az alte Ka BER Se ET RTEN EORSEENEZPBIEIOIRIFE FOR EDVCATION FOR SCIENCE LIBRARY OF THE AMERICAN MUSEUM OF NATURAL HISTORY an NET ae NOVA ACTA AUADEMIAE CAESAREAE LEOPOLDINO-CAROLINAE GERMANICAE NATURAE OURIOSORUM. TOMUS XC. CUM TABULIS XXIV. Abhandlungen der Kaiserlichen Leopoldinisch-Carolinischen Deutschen Akademie der Naturforscher. 90. Band. Mit 24 Tafeln. Halle, 1909. Buchdruckerei von Ehrhardt Karras in Halle a. S. Für die Akademie in Kommission bei W. Engelmann in Leipzig. HN R a a (LREdA | ve D Fr N f or BERRBBRDR u2 1212 2 Tr LE Ei 1 5% = ‚la Ka 2 r 2 Bi ; | | Je. de 0. N tar 2 si Seiner Majestät Wilhelm Il. Deutschem Kaiser und Könige von Preufsen ihrem hohen Schirmherrn dem erhabenen Gönner und Beförderer aller wissenschaftlichen Arbeit des deutschen Volkes widmet die Kaiserliche Leopoldinisch-Carolinische Deutsche Akademie der Naturforscher diesen neunzigsten Band ihrer Abhandlungen durch den Präsidenten Dr. Albert Wangerin. Inhalt des XC. Bandes. I. Rudolf Schimmack: Axiomatische Untersuchungen über die Vektoraddition . II. D. Vorländer und H, Hauswaldt: Pabsanikie, Maier Krystalle . ; RE er eh II. Niels Nielsen: Der Eulersche Dilogarithmus und seine Ver- allgemeinerungen . : IV. Wilhelm Kreh: Über die ee der Lebermoose S. 1— 104. S. 105—120. Taf. I-XIX. S. 121— 212. S. 213—312. Ta Vorstand der Kaiserlichen Leopoldinisch-Garolinischen Deutschen Akademie der Naturforscher. Gegründet am 1. Januar 1652. Deutsche Reichsakademie seit dem 7. August 1687. Präsidium. A. Wangerin in Halle a. S., Präsident. | J. Volhard in Halle a. S., Stellvertreter. Adjunkten. I. Kreis: J. Hann in Wien; | VII. Kreis: M. H. Bauer in Marburg. E. Mach in Wien: IX. Kreis: E. H. Ehlers in Göttingen. G. Stache in Wien. X. Kreis: K. Brandt in Kiel. U. Kreis: E. Wiedemann in Erlangen; XI. Kreis: J. Volhard in Halle. R. Hertwig in München. | XII Kreis: BE. Haeckel in Jena. II. Kreis: K. B. Klunzinger in Stuttgart. | XIM. Kreis: ©. Chun in Leipzig; IV. Kreis: A. Weismann in Freiburg. F. Marchand in Leipzig. V. Kreis: G. A. Schwalbe in Stralsburg. XIV. Kreis: A. Ladenburg in Breslau. VI. Kreis: R. Lepsius in Darmstadt. XV. Kreis: ©. A. Jentzsch in Berlin; VI. Kreis: E. Strasburger in Bonn. H. Waldeyer in Berlin. Sektionsvorstände und deren Obmänner. I. Mathematik und Astronomie: VI. Zoologie und Anatomie: moin Bu Dune, Obmann; | F. E. Schulze in Berlin, Obmann; R. Helmert in Potsdam; | E. H. Ehlers in Göttingen; G. Cantor in Halle. II. Physik und Meteorologie: | M. Fürbringer in Heidelberg. E. Riecke in Göttingen; | VII. Physiologie: Ere an ‚en; | S. Exner in Wien, Obmann; J. Hann in Wien. | Venen in Kiel III. Chemie: | J. von Kries in Freiburg. ©. Wallach in Göttingen, Obmann; H. Landolt in Berlin; VIII. Anthropologie, Ethnologie und Geo- J. Volhard in Halle. | graphie: IV. Mineralogie und Geologie: | G. C. Gerland in Stralsburg, Obmann; F. Zirkel in Bonn, Obmann; | A. Penck in Berlin; H. Credner in Leipzig; | J. Ranke in München. W. Branca in Berlin. wedeane IX. Wissenschaftliche Medizin: H. G. A. Engler in Dahlem-Steglitz bei | E. von Leyden in Berlin, Obmann; W. ©. von Leube in Würzburg; H. Waldeyer in Berlin. Berlin, Obmann; S. Schwendener in Berlin; Graf zu Solms-Laubach in Stralsburg. te Ki EN NOVA ACTA. Abh. der Kaiser]. Leop. Carol. Deutschen Akademie der Naturfofscher. Band XC. Nr.1. | Axiomatische Untersuchungen über die Vektoraddition. Von Rudolf Schimmack. Eingegangen bei der Akademie am 26. Mai 1908. HALLE. 1908. Druck von Ehrhardt Karras, Halle a. S. Für die Akademie in Kommission bei Wilh. Engelmann in Leipzig. ke h Horte ae Se FB BR R. ur Er A B ne en ee eg een Inhalt. Seite Einleitung: Allgemeines über Axiomatik; Stoffordnung (| 1—5). -. ». .» 2... b) Zur Lehre der Funktionalgleichungen. I. Studium der Funktionalgleichung f@ +2) — f@)+f = (SI62 To) eo 1. Vorbereitende Sätze ($ 7”—9) . . ». ... Bo TEN BEE) 2 Dierallgemeime@lösungt(splO 1a) rs 7, 3. Hinzunahme von Nebenbedingungen ($ 14—15) . . . 2 2 2 2 22... 22 I. Weiteres über Funktionalgleichungen ($ 16—25) . . . . N 2D 1. Die Funktionalgleichung f(& + x) — af(&«) +bf(«‘) + € & 181) a 2D 2. Der Zusammenhang vier fundamentaler Funktionalgleichungen ($ 18—21) . 28 3. Über den Charakter der Lösungen gewisser Klassen von Funktionalgleiehungen ED EL a a Er ER Ro ET Von der Vektoraddition. III, Beweisgang des Satzes der Vektoraddition nach Darboux 5 26 353) 236 1. Definitionen; Axiomsystem ($ 26—27) . . . .. IT NEE ANNO 2. Folgerungen aus den ersten fünf Axiomen ($ 9833). En aa Re 38 3. Hinzunahme der übrigen Axiome ($ 34—35). . . 2. 2. 2 0 2....045 IV. Kritik des Darbouxschen Beweisganges ($ 36—46) . . . .. naar es :48 1. Frage der Unabhängigkeit und Sukzessivität der Axiome ($ 3639) ana ds 2. Abänderungen des Axiomsystems (S 40—46). . . . RR Al V. Beweisgang des Satzes der Vektoraddition nach Siacei ($ 4757) UNE SE HIT REL Dr, 1. Axiomsystem, Folgerungen aus den ersten sechs Axiomen ($ 47—5l) . . 57 2. Hinzunahme der. übrigen Axiome ($ 52 —80) .. nu en 26 VI. Kritik des Siaceischen Beweisganges ($ 58—62) . . . . . Ta BE Bor Ann LorT 1. Nachweis einiger Abhängigkeiten im Axiomsystem ($ 5860). Sen NOT, 2. Frage der Unabhängigkeit und Sukzessivität der Axiome ($ 61—62). . . 71 VII. Bemerkungen zu einschlägigen Arbeiten von G. Hamel und F. Schur (8 63— 71) 74 1. Vorbemerkung; ein unrichtiger Unabhängigkeitsbeweis bei Schur ($ 63— 66) 74 2. Ergänzung zu einem Satze bei Hamel; ein allgemeiner Abbildungssatz (ET EN VIII. Darlegung der zu Denutzenden Feaerkkiteeen @ 72-81) ee: TEN) 1. Pseudoadditionen zur Untersuchung der Axiome I, III ($ 7274) el) 2. Pseudoadditionen zur Untersuchung der Axiome IV, V ($ 75—78) . .. 94 3. Pseudoadditionen zur Untersuchung der Axiome VI bis VIII ($ 79—81) . 101 1* Stellennachweis über die Bezeichnungen der Axiome, Sätze und Pseudoadditionen. Seite Seite Axiom 1 (SET) 80 Psendoaddınongrssz( TS) Er een... 0. a K' (SS) 02 2 Bar). 2 22.0 BT Re @iae), 2 BEIN EaT). 2 OT (SB), re N (307: 3 Ve (840). 2 Me 2.4888): 1 ee BI) ee 5 ” m N? ER 1 ne ee en BE a Se m. Mr 827) all mes KE29) et AS) re 0 RT BEN) ET EEE 20 di nr NIE (S AO): 56 nA (880), 0 Fe 40 n VII S42 7) ee: Bl | a RBO) SE ae ee nee 41 = LWVIIIO 2 (SAD SORABB). 1 r h ao, VIE. SS AA et Eee nee et RNIT: DS OS) ee nn ed 3 EB ee EI VAT NS 03) a 7A I N N „NINE (S EZ) 57 2: 102 RBB ah a Bsendoaddition A (872) „2... 7907) VBatza17 (8 AB) EEE ER E5T 3 A'= (& 72)UUyRA ab. tNigi er grBABy et ee E BESTE 9 zn A AB) ee S OO NN 05 52,8 48) MINE u re 3 CSA umalER Moss 293 zur ge (gig) IT en | D., (So eg trat, (Braga) OR ee s ES TO 95 4 (850) ur ae. RE E FTD. en r9ß. I 1150 Kr) Aare ae FU Ko) eu 499. yes 1 GE iKsirB)T oe 18 31100 | euer ee h EANSTTE) n 0er NS a re N GurKS Tyan. 29. 100 „64:18 5Aylie, I. Built : GH IOLT,|. +, 6% (SS). et H ($ 79) 101 376, GEH). ed Saale Mes Fistso)) WIE al 3 64856) missen Mo Pr ea „rzt( Say kam ee Ee Einleitung. Seit zweihundert Jahren zieht sich durch die mathematische Literatur das Problem, den Satz vom Paralielogramm der Kräfte zu beweisen. Über die zahlreichen Versuche, des Problems Herr zu werden, kann man sich auf Grund des Enzyklopädieartikels von A. Vo/s über „Die Prinzipien der rationellen Mechanik“') und nach den dort angeführten älteren Referaten’) unterrichten. In der vorliegenden Arbeit soll es darauf ankommen, das Problem vom heutigen Standpunkte der Axiomatik zu betrachten. Wir verstehen unter Axiomatik den Inbegriff gewisser Aufgaben, die sich bei der Untersuchung der Grundlagen eines ganzen Gebietes oder eines einzelnen Satzes darbieten, und gewisser Methoden, die man zur Ent- scheidung der dabei auftretenden Fragen benutzt. Eine erste Aufgabe, wenn es sich um eine strenge Grundlegung eines Satzes oder einer Gruppe von Sätzen handelt, ist die genaue Formulierung der Voraussetzungen, aus denen sich jener Satz bezw. jene Sätze rein deduktiv ergeben. Wir nennen die Voraussetzungen „Axiome“. Die Aufstellung eines Systems von Axiomen unterliegt stets einer erheblichen Willkür. Die Axiome sind nicht absolut gegebene „unbeweisbare“ Grundsätze, sondern sind die nach Maßgabe der Zweckmäßigkeit und des Geschmacks gewählten Endpunkte eines Prozesses, irgendwoher gewonnene Sätze immer weiter in Bestandteile zu spalten, — eines Prozesses, der unbegrenzt fortsetzbar zu denken ist. Gleichwohl wird man bei der Aufstellung eines Axiomsystems 1) Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften IV 1, Leipzig (Teubner) 1901/08. 2) I. H. Westphal, Demonstrationum compositionis virium expositio, de iisque iudieium, Gottingae 1817; C. Jacobi, Praecipuorum inde a Neutono conatuum, compositionem virium demonstrandi, recensio, Gottingae 1817; A. H. C. Westphal, Über die Beweise für das Parallelogramm der Kräfte, Göttinger Dissertation 1868. g2. 6 Rudolf Schimmack, gern als subjektive Leitsätze diese nehmen: die Axiome sollen, einzeln ge- nommen, nicht offenkundig mehr postulieren als für den jeweiligen Zweck nötig: und die Axiome sollen so weit gespalten sein, daß sich nicht aus einem allein schon ein wesentlicher Schluß ziehen läßt. An zweiter Stelle pflegt man das System der Axiome vornehmlich der Forderung der Unabhängigkeit zu unterwerfen — d. h. es soll sich nicht ein Axiom aus anderen des Systems deduzieren lassen. Diese Forderung hat einen objektiven Charakter, und die Frage, ob ein Axiomsystem ihr genügt, verlangt eine präzise Beantwortung. Um die Unabhängigkeit der Axiome voneinander zu beweisen, bedient man sich der folgenden Methode Man konstruiert ein System von Sätzen bezw. einen einzelnen Satz, bei dem alle Axiome außer einem einzigen erfüllt sind; durch die Existenz eines solchen Systems bezw. Satzes ist dann die Un- abhängigkeit des einen unerfüllten Axioms von den übrigen, die erfüllt sind, dargetan. Und so entsprechend mit jedem Axiom des Systems. Wir bemerken noch: Die allgemeinste (!) Aussage, die alle Axiome außer dem jeweiligen einen erfüllt, kann durch Kombination der zu erfüllenden übrigen Axiome erschlossen werden. Da es für die Unabhängigkeitsbeweise aber jedesmal nur auf die Angabe eines speziellen (!) Systems bezw. Satzes an- kommt, so wird man bei der Aufsuchung eines solchen häufig von vorn- herein geeignete Spezialisationen eintreten lassen. Axiomatische Untersuchungen sind unentbehrlich geworden, wo es auf die Klarstellung der Grundlagen mathematischer Aussagen ankommt. An den Gebieten der Geometrie und der Arithmetik hat sich die Axiomatik entwickelt und bewährt. Aber auch bei speziellen Sätzen wird bisweilen eine axiomatische Behandlung geboten erscheinen, insbesondere bei solchen, deren geschichtliche Entwicklung geradezu auf eine genaue Prüfung der Grundlagen hinweist. Hierher gehört ohne Frage der Satz vom Parallelo- gramm der Kräfte. Übrigens ist nicht gemeint, daß mit der axiomatischen Untersuchung eines Satzes oder eines Systems von Sätzen alles beantwortet sei, was berechtigtermaßen über den Satz bezw. die Sätze gefragt werden kann. Vielmehr liefert die Axiomatik dies und nur dieses: Der und der Satz ist dann und nur dann richtig, wenn die Axiome es sind (und wenn die Logik Axiomatische Untersuchungen über die Vektoraddition. 7 es ist). Über die Herkunft und über die Richtigkeit der Axiome wird so wenig etwas bewiesen als behauptet — wie man denn auch darin, daß die Axiomatiker gern die Axiome als willkürliche Festsetzungen bezeichnen, nur die reinliche Scheidung dessen, womit es die Axiomatik zu tun hat, von den übrigen hier bleibenden Fragen zum Ausdruck gebracht sehen möge. Besonders aber wird zu dieser reinlichen Abtrennung bei der axiomatischen Untersuchung häufig eine etwas formalistische Ausdrucksweise zweckmäßig sein. Wir werden daher im folgenden auch, anstatt von physi- kalischen Kräften und ihrer Zusammensetzung zu einer Resultante, allgemein von „Vektoren“ und deren „Addition“ sprechen. Wenden wir uns nach diesen allgemeineren Vorbemerkungen unserem speziellen Gegenstande zu: der axiomatischen Begründung des Satzes der Vektoraddition — d.h. des Satzes, der angibt, daß aus je zwei gegebenen Vektoren ihre sogenannte Summe nach der bekannten Parallelogrammregel zu bilden ist. Wir können die Aufgabe nach dem Gesagten folgendermaßen formu- lieren: Es soll ein System von Axiomen angegeben werden: I, II, ..., N, aus denen sich, wie zu zeigen ist, der Additionssatz streng deduzieren läßt. Die Behauptung der Deduzierbarkeit schreiben wir so: I, D,..., N > Additionssatz. Und von dem System der Axiome verlangen wir die Erfüllung der früher angegebenen subjektiven und objektiven Forderungen. Die Erfüllung der letzteren, der Unabhängigkeitsforderung, ist zu beweisen. Die Behauptungen, daß sich keines der Axiome des Systems aus den übrigen deduzieren läßt, schreiben wir so: N I, aa galt das aD. N Ihre Richtigkeit wird durch Angabe von Sätzen zu erweisen sein, die je eine Vorschrift zur Verknüpfung zweier Vektoren enthalten, bei welcher alle Axiome außer einem einzigen erfüllt sind. Solche von der Addition ver- schiedene Verknüpfungen von Vektoren, bei denen nicht alle Axiome der Vektoraddition erfüllt sind, bezeichnen wir als „Pseudoadditionen“. s3. s4. 8 Rudolf Schimmack, Wir fügen nun den bisher betrachteten Forderungen eine weitere hinzu — eine Forderung, die nur bei der Deduktion eines einzelnen Satzes aus einem System von Axiomen in Betracht kommt. Wir verlangen, daß die Axiome in der festgelegten Ordnung I, I, ..., N beim Beweisgange des Additionssatzes sukzessiv herangezogen werden sollen, und zwar in folgender Weise. Zuerst wird allein aus I, II etwas gefolgert; wir nennen das Erschlossene „Satz 1“; zudem wird bewiesen, daß 1 ohne I oder ohne II nicht folgt. Durch Hinzunahme von [II wird etwas weiteres gefolgert; wir nennen es „Satz 2“; zudem wird bewiesen, daß 2 ohne I oder ohne II oder ohne III nicht zu erschließen war.... So geht das fort, bis schließlich nach Heranziehung des letzten Axioms N der Additionssatz abgeleitet ist. Überdies verlangen wir, daß an jeder Stelle, wo zur Ableitung eines weiteren der Sätze 1, 2, 3, .... das nächstfolgende Axiom hinzugenommen wird, auch gerade die Hinzunahme eben dieses Axioms für den Beweisgang notwendig ist, während die Hinzunahme eines anderen Axioms des Systems nicht in derselben Weise weiterführen würde. Durch Erfüllung des damit Geforderten — wir mögen es als Forderung der „Sukzessivität“ bezeichnen — vermag man einen charakteristischen Zusammenhang zwischen Axiomsystem und Beweisgang zu schaffen, der für die Durchsichtigkeit der Deduktion ohne Zweifel von Vorteil ist und ein feineres Kriterium zur Beurteilung und Vergleichung verschiedener Beweis- gänge abgibt. Der Beweis des Additionssatzes aus den Axiomen wird sich nach dem Gesagten in folgendem Schema darstellen lassen: v1, Di BACH, Il, Di2 IIND. 3 Andererseits werden die negativen Behauptungen, die wiederum mit Hülfe von Pseudoadditionen zu beweisen sind, so lauten: pı en van. 2,01 Zum p2 »2 N»2 | 1er mAh ANenug Axiomatische Untersuchungen über die Vektoraddition. I I Ta ETITETY ID N; »3 eV; »3 U a ne Wir mögen an dem damit aufgestellten Arbeitsplan noch eine gering- fügige Abänderung anbringen, die in Rücksicht auf bequeme Formulierungen nahe liest. Es kann sein, daß der Satz 1 — der nach Definition alles für den Beweisgang Nötige enthält, was aus I und II zu folgern ist — selber aus mehreren Aussagen besteht, die wir zweckmäßig in einzelnen Teilsätzen formulieren. Ebenso die Sätze 2, 3,.... Wir bezeichnen diese Teilsätze wie folgt: Der letzte der Teilsätze überhaupt wird der Additionssatz selber sein. An Stelle der Behauptung, dab ein ganzer Satz „folgt“, tritt jetzt die, daß alle (!) seine Teilsätze folgen. An Stelle der Behauptung, daß ein ganzer Satz „nicht folgt“, tritt die, daß irgend einer (!) seiner Teilsätze nicht folgt. Der oben aufgestellte Arbeitsplan läßt sich daher in folgende Form bringen: DL, für jedes» —, u _D.1, für irgend ein » In 2 mn N DE en, | In ur, init > 2, für jedes » — IL MU D 2, für irgend ein » | ji EN ER TR EV NED TV >» 3, für jedes » —. 06 0 NY D 3, für irgend ein » LG: Dia aaa 2 E I, —, W DE, en m m T,orlEzsII; =; NIDDES CR, y An, Die letzte Gruppe dieser Behauptungen, die bis zum Adlditionssatz selbst hinführt, ist, wie man leicht einsieht, mit den in $ 3 formulierten Ö r ’ 7. 2 Nova Acta XC. Nr.l. Zu 10 Rudolf Schimmack, Behauptungen äquivalent. Man’ kann demnach, wenn es sich um die Ab- leitung eines einzelnen Satzes handelt, die Forderung der Sukzessivität der Axiome auch als eine Erweiterung der Unabhängigkeitsforderung ansehen. Auf Grund des so entwickelten Arbeitsplans werden wir die Unter- suchungen folgendermaßen disponieren. Die eigentlichen Untersuchungen über die Vektoraddition sind im dritten bis achten Abschnitt enthalten. Es sollen hier zwei Beweise des Additionssatzes dargelegt werden. Im dritten Abschnitt der Beweis nach G. Darboux'); der Gedanken- gang wird im ganzen derselbe sein wie im Original, es bedarf nur an einigen Stellen gewisser Abänderungen, auf die wir an geeignetem Orte zurückkommen. Der fünfte Abschnitt soll einen Beweis nach F. Siacer?) enthalten, der allerdings wesentlich exakter und breiter ausgestaltet ist als im Original. Wir bedienen uns der Bezeichnung „Darbouxscher“ und „Siaceischer*“ Beweisgang. Eine Hauptaufgabe der nachfolgenden Untersuchungen ist die Kritik des Darbouxschen und Siaccischen Beweisganges, bezüglich im vierten und sechsten Abschnitt. Hier wird den entwickelten Gesichtspunkten gemäß insbesondere zu prüfen sein, inwieweit die beiden Beweisgänge und die ihnen zugrunde liegenden Axiomsysteme den Forderungen der Unab- hängieckeit und der Sukzessivität genügen. Damit werden sich die Kriterien zu einem Vergleich der Beweisgänge bieten. Soweit die Kritik der genannten Beweisgänge und der zugrunde liegenden Axiomsysteme negative Aussagen enthält, bedarf es der Angabe von Pseudoadditionen. Wir werden diese, um den Gedankengang der Kritik nicht fortgesetzt unterbrechen zu müssen, im achten Abschnitt zusammen- stellen und uns in den früheren Abschnitten mit Hinweisen darauf begnügen. Die Kritik des Darbouxschen und des Siaccischen Beweisganges ist in einer Note des Verfassers vom Herbst 1903°) bereits angedeutet worden. 1) G. Darboux, Sur la composition des forces en statique, Bulletin des sciences math. et astron. 9 (1875), S. 2831— 288. 2) F. Siacci, Sulla composizione delle forze nella statica e sui suoi postulati, Rend. Acc. Napoli 1899, S. 69 — 78. 3) R. Schimmack, Über die axiomatische Begründung der Vektoraddition, Nachrichten d. Ges. d. Wiss. Göttingen (math.-phys. Kl.) 1903, S. 317— 325. Axiomatische Untersuchungen über die Vektoraddition. ul Gleichzeitig hiermit erschienen zwei Aufsätze — von den Herren G. Hamel und #. Schur —, die sich ebenfalls mit der Vektoraddition beschäftigen'). Die dort angestellten Untersuchungen sollen hier nicht ausführlich dargelegt werden. Es möge nach Angabe der wichtigsten Resultate der Zusatz einiger kritischer und ergänzender Bemerkungen im siebenten Abschnitt genügen. Die beiden ersten Abschnitte sollen dem Studium gewisser Funktional- gleichungen gewidmet sein. zu welchem die axiomatische Untersuchung der Vektoraddition an verschiedenen Stellen hinführt. Da der Gegenstand auch abgesehen von axiomatischen Betrachtungen etwas bedeutet, so mögen wir die Darstellung unabhängig von ihnen wählen. Wir werden uns dann im nachfolgenden häufig darauf rückbeziehen. Der erste Abschnitt speziell soll von der Funktionalgleichung handeln, auf die der Darbouxsche Beweisgang hinausläuf. Wir werden das Studium dieser Funktionalgleichung im Zusammenhange darlegen, wobei sich das wichtige von Herrn Hamel 1905 mitgeteilte Ergebnis?) über- sichtlich einreiht. Im zweiten Abschnitt sollen sich weitere Betrachtungen über Funktionalgleichungen anschließen. Sie gruppieren sich vornehmlich um drei Funktionalgleichungen, die mit der zuerst betrachteten eine gewisse formale Ähnlichkeit haben. Dabei wird sich Gelegenheit bieten, den Charakter der Lösungen dieser Gleichungen von einem allgemeinen abzuleitenden Satz aus verständlich zu machen. 1) G. Hamel, Über die Zusammensetzung von Vektoren, Zeitschr. f. Math. u. Phys. 49 (1903), S. 362— 371; F. Schur, Über die Zusammensetzung von Vektoren, ebenda, 8. 352— 361. 2) G. Hamel, Eine Basis aller Zahlen und die unstetigen Lösungen der Funktional- gleichung f(e+Y) —= f(«) + f(y), Math. Ann. 60 (1905), $. 459 — 462. s6. /ur Lehre der Funktionaleleichungen. Erster Abschnitt. Studium der Funktionalgleichung /(& +) = f&@) +/(«. Die Funktionalgleichung (ze +2) = f(©)+f(«‘), deren Lösungen in diesem Abschnitt zusammenhängend untersucht werden sollen, tritt nicht allein bei der axiomatischen Begründung der Vektoraddition auf, sondern man begegnet ihr nicht selten auch beim Beweise anderer fundamentaler Sätze. Legendre wird z. B. auf sie geführt, wenn er die Formel für den Flächeninhalt des Rechtecks aus gewissen einfachen Prämissen ableitet'). Die Überlegungen, die E. Mach in seiner „Mechanik“ über die Beweise des Hebelprinzips anstellt’), benutzen — mathematisch präzisiert — die Auflösung eben unserer Funktionalgleichung. Auch der Darbouxsche Beweis des Fundamentalsatzes der projektiven Geometrie’) läuft auf die- selbe Funktionalgleichung hinaus. In all diesen Fällen handelt es sich direkt genommen nicht darum, die allgemeinste Lösung der Funktionalgleichung aufzusuchen, sondern es kommt nur auf solche Lösungen an, die außer der Forderung der Ein- deutigkeit noch gewissen „Nebenbedingungen“ genügen. Im folgenden werden wir vorerst, um die erforderliche Allgemeinheit der Betrachtung zu erreichen, von allen Nebenbedingungen absehen und machen über die zu untersuchenden Funktionen f(x) allein die 1) A.M. Legendre, Elements de geometrie, 4. ed., Paris 1802, 8. 279. 2) E.Mach, Die Mechanik in ihrer Entwickelung, 4. Aufl., Leipzig (Brockhaus) 1901, 8. 16. 3) G. Darboux, Sur le theoreme fondamental de la geometrie projeetive, Math. Ann. 17 (1880), S. 55. Rudolf Schimmack, Axiomatische Untersuchungen über die Vektoraddition. 13 Voraussetzungen: Zu jeder Zahl x gehöre eindeutig eine Zahl f®; für jedes Paar von Zahlen x, x‘ sei die obige Funktionalgleichung erfüllt. „Zahl“ bedeute hier und im folgenden endliche reelle Zahl. 1. Vorbereitende Sätze, Zunächst einige einfache Betrachtungen, die uns die sämtlichen stetigen Lösungen der Funktionalgleichung liefern. Durch Schluß von » auf n+1 erkennt man mittels Anwendung der Funktionalgleichung sofort die Richtigkeit der Formel: finz) = nf(«) für beliebige Zahlen x und positive ganze n. Sei nun 7 eine positive rationale Zahl, so wird: «r(2e) — fa) = p-f@) oder re) — ro) und für 2=1: 3m Diese Gleichung muß aber für. alle (!) rationalen Zahlen gelten, denn aus der Funktionalgleichung ergeben sich sofort die Relationen: KO Ne) — iD) Soll speziell f(@) für alle z stetig sein, so muß die Gleichung, die für die überalldichten rationalen 1 gilt, für alle x bestehen: fo = fü). Wir formulieren daher zwei Sätze, denen wir sogleich noch einen dritten evidenten hinzufügen: Für alle rationalen m und beliebige x ist f(mx&) = m-f(x) und f(m) = m-f(1). Die einzigen totalstetigen Lösungen sind f(x) = (-2, wo C=f(1) eine willkürlich zu wählende Konstante bedeutet. Sind fı(@), f(@), --. Lösungen der Funktionalgleichung, so sind es auch die Funktionen, die man irgendwie durch Iteration erhält: $1. S®. 14 Rudolf Schimmack, ho) AA) --- HR) RAW) BR --- Da die einzigen totalstetigen Lösungen der Funktionalgleichung bereits bekannt sind, wird es sich um die Frage handeln, was für unstetige Lösungen die Funktionalgleichung besitzt. Wir behaupten: Eine unstetige Lösung f(©) kann nicht integrabel sein. Angenommen nämlich, es existiere für eine geeignete Zahl a die Funktion: T fro« Re), « so ergibt die Integration der Funktionalgleichung nach z von a bis z+a: z+a x+a freraas = frowtere Hierin ist einerseits: zc+a z+r2'+a fre+ as — [renas — Feet +0 Fra % z+a und andererseits: c+a C fro« — F(c-+a) also folgt: Fe +2 +) — Fe +a)—F(a'+a) = x-f()). Da aber in dieser Gleichung die linke Seite symmetrisch in x und x ist, so muß es auch die rechte sein, und man erhält: ee) 72703). Für alle von 0 verschiedenen Argumente ist daher: fa) _ 1a) % ha const., Axiomatische Untersuchungen über die Vektoraddition. 15 d.h.: f@) = 0+.%, worauf sich der Wert f(0) = 0 von selbst stetig einreiht. Setzt man also die Lösung /(«) als irgendwo unstetig voraus, so kann sie nicht integrabel sein. Wir behaupten weiter: Eine unstetige Lösung f(x) mu/s totalunstetig sein. Angenommen, f(«) sei an einer Stelle x, stetig, d.h. zu jedem posi- tiven e gäbe es ein positives d, sodal) fo +h)— fo) | 400% u Ur so erhält man die stetige Lösung f(«) = C-x. Für jede andere Wahl wird die Funktion in der früher geschilderten Weise unstetig. Bei dem Verfahren, das wir im. vorigen Paragraphen zur Kon- struktion der allgemeinen Lösung f() für eine abzählbare Menge von Argumenten angegeben haben, wurde von der abzählbaren Menge haupt- sächlich die Eigenschaft benutzt, daß sie wohlordnungsfähig ist. Axiomatische Untersuchungen über die Vektoraddition. 21 Nachdem Herr Zermelo bewiesen‘), daß jede Menge — also auch das Kon- tinuum der Argumente {x} — eine Wohlordnung gestattet, lag der Gedanke nahe, mit der sukzessiven Bestimmung der 'w über das Abzählbare hinaus- zusehen und damit für alle x eine Darstellung in der Form muatmWH+... zu gewinnen. Die genauere Ausführung des so an- gedeuteten Gedankens ist zuerst von Herrn Hamel?) angegeben worden. Das Verfahren ist das folgende. Das Kontinuum der Argumente {x} sei in bestimmter Weise wohl- geordnet. Wir bilden aus dieser Menge auf folgende Art eine gewisse Teilmenge: Wenn ein « in der Form x — mı0, EMS... darstellbar ist, wo die m rationale Zahlen und nur in endlicher Anzahl von Null verschieden sind und die & beliebige dem x vorangehende Zahlen be- deuten, so sei dieses x ein Element der Teilmenge; wenn x nicht so dar- stellbar ist, sei x kein Element der Teilmenge. Die so definierte Teilmenge sei in derselben Wohlordnung wie {x} fixiert und heiße {u} — u, %, - - -, ob- schon sie nicht abzählbar ist. Die Festlegung der ersten Elemente von {w) entspricht genau dem Auswahlverfahren des $ 12. Wir behaupten jetzt: Mittels der Teilmenge {u} ist jedes Element der Menge \x} in der Form mu Truman T:-:- darstellbar, wo die m rationale Zahlen bedeuten und nur endlichviele von ihnen von Null verschieden sind. Angenommen nämlich es gäbe Zahlen x, die sich nieht in der an- gegebenen Weise darstellen lassen, so müßten diese in unserer Wohlordnung des Kontinuums ein erstes Element z* haben. Dieses x“ kann der Teil- menge {„} selbst nicht angehören, ist also nach der Definition von {r} in der Form FF —_- m mm ..- !) E. Zermelo, Beweis, daß jede Menge wohlgeordnet werden kann, Math. Ann. 59 (1905), 8. 514—516. 2) in der eingangs ($ 5) zitierten Annalennote. g 14. 22 Rudolf Schimmack, darstellbar, wo die m rationale Zahlen und nur in endlicher Anzahl von Null verschieden sind und die x dem «* vorangehen. Die vorangehenden Elemente # sind aber sämtlich darstellbar in der Form x — m, WU +my ta + - ... wo die m rational und nur in endlicher Anzahl von Null verschieden sind; also müßte sich auch »* durch formales Einsetzen in dieser Form darstellen lassen, und das widerspricht der Annahme. Es sind also alle x des Kon- tinuums {x} in obiger Weise darstellbar. Die weiteren Überlegungen erledigen sich nun genau so wie im vorhergehenden Paragraphen, sodaß wir uns kurz fassen können: Die ge- wonnene Darstellung für die x ist auch eindeutig, und wir erhalten somit den Satz: Die allgemeine Lösung f(x) der Funktionalgleichung ist fa) = m fu) + my fu) ++. -, wo die Werte fu), (ww). .. . beliebig vorzuschreiben sind. Wählt man im besonderen ra) _ fin) Z WR ee u2 so erhält man die stetige Lösung f(x) = O-x. Für ‚jede andere Wahl wird die Funktion in der früher geschilderten Weise unstetig. Wir mögen im folgenden der Kürze wegen die allgemeine unstetige Lösung der Funktionalgleichung mit D(x) bezeichnen. Das ® soll auf den distributiven Charakter dieser Funktion — wenn man das Funktionszeichen als Operator auffaßt — hinweisen. 3. Hinzunahme von Nebenbedingungen. Wir haben bisher von den Lösungen f(x) der Funktionalgleichung nichts weiter als Eindeutigkeit verlangt. Bei Anwendungen ist es indes — wie schon bemerkt ($ 6) — bisweilen von Wichtigkeit, wenn f(«) außerdem noch Nebenbedingungen genügt. Axiomatische Untersuchungen über die Vektoraddition. 23 Inwieweit /(@) durch solche Nebenbedingungen genauer bestimmt sein kann, darüber ist einiges aus den vorhergehenden Sätzen sofort ersichtlich. So z. B.: Soll die Lösung der Funktionalgleichung stetig sein, so ist not- wendig f(2) = (0-x ($ 7). Durch Hinzunahme eines geeigneten Stetigkeits- postulats wird sich also in den früher angeführten Problemen, wo unsere Funktionalgleichung auftritt, sofort eine Bestimmung der Lösungen in der Form C-x ergeben. Ferner: Soll die Lösung der Funktionalgleichung in- tegrabel sein, so ist notwendig f(x) — (-x ($ 8). Soll die Lösung der Funktionalgleichung nicht in der ganzen Ebene überalldichte Darstellungs- punkte haben, so ist notwendig f(«) = C-x ($ 9). In dem letzteren Satz ist als ganz spezieller Fall der folgende enthalten: Soll die Lösung der Funktionalgleichung für positive Argumente nur positiv sein, so ist not- wendig f(@) —= (-x. Dies ist die Nebenbedingung, mittels deren es Darboux gelang, den Fundamentalsatz der projektiven Geometrie ohne Hinzunahme eines Stetigkeitsaxioms zu beweisen. Bei der axiomatischen Kritik des Beweisganges der Vektoraddition wird es sich weiterhin um die folgende Nebenbedingung handeln: fi) mu/s jeden Zahlenwert ein- und nur einmal annehmen, ohne doch von der Form C-x zu sein. Von der Erfüllbarkeit dieser Nebenbedingung hängt nämlich die Beantwortung der Frage ab, ob bei der Herleitung der Vektoraddition ein Stetigkeitsaxiom notwendig ist oder nicht. Es genügt dazu noch nicht der Nachweis, daß unstetige Lösungen der Funktionalgleichung überhaupt existieren‘). Gäbe es keine solchen, die zugleich der Nebenbedingung ge- nügen, so wäre die Vektoraddition ohne (!) Stetigkeitsaxiom abzuleiten. Nun, die Nebenbedingung ist in der 'Tat erfüllbar. Die Wahl der Funktionswerte f(w), f(@), ... wird zu dem Zweck geeignet einzuschränken sein; die Nebenbedingung ist ja z. B. sicher nicht erfüllt, wenn man vor- schreibt: Dee Bir io) on fürsallesübrisen.z. Die Nebenbedingung ist dagegen — so behaupten wir jetzt — erfüllt in dem folgenden Beispiel: 1) entgegen einer Bemerkung von Herrn Hamel, Math. Ann. 60 (1905), S. 459. 24 Rudolf Schimmack, Axiomatische Untersuchungen über die Vektoraddition. fu) = —-u; fi) = u für alle übrigen a. Ist nämlich %, eine beliebige Zahl und wir stellen sie nach $ 13 in der Form dar: yp—mmtmlm +... so ist offenbar no = Mm u TmWmH--- der Wert, für den f(x) = y wird. Gäbe es aber noch einen zweiten Wert x, für den ebenfalls f(x‘) = y, würde, so folgte aus der Gleichheit m uwtma+-... = mim tmaWm +... in derselben Weise wie in $ 12, dab sich das letzte der vorkommenden u in der Form ur = ma mim -+... darstellen ließe, und das widerspräche der Definition der «. Man kann übrigens die angeführte Nebenbedingung auch so aus- sprechen: Die zu der unstetigen Funktion f(x) inverse Funktion F(«) muß für alle x existieren und eindeutig sein. F(x) genügt dann, wie leicht zu sehen, ebenfalls der Funktionalgleichung. In dem zuletzt genannten Beispiel ist sogar die Funktion /() mit ihrer Umkehrung F«x) identisch; denn es ist ff@) = ®. Zweiter Abschnitt. Weiteres über Funktionalgleichungen. Es erscheint von Interesse, an das Studium der Funktionalgleichung des vorhergehenden Abschnitts einige weitere Betrachtungen über Funktional- gleichungen anzuschließen. 1. Die Funktionalgleichung (x +) = af@a) +bf(a)+c. Als eine naheliegende Verallgemeinerung der zuvor behandelten mögen wir zunächst die Funktionalgleichung fe +2) = afßa)+bf(@)-+ ec untersuchen, worin a, b, c gegebene Konstanten bedeuten. Zur Lösung dieser Funktionalgleichung bilden wir die Funktion für ein Argument der Form z +2, +2; und erhalten: fa +22 +32) = afa +%)+bf@)+te — a?f(a)+abf(s)+bf(e) +ac-+ e. Dieser Ausdruck darf sich nicht ändern, wenn man irgend zwei der x ver- tauscht. Sind nun die Koeffizienten der drei Ausdrücke f(x), f(@&), f(&) nicht einander gleich, ist also nicht zugleich 0 wabE— 6: so kann man durch Vertauschung zweier x sofort ableiten, daß f(x) konstant sein muß. Ist nämlich z. B. a@=+ab, so ergibt sich af) tabfn)t+tbf@)tacte = af) +abfa)tbf@)tacte, somit (—ab)f(z) = (a—ab)f(n,), Noya Acta XC. Nr.1. 4 $ 16. s li. 26 Rudolf Schimmack, und daraus folgt f(x) = f(a,) oder f(x) — const. Und in entsprechender Weise für die beiden übrigen Möglichkeiten. Setzt man jetzt /() — € in die ursprüngliche Funktionalgleichung ein, so erhält man C=aC+bC+e, oder C1—a—b) = c, worauf die Bestimmung von C aus den gegebenen Konstanten leicht zu diskutieren ist. Es bleibt noch der Fall zu behandeln, dab gleichzeitig b) (Eee c) = ist, was nur möglich ist, wenn entweder a=b—=o0odeea—=b=1. Im Falle a—=b—=0 folgt aus der ursprünglichen Funktionalgleichung sofort, daß f(x) gleich der Konstanten ce sein muß. Im Falle a—=b— ı hat man: fat) = f@+trf@)+e oder, wenn man f(@)+c — En setzt: h@e+) = hat). Die Funktion /ı («) ist daher nach $ 13 entweder — Cx oder — D««), also f(x) entweder = Cx—e oder — D(x)—e. Indem wir die betrachteten Fälle geeignet zusammenfassen, können wir formulieren: 1. Wenn nıcht a—b =1ı, so it fa =C, wo CA—a bh) = c sein mu/s, die Lösung der betrachteten Funktionalgleichung ; 2. Wenn a=b=1, so sind fi) = Oz —c und f&) = D@)—-e, wo C und D(«) beliebig, die Lösungen der betrachteten Funktionalgleichung. Das Mitgeteilte kann in einfacher Weise benutzt werden, um eine Funktionalgleichung eines gewissen Typus zu konstruieren, die eine beliebige vorgelegte Funktion, bezw. auch eine vorgelegte Funktionsschar zur einzigen Lösung hat. Axiomatische Untersuchungen über die Vektoraddition. 27 Soll g(@) die einzige Lösung einer Funktionalgleichung sein, so bildet man n1@) = f@)— 9) und stellt für /, (@) die Funktionalgleichung des vorhergehenden Paragraphen auf, indem man verlangt, es sic=0, at5b-+1, und nicht «a =b = ı. Die gesuchte Funktionalgleichung heißt dann also: fe@ +2) = alfa) —9(&)) + b(fle) — 9(&)) — 9 (© + ©). Soll 9(=,C) die einzige Lösungsschar einer Funktionalgleichung sein, so setzt man f(x) — 9(«.C), löst dies wenn möglich nach C auf: CO = G(w,f(a)), ersetzt C durch f, (@) und bildet für dieses f (2) die Funktionalgleichung des vorigen Paragraphen, indem man wählt c= 0 unda+b= 1, worauf von selbst nicht a=b—=1 sein kann. Alsdann lautet die gesuchte Funktionalgleichung: Gl&@+z2,f@+2)) = aG(& fi@)) +96 (&, f(@), oder f@+®) = gle+8,})aG(e, fo) + bl, F@))!); sie hat in der Tat zur einzigen Lösung, daß G(x,f(x)) gleich einer will- kürlichen Konstanten C ist. Um z. B. eine Funktionalgleichung zu bilden, deren Lösung f in graphischer Darstellung die Gerade y= x und ihre sämtlichen Parallelen bedeutet, setzt man f(z) = x+C, also fi(@) = fw)—x; und die Funktionalgleichung lautet: f@e+2)— (+2) = alf@)— a) +b(f@) — a) oder, wenn man etwa noch a=b— + nimmt: f@+2) =; +: f)+3@+ 2). Enthält die Funktion g(z), bezw. g(z,0) irgendwo isolierte Unstetig- keitsstellen, so wird man bei diesem Verfahren eine Funktionalgleichung erhalten, in der die gegebenen Funktionen ebenfalls derartige Unstetigkeiten aufweisen. Weiter unten werden wir sehen, in welcher Weise Funktional- gleichungen stellenweis unstetige Lösungen haben können, ohne selber unstetige Funktionen als gegebene zu enthalten. 4% $ 18. 28 Rudolf Schimmack, 2. Der Zusammenhang vier fundamentaler Funktionalgleichungen. Wir betrachten jetzt vier fundamentale Funktionalgleichungen in ihrem Zusammenhange, deren Nebeneinanderstellung aus Symmetriegründen nahe liegt: (1) f&@ +2) = fa+f@) (2) f@ +2) = fi) - f@) (3) fi@ - ©) = fo) +f@) (4) fa@ - 2) = fi - f@)). Diese Funktionalgleichungen finden sich schon bei Cauchy in seinem Cours d’analyse') zusammengestellt und unter Voraussetzung der Stetigkeit der Funktionen f(x) gelöst. Wir lassen diese Annahme hier fallen. Die Funktionalgleichung (1) haben wir im ersten Abschnitt unter sehr allgemeinen Voraussetzungen, die in $ 6 präzisiert sind, ausführlich studiert. In den drei folgenden Paragraphen betrachten wir unter denselben Voraussetzungen die Funktionalgleichungen (2), (3), (4), indem wir sie auf (1) zurückzuführen suchen. | (2) f(& Su) — f(&) -f(@)). Eine Lösung der Funktionalgleichung (2) kann keinen negativen Funktionswert haben; denn wäre an einer Stelle x, etwa f(x) < 0, so folgte für 2 — a' — iu, sofort f(x) — (f@))®, d.h. f&x,) Könnte nicht reell sein. Ist ferner an einer Stelle ©, etwa f(a,) — 0, so folgt f(x + 2) = f(@)-0; d.h. es muß sein: (5) 1(&) = 0: Sehen wir von dieser trivialen Lösung zunächst ab, so ist f(x) für alle x positiv, und wir können daher unbeschadet der Allgemeinheit “lg f(&) = fı(@) setzen, wo a eine willkürliche positive Zahl bedeutet. Dann wird: fi @+2) = "19 fa +2) = 19 (fao)-f@)) — 19 fa) + lg fa) = fd + hl; 1) Cauchy, Cours d’analyse, I Analyse algebrique, Paris 1821, S. 103—113; Oeuyres completes, 2. ser. 3, Paris 1897, S. 98 —105. Axiomatische Untersuchungen über die Vektoraddition. 29 d. h. ,() muß Lösung der Funktionalgleichung (1) sein, also nach $ 13 entweder — Cx oder — D(«). Das ergibt einerseits f(x) = a‘= — a,” oder (6) fo) = a®, wo a eine willkürliche Zahl > 0, und andererseits: @) fo) — a?®, wo a eine willkürliche Zahl > 0. Die Funktionen (5), (6), (7) sind die einzigen Lösungen der Funktional- gleichung (2). Die beiden ersten geben totalstetige, die letzte gibt totalunstetige Lösungen an. (8) f(@-2) = fo) + f@). In der Funktionalgleichung (3) ergibt sich für x’ —= 0 sofort (0) — f(x) + f(0); daraus folgt, da f(o) endlich sein sollte, (8 Ro R0: Dieses ist unter den angegebenen Voraussetzungen die einzige Lösung. Wir mögen hier indes — weil wir es im folgenden benutzen werden — auf das Endlichsein der Lösung an der Stelle x — 0 verzichten und wollen nur für alle == 0 Erfüllung der Voraussetzungen verlangen. Alsdann ist für x — x‘ sofort f(x?) = 2f(«), und wenn man darin & durch — x ersetzt: f(z?2) = 2f-x), sodaß f(-2) = f(+»@) sein muß. Man könnte daher statt f(«) überhaupt f(|z|) schreiben. Setzt man nun |=| = as, wo a eine von Eins verschiedene, aber sonst willkürliche positive Zahl be- deutet, so ist damit jedem z + 0 eine Zahl & zugeordnet, und es wird also f(lz|) = f(aS) eine Funktion von & Für diese Funktionen f} (&) wird: fi &E+&) = f(a°*?) = fia°-a°) = fd)+ fl) = hO +; d. h. ,@ muß Lösung der Funktionalgleichung (1) sein, also entweder h®=0% oder A = DE. Das ergibt, da 5 — =!g|x| ist, einerseits f@) = C-“Ig|z| oder, was nicht spezieller ist, f(@) = “!g|z|, und anderer- seits f(e) = Dee |x]). $s 20. s 21. 30 Rudolf Schimmack, In dem angeführten Sinne treten also zu der Lösung (8) der Funktional- gleichung (3) noch die folgenden Lösungen hinzu: (9) fi) = lg |«| | wo a eine willkürliche Zahl (10) f@) = Deig |x|)| >01, — Die Funktion (8) ist die totalstetige Lösung der Funktionalgleichung (5) für alle x: (9) gibt die Lösungen, die für alle x + 0 stetig sind und. bei 2—0 „unendlich werden“; (10) gibt für alle z==0 die totalunstetigen Lösungen. (4) fa.) = f@)-fa. In der Funktionalgleichung (4) ergibt sich für z='—= 0 sofort f®) = f«)-f(0); falls also f(0o) =0 ist, muß (11) ji sein, was eine erste spezielle Lösung der Funktionalgleichung ist. Ab- gesehen von dieser ist also notwendig f(0) = 0. Macht man ferner die Annahme, an einer von Null verschiedenen Stelle x = x», sei f(x) = 0, SO folgt f(&-%) =f(@)-0—=0 oder, da x-x, jeden Zahlenwert annehmen kann, (12) no) 0, was eine zweite spezielle Lösung der Funktionalgleichung ist. Sehen wir auch von dieser besonderen Lösung ab, so ist also f(x) an der Stelle z = 0 und nur dort gleich Null. Wir untersuchen nun f(«) für alle x—+0. Für diese können wir setzen ?Ig |f(o)| = fı (@), wo b eine von Eins verschiedene, aber sonst will- kürliche positive Zahl bedeutet. Dann wird: fi(@-2) = Ng |f@-o)| =’ Fo) f@)| = fo + If) = Aw + @); d. h. die für x©-#0 definierte Funktion /,(«) muß Lösung der Funktional- gleichung (3) sein, also entweder fi @) = 0 oder fi(@) = ®lg|x| oder fi @) — D(“g |x|), wo a eine willkürliche Zahl > 0,-+1 bedeutet. Das ergibt die drei Möglichkeiten: r@l=4 If@l=l.; Ir@l = vr), wo c — “gb eine von Null verschiedene, sonst willkürliche Zahl bedeutet. Axiomatische Untersuchungen über die Vektoraddition. al Es bleibt noch das Vorzeichen von f(«) zu untersuchen. Nimmt man in der Funktionalgleichung x — x, so ist f(@2) = (f(@))?, d. h. f(@) ist für posi- tive Argumente stets positiv. Seien sodann z, und =, zwei negative Argumente und nehmen wir an, es sei f@&)>0, fn)<0, so wäre f&)-f@) <0; andererseits aber wäre u, >0, also f&%)>0; und daher könnte die Funktionalgleichung nicht erfüllt sein. f(x) muß also entweder für alle (!) negativen Argumente >0 oder für alle (!) negativen Argumente <0O sem. Hiermit können wir jetzt für alle «+ 0 die Funktionen f(x) bestimmen. Nehmen wir noch den Wert f(0) = 0 hinzu und benutzen zur bequemeren Schreibweise die Funktion für £—=0 +1 fürrz>oO (0) —ı1 fürz20,-+1, | = sgn »-.b?@lgle|) für z-=0\ wo a,b willkürliche Zahlen (18) Kaya AR =%b für 2 — 0] >00, +1. Die Funktionen (11) bis (15) sind sämtlich Lösungen der Funktional- gleichung (4) und zwar die einzigen. Die Lösungen (17) und (15) sind totalunstetig; die Lösungen (11) und (12), sowie (15) und (16), falls e> 0, sind totalstetig. Die übrigen Lösungen sind stetig bis auf die eine Stelle z — 0; wo’ sie einen endlichen oder unendlichen Sprung aufweisen. 32 Rudolf Schimmack, 3. Über den Charakter der Lösungen gewisser Funktionalgleichungen. Die Ergebnisse der vorhergehenden Paragraphen legen die Frage nahe, welches der innere Grund dafür ist, daß die betrachteten Funktional- gleichungen zum Teil nur totalstetige und totalunstetige Lösungen besitzen, zum Teil aber außerdem noch andere Lösungen, die im allgemeinen stetig und nur an einzelnen Stellen unstetig sind. Über diese Erscheinung können wir uns Rechenschaft geben, indem wir zunächst einen allgemeinen Satz über die Funktionalgleichungen der folgenden Form beweisen: My (%2)) = v(f@, F@)), wo 9(a,x) und »(z,x') gegebene Funktionen sind, f(@) die gesuchte Funktion bedeutet. Wir setzen voraus: x und x' seien unbeschränkte stetige Variable, gp und ıp seien je als Funktionen des einen Arguments — für jeden kon- stanten Wert des anderen Arguments — eindeutig, totalstetig und von ein- deutiger totalstetiger Umkehrung. Dann giüt der Satz: Eine Lösung f(«) einer solchen Funktionalgleichung kann nur entweder totalstetig oder total- unstetig sein. Zum Beweis machen wir die Annahme, f(x) sei an der Stelle x = x, stetig, an der Stelle 2—=x, unstetig. Wir überzeugen uns zunächst, dab sich zwei Zahlen %,, %, einander zuordnen lassen, für welche Play + ho, 4) — Pl, %ı + hi) wird. Bezeichnet man nämlich die Umkehrung von g nach dem ersten Argument mit 2, so ist ot = Plp(%, 2% + hı), 2), %o — Plyp(, 2) , Mh also Io — d(p(&%, &ı + hr), U) — Ply &, Ki), Lu): Damit ist in der Tat zu jedem A, ein A, von der angegebenen Eigenschaft bestimmt, und man erkennt zugleich auf Grund der Voraussetzungen über y und 8: zu jedem positiven 4 gibt es ein solches positives d, dab || e bleibt. Andererseits gibt es aber auf Grund der Voraussetzungen über » und % zu dem e ein solches positives A, daß |Z|4 ist; d.h. nach dem obigen: es gibt zu e ein solches positives d, daß |L|0 usw.; daneben aber erscheinen alsbald auch isoliert unstetige Funktionen wie senz, |x|° für c a N. Nämlich nach 1, und I existiert eine reelle Zahl x, sodaß ax —a = za ist. Führt man nun eine starre Drehung von 180° aus, um eine Senkrechte zur Richtungslinie der Komponenten als Achse, so ergibt sich nach I: —axa — —xa. Auf Grund von II folgt daher: za = — xa, und das ist nur möglich für x —=0; denn der Fall « = 0 kann, da er in 1, erledigt ist, als ausgeschlossen gelten. Wir ziehen jetzt Axiom IV hinzu; dann lassen sich alsbald drei weitere Sätze ableiten. Satz 3. Wenn die Resultante zweier Vektoren Null ist, so haben entweder die Komponenten nicht verschiedene Richtungslinie, oder die Kom- ponenten ergeben, einzeln mit Null verknüpft, Null. Axiomatische Untersuchungen über die Vektoraddition. 39 Sei vorausgesetzt @*5b — 0, so betrachten wir zum Beweise den Vektor —as(a=Db) = —a=0. Dieser ist andererseits auch —(—-axsa)»b nach IV —0:b=D5D=(0 nach 2 und I. Nun haben 5=0 und d nach 1, und 1, nicht verschiedene Richtungslinie, also —a@=0 und d haben nicht verschiedene Richtungslinie. Ebenso haben aber —a=0 und —a nach 1, und 1, nicht verschiedene Richtungslinie. Hieraus folgt eine der beiden Möglichkeiten: Entweder ist —@=0 — 0 und somit 50 — 0 und auch 0 = 0 nach II; oder es haben —a und d nicht verschiedene Richtungslinie und somit auch « und d. Damit ist Satz 3, bewiesen. Satz 3. Die Resultante zweier Vektoren von verschiedener Richtungs- linie gibt entweder, mit Null verknüpft, Null oder liegt in der Ebene der Komponenten oder senkrecht zu ihr. Seien a, b die Komponenten verschiedener Richtungslinie, eb — ec ihre Resultante, und heiße «db die Ebene, welche @, db in sich enthält. Betrachten wir dann den Vektor — q#* db — cc, so ist c=c — (ax*b)= —a*—D) — (a=—a)*(b #=—D) nach IV und III — ze ZU nach 2 und 1.. Mithin ist nach 3, entweder e»0 —= 0, oder e und ce‘ haben nicht ver- schiedene Richtungslinie. Während die erstere Möglichkeit offen bleibt, verfolgen wir die zweite weiter. Wir führen mit dem Tripel —a, —D, ec‘ eine starre Drehung von 180° aus, um die Senkrechte zur Ebene «5b im Anfangspunkt. Dabei geht —a in a über, —Db in d, und e' in einen Vektor ec“, dessen Richtungslinie spiegelbildlich zur Richtungslinie von e in bezug auf ab liegt. Nach II ist also @=db — c“ und somit nach I: ce" —=e. Die Richtungslinie von e kann indes mit ihrem Spiegelbilde nur zusammenfallen, wenn sie entweder in «db oder | «aD liegt. Damit ist 3, vollständig bewiesen. $ 30. 40 Rudolf Schimmack, Satz 3. Haben zwei Komponenten verschiedene Richtungslinie, so ist entweder die Richtungslinie der Resultante von beiden verschieden, oder eine der Komponenten ergibt, mit Null verknüpft, Null. Seien a, d die Komponenten verschiedener Richtungslinie (also a+0, b+0) und a=b — ce. Angenommen, es haben d und c, oder also —Db und e nicht verschiedene Richtungslinie, so haben nach 1, auch ex —b und —Dd, oder also ex—Db und 5 nicht verschiedene Richtungslinie. Es ist aber ce*—b — (a=b)x»—b = ax(b=—b) nach IV — 4:0 nach 2. Es haben somit auf Grund unserer Annahme «@»0 und D nicht verschiedene Richtungslinie. Nun haben nach 1, stets «*0 und «a nicht verschiedene Richtungslinie. Also muß entweder «+0 — 0 sein oder @ und D nicht verschiedene Richtungslinie haben. Das letztere ist indes nach Voraussetzung unmöglich. Damit ist bewiesen: Entweder haben d und e verschiedene Richtungslinie oder es ist @*0 — 0. Entsprechend läßt sich zeigen: Ent- weder haben @ und ec verschiedene Richtungslinie oder es ist 50 — (0. Beides zusammen ergibt den obigen Satz 3. Durch Hinzunahme von Axiom V nehmen die drei soeben ab- geleiteten Sätze eine wesentlich einfachere Form an. Die Sätze 3,, 3, 3; gehen bezüglich in 4,, 4,, 4, über. Satz 4, (Umkehrung von 2). Wenn die Resultante zweier Vektoren Null ist, so sind die Komponenten entgegengesetzt gleich. Sei nämlich @ »b — 0, so folgt genau so wie beim Beweise von 3, die Gleichung —a +0 — bx0. Daraus ergibt sich mittels V sofort: —a = b. Satz 4. Die Resultante zweier Vektoren von verschiedener Richtungs- linie liegt in der Ebene der Komponenten. Zunächst folgt nämlich ebenso wie bei Ableitung: von 3, die Gleichung exc'—0. Hieraus ergibt sich jetzt aber nach 4: e = —e. Führen wir nunmehr mit dem Tripel —a, —b, —c eine starre Drehung von 180° aus, um die Senkrechte zur Ebene «db im Anfangspunkt, so geht —«a in a über, —b in db, und —e in einen Vektor c“, der selber (!) spiegelbildlich zu e in bezug auf ad liegt. Nach Il ist also: @«*Db = e“ und somit nach I: ce" =; Axiomatische Untersuchungen über die Vektoraddition. 41 die Resultante e kann mit ihrem Spiegelbild indes nur zusammenfallen, wenn sie nicht außerhalb «2 liegt; d. h., da nach 4, sicher e =0 ist: wenn sie in ab liegt. Satz 4, (Umkehrung von 1,). Haben zwei Komponenten verschiedene Richtungslinie, so ist die Richtungslinie der Resultante von beiden verschieden. Dies folgt jetzt sofort aus 3,, da die Möglichkeiten @ =0 — 0 oder d=0 — 0, von denen der Satz spricht, durch Hinzunahme von V aus- geschlossen werden. Ohne Hinzuziehung eines neuen Axioms läßt sich nun ein weiterer wichtiger Satz ableiten, dessen Ableitung als Kernpunkt des Darbouxschen Beweises anzusehen ist. Wir formulieren ihn am Schluß des Paragraphen. Seien @,, a, zwei Vektoren verschiedener Richtungslinie, um deren Zusammensetzung es sich handeln soll, so konstruieren wir einen Hülfs- vektor a,, der I a,a, steht (einerlei nach welcher Seite) und die Länge 1 hat. Dann sind die drei partiellen Resultanten dı3 = day * qa;, Anz = d;,* dz, A; == ds * UA nach 4, von Null verschieden und liegen nach 4, bezüglich in den Ebenen dd», dsd;, dy,a,: Und nach denselben Sätzen ist die totale Resultante aller drei Vektoren, die nach III und IV gleich do * ds; = (Ay * Ay — Az, * Od 12 3 23 1 31 2 ist, von Null verschieden und liegt gleichzeitig in den drei Ebenen a.,@;, @33 @; @;, a,, also schneiden sich diese drei Ebenen in einer Geraden. Hiermit sind alle Voraussetzungen dafür erfüllt, daß folgende be- kannte Formel gilt: BERN. Den EN EN SS sın @, d,,-S1n Ad, dy;,-S1In di; d,;, — SIn A, dy-SIn As; di; Sin Ca, A, (die man leicht mittels des Sinussatzes der sphärischen Trigonometrie veri- fizieren kann). Dabei bedeutet «@d den von a, db eingeschlossenen nicht- konvexen Winkel, positiv oder negativ genommen, je nachdem die Drehung von « durch den Winkelraum nach d mit dem in der Ebene festgelegten Nova Acta XC. Nr.1. 6 42 Rudolf Schimmack, Drehsinn übereinstimmt oder nicht; die Festlegung des Drehsinns bleibt in jeder der drei Ebenen willkürlich. Da nun auf Grund von 4, alle vorkommenden Sinusausdrücke von Null verschieden sind, so kann man sie so ordnen: 2 BT Be sin ct, dt, „Sin lg diaz sın a, 2: Sın (dl,9 dla — SZ Me Y sin dla, dl, Sin diy, di, Die Betrachtung der beiden rechtsstehenden Brüche gibt Anlaß zur Ein- führung einer Hülfsfunktion: indem wir auf jedem von Null ver- schiedenen Vektor «, einen senkrechten Hülfsvektor «a, von der Länge 1 errichtet denken und die Resultante «,x «a, bilden, wird der Ausdruck en sin dt,ds, 1 TEE = TER Sinn, Pa) auf Grund der bisher benutzten Axiome eine bloße Funktion von a,; denn er ist durch Angabe der Länge des Vektors «,, einerlei wie dieser liegen und nach welcher Seite «, errichtet sein mag, durchaus eindeutig bestimmt. Wir fixieren von der so eingeführten Hülfsfunktion die Eigenschaft: Zu jedem positiven a gehört ein eindeutiger reeller von Null verschiedener Wert g(a). Nunmehr schreiben sich die obigen Brüche En RO HEFIN sind; 1 Smmdy, 1 ES ug 2 $) ZZ Tas ER) sin (lg, dlz ya) sinayd; 9(@) sodaß man erhält: h SE, s ZA; sin «da :5in digdy —= P(a,): pP (a): Diese Gleichung besagt: Trägt man auf «,, «, bezüglich die Strecken (a), Y(a) dem Vorzeichen nach ab und konstruiert aus ihnen als Seiten das Parallelogramm, so gibt die Diagonale desselben die Richtungslinie (!) der Resultante «,,; an. Es ist für die Deutlichkeit der Ausdrucksweise im folgenden vorteilhaft, wenn wir mittels der Funktion 9 jedem von Null ver- schiedenen Vektor « eindeutig einen konjugierten Vektor «‘ zuordnen, der von Null verschieden ist: ı _ Pla) a 4. Axiomatische Untersuchungen über die Vektoraddition. 43 Alsdann läßt sich der eben gewonnene Satz so aussprechen: Konstrwiert man zu a,, a, die konjugierten Vektoren a',, as, so gibt a‘, +a%, die Richtungs- linie der Resultante a, am —- oder anders ausgedrückt: so existiert eine reelle Zahl x, sodaß die Gleichung gilt a« + a, = za'n. Aber auch über die Länge der Resultante «, vermögen wir bei Ausführung der angegebenen Konstruktion etwas auszusagen. Wir be- haupten: «+ a% selbst stellt den der gesuchten Resultante «,, konjugierten Vektor «‘, dar; d.h. es ist das eben eingeführte » — ı. Betrachten wir nämlich den Vektor —«,, so ist nach III, IV, V und 2: nun —a, und «a,, verschiedene Richtungslinie haben, so existiert nach dem Re = (ro 108 vorhin Bewiesenen eine reelle Zahl y, sodaß die Gleichung gilt: 9) +42 = ya; oder: — dy+ da = Ya. Addieren wir hierzu die obige Gleichung: «', +«, — xa‘,, so folgt: a, + ds = yalı +xdz oder: A —y)a, = (&—1)d'.>. Da aber a, und a, verschiedene Richtungslinie haben, so muß z = 1, y= 1 sein. — Wir fassen zusammen: Ist für zwei Komponenten a,, a, von verschiedener Richtungslinie a, — a, *@,, so güt für die konjugierten Vek- toren a’ — a, + a). Der Beweis des soeben abgeleiteten Satzes benutzt wesentlich die Voraussetzung, daß die Komponenten verschiedene Richtungslinien haben. Es bedarf einer besonderen Überlegung — die bei Darboux fehlt —, ‚ob der Satz auch für Komponenten von nicht verschiedener Richtungslinie gültig ist. Wir setzen fürs erste voraus, die Komponenten «, und «a, seien von Null verschieden, von gleicher Richtungslinie und @«, = —a,. Es sei wieder a; ein Hülfsvektor, der senkrecht auf den Komponenten steht (einerlei nach welcher Seite) und die Länge 1 hat. Dann ist die totale Resultante der drei Vektoren einerseits 423 — Ay * Az, wo 433, — dy * (da, 44 Rudolf Schimmack, und andererseits 4933 = Aa %* ds, wo da = A, * dy ist. Auf Grund von 1, und 4,, sowie weil nach den Voraussetzungen @ + 0 ist, sind nun die Richtungslinien von «rs, «;, 3, @y, sämtlich von- einander verschieden. Daher ist das Ergebnis des vorigen Paragraphen auf drei der hingeschriebenen vier Gleichungen anwendbar: aa — a + A, d'y = ay+d5, a = data, Daraus folgt aber: a, = da — Ad, = a + ag; — as, — a, +a, +ay— a, = a, +aN. Endlich mögen — der nachher bequemeren Formulierung wegen — die obigen Voraussetzungen, daß «,, a, von Null verschieden seien und «+ —aq,, beseitigt werden. Dies kann leicht durch die Festsetzung geschehen (auf die es übrigens für das Folgende nicht wesentlich ankommt): Dem Vektor a—%0 sei der Vektor « = 0 konjugiert. Alsdann besteht allgemein für Komponenten von verschiedener oder nicht verschiedener Richtungslinie der Satz 4, Ist für zwei beliebige Komponenten a), —= A, *@s, so gult für die konjugierten Vektoren a', — a’, + a‘. Ehe wir im Gange des Beweises fortfahren, bedarf es noch einer Betrachtung der Funktion 9. Zu dem, was wir aus dem Vorhergehenden ($ 31) wissen, fügen wir sogleich eine weitergehende Behauptung — die bei Darboux wiederum fehlt, die wir aber hernach wesentlich benutzen werden; wir formulieren: Satz 4. Zu jedem positiven a gehört ein eindeutiger reeller von Null verschiedener Wert (a). Zu jedem positiven Wert A gehört ein und nur ein positives a, für das |p(a)| = 4 ist. Wir zerlegen die neu aufgestellte Behauptung in zwei. Erstens: |p(a)| vermag für geeignete a jeden positiven Wert A anzunehmen. Um dies einzusehen, bedenken wir zunächst, daß |g(a)| immer die Länge des dem Vektor « konjugierten a‘ bedeutet, dab also a‘ — |gp(a)| ist. Wir betrachten nun zwei Vektoren «,, a, von gleicher Länge a und von variabelem Komponentenwinkel u, und konstruieren die konjugierten Vektoren «‘, a“. Läßt man jetzt RR alle Werte des Intervalls x > FR >0 Axiomatische Untersuchungen über die Vektoraddition. 45 durchlaufen, so ändert sich der Vektor «‘, = a‘ +.a', so, daß seine Länge a‘ —= |P(a,,)| alle Werte des Intervalls 0 <|gy(a,)| <2a‘ durchläuft. Ist A daher eine beliebige Zahl des Intervalls od5,05,>0 durchlaufen, so ändert sich der Vektor 84, — b‘, +05‘, so, daß seine Länge ba = |p(b1.)| alle Werte des Intervalls 0 <|p(,)| <4a‘ durchläuft. Ist 4A daher eine beliebige Zahl des Intervalls 0o0, f@) = —pl-2) für 2»<0, f(0) = 0 eine Lösung f(«), — die hierbei hereingebrachten Beziehungen f—2) = —f(«) und f(0) = 0 sind für alle Lösungen f(«) notwendig —; und umgekehrt: jede Lösung f(«) gibt durch Beschränkung des Arguments auf positive Werte eine Lösung (x). Die Sätze des ersten Abschnitts sind hier daher sofort anwendbar. Axiomatische Untersuchungen über die Vektoraddition. 47 Die Hinzunahme von Axiom VII liefert nun auf Grund der Definition von 9 ($ 31) den Satz 6,.. Die Funktion pa) ist für alle positiven a stetig. Infolgedessen muß f(x) für alle positiven und negativen x stetig sein, und nach $ 7 wird also f(@) = Cx. Es ist daher p(a) — Ca, wo © eine unbestimmte Konstante bedeutet. Hiernach lautet jetzt die Defini- tion der konjugierten Vektoren: «' — Ca und der Satz 4,: Ist für zwei beliebige Komponenten «,, — «, * @,, so gilt für die konjugierten Vektoren: Cas = Ca,+Ca, Da aber C = g(1) nach 4, von Null verschieden ist, folgt weiter da — Ad +: Damit ist der Satz der Vektoraddition (Satz 6,) vollständig bewiesen. $ 36. Vierter Abschnitt. Kritik des Darbousxschen Beweisganges. 1. Frage der Unabhängigkeit und Sukzessivität der Axiome. Die Frage nach der Unabhängigkeit der Axiome, die dem Darbouxschen Beweisgange zugrunde liegen, entscheidet sich, wie in der Einleitung ausgeführt, durch die Angabe geeigneter Pseudoadditionen. Indem wir wegen der Darlegung dieser Pseudoadditionen, die wir A, 4, B, (,... bezeichnen, fortgesetzt auf den achten Abschnitt verweisen, können wir die hier vorliegenden Fragen in knapper Form beantworten. Wir stellen zu- sammen: 1. NT. VII DIT nach DE 7 NE VIL Sb ET nachhg: L I Ey. 1. VID. IV) machen 1 1 name v6 VO DV,.nah@ oT, VIL ©). VI nach TR Teva, — p Vlllmachure $) Die Axiome II bis VII des Systems genügen also in der Tat der Unabhängigkeitsforderung. Dem Axiom I haben wir eine gewisse Sonder- stellung eingeräumt, insofern es bei der Formulierung der nachfolgenden Axiome bereits als erfüllt vorausgesetzt ist. Wollte man ihm diese Sonder- stellung nehmen und zugleich seine Unabhängigkeit zur Evidenz bringen, so brauchte man nur jedem der Axiome II bis VII die Bedingung hinzu- zufügen: „falls eine (eindeutige) Resultante existiert“. Auch die in der Einleitung ($ 4) entwickelte Frage nach der Suk- zessivität der Axiome findet mittels der Pseudoadditionen des achten Abschnittes ihre vollständige Beantwortung. Wir können nämlich folgende Sätze zusammenstellen: Rudolf Schimmack, Axiomatische Untersuchungen über die Vektoraddition. 49 (EISETT De nach $ 28 UL HEN BEVISVIIEET, nach A ıı 106° ll DL nach S 28 ‘L —, MI p2 nach B Iı. TA ENTE nach © IE 0 ATBL- Ay > 3, 3,, 3, nach $ 29 I, —, IL W DD 3 nach A E üb =, Mm D 3; nach C NEST 2, nach E oT IT TI TAN: D 4,...,4 nach $ 30 bis 33 R —, I W\V D 4 nach B N NE DD 4 nach R u, HI, —, V DA nach E il AU, UL, Mh, AL I wall IB. Ah nach G (1 106 1806 AR, Nat Di5 nach $ 34 |" in RZ, »5 nach B IT. a SM Ty Eye VI »5 nach C ET 2 Va avın »5 nach F DT va vd »5 nach G TTV vs ve nach J. Die letzte Gruppe von Sätzen, die durch Hinzunahme von VII bis zum Additionssatz selbst hinführt, brauchen wir gemäß der Schlußbemerkung von $ 4 nicht mehr ausdrücklich hinzuschreiben, nachdem die Unabhängig- keitsfrage in $ 36 in bejahendem Sinn erledigt worden ist. Betrefis des Axioms I verweisen wir auf die Schlußbemerkung des $ 36. Es ist somit gezeigt: Beim Darbouxschen Beweisgang ist in der Tat auch die Forderung der Sukzessivität in wünschenswerter Weise voll- ständig erfüllt. Aus prinzipiellen Gründen erscheint die folgende Tatsache noch bemerkenswert: Es ist nicht möglich, allgemein in das Postulat der Suk- zessivität die weitergehende Forderung hineinzunehmen, da/s an den Stellen, wo die Hinzunahme eines neuen und gerade nur dieses Axioms als notwendig erwiesen wird, die Behauptung des ‚Nichtfolgens“ für alle (!) Teilsätze der betreffenden Gruppe aufgestellt und bewiesen wird. Man kann dort nicht von allen Teilsätzen verlangen, daß die jeweils benutzten Axiome nicht durch andere Axiome des Systems ersetzbar seien. Es ist sehr wohl Nova Acta XC, Nr.1. 7 $ 39. 50 3 Rudolf Schimmack, möglich, daß ein Teilsatz, der aus den n ersten Axiomen folgt und aus den n—1 ersten nicht folgt, doch ableitbar ist, wenn man zu den n—1 ersten eins oder mehrere der auf das nte folgenden Axiome hinzunimmt. So ist bei unserem Darbouxschen Beweisgange z. B. der Satz 1, (also dab 0x0 —=0 ist) aus I, II ableitbar, aus I allein natürlich nicht ableitbar; dagegen wieder ableitbar, sobald man V zuläßt, das den Satz ja als Spezial- fall enthält. Selbst wenn man V in der eingeschränkten Form annähme: ad —a, falls a+0, so würde 1, bei Hinzunahme von III, IV, VI ohne II abzuleiten sein. An- genommen nämlich es sei 00 — x von Null verschieden, so folgt für einen Vektor a, der mit & gleiche Richtung hat: a: = a:(0W +) = (a+) I = as =a, also la=s&|=a; nach VI ist aber |a*x| = a+x; es kann daher nicht x 0 sein. Will man somit durch eine Pseudoaddition zeigen, daß 1, nicht ohne II ableitbar ist, so kann man nicht die Erfüllung aller übrigen Axiome verlangen, sondern muß etwa noch auf V verzichten. Dann gilt aber auch: Lin m ea Man möchte vielleicht glauben, wir hätten den Darbouxschen Beweis- gang, wie er bei Darboux selbst vorliest, an einigen Stellen mit überflüssiger Breite ausgeführt. Es ist hier der Ort, wenigstens von einer wichtigen Stelle zu zeigen, wie sich die größere Ausführlichkeit rechtfertigt. In $$ 32 bis 34 kommt es darauf an, daß sich allein auf Grund der Axiome I, II, III, IV, V etwas über die Umkehrbarkeit der Funktion 9 und außerdem die Relation («) |P(a)| = |P(a)+ Pla) | ableiten läßt. Man könnte nun versuchen — und so tut es in der Tat Herr Wellstein in einer Darlegung des Darbouxschen Beweisganges der Vektoraddition') —, ohne Hinzunahme eines weiteren Axioms zu erschließen, daß sogar die Gleichung 1) H. Weber und J. Wellstein, Enzykiopädie der Elementarmathematik, Band Il, Leipzig (Teubner) 1907, 8. 44 f. Axiomatische Untersuchungen über die Vektoraddition. 51 (8) P (a1) = P(a) + P(as) eilt. Dieser Schluß ist indes unmöglich, wie die Pseudoaddition ZH beweist. Denn bei dieser ist I bis V und damit die Relation («) erfüllt, dagegen VI, VII sowie die Relation ($) nicht erfüllt. Erst nach Hinzunahme von VI folgt auf Grund der übrigen bewiesenen Eigenschaften der Funktion g, daß @(a)) = und somit p(a, +) —= P(a,)+ (a) sein muß. Beiläufig mag noch betrefis der Sätze 3,, 3,, 3; bemerkt sein, daß Darboux diese nicht hat, sondern sofort die Sätze 4,, 4,, 4, aufstellt. Er meint die Beweise für die letzteren lediglich auf Grund seiner Voraus- setzungen I, II, d.h. auf Grund der Axiome I bis IV zu erbringen. Die Hinzuziehung von V ist indes durchaus notwendig, wie schon aus den Sätzen des $ 37 hervorgeht. Noch schärfer wäre es wohl durch Hinweis auf die Pseudoaddition G' zu zeigen, die den Satz liefert: Ike JUL UIE a 2. Abänderungen des Axiomsystems. Auch für die Frage nach Abänderungen des Axiomsystems liefern die im achten Abschnitt angegebenen Pseudoadditionen sichere Kriterien. Wir betrachten zunächst ein Axiom von der Möglichkeit der Sub- traktion, das wir mit V* bezeichnen mögen: Axiom V*. Für zwei beliebige Vektoren a, b existiert (mindestens) ein a,, sodass u sa —b. Über dieses Axiom behaupten wir: TTV EDV“ TE EAN NED Setzen wir nämlich I bis V als gültig voraus, und bilden für zwei beliebige Vektoren a, d- auf Grund von I den Vektor a, = db *—a, so ist: a*+a—(b*+—-a),sa —bdbx(-axa) nach IV — Db*0 nach on TIL) —D nach V; also ist V* erfüllt. Setzen wir umgekehrt I, II, IV, V* voraus, so gibt es für einen beliebigen Vektor a ein «a,, sodaß a, =0 — a nach V*; dann ist: TE s 1. s Al. 52 Rudolf Schimmack, a=0 = (a, #0) #0 a, *(0x*0) nach IV — Mm*V nach=152 10) — ug nach Definition; also ist V erfüllt. Indem wir einen Augenblick außer acht lassen, daß bei dem letzteren Beweise III nicht benutzt worden ist, können wir sagen: Bei Voraussetzung von I, II, IIL, IV sind V und V* äqwivalent. Es erscheint indessen von Wichtigkeit zu bemerken — auch aus prinzipiellen Gründen —, daß diese Ägquivalenz nur bei der Voraussetzung der sämtlichen (!) Axiome I, IL, LIT, IV auszusprechen ist. Dies wird klar hervortreten, wenn wir mit der Be- nutzung der Pseudoadditionen folgende Tabelle aufstellen: (2 II IV EVZaD EV nach@A UL 2 TI, IV, VEnDaVse nach @” (L 1 —, Iv,.W DDaVssnachte IL, mM —, W "DV nach $40 (1: a, I ey nachiin UT SIE ey iachlern Und das Nichtfolgen bleibt bestehen, wenn man in jedem Fall auch die noch übrigen Axiome VI, VII hinzunimmt; ausgenommen allein die Aussage der zweiten Zeile! Zieht man nämlich VI in die Betrachtung hinein, so eilt T, 2, N, Spy Ava nach 1, —, KIRARTDE NERNLD N; wie sogleich bewiesen werden soll. Nach V* existiert nämlich ein ® und ein c, sodaß +0 — 0 und e*(0+0) = d ist. Dann wird: b»:b = c*(W+W)+Db = (c*0)*(0x*D) nach IV ale 0) *(D = 0) nach III — (e*0) 0 nach Definition e*(0 +0) =D nach IV und Definition. | Hiernach ist |d*d| = b. Nach VI ist für von Null verschiedenes d jedoch |d*d| = 20, also muß # = 0 sein und somit 0x0 — 0. Mittels dieses Satzes 1, folgt aber ebenso wie in $ 40 ohne Hinzunahme weiterer Axiome das V. Axiomatische Untersuchungen über die Vektoraddition. 53 Nach dem hier Angeführten sind bei Voraussetzung von I, III, IV, VI die V und V* nicht äquivalent, sondern V* fordert mehr als V. Etwas Entsprechendes ergibt die dritte und vierte Zeile der obigen Tabelle: Bei Voraussetzung I. II, IV sind V und V* nicht äquivalent, sondern V* fordert mehr als V. Man kann daher sagen: V und V* sind nicht absolut äquivalent, sondern nur relativ zu der Gesamtheit der Axiome I, II, III, IV. An die Tatsache, daß V und V* bei Voraussetzung von I, II, IV nieht äquivalent sind, kann man eine Frage der Restbestimmung an- schließen: Läßt sich eine Forderung V“ angeben von der Art, daß V und V® zusammen dem V* bei Voraussetzung von I, I, IV äquivalent sind?, d.h. also, dab ib I NEL DENE: LI 0 WW v DVund vo, Diese Eigenschaften besitzt in der Tat das Axiom V®. Zu jedem a existiert ein a,, soda/s a, *a@ — 0 wird. Da V“ als Spezialfall in V* enthalten ist und die Ableitung von V aus I, II, IV, V* in $ 40 erbracht wurde, bleibt allein noch zu beweisen, daß V* aus I, II, IV, V, V® folgt. Nämlich: Sind «a, d beliebige Vektoren, so gibt es ein «a,, sodaß a — 0 nach V®. Dann wird für den Vektor o=—=bz=a;: oa —(d=:a)*a —=Ddx*(a, *a) nach IV 7 —bx( nach Definition —D nach V, also ist V* erfüllt. Das Axiom III genügt dieser Aufgabe der Restbestimmung nicht. Denn es gilt: hs4 v 2 BANG nach's740 i Up II nach (’. Auf Grund der vorhergehenden Betrachtung können wir sagen: V* ist in der Tat geeignet V zu ersetzen, ohne damit die frühere Ableitung des Additionssatzes wesentlich zu verändern. Gleichwohl erscheint diese Modifikation nicht empfehlenswert, da V* unter Umständen mehr fordert als V. — Entsprechendes gilt nun auch von den Axiomen, die bei Darboux s 4. 54 Rudolf Schimmack, an Stelle der reduzierten Axiome VI und VII stehen und die in & 27 bereits erwähnt wurden. Wir bezeichnen und formulieren sie so: Axiom VI’. Für zwei beliebige Vektoren a, b gleicher Richtungs- Imie ist asb=aH+tb. Axiom VII’. Die Resultante (ihre Länge und ihre Richtung) ist eine stetige Funktion der Komponenten (ihrer Länge und ihrer Richtung). Betrachten wir VI”. Bei Voraussetzung von I, H, II, IV, V, VI sind VI und VI’ offenbar äquivalent. Läßt man dagegen eines der Axiome II, III, IV, V fallen, so fordert VI® mehr als VI. Nämlich: ne, IV, VoyE, va Vlenache4 HIV, VW. yon ah I nachge IE. I, —,.,V, ML an SD N mache „I; m IV, —, VL VIE DD VI® nach G, I I, I I während natürlich VI stets Folge von VI’ ist. Nur bei Weglassung von VII, also bei Voraussetzung von I, O, II, IV, V, bleiben VI und VI° äquivalent; dazu haben wir hier noch zu beweisen, daß Lund. IBAN ID: Da nach HI und Vaoa»0=0*a=a wd nah 2 = I DO, IM as»—a — 0 ist, genügt es, die Richtigkeit der Gleichung sa, = + für den Fall zu erweisen, daß a, d von gleicher Richtungslinie, von Null verschieden und nicht entgegengesetzt gleich sind. Es ist dann nach 4, O1, ING Vi: ya) a, ar da ) p( 2) dad, = ? (a1) dı9- Ay 12 e ‚ ; BE! 1 Haben jetzt a,, @, gleiche Richtung, so ist — @, = —q@,, also: Pa) + Ypla) ee (12) an a a2 Hierausstolos naeh 5 (— TI II, II, TV, V, VD): Y(aı +) = 9 (a12) a2 und somit: ya +%)| = |py@)| oder +, —=a, nah 4 = ILL IH W, V); Axiomatische Untersuchungen über die Vektoraddition. 55 d. h. @,, hat dieselbe Richtung wie die Komponenten, und a,, ist die Summe der Komponentenlängen. Haben andererseits «,, @, entgegengesetzte Richtung, i 1 1 so it — a = —— qa,, also: aı a, Pla) — P(a;) ne $ (12) 7 a2 aı de Hieraus folgt nach 5: — falls a, > a;: | | falls a, 0 sein muß, und zwar das letztere, damit wie notwendig ı*(0) = Y*(1)-lim (2°) — 0 z=\ wird. Für die Funktion (©) lautet das Ergebnis: Y(0) — Y(0)-(0s 40), 0 0), addiert die beiden ersten und subtrahiert die letzte, so wird: 1 + 422°. 1 1 1 1 © + A939. — Az. — Ay°-2 (608 a, + COS + 605%) — (0, Ay! — Ar: je al Da nun nach 4‘, und 1%: (a, *@, * @,) * (a *qdyx *qa;,) = 0 +0 = 0 ist, so ergibt sich nach III, IV und 5%: &1 * @&r * y —= 0, — Ay = Ay * Ay. Beachtet man endlich, daß nach 6‘, «,,, @&, —a;; auf dem Strahl OS liegen, nicht in entgesengesetzter Richtung, so kann man den Satz formulieren: Die Resultante der beiden gleichgerichteten Vektoren a, a, ist mit den Komponenten gleichgerichtet, und ihre Länge bestimmt sich aus der 1 1 1 Gleichung Ayıx° — Ay * are. Es bleibt noch zu erörtern, ob zwei beliebige (!) gleichgerichtete $ 54. Komponenten «,, «&ı sich als bezügliche Resultanten von solchen Kompo- nenten @, dı, @,, dy, wie sie oben betrachtet wurden, auffassen lassen. Dazu ist notwendig und hinreichend, daß sich die drei Größen «,, &, a — a so wählen lassen, daß die folgenden Bedingungen erfüllt werden: 2N — a (2 cos a)° = A; dyı (2 cos 09) = A; |&ı —@ ee zeı + 09. Dies ist in der Tat stets möglich. Denn nehmen wir, ar aı und im übrigen beliebig an, so wird o< 5 S, < 1; und indem 1 1 sich aus den beiden Gleichungen, die wir so schreiben können: 1 1 Aı\- Aı \- c08 dı — (2) co — :()s 1 1 die «,, «, eindeutig bestimmen, erhält man zugleich: 0m29>}, also 0.0 bedeutet. Dem Vektor «=0 sei « — 0 konjugiert. Dann bestehe die Verknüpfung » der «@ in der Addition + der a‘. Wird jetzt endlich noch das Axiom VI herangezogen, so folgt, daß in den positiven a,, a, identisch (ar use — a +a, sein muß, und daraus ergibt sich für u = a + 0, dab notwendig 2° —= 2, c—=1ist. Hiermit ist dann offenbar der Satz der Vektoraddition (Satz 7‘) bewiesen. Für jeden von ı verschiedenen Wert von c erhält man eine Pseudo- addition, die alle Axiome des Systems I, I, UI, VIH, IV, V, VO* VI außer VI erfüllt und die somit die Unabhängigkeit des letzteren von den übrigen erweist. In der Tat ist die unter J’ angeführte Pseudoaddition, die eben dies leistet, als Spezialfall ce — + in der obigen enthalten. Sechster N herein e Kritik des Söaccischen Beweisganges. Ehe wir die Fragen nach der Unabhängigkeit und der Sukzessivität der Axiome wie beim Darbouxschen Beweisgang in Form von Tabellen beantworten, schicken wir einige Sätze ($ 58, 59, 60) voraus, auf die wir uns hernach zurückbeziehen werden. 1. Nachweis einiger Abhängigkeiten im Axiomsystem. Satz. Bei Voraussetzung von I, II, III, IV, V sind VII und VII* äquivalent. Setzen wir zunächst I, II, III, IV, V, VII voraus, so folgen die Sätze 1, bis 4, ($ 28 bis 33) wie früher und zudem, daß „(a) eine total- stetige Funktion von a ist. Betrachtet man nun zwei gleichlange von Null verschiedene Komponenten «,, @,, bildet die konjugierten Vektoren «‘, «, D/2) SU m und deren Resultante «‘,, so ist |p(a.)| und somit (a) eine totalstetige Funktion des Komponentenwinkels ©. Auf Grund von 4, ergibt sich aber, daß a,, eine totalstetige Funktion von 9(a,,) ist‘. Also muß a, auch eine totalstetige Funktion von &,, sein. Damit ist VIIL* bewiesen. Setzen wir andererseits I, II, III, IV, V, VII* voraus, so folgen aus den ersten fünf wieder die Sätze 1, bis 4,. Betrachtet man nun zwei gleichlange, von Null verschiedene Komponenten «,, a,,. bildet die kon- jugierten Vektoren «‘,, «, und deren Resultante «‘,, so ist der Komponenten- winkel o,, eine totalstetige Funktion von |op(a,,)|. Nach VII” ist aber «> 1) Wir benutzen dabei den allgemeinen Satz: Ist y — f(x) eine Funktion von den Eigenschaften: 1) zu jedem x eines endlichen abgeschlossenen Variabilitätsbereiches gehört eindeutig ein y, 2) zu verschiedenen x gehören verschiedene y, 3) % ist eine totalstetige Funktion von x, — dann ist x auch eine totalstetige Funktion von %. 68 Rudolf Schimmack, eine totalstetige Funktion von o,,; also muß a,, auch eine totalstetige Funktion von |9(@;)| sein. Auf Grund von 4, ergibt sich dann umgekehrt |p(a.)| als totalstetige Funktion von a,,') und, da nach VII” das p nicht sprung weis in seinen entgegengesetzten Wert übergehen kann, auch 9(a,,) selbst als total- stetige Funktion von a,. Damit ist VII bewiesen. An den letzteren Beweis schließen wir gleich noch eine wichtige Bemerkung. Nehmen wir zu I, U, HI, IV, V, VII* noch VI hinzu, so folgt offenbar mit VII zugleich der Additionssatz und somit auch VII. Man kann daher sagen: Satz. Es gilt: 1. 107 2117 va VE VI > VE Satz. Es gilt: L, 1, 06 IV, m Zum Beweis dieses weiteren Satzes bemerken wir zunächst, daß aus den ersten fünf Axiomen wieder die Sätze 1, bis 4, ($ 28 bis 33) folgen. Seien nun a,, @«, Komponenten verschiedener Richtungslinie und a, * @&, —=@;., SO ist IL ala) an: a (a: p(a) ne P(Q5) a, a, 1463 a2 Nach VII ist aber für ein 5>0 auch ga, *»5@ — $qa., also: p(Za p(Za,) p (5aı) u P\S% d; day dig da p (8415) BEIN) is: Multipliziert man die erste der Gleichungen mit 9(&a,), die zweite mit — (a) und addiert, so folgt: Fa) y (Em) — Pla) 9la,) „ Yan) PyERm)—PEAan) Pa) | EN PAS): 12) PIE a, ag 12° Da «,, a, nach 4, verschiedene Richtungslinie haben, so müssen die vor ihnen stehenden Zahlenfaktoren Null sein, also: P(Saı) _ 9P(Sa;) $(a,) p(a;) Dies besagt, daß der Ausdruck 2 von a nicht abhängt, sondern daß wir 1) Siehe Anmerkung auf Seite 67. Axiomatische Untersuchungen über die Vektoraddition. 69 schreiben können: g(&a) = 9(a)-p*(&; 9*A) = 1. Durch Vertauschung von a mit 5 gewinnt. man weiter: (ap) —= yA)y*la), also für = ı: @(a) = p(1)Y*(a). Es wird daher un —_ 2e@ ES p(sa) — 91) und speziell für <= a: rar DE ey Diese Gleichung sagt aus, daß 9 für alle (positiven) Argumente dasselbe Vorzeichen besitzt. Ziehen wir jetzt VI heran, so muß 9 der im ersten Abschnitt be- handelten Funktionalgleichung genügen. Die totalunstetigen Lösungen 9 (a) derselben, deren jede die Ebene überall dicht überdeckt, erfüllen offenbar nicht die eben abgeleitete Bedingung; also bleiben nur die stetigen Lösungen p(a) —= Ca. Damit ist der Additionssatz und sonach VII* bewiesen. Satz. Es gilt: RI EVER VL VI Ev DEyz Zum Beweis dieses weiteren Satzes bemerken wir zunächst, daß aus I, O, HI, VIII, IV wie früher ($ 48£.) die Sätze 1’, bis 4’, folgen. Der Satz 5‘, über die Funktion »* (x) wird, trotzdem V nicht benutzt werden darf, ebenfalls wie früher ($ 51) abgeleitet werden können, wenn es nur gelingt, (0) — w*(1) als von Null verschieden nachzuweisen. Angenommen aber, es sei »*(1) — 0, so würde aus Satz 4', für x, — x, folgen: 0 = (w*(@))?, d.h. es müßte »*(z) oder also w(o) = 0 sein. Dies lieferte nach 3° für gleich- gerichtete Komponenten a, — a,-0 — 0, und das widerspricht VI. Somit ergibt sich in der Tat auch hier 5‘,. Verfolgen wir weiter die Betrachtungen des $ 52, so bleibt alles ebenso bis auf die Stelle, wo gesagt wird, daß für drei gleichgroße Kom- ponenten @, «a;. a,, die miteinander je den Winkel e bilden, &,: = — a; ist. Stattdessen können wir hier indes sagen, daß «@, nicht mit «, gleich- gerichtet sein kann, da sonst nach VI a, +qa;-+0 wäre. Also muß dieses a0) den Komponentenwinkel o,, selbst halbieren, und somit muß nach D 7/2] 60. 70 “ Rudolf Schimmack, VII” a, für gleichlange Komponenten stets den Komponentenwinkel o,; halbieren. Andererseits fällt zwar die Gleichung (=) — 1 zur Elimination der Konstanten » (0) fort; dafür liefert aber die Formel Aa — a, W(0) (cos! ©15)° für © = 0 nach VI sofort: 2a, = a,w(0), also w(0) = 2. Der Satz 6‘, er- scheint daher in der Gestalt: Satz (6‘,): Die Resultante zweier gleichlanger, von Null verschiedener Komponenten a,, a, (a, = a) halbiert den Komponentenwinkel & und hat die Länge an —= 2a, (cos! 1)". Auf Grund von Axiom I, II können wir jetzt für einen beliebigen Vektor a setzen: @*0 = f(a)-a, und bestimmen die Funktion f(a) durch folgende Betrachtung. Seien 1, 1» zwei Vektoren von der Länge 1, die den variablen Romponentenwinkel o,, einschliessen, und 11, der Vektor von der Länge 1, der o, halbiert. Wir bilden nun für eine beliebige positive Zahl «a den Vektor (al, » al,) * (0 = 0); dieser ist 1 — fl2a (eos }@15)°) 2a (cos 3 @12)°-Lıs nach Ansatz; | einerseits | andererseits — (alı * als) #0 nach 1’ ee (alı *0) (alas +0) nach II, IV — 24 (cos 1 015)° 112 * 0 nach (61) | — f(a) alı * f(a) als nach Ansatz | — 2 f(a) a (c08 5 @19)°* lı» nach (64). Es muß daher identisch in a und o,, sein: (2a (cos! @,)) =f(a). Variiert man nun o&,, von O0 bis z, so durchläuft (cos! o,) wegen c>0 alle Werte von 0 bis 1. Folglich ist f@) für alle x des Intervalls o 1,1% nach 5 28 Ne My V, vs v9 nach A IB IST DR nach $ 28 und 48 \ RAR —, uU »D 2 nach B ee SENT Iy: V. vi, vopoı nach C I a, a al Di nach $ 48 u a oe nach B |" 2 Syn p 3‘ nach C Are vv. Wire vT Dil nach $ 58 und 48 (!) ENT Rz > 4,4%, 4% nach $ 49 TE IT SEyTU IV; Br nach B Te IT RR an SV ara nach C hr DA, nach 7 ee nach F T IE SIaNnmeRy, N Desianss nach $ 30 und 51 VL, IV, YV 5% nach B nn D 5% nach C Tess TE IV. V Ad nach J TEN eva — UV D 5% nach F En De TE A nach $ 60 und 30 () 1 va IV, Ve var > 64,...6% nach $ 52 bis 56 TEEN TITITERASRVALTIEN KETVS VA OVL® > 6 nach B Ti eo WIE, IN; vv 76% nach C DET IV. Vs VI Dre nach J TEE NIIT N, VI Den nach F TR ET IV; VI Ja nach G‘ T I WU, IV; V,- — VD 6,66% nackıs 59% 52 bi sbill! Hieraus ist ersichtlich, daß an drei Stellen — sie sind mit einem Ausrufzeichen markiert — die Hinzunahme eines neuen Axioms zu den vorher benutzten nicht unbedingt notwendig ist, sondern sich durch Hinzu- nahme anderer Axiome ersetzen ließe. Erst wenn man den unbedingten Ausschluß von VI bis zuletzt verlangt, dann kann man sagen, daß die Hinzunahme des jeweiligen der übrigen Axiome an den betreffenden Stellen gerade unentbehrlich sei. Nämlich es gilt: Axiomatische RE he. 0, RI TS RT, (5 1 17 Von (ES NIE IE Sa, 87, pr 11 OTAT VEN Dny2 URS STITSVDTTSSELVA Untersuchungen VII, VI, VII, VI, ’ I NND, er, D 4 VI B) 5, 52 em. D 5°, VI > 6; 600} 6‘; zi D 6, über die Vektoraddition. =] (8) nach $58 und 48 nach J nach $ 60 und 30 nach @‘ nach $ 59, 52 bis 56 nach K“. Auch hier tritt also hervor, in wie unvollkommenem Maße der Stiaccische Beweisgang den aufgestellten Forderungen genügt. Ein Vergleich der Darbouxschen und des Siacceischen Beweisganges auf Grund der in der Einleitung aufgestellten axiomatischen Kriterien mus demnach erheblich zugunsten des Darbouxschen Beweisganges ausfallen. Nova Acta XC. Nr.1. 10 Siebenter Abschnitt. Bemerkungen zu einschlägigen Arbeiten von G. Hamel und F. Schur. 1. Vorbemerkung; ein unrichtiger Unabhängigkeitsbeweis bei Schur. Ss 69. In den in der Einleitung ($ 5) zitierten einschlägigen Arbeiten der Herren Hamel und Schur wird ein Axiomsystem zugrunde gelegt, das mit Benutzung unserer früheren Bezeichnungsweise ($ 43) so lautet: INS IN; 10: yo: Da hierbei betreffs der Reihenfolge der Axiome nichts Prinzipielles verlangt wird, so ist das Axiom V, als in VI’ enthalten, entbehrlich. Der Hauptgegenstand der Untersuchung in den genannten Arbeiten ist, ob die Axiome voneinander unabhängig sind, und andererseits, ob diese Unab- hängigkeit etwa aufgehoben wird, wenn man VII’ in die folgenden VII‘ oder VII‘ verändert. Axiom VII. Die Funktionen, welche die rechtwinkligen Koordinaten des Endpunktes der Resultante dureh diejenigen der Endpunkte der Kom- ponenten darstellen, sind nicht nur stetig, sondern besitzen auch stetige erste Differentialguotienten. Axiom VII“. Die Funktionen, welche... darstellen, sind nicht nur stetig, sondern besitzen auch stetige erste und zweite Differentialguotienten. Die bezeichneten Fragen werden so beantwortet: 1) L —, IL Iv, vm, vie >p II (Hamel) 2) L, I, —, Iv VI, vi > II (Schw) 3) I, I, IM —, vo, vi DIV (Schw) 4) L Mm Im IWW, —, vo» VI (Schw) 5) Rh L m mw vm - » vie (Hamel). Rudolf Schimmack, Axiomatische Untersuchungen über die Vektoraddition. 75 Und zwar bleiben die Aussagen 2), 3), 4) bestehen, selbst wenn man, VII erweiternd, VII“ als Axiom hinzunimmt (Schur). Dagegen wird 1) hin- fällig, wenn man VII“ — ja schon wenn man VII‘ als Axiom hinzunimmt; nämlich: 6) I, —, IM W, vi vm“ DI (Schw) 7) Ln — IM W vm vIr DIT (Hamel). Zu diesen Ergebnissen sollen nun in den folgenden Paragraphen einige Bemerkungen hinzugefügt werden. Herr Schur gibt zum Beweise für 2) an, daß die Zusammensetzung der endlichen Drehungen eines starren Körpers um einen festen Punkt, wenn man jede Drehung durch einen Vektor darstellt, der in die Drehachse fällt und der Amplitude der in irgend einem Maßstabe gemessenen Drehung gleich ist, alle Axiome außer III erfüllt. Demgegenüber behaupte ich, daß eine so konstruierte Vektorverknüpfung nie die Axiome I, II, IV, VI’, VIT° zugleich erfüllen kann, und beweise es folgendermaßen in vier Schritten. 1. Der Zusammenhang zwischen der Länge des Vektors « und der Amplitude », der ihn darstellenden Drehung sei durch die Funktion &©. — f(a) ausgedrückt (I, II). Wir betrachten zunächst zwei Vektoren «, b von ver- schiedener Richtungslinie und zwar sei das zu D gehörige ©, — f(b) nicht ein ganzes Vielfaches von 2x. Variieren wir nun unter Festhaltung der Richtung des @ die Länge a stetig und bestimmen nach der bekannten ele- mentaren Konstruktion mittels der zugehörigen Amplituden ®. — f(a), ©; — f(b) die Richtungslinie der Resultante @*d, so kann diese sich nur dann immer stetig ändern, wie sie soll (VII’), wenn f(a) eine totalstetige Funktion ist oder doch wenigstens nur Sprünge besitzt, deren Größen ganze Vielfache von 2x sind. Daher hat f(a) notwendig die Form: ra = f*(a)+279(a), wo f*(a) eine totalstetige Funktion ist und g(a) nur ganzzahlige Funktions- werte besitzt. Zu der obigen Annahme, daß es einen Vektor d gibt, dessen &, — f(b) nicht ein ganzes Vielfaches von 2x ist, waren wir berechtigt. Denn in der Weise, daß jeder Vektor einer Drehung um ein ganzes Vielfaches von 2x 10* $ 64. 76 Rudolf Schimmack, entspricht, kann keine Pseudoaddition mittels der Drehungen definiert werden. Sind nämlich @«, db beliebige Komponenten, so liefert diese ausgeartete Drehungsvorschrift über die Bestimmung der Resultante gar nichts, da jeder beliebige Vektor e gleich «=D sein kann; und es bedarf erst noch einer Festsetzung, wie die Resultante aus den Komponenten bestimmt sein soll — worauf dann die Drehungsvorsehrift schlechthin überflüssig ist. 2. Wir betrachten jetzt zwei Vektoren a, d derselben Richtung... Da ihre Resultante e—=«a+5 (VI) ist, so betragen die Amplituden der zu- gehörigen Drehungen ®. = f(a), & = f(b), & —=f(a+b). Für die Drehungen um dieselbe Achse ist aber ®©. gleich der Summe &,.+ ©, oder unterscheidet sich von ihr um ein ganzes Vielfaches von 22: & = ©. +@,+2ry, und zwar kann die Bestimmung der ganzen Zahl 7 nur von a und b abhängen (II). Wir gewinnen daher die Funktionalgleichung für f(a): fa+b) = f(a)+f(b)+2rY (a, b), wo die nicht näher bekannte Funktion y(a,b) nur ganzzahliger Funktions- werte fähig ist. Führt man in diese Gleichung die obige Form von f(a) ein und ordnet, wie es zweckmäßig ist: f*(a+b) — f* (a) —f*(b) — 27 (g(a) + 9) —g(a+b)+Y(ad)), so ist die linke Seite eine totalstetige Funktion von a wie von b; da aber die Klammer rechterhand nur ganzzahlige Werte besitzt, so muß sie eine konstante ganze Zahl 9 sein; wir schreiben: f* (a + b) — f* (a) — f* (b) = 2ng. Die so gewonnene Funktionalgleichung für f*(a) hat aber nach $ 16 als einzige totalstetige Lösung f*(a) = (a—27g, wo C eine reelle Konstante bedeutet, und somit wird fa) = Ca+2x7g* (a), wo g*(a) nur ganzzahliger Funktionswerte fähig ist. Der Wert © =o bleibt ausgeschlossen, da man anderenfalls auf die unter 1. erwähnte Ausartung zurückkäme. Axiomatische Untersuchungen über die Vektoraddition. 77 3. Wir betrachten weiter zwei Vektoren «@, b von verschiedener $ 66. Richtungslinie, deren Längen nahezu ganze Vielfache von E sind: Dr 2am+d 2ANteE Il 5° El wo C die eben eingeführte Konstante, m und » natürliche Zahlen bedeuten. Die Wahl der sehr kleinen positiven Zahlen d, e behalten wir uns noch vor, nur die Richtungen der beiden Vektoren mögen festbleiben. Bestimmen wir jetzt mittels der zugehörigen Amplituden: . — f(a) = 22x (+m+ 9°) + 6, % — fl) =22 (+n+9g*(b))+E die Richtungslinie der Resultante @ = d, so schneidet diese offenbar die Ebene ab unter einem sehr. kleinen Winkel und muß, wenn wir d und e nach Null konvergieren lassen, in die Ebene «5 hineinfallen (VII). Wir können aber, da d und e unabhängig voneinander sind, jene Richtungslinie in die verschiedensten Lagen innerhalb der Ebene «db konvergieren lassen. Folg- lich kann die Richtungslinie von «a xD, wo a—lma db=1lmb, d=0 Ee=0 „_2zm 5;_2zn el le ist, auf keinen Fall eine bestimmte sein. Da die Resultante @ 5 selbst indes eindeutig bestimmt sein muß (I), so bleibt nur die Möglichkeit, dab sie Null ist. Wir gewinnen damit den Hülfssatz: Die Resultante zweier (von Null verschiedener) Vektoren von verschiedener Richtungslinie, deren Längen ganze Vielfache von q 4. Wir bilden endlich für zwei Vektoren @, b der eben betrachteten Art die Resultante @ = (@ = b). Diese ist sind, ist stets Null. einerseits andererseits — @=(0 nach dem Hülfssatz — (asa)*D nach IV —=@ nach VI —92qax*D nach VI! — () nach dem Hülfssatz. Es müßte also « = 0 sein, was der Voraussetzung zuwiderläuft. 8 6%. 78 Rudolf Schimmack, Damit haben wir den Widerspruch, auf dessen Herleitung alles ankam. Eine Verknüpfungsregel, wie sie Herr Schwr angibt, kann unmöglich alle die gewünschten Axiome erfüllen. Der Beweis für die in $ 63 auf- geführte Behauptung 2) ist also hinfällig. 2. Ergänzung zu einem Satze bei Hamel; ein allgemeiner Abbildungssatz. Eine weitere Bemerkung betrifft einen Zusatz zum $ 2 der Hamel- schen Arbeit. Herr Hamel betrachtet dort alle Vektoren der Form gsaxndbxLc, wo a, b, c ein geeignetes’) Tripel fester Einheitsvektoren und &, m, & beliebige reelle Zahlen bedeuten, und ordnet jedem solchen Vektor des „Original- raums“ (mit dem Anfangspunkt O0) in einem „Bildraum“ (mit dem Anfangs- punkt 2), der ein dem ersteren kongruentes Vektortripel «, d, ce enthält, einen Vektor zu, nämlich: & Y a Sar pie a b c Von dieser Abbildung läßt sich allein auf Grund der Axiome I, III, IV, VI’, VII’ aussagen: 1) Jedem Vektor des Bildraums entspricht eindeutig ein Vektor des Originalraums. 2) Vektoren derselben Richtungslinie im Bildraum entsprechen Vektoren derselben Richtungslinie im Originalraum, und die Abbildung ist auf je zwei entsprechenden Richtungslinien eine ähnliche. 3) Ändert man einen Vektor des Bildraums stetig, so ändert sich auch der entsprechende Vektor des Originalraums stetig. 4) Läßt sich ein Vektor des Originalraums in obiger Form darstellen, so nur auf eine einzige Weise. 5) Jeder (!) Vektor des Originalraums läßt sich in obiger Form darstellen. 6) Der Addition + zweier Vektoren des Bildraums ‚+6, Su > SEES a Garlarsc)+(Garto+2c) z a+ 7 + : 1) Das Genauere möge man an der angeführten Stelle nachlesen. Axiomatische Untersuchungen über die Vektoraddition. 79 entspricht die Verknüpfung = der entsprechenden Vektoren des Originalraums: sa=ndb*:5)*:Ga+7d+:T!o) = (tS)a«nmtm)d*C+LT)e Die Beweise für 1) bis 4) und 6) sind in der genannten Arbeit ent- halten‘), einen für 5) hat Herr Hamel nicht angegeben. Dieser Beweis kann allerdings entbehrt werden, sobald nur die Unabhängigkeit des Axioms II durch Angabe einer speziellen Pseudoaddition dargetan werden soll. Um indes zu zeigen, daß die von Herrn Hamel in $ 2 aufgestellte Pseudoaddition die allgemeinste (!) ist, die den Axiomen I, IIl, IV, VI, VII’ genügt, muß man 5) beweisen. Dieser Nachweis kann folgendermaßen erbracht werden. Nach dem obigen 2) entsprechen die sämtlichen Vektoren, die in einer Geraden des Geradenbündels durch 2 liegen, den sämtlichen (!) Vektoren, die in einer bestimmten Geraden des Geradenbündels durch O liegen. Und das gilt für jede (!) Gerade des Bündels durch 2. Wir betrachten daher statt der Vektoren ihre Richtungslinien und charakterisieren jede solche, indem wir um O0 und 2 je eine Kugel legen, durch ihre Durchstoßpunkte auf der betreffenden Kugeloberfläche. Alsdann kommt alles darauf hinaus, daß wir einen alleemeinen Abbildungssatz ableiten, den wir sogleich formulieren und beweisen werden ($ 68— 71). Ein allgemeiner Abbildungssatz. Wenn die Punkte py und P zweier Kugeloberflächen k und K_ so aufeinander bezogen sind, dafs [= . jedem p eindeutig ein P entspricht, & verschiedenen p verschiedene P entsprechen, ww stetigen Änderungen von p stetige Änderungen von P entsprechen, dann entspricht auch jedes (!) P einem ». 1) Der Nachweis für 6) ruht auf der Herleitung des distributiven Gesetzes 5 (@ * D) — &a=g&b, für beliebige reelle & Herr Hamel gibt diese nur für positive 5 an, sie ist leicht für negative & hinzuzufügen. Für beliebige @, d ist nämlich die Gleichung —a=—b)=c — ( erfüllt, sobald man c—= «a xD setzt. Daher ist nach Hamels Satz e (dieser ist vor d zu stellen) —(@+5b) = —ax*—Db. Hierauf folgt dann weiter: —|ä|(a*2d) = —(|sla »|5]d) = — 5a» — 51. $ 68. 80 Rudolf Schimmack, Beim Beweis dieses Satzes werden wir uns wiederholt auf zwei Hülfssätze beziehen, deren Beweise mit unserem Abbildungssatze nichts zu schaffen haben’ und hier als erledigt gelten mögen. Der erste von ihnen lautet wie folgt. Hülfssatz 1. Auf einer Kugeloberfläche teilt eine beliebige ge- schlossene „Linie“ c') die nicht auf der Linie gelegenen Punkte in zwei Ge- biete so, da/s zwei Pumkte desselben Gebietes sich durch eine Linie verbinden lassen, die mit c keinen Punkt gemeinhat; da/s zwei Punkte verschiedener Gebiete sich nur durch Linien verbinden lassen, die mit c mindestens einen Punkt gemeinhaben: und da/s jeder Punkt eines Gebietes sich mit jedem Punkt von e durch eine Linie verbinden lä/st, die mit c keinen zweiten Punkt gemeinhat. An unmittelbaren Folgerungen hieraus heben wir vorweg hervor: Zwei Punkte verschiedener Gebiete lassen sich stets durch Linien ver- binden, die mit c auch nur einen (!) Punkt gemeinhaben. Ist auf einer Kugeloberfläche eine geschlossene Linie c gegeben und überdies ein nicht auf c liegender Punkt p,, so kann man das Gebiet, das p, enthält, als das Innere von c, das andere als das Außere von c bezeichnen. Jeder Punkt HER Innern ” Äußern binden, die außer p, ganz dem von c läßt sich mit jedem Punkt p, auf c durch eine Linie ver- Innern Äußern p, auf c lassen sich durch eine Linie miteinander verbinden, die außer p, Innern Äußern von c angehört. Zwei Punkte p, und und p; ganz dem von c angehört. Sind ferner zwei verschiedene Punkte p, und p; auf c durch eine Innern Äußern Teilungslinie“ von c heißen. c* bildet nun mit den Linie c* verbunden, die außer p, und p» ganz dem von c angehört, so möge c* eine innere s ” äußere beiden Stücken c!, e2 von c (die durch p,, p, entstehen) je eine geschlossene Linie, sodaß nach dem Hülfssatz 1 sowohl c!c* als «2c* eine Gebietseinteilung auf der Kugeloberfläche hervorbringt. Je eines der entstehenden Gebiete = PRERn: Innern Teilungslinie ist, nur Punkte des . von c. = „ Innere enthält, wenn «* \ Außern äubere 1) „Linie“ heiße hier und im folgenden: stetige doppelpunktslose Kurve im Jordanschen Sinne. Axiomatische Untersuehungen über die Vektoraddition. sl Nämlich angenommen etwa, es seien p‘ und p“ zwei Punkte ver- . e 5 i : i . _ Äußern schiedener Gebiete von c!c*, und jeder von ihnen liege im ana VOR € oder auch auf c, wobei im letzteren Falle nur die Lage auf «2 mit Ausschluß der Punkte p,, p, möglich ist. Jetzt lassen sich p‘ und p“ durch eine Linie verbinden, die — höchstens abgesehen von p‘ und p“ selbst — ganz dem Äußern Innern eingerechnet, weder mit c! noch mit c* einen Punkt gemeinhaben, und das von c angehört (Hülfssatz 1). Diese Linie p‘p“ kann daher, p‘ und p“ widerspricht dem, daß p‘ und p“ Punkte verschiedener Gebiete von c!c* sein sollten. — Entsprechend ist der Beweis für c2«* zu führen. =c e o innere e 0 “ Anl: Wir nennen fortan für eine AS Teilungslinie c* dasjenige durch 0) nern 9 I re ce! c* entstehende Gebiet, das nur Punkte des te von c enthält, das Innere Er Innern von ctc*; dasjenige durch «2c* entstehende Gebiet, das nur Punkte des es von c enthält, das Innere von @?c*. — Alsdann lautet der zweite Hülfssatz: Hülfssatz 2. Ist auf einer Kugeloberfläche eine geschlossene Linie c 9 Teilungslinie * gegeben, so liegt jeder Punkt des on äufsere Aufsern von c entweder auf “* oder in einem der beiden Teilgebiete: dem Innern von Innern Äufsern und dazu eine cic* oder dem Innern von 2 *, deren jedes auch nur Punkte des c enthält. — Der Beweis unseres vorhin formulierten Abbildungssatzes soll nun in zwei Stufen gegliedert werden: den Beweis eines Vorbereitungssatzes ($ 69f.) und den eigentlichen Hauptbeweis ($ 71). Zur Ableitung des Vorbereitungssatzes betrachten wir auf der Kugeloberfläche % eine geschlossene Linie c, welche % in zwei Gebiete zer- legt (Hülfssatz 1). Ihr entspricht auf der Kugeloberfläche X vermöge der drei Voraussetzungen über die Abbildung eine geschlossene Linie C, welche ihrerseits X in zwei Gebiete zerlegt (Hülfssatz 1. Wir behaupten nun: Zwei Punkten p,, p, desselben Gebietes auf k entsprechen zwei Punkte P,, P, desselben Gebietes auf K; zwei Punkten p,, p verschiedener Gebiete auf k entsprechen zwei Punkte P,, P, verschiedener Gebiete auf K. Der erste Teil dieses Satzes ist leicht als richtig zu erweisen. Ver- bindet man nämlich zwei Punkte »,, p, desselben Gebietes auf % durch Noya Acta XC,. Nr.1. 11 5 6 9. 82 "Rudolf Schimmack, eine Linie, die mit ce keinen Punkt gemeinhat, so entspricht ihr auf X eine Linie, welche die entsprechenden Punkte P,, P, verbindet; und diese Linie kann mit © keinen Punkt gemeinhaben, weil das der Eindeutigkeit zuwider- lief. P), P, können also nicht in verschiedenen Gebieten auf K liegen. Um für die zweite Hälfte des Vorbereitungssatzes den Beweis zu erbringen, machen wir die Annahme des Gegenteils: p, und », liegen in verschiedenen Gebieten auf k, P, und P, liegen in demselben Gebiet auf K; das », enthaltende Gebiet möge das Innere von c, das p, enthaltende Gebiet das Äußere von c, das P, und P, enthaltende Gebiet das Innere von C heißen. Zum Nachweis für die Unrichtigkeit dieser Annahme bedarf es nun einiger größerer Ausführungen, die wir im $ 70 in sechs Absätze (« bis £) disponieren. Der Kern des Beweises wird darin liegen, daß man zwei Punkte des Innern einer geschlossenen Linie nicht durch drei Linien miteinander ver- binden kann, die außer den Endpunkten keinen Punkt miteinander gemeinhaben und mit der ursprünglichen geschlossenen Linie je einen Punkt gemeinhaben. c) Wir wählen auf ce zwei verschiedene Punkte p‘, »* und verbinden sie mit pı durch je eine Linie, die mit ce nur p‘ und p“ gemeinhat, sodaß pp‘ und »,p“ außer p‘ und p“ ganz dem Innern von c angehören (Hülfssatz 1). Überdies dürfen wir voraussetzen, dab pp und p, p“ miteinander nur p, gemeinhaben; denn hätten sie noch andere Punkte miteinander ge- mein, so gäbe es, da die Menge solcher Punkte abgeschlossen sein muß, von p‘ und p“ aus einen ersten Punkt, den p,p‘ N und »,p“ miteinander ge- Ri meinhätten, und diesen würden wir dann p, nennen. In derselben Weise verbinden wir p‘ und »“ mit 7, durch je eine Linie, die mit e nur p‘ und p“ gemeinhat, sodaß 9,9 und pp“ außer p‘ und p“ ganz dem Äußern von c angehören (Hülfssatz 1). Axiomatische Untersuchungen über die Vektoraddition. 83 Und wir dürfen voraussetzen, daß »p‘ und »,p“ miteinander nur p, ge- meinhaben. Wir erhalten damit auf % zwei Linien p,p‘p, und p,p“ps, die mit- einander nur p, und p, gemeinhaben und die mit ce jede genau einen Punkt, nämlich »‘ bezw. »“, gemeinhaben. Den beiden so konstruierten Linien entsprechen auf X zwei Linien, die miteinander nur ?, und PD, gemeinhaben und die mit C jede genau einen Punkt semeinhaben; wir nennen diese voneinander verschiedenen Punkte bezüglich P' und P“, die erhaltenen Linien also P, PP, und PP“ P,. Diese beiden Linien gehören außer P' und P“ ganz dem Innern von C an; denn läge etwa auf P,P'P, ein Punkt 17 des Äußern von €, so müßte so- wohl das Stück PT als das Stück PN der Linie P\,P'P, einen Punkt mit C gemeinhaben, was unmöglich ist. 8) Die geschlossene Linie C wird durch P‘ und P“ in zwei Stücke zerlegt, sagen wir P’AP“ und P“BP‘. Da nun die Linien P,P', P, P“ mit- einander nur P, gemeinhaben, und außer P‘ und P“ ganz dem Innern von C angehören, so ist P’P,P“ eine innere Teilungslinie von 0. Jeder Punkt des Innern von € liest daher entweder auf P‘P, P“ oder in einem der beiden Teilgebiete: dem Innern von P,P'’AP“P, oder dem von P,P“BP'P,, deren jedes auch nur Punkte des Innern von C enthält (Hülfssatz 2). In einem der beiden Teilgebiete liegt P,, da es im Innern von C und weder auf P, P‘ noch auf P,P“ liegt; wir wählen die Bezeichnung so, daß P, im Innern von PR,P“BP'P, liest. — Da nunmehr auch die Linien P,P‘ und P,P“ außer P' und P“ ganz dem Innern von P, P“BP‘'P, angehören müssen und überdies miteinander nur P, gemeinhaben, so ist P’P,P“ eine innere Teilungslinie von P,P“BP‘'P,.. Jeder Punkt des Innern von P,P“BP‘P, liegt daher entweder auf P‘P,P“ oder in einem der beiden Teeilgebiete: dem Innern von P,P“P,P'P, oder dem von P,P“BP'P,, deren jedes auch nur Punkte des Innern von P,P“BP'P,, also von C enthält (Hülfssatz 2). Entsprechend ergibt sich: P,P,P“ ist eine innere Teilungslinie von C. Jeder Punkt des Innern von C liegt daher entweder auf P’P, P“ oder in einem der beiden Teilgebiete: dem Innern von P, P'’AP“P, oder dem von P,P"BP'P,, deren jedes auch nur Punkte des Innern von C enthält (Hülfs- satz 2); und das hier erhaltene Innere von P,P“BP‘'P, ist darum mit dem 11* 54 Rudolf Schimmack, vorhin definierten gleichlautenden Innern identisch. In einem der beiden letztgewonnenen Teilgebiete liegt P,, da es im Innern von C und nicht auf P'P,P" liegt; und zwar liegt P, im Innern von P, P'AP“P,, denn läge es im Innern von P,P“BP'P,, so läge es auch im Innern von P,P“BP'P, während es doch auf (!) PR P“BP'P, liegt. — P'P,P“ ist dann wieder eine innere Teilungslinie von P, PAP“P,. Jeder Punkt des Innern von P,P'AP“P, liegt daber entweder auf PP,P“ oder in einem der beiden Teilgebiete: dem Innern von P,P“P,P'P, oder dem von P,P'AP“P,, deren jedes auch nur Punkte des Innern von P,P'AP“P;,, also von C, enthält (Hülfssatz 2); und die hier erhaltenen Innern sind darum mit den vorhin definierten gleich- lautenden identisch. Damit ist bewiesen, was wir im folgenden über die Einteilung der Punkte des Innern von © durch die Linien PP, P“ und P'P,P“ benutzen werden. y) Die geschlossene Linie ce wird durch p‘ und p“ in zwei Stücke zerlegt, sagen wir p’ap“ und p“bp. Da nun die Linien »,9‘, pp“ mit- einander nur », gemeinhaben und außer p‘ und.»“ ganz dem Innern von c angehören, so ist »'p,p“ eine innere Teilungslinie von c. Damit ist ein Inneres von p,p’ap“p, und ein Inneres von »,p“bp‘p, definiert, deren jedes auch nur Punkte des Innern von c enthält (Vorbemerkungen zu Hülfssatz 2). Wir wählen sodann auf p’ap“ einen von »‘, p“ verschiedenen Punkt »“ und verbinden ihn mit p, durch eine Linie p,p“, die mit pp‘ und p,p“ nur pı gemeinhat, mit »’ap“ nur p“ gemeinhat und außer p, und »“ ganz dem Innern von »,p‘ap“p,, also dem Innern von ce angehört (Hülfssatz 1, Folgerungen). — Ganz analog ist, indem man »‘p,p“ als eine äußere Teilungs- linie von e erkennt, eine Linie 9,9“ zu konstruieren, die mit p»,p' und 9,9“ nur », gemeinhat, mit p’ap“ nur (denselben Punkt) p“ gemeinhat und außer p» und p“ ganz dem Innern von p,p“ap'p,, also dem Äußern von e angehört. Aus den beiden Linien », p“ und p, p“ erhalten wir aber, da sie miteinander nur »“ gemeinhaben können, eine einzige Linie p,p“p,, und diese hat mit »,9'p, und p,9“p, nur p, und p, gemein und hat mit e nur p“ gemein. Der so konstruierten Linie entspricht auf X eine Linie, die mit P,P'P, und P,P“P, nur P, und P, gemeinhat und mit © genau einen Punkt, sagen Axiomatische Untersuchungen über die Vektoraddition. 85 wir P“, gemeinhat. Mittels dieser Linie P,P“P, werden wir nun einen Widerspruch hervorbringen können. d) Zunächst: Auf P, P“ P, liest kein Punkt des Innern von P,P“P,P'P. Angenommen nämlich, es gäbe einen Punkt P auf P,P“P,, der dem, Innern von P,P“P,P'P, angehört. Dann ist P mit P'“ durch ein Stück der Linie P, P“P, verbunden, das mit der Linie P, P“P,P'P, keinen Punkt ge- meinhat. Andererseits läßt sich ?“ als Punkt von € mit einem Punkt des Äußern von © durch eine Linie verbinden, die außer P“ ganz dem Äußern von C angehört (Hülfssatz 1). Und diese Verbindungslinie hat keinen Punkt mit der Linie P, P“P,P‘'P, gemein (denn P, P“P,P'P, gehört außer P‘ und P“ ganz dem Innern von © an, und die auf C liegenden Punkte P‘ und P“ sind von P“ verschieden). Wir erhielten also eine Ver- bindungslinie von P mit einem Punkt des Äußern von Erdieimit B PP, PP keinen Punkt gemeinhat; und das widerspricht der Definition des Innern von PP“P,P'P.. — Damit ist der zu Anfang von 6) formulierte Satz bewiesen. e) Ferner: Auf P,P“P, können unmöglich sowohl Punkte des Innern von P,P'AP“P, als Punkte des Innern von P,P“BP‘P, liegen. Wenn nämlich ein Punkt 7° auf P,P“P, im Innern von P P'AP“P, liegt, so muß das Stück W’P, der Linie P, P‘“P,, da P, nicht im Innern von P,P'AP“P, liegt (£), einen Punkt mit der Linie PR, P'AP“P, gemeinhaben (Hülfssatz 1). Dieser Punkt kann nicht P, sein, da P, kein Punkt von IT‘ P, ist, und kann nicht Punkt der Linien PP‘ und P,P“ sein, da diese mit P,P“P, nur P, gemeinhaben; er muß also ein von P‘ und P“ verschiedener Punkt von P‘A P“ sein. — Wenn außerdem ein Punkt Y“ auf PA P“P, im Innern von P,P“BP‘P, liegt, so muß — wie ebenso zu erschließen ist — das Stück 7“P; der Linie P,P“P, einen Punkt mit der Linie BP“BP'P, gemeinhaben, und dieser muß ein von P‘’ und P“ verschiedener Punkt von P‘BP“ sein. — Wir hätten also zwei voneinander verschiedene Punkte, die P, P“P, mit C gemeinhat, und das ist unmöglich. Damit ist der zu Anfang von :) formulierte Satz bewiesen. £) Da die Punkte der Linie P,P'AP“P, eine abgeschlossene Menge bilden und von dem Punkte P,, der im Innern dieser Linie liegt ($), lauter von Null verschiedene Abstände haben, so gibt es em 0, >0, das kleiner s 1. 86 Rudolf Schimmack, als jeder dieser Abstände ist. Schlagen wir mit diesem o, um P, einen Kreis, so sind darin nur Punkte des Innern von P,;P'AP“P, enthalten; und diese liegen entweder auf P'P, P“ oder im Innern von P,P“P,P‘'P, oder im ‚Innern von PR P'AP“P, ($). Ebenso läßt sich mit einem , >0 um P,; ein Kreis schlagen, in dem nur Punkte des Innern von P,P“BP'P, enthalten sind; und diese liegen entweder auf P‘P,P“ oder im Innern von P, P“P,P'P, oder im Innern von P,P"BP‘P, (P). Da nun die Linie PB 2“P, mit PP P“" und PB, PL“ nur 2 und 2, gemeinhat (7), da ferner auf ihr kein Punkt des Innern von P,P“P,P'P, liegt ($), und da endlich auf ihr unmöglich sowohl Punkte des Innern von P,P'AP“P, als Punkte des Innern von P,P“BP‘P, liegen (e), so ist ent- weder in der Umgebung von P, oder in der von P, kein weiterer Punkt von P,P“P, enthalten. Und das widerspricht der Stetigkeit der Linie. Damit ist der Vorbereitungssatz bewiesen. Indem wir jetzt zum eigentlichen Hauptbeweis kommen, machen wir die als unrichtig zu erweisende Annahme, es gäbe auf X einen Punkt P°, der keinem (!) Punkt p auf % entspricht. ce) Wir konstruieren zuerst auf % ein Viereck, dessen Seiten — wie wir uns unmißverständlich ausdrücken dürfen — zwei Stücke von „Meri- dianen“ und zwei Stücke von „Breitenkreisen“ sind. Dieser geschlossenen Linie c,, welche % in zwei Gebiete zerlegt, entspricht auf X vermöge der drei Voraussetzungen über die Abbildung eine geschlossene Linie C,, welche ihrerseits X in zwei Gebiete zerlegt (Hülfssatz 1), und das ganze andere durch c erzeugte Gebiet entspricht einem gewissen Teil‘) des |, durch C, erzeugten Gebietes (Vorbereitungssatz). P° liegt, da es nicht auf C, liegt, in einem der beiden durch C, er- zeugten Gebiete (Hülfssatz 2). Indem wir dieses als das Innere von (,, das entsprechende Gebiet auf % als das Innere von c, bezeichnen, können wir formulieren: Es ist ein Inneres von c, und ein Inneres von CO, wohl- definiert; das ganze Innere von c, entspricht einem Teil des Innern von C,; PV liegt im Innern von (,. 1) „Teil“ immer im Sinne von „echter oder unechter Teil“. Axiomatische Untersuchungen über die Vektoraddition. 87 Wir konstruieren sodann den Meridian in der Mitte zwischen den beiden Meridianen, die an der Bildung von c, beteiligt sind, und erhalten damit eine innere Teilungslinie c* von c,, die ein Inneres von c,!cı* und ein Inneres von a 2c,* definiert. Dieser inneren Tei- lungslinie entspricht auf X eine innere Teilungslinie C,* vonC,, |. i b 1 1 SI die ein Inneres von C,1C,* und ein Inneres von 0,2 C,* definiert. — Nun muß das ganze Äußere *von c«!c,* entweder einem Teil des Äußern oder einem Teil des Innern von C,1C,* entsprechen (Vorbereitungssatz). Das letztere ist indes unmöglich; denn das Äußere von «1c,* enthält (alle) Punkte des Äußern von c,, die Punkte des Äußern von c, entsprechen Punkten des Äußern von €, und das Innere von G,!C,* enthält keinen Punkt des Äußern von ©. Also entspricht das ganze Äußere von c!c* einem Teil des Äußern von C,!10,*, und folglich das ganze Innere von c,!c,* einem "Teil des Innern von C,!C,*. Ebenso entspricht das ganze Innere von cı?c,* einem Teil des Innern von 0,?C*. P° liest, da es im Innern von C, und nicht auf O,* liegt, in einem der beiden durch C,* erzeugten Gebiete (Hülfssatz 2). Indem wir diejenige der beiden geschlossenen Linien 0,1C,* und C,2C,*, in deren Innern P° liegt, mit ©, die entsprechende der beiden geschlossenen Linien c,!c* und c2c* mit c, bezeichnen, können wir formulieren: Es ist ein Inneres von c, und ein Inneres von C, wohldefimiert; das ganze Innere von c, entspricht einem Teil des Innern von C,; PP hegt im Innern von C,; das Imnere von C, ist ein Teil des Innern von C,. Wir konstruieren ferner den Breitenkreis in der Mitte zwischen den beiden Breitenkreisen, die an der Bildung von c, beteiligt sind, und er- halten — in analoger Weise wie vorher — eine innere Teilungslinie c,* von c, sowie eine innere Teilungslinie C,* von O0, und schließlich nach ent- sprechender Einführung einer zweckmäßigen Bezeichnung das Ergebnis: Es ıst eim Inneres von c, und ein Inneres von CO, wohldefiniert; das ganze Innere von ce, entspricht einem Teil des Innern von O,; LP liegt 88 Rudolf Schimmack, im Innern von C,; das Innere von C, ist ein Teil des Innern von Or, und also von C,. Ganz ebenso können wir beliebig weit fortfahren, indem wir ab- wechselnd den in der Mitte liegenden Meridian und den in der Mitte liegenden Breitenkreis zur Gewinnung der inneren Teilungslinie nehmen, und wir formulieren das Ergebnis für beliebiges n: Es ist ein Inneres von ©. und ein Inneres von C, wohldefiniert; das ganze Innere von c, entspricht einem Teil des Innern von O,; PP liegt im Innern von (,; das Innere von „ ist ein Teil des Innern von O,. — ß) Die Reihe c«, &, «, ... bestimmt — wie sich in bekannter Weise ausführen läßt — eindeutig einen Grenzpunkt 7 auf k, und p liegt im Innern eines jeden c„ Dem 7» entspricht in unserer Abbildung ein bestimmter Punkt P auf X, und P liegt daher im Innern von C,. Um 7 sei ein Kreis f, Far dieser Kreise werde beidemal von den Punkten gebildet, deren Abstand vom Mittelpunkt Ka um Pein Kreis $£ beschrieben; das T . P or als der Radius ist. Wir wählen jetzt zunächst, was wegen der Verschiedenheit der Punkte P und P' möglich ist, den Radius von 8 so klein, daß P° im Äußern von & liegt; wählen darauf, was wegen der Stetigkeit der Abbildung möglich ist, den Radius von f so klein, daß jedem Punkt des Innern von f ein Punkt des Innern von & entspricht; und wählen endlich, was nach der Entstehungs- weise der c, &, &, ... offenbar möglich ist, »n so groß, dal die Linie c. ganz dem Innern von f angehört. Dann gehört die Linie C, ganz dem Innern von & an. Eine Linie, die ganz dem Äußern von $ angehört, hat also mit ©, keinen Punkt gemein. Es läßt sich aber der im Äußern von & gelegene Punkt P° mit jedem andern Punkt des Äußern von & durch eine Linie verbinden, die ganz dem Äußern von $ angehört (Hülfssatz 1, Folgerungen). Folglich läßt sich der zudem im Innern von 0, gelegene Punkt P° mit jedem Punkt des Äußern von & durch eine Linie verbinden, die mit C, keinen Punkt gemeinhat, d. h. alle Punkte des Äußern von & sind Punkte des Innern von C,; oder: das Äußere von & ist ein Teil des Innern von (.. 7) Indem wir nunmehr den „inneren Inhalt“ der Punktmengen, die im Innern bezüglich von C,, ©, ..., C, liegen, mit I, J,..., J„ bezeichnen, Axiomatische Untersuchungen über die Vektoraddition. 89 den inneren Inhalt der Punktmenge, die im Äußeren von & liegen, mit 3 bezeichnen, haben wir nach e«): A0,;, 0, I (aı, a5) — ” 70 für a a. Dann ist ce>o, |/52+e|>|db|, und daher die Quadrat- wurzel stets positiv zu nehmen. Läßt man nun o, stetig von 0 bis x laufen, so läuft a, stetig von a»—a bis aa+a,. In der Anfangslage 5) — 0, 1st7 A, — A, und also An — A, in der Endlage ro, m ist A, = —4,') und also, da hier a = a. + > a, ist, auch A» — A, = — AL. Demgemäß beschreibt Als eine stetige Kurve von A, bis —A,, und somit durchläuft @&, a.» stetig das ganze Intervall 0 bis x. 2) a» c>—1, |Yd?+e|<|d|, sodaß die Quadrat- wurzel positiv und negativ genommen werden kann. Läßt man nun a, zunächst stetig abnehmend von x bis & laufen, wo © die offenbar vor- handene Verschwindstelle des Radikanden bedeutet, und nimmt dabei die Wurzel negativ, — läßt dann weiter &,. stetig zunehmend von ® bis x laufen und nimmt dabei die Wurzel positiv, so läuft a, stetig von — a, bis a-+a,.. In der Anfangslage ©, — x ist A = — 4, und also, da hier u = bh 4» @ ist, As = Aı = —4A,. Demgemäß be- schreibt auch jetzt A, eine stetige Kurve von 4, bis —A,, und ma, durchläuft wieder stetig das ganze Intervall 0 bis x. Damit ist der gc- wünschte Nachweis erbracht. Pseudoaddition F'. Wenn beide Komponenten von Null verschieden sind, so gelte die Pseudoaddition F. Wenn eine Komponente Null «st oder beide, so se ad 0 »a—=—a. Hier ist erfüllt: TI TTV VTVITOSVITE nicht erfüllt: IN Dies bedarf nach der ausführlichen Betrachtung von F keiner weiteren Worte. 1) — A, liege dem A, diametral gegenüber. 13* 8 78. 100 Rudolf Schimmack, Pseudoaddition @. Wenn beide Komponenten von gleicher Richtung 0) sind, so sei ab —=a+b. In allen übrigen Fällen si a=b — 0. Hier ist erfüllt: 1 KU, Tyan: KV: nicht erfüllt: Vv, vp, vi; 4, 5. Für einen beliebigen Vektor « und eine reelle Zahl x ist bei dieser Pseudoaddition: a *xza = (1+2)a, falls 2>0, und axza —= 0, falls «0, y>0; dann wird: (a=:DbD)sc—(1+D)axya, a=(b»c) =as(ce+y)a | IN da auch 142>0o und z+y>o ist. 2. Haben «a, db, e nicht alle gleiche Richtung — das Nullsein eines oder mehrerer Vektoren eingerechnet —, so ist die Gleichung der Assoziativität erfüllt, — weil beide Seiten Null sind. Pseudoaddition @. Es sei stets: ab =. Hier ist erfüllt: LI, IN,.IV, VIE, vo; nicht erfüllt: VII AN 05%, Satz 5‘, ist deswegen nicht erfüllt, weil die in $ 48f. eingeführten Funktionen » und w* identisch Null sind und also nieht »* (1) > 0 sein kann. Ähnlich mit 6'.. Pseudoaddition @". Es sei ein Vektor 1 von der Länge ı fixiert. Dann sei das Gesetz der Verknüpfung: a=b = (a+b)1. Hier ist erfüllt: REIT IN, YAO,, WIE: nicht erfüllt: II; 2V;: was keiner weiteren Ausführung bedarf. Axiomatische Untersuchungen über die Vektoraddition. 101 Pseudoaddition @". Es sei ein Vektor 1 von der Länge ı fixiert. Dann sei das Gesetz der Verknüpfung: ab = a+b+I1. Hier ist erfüllt: nicht erfüllt: I vv Um die Erfüllung von V* nachzuweisen, bilden wir zu beliebig gegebenen a, d den Vektor m = d+(—-@)+(-D; dann wird in der Tat: asa—bdb+-aA+-D+ra+l= dd db. 3. Pseudoadditionen zur Untersuchung der Axiome VI bis VIll. Pseudoaddition H. Es sei eine Zuordnung je zweier Vektoren hergestellt mittels der Formel: « = (—1)'*".a, wo [a] die gröfste in a ent- haltene ganze Zahl bedeutet. Dann bestehe die Pseudoaddition » der a in der Addition + der «'. Hier ist erfüllt: nieht erfüllt: VL VII; 5. Die Erfüllung von I ist wie bei B damit verbürgt, daß die Zu- ordnung der « und a‘ umkehrbar eindeutig ist. Die Erfüllung der übrigen genannten Axiome ist augenscheinlich. Man erkennt auch leicht, dab — wie es sein muß — alle aus I bis V abgeleiteten Sätze erfüllt sind, dab insbesondere die in $ 31 eingeführte Hülfsfunktion (a = (—-ND'*".a ist und die früher angegebenen Eigenschaften hat; die «‘ sind die damals so bezeichneten „konjugierten“ Vektoren. Die Nichterfüllung von VI und 5 ergibt sich leicht aus folgendem Beispiel zweier gleichgerichteter Kom- ponenten: @«, = 1; a, = 2-1. In diesem Falle wird: Te Zell: a, — — 2-1; da —=—1I as = —|]; £(aı) = 1; yl(a,) — —2; plan) = 1; also: au = a +0, 9(a2) + Pa) + 9a). s 9. 102 Rudolf Schimmack, Dagegen besteht, wie es nach $ 34 sein muß, die Gleichung: |y(a9)| = |P(a)+ Ya) |. Pseudoaddition J. Es sei eine Zuordnung je zweier Vektoren her- gestellt mittels der Formel: ee — a, falls a —=0; a —=Q, falls @ =. Dann bestehe die Pseudoaddition =» der a in der Addition + der «'. EirerZistsertullt: 16 u har, AN, NG. VAL Nyantse niehtzertu lt EN SE e e Betreffs der erfüllten Axiome gelten dieselben Bemerkungen wie bei 4; speziell ist die Hülfsfunktion: =. Um die Nichterfüllung der angeführten Sätze nachzuweisen, genügt es zwei beliebige gleichlange Komponenten «,, a, zu betrachten. Für diese wird, wie eine kleine Rechnung zeigt: a’ = 2ua', el, ew—1 — 2 (e® — 1) 6084... Daraus erhellt bei Auflösung nach a,, daß VI, VIII nicht gelten und daß die Einführung einer Hülfsfunktion wie p»(®) in $ 48 hier unmöglich ist. Pseudoaddition J‘. Es sei eine Zuordnung je zweier Vektoren her- gestellt mittels der Formel: a — a-a. Dann bestehe die Pseudoaddition x der a in der Addition + der a‘. Hier ist erfüllt: I, ‘Im, IV v Wet: nicht erfüllt: VI225: Betreffs der erfüllten Axiome, zunächst abgesehen von VIII, gelten dieselben Bemerkungen wie bei 4; speziell ist die Hülfsfunktion g(a) = a’, die augenscheinlich nicht der Funktionalgleichung des Satzes 5 genügt. Axiomatische Untersuchungen über die Vektoraddition. 103 Was die Erfüllung von VIII angeht, so folgt aus «*xd — ec auf Grund der obigen Festsetzung sofort: a« + bb —= ce; multipliziert man diese Gleichung für ein beliebiges reelles x mit x?, so ergibt sich: za-za +xb.xdb —xe-xc, @a)' + (2b) = (co); d.h. es ist: za *2b —=xc. Die Nichterfüllung von -VI ergibt sich am einfachsten aus dem Beispiel «, = @«, =1. Dafür ist namlieh-an au ta, ol, a, Vol: alsoran a ta, Pseudoaddition X. Es sei f(@) die in $ 15 betrachtete totalunstetige Funktion, die der Funktionalgleichung fie +2) = f@)+f(@) genügt und durch die Vorschrift fu) = — u; fu) = u für alle übrigen u festgelegt ist. Es sei darauf eine Zuordnung je zweier Vektoren hergestellt mittels der Formel: GE — A a, falls a0; a«—d, falls a —V. Dann bestehe die Pseudoaddition » der a in der Addition + der «'. Hier ist erfüllt: IE ey 7, Sie nicht erfüllt: Vo. Betreffs der erfüllten Axiome gelten dieselben Bemerkungen wie bei H; speziell ist die Hülfsfunktion (a) = f(a). Übrigens ist die Umkehrbar- Eindeutigkeit der Zuordnung von « und «’ hier eben durch die Erfüllung der in $ 15 besprochenen Nebenbedingung, der f(@) genügt, gewährleistet. Pseudoaddition K'. Es sei f(x) die in $S 15 betrachtete totalunstetige Funktion, die der Funktionalgleichung f(&@+x) — fi) +f(«‘) genügt und dureh die Vorschrift ra) = — u; f(u) = u für alle übrigen u festgelegt ist und zwar möge u — °lg2 gewählt sein. Es sei darauf eine Zuordnung je zweier Vektoren hergestellt mittels der Formel: er \lga) a Zar falls = Va Vrraliske —V! ad Dann bestehe die Pseudoaddition =» der a in der Addition + der «. s Sl. 104 Rudolf Schimmack, Axiomatische Untersuchungen über die Vektoraddition. Hier ist erfüllt: PINS RT TIEETVE BVZ VIINIE: nicht erfüllt: N, MALE Betreffs der erfüllten Axiome, zunächst abgesehen von VIII, gelten die- selben Bemerkungen wie bei #; speziell ist die Hülfsfunktion 9 (a) = e/“Wwo, Die Umkehrbar-Eindeutigkeit der Zuordnung von a und « ist — wie bei K' — auf Grund der in $ 15 besprochenen Nebenbedingung, der f(&) genügt, gewährleistet, indem allen (!) positiven Werten a umkehrbar ein- deutig alle (!) positiven Werte „(a) entsprechen. Was die Erfüllung von VIII angeht, so folgt aus @« »b — ec auf Grund der obigen Festsetzung sofort: e -fe e er‘ lg.a) eft !gb) e/‘ Ig c) —— (+ b = 6 multipliziert man diese Gleichung für ein beliebiges reelles z mit e/“», so ergibt sich: e F(@lg za) es (“19 xb) es (lgzc) -za-+ — db — ———LXC, ab TC oder: (za): (25). = (205 d.h. 2a 2b —re: Um VI als unerfüllt nachzuweisen, betrachten wir am bequemsten die Ver- knüpfung zweier gleichlanger Vektoren: «=«a = e. Hierfür ist nach obiger er(lga) erg e) EN Hesisetzung: 2 a = _e, also: 2 erw’ —erC#9: wäre mungen; a C } füllt, so müßte ce — 2a sein, folglich: 2 ef lga) — er@ig2+°lga), und hieraus ergäbe sich: fClg2) = lg2; dies ist aber unmöglich, denn es war festgesetzt: fedlg2) = — lg 2. NIOSVZASZICHTER: Abh. der Kaiserl. Leop. Carol. Deutschen Akademie der Naturforscher. Band XC. Nr. 2. \chsenbilder llüssiger Arystalle, Von D. Vorländer und H. Hauswaldt. Mit 19 Tafeln Nr. I-XIX. Eingegangen bei der Akademie am 30. Oktober 1908. HALLE. 1909. Druck von Ehrhardt Karras, Halle a. S. Für die Akademie in Kommission bei Wilh. Engelmann in Leipzig. ‘ı en Rhr Die Interferenzfiguren, welche wir in den folgenden Tafeln ver- öffentlichen, liefern einen Beweis für die krystallinische Beschaffenheit der Flüssigkeiten. Sie bieten ferner einen Einblick in die Struktur der Flüssig- keiten und der Moleküle. Die Achsenbilder der Flüssigkeiten im konver- genten polarisierten Licht sind nicht nur in einfachen Grundformen, sondern auch in komplizierteren Figuren identisch mit denen fester Krystalle. Jedoch fehlt den Hüssigen Formen die gröfsere Mannigfaltigkeit: die flüssigen doppel- brechenden Krystalle haben sich sämtlich als optisch einachsig erwiesen, und zwar ebensowohl bei sehr zähen Flüssigkeiten und Harzen, als bei leicht beweglichen Flüssigkeiten.‘) Auch dann, wenn bei der gleichen Sub- stanz die krystallinisch festen Formen optisch zweiachsig, z. B. rhombisch und monoklin sind, entstehen beim Übergang in den krystallinisch flüssigen Zustand optisch einachsige Krystalle. Die Frage, ob ein flüssiges Krystallstäbchen bei Druck bogenförmig oder winkelföürmig gekrümmt wird,’) hat sich mit Hilfe der Interferenzfiguren eingehend experimentell behandeln lassen. In den zwischen zwei Glas- platten befindlichen und in den auf einer Glasplatte aufliegenden Krystal- linisch Hüssigen Schichten werden die mit der Achse senkrecht zur Glas- fläche stehenden, flüssigen einachsigen Krystalle (a) unter gewissen a 1) Vorländer, Zeitschr. physik. Chemie 5%, 357 [1906]; 61, 166 [1907]. Ber.d. Deutsch. Chem. Ges. 40, 1415, 1966, 1970 u. 4527 [1907]; 41, 2048 [1908]. *) Monographie, Kryst. flüssige Substanzen, Stuttgart, Ferd. Enke 1908, S. 25 u. 75. 14* 108 D. Vorländer und H. Hauswaldt, [4] Bedingungen des Drucks winkelförmig gekrümmt (b und c) und in Doppelkrystalle verwandelt: Die Winkel 8 und y bezeichnen wir als Knickwinkel. Es entstehen je nach der Gröfse des Winkels verschiedene Interferenz- figuren, die mit den Figuren aus zwei schief zur optischen Achse geschnittenen und entgegengesetzt aufeinander gelegten Kalkspatplatten verglichen und identifiziert wurden. Die von flüssigen Doppelkrystallen herrührenden photographischen Aufnahmen sind also nicht mittelst zweier Krystallschiehten gewonnen, sondern sie kennzeichnen den Knick, welchen das ursprünglich gerade, flüssige Stäbchen beim Druck in einer einheitlichen flüssigen Krystall- schicht erlitten hat. Gelinder Druck kann von aulsen durch Berührung von Objektträger oder Deckglas ausgeübt werden, er kann auch von einer Luftblase oder von einem im Wachsen begriffenen festen Krystall innerhalb der Flüssigkeit seitlich kommen. Die gleichen Figuren wie beim Druck beobachtet man beim Fliefsen der Krystalle. Der Knickwinkel ist ziemlich scharf, denn eine wesentliche Abrundung würde an den Figuren kenntlich werden. Bogenförmige Krümmungen haben wir aus drei und fünf Kalkspat- plättchen, die teils gerade teils schief zur optischen Achse waren, zusammen- 2: mn eurer gesetzt z. B. Die Interferenzfiguren solcher Krümmungen sind verschieden von denen der Doppelplatten, und lassen sich somit für die von uns beobachteten Achsenbilder der flüssigen Krystalle ausschliefsen. Gleiehwohl sind noch Krümmungen und mehrfache Knickungen sehr verschiedener Art möglich und kommen auch vor, besonders bei Übergängen von einer zur anderen Phase und bei Wirbelbewegungen. Ferner entstehen Abweichungen durch Nebeneinanderlagerung, Verwachsung und Temperaturänderung der flüssigen Doppelkrystalle. Kapillarität und Adhäsion zwischen der Flüssigkeitsschicht und den Glasplatten bewirken zuweilen Spannungen und Verzerrungen, welche die einachsigen Krystalle zweiachsig erscheinen lassen. Hervorzuheben ist jedoch, dafs die Grundformen einachsig sind, und dafs sie nur in dünnen [5] Achsenbilder flüssiger Krystalle. 109 Schichten, am Rande des Deckglases oder neben einem Luftbläschen zwei- achsig verzerrt werden. Bogenförmige Krümmungen in beliebiger Form beobachtet man häufig bei der Bewegung von Krystallstäbchen, welche der Glasfläche parallel liegen und der Richtkraft der Glasoberfläche nicht ausgesetzt sind, besonders an langen. flüssigen Stäbchen von Vorländers Azoxyzimtsäureestern. Mit den durch Spannung doppelbrechend gewordenen amorphen Schmelzen und Gläsern haben die flüssigen Krystalle nichts gemein. Der photographischen Untersuchung waren nur solche Substanzen zugänglich, die sich hinreichend lange für Zeitaufnahmen im krystallinisch Hüssigen Zustande halten liefsen. Betreffs Darstellung der Substanzen und Präparate sei auf die S. 3 in Anm. 1 u. 2. angeführten Untersuchungen Vorländers hingewiesen; ebenda findet sich die experimentelle Begründung der Theorie der flüssigen Krystalle, die Ableitung der Ein- achsigkeit der Krystalle aus der linearen Struktur der Moleküle. Wesentlich für die Beobachtung ist die Fähigkeit der flüssigen Krystalle zur Aufrichtung, d.h. Senkrechtstellung der Hauptachse zur Fläche der Unterlage. Die Aufrichtung geschieht von selbst beim Wachsen der Hüssigen Krystalle auf einer Fläche oder zwischen zwei planen Flächen. Künstlich kann die Aufrichtung durch Verminderung der Schichtdicke oder durch Schieben des Deckglases herbeigeführt werden. Hierbei sieht man, wie die Krystalle sich zunächst parallel ordnen und dann unter der Richt- kraft der Glasfläche aufstellen, während sie zuvor in ganz ungeordnetem Zustande der Richtkraft widerstanden. Zugleich mit der Aufrichtung erfolgt stets eine Klärung der krystallinisch flüssigen Schicht, die nach Versuchen Vorländers bis zur vollen, ultramikroskopisch nachweisbaren, optischen Leere gelangen kann. Phänomenale Beispiele hierfür sind die Aryliden- aminozimtester und Cholesterylehlorid. Der Erscheinung der Aufrichtung entsprechen bei festen Krystallen viele, durchaus analoge Wachstums- vorgänge. Die Photographien sind, wenn nichts anderes angegeben ist, im grünen Quecksilberlichte (2 — 546,1 mm) mit den sonst für feste Krystallplatten dienenden Apparaten gemacht und erforderten eine Expositionsdauer von 1—4 Minuten. Zum Vergleich mit den entsprechenden Interferenzfiguren 110 D. Vorländer und H. Hauswaldt, [6] fester Krystalle dienten Hauswaldts Atlas der Interferenzerscheinungen fester Krystalle (Magdeburg 1902, 1904 und 1907) und zahlreiche neue photographische Aufnahmen. Zur Theorie der Interferenzfiguren von Zwillingsplatten sind die Arbeiten von Liebisch (Physik. Krystallographie, 1891) und seiner Schüler Fr. Pockels (1890) und B. Hecht (1896) zu zitieren. Eine umfassendere Untersuchung, auch der vergänglichen Achsen- bilder dünnflüssiger Krystalle und deren Vergleich mit Kombinationen fester Krystallplatten ist in Aussicht genommen, sobald der hierfür erforderliche Apparat, dessen Konstruktion die Firma Carl Zeiss nach unsern Angaben bereitwilligst übernahm, fertig gestellt ist. Achsenbilder inaktiver flüssiger Krystalle. (Tafel I und II.) Die Bilder 1 und 2 der durchsichtig klaren krystallinischen Flüssig- keit aus Äthoxybenzalamino-«a-äthylzimtsäureäthylester zeigen bei gekreuzten Nikols das bekannte Achsenkreuz mit konzentrischen Ringen, deren Durchmesser grölser wird, wenn die Dicke der flüssigen Schicht ab- nimmt. Bei 1 betrug die Schichtdicke 0,04—0,05 mm, bei 2 war sie kleiner als 0,015 mm. Durch Parallelstellen der Nikols wird das Bild 3 derselben Flüssigkeit in 4 und durch Einschiebung eines Viertelundulationsglimmer- plättchens bei gekreuzten Nikols in 5 verwandelt. Zwischen zwei diagonal gestellten Glimmerplättchen entstehen die bekannten konzentrischen Ringe ohne Kreuz. Der Charakter der Doppelbrechung ist stets positiv. Achsenbilder zirkularpolarisierender flüssiger Krystalle. (Tafel III und IV.) Die stark zirkularpolarisierenden krystallinischen Flüssigkeiten aus Anisalaminozimtsäure- und Anisalamino-«-methylzimtsäure- akt-amylestern geben ähnliche Erscheinungen, wie dicke Quarzplatten: das Kreuz verschwindet in der Mitte des Ringsystems. An sehr dünnen Schichten der krystallinischen Flüssigkeit kommt das Kreuz im Gegensatz zum Quarz nicht zustande. Statt des Kreuzes erscheint ein Ring, ein farbiger [7] Achsenbilder flüssiger Krystalle. 111 Fleck oder nur ein farbiges Gesichtsfeld (Bilder 6—9). Mit dem Viertel- glimmerplättchen entsteht aus dem Ring die rechte Airysche Doppelspirale (10 und 11).” Unter günstigen Bedingungen der Zimmertemperatur während der Wintermonate wird die bei 6—11 trübe Schmelze fast klar; nur mikros- kopisch ist in der Schicht eine durch feine Linien gebildete Maserung nach- weisbar, welche durch geeignetes Schieben des Deckglases bis auf einige Reste unter Aufrichtung der Krystalle beseitigt werden kann. Es gelingt an Schichten von etwa 0,05—0,07 mm Dicke einen zweiten Ring und den Anfang des Kreuzes ins Gesichtsfeld zu bringen (12 u. 13) und die Airysche Spirale (14 u. 15) in schärferer Form zu photographieren. Die Verzerrungen, welche die Ringe bei 8 und 9 aufweisen, sind Folge einer Spannung in der krystallinischen Flüssigkeit und gleichen den Änderungen, welche an Inter- ferenzfiguren von schlierenhaltigem Quarz auftreten. Dafs an dünnen Schichten das Kreuz nicht sichtbar wird, liegt an der enormen, einzig dastehenden Zirkularpolarisation jener pleochroitischen tlüssigen Krystalle, rund + 4000° für Imm Schicht im gelben Licht. Nach Beobachtungen von Vorländer und M. E. Huth hat Oyanbenzalamino- zimtsäure-akt. amylester sogar ein spez. Drehungsvermögen von + 12000° bis + 13000° im Natriumlicht. Absorbierende, aber schwächer zirkular- polarisierende flüssige Krystalle von Cholesterylchlorid geben nach Vor- länder und H. Stoltzenberg bei einem spez. Drehungsvermögen von etwa — 125° ein farbiges, meist dunkelblaues Kreuz im konvergenten polarisierten Licht. Oberflächenfarbe, Pleochroismus und Zirkularpolarisation treten an ein und derselben flüssigen Krystallschicht auf, und sie bedingen das prächtige Farbenschillern, welches am ÜCholesterylbenzoat den Anlafs zur Entdeckung der anisotropen flüssigen Krystalle durch F. Reinitzer i. J. 1888 gegeben hat.) Die Bilder der zirkularpolarisierenden, flüssigen Krystalle wurden mit einer Mischung gleicher Teile der beiden Anisal-Ester im gelben Licht gemacht, da sie im grünen Licht zu matt waren. 1) Auch die festen Phasen der Ester sind zirkularpolarisierend; bei ihnen ist ge- legentlich die vierfache Airysche Spirale sichtbar geworden. 2) Vgl. F. Reinitzer, Ann. d. Physik (4) 27, 213 [1908]. 112 D. Vorländer und H. Hauswaldt, [8] Knickung inaktiver flüssiger Krystalle; Bildung von Doppelkrystallen. (Tafel V—XI.) Zur Herstellung brauchbarer Präparate für Doppelkrystalle mit Knick- winkeln eignet sich nach Versuchen von W. Lohmann eine Mischung von Äthoxybenzalamino-«-äthylzimtsäureäthylester mit wenig Äthoxybenzalamino-«a-methylzimtsäureäthylester (Bilder 16—23). Da die Achsenbilder der Doppelkrystalle infolge des Bestrebens zur Aufrichtung der Moleküle gewöhnlich viel vergänglicher sind, als die vorher beschriebenen einfachen Figuren, so mu[s das Existenzgebiet der krystallinisch-flüssigen Phase durch passende Mischung von Präparaten erweitert werden, um brauchbare Photographien zu erhalten. Dafs die gleichen Achsenbilder auch bei den reinen, unvermischten Präparaten sichtbar werden, ist besonders zu betonen. Geringe Abweichungen und verschiedene Knick- winkel ergeben sich infolge der durch Mischung veränderten Zähigkeit der krystallinischen Flüssigkeit. Gewisse Interferenzfiguren erfordern eine dünn- flüssige, andere jedoch eine zähflüssigere Mischung. Je diünnflüssiger die Mischung wird, um so leichter lassen sich durch geringen Druck auf die Enden des Objektträgers die verschiedenartigsten Winkel in die flüssigen Krystallstäbchen hineinbringen, um so weniger stabil ist aber das Bild. Flüssige Krystallschichten, welche klar und durchsichtig sind, bleiben auch bei der Knickung klar. Dünnflüssige Schichten sind natürlich immer etwas trübe.') Die Bilder 24—52 sind von W. Lohmann mit 1) Ber. d. deutsch. Chem. Ges. 41, 2042. An die Abhandlung hat W. Nernst in der jüngst erschienenen neuesten 6. Auflage seines „Lehrbuches der theoretischen Chemie“, S. 637, eine, wie jeder in der Literatur Bewanderte zugeben wird, wenig passende Kritik geknüpft: Nernst verwechselt dort eine durch Erstarren von reiner, einheitlicher Substanz erhaltene „Krystallmasse“ mit einem aus einer Lösung erhaltenen „Krystallbrei* und vermifst dann in der Krystallmasse die „Einschlüsse von Mutterlauge“! Auch Luftblasen und „Sprünge“ habe man „übersehen“. Ferner meint er, die Trübung hafte den flüssigen Krystallen „in einem gewissen Temperaturgebiet offenbar untrennbar“ an, während man „bei sorgsamen Arbeiten“ mit festen Krystallen „doch immer durchsichtige Krystalle gewinnen“ könne! Deswegen bedürfe man zur Erklärung der Trübung flüssiger Krystalle noch „besonderer Hypothesen“, nämlich der Emulsionshypothesen, für welche Nernst seit Jahren, allerdings ohne irgend etwas zur Sache beizutragen, eingetreten ist (vgl. Zeitschr. f. Elektrochemie 12, 431 [1906)). Diese Kritik zeigt, dafs Nernst nicht nur bezüglich der flüssigen Krystalle, sondern auch über elementare Erscheinungen fester Krystalle in Unkenntnis ist. Ich hoffe sehr, dafs [9] Achsenbilder flüssiger Krystalle. 113 Mischungen von Äthoxybenzalamino-«-methylzimtsäureäthyl- ester, Anisalaminozimtsäureäthylester und etwas Azoxyanisol hergestellt. Wenigstens ein Teil der zutage kommenden Interferenzfiguren ist auf die photographische Platte gebracht worden. Die Vielgestaltigkeit dessen, was wirklich sichtbar wird, läfst sich mit den wenigen Bildern kaum beschreiben. Die Bilder 16—23 entsprechen den Zwillingsplatten von Brezina; 16, 15, 20 und 22 in Normalstellung, daneben 17, 19, 21 und 23 in Diagonal- stellung der Krystallschicht. Die Bilder 20 und 21 sind vom Stauroskop her bekannt. Geheimrat Prof. Dr. Dorn hat im physikalischen Institut zu Halle zuerst die Übereinstimmung der von Vorländer entdeckten Interferenzfiguren flüssiger Krystalle mit denen der Kalkspat-Doppelplatte von Brezina erkannt.') Indessen hat sich herausgestellt, dals die Inter- ferenzfiguren planparalleler und keilföürmiger Doppelplatten stellenweise ein- ander ähnlich sind. Die Knickung kann daher in der flüssigen Schicht HE Hifmreer FERRRHTE ebensowohl planparallel wie keilföürmig erfolgt sein. Auch gekreuzte Doppelplatten und Andeutungen mehrfacher Knickung wurden sichtbar: Durch Vergleich der flüssigen Krystalle mit festen, unter bekanntem Winkel schief geschnittenen Kalkspatplatten der Firma Dr. Steeg & Reuter in Homburg v. d. H. liefs sich ermitteln, dafs die Gröfse der Knick- winkel etwa folgende ist: Nernst in der nächsten Auflage seines Lehrbuches das Kapitel über die flüssigen Krystalle unter Mitwirkung eines Chemikers oder eines Mineralogen abfalst; von einem „Lehrbuch“ darf man erwarten, dafs darin das vorhandene experimentelle Material schlicht und sachlich dargelest wird. Halle a. S., 16. 7.09. Vorländer. !) Vgl. E. Dorn und W. Lohmann, Ann. d. Physik (4) 29,533 [1909]. 15 Nova Acta XC. Nr. 2. 114 D. Vorländer und H. Hauswaldt, [10] bei Bild 16—19: Winkel ungefähr 177,5°— 179°; ME 20uUr2T: 4 A 175 —176°; Hr: 2210238 5 ? 170% Die Bilder 24—40 veranschaulichen die Entstehung der Inter- ferenzfiguren in Normalstellung bei zunehmender Knickung der flüssigen, anfangs geraden Krystallstäbchen. Die Bilder 24—35 wurden mit ein und derselben krystallinisch flüssigen Mischung unter Steigerung des Druckes auf die Enden des Objektträgers gemacht, wobei der Knick- winkel kleiner wird: Bild 25 entspricht ungefähr einem Winkel von 179°; 26 — 118°; 27 — 171°; 28 — 11762; 29 ist fraglich, verzerrt; 30y old 92 — etwa 172°; 33, 34 und 35 = gegen 175°, wahrscheinlich keilförmig. Noch kleiner ist der Kniekwinkel in den folgenden Bildern 37”—39 — Winkel 90— 70; 36 ist fraglich. Beobachtet haben wir auch Interferenzfiguren, bei denen die einachsigen flüssigen Stäbchen mit einem Knickwinkel von 45—20° oder fast parallel zu den begrenzenden Glasflächen gelegen haben mögen. Die Bilder 41- gonalstellung der flüssigen Krystallschicht beim Spitzerwerden des 52 zeigen die entsprechende Entwieklung in Dia- Knickwinkels: normal diagonal normal diagonal 26 = 41 36 — 47 2 — 42 37 — 48 29 — 43 38 =- 49 32 = 44 39 — 50 34 — 45 40 = He 3) = 46 In 40 und 51 liegen zwei verschiedene Interferenzfiguren neben- bezw. übereinander. In 52 hat sich das Bild während des Exponierens infolge einer Strömung in der krystallinischen Flüssigkeit gedreht. Durch dieses Zerflieisen der Bilder und durch allmählichen Übergang in andere Bilder sind viele photographische Aufnahmen unbrauchbar geworden, wenn man sie nicht als einen besonderen Beweis gerade für das „Fliefsen der Krystalle“ hinstellen will. 11] Achsenbilder flüssiger Kıystalle. 115 Ubergang einachsiger flüssiger Krystalle in zweiachsige. (Taf. XII und XIII.) Während die flüssigen Krystalle in diekeren Schichten unter dem Einfluls des Druckes gewöhnlich geknickt und winkelförmig gekrümmt werden, findet man unter anderen Bedingungen von Druck und Spannung den Übergang in zweiachsige Formen. Die Bilder 53 und 55 zeigen an sehr dünner, zähflüssiger Schicht von Phenylbenzalaminozimtsäure-akt- amylester') ein normales Kreuz, welches sich bei Drehung des Präparates in Bild 54 und 56 öffnet zu Hyperbeln, wie bei zweiachsigen Krystallen mit sehr kleinem Achsenwinkel. Krystallinische Flüssigkeiten befinden sich zwischen Objektträger und Deckglas, wenn sie leicht fliefsen, oder wenn sie als zähflüssige, aber sehr dünne Schicht ausgebreitet sind, in einem Zustande der Spannung und des Druckes, weil Kapillarität und Adhäsion zwischen Flüssigkeit und Glasflächen zur Wirkung kommen. Unter dem Einfluls der Spannung verwandeln sich auch feste einachsige Krystalle in zweiachsige. Deutlich elliptisch sind die Kreise in den Bildern 58 und 60 geworden, und in Diagonalstellung der flüssigen Krystallschicht 59 und 61 treten die Hyperbeln hervor. Die zweiachsigen Bilder 62 und 63 befanden sich am Rande der Schicht. Bild 57 ist mit einer dünnflüssigen Mischung von Zimtestern hergestellt. Der Beginn einer Verzerrung des Kreuzes wird in der Mitte der Interferenzfigur zuerst kenntlich, genau wie bei den Figuren der festen Krystalle. Achsenbilder von flüssigen Krystallen ohne Deckglas. (Taf. XIV— XIX.) Die krystallinischen Flüssigkeiten aus Arylidenamino-a-alphyl- zimtestern sind nicht nur zwischen zwei Glasplatten durchsichtig klar, sondern auch beim Aufliegen auf einer Glasplatte. Man erhält je nach der Stelle des Tropfens zwischen gekreuzten Nikols verschiedenartige 1) Ein trotz Anwesenheit des aktiven Amylrestes nicht zirkularpolarisierende kryst. flüssige Phase. 15% 116 D. Vorländer und H. Hauswaldt, [12] Interferenzfiguren: In der Mitte eines Tropfens das gewöhnliche Achsen- kreuz 64 oder ein Kreuz mit unregelmäfsigen, helleren und dunkleren Ringen 65 und 66, wie es bisher nur an absorbierenden, einachsigen festen Krystallen gesehen wurde. Die vorliegenden flüssigen Krystalle gehören jedoch nicht zu den absorbierenden. Nach dem Rande des Tropfens hin werden die Bilder unsymmetrisch 67—74, von denen 71 und 72 als Normal- stellung, 73 und 74 als Diagonalstellung einer Doppelplatte identifiziert wurden durch Zusammenlegen einer senkrechten mit einer schief zur optischen Achse geschnittenen Kalkspatplatte (vgl. Winkel y auf S. 5). Der Kniekwinkel y von etwa 178° bildet sich in der krystallinischen Flüssigkeit dadurch, dafs ein Teil des Krystallstäbchens senkrecht zur Glasunterlage, ein anderer Teil desselben Stäbchens senkrecht zur geneigten Oberfläche der krystallinischen Flüssigkeit steht. Die Erscheinung tritt auch an dünn- flüssigen Krystallschichten zwischen zwei keilförmig geneigten Glasplatten auf, während zähflüssige klare Krystalle sogar in solcher Lage gerade gerichtet werden und das normale, knickfreie Achsenbild geben. Die Bilder 67 und 68 in Normal- und zugehöriger Diagonalstellung kennzeichnen den Anfang der Kniekung, 69 und 70 den Übergang. Die Bilder 75 und 76 entstehen am Rande einer meniskusförmigen, plankonkav gekrümmten Flüssigkeit, auf rechtwinkliger Glasunterlage: Be Infolge der eigenartigen Krystallstruktur der plankonvex gewölbten, auf einer Glasplatte liegenden Krystalltropfen kann man bei einigen Präparaten Achsenbilder im parallelen, polarisierten Lichte sehen. Die Bilder 77 bis 80 sind Mikrophotographien von Krystalltropfen im weilsen Licht; 77 von Krystalltropfen aus Anisalaminoacetophenon; 78— 80 zeigen den selteneren Fall von Achsenkreuz und Ringen im parallelen polari- sierten Licht an stark doppelbrechenden Tropfen; 78 von Anisalaminozimt- säureäthylester; 79 von Äthoxybenzal-amino-«-methylzimtsäure- äthylester in Mischung mit -«-Äthylzimtsäureäthylester. 80 ist ein Präparat von Phenylbenzalaminozimtsäureäthylester unter Deck- glas; zwischen den Tropfen liegen bandförmige, zähflüssige Krystalle. [13] Achsenbilder flüssiger Krystalle. 167 Zusammenfassung der Resultate. 1. Die flüssigen Krystalle sind in ihren Grundformen einachsig und geben im konvergenten polarisierten Licht Interferenzfiguren, welche mit den Achsenbildern einachsiger fester Krystalle übereinstimmen. 2. Einachsige flüssige Krystalle lassen sich winkelförmig knieken unter Bildung von einachsigen Doppelkrystallen, welche mit festen Zwillings- platten identisch sind. 3. Die Grölßse des Knickwinkels konnte annähernd ermittelt werden. Magdeburg, Physikalisches Laboratorium von Dr. Hans Hauswaldt. Halle a. S., Chemisches Institut der Universität. Oktober 1908. Am 27. März 1909 ist in Magdeburg der Mitherausgeber der folgenden Tafeln, Herr Kommerzienrat Dr. Hans Hauswaldt gestorben. Seit mehr als Jahresfrist hatte er sich mit seiner unermüdlichen Tatkraft und be- wunderungswürdigen Beobachtungsgabe dem Studium der flüssigen Krystalle zugewandt. Zu gemeinsamem Werke hatten wir uns auch für die Fort- setzung der Untersuchung vereint. — Physiker, Mineralogen und Chemiker verlieren in ihm einen liebenswürdigen Helfer und Berater, der stets bereit war, seine ausgezeichneten Apparate und sein reichhaltiges und originelles Laboratorium Anderen zur Verfügung zu stellen. Sie verlieren mehr; einen Forscher, der aus eigener Kraft gelernt hatte, selber Hand an das Werk zu legen und wissenschaftlich zu denken. Wer mit Hauswaldt experi- mentell zu arbeiten Gelegenheit fand, wird diese Stunden und Tage unaus- löschlich im Gedächtnis behalten. Die Freude am naturwissenschaftlichen Erkennen leuchtete ihm aus den Augen! Das begonnene Werk zu vollenden soll versucht werden. Vorländer. Tafel I. Nova Acta Acad. C. L. C. @. Nat. Cr. Vol. XC. Vorländer & Hauswaldt, Achsenbilder flüssiger Krystalle. Achsenbilder inaktiver flüssiger Krystalle. 1. dickere Schicht; 2. dünnere Schicht. Tate/ I. Nova Acta Acad. C. L. C. @. Nat. Our. Vol. XC. Vorländer & Hauswaldt, Achsenbilder flüssiger Krystalle. Achsenbilder inaktiver flüssiger Krystalle. 3. Nikols gekreuzt,; 4. dieselbe Schicht, Nikols parallel; 5. dieselbe Schicht, Nikols gekreuzt, f mit Viertelundulationsglimmerplättchen. Tafel Il. Nova Acta Acad. C. L. C. @. Nat. Cur. Vol. XC. Vorländer & Hauswaldt, Achsenbilder flüssiger Krystalle. 10 Achsenbilder cirkularpolarisierender flüssiger Krystalle. Trühe Schichten: 6. Nikols gekreuzt; 7. Nikols parallel; 8 u. 9. Verzerrungen; 10. u. 11. Airy'sche Doppelspiralen. Tafel WW. Nova Acta Acad. C. L. C.@. Nat. Our. Vol. XC. Vorländer & Hauswaldt, Achsenbilder flüssiger Krystalle. Achsenbilder cirkularpolarisierender flüssiger Krystalle. Klare Schichten: 12. Nikols gekreuzt; 13. Nikols parallel; 14. u. 15. Airy'sche Doppelspiralen. Tafel V. Nova Acta Acad. C. L. C. @. Nat. Cur. Vol. XC. Vorländer & Hauswaldt, Achsenbilder flüssiger Krystalle. 19 Knickung inaktiver flüssiger Krystalle zu flüssigen Doppelkrystallen. 16. in Normalstellung,; 17. dasselbe wie 16 in Diagonalstellung; 18. in Normalstellung,; 19. dasselbe wie 18 in Diagonalstellung. Tafel V1. Nova Acta Acad. ©. L. C. @. Nat. Our. Vol. XC. Vorländer & Hauswaldt, Achsenbilder flüssiger Krystalle. 22 23 Knickung inaktiver flüssiger Krystalle zu flüssigen Doppelkrystallen. 20. in Normalstellung,; 21. dasselbe wie 20 in Diagonalstellung; 22. in Normalstellung; 25. dasselbe wie 22 in Diagonalstellung. u Tafel VII. Nova Acta Acad. C. L. C. @. Nat. Cur. Vol. XC. Vorländer & Hauswaldt, Achsenbilder flüssiger Krystalle. 28 Knickınag inaktiver flüssiger Krystalle. (Normalstellung.) Tafel VII. Nova Acta Acad. C. L. C. @. Nat. Cur. Vol. XC. Vorländer & Hauswaldt, Achsenbilder flüssiger Krystalle. Knickung inaktiver flüssiger Krystalle. (Normalstellung.) Tafel IX. Vova Acta Acad. ©. L. ©. @. Nat. Our. Vol. XC. Vorländer & Hauswaldt, Achsenbilder flüssiger Krystalle. 40 Knickung inaktiver flüssiger Krystalle. (Normalstellung.) Tafel A. Nova Acta Acad. ©. L. C. G. Nat. Our. Vol. XC. Vorländer & Hauswaldt, Achsenbilder flüssiger Krystalle. Knickung inaktiver flüssiger Krystalle. (Diagonalstellung.) 41=%; 42=27,; 423=29,; 4=32; 45=34; 4635. Tafel XI. Nova Acta Acad. C. L. C. @. Nat. Cur. Vol. XC. Vorländer & Hauswaldt, Achsenbilder flüssiger Krystalle. 51 Knickung inaktiver flüssiger Krystalle. (Diagonalstellung.) 47=36: 48= 37: 49=38; 50=39; 51=40. Tafel XI. Nova Acta Acad. C. L. C. @. Nat. Our. Vol. XC. Vorländer & Hauswaldt, Achsenbilder flüssiger Krystalle. 57 Einachsige flüssige Krystalle, durch Spannung zweiachsig und verzerrt. ‘ 53 normal = 54 diagonal; 55 normal = 56 diagonal. Tafel XII. Nova Acta Acad. C. L. C. @. Nat. Our. Vol. XC. Vorländer & Hauswaldt, Achsenbilder flüssiger Krystalle. Einachsige flüssige Krystalle, durch Spannung zweiachsig und verzerrt. 58 normal 59 diagonal; 60 normal — 61 diagonal; 62 normal — 63 diagonal. Tafel XIV. Nova Acta Acad. C. L. C. @. Nat. Cur. Vol. XC. Vorländer & Hauswaldt, Achsenbilder flüssiger Krystalle. 65 Flüssige Krystalle beim Aufliegen auf einer Glasplatte (ohne Deckglas). Tate! XV. Nova Acta Acad. C. L. ©. @. Nat. Cur. Vol. XC. Vorländer & Hauswaldt, Achsenbilder flüssiger Krystalle. 69 70 Flüssige Krystalle beim Aufliegen auf einer Glasplatte (ohne Deckglas). 67 normal 685 diagonal. Tafel XV. Nova Acta Acad. C. L. C. @. Nat. Cur. Vol. XC. Vorländer & Hauswaldt, Achsenbilder flüssiger Krystalle Knickung inaktiver, flüssiger Krystalle auf einer Glasplatte (ohne Deckglas). 7/1 normal —= 73 diagonal; 72 normal — 74 diagonal. Tafel XVII. Nova Acta Acad. C. L. C. @. Nat. Cur. Vol. XC. Vorländer & Hauswaldt, Achsenbilder flüssiger Krystalle. 76 Verzerrungen am Rande flüssiger Krystallschichten. Tafel XVII. Nova Acta Acad. C. L. C. @. Nat. Cur. Vol. XC. Vorländer & Hauswaldt, Achsenbilder flüssiger Krystalle. Krystallinische Tropfen (ohne Deckglas) im parallelen Licht zwischen gekreuzten Nikols. Tafel XIX. Nova Acta Acad. ©. L. C. @. Nat. Cur. Vol. XC. Vorländer & Hauswaldt, Achsenbilder flüssiger Krystalle. o ve ». DR} “TU \E Krystallinische Tropfen (ohne Deckglas) im parallelen Licht zwischen gekreuzten Nikols. INSONVFAR ALGEN: Abh. der Kaiserl. Leop.- Carol. Deutschen Akademie der Naturforscher. Band XC. Nr. 3. Der Eulersche Dilogarıthmus und seine Verallgemeinerungen. Eine Monographie von Dr. Niels Nielsen, ord. Professor an der Universität Kopenhagen. Eingegangen bei der Akademie am 8. Mai 1908. r1 A Il 8 ID 1909. Druck von Ehrhardt Karras, Halle a.S. Für die Akademie in Kommission bei Wilh. Engelmann in Leipzig Inhalt. Seite IHETAtULVErZEichnis... 0 ee N E12 Historische Einleitung . . . ER ER EEE EL TOR WET BR IT Kapitel I. Der Eulersche Daeeaeithrane, SElrz2 N ehnitionsingdergsanzen@ Ebene 13 8522, Linearey Transtormationndes Arcumentsl en 3 $ 3. Allgemeine Sätze von Hill und Kummer. . . 2... ...22.... 341 $ 4. Herleitung einiger zyklometrischer Integrale. . . . . 2.2..2.2...148 $ 5. Herleitung einiger trigonometrischer Integrale . ... . 2. .........149 S76, DranstormationenzderAbelschen Hormel 2 Aa E52 See Intesralesmitgdem@Diloganithmuspger er Su8-zERmiserZahlenwertendes, Dilosanıthmusfan. rl S 9. Die Catalansche Konstante G . . ... Sa rer KON! Kapitel I. Elementare Verallgemeinerungen des Diogertehmn $ 10. Herleitung einiger Hilfssätzee . . . a lu Ban U OT/ $ 11. Elementare Verallgemeinerungen des Diloganithmus A RE DEE. Walhzul $ 12. Natur der singulären Stellen. . . ER BR REES oa IE $ 13. Andere lineare Transformationen des A eenie BE REN RL Ba a LTR) SEI DuschFdiers, 9 @) ausdrückbarelntesraler 2 7 182 8019-25 Ducehadie®s,, (©)KausdzüekbarerIntesraleue rs ee li85 SEloSeamtesralesmitzdenwRlunktionen@ Se, (or er es SETS resnexendreschewHlunktion®S2\ (0) Er, Kapitel II. Einige numerische Argumente. SElSDiew 7 ahlen werte Ss" a er er gt Sell EeDierzanlenwerieno, > er ld S 20. Die Zahlenwerte 7 - - en: a 0) $ 21. Verallgemeinerungen der Elialanschen Konsane 20 8 22. Herleitung anderer bestimmter Integrale. 2. nn. nn 22206 $ 23. "Tafel von Stieltjes über die Zahlenwerte » - - . 2 ..2.2..2...208 SEAN atelSvoneBu:raukünerzdieszahlenwertenan ee en 21V, 16* Teak 3 £ KIN U 1 Fhhap ’ N Literaturverzeichnis. Nicht mitgenommen sind Arbeiten, die gewisse numerische Werte der Funktionen zum anderen Zwecke behandeln, z. B. die Zahlen s» für die Gammafunktion. 22 3 Abel, N.H. Note sur la fonction w(@) = x + 5 u 3: +... (@Envres, Bd.II, p. 189-192. Bresse, Sur la recherche des fonctions auxiliaires dans l’application de la methode de Kummer a la sommation des series. Comptes rendus Bd. 64, pp. 1023—1025, 1138—1141; 1867. Catalan, E. 1. Memoire sur la transformation des series et sur quelques integrales definies (50 S.), p- 20—50. Me&m. couronne&s et des savants &etrangers de l’Acad. de Belgique Bd. 33; 1865 — 1867. — 2. Recherches sur la constante G, et sur les integrales euleriennes.. Mem. de l’Acad. de Saint-Petersbourg. (7) Bd.31 Nr. 3 (51 8.). Euler, L. 1. Institntiones caleuli integralis Bd. 1], p. 110—113; 1768. F n : OO 02 at e — 2. De summatione serierum in hac forma contentarum: I + zu + rn + 15 +... Mem. de l’Acad. de Saint-Petersbourg Bd. 3, p. 26—42 (31. Mai 1779); (1809 —1810) 1811. — 3. Opera postuma Bd.I, p. 438; 1862. Graf, J. H. 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Im ersten Bande seiner Institutiones caleuli integralis?) gibt Euler die nächste Formel, die unsere Transzendente enthält, und zwar die Formel $ 1, (6) unten, an. Am 31. Mai 1779 lieferte Euler an die Petersburger Akademie eine Abhandlung mit dem Titel: De summatione serierum in hac forma contentarum: EN rc: Tezsaemgtmgueie ein; diese Arbeit, die Fufs in seiner Lobrede’) auf Euler zwischen den nachgelassenen Schriften des grolsen Analytikers aufgezeichnet hat, ist leider erst im Jahre 1811 publiziert worden‘) und scheint ganz unbekannt geblieben zu sein für diejenigen Autoren, die später über den Dilogarithmus geschrieben haben; überhaupt habe ich diese Eulersche Arbeit nur ein- mal°) zitiert finden können. In dieser Abhandlung untersucht Euler den Dilogarithmus, wenn man dem Argument gewisse lineare 'T'rransformationen unterwirft. Noch vor der Veröffentlichung dieser Eulerschen Abhandlung hat Landen‘) unsere Funktion wiedergefunden. 1) Mathematische Schriften (herausgegeben von C. J. Gerhardt) Bd. III, p. 351. 2) p. 110—113; 1768. 3) p.176. Basel 1786. 4) M&moires de l’Academie de Saint-Petersbourg, Bd. 3, p. 26—42 (1809—1810); 1811. 5) Stäckel in Bibliotheca Mathematica (3) Bd. 7, p. 42; 1907. 6) Mathematical Memoirs, p. 112. 128 Niels Nielsen, [8] Auch im Jahre 1811 ist der erste Band der Eixercices de calcul inte- gral von Legendre erschienen, und dort findet man') die Eulerschen Formeln wiederentwickelt; dazu kommen noch einige ähnliche Formeln für diejenige Funktion, welche wir unten als 5, (x) bezeichnen. Durch sein Studium des Legendreschen Werkes ist Abel zur Untersuchung des Dilogarithmus geführt worden, und zwar hat er die Funktion für eine willkürliche gebrochene lineare Transformation des Arguments untersucht; diese kleine Abelsche Arbeit ist indessen von ihm selbst nicht publiziert worden, sondern zuerst in seinen Werke?) erschienen. Kurz nachher, oder vielleicht gleichzeitig mit Abel, hat Hill’) die eben genannte Transformationsformel gefunden; dieser schwedische Mathe- matiker ist nämlich schon 1824*) durch Überlegungen schr allgemeiner Natur auf den Dilogarithmus geführt worden, indem er beweist, dals In- tegrale von der Form Yin log R da, wo P und R rationale Funktionen von x bezeichnen, nicht andere Tran- szendenten, aulser dem Logarithmus, als den Dilogarithmus enthalten können. Der Name Dilogarithmus rührt von Hill’) her und zwar der beiden Formeln "da de f da log (1 &) = fe alla = -/e fe, e 3 5 e Ge Hill bemerkt mit Recht, dafs die Transzendente dlx in dieser Be- wegen. ziehung als Analogon des Logarithmus und der elliptischen Integrale an- zusehen ist, sondern er hat sich in anderer Beziehung geirrt, wenn er sagt:°) „Die [die Dilogarithmen] übertreffen übrigens die elliptischen [Integrale] sowohl an Einfachheit, da eine, höchstens zwei von ihnen blofs einfach sind, und eine zweifach, als auch an ausgedehntem Gebrauche, weil R von 1) Bd. I, p. 242— 249; 1811. 2) Bd. II, p. 139 —193 (zweite Ausgabe). 3) Speeimen exereitii analytiei ete., p. 9. Lund 1830. 4) Physiographiska Sällskapets Arsberättelse 1824, p. 95—98. Lund 1825. 5) Speeimen, p.1. Im Journal für Math. Bd. 3, p. 107 (1828) sagt Hill bilogarithmische Integrale. 6) Journal für Mathematik, Bd. 3, p. 107; 1828. [3] Der Eulersche Dilogarithmus. 129 beliebigem Grad sein kann, ja selbst ? und AR rationale Funktionen von x als von Ya+bx+cx: und selbst jede beliebige irrationale Gröfse, die sich durch irgend eine Substitution rational machen läfst, sein können.“ Es ist in der Tat zu bemerken, dafs die funktionentheoretische Be- deutung der elliptischen Integrale nicht nur in der Bestimmung gewisser Integralgattungen, sondern vielmehr in ihrer Umkehrung zu suchen ist; denn diese umgekehrten Funktionen sind ja ihrer doppelten Periodizität wegen von fundamentaler Bedeutung. Über die Umkehrung des Dilogarithmus ist aber gar nichts bekannt. Dazu kommen noch die physikalischen An- wendungen der elliptischen Integrale, während ich nur eine einzige Arbeit auffinden konnte, nämlich diejenige der Brüder J. C. und W. Kapteyn,') welche physikalische Anwendungen des Dilogarithmus bringt. Leider sind die Hillschen Arbeiten, ihrer sonderbaren Bezeichnungen wegen, nicht ohne erhebliche Schwierigkeiten zu lesen; dazu kommt aber noch, dafs die Darstellung der Hillschen Arbeiten in systematischer Beziehung eine recht schwache ist, indem Hill wesentlich Funktionengattungen wie (1+xcosgp) log& sin p log & de - 1x = d — + log(1-+2 2 an 1—22c0sp+ a2 2 % ae und noch kompliziertere untersucht. Da diese Integrale sich sämtlich durch einfache Dilogarithmen ausdrücken lassen, so kann man hier mit Recht (nach einer leichten Änderung) mit Gaufs?) behaupten: „Es erscheint indessen ratsamer, eine Funktion einer Veränderlichen in die Analysis einzuführen als eine Funktion zweier Veränderlichen, um so mehr, als sich diese nach jener zurückführen lälst.“ Der nächste Mathematiker, der sich mir bekannt mit dem Dilogarith- mus beschäftigt hat, ist Kummer;’) er bemerkt noch, dafs die Funktion dl (F(x)), wo F eine in x und Ya+bz+ ca? rationale Funktion bezeichnet, durch einfache Dilogarithmen dargestellt werden kann. Übrigens studiert Kummer hauptsächlich die komplizierteren Integrale von Hill und dazu noch für n = 3, 4, 5 die durch das Integral 1) Publications of the astronomical laboratory at Groningen, Nr. 5: 1900. 2) Comment. Götting. Bd. 2, p. 27; 1812. Werke. Bd. III, p. 146. ) Journal für Mathematik. Bd. 21, pp. 74—-90, 193—225, 328— 371; 1840. 17 Nova Acta XC. Nr.3. 130 Niels Nielsen, ». [80] a no da definierten Transzendenten; allein die Formeln, die für die zwei letzten dieser Funktionen aufgestellt werden, sind so kompliziert, dafs seine Funktionen- . gattung in dieser Beziehung keine besondere Untersuchung verdient. Eine Bemerkung von Kummer!) über die grofsen Schwierigkeiten, die sich bei der Untersuchung der Funktionen A,(z) mit wachsendem n anhäufen, verdient besonderes Interesse; die Ursachen dieser Schwierig- keiten werden durch unsere Darstellung in den Paragraphen 12 und 13 enthüllt. Von den späteren Arbeiten über Dilogarithmen ist hier nur zu be- merken, dafs die Mehrzahl ihrer Autoren die früheren Arbeiten über diesen Gegenstand nicht gekannt hat, so dafs die Fundamentaleigenschaften dieser Transzendenten aufs neue wieder und wieder entdeckt werden mülsten. Aufserdem darf man hinzufügen, dals die verschiedenen Verallgemeinerungen unserer Funktion nicht von dem richtigen Gesichtspunkte aus studiert worden sind, so dafs die Untersuchung dieser Funktionen durch unnötige Schwierigkeiten leidet. Man darf also mit Recht sagen, dafs ein trübes Schicksal über dem Dilogarithmus und den ihn behandelnden Arbeiten geschwebt hat, so dals ein nicht uninteressanter Abschnitt der elementaren Integralrechnung beinahe ganz in Vergessenheit gesunken ist. Durch die folgende Darstellung der Haupteigenschaften des Dilogarith- mus und seiner Verallgemeinerungen habe ich versucht, diese Transzendenten so vollständig zu behandeln, wie es mir nur möglich war, ohne mich in den Formelwirren von Hill und Kummer zu verlieren. Es erscheint mir zweckmälsig, den einfachen Dilogarithmus für sich zu behandeln, weil er so viele Eigenschaften besitzt, die bei den allgemeineren Funktionen nicht aufrecht gehalten werden können. Dals nun wirklich die Verallgemeinerungen des Dilogarithmus eine eingehende Untersuchung verdienen, liegt auf der Hand, wenn man bemerkt, 1) 1. e. p. 370. [11] Der Eulersche Dilogarithmus. 151 dals diese Funktionen wohl die einfachsten analytischen Funktionen sind, die für speziellere Werte des Arguments als Funktionenwerte die Zahlen 1l 1 1 u 1 oe 4n En a = liefern, Zahlenwerte, die bekanntlich in der Theorie der Gamma- und Zeta- funktion eine fundamentale Rolle spielen. Natürlich ist es mir nicht gelungen, die Zahlen s, mit ungeradem Index zu beherrschen; denn diese Zahlen fallen aus den allgemeinen Formeln, die die s,, bestimmen, weg. Dieser Unterschied zwischen gerade und ungerade Werte des Stellenzeigers ist überhaupt für unsere ganze Funktionengattung charakteristisch. En} N ih nb‘ Kapitel I. Der Eulersche Dilogarithmus. $ 1. Definition in der ganzen Ebene. Bezeichnet log (1— x) den Hauptwert des natürlichen Logarithmus von 1—x, so wird der Hauptwert dl x des Dilogarithmus') für jedes endliches x durch das Integral a) ee / ler) u 0 definiert, imdem der Integrationsweg stets endlich ist ohne den Punkt x —= +1 umschlingen zu dürfen. Ein solches Umschlingen des kritischen Punktes z — +1 kann ausgeschlossen werden, indem man aus der x-Ebene die Achse der positiven Zahlen von —=1 bis 2 — ® ausschneidet. Der so definierte Hauptwert von dlx ist demnach reell für diejenigen reelle x, die die positive Einheit nicht übersteigen; für x reell und grölser als +1 wird dlx komplex mit dem imaginären Komponenten + zi log x, je nachdem man dem Hauptwerte von log (l— x) die imaginäre Komponente + ai zuerteilt. Der Hauptwert des Dilogarithmus dlx ist eine in der ganzen x-Ebene analytische Funktion ihres Arguments aufser in den beiden isolierten Punkten z=+1 und 2 =, die, wie wir soeben zeigen werden, wesentliche singuläre Stellen unserer Funktion sind. 1) Wie bei den elementaren Transzendenten soll das Argument bei dl nicht ein- geklammert werden, wenn kein Milsverständnis daraus entsteht. 134 Niels Nielsen, [14] Für |2 <1 erhält man unmittelbar aus (1), indem man die Reihe für log (1—:x) einführt und gliedweise integriert, die Potenzreihe X x 2 at (2) ll LE re rn es woraus die numerischen Werte a? x? (3) dNOS——E0! a unmittelbar entflielsen. Aus (1) ergibt sich das unbestimmte Integral (4) dixz = -j® a dx SE q, woraus die beiden anderen Darstellungen (5) di(1—x) fe ein fe da+ € hergeleitet werden können; aus (4) ergibt sich durch partielle Integration 08 (1a log « fe ) de — — logw - og(l—a) f® ee) % —ıh woraus wegen der ersten Integralformel (5) dlx + dl(l—a) —= — log x. log (1—x) + C. Um die Konstante © zu bestimmen, setzen wir x als positiv voraus, und indem x dann dem Werte Null zustrebt, kann man das erste Resultat (3) anwenden; es ist also (6) dlz + di(1—.) —= T — log x log (1—.x), woraus für 2 —= + das andere numerische Resultat a? } (7) dla) — 15: log?2. Die Formel (6), die man ebenso wie (7) Euler') verdankt, drückt sicher die erst bekannte Fundamentaleigenschaft des Dilogarithmus aus. !) Institutiones caleuli integralis. Bd.I, p. 110—113; 1768. Mem. de l’Ac. de Saint-Petersbourg. Bd. 3, p. 28; 1811. 15] Der Eulersche Dilogarithmus. 139 Da die beiden Logarithmen, die in (7) vorkommen, stets die Haupt- werte bezeichnen, wenn dlx der Hauptwert des Dilogarithmus sein soll, so erhält man die allgemeinere Formel j i a? 1 1! 1 1 8) Kl elldier = Fotartmieen 10 GO m in welcher Weise man © auch dem Werte Null zustreben läfst. Aus (6) kann man auch ohne Schwierigkeit die Natur der singulären Stellen e—=1 und =» bestimmen. Läfst man in der Tat die Variabele x die Peripherie eines kleinen Kreises mit dem Mittelpunkt x = 0 in positiver oder negativer Richtung durchlaufen, so muls die Variabele y—=1— x die Peripherie eines kleinen Kreises mit dem Mittelpunkte y — + 1 in derselben Richtung durchlaufen. Es sei nun allgemein f(x) eine sonst analytische Funktion, die in z — a eine singuläre Stelle hat; durch die Zeichen D (a) f (x) bezw. I (a) f («) bezeichnen wir dann diejenigen Werte, welche f(x) annimmt, wenn x in der positiven bezw. negativen Richtung eine kleine geschlossene Kurve um x —= a, die keine andere Singularität von f(x) einschliefst, einmal durchläuft. Bei der oben angedeuteten Bewegung von x bleiben sowohl dl x als log (1— x) ungeändert, während D(0) loegx — leer + 2ri, $ (0) logx — log2 — 2ri sind; setzt man demnach 1— x anstatt x, so entfliefsen die beiden Umlaufs- relationen (9) DA), die — dlix + 2xi- logz, Sa) dia — die— 2xi log. Der allgemeine Wert des Dilogarithmus, das heifst diejenige durch das Integral (10) : Die — je de, definierte Funktion, wo Log (1— x) einen willkürlichen Wert des natürlichen Logarithmus bezeichnet,, hat demnach eine logarithmische Singularität in x — 0, welches übrigens einleuchtend ist; denn setzt man Log (1—x) — log (1—x) + 2pxi, wo log (1—x) den Hauptwert bezeichnet, so hat man wegen (1) und (10) 136 d Niels Nielsen, [16] (11) Dix —= die — 2pri-logxe +C. Was die singuläre Stelle x — ® für dlx betrifft, so hat man wegen (9) (12) D(oo) dx = dla — 2ri. logz, (oo) die — die + 2xi- loga. Versteht man allgemein bei DIx den Funktionenwert, den man aus dlx durch Umkreisen der drei Punkte 2—=0, = 1 und =» erhalten kann, so ergibt sich (13) Die = dla apri. logo Arm, wo p und r willkürliche ganze Zahlen bedeuten. Um den Dilogarithmus vollständig zu beherrschen, haben wir noch den dix für überaus grofse Werte von |x| zu untersuchen. Zu diesem Zwecke schreiben wir folgendermalsen das in (5) vorkommende unbestimmte Integral für dl (— 8): 1 lege +log|1+ — dl (—ı) = -f = | 2 :) de +C, woraus log (1 + -) dl(—x) = — }log?x -/ 5: de 0: setzt man daher x >1 voraus, so bekommt man unmittelbar die Formel 1 ae S (14) dl(— x) + dl | 3) — 5 » log’, denn die Integrationskonstante wird durch die Annahme x —=1 bestimmt. Setzt man in die Formel (14), die man Euler‘) verdankt, x — eiY, so kommt die bekannte trigonometrische Reihe n= (15) oo x (— 11 cosng n? 2 Glan eo I F, —a) log (a +ßa) + dl De nf En ao —n, und also findet man rt —D 2 da+ dßx J; = log Zr) log (@« + Bx) — dl ( sr 5 Fügt man noch die Konstante hinzu, so kommt schliefslich die gesuchte Formel All ee n) — ji () il (= a) rl ) Yy+ods D (7) 5 | — 11082 (— 5 (7+00)) + 6 wo die Konstante © z. B. durch die Annahme x = —a:ß bestimmt werden kann. Die allgemeine Formel (7) scheint nicht weniger als vier unabhängige Variabeln zu enthalten; wie Kummer') bemerkt, ist es indessen sehr leicht zu zeigen, dals diese Zahl sich auf nur zwei reduziert. Setzt man in der Tat ?_ GM letbe _ 1-p _6-MYH+ de) _ (8) Ver on — Zeh, q —— D — —b, so findet man Ei Bach ee) vo Bau a DZ Ze ee; I) Journal für Mathematik. Bd. 21, p. 82; 1840. [21] Der Eulersche Dilogarithmus. 141 da nun wegen (8) d—ß . ! a—b — = (e—y+(—I)r), a—1l— = (ae —y + (B—d)e) 1-5 — Sa 7+@—00) sind, so hat man weiter ala id, B un A-MU-d (9) en) («+ Pr), q — BE (+ da) — Tee: und somit entfliefst aus (7) die gesuchte Formel D q p 1—P ANZ) A eg] a) (2) -ür—:n (BLZ) € - -— - My : = —@ u oder indem man den zweiten Dilogarithmus rechter Hand durch die Identität $ 1, (16) transformiert p q p q dn) (I) —e — dl 4 2 | Se I en ne al 2 a; — ) . (Gi =) re: ( —6] Um nun endlich die Konstante (© zu bestimmen, setze man p — 0), woraus C—= —dlig+ zlog? ()— 1108? N, und somit ergibt sich schliefslich die gesuchte Formel : D LAN EHE EDEN EN: RE Rene ae (10) alt, er dlp — dl g— log (1—p) log (1—4), die man Abel') verdankt. Aus (10) kann man, wie wir später zu zeigen haben, viele interessante Spezialfälle herleiten. $ 3. Allgemeine Sätze von Hill und Kummer. Aus der Integralformel $ 2, (1) findet man ohne Mühe den folgenden Satz von Hill’): Bezeichnen F(x) und @ (x) zwei willkürliche in & rationale Funktionen, so hat man 1) (Euyres completes. Bd. II, p. 193. 2) Journal für Mathematik. Bd. 3, p. 107; 1828. 142 Niels Nielsen, [22] (1) ro log (G(@%)) dx — A + Na, dla, + px) + C, FE wo A eine elementare Funktion bezeichnet, die nur eine end- liche Zahl von Logarithmen enthalten kann, während m eine endliche positive ganze Zahl bedeutet, und die Grölsen a,, @, und ?, sämtlich von x unabhängig sind. Dekomponiert man nämlich in gewöhnlicher Weise die rationale Funktion (x), während Zähler und Nenner in @ (x) in Linearfaktoren auf- gelöst werden, so hat man offenbar eine endliche Zahl von Integralen von der Form a Se- a" log (e —b) de, wo m eine endliche Zahl bedeutet, zu betrachten: ist m = +1, so ergibt sich durch partielle Integration = 1 log (x — b) 1 da = Ze (x — a)m—1 "6 (m — 1) JS (x —n): und das so erhaltene neue Integral kann durch elementare Funktionen ausgedrückt werden. Für m — +1 und d=+a findet man aus $2, (1) 1 E— —g fe dx — log (a—b) log (ce — a) — dl E ;) +06; 2— 4 Er a—b für «—=b hat das Integral aber den Wert zlog’(x—a); unser Satz ist also vollkommen bewiesen. Setzt man z. B. 2 Pi) — so ergibt sich ö = “ ee (log (1 —x) + log (1— 2) dr; dies Integral enthält also drei Dilogarithmen. Aus dem Hillschen Satze hat Kummer’) den folgenden hergeleitet: Bedeutet f(x) eine in x willkürliche rationale Funktion, so hat man mit denselben Bezeichnungen wie in (1) 1) Journal für Mathematik. Bd. 21, p. 81; 1840. [23] Der Eulersche Dilogarithmus. 143 p=zm 2) di (f(a)) = A ED a dL(0, + 8,2) + © Aus der Integralformel $ 1, (4) findet man in der Tat f f(@) dl % —— —— e Oo — 7a (7 (F@) [re log (1—f(«)) de + 0, und das so erhaltene Integral kann unmittelbar nach dem Hillschen Satze behandelt werden. Man findet z. B. dl—a+R2) — — N a (log x + log(1—.x)) de, und das Integral rechter Hand kann daher höchstens vier -gewöhnliche Dilogarithmen enthalten. Die Sätze von Hill und Kummer können unmittelbar folgender- malsen verallgemeinert werden: Existiert eine solche Funktion x = y(t), dals sowohl y'(b) als F(p(tt)) und G(g(t)) bezw. f(p(t)) in t rationale Funktionen sind, so können die Ausdrücke (8) SF @) 108 (6 @)) dx, dl (fa) nach den Formeln (1) bezw. (2) entwickelt werden. Dies ist z. B. der Fall, wenn F(x) und G(«) bezw. f(«) in x und Ya+bz+cz: oder auch in cos und sin. rational sind. Wendet man z. B. auf die Formel aha fi ee a(yI+2+22) = —; VAtata' log 1 —Y1+2+ 22) da +0 die Substitution MH a vyI+rre+2=1+eb, = Tom an, so ergibt sich nach einer einfachen Rechnung ——— 1—4t+% t—2R / r Be . =. N air a: Iog ()—.) dt + C, und das Integral rechter Hand liefert höchstens acht Dilogarithmen. 144 Niels Nielsen, [24] Als letztes Beispiel wollen wir noch das Integral "log (1+ 22) "log (1+ 22) log (1 + 2) _—_— — a 4 — - —— l; 2 4 —— c. (© / 1E772 2: f a m. 1+ir u welches häufig in den Hillschen') Arbeiten auftritt, bestimmen. Da das erste Integral rechter Hand in (4) sich auch folgendermalsen schreiben lälst: 2 x? gs (1—ix log (l+ a all: c?) ae: log ( =) ee log (I 0 di E 1—ix 1— ix 1— ix so hat man wegen $ 2, (2) E “ : v 5 Ü 1— ix (3) J, — - log? (1—ix) + 5 log 2 - log (1 — ix) 5) dl ( 5 ): i 4 da nun das letzte Integral rechter Hand in (4) aus (5) gebildet werden kann, wenn man nur — anstatt 7 einführt, so entflielst die gesuchte Formel log (1+ x?) EUER r ir 5 Ü 1— ix IHN (6) fi en de — Yaretg.o- log (4440) —z (a =) al 5 )); 1+x2 denn man hat offenbar Ä 5 . a 1—ix log? (1—ix®) — log? (1 +ix) — log (l + 22) - log Be und aufserdem ist i 1—ia Ü ; Wıldae ee re (7) arctg 7 log Vi $ 4. Herleitung einiger zyklometrischer Integrale. Dem allgemeinen Hillschen Satze zufolge wäre es ohne Sinn die- jenigen Integrale elementarer Funktionen aufzusuchen, die sich in geschlossener Form durch Dilogarithmen ausdrücken lassen. Wir beschränken uns daher auf die Herleitung einiger dieser Integrale, die besonderes Interesse darbieten. 1. Setzt man |x <1 voraus, so hat man die Potenzreihe 47 arcigin , 0 = x3 x> x" (1) a ng (0) woraus unmittelbar et x ; Y .@) x = ee 5 (dd -i2) — dl(ix)), 1) Man vergleiche z. B. Journal für Math. Bd. 3, p. 131—140; 1828. [25] Der Eulersche Dilogarithmus. 145 und demnach erhält man durch partielle Integration die neue Formel T E | 0 Man kann indessen in ganz anderer Weise das Integral (1) durch Dilogarithmen ausdrücken; zu diesem Zwecke gehen wir von der Formel $ 3, (7) aus und setzen 1— ix Ü (4) In, 0 use —, log y, woraus 1—y dx 2 4y 5 = — — ıı ji x2 — = UFne Ay a er} dadurch ergibt sich arctg X a log y Yq = Ey oder nach partieller Integration arctg x D + B; 2 i 5 1 y . (6) N = We = 5 los y-1o Gel n 5 (diy — dl — Y)) 6 denn für e— 0 erhält man offenbar y= 1. Aus der Identität 1 1 Al 1 ee ; als p(n—p) n\p n—p ergibt sich die für x <1 aber + +i giltige Potenzreihenentwicklung = 1) —1 „28 (7) : arctg?x Si ) 2 25 1 1 1 IB raten durch partielle RR. findet man aber R aretg?x arcts? x ar retg > x - — — ea 2 dx (8) " = dz 5 + Sz (+ =) woraus wegen (7) 1 arctg?x ,_ , aretg?x EI Nez TREE WARIEE 9) fl ee een ee ) Nova Acta XC. Nr.3. s 19 146 Niels Nielsen, [26] Wendet man aber die Transformationsformeln (4) und (5) an, so hat arctg? x arctg? = D log See In — 4 rt ee a2, 7 /; ae (+9) dy, woraus durch Anwendung der Dekomposition man auch il 2 yva—y) 9° 1-y und nach partieller Integration die andere Entwicklung T aretg?x et? x en (10) je 2 1 _ —; log?y +ilogy - log(1—y) + idy— x? 3 0 3. Weiter findet man durch partielle Integration 1 1 Ja: elle = arctg?x er arctg x log (A +29) ze hr Da woraus wegen $ 3, (6) diese andere Integralformel z 1 l1+2? üi 1—ix l+ix o2 — Zum o ee eu — (11) J wei 2.da — x aretg?% 7 aretg x-log 4 (al 9 ) a 9 )): 0 Nun hat man aber vermöge (7) ar 1 2; I» — r arete? — 23. N _ = = = Biete S——anllie (13) fwei x da — x aretg?« Da tatze 2 )' weiter ergibt sich aus der für «& <]1, sondern ++ 1, gültigen Formel a a Dh Br (13) 3 log? (1— x) -;\it een die andere Potenzreihe s= oo . Mn ER —)- a2stl 1 4 1 1 (14) > log(1+ 2) Riese an -(G Fatztetn): woraus wegen (11) und (12) diese neue Potenzreihe Ie,®) i 1—i% l1+ix Be: : X (— lernt Gage (a | 2 ) 2 | 2 )) an 1 1 1\ 2,18 u ee ae 1 2 die für |x|<1, sondern z=-# + anwendbar ist, hergeleitet werden kann. [27] Der Eulersche Dilogarithmus. 147 Auch für die Arksinusfunktion gelten ähnliche Formeln; doch hat der Fall 3. hier keinen entsprechenden; denn es ist JS aresin? zde = xzaresin?r +2 Via . arecsin © — 2x. 4. Für x'<1 hat man die Entwicklung s= 0 a aresinz 4 NEBEN @S ZEN (16) SS @=-3+2 TE & 2 Tore Os 1) um das Integral linker Hand zu bestimmen, haben wir die Transformation (17) ix + Var —y, aresinx — —ilogy anzuwenden; dadurch ergibt sich a dx Kargk —— er EEE Te NEE: v arcsin® : 1+9%2 ! N 7 dr — I log y dy+ €; 0 (18) woraus nun hat man aber 149? N Nee! 1 aD Ta en Te und somit erhält man ohne Mühe z a 9) j= EC ET 0 e da — 5 log? y—ilogy- log IM) —iAy— A N)+T; denn der Annahme £ — (0 entspricht offenbar y—1. Durch partielle Integration findet man weiter aresin « : log x m dz = log x - aresin x — —— di, (20) ji cr 8 /r en und das Integral rechter Hand in dieser Formel kann demnach wegen (19) durch Dilogarithmen ausgedrückt werden. 5. Durch partielle Integration ergibt sich endlich 1 aresin?x aresin?x aresinx (21) 1 lee = 2 nn ar « x z\/1l— x? 19% 148 Niels Nielsen, [28] während die Potenzreihe für aresin’x ohne weiteres die für |2)<1 an- wendbare Entwicklung ® aresin © et LERNT 2.4.6...(25) wat e2) eo 3.5.7... @s+l) 2s+1 0 rıS liefert. Wendet man nun die Formeln (17) und (18) an, so findet man ohne Mühe wegen (21) diese andere Integralformel T arcsin ? x arcsin ? & R 1—y i nei (23) f = dx + - r — —2i Sc en, — 2 (dy—d—Yy))+ 5 - Y () Eine Vergleichung der beiden Formeln (6) und (23) ist der Mühe wert; setzt man in der Tat ; - 1 —42 22 a Ze er so kommt z Y ; ı. aretge „, _ _, f areing r4 ey h aVı=y woraus die Bürmannsche Reihe a N eye ger BES en 2x \etl id (si Ir "mid... Ati) 2sti \Irm) die man W. Kapteyn') verdankt; die Reihe rechter Hand ist in demjenigen Bereiche konvergent, für welchen |22|< 1+.°| ist. Die beiden Formeln (10) und (19) liefern ähnliche Resultate, wenn man in die erste 2? statt y einführt und die leicht zu verifizierende Identität diz + dl(—2) = 3dl(e?) anwendet; setzt man demnach 1—iy Y en » £ f 2? 2 — — nn % Ei 0 N so kommt z Y aresin 2 arctg Y —— de = — —— dy, “E 2 Es ya+y) 0 1) Nieuw Archief (2). Bd. 3, p. 225—229; 1397. Die Formel (24) ist im Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik (Bd. 28, p. 356) falsch zitiert. [29] Der Eulersche Dilogarithmus. 149 und also findet man diese andere Bürmannsche Reihe Slao 2 .@—) art Tee 2) trage. .@) @stl? id 25+1 Sl 1 die für © <|1+x°| und «x + + Yı+.z2 anwendbar ist. $ 5. Herleitung einiger trigonometrischer Integrale. Als weitere Beispiele zum Hillschen Satze wollen wir noch einige trigonometrische Integrale durch Dilogarithmen ausdrücken: 1. Durch partielle Integration findet man (1) Ss cotpdp — Ylog sin g — log sing dp. 2. Weiter hat man in ähnlicher Weise EP 5 I RR (2) /& ei dp — g log tg fi tg 9 dy. 3. Durch partielle Integration und Anwendung der Formel (1) findet man ebenfalls ‚2 6) Ener, dp = — g2 cotp + 2p log uno —2 [iur sing dy. 4. Endlich ergibt sich aus $4, (21), wenn man x = sing einsetzt, p: 2R ERRER [0 9 Y& sin? ar rl in und somit erhält man vermöge (2) 9? cos p p 9 — FT y 93H loote ?—2 f log te? day. © fr er ch DS) fie 9°7 Um nun diese vier Integrale durch Dilogarithmen ausdrücken zu können, hat man offenbar nur eins der beiden Integrale (5) Sog cosypdy, og singp do, die ja durch die Transformation —5— vw ineinander übergehen, zu be- stimmen. 150 Niels Nielsen, [30] 5. Das erste der beiden Integrale (5) kann wegen $ 3, (6) hergeleitet werden; setzt man in der Tat in diese Formel x —=tgy, so entfliefst ohne weiteres das folgende Resultat: Ze ne )); (6) fi cospdp — 9 log () ae (a 9 ) 2 c08p))’ 0 eliminiert man nun unter Zuhilfenahme der Formel $ 1, (6) einen der beiden in (6) vorkommenden Dilogarithmen, so erhält man % . : : p 2 i (2? 22 ) e!P Geme°? ‚do — 2... erregen er fi ui 2 log (is -) + + re A k CoSsp mE 2 cosp ar i 0 oder nach einer einfachen Reduktion 02 : : 6 1 1 1 en ya N): (6a) 0g cospdp — Y log csypy+7 F- pr — en og ()i 0 da nun das Integral linker Hand für 9 = +x endlich bleibt, so erhält man wegen $ 1, (16) a Hure 5 ö BL D 2 cosp D N 1 1 ap lose al — le: u 0 Sranan Inn alt) (od) lo) 1) woraus für — !r die von Euler') herrührende Integralformel z (8) I: cospdp — — 7 log 2 0 entfliefst. Denkt man sich den reellen Winkel zwischen —!x und +3!x gelegen, so ist das Integral linker Hand in (7) reell; setzt man noch ir = 2 6) an) ui +) Ha (72) + 21og2y herleiten kann. ae man endlich ind) g=y, p=1-—x und transformiert man wegen $ 1, (6) den Dilogarithmus dl (1—x), so entflie[st die von Schaeffer‘) gegebene er ; (1—.x)y AB n” : en (6) di Ge) ar ayral)+al, =) row los. Aus diesen allgemeinen Formeln kann man natürlich eine grolse Zahl speziellerer herleiten. Aus (3) findet man für y— x die offenbare Identität (7) dl(e?) = 2 dr +2dl—n). Die erste der beiden Eulerschen‘) Formeln 1) Speceimen exereitii analytiei ete. p. 9; Lund 1830. 2) Journal für Mathematik. Bd. 21, p. 86; 1840. 3) Journal für Mathematik. Bd. 30, p. 288; 1846. 4) Mem. de l’Academie de Saint-Petersbourg. Bd. 3, pp. 37, 40; 1811. Nova Acta XC, Nr.3. 20 154 i Niels Nielsen, [34] ! 1—x =—1 PET i 1—x (8) dl +) — dl ( ) + dx — dl—.x = Ge log x - log er 1+ c+1 1 n? 1 SEI Mlltzu et 2 = le (9) al (\ 7 .) dl —%) 5 » log (1 + 2) + log? ergibt sich aus (6), wenn man y —= — x einsetzt; die zweite kann z. B. aus der allgemeinen 'T'ransformationsformel $ 2, (7) hergeleitet werden, indem man drt ae=y=d—=1, ?—= 0 einführt und dann die Funktion dl (1+ x) wegen $ 1, (6) transformiert; die Formel (8) findet sich wohl bei Legendre') und Hill?) aber weder bei Kummer noch bei Schaeffer. Mit Kummer’) wollen wir folgende Spezialfälle betrachten: Setzt man in (8) 2x anstatt x und y—=2—2z, so findet man 2 (10) dl(4x— 422) = 241(2%) F21@— 20) — I, während die Annahme y = 1—x ergibt di(@— a2) = dia + dl (l—a) + a & ) +d (=) + 3 log? ee: cz —|1 woraus wegen $ 1, (6) und nachdem man noch den letzten Dilogarithmus rechter Hand durch $ 1, (16) transformiert (11) dd (&— 22) — dl ( 2 ;) — dl ( = ) + log x log (1 —x) — 3 log? (l— 2). VD (1.2)? Aus (3) findet man weiter, indem y—=x:(22—2) und 3x statt & gesetzt werden a % x ; Bi (12) al ) —= all @) + 2dl (5) — 21082(3) während die Annahme y —= —x diese andere Formel N 72 a u 2—a 4 2 | (13) d1—2?) = 3dl(z2?) + a dl + 3 log 6 =) liefert; für y—= 0 findet man aufserdem (14) dix+dl =) — _ joe? (im) A woraus wegen $ 1, (16) 1) Exereices de Caleul integral. Bd. I, p. 247; 1811. 2) Specimen exereitii analytiei ete. p. 9; Lund 1830. 3) Journal für Mathematik. Bd. 21, p. 82—87; 1840. [35] Der Eulersche Dilogarithmus. W—ıl 2 (15) dal — -) — 7 + 1 log20 — log. - log (1—a), und somit ergibt sich, indem man 1:(1—x) anstatt x einführt: 2 1 2 (16) dlx — dl (—) = — = — log (— x) log (1— x) + 3log?(1—.2). Setzt man endlich in (5) y= —1, so entfliefst die Formel 2x a? If _)— ar (17) al ) = u ra) — während eine Kombination von (14) mit (7) die Relation (18) dia) = a: 2) + $d1(@2) + $ log? (1—x) liefert. Mit Schaeffer') setzen wir in (6) y=1-ı+r, y=ı—-c,y=>, y=;z und erhalten somit die vier speziellen Formeln (19) de - dl et) HA (+ a () al) 2% —ı% 1— 22 +2 0) d2e—-U&@— a) +ÄAAl—a) + dl a) - al ee ) n2 1— x = 6 = log EC» log en 1— x n: (21) dc+al(,, „rue 2%) al = ) =7 310g? — log x » log (2 — 2.) 2 2 2 —2 (22) dr al,)—al,n )+aß — 5 tlog?2 —logz - log, 2 Hiermit brechen wir unsere Darstellung dieser Spezialisierungen ab. $ 7. Integrale mit dem Dilogarithmus. Über Integrale, die den Dilogarithmus enthalten, habe ich in der vorhandenen Literatur gar nichts finden können, und mir selbst ist es nur gelungen, die folgenden Formeln dieser Art zu finden. Setzt man «= — 1 voraus, so erhält man durch partielle Integration: d Su: Lich “ Jog (1 l & R h = — — p © —ıV dDs ze dix da ET 1 ol x) da ) Journal für Mathematik Bd. 30, p. 289—295; 1846. 20* 156 Niels Nielsen, [36] woraus durch nochmalige partielle Integration und nach einer einfachen Umformung ze+l Be fl 1 1—z«+1 ( x% S x = —— 1 — x) — = . X. A) N dx de Se dx-+ @+ıY log ( %) (+) T mE, da Das aus (1) zwischen den Grenzen 2—=0 und —=1 erhaltene be- stimmte Integral kann demnach durch die Gauss’sche Funktion = 00 il 1 ze prnere) = me SEi0 wo © die Eulersche Konstante bedeutet, ausgedrückt werden; man findet in der Tat, indem man noch « = x—1 setzt: 1 2 (2) did = 3 —_ — (#2 (2c+1)+0), () wo man also AR (2) >—1 voraussetzen muls. Ist in (1) « der ganzen nicht negativen Zahl n gleich, so erhält man 3 ee I (8) x dal — EIST + @ jr log ( So en? x x? zart I ie a; woraus das bestimmte Integral 1 NR (4) ls aaa un TEE (Hatst. ton) 0 hergeleitet werden kann; ist andererseits « = —n, wo das ganze n grölser als 1 angenommen werden muls, so hat man dlx AT tr —1 (5) j® Dr — 1er dlx Nike Re: n)2 log (1— x) 1 Be an a1 Ta en ee). Wünscht man das letzte Integral zwischen den Grenzen z—=1 und x% —= ©o zu erhalten, so hat man den Grenzwert log x log (1 x) log Ca) : lim ze ne a Le = @a—1)2 DEISS a (n — 1)? zT [37] Der Eulersche Dilogarithmus. 157 woraus die gesuchte Formel oo 2 Nez nr? 1 1,21 1 nÜ (6) /® ee 6 (Rn —1) + (n — 1)? { i+3 rag —) n—1): unmittelbar hergeleitet werden kann. Aus (2) findet man einem bekannten Gauss’schen Satze') zufolge: Bedeutet « eine rationale Zahl gröfser als —2 und von — 1 verschieden, so kann das bestimmte Integral 1 (7) f= dix dx 0 in geschlossener Form durch x og Logarithmen dargestellt werden. ? Für « = —1 hat man aber al i dx 1 1 1 1 S (Ewertatntet nn 0 und die Natur dieses Zahlenwertes ist noch ganz unbekannt. Aus der elementaren Integralformel (4) kann man eine allgemeinere herleiten; setzt man in der Tat die Potenzreihe Fo) = tFTWCcH CH BR H..: für 2| Br N l (9) fr dit dt = En fo dt 2er (i v5 oo a) 1) 0 wo man also ebenfalls x CrEE RR ( ') Wir verzichten hier auf weitere Anwendungen der Formeln (3) und (4) unter Zuhilfenahme der in $ 6 entwickelten T'ransformationen. Die Tafellegung des Dilogarithmus scheint eine recht sparsame zu sein; mir bekannt ist nur die folgende kleine Tafel von Hill.’) 1) Memoires de l’Academie de Saint-Petersbourg. Bd. 3, pp. 34, 42; 1811. SDRlzespy29: 3) Journal für Mathematik. Bd.3, p. 159; 1830. [39] Der Eulersche Dilogarithmus. 159 Da der Dilogarithmus von — bis 22 monoton wächst, wenn x von — oo bis 1 wächst, da weiter für reelle x, die die positive Einbeit übersteigen, die imaginäre Komponente von dlx auch monoton ist ohne das Zeichen zu ändern, so folgert man: Die Funktion dlx kann aulser der Null keine reelle Null- stelle besitzen. Kummer!) untersucht nicht direkt den Dilogarithmus, sondern die Funktion lox (5) A(&) - dz — logx lg(l +2) + 41C—-); (1) diese Funktion ist demnach reell für reelle nicht negative x; ist x negativ, setzen wir —x anstatt x, so dals das neue x positiv sein muls; die Annahme log —1)—=+xi ergibt dann los x) fr dx — ai log (1—x) + A, (&), (6) A = 0) 9) — 220 wo wir der Kürze halber 1) Journal für Mathematik. Bd. 21, p. 81—90; 1840. 160 Niels Nielsen, [40] log x (7) ZA) — 3 dx — log log(1— x) — dlx 0 gesetzt haben. Die Funktion A (x) ist für O 1 monoton wachsend. Im Intervalle O da 0 0 besitzen wir noch folgende Tafel von Kapteyn:') $ 9. Die Catalansche Konstante G. Durch seine allgemeinen Reihentransformationen hat Catalan’) eine Methode zur angenäherten Berechnung des Zahlenwertes En Eee DENE. a) eg Hirte ei) angegeben: Catalan gibt den folgenden angenäherten Wert (2) G — :0,91596 55941 7721 1) Publications of the astronomical laboratory at Groningen. Nr. 5, p. 50; 1900. 2) Memoire sur la transformation des series et sur quelques integrales definies (50 S.) Mem. couronnes et des savants &trangers de l’Acad. de Belgique. Bd. 33; 1865 —1867. Noya Acta XC. Nr.3. 21 162 Niels Nielsen, [42] an, während Bresse') kurz nachher (3) G = 0,91596 55941 77219 01505 46035 7 gefunden hat; dieser Wert ist übrigens von Catalan’) unrichtig zitiert worden, indem er die drei ersten Ziffern (015) der vierten Kolonne ver- gessen hat. Es erscheint mir angemessen, die Zahl @ als die Catalansche Konstante oder auch als die Konstante des Dilogarithmus zu bezeichnen. Es ist bisher nicht gelungen, die Zahl @ in geschlossener Form durch andere bekannte Zahlenwerte, wie z. B. x und log 2 auszudrücken. Wenn aber Catalan’) eine Darstellung von der Form G = ar-+blog2, wo a und 5 rationale Zahlen bezeichnen, gesucht hat, so erscheint es mir doch, dafs eben die von Catalan entwickelten Integralformeln zur Aufsuchung einer Relation von der Form G = an? + ba log2 + c log?2 anregen mülsten; auch über eine solche Relation ist aber, so viel ich weils, noch nichts bekannt. Wir haben hier zu zeigen, dafs unsere in $ 4 entwickelten Formeln unmittelbar zu den wichtigsten von Oatalan') gegebenen Integralausdrücke für die Konstante @ führen. Setzen wir in die Formel $ 4, (19) x =1, also y =, so ergibt sich die Formel 1 arcsin z I 4 ——— de = -<] 2; @ free z en 0 denn man hat offenbar dis + dll—) = — 55; aus (4) findet man nun weiter durch partielle Integration und die darauf folgende "Transformation x = cos p die in $5, (8) gegebene Eulersche Formel !) Comptes rendus. Bd. 64, p. 1139; 1867. 2) Memoires de l’Academie de Saint-Petersbourg (7). Bd. 31, Nr. 3 (51S.), p.1; 1883. S)Mlrc. pol. 4) Man vergleiche die beiden soeben zitierten Arbeiten von Catalan. [43] Der Eulersche Dilogarithmus. 163 TT TU 2, > (5) ne log eosp dp — 2 log sing dp — —;5 log 2, 0 () woraus diese andere Formel [e,S] log (1 +2?) 6 RR (6) nr ed a Ale 0 durch die Transformation e—=tgy unmittelbar hergeleitet werden kann. ni Setzt man andererseits in dieselbe Formel $ 4, (19) x = /}, alsoy=e*, so ergibt sich, der Identität ei rei i 7? wegen, diese andere Integralformel (7) a de — = los 0 woraus durch partielle Integration, nachdem man x — siny eingeführt hat, x (8) Swen = in2—16, 0 und somit erhält man wegen (5) das ähnliche Resultat TU (9) Ser an = FR +1 0 woraus man durch die Substitution 2 —tg9y diese andere Integralformel 1 log (1+ 2% EM un. (10) /® SE div — 5 log2 — @ 0 herleiten kann. Aus $4, (23) ergibt sich in ähnlicher Weise 1 / "aresin?x n? a1) " I k—AG—,, 0 164 Niels Nielsen, [44] woraus durch partielle Integration und nach Anwendung der Transformation x — sing die neue Integralformel TU 4 9 y Ip — 216: (12) a sin p 29 : 0 durch partielle Integration ergeben sich weiter ohne Mühe die beiden ähn- lichen Resultate TU (13) S'rmnan - Zwe2 4 c 0 7 4 ? aeg: ER 2 Por ie (14) 1 ng Gt zle2 +6. 0 Die Transformation x — tg y liefert die Identität 1 7 log(1+ x) 4 \ m da = log (1+1t89p) dp, 0 0 woraus durch elementar-trigonometrische Umformungen TU TU 7 / 7 7-12 + (sen (T—m)ar— [Iicenpan: 0 0 da nun die beiden so erhaltenen Integrale identisch sind, so entfliefst die von Bertrand') .gegebene Integralformel 1 log(1-+%) n 15 ze Ne = 9 (15) \: es dx 8 log 2; () in ähnlicher Weise findet man oo log(1+ 2) n 16 32! — (16) 2 = de—,182+6 0 1 log (1— 2?) E14 17 Ta — (17) ei 5 de =, 1082 — 6, !) Journal de Mathematiques. Bd. 8, p. 110; 1843. [45] Der Eulersche Dilogarithmus. 165 und somit entflielst aus (15) und (17) die ähnliche Formel 1 log (1 —x) I 18 Limo un (18) ie In wg, 152€. () Aus $ 4, (6) erhält man in ähnlicher Weise 1 7 arete 7 (19) j® dx — -f' legtgspydp—=G, () 0 während $ 4, (8) und (11) die entsprechenden Resultate arctg?x n? n 20 = u — = (20) Ye = da 16 t 2 le2 +6 0 1 2, n? I (21) J eerr Or — 16 + Ai log 2 — @ > 0 liefern. Hier brechen wir unsere Darstellung der Catalanschen Integral- formeln ab; weil diese Formeln ja doch nur ein sekundäres Interesse dar- bieten; wir haben aber noch aus unseren vorhergehenden Formeln ver- schiedene Reihenentwicklungen für die Catalansche Konstante herzuleiten. Aus $ 3, (6) ergibt sich ohne Mühe wegen (10) mi ni (22) G = 21082 + - (a 2 ) al ZI) woraus die Reihenentwicklung . P% (23) (Br = log 2 en Sera 8 el)“ gebildet werden kann; vergleicht man andererseits die beiden Formeln (22) und $ 4, (15), so entfliefst die neue Entwicklung 37 Ne Ve 1 9. De o Se ec le >p+l 6 ae 5) Endlich ergibt sich aus der Kapteynschen Formel $ 4, (24) diese andere Reihe 166 Niels Nielsen, Der Eulersche Dilogarithmus. [46] p=00 2 any 2 2.4.6 x .. (2P) 1 B3 (25) 214 235.7..@+)) 3p+1’ die man Catalan') verdankt; diese Formel kann übrigens auch leicht direkt gefunden werden.”) Aus (23) findet man noch wegen $ 5, (16) diese andere Darstellung 3x 1 ’STv co 1 oder, was offenbar dasselbe ist (27) B— = 108 2— 5 (a (5) al (-3))- 1) Memoires de l’Acad. de Saint-Petersbourg (7). Bd. 31, Nr. 1, p. 41; 1883. 2) Man vgl. z. B. meine Note in Nyt Tidsskrift for Matematik. Bd. 5B, p. 25; 1894. Kapitel Il. Elementare Verallgemeinerungen des Dilogarithmus. $ 10. Herleitung einiger Hilfssätze. Um die folgende Darstellung nicht unterbrechen zu müssen, wollen wir zuerst, ehe dals wir zur Verallgemeinerung des Eulerschen Dilogarith- mus übergehen, einige Hilfssätze und Formeln vorausschicken. Bedeutet g eine ganze nicht negative Zahl, während «+ —1 an- genommen wird, sonst aber ganz beliebig sein kann, so erhält man durch partielle Integration Ele fi. eye, up a) Ti: Ode, 2 s! " (a+1)a-s+:? woraus, indem («e) > —1 vorausgesetzt wird, das bestimmte Integral 1 DE re EM ON EER (2) RR I log!x dx — Gene 0 natürlich bezeichnet logx immer den Hauptwert des Logarithmus. Es sei nun (3) fo) = uwe tm? Het... mE... eine Potenzreihe mit dem Konvergenzradius o; dann haben die anderen Potenzreihen Ä a TE An 4 — —e —. 2 A — .xP a ( ) fr (%) 1r 2 + 9n x + ai pm Er 2 wo n eine positive ganze Zahl bedeutet, ebenfalls den Konvergenzradius o, und es ist sicher, für «x FE ° Yntr-m—s ” Intr—n 7 B st Intr—m=sı s=0 il s=en—m x oder, indem man in die Summe rechter Hand s= n— m+ 9 einführt, — Yn+r—m—s ” Intr—m R Sr FEN Yr—q - = ei n—m+g)! Führt man demnach diesen Ausdruck in (13) ein, so wird der zu y, gehörige Koeffizient gleich mr En 2a 3 > De) eHmin), (n + q)! m V—Mm m=zV —q dieser Ausdruck verschwindet aber wegen (12), weil O ni)! 2 ER i so dafs ©, , die Summe der (” möglichen Produkte aus je y—1 und p—1 pP, »—1 oO J 1 pP verschiedene Faktoren ausgewählt unter den Zahlen I 1 0 23: I yeil bezeichnet; man hat daher z. B. it 1 1 16 1, — |]; N = en =—H n = - —. 2 ER Pan N] a a ee) eng Mit diesen Bezeichnungen erhalten wir dann die Potenzreihen- entwicklung = oo el ES ODOn.n+s Ben er(] — — ar 3% (17) 7 log?” ( x) _ ee © !) Man vgl. z.B. Schlömilch: Compendium der höheren Analysis. Bd.II, p. 13. [51] Der Eulersche Dilogarithmus. ll $ 11. Elementare Verallgemeinerungen des Dilogarithmus. Die elementare") Verallgemeinerung der Funktion dlx ist nicht ein- deutig bestimmt, sondern kann von verschiedenen Gesichtspunkten aus gebildet werden. Geht man von der Potenzreihe $ 1, (2) aus, so bietet sich die folgende Funktion 1 PS Es —l en—2 Ki a) Lo en ( IT 2. log""tlog(l—ta) „, AD (mn —2)! t 0 dar; denn man hat offenbar (2) SG) —dn Sa) — —lg(ll— m); die in (1) eingeführte Potenzreihe hat den Konvergenzradius 1 und ist für n>1 überall auf der Peripherie des Konvergenzkreises unbedingt konvergent. Geht man aber andererseits von der Integraldefinition $ 1, (1) aus, so wird man natürlich zu der Funktion zT : r ( 1)? log” (1— x) ES Ogn,n+p ) Sim (a) . —— ds —= — —— e gRtp (3) un(@) n! ® “ a BE ö 0 geführt. Eine selbst sehr oberflächliche Untersuchung dieser beiden Funktionen, die übrigens miteinander sehr nahe verwandt sind, zeigt indessen deutlich, dafs diese beiden Funktionen nur als die beiden extremen Spezialfälle einer vie] allgemeineren Funktionengattung anzusehen sind, nämlich der Funktionen: al INT —1 n—1\ op BELBRTEF s= 00 (4) Sn,2(2) — Se I an) ee RS ae u (n— 1)! p! ei (p-+ s)"+t! SV wo die Potenzreihe ebenfalls den Konvergenzradius 1 hat. Es ist nämlich dann wegen $ 10, (16) (5) Sl 1 (&) = Sn (2). 1) Unter elementare Verallgemeinerungen verstehe ich solche Funktionen, die keine neue Variable enthalten; sonst würde man auf Verallgemeinerungen der Zetafunktion geführt. 29* 172 Niels Nielsen, [52] Aus diesen Definitionen der Funktionen S,,(x) ergeben sich ohne Mühe die Differentialformeln Gel) 5 log? (1—x) Ir Pi f 1 (6) D; Snp (@ x) = % - Dan (@ %), ID), Sı,p (ax) — x = und die entsprechende Integralformel z (7) I4nl@2) = f: . Sn—ı,n (ax) de. ) Um nun die Formeln $ 10, (7) und (8) für « = +1 anwenden zu können, führen wir die beiden anderen Funktionen np n—1,y ] len Ian (2) —— ( D s j* 2: 0E u 2) dx 0 (n — 1)! ip! ® (8) = ee u ul), 0 ein; es ist demnach (9) Lı,2@) = Sı,» @), M,,,@) = —-1P 81,5, (2), während wir noch als Definition (10) Na ne m log" & setzen. Mit diesen Definitionen erhalten wir nun, speziell für « = +1, aus $ 10, (7) und (8) die beiden Formeln — |; n,p () = iS en ® . I (x) 1) rzn— Il Zn,» (@) 75 > en ._—_ 7 a—r,2 (&), während die Annahme « — — 1 in ähnlicher Weise die entsprechenden Formeln sen—l | Dr 8,,0-9) = >» — Ze) aa) N — 1)" log” x Mn (x) = (— 1)? . 3 Wr e Sr (— 2) liefert. [53] Der Eulersche Dilogarithmus. 173 Wir erwähnen noch, dafs die allgemeine Integralformel $ 10, (5) hier speziell diese andere T r=n—l File ern „SS Elite (13) "n— DI = 18 A N FÜ CTIE O Ser (@ &) {) Kr ergibt. Diese Funktion ist für «a — +1 von A. Jonquiere') in äufserst komplizierter Weise untersucht worden. In diesem Zusammenhang haben wir noch einige wichtige Zahlen- werte einzuführen; für e—=1 erhält man aus (11) 1 mr log”! logr(1—t (14) ee a = EL) 2, (n —1!p! t 0 oder als Reihe (15) Sn = setzt man in (12) z—=]1, so ergibt sich in ähnlicher Weise 1 Zr 1 gr it] gP 1 t 2 ee 2 og ttlog2d Hi) j, R—1)t pl t. oder als Reihe s= 00 5 z ET 1) @9, 945 (17) On,p re (p+ s)”+! sv In der in (14) gegebenen Integralformel setzen wir nun 1—t anstatt t; eine partielle Integration ergibt dann ohne Mühe die wichtige Formel (18) ne Ba während ein ähnliches Resultat, für die Zahlen o,,, nicht zu finden ist. Für py=1 setzen wir speziell (19) Sn 1,1 — Sn — ]r SF In Ar Zn Ar Ar Sr - 1 1 1l 1 (20) On—ı,1 = — 1r 9n AP Zn An ap SDR) 1) Öfversigter der Stoekholmer Akademie 1888, p. 522—531. Bihang der Stockholmer Akademie. Bd. 15, p. 1—50; 1889. 174 Niels Nielsen, [54] woraus il (21) ON (135) mo 102 und wegen der Formel (18) A an On— el (22) Sı, n—-1 — ui (n+s—1)2 — Sr Endlich haben wir noch den Zahlenwert 2 3 Ba V Op, p+s ab (23) @n,p Prn,p\z — (p+s s)r+1 Ypts und speziell p= x La Seat (24) An — — le = EZ p" 90 pl zu untersuchen. $ 12. Natur der singulären Stellen. Aus den Definitionen $ 11, (4) und (8) geht deutlich hervor, dafs die Funktionen, deren Hauptwerte S,, (&), Z,, (2) und M,,, (x) sind, sämt- lich in der ganzen unendlichen x-Ebene, aufser in den drei isolierten Punkten, x—=0, e=1 und == analytisch sind, während die Hauptwerte der Funktionen S,(@) und L,,(&) = 9,,(®@) sich auch in 2=0 regulär verhalten. Was die singuläre Stelle x —= 0 für L,, (©), n>1, betrifft, so ergibt sich unmittelbar aus $ 11, (11), weil der Hauptwert S,, («) ja in z—=0 analytisch ist, die Umlaufsrelation nl x (—1)’ (log x + 2xi)r r! D (0) L n,p @)E— G Se p (&) ; _—, wendet man nun auf die Glieder rechter Hand die Binomialformel an, so wird der zur Potenz (2 rt)” gehörige Koeffizient Ur De bogen Dr A SI q! SS 3) — = - L,_r,2@), q= 0 woraus die recht einfachen Umlaufsrelationen N x — || 27 (1) D(0) Zu, (@) = Ge? A - Dur, @), r! — [55] Der Eulersche Dilogarithmus. 175 r=n—l b) Ar 6) som.o DL 22.0 0) unmittelbar gebildet werden können. Um die Natur der Stelle x —1 untersuchen zu können, gehen wir von dem aus $ 11, (8) gebildeten unbestimmten Integrale N log*—1x log? (1—x u le re a 5 2a ) aa+C aus; setzt man demnach 1—x anstatt x, so erhält man durch partielle Integration die Fundamentalformel ps np log DR, 1a (1 — x); 3 (3) Ion (1 —&) Ar pc («) — Sn, denn die Intesrationskonstante läfst sich durch eine der Annahmen x — 0 oder e—=1 bestimmen; hieraus folgert man daher unmittelbar die numerische Gleichung $ 11, (18); für n—=1 erhält man wegen $ 11, (11) die spezielle Formel p=n—l x — 1)? log? x log” x log (1—«) ( n 5 ST R)E — (4) Sı, n (dx) — — inar Läfst man nun in (3) x einen positiven um 2 —=0 machen, so wird 1—x den Punkt 2— 1 ebenfalls in positiver Richtung umlaufen, und wir erhalten daher wegen (1) r=p—1 >, EIN 5, la y! = Pi: logz + 2xzi)? log” (1—x) — D (0) Z, „(l—-2) = Sn, — — nun wird aber der zur Potenz (2x:)” gehörige Koeffizient ler GR r! n! p! e ) log?" x log” (1— x) — nn) wegen (3) dem folgenden Ausdruck _——_ [Z», p—1 (el —#) a | gleich. Setzt man daher noch 1—x statt x, so entfliefst die Umlaufsrelation STEINE 6) oe 5 na —, wo der Kürze halber 176 Niels Nielsen, [56] r=p—l F Ar (6) a >, GEN) (ri) k r—\i r! n, P—r gesetzt worden ist. Der entsprechende Funktionenwert 3 (1) L,, (x) wird aus (5) gebildet, indem man einfacherweise rechter Hand das Zeichen von 2ri wechselt. Die Natur der Singularität © — +1 für die Funktionen $,, (x) läfst sich demnach unmittelbar bestimmen, indem man in der Identität $ 11, (11) x den Punkt +1 umkreisen läfst; dadurch erhält man wegen (5) RT log’ ” —r@ DI) S,,@) = H,@) + > De 2 NS x zone air = -_ ir, pr @) — Sn—s, Ba) und der zur Potenz (2x:)” gehörige Koeffizient wird s=n-—l (—1)’ x log‘x —1)r GG» I) "log: © FT FARERE . > ge (en p—r (2) — Sn—s a) — _— ne pP (x u) — r! 3 s! *Sn—s, p—r} FEN) Er s=0 die gesuchte Umlaufsrelation wird daher r=p—l TZNZ ; — 1)’ (2ri s "log" (7) DU. DD [ = N ee > = een: r= — = =) y hier muls jedoch »>1 angenommen werden; denn der Zahlenwert X, , hat der Definition (6) zufolge keine Bedeutung. Man erhält aber aus (3) unter Anwendung der 'Identität $ 11, (11), wenn man in diese Formel 1—r anstatt x einführt: RZ = 97 x — ]\r+r—q 3 > "log2(l x) Bi ( 2) WET Berl Sn. p (1 7) — a ZU (Som p Iby, Nn— 1%) 2 (n— q! p! q! « log x log (1 2), ve woraus nach einer einfachen Reduktion "NN log2(1—2) (—1)r+r nl 24 — —" (8) Dn. p (l— = >23 IE (Ger D —L,, n—q («)) — nn pP! log? % log »(1—a), — woraus speziell für »— 1, indem man noch n—1 anstatt n einführt Y an ı(1— ; —])Y) oO Saa)= 3% nn) lose ler) = da nun die Hauptwerte 5, .(x) sich in z=0 regulär verhalten, so hat man die einfache Umlaufsrelation [97] Der Eulersche Dilogarithmus. 177 1 2ri (10) DU) S,@) = S, DE En ee die ja derjenigen für den Dilogarithmus gefundenen sehr ähnlich ist. Die drei Funktionenwerte S (1) S,, (©), D(x) 8,, (x) und 3 (oo) 8, , (@) können nun auch ohne Mühe gebildet werden. Aus diesen Umlaufsrelationen leiten wir unmittelbar den Satz ab: Die Funktion $,,(«) ist als Hauptwert einer Funktion anzusehen, deren andere Zweige allgemein auch in z—(0 eine singuläre Stelle haben. In unseren folgenden Untersuchungen betrachten wir ausschliefslich diesen Hauptwert; aus (8) findet man dann unmittelbar den folgenden Satz: Es ist immer (11) lim Sn +2) = m in welcher Weise man auch x der Null zustreben läfst, wenn dieser Punkt nur nicht umgekreist wird. Um unsere Funktion S,,(x) in der ganzen x-Ebene zu kennen, haben wir nur noch das Verhalten dieser Funktion für überaus grofse Werte von |z| zu untersuchen. Zu diesem Zwecke gehen wir von der offenbaren Identität Er log” 1%» (108 (1 + .) + 1og) U m—D!p!' © (12) N,» @) dz + C aus; da nun weiter log” -!x log? (1 ML we I I ze) gen! % sein muls, so ergibt sich aus (12) unter Anwendung der Binomialformel s=p-1 a3) 2,,@) = 1” ( > | \s=0 Ag 5 1 log"+r Mn+s, P—S ( ) a = a —1)!p! u) + nr x wo die Konstante C,, sich durch die Annahme © —= 1 bestimmen läfst; dadurch erhält man nl . SS Melt (14) CU = (1—(—.1)”) 0,» — (—1) > ( e ) On+tr,p—r Nova Acta XC. Nr. 3. 23 178 Niels Nielsen, [58] Setzt man demnach in (15) n—r anstatt n, so gibt die Identität $ 11, (12) unter Anwendung des Hilfssatzes $ 10, II die Formel STD m, leer m Es -m—1 1 ee aa Se : en I“ 2) (N) =) 1 m! gm Sn 2 SU; = (15) r=n—l ‚x log NT 0) r® oe (Nr logrtra, (n +p)! : en (On p Sr denn der zur Potenz log ”*”x gehürige Koeffizient wird 1 1 = ..N oe) deren NP! n—r+p» RITA nt)! 0 Setzt man nun endlich in (14) —x anstatt x, so kommt 1 s—=p-—1 nr m( ) Ss ee n Ss. Be — (— n, SS eh s y 05) A) I ur) = ed I eu I (16) 1 1 PZ Zn ( ) ( 1 ( N+S— m — i X logr(—x — 1? log”+r (—x) ß S Ser (vr SO weh ee), ( Een )s n+s—m, Pp—s (2) al: ( 1) Fr! r! On, p + (n +»)! 2 was log (—x) betrifft, so setze man c— x - ei@®, —a<®<+n; man hat dann 17) log — 2) = log|x| +i(0 £ 7) zu wählen, je nachdem 9=0 vorausgesetzt wird. Für p=1 fällt die erste Summe rechter Hand in (16) aus; setzt man noch n—1 statt n, so entfliefst die einfache Formel Ban BE ir Se a) SD +Dr 5(z) = a ae die man Jonquiere') verdankt; durch die sehr komplizierten Funktionen $ 11, (135) irregeführt, hat Jonquiere die Formel (18) in komplizierter Weise hergeleitet. Für p=2 ergibt sich in ähnlicher Weise die andere spezielle Formel Be Sa () — (1 (" Sn+1,1 () -+log C-2) Sn, 1 2) (19) r=n—l | ee le). (n +2)! u r! ir 1) Öfversigter der Stockholmer Akademie 1888, p. 527—531. Bihang der Stock- holmer Akademie. Bd. 15, p. 23—50; 1889. [59] Der Eulersche Dilogarithmus. 179 wo man also wegen (14) (20) (ge = 1—(-N2) 0,2 — (12 9 0942 zu setzen hat. $ 13. Andere lineare Transformationen des Arguments. Die Funktionen S,,(&) gestatten noch einige andere lineare Trans- formationen des Arguments; die so erhaltenen Formeln werden indessen so kompliziert, dafs wir uns darauf beschränken, die entsprechenden viel ein- facheren Relationen für die L,,(x) und M,,(«) zu entwickeln. 1. Setzt man in die Integraldefinition für L,,(Y) q —— 1 YEz 7: so ergibt sich 1 x n—1 D 5 a) TS C- )rtr-1 log Gi ) log } ) De =) 0 Ge tx En woraus durch Anwendung der Binomialformel 1 1 ET logr+?-s-1(1 +0).logsx \ - —— = 9 y Ns en) & oO ” 7 ‘L) Ian G =) (n—1)! p! | 1) Sy er dc+ 0, und somit erhält man durch partielle Integration =D, s an+Pp—Ss n Ta ( = - do log°x log"t?-s(1 +2) l+z (n—1)! p! eg! 5 n+P—S Se—aU) s log”+?r=s(1 + x) log°"!x 1x ; n il GB DE %) Vene: a—1l! p! n+pP—s) (n +2)! nun hat man aber und also erhält man die Formel Li 1 x n+p —s—1\/n+p L 1 7 er N = ( ) | ) osx lJog?tP 3 x | en 5) Sn.p n+p)! | 1): ZB e log‘x log (d+z) 2) de SI (WON | ua mung sl 180 Niels Nielsen, [60] Für p=1 ergibt sich speziell aus (2), wenn man noch n— 1 anstatt n einführt, or—1l(] 7R (8) Lo. [4 ) Iop = a De 1) log(1+2) — nloga] + (—1)" Sn ala). 2. In ähnlicher Weise findet man logr-1 ( < ) log? ( ] ) 2 -g\n+2—1l » Lu ( % I I)rt2 ONIEEE l+x aa, 1+2) 7 (n—I)!p! ; Fr z(c+ 1) woraus durch Dekomposition und Anwendung der Binomialformel sen—l x 1 SI n—1 log”+?r=s—1 (1 -+x) log'’x In» \— —- | = nn —)s — - — 5 L,,; (G —) n—1)!p! ud er) ( 5 f x Rz s=0 s=n—l 1 IT n—1 logr+?r=—1(] +2) log’x — 9 —1)S = 2 Gy ( s iD. I+z 0 hier kann die letzte Summe rechter Hand unmittelbar aus (1) bestimmt werden, wenn man dort p und »—1 vertauscht; dadurch findet man s—-n—l = ! N (n+p—s—1 el) late Sal, ) Myrı, n+p—s1(%); IN) denn die Konstante lälst sich durch die Annahme x —= 0 bestimmen. In (4) muls man »>1 annehmen; direkt erhält man aber speziell log"(1+x) n! " (5) Se =) che 3. Die vorhergehenden T'ransformationen können noch erheblich verallgemeinert werden; man findet in der Tat ähnlicherweise lo n—l ® a =) lor? b— ® ® ee ee) ara) SNerE SENDE) a (a —1)! p! (a+x) (b+x) E benutzt man nun die Identität ei b—a ER 1 iR I (a-F- 2) 0%) TV aeFrz Wir: und setzt man der Kürze halber a—+x b—a a+x b—a log "1 ( ) 108” ( ) logizz +) 1087 ( ) NEE b+%) de, = b+x a+z ie: a+x b+x [61] Der Eulersche Dilogarithmus. 181 so ergibt sich it = — 1) rtr—1 6 TB. a+% En ( a er (6) je GE (a—1)! p! ed): Setzt man aber in J, Nil nn u Bar — 0 b+x=2 —= (b—a)- N ar 1+y, so hat man log" (1-+y) log? =) = rt. Y und daraus durch Anwendung der Binomialformel ne, Si mtamteny u, fe aR—)! p! EURE Fe il stl,n+p—s—1 atx ö In J, setzt man —Ng 1—z % a en a+z —= (b—a)- Ä ar und erhalten somit Sr b—a\ Rdn? im ( ): führt man endlich diese beiden Ausdrücke in (6) ein, so entfliefst die Formel s=p d a+x b—a n+p —s—1\ _ b—a D Tnlgre) mtl ln Mr (ar); s=U denn die Konstante läfst sich durch die Annahme x = » bestimmen. 4. Setzt man in die Integraldefinition logdıx log? (I— x -Drg! una) mg nacheinander p—(, 1, 2,3, ..., qg, und addiert man die so erhaltenen Gleichungen, so ergibt sich durch die Binomialformel q loe 7 ® (—1)9 > lg 2)? DL; +1,7(%) — q! 7 Il p dz +6, 7 0 D woraus durch die Transformation 182 Niels Nielsen, [62] diese andere Formel ?P=4 Sn ya Eee | 1)? L,-7+1,»(&) = q! yy+1) dy ST nern EL KR): log Y log? y r | DEEP OE Er ga+1 ne Erinnert man sich nun der durch $ 11, (10) gegebenen Definition für L,.(&) und setzt man noch »—1 anstatt q, so entflielst die Formel s=n—2 B 0 Br ehr a 5" ( de ) (8) Fl ( 1) Ir ran (Gi ) BZ Al 084 log mr: p=n— 1 (1)? log?rx- 0 j Fe p! u denn die beiden Seiten dieser Formel verschwinden für x = 0. Führt man noch in (8) wegen der Formel $ 12, (18) die Funktionen 1 x Sl ein, so erhält man % = n=2 75 Ge 1)n 3 (9) U) In_s-1, s+l h an .) 7 un on! Y} log x m 1r (1 at Da) On j s=n—l x (12) log°x u ? Ar ui s! SE x I denn die einzeln stehenden Potenzen von log x müssen ausfallen, weil die Summe linker Hand für x = ® einen endlichen Wert hat. $ 14. Durch die $,,(x) ausdrückbare Integrale. Von unbestimmten Integralen elementarer Funktionen, die sich in geschlossener Form durch die Funktionen S,, (x) darstellen lassen, ist es mir nur die folgenden zu bestimmen gelungen: log ” (a+ bz + ex?) I. R (hr Bor? de, wo n und p positive ganze Zahlen bedeuten. [63] Der Eulersche Dilogarithmus. 183 Bezeichnen « und 3 die (ungleichen) Wurzeln der quadratischen Gleichung «+5bx+cx2”—=0, so hat man offenbar eine endliche Zahl von Intesralen dieser Form log? (e— x) log? (d— 2) q ca, (a — x)" zu bestimmen; ist r>1, so erhält man durch partielle Integration die Rekursionsformel __ log? (@a—x) log2(d—x) » q log? (a«— x) 1og71(—x) In.g,r = #—1) (a--a)7 ” FE ke Tr ==. (e— x)" (B—x) 2 und somit. haben wir schliefslich noch das “on J,,.,ı zu untersuchen; setzen wir a2 —y, B—x = (d—e) ( Gr, ), findet man unmittelbar Sig Ol AR LHER S 9 log? y log ? (145%) dy = |, ee Ex Sem Y und somit ist unser Integral bestimmt, indem man die Funktion .... EN logP—1x2 log? (1—eax) (1) I, (04) = Ga n dx das heilst NS ei Lena a Sa ce (@EB)) (2) Ly,g (@, 2) = s! _ einführt. Man hat z. B. E ARE) a en lot E22) ee To ud +2) 7 er > T=rr2 2 Fr 1+:ix I die Transformation 1—ix —;y ergibt dann ohne weiteres log "1 (1429) i. (ler wa—tn) f: 1—ix u era Yy dy, woraus, indem man bemerkt, dafs das letzte Integral rechter Hand in (3) durch das erste bestimmt werden kann, wenn man nur ? mit —i vertauscht: s—=n—l \() nl log r—1(1-+22) Ber i x G 98 )- G PEROY, )) (@) (n —1)! ara TEN 2 um Las 4’ aaa Ines 4’ ua: N) Setzt man in (4) 2 —tgy, so entfliefst diese andere Integralformel 184 Niels Nielsen, [64] p=n—l E R Yn—l i X G 2e—-ip 1 2etYp TEN DE = =D, L —p Fr DE IE EMZEDD en per 5 (8) n—1)! fi LEN? 2 m ( "ar \4’ cosp ) Lu-nı h on ?=0 offenbar kann dies letzte Integral in ähnlicher Weise wie dasjenige in $ 5 behandelte viel speziellere umgestaltet werden; doch sind die entsprechenden Ausdrücke natürlich hier viel komplizierter. Das Integral (5) kann auch als Spezialfall des folgenden gefunden werden: u. Sp" log? cospdy, wo p positiv ganz, n ganz und nicht negativ vorausgesetzt werden. Setzt man in der Tat in die Formel (—1)"+tr-1 log” log’(l+x) 1% “ x (— 1) log?x S i nn a rn g=0 Ce | ZI FE Su aai 1: | oO - [ or |10g eos1p+ (182 +2) | do—- N Sp ei). (n—1)!p! u z=eiv, 14x —=2cos!igy-en, so ergibt sich Betrachtet man demnach für y=1,2,3,4,... die Formel (6), so kann das allgemeine Integral offenbar durch vollständige Induktion bestimmt werden. Für n—=1 findet man das Integral (5) wieder ıı. Aus der für |e)<1 konvergenten Potenzreihe ee) s IE 1 1 1 Dn,2 (x) = j pet . 1 + 5) +...+ A ergibt sich für die Funktion pP = 00 9 BERNER. 10 62 re La nn. Ni F.+ (@) wer ei 5) der Ausdruck Fa+ı1 (x) — te OL 2 (— x2) 7 3 (St 2 (ix) Ar Sn 2 = i2)); da nun ebenfalls für x <1 aber + +i [65] Der Eulersche Dilogarithmus. 185 ist, so findet man =n—l 1) arctg?x a — 1): log‘ en Eee = DT IE®.n_ 0. )! 2% ! IV. In ähnlicher Weise erhält man s= oo Nele E 2 er Zen ul @s+1)rt1 1 + 3 ir 3 SF soo Ar 35 75 9 (Sn, 2 ( ix) Sn.2 (2), sa und somit ergibt sich ohne weiteres die Integralformel &—=]l) n—l ] © 1 7? = (8) \ ) / BEST) SS logr!gdz (n—1)! & RN 1)? log? ui p! (Sn, P) (— iX) = Sb=n, D} (i&)) D v. Aus der Potenzreihe für log”(1—x°) findet man unmittelbar die Integralformel =n—1l (—1) "+1 log”—1x log? (1— x?) =S al sr (9) nR—1)! p! © de r — Ü — a q! on- Te ° Sen (22). daaU) $ 15. Durch die S,(x) ausdrückbare Integrale. Diejenigen unbestimmten Integrale elementarer Funktionen, die sich in geschlossener Form durch die spezielleren Funktionen S, (x) ausdrücken lassen, scheinen etwas zahlreicher zu sein; man hat in der Tat den fol- senden Satz: Bedeutet F(x) eine in x rationale Funktion, während n positiv ganz ist, so lälst sich das Integral (1) JF@ log” x da unter endlicher Form durch Funktionen S,(ax) ausdrücken, wo p3 er Sr. il. AG), Bl) = (a —1)! 2 Rt 1ı4y u p! [67] Der Eulersche Dilogarithmus. 187 c 1 1l 2. IE een aus $ 11, (15) findet man hier r =n—l Ni: aretg 1x i\® "RS (1)? logr3 : & MR—D! ' a Arz (3) ; = ——n (Y) > Y))- p=V0 3. Durch partielle Integration erhält man — 1)% arctg”x arctg” x — 1)” tetg” 1 ar "2 meet) _ I" fereigrnie , n! x % (an —1)! xz(l-+2) woraus unter Anwendung der Transformationen (4), — 1) arctg”x aretg”x _ Ja Jogry x —1)? ]og? a‘ "(f te" 7, aretg )-| nt sun). ' 9) } ! ! n! © % 2 n! er p! DL SF@ arcsin?m dx —i re SF log” @2 + Via) da; hier setzt man £ ı— y—1l dx 1+22 —— 1+92 1 >> (Ne — — —, oo — de ——: WE Be eee On: führt man noch die in y rationale Funktion Par May Vz! DB nt EN, A Er Ay) er Hl ein, so ergibt sich die Integralformel (12) SF@ aresin”x de — im [ Ey) log” ydy. Da aresin”x dx sich durch elementare Funktionen ausdrücken lälst, haben wir hier nur die folgenden zwei Spezialfälle der Formel (12) zu betrachten: \ 2 lH? 1 1 nl )=rTı 3 — — —— = + u u 2) HU) TE in diesem Falle ergibt sich die Formel (— "1 ( aresin”—1x ehzlgry (13) R—ı)! 2 28 en! p=n-—l 3) (— 1)?log?y n > > ze (Sn (Y) TE Sn (= Y)) O p=V n 2. Durch partielle Integration erhält man 24* 188 Niels Nielsen, aresin”x aresin?x arcsin nr —da + ——en ——— de, 2 % ay1—ar und somit liefert die Transformation (10) diese andere Identität aroBin = dx + u ur — — 4nimrtl 108 u dy, 2 4 da woraus die Integralbestimmung: (— 1)” / ar esin”x arcsin? x 2 ee (—1)? log? y 14) ——— en 4 —- — ——- (9, Sn ( ) n! ( x dx in 1 p! (S 7 (Y)— X p=0 [68] 2 Y))- Eine Vergleichung der beiden Formelpaare (9) und (15), (8) und (14) ergibt ohne weiteres, indem man y denselben Wert zuerteilt, den folgenden Satz, den ich früher in ganz anderer Weise hergeleitet habe:') Setzt man der Kürze halber für x <1i Inn IE to r Ia9 (15) arcsın E AS A| m +2s arc BT en ı) B on +25 n! mi n,s $) n! u n,s b) Sn +2s+1 { I IST AB, AR Ft n-+2s Zahl 1+22 Er. ai n-+2s (16) ar BR: y n+2s+1 B % Mrz = Als n+2s mE er Tetra III. Aus der Identität \ es 2s+1 ; % F a i > rn — 5 (Sn (— ix) — 5, (ix) s=u ergibt sich ohne weiteres die Integralformel zinZil —_ N. lor r—1l eig >= il) pP] oePr an I ee ee om x 2 FR p! $ 16. Integrale mit den Funktionen S$, , («). Unter Anwendung der Differentiationsformeln 1 D; Sn (2) = % Sn (x) ’ D; Sı (x) = Teer t) Annali di matematica (3). Bd. 10, p. 153; 1904. Senn): [69] Der Eulersche Dilogarithmus. 189 kann man offenbar ohne weiteres die Mehrzahl der in $ 7 entwickelten Formeln verallgemeinern. Setzt man in der Tat « + — 1 voraus, so erhält man durch wiederholte partielle Integration a See), ee (Mae. or: — — (z En @FIy% 1% dx oder nach einer einfachen Umformung ee DS ea. @) „I—® A) f= 5 (®) de Er ui («+ 1) + ( 1) (@ ae og gl %) woraus das bestimmte Integral 1 ren, € 2) Je zes, (de — N, —ı Bao ——_ Gen) 0), PU) 0 wo man also N («) > —1 veraussetzen muls, hergeleitet werden kann. Bedeutet p eine positive ganze Zahl, so hat man speziell 1 SI eis. , (ey 1 (3 SARA — Sa \ +): (3) ji (2) da gr tn +5 Eu N uesar a)» (N) woraus man ohne Mühe diese andere Formel 1 P—n—2 3 S,(tx) S,(t ET | Ä 4 N 2 fe 2 ) \ di — > 1)” Sr: Sg+r+1@) — CD* (Snrg+1(@) + Sn-9-1,2(%)) TU 0 herleitet; setzt man in (4) speziell e—=1 und g—= n-—1, so ergibt sich das numerische Resultat 2 (5) 2 (S2n E= $2n—2, 9) = I) S S9n—ry 712 das uns bald sehr nützlich sein wird. Aus der allgemeineren Differentialformel Ye D; Sn, p (&) = 7 “ Sn, p (x) findet man -unmittelbar die Integralformel (6) j ——- dluE == SD (2), 190 Niels Nielsen, [70] während man durch wiederholte partielle Integration diese andere Se % SH, 2 (x) Y ed 2 u Ser >) Se !) Journal für Mathematik. Bd. 21, p. 332; 1840. [73] Der Eulersche Dilogarithmus. 195 woraus nach einfachen Reduktionen und unter Anwendung partieller In- tegration, indem man wieder x anstatt z einführt (13) 4; () —= — A(C-2) — A,(&—1) + logx log? (1— x) — 31log?’ (1-2) + 55; denn die Konstante läfst sich durch die Annahme x —= 0 bestimmen. Legendre') gibt diese mit (13) analoge Formel (14) 8, (2) + 8; (1—2) + 5; 5) — 5 + logx dlx + log (1—x) dl (1— x) X EL + log Ne al 5) + log x log? (1—x) — 3 log? (1—.) an; andere Formeln dieser Art können aus den allgemeinen Relationen in $ 13 gebildet werden. Kummer’) hat noch die Funktion A, (f(&x)), wo f(x) eine rationale Funktion zweiten Grades bezeichnet, untersucht; allein die erhaltenen Formeln sind so kompliziert, dafs wir sie hier übergehen dürfen. 1) Exervices de calcul integral. Bd.I, p. 248; 1811. 2) Journal für Mathematik. Bd. 21, p. 334; 1840. Nova Acta XC. Nr.3. Ze Kapitel III. Einige numerische Argumente. $ 18. Die Zahlenwerte s, ,. Setzt man in die Formel $ 12, (18) z—=1, so entfliefst das numerische Resultat r—n— le nr ad niage arme) mir (1) (1+(—1)") sn = - 7 (1+C-17) 0. r all welche Formel die sukzessive Bestimmung der Zahlenwerte s,, gestattet; setzt man in der Tat 2n anstatt n, so ergibt sich die Rekursionsformel Bene ır2r n „2n 2 a a N Werne (2) 2 San >= 2 u (an)! O2n—2r (n)! ’ die wegen der beiden für x <1 giltigen Entwicklungen 1 Fr et ax — - — 2(H3X2X ts 5X FH...) HB ) FL7 1 | Da 2 KO er) sin c&x mit der Identität T COISAX» —ETACOLIET sin X® zusammenfällt. Es liegt auf der Hand, dafs die Rekursionsformel (2) mit der Eulerschen') Formel 92n—1 Bm ER (4) S4n — (en)! DIET wo die B, die Bernoullischen Zahlen bezeichnen, gleichbedeutend ist. 1) Introduetio in analysin infinitorum $ 168; 1748. [75] Niels Nielsen, Der Eulersche Dilogarithmus. 195 Für n ungerade fällt aber die Zahl s, in (1) weg; unsere ganze Funktionengattung S,, (x) liefert überhaupt kein Mittel zur Bestimmung von Sans, SO dals die Frage über die Natur dieser Zahlen noch eine offene bleibt. Im Anschluls an der in $ 1 erwähnten Bemerkung von Stäckel bemerken wir hier, dafs Euler') die vier Integralformeln 1 1 dx dx dx ll a‘ da dx dx 7n* a == — Ir || ——= u = — = — —_— le a8 (—) 90°’ ne & Klare 720 () f) ı dx (de (dx Ii+& a Mo el/jE-y 1 d« f ds A ee nr TE un arclgr — 39° 0 „Or, il ne parait aucune route directe qui nous pourrait mener A ces 0 angegeben hat; er fügt hinzu: determinations, ce qui merite, par cela m@me, d’autant plus d’attention“. Eine direkte Methode zur Bestimmung dieser vier Integrale kann also erhalten werden, wenn wir die entsprechenden unbestimmten Integrale direkt untersuchen und die Formel $ 12, (18) herstellen; dies liegt schon auf der Hand für drei dieser Integrale; für das vierte können wir auf $ 15 hinweisen. Gehen wir aber nun von den Zahlen s, als bekannt aus, so wollen wir den folgenden Satz über die noch allgemeineren Zahlenwerte Fe Sn > ni r=p beweisen: Die Zahl s,, ist eine ganze rationale Funktion mit ratio- nalen Zahlenkoeffizienten der Gröflsen ,8%...8 diese n+p) Funktion ist aulserdem homogen vom Grade n+p, falls man der Zahl s, die Ordnung r zuerteilt. Um diesen Satz zu beweisen, gehen wir von dem ersten Eulerschen Integrale aus: 1 6) is ENDEN) pen; Te) 0 ') Opera postuma. Bd.], p. 438; 1862. 25* 196 Niels Nielsen, [76] dann ergibt sich unmittelbar 1 (1r+r-1 (logr1tlogr (1%) Be Me aa ee irn RD! p! t z 0 —1)r#rZ1 dr +p—1 mn —1)!p! derAdyr B@&y+l)y=0,2=0 Unter Zuhilfenahme der Gaufs’schen Funktion nl 1 Hr) Ne) = —U-T- u (; ln =)" die wir zweimal in unseren vorhergehenden Untersuchungen als bestimmtes Integral dargestellt haben, ergibt sich für die durch die Identität T (a) ee” — e?® definierte Funktion y (x) die Entwicklung Ir (ss Ah aa) 0 0 ee 2), s—U und allgemein, indem wir u Yn \&) —= ar AF («+ 1)“ @+ a)" 900 setzen, also für |x|<]1, (7) Yn (A 74) - s—(}) Sn+1°% + e ') Sn+2 0° —.. die Formel (8) ea) = Ur ad! yu@). Weiter hat man (9) ToTA+9y) _ r@+rU+y)—-rÜ+zty) TA+2+9 und also speziell für y — 0 1 yo) Zydz), 0) = Um nun die in (6) angegebenen Differentiationen ausführen zu können, gehen wir von der von R. Hoppe') gegebenen Formel I) Theorie der höheren Differentialquotienten, p. 38; Leipzig 1845. Schlömilch, Compendium der höheren Analysis. Bd. II, p. 5. [77] Der Eulersche Dilogarithmus. 197 Dr = Fo) KU] aus, wo der Kürze halber SEK) 7 a n = Den (Dion B- gesetzt worden ist, und wo natürlich y eine Funktion von x bedeutet. Da nun 7, , die Funktion y selbst nicht enthalten kann, so wird T,,;, die Summe derjenigen von y freien Glieder, die man aus D: (y*) erhält; es ist also MR Br SEEN EN n,k — N —— 11 ! (11) nn... wo die Summation über solche positive ganze Werte von 7, 7,...r, aus- zudehnen ist, für welche HN NER TE ist. In dem hier zu betrachtendem Falle, wo F'(y) = e’ ist, hat man demnach kn m D" ev — ara > ni Z= ad kt Setzt man nun der Kürze halber , ‘ r r+l1 : (12) U,(%) — Yr a) — () Sy+1° | j ee Ib gae und N Ur, (2) u, (2)... u () De _ NIEREN En error Ep : n+tn+..+nhn, ul I OR OLE Eon: so ergibt sich wegen (6), (8) und (10) (—1)? & S 1 u IT . t?=1 Jogr(1—t) dt — » ER 0 und daraus entfliefst durch (a—1)-malige Differentiation nach x die ge- suchte Formel 1 n (13) SE . MI - (D, Un, p)z=0; 198 Niels Nielsen, [78] denn aus der Potenzreihe o(&) = U mar. 00,2% findet man 1 p"7! ? (2) Gear ee 3 1990) 2% Als Beispiele betrachten wir die folgenden einfachsten Fälle: 1. p=1; hier haben wir nur die Funktion U,, =u,(x) zu be- trachten und finden somit 5, ı = 5,41- 2. p = 2; hier sind die beiden Ausdrücke U.2—:!m(), Ur: — (u (@))? zu untersuchen, und wir finden demnach n+|1 (14) Sn,? — D) Sn+2 — B (8, Sn + Sy; n-ı 4 -- - Sn s,); es ist der Mühe wert, diese Formel mit $ 16, (5), d. h. der Formel 2 (S3n SF S2n—2, 3) => 52 I — ER Sgn—3 + S4 Sn A rn» Fr SIn—2 5, zu kombinieren. Setzt man in der Tat in (14) 2n — 2 anstatt n, so entflielsen durch Subtraktion und Addition die beiden anderen Relationen (15) 2n+1 ; 5 Sn — 582 — S4S23Ra At ... 4895-95 A 2n— 3 (16) en 4 82% —— B (53 S2n—3 Sr S; S2n—5 ae ... 7 52n—3 5,), n > 2; Aus (3) ergibt sich, dafs die Formel (15) mit der Identität — D, ecotx = 1+ cot?’x gleichbedeutend ist. Die Formel (14) gilt natürlich nicht für »n —=1; in diesem Falle findet man direkt (17) 5,2 —) $3 oder ausführlicher geschrieben für n = 2 hat man ebenfalls direkt (18) S,,2 == r . S4 [79] Der Eulersche Dilogarithmus. 199 oder men EN) Bis gulli m N aa 4 dd 360 3. p=3; hier haben wir die drei Funktionen U,; =3:%(%), Us — 3-m(R)u,lX), Us3 — (u (X))? zu betrachten und finden somit =n—2 r=n—3 @+1)(n +2) IX. IX (19) Sn.3 — 6 ron > 1 (MN) 5.42 ° n_r+ı + 5 > S,+3° nr, wo der Kürze halber (20) HH Hat spart .-- + HH gesetzt worden ist; für n—=1 sind beide Summen, für n —2 die letzte Summe rechter Hand in (19) zu unterdrücken. Für n —=1 findet man z. B. 5,3 = 29-8393 +43 3 +25 4 +25) + ESS? H+IEH +3 + 55 55). Wir erwähnen noch im Vorübergehen die aus $ 13, (9) für x — ® gefundene Relation NE (21) ı >> (— 1)? S2n—p—1, p+1 = 2 091. p=0 $19. Die Zahlenwerte o, ,. Aus den Reihendefinitionen der beiden Zahlenwerte s, — s,_,, und %,—=6,,, findet man ohne weiteres für n>2 i 1 (1) On — (1.5) Sn; ein ähnliches Resultat gilt nicht für die allgemeineren Zahlenwerte . r=00o U NAT? Opr (2) On,p = > REN 9 r=p wenn » die Einheit übertrifft; ja, diese Zahlen o, , scheinen im allgemeinen nicht in geschlossener Form durch die Zahlenwerte s, ausgedrückt werden zu können. Eine solche Bestimmung der Zahlen o, , ist mir jedenfalls nur gelungen, wenn n+p ungerade ist. 200 Niels Nielsen, [80] Bei diesen Untersuchungen gehen wir von der Formel $ 12, (19) für x = 1 aus und erhalten somit air? "RN 5,2 — (— DD" 9,2 = IT (nr + ri) + Bd Car, 2; i R r=0 Li setzen wir nun der Kürze halber ? ; (irrt? elle 2) 8,24 FAN DS rs) — m ’ so ergibt sich wegen des Hilfssatzes $ 9, I. die Umkehrungsformel nn . EEE (3) Cn,2 =, Ann: Setzt man nun in dieser Relation 2n—1 anstatt n, so liefert die ’ reelle Komponente rechter Hand a = — 1)" a?” (4) — >: ( 3 - (Asa ER ZA) Sn—2r+ı) PN r=n—l el 2r+l Ne ( x ° Syn—2r—1; — (2r +1)! während die imaginäre Komponente nur eine andere Bestimmung der Zahlen S;, liefert; dasselbe gilt der Formel (3) für ein gerades n. Eliminiert man nun wegen $ 18, (14) die Zahl s,,_,,,, so erhält man r =n—l r=n— Selen ee On = % nr % Da A PREN 2n—1,2 rn an)! 2n—2r+l rm. ri S2n—2r—1 r=n—2, . 9% 1=n—r—2 Vera! SS — 2°» > = (zn)! u > S2qg S2n—2r—2g +1 r=0 2 A! und der zur Potenzsumme s,,_>,;.ı gehörige Koeffizient wird — 27? 74 Bl m? 6) ‘ sp a rn +) en) ; (2p)! en” dieser Ausdruck kann aber durch die Potenzreihen $ 18, (3) bestimmt werden, indem man die Identität IT TCOLRK- CORE — —— —ıSENNTE 5 sin 7x zu Hilfe nimmt; dadurch findet man, dafs der Ausdruck (5) den Wert 2o,, haben muls, und somit ergibt sich schliefslich die einfache Formel [3 1] Der Eulersche Dilogaritlımus. 201 2.=n—l n\ Sın+ı — (2n— 1) O2n+1 a7 (6) 62n—1,2 — 5) a8 O02p * S2n -2p+1n 2 | welche derjenigen für s,_ı> $ 18, (16) erhaltenen sehr ähnlich ist. Die Formel (7) ist jedoch nur für n>2 anwendbar; für n —1 findet man aber direkt - (7) 01,2 =.2(3— 0) — 58, und also hat man wegen $ 18, (17) pP= 00 7. DIZISO! EIN E)E G 1 1 ln br Aal 1 I a ar) setzt man noch der Kürze halber D=&0 Pp=&80 re ‚Be a ee 2 so ergibt sich aus (7) und (8) 9 U B 7 (10) A=—+.8, Bi sel zei: Über die Reihensummen ö,,, haben wir noch die folgende für n > 2 giltige Formel qı=r—2 Sn Me a) n+q dl) = CD ( R ) O,n+p—1 + > de n ): Sn+g+1, p—g—1 a=V0 zu beweisen. Zu diesem Zwecke setzen wir in $13, (8) e=1 und er- halten somit ıa=p S/n+p—q--1 E (12) Sn DI u > ( Del ) ° Og+1, n+p—g9—1) q=— woraus man ohne Mühe durch vollständige Induktion die Formel (11) herleitet. Setzt man in (11) speziell n —= 2 und 2n—1 anstatt p, so entfliefst q=?2n-3 24 1 = 2 (13) O2n—1,2 = ( g% ) 01,2n SF 23 u, ): Sq+3, 2n—q—2 3 g=0 woraus wegen (6) und (11) der folgende Satz hergeleitet werden kann: Wenn n+p ungerade ist, so ist die Reihensumme o, , eine ganze rationale Funktion von 3,85...5;, mit rationalen Zahlenkoeffizienten, und diese Funktion ist homogen vom Grade n+p, wenn die Zahl s, vom Range r gerechnet wird. Nova Acta XC. Nr 3. 26 202 Niels Nielsen, [82] Um auch die Zahlen o,, für n+p gerade zu bestimmen, kommt es also nur darauf an, die Zahlen o, .,_, durch die Potenzsumme s, aus- zudrücken; dies ist mir aber nicht gelungen. $ 20. Die Zahlenwerte a, ,. Über die Zahlenwerte a,, wissen wir nicht viel; aus $& 13, (2) ergibt Sichere: — 1, pl n+Pp— ) log”+t?2 DS \ +pP—q—1 n—1 "n+p)! Fr, n—|1 ) ° Ög, n+2—05 q (1) In (2) — 5,p ( setzt man in (1) p = 1 voraus, so ergibt sich wegen $ 11, (11) die Umkehrung gq=n— 5 dom % Gel) log? 2 Q Be en N Kiel) n—qg+l u q! Se n—q-+1)! op Pi q=V) = An+1 —— woraus, nach Reduktion des zur Potenz log ”*'2 gehörigen Koeffizienten, diese andere Formel 9 ® p=nZR N © n]oon2 i Bes cn: log227 _ N: ; = 1) 0g"2 (2) An — il p! Sn—p 61, a) a entflielst. Setzt man in (2) n —= 2, so findet man die Eulersche Formel $ 1, (7) wieder, während die Annahme n —= 3 wegen $ 19, (7) die von Legendre!') gefundene Relation (3) 1 = 5 1, 10g2 + 2 1og92 liefert. Aber schon für » — 4 kann eine solche Bestimmung der Zahlen a, nicht mehr durchgeführt werden, weil wir die Zahl o,, nicht kennen. Eine recht komplizierte Relation zwischen verschiedenen Zahlen a, , kann unmittelbar aus $ 12, (13) durch die Annahme x — hergeleitet werden; man findet in der Tat : ; logr+t?2 (4) Ion, p (3) + np (3) = Sy, Dior mp!’ in ähnlicher Weise findet man für —=1 aus $ 13, (4) die für n>2 eiltige Formel q=n—L 3 /n+p—qg—1 (5) Zn, p &) — Ly+1, n—1 (6) + Sp+1,n1 -% ( “ - ) Ög+l,n+p—-q-1) 1) Exereices de calcul integral. Bd.]I, p. 248; 1811. [S3] Der Eulersche Dilogarithmus. 203 und aus $ 13, (5) die entsprechende spezielle Relation Iren 2 @+n! Die Zahl a, ,, kann somit rational durch log 2 und die Potenzsummen (6) Aı,p = 01,9 — S/...8,,, ausgedrückt werden; allgemeiner kann man sagen: Die Funktionenwerte $,, (5) definieren, aufser log2 und S,, (#1) für g+r„+ı und 75, vergleiche man die Abhandlung von F. Rogel in Sitzungsberichte der Prager Akademie 1907, p. 1-14 (XVII) [85] a Der Eulersche Dilogarithmus. 205 so erhalten wir (8) Sn? (©) —— — A, 3 Bon und das obengenannte Verfahren liefert die beiden Formeln kenn ale Os IT Si N B>, 2 — — RT 0 — a OÖ D) % DEREN . 228 ra re men (9) Won) > an (m\?r Dr la x ni) Ann — oma " ®n+ı ar N m Tea - (On_2r—1,2 + m —r— 3) 6, _9r +): Setzt man in die letzte dieser Formeln n = 1, so ergibt sich p= 00 x —1)?1/1 1l 1 T 29 s Velen a) 22 2) = 4 i a oe a mes) woraus wegen $ 19, (7) die ähnliche Relation P=& en N D er nn an al) = 4 WE oe ee hergeleitet werden kann. Durch die Formeln (9) sind also die Zahlen A,, ,, und B,,, auf die s, und z,, reduziert worden; über die entsprechenden Zahlenwerte A,, » und B,,_,s wissen wir aber nichts. In diesem Zusammenhang erwähnen wir noch eine Folgerung der letzten Formel $ 11, (12); setzen wir in der Tat x = eis, und beachten wir die Identität ip DW log (1+ eip) — log 2 + log cos $ + so erhalten wir nach einer einfachen Umformung gG ANZ 9 n Zrnir+1 2 = 1)" 5 u -log2 + (ip) — ln log cos ® 9 (n—1)! n 2n+2 (12) 2 r=n—l pi)" a =D PS ei) + Onrı: n=0 Für g9—=x ergeben sich dadurch die beiden numerischen Formeln 206 Niels Nielsen, [86] 2 r—n-l Ei w Sr an)! (Fr - log2+ 22 1 2]or, cos I dp —-—% @ PY .S9n_9r+1 + Oanzı 0 (13) E ß / r=n-—l 1)" nt 5 5 p es GR art Zn . o2% n ] 1 ae De Ba \an-ı log2 + p°" log cos 7 > dp — @r+n)! .Spn_2r+l; « 0 r= 2 . Tu N während die Annahme 9 —= 5 diese anderen Formeln 7\2n —_ r=n—l br & - e vl - N 7.110039 2n—1] 1 3 % er Bra , 08 0085 2 Io ee ze! ns via (14) 2 oe Ried Tan—ır Yin+i ui @r+ 1)! ger+l En n (— 1)” 3) 2 Ic 13 a?” Ten—2r +2 ER 5 1 D) 2n 1 1 nn > . Mi En)! Sr EB u / Ze cos, z (en)! ger _ r=n—l | RS, DE art Omar ui (2r +1)! 92n+2 liefert. $ 22. Herleitung anderer bestimmter Integrale. Unter Anwendung derjenigen in $ 18 entwickelten Methode haben wir noch hier einige allgemeine bestimmte Integrale herzuleiten. Erstens beweisen wir den Satz: Bedeuten n und p» ganze nicht negative Zahlen, so dals die Kombination n+p=0 ausgeschlossen ist, so ist das be- stimmte Integral TU (1) cos - log? sing dp 0 eine ganze rationale Funktion der Zahlenwerte 00..., Oyypzı mit rationalen Zahlenkoeffizienten, und diese Funktion ist homogen vom Grade n+p+1, falls o, von der Ordnung r ge- rechnet wird. Aus $ 18, (5) und (9) erhält man in der Tat [57] Der Eulersche Dilogarithmus. 207 1 z—t v—.! , T (a Al 1 Yu (1) "dt= erdtrWtr)—reryt ) differentiiert man n Mal nach x, p Mal nach y, und setzt man dann x —=(, y=(, so gibt die Transformation t —= cos’g unmittelbar das Integral (1). Dalis der Zahlenwert 0, —=1log2 in der so erhaltenen Funktion eingehen muls, liegt auf der Hand; denn man hat für die Gaul[s’sche Funktion D() = — C—2log2. Setzt man in (l) p=(0, so kann dies speziellere Integral in ganz anderer Weise gefunden werden; es ist in der Tat 1 t:-1 Re x 1 Er P(&) (3) Ins" 6 )-® D 0 1 1 1 1 &) eo) = Hi) = a an an ist; setzt man daher allgemein r a il? (A) 1 1 L 7 nR—1)! a @+1)” “ +2)" so hat man für jedes positives ganzes n (5) Br (1) — Ön- Wird nun die Formel (3) »n Mal nach x differentiert und setzt man dann x —=(, so erhält man durch die Transformation & = cos TT \7 2 n IT er U, n (6) nf log ospdp—,:N, Fk 1) Pl wo der Kürze halber INOr, Org.» Or (7) U;,n — N == — m, Nat... tn —n gesetzt worden ist. Entwickelt man in (3) die Funktion (1—x°’)-: nach der Binomial- formel, so erhält man für das Integral (6) die Reihenentwicklung: TU 5 2 1 1 1 1-3 1 1.3-5 1 9 a Te ra rung rn 0 208 Niels Nielsen, [88] Diese unendliche Reihe ist somit durch die Formel (6) summiert worden. Für n — 1 findet man unmittelbar aus (6) die mehrmals entwickelte Formel 1a (9) N log cospdp — = log 2 von Euler. $ 23. Tafel von Stieltjes über die Zahlenwerte s Die numerischen Werte der Zahlen s, sind sehr wohl bekannt. Schon Euler') berechnete diese Zahlen von n —=2 bis n = 16 mit 16 Dezimal- stellen. Legendre?’) korrigierte die Eulersche Tafel und gab die Werte von 5 bis s;,; bis auf 15 Dezimalstellen, während Stieltjes’) eine Tafel der Zahlen s, bis s., bis auf 32 Dezimalstellen berechnete. Wie Stieltjes bemerkt, sind nur sehr wenige und lauter unwesentliche Ungenauigkeiten in der Legendreschen Tafel vorhanden. Die Tafel von Stieltjes ist wie folgt: Ss — 1,64493 40668 48226 43647 24151 66646 03 Ss = 120205 69031 59594 28539 97381 61511 46 s = 1,08232 32337 11138 19151 60036 96541 18 Ss = 1,03692 77551 43369 92633 13654 86457 03 Ss; — 101734 30619 84449 13971 45179 29790 93 s; — 1,00834 92773 81922 82683 97975 49849 82 ; = 1,00407 73561 97944 33937 86852 38508 65 u = 1,00200 83928 26082 21441 78527 69232 40 sıo — 1,00099 45751 27818 08533 71459 58900 34 Ss, — 1,00049 41886 04119 46455 87022 82526 46 Sj2 — 1,00024 60865 53308 04829 86379 98047 72 sj3 = 1,00012 27133 47578 48914 67518 36526 37 s1, = 1,00006 12481 35058 70482 92585 45105 14 Ss; — 1,00003 058832 36307 02049 35517 28510 66 — 1,00001 528322 59408 65187 17325 71487 66 7 1,00000 76371 97637 89976 22756 00293 54 I 1) Comment. Acad. Petropolitanae. Bd. 7, p. 133; (1734—35) 1740. Institutiones caleuli differentialis, p. 456; 1755. 2) Exereices de caleul integral. Bd. U, p. 65; 1817. Traite des fonctions elliptiques ete. Bd. II, p. 432; 1826. 3) Acta mathematiea. Bd. 10, p. 299—302; 18837. [89] Nova Acta XC. [37 “non m [>] | Sole NoI Tora SCI O7 2 = co nn nn nn m wow > on) o 7 w [c) 1.00000 1.00900 1.00000 1.00000 1.00000 1,00000 1,00000 1,00000 1.00000 1,00000 1,00000 1,00000 1.00000 1,00000 1,00000 1.00000 1,00000 1,00000 1.00000 1.00000 1,00000 1.00000 1.00000 1.00000 1,06000 1,00000 1,00000 1,00000 1.00000 1,00000 1.00000 1.00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,0000 1,00000 1,00000 1.00000 1,00000 Der Eulersche Dilogarithmus. 38172 19082 09539 04769 02384 01192 00596 00298 00149 00074 00037 00018 00009 00004 00002 00001 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 0000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 93264 12716 62033 32986 50502 19925 08189 03503 01554 50711 25334 62659 31327 65662 32831 16415 58207 29103 14551 07275 03637 01818 00909 00454 00227 00113 00056 00028 00014 00007 00003 00001 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 99983 55393 87279 78780 12773 96531 05125 51465 82336 78983 02478 72351 43241 90650 18336 50172 72087 85044 92189 95983 97954 98965 49478 74737 37368 68684 84341 42170 21085 10542 55271 77635 88817 44408 22204 11102 05551 02775 01387 00693 00346 00173 00086 00043 00021 98564 89256 61131 64631 29900 10730 94796 22801 50412 54294 84570 30490 96681 33784 76505 70051 90270 49709 10419 50574 73786 03070 40263 83042 45824 07680 98762 97688 48280 73952 36913 68435 84210 92103 46050 23025 11512 55756 71878 83939 94469 47234 73617 36208 68404 61644 56957 52038 16719 03648 67788 12440 86063 34658 91981 54819 06403 32871 07298 49200 97759 08892 96869 84235 81014 51190 65947 88928 15402 65251 22784 75856 93018 31606 10852 37113 79120 93081 14381 79804 14106 48454 21361 09725 04544 82165 76047 38011 69002 34499 61 80 70 62 18 73 20 69 50 01 20 90 76 92 16 30 44 29 93 52 24 59 25 68 53 94 09 55 78 12 67 33 59 34 20 61 81 24 24 16 92 58 99 06 72 209 210 Niels Nielsen, [90] Sg; — 1.00000 00000 00000 00010 84202 17249 42 Sgı — 1,00000 00000 00000 00005 42101 08624 57 Sg; — 1,00000 00000 00000 00002 71050 54312 24 Sgs — 1,00000 00000 00000 00001 35525 27156 10 S5r — 1.00000 00000 00000 00000 67762 63578 04 Ss — 1,00000 00000 00000 00000 33881 31789 02 559 — 1.00000 00000 00000 00000 16940 65894 51 5.0 — 1;00000 00000 00000 00000 08470 32947 25 Die einzelnen Resultate dieser Tafel sind durch Addition von höchstens 30 Zahlen entstanden; da jeder dieser Summanden bis auf die Hälfte der 32. Ziffer‘ genau berechnet ist, so mufs der Fehler: jedes einzelnen der gegebenen Werte s, kleiner als 0.00000 00000 00000 00000 00000 00000 15 sein; im allgemeinen sind die Fehler indessen kleiner als diese Grenze. Von s,, ab sind die Resultate durch Addition von weniger als 30 Summanden entstanden. Die leicht zu verifizierenden Gleichungen ILS > (s3% — 1) =j5, > (S2p+1— 1) = z Du DE liefern Kontrolle für die Rechnungen; die erste Vereleiehunge eibt in der fo) ’ fo) sh ke) Tat eine Abweichung von fünf, die letzte von drei Einheiten in der 32. Dezimalstelle. $ 24. Tafel von Burrau über die Zahlenwerte «a,. Über die Zahlenwerte BETTER GELBER EAU FEN in. — 7m Dre mon ahea Ds a m) oe a, = log 2 hat Burrau') die folgende Tafel berechnet: a — 0,69314 71805 59945 30942 | 4% = 0,50409 53978 03988 55069 a, — 0,58224 05264 65012 50590 | a — 0,50201 45633 24708 49457 a; — 0,53721 31936 08040 20094 a, = 0,50099 66590 97051 91055. a4; — 0,51747 90616 73899 38633 4, = 0,50049 48881 05953 61004 a, — 0,50840 05792 42268 70746 | 4 = 0,50024 63206 06006 77501 1) Abhandlungen der Kopenhagener Akademie. (6) Bd. 8 Nr. 6, p. 443; 1898. [91] Der Eulersche Dilogarithmus. 211 aı — 0,50012 27915 29867 95519 \ Ms — 0,50000 00000 00909 49479. a2 — 0,50006 12742 26900 57874 | A439 —= 0,50000 00000 00454 74738 a3 — 0,50,03 05969 39516 83244 | dyo — 0,50000 09000 00227 37368. a4 — 0,50001 52851 61619 80326 a4 — 0.50000 00000 00113 68684 A; — 0.50000 76381 65262 83175 4 — 0,50000 00000 00056 84342 a5 — 0,50000 38176 15849 76963 44; — 0,50000 00000 00028 42171 az — 0,50000 . 19083 20253 25675 \ 44 — 0,50000 00000 00014 21085. as — 0,50000 09539 97881 10079 | 41; — 0,50000 00000 00007 10542. 4a — 0.50000 04769 44936 19121 ' 4 = 050000 0000) 00003 55271. 42, — 0,50000 02384 54485 92692 \ dr —= 0,50000 00000 00001 77635. @3} — 0.50000 01192 21253 71119. aıs — 0,50000 00000 00000 88818 433 — 0.50000 00596 08631 63576. | a9 — 0,50000 00000 00000 44409 433 — 0,50000 00298 03651 04432. | 450 — 0,50000 00000 00000 22204. @34 — 0,50000 00149 01604 00470 \ 4; — 0,50000 00000 00000 11102 Ay; — 0,50000 00074 50728 18096. | 4 = 0,50000 00000 00000 05551 @,; — 0.550000 00037 25339 48853. 453 — 0,50000 00000 00000 02775. "a, — 0,50000 00018 62661 54486. Az, — 0,50000 00000 00000 01387. @as — 0,50000 00009 31328 03953 \ A; — 0,50000 00000 00000 00694 Ag — 0,50000 00004 65663 10887. \ 46 — 0,50000 00000 00000 00347 @;9 — 0,50000 00002 32831 25082. 4;7z — 0,50000 00000 00000 00173. Az} — 0,50000 00001 16415 52421 4; — 0.50000 00000 00000 00086. @3, — 0,50000 00000 58207 72837 4;9 — 050000. 00000 00000 00043. A33 — 0.50000 00000 29103 85295 4; — 0.50000 00000 00000 00021. 434 — 0,50000 00000 14551 92273 dgı — 0,5000 00000 00000 00011 Az; — 0,50000 00000 07275 96011. \ Aga — 0,50000 00000 00000 00005. Az, — 0,50000 00000 03637 97964. 43 — 0,50000 00000 00000 00002. 43; — 0,50000 00000 01818 98968. | Ag = 0,50000 00000 00000 00001 Die Anwendung des Punktes nach der letzten Ziffer ist Thiele‘) eigentümlich; dieser Punkt bezeichnet, wenn er nach der letzten Ziffer steht, dafs die folgenden Ziffern zwischen 0,25 und 0,75 der letzten mit- genommenen Einheit fallen; unter 0,25 sind diese Ziffern weggelassen, über 0,75 ist die letzte Ziffer mit einer Einheit erhöht worden. Als Kontrolle hat man die Formel aus der Tafel findet man 3a) — 0,34567 35902 79972 65471 Ası = 0,34567 35902 79972 65469. . 1) Man vgl. die von Burrau bei G. Reimer 1907 ausgegebene trigonometrische Tafel. fit are NOVA ACTA. Abh. der Kaiserl. Leop.-Carol. Deutschen Akademie der Naturforscher. Band XC. Nr. 4. Über die Regeneration der Lebermoose. Von Wilhelm Kreh. Mit 5 Tafeln. Nr. XX—XXIV. Eingegangen bei der Akademie am 10. Dezember 1908. HALLE. 1909. Druck von Ehrhardt Karras, Halle a.S. Für die Akademie in Kommission bei Wilh. Engelmann in Leipzig. N 4 at ne AR Ö Inhaltsübersicht. WVerzeichnisy. der. zitierten Literaturen er, ISBETStorisches" Nm. ya een Ele ee ee RE TR NG] Tg Methodisches: a TERN 25 Ver atal Da NL RE ee I ee > TIEBExperimentelles:; SU Uhna. Mel 2 ma. Aa REINE STEeR NEE ae ze I ee 1 FARRICGIACBEeN.:, Mena ae ee ee a a le B%/Marchäntiaceen .. are. RS GAnthocerotacsen Ur Me Ne OR Rh OEL] DRJungermanniaceen. nn. 2 an Baal Br Anne el u ER 2 2, PEANNZCLOS NER JUNSELMannıacee Wr 27 DEN CLOSYDER Jun SermannlaceenW 99) A): SENDEN 1. 1 NET RE NOTE NER IDEEN: b) Blatt . A rer A AS RE Ra os Blätter&mitsBrutbildungenw- sr 537, 6). Penanth, N N SS EPSON INERTE I N d)eAntheridiumsund@Aıches:oniu mW E65 e)1.BPOTORONIUM) "Ne RE ee BE ner DU EEE Bun SNOTT DER h1ZzOIdenae.se er Peer Sprofsbildung aus isolierten Zellen; Sprofsvorkeime . . . 2 2 2 2 2020.20..72 AJungermanniaceen 2. u Aue Ve Re E72 B#Marchantiaceenwund@Ricciaceen 79 Bolaritätider.sisoliertenv Zeller. u) 1 52 0 Se a 82 Zusammernfassungaders Bırsepnjsse zer Er E56 Merzeichnissder- Abbildungen: 7 1 #10. Ns Er ee EU gl 0 eh hi As c0 ‘ reis tem or Verzeichnis der zitierten Literatur. Bercovee, A. 1905. Über die Regeneration bei den Lebermoosen. Bulletin internationale | de l’Academie de Boheme. Bolleter, E. 1905. Fegatella conica. Beihefte zum botanischen Centralblatt. Cavers, F. 1903. On asexual reproduction and regeneration in Hepaticae.e New Phyto- logist, p. 1903. Corda, A.J. G. 1835. Deutschlands Jungermannien. Aus: J. Sturm, Deutschlands Flora. Correns, K. 1899. Untersuchungen über die Vermehrung der Laubmoose durch Brutorgane und Stecklinge. 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So ist es leicht zu verstehen, dafs auch die Lebermoose schon von einer Reihe von Forschern unter diesem Gesichts- punkt in Angriff genommen worden sind. Die ersten Untersuchungen ver- danken wir Vöchting. Seine Arbeit „Ueber die Regeneration der Marchan- tieen“ (1885) hat als hauptsächliches Ergebnis den wichtigen Gegensatz zwischen Organen mit begrenztem und solchen mit unbegrenztem Wachstum ergeben. Während Thallusstücke, die durch Schnitte senkrecht zum Mittel- nerven herausgeschnitten worden waren, als unbegrenzt wachsende Organe die Regenerationssprosse stets am apikalen Pol erzeugten, entstanden die- selben bei solchen mit begrenztem Wachstum, bei Brutbechern, Infloreszensen, Blütenstielen, stets an der Basis. Damit bestätigte Vöchting die in seiner früheren Arbeit „Ueber Organbildung im Pflanzenreich“ (1878) dargelegten Ergebnisse seiner Unter- suchungen höherer Pflanzen. Auch hier hatte sich derselbe Gegensatz ergeben, mit dem Unterschiede jedoch, dafs er sich bei den nach zwei Seiten unbegrenzt wachsenden höheren Pflanzen in der Anlage von zwei verschiedenartigen Organen, dem Sprosse und der Wurzel, äufsert, während er bei den Lebermoosen, die blofs einseitig unbegrenzt wachsende Organe besitzen, nur am Entstehungsort der Sprosse zu erkennen ist. Dieses charakteristische Verhalten der pflanzlichen Organe läfst sich durch die Einwirkung äufserer Kräfte nicht erklären, wie aus den Vöchtingschen Versuchen klar hervorgeht. Sie können zwar das Ergebnis stark modi- fizieren, durch geschickte Versuchsanstellung kann es gelingen, den Gegensatz 220 Wilhelm Kreh, [5] zu verdecken, aber nie ist es gelungen, das bestehende Verhältnis dauernd umzukehren. Der Grund für diese Erscheinung kann daher nur in inneren Faktoren zu suchen sein, die Vöchting unter dem Begriffe der Polarität zusammenfalst. Fr versteht darunter eine allgemeine Struktureigentümlichkeit des lebenden Gewebes, zuletzt der Zellen, die an sich mit der Regeneration nichts zu tun hat, sondern sich nur in ihr besonders klar zeigt, aber auch mit vielen anderen Erscheinungen zusammenhängt. Dafs sich die Polarität nicht nur an ganzen Organen, sondern auch in den einzelnen Zellen äufsert, hat Vöchting durch seine Untersuchungen über Transplantation (1895) nachgewiesen. Indem er bald die gleichen, bald die entgegengesetzten Pole der Zellen von Unterlage und transplantiertem Stück miteinander in Be- rührung brachte, konnte er nachweisen, dals sich die ersteren abstolsen, die letzteren anziehen, was sich freilich nicht in einer Bewegung, sondern im Wachstum äufsert. Durch diese Untersuchungen hat er der ganzen Lehre von der Polarität eine tiefere anatomische Grundlage gegeben. Des weiteren ergab sich aus Vöchtings Versuchen mit den Marchantiaceen, dals, ebenso wie bei den höheren Pflanzen, der Gegensatz zwischen Spitze und Basis in der Regeneration mit steigendem Alter ab- nimmt. An allen untersuchten Thallusstücken zeigte sich eine scharf aus- geprägte Bevorzugung der Unterseite der Mittelnerven in der Anlage der Regenerationssprosse; besals ein solches auch nur ein ganz kleines Stückchen vom Mittelnerven, sei es nun am apikalen oder am basalen Ende, so ent- stand doch der Sprof[s stets an diesem. Interessant ist die Tatsache, dafs sich an verkehrt, d. h. auf der morphologischen Oberseite liegenden Thallus- stücken die Polarität in der Regeneration nicht so streng äulserte, wie bei normal liegenden. Auffallend ist die aufserordentlich weitgehende Regenerations- fähigkeit der Marchantiaceen, und speziell der Lunularia; Stücke von der Grölse eines halben Kubikmillimeters regenerierten noch sehr gut. Aus dieser Tatsache hat Vöchting den sich nahezu mit Sicherheit ergebenden Schlufs gezogen, dals jede einzelne Zelle die Fähigkeit besitzt, den ganzen Organismus wieder zu erzeugen. Eine grölsere Anzahl von Arten aus allen Familien untersuchte Schostakowitsch (1894). Bei den Marchantiaceen Fegatella und Preissia konnte er im wesentlichen nur die Vöchtingschen Beobachtungen bestätigen. [9] Über die Regeneration der Lebermoose. 221 Von den Riceiaceen studierte er das Verhalten von Corsinia marchantioides, Riccia erystallina, flwitans und Ricciocarpus natans. Während sich Oorsinia marchantioides ganz ähnlich verhält, wie die Marchantiaceen, denen sie systematisch ja recht nahe steht, bieten die andern Formen manches Neue. Gemeinsam haben sie die Entstehung der Sprosse auf der morphologischen Unterseite. Während dieselben aber bei Rxcciocarpus natans stets am apikalen Pol auftreten, erstrecken sie sich bei Riccia fluitans und erystallina vom api- kalen bis zum basalen Pole. Bei Anthoceros laevis fand Schostakowitsch, dals die Regenerationssprosse in sehr grofser Zahl hauptsächlich auf der Unterseite des apikalen Poles entstehen. Von den Jungermanniaceen hat er nur akrogyne Formen, und bei diesen nur die Blätter untersucht; an ihnen traten die Sprosse ohne irgend eine Beziehung zu Spitze oder Basis sowohl auf der morphologischen Ober- als auch Unterseite auf. Der aus der regenerierenden Zelle hervorgehende Zellkörper hatte grofse Ähnlichkeit mit dem bei der Sporenkeimung entstehenden. Es ist jedoch Schostako- witsch nicht gelungen, aus vegetativen Zellen Gebilde zu erhalten, die mit den Sporenvorkeimen auch in der Bildung eines Keimfadens überein- gestimmt hätten. Der Ort der Entstehung der Regenerationssprosse ist nach seiner Ansicht in erster Linie durch die „Richtung der plastischen Baustoffe in der unverletzten Pflanze“ bestimmt. Diese Annahme, die alle Erscheinungen bei den höheren Pflanzen nicht erklären kann, ist für die Lebermoose ausreichend und daher annehmbar. Aufserdem ist auch noch der Wundreiz von Einfluß. Indem er sich auf die Ergebnisse der Vöchting- schen Arbeit beruft, spricht er die Ansicht aus, dafs „alle morphologisch- differenzierten Organe der Lebermoose unter gewissen Umständen regene- rationsfähig sind.“ Aufser diesen beiden Hauptarbeiten finden sich in der Literatur auch eine Anzahl kleinerer Abhandlungen, ferner noch einige zerstreute Notizen. Forest-Heald (1898) bringt in seiner Arbeit über die Laubmoos- regeneration auch einige unwesentliche Angaben über die einiger Lebermoose. Lang (1901) ist es gelungen, die Regeneration der Sporogone bei Anthoceros laevis zu beobachten. Er zerschnitt die unreifen Sporogone in Stücke, an deren Enden in der Kultur schmale Auswüchse entstanden, die Rhizoiden erzeugten. Daraus schliefst er, dafs diese Bildungen dem Nova Acta XC. Nr. 4. 29 222 Wilhelm Kreh, [10] Gametophyten angehörten, denn bekanntlich finden sich am Sporophyten nie Rhizoiden. Im allgemeinen entwickelten sich nur Zellen des unter der Epidermis liegenden, aus fünf Zellschichten bestehenden Hypoderma. Jede Neubildung schien ihre Entstehung einer Zelle des Sporogons zu verdanken. Die jungen Sporen gingen gewöhnlich zugrunde. Ein einziges Mal jedoch fand in der sporenbildenden Schicht Wachstum statt, das zur Bildung von jungen, aus wenigen Zellen bestehenden Pflanzen führte. Es war aber unmöglich, zu entscheiden, ob es junge Sporen oder Sporenmutterzellen waren, die sich geteilt hatten. F. Cavers (1903) untersuchte die Regeneration einer grölseren Anzahl von Formen, macht aber keine näheren Angaben über die erhaltenen Er- gebnisse. Seine Bemühungen, die Sporogone verschiedener Formen zur Regeneration zu veranlassen, hatten keinen Erfolg, obwohl die Zellen der- selben weiter wuchsen und die Kapselwände einige Wochen lang grün blieben. V. Schiffner (1904) hat einen interessanten Fall von Regeneration beschrieben. Er fand, dafs die Perianthe der am Rande von Seen lebenden Lophozia inflata der Verbreitung dieser Pflanze insofern dienen, als sie aufserordentlich leicht an ihrer Basis abbrechen und dann vom Wasser fort- getragen werden. Die neuen Sprosse treten an der Basis des Perianths auf. Marshal (1904/05) gibt bekannt, dafs es ihm bei einer Reihe von ‚Jungermanniaceen gelungen ist, die Regeneration der Blätter zu beobachten, verziehtet jedoch darauf, nähere Mitteilungen über seine Untersuchungen zu machen. Anna Bercovee (1905) hat eine gröfsere Anzahl von Marchantiaceen und frondosen Jungermanniaceen untersucht. Bei den ersteren hat sie im wesentlichen dieselben Resultate erzielt, wie Vöchting; abweichend hat sie das Verhalten der Dumortiera velutina gefunden, insofern bei dieser auch an jungen Thallusstücken die Regenerationssprosse häufig an der Basis, gelegentlich sogar auf der Epidermis entstehen. Für die an- acrogynen Jungermanniaceen Aneura pinguis und Pellia calycına, gibt sie an, dafs die Sprosse unregelmäßsig über den Thallus zerstreut auftreten und dafs an der Basis entstehende Sprosse eine normale Erscheinung seien. Durch Vergleichung von Lebermoosen mit vielen und solchen mit [11] Über die Regeneration der Lebermoose. 223 wenigen Vegetationspunkten hat Bercovee gefunden, dafs im allgemeinen die ersteren sehr langsam, die letzteren dagegen sehr rasch regenerieren, dals also die Regenerationsfähigkeit im umgekehrten Verhältnis steht zur Fähigkeit, seitliche Vegetationspunkte zu bilden. E. Bolleter (1905) hat in seiner Monographie der Fegatella comica auch ihre Regeneration beschrieben. Seine Ergebnisse stimmen fast durch- gehends mit denen Vöchtings überein. Für die Flügelstücke hat er gefunden, dals die Regenerationsprozesse ganz unregelmälsig, ohne Beziehung zu Basis und Spitze, erscheinen. Etwas unwahrscheinlich klingt seine An- gabe, dals bei verkehrt, also auf der morphologischen Oberseite liegenden Stücken die Sprosse ganz beliebig ohne jede Beziehung zu Basis und Spitze, sowohl auf dem Mittelnery als auch auf den Flügelstücken entstehen. Interessant sind seine Auslassungen über die Bedeutung der Regenerations- fähigkeit für die Planze. Nach seinen Beobachtungen kommen Verletzungen der Pflanze in der Natur sehr selten vor. Auch unterblieb sehr häufig an Schnittflächen, die er'im Freien an Pflanzen anbrachte, die Regeneration; dafür wuchs der Schwestersprols um so üppiger. Dagegen zeigt sich die Bedeutung der Regenerationsfähigkeit an desorganisierten, in Zersetzung begriffenen Pflanzen, bei denen sehr häufig Gewebepartien frisch bleiben und Regenerationssprosse erzeugen. K. Goebel (1907) hat für verschiedene Riellaarten gefunden, dafs alle Teile der Pflanze, Flügel, Blätter und Stämmehen Regenerationssprosse bilden können, dafs aber, solange diese Teile im Zusammenhang sind, Adventivsprosse normal nur am Stämmchen auftreten. Eine ausgesprochene Polarität ist nach ihm in demselben nicht vorhanden. Die Bildung der Regenerationssprosse stimmt im wesentlichen mit der der Keimpflanzen überein, nur fehlt bei ihnen das Keimfadenstadium. Bei Sphaerocarpus terrestris tritt eine polare Verteilung der Adventivsprosse an den ein- schichtigen Thallussticken und Archegonienhüllen nicht hervor. In der- selben Weise wie bei den Riellaarten stimmt auch bei dieser Form Keimung und Regeneration überein. Eine Anzahl kleinerer, in der Literatur zerstreuter Angaben werde ich später bei den eigenen Untersuchungen anführen. II, Methodisches. Das für die vorliegenden Untersuchungen nötige Pflanzenmaterial stammt zum Teil, besonders so weit es sich um Riceiaceen handelt, aus botanischen Gärten, zum grölseren Teil wurde es aber in der Natur selbst gesammelt, hauptsächlich in dem an Lebermoosen so reichen Schwarzwalde. Es wurde in bedeckten Glasgefälsen an den Fenstern der Nordostseite des Tübinger Botanischen Instituts kultiviert; die meisten Formen gediehen in denselben über ein Jahr lang sehr gut. Für die Versuche wurden die verschiedensten Substrate verwendet: Torf, Rinde, Holzkohle, Topfscherben, Gipsplatten, Filtrierpapier, Quarzsand, endlich blofses Glas. t Als wenig anspruchsvoll erwiesen sich die Riceiaceen und Marchan- tiaceen; sie konnten auf allen Substraten gezogen werden. Viel empfindlicher waren die zarten Jungermanniaceen. Auf Topfscherben, Gipsplatten und Holzkohlestückchen, ebenso auf Quarzsand gediehen sie nicht oder nur schlecht. Auch Filtrierpapier erwies sich als wenig brauchbar, da es sehr oft, trotz sorgfältiger Sterilisation, von Zellulose lösenden Bakterien befallen wurde, was regelmäßig ein Zugrundegehen der ganzen Kultur zur Folge hatte. Eine Anzahl kleinerer, empfindlicher Objekte wurde in feuchten Kammern, sogenannten Ranvierschen und Selenka-F. E. Schulzeschen Kammern kultiviert. Sie boten den Vorteil, dafs man die Objekte leicht unter dem Mikroskop kontrollieren konnte; leider aber trat bei denselben nach anfänglichem normalem Wachstum bald ein Stillstand ein, dem ein allmähliches Absterben folgte. Auch frei auf Nährlösung flottierende Objekte lieferten keine günstigen Resultate. Formen, die in der Natur auf Rinde vorkommen, wurden auch bei den Versuchen auf diesem Substrate kultiviert, [13] Wilhelm Kreh, Über die Regeneration der Lebermoose. 225 wo sie ohne Ausnahme gut gediehen. Als weitaus das beste Substrat erwiesen sich jedoch Torfstücke; auf ihnen wuchsen fast alle Formen aus- gezeichnet. Unangenehm bemerklich machte sich nur, dafs solche Kulturen leicht von Pilzen befallen wurden. Zwar starben die Versuchsobjekte in diesem Falle nicht immer ab, sie zeigten aber doch regelmäfsig Spuren von Zersetzung; daher war das Ergebnis des Versuchs nicht mehr zu ver- werten. Auch Algen, Cyano- und Chlorophyceen, traten öfters, namentlich im Frühjahr und Sommer, in den Kulturen auf. Bei gröfseren Objekten ungefährlich, können sie kleinere, indem sie dieselben überwuchern, leicht zugrunde richten. Als sehr empfindlich erwiesen sich die meisten Junger- manniaceen gegen stagnierendes Wasser; am besten gediehen sie auf nur mäßig feuchtem Substrate. Für die Versuche wurde natürlich nur frisches und gesundes Material verwandt, denn das Verhalten der sich regenerierenden Stücke wird, was für die höheren Pflanzen längst bekannt ist, durch unregelmäßsiges Wachs- tum und vollends durch Alter wesentlich beeinflulst. Um eine Beeinträchtigung der Ergebnisse durch einseitige Beleuchtung zu verhindern, wurden die Objekte ganz beliebig auf den Torfstücken liegend kultiviert, so dafs sich bei jedem Stück der etwa vorhandene Einflufs des Lichtes an einem andern Punkt äufserte und sich dadurch im Gesamtergebnis aufhob. Ebenso war durch die horizontale Lage der Versuchsstücke ein Einfluls der Schwer- kraft auf die Entstehung der Sprosse ausgeschaltet, wie ihn Vöchting bei den höheren Pflanzen nachgewiesen hat. Zur Aufhellung der Objekte bei den entwicklungsgeschichtlichen Untersuchungen wurde eine konzentrierte Lösung von Chloralhydrat an- gewandt, die stets günstige Ergebnisse lieferte. A Zur Erzielung sicherer Resultate mulste jeder Versuch möglichst oft wiederholt werden. Beim Experimente mit lebenden Körpern stellen sich ja oft Ausnahmen ein, deren Ursachen uns meist dunkel sind, die aber das Ergebnis leicht beeinträchtigen können, wenn zu wenig Versuche ge- macht werden. Gerade auf dem Gebiete der Polarität, bei der es sich ja wahrscheinlich nicht um eine einheitliche Kraft handelt, war anzunehmen, dafs sich solche unerwartete Erscheinungen zeigen würden. Aus diesem Grunde wurde, wenn es der Materialvorrat irgend erlaubte, an etwa 226 Wilhelm Kreh, Über die Regeneration der Lebermoose. [14] 20—30 Objekten derselbe Versuch angestellt. Dafs man auf diese Weise einen ziemlich richtigen Mittelwert erzielte, zeigte sich daran, dafs sich das Ergebnis kaum wesentlich änderte, wenn man die Zahl der Versuche auf 60— 80 erhöhte. Der vorliegenden Arbeit liegen in der Nomenklatur mit einigen Ausnahmen Schiffners Bearbeitung der Lebermoose in Engler-Prantls natürlichen Pflanzenfamilien, in der sonstigen 'T’erminologie die klassischen „Untersuchungen über die Lebermoose“ H. Leitgebs zugrunde. III. Experimentelles. A. Ricciaceen. Folgende Formen wurden untersucht: Zeiceia ciliata, glauca, Gouge- tiana, fluitans, lamellosa, Lescuriana, sorocarpa, subinermis, Warnstorfi, Riceiocarpus natans. Aus dem Thallus wurden durch zwei Schnitte senk- recht zur Längsrichtung desselben Stücke herausgeschnitten, die in der Regel sehr rasch Regenerationssprosse bildeten. Diese entstanden fast ohne Ausnahme am Scheitelpole des Stückes, wie aus der folgenden Zusammen- stellung hervorgeht: | Zahl der unter- Regenerationssprosse im Species suchten apikalen | mittleren | basalen Thallusstücke | Drittel | Drittel | Drittel Riecia chat. . - . 62 149 a. | © 5 OTREnS 20 69 121 31 8 r Gougetiana . . 20 BU | (0) | 0 » Nlamellosa. . - 34 91 2 | 1 „ Tescuriana . - 47 96 6 1 DES50r0CHBU Sr: 7 11 2 0 2 ‚subinermis . - 13 26 2 1 n Warnstorfü . . 54 171 0 0 Ricciocarpus natans. . 63 168 0 0 Diese Zahlen geben ein ganz anderes Bild, als es Schostakowitsch gezeichnet hat; sie zeigen klar, dafs der Riecienthallus mindestens im selben Mafse polar gebaut ist, wie der der Marchantiaceen (Taf. I, Abb. 1, 2). Eine Sonderstellung nimmt Zrccia fluitans ein. Von ihr gibt schon Sehostakowitsch an, dals die Regenerationssprosse in der Achsel der 228 Wilhelm Kreh, [16] Unterschuppen entstehen. Diese Angabe konnte durch meine Untersuchungen bestätiot werden. Häufig hatten sich vom Scheitel bis zur Basis an allen Unterschuppen Sprosse gebildet. Die Zählung derselben ergab eine zwar deutlich erkennbare, aber doch im Vergleich mit den andern Riecien nicht so ausgeprägte Bevorzugung des Scheitels. 46 T'hallusstücke hatten 77 Sprosse im apikalen, 31 im mittleren und 34 im basalen Drittel erzeugt. Von diesen 46 Thallusstücken hatten 4 aufser den in der Achsel der Unterblätter an- gelegten Sprossen solche auch an beliebigen Orten der Unter- und Oberseite gebildet; diese zeigten eine viel stärkere Bevorzugung des Scheitels, insofern 15 Sprosse im apikalen, 1 im mittleren und 2 im basalen Drittel auftraten. Bei den meisten dieser Formen entstanden die Regenerationssprosse sowohl auf der morphologischen Unter- als auch Oberseite; an den einzelnen 'Thallusstücken befanden sie sich bald nur auf einer, bald auf beiden Seiten. Um das Verhältnis derselben, sowie einen etwaigen Einfluls von äulseren Faktoren feststellen zu können, wurden T'hallusstücke auf der morpho- logischen Ober- und Unterseite liegend kultiviert; dabei ergab sich folgendes Resultat: Auf morphologischer Unterseite Auf morphologischer Oberseite : R liegend liegend Species : | Zahl der Zahl der Sprosse auf | Zahl der | Zahl der Sprosse auf Thallusstücke Zenitseite |Substratseite| Thallusstücke | Zenitseite |Substratseite Riecia ciliata . . . 12 3 17 11 | 23 | 2 3 leer 39 22 36 33 53 8 5 Warnstorfü . 15 15 19 15 | 36 2 „ Zescuriana . 20 1 37 20 | 40 0 Ricciocarpus natans . 23 35 29 22 I 83% 20 Aus diesen Zahlen geht eine Bevorzugung einmal der morpho- logischen Unterseite, dann der der Lichtquelle zugewandten Seite in der Zahl der gebildeten Sprosse hervor. Diese doppelte Erscheinung zeigt sich bei Riccia glauca und Warnstorfii sehr ausgeprägt, bei Riceiocarpus natans dagegen ist nur die der Lichtquelle zugekehrte Seite, bei Ziccia ciliata und Lescuriana nur die morphologische Unterseite bevorzugt. Die meisten Regenerationssprosse entstanden an dem bei den Riccien im allgemeinen nur schwach angedeuteten Mittelnerven; auch bei Formen, [17] Über die Regeneration der Lebermoose. 229 die einen solchen überhaupt nicht erkennen lassen, zeigte sich eine deutliche Bevorzugung der mittleren Region des Thallus. An der Entwicklung der Regenerationssprosse beteiligten sich bald mehrere, bald auch nur eine Zelle des Mutterthallus. Das erstere wurde besonders häufig bei Ziccia flwitans, das letztere mehr bei Aiceia glauca beobachtet. Bei der letzteren teilte sich also eine, seltener mehrere Zellen durch zwei aufeinander senkrechst stehende Wände in vier Quadranten (Taf. I, Abb. 3); dann traten Wände parallel zur 'Thallusfläche auf. So entstand allmählich ein paraboloidförmiger Gewebehöcker, an dessen Spitze sich nach einiger Zeit die Scheitelregion bildete. Dadurch, dafs die dieselbe umgebenden Zellen sich lebhafter zu teilen anfıngen und eigenartige, an rudimentäre Blätter erinnernde Bildungen produzierten, kam die Scheitel- region in eine kleine Vertiefung zu liegen (Taf. ], Abb. 4). Diese wurde durch das einseitige Wachstum des Sprosses beim Dorsiventralwerden des- selben zur Dorsalfurche, in der sich beim normalen Sprosse die Scheitel- region befinde. Ganz ähnlich verhielt sich Riceia flwitans, nur teilten sich ihre langgestreckten Zellen zuerst durch mehrere parallele, senkrecht zu ihrer Längsachse stehende Wände und erst die entstandenen Tochterzellen bildeten den hier viel unregelmäfsigeren Zellkörper (Taf. I, Abb. 5, 6). Aufser dem Thallus kommen bei den Riceiaceen noch die Unter- schuppen für die Untersuchung der Regenerationsfähiskeit in Betracht. Dieselben stellen aufserordentlich zarte, vergängliche Gebilde dar. Daher war es begreiflich, dafs eine Reihe von Kulturen zugrunde ging, ehe es bei Riceiocarpus natans, einer Form, die verhältnismäfsig grofse, spärlich Chlorophyll führende Unterschuppen besitzt, gelang, Regenerationssprosse zu erzielen. Die 28 Unterschuppen, deren Regeneration beobachtet wurde, bildeten 14 Sprosse im basalen, 12 im mittleren und 9 im apikalen Drittel. Man sollte erwarten, dafs sich bei einem Organ mit so typischem begrenzten Wachstum, die Bevorzugung der Basis viel ausgeprägter zeigen würde. Bedenkt man aber, wie leicht diese empfindlichen Organe beim Abtrennen beschädigt werden, wie leicht sie auch bei der Kultur selbst notleiden können, so wird das Ergebnis verständlich. Einen typischen Fall von polarer Regeneration zeigt Taf. I, Abb. 7. Die Sprosse entstanden stets nur aus einer Zelle, die sich normal teilte und einen Zellkörper bildete, Nova Acta XC. Nr.4 30 230 Wilhelm Kreh, [18] in dem bald eine zweischneidigg Scheitelzelle auftrat (Taf. I, Abb. 8). Beim erwachsenen Thallus sind es bekanntlich mehrere Zellen, die nach oben und unten Segmente abtrennen. Fine solche Scheitelregion wurde bei den Regenerationssprossen erst verhältnismäfsig spät gebildet. In einem einzigen Falle wurde beobachtet, dafs eine Zelle nicht zu einem Sprosse, sondern zu einem Rhizoid auswuchs. B. Marchantiaceen. Die Familie der Marchantiaceen ist die in Bezug auf Regeneration am besten untersuchte Gruppe der Lebermoose: Lunularia vulgaris, Mar- chantia polymorpha und palmata, Fegatella conica, Preissia commutata, Reboulia hemisphaerica, Dwumortiera velutina wurden von Vöchting, Schostakowitsch, Bolleter, Gavers und Bercoveec untersucht. Alle diese Untersuchungen ergaben im wesentlichen dasselbe Resultat, das Vöchting bei Lunularia vulgaris erzielt hatte, was bei dem weitgehend übereinstimmenden Bau des T'hallus nicht anders zu erwarten ist. So habe ich mich darauf beschränkt, einige wenige Punkte, die mir beim Studium der vorhandenen Literatur auffielen, zu untersuchen. Bolleter gibt an, dals bei T'hallusstücken von Fegatella conica, die verkehrt, also auf der morphologischen Oberseite liegend, kultiviert wurden, die Sprosse ganz beliebig, sowohl an beiden Enden der Mittelrippe, als auch auf den Seitenteilen des T'hallus aufgetreten seien. Diese Angabe mu/s bei jedem, der das Verhalten der Marchantiaceen bei der Regeneration kennt, Zweifel erregen. Ich habe daher den Versuch wiederholt und folgendes Ergebnis erhalten: 39 verkehrt liegende Thallusstücke bildeten 70 Sprosse im apikalen, 16 im mittleren und 6 im basalen Drittel. Von diesen 92 Sprossen waren alle mit Ausnahme von 4, an demselben Thallus- stück befindlichen, an den Mittelrippen entstanden. Bei diesem letzteren Stück war die Mittelrippe zwar nicht abgestorben, sie schien aber nicht mehr ganz frisch zu sein. Aus diesem Ergebnis geht unzweifelhaft hervor, dafs sich auch beim verkehrt liegenden Thallusstück die Polarität klar und deutlich in der Regeneration zeist. Aus der Tatsache ferner, dafs auch bei normal liegenden Stücken ausnahmsweise Sprosse auf den Flügelstücken [19] Über die Regeneration der Lebermoose. 251 entstanden, ergibt sich, dafs die Lage des Thallusstückes auch auf die Verteilung der Sprosse auf Mittelnerv und Flügel keinen Einfluls hat. Noch deutlicher zeigte dies Preissia commutata: 14 verkehrt liegende Thallus- stücke bildeten 14 ausschliefslich am apikalen Ende der Mittelrippe befind- liche Regenerationssprosse. Aufserdem wurden noch einige Organe der Marchantiaceen, deren Regeneration noch nicht beobachtet war, untersucht: Schuppen, Epidermis und Assimilationsgewebe. Die Schuppengebilde sind aulserordentlich zart und vergänglich; so war es schwierig, ein günstiges Objekt für die Untersuchung der Re- generation zu erlangen. Es fand sich schlielslich in Olevea hyalina. Diese Form besitzt an der Insertionsstelle des Fruchtknopfs an dem Stiel lange Hüllschuppen, welche typisches, interkalares, basilares Wachstum besitzen. Das apikale Ende dieser Schuppen pflegt schon früh abzusterben, der übrige Teil bleibt dagegen längere Zeit frisch und lebendig; er führt auch, freilich spärlich, Chlorophyll. Es war daher zu erwarten, dafs die Sprosse mit Bevorzugung der Basis entstehen würden. Die Erwartungen wurden aber insofern übertroffen, als bei allen die Regenerationssprosse streng an der Basis, unmittelbar an der Schnittfläche, auftraten (Taf. I, Abb. 9). Leider sind die Schuppen zu empfindlich, als dals es gelänge, Stücke, die man durch zwei parallele Schnitte senkrecht zur Längsachse der Schuppe heraus- geschnitten hat, zur Regeneration zu bringen. Bei einem Versuch ging die ganze Kultur zugrunde bis auf ein einziges Stück, bei dem der Spross in derselben Weise an der basalen Schnittfläche auftrat. Schon von Vöchting wurde versucht, bei Lunularia vulgaris Epi- dermis und Assimilationszellen zur Regeneration zu bringen. Dieselben starben aber regelmälsig ab, ohne sich zu regenerieren. Bei Preissia commu- tata gelang es mir verhältnismälsig leicht, an der isolierten Epidermis Sprosse zu erhalten. Dieselben traten mit Vorliebe au den Stellen auf, wo auf der ‚Unterseite die Kammerwände des Assimilationsgewebes an die Epidermis stofsen. Häufig entstanden sie aber auch aus freien Epidermiszellen, und zwar sowohl auf der morphologischen Öber-, als auf der Unterseite. Gewöhnlich ging der Spross nur aus einer Zelle hervor, doch wurden wieder- holt Fälle beobachtet, wo sich mehrere Zellen an seiner Bildung beteiligten. 30* 232 Wilhelm Kreh, [20] Die Entwicklung desselben vollzog sich in derselben Weise, wie sie Vöchting für Lunularıa vulgaris beschrieben hat. Assimilationszellen wurden von verschiedenen Formen, Lunularia vulgaris, Marchantia polymorpha, Fegatella conica, Preissia commutata, isoliert. Bald zeigte sich, dafs die von Preissia commutata weitaus die widerstands- fähigsten waren. So wurde in der Folgezeit nur mit ihnen experimentiert. Auch sie gingen, wenn die Zellreihen gänzlich isoliert wurden, rasch zu- srunde. Es mufste daher ein Verfahren ersonnen werden, durch das sie ohne plötzlichen Eingriff möglichst langsam isoliert werden konnten. Dies wurde erreicht durch Abheben von Stücken der Epidermis von dem darunter liegenden Gewebe; an denselben blieben stets Teile der Kammerwände und an diesen wieder Reihen des Assimilationsgewebes sitzen. Kultivierte man solche Stücke auf Torf, so starb gewöhnlich ein Teil der Epidermis ab; dadurch wurden die Assimilationszellen langsam isoliert. Zwar gingen die allermeisten von ihnen sofort zugrunde, aber einige blieben doch längere Zeit frisch und fingen an, sich zu teilen; es waren dies bald am Ende eines Fadens, bald auch an einer Verzweigungsstelle befindliche Zellen (Taf. I, Abb. 10, 11, 12, 13). Sie teilten sieh durch eine Wand senkrecht zu ihrer Längsachse, die Tochterzellen wieder durch Wände senkrecht zur ersten Zellwand. Leider gelang es trotz aller Sorgfalt nicht, ein älteres, als dieses Vierzellenstadium, zu erhalten, da auch diese Zellen schliefslich zugrunde gingen. Interessant war es, zu beobachten, dafs Assimilationszellen, die zufällig so zu liegen kamen, dals sie nur schwach belichtet waren, sich zu strecken anfingen; dadurch entstanden aus den kugel- bis ellipsoidförmigen Zellen 2—3 mal längere zylinderförmige Gebilde. Dieselben brachten es jedoch nie bis zur Teilung, sondern gingen stets vorher zugrunde (Taf. I, Abb. 14). Die geringe Regenerationsfähigkeit dieser Gebilde ist schr merkwürdig. Man sollte annehmen, dafs Zellen, die im Bau der ganzen Pflanze eine so isolierte Stellung einnehmen und eine so elementare Funktion, wie die der Assimilation, ausüben, ganz besonders dazu geeignet seien, sich weiter zu entwickeln. Man ist genötigt, die aufserordentliche Empfindlichkeit dieser Zellen auf unbekannte Struktureigenschaften zurückzuführen. In ein besonderes Licht wird diese Tatsache gerückt, wenn man sie vergleicht mit der sonstigen, aulserordentlich grofsen Regenerationsfähigkeit 5) [21] Über die Regeneration der Lebermoose. 2233 der Marchantiaceen, mit der Zähigkeit, mit der sich jede einzelne Zelle gegen den Tod wehrt. Ein typisches Beispiel dafür lieferte Marchantia polymorpha. Von früheren Versuchen her hatte ich eine Kultur von Marchan- tiasporen in einem Reagenzglase auf Nährlösung schwimmen. Diese Sporen hatten gekeimt, waren aber bald in die Tiefe gesunken, wo sie von einer 8!» cm hohen Wasserschicht bedeckt waren. Hier fingen die jungen Pflänzchen an, von der Basis her abzusterben, während der Scheitel normal weiter wuchs. Es gingen jedoch nicht alle Zelle zugrunde, vielmehr blieben über den ganzen Thallus zerstreut einzelne Zellen oder Zellgruppen lebendig, die bald anfingen, sich weiter zu entwickeln und zu Sprossen auszuwachsen. Aber auch diese Tochtersprosse fingen ihrerseits an, an der Basis wieder abzusterben und so entstand aus ihren lebendig gebliebenen Zellen eine Enkelsprossgeneration. Schliefslich waren die ganzen Pflänzchen bedeckt mit Regenerationssprossen in allen möglichen Entwicklungsstadien. Das srölste der Mutterpflänzchen (Taf. I, Abb. 15) hatte eine Länge von 5 mm und an seiner breitesten Stelle eine Breite von 0,8 mm. Dabei hatte das noch lebendige Stück am Scheitel nur eine Länge von 0,4 mm. Das ge- samte übrige Gewebe war abgestorben, bis auf eine Anzahl — und zwar nicht weniger als ungefähr 70 — von Zellen und Zellgruppen, die sich zum grölsten Teil weiter entwickelt hatten. Obwohl die Mutterpflänzchen noch keine ausgebildete Mittelrippe hatten, so waren doch in der mehr- schiehtigen Mittelregion weit mehr Zellen auf der morphologischen Unter- seite als der Oberseite lebendig geblieben. Als die Pflänzchen untersucht wurden, waren sie bereits über fünf Monate alt (29. VIII. 06 bis 5. IL. 07) und noch waren die lebendig gebliebenen Zellen frisch und grün. C. Anthocerotaceen. Von diesen wurden Versuche mit Anthoceros dichotomus und punctatus angestellt. Die Ergebnisse derselben stimmen im wesentlichen mit den von Schostakowitsch bei Anthoceros laevis gemachten Erfahrungen überein. Bei beiden zeigte sich in der Regeneration der aus der Thallusfläche heraus- geschnittenen Stücke eine deutliche Bevorzugung des Scheitels, wie aus den folgenden Zahlen hervorgeht. 234 Wilhelm Kreh, [22] Zahl Ar Zahl der Sprosse im Speei | Di: Thallusstücke Japikalen Drittel mittleren Drittel) basalen Drittel Anthoceros dichotomus . . . 20 75 | 11 6 r Pümctatus 7. : 10 39 | 7 Das Verhältnis von morphologischer Oberseite zur Unterseite zeigte dasselbe Bild, wie bei den Ricciaceen, also Bevorzugung der Unterseite und der der Lichtquelle zugekehrten Seite. 11 auf der morphologischen Ober- seite liegende Thallusstücke von Anthoceros dichotomus bildeten 52 Sprosse auf der Unterseite (Zenitseite), 0 auf der Oberseite (Substratseite), da- gegen erzeugten 9 auf der Unterseite liegende Stücke 15 Sprosse auf der Oberseite (Zenitseite) und 25 auf der Unterseite (Substratseite). Die Sprofs- entwicklung wurde ebenfalls bei Anthoceros dichotomus untersucht; sie erwies sich als sehr einfach. Es teilt sich eine grölsere Anzahl nebeneinander liegender Zellen der Thallusfläche durch Wände senkrecht zu derselben. Dann wölbt sich die ganze Partie vor und bildet einen Gewebehöcker, der einige Zeitlang radiär weiter wächst, bald aber dorsiventral wird. Jetzt erst läfst sich eine besondere Scheitelregion erkennen. Eine gröfsere Anzahl der am vorderen Ende gelegenen Zellen teilt sich nach dem Typus der Leitgebschen keilförmigen Scheitelzelle. Bald aber beschränken sich diese Teilungen auf wenige, in der durch rascheres Wachstum der Seiten- partien entstandenen Bucht gelegene Zellen (Taf. I, Abb. 16). Von Antho- ceros punctatus wurde auch das Sporogon auf seine Regenerationsfähigkeit untersucht. Es gelang jedoch nie, dasselbe zur Regeneration zu veranlassen; stets reiften die untersuchten Stücke allmählich aus und bildeten normale Sporen. Diese Erscheinung, die mit den von Lang bei Anthoceros laevis gemachten Erfahrungen nicht übereinstimmt, dürfte darauf zurückzuführen sein, dals die mir zur Verfügung stehenden Sporogone bereits zu alt waren. D. Jungermanniaceen. 1. Anacrogyne Jungermanniaceen. Von den anacrogynen Jungermanniaceen besitzt die Gattung Aneura weitaus den am einfachsten gebauten Thallus. Bei Aneura multifida und palmata [23] Über die Regeneration der Lebermoose. 235 ist noch keine Differenzierung der Zellen eingetreten, vielmehr sind dieselben alle gleich beschaffen, mit Ausnahme der Keulenhaare und der Rhizoiden; ein Mittelnerv ist also nicht vorhanden. Bei so primitivem Bau ist zu er- warten, dals sich auch die Polarität in der Regeneration nicht in demselben ausgeprägten Malse zeigt, wie bei höheren Formen. Schneidet man an einem der viel verzweigten 'T'hallome dieser beiden Formen die verschiedenen Vegetationspunkte ab, so zeigt sich bei der Regeneration eine deutliche Anhäufung der Sprosse an den verschiedenen Scheiteln (Taf. I, Abb. 17); aulserdem findet man aber auch spärlich Sprosse über den ganzen Thallus zerstreut. Um dem Einwande zu begegnen, dafs diese Bevorzugung des Scheitels auch eine Folge des Wundreizes sein könne, wurden die kleinen, zwischen zwei Verzweigungsstellen liegenden Thallusstücke herausgeschnitten und zur Regeneration gebracht. Sie lieferten folgendes Ergebnis: Sireliet Zahl der Zahl der Sprosse in der Thallusstücke |apikalen Hälfte | basalen Hälfte Aneura palmata . . 1 183 99 e multifida . . 31 126 36 | Auch an diesen kleinen Stückchen zeigte sich also eine deutliche Anhäufung der Sprosse am Scheitel und eine alimähliche Abnahme der- selben nach der Basis zu. Die Sprosse entstanden auf beiden Seiten des Thallus; doch war stets die morphologische Unterseite entschieden bevorzugt. Die Sprossentwicklung ist bei diesen Formen gewöhnlich sehr ein- fach. Stets geht die Anlage nur aus einer Zelle hervor, die sich vorwölbt und durch eine Wand senkrecht zur Thallusfläche teilt. Dadurch, dafs sich an diese Wand in einer der Tochterzellen eine zweite Zellwand anlegt, die diese gewöhnlich unter einem sehr spitzen Winkel schneidet (einmal habe ich nur 43° gemessen), wird die zweischneidige Scheitelzelle gebildet (Taf. I, Abb. 18). Diese Tatsache ist insofern interessant, als sie eine bemerkens- werte Ausnahme bildet zu dem von Sachs aufgestellten Gesetze, nach dem sich die Zellwände im allgemeinen senkrecht schneiden. Oft entsteht auch in der anderen Tochterzelle eine Scheitelzelle; in diesem Falle verzweigt sich der Sprofs also gleich im Entstehen. Nicht immer geht die Bildung der 256 Wilhelm Kreh, [24] Scheitelzelle so rasch vor sich; verschiedene Fälle wurden beobachtet, wo zuerst vier Quadranten entstanden und wo nun in einem oder mehreren derselben durch eine schiefe Wand am Aufsenrande eine Scheitelzelle gebildet wurde (Taf. I, Abb. 19). Die Gattung Aneura besitzt bekanntlich besondere, die Geschlechts- organe tragende Äste, die schon sehr früh das Wachstum einstellen. Die Zellen der Oberseite der weiblichen Äste sind zu eigenartigen, mehrzelligen Triehomgebilden ausgewachsen, die die Archegonien rings als schützende Hülle umgeben. Es gelang, diese Haare bei Aneura palmata zur Regeneration zu bringen. Irgend welche polare Anordnung der Regenerationssprosse war nicht zu beobachten. Diese Erscheinung dürfte mit der grofsen Empfindlich- keit der Gebilde zusammenhängen; sehr oft gingen die ganzen Haare oder auch nur einzelne Partien zugrunde. Die Bildung der Regenerationssprosse vollzog sich in derselben Weise, wie an den Thallusstücken, wenn der Sprofs auf der Fläche des Haares entstand. Die langgestreckten Randzellen dagegen teilten sich gewöhnlich durch zwei oder drei parallele, senkrecht zur Längsachse der Zelle stehende Wände, auf die weitere beliebig ge- richtete folgten; an der Spitze der Mutterzelle wurde gleichzeitig eine zwei- schneidige Scheitelzelle gebildet (Taf. I, Abb. 20). Im weiteren Verlaufe nahmen die Tochterzellen beträchtlich an Gröfse zu; die Scheitelzelle fing an, Segmente abzuschneiden und bildete so den Sprofs. Im Unterschiede von den Thallusstücken regenerierten die Haare sehr langsam: erst nach einer Kultur von vier Monaten (allerdings in der Zeit von Oktober bis Januar) hatten die ersten Zellen sich geteilt, bei anderen vergingen sogar sechs Monate. Thallusstücke hatten gewöhnlich schon nach zwei Wochen Sprosse gebildet. Aneura pinguis wurde bereits von Bercovec untersucht. Meine Untersuchungen haben zwar ihre Angabe, dafs die Sprosse an beliebigen Stellen auf dem Thallus entstehen können, bestätigt, haben aber gleichzeitig eine starke Bevorzugung des Scheitels nachgewiesen, die Bercovee nicht bemerkt zu haben scheint. 32 T'hallusstücke bildeten 41 Sprosse im apikalen, 4 im mittleren und 16 im basalen Drittel; ausschliefslich am Scheitel hatten 16 Stücke die Sprosse gebildet. Fast ohne Ausnahme entstanden die Sprosse auf der morphologischen Unterseite; nur einige wenige Fälle wurden festgestellt, [25] Über die Regeneration der Lebermoose. 237 bei denen sie auf der Oberseite auftraten, und zwar ausschliefslich bei Stücken, die auf der Unterseite lagen: von den 61 gebildeten Sprossen befanden sich 58 auf der Unterseite, 3 auf der Oberseite. Nie wurde beobachtet, dafs sich die Sprosse auf der Schnittfläche bildeten, was nach Bercovee öfters vorkommen soll; allerdings traten sie häufig sehr nahe am Rande auf und rückten im weiteren Verlaufe der Entwicklung noch mehr auf denselben zu, so dafs man bei älteren Stücken versucht war, anzunehmen, sie seien auf der Schnittfläche entstanden. Die 61 Regenerationssprosse zeigten folgende Verteilung: weitaus am häufigsten traten sie merkwürdigerweise an den Ecken der Thallusstücke auf (33 Stück), also dort, wo der Vorder- berzw. Hinterrand mit dem Seitenrande zusammenstölst; dies war auch bei Stücken der Fall, bei denen man den Seitenrand nicht weggeschnitten hatte (Taf. II, Abb. 1). Viel weniger bevorzugt zeigte sich die bei dieser Form nur schwach angedeutete Mittelrippe (13 Stück). Ebenso grols war die Zahl der Sprosse am Seitenrande (13 Stück) an Thallusstücken, bei denen dieser weggeschnitten war; endlich waren noch zwei Sprosse am Vorderrande, aber nicht an der Mittelrippe, entetanden. Von Pellia-Arten wurden Pellia calycina, epiphylla und Gottscheana untersucht. Die Ergebnisse stimmen mit denen von Bercovec in wesent- lichen Punkten nicht überein. Während nach ihr bei Pellia calycina die Sprosse häufig auf der morphologischen Unterseite an der Mittelrippe, sehr oft aber auch auf der Oberseite entstehen sollen, habe ich gefunden, dafs sie sich stets auf der morphologischen Unterseite bildeten mit Bevorzugung der Mittelrippe: von 76 Sprossen waren 61 an dieser und nur 15 auf den Flügeln entstanden. Während sie angibt, dafs „nur selten“ Sprosse an der apikalen Schnittfläche entstehen, dieselben vielmehr gewöhnlich unregel- mäfsig über den Thallus zerstreut sind, konnte ich eine deutliche Polarität konstatieren (Taf. I, Abb. 21), wie aus den folgenden Zahlen klar hervorgeht: L Zahl a r Zahl der Sprosse im Species ae Thallusstücke |apikalen Drittel | mittleren Drittel basalen Drittel IBelnocalyemoE 24 57 | (4 12 » piohyllaı. ..... 32 84 | 13 „ Gottschema . . . . 15 61 | 3 17 Nova Acta XC. Nr.4, 31 238 Wilhelm Kreh, [26] Von 24 Thallusstücken von Pellia calycina hatten 13 ausschliefslich am Scheitel Regenerationssprosse gebildet, von den 32 Stücken von Pelha epiphylia war dies bei 21, von den 15 Stücken von Pellia Gottscheana bei 6 der Fall. Die beiden letzteren Formen zeigten in ihrem sonstigen Ver- halten dasselbe Bild wie Pellia calycina: bei beiden waren alle Sprosse auf der morphologischen Unterseite entstanden. Von den 106 Regenerations- sprossen von Pellia epiphylla befanden sich 1035 am Mittelnerv, und nur 3 auf den Flügeln, von den 81 Sprossen von Pellia Gottscheana 77 am Mittel- nerv und 4 auf den Flügeln. Bei Pellia epiphylla und Gottscheana wurden auch die, die Archegonien umschliefsenden Hüllen untersucht. Entsprechend dem typisch begrenzten Wachstum dieser Organe traten die Regenerationssprosse mit entschiedener Bevorzugung der Basis auf, doch fanden sich Sprosse zuweilen auch in der Mitte und, freilich selten, am Scheitel des Organs. Die Sprossbildung bei den Pellia-Arten stimmt mit der von Aneura pinguis überein, insofern eine grölsere Anzahl von Zellen sich an ihr be- teiligt; sie erzeugen einen paraboloidförmigen Zellhöcker, der längere Zeit radiär weiter wächst und erst ziemlich spät dorsiventral wird und eine Scheitelzelle bildet. Zu den höher entwickelten anacrogynen Jungermanniaceen gehört Metzgeria furcata. Sie besitzt eine typische Mittelrippe, die sich scharf gegen die nur einschichtigen Flügel absetzt. Es ist nun auffallend, dafs mit dieser hohen Entwicklung die sich bei der Regeneration äufsernde Polarität durchaus nicht übereinstimmt, insofern nur eine sehr schwache Bevorzugung des Scheitels in der Zahl der Sprosse zu erkennen ist: 38 Thallusstücke bildeten 36 Sprosse im apikalen, 33 im mittleren und 24 im basalen Drittel. Die Sprosse des ersten Drittels befanden sich ge- wöhnlich nicht einmal direkt an der Schnittfläche, sondern häufig in einer gewissen Entfernung von ihr. Dagegen entstanden die Sprosse stets auf der morphologischen Unterseite am Mittelnerv. Nur eine einzige Ausnahme von dieser Regel konnte festgestellt werden, wo ein auf der morphologischen Oberseite liegendes Stück auf dieser am Mittelnerv einen Spro(s und mehrere Rhizoiden gebildet hatte. Es war bei Metzgeria nieht nötig, den ganzen [27] Über die Regeneration der Lebermoose. 239 Thallus zu durchschneiden, um Regenerationssprosse zu erhalten; es genügte dies mit dem Mittelnerv zu tun. Auch in diesem Falle traten die Sprosse gewöhnlich nicht direkt an der Schnittfläche auf, sondern in einiger Ent- fernung von ihr. Das Durchschneiden der Flügel dagegen genügte nicht zur Hervorrufung von Sprossen. Überhaupt entstanden bei der Regeneration von normalen Stücken nie Sprosse auf den Flügeln; sobald aber, etwa durch Absterben einiger Zellen, die Beziehungen zwischen Flügel und Mittelnerv gestört waren, trat dies ein. An isolierten Flügelstücken lälst sich kein polares Auftreten der Regenerationssprosse konstatieren; auch entstehen dieselben bald auf der morphologischen Ober-, bald Unterseite, jedoch mit Bevorzugung der letzteren. Es fällt auf, dafs sehr viele Sprosse am Auflsenrande entstehen. Dies erklärt sich leicht durch die Tatsache, dals auch unter normalen Verhältnissen die Zellen des Aufsenrandes häufig zu Adventivsprossen auswachsen. Die Entstehung der Regenerationssprosse auf den Flügeln stimmt durchaus überein mit der Bildung dieser Adventiv- sprosse: gewöhnlich wird schon durch die beiden ersten Zellwände die Scheitelzelle gebildet. Die Entwicklung der auch bei der normalen Ver- zweigung auftretenden Sprosse am Mittelnerv wurde schon von Leitgeb (1874, III, S. 35/36) untersucht; er hat festgestellt, dafs dieselben bald exogen, bald endogen entstehen. Metzgeria furcata besitzt am Rande eigenartige Haare, sogenannte Borstenhaare, die den Rhizoiden morphologisch durchaus gleichwertig sind und sich auch oft in Rhizoiden umwandeln. Dieselben entstehen nach Leitgeb (1874, III, S. 37) „nicht durch einfaches Auswachsen der Rand- zellen, sondern erst sekundär, dadurch, dafs aus diesen erst eine kleinere Zelle ausgeschieden wird, die dann in ihrer ganzen Oberfläche zum Rhizoid auswächst“. Dieselbe wird immer am basiskopen Ende der Randzellen abgeschnitten und nimmt nur eine Ecke derselben ein. Der Versuch, diese Haare zur Regeneration zu bringen, nachdem sie samt den Mutterzellen durch einen Schnitt parallel zum 'Thallusrand abgeschnitten waren, gelang nicht; wohl aber wuchsen Mutterzellen von Borstenhaaren, die bereits ab- getrennt, aber noch nicht ausgewachsen waren, statt zu Haaren, zu Sprossen aus. Auch hier wurde die Scheitelzelle schon durch die beiden ersten Zell- wände gebildet (Taf. I, Abb. 22). 31* 240 Wilhelm Kreh, [28] Dieser Fall bildet eine interessante Erweiterung der von Vöchting beobachteten Regel, dafs für die Entwicklungsform einer indifferenten Zelle in erster Linie der Ort entscheidend ist, den sie in der Lebenseinheit ein- nimmt. Hier handelte es sich nicht mehr um eine indifferente Zelle, als das Flügelstück abgetrennt wurde, vielmehr war bereits der erste Schritt zur Bildung eines Borstenhaares getan. Trotzdem wuchs die abgeschnittene Zelle nieht zu einem solchen aus, sondern bildete, nun sie einer neuen Lebenseinheit angehörte, in der sie einen anderen Ort einnahm, einen Regenerationssprols. Genau so wie Metzgeria fwrcata verhielt sich, entsprechend ihrer nahen Verwandtschaft, auch Metzgeria pubescens. Bei Fossombronia pusilla zeigte sich eine deutliche Polarität sowohl in der Regeneration der Stämmchen, als auch der Blätter. Von den ersteren bildeten 18 Stücke 30 Sprosse am apikalen, 2 im mittleren und 2 im basalen Drittel. Stets entstanden die Sprosse auf der morphologischen Unterseite des Stämmchens, oft etwas nach der Seite gerückt. Bei den Blättern war deutlich der Einfluls des Alters auf den Ort der Entstehung der Sprosse zu erkennen. An älteren traten sie häufig beliebig auf der Blattfläche auf, bei jungen dagegen zeigte sich eine scharf ausgesprochene Bevorzugung der Basis: 73 Blätter bildeten 110 Sprosse im basalen, 6 im mittleren und 5 im apikalen Drittel. Die Sprosse können hier aus mehreren Zellen, oder auch, wenngleich seltener, nur aus einer entstehen. Noch ehe die Teilungen der Zellen vor sich gehen, kann man den Ort der Entstehung der Sprosse deutlich an der Menge von Chlorophyll- und Stärkekörpern erkennen, die sich in den Zellen anhäufen. Hierauf teilen sich dieselben, wenn sie eine langgestreckte Form besitzen, zuerst durch einige parallele, im anderen Falle sofort durch zwei aufeinander senkrecht stehende Wände. Nun wölbt sich die ganze sich teilende Region vor und bildet einen Gewebe- höcker, an dessen Spitze die Scheitelzelle gebildet wird. Auffallend ist, dafs sich oft eine ganze Partie des Blattgewebes mit vorwölbt, so dafs dadurch der Sprof[s an seiner Basis auf eine kurze Strecke hohl wird. Auch in der Natur fand sich ein Fall, wo an einem älteren Blatt, dessen Zellen zum Teil an der Basis abgestorben waren, sich Regenerations- sprosse gebildet hatten. [29] Über die Regeneration der Lebermoose. 241 Bei Fossombronia angulosa erwiesen sich die Blätter als sehr emp- findlich; sie fingen gewöhnlich an, sich zu zersetzen, und zerfielen sehr rasch, regenerierten sich aber trotzdem an von der Zersetzung noch nicht ergriffenen Punkten. Unter diesen Verhältnissen konnte natürlich die Polarität in der Regeneration nicht zum Ausdruck kommen. Überblickt man das Verhalten der anaerogynen ‚Jungermanniaceen bei der Regeneration, so kann man entsprechend der steigenden Differenzierung in dreifacher Hinsicht eine aufsteigende Stufenreihe erkennen: in der Bevor- zugung des apikalen Poles, der morphologischen Unterseite und des Mittel- nerven. Bei Aneura palmata und multifida ist der Scheitel schwach bevor- zust, die Sprosse entstehen auf beiden Seiten, aber bereits mit Vorliebe auf der morphologischen Unterseite, und, da noch kein Mittelnerv vorhanden ist, ohne Bevorzugung der mittleren Partie des Thallus. Bei Aneura pinguis zeigt sich eine viel deutlichere Polarität, die überwiegende Mehrzahl der Sprosse bildet sich auf der morphologischen Unterseite, dagegen finden sich an dem hier eben angedeuteten Mittelnerv weniger Sprosse als auf den Flügeln. Bei den Pellia-Arten ist der Scheitel noch mehr bevorzugt, die Sprosse entstehen ausschlielslich auf der morphologischen Unterseite, und fast ausschliefslich am Mittelnerv. Metzgeria fwrcata bildet die Sprosse nur auf der morphologischen Unterseite und nur am Mittelnerv, zeigt dagegen in der Polarität ein abweichendes Verhalten. Bei Fossombronia pusilla endlich entstehen die Sprosse fast ausschliefslich am Scheitel, nur auf der morphologischen Unterseite und nur am Mittelnerv. 2. Acrogyae Jungermanniaceen. Die Untersuchung der Formen dieser Gruppe gestaltete sich, wie zu erwarten war, besonders interessant, weil sie den am weitesten differenzierten Bau besitzen, der viele Ähnlichkeiten mit dem der höheren Pflanzen aufweist. Sie haben einerseits Organe mit typisch begrenztem Wachs- tum, Blätter, Perianthe, Archegonien usw., andererseits den unbegrenzt wachsenden Stengel. Auf die Untersuchung dieser Gruppe wurde daher besonderer Nachdruck gelegt. 242 Wilhelm Kreh, [30] Beraubt man ein Stämmchen seines Vegetationspunktes, so fangen ruhende, interkalare Sprolsanlagen an, auszuwachsen. Dieselben haben auch unter normalen Verhältnissen einen grofsen Anteil an der Verzweigung und wurden deshalb bereits von Leitgeb eingehend untersucht (1874, II, 8. 30 ff.). Er hat festgestellt, dafs sie gewöhnlich endogenen, häufig aber auch exogenen Ursprunges und stets an die ventrale Sprofshälfte gebunden sind. Sie werden bald in streng acropetaler Reihenfolge und an bestimmten Stellen angelest, bald läfst sich eine solche nicht erkennen und treten sie an beliebigen Punkten auf. Bei den ersteren Formen bestehen sie aus einer, die benach- barten Elemente an Gröfse übertreffenden Zelle, die in der zweitobersten Zellschicht, also direkt unter der Epidermis liegt, gewöhnlich in der Achsel der Unterblätter. Unter normalen Verhältnissen entwickeln sich die meisten dieser Anlagen nicht; nur wenige wachsen zu Sprossen aus. Ist dies der Fall, so fängt die ruhende Zelle an, sich zu teilen, sie bildet einen Zell- höcker, der die über ihm liegende Epidermis emporwölbt; schliefslich wird diese durchbrochen und umgibt nun wie eine Manschette den jungen Sprols. Im zweiten Falle kann man keine besonderen, durch ihre Gröfse aus- gezeichneten Zellen erkennen; man mu/s vielmehr annehmen, dafs sämtliche Zellen der zweiten Zellschicht des Stengels die Fähigkeit besitzen, Sprosse zu bilden, da dieselben an ganz beliebigen Stellen entstehen. Man kann die ruhenden Sprolsanlagen der Lebermoosstämmchen, besonders die des ersten T'yps, vergleichen mit den Knospen an den Zweigen der höheren Pflanzen. Für diese Zweige hat nun Vöchting nachgewiesen, dals sich, wenn man sie des Vegetationspunktes beraubt, in dem Auswachsen der Knospen ganz deutlich der Einfluls des polaren Baues dieser Organe zeigt. Er hat gefunden, dafs die Gröfse des aus einer Anlage hervor- gehenden Gebildes dargestellt wird durch die Funktion einer Konstanten, nämlich der der Anlage eigenen Kraft, und einer von den Enden des Zweiges rasch abnehmenden Variablen. Es liefs sich daher vermuten, dafs sich bei den Lebermoosstämmchen dieselbe Erscheinung zeigen würde, wenn auch vielleicht nicht so ausgesprochen, entsprechend der niedrigeren Organisation dieser Pflanzen. Diese Erwartungen erwiesen sich als durchaus zutreffend. Um die Bevorzugung des Scheitels gegenüber der Basis, die Polarität in der Entwicklung der Regenerationssprosse festzustellen, hat man zwei [31] Über die Regeneration der Lebermoose. 243 Wege. Man kann sie sowohl an der Zahl der entstandenen Sprosse, als auch an der Gröfse derselben erkennen. Zu diesem Zwecke ist es nötig, den Stengel vom Scheitel bis zur Basis in eine Anzahl von gleichen Stücken einzuteilen, sofern diese Einteilung nicht durch den Bau des Stengels schon gegeben ist. Dann hat man nur die Zahl und die Gröfse der auf jedem Teilstück entstandenen Regenerationssprosse festzustellen. Da es je- doch aufserordentlich schwierig und langwierig wäre, jeden einzelnen der vielen Sprosse zu messen, habe ich mich damit begnügt, bei jedem Stengel- stück festzustellen, in welchem Teile sich der gröfste Regenerationssprols gebildet hatte. Waren zwei, oder was seltener vorkam, drei Sprosse gleich grols, so wurden sie alle mitgezählt. So ergab sich schliefslich eine Zu- sammenstellung, die aussagt, wie oft bei einer gewissen Anzahl von Stengel- stücken der grölste Regenerationsspro's im apikalen, wie oft im mittleren oder basalen Drittel des Stengelstückes entstanden ist. Für sich allein kann eine der beiden Methoden natürlich leicht zu einem falschen Resultat führen. Denn wenn ein Stengelstück den gröfsten Sprofs im apikalen Drittel besitzt, dafür aber zwei etwas kleinere im basalen Drittel, so mu/s man nach der zweiten Methode dieses Stengelstück zu den polar regenerierenden zählen. Andererseits findet man auch Stengelstücke, — namentlich ist dies bei den die Sprosse in der Achsel der Unterblätter bildenden Formen der Fall — bei denen an jedem Unterblatt gleichviel Sprosse auswachsen. Hier könnte man mit der blofsen Zählung der Sprosse die Polarität nicht ausdrücken. In den meisten Fällen wurden daher beide Verfahren an- gewandt. Doch kam es nur selten vor, dafs die beiden Resultate wesentlich voneinander abwichen. Bei diesen Untersuchungen ergab sich eine noch weit grölsere 'Mannisfaltigkeit in der Verteilung der Regenerationssprosse auf dem Stengel, als man nach den Leitgebschen Angaben hätte vermuten sollen. Man kann eine ganze Reihe von Typen unterscheiden: die Sprosse können aus- schliefslich in der Achsel der Unterblätter, oder in der der gewöhnlichen Blätter, oder auch an beiden Orten zugleich auftreten. Sie können nur in der Mehrzahl an einem derselben entstehen, andere dagegen beliebig über die Unterseite des Stengels zerstreut. Es gibt Formen, die keine Unter- blätter besitzen, bei denen aber trotzdem die Sprosse mit Vorliebe an den 244 Wilhelm Kreh, [32] Orten auftreten, wo bei anderen Formen die Unterblätter sich befinden, solche, bei denen die Sprosse stets am basiskopen Rande der Blätter und endlich solche, wo sie ohne eine Regel erkennen zu lassen, über die Unter- seite zerstreut entstehen. Selbstverständlich ist diese Einteilung künstlich; fast alle diese Typen sind durch Übergänge verbunden. Zu der ersten Gruppe, bei der die Sprosse streng in der Achsel der Unterblätter auftreten, gehören folgende Formen: Bazzania trilobata, deflexa, Kantia trichomanıs und Lophozia Hornschuchiana. Von ihnen eignet sich Bazzania trilobata nicht für diese Versuche, weil bei ihr die Sproßanlagen häufig zu Flagellen ausgewachsen sind. Die anderen Formen dieses Tupus lieferten folgendes Ergebnis: Panikder | zanı der Unter- | Zahl der Sprosse in der Achsel des Speeies Sprofßsstücke| Dlätter am 1.2 0 110 TTS TV yA Sprolsstück Unterblattes - - — = = — Bazzania defleza. . .- - 29 4 28 25 | 23 | 2 | = Kantia trichomamis . . . 45 d 87 5 | 553 | 60 73 Lophozia Hornschuchiana . 15 4 16 zul all 20 — | | Die Zusammenstellung der grölsten Sprosse ergab folgendes Resultat: Zahl der Zahl der Unter- | zanı der Fälle, in denen sich der gröfste Spro[s am Species Sproßstücke| ätter am 136 I en Sprolsstück Unterblatt befand Baezania deflxa. » . - 29 4 21 7 | 1 (0) | rm Kantia trichomamis . . . 45 5 ent 87 Während sich also bei Bazzania deflexa die Polarität in der Zahl der Sprosse überhaupt nicht, dagegen in ihrer Gröfse sehr scharf ausdrückt, zeigt Kantia trichomanis in beiden Zusammenstellungen dasselbe Bild, eine schwache Bevorzugung des Scheitels gegenüber der Basis. Bei beiden ist auffallend, dafs die Zahl der Sprosse gegen die Mitte hin abnimmt, dagegen nach der Basis zu wieder eine bedeutende Steigerung erfährt. Es dürfte schwierig sein, die Gründe, die diese eigenartige Erscheinung bedingen, zu bestimmen; man könnte vielleicht an eine Wirkung des Wundreizes - [33] Über die Regeneration der Lebermoose. 245 denken. Die Bildung der Sprosse wäre in diesem Falle durch zwei von- einander unabhängige Kräfte veranlafst, deren Wirkung sich am Scheitel deckt, während an der Basis nur eine zur Geltung kommt. Auf die eigen- artigen Verhältnisse bei Lophozia Hornschuchiana, bei der die Zahl der Sprosse am zweiten Unterblatt gröfßser ist als am ersten, werde ich später noch zurückkommen. Zu der zweiten Gruppe, bei der die Sprosse gewöhnlich in der Achsel der Unterblätter, daneben aber auch an beliebigen anderen Stellen auftreten, gehört Chrloscyphus polyanthus, Lophocolea bidentata, heterophylla, Lophozia Mülleri.. Bei der folgenden Zusammenstellung bedeuten die ein- geklammerten Zahlen die nicht in der Achsel der Unterblätter entstandenen Sprosse. Da dieselben die Übersichtlichkeit des Ergebnisses stören, wurde in einer zweiten Zahlenreihe je die Hälfte der beliebig entstandenen Sprosse zu den Sprossen des apikalwärts bezw. basalwärts befindlichen Unterblattes hinzugezählt. Zahl der Unter- Zahl der Sprosse in der Achsel des Species 8 ee blätter am Ta IE Ta na Eve S Sprolsstiick Unterblattes Chiloseyphus polyanthus 35 5 (6) 35 | @) 10| (6) 3 ,@) 10 (4) 13 (0) 42 13,5 6,5 13 | 19 Lophocolea bidentata . 20 5 (0) 63 (3) 31 (2) 20 (1) 22 (6) 40 (0) 64,5 | 33,5 | 21,5 25,5 | 43 Lophocolea heterophylla 11 5 (1) 30| @)8 | Ad)8 | (W5 | (1) 6 (1) 320 915 9 7,5 Lophozia Millleri . . 43 4 (0) 95 | (5) 82 | (5) SO (3) 84 (1) Er) | 87 34 865 | Bei den beiden letzteren Formen zeigt sich die Polarität auch in .der Grölse der Sprosse: Zahl der Unter- | Zahl der Fälle, in denen sich der gröfste Sprofs am Species s en blätter am joe ee p Sprolsstück Unterblatt befand Lophocolea heterophylla . 11 5 Br W (0) 2 Lophozia Milleri . - - 43 4 23 | 10239 | 10 | | | 32 Noya Acta XC. Nr.4. 246 Wilhelm Kreh, [34] Bei Chiloseyphus polyanthus fiel auf, dafs Stengelstücke, die auf der morphologischen Unterseite lagen, die Sprosse in überwiegender Zahl nicht in der Achsel des Unterblattes, sondern auf dem Stengel zwischen zwei gewöhnlichen Blättern entstehen liefsen; dieselben wuchsen dann durch die Lücke nach oben. Es scheint also, als ob hier das Licht einen gewissen Einfluls auf die Anlage der Sprosse besitze. Bei den andern Formen dieser Gruppe war davon allerdings nichts zu gewahren. Bei der dritten Gruppe entstehen die Regenerationssprosse, obwohl diese Formen keine Unterblätter besitzen, doch mit Vorliebe an dem Ort, wo sie sich bei anderen Formen befinden; mit andern Worten: auf jeden Segmentumlauf kommt eine Stelle, wo besonders häufig Regenerationssprosse auftreten. Da dieser Ort aber natürlich nicht fest umschrieben ist, so ist es schwierig, genau zu scheiden, zwischen den an diesem Orte und den ganz beliebig entstandenen Sprossen. Daher wurden beide Arten bei der folgenden Zusammenstellung zusammengenommen. Es gehören zu dieser Gruppe Marsupella emarginata, Cephalozia bicuspidata, conmivens, Lophozia attenuata und Scapania nemorosa. Den Übergang zu der zweiten Gruppe bildet Lophozia attenuata, bei der sich, wenn auch selten, noch Unterblätter finden. Zahl der Sprosse im Species zahlider, ‚| Zahl der/Blätter |" 75. In, % | ITEM ne Sprolsstücke] am Sprolsstück R Segmentumlauf Marsupella emarginata. . 36 10 34 | 26 | 28 36 39 Cephalozia bicuspidata . . 53 8 69 42 43 | 49 Cephalozia conmiwens . . 15 8 26 | 14 13 20 Lophozia attenuata . . . 26 8 43 22218 25 Scapania memorosa . . . 20 10 46 | | 5 ıl 22 | | Die Summierung der grölsten Regenerationssprosse ergab folgendes Resultat. [35] Über die Regeneration der Lebermoose. 247 Be rn ne ea ee Zahl der Fälle, in denen sich die grölsten Sao Zahl der |Zahl der Blätter EORRRGBEN DIEB IM Sprolsstücke| am Sprolsstück Te OT ET IV. V. Segmentumlauf befanden Marsupella emarginata. . 281) 10 8 4 1 1 16 Cephalozia bicuspidata . . 53 8 31 31 11 al Cephalozia connivens . . 15 8 7 2; 4 | Lophozia attenuata . . . 26 8 Ü 8 3 Ü. Scapania nemorosa . . . 20 | 10 17 | 6 2 0 6 Diese Anordnung der Sprosse findet sich am ausgeprägtesten bei Marsupella emarginata; bei ihr treten nur selten Sprosse beliebig auf. Bei Scapania nemorosa dagegen zeigen sie eine starke Neigung, in die Achsel der gewöhnlichen Blätter hinüber zu wandern. Alle diese Formen lassen sowohl in der Zahl als auch in der Gröfse der Regenerationssprosse deutlich den Einflufs der Polarität erkennen. Eine Ausnahme macht Marsupella emarginata. Sie steht mit ihrer Bevorzugung der Basis ganz isoliert da unter sämtlichen untersuchten Jungermanniaceen. Dies mag vielleicht damit zusammenhängen, dals bei der sehr langsam wachsenden Form die Basis gewöhnlich bedeutend älter und stärker ist als der Scheitel. Von besonderem Interesse ist Aplozia autummalis. Hier finden sich Stengelstücke, bei denen die Sprosse ausschlielslich in der Achsel der sehr kleinen, rudimentären Unterblätter auftreten neben solchen, bei denen sie nur in der Achsel der gewöhnlichen Blätter entstehen. Häufig aber sind an demselben Stengelstücke beide Arten von Sprossen bunt gemischt (Taf. II, Abb. 2, 3). Bei der folgenden Zusammenstellung wurden in der ersten Zahlenreihe die an den Unterblättern entstandenen Sprosse ein- geklammert, in der zweiten Reihe sämtliche in einem Segmentumlaufe be- findliche Sprosse zusammengezählt. Zahl der Sprosse am TE [2 0>) 2 IE BTL LH) Driver Vo ICE) DVS VaES v2) AV: Blatt (Unterblatt) Zahl der Zahl der Blätter Sprolsstücke | am Sprolsstück 8 30 | 25 lan] 25 | ıs |am) ST Icio)! 6 a1 en) 13 | 61 | 41 23 45 1) Die Zahl der nach dem zweiten Verfahren untersuchten Sprosse ist zuweilen geringer als beim ersten, weil anfänglich nur das erste Verfahren angewandt wurde. 32* 248 Wilhelm Kreh, [36] Eine noch stärkere Bevorzugung des Scheitels zeigt die Summierung der grölsten Sprosse. Zahl der Zahl der Blätter Zahl der Fälle, in denen sich der grölste Sprofs im Sprofsstücke | am Sprofsstück 1 | = 2 | IE y3 Segmentumlauf befand 30 8 26° | [east no en Bei der folgenden Gruppe entsteht die Mehrzahl der Regenerations- sprosse in der Achsel der gewöhnlichen Blätter, und zwar stets in der Nähe des acroskopen Randes, sehr viele aber auch beliebig über den Stengel verstreut. Hierher gehören Formen, die entweder überhaupt keine Unter- blätter besitzen, wie Sphenolobus exsectus, oder solche, bei denen man sie nur gelegentlich noch in den Blütenständen findet, wie Lophozia alpestris und quinguedentata. Während bei Lophozia quinquedentata und Sphenolobus exsectus die Sprosse, die nicht in der Achsel des Blattes entstehen, gewöhn- lich in gleicher Höhe auf der andern Seite des Stengels erscheinen, sind sie bei Lophozia alpestris beliebig zerstreut; sie wurden durch die eingeklammerten Zahlen ausgedrückt. Um die Verteilung der Sprosse noch klarer hervor- treten zu lassen, wurde bei dieser Form die Hälfte der beliebig entstandenen Sprosse zu denen des apikal- bezw. basalwärts befindlichen Blattes hinzu- gezählt. Aufserdem wurden aus demselben Grunde bei allen Formen die Sprosse von je zwei Blättern zusammengenommen. Zahl der Er: Zahl der Sprosse am Species 4585| Blätter am | | IL | IM. | W. | v. | VL |VIL| VIE. S ” ® | Sproßsstück Blatt | | | | | Lophozia quinquedentata 12 8 30) | 5 1 10,0 DI EOEEN Be 2 1 0 8 6 164? 8 Er oe | 1 1 Sphenolobus exsectus. . 20 8 29 726 16 170 701062 E00 523 55 33 13 Ta Ss Lophozia alpestris . . 14 8 (0) 11 | (5)5 | 3 | (3 W3 |) 3.(0) 3| (4) 4 13,5| 85 | 45 4 4 |35|5 7 22 8.5 1,8 12 [37] Über die Regeneration der Lebermoose. 249 Ein ähnliches Ergebnis liefert die Summierung der gröfsten Sprosse. oh © a Zahl der Fälle, in denen sich der grölste Sprol[s am Species SEE A II. | II. | IV. | V. | VI. | vaL| vom. SER Blatt befand. Lophozia quinquedentata 12 8 | 9 (0) 0 0 (0) 0 0 13 0 0 0 3 6 8 al 0|0 0|0 9 0 (0) Sphenolobus exsectus . 20 8 120 Bl 5 1 028: 1 23 10 1 2 Lophozia alpestris . . 14 8 8 5 il 1 1 1 3 2 13 2 2 5 Auffallend ist die strenge Polarität, die sich in den Zahlen von Lophozia quinquedentata ausdrückt; sie steht an der Spitze von sämtlichen untersuchten Jungermanniaceen. Stets in der Achsel der Blätter, gewöhnlich am acroskopen Rande entstanden die Regenerationssprosse bei Diplophyllum albicans, Plagiochila asplenioides und Alicularia minor. Von diesen Formen besitzt nur die letztere noch rudimentäre Unterblätter. Auch hier wurden in einer zweiten Zahlenreihe die Sprosse von je zwei Blättern zusammengezählt. © Eu % Zahl der Sprosse am Species = Se a Kr . | II. [II |IV.| V. | VI.) VI2 |VIIX.|x. Na Blatt Diplyphyllum albicans . 16 8 5 oe 2. 2 | 17 2 2 al Plagiochila asplenioides 18 10 97 5t3gsa 73272223223 2025 22 6 5 5 7 38 8 24|40,15| 3 | 2] 3| 19 [92 64 tese 5 | Alicularia minor . . 12 8 aaa le) | 97 4 5 Ta Bei Plagiochila asplentoides zeigt sich die Polarität auch in der Gröfse der Sprosse sehr deutlich. 250 Wilhelm Kreh, [38] Zahl der Fälle, in denen sich der grölste Spro[s am ne IU.-|- I. Vo] VL |-VILH VII ERS Blatt befand. Zahl der '| Zahl der Blätter Sprofsstücke | am Sprolsstück | g lo 1 le 2 3 | 6 > 2 2 0.%1 -0.42r0.|) rn | 18 10 ie (ode 14 8 esse Es fällt bei Plagiochila asplenioides und Alicularıa minor, wie früher schon bei Lophozia Hornschuchiana, auf, dafs das zweite Blatt gegenüber dem ersten in der Zahl der Sprosse bevorzugt ist, ebenso, wenn auch in geringerem Grade, das zweitletzte gegenüber dem letzten. Dies dürfte daher rühren, dafs die von den Schnittflächen aus um sich greifende Zersetzung des Stengelstückes oft bis zu dem. ersten bezw. letzten Blatt vordringt und so das Entstehen eines Regenerationssprosses verhindert. Da die Sprols- anlagen sich gewöhnlich am acroskopen Rande der Blätter befinden, so ist die des letzten Blattes weiter von der Schnittfläche entfernt, als die des ersten; es kommt daher auch seltener vor, dafs sie zu Grunde geht. Gewöhn- lich entsteht in der Achsel jedes Blattes nur ein Sprofs, seltener zwei. Nie fand sich dies letztere bei Diplophyllum albicans. Bei dieser Form fällt ferner auf, dafs auch am ganzen Stengelstücke gewöhnlich nur ein, höchstens zwei Regenerationssprosse auftreten. Nur in einem einzigen Falle war der Sprofs nicht in der Blattachsel, sondern auf der Ventralseite entstanden. Ganz unregelmäfsig zerstreut über die morphologische Unterseite treten die Regenerationssprosse bei Lophozia barbata, incisa und ventricosa auf. Nur selten findet man einen Sprofs in der Achsel der gewöhnlichen Blätter, bei Lophozia barbata, bei der zuweilen noch Unterblätter vorkommen, hie und da auch in der Achsel derselben; diese vereinzelten Fälle kommen aber gegenüber der Menge beliebig auftretender Sprosse nicht in Betracht. Zahl d ; Zahl der |Zahl der Blätter ab de polen Species Bprofssticke| am Sprofshick apikalen | mittleren | basalen 2 e Drittel Lophozia barbata . . - 30 8 95 52 24 Lophogzia incisa . . » -» 28 8 85 52 57 Lophozia ventricosa.. . - 62 8 195 61 76 [39] Uber die Regeneration der Lebermoose. 251 Ein ähnliches Ergebnis liefert die Summierung der gröfsten Sprosse. Zahl der Fälle, in denen sich der grölste Species Zahl der |Zahl der Blätter Ss im | Sprolsstücke| am Sprofsstück | apikalen | mittleren | basalen Drittel befand Lophozia barbata . . . 20 8 19 | 12 1 Lophozia incisa . . . . 28 8 22 | 12 9 Lophozia ventricosa.. . . 45 8 47 5 6 Auffallend ist hier die geringe Bevorzugung des basalen Drittels ‘ gegenüber dem mittleren. Bei Lophozia barbata ist sogar das Verhältnis, das sich bei den übrigen Formen findet, geradezu umgekehrt, insofern weit mehr Sprosse im mittleren als im basalen Drittel gebildet wurden. Daher wurde bei dieser Form noch eine genauere Untersuchung angestellt, bei der das Stengelstück in sieben Stücke geteilt und nun die jedem Stücke zu- kommenden Sprosse gezählt wurden. i. Zahl der Sprosse im Zahl der Zahl der Blätter Sprofsstücke | am Sproßsstück TA STE u TE Ve Va VIESS EV. ! Teilstücke 20 8 33 | A) | 16 | 21 | 1a | 7 | 5 Den Grund für dieses auffällige Verbalten zu finden, dürfte schwierig sein. Man könnte versucht sein, anzunehmen, dafs die Basis dieser Stengel- stücke nieht mehr frisch war; doch zeigte die Untersuchung, dafs dies noch durehgehends der Fall war. Eine besondere Stellung nehmen die Jubulaceen und Stephaniaceen ein. von denen Frullania und Lejeunea, sowie Radula untersucht wurden. Bei ihnen erschienen die Sprosse am basiskopen Rande der Blätter. Aus- nahmen fanden sich nur bei Frullama dilatata, bei der öfters auch Sprosse in der Achsel der Unterblätter auftraten. Bei der normalen Verzweigung entstehen die Sprosse, wie Leitgeb_ festgestellt hat, (1874, II, S. 26), an demselben Orte. Radula und Frullania eignen sich für eine zahlenmäßsige Bestimmung der Sprofsverteilung nicht, weil sie so reich verzweigt sind, 252 Wilhelm Kreh, [40] dafs es schwierig ist, längere, astfreie Stengelstücke zu erhalten. So wurde daraufhin nur Lejeunea serpyllifolka untersucht. Zahl der Sprosse am 17... 2IM.. 2. 12V22 8 je vo [SV Va Ve Blatt Zahl der |Zahl der Blätter Sprofsstücke | am Sprofsstück 20 8 19 | 19 | el A 16 15 | Diese Form besitzt schon von Leitgeb aufgefundene „Astknospen“, die, wie die normalen Seitenäste in der Scheitelknospe ausgebildet werden, aber bald im Wachstum stehen bleiben. Beraubt man das Stämmehen seines Vegetationspunktes, so entwickeln sie sich rasch weiter. Zu den obigen Versuchen wurden natürlich nur Stengelstücke ohne solche Ast- knospen verwandt. Aus allen angeführten Zahlen geht klar hervor, dals der Scheitel in der Zahl und Gröfse der Regenerationssprosse deutlich gegenüber der Basis bevorzugt ist. Da ein Einfluls von äufseren Faktoren ausgeschlossen war, kann diese Erscheinung nur durch die polare Struktur dieser Organe bedingt sein. Bei der Mehrzahl der Formen zeigt sich die Polarität allerdings nicht so stark wie bei den höheren Pflanzen. Auffallend ist die grolse Mannigfaltigkeit im Grade der Bevorzugung des Scheitels: Lophozia quwinquedentata und Diplophyllum albicans, bei denen fast nur am Scheitel Sprosse entstehen, sind mit Bazzania deflexa, bei der die Polarität sich nur in der Gröfse der Sprosse äufsert, durch alle Übergänge verbunden. Man darf jedoch nicht annehmen, dafs der Grad der Polarität der einzelnen Arten sich ganz genau mit den obigen Zahlen deckt. Das ist deswegen nicht der Fall, weil man nicht stets ganz gleichwertiges, gleichmäßig junges und gesundes Material von den einzelnen Species verwenden konnte; auch befand sich nicht jede Kultur unter genau denselben äufseren Bedingungen. Die Untersuchungen haben aber gezeigt, dafs das Resultat wesentlich von dem Zustand des Materials abhängig ist. Als Beleg seien einige Zahlen angeführt: von Lophozia quwinquedentata wurden Versuche mit dreierlei Material angestellt (I, IL, III.). [41] Über die Regeneration der Lebermoose. 253 I. Die Sprosse hatten sich erst in der Kultur unter günstigen Lebens- bedingungen entwickelt; sie waren also sehr jung und ganz gleichmälsig ausgebildet. II. Die Sprosse waren zwar älter, aber noch vollkommen gesund. III. Das Material, das im Frühjahr gesammelt worden war, hatte eben das Wachstum wieder aufgenommen. Die Stengelstücke waren also an der Basis älter und dicker als am Scheitel. Das Ergebnis war folgendes: Zahl d Zahl der |Zahl der Blätter ablder\Sprosse Jam Sheolsaiieke, || Sprofssttiek RR TTE II. IV. V. VI. VII | vIm. Blatt 1510 8 30 5 1 1 1 0 0 0) 35 2 1 (0) 8 8 1@ | &® 1 0 0 1 24 1 | 1 II. 20 8 34 | 24 27 17 22 13 24 11 58 44 35 35 II. 20 8 2 10 9 15 17 24 22 42 19 32 46 Die Summierung der gröfsten Sprosse ergab folgendes Resultat: a Zahl der Sprosse am Zahl der |Zahl der Blätter Sprofsstücke | am Sproßsstück I. Isa Eve EV? VIE SV ESV/TITE Blatt 1212 8 11 2 0 0 0 0 0 0 13 0 0 0 8 6 8 1 Our © 0 0 9 0 0 I. 20 8 8 7 | 8 3 1 1 1 15 12 4 2 II. 20 8 | dj. .® 4 2 8 5 7 0 6 13 Während I. scharf ausgeprägte Polarität zeigt, ist die Zahl der Sprosse bei II. am Scheitel nicht viel gröfser als an der Basis und bei II. ist das Verhältnis sogar umgekehrt; diese letztere Erscheinung stimmt mit den Beobachtungen bei Marsupella emarginata überein. Nova Acta XC. Nr. &. 33 254 Wilhelm Kreh, [42] Wie sehr die Entwieklung der Sprosse beeinflufst wird durch die während der Regeneration herrschenden äufseren Bedingungen mag folgendes Beispiel zeigen. Von durchaus gleichwertigem Material wurden bei Plagio- chila asplenioides zwei Kulturen angelegt; die eine derselben gedieh normal (I.), die andere wurde von Pilzen befallen, trotzdem regenerierten sich die Sprofsstücke (11.). Zahl der Sprosse am an 2 er ı a aan ı Casa Ban ı 2 Haas 5" Fan ak Zoo a ca BA üben 0 'e ‚Blatt | iu 8 VA se er | or | 7 | 1a 31 | 4 3 | 18 ID 8 8 a 6 g een, |, 18 15 20 | 12 Ganz ähnlich verhielt sich das Ergebnis der Summierung der gröfsten Sprosse. za Zahl der a = a. ne Ee der Sn gl Sprolsstücke Blätter : a £ IV) NE Va. | VI. Blatt befand Aus dem Angeführten dürfte hervorgehen, dafs man bei der Auswahl des zur Regeneration zu verwendenden Materiales sehr vorsichtig sein muls und dafs man nur aus solchen Kulturen Schlüsse ziehen darf, bei denen sich die Regeneration ohne störende äufsere Einflüsse vollzogen hat. Um einen etwaigen Einflus der Lage der Stengelstücke auf die Regeneration festzustellen, wurde nahezu bei allen Versuchen die Hälfte der Stengelstücke auf der morphologischen Unterseite, die andere auf der Ober- seite liegend kultiviert. Es zeigte sich aber durchaus kein Unterschied weder in der Zahl, noch in dem Orte der Regenerationssprosse Nur bei Chiloseyphus polyanthus konnte, wie schon oben angeführt, ein geringer Einflufs der Lage festgestellt werden. [43] Über die Regeneration der Lebermoose. 255 Während sich in der Bildung der Sprosse die Polarität so deutlich zeigt, ist dies bei der Rhizoiden durchaus nicht der Fall. Vielmehr ent- standen dieselben bei den verschiedenen Arten an den normalen Orten, also bald auf der ganzen Unterseite des Stämmchens, bald nur an wenigen, be- stimmten Stellen. Die Frage, ob die Stengelstücke sich auch dann regenerieren, wenn die unter der Epidermis liegende Zellschicht entfernt ist, wurde an Plagiochila asplenioides entschieden. An kräftigen Stämmchen dieser Art wurden die äulseren Zellschichten samt den Blattansatzstellen abgeschabt. Von dem übrig bleibenden Kerne starben während der Regeneration die zwei oder drei äufsersten Schichten ab, die innersten blieben aber lebendig und bildeten, allerdings erst nach geraumer Zeit, Regenerationssprosse, die das sie um- hüllende tote Gewebe durchbrachen und so an die Oberfläche gelangten. Aufserdem wurde an Stengelstücken von Lophocolea heterphylla und Cephalozia bieuspidata, die in Zersetzung begriffen waren, sehr oft beobachtet, dafs Zellen aller Schichten lebendig blieben und sich weiter entwickelten. b) Blatt. Die Regeneration des Blattes wurde bis jetzt erst von Schostakowitsch näher untersucht. Seine Angaben, dals die Sprosse ganz unregelmälsig über die Blattfläche zerstreut erscheinen, sucht sich Goebel (1898, S. 40) dadurch zu erklären, daß er annimmt, dafs „in den nur aus einer Zellschicht be- stehenden Blättern beim Abschneiden Baustoffe, die der Sproflsachse zufliefsend, beim abgeschnittenen Blatt dann an der Basis sich anhäufen, in so geringer Menge vorhanden sind, dals sie zur Bildung von Adventivsprossen nicht ausreichen“. Da jedoch Schostakowitsch diese Tatsache erst an ganz wenigen Arten gefunden hatte, so ergab sich von selbst die Notwendigkeit, über diesen Punkt mehr Tatsachenmaterial zu sammeln; deshalb wurde eine grölsere Anzahl von Formen auf den Ort der Entstehung der Regenerations- sprosse untersucht. Es zeigte sich, dafs nur ungefähr bei der Hälfte der Formen die Sprosse tatsächlich ganz regellos entstehen, dafs sich bei der andern dagegen eine Regel erkennen läfst. Vor allem fand sich eine grolse Anzahl von Formen, deren Blätter sich mehr oder weniger deutlich an der 33” 256 Wilhelm Kreh, [44] Basis regenerieren. Bei zwei Arten, Diplophyllum albicans und Cephalozia bieuspidata, werden die Regenerationssprosse stets streng an der Basis ge- bildet (Taf. II, Abb. 4, 5). Die Blätter dieser Formen sind, was morpho- logische und anatomische Beschaffenheit anlangt, aufserordentlich verschieden. Während das Blatt des Diplophyllum albicans sehr grofs ist, und sich aus Ober- und Unterlappen zusammensetzt, während seine Zellen ringsherum sehr stark verdickt sind, ist das der Oephalozia bicuspidata sehr klein, seine Zellen sind aufserordentlich zart und haben nur geringe Wanddicke. Mit dieser letzteren Tatsache in Zusammenhang dürfte stehen, dafs die Blätter von ÜCephalozia bieuspidata sehr leicht und rasch, die von Diplophylium albicans dagegen nur sehr spärlich und aufserordentlich langsam regenerieren. Nur in einer verhältnismäfsig geringen Zahl von Fällen, gelang es bei dieser Form Regenerationssprosse zu erhalten; stets befanden sich dieselben unmittelbar an der basalen Schnittfläche. Noch seltener regenerierten Blätter, an denen senkrecht zur Achse Einschnitte gemacht worden waren; stets aber entstanden auch in diesem Fall die Sprosse an der Basis der “beiden Stücke. Bei Cephalozia bicuspidata starb oft eine Reihe der an der Schittfläche gelegenen Zellen ab. In diesem Falle erzeugten die der Basis am nächsten liegenden lebendig gebliebenen Zellen die Sprosse. — Die aulserordentliche Verschiedenheit der Blätter auf der einen Seite, die gleichartige Regeneration auf der andern Seite, scheint mir ein wertvoller Beweis dafür zu sein, dafs die polare Regeneration auf den Eigenschaften des Protoplasmas, auf der Struktur desselben beruht und dafs nicht etwa die Menge der gebildeten Assimilate ausschlaggebend ist, wie Goebel meint. Man könnte sonst nicht verstehen, warum ein so kleines Blatt, wie das von Cephalozia bicuspidata, polar, viel gröfsere Blätter, zum Beispiel das mindestens 30 mal gröfsere von Plagiochila asplenioides, dagegen nicht polar regenerieren. Nicht ganz so ausgeprägt, wie bei diesen beiden Formen, zeigt sich die Polarität bei der Regeneration der Blätter von Scapania nemorosa ; namentlich bei älteren Blättern steigen die Regenerationssprosse oft bis über die Mitte des Blattes hinauf. Bei ganz jungen Blättern dagegen entstehen sie ausschliefslich an der Basis (Taf. II, Abb. 6). Klar zeigt sich die polare Struktur des Blattes auch an Schnitten, die man senkrecht zu seiner Längs- [45] Über die Regeneration der Lebermoose. 257 achse führt. Stets treten dann die Sprossen an den basalen Rändern der beiden Stücke auf (Taf. II, Abb. 7). Da das Blatt gegen mechanische Ver- letzung recht wenig empfindlich ist, gelingt es sogar, Blätter zur Regeneration zu bringen, die man durch zwei Schnitte verletzt hat (Taf. II, Abb. 8). An den Flächen der Schnitte, die man zur Kontrolle parallel zur Längsachse des Blattes führt, entstehen, wie zu erwarten ist, keine Sprosse. Auch bei der Regeneration der Blätter von Lophozia ventricosa und incisa zeigt sich eine Bevorzugung der Basis in der Regeneration. Man findet bei diesen Formen Blätter, die nur an der Basis Sprosse gebildet haben, durch alle Übergänge verbunden mit solchen, bei denen die Sprosse das ganze Blatt bedecken. Um ein ungefähres Zahlenverhältnis feststellen zu können, wurden sie eingeteilt in Blätter, die nur im basalen Drittel, solche, die auch im mittleren Drittel, und solche, die auf dem ganzen Blatt Sprosse trugen. Das Ergebnis war folgendes: Zahl der Sprosse < . Zahl d Species 2 Br = nur im | auch im | anf dem Blätter 5 2 | 1. Drittel 2. Drittel | ganzen Blatt Lophozia wentricosa . . . .- 49 23 10 | 11 TLophozia meisu -» ». 2... 48 10 19 | 19 Auch in der Grölse der Sprosse zeigte sich in den meisten Fällen eine Bevorzugung der Basis. Ein ähnliches Ergebnis lieferte Aplozia autummalis. Hier hatten von 58 untersuchten Blättern 23 nur an der Schnittfläche Sprosse gebildet, die Zahl der Sprosse an der Schnittfläche war gröfser, als die Zahl der über die Fläche des Blattes zerstreuten Sprosse, bei 14; sie war gleich bei sechs, kleiner bei 13. Überhaupt keinen Sprofs an der Basis hatten zwei Blätter erzeugt. Im ganzen wurden von diesen 58 Blättern 256 Sprosse an der Schnittfläche und 137 über die Blattfläche zerstreut gebildet. Da diese Form sehr empfindlich ist, so regenerieren gewöhnlich nicht mehr beide Teile, wenn man das abgetrennte Blatt durch einen Schnitt senkrecht zur Längsachse verletzt. Daher wurden an Blättern, die an der Basis regeneriert hatten, die Regenerationssprosse samt dem Blattstreifen, auf dem sie salsen, 258 Wilhelm Kreh, [46] weggeschnitten. Aus der Tatsache, dafs die neuen Sprosse wieder an der Scehnittfläche auftraten, dürfte hervorgehen, dafs die Entstehung der Sprosse an der Basis in der Struktur des Blattes begründet ist und sich nicht etwa aus dem Besitz von besondern Zellen an der Basis erklärt, wie sie z. B. Correns (1899, S. 409) für ein Laubmoos nachwies, bei dem stets nur die untersten Zellenreihen des Blattes zu Protonema auswuchsen, der Rest des Blattes dagegen zugrunde ging, wenn diese Zellenreihen entfernt wurden. Bei der Regeneration der Blätter von Bazzania trilobata fiel auf, dals die Regenerationssprosse sehr oft nicht das ganze Blatt bedeckten, sondern bald nur an der Basis, bald nur in der Mitte, bald nur am Scheitel auf- traten. Eine Zusammenstellung einer grölseren Zahl von Blättern ergab folgendes Resultat: Von 83 Blättern bildeten 24 die Regenerationssprosse nur im basalen Drittel, 15 nur im mittleren, 12 nur im apikalen, 21 im mittleren und basalen, 6 im apikalen und basalen Drittel, endlich 5 auf dem genzen Blatt. Auch bei dieser Form zeigt sich also eine deutliche Bevorzugung der Basis. Aulser diesen mehr oder weniger polar regenerierenden Blättern gibt es solche, bei denen die Regenerationssprosse ebenfalls nicht regellos auf- treten, sondern auf einem ganz bestimmten Ort, den Blattrand, beschränkt sind. Hierher gehören die Blätter von Lophocolea bidentata, cuspidata, Radula complanata und Lejeunea serpyllifolia. Wie streng z. B. bei Lophocolea bidentata der Rand bevorzugt ist, zeigt die Untersuchung von 36 Blättern, die 287 Sprosse am Rande, 3 auf der Blattfläche und 7 an der basalen Schnittfläche bildeten. Nicht anders verhalten sich Lophocolea cuspidata und Radula complanata. Bei Lejeunea serpyliifolia findet man öfters auch auf der Fläche Sprosse; dies scheint damit zusammenzuhängen, dafs die kleinen und empfindlichen Blätter dieser Form beim Abtrennen leicht geschädigt werden, was sich an dem in der Kultur oft eintretenden Absterben von Zellen erkennen läfst. Schneidet man bei Lophocolea bidentata den Rand des Blattes weg, so entstehen die Sprosse nicht etwa an dem neugebildeten Rande, sondern beliebig über die Blattfläche zerstreut. Ganz ähnlich verhält sich Radula complanata, nur scheint bei ihr eine geringe Bevorzugung des neugebildeten Randes zu bestehen; im übrigen aber treten auch eine Menge Sprosse beliebig auf der Fläche auf. Aus dieser Tatsache [#7] Über die Regeneration der Lebermoose. 259 dürfte hervorgehen, dafs zwischen den polar und den am Rande des Blattes regenerierenden Formen ein wesentlicher Unterschied besteht in der Natur der die Anlage der Sprosse bedingenden Faktoren. Dies zeigt sich auch daran, dals es gelingt, die Randzellen von Lophocolea bidentata zum Aus- wachsen zu veranlassen, ohne das Blatt vom Stengel loszulösen, dadurch, dafs man das seines Vegetationspunktes beraubte .Stämmehen untergetaucht in Nährlösung kultiviert. Um diese Blätter zur Bildung von Sprossen auf der Fläche zu ver- anlassen, ist es natürlich nicht nötig, den ganzen Rand wegzuschneiden. Entfernt man nur einen Teil desselben, so tritt an dem stehen gebliebenen Reste desselben eine Menge von Sprossen auf, aulserdem aber auch, je nach der Grölse des weggeschnittenen Randstückes, eine grölsere oder kleinere Zahl auf der Fläche. Bei Lophocolea bidentata gelang es noch auf eine zweite, einfachere Weise, die Zellen der Fläche zur Entwicklung zu bringen. Legt man ihre gewöhnlich etwas gewölbten Blätter mit der konkaven Seite nach unten so auf das Substrat, dafs der Rand dieses gerade berührt, so wachsen die meisten Randzellen zu Rhizoiden, Zellen der Fläche dagegen zu Sprossen aus. Den Übergang von dieser Gruppe zu den übrigen Jungermanniaceen bilden Lophocolea heterophylia und Chrloscyphus polyanthus. Bei der ersteren entstehen die Sprosse hauptsächlich am Rande, aufserdem aber auch einige beliebig über die Blattfläche zerstreut, jedoch mit Bevorzugung der Rand- partien. Bei der letzteren werden weit weniger Sprosse am Rande gebildet; die auf der Fläche erschienenen bevorzugen aber auch hier die Randpartien, sowie die vordere Hälfte des Blattes. Bei allen übrigen untersuchten Formen entstehen die Sprosse ganz beliebig; sie lassen durchaus keine Regel in ihrem Auftreten erkennen. Es sind dies: Marsupella emarginata, Alicularıa minor, Aplozia lanceolata, Lophozia alpestris, barbata, intermedia, Mülleri, qwinquedentata, Sphenolobus exsectus, Plagiochila aspleniordes, Novellia curvifolia, Kantia trichomanıs, Ptihdrum .ciliare, Madotheca platyphylla, Frullania dilatata. In keinem einzigen Falle waren bei den Lebermoosen jene Bildungen zu finden, die Correns (1899) für die Laubmoose beschrieben und Nematogone bezw. Initialzellen genannt hat. Bekanntlich kommen diese auch bei den 260 Wilhelm Kreh, [48] Laubmoosen nur an Organen oder Organteilen mit stark verdickten, dagegen nicht an solehen mit zarten Zellwänden vor. Es ist daher zu begreifen, dafs sie bei den gewöhnlich sehr zarten Lebermoosblättern nicht ausgebildet wurden. Am meisten Ähnlichkeit mit diesen Bildungen haben die Rand- zellen der Lophocolea-Arten, die bei der Regeneration den anderen Zellen gegenüber stark bevorzugt sind. Allerdings lassen sie keine anatomischen Unterschiede erkennen; es gibt jedoch bekanntlich auch unter den Laub- moosen Formen, bei denen den Nematogonen jedes äulsere Merkmal der Differenzierung fehlt. Mit den bei dieser Gruppe bestehenden Verhältnissen läfst sich auch die Tatsache vergleichen, dafs es, wie schon erwähnt, bei Lophocolea bidentata gelang, die Randzellen der Blätter von des Vegetations- punktes beraubten Stämmchen durch Untertauchen in Nährlösung zur Ent- wicklung zu bringen, in derselben Weise, wie dies Correns (1899, S. 427) bei den Nematogonen der noch am Stämmchen sitzenden Blätter von Mnium stellare erreichte. Was die Verteilung der Sprosse auf die morphologische Ober- und Unterseite anbelangt, so läfst sich bei den allermeisten untersuchten Formen keine Bevorzugung einer der beiden Seiten erkennen; dagegen macht sich der Einflufs des Lichtes sowohl in der Gröfse, als in der Zahl der Sprosse bemerkbar. Fast immer ist die Zahl derselben auf der der Lichtquelle zu- gekehrten Seite grölser als auf der Substratseite. Das Verhältnis wechselt im einzelnen Fall, der Unterschied kann sofort ins Auge fallen oder sich erst aus Zählungen ergeben. Gewöhnlich zeigt sich der Unterschied zwischen belichteter und unbelichteter Seite auch in der Gröfse der Sprosse. Durch- gehends sind sie auf der ersteren grölser. Für viele Formen ist es charakte- ristisch, dafs die Sprosse auf der Substratseite bald das Wachstum einstellen und dafs ihre Zellen zum grölsten Teile zu Rhizoiden auswachsen. Dies fand sich namentlich bei Lophozia alpestris, incisa, Plagiochila asplenioides, Scapania nemorosa und Frullania dilatata (Taf. IL, Abb. 9). Manchmal, so bei Plagiochila asplenioides, kommt es vor, dafs in der Nähe des Randes gelegene Sprosse der Substratseite sich weiter entwickeln, während die auf der Mitte derselben entstandenen im Wachstum stehen bleiben. Eine merkwürdige Ausnahme von dieser Regel machen Kantıa trichomanis und Bazzania trilobata. Bei der ersteren zeigt sich einmal [49] Über die Regeneration der Lebermoose. 261 eine starke Bevorzugung der morphologischen Unterseite, andererseits eine schwache Bevorzugung der Substratseite, bei der letzteren dagegen eine schwächere Bevorzugung der morphologischen Unterseite, dagegen eine stärkere der Substratseite, wie aus den folgenden Zahlen hervorgeht. Auf der morpholog. Unterseite auf der morphol. Oberseite Sordeies liegende Blätter liegende Blätter Zahl der| Zahl der Sprosse auf |Zahl der| Zahl der Sprosse auf Blätter | Zenitseite |Substratseite | Blätter | Zenitseite | Substratseite I Kantia trichomanis . . 23 48 129 27 139 66 Bazzania trilobata . . 34 | 24 | 186 29 72 114 | | Zwischen den einzelnen, auf einem Blatt entstehenden Sprossen macht sich von Anfang an ein Unterschied in der Gröfse geltend, weil sich die Zellen des Blattes verschieden rasch teilen. In der Folgezeit bleibt oft eine Anzahl Sprosse im Wachstum stehen; durch Entfernung der weiter wachsenden Sprosse kann man sie jedoch leicht zur Weiterentwicklung ver- anlassen. ; Die durchschnittliche Zahl der Regenerationssprosse auf den Blättern ist bei den verschiedenen Formen ziemlich verschieden; sie schwankt bei Plagiochila asplenioides zwischen 25 und 45, bei Lophocolea bidentata und Aplozia autumnalis zwischen 5 und 15, bei Lophozia ventricosa zwischen 15 und 20, bei den meisten andern Formen zwischen 10 und 20. Gewöhnlich entstehen die Sprosse einzeln, bei einigen Formen (Lophozia incisa, qwinquedentata, ventricosa, Bazzania trilobata) zuweilen auch in Gruppen. In diesem Falle teilt sich eine ganze Anzahl neben- einander liegender Zellen, doch bildet jede derselben für sich einen Sprols, sofern sie nicht im Wachstum stehen bleibt. Bald wird für die sich ent- wiekelnden Sprosse der Raum zu klein, und so fängt dann die ganze Gruppe mit dem Blattstück, auf dem sie sitzt, an, sich vorzuwölben. Nie wurde beobachtet, dafs sich bei einer acrogynen ‚Jungermanniacee an der Bildung eines Sprosses mehr als eine Zelle beteiligt hätte. Gewöhnlich entsteht auch aus einer Zelle nur ein einziger Sprof[s; blofs bei Kantia trichomanis und Lophocolea bidentata gingen öfters aus einer Zelle zwei, bei letzterer sogar drei Sprosse hervor (Taf. II, Abb. 10, 11). Nova Acta XC. Nr.4. 34 262 Wilhelm Kreh, [50] Bei einem Teil der Blätter kann man beobachten, dafs Zellen direkt zu Rhizoiden auswachsen, so bei den Lophocolea-Arten, bei Chiloscyphus polyanthus, Radula complanata, Lejeunea serpyllifolia, Madotheca platyphylla, Ptilidium eiliare (Taf. II, Abb. 12). Öfters wandert dabei der gröfsere Teil des Zellinhalts in das Rhizoid, so dafs die Mutterzellen leicht an ihrer Durchsichtigkeit zu erkennen sind. Bei allen übrigen untersuchten Arten entstehen die Ithizoiden nicht direkt, sondern bald früher, bald später, aus den Zellen der Gewebehöcker, die als erste Stadien der Regenerationssprosse aus den Blattzellen hervorgehen (Taf. II, Abb. 9). Doch ist der Unterschied zwischen diesen beiden Gruppen kein streng durchgreifender: Bei Lophozia Mülleri entstehen die Rhizoiden gewöhnlich aus Zellen der jungen Sprofs- anlagen, hie und da aber auch direkt aus Zellen der Blattfläche. Bei Plagiochila asplemioides fand sich dies letztere nur in einem einzigen Falle. Den Übergang zwischen beiden Gruppen vermittelt auch Oephalozia bieuspi- data, bei der sich die Zellen in mehrere Tochterzellen teilen, aus deren einer der Spross hervorgeht, während eine andere zu einem Rhizoid aus- wachsen kann. Irgend welche Beziehungen zwischen der Anlage der Sprosse und der Rhizoiden waren nicht aufzufinden. Schostakowitsch glaubt, dafs die Sprosse auf Kosten der von den Rhizoiden aus dem Substrate gezogenen Nährstoffe um diese herum entstehen. Eine eingehende Untersuchung dieser Frage konnte nichts feststellen, was die Ansicht von Schostakowitsch gestützt hätte. Die Rhizoiden entstehen bei der ersten der obigen Gruppen gleich- zeitig mit den Sprossen, bei der letzteren aber natürlich erst nach denselben. Nur zuweilen bei Bazzanta trilobata und, in einem einzigen Fall, bei Lopho- colea heterophylla liefsen sich gewisse örtliche Beziehungen zwischen diesen Gebilden erkennen. Hier hatten dieselben Zellen, die nach der Zenithseite einen Sprofs gebildet hatten, auch nach der Ventralseite einen kleinen Zell- hügel erzeugt, dessen Elemente gröfstenteils zu Rhizoiden ausgewachsen waren. Freilich verlief hier die Entwicklung gerade umgekehrt, als sie nach Schostakowitsch hätte vor sich gehen sollen. Es wurde zuerst der Sprofs gebildet und erst, als dieser eine gewisse Gröfse erreicht hatte, entstand auch der ventrale Zellkörper. Die Entwicklung der Sprosse an den Blättern stimmt, wie zu erwarten [1] Über die Regeneration der Lebermoose. 263 ist, mit der am Perianth überein. Bei der folgenden Beschreibung derselben wurden daher auch die am Perianth gewonnenen Ergebnisse verwandt. Nach der Abtrennung des Blattes oder Perianths vergehen ungefähr 6—10 Tage, bis die erste Wand entsteht, die gewöhnlich senkrecht zur Längsrichtung der Zelle verläuft. Vor dem Auftreten derselben kann man es diesen Zellen nicht ansehen, dals sie im Begriff sind, einen Sprofs zu bilden. Dals aber in dieser Zeit Veränderungen im Protoplasma vor sich gehen, kann man bei manchen Formen leicht wahrnehmen, wenn man solche Blätter mit Chloral- hydrat behandelt. Während in den normalen Blattzellen unter der Einwirkung dieses Mittels eine homogene tiefgrüne Flüssigkeit entsteht, schwimmen in den Zellen, die im Begriffe sind, sich zu teilen, oder die sich bereits geteilt haben, blafsgrüne Tropfen in einem noch etwas helleren Medium. Dieses Bild ist bei vielen Formen charakteristisch für solche Zellen. Auf die erste Wand folgen in den beiden Tochterzellen zwei senkrecht zu ihr stehende Wände (Taf. II, Abb. 13). Während dieser Teilungen hat die Mutterzelle angefangen, sich vorzuwölben; zuweilen findet dies aber schon statt, noch ehe Wände auf- getreten sind (Taf. II, Abb. 14). Infolge der Volumvergröfserung springt bei manchen Formen die Cuticula der Zellwände in kleinen Blättchen ab. Nun treten in den vier Tochterzellen Wände parallel zur Blattfläche auf, wodurch zwei, aus je vier Zellen bestehende, Stockwerke entstehen. Be- sonders klar ist dies bei den Randzellen von Lophocolea bidentata zu sehen, die sich nieht nach oben oder unten, sondern nach auflsen vorwölben (Taf. II, Abb. 15). Von diesen acht Zellen bleibt das untere Stockwerk gewöhnlich im Wachstum stehen; in manchen Fällen teilt es sich noch weiter, doch beobachtete man nur selten, dafs mehr als S—10 Zellen gebildet wurden. Jedenfalls geht, mit Ausnahme der oben angeführten Fälle von Bazzania trilobata und Lophocolea heterophylla, daraus nie eine Neubildung hervor. Andererseits kommt es aber auch oft vor, dals die Wände parallel zur Blattfläche früher auftreten, schon nach der Bildung der ersten Wand, so dafs dann das untere Stockwerk nur aus zwei Zellen besteht. Aus dem oberen Stockwerk wird durch weitere Teilungen der Sprofs gebildet. Im einfachsten Fall entsteht die Scheitelzelle schon in einem der vier Quadranten dieses zweiten Stockwerks. Bei der Bildung derselben kann man drei Typen unterscheiden. 34° 264 Wilhelm Kreh, [52] Beim ersten Typus, der sich besonders schön bei Scapania nemorosa findet, wird die Scheitelzelle aus dem inneren Teil eines Quadranten erzeugt. Es tritt entweder zuerst eine perikline Wand auf, an die sich dann eine antikline ansetzt (Taf. Il, Abb. 16, 17, 18), oder es ist die Reihenfolge um- gekehrt (Taf. II, Abb. 19, 20, 21). Beim ersten Unterfalle wird die Scheitel- zelle durch die beiden Wände des Quadranten und die Perikline gebildet, im zweiten nimmt an ihrer Bildung aulserdem auch ein Stück der Antikline teil. Die ersten Segmentierungswände treten parallel zu den Wänden des (Juadranten auf. Die beiden anderen Typen haben die Entstehung der Scheitelzelle am Rand eines (Juadranten gemeinsam. Beim zweiten, der besonders schön bei Plagiochila asplenioides vorkommt, setzt sich an eine der @Quadranten- wände eine Antikline an (Taf. II, Abb. 22a), an diese und an die Quadranten- wand eine zweite Antikline, die parallel zur Blaitfläche verläuft und daher in der Zeiehnung nicht zu sehen ist. Durch diese drei Wände, die beiden Antiklinen und die Quadrantenwand wird die Scheitelzelle hergestellt. Parallel zu ihnen treten die Segmentierungswände auf (Taf. II, Abb. 23, 24). Beim dritten Typus wird die Scheitelzelle von drei Antiklinen ge- bildet; er ist besonders leicht bei ZLophocolea bidentata zu erkennen. Es setzt sich an die, wie beim zweiten Typus erzeugte, erste Antikline, eine zweite zu der anderen @Quadrantenwand mehr oder weniger parallele an (Taf. II, Abb. 11a), und an diese beiden, die parallel der Blattfläche ver- laufende dritte Antikline. Parallel zu diesen drei Antiklinen treten die Segmentierungswände auf (Taf. II, Abb. 10, 25). Bei den beiden letzten Typen wächst der Sprofs also zuerst parallel zur Blattfläche, er richtet sich aber im Weiterwachsen bald auf. Während der Bildung der Scheitelzelle haben sich gewöhnlich auch die andern Quadranten durch eine oder zwei Zellwände geteilt. Sehr oft werden nicht schon in dieser zweiten Zellschicht Segmente abgetrennt, sondern erst in einer dritten, die durch Wände parallel zur Blattfläche gebildet wird (Taf. II, Abb. 16, 19, 32). Es teilt sich jedoch in diesem Falle gewöhnlich nicht das ganze zweite Stockwerk, sondern nur noch der Quadrant oder die Hälfte der ursprünglichen Mutterzelle, in der die Scheitelzelle liegt, aufser- dem aber oft noch ein paar Zellen aus den andern Quadranten (Taf. II, [53] Über die Regeneration der Lebermoose. 265 Abb. 16); dadurch erhält der junge Sprofs oft ein recht unregelmäßiges Aussehen. So frühzeitig bilden folgende Formen die Scheitelzellen: Cephalozia bieuspidata (Taf. II, Abb. 26, 27, 28), Lophocolea bidentata (Taf. II, Abb. 10, 11), hetero- phylla, Lepidozia reptans, Kantia trichomamis. Sehr häufig vollzieht sich aber die Bildung der Scheitelzelle nicht so rasch (Taf. II, Abb. 29), vielmehr entsteht durch weitere Teilungen ein unregelmäfsiger Zellkörper, von welchem sich eine Randzelle in vier Quadranten teilt, in deren einem dann die Scheitel- zelle auftritt (Taf. II, Abb. 30, 31). Gewöhnlich entsteht bei derselben Form die Scheitelzelle verschieden rasch. Sehr unregelmäfsig können die Sprols- anlagen auch dadurch werden, dafs sich die an der Scheitelzellbildung nicht beteilisten Quadranten unregelmäßsig weiter teilen und gröfsere Zellkomplexe liefern, durch die oft die Scheitelzelle zur Seite gedrängt wird. Dieses Vorkommen fand sich besonders bei Lophozia barbata und quinquedentata. Bei der gleichen Species entsteht die Scheitelzelle durchaus nicht immer nach dem gleichen Typus, vielmehr gibt es eine ganze Anzahl von Arten, bei denen die Scheitelzellen nach zwei, oder gar nach drei Typen gebildet werden. Am verbreitetsten ist der Scapania-Typus. Er findet sich regelmäßig bei Lophozia barbata, quwingquedentata (Taf. II, Abb. 30), Mülleri, incisa ventricosa, attenuata, alpestris, Cephalozia bieuspidata (Taf. II, Abb. 26), Diplophyllum albicans (Taf. Il, Abb. 31), Bazzania trilobata (Taf. I, Abb. 19), Aplozia hyalina, sehr selten auch bei Lophocolea heterophylla und Kantia trichomanis. Dem Plagiochila-Typus folgen Chilosceyphus polyanthus, Lophocolea bidentata, heterophylla, Kantia trichomanis (Taf. II, Abb. 23, 24), selten Aplozia hyalina, Lophozıa alpestris, Mülleri und Scapania nemorosa. Der Lophocolew-Typus endlich findet sich bei Kantia trichomanis (Taf. II, Abb. 25), Chiloscyphus polyanthus, Aplozie hyalina, selten bei Lophozia bar- bata und guwingquedentata. Man sieht aus dieser Zusammenstellung, dafs die beiden letzten Typen entsprechend ihrer grofsen Ähnlichkeit sehr oft bei denselben Arten vorkommen. Bei den allermeisten Formen wachsen schon die ersten Segmente zu rudi- mentären, gewöhnlich fadenförmigen Blättern aus, bei andern aber, so in cha- rakteristischer Weise bei (ephalozia bicuspidata, findet dies erst recht spät statt. Es kommt zuweilen, wie schon oben erwähnt, vor, dafs aus einer Zelle zwei oder drei Sprosse hervorgehen. In diesem Falle bildet sich in 266 Wilhelm Kreh, [54] jedem @Quadranten eine Scheitelzelle für sich (Taf. II, Abb. 10, 11). Bei langgestreckten Zellen, wie man sie namentlich an Perianthen, aber auch an Blättern findet, teilt sich die Zelle nicht sofort in vier Quadranten, vielmehr treten zuerst 2—-4 parallele, auf der Längsachse der Zelle senkrecht stehende Wände auf; erst eine der Tochterzellen fängt nun an, sich normal weiter zu teilen (Taf. II, Abb. 26, Taf. III, Abb. 1). Typisch dafür ist Cephalozia bieuspidata,; die Mutterzelle teilt sich hier aufserdem häufig noch durch be- liebige, den parallelen angesetzte Wände in eine grölsere Anzahl von Zellen, von denen gewöhnlich nur eine zu einem Spro[s auswächst, während sich die andern zwar auch weiter teilen, schliefslich aber im Wachstum stehen bleiben und so um die weiter wachsende Zelle eine Art „Hülle“ bilden, wie sich Leitgeb ausdrückt, der bei dieser Form in alten Blättern Adventiv- sprosse entstehen sah (1874, II, S. 38). Manche dieser Gebilde wachsen auch zu Rhizoiden aus. Noch durch eine andere Erscheinung ist Cephalozia bieuspidata interessant. Bei ihr wachsen die Regenerationssprosse nicht nur nach oben und unten, sondern auch nach der Seite aus, also in das Lumen der be- nachbarten Zellen hinein; natürlich ist dies nur dann möglich, wenn dieselbe abgestorben ist. Dann ist aber diese merkwürdige Art von Sprofsbildung fast Regel. Der Sprofs entsteht ebenso leicht am apikalen Ende der Zelle, wenn dort ein Nachbarelement abgestorben ist, wie am basalen. Seine An- lage gibt sich kund durch eine beträchtliche Anhäufung von Chlorophyll- körnern in dem betreffenden Teile der Zelle (Taf. III, Abb. 2), dann treten Zellwände auf, die sich oft unter einem recht spitzen Winkel an die Wände der Mutterzelle ansetzen (Taf. III, Abb. 3, 4). An der Stelle, wo sich die meisten Chlorophylikörner angehäuft haben, fängt nun die Zelle an, eine kleine Vorwölbung zu bilden (Taf. III, Abb. 5, 4, 7), die sich im Weiterwachsen rasch verbreitert und allmählich das ganze Lumen der toten Zelle ausfüllt (Taf. III, Abb. 5). Schliefslich legt sich dieselbe sogar an die Wand an, die die Ausstülpung gebildet hat, und erweckt dadurch den Anschein, als habe sich hier die ganze Fläche vorgewölbt und sei die trennende Zellwand erst nachträglich entstanden (Taf. III, Abb. 5, 8). Schon sehr früh treten in dieser Vorwölbung Zellwände auf, durch die eine dreischneidige Scheitel- zelle gebildet wird, die den Sprofs erzeugt (Taf. III, Abb. 4, 5, 8). Wahr- [55] Über die Regeneration der Lebermoose. 267 scheinlich wird sehr bald die durch die Ausstülpung entstandene Öffnung der Mutterzelle durch eine Wand geschlossen, doch war dies nicht mit Be- stimmtheit nachzuweisen. Es spricht dafür die Tatsache, dafs häufig gerade nach dieser Stelle hin Wände des jungen Sprosses verlaufen (Taf. III, Abb. 4). Oft wachsen diese Vorwölbungen auch zu Rhizoiden aus. Es ist dann interessant, zu beobachten, wie diese bald auf die gegenüberliesende Zell- wand sto[sen, nun nicht weiter vordringen können, daher an die Wand an- geschmiegt rückwärts wachsen, und sich schliefslich zu den seltsamsten Knäueln verschlingen (Taf. III, Abb. 6). Die Sprosse dagegen sind imstande, sich mit Gewalt einen Weg zu bahnen; bei ihnen fällt auf, dafs sie sofort, wenn sie das Lumen der toten Zelle verlassen haben, an Umfang zunehmen, ein deutliches Zeichen dafür, dafs sie in der Zelie unter einem beträchtlichen Druck standen. Genau dieselben Verhältnisse wie bei Cephalozia bicuspi- data, fanden sich auch am Perianth von Lepidozia reptans (Taf. III, Abb. 7, 8), seltener an dem von Blepharostoma trichophyllum, nur in vereinzelten Fällen an den Blättern von Kantia tmichomanıs. Bei Frullania delatata hat Schostakowitsch gefunden, dafs bei der Regeneration der Blätter ein dem Sporenvorkeim ähnlicher Zellkörper ent- steht, von dem eine Randzelle zur Scheitelzelle wird. Ich kann diese An- gaben nur bestätigen; der Zellkörper unterscheidet sich von dem der meisten Jungermanniaceen dadurch, dafs er viel geschlossener ist (Taf. III, Abk. 9). Auch bei Radula complanata und Ptilidium ciliare stimmen die Regenerations- sprosse durchaus mit den keimenden Sporen überein. Bei den ersteren gehen aus den Zellen des Randes Zellscheiben hervor, von denen eine Rand- zelle zur Scheitelzelle wird, wie es Leitgeb auch für die Keimscheiben der Sporen nachgewiesen hat (Taf. III, Abb. 10). Bei Ptilidium ceiliare teilen sich die Zellen des Blattes zuerst normal in vier Quadranten, die folgenden Wände lassen aber keine Regel mehr erkennen; es entsteht ein gröfserer oder kleinerer, unregelmäßiser Zellkörper, von dem eine Randzelle zur Scheitelzelle wird. Trotz aller aufgewandten Mühe konnte eine bestimmte Folge der Wände bei der Iintstehung dieser Zelle nicht festgestellt werden. Bei zwei Formen, Gymnomitrium coneinnatum und Trichocolea tomen- tella gelang es nicht, die Blätter zur Regeneration zu veranlassen. Die zarten, in feine Fäden aufgelösten Blätter von T’richocolea tomentella gingen 268 Wilhelm Kreh, [56] gewöhnlich sehr rasch zugrunde, die Blätter von Gymnomitrium coneinnatum, deren Zellwände sehr stark verdickt sind, blieben dagegen längere Zeit lebend, nie aber zeigte sich eine Spur von Regeneration. Man darf ver- muten, dafs im ersten Fall die grofse Empfindlichkeit der Blätter gegenüber äufseren Einflüssen, im zweiten die sich einer Vorwölbung entgegensetzende Verdiekung der Membran die Bildung von Regenerationssprossen verhinderte. Es ist daher nicht ausgeschlossen, dals es unter geeigneten äufseren Be- dingungen noch gelingt, die Blätter dieser beiden Formen zur Regeneration zu veranlassen. Auch in der Natur findet man hie und da Regenerationssprosse an den Blättern. Schon Leitgeb (1874, II, S. 38) erwähnt, dafs er bei Lopho- colea bidentata öfters habe aus Randzellen von alten Blättern Adventivsprosse hervorgehen sehen, und dafs dasselbe, wie wohl seltener, bei Cephalozia bicuspidata der Fall gewesen sei. Auch ich habe an alten Blättern von Lophocolea cusptidata und heterophylla regelmälsig eine Menge von Adventiv- sprossen beobachtet. Wenn sie absterben, gehen nämlich gewöhnlich nicht alle Zellen zugrunde, vielmehr bleiben einige Gewebeinseln und auch einzelne Zellen lebendig, die sich nun weiter entwickeln (Taf. III, Abb. 11). Dabei läfst sich eine gewisse Bevorzugung des Randes nicht verkennen. Sehr wahrscheinlich trägt bei beiden Formen diese Art von Fortpflanzung wesentlich zu ihrer Vermehrung bei. Aufserdem fanden sich Regenerationssprosse noch an alten Blättern von Scapania nemorosa, sie erreichten zuweilen eine be- deutende Gröfse, solange das Blatt, das sie erzeugte, noch mit dem Mutter- sproßs in Verbindung stand, wie der abgebildete Fall zeigt (Taf. III, Abb. 12). Unzweifelhaft könnte man, wenn man der Bildung von Adventivsprossen an alten Blättern nachginge, diese Erscheinung noch bei einer Reihe von Formen finden. Nie wurde dagegen beobachtet, dafs ein Blatt, das mit dem Sprosse noch in ununterbrochenem Zusammenhange war, Adventivsprosse gebildet hätte. Schostakowitsch gibt an, dafs er im Februar und März schon dadurch an den Blättern von Frullania dilatata die Bildung einer Menge von Regenerationssprossen habe hervorrufen können, dafs er das Stämmchen seines Vegetationspunktes beraubte. Meine zur gleichen Zeit vorgenommene Wiederholung seiner Versuche lieferte jedoch ein negatives Ergebnis, insofern [7] Über die Regeneration der Lebermoose. 269 nur selten Sprosse an den Blättern auftraten; zudem schienen die betreffenden Stücke nicht mehr ganz frisch zu sein. Zweifellos war dies letztere der Fall bei einigen anderen Formen, Lejeunia serpyllifolia, Lophozia incisa und ventricosa, bei denen zuweilen sich solche Sprosse fanden. Nie zeigte sich diese Erscheinung dagegen an gesunden, mit dem Stengel noch in ungestörter Verbindung befindlichen Blättern; das Verhalten der Jungermanniaceen ent- spricht vielmehr durchaus dem der Marchantiaceen, die ebenfalls auf den Flügelstücken keine Sprosse erzeugen, solange diese noch in Verbindung mit der Mittelrippe sind. Um Regenerationssprosse hervorzurufen, ist es aber andererseits auch nicht nötig das Blatt ganz vom Stengel abzutrennen. Bei verschiedenen Formen, so bei Lophocolea bidentata und Lejeunea serpyllifolia, genügt es, zu diesem Zweck Einschnitte von der halben Blattbreite zu machen. Blätter mit Brutbildungen. Von besonderem Interesse war natürlich das Verhalten der Brut- bildungen tragenden Blätter der Jungermanniaceen. Es mufste sich die Frage aufdrängen, ob dieselben, vom Stämmchen losgelöst, in der Erzeugung dieser, der ungeschlechtlichen Vermehrung dienenden Bildungen fortfahren oder ob sie einen andern Weg einschlagen und, wie die normalen Blätter, Regenerationssprosse erzeugen würden. Man kann nach Ekstrand (1880) vier Arten von Brutknospenbildungen bei den acrogynen ‚JJungermanniaceen unterscheiden: Brutzellen, -warzen, -kuchen und -sprosse. Die ersteren treten als lose, aus perlschnurartigen Fäden bestehende Massen an den Spitzen oder den Rändern der Blätter auf. Von solchen Formen wurden untersucht: Scapania nemorosa, Kantia trichomanis, Diplo- phyllum albicans, Lophozia incisa, ventricosa und Sphenolobus exsectus. Es zeigte sich, dafs diese Blätter, vom Stämmchen losgetrennt, aufhörten, Brut- zellen zu bilden und Regenerationssprosse erzeugten, genau so, wie die nicht Brutbildungen tragenden Blätter derselben Art. Nur selten. kam es vor, dals Zellen, die vorher Brutzellen abgetrennt hatten, zu Sprossen auswuchsen. Bei Arten, bei denen die Regenerationssprosse beliebig auf der Blattfläche auftreten, fiel dies nicht auf, wohl aber bei polar regenerierenden, also bei Noya Acta XC. Nr. 4. 35 270 Wilhelm Kreh, [58] Diplophyllum albicans und Scapania nemorosa. Besonders interessant verhielt sich die erstere. Diese besitzt an der Spitze des Blattes langgestreckte Stielzellen, die durch Sprossung Brutzellen bilden (Taf. III, Abb. 13). Es war nun interessant, zu beobachten, wie diese Zellen nach der Abtrennung des Blattes ihre seitherige Teeilungsweise verliefsen und zur normalen Sprofs- bildung übergingen (Taf. III, Abb. 14). An Blättern, bei denen man die Brutzellen tragende Partie wegschnitt, war keine Bevorzugung der Schnitt- fläche zu entdecken. Dieselbe Erscheinung, wie bei den Blättern, zeigte sich bei den negativ geotropischen Brutsprossen von Kantia trichomanis; auch sie stellten, nachdem sie abgeschnitten worden waren, die Brutzellen- bildung bald ein. Bei verschiedenen Formen, so bei Scapanta nemorosa, Diplophyllum albicans und Lophozia ventricosa zeigte es sich, dafs die Regenerationssprosse der Blätter schon aufserordentlich früh selbst wieder Brutzellen bildeten. Sehr oft konnte man beobachten, dafs schon das allererste Segment, das überhaupt zu einem rudimentären Blatt auswuchs, an dessen Spitze zwei oder drei Brutzellen erzeugte (Taf. III, Abb. 15, 16). Betrachtete man diese Sprosse, bei denen erst wenige Blätter gebildet waren, von oben, so sah man nichts als ein grofses Büschel von Brutzellenketten. Oft liefsen sich an demselben Blatte Brutzellen von zwei Generationen, vom Mutterblatt und vom Tochterssprofs beobachten; die letzteren waren von den ersteren durch ihre bedeutend geringere Gröfse verschieden. Merkwürdigerweise fand sich diese Erscheinung nie bei Lophozia incısa. Bei Scapania nemorosa trat sie nur in demselben Zeitraum auf, in dem die Pflanze auch in der Natur Brutzellen bildet, vom Herbste bis zum Frühling; in dieser Zeit bildeten aber die Regenerationssprosse stets Brutzellen, ob nun ihre Mutter- blätter solche trugen oder nicht. Sogar an Organen von fruktifizierenden Stämmchen war diese Erscheinung zu beobachten. So waren an Regenerations- sprossen vom Perianth von Diplophyllum albicans schon die drei ersten Seg- mente, die überhaupt von der Scheitelzelle abgetrennt wurden, zu Brutzellen tragenden rudimentären Blättern ausgewachsen. Bei Scapania memorosa wurden an einem in der Natur aufgefundenen Perianth, dessen Sporogon eben ausgereift war und normal keimende Sproren gebildet hatte, einige junge Adventivsprosse beobachtet, deren Blätter Brutzellen trugen. An demselben [59] Über die Regeneration der Lebermoose. 271 Stämmehen waren hier also die drei Vermehrungsmöglichkeiten der Lebermoose verwirklicht: Sporen, Brutzellen und Adventivsprosse. Wenn man von der Vorstellung eines Antagonismus zwischen geschlechtlicher und ungeschlecht- lieher Fortpflanzung ausgeht, sollte man eigentlich erwarten, dafs die Regene- rationssprosse an solchen Organen keine Brutzellen bilden würden. Die bis- herigen Untersuchungen schienen die Annahme eines solchen Gegensatzes zu fordern. Bis jetzt sind nur zwei Fälle festgestellt worden, wo geschlecht- liche und ungeschlechtliche Fortpflanzung an demselben Stämmehen vorkam (Leitgeb 1874, II, S.39; Nees v. Esenbeck, 1833, I, S. 295). Ein dritter Fall wurde im Verlaufe der vorliegenden Untersuchungen bei Scapania nemo- rosa aufgefunden, bei der die Blätter eines fruktifizierenden Stämmchens Brut- knospen trugen. Ganz ähnliche Verhältnisse, wie die oben geschilderten, hat Correns (1899, S. 433) bei einigen Laubmoosen nachgewiesen, wo ebenfalls die Regenerationssprosse sehr frühzeitig Brutknospen erzeugten. Die zweite Art von ungeschlechtlicher Fortpflanzung, die Brutwarzen- bildung, wurde, da sie an den Perianthen vorkommt, des besseren Zusammen- hanges wegen bei der Regeneration dieser Organe beschrieben. Während bei den oben angeführten Jungermanniaceen die Brutzellen schon an ganz jungen Blättern auftreten, findet man die dritte Form von ungeschlechtlicher Vermehrung, die Brutkuchenbildung von Radula com- planata und Lejeunea serpyliifolia, an älteren, längst ausgewachsenen Blättern. Bei ihnen bilden die Randzellen eine Zellscheibe, die, wenn sie eine bestimmte Gröfse erreicht hat, abfällt; aus einer der Randzellen derselben wird dann die Scheitelzelle gebildet. Diese Scheibe stimmt durchaus überein sowohl mit den bei der Keimung der Sporen, als auch mit den bei der Regeneration der Blätter entstehenden Gebilden. Es ist daher leicht zu verstehen, dafs diese Brutkuchen, wenn man das sie tragende Blatt abtrennt, einfach weiter wachsen, dafs also hier die Abtrennung des Blattes ohne Einfluls auf die Brutknospen- entwicklung ist. Übrigens wurde von diesen Formen nur Radula complanata näher untersucht, da sich Lejeunea serpyllifola ihrer geringen Grölse wegen für solche Versuche nicht eignet.” Um bei Radula die Brutkuchen von Adventivsprossen, wie sie ja öfters an älteren Blättern der Jungermanniaceen entstehen, zu unterscheiden, hat man durchaus keine Anhaltspunkte. Beide Bildungen haben genau die gleiche Entwicklung, beide entstehen an älteren 272 Wilhelm Kreh, [60] Blättern, beide kommen auch an fruktifizierenden Stämmchen vor, endlich gehen beide Bildungen an abgetrennten, Brutknospen tragenden Blättern ineinander über. Daraus dürfte sich ergeben, da/s man die Brutkuchen hier ebenso gut als Adventivsprosse auffassen und sie den Adventivsprossen an alten Blättern und Perianthen der Lophocolea-Arten gleichsetzen kann. Leider stand die vierte Art von Brutbildung, die von Brutsprossen bei Frullania fragihfolia, nicht zur Verfügung, so dafs sie nicht in den Kreis dieser Untersuchungen gezogen werden konnte. c) Perianth. Die Perianthe sind Organe mit typischem begrenztem Wachstum; es ist daher zu erwarten, das bei ihnen die Regenerationssprosse die Basis be- vorzugen. Da sie durch Verwachsung von zwei oder drei Segmenten entstehen, die normal zu Blättern auswachsen, so muls man andererseits annehmen, dals sie manche Beziehungen zu der Regeneration der Blätter erkennen lassen. Die Untersuchung der an der Basis durch einen Schnitt senkrecht zur Längsachse abgetrennten Perianthe liefs zwei grofse Gruppen unter- scheiden. Zu der ersten gehören folgende Formen: Lophozia incisa, inter- media, qwinquedentata, Plagiochila aspleniordes, Lepidozia reptans, Cephalozia bieuspidata, Diplophyllum albicans, Scapanıa nemorosa und Blepharostoma trichophyllum. An den. Perianthen dieser Formen traten die Regenerations- sprosse entweder ausschliefslich an der Basis oder mit deutlich in die Augen fallender Bevorzugung derselben auf (Taf. III, Abb. 17, 18, 19, 20). Da man diese Tatsache auch auf die Wirkung des Wundreizes zurückführen könnte. wurden bei verschiedenen Formen die an der Basis abgetrennten Perianthe durch einen Schnitt parallel zur Längsachse in zwei Hälften geteilt; es traten aber gleichwohl die Regenerationssprosse ausschliefslich an dem basalen Querschnitt und nicht an dem Längsschnitt auf. Weiterhin wurde bei Formen, die sich gegen Verletzung möglichst unempfindlich erwiesen, durch zwei Schnitte senkrecht zur Längsachse des Perianths ein Stück herausgeschnitten, das nun an Scheitel und Basis eine gleichmäfsige Verletzung aufwies; trotzdem traten Sprosse nur an der Basis auf. Auch an blofsen Einschnitten, die man senkrecht zur Längsachse des Perianths [61] Über die Regeneration der Lebermoose. 273 führte, zeigte sich der polare Bau des Perianths, insofern die Regenerations- sprosse stets an den basalen Rändern der Stücke auftraten. Bei drei Formen, Cephalozia bicuspidata, Scapania nemorosa, Lophozia intermedia, gelang dieser Versuch; während es bei den beiden ersteren nötig war, ungefähr zwei Drittel des Perianths zu durchschneiden, genügten bei den letzteren schon sanz kleine Schnitte (Taf. III, Abb. 21). Nicht alle Perianthe eignen sich für diese Versuche; für viele ist die Verwundung bereits zu stark und sie fangen an, abzusterben. Überhaupt ist es gerade bei der Untersuchung der Perianthe durchaus notwendig, dals man junge und gesunde Stücke ver- wendet. In der Natur fangen nämlich die Perianthe, sobald sich die von ihnen geschützten Sporogone entleert haben, gewöhnlich an, sich zu ersetzen. Durch Versuche mit älterem, nicht mehr ganz frischem Material wird daher das Ergebnis stark beeinträchtigt. Man findet bei Formen, bei denen man sonst eine polare Regeneration des Perianths beobachtet hatte, auch auf der Oberfläche Sprosse auftreten und, wenn die Regeneration weit genug fort- Seschritten ist, kann man überhaupt keine Bevorzugung der Basis mehr erkennen. Oft fängt die Zersetzung an, von den Schnittflächen her um sich zu greifen. Dadurch kann es in seltenen Fällen kommen, dafs an der api- kalen Schnittlläche Sprosse entstehen. Man findet dies namentlich dann, wenn beide Schnitte in geringer Entfernung von einander geführt wurden. Bei verschiedenen Arten, so besonders ausgeprägt bei Lophozia inter- media, sind die Wände der Zellen des Scheitels weit stärker verdickt, als die der Basis. Man könnte diese Tatsache als Grund für das Auftreten der Sprosse an der Basis anführen. Allein gerade diese Form besitzt ein so grolses basales Stück mit gleichmälsig stark verdickten Zellen, dafs man es abtrennen und allein zur Regeneration bringen kann. Die strenge Be- vorzugung der Basis seitens der entstehenden Sprosse beweist klar die Un- richtigkeit dieses Einwands. Die Regenerationssprosse treten an den Perianthen sowohl auf der Aufsen-, als der Innen-, der Ober- und der Unterseite auf. Gewöhnlich ist jedoch, entsprechend dem Verhalten der Blätter, die obere Aufsenseite stark bevorzugt. Zu der zweiten Gruppe gehören sämtliche Formen, deren Blätter die Regenerationssprosse am Rande bilden, so Radula complanata, Lejeunea 274 Wilhelm Kreh, [62] serpyllifolia, und die Lophocolea-Arten. Bei ihnen treten die Regenerations- sprosse fast ausschliefslich am apikalen Rande auf, was sich aus der Ent- stehung der Perianthe einfach erklärt. Während bei den Lophocolea-Arten selten auch Sprosse an der Schnittfläche entstehen, findet ınan bei Radula complanata, dals regelmälsig aufser den an Zahl weit überwiegenden Sprossen am Scheitel auch Sprosse am Seitenrande auftreten, also dort, wo man sich die Perianthe durch Verwachsung von zwei Blättern entstanden denken kann. Ihre Zahl nimmt gewöhnlich vom Scheitel nach der Basis ab. Bei Lejeunea serpyliifolia endlich finden sich Sprosse auch über das ganze Blatt zerstreut. Es dürfte freilich schwer zu entscheiden sein, ob dies das normale Verhalten ist, oder ob es daher rührt, dafs die kleinen, empfindlichen Perianthe durch das Abtrennen geschädigt werden. Interessant ist das Verhalten der Perianthe dieser zweiten Gruppe dann, wenn man den apikalen Rand entfernt. Nun tritt die Mehrzahl der Sprosse an der Basis und nicht an ‘der apikalen Schnittfläche auf. Von den Lophocole«-Arten wurde daraufhin namentlich Lophocolea heterophylia untersucht. 15 des oberen Randes beraubte Perianthe produzierten 76 Sprosse an der basalen, 15 an der apikalen Schnittfläche, und 5 auf der Fläche. Dem gegenüber standen die Versuche mit 17 normalen Perianthen, die 122 Sprosse am Scheitel, 13 an der Basis und 2 auf der Fläche erzeugten. Dasselbe Ergebnis lieferten die bei dem ersten Versuche weggeschnittenen apikalen Stücke, die genau so regenerierten, wie die ganzen Perianthe, und 113 Sprosse am Scheitel, 13 an der Basis und 7 auf der Fläche bildeten. Um Sprosse an der Basis zu erhalten, ist es auch hier, ähnlich wie bei den Blättern, nicht nötig, den ganzen Rand zu entfernen; es genügt, einen Teil desselben wegzuschneiden, dann entstehen Sprosse an dem stehengebliebenen Reste und an der Basis. Nicht so ausgeprägt zeigt sich dieses Verhalten bei den Perianthen von Radula complanata: von 32, deren apikaler Teil weggeschnitten war, bildeten 15 ihre Regenerationssprosse hauptsächlich an der Basis, aulserdem einige wenige am Seitenrand; bei den übrigen 17 war keine Bevorzugung irgend eines Teiles zu erkennen. Dem gegenüber be- fanden sich unter 12 normalen Perianthen nur 3, die einige wenige Sprosse an der Basis besalsen; bei allen aber war der obere Rand dicht mit Sprossen besetzt. [63] Über die Regeneration der Lebermoose. 279 Eine einzige Art fand sich unter den untersuchten Formen, bei der die Regenerationssprosse des Perianths ganz regellos über seine Fläche zer- streut auftraten. Es ist dies Aplozia lanceolata. Auch an ganz frischem Material, das sich bei der Regeneration, wie deutlich zu sehen war, nicht zersetzte, entstanden die Sprosse beliebig. höchstens kaum mit einer bemerk- baren Bevorzugung des apikalen und basalen Drittels. Interessant verhielten sich die Perianthe von Frullania dilatata. Diese besitzen bekanntlich auf ihrer Fläche eigenartige, knötchenförmige Brutbildungen, sogenannte Brutwarzen. Bei der Regeneration wuchsen nun nicht die Zellen des Perianths zu Sprossen aus, vielmehr entwickelten sich diese Brutwarzen weiter. Diese Tatsache gab Veranlassung, auf die Ent- stehung der Gebilde näher einzugehen. Obwohl dieselben schon von Corda (1835, VI, S. 144), dann von Nees v. Esenbeck (1838, IH, S. 224) erwähnt werden, waren über sie in der Literatur doch nur wenig Angaben zu finden. Karl Müller sagt in Rabenhorsts Kryptogamenflora (1906, 2. Lief., S. 102): „bei Frullania sprossen die Gemmen als zweiteilige Zellen aus beliebigen Stellen der ganzen Aulfsenseite des Perianths hervor, sind sonst aber den vorhergeschilderten (an den Spitzen der Blätter entstandenen) ähnlich.“ Bei der Untersuchung der Gebilde zeigte sich nun, dafs eine weit gröfsere Mamnigfaltiskeit in der Beschaffenheit derselben besteht, als aus K. Müllers Worten hervorgeht. Sie werden schon aufserordentlich früh gebildet. Es fanden sich Perianthe, bei denen die Archegonien noch nicht einmal geöffnet, bei denen aber bereits Brutwarzen entstanden waren. Die Mutterzellen haben bei der Bildung derselben erst ungefähr ein Viertel ihrer Gröfse im aus- gewachsenen Zustand erreicht (Taf. IV, Abb. 1, 2). Diese Tatsache ist ver- ständlich, wenn man bedenkt, dafs bei den ausgewachsenen Perianthen die Zellwände so stark verdickt sind, dafs sie wohl schwerlich noch imstande sind, sich weiter zu entwickeln. Es wölben sich also junge Zellen vor und fangen an, sich zu teilen. Der Teilungsmodus ist aulserordentlich verschieden. Im einfachsten Falle teilt sich die vorgewölbte Zelle durch eine Wand parallel zur Blattfläche. Die abgetrennte Vorwölbung wird zu der nur aus einer Zelle bestehenden Brutwarze. Diese Teilung kann sich wiederholen und so entsteht ein Zellfaden, der bis zu sechs Zellen enthalten kann. In der ersten abgetrennten Zelle kann auch eine Wand senkrecht zur 276 Wilhelm Kreh, [64] Blattfläche auftreten, so dals jetzt die Brutwarze aus zwei Zellen besteht (Taf. IV, Abb.>5). Viel häufiger kann man jedoch beobachten, dafs sich die vorgewölbte Zelle durch zwei schiefe Wände teilt, in derselben Weise, wie bei der Bildung der zweischneidigen Scheitelzelle der Metzgeria. In der ausgewachsenen Brutwarze liegt dann die obere Zelle direkt über der die beiden unteren Zellen trennenden Zellwand und ist je zur Hälfte diesen beiden aufgelagert (Taf. IV, Abb. 4). Die unteren Zellen können sich auch noch weiter teilen; die einzellige Brutwarze liest dann gerade über der Stelle, wo die Wände von drei oder vier Zellen zusammentreffen (Taf. IV, Abb. 5). Aber nicht immer sind die Brutwarzen so einfach gebaut. Senk- recht und parallel zu den zwei zuerst gebildeten Wänden können neue auf- treten. So entstehen allmählich kleine Zellflächen und -körper, die jedoch kaum je aus mehr als zehn Zellen bestehen (Taf. IV, Abb. 6, 7, 8, 9, 10). Typisch für diese Brutwarzen ist, dafs sich ihre Wände aufserordentlich stark verdiecken; die Dicke der Zellwand kann bis zu ein Fünftel des Zell- lumens betragen (Taf. IV, Abb. 5). Nur dort, wo die Zellen der Brutwarzen zusammenstolsen, werden gröfsere Tüpfel gebildet. Die Ablösung der Brut- warzen wurde, weil nicht im Rahmen dieser Arbeit liegend, nicht eingehend untersucht; doch schien aus verschiedenen Beobachtungen hervorzugehen, dals sich die einzelnen Zellen dadurch ablösen, dafs sich die Interzellular- substanz allmählich zersetzt (Taf. IV, Abb. 11). Trennt man ein solches Brutwarzen tragendes Perianth ab, so fangen die jüngeren Brutwarzen, deren Zellwände noch nicht besonders stark verdickt sind, an, sich zu teilen. Während man bei der Bildung derselben nur selten Wände senkrecht zur Perianthfläche auftreten sah, kann man sie jetzt häufig beobachten. Es entsteht ein mit dem bei der Regeneration der Blätter entstehenden identischer Zellkörper, an dem sich früher oder später aus einer Randzelle eine Scheitel- zelle bildet, die den Sprofs erzeugt. Einen sehr einfachen Fall stellt Taf. IV, Abb. 12 dar. Leider gelang es nicht, ein Perianth zu finden, das keine solche Brutwarzen getragen hätte, um seine Regeneration mit der des Brutwarzen tragenden zu vergleichen, obwohl sehr viel Material daraufhin untersucht wurde. Auch war aus der Literatur nicht fest- zustellen, ob es überhaupt solche Perianthe gibt, oder ob sie stets Brut- warzen tragen. [65] Über die Regeneration der Lebermoose. 277 Dieselben Bildungen, die hier künstlich an den Perianthen her- vorgerufen wurden, kann man auch in der Natur entstehen sehen. Die Larve der Schnakengattung Tipula, die man aufserordentlich häufig in den Moosrasen findet, stellt mit besonderer Vorliebe den jungen, saftigen Sporo- sonen der Lebermoose nach. Sie beilst grofse Löcher in den unteren Teil des Perianths und zehrt dann das Sporogon auf. Oft waren Perianthe an der Basis vollständig abgefressen, z. B. bei Plagiochila asplenioides; sie hatten allerdings noch nicht regeneriert. Dagegen war dies der Fall bei einem Perianth von Lophozia incisa, das eine gröfsere Anzahl von Sprossen an der Basis gebildet hatte (Taf. III, Abb. 18). Noch auf eine zweite Art können in der Natur Regenerationssprosse entstehen. Wie schon erwähnt, fangen die Perianthe an abzusterben, sobald das Sporogon seine Sporen ausgestreut hat. Dieser Prozefs ergreift aber nicht gleichmälsig das ganze Perianth, vielmehr beginnen die Zellen oft am apikalen Ende, oft aber auch am basalen, sich zu zersetzen. Durch diesen Prozels werden sehr häufig Inseln lebendigen Gewebes gebildet, die nun zu regenerieren anfangen. Ist das Perianth durch eine ringförmige Zone toten Gewebes abgetrennt, so kann man bei den polar regenerierenden Formen deutlich eine polare Re- generation des apikalen Stückes beobachten. Solche Fälle wurden bei Cephalozia bicuspidata, Scapania nemorosa, Lophocolea cuspidata und hetero- phylla gefunden. Bei den beiden letzteren hatten die meisten älteren Perianthe an ihrem Scheitel Regenerationssprosse in einer solchen Menge gebildet, dafs man annehmen muls, dafs diese Art der Vermehrung im Leben der Pflanze eine weit gröfsere Rolle spielt, als man seither annahm. In einigen von diesen Fällen war das Sporogon abgestorben, in andern war es aber noch sanz gesund. So fand sich, wie schon oben erwähnt, ein Perianth von Scapania nemorosa, dessen Sporogon eben ausgereift war und das Regenerations- sprosse gebildet hatte; die ausgesäten Sporen keimten durchaus normal. d) Antheridium und Archegonium. Es war vorauszusehen, dals sich bei diesen Organen nur schwierig Erfolge erzielen lassen würden. Denn einmal sind sie sehr klein und zart, und daher aufserordentlich empfindlich gegen Verletzung. Dann aber sind Nova Acta XC. Nr.4, = 36 278 Wilhelm Kreh, [66] die Zellen dieser Gebilde viel spezieller angepalst, viel höher differenziert, als etwa die von Blättern; sie haben nicht mehr die Aufgabe der Assimi- lation und besitzen deswegen nur sehr wenig Chlorophyll. In der Tat gelang es nicht, ein abgetrenntes Antheridium zur Bildung eines Regenerations- sprosses zu veranlassen, obwohl ganz junge Organe zu den Versuchen ver- wandt wurden, bei denen die Spermatozoiden noch nicht ausgebildet waren. Mit folgenden Arten wurden experimentiert: Lophocolea bidentata, Scapania nemorosa, Marsupella emarginata, Fossombronia pusila. Stets starben die Antheridien sehr rasch ab. Immerhin dürfte nicht ausgeschlossen sein, dafs es mit gutem Material unter geeigneten Bedingungen noch gelingt, dieses Organ zur Regeneration zu bringen. Nicht besser gelangen die Versuche mit unbefruchteten Archegonien; dagegen wurden mit älteren einige Erfolge erzielt. Bekanntlich folgt die Archegonwandung dem Sporogon solange im Wachstum, bis dieses seine endgültige Gröfse erreicht hat. Selbstverständlich ist dieselbe bedeutend widerstandsfähiger, als das unbefruchtete Archegon. Am geeignetsten er- wiesen sich Archegonwandungen, deren Sporogone ungefähr ihre halbe Gröfse erreicht hatten. Gewöhnlich wurden sie nicht von den umhüllten Sporogonen getrennt, um sie nicht unnötig noch mehr zu verletzen. Am leichtesten von allen untersuchten Arten regenerierten Uhrloscyphus polyanthus und Lophozia incisa. Während bei der ersteren Art eine deutliche Be- vorzugung der Basis in der Anlage der Sprosse zu erkennen war, traten dieselben bei manchen Stücken der letzteren Art auch ganz beliebig auf. Dies mag damit zusammenhängen, dafs sich bei dieser Form die Archegon- wandungen sehr leicht zersetzen. Immerhin fand sich eine gröfsere Anzahl, bei denen eine deutliche Bevorzugung der Basis zu erkennen war. Ganz ähnlich war ein Fall bei Scapania nemorosa, wo das Archegon gänzlich zerfallen war, wo sich aber die isolierten Zellen weiter entwickelten. Auch bei Radula complanata gelang es verhältnismäfsig leicht, die Archegon- wandungen zur Regeneration zu bringen. Sie zeigten eine typische Be- vorzusung der Basis; nur wenige Sprosse entstanden auf der Fläche. Aufser diesen Formen, bei denen die Regeneration einer gröfseren Anzahl von Stücken beobachtet wurde, liefsen sich noch bei einigen andern ver- einzelte Fälle konstatieren, so bei Cephalozia bicuspidata (Taf. IV, Abb. 13), [67] Über die Regeneration der Lebermoose. 279 Lophozia intermedia, Aplozia lanceolata (Taf. IV, Abb. 14). Die überwiegende Mehrzahl der Versuchsobjekte ging bei diesen Formen zugrunde. Stets entstanden die Sprosse bei den regenerierenden Stücken an der Basis. Endlich gelang es bei einer grofsen Anzahl von Formen nie, Fälle von Regeneration zu beobachten: ZLophocolea heterophylla, cuspidata, Plagiochila asplenioides, Lophozia quinquedentata, Lepidozia reptans, Ptilidium_ ciliare, Blepharostama trichophyllum, Frullania dilatata. Auch mit anacrogynen Jungermanniaceen wurden, was hier kurz erwähnt sei, Versuche angestellt. Bei Fossombronia pusila gelang es, an drei Stücken Regenerationssprosse zu erhalten. Sie befanden sich alle an der Basis (Abb. 148). Bei Metzgeria furcata wurde eine grölsere Anzahl von Fällen beobachtet, doch waren die Archegonwandungen so zersetzt, dafs sich kein Schlufs auf ihre Polarität ziehen liels. e) Sporogonium. Wie schon im historischen Überblick erwähnt wurde, ist es Lang gelungen, bei Anthoceros laevis die Sporogone zur Regeneration zu bringen, dagegen hatte Cavers mit andern Formen keinen Erfolg. Auch mir ist es, trotzdem ich mit sehr vielen Formen Versuche anstellte, nie gelungen, Regenerationssprosse zu erhalten. Folgende Formen wurden untersucht: Aplozia lanceolata, Lophozia intermedia, incisa, qwinguedentata, Lophocolea heterophylla, cuspidata, Chiloscyphus polyanthus, Cephalozia bicuspidata, Pti- hdium ceiliare, Frullania dilatata, Lejeunea serpylhfoha, Radula complanata; Diplophyllum albicans, obtusifolium, dann von anacrogynen Jungermanniaceen Metzgeria furcata, Pellia epiphylla, Fossombronia pusilla. Es fiel auf, dals die Sporogone bei weitem nicht so empfindlich waren, wie die Archegonien. Während diese sehr leicht zugrunde gingen, blieben die Sporogone stets lange Zeit frisch, regenerierten sich aber niemals. So waren bei Lophocolea heterophylla nach sechs Wochen die Sporogone noch schön grün, sie gingen aber doch schliefslieh, ohne sich zu regenerieren, zugrunde. Die älteren Sporogone reiften sehr oft vollends aus und bildeten normale, keimungs- fähige Sporen. Bei einigen Formen, Chrloscyphus polyanthus und Lophozia intermedia, wurde beobachtet, dafs sich zuweilen der Sporogonstiel nach der Abtrennung mindestens um das Vierfache seiner ursprünglichen Länge 36* 280 Wilhelm Kreh, [68] streckte. Es waren dies Stücke, bei denen die Archegonwandung noch das Sporogon umgab. Dieselbe wurde nun nicht etwa von dem letzteren durchbrochen, vielmehr wuchs der Stiel nach hinten aus, so dafs jetzt die Archegonwandung auf dem langgestielten Sporogon sals. Von Pellia epi- phylla, Scapania nemorosa und Diplophyllum albicans wurden junge, kräftige Sporogonstiele isoliert, allein auch sie gingen, ohne eine Spur von Regeneration zu zeigen, sehr rasch zugrunde. Dasselbe war der Fall mit isolierten Sporogonwandungen, Sporenmutterzellen und unreifen Tetraden von Cepha- lozia bicuspidata. Das Ergebnis dieser Versuche stimmt also durchaus mit dem von Cavers überein. Dafs die Unfähigkeit des Sporogons zur Regeneration nicht mit dem Besitz der doppelten Chromosomenzahl zusammenhängt, wie man leicht geneigt sein könnte, anzunehmen, dürfte daraus hervorgehen, dals es bei Anthoceros laevis, dann bei einer Reihe anderer Archegoniaten, Farnen und Laubmoosen, gelungen ist, den Sporophyten zur Regeneration zu veranlassen. Auch bei Anthoceros punctatus konnte ich, wie schon erwähnt, keine Regenerationssprosse am Sporogon erhalten, wahrscheinlich weil die mir zur Verfügung stehenden Stücke schon zu alt waren. f) Rhizoiden. Über die Entstehung der Rhizoiden gibt Leitgeb (1874, I, 8. 40) an, dafs es namentlich der Grund der Aufsenfläche der Unterblätter sei, an denen sich die Rhizoiden, oft in diehten Büscheln, bilden, und dafs die Mutterzellen oft schon dem Stengel, oft aber noch der freien Blattfläche angehören. Bei Lepidozia reptans können sich nach ihm die Rhizoiden bis zur Spitze des Unterblattes erstrecken. Sehr häufig entstehen die Rhizoiden jedoch ganz beliebig am Stengel. Eine Ausnahme macht Radula complanata, bei der die Sprosse nie am Stengel, sondern an der Mitte der konvexen Seite des Blattunterlappens entstehen. In ZLejeunea serpylifolia habe ich eine Form gefunden, bei der etwas ähnliches der Fall ist, bei der nämlich die Randzellen der noch am Stengel sitzenden Blätter zu Rhizoiden aus- wachsen, wenn sie das Substrat (Torf) berühren. Dies findet statt ohne Rücksicht darauf, ob das Stämmcehen seinen Vegetationspunkt noch besitzt oder nicht, nur schien es sich im letzteren Falle rascher und häufiger zu vollziehen. Leider war es nicht möglich, diese Erscheinung auch in der [69] Über die Regeneration der Lebermoose. 281 Natur zu beobachten; die mir zur Verfügung stehenden Pfänzchen waren etioliert und hatten sich aufgerichtet. Doch ist nieht daran zu zweifeln, dafs die Randzellen auch in den Naturen Rhizoiden auswachsen, da die Pflanze normal kriechend, dem Substrat angeschmiegt, wächst. In der Literatur findet sich allerdings diese Erscheinung nirgends erwähnt. Selbst- verständlich tritt dasselbe auch an abgetrennten Blättern ein. Ähnliche Verhältnisse bestehen übrigens bei den Laubmoosen, wo die Initialen der noch am Stengel sitzenden Blätter gewisser Formen durch äufsere Einflüsse (chemische Reize, Kontaktreize) veranlafst werden können, zu Rhizoiden auszuwachsen (Correns, 1899, S. 407). Nur an abgetrennten Blättern wurde diese Erscheinung noch bei zwei andern Formen, Lophocolea bidentata und Radula complanata, beobachtet. Die Blätter dieser Formen sind stark gewölbt. Legt man sie mit der kon- kaven Seite nach unten auf Torf, so wachsen die Randzellen zu Rhizoiden, die Flächenzellen zu Sprossen aus (Taf. IV, Abb. 15), während gerade das umgekehrte Verhältnis eintritt, wenn die Blätter auf der konvexen Seite liegen. Übrigens gelingt es bei Radula complanata nicht immer, auf solche Weise Rhizoiden zu erzielen; öfters wuchsen Zellen auch dann zu Sprossen aus, wenn sie das Substrat berührten. Leider war es nicht möglich, die Gründe für dieses ungleiche Verhalten ausfindig zu machen. Man wird nicht fehl gehen, wenn man die Bildung der Rhizoiden auf Rechnung der Wirkung des Kontaktreizes setzt. Analoge Fälle wurden ja bei den Laub- moosen von Forest-Heald (1898) und Westerdiyk (1907) beobachtet und auf die Wirkung dieses Reizes zurückgeführt. Doch mülste selbstverständlich vorher noch der Einflufs des Lichtes. der Schwerkraft usw. festgestellt werden, ehe diese Vermutung zur Gewilsheit erhoben werden kann. Dals hier die Verhältnisse nicht ganz eindeutig liegen, geht aus dem eigenartigen Verhalten der Perianthe von Lophocolea heterophylla hervor, bei denen die Rhizoiden nicht nur auf der Substratseite, sondern auch auf der Zenithseite entstanden und nach allen Seiten in die Luft hinauswuchsen. Diese Er- scheinung wurde so oft beobachtet, dafs man an ihrem regelmäfsigen Vor- kommen nicht zweifeln kann. Das sich hier bietende Material wurde dazu benützt, die Frage zu entscheiden, ob Rhizoiden nachträglich noch in Sprosse umgewandelt werden 282 Wilhelm Kreh, [70] können. Es wurden Blätter, deren Randzellen zu kurzen Rhizoiden aus- gewachsen waren, umgedreht. Nun zeigte sich, dafs sich dieselben bei Lophocolea bidentata und Lejeunea serpyllifolia dadurch nicht beeinflussen liefsen, vielmehr normal weiter wuchsen und schließlich kollabierten. Anders verhielt sich Radula complanata. Bei ihr fiel bald auf, dafs sich die Chlorophylikörner in den Rhizoiden stark vermehrten, worauf nach einiger Zeit die ersten Zellwände senkrecht zur Längsachse des Rhizoids auf- traten (Taf. IV, Abb. 16, 17). Wenn dieses die zwei- bis vierlappige Haftscheibe noch nicht gebildet hatte, teilte sich gewöhnlich die an seinem Ende abgeschnittene Zelle und bildete genau die gleiche Keim- scheibe, wie sie sonst die Randzellen erzeugen (Taf. IV, Abb. 18, 19). Hatte sich bereits eine Haftscheibe gebildet, so wurden die einzelnen Haftlappen durch Wände abgetrennt; einer derselben bildete sodann eine Keimscheibe, die dadurch ein charakteristisches Aussehen erhielt, dafs an ihr noch die anderen Haftlappen safsen (Taf. IV, Abb. 20, 21). Nur selten wurden Fälle beobachtet, wo sich die Haftlappen nicht zu einem Sprofs umwandelten, sondern weiter in die Länge wuchsen und neue Rhizoiden bildeten, so dafs auf diese Weise verzweigte Rhizoiden entstanden. Auf- fallend war, wie lange es dauerte, bis sich die Rhizoiden in Sprosse um- gewandelt hatten. Bei manchen derselben bestand nach einer Kultur von sechs Monaten die aus dem Rhizoid hervorgegangene Keimscheibe erst aus vier bis sechs Zellen. Um bei den übrigen Formen die Rhizoiden in Sprosse umzuwandeln, mulsten andere Wege eingeschlagen werden. Da sich Lejeunea serpylifolia ihrer geringen Größe wegen nicht für diese Versuche eignete, wurde nur mit Lophocolea bidentata experimentiert. Die zwei äufsersten Zellreihen eines Blattes, dessen Randzellen zu Rhizoiden ausgewachsen waren, wurden ab- geschnitten. Dann starb gewöhnlich die dem Schnitt am nächsten liegende Zellreihe ab, wodurch die Reihe der Rhizoidenmutterzellen isoliert wurde. In den meisten Fällen gingen die Rhizoiden allerdings zu Grunde, in einigen wenigen blieben sie jedoch lebendig, vermehrten zuerst ihren Chlorophyll- vorrat und teilten sich dann durch Wände senkrecht zu ihrer Längsachse. Gewöhnlich nahmen nun die gebildeten Zellen etwas an Gröfse zu und rundeten sich ein wenig ab (Taf. IV, Abb. 22, 23). Schliefslich bildete die [71] Über die Regeneration der Lebermoose. 283 vorderste Zelle durch schiefe Wände eine dreischneidige Scheitelzelle, die den Sprol[s erzeugte (Taf. III, Abb. 24). Zusammen mit den Rhizoiden seien noch die Flagellen von Bazzania trilobata behandelt, Organe, die zwar morphologisch den Rhizoiden nicht gleichwertig sind, die aber ebenfalls im Dienste der Wasserversorgung der Pilanze stehen. Es sind dies peitschenförmige, in der Achsel der Unterblätter entspringende Seitenzweige, die mit kleinen, genau nach der Divergenz 1:3 angeordneten und unter sich gleichen Blättern besetzt sind, so dafs eine Bauchseite, wie am Tragsprosse, nicht zu unterscheiden ist. Es sind daher die Rhizoiden auch nicht auf eine Seite beschränkt, vielmehr bilden dieselben einen rings um den ganzen Sprofs gehenden Mantel. Die Flagellen entstehen nach Leitgeb (1872) aus ruhenden, interkalaren Vegetationspunkten, die auch zu den die Geschlechtsorgane tragenden Ästen auswachsen können und die, wie ich bei der Untersuchung der Regeneration des Stämmchens gefunden habe, auch normale Sprosse erzeugen können. Wie zu erwarten war, wandelten sich diese Flagellen, vom Mutterast abgetrennt, in normale Sprosse um. Die anfangs radiären Gebilde fingen an, dosiventral zu werden, die dem Substrat anliegende Seite wurde zur morphologischen Unterseite, die Rhizoiden- bildung wurde auf dieselbe beschränkt, dagegen wurden die Blätter auf der belichteten Seite allmählich eröfser. Auffallend war, wie das vorher in der Richtung auf den Erdmittelpunkt wachsende Organ nun auf einmal in um- sekehrter Richtung weiter wuchs. In einigen Fällen war sein Vegetations- punkt abgestorben, dafür entwickelten sich nun Seitenäste. Weitere Unter- suchungen zeigten, dafs es nicht einmal nötig ist, die Organe von der Mutterpflanze abzulösen, dafs es vielmehr genügt, die letztere des Vegetations- punktes zu berauben. Legt man sie auf die morphologische Oberseite, so zeigt sich das charakteristische Bild, dafs die an ihrer Basis von einem weilsen Mantel von Rhizoiden umgebenen Flagellen am Scheitel ergrünen und zu einem normalen Pflänzchen weiter wachsen. Legt man den Mutter- spro[s auf die morphologische Unterseite, was allerdings nur dann möglich ist, wenn die Flagellen noch klein sind, so vollzieht sich die Entstehung eines normalen Sprosses viel langsamer. Irgend welche Regelmäfsigkeit in der Ausbildung der morphologischen Unterseite konnte hier nicht festgestellt werden. 284 Wilhelm Kreh, [72] Sprofsbildung aus isolierten Zellen; Sprofsvorkeime. Die vorliegenden Untersuchungen führten von selbst zur Prüfung der Frage, ob jede einzelne vegetative Zelle imstande ist, den ganzen Organismus wieder zu erzeugen. Hatte doch schon Vöchting (1885, S. 382) die Ver- mutung ausgesprochen, dafs es durch Versuche gerade mit Lebermoosen möglich sei, den Beweis dafür zu führen, dafs in jeder einzelnen vegetativen Zelle der ganze Organismus enthalten sei. A. Jungermanniaceen. Es war zu erwarten, dals sich die Isolation der Zellen auf mechanischem Wege kaum erreichen lassen würde. Sie sind bei den Lebermoosen zu klein und zu empfindlich, als dafs es möglich wäre, alle um eine bestimmte Zelle herumliegenden Nachbarelemente abzutöten oder wegzuschneiden. So mulsten andere Verfahren angewandt werden. Im Verlaufe der Untersuchungen kam es öfters vor, dals Perianthe, die für die Regeneration abgetrennt, durch Zufall aber in ungünstige Lebensbedingungen gekommen waren, die also zu schwach belichtet, von Algen überwuchert oder auf einem, ihnen nicht zusagenden Substrat kultiviert wurden, anfingen, an der Schnittfläche in die einzelnen Zellen zu zerfallen. Ganz besonders neigten natürlich ältere Perianthe dazu. Oft, aber nicht immer, wurden aufserdem noch normale Regenerationssprosse gebildet. Indem diese Beobachtung benützt und weiter ausgebaut wurde, indem also die Perianthe durch eine Anzahl von Schnitten verletzt und auf einem wenig geeigneten Substrat, wie Holzkohle, kultiviert wurden, konnte man erreichen, da/s eine allmähliche Zersetzung der Mittel- lamellen eintrat und daß das Organ langsam in seine einzelnen Zellen zer- fiel. Bei manchen Arten genügte es schon, dasselbe durch einige Schnitte zu schädigen. Auf diese Weise konnte man isolierte Zellen in beliebiger Zahl erhalten und konnte daher mit denselben genau so, wie mit den Sporen, experimentieren. Andere Organe neigen nicht zu dieser Art von Zersetzung, nur an Archegonien fand sie sich noch, selten auch an Stengeln von Cephalozia bicuspidata. Dies erklärt sich daher, dafs sich die Perianthe und ebenso die Archegonien auch normal zu zersetzen beginnen, wenn die [73] Über die Regeneration der Lebermoose. 285 Sporogone ihre Sporen ausgestreut haben. Es wurde z. B. bei Lophocolea heterophylla ein altes Perianth in der Natur beobachtet, bei dem sich einige Zellen nicht nur losgelöst, sondern auch weiter entwiekelt hatten. Künstlich wurde bei folgenden Arten auf diese Weise eine Isolation der Zellen bewirkt: an den Perianthen von Lophocolea cuspidata, heterophylla, Chrloscyphus polyanthus, Lophozia wncısa, Cephalozia bicuspidata, Lepidozia reptans, Ptilidium ciliare, in geringerer Menge an denen von Radula complanata und Frullania dilatata, dann am Archegon von Lophozia incisa und Scapania nemorosa. Ganz ähnliche Beobachtungen wurden übrigens von Tobler (1902, 1907) bei Rhodophyceen gemacht. Es wurde zuerst versucht, das Eigenwachstum dieser Zellen in feuchten Kammern zu beobachten; bald aber zeigte sich, dafs ihnen dieselben. nicht zusagten, weshalb sie auf Torf kultiviert wurden, wo sie fast ohne Ausnahme vortrefflich gediehen. An den auf diese Weise isolierten Zellen läfst sich jedoch das apikale und basale Ende nicht mehr unterscheiden, Sie waren deshalb für einen Teil der Untersuchungen, die ich an isolierten Zellen auszuführen gedachte, un- brauchbar. Selbstverständlich lassen sich diese beiden Pole nur an Zellen erkennen, die noch im Verbande der anderen liegen. Daher wurde das von Miehe (1905) bei Oladophora angewandte Verfahren benützt; er plasmolysierte die Zellen dieser Alge so lange, bis der Plasmakörper eine neue Zellhaut gebildet hatte und brachte dann die ganze Pflanze allmählich wieder in normales Wasser zurück. Nun zeigte sich, dafs der apikale Pol der Zelle zu einem Zellfaden, der basale dagegen zu einem Rhizoid auswuchs. Es wurden also Stengelstücke und Perianthe von Cephalozia bicuspidata mit 20 prozentiger Rohrzuckerlösung behandelt. Leider aber bildeten die isolierten Plasmakörper keine neuen Membranen, so lange sie auch in der Flüssigkeit verblieben. Schließslich, nach acht bis zehn Tagen, fingen sie an, abzu- sterben. Nun wurde die plasmolysierende Flüssigkeit ganz langsam ver- dünnt, wodurch bei den noch lebenden Zellen die Plasmolyse aufgehoben wurde. Bei der weiteren Kultur auf Torf ging nun weitaus der gröfste Teil der Zellen vollends zu Grunde, aber stets blieb auch. eine gewisse Anzahl lebendig. Von diesen waren viele gänzlich isoliert, also nur von toten Zellen begrenzt. Eine Zersetzung der Mittellamelle war nicht ein- Nova Acta XC. Nr. 4. 37 286 Wilhelm Kreh, [74] getreten. So war das angestrebte Ziel, wenn auch nicht auf dem geplanten Wege, erreicht. Für diesen Versuch eigneten sich allerdings nur die wider- standsfähigsten Formen, die Lophocolea-Arten, Cephalozia bicuspidata, im geringerem Grade Kantia trichomanis. Bei einer gröfseren Anzahl von Formen wurde keim Erfolg erzielt. Ihre Organe gingen entweder gänzlich zu Grunde oder aber blieben stets grölsere Komplexe von Zellen lebendig. Man darf jedoch diese isolierten Zellen durchaus nicht den Nematogonen der Laubmoose gleichstellen, da nicht an jedem Stücke der untersuchten Organe die gleichen Zellen lebendig blieben. 3ei der Kultur der nach diesen beiden Methoden isolierten Zellen zeigte sich, dafs die aus ihnen hervorgehenden Gebilde durchaus überein- stimmten mit ‚den aus den Sporen hervorgehenden Vorkeimen. Zum Unter- schiede von diesen möchte ich sie „Sprofsvorkeime“ nennen, da sie aus den Zellen aller Organe des Sprosses hervorgehen können. Bei einer sanzen Anzahl von Arten wurde die Entwicklung von Sporen- und Sprols- vorkeimen nebeneinander beobachtet. Da der Gröfsenunterschied zwischen der Spore und der isolierten Zelle gewöhnlich sehr erheblich ist, wurde bei einer Art, Lophocolea cuspidata, die Grölse der Zellen des Vorkeimes in den einzelnen Stadien der Entwicklung gemessen. Die folgenden Zahlen stellen ‘den Durchschnitt von sechs bis acht Messungen dar. Der Durchmesser der kugelförmigen Spore beträgt 13,25 «. Dieselbe wächst zu einem ellipsoidförmigen Gebilde heran, dessen Längsdurchmesser 24,25 «, dessen @Querdurchmesser 21,25 a beträgt. Dann tritt senkrecht zum Längsdurch- messer die erste Zellwand auf, worauf die beiden Tochterzellen wieder zur Gröfse der Mutterzellen heranwachsen. Im weiteren Wachstum des Vor- keimes bleibt die Gröfse der Zellen ungefähr gleich. Die Länge einer Perianthzelle beträgt 72,5 a, die Breite 29 «. Ist die Zelle gänzlich isoliert, liegt sie also nicht mehr im Verbande von toten Zellen, so fängt sie an, sich abzurunden, die Kanten und Ecken verschwinden und es entsteht ein ellipsoidförmiges Gebilde von 44 « Länge und 34,5 « Breite. Durch Wände senkrecht zur Längsachse entsteht ein drei- bis vierzelliger Vorkeim, dessen Zellen 29,6 x lang und 26,9 a breit sind. Beim acht- bis zehnzelligen Vor- keim haben die Elemente eine Länge von 23,25 « und eine Breite von 19,2 «; damit haben die Zellen des Sprofßsvorkeimes die Grölse der Zellen [75] Über die Regeneration der Lebermoose. 287 des Sporenvorkeimes erreicht, sie sind sogar noch etwas kleiner geworden. Bald früher, bald später wird in beiden Vorkeimen durch das Auftreten von drei schiefen Wänden in dem vordersten Element die Scheitelzelle gebildet. Die Keimung der Sporen gleicht bei dieser Form durchaus der von Lopho- colea bidentata, wie sie Leitgeb abgebildet hat (1874, II, Taf. VD. Nur kommt es häufig vor, daß sich die Zellen durch Längswände teilen, noch ehe die Scheitelzelle gebildet ist. Die Sprofsvorkeime stimmen mit den Sporenvorkeimen zum grölsten Teile vollkommen überein, doch findet man bei ihnen eine gröfsere Mannigfaltigkeit der Form. Öfters bilden sie zuerst einen Zellkörper, der dann wieder zu einem oder mehreren Vorkeimen aus- wachsen kann (Taf. IV. Abb. 25, 26). Genau so wie Lophocolea cuspidata verhält sich auch Lophocolea heterophylla. Auch bei ihr werden typische Lophocolea-Vorkeime aus den isolierten Zellen gebildet (Taf. IV, Abb. 27). Am selben Blatt lassen sich alle Übergänge von Sprofsvorkeimen zu direkt gebildeten Sprossen beobachten, je nachdem nur eine oder mehrere, nebeneinander liegende Zellen lebendig geblieben sind. Daraus dürfte hervorgehen, dals zwischen beiden Arten von Sprolsbildung, der direkten und der indirekten, kein wesentlicher Unter- schied besteht. Für Lophocolea bidentata und cuspidata ist es charakteristisch, dafs die Zellen der aufserordentlich spitzen, fadenförmigen Blattzipfel oft auch dann zu Sprolsvorkeimen auswachsen, wenn sie nicht durch Absterben benachbarter Zellen isoliert sind (Taf. IV, Abb. 28, 29). Auch bei Chrloseyphus polyanthus wurde die Bildung von Sprofs- und Sporenvorkeimen nebeneinander beobachtet. Die Keimung der Sporen voll- zog sich durchaus in derselben Weise, wie sie Leitgeb beschrieben hat (1874, DO, Taf. VI). Die Sprofsvorkeime stimmen mit den Sporenvorkeimen überein, nur neigen sie dazu, die Bildung eines Keimfadens zu überspringen. Sie sind überhaupt mannigfaltiger in der Form (Taf. IV, Abb. 30—33). Die Sporenvorkeime dagegen bilden stets einen Keimfaden, der oft eine bedeutende Länge erreicht. Dieselbe Erscheinung fand sich, wie erwähnt, bei Lophocolea cuspidata; in beiden Fällen handelte es sich um Zellen, die dureh Zerfall von Perianthen isoliert worden waren. Mit dieser Tatsache dürfte die beobachtete Erscheinung zusammenhängen. Es dauert nämlich 37* 288 Wilhelm Kreh, [76] immer geraume Zeit, bis ein Perianth zerfallen ist; häufig wachsen in dieser Zeit einige Stellen auf direktem Wege zu Sprossen aus. Es ist nun nicht unwahrscheinlich, dafs auch die Zellen, an denen äufserlich nichts wahr- genommen werden kann, in dieser Zeit gewisse Veränderungen erfahren. Dafür spricht auch, dafs aus den Zellen, die durch Plasmolyse in verhältnis- mälsig kurzer Zeit isoliert wurden, Bildungen in solcher Mannigfaltigkeit nicht hervorgehen. Sehr leicht lassen sich Sprofsvorkeime bei Cephalozia bieuspidata erzielen; beide Methoden, die Zellen zu isolieren, führen zum Ziele. Öfters findet man, dafs auch dann Sprofsvorkeime entstehen, wenn zwei bis drei, ja bis vier lebendige Zellen nebeneinander liegen. Ähnlich wie bei der direkten Regeneration dieser Art teilt sich auch die isolierte Zelle oft durch einige Wände, und erst eine der Toochterzellen wächst zum Vorkeim aus (Taf. V, Abb. 1-5). Wenn mehrere der Tochterzellen Vorkeime bilden, entstehen oft ganz seltsame Gebilde (Taf. V, Abb. 4,5). In anderen Fällen aber kann die Zelle auch direkt einen Vorkeim erzeugen. In diesem Falle stimmt der Sprofsvorkeim genau überein mit dem Sporenvorkeime. Bei beiden wird ein aus vier bis zehn Zellen bestehender Zellfaden gebildet, dessen jüngste Zelle durch drei schiefe Wände eine dreischneidige Scheitel- zelle erzeugt. Gewöhnlich wachsen nicht schon die ersten, sondern erst spätere Segmente zu rudimentären Blättern aus (Taf. V, Abb. 3). Die von mir beobachtete Sporenkeimung stimmt übrigens nicht überein mit der von Hofmeister beschriebenen (1851). Bei Scapania nemorosa und dentata entstanden aus isolierten Zellen bald direkt Zellkörper, bald auch zuvor Zellfäden, die oft eine bedeutende Länge erreichten (Taf. V, Abb. 6). Dieselbe Erscheinung findet sich auch bei der Keimung der Sporen. Bei beiden Gebilden konnte man auch beobachten, dafs ein Zellkörper wieder in einen Keimfaden überging (Taf. V, Abb. 7, 14). Typische Zellfäden bildeten bei Lophozia incisa die Zellen eines zer- fallenen Archegons (Taf. V, Abb. 8), bei Nowellia curvifolia die eines zer- fallenen Blattes. Von besonderem Interesse waren natürlich die Formen, bei deren Sporenkeimung kein Zellfaden gebildet wird. Von solchen wurde Radula [77] Über die Regeneration der Lebermoose. 289 complanata und Ptilidium ciliare untersucht. Wie zu erwarten ist, stimmt auch hier Spro[s- und Sporenvorkeimbildung durchaus überein. Bei der ersteren ist sie aulserdem noch identisch mit der Brutknospenentwicklung und der direkten Regenerationssprofsbildung. Bei Ptilidium ciliare erhält man isolierte Zellen sehr leicht, da an den Fäden, in die die Blätter aus- laufen, oft einige Zellen absterben und dadurch andere isolieren. Auch hier stimmt die Entwicklung dieser isolierten Zellen mit der direkten Regenerationssprolsbildung überein. Von keimenden Sporen konnten leider nur zehn bis zwölfzellige Stadien erzielt werden, dann ging die Kultur zu Grunde. Bis zu diesem Zeitpunkt liefs sich aber kein Unterschied zwischen Sprols- und Sporenvorkeimen entdecken. Von anacrogynen Jungermanniaceen gelang es, bei Aneura palmata und Metzgeria furcata durch Zerfall des Mutterthallus isolierte Zellen zu erhalten. In beiden Fällen stimmten die Sproßvorkeime durchaus mit den Sporenvorkeimen überein. Bei der ersteren wurde bald ein Keimfaden, bald direkt ein Zellkörper gebildet (Taf. V, Abb. 9, 10). Auch in der Natur kommt es zuweilen zur Bildung von Sprofs- vorkeimen. Einige Fälle finden sich in der Literatur angegeben. Leitgeb (1874, II, S. 38) fand an alten Stengeln von Cephalozia bicuspidata, dafs die Oberflächenzellen der Ventralseite zu Schläuchen ausgewachsen waren, die an ihrer Spitze junge Pflänzchen gebildet hatten; es kann kein Zweifel daran bestehen, dafs es sich hier um Zellen handelte, die durch die im Gefolge des Alters sich einstellenden Degeneration isoliert worden waren. Ähnliche Bildungen beschreibt Goebel (Flora, 1898) bei Metzgeria furcata, bei der fadenförmige Adventivbildungen am Rande von Sprossen auftraten, deren Zellen zum grölsten Teile abgestorben waren. Ganz kurz erwähnt er (1898, S. 278) eine solche Bildung bei einer tropischen Lejeunea. Auch ich habe in der Natur eine ganze Reihe von Sprofsvorkeimen gefunden: alte Blätter und Perianthe von Lophocolea cuspidata und heterophylia waren oft dicht bedeckt mit ihnen; bei der Zersetzung dieser Organe werden nämlich sehr oft einzelne Zellen durch Absterben der umgebenden Elemente isoliert (Taf. III, Abb. 11). Seltener fanden sich diese Bildungen an alten Perianthen und Blättern von Scapania memorosa, sowie an Perianthen von Cephalozia bicuspidata. 290 Wilhelm Kreh, [78] In seiner Organographie (1898, S. 40) hat Goebel auf die Tatsache hingewiesen, dafs die Lebermoose im Unterschied von den Laubmoosen die Regenerationssprosse direkt bilden, während bei diesen das bei der Sporen- keimung entstehende Jugendstadium vorausgeht. Er ist der Ansicht, dafs sich unter geeigneten Bedingungen die Bildung desselben auch bei den Lebermoosen erzielen lasse; und zwar glaubt er, dafs dabei als ausschlag- gebender Faktor eine Schwächung des Organs nötig sei (1896). Die Richtig- keit dieses Gedankens suchte Schostakowitsch experimentell zu prüfen. Von der Tatsache ausgehend, dafs die Sporen verschiedener Lebermoose je nach der Intensität der Beleuchtung, der sie bei der Keimung ausgesetzt werden, bald einen Zellfaden, bald direkt einen Zellkörper bilden, kultivierte er ab- getrennte Blätter im Halbdunkel; allein entgegen seinen Erwartungen traten keine Vorkeime auf. Auch ich habe gefunden, dafs sich diese Ansicht mit den Tatsachen nicht deckt. Sehr oft bildet eine Gruppe von alten, kränk- lich aussehenden Zellen einen, wenn auch schmächtigen, Sprofs, während eine isolierte, gesunde Zelle zu einem Vorkeim auswächst. Das wesentliche bei der Vorkeimbildung ist also nicht die Schwächung, sondern die Isolation, wie sie auch bei den Sporen verwirklicht ist; freilich kann man die Isolation von Zellen, die sich im Verbande befinden, kaum erreichen ohne eine Schwächung des Gewebes. Die Tatsache, dals Organe unter ungünstigen Lebensbedingungen zerfallen und dafs die isolierten Zellen sieh weiter entwickeln, kann man in Beziehung bringen zu der längst bekannten Erscheinung, dals zum Ge- deihen des Sporenvorkeims weit weniger günstige Lebensbedingungen nötig sind, als zur Bildung des eigentlichen Pflänzchens.. Man kann die äulseren Bedingungen so regulieren, dafs zwar der Vorkeim noch gut gedeiht, dafs es aber nicht mehr zur Bildung eines Pflänzchens kommt. Andererseits kann man die erwachsene Pflanze in Bedingungen bringen, in denen sie nicht existieren kann, infolge deren sie vielmehr in ihre einzelnen Zellen zerfällt, die ihrerseits unter denselben Bedingungen wachsen und gedeihen. [79] Über die Regeneration der Lebermoose. 29: B. Marchantiaceen und Ricciaceen. Von den Marchantiaceen wurde bis jetzt erst bei Preissia commutata, und zwar von Hansel (1876), die Bildung von Sprofsvorkeimen beobachtet, Goebel (1898, S. 206) gibt eine nähere Beschreibung der Erscheinung, dafs bei jungen, noch mit zweischneidiger Scheitelzelle wachsenden Pflänzchen diese wieder zu einem Keimschlauch auswachsen kann. Er sagt darüber: „Solange dieses Pflänzchen noch auf dem einfachen Jugendstadium ist, wobei der Vegetationspunkt mit zweischneidiger Scheitelzelle wächst, kann es zur Rückkehr zur Keimschlauchbildung veranlafst werden. Sobald aber die Folgeform der Pflanze erreicht ist, hört auch die Fähigkeit der Rück- kehr zur Keimschlauchbildung auf.“ Mit dieser Ansicht stehen die folgenden Beobachtungen nicht in Einklang. Schon Schostakowitsch hat nachgewiesen, dafs das Auswachsen der Scheitelzelle zu einem Keimschlauche jederzeit durch Verminderung der Beleuchtung erzielt werden kann. Auch ich habe sehr oft in Sporenkulturen von Preissia commutata dieses Auswachsen der Scheitelzelle beobachtet. Besonders deutlich war es bei einer Kultur, die von einer Alsendecke überwuchert war, zu sehen, wie aus den Scheitelzellen Keimschläuche hervorgingen, die die Algendecke durchbrachen und dem Licht entgegenwuchsen. Oft kam es vor, dals sich an den neugebildeten Pflänzchen derselbe Vorgang wiederholte, entsprechend dem fortschreitenden Wachstum der Algenschicht. Vermutlich wurde diese Erscheinung durch die verminderte Beleuchtungsintensität hervorgerufen: von den Algen befreit, wuchsen die Pflänzchen normal weiter. Übrigens wurde diese Erscheinung nicht nur bei der Scheitelzelle, sondern auch bei anderen Zellen der jungen Pflänzchen wahrgenommen (Taf. V, Abb. 11). Einmal entsprangen sogar drei Keimschläuche gleichzeitig der Scheitelregion (Taf. V, Abb. 12). Die- selbe Erscheinung wurde auch bei Neesiella rupestris beobachtet (Taf. V, Abb. 15). Sehr häufig traten Sprofsvorkeime an älteren, aber immer noch mit zweischneidiger Scheitelzelle wachsenden Pflänzchen von Preissia commutata auf, die des Scheitels beraubt worden waren. Trotzdem die- selben an diesem normale Regenerationssprosse bildeten, entstanden doch, gewöhnlich nach geraumer Zeit, am basalen Ende Sprofsvorkeime, und zwar mit Bevorzugung des um diese Zeit erst angedeuteten Mittelnerven. 292 Wilhelm Kreh, [80] Diese Erscheinung konnte nur mit der an der Basis beginnenden Zersetzung der Thallusstücke und der dadurch hervorgerufenen Isolierung der Zellen zusammenhängen. Daraus ging hervor, dafs es, um Sprofsvorkeime zu er- zielen, genügt, junge Pflänzchen in kleine Stücke zu zerschneiden und diese zur Regeneration zu bringen. Infolge der beginnenden Zersetzung lockerte sich der Zusammenhang zwischen den Zellen; nie lösten sich jedoch gesunde Zellen ganz aus dem Verbande heraus, und nur selten befand sich eine lebende Zelle rings von toten umgeben. Diese Lockerung genügte jedoch, um die Zellen zur Bildung von Keimschläuchen zu veranlassen (Taf. III, Abb. 17, 18). Ebenso leicht wie bei Preissia commutata gelang es bei Neesiella rupestris, auf diese Weise Sprolsvorkeime zu erzielen. Bedeutend weniger neigte Marchantia polymorpha dazu. Gewöhnlich besafsen die ge- bildeten Sprolsvorkeime nur einen sehr kurzen Keimschlauch; nur selten erreichte er die Länge, die er bei den anderen Formen aufweist (Taf. V, Abb. 15). Übergänge zu direkt gebildeten Sprossen fanden sich bei Mar- chantia polymorpha häufig (Taf. V, Abb. 16). Nur in einem Falle wurde die Bildung eines Keimschlauchs bei Reboula hemisphaerica beobachtet. Um die Frage zu entscheiden, ob auch alte T'hallusstücke noch fähig sind, Sprols- vorkeime zu bilden, wurden von Preissia commutata solehe Stücke in der- selben Weise behandelt,.wie die jungen. Das Ergebnis war, wie erwartet. Wenn auch gewöhnlich auf direktem Wege Regenerationssprosse gebildet wurden, so fand sich doch hie und da, dafs aus kleinen, nur noch aus ein paar lebenden Zellen bestehenden Stückchen typische Sproßsvorkeime hervor- gegangen waren. Zwischen alten und jungen Zellen besteht also nur ein gradueller Unterschied, insofern die letzteren viel leichter Sprofsvorkeime bilden als die ersteren; die Fähigkeit dazu selbst besitzen aber beide. Die erhaltenen Sprofsvorkeime wurden sowohl mit den selbstgezüchteten Sporenvorkeimen, als auch mit der von Hansel (1876), Leitgeb (1876) und Kny (Botanische Wandtafeln XC) gegebenen Schilderung der Keimung von Preissia, Neesiella und Marchantia verglichen; es ergab sich, dals Sprols- und Sporenvorkeim durchaus miteinander übereinstimmen (Taf. V, Abb. 19, 20). Auch in ihrem physiologischen Verhalten war dies der Fall. Die Sprols- vorkeime wuchsen genau so dem Licht entgegen,. wie dies Leitgeb (1876) für die Sporenvorkeime beschrieben hat. Der Keimschlauch erreichte oft [81] Über die Regeneration der Lebermoose. 293 eine aulserordentliche Länge. So fand sich bei Preissia commutata einer, dessen Länge 2,6 mm betrug (Taf. V, Abb. 21). Da der Keimschlauch nur aus einer Zelle besteht und keine oder nur wenige Chlorophylikörner ent- hält, so kann man ihn leicht mit einem Rhizoid verwechseln. Tatsächlich finden sich auch einige Fälle in der Literatur, zwar nicht bei den Marchan- tiaceen, sondern bei den Ricciaceen, wo dies vorgekommen sein dürfte (siehe unten). Besonderes Interesse beansprucht Zegatella conica. Bei ihr haben die Sporen, wenn sie das Sporangium verlassen, bereits gekeimt und unter Übergehung des Keimschlauehstadiums einen gewöhnlich achtzelligen Körper gebildet. An diesem entsteht nach Bolleter (1905) in dem am stärksten belichteten Oktanten eine dreischneidige Scheitelzelle, die die Pflanze erzeugt. Es war von Interesse, zu prüfen, ob der Sprofsvorkeim dieselbe Ausnahme machen würde. Es zeigte sich, dafs, obwohl die gleichen Bedingungen, unter denen sonst Sproßsvorkeime leicht entstehen, vorhanden waren, obwohl junge Pflänzchen fein zerhackt wurden und obwohl die Kultur von Algen überwuchert wurde, doch nie ein Keimschlauch, sondern stets direkt ein Regenerations- spro[s gebildet wurde, wenn dieser oft auch sehr klein und schmächtig war. Die Mutterzelle teilte sich zuerst in vier, dann durch Wände parallel der Thallusfläche in acht Zellen; in diesem Stadium glich der Sprofßs durchaus der Spore in dem Zeitpunkte, wo sie die Kapsel verläfst (Taf. V, Abb. 22). Dann aber entwickelte er sich anders weiter, insofern sich nicht blofs einer der Oktanten, sondern alle vier oberen Oktanten regelmälsig weiter teilten. Nur ein einziges Mal fand sich ein Fall, wo sich nur zwei Oktanten, nie aber ein solcher, wo sich nur einer weiter entwickelt hatte. Über die Rieeiaceen enthält die Literatur mehrere interessante Notizen. So gibt Leitgeb (1874 IV, S. 24) an, dafs Fellner bei Ficeia glauca ge- funden habe, dafs sich an der Spitze von Rhizoiden junge Pflänzchen gebildet haben, und zwar in gleicher Weise, wie an der Spitze des Sporenkeimschlauchs. Fellner (1875) selbst schreibt vorsichtiger Weise nur, dafs an älteren Rieeienpflänzchen einzelne Zelien zu „rhizoidenähnlichen“ Schläuchen aus- gewachsen seien; an der Spitze dieser Schläuche sei durch eine Zellwand eine Zelle abgetrennt worden, die sich weiter geteilt und ein junges Pflänzchen geliefert habe. Dieser Vorgang stimme durchaus überein mit der Sporen- Nova Acta XC. Nr.4 33 294 Wilhelm Kreh, [82] keimung. Es kann keinem Zweifel unterliegen, dafs es sich hier um typische Sprofsvorkeime handelte. Fellner gibt an, dafs er auch in der freien Natur zahlreiche, auf diese Weise gebildete junge Pflänzchen gefunden habe. Trotz- dem ich über ein Jahr lang Kiceia glauca in Menge kultiviert habe und auch reichlich Gelegenheit hatte, sie in der Natur zu beobachten, fand ich doch niemals an ihr einen Sprofsvorkeim. Wohl aber war zu beobachten, dafs an abgestorbenen Pflänzchen einige Zellen lebendig blieben und nun auf direktem Wege Regenerationssprosse bildeten. Dagegen gelang es, bei einer anderen Riceiacee, Ricciacarpus natans, die Bildung von Sprolsvorkeimen zu beobachten. Wahrscheinlich wurde sie bei dieser Form schon früher gefunden. Leitgeb (1874 IV, S. 34) gibt nämlich an, dafs Lindenberg bei dieser Art „gegliederte Rhizoiden“ beobachtet habe und aufserdem an der Spitze von gewöhnlichen Rhizoiden sich Knospen (,„Wurzelsprossen“) habe entwickeln sehen. Leitgeb selbst konnte nie eine der beiden Bildungen wiederfinden. Auch hier darf man wohl die Vermutung aufstellen, dafs Lindenberg Sprofsvorkeime vor sich hatte. Ich selbst habe sie bei der Regeneration der Unterschuppen in mehreren Fällen beobachtet, in denen durch Absterben der umgebenden Zellen einzelne Zellen isoliert worden (Taf. V, Abb. 23). Es fand sich sogar ein Fall, wo sich ein Keimschlauch gebildet hatte, obwohl die Mutterzelle rings von lebenden Zellen umgeben war. Einmal wuchs auch ein normal angelegter Spro[s nachträglich wieder zu einem Keimschlauch aus. Bei diesen Sprofsvorkeimen tritt im allgemeinen schon recht früh eine zweischneidige Scheitelzelle auf, durch deren Tätig- keit das weitere Wachstum des Sprosses vermittelt wird. Poilarität der isolierten Zelle. Wie schon erwähnt wurde, wächst häufig die durch Absterben der Nachbarelemente isolierte Zelle nicht in ihrer ganzen Oberfläche zu einem Vorkeim aus, sondern teilt sich vorher. Bei Lophocolea heterophylla tritt fast immer eine Wand senkrecht zur Längsachse der Zelle auf; gewöhnlich wächst dann nur eine der beiden Toochterzellen zu einem Vorkeim aus. Bei Cephalozia bieuspidata teilt sich entweder die Zelle auch vorher und zwar, wenn sie besonders langgestreckt ist, oft in mehrere Zellen, und eine dieser [83] Über die Regeneration der Lebermoose. 295 Tochterzellen erzeugt nun einen Vorkeim, oder aber die noch ungeteilte Zelle bildet an einer der Wände eine Verwölbung und während dieses Vor- ganges tritt die Zellteilung auf. Auch in diesem letzteren Falle läfst sich also leicht entscheiden, welcher Teil der ursprünglichen Zelle, der apikale, mittlere oder basale, sich weiterentwickelt hat. Das sich bietende Material wurde daher dazu benutzt, über die Polarität der Zelle einige Untersuchungen anzustellen. Wenn man bedenkt, da/s der polare Bau eines Organs nur auf dem polaren Bau seiner Elementarbestandteile beruhen kann, so mu/[s man folgern, dafs in demselben Maße, in dem die Organe polar regenerieren, dies auch die Zellen tun müssen (vgl. hierzu Vöchting 1878, I, S. 107). Den direkten Beweis für diese Anschauung hat Vöchting, wie ich schon in der Einleitung kurz erwähnte, durch seine Untersuchungen über Trans- plantation erbracht. So war er durchaus berechtigt zu der Folgerung (1906, S. 143), dafs, wenn eine einzige, aus dem Verband gelöste Cambium- zelle regenerationsfähig wäre, sie am apikalen Pol einen Sprofs, am basalen dagegen eine Wurzel produzieren würde. Diesen Versuch bei höheren Pflanzen auszuführen, ist mit den bisher angewandten Hilfsmitteln kaum möglich, wohl aber lies sich die Richtigkeit dieser Anschauung durch Ver- suche mit den isolierten Lebermooszellen stützen. Man mulßs sich freilich bei diesen Untersuchungen bewulst sein, daß der Wert des Ergebnisses durch einige Faktoren beeinträchtigt wird. Ein- mal ist durch viele Versuche bewiesen, dafs der Zustand, in dem sich ein Organ befindet, von grofsem Einfluls auf die Art und Weise ist, wie sich die Polarität in der Regeneration zeigt. Es war anzunehmen, dafs die Struktur von so empfindlichen Organismen, wie es gerade die Jungermanniaceen sind, durch diese schwere Mifshandlung beeinflufst und verändert werden würde. Dazu kommt ein weiteres. Die Zellen von Cephalozia bieuspidata, mit der hauptsächlich experimentiert wurde, neigen, wie schon erwähnt, da- zu, den Keimschlauch nicht nach oben und unten, sondern nach der Seite in das Lumen der benachbarten toten Zellen hineinzusenden; dies findet ohne Rücksicht auf apikalen oder basalen Pol der Zelle stets dort statt, wo zu- erst eine Zelle abgestorben ist. Man muls nun annehmen, dafs das Absterben der eine lebendig bleibende Zelle umgebenden Elemente sich nicht ganz gleichmäfsig vollzieht, dafs vielmehr bald ein oberes, bald ein mittleres oder 38* 296 Wilhelm Kreh, [84] unteres Element zuerst abstirbt. Diese zeitliche Differenz ist aber zweifellos von Einflufs auf den Ort der Entstehung der Sprosse. Freilich dürfte sich bei einer größeren Anzahl von Fällen die Wirkung dieses Faktors ungefähr aufheben. Trotz dieser Faktoren haben die Untersuchungen doch ein interessantes Ergebnis geliefert. Von Oephalozia bicuspidata wurden isolierte Zellen von Stengel, Blatt und Perianth untersucht. Während die beiden letzteren Organe durchaus an der Basis regenerieren, drückt sich in der Regeneration des Stengels die Polarität weit schwächer aus. Die isolierten Zellen der drei Organe verhalten sich nun folgendermalsen: : Sprolsvorkeim Organ Zunge Scheitel |in der Mitte |an der Basi Zellen am Scheitel |in der Mitte |an der Basis entstanden Stengel . . . . 61 30 8 WAE Blatty Se 58 13 3 42 Berianthear.r 28 al | 32 2 83 Man kann also bei den Zellen von Blatt und Perianth eine deutliche Bevorzugung der Basis (Taf. V, Abb. 24), bei denen des Sprosses nur eine schwache des Scheitels feststellen; das Verhalten der isolierten Zellen ent- spricht also dem der Organe. Ein Teil der apolar entstandenen Vorkeime ddarf wohl auf Rechnung der oben beschriebenen Bedingungen gesetzt werden. Trotz dieser drückt sich der tiefgreifende Unterschied, der besteht in der Struktur dieser äufserlich vollständig gleichen Zellen der verschiedenen Organe, klar und deutlich in den obigen Zahlen aus. Aulfser mit Cephalozia bieuspidata wurden noch mit Lophocolea hetero- phylla Versuche angestellt, und zwar hier nur mit Blatt und Stengel. Während bei der Regeneration der ganzen Organe der Stengel eine ausgeprägte Polarität zeigt, treten bei den Blättern die Sprosse beliebig mit Bevorzugung des Randes auf. Für die isolierten Zellen ergab sich folgendes Resultat: von 200 untersuchten Blattzellen wuchsen 30 in ihrer ganzen Oberfläche zu einem Vorkeim aus, bei den andern 170 trat zuerst eine Wand senkrecht zur Längsrichtung der Zelle auf, die gewöhnlich mit der des Blattes über- einstimmt. Von den beiden Tochterzellen entwickelte sich in 87 Fällen die [55] Über die Regeneration der Lebermoose. 297 apikale, in 73 die basale, in 10 Fällen wuchsen beide aus. Die Stengel- zellen waren gewöhnlich länger als die Blattzellen; sie teilten sich daher häufig in mehrere Zellen. Von 62 isolierten Zellen entstanden nun bei 45 die Sprolsvorkeime am apikalen Pole, bei 5 in der Mitte und bei 12 am basalen Pole. Man sieht, auch hier entspricht die Regeneration der isolierten Zelle der Regeneration des Organs. Interessant ist auch ein Vergleich der Ergebnisse beider Arten: bei den polar regenerierenden Blättern von Cepha- lozia bicuspidata regenerieren auch die Zellen polar, bei den nicht polar regenerierenden Blättern von Lophocolea heterophylla ist dies auch bei den Zellen nicht der Fall. Von_-den beiden Stengeln regeneriert der von Lopho- colea heterophylla viel ausgeprägter polar als der andere; dieselbe Erscheinung zeigt sich auch bei den Zellen dieser Organe. Diese Versuche bilden somit eine starke Stütze für die oben dargelegte Vöchtingsche Ansicht. /usammenfassung der Ergebnisse, 1. Sämtliche untersuchte Arten der Isebermoose besitzen die Fähiskeit der Regeneration, die Fähigkeit, an abgetrennten Stücken neue Sprosse zu erzeugen. 2. Sämtliche Organe der Lebermoose sind der Regeneration fähig, also Thhallus, Stengel, Blatt, Perianth, Archegon, Sporogon, Schuppe, Trichom- gebilde und Rhizoid. Es gelingt aber nicht, bei jeder Art jedes Organ zur Regeneration zu bringen. Bei keiner Art regenerierten sich die Antheridien. 3. Bei den vegetativen Organen sind sämtliche, topographisch ver- schiedenen Zellen der Regeneration fähig. Noch nicht nachgewiesen ist dies bei den Geschlechtsorganen und dem Sporogon. Eine Teilung zwischen Protonema erzeugenden und dazu unfähigen Zellen, wie bei den Laubmoosen, findet sich bei den Lebermoosen nicht. 4. Die Polarität äufsert sich bei der Regeneration der Lebermoose nicht so streng, wie bei den höheren Pflanzen, vielmehr sind die Verhältnisse noch etwas schwankend ihrer niederen Stellung im System entsprechend; doch tritt der Unterschied zwischen Organen mit begrenztem und solchen mit unbegrenztem Wachstum stets deutlich hervor. 5. Zu den streng polar regenerierenden Lebermoosen gehören die Rieciaceen. Die Regenerationssprosse entstehen fast ohne Ausnahme am apikalen Pole der Thallusstücke, an dem hier gewöhnlich nur angedeuteten Mittelnerven, sowohl auf der morphologischen Unter- als auch Oberseite, jedoch mit Bevorzugung der ersteren. [87] Wilhelm Kreh, Über die Regeneration der Lebermoose. 299 6. Nicht so streng, aber immerhin deutlich erkennbar ist bei der Regeneration der Anthocerotaceen der Scheitel bevorzugt. 7. Bei den anacrogynen Jungermanniaceen lälst sich, entsprechend der steigenden Differenzierung des Thallus, eine zunehmende Bevorzugung des apikalen Poles in der Regeneration erkennen. Parallel damit geht eine Beschränkung der Regenerationssprosse auf die morphologische Unterseite und hier wieder auf den Mittelnerven. 8. Bei der Regeneration des Stengels der acrogynen Jungermanniaceen drückt sich die Polarität sowohl in der Zahl, als auch der Gröfse der Regenerationssprosse aus. Stets ist die Zahl der Sprosse am apikalen Pole -grölser als am basalen, häufig sind die ersteren auch grölser als die letzteren. Die Basis des Stengelstücks zeigt ihrerseits. wieder eine Bevorzugung gegen- über der Mitte. Von dieser Regel fand sich nur eine einzige Ausnahme (Marsupella emarginata). 9. Bei den Blättern ist die beliebig über die Blattfläche zerstreut Regenerationsprosse bildende Mehrheit durch alle Übergänge verbunden mit Formen, die streng polar an der Basis regenerieren. Eine Gruppe für sich bilden die am Blattrande regenerierenden Formen. Eine besondere ana- tomische Differenzierung läfst sich bei diesen Randzellen ebenso wenig erkennen, wie bei den sich weiter entwickelnden Zellen der an beliebigen Stellen regenerierenden Blätter. 10. Nie bilden sich an Blättern, die sich noch in ungestörter Ver- bindung mit dem Stengel befinden, Regenerationssprosse. 11. Bei den Perianthen ist, im Gegensatz zu den Blättern, die Zahl der Formen grölser, die sich polar an der Basis regenerieren. Nur eine Form, Aplozia lanceolata, macht eine Ausnahme, insofern bei ihr die Regenerations- sprosse beliebig auftreten. Eine Sonderstellung nehmen die Formen ein, deren Blätter sich am Rande regenerieren. Ihre Perianthe bilden die Regenerationssprosse am apikalen Rande. Schneidet man diesen weg, so zeigt sich eine Bevorzugung der Basis. 12. Bei den Brutbildungen erzeugenden Organen kann man zwei Gruppen unterscheiden: die Brutzellen tragenden Blätter stellen, vom 300 Wilhelm Kreh, [88] Stengel abgetrennt, die Bildung derselben ein und produzieren Regenerations- sprosse an denselben Stellen, wo sie auch bei den normaien Blättern ent- stehen. Die Brutkuchen bezw. Brutwarzen tragenden Organe dagegen unter- brechen die Produktion dieser Gebilde nicht; bei den ersteren werden sie vollends normal ausgebildet, bei den letzteren wandeln sie sich in Sprosse um. 13. Auch bei den Archegonien zeigt sich eine Bevorzugung der Basis in der Regeneration. 14. In keinem einzigen Fall ist es mir gelungen, Sporogone zur Regeneration zu veranlassen. 15. Rhizoiden lassen sich nur, solange sie noch jung sind, in Sprosse umwandeln. 16. Bei den Marchantiaceen sind auch Schuppengebilde, Epidermis und Assimilationsgewebe der Regeneration fähig. Bei dem letzteren ist die aulserordentlich geringe Neigung zur Regeneration auffallend, bei den ersteren ist sie verständlich. 17. Die Regenerationssprosse entstehen bei den acrogynen Junger- manniaceen stets nur aus einer Zelle, bei den andern Familien kommen Formen vor, wo sie nur aus einer Zelle und solche, wo sie aus mehreren hervorgehen, endlich auch solche, wo sie bald aus einer, bald aus mehreren sich bilden. 18. Die Entwicklung der Sprosse stimmt weitgehend überein mit der Sporenkeimung. Charakteristisch ist, dafs stets das Keimfadenstadium übersprungen wird. wenn das regenerierende Stück aus mehreren Zellen besteht. Bei isolierten Zellen dagegen wird stets ein Keimfaden gebildet, falls die betreffende Art auch bei der Sporenkeimung einen solchen erzeugt. Sporenkeimung und Entstehung von Sprossen aus isolierten Zellen (Sprofs- vorkeimbildung) stimmt also in allen wesentlichen Punkten überein. 19. Die Polarität drückt sich bei der Regeneration der isolierten Zelle in dem Ort aus, an dem der Keimschlauch aus der Zelle hervorgeht. Bei Organen mit unbegrenztem Wachstum entsteht er also mit Vorliebe am Scheitel, bei solchem mit begrenztem an der Basis der Zelle. Die Polarität der isolierten Zelle entspricht der ihres Organs. € [89] Über die Regeneration der Lebermoose. 301 20. Fälle von echter Regeneration, von Regeneration im engsten Sinne waren nie zu beobachten, ebensowenig die Bildung von Wundgewebe. 21. Auch in der Natur kommen verhältnismäßig häufig Fälle von Regeneration vor. Die bei der künstlichen Regeneration stattfindenden Ein- griffe des Experimentierenden werden nur in seltenen Fällen durch tierische Verletzungen ersetzt. Gewöhnlich entsteht eine Isolation von Organen oder Gewebepartien oder auch Zellen infolge der beim Absterben der alten Pflanzen ungleichmälsig vor sich gehenden Zersetzung. Nova Acta XC. Nr. 4. 39 Di. vorliegende Arbeit wurde im "Tübinger Botanischen Institut aus- geführt. Meinem hochverehrten Lehrer, Herrn Prof. Dr. v. Vöchting, der mich auf dieses interessante Thema aufmerksam machte und mir bei seiner Ausarbeitung jederzeit zur Seite stand, sage ich auch an dieser Stelle herzlichen Dank. Ebenso danke ich Herrn Prof. Dr. Winkler für so manchen guten Ratschlag, den er mir während der Ausführung der Arbeit erteilte. Verzeichnis der Abbildungen. Tafel 1 (Tab. XX). 21. 22. Tafel 1 (Tab. XX). Riccia Lescuriana. Begeneration eines auf der morphologischen Unterseite liegenden Thallusstückes. Vergr. 4. Ricciocarpus natans. Regeneration eines auf der morphologischen Unterseite liegenden Thallusstückes. Vergr. 4. kiccia glauca. Entwicklung des Regenerationssprosses, jüngeres Stadium. Vergr. 180. Riccia glauca. Entwicklung des Regenerationssprosses, älteres Stadium. Vergr. 180. Riccia flwitans. Entwicklung des Regenerationssprosses, jüngeres Stadium. Vergr. 130. Reiccia fluitans. Entwicklung des Regenerationssprosses, älteres Stadium. Vergr. 130. Ricciocarpus natans. Regeneration einer Unterschuppe. Vergr. 70. Ricciocarpus natans. Entwicklung eines Regenerationssprosses. Vergr. 180. Olevea hyalina. Regeneration einer Hüllschuppe. Vergr. 35. Preissia hyalina. Normale Assimilationszellen. Vergr. 180. 12, 13, 14. Preissia hyalina. Regenerationserscheinungen an isolierten Assimilations- zellen. Vergr. 180. Marchantia polymorpha. Junges Pflänzchen, bei dem infolge ungünstiger Lebens- bedingungen (vgl. Text) die meisten Zellen abgestorben sind, die übrigen aber sich weiter entwickelt haben. Vergr. 32. Anthoceros dichotomus. Vegetationspunkt eines Regenerationssprosses. Vergr. 280. Aneura palmata. Regeneration eines Thallusstückes. Vergr. 18. (Der mittlere Ast war abgestorben.) Aneura palmata. Entwicklung des Regenerationssprosses, von der Seite gesehen. Vergr. 280. Aneura palmata. Entwicklung des Regenerationssprosses, von der Fläche gesehen. Vergr. 280. Aneura palmata. Regeneration eines der an den Archegonästen sitzenden Trichom- gebilde. Vergr. 120. Pellia Gottscheana. Regeneration eines auf der morphologischen Unterseite liegenden Thallusstückes. Dasselbe wurde zum Zeichnen umgedreht. Vergr. 4. Metzgeria furcata. Ein Flügelstück, dessen Randzellen bereits Zellen zur Bildung von Rhizoiden abgetrennt hatten, wurde abgetrennt, was zur Folge hatte, dafs die letzteren zu Sprossen auswuchsen. Vergr. 180. Nova Acta Acad.C.1.C.G. Nat. Cur Vol.XC. Tab.XX. u, ) ur S Bunte, Kan 2 2% ———, 7 Zı en St 7— EN Lith,Anst.v.Paul Schurdler, Leipzig W.Kreh : Lebermoose. Taf. 1. Tafel 2 (Tab. XX]). 1: 2, 4. 5 6 7 © @ 10. 1lle 12. 13. 14. 15. 16. 7% 18. 19: 20. 21. 22, 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. Tafel 2 (Tab. XXT. Aneura pinguis. Regeneration eines Thallusstückes. Vergr. 6. 3. Aplozia autumnalis. Regeneration von Stengelstücken. Vergr. 15. Diplophyllum albicans. Regeneration eines Blattes. Vergr. 40. Cephalozia bicuspidata. Regeneration eines Blattes. Vergr. 40. Scapamia nemorosa. Regeneration eines Blattes. Vergr. 17. Scapania nemorosa. Regeneration eines durch einen Schnitt senkrecht zur Längs- achse geteilten Blattes. Vergr. 17. Scapania nemorosa. Regeneration eines durch zwei Schnitte verletzten Blattes. Vergr. 17. Plagiochila asplenioides. Sprolsanlage, deren Zellen zu Rhizoiden ausgewachsen sind. Vergr. 250. Lophocolea bidentata. Sprolsentwieklung (Lophocoleatypus). Vergr. 280. Lophocolea bidentata. Derselbe Sprofs bei tieferer Einstellung des Mikroskops. Vergr. 280. Ptilidium eiliare. Die äulserste Zelle eines Blattfadens ist zu einem Rhizoid aus- gewachsen. Vergr. 250. Scapania memorosa. Erste Stadien der Sprolsentwicklung. Vergr. 280. Plagiochila asplenioides. Erste Stadien der Sprofsentwicklung. Vergr. 250. Lophocolea bidentata. Sprofsentwieklung. Der Sprols besteht aus zwei Stockwerken von Zellen. Vergr. 250. Scapania nemorosa. Sprolsentwicklung (Scapaniatypus). Vergr. 530. Scapania nemorosa. Derselbe Sprofs bei tieferer Einstellung des Mikroskops. Vergr. 530. Scapania nemorosa. Derselbe Sprofs bei Einstellung des Mikroskops auf die Mutterzelle. Vergr. 530. - Bazzania trilobata. Sprolsentwieklung (Scapaniatypus). Vergr. 480. Bazzania trilobata, Derselbe Sprols bei tieferer Einstellung des Mikroskops. Vergr. 480. Bazzania trilobata. Derselbe Sprofs bei Einstellung des Mikroskops auf die Mutterzelle. Vergr. 480. ‘ Plagioehila asplenioides. Sprolsentwicklung (Plagiochilatypus). Vergr. 250. Kantia trichomanis. Sprolsentwicklung (Plagiochilatyps). Vergr. 280. Kantia trichomanis, Derselbe Sprols bei tieferer Einstellung des Mikroskops. Vergr. 280. Kantia trichomanis. Sprolsentwieklung (Lophocoleatypus). Vergr. 280. Cephalozia bicuspidata. Sprolsentwicklung (Scapaniatypus). Vergr. 280. Cephalozia bieuspidata. Derselbe Sprofs bei tieferer Einstellung des Mikroskops. Vergr. 280. Cephalozia bicuspidata. Derselbe Sprols bei Einstellung des Mikroskops auf die Mutterzelle. Vergr. 280. Plagiochila asplenioides. Sprolsentwicklung. Vergr. 250. Lophozia quinquedentata. Sprolsentwicklung. Vergr. 280. Diplophyllum albicans. Sprolsentwieklung. Einstellung des Mikroskops auf die zweit- oberste Schieht. Vergr. 320. Aplozia hyalina. Sprofsentwicklung. Seitenansicht. Vergr. 280. Voraleta l\ead.C.1.C.6. Nat. Cur Vol. Vol.XC. Tab.XN. W.Kreh : Lebermoose. Taf‘. 2. Tafel 3 (Tab. XXI). Tafel 3 (Tab. XXID. Abb. 1. Lophozia incisa. Eine durch den Zerfall eines Archegons isolierte Zelle ist durch 2, I 12. 13. 14. 15. 16. 17% 18. 19. 20. 21. 6. 7 9 vier parallele Wände geteilt. Vergr. 190. 3, 4, 5. Cephalozia bicuspidata. Aus seitlichen Vorwölbungen von Zellen entstandene Sprosse. Vergr. 190. Cephalozia bicuspidata. Auf dieselbe Weise entstandene Rhizoiden. Vergr. 190. 8. Lepidozia reptans. Auf dieselbe Weise gebildete Sprosse. Vergr. 280. Frullania dilatata. Sprolsentwicklung. Vergr. 250. Radula complanata. Sprolsentwicklung. Vergr. 250. . Lophocolea cuspidata. Blatt, das in der Natur noch am Stengel sitzend gefunden wurde. Ein Teil der Zellen ist abgestorben; von den lebendig gebliebenen ist eine Anzahl zu Sprossen ausgewachten. Vergr. 60. Scapania nmemorosa. Auf einem Blatt eines alten Pflänzchens ist in der Natur ein Regenerationsspro[s entstanden. Vergr. 10. Diplophyllum albicans. Stielzellen am apikalen Ende eines Brutknospen tragenden Blattes. Vergr. 250. Diplophyllum albicans. An einem abgetrennten Blatt hat sich eine dieser Stielzellen weiter entwickelt. Vergr. 520. Scapania nemorosa. NRegenerationssprols, bei dem schon das erste zu einem Blatt ausgewachsene Segment Brutknospen trägt. Vergr. 520. Scapania nemorosa. Ein solches Blatt isoliert. Vergr. 520. Scapania nemorosa. Regeneration des Perianths. Vergr. 26. Lophozia incisa. Ein mit Regenerationssprossen versehenes Perianth wurde in der Natur aufgefunden. Vergr. 22. Lophozia quinquedentata. Regeneration des Perianths. Vergr. 12. Cephalozia bicuspidata. Regeneration des Perianths. Vergr. 25. Lophozia intermedia. Perianth, das an beiden Enden und aufserdem noch in der Mitte durch einen Schnitt verletzt wurde. Vergr. 8. Tab.XXH Nora Acta Acad.C.1.C.G.Nat.Cur Vol.XC. Sa0= S © % (N 0 0 N Lith.Anstv.Paui Schindler, i. W.Kreh : Lebermoose.Taf. 3. Noya Acta XC. Nr.4. Tafel 4 (Tab. XXI). Tafel 4 (Tab. XXI). Abb. 1, 2. Frullania dilatata. Junge Entwicklungsstadien der Brutwarzen. Vergr. 280. 3—10. Frullania dilatata. Ältere Entwicklungsstadien und ausgewachsene Brutwarzen. 19% 12. 13. 14. 15. Frullania dilatata. Ablösung der einzelnen Zellen der Brutwarzen. Vergr. 710. Frullania dilatata. Weiterentwicklung einer Brutwarze an einem abgetrennten Perianth. Vergr. 280. Cephalozia bicuspidata. Regeneration eines Archegons. Vergr. 84. Aplozia lanceolata. Regeneration eines Archegons. Vergr. 24. Lophocolea bidentata. Blattrand, dessen Zellen zu Rhizoiden ausgewachsen sind. Vergr. 180. , 16—21. Radula complanata. Verschiedene Entwicklungsstadien von in der Umbildung zu Sprossen begriffenen Rhizoiden. Vergr. von 16—20: 520; von 21: 190. 22—24. Lophocolea bidentata. In der Umbildung zu Sprossen begriffene Rhizoiden. 25. 26. 27. 28, Vergr. 280. Lophocolea cuspidata. Durch Zerfall eines Perianths isolierte Zellen haben sich weiter entwickelt. Vergr. 150. Lophocolea cuspidata. Eine solche Zelle hat einen normalen Sprols gebildet. Vergr. 150. Lophocolea heterophylla. Isolierte Zellen an alten Blättern sind zu Sprolsvorkeimen ausgewachsen. Vergr. 250. 29. Lophocolea cuspidata. Eine nicht isolierte Zelle eines Blattzipfels ist zu einem Sprofsvorkeim ausgewachsen. Vergr. von 28: 150; von 29: 280. 30—33. Chiloseyphus polyanthus. Durch Zerfall eines Perianths isolierte Zellen sind zu Sprolsvorkeimen ausgewachsen. Vergr. 220. Nora leta Acad.C.1.0.G.Nat.Cur Vol.XC. Tab.XXH. Lith.Anstv.Paul Schindler, Leipzig. W.AKreh : Lebermoose. Taf. 4. Tafel 5 (Tab. XXIV). Tafel 5 (Tab. XXIV). Abb. 1—3. Cephalozia bicuspidata. Durch Zerfall eines Perianths isolierte Zellen sind zu ” Sprolsvorkeimen ausgewachsen. Vergr. 180. 4, 5. COephalozia bicuspidata. Die isolierten Zellen haben sich geteilt und sind dann zu mehreren Sprolsvorkeimen ausgewachsen. Vergr. 150. 6, 7. Scapania dentata. Isolierte Zellen von alten Blättern sind zu Sprofsvorkeimen 8. ausgewachsen. Vergr. 260. Lophozia incisa. Eine durch Zerfall eines Perianths isolierte Zelle ist zu einem Sprolsvorkeim ausgewachsen. Vergr. 180. 9, 10. Aneura palmata. Durch Zerfall eines Astes isolierte Zellen sind zu Sprols- hl. 12. 13: 14. 15. 16. 17% 18. 192 20. 21. 22. 23. 24. vorkeimen ausgewachsen. Vergr. 160. Preissia commutata. Eine Zelle eines Sporenvorkeims ist zu einem Sprolsvorkeim ausgewachsen. Vergr. 150. Preissia commutata. Dasselbe ist der Fall bei drei in der Scheitelregion liegenden Zellen. Vergr. 100. Neesiella rupestris. Dasselbe ist der Fall bei zwei derartigen Zellen. Vergr. 160. Scapania nemorosa. Eine durch Zerfall eines Archegons isolierte Zelle hat zwei Sprolsvorkeime gebildet. Vergr. 190. Marchantia polymorpha. Sprolsvorkeim. Vergr. 160. Marchantia polymorpha. Übergang von Sprofsvorkeim zu normalem Sprols. Vergr. 160. Preissia commutata. Erstes Stadium eines Sprolsvorkeims. Vergr. 250. Neesiella rupestris. Sprolsvorkeim, an einem isolierten Thallusstückehen entstanden. Vergr. 160. a Preissia commutata. Entstehung des Pflänzchens am Sprolsvorkeim. Vergr. 160. Neesiella rupestris. Entstehung des Pflänzchens am Sprofsvorkeim. Vergr. 250. Neesiella rupestris. Sprof(svorkeim mit sehr langem Keimschlauch. Vergr. 150. Fegatella conica. Direkte Sprolsentwicklung. Vergr. 280. Ricciocarpus natans. Sprolsvorkeim aus einer Zelle einer Unterschuppe. Vergr. 180. Cephalozia bicuspidata. Polare Regeneration von isolierten Zellen. Vergr. 180. Nora Acta Acad.C.1.C.G.Nat.Cur Vol.XC. Tab.XXWV. 9 > ) 1286 == | 02 ba oo [09 u 2,00 tes] 0°] ©. 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