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University of Ottawa

http://www.archive.org/details/mthodedesmoindOOgaus

MÉTHODE

MOINDRES CARRÉS.

LIBRAIRIE DE MALEET- BACHELIER.

OIJTRACKS »E CU.-Fr. GAUSS.

BISQUISITIONES ARITHMETICJE. lii-S; Leipsick, 1801. THEORIA MOTUS CORPORUM COIXIISTIUM, etc. In 4. 3G fr. RECHERCHES GÉNËRAI^ES SUR LES SURFACES COURBES.

Traduit du latin par M. A., ancien élève de l'Ecole Polytechnique, ln-8; i85.2 2 fr.

RECHERCHES ARITHMÉTIQUES; traduites par M. Poutlel-De- lisle , élève de rÉcole Polytechnique et Professeur de Mathématiques à Orléans. In-4 ; 1807.

MÉTHOBE BES MOINBRES CARRÉS. Mémoires sur la Combi- naison des Observations ; traduits en Cranijais et publiés avec Tautorisa- tiou de Tautèur, par M. /. Bnirand. In-S ; i855 4 f""-

Ii''''Éditeur de cet ouvrage se réserve le droit de le fraduir.? ou de le faire traduire en toutes les langues. 11 poursuivra, en vertu des Lois, Décrets et Traités internationaux, toutes contrefaçons, soit du texte, soit des gravures, et toutes traductions , faites au mépris de ses droits.

Le dépût légal de cet ouvrage a été fait à Paris dans le cours du mois de mai i855, et toutes les formalités prescrites par les Traités sont remplies dans les divers États avec lesquels la France a conclu des conventions litté- raires.

Tout exemplaire du présent Ouvrage qui ne porterait pas , comme ci-des- sous, la signature de l'Éditeur, sera réputé contrefait. Les mesures néces- saires seront prises pour atteindre, conformément h la loi, les fabricants ot les débitants de ces exemplaires.

Si^/^^'^^i^

PARIS.— IMPRIMERIE DE MALLET-RACIIELIER rue du Jardinet, xi.

MÉTHODE

MOINDRES CARRÉS.

MÉMOIRES SUR LA COMBINAISON DES OBSERVATIONS ,

parCCh.-^Fr: gauss.

TRADUITS EN FRANi^rs ET PUBLIE* AVLC l'aIIORISAIION DE l'aI'TEUR ,

Pau J. ^ERTRAND.

i ♦«» , * •

^^^^^

PARIS,

MALLET - BACHELIER , IMPRIMEUR - LIBRAIRE

r»R l'ECOLK P0L"YTECHNIQ0E , DU MJREAU I)KS LONOITUDKS ,

Quai des Augustins, n" 55.

1855

t L'Édlleui (I* c«t uu«r«|[« le réisrTO !• droll d* Irtdiit'lloii. }

mr/^ra

AVERTISSEMENT.

J'ai réuni daus cet ouvrage les divers écrits publiés par Gauss sur la Méthode des moindres carrés.

L'illustre géomètre, que les sciences viennent de perdre, attachait une grande importance à cette partie de ses travaux, et la meilleure manière de combiner les observations était, à ses yeux, un des problèmes les plus importants de la pliilosopltie naturelle.

Gauss n'ignorait pas les critiques dont sa théorie a été l'objet; mais son opinion bien arrêtée était que les géomètres adopteraient entièrement ses idées lors- que ses Mémoires, aujourd'hui fort rares, se seraient répandus davantage. C'est pour cela, sans doute, ([u'il a bien voulu m'écrire qu'il me verrait avec le plus grand plaisir en j)ublier la traduction. Ces Mémoires forment un Traité complet de la combinai- son des observations, qui n'exige ni conunentaires ni annotations. Les questions de priorité sur lesquelles se sont engagées des discussions assez vives, y sont traitées brièvement, mais de la manièic la plus nolle ft l;i pins loyale. J'ai tlonc dû me borner au rule île Iradiicicnr : c'était le seul (pii IVil utile, et le seul (raillciiis (pie Gauss m Cut autorisé a |)r(Muli'e.

.'. HKII'IUAM».

TABLE DES MATIÈRES.

rape» Théorie de la combinaison des observations qui expose aux moindres

erreurs i

Première Partie !!•

Seconde Partie 33

Supplément à la théorie de la combinaison des observations qui expose

aux moindres erreurs 70

NOTES.

Note I. — Exposition delà méthode des moindres carrés. (Extraite

du Theoria Molus Cor/jorum cœlcstium ) 1 1 S

Note II. — Application de la méthode des moindres carrés à la cor- rection des cléments de la planète Pallas i34

Note III. — Mémoire sur la détermination de la précision des obser- vations I /( I

Note IV. — Application du calcul des probabilités à un problème de

{jéométrie pratique i.")3

NoTF. \'. — Sur la détermination chrononiftriquo des loiif^itiules. . . iHo

THÉORIE

DE

LA COMBINAISON DES OBSERVATIONS

Qlil EXPOSE Ail IIOHDRES ERREURS,

Par Cn.-FRKntRic GAUSS.

PREMIÈRE PARTIE,

PRÉSENTÉE A LA SOCIÉTÉ ROYALE DE GOTTINf.lE , LE l5 FÉVRIER l8il.

1'.

Quelque soin que l'on apporte aux observations qui con- cernent la mesure des grandeurs physiques, elles sont for- cément soumises à des erreurs plus ou moins considérables. Ces erreurs, dans le plus grand nombre des cas, ne sont pas simples, mais découlent à la fois de plusieurs sources distinctes qu'il est bon de distinguer en deux classes.

Certaines causes d'erreurs dépendent, pour chaque obser- valion, de circonstances variables et indépendanlcs du ré- sultai que l'on obtient : les erreurs qui en proviennent sont nommées irrâgulièrcs on fortuites, et de même que les circonstances qui les produisent, leur valeur n'est pas sus- ceptible d'ètie soumise au calcul. Telles sont les erreurs ([ui naissent de l'imperfection de nos organes et toutes celles (jui sont dues à des causes extérieures iriégnlières , comme, par exemple, les Irc'-pidations de l'air qui rendent la Aision moins nciic-, (ju<'lques-unes des erreurs dues à l'impcrfec- o. 1

( - )

lion inévitable des meilleurs instruments apjjarlicnnenl à la même catégorie. Nous citerons, par exemple, la rugosité de la partie intérieure du niveau, le défaut de rigidité absolue, etc.

Il existe, au contraire, d'autres causes qui, dans toutes les observations de même nature , produisent une erreur identique, ou dépendant de circonstances essentiellement liées au résultat de l'observation. Nous appellerons les er- reurs de cette catégorie, des erreurs conjfa«/e5 ou /•e^«/^"ère>y.

Il est du reste évident que cette distinction est jusqu à un certain point relative et dépend du sens plus ou moins large que l'on veut attacbcr à l'idée d'observations de même nature. Par exemple, si l'on répète indéfiniment la mesure d'un même angle, les erreurs provenant d'une division imparfaite du limbe appartiendront à la classe des erreurs constantes. Si, au contraire, on mesure successivement plusieurs angles différents, les erreurs dues à l'imperfec- tion de la division seront regardées comme fortuites tant que l'on n'aura pas formé la table des erreurs relatives à chaque division.

2.

Nous excluons de nos recherches la considération des erreurs régulières. C'est à l'observateur qu'il appartient de rechercher avec soin les causes qui peuvent produire une erreur constante , pour les écarter s'il est possible, ou tout au moins apprécier leur effet, afin de le corriger sur chaque observation, qui donnera alors le même résultat que si la cause constante n'avait pas existé. Il en est tout autrement des erreurs irrégulières: celles-là, par leur na- ture, se refusent à tout calcul, et il faut bien les tolérer dans les observations. On peut cependant, par une combinaison habile des résultats, réduire autant que possible leur in- fluence. C'est à cette question importante que sont consa- crées les recherches suivantes.

(3 )

3.

Les erreurs qui , clans des observations de même espèce, proviennent d'une cause simple et déterminée se trouvent renfermées entre certaines limites que Ion pourrait sans aucun doute assigner, si la nature de cette cause était elle-même parfaitement connue. Dans la plupart des cas, toutes les erreurs comprises entre ces limites extrêmes doivent être regardées comme possibles. Une connais- sance approfondie de chaque cause apprendrait si toutes ces erreurs ont une facilité égale ou inégale, et, dans le second cas, quelle est la probabilité relative de chacune d'elles. La même remarque s'applique à l'erreur totale qui provient de la réunion de plusieurs erreurs simples. Cette erreur sera, elle aussi, renfermée entre deux limites dont Tune sera la somme des limites supérieures, 1 autre celle des limites inférieures, correspondant aux erreurs simples. Toutes les erreurs comprises entre ces limites seront possi- bles, et chacune pourra résulter, d'une infinité de manières, de valeurs convenables attribuées aux erreurs partielles. On comprend néanmoins, en écartant les difficultés purement analytiques, qu'il y a possibilité d'apprécier la probabilité plus ou moins grande de chaque résultat, si l'on suppose con- nues les probabilités relatives à chacune des causes simples.

Certaines causes pourtant produisent des erreurs qui ne peuvent pas varier suivant une loi continue, mais qui, au contraire, sont susceptibles d'un nombre fini de valeurs: nous pouvons ci 1er, comme exemple, les erreurs (|ui pro- \i(;nnent de la division imparfaite des instruments (si tou- tefois on veut les classer parmi les erreurs fortuites), car le nombre des di^isions, dans un instrument donné, est essentielhimcnt fini. 11 est clair néanmoins que, si toutes les causes qui concourcni à produire l'erreur totale ne sont pas supposées dans ce cas, leur somme formera une série sou- mise ;i la loi de coMlinuiié, ou, tout au moins, plusieurs

( f )

séries distinctes , s'il arrive qu'en plaçant par ordre de gran- deur toutes les valeurs possibles des erreurs discontinues, la dilVcrcnce entre deux termes consécutifs de la série soit moindre que la dilTérence entre les limites extrêmes des erreurs soumises à la loi de continuité. Dans la pratique, un pareil cas ne se présentera presque jamais; il supposerait des défauts trop grossiers dans la construction de l'instru- ment.

4.

Désignons par la notation cp [x) la facilité relative d'une erreur x : on doit entendre par là , à cause de la conti- iiuité des erreurs, que ç [x] dx est la probabilité que l'er- reur soit comprise entre les limites x eix + dx. 11 n'est pas possible, en général, d'assigner la forme de la fonction©, et l'on peut même affirmer que cette fonction ne sera jamais connue dans la pratique. On peut néanmoins établir plu- sieurs caractères généraux qu'elle doit nécessairement pré- senter : ^{x) est évidemment une fonction discontinue; elle s'annule pour toutes les valeurs de x non comprises entre les erreurs extrêmes. Pour toute valeur comprise entre ces limites, la fonction est positive (en excluant le cas in- diqué à la fin du paragraphe précédent); dans la plupart des cas , les erreurs égales et de signes contraii^es seront également probables, et l'on aura

<p(j;) = (p( — j:). Enfin, comme les petites erreurs sont plus facilement com- mises que les grandes, cp (a?) sera en généxal maximum pour j: = o et diminuera sans cesse lorsque x croîtra.

L'intégrale

(p i^x) dx

1

exprime la probabilité pour que l'erreur, encore inconnue, tombe entre les limites a cl b. On en conclut que la valeur de cette intégrale prise entre les limites extrêmes des erreurs possibles sera toujours égale à l'unité. Et connue tp {x) est

nulle pour les valeurs non comprises entre ces limites, on peut dire, dans tous les cas, que

i

5. Considérons l'intégrale

£

.rai (j:) dx

et représentons sa valeur par h. Si les causes d'erreur sont telles, qu'il n'y ait aucune raison pour que deux erreurs égales et de signes contraires aient des facilités inégales, on aura

f [x) = (f { ■— x) ,

et, par suite,

>?- = o.

JNous en conclurons que, si h ne s'évanouit pas cl a, par exemple, une valeur positive, il existe nécessairement une cause d'erreur qui produit uniquement des erreurs positives ou qui , tout au moins , les produit plus facilement que les erreurs négatives. Cette quantité /r, qui est la moyenne de toutes les erreurs possibles, ou encore la valeur moyenne de X, peut être désignée commodément sous le nom de partie constante de terreur. Du reste , on prouve facilement que la partie constante de l'erreur totale est la somme des par- ties constantes des erreurs simples qui la composent.

Si la quantité A est supposée connue et qu'on la reiranchc du résultat de chaque observation , en désignant par x' l'er- reur de l'observation ainsi corrigée, et la probai)ililécoi'- respondante par tp' (x'), on aura

x' =: X — X- , ^' (x') = 'ji{x) cl, [)ar suite,

/■x /«va /» CO

x' (f' [x' ) (W =z l X'f[x)(U — / I (f[x)(U = A — A=^o; -co J — CO J — CO

on sorte que les erreurs des observations corrigées n'ont pas départie constante. Ce qui , du reste, semble évident à priori .

6.

La valeur de Tinlégrale

x

xi^ (x) tlx ,

c'est-à-dire la valeur moyenne de!r, fail connaître l'exis- tence ou la non-existence d'une erreur constante, ainsi que la valeur de celte erreur; de même l'intégrale

f

: ) dx ,

cVst-à-dire la valeur moyenne de x^, parait très-propre à définir et à mesurer, d'une manière générale, l'incertitude d'un système d'observations; de telle sorte qu'entre deux systèmes d'observations inégalement précises, on devra re- garder comme préférable celui qui donne à l'intégrale

/:

x^ w ( x) dx

une moindre valeur. Si 1 on objecte que cette convention est arbitraire et ne semble pas nécessaire, nous en conve- nons volontiers. La question qui nous occupe a, dans sa nature même, quelque cbose de vague et ne peut être bien précisée que par un principe jusqu'à un certain point arbi- traire. La détermination d'une grandeur par l'observation peut se comparer, avec quelque justesse, à un jeu dans lequel il y aurait une perte à craindre et aucun gain à espérer : chaque erreur commise étant assimilée à une perte que l'on fait, la crainte relative à un pareiljeudoits'exprimer par la perte probable, c'est-à-dire par la somme des produits des diverses [)crles possibles par leurs probabilités respectives.

I 7 I Mais quelle perte doit-on assimilei- à une erreur détermi- née? C'est ce qui n'est pas clair en soi 5 cette détermination dépend enpartie de notre volonté. Il est évident, d'abord, que la perte ne doit pas être regardée comme proportionnelle à l'erreur commise; car, dans cette hypothèse, une erreur positive représentant une perte, l'erreur négative devrait être regardée comme un gain : la grandeur de la perte doit, au contraire, s'évaluer par une fonction de l'erreur dont la valeur soit toujours positive. Parmi le nombre infini de fonctions qui remplissent cette condition , il semble natu- rel de choisir la plus simple, qui est, sans contredit, le carré de l'erreur, et, de cette manière, nous sommes con- duit au principe proposé plus haut.

Laplace a considéré la question d'une manière analogue, mais en adoptant, pour mesure de la perte , l'erreur elle- même prise positivement. Cette hypothèse, si nous ne nous faisons pas illusioji , n'est pas moins arbitraire que la nôtre : faut-il , en effet , regarder une erreur double comme plus ou moins regrettable qu'une erreur simple répétée deux fois, et faut-il, par suite, lui assigner une importance double ou plus que double? C'est une question qui n'est pas claire, et sur laquelle les arguments mathématiques n ont aucune prise; chacun doit la résoudre à son gré. On ne peut nier pourtant que riiypolhèse de Laplace ne s'écarte de la loi de continuité et ne soit, par coi)séqucnt, moins pro[)re à une étude analytique ; la nôtre, au contraire, se recommande par la généralité et la simplicité de ses con- séquences.

7.

Posons, en c(jiiserv;inl les notations précédentes, nous appellerons /// Veneur tiiojc/mc à craindre ou, sini-

X

(8 ) plement, I erreur nioyefine (\es observations considérées. Nous ne limitons pas, du reste, cette dénomination au ré- sultat immédiat des observations , mais nous l'étendons , au contraire, à toute grandeur qui peut s'en déduire d'une manière quelconque. 11 faut bien se garder de confondre cette erreur moyenne avec la moyenne arithmétique des erreurs , dont il est question dans l'art. 5.

Si nous comparons plusieurs systèmes d'observations ou plusieurs grandeurs résultant d'observations auxquelles on n'accorde pas la même précision, nous regarderons leur poids relatif comme inversement proportionnel à nr, et leur précision comme inversement proportionnelle à m. Afin de pouvoir représenter les poids par des nombres, on devra prendre, pour unité, le poids d'un certain système d'obser- vations arbitrairement choisi.

8.

Si les erreurs des observations ont une partie constante, en la retranchant de chaque résultat obtenu , l'erreur moyenne diminue, le poids et la précision augmentent. En conservant les notations de l'art. 5, et désignant par ??i' l'erreur moyenne des observations corrigées , on aura en effet

m"= f x"^'{x')dx'= f {x — ky^{x)dx

J— 00 J CO

Xcc /> oc /i ce .r' tp [x] dx — 2 /• 1 .r cp [x] dx -\- k^ l f [x] dx

-00 %J — 30 «/ OC

= m"' — 2 /?•' H- fi- m m"^ — /■-.

Si, au lieu de retrancher de chaque observation le nom- bre /f, on retranchait un autre nombre /, le carré de l'erreur moyenne deviendrait

I

(9) 9. Solent I un coefficient determine et ^i la valeur de Fiii- légral(

' — / m

[J. sera la probabilité que l'erreur d'une certaine observa- tion soit moindre que Xm en valeur absolue; i — [j. sera, au contraire, la probabilité que cette erreur surpasse "km.

Si, pour f/ = -) Xm a la valeur p, il y aura probabilités

égales pour que Terreur soit plus petite ou plus grande que p : p pourra donc être appelé V erreur probable. La re- lation qui existe entre 1 et ij. dépend de la nature de la fonction (p, qui est inconnue dans la plupart des cas. Il est intéressant d'étudier celle relation dans quelques cas parti- culiers.

I. Si les limites extrêmes des erreurs possibles sonl -\- a et — a, et si, entre ces limites, toutes les erreurs sont également probables, la fonction (p (x) sera constante

entre ces mêmes limites, cl, par conséquent, égale à

I la Par suite, on aura

tant que X sera inférieur ou égal à y/3 5 enfin,

/3 p = m i/ y = o , 8660254 "I ,

et la probabilité pour que l'erreur ne surpasse pas lerrem moyenne est

i/ -z= 0,5773503.

II. Si — a et -h a sunl encore les limites des cireurs possibles, si Ion suppose, de plus, (jnc la piobabiliic de ces mêmes erreurs aille en décroissanl à [km tir de rcncur o

( lo ) comme les termes d'une progression arithmétique, on aura

. n — .r

pour les valeurs de x comprises entre o et H- a , et

n + .r

pour les valeurs comprises entre o et — a: de là ou déduit

tant que X est compris entre o el \6\

1 = \/6 — V 6 — 6 p. , tant que p. est compris entre o et 15 et, enfin,

p = //i ( y'6 — V 3 ) = 0,71 74389 ifi.

Dans ce cas, la probabilité que l'erreur restera inférieure à Terreur moyenne sera

/

2 F

—^=0,6498299.

3

III. Si nous supposons la foncliou cp [x) proporlionnelle

à e ''' [ce qui, en réalité, n'est vrai cpi'approxiraative- ment (*)], elle devra être égale à

x'

on en conclut

-'sf\

(voir Disquisitiones générales circa seriem injinitani, art. 28, Mémoires do Goitingue , tome II).

(*) Il faut se reporter, pour comprendre cette remarque, à un chapitre du Theoria Motus Coiporum cœh-slium , dans lequel IM. Gauss montre que ccUc loi de probabilités est la plus vraisemblable que l'on puisse adopter. A la fin du volume nous reproduisons ce chapitre, dans lequel l'illustre au- teur a fait connaître pour la première fois la méthode des moindres carrés.

J. IV

( ^' )

Si l'on désigne par Qz la valeur de T intégrale

clz,

p = 0 A

Le tableau suivant donne quelques valeurs de eette quan-

tité

l	f^
0,6744897	0,5
o,84i6s>. i3	0,6
I ,0000000	0,6826895
I ,0364334	o>7
I ,2815517	0,8
1,6448537	0,9
2,5758293	"'99
3,2918301	0'999
3,8905940	"'9999
CO	1

iO.

(Quoique la relation qui lie X à ^ dépende de la nature de la fonction cp, on peut cependant établir quelques résul- tats généraux, qui s'appliquent à tous les cas dans lesquels cette fonction ne sera pas croissante avec la valeur absolue de la variable x -, alors on aura les théorèmes suivants :

X ne dépassera pas a y^ toutes les fois que (x sera infé-

rieur a - :

passera

ne ilepasscra pas - 2

— ■. toutes les fois (jue fx sur-

3 v/i-/^

( I^ )

Lorsque ^jt = -, les deux limites coïncideul et X ne peut

^ . ^ /4

pas être supérieur a i / ^•

Pour démontrer ce théorème remarquable, représentons par^>' la valeur de l'intégrale

rt-{- X J X

alors j^ sera la probabilité pour qu'une erreur soit com- prise entre — x et -f-x. Posons

x = ^[y), d-h{y) = ^'[y)cly, d-^' {y) = ■\" {y) dy,

on aura

^î-(o) = o etf(j) =

on en conclut, en ayant égard aux hypothèses qui ont été faites, que, depuis j^ = o jusqu'à j=\^ ^'(/) ^^t tou- jours croissant, ou du moins n'est pas décroissant, et que, par suite, Y {y) '^^^ toujours positif, ou du moins n'est pas négatif. Or nous avons

d.yV[y) = -^'[y)dy^-y^"{y)dy, par suite,

J'k' (j') — ^ (j ) ^ donc une valeur constamment positive,

ou du moins cette expression ne sera jamais négative.

■>!' ( r) Il suit de là que i . ; sera toujours positif et moin-

dre que l'unité. Soit f la valeur de cette différence pour j = p. • à cause de ']; (p.) = lin, ou a

\ 1)1

( ^3) d'où l'on conclut

Cela posé, considérons la fonction

que nous désignerons par F (j ), et posons on aura évidemment

Or, puisque 'l' (x) croît continuellement (ou du moins ne décroît pas, car c'est ainsi qu'on doit toujours l'entendre) lorsque y croît, et que, d'un autre côté, F'(j^) est con- stant, la didérence

sera positive pour toutes les valeurs de y plus grandes quc^y, et négative pour les valeurs de y plus petites que |7.. On en conclut que la dilTerence ^p [j] — F (7) est toujours posi- tive, et, par suite, '^ [y] sera certainement plus grand que F(j^) en valeur absolue, lant que la fonction F(j^') sera positive, c'est-à-dire depuis j = ^.f jusqu'à j= i . I.a valeur de l'intégrale

€/</ ;

sera donc inférieure à celle de Tintégrale et à fortiori moindre (jue

X'

( '4 )

f'est-à-difc nioindre cjuc ni' . i^v la prciniru' Je ces inté- grales a pour valcnii"

).-7;r(i-p/)3 donc

y désignant, on ne l'a pas oublié, un nombre compris entre o et i .

Si nous considérons f comme variable, la fraction

aura pour différentielle

cette fraction sera donc continuellement décroissante lors-

quey^ croîtra de o à i, et que l'on aura, en outre, p. <^ ^:

sa valeur maximum correspondra hf=o et sera égale à 3[J.^, de sorte que, dans ce cas, le coefficient 1 sera cer- tainement inférieur, ou du moins ne stra pas supérieur à [j.\/3. Ce qu'il fallait démontrer.

Lorsqu'au conlraire a est plus grand qne -? la valeur de la fonction sera maximum lorsque ?. — 3 a H- p./ — o , c'est-à-dire lorsque

U.

Cl cette valeur maximum sera

4 .

( i5 ) ^ par consequent, dans ce cas, le coefficient 1 n'est pas plus

grand que i comme nous l'avions annoncé.

3 v' I — y-

Faisons, par exemple,

I

' 2 ■

alors 1 ne peut pas surpasser I/t' c est-à-dire que l'er- reur probable ne peut pas surpasser o,866oq.54 m ^ à la- quelle elle devient éi;ale dans le premier cas examiné (art. 9) : on conclut facilement de notre théorème que y.

n'est pas moindre (jue ^> \ / ^ ' tant que 1 est moindie que \/^' et qu au contraire, il n est pas inférieur à 1 -V^? lorsque X est plus grand que \/ 1-

il.

L'intégrale

£

x^ '^ (.r (ix ,

se présentant dans plusieurs problèmes que nous aurons à traiter, il ne sera pas inutile de 1 évaluer d.ms quehjucs cas particuliers. Posons

/ a.' y {x) (Ix =r /i',

.'—CO

sqi

pour les \ali uis de u.' ( oiiipriscs entre — a cl + /-/ , on a

( i6)

II. Lorsque

? ('^ ) = T-

n-

(IP cas, art. 9), x étant encore compris entre — a et H-rt on a

1 12

n* =z -— ri^ = -— m'. i5 5

III. Dans Ic troisième cas, lorsque

loi x\ =

/is/tz

on trouvera, d'après les résultats obtenus dans le Mémoire cité plus haut,

«' := - /i' = 3 m*.

4

On peut d'ailleurs démontrer qu'en instant dans les hypo- thèses admises au paragraphe précédent, le rapport —

n'est jamais inférieur à ^•

12.

Désignons par or, x', x", etc., les erreurs commises dans des observations de même espèce, et supposons que ces erreurs soient indépendantes les unes des autres. Soit, comme plus haut, ^{x) la probabilité relative de l'erreur x; considérons une fonction rationnelle/, des variables

L'intégrale multiple

(l) I :f(^.r)(f[x')f{x")...c{xclx'(Ix"...,

étendue à toutes les valeurs des variables x^ x', x", etc., pour lesquelles la valeur de / tombe entre les limites don- nées G, Y], représente la probabilité que la valeur de y soit

( ï7 ) comprise entre o et yj. Or cette intégrale est évidem- ment une fonction de y;. Représentons sa différentielle par •| (yj) dn , de sorte que l'intégrale considérée soit égale à

X

•.t.^

dr„

et que, par conséquent, ^ [r.) représente la probabilité relative d'une valeur quelconque dej^. x pouvant être re- gardé comme une fonction des variables y, x', x" ^ etc., que nous désignerons par f[ /, x' -, x", . . .), lintégrale (ij pj^ndra la forme

\[A:f-,^',^\...)]'^^^-^^^^^^^^

J

oxx y doit varier depuis ^' = 0 jusqu'à y= r,, et les au- tres variables reçoivent toutes les valeurs pour lesquelles f(j^x\x"...) est réelle. On aura donc

1 intégration , dans laquelle y doit être regardé comme une constante, s'étendanl à toutes les valeurs des variables x\ x"^ etc., pour lesquelles /(/, x', x",...) prend une valeur réelle.

13.

L'intégration précédente exigerait, il est vrai, la con- naissance de la fonction ^, qui est inconnue dans la plupart des cas. Lors même que cette fonction serait connue, le calcul surpasserait, le plus souvent, les forces de Fana- lyse. Dès lors il sera impossible d'obtenir la probabilité de cliacuiie des valeurs de y\ mais il en sera autrement si l'ou désire seulement la valeur moyenne ào, )', qui sera donnée

( '8) par r intégrale

I

étendue à toutes les valeurs possibles àe y.

Si, par la nature de la fonction, ou à cause des limites imposées à x, x', x", etc.,j^ n'est pas susceptible de recevoir toutes les valeurs, on devra supposer que ^[y) s'annule pour toutes les valeurs que j ne peut atteindre, et Ton pourra alors étendre 1 intégration de — ce à -4- oo .

Mais l'intégrale

/

yHy)^^y->

prise entre des limites déterminées r, et yj', est égale à

prise depuis jy = 'n jusqu'à y = t]' et étendue à toutes les valeurs des variables x', x", etc. , pour lesquellesyest réelle. Cette intégrale est égale, par conséquent, à l'intégrale

/

^ ^ (x ) y ( j:') cp ( jt" ) . . . dx dx dx" . . . ,

dans laquelle / sera exprimé en fonction de x, x', x", etc., la sommation s'étendant à toutes les valeurs des variables qui laissent y compris entre 73 et r,' , D'après cela, l'inté- grale

/ y^{y)dy

peut se mettre sous la forme

j y (.r) ep (x') y ( x") . . . dx dx' dx" . . . ,

/^

l'intégration s'étendant ;\ toutes les valeurs réelles de X, x', x", c'est-à-dire depuis x= — 00 à x = + co,

x' = — 00 à x' = H- CO , etc.

( »9)

Si la fonction y se réduit à une somme de termes de la forme

la valeur de l'intégrale

/

étendue à toutes les valeurs de y, c'est-à-dire la valeur moyenne de j-, sera égale à une somme de termes de la forme

A / X-"-^ [X) dx. \ X'^ ç, [x') dx'- I x"-^r^{x" ) dx"...,

c'est-à-dire que la valeur [moyenne de j est égale à une somme de termes déduits de ceux mêmes qui composent j-, en y remplaçant x°^, x'' , x"'^, etc., par leurs valeurs moyennes. La démonstration de ce théoi^ème important pourrait facilement se déduire d'autres considérations.

15.

Appliquons le théorème précédent au cas où l'on a

x= -h ar" 4- x"^ + . . .

(7 désignant le nombre des termes du numérateur.

On trouve tout de suite que la valeur moyenne de y est égale à m' (la lettre /;/ ayant toujours la signification de l'art. 5). La véritalde valeur de j- peut être inférieure ou supérieure à sa moyenne, de même que la vraie valeur de j:' peut, dans chaque cas, être inféricuie ou supérieure à in^\ mais la pro- babilité pour que la valeur fortuite de y ne diffère pas sen- siblement de m', s'approchera sans cesse de la certitude à mesure que a deviendra plus grand. Pour le montrer plus clairement, comme il est impossible de chercher exactement cette probabilité, nous chercherons /'erreur mojcnjie à

2.

( ^o) craindre en ïsihanl y =nt^. D'après ce qui a été dit (art. 6), cette erreur sera la racine carrée de la moyenne de la fonc- tion

w

Pour la trouver, il suffit d'observer que la valeur moj'enne d'un terme tel que — est égale à — [n ayant la même signi- fication que dans l'art. 11 ), et que la valeur moyenne d'un

ternie tel que — est égale a — — '

valeur moyenne de cette fonction sera

- 2jr-.r- , , , 2/rt' , ,

ternie tel que — est égale a — —; par consequent, la

De là nous concluons que si le nombre des erreurs irré- gulières est suffisamment grand , la valeur de m sera repré- sentée , avec une grande certitude , par la formule

v/-

x"

et l'erreur moyenne à craindre dans la détermination du

carré de m , sera égale à

/

Comme cette dernière formule contient la quantité ;? , si l'on veut seulement se faire une idée du degré de préci- sion de cette détermination , il suffira d'adopter pour la fonction cp une hypothèse particulière.

Si nous prenons , par exemple , la troisième hypothèse des

art. 9 et 11, cette erreur sera égale à ^'*'\/~' ^i ^^ ^^

préfère, on pourra obtenir une valeur approchée de n'' au moyen des erreurs elles-mêmes, à l'aide de la formule

x^ + x'* -h x"' -+-...

( 21 )

Ou peut affirmer géuéralemeul qu'une précision deux fois plus grande dans cette détermination exigera un nombre d'erreurs quadruple, c'est-à-dire que le poids de la déter- mination est proportionnel au nombre a.

On verrait de la même manière que si les erreurs des observations renferment une partie constante, on déduira de leur moyenne arithmétique une valeur de la partie constante, et cette valeur sera d'autant plus approchée que le nombre des erreurs sera plus grand. Dans cette détermination,

I erreur moyenne a craindre sera rcprest-ntecpar t / ■'>

k désignant la partie constante, et ru l'erreur moyenne des observations noji corrigées de leur erreur constante. Elle

m sera représentée simplement par —=•, si ni représtnte 1 er- reur moyenne des observations corrigées de la partie cou- Mante [voyez art. 8).

16.

Dans les art. 12 à 15 nous a\ons supposé que les erreurs x, x', x" ^ etc., appartenaient au même genre d'ob- servations, de sorte que la probabilité de chacune de ces erreurs était représentée par la même fonction. Mais il est évident que les principes généraux exposés dans les ar- ticles 12 à 1 i, peuvent facilement s'a[)pliquer au cas plus général où les probabilités des erreurs x, x\ .r", etc., sont représentées par des fonctions dillérentes

,.(.r), f(.r'), »"(.r" ),...,

e'est-à-dii(; lorsque ces erreurs apparlieniicnl ;'i des ojjscr- vations qui n'ont pas le même degré de précision. Su[)po- sons que j: désigne l'erreur d'une obseivation dont l'erreur moyenne à craindre soit m; x\ .r", etc., celles d'autres ••bservalions dont les eircnis mnvcnin s à c raindic sctjeni ! espcriivetncnl ///', m',, elr, : alors la \;ilriii inovcMni" Av

( 22 )

la somme

x''-{- x"-h .c"'-h . . . sera

/«'+ m" + m'"' -\- ... .

Or, si l'on sait, par ailleurs, que les quantités m,///,^/'', etc.- sont respectivement proportionnelles aux nombres, i,u': p.", etc., la valeur moyenne de Fexpression

I H- p'- H- f^"' + . . .

sera égale à /ti". Mais si nous adoptons pour m^ la valeur que prendra cette expiession, en y substituant les erreurs x,x', x'\ etc., telles que le hasard les offrira, l'erreur moyenne qui affecte cette détermination sera, d'après l'ar- ticle précédent.

v/«'

OÙ n', n", etc., ont la même signification, par rapport à la seconde et à la troisième obsei^ation , que n par rapport à la première 5 et si l'on peut supposer les nombres », n', «", etc. , proportionnels à m, ?n', m", etc.. cette erreur moyenne à craindre sera égale à

^Çn^ _ „;1 ) (, + ^'i 4, p^/4 _)_ _ . ) ^

1 + p'^ -4- p"' + . . .

mais cette manière de déterminer une valeur approchée de m n'est pas la plus avantageuse.

Considérons l'expression plus générale

__ X- -f- u'x'^ -h V." x'"' -f- . . . I + a p. ' + a jy. ' + . . .

dont la valeur moyenne sera aussi nî^^ quels que soient les coefficients a', a", etc. L'erreur moyenne à craindre lors- qu'on substitue la valeur m' à une valeur de j-, déterminée d'après les erreurs fortuites o", x', x" ^ etc., sera, d'après

( ^^ )

les principes précédenls, donnée par la formule

\J{n* — m* ) + ol" {n'* — m'*) -h ol"' («"* — m"' )

l + af/' + a pi'-t-...

Pour que celte erreur soit la plus petite possible, il faudra poser

«' — nv ,

ij'4 o.'f ^ '

/M ,„"4 f* '

Ces valeurs ne pourront pas s'évaluer tant qu'on ne con-

1 n n' -i-w 11- < 1.

naîtra pas les rapports —5—5 etc. Dans 1 ignorance ou ion

est de leur valeur exacte (*), le plus sur sera de les sup- poser égaux entre eux [voyez art-. 11), et l'on aura alors

1 ,/ I

c'est-à-dire que les coefficients a', a", etc., doivent être sup- posés égaux aux poids relatifs des diverses observations, en prenant pour unité le poids de celle à laquelle correspond l'erreur x. Ceci posé, désignons, comme ci-dessus, par a le nombre des erreurs proposées j la valeur moyenne de l'ex- pression

or

sera égale à m^, et lorsque nous prendrons, pour la vraie valeur de m^, la valeur de celle expression déletminée au moyen des erreurs fortuites x^ x\ x" ^ etc., l'erieur moyenne à craindre sera

\Jn' -\- y",i'' + r/'-'-n"' H- ... — cm*

( * ) On ne conçoit la pob»ibilitc de déterminer exactement jx , //.', /*", etc., que dans le seul cas où , jtar la nature de la l'onction y, les erreurs x , j', jr", etc., proportionnelles ii //,//', y", etc., seraient «'[jii'c'i"'"' |'rn|.:i|.los , c'est-à-dire le cas où

?{'■) — H-' ?'-{h-' "^ ) ~ I'" -i" {h-" ') ■ • ■ ■

(iVu/ct/fM. G.iibï.,

{ -M )

et, enfin, s'il est permis de supposer les quantités «, n', Ji'\ etc., proportionnelles à m, m', nz", etc., cette ex- pression se réduira à

/

résultat identique à celui que nous avons trouvé dans le cas où. les observations sont toutes de même espèce.

M.

Lorsqu'une observation dont la précision n'est pas abso- lue, fait connaître une certaine quantité liée analytiquc- ment à une grandeur inconnue, le résultat de cette obser- vation peut fournir pour l'inconnue une valeur erronée , mais dans la détermination de laquelle il n'y a rien d'ar- bitraire qui puisse donner lieu à un choix plus ou moins vraisemblable.

Mais si plusieurs fonctioïis de la même inconnue sont données par des observations imparfaites, cbaque observa- tion fournira une valeur de l'inconnue, et l'on pourra éga- lement obtenir des valeurs, parla combinaison de plusieurs observations. Il y a évidemment une infinité de manières d'y parvenir; le résultat sera soumis, dans tous les cas, à une erreur possible. Selon la combinaison adoptée, l'erreur moyenne à craindre pourra être plus ou moins grande.

La même chose aura lieu si plusieurs quantités obser- vées dépendent à la fois de plusieurs inconnues. Selon que le nombre des observations sera égal au nombre des incon- nues, ou plus petit ou plus grand que ce nombre, le pro- blème sera déterminé, ou indéterminé, ou plus que déter- miné (du moins en général), et, dans ce tioisième cas, les observations pourront être combinées d'une infinité de manières pour fournir les valeurs des inconnues. Parmi ces combinaisons, il faudra choisir les plus avantageuses, c'est- à-dire celles qui fournissent des valeurs pour lescpiellcs Terreur moyenne à craindre est la naolndre possible. Ce

I 23 )

problème est certainement le plus important que présente l'application des matliémaliques à la philosophie naturelle.

Nous avons montré , dans la Théorie du 3Ioiwement fies Corps célestes, comment ou trouve les valeurs les plus pro- bables des inconnues lorsque Ton connaît la loi de proba- bilité des erreurs des observations , et comme, dans presque tous les cas, cette loi par sa nature reste hypothétique, nous avons appliqué cette théorie à l'hypothèse très-plau- sible, que la probabilité de l'erreur x soit proportionnelle à e~*'^**, de là cette méthode que j'ai suivie, surtout dans les calculs astronomiques, et que maintenant la plupart des calculateurs emploient sous le nom de Méthode des moindres carrés.

Dans la suite, Laplace, considérant la cpiestion sous un autre point de vue, montra que ce principe est préférable à tous les autres, quelle que soit la loi de probabilité des erreurs, pourvu que le nombre des observations soit très- grand. Mais lorsque ce nombre est restreint, la question est encore intacte; de sorte que, si l'on rejette notre loi hvpothétique , la méthode des moindres carrés serait préfé- rable aux autres, par la seule raison qu'elle conduit à des calculs plus simples.

Nous espérons donc être agréable aux géomètres en dé- montrant, dans ce Mémoire, que la méthode des moindres carrés fouinit les combinaisons les plus avantageuses des observations, non-seulement approximativement, mais en- core dune manière absolue, et cela quelle que soil la loi de probabilité des erreurs et quel que soit le nombre des ob- servations, pourvu que Ion adopte pour roircur moyenne, non pas la définition de Laplace, mais celle que nous avons donnée dans les art. "5 et H.

Il est nécessaire d'avertir ici (juc, dans les rcclierthcs suivantes , il ne sera question que des erreurs fortuites dimi- nuées de leur partie constante. C'est à l'observateur qu'il appartient d'éloigner soigneusement les causes d'erreurs eonstanles.

( ^6) Nous réservons pour une autre occasion l'examen du cas où les observations sont aiiectées d'une erreur constante inconnue, et nous traiterons cette question dans un autre Mémoire.

18.

PROBLÈME.

Soit U une Jonction donnée des inconnues V, V, V", etc. ^ on demande l'erreur moyenne M à craindre dans la dé- termination de la valeur de U, lorsque, au lieu des véri- tables pudeurs de \, \', \", etc., on prend les valeurs déduites d'obseri'ations indépendantes les unes des autres j m, m', m", etc., étant les erreurs moyennes qui corres- pondent à ces diverses observations.

Solution. — Désignons par e, e', e", etc., les erreurs des valeurs observées V, \', \", etc.-, l'erreur qui en résultera , pour la valeur de la fonction U , pourra s'exprimer par la fonction linéaire

A e -i- a' e' 4- a" f" + . . . — E ,

- ^ V v/ ' .-,,., d\3 dV d\]

ou /, A , A' , etc. , représentent les dérivées — — , ——■, -r-r,,i etc. ,

aV aV dy

lorsqu'on y remplace V, \', \ '', etc. , par leurs vraies valeurs. Cette valeur de E est évidente si l'on suppose les obser- vations assez exactes pour que les carrés et les produits des irreurs soient négligeables. Il résulte de là que la valeur moyenne de E est nulle , puisque l'on suppose que les er- reurs des observations n'ont plus de partie constante. Or Terreur moyenne M, à craindre dans la valeur de U, sera la racine carrée de la valeur moyenne de E^, c'est-à-dire que M^ sera la valeur moyenne de la somme

mais la valeur moyenne de X^c^ est l"m', celle de X'^e" est A'^m'", etc., enfin les valeurs moyennes des produits iXk' ee' sont toutes nulles 5 donc on aura

M = \IV nû -H V'/«" + V' M/"--i- . . . .

( ^7) 11 est bon d'ajouter plusieurs remarques à cette solution.

I. Puisqu'on néglige les puissances des erreurs qui sont ^supérieures à la première , nous pourrons , dans notre for- mule, prendre pour X, /', À", etc., les valeurs des coefficients

difiereutiels —-5 etc., déduites des valeurs observées V, \ '.

«V

V", etc. Toutes les fois que U est une fonction linéaire, cette substitution est rigoureusement exacte.

II. Si , au lieu des erreurs moyennes, on préfère intro- duire les poids des observations, supposons que p 1 p' -, p" ^ etc., soient les poids respectifs, l'unité étant arbi- traire, et P le poids de la valeur de U5 on aura

P = -

- + — -+- — + ••• p p p

m. Soit T une autre fonction de V, V, V", etc. 5 posous

dN~~''' dy''~''"' dY'~ ''' '""

L'erreur commise surT, en adoptant pour V,\'',\", etc., les résultats fournis par l'observation, sera

y,c-\- y/ e' -h y." e" . . . =zE',

et l'erreur moyenne à craindre dans cette détermination sera

v/y.'/w' -H y." m" -+- ■/'■'m'"-^

11 est évident que les erreurs E et E' ne seront pas indépen- dantes l'une de l'autre, et que la valeur moyenne du pro- duit EE ne sera pas nulle comme la valeur moyenne de ee'; elle sera égale à

-/X ni^ •+- /.' >,' m" + /." \" m"- H- . . . .

IV. Le problème comprend le cas où les valeurs des quan- tités V, \', \", etc., ne sont pas données immédiatement par l'observation, mais sont déilui tes de combinaisons (piel- conques d'observations directes. Pour que cette extension soit légitime , il faut <{ue les «léterminalions de ces quantités soient indépendantes , c'est-à-dire (luclles soient fournies

(a8) par des observations dilTérentes. Si celte condition cVindé- pendance n'était pas remplie, la formule qui donne la valeur de M ne serait plus exacte. Si , par exemple , une même ob- servation était employée, à la fois, dans la détermination de V et dans celle de \ ', les erreurs e et e ne seraient plus indépendantes, et la valeur moyenne du produit ee' ne se- rait plus nulle. Si l'on connaît, dans ce cas , la relation qui lie V et \' aux résultats des observations simples dont ils dérivent, on pourra calculer la valeur moyenne du pro- duit ee', comme il est indiqué dans la remarque III, et dès lors corriger la formule qui donnera M.

19.

Soient V, V, \", etc., des fonctions des inconnues x, y^ z, etc. 5 soient xs le nombre de ces fonctions, p le nom- bre des inconnues 5 supposons que des observations aient donné, immédiatement ou médiatement, L, L', L", etc., pour valeurs des fonctions V, V, \", etc., de manière ce- pendant que ces déterminations soient absolument indé- pendantes les unes des autres. Si p est plus grand que nr, la recberclie des inconnues est un problème indéterminé. Si p = cy, cbacune des inconnues x^ y, z, etc., peut être re- gardée comme calculée en fonction de V, V, \", etc. ; de sorte que les valeurs des premières peuvent être déduites des valeurs observées de ces dernières, et l'article préc édent nous permettra de calculer la précision relative de ces di- verses déterminations. Si p est plus petit que C7, chaque inconnue x, y, z, etc., pourra être exprimée d'une infinité de manières, en fonction de V, \ ', \", etc., et, en général, ces valeurs seront différentes; elles devraient coïncider si les observations étaient, contrairement à nos hypothèses, dune exactitude rigoureuse. 11 est clair, d'ailleurs, que les diverses combinaisons fournissent des résultats dont la pré- cision sera, en général, diiïerenie.

D'ailleurs si, dans le deuxième et le troisième cas, les quantités V, V, V", etc., sont telles que vs — p + ï d'entre

elles, ou davantage, puissent être regardées comme des fonc- tions des autres, le problème est plus que déterminé relative- ment à ces dernières fonctions et indéterminé relativement aux inconnues ±, y, z, etc. -, et Ton ne pourrait même pas déterminer ces dernières inconnues, quand bien même les fonctions V, \ ', \ ", etc., seraient exactement connues : mais nous excluons ce cas de nos recherches.

Si y, ^ ', ^ ", etc., ne sont pas des fonctions linéaires des inconnues, on pourra toujours leur attribuer cette forme, en remplaçant les inconnues primitives par leur différence avec leurs valeurs approchées, que l'on suppose connues; les erreurs moyennes à craindre dans les déterminations V=:L, V' = L', Y"=V',...

étant désignées respectivement par m, in\ m", etc., et les poids de ces déterminations, pur p,p', p", etc , de telle sorte que

pm^ =zp' m'- = p" m"- ■=.....

Nous supposerons connus les rapports des erreurs moyennes ainsi que les poids, dont 1 un sera pris arbitrai- rement. Si nous posons enfin

(V -\.)fp = V, (V - L') V? = '■', . . -, les choses se passeront ensuite comme si des observations immédiates, également précises et dont l'erreur movenne aurait pour valeur m ^p , avaient donné

(' = G , c' = o , t'" = O , . . . .

20.

PROBLÈME.

Désignons par v, v', v", etc., les fonctions linéaires suivantes des indéterminées x, v, z, etc.,

V =: nx -\- by -h rz -f- • • • -h / , /,j ; v' =a'x -\rb'y-\-c'z-Jr. . .-\-l',

•'" = a".r + h" y -+- c"3-H . . . 4- /",

( 3o ) Parmi tons les systèmes des cocjficicnls y. , x.', x", elc. , qui (lotiucjit identiquement

Y. (' -i- ■/ v' -\- y." v" -\- . . . =z X — /,■ ,

k éta7it indépendant de x, y, z, etc., trouver celui pour lequel y.' -t- y.'^ -h y."^ -+- . . . est fninimum. Solution. — Posons

(«t' + rt'c'H- «"('" -f- . . =ç, bv -h h'v' -h b"v" H- . . . = >î , ff H- c'c' + c"('" -!-...= (;,

i, y/, ^ seront des fonctions linéaires de x^^j^z, et T

on

aura

(3) N^-^S'^^'^-^S

b^-

-.'^ac+..	.^S"'.
.'^l,c+..	.+2*''
z'^.c--^..	.+2<-',

ou

\ a^ = a* + a'- -\~ a""- + . . ,

et de même pour les autres 2.

Le nombre des quantités ?, /î,!^-, etc., est égal au nom- bre tj des inconnues x, y ., z. , etc.; on pourra donc obtenir, par élimination, une équation de la forme suivante (*),

. .r = A -f-(aa) Ç + (ap)»5 + (a7)î;H-. .. ,

qui sera satisfaite identiquement lorsqu'on remplacera ii'^'iKi V^^ leurs valeurs (3). Par conséquent, si Ion

(*) On verra plus loin la raison qui nous a conduit à désigner les coeffi- cients de cette formule par la notation (aa) , ( a/3 ) , etc.

{Isole de M. Gauss.")

(3r ) pose

ia {%y.)-^h {v.^) + c (a7) + . .= a,' a' (aa)-+- h' (a(5)-}-c' (a'/) + . . . = a', a" (aa) + h" [a.^) -he" (ay) + . . .= «",

on aura identiquement

f 5 ) a (' -h a' f' -h a" ('" + . . . =r J- — A.

Cette équation montre que parmi les différents systèmes de coefficients y., z', x", etc., on doit compter le système

•/ = a , y/ = a! , x" = a", ....

On aura d ailleurs , pour un système quelconque ,

(x — a) <' -h (x'— a') (/+ (x"— a") ('"-h. . .= A — /-, ' et celte équation, étant identique, entraine les suivantes :

(y. _ a) « -t- [y! — «') fl' 4- (x" — a") rt" -t- . . . = o , (-^ _ a) ^. + (x' — a') ^.' 4- (-/' — a") è" + . . . = G , (.,. — a) c + (x' _ a') c' 4- (x" — a") c" + . . . = o.

Ajoutons ces équations après les avoir multipliées, respec- tivement, par (aa), (a(3), [cc/^ etc., nous aurons, en vertu du système (4) ,

(y. — a) a -h ; x' — a') x' -+- (z" — x") a" -h . . = G, cest-à-dire

x= + x'^ 4- . . . = a' 4- a'' + ...+ ( x — a)^ 4- (v/ - a')' 4- • • • i par conséquent, la somme

x' 4- y"- + ■/"' 4- . . . aura uiir v.dcur minimum, lorsque l'on aura

X = a , x' =: y.', X " = a ", ....

1) ailleurs < e(tc valeur minimum s'uhlieiidra de la ni;inièir suivante.

( 32 )

L'équation (5) moniro que l'on a

<7 a -4- a y! 4- rt" a" -h . . . = I , ^ X -f- Z»' a' H- Z>" a" -H . . . = G , c a + f ' v! -\- c" a" + . . = o ,

Multiplions ces équations, respectivement, par («a), (a|3), (ay), etc., et ajoutons 5 en ayant égard aux i-ela- tions (4), on trouvera

a' -f- a'- + a"'^ -f- . . . = (aa).

21.

Lorsque les observations auront donné des équations approximatives 4

f = o , c' = o , v" = O , . . . ,

il faudra, pour déterminer l'inconnue ;c, choisir une com- binaison de la forme suivante ,

v,v -\- ■/' v -f- x"('" -}-...= o,

telle que l'inconnue x acquière un coefficient égal à i , et que les autres inconnues se trouvent éliminées.

Le poids de cette détermination sera , d'après l'art. 18,

r4- x'^4- x"^-t-..

D'après l'article précédent, on obtiendra la détermina- tion la plus convenable , en prenant

I t II „//

y =: a , -/ =z a , /. — a , . . . ,

alors X aura la valeur A. On obtiendrait évidemment la même valeur sans connaître les multiplicateurs a, a', a", etc., en efTecluant l'élimination sur les équations

; = o, >5 = o, ç =0, . .;

( 33 ) . le poids de cette détermination sera

I

(^'

et l'erreur moyenne à craindre

m \Jp {(xx) ■=. ni' \[j^ (aa) r= m" \ip^ (aa) = . . . .

Une marche analogue conduirait aux valeurs les plus convenables des autres inconnues y^ z, -etc., qui seront celles que l'on obtiendrait en effectuant l'élimination sur les équations

ç = o, >î =o, Ç = o, . . , .

Si nous désignons par fl la somme

ou, ce qui revient au même,

;,(V-L)'-i-//(V'-L')' + 7/'(V"-L")' + ...,

on aura évidemment

di\ du fia

par conséquent, les valeurs des inconnues, déduites de la combinaison la plus convenable, et que nous pouvons appeler les valeurs les plus plausibles , sont précisément celles qui donnent à D. une valeur minimum. Or V — L représente la différence entre la valeur observée et la valeur calculée 5 donc les valeurs les plus plausibles des inconnues sont celles qui rendent minimum la somme des carrés des différences entre les valeurs calculées et observées des <|uantités V, \', \", etc., ces carrés étant respectivement multipliés par le poids des observations. J'avais établi depuis longtemps ce principe par d'autres considérations [Thcoria 3Iofas Corporiim cœlcstiurn).

Si 1 on veut assigner la précision relative dfî cIkk nue des déterminations, il faut déduire des équations (3), les valeurs o. 3

( 34 ) de X, y, z, etc., qui se présenteront sous la forme suivante :

iA- = A + (aa)Ç -h{ap)n + (ayji; -h. .., j = B + (pa)? + (p8)>J + (P7)C+..., z == C H- (7a) H + (yp) >, + (77) (; + ....

Les valeurs les plus plausibles des inconnues a:, j , z, etc., seront A , B , C , etc. Les poids de ces détermiualions seront

I I I

et les erreurs moyennes à craindre

pour X, m \Jp [ac/.) =z m' s]p' (aa) , . . . , pour y, m s[^ (pp) = m' \U'{^^),. . . , pour z, m\/p{-^y) = m' s/p'{yy),.. .,

ce qui s'accorde avec les résultats obtenus antérieurement {Theoria Motus Corporum cœlestîum).

22.

Le cas où il n'y a qu'une seule inconnue est le plus fré- quent et le plus simple de tous. On a alors

il sera utile d'en dire quelques mots. On aura

a = ^p, a' — s/p', a"=\iy' ,...,

/ = -Ls//i, t'=-h'\/p, i"=-v's/y',.. ,

et, par conséquent,

^ = {p -^ p' -h p" + . . .) X — (ph -+- p' V -i- p"L" + . . .) ; d'où

^ ^ p-hp'-hp"...

^ p-L-hp'î/-hp"L"-h... ~~ P -\- p' + p" -^•'-

(35) Ainsi, si, par plusieurs observations qui n'ont pas la même précision et dont les poids respectifs sont /? , //, p''^ etc., on a trouvé, pour une même quantité, une pre- mière valeur L, une deuxième L', une troisième L", etr., la valeur la plus plausible sera

p-lrp' + p" + ...

et le poids de cette détermination sera

P -h // + //' +

Si toutes les observations sont également plausibles, la valeur la plus probable sera

L -4- L' + L" 4- . . .

c'est-à-dire la moyenne arithmétique entre les valeurs ob- servées; en prenant pour unité le poids d'une observation isolée, le poids de la moyenne sera tj.

SECOiNDE PARTIE,

rHK8F,NTF.F. LE 3 FÉVRIER iSîS, A LA SOCIF.TK ROYALE t>E COTTINGLE.

23.

Il reste encore à exposer quelques rccberches destinées à étendre et à éclairer la théorie précédente.

Cherchons d'abord si l'élimination qui fournit les varia- bles x, y^ z, etc., en fonction do | , y; , ^, etc. , est loujouis possible. Puisque le nombre des équations est égal à celui des inconnues, on sait qu<r cette élimination sera possible ^^ it'*^')K'> ^^^' **'"'• J'idépendants les uns des autres; dans le ras contraire, elle serait impossible.

3.

(36) Supposons, pom- un instant, que ^, », i^, etc. , ne soient pas indépendantes , mais qu'il existe entre ces quantités l'é- quation identique

or=F? + G>3 + Hi;H -+-K;

nous en conclurons

F'^a' + Q^ab -hR^nc-h. .. = o,

F^nb-hG^ h' -hn'^bc -[-... = 0,

F^ac-^G'^bc -{-H^c' -^...= 0,

F'Sal-^G'^bl-hB^cl -h.. =— K. Posons

(0

il viendra

a F -h b G + c H +. . .= 9, a'r-t-é'GH-r'H+...= 9',

a"F-hb"G + c"B.-h... = B\

«S -4- «'9' + fl"ô" + . . . = 0, bQ-hb'6'-{-b"fi"-{-...= o, cQ + c'O' -h c"e" + ...= o,

/g _l_/'e' + l"Q"-h. ..= — K.

En multipliant les équations ( i), respectivement par ô, 6', 6", etc., et ajoutant , il vient

et cette équation entraîne les suivantes :

9 = 0, 6' = o, 9" = o, . . . .

De là nous concluons , en premier lieu , K = o. En second lieu, les équations (1) montrent que les fonctions f', t^', ^"^ etc., sont telles, que leurs valeurs ne changent pas lors-

(37) que les variables x, /, z, etc. , prennent des accroissements proportionnels à F, G, H, etc. Il en sera évidemment de même des fonctions Y, Y', Y", etc. : or cela ne peut avoir lieu que dans le cas où il serait impossible de détermi- ner x^y, z, etc. , à Taide des valeurs de V, Y', Y", etc. , lors même que celles-ci seraient exactement connues; mais alors le problème serait indéterminé par sa nature , et nous exclurons ce cas de nos recherches.

24.

Désignons par |3 , |5', (3", etc., des multiplicateurs qui jouent le même rôle relativement à l'inconnue j', que les multiplicateurs or. , a', a', etc., relativement à l'inconnue x, cVst-à-dirc tels, que l'on ait

a iP'^) + b (p^) + c{pv)+...= p,

on aura identiquement

pu -h pV-h p"('". . . = j — B.

Soient y, -/, y", etc. , les multiplicateurs analogues relatifs à la variable z tels, que l'on ait

« {y^) + b (7p)H-c (77) -<-... = 7, a' (7a) -H 6' (7,8) H- c'( 77) 4-. . =7'. o"{yx) +//' (78) +f"(^7 )+... = /',

et, par suite,

De la même manière que l'on a trouvé (art. 20)

( 38) nous trouverons ici

et ainsi de suite.

On aura aussi , comme dans l'art. 20,

2a' = (aa), J^^^ = {m^ ^V^^ (vv) , • • • •

Multiplions les valeurs a, a', a", etc. (art. 20), respecti- vement, par /j, ]S', jS", etc., et ajoutons; nous aurons

«P + a'p'+a"p"-h.. =(aP), c'est-à-dire

En multipliant |3, |S', Çj", etc., respectivement, par a, a', a", etc., et ajoutant, on trouvera

a[Î4-a'p'+a"p"+... =(Pa); donc

(ap) = (pa).

On trouverait, de la même manière,

(av) = (va) = 2 ^-V' (PV) -= (vP) = ^ Pv , • v- •

2S. Désignons par X, X', X", etc., les valeurs que prennent les fonctions t^, u', i^, etc., quand on y remplace x^y, z, etc., par leurs valeurs les plus plausibles, A, B, C , etc., c'est-à- dii^e posons

aA + bB-\-cC-\-...-i-l =A, a' A-h b'B-hc'C + . .+ /' = )/, a" A H- b"B + c" C -^ ... + /" = X" ,

Si nous faisoîis

(39) de telle sorte que M soit la valeur de la foJiction U, qui répond aux valeurs les plus plausibles des variables 5 M sera (art. 20) la valeur minimum de Cl.

Par suite,

al^a'l' + fi" >" -h . . .

sera la valeur que prend | , lorsque

x = A, X= B, z = Cy.. . .

Celte valeur est nulle, d'après la manière même dont A , B, Cy etc., ont été obtenus. On aura donc

on obtiendrait de même

^bl — O, ^CA=:0,...,

et

2«>=o, 2p^=0' 2'^'^'^'''

Enfin, en multipliant les valeurs de X, V, X", etc., respec- tivement, par X, X', X", et ajoutant, il viendra

/\ + i'y~hi"i"-i — = V -t- )/' + a'" -+- . . . ,

c'est-à-dire

26. Remplaçons , dans l'équation

p == rt.r -H /;/ -H 'Z H- • . . -h / ,

X, y, z, par les expressions (7) [art. 21] , on trouvera , en employant des léductions faciles,

(' = a ? -f- P » + 7 <; -H . . . H- A , r"=a"Ç+ p"„ +./'(; 4-... -(-V,

(4o)

Multipliant respectivement, ou ces équations ou les équa- tions (i) de l'art. 20, par 1^1',//', etc., et ajoutant en- suite, on obtient l'identité

AC H- â' v' -+■ Vf" -]-...= m.

27.

La fonction îî peut se présenter sous plusieurs formes qu'il est important d'indiquer.

Élevons au carré les équations (i) [art. 20J, et ajoutons- les membre à membre, nous trouverons

H = x^ 'Sa' -\- y' 'S b' -h z' ^ c' -h ■ . ^ -h 2XJ ^ab -+■ ixz ^^ or 4- lyz \^ èc + . . . + 2a: ^ al-{- iy ^ hl

c'est la première forme.

Multiplions les mêmes équations, respectivement, par v, v\ \>" , etc. , et ajoutons , on aura

il = ;^ -I- «j + (;z -i- , . -1- A' + /'f' -h /"('" -H . . . 5

remplaçons v^ v^, v^''^ etc. , par les valeurs indiquées dans l'article précédent , nous trouverons

n=:?x + J!j+!;z-h.. .— AÇ — Bv] — CÇ — . . . + M, ou

Ll = Ç(x — A) + r:(r — Vi) + 'C,[z — C)-h. . . -f- M :

c'est la seconde forme.

Enfin, remplaçons , dans cette seconde forme, x — A, y — B , z — C, etc. ^parles expressions (7) [art. 21], nous obtenons la troisième forme :

il = (aa) ^^-l-(p!5)>5' + (77)^'+----f-2(7.!i)H>, H- 2(av)HÇ + 2(p7)»,?-|-...+ M.

On peut donner une quatrième forme qui résulte évi- demment de la troisième et des formules des articles précé-

( 4i )

dents, c"est-à-dire

Sous cette dernière forme on voit clairement que M est la valeur minimum de IÎ.

28.

Soient e, e', e", etc., les erreurs commises dans les ob- servations qui ont donné

V = L, V'=L', V'' = L",

Les vraies valeurs des fonctions \ , \', \ ", etc., seront alors

L — 6', V — e', V~e",...,

et les vraies valeurs de w, i^, w", etc. , seront respectivement

— es/p, —e's/p', — e" s/p^, ... ;

par conséquent , la véritable valeur de x sera

A — ae \fp — a'e' \jp' — c/." e' \Jp" — . . . ,

et Terreur commise dans la détermination la plus conve- nable de l'inconnue x sera , en la désignant par Ea:,

Ear = ae y/^ + a.' c' \j jJ + a." c" sj p" + . . . .

De même, l'erreur commise dans la détermination la plus convenable de la valeur dej' sera

Ej = (îr,- sjjj + p'e' y/^' + fi" 6-" s//7' + . . . . J.a valeur moyenne du carré (Ka)* sera

/«'/j (a' + a" 4- a"- -\- . , .) = uPp ( aa). 1.;» valeur moyemie de (Im)" sera de uiruie

(4^)

(omme nous l'avons déjà reconnu. On peut également assigner la valeur moyenne du produit Kx. Ej^, qui sera

/«V(a? + «'^' + a"^"H-. . .)z=m'p (ap).

On énonce ces résultats plus brièvement de la manière sui- vante :

Les valeurs moyennes des carrés (Eo:)^, (Ej^)^,etc., sont

lespeclivement égales aux produits de — — par les quo- tients ditréreutiels partiels du second ordre d-Q. cfa

et la valeur moyenne d'un produit tel que Ea: .Ej est le produit de - m^p pa tion de |, vî, ^, etc.

produit de -ni^p par ", ■> en regardant lî comme fonc-

29.

Soit / une fonction donnée et linéaire des quantités x, y, z^ etc., par exemple,

t=fx-\-gy + hz-Jr.. .-\-k;

la valeur de t déduite des valeurs les plus plausibles de X, y, z, etc., sera

/A -f- g-B + A C -f- . . .4- / :

nous la désignerons par K. En désignant par E^ l'erreur commise en l'adoptant, on aura

Ei =/Ex+ ^Ej + AEs -h.. .;

la valeur moyenne de cette erreur sera évidemment nulle, c'est-à-dire que l'erreur ne contiendra pas de partie con- stante, mais la valeur moyenne de (Et)', c'est-à-dire de la somme

/■^(Eaf -^ î/g'E.r.E/ + 2///E^.Ez -{- , . . + g'{^yV+ ishY.y.Y.z-^... 4-/i'(E2)'+...,,

(43) sera, cVaprès l'article précédent, égale au produit de tti^p par la somme

/^(aa)+ 2/§'(a^)+ 2//i (ay) -+- . . . -h^=(p|i)-t- 2g-/2 ( p7 )-+-... .

c'est-à-dire au produit de in^ p par la valeur de la fonction fl — M, lorsqu'on y fait

Désignons par œ cette valeur de îl — M ; l'erreur moyenne à craindre, lorsque l'on prend £ = K, sera tn\jp(*i^ et le

poids de cette détermination sera -• Puisque Ton a identiquement

n _ M = (x — A) Ç + ( j- B) >, + (z- C) Ç +. . . , w sera égal à la valeur de l'expression

(ar-A)/+(j--B)^ + (z-C)/i+...

[qui représente [t — K)], dans laquelle on lemplacera o", y, z, etc., par les valeurs correspondantes à ^:=J\ ^=^' ^ = ^h etc.

Enfin, observant que f , exprimé en fonction des quan- tités ;, yj, ^, etc., aura K pour partie constante, si l'on sup- pose

t= F^ + G>î + HÇ +...4-K, on aura

w = /F4-é'G + /ni +. ..

30.

iSous avons vu que la fductiou iî acquiert son minimum absolu M, lorsque l'on y fail

.r = A, j=îi, = = C,...,

<»u, ce (jui revient au niènie,

q — O. r, =z II, ; ^ (I

(44)

Si Ton altiibue à l'une des inconnues une autre valeur ; que l'on fasse, par exemple,

x= A + A,

les autres inconnues restant variables, Q. pourra ac({uérir

une valeur minimum relative , qui s'obtiendra à l'aide des

équations

fia dCl

x = A4-A, —- = 0, __ — o,..., dj dz

et, par suite,

»7 = o, Ç = o, . . . ;

or, puisque

x=k -t- (aa)?+ {ap)/î-h(a7)(; + .. ., on en conclut

On trouvera de même

(a3) ^ («7)

(aaj l^'^y

La valeur minimum relative de ft sera

A'

Uoi)V H- M = M + ; ;•

(aa)

Nous en conclurons, réciproquement, que si il ne doit pas surpasser M -H /ui*, la valeur de x est nécessairement com- prise entre les liaiiles A — u.\l[!xa)^ et A+/^v^(aa). Il est important de remarquer que |^v'(aa) devient égal à Terreur moyenne à craindre dans la valeur la plus plau- sible de x, si l'on pose

c'est-à-dire si i). est l'erreur moyenne d'observations telles, que leur poids soit l'unité.

Plus généralement, cherchons la plus petite valeur de la

(45 )

fonction Q. qui puisse correspondre à une valeur donnée de f , t désignant , comme dans l'article précédent , Texpres-

sion linéaire

fx-hgf+hz-h ...-hk,

dont la valeur la plus plausible est K ; désignons par K-h-/. la valeur donnée de t. D'après la théorie des maximum et minimum, la solution du problème sera donnée par les équations

da	<■
dx ~
da
dx~	-9 — , dy
dû.	clt - 9 — t
dz ~	dz
1 =	e/.
Ti =	^s,
Ç =	B/i,

9 désignant un multiplicateur encore indéterminé.

Si, comme dans l'article précédent, nous posons identi- quement ,

/ = F> + Ct»,-|-HÇ + ...+ K,

nous aurons

k + -/=:S(/fh-^g + //H H- . .) + !<■;

d'où

w ayant la même signification que dans l'arlirle précédent. Puisque îî — INI est nue fonction homogèue du second degré, par rapport aux variables ^, y?, ^, etc., sa valeur pour

sera évidemment

(40 )

et, par conséquent, la valeur minimum de îî, lorsque

sera

M -f- e'oj = MH- -.

Réciproquement, si H doit rester inférieure à une valeur donnée M + /jl% la valeur de f sera nécessairement com- prise entre les limites R — y. \/(ù, K + p. y/o), et p y/o) sera l'erreur moyenne à craindre dans la valeur la plus plau- sible de î, si fji représente l'erreur moyenne d'observations dont le poids serait l'unité.

31.

Lorsque le nombre des inconnues x,y, z, etc., est un peu grand , la détermination des valeurs numériques de A , B , C , etc. , par l'élimination ordinaire, est assez pénible. C'est pourquoi nous avons indiqué, dans la Théorie du Mouvement des Corps célestes, et développé plus tard, dans le Mémoire sur les éléments de l'orbite de Pallas (Commentaires de Gottingue, t. I), une méthode qui sim- plifie ce travail autant que possible.

La fonction D. doit être ramenée à la forme suivante :

««= «'^ n"^ a'"'

. -4- M ,

, ,-^ "/

A," iJb' G" Cô' où les diviseurs cl>", ift)', O", (E)'", etc., sont des quantités déterminées; w<», ?/, u" , etc., sont des fonctions linéaires de x^y, z, etc., telles que la seconde u ne contient pas x, la troisième u" ne contient ni .rni j, la quatrième ne con- tient ni o", ni j, ni ^r, et ainsi de suite, de sorte que la der- nière m(^— 0 ne contient que la dernière des inconnues ar, j-, ^, etc.; enfin les coefficients de j:, /, ^, etc., dans u», «', m", etc., sont respectivement égaux à eJU», ifb', G", etc. Alors on pose

li» = G , u' =■ o , a" = G , k'" = G , . . . , et l'on aura très-facilement les valeurs de x, y, 2, etc.,

(47) en résolvant ces e'quations et commençant par la dernière. Je ne crois pas nécessaire de répéter de nouveau Talgorithme qui conduit à cette transformation de la fonction D. (*).

Mais l'élimination qu'il faut effectuer pour trouver les poids de ces déterminations exige des calculs bien plus longs encore. ISous avons montré, dans la Théorie du Mou- vement des Corps célestes, que le poids de la détermination de la dernière inconnue, qui entre seule dans zfC'^— 0, est égal au dernier terme de la série des diviseurs al.o, aft)', G", etc. Cette recherche est facile; aussi plusieurs cal- culateurs, voulant éviter une élimination pénible, ont eu l'idée, faute d'autre méthode, de répéter la transformation indiquée en considérant successivement chaque inconnue comme la dernière. J'espère donc que les géomètres me sauront gré d'indiquer, pour calculer les poids des déter- minations, une méthode nouvelle qui ne me semble plus rien laisser à désirer sur ce point.

32. Posons

( u'^ = xo.r -f- 1)1,0 j- -+- e°z -h. . .+■ ^^ (,) \ u' = -01,' j -f- G' ^ H- . . . -{- 4^' ,

on aura identiquement

cln=: ^(ix H- y, fir 4- Ç f/2 -H . . 2

du" u' du' u" du"

X» al!/ = a" I t/x + — dy H -^dz

-4-.

...)

\-^ oib' "" {dz-^.. .)

(") On trouvera ces calculs dans iino Note b la fin du volume. J. B

( 48 )

J'où nous déduirons :

in,»

Yl = H» -h K ,

G» e' ,

Les valeurs de m", z/', m", etc., déduites de ces équations, se présenteront sous la forme suivante :

( «" = Ç,

,3) ) «' = A'?-f- y;.

De la différentielle complète de l'équation

a = ?{a:- A) + »5(j — B) + Ç(z — C)-4-...+ M, retranchons l'équation

- r/a = 5 r/x + n Jjr + Çr/z 4- . . . , 2

il viendra

~dn= {x — k)dt +[y ~-B)dn -\- {z — C)d^-\-

Cette expression doit être identique avec celle que l'on obtient à l'aide des équations (3), c'est-à-dire

~dl+!L (AVÇ -}- dr) + ^ [k."dl + B'V/y, -}-«?!:)+...;

on aura donc

x= HA'—T H-A"-T-l-...4-A,

(4) r- ^

^ + ---H-c,

En substituant dans ces expressions, les valeurs de u° ^ u', u", etc., tirées des équations (3), on aura effectué l'éli-

(49)

minaliou. Pom déterminer les poids, uous aurons

, A'^ k"' A'"^

(5) imù- ^''^ë'''^'^"'^"'

(77)= G^ + ^'"^'---

. La simplicité de ces formules ne laisse rien à désirer. On trouverait des formules également simples pour exprimer les autres coefficients («h), («7), {fiy)i etc. 5 mais, comme leur usaiîe est moins fréquent, nous nous dispenserons de les exposer.

38.

L'importance du sujet nous a engagé à tout préparer pour le calcul et à former les expressions explicites des coefficients A', A", A'", B", B'", etc.

Ce calcul peut être abordé de deux manières : la pre- mière consiste à reporter, dans les équations (si), les valeurs de u**, u', u", etc., déduites du système (3), qui doivent rendre ces équations identiques 5 et la seconde à exprimer, au contraire, que le système { 2) devient identique lorsqu'on y substitue les valeurs de ^, rj, ^, déduites du système (3).

La première méthode conduit aux formules suivantes :

"'"" A/

-n + „ipA'-+-A"==o,

ft" CO' ., iS>"

0 . ,-/A' + ?T,A"-l-A- = o,

Gs forumlcs feront connaître A', A", A'", etc.

( 5o) On aura eiisuilc,

o '

CD' (B" Db' G"

qui donneront B", R'", etc. ; puis

TTFi ^^ — ^^1

qui feront connaître G", etc.; et ainsi de suite. La seconde méthode donne le système suivant :

JL" A' + in,« = o,

d'où l'on lire A' ;

X« A" + Db** B" + GO — o , iJb' B"+ G' z=ro, d'où l'on tire B" et A" -,

X' A'" H- iJb^ B'" + G" C" 4- Û3» =: o ,

<yi/ B'" + G' C"' -^Q' ==o,

Qf C" -{- (Q" = o ,

d'où l'on déduira C", B'", A'"j et ainsi de suite.

Les deux systèmes de formules offrent des avantages à peu près égaux, lorsque l'on veut les poids des déterminations de toutes les inconnues x, y, z, etc. 5 mais lorsqu'on ne clierclie qu'une seule des quantités (aa), ((3(3), (77), etc., le premier système est bien préférable.

D'ailleurs, la combinaison des équations (i) et (4) con- duit aux mômes formides , et fournit, en outre, un second moyen d'obtenir les valeurs les plus plausibles

( ^» )

A , n, C, etc., qui sont

r' r" y'"

y" y'"

^ — S" ©'"

L'autre calcul est identique avec le calcul ordinaire dans Icfjuel on suppose

m' = o , ?/' = o , «" = o , . . , .

34.

Les résultais obtenus dans Tart. 32 ne sont que des cas particuliers d un théorème plus général qui peut s'énoncer de la manière suivante :

Théorème — Si t représente la fonction linéaire sui- i'ante des inconnues x, y, z, etc.,

t —fx H- gj 4- /iz4- . . . + /•,

dont V expression en Jonction des variables u", u', u", etc.,

soit

t = A" u" -h />■' u' + /"«"+. . . + K,

K sera la valeur la plus plausible de l, et le poids de cette détermination sera

I

Démonstration. — La première partie du théorème est évidente, puisque la valeur la plus plausible de t doit cor- respondre aux valeurs

«" = o , «' = o , a" = o , . . . .

Pour dénionlnr la seconde partie, remanjucns que Ton a

- (lil = i,(l.c -+- nf/y -h^f/z-^. . . , 2

e/t —f<lx + i^dy -V Udz->r. . ,

( 5^ )

ri par conséquent, lorsque

?=/, ^i = s, <; = /',■.',

on a

dCï = 2'dt,

quelles que soient les différentielles ^x, r/j, <7^,elc. Il suit de là qu'en supposant toujours ,

on aura

= h°du'-{- k'du'+ h" du" -h ....

Or on voit facilement que si les différentielles dx^ dj, dz , etc. , sont indépendantes les unes des autres, il en sera de même de r/a", di/^ du", etc.-, nous aurons, par conséquent, pour

?=/: ^'=S^ ^^. A,...,

uo = Jl,»A% u'=Ml'k', u"=e"k",

Par conséquent, la valeur de D. correspondant aux mêmes hypothèses, sera

ce qui , d'après l'art. 29, démontre l'exaclitude de notre théorème.

Si d'ailleurs on désire effectuer la transformation de la fonction f, sans avoir recours aux formules (4) (art. 32), on a immédiatement les relations

t =:=: CAO ri 1

g = M'o" P -h "^o k\

)i = e'k' + B'h'-^e"k",

qui permettront de déterminer 7t% A', /r", etc., et nous au- rons enfin

K = — ^« A» — ^'A'_ 4^'A" — . . . .

( 53 ) 35.

Nous traiterons particulièrement le problème suivant , tant à cause de son utilité pratique, que de la simplicité de la solution :

Trouver les changements que les imleurs les plus plan-' sibles des inconnues subissent par l'adjonclion d'une nou-^ velle équation, et assigner les poids de ces nouvelles détermitiations.

Conservons les notations précédentes. Les équations pri- mitives, réduites à avoir pour poids l'unité, seront

(' = O , c' = O , ('" =: o , . . ;

on aura

n = c'-f (/--i- f"'-f-. . . ,

4, /î, (^, etc., seront les dérivées partielles

d£l dD. du

2 dx 2 dy 2 dz

et enfin on aura, par l'élimination,

!x = A + (aa) ? 4- (ap) v, + (a-/) ? + ..., 2 = C H- (av) H + (pv) 1 + (77) ^-^•■■,

Supposons maintenant que Ton ait une nouvelle équa- lion approximative,

P*=0,

dont nous supposerons le poids égal à Tunilc'-. Cherchons les changements que subiront les valeurs les plus plausibles A, B,C, etc., et celles des coefficients {olcc)^ (iS/S), etc. Posons

il 4- i>* ■' = Q* , J ^ _ 1 du* _ ^ I du* _ ^

2 r/.r ~ ^ ' 2 "IT^ "^ "^ ' 2 "777 ~ ^ ' ■ • • ' et soit

x^ A*-f- (aa*) ?* + (afi* 1-/5* -+- (ay^j^* -H ■ . .

h' résultat de réliniiu.iliou.

(54 )

Soit enfin,

qui deviendra, en ayant égard aux équations (i),

.>*=FÇ+G« + Hi; + ...H-K, et posons

F/+ G^ + HA ■+-... = 0);

Ksera évidemment la valeur la plus plausible de la fonc- tion v*^ telle qu'elle résulte des équations primitives, sans avoir égard à la valeur o fournie par la nouvelle observa- lion , et - sera le poids de cette détermination. Or nous avons

r = ?+>% vi* = >5 + ^f*, ?* = ? + /'»'%...,

et, par suite,

F?*+G>,*H-Hi;* + ... + K = P*(n-F/H-G^-t-H^ + . . .);

d'où l'on déduit

^^_Fr+Gyî*H-H^*4--..H-K I + w

On a , en outre ,

a: = A + (aa) ^-H (ap) v,* + (ay) Ç* H- . .

= A-l-(aa)r+(=cp)/J*-i-.-.— Fr*,

= A + laa)ç*+(aI'i)«*-H--. ^i'Fr+ G»i*+ Hi;* +•• -Iv).

I -1- w

Nous déduirons de là ,

1 + W

qui sera la valeur la plus plausible de x , «lédiiitc <!(• ionics les observations.

( 55 ) On aura aussi

F»

[•av conséquent ,

(oLOi) — ^'

sera le poids de cette détermination.

On trouvera de la même manière, pour valeur la plus [ilausible dey, déduite de ton/es les observations,

B* = B :

I 4-«

le poids de celte détermination sera

I

{P.a; 1 + 0)

et ainsi de suite.

Le problème est donc résolu.

Ajoutons quelques remarques.

I. En substituant les nouvelles valeurs A*, B*, C*, etc la fonction i^* obtiendra la valeur la plus plausible

K ^^- (F/+ Gg -f- nh ' ^^

et, puisque Ton a, identiquement,

1 + w I -f- OJ I + CJ " I + w

le poids de ( etle détermination sera (art. 29)

I + w I

F/ -h G- 4- Il /<-+-.. . "^ « ■^'•

Ces résultats pourraient se déduire immédintemeni des rè- gles exposées à la lin de Tart. 21. L'ensemble des équa- tions primitives a\ait, en edét , fourni la détei niination

v^*z=K, dont le poids était -, une observation noM\eIK'

( ^>6 ) donne une autre détermination ^^* = o, indépendante de la première, ayant pour poids l'unité 5 leur combinaison don- nera la détermination

i>* == ,

I -1- w

qui aura pour poids

I

- + I.

w II. On conclut de ce qui précède que, pour

on devra avoir

Ç*=:o, n*=o, Ç* = o, .., et, par suite,

^ = ■ — 5 y> = ■ — ■> ç, = —

l-f-w 1-+-W I+W

Puisque d'ailleurs

£1 = ^ (or - A) + >î ( j — B) -^ Ç(z — C) -h . . . + M,

a* = a-h v*\ on devra avoir, pour ces mêmes valeurs,

11 = -^^, (F/-+-Gg4-H//+...) + M = M+ 7^^, (iH-w)- ^ (14- w)'

et

a* = M -i + ; r, = M +

III. En comparant ces résultats avec ceux de l'ar- ticle 30, nous voyons ici que la fonction II a la plus petite valeur qu'elle puisse obtenir lorsqu on s'impose la condition

I H- w

( ^7 )

3(3.

JNous donnerons seulement ici la solution du problème suivant, qui a beaucoup d'analogie avec le précédent ; mais nous nous abstiendrons d'indiquer la démonstration , à la- quelle le lecteur suppléera facilement en s'aidant de ce qui précède.

Tromper les changements des valeurs les plus plausi- bles des inconnues et les poids des déterminations nou- velles, lorsque Von change le poids de l'une des observa- tions primitives.

Supposons qu'après avoir achevé le calcul on vienne à remarquer qu'on a attribué à une observation, à la pre- mière par exemple qui a donné V z= L , un poids trop fort ou trop faible, et qu'il serait plus exact de lui attribuer le poids p*, au lieu du poids p : il ne sera pas nécessaire de recommencer le calcul , mais il sera plus commode de former les corrections à l'aide des formules suivantes.

Les valeurs les plus plausibles des inconnues deviendront

{p*-p)ul .

X = A —

p -i- [p* — p) {aa -h b fi -h cy -^ . . .)

{P*-P)^^

p-\- [p* —/>) («a + /;p+ cy +...)'

z = C- iP*-p)l'^

P + {p" — p) («^- + Z-p H- C7 -h. . .)

les poids de ces déterminations s'obtiendront en divisant l'unité, respectivement, par

(aa) {P'-P)-' ,

P-^ {p* —p){aoi-\- b^ -hc't +...)

p + { p* ~ p) {a y. -i- ap -[- ry -h . . .

P -^ {P* — P) («a -+- bp-tcy -{-...) Celle solution con\iriii .m (,is (.ù, après avoir a» hcvé It

(58) calcul , il faudrait lejelor tout à fait l'une des obseivalions, puisque cela revient à faire /?* = o j de même, p* = co conviendra au cas où l'équation \ =: L , qui dans le cal- cul avait été regardée comme approchée, serait rigoureu- sement exacte.

Si, après le calcul terminé, plusieurs équations nouvelles venaient s'adjoindre aux proposées, ou si les poids attribués à plusieurs d'entre elles étaient erronés, le calcul des cor- rections deviendrait trop compliqué, et il serait préférable de tout recommencer.

37.

Nous avons donné, dans les art. 15 et 16, une méthode pour déterminer, approximativement, la précision d'un système d'observations (*); mais cette méthode suppose connues exactement les erreurs réelles que F on a effective- ment rencontrées dans une suite nombreuse d'observa- tions; or cette condition n'est remplie que bien rarement, pour ne pas dire jamais.

Si les quantités dont l'observation fournit les valeurs approchées dépendent, suivant une loi donnée, d'une ou de plusieurs inconnues, on pourra trouver, par la méthode des moindres carrés, les valeurs les plus plausibles de ces inconnues 5 si, dès lors, on calcule les valeurs correspon- dantes des grandeurs observées, ces dernières pourront être regardées comme différant peu des véritables : de sorte que leurs difiérences avec les valeurs observées, représenteront les erreurs commises avec une certilvide d'autant plus grande , que les observations seront plus nombreuses. Telle est la marche suivie dans la pratique par les calcu-

(*) Les recherches sur le même sujet insérées par nous {Zciischrifi Jur Astronomie iiiid vcrwaiidle Wissciischa/tcn, vol. I, page i85) sont ibndées sur riiypothèse relative à la probabilité des erreurs h. laquelle nous avions clé conduit dans la Théorie du Moitvermnt des Corps célestes.

{Note de M. Galss.)

On trouvera ce Mémoire à la lin du \olunu'. J. H.

( ^9 ) laleurs, qui out essayé, dans des cas compliqués, d'évaluer à posteriori la précision des observations. Quoique suffi- sante dans bien des cas, cette méthode est, théoriquement, inexacte et pourrait quelquefois conduire à de graves er- reurs ; c'est pourquoi il est très-important de traiter la question avec plus de soin.

Conservons les notations de Tart. 19. La méthode dont il s'agit consiste à regarder A,B,C, etc., comme les véri- tables valeurs des inconnues o', j, z^ etc., et X, X', X", etc., comme celles des fonctions v^ p-', »^", etc. Si toutes les obser- vations ont une égale précision et que leur poids commun

P = P'=P" = ...

soit pris pour unité, ces mêmes quantités, changées de signe, représentent, dans celte supposition, les erreurs des obser- vations, et, par conséquent, d'après l'art. 15,

/V + V' -f- X'" -+- . . /m

V — - — =v^

sera l'erreur moyenne des observations. Si les observations n'ont pas la même précision , — X , — X', — X", etc. , re- présenteront les erreurs des observations, respectivement multipliées par les racines carrées des poids , et les règles de l'art. IG conduiront à la même formule,

v/

M

qui exprime déjà l'erreur moyenne de ces observations lorsque leur poids est égal à l'unité.

Mais le calcul exact exigerait évidemment que l'on vcm- plaçàt X, X', X", etc. , par les valeurs de p', k>\ v'\ cic. , dé- duites des véritables valeurs des inconinuîs oc^y^ z, etc., et la quanti lé iM par la valeur coirespondanle di> II. Quoiqiu- l'du ne [)uisse pas assigner celle dernière vah-ur, MOUS sonuiu's (crlaiu pourlaut qu'elle est plus grande ([U(r M qui est sou luiniuium : elle u'alleindrait (dte li- mite cjiu" dans le <as, infiuiincni peu [jiobablc. i»ù les va-

( 6o ) leurs véritables des inconnues se confondraient avec les plus plausibles. Nous pouvons donc affirmer, en général, que l'er- reurmoyenne calculée par la pratique ordinaire est plus pe- tite que Terreur moyenne exacte, et que 1 on attribue, par conséquent, aux observations une trop grande piécision. Voyons ce que donne une théorie rigoureuse.

38.

Avant tout, il faut tlierclier comment la quantité ]M dé- pend des véritables erreurs des observations. Désignons ces erreurs, comme dans Tart. 28, pare, e', e", etc., et po- sons, pour plus de simplicité,

et

m \Jp = m' \lp' = m" sjp" = . . . = ^.

Soient

A-x", B~j% C— z%...,

les vraies valeurs des inconnues JC, y, z, etc., pour les- quelles ^ , yj , ^ , etc. , soient , respectivement , — ^° , — yj" , — ^°, etc. Les valeurs correspondantes de i^, t^, t^', etc., se- ront évidemment

— s, ~s', —£",...;

de sorte qu'on aura

i,o = as-h a'z' + a"i" ^. . . ,

r;» = ée+ Z»'£' + //'£"+...,

V =ZCZ -\- C Z -\- c" e" H- . . . ,

j:" =r a £ + a' z' + a" £ + • 7»=: p£_f-p'£' + TVe" +. z'' = 7£ +y'e'4-y"£" 4-.

enfin

a" = £- + c'^ 4-

sera la valeur de la fonction fl, correspondant aux vraies valeurs des variables jr, y^ z, etc.

(6i ) Puisque l'on a identiquement

il = M + (.r - A) Ç + (7 - B) >, -t- ( 2 - C) ? + . . . ,

ou aura aussi

M = 9J — a:»;» — j»,," _ s" î;« — . . . .

De là , il résulte évidemment que M est une fonction homo- gène du deuxième degré des erreurs e,e', e", etc.-, cette fonc- tion pour diverses valeurs des erreurs pourra devenir plus ou moins grande. Dans l'ignorance où nous sommes de ces valeurs, il est bon d'examiner altentivenient la fonction M, et de calculer d'abord sa valeur moyenne d'après les prin- cipes du calcul des probabilités. Nous obtiendrons cette valeur moyenne en remplaçant les carrés ë^, e'^, etc., par T7i^, m'^, etc., et en omettant les termesen ee', ee'\ etc., dont la valeur moyenne est zéro 5 ou, ce qui revient au même, en remplaçant chaque carré e^, e'^, e "*,... , par p.*, et en né- gligeant £;', es", .... D'après cela, letermeHo fournira côp.^; le terme — x" ^" donnera

— («a+rt'a'4-rt"a"H-. . .) p- — — p^;

chacune des autres parties donnera également — p.^ , de sorte (jue la valeur moyenne totale sera

CT désignant le nombre des observations, et p le nombre des inconnues. La vraie valeur de M pourra, suivant les cas (pie le hasard présentera, être plus grande ou ])liis petite (|ue celte valeur moyenne, mais la diirérence sera d'autant moindre que le nombre des observations sera plus grand; de sorte (pu;

v/.

M

pourra être regardécomnie une valeur approchée de [j. - par «onséqucnt la valeur de ^/ , fournie parla méthode erronée dont nous avons parlé dans l'article précédent, devra être augmentée dans le rapport de y/cy — p à V^cr.

( 62 )

39.

Afin de faire voir plus clairement jusqu'à quel point il est permis de regarder la valeur de M, fourme par les obser- vations, comme égale à la valeur exacte, il faut clierclier quelle est l'erreur moyenne à craindre lorsque l'on fait

P- =

CT p

Celte erreur moyenne est la racine carrée de la valeur moyenne de la quantité

f£l' — x'I' — yo-n' — zot"— .. . — (ct — p)|xA» \ ^ — P /

que nous écrirons ainsi :

CT p

— [a" — x'^o — jW — z'K' — ... — (ct — p)pi'] — fx';

CI p

et comme la valeur moyenne du second terme est évidem- ment nulle, la question se réduit à clierclier la valeur moyenne de la fonction

w = {a^ — x"^" — 7%" — z^ç" — . . .y.

Désignons cette valeur moyenne par N , l'erreur moyenne' clieichée sera

^.

N

{vs-pY

Si l'on développe la fonction ¥, on voit qu'elle est une fonction homogène des erreurs e, c', e", etc., ou, ce qui re- vient au même, des quantités s, e', e", etc.; on trouvera donc la valeur moyenne :

1°. En remplaçant les quatrièmes puissances e*, e'*, f;'"", etc., par leurs valeurs moyennes 5

( 63 )

2". En remplacam les produits e^e", e'e"-, etc., par leurs valeurs inoyennes, c'esl-à-dlre par nr ni'^^ m^ni"', etc.;

3°. En négligeant les produits tels que e'e', e^e'e", etc.

Nous supposerons (art. 16) les valeurs moyennes de e*, e'*, e"^, etc., proportionnelles à m% //i'^ m"*, etc, de sorte

que les rapports des unes aux autres soient —5 v^ désignant

la valeur moyenne des quatrièmes piiissances des erretirs pour les observations dont le poids serait l'unité.

Les règles précédentes pourraient se traduire de cette autre manière :

Remplacer chaque quatrième puissance £*, s'*, e'"', etc., par v*5 cliaque produit e's'*, s^ô"-, etc., par a*, et négliger tous les termes, tels que e's' ou e'e's", zi'i"t"' .

Ces principes étant compris, on verra facilement que :

I. La valeur movenne de H"- est

CTv' + (î3^ ^) P"-'*

IL La valeur moyenne du produit t^x^\° est

a a.'/' 4- ( a' y.' + «"se" + . . . ) p' = « a ( v' — p.' ) + p.' ,

car

AT X + n'y.' H- a" a" + . . . = i .

De même, la valeur moyenne de z'~x^ l*^ est la valeur moyenne de e^'^x"^" est

n"y." (v* — fy.') 4- pi«;

et ainsi de suite.

Donc la valeur moyenne du produit

(£'+£"+ £"' + ...) X'Ç» OU iVx^c,"

sera

v' — p.' 4- op'.

Les produits fl'^)-"'/;" ou II" 2" «^^ etc., auront la inrnie

( <^'4 )

valeur moyenne j donc le produit

n» (x» l" + j» r." + z» !:" -h . . .) aura pour valeur moyenne

III. Afin d'abréger les développements qui vont suivre, nous adopterons lanotation suivante. Nous attribuerons à la caractérislique 2 un sens plus étendu que nous ne l'avons fait jusqu'ici, en lui faisant désigner la somme des termes semblables, mais non identiques, qui proviennent de toutes les permutations des obsexvations. Nous aurons, d'après cette notation ,

x' =2 as ,

Calculant par parlies la valeur moyenne du terme x^^^^^, nous aurons d'abord, pour valeur moyenne du produit

a' a-v^ + a- {a" + a"' + ...)."-'

De même, la valeur moyenne du produit a'- 1'^ ^"% est

«'■-•a'-^(v' — fx'') + a'>'2'''5

et ainsi de suite.

Par conséquent , la valeur moyenne du produit

H'

=2«.

sera

Or la valeur moyenne de ay.'es'^"^ est

zaa'rta'p.*.

(65 ) La valeur moyenne de a.y!' t^' '^^'^ est 2 cty.' aa f** ;

et ainsi de suite. D'où l'on conclut facilement que la valeur moyenne du produit

est

Ceci posé, nous aurons pour valeur moyenne du pro- duit x''^ 'C%

IV. On trouvera d'une manière analogue, pour valeur moyenne du produit x''j°^°ri^,

Or on a

^au = i, '^b{i=i, ^a^ = o, ^bx — o; relie valeur moyenne sera donc

V. On trouverait, par un calcul semblable, que la valeur moyenne de x^z"^"^" est

(■/ — 3p') 2 <^c^xy + p' f I +2 ac . 2^v) ;

(66) ft ainsi de suite. En addilionnant, on obtient la valeur moyenne du produit

x'^'Çxn" + J%" H- z^'Ç" -+-. . .); cette valeur est

= (•/— 3f>t*)y][fla(«a 4- èp + fv -h...)]+ (p+2)^^, YI. On trouverait de la même manière

( ,. _ 3 f.* ) V [^. P (« '^ + ^ P + ^7 + ■ • • ) ] + (P + 2) f.^

pour valeur moyenne du produit

et

(,<_ 3j,.)2[r7(«a + bp 4- ^7 +•-.)]-+•(? + 2) p^

pour valeur moyenne du produit

et ainsi de suite.

Nous aurons donc , par l'addition , la valeur moyenne du carré

elle sera

(v* - 3u') 2 [(«« + ^P + C7 -+-■ • OM -^ (P' + 2p)fx'. VIL Nous concluons enfin de tous ces préliminaires,

N = (ct — 2 p) •/ H- (ct' — CT — 2 nrp 4- 4 P + /^" ) P-* 4- (•/- 3p,^)2[(«a4-Mi + '^7+-- y]

- (v* - 3fx*) l^p - 2 (^«a 4- Ap 4- r7 4-. . .yj-

(67) Donc Terreur moyenne à craindre, loi^squon prendra

M

P- =

— C

sera

40.

La quantité

qui entre dans lexpression précédente, ne peut pas géné- ralement se réduire à une forme plus simple. Cependant on peut assigner deux limites entre lesquelles sa valeur doit nécessairement être comprise :

i". On déduit facilement des relations précédentes,

(«a -h b(i -j- cy —. . .y -\- [a v! -f /^ ^' -+- cy' +...)' -4- (« a" 4- i fi" + cy" -f- . . . )^ 4- . . . = a a -+- /* fi H- f 7 H- . . . ;

d'où nous concluons que

rta -h ifi -h cy -f-. . .

est une quantité positive plus petite que l'unité, ou du moins qu'elle n'est pas plus grande. Il en sera de même de la quantité

«'«' + b'<;j' + r'v' H- . .,

qui est égale à la somme

(rt'a -+- //(i 4-c'7-l-...)'+ («'«'+ i'|i' + «'7'-h...)'

de même

a" j." -f- //'fi" -f- c" •/" -f-. . .

(68) sera plus petit que l'unité ; et ainsi de suite. Donc

est nécessairement plus petit que vs. 2°. On a

car

d'où l'on déduit facilement que

^[{a(x-\-bp-hcy-h.. .y]

est plus grand, ou du moins n'est pas plus petit, que - Par conséquent le terme

Y [P~2 (««+^P -1-^7+---)']

est nécessairement compris entre les limites

!:_ et ^ J-,

ts — p cj — p ZJ

ou bien, entre les limites plus étendues ,

V» — 3a' v'— 3a<

Q- et '^-

— p

Donc le carré de l'erreur moyenne à craindre pour la va- leur

M

P'=

CT p

est compris entre les limites

in et — !-— ;

CI p C7 p ■

(6y ) de sorte qu'on pourra atteindre un degré de précision aussi grand que Ion voudra , pourvu que le nombre des observa- tions soit suffisamment grand.

Il est très-remarquable que dans l'hypothèse de l'art. 9 (UI) , sur laquelle nous nous étions autrefois appuyé pour établir la théorie des moindres carrés, le second terme du cari'é de l'erreur moyenne disparaît complètement (car on a V* — 3fA* 1=0)5 et comme, pour trouver la valeur approchée (x, de l'erreur moyenne des observations, il faut, dans tous les cas , traiter la somme

V -+. V^ + V^ + . . . = M,

comme si elle était égale à la somme des carrés des vs — p erreurs fortuites, il en résulte que, dans cette hypothèse, la précision de cette détermination devient égale à celle que nous avons trouvée, art. 15, pour la détermination déduite de cj — p erreurs vraies.

(7»)

SUPPLÉMENT

A LA

THÉORIE DE LA COMBINAISON DES OBSERVATIONS

QUI EXPOSE AUX MOINDRES ERREURS.

PRÉSENTÉ LE l6 SEPTEMBRE l8i6 A LA SOCIÉTÉ ROYALE DE (JOTTIXiiUE.

Dans le Mémoire précédent, on a supposé que les quan- tités à déterminer, à l'aide d'observations imparfaites, fussent dépendantes de certains éléments inconnus, en fonc- tion desquels on sût les exprimer : le problème consistait alors à déduire des observations , le plus exactement pos- sible, la valeur de ces éléments.

Dans la plupart des cas, c'est effectivement ainsi que la question se présente 5 mais quelquefois il en est un peu autrement, et l'on pourrait même se demander, au premier abord, si le problème se ramène au précédent. Il n'est pas rare, en effet, que les quantités auxquelles se rapportent les observations ne soient pas explicitement exprimées en fonction de certains éléments, et qu'elles ne paraissent ré- ductibles à une telle forme que par des opérations difficiles ou ambiguës. Il arrive souvent, d'autre part, que la nature du problème fournit certaines conditions auxquelles les valeurs observées doivent rigoureusement satisfaii^e.

Cependant, en y regardant de plus près, on aperçoit que ce cas ne diffère pas essentiellement du précédent , et qu'il peut s'y ramener. Si l'on nomme, en effet, ts le nombre des grand<;urs observées, et a celui des éfjuations de condition.

en choisissant, parmi les premières, X3 — i quantités, rien ne nous empêche de les considérer comme nos seules in- connues, les autres étant regardées comme des fonctions de celles-là, que les équations de condition définissent. Par cet aitifice, nous rentrerons dans le cas du Mémoire précé- dent.

Néanmoins, quoique cette marche conduise souvent au résultat d une manière assez commode, ou ne peut nier qu'elle ne soit moins naturelle, et il est, par consé- quent, désirable de traiter le problème sous l'autre forme, qui admet, du reste, une solution très- élégante. Il y a plus : celte solution nouvelle, conduisant à des calculs plus rapides que la précédente toute? les fois que ■r est moindre

que - CT , ou, ce qui revient au même, toutes les fois que le

nombre des éléments que nous avons désigné par p dans le

Mémoire précédent, est plus grand que -■> il faudra, dans

ce cas, préférer la solution nouvelle, quand bien même il serait facile, par la nature du problème, de faire dispa- raître sans ambiguïté les équations de condition.

Désignons par i', t^', u" . etc., les quantités, en nombre tj, dont les valeurs sont fournies par l'observation. Supposons qu'une inconnue dépende de celles-là et soit ex|)rimée par une fonction connue m, de p', v\ w", etc. Soient /, /', /", etc., ce que deviennent les quotients dillérentiels

(lu du du dv di> dv

lorsqu'on y substitue à i', v\ v" ^ etc., leurs valeurs \éri- tables. Si l'on substituait à 1% p-', v" ^ etc., dans la fonc- tion li, leurs valcuis Ncrilables , on obtiendrait aussi la véritable valeur de u: mais si les i)l)scr\ alif>ns sont allée-

( 7^ ) toes derreuis e, e', e", etc., il en résultera pour u une erreur totale représentée par

le -h l'e' -^ l"e"-h...,

pourvu que l'on puisse , comme nous le supposerons tou- jours (lorsque u n'est pas linéaire) , négliger les carrés et les produits des erreurs e, e', e", etc.

Quoique la grandeur des erreurs e, e', e", etc., soit in- certaine, rincertitude attachée à la valeur trouvée pour u peut généralement se mesurer par Verreur moyenne à craindre dans la détermination adoptée. D'après les prin- cipes développés dans le premier Mémoire, cette erreur moyenne est •

m, m', 77z", etc., étant les erreurs moyennes des diverses observations. Si toutes les observations sont affectées du même degré d'incertitude, cette expression devient

m v//--f- /" + r^-h... .

Il est clair d'ailleurs qu'au degré d'approximation auquel nous nous arrêtons, on peut remplacer /, /', Z", etc., par les valeurs que prennent les coefficients différentiels

du du du

dv dv' dv"

lorsqu'on y remplace v^ v' ^ v" ^ etc., par leurs valeurs ob- servées.

3.

Lorsque les quantités i^, v\ v" ^ etc., sont indépendantes, l'inconnue ne peut se déterminer que d'une seule manière, et l'incertitude attachée au résultat ne peut être ni évitée ni diminuée. Les observations fournissent une valeur de l'inconnue qui n'a, dans ce cas, rien d'arbitraire. Il en est tout autrement lorsque les quantités ^^ v\ u", etc., sont

(73) liées par des relations nécessaires , que nous supposerons exprimées par a équations,

X = o, Y=ro, Z = o,...,

X, Y, Z, etc . , désignant des fonctions données des indétermi- nées P", t^', v" ^ etc.; car, à la fonction u, on peut, dans ce cas, substituer toute autre fonction U telle, que la différence U — u s'évanouisse identiquement en vertu des équations

X = o, Y=ro, Z = o,

Si les observations étaient rigoureusement exactes, cette substitution ne changerait en rien le résultat; mais, en rai- son des erreurs inévitables , à chaque forme adoptée pour u correspondra un résultat différent, et l'erreur commise, au lieu d'être

le -h l'e' + l"e"+..., deviendra

Le 4- Ve' -t- U' e" -\- . . . ,

en désignant par I^, L', L", etc., les quotients différen- tiels

riU r/U dV

(h dv' dv"

Quoiqu il soit impossible d'assigner la valeur des diverses erreurs , nous pouvons cependant comparer les erreurs moyennes à craindre dans les diverses combinaisons. La combinaison la plus avantageuse sera celle qui donnera, à rerrcur moyenne, la valeur minimum. Cette erreur étant

nous devons chercher à rendre la somme

L'///'+ L"/«'^-f L"'///"- ■ + . aussi (H'iitc; (juc possible.

( 74

Les fondions U, en nombre infini, par lesquelles on peul remplacer m, ne différeront les unes des autres, dans nos recherches, que par les valeurs qu'elles fourniront pour L , L', L", etc. : nous devons donc, avant tout, chercher les relations qui existent entre les systèmes de valeurs que peuvent prendre ces coefEcients. Désignons par

",	(^ ,	a , . . . ,
b,	h'.	b", ..,
c.	1	c",. . . ,
;nnen	t les	coefficients
dX	dX	dX
7Â7'	7h''	^" ■ ■ ■ '
dY	dY	dY
Ih'	-d?'	du" ' • • • '
dZ	dZ	r/Z
ir.'	d7'	^" • • • '

si l'on y substitue pour p», t^', v"^ etc., leurs valeurs véri- tables. Il est clair que si Ion donne à t^, t^', v" ^ etc., des accroissements dv^ dv' , du\ etc., qui ne changent pas X, Y, Z, etc., et leur laissent, par conséquent, la valeur zéro , ces accroissements, qui satisferont aux équations

o = adv H- a'dc' 4- a"du" -+-..., o = bdi> H- b'dv' -+- b"di>" H- . . . , o =z cr/c -f c'dv' H- c"dv" ->r. . . ,

ne changeront rien à la valeur de U — /f , et l'on aura , par conséquent,

o = (/— L) dv + [l'—V) dv'-\- (/"— L") dv"-\-

On en conclut facilemenl (jue L, L', L", etc., doivent avoir

(7^ ) la l'orme

L := l -h ax -\- b y -+- cz -h ■ ■ ■ , L' = /' + (i'.x H- b'j' -h c'z -\- . . . , L"= /'+ a" x-\- h" y + c"z -f- . . . ,

x^y^ z, etc., désiguantdes multiplicateurs déterminés, Réci- pi'oquem.ent , il est clair que , pour toutes les valeurs de x, >', z, etc., on pourra former une fonction U, pour laquelle les valeurs L, L', L", etc., seront précisément celles que fournissent ces équations , et cette fonction pourra , d'après ce qui précède, être substituée à u. La forme la plus simple qu'on puisse lui donner est

U=: « + xX+jY+zZ H-. . .-4- u',

u' désignant une fonction de ^^ , p-', p-", etc., qui s'annule identiquement lorsque X, Y, Z, etc., sont nuls, et dont la valeur, dans le cas actviel, sera maximum ou minimum (car ses dérivées devront toutes s'annuler). Mais l'introduction de cette fonction n'apporte aucune diflérence dans les ré- sultats.

5.

Il est maintenant facile d'assigner à x^y^, z, etc., des valeurs telles, que la somme

L- m- 4- L'^ r/i'^ -+- L" w"' + . . . soit un minimum.

Il est clair que pour atteindre ce but, la connaissance des erreurs moyennes absolues m, m', ///', etc., n'est pas néces- saire-, il suffit de connaître leurs rapports. Introduisons, en eflet, au lieu de ces quantités, les poids des observations , /?, //,//', etc., c'est-à-dire des nombres réciproquement pro- portionnels à m*, ni'^, m"*, etc. Les quantités x, j, z, etc., devront être déterminées de telle sorte que le polynôme

(ax+bx-^-rz-+-...-hiy {a'x+ by+ c' z...-h J'Y I' l>'

ac(|uière une \al<in niininniin. S(i|ipiisons »|ne .r", y'\

(76) 2", etc., soient les valeurs déterminées àe x^y, 2, etc., auxquelles répond ce minimum, et adoptons les notations suivantes :

- -+- — H ^ -

P P P

ab a'b' a"b"

[ab),

P P P

ac a' c a" c"

1 r H 77 -h . . . = ( crc

P P P

h — H- — +...= [bb),

P P P

C

c" c"

p' "^ ?

[ce).

al a'V a"l" , „

- 4- -7- + -TT +• -= «0» P P P

b l b'I' b"l"

P P P

cl c'I' c"l"

{cl).

La condition de minimum exige évidemment que l'on ait

io ~(aa)x'> H- (ab)y'> -h (ac) z^-Jr. . .-h {al), G = [ba) X' -i- (bb) fo -\-lbc) z" + . ..-{-{bl), o =(ca) x'-h {cb)x'> -h {ce) z» + , . . + (c/),

Après que ces équations auront fourni les valeurs de x",/", z'', etc., on posera

a x'^ -h b y" + c z" + . . . H- / = L, , s , a'x'-hb'f' + c'z''-]-.. . + l' = h',

''^' ^ a"x' + Iff + d'z' 4- . . . + /"= L",

et la fonction la plus propre à déterminer notre inconnue , à laquelle correspond l'erreur moyenne minimum, sera celle dont les coefficients dillerentiels, pour les valeurs con-

( 77 ) sidérées des variables, seront égaux à L, L', L'', etc. Le poids de la détermination ainsi obtenue, sera

(3) P =

L- L'= L"^

h— +— 4-,

P P P

c'esl-à-dire que -sera précisément la valeur que prend le

polynôme considéré plushaut, pour les valeurs des variables x, j", ^, etc., qui satisfont aux équations (i).

6.

Dans Tarticle précédent, nous avons montré à déterminer la fonction U qui fournit la détermination la plus conve- nable de l'inconnue u. Examinons actuellement quelle est la 'va/ei/rqui en résulte Désignons-la par K: on l'ob- tiendra en substituant, dans U, les valeurs observées des quantités p», w' ^ v", etc. Soit h la valeur que prend u lors- qu'on y fait les mêmes substitutions, soit enfin y, la véri- table valeur de cette inconnue, telle qu'on Fobtiendrait par la substitution des valeurs véritables de »^, P"', v"^ etc., soit dans ^^, soit dans U. On aura

/•=/ H- /e -t- /V + l" c" . . ., K = 5t -h Le H- Ve' -f- L" c" .. .,

et , par conséquent ,

K = / • + (L - /) e + (L' — /') e' + (L" — /") e" -f- . . . . .

Substituant, dans cette équation, à la place de L — /, L' — /', L" — /", etc., leurs valeurs fournies par (2), et |)Osant

' ae -\- a'e' -+■ a"e" -\-. , .== X, be -h b'e' -{-b"e"-h. . .=1)1,, ce -h c' e' ■+■ c"e" -h . . . = G,

(4)

nous aurons

(5) K = f^ -\- X x'' -h yi'o y -^ e z" -+-

( 78 ) 11 n'est pas possible de calculer cl>, m,, G, etc., parle moyen des formules (4), caries erreurs e,e',e",etc.,qui y figurent, ont des valeuis inconnues , mais on voit facilement que ces quantités .A , oRi, S, etc., ne sont autre chose que les valeurs deX, Y, Z, etc., qui correspondent aux valeurs observées de u, u', v\ etc., et alors le système des équations (i), (3), (5), forme la solution complète de notre problème. Il est clair, en effet, que l'on peut appliquer au calcul de a, a', rt", . . . , è , Z»', Z>", etc., la remarque faite à la fin de Far- tide 2, à l'occasion des quantités /, Z', /", etc., c'est-à- dire remplacer les valeurs véritables de v^ i^', ^'", etc., par les valeurs observées.

7. On peut substituer à la formule (3), qui représente le poids de la détermination la plus probable , plusieurs ex- pressions qu'il est utile d'indiquer-, remarcjuons , d'abord, cju'en ajoutant les équations (2) après les avoir multipliées

a a' a" par -5 -75-77' etc., on aura p p p

, , , , , rtL n'\J a"\l'

(an) x" -i- [ab)f'>+ {ac) s» -+-. .

P P' P"

Le premier menibie est nul-, en désignant donc, d'après la notation adoptée, le second membre par (aL), on aura

(rtL) = o, et de même

(iL) = o, (cL)=o,....

L L' I/' Multiplions ensuite les équations (2) par -1 —'-^5 etc.-,

nous aurons , en les ajoutant ,

/L l'V /"L" L' L'^ L"'

t-^-H ~ +...— — -{- — + — -H...,

P P P P P P

et , par suite , nous avons cette seconde expression du poids,

P = '

/L l'V l"L"

1 r-H ^H----

J' P P

( 79 ) Si, enfin, nous ajoutons les mêmes équations (2) apiès

/ /' /" les avoir multipliées par -, -: 5 -r,i etc. , nous obtiendrons

P P P une troisième expression du poids ,

„ I

(«/)x»+(Z'/)j»+ (c/)z»+ ... -f-(//) où l'on a posé, conformément à la notation précédente,

P P P

On passera facilement de là à la quatrième expression du poids ,

-—{II) —{aa) Jc"'— [bb)y'>''— [cc)z'>'' — . .. — 2{ab)x''x'> — 2{ac)x''z'' — 2(^^)7" s» — . . . .

8. La solution générale que nous venons d'exposer s'ap- plique principalement au cas où l'on n'a qu'w/ze seule in- connue à déterminer. Lorsqu'on cherche, au contraire, les valeurs les plus plausibles de plusieurs inconnues, dépen- dant des mêmes observations, ou lorsqu'on ignore quelles sont les inconnues qu'il faut, de préférence, déduire des observations, il convient de procéder d'une manière dilfé- rente, dont nous allons actuellement nous occuper.

Considérons x, y, z ^ etc., comme des indéterminées, et posons

{(Jo)x -+- [ah) y -\-{ac)z-\- . . . = |,

,^. i{nb)x~\-[bb)y-^[bc)z-{- . . = » ,

{ac) X -\-{bc) y -f-(cc)3-f-.. .= ?,

Supposons (pie l'on en déduise, p.ir réliininalion ,

'.) ; (p.)^-H(PP)''-H(P7)Ç+-.- = r,

(8o) et remarquons, avant lout, que les coefficients placés symé- triquement sont nécessairement égaux, c'est-à-dire que

(P«) = {«P), (7a) = («7),

(7P) = (P7),

comme cela résulte de la théorie de l'élimination et comme d'ailleurs nous le démontrons plus loin; nous aurons

x^-^- (aa) {al)-{a^){hl) - («7) {cl) -...,

8]

y'> = -(p.){al)-(lip){bl)~{py)icl)-.. s» = - (7«) {al)-{yp) [bl] _(77) (c/) _. .

et en posant

(aa) X 4- (a[B) Db (o) ;((3a)x-f-((3^)ift,

(a'/)e-H..	. = A,
(|3y)e + ..	.= B,
('/7)G-t-..	.= C,

nous obtiendrons

K = A—A{al) — B{bl) — C{cl)—.

et si nous posons de plus ,

a A -h b B-f-c G-h- ■ —p s, a' A-hb'B+c'C -h... = p' s', a"A-h b"B-hc"C -h... =p"z" ,

(10)

il viendra

(11) K = /?-/£ —/'£'—/" t"—

9.

La comparaison des équations (7) et (9) nous apprend ([ue les quantités auxiliaires A , B, C, etc., sont les valeurs que prennent les indéterminées Ji'-,J, z ^ etc., lorsque l'on suppose

			( 8. )
on	on conclut évidemment,
	t(aa)	A +	{ab)B-{-{ac)	c	+ ..	.=.1,,
(^^	A iH	A +	{bb)\^ + {bc)	c	4-. .	.=:aPo,
^ (-)	A-t-	\cb)B-h{cc)	c	+ . .	. . = '^ ,

En ajoutant les équations (lo) après les avoir multipliées

a a a

par -1 —,■) —rri etc., on obtient i p p p

l ^% = aî-ha'i' -h a"z" -h . . . , \ et de même

;i3) \^s\>^bt^h'z' ^b"t"-{-...,

-l> étant, commieonTadit, la valeur que prend X lorsqu'on substitue à ^^, v' ^ w", etc., leurs valeurs observées-, on aper- çoit facilement que si l'on applique à chacune de ces quan- tités les corrections — s, — s', — e", etc., la valeur deX de- vient égale à zéro, et que de même Y, Z, etc., s'évanouis- -int par cette hypothèse. L'équation (i i) prouve aussi que K est la valeur que prend u par suite des mêmes substitutions.

En nommant compensation des obser^atio/is, l'applica- tion des corrections — s , — - e', — s", etc. , aux grandeurs directement observées, nous sommes conduit à une cou- séquence très-importante :

Les observations compensées comme nous l'avons indi- qué, satisfont exactement à toutes les équations de condi- tion, etfujit prendie à toute fonction des quantités obser- vées la valeur qui résulterait de la combinaison la plus convenable des observations non modifiées-, et puisque les équations de condition sont trop peu nombreuses pour «|u'on puisse eu déduire les valeurs exactes des erreurs, nous aurons au moins trouvé, par ce qui précède, les er- reurs les plus plausibles. C'est sous ce nom que 1rs ([(i.in- tités c, e', e", etc., seront désormais désignées.

10.

Le nombre des observations étant plus grand que celui des équations de condition , outre le système des correc- tions les plus plausibles, on peut en trouver un norabre infini qui rendent les équations de condition exactement satisfaites.

Il importe d'examiner les relations qui lient entre eux ces divers systèmes. Soit — E, — E', — E", etc., un pareil système de corrections , autre que le système le plus plau- sible ; nous aurons

«E + a'FJ -f- a''E"-f- . .. = >%, cE-hc'E'+ c"E"-^... = e,

Multipliant ces équations par A , B, C, etc., et ajoutant, il vient, en ayant égard aux équations (lo),

peE-+-p'e'E' -hp"e"E" -^... = Ax-hByih-hCe-{-....

Mais les équations (i3) combinées de la même manière don- nent

(i4);7£^+;>'e'*4-/£"' + ... = AX-HBDb + CGH-... j de la combinaison de ces résultats on déduit facilement

pE' ~h p' E" -h p" V.'" -h ... = p i' + p' s" + p" s"' -{-... + p[E-ey-hp'{E'-.'y + p'\E"-e"y + ...,

et, par suite, la somme

pE'-^p'E"-hp"E"'-i-. . .

est, nécessairement, plus grande que

ps' + p' t' -]- p" c"' -+- . .,

ce que l'on peut énoncer de la manière suivante : ■ Théorème. — Les carrés des corrections qui peu\^ent

( 83 ) concilier les observations avec les équations de condition étant respectivement multipliés par les poids des observa- tions correspondantes , donnent une somme minimum quand on adopte les corrections les plus plausibles .

On reconnaît précisément le principe des moindres carrés dont, au reste, les équations (12) et (10) peuvent facilement se déduire. La somme minimum, que nous désignerons désormais par S, est égale, d'après l'équation {i4)î à

^ A -.1. -h B iJ'o + C 8 -h

11.

La détermination des erreurs les plus plausibles étant in- dépendante de /, /', /", etc., fournit la préparation la plus commode, quel que soit l'usage que Ton veuille faire ulté- rieurement des observations. En outre, on voit sans peine que, pour atteindre ce but, il n'est pas nécessaire d'elîcc- luer l'élimination indéfinie , c'est-à-dire de calculer (aa) , (a|3), etc., il suffît de déduire des équations (12), par une élimination définie, les quantités auxiliaires A, B, C, etc., que nous nommerons, dans ce qui va suivre, les corrélatifs des équations de condition

X = 0, Y=0, Z=:(), . ;

ces quantités seront ensuite substituées dans l'équation (10). Cette méthode ne laisse rien à désiier lorsqu'on demande seulement les valeurs les plus plausibles des quantités four- nies par l'observation. Mais il en est autrement lorsqu'on désire, en outre, le poids de chacune des valeurs trou- vées. Quelle que soit alors celle des quatre formules précé- dentes qu<" l'on veuille employer, il est indispensable de connaître L, L', L", etc., ou , ce qui revient au même. x*, ;) ", c", elc.^ par cette; raison, il seia utile d'étudier, de ])lusprès, l'élimination i\n\ fournit ces quantités cl d'obtenir une méthode ])lus commode poui la délerminalion des poids.

G.

( «4) 12. Les relations qui lient les quantités dont nous nous oc- cupons sont notablement simplifiées par la considération de la fonction indéfinie du second degré {aa)x'' -+-2{ab)xj -h 2 (ac) xz ^ . . .

+ {bb)y'-\-2{bc)xz +...+ ( rc) z' + ... ,

que nous désignerons par T.

Cette fonction est évidemment égale à

, ;,, (ax-]- bf + cz-h...y- , {a'x-hby-hc'z-{-..'y ,

( 1 5 ) ^^ — 1- ; h . . .

^ ^ P P

De plus , on a évidemment

(l6) T— ta:-f-r,j+Cz-h. . .;

et si, enfin, ou exprime x, 7, ^, etc., au moyen des équa- tions (7) , en fonction de 4 , y; , ^, etc., on aura

T = (aa) ^' 4- 2 (ap) ?>5 + 2(^.7) Il -\- . . . -^ {^^) a^ -h 2(p7)y3î:-+-. . .+ (77)!;= +

La théorie développée plus liant fournit deux systèmes de valeurs déterminées pour les quantités x,j^, z, etc., £ , •/] , ^, etc. Le premier est

x = x'>, X=J% z = z\..., E=-{al), n=-{bl), ^=-{cl), ..;

à ce système correspond la valeur

T = (//)-p,

ainsi qu'on le voit en comparant à l'équation (16), la troi- sième forme du poids P, ou par la considération directe de la forme (4).

Le second système de valeurs est

a: = A, ,/ = B, z = C,..., ^==.1,, y; = 1)1., t = ©,••••,

la valeur correspondante de T est

T = S,

(83 ) comme cela est évident par les formules (lo) et (i5), et encore parles formules (i4) et (i6).

13.

Nous devons, avant tout, faire subir à la fonction T une transformation semblable à celle qui a été indiquée [Theoiia Motus , art. 182), et, avec plus de développe- ments, dans les Recherches sur Pallas.

Posons, à cet effet,

(*.,,) = w-^^

[hc, i) = {bc) —

(bel, i)={hd)- (ce, 2) = (ce) —

(aa)

(ah ) (ad]

(aa)

(acy (bc,iy^

(aa) (bb, i)

(ac)(ad) (bc,\)(bd,i)

V*-'-' ^1 — \'" 1	(aa) (bb,l) '
(dd, 3) = (dd) ■	(ad)' (bd,iY (cd,iy (aa) (bb,i) (ce, 7.)

et, ensuite {*),

(hb, i)y-^(br, i) 3 +(/;r/,i)cK + ...= „',

(ce, 2)z 4- (cd , 2) cv + . . .= Ç",

(dd, 3) fv -h . . .= ff'" ,

on aura

T — r^-T-f-

(aa) (bb,i) (ce, 7.) (dd , 3) ' ' et ri\ ^", ^f'", etc., se déduiront du ^, v; , (^, y, etc., par les

( * ) I):uis les calculs pn-codcnls il suflisail de trois leUrcs du chaqui* scrie (iniir faire apercevoir la loi des roriiuil(!S; il a paru nécessiiirc d'en l'aire ici lii;iircr une qiialriénie , |ioMr rendre l'alijoritiiiue plus nianif<!sle.

( iMotr de M. Gai si.

86

equations suivantes

	[ab)
	{(in)
ç ~	[ac )
[aa)
	{ad)
i	{aa)

, {bd,i) ,

{cd, 2) ,,

et l'on en tirera facilement toutes les formules utiles à notre but. Ainsi , pour déterminer les corrélatifs A , B, C, etc., nous poserons

{ah\

1)1)' = tft>

(«8;

o//.

(D''

aa) ac \

A.,

(B

{aa) {aa)

A.~

rX,

Oft,',

{bb,l)

i^d, i)^j {cd,i)^„

■bb,x)

et enfin A, B, C, D, etc., s'obtiendront par les formules suivantes, en commençant par la dernière :

{aa) A + {ab) B -f- («c) C + (a^) D -f- .

(^»^, i)B+(^c,i)C+(^»^,i)D + ,

('9) { {cc,i)C^{cd,'i)Yy-\-

{dd,-i)Y)-^

. Ci"

- "^ •>

Pour exprimer S, nous aurons la formule nouvelle

X' ilî," G"' . (£>"" .

(20)

s =

{aa) {bb,i) {ce,-!.) (M,^)

enfin, le poids P, qu'il faut attribuer à la détermination la plus plausible de la quantité u, sera donné par la formule

M p={if]

[aiy

{ aa )

{!'i,iy {bb,i)

[cl,<

{di,3y

{dd, 3)

( 8; )

flans celte formule, ou fait

i ^ n , .y i r (^") (^^) {bc,i){bl,i)

[..-.) (^[cl,^)=.{cl,--j-^ (è^, ,) '

(«rf) (rt/) (^rf, i) [bl, i) (cc^, 2) [cl, 1)

{d/,3)={dl)~

(aa) (bb, i]

Les formules (17), •■•5 (21), dont la simplicité nelaisse rien à désirer, fournissent la solution complète de notre pro- blème.

14.

Après avoir résolu le problème que nous avions eu vue, nous allons aborder quelques questions secondaires qui éclaireront davantage l'ensemble de cette théorie.

Nous chercherons, en premier lieu, s'il peut arriver que lélimination qui fournit x^y, z, etc., en fonction de |, yj , ^, etc., devienne, dans certains cas, impossible. Cela aurait évidemment lieu si les fonctions ^, v! , (^ , etc., n'é- taient pas indépendantes les unes des autres. Supposons, pour un instant, qu'il en soit ainsi, et que l'une d'elles puisse s'exprimer en fonction des autres, de telle sorte (juc Ton ait la relation identique

aï -4- fi» -f- 7? 4- . . . = o , a, (3, y, etc., désignant des nombr(\s déterminés.

On aura alors

rx[an) -\- [1,[ab) -+- 7 ( «r ) + . . . =r o ; u[ab) -\- ^[bb) -h 7 ( et) H- . . . =: ri ,' y-{nr)-Jr^,{bc) +7(fr)+... = o,

«i SI nous posoms

y.n -+- p 6 -4- 7 r -I- . . . =T ^ (-) , 'xn' 4- [i6' 4- 7c' -+-... = /''(-)', r/.a"-\- fi//' 4 7r"-+-. . . :r= p" &'

( 88 ) on en déduira

rt 0 -f- «'©'+«"©" 4- .. = o , he -h b'&' -\- b"&" -h. . = o, c@ -\- c'Q' -\- c"&" +. . . =r o.

et, par suite,

/ji-y -+■ p'e'" + /}"&"' -\- . . = o;

p^ p\ p", et( ., étant, par leui- nature, tous positifs, cette équation exige

e = o, 0' = o , 0" = o , . . , .

Si nous considérons les différentielles complètes d\ , dY, <^Z, etc., répondant aux valeurs de t^, t^', t'", etc., immédiatement fournies par les observations, ces. difîéren-^

ti elles

adc + «' de' -+- a" th" -+-..., hdv + b' di'' 4- b" dv" + . . . , cdi> + c' di>' -+- c" dp" 4- . . . ,

d'après les résultats précédents, seront liées, les unes aux autres, de telle sorte qu'en les multipliant respectivement par a, ,6, y, etc., la somme des produits sera identiquement nulle, en sorte que, parmi les équations

X = o, Y=:0, Z^O,...,

il en est une au moins que l'on peut regarder comme inutile^ car elle sera satisfaite dès que les autres le se- ront.

En examinant la question de plus près, on voit que cette conclusion n'est applicable qu'à des valeurs des variables infiniment peu dillérentes de celles que fournit l'observation. Il y a , en eifet, deux cas à distinguer : le premier est celui où lune des équations

X=rO, Y=:0, Z=rO,...,

est renfermée dans les autres d une manière généi'ale et

( % )

absolue, et peut, par conséquent, être supprimée; le se- cond est celui où , pour les valeurs particulières de ^', v', i^', etc., auxquelles se rapportent les observations, Tune des fonctions X, Y, Z, etc., X par exemple, acquiert une valeur maximum ou minimum, ou, plus généralement, une valeur dont la dillérentielle s annule lorsque les autres équations restent satisfaites.

Mais comme nous ne considérons pour nos variables que des variations dont les carres soient négligeables, ce second cas (qui dans les applications ne se présentera que bien rare- ment) , pourra être assimilé au premier, et Tune des équations de condition pourra être supprimée comme surabondante.

Si les équations restantes sont indépendantes dans le sens que nous venons d'indiquer, on peut, d'après ce qui pré- cède, être certain que l'élimination est possible. Nous nous réservons, du reste, de revenir sur celte matière qui mé- rite d'être examinée comme subtilité théorique plutôt que comme question d'une utilité pratique.

15.

Dans le premier Mémoire, art. 37 et suivants, nous avons montré le moyen de fixer, à posteriori, d'une ma- nière très-approcliée , le poids d'une détermination. Si les valeurs approchées de ts quantités sont fournies par des observations également précises, et qu'on les compare avec les valeurs qui lésultent pour elles des hypothèses les plus plausibles qu'où puisse faire sur les p éléments dont elles dépendent, on a vu qu'il fallait ajouter les carrés des diiïé- rences obtenues , diviser la somme par cr — p, et que le quotient pouvait être regardé comme une valeur approchée du carré de rcrreui- moyenne iulu'rcnie à ce genre d'ob- servations.

Si les observatious sont inégiilcnicni précises, la seule modification que l'on doive apporlei' aux préceptt's précé- dents, consiste en ce qne l'on d(»ii ninitiplier les cai'rés des

( 90 ) différences par les poids respectifs des observations corres- pondantes, et l'erreur moyenne obtenue de cette manière se rapporte aux observations dont le poids est pris pour unité.

Dans le cas actuel , la somme des carrés dont nous par- lons se confond évidemment avec la somme S, et la diffé- rence Tj — p avec le nombre a des équations de condition. Par suite, pour l'erreur moyenne des observations dont le

poids est I, nous aurons l'expression 4 /-, et la détermi- nation sera d'autant plus digne de confiance que (7 sera plus considérable.

Mais il est bon d'établir ce résultat, indépendamment des raisonnements du premier Mémoire; pour y parvenir, nous introduirons quelques notations nouvelles. Supposons qu'aux valeurs

Z = fi, n = b, Ç = c,..., répondent

x = cx., r = p , z = 7 , . . . ,

de sorte que l'on ait

a = « (ay.) + ^ (a,8) + c ( ^7 ) + . . . , !3 = ^(a(î) + 6(fi!ï)+c(fi7)-h..., 7 z= rt («7) -+■ 6 (P7) + f (77) H-. . ;

et, en outre, qu'aux valeurs

£ = a', v) = h', Ç = <■',... ,

répondent

■^ — «S J = !^'> s = v'j • • ■;

enfin, qu'aux valeurs

H = a", r, = li", Ç = c" , . . . , répondent

X = a", j = p'', z = 7" , . . . ,

pl ainsi de suite.

(90 La combinaison des équations (4) et (9) fournit

A = ae H- a'p' -h ^" c" -h . . . , B = S e + p' e' + p"e" 4- . . . ,

" ,/■'

et, comme on a

S = X A + iiV) B + G C + . . . ,

on aura

S = («^+ a' e' +a" e" -\-. . .) {olc ■+- a.' e' ^- a." e" -^ . . .) -h {be -h b' e' -+- b" e" -h . . .) {^e -h ^' e' -^ p" e" -h . . .) -^ {ce -+■ c'e' -+- c"<7" + . . .) (7^-4- '/ e' -\- -/' e" + . ..)-{-...,

46.

La série des obsei'vations qui fournissent les quantités w, u' , u", etc., affectées des erreurs fortuites e, e', e", etc., peut être considérée comme une épreuve qui ne fait pas connaître, il est vrai, la grandeur de chaque erreur, mais qui, par le moyen des règles exposées plus haut, per- met de déterminer la quantité S, fonction connue de toutes les erreurs. Dans une telle épreuve, les erreurs peuvent être les unes plus grandes, les autres plus petites; mais plus sera grand le nombre des erreurs employées, plus il y aura une grande probabilité que S diffère peu de sa valeur moyenne : la difficulté revient donc à trouver la moyenne de S.

Par les principes exposés dans le premier Mémoire et qu'il est inutile de reproduire ici , on trouve pour cette va^ leur moyenne

{aci-\- bp -hcy -|- . . . ) m' + (n'a -+- b' fi' -+- c' y' -h . .) m" -+-

En nommant a l'erreur moyenne qui coi respond aux obser- vations dont le poids est i , de telle sorte que Ton ait

rjL- = />//;' = /;'///' = f}"ni"' =r . , . ,

f*"-

( 9^- ) I expression pre( cdente pcul s'écrire comme il suit :

\p p' p" ' r

/cj c' 'l' c'S"

\ P V P

Mais on a trouvé a a. a' a' a" a"

y 4- -y- + —7- +...= (HM + («^) («P) + H («7) +••• ;

or, le second membre est l'uniié, comme on le reconnaît facilement par la comparaison des équations (6) et (7). On trouvera de même

			bj P	+	//fi' p'	4-	b" [1" p"
			P	+	p''	H-	c"7" p"
et	ainsi	de	suite.

D'après cela, la valeur moyenne de S devient cry.% et si 1 on juge permis de regarder la valeur fortuite de S comme égale à la valeur moyenne, on en conclut

=v/^

17.

On peut apprécier la confiance que mérite cette détermi- nation en calculant l'erreur moyenne à craindre, soit pour sa valeur propre, soit pour celle de son carré. La se- conde sera la racine carrée de la valeur moyenne de l'ex- pression

dont le développement s'obtiendra par des raisonnements semblables à ceux qui ont été exposés dans le premier Mé- moire (art. 39 et suivants). Nous les supprimons pour abré- ger, en nous contentant d'indiquer le résultat.

( 93 ) L'erreur moyenne à craindre dans la détermination du carré (x^ s'exprime par

*/

2 lA* V* 3 H.* _

- -1 T^ N ,

V* étant la valeur moyenne des quatrièmes puissances des erreurs dont le poids est l'unité, et N la somme

{aoc-{-b^-hcy-h...y+{n'oi'^h'(i'-{-c'y'-h...)'

+ [a" ce" + b"p" + c"y"-h. ..)'+••••

Cette somme ne peut pas, en général, se simplifier; mais, par un procédé analogue à celui dont on a fait usage au pa- ragraphe 40 du premier Mémoire, on peut montrer que sa

valeur est comprise entre cî et — Dans l'hypothèse sur la- quelle nous avions primilivoment établi la méthode des moindres carrés, le terme qui contient cette somme dis- paraît à cause de

et la précision que l'on doit attribuer à la détermination

■v'!

est par conséquent la même que si Ion avait opéré sur tf observations entachées d'erreurs exactement connues, con- formément aux préceptes des art. 15 et 1() du premier Mémoire.

18.

Pour la compensation des observations, il y a, ( ommc nous l'avons dit, deux opérations à exécuter: prcniière- nlenl, il faut déterminer les corrélatifs des équ^ilions de condition, c'est-à-dire A, R, C , etc., qui satisfont aux é(jua- tions (l'-i); secondement, substituer ces (juanlités dans l'é- quation (lo). La compensation ainsi obtenue peut être dite parfaite et coni/ilr/e^ par opposition à la comiicnsalion iniparjailc ou ituoniplilc. iNous désignerons de celte der-

{ 94 )

nière manière celles qui résultent des mêmes équations (lo), dans lesquelles on substituera des valeurs de A, B, C qui ne satisferont pas aux équations (12), c'est-à-dire qui satisfe- ront à quelques-unes seulement, ou à aucune. JNous ne nous occupei"ons pas ici d'un tel système de corrections, et nous ne leur accorderons même pas le nom de compensation.

Lorsque les équations (10) sont satisfaites, les sys- tèmes (12) et (i3) deviennent équivalents, et la différence dont nous parlons peut alors s'énoncer comme il suit : Les observations complètement compensées satisfont aux équa- tions de condition

X = o, Y = o, Z=:o,...;

les observations incomplètement compensées ne satisfont qu'à une portion de ces équations, et peut-être à aucune; la compensation à la suite de laquelle toutes les équations sont satisfaites, est nécessairement complète.

19.

Il résulte de la définition même des compensations, que la réunion de deux systèmes de compensations peut en four- nir un troisième, et l'on voit qu'il importe peu que les règles données pour obtenir une compensation parfaite soient appliquées aux observations primitives ou aux ob- servations déjà imparfaitement compensées.

Soient — 0, — 0', — ®'\ ^'ic., un système de compen^ sations incomplètes, résultant des formules

.ep = A"rf -+-B°i -T-Cc + .., • \ e'p' — A'a' -\-]i''b' -^ Ce' ^...,

^ ' ^ -" -" — A'rt" -h B^b" + CV" H- . . ,

je" ;/'--=

Les observations ainsi changées ne satisfaisant pas à toutes les équations de condition, soient A^*^ i)b*, ©'*', etc., les va- leurs que prennent X, Y, Z, etc., quand on y substitue les valeurs ainsi obtenues pour w, v' , p-", etc. On devra cher- clier les valeurs A*, B*, C*, eîc, satisfaisant aux équa-

(95 )

lions

X* = A* {aa) -h B* [ah] -+- C* {ac) H- . . . ,

\ x^\,* = A*{ah)^}i*{bb) -i-C^bc) -h..., ^ ^ ]e* = A*{ac)+B*{bc)-hC*[cc)-h...,

et cela fait, la compensation complète des observalions ainsi modifiées se fera par les nouveaux changements — x., — •/-', — y.", etc.; >t , h', y.", etc., se déduisant des for- mules

'.p = A*a -hB*b -\-C*c -h...,

^ ^ j y.'>" = A* a" + B* //' + C* r" -H . . . ,

Cherchons comment ces corrections s'accordent avec la com- pensation complète des observations primitives. Il est clair d'abord que l'on a

a * = X — ae — a'e' — a"(à" — . . . , t,..* = yii, — be — b'@' — b"(d" — . . . , S* = S — c0 — c'(d' — c"Q" ~. . . .

F^n substituant dans ces équations, pour 0, 0', 0", etc., leurs valeurs fournies par le système (I), pour A.*, Hb*, S*, etc., celles que donne le système (II), il vient

X = (A« + A*) [aa] + (HO-f-B*) [ab)-^..., ,i\,=r{A'' + A*) [ab] -h(B«4-B*) [bb)+.... = [A' -h A*) [ac] + (P)» + B*) (/;c) -h. . . :

<r>

et il suit de là que les corrélatifs des équations de condi- lion (12) sont

A = A» 4- A*, B = B» -+- B*, C = C» H- C*, . . . , cl alors les équations (10), (I) et (III) montrent que l'on a

t=0H->^, «' = 0'+-/', s" = (=)" -1- y",. , .J

et. par sullc, la compensation parfaite a la même valeur pour chaque inconnue, soit qu'on la calcule directement, son qu'on roblienn'? mérli.iieineni en partant d'une com- pensation incomplète.

( 96)

20.

Lorsque les équations de condition sont très-nombreuses, la détermination des quantités corrélatives A, B, C, etc., peut exiger des calculs tellement longs, que le calculateur en soit rebuté ^ il pourra être avantageux d'obtenir, dans ce cas, une compensation complète, à l'aide d'une série d'approximations reposant sur le théorème de l'article pré- cédent. On partagera, pour cela, les équations de condition en deux ou plusieurs groupes, et l'on cberchera d'abord une compensation qui rende satisfaites les équations du pre- mier groupe. On traitera ensuite les valeurs modifiées par ce premier calcul , et on les corrigera de nouveau en ayant égard seulement aux équations du second groupe. Ce se- cond calcul donnera des résultats qui , en généial, ne satis- feront plus aux équations du premier groupe, et il faudra , si l'on n'a formé que deux groupes, revenir alors au premier et Y satisfaire à l'aide de nouvelles corrections. Les observa- tions seront ensuite soumises à une quatrième compensa- tion , dans laquelle on n'aura égard qu'aux conditions du second groupe; et en opéi^ant ainsi alternativement sur l'un et l'autre gi'oupe d'équations, on formera des corrections qui seront nécessairement de pltis en plus petites. Si le choix des groupes a été fait habilement, on arrivera bien vite à des valeurs que les corrections ultérieures ne chan- geront plus.

Quand on forme plus de deux groupes, on doit procéder de la même manière, les divers groupes étant employés suc- cessivement jusqu'au dernier, après quoi ou revient au pre- mier pour les reprendre dans le même ordre. Il nous suffit d'avoir indiqué ce procédé, dont la réussite dépendra beau- coup de l'habileté du calculateur.

21.

Il nous reste à donner la démonstration du lemme admis

(97) dans Tart. 8. Adoptons, pour plus de clarté, des notations plus propres à mettre la démonstration en lumière.

Soient x", x', x", etc., des indéterminées 5 supposons que les équations

„00 ^0 _|_ „01 j. _j_ „32 _^." _)_ _ _ _ X.0^

n'Ojc" -h n"x' -h n"x" -i-.. .=:X', ;/2o j-o _,_ „ii ^' _,_ ^■•2 y' _i- . . . — X",

aient donné, par élimination, les suivantes ;

W X» -h N«' X' + K»' X" 4- . =r x\ TVfio X» -+- N" X' + N'= X" + . . . = x\ 7>j:.o x" ^ N^i X' + IN-2-^X" + . . . = :c",

En substituant, dans les deux premières équations du se- cond système, les valeurs de X**, X', X", etc., fournies par Je premier, nous obtiendrons deux équations identiques :

x" = N"» («"' ^" -h n"' x' -4- «"= x" -h . . . ) -f- N<" («'«a:» + /i"x'h- n"x" -f-. . .) -+- N" («'" x" + «-' ar' -h /2'= a:" H- . . . ) -h N»= («•■"x" -J- rt" jc' + «".r" -f- . . )

y = IN^° («'"' X» 4- «<" x' -+- «"' x" + . . . ) -+- N" («"'a"' -t- «" Jt' + «"jr"H-. .) -H W{n-">x'' H- «",r' + «»x"+. . .). -f-

Ces équations étant identiques, on peut y substituer telles quantités que l'on voudra à la place de x^, x', x", etc. Fai- sons dans la première

et dans la seconde

jr« = N»', x' = IN" , x" = N",

l'.ii rctrnncbnnU'iisuilc Icsdcux idenlilésmembreà membre,

G. 7

(98 ) il viendra

N'» — IV" — (N»" N" -- X'" iN"') («"' — «'") -H (N«» N'- — W> N") («»' - «'») -4- (N»» N'^ — N"> N»3) («" _ „3o)

-t-

-h (N"' N" — N" N"'^) («'- — n") -h (N°' N'5 — N" N") (//'•• — «") -H .

-^ (N" N'^ — N" N''^) («'■' — «") -f-

Ce que l'on peut écrire plus brièvement de la manière sui- vante :

Of ,j3 désignaîit deux indices pris au hasard \ on conclut de là que les égalités

et, généralement ,

«'^.'^ = n^«,

entraînent nécessairement

W = N"'; et, comme l'ordre des indéterminées est arbitraire, il est évident que, dans la supposition admise, on aura généra- lement

22.

La méthode exposée dans ce Mémoire devant surtout s'ap- pliquer utilement aux calculs de haute géodésie, le lecteur nous saura gré d'y joindre quelques exemples puisés dans cette partie de la science.

Les équations de condition qui existent entre les angles d'un système de triangles, peuvent, en général, se par- tager en trois catégories.

] . La somme des angles horizontaux , formés autour d'un

( 99 ) même sommet et embrassant la totalité de 1 horizon , doit être égale à quatre droits.

IL La somme des angles de chaque triangle peut toujours être regardée comme connue •, car, lors même que le triangle est situé sur une surface courbe, l'excès de la somme de ses angles sur deux droits peut être calculé avec une telle approximation, qu'il est permis de considérer le résultat comme absolument exact.

IIL Enfin , on obtient un troisième genre de relations on examinant les rapports des côtés dans les triangles qui for- ment un réseau feimé. Si, en effet, les triangles sont tel- lement placés, que le second triangle ait un côté a commun .avec le premier, et un côté b commun avec le troisième^ si le quatrième triangle a deux côtés c et c? respectivement communs avec le troisième et le cinquième, et ainsi de suite, jus(ju'au dernier triangle, qui ait avec le précédent un côté commun h , et avec le premier de tous un côté com- mun /, les ((uofioMis

pourront se calculer au moyen des angles qui leur sont opposés dans le triangle dont les deux côtés comparés font partie, et comme le produit de ces fractions est évidemment l'unité, on aura une relation entre les sinus des divers angles mesurés (diminués du tiers de l'excès sphérique ou spliéroïdique lorsqu'on opérera sur une surface courbe). Du reste, dans les réseaux un peu compliqués, il arrive souvent que les équations de la seconde et de la troisième catégorie rentrent en partie les unes dans les autres, et que, pai- suite, leur nondjre doit être réduit. Au contraire, il pourra arriver, mais seulement dans des cas assez rares que Ton adjoigne quelques équations nouvelles à celles de la seconde calégoiie; c'est ce qui aura lieu lorsque le lé- seau ronliondrn des jiolygones non di\isées en triangles; on

( I''» )

. pourra alors iiUroduire tics équations relalivcs aux figures qui ont plus de trois côtés. Dans une autre occasion, nous reviendrons avec plus de détails sur ces diverses circon- stances, dont r examen nous éloignerait en ce moment de notre but. Nous ne pouvons cependat\t nous dispenser de faire ici une remarque indispensable à ceux qui voudraient faire l'application rigoureuse de notre théorie : nous suppo- sons toujours que les quantités désignées par p", t^', u'\ etc., ont été observées immédiatement, ou déduites d observa- tions telles , que leurs déterminations soient indépendantes les unes des autres, ou, au moins, puissent être regardées comme telles. Dans la pratique la plus ordinaire, on observe les angles que Ton peut regarder comme étant les éléments. ^', v»', i^"^ etc., eux-mêmes. Mais on ne doit pas oublier que si le système contient, en outre, des triangles dont les angles n'aient pas élé directemeiU observés ei aient été déduils de ceux que l'on connaissait, par des additions ou soustrac- tions, ces angles ne devront pas être mis au nombre des grandeurs déterminées par l'observation, et l'on devra les faire entrer dans le calcul comme des fonctions des éléments qui ont servi à les former. Il en sera autrement si l'on adopte la méthode d'observations de M. Struve [^strono- mische Nachrichten, II, page 43 1), qui consiste à détermi- ner toutes les directions autour d'un même sommet , en les rapportant toutes à une seule et même direction arbitraire. Les angles mesurés ainsi seront pris alors pour u , t^', y", etc. , et les angles des triangles se présenteront tous comme des différences. Les équations de la première catégorie devront, dans ce cas, être suppriméis comme superflues, car elles seront identiquement satisfaites. Le procédé que j'ai suivi moi-même dans les triangulations exécutées pendant ces dernières années, diffère des deux méthodes précédentes; on peut cependant l'assimiler, quant au résultat, avec le procédé de M. Struve , en ce sens que , dans chaque station , on doit regarder t', \'\^'\ etc., comme les angles forn\és

( loi ) ])Ai- les directions qui cii parlent, avec une même ligne arbitrairement choisie.

Nous donnerons deux exemples : le premier se rapporte au premier mode d'opération, et le second est relatif à des observations faites d'après la seconde méthode.

23.

Le premier exemple nous sera fourni par l'ouvrage de M. Krayenhof : Précis historique des opérations trigono- métriques faites en Hollande. JNous chercherons à coni- pensevX'A partie des observations relatives au terrain com- pris entre Harlingen , Sneek , Oldeholtpade , Balluni , Leeu warden, Dockum , Drachten, Oosterwolde et Gronin- gen. Entre ( es points , on a formé neuf triangles numéroîés, «lans l'ouvrage cité, 121, 122, 123,124, i25. 127, 1 0.8 , i3i, i32. Les angles observés sont les suivants :

TUIAXCI.E I?. I.

0. Harlingen 5o"58' i5",238

1. Lecuwarden 82.47.1 5, 35 1

2. Balluin 46 i4- 27,202

Triaxgi.e 122.

3. Harlingen 5i . 5.39,717

4. Sneek 70. 48. 33, 445

5. Lceuwardcn 58. 5.48,707

TrIANGLK 123.

6. Sncck 49 3" • 4*^ > o5 1

7. J)iarlilc'n 4^-52.5(j,382

î-i Lecuwarden 87 . 36. 2 1 ,o57

TiuvNcir. 124.

«) .Siuck 45 ••^^' 7>4'.)'

10. Oldi l)oll|»;i(l( 1)7.52. (),o48

11. Diacliliii (>(). 3l .'Ji6,5l3

( »02 ,

Triangle i25.

Ï2. Drachten 53° 55' 24'', 745

i3. Oldeholtpade 47.48.52,580

i4- Oosterwolde 78.15.42,347

Triangle 127.

i5. Leeuwarden 59.24. o,645

16. Dockum •. . 76.34. 9,021

17. Balliim 44- 1 .51,040

Triangle 128.

58. Leeuwarden 72. 6 32,o43

19. Drachten 46-53.27,1 63

20 . Docku m 61. o . 4 > 494

Triangle i 3 i .

21. Dockum 57 1.55,292

22. Drachten .... 83.33, i4,5i5

23. Groningen 39.24.52,397

Triangle i 32.

24. Oosterwolde 8 1.54. 17, 447

25. Groningen 31.52.46,094

26. Drachten 66.12.57,246

La considération de ces triangles montre que les vingt-sept angles, directement fournis par l'observation, ont entre eux treize relations nécessaires, savoir : deux de la première espèce, neuf de la seconde, et deux de la troisième. Mais il n'est pas utile d'écrire ici toutes ces équations sous leur forme finie, car pour le calcul nous avons besoin seu- lement des quantités, désignées dans la théorie générale, par X, a, a', a",. . . , il',,, b, h\ />",. . . , c'est pourquoi nous écrirons immédiatement les équations (i3), qui met- teni ces quantités en évidence. Au lieu dee, s', e", etc., nous écrirons simplement ici (o), (i), (2), etc. De cette ma- nière, aux deux é({ualions du premier genre répondent les

suivantes :

(i)+{5)-K(8)-+-(i5}+(i8) = ~2",.97, (7) -t-('0 + i«2)+(i9)+(22) + (26) = -o",436.

Nous trouvons ensuite, pour les excès sphéroïdiques des neuf triangles : i",y4g-, ^"i^ÂJ'i i^",^^'^; i",6gS; o'^Sy'i; 1", 1675 i",io4 ^ 2",i6i ; i",4o3. Nous aurons alors l'équa- tion de condition du second genre :

^(0) _^_(,(') + ,;(2) _ i8o<',o'i",749 = 0,

et ainsi des autres, et nous avons les neuf équations sui- vantes :

(0)-+- (.)-4-(2) = -3",958, (3)-+-{4) + (5)-+o,722, (6) + (7)4- (8)=-o,753, (9) + (10) +(ii) = H-2,355, (12) + (i3) + (i4) = — 1 ,201 , (i5)-f-(.6)-f-(.7) = -o,46i,

(18) -H (19) + (20) = + 2,596, (21) + (22) H- (23) = -f- 0,043,

(24)+ (25) -t- (26)= -0,616.

Les équations de condition du troisième genre s'expriment plus facilement parle moyen des logarithmes : la première est

log sic {vo - o",583) — log sin {i>' — o",583) — log sin (f' — o",382) + log sin(('' — o",382) — logsin(t'« — o",4i4) -\- log sin (p'_ o",4 14)— log sin (f'"— o",389) -l-logsin(<'''— o",389)— logsin (•'"— o",3681 -i- log sin (•-'"— o", 368) = 0.

Il seiidjie inutile de développer 1 autre sous forme finie. A < es deux équations répoiuleul les suivantes, dans lescpielles les cncllic iciils .se i,ip|i(>ri(ni ;i la septième décimale des lu-

( ^'^4 /

garithmes vulgaires ('''):

17,068(0) — 20,174(2)— 16,993 (3)-+- 7,328(4)— 17,976(6) H- 22,672(7)— 5,028(16) H- 2 1 ,780(17)— 19,710(19)

H- I I ,67 I (20) =: — 371,

17,976(6) — 0,880(8) — 20, 617(9)+ 8, 564(io)— 19,082(13) + 4,375(14) H- 6,798(18)— J I ,671 (20) 4- 13,657(21) — 25 ,620 (23) — 2 ,995 (24) -+- 33 ,854 (25) = + 370.

Aucune raison ne nous portant à attribuer des poids iné- gaux aux diverses observations , nous supposerons

Jj" = p^ =: p^- = , . . = I .

En désignant les corrélatifs des équations de condition dans l'ordre même où ces équations ont été écrites, par

A,B,C,D,E,F,G,H,I,K,L,M,N, nous les déterminerons par les équations suivantes :

— 2",i97 = 5A + C + D-f E + Hh-H-5,917N,

— 0,436 = 6 B+Eh-F + GH-I + K+Lh- 2,962 m, _ 3,958 = A+ 3 C — 3, 106 M,

-I- 0,722= A+ 3D — 9, 665 M ,

— o,753=A+B4-3E+ 4,696M + 17,096 N, ~j- 2,355 := B + 3F — i2,o53 N,

— i,20i = B+3G— i4>707 N,

— o,46ï = A + 3H + i6,752M,

-^2,596 = A + B+ 31 — 8, 039 M - 4,874 N, + o , 043 = B -t- 3 K — II, 963 N ,

— 0,616= B-J-3L+ 3o,859iN",

— 371 — 2,9626 - 3,!o6C — 9,665 D + 4,696 E

+ j'^^,'] 5-2.11— 8,0391+ 2902,27 M ~ 459,33 N, {- 370 = 5,917 A + 17 jHqGE — 12 .o53 F — 14,707 G

— 4,8741 — II, 963K + 3o,859L

— 459,33 M + 3385. 96N

(*) Ces coellicients ont été tous multipliés, après la dillércntiation, par

!• • ■ r r, o 180. 60. Go ,. ,

10', et divises par 206264,0= > pour convertir les erreurs en

secondes, J. B.

( »^^ )

Nous en déduisons par l'élimination :

A = — o , 598 B = — o , 255

c = — 1,234

D ^ -î- o , 086 E = —0,447 F = -H- I ,35i G = -\- 0,27 I

H = -h 0,659 I =; + I ,o5o K= + 0,577 L = — i,35i

M=: — O, 109792

^' = + O, 1 19681.

Les erreurs les plus plausibles sont enfin données par les

formules

(o) = C+ 17,068 M (i)=A + C (2)= C — 20,174 M (3) = D - 16,993 M,

et nous obtenons les valeurs numériques suivantes , aux- quelles nous adjoignons, pour qu'on fasse la comparaison, les corrections adoptées par M. Krayenhof :

(o) =— 3",io8 (i) =— 1,832

(2) =: H- 0,981

(3) =+ 1,952

(4) =— 0,719

(5) = — o,5i2

(6) =-h 3,648

(7) =— 3,221

(8) =— 1,180

(9) =— '.ï'6

(10) = 4- 2,376

(11) z=+ 1,096

(12) = -j- 0,016 (i3) = — 2,01 3

La somme des carrés de nos corrections csl9j,8845 ; l'i rrcur moyenne, telle (pic riinliquenl les 27 .Tnc;les observés, est

DE Kr.			DE Kn.
— 2",090	(i4]	= -i-o",795	-+- 2",4<>0
-H 0, I 16	(i5.	= H- 0 , 06 1	-f- i,:'.73
- 1,982	(16:	=r -t- 1,211	-h 5,945
H- I ,722	('7)	= — 1,732	— 7 '674
-f 2,848	(,8	= -(- I , 265	-+- I ,876
- 3,848	(•9	= 4- 2,959	+ 6,25i
— 0,137	(20	= — 1,628	— 5,53o
H- I , 000	(2,]	= -+- 2,21 I	-+- 3,486
- 1.614	(22	i rr-h 0,322	-3,454
0	(23,	)---- 2,489	0
+ 5,928	(24	= - •,7"9	+ 0,400
— 3,570	(25	= +- 2,701	-+■ -'.,o54
+ 2, 4 14	(26	1 — ^ I ,6oG	- 3,077
— 6,oi4	•

( '^"-^ )

par conséquent ,

La somme des carrés des corrections de M. Krayenhof , est de 341,4201.

24.

Les triangles dont les sommets , dans la triangulation du Hanovre, ont été placés à Falkenberg, Breithorn, Hausel- berg, Wulfsode et Wilsede, nous fourniront un second exemple.

On a observé les directions suivantes : A la station de Falkenberg.

0. Wilsede 189" 4?' 3°^^^'

1. Wulfsode 225.9.39.676

2. Hauselberg 266.13.56.239

3. Breithorn 274- i4-43'^M

A la station de Breithorn. 4- Falkenberg g4.33.4o.755

5. Hauselberg i22.5i.23 o54

6. Wilsede 1 5o . 1 8 . 35 1 00

A la station de Hauselberg.

7. Falkenberg 86.29. 6.872

8. Wilsede 154.37. 9624

9. Wulfsode.. 189. 2.56.376

10. Breithorn 302.47.37.732

A la station de Wulfsode.

11. Hauselberg 9. 5.36.593

12. Falkenberg 45-27 33.556

»3. Wilsede [ 18.44. i3. 159

A la station de Wii.sf.de.

14. Falkenberg 7.5i. 1.027

i5. Wulfsode....... 298.29.49.519

16. Breithorn 33o. 3. 7.392

17. Hauselberg 334.^5.26.746

107

Ces obseivalions permettent de lo.mei sept triangles.

Triangle F^

Falkenberj; 8° ^' M' '"^^^

Breithorn 28.17.42,299

Hauselberg ,43.4129,140

Trianclk II.

Falkenberg... •. 86. 27.1 3, 323

Breithorn 55.44-54,345

. Wilsede 37.47-53,635

Triangle III.

Falkenberg. 4' 4-^6,563

Hauselberg 102. 33.49» ^04

Wulfsode 36.21.56,963

Triangle IV,

Falkenberg y». 26 25,928

Hauselberg 68. 8. 2,752

Wilsede 35 25. 34,281

Triangle V.

Falkenberg 37.22. 9,365

Wulfsode 73.16.39,603

Wilsede 69.21.11,508

Triangle \ I.

Breithorn 27 27.12,046

Hauselberg 148.10,28,108

Wilsede 4.22.19,354

Triangle VH.

Hauselberg 34 . 25 . 46 , 752

Wulfsode '09 38.36,566

Wilsede • 35.55.37,227

INons avons ici .sept équali..... de ...ndition d.i sero.ul genre (il n'y n pas lieu évi(leinn..nt .IVu lornier .l.i pivinir. genre) -, pour les lo. mer, nous dev..ns < lurcher, avant t..ul,

( ^o8 ) Ji s excès spliéroïdiques des sepl triangles, et pour cela il est ir)dispeiisable de comiaître la longueur d'un côté. Celui (jui léunil AVilsedo à AVulfsode est ■2'2S'jy"\g/\. On en con- clut, pour les excès spliéroïdiques des divers triangles : I...0",202; II... 2^,442 ; III...i",257-, IV...l",9I9; V...i",957^ VI...o",32i; VII...i",29r).

Si Ton désigne par w^^\ u^^\ u^^\ t^f'^, etc., les angles qui déterminent les directions indiquées plus haut, et mar- ([uées des mêmes indices, les angles du premier triangle seront

et la première équation decondilion est par conséquent

- i,i^) 4- (;(3) _„(4) _(_ p(5) 4. „(i) _ ,,(10) _(_ i^g^Sg' 59", 798= O.

Les six triangles restants fourniront six équations analo- gues, mais un peu d'attention montrera que ces équations ne sont pas indépendantes^ la seconde est en effet identique avec la somme de la première, de la quatrième et de la sixième 5 la somme de la troisième et de la cinquième est identique avec celle de la quatrième et de la septième : c'est pourquoi nous négligerons la seconde et la cinquième. Au lieu des équations restantes sous forme finie, nous écrirons ici les équations correspondantes' {i3), en subsituant aux jioiations £, s', e", etc., (o), (i), (2), etc. :

_.%368=-v2)+(3)-(4)H-(5j + (7)-(io),

-+- 1,773 = — il )4-(2) —(7)+ (9) — (il) 4- (12), + 1,042 = _(o) + (2) — (7) + (8)-^ (i4)-(i7), _o,8i3=:-(5)+(6)-(8)-h(io;-(i6)+(i7), _ 0,750= _(8) + (9)-(ii)+(i3)~(i5) + (i7).

On peul obtenir, au moyen des tiiangles du système, huit équations du troisième genre, el poui' cela il est ])er mis de combiner trois des quatre triangles I, II, IV, M, ou des triangles XII, IV, V, MI; cepeiidanl un pcud «ittention

( 1^9 ) mou Ire qu'il suffît d'en considérer deux appartenant res- pectivement aux deux systèmes de triangles et que celles-là comprendront toutes les autres.

Nous aurons ainsi , pour sixième et septième équation de condition ,

Iogsin(f(^^ -^i>V-'J — o",o67^. — log sin (('(*-^ — v(*^ — o",o67) + log sin (cC— »*(")— o",64o) —logsin(c(') — c("^ — o",64o) -|-log6in(»'C^^ — f(') — o",io7) — logsin (('(") — cC^^ — o",i07) =o,

iogsin(f(-' — cC^ — o",4i9^— logsin{«^0î)_,;('0_o",4ig) -f-Iogsin(i'('<) — «'(") — o",64o;—]ogsin(f(')~fC») — o",64o) H- log sin (('(''/ — f("' — o",43?.) — logsin(p("-— i'C'^ — o",432)=o,

auxquelles répondent les équations

-r?.5 = 4-4,31(0)— 153,88(2) + 149,57 (3)

+ 39,ii(4)-79>64(5)+4o,53(6)

-f- 31,90 (i4) + 275,39(16) —307,29(17,

— 3 = + 4,3i (o) -24,16(1) + i9,8'5(2) + 36,11 (il) — 28,59(12) — 7,52(1 3) + 3i,go(i4) + 29,06(15) — 60,96(17).

Si nous attribuons la même certitude aux diverses direc- tions, en supposant /j'"^ = /^^*' = ^>f*^ .. . = i ,les corrélatifs des jept équations de condition étant désignés par A , B, C , D. E , F, G . leur détermination dépendra des équations suivantes :

— i,3G8=r + 6A — 2IJ — 2C— 2D + 181,72 F — 19,85 G, + 1 ,773 = — 2 A +6 B + 2C + 2 K — ij3,88 F — 20,696,

h I , 042 = — 2 A + 2 B + G C — •-'. D — 2 E +- 1 8 1 ,00 F + i< 8,4'jG,

— 0,81 3 .— — 2 A — 2C -{- 6D -4- 2E — 46',5i F — 60,960,

— 0,750 = 4- ■> n — ■?.(: 4- 2D + 6K — 307,29 F — 1 33,65 G

+ 25 = 184,72 A — i53,88B + 181, onC - 46^,5i D

— 307,29 E -f- 2-4868 F + 16694, 1 G,

3 = — i9,85A — 2o,()9B + io8,4oG — 60,961)

— i33,65E-}- i(i(^i/\,\ F + 8752,396.

(no) Nous en déduisons, par élimination,

A = — 0,225, B = + 0,344, C = — 0,088,

D=:— 0,17!,

E = — 0,828,

F = -f- 0,000215915,

G = — 0,005474620 ,

et les erreurs les plus probables sont données par les for- mules

(o)=r=-C -h4,3iF +4,3iG, (i)~ — B — 24,i6G,

(2) = — A -(-B + C — i53,88F + 19,85 G,

d'où l'on déduit les valeurs numéinques suivantes :

(o) = ■+ o",o65 ( I ) = — 0,212

(2) = H- 0,339

(3) =— o, 193

(4) = -f- 0,233

(5) = — 0,071

(6 ) r- — 0,162

(7) = -o,48i

(8) = -^ 0,406

(9) = -ho", 021

(10) =: + 0,o54 (1 1) r= — 0,219 (12) =: H- 0,50l

(i3) ^ — 0,282 (i^) = — o,256 (i5) =3+ 0,164

(16) = -+- 0,280

(17) = — 0,189.

La somme des carrés de ces erreurs est égale à 1,2288; l'er- reur moyenne résultant des 18 directions observées est, par conséquent ,

'1,2288

7

■/■■

= o",4i90.

2o.

Afin de donner un exemple de la dernière partie de notre théorie, cherchons dans quelle précision les observations compensées déterminent le côté Falkenberg -Brei thorn ,

( •»' )

au moyen du côlé ^\ ilsede- Wulfsotle. La lonclion //, par laquelle il est exprimé , est, dans ee cas,

sin (i'(") — p('=) — o",652). sin ((''"• —c('^' — o",8i4) - ""77 '9^^ sin(r('^ — .'(») — o",652).sin(r(^^— .•('^ — o",8i4)'

sd valeur déduite des observations corrigées est

26766™, 68.

La dillérentiatioii de celle equation fournit, en exprimant rft'*^, fh'''^\ etc., en secondes,

du =z[o'",i699i [dv{o)) — dv'o)]-^ o"',oB836 (r/*-;*) _^,.t<>))

— [o'",o3899(r/<';"^) —dv'.^''] -f-o™,i673i(rW"^— t/<'('«');

on déduit de là :

[al =— o,o8836,

( ^/) = -4- 0, 13092,

(c/)= — 0,00260,

[dl] =z+ 0,07895, (^7) =r -h 0,03899,

(/0=- io,i3i5,

(//) = 4- 0,1 3238,

Les méthodes indiquées plus haut donnent, en pi-enanl Ir mètre pour unité de longueur,

-r= G, 08329 ou P= 12,006.

On en conclut que l'erreur moyenne à craindre dans la va- leur du côté Falkenberg-Rreithorn est o'",2886 «/ (/«dé- signant Terreur moyenne à craindre dans les directions observées, cette erreur étant exprimée en secondes), et* par conséquent, si nous adoptons la valeur de m annoncée plus haut, cette erreur moyenne à craindre est o"',i209.

Au reste, Linspection du système de triangles montre immédiatement (|n'on pouvait complètement laisser de côié- l;i station ïlauselberfÇ, sans rompre le réseau i|iii réiinil les

(il.)

quatre autres. Mais il ne serait pas permis pour cela de supprimer les opérations qui se rapportent à ce point, car elles contribuent certainement à augmenter la précision de l'ensemble. Pour montrer plus clairement quel accroisse- ment de précision en résulte, nous terminerons en faisant de nouveau le calcul, après avoir exclu tousles résultats qui se rapportent au point Hauselberg. Des dix-huit directions, mentionnées plus haut, huit cessent alors de servir, et les erreurs les plus plausibles sur celles qui restent, sont

(o) = -f- o",327 ( I ) = — o , 206

(3) = — o , 12 1

4) = +0, 12 1

(6) = — o , I 2 r

(12) =r H- o",2o6

[ 1 3; = — o , 206 (i4) = + o, 327 ( 1 5) = -}- o , 206 (16) = + o, 121

La valeur dn côté Falkenberg-Breithorn devient alors 26766'", 63, résultat peu différent de celui qui a été obtenu plus haut. Mais le calcul du poids donne

- = 0,1 3082 ou P-=7,644>

et Terreur moyenne à craindre est , en mètres ,

o,36i69/« = o",i5i5.

On voit que par T adjonction des opérations qui se rap- portent à Hauselberg, le poids de la détermination du côté Falkenberg-Breithorn est augmenté dans le rapport de 7,644 à 12,006, c'est-à-dire dans le rapport de l'unité à 1,571.

( ii3 )

NOTES.

NOTE I.

EXPOSITION DE LA MÉTHODE DES MOINDRES CARRÉS.

(Extrait du Theoria MoLus Corporum cœleslium.)

i.

Abordons maintenant une recherche beaucoup

phis générale et des pkis fécondes dans toute application du calcul aux phénomènes naturels. Soient V, V, Y", etc., y. fonctions des v inconnues p^ q, r, 5, etc., et supposons que des observations directes aient donné, pour ces fonc- tions , les valeurs

V = M , V z^ M' , V" = M",

En général, le calcul de ces inconnues constituera un pro- blème indéterminé, déterminé ou plus que déterminé, sui- vant que l'on aura

fi <^ V , u =: V , OU p. t> ■•< ( * )•

Nous ne nous occuperons ici que du dernier cns, dans lequel évidemment il ne serait possible d'obt<'nir une représenta- lion exacte de toutes les observations, que si ces observa-

{*) Si, dans ce troisième cns, // + i — v des fonctions \' , V, V", etc., pouvaient b\.re regardées comme des fonctions de toutes les autres, le pro- blème deviendrait plus que déterminé relativement à ces fonctions, mais indétcmiiiic relativement & p, q, v,s , etc. On no pourrait pas en déduire les valeurs de ces dernières, même si les valeurs des fonctions V, V, A", etc., étaient d'une exactitude absolue : mais nous excluons ce ras particulier de nos recherches.

• G 8

( »i4 )

lions n'étaient affectées d'aucune eireur. Mais comme cela n'a jamais lieu dans la nature, on devra regarder comme possible tout système de valeurs des inconnues p^ q^ r^ J, etc., desquelles résultent, pour les fonctions V — M, V — M', Y" — M", des valeurs qui ne surpassent pas les limites des erreurs que l'on peut commettre dans les obser- vations, mais on ne doit pas regarder tous ces systèmes possibles comme jouissant du même degré de probabilité. Supposons d'abord, dans toutes les observations , un état de choses tel, qu'il n'y ait pas lieu de regarder l'une d'elles comme plus exacte qu'une autre, c'est-à-dire, que l'on doive regarder des erreurs égales dans cliacurAC d'elles comme également probables. La probabilité qu'une erreur A soit commise dans l'une des observations sera une fonction de A, que nous nommerons (p (A) . Quoique cette fonction ne puisse être assignée d'une manière précise, on peut du moins affirmer qu'elle doit devenir maximum pour A = o, avoir dans la plupart des cas la même valeur pour des va- leurs de A égales et de signes contraires, et, enfin, s'éva- nouir quand on donne à A une valeur égale ou supérieure à l'erreur maximum -, 9(A) doit donc , à proprement parler, être rapportée à la classe des fonctions discontinues, et, si nous nous permettons, pour la facilité du calcul, d'y sub- stituer une fonction analytique, il faudra que cette dernière soit choisie de telle sorte qu'elle tende rapidement vers o à partir de deux valeurs de A, l'une supérieure , l'autre infé- rieure à o , et qu'en dehors de ces deux limites on puisse la considérer comme nulle. Or la probabilité que l'erreur soit comprise entre A et une quantité A -f- r/A qui en diffère infiniment peu, sera exprimée par 9 ( A) . r/A, el, par suite, la probabilité que l'erreur est comprise entre D et D', par

Cette intégrale, prise depuis la plus grande valeur néga-

( "T. }

live de A jusqu'à sa plus grande valeur positive, ou plus généralement depuis A = — oo jusqu'à A = oo , devra né- cessairement être égale à i . On aura donc

X

ep (a)^A= I.

Supposons donc qu'on ait un système déterminé de valeurs des quantités /?, «7, r, s, etc. : la probabilité que l'obser- vation donnera pour V la valeur M, sera exprimée par (js (M — V) , après qu'on aura substitué dans Y les valeurs de/?, ç, r,5, etc. 5 de même «p {M' — V), (p (M" — V") , etc., exprimeront les probabilités pour que les observations don- nent aux fonctions V, \ ", etc., les valeurs M\ M", etc. C'est pourquoi , tant qu'on pourra considérer toutes les ob- servations comme des événements indépendants les uns des autres , le produit

7(M— V)ç(M' — V) ç(M"— V") ... —12,

exprimera la probabilité que toutes ces valeurs résulteront eu même temps des observations.

De même qu'en se donnant des valeurs quelconques des inconnues, il en résulte, avant toute observation , une pro- babilité déterminée pour un système de valeurs des fonc- tion V, V, \ ", etc., de même , après que l'observation aura donné pour ces fonctions des valeurs déterminées, il en résultera pour clia([ue système de valeurs des inconnues qui en découleront, une probabilité déterminée : car il est clair qu'on devra considérer comme les plus probables les systèmes qui donnent à l'événement observé la plus grande prf)bal)ililé. L'appréc iation de cette probabilité peut s'ob- tenir par le théorème suivant :

Sij en adoptant une certaine hypothèse H, /a probabilité d'un événement determine K est h, mais quen adoptant une autre hypothèse H', exclusi\'c de la prcniirre ei en ant

8.

( Ilfi )

à priori la même probabilité, la probabilité du même évé- nement soit h' : je dis que lorsque V événement E aura eu lieu, la probabilité que H soit la 'vraie hypothèse sera (i la probabilité que H' soit la vraie hypothèse comme h est à h'. Pour le démontrer et afiiide distinguer toutes les circon- stances d'où peut dépendre, soit que riiypothèse H ou H' , ou toute autre ait lieu, l'arrivée d'un événement E ou d'un autre événement, formons un système des cas différents ([ui peuvent se présenter et que nous regarderons comme éga- lement pi'obables à priori (c'est-à-dire tant qu'il y a doute si c'est l'événement E ou un autre qui aura lieu). Ces cas peuvent être ainsi distribués :

NOMBRE DES CAS.	llYPOTliÈSE proDie à ces cas.	ÉVÉSEMEXT ([iii doit en résulte!-.
m	H	E
n	H	Différent de E
m'	H'	E
n'	H'	Différent de E
m"	Différente de H et de H'	E
n"	Différente de H et de H'	Different de E

On aura d'après cela

f^ __ m 1^, _ '»'

m -\- n m' -J- n'

Or, avant l'arrivée de l'événement, la probabilité de 1 hypo- thèse H était

m + n m -\- n ~\- m' -4- «' + /;/" -+- n"

Après 1 événement qui exclut n -f- //-h n" cas, parmi ceux qui sont possibles, celte probabilité sera

m -\- m' -f- m"

( '•: )

De même les piobabililés de l'hypothèse II' avant et après l'événement sont respectiveniint

m' -f- /?' m'

m -\- n + m -\- n' -\- m" + n" m -\- m' + ///" '

mais, comme on a supposé que les hypothèses H et H' avaien i avant l'événement la même probabilité, on aura

m -\- fï r=z m' -f- n' y

d'où résulte immédiatement la vérité du théorème.

Si maintenant on suppose qu'on n'a , pour déterminer les inconnues, que les observations

V=M, V' = M', V" = M", ...,

et que tous les systèmes de valeurs des inconnues étaient éga- lement probables avant ces observations, il est visible que la probabilité d un certain système, après ces observations, sera proportionnelle à Q.. C'est-à-dire que lQ.(1p(Iqdr. . . exprimera la probabilité que les valeurs des inconnues soient respectivement comprises dans les limites infini- ment voisines petp-{- dp, q el q -\- dq, r et r -f- dr, . . . , "k représentant une quantité indépendante de /;, ^, r, s, etc.; et l'on aura évidemment

^= / / / ••• Çlrlpclqdr...,

a.

De là résulte natur(;llemcnt (jue le système le plus [)i(>- bable des valeurs àc p, <y , r, etc., corn-spondra au maxi- iiuim de lî, et se tirera des v «'(pintions

du dçi dn

— = o, — = o, — =o, ..;

dp dfj dr

si 1 on pose

V— M =

,.,V'-M'=.',V--,M-=,.',... ,.l^j;T^,-^==/(i,,

( i'8 ) ces équations prendront la forme suivante :

dv , , ^ dv' dv" , , „.

du , , , di>' , . ,. dv" , , „.

Do là résulte qu'on pourra obtenir par l'élimination une solution pleinement déterminée du problème, dès que la nature de la fonction (^' sera connue. Mais comme cette fonction ne peut être définie à priori , abordons la question à un autre point de vue et cherclions une fonction acceptée tacitement comme base, en vertu d'un principe simple et généralement admis. Or on a coutume de regarder comme un axiome l'hypothèse que si une quantité a été obtenue par plusieurs observations immédiates, faites avec le même soin dans des circonstances semblables, la moyenne arilhmétique des valeurs observées sera la valeur la plus probable de cette quantité, sinon en toute rigueur, du moins avec une grande approximation , de telle sorte que le plus sûr soit toujours de s'y arrêter. Si donc l'on pose

V— .V'= V". ..=^p,

et

M -h M' H- M" H

on devra avoir en général

«>' (M — /?) + cp' (M' — /^) 4- <p' (M" — />) -H . . . = o

pour toute valeur entière et positive de ii. Faisant en- suite

M'= M". ..= M — f*N,

on aura généralement

{ "9 )

d"où l'on tire facilement que --—- doit être en général une

constante k. On aura donc

log (p (A ) = j /,■ A- -h const. ={ /, y- -h log X , d'où

ç( ( A ) = y- e ■

Or on voit facilement que la constante A doit être négative, pour que Q. puisse devenir maximum : posons donc

-/> = — h\

et comme, d'après un élégant théorème de Laplace, on a

X

;i'A' , v^TT

notre fonction deviendra

La fonction que nous venons de trouver ne peut pas ex- primer, en toute rigueur, la probabilité des erreurs, puis- que les erreurs possibles étant toujours renfermées entre certaines limites, la probabilité d'erreurs plus grandes de- vrait être toujouisnulle, tandis que notre fonction a toujours une valeur finie. Cependant ce dcfaul, que présenterait également toute autre fonction analytique, n'a aucune im- portance dans les applications, parce que la valeur de notre fonction dcrroit si rapidement, pour peu que //A ail une valeur considérable, qu'on peut, cri tonte sûreté, la re- garder al(jrs ctnnnie c(|uivalente à o. U ailleurs, la nature de la question ne permettra jamais d'assigner les limites des erreurs avec une i igucur absolue.

Au reste, la ronstarite // peut être regardée coinnu' scr-

( '20 )

vant de raesiiro à la précision des observations. Si en ellei la proLaLilité de Terreur A daus un système d'observations est exprimée par

// _ h' ^■

et dans un autre système d'observations plus ou moins exactes que les premières par

la probabilité que daus une observation du premier sys- tème l'erreur soit comprise entre les limites — cJ et H- o, sera exprimée par

i:

— e f/A,

et de même la probabilité que l'erreur d'une observation du second système soit comprise entre les limites — à' et -\-à\ sera exprimée par

/:

or ces intégrales sont manifestement égales loisqu'on a

la — h'è'. Si , par exemple , on a

une erreur double dans le premier système sera commise aussi facilement qu'une erreur simple dans le second, de sorte que les dernières observations, pour nous servir d'une expression consacrée par l'usage , jouissent d'un degré de précision deux fois plus grand.

5. Voici maintenant quelques conséquences de celte loi. 11

( I^I )

est clair qu'il faul , pour que le produit

n —\ a — h' { f' -+- v" -t- f "» -t-. . )

il =1 /^ 71 e

devienne maximum , que la somme

devienne minimum. Donc le système de valeurs des ijieou- nues/?, r/ ^ r, s , etc., le plus probable correspond au cas où les carrés des différences entre les valeurs observées et les valeurs calculées des fonctions \ ., \ ', ^ ", etc., donnent la somme la plus petite possible, pourvu que toutes les obser- vations soient également présumées précises.

Ce principe, qui est de la plus grande utilité dans toutes les applications des mathématiques à la pliilosopliie natu- relle, doit être regardé comme un axiome, au même titre que le principe qui nous fait adopter la moyenne arithmé- tique des valeurs observées d'une même quantité comme la valeur la plus probable de cette quantité.

Le principe s étend sans peine au cas d'observations d'une précision inégale. Car si les précisions des observa- tions par lesquelles on a trouvé

V = M, V' = M', V" = M",...,

sont représentées respectivement par//, A', A", etc., c'est- à-dire si l'on suppose que des erreurs réciproquement pro- portionnelles à ces quantités puissent être commises avec la même facilité, il est clair que cela revient au même que si, pardesobservations d'une égalepiécision (représentée pan), l(,'s valeurs des fonctions /A , /t'V, h"\ ", etc., avaient été trouvées égales à AM, A'.M', h" M" ^ etc.; c'est ponnpioi le syslètne le plus probable de valeurs Av.f, «juaniiiés /;, (j ^ i\ s, etc., S(Ma celui on la somme

//'«' + //'•■(/•-+- //"^('"^-+-. . . , ccst-à-flire où la soninic ties carrés des dijjércncvs entre

( 122 )

les valeurs observées et calculées^ multipliés respectii^ement parles carrés des ?ioinhres qui expriment le degré de pré- cision, devient un minimum. Par là, il n'est pas mêiue né- cessaire que les fonctions V, V, V", etc., se rapportent à des quantités homogènes, mais elles pourront représenter des quantités hétérogènes (par exemple des secondes d'arcs et de temps) 5 pourvu que l'on puisse estimer le rapport des erreurs qui , dans chacune de ces grandeurs , peuvent être commises avec la même facilité.

6.

Le principe exposé dans l'article précédent se recom- mande aussi par cela qu'il réduit le calcul numérique des inconnues à un algorithme très-expéditif , quand les fonc- tions V,V, V", etc., sont linéaires. Supposons

V — M =1 (f = — m ~\- a p -\- b q-\~cr-\-ds-\-...,

V —m'=:v'—.—m' + a'p-\-h'q-^-c'r-^cl's^..., V" — U" =v" =— m" + a"p -\-b" q^ c" r + d"s + . . . ,

Posons

«P -h a'/ -h «"f" -I- . . . — - P ,

bi,-^b'v' + b"i>" + ... = q,

ci> + c' v' + c" f" + . . . = R, di> + d'v' + d"v" +. . .= ^,

alors les v équations de l'art. 3, qui déterminent les valeurs des inconnues , seront

P=o, Q = o, R=o, S — o,...,

si nous supposons les observations également bonnes, cas auquel nous pouvons ramener tous les autres , comme nous l'avons montré dans l'article précédent. On a ainsi autant d'équations linéaires que d'inconnues : on les résoudra par la méthode ordinaire.

( i-^3 ) Voyons mainteuant si cette élimination est toujours pos- sible ou si elle peut donner une valeur indéterminée ou im- possible. Il résulte de la théorie de l'élimination que le se- cond ou le troisième cas aura lieu si , en laissant de côté une des équations

P = o, Q =: o, R = o,...,

ou peut déduire des équations conservées une équation identique ou contradictoire à celle que l'on a omise , ou , ce (pii revient au même, si l'on peut assigner une fonction li- néaire

aP + pQ-hyR-|-...,

qui soit identiquement nulle ou qui ne contienne aucune des inconnues. Supposons donc que l'on ait

aPH- pQ + yR-f-. ..= x,

on a l'équation identique

(t' H- w) p -h (/ + m') v' H- [v" 4- in")v" -\- . . . = pV 4- yQ_}- rR + jS 4-

Si l'on suppose qu'en faisant

p — <x.x, q=^x, r—-jx,,. ,

les fonctions ^, v\ v" , etc., deviennent respectivement

— //? + ).x , — /;/' + ),'x , — m" -f- Y X , . . . ,

on aura l'équation identique

( V H- V' + >"' + . . ) X' - ( > /;/ -f- >/ m' + a" ni' +...)x-y.x.

et, par suite, V -f- a'^ 4- À"' - • 1 où lésulte

cl . p.ir suite .

- . . . = o, X 4- x/„ 4- a' m' 4- X"/7/" 4- . . . = o , >. = 0, ),' = (), a" ,= «»,... ^

z =; o

( i'-4 )

c'esl-à-dire que les fonctions V, V, Y", etc., devraient ne pas changer si p,q,r,s, etc., reçoivent des accroisse- ments quelconques proportionnels aux nombres a , (3 , y, d, etc. Un pareil cas, dans lequel la détermination des in- connues ne serait pas possible, même si l'on donnait les vraies valeurs des fonctions , n'appartient pas à notre sujet, comme nous en avons averti plus haut.

Au reste , on peut réduire facilement tous les cas à celui où les fonctions V, \ ', V, etc., sont linéaires. Désignons par t:, y^, p, <j, etc., des valeurs approchées des inconnues p, <7, /', s ^ etc. (que nous obtiendrons en faisant usage de v équations prises parmi les^. équations

V = IM , V' =r M' , V" = M" , . . . ) , et posons

il est clair que ces nouvelles inconnues seront si petites, que leurs carrés et leurs produits seront négligeables, et que les équations deviendront linéaires par suite des substitutions indiquées. Que si, à la fin du calcul, on trouve contre toute attente que les valeurs de p', ç', /'', 5', etc., qu'on en tire soient trop considérables, et qu'il paraisse peu sûr de négliger leurs carrés et leurs produits, on remédiera à cet inconvénient en répétant la même opération (mais en prenant pour 7., y., p, 7, etc., les valeurs corrigées de p,q, r.s.clc).

7.

Tant qu'on n'a qu'une seule inconnue p, pour la déter- mination de laquelle on a trouvé que les fonctions

ap -+- n, a'p -f- «', n" p -f- «",... ,

prenaient respectivement les valeurs

M, M', M", ... et cela par des observations également exactes . la valeur la

( 125 )

plus probable de p est

am -\- n m -\- a m 4- . . •

en posant

m = ^I — // , m' = M — n', m" = M' — n" , ...

Pour apprécier le degré de précision qu on doit attri- buer à cette valeur, supposons que la probabilité d'une erreur û, commise dans les observations, soit exprimée par

Ji_ _ h-- S'-

il en résultera que la probabilité que la vraie valeur de p soit A -h/?', sera proportionnelle à la fonction

f,— h^ [{ap — m)' -i-{a'p— m'y -t- [a" p — m'y -h. . . ]

dans laquelle on aura fait

p = k +//. Ij'exposant de cette fonction peut être réduit à la foi me

— h"" a'' 4- a"'- -+- a""- -f-. . .) jr— ip\-\- B^,

dans laquelle \\ dési;;ne une quantité indépendante de /j : la fonction sera par suite proportiouiielle à

On voit que le degré de précision qu'il faut attribuer à la valeur de A est le même que si celte valeur avait été trouvée par une observation immédiate dont la précision serait à la [iiéeisioii des observations piiiiiilives conniie

h ^a- -+- fl'' -+- rt"' -H . . . est à //, ou coranie

\Vi' -h rt'' -f- rt"' -+- . . est à I .

( '26 )

8.

Avaiitde reclicrclier, dans le cas de plusieurs inconnues , le degré de précision qu'on doit attribuer à chacune d'elles, il importe d'étudier plus attentivement la fonction

que nous désignerons par W. I. Posons

= e' =r / 4- a P H- B 7 + 7 /• -I- 0 i' 4- . . .

2 dp

et

W — '— = AV',

=: O.

il en résulte évidemment

comme on a

dW _ d\Y ip' dp' dp dp a. dp

on voit que la fonction W sera indépendante de /;. Le coeffi- cient

a=a' + n" + «"' +.. .,

sera toujours évidemment une quantité positive. IL De même , posons ,

1 rfW

2 dq

et

. = ry' = V + S'<7 -I- 7' /- 4- ^'s -h

on aura

^ 'X dq a. dq a

et

r/W" = G.

dq

Donc la fonction W" est indépendante à la fois de p et de </. Ces circonstances n'auraient plus lieu si l'on pouvait

( 127 )

avoir

Mais il est clair que W se déduit de

^2 + (.'= -H (/'= H- . . . ,

en remplaçant dans t^, p-', u", etc., la quantité /7 par sa va- leur tirée de Téqualion

// = o:

donc |3' sera la somme des coefficients de ^^ dans i'^, w'"'. i^"*, etc., après cette substitution. Mais ces coefficients sont tous des carrés et ne peuvent s'évanouir tous à la fois, si ce n'est dans le cas , que nous excluons de nos recherches , où les inconnues seraient indéterminées *, donc jS' doit être po- sitive.

III. Si l'on pose , enfin ,

I d^Y"

2. dr

et

on aura

W"-^, = W"',

a [i

et W" sera indc-pendant de/-», de q et de /•. On prouvera comme pins haut que le coefficient y" doit être positif. On voit, en effet, facilement cjue y" est la somme des coefli- cients de r* dans p»', ^'''^, r"^, etc., après que les quantités p cl q ont été éliminées de i', i^', r", etc., à l'aide des é(jua- lions

// = o, / = G.

IV. D*; la nièiiie niaiiiè] e en pos;uil

I dW

1 tls

= s' = V"-j-ô"'s + . ., W'» = -\V'

( i^8 ) on aura

X ^ -I

W sera indépendant de ^, q^ r et ^, et cJ" une quantité positive.

V. S'il V a un plus grand nombre d'inconnues, on conti- nuera de la même manière et l'on aura enfin

W = - //' 4- \j, q" -t- \ r'^ -^ —''"'+'■ --^ const. , =^ P 7 -^

expression où a, j3', y", à'" ^ etc., désignent des cpantités positives.

\ I. On a déjà vu que la probabilité d'un système de va- leurs de /:>, <7, /', 5, etc., était proportionnelle à la fonction e~" ^ : par conséquent, la valeur de p restant indétermi- née, la probabilité d'un certain système de valeurs de </, r, s^ etc., sera proportionnelle à l'intégrale

X

dp.

qui est égale, d'après le théorème de Laplace , à

ho.'- tt' c \i' ■' I '

et cette probabili:é sera proportionnelle à la fonction

fe'W

De même, si l'on considère de plus q comme indéterminé, la probabilité d'un système de valeurs de r, .y, etc., sera proportionnelle à

/_

dq,

J — oo

c'est-à-dire à

( »29 ) et, par suite, proportionnelle à e~" . De même si r

est aussi regardée comme indéterminée , la probabilité d'un système de valeurs déterminées de 5, etc. , sera pro- portionnelle à e~" , et ainsi de suite. Supposons que le nombre des inconnues se réduise à quatre; les conclu- sions seraient les mêmes daus le cas général. La valeur la plus probable de s sera

_ r

et la probabilité qu'elle dillérera de a de la véritable va- leur sera proportionnelle à

d'où nous concluons que \/ô"' mesure la précision relative à cette détermination, en prenant pour unité la précision des observations primitives.

9.

Par la méthode du paragraphe précédent un certain degré de précision a été assigné à la seule inconnue qui, dans le travail de l'élimination , a été gardée la dernière. Pour éviter cet inconvénient, nous allons calculer <î'" d'une autre manière.

Des équations

a.

p «

( »3o) oil tire, en les résolvant par rapport à p\ q', /', 5', p' = V,

r^^R-hOlVQ-h.l.'P,

/ = S 4- e" R 4- 0)1" Q H- X" P,

(le sorte que A^, ^l.', c.1.", ail)', x(l>", Q", sont des quantités déterminées. On aura donc (en restreignant à quatre le nonibie des inconnues)

_ V" .lo" iPo" G" 1

■î — — JU/ ~^ "^ *^ ~f~ "^ V + -^ "• + ^/ S ,

d'où résulte la conséquence suivante : Les valeurs des in- connues p, g, r, s, etc., que l'on doit tirer des équations

P=o, Q:__o, R=:o, 8 = 0,...,

sont évidemment exprimées par des fonctions linéaires de P, Q, R, S, etc., savoir :

p = I. 4-A P-f-B Q + C R + D S+..., <7 = L' -4- A' P + B' Q -+- C R + D' S 4- . . . , r = V + A" P + B" Q + C" R 4- D S 4- . . . ,

s = L'" 4- A'" P 4- B"'Q 4- C" R 4- D"'S 4- . • . ,

Cela posé, les valeurs les plus probables de ces incon- nues sont respectivement L, L', L", etc. Les degrés de précision qui doivent être attribués à ces déterminations sont respectivement

1 I I I

^' 7^' v^' ^''"'

en prenant pour unité la précision des observations pri- mitives -, car ce que nous avons dit plus haut de lincon-

nue s i pour laquelle D'" répond à ^,\ s'applique aux au- tres inconnues par une simple permutation.

( ^^^ )

10.

Pour éclaircir par un exemple les recherches qui pré- cèdent, supposons que par des observations pour les- quelles une égale précision doit être présumée, ou ait trouvé

p — q -H2/=: 3, Zp -{- ifj — 5r= 5,

mais que, par une observation à laquelle une précision égale à - doit être attribuée, on ait trouvé

I

2

— 1 p -\- Ç)cj -I- 6/- = 28.

A cette dernière nous substituerons la suivante ,

— /-»-j-374-3r=i4,

que nous supposerons provenir d'une observation aussi précise que les premières. De là on tire

P =27/p-h 67 — 88,

Q= 6/^-1-157-f- r— 70, R = 7 -f- 54/-— 107,

et par 1 élimination

i9899/>' = 49 '54 -f-8n()P— 324 Q -h6R. 7877 rr 2617 — 12 P -H 54 Q — R, 6633r= 12707 -h ?.P— 9Q -h I23R.

F. es valeurs les plus probables des inconnues seront dorw

/>= 2,470 Y = 3,50i, r= 1,916,

avec des degrés de précision égaux respectivement à

( '3^ )

11.

Le sujet que nous avons traité jusqu'ici donnerait lieu à d'élégantes reclierches, auxquelles nous ne nous arrête- rons pas, pour ne pas trop nous écarter de notre objet principal. Par la même raison, nous réservons pour une autre occasion l'exposition des artifices qui permettent de réduire le calcul à un algorithme plus expéditif. Qu'on nous permette seulement d'ajouter une seule observation.

Lorsque le nombre des fonctions ou des équations pro- posées est considérable, le calcul est surtout rendu pénible par cette circonstance, que les coefficients par lesquels on doit multiplier les équations primitives pour obtenir P, Q, R, S, etc., sont presque toujours des fractions décimales compliquées. Si l'on ne croit pas important dans ce cas de calculer ces produits avec le plus grand soin à l'aide des Tables de logarithmes, il suffira le plus souvent de leur substituer des nombres plus simples qui en diffèrent peu. Il ne peut en résulter d erreurs notables qu'autant que la précision des inconnues devient moindre que la précision des observations primitives.

12.

Au reste , le principe d'après lequel la somme des carrés des différences entre les quantités observées et les quan- tités calculées doit être un minimum, peut encore s'éta- blir sans recourir au calcul des probabilités, comme il suit.

Lorsque le nombie des inconnues est égal au nombre des observations, on peut déterminer les premières de manière qu'elles satisfassent aux secondes. Mais lorsque le premier nombre est le plus petit des deux, on ne peut obtenir un accord absolu lorsque les observations ne sont pas douées d'une précision absolue, Il faut donc dans ce cas chercher à établir l'accord le plus satisfaisant, c'est-à- dire à faire en sorte que les différences soient atténuées le plus possible. Mais cette idée a par elle-même quelque

( i33 ) chose de vague. Eu effet, quoiqu'un système de valeurs dei inconnues doive être sans aucun doute préféré à un autre système où toutes ces différences seraient respectivement plus grandes, le choix entre deux systèmes dans Tun des- quels l'accord serait plus satisfaisant pour quelques-unes des observations, mais moins satisfaisant pour d'autres, est en quelque sorte arbitraire, et Ton peut évidemment pro- poser plusieurs principes par lesquels la première condi- tion soit remplie. En désignant par A, A', A", etc., les différences entre le calcul et les observations , on satisfera à cette condition, non-seulement si A'^-h A'^-h A""-i-. . ., devient un minimum (ce qui est notre principe), mais en- core si A'' -h A'^ 4- A"^ H- . . . , ou A'' 4- A'*' -f- A"6 -f- . . . , ou généralement une somme de puissances paires, devient un minimum. Mais de tous ces principes le nôtre est le plus simple, tous les autres nous entraînant dans des calculs extrêmement compliqués. Au reste, ce principe, dont nous avons fait usage dès l'année 1793, a été donné dernièi^e- ment par Legendre dans ses JYoui^elles méthodes pour la détermination des orbites des comètes , Paris, 18065 on trouvera dans cet ouvrage plusieurs conséquences que le désir d'abréger nous a fait omettre.

Si l'exposant de la puissance paire dont nous venons de parler était infini, nous serions ramené au système dans lequel les plus grandes erreurs sont moindres que dans tout autre système.

Laplace se sert, pour la résolution d'équations linéaires en nombre plus grand que les inconnues, d'un autre prin- cipe, proposé d'abord par Boscovich, savoir, que la somme des valeurs absolues des difterences devienne minimum. On peut facilement démontrer que le système des valeurs des inconnues trouvé par ce seul ()iinci[)(î doit nécessaire- ment (*) satisfaire à autant d'é(piali(jns , prises parmi les

( *) Exccplé quuhiucR cas sjxiciaiix où il y a iiidiloiininalion.

( ï34 ) proposées, (pi'il y a d inconnues , de sorte que les autres équations ne sont employées que pour décider le choix que l'on doit faire.

Si, par exemple, l'équation V = M est du nombi^c de celles qui ne sont pas satisfaites , le système des valeurs trouvées par le principe en question ne serait pas altéré si au lieu de M on avait observé une autre valeur N telle, que, n étant la valeur calculée, les différences M — az et ]N — n fussent de même signe. Au reste, Laplace tempère en quelque sorte ce principe en y ajoutant cette nouvelle con- dition, c|ue la somme des différences, prise avec leurs signes, soit nulle. Il en résulte que le nombre des équations satisfaites est moindre d'une unité que le nombre des in- connues : mais l'observation que nous venons de faire sub- siste encore lorsqu'il n'y a que deux inconnues.

NOTE IL

APPLICATION DE LA MÉTHODE DES MOINDRES CARRÉS A LA CORRECTION DES ÉLÉMENTS DE LA PLANÈTE PALLAS.

M. Gauss a donné, dans le tome I des Mémoires de Gottingne , l'application de sa méthode à la correction des éléments de la planète Pallas. L'illustre géomètre ayant développé sur cet exemple l'algorithme indiqué plus ])riè- vemenl dans son grand ouvrage Theoria Moins Corporuin cœlestium (a'o//'la Note précédente) , nous avons cru devoir traduire ici cette portion de son Mémoire. La première partie exigeant la connaissance approfondie de la théorie du mouvement des planètes, nous nous dispenserons de la reproduire , et nous prendrons pour point de départ les douze équations auxquelles les corrections des six éléments de l'orbite doivent satisfaire.

{ ï35 ) Ell désignaul ces corrections par

dL, d7, cItz, (!(}), dQ, di,

les équations obtenues par M. Gauss sont les suivantes :

o = — (83", 93 -t- o, '59363 dL -h 143,66 d7 + o,394q3d7r

-h o , 95920 d'f — 0,1 8856 d Q +0,17 387 d / ; o = — 6",8i — G ,02658 d Z + 46, 7 1 d7 + o ,09.658 d 77

— o,2o858dcp -ho, 16946 d Q -I- I .3.5782 di; o = — o",o6 + o,5888odX + 358,i2d7 4-o,262o8d-

— 0,85234 do -ho, i49i2d Q -h 0,17775 d/; o z= — 3", 09 -f- o , o 1 3 1 8 d L -h 28 , 39 d7 — o , o 1 3 1 8 d 77

— 0,07861 d'^ -h 0,91704 d Q -h o, 54365 d/; o=r — o",02 -h I ,73436dZ:H- 1846,17 d7 — 0,54603 d7T

— 2, 05662 d y — o, i8833dQ — o, i7445d/; o = — 8", 98 — o, i26o6dZ. — 227 ,42 d7 -h o, 12606 diz

— o,38939d(p + 0, 17176 d (^ — 1 ,35441 ^1''; 0= — 2",3i -h 0,99584 di-f- 1679, o3 d7 -h 0,06456 dr:

-h 1 ,99545 dtp — o,o6o4o d Q — o, 33750 d/;

o = -h 2",47 — 0,08089 d ■^ — ^7 5^'-d7 -h 0,080894177

— 0,09970 dip — o , 46359 d Çl -h 1 ,22803 di ; o =-h o",oi -h o,653i I dZ-h 1 329,09 d 7 -h o, 38994 d??

— 0,08439 dtp — o,o43o5d Çl -h o, 34268 d/;

0 = 4- 38", 12 — o,oo2i8dZ -h 38,47 ^'^ + 0,00218 d 77

— o , 1 87 I o d tp -h o , 47 3o I d ^ — 1 , 1 4 37 I d / ; 0 = — 3 17", 73 -h 0,69967 dL-{- 1719,32 d7 -h o, 12913 (Itt

— i ,38787 d'p -h 0,17 i3od Q — o,o836od/i o z=-h 1 17 ",97 — o,oi3i5 dZ — 43,84 d7 -h o,oi3i5 d77

-i' o,02929d'pH- I ,o2i38d Q — 0,27187 di.

D après la nature des obser\ atioiis (jui ont lounii la dixième de ces équations, elle inspire trop peu de confiance pour qu'on jui;;e utile de la faire intei-venir, et c'est d'après les onze antres seulement que Ton déterminera les six in- connues.

( i36) Les explications suivantes sont littéralement traduites du Mémoire de M. Gauss.

Dans l'impossibilité où nous sommes de satisfaire exac- tement aux onze équations proposées , c'est-à-dire d'an- nuler tous les seconds membres, nous chercherons à rendre la somme de leurs carrés aussi petite que possible.

On aperçoit facilement que si l'on considère les fonc- tions linéaires

H -\- ap -\- bq -\- cr •+• ds -\- . . .= (v, n' H- a' p -^h' q -^ c' r -i- d' s + . . . = w', „"-i.a"p -hb"q-h c"r-h rf".v -}-... = w".

les équations qu'il faut résoudre pour rendre

il=: w''-h w'^-^ IX'"\ . .

un minimum, sont

aw -\- a' iv' -h a" w" -\- . . . = o ,

bw -\- h' w' -\- h" w" -^ . . . = o , C(V -\- c' w^ -\- c" w" -\~ , . .=: o ,

ou , en posant , pour abréger,

an -h a' n' -\- a" n" -f-. . .= {an) , a^ -^-a"" -ha"' -h.. .= (aa), ab -ha'b'-ha"b"+... = {ab),

b^^b'^ -hb"' 4- = {bb),

bc-hb'c'-hb"c"^ =z{bc),

P-) 9? f-) ^■> *i^^'^ devront sedéterminer par les équations sui-

{ i37 ) vantes :

[an) -^[aa)p-\- {ab)q -}-(«c)r-{-. . . = o, {hn) + {ab)p + {bb)q + [bc)r ^ . . . = o , [en] -\- [ac] p -{- [be) q + [cc) r +, . . = o,

L'élimination, très-pénible lorsque le nombre des incon- nues est considérable, peut se simplifier notablement de la manière suivante. Outre les coefficients [an], (aa),etc..

[dont le nombre est - [i^ -{- 3/) , si le nombre des incon- nues est z ] , supposons que l'on ait calculé la somme

n'+n'-h «"■ + . .. = (««); on voit facilement que l'on a

il = [nn) -h 2{an)p + 2{bn)q •+- 2{cn) r -\-. . . -h {aa)p'^-+- 7.[ab)pq + "2. [ac] pr -\- . . . -\-{bb)q''-\- 2{bc)qr -^ i{b(l)qs -h. ■ . -+- (ce) r^ + 2 [cd) rs -h • ■ ;

et, en désignant

{nn)-\- [aa) p -+- [ab)q+. . .

A' par A , tous les termes de -, r qui contiennent le facteur p.

^ [aa] ^

se trouvent dans l'expression ^, et, par suite,

A^ [an)

est une fonction indépendante de p. C'est pourquoi, en posant

,1 N [on) [bu) [an) [en)

( ï38 )

' [an) ^ ' ^'

ou aura

ii r- = ( «rt , 1 ) 4- 2 ( Z/W , 1 ) (7 + 2 ( C« , I ) r + 2 ( f/fl , I ) i . .

-+- [bb ,\) ff- ~\- l[bc , \) qr -\- li^bd, ï] qs

4- [ce , i) /-^H- 2 [cd ., I ) /-^

nous désignerons cette fonction par £L' . De même , en posant

{bn,i)-^{bb,\)q + {bc,i)r ..= B,

la différence

B^

il'

{bb,x)

sera indépendante de q-^ nous la représenterons par QJ' . En posant, de môme,

. {bn,i){bc,i) .

et

( C« , 2 ) + ( ce , 2 ) /• + ( Cy/ , 2 )*+... = C ,

la différence

il"- ^

sera une fonction indépendante de r.

( ^39 ) En continuant ainsi , nous formerons une suite d'expres- sions n, il', 12", etc., dont la dei^iière sera indépendante des diverses inconnues, et repi'ésentée par (tzm,^), sip. désigne le nombre de ces inconnues ; nous aurons alors

A^ B^ C^ D= , / ^

[aa] [bb ,i) [ce , i) [dd,3)

On prouvera facilement que Cl étant une somme de carrés

et ne pouvant devenir négative , les diviseurs [aa], [bb, i), (ce, p.), etc., sont tous positifs. (Nous supprimons, poui- abréger, le détail de la démonstration.) D'après cela, la va- leur minimum de fî correspond évidemment aux valeurs des inconnues, pour lesquelles

A = o, B ^= o , C = o,...,

et, en commençant à résoudre le sysième par la dernière é({uation , qui ne contient qu'une inconnue, on trouvera les valeurs de p, fj, r. 5, etc., sans avoir aucune élimination à effectuer. La méthode donne, en même temps, la valeur minimum de fi, qui est [nu , p.).

3.

Appliquons ces principes à notre exemple , dans lequel /?, q, /', 5, etc., sont remplaces par dZ, d7 , d?:, d(j), d Q , ai. J'ai trouvé, par des calculs exécutés avec soin :

[nn) = i4884«'>, [ne) =r — 0,0934'î,

[an) =r. — 37 I . 09 , ( rtr/ ) = — ■.>. , ?.85 1 G ,

[bn) z=z — 58oio4, [fia] = — o,346(j4,

[en] = — Il 3, 45, {(if) = — o,i8i()4>

[fin) z= + 2(38,53, [bù) = + io834î?.5,

[en] =4-9'î,?.6, (be) = — 49,06,

(/«) .= -31, 81, [bd) =-309.9,77,

(aa) = + 5,9i5G<), (be) = — 198, ()4,

[ab] = 4- 79.03,9. [h/] =— 143,05,

(ce) = + 0,719x7

[cd) =+ 1,1 3382,

[ce] = +• o , 06400 ,

{^/)- =-+- 0,26341 ,

(dd) = -f- I 2,oo34o ,

(de) = — 0,37137,

(df) = — 0,11762,

(ee) =-+-2,28215,

(ef) = — o,36i36,

(//) = + 5,62456.

D'où l'on déduit :

{nn,i) =-1-125569, lbn,i) =— 138534, (c«,i) =— 119,31, {dn,i) =: — 125, 18, {en,i) = + 72,52, {fn,i) = — 43,22, {bb,i) =-1-2458225, {bc,i) = -h 62,13, lbd,i) =-5io,58, (ie,i) =-h2i3,84, ib/,i) = + 73,45, (cc,i) = + 0,71769, {cd,i) =+ 1,09773, {ce,i) =^ — o,o5852, (c/,i) =-+-0,26054, {dd,j) =-^ II ,12064, {de,\) — — o,5o528, (rf/,i) — -0,18790, {ec,i) =-1-2,26185, (f/,i) =—0,37,202,

(//",!) =+5,61905.

De la même manière :

(««, 2) = -+- 1 17763, (f«, 2) = — I i5,8i , (</«, 2) = — 153,95, {en, 2) = + 84,57,

( Mo )

0,2) =— 39,03, (ce, 2) = + 0,71612, (cd, 1) = + 1,1 io63, [ce,-?.) = — 0,06392, (c/,2) = + 0, 25868, (rfrf, 2) = + I I ,01466,

[de,-!) = — 0,46088, [df, 2) = — 0,17265,

(ed?,2) = + 2,24325, (e/, 2) = — 0,37841, (//,2) =+5,61686.

D'où :

(//«,3) = + 99034, (<r/«, 3) = + 25,66, (e//,3) = + 74,23, (■//i,3) = + 2,75, (VW, 3) =-|- 9,29213, (f/^,3) = — 0,36175,

(r//, 3) =-0,57884,

(t'f, 3) = -h 2,23754, (./, 3) =-0,35532, (//,3) = + 5,52342.

De même :

(««,4) =-+-98963, (^-«,4) = + 75,23, 0, 4) = + 4,33,

[ee, 4) =-l- 2,22346,

(^/, 4) = — 0,37766, (//, 4) = + 5,48798.

D'où :

(««, 5) = H- 964^8, (/«, 5)= -F 17,11, (//,5)=-+- 5,42383.

D'où enfin :

(////, 6) = -1- 96364.

( i4i )

Nous avons donc les six équations suivantes :

o = + 17",! I -I- 5,4'?383 d/,

o = -h 75",23 H- 2, 22346 dQ — 0,37766 d/,

or=H- 25",66 +g,292i3d!p — o,36i75d Q — o,57384d/,

o = — I i5",8i -f-o,7i6i2d7r +i,iio63d«p — OjOÔSgad^ -h o, 25868 d /,

o = _i3854" +2458225 d7 +62,i3d77 ~o,5io58do + 2i3,84dQ -i-73,45d^

o = —371", 09 4- 5, 91569 dZ -f- 7203,91 d7 — o,oo344d7î• — 2.2o5i6dç — 0,34664 d Ç^— 0,18194 d/;

d'où Ton déduit :

d/ = — 3",i5;

dÇl = - 34",37;

dy =— 4"j29;

d77 = -f- i66",44J

d7 =-h o",o54335; d Z = — 3",o6.

Telles sont les conections qu il faut apporter aux élé- ments trouvés d'abord pour la planète.

NOTE m.

MÉMOIRE SUU LA DÉTERMINATION DE LA PRÉCISION DES OBSERVATIONS,

PAU M. GAISS.

(Extrait du Zcilschrijt fur Astronomie und Vcrwandir Wissenschqficii , tome I , page i8â.)

Pour établir les piineipes de la méthode des moindres carrés, nous avons .idniis (juc la probabilité (Tinje <'rreur

( i42 )

d'observation A soit exprimée par la formule

h — h^ A» Vît

où t: représente la demi-circonférence, e la base des loga- rithmes hyperboliques, et h une constante que l'on peut con- sidérer [^Thcoria Motus Corporwn cœlestiwn , art, 1^8 ('*')] comme la mesure de l'exactitude des observations. Il n'est pas nécessaire de connaître la valeur de h pour déterminer, à l'aide de la méthode des moindres carrés, les valeurs les plus probables des quantités dont les observations dépen- dent, le rapport de l'exactitude des résultats à l'exactitude des observations est également indépendant de h.

Toutefois, comme la connaissance de la quantité h est très-intéressante et instructive, je vais montrer comment les observations peuvent servir à la déterminer.

Commençons par quelques remarques qui éclaircirojit la question, et représentons par 0 (?) l'intégrale définie

f

Quelques valeurs particulières de cette fonction donneront

une idée de sa marche :

^ = 0,4769363 = p et = 0,5

?= o,5g5 1 161 = pX 1 ,24? 790 0^=0,6

f= 0,732 8691 = p X I ,536 618 &t^=:o,']

/^ =: 0,906 1939 = p X 1 .900 o32 (?)t = 0,S

t=\ =0X2,096716 0^=0,8427008

t = 1 , 1630872 = p X 2,348664 0? = 0,9

/ = 1,821 3864 = p X 3 , 8 1 8 930 0 ^ = o , 99

t = 2,327 6754 — p X 4^880 475 et = 0,999

t = 2,75i 0654 = p X 5,768 204 0^ = 0,9999

t = CO = Xi 0^= I

(*) Voyez page 1 19 de ce volume. l- I<.

( ^43 ) La probabilité que l'erreur d'une observation soit com- prise dans les limites H- A et — A; ou, abstraction faite des signes, qu elle ne surpasse pas A , sera égale à

elle sera le double de l'intégrale en question , lorsque celle- ci est prise depuis x= o jusqu'à a: = A, et, par consé- cpient, elle sera égale à 0 (/« A).

Ainsi la probabilité que l'erreur ne soit pas moindre que

•T est ésale a -■> ou éiiale à la probabilité du cas contraire.

J'appellerai donc cette quantité j l'erreur probable , et je

la désignerai par /•.

Au contraire , la probabilité que Terreur excède rx 2,438 66"4 n'est que de ^ ; la probabilité que l'erreur surpasse rx 3, 818390 n'est que de ^70 5 ^^ ainsi de suite.

Supposons maintenant que les erreurs de m observations réellement faites soient a, |3, y, etc., et clierclions quelles conséquences on en peut tirer relativement aux valeurs de h et r.

En faisant deux hypothèses sur la valeur exacte de // , et la supposant égale à H ou égale à H', les probabilités qu'elles soient entachées des erreurs a, p , y, etc., seront, pour les deux cas, dans le rapport de

H 6-""'^ X H r- "' -' X H 6-""'>" X . . .

"„>

H't- "'''-'" X H'*?-" '''■ X n'c-" ■>" X

c'est-à-dire comme

jjm^,-!l'(a'-^-,VH -■/-(- ..) ^,^^.^ n'"' ,.- H'^ v.-*- ^3'h- /-+-..) ,

Il est é\idciit que le^ |>r<'babili(é^ (Hn- lion USoiciil les

( i44 ) véritables valeurs de /z, sont dans le même rapport [^Theo- ria Motus Corporum cœlostiwn , art. 176 (*)]•, par consé- quent la probabilité d'une valeu*^ quelconque de h est pro- portionnelle à

h"^ e " ''"■ ^ "'"+" f'^'^ V"'"*" • • • )

et la valeur de h la plus probable est celle pour laquelle cette fonction devient un maximum. Mais on trouve par les règles connues que h est alors égal à

/

donc la valeur de r la plus probable sera alors

v^=^

-hp'+f + ...)

ou

0,6744897 X \/^(='' + P'+ 7' + ---)- Ce résultat est général , que m soit grand ou petit.

11 est facile de comprendre que les valeurs trouvées pour h et pour r sont d'autant moins certaines que le nom- bie m est plus petit.

Développons maintenant le degré d'exactitude que Ton doit attribuer aux valevirs de h et de r lorsque m est un nombre considérable.

Désignons par H la valeur de h la plus probable que nous avons trouvée ,

v/;

et remarquons que la probabilité que H soit la véritable valeur de /^, est à la probabilité que (H + },) soit cette véri-

(*) Voyez paf[(! iifi do ce volume. J. B.

{ ^45 ) table valeur daus le rapport de

m m ( H + ;. )'

h'".. ^ à (H-f-X)'".^ ^S"""'

ou comme

Le second ternie ne sera sensible par rapport au premier que si — est une petite fraction , et, dans ce cas , nous pour- rons remplacer le rapport indiqué par

1 : e

/r m

Ce qui veut dire : La probabilité que la valeur véritable de /i soit comprise entre (H -h ?.] et (Il -f-X -|-r/X) est ap- proximalivcnicnt égale à

Ke "' r/A, où K est une constante telle, que Tiiilégrale

/

prise entre les limites admissibles de X, devienne égale à runilé.

Comme dans le cas actuel, à cause de la grande valeur ;' m

de m , c devient excessivenu'iii petit lorsque — cesse

d'être une petiu; IVaelioii, il sera permis de prendre l'in- tégrale depuis — CO jusqu'il -f- oo , et l'on obtient

- = ii\/^-

Par conséquent , la piobabilité (jue la véritable valeur de h o. lo

( '-1^ )

soit comprise enlro (H — X)ct(H-f-^), sera égale à

et sera égale à - lors{[ue — V"^ = p-

Il y a donc un contre un à parier (jue la véritable valeur (le h soit entre

n(^-4=r\ et h(i-{- ^

ou que la véritable valeur de /■ soit entre

R R

— et

où R désigne la valeur la plus probable de r trouvée dans l'article précédent. Ces limites peuvent s'appeler les limites prohahlcs des 'véritables 'valeurs de h et de r. 11 est évi- dent que nous pourrons admettre ici pour limites probables de /' :

R ( i ^—\ et R ( I +

\l m J \ sjm

5.

Dans la discussion précédente, nous avons considéré a, P, y, etc., comme des quantités définies et données, afin d'é- valuer la probabilité que la véritable valeur de h ou de r soit comprise entre certaines limites.

On peut envisager la question sous un autre point de vue, en admettant que les erreurs des observations soient soumises à une loi déterminée de probabilité*, on peut alors évaluer la probabilité pour que la somme des carrés de ni erreurs d'observations tombe entre certaines limites. La- place a déjà résolu ce problème dans le cas où m est un

( i47 ) nombre très-grand, ainsi que le problème de déterminer la probabilité que la somme de m erreurs d'observations tombe erjtrc certaines limites.

Il est facile de généraliser cette recherche; je me bor- nerai à indiquer ici le résultat.

Désignons par o (.r) la probabilité d'une erreur d'obser- vation X , de manière que

£

çp X . (Ix = I . Désignons encore par K„ la valeur de l'intégrale

j <f X .x" dx.

J — CO

Soit ensuite

S„ = a" -H j3" 4- y" -I- . . ,

OÙ a, (3, y, etc., représentent ni erreurs quelconques d'ob- servation; les termes de cette somme seront tous pris posi- tivement, même si n est impair.

mK„ sera alors la valeur la plus probable de S„, et la probabilité que la véritable valeur de S„ tombe entre les limites (mK„ — X) et (mK„4-X) sera égale à

\

par conséquent, les limites probables de S„ seront

m K„ - r^ s/2/»(K,„ — k;J et

/// K„ -f- (. s/^i{K:,. — Kl) .

Ce résultat s';q)pli(jue , d'une manière générale, à toute loi des erreurs d'observntion. Fn r.ippliquanl au cas parti- culier où

yx — -- e " ' ,

V7T

( »48) nous trouverons

l^-n = 5

II" \J7Z

OÙ le signe caraclénslique IT est pris dans la signification des Disquisiiiojies générales circa serieni infinilaiii (*) [Comni. nov>. Soc. Gotting., tome III; M. 5, ail. 28.)

Ainsi

K =1, K,= '

h v/tt

Kj = ;- 5 K3 =

_ 1.3.5 _ 1.0.3

par conséquent la valeur la plus probable de S„ sera

mn\ (/? — i)

/t" y/rr

et les limites les plus probables de la véritable valeur de S„ seront

n — I

2 l r^VxUn-L),^^

et

n — 1 mU

(*) D'après la notation adoj)téc par un graïul nombre do {jéomctrcs, on aurait

n (h)^ r("-t '-•

J. B.

( 149 ) Donc, si nous posons comme ci-dessus

où r représente l'erreur probable d'observation , la valeur la plus probable de

sera évidemment r^ et les limites probables de la valeur de cette quantité seront

et

4,-'' /ir"-(^ii^_„i

II y a donc aussi un contre un à parier (|uc /• soit compris entre les limites

/// 11 et

P _ /

tu II

h rn(^-|).v/^ 1

Pour w = 2 , CCS limiit'S seront

et

( i5o ) ce qui s'accorde parfaitemenl avec celles que nous avons trouvées art. A.

Eu général ou aura, si n est pair, les limites

f n y m \_ i .6.5. . [n — i) J )

et

y m I

S„

,3.5.7... (" — 0 et si n est impair, les limites suivantes :

S„ v^

ni .1 2 . J

et

s„.V^

/« . ! . 2 . 3

( p / I fl .3.5.7. .. (« ')^ Il

J'ajoute ici encore les valeurs numériques pour les cas les plus simples :

( »5i )

Limites probables de r.

I. 0,845 3473 X-

m

II. 0,6744897 X

III. 0,577 ^^97 X

IV. 0,5 r 2 5017 X

V. 0,465 5532 XW

VI. 0,429 4972 X y J^

s,

m m m

o,5o9 584i 0,476 q363 \

'-— 7^,-j =

, — o>497_i9^7\ . slm )

o,55o 7 186

s/m

o ,635 5o8o •h=. 7-^ —

^m

j _ 0,7557764 \J m

On voit eniore, par cette comparaison, «[ue la deuxième manière de déterminer /• est lu plus avantageuse; car cent erreurs d'observation, traitées d'après celle formule, don- ncjit un résultat aussi sûr que

114 erreurs d'après la formule I;

109 1* » ., « III;

i33 « » " - IV;

178 » ...» i> V;

25 1 » .. » -. VI.

Cependant la formule 1 présenle l'avantaye de se prêter le mieux au calcul numérique; et comme son degré d'exacti- tude est peu inféi'ieur à celui de la formule II, on peut tou- jours s'en servir, à nxoins que l'on ne connaisse déjà la somme des carrés des eri'eius ou (ju'on désiie la connaître.

7.

Le |ir()(«''dé sulvani csl ciicctrc plus ( ommode, mais beau- coup moins (.'xact.

(l52)

Ordonnons par ordre de grandeur les valeurs absolues des tn erreurs d'observalion , et désignons par ÎNI le terme du milieu si leur nombre esl impair, ou la moyenne aritli- métif[ue entre les deux termes dn milieu si leur nombre est pair.

On peut démontrer (ce que nous ne ferons pas ici) que, pour un grand nombre d'observations, la valeur la plus probable de M est r, et que les limites probables de M sont

^(— v^>

et

ou que les limites probables de la valeur de /' sont

et

ou, en nombres

M

0,7520974%

Ce procédé n'est, par conséquent, pas beaucoup moins exact que Tapplicaliou de la formule M, et il faudrait mettre eu compte 249 erreurs d'observation pour obteuir un résultat aussi certain qu'en appliquant la formule II à cent erreurs d'observation.

8.

L'application de ces métbodes aux erreurs commises dans 48 observations des ascensions droites de l'étoile Polaire,

( ^53 ) par Bessel (*), a donné

S, = 6o",4t>> s. = I io",6oo, Sj = 25o",34i 1 1 8.

De là on a déduit les valeurs les plus probables de /• :

D'après la formule I. i",o65, Erreur probable =±o", 068,

II. i",o24> " =dbo",070,

» III. i",ooi, » =±o",072,

et d'après l'article 7. i ",o45 , » =zt: o", 1 1 3 :

concordance de résultats qu'on pouvait à peine espérer. Bcssel donne i'\o6y et semble, par conséquent, avoir cal-" culé d'apiès la formule I.

NOTE IV.

APPLICATION DU CALCUL DES PROBABILITÉS A L^' PROBLÈME DE GÉOMÉTRIE PRATIQUE.

(Extrait d'une Lettre de M. Gauss à M. Schumacher; Asironomische Nachrichian , tome 1, pajjc 80. )

D'api ès votre; désir, je vous envoie les règles relatives à l'emploi (le la niélbode des moindres carrés dans la solution du problème suivant :

Déicnniner la position et un point d'api ès les angles horizontdux ohseivcs de ce point entre d'autres points exactement connus.

Cetle question , irès-élémcntairc, ne peui embaiiasser ceux qui ont bien saisi l'esprit de la rnélliode des moindres carrés, .le dévcloppci-ai néanmoins les formules auxquelles

f * ) BoDi , innudirf attronomii/ui- pour |H|S , page q3/|.

{ ^54 )

elle conduit, en faveur des personnes qui auraient à traiter la question pratique sans avoir été à même d'étudier cette théorie.

Soient a ex, b les coordonnées de l'un des points donnés; nous supposerons que l'on compte les x positifs du nord au sud et les y positifs de l'ouest à l'est; soient x et y les coordonnées approchées du point inconnu et dx, dy les corrections encore inconnues qu'il faut leur attiibuer. Dé- terminons deux quantités et et /• par les formules

b — y a — X b — r

tarii'©^ —5 r = =:^ — — —•,

a — X cos (p sin cp

çp étant pris dans vin tel quadrant , que la valeur de /' soit positive.

Posons de plus

206265" (b — r) „ 206265" [a — x)

a= \ =^S p= -^ '-'

L'azimut du premier point est alors, pour un observateur placé au second (en prenant o pour azimut d'une parallèle à l'axe des x),

les deux derniers termes étanl exprimés en secondes.

Soient (f', a', /3' les quantités analogues à (j?, a, |3 et re- latives au deuxième des points donnés, cp", a", |S" celles qui se rapportent au troisième, et ainsi de suile. Supposons que, pour les mesures angulaires prises au point dont la position est inconnue, on ait fait usage d'un théodolite sans répétition, dont on dirige successivement la lunette vers les points connus, sans changer la place de l'instrument lui-même. Si A, A', h" sont les azimuts observés, on aurait, en supposant les ob ervations rigoureusement exactes, et dx^ dj exactement connus,

y _ /; ^_ ydx + ^dy = ?' — II' H- a-'dx -H ^' dy

' ' ^ ^ — -" //" H- 0L"dx H- {ydy .

( '^^ )

Si donc on éerit que trois de ces différences ont la même valeur, on trouvera des valeurs approchées pour dx et dy^ si l'on n'a observé que trois points, il n'y a rien de plus à faire; mais si le nombre des points considérés est plus grand, les erreurs seront le mieux compensées, en prenant la moyenne de ces diverses expressions (i), égalant à zéro la dilïérence entre chacune d'elles et cette moyenne, et cippli(|uant à ces équations la méthode des moindres carrés.

Si tontes les mesures sont indépendantes les unes des autres , chacune d'elles fournit une équation entre dx et dy^ et il faut combiner ces équations par la méthode des moin- dres carrés, en ayant égard , si l'on veut, à l'inégale préci- sion des observations.

Soient, par exemple, / l'angle compris entre le premier et le deuxième point, i' Tangle compris entre le second et le troisième, et ainsi de suite, en comptant toujours de gauche à droite; on aura les équations

ç'— :j, — /• + («'— 'x)(Ix -t- (p'— B)f/7 = o, ^"_ <p' — /' + ( a" -x')dx+[ S"— p' ) dy = o.

Si les diverses mesures ont le même poids, on déduira de ces équations deux équations normales, en les ajoutant, après avoir successivement multiplié chacune d'elles j)ar le coefficient de dx ou par celui de dj.

Si , au contraire, les mesures des angles sont d'une exac- titude inégale, et, pir exemple, la première soit fondée sur fjt et la seconde sur ^' répétitions , il faut que, dans les deux (as, et avant leur addition, les équations soient encore mulli[)liées par fx, p', etc. ; on trouve ensuite dx ^ dy^ etc., par l'élimination entre les deux équations normales ainsi trouvées.

(Les préc(;[)les qui précèdent soni seulement destinés aux personnes auxfjuelles la méthode des moindres carrés est encore inconnue et [)our les(|uelles il sera peut-être bonde rappeler (|ue, dans les mnliipli< .liions, les signes de et' — «,

( i56)

p' — (3, etc., doivent être rigoureuseineni conservés. Enfin, je remarque encore que l'on a seulement en vue de com- penser les erreurs commises sur les angles , les coordonnées des points donnés étant supposées exactes. )

Appliquons les indications qui précèdent aux observa- tions ([ue nous avons faites en commun sur le Holkensbas- tion , à Copenhague. Je dois prévenir que les résultats ne peuvent être ici d'une exactitude rigoureuse. Les points ob- servés étant très-rapprochés de la station, une inexactitude de quelques dixièmes de pied sur leur position peut exercer une iiifluence beaucoup plus grande que les erreurs habi- tuellement à craindre sur les angles mesurés. On ne s'éton- nera donc pas que la meilleure compensation des angles laisse subsister des différences beaucoup plus grandes que celles que l'on peut admettre comme possibles dans les ob- servations de même nature. Cette application doit être prise comme un exemple de la marche à suivre dans d'autres cas.

Angles mesurés du Holkensbastion.

Fried lichsberg — Petri 73» 35' 25." ,8;

Petri — Erlosersthurm i 04.67 . 33 ,0;

Krlosersthurm — Friedrichsberg. 181.27. 5",o;

Friedriclisberg — Fraueuthurm . . 80 . 87 . i o" , 8 ;

FraïK'nllnu'iii — Friedrichsthurm. loi.ii 5o",8;

Fi-ie.lrichsthurm — Fricdrichsberg 178. 11. i",5.

Coordoii lires des divers points en pieds de Paris, l'origine étant à l'Observatoire de Copenhague,

Petri 487 »7 -*- '007»7;

Frauenthurm 710,0 -i- 684,2;

Friedrichsberg .... 243o ,6 + 8335 ,0 ;

Erlosersthurm 2f)4o,o — 3536, o;

Friedrichsthurm. . . 3o5g,3 — 223 1 .2.

Les coordonnées approchées du Bastion sont

X = ~{- 2836,44» y=-h 444,33,

( ^57 ) et nous trouvons ainsi les azimuts :

Petri i66°3o' 42", 56+ i9,92f/x+ 83,o4^/

Fruenthurm l'jS. 33.5o",54 + io,Sodx + g5,78f/7

Friedrichsberg 92. 56. 29", 4^ + 26, 07 d'à: + i,34^j

Erlosersthurm 271 . 29. 25" ,38 — 5i ,']C)dx — i ,35rfJr Friedrichsthu^m . . . a.'j^.i\5.^i" ,/^S — ']6,56dx— 6,38rfj-.

L'angle sous lequel on voit la distance de Petri à Friedrichs- berg est, par suite,

73°34'3",io — 6, i5a?x+ 81.70^/7;

en l'égalant à l'angle observé, on a

— 79", 70 — 6, i5f/^ 4- 8i,']odf = o.

On obtient, de la même manière, les équations sui- vantes :

69" ,82 — 7 1 , 7 w/jr — 84 , 39 r/j =r o ,

9", 08 H- ']'] ,86dx -+- 2,6c)dy=o,

o",28 — ï5,2'] dx -+■ 94,44*^6' = 0»

o",o4 — 8'j,36dx — io2,i6rfj=:o,

— 3" , ^2. -{- X 01 ,63 dx -+- 7,72r/j = o.

En supposant les observations également précises, on déduit de là les équations normales

29640 dx -4- 1 4o33 dj= 4 ' 68", i4o33^/x +332igfl[y= i2383",

et, par suite,

dx =z — o , o5 , r/j = o , 40 ;

les coordonnées du Bastion sont donc

2836 , 39 ,

444,73.

Les diflérenccs cuire les valeurs obscixéo des angles cl celles que l'on calrnlcrait d'après ces 1 exultais soul trop gi'andes ])our (jn'on puisse les attribuer aux erreurs d'ob- servalion 5 elles lieiinenl , (oiiiuie nous Tav uns d'il , à un dé- (anl de précision dans l.i delerininalion des |i(iinls ronuus.

( '58 )

Les roordonnécs x et )', adoptées coninic premières ap- proximations, ont été déduites directement du ([uatrièrae et du cinquième angle Quoique la mélliode directe doive être considérée comme un sujet presque épuisé, j'indiquerai néanmoins , pour compléter, la méthode que j'ai 1 habitude d'employer en pareil cas.

Soient a et b les cooi'données du premier point connu ^ celles du second seront de la forme

rt -f- R cos E , /; -+- Pv sin E ,

et celles du troisième,

fl + R' CCS E', /; 4- R' sin E'.

Soient

« -f- p CCS c , b -}- p sin s

les coordonnées cherchées du point d'où l'on observe ; soient M l'angle observé (toujours de la gauche à la droite) entre le premier et le deuxième pointy et M' l'angle observé entre le premier et le troisième (en supposant qu'on en ait, s'il y a lieu, retranché i8o degrés) ^ soient

R R'

= fi 1 —■ — :rr; = '' »

sinM sinM

E — M = N , E' — M' = N' :

on a les deus équations

p = n sin [s — M) , p =«' sin(£ — N'):

qui, écrites de la manière suivante,

sm (£ — ]N)

"~s"-n(£ — N')

se résoudront par la méthode exposée [Thcoria Motus Corporum cœlcstiuni , page 82).

L'une des solutions exposées en cet endroit conduit à la

( ï39 ) règle suivante. Soil n' plus grand, ou au moins pas plus pelit que n , ce qui est évidemn*ent permis, puisqu'on peut choisir le second point arbitrairement; posons

n

— = tangi:, n

tangi(^-'-N)

tany ( 45" — Ç )

tane

& V

£r=-(N' + N) + -A;

Ê étant connu , l'une des équations , ou même encore toutes deux, fourniront la valeur de p.

Dans notre exemple , si nous considéi'ons Frauen- thurm comme le premier point, Friedrichsberg comme le deuxième et Friedrichslhurm comme le troisième, nous aurons :

(7 =T '^ I o , o , i = 684 . 2 ,

E^yyng'Si'jQ?.. E' = 3o8"5i'45",77 ,

logR = 3, 8944205, log R'^ 3,5:33549,

M= 99" 22' 5o",'.'o, I\r = 101" I i'5o",8o, N = 337" 56' 42", 72, N' =207" 39. 54", 97, log « z= 3,9002650. log// =^ 3,5817.019.

// étant plus grand que //, nous changerons ici l'ordre et nous poserons

N = 207" 39' 54" , 97 , N' = 337" 56' 4 2" ,72, log« = 3,5817019, log n' = 3,9002650;

.011 en déduit

-.= '9' 39' 3 ",87, ■^ = 80 . 4 5 . 3 1 " , 69 , ■ z= 353 .33.5o",53, log f> = 3 , 3303990 ;

et les cooidonnées dn llolkcnsbaslinn .

2.836,441, 444, 33o.

( i6o )

NOTE V.

SUR LA DÉTER^IINATION CHROXO.ArÉTRIQUE DES LONGITUDES.

[Astronomischd Nachrichten , tome V, page 227.)

Soient 0, 0', 0", etc., les époques (au nombre de 77), auxquelles un chronomètre a accusé les diflerences «, a', a", etc., avec les temps des lieux dont les longitudes sont x, x', a:", etc., 6, 0', 9", etc., étant supposées réduites au temps d'un seul et même lieu et u désignant l'avance jour- nalière du chronomètre 5 ou aurait, si l'instruraeiil était parfaitement régulier, les équations

a — 0 M — X -=: a' — G' « — x' =z a" — 9" u — x" ■=^. . . .

Pour que ces équations suffisent à la détermination des in- connues x, x\ j:",.--5 "î '1 faul, d'une part, considérer l'une des longitudes comme donnée, et, d'autre part, il est néces- saire que l'on ait observé au moins deux fois dans le même lieu-, de telle aorte que deux au moins des inc onnues x , x', x", etc., soient égales entre elles. Si parmi ces quantités il n'y en a que deux qui soient identiques, le problème est entièrement déterminé 5 dans le cas contraire, il devient indéterminé, et l'on doit faire en sorte que les étjuations

o = « — «' 4- ( 9' — Ô) « — X -\- x' , o = rt' — a" + (9" — 9' ) « — .r' + x" , o = a"— «'"+ ( 9'"— G") u — x"+ x'",

soient satisfaites aussi exactement que possible, car les imperfections inévitables du chronomètre ne permettront jamais de satisfaire rigoureusement à toutes. Mais on ne doit pas accorder à ces équations des poids égaux; car les

quantités

a — a' + (9'— ^) II — X -\- x', rt'— «" + (9"— Q')u — x'-\-x",

( x6, ) représentent l'accumulation de tous les écarts de marche des chronomètres dans les intervalles d' — 9, Q'' — G', etc., et s'il s'agit d'un bon chronomètre, à qui Ton puisse réelle- ment attribuer une marche moyenne sans variatiou crois- sante dans un seul sens , la valeur moyenne à craindre pour une pareille somme peut être considérée comme propor- tionnelle à la racine carrée du temps écoulé.

On devra donc, dans l'application de la méthode des moindres carrés, regai'der les équations précédentes comme ayant des poids inversement proportionnels aux dillerences 6'—e, Q"—B\ e"'—ô",eic.

La solution n'a alors aucune difficulté, et fournira les valeurs les plus probables de x, x\ x'\ etc., ainsi que le poids de chaque détermination.

J'ajouterai pourtant quelques remarques.

I. Si la première et la dernière observation ont été faites au même lieu, la valeur la plus plausible de u est celle qui résulte simplement de la comparaison de ces observations extrêmes. Le calcul devient alors très-simple, car, en vertu d'un théorème bien facile à démontrer, on peut, dans les équations, remplacer u par sa valeur la plus plausible, ou, ce qui revient au môme, on peut employer celte valeur supposée exacte pour corriger les observations et les rame- ner à ce qu'elles seraient avec un chronomètre fictif dont l'avance serait nulle.

IL Si l'on a attribué simplement aux diverses équations des poids égaux à

I I I

9'_(j' 0"— 0' r/"_o"

I unité de précision pour les poids obtenus sera rexactiliidt! de celle que l'on obtiendrait à l'aide i\u même chronomètre observé deux fois seulement, et à un jour d'intervajle; mais pour pouvoir eoniparer h;s résullals obtenus à l'aitle <le divers chronomètres in(''i;.»leiiHiil pK-ris, il f.iut encore in-

( 'C. )

trodiiirc dans le résnhat un facteur qui dépejidc de la plus ou de la moins grajide perfection de chaque chronomètre oniployé.

Pour y parvenir, je suppose que les expressions

a — rt' 4- ( G' — ^i) n — .r -|- x\ n' — a" -\-{ 0" — G' ) M — x' + x",

deviennent respectivement X, X', l'\ etc., quand on substi- tue aux inconnues leurs valeurs les plus plausibles, soit

ô' — 9 Q"— G' G'"— G" '

si V est le nombre des inconnues et que l'on pose

=^

le facteur spécifique relatif à chaque chronomètre est pro-

portionnel a — j ou a ? et Ion peut regarder ni

comme l'écart de la marche moyenne qui est à craindre pour la marche d'une journée.

m. Les règles qui précèdent sont relatives à un chrono- mètre dont la marche n'est soumise à aucune irrégularité sensible et croissante avec le temps. Si cette hypothèse n'é- tait pas permise, on pourrait supposer, lorsque les observa- tions n'embrassent qu'une période qui n'est pas excessive- ment considérable, une variation proportionnelle au temps dans l'avance journalière de l'instrument, en introduisant ainsi une inconnue de plus.

Les équations prendraient alors la forme suivante :

G = a — rt' + (G' — G) /f H- (G'- — G') V — .r + x',

IV. Pour ce qui concerne la résolution des équations d'après la méthode des moindres can es, il n'est peut-être pas inutile de rappeler qu'on doit commencer, dans le plus grand

( »63 ) nombre des cas , par calculer les valeurs approchées des in- connues et appliquer ensuite la méthode à la détermination des corrections très-petites que les valeurs doivent subir.

Il nous a paru utile de rappeler ce conseil général, parce (jue beaucoup de calculateurs ont paru l'oublier, et ont été conduits à des calculs plus laborieux et peut-être moins exacts .

J'ai déterminé la marche des cinq chronomètres suivants :

Greenwich, 3o Juin 3.22 25 Juin. 2. i5

28 » 3.13

2 Août 1 . i5

17 » 10.18

25 » 7.27

10 Sept. 7.40

Ilelijolaiid, 3 Juill. 3./|0

22 .1 I2./|0

5 Août I ..^8

11 >i 1 3 . y 3o » 19. 3o

(i Sept. 3. 6 7 « 8./,2

Alloua

f) Août 5.55

() » 12.35

3i .. y. 57

4 Sept. 22. 12

i'.ii'inc, i3 Août

-8.17,,/, 10.44,39 II. 0,69 11.28,48

12.59,40 13.47,98 15.24,4

— 40. 8,00

4-2. 2,02 43.18,11 43.35,77 45.53,08

46.51,56 46.38,7,

— 5i .38,95 5i .57,35 .54.10,33 54.39,16

— 47.50,65

		4
		' " 1
■+•	I	. 2	■^7
	1	.32	i5
	I	.36	96
	1	..14	44
	2	. 6	24
	2	..5	84
	2	40	36

BKEGUET

3o56.

-1-30.59,75

3o.5o,

07

-30.26,84 3o. 3,89 39.43,35 29.33,43

••^9- 7.96 28. 58, y.', 28.56,71

-37.55,76 37.50,03 37.21 ,3o 37.15,21

—33.16,49

3o.3i ,78 29.35,69 29.10,48

0.20,34 1.10,24 1.32,75 2.40,67 3. 4.55

- 9.28,50 9.38,81 10.56,68 1 1 . i5,3()

— 5.2!{,37

BARBALD 904.

+48.29,20 48.40,24

48.58,8- 49.57,83 50.27,1 5

-16.47,39 17.37,51 18. i,3o 19.17,03 19.43,80

-+- 9-2^) i-"^ 9.40,30 1 1 . 5, 92

"•■'4)49

h 1 4 • ^ ' ) 86

KESSEL 1252.

-t-5o. 29,31 5o.3y, 6y 5o.52,i4 5i. 38,66 52. 2,45

-18.48,39 19.26,77

•9 •47'-" 20.47,68 21. 6,56

-11 i(), '5 11.27,761 i2.:>:>,(jG, 12.4^, 10

■16. 5,83

Prenons pour exemple le chronomètre de Brcguet 3o56. Soient o la lorif;iuide de H('li;<ilaiid, — x ccllcde (ireenwicli, j' cclk' d'Allona. Je ne fais pas entrer celle de Ihèiue dans le calcid , car ii'a\aiit pour cette ville qu'une seule obser- vation , il est iiujins.^ible de la i uiiltùlcr. Je coiMitlr le temps

( '64 ) à partir de la première comparaison du chronomètre n** i (Greenwich, 3o juin, 3*" '22""). En substituant au chrono- mètre de Rreguet un instrument fictif dont l'avance soit nulle, nous trouvons :

22,4	-L.	60,20 ;
25,0	+	'949.^0 — ^;
28,0	^-	1950,87 — u: ;
32,9	+	I gSo ,29 — X ;
35,9	-f-	59,08;
37,1	—	434,98-+- j;
40,4	—	433,49 -H 7;
42,4	+	59,88;
48,3	H-	1949,60 — x ;
56,2	+	1952,74 — x;
61,6	-f-	61,3?.;
62,2	— -	432,53 + j;
66,8	—	434,98 + 7;
68,0	+	60, 19.
Dans les équations ci-	dessus, les inconnues x cl j sont
séparées, ce qui facilite leur	détermination; nous trouvons
pour X quatre déterminations :
		POIDS.
1889,40		— - = o,38; 2,D
1 89 I , 2 I		^ — = o,o3; 3,0
1889,78		5,9^"'""
1891 ,42		3^ = o.,9;

d'où l'on déduit :

X — 1890", 36 1 ,07

on trouve de même :

7=z 494",, 2 3,83.

{ x65 ) D'après ces valeurs, le chronomètre fictif marquera, en temps de Helgoland,

22,4

25,0 28.0 32,9 35,9

37.1 40,4 42,4 48,3 56. a 61,6 62,2 66,8 68,0

60 , 20 ; 59,24 — 0,96

60, 5 1 -+- 1 ,27 59,93 — o,58 59,08 — 0,85 59, 1 4 H- 0,06 60, 63 -I- I ,47 59,88 — 0,75 59,24 — 0,62 62,38 + 3, 14 61 ,32 — 1 ,06 61 ,59 -h 0,27

59, 1 4 — 2,45

60, 19 -h I ,o5

d'où l'on déduit

S =6,00,

-•?

3-1' et Terreur moyenne à iraindre est :

pour X, <>",75 ; pour r , o",4'>-

]-es résultats Iburnis par les cinq chronomètres donnent

Breguct /: = 1890,36

Kessel 1 893 , 39

Barraud. ... 1892,32

I 1 892 , 39

4 1892,52

Moyenne., jc = 1892,35

KI'.I.EUR MOYE.NNC :i craindre.	POIDS.
0,75	.,78
0,67	2,23
0,49	4,16
0,43	5,4'
0,35	8,16

M

( i66 ) on trouve de même, pour y :

Breguet. . . . . j= 494>i2 o,io 6,25

Kessel. ... . 49^,89 o,36 7,72

Earraud. ... 493,67 0,21 >4>79

» 493 ,98 o , 29 1 r , 89

4 494 1 16 o,a4 17,36

587o« Le nombre placé sous le nom de poids dans la dernière colonne, est l'inverse du carré de Terreur movenue à craindre, en prenant ainsi , pour poids unité, celui qui cor- respond aux observations qui donnent une erreur moyenne à craindre égale à 1", de sorte que, pour Altona, Terreur

\" moyenne à craindre est -— = ^" •>^^'') niais il vaut mieux

v58,oi

considérer les nombres de la dernièi'e colonne comme indi- quant seulement des rapports , et déduire la précision ab- solue de la différence entre les valeui^s des derniers résultats trouvés pour a: et y au moyen de chaque clironomèti'e. La précision trouvée de cette manière sera toujours un peu trop grande, puisque les déterminations de temps à Greenwich, à Helgoland et à Altona n'ont pas une précision absolue, et que, par conséquent, quel que soit le nombre des chro- nomètres, les erreurs qui proviennent de cette source se feront toujours sentir dans chaque résultat final.

On peut obtenir, de la manière suivante, la longitude de Brème.

Soit z cette longitude à Test de Helgoland -, Ja comparai- son du chronomètre de Brcguct donne la position du chro- nomètre fictif,

— i65",5-2H-3,

et Ton déduit de la comparaison avec les résultats précé- dents,

POIDS. Il I

1 ,4

( ^67 ) les autres donneraient

POIDS. 3=224,76 y— ==0,1

225,24 0,C)

Le poids 0,9 doilètre miilliplit- par -. ; les cinq clirono

mètres donnent :

Breguet 226 ,24 i , 5

Kessel 225,84 ' 59

Barraud 225,89 ^'^

I 226,04 2,9

4 224,86 4,3

225, 4^ 14 5 2

La longitude de Brème , qui serait , d'après cela , 268", 54 à l'ouest d'Altona, est naturellement alfectée des erreurs sur la détermination du temps à Brème, et cette différence semble trop petite de plusieurs secondes. D'après mes trian- gulations, la tour de Ansgarius est de 2^3", 5 1 en temps à l'ouest de Gutlingue, et l'observatoire d'Olbers à 271", 9.

FI«.

^^.hr;^^- ^