positive très grande, on en déduira aisément v Ÿ nsin . J(x)— / J(x — y) cos y dy. 1.3 0 (CAT) Or, le premier membre de cette équation ayant la valeur = Jo(x) (*), on retrouve la formule (7). 7. Considérons, en second lieu, la somme de la série Ÿ n3, (2)3,(2) 2.4 En multipliant ici l'équation Dot — à + B)—J(x + à — 8) — 421 n(a — 8), (x 1.5 par Ie) df ei en intégrant entre les limites 0 et «, on obtiendra, d' après la formule (3), 14 = Buts — a + B)— Ji(x + à — G)]dp — 2 ÿ J,+(a)J, (x) (] ou . À En ajoutant à cette équation de—a+f)— rte - pd Du c SG +) Hu — a] D Did, fr) — nd TE J,_1durs (x) FT Joy J,-1(x) |, on arrivera, dans le second membre, à À : D (Bi + don)[ aix) — doy(x)] co co dJ _ D nl, (a)[3,(x) — I u(x)] — Sa) 2.4 (*) LommEL, Séudien über die Besselschen Functionen, p. 40. 2 (CAISh) par suite, on trouve [dx + &) — J;(x —- x)] 2 Lu — + 8) — Jo(x + à — 6)]d8 ou, en réduisant comme au paragraphe précédent Jofa — y) +?) FOTERESERUSSS dy. Ÿ nJ, (a) a J(x — 1 x —Y xa+y Lcd 2.4 En intégrant entre les limites 0 et x, on aura, enfin J(a—Y) | GURLR dy. an) Ÿ ns (x)J no. Joux — NEED y æa+Yy Si l'on attribue à &« une valeur positive très grande , On obtiendra ici la formule (e2)  z Ÿ n eos 7 3, (x =; f xJ(x) dx. 2.4 2 0 8. Si l’on connait une série (12) f(8) = codo(8) + ci di(6) + cJ(8) + …, on en déduira une autre, ayant les mêmes coefficients, en appliquant la relation (3). En effet, on aura F) dB = Cod, (x) + Cidua(x) + 12)is (12) É AE - De la même manière, en appliquant la formule (4), on déduira de l'équation connue (13) F(8) = c1J,(8) + cd:(8) + cd) + (19) cette autre formule (15) 1 HE © Be, a 1. __ re 0 C’est ainsi que de l'équation J(8) — cos = 2[J(8) — If) + JB) — +] on déduit * Jox — f) 2 _ol%(x) dJix) 76 Ts [J(E) — cos gas =2 | - EU =| 0 ou, en introduisant la fonction cylindrique de seconde espèce, Ja) x) ne Yo(x) — I log x = 2 40) — Yo(x) — 3, log(x) = Di ae) [b(E) — cos B]d6. 9. Si l’on prend Br (8) = cidi(8) + 2c:do(B) + 30:d:(8) + -……, on aura, d'aprés les formules (15) et (13°) du paragraphe pré- cédent, (14) f(x) = adi(x) + c:d(x en ue J6(x — B)d Cela étant, nous nous proposons de déterminer o(x), quand la fonction /(x) est donnée. En différentiant l'équation f(8) = cd1(8) + cada(B) + cd: (6) + -…, il vient d/(6) J, ET Jo J, Er J; de Fr J4 + + ou Lf co (2) TP — —= Ÿ Cxlk_4 (B) TS Ÿ Cxdr4a (B). EI k=1 Or, d’après l'équation (3) z J, (x — ) 60 f(8) À EE dB — à Cr (), par suite \ __ , (x) te AE — 6) 0 En ajoutant l'équation suivante 2 ue (© Fe f (8) Ed, on aura - AU Dheh(r)= rt à f re f\8) ou, ayant égard à la définition de la fonction v(x), & | NW 1f z Ji(x — (14) = + f° pur. 0 Pour appliquer ce résultat, posons, d’après l'équation (10), æ a jee. J ; a) = Ÿ à (2), = 1 J(x nf né 4 t—Y t+Yy 1.3 et calculons le second membre de l'équation (14°*). Nous aurons d’abord df _a[J{x—a) J(x+o) juste L à J(x — J — A J{(x — y) 2 ”) + At) us 2° | dy ce A —7Y a+ y AN C? D SE C2 (21) et ensuite fra = metre À de 1 pa HT ER En posant T—y—=lÎ, le dernier membre s'écrit @@—x+t) dfa+x—t d J + ———— | dt Dé oi = p [ET EEE 2e D —i ou, en changeant l’ordre des intégrations, af À (8 — t) d8, n t—x+i x + x — |) - B 0 0 ou encore d’après la formule (1) a É — x + () 2 Ji(a + x — ?] JA (0 dt. 4. a—x+lI a+ x—t 0 Si maintenant on remplace de nouveau { par æ — y, on obtient la valeur a F J,(æ — y) J, (a = $7) J,(x — y) —_— —— + ———— dy. n DENT CSN 0 En réunissant les résultats précédents, on voit que la fonc- tion e(x) prend la forme simple DRE EE = TX +a ce qui se traduit par l'équation suivante (45) ÿ n°3, ( __ 4x EE e Es J,(x =] 1.3 ir Er À FE = €? (22) 10. Considérons, en dernier lieu, la somme de la série S= cdi(x) + cs(x) + el(x) + -, où nous attribuons aux coefficients les valeurs in f AOF (a) da, a 0 en désignant par (x) une fonction impaire telle que cette inté- grale ait un sens. Il s'ensuit que ou, en introduisant la formule (10), 1 Le) z J is J : Se A stade f ee) 7 ” lé 2 a —Y a+ 0 0 1 z =, | J(x — >)dy .M, 0 en posant se ff x —Y t+Y Or, d'après notre hypothèse, par suite M =f" “0, (+ y) + at — y)Idt + 2 flo pa. Cherchons maintenant à simplifier l'intégrale double x 7 Jd, “. er) [| (> en 0 (25) Pour y arriver, intervertissons l’ordre des intégrations. Cela conduit à l'intégrale double l4 3T 4 “ea f dofx — y)?(7 —t)dy 0 £ ou, en substituant Y = X + | — 5, z J, z [a [lus ose pus En intervertissant de nouveau l’ordre des intégrations, on obtiendra z B J, J'su—pu8 [| a8 5" ou, d'après la formule (1), Di (a — BJ (Bd. 0 à la forme De cette manière, la somme cherchée prend la forme 1 Si — D) Re y) + o(t—y)|ldy : se (x — 6) J (8) dB. Observons maintenant qu’il y a des cas assez étendus où l'on a rte net ne 240, 0 (24) et qu'alors la somme cherchée s'écrit x d D sf bia — 0) SE dy y (x — B)(B)d£. En intégrant la première intégrale par parties et en supposant encore que (0) — 0, on voit que le second membre de cette équation se réduit simplement à œ(x). TRAJECTOURE LEMINEUSE DISTANCE ZÉNITHALE UNE ATMOSPHÈRE FORMÉE DE COUCHES PLANES PARALLÈLES G. CESARO ROFESSEUR A L'UNIVERSITÉ DE LIÉGE N 40% rm Trajectoires lumineuses dans une atmosphère formée de couches planes, horizontales, ayant la même tempéra- ture, et dont la densité et l'indice varient d'après les lois de Mariotte et de Gladstone. Nous considérons un point lumineux O (fig. 1) situé dans une couche d'indice N, de pression H et de densité D, rayonnant tout autour de lui; l'atmosphère est supposée indéfinie dans tous les sens. Îl s’agit de trouver ce que deviennent les différents rayons émis par le point O dans la traversée de l’atmosphère. Nous prenons comme axe des y la verticale passant par O; comme le tout est de révolution autour de y, il suffira de considérer les rayons situés dans une section méridienne quelconque, dont nous prenons l'horizontale pour axe des x. Soit + l'angle que fait un rayon émanant de O avec la verticale; désignons en un point quelconque (x, y) de la trajectoire par n l'indice, par À la pres- sion, par z le poids du litre d'air et par « l'angle que la tangente y fait avec la verticale. Pour deux éléments consécutifs de la trajectoire on a, d'après les lois de la réfraction, n sinx n' Sin ou n sin æ — constante — N sin ». (1) La courbe est donc définie par la propriété, qu’en un point quelconque le produit de l'indice variable par le sinus de l’angle que la tangente fait avec la verticale est constant. La diminution de pression pour une augmentation dy de la hauteur est proportionnelle à zdy, de sorte que dh = — Gzdy; (2) et, comme h z HD D dh = — -—. hdy; uis, en posant puis, P 5 sr H h—He"# et _z— Der“, Il reste à calculer l'indice en fonction de la hauteur : la loi de Gladstone dit que pour un même corps le quotient —, n étant l'indice, d la densité, est une quantité constante; quelle que soit la cause qui fait varier d, même s'il s’agit du changement d'état physique, n varie dans le même sens de manière à laisser constant le quotient +, qui porte le nom d'énergie réfractive du corps. On a donc, dans notre cas, n—1 N —1 Z D n—=1+(N—1)e". ? En remplaçant dans (1), il vient 4 + (N—1)e = N sin s VA + y”; d'où, en posant Nsing—a, N—1—b, ady dx = ———————————————<— VA + de} — a° (5) En intégrant, on trouve qu’il y a trois cas à distinguer : DU QRA—AEAU EE RIE (5) PREMIER CAS a=Nsine <1, o(*) < 8836’ 53,4. On obtient a TEE CRE EURE ee er Se ee EVA a VA+aV14—arbe VA = aVrarbe” TH+C— (4) en posant kV/A — at m, a—N sin — sin 4, a la constante c est donnée par U +9 cos 2 ec LE Ë (5) U — sin s 2 En tirant de (4) y en fonetion de x, il vient e*7 == ge } emz+c) pre e"E+c) | = /| lo (6) 1" a 1h29 La forme de la trajectoire se déduit aisément de cette équa- tion : la dérivée Aa Ge "er € 2 e"lx+c) = e-"{x+c) Me, (71 Ve constamment positive, décroit depuis V1 — «a? a Al cot » a lorsque x croit de 0 à + oo. (*) En supposant la température de Ov et la pression au point O de 760 mil- limètres, N — 1,0002993. (6) La courbe (fig. 1) tourne constamment sa convexité vers le haut; elle a une asymptote US Le 0 Fig. 1. dont le coefficient angulaire vient d'être obtenu : Ver — ot u; (7) a P quant à son ordonnée à l'origine, on a Q= lim (y ce px}; or 1 b a L É VA y —— Si “1 | | : x, ou bien 1 b * y — pr —- | L e 2 (e" + es | ) È — 7 (*) La première valeur de y — px devient indéterminée pour æ = ; on fait disparaître cette indétermination, en observant que 14 À — a L — 1 Lenz a RE EN et, par Conséquent, abe”° Tnt ee (8) Pour x négatif, la courbe représente la trajectoire suivie par un rayon lumineux partant sous l’angle p< 88°36/53;4 vers les couches atmosphériques inférieures, L'équation (4) montre que lorsque y tend vers — , x tend vers une valeur finie donnée par NME TE 1 u DEC — — | cot—; (9) D TE GVIE= Es D 2 cette branche de courbe a done une asymptote verticale, Calcul des constantes et exemple. — Supposons les hauteurs y exprimées en kilomètres, les pressions » en millimètres de mer- eure, les poids de litre z en grammes. La variation de pression pour une augmentation de hauteur dy sera 74 dh = 10 dy - ——; 13500 done, la constante représentée par C dans la formule (2) a pour valeur 10* DE. on a ensuite CD 10° 1,293 k = — = — + —0,12602 (Ci): H 135 760 Pour le caleul numérique, l'équation (7) peut s’écrire 3 u+ y SIN Y COS 1 = QUE —_—_—_——— (10) cos? u sin A 1 1 (*) log-—0,8995489 et =—7,985. (8) Exemple : © — 45°. On obtient u = 454/0/,3 (*), g = 0,00464 kilomètres, c — 67,5603 kilomètres, pour l’asymptote verticale, x + c — 6,9945 kilomètres, et, par conséquent, pour sa distance à y (fig. 1) OA — 60,3658 kilomètres. Il est pour ainsi dire impossible de dessiner la partie mon- tante de la trajectoire tellement sa convexité est légère; on peut s'en faire une idée en cherchant le point d’intersection de la tangente à l'origine avec la tangente à l'infini; on obtient pour les coordonnées de ce point x — y — 7,94 kilomètres; de sorte que si l’on s’imagine un carré de 8 mètres de côté, les deux tangentes s’obtiendront en joignant un sommet de ce carré au sommet diagonalement opposé et à un point situé sur un des côtés qui y aboutissent à environ 5 millimètres de distance de ce sommet. DEUXIÈME CAS a—=Nsinp—1, o— 8836 53/,4. L'équation (3) devient d dx —_— PR UE ef à 5 VU + best) —1 (*) x représente l’angle que la tangente à l'infini fait avec la verticale. l'intégration donne 1 2 c+c—r\/; At (41) On en tire \ en E(x + c} —1 2 | Xæ+C X + C —9} e“v MéCEn e à y = bk On voit que lorsque x augmente indéfiniment, y augmente aussi au delà de toute limite ; la dérivée, essentiellement positive et décroissante, devient nulle pour æ— æ, de sorte que la courbe présente constamment sa convexité vers le haut; la branche montante n’a plus d’asymptote qui est remplacée par une droite parallèle à l’axe des x située à l'infini. Pour x négatif, la courbe représente la trajectoire suivie par un rayon lumineux partant sous l'angle de 88°56/53//,4 vers les couches atmosphériques inférieures. L'équation (11) montre que lorsque y tend vers — æ , x tend vers la valeur finie Ÿ sin — Act } 2 1) 1 2 L = — — + — — RE —_——— AVE ent à sin 45° sin | 45° — — 2 soit x = 648,4798 kilomètres. A cette distance de l’axe y la branche descendante présente donc une asymptote verticale. (10) TROISIÈME CAS a—=Nsins > 1, , 9 >88:361537,4: Dans ce cas, la dérivée Î PRE ER Er nee (3) a s’annule pour une valeur réelle et positive de y donnée par CE (12) À cette hauteur maxima le rayon subit la réflexion totale; à partir de la valeur de x correspondant à ce maximum il faudra prendre le signe — dans le second membre de l'équation (3). Après intégration, il convient d'écrire 1 ( ge? ——— — — arc te ns ———— — — 13 “au nm AS Ve be —(a—1) D jusqu’à æ — OB (fig. 2), et = # beW+a+rAi a +1 be — (a — 1) 6 + KT — are to (y | (14) (11) au delà du maximum; dans ces équations kV/a? — 1 M — —— — a et ; u — 1 bratri NES a +1 b—a+1 L'équation (14), pour y — 0, donne T = 5% (15) m qui est la portée OA (fig. 2) de la trajectoire au-dessus de l'horizon. L’équation (14) pour y = — « donne x T t a —1 CAC ? MAT a + 1 qui indique une asymptote DL parallèle à l'axe des y. La courbe est d’ailleurs évidemment symétrique par rapport à la droite BC sur laquelle se trouve l'ordonnée maxima. Exemples (°). ? y maximum. Portée. X4 () 89e 1134 5,501 1458105 2179,223 89°30/ 1,108 519,856 1557,69 90° 0 0 1023,309 On peut à présent se faire une idée de l’ensemble des trajec- toires décrites par les rayons lumineux issus du point O : 4° Tous les rayons compris dans le cône supérieur AOB re Nsin © (**) Les distances inscrites dans ce tableau expriment des kilomètres. La 4 (*) Il convient pour le calcul numérique de poser COS: première valeur de w correspond à sin 9 — — N (42) (fig. 5) d'ouverture 177°15/46/’,8 (*) marcheront vers le haut en décrivant des trajectoires telles que O ayant une tangente à l'infini inclinée sur la verticale. 2 Les rayons dirigés suivant les génératrices OA du cône AOB décriront une trajectoire telle que 02 n'ayant plus de tangente à l'infini et coupant l'horizon à une distance infinie. 3° Les rayons compris entre la surface conique AOB et l'horizon (ouverture : 1°25/6//,6) subiront la réflexion totale et suivront une trajectoire telle que OCS rencontrant l'horizon en un point C d'autant plus rapproché de l'origine que le rayon est plus rapproché de l'horizon, trajectoire possédant une asym- ptote verticale. k Enfin tous les rayons dirigés au départ sous l'horizon décrivent des trajectoires telles que 03’, 02’, O1’, prolonge- ment de 03, 02, O1, trajectoires ayant toutes une asymptote verticale, * Eh 2 De ce qui précède, on déduit immédiatement la solution du problème inverse : Un point lumineux se meut dans l’atmosphère en décrivant un cercle de très grand rayon autour d’un point O (*) Figure schématique dans laquelle l'angle AOB a été beaucoup agrandi. (43) où se trouve placé un observateur ; chercher à chaque instant le rayon qui vient aboutir en O et l'angle qu’il y fait avec la ver- ticale. Cet angle est la distance zénithale observée, la vraie dis- tance zénithale étant l'angle que fait la tangente à l'infini de la trajectoire lumineuse avec la verticale. Mais on va voir qu'il n’y a pas besoin de connaitre la forme de la trajectoire lumineuse pour calculer la vraie distance zénithale dans une atmosphère formée de couches planes parallèles. Distance zénithale dans une atmosphère formée de couches planes parallèles. Quelle que soit la succession des états des couches d'air, si z et © sont respectivement les angles qu'un rayon lumineux fait avec la verticale dans l'éther du vide d’indice 1 et dans le lieu d’ob- servation où l'air a l'indice N, d'après les lois de la réfraction, on a sin z— N sin #. (1) Il suffit donc pour avoir z, © étant la distance zénithale observée, de calculer, à l’aide de la loi de Gladstone, l'indice de l’air du lieu d'observation, connaissant la température, la pres- sion et l’état hygrométrique de ce lieu. * * x Si l’on ne tient pas compte de l’état hygrométrique et si D est le poids du litre d’air à la température ? et à la pression H, D, et N, représentant le poids du litre et l'indice dans les condi- tions normales (N, = 1,0002925), on a ———— — » D D, el, comme | H Ds peste tn, MANS 10760 (14) il vient H 0,0002923 NUE = 760 1 + at ? et, en remplaçant dans (1), H ——— 760 1 + at sin & = sin (! CRE *X * _*% Pour tenir compte de l’état hygrométrique de l'air dans le calcul de N, on se basera sur la loi de Landolt, qui dit que « l’énergie réfractive d’un mélange de plusieurs corps multipliée par le poids de ce mélange égale la somme des produits obtenus en multiplant le poids de chaque corps par son énergie réfrac- tive. » Considérons un litre d’air humide à la pression H et à la température {, f étant la tension de la vapeur qu'il contient. Soit N l'indice, D le poids du litre du mélange, dans ces conditions. Désignons par N,,,et N, ,. respectivement les indices de l’air et de la vapeur à la pression H et à la température t, les poids de litre étant représentés d'une manière analogue, et par N,, N, les indices des mêmes corps dans les conditions normales. Les lois de Dalton et de Landolt donnent D — Dar: + D,,;, N,—1 No N—1—D,n_;: ; D, ne D,,5:° D, En observant que 1 DR Sense 760(1 + xt) D,,,: = D / °° 760(1 + at) il vient NERO) ET =) N—1— (15) et, en remplaçant dans (1), : c HN MEET NSEINt) SIN 7 = SIN & À À + —— 760(1 + ct) L'indice de la vapeur peut se calculer en partant de son énergie réfractive et du poids de son litre qui sont respective- ment : N,—1 — 0,000524 6) D, — =: 1,293. 8 On obtient N, — 1,0002618 et ! À | 1 2925H — 1 SIN 2 = Sin & A +. —————— |. 760(1 + at) 10° —— 0 0 © ————— ja Fuis KO nb 1H TAd HO JUrr 8 HtE UYLITAT ENS: KO FUu CUS 14 a Si DONS LA MATIÈRE SA NAISSANCE, SA VIE, SA FIN PAR P. DE HEEN PROFESSEUR DE PHYSIQUE EXPÉRIMENTALE A L'UNIVERSITÉ DE LIÉGE MEMBRE DE L'ACADÉMIE ROYALE DE BELGIQUE Devise : Il ne peut y avoir pour le phy- sicien ni phlogistique, ni corpuscules, ni lumière, ni magnétisme, ni électricité. [1 n'y à que gyrostals et tourbillons vibrants. P. DE HEEN. w fie À d no AVANT-PROPOS RÉFLEXIONS PRÉLIMINAIRES Une chose des plus rebutantes pour beaucoup d'esprits se trouve dans la notion de l'éther. On peut en parler quelque peu de temps à autre, plus ou moins à couvert, mais il y a certaine- ment l'indice d’une faiblesse d'esprit si l’on en parle trop et surtout si l'on parait y croire. C’est là une chimère inventée pour les besoins de la cause; aussi l'horreur de l’éther a-t-elle incité des physiciens éminents à substituer à l'appellation « oscil- lation de l’éther », l'appellation « oscillation électro-magnétique ». En esprit fort, on se retire ainsi d’un monde que de parti pris on ne veut pas examiner. Si, en réalité, pareille désespérance était justifiée, on serait tenté d'y compatir. Mais ce qu’il y a de piquant, c'est que ceux qui manifestent cette horreur de l’éther admettent sans hésitation aucune la matière, alors que les raisons qu’il y aurait pour douter de celle-ci sont exactement les mêmes. Concevons un homme aveugle depuis sa naissance; supposons ensuite que nous venions à rouer cet homme de coups à l’aide d’un bâton. Puis, lorsque cette opération sera terminée, demandez- lui comment il interprète cette manifestation. À moins d'être (4) doué d’un scepticisme remarquable, il dira qu'il a reçu des coups de bâton et il en induira que le bâton existe. Considérons maintenant un sujet possédant le sens de la vue et forçons-le à regarder le soleil. Après un instant, il ressentira une douleur aussi vive que celle du sujet précédent, et il pourra dire : « J'ai reçu un coup d’éther (peu importe le mot du reste), etil en induira, comme le précédent, que ce « quelque chose » existe. Seulement on désigne le coup d’éther sous le nom de lumière. En résumé, nous ne pouvons nous rendre compte de l'existence de la matière ou, plus généralement, d’une substance quelconque, que par un état de mouvement soit de l'objet, soit de l’observa- teur, comme le faisait remarquer Ostwalt dans un de ses dis- cours. Et il existe exactement les mêmes raisons pour l'homme roué de coups de nier l'existence du bâton que pour le physicien de nier l’éther. On peut donc en parler sans craindre de passer pour faible d’esprit. L'inverse paraïtra peut-être vrai pour celui qui médite ces lignes. Ceei étant admis, nous avons la conviction profonde qu'il est possible de tirer les sciences physiques de l’incohérence que l’on rencontre à chaque pas. Un des exemples les plus curieux est celui-ci : les physiciens modernes admettent que l’oseillation lumineuse et calorifique correspond à l’oscillation électro-magné- tique, mais qu'il n’en est nullement ainsi de la cause qui déter- mine l’oscillation, c’est-à-dire du calorique. Mais supposons pour unËinstant qu'ils veuillent bien aban- donner ce curieux paradoxe et admettre que le calorique et l'électricité sont en réalité une seule et même chose. La conséquence de ce premier pas ne sera pas moins curieuse; pour eux, l'électricité n'est pas un effet, c'est une cause, une substance mystérieuse irréductible. Si donc ils finissent par admettre notre premier raisonnement, cette substance sera à la (5) fois l’origine de l'électricité et de la chaleur, et voila restaurée la théorie du phlogislique. La mécanique de l’éther doit être capable de reproduire l’image de la nature dans son aspect physique au même titre que la plaque photographique reproduit l'image d'un être vivant. Mais si l’on réalise cette chose admirable, il sera tout aussi absurde de croire que l’on aura dévoilé la nature profonde des choses que si le photographe prétendait connaître la nature intime de la vie par cela qu’il a photographié un ètre vivant. Nous n'’aurons alors atteint que la première surface des choses. L'élément matériel renferme des profondeurs insondables. Mais nous avons l'illusion de la simplicité lorsque l'interprétation d’un ordre de phénomènes nous apparait. Un raisonnement tout aussi simpliste que celui qui sert à démontrer la réalité de l’êther permet de montrer l'existence de l'élément matériel, présentant une forme spéciale ou animé de certains mouvements, mais dont la petitesse est telle qu’il échappe au sens visuel. Imaginons un cylindre vertical en toile, par exemple, ouvert à sa partie inférieure et à sa partie supérieure, que nous main- tiendrons à une certaine hauteur. Placons en dessous de ce cylindre, sur une table, une poudre fine et légère. Cela étant, supposons que cette poudre se melte à tournoyer en fournissant l'image d’un tourbillon. Que conclura l'observateur? Il conclura d’abord à l'existence d’un fluide interposé entre le cylindre et la poudre, lequel fluide détermine l'entrainement, et il conclura encore que si ce fluide pénètre, par exemple, par la partie supérieure du cylindre, il doit exister à l’intérieur de celui-ci un objet, caché par la toile, animé d'un mouvement gyratoire ou tout au moins présentant une forme spéciale. (6) De même, si l’on remplace le cylindre en toile par un aimant et la poudre fine par un rayon cathodique, il faudra conclure à l’existence du fluide que l'on appelle éther et à l’existence de l’objet caché, trop petit pour être apercu, que l'on appelle mole- cule (expérience de Broca). Il existe des pays où il est d'usage de déformer des parties du corps dès l'enfance; indépendamment de ces déformations, ces êtres peuvent devenir très beaux. Des usages semblables existent lorsqu'il s’agit de développer l'intellectualité de la jeunesse, et c'est alors surtout à ce que l'on pourrait appeler la vision intellectuelle, que l’on s'attaque. Il en résulte que des choses dont l'évidence peut paraître enfan- tine pour un sujet sur lequel on n’a pas pratiqué l’atrophie visuelle, échappent complètement à un sujet dont l’intellectualité est arrivé au degré le plus élevé. Un autre exemple non moins singulier se trouve dans l’idée que les physiciens se font encore du calorique. Si vous interrogez la thermodynamique, elle vous dira que la chaleur d’un gaz est le résultat du mouvement d’agitation des éléments. Donc /a cause de la sensation de chaleur se trouve dans le mouvement d’agi- tation. D'autre part, on nous enseigne, dans la théorie des radiations, que la chaleur est due à une vibration. Les choses se passent done comme suit : Dans un espace limite des diapasons sont projetés dans tous les sens; l'observateur perçoit des chocs et un son, et, en suivant les errements du physicien qui étudie la chaleur, il en conclut que ces chocs représentent l’essence même du son et que le coup de diapason représente l'impression du son. Nous savons que le son est dû aux otbrations des diapasons et non au choc que percevrait quelqu'un sur lequel on projet- terait un diapason. Ces vibrations peuvent être la conséquence de (7) ces mouvements en tous sens ou, réciproquement, ces mouve ments en tous sens peuvent être la conséquence des vibrations, et telle est sans doute la réalité lorsqu'il s’agit du mouvement calorifique. Ajoutons une dernière réflexion. Lorsqu'il s’est agi de faire la théorie des phénomènes magnétiques, les abstracteurs ont cru pouvoir considérer des pôles magnétiques isolés. Rien, du reste a priori, de contraire au raisonnement que de considérer un magnétisme nord et un magnétisme sud et des particules portant un de ces magnétismes, ainsi que cela se passerait pour un fluide quelconque. Ce fut un physicien belge, P. Geüns, de Maeseyck, qui démontra le premier, dans un livre publié en 1768 (!), que la molécule-aimant est bipôle, que les pôles magnétiques ne sont pas indépendants, ne peuvent pas être isolés. Nous sommes actuellement en 1905, et il est curieux de voir les physiciens persister à croire qu'il en est autrement pour l'électricité; on envisage sans sourciller des corpuseules positifs ou négatifs qui se meuvent avec la plus parfaite indépendance, et cela alors que des phénomènes se montrent d’une manière analogue pour le magnétisme et pour l'électricité. Il est du reste d'usage, quand on ne conçoit pas une chose, d'imaginer un fluide; aussi j’exprime pour l'avenir ce souhait, que lorsque les physiciens se trouveront en mesure d'étudier le phénomène de la vie, ils ne recommencent pas à inventer des fluides et des corpuscules vitaux. Il suffit de jeter un coup d'œil sur l’ensemble des recherches entreprises à l’aide de l'hypothèse corpusculaire pour se rendre compte des difficultés et des complications inextricables auxquelles elle conduit, bien que je me hâte de (1) Publié chez Henri Korsten, imprimeur à Venlo, 1768. (8) reconnaître que dans certains Cas particuliers elle puisse être considérée comme équivalente à la vérité, ainsi que le montrent les admirables résultats obtenus en particulier par Lorentz. Mais il est curieux de voir que ceux qui s'effraient de voir s’introduire dans la science une représentation mécanique des phénomènes électriques et magnétiques, n'hésitent pas, pour rendre compte des faits, d'introduire des conceptions méca- niques d’atomes de la plus haute fantaisie; au sein de ceux-ci nagent des corpuscules petits et gros ; ils ont des propriétés qui varient suivant les besoins de la cause, le plus drôle étant sans doute le plus gros, qui paraît être positif et à peu près un atome. Cependant, il y a encore, à côté de cela, de la matière et, fort beureusement, des éléments bipôles, dont un seul pôle positif sera sans doute à peu près aussi gros que le tout. Et ce bel édi- fice constitue un objet d’admiration pour ceux qui possèdent au plus haut degré l'esprit rigoureux! Pour interpréter les phénomènes physiques, on a inventé des fluides, des corpuscules, de l'électricité, qui n'existent pas plus que le calorique et le phlogistique, mais l’état énergétique de la substance qui constitue la matière détermine toutes ces appa- rences que les physiciens prennent encore pour des réalités. Et il est étrange de les voir préférer ces fantômes de leur imagina- tion à une interprétation cinétique simple d’une substance unique, bien qu’ils aient admis, par suite d'une étrange contra- diction de l'esprit humain, une théorie du mouvement de ces choses chimériques. Mais ce qu'il y a de plus singulier, c’est qu'après avoir inventé cette énorme quantité de choses, ils ont acquis l'illusion de s'être maintenu, autant qu'on peut le faire, en dehors de toute hypo- thèse, et de n'avoir réalisé que la traduction fidèle du fait observé. (9) Il nous semble qu'il est temps de combattre de semblables idées et d'admettre également dans la théorie des phénomènes électriques que le dernier élément est bipôle, que ces pôles ne peuvent pas être isolés. Supposons maintenant que nous devenions le physicien scep- tique se refusant à admettre n'importe quel raisonnement, n’admettant que les faits reliés par des équations qui renferment des coefficients qui échappent à toute compréhension. Peu importe, les faits sont reliés d'une manière quelconque, comme le seraient une série de points observés unis par une courbe. Il devient possible de classer ces faits observés, d'intrapôler ou d'extrapôler, et, par conséquent, chose plus précieuse encore, il devient possible de prévoir des faits nouveaux que l'observation confirmera. Classer et prévoir, telles doivent être les qualités d’une théorie physique, expliquer ne vient qu'en seconde ligne; je dirai même qu'il est oiseux de le faire si les deux premières condi- tions ne sont pas satisfaites. Mais ce serait certainement un abus de reprocher à une théorie d’expliquer si elle réalise en même temps les deux premières qualités maîtresses. En un mot, nous disons que la théorie que nous proposons nous a permis de classer et nous a permis de prévoir des faits. Cela suffit; que l’on croie ou que l’on ne croie pas à la réalité de notre interprétation, peu importe, cette théorie est physiquement utile. (10) NOTIONS PRÉLIMINAIRES L'ion peut être défini d’une manière plus générale que nous ne l'avons fait. Nous avons dit que le mécanisme du phénomène électrique devait correspondre : 1° à la notion d'orientation; 2° à la notion de pression et de dépression de l'éther; 3° quil doit tenir compte du caractère tourbillonnaire. Nous pourrons donc dire, abstraction faite de toute hypothèse sur la nature intime de l'ion, qu'il représente un système gyrostatique aspirant et foulant agissant sur le fluide éther. Cependant, pour rendre l'exposé plus clair, nous imaginerons un système rem- plissant ces conditions, ce qui ne veut nullement dire qu’il serait impossible d'en imaginer un autre remplissant les mêmes fonetions. Nous devons prévenir aussi l’er- reur de plusieurs de nos lecteurs qui ont pensé que notre théorie reposait sur les détails de la forme que nous attribuons à l'ion. La plus simple manière de le concévoir consiste à lui attribuer la forme d’un fil élastique contourné en hélice; cette hélice étant animée d’un mouvement gyratoire autour de son axe, de manière à déterminer l'aspiration et le refoulement, l'aspiration ou la dépression correspondant à la polarité négative; la pression ou le refoulement correspondant à la polarité positive (fig. 1). CAR) AGTIONS D'INFLUENCE. — (Considérons une hélice k (fig. 2) animée d'un mouvement de rotation autour d’un axe ab et plongée dans un fluide, le sens du mouvement de rotation étant celui indiqué par la flèche. La composante faura pour résultat de communiquer à l'hélice une forme d'autant plus allongée que la vitesse de rotation est elle- mème plus grande. Remar- quons encore que si nous considérons l'enveloppe coni- que de cette hélice, il tendra à se produire une aspiration par la base et un refoulement vers le sommet. Considérons maintenant une deuxième hélice À! pou- vant tourner autour de l’axe mn et se déplacer longitu- dinalement suivant cet axe. Le mouvement de rotation de ne tardera pas à se communiquer à k', laquelle subira dès lors la même déformation, et comme les mouvements gyratoires s’exé- cutent dans le même sens, il y aura attraction, ainsi que le montrent les expériences de M. Weyher. Remarquons encore ce point essentiel, que le mouvement du fluide, dirigé de bas en haut dans la région axiale, sera à chaque instant compensé par le déplacement de la même masse, se mouvant de haut en bas dans la région périphérique. (12) Tel serait le mécanisme qui correspond au phénomène électro- statique de l'influence. Il est caractérisé par l’absence de déplace- ment relatif de la masse fluide, prise dans son ensemble, par rapport aux éléments gyrostatiques. La même masse fluide joue indéfiniment le même rôle. On voit que si l’on considère sur une surface une série de gyrostats droits et gauches, tous les gyrostats de même sens de rotation se raccordent entre eux par l'intermédiaire de l’éther. Il y a lieu de remarquer ici que tout ion qui possède un sens de rotation tel que cette rotation ait pour effet de communiquer à l’électron la forme plane, ne peut intervenir dans la constitution de la matière. Étant rigoureusement neutre, il ne pourrait déter- miner aucune affinité. Si donc ces ions existent, ce qui paraît vraisemblable, ils sont destinés à flotter sans cohésion dans les espaces célestes. Nous les désignerons sous le nom d'ions V. Considérons maintenant deux gyrostats a, b (fig. 3) orientés négativement, placés l’un en 2e mir NS + | | RRRSSS, = KKKKKKK KNKNNN NO N > il + NRRNNRNNNNNNKKKNKO Fig. 3. face de l’autre. Les deux seulescombinaisons possibles sont réalisées : 1° par deux gyrostats dont le pas est de même sens tournant en sens contraires; 2° par deux gyro- stats dont les pas sont de sens inverses tournant dans le même sens. Toute autre combinaison déterminerait l’introductiondes ions V. Dans aucun des deux cas que nous venons de considérer, les tourbillons engendrés ne peuvent se raccorder, et par conséquent se repoussent. (15) Le même raisonnement est évidemment applicable aux élec- trons a/, b!, orientés positivement, Donc, les électricités de noms contraires se repoussent. INDUCTION ÉLECTROSTATIQUE. — Si, au lieu de considérer le fluide éthéré ou liquide dans l'impossibilité de s’écouler, ainsi que nous l'avons admis dans le phéno- mène électrostatique, nous lui attribuons, au contraire, cette faculté, les effets obtenus seront différents. Considérons, en effet, l’ion a (fig. 4) animé du mouvement gyratoire qui correspond à sa polarisation, c'est-à-dire à son allongement; il se produira toujours dans ces conditions un appel du fluide dans le sens indiqué par la flèche. Le pôle négatif correspond à une aspi- ration, d'où il résulte que l’ac- Fig. 4. tion de ce courant tendra à orienter l’ion b en sens contraire, et dès lors l'orientation négative engendrera l'orientation négative, à l'opposé de ce qui se passe dans le phénomène de l'influence. Le même phénomène se produira évidemment si, au lieu de considérer la polarité négative, on considère la polarité positive, ainsi que la figure l'indique (fig. 5). Si les ions sont disposés sur une surface, nous observons le phénomène de l'influence. Si, au contraire, l'ion se déplace dans l'espace éthéré ainsi que cela se passe, par exemple, dans (14) l’aigrette et dans les substances iodynamiques en général, le double mouvement de rotation et de translation déterminera le courant d'’éther, c’est-à-dire l'induction électrostatique dont nous avons montré l'existence par l’expérience et qui préside au courant (!). On voit que par suite de cette gyration, l’action qui tend à déplacer le fluide dans une direction déterminée est ac- compagnée d'une réaction qui tend à déplacer l'ion en sens contraire. Nous avons vérifié cette conséquence par l'expé- rience (2). Pour plus de simplicité, nous ferons usage du signe repré- sentatif de l'ion (fig. 6), lequel est doué des propriétés sui- Fig. 5. vantes, résultant de ce que nous venons de dire : 1° Si la tension électrique s’accroit, l'angle « diminue, la vitesse de gyration et de propulsion s'accentue; + = Fig. 6. 2 Si deux ions sont placés sur une même direction et à l’état (1) Prodrome de la théorie mécanique de l'électricité, p. 16. (2) Voir p. 43. (15) de repos relatif par rapport à l'ensemble de la masse fluide éther, le mouvement gyratoire se transmet de l’un à l’autre, d’où déformation et orientation des éléments (fig. 7). La force d'orientation correspondait au phénomène de l'influence, en TOP impliquant l’action attractive des pôles de noms contraires, et l’action répulsive des pôles de même nom; 3° Si un ion est à l’état de mouvement relatif par rapport à l’éther ambiant, de même que dans l'expérience (fig. 4 et 5), le phénomène inverse se manifeste ; en s’approchant d’un autre ion, il déterminera une polarité de même nom. C'est le phénomène de l'induction électrostatique. LA MATIERE SA NAISSANCE, SA VIE, SA FIN CHAPITRE PREMIER États chaotique et supramatériel. Instabilité de la matière. — L'état chaotique ou nébulaire. — Formation de l'ion. — Formation de la chaîne ionique et du courant électrique. — Phosphorescence. — État supragazeux. — Formation de la nébuleuse spirale et les causes de sa rotation. — Démonstrations expérimentales de ces actions mécaniques. — Cause probable de l'odeur. — Corollaire. — Décharge électrique de surfaces par le mouvement ionique. À première vue, tout parait stable dans la nature; l'enfant auquel on montrerait pour la première fois un arbre chargé de feuilles et de fruits croirait aisément qu'il se trouve en face d’un objet doué de grande stabilité ; l’homme qui observe les espèces animales à la surface de notre globe pense également que ces choses ne changeront jamais, à moins que le géologue ne lui ait appris qu'elles passent comme les feuilles et comme les fruits de l'arbre. Le savant, de mème que l'enfant, a cru à la stabilité d’une chose, il l’a déclarée immuable, non sans un certain sentiment d'orgueil; cette chose qui aurait existé depuis toujours et ne devant jamais cesser d’être, est ce qu'on appelle matière. Les faits les plus récents montrent que les espèces chimiques passent. De même que les espèces animales, elles naissent, vivent et meurent. Certaines conditions de température et de pression 2 (18) sont indispensables au maintien de leur existence; c’est ainsi que, par exemple, le radium, né vraisemblablement sous les pres- sions formidables qui règnent au sein de notre globe, meurt lentement lorsqu'il est amené à la surface (1), ainsi que le ferait l’animal tiré des grandes profondeurs de la mer. Un très grand nombre de substances manifestent du reste des tendances analogues, mais à un degré plus faible, ainsi que l’a montré pour la première fois le D' Gustave le Bon. L'ÉTAT CHAOTIQUE OU NÉBULAIRE. — Déjà à l’époque où nous faisions nos études universitaires, l'examen des spectres fournis par les nébuleuses nous avait suggéré cette pensée, que ces objets célestes ne montrent pas seulement des mondes à l’état de forma- tion, formation qui serait le résultat de l’agglomération d’atomes, tels qu’ils sont conçus par les chimistes, mais que ces objets nous montrent également la genèse de ces atomes eux-mêmes. La raison qui nous portait à admettre cette manière de voir se trouve dans cette circonstance, que si les nébuleuses étaient formées par les atomes de la chimie, nous devrions y trouver les raies extrêémement nombreuses qui y correspondent, alors que ces raies sont peu nombreuses et ne coïncident qu'avec les raies d’un petit nombre de corps, souvent même imparfaitement. Si done les autres substances ne se rencontrent pas dans ces objets, actuellement, et si par la suite ils doivent s’y rencontrer, du moins en certaine proportion, ainsi que les étoiles formées le montrent, nous pouvons conclure que nous assistons à la genèse des espèces chimiques. Une deuxième pensée nous semble depuis longtemps non moins évidente. Si un seul atome, l'atome de fer par exemple, est capable de fournir un nombre considérable de raies brillantes, on doit en conclure que cet atome est bien loin d’être simple, mais qu’il est constitué lui-même par un grand nombre de (4) Il est vraisemblable que par suite de son poids atomique considérable, ce corps occupe normalement les régions profondes de notre globe, mais qu’une petite partie a été amenée à la surface, par suite des remous de la masse, à l’époque où la terre était encore à l’état liquide. (19) particules que nous désignons sous le nom d'ions, chaque ion déterminant en vibrant sa note lumineuse. Nous voyons ainsi reculée la limite de division naturelle de la matière. Elle correspondait primitivement à l'atome chimique, elle correspond maintenant à l'on. Et cette limite est-elle la dernière? Évidemment non; car alors même que l'atome chimique ne serait pas formé et si les ions constitutifs étaient présents dans la nébuleuse que nous venons de considérer, ils pourraient fournir la raie brillante qui leur correspond. Nous verrons, du reste, plus loin que c’est seulement lorsque ces ions sont dans cet état de liberté qu’ils fournissent les raies que nous connaissons. Nous conclurons donc que la nébuleuse représente, non seu- lement un milieu dans lequel les espèces chimiques sont en voie de formation, mais dans lequel les éléments qui constituent ces atomes (les ions) se forment eux-mêmes. Nous pouvons done répéter ici cette pensée que nous avons formulée il y a quelques années, qu'il semble que, par degrés successifs, il est possible de passer des substances les plus trans- cendantes à celle que nous appelons matière. L’ion, qui représente un stade de l’évolution de la substance déjà voisin de l’état qui correspond à la matière, serait le résultat de l'accumulation d’une certaine quantité d'énergie de gyration dans une substance appartenant à un stade substantiel immédia- tement supérieur à l'ion, et déjà constitué par des fibres gyrosta- tiques. Les choses se passent comme si cette énergie de gyration correspondait à un enroulement de ces fibres, lequel commu- nique à l'élément ion les propriétés de l’hélice, et en particulier celle de déterminer l'aspiration et le refoulement du milieu dans lequel plonge ce gyrostat. Ce système, doué d’une parfaite élasti- cité, sera susceptible de vibrer, comme le ferait un fil d’acier contourné en hélice. Il pourra même se faire, si l’oscillation atteint une certaine amplitude, que le sens de l’enroulement de l’hélice soit renversé, de telle manière que l'extrémité de l'élément qui correspondait à une aspiration (polarité négative) corresponde au refoulement (polarité positive), et réciproquement. (20) Que se passera-t-il maintenant dans un milieu où l'énergie s’est accumulée sous cette forme ? Les expériences faites à l’aide de substances matérielles démontrent que ces éléments ions, animés de mouvements gyratoires rapides dans le fluide dont ils sont issus, tendent à s'orienter et à s’attirer les uns les autres, de manière à constituer des chaines ou une fibre dans laquelle les parties aspirantes correspondent aux parties foulantes. Dans le signe (fig. 8), l'extrémité a correspond à l'aspiration, ad + Fig. 8. le côté r au refoulement. La chaîne dont nous venons de parler sera donc représentée par la figure 9; son axe sera parcouru par Pet | , nc dren ele = ST D = = = à le un courant gyroslatique du fluide ambiant, que nous désignerons sous le nom d'éther, et allant de f vers f/. Ce courant est le cou- rant électrique. Remarquons maintenant que lorsque deux ions doués de cette parfaite élasticité viennent à se rencontrer pour constituer la chaine dont nous venons de parler, ils éprouvent des vibrations extrêmement rapides, lesquelles se transmettent dans l’éther ambiant suivant la direction de la flèche F et se traduisent par le phénomène de la phosphorescence de la matière en formation. Au moment de la formation de la chaine, une nouvelle quan- tité d'énergie est emmagasinée par suite de l'attraction et du rapprochement des pôles de noms contraires, avec accroissement d'énergie de gyration; en même temps se produit une très faible dissipation d'énergie sous forme de vibrations lumineuses. Ces Fig. 9. (21) vibrations synchrones empèchent les ions d'entrer en contact, ainsi que le démontrent les expériences de Bjerekness, qui établissent qu'il y a dans ce cas répulsion réciproque des éléments agissants. Ces vibrations, qui correspondent à une perte d'énergie infinitésimale, ne peuvent, du reste, être rendues sensibles que grâce aux ions libres qui les reçoivent et qui se trouvent dans la substance fluorescente de notre rétine. Nous démontrerons du reste plus loin par l'expérience, que chaque fois qu’il y a phosphorescence, il y a matérialisation des ions libres, production de chaines ioniques, avec absorption d'énergie, avec refroidissement. Au contraire, chaque fois qu'il y a dématérialisation ou mise en liberté d'ions, il y a dégagement de chaleur, dégagement de l'énergie qui s’est accumulée dans la matière. L'expérience montre, en effet, que toute manifestation ou accroissement d'énergie gyrostatique se traduit par une conden- sation, due à l’action de la force centripète, c’est-à-dire à une absorption de l'énergie ambiante, alors que le dégagement d'énergie ou de chaleur correspond à la diminution de l'énergie gyrostatique, avec accroissement de volume, diminution de la force centripète. Supposons maintenant que les deux extrémités de la chaine ionique que nous venons de définir viennent à se raccorder. Nous réaliserons ainsi l’état de la ma- tière que DA désignerons sous RTE le nom d'état supraguzeux. | Tel est le premier noyau de con- Le densation d'une nébuleuse spirale jé en formation. De plus, chaque ion de ne se comportant comme une pompe TRS centrifuge aspirante et foulante, la réaction produite par le fluide éthéré déterminera la rotation en sens inverse de la direction du courant axial d’éther, suivant la direction de la flèche f (fig. 9). Par suite de la rotation, la chaine tendra à devenir circulaire. Nous avons vérifié par l’expérience cette conséquence de notre Fig. bis. (22) théorie. Un conducteur parcouru par un courant est mécanique- ment comparable à une pompe aspirante et foulante ; lorsqu'il est mobile, il se déplace en sens inverse du sens du courant (!). Il est, du reste, évident que si le tourbillon éthéré émis par l'aimant ou par un courant circulaire, enroule les rayons catho- diques (expérience de Broca) dans un sens déterminé, la réac- tion développée tendra constamment à déterminer la rotation de l’aimant ou du circuit en sens contraire. Cette constatation faite, revenons à notre nébuleuse et remar- quons que si une deuxième condensation analogue se forme, elle tendra à se disposer parallèlement à la première, ainsi que cela se passe pour deux circuits circulaires parcourus par des courants. Et il en sera finalement ainsi de la nébuleuse tout entière, laquelle, prise dans son ensemble, peut se comparer à un immense réseau de courants concentriques et parallèles pré- sentant la forme lenticulaire et animé d'un mouvement de rota- tion d'ensemble dans un sens unique. Dans la partie centrale, les frottements pourront retarder la vitesse de la gyration, de manière à produire la torsion qui donne à la nébuleuse la forme spirale. Notre globe a conservé la trace de ce courant originel qui a présidé à l’établissement de son mouvement de rotation, courant dont le sens nominal est dirigé en sens inverse de cette rotation et qui détermine les phénomènes magnétiques. Remarquons, du reste, que ce courant doit tendre actuellement encore à accroître le mouvement diurne, mais très faiblement, eu égard à la grande condensation de la masse. De plus, le soleil et toutes les planètes sont parcourus par des courants de même sens. Lorsque, par suite des causes dont nous nous sommes occupé précédemment, le soleil est le siège de perturbations violentes, le courant originel subit des variations qui se traduisent par la production de courants induits à la surface de notre globe et des autres planètes. Ces courants induits anormaux déterminent des (4) Prodrome de la théorie mécanique de l'électricité, p. 43. perturbations magnétiques et des aurores polaires particulière- ment intenses. Nous pouvons encore compléter la genèse des corps célestes par les considérations suivantes. Concevons nos chaines supra- gazeuses (fig. 10) dans un espace du ciel qui, grâce à ses pro- priétés énergétiques, a engendré un nombre d'ions relativement grand. Ces ions, attirés par le noyau supragazeux M, s'orienteront en affectant la forme de fibres F, lesquelles, sous l’action du mouvement gyratoire, ne tarderont pas à prendre la forme spirale. Or, ces spirales jouent véritablement le rôle de tentacules nutritives, ce sont réellement les racines de la nébuleuse. La comparaison est d'autant plus intéressante que, ainsi que nous le verrons plus loin, l'assimilation des racines des végétaux est le résultat ou la conséquence du même mouvement ionique. Remarquons maintenant que chacune des fibres F est par- courue par un Courant dont l’image parfaite est celle du rayon cathodique, la cathode étant représentée par l'espace riche en ions, lesquels s’orientent initialement sous l’action du mouve- ment gyratoire du noyau M. Nous pouvons nous demander si ces courants spiraloïdaux (24) tendent à se déplacer dans le sens du mouvement de rotation de la nébuleuse. Supposons qu'un fluide pareoure un tube dans le sens de la flèche « (fig. 11). Une molécule m parcourant la courbe spirale tendra à s'échapper par la tangente t. Et représentons par F la force centrifuge normale à la courbe en ce point. Cette force F pourra se décomposer en deux autres, l'une, f”’, suivant la direc- tion qui unit le point » au centre de rotation c, et l'autre, f, Fig. 12. normale à cette direction et qui aura pour résultat de tendre à déterminer la rotation du système supposé rigide en sens inverse du sens de l’enroulement de la spirale. Si nous supposons que le fluide se déplace en sens inverse de la flèche o, le résultat sera exactement le même. Nous pouvons donc dire que le sens de la rotation du système autour du centre © sera indépendant du sens du déplacement du [luide, et qu’il s’exécutera en sens inverse du sens de l’enroulement de la spirale. (25 ) Afin de réaliser l'expérience à l’aide du courant, nous nous sommes servi d’un fil de euivre isolé ayant 50 mètres de lon- gueur et 1 millimètre de diamètre. Ce fil, enroulé en forme de spirale, représentait un disque D (fig. 12) de 54 centimètres de diamètre, lequel, étant fixé sur une toile métallique, présentait une rigidité suffisante. L'extrémité du fil conducteur central c plongeait dans un godet g renfermant du mereure et auquel aboutissait l’un des pôles; le deuxième bout du fil plongeait dans le mercure de la cuvette annulaire auquel aboutissait le deuxième pôle. Enfin tout le système était suspendu à l’aide de fils de soie et par l'intermédiaire d'une traverse £ à un fil de soie f. Cela étant, le fil f est tordu de manière à communiquer au système mobile un mouvement de rotation dans le sens de l’enroulement conducteur. Au moment où l'on introduit le courant dans le eireuit, on remarque d'abord l'arrêt du mouve- ment de rotation, puis un mouvement de rotation s’exécutant en sens inverse du sens de l’enroulement, et cela quel que soit le sens du courant. Cette expérience s'exécute avec une grande süreté et comme telle constitue une belle expérience de cours, mais elle nécessite un courant de très grande intensité (15 ampères environ). Nous avons reproduit l'expérience à l’aide d’un appareil de grande dimension nécessitant un courant de 40 ampères, dont nous reproduisons la photographie à la page 26. Il importe, dans cette expérience, de faire en sorte que les conducteurs ne plongent qu'à une faible profondeur dans le bain de mercure, afin d'éviter tout frottement. Lors de la mise en marche et afin de vaincre l’inertie, il est parfois nécessaire d'interrompre et de rétablir deux ou trois fois le courant. On voit alors l'appareil se mettre lentement en marche et ie mou- vement s'accélérer à mesure que le courant agit pendant un temps plus long. Remarquons que les spirales de la nébuleuse sont parcourues par des courants d’éther allant de lintérieur vers l'extérieur, lesquels détermineront une action identique à celle d’un courant liquide parcourant un tube contourné en spirale. (26 ) En résumé, l’état chaotique serait représenté par l'existence, dans un milieu, d'ions indépendants (fig. 8), et l’état supra- gazeux par le premier terme de condensation (fig. 10). Ces deux états coexistent vraisemblablement dans presque tous les cas; ils manifestent, par suite de leur instabilité, les vibrations ioniques luminescentes. Nous les rencontrons dans les nébu- leuses et les comètes; ils constituent également, d'une manière très vraisemblable, l’'émanation, dans l'air liquide, du radium condensé à très basse température. Remarquons que si l'état supragazeux existait seul, il en résulterait un état de stabilité relatif qui ne se traduirait par aucun phénomène électrique apparent (le courant étant fermé) (27) ni par aucun phénomène de luminescence résultant de l’action de chocs. Cet état correspond, très vraisemblablement, à la pro- duction de l'odeur répandue par certaines substances, telles que le muse, qui, tout en imprégnant des volumes d'air considérables pendant un temps très long, ne perd pas de son poids d'une manière appréciable. Les métaux qui n’émettent pas de vapeurs proprement dites, tels que le cuivre et le fer, émettent une odeur. Cette émanation est donc déjà voisine de celle qui correspond à l’état chaotique qui, comme nous le verrons, produit les appa- rences radioactives développées d'une manière plus ou moins sensible par les métaux. CoRoLLAIRE. — Supposons que sur une surface AB (fig. 15) se trouve une série d'ions orientés positivement; on dit alors que EH He Di > >— E— PS Dee >— Ve 27 & GR De Va da’ Éterds me ? > B == Te B' Fig.13- cette surface possède une charge positive. De même une surface A'!B', munie d'ions orientés négativement, possède une charge négative. Supposons un ion libre « dans l’espace intermédiaire et animé d'un mouvement de va-et-vient entre ces deux pôles. Admettons qu'il se déplace d’abord vers AB ; en vertu de l’induc- tion électrostatique, il tendra à renverser le sens de l’orienta- tion de ces ions et lui-mème subira ce renversement «/. Orienté de cette manière et repoussé en s'écartant de AB, il tendra toujours à produire sur cette surface le même résultat. Mais subissant le phénomène de l'influence, il reprend la forme «, atteint la surface A/B/, où il détermine les mêmes effets, mais en sens contraire. (28 ) Il résulte done de ceci qu'après un certain nombre de ren- contres, les surfaces AB et AB sont complètement neutralisées, désorientées. Remarquons encore que l'ion &/, subissant des vibrations par suite de ses rencontres, transmettra l'énergie gyrostatique au milieu ambiant sous forme de chaleur si les oscillations sont très rapides, sous forme d'induction éleetro-magnétique si elles sont beaucoup plus lentes. Il est inutile d'ajouter que l'étincelle oscillante est le résultat des renversements «/ a/’. En observant ce qui se passe dans les tubes de Crookes, les physiciens ont été bien surpris de remarquer que dans certains cas les ions émis par la cathode étaient chargés positivement. Nous voyons actuellement pourquoi; cela résulte simplement d'une persistance du renversement x ou «//. Tel serait le mécanisme du courant thermique, car, comme nous le verrons, les vibrations ioniques qui en sont la consé- quence déterminent la dissipation de l'énergie. Dans la théorie encore généralement en usage, on croit que des corpuscules mystérieux positifs et négatifs se déplacent en sens opposés pour neutraliser les pôles de noms contraires. (29) CHAPITRE II L'état gazeux. Formation de l’atome. — Pression interne et la force expansive des gaz. — La vibration ionique considérée : 4° comme étant la cause de la dilatation; 9% comme étant la cause de l'embrayage qui permet la transmission de l'énergie gyrostatique. — Notion du zéro absolu ou d’une température limite irréalisable à laquelle l’énergie du système ne se transmettrait plus, serait constante. — Réaction chimique, action catalytique, loi de Dulong.— Aptitude réactionnelle. — Valence. — Formules de structure. — Pression exercée par les gaz renfermant le même nombre de molécules. — Raïes spectrales. — Cause de la stabilité apparente de l’atome. — Fausseté de la conception du point matériel. — Phénomène de Zeeman. — Rema- niement à apporter à la théorie cinétique des gaz. — Induction électro- magnétique du calorique, dans les substances iodynamiques et aniodyna- miques. — Magnétisme et diamagnétisme. — Interprétation du radiomètre. Il résulte des considérations que nous venons de développer, que l’emmagasinement de l’énergie pourra déterminer la pro- duction d'ions possédant des dimensions et des quantités d'énergie variables. Leur association pour la constitution de la chaine ionique se fera dès lors de préférence de certaine manière, de façon à grouper les ions possédant les qualités voulues de forme et d'énergie. Il se produira dès lors des chaines ioniques de diverses espèces qui constitueront les embryons des corps de la chimie. Remarquons d’abord que ces chaines ne possèdent par elles- mêmes aucune polarité, alors que les espèces chimiques possèdent, au contraire, celles-ei à un degré plus ou moins accentué. C’est une des raisons pour lesquelles nous sommes obligé d'admettre que ce que l’on appelle atome chimique est dû à l’enroulement des chaînes ioniques (fig. 14) qui constituent l’état supragazeux (nous verrons pourquoi ce dernier état correspond avec l'état radiant de Crookes ou aux gaz dans un état extrême de raréfac- tion). (50 ) Considérons le cas le plus simple, celui d’un gaz monoato- mique à l'état gazeux renfermé dans un récipient sous une cer- taine pression. Le tourbillon atomique de ARRETE: longueur indéfinie se raccordera avec la DS D OE : SP surface À et B du récipient qui les ren- CA Fe ta MR ferme. De plus, remarquons que ces tourbillons vont donner lieu aux phéno- mènes suivants : 1° Si nous considérons deux spires consécutives parcourues par des courants parallèles, celles-ci s’attirent réciproque- ment, d'où la présence d'une force qui tend à réunir les parois A et B. Cefte force correspond à la pression interne, laquelle se traduit par uneattraction électro-magné- tique. Ce que l’on désigne sous le nom d’atome correspond à une série d'ions de formes diverses qui constituent la fibre hélicoïdale ; 90 Si nous considérons deux tourbillons venant à se rencon- trer, ils rebondiront avec une vitesse d'autant plus grande que la vitesse de gyration est elle-même plus grande; c’est la quan- tité de mouvements ainsi développée qui détermine la pression, résultat de la production des chocs. Cependant, il y a lieu de faire cette remarque importante : que le frottement capable de transmettre l’énergie de gyration d’un tourbillon et de la trans- former en énergie de translation ou en une énergie quelconque n'existe que pour autant que les ions soient à l'état de vibration. Cet état vibratoire constitue un véritable mode d'embrayage ; 3° L'expérience de Bjerckness démontre que lorsque deux corps déformables vibrent dans un fluide d’une manière concor- dante, ceux-ei se repoussent; il en résulte que les vibrations ioniques tendent à éloigner ces ions les uns des autres, d’où tendance à la dilatation du système. Quelle sera maintenant la forme de l'énergie qui déterminera pour nous la sensation de chaleur ? Supposons que notre organisme soit constitué par des éléments récepteurs de forme identique ou Fig. 14. (Si) semblable à T, la température normale de notre organisme cor- respond à une quantité déterminée d'énergie gyrostatique autour de l’axe mn. Si un deuxième système T semblable se trouvait dans le voisinage immédiat du premier, et possédant une quan- tité d'énergie gyrostatique plus grande, celle-ci ne se transmet- trait pas au système récepteur si les ions étaient dénués de mouvements vibratoires. Si, au contraire, la vibration ionique existe, il y a embrayage, transmission d'énergie de gyration par un moyen que nous indiquerons plus loin. En résumé, nous voyons donc que si lion constitue l’élément transmetteur et récepteur de la sensation lumineuse, le tourbil- lon T constitue l'élément transmetteur et récepteur de la sensa- tion de chaleur qui se traduit par un accroissement d'énergie gyrostatique autour de l'axe mn, mais qui ne peut se transmettre que grâce à l'existence des mêmes oscillations ou d’oscillations ioniques de même ordre que celles qui président à la sensation lumineuse. La quantité de chaleur renfermée dans un corps correspond à la quantité d'énergie gyrostatique autour de l’axe »nn et de l’axe de la fibre ionique, ces deux modes de gyration étant, du reste, liés l’un à l’autre. Elle peut être très grande sans que le récep- teur sensible puisse s'en apercevoir ou que le thermomètre puisse la manifester; il en sera ainsi lorsque les vibrations ioniques sont faibles. Enfin, s’il était possible de supprimer com- plètement le mouvement vibratoire, c’est-à-dire l'existence de toute radiation appartenant à l’ordre des radiations lumineuses, l'énergie calorifique ou gyrostatique ne pourrait plus se trans- mettre et la quantité de chaleur renfermée dans le corps serait constante. Nous aurions atteint alors la température que l’on désigne sous le nom de zéro absolu, température irréalisable pour des raisons d'ordre thermodynamique que nous indiquerons plus loin et irréalisable physiquement par cela que l'absence de vibrations déterminerait le contact réel des éléments, d’où frotte- ment, mise en liberté de l'énergie atomique, destruction de ce qu'on appelle matière. En réalité, l’éther vibrant joue le rôle (32) d’un fluide transmetteur et du lubréfiant empéchant le grippe- ment des éléments matériels. Nous voyons également qu’au zéro absolu la matière renfer- merait d'énormes quantités d'énergie qu’elle ne pourrait trans- mettre si cette température était réalisable : l'embrayage serait supprimé. Comment le tourbillon atomique que nous venons de conce- voir manifestera-t-il un caractère électro-positif ou électro-négatif? Comment pourra-t-il se combiner avee un autre élément? Dans l’état où nous venons de le concevoir, le gaz est inerte, les ions sont dans un état d'équilibre dynamique parfait. Mais supposons que l'atome se trouve dans Atome. élecér Aie un état d'équilibre moins stable, c'est- à-dire que, par suite de l’action de la Su force centrifuge, un certain nombre É AA } ie d'ions pivotent autour de l'atome de at manière à constituer des chaines L "a . . 0 e << cie, ue É ouvertes € (lg- 2h et qui constitue a ront, en réalité, autant de crochets ( 2 . = Là Atom PAIE ee réactionnels. RE SET. élecuro- > >: AN positifs ou électro-négatifs, suivant . leur orientation qui correspondra à la 4 TB Ÿ figure A positive ou à la figure B je Ÿe négative. ( A in Remarquons que l’un des meilleurs À Se dûe soyens de provoquer cet état de is l'atome consiste à le mettre en pré- Pie 45 sence d'un autre atome déjà doué de à cette propriété, c'est l’action cataly- tique des chimistes, la radioactivité induite des physiciens. Nous verrons dans le chapitre suivant que cet état de choses se trouve réalisé à un haut degré dans les particules qui constituent les milieux troubles et dans celles qui constituent les solutions colloï- dales. Des rayons à petite longueur d'onde tendront également à produire ce résultat en vertu de l’action répulsive qui est com- muniquée aux ions par la vibration. Tel est le cas de la eombi- (53) naison du chlore et de l'hydrogène en présence de la lumière et de vapeur d’eau comme agent catalytique. Nous dirons que dans ces conditions les atomes sont odyna- miques. Concevons deux gaz monoatomiques (c'est-à-dire dont la molé- cule se confond avec l’atome dans l’ancienne théorie) ; nous pou- vons également les considérer comme monovalents pour simplifier la question. Ces gaz sont également susceptibles de se combiner. Supposons ceux-ci mélangés dans la proportion indiquée par les poids atomiques. Ils possèdent chacun la même somme déter- minée d'énergie de gyration ou, ce qui revient au même, la même somme d'énergie de translation, puisque ces quantités sont pro- portionnelles. Ils exercent, de plus, par atome ou par spire d’enroulement, la même pression. Nous dirons donc que l'atome doit se définir comme étant la quantilé d'énergie, toujours la même, que possède un volume donné d’un corps simple à l'état gazeux dans les mêmes condi- tions. Nous représentons cette énergie par l'unité. Les poids atomiques sont les poids relatifs de matière qui renferment cette énergie toujours la même. Cette proposition correspond avec la loi de Dulong et Petit, qui en constitue la vérification. Il résulte de ceci que la matière n’est susceptible de se com- biner que par quantités d'énergies gyrostatiques égales. Nous voyons également que si les deux gaz viennent à se com- biner, les tourbillons se soudront deux à deux et le volume sera diminué de moitié. Il importe de remarquer que deux systèmes gyrostatiques soudés ne transforment pas plus d'énergie de gyra- tion en énergie de translation qu’un seul gyrostat libre, l’impul- sion se communiquant de la même manière, dans les deux cas, par une seule génératrice. Il résulte de cette considération, que nous pouvons appliquer aux gaz biatomiques ou polyatomiques ce que nous venons de dire des gaz monoatomiques. Toutes choses étant égales, la pres- sion sera proportionnelle au nombre de molécules et non au nombre d’atomes, 3 (54) Le mécanisme de la réaction peut se concevoir de la manière suivante : Deux gyrostaits A et B (fig. 16) deviennent d'abord iodyna- miques sous une influence extérieure, et dès lors les ions libérés « des deux tourbillons s’emboîtent de manière à constituer une 2 Se ; LS ne a vi N AN : ps À or à CAO fi nr À A - 7 N De vZ nm > chaine tendue intermédiaire. Sous l'action de cette tension, les deux gyrostats deviennent tangents et la combinaison est réalisée. L'aptitude réactionnelle dépendra de la facilité plus ou moins grande avec laquelle l’iodynamisme s'établira. Il est facile de voir que le sens de la gyration doit exercer une influence sur le sens et l'orientation des projections ioniques ; les mêmes corps simples peuvent posséder des aptitudes réac- tionnelles différentes. La valence maxima dépendra du nombre d'ions crochets de chaque atome, de chaque quantité de substance qui renferme la même quantité d'énergie. Les formules de structure conservent leur signification, et nous pouvons continuer à les représenter par la section droite ( 55 ) des fibres gyrostatiques de longueur indéfinie qui constituent les gaz. Considérons, par exemple, le cas simple CH,. Si nous admet- tons que, toutes choses étant égales, les vapeurs de carbone et d'hydrogène renferment le même nombre de fibres, chaque fibre, après la combinaison, sera représentée par la figure 17. Fig. 18. La chaine-benzine serait représentée par la figure 18, et l’on remarque que par suite de cette disposition l’atome de carbone devient réellement trivalent. En résumé, nous voyons que les différents gaz renferment, toutes choses étant égales, le même nombre de spires simples ou composées. Ce qui se traduit par le même nombre de molécules, dans l’ancienne théorie. On peut démontrer qu'il en est réellement ainsi à l’aide du raisonnement élémentaire connu, et qui s’applique de la même manière que dans la théorie des gaz. Puisque l'énergie de trans- lation est proportionnelle à l'énergie de gyration, on peut écrire pour deux gaz différents : BINMINVEE IN IMAVEE D'où, si la température est la même, N—=N, c'est-à-dire que les deux gaz renferment le même nombre de spires gyrostatiques. (56 ) L'image la plus parfaite de la molécule est celle d’un câble formé lui-même par des éléments tordus; on peut également le concevoir droit ou gauche. L'acide tartrique droit ou gauche con- stitue un exemple intéressant. Il est facile de se rendre compte maintenant de la cause de l'apparition des raies spectrales. Ainsi que nous l'avons déjà fait remarquer dans le chapitre précédent, le D’ Gustave le Bon a démontré par l'expérience que les ions ne sont pas identiques entre eux; chacun est donc capable, à l'instar d’un timbre, de rendre une note lumineuse parfaitement définie. Cependant, pour qu'il en soit ainsi, il faut qu'il soit libre, de même que les ions c (fig. 15); il faut, de plus, qu'il subisse un choc, condition qui est réalisée au moment où l'ion pénètre dans l'atome. Il y a à ce moment phosphorescence avec absorption de chaleur et reconsti- tution ou genèse de l’atome. Il existe done au moins autant d'ions de dimensions différentes qu'il existe de raies spectrales. Le dernier élément matériel qui doit être considéré par les chimistes et par les physiciens est l'ion, ce qui ne veut nullement dire que l’éther ou l'ion d’'éther repré- sente les limites d’enroulement de la substance. L’éther semble déjà très voisin de la matière et correspondrait à un ordre d’en- roulement également très avancé. On peut se demander comment il se fait que l’atome, malgré cette complexité, présente une si grande stabilité apparente. Un exemple familier fera saisir notre pensée à ce sujet. Imaginons une série de jeux de patience dont toutes les pièces sont mêlées. Dans ces conditions, il est peu vraisemblable que la juxtaposition de celles-ci puisse aboutir à plus d’une combinaison correspon- dant à la reconstitution des différents jeux. Dans cette compa- raison, les pièces constitutives représentent toutes les formes ioniques capables de s’emboîter et les jeux représentent les atomes ou les tourbillons dont nous venons de parler. Cependant, il n’est pas absolument impossible de concevoir plus d'un arrangement avec les mêmes éléments. C’est ainsi que des expériences tendent à prouver que l’arrangement hélium peut se transformer en arrangement radium. (37) L'une des plus fausses conceptions, constamment mise en usage par les physiciens, est la conception du point matériel, c’est-à-dire d’une masse matérielle indéfiniment pelile et douée de certaines propriétés mystiques d'attraction, de répulsion, etc. En effet, si, par la pensée, nous diminuons indéfiniment un volume occupé par la matière, nous aurons à considérer des milieux qui s'éloignent de plus en plus de ce que nous appelons matière, et qui en diffèrent même complètement. L'individu chimique est en tout point comparable à l'individu physiologique, il vit en assimilant et en désassimilant ; l'assimilation détermine la phos- phorescence, la désassimilation détermine la radioactivité, ainsi que nous le verrons dans le chapitre relatif à l’état solide. L'une des plus intéressantes applications de notre théorie est celle qui est relative à l'expérience de Zeeman, prévue, comme on le sait, par Lorentz, dont la théorie peut être considérée, à certains égards, comme équivalente. Concevons une fibre atomique constituée par une série de chaînes ioniques concentriques animées de mouvements gyra- toires dirigés dans le sens de la flèche (fig. 19). L'orientation des Fig. 19. ions, c’est-à-dire du courant électrique, peut du reste varier avec la chaîne hélicoïdale considérée. Si, par suite d’une action extérieure, l'équilibre des chaines vient à être rompu, les ions peuvent être projetés au dehors, ainsi que Pindiquent les ions &3 ils seront orientés dans deux sens opposés. En s'échappant de l'atome, ils pourront déterminer des phénomènes radioactifs; en y rentrant, ils détermineront le phénomène de la luminescence. (QE) Si nous soumettons ces systèmes à l’action d’un autre courant circulaire ou à l’action de l’aimant, ils s’orienteront de telle manière que l'axe du tourbillon coïncidera avec la ligne de force magnétique. Nous pouvons dès lors prévoir que la lumière qui sera émise par une vapeur métallique introduite dans une flamme et soumise à l’action d’un champ magnétique présentera les particularités suivantes : 1° Si l’on observe les raies spectrales suivant la direction des \ _ n° & NU SRE o' Fig. 20. lignes de force magnétiques, elles seront polarisées circulaire- ment ; 2° Le sens de la rotation dépendra du sens du courant; « et « fourniront donc des lumières polarisées circulairement en sens contraire ; 3° La lumière observée normalement aux lignes de force sera polarisée rectilignement. Si nous considérons le tourbillon atome vu dans le sens de sa longueur (fig. 20), nous pouvons également concevoir une (39) chaine ionique axiale vers laquelle les ions libres pourront être aspirés. Les ions, en pénétrant dans cette chaîne axiale, émettront donc de la lumière polarisée rectilignement, dont l’un des plans de vibration correspondra avec le plan 0, ab, l’observateur étant en 0. Mais le mouvement vibratoire ne pouvant se communiquer que normalement à la chaine ionique a, b, il en résulte qu'un observateur 0’, dont le rayon visuel est dirigé suivant la direc- tion a, b, ne percevra plus de lumière, ce que l'expérience démontre. Nous avons évidemment considéré le cas le plus simple; nous pourrons encore admettre, par exemple, l'existence d’atomes-tour- billons dont le sens de la rotation est l'inverse de celui que nous avons considéré. Dans ces conditions, on pourra observer, dans le sens des lignes de force, quatre raies polarisées circulai- rement au lieu de deux. Le phénomène de Zeeman nous conduit donc à cette concelu- sion de la plus haute importance, que l’axe du tourbillon atomique est occupé par une chaine ionique. L'état supragazeux est donc emboilé dans l'élément gazeux, et le tourbillon-éther est emboîté dans la Ds fibre supragazeuse elle-même. Nous verrons plus CEE) loin quelles sont les réflexions philosophiques que CLEA cette conséquence suggère, ainsi que les consé- 7-3 9 quences qu'on peut en déduire en se plaçant au Gé) point de vue des divers modes d’attraction. ue L'élément matériel tel que nous devrons le di 22 considérer, non seulement dans l’état gazeux, mais = encore dans les états solide et liquide, se compose RL done de fibres ioniques enroulées en hélice (fig. 21), 10 dont l'axe est occupé par une fibre ionique recti- ë ligne, l'axe de fibre ionique étant lui-même occupé pig. 2. par la fibre d’éther gyrostatique. La quantité d'energie gyrostatique renfermée dans ce système a êlé désignée sous le nom de quantité de chaleur. Deux corps sont dits en équilibre de température, lorsque ( 40 ) leurs éléments gyrostatiques ne perdent ni ne gagnent de l’énergie gyrostatique ; l'énergie communiquée au milieu ambiant par induction éleetro-magnétique est égale à la quantité d'énergie reçue par le même processus. De plus, lorsqu'un corps déter- miné est à une température donnée, tous les gyrostats possèdent individuellement (toutes choses étant égales) la même quantité d'énergie de gyration. Dans la théorie cinétique des gaz actuellement admise, on admet que la vitesse moyenne de translation est constante et l’on suppose que c’est cette énergie de translation qui correspond à l'énergie calorifique. Cette conception est en contradiction avec le principe de la conservation de l'énergie, car, comme on l’a très justement fait remarquer, si l'on suppose le vase renfermant le gaz divisé en deux compartiments, et que la paroi de séparation soit munie de clapets laissant passer les molécules rapides et retenant les molécules lentes, on conçoit la possibilité théorique d'établir une chute de température sans dépense de travail. Cependant, il eùt été malheureux si cette théorie avait été abandonnée, car elle renferme une part de vérité. Ce sont bien les chocs des éléments qui déterminent la pression, et la force vive de translation est bien proportionnelle à la température. Ce sont là déjà des vérités importantes, mais on a eu tort de conclure que la quantité de chaleur représente cette force vive de translation des molécules, alors qu’il n’y a que simple propor- tionnalité. En réalité, la quantité de chaleur est représentée par l'énergie de gyration des molécules, et cette énergie est la mème pour chaque molécule ou pour chaque atome à une température donnée. Si, à un moment donné, une certaine quantité de cette énergie vient à être transformée en énergie de translation, elle est immédiatement compensée par le milieu éthéré ambiant, et l'inverse aurait lieu si le mouvement gyratoire tendait à être accru. Si done nous supposons une molécule rapide pénétrant par le clapet, elle n'aurait nullement pour effet d’accroitre la tempé- rature, et cet excès de vitesse n’étant que momentané et ne (41) dépendant que du mode accidentel de la dernière rencontre, elle n'aura pas pour résultat non plus d’accroitre la pression d'une manière permanente. La différence fondamentale qui existe entre deux gaz à tempé- ratures différentes se trouve dans la différence d'énergie gyrosta- tique de leurs éléments. Les vitesses moyennes de translation dues aux rencontres seront plus grandes lorsque la température est plus élevée, lorsque la vitesse, toujours la même, des divers éléments est plus grande. Mais il se peut, comme le dit Clausius, que certains éléments du gaz à basse température aient à un instant donné une vitesse de translation plus grande, d'où nous ne conclurons pas avec ce physicien que la température de celte molécule est plus élevée. Il est facile de voir maintenant comment l'énergie de gyration se transmettra à distance d’un élément matériel à un autre. Concevons à cet effet l'espace tout entier occupé par des fibres d'éther gyrostatique (fig. 22) roulant les unes sur les autres, chacune d’elles possédant par conséquent un sens de gyration déterminé et toujours le même. Considérons la fibre A, par exemple, tournant de gauche à droite sous l’ac- tion des gyrostats voisins. Supposons que ce soit la fibre A qui occupe l'axe de la fibre ionique a, b (fig. 21). Si, à une certaine distance, se trouve une deuxième fibre occupant l'axe d’un autre élément B, il est facile bts de concevoir que si B possède une DE plus grande énergie de gyration que A, l'équilibre de température s’établira par l'intermédiaire des fibres a, b, c. Cependant, il ne pourra en être ainsi qu'en supposant les fibres B, a, b, c, À embrayées, c’est-à-dire douées d'un frottement réciproque permettant la transmission du mouvement. Or, il ne peut en être ainsi que si ces fibres sont Fig. 22. (22) douées de mouvements vibratoires dans le sens de la longueur des fibres, ou normaux au sens de la propagation A, B, oscilla- tions qui sont déterminées par la vibration des ions de la chaine a, b (fig. 21). Cet accroissement de vitesse de gyration de la fibre éthérée A se communique à la chaîne ionique dont elle occupe l'axe, laquelle la communique à la spirale matérielle s. Remarquons dès à présent que l’on peut concevoir quatre gyrostats si l'on se place au point de vue du sens du mouve- ESA joie 42e RE LR DE vip AE jun 7 4 Ne Se : À Fig. 93. \ : ment et de l'orientation ionique : ce sont les gyrostats À, B, C, D (fig. 25). L'induction de l'énergie calorifique de B en À peut se nom- mer encore induction électro-magnétique. La seule différence d'effet apparent se trouve dans le nombre des vibrations. Lorsque nous déterminons une demi-oscillation ionique par l'introduction d’un courant dans un cireuit, nous provoquons à distance une pulsation correspondant au renversement des ions et en même temps l'embrayage, d'où transmission d’énergie de gyration et propulsion éthérée en sens inverse, dans l’induit. Le mode de communication de l'énergie gyrostatique par la fibre axiale est le seul que l’on puisse considérer si le tourbillon- atome est en équilibre. La substance formée par un assemblage d'éléments en équilibre dynamique est non conductrice de l’élec- tricité, aniodynamique; sa conductibilité calorifique est faible, ainsi que son pouvoir absorbant, car il est généralement trans- parent, il l’est dans tous les cas à un degré plus élevé que les conducteurs. Nous pouvons dire dès à présent que ce mode de transmission de l’énergie est celui qui s'exécute le plus difficilement. (45) Mais supposons maintenant un état de la matière, que nous désignerons sous le nom d'état iodynamique, où les chaines ioniques en partie déroulées relient les atomes les uns aux autres (fig. 24). Dans ces conditions, LES la matière possède en partie les propriétés de j A- le l’état supramatériel. Elle devient conductrice de KC l'électricité, et la fibre gyrostatique d’éther, au 1 lieu d'être obligée de s’adresser à la fibre axiale À pour communiquer l'énergie, trouve à sa dispo- À sition des fibres ioniques pour ainsi dire à nu, 7 avec lesquelles elles communiquent avec la plus Î grande facilité. L'énergie gyrostatique transmise | << E< << par l’éther, au lieu de se communiquer exelu- sivement à la fibre axiale A, se communique À principalement aux fibres ioniques a-b, qui elles- don mêmes la communiquent aux fibres hélicoïdales, avec lesquelles elles sont unies. Aussi, les con- ducteurs de l'électricité ne sont-ils pas trans- parents et sont-ils très bons conducteurs de la chaleur. On peut, du reste, démontrer par le calcul que si l’on considère la quan- tité de chaleur transmise par le processus axial, comme négli- geable par rapport à celui que nous venons de considérer, il y a proportionnalité entre la conductibilité ealorifique et la conduc- tibilité électrique. Nous voyons également pourquoi cette relation cesse d’être vraie pour les diélectriques et les mauvais conducteurs où l'ac- tion de la chaine libre devient nulle ou négligeable. (Voir le chapitre des Solides.) Si l’on pouvait réaliser la température désignée sous le nom de zéro absolu, les ions constitutifs des chaines conserveraient rigoureusement leurs distances mutuelles et leur forme, d'où absence de vibration, absence d’induction électrostatique et électro-magnétique ou d'embrayage; la matière conserve son énergie et ne la transmet plus; la force expansive et la chaleur appdrente des gaz est nulle. Les courants qui parcourent la matière en tous sens sont devenus athermiques. } _ _ EE Fig. 24. (44) Il est maintenant facile de voir quels seront les atomes magné- tiques, diamagnétiques et dénués de magnétisme. Ainsi que nous venons de le voir, on doit admettre que le tourbillon-atome est formé par une série de chaines circulaires ou, plus exactement, hélicoïdales, emboitées les unes dans les autres; le sens du mouvement de gyration des ions est le même, mais l'orientation de ceux-ci peut être différente ou, en d’autres termes, les courants d’éther gyrostatiques, les courants électriques peuvent être doués de sens différents. Cela étant, considérons la section d’une fibre atomique KF (fig. 25). Les ions des diverses spires sont orientés dans le même | A. , {fe Û 1 ’ NV FAR : ÿ] il) Re Fig. 25. Fig. 26. sens, il en est par conséquent ainsi du sens des courants élec- triques. Un tel élément s'orientera sous l’action de l’aimant, comme le ferait un solénoïde. Il sera par conséquent magnétique, il sera attiré par l’aimant. Supposons maintenant que les courants soient orientés dans deux sens opposés (le sens de la rotation est le même) (fig. 26). Si ces deux courants subissent la mème action d'orientation de la part du courant aimant, la substance ne sera ni magnétique ni diamagnétique. Nous aurons l’image d’un solénoïde astatique. Supposons maintenant que nous fassions varier l'intensité du courant b par rapport à l'intensité du courant a, l'action résul- tante sur le courant aimant sera 2rri — 2rR?, (45) et supposons cette action répulsive, c'est-à-dire le courant aimant dirigé en sens contraire du courant résultant, nous admettrons DT 2ÆrRU OU, ni RTE: c'est donc l’action du courant intérieur qui l'emporte. Cet état d'équilibre sera stable ou instable. Il sera stable si l’action d'orientation du circuit extérieur l'emporte sur l’action d'orientation du circuit intérieur, ou si l’on a 9rRt XR>2rnX7r ou RE rer: Supposons, par exemple, r—1 R— #4 i= à = ri—5 Ri —4 ou 5 > 4 ou ri > R° ri—5 R2—16 ou 16 >5 ou Ra > rA. Ce système s’orientera par répulsion, il sera diamagnétique. Si, au contraire, les dimensions sont telles qu'il y a à la fois action répulsive résultante et si l’action d'orientation du circuit intérieur l'emporte, le corps sera magnétique. m>RT et r% > R'A. Supposons, par exemple, =" = 7 = 1’=0 oi UN, 0 ri=1 Ra — Ce système sera magnétique, il s’orientera par attraction. ( 46 ) Nous pouvons, dès lors, construire le modèle (fig. 27) suivant, qui s'orientera, par attraction ou par répulsion, suivant le rapport des intensités des courants in- verses qui passent dans le cireuit intérieur et dans le circuit exté- rieur. Supposons, en effet, que les cir- cuits À indiqués en coupe en A’ soient soumis à l’action d’un cir- cuit placé en B, dont le sens du courant est le même qu’en A. Cela étant, ce circuit sera attiré avec une intensité /, et le circuit inté- rieur sera repoussé avec une in- tensité F, correspondant à l’inten- sité du courant de ce circuit. Si donc nous avons F >f et [R > Fr, le système s’orientera par répulsion et fournira l’image de la substance diamagnétique. Si, au contraire, nous avons fR > Fret f > F, le système s’orientera par attraction et four- nira l’image de la substance magnétique. B Fig. 97. INTERPRÉTATION DU RADIOMÈTRE. — On admet habituellement que la rotation du tourniquet du radiomètre peut s'expliquer par la théorie des gaz actuellement admise et d’après laquelle le côté noirei de la palette ayant une température plus élevée que le côté opposé, le mouvement d'agitation des molécules du gaz y est aussi plus intense, d’où quantité de mouvement ou force de propulsion plus grande. Cependant cette conception simple est renversée par cette objection, que le phénomène doit être indépendant de la distance des éléments. Or, sous la pression normale, le radiomètre ne fonctionne pas, et cependant, même dans ces conditions, l’inertie de l’air à mettre en mouvement est négligeable par rapport à l'inertie du moulinet lui-même. L'ancienne théorie est done insuffisante. (47) Au contraire, il est facile de voir, à l’aide de la conception nouvelle, qu'il doit en être ainsi. En effet, l’élément gyrostatique du gaz (fig. 14) est relié à la paroi solide du vase par ses deux extrémités, c'est la tension de ce ressort qui correspond à la pression interne alors que les chocs latéraux | correspondent à la pression du gaz supposé Don parfait (dans l’ancienne théorie). Cependant, née si l’on vient à écarter progressivement les 1 parois À et B du vase ou, en d’autres termes, si l’on vient à accroître le vide, il arrivera un moment où l’hélice déroulée nous fournira 1e l'image de l'état supragazeux (fig. 28). A M l'action électro-magnétique de deux spires 1 consécutives sera substituée l’action électro- e£ statique de deux ions consécutifs. B Or, remarquons que si la surface A, par Fig. 28. exemple, est à une température relativement élevée, les pulsa- tions synchrones consécutives des ions seront aussi relativement intenses, par conséquent leur action répulsive réciproque sera relativement grande. Nous voyons donc que si la face opposée est à une température moins élevée, l’action répulsive produite sur la première face l’emportera sur l’action répulsive produite sur la seconde. (48 ) CHAPITRE III État liquide. Texture fibreuse des gaz et des liquides. — Vapeur saturée. — État critique, — Tension superficielle. — Effets thermiques dus à la détente et à la com- pression. — Variation de volume de la fibre-molécule par suite d’une variation de température. — Des solutions. — Pression osmotique. — Élec- trolytes. — Substances ionisées et iodynamisées. — Réactions exother- miques et endothermiques. — Hydrates. — Électrolyse. — Asymétrie des pôles. — Effets produits par les projections cathodiques et anodiques — Électrodes attaquables. — Courant athermique et courant thermique, eou- rant électrolytique. — Phénomènes analogues dans les gaz raréfiés. — État particulaire. — Action de l’état particulaire sur la végétation. — Plantes bipôles. — Rosée. — Origine de l'électricité atmosphérique. — Des orages. — Des aurores polaires. Il résulte de ce que nous venons de dire dans le chapitre précédent, que la texture du gaz est fibreuse. Il est facile d'en montrer la réalité en observant que de la fumée formée de par- ticules très déliées, telle que la fumée de tabae, s'étale suivant ces fibres, tout en fournissant l’appa- Z NÉLTETYT| Z @ rence bien connue. = Le même phénomène _ A VOËX se remarque pour les li- LOS NRE TN a si l’on introduit en ans de l’eau, par exemple, 2 SES une goutte d'une solution HER D très colorée, on remarque que celle-ci, au lieu de se disséminer indifféremment suivant toutes les directions, se com- porte comme la fumée en fournissant l'image de fibres parfaite- ment définies. Considérons l’image de l'état gazeux d’après laquelle les fibres gyrostatiques peuvent être ramenées à deux directions rectan- gulaires (fig. 29). TE 0 O ER 000 C Fig. 29. (49) Cela étant, la tension des fibres à, c, b, d déterminera sur les parois une action contractile qui tendra à les rapprocher les unes des autres, action qui représente la pression interne 7. Au contraire, ces mêmes fibres, rebondissant les unes sur les autres et animées d'une vitesse de translation moyenne v, détermineront sur ces mêmes parois les chocs qui tendent à les écarter, Cela étant, si l’on suppose les parois mobiles et si l’on repré- sente par P la pression extérieure, l'équilibre sera réalisé lorsque l'on a P+r—k—0, k représentant l’action résultante des chocs, La force expansive du gaz sera donc représentée par P—kÆ— », Cela étant, si l’on accroit la valeur de P, deux cas pourront se présenter : ou bien P pourra croître indéfiniment, ou bien il arrivera un moment où P atteindra une valeur limite constante ; à partir de cette limite, P +7 l'emportera sur la valeur de 4, les fibres gyrostatiques seront ra- menées les unes vers les autres de manière à amener le pseudo- contact des gyrostats qui roule- ront désormais les uns sur les autres. L’état liquide sera obtenu. Chaque fibre atomique se com- porte en réalité comme un ressort qui se détend et dont les spires retombent les unes sur les autres. La température à laquelle cette transformation a été réalisée a été désignée sous le nom de tem- pérature de condensation, et la pression P (fig. 30) à partir de laquelle se produit la précipitation des éléments les uns vers les autres, a été désignée sous le nom de tension maxima, et la substance gazéiforme à ce moment, sous le nom de vapeur saturée. Fig. 30. se (50 ) Si, au lieu de permettre aux parois mobiles de suivre la sub- stance dans son mouvement de condensation, deux phases de la matière sont en présence, l’une qui correspond à l’état liquide, l’autre qui correspond à l’état de vapeur saturée. Mais si nous considérons des températures croissantes, il arrivera un moment où la substance dans la phase vapeur occu- pera un volume double du volume dans la phase liquide. D’après nos observations, ce sera là la limite du phénomène correspon- dant à la dualité des phases. La pression correspondante sera désignée sous le nom de pression critique, et les densités corres-_ pondant aux volumes 2 et { de la vapeur et du liquide seront les densités critiques du liquide et de la vapeur. Au delà de cette limite, toute variation de volume entraine une variation de pression. Il est facile de voir, comme nous l'avons dit, quelles sont les causes qui déterminent la variation de volume lors de la con- densation. D'une part, les chocs latéraux ne pouvant plus équi- librer la tension des fibres, celles-ci seront ramenées les unes vers les autres, mais, d'autre part, et réciproquement, les fibres, n'étant plus tendues par l’action des chocs, se détendront de manière à fournir l'image a (fig. 31), qui représente l'élément que nous avons désigné sous le nom de molécule liquidogénique, l’élément b tendu correspondant à la molécule gazogénique. Cependant, entre ces deux états, dont l’un correspond à une sorte d'équilibre résultant d’un pseudo-contact, et l’autre à une action expansive correspondant à l'état gazeux, naîtra un état (51) d'équilibre intermédiaire correspondant à une tension ou expan- sion négative. Cet état intermédiaire est l’état superficiel siège d’une tendance perpétuelle vers l’état liquide sans pouvoir le réaliser. L'image d’une goutte liquide au sein de sa vapeur sera repré- sentée par la sphère G (fig. 32) entourée d’un réseau de fibres gyrostatiques T plus tendues que les fibres £ qui correspondent à la vapeur saturée ambiante. Lorsque ces tensions sont devenues égales par suite de l’ac- croissement de température et de l'accroissement de pression, nous avons atteint la température critique. Le réseau tendu T ne sépare plus la masse liquide de la masse gazeuse. A partir du-point critique, les fibres £ existent seules, l’état gazeux est établi. Mais on peut admettre que si le liquide G est en excès dans le vase V, on continuera à rencontrer sur la longueur de la fibre des espaces occupés par des espèces de nœuds (fig. 33) où le pseudo-contact continuera à être réalisé de mème que dans l'état liquide ; cet état ne s’est pas complètement dénoué. C’est ce mélange hétérogène qui constitue l’état pseudo-gazeux. Nous examinerons plus loin une hypothèse plus probable lorsque nous parlerons de l’état particulaire. Il résulte de la persistance de cette espèce de coagulation, qu'au-dessus de la température critique à une même température (22) et à une même pression pourront correspondre des densités différentes. Si done la première partie du cyele qui correspond au passage de l’état gazeux à l'état liquide s'effectue très simplement, si au- dessus de la température critique nous ne constatons, dans ces conditions, qu'une seule densité correspondant à une tempéra- ture et à une seule pression, il en est autrement si nous consi- dérons la transformation inverse. Dans ce cas, des molécules liquidogéniques pourront continuer à exister en proportion variable au sein de la masse gazeuse, suivant les conditions de remplissage du tube. Le nombre de ces molécules atteindra son maximum lorsque le ménisque disparaît à la partie supérieure du tube, et il sera sensiblement nul si le ménisque disparait à la partie inférieure. Si nous reprenons notre équation relative aux gaz P—K—7, dans laquelle P représente la force expansive du gaz, et si nous substituons maintenant au gaz un liquide remplissant com- plètement le vase (fig. 30), l'action électro-magnétique x l’em- portant sur K, la valeur de P sera négative de telle manière que pour écarter les parois, il faudra exercer une traction P, alors que dans le premier cas il fallait exercer une pression. (La valeur de P atteint environ 50 atmosphères pour l'eau.) Nous aurons donc l'équation A la température critique, on aura — P — 0, c'est-à-dire que les parois ne seront soumises à aucune pression. Îl en sera ainsi à condition que la phase liquide soit seule présente. L'ébulli- tion est alors impossible, ainsi que nous l’avons observé sur l'amylène. Si la vapeur est en présence du liquide, on aura —P—kK—(r + ti), (55 ) t étant la tension de vapeur qui s'ajoute à la pression interne; de telle manière qu'à la température critique —P—0 ou t—=K—7#x, équation caractéristique des gaz. IL est facile de voir également que le liquide sera mouillant si les fibres du solide et du liquide sont suffisamment semblables pour qu'elles puissent s'adapter les unes aux autres. Si l’adap- tation est imparfaite, le liquide mouillera mal; il en est, par exemple, ainsi pour l’eau et le verre; si, au contraire, elle est Fig. 34. Fig. 35. parfaite, les fibres liquides, grâce à leur mouvement hélicoïdal, tendront à imbiber la totalité de la surface solide; il en est ainsi, par exemple, pour le pétrole, qui possède la propriété de con- tourner la surface des vases qui le renferment, C’est cette même adaptation des fibres qui facilite la conden- sation lorsqu'une vapeur est en contact avec un solide. Nous voyons également que l’état de tension des fibres super- ficielles détermine la production du ménisque concave m (fig. 54). Au contraire, le liquide ne mouillera pas s’il n'y a pas adap- tation. Dans ces conditions, la tension des fibres superficielles déterminera la production du ménisque convexe (fig. 35). (54) Les tourbillons £ et £{’ exercent, comme on le voit, des actions répulsives apparentes, identiques à celles qui se produisent dans l’état gazeux et qui résultent des chocs latéraux de ces éléments (état sphéroïdal). C’est encore la même cause transposée dans le milieu éther qui détermine la répulsion des lignes de tourbillon de force électro-magnétique ou électrostatique. EFFETS THERMIQUES DUS A LA DÉTENTE OU A LA COMPRESSION. — Il est aisé de se rendre compte de l'action thermique déterminée par la détente d'un gaz, c'est-à-dire par la détente de la spirale- molécule constituée par des courants sensiblement parallèles et de même sens. L'écartement des spires déterminera une induc- tion électro-magnétique ayant pour résultat d’accroitre l'intensité du courant. L'accroissement d'énergie correspondant sera donc nécessairement pris au milieu ambiant, d'où absorption de cha- leur et refroidissement. L'inverse aura lieu par suite d’une condensation, et si celle-ci est permanente, ce qui a lieu lors du passage de l’état de vapeur à l’état liquide, la chaleur dégagée est alors désignée sous le nom de chaleur de vaporisation. Si, au contraire, nous considérons l’état supragazeux, la détente aura pour effet d'accroître la distance de deux ions consécutifs, d'où accroissement de résistance, diminution de l'énergie du courant, qui serait même annihilée si la distance des ions était devenue suffisante, et restitution de cette énergie au milieu ambiant, d'où dégagement de chaleur. La détente du milieu supragazeux sera donc accompagnée d'un dégagement de cha- leur, à l'inverse de ce qui se passe pour les gaz; donc deux élé- ments conséculifs de courant se repoussent. Si le milieu gazeux est soumis à une pression excessive, d'en- viron 5,000 atmosphères par exemple, le même phénomène se reproduit, ainsi que l’a constaté Amagat. En effet, dans ces con- ditions, les spirales-molécules étant étroitement serrées les unes contre les autres, la pression n’a pas seulement pour résultat de rapprocher celles-ci les unes des autres, mais encore de rap- (55 ) procher davantage les ions, d’où absorption de chaleur par com- pression ou par diminution de volume (deux éléments consécutifs de courant se repoussent). VARIATION DE VOLUME DE LA FIBRE-MOLÉCULE PAR SUITE D'UNE VARIATION DE TEMPÉRATURE. — À l'accroissement de température d’une masse gazeuse correspondent, dans la molécule spirale, deux phénomènes tendant à produire des effets inverses. D'une part, à l’accroissement de température correspond un accroissement du mouvement gyratoire des ions, d'où : 1° accrois- sement de leur attraction réciproque électrostatique ; 2° accrois- sement de l'intensité du courant et, par conséquent, de l’attrac- tion électro-magnétique de deux spires consécutives. Ces deux effets tendront à produire une contraction. D'autre part, il y aura accroissement des actions pulsantes, d’où tendance à la dila- tation (cause de la répulsion de deux éléments consécutifs de courant). Nous pouvons done conclure que si les actions attractives électro-magnétiques et électro-statiques l’emportent sur les actions pulsantes, la molécule se contractera par suite d'un accroisse- ment de température; le contraire aura lieu si l’action pulsante l'emporte. Dans l'état liquide, les choses se passent comme si les éléments étaient en contact; par conséquent, les variations de volume de ces corps avec la température ne représentent autre chose que les variations de volume des éléments gyrostatiques eux-mêmes. Nous voyons, dès lors, la raison pour laquelle cer- tains liquides se contractent par suite d’une élévation de tempé- rature (l’eau entre 0 et 4°), alors que d’autres se dilatent. Remarquons, à titre de confirmation de cette hypothèse, qu’un gyrostat non pulsant aurait une chaleur spécifique infinie, sa faculté de dissipation de l’énergie étant nulle. Dans ces conditions, tout accroissement d'énergie entrainerait une contrac- tion. Or l’eau, comme on le sait, possède une chaleur spécifique exceptionnellement grande, et c’est la raison pour laquelle cet effet de contraction peut devenir apparent. (56) Des sozurTions. — Pour qu'un corps puisse entrer en solution, il faut que les spires gyrostatiques puissent non seulement s'adapter aux éléments superficiels de la substance solide, con- dition indispensable pour que celui-ci soit mouillé, mais il faut encore que le mélange et l'adaptation puissent se faire avec les fibres du solide en pleine matière. On conçoit immédiatement que ce seront les corps les plus voisins au point de vue chimique, c'est-à-dire ceux dont les fibres ont les formes les plus semblables, qui se dissoudront le plus aisément les uns dans les autres. Le phénomène se produit du reste suivant un processus tout à fait comparable à celui de l'évaporation. Les spires mélangées au liquide se comportent comme le feraient les spires de vapeur mélangées à un gaz, ainsi que cela résulte de la théorie bien connue de van L'Hoff. Il est facile de voir comment se développe la pression osmo- tique ou, en d’autres termes, quel est le mécanisme de la paroi semi-perméable. Supposons une solution enfermée dans un vase semi-per- méable P (fig. 56). Les fibres f de l’eau traversent la paroi avec facilité. Au contraire, les fibres /’ de la sub- stance dissoute se comportent comme les liquides non mouillants et ne traversent pas la paroi. Mais les chocs qu'elles déterminent par leurs mouvements latéraux déterminent une pression qui se traduit par le relèvement du liquide dans le tube £. Si les fibres se mélangent sim- plement les unes aux autres, la selution sera simplement physique, et le corps, en sortant de la dissolution, sera le même qu’en y entrant; il y aura, de plus, toujours absorption de chaleur. S'il en est autrement, s'il y a formation d'hydrates ou dégagement de chaleur, il y a combi- naison, c’est-à-dire que des lien: soniques s'établissent entre les spires du dissolvant et de la substance dissoute. Fig. 36. (57) ÉLecrroiyTes. — Lorsque la fibre du corps dissous s’introduit dans le dissolvant, deux cas peuvent se présenter; ou bien les fibres ou brins élémentaires qui constituent le /il-molécule peuvent rester étroitement unis comme par le passé; dans ces conditions, la solution n’est pas conductrice, mais il se peut que les brins se relâchent et que les atomes ne soient plus reliés entre eux que par de longues chaines ioniques, chaines qui maintenaient les éléments étroitement unis. Nous voyons donc qu'il n’y a pas de dissociation, mais simple- ment relâchement des liens ioniques. Nous dirons alors que la solution est iodynamisée (fig. 57); elle devient alors conductrice de l'électricité, car il suffit de la moindre action électrique pour mettre en liberté les ions nécessaires au passage du courant, pour rompre les chaines ioniques, ioniser le liquide ou tout au moins adapter l'extrémité des brins rompus aux ions polaires des électrodes et déterminer, par conséquent, la décompo- sition. En réalité, il n'est pas nécessaire que les ions soient absolu- ment désunis pour servir à la propagation du courant, il suffit que dans une chaine ils puissent se déplacer les uns par rapport aux autres, d'où induction électrostatique, vibration, done mise en liberté d'énergie sous la forme calorifique, tendance à la rupture de la chaine. En résumé, toute rupture de chaine ou toute tendance à la rupture déterminera une dissipation, un dégagement d'énergie calorifique (chaleur dégagée par le courant), et l'inverse se produira pour toute reconstitution, ainsi que nous l’avons vu. Il résulte comme conséquence de ceci que dans le phénomène de la réaction chimique, si les quantités de chaleur mises en jeu par la rupture des chaines ioniques (dissociation atomique) l'em- portent sur la quantité de chaleur correspondant à leur reconsti- tution, la combinaison sera exothermique. L'inverse aura lieu dans le cas contraire, la combinaison sera endothermique. Les éléments iodynamisés exercent des chocs et une pression osmotique égale ou à peu près égale à celle que l’on observerait s'ils étaient complètement libres, d’où il résulte que les choses (58) se passent comme si le nombre des molécules s'était accru par suite de la dissolution, ce qui se traduit par l'accroissement correspondant de la pression osmotique. À ve Ye} Jo où sta Se | À ÉraYce | SR POTEN de 2 moleciles de née ÿ À Va À 2 mroléeules de AL CE en dSsolution . . » - . todynæmisees el non ronisees . 2 molecules 1onrsees e£ non. (59) On peut concevoir que des fibres du dissolvant puissent être réunies aux fibres dissoutes par des chaines ioniques, de même que dans le cas précédent, et que, lors de la noue elles fassent partie de la masse cristallisée, de manière à constituer des hydrates. Dans la théorie qui a précédé la nôtre, on admettait que les ions électrolytiques possédant des charges de signes contraires cheminaient dans le liquide et allaient neutraliser les électrodes de noms contraires. Ces vitesses de cheminement de l’ancienne théorie représentent dans la nôtre, les vitesses relatives avec lesquelles les ions électrolytiques de natures différentes sont susceptibles de se souder, toutes choses étant égales. Cette vitesse sera proportionnelle à l'intensité du courant, qui se propage par le même mécanisme ionique, qu'il s’agisse de l’électrolyse, de la conductibilité métallique, de la neutralisation par radioactivité, etc. Mais quelle est la source des ions qui prennent part au courant? Dans le cas des électrodes inaltérables, telles que les élec- trodes de platine, il est tout naturel d'admettre qu’elle est fournie exclusivement par les chaines ioniques résultant de chaines iody- namisées rompues et adaptées. La résistance sera donc d'autant plus faible que cette source est plus abondante, que la solution est plus concentrée. Si ces chaines A ; ne peuvent pas se rompre, le liquide n'est plus conducteur d’une part, et, 8 La d'autre part, l'absence de points de Ve soudure, de chaînes ouvertes, ne an rs permet plus la combinaison ou le dépôt électrolytique. Considérons d'abord le cas le plus simple (fig. 58), celui d’une molécule de NaCI iodynamisée, en dissolution, placée entre deux électrodes inaltérables a, b, et supposons que la chaine mn vienne à se trouver dans le voisinage de l'ion polaire w orienté positivement, il se pourra qu’un ion & étant moins sollicité par 8 que par w se détache, devienne libre et, dès lors, commence à fonctionner entre a et b, ainsi que nous l'avons vu plus haut, de Fig. 38. ( 60 ) manière à établir le courant (voir fig. 13). Cependant « pourra se resouder à &, et, dès lors, la chaine ne sera pas définitivement compromise, la molécule NaCI ne sera pas dissociée. Tel sera le mécanisme du passage du courant dans un élec- trolyte lorsque les forces électromotrices polaires sont faibles. Mais à partir d'une certaine grandeur de la force électro- motrice, celle-ci pourra devenir suffisante pour amener la rupture complète de la chaine, la dissociation; à ce moment, les brins de l’atome-chlore se fixeront en b, les brins de l’atome- sodium se fixeront en a. Nous avons, en résumé, trois choses à considérer : 1° Les ions électrolytiques NaCI ou atomes laissent échapper des ions élémentaires (d’où rupture de chaines ioniques, si la force électromotrice des électrodes est suffisante, et séparation des ions électrolytiques); ces ions déterminent le courant AB d’une façon normale par induction électrostatique, de même que dans un métal ou dans un tube à vide, par le mécanisme indiqué plus haut; 2° L'ion élémentaire étant une machine aspirante et foulante, son orientation donne naissance à un courant d'éther de l’élec- trode positive vers l’électrode négative; 5° A l'électrode positive b, la neutralisation est plus facile par induction électrostatique qu’à l'électrode a. L'équilibre dyna- mique du courant exige done la mise en jeu d’un nombre d'ions plus grand en a qu’en b. Nous avons désigné ce phénomène sous le nom d'asymétrie des pôles. Nous avons démontré précédemment son existence, notamment à l’aide de l'expérience qui consiste à électriser un plateau de résine positivement ou négativement; s’il est électrisé négativement, on neutralise aisément cette électricité par friction à l’aide d'un conducteur positif. Si l'inverse a lieu, la neutralisa- tion est difficile, elle est accompagnée d’un crépitement part- culier, accompagné de projections cathodiques qui rejettent au loin l'électricité positive (1). (1) Prodrome de la théorie mécanique de l'électricité, p. 83 (61) L'asymétrie des électrodes a pour conséquence le dépôt électrolytique; sans cette condition, ü n'y aurait pas de fixation. 11 existe nécessairement le même nombre d'ions polaires à la cathode et à l’anode. Cela étant, par suite de l’asymétrie, un seul ion ? déterminera par exemple à l’anode la même neutralisation que deux ions ? à la cathode. Un ion de l’anode sera dès lors libre et il se soudra un ion électrolytique négatif v, rendu libre par suite d’une rupture de chaine; l'ion électrolytique positif, libéré par le même fait, tendra à se rendre à la cathode a. Deux cas pourront se présenter : 1° Il se peut que par suite du plus petit nombre d'ions polaires libres à la cathode, tous les ions électrolytiques ne parviennent pas à se souder; dans ces conditions, l’électrolyse sera anormale; 2 Si tous les ions électrolytiques se soudent, l’électrolyse sera normale. On voit que les soudures des ions électrolytiques tendent à renverser le courant, à polariser les électrodes. Le transport des ions électrolytiques, loin d'être l’origine du courant, collabore uniquement à sa destruction. En résumé, la plus grande proportion d'ions polaires libres à l’anode fait que c'est dans son voisinage que s’élabore la plus grande destruction de chaines ioniques, d'où mise en liberté de plus de chaleur qu'à la cathode. Au contraire, la pénurie d'ions polaires libres à la cathode détermine, dans cette région, à la fois une pléthore d'ions électrolytiques et d'ions élémentaires, les premiers déterminent une alcalinité anormale de cette région; les seconds, en excès, cessent de faire partie du courant en détermi- nant des projections cathodiques, que l’on distingue sous le nom de rayons cathodiques si l’on fait usage d’un gaz ionisé au lieu d'utiliser un électrolyte, ce qui revient en réalité au même. Nous avons réussi à mettre ces projections cathodiques en évidence dans le cas de l'électrolyse, à l’aide d’une solution électrolytique quelconque, disposée dans un cristallisoir et dans lequel on fait passer le courant de quelques éléments de Daniel. L’électrode positive est en plomb, l’électrode négative est en or ou en platine. (62) On remarque alors, après quelques jours, que le souffle cathodique a produit à la surface de l’oxyde de plomb, déposé au fond du vase, les rides r, r’, r// qui figurent parfaitement les stries des tubes à vide (fig. 59). Fig. 39. Nous avons vu précédemment qu'à l’aide de solutions de gélatine, on pouvait mettre en évidence les émissions anodiques résultant du départ vers la cathode des ions électrolytiques (1) et qui provoquent également un véritable souffle atomique et non ionique. Lorsque l’on plonge dans de l'argile humectée deux plaques d'aluminium servant d’électrodes d’un courant fourni par deux éléments de Daniel, on remarque après quelque temps que l'argile tend à être repoussée par la cathode et qu'elle adhère, au contraire, à l’anode. On retire alors sans difficulté la plaque cathodique. Mais si l’on examine les deux plaques, on remarque que cette dernière est revêtue d'un enduit très adhérent, et la plaque anodique ne présente pas ce caractère. La répulsion cathodique serait donc toujours le résultat de l'émission ionique, alors qu’en même temps elle serait le siège d’une forte conden- sation atomique. 1) Prodrome de la théorie mécanique de l'électricité, p. 99. (65) ÉLECTRODES ATTAQUABLES. — Dans ce qui précède, nous avons admis que les ions des électrodes ne prenaient point part au phénomène de l’électrolyse. Si l’on utilise une cathode en or ou en platine, on remarque que l’anode se désagrège lorsqu'elle est fournie par la plupart des métaux; l’électrolyte étant, par exemple, une solution saline, il peut se produire alors des phénomènes chimiques bien connus, et notamment production d'oxydes qui se déposent au fond du vase; il en est, par exemple, ainsi du fer, du nickel, du plomb, de l’étain, du cuivre, du zine, de l’aluminium, etc. Si, au contraire, nous utilisons une anode inaltérable en or ou en platine, et si nous faisons varier le métal de la cathode, nous remarquons, en général, que celle-ci n’est pas altérée. Cependant, il importe de remarquer que si les ions élémen- taires du métal prennent part à la réalisation du courant, ceux-ci, en s'échappant, pourront déterminer l’arrachement d'ions élec- trolytiques en quantité appréciable, Le seul métal pour lequel nous avons constaté ce phénomène est l’aluminium ; il s’enlève à peu près la même quantité d'aluminium à la cathode et à l’'anode. On remarque, de plus, que l’arrachement s'est produit à la cathode avec une extrême violence, de manière à mettre à nu les fibres du laminage. Le charbon de pile placé à la cathode détermine la produc- tion d’un liquide brun dont les propriétés sont particulièrement intéressantes. Pour obtenir ce liquide, on fait usage de deux charbons de pile que l’on place à faible distance dans de Peau distillée, que l’on fait traverser par un courant déterminé par une centaine de volts. En résumé, nous pouvons considérer trois variétés de cou- rants, qui se classent comme suit dans l’ordre de leur complexité : 4° Le courant athermique ou courant aimant ou simple eou- rant d’éther gyrostatique déterminé par la rotation des ions; 2 Le courant thermique, développant de la chaleur par suite des déplacements relatifs des ions, de l’induction électrostatique et des vibrations qui en sont la conséquence; (64) 3° Le courant électrolytique, où nous avons à la fois à consi- dérer le courant d'éther, le mouvement ionique et le mouvement des ions électrolytiques qui tendent à renverser le courant. Nous retrouvons dans les gaz raréfiés un phénomène entière- ment comparable à celui de l’électrolyse. Les éléments du gaz raréfié sont iodynamisés par suite de la faible pression qu'ils supportent, et, dès lors, s’ionisent facilement sous l’action du courant, de manière à établir dans tous les cas le système dyna- mique de l'électrolyse sous l’action des électrodes. Cela étant, si l'on considère un tube produisant des stries, l'espace qui est le siège des vibrations résultant de la rencontre des ions correspond au développement de chaleur et de lumière que l'on observe en ces points. Les espaces intermédiaires correspondent aux espaces sombres. Les bandes sombres, qui ne comportent que le mouvement gyratoire et qui se caractérisent done par cette absence de lumière, correspondent aux espaces de libre parcours des ions. Ces espaces seront d'autant plus grands que le degré de raréfaction sera plus avancé. Nous avons vu comment il se faisait que la cathode était le siège d’une émission anormale intense, les ions projetés dans une direction opposée à celle du courant refoulent les stries vers l’anode. Aussi, l’espace sombre qui enveloppe la cathode se développe-t-il d’une manière toute spéciale. Elle est également le siège de l’arrachement ionique dont nous avons parlé. Nous voyons aussi la raison pour laquelle la polarité anodique se rencontre parfois dans l'émanation cathodique ; elle est le résul- tat du renversement de l'ion par induction électrostatique. L'ÉTAT PARTICULAIRE; expression que nous employons de préfé- rence à état colloïdal ou milieu trouble, par cela qu'il se produit non seulement dans les liquides, mais encore dans les gaz. Nous allons voir qu'une particule très petite de matière doit nécessairement présenter des propriétés toutes spéciales. Reprenons, en effet, l’image de la goutte d’eau de toute part enserrée dans son réseau tendu de fibres gyrostatiques (fig. 52), (65) lequel lui communique la forme sphérique, et supposons que l'on vienne à réduire progressivement le volume de cette goutte soit par évaporation, soit par un procédé quelconque ; il arrivera un moment où le diamètre de la fibre gyrostatique, qui constitue le réseau superficiel, deviendra comparable au diamètre de la sphère elle-même. A partir de ce moment, l'équilibre dynamique de cette fibre gyrostatique commencera à être compromis par suite de la nécessité où se trouvent les fibres ioniques de se rapprocher d’une manière anormale en a, b (fig. 40). Alors des ions seront libérés, orientés positivement ou négativement; en un mot, la particule sera électrisée positi- vement ou négativement. Des parti- cules semblables se repousseront réci- proquement et nous verrons apparaitre le mouvement brownien, auquel Spring attribue justement la persistance des milieux troubles. Si le milieu dans lequel nagent les particules n’est pas con- ducteur, les ions dont nous venons de parler resteront localisés dans le voisinage de la particule, mais il suffit d’y introduire un électrolyte poux voir disparaitre le phénomène. Les ions a ne tardent pas à faire partie des chaines ioniques; à mesure qu'ils se produisent, l'élément est déchargé et tombe au fond du vase. L'action condensante sera nécessairement renfor cée si l’on ajoute à ces chaines ioniques celles qui sont développées par le courant. La particule se rendra alors à la cathode ou à l’anode, suivant qu'elle est positive ou négative. Si l’on mélange des particules négatives et Lositives et si les charges négatives sont égales aux charges positives, il y aura neu- tralisation réciproque et dépôt. MM. Picton et Linder ont reconnu qu'il en était ainsi. M. Spring a constaté le fait pour le bleu d’ani- line et le rouge Magdala ; il ne l’a pas observé dans d’autres cas, mais, évidemment, par suite de la non-équivalence des charges de signes contraires. On peut enfin déterminer le dépôt du milieu trouble en > (66) ionisant le liquide à l’aide d'une machine électro-statique, mais le temps nécessaire au dépôt est beaucoup plus long. Afin de réaliser l'expérience, nous avons introduit, dans trois petits vases de Berlin A, B, C (fig. 41), un milieu trouble obtenu en faisant Fig. 41. jaillir l’étincelle dans l’eau distillée, entre deux fragments d’étain. Dans les vases A et C plongeaient trois pointes de cuivre figurées en À; il y avait communication de ces pointes avec le pôle négatif d’une machine de Holtz, activée par une petite dynamo; les pointes C étaient reliées au pôle positif et le liquide trouble B servait de témoin. On remarque qu'après six heures de marche le dépôt est effectué au pôle négatif, et qu'après neuf heures il s’est produit au pôle positif. Pendant ce temps, il ne s’est pas produit de dépôt appréciable dans le vase B. Il est assez curieux de remarquer que les côtés des parois des vases A et C tournés vers la machine avaient condensé du dépôt. Il résulte de nos recherches précédentes, que la faculté ionisante est plus intense à la cathode qu’à l’anode (!); nous voyons encore ici la confir- mation de ce fait. Ainsi que nous le verrons dans un travail que nous avons entrepris avec un botaniste, M. Micheels, en étudiant la germina- tion de graines (particulièrement du Froment) placées sur un tamis affleurant avec la surface d’un liquide, les racines des plantes se comportent absolument comme les pointes positives, et c’est l’action particulaire, qui est l’origine de l'excitation, qui détermine le phénomène de l’assimilation dans les végétaux. Le même phénomène se produit pour les feuilles qui se comportent (1) Prodrome de la théorie mécanique de l'électricité, p. 86. (67) comme des pointes électrisées négativement; les particules sont ici les gouttelettes d’eau en suspension. C’est l’action d’une solution particulaire négative d’étain qui est la plus efficace sur la racine, lesquelles atteignent dans ce liquide des longueurs invrai- semblables (Froment, Pois). D’autres solutions colloïdales négatives produisent des effets moin- dres ; ce qui démontre qu'il intervient une adap- tation correspondant aux dimensions de l'ion. La plante se comporte comme si elle était bipôle, de telle manière que l’action inverse se produit sur la tige et sur les feuilles. En maintenant la solution par capillarité à l’aide d’un tissu de tulle & (fig. 42) dans un verre de Fig. 49. lampe, les germes étant maintenus par un tissu semblable /; les tiges plongent dans le liquide, et l’on remarque que ce sont Fig. 43. ment ionique, la plante sera donc représentée par la figure 43. les liquides qui sont le plus favorables aux racines qui sont le plus défavo- rables aux tiges, et réciproquement. Les feuilles se comportent comme possédant la polarité négative. Et l’on voit que c’est la rosée particulaire positive qui, dans la nature, joue le rôle efficace. On peut renforcer cette polarité des plantes en les soumettant au passage d’un courant dans le sens de leur longueur ; dans ces conditions, si l’on communique aux racines la polarité positive lorsque celles-ci sont plongées dans une solution nutritive, il y a ren- forcement; dans le cas inverse, les racines disparaissent. Le contraire se vérifie pour la tige. Au point de vue du fonctionne- ( 68 ) Il est facile de voir combien est complexe l’action du courant sur la végétation lorsque celui-ci se transmet simplement dans le milieu de culture. Il est, en effet, à la fois le producteur et le destructeur de l’état particulaire, il déterminera donc une action favorable ou défavorable, suivant que l’un de ces effets est prédominant. Nous renverrons le lecteur qui s'intéresse à ces recherches au long travail que nous avons exécuté en collaboration avec M. Micheels. On voit également pourquoi la rosée se condense d’une manière si abondante sur les végétaux, les feuilles se comportant à peu près comme des aigrettes négatives. Nous avons même remarqué au laboratoire que, lorsque la vie se manifestait d’une manière particulièrement intense dans une expérience de ger- mination, des gouttes de rosée se déposaient sur ces feuilles et non sur d’autres, placées cependant dans les mêmes conditions, mais moins vivantes. On voit pourquoi la plante est soumise à une torsion, le mouvement gyrostatique des ions étant l’origine de sa croissance. Toute gouttelelte d'eau atteignant des dimensions suffisamment petites Ss'électrise nécessairement. Si le diamètre de la gouttelette s’accroit en condensant de la vapeur, les ions reprennent leur état d'équilibre normal, et toute manifestation électrique disparait. Le phénomène électrique de l'atmosphère apparaitra d'une manière particulièrement intense lorsque les gouttelettes auront atteint une dimension comparable à la longueur d'onde lumi- neuse; l’atmosphère sera alors limpide, de même que les milieux troubles filirés, qui agissent d’une manière très active malgré cette limpidité (état colloïdal). Mais il serait particulièrement intéressant d'observer si ces particules liquides, assez petites pour ne pas gêner sensiblement la propagation des ondes lumi- neuses, n’entravent pas la propagation des ondes ultra-violettes. Le D' Gustave le. Bon a remarqué que, par des ciels purs en apparence, la lumière ultra-violette faisait défaut, et qu'il pouvait en être autrement par des ciels couverts de nuages. La lumière (63) ultra-violette ferait done plus particulièrement défaut lorsque l'électricité atmosphérique est le plus abondante. Ces particules exercent des actions d'influence sur les corps plongés dans l'atmosphère. Mais si un tourbillon vient à se pro- duire dans une atmosphère chargée de ces particules, les ions ne tardent pas à s'orienter suivant une direction déterminée, et, dès lors, les surfaces correspondant aux spires du mouvement tournant acquièrent une polarité d'ensemble correspondant à la charge orageuse. La polarité ainsi développée peut se comparer, à certains points de vue, à l'orientation développée par des frictions dans un sens déterminé, à la surface d’un bâton de résine (expérience de Volpicelli). Si la tempête due à un mouvement tournant de l’atmosphère est capable de développer les phénomènes électriques d’ensemble qui correspondent à l'orage, nous allons voir que la tempête magné- tique, c’est-à-dire le mouvement gyratoire déterminé par l’aimant, fournit une interprétation aussi facile des aurores polaires. Remarquons, en effet, que, d’après ce qui a été dit plus haut, par suite de son état de raréfaction, l'air est tout au moins iodynamisé et même ionisé (voir fig. 57) dans les hautes régions de l'atmosphère. Or, chaque fibre ionique libre se comporte vis- àa-vis de l’aimant terrestre comme le ferait un rayon cathodique ou anodique. Ces manifestations étant identiques, cet aimant amènera dès lors une orientation d'ensemble tout à fait compa- rable à celle produite par le tourbillon aérien dans le phénomène orageux et identique au mouvement hélicoïdal déterminé par l'aimant dans le tube de Crookes. La gyration s’exécutera dans le sens du courant, et l’espace calme correspondant à l’œil de la tempête coïncidera avec les pôles. On sait, en effet, que les phénomènes auroraux deviennent de plus en plus rares, à partir d’une certaine latitude, à mesure qu'on se rapproche davantage du pôle. Dans ces conditions, la radiation solaire interviendrait comme agent lonisant. Cette ionisation s'étant produite dans les régions tempérées et même tropicales, l'air qui y a été soumis est amené par les courants atmosphériques dans les régions plus voisines ( 70 ) du pôle, où, soumis à la tempête magnétique, il ne tarde pas à manifester les phénomènes électriques connus. Si le soleil émet en grande proportion des rayons à petite lon- gueur d'onde, circonstance qui parait se manifester spécialement pendant la période des taches, l’icnisation se produit d'une manière particulièrement marquée, d'où il résulte que l’aïmant terrestre peut déjà manifester son action dans des régions trop éloignées des pôles pendant la période minima des taches. Le phénomène d'orientation et de décharge particulaire com- mencera donc déjà à se produire dans les régions tempérées, de manière que ce phénomène se trouve à peu près complètement réalisé avant que les masses d'air entrainées par les courants aient atteint le pôle. Nous voyons donc la raison pour laquelle le maximum des aurores polaires des régions tempérées coïncide avec le mini- mum de ces manifestations dans les régions polaires et avec le maximum des taches solaires. On remarquera également que s'il se produit une émission particulièrement intense de radiations ultra-violettes à un moment donné, elle se manifestera d'une manière à peu près semblable aux deux pôles. Des phénomènes d'induetion, ainsi que nous l’avons dit plus haut, s’ajouteront à cette action. Au lieu d'admettre l'hypothèse que nous avons formulée plus haut et d’après laquelle la persistance de rœuds au-dessus du point critique serait la cause de la variabilité de la densité dans les mêmes conditions de température et de pression, il est plus vraisemblable de supposer qu'une partie de la substance à l'état liquide se trouve dans un état particulaire extrêmement raffiné, n'empêchant pas ces substances de laisser passer libre- ment toutes les radiations lumineuses et, par conséquent, d’être optiquement vides lorsqu'ils sont purs, ainsi que cela résulte des belles expériences de Spring, en particulier sur l'eau. À la température critique, les particules liquides non éva- porées se maintiendront au fond du tube, et ce n'est qu'à une température beaucoup plus élevée que l'évaporation sera com- plète. (71) Nous avons muni un tube renfermant de l’éther, de deux électrodes en platine, entre lesquelles pouvait jaillir l'étincelle d’une bobine. A la température critique, la résistance est trop forte pour permettre la production de celle-ci, mais les électrodes jouent le rôle des pointes dont nous avons parlé plus haut. Le tube était rempli environ au tiers et le ménisque disparaissait un peu en dessous des pointes. Il présentait avant la disparition l'apparence d’un trait noir. Si, peu d’instants après la disparition, on met la bobine en activité, on remarque que le trait noir réap- parait pendant quelques instants, ainsi que le mouvement par- ticulier qui précède la condensation. Nous voyons donc qu'en réalité à la température critique la densité du liquide deviendrait égale à la densité de la vapeur. Mais une partie de la substance maintenue à l'état particulaire demeurerait momentanément au fond du tube; il s’établirait ensuite une solution colloïdale par diffusion. Les mouvements que l’on observe dans la substance lorsque le mélange s'établit correspondent du reste bien au mouvement brownien. Ceci nous donne encore l'explication d'un fait qui nous a beaucoup étonné. Si l'on fait passer sur la surface de l’eau un courant d'air complètement saturé de vapeur, celui-ci évapore encore du liquide en proportion très sensible, tout transport mécanique étant, du reste, rendu impossible à l’aide de filtres en coton (1). L'expérience démontre encore la faible volatilité de l’eau lorsqu'elle se trouve à l’état de particules extrêmement ténues. C’est ainsi que la brume, formée de petites gouttelettes d’eau, se produit dans une atmosphère non saturée de vapeur. On pour- rait, à vrai dire, interpréter ce phénomène par l’existence de particules de poussière en suspension présentant des surfaces conecaves et devenant des centres de condensation, mais alors la persistance de la goutte sphérique formée devient inexpli- cable. (2) Bull. de l’Acad. roy. de Belgique, 3e série, 1891, t. XXI, p. 11. (m2) CHAPITRE IV L'état solide. Considérations générales. — Rapport entre la conductibilité électrique et la conductibilité calorifique. — Influence de la pression sur la conductibilité calorifique. — Rapport entre les conductibilités calorifique ou électrique et le coefficient de dilatation. — [Dureté et fragilité. — Magnétisme. — L’analogie et la différence qui existe entre un corps magnétique soumis à l’action de l’aimant et un conducteur soumis à l'influence. — Courants thermo-électriques. — Phénomène de Hall. — Phosphorescence, genèse et destruction de l’atome. Le corps solide, de même que le corps liquide ou gazeux, est constitué par les mêmes fibres gyrostatiques élémentaires. Dans les premiers de ces corps, ces fibres ondulent et se déplacent les unes par rapport aux autres; dans l’état solide, au contraire, leurs orientations sont fixes. Ce sont même ces orientations qui caractérisent les diverses formes cristallines que nous observons. Il importe donc de ne pas confondre des liquides excessive- ment visqueux, tels que l’asphalte, par exemple, avec Pétat solide proprement dit, ainsi que l’a fait remarquer Tamann. Lors du passage de l’état liquide à l'état solide, nous obser- verons la mise en jeu de quantités de chaleur comparables celles qui se dégagent dans le passage de l'état de vapeur l’état liquide (chaleur de fusion). Mais, ainsi que nous l’avons fait observer à propos de la contraction de l’eau par la chaleur, nous pouvons considérer des éléments gyrostatiques de deux espèces : ceux qui se dilatent par suite d’une addition d'énergie calorifique et ceux qui se contractent. L'eau est, dans ce dernier cas, au-dessous de 4°; il en résulte que si on lui enlève la quantité de chaleur nécessaire au maintien de l’état liquide, le solide obtenu, la glace, possède un volume plus grand. Lorsque cette transformation est réalisée, go (75) la chaleur spécifique est considérablement diminuée; aussi la glace se: dilate-t-elle par la chaleur. Une vérification fondamentale de notre théorie se trouve dans ce fait découvert par Wiedemann et Frants, qu'il y a proportionnalité entre la conductibilité calorifique et la conducti- bilité électrique. Il est facile de voir qu'il doit en être ainsi; en effet, considérons un circuit inducteur AB (fig. 44) par- couru par un courant d'intensité c et dont la fréquence est f; l'intensité moyenne I, du courant induit dans le circuit ab qui se trouve à une distance d sera J; = 7 C, c représentant le coefficient de conductibilité du eireuit induit. Si, toutes choses étant égales, nous remplaçons le cireuit induit ab par un autre cireuit de conductibilité c’, nous aurons d’où Les intensités des courants induits seront proportionnelles aux coeflicients de conductibilité. Si nous représentons par T et par T’ les énergies induites et par E la force électromotrice développée dans l'induit, nous aurons finalement T BR TRUE c'est-à-dire que les énergies induites sont proportionnelles aux coefficients de conductibilité électrique. Supposons que nous substituions maintenant à la considé- ration de notre circuit inducteur AB, la considération d’une (OT) tranche isothermique parcourue par des courants en tous sens et dont la température est régie par la loi de Joule, et remar- quons encore que pour une même température la fréquence des oscillations est la même. Nous pouvons admettre, pour fixer les idées, que AB repré- sente la surface de séparation d’un fluide et d’une lame solide, induisant de la chaleur dans des tranches ab de substances solides de natures différentes et de conductibilités électriques c et c/. Dans ces conditions, les quantités de chaleur induites Q et Q/ seront, pour les raisons que nous avons indiquées plus haut, représentées par le même rapport, et nous aurons c'est-à-dire que la conductibilité calorifique et la conductibilité électrique représentent une seule et même chose. Nous avons supposé, dans le cas que nous venons d'examiner, que la tranche inductrice de séparation des deux milieux était la même; supposons-la quelconque. Nous aurons encore Let où Er FE RE TE — 1e, expression dans laquelle r représente la résistance de la couche induite et r1, l'énergie induite. Si nous représentons par R la résistance de la couche de séparation inductrice dont la température ft est définie par la relation DRE, nous aurons : t 1° = —) R d’où s. t TE = CE (15) Si nous remarquons que R représente la résistance superfi- cielle dont le rapport inverse représente la conductibilité super- ficielle c, nous écrirons finalement 2 AE For. L'énergie ou la quantité de chaleur induite sera donc propor- tionnelle au coefficient de conductibilité superficielle, propor- tionnelle au coefficient de conductibilité de la substance consi- dérée et proportionnelle à la température. Si nous considérons un mur dont les deux faces sont à des températures différentes, la propagation des chaleurs induites se fera en sens inverses et nous aurons EE —rl = ce,(t — l), c’est-à-dire que la quantité de chaleur qui passera sera pro- portionnelle à la différence de température des deux faces. Voici le tableau construit à l’aide des tables de Landolt qui indique dans quelle mesure la conductibilité électrique est proportionnelle à la conductibilité calorifique : Conductibilité Conductibilité Conductibilité Conductibilité électrique. calorifique. électrique. calorifique. Ag 100 100 Sn 414 15 Cu 82 89 Fe 15 14 Al 50 31 BD EG 6.6 Mg 51 54 Sb 35.4 5.8 Zn 9 27 Hg 2.5 1.50 Cell 22 20 Bi 1.2 1.6 Il résulte de ce que nous avons dit précédemment, que la chaleur peut se communiquer d’un élément à l’autre par deux procédés différents : 1° Par l'induction développée par les chaines iodynamiques des corps conducteurs; (76) 2° Par l'induction développée par la chaine ionique axiale de la fibre atomique. Remarquons que si le premier procédé était seul en jeu, un corps non conducteur de l'électricité ne conduirait pas la chaleur, alors qu’en réalité on constate toujours une légère conductibilité calorifique. De plus, pour les corps mauvais conducteurs de l'électricité, il n'existe plus de rapport simple entre la conductibilité électrique et la conductibilité calorifique. Cette théorie permet également de nous rendre compte d’un fait d'apparence absolument paradoxale, observé par de Sénarmont. Si l’on soumet un corps isotrope à l’action d’une pression s'exerçant dans une direction déterminée, on remarque que la conductibilité calorifique est plus faible suivant le sens de la pression. Ce fait peut se traduire en disant qu’un point matériel communique d’autant plus difficilement sa chaleur à un point voisin, qu'il en est plus rapproché. En réalité, il est facile de voir qu'il doit en être ainsi, car si nous considérons une chaine ionique ab (fig. 45), orientée dans le sens de la pression, celle-ci aura pour effet de rap- Z’ procher les ions et, dès lors, de diminuer la résistance élec- trique et d’accroitre l'intensité À DD>DbDD>>> | << — mime ms À Z du courant; dès lors, l’induc- tion électro-magnétique se fai- Fig. 45. sant normalement à cette di- rection, la conductibilité sera accrue dans le sens a/6/. Nous pouvons justifier une relation intéressante que nous avons établie entre le coefficient de dilatation et le coefficient de conductibilité calorifique. Cette relation peut s'exprimer en disant que pour les mélaux appartenant à un même groupe naturel, le coefficient de dilatation est proportionnel à la racine cubique du coeflicient de conductibilité calorifique ou électrique. Remarquons d'abord que, ainsi que nous l'avons dit, R#? est constant pour une température donnée et pour les diflérents corps. (0470) D'autre part, la répulsion de deux éléments consécutifs de courant, déterminée par les pulsations synchrones, est propor- tionnelle à l'intensité du courant, et si, comme nous l'avons vu, la dilatabilité de l'élément est déterminée par cette action répul- sive, nous écrirons = ? (x), a représentant le coefficient de dilatation, et nous admettrons T = où er Nous aurons RIRE ou Dry æa—A +. 3 à Si lon admet x — >, nous trouvons la relation trouvée empi- riquement : a— AVC. DureTÉ ET FRAGILITÉ. — On conçoit aisément que si les élé- ments matériels sont réunis par des chaines ioniques, ils seront moins sujets à se séparer les uns des autres. La ductilité des métaux se trouverait donc ainsi liée à leur conductibilité. Afin de vérifier cette hypothèse, il suffit de se demander si un même métal devenu cassant et ayant dès lors perdu une partie de ses chaines ioniques, voit également dimi- nuer sa conductibilité. | Cette hypothèse est parfaitement vérifiée pour l'acier, dont la conductibilité diminue considérablement à mesure qu'il est plus trempé, plus cassant, plus dur. La propagation de la chaleur dans un milieu matériel se fait donc par un mécanisme identique à la propagation au travers d'espaces éthérés mesurables, par induction électro-magnétique. Pour les solides, ce procédé est le seul qui doive être envisagé, du moins Re fnenent, la diffusibilité étant très faible, Au contraire, dans les liquides, le mélange des éléments à (78) haute température, des gyrostats à gyration rapide, aux éléments à basse température, se faisant par diffusion, une partie de la chaleur se transmet par ce processus. Celui-ci est pratiquement le seul que l’on doive considérer dans l'état gazeux. Dans les solides, la faible diffusion qui a été observée par Spring n’est pas le résultat de la migration des atomes, mais la conséquence de l’état iodynamique de la substance ou de la migration des ions, qui renouvellent constamment la substance de ces atomes, de même que l'assimilation et la désassimilation se produit constamment dans l'être vivant. Les atomes consti- tuant les conducteurs sont done comparables à l'être doué de vie. L'état de léthargie correspondrait au corps non conducteur, au corps aniodynamique. S'il en est ainsi, la diffusion ne se manifestera pas dans ces derniers corps, ce qui se constate si l'on soude, par exemple, bout à bout des tiges de verre diversement colorées. Macnérisme. — Une des conséquences immédiates que nous avons tirées de notre conception de la matière est celle du magné- tisme. Considérons, en effet, notre gyrostat atome A (fig. 46), dont AL LA | A Fig. 46. l’éther axial tourbillonne dans le sens de la flèche. Cela étant, concevons un deuxième gyrostat de même sens disposé au-dessus du premier. On sait que dans ces conditions les deux gyrostats s’attirent, ainsi que le feraient deux tourniquets tels que ceux qui ont été mis en jeu dans l'expérience de Weyher. Nous avons vu également que la considération de l’emboitement de deux courants de sens contraires permettait de concevoir des substances s'orientant par attraction et des substances s’orientant (79 ) par répulsion, c'est-à-dire les substances magneliques et diama- gnétiques. Si done nous concevons une substance dont les fibres que nous venons de considérer sont toutes orientées suivant une même direction, ces fibres orientées seront susceptibles d'attirer ou de repousser les fibres d'une autre substance tout en déter- minant la même orientation. S'il en est ainsi, la substance altirante ou repoussante s'appelle aimant. Si l'orientation déter- minée par l'aimant dans la substance magnétique persiste lorsque l’aimant a cessé d'agir, la substance possède la faculté que l’on désigne sous le nom de force coërcitive (l'acier). Nous avons également vu que le phénomène de Zeeman montre l'existence d’une chaîne ionique axiale ab (fig. 21). C’est elle qui est mise en jeu dans la pyro-électricité des cristaux, qui sont diélectriques (voir p. 49). Cette fibre, en réalité reliée aux autres, participe à toutes les variations d'énergie de gyration qui caractérisent la quantité de chaleur ou d'énergie renfermée dans l'élément atome. Cela étant, si nous concevons un cristal comme étant formé par des fibres atomiques orientées, l’une des extrémités axiales correspondra à la polarité positive, l’autre à la polarité négative. Cette polarité s’accentuera avec la température, c'est-à-dire avec l'accroissement de l'énergie gyrostatique. Si, la température étant parvenue à une certaine limite, nous neutralisons la fibre par induction électro-statique en approchant un conducteur par exemple, nous lui enlevons l'énergie d'orien- tation qui lui avait été communiquée par un accroissement de température, et la fibre, au lieu d’être ramenée par refroidis- sement à son point de départ, subira l'orientation inverse. C'est bien la fibre axiale qui entre en jeu dans les diélec- triques, ainsi que nous l'avons vu précédemment; car il serait impossible de concevoir autrement des polarités inverses aux deux extrémités d’un axe cristallographique. Remarquons la différence fondamentale qui existe entre le magnétisme et l'électricité si l’on se place au point de vue de l'orientation des éléments. ( 80 ) Si nous approchons un barreau de fer b (fig. 47) d’un aimant A, par exemple, nous développerons les polarités indi- Fig. 41. quées, et le pôle p se conservera, même après l'avoir mis en contact avee une masse de fer de volume illimité. Si, au contraire, nous approchons un conducteur À d’un conducteur B (fig. 48), les choses se passeront autrement, car si B << e É + PPS CRE) C A à Fig. 48 nous mettons le pôle b en communication avec une masse conductrice de volume illimité, puis si nous enlevons cette masse, l'extrémité b aura perdu toute polarité. Il résulte de ceci que, contrairement à ce qui se passe pour l'aimant, le travail résultant de l'attraction et du rapprochement de c et de e n’est pas seulement employé à orienter les éléments, mais en même temps à les séparer de la matière, à dématéria- liser celle-ci, suivant l’expression très juste du D' Gustave le Bon. Lorsque nous aurons enlevé cet élément b, il n'existera plus de travail disponible pour en dématérialiser un autre, et toute manifestation électrique disparait, bien que la force d'orientation soit toujours présente. Au lieu d'employer à la dématérialisation le travail corres- pondant au rapprochement de c et de e, nous obtiendrons exactement les mêmes résultats dans un cristal où l'orientation existe, de même que dans le système ci-dessus, en utilisant le travail correspondant à une variation de température, lequel déterminera une variation d'énergie gyrostatique comparable (#1) à celle qui se développe à la surface de A, si l’on vient à faire varier la distance de A à B, la libération de l'ion s’exécutant du reste de la même manière. Il est inutile de dire que le rapprochement des conducteurs correspond à l'élévation de température, que l’écartement corres- pond au refroidissement. En réalité, chaque fois que nous déchargeons un conducteur électrisé par influence, nous lui enlevons une certaine quantité de sa substance, quantité qui est comparable à celle qui s’élimine par radioactivité. L'expérience de Volpicelli, seule, devrait suflire pour nous convaincre de la réalité de cette proposition, que l'électricité, de même que le magnétisme, est déterminée par une orientation d'éléments. Ce physicien, en déterminant des frictions dans un sens unique, sur un cylindre en cuivre recouvert de résine, à l’aide d’un anneau en cuivre, est parvenu à établir des pôles électriques de noms contraires, analogues à ceux de l’aimant. Ne voyons-nous pas là l’analogue incontestable de ce qui se passe dans l'outil d'acier qui s'aimante par suite de la frietion déterminée dans le même sens par le métal qu'il attaque ? Faisons encore cette remarque importante, qu'il résulte de ce que nous avons dit, notamment dans le chapitre des gaz, que le magnétisme est une propriété atomique et non une propriété moléculaire. Lorsque Île fer atteint la température de semi-fusion à laquelle il se laisse forger tout en perdant ses propriétés magnétiques, il n’éprouve pas seulement une modification dans le mode de groupement de ses fibres gyrostatiques, mais la fibre atomique est elle-même modifiée, l'orientation ionique cesse d'être à peu près la même dans les deux sens. Il en est nécessairement de même lorsque nous voyons le magnétisme se modifier avec la température, et cela de façons très différentes, avec la substance que l’on considère. Combien la conception de l'atome doit-elle être différente de celle du petit corps dur inerte des chimistes ! Lorsqu’il s’agit de corps conducteurs, il est également facile de concevoir la production de courants dus à l’action de la (82) chaleur, mais l'établissement de ceux-ci ne peut plus se conce- voir par la considération de la fibre axiale, mais bien par celle des fibres iodynamiques qui caractérisent les conducteurs. Ainsi que nous l'avons vu, les courants électro-thcrmiques diri- gés en tous sens et qui président à l'établissement de l’équilibre de température, dans les conducteurs, ainsi qu’à la conduction de la chaleur par induction électro-magnétique, due à l’oscillation calorifique des ions, sont représentés par l’image (fig. 49). Les isothermes sont les lignes d’égale intensité de courants. est 43,4 Da | LE 1 (C0 aa 1e QE KA ne : Fig. 49. Fig. 50. Ainsi que nous l'avons dit et ainsi que l'expérience le confirme, la conductibilité électrique et la conductibilité calorifique sont des grandeurs proportionnelles. Il est facile de voir, d’après la figure 50, comment un courant thermo-électrique s'établit entre un corps électro-positif À et un corps électro-négatif B. L'un des courants, celui de droite, est rompu. Mais il ne suffit pas, pour que ce résultat soit obtenu, que le corps soit électro-positif et électro-négatif, il importe également que les axes des molécules solidogéniques se disposent normale- ment à la direction du courant, c’est-à-dire parallèlement à la surface. Si l'inverse a lieu, on constatera les actions de contact (85 ) électrostatiques (pyro-électricité dans les cristaux). Il faut aussi que la forme des ions permette une adaptation convenable. Supposons maintenant que l’on mette un deuxième métal en contact avec le premier (fig. 50), il est électro-négatif, cu tout au moins moins électro-positif. Nous voyons, d’après la figure, que, dans ce cas, les projections ioniques positives se raccordent avec les projections icniques négatives, d’où résulteront les conséquences suivantes : {° il s’établira un courant gyrostatique d'éther passant d'un métal à l'autre; 2 l'intensité de ce courant sera régie par celui des deux métaux dont l'ion possède la plus grande force électromotrice; 5° la neutralisation se produira par induction électrostatique à chaque instant, au point de soudure, par cela que les ions & et $ sont doués de mouvements dirigés en sens contraire; 4° puisque la température définit l'intensité du mouvement gyrostatique qui détermine le courant, celui-ci sera d'autant plus intense, la force motrice d'autant plus grande que la température sera plus élevée; 5° s7 rien ne se modifie dans l’arrangement des atomes ou dans l’arrangement des ions dans l'atome, l'intensité du courant ceroitra propor- tionnellement à l'accroissement de température de la soudure ou de l'énergie gyrostatique; 6° si nous dirigions artificiellement un courant en sens contraire du courant ainsi naturellement établi, nous diminuerions l'intensité de ce courant et, par conséquent, l'intensité du mouvement gyrostatique qui lui correspond, d’où abaissement de température (effet Peltier). Supposons que l'on fasse agir l’aimant sur une substance parcourue par un courant (phénomène de Hall) de telle manière que la direction du courant soit normale aux lignes de force, les éléments tourbillons se disposeront parallèlement au plan ab (fig. 50), que la substance soit magnétique ou diamagnétique, et, de plus, les lignes équipotentielles du courant seront déviées dans le sens prévu par la figure 51. Le sens du courant atomique est indiqué par l'orientation des ions ; il est parallèle ou de sens contraire au courant aimant A, suivant que la substance est magnétique ou diamagnétique. Les flèches / indiquent le sens de la rotation des tourbillons atomes. (84) Elles indiquent donc le sens de la déviation de la projection ou du courant ionique. nes Driameagr edt que FN 2) électro - négatif. LA, Magnelique 1e DS electro - posibf. . (a) Va AU Dramagrelique , À electro - -posthf. \, 7 Le D) dr electro - régal}. Sd Fig. 51 Nous voyons donc que sous l’action gyrostatique de l’aimant, la ligne de courant ab subit une rotation, « par exemple (fig. 52). Mais, ainsi que nous l'avons dit, alors même que l’on n’établit pas artificiellement une différence de ET potentiel entre deux points du métal, ie . celui-ci est pareouru en tous sens par 'p #37 les courants qui définissent la tempéra- , ture, et une ligne d'égale intensité de courant, de même que pour le courant artificiel ou de sens déterminé, correspond à une ligne isotherme. F 7 Nous voyons donc que si nous déter- SE RETIRE minons un flux de chaleur F normale- À ere ment aux lignes de force, les isothermes subiront la même déviation que les lignes FE équipotentielles (le Duc) (fig. 53). En même temps que les déviations que nous venons d'indiquer, (85) on remarque un accroissement de résistance électrique et une diminution de conductibilité calorifique. Fig. 53. Par suite de l'action de l’aimant, les chaînes ioniques tendent à s'enrouler autour de l’atome (fig. 54). Nous voyons ce phénomène se manifester d’une manière tangible lorsque nous enroulons autour d'une ligne de force magnétique la chaine ionique qui constitue le rayon cathodique. On sait que si l’on accentue l'intensité du champ, le tourbillon ionique se transforme en une série de fibres gyrostatiques déliées dont le nombre est proportionnel à l'intensité du champ et qui fournissent l’image parfaite et agrandie de la fibre atomique. Remarquons que si l'intensité du champ magnétique devenait suffisante, les chaines ioniques finiraient par s’enrouler autour de leurs atomes respectifs, a et b se raccorderaient et à partir de ce moment nous réalisons l’image de la substance aniodynamique non conductrice de l'électricité. Ainsi que nous l'avons vo, la conductibilité calorifique est alors due à l'induction axiale beaucoup plus faible, et l’on cesse de constater un rapport entre la conductibilité calorifique et la conductibilité électrique des ( 86 ) corps mauvais conducteurs, preuve de l'existence de deux modes de propagation. . C'est encore la matière à l'état solide qui va nous permettre de vérifier cette proposition du premier chapitre, d’après laquelle le phénomène de la phosphorescence préside à la genèse de la matière. Dans un remarquable travail, le D' Gustave le Bon a résumé et complété, par des expériences nouvelles, l'état de nos con- naissances sur le phénomène de la phosphorescence. Comme il le fait remarquer à juste titre, cette manifestation, qui semblait exceptionnelle, se montre de plus en plus comme une manifes- tation générale de la matière. Cette conclusion est l’analogue de celle qui concerne la radioactivité; là encore le D’ Gustave le Bon et nous-mème sommes arrivés par des voies différentes et à peu près simultanément à la même conclusion. I! résulte des considérations que nous avons développées anté- rieurement, que si l’atome est représenté par un tourbillon, constitué lui-même par les ions ou dynamides bipôles, la destruc- tion de ces tourbillons atomes avec émissions d'ions bipôles doit se faire avec dégagement de chaleur. Ces émissions constituent les rayons « ou B, suivant l'orientation des ions projetés. Cette hypothèse étant admise, nous voyons comment la matière se détruit pour passer à l’état radiant ou infra-électrique. Les corps incandescents, l'aigrette électrique, etc., sont le siège de cette manifestation; ils déchargent les corps électrisés et ne diffèrent des corps radioactifs que par la vitesse de projection ou la force de pénétration des ions libérés. Mais si les physiciens se sont beaucoup préoccupés des phé- nomènes radioactifs et de leurs congénères que nous venons d'indiquer, et qui correspondent à la destruction de l’atome tour- billon matériel, ils semblent s'être moins préoccupés des phéno- mènes inverses qui accompagneraient la formation, la genèse de Patome. Or nous croyons pouvoir dire que si les phénomènes dits radioacufs et leurs congénères président à la destruction de l'atome, le phénomène de la phosphorescence préside à sa genèse. (87) La condition fondamentale pour que l'on puisse observer des phénomènes radioactifs ou de phosphorescence est qu'il existe, dans le milieu observé, des ions à l’état de liberté; c’est la raison pour laquelle ces deux ordres de phénomènes s’observent dans des conditions analogues. Le radium est phosphorescent et radioactif. Cependant, en y regardant de plus près, nous avons constaté un fait qui nous a vivement frappé à l'époque où nous l'avons observé, mais dont la cause nous échappait alors : Si l'on approche d'un électroscope chargé une source mettant des ions en liberté, telle qu’une flamme de Bunsen ou une étincelle jail- lissant entre une électrode de platine et de l’eau, on constate que la décharge est très rapide. Mais si nous développons dans ces sources le phénomène de la phosphorescence en introduisant un sel alcalin, par exemple, dans la flamme ou dans l’eau à la surface de laquelle jaillit l’étincelle, le phénomène radioactif est à peu près complètement enrayé, l’électroscope se décharge faiblement (1). Les manifestations de radioactivité et de phosphorescence sont donc complémentaires. Lorsque l'ion s'échappe de l'atome tour- billon, il dégage de la chaleur; au contraire, lorsque l'ion pénètre dans le tourbillon atomique, pour le régénérer, il émet de la lumière froide, non de la chaleur, car le phénomène est accompagné d’une absorption d'énergie. I n’y a pas acroisse- ment du mouvement gyratoire de l'élément qui reçoit la vibra- tion. On sait que cette lumière, concentrée au foyer d'une forte lentille, ne détermine aucune élévation de température, ainsi que le montre le D’ Gustave le Bon. Si nous exposons une substance à des vibrations suffisam- ment rapides, celles-ci auront pour effet de mettre en liberté un certain nombre d'ions. Cela étant, deux cas pourront se présen- ter : ou bien ces ions seront définitivement libérés, s'échappe- ront du milieu matériel en rendant les gaz conducteurs, ainsi que le D° Gustave le Bon l’a montré pour un grand nombre de (1) Bull. de l’Acad. roy. de Belgique (Classe des sciences), p. 149, 1900. ( 88 ) métaux; ou bien les ions libérés tendront à rentrer dans le tour- billon atome dont ils ont été expulsés. Or ce serait cette dernière circonstance qui serait accompagnée du phénomène de phosphorescence avec absorption de chaleur. Les vibrations lentes tendent à reconstituer l’atome, mettent rapidement fin à ce phénomène de reconstitution en l'activant momentanément. Le sulfure de ealeium montre très nettement ce phénomène; le sulfure de zine à phosphorescence verte manifeste le même phénomène, mais avec cette différence, que l'extinetion produite par les grandes longueurs d'onde est instantanée ; il y a donc de plus pour cette substance amortisse- ment des vibrations rapides par les vibrations lentes. Le nombre d'ions libres entrainés par l’action centripète dans le tourbillon atome sera d’autant plus grand que la vitesse de gyration sera plus grande, que la température sera plus élevée. Chaque élévation de température détermine done labsorption d’un certain nombre d'ions, augmente le vide ionique de l'espace ambiant. Le degré de vide ionique correspondant à une température donnée étant réalisé, la phosphorescence prend fin pour reprendre à une température plus élevée. Les actions centrifuges du tourbillon tendent à développer la radioactivité, les actions centripêtes, la phosphorescence. Si nous examinons de plus près l’image que nous nous faisons de la matière, nous voyons que les oscillations rapides tendent à produire l’action pulsante de Bjerckness et la répul- sion qui en est la conséquence, alors que les grandes longueurs d'onde tendent plutôt à produire une espèce de lissage, qui oriente tous les éléments dans un sens déterminé, de manière à favoriser l’action réciproque des pôles de noms contraires, la production de la fibre ionique. En résumé, des oscillations très longues, correspondant à des températures très basses ou même ne correspondant plus à de la chaleur, peuvent déterminer la luminescence dans un milieu ren- fermant des ions à l’état de liberté, et, mieux encore, le courant continu qui correspond à une oscillation dont la durée est infinie. ( 89 ) La température constitue donc un facteur indépendant de la luminescence. Le D' Gustave le Bon a montré qu’un écran placé dans l'air liquide soumis à des radiations à oscillations rapides devenait luminescent, lorsqu'on le retirait, sous l'influence des oscillations calorifiques ambiantes. Un gaz à très basse pression renferme des ions libres ; lorsque le courant passe, il devient luminescent. Les ions qui président au phénomène de la phosphorescence sont les ions «, orientés négativement ou positivement au moment où ils pénètrent NX dans le tourbillon atomique A (fig. 55). LA È Ÿ Les nébuleuses nous présentent sur 24 B a une vaste échelle la phosphorescence pré- °% A sidant à la genèse des mondes. La « EK Le phénomène de la fluorescence est id <— d identique au phénomène de la phospho- à rescence, avec celte seule différence quele Fig. 55. nombre d'ions émis par l’atome est égal au nombre d'ions qui le reconstituent. Dans ces conditions, le phénomène cesse au moment où la lumière cesse d'agir. Il est du reste aisé de concevoir qu'il puisse en ètre ainsi, si l’action dissociante des petites longueurs d'onde compense la tendance à la reconstitution. Si les grandes longueurs d'onde sont supprimées, si nous dirigeons par exemple sur la substance un faisceau de rayons ultra-violets, nous assistons à une véritable phosphorescence. Les raies brillantes des spectres fournis par les gaz sont dues aux ions « environnant l'atome et tournoyant autour de celui-ci. Ce sont ces ions également qui déterminent l'absorption sélective correspondante. Si la production de la phosphorescence ne nécessite pas la pré- sence d'une haute température, mais simplement l'action de grandes longueurs d'onde qui peuvent même ne plus correspor- dre à la manifestation calorifique, il en est autrement du phénc- mène de l'incandescence, qui est dù aux vibrations des ions £ ( 90 ) faisant partie de l'atome lui-même (fig. 55). En résumé, l'incan- descence est déterminée par la vibration des chaines ioniques, alors que la phosphorescence est déterminée par la vibration d'ions libres. Les gaz ne deviennent pas incandescents, où tout au moins très faiblement, lorsqu'ils émettent de la lumière, c’est toujours par phosphorescence. Lorsque la température s'élève, les vibrations de longue durée se manifestent d’abord, puis à celles-ci s'ajoutent des vibrations de plus en plus courtes. Mais lorsque ces dernières atteignent une certaine rapidité, l’action répulsive due à l'effet Bjerckness se manifeste d’une manière suffisante pour produire le départ d'ions, la radioactivité, la décharge de l’électroscope. Plusieurs physiciens, notamment MM. E. Wiedemann et le D: Gustave le Bon, ont attribué le phénomène de la phospho- rescence à une combinaison chimique. En réalité, s'il en était ainsi, les petites quantités de substances étrangères qui se trou- vent, par exemple, dans le diamant ne tarderaient pas à se combiner définitivement et la pierre perdrait de sa valeur après quelque temps. On ne constate rien de pareil. Si donc de petites quantités de substances étrangères sont nécessaires, elles ont simplement pour résultat de diminuer la stabilité de l'atome. Indépendamment de cette considéra- tion, rien n'empêche du reste d'admettre que des réactions chimiques déterminent la phosphorescence au même titre qu'elles déterminent la radioactivité. Voici comment on peut montrer les actions thermiques développées par la phosphorescence : Si l’on recouvre les boules A et B d'un thermoscope de Leslie dé deux substances ayant des pouvoirs a bsorbants différents (fig. 56), A étant, par exemple, recouverte d’un enduit de craie pilée, et B d’un enduit de noir de fumée, on remarque que si l'appareil est exposé à la Fig. 56. (09/0) radiation solaire ou à la radiation d’une lampe à incandescence, la boule B s'échauffe davantage. La colonne b s’abaisse, la colonne a se relève, et il en est ainsi pendant tout le temps de l'exposition à la radiation : ce caractère est permanent. Supposons maintenant que le noir de fumée soit remplacé par du sulfure de calcium phosphorescent, qui a à peu près le même pouvoir absorbant que la craie. Le phénomène observé sera alors tout différent. Si l’on expose l’appareil à un faisceau de radiations solaires qui renferme de petites longueurs d'onde, on remarque que la colonne b s’abaisse d’abord, comme si le sulfure de calcium avait un pouvoir absorbant plus grand, mais ce phe- nomène n'est pas permanent, et après un quart d'heure environ l'appareil est revenu au zéro. Ainsi se trouve vérifiée la première partie de la théorie. Les petites longueurs d'onde déterminent la sortie d'un certain nombre d'ions de l’atome, lesquels constituent autour de ce der- nier une espèce d'atmosphère phosphorescente. Or, tant que la sortie de ces ions, sous l’action des petites longueurs d'onde, l'emporte sur les rentrées déterminées par les grandes longueurs d'onde, il y a tendance à destruction de l'atome, à désassimila- tion ou à dématérialisation, suivant l'expression du D' Gustave le Bon. Ce phénomène est accompagné d’un dégagement de chaleur, mais ce dégagement cesse de se produire lorsque l’as- similation devient égale à la désassimilation : l'atmosphère ionique phosphorescente est alors saturée. L'appareil étant revenu au zéro, on supprime la radiation solaire et on la remplace par la radiation d’une lampe à incan- descence placée dans le voisinage, et qui n'émet que de grandes longueurs d'onde. On constate alors que la colonne b se relève : il y a production de froid, mais après un quart d'heure environ, l’appareil est revenu au zéro. Les grandes longueurs d'onde déterminent la rentrée des ions phosphorescents dans l’atome : il y a reconstitution de matière, assimilation ou matérialisation, avec absorption d'énergie. Lorsque l'assimilation est achevée, l'appareil revient au zéro. Nous voyons donc l'espèce ou l'atome chimique se comporter (92) à peu près comme l'être doué de vie, qui assimile et désassimile, qui vit et qui meurt suivant les conditions du milieu dans lequel on le place. En mettant sous presse, nous constatons avec satisfaction que MM. Lénard et Klatt, dans leur travail sur la phosphorescence, arrivent exactement à la même conclusion. D'après eux, la phos- phorescence serait due au retour à leurs trajectoires originelles, suivant un mouvement oscillatoire, des charges électriques néga- tives arrachées aux atomes pendant l'excitation. Ceci se traduit dans notre théorie en disant que les ions arrachés à l'atome pendant la période d’excitation y rentrent en vibrant, orientés négativement. Cela se conçoit facilement, mais je me demande quel genre de mouvement les corpuseules négatifs peuvent bien posséder en retournant à l'atome. Dans tous les cas, il doit être conçu d’une manière assez singulière, et la cause de ce mouve- ment est encore plus inexplicable. CHAPITRE V La euh et la fin &Ge la matière. Considérations générales. — L’explosif matière. — Divers procédés de dématérialisation. — Le zéro absolu. Les espèces chimiques dont nous venons de développer la vie, pas plus que les espèces animales, ne peuvent vivre que dans certaines conditions, endéans certaines limites de température. Le froid excessif, de même que l’excessive chaleur, les tue. La pression intervient également pour maintenir ou altérer leur état de santé. Certaines espèces de poissons ne peuvent vivre que sous de très hautes pressions, et meurent si la dépression s’accentue au delà d'une certaine limite. Tel est bien le cas du radium. Cette espèce chimique, née au sein de notre globe sous des pressions formidables, y vivait en parfaite santé. Amenée à la surface, la pression n’est plus suffi- sante pour maintenir ses ions au sein du tourbillon. Aussi voyons-nous ses atomes se désassimiler, éparpillant leurs ions constitutifs dans le milieu ambiant, de manière à donner naissance soit à l’'émanation, à l’état supragazeux qui semble être le résultat du déroulement de l'atome, ou encore aux projections ioniques qui nous fournissent les rayons à« ou B, suivant le sens de l'orientation, et encore des rayons X ou des projections éthérées vibrantes, déterminées par les propulseurs ioniques. En résumé, la désorganisation de l'atome radium serait due à la diminution de pression seule. Étant soumis perpétuellement à cette condition de vie défavorable, ses éléments meurent lentement. Les autres espèces chimiques ne se trouvent généralement pas dans cetle situation, du moins d’une manière aussi prononcée; cependant, beaucoup manifestent des traces d'un état semblable. (94) Il se serait done simplement produit un emmagasinement d’énergie sous la forme matière au sein de notre globe, laquelle se libère à la surface par suite de la variation de pression. Nous voyons que rien n'est là en opposition avec le principe de la conservation de l'énergie. La matière détient emmagasinée de formidables quantités d'énergie. Si 1 gramme de matière venait à se libérer brusque- ment, le résultat obtenu serait tel que les explosifs les plus éner- giques ne sont qu'une faible image de l’explosif matière, ainsi que le fait remarquer le D' Gustave le Bon dans son travail magistral. Cependant, j'ineline à croire qu'il ne sera jamais donné à l'humanité de libérer cette énergie en quantité suffisante pour devenir pratiquement utile. Remarquons, en effet, qu'à moins de découvrir des gisements abondants de radium ou de substances semblables, l'énergie emmagasinée dans un atome stable ne peut sc libérer qu'en dépensant pour cette libération une quantité d'énergie équi- valente. Si nous suivons l'ordre chronologique, remarquons que la radioactivité a été montrée pour la première fois par le Dr Gus- tave le Bon en dirigeant sur des métaux (plus particulièrement l'aluminium) un faisceau de rayons lumineux. L'intensité du phénomëne est trop faible pour montrer la quantité de chaleur développée, mais elle existe certainement, de même que pour le radium, mais avec cette différence fonda- mentale qu’il a fallu dépenser une quantité d'énergie équiva- lente pour sa libération. Nous pouvons concevoir deux procédés de dématérialisation : 1° Les procédés qui comportent une dépense de travail équi- valente à la quantité d'énergie libérée par voie de dématériali- sation. Dans ces conditions, il n’y a pas de contradiction apparente entre le principe de la conservation de l'énergie et ce que l’on observe; 2 Les procédés qui, en établissant un déséquilibre atomique permanent, donnent l'illusion d'une création d'énergie. Le radium en fournit l'exemple le plus frappant. (95) Les deux procédés libèrent done une certaine quantité d'ions. Cela étant, deux cas pourront se présenter : 1° Les ions seront orientés dans le même sens, et dans ces conditions se manifestera l'apparence électrique; 9 Les ions sont indifféremment orientés dans tous les sens, et alors se produiront les manifestations infra-électriques; 5° Les projections des ions orientés dans un sens ou dans l’autre constituent les rayons «& et B déviables par l'aimant. Examinons d’abord les sources d'énergie spontanée résultant de l’absence d'équilibre atomique. La fibre atomique s'étant formée au sein des corps célestes, dans certaines conditions de température et de pression, l'état d'équilibre peut être rompu si ces conditions viennent à varier. Les substances radioactives de poids atomique considérables, formées vraisemblablement au sein de notre planète, voient leur atome se désagréger spontanément sous la pression négligeable de notre atmosphère. Un deuxième cas, tout aussi intéressant, qui semble ne pas avoir attiré l'attention des physiciens, est celui présenté par tous les corps incandescents. Sous les pressions négligeables que nous supportons, tous les corps se dématérialisent déjà considérablement à partir du rouge. Ils émettent déjà des flots d’infra- électricité qui permettent de réaliser nos figures géométriques de projection (!), même plus rapidement qu’à l’aide des substances radioactives dont les pro- jections sont orientées. Il semble done qu'un corps à haute température, de même que ces dernières substances, doit dégager de la chaleur spon- tanément. Un corps incandescent se trouverait, en réalité, à une température supérieure à celle que l’on observerait si ce phéno- mène nentrait pas en jeu. Les très hautes températures détermineraient done la production de quantités de chaleur pra- tiquement gratuites, et 1] est tout à fait inutile d’avoir recours au radium pour expliquer la conservation de la chaleur solaire, tous (1) Prodrome de la théorie mécanique de l’électricité, p. T6. ( 96 ) les corps se comportant de la même manière à une température suffisamment élevée. Donc sans dépense de travail ou sans production d'une variation ou d’une chute de température, nous trouvons de l'énergie libre. Examinons maintenant le cas inverse, où l’on ne récolte jamais que la quantité d'énergie dépensée sous une forme différente. L’atome est en équilibre dynamique; il faut dépenser du tra- vail pour le désorganiser, travail que nous retrouverons en quan- tité équivalente sous la forme électrique. Les procédés employés sont les procédés d'éleetrisation, mais qui tous utilisent le travail dépensé à produire une variation de l'énergie gyrostatique des chaînes ioniques. Ces effets se réaliseront, par exemple, par frottement ou par simple contact; les corps en présence se communiquent alors réciproquement des vitesses gyrostatiques différentes de celles qui correspondent à l'état normal à une température donnée. L'énergie gyrostatique des ions cesse d'être homogène. Par simple influence, ainsi que nous l’avons vu plus haut, le travail emmagasiné par la chute de A vers B (fig. 57) a eu pour B __< e £ + + um (e ZX à Fig. 57. conséquence de libérer, de dématérialiser l'ion b. Inversement, si nous enlevons, si nous utilisons l'énergie b et si nous écartons A, nous dépenserons une deuxième somme de travail, égale à la première et qui aura pour résultat de dématérialiser c, de rendre son énergie libre. Les énergies ainsi libérées seront donc de signes contraires. Le même résultat sera évidemment obtenu sans modifier les distances ; si nous développons l'énergie de gyration en B, b sera libéré. (97) Demandons-nous maintenant quels sont les moyens que l’on peut mettre en œuvre pour accroître l'énergie de gyration. Nous avons Vu que pour un corps donné, ayant une faculté vibratoire ou de dissiper l'énergie, déterminée, la température croit avec l'énergie gyrostatique. Donc nous pourrons réaliser les phénomènes que nous venons d'indiquer et relatifs à l'influence à l’aide d’une simple variation de température. [l suffira pour cela de faire usage d’une sub- stance dont les ions sont tt 08 LR est ; orientés, c'est-à-dire d'un < + cristal ; l importe également HT APCE où EE ——— — que la substance soit non À conductrice, afin de réaliser le phénomène d'influence. L’accroissement d'énergie gyrostatique a ter h #3 a libération des ions b, b! A (fig. 58). L'abaissement de tempé- rature déterminera la libération des ions orientés en sens contraire b, b;. D'après cette figure, les choses se passent comme si nous avions diminué le caractère positif de B (fig. 57). Ce mécanisme semble, du reste, étroitement lié à la capacité diélectrique. En effet, concevons un conducteur A électrisé, par Fig. 58. exemple, positivement et électrisant le conducteur A’ par influence, par l'intermédiaire du diélectrique D (fig. 59). Or, si nous élevons la température de D et si nous suppo- sons À’ préalablement déchargé, ce conducteur acquerra une 4 ( 98 ) nouvelle charge par suite de la diminution de capacité de D, résultant de l'élévation de température. Et si nous nous rapportons à l'expérience faite à l’aide du cristal, qui est, en réalité, identique, nous voyons que, toutes choses étant égales, la diminution de capacité correspond à un accroissement d'énergie gyrostatique. Le refroidissement donnera lieu à l'effet inverse. Dans l’expérience que nous venons d'indiquer, il faut consi- dérer deux phases. Une première phase, qui s’observe lorsque A s'approche de B (fig. 57). Le travail emmagasiné par le rapprochement de A et de B est employé à libérer, à dématérialiser les ions b et c et à les orienter. Mais il n’y a pas eu courant (du moins tel qu'il se produit dans les conducteurs, ainsi que l’affirme Maxwel) et l'expérience vérifie ce que nous disons : il n’y a pas d'action électro-magné- tique. | Les ions sont done maintenant libérés ; nous avons bien trans- mis la polarité e disponible au travers d'un diélectrique en b. Mais cela ne serait d'aucune utilité, si nous ne pouvions déta- cher ces ions libérés de la surface matérielle à laquelle ils ont, en réalité, cessé d’appartenir. Il y aura courant si nous appro- chons A de B; e et c, se précipitant l’un vers l’autre, se neutra- liseront par induction électrostatique (le courant de l’étincelle suit généralement une spire hélicoïdale). Les éléments iodynamiques d'un conducteur joueront le même rôle si l’on relie e et c. Lors du passage du courant en pleine matière, les choses se passent d'une manière analogue; aussi les ions détachés de l'atome et en restant séparés après le passage du courant, mani- festent-ils des phénomènes radioactifs. Concluons que sans l'induction électrostatique, l'énergie élec- trique ne saurait être libérée. Nous venons d'interpréter les phénomènes qui produisent ce que nous pourrions dénommer dématérialisation lente. Des quan- tités infinitésimales de la phase substantielle malière se trans- forment en déterminant une phase substantielle supérieure, la phase chaotique ou infra-électrique. ( 99 ) Cependant qu'adviendrait-il si une quantité considérable de substance appartenant à la phase matière passait brusquement à la phase chaotique, abandonnant, par conséquent, ainsi brusque- ment les quantités formidables d'énergie que comporte la phase matière, ainsi que nous l'avons vu dans le chapitre I‘? La matière prendrait alors instantanément les propriétés de l'éclair, l'énergie développée se propagerait avec une vitesse comparable à celle de la lumière, et l’espace occupé par le corps matériel, après s'être prodigieusement dilaté, ne renfermerait plus que la sub- stance à l’état chaotique ou nébulaire. L'énergie emmagasinée dans la matière s'est dissipée en un temps très court et a pro- duit l'apparence de l'étoile nouvelle, laquelle n’a pas tardé à faire place à une nébuleuse de dimensions très étendues. Il est aisé de se rendre compte de la cause de cette brusque dématérialisation. En effet, les éléments substantiels fonctionnent comme un mécanisme d'une précision admirable, sans frotte- ment; tous les éléments sont parcourus par des courants cireu- laires dont les oscillations synchrones n’ont d’autre but que de maintenir les éléments ioniques à distance les uns des autres. Mais qu'adviendrait-il si les pulsations venaient à s'arrêter par suite de l’abaissement de température, ou même si, à une température élevée, la pression devenait suffisante pour amener le contact ou le grippement des ions? L'équilibre dynamique du mécanisme matériel serait rompu, et comme nous l'avons vu, la mise en liberté de l'énergie corres- pondant à la phase matérielle serait instantanée. Or, c'est là précisément ce qui se produit dans l'étoile nou- velle. Celle-ci possède une grande masse, d’où pressions énormes dont l'effet néfaste est équilibré par une température élevée. Mais il arrivera un moment où la perte de chaleur sera suff- sante pour amener le contact ionique et l'explosion finale. Poursuivons encore quelque peu cette étude. L'un des caractères les plus intéressants de l’évolution des sciences physiques se trouve dans ce fait que les deux méthodes qui se montrent antagonistes, la méthode analytique et la méthode synthétique, arrivent par des procédés bien différents à la même conclusion. ( 400 ) Les considérations émises concernant le zéro absolu présentent sous ce rapport le plus vif intérêt. Nous allons résumer succes- sivement les conclusions analystes et les conclusions synthetistes. Le zéro absolu ne peut avoir aucune existence réelle; telle est la conclusion à laquelle sont conduits plusieurs savants de l’école analyste, parmi lesquels nous citerons MM. Pellat, Lipp- manp, Ariès et Witz. La démonstration la plus simple, qui est due à M. Ariès, est d’une rigueur absolue : « En poursuivant le tracé des cycles . » jusqu’au Zéro absolu, nous trouverons finalement une portion » d’isotherme sur laquelle la chaleur absorbée devient nulle. » L'isotherme du zéro absolu représente done une opération » faite sans variation de chaleur : c’est une adiabatique. Les » adiabatiques tendent, en s’approchant du zéro absolu, vers » l’isotherme limite de ce zéro absolu. » M. Witz nous donne également une élégante démonstration : « Le rendement du cycle de Cornot est égal à _. quotient » de la chute de température par la température du foyer. Or » si T, devenait égal à zéro, le rendement serait égal à l’unité, » quelle que füt la valeur de T;, c'est-à-dire quelle que fût la » chute de température, ce qui ne peut être admis (1). » Telle est la conclusion qui aurait sans doute découragé les synthétistes, à la tête desquels se trouvent Bernouilli, Krônig, Clausius, Maxwell et d’autres, s'ils n'avaient eu conscience que le processus synthétique des sciences physiques diffère totale- ment du processus analyste. Un gaz est formé d'éléments ou molécules en mouvement; ce sont les chocs de ces molécules qui déterminent la pression. Si nous diminuons la température, les chocs diminuent, et, finale- ment, si la vitesse des éléments devient nulle, les chocs et la pression disparaissent, les éléments s'accumulent sans mouvement les uns sur les autres, {a matière est morte, le zéro absolu est atteint. Cette conception représente un exemple des plus intéressants d’un stade du mouvement évolutif de la synthèse. (2) Revue des questions scientifiques, 1904. (101 ) Si l’analyste entre de plain-pied dans la vérité, il en est tout autrement du synthétiste. Aussi n'éludera-t-il pas le sourire de son confrère analyste. Mais il est à remarquer que le synthétiste recherche des vérités d'un autre ordre. De plus, celles-ci apparaîtront progressivement et non tout d’une pièce. Une théorie synthétiste ne sera jamais parfaite; car, pour qu’il en puisse être ainsi, nous devrions pouvoir scruter les profondeurs insondables de la substance, ce qui est irréalisable, C'est ici le lieu de citer une parole remarquablement juste de M. Lévy-Bruhl (1) : « En science, la vérité n’est pas, mais elle se fait constamment de plus en plus complète, de plus en plus exacte ». L'analyse mathématique seule peut prétendre connaître la vérité avec rigueur. Mais à partir du moment où, contraire- ment à l'opinion de M. Lévy-Bruhl, on voudra introduire uni- quement cet esprit dans la science de la nature, il nous conduira à la stérilité la plus complète. Mais s’il en est ainsi, nous pourrons du moins nous rappro- cher indéfiniment de la vérité sans jamais l’atteindre complète- ment, ce à quoi l'analyste ne se résignera jamais : il préfère abandonner la partie si la lumière n’est pas complète. Les synthétistes n’ont voulu, en créant la théorie des gaz, qu’interpréter une seule manifestation de l'énergie, l'énergie calorifique. Hs n'ont nullement songé à interpréter les manifesta- tions électriques et magnétiques. C’est une des raisons pour lesquelles cette théorie est incomplète et doit nécessairement conduire à des discordances. De même qu'une théorie tenant compte de ces dernières manifestations sera encore incomplète parce qu’elle ne tient pas compte du phénomène de la vie et d’autres phénomènes qui nous sont probablement cachés. En tenant compte des phénomènes magnétiques et élec- triques, le nombre des conséquences inadmissibles, s’il n’est pas nul, sera tout au moins diminué. Nous nous serons rapprochés davantage de la vérité que nous ne pourrons jamais atteindre, La notion de l'atome tourbillon, jointe à la conception de l’ion (:) La morale et la science des mœurs, Paris, 1904. (102) dissymétrique aspirant et foulant (!), permet déjà de se repré- senter, dans leurs grandes lignes, les phénomènes électriques et magnétiques, et de concevoir la liaison qui unit ceux-ei aux phé- nomènes calorifiques. Le zéro absolu, ainsi que nous l'avons vu, serait la température à laquelle tout mouvement vibratoire serait supprimé, et par conséquent tout mode d'embrayage ou de transmission de l'énergie; il doit done se définir, ainsi que nous l’avons admis, comme étant la température à partir de laquelle l'énergie de mou- vement (de gyration) de la matière devient constante, et non pas nulle. Demandons-nous, en concevant ce mécanisme, si une sem- blable température peut être atteinte, ou mieux, si à celle lempé- rature la matière fonctionnerait encore suivant les lois simples que nous connaissons et prévues par ia thermodynamique. L'analyste conclut avec raison à une absurdité. Le synthétiste doit conclure à un état d'équilibre impossible, à la destruction de la matière. En effet, comme nous l'avons dit, si petite que soit la distance qui sépare les tourbillons, si faible que soit la tempéra- ture, les tourbillons fonctionneront sans frottement, sans perte d'énergie. Mais s’il en était autrement, si les tourbillons entraient en contact réel, les frottements réciproques détermineraient la destruction du tourbillon, la destruction de l'atome, avec mise en liberté d'une formidable quantité d'énergie. Le zéro absolu est donc incompatible avec l'existence de la matière. L'analyse et la synthèse aboutissent au même résultat par des chemins bien différents. Il est impossible de nier l’existence d’une énergie que la matière posséderait encore au zéro absolu s’il était réalisable. L'aimant subsiste aux plus basses températures. Si l'on soumet un rayon cathodique à un champ magnétique, le premier s’en- roule avec dépense continuelle d’énergie, émise par l’aimant. On ne peut admettre cependant que celui-ci en renferme en quantité infinie, et cependant ce réservoir d'énergie parait inépuisable. (1) Bull. de l’Acad. roy. de Belgique (Classe des sciences), n° 9, p. 438, 4902. ( 103 ) L'élément matériel se comporte done comme un volant qui tour- nerait dans un fluide tourbillonnant, sa masse et sa vitesse lui permettent d'accumuler une énorme quantité d'énergie, laquelle lui est constamment restituée par le milieu ambiant si elle tend à diminuer par suite d’une dépense quelconque. Si la quantité d'énergie inhérente à la substance matérielle vient à se dissiper, la matière cesse d'exister, et nous voyons apparaitre des phénomènes électriques et radioactifs. Ces sym- ptômes de destruction de la matière se manifestent de préférence aux températures les plus élevées et aux températures les plus basses, c'est-à-dire aux limites de son existence possible. Si, par suite de l'existence de très basses températures et de pressions formidables qui se manifestent au sein des astres, l’état équiva- lent à celui du zéro absolu se réalise, la matière passe brusque- ment à l’état chaotique, radiant ou infra-électrique. Les ions sont séparés les uns des autres, projetés avec la vitesse de la lumière ; l'atome matériel est détruit. Nous voyons apparaitre l'étoile nouvelle (1), avec formidable émission d'énergie, éclair gigan- tesque que l'imagination se refuse à concevoir, et production de corps à l'état fragmentaire, de météorites. La nébuleuse apparait, les ions reprennent lentement au milieu ambiant l'énergie néces- saire à la reconstitution de la matière, un nouveau soleil se pro- duit. L’entropie de l'univers ne tend pas vers une limite, elle est constante. La substance parcourt depuis l'infini des temps un eyele fermé et le parcourra éternellement. L'énergie ne se dissipe pas, et lorsqu’en un point du ciel nous voyons apparaitre une nébuleuse, nous assistons à la transformation de l'énergie perdue, sous forme de rayonnement, par les corps célestes, en énergie matière. En résumé, la formation nébulaire peut ètre spontanée, ou bien elle peut représenter le résidu d’un monde ayant déjà existé, capable, du reste, de récupérer par le même processus son énergie perdue. (1) Prodrome de la théorie mécanique de l'électricité, p. 143. (104) CHAPITRE VI Conception de la masse et de l'attraction newtonienne. Aux trois phases substantielles physiques correspondent trois modes d’attrac- tion. — Influence de l'orientation sur la grandeur « masse ». — Raison pour laquelle on a été amené à la conception de corpuseules positifs gros. — Raison de l’asymétrie des pôles. — Géotropisme des plantes. Voici comment, dans la théorie que nous proposons, on peut concevoir l'attraction newtonienne ainsi que la masse. Considérons notre spire électro-magné- tique À fournie par l’enroulement de la spire électro-statique a, laquelle est elle- même déterminée par l’enroulement de la fibre d’éther gyrostatique b (fig. 60). Concevons maintenant que ces fibres d’éther gyrostatique, semblables à des cordons élastiques, et émis par tous les corps de l’univers, relient ceux-ci entre eux; telles sont, par exemple, les masses M (fig. 61), montrant l'apparence de cette attraction. Nous voyons, du reste, qu'un corps non soumis à l’action de la pesanteur se com- porte comme s'il était sollicité de toute part par des fils élastiques. Dés lors, la résistance que la matière oppose au mouvement est due à la tension des fibres b, qui la sollicitent. La masse d'un corps sera directement proportion- nelle au nombre de fibres gyrostatiques Re qui sollicitent ce corps. Ceci permet, du reste, de suggérer une expérience. Toutes les observations entreprises sur l'attraction des masses ont été > É 2 > = 2 2 E 2 (s (105 ) réalisées à l’aide de corps isotropes, mais on peut se demander si l’action exercée à distance par des masses cristallines ne dépendrait pas de l'orientation de ces cristaux. Il est donc pos- sible que le nombre de fibres b qui sollicitent la matière ne soit pas le même suivant toutes les directions. Bien qu'il puisse se faire que les fibres d’éther s’infléchissant suivant toutes les direc- tions, par suite de leur faible tension, ne puissent pas nous mon- trer d’une manière sensible l'influence de l'orientation. Mais nous allons voir qu'il peut en être autrement lorsque cette tension devient suffisante. Fig. 61. Ceei nous conduit du reste tout naturellement à la dissy- métrie de la masse des ions, ainsi que cela résulte des recherches de Kaufmann. . Mais si nous appelons tourbillon de premier ordre celui qui préside à l'attraction newtonienne (b), celui qui préside à l'attraction électrostatique (a) sera de deuxième ordre, celui qui correspond à l'attraction électro-magnétique sera de troisième ordre. Aux trois phases substantielles que nous avons été obligé de considérer dans le monde physique (fibre éther, fibre électro- statique, fibre électro-magnétique) correspondent done naturel- lement les trois modes d'attraction que nous connaissons. ( 106 ) Il est aisé de voir que si la résistance au mouvement de l'ion n'est pas la même suivant la direction du mouvement que suivant une direction perpendiculaire, il doit en être ainsi, à for- tiori, si l'on vient à le retourner. Lorsque projeté par l'atome tourbillon il est orienté négativement, le sens du mouvement correspond avec le sens de la propulsion due à la rotation de l'hélice, et l'inverse a lieu lorsque l'orientation est positive. La résistance au mouvement est alors incomparablement plus grande. C’est cette circonstance qui a donné lieu à cette singulière interprétation, que le corpuscule positif est à peu près aussi gros que l’atome! Et puisque l'ion orienté positivement se meut plus lentement que l'ion orienté négativement, il faudra, pour que l'équilibre dynamique du courant s’établisse, pour que la neutra- lisation se produise dans la même proportion aux deux pôles, il faudra un plus grand nombre d'ions à la cathode qu’à l’anode. Telle est la raison de l’asymétrie des pôles. Nous voyons également que la masse de l'ion, c’est-à-dire la résistance au mouvement dans l'éther, dépend de la vitesse. Sous l’action de la pesanteur les ions libres ont une tendance très faible par rapport aux autres actions à s'orienter verticale- ment. C’est vraisemblablement à cette action que l’on doit attri- buer le géotropisme des plantes. Le pôle négatif ou aspirant tend, de plus, à être tourné vers la terre. Il en était déjà ainsi dans la nébuleuse originelle, ainsi que nous l'avons vu. Il en résulterait que l'action newtonienne agit en sens inverse de l’action électrostatique tendant à produire la dématérialisa- tion. APPENDICE APPENDICE PHILOSOPHIQUE Examen des phénomènes analogues que l’on retrouve dans des phases substantielles différentes de celles du monde dit physique. Nous admettons que la théorie que nous venons de déve- lopper est utile en nous plaçant au point de vue du progrès des sciences physiques, pour la seule raison qu’elle nous a permis de classer et de prévoir des faits, de les rendre cohérents. Ces conditions sont suffisantes, et il importe peu que cette théorie soit vraie, fausse ou fantaisiste, comme on voudra. A l'instar d’une courbe reliant les points fournis par l'expé- rience, elle a permis d'en préciser d’autres, par intrapolation. C’est là que s'arrête la mission du physicien. Le domaine de la physique cesse là où commence le domaine de la philosophie. Cette dernière peut se demander si une théorie correspond à une pure fiction ayant simplement servi d'outil au physicien, ou bien si elle correspond à une réalité. Iei la question de sentiment devient pour ainsi dire la note dominante; et si nous admettons que la théorie correspond à la réalité des choses, nous adoptons une croyance. Il est inutile de discuter ici si les croyances sont utiles ou nuisibles à l'humanité. J'incline à croire qu’elles sont plutôt nuisibles, par cela qu’elles déterminent généralement la discorde, mais, d'autre part, elles correspondent à une espèce de besoin de notre nature. Et s’il en est ainsi, la meilleure des croyances sera celle qui dérive de l’observation et qui peut-être préparera la science de l'avenir. Admettons donc un instant comme réelle l'hypothèse que nous venons de faire, et voyons quels sont les résultats que l’on ( 108 ) obtiendrait si, au lieu de se contenter d’une intrapolation, nous effectuions une extrapolation de la courbe représentée par notre théorie. Rappelons que nous avons eu à considérer, dans l'étude des phénomènes physiques, trois substances emboitées les unes dans les autres : 1° la phase matière, qui correspond aux phé- nomènes électro-magnétiques; 2° la phase supramatérielle, qui correspond aux actions électrostatiques ; 5° la phase éther. Remarquons encore qu’une phase substantielle déterminée ne peut avoir d'action que sur la phase immédiatement supé- rieure ou inférieure. Si une phase intermédiaire est absente, toute communication est interrompue entre les phases supé- rieures et inférieures. Et cela pour une raison analogue à celle qui empêche l'induction électro-magnétique de se produire entre deux conducteurs placés normalement les uns aux autres. Adoptons maintenant cette hypothèse, qu'au lieu des trois phases substantielles que nous avons été obligé de considérer pour édifier le monde physique, il puisse en exister un nombre plus grand. Appelons état supraëther celui qui correspond au phénomène de la vie. Nous devrons retrouver dans cette phase de la substance les caractères que nous trouvons dans les phases inférieures, c'est-à-dire deux polarités et des phénomènes attractifs et répul- sifs, la polarilé se traduisant alors dans le mode physiologique par le mot sexualité. Si un observateur non prévenu voyait deux êtres de sexes différents se diriger l’un vers l’autre, il dirait que ces deux êtres s'altirent, et il aurait raison, et cela à tel point qu'en observant de plus près il pourrait même retrouver dans ce mode la loi de l'asymétrie des pôles que nous avons constatée dans l’électro-statique, les actions réciproques relatives au mâle et à la femelle n'étant pas égales. Si nous nous élevons encore dans l'échelle des phases, nous en trouverons de plus raffinés encore, qui ne se rencontrent que chez l’homme et parfois chez les espèces supérieures : elles cor- respondent à l'amour. ( 109 ) L'homme ou la femme peuvent éprouver l’un pour l’autre de l’amour, de même que le chien peut éprouver de l’amour pour son maitre. Ce mode d’attachement est caractérisé par le sentiment d'exclusivisme ou de jalousie, il ne peut s'établir qu'entre être différents, ce qui implique la polarité, mais il est indépendant, contrairement à un préjugé généralement admis, de la sexualité. Bien que ces deux phénomènes se superposent généralement lorsqu'il s’agit d'êtres appartenant à la même espèce et à des sexes différents; il est curieux de remarquer que le chien n'éprouve de l'amour que pour l’homme, il ne parait éprouver que la tendance sexuelle lorsqu'il s’agit de son espèce. L'homme éprouve fréquemment le phénomène sexuel sans amour, et il existe même des sujets chez lesquels ce dernier sentiment parait ne pas exister ; il est généralement plus déve- loppé chez la femme que chez l’homme, à l'inverse du sentiment sexuel. L'asymétrie polaire semble donc ici renversée, le rôle positif ou mâle est ici dévolu à la femme. D'autre part, si à certains égards nous pouvons considérer ce dernier sentiment avec une certaine vénération, il est assez probable que c'est son existence qui détermine dans notre espèce ce que Metchnikoff appelle avec raison les désharmonies qui n’existent pas dans les espèces inférieures. La polarité psychologique entraîne la polarité physiologique au delà du terme qui lui serait normalement dévolu si la pre- mière n'avait pas existé, de même que dans les espèces infé- rieures. | L'amitié trouve plutôt son analogue dans la solubilité, qui s'établit de préférence entre substances analogues. Les phénomènes sexuel et de l’amour que nous venons d’indi- quer sont fondamentaux, car ils président à la loi des attractions et répulsions polaires des phases qui y correspondent. Nous voyons également que si un mode substantiel se trouve étroitement lié à tous les modes immédiatement inférieurs, il ne doit pas nécessairement en être ainsi. La phase vie, par exemple, de même que la phase éther, peut exister en dehors de la matière, (4109 n'y est pas nécessairement unie et y conserve ses aclions réci- proques, que l’on désigne dans cette phase sous le nom de senti- ments ou de tendances. Tout le monde sait jusqu'à quel point notre moral agit sur notre état de santé, sur notre matière vivante. Des expériences entreprises tout dernièrement montrent que la résistance élec- trique de notre corps varie avec notre état d'âme. La perturba- tion produite en nous sur la phase vie ou supravitale par une peine, se traduit par une perturbation de la supramatière, c’est- àa-dire par des ocillations de la résistance électrique. Ces sub- stances d'ordres différents ont donc réagi l’une sur l’autre, ainsi que le feraient une série de chaïnons liés les uns aux autres. La transmission peut du reste, comme on le sait, se faire en sens inverse. L'idée qui consiste à admettre que les phénomènes psychiques sont caractérisés par l'absence de possibilité d'une mesure est fausse, et l’on peut entrevoir la possibilité de la mesure d’une peine ou d’une joie. Si, en effet, ces manifestations influent sur la conductibilité électrique du corps, celle-ci peut permettre la détermination de ces grandeurs au même titre qu'elle peut per- mettre la mesure d’une température. Il eût, du reste, pu paraitre étrange à un ancien philosophe si on lui avait dit que l'on mesurerait le chaud et le froid. Une grandeur physique se mesure par les effets qu'elle produit, et il en est de même des grandeurs psychiques ou physiologiques. Nous pouvons done concevoir des phases substantielles moins énergétiques que la matière et incapables d'entrer en rapport avec cette dernière (phases désignées vulgairement sous le nom d’esprits). De même, il est possible de concevoir des milieux méta-maté- riels plus énergétiques que la matière, que cette dernière ne pourrait pas percevoir si un des chaïnons intermédiaires vient à faire défaut. Il est certainement curieux de remarquer que les anciens phi- losophes hindous aient eu une pareille conception des choses. Chaque groupe substantiel est désigné sous le nom de fativa. (11) Il existerait sept tattvas, et chaque tativa impliquerait lui-même sept substances différentes. L'existence humaine comporterait cinq tattvas; deux tattvas, correspondant à des êtres bien supé- rieurs à nous, existeraient encore. L'intervention du nombre sept nous indique la grande part que l'imagination a prise à celte conception; il n'aurait pu en être autrement, mais, indépendamment de ce détail, nous esti- mons que la base de philosophie est profondément juste. Si nous nous plaçons à un point de vue un peu différent, nous voyons encore la reproduction des mêmes phénomènes dans des phases différentes. Lorsqu'un courant traverse un électrolyte, il tend à le dématérialiser; aux premiers moments, les choses se passent sans difficulté, mais apparaît ensuite le phénomène de la polarisation, qui s'oppose à l'intrusion du courant, elle tend à préserver l'électrolyte. Dans la phase suivante, qui préside au phénomène de la vie, aux phénomènes physiologiques, nous constatons le même phé- nomène, l'adaptation au milieu. Tel poison qui agissait puissam- ment voit ses effets diminuer et même disparaitre avec le temps. Dans la phase substantielle psychologique ou supravitale, ce phénomène prend alors le nom de volonté. Lorsque l'être pen- sant est pris au dépourvu, entrainé par la passion qui joue ici le rôle du courant, il ne tarde pas à subir des détériorations qui se transmettent aux {attvas immédiatement inférieurs. Mais si l’être est bien organisé, il se polarise, résiste à la passion et se pré- serve. S'il est mal organisé, il est condamné à périr. La polarisation électrolytique, l'adaptation au milieu et la volonté sont donc des manifestations équivalentes qui se pro- duisent dans des phases substantielles différentes. Si l’on se place au point de vue physiologique, nous pouvons concevoir notre être comme étant parcouru par des courants développés dans la phase vie. Ces courants se transmettent par le système nerveux. Le cerveau se comporterait comme le régulateur de ces cou- rants, qui sont eux-mêmes influencés par la substance psychique immédiatement supérieure et réciproquement. (112) Le courant se développe d’une manière analogue dans les différentes phases de l’évolution de la substance, il peut se pro- pager d’une manière continue ou d'une manière oscillante, de manière à développer toute la série des oscillations. Lorsque dans le tat{va correspondant à la phase physiologique le courant s'établit, le courant continu correspond à l’absence de sensation, à la léthargie; si, au contraire, nous déterminons des vibrations, la sensation apparaît avec toute la série de ses différences, de ses nuances, dont le développement correspond à un véritable spectre, que nous appellerons spectre physio- logique. La vie dans une phase substantielle différente peut se com- parer au calorifique; ce dernier peut être considéré comme exis- tant à l’état latent pour un corps que l’on suppose sans chaleur; les ions existent à l’état de gyration mais ne vibrent pas (nous avons vu que l'énergie existait mais ne pouvait se transmettre), mais il suflit, pour le voir apparaitre, d'exposer ce corps à une radiation qui fera vibrer ceux-ci et communiquera pour ainsi dire au corps la vie calorijique. De même, des graines conservées pendant des siècles (on en a trouvé dans les tombes égyptiennes) possèdent la phase vie à l’état latent, mais il suffit de lui communiquer la vibration des- tinée à la manifester, à l’aide de l'élément colloïdal que nous avons étudié, afin de voir apparaître la germination ou la vie apparente, la vibration de la phase éther se communiquant à la phase vie, qui appartient à un stade supérieur. Ainsi que nous l'avons vu dans le domaine physique, certaines oscillations (les courtes) produisent la dématérialisation, d’autres, plus longues, amènent la matérialisation. Nous retrouverons de même en physiologie les actions inverses qui correspondent ici à la jouissance et à la douleur. Les jouissances et les douleurs physiologiques produisent, du reste, des impressions très différentes, qui varient avec la lon- gueur d'onde et, vraisemblablement, avec les harmoniques qui s’y superposent. Si nous considérons le {attva qui correspond à l’ordre psycho- (115) logique, nous n'avons qu’à répéter les mêmes considérations. Tout le monde sait jusqu'à quel point les diverses parties du spectre psychologique produisent des sensations différentes. La douleur produite par la perte d’une somme d’argent et par la perte d'une personne aimée, n’est pas du tout la même, Ce n'est pas la même longueur d'onde. Il est aisé maintenant de concevoir la possibilité d’une série de phénomènes auxquels on donne le nom de surnaturels parce qu'on ne les conçoit pas (je ne dis pas comprendre, mot qui implique une connaissance plus approfondie). Nous n'en sommes pas à l'explication, mais à la conception de phénomènes qui paraissent étranges, la télépathie, par exemple, ou télégraphie sans fil, dans le milieu correspondant au tattva psychologique. Apparilions au moment de la mort, ou même du vivant de la personne. Les fibres gyrostatiques correspondant aux tativas psycholo- gique et même physiologique conservent leur forme. Si ces tattvas, étant isolés, parviennent à réagir sur ceux qui lui sont inférieurs, l'enveloppe produite permettra la vision de l'être avec sa forme habituelle. On dit que la sensation peut être physique ou morale. Que l'on ait affaire à la première ou à la seconde, elle ne peut avoir de réalité que grâce à l'existence du tativa vie, de même que la lumière ne peut se produire que grâce à l'existence du tattva éther. L'intensité de la sensation, de même que l'intensité de la lumière, se traduit par l'intensité du mouvement vibratoire; elle sera agréable si les vibrations sont longues, pénible si elles sont courtes. Les sensations physiques et morales sont, sous ce rapport, identiques, mais l’ordre du processus dans la série des taltvas est inverse, Dans la sensation physique le taltva matière éprouve une variation physique ou chimique, perturbation qui s'induit du dehors au dedans en suivant la série des tatvas ascendants, et se communique finalement au tatitva vie. Dans la sensation morale, s (414) la perturbation se produit d’abord dans le tattva vie et, inverse- ment, par inductions successives, peut se transmettre au tattva matière (on dit vulgairement le moral influe sur le physique). Les vibrations dans le tattva vie se transmettent par un méca- nisme comparable à celui des vibrations lumineuses dans le tatitva éther, mais elles sont relativement beaucoup plus lentes. Il faut un temps appréciable, une fraction de seconde, pour qu’une perturbation du mouvement vibratoire dans le tattva vie se transmette au cerveau, lequel semble être le siège d’un tattva d’un ordre plus élevé encore. Chaque phase ou tattva ne peut percevoir les autres tattvas que pour autant qu’il n’y ait pas de discontinuité dans la chaine des phases, ainsi que nous l'avons dit; sinon toute perception dispa- rait. La phase psychologique peut fort bien ne pas percevoir la phase matière si cet état de choses existe, ce qui se traduit dans la philosophie hindoue en disant que l'esprit peut ne pas perce- voir la matière. Concluons donc que c'est la substance qui correspond vraisem- blablement à l’idée que l’on se fait de la divinité qui, en s'assi- milant l'énergie à différents degrés, détermine la succession des phases substantielles perceptibles ou non perceptibles qui constituent l'univers. Tel est le sens que l’on devrait attribuer au mot création, lequel pourrait se traduire par : évolution de l'énergie constante et indestructible dans la substance immuable el éternelle. Ce qu’il nous sera toujours impossible de connaitre, c’est la nature de cette substance, et c'est là que s'arrête le savoir humain. Mais, quoi qu'il en soit, nous remarquerons que nous voilà bien loin de la conception des fluides jusqu'à présent chers aux phy- siciens. | La grande loi du transformisme n’est pas seulement l'apanage des êtres vivants, elle régit toutes choses, tant la nature düte animée que la nature dite inanirnée, tant les espèces chimiques que les espèces animales. C’est la perpétuelle évolution des choses dans le cycle éternel de la nature. (115) CONCLUSION Ainsi qu'on le voit, nous retrouvons dans les différentes phases substantielles des mécanismes analogues; cependant il n'y a pas d'identité et il existe probablement autant de méca- niques qu'il existe de phases. La variation de l'attraction avec la distance existe dans la phase matière, Dans la phase psychique, nous remarquons que l’attraction qui se traduit par le mot « amour » cesse d’être fonction de cette distance, de même dans la phase supramatérielle la masse devient fonction de la vitesse. Cette remarque est importante, car il ne faut pas prétendre ramener dans les théories physiques les principes qui gou- vernent les diverses phases à une seule et même mécanique, celle qui gouverne la matière, alors que ce sont précisément ces principes qu'il faudra déterminer à posteriori. Il faudra donc bien se garder de rejeter immédiatement une théorie pour le seul motif qu’elle comporte des conclusions qui se trouvent en contradiction avec la mécanique matière, mais il faudra plutôt rechercher quels sont les principes des méca- niques qui gouvernent les diverses phases substantielles. En réalité je dois dire qu'une pensée analogue a déjà été admise par plusieurs physiciens. Rappelons que les phénomènes physiques seuls comportent déjà la superposition de trois phases. C’est seulement en permettant à la pensée d'élargir ainsi son domaine, qu'il sera possible de classer et de prévoir des faits qui auraient à tout jamais échappé à notre compréhension. S'il nous était possible d'établir une mécanique transcen- dante embrassant toutes les phases substantielles, la mécanique matière nous apparaiîtrait comme cas particulier de cette méca- nique générale, de même qu'un théorème de géométrie dans l’espace à trois dimensions, apparaît comme cas particulier d’une géométrie portant sur un nombre quelconque de dimensions. (16) Je ne pense donc nullement que les difficultés soulevées par la conception de l’éther gyrostatique émise la première fois par lord Kelvin et admise par Larmor soient insurmontables, et l'on ne saurait assez appeler l'attention sur les belles recherches de M. Weyher, sur les tourbillons. Si la théorie corpusculaire actuellement en honneur peut, dans certains cas, être considérée comme équivalente à la vérité et permet même de découvrir des faits nouveaux, ainsi que le montrent les admirables recherches de Lorentz, je pense également qu'elle devra laisser dans l'ombre bon nombre de faits sur lesquels nous avons appelé particuliè- rement l'attention et dont plusieurs ont été découverts grâce à notre conception. Mais seulement qu’on n'’aille pas s’imaginer qu'une théorie physique nait de toutes pièces sans donner prise à aucune diffi- culté. L'histoire des sciences est là pour nous fournir des ensei- gnements précieux; la théorie des ondulations a vu son succès retardé de cent ans par cela qu’elle semblait incompatible avec l'ombre géométrique, de même la théorie cinétique des gaz est valide, mais elle a donné prise à des objections parce qu'elle est incomplète. Ce qui doit, avant tout, décider de la validité d'une théorie se trouve dans sa faculté de classement des faits connus et de prévision de ceux qui ne le sont pas, ainsi que nous l'avons dit. TABLE DES MATIÈRES AVANT-PROPOS Réflexions préliminaires Sarl sller celte ter M'oltefisi relie elle) se ‘sers De Notions préliminaires serie lle tar er Collet sr merciaraphye pee) lelier Lee e Action d'influence. — Induction électrostatique. CHAPITRE Ier État chaotique et supramatériel Instabilité de la matière. — L'état chaotique ou nébulaire. — Formation de l'ion. — Formation de la chaîne ionique et du courant électrique. — Phosphorescence. — État supragazeux. — Formation de la nébuleuse spirale et les deux causes de sa rotation. — Démons- trations expérimentales de ces actions mécaniques. — Cause pro- bable de l’odeur. — Corollaire. — Décharge électrique de surfaces par le mouvement ionique, CHAPITRE II L'état gazeux. . . . . . . . . Formation de l’atome. — Pression interne et la force expansive des gaz. — La vibration ionique considérée : 1° comme étant la cause de la dilatation ; 2 comme étant la cause de l'embrayage qui permet la transmission de l’énergie gyrostatique. — Notion du zéro absolu, ou d’une température limite irréalisable à laquelle l'énergie du système ne se transmettrait plus, serait constante. — Réaction chi- mique. — Action catalytique. — Loi de Dulong. — Aptitude réaction- nelle. — Valence. — Formules de structure. — Pression exercée 29 (118) par les gaz renfermant le même nombre de molécules. — Raïies spectrales. — Cause de la stabilité apparente de l'atome. — Fausseté de la conception du point matériel. — Phénomène de Zeeman. — Remaniement à apporter à la théorie cinétique des gaz. — Induction électro-magnétique du calorique dans les substances iodynamiques et aniodynamiques. — Magnétisme et diamagnétisme. — Interpré- tation du radiomètre, CHAPITRE III Rtatquide. 2e RE EE PL - Texture fibreuse des gaz et des liquides. — Vapeur saturée. — Etat critique. — Tension superficielle. — Effets thermiques dus à la détente et à la compression. — Variation de volume de la fibre molé- cule, par suite d’une variation de température. — Des solutions. — Pression osmotique. — Électrolytes. — Substances ionisées et 1ody- namisées. — Réactions exothermiques et endothermiques. — Hydrates — Électrolyse. — Asymétrie des pôles. — Effets produits par les projections cathodiques et anodiques. — Électrodes atta- quables.— Courant athermique, courant thermique, courant électro- lytique. — Phénomènes analogues dans les gaz raréfiés. — État particulaire. — Action de l’état particulaire sur la végétation. — Plantes bipôles. — Rosée. — Origine de l'électricité atmosphérique. — Des orages. — Des aurores polaires. CHAPITRE IV L'état: SOI 2 2 RU RE 20e Considérations générales. — Rapport entre la conductibilité élec- trique et la conductibilité calorifique. — Influence de la pression sur la conductibilité calorifique. — Rapport entre les conductibilités calorifique ou électrique et le coefficient de dilatation. — Dureté et fragilité. — Magnétisme. — L'analogie et la différence qui existe entre un Corps magnétique soumis à l’action de l’aimant et un con- ducteur soumis à l'influence. — Courants thermo-électriques. — Phé- nomène de Hall. — Phosphorescence, genèse et destruction de l'atome. CHAPITRE V La destruction et la fin de la matière . . . . . . .. . . . . Considérations générales, — L’explosif matière. — Divers procédés de dématérialisation, — Le zéro absolu. Pages. 48 93 (119) CHAPITRE VI Pages. Conception de la masse et de l'attraction newtonienne . . 104 Aux trois phases substantielles physiques correspondent trois modes d'attraction. — Influence de l'orientation sur la grandeur « masse ». Raison pour laquelle on a été amené à la conception de corpuseules positifs gros. — Raison de l’asymétrie des pôles. — Géotropisme des plantes. APPENDICE PHILOSOPHIQUE Examen des phénomènes analogues que l’on retrouve dans des phases substantielles différentes de celles du monde dit physique . . 107 Ce me sé cn Wa # ho dent " AE A ral vita nt dr dt EN OR LS 1 é JM Mes sup arceaé à Lo à rue er Big pce r £ e OT DS r | Fa ni ul cl r D ’ d k ‘14 4 Î [2 7 - ' ' ñ (20 px ï = 1 # \ % » $: a F x Care STONE Û LS Ë le Fi Mes Et ; Ex 2 DE L'INFLUENCE D'UN CONTACT ORDINAIRE OÙ STATIONNAIRE DE DEUX SURFACES LA DÉVELOPPABLE CIRCONSCRITE À CES DEUX SURFACES PAR W.-A. VERSLUYS LES BLUUISAGY:A-. NT" DE L'INFLUENCE D'UN CONTACT ORDINAIRE OÙ STATIONNATRE DE DEUX SURFACES SUR LA DÉVELOPPABLE CIRCONSCRITE A CES DEUX SURFACES —___2CE—————— 1. Soient U et V deux surfaces algébriques quelconques, ayant au point commun © un plan tangent commun 7. Soient U' et V/ les figures polaires réciproques des surfaces U et V. Le plan o, qui est le transformé par polaire réciproque du point O, sera un plan tangent des deux surfaces U/ et V’ en un point commun P, qui est le transformé du plan +. D'après Sal- mon (*), le point P est un point double de la courbe d'intersec- tion d des deux surfaces U/ et V/, et les deux tangentes à la courbe d au point P se trouvent dans le plan o. La courbe d est la figure polaire réciproque de la développable D circonscrite aux surfaces U et V. Le plan + est donc un plan double de la développable D, et les deux génératrices Z et L, le long des- quelles le plan x est tangent à la développable D, passent par le point O. Je me propose de déterminer l’équation des génératrices /, et L (*) SALMON, Geometry of three dimensions, $ 203. Cp) et d'en déduire les conditions sous lesquelles coïncident ces géné- ratrices. 2. Chacune des génératrices /, et est l'intersection du plan tangent commun 7 avec un plan tangent consécutif commun aux surfaces U et V. Soient O2 + ax° + 2hxy + by + 2gxz + IVfyz + cz° + da + 5ex°y + 5kxy* + my° + etc, 0 = 2 + ax + 2h'xy + d'y" + 2g'xz + 2f'yz + c'e? + d'a + 5e/x°y + 5k'xy? + m'y + etc. les équations des surfaces U et V. Un plan tangent à la surface U en un point infiniment voisin du point commun O (0, 0, 0) a pour équation z + 2(ax, + hy,)x + 2(hx, + by) = 0 (”), (A) où les coordonnées x, y, 3, du point de contact satisfont à l'équation O— 2, + axi + 2hx,y, + byi, - (B) laquelle exprime, en négligeant des infiniment petits, d'ordres trois ou supérieur, que le point de contact se trouve sur la sur- face U. De même z + 2(a'X, + h'Y,)x + 2(WX, + L'Y,)y —=0 (C) est l'équation d’un plan tangent à la surface V, infiniment voisin du plan x ou z — 0, avec la condition 0 = Z, + a'X? + 2h/X,Y, + b'Y?. (D) Les deux plans tangents (B) et (C) coïncident si l'on a ax, + hy, = a’X, + N'Y,, hx, D æ by, — h'X, + b'Y,. (E) (*) SALMON, loc. cit. $ 268. (5) En choisissant pour x, et y, des infiniment petits du premier ordre, mais du reste quelconques, les équations (E) déterminent complètement les valeurs X, et Y,. Les équations (B) et (D) serviront alors à déterminer les valeurs de z, et Z,, et les équations (A) et (C) représenteront un même plan tangent aux surfaces U et V aux points (x, y,, z1) et (X,, Y,, Z). En ne tenant compte dans les équations des plans tangents que des infiniment petits du premier ordre, on trouve donc une infi- nité de plans tangents communs infiniment voisins du plan x. On ne peut donc pas déterminer le plan tangent commun des surfaces U et V, infiniment voisin du plan +, en ne tenant compte que des infiniment petits du premier ordre. 8. En négligeant des infiniment petits d'ordre supérieur au second et en tenant compte de ce que la variable z d’un point situé dans le plan tangent est infiniment petite par rapport aux variables x et y, on obtient pour les équations des plans tangents aux points (24, Y1, Zi) €t (X1, Vi, Zi) x {2ax, + 2hy, + 292, + 3da? + 6exy, + 3ky?} + yÎQhx, + 2by, + 22, + ext + Ghxiy, + 5my}| (A’) + 2 + 2gas + Qyil — 2, + Dani + hhx,y, + by}, af 2a'X, + 2h Y, + 29/2, + 5d'X? + Ge’XiY, + 5k/Y?| + YiANX, + 2'Y, + 2f7Z, + 5e'Xi + GE'XIY, + 3m'Y?} (C’) + zii + 29/X, + Qf'YÉ — 2, + 2a/X? + ANX,Y, + 20/Y2. Les équations (A/) et (C/) devant représenter le même plan, les coefficients de ces deux équations seront proportionnels ; x, Ya; X4, YA étant des infiniment petits, on pourra poser À + 2gx, + 2fys ———————— ll +0, 1 + 29'X, + 2f/Y, à où v représente un infiniment petit du premier ordre. (6) On aura donc 2ax, + 2hy, + 292 + 3dxi + Gexiy, + 3ky: , QuX, + AN Yi + 2 + Sd Xi + GER ES À En multipliant les deux membres de cette équation par le dénominateur et en égalant les termes qui contiennent des infi- niment petits du même ordre, on obtient les équations axs + hy = Q'X, + WY,, 292, + Sdxi + Gexiy, + 5kyi — 2g'Z, + 5d'XŸ + 6e/X;Y, (E') + 34/Y? + u(a/X, + NY). | De même, par les coefficients des y, on obtient les équations ha, + by = h'X, + b'Y,, 2fz, + 5exi + hay, + 5myi — 2/'Z, + 5e'Xi + 6GL'X,Y, (E/) + 5m'Yi + 2v(h'X, + b'Y,). Les coefficients des z donnent l'équation 2gx + 2fy = 29'X1 + 2f'Y, + v, tandis que les termes connus donnent 2, + 2axi + 4hay, + 2byi 2, + 2a/X? + 4h'X,Y, + 2 Yi. (F) D'après les équations(B) et (D), l'équation (F) donne le résultat 2, = ie L'équation (F) se réduit alors à la suivante : | axi + 2hxiy, + byi = a’Xi + 2WX,Y, + b'Yi. (G) Les variables x,, y,, X3, Ÿ, doivent donc satisfaire aux con- ditions (G) et ax, + hy, — a'X, + h'Y,, hx, == by, — h'X, S = be (H) (7) 4. Si les coordonnées &, ÿy, z1, X4, YA, Z, satisfont aux conditions (B), (D), (E’), (E/’), (F) et (G), les équations (A’) et (C’) représentent un même plan tangent aux surfaces U et V et infi- niment voisin du plan tangent commun x ou z— 0. La droite d’intersection du plan z— 0 avec le plan (A/) ou (C/) est donc une génératrice / de la développable D circonscrite aux surfaces U et V. En négligeant des termes infiniment petits d’ordre supé- rieur, les équations de la génératrice / seront z—10 (ax, + hys)x + (ha: + by;)y —0 ou 20 (ex, + HYi)x + (NX, + D'Y,)y —0. En posant, pour abréger, ax, + hy, a’X, + h'Y, mr by, Rx Ab les équations de la génératrice ! seront z—0 ÀAx + y = 0. L'équation (G) se réduit, d’après les équations (L), à la sui- vante : (ax, + y)(has + by) = (AX1 + Y,)(h'Xs + b'Y;), d'où l’on déduit par la première équation (H), AT; + Ya = AX, + Ne Les équations (G), (H) et (L) se rédui sent done aux suivantes : AT + Ya — AXi — Yi = 0, ax + hys — a'X; —hY, =0, hx, + by, — h'X, — b'Y, —0, (a— àah)x, + (h — àb) y, = 0. (8) En éliminant æ, ÿs, Xa, YA, on obtient, pour déterminer À, l'équation À 1 —/À il a h — à — h/ h b 7 BR a— ah h—3b 0 0 ou bien a — a’ h—h' a —)h h—h b — b' h! — 3b’ — 0 a — xh h — àb 0 En développant ce déterminant, on obtient 4 b(ab' — h?) — b'(ab — RE — 24} R(a’d' — 7) — h'(ab — h?)} + À a(a'b— h*) — a'(ab — h){— 0. (D) ou bien (ab —h?)(bX— 9h + a)—(ab —h*)(b'} —2h'à + a)=0. (l) 5. L'équation (1) étant du second degré en 2, le plan z = 0 est tangent à la développable D le long de deux génératrices L, et L, ce qui vérifie que le plan x ou z — 0 est un plan double de la développable D. On trouve l'équation des génératrices /, et Z en substituant dans l’équation ([') la valeur 1—=— X ce qui donne le résultat (ab — h*)(ax° + 2hxy + by) — (ab —h?)(a'x° + 2h'xy + by°) = 0. (3) Les génératrices /, et sont donc un couple de l'involution déterminée par les deux couples ax° + 2hxy + byÿ —0, a'x° + 2hxy + b'y —=0, (9) qui sont les couples d’asymptotes des indicatrices des surfaces U et V relatives au point O, ou bien qui sont les couples de tan- gentes principales (Haupttangenten, inflexional tangents). Les deux génératrices /, et /, coïncident si les racines de l’équa- tion en À (1) deviennent égales. La condition correspondante est Dh Çarb — he) — hab — HP = pa (ad — h?) — a(ab — 1e){ X }0 (ab — h°?) — b'(ab — 1?){- Cette condition se réduit à (ab —R?\(a'b" — h°) }(h — h'Ÿ — (a — a)(b — b)f = 0. Par conséquent, les génératrices /, et l, coïncident si l’on trouve satisfaites une ou plusieurs des conditions G—h} = (a — a’)(b — b"), RE — ab, (K) h°? = ab’. La première condition exprime que les surfaces U et V ont au point O un contact stationnaire (*); les deux dernières expriment que le point O est un point parabolique sur la sur- face U ou sur la surface V. On peut donc énoncer le théorème : Si deux surfaces algébriques U et V ont au point O un con- tact ordinaire, et si le point O n’est pas un point parabolique sur une des deux surfaces, le plan tangent commun au point O est un plan double ordinaire de la développable circonserite aux sur- faces U et V. Il faut exclure le cas où le point O est un point parabolique, puisqu'en un tel point le plan tangent est un plan tangent double, les points de contact étant deux points consécutifs. Il va de soi qu'il faut également exclure le cas où le plan x est un plan tan- (x) SALMON, Loc. cit., $ 204. (10) gent double ordinaire d’une des deux surfaces U et V. Si le plan x est encore tangent à la surface U en un point Q à distance finie, la droite OQ est une troisième génératrice le long de laquelle le plan t est tangent à la développable D (voir $ 7). La méthode employée pour déterminer les génératrices de la développable D situées dans le plan tr, n’a pu donner la génératrice OQ, puisque on a supposé que les coordonnées des points de contact du plan tangent infiniment voisin du plan x étaient des infiniment petits, ce qui n'est pas vrai pour les coordonnées du point de contact qui se trouve dans le voisinage du point (|. 6. Supposons (R— hRYŸ = (a — a')(b — b'); les deux surfaces U et V ont au point O un contact stationnaire et les deux génératrices /, et L coïncident. Supposons encore h2 2 ab, Rk? 2 ab'; le point O n’est donc pas un point parabolique d’une des sur- faces U ou V. Le point P et le plan o seront un point et un plan tangent non singulier de chacune des surfaces U/ et V’ (voir $ 1). Le point P est un point double de la courbe d'intersection d des surfaces U/ et V/. Les tangentes à la courbe d au point P sont les transformées par polaires réciproques des génératrices /, et L.. Ces génératrices /, et l, coïncident; par conséquent, il en sera de même des tangentes à la courbe d au point P. Le point P est donc un point stationnaire de la courbe d; par conséquent, le plan % est un plan stationnaire de la développable D, qui est la figure polaire réciproque de la courbe d’intersection d. On peut donc énoncer le théorême : Si les surfaces U et V ont au point O un contact stationnaire et si le point O n’est pas un point parabolique d’une des surfaces U et V, le plan tangent commun au point O est un plan station- naire de la développable circonscrite aux surfaces U et V. Ce théorème se vérifie facilement si les surfaces U et V sont (11) du second degré. La condition qui exprime que les surfaces U? et V? ont un contact stationnaire est que l’équation A (1) — 0 possède une racine triple (*). Soient À, À, À, À, les quatre racines; supposons À = À; — À,. Pour que la développable cir- conscrite aux deux surfaces U? et V? possède un plan station- naire, il faut qu’une équation D (x) — 0 possède une racine triple (**). Entre les racines À et x, on a les relations Bi Dodshs Me = pu) Us dunes bu = Dos (7). Si donc on a À —À,—),, on aura nécessairement u) —=u3 =, et la développable circonserite possédera un plan stationnaire. Le plan commun des surfaces U? et V? au point de contact étant un plan double de la développable circonserite, et cette dévelop- pable ne pouvant posséder deux plans doubles sans se décom- poser, il faut que ce plan de contact en soit le plan stationnaire. ‘7. Supposons R° — ab, h"° 2 ab, (hi — h) 2 (a — a!) (b —b). Le point O est un point parabolique de la surface U et un point non parabolique de la surface V, tandis que les deux sur- faces ont au point O un contact ordinaire. L'équation (J) des génératrices /, et l, se réduit à ax + 2hxy + by = 0, ou (x Va + yVb}) = 0. Les deux génératrices /, et l, coïncident donc avec la seule tan- gente principale (Haupttangente) { au point O de la surface U. Ce résultat était à prévoir, puisque tous les plans tangents à la sur- (*) CLEBSCH-LINDEMANN, Vorlesungen über Geometrie, t. IT, p. 219. CE) DE IG OR GS) MD ocre 1n2003 (12) face U infiniment voisins du plan 7 ou z—0 passent par la tangente { (*). Par conséquent aussi les plans tangents infini- ment voisins, qui sont à la fois tangents à la surface V, passent par la tangente {, ou bien les génératrices /, et L coïncident avec la tangente £. Le plan + n'est pas un plan stationnaire ordinaire de la déve- loppable D. En effet, le point P, qui est le transformé par polaires réciproques du plan T, est un point ordinaire de la surface V/, mais un point de la courbe cuspidale de la surface U’, tandis que le plan o est au point P le plan tangent commun de la sur- face V’ et des deux nappes de la surface U/. On voit facilement que tout plan passant par le point P y rencontre trois fois la courbe d’intersection d des surfaces U’ et V'; le point P est done un point triple de la courbe d. La tangente principale £ se trans- forme en la tangente {’ au point P à la courbe cuspidale. On trouve facilement que cette droite {’ a de commun au point P quatre points consécutifs avec la courbe d, et cette droite £/ est la seule qui jouisse de cette propriété. Le plan tangent o rencontre au point P la courbe d en six points consécutifs. Le point P est donc de la courbe d un point singulier de l’ordre 3, du rang Î et de la classe 2 (**). Le plan x est done un plan triple de la développable circonserite D; par la génératrice t, il passe quatre plans consécutifs, et par le point O, il passe six plans consé- cutifs de la développable D. En d’autres termes, O est un point singulier de l’arête de rebroussement de la développable D. Ce point O est sur celte arête de rebroussement une singularité de l’ordre 2, du rang 1 et de la classe 3. C’est une singularité 6 + 2x qu'on obtient si le plan osculateur d'un point stationnaire se con- fond avec deux plans stationnaires. 8. Si les coefficients a, b, h, a, b', k satisfont à deux ou à trois des conditions (K), on trouve, comme au $ 7, que le plan (*) SALMON, loc. cit., $ 269. (**) HALPHEN, Bull. de la Soc. Mat. de France, t. VI, p. 10. (45) n'est pas un plan stationnaire ordinaire de la développable D. On peut donc énoncer le théorème : Si deux surfaces algébriques U et V ont en à points un contact ordinaire el en y points un contact stationnaire, les surfaces U' et V', qui sont les figures polaires réciproques des surfaces U et V, ont également en À points un contact ordinaire et en y points un contact stationnaire. Les à plans de contact ordinaire sont des plans doubles et les 5; plans de contact stationnaire sont des plans stalionnaires de la développable circonscrite aux surfaces U et V, à condition que les points et plans de contact soient des points et plans ordinaires des deux surfaces U et V. Quand une des surfaces U et V est une surface développable, un plan tangent commun étant tangent à la développable le long d’une droite n’est pas un plan tangent ordinaire, et l’on se trouve done dans un des eas exclus. Du reste, la figure polaire réci- proque n'est plus une surface, et il n'existe plus de développable circonscrite, Les deux génératrices /, et !, seront des droites réelles et le plan + sera donc un plan double ordinaire si l’on a (ab — D?) (ab — h?)}(h — hŸ — (a — a)(b — b')t > 0. Le plan x est donc un plan double ordinaire de la développable circonscrite D : 1° Si le point O est un nœud de la courbe d’intersection d des surfaces Ü ei V et si le point O est un point elliptique sur les deux surfaces ou si le point O est un point hyperbolique sur les deux surfaces ; 2° Si le point O est un point isolé de la courbe d’intersection d et si le point O est un point elliptique sur l'une et un point hyper- bolique sur l’autre des deux surfaces U et \. Les deux génératrices /, et l, seront des droites imaginaires et le plan + sera un plan double isolé si l’on a (ab — LE)(ab — DR?) 3h —h) — (a — a')(b — b')t € 0. (14) Le plan 7 est donc un plan double isolé de la développable circonscrile D : 4° Si le point O est un point isolé de la courbe d’intersection d et si le point O est un point elliptique des deux surfaces ou si le point O est un point hyperbolique des deux surfaces ; 2 Si le point O est un nœud de la courbe d’intersection d et si le point O est un point elliptique de l’une et un point hyperbo- lique de l’autre des surfaces U et V. Delft, mai 1905. ———" << — SUR LE CALCUL NUMÉRIQUE 1 LA SÉRIE À LE + PSP W. KAPTEYN SUR LE CALCUL NUMERIQUE LA SÉRIE > 1. Dans les pages suivantes, je me propose de faire voir com- ment on peut calculer la somme de la série s=0 Il dl (a e ps’)? où « et 6 représentent des quantités quelconques mais positives et q un nombre entier positif. (a En posant «à — 6 -,on a M 72 1 gi 4 (a? + Es?) dE (c° Fe r°s’} par suite, en étudiant la dernière série, nous ne diminuerons pas la généralité de la question proposée. 2. On connait la somme de la série quand q est un nombre pair. (4) En effet, en posant g — 2v + 9, on a, d'après le calcul des résidus, Ÿ 1 1 1 £ æ COL TZ = ( ne TS) HE. Dç2v+2 9 (( (c? <= T2)" })) 1 1 d° cot 7z 90 7410! de je\°+1 T io _Jz=- Or, d’après la formule de Leibnitz, d° — çot 727 d° cot 7z y Ÿ (ay (CEE) NC an cm RE D dec) s=0 SU) TE eu) par suite d° cot zz LE a) 2u+1 v (D ! 9 s s : Mu (Durs)! ) d = — À —— — 2) |— |) —[cotrzl ; D+1 20 +4 PA ) Ses (> il Là et 2 1 1 (2v)! a ue (1). S 2 (c° LE Re D F3 Jçv+2 gs DEN RENE C2 — (2u— s)! /2c\° d° CE tc° sd (=?) ar (v AE s)! Ë TE [otre] | = 3. Quand q — 2v + 1 nous introduirons d'abord l'hypothèse CIE: Dans ce cas, la formule da binôme nous permet d'écrire 1 1 Ÿ (— 1)" T (0 + om + L) c?" 1 Hi po m!F(v = +) ETES TENR (c + 75) d'où, en posant 2m 4 L(—1)T(v+mæ+is)c [2] > 2 2Tuts ti 1T I 2m Siren 4 STE m'F(v + 1) (5) Si l’on ajoute à cette équation la relation évidente 0 il | Ÿ (— il ja F(v + M + ïL)) c2" Œ aa 2 (Ge + 7°'jie r2+! 4, miT(v ES an on obtient co ! > (c° + r°s? v+E F2 (ce? + pti (2) = ) : | | Ÿ (— 1} (0 + m + 1 €" L \ Ÿ 20+1 = m! L'(v ee 1) a (Sartam + — ). Cette formule convient très bien pour le calcul de la série proposée, parce qu'on possède pour les quantités S, (*) des tables qui montrent la convergence très rapide de la série. Dans la supposition de c < 7%, on a : = AICO EMA F(v + +)2°c° ï 0 où J° (ct) représente la fonction cylindrique de première espèce de rang v (**). On voit donc que S L , Vz DTA CE > 2 CAN RU RE Je (ce) dt CE ve QI Er — | 0 d'où résulte que notre série est en rapport intime avec les fonc- tions cylindriques. Æ. Il nous reste à étudier la série proposée, q étant 2 + 1, quand c est quelconque par rapport à t. Avant d'aborder ce dernier cas, il importe d'étudier une intégrale définie qui nous sera utile plus loin. (*) LEGENDRE, Exercices de calcul intégral, t. UÏ, p. 65; STIELTIES, Acta Math. t. X, p. 290. (**) NIELSEN, Handbuch der Cylinderfunctionen, p. 106. Posons b2 OS Ca ie LOGE CRETE où v désigne un nombre entier et b une quantité arbitraire mais positive. Cette intégrale se rencontre déjà dans une étude de Kummer (*). Il trouve (2) b? ji ee —T(wy( — p, 0?) + T(— pb 4 (1 + pe, b°) 0 où x x? x Tr TINETTEO A # étant un nombre quelconque mais ron entier. Pour évaluer l'intégrale dans la supposition v entier, on pourrait substituer g = v — « dans la formule de Kummer et chercher la limite pour : — 0. Mais il vaut mieux suivre une autre méthode. Si l’on différentie l'équation (3) par rapport à b, on obtient: 1 d3C° 2 La be a QE OUT 2 db | : 0 1 do 1 dc LE EE ER —— £ yu—3 Sn Re CO En of ET Vaue 0 Or, en intégrant entre les limites 0 et æ les deux membres de l'identité RE Ar se pale 1) OM PR ECO PP: on voit que SA; CONS AE DRE — (3 = WA e af e ‘dt + 6 f e "TR O 0 0 0 () Journal de Crelle, t. XVII. par conséquent, on a v—1d@ «vf d9C" es) He Ho Ab db 4b db ou DCE UNS L d CNRS 2 AE, er Go (A) NEERSS dE 0 49° = 0. L'intégration de cette équation différentielle se déduit aisément de celle de Bessel d°w 1 dw £ ju 5 mc È NT AY en changeant dans celle-ei x en 25b et w en ee L'intégrale générale de l'équation (4) prend done la forme 9C(b) = b'[AJ" (210) + BY°(2b)] J° et Y° représentant les fonctions cylindriques de première et de seconde espèce. Pour déterminer convenablement les constantes A et B, nous remarquons que l'intégrale (3) remplit les deux conditions sui- vantes : JC (0) = (v — 1)! JC'(co ) — 0. Or, on sait que pour b — 0 b'J" (2ib) = 0 id. BY (2ib) = — (—:} T et D wii pour b = b°J" (2b) = —— 2 2/70 b? (@+lir id D'ÉCTIE ONEE 70 d’où résulte FT —= — (— 1)B — À + B: et (5). . . . 96(b)— ri" b"[J"256) + à Y'(2b)]. (8) La combinaison J° + :Y° que l'on rencontre ici est précisé- ment la fonction que M. Nielsen (*) appelle une fonction cylin- drique de troisième espèce et qu'il désigne par la notation H! qui rappelle le nom de Hankel. Avec cette notation, l'intégrale cherchée prend la forme GC) — ri Hp). Üne troisième forme s’obtient si l’on développe les fonctions J' et Y°. En effet, OC SONT OS iT y C2 zY(Qib)—2J"(21b) (luc 2) =00 — CO mer L?s ji [y (s+1)+u(s+v+l )] s!(v+s 112 L < G VAT 1)! 2s ED et 2 25 D) MES CE Dem) par suite, | = — s— 1)! UE jee De (7) s=0 *. | IR = DO R ENTE ve 1). | D VU +Ss 5. Revenons maintenant à la sommation de la série D’après une formule connue, on a  Dv+1 co nu = — e y 7227 2% a (c? + r°s*)ts np 1% 0 Ÿ À Dur © Ÿ ———— ——© = ————— e y e7>2y? Alt ms) 115 APT — 0) ÿ 2 0 n étant un nombre entier quelconque. () Loc. cit., p. 16. (9) Pour évaluer la somme sous le signe d'intégration, j'écris co QT — e © cos (2xsyx)dx D. el . 9 “+ 00 n D GTR Cm ÿ cos (2rsyx) dx = T' SI 0 9 » }@ (2: zu n —— j e LD cos(2sz)d rV TU « SL 1 Re do + A)z | = .. CRT ee a cn lle a ry: sin Zz 1 1 en Ont) RAI — CRE dz. 2 V7 / sin Z En introduisant cette valeur, on obtient n (| À gv+1 —_—————— — 2 ——————— CET sue 2c+i 1,3 … (2v — 1)r° 2 sin(2n + 1)3 CRUE RSC RG, nd . 0 ou, en posant (Ca) 1e = t & 1 1 2e > 2 Cr CT 20 2 (Ce + 7's) DCE 1.35 … (Qu — 1)c°7 œ 4e -% sin(2» + 1)z X eat fl TE ————— (3. < Sin 200 0 0 Dans le second membre de la dernière équation, on recon- naitra aisément l'intégrale du paragraphe précédent. On aura donc RARE CE ice) DEN ic CRC EEE —| dF + il — |}, Te ( T T et, par suite, $ 1 1 jou ———— — 7 —_— — À (c + r°s)t4 DO SE APE MIE 7 : f'< ques v (2e) | nee + 1)z 1 < T T sin z : Passons maintenant à la limite pour n — . En posant on sait que Lim fre PE de = «5 PO) + fe) + fn) + «| Sin Z Si donc on introduit Ho) ire Te Dar ( on trouve 3 1 1 9v—1 (0 — 1)! NES en ( ) CEE PE DC 5. (20 4x j2r19 Av $ + ÿn|J"(Qicen) + à Y’(2icn 1.3 … (20 — 1) 4 TEA 1} ce qui s'écrit encore Ÿ 1 1 2v-!(u — 1)! (8) C7) | 2er D: 1.5 … (20 — 1)c°x ‘4 à ÿ ——_—— — > 2000 | Fr A en (ne) De cette manière, la série du premier membre est ramenée Le 2) à X 9C'(nc). Il nous reste encore le calcul de la dernière série. n—=i (11) 6. En considérant la formule (7), on voit qu’elle ne convient co guére pour le caleul des termes de la série Z 9ç’(nc) à cause Q=" > (Go)? du facteur ITEOr par rapport à nc. Pour éviter cette difficulté, nous déterminerons la valeur asymptotique de 9ç’(b). Cette valeur dépend évidemment des valeurs asymptotiques des fonctions J° et Y’. En effet, on a (*) asymptotiquement P(24b) + 1Q(250) ut x P(b) — QD) Æ ——— — qui ne tend vers zéro que pour s, très grand e—*?J°(26b) 2/7b 2/76 P(2ib) + 1Q(216) 5" 75 95h) — i1Q(21b) (7: ie Yo(b)= (2 — 1 ). = 7 230 “. = ib) LE a) V Tr par suite, DEV 0 Te P(Oit) + iQ (256) ], | (25)! 250? où —0 (2s + 1)! 25 Pb La valeur asymptotique de 96 (b) s'écrit done — ei Av — 1? (4v? — 1°) (4v? — 5°) Po) — V4 b ? e—% à ——————————— VOA L None JET (9) —+ (4v* — 1°) (40° — 3°) (4v° — 5°) 3! 260 à | Si l'on arrête cette série divergente à un terme quelconque, on obtient une valeur qui diffère de la valeur exacte de moins que le dernier terme caleulé. Comme on peut admettre c > +, on voit qu'avec la formule (9) on déterminera aisément les différents co termes de la série Z 9Ç’(nc) avec telle approximation qu'on 2H () NIELSEN, loc. cit., p. 150. (12) voudra. Du reste, les termes consécutifs diminueront rapide- ment à cause des facteurs exponentiels e—*, e “, etc. Pour donner un exemple, soit v = 1,c— 5t; dans ce cas, on aura 9G'(5r) 7 V/Be-t7 A (107) < zV/10e 27, ete, quantités parfaitement négligeables par rapport aux termes pré- cédents. Il en résulte que dans ce cas on peut négliger entièrement la Co série Ÿ 9C’(ac) et se contenter d'écrire ni Ml > : : 0.001 1605 = 3 > ‘ÿ 2507° 2 957? En D9S0-r° RE : 3 7° (25 + s°) la différence étant moindre que 0, 00000 00000 00000 4 ‘7. Avant de terminer, nous présenterons encore une remar- que. [l est bien évident que les considérations des paragra- phes 4 et 5 sont presque entièrement applicables quand © est un nombre fractionnaire. Si donc nous posons v = p + ;, a étant un nombre entier, nous obtiendrons une nouvelle forme pour la série du paragraphe 2. En effet, on a, dans ce cas, ms Î FO cn CRT Te s im+S er Dicz dcz\ |sin(2n+1)z F zet4| Jh+t +1Y/ SACRÉ ) dz RSR Ph dirt clTs T sin z Dicz Dicz dicz JAH — | Hi | — HE - 2cz DR ROUE ee) OÙ (*) NIELSEN, loc. cit., p. 32. En posant Dicz pe= zut (ÈS), T on a JC ne ee is PT AE e! par suite æ 1 1 (2u)! Ÿ ee es pe 2 L/2 Il El e ro Gr 2,9 (c° +T Sa A DCS Han 0) re l a 2) ! —— SE 4c ge DAT TALE Dee | =] s—0 9 - b- En séparani le premier terme de la série Z du reste, et en . ° s=0 introduisant ce résultat s'écrit a l 1 (2m)! ee À =“ (c + 7°s2}2#t Mo DUHA( Ne | GP QE | L SR RO) Dee 2 ms (Ct. ALICE =st(u —s)! Posons, pour développer le second membre de cette équation, — 4, = D, alors on aura successivement a d 1 l Ÿ NET — 4 —- ) — 4 P Fi da \1 — a œ ü à Ü d \? : LATE QG ù — -—)= (e a) P, ctc. —— da da\i — a (44) De cette manière, on trouve $ 1 1 _ (9)! +1 2 9 mr Ge y (+ as) CT AE ul AT ee Ge — (10) 1 D (On — $\l d \s me NA Ge (a a] P. ! ! da En comparant cette formule à l'équation (4), on est conduit à l'identité d‘ Là = dz 2=> d \° à 2 [a _ P—(—:)" da que l’on vérifiera aisément. —2D 0 0 © — — OBSERVATIONS MAGNÉTIQUES ASTRONOME À L'OBSERVATOIRE DE COINTE [°4 u f 1 KA Ts dy L SA ose ‘ ] [1 e Do AA AUTO ANAL, À URORTERANS C4 : E " | “ 7 * ch | i ne : sul ‘ 1e ïi de : 2 = à l (l : = j | Ë à \] x v i À É 7 % j je Pc à D IR | e ; Qi 1 M Déhalu. — Mém. Soc. roy. des. Se. de Liége, 32 sér,, €. VI. Te lie Pavillon magnétique. OBSERVATIONS MNCAN EM ET CUT ES DESCRIPTION DES INSTALLATIONS. Pavillon magnétique. Le pavillon magnétique (*) est situé au sud-ouest de l'Obser- vatoire, à 80 mètres des bâtiments du service astronomique, et entièrement isolé des autres constructions, Sa façade vers l'est fait avec le méridien astronomique un angle de 155°, compté du nord vers l’est. Il se compose de deux grandes salles superposées de : 8 X 7.50 mètres de superficie; une salle de rez-de-chaussée, construite en bois, et une cave en partie souterraine, faite de pierre et moellons. Le fer ni aucune autre substance magné- tique ne sont entrés dans leur construcuon. La salle du rez-de-chaussée a une hauteur de 5 mètres environ; elle est éclairée à la fois par une large fenêtre au sud, par le versant sud du toit, en partie vitré, et par un vaste lan- terneau disposé au faite du toit. Son plancher est à 125 au- dessus du niveau du sol; il ne repose pas directement sur la (*) Voir, planche ci-contre, une coupe longitudinale du pavillon magné- tique. GR) voûte, mais sur les murs extérieurs de la cave. La porte d'entrée est située à l'extrémité ouest de la façade nord. La cave, dont le sol se trouve à 1"25 au-dessous du niveau du sol extérieur, contient les appareils de variation à enregistre- ment photographique. On y pénètre par un escalier dissimulé sous une trappe dans l'angle sud-est de la salle du rez-de- chaussée. Deux fenêtres, situées l’une au nord, l’autre au sud, permettent de l’éclairer et exceptionnellement de l'aérer. Elles sont munies de verres rouges qui ne laissent passer aucune lumière actinique ; mais, afin d'éviter les variations brusques de température, elles sont le plus souvent closes par des volets. Deux bouches d’aération, l’une au nord, l’autre au sud, qu'on peut ouvrir ou fermer à volonté, constituent le système d’aéra- tion en temps ordinaire. La variation journalière de la température dans la cave n'atteint guère que quelques dixièmes de degré centigrade; la variation annuelle est d'environ 14°, de + 3° à + 17°. La salle du rez-de-chaussée est soumise aux fluctuations de la température extérieure ; néanmoins, les appareils à lecture directe qui y sont installés, grâce à la qualité des aimants employés, ont donné des résultats comparables en précision à ceux du magnétographe de la cave. Quant aux observations absolues, elles ne se font plus dans le pavillon magnétique, mais à l'extérieur, au centre de la pelouse de l'Observatoire. Magnétographe. Les appareils pour l'enregistrement photographique des variations des éléments du magnétisme terrestre sont du système Mascart. Ils comprennent : un déclinomètre, un bifilaire, une balance et un enregistreur Duboscq. Ils furent livrés en 1882, par M. Carpentier, ingénieur-constructeur à Paris. Mais ce n'est qu’en octobre 1905 qu’on en décida l'installation définitive, en vue de la carte magnétique des bassins houillers belges, que nous entreprimes l’année suivante. (5) _ Les premiers essais ne furent pas heureux : certains miroirs s'étaient déformés avee le temps et la balance manquait de sen- sibilité. On jugea nécessaire de renvoyer les instruments au constructeur. Rentrés le 31 mars 1904, ils furent immédiatement réinstal- lés et fonctionnèrent à notre entière satisfaction jusqu’à la fin de notre campagne magnétique, en octobre 1904. Quelques légères modifications suggérées par l'expérience furent alors apportées, et la nouvelle installation fonctionne depuis le 1% décem- bre 1904. C'est celle-ci que nous décrirons spécialement. Les trois appareils de variation sont établis sur trois piliers isolés, situés dans la partie nord de la cave. Ils forment les som- mets d’un triangle sensiblement isocèle, dont la base, orientée suivant le méridien magnétique, a 2*40 de longueur, et les deux autres côtés chacun 1"70. Le déclinomètre est à l'extrémité sud de la base, le bifilaire à l'extrémité nord; la balance occupe le troisième sommet à l'est. L’enregistreur Duboscq est disposé au milieu de la base, à égale distance du déclinomètre et du bifilaire ; il est fixé au moyen d’écrous sur une dalle de granit placée au niveau du sol. Comme les distances et les élévations des piliers destinés à recevoir les appareils n’avaient pas été déterminées avec toute la précision requise lors de la construction du pavillon magné- tique, on dut sceller sur le pilier nord du bifilaire une tablette en pierre de 60 X 60 centimètres et de 1°*5 d'épaisseur, qui dépasse le pilier de 10 centimètres vers le sud, et sur le pilier est une tablette de 35 X 55 centimètres et de 4°*5 d’épaisseur, dépassant le pilier de 7 centimètres vers le sud et de 3 centi- mètres vers l'ouest. Sur ces tablettes reposent le bifilaire et la balance; le déclinomètre est installé directement sur le pilier. Les dessus des trois piliers furent vernis avant la mise en place des appareils, qui furent ensuite enfermés dans des cloches en verre, closes hermétiquement au moyen de bandes cireulaires de drap enduit de suif. Sous les eloches sont, en outre, dispo- sées des matières desséchantes : chlorure de calcium et acide (6) nitrique. Un psychromètre de Lambrechts, installé sous la cloche du bifilaire, permet de lire les variations d'humidité. Elles sont, en général, faibles; elles n’atteignent guère, en effet, plus de 2 ou 5 °{ par mois. Toutefois, les desséchants sont renouvelés lorsque la variation totale atteint 20 °/,. Un tel écart ne semble pas affecter les indications de nos appareils, ainsi qu'on a pu s'en rendre compte à diverses reprises en faisant varier brusquement l’état d'humidité de plus de 20 °}. La graduation du bifilaire et de la balance se fait, comme de coutume, à l’aide de la règle de comparaison. Mais afin d'éviter à chaque opération l’enlèvement des cloches qui recouvrent les appareils, on a disposé à quelque distance de leurs centres des tablettes en pierre de 15 x 15 centimètres, au milieu desquelles sont fixés des goujons en cuivre de 7 millimètres de diamètre et de 15 millimètres de hauteur, qui peuvent s'engager dans une ouver- ture eylindrique de mêmes dimensions, pratiquée au centre du support de la règle de comparaison. Ces goujons, qui servent de pivots à la règle, sont disposés à des distances rigoureusement les mêmes des centres des trois appareils et dans des positions qui conviennent à la graduation, c'est-à-dire, pour le déclino- mètre, en arrière et dans la position du méridien magnétique, pour le bifilaire, à l’ouest dans un plan perpendiculaire. Des traits de repère, un sur la partie inférieure de la règle de comparaison, les autres sur les tablettes, permettent, en outre, d'orienter rapidement la règle pour chacun des appareils. Ajoutons que l'épaisseur des tablettes a été ealeulée de façon à amener l’aimant déviant à la hauteur de l’aimant dévié. Le relevé des températures se fait à l’aide de deux thermo- mètres placés l’un sous la cloche du bifilaire, l’autre sous la cloche de la balance, et d’un thermographe de Richard installé dans la partie sud de la cave. La lampe à gazogène qui accompagne l'enregistreur fut rem- placée, dès le début de la première installation, par une lampe à pétrole, qui réalise sur la précédente, outre une économie notable, des avantages multiples. Comme ce mode d'éclairage (h) pourrait être préféré dans certaines circonstances, nous entrerons dans quelques détails. La nouvelle lampe s'adapte, comme l’ancienne, à la lanterne à trois corps de l’enregistreur Duboscq. Elle se compose (fig. 4) d’un réservoir A cylindrique en cuivre de 90 millimètres de diamètre et de 45 mil- limètres de hauteur, sur- monté d’une partie B cylindrique de 47 milli- mètres de hauteur et de D 35 millimètres de dia- mètre; cette dernière dimension correspond à ; l'ouverture inférieure de Re la lanterne Duboscq. Ce Là] cylindre sert de support ci! à une pièce C ajourée a en cuivre qui, tout en me chole. B Î Il | laissant pénétrer l'air sous la flamme, porte un verre D de 35 millimètres envi- ron de hauteur et de 20 | | | | millimètres de diamètre. F Au centre de la lampe un tube E de 7 milli- mètres de diamètre et de | 115 millimètres de hau- S teur sert de conduite à une mêche ronde en co- ton qu’on peut élever ou l | abaisser à volonté à l’aide d'un bouton de manœu- vre F. La partie supérieure du verre est retenue par un anneau fixé à la lampe au moyen d’une tige. Cette lampe, qui a été confectionnée à l'Observatoire, brüle environ 100 centimètres Fi. 4. Lampe à pétrole. (8) cubes de pétrole par jour, ce qui ne représente dans notre pays qu’une dépense très minime. Comme papier photographique, nous avons adopté, après de nombreux essais effectués sur des papiers de différentes marques, celui au gélatino-bromure d'argent du D' Stolze, de Charlot- tenburg. Il est très rapide et donne une impression remarquable. Pour le développement, nous nous servons du procédé au métol- hydroquinone. La division des feuilles en heures s'effectue comme suit : On détermine d’abord les durées d'exposition, en notant les temps de la mise en marche et de l'arrêt du châssis, on subdivise ensuite cet intervalle à l'aide d’une règle en verre portant 144 divisions, chacune d'elles représentant un intervalle de dix minutes. La grandeur de ces divisions résulte de nombreuses mesures effectuées sur les épreuves. Les ordonnées des courbes se mesurent au moyen d'une seconde règle en buis divisée en millimètres. On la pose à plat sur la règle en verre et parallèlement à ses divisions ; on évalue le 1/39 de millimètre à l'estime. Appareils de variations à lectures directes. La salle du rez-de-chaussée comprenait primitivement sept piliers (n°° 1 à 7, fig. 2) complètement isolés du plancher et de la voûte de la cave qu'ils traversent. Les piliers 1 et 2 portent les deux parties d’un inelinomètre inducteur de Wéber, dont la lunette de lecture est placée sur une console reliée à la paroi est du bâtiment. Les piliers 5 et 4 sont sensiblement dans le méridien astrono- mique. Le pilier 3 est disposé en face d’une fenêtre close par un double volet, l’un intérieur, l’autre extérieur; il porte un théodolite d’Edelmann destiné à viser soit au dehors sur un signal ou sur le ciel, soit au dedans sur le barreau collimateur d'un magnétomètre de Wild installé en A sur un support en bois indépendant du plancher et fixé sur la voûte de la cave. C’est à l’aide de ce théodolite et du barreau collimateur que se (10) firent, à des intervalles irréguliers toutefois, les déterminations absolues de la déclinaison magnétique avant 1904. Fr TT DE te émmains Fig. 2. Rez-de-chaussée. Trois appareils de variation avaient, en outre, été fournis par Edelmann à la fondation de l'Observatoire : une balance magné- tique munie d’un barreau cylindrique creux de 11 centimètres de longueur, de 11 millimètres de diamètre et de 1°*5 d'épais- seur, et deux déclinomètres identiques dont les barreaux recourbés en forme de fer à cheval avaient 29 millimètres de hauteur, 3 X 5 millimètres de section et 9 millimètres, d'écarte- ment pour les deux branches. Ces deux aimants étaient enfermés dans des cylindres creux en cuivre de 18 millimètres de diamètre intérieur et de 25 millimètres de hauteur, fixés verticalement au centre des supports des deux appareils. (10) Un de ces déclinomètres prêté à l'Observatoire royal de Belgique nous revint en 1902. Au début de 1904, on Île transforma en bifilaire par l’adjonction de deux petites poulies destinées à porter le fil de suspension et fixées l’une à la partie inférieure du cercle de torsion, Fautre à l'équipage du barreau aimanté. Les trois appareils : balance, déclinomètre et bifilaire, furent à cette époque installés respectivement sur les piliers 5, 6 et 7 (ôg 9). | Les lunettes et les échelles divisées furent disposées en B (fig. 2) sur une table en granit de 1*50 x 0®75, que nous avions fait établir sur un pilier isolé du plancher et reposant sur la voûte de la cave. Mais les indications du déclinomètre et du bifilaire relevées pendant le cours de l’année 1904 laissèrent beaucoup à désirer. Les cylindres qui renfermaient les aimants étaient si exigus qu'il était difficile d'y maintenir les aimants en équilibre; en outre, la graduation des apparcils, qui s’effectuait avec un aimant déviant de forme cylindrique identique à celui de la balance, manquait de précision. En octobre 1904, on décida de modifier complètement le déclinomètre et le bifilaire. Des aimants primitifs furent remplacés par des aimants cylin- driques ereux de mêmes dimensions que ceux de la balance et de la règle de comparaison. On supprima les cylindres en cuivre qui renfermaient les anciens aimants et on les remplaça par des cylindres en verre de 16°*5 de diamètre et 4°*5 de hauteur, qui supportent des plaques circulaires en verre de 18°*5 de diamètre et 3 millimètres d'épaisseur, percées en leurs centres d'une ouverture circulaire de 5°"5 de diamètre (fig. 3). Les fils de suspension des nouveaux aimants sont en platine et ont 0,02 millimètre de diamètre; l’écartement des fils du bifi- laire est de 10 millimètres. Les nouveaux aimants, en acier très dur, et les cylindres en verre ont été fournis par Edelmann, de Munich. La partie méca- nique a été tout entière réalisée à l'Observatoire. Les distances des miroirs des trois appareils : déclinomètre, M. Débalu. — Mém. Soc. roy. des Sc de Liége, 3e sér, t. VI. Fig. 3. Magnétomètre. (11) bifilaire et balance, à leur échelle respective sont exactement de 22578, 5"437 et 1*719. La balance est à 3"50 du déclinomètre et à 2"50 du bifilaire. Les échelles divisées se lisent aisément pendant le jour; le soir, on peut les éclairer à l’aide de petites lampes à incandes- cence qu'on allume au moment de la lecture en agissant sur des boutons disposés sur la table B. La nouvelle installation ne fonctionne que depuis le 24 jan- vier 1905. Appareils pour les déterminations absolues. Au début, les appareils pour les déterminations absolues com- prenaient : un théodolite magnétique de Lamont, un magnéto- mètre de Wild pour la déclinaison et un inducteur de Wéber pour l'inclinaison. Ces deux derniers appareils sont encore installés dans la salle du rez-de-chaussée. Au commencement de l’année 1904, un magnétomètre d'Elliott n° 45 et une boussole d’inclinaison de Dover n° 54, appartenant à l’Institut de Physique de l'Université de Liége, furent mis obligeamment à notre disposition par M. le pro- fesseur de Heen. Ils sont depuis peu devenus la propriété de l'Observatoire. Ces deux derniers appareils servent exclusivement, depuis le mois de décembre 1904, aux déterminations absolues de la déclinaison, de la composante horizontale et de l'inclinaison. (12) DÉTERMINATION DES ÉLÉMENTS DU 1% JANVIER 1905. Pour fixer les éléinents du 1° janvier 1905, nous avons utilisé les observations des mois de décembre 1904 et janvier 1905. Afin de ne pas interrompre la série des observations au magné- tographe, les expériences de température pour cet appareil ont été reportées au mois de février; on a, en outre, utilisé les observations des appareils à lectures directes et les détermina- tions absolues effectuées pendant ce mois. Constantes des appareils de variation. La graduation des appareils enregistreurs a été déterminée deux fois, le 1% décembre 1904 et le 8 février 1905. Voici le tableau des résultats : VALEUR DE {mm D'ORDONNÉE. Date. Déclinomètre. Bifilaire. Balance. Aer décembre 4904. . . . 1/48 0.000063 c. g.s. 0.000053 c. g.s SRICVEIERAODO RER 148 0.000067 0.000057 Moyenne . . . 1/48 0.000065 c. g. s. 0.000055 e. g.s. La graduation des appareils à lectures directes a donné, pour valeur d'une division des échelles : VALEUR D'UNE DIVISION DE L'LCHELLE. Date. Déclinomètre. Bifilaire. Balance. 8 février 4905. . . . 40” 0.000032 c. g.s. 0.000174 ce. g. s L'influence de la température sur les ordonnées du bifilaire et de la balance du magnétographe a été déterminée à quatre reprises différentes en chauffant la cave. (13) La première expérience a été faite en enlevant les cloches de verre qui recouvrent les appareils. L'humidité de la cave fut mesurée au psychomètre d’Assmann, au début et à la fin de l'expérience : de 96 °/,, elle descendit à 76 °. Les autres expériences furent exécutées sans enlever les cloches, afin d'éviter les variations d'humidité. La concordance des résultats obtenus par ces quatre expé- riences montre que celles-ci n'ont pas eu d'action marquée sur nos appareils. Voici le tableau des valeurs obtenues : VARIATION POUR 4° DE TEMPÉRATURE. Températures Date. observées. Bifilaire. Balance. A février 4905. . de 300 à Ae3 4 68—0.000106e gs. 2 06— 0 000145 c. g.s. AT = MAC NON A SOU 1N59 20000103 4 95 — 0.000109 18 — . . deÿ 7 à 41 6 4 57—0.000102 2 45 — 0.000137 A: — . . de5 9 à 420 1 60 —0.000104 2 40 — 0.000134 0.000104 0.000124 L'influence de la température sur les appareils à lectures directes est beaucoup moindre; elle a été déterminée d’abord en chauffant la salle à deux reprises différentes, les 20 et 24 février, ensuite, en comparant les lectures directes des 19, 15 et 17 février, aux ordonnées correspondantes des courbes du magnétographe. On a trouvé de la sorte : VARIATION POUR 40 DE TEMPÉRATURE. Températures Date. observées. Bifilaire. Balance. 20 février 4905 . . de 404 à 905 440 — 0.000083 c. gs. 0.006000 9% — . .… de4%à 90 4 4—0.000045 » 49-17 — Ne » 4 3— 0.000042 » 43-17 — FRE » 4 6 — 0.000051 » Moyenne . . . ‘0.000043 (UD) Déclinaison. Le méridien astronomique est obtenu en visant une mire dont l'azimut a été déterminé par de nombreuses observations du Soleil. Le méridien magnétique est conclu de la moyenne des lectures fournies par deux séries au moins de retournements de l'aimant collimateur. Les collimations déduites sont peu différentes et constituent un excellent contrôle des observations. La torsion du fil a été déterminée chaque fois : elle n’a jamais dépassé 6’ pour 90° de torsion. Son effet est done absolument négligeable. Voici le tableau des résultats obtenus avec, en regard, les indications correspondantes du magnétographe ou du déelino- mètre à lectures directes. Date. Déclinaison. Collimation. Ordonnée. Échelle. 44b31m_{4h44n0, 9 décembre 1904. 13047 10” 19/ 40/7 46.5 » 4503-15 19.17 — 43 46 30 43 20 15.5 » 44 93 4% 39 97 — 13 16 03 43 40 45.5 » 44 49 14 55 41 janvier 4905. . 13 19 34 AA 55 17.4 » 45 40 -45 923 94 — 1341418 44 48 45.2 312.90 46 42 —16 50 26 — 1512755 43 %5 44.9 871.14 46 69 -46 30 27 = à DCR On 43 45 45.2 372.86 45 20 -15 33 9 février 4905. . 13 18 48 413 34 46.5 318.14 Moyenne . . . 13046 05/ 45.7 313.91 Une première valeur de la ligne de base du déclinomètre enregistreur se tire de la comparaison des nombres des 2° et 4° colonnes : 1301605 — 15.7 X 1/5 — 12°52/52”. La moyenne des quatre dernières valeurs de la déclinaison est 13° 14 54! et celle des valeurs correspondantes de l'échelle ou déclinomètre est 373.91. Si l'on représente par ! la lecture de (15) l'échelle, la formule de réduction du déclinomètre à lectures directes sera — 131454" + (1— 573,91) X 40”. Si, à l’aide de cette formule, on réduit les observations du 24 janvier au 8 février, et si on les compare aux données cor- respondantes du magnétographe, on aura pour ce dernier une nouvelle valeur de la ligne de base. Voici le relevé de ces observations : Date. Lectures directes. Magnétographe. Écarts. 24 janvier . . . . 13043 40” 45 20 + 577 D CEE AMIS TASIEE 45 30 + 52 DD nt tion oe lo eh 15 40 + 44 ON tie ce OUT 13 20 — 03 DONNE TENUE 15 08 +48 CODES AE COMITE NSS 15 40 + 04 SON C0 918760 14 83 + 08 SAN cr cit OL 18025 : 44 61 —+ 08 PETER peu ee MMM) 15 75 + 01 DRE RER 814419 15 11 + 09 SEE ER 13 15 52 15 53 — 48 ARS en tie" 12791 14 54 — 53 DM Te rat 9r12.31 13 50 — 21 GLS LAS MEANS GE PE 13 83 —+ 10 RENNES R 1813517225 14 60 — 36 SEUL 5125 1% 56 — 44 Moyenne. . . . 4304440” 14 90 (UN La valeur de la ligne de base déduite de ce tableau est 43°44/10/ — 14.90 X 1/5 — 12°51/497. Nous avons adopté comme valeur définitive la moyenne non pondérée des deux nombres, 12°52/ 32 et 12°51/ 49/, et comme formule de réduction du déclinomètre enregistreur D — 12°52/10/ + n X 1'5. (16) Composante horizontale. La valeur absolue de la composante horizontale a été déter- minée chaque fois par la méthode combinée des oscillations et des déviations. Dans le caleul du rapport et du produit du moment magné- tique » de l’aimant et de la composante horizontale H de la force magnétique, on a tenu compte des corrections de température el d’induction telles qu’elles ont été déterminées à l'Observatoire de Kew en 1881. La formule de correction de température est 0.00500(t — 0°) + 0.000 000 82(t — 0}, où t est la température observée. Le coefficient d’induetion u est 5.01. Quant au moment d'inertie K de l'aimant et de son équipage, on a adopté de préférence la moyenne de trois valeurs obte- nues plus récemment, en observant les temps d'oscillation de l’aimant collimateur alternativement avec et sans un cylindre auxiliaire de cuivre dont la masse et les dimensions ont été de nouveau déterminées avec le plus grand soin. Dans ce qui suit, nous donnons en regard les constantes du cylindre auxiliaire et du barreau collimateur déterminées à Kew en 1881 et à Cointe en 1904 : / et d désignent respective- ment la longueur et le diamètre, exprimés en centimètres, du cylindre auxiliaire, m sa masse en grammes, k le moment d’iner- tie de l’aimant collimateur et x la valeur du rapport de la cir- conférence au diamètre. Constantes. Kew 1881. CoinTEe 1904. Cylindre auxiliaire. l 9.612 9.645 d 0.998 0.998 M 63.688 63.691 (17) Barreau collimateur. log z2k à 0° C. 3.48030 3.480419 26 octobre 4904 348004 927 — 348025 27 — Moyenne . . . 348016 L’accroissement de la valeur de log r?k est de 0.00011 par 10° d'élévation de température. La durée d’une oscillation est toujours déduite de 12 séries de 100 oscillations, obtenues en observant le temps du passage du milieu de l'échelle de l’aimant collimateur au centre du réticule de la lunette de 5 en 5 oscillations jusqu’à la 55°, puis de même de la 100° à la 155°, et en retranchant la 0° oscillation de la 100, la 5° de la 105°, etc. Les moyennes des observations paires ou impaires fournissent deux séries dont la moyenne divisée par 100 donne la durée d’une oscillation. Ce procédé, emprunté aux observateurs anglais, a l'avantage d'éliminer les erreurs systématiques qui affectent les oscillations de l’aimant de droite à gauche et de gauche à droite. Les temps des passages sont notés au moyen d’un chrono- graphe électrique adapté à une pendule sidérale de Cooke. Dans la réduction des temps observés, on ne tient pas compte de la marche de l'horloge et de l'amplitude des oscillations : la première est, en effet, toujours inférieure à 1° par jour, et la deuxième ne dépasse jamais 50’. Mais on réduit le temps sidéral en temps moyen et l’on tient compte de la torsion du fil. On détermine cette dernière en faisant tourner de 180°, dans un sens et dans l’autre, le cercle de torsion, et on lit la déviation produite sur l'échelle de l’aimant collimateur. Dans nos expé- riences, cette variation n’a jamais dépassé 6’ pour 90° de torsion. Les observations de déviation se font toujours lorsque les centres des deux aimants sont à des distances de 30 et 40 cen- timètres. (18) La valeur du terme P se déduit de la formule de Rücker (*) ER u où r et r, représentent les deux distances et /, L, les logarithmes « m . vulgaires des valeurs de + pour ces deux distances. Pour l'usage, nous éerivons bi DONNE TE ENT )r: É — ‘| ne nr GEST Par: et ou, en faisant r = 50 centimètres et r; — 40 centimètres, P gs = 52651 (4 — Li) — 246407 (1 — 1) P To = 29608 ( — 4) —121730(1 — 4) Voici un exemple extrait de notre carnet : OSciLLATIONS. 11 janvier 4905. — Heure de 15° 0" à 15! 12». Pendule sidérale de Cooke — chronographe électrique. (*) Nature, vol. XXXVI, p. 508. London. (19) Échelle se mourant à droite. Osc. Temps. Osc. Temps. Durée. 0 Om78 84 100 7m55s 92 1m8s 08 10 1 30 61 410 8 38 86 8 25 90 9 43 44 120 9 91 60 8 16 30 2 56 23 130 10 4 53 8 30 40 3 39 05 140 10 47 42 8 31 50 4 91 82 150 11 30 24 8 42 Moyenne . . . Tm8s963 Osc. Temps: Ose, Temps. Durée. 5 Am 9s 15 105 Sm7:57 1m8s 49 15 1 52 06 145 9 0 33 8 27 25 2 34 90 195 9,43 93 8 33 3 3 17 67 135 10 26 09 8 42 45 4 0 52 145 A1 08 85 8 33 Bb) 4 43 39 155 14 51 TO 8 31 Moyenne . . . 7m8347 Moyenne en temps sidéral . . . 785305 Correction . . . —1.170 Moyenne en temps moyen . . . 7m7s135 À oscillation . . . 4s 2746 Amplitude | au commencement, de la 10° à la 60° division. des oscillations ( à la fin, de la 50° à la 50° division. avant, 407. après, 407. Température Échelle verticale : lecture correspondant à l'horizon, 15° divi- SION. (20) TorsION DU FIL. Torsion. Lecture. Échelle. Qo Front Et < 0 390 à +480 360 —= =D E =. °_300f 0 480 TT = r00e De à — 180 ON VE + er, LE _ hr 0 180 TT 2405 d—g—= 48 somme Fe Torsion pour 90°, %.82 ou en minutes : 2.82 X 1/.74 = 4.91. H 145 — Q(t— 6) Ho DR >> 1.060914 143 0.004140 4.00058 Calcul. To= Ti = 42746 log T4 2 los Ts log > log T2 log 72K 72K lo m»H — TT 0.63059 4 26118 0.00025 1.261483 9.480921 2.921878 (21) DéviaTions. Aimant. Distance. Pôle N. T. Vernier. Moyennes et différences. Est 30 em E 409 92 06! 35/7 99 02’ 00/ 40 W 63 50 40 52 03 43 40 E 409 80 19 35 — 30 W 5 BD 3905817 Ou 495909” Ouest 30 W 400 51059/ 00” 80018/ 28/ 40 E 80 17 20 63 48 30 40 W 63 46 20 — .30 E 40 0 91 57 25 4602958” 9, 804459 Calcul. ro— 30 7, — 40cm log4+r5 413040 450496 5] 4 + _ 4.00037 41.00046 logsinuo 9.533178 915682 0 (Et — 10)Q 0.004925 0.001425 CS D Re Re log 366385 366478 Ho > 4.00162 4.004141 log > 0.000710 0.000641 m/ SRE RES log TU 3.66455 366239 B ce 1D er | Bises = = à 1 —— —=Ù, 3 © es L s04 14 À 302 0.98865 ; 1 TS 0.99367 log | >| 4.9950% 199795 log = -3.68959 3.65964 log — 3.635962 log mA 2,21818 logm2 5.81840 loc H2 2.55916 logm 293920 log H 1.271958 m 869.37 H 049036 Le tableau suivant renferme tous les éléments nécessaires au calcul des observations absolues de la composante horizontale et des lignes de base des bifilaires enregistreur et à lectures (22) M les LA ésigné par , DA directes. Pour simplifier l'écriture, nous avons d indications qui se rapportent au bifilaire enregistreur et par E celles du bifilaire à lectures directes. 69667 69" 7rY 9EYrY 88 667 97067 0 GE067 0 G7067 0 V6067'0 76687 0 960670 860670 660670 8c067 0 FL'G98 G9'898 0£'0L8 60°7LS YG'L98 LE‘698 EL‘VLS 9S'0L8 G0'‘0L8 8 Yr8 0 9 6r mA (Q 0G Sr 8 | 6 9 67]|L Or Sy 6r 8 Sy V8 SG YF 8 66 7} 8 66 Yr 8 G Vr| $6 67 8 Gog |/8G/Æ6708 VG #9 67 97 SG 67 Gr 98 67 60 66 67 6 YS 67 164606 *SNOLLVIAH(T L 6 CICR y 6016 7 YS8LG Ÿ 8GLG 0898 L69G ? 9YLG 9996 : GELG 6696 s} ‘apan(| *SNOILVTIIIS ° 87 Sr ° vv ST ° ©v Sy © LO 9 “GO6Y 121149) 6 ° 00 97 | SG Sr * LO Sr ” 07 Sr ‘uPYuGY ‘YO06Y 2140099 6 Calculons d'abord la ligne de base du bifilaire enregistreur. Les indications du magnétographe faisant défaut pour le 9 février 1905, la moyenne des ordonnées restantes est 21="13, (25) celle des températures correspondantes 7°2 et celle des valeurs de la composante horizontale 0.190530. L'équation qui détermine la ligne de base du bifilaire s’écrira donc 0 19030 — H; — k X 21.15 + c X 7.2, où H; représente la valeur de la ligne de base à zéro degré de température, k = 0,000065 et c — 0,000104. On en tire He — 0.190992 à °C, ou, pour faciliter les réductions, Hs — 0.19196 à 10°C, La formule de réduction des ordonnées du magnétographe bifilaire s'écrira donc H — 0.19196 — 0.000065 y + 0.000104(t — 10), y représentant l’ordonnée en millimètres et { la température du bifilaire. La ligne de base du bifilaire à lectures directes résulte des moyennes des quatre dernières valeurs de la composante hori- zontale et des nombres contenus dans les deux dernières colonnes du tableau précédent. On trouve ainsi 0.190338 — H3 — x X 442.1 + © X 7.6; ce qui peut s'écrire 0.19038 = Hg — x X 440 — x X 2.1 + c X 7.6, ou, si nous adoptons comme ligne de base la division 440 de l'échelle, 0.19038 = H; — x X 2.1 + c X 7.6, où H/, représente la valeur de la composante horizontale cor- respondant à la division 440 de l'échelle, x — 0.000032 et ce = 0.000045. (2%) On tire de là H3 — 019015 à 0°C et H} — 0.19056 à 10°C. La formule de réduction des lectures de l’échelle du bifilaire s'écrira done H — 0.19056 — 0.000032(/ — 440.0) + 0.000043(t — 10), où L représente la lecture de l'échelle et & la température de la salle. Nous avons encore déterminé une nouvelle valeur de la ligne de base du magnétographe bifilaire en réduisant par la formule précédente les lectures du bifilaire faites du 10 au 25 février et en les comparant aux ordonnées correspondantes de la courbe du bifilaire enregistreur. Les données nécessaires pour ce calcul se trouvent dans le tableau suivant : 1 Échelle. t Ordonnée. | H calculé. 40 février 1905. . . . 4.3 439.50 D. 20.57 0.190337 11 EN Pro tou 4.8 435.00 ÿ.4 17.60 0.190496 12 nn NO ER Ou 2.3 431.58 6.1 19.40 0.190306 15 = c Sac 1.8 438.925 D. 19.45 0.190263 14 — LU SRE 2.0 438.17 4.8 ITAT 0.490275 15 = Se re 4.8 44.80 4,5 17.35 0.190279 16 UNE er à.1 442.00 4.9 17.60 0.190369 17 — Fe 1.8 445.179 5.9 1845 0.190344 49 — ÉD or 7.2 444.15 7.0 20.35 0.190440 20 = HEEeS 4.5 438.30 6.3 49.20 0.190378 JA — 3,3 439.00 5.9 16.00 0.190528 22 — 5 o © © 3.5 435.16 6.7 18.98 019046 23 — RARE 2.8 455.00 D.4 417 90 0 190589 Moyenne . . . 5.65 18 42 0.490371 (25 ) La valeur de la ligne de base du bifilaire enregistreur se tire de l'équation 0.190371 = Hz — 0 000065 X 18.42 + 0.000104 X 5.65. On trouve ainsi He = 0.19098 à 0° C ou He — 0.199202 à 10°C, Nous avions trouvé précédemment H3 — 0.19196 à 10°C. Ces deux valeurs sont suffisamment concordantes; nous en avons pris la moyenne et adopté comme formule de réduction des ordonnées du bifilaire enregistreur : H — 0.19199 — 0.000065 y + 0.000164(1 — 10°). Inclinaison. On a pris chaque fois, comme valeur absolue de l’inclinaison, la moyenne des valeurs fournies par les aiguilles n° 4 et n° 2, La trace du méridien magnétique ou du maximum d'inelinai- son sur le cercle horizontal a été déterminée comme de coutume en observant le plan du minimum d'inclinaison pour l’une des deux aiguilles, puis en tournant l'équipage de 90e. On a néanmoins expérimenté le procédé des inclinaisons correspondantes (*) sans lui trouver un avantage bien marqué sur le procédé classique. La graduation spéciale du cercle horizontal de la boussole de Dover en quatre quadrans de 0° à 90° est, en outre, une cause de trouble dans l'application de cette méthode. Nous avons adopté les notations suivantes pour indiquer les lectures du cercle vertical correspondant aux pointés des extré- (*) Annales de l'Observatoire magnétique, eic., de l’Université Impériale à Odessa, par A. Klossowsky. Odessa 1896, p. 35. (26) mités supérieure et inférieure de l'aiguille aimantée dans les diverses positions qu'on lui fait occuper : . EXTRÉMITÉ ———_—pLELZL supérieure, inférieure. Cercle est, marque avant . . A A" / — Ouest, — te B, pe — ouest, marque arrière. Ce (De (/ — est, — : D, D’, Voici un extrait du registre d'observations : 10 décembre 1904. — Heure, de 14! 52% à 15? 25. Recherche du méridien magnétique. Marque avant. Marque arrière. HaceISud ee 99018/ 36045 34 U9 34 55 Face nord . . 32 30 31 57 33 M 33 15 330 54/5 340 05/5 Moyenne . . . 34000 Inclinaison. Aiguille n° 1. Pôle & incliné. Pôle 6 incliné. A, AL Moyenne. A% A’ Moyenne. 65°10/ 65035’ 65°22/ 5 65013 65039 65026 0 B, Be Ba B, 66030” G6014/ 66 20 5 G6°49/ 66024 66 32 b LC; C2 G. C2 65000 65028/ 65 14 0 65019 65045/ 65 32 0 D: De De De 66°30/ 66012 66 21 0 66032 66043/ 66 22 5 65° 495 650583 650 53/9 (27) Aiguille n° 2. Pôle & incliné. : Pôle G incliné. A4 A’ Moyenne. Au A Moyenne. 65021’ 65046’ 65033 5 64054 65020 65° 07/ 0 B, Be BHRMENE 66036’ Go019/ 66 24 0 66048 66014 66 31 0 Ce (DE Ce CL 65002 65026! 65 14 0 65015 65°44/ 65 29 5 D, D, D, D’ 66051/ 66930’ 66 40 5 66028 66000’ 66 14 0 65058/ 0 65° 50 4 650549 Inclinaison : 65° 54 1. L'inclinaison a été déterminée à trois reprises différentes ; les nombres obtenus nous ont paru suffisamment concordants pour ne pas devoir multiplier les observations. Voici ces résultats : INCLINAISON. Date. Aiguille n° 4. Aïguille n° 2. Moyenne. 40 décembre 1904 . . . 65053/ 9 65054 2 65054 1 49 janvier 4905 . . . . 65 50 9 65 56 9 65 53 9 20 — TU 65 54 0 65 53 8 65 53 9 La moyenne de ces trois nombres 65° 54/ et les valeurs de la composante horizontale comprises dans le tableau page 22 ont servi à calculer les valeurs absolues de la composante verticale au moyen de la formule Z = Higi, où Z représente là composante verticale, H la composante hori- zontale et à l’inclinaison de la force magnétique. Ces valeurs sont renseignées dans le tableau suivant avec, en regard, les ordonnées correspondantes de la courbe de la balance et les températures de la cave. (28 ) Date. Z Ord. t 9 décembre 4904, 45h4m . . . 049536 26 9 702 17 Æ 45 40 . . . 04336 26 0 14 97 = TS Où NT 93 9 5 5 41 janvier 4903, 41595 . . . 042556 19 5 45 DhQies CO NET 438 37 16 février 1905, 1342 . . . 0.49368 96 0 15 Divis ISA DAT 370 AO HE ONE TE SN 1 La moyenne des valeurs de la composante verticale est 0.42542, celle des ordonnées 26.3 et celle des températures 7.2; nous pourrons donc écrire 0.492549 — Ze — k X 26.3 + © X 7.2, où zg représente la valeur de la ligne de base de la balance à zéro degré de température, # — 0.000055 €. g. s. et c — 0.000124 c. g.s. On en déduit Ze — 0.492598 à O°C ou La — 0.492729 à 10° C. Nous pouvons encore déterminer une nouvelle valeur de la ligne de base de la balance du magnétographe à l’aide des valeurs de la composante horizontale contenues dans le tableau page 24. Dans le tableau suivant, nous avons écrit en regard de ces valeurs les ordonnées correspondantes de la courbe de la balance et les températures de la cave. Date. H Ord. t 40 février 4905. . . . 0.190337 94.2 5.5 41 — FL RTTELS 0.190496 20.6 5.4 49 — LUTTE 0.190306 94.2 GA 43 — ee 0.190263 21.5 5.1 14 — RTE Pa 0.190275 20.9 4.8 45 — RE 0.190279 20.1 4.5 16 _ y de 0.190369 49.0 4,9 A7 — RASE 0.190344 17.2 5:9 49 — SITUÉ 0.190440 47.0 7.0 20 — ne 0.190378 46.1 6.3 91 — cel 0.190528 13.4 6.9 22 — APR 0.190416 45.0 6.7 93 — RE GES 0.190389 45.2 5.4 Moyennes . . . 0.190374 HO sŒ (29) L'équation qui détermine zg s’écrira 0.190571 X tgi = Ze — k X 18.34 + © X 5.65. En prenant pour à, k et c les valeurs renseignées précédem- ment, on trouve Za = 042589 à 0° C ou La = 0.497135 à 10° C. On a adopté comme formule de réduction des ordonnées de la balance Z = 0.42718 — 0.000055 y + 0.000124 (t — 10°), la valeur de la ligne de base étant la moyenne des deux nombres précédents à 10° C. Nous n’avons pas utilisé les indications de la balance d’Edel- mann à cause de son peu de sensibilité à cette époque et des faibles écarts qu’elle a donnés pendant la durée des expériences. CALCUL DES ÉLÉMENTS MAGNÉTIQUES. Nous donnons dans le tableau qui suit les moyennes horaires des éléments magnétiques déduits des courbes du magnétographe pour les mois de décembre 1904 et janvier 1905. Les formules de réduction adoptées sont celles qui ont été établies précédemment. Nous les transcrivons à nouveau. Formules de reduction des ordonnées des courbes du magnétographe. Déclinomètre : D = 1205210/ + n X 1/5. Bifilaire : H = 0,19199 — 0,000065y + 0,00010% (£ — 40), Balance : Z = 0,42718 — 0,000055y + 0,000124 (4 — 100). ( 30 ) Moyennes horaires déduites des courbes du magnétographe. HEURE DÉCEMBRE 4904, JANVIER 4905. Temps local 29m15S5 E. Gr. 4 | 13013195” | 019039 0492598 | 13013587 | 019029 049537 2 14 43 40 28 14 99 28 31 3 14 11 41 28 15 O1 30 27 4 44 99 44 98 14 53 32 36 b) 14 92 45 28 414 49 39 36 6 13 49 45 28 14 26 34 37 7 13 52 45 98 14 14 35 31 8 13 40 43 27 44 10 34 31 9 43 49 4 26 43 56 30 35 10 14 39 91 25 14 36 26 3b 41 13 38 39 95 45 45 20 35 Midi 42 16 20 99 27 47 02 47 39 43 16 33 5 29 18 06 22 36 14 16 10 38 Bb) 47 59 2% 40 45 45 35 38 32 17 09 98 42 46 45 10 31 32 16 32 28 48 47 14 52 40 39 4529 26 43 18 14 93 40 32 A4 ST 28 43 49 43 46 42 . 32 414 56 24 43 90 43 17 43 32 43 51 24 43 21 12 39 44 31 419 31 28 42 22 13 14 42 30 19 58 27 4 93 12 55 40 29 43 04 98 39 Minuit 24 43 17 40 98 12 32 29 39 Moyennes. . | 43°44 20” | 0490402 | 0.425291 | 1314 53” 0.190276 | 0425388 Les moyennes des mois de décembre 1904 et janvier 1905 fournissent les éléments magnétiques au 1° janvier 1905. On trouve ainsi : Valeurs des éléments magnétiques au 1° janvier 1905. (/] q J Déclinaison Ne EC DIS EST Composante horizontale. . . H—0.190339 c.g.s. Composante verticale . . . Z—0.425340 c.g.s. TABLE DES MATIÈRES DESCRIPTION DES INSTALLATIONS. BMNOnEMaRÉQUE CU NC UC ee Magnétographe de Mascart . . . . . . . . . . . . Appareils de variation à lectures directes d’Edelmann Appareils pour les déterminations absolues . DÉTERMINATION DES ÉLÉMENTS MAGNÉTIQUES DU 4e JANVIER 1905. Constantes des appareils de variation : graduation et influence de la température . NT 0 MOT. 10 TS MUNDO 0 Co Observations absolues de la déclinaison; formules de réduction des dÉCMOMELTESE nie eee ee eee eee de Observations absolues de la composante horizontale; formules de réduction des bifilaires RE TN AR RE TE CR Observations absolues de l’inclinaison; formules de réduction des balances . CALCUL DES ÉLÉMENTS MAGNÉTIQUES. Tableau des observations horaires et éléments magnétiques au 1° jan- vier 1905 AVIS. 30 Toutes les indications de temps sont données en temps local de l’Obser- vatoire de Cointe, compté de 0 à 24 heures d’un minuit au minuit suivant, Les coordonnées de l'Observatoire de Cointe sont : Longitude . , , 22m/{5s5 à l’est de Greenwich. Latitude . . . . 5003767. AI pa + . < ; "r : : NN PESTE" JOBS MURS pue MU LUE A0 TUE ER 241€ È * % > CE È 2 MXES : A PIRE SRE HHOR RONA UNE FE TEE HRRAARÉ RSS CAGE Ur UE Dre Aie OUT) MOMIE NE CNE ACT ANTTI) NU ENT OT EU PHOBIEN IAE] Ait ENT ere San EC ET El (= CRROUPAETATES Las (é == AP SRE RAT EE joe r MMS NNUTES | abs Gr Pr aodentrg Holerte ; 9 has j ; . 3 L . ; rie - FA + : pi : > . 15 PICRLRITE NE HnT ] CRIE UP Y 1 En 1 HU Hetloit NE Hat < - AAC ä S'RECE + , e È d ET or : : x « è 44 =. = C> x > : s ; > “ » Fr $ c : ee su RARES Fo AN NALIOFEE EU A MATE RCE té ÿ : ie LEURS SR MATTER AN PPT EE > ‘ > & + 2 En CRE , = # + e Le AU HOR LE SAR ON ON AUTRES SD BR (ol DESCRIPTION CRISTAL DE CALUTE DU SIMPLON RÉPÉTITEUR DE MINÉRALOGIE A L'UNIVERSITÉ DE LIÈGE MAMAFEE un 7. « Rat AAA À CTI fre rs ATP DA MUAUE RU ATETTA | r < ÉÈ > Lo . 2 L me | Fi : À. Abraham. — Mém, Soc. roy. des Ge, de Liége, 3e sér,, €, VI. Y A A ae ecliort clhogonale Ve plan de drrélèce da7- T0) peipendieutaire a A ue Pc DESCRIPTION ? D UN CRISTAL DE CALCITE DU SIMPLON Ce cristal est remarquable par la présence du nouveau prisme dodécagonal UE $ — 340 (*) — d'Ëb”, 1 par l’ensemble rhomboédrique p, e* modifiant d°, et par le déve- 1 loppement de la zone ase*ep (461, 450, 441, 405, 011), zone 3 ayant pour équation : 5h = 4(k + D. 1 Les faces e donnent des images d’une netteté remarquable; il en est de même de celles de la forme : 1 y—= 12.8. 4:—d'd'b"; (*) Une face supérieure du primitif étant placée devant le spectateur, nous- prenons pour axe des x et des y les L? placés à droite et à gauche du spec- tateur, l’axe des + étant le A5, de sorte que notre AkL équivaut dans la nota- tion ordinairement employée à #.h-k.h.l. Ainsi 540 = 4150 324 — 2131 405 = 0475, etc. (Voir la figure.) (2) Les faces du nouveau prisme sont petites et donnent des _images satisfaisantes. La figure représente le cristal en projection orthogonale sur le plan de symétrie dt = 210 perpendiculaire à l'axe x. k *% 4 1 1 Rhomboëdre e* et scalénoèdre d‘d'bT. — Les mesures qui ont servi à déterminer ces formes sont réunies dans le tableau suivant : ANGLES. CALCULÉS. MESURÉS. Au 111 . 405 39°4/ 3906’ ni a! 144.445 82°53/ 89055" AT 405 . 321 4406 44097 y (12.8.1) 321 1508/,5 150197 yp (12.8.1) 111 430157 45025" yy surp | (12.8.1)(8.12.1) 58°2/ 38°38/ ye (12.8.1) 441 20044’ 2103! yd>? sur € (12.8.1) 251 40° 40015 * is * 4 1 Prisme s — 540 — dfd D. — Il a été déterminé par deux méthodes : a) En partant de 58 = à == 21030", ps — 8 — 4614. Si Akl est la notation demandée, on a : h+k 9 TE (cos 6 cos y + sin f sin y cos w cos +), — eu formule dans laquelle n Us Sin — sin p—= — sin 6 2 sin y 7 étant l'angle pdt = 52°32/30/. On obtient successivement 7 — 14°58/6/ @ = 39°2/50/ h+k Vi R He 912295; d'ou Re 1,246. Si l’on désigne par à l'angle que fait le grand cercle vertical passant par le pôle s avec le grand cercle bissecteur de l'angle xy, on a : R—k PRIS d’où i— 1045, Comme cet angle est la moitié de l’angle à du biseau ss’, il s'ensuit que le pôle de s se trouve sur le cercle d'horizon et que !— 0 (*). Donc s — 540. 1 b) La face s appartient à la zone p — OT1, e5 — 405, e5— 441, 1 1 : et comme pe’ — 59°4/, ee — 60°27’ et que la mesure a donné e°s! — 18°10/, la relation des quatre faces en zone donne pour 5 : y — 0,202 et L'équation 5h — 4(k + |) de la zone en question donne alors ! — 0, de sorte que : s’ = 450. (*) I est impossible de vérifier directement que l’arête du biseau ss’ est verticale, parce que des quatre faces s existant sur le cristal, il n°y en a que deux qui soient réfléchissantes. Scalénoëdre e; — 621. — Dans la même zone, plus bas que 3 la face prismatique 450, se trouve une petite facette faisant 1 avec € un angle de 92212 ; la relation des quatre faces en zone donne pour cette face : k—h 7 — 0,5565, puis RAD 1 ENT SN EXT 6 et hkl — 461. Cette forme se trouve mieux développée dans une autre région du cristal. On a pu, pour elle ainsi que pour le prisme, effectuer d’autres mesures relatées dans les tableaux qui suivent : 4 Angles relatifs au prisme s — 540 — d'd’h’. ANGLES. | CALCULÉS. MESURÉS. sp 840.111 | 26247 46014 ss’ 340 . 450 24047/ 21030 sy 540 . (12.8.1) 9051/,5 9041’ se 540 . (441) 17051! 18°40/ (7) Angles relatifs au scalénoëdre e. 3 a ANGLES. CALCULÉS. | MESURÉS. EE, pe 111.621 193 | 492 3 d’es 521 . 621 2301 4 22°50/ (*) 3 yeenumenvæat | (12,8.1) (641) 16019 16°17/ 3 er ë 621 . 405 43044" 43°48 3 a & 461 . 405 … 91052, 0219 3 2 (*) Les faces d? et e donnent des images peu précises. Ses peu P Us 7 ouh {'h CAS 4} “À nu sà nn t pi LA y à AURA (+7 00 ! . j AT mn) 3 aléstihige a Aitobre een . hu PL NAi7U ne : DR Lis et © +. 2 | | A LE É Ka N AA Ed di ie, LEO À +“ nr ms les tte "HéU, EDR ‘ptit 20 PAUL ; . (EU (E.SER | ACL LAPS : ZT à ET sh: A vaut r “cp à 40 PE ES UT À : Se À L Lis Me RHOMBOËDRES DIRECT ET IN VERSE qui, modifiant un scalénoëdre, coupent ses. arêtes culminantes en des points situés dans un même plan horizontal, les faces modifiantes partant d’un même point de l’axe ternaire PAR G. CESARO PROFESSEUR A L'UNIVERSITÉ DE LIÉGE. N A 0 AT ELA } ; à s A at "1 1 à L STAUN d NT DE A * ch n LA ï k re Nr NS k LI 4 ” à RAT Abe J'ULE HE Le ALT INONTE ROT ER ‘à || 2890408 M0H ‘: CR 5 ne F TA ” LEACR à Ty : ÿ d à = ÿr È 1 ER AMEN ANT avide: de insqhog MhéanËlere mu ‘ne sue seuls, afiog 860 18: aninaitihom sa0n al infnositod "eme mat op triog: embm 21% RHOMBOËDRES DIRECT ET INVERSE qui, modifiant un scalénoëdre, coupent ses arêtes culminantes en des points situés dans un même plan horizontal, les faces modifiantes partant d’un même point de l’axe ternaire. 1 La combinaison d?pe’ observée dans la calcite du Simplon a ceci de particulier, que les points À, B, C..., où le scalénoëdre est rencontré par les deux rhomboëdres, se trouvent dans un même plan horizontal (*). Cette propriété existe non seulement pour la caleite, mais pour n'importe quelle substance rhomboëédrique; on peut la généra- liser : Tout scalenoëdre d” modifie par le primitif p et par le L rhomboëdre e"*", issus d’un même point du A5, a ses arèles culminantes coupées en des points situes dans un même plan 1 horizontal. Ainsi, pour d?, le rhomboëdre dont il s’agit est e; 4 pour di, on trouve naturellement eï, l'inverse de p. Un scalénoèdre Ak!l jouit de la même propriété par rapport h—k ; àpeñet 1 ; pour un isoscéloèdre (k — 2k), on trouve naiurel- lement & pour second rhomboëdre. (*) Voir Calcite du Simplon, par Abraham (MÉMOIRES DE LA SOCIÉTÉ ROYALE DES SCIENCES DE LIÉGE). (4) PROPRIÉTÉ GÉNÉRALE. Deux rhomboëdres, l’un direct, 11u, l’autre inverse, 10s, issus d'un même point du A5 coupent en des points situés dans un plan horizontal les arèles culminantes de tout scalénoëdre hkl dans lequel 2h—k u RES Lo En effet, si nous ramenons les faces rhomboédriques à couper l'axe des 3 en un même point, pour obtenir les coordonnées de leurs points d'intersection avec les arêtes culminantes du scalé- noëdre, on doit déterminer l'intersection des deux ensembles de faces : s.s.us, hkl, khl u.o.us, hkl, (h—Kk)kl. En égalant les z des points d'intersection, qui sont respecti- vement donnés par k D A AN AL EE LEE c s JP 1 HP) 0 em € u on obtient u _2h—k S RUREENE 4 Exemple. Ainsi, les rhomboëdres p — 111 et e5 — 405 joui- ront de la propriété dont il s’agit par rapport à tous les scalé- noëèdres de la série 32/, série à laquelle appartient d? — 521. CENTRE DE GRAVITÉ DU TRIANGLE SPHERIQUE PAR G. CESARO SEUR A L'UNIVERSITÉ DE LIÉGE. a ff À lo Li _ ) voie "1 OA: RO A0 an LRU NE 4 7 CENTRE DE GRAVITÉ DU TRIANGLE SPHÉRIQUE THéorèMe Î. La projection de la droîte qui joint le centre de gravité d'un triangle sphérique au centre de la sphére, sur le rayon aboutissant au sommet À, a pour expression RE T9 = — a Sin b sin C, 4E formule dans laquelle R est le rayon de la sphère, 2E l’excés sphérique du triangle consi- déré. L'axe des x étant le rayon OA (fig. 1), prenons les moments par rapportau plan diamétral perpendiculaire à ce rayon. La surface AM comprise entre les ares de grand cercle de longitude « et « + dx étant s — R°da(1 — cos 8), on a, pour l'élément de sur- face, ds — R°da sin 6d5 FIG. 1. (4) et, pour le moment élémentaire, xds — R‘da sin B cos BdB. L'intégration par rapport à 5 donne 3 3 = daœ(sin* 8}; = ni da sin” u, = formule dans laquelle w est la mesure de l'arc AD et cos b cos « + sin æ cot C COL = ————-. sin b On a donc, en désignant par S la surface du triangle sphérique, R5 16 dax SX = — ee 2. sin? b + (cos b cos « + sin « cot CŸ 0 En divisant haut et bas par cos? «, puis posant (gax—7z, il vient sin C(sin?b + cot? C)z + cos b cos C )'E* sin C Lo— —— arctg: sin sin b : et, en observant que m—n are tg M — arc ig n = are tg ———; 1+ mn R° sin b tg A Sr, — — sin b sin C arc tg + 2 sin C + cos b cos C tg À 3 = RE b sin C arc tg(tg a). Comme S — 9R°E, RE banc (1) —- — sin D sin C. 4 E Observation. Cette formule peut aussi s'écrire Rue (2 Oro Une ) (8 en désignant par h, la hauteur du triangle sphérique menée sur le côté a. Tuéorène II. Le centre de gravité d’un triangle sphérique s’oblient en portant, à partir du centre de la sphère, sur les rayons aboutissant aux sommets du triangle polaire, le demi- rayon multiplié par le rapport à l’excès sphérique du côté au plan duquel le rayon est perpendiculaire, et construisant le parallélipipède sur ces trois droites. Le centre de gravité est l'extrémité de la résullante ainsi obtenue. En effet, si nous prenons pour axes coordonnées les nor- males OX, OY, OZ aux faces a, b, c du trièdre correspondant au triangle sphérique considéré, la projection d’un rayon vecteur quelconque OM sur larête OA du trièdre, projection que nous avons désignée par x (fig. 1), représentant la distance du point M au plan des YZ, et la coordonnée X du même point étant le segment de la parallèle à OX comprise entre M et le même plan, on a, en désignant par © l'angle des droites OX, Ox, x — X cos ». Or + est le complément de la hauteur h, du triangle sphé- rique, de sorte que X sin À, Cette formule permet de passer des projections du rayon vecteur sur les arêtes du trièdre (2) aux coordonnées du centre de gravité par rapport aux arêtes du trièdre supplémentaire. Ces coordonnées sont x R a DER AUT R b ==. 4 E R c N | | | (6) En observant que les angles des axes coordonnés sont 7 — A, x — B, rx — C, la distance du centre de gravité au centre de la sphère est donnée par | dE Va + b° + € — 2bc cos À — 2uc cos B — 2ab cos C. Cas PARTICULIER. Le centre de gravité du triangle trirectangle est le point milieu de la diagonale du cube construit sur les rayons aboutissant à ses sommets. CorozLaire. Si l’on considère une suite de sphères ayant pour centre le sommet d’un trièdre, le lieu des centres de gravité des triangles déterminés sur ces sphères est une droite faisant avec les arêtes du triédre des angles À. u, y donnés par To Yo Zo COS 1—= —: COSu——: COSy = —- d do 0 Ces formules fixent par rapport aux sommets du triangle le point où il est percé par le rayon passant par son centre de gravité. VÉRIFICATION. Prolongeons le côté a de manière à compléter la circonférence de grand cercle et, dans l'hémisphère ayant pour base ce cercle, prolongeons les côtés b, c jusqu’à la rencontre de la base. L'hémisphère est ainsi divisé en quatre triangles dont les triangles polaires ont pour sommet A’ commun le pôle de l'hémisphère. Si X est la distance du centre de gravité de l’hémi- sphère à sa base, le moment de sa surface par rapport à ce plan sera M = 27R°X. D'autre côté, le moment du triangle ABC étant CE) les moments des trois autres triangles seront respectivement L 5 L 3 L Ed] CE Die (7 — a), SE) et, par conséquent, Il s'ensuit que propriété connue. APPLicaTIONs. a) Centre de gravité d’un polygone sphérique régulier de n côtés, inscrit dans un petit cercle de rayon sphe- rique p. Ce centre se trouve évidemment sur la droite qui joint le pôle du petit cercle au centre de la sphère, à uñe distance qui est la projection x, sur cette droite du rayon vecteur aboutissant au centre de gravité d’un des n triangles isoscèles égaux obtenus en faisant passer des ares de grand cercle par le pôle du petit cercle et les sommets du polygone. La formule (1) donne : T . 0 . T gpcos— are sin | sin p sin — R ne. n à) Lo = — Ÿ 2. AT SELS UBEE se 1 + tg pCOS — ; ED — V p n ?—n n 7 + arcig: 2n COS p En faisant o =;, on obtient, quel que soit n, Lo 2 c'est le cas de l'hémisphère. En supposant p constant et faisant n — , on doit arriver au centre de gravité de la zone à une base. (8) Effectivement, la formule (4) devient (*) dans ce cas : Xo — — (1 + cos p) 2 qui est bien la valeur de la coordonnée du point milieu de la hauteur de la zone. b) Centre de gravité d’un polygone sphérique quelconque. Les résultats sont compliqués, mais on peut montrer comment l'emploi des formules (2) ramène la recherche à une simple question de trigonométrie. On démontre d’abord facilement que si x, y, z sont les pro- jections d’un rayon vecteur OM sur les rayons aboutissant aux sommets d’un triangle sphérique ABC, la longueur p du rayon vecteur est donnée par 4 x? y° z° RE er neo Sin SIN; Sin ne cos C cos B cos À me creme re | sin À, sin À, sin À,sin h, sin À, sin h, en outre, les angles que OM fait avec les rayons OA, OB, OC sont évidemment donnés par hi, Mo D P P A Ces formules détermineront done la position d'un point M, lorsqu'on aura calculé les projections x, y, z du rayon vecteur OM sur les droites OA, OB, OC. Supposons le polygone sphérique donné par ses côtés (fig. 2) Gi, As +. An Et par ses diagonales d4, d;, ... dy; issues du sommet A. Désignons par S la surface du polygone sphérique, par x la projection sur OA de la droite qui joint son centre de (*) Le dernier facteur, apparemment indéterminé pour n=, a pour vraie valeur sin p 1 — cos p (9) gravité au centre de la sphère, par (53, x4), (se, x2) … les quan- tités analogues relatives aux triangles ABC, ACD …, par h4,) la Fic. 2. hauteur menée du sommet A sur le côté a, ; on a R° p=n—2 Sx — Dan > a, Sin R,,,5 = et comme S — } Z(A) — (n — 2) x! R°— 2ER?, R "— SE 2% sin A, pe En partageant le polygone en triangles par des diagonales issues de B, puis de C, on aurait R D a, Sin À, p 2 TE R n 3 = — Va, Sin À, pe ÂE = (10) On voit facilement comment se caleulent les quantités qui entrent dans ces formules, en fonction des données 1e toon Care Clan cs Cage les triangles ABC, ACD … donneront 2E et les hauteurs de la forme h4,); quant aux g,», On les déduira des diagonales issues de B, diagonales qui se calculent de proche en proche en com- mençant par BD, etc. * x + Fuseau. Le centre de gravité d'un fuseau se trouve sur la droite qui joint son centre de figure au centre de la sphère, à une distance x, de ce dernier donnée par rR sin? Lo = —° AE 2 formule dans laquelle l'angle du fuseau est représenté par 2e. ONGL&T et PYRAMIDE SPHÉRIQUE. Les centres de gravité de ces volumes se déduisent immédiatement de la propriété générale presque évidente : Le centre de gravité du volume compris entre une figure sphérique et les droites qui joignent son contour au centre de ia sphère se trouve sur la droite qui joint le centre de gravité de la figure sphérique au centre de la sphère, aux trois quarts à partir de ce dernier point. (He) NOTE Dans la démonstration du Théorème I, à cause de la simplicité du résultat et de la présence de a dans l'expression obtenue, on est amené à introduire comme variable (fig. 1 et 3) la mesure de CD = w. Dans la relation R° ; St / sin°udx, éliminons w et « en les exprimant en fonction de w. On a d’abord sin 4 ST sinC sina et, par conséquent, 1 F De da ie R° sin*C / sine —; sin” & mais, en différentiant l'équation cot © sin b — cos b cos C + sin.C cot a, il vient ULRRRRE sin b SI O—— — do; sin? æ sin C donc À g 2 Q=4 Sx, = = R° sin b sin cf do, 9 G=0 et, par conséquent, RES ; Lo = — à Sin b sin C. LE La valeur de l’expression N O=A 1 sin?u da a=0 peut aussi être obtenue géométriquement. (12) En observant que dans un triangle sphérique sina.sinp, —sinb.sinh;,, le triangle élémentaire ADE (fig. 3) donnera, à la limite, A ANNE) FiG. 3. sin w . de — sin À, . do; mais le triangle rectangle AËT donne, à la limite, de — sin w . da; :U—=A :Q=a ve sin’uda — sin h, d& — à sin h,. BF) G—0 donc SUR L'HYPOCYCLOIDE TROIS REBROUSSEMENTS M. A. GOB PROFESSEUR A L’ATHÉNÉE ROYAL DE HASSELT. “ | HCTONON SUR L'HYPOCYCLOIDE D TROIS REBROUSSEMENTS L'hypocycloïde à trois rebroussements est ordinairement définie comme la trajectoire d’un point d’une circonférence de rayon R ou de rayon 2R qui roule à l'intérieur d’une circonfé- rence de rayon 3kR. La normale à la courbe passe par le point de contact du cercle mobile et du cerele fixe. La plupart des propriétés de cette courbe remarquable découlent de sa génération tangentielle. Pour faciliter l’exposé de nos recherches, nous rappelons dans la première partie du présent mémoire les principales de ces propriétés et nous en indiquons la démonstration lorsqu'elle n’exige pas trop de déve- loppements. La deuxième partie traite de la droite de Simson sous un angle quelconque; nous y retrouvons des théorèmes établis autrement par MM. S. Kantor et A. Humbert, et nous y signalons aussi un grand nombre de résultats nouveaux. Enfin, la troisième partie a pour objet principal l’étude des ellipses tritangentes à une même hypocycloïde; ces coniques ont déjà été signalées par Crémona, Kantor, Fréchet, etc., mais il restait à en faire un examen approfondi; un grand nombre des propriétés que nous démontrons dans cette partie nous paraissent nouvelles. Ci) Quant à la bibliographie, nous renvoyons le lecteur aux notices assez complètes de M. Brocard (*) et de M. Mackay (**). Pour abréger le discours, nous remplacerons souvent les mots hypocycloïde à trois rebroussements par le symbole JC; ou par le mot *ypocycloide tout court. I. — Génération tangentielle. — Droite de Simson. 1. Lorsque deux points M, M se déplacent sur une circonfé- rence (centre w, rayon R) avec des vitesses respectives v, v’ telles que v’ = — 2, la droite MM’ enveloppe une 9; (fig. 1); le point de contact N est symétrique de M’ par rapport à M. Fig. 1. Soit S un point de la circonférence « où les deux mobiles se rencontrent; nous considérons ce point comme la position initiale des deux mobiles. L’are SM’ est double de l’are SM, mais de sens contraire. Les mobiles se rencontrent encore en (*) M. BRocARD, Intermédiaire des Mathématiciens, vol. III, 1896, pp. 466- 168. (*%) M. Mackay, Proceedings of the Edinburgh Math. Society, vol. XXIII, 1904-1905, pp. 80-58. (5) deux autres points S’, S/', formant avec S les sommets d'un triangle équilatéral. Ces trois points S, S’/, S/’ sont appelés les sommers de %, ; la courbe y touche le cercle ©. Appelons $,, S;, S/; les points du cerele © qui sont diamétra- lement opposés à S, S’, S//; il est facile de voir que S$S, S;S’, S/S” sont trois positions de la droite MM’. Les points de contact de %, avec ces diamètres de © sont les symétriques de de S, S/, S’' par rapport à S,, S;, S; : ce sont les POINTS DE REBROUSSEMENT de la courbe. Nous convenons de dire que M est le point primaire de la tangente MM’ et que M’ en est le point secondaire; que la tangente MM” est primaire par rapport à M et secondaire par rapport à M’. Pour obtenir toutes les tangentes de 9,, il suffit de faire parcourir à M une fois toute la circonférence ©, le point M’ parcourt alors deux fois cette circonférence. Il résulte de là que de tout point de la circonférence w on peut mener à %, une tangente primaire et deux tangentes secondaires. 2. Ces trois tangentes présentent une disposition remar- quable. En effet, soient M’, M//' les points diamétralement opposés à M, M’ (fig. 1) et M" le symétrique M’ par rapport au diamètre MM’. Lorsque le point primaire parcourt la demi- circonférence MM/M/', le point secondaire parcourt en sens inverse la circonférence entière; lorsque le point primaire par- court l’are MM’, le point secondaire parcourt l’are double M'M”". Par suite, d’un point quelconque M' du cercle tritangent w, on peut mener à %X3 deux tangentes rectangulaires M'M, MM’ (secondaires en M') et une tangente M'M" (primaire en M) qui est perpendiculaire au diamètre MM’. La droite M"M/ étant tangente secondaire en M”, sa perpen- diculaire M*M// est également tangente à 9%,; la droite M"M// rencontre M'M et M/M/' en deux points N et N/, qui sont les symétriques de M’ par rapport à M et M/'; ces points sont donc les points de contact des tangentes M/M et MM”. D'après cela, une tangente quelconque NN' à 9; rencontre la courbe en deux points N et N’, tels que les tangentes en ces points (6) sont rectangulaires et se coupent sur le cercle w; la distance NN est égale à 4R et son milieu M//' appartient au cercle tritangent ©. Les normales en N et N’ se coupent en un point Ï du diamètre Mo, et l'on a MM’ = M//'I d'où ol — 5R. Le point de contact N/’ de NN’ avec 9; est le symétrique de M" par rapport à M’; c'est aussi la projection de I sur NN’. 3. L'angle SM, que nous désignons par 0, détermine complè- tement la tangente MM’; nous l’appelons angle directeur de MM’. Cette droite fait avec «S un angle égal à 5 (x — 0); si l’on prend pour axes coordonnés wS et le diamètre perpendiculaire, elle a pour équation Ô Un 34 æ cos = — y sin-=— R cos —- Dre 2 - De cette équation, nous déduisons les équations de la courbe en coordonnées tangentielles et en coordonnées ponctuelles : u + 0° + Ru(5v° — u*) = 0, (x? + y°) + SRx° — 24Rxy* + 18R°(x° + y°) — 27R° — 0. Ces équations montrent que IC: est une quartique de la troi- sième classe, bitangente à la droîte de l'infini aux points cycliques. Elle est complètement déterminée par quatre tangentes. L'angle de deux tangentes à 9; est égal à la demi-différence de leurs angles directeurs. De là résulte cette autre façon de présenter la génération tangentielle : Lorsqu'un rayon d’une circonférence « lourne avec la vitesse angulaire W, et qu’une droite attachée à son extrémité tourne en même temps avec la vitesse angulaire — SW ou LW, celte droite enveloppe une JGs. 4. Si sur MM’ on construit un triangle MM’« de forme inva- riable, le lieu du sommet « est une hypotrochoïde de module — 3. En particulier, deux points de la droite MM’ décrivent des hypocycloïdes; ces points sont le symétrique N de M’ par GR) rapport à M, qui, ainsi qu’on l’a observé ci-dessus (1), parcourt l'enveloppe de MM’, et le point qui divise MM’ additivement dans le rapport 1 : 2; ce dernier point décrit une 9%,, qui est une développante de l’hypocycloïde décrite par N. Les droites Ma, M’, qui ont des inelinaisons constantes sur MM’, enve- loppent des hypocycloïdes. 5. Soit ABC un triangle quelconque (fig. 2); appelons H son orthocentre, © le centre de son cercle circonscrit, w le centre du cercle des neuf points, (A4, B;, C) les pieds des hauteurs, (A2, Bo, C2) les milieux des côtés. Les projections A’, B/, C’ d’un Fig. 2. point quelconque P de la circonférence ABC sur les côtés sont situés sur une même droite d, appelée droite de Wallace, droite de Simson ou pédale de P; cette droite rencontre PH en son milieu M, point du cercle d'Euler «. Les angles AC/B/, APB/ étant constamment égaux, la vitesse angulaire de la droite B/C, (8) changée de sens, est constamment égale à celle de AP, ou à la moitié de celle du rayon OP, ou encore à la moitié de celle de la parallèle wM à ce rayon. Par conséquent (3), la droite d enve- loppe une X; tritangente au cercle d’Euler de ABC et M est son point primaire (*). Si l’on suppose P en A, B, C, d se confond avec AA,, BB,, CC; ; donc les hauteurs de ABC sont des tangentes à 96;, ayant pour points primaires les milieux des distances HA, HB, HC. Lorsque P coïncide avec la seconde extrémité de l'un des diamètres AO, BO, CO du cercle O, d se confond avec BC, CA ou AB; donc les côtés de ABC sont des tangentes à 96, ayant pour points primaires A,, Be, C,. Les points de contact de ces côtés avec %, sont les symétriques L,, L;, L, de A,, B,, C, par rapport à A», B2, CG. Les normales en ces points concourent en un point L, qui est le symétrique de H par rapport à O. Les droites AL,, BL,, CL, concourent en un point L’, qui est le réciproque de H dans le triangle ABC, et aussi l’anticomplé- mentaire du point Lemoine, car L,, L,, L, sont les milieux des hauteurs du triangle anticomplémentaire formé par les paral- lèles menées à BC, CA, AB par les sommets À, B, C. Il existe donc une conique € qui touche les côtés du triangle ABC, et, par suite, 3; en L,, L,;, L.. Si l'on considère LB, L,C comme deux tangentes infiniment voisines menées de L, à £, le centre de cette conique doit se trouver sur la droite joignant les milieux des diagonales BC, AL, du quadrilatère circonscrit ABL,C; cette droite est évidemment A,0; donc le centre de € est le point O. Nous reviendrons plus loin sur ces coniques tritangentes à 9C.. 6. Une hypocycloïde JG étant donnée, il existe une double infinité de triangles ABC des droites de Simson desquels elle est l'enveloppe. En effet, soient (fig. 2) CA, CB deux tangentes (*) Ce théorème est dû à Steiner. L’hypocycloïde enveloppe des droites de Simson d’un triangle est souvent désignée sous le nom d’hypocycloïde de Steiner de ce triangle. ( 91) quelconques à 9%,; en leurs points secondaires B;, À,, on peut mener deux autres tangentes B,B, A,A, qui leur sont perpendi- culaires. Si B,, À, sont les points primaires des tangentes CA, CB, l'are A,B, du cercle tritangent à %, est la moitié de l'arc A,C;,B;; il résuite de là que l'angle BCA est égal à A,B,C et que, par suite, l'angle A,B,B est égal à CBB,, donc A9By — AoC — A9B. Par conséquent, le cercle tritangent passant par les pieds de deux hauteurs et le milieu d’un côté du triangle ABC se confond avec le cercle d'Euler; il résulte de là que %, est l'enveloppe des pédales d du triangle ABC. Nous convenons de désigner les triangles A BC de cette espèce sous le nom de triangles principaux circonscrits à 96:. Pour les obtenir, on pourrait prendre arbitrairement l'orthocentre H ; les tangentes issues de ce point sont les hauteurs du triangle prin- cipal correspondant. 7. Cherchons la relation entre les angles directeurs des côtés du triangle principal ABC. | Un sommet S, de 9; divise l’arc A4A, du cercle tritangent dans le rapport 1 : 2 (fig. 2). Les angles directeurs de BC, CA, AB ont respectivement pour mesure les arcs S;A;, S1A2B>, Si42B>Co de ce cercle; la somme de ces arcs est égale à 3S,A, + 2A,B, + BC où à 58,49 + A9Bo + CoAy + B2Co, c'est-à-dire à la circonférence ©. Ainsi la somme des angles directeurs des côtés d'un triangle principal est égale à 24x. Les angles directeurs des hauteurs AH, BH, CH étant égaux à ceux des côtés BC, CA, AB augmentés ou diminués de 7, la somme des angles directeurs des trois tangentes issues d’un même point H est égale à un multiple impair de x. II. — Pédales obliques. 8. Les notations étant les mêmes qu'au $ 5, faisons tourner les projetantes PA’, PB’, PC’ d'un même angle « autour de P; soient A//, B//, C/’ les points où ces droites viennent rencontrer BC, CA, AB (fig. 2). Les points A/', B/’, C/' sont situés sur (10) une même droite d,, que nous appellerons droite de Simson d'angle 5 — «, ou simplement pédale oblique de P. Lorsque le point P se déplace sur la circonférence ABC, la pédale d,, enveloppe une 9. Bien que ee théorème soit connu, nous en donnons ici une démonstration, peut-être inédite, qui nous a été communiquée par M. Neuberg; elle nous sera utile pour établir de nouvelles propriétés. La droite A/B/C' = d rencontre HP en son milieu M, sur la circonférence ©. On passe de d à d, en faisant tourner de l'angle à les rayons vecteurs allant de P aux différents points de d et en les multipliant ensuite par séc «. La même transfor- mation fait correspondre au point M de d un certain point M’ de d,. Construisons sur tous les rayons vecteurs allant de H aux différents points de la circonférence « des triangles directement semblables à HMM’ (ou inversement semblables à PA/A/'); les troisièmes sommets de ces triangles ont pour lieu géométrique une circonférence dont le centre &/ s'obtient en construisant le triangle How’ semblable à HMM' et dont le rayon est égal à Rsée c, R désignant le rayon du cercle ©. Cela posé, lorsque P parcourt la circonférence O, la droite d tourne avec une vitesse angulaire égale à la moitié de celle du rayon wM, mais de sens contraire (5); la même relation existe entre les vitesses angu- laires des droites d, et w’M/, qui font un angle constant « avec d et oM/. Il résulte de là que d, enveloppe une X; tritangente au cercle w/; nous désignerons cette courbe par X,, l'enveloppe de la droite d étant désignée par 2. Désignons par AA’, BB;, CC, les droites qu'on obtient en faisant tourner les hauteurs AA,, BB,, CC, de l'angle « autour de A, B, C; ces droites (non indiquées sur la figure) sont les positions de d, lorsque P est en À, B ou C. Les côtés BC, CA, AB sont également des positions particulières de d,; par exemple, AC est la pédale du point de rencontre des parallèles menées à PA/' et PC/’ respectivement par C et par A. 9. Les courbes 9% et 9%, sont semblables; nous allons examiner par quelle transformation on peut ramener X, à 20. (11) Pour faire coïncider les cercles tritangents « et ©, nous faisons tourner de l'angle « autour deH la figure formée par %, et le triangle ABC, et nous multiplions par cos 2 les rayons vecteurs allant de H aux différents points de cette figure. Le point M’ vient coïncider avec M et la droite M’A/ ayant tourné de l'angle & fait maintenant avec MAR l'angle 24; soit MR’ sa nouvelle position. La courbe X, s’est transformée en une courbe 96. égale à 9C. II reste à faire tourner 9! autour de w d’un angle tel que les sommets de ces courbes coïneident. Or un sommet S2 de 96 divise l'arc MB°R dans le rapport 1 : 2 et un sommet S, de 9%; divise dans le même rapport l’are MB,R'; donc l'are SS, est le tiers de l'arc R’ASR, et comme l'angle RMR’ — 2, l'angle SoS> — _ D'après cela, 96, se ramène à 96 à la suite de trois transforma- tions : 1° multiplication des rayons vecteurs issus de H par cos «; 2 rotation de l'angle & autour de H; 5° rotation de l’angle = autour de w, de sens contraire à la précédente. Ces opérations changent le triangle ABC circonserit à 9G,; en un triangle abc circonscrit à 96 dont les côtés sont égaux à BC cos a, AC cos a, AB cos « et font avec BC, CA, AB l'angle 5. 10. Les considérations qui précèdent entrainent de nom- breuses conséquences. Étant donnés l’hypocycloïde 96 et le triangle principal ABC, si l'on fait varier l'angle «, on obtient une série d’angles abc cireonscrits à 96 et semblables à ABC. Le rapport de similitude de abc et ABC est égal à cos «&. Donc : Si les côtés d'un triangle abc circonscrit à une C3 et semblable au triangle principal ABC font avec les côtés correspondants de ce triangle l’angle 5 — 0, cette SG; est l'enveloppe des pédales d:6 du triangle abc; le rapport de similitude des triangles abc, ABC est égal à sin 50. Les troisièmes tangentes menées à IG; par les sommets a, b, c font avec les côtés opposés l'angle 5 -— 50, et, par D] suile, sont les côtés d'un triangle circonscrit à 9, et semblable à ABC. Comme sin 50 reprend la même valeur absolue quand on (12) remplace @ par — 0, 60° Æ 0 ou 120° Æ 0, on a la proposition suivan(e : On peut construire six triangles directement égaux à un triangle donné ay et circonscrits à une %3, à la condition toutefois que le rayon du cercle afy soit inférieur au diamètre du cercle tritangent. Ces six triangles se partagent en deux groupes : les côtés homologues des irois triangles d’un même groupe font entre eux des angles égaux à 120° et les côtés homologues de deux triangles correspondants appartenant à des groupes différents font des angles égaux et de sens contraires avec le côté homologue du triangle principal semblable à afy. Remarquons aussi que la somme des surfaces de deux trian- gles semblables circonscrits à une X;, et dont les côtés homologues font entre eux des angles égaux à 90° ou à Æ 50° est égale à la surface du triangle principal semblable à ces triangles. 11. Cherchons les positions de l’orthocentre h et du centre 0 du cerele circonscrit relatifs à un triangle abc circonscrit à 9 et semblable au triangle principal ABC. A cet effet, appliquons à HO les trois transformations succes- sives qui changent X,, en 96 et ABC en abc (fig. 2). La droite HO doit d’abord tourner autour de H de l'angle « et devenir égale à HO cos x; donc elle devien- dra la corde HI qui dans le cercle de diamètre HO (fig. 5) fait avec HO l'angle &. Elle doit ensuite tour- ner autour ne &w, dans le sens opposé, de l'angle ; donc si ho est sa BOSS tion définitive, Lange Hoh = = 2 et l'angle OwO — =. En ADR ces conclusions $$ 2, 5, 4, on peut énoncer la proposition suivante: Si un triangle abc se déplace en restant semblable à lui-même et circonscrit à une même %C,, le centre o et l’orthocentre h décrivent une même circonférence; la droite d'Euler oh enveloppe une hypocycloïde à trois rebroussements X'; le centre de gravité (15) de abc décrit une XC; qui est une développante de JC/; enfin, tout point invariablement lié à abc décrit une hypotrochoïide de module — : Ce 12. Soit o’ le point diamétralement opposé à o sur la circon- férence de diamètre HO (fig. 3), et soit hh, la corde perpendicu- laire au diamètre O0’. Les droites ho, ho’, hh, sont tangentes à l'hypocyeloïde 96 ; ce sont les droites d'Euler de trois triangles abc, a/b'e, XYZ circonserits à l'hypocycloïde 96 et semblables au triangle principal ABC. Les deux premiers triangles ont même orthocentre h et les centres de leurs cercles circonserits sont les points o et 0’; le triangle XYZ a pour orthocentre A et le centre de son cercle eirconscrit est le point ». Je dis que ce triangle est circonscrit à la fois aux deux triangles abc, a’b'c/. En effet, les troisièmes tangentes menées des points a, b, c à 96 forment un triangle X/Y/Z/ semblable à abc; or les distances ha, hb, he, doubles des distances de o aux côtés du triangle abc, sont aussi proportionnelles aux distances de k aux côtés du triangle X/Y/7/, ces côtés faisant respectivement un même angle avec les hauteurs ha, hb, hc; donc h est aussi le centre du cercle circonserit au triangle X/Y/Z/, et, par suite, ce triangle coïncide avec XYZ. On verrait de même que ce triangle XYZ est circonscrit au triangle ab'c’. Nous laissons au lecteur le soin dénoncer le théorème qui résulte de là, ainsi que sa réciproque. 13. Lorsque hh, — oh, les triangles XYZ et abc sont égaux. Alors l’angle hoo’ — 30°, et comme l'arc Hh — 200 — 2Ho/, on voit que l’are HA — 40°, Oo — 20°, done ho fait avec HO un angle de 10° et l'angle de h;h avec HO est égal à 110°. Done si les côtés de deux triangles semblables circonserits à une 9, font avec les côlés homologues du triangle principal qui leur est semblable des angles respectivement égaux à — 10° et à 110°, ces triangles sont égaux, et le premier est inscrit au second. (*) Ce théorème constitue la question 1133 que nous avons proposée dans Mathesis (1897, p. 214) et qui n’a pas encore reçu de solution. (14) 14. Soient L’, L;, L! (fig. 4) les points de contact des côtés du triangle ABC avec l'hypocycloïde re AUDE 36. enveloppe des pédales d, de ce AN : triangle. Menons la corde CP du Pÿ || , C. Le quadrilatère PA,B,C étant inscriptible, l'angle AB,A, — A,PC = A2AC; done p est parallèle aux droites AA, BBo, CC (*). La hauteur AHH, rencontre la circonférence O au symé- trique F de l’orthocentre H par rapport à son pied H,. Si done on prend sur PA, la longueur A,[ — PA,, les droites HI et FP sont symétriques par rapport à BC; d'où l’on conclut facilement que HI est parallèle à AA. Il en résulte que la droite p, qui est parallèle à HE et passe au milieu de PI, passe aussi au milieu Q de la droite HP. Soit « le milieu de HO ; on a &Q — 5 OP— R. Done le lieu de Q est la circonférence des neuf points du triangle ABC. Cela posé, la parallèle p/ à p menée par P enveloppe une ‘ hypocycloïde tritangente au cerele O ($ 5). Par conséquent, la droite p qui correspond à p/ dans une homothétie de centre H enveloppe également une hypocycloïde; le cercle tritangent est maintenant le cercle des neuf points du triangle ABC. Pour construire les droites de Simson, il suffit de mener une corde quelconque PA, perpendiculaire à BG et de tracer par son point de rencontre À, avec BC des parallèles à AA et AP. On a donc le théorème suivant : Étant donnés une circonférence O, un point A sur cetle courbe et une corde BC, on projette un point quelconque A de la courbe en À, sur BC, et par À, on mène une parallèle à la corde AA; cette parallèle enveloppe une hypocycloïde. Si l’on remplace le sommet À du triangle ABC par un autre point «& de la circonférence O, la droite AA, tourne d'un angle constant égal à la moitié de l'angle AO; il en sera de même des droites p et p'. Par conséquent : a) Si les tangentes à une hypocycloïde tournent autour de leurs (*) Les figures 1 et 2 ne portent pas toutes les lignes ni tous les points dont il est question dans le texte. (9) points primaires d’un angle constant à, elles envelopperont une nouvelle hypocycloïde, qui n’est autre que la première lournée de l’angle 2 autour du centre du cercle tritangent. Ce théorème pourrait se conclure immédiatement du $ 1. Une proposition analogue s'applique aux tangentes tournant d’un même angle autour de leurs points secondaires. b) Si les tangentes à une hypocycloïde tournent d’un même angle autour de leur point d’interseclion avec une tangente fixe, elles continuent à envelopper une hypocycloide. Soient H’ l'orthocentre et & le centre du cercle des neuf points du triangle «BC. Comme AH — «a, la droite ow/ est parallèle à la corde Aa et égale à la moitié de cette ligne. Le lieu de w’, lorsque « parcourt la circonférence, est une circon- férence décrite du milieu du côté BC comme centre avec Île rayon R. Lorsque « tend vers B, le côté AB du triangle fondamental ABC tend vers la tangente BT au cercle O. D'où ce cas parti- culier : Étant tracées en un même point B d’une circonférence O une corde BC et la tangente BT, la droite qui unit les progections d'un point quelconque de la circonférence sur les deux droites enveloppe une hypocycloide. P. Serret définit la droite p’ ainsi : Si un rayon lumineux pl! passant par l’orthocentre H d’un triangle ABC est réfléchi par chacun des côtes, les trois rayons réfléchis concourent en un point P de la circonférence ABC. La parallèle p’ à p//, menée par le point P, enveloppe une hypocycloide. 8. Faisons tourner les droites PA;,, PB;,, PC, (fig. 2) d’un même angle 9 autour de P ; soient alors A;, B;, C leurs points de rencontre avec les côtés correspondants du triangle ABC, et A:, B:, C: les points où elles vont couper la circonférence O. Les points A’, B;, C; sont situés sur une même droite p;, pédale oblique de P. On démontre facilement que p; est parallèle aux droites AA°, BB:, CC: Désignons par p5 la parallèle à p; menée par P. (10) L'enveloppe de la droite ps est encore une hypocycloïde ; ear la droite PA: a une direction constante. La droite p; enveloppe également une hypocyeloïde. (Voir le Mémoire de M. Gob.) Ce résultat peut s’énoncer ainsi : Étant donnés une corde BC d’une circonférence et un point À sur celle courbe, on mène une corde variable PA}, de direction fixe, qui coupe BC en un point À; les parallèles menées par À, aux cordes AP, AA; enveloppent une hypocycloïde. Ces parallèles peuvent être considérées comme des pédales obliques des points P et À; par rapport au triangle ABC. Cependant, lorsqu'on remplace BC par une droite qui ne ren- contre pas la circonférence O, les droites AP, AA: sont toujours des tangentes à une hypocycloïde, mais elles cessent de jouer le rôle de pédales (réelles). IT 9. En rapportant l’hypocycloïde aux deux diamètres rectan- gulaires wS, wn du cercle tritangent (fig. 1), on a, pour l'équation de la tangente MM, 6) x cos Ë — y sin É—R cos = - (1) 2 2 2 En dérivant cette équation deux fois par rapport à x et en l'intégrant par rapport à cette variable, on trouve = ee sine . Oh À DEN E URSS sin 2 ? (2) : cos À in = == 9R ess (3) PESTE De a 1 3 msn Ë + yes = = ER sin (4) L'équation (2) représente une droite perpendiculaire à MM’ et passant par le point de contact Q de MM/ avee son enveloppe, CAM) c'est-à-dire la normale QQ/ à l’hypocycloïde; la distance de cette droite à l’origine étant égale à 3mM, on conclut que Q est le symétrique de M’ par rapport à M. L’équation (2) est de la même forme que (1), sauf le chan- gement deFenË +=et de R en 3R; par conséquent, l'enve- loppe des normales (ou la développée) d’une hypocyeloïde est une seconde hypocyceloïde dont le cercle tritangent passe par les points de rebroussement de la première. L’équation (3) représente la normale à la développée; la distance des deux droites (1) et (3) est donc égale au rayon de courbure de l'hypocycloïde donnée; ce rayon vaut done 8wm. Enfin, l'équation (4) représente la tangente à une développante de l’hypocycloïde donnée; la distance de cette droite à l'origine w étant égale à: mM; on voit que la droite MM est normale à une certaine hypocycloïde en un point qui la divise additivement dans le rapport 1 : 2. 10. Si l’on pose gi t, l'équation (1) se transforme en yË— (x +R)Ë + yi+R—x—0. (5) Elle détermine les inclinaisons des trois tangentes menées à Phypocycloïde par un point quelconque (x, y). Les racines 44, &, l: vérifient la relation lits + bts + Glh—= 1, (6) ou Bi + he+us—=(2n + 1)7. Ainsi, la somme des inclinaisons, sur un axe de la courbe, des tangentes issues d'un même point est constante, égale à un mul- tiple impair de 7. (12) III 11. Soient MM’, NN’ deux tangentes (fig. 5) à l'hypocycloïde; la première est supposée fixe, la seconde variable. Les relations ($ 6) NK—NM, MK—MN, où K désigne le point de rencontre des deux tangentes, condui- sent rapidement à quelques propriétés de la courbe. Fig. 3. ? Pour trouver les tangentes issues d’un point K donné sur MM’, élevons une perpendiculaire au milieu L de M'K ; cette droite rencontre la circonférence tritangente © aux points primaires N,n des tangentes cherchées NKN’, »Kn/. Considérons quelques positions particulières de la droite Nn. a) Lorsque Nn passe par le centre w, on voit que par tout point M du cercle trilangent w il passe deux tangentes secondaires (15) MP, MP, qui sont à angle droit (S 4) et une tangente primaire MM' qui est perpendiculaire au diamètre joignant les points primaires des deux premières tangentes. b) Menons les cordes MG, MG’ perpendiculaires à MM/, et soit Q le symétrique de M’ par rapport à M. Si L coïncide avec M, KN devient QG et Kn se confond avec MM’. Il résulte de là que le point de contact d'une tangente MM’ est le symétrique de son point secondaire par rapport à son point primaire. c) En remplaçant Nn par G/M/, on obtient pour l’une des tangentes M/G’ et pour l’autre la symétrique de la tangente en M’ au cerele © par rapport à M’G’, c'est-à-dire une perpendicu- laire au diamètre MG’. C’est la propriété a sous cette nouvelle forme : Les tangentes secondaires menées en un point du cercle trilangent sont les bissectrices des angles formés par la tangente primaire à l’hypocycloide et la tangente au cercle en ce point. d) Prenons pour Nn les tangentes Vo, V'v’ au cercle .w, et soient E, E les symétriques de M’ par rapport à v etv’. On voit aisément que les droites EV, E/V' concourent en G’ ; comme les deux tangentes menées de E ou de E’ coïncident, leurs points de contact avec l’hypocycloïde sont les points E, E/. Par consé- quent : La tangente MM’ en un point quelconque Q de l'hypocycloïde rencontre celte courbe en deux autres points E, E', tels que les langentes en ces points sont rectangulaires et se coupent sur le cercle tritangent, au point primaire de la tangente perpendicu- laire à MM’. La distance EE est constante, égale à 4R; son point milieu est le point primaire M de MM’. e) Les tangentes menées par un point de MM’ situé en dehors du segment EE, c'est-à-dire extérieur à l'hypocycloïde, sont imaginaires. 12. Les bissectrices des angles formés par les droites M/N, Mn étant M/V et M'V’, celles des angles des tangentes KN, Kn sont parallèles aux droites EV, E/V/. Ainsi, si d’un point K mobile sur une tangente fixe MM’ on méne. deux nouvelles tangentes, les (14) bissectrices de ces dernières droites sont toujours parallèles aux tangentes menées par les extrémités de la tangente fixe. Autrement dit, la somme des inclinaisons des tangentes mobiles KN, Kn sur la tangente fixe MM’ est constanie. 13. Cette propriété conduit à un théorème fondamental, d’où M. Humbert a tiré élégamment une foule de propositions inté- ressantes (*). En effet, soient 4, &, {3 les trois tangentes issues d’un point quelconque K, et 4, &, 1; celles issues d’un second point K/; & et t, se coupent en un point d'où nous menons une troisième tangente {. Les mêmes lettres désignant les inclinaisons de ces tangentes sur un axe quelconque z/z, on a par le théorème du $ 12 : h+th+bi=h+l tit ++, 14. On peut remarquer l'énoncé suivant de la construction indiquée au $ 11 : Lorsqu'une corde du cercle trilangent se meut parallèlement à elle-même, les tangentes primaires menées en ses extrémilés se coupent constamment sur la tangente perpendiculaire à la corde mobile. Si la corde mobile passait par un point fixe, les tangentes primaires menées en ses extrémités se couperaient sur une ellipse tritangente à l’hypocycloïde. Pour le moment, nous nous bornons à faire remarquer que cette ellipse est le lieu du symétrique, par rapport à la corde, du point secondaire de la tangente perpendiculaire à la corde. 15. Considérons les couples de tangentes issues d’un point K mobile sur une tangente fixe MM’; si par un même point on mène des couples de parallèles à ces couples de tangentes, on obtient une involution par symétrie qui marque sur la droite de l'infini une involution de couples de points dans laquelle les {*) Nouvelles Annales, 1893, pp. 37 à 65. (15) points cycliques sont conjugués. On en conclut le théorème suivant : - Étant donnée sur une droite n une poncluelle projective avec une involution marquée sur la droite de l’infini et ayant pour points conjugués les deux points cycliques, les droites qui joignent deux éléments correspondants enveloppent une hypocycloïde tan- gente à u. 16. Pour trouver les tangentes issues d'un point K de la tangente MM’, on peut décrire, du centre M avec le rayon MK, une circonférence; celle-ci coupe MM’ en K et F et le cercle tritangent en N/, #/. Ces derniers points sont les points secon- daires de deux couples de tangentes rectangulaires N/K et N’F, n'Ketn'F. Cette construction fait ressortir certaines propriétés de l'hypo- cycloïde. Nous voyons d’abord que les deux tangentes issues d’un point quelconque N’ du cercle tritangent rencontrent les deux tan- gentes issues d’un autre point quelconque # de ce cercle en des points K, F d’une même tangente, et que le milieu de la distance KF est le point primaire de cette nouvelle tangente. Par analogie, les deux autres points d’intersection W, W' des deux couples de tangentes se trouvent également sur une tangente. Comme Whn/ et W'N’ sont deux hauteurs du triangle FW W/, la droite WW/ est perpendiculaire à MM’ et par suite se confond avec M/G’. Lorsque K parcourt la tangente MM’, la corde nn/ du cercle tritangent reste toujours perpendiculaire à wM. De là ce théorème : Lorsqu'une corde N’n’ du cercle tritangent se déplace parallèle- ment à elle-même, les deux couples de tangentes secondaires menées par ses extrémilés se coupent mutuellement en deux couples de points qui se déplacent sur deux langentes rectangu- laires fixes. 17. Le théorème suivant, dû à Laguerre, a déjà été signalé (QGE) ci-dessus ($ 7); c'est un simple corollaire de la proposition du $ 15, mais on peut aussi le déduire de ce qui précède : Lorsque les tangentes à une hypocycloïde tournent d'un même angle autour de leur point d’intersection avec une tangente fixe MM’, elles envelopperont une seconde hypocycloïide. Supposons que la tangente FN’, tournant autour de F d'un angle 0, prenne la position FH, alors l'angle N'MH — 2 ; done le lieu des points H sera la circonférence w qui aura tourné de l'angle 20 autour de M. La tangente à l'hypocyeloïde qui fait avec MM' l’angle d est venue coïncider avee MM’. Il en résulte que la construction des tangentes au moyen de circonférences de centre M étant appliquée au cerele w après sa rotation, donnera les tangentes primitives après leur rotation. La nouvelle hypouycloïde est égale à la première et passe par les mêmes extrémités E, E’ de la tangente MM’. Nous démontrons encore un autre théorème de Laguerre. Le triangle M'nG est rectangle en n; si l'on mène la droite nX équipollente au diamètre G/M, les deux triangles KnX et »M'/G sont égaux, parce que les côtés Kn et nM’, nX et MG sont égaux et ont des directions symétriques par rapport à Nn; on en conelut que l'angle nKX est droit. Par conséquent : Si par les points primaires des tangentes à une hypocycloide on mène des droites équipollentes à un diamètre fixe du cercle trilangent, les projections des extrémités de ces droites sur les tangentes correspondantes ont pour lieu géométrique une tangente fixe. Le lieu des points X est le cercle w auquel on imprime une translation mesurée par G/M. La projetante KX, d’après le théorème précédent, enveloppe une hypocyeloïde. IV 18. Les podaires de l'hypocycloïide ont été étudiées par MM. G. de Longchamps et Brocard; je vais indiquer ici la géné- ration de quelques-unes de ces courbes et étudier une transfor- mation qui se rencontre dans cette étude. (17) Pour abréger le discours, je désignerai par [AB] la circonfé- rence décrite sur le segment de droite AB comme diamètre. Une remarque très simple ramène en quelque sorte toutes Îles podaires de l’hypocycloïde à celle du centre © du cercle tritan- gent. Cette dernière, appelée trifolium régulier, a pour équation pe = R cos 50. Voici la remarque dont il est question. Si G, G’ sont les pro- jections de deux points fixes J, J’ sur une tangente variable à une courbe donnée et que l’on projette J’ en L sur la droite JG, le lieu du point L est la circonférence [JJ/] et l'on a LG — J/G. Par suite, si l'on imprime à la podaire de J’ une translation mesurée par J’J, le rayon vecteur de l’une des podaires est la somme des rayons vecteurs correspondants de l’autre podaire et de la circonférence [JJ”]. 19. Soit s le symétrique du sommet S de l’hypocycloïde par rapport au centre w du cercle tritangent. La podaire de ce point, qui a reçu le nom de frifolium droit, est représentée par pe = 2R cos w cos 20. Pour la construire, menons dans le cercle [Ss] une corde quel- conque PQ perpendiculaire au dia- ñ mèêlre Ss; les pieds des hauteurs 2 PP’, QQ/ du triangle variable SPQ décrivent un trifolium droit (fig. 4). En effet, d'après une propriété connue de l'orthocentre d’un trian- gle, on a HD = DS, HQ' — Q/Q/, HP/’—P'P/'; doncles triangles SPH, SQH sont isocèles ($ 6). La podaire d’un point quelcon- à que J du cercle tritangent admet EE une génération analogue. Elle a reçu le nom de frifolium oblique et a pour équation e = ÀR cos (26 — x) cos (o — a), l'axe polaire étant dirigé suivant le diamètre Jo. (18) JF étant la tangente primaire en J, menons une corde quel- conque PQ perpendiculaire à JF ; les pieds des hauteurs PP’, QQ' du triangle JPQ appartiennent à un trifolium oblique (lig. 5). En effet, les triangles PHF, QHF étant isocèles, HP et HQ enveloppent une hypocycloïde tritangente au cer- cle & (voir aussi $ 5). Voici des variantes de cette con- struction : a) On détermine les points P/, Q’ au moyen de la circonférence [PQ]. b) Une circonférence de centre J et de rayon variable rencontre la circonférence © en P//, Q/’ et la droite JF en H; on prend les milieux P/, Q/ des droites HP//, HQ/ (comparer $ 16). c) Soit g le milieu de la droite JQ/’, la droite gQ/ est paral- lèle à JF et égale à Jq. Par conséquent : Si dans la circonfé- rence [Jo], on trace une corde quelconque Jq et qu’on porte sa longueur à partir de q sur une parallèle à JF, on obtient un point de la podaire de J. Fig. ». 20. Un point de rebroussement U est symétrique du som- met S par rapport au point s. La podaire de U, appelée folium simple ou ovoide, a pour équa- tion pe = ÀR cos’o. On l'obiient en construisant (fig. 6) dans le cercle [SU] une corde quelconque PQ perpen- diculaire au diamètre SU et en projetant sur les cordes UP, UQ le milieu D de PQ. En effet, la Het circonférence [Ss] rencontre la droite SP en son milieu p et la corde pq de ce cercle perpendiculaire à SU étant égale et (19) parallèle à PD, la droite Dg est le prolongement de P/D; le triangle SqD étant isocèle, gD enveloppe une hypocycloïde ($ 6). 21. Plus généralement, si dans un cercle [JG] (fig. 7) on mène une corde variable PQ perpendiculaire à une corde fixe JF Fig. 7. en D, les projections P’, Q/ du point D sur les cordes JP, JQ engendrent une courbe que M. de Longchamps a étudiée sous le nom de folium double oblique. L’équation de cette courbe est p = 4 COS® + b sin o cos, ou (x + y) = x{ax + by); l’axe polaire est JF, a et b désignent les longueurs JF et FG. Pour reconnaitre la nature de l'enveloppe des droites DP/, DO’, soient p, q les points où elles rencontrent respectivement les cordes FQ, FP. On a angle pDF — JDP’ = JPQ = QFD; done le triangle pDF est isocèle et p est le milieu de la corde FQ. Ce triangle étant isocèle et p décrivant la circonférence [FH], la droite Dp enveloppe une hypoeycloïde tritangente au cercle [FH]. (20 ) Lorsque PQ passe par J, DP/ devient JF et DQ/ est remplacée par le diamètre JG; lorsque PQ passe par F, les droites DP', DQ/ sont remplacées par une perpendiculaire FK à JG et par FG. Ceci montre que JG est une tangente à l’hypocyeloïde, qui rencontre la courbe en J et G, où les tangentes sont JF et GE. Ainsi, le folium double oblique est la podaire d’un point de l'hypocycloide. Ce résultat est peut-être nouveau. 22. La podaire du sommet S, représentée par l'équation e = 2R cos o sin°e, a été appelée folium double droit ou bifolium droit. En appliquant les procédés indiqués pour le trifolium et le Fig. 8. bifolium obliques, on trouve (fig. 8) les constructions suivantes (JF est à remplacer par ST) : | a) Mener dans le cercle [Ss] une corde quelconque PQ per- pendiculaire à ST et projeter P sur la corde SQ, Q sur la corde SP ; b) Mener dans le cercle [SU] une corde pq perpendiculaire à ST en D et projeter D sur les cordes Sp, Sg; (2) c) Tracer une corde quelconque SK du cercle [Sw] et porter sur une parallèle à ST une longueur KP’ — SK. 23. La construction du folium double oblique ($ 21) en partant du cercle rentre dans la transformation suivante : On donne (fig. 9) une courbe U, un axe Ox et un point O sur cet axe. On projette un point quelconque P de U en Q sur l'axe et le point Q en p sur le rayon vecteur OP. Étu- dier le lieu du point p et l'enveloppe de la droite Qp. Connaissant la tangente AB au point P de la courbe U, on demande de tracer la tangente au point p de la courbe (p) et de déterminer le point de contact M de la droite Qp avec son enveloppe. Soient (r, w), (p, w) les coordonnées polaires et (x, y), (X, Y) les coordonnées cartésiennes rectangulaires des points p et P; on a les formules B r = p COS’o ; (7) X° YX? nr le x ve ee 2 2 TE 2 ELA ÉnLts (9) X X LA De l'égalité (7), on déduit, en dérivant directement ou en prenant la dérivée logarithmique : r = p/ cos*® — p sin 2, (10) bio, ou tou — tg V—2tg; (11) V et v désignent les inclinaisons des tangentes en P et } sur le rayon vecteur OP. (22) La relation (10) ne paraît pas conduire à une construction assez simple de la normale en p. De l'équation (11) on déduit le procédé suivant : Mener par O une parallèle à AB qu coupe Qp en T, prendre sur Tp une longueur Ti — 2Qp et mener par p une parallèle à la droite O. Une droite aX + bŸ + c— 0 se transforme en une cubique circulaire (ax + by} (x° + y*) + ca — 0. Inversement, la droite ax + by + c—0 est la transformée de la cubique (aX + bY) X° + c(X° + Y°) — 0. Étudions géométriquement le cas où le point P parcourt une droite AB rencontrant les axes rectangulaires Ox, Oy aux points A, B. La droite Qp enveloppe une parabole x, car la ponctuelle (Q) est projective avec le faisceau O(P) et, par suite, avec un faisceau de parallèles à Qp. Lorsque P est en A, Qp coïncide avee une perpendiculaire Az à Ox; lorsque P est en B, Q passe en O et Qp se confond avec Ox. On connaît done immédiatement deux tangentes rectangulaires Az, AO de x et le point de contact O de l’une d'elles. Or, lorsqu'une parabole touche les trois côtés d’un triangle, les droites qui joignent les points de contact deux à deux passent respectivement par les sommets du triangle obtenu en menant par les sommets du premier triangle des parallèles aux côtés opposés. D’après cela, construisons le parallélogramme AQEG ; la droite OG rencon- trera Qp au point cherché M. Le lieu (p) est la podaire de la parabole x par rapport à l’un de ses points; Oy est une tangente de rebroussement. La normale au point p passe au milieu de la droite OM. Il est facile de déterminer les éléments principaux de x. En effet, lorsque P s'éloigne à l'infini sur AB, la droite Qp tend à devenir perpendiculaire à AB ; donc les diamètres de x sont perpendiculaires à AB. Il résulte de là que AB est la directrice de tr. La tangente au sommet s'obtient en projetant O en H (25 ) sur AB, H en C sur Ox et en menant CD parallèle à AB. Le foyer F est le symétrique de H par rapport à Ox. Si la droite AB est parallèle à Ox, la courbe (p) est une cissoïde. La construction du point M et de la normale pN, dans le cas d’une courbe quelconque U, résulte de ce qui précède : il suffit de remplacer U par sa tangente. On pourrait généraliser la transformation précédente en rem- plaçant les vecteurs issus d’un point O de l’axe par ceux issus d'un point extérieur O/. Mais si O/ se projette sur l'axe en O, une translation mesurée par OO’ ramène le système des droites Qp à celui qui vient d’être étudié. \f 24. Un problème des plus intéressants est celui de déter- miner le point W où la pédale p du point P (fig. 2) touche son enveloppe. La solution la plus simple consiste à remarquer que p ren- contre le cercle tritangent w en deux points V, Q dont les vitesses sont dans le rapport — 2 : 1 et d'en conclure que QW — VQ. Si le cercle des neuf points n’est pas tracé, on peut chercher le point de contact E de p'avec son enveloppe en prenant PE—DP; la droite HE coupera p en W. Mais on peut aussi chercher des solutions fondées sur d’autres propriétés de la droite p et arriver même ainsi à des propositions assez curieuses. 25. Partons de la construction suivante : On projette un point quelconque A, du cercle O en A, sur la droite fixe BC et l'on mène par À, une parallèle p à la droite joignant À: à un point fixe A. Pour trouver le point où p touche son enveloppe, on peut faire glisser le point A, sur la tangente au cercle O. En rempla- çant À par le point diamétralement opposé sur la circonférence, (24) on est ramené au problème du $ 25. Si l’on néglige cette remarque, la question se pose ainsi : On donne deux droites Ox, Oy et un point À (fig. 10). Une sécante, qui se déplace parallèlement à elle-même, rencontre Ox en X, Oy en Y. Par X on mène une parallèle XZ à la droite AY. Trouver le point M où la droite XZ touche son enveloppe. On démontre facilement que cette enveloppe est une para- bole x. D'ailleurs, nous avons ici un cas particulier du théorème corrélatif de celui de Maclaurin et Braikenridge. On trouve immédiatement quelques positions remarquables de la droite XZ, à savoir : la droite AO, la parallèle BC à XY par le point À, la tangente JK perpendiculaire à Ox, que l’on obtient en menant AI perpendiculaire à Ox et IJ parallèle à XY. Ox touche la parabole en un point E, qu'on détermine en menant AD parallèle à Ox et DE parallèle à AB. Les diamètres de % sont parallèles à Oy; la directrice est la perpendiculaire abaïissée de J sur Oy. Connaissant le triangle OUX circonscrit à la courbe et le point de contact E de l’un des côtés, il suffit de construire le parallélogramme OXUV et de tracer la droite VE qui coupera XZ au point cherché M. (25) 26. Désignons par X, Ÿ les points de rencontre des côtés AB, AC du triangle donné avec la tangente au point P du cercle circonscrit. Notre problème est alors un cas particulier du suivant : Par un point P mobile sur le côté XY d’un triangle donné AXY (fig. 11), on mène deux droites PV, PU de directions données et rencontrant AY en V, AX en U. Déterminer le point de contact M de la droite UV avec son enveloppe. Nous avons de nouveau un cas particulier du théorème de Maclaurin et Braikenridge transformé par voie de dualité. Fig. 11. L'enveloppe cherchée est une parabole qui touche les droites AX, AY en des points L, R faciles à déterminer; car ces points doivent être les positions de U et de V qui correspondent à V = A ou U= A, de sorte qu'il suflit de mener AK parallèle à PV, KL parallèle à PU, etc. Les droites VL, RU se coupant en d, la droite A9 détermine le point M. Nous indiquons encore une solution fondée sur ce cas parti- culier du théorème de Brianchon : Si a, b, c, d, e désignent cinq tangentes d'une conique (et que l’on considère le pentagone simple circonscrit qu'elles déterminent), la droite qui joint les points ab et de, celle qui joint ies points ae et bc, enfin celle qui joint le point cd au point de contact de a passent par un même point. | 2. (26) Les parallèles XX’ à PV et YY/ à PU étant des tangentes, on peut prendre pour a, b, c, d, e respectivement ENV AN RNA NE POUAUV NAS AC PANNE On verra ainsi que la droite joignant les points (UY, XV) et (XX/, YY’) et celle qui joint le point À au point d'intersection des droites 6Y, yX passent par M. 27. Lorsque les droites PV, PU sont perpendiculaires à AY,AX (fig. 12), la parabole x touchera les côtés AX, AY et les hauteurs XX’, YY’ du triangle AX Y; cette courbe a été rencontrée plusieurs fois (*). La droite X’Y/ qui passe par les sommets de deux angles droits circonserits est la directrice de la para- bole. Le pied F de la troi- sième hauteur, intersection des circonférences circon- scrites aux deux triangles AXX/, AYY/ formés par trois tangentes, est le foyer de la courbe. Pour trouver le point M, il suflit d’abaisser sur UV une perpen- diculaire FK qu'on prolonge de KI = FK, et de mener IM per- pendiculaire à AX/Y7. Le triangle FIM est isocéle et deux de ses côtés, IF et IM, sont perpendiculaires à UV et X/Y’. Je dis que le troisième côté FM est perpendieulaire à BC. Pour le démontrer, il suflit de faire voir que les angles (BG, UV), (UV, X/Y’) sont égaux. Or, UV étant la droite de Simson de P par rapport au triangle ABC, PW est perpendiculaire à BC, et le quadrilatère inscrit PWVC donne angle (BC, UV) = VWC = VPC — 90° — ACP — 90° — APX — FAP. Fig. 12. () Voir Mathesis, 1898, p. 131. (27) D'autre part, en observant que les cinq points À, U, F, P, V sont sur une même circonférence, on trouve angle (UV, X'Y')= AX'Y’— AVU — AXY — APU _— (90° — XAF) — (90° — UAP) — FAP. D'après cela, si l'on projette A en F sur XY, la perpendicu- laire abaissée de F sur BC coupe UV au point cherché. Cette construction donne lieu au théorème suivant : Soient A’, B', C’ les projections des sommets d’un triangle ABC sur la tangente menée au point P de la circonférence circonscrite. Les perpendiculaires abaissées de A', B, C! respectivement sur BC, CA, AB concourent au point où la pédale de P touche son enveloppe. 28. Nous avons énoncé ce théorème dans notre mémoire Sur les projections et contre-projeclions d’un triangle fixe, page 76 (t. XLIV des Mémoires in-8° publiés par l’Académie royale de Belgique, 1890). Une démonstration élémentaire en a été publiée par M. Sollerkinsky dans le Journal de mathématiques élémen- taires de M. de Longchamps, 1891, page 137. Qu'il nous soit permis d’en reproduire ici notre démonstration, à cause des nouvelles conséquences que nous en tirons. a) Nous établissons d’abord ee lemme (connu) : Étant donnés dans un même plan deux triangles quelconques ABC, A’B/C, on Fig. 13. peut toujours trouver trois masses a, $, y qui, placées respective- ment en À,B, C ou en À’, B/, C’, ont le même barycentre G (fig. 15). En effet, G étant le barycentre des points A, B, C affectés des (28) masses a, 5, y, le déplacement de la masse « de À en A’ déplace le barycentre de G en H; en observant que AG, A’H doivent se couper en un point D de BC et que DG:DA— DH: DA =y:ax+86 +7, (4 ee AA'. Le déplacement de la masse $ de B en B’ donne à H un déplacement HK équi- Re BB’. Enfin, si le déplacement de la masse y de C en C/ doit ramener le barycentre en G, KG est équipollent à —Ÿ CC. Par suite, G, H, K désignant les angles du trian- a+$+y gle GHK, on a on voit que GH est équipollent à pollent à a. AA B.BB y.CC —————— — sin K sinG sin H’ ou ns F RARE BB’. CC’sinK CC.A4/sinG AA’. BB’sinH Si donc on mène par un même point U les vecteurs UX, UY, UZ équipollents aux vecteurs AA’, BB’, CC’, les masses a, 6, y sont proportionnelles aux aires des triangles UYZ, UZX, UXY ou sont les coordonnées barycentriques du point U dans le triangle XYZ. b) Si ABC, A'B’C' sont deux triples quelconques de points correspondants de trois figures directement semblables +,, 4, v., la figure auxiliaire UXYZ est d'espèce constante, car les angles (BB/, CC/), (GC, AA’), (AA’, BB’) sont constants et les lon- gueurs AA’, BB’, CC’ sont proportionnelles à trois longueurs fixes. Il résulte de là que dans trois figures semblables @,, @, @., il existe un point qui est le barycentre de trois points homologues quelconques pour trois masses constantes «, $, y. c) Considérons maintenant un triangle ABC (fig. 14) et une droite w. Soient P un point mobile sur # et A1, B;, G ses pro- jections sur BC, CA, AB. Les ponctuelles [A], [B,],[C;] étant sem- blables, il existe trois masses «, 6, y qui, attachées en trois points (29 ) correspondants quelconques A,, B,, C,,ontun barycentre constant. Si l’on considère le triangle podaire A; B;C; d'un second point P/ de w, on voit que la figure auxiliaire UXYZ résulte de trois vecteurs UX, UY, UZ équipollents aux projections d'un seg- ment PP’ de w sur BC, CA, AB. Nous construisons cette figure auxiliaire dans une position normale à sa première position. À 2 VS He \ et ” \ be ae 7 PAU G Fig. 14. cet effet, remplaçons le segment PP’ par la perpendiculaire AF, abaissée de À sur w, et les droites UX, UY, UZ de la figure 13 par les projeetions F,p, Fm, Fin de FA sur des perpendiculaires aux côtés du triangle ABC. Les masses a, &, 7 sont alors les coor- données barycentriques du point F, par rapport au triangle pmn. Si à,, , d, Sont les angles de w avec BC, CA, AB, on trouve facilement sin À sin B sin C tr T cosd, cos d, cos d Remarquons aussi que le point F, appartient à la circonfé- rence circonserite au triangle pmn et que ce triangle est inverse- ment semblable à ABC. Cela posé, si l’on construit le centre des masses «, 6, y placées aux projections /, m,n du point F, sur les côtés de ABC, on voit que la droite /F, passe par ce centre. On déduit de là cette première conséquence : Si l’on projette les sommets d’un triangle ABC en F,, F,, EF, sur une droite quelconque w, les perpendiculaires abaissées ( 30 ) de F,,F,,F, respectivement sur BC, CA, AB concourent en un même point W (*). d) Soient q, q! les droites de Simson des points de ren- contre Q, Q’ de w avec la cireonférence circonserite au triangle ABC. Les projections de Q ou Q/ sur BG, CA, AB sont les sommets de triangles podaires aplatis ; leur barycentre pour les masses «, 8,7 doit être W. Done W est l'intersection des deux droites q, q/. e) Si la droite w touche la circonférence ABC au point Q, les droites q, g!' coïncident ; done W est le point de contact de q avec son enveloppe. C’est le résultat obtenu ci-dessus par une autre méthode. f) On a vu que les côtés du triangle podaire A,B,C, (2'7) enve- loppent trois paraboles x,, ñ;, x. ayant pour foyers respective- ment les points F,,F;,F, et touchant deux côtés du triangle ABC et les deux hauteurs correspondantes du triangle formé par ces côtés avec w. Il est évident que les deux droites de Simson des points Q, Q’ où W rencontre la circonférence ABC, sont deux tangentes communes aux trois paraboles. Lorsque w touche la circonférence ABC au point Q, les trois paraboles touchent la droite g au même point que l'hypocycloïde. g) Si l'on prend pour w la tangente au point P de la circon- férence ABC (fig. 2), on obtient le triangle auxiliaire XYZ de la figure 15 en projetant le diamètre OP, qui est perpendiculaire à w, sur les droites PA,, PB,, PC4, qui sont perpendiculaires aux côtés du triangle ABC. Ces projections étant précisément les cordes PA, PB9, PC», les masses «, fi, y sont les coor- données barycentriques du point P dans le triangle A,BoG ou du point D dans le triangle ABC, car les droites AA, BB, CC», PD ont même axe de symétrie perpendiculaire à p. Par consé- (*) Au sujet de la transformation (w, W), on peut voir nos deux notices dans la Nouvelle correspondance mathématique, t. IV (1878), pp. 319-382, et dans l’Archiv der Mathematik und Physik, 1. I (3), pp. 89-93, et aussi, dans ce dernier Recueil, les articles de M. Cwojdzinski, t. I, pp. 115-180; t. I, pp. 229-295, et t. II, p. 316; de M. Janisch, 1. IL, p. 153; de M. Fr. Meyer, t. I, pp. 372-373. (51 ) quent, on connait les masses qu’il faut attacher aux points A4, B3, C1 pour obtenir le point de contact W. h) Lorsque w est un diamètre du cercle ABC, les droites de Simson de ses extrémités sont rectangulaires et se coupent sur le cercle des neuf points (*). î) Supposons que la droite w tourne autour du point P supposé fixe. Le point W a les mêmes coordonnées barycen- triqués «, B, y qu’un certain point de la circonférence ABC (par exemple, le point de contact d’une tangente parallèle à w). Par conséquent, le lieu du point W rapporté au triangle A,B1C4 a la même équation barycentrique que le cercle circonserit au triangle ABC, c’est-à-dire CRT AE CEE — + + —=0, a B 2 Ce lieu est en général une ellipse e. Si l’on prend w perpen- diculaire ou parailèle à un côté du triangle ABC, on voit que € passe par les projections de P sur BC, CA, AB et par les points qu’on obtient en portant sur HA, HB, HC des longueurs respectivement égales à A,P, BP, GP. Le centre de € est donc au milieu de la distance HP. Lorsque P appartient à la circonférence, le point W des droites w menées par P est évi- demment la droite de Simson de W. 29. Reprenons le cas général du $ 25 pour le traiter par la mé- thode de Roberval (fig. 15). La vitesse du point P étant repré- sentée par PP’, décomposons-la en deux autres, l’une parallèle à XA, l’autre dirigée suivant UP; la première composante représente (*) Ge théorème, que nous avons déjà énoncé dans le Mémoire Sur les projections et contre-projections (p. 76), a été également trouvé par M. Soons (Mathesis, 1896, p. 51), et par M. Cwojdzinski (Archiv (3), t. I, pp. 115-180). (32) la vitesse de translation de la droite UP entrainée par le point U glissant sur AX. Done, si l’on mène P'U’ parallèle à PU et P'V/ parallèle à PV, UU’ et VV! figurent les vitesses des points U et V glissant sur AX et AY. Décomposons encore ces vitesses UU’, VV! chacune en deux autres, l’une normale à UV, l’autre dirigée suivant UV. Les composantes normales UU/”, VV/ représentent les vitesses de cireulation des points U, V consi- dérés comme appartenant à la droite UV ; par suite, la droite U/!V/’ coupe UV au point cherché M. Pour fixer ce point, appelons mx, v, w, y les angles des droites PV, PU avec les côtés des angles Y, X, et soient U, V les angles AUV, AVU. On a les égalités UM UU”’ UU' sin U UU’ AV MV VV” vv’ sin V VV AU UU’ XU VV! VY BP XP PP PY d’où l’on déduit MÜ UX VA PY MV UA VY PX Cette formule a été établie autrement par M. d'Ocagne (*). Pour la démontrer, on peut aussi considérer le triangle AUV coupé par la transversale U/V/, qui est une seconde position de la droite UV, puis passer à la limite en faisant tendre U/V/ vers UV. La formule précédente peut prendre la forme MU VA sinxsin» MV UA sinx’sin elle se réduit à MU AV sin?’ — à NAT Cu (*) Nouvelles Annales de mathématiques, 1880, p. 273; Journal de math. élém., 1885, p. 8. (35 ) lorsque y! = x — pu, ce qui est le cas des pédales obliques. Dans cette dernière hypothèse, les points A, U, P, V sont sur une même circonférence, qui coupe XY en un point F (non marqué sur la figure), tel que angle AFY=%, YAF—», XAF— 7». Les perpendiculaires abaissées de V et U sur AF étant égales à AV sinv, AU sin y’, on est conduit à introduire la symétrique AF’ de la droite AF par rapport à la bissectrice de l'angle XAY ; AF’ coupera UV en un point M’ tel que M'V AVsin» MU AUsinv Le point cherché M est le symétrique de M’ par rapport au milieu de UV. Enfin, si les angles p, x/ sont droits, on a simplement MU AV cos X MV AUcos Y AF sera la perpendiculaire abaissée de A sur XY, et la droite AF” sera dirigée suivant un diamètre du cercle circonscrit au triangle AXY. 30. La méthode de Roberval, convenablement appliquée dans le cas de la droite de Simson ordinaire, conduit à un théorème remarquable trouvé autrement par M. Ed. Collignon (*). Rapportons-nous à la figure 2 et aux notations du $ 7. Si l’on convient de faire tourner d'un angle droit toutes les vitesses autour de leurs points d’application, on peut représenter la vitesse du point P sur la circonférence O par le diamètre dirigé suivant PO. Ses composantes parallèles aux côtés AB, AC, RC seront figurées par les cordes PCo, PB, PA; par suite, les (*) Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society, 1905, vol. XXIIL, pp. 6 et 9. (34) vitesses de glissement des points C4, B;, A4 sur AB, AC, BC le seront par les droites C1C; = CoP, BiB> — B9P, A1A3 — AoP. Les composantes normales à la pédale p, de ces vitesses de glissement le seront par les projections des droites C,C,, B,B,, A,A; sur p. Or les points C;, B,, A, se projettent en un même point de p. Pour démontrer cette propriété pour C, et B,, obser- vons qu'elle revient à dire que la somme des projections de C,C, et B,B; sur CB, est égale à CB, ; ou encore, à cause de C,Cz; = CP;, BB, — PB,, que la projection de la corde CoBo sur C,B, est égale à C,B;; ou enfin, puisque AAo, BBo, CCo, p sont perpendiculaires à un même diamètre du cercle O, que la projection de BC sur B,C, est égale à BC. Construisons le parallélogramme BCB,N et traçons la droite C,N. Les triangles PC,;B, PCB, étant semblables, on a L'angle NBC, étant égal à CPB, les triangles PBC, BC,N sont également semblables, et comme ils ont deux couples de côtés homologues perpendiculaires, les côtés restants B,C, et CN le sont aussi; done BC équipollent à B,N se projette sur B,C, sui- vant une droite égale à B,C,. Ainsi, les points C;, B:, À se projettent en un même point W de p; par suite, les vitesses de rotation des points C;, B,, A, considérés comme appartenant à p étant proportionnelles aux distances WC,, WB,, WA,, W est le point autour duquel p tourne pendant un temps infiniment petit; c'est donc le point de contact de p avec son enveloppe. On a donc ce théorème : Soit ABC un triangle inscrit dans un cercle O, P un point pris arbitrairement sur la circonférence. On abaisse sur les côtes les perpendiculaires PA,, PB,, PC, qui recoupent la circonférence en A2, B2, Co. On prend ensuite sur PA,, PB,, PC, les segments A,A; == A,P, B,B; — BP, CC; == CP. (35 ) Les trois points À;, B;, GC; seront sur une même perpendiculaire à la pédale A,B,C, et la rencontrent au point de contact de la pédale avec son enveloppe. Ce théorème de M. Collignon suggère immédiatement d'autres constructions du point W. Ainsi, si l’on projette les points A, Bo, C, sur p’ en A;, B;, C;, on a WA, = PA,, WB, — PB;, WC, == PC;. Donc les droites A,A,, BiB;, CC; sont équipol- lentes à WP. Soient A3, B;, G; les milieux des segments PA,, PB,, PC,. On voit facilement que les droites A,A;, B,B;, C,C3 concourent en un point K qui est le symétrique de W par rapport à P. Cette dernière proposition revient à un théorème de M. d'Ocagne (”). (*) Journal de mathém. élément., 1885, p. 11. «> 0 0