en che ” r N „ ee =, EORSTEIEZPREO DIE FOR EDVCATION FOR SCIENCE LIBRARY OF THE AMERICAN MUSEUM OF NATURAL HISTORY N od s ne tn h ar Heil Da er Tas a Kae N f Ba era? N MR N {1 K N nt I a da NOVA AUTA ACADEMIAE CAESAREAE LEOPOLDINO-CAROLINAE GERMANICAE NATURAE CURIOSORUM. TOMUS XCl. CUM TABULIS X. Abhandlungen der Kaiserlichen Leopoldinisch-Carolinischen Deutschen Akademie der Naturforscher. 91. Band. Mit 12 Tafeln. Halle, 1909. Buchdruckerei von Ehrhardt Karras in Halle a. S. h 10.2575. dııq .10: SEO ER Ser ll PET HIT BE RETTET) DR IISTURIE EN 217, 70 US OMERRIe Tree pi . „ 6 Seiner Majestät Wilhelm Il Deutschem Kaiser und Könige von Preufsen ihrem hohen Schirmherrn dem erhabenen Gönner und Beförderer aller wissenschaftlichen Arbeit des deutschen Volkes widmet die Kaiserliche Leopoldinisch-Carolinische Deutsche Akademie der Naturforscher diesen einundneunzigsten Band ihrer Abhandlungen durch den Präsidenten Dr. Albert Wangerin. Inhalt des XCI. Bandes. I. W. Ihlenburg: Über die geometrischen Eigenschaften der Kreis- bozenviereckegs ee ee ee en ee I. Christian Wiener: Die Helligkeit des klaren Himmels und die Beleuchtung durch Sonne, Himmel und Rüekstrahlung. (Fort- setzung und Schluls. Herausgeg. von Dr. H. Wiener, Dr. O. Wiener und Dr. M. Möbius) RB RS REN Rally ae: III. M. Bezzi: Fam. Empididae. Beiträge zur Kenntnis der süd- amerikanischen Dipterenfauna auf Grund der Sammelergebnisse einer Reise in Chile, Peru und Bolivia, ausgeführt in den Jahren 190219042 y0nSWSchnusen sr 82293408, RataRE S. 1—80. Taf. I—V. S. 81— 292. Taf. VI—XI. Vorstand der Kaiserlichen Leopoldinisch-Carolinischen Deutschen Akademie der Naturforscher. Gegründet am 1. Januar 1652. Deutsche Reichsakademie seit dem 7. August 1657. Präsidium. | J. Volhard in Halle a.S., Stellvertreter. A. Wangerin in Halle a. S., Präsident. Adjunkten. I. Kreis: J. Hann in Wien: | VII. Kreis: M. H. Bauer in Marburg. E. Mach in Wien: | IX. Kreis: E. H. Ehlers in Göttingen G. Stache in Wien. X. Kreis: K. Brandt in Kiel. I. Kreis: E. Wiedemann in Erlangen; XI. Kreis: J. Volhard in Halle. ; R. Hertwig in München. XU. Kreis: E. Haeckel in Jena. II. Kreis: K. B. Klunzinger in Stuttgart. XIH. Kreis: C. Chun in Leipzig; IV. Kreis: A. Weismann in Freiburg. F. Marchand in Leipzig. V. Kreis: G. A. Schwalbe in Stralsburg. XIV. Kreis: A. Ladenburg in Breslau. VI. Kreis: R. Lepsius in Darmstadt. XV. Kreis: C. A. Jentzsch in Berlin: VI. Kreis: E. Strasburger in Bonn. H. Waldeyer in Berlin. Sektionsvorstände und deren Obmänner. I. Mathematik und Astronomie: J. Lüroth in Freiburg, Obmann; R. Helmert in Potsdam; G. Cantor in Halle. Physik und Meteorologie: E. Riecke in Göttingen; E. Mach in Wien; J. Hann in Wien. III. Chemie: ©. Wallach in Göttingen, Obmann; H. Landolt in Berlin; J. Volhard in Halle. IV. Mineralogie und Geologie: F. Zirkel in Bonn, Obmann; H. Credner in Leipzig; W. Branca in Berlin. V. Botanik: H.G.A. Engler in Dahlem-Steglitz bei Berlin, Obmann; S. Schwendener in Berlin; Graf zu Solms-Laubach in Stralsburg. VI. Zoologie und Anatomie: F. E. Schulze in Berlin, Obmann; E. H. Ehlers in Göttingen; M. Fürbringer in Heidelberg. VII. Physiologie: S. Exner in Wien, Obmann; V. Hensen in Kiel; J. von Kries in Freiburg. ‚ VII. Anthropologie, Ethnologie und Geo- graphie: G. C. Gerland in Stralsburg, Obmann; A. Penck in Berlin: J. Ranke in München. IX. Wissenschaftliche Medizin: E. von Leyden in Berlin, Obmann: W. O. von Leube in Würzburg: H. Waldeyer in Berlin. A Aiapzall: Wr Pak na u. ” Mer} a FE al VER mac 2. PXB.;T DT wear Wunie nah ET 0 w dr v NONDATINE TEA. Abh. der Kaiserl. Leop.-Carol. Deutschen Akademie der Naturforscher. Band XCI. Nr. 1. Über die geometrischen Eigenschaften der Kreisbogenvierecke. Von W. Ihlenbureg. Mit 5 Tafeln. Nr. IV. Eingegangen bei der Akademie am 1. Juli 1908. HALLE. 1909. Druck von Ehrhardt Karras, Halle a.S. Für die Akademie in Kommission bei Wilh. Engelmann in Leipzig. A at ‚eh IRRE Da Urt 7 Vorbemerkung Einleitung Inhaltsangabe. 1. Begriff des Kreisbogenvierecks. Stellung der Aufgabe 2. Zusammenhang mit der Funktionentheorie 3. Historisches . I. Hauptteil. Algebraische Untersuchung . S S I. Hauptteil. S S Kapitel 1. 1. Die Kosinus und Sinus der Malszahlen 2. Die algebraischen Relationen und ihr Geltungsbereich Transzendente Untersuchung 1. Fragestellungen 2. Reduktions- und Erweiterungsprozesse . Konstruktion der Kreisbogenvierecke . A. Konstruktion der reduzierten Vierecke wm uRr Un UR Un D 3. Sätze über Kreisbogendreiecke 4. Geometrische Hülfsmittel 5. Konstruktion sämtlicher Vierecke, bei denen transversale Einhängungen möglich sind o 6. Konstruktion sämtlicher reduzierten Vierecke mit mehr als einer umlaufenden Seite 7. Reduzierte Vierecke mit nur einer umlaufenden Seite 8. Reduzierte Viereeke ohne umlaufende Seiten B. Direkte Konstruktion der allgemeinen Vierecke UN UR UN Un Kapitel I. Un 9. Geometrische Deutung der Vierecksparameter 10. Die Grenzlagen : 11. Die Konstruktion aller Vierecke mit denselben gegebenen Winkeln 12. Ausnahmefälle . Die Ergänzungsrelationen . 13. Prinzip bei der Ableitung der Ergänzungsrelationen . ; 1F 4 W. Ihlenburg, Über die geometrischen Eigenschaften der Kreisbogenvierecke. Ss 14. 8 15. UN 16. Die Ergänzungsrelationen der Vierecke, welche aus Grenzlagen erster Art entstehen Die Ergänzungsrelationen der Vierecke, welche aus Grenzlagen zweiter Art entstehen Die wesentlichsten Eigenschaften der vollständigen zu gegebenen Winkeln möglieben Schar von Vierecken . Herstellung des Kontinuums aller vorhandenen Vierecke Die Eindeutigkeitsfrage . Seite Vorbemerkung. Die Anregung zu den folgenden Untersuchungen hat das von den Herren Professoren Klein, Hilbert, Minkowski vom W.-S. 1905/06 bis zum S.-S. 1907 in Göttingen abgehaltene funktionentheoretische Seminar gegeben. Es gelangen im folgenden Gedanken zur Weiterentwicklung, die Herr F. Klein in einer im W.-S. 1893/94 gehaltenen Vorlesung „Über die hypergeometrische Funktion“ und in einer zweiten im S.-S. 1894 gehaltenen Vorlesung „Über lineare Differentialgleichungen der zweiten Ordnung“ entwickelt hat; man vgl. die bez. bei B. G. Teubner ausgegebenen Auto- graphieen. Wenn auf diese Vorlesungen Bezug genommen wird, soll dies durch (K) bezeichnet werden. [Eine vorläufige Mitteilung über die erzielten Resultate ist inzwischen bereits in den „Nachrichten der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen 1908“ erschienen.] Einleitung. 1. Begriff des Kreisbogenvierecks. Stellung der Aufgabe. Unter einem Kreisbogenviereck verstehen wir eine in einer Ebene ausgebreitete, einfach zusammenhängende, von vier Kreisbogen be- grenzte Fläche. Wird die Begrenzung so durchlaufen, dafs das Innere der Fläche zur Linken liegt, so folgen die vier besrenzenden Kreise in einer bestimmten Reihenfolge aufeinander. Je zwei aufeinanderfolgende Kreisbogen mögen sich unter reellen Winkeln schneiden, so dafs die Fläche vier Ecken erhält. Wir bezeichnen diese Ecken dem Umlaufssinn entsprechend mit a, b, c, d und die Winkel bezüglich mit «, £, y, d&. In den Ecken lassen wir Windungspunkte beliebig hoher Ordnung zu, im Innern der Fläche dagegen keine Windungspunkte. Werfen wir das Kreisbogenviereck durch stereo- graphische Projektion auf eine Kugel, so liegen die vier Begrenzungskreise in vier Ebenen ab, bc, cd, da, deren Inbegriff wir als „Kern“ (K) des Kreisbogen- vierecks bezeichnen. Wir stellen ihn wohl mit Hülfe des von den Ebenen ein geschlossenen Teetraöders am anschaulichsten vor. Das Kreisbogenviereck selbst erscheint als „Membran“ in diesen Kern eingehängt (Fig. 1). Wir definieren zwölf „Maalszahlen“ des Kreisbogenvierecks (K). Zur Bestimmung derselben wenden wir diejenige projektive Maalsbestimmung') an, deren Fundamentälfläche unsere Kugel ist. Wir bestimmen den Winkel 1) Cayley, sixth memoir upon Quanties, Phil. Transactions, t. 149, (1859); Collected math. Papers II, p. 561. Klein, Math. Ann. 4, 8. 573 ff. (1871). W. Ihlenburg, Über die geometrischen Eigenschaften der Kreisbogenvierecke. 7 zweier Ebenen, den Winkel zweier Geraden in einer Ebene und die Ent- fernung zweier Punkte durch den Ausdruck 5 log D, wo ;— Y—ı ist und D das Doppelverhältnis bedeutet, das im betreffenden Grundgebilde erster Stufe zwischen den beiden Elementen desselben, die zum Fundamental- gebilde gehören, und den beiden andern Elementen gebildet wird, deren Winkel oder Entfernung gemessen werden soll. Der Winkel zweier aufeinanderfolgender Ebenen unseres Kernes wird infolge dieser Mafsbestimmung der elementar gemessene Winkel der Kugeltangenten in diesen Ebenen, die von einem Durchstofspunkte der Schnittseraden der Ebenen ausgehen. Zwei aufeinanderfolgende Ebenen, z. B. ab und bc, schneiden sich in einer Geraden durch b, die Ebenen be und cd in einer Geraden durch c. Beide Geraden bilden in der Ebene be einen Winkel miteinander, den wir als „Seite“ unseres Kreisbogenvierecks bezeichnen. Die Seiten nennen wir ab, be, cd, da. Liegt der Scheitel der Seite innerhalb des dazu ge- hörigen Begrenzungskreises, so ist sie reell, liest er aufserhalb, so enthält sie einen imaginären Teil. Die Scheitel zweier aufeinanderfolgender Seiten sind zwei Eekpunkte des Tetra@äders. Ihre Entfernung nennen wir eine „Kante“ des Vierecks. Wir bezeichnen die Kanten mit A, B, 0, D. a,ß, 7, .d; ab, be, cd, da; A, B, C, D sind die zwölf Mafszahlen des Kerns oder des Kreisbogenvierecks. Sie bleiben bei jeder projektiven T'ransformation des Raumes ungeändert, welche die Kugel in sich selbst überführt. Jede solche Transformation be- zeichnen wir als „Bewegung“. Da im Sinne der Malsgeometrie die zwölf Mafszahlen einen Kern bestimmen, haben wir alle solche Kerne als äquivalent zu betrachten, welche durch eine Bewegung ineinander übergeführt werden können. Deuten wir die Ebene, in der die Membran zuerst gegeben war, als Ebene einer komplexen Variabeln n, so entspricht jede Bewegung einer linearen . ar D . AN . . . . Transformation 7, — + in dieser Ebene.') Diese Transformation ist eine ın+d Kreisverwandtschaft und führt demnach Kreisbogenvierecke wieder in Kreis- 1) Klein, Math. Ann. 9, Über binäre Formen mit linearen Transformationen in sich selbst (1875); Erlanger Programm 1872. fo) W. Ihlenburg, bogenvierecke über. Membrane, die sich durch eine derartige lineare Transformation ineinander überführen lassen, werden wir als identisch betrachten. — Von den sechs Kanten des 'Tetraöders haben wir die vier Kanten A, B, C, D herausgegriffen, welche zusammengenommen ein räumliches Vierseit bilden. Zwei aufeinanderfolgende Kanten liegen in einer Ebene. Die Winkel unserer Membran sind die Winkel je zweier aufeinanderfolgender Ebenen des Vierseits, die Seiten der Membran sind die Winkel je zweier auf- einanderfolgender Kanten des Vierseits, die Kantenlängen der Membran sind auch die des Vierseits. Die Maßzahlen des Kreisbogenvierecks sind dem- nach auch am Vierseit repräsentiert. Das Vierseit besitzt vier Ecken. Wir bezeichnen diejenige, welche den Scheitel von ab bildet, mit 1, die andern entsprechend mit 2, 3, 4. Durch Anrechnung ganzer und halber Perioden des log, die in log D enthalten sein können, treten nun zu den Mafszahlen Multipla von TI . . Be . . re . ar und 5 hinzu. Bei Abzählung dieser Zahlen benutzen wir ähnliche Fest- setzungen wie Study bei seiner Behandlung der sphärischen Trigonometrie.') Auf jeder Kante des Vierseits und auf jedem Schnittkreise der vier Ebenen des Vierseits mit der Kugel setzen wir eine Durchlaufungsrichtung als positiv fest. Von den beiden Schnittpunkten jeder Kante mit der Kugel markieren wir den, an welchem man bei positiver Durchlaufung der Kante an der Kugel von innen nach aulsen gelangt, und nennen diese Punkte der Reihenfolge der Kanten entsprechend a, b, c, d. An jedem dieser Punkte setzen wir als positiven Drehungssinn für die Ebenenwinkel den fest, der dem Uhrzeigersinn entgegengesetzt ist, wenn wir von aulsen auf die Kugel sehen. Die vier Geraden des Vierseits denken wir uns im Sinne der projektiven (reometrie im Unendlichen geschlossen. Ordnen wir einem Punkt einer Kante einen Drehungssinn zu, so kehrt sich, wenn wir den Punkt mitsamt dem Drehungssinn einmal durch das Unendliche hindurchführen, der Drehungssinn gerade um. Also gelangen !) Study, „Sphärische Trigonometrie, orthogonale Substitutionen und elliptische Funktionen“. Abh. der sächs. Gesellsch. d. Wiss., Bd. XX, 1893. Über die geometrischen Eigenschaften der Kreisbogenvierecke. I wir erst nach zweimaligem Durchgang zu dem ursprünglichen Punkte zurück, Dann erst ist die Gerade ein volles Mal durchlaufen. Wir bewegen uns nun von Punkt 1 auf der Kante B in positiver Richtung nach 2 (Fig. 1). Dabei können wir die Kante beliebig oft voll durchlaufen. Um nach 3 weiter gelangen zu können, müssen wir uns erst in der Ebene be auf dem Schnittpunkte der Kanten B und © herumdrehen. Wir führen hierzu auf dem Schnittkreise den Punkt D in positiver Riehtung herum bis c. Die volle Peripherie kann dabei beliebig oft durchlaufen werden. Dabei führen wir die durch d gehende Kante beständig mit, indem wir sie um den Scheitel der Seite drehen. Liegt dieser aufserhalb des Schnitt- kreises, so kehrt sich, wenn wir über‘ die vom Scheitel an den Schnittkreis gezogene Tangente hinweggehen, die positive Richtung der Kante jedesmal um, da dieselbe an dem herumwandernden Punkte Ö immer vom Innern zum Äufsern der Kugel gehen soll. Gelangen wir nach c, so fällt deshalb stets die positive Richtung der bewegten Kante B in die von €. Wir schreiten jetzt auf © von 2 nach 3 in positiver Richtung weiter. Wollen wir nun nach 4 gelangen, so müssen wir, da wir uns bis jetzt in der Ebene be bewegt haben, erst die Ebene be um die Kante C in positiver Richtung in die Ebene cd hineindrehen, so dafs die positive Richtung des Schnittkreises be in die positive Richtung des Kreises cd fällt. Dabei können wir beliebig viele volle Umdrehungen ausführen. Wir schreiten dann auf dem Vierseit von 5 nach 4 in positiver Richtung weiter, nachdem wir die Seite cd im positiver Richtung durchmessen haben. Schlielslich gelangen wir, in dieser Weise fortfahrend, nach 1, in die Ebene be und in die Richtung der Kante B zurück. Hierbei wird längs der vier Geraden des Vierseits eine geschlossene Kontur durchlaufen. Auf der Kugel entsteht ferner ein geschlossener, von vier Kreisbogen gebildeter Linienzug. Die Begrenzung eines Kreisbogenvierecks ist auch ein Linienzug dieser Art. Bei der Membran werden wir als positiven Durchlaufungssinn auf jedem Kreise den festsetzen, der durch den Umlaufssinn der Membran angegeben wird. Jede Kante möge geometrisch durch die auf der entsprechenden Geraden des Vierseits durchlaufene Strecke, jede Seite durch den durch- Nova Acta XCI. Nr.l, 2 10 W. Ihlenburg, laufenen Bogen des entsprechenden Schnittkreises, jeder Winkel durch die um die entsprechende Kante herum ausgeführte Drehung der Ebenen des Vierseits repräsentiert werden. Die Perioden des log zählen wir nun in folgender Weise: Bei den Winkeln und bei den Seiten, deren Scheitel innerhalb des Schnittkreises liegt, messen wir die Multipla von x in elementarer Weise, Liegt aber der Scheitel der Seite auıserhalb oder handelt es sich um eine Kantenlänge, so deuten wir D in der komplexen Ebene und definieren die Malszahl durch f. dD wobei der Integrationsweg in folgender Weise D eo zu bestimmen ist (Fig. 2). D|S. Während wir den Endpunkt einer Seite auf dem Schnittkreis zum andern Endpunkt führen, oder während wir eine Kantenlänge durchlaufen, durchläuft D in seiner Ebene den Integrationsweg. Sobald aber bei der Seite der Schenkel zur Tangente wird oder bei der Kante die Kugel durchstolsen wird, kommt man an einen singulären Punkt des Integrals. Dieser Punkt möge dann bei Bewegung in positiver Richtung entgegengesetzt dem Uhrzeigersinn, sonst umgekehrt umkreist werden. Dadurch wird also für die Seite (Fig. 2) der Bogen ab’ — a+ ab, ad=n, die volle Peripherie wird gleich 2x. Kehrt man auf dem Kreise die positive Richtung um, so wird die Seitenlänge zwischen a und db gleich 22 — ab. Bei der Kantenlänge geht das Doppelverhältnis, wenn der laufende Punkt die Kugel durchstöfst, zu Werten mit entgegengesetztem Vorzeichen über. Daher wird der Integrationsweg um den singulären Punkt herum ein Halbkreis, und die Kantenlänge wächst bei jedem Durchgang dureh die I PL Vierseits also um 2x. da der laufende Punkt dann viermal durch die Kugel geht. Kugel um —, bei einer vollen Durchlaufung der betreffenden Geraden des Diesem Vierseit kann noch das Polarvierseit zugeordnet werden, unter welchem die zum ursprünglichem Vierseit hinsichtlich der Kugel polare Figur zu verstehen ist. In genau entsprechender Weise sind auch Uber die geometrischen Eigenschaften der Kreisbogenvierecke. 11 am Polarvierseit Riehtungs- und Drehungssinn zu definieren und die Perioden abzuzählen. Die zwölf Mafszahlen eines Kreisbogenvierecks sind nicht voneinander unabhängige. Wir müssen zunächst die Gesamtheit der algebraisch unabhängigen algebraischen Relationen aufsuchen, welche zwischen den Sinus und Kosinus der Malszahlen bestehen. ) In diesen Sinus und Kosinus kommen aber die Multipla von 2x welche in den Malszahlen enthalten sein können, nicht zur Wirkung. Wenn wir bei dem zuletzt entwickelten Begriff des Vierseits bleiben, so können wir jeden Winkel, jede Seite und jede Kantenlänge um beliebig viele Multipla von 2x vermehren. Dann besteht also keine Abhängiekeit dieser Multipla voneinander. Jeder von diesen Linienzügen kann jedoch nicht die Begrenzung einer Membran bilden. Bei der Membran geraten deshalb die Umlaufs- zahlen der Seiten in Abhängigkeit von den Winkeln, während die Kanten- längen noch beliebig viele Multipla von 2x enthalten können. Die Anzahl von Malen, welche die volle Peripherie eines Begrenzungskreises der Membran in der Begrenzung enthalten ist, wollen wir als Umlaufszahl einer Seite bezeichnen. Die Relationen, welche die Abhängiskeit zwischen den Winkeln und den Umlaufszahlen der Seiten angeben, wollen wir „Ergänzungsrelationen“ (RK) nennen, da sie die algebraischen Relationen ergänzen. - Nun sind die Sinus und Kosinus der Malszahlen algebraische Funk- tionen der Raumkoordinaten, die Malszahlen selbst aber transzendente Funk- tionen derselben. Wir werden also, wenn wir die Beziehungen zwischen den Sinus und Kosinus behandeln, dies als „Algebraische Unter- suchung“, wenn wir von den Membranen und den Ergänzungsrelationen sprechen, dies als „Transzendente Untersuchung“ bezeichnen. Die algebraische Untersuchung soll im ersten Teil, die transzendente im zweiten Teil der Arbeit geführt werden. Ferner sollen im zweiten Teil alle für uns in Betracht kommenden Vierecke tatsächlich konstruiert werden. m DD W. Ihlenburg, 2. Zusammenhang mit der Funktionentheorie. Für die transzendente Untersuchung der mit Membran versehenen Kreisbogenpolygone gibt uns die Funktionentheorie grundlegende Tatsachen. Es können nicht nur Kreisbogenvierecke, sondern überhaupt Kreis- bogenpolygone mit beliebig vielen Ecken beträchtet werden. Die Anzahl der Ecken sei n, 7 eine in der Ebene des Polygons zu deutende komplexe Variable. Geben wir irgend ein Kreisbogenpolygon mit Membran vor, so wird die konforme Abbildung desselben (d. h. seiner Membran) auf die oberhalb der reellen Achse liegende Hälfte der Ebene einer komplexen Variabeln z durch ein Integral der Differentialgleichung vermittelt: Le: a9) - . (a Ad,) m) EN An ln) = 1 1 We er MN o\n) 7 @=a):..@—a,) 2— 4, er 1— 422 R oa: (da, — an _ı) K ..+ = en, — +24A,.-42” 7? +93 A, 52070? ...+ 24,| ( x) wobei 7“ 7“, 7‘ Ableitungen von „ nach z sind. Hierin werden, wenn je zwei aufeinanderfolgende Kreise des Polygons reelle Winkel miteinander bilden Al,» +, An; Aus wit RS; Al Een. Ay sämtlich reelle Grölsen, die durch. die gestaltlichen Verhältnisse des Polygons bestimmt werden. Es sei: O1 0 Zn: Jedem Intervalle a,a,;ı der reellen z-Achse entspricht ein Bogen eines Begrenzungskreises. In den Punkten a,...a,, den singulären Punkten der Ditferentialgleichung, aber nur in diesen, wird die Konformität der Ab- bildung unterbrochen. Sie entsprechen den » Ecken des Kreisbogenpolygons. Die Fläche eines hinreichend kleinen um a, in der z-Ebene beschriebenen Halbkreises wird auf die Fläche eines kleinen Kreissektors in der 7-Ebene mit der Winkelöffnung A,r abgebildet. Über die geometrischen Eigenschaften der Kreisbogenvierecke. 13 Die Differentialgleichung bleibt bei Anwendung einer. linearen Transformation Carl u l Yn-+ ö 0) PY = () ungeändert. Ist also „ ein partikuläres Integral, so ist z 2. das allgemeine Integral. In Bezug auf die Differentialgleichung sind deshalb Polygone, die sich durch eine lineare Transformation ineinander überführen lassen, als identisch zu betrachten. Zu jedem vorgegebenen Kreisbogenpolygon gehört also eine Differential- gleichung dritter Ordnung. Geben wir umgekehrt eine Differentialgleichung obiger Art vor, so existieren bei beliebigen Werten der Parameter der Differentialgleichung Lösungen derselben. Dabei wird die obere Hälfte der z-Ebene immer auf einen einfach zusammenhängenden Bereich abgebildet, die Begrenzung der Halbebene auf die Begrenzung dieses Bereichs. Wählen wir sämtliche Parameter, auch »‘ und „7“ reell und machen wir mit Hilfe der Taylorschen Reihe einen Ansatz für 7, so finden wir aus der Differentialgleichung für reelie Werte von z auch reelle Werte von „. Ein innerhalb des Kon- vergenzbereichs liegendes Stück der reellen z-Achse wird also durch ein geeignet gewähltes partikuläres Integral auf ein Stück der reellen 7-Achse, durch ein allgemeines Integral auf einen Kreisbogen abgebildet.) An den singulären Punkten a, wird die Konformität der Abbildung wieder derart unterbrochen, dafs in der Begrenzung des Abbildes der halben <-Ebene ein Winkel von der Grölse A,-x entsteht. Wir erhalten also durch Vorgabe eines Polygons nicht nur eine dazu gehörige Differentialgleichung, sondern auch bei Vorgabe einer Differential- gleichung ein dazu gehöriges Polygon. So ergibt sich der Satz: „Jedes Kreisbogenpolygon kann durch ein Integral einer Differential- gleichung dritter Ordnung auf eine Halbebene abgebildet werden. Umgekehrt existieren für beliebige reelle Werte der Parameter der Differentialgleichung immer Kreisbogenpolygone. Im besondern existieren Kreisbogenpolygone zu beliebig vorgeschriebenen Winkeln.“ 1) Riemann, Werke, 2. Aufl., S. 312 f£; Schwarz, Crelles Journal, Bd. 75 (1872); ges. Abh., S. 226. 14 W. Ihlenburg, Durch reelle lineare Transformation von z können wir in der Differential- gleichung drei singuläre Punkte an beliebige Stellen der reellen z-Achse verlegen. Die übrigen singulären Punkte kommen dann unter Aufrecht- erhaltung der Reihenfolge auch wieder auf die reelle z-Achse zu liegen. Die entstehende Differentialgleichung vermittelt die Abbildung desselben Polygons wie die vorige auf eine Halbene. Alle Differentialgleichungen, die durch reelle lineare "Transformation der unabhängigen Variabeln in ein- ander übergeführt werden können, sehen wir deshalb als äquivalent an. Unter den » singulären Punkten sind also nur n—3 wesentliche Parameter, dazu kommen die » Grölsen A, ..., und die n—3 Gröfsen A, ... As, die wir als akzessorische Parameter bezeichnen (K), sodafs unsere Differentialgleichung 3n —6 wesentliche Parameter enthält. Bei drei singulären Punkten sind also A, A, A, die einzigen wesent- lichen Parameter. Es folgt: „Ein Kreisbogendreieck ist durch seine drei Winkel bestimmt“ (K). Bei vier singulären Punkten erhalten wir einen akzessorischen Para- meter. Ein Kreisbogenviereck besitzt also sechs Parameter, was wir später auf elementarem Wege bestätigen werden. Werden in unserer Differentialgleichung die Parameter kontinuierlich verändert, so verändern sich auch die Lösungen 7 kontinuierlich, wenn nur immer die singulären Punkte von einander getrennt bleiben. Demnach be- kommen wir das wichtige Resultat: „Sämtliche möglichen Kreisbogenvierecke bilden ein Kontinuum (ebenso wie alle Dreiecke).“ Dieses Kontinuum der Vierecke soll im zweiten Teil der Arbeit auf seine Eigenschaften hin untersucht werden. Vor allen Dingen wollen wirdas Kontinuum untersuchen, das unter Festhaltung der Winkel durchlaufen wird, wenn sich der akzessorische Parameter von —» bis + bewest. 3. Historisches. Zuerst ist Riemann zu der Differentialgleichung dritter Ordnung gelangt und hat auch die konforme Abbildung, die durch dieselbe vermittelt wird, zuerst untersucht. Er hat in einer Vorlesung über die hypergeometrische Über die geometrischen Rigenschaften der Kreisbogenvierecke. 15 Reihe im W.-S. 1858/59') ausführlich über die Differentialinvariante und die Kreisbogendreiecke gesprochen. Ferner wird in der posthumen Abhandlung „Über die Flächen vom kleinsten Inhalt bei gegebener Begrenzung“ und in der Abhandlung „Beispiele von Flächen kleinsten Inhalts bei gegebener Begrenzung“’) der Gedanke der konformen Abbildung des Kreisbogen- polygons auf die Halbebene vollständig entwickelt. Im Anschlufs an die Untersuchungen von Weierstrafs und auf Anregung desselben hat auch H. A. Schwarz die konforme Abbildung der Kreisbogenpolygone behandelt. In dieser Hinsicht ist vor allen Dingen die Arbeit grundlegend geworden: „Über diejenigen Fälle, in welchen die Gaussische hypergeometrische Reihe eine algebraische Funktion ihres vierten Elementes darstellt.“ °) Von den rein geometrischen Untersuchungen über Kreisbogenpolygone sind bis jetzt nur diejenigen über Kreisbogendreiecke zu einem gewissen Abschlufs gekommen (K).? Die vollständigsten Untersuchungen finden wir bei F. Schilling in seiner Dissertation’): „ Beiträge. zur geometrischen Theorie der Schwarzschen s-Funktion.“ Über Polygone mit mehr als drei Eeken sind zunächst die ge- nannten Vorlesungen von F. Klein zu erwähnen, ferner Arbeiten von A. Schönflie(s und von Van Vleck. Aus den Vorlesungen ist die Be- handlung der Lame&schen Polynome und der anschlielsenden Hermiteschen Untersuchungen mit Hilfe von Vierecken zu nennen, welche für das letzte Kapitel dieser Arbeit als grundlegend anzusehen ist’) Von A. Schönfliels besitzen wir die beiden Arbeiten: „Über Kreisbogenpolygone (erste Ab- handlung)“ und „Über Kreisbogendreiecke und Kreisbogenvierecke.“‘) In der ersten Abhandlung behandelt er die geradlinigen Polygone. Die geradlinigen Polygore mit Membran werden konstruiert und es wird 2 1) Nachträge zu Riemanns Werken III, 8.79. (Leipzig, Teubner. 1902.) 2) Riemanns Werke, 2. Aufl., XVII, XXVI. 3) Schwarz, Preisschrift 1867 u. Crelles Journal Bd. 70 S. 105—120 (1869), Bd. 75 S.292— 335 (1872); ges. Abh. I, 8.6 u. II, S. 65—83, 211—259. 4) F. Klein, Math. Ann. 37, S.573 (1890); Schilling, Math. Ann. 44, S. 161 (1893). 5) Vgl. auch F. Klein, Math. Ann. 40 (1891): „Über den Hermiteschen Fall der Lameschen Difterentialgleichung“; Böcher, Math. Eneykl. II, A7a (1900). 6) Math. Ann. 42, S. 377 (1892) u. 44, S. 105 (1893). 16 W. Ihlenburg, Über die geometrischen Eigenschaften der Kreisbogenvierecke. eine Relation abgeleitet zwischen den Winkeln des Polygons und der Anzahl von Malen, die sich das Innere und die Begrenzung durch das Unendliche ziehen. In der zweiten Arbeit werden die allgemeinen von Kreisen begrenzten Kreisbogenvierecke untersucht. Die vorliegende Arbeit soll zum Teil diese Arbeit ergänzen. Spezielle Fälle von Kreisbogenvierecken hat Van Vleck in seiner Dissertation!) behandelt und in der Abhandlung:’) „On certain differential equations of the second order allied to Hermite's equation.“ In der Dis- sertation werden geradlinige Vierecke mit rechten Winkeln behandelt. In der zweiten Arbeit werden diejenigen Kreisbogenvierecke erschöpfend be- handelt, deren Winkel = = (mod x) sind. 1) Zur Kettenbruchentwicklung Lame6scher und ähnlicher Integrale, Inaugural-Diss. Göttingen, Baltimore 1893. 2) American Journal of Math. XXI, p. 126 (1898). . Erster Hauptteil: Algebraische Untersuchung. Wir fragen, welches ist die Gesamtheit der algebraisch unabhängigen alsebraischen Relationen zwischen den Sinus und Kosinus der Mafszahlen eines Kreisbogenvierecks und welches ist ihr Geltungsbereich ? Sal, Die Kosinus und Sinus der Mafszahlen. Wenn wir Relationen zwischen den Malszahlen eines Kreisbogen- vierecks aufstellen wollen, müssen wir zunächst wissen, wie viele von ihnen ein Kreisbogenviereck bestimmen. Ein Kreis in der Ebene besitzt drei Parameter, die vier Kreise des Kreisbogenvierecks demnach zwölf Parameter. Nun sollen aber alle Kreisbogenvierecke als gleichberechtigt angesehen werden, die bei jeder projektiven T'ransformation des Raumes ineinander übergehen, welche die „-Kugel in sich überführt. Da aber eine allgemeine projektive Transformation 15 Parameter enthält, eine Fläche zweiten Grades neun, so kommen auf die projektive Transformation der verlangten Art sechs Parameter, so dafs wir von den zwölf Vierecksparametern sechs in Abzug zu bringen haben. Wir erhalten das Resultat: „Ein Kreisbogenviereck besitzt sechs Parameter“. Den bei Ableitung der algebraischen Relationen angewandten Ge- danken hat Herr Professor F. Klein in dem erwähnten Seminar mitgeteilt.') !) Vgl. auch Stephanos, Bull. de la Societ& Mathem. de France, 1882, X, 134—137. Nova Acta XCI. Nr.1. 3 15 W. Ihlenburg, Wir benutzen das Tetraäder des Viereckskernes als Koordinaten- tetra@der eines projektivischen Koordinatensystems, dessen Koordinaten wir mit X, 2%, %3, &, bezeichnen. Auf der Ebene ab sei x, = 0, auf der Ebene be , —= 0, auf der Ebene ed x, — 0, auf der Ebene da x, = 0. Die Gleichung unserer Kugel kann dann in der Form geschrieben werden: 4 4 u a DZ Ye Yin — 0 a md ı I wobei wir festsetzen, dals Air — (ki sein soll. Die Determinante der quaternären Form 2,. ist dann symmetrisch und möge mit R bezeichnet werden, so dafs: dı ao As Ma 9 (AG Ay, Ay | Az; App Ay; Ay Ayı Aa Ays Ays Weil es sich um die Darstellung einer reellen nicht geradlinigen Fläche handelt, ist R < 0. Da ferner die vier Geraden des Vierseits die Kugel reell schneiden sollen, sind die vier Determinanten: a5?— a, 439, Ay3?— Ay zz, Ayy? — Ay3 Ay, 4? — dysa,, positiv. Bezeichnen wir mit Z;, die zum Element a;. gehörige Unterdeterminante dritten Grades, so ist bekanntlich ; 4 4 ey N RW ur — 0 Zr I, —— -) # T 1 die Gleichung unserer Kugel in Ebenenkoordinaten 4, 24, 2, 11. Wählt man nun die Kugel als Fundamentalfläche unserer projektiven Malsbestimmung, so läfst sich der Kosinus der Entfernung zweier Punkte mit den Koordinaten x, y: # = 1,2,3,4) bekanntlich aus der Formel berechnen:') cos (2, Y,) — I) Cayley, sixth memoir upon Quanties, Phil. Transaetions, t. 149 (1859); coll. mathem. Papers II, p. 584. Über die geometrischen Eigenschaften der Kreisbogenvierecke. Hierin bedeutet 2,, die Bilinearform: Der Kosinus 2, Y des 4 In ol k 2 Ü Air Ki Yr- Winkels zweier Ebenen drückt sich durch 19 die duale Formel aus, wenn 4, ®; (i = 1, 2, 3, 4) die Koordinaten der beiden Ebenen sind: worin cos (%;, d%) — 4 a \ Dur = > k D, v VBuu: VB. 4 N“ . > i Rir U; Vr 1st. 1 Schneiden wir ferner die Kugel mit einer Koordinatenebene, setzen wir also z. B. x. U 50 ist der Kosinus des Winkels zweier Geraden dieser Ebene mit den Linienkoordinaten «,, %,, 43; v, ©, v, mit Hilfe der Form: 3 3 N N Du” == >23 »: ara, ir Ui Ur 1 zu berechnen, wo AR;,.;. die zu den Elementen a,,, «x gehörende Unter- determinante zweiten Grades von R bedeutet. worin der Kosinus des Winkels der beiden bezeichneten Geraden. Es ist: eos (u;V;) —e u wei VD..® -VD,® 3 3 a RN . Dr — >23: Ryyir Wi vr St, 1 Aus diesen Formeln ergibt sich: cos A — =. eos en en V a3 V 433 VRınııV Rs ıı d: 4m R 93392 eos Bi — — nr ; cos be ; ee Se, V 433 / ayı VRyua2"V/ Ras, 2 a > Tnngsg cos ( — ——. cos cd ee ; Va Van V Ran, 33V Rau 33 a > Ra cos D— ——-—; cosda — Zn Ts / = = VRR; 44 -/ AR, 44 cos a — Kt VRuı ” VRı 20 W. Ihlenburg, wo die auftretenden zwölf Quadratwurzeln im Vorzeichen ganz beliebig angenommen werden können. Aus den Kosinus berechnen wir die Sinus. Bekanntlich gelten die Relationen: | wo P die Determinante der R;, bedeutet; Pi: = R?-a:: wo P;, die zu R;, gehörende Unterdeterminante von P bedeutet; Pix, ım = R-Bya, rs wo P; m die zu den Elementen 2;;, Rı gehörende Unterdeterminante zweiten Grades von P bedeutet und R,,,; die zu Ri: komplementäre Unter- determinante von R. Mit Hilfe dieser Relationen erhalten wir dann: sind — VE u ee — VRu-Van Sin oe le VR VB ui / 59 \/ Qyz VRynı VRı 22 VRyu ä Var RN 99 ER a ” t° /. Zn DR) Bin v Rum SL _ VRn- Van in „VRVRn / Ag3 + \/ Q@y4 VRına2*V Ras 3 VRı-V Ra ee = Te Bol aan, Bina@l VRn. ned, er VRis Van 3 a — „VR:V Ran Va Vayı V-Roa,33* V Rası 44 VRos-V Ra; R m Lı® 195 / R- V/R 2 sinD— + v Kan aa VRu Wann ‚ade + VRR au Ya Va VRzsaV Rıs u V Ras Ru Wir setzen fest, dafs bei den Sinus die zwölf schon bei den Kosinus auftretenden Quadratwurzeln mit denselben Vorzeichen genommen werden sollen wie bei den Kosinus. Dann treten hier noch neue zwölf Vorzeichen hinzu, über die wir erst im Verlaufe der Untersuchung eine Festsetzung erhalten. yR ist im Vorzeichen auch noch willkürlich. Da die Kosinus der Kanten A, B, C, D sämtlich reell sind, so folgt, dals a, 9, Ayy, a, dieselben Vorzeichen haben müssen. Wir wählen die a;; positiv, nehmen sie sonst aber beliebig fest an. Dann bleiben in der Gleichung der Kugel noch die sechs Koäffizienten a,, 4, 3, Ayı, Ay, Az unbestimmt und können als Parameter des Viereckskernes aufgefalst werden. Da nun aber die algebraischen Relationen für die Gesamtheit der Vierecks- kerne gelten sollen, müssen sie von diesen Parametern unabhängig sein, also Über die geometrischen Bigenschaften der Kreishogenvierecke. 21 Identitäten in den «; werden. Wollen wir demnach die algebraischen Relationen zwischen den Mailszahlen aufstellen, so haben wir aus den Gleichungen, welche die Kosinus und Sinus der Malszahlen durch die a;: darstellen, die a; nur zu eliminieren. 8.2. Die algebraischen Relationen und ihr Geltungsbereich. Wir eliminieren nun die «;, indem wir alle bei den Sinus neu hinzu- getretenen Vorzeichen positiv nehmen und uns hinterher überzeugen, dals diese Annahme bei den von uns betrachteten Vierseiten zulässig ist. Es ist: Run = Aydy) —Ayıdz; — 608 A c08 B Qy5 V aaa — Ayıdss Ronsaa — 608 ON Te — cos ab sin A sin B ds; \/ Q944, day A R > ———— — 008 A cos B—sin A sinB cos ab. V Aas2a4ı Durch zweimalige zyklische Vertauschung findet man: WPD) = — cos ( eos D—sin ( sin D cos cd. V ayıdaa Also ist: a) cos dA cos B—sin A sin DB cosab — cos) cos D—sin Ü sin D cos cd und nach einmaliger zyklischer Vertauschung: b) eos B eos Ü— sin BD sin Ü cos be —= cos D eos A— sin D sin A cos da. Die Ebenenwinkel des Kernes entsprechen dual den Kantenlängen, die Seitenlängen entsprechen dual sich selbst, wie man aus den Formeln für die Sinus und Kosinus der Malszahlen erkennt. Man wird also zwei Relationen aufstellen können, die zu den Relationen a) und b) dual sind. Es ist: Pır,ı2 = Ri; Ray, — Ra, Ra; — 608 y 008 d Rz, VR»Ra— Rußss Para = R-Rygszı = c0s.cd R-VRy, sg" Ragyau — cos cd siny.sind RR Ru 22 W. Ihlenburg, Also ist: cos y cos d—siny sin d cos cd — Vertauscht man zweimal zyklisch, so ergibt sich: ec) cosa eos ß — sin a sin cosab — cos y cos d—sin y sin d cos cd und daraus durch zyklische Vertauschung: d) cosß eos y—sin ß sin y cos be — cos d cos e— sin d sin @ cos da. Wir wollen jetzt nur aus den Ausdrücken für die Sinus der Mals- zahlen eliminieren. Es ist: F " 5 R -R = 5 FE 3 7 f ac -R , -R 9 sin @ | ZU — sin.e-sin da-sin ab-\/ Ra 2 Ay; — sin « sin da sin ab sin D sin A sin B=\aassarn a: Nach einmaliger zyklischer Vertauschung ergibt sich: IR | — sin « sin da sinab sin D sin A sin B Ayy Asy Ayy Ayy — sin sin ab sin be sin A sin B sin (. e) sin J) sin da sina — sin ß sin be sin C und hieraus durch zyklische Vertauschung: f) sin A sin ab sin $ — siny sinced sin D. g) sin DB sin be sin y — sin d sin da sin A. h) sin Ü sin ed sind —= sin « sin ab sin B. Da die lelationen e) und &), f) und h) jedesmal zueinander dual sind, erhält man durch den dualen Eliminationsprozels keine neuen Formeln. Wir können noch weitere Relationen zwischen sechs Mafszahlen ab- leiten. Es ist: ala + a za + Au Fin — I. Also ist: cot ( sinb Yayı Aa *| Rss, 33 Rı1:93 + cos 5 | Ays Ayy* COS be VYRua’R332 +4, Rs 0) Über die zeometrischen Eigenschaften der Kreisbogenvierecke. oder: Fun ar Va VRas 3 Ruuao- V Qs3 — 0 eot O sin B-+ eos Beosbe + Ferner besteht die Gleichung: Ai Pı33 SF Rıs Pi3,33 at Yo Dis; Tr oder: Rı kon + ReRaı + RuRıun — 9. Demnach ist: Ian Tus 32 —+ c0s B| Rn, Rss eos ab \ aba Rpazıı + eot«@ sin) Rı, Rs) an Run — 0 oder: 2 BL ÜR eot« sinß + cosß cosab + — re — Van Par V/ Ron Also besteht die Gleichung: cot © sin B + cos b cos be er VE oz VER sin be 3 sin ab cotasinß+ cosßcosbe Veen Vo ee VOR, Wir erhalten die Relation: i) (eotC sinB-+ cos B cos be) sin ab — (cot « sin 8 + cos ß cos ab) sin be Durch zyklische Vertauschung ergeben sich hieraus noch drei weitere Relationen k), I) und ın). Wir haben jetzt zwischen den Kosinus und Sinus der Mafszahlen zwölf Gleichungen aufgestellt, zu denen noch zwölf weitere Gleichungen zwischen den Kosinus und Sinus jeder einzelnen Malszahl treten: cos? « +sin®« — 1 usw. Wenn diese 24 Relationen dazu ausreichen sollen, in der 24 fachen Mannigfaltigkeit der Kosinus und Sinus aller zwölf Mafszahlen diejenige zwölf-dimensionale Mannigfaltiskeit zu bestimmen, welche von den Kosinus und Sinus der Maafszahlen der Vierseite gebildet wird, so müssen sich, wenn wir die Kosinus und Sinus von sechs geeignet gewählten Malszahlen geben, die Kosinus und Sinus der übrigen sechs Mafszahlen aus den 24 Relationen berechnen lassen und zwar eindeutig bis auf die notwendig unbestimmten Vorzeichen. Wir geben, um dies zu zeigen, die Kosinus und Sinus der Winkel c, 3,7, d und der Seiten da und ab. 24 W. Ihlenburg, Aus den Relationen ce) und d) lassen sich eosbe und eoscd eindeutig berechnen. sin be und sined sind dann auch bestimmt bis auf ihre Vorzeichen. Zur Berechnung der Kosinus der Kantenlängen benutzen wir die Relationen j), k), 1), m), welehe wir mit Hilfe der Relationen e), f), &), h) in folgender Weise umwandeln: Aus h) ergibt sich: re sin cd sin d in) = sin ab sina Setzen wir diesen Wert in i) ein, so erhalten wir: cos O sin cd sind + cos B cos be sin ab sina — (cosa sinß + cos ß sin«@ cos ab) sin be. Wandeln wir die Relationen k), 1), m) in entsprechender Weise um, so erhalten wir vier Gleichungen, aus denen wir die Kosinus der Kanten- längen eindeutig berechnen können, wenn wir die Vorzeichen von sin be und sin cd festsetzen. Die Sinus der Kantenlängen sind damit auch bis auf ihre Vorzeichen bestimmt. Diese sind jedoch nicht ganz willkürlich, sondern müssen so sewählt werden, da/s die Relationen a) und b) erfüllt werden. Demnach sind die Vorzeichen der vier Produkte sin A sin B sin ab, sin B sin CO sin be, sin © sin D sin cd, sin D sia A sin da bestimmt. Ändern wir also das Vorzeichen eines Sinus einer Kante, so müssen auch die Vorzeichen der Sinus der andern drei Kanten geändert werden, so dals nur das Vorzeichen einer einzigen Kantenlänge willkürlich bleibt. Unbestimmt bleiben also, wenn wir die obigen Kosinus und Sinus seben, die Vorzeichen von sin bc, sincd und vom Sinus einer beliebigen Kantenlänge. Wir untersuchen nun die Geltung unserer Relationen für die in (der Einleitung definierten Vierseite. Wir haben festzustellen, ob die willkürliche Festsetzung, die wir am Anfang von $ 2 über die Vorzeichen der Sinus getroffen haben, für unsere Vierseite zulässig ist. Wir gehen von einem Vierseit einfachster Art aus, das wir als Elementarvierseit bezeichnen. Dasselbe soll durch die verstärkten Linien in Fig. 1 dargestellt sein. Über die geometrischen Rigenschaften der Kreisbogenvierecke. 25 Wir drehen zunächst die Ebene x, = 0 um die Kante , —= 0, = 0 des Tetra@ders so weit, bis sie mit der Ebene x, = 0 zusammenfällt (Fig. 5). Der Punkt 2 möge ‘dabei in der Ebene x, = 0 etwa einen Kreis beschreiben und nach 2‘ gelangen. Die Ebene x, = 0 denken wir uns dabei um die Kante A drehbar. Sie fällt schliefslich auch mit der Ebene x, = 0 zusammen. In der Grenze entsteht ein geradliniges Dreieck 124. Bezeichnen wir die Werte, welche die Kanten und die Seiten ab und cd in dieser in der Figur erkennbaren Grenzlage annehmen, mit A‘, B‘, C‘, D', ab‘, ed‘, so sind die Längen der ganz sich im Endlichen erstreckenden Seiten dieses Dreiecks: m —A4‘ B, a+D'—('. Ferner besitzt das Dreieck den Winkel ab. Es gilt die Relation der sphärischen Trigonometrie: cos (a + D’— 0) — cos (a — A‘) eos B’ + sin (a— A') sin B’ cos ab‘ oder: { cos (D’— (Ü) — cos A’ cos B'— sin A' sin .B’ cos ab‘. ‘Nun ist cd = a. Da die Relation a), wenn wir in ihr cd’ = x setzen, in die Relation der Grenzlage übergeht, gilt die Relation a) für die Mafszahlen des Elementarvierseits. In entsprechender Weise beweist man die Gültigkeit der Relation b). Wir wählen weiter die Gröfsen a;, zunächst so, dafs alle vier Eeken des Vierseits im Innern der Kugel liegen und verschieben dann (Fig. 4) die Ebene ab des Teetraäders, bis sie durch die Schnittgerade der Ebenen be und da geht. Bezeichnen wir die Werte, welche die Winkel des Elementarvierseits und die Seiten ab und cd in der Grenzlage annehmen, mit «‘, 4 74, 6, ab‘, cd‘, so sind die Innenwinkel des ent- stehenden sphärischen Dreiecks a —.y‘, 2 —d‘, x — «'—ß' und ferner besitzt das Dreieck die Seite cd“ Es gilt die Relation der sphärischen Trigonometrie: cos (R — a! — #') — — c08 (X — Y‘) 608 (R — 0‘) + sin (ar —y‘) sin (m — 6‘) cos ed‘ oder: cos (@’ + PB) —= cos y' cos d’— sin y' sin d’ cos cd. Nova Acta XCI. Nr.1. 4 26 W. Ihlenburg, Nun ist in der Grenzlage ab’ — 0 und da, wenn wir in der Relation «) ab — 0 setzen, dieselbe in die obige Beziehung übergeht, gilt die Relation e) für die Mafszahlen des Elementarvierseits zunächst unter der besonderen Voraussetzung, dafs dessen vier Ecken im Innern der Kugel liegen. Da diese Elementarvierseite aber kontinuierlich in solche übergeführt werden können, deren Ecken beliebig zur Kugel liegen, gilt die Relation e) für jedes Elementarvierseit. Entsprechend beweist man die Gültigkeit der Relation d). Sollte die Relation e) nicht gelten, so mülste für die Maflszahlen des l:lementarvierseits statt ihrer die Relation bestehen: sin D sin da sin«a — —sin ß sin be sin (. Da aber für ein Klementarvierseit, dessen vier Ecken im Innern der Kugel liegen, die Sinus der Winkel und Seiten reell und positiv, die Sinus der Kanten rein imaginäre positive Gröfsen sind, ist das Bestehen obiger Relation ausgeschlossen. Also gelten auch die Relationen e) und f) für das Elementarvierseit. Wir dehnen die Geltung der Relationen weiter aus. Vermehren oder vermindern wir die Malszahlen um das Vielfache von 27, so bleiben die Relationen ungeändert, weil die Sinus und Kosinus ungeändert bleiben. Wenn wir in den 13 Wurzeln ] Ayı» V Aya; |’ Qy3, V ass, | Ro VRaasar \ Ra3,44; VRısın VRıv V Ron, V Rya, \ Ru: VER welche in den Ausdrücken für die Sinus und Kosinus der Malszahlen vor- kommen, sämtliche möglichen Vorzeichenkombinationen bilden, so entsteht dadurch eine Gruppe von 2" Substitutionen der Malszahlen. Wir zeigen, dals unsere Relationen sich ihr gegenüber invariant verhalten. Die Relationen verhalten sich der ganzen Gruppe gegenüber in- variant, wenn sie den Erzeugenden der Gruppe gegenüber invariant bleiben. Wir betrachten also die einzelnen erzeugenden Operationen. Diese entstehen durch jedesmalige Änderung des Vorzeichens einer der 13 Wurzeln. Es handelt sich um die Änderungen, welche die Mafszahlen bei der Vorzeichenänderung der Sinus und Kosinus erleiden. Über die geometrischen Rigenschaften der Kreisbogenvierecke. 27 Kehren wir das Vorzeichen von /R,, um, so erleiden die Maflszahlen die Substitution: AA vab| arn-ab a a-+@ By Bil sbleninde Bea tB ON LO ned Kon | y D|)D da da oe) Geometrisch entspricht dieser Substitution die Umkehr des Durch- laufungssinnes des Kreises ab. ’ Kehren wir das Vorzeichen von YR,,., um, so erleiden die Mafs- zahlen die Substitution: A\,A ab x + ad a. B 2a-B be a+be ß | 272 -ß GATO cd cd 52 9% D|D da da OR) Geometrisch entspricht dieser Substitution die Umkehr der Richtung der Kante B, wobei sich auch gleichzeitig der Drehungssinn für den Ebenen- winkel 3 umkehrt. Kehren wir das Vorzeichen von /a,, um, so erleiden die Mafszahlen die Substitution: Az A ab | 2% ab an 6 bB a+B be \ be Bale OO, cd cd Y. | Y. JB ID) da da | 6 Greometrisch entspricht dieser Substitution die Umkehr des Durch- laufungssinnes einer Seite am polaren Vierseit. Kehren wir das Vorzeichen von /R um, so erleiden nur die Winkel eine Substitution und zwar folgende: a | 22 —a p 212 —ßB R DIR Y dö | 22 —d Geometrisch entspricht dieser Substitution die Umkehr des gemein- samen Drehungssinnes der Ebenenwinkel. I 0%) W. Ihlenburg, Unsere Relationen verhalten sich allen diesen Substitutionen gegen- über invariant, folglich auch den durch zyklische Vertauschung aus diesen zu bildenden Substitutionen und der ganzen Gruppe gegenüber. Diesen Vorzeichenwechseln entspricht gerade der Übergang vom Elementarvierseit zu dem allgemeinsten Vierseit der Einleitung, wie folgende Überlegung zeigt: Aus dem Elementarvierseit erhalten wir sämtliche allgemeinen Vier- seite, indem wir erstens jeder Seite jeden der beiden möglichen Durchlaufungs- sinne, zweitens jeder Kante jeden der beiden möglichen Richtungssinne, drittens jeder Seite des zugeordneten polaren Vierseits jeden der beiden möglichen Durchlaufungssinne zuordnen. Endlich können wir zu jedem Winkel, jeder Seite und jeder Kante beliebig viele Multipla von 2x hinzu- fügen. Da die Relationen auch bei der Vorzeichenänderung von /R invariant bleiben, ist es zur Geltung der Relationen zwar erforderlich, dafs für alle Winkel derselbe Drehungssinn genommen wird; aber der Sinn der Drehung ist dabei ganz beliebig. Damit ist gezeigt: Die Formelgruppe der algebraischen Relationen gilt für sämtliche Vierseite, welche den in der Einleitung gegebenen Festsetzungen Genüge leisten. — Diese Untersuchungen gehen parallel mit den Studyschen Unter- suchungen über Dreiecke. Die Formeln der sphärischen Trigonometrie lassen sich in ganz analoger Weise wie unsere sechs algebraischen Relationen ableiten, wenn man in der Ebene einen Kegelschnitt einer projektiven Mafsbestimmung als Fundamentalgebilde zu Grunde legt und die Relationen aufsucht, welche zwischen Winkeln und Seiten eines Koordinatendreiecks bestehen, auf das die Gleichung des Kegelschnitts bezogen wird. Da bei der gewöhnlichen sphärischen Trigonometrie, die sich auf gröfste Kugelkreise bezieht, Winkel und Seiten immer reell sind, so ist bei der Ableitung ihrer Relationen ein imaginärer Kegelschnitt der Mafsbestimmung zu Grunde zu legen. Der Studysche Dreiecksbegriff mufßs sich auf ein solches Koordinatendreieck un- mittelber übertragen lassen, wenn man für jede Seite des Dreiecks einen Riehtungssinn und für jeden Winkel einen Drehungssinn vorschreibt. ir . . . . . ‘ Uber die geometrischen Eigenschaften der Kreisbogenvierecke. 29 Wenn wir nun gezeigt haben, dafs der Geltungsbereich unserer sechs fundamentalen Relationen alle unsere Vierseite umfalst, so ist hiermit eine Ausdehnung der Studyschen Entwicklungen nach zwei Richtungen hin vor- genommen. Da bei der gewöhnlichen sphärischen Trigonometrie ein imaginärer Kegelschnitt zu Grunde gelegt werden muls, so würde die unmittelbare Er- weiterung der Studyschen Entwicklungen darin bestehen, dafs man bei der Theorie des Koordinatentetra@ders nicht eine reelle Kugel, sondern eine imaginäre Fläche zweiten Grades zu Grunde lest. Nur dann werden immer sämtliche zwölf Malszahlen reell. Der Studysche Dreiecksbegriff ist dann auf das Koordinatentetra@der zu übertragen, indem man für jeden Ebenen- winkel und jeden Seitenwinkel einen Drehungssinn und für jede Kante einen Richtungssinn in geeigneter Weise vorschreibt. Die Erweiterung der Studyschen Entwicklungen nach der andern Richtung hin besteht in der Übertragung dieser Theorie auf Koordinaten- dreiecke und Koordinatentetraäder, bei denen ein reeller Kegelschnitt und eine reelle Fläche zweiten Grades der Mafsbestimmung zu Grunde selest werden. Im Raume muls dann noch die Malsbestimmung auf geradlinigen Flächen von der auf nicht geradlinigen unterschieden werden. Bei kon- tinuierlicher Fortsetzung der imaginären Fundamentalgebilde in reelle bleiben allerdings die algebraischen Relationen ungeändert bestehen, aber doch ist dann noch zu untersuchen, was hierbei aus der Studyschen Gruppe und unserer Gruppe wird, welche die Erweiterung der Studyschen Gruppe darstellen würde; jetzt liegen die Realitätsverhältnisse komplizierter als bei durchweg reellen Malszahlen. An eine ähnliche Erweiterung hat offenbar auch Study gedacht, wie man aus den Worten im Schluls seiner Arbeit sieht: „Wird es möglich sein (wie es durch verschiedene Umstände wahrscheinlich gemacht wird), die Theorie des Tetra@ders, zunächst im nichteuklidischen Raume, in ähnlicher Weise zu behandeln, wie die des Dreiecks?“ Zweiter Hauptteil. Transzendente Untersuchung. SEN Fragestellungen. Wir wenden uns zu dem zweiten Teil, der transzendenten Unter- suchung. und behandeln ausschliefslich die in den Kern eingehängten Membrane. Wir stellen folgende Fragen: 1. Wie können bei Vorgabe der Winkel sämtliche Kreisbogenvierecke mit diesen Winkeln konstruiert und übersichtlich in eine kontinuier- liche Folge gebracht werden ? 2. Welches sind die Ergänzungsrelationen? 3. Wenn zwei Kreisbogenvierecke dieselben Winkel, dieselben Um- laufszahlen der Seiten besitzen und wenn ihre Kerne sich durch eine Bewegung zur Deckung bringen lassen, sind dann die Membrane selbst identisch? Wir denken uns, wie verabredet, das Viereck immer auf der Kugel. Wir zeichnen es aber aus praktischen Gründen in der Ebene. Dabei kann allerdings das Unendliche stören. Die Winkel des Kreisbogenvierecks messen wir jetzt. um den Faktor x nicht immer schreiben zu müssen, direkt durch die Exponenten- differenzen der Differentialgleichung, welche wir nun mit «, ß, y, d bezeichnen wollen. Ein Winkel von 180° erhält also jetzt den Wert 1, ein Winkel von 360° den Wert 2 usw. W. Ihlenburg, Über die geometrischen Eigenschaften der Kreisbogenvierecke. 91 82. Reduktions- und Erweiterungsprozesse. Wir werden im folgenden von den „Reduktions- und Erweiterungs- prozessen“ der Kreisbogenpolygone Gebrauch machen (R). 1. Wir erweitern ein Kreisbogenpolygon durch „polare Ein- hängung“ einer Kreisscheibe in folgender Weise: Wir führen von einer Eeke aus nach einer gegenüberliegenden Seite einen Schnitt » (z. B. von d nach ab, Fig. 5) und in einer Kreisscheibe, welche denselben Radius wie der Begrenzungskreis ab besitzt, einen zu » kongruenten Schnitt p. Dann vereinigen wir Polygon und Kreisscheibe, indem wir beide Flächenstücke aufeinanderlesen und die Ränder von » und p‘ über Kreuz zusammenheften. Jetzt ist ein neues Kreisbogenpolygon entstanden, in welchem ein Winkel um die Zahl zwei gewachsen ist, und eine Seite um einen Umlauf zugenommen hat. Umgekehrt kann es auch möglich sein, eine Kreisscheibe polar aus- zuhängen, worunter wir dann den entgegengesetzten Prozess verstehen. Damit von einer Ecke d einer Membran bezüglich der Seite ab der Be- grenzung eine polare Einhängung möglich ist, ist notwendig und hinreichend, dals sich von d nach ab innerhalb der Membran ein Schnitt » ziehen lasse, der ganz auf derselben Seite des Kreises ab verläuft wie die Membran und keine in demselben Blatt oder verschiedenen Blättern sich kreuzenden Zweige besitzt. 2. Wir erweitern ein Polygon durch Einhängung einer Vollkugel oder durch „diagonale Einhängung“, indem wir zwischen zwei nicht aufeinanderfoleenden Ecken einen Schnitt d ziehen, zwischen zwei Punkten einer Vollkugel einen zu d kongruenten Schnitt d‘, alsdanı Polygon und Vollkugel so aufeimanderlegen, dals die Schnitte aufeinanderfallen und dann die Ränder der Schnitte kreuzweise vereinigen (Fig. 6). Die Umlaufszahlen der Seiten bleiben ungeändert, zwei Winkel werden um die Zahl 2 vergrölsert. Umgekehrt kann es auch möglich sein, diagonal auszuhängen. Damit eine diagonale Einhängung möglich sei, mufls sich innerhalb der Membran von einer Eeke nach einer nicht auf sie folgenden Ecke ein Sehnitt führen lassen, der keine in demselben Blatt oder verschiedenen jlättern sich kreuzenden Zweige besitzt. 32 W. Ihlenburg, ) 3. Wir erweitern ein Polygon durch Einhängung eines Kreisringes oder durch „transversale Einhängung“, indem wir zwischen Polygon- seiten, die sich imaginär schneiden, einen Schnitt # führen, in einem von zwei Kreisen begrenzten Ringstück einen zu i kongruenten Schnitt t, und wie bei 1. und 2. die Flächenstücke längs der Schnitte zusammenheften (Fig. 7). Dabei mufs der Ring dem von den Kreisen der betreffenden beiden Seiten begrenzten Ring kongruent sein. Die Winkel bleiben ungeändert, aber die Umlaufszahlen von zwei Seiten werden um je 1 erhöht. Eventuell kann auch transversal ausgehängt werden. Damit eine transversale Einhängung möglich sei, dürfen die Kreise der beiden Polygonseiten, zwischen denen eingehängt werden soll, sich nicht reell schneiden und es mufs sich von einer Seite nach der anderen inner- halb der Membran ein Schnitt ziehen lassen, der ganz innerhalb des von beiden Kreisen begrenzten Ringes verläuft und keine in demselben Blatt oder verschiedenen Blättern sich kreuzenden Zweige besitzt. 4. Wir erweitern ein Polygon durch „laterale Anhängung“ einer Kreisscheibe, indem wir längs einer nicht umlaufenden Polygonseite die- jenige Kreisscheibe, welche die auf dem Innern der Seite liegende Kreis- scheibe zu einer Vollkugel ergänzt, einfach anheften (Fig. 8). Die Membran liegt nach Anhängung der Kreisscheibe auf der anderen Seite des begrenzenden Kreises, die anliegenden Winkel werden beide um 1 vermehrt, der begrenzende Kreisbogen wird durch denjenigen Kreisbogen ersetzt, der ihn zu einer vollen Peripherie ergänzt. Eventuell kann auch eine Kreisscheibe lateral abgetrennt werden. Damit lateral angehängt werden kann, ist notwendig und hinreichend, dafs die betreffende Seite nicht umlaufend ist. Ein zur Ausführung eines Erweiterungsprozesses zu ziehender Schnitt darf auch andere Schnitte durchsetzen, wenn er nur die oben angegebenen Bedingungen erfüllt. Hierzu ist folgendes Beispiel bemerkenswert. In das Viereck der Fig. 9 sei diagonal eingehängt, was durch die Linie d angedeutet ist. Jetzt scheint keine transversale Anhängung mehr möglich zu.sein. Da die Membran aber nach Einhängung der Vollkugel auch noch aufserhalb des schattierten Gebietes verläuft, so ist ? ein Schnitt, an dem entlang eine transversale Einhängung möglich ist. Das Viereck hat dann zwei Windungs- punkte und zwei einfach umlaufende Seiten. Man erhält dasselbe Viereck Über die geometrischen Eigenschaften der Kreisbogenvierecke. 39 durch zwei polare Anhängungen, die in Fig. 10 durch» die Linien p,, p, an- gedeutet sind. Ein Polygon, das keine Aushängungs- (Reduktions-)prozesse der be- zeichneten Art mehr zuläfst, nennen wir „reduziert“ (K). Sobald wir alle reduzierten Kreisbogenvierecke kennen, die möglich sind, ist es durch Anwendung der obigen Erweiterungsprozesse möglich, aus ihnen alle Kreis- bogenvierecke zu konstruieren, die es überhaupt gibt. Kapitel I. Konstruktion der Kreisbogenvierecke. A. Konstruktion der reduzierten Vierecke. Zur Konstruktion der reduzierten Vierecke werden wir mit einigen Erweiterungen dieselben Methoden benutzen, die Schönflie(s in Math. Ann. 44 angewandt hat. Wir bilden wie Schönflie(s eine Reihe von Klassen reduzierter Vierecke und suchen Ungleichheitsbedingungen auf, die von den Winkeln erfüllt werden müssen, damit die Viereeke reduziert sind. Einmal werden wir jedoch, indem wir die Methoden von Schönfliefs in etwas anderer Weise verwerten, eine andere Einteilung der reduzierten Vierecke erhalten, ferner werden wir engere Ungleichheitsbedingungen ableiten, endlich auch für jede Klasse reduzierter Vierecke ein Beispiel zeichnen, damit wir im wesentlichen von den reduzierten Vierecken eine Vorstellung erhalten. Sea Sätze über Kreisbogendreiecke. Wir stellen im folgenden alle Typen reduzierter Kreisbogendreiecke zusammen, welche es gibt. Wir unterscheiden nach Schwarz!) dabei 1) Schwarz, ges. Abh. II, S. 234. Nova Acta XCI. Nr.1. % 34 W. Ihlenburg, Dreiecke erster Art, bei denen der Scheitel des Kerns, der hier von drei Ebenen gebildet wird, im Innern der Kugel liegt, Dreiecke zweiter Art, bei denen er auf der Kugel, Dreiecke dritter Art, bei denen er aulserhalb der Kugel liegt. Die Dreiecke erster Art werden begrenzt von drei Kreisen ohne reellen Orthogonalkreis, die Dreiecke zweiter Art von Kreisen, die sich in einem Punkte schneiden. Wirft man diesen nach Unendlich, so werden die Dreiecke durch drei Gerade begrenzt. Die Begrenzungskreise der Dreiecke dritter Art besitzen einen reellen Orthogonalkreis. Alle Dreiecksmembranen, welche in denselben Kern eingehängt sind, nennen wir „verwandte“ Dreiecke. Unter allen verwandten Dreiecken hat jedesmal eines, das „Minimaldreieck“, die kleinste Winkelsumme. Sind 2, @, » die Winkel des Minimaldreiecks, so ist bei den Dreiecken erster- Art: A+«+»>1, zweiter Art: A+«+v=1, dritter Art: Au +v<1, sodals die Dreiecke der drei Arten durch das Minimaldreieck charakterisiert werden. Wir wollen nun alle "Typen reduzierter Dreiecke zeichnen. Im Kern erster Art sind 16 reduzierte Dreiecke, im Kern zweiter Art, wenn wir nichts über den Umlaufssinn bestimmen, 19 reduzierte Dreiecke, im Kern dritter Art ebenfalls 19 reduzierte Dreiecke enthalten. Die Winkel der reduzierten Dreiecke im Kern erster, zweiter und dritter Art sind: en DD (30 > u j2—4, 1—u, 1» |144, 3 1—v zn edler, 3 II | 1—A, 2— u, 1—v , 1I1+W 1—vr|1+), 1—u vo 1-4, u 1+v IV | 1—A, 1—u, 2—v 7 u. 23—v Pe 2—A, u, v wozu bei den Kernen zweiter und dritter Art noch die Dreiecke kommen: VI2+4 1—w 1—v | 1—4, 2 +4, 2—v | 1—2, 1—u, 24 | Auf der beigegebenen letzten Figurentafel ist ein Dreieck eines jeden Typus gezeichnet (RK). Über die geometrischen Eigenschaften der Kreisbogenvierecke. 5%) Vor allen Dingen beachten wir hier, dafs in dem Kern dritter Art die Dreiecke das Typus 2—A, «, » eine sich überschlagende Seite haben. Ferner brauchen wir folgende Sätze, welche wir der Arbeit von Schönflie(s'!) entnehmen: „Jedes Dreieck, das zwei konvexe Winkel enthält, ist reduzierbar.“ „In einem Dreieck kann nur eine Seite umlaufend sein.“ „Reduzierte Dreiecke ohne umlaufende Seiten und mit Winkeln: Ve DEZ existieren für jeden Wert: o1 sein, und das Viereck lälst sich längs des Grenzkreises in zwei Dreiecke zerlegen. Dann nennen wir den Grenzkreis „eigentlichen Diagonalkreis“. Stöfst der Grenzkreis an die Ecke d, so muls ö>1 sein und wir nennen ihn „uneigentlichen Diagonalkreis“. Den Grenzkreis, der ab in a berührt, bezeichnen wir mit ka. Im besonderen Fall kann der Grenzkreis %k., oder k.u,. eine ganze Polygonseite enthalten. Enthält er cd, so kann cd nieht umlaufend sein, der Kreis ist dann als uneigentlicher Diagonalkreis anzusehen. Enthält der Grenz- kreis Au, die Seite da, so ist « — 0, und der Kreis ist als uneigentlicher Diagonalkreis anzusehen. Enthält der Grenzkreis ku, die Seite be, so ist 8 — 0, die Seite «b umspannt die Peripherie gerade einmal und der Kreis ist als eigentlicher Diagonalkreis anzusehen. Über die geometrischen Eigenschaften der Kreisbogenvierecke. 31 85. Konstruktion sämtlicher Vierecke, bei denen transversale Einhängungen möglich sind. Ehe wir die reduzierten Vierecke selbst behandeln, wollen wir alle Vierecke konstruieren, bei denen transversale Einhängungen zwischen zwei Seiten möglich sind. Denn die Beherrschung dieser Vierecke wird uns beim Studieren der andern Vierecke gute Dienste leisten. Kann in ein Viereck von ab nach cd hinüber transversal ein- gehängt werden, so transformieren wir das Viereck durch eine lineare Sub- stitution so, dals die Kreise ab und cd konzentrisch werden. Hängen wir dann eine Anzahl von Kreisringen ein, so wird ein Stück der Membran selbst von einem Kreisring gebildet, den wir zeiehnen (Fig. 13). Auf der Seite ab können wir dann in zwei aufeinanderfolgenden Blättern zwei Punkte a und a“ so auswählen, dafs der Grenzkreis, der ab in a’ und a“ berührt, ein Tangentialkreis wird, der cd in E berühren möge. Das Halbkreisstück Z«a wollen wir in der Membran in der durch den Pfeil angedeuteten Richtung immer weiter verschieben, so dals cd und ab beständig berührt werden. Die Endpunkte des Halbkreises bezeichnen wir während der Bewegung immer mit £ und a‘. Schliefslich mufs bei dieser Verschiebung entweder « auf die Ecke a der Vierecke stofsen, oder E auf die Ecke d. Dals die Seite da von innen vom Halbkreis berührt wird, ist nur im Punkte a möglich, wobei dann « = 0 sein muls. Eine Berührung in einem andern Punkte kann nicht stattfinden, denn dann läge der Kreis da ganz innerhalb des Kreises Za‘ und könnte mit dem Kreise ab keinen reellen Winkel bilden. Stölst der Halbkreis auf «a, so lälst sich in dieser Grenzlage des Halbkreises an ihm entlang ein Dreieck mit den Winkeln «, 0, d vom Viereck abtrennen. Stölst der Halbkreis auf d, so bewegen wir statt seiner den Halb- kreis Ea” auf d und « zu. Dieser wird dann mit seinem Endpunkt E auf den Punkt d stofsen und es läfst sich jetzt wieder an ihm entlang ein Dreieck mit den Winkeln «, 0, d abtrennen. | Wir können nun ebenso die Halbkreise nach der entgegengesetzten 38 W. Ihlenburg, 5 Richtung, nach d und ce hin, verschieben, stolsen auf die Ecke b oder ce und können ein Dreieck mit den Winkeln £, 0, 7 abtrennen. Man kann also sämtliche Vierecke mit den Winkeln «, ß, y, d, in die von ab nach cd transversal eingehängt werden kann, auf folgende Weise konstruieren: „Man konstruiere das Dreieck A (Fie. 14) mit den Winkeln a, 0, 6, setze ein Ringstück B längs einer vom Winkel 0 ausgehenden Seite an, welehe nicht umlaufend ist, konstruiere weiter das Dreieck © mit den Winkeln 3, 0, y und füge es an das Ringstück längs einer vom Winkel 0 ausgehenden Seite an, die nicht umlaufend ist. Ein Beispiel gibt Fig. 14. Sämtliche sonst noch existierenden Vierecke dieser Art mit den Winkeln a, 8, 7, d erhält man aus den so konstruierten, indem man die Bögen von ab und ‘cd noch verlängert oder verkürzt. Dies geschieht unter Festhaltung der Winkel dureh Verschiebung der Kreise de und da längs der Kreise ab und cd, die dabei festgehalten werden.“ (Fig. 15 u. $ 9.) Wir bemerken noch, dals die Seiten De und da nieht umlaufend sein können, weil sie in den beiden Dreiecken einem Winkel 0 gegenüberliegen. Da bei beliebigen Werten von «, ß, y, d auch immer Dreiecke mit den Winkeln «, #, 0 und y, d, 0 existieren, erhalten wir den Satz: „Für beliebig vorgeschriebene Werte vona,ß, 7, d gibt es stets sowohl Kreisbogenvierecke, bei denen sich von ab nach.cd, als auch Kreisbogenvierecke, bei denen sieh von de nach da hinüber transversale Einhängungen machen lassen.“ Es ist nun nicht schwer, die Typen aller reduzierten Vierecke an- zugeben, bei denen sich von ab nach cd hinüber transversale Finhängungen machen lassen. Wenn wir zunächst die Vierecke bei Seite lassen, die durch Verkürzung der Bögen ab und cd aus den zunächst auf die angegebene Weise konstruierten Vierecken entstehen, so ist klar, dafs die Dreiecke mit den Winkeln a, 0, d und 7, 0, $& selbst reduziert sein müssen, wenn das Viereck reduziert sein soll. Aus den Ungleichheitsbedingungen am Schlufs des $ 3 ergeben sich, wenn wir sie auf die Dreiecke A und B anwenden, und die verschiedenen Dreieckstypen auf alle möglichen Arten nach der beschriebenen Konstruktionsmethode zusammensetzen, folgende Viereckstypen Uber die geometrischen Eigenschaften der Kreisbogenvierecke. 39 1. Keine Dreiecksseite ist umlaufend: N ERS DEE OGEYSI LE VDEOSI-e ri), N Ozean Vene OE1+« und7>1+3ß. Wir können dann an den Grenzkreisen entlang von d nach a und von b nach c hinüber Zweiecke abtrennen, so dafs die Winkel « und 3 zu Null werden. Tun wir dies, so muls der Grenzkreis k.a., Tangential- kreis werden, weil jetzt die der Seite cd gegenüberliegenden Winkel <ı sind; wir haben also wieder ein Viereck des $5 vor uns, das wir bereits kennen. Auf einen neuen Typus von Vierecken kommen wir also nur dann, wenn ka Oder ku,a, eigentlicher Diagonalkreis ist. Ist kur, eigentlicher Diagonalkreis, so läfst sich das Viereck in die zwei Dreiecke mit den Ecken a,b, e nnd d,a, ce zerlegen, die beide reduziert sein müssen und beide eine umlaufende Seite haben. Setzt man sie so zusammen, dals die Kreise ab und cd sich imaginär schneiden, so sieht man aus der Zeiehnung, dafs eine transversale Einhängung möglich ist und man also wieder ein Viereck des $ 5 vor sich hat (Fig. 20). Wollen wir also einen neuen Viereckstypus erhalten, so müssen sich ab und cd reell schneiden (Fig. 26). Es folgt, da Dreieck abc bei a den Winkel 0 hat: Noya Acta XCI. Nr.1. 6 42 W. Ihlenburg, 194 Y" ı sein, weil sich sonst eine Kreisscheibe lateral abtrennen läfst. y' und y“ seien die Winkel der beiden Dreiecke bei c, Wir drehen das Stück des Diagonalkreises zwischen a und e unter Ver- grösserung von y‘ um seine Endpunkte a und e (Fig. 27—30.) Damit von c aus sich keine Kreisscheibe polar abtrennen läfst, darf dies Stück sich nur soweit drehen lassen, dals „<2 bleibt. Ehe also 7‘ — 2 geworden ist, muls das bewegliche Stück des Diagonalkreises entweder 1. die Seite cd in c berühren, oder 2. auf die Ecke d stolsen oder 3. da in a berühren. Bei jedem Typus entstehen noch Unterfälle, je nachdem wir den einen Winkel des Dreiecks acd, welcher >ı sein kann, an die Ecke a, e oder d verlegen. Im letzteren Falle it 0<«a+ß<1, denn die Kreise ab, be und das Stück des Diagonalkreises, das da berührt, müssen für sich einen Dreiecks- kern dritter Art einschliefsen. Über die geometrischen Eigenschaften der Kreisbogenvierecke. 43 Wir erhalten die Viereckstypen: N) GSRZzUTN ern OSOSI (Fig. 27) Vz; I BEZ VGEHı. Wir suchen, nachdem wir längs der Grenzkreise Zweiecke mit den Winkelöffnungen « und 3 abgetrennt haben, sodals jetzt « und & zu null geworden sind, für die Seite cd den Grenzkreis auf. Dieser kann de oder da nieht berühren, da die Winkel bei c und d noch >ı sind und sich dann von cd eine Kreis- scheibe lateral abtrennen liefse. Also berührt er ab. Schneiden wir längs eines nahe am Grenzkreise verlaufenden und durch e und d gehenden Kreisbogens ein Zweieck mit den Eeken ce und d ab, so haben wir ein Viereck des $5 vor uns. Diese reduzierten Vierecke entstehen also aus reduzierten Vierecken des $ 5, bei denen ab umlaufend und cd nicht umlaufend ist, indem man den Bogen cd unter Festhaltung von ce und d solange nach auswärts dreht, als sich längs cd keine Kreisscheibe lateral abtrennen läfst. Es bestehen die Bedingungen: VEaRZi, DERZEIT BZEYEI TE NER1 und das Viereck läfst sich längs ac in zwei Dreiecke abe und dac zer- legen. Im Dreieck abe muls nun ?<1 sein, denn sonst wären in dem 6* 44 W. Ihlenburg, Dreieck abe zwei Winkel >ı und es wäre reduzierbar. Im Dreieck acd kann längs der Seite ae noch eine Kreisscheibe lateral angehängt sein, ohne dals das Viereck reduzierbar zu werden braucht. Wir können einen ersten Viereckstypus herstellen, bei dem d<ı und ?<1 ist, einen zweiten, wo e<ı, d>1 (und y>ı) ist. Den ersten Viereckstypus werden wir unter 4. behandeln. Beim zweiten Typus muls, damit das Viereck nicht reduziert werden kann, der Grenzkreis %., Tangentialkreis sein. (Wäre er Diagonalkreis durch a, so wäre das Viereck wieder reduzierbar, denn längs da liefse sich, da dann d>ı und «> 1 ist, eine Kreisscheibe abtrennen.) Der zweite Typus ist also derselbe, bei dem der Grenzkreis k., Tangentialkreis ist und cd berührt. Diesen Typus behandeln wir nun jetzt unter 2. 2. Der Grenzkreis k., kann zweitens Tangentialkreis sein und cd berühren. Sind hier z. B. &# und y beide >1, so läfst sich längs be eine Kreisscheibe abtrennen, wie man leicht sieht, wenn man für de den Grenz- kreis zu konstruieren sucht. Wir folgern analog, dafs auch wenigstens einer der Winkel « oder ö kleiner als ı ist. Wir nehmen zuerst @<1, &<ı an. Zerschneiden wir längs des Grenzkreises, so zerfällt das Viereck in ein Zweieck mit einem Winkel <1 und in zwei Dreiecke, von denen an einer Ecke jedes den Winkel null hat. Wir erhalten die Bedingungen: 01 sein kann. ) 0i1-+ea sein. Ist diese Bedingung erfüllt, so kann auch ohne weiteres die Grenz- lage immer konstruiert werden. Wenn d = 1+«+2p., Ist, so berühren sich die Kreise cd und ab im Punkte d in der Grenzlage. Transversale von cd nach ab ge- machte Einhängungen fallen dann beim Übergang in die Grenzlage heraus. In der Grenzlage ist noch ein Parameter enthalten, bei dessen Ver- änderung der Kreis da in die andern Kreise übergeht, die ihn in d berühren. Bei unserer zweiten Deutung der Vierecksparameter werden wir diesen Parameter als den zweiten Parameter des Vierecks betrachten. 3. Die Grenzlage dritter Art. Fallen in der Grenzlage die Eck- punkte a und 5 zusammen, so bezeichnen wir dies als Grenzlage (ab). Ist von a nach be hinüber oder von d nach da hinüber polar ein- gehängt, so fallen diese Kreisscheiben beim Übergang in die Grenzlage sämtlich heraus. Laterale Anhängungen können sieh längs der Seite ab Über die geometrischen Eigenschaften der Kreisbogenvierecke. 53 auch abschnüren. Diagonale Finhängungen, z. B. die zwischen a und ce, werden bei dem Dreieck der Grenzlage zu lateralen Anhängungen längs ac. Damit bei einem Viereck diese Grenzlage eintreten kann, muls arg>i sein. Der Winkel des entstehenden Dreiecks bei den beiden zusammen- fallenden Ecken hat die Größe «+ß—1, wenn weder laterale noch polare Anhängungen herausfallen. Ist die obige Ungleichheitsbedingung eıfüllt, so existieren im All- gemeinen (vgl. $ 14) unter allen Vierecken mit gleichen Winkeln auch solche, die in die dritte Grenzlage übergehen. Ist «+ = 1, so fallen transversale von da nach be gemachte Ein- hängungen beim Übergang in die Grenzlage heraus. 4. Auf die Eigenschaften der vierten Grenzlage brauchen wir nicht weiter einzugehen. Zwei Grenzlagen, die sich nur durch den Parameterwert unterscheiden, sollen als Grenzlagen von „gleichem Typus“ bezeichnet werden. Sul, Konstruktion aller zu gegebenen Winkeln möglichen Vierecke. Nun können leicht alle Vierecke konstruiert werden, die es zu ge- sebenen Winkeln gibt. Durch Drehung der Seiten um die festen Eckpunkte gehen die Vier- ecke in die Grenzlagen erster oder zweiter Art über. Aber diese Grenz- lagen können wir nach dem im vorigen Paragraphen Gesagten leicht kon- struieren, da wir ja die Konstruktion der Kreisbogendreiecke, welche in der Grenzlage entstehen, als bekannt voraussetzen. Indem wir aus den Grenz- lagen heraus in umgekehrter Richtung drehen, erhalten wir die Vierecke selbst, die zu den konstruierten Grenzlagen gehören. Um nun sämtliche Vierecke zu konstruieren, die es zu gegebenen Winkeln gibt, haben wir nur sämtliche für diese Winkel möglichen Grenz- lagen zu konstruieren. Indem wir noch den in jeder Grenzlage enthaltenen Parameter verändern, erhalten wir die gesamte zweiparametrige Schar der verlangten Vierecke durch Herausdrehen aus den Grenzlagen. 54 W. Ihlenburg, Jedes Viereck geht, je nachdem positiv oder negativ gedreht wird, in zwei Grenzlagen über. Konstruiert man also aus sämtlichen zu gegebenen Winkeln möglichen Grenzlagen Vierecke, so erhält man jedes verlangte Viereck gerade zweimal. Um jedes Viereck nur einmal zu erhalten, hat man von den konstruierten Grenzlagen beispielsweise nur diejenigen zu benutzen, aus denen man durch negative Drehung zum Viereck gelangt oder hat in der in $ 16 näher bezeichneten Weise zu verfahren. | Bei den Grenzlagen der ersten Art ist es oft schwer, unmittelbar zu er- kennen, ob man durch positive oder negative Drehung aus ihnen herausgelangt, bei den Grenzlagen zweiter Art dagegen ist dies leicht. Fällt zum Beispiel d auf ab, so kann bei Veränderung des Parameters der Grenzlage die Seite ab dieselbe Anzahl von Umläufen bekommen wie die Seite db des Dreiecks der Grenzlage oder noch einen Umlauf mehr (Fig. 51 u. 52). Im ersten Falle gelangt man durch negative, im zweiten durch positive Drehung aus der Grenzlage heraus. Bei beliebig gegebenen Winkeln können stets beide Grenzlagen erster Art, (ab, cd) und (be, da), konstruiert werden. Die besonderen Fälle, in denen diese Grenzlagen zur Konstruktion nicht brauchbar sind, werden wir im folgenden Paragraphen besprechen. Es sind, wenn man aus der Grenzlage herausdreht, nachträglich Kreisringe in der Zahl 0, 1, 2,3... einzuhängen. Was für Grenzlagen zweiter Art bei gegebenen Winkeln möglich sind, erkennt man durch Aufsuchen sämtlicher Bedingungen des Typus d>1-+.a. Bei Verwendung dieser Grenzlagen ist zu beachten, dals in den Grenzlagen polar eingehängte Kreisscheiben herausgefallen sein können. Es sei beispielsweise die zum Bestehen der Grenzlage ab(d) notwendige Bedingung d>1-+.« erfüllt. Enthält die Zahl d—«—ı Vielfache von 2, so können dieselben ganz oder zum Teil auf die herausgefallenen Kreis- scheiben gerechnet werden. Ist » die Anzahl dieser Vielfachen, so sind nacheinander die Grenzlagen zu konstruieren, bei denen die Dreiecke bei d die Winkel: do—a—1; d—a—3; d—a—5; ... d—a—1—2p, bei 5 und c die Winkel % und y besitzen. Nachträglich sind dann, während Über die geometrischen Eigenschaften der Kreisbogenvierecke. 55 wir aus der Grenzlage herausdrehen, noch Kreisscheiben bezw. in der Anzahl 0, 1, 2... p von d nach ab hinüber polar einzuhängen. Auf diese Weise erhält man sämtliche zur Bedingung d>1-+.« gehörigen Grenzlagen zweiter Art. Die bei der Konstruktion noch möglichen Ausnahmefälle besprechen wir im folgenden Paragraphen. g 12. Ausnahmefälle. 1. Man kommt, wenn die Winkel des Vierecks gewissen Bedingungen genügen, bei unmittelbarer Benutzung der gegebenen Regeln zu Grenzlagen, aus denen man durch Drehung der Seiten nicht herausgelangen kann, mit deren Hülfe man also auch kein Viereck konstruieren kann. Wenn bei der Grenzlage (ab, cd) zwei benachbarte Eekpunkte, z.B. a und d, in den Berührungspunkt der Kreise ab und cd fallen (Fig. 53), so läfst sich aus der Grenzlage ein Viereck nur dann konstruieren, wenn der Parameter der Grenzlage- so bestimmt wird, dafs auch die Seite cd sich gerade schliefst (Fig. 54). Wenn ferner zwei gegenüberliegende Eckpunkte (z. B. d und 5) in den Berührungspunkt der Kreise ab und cd fallen (Fig. 55), so ist es überhaupt nicht möglich, ein Viereck zu erhalten. Wenn wir bei beiden Grenzlagen nun den Berührungspunkt der Kreise ab und cd ins Unendliche werfen, so gehen die beiden Dreiecke der Grenzlage in geradlinige Dreiecke über. Dabei werden von den Winkeln der Dreiecke die Bedingungen erfüllt: oe — ae y — 2nH1 wo m und » zwei positive oder negative ganze Zahlen bedeuten.') Vierecke, deren Winkel diesen Bedingungen genügen, gehen also nicht in die gewöhnliche Grenzlage (ab,cd) über, wenn nicht ab und cd die Peripherie eine volle Anzahl von Malen umspannen. Genügen die Winkel diesen Bedingungen nicht, so kann die Grenz- lage (ab, cd) zur Konstruktion von Vierecken verwandt werden. 1) Schilling, Math. Ann. 44, 8. 222. 56 W. Ihlenburg, Fällt bei der Grenzlage zweiter Art d auf ab, so ist es nicht mög- lich, aus der Grenzlage ein Viereck zu konstruieren, wenn im Dreieck bed be oder cd oder db sich gerade schliefst, wenn nicht in den ersten beiden Fällen auch ab sich immer gerade schlielst. Transformieren wir beim ersten Fall d), beim zweiten und dritten d ins Unendliche, so wird das Dreieck der Grenzlage in allen drei Fällen geradlinig. Die Bedingung dafür wird: (I— a — 1)—B—y a! + 2Pap(a) + 2 Povcca) beim ersten Fall, wo p.,. die Anzahl der von d nach ab hinüber polar ein- gehängten Kreisscheiben bedeutet, p,.« die Zahl der von d nach de polar eingehängten Kreisscheiben. Für die drei Fälle erhalten wir unter Ver- wendung analorer Bezeiehnuneen die Bedingungen: [> to} o- fo} be} 1) ds—a—B—y — 2(Darıa + Prca +1) 9) a +ß—y—6 = 2(Dcan) — Pao(a)) 3) a—ßB+y—d = 2 (Dave) —Pabaa))- Sobald eine dieser Gleichungen erfüllt wird, kann die Grenzlage ab(d) nicht zur Konstruktion von Vierecken benutzt werden. Genügen die Winkel diesen Bedingungen nicht, so ist die Grenzlage zweiter Art zur Konstruktion von Vierecken zu gebrauchen. — 2. Ferner ist der besondere Fall möglich, dafs bei Drehung der Seiten um die festen Ecken gleichzeitig zwei Grenzlagen von verschiedenem T'ypus eintreten. Diese so entstehenden Grenzlagen sind also auch noch bei der Konstruktion der Viereeke zu verwenden. Dals zwei Grenzlagen erster Art gleichzeitig eintreten, ist nicht möglich. Tritt eine Grenzlage erster und eine zweiter Art gleichzeitig ein, so müssen zwei Kreise sich nicht nur in einem Punkte, sondern längs eines Bogens berühren, so dafs die beiden Kreise ganz zusammenfallen (Fig. 56). Fallen die Kreise ab und cd zusammen, so muls die Bedingung erfüllt sein: d—ae—=2m+1: B—y =2nH+Hl, wo m und n zwei positive oder negative ganze Zahlen bedeuten. Dies sind aber dieselben Bedingungen, bei denen die gewöhnliche Grenzlage erster er . . . Ze) . Fr Über die geometrischen Eigenschaften der Kreisbogenvierecke. 57 Art unbrauchbar war. Dieselbe ist also durch diese neue Grenzlage zu ersetzen. Dals zwei Grenzlagen zweiter Art gleichzeitig eintreten, ist möglich auf dreierlei typische Arten: a) d fällt auf ab und gleichzeitig auf de (Fig. 57). Dann ist: de— a —B—y — al Dlaua) + Pre(a ar 2b) Aus dieser Grenzlage lälst sich aber nur dann durch Drehung ein Viereck erzeugen, wenn nach Absonderung aller polar eingehängten Kreis- scheiben, wie in der Figur, entweder ab allein oder de allein noch um- laufend ist, oder wenn die Parameter so bestimmt sind, dals ab und de sich gerade schlielsen. b) d fällt auf ab und gleichzeitig b auf cd (Fig. 58). Dann ist: a+ß—y—6 —— 2(Peawy — (Pavcay), Aus dieser Grenzlage lälst sich aber nur dann ein Viereck erzeugen, wenn nach Absonderung aller polar eingehängten Kreisscheiben ab und cd beide nieht mehr umlaufend sind (Fig. 59), was sich durch geeignete Be- stimmung der Parameter erreichen lälst. ec) d fällt auf ab und gleichzeitig e auf ab (Fig. 60). Dann ist: a—-B+Y— 0 = 2 (Par Davaa): Aus dieser Grenzlage läfst sich ein Viereck konstruieren, wenn ab nach Abtrennung aller polar eingehängten Kreisscheiben keinmal, einmal oder zweimal umlaufend ist (Fig. 61—65). Doch müssen dabei auf dem Kreise ab die Eekpunkte in der Ordnung a, b, e, d oder a, b, d, ce aufeinander folgen. Die für die Winkel gefundenen Gleichungen stimmen aber mit den oben gefundenen überein, bei deren Bestehen die Grenzlage ab(d) zur Kon- struktion eines Vierecks unbrauchbar war. An die Stelle dieser Grenz- lagen sind also diejenigen zu setzen, bei denen zwei Grenzlagen gleich- zeitig eintreten. Nova Acta XCI. Nr.l. 8 58 W. Ihlenburg, Kapitel I. Die Ergänzungsrelationen. 18%: Prinzip bei der Ableitung der Ergänzungsrelationen. Wir fragen, welches sind die elationen, welche die Abhängigkeit un zwischen den Umlaufszahlen der Seiten eines Kreisbogenvierecks und den Winkeln darstellen? Wir zählen aber einen Umlauf erst dann, wenn die ganze Peripherie auch wirklich durch den Bogen überschritten ist. Die Umlaufszahlen bezeichnen wir mit ar, Use, Hea, Uaa- Es bezeichnet im Dreieck mit den Ecken a, b, c und den Winkeln «, ß, y E (it) 5) die Umlaufszahl der dem Winkel « gegenüberliesenden Seite, wobei ‚fa — B— 1 Te Ne Or - = E ( — Ze ) diejenige grölste ganze positive Zahl oder Null bedeutet, a By +1 2 74 welche von überschritten wird.') Die für die Seiten dadurch gegebenen Ungleichheitsbedingungen nennt man Ergänzungsrelationen. Lassen wir das Viereck, indem wir Ecken und Winkel festhalten, durch Drehung der Seiten in eine Grenzlage übergehen, so kennt man also für die in derselben entstehenden Dreiecke die Ergänzungsrelationen. Für die Grenzlage lassen sich deshalb leicht die Beziehungen zwischen den Um- laufszahlen der Seiten und den Winkeln aufstellen. Da nun beim Übergang zum Viereck aber sowohl die Winkel, wie auch die Umlaufszahlen der Seiten erhalten bleiben, gilt die erhaltene Relation ohne weiteres für das Viereck selbst. Indem wir an allen zu gegebenen Winkeln möglichen Grenzlagen die Relationen aufstellen, erhalten wir die Ergänzungsrelationen für alle Vierecke, welche zu gegebenen Winkeln existieren. Die Vierecke, welche aus Grenzlagen erster Art hervorgehen und die Vierecke, welche aus Grenzlagen zweiter Art hervorgehen, behandeln wir besonders. 1) Klein, Math. Ann. 37, S. 585. Über die geometrischen Eigenschaften der Kreisbogenvierecke. 59 s 14. Die Ergänzungsrelationen der Vierecke, welche aus Grenzlagen erster Art entstehen. In der Grenzlage erster Art mögen sich ab und cd berühren. Wir könnten nun in jedem Dreieck der Grenzlage die Umlaufszahlen für sich zählen; da wir aber sogleich für die ganze Schar der Vierecke, die aus der Grenzlage erster Art hervorgehen können, die Ergänzungsrelationen ableiten wollen, müssen wir einen etwas anderen Weg einschlagen, denn auf die angegebene Art ergibt sich nicht, wie die Umlaufszahlen der Vierecks- seiten von dem Parameter der Grenzlage abhängen. Wenn wir aus der Grenzlage herausdrehen, so haben wir zunächst ein Viereck vor uns, bei dem sich von ab nach cd hinüber transversale Einhängungen machen lassen. Für die Vierecke, welche aus der Grenzlage erster Art entstehen, müssen demnach dieselben Ergänzungsrelationen gelten wie für die Vier- ecke, in die sich transversale Einhängungen machen lassen. Um die ver- lansten Ergänzungsrelationen zu finden, können wir also die Relationen dieser Vierecke ableiten. Wir verfahren dabei folgendermalsen: Wir denken uns ein Viereck vorgelegt, in das sich von ab nach cd transversale Einhängungen machen lassen und transformieren die Kreise ab und cd in zwei konzentrische. Wir bewegen, indem wir einen Vierecksparameter auf die erste Weise deuten, den Kreis be. Die Bewegung ist nach einer Richtung hin unbegrenzt, denn die Einhängung eines Kreisringes kommt jedesmal einem Herumführen des Kreises de um einen Vollkreis gleich. Bei der Bewegung nach der andern Riehtung tritt aber stets eine Grenzlage ein. Während das Viereck sich in dieser Grenzlage befindet, berechnen wir die Umlaufszahlen. Dabei erhalten wir zwar nicht die Umlaufszahlen für die Seiten des Ausgangs- vierecks, denn bei der Bewegung des Kreises be sind Umlaufszahlen der Seiten ab und cd ev. verloren gegangen. Da wir aber die Bewegung von be genau kennen, lassen sich die verloren gegangenen Umlaufszahlen er- mitteln, so dafs man die Relationen des vorgelegten Vierecks erhalten kann. nn 60 W. Ihlenburg, Wenn wir den Kreis be bis zur Grenzlage verschieben, so ist die Grenzlage vierter Art nicht möglich, da sich die Kreise ab und cd imaginär schneiden. Auch die Grenzlage zweiter Art ist nieht möglich. Fiele z. B. a auf be, so könnte der Kreis be nach keiner Riehtung unbegrenzt bewegt werden. Also ist nur die Grenzlage erster Art (De,da) oder eine der Grenz- lagen dritter Art (a, b) und (c, d) möglich. Tritt die erste Grenzlage ein, so mufs, während das Viereck sich nahezu in derselben befindet, ein zur Einhängung von Kreisringen geeigneter Sehnitt, der von der Seite ab nach cd geht, zwischen der von be und da ge- bildeten Einschnürung hindurchgeführt werden. Wir müssen dabei von der Grenzlage die Eigenschaft verlangen, dals dieser Schnitt vollständig inner- halb des von den Kreisen ab und cd gebildeten Ringgebietes hindurch- geführt werden kann. Die einzigen Dreiecke mit den Winkeln «, ß, 0 und y, 6, 0, die sich zu einer Grenzlage mit dieser Eigenschaft zusammensetzen lassen, sind aber diejenigen, bei denen «a+P<1 v+ös<ı ist. Dies ergibt sich, wenn man die reduzierten Dreiecke aller Typen zu einer Grenzlage mit der verlangten Eigenschaft zusammenzusetzen sucht. Alle übrigen Vierecke der betrachteten Art gehen bei der erwähnten Verschiebung von be also in die dritte Grenzlage über, wobei weder polar noch lateral angehängte Kreisscheiben herausfallen. Welche notwendige und hinreichende Bedingung mufs nun zwischen den Winkeln bestehen, wenn ein Viereck der betrachteten Art, z. B. durch Zusammenfallen der Eekpunkte e und d in die dritte Grenzlage übergehen soll? Offenbar lassen sich dann im Dreieck der Grenzlage nach der Seite ab hinüber polare Anhängungen machen. Damit nun im Dreieck mit den Winkeln y+d—1, «a, ß nach der Seite ad hinüber eine polare Anhängung möglich ist, muls 7 +6—1)—a—ß +1>0 sein, da dann die Zahl E (+2 en, welche die Um- laufszahl der Seite ab angibt, um 1 wachsen muls, wenn man y+d—1 um den Betrag 2 vergrölsert. Wenn demnach c und d’zusammenfallen, so ist y+tdo—a—B>0. Über die geometrischen Eigenschaften der Kreisbogenvierecke. 61 Diese Bedingung ist mit der Bedingung y+d>1 zum Eintreten der Grenzlage (ec, d) auch hinreichend. Denn die erste Grenzlage ist dann nicht möglich, die Grenzlage (a, 5) ebenfalls nicht, weil dann «+2 —y—d>0 sein mülste. Wir berechnen nun die Umlaufszahlen, während das Viereck sich in der Grenzlage befindet. Aus $5 wissen wir bereits, dals u,. — Ua — 0 Ist. Wenn nun 1) Va On ist, so ist die Umlaufszahl von ab in der Grenzlage gleich E Te), Verschieben wir jetzt be in umgekehrter Richtung, so dafs aus der Grenzlage Vierecke entstehen, so wird hierbei, wenn wir immer weiter verschieben, im allgemeinen zuerst die Umlaufszahl von ab um eine Einheit zunehmen (Fig. 64). Während also cd noch nieht umlaufend ist, ist die Umlaufszahl von ab gleich E u — .) + :, wobei im allgemeinen für z—-0 und 2 = 1 Vierecke existieren. Ist aber „+d—«—? eine gerade positive Zahl, sodals ab in der Grenzlage sich gerade schlielst, so ist die Umlaufszahl von ab, während cd noch nicht umlaufend ist, beständig gerade um eine Einheit gröfser als in der Grenzlage, sodals also dann für & nur der Wert 1 genommen werden darf. Hängen wir jetzt Kreisringe ein, so wachsen die Umlaufszahlen von ab und cd immer um dieselbe Anzahl von Einheiten, sodaß Ya = Ucat+E % ni + & ist. y Wenn 2) r+d—-e—-P = 0 ist, so geht bei der Konstruktion des Dreiecks der Grenzlage (c, d) der Kreis ab durch die gegenüberliegende Spitze des Dreiecks, sodals diese Grenzlage nicht zur Konstruktion eines Vierecks brauchbar ist. Wir werden also in diesem Fall, wenn wir im gegebenen Viereck den Kreis verschieben, auch nieht zu dieser Grenzlage gelangen. Es tritt deshalb ein spezieller Fall ein. Die dritte Grenzlage tritt gleichzeitig an den Seiten ab und cd 62 W. Ihlenburg, ein, sodals ein Zweieck entsteht mit dem Winkel a+$—1—=y+J-1. Führen wir den Kreis De wieder aus der Grenzlage heraus, so nehmen die Umlaufszahlen von ab und cd immer gleichzeitig zu. Es ist also stets: Uad = Wei: Wenn dann aber die oben abgeleitete Gleichung noch gelten soll, so ist in dieser &e — 0 zu nehmen. Gehen wir wieder auf die Viereeke zurück, die aus der Grenzlage (be, da) entstanden, so finden wir aus Fig. 65 die Bedingung dafür, dafs die Seite ab sich beim Herumführen des Kreises be früher überschlägt als cd. In der Figur ist der Kreis be noch über die Grenzlage hinaus nach dW geführt, bis ce und d zusammenfallen. Es ist, weil im Dreieck eab' die Winkelsumme <1 sein muls, (1—7—)+a+ß<1 y+d—a—B>0. Wenn y+d—a—ß — 0 ist, so müssen auch hier die Seiten ab und cd sich gleichzeitig beim Herumführen von de überschlagen, sodals also für diese Vierecke die oben erhaltenen Regeln bestehen bleiben. In dem speziellen Falle der Fig. 54 in $ 12, der hier noch zu be- handeln ist, ist „+d—a—ß eine gerade Zahl. Die abgeleitete Relation bleibt hier bestehen, sobald man e — 1 setzt. Die Vierecke, die aus Grenzlagen vom 'T'ypus der Fig. 56 entstehen, behandeln wir im nächsten Paragraphen. Wir fassen zusammen: Für diejenigen Vierecke, welche aus der Grenzlage (al, cd) entstehen, ist: ee / —ua+B(lt 5} = Ars Ur — Udo = O0 7 I. Hab wenn r+6d—a—$B>0 ist. Es gibt Viereeke nur für e=1, wenn y+d—a—ß eine gerade positive Zahl, nur für e=0, wenn y+d—a—P —= 0 ist, sonst für e=1 und für e=0. Über die geometrischen Eigenschaften der Kreisbogenvierecke. 63 Wir können an dieser Stelle leicht den aus $5 noch rückständigen Beweis erbringen, dals die Winkel der reduzierten Vierecke, bei denen sich von ab nach cd ein Kreisring einhängen läfst, und ab und cd umlaufend sind, den Bedingungen «+3 <1, y+d<1 genügen müssen. Denn bei den Vierecken, die aus der dritten Grenzlage entstehen, ist, wenn zwei gegen- überliegende Seiten umlaufend sind, stets ein Kreisring eingehängt. Die reduzierten Vierecke der verlangten Art können also nur aus der ersten Grenzlage entstehen, bei der at? <1, y+d<1 ist. Sl, Die Ersänzungsrelationen der Vierecke, welche aus Grenzlagen zweiter Art entstehen. Wir betrachten als Beispiel die Grenzlage zweiter Art ab(d). In derselben entsteht ein Dreieck mit den Winkeln: d— a —1— 2 Para B, Y- Durch Anwendung der Ergänzungsrelaiion des Dreiecks ergibt sich demnach: Uab — Paycyt E = Go An Var "2unt2) 20 6) a > ö U — E ( en rn lea e + eu 2Parcay + 2) 77) Waa — 0: Hierin hat ».,., nacheinander alle ganzzahligen Werte zu durch- laufen, für die (ld —0— i I v — > Dab(a) = OrRIst ee ‚ wn : 0. d—a—1 E! Ü = =) soll die gröfste ganze nicht negative in —, — enthaltene g : do—a—1 . o ee Zahl bedeuten, sodals, wenn — sn eine ganze Zahl ist, E' ( ee =) 4 64 W. Ihlenburg, Im allgemeinen gibt es stets für = 0 und e = ı Vierecke, die durch Variation des Parameters der Grenzlage entstehen. Für die in $ 12 behandelten Ausnahmefälle gelten jedoch diese Symbole für die Umlaufszahlen nieht ohne weiteres, da sich in der Grenzlage ab(d) dort keine eigentlichen Kreisbogendreiecke abtrennen. Wir müssen dies nachher berücksichtigen. Die obigen Formeln für die Umlaufszahlen zeigen unmittelbar, dafs, wenn Parca, und e nacheinander die ihnen zukommenden Werte annehmen, die sich dann ergebende Zahlenreihe jeder Umlaufszahl keine Lücke be- sitzt, sofern die Umlaufszahlen sich überhaupt verändern. — Wir stellen nun die zwischen den Umlaufszahlen bestehenden Relationen auf. : Ist zunächst: WO Men “+ 7—d+22(® 3 )\+2>0, so findet man durch Hinzufügen der Bedingung: d—a—1 2 (6-01 2E( 2" ))>o et dals a—B+7—0+ 22051) 0 erfüllt bleibt, ergibt sich: Ur. —0 Le are Nr I und ferner: wenn im besonderen «+ —y7—6>0 ist. Wenn dagegen im besonderen «&+ ?—y—d<0 ist, so ist: N ee (ee nos Re! au 4 B(ERIZEE) — nee HBT—Ot 22), gr = Pabea — Un ——E Uad = UÜeca - E (? a Ze te 5 Uber die geometrischen Eigenschaften der Kreisbogenvierecke. 65 Setzen wir in der ersten der beiden Relationen, die zwischen «., und u.a bestehen, noch e für 1—e, so ergibt sich: Solange «+? —y—d+2 pam +2> 0 ist, gilt die Ergänzungsrelation I der Vierecke, die aus der Grenzlage (ab, cd) entstehen. Ist der Winkel des Dreiecks der Grenzlage bei d null, so können - Kreisringe zwischen ab und cd herausgefallen sein, was die Relationen auch berücksichtigen. Treten nun die in den Fig. 56, 58, 59 gezeichneten speziellen Grenz- lagen ein, so ist nach $ 12: @«+P—Y— I — 2 (Peak) — Pazca)) Un — Pataaa HE; Uca — Peap)t & wo beide Zahlen e entweder zugleich 0 oder zugleich ı sein müssen. Demnach ist in diesem Falle: Ga ee We a —iW ab —— ram eeerung 2 sodals die Relation I bestehen bleibt, wenn wir in ihr e = 1 setzen, sobald @+ß—y—6 eine gerade Zahl ist, dagegen e — 0, sobald «+ —y—d = 0 ist. Nimmt pasca) noch weiter ab, so wird «a +ß—y—d+2 pam +2 so ist in dem Symbol für «,. das Argument positiv, und demnach ist jetzt: I. Wendelin — Bere; 2 Uea = Maga — I. Tritt aber die in Fie. 57 gezeichnete spezielle Grenzlage ein, so ist nach $ 12: do— a — BP —Yy = 2 (Parco + Prcra) + U) Mad — Part; Ur — Pic rt 1— & wo beide Zahlen &, entweder zugleich 0 oder zugleich ı sein müssen. Demnach ist in diesem Falle: Ge 2 Noya Acta XCI. Nr.2. 9 — Mast We: 66 W. Ihlenburg, Die Relation II gilt also für diese Vierecke, wenn man in ihr e —= 1 Setzt. Wählt man aber den Fall der Fig. 57 so, dals ab und de beide sich gerade schliefsen, so ist dann ua = Para; Wie = Pre und mn H e=0 zu setzen. — Ist die anfangs gestellte Bedingung nicht erfüllt, sondern do—a—1 a+—7— 64220 5 1)+2<0, so ist stets v.a = 0. %;,. Ist zunächst ebenfalls null. Doch ist nicht not- wendig wie im vorigen Falle u» = par + & Wird aber wieder do— a — B—Yy— 2Pava >, so wird auch wiederum u. = Pascay+ e, sodals wieder die Relation II besteht. Wir fassen zusammen: Bei den Vierecken, die aus der Grenzlage ab(d) hervorgehen, erteile man Pascay nacheinander alle ganzzahligen Werte, für die 2°: =) N 2, Solange wie a+8—y—6+2Pasy +2 >0 ist, gilt die Relation I (S. 62) der aus der Grenzlage (ab, cd) ent- stehenden Vierecke nebst den Bestimmungen über die Zahl Solange wie dann weiter d— a — B—Y— 2 Para) >09 ist, gilt die Relation: 1. Mad + We — 2) EiBER a Uca = Uda = 0, wobei es stets für = 0 und e= ı Vierecke gibt. %s,» nimmt hier der Reihe nach alle Werte an, für welche: ö —e+1 (st nee )) => Uab > z(=E+7=4+3) ist. 2 a Über die geometrischen Eigenschaften der Kreisbogenvierecke. 67 Für diejenigen Werte von pw, welche keine der obigen Bedingungen erfüllen, ist Ude — Uca — Usa — O, und x. nimmt alle Werte an, die in I und II nicht vorkommen können. Aus den Figuren 60—63 ergibt sich noch, daß in dem noch übrigen speziellen Falle, wo &—8-+y—.Jd eine gerade Zahl ist, die aus diesen Grenz- lagen konstruierten Vierecke zu der zuletzt erwähnten Art gehören. Sie lassen sich auch stets so anordnen, dafs die Werte von «., bei ihnen eine ununterbrochene Folge ganzer Zahlen bilden. Die für u., angegebene oberg Grenze läfst sich so umformen, dals wir sagen: Der gröfste Wert von ., ist gleich N — > Br Er 2) +E e au -) oder um 1 kleiner. 2 Für pas —= E — ) ergibt sich ferner: Re Ü N — al aze) oder um 1 kleiner. re U == 0. Für pa = 0 ergibt sich noch: Ua — 2 (HI), Une = ee Uda = 0. $ 16. Die wesentlichsten Eigenschaften der vollständigen zu gegebenen Winkeln möglichen Schar von Vierecken. Wir betrachten jetzt die zweidimensionale Schar sämtlicher zu fest gegebenen Winkeln vorhandenen Vierecke. Wie in $5 gezeigt ist, gibt es bei beliebigen Winkeln sowohl stets Vierecke, bei denen «,, und u.. zwar voneinander abhängig sind, im übrigen aber beliebig grols vorgeschrieben werden können, als auch Vierecke, bei 9* 68 W. Ihlenburg, denen x. = u.a = 0 ist. Ferner gibt es auch stets Vierecke, bei denen sich «,. und ua. entsprechend verhalten. Aus der mit Hülfe der Funktionentheorie erschlossenen Tatsache, dals sämtliche Vierecke ein Kontinuum bilden, folgt, dafs Vierecke für sämtliche Zwischenwerte der Umlaufszahlen vorhanden sein müssen. Wir wollen die Vierecksschar so anordnen, dals die Werte jeder Umlaufszahl eine unterbrochene Folge bilden, für alle zusammengehörigen Wertequadrupel derselben in dieser Reihenfolge Vierecke konstruieren und die dabei auftretenden zugehörigen Ergänzungsrelationen angeben. Dann zeigen wir, dals die in angegebener Weise konstruierte Vierecksschar alle möglichen Vierecke enthält. In der getroffenen Anordnung müssen sich dann notwendig die konstruierten Vierecke kontinuierlich aneinanderschliefsen. — Wir wählen die Bezeichnung derart, dals v+d—a—P>0 und dö+a—P—y>O0 ist, was stets möglich ist. Zunächst schlielsen sich die Umlaufszahlen aller Vierecke, die aus Grenzlagen erster Art (ab, cd) konstruiert werden können, lückenlos anein- ander. Man erreicht dies, indem man zunächst 0, dann 1, dann 2... Kreis- ringe einhängt. Auch bei Grenzlagen zweiter Art schliefsen sich, wie in $ 15 gezeigt worden ist, die Umlaufszahlen lückenlos aneinander, wenn z. B. bei der Grenzlage ab(d) die Zahl 9.,.., nacheinander die Werte E (=), la) a annimmt. Aus den Grenzlagen (ab, cd) erhalten wir durch Finhängen von Kreis- ringen Vierecke für alle Werte von u.,, die grölser oder gleich Be) LE (= 4) 2 2 sind. Dieser Wert selbst ist der kleinste, der aus der Grenzlage (ab, cd) erhalten werden kann, wie man durch Anwendung der Dreiecksrelation auf die Dreiecke der Grenzlage findet. Zu diesem Wert von «., gehört El Über die geometrischen Eigenschaften der Kreisbogenvierecke. 69 A) Ist dieser Wert von u..>0, so. ist entweder ?—y> 1 oder a—6>1. Durch Hinzunahme von y+d—a—8>0 ergibt sich, dafs im ersten Falle noch d—« > 1, im zweiten noch y—ß > 1 ist. Wenn 1. d—« > ı und zugleich $—y > 1 ist, so existieren die Grenzlagen ab(d) und cd(b). Die größten aus der Grenzlage ab(d) sich ergebenden Werte von %., und u.a schliesen sich ohne Lücke an die kleinsten aus den Grenz- lagen (ab, cd) erhaltenen Werte an. Die kleinsten aus der Grenzlage ab(d) sich ergebenden Werte von %a, und «.. sind in diesem Falle: A 2 (=EHr=i2) ar, ee (21742) u Wenn 2. @&—d> 1 und zugleich „—ß$ > 1 ist, ergibt sich durch Betrachtung der Grenzlagen ab(c) in genau entsprechender Weise, dals man von den aus den Grenzlagen (ab, cd) entstehenden Vierecken aus unter Durchlaufung sämtlicher Zwischenwerte der Umlaufszahlen wieder zu Vierecken gelangt, bei denen u. —= u.a — 0 ist. B) Wenn in der letzten Grenzlage erster Art bereits u.a — 0 ist, so ist —y<ı und zugleich a&—d< 1. Jetzt kann u., in dieser Grenzlage erster Art ebenfalls bereits null oder noch gröfser als null sein. Im letzteren Falle ist wenigstens eine der Bedingungen d—-a>1; 7—83>1 erfüllt. Die aus diesen jetzt vorhandenen Grenzlagen zweiter Art sich ergebenden Umlaufszahlen setzen wieder ohne Unterbrechung die aus der ersten Grenzlage sich ergebenden Werte der Umlaufszahlen fort. Existiert die Grenzlage ab(d), so ist der kleinste aus ihr sich er- Eher?) 2 Ist dieser Wert noch nicht null, so muls „—ß>1 sein. Bei den gebende Wert von x., gleich &( Vierecken der nun sicher existierenden Grenzlage ab(c) wird dann aber der kleinste Wert von u. = E e % — ng ) — 0. Zugleich ist auch u..—0. 70 W. Ihlenburg, Existiert nicht die Grenzlage ab(d), so gelangt man durch die Vier- ecke der Grenzlage ab(c) allen zu Vierecken mit den Umlaufszahlen Yad = 0; Uca — 0. Wir können jetzt sagen: „Um unter der Voraussetzung: Var) N d+a—P—yY>0 Vierecke in der Reihenfolge zu erhalten, dafs von beliebig grofsen Werten —= ua = lotdielWerte allen Umlaufszahlen eine ununterbrochene Folge ganzer Zahlen durchlaufen, von u. und u.s, an bis zu den Werten “a konstruiere man zunächst Vierecke aus den Grenzlagen (ab, cd) und hänge Kreisringe so ein, dafs ihre Anzahl mit einer beliebig grofsen Zahl be- ginnend ununterbrochen die Reihe der ganzen Zahlen bis O einschliefslich durchläuft. „Kommt bei diesen Vierecken der Wert «., = 0 noch nicht vor, so konstruiere man weiter Vierecke aus sämtlichen existierenden Grenz- lagen ab(d). „Existieren diese nicht oder kommt auch bei ihnen noch nicht der Wert u. — 0 vor, so sind Grenzlagen ab(c) in genügender Anzahl vor- handen, mit Hülfe deren sich die Vierecksreihe dann bis zu Viereeken mit der Umlaufszahl «., — 0 fortsetzen lälst. „Kreisscheiben sind ev. polar bei den Grenzlagen zweiter Art nach- träglich so einzuhängen, dafs ihre Anzahl die Reihe der ganzen Zahlen bis 0 einschliefslich durchläuft. „Die Konstruktion läfst sich offenbar von den letzten Vierecken aus in analoger Weise fortsetzen bis zu Vierecken, bei denen «,. und ı.. be- liebig grolse Werte annehmen.“ Für die Umlaufszahlen der so konstruierten Vierecksschar gelten also nach $ 14 und 15 zunächst die Relationen: 1 Uad = Wat E(! FT Ude = Uda —= 0 für beliebig grolse Werte von «.. bis zum Werte u.a = 0. Vierecke mit einer Relation vom Typus II können z. B. nicht aus den Grenzlagen ab(e) entstehen, denn die hierzu notwendige Bedingung Über die geometrischen Eigenschaften der Kreisbogenvierecke. zit 7—d—«a—2>0 würde in Widersprueh mit der Voraussetzung d+@—ß—y>0 stehen. Sie entstehen demnach nur aus den Grenzlagen ab(d) und becd). Ist, was wir vorerst voraussetzen wollen, 1) d— a — B— Y% >0, so gibt es Vierecke mit den Relationen: VB 2 )+s Uca — Uda — 0, II. Wap Use = E( wo wir u,. alle Werte o Vic = %b Die aus II und III sich ergebende Wertereihe für x,. ist, wenn notwendig, in entsprechender Weise zu vervollständigen wie die Werte- reihe für ı... Ist nun 2) ZI EN, so haben wir in $ 15 die Relation II zwar nicht für diese Fälle abgeleitet. Stellen wir sie trotzdem auf, so reduziert sie sich auf: Wabt Ude = 8) Wed — Wda —V$: Für e= ı wird die erste Gleichung befriedigt durch: ua = 1: Use = 0 und un = Our. — ee ORdUrchd 5 — Une 20: Im allgemeinen sind Vierecke mit diesen Umlaufszahlen vorhanden. 12 W. Ihlenburg, Ist jedoch + d—a—ß — 0 und zugleich d+«—ß—y> 0, so sind für &—= 0 nur die Vierecke vorhanden, für welche Mose» il. Mr, Da dieselben aber durch die übrigen Relationen und Angaben schon berücksichtigt werden, genügt es, 2 —= 0 zu nehmen. Ist +d—a—8> 0 und gleichzeitig d+a—ß—y —= 0, so genügt ebenfalls = — 0. Ist +d—a—ß —=0 und zugleich dö+«a—-8—y=0, so ist nur e — 0 zulässig. Wir können demnach die Relation II immer aufstellen, wenn wir die Regel für & so fassen: „In der Relation II ist nur 2 — 0 vorzuschreiben, wenn wenigstens eine der Gleichungen 7+d—a—B = 0; d6+a—$—y — 0 erfüllt ist, sonst 2 one u Wegen unserer Voraussetzung gibt es keine weiteren Relationen vom Typus der Relationen I und III. Der Voraussetzung wegen treten aber auch keine Vierecke von der Art weiter auf, wo drei Umlaufs- zahlen null sind. Denn nach $ 15 muls, damit z. B. Vierecke vorhanden sind, bei denen ur. —= U.a = Uaa = 0 und “., von Null verschieden ist, v+d—a—ß>0 sein. Die den obigen Relationen genügenden Wertequadrupel der Umlaufs- zahlen sind demnach sämtliche, die zu den gegebenen Winkeln auftreten. — Wir haben in diesem Paragraphen bereits gezeigt, wie zu jedem dieser Wertequadrupel aus einer Grenzlage Viereeke konstruiert werden können. Wir untersuchen diese Konstruktion noch auf ihre Vollständig- keit hin. Wir legen die Tatsache zugrunde, dals alle zu gegebenen Winkeln möglichen Vierecke ein Kontinuum bilden. Wir geben neben den Winkeln auch noch feste den Ergänzungs- relationen genügende Umlaufszahlen vor.. Konstruieren wir Vierecke mit diesen Winkeln und Umlaufszahlen in der vorher angegebenen Weise aus einer Grenzlage, so gelangen wir, wenn wir aus dieser heraus beständig in demselben Sinne weiter drehen, schliefslich in eine bestimmte zweite Grenzlage. Über die geometrischen Eigenschaften der Kreisbogenvierecke. (3 Verändern wir den Parameter der ersten Grenzlage, so ändert sich der Typus der zugehörigen zweiten Grenzlage nicht, sondern es tritt nichts als die Veränderung ihres Parameters ein. Denn würde jene zweite Grenzlage in eine Grenzlage von anderem T'ypus übergehen, so ist dies der Kontinuität wegen nur über eine Lage hinweg möglich, bei der die beiden Grenzlagen von verschiedenem T'ypus zugleich eintreten. Dann müssen aber nach $ 12 die Winkel eine besondere Gleichung erfüllen, was im allgemeinen nicht der Fall ist. Genügen sie aber einer solchen Gleichung, so bleiben wir bei Veränderung des Parameters immer bei Vierecken, die in dieselben aus- searteten Grenzlagen übergehen. Umgekehrt hat auch die Veränderung des Parameters der zweiten Grenzlage stets nur die Veränderung des Parameters der ersten Grenzlage zur Folge. Die Parameter der zusammengehörigen ersten und zweiten Grenzlage können wir wegen der fest vorgegebenen Umlaufszahlen nur so weit ver- ändern, bis eine Seite sich gerade schliefst. Geht nun ein Viereck z. B. in die Grenzlagen ab(d) und cd(b) über, so entsteht auf diese Weise ein Teilkontinuum von Vierecken, das begrenzt ist von einem Viereck, bei dem ab sich gerade schliefst, von den Grenz- lagen ab(d) und ed(b) und von einem Viereck, bei dem ed sich gerade schliefst. 3ei diesen Vierecken und Grenzlagen hört die Existenzmöglichkeit für die Membrane mit den vorgegebenen Umlaufszahlen und Winkeln zu- nächst auf. Könnten wir nun aus anderen Grenzlagen noch weitere Vierecke mit denselben Umlaufszahlen konstruieren, so müssen sich diese in die zuerst konstruierten Vierecke kontinuierlich überführen lassen, was aber nur über solche Viereeke hinweg möglich erscheint, bei denen sich eine Seite gerade schliefst. Es mülste also ein Viereck mit einer sich gerade schliefsenden Seite geben, das sich kontinuierlich in zwei verschiedene Grenz- lagen überführen läfst. Ein derartiges Viereck gibt es aber nicht, da ein Viereck mit einer sich gerade schlielsenden Seite nur einen Parameter be- sitzt (Fig. 45), bei dessen Veränderung es nur in eine Grenzlage über- gehen kann. Wir können das Ergebnis der letzten Überlegung so aussprechen: Nova Acta XCI, Nr.]l. 10 74 W. Ihlenburg, „Alle Vierecke mit denselben Winkeln, die es zu festen, den Er- gänzungsrelationen genügenden Umlaufszahlen gibt, lassen sich aus einer einzigen diese Umlaufszahlen und Winkel besitzenden Grenzlage konstruieren, wenn dem Parameter derselben jeder mögliche Wert gegeben und um jeden möglichen Betrag aus der Grenzlage herausgedreht wird.“ Es bleibt noch die Frage, wie wir bei der in diesem Paragraphen anfangs angegebenen Konstruktion des zweidimensionalen Kontinuums auch jedes mögliche Viereck nur einmal erhalten. Zweimal werden Vier- ecke nur konstruiert, wenn zwei bei der angegebenen Konstruktion zu benutzende Grenzlagen dieselben Umlaufszahlen besitzen. Von diesen beiden ist dann also stets eine auszuschalten. — Es ergibt sich also: Benutzt man die vorher angegebenen Grenzlagen zur Konstruktion des Kontinuums, so erhält man hierbei auch- sämtliche Vierecke, die zu den gegebenen Winkeln existieren. Benutzt man von zwei Grenzlagen von verschiedenem Typus, welche dieselben Umlaufszahlen der Seiten ergeben, jedesmal nur eine zur Konstruktion, so erhält man jedes Viereck auch nur einmal. Wir fassen die über die Ergänzungsrelationen erhaltenen Ergebnisse zusammen: Die Bezeichnung werde so gewählt, dafs v+d—a—ß>0 und de+@a—B—yY>0 ist. Dann hat man zunächst Vierecke mit den Relationen: 6) a a J)—a— 18 Ua = WeatE cn em) +: Uve — Uda — I. Hierin hat «.. die positiven ganzen Zahlen von +» bis 0 (einschlie/slich) zu durchlaufen. Für jeden Wert von u. ist zuerst e=1, dann e = 0 vorzuschreiben. Wenn y+d—a—ß =0 ist, gibt es nur Vierecke für e=0, wenn y+d—a—ß eine gerade Zahl ist, nur für = ı. Über die geometrischen Eigenschaften der Kreisbogenvierecke. (9 Ferner hat man Vierecke mit den Relationen: \ II. Laos + Upe - 2 DJ a re: en = ie = O, - = . . de — a — PB — . B . worin für «.. die Werte von O bis 2(°= en (einschlie/slich) zu setzen sind. Ist wenigstens eine der Gleichungen y+d—a— 2 —0; d+@—-8—7—=0 erfüllt, so ist nur e= 0 vorzuschreiben, sonst enbzies stekss\nierecker tür. o-umdee er Sollte die aus II erhaltene Wertereihe für u. sich nicht an die aus I erhaltene anschlie/sen, so gibt es für die da- zwischen fehlenden Werte von u. auch Vierecke, für welche dann au/serdem immer Une Wea WU) 1St. Endlich hat man Vierecke mit den Relationen: d-+a— 7 III. Une — na a +: Uavr = UÜca = 0. Hier hat «u... mit O0 beginnend die Reihe der positiven sanzen Zahlen zu durchlaufen, und für jeden Wert ist zuerst e—=0, dann e— 1 vorzuschreiben. Aufserdem gilt in den Aus- nahmefällen für e die analoge Regel wie bei l. Die aus II und III erhaltene Wertereihe für «,. ist, wenn notwendig, in entsprechender Weise zu vervollständigen, wie die Wertereihe für «... Hat man unter Benutzung dieser Regeln sämtliche zu- sammengehörigen Werte der Zahlen «cs, Arc, Heu, was ermittelt, so existieren für jedes dieser Wertequadrupel auch Vierecke, welche die gegebenen Winkel und die gefundenen Umlaufs- zahlen besitzen. Zugleich sind diese Vierecke sämtliche, die zu den gegebenen Winkeln existieren. Sie bilden in der bei den Relationen angegebenen Reihenfolge ein zweidimensionales Kontinuum. 10* 76 W. Ihlenburg, Durch eine andere Schreibweise‘) kann man nach Herrn E. Hilb die Regel für die Ergänzungsrelationen noch folgendermalsen vereinfachen, so- bald mindestens eine Seite umlaufend ist: Man nenne die umlaufende Seite ab. Dann gelten die Relationen: N _— —NY Me (en 1—:) «e+ß— ) u Wen — £( Be ) Kelle lgen De — E( 5 — Wab == 1—e) wo & im allgemeinen O0 oder 1 sein kann. Se lrla S Herstellung des Kontinuums aller vorhandenen Vierecke. Wir wollen jetzt geometrisch das Kontinuum herstellen für die sechsdimensionale Schar aller überhaupt existierenden Kreisbogenvierecke. Wir verändern jetzt also auch die Winkel. Um ein geschlossenes Kon- tinıum herzustellen, haben wir aber nur nötig, an den Grenzen unserer zweidimensionalen Kontinua eine Überleitung herzustellen, wir brauchen also nur bei den Vierecken, bei denen transversale Einhängungen möglich sind, kontinuierlich die Winkel zu verändern. Wir behandeln zunächst die Vierecke, bei denen sich von ab nach ed hinüber Kreisringe einhängen lassen. Wir gehen aus von einem Viereck mit den Winkeln 0, 0, 0, 0 (Fig. 66). Wir können einmal, während wir den Wert 0 für d festhalten, den Winkel « beliebig vergröfsern, indem wir den Eekpunkt « festhalten und d auf dem Kreise weiter führen (Fig. 66). Genau so kann man auch d allein wachsen lassen, während man für « den Wert O festhält. Zweitens kann man hinterher unter Festhaltung der Eckpunkte d und a den Bogen da nach ans- wärts drehen, wodurch « und d um einen beliebigen gleichen Betrag ver- grölsert werden können (Fig. 66). Auf diese Weise kann man jeden Wert ') Vgl. die in der Vorbemerkung bereits genannte Note in den Göttinger Nachrichten. Über die geometrischen Eigenschaften der Kreisbogenvierecke. Zar der Winkel « und d kontinuierlich erreichen. Genau so kann man bei den Winkeln 3 und y jeden Wert kontinuierlich erreichen. Man kann zwischen den zweidimensionalen Kontinua in entsprechender Weise eine Verbindung durch Viereeke herstellen, bei denen sich von be nach da hinüber Kreisringe einhängen lassen. Auf diese Weise sind sämtliche Kreisbogenvierecke übersichtlich in ein Kontinuum eingeordnet. s 18. Die Eindeutigkeitsfrage. Wir haben noch die Frage zu erledigen: Sind zwei Membrane, die in den zwölf Mafszahlen, welche den aleebraischen und Ergänzungsrelationen genügen müssen, und dem Kern übereinstimmen, identisch ? Sind zwei solche Membrane nicht identisch, so können doch ihre - Begrenzungen, denen dann auch derselbe Umlaufssinn zugeordnet ist, stets zur Deckung gebracht werden. Alie Vierecke mit fest gegebenen Winkeln und Umlaufszahlen können nach $ 16 aus einer einzigen Grenzlage unter Abänderung des Parameters derselben konstruiert werden. Bei dieser Konstruktion können die Begrenzungen zweier Vierecke, die aus Grenzlagen erster Art von gleichem Typus, aber verschiedenem Parameterwert konstruiert sind, nicht identisch sein und auch nieht durch lineare Transformation zur Deckung gebracht werden. Denn wäre dies möglich, .so würden die beiden Grenzlagen erster Art, wenn die Vierecke dann wieder in sie übergeführt werden, dieselben Ecken und demnach auch den gleichen Parameterwert besitzen. Verändern wir in einer Grenzlage zweiter Art deren Parameter, so bleiben drei Ecken fest, eine Ecke wird verschoben. Die aus zwei Grenz- lagen zweiter Art von gleichem Typus, aber verschiedenem ‘Parameterwert konstruierten Vierecke können also nie in der Begrenzung übereinstimmen. Vierecke mit demselben Kern, denselben Winkeln und Umlaufszahlen, die doch nicht identisch sind, müssen sich also, wenn sie überhaupt möglich 75 W. Ihlenburg, sind, aus ein und derselben Grenzlage mit festem Parameterwert konstruieren und durch Drehung um die festen Ecken ineinander überführen lassen. Messen wir durch den Winkel, um den die Schenkel eines Vierecks- winkels hierbei gedreht werden, den Betrag der Drehung, so muls dieser Betrag bei der Drehung von einer dieser Membrane zur andern gleich einem ganzzahligen Vielfachen von 360° sein, denn nur dann kehrt unter Erhaltung des Umlaufssinnes ein Begrenzungskreis wieder in seine ur- sprüngliche Lage zurück. Besitzt nun ein Viereck eine oder mehrere umlaufende Seiten, so erreicht der Betrag der Drehung, durch die es in eine Grenzlage übergeht, nie 180°. Um dies zu zeigen, nehmen wir an, dafs 180° erreicht werden können. ab sei umlaufend. Wir wollen den vom Kreise ab umschlossenen Teil der Vollebene, der bei positiver Umlaufung der Membran zur Linken liegt, als das „Innere“ des Kreises ab, den anderen als das „Äufsere“ bezeichnen. Die Eckpunkte e und d mülsten nun, wenn der Drehungswinkel 180° soll erreichen können, auf verschiedenen Seiten des Kreises ab liegen. Denn würden beide im Äufsern des Kreises ab liegen, so würde der Grenzkreis für die Seite ab nicht Diagonalkreis sein können, aber auch nicht Tangentialkreis; denn dann mülste der ganze Kreis cd und also auch die Ecken e und d im Innern des Kreises ab liegen. Demnach mülste sich der Grenzkreis auf einen Punkt zusammenziehen lassen, was nicht möglich ist. Würden e und d beide im Innern des Kreises ab liegen,-so würden sie nach Ausführung der Drehung von 180° im Äufsern liegen, was, wie eben gezeigt, nicht möglich ist. ce und d liegen also auf verschiedenen Seiten von ab. Es möge ce im Innern des Kreises ab liegen, d im Äufsern (Fig. 67). Der Grenzkreis %.,.) muls dann notwendig durch e gehen. Während der Drehung führen wir nun den Grenzkreis mit, indem wir ihn unter be- ständiger Berührung von ab um die Punkte a und ce drehen. Ist die Drehung so weit fortgeführt, dafs der Kreis ab durch e geht und nicht schon vorher eine andere Grenzlage eingetreten, so fällt der Grenzkreis mit dem Über die geometrischen Eigenschaften der Kreisbogenvierecke. 79 Kreis «ad zusammen. Damit ist die Grenzlage ab(c) eingetreten und der Betrag der Drehung noch kleiner als 180°. Stets tritt die andere Grenzlage also ein, ehe der Betrag der Drehung 150° erreicht hat. Es ergibt sich demnach: Zwei Membrane, welche in den zwölf Maflszahlen nebst den Umlaufszahlen und dem Kern übereinstimmen, sind stets identisch, wenn wenigstens eine Seite umlaufend ist. | Ist aber keine Seite umlaufend, so kann der Drehungswinkel von einer Grenzlage des Vierecks zur andern gröfser als 360° sein. Deshalb brauchen zwei Membrane der bezeichneten Art dann nicht identisch zu sein. Beispiele sind leicht zu konstruieren: Aus dem in Fig. 34 gezeichneten Viereck konstruieren wir zwei neue. Das erste erhalten wir, indem wir an die Seiten de und da, das zweite, indem wir an die Seiten ab und cd je zwei Kreisscheiben lateral anhängen. Beide Vierecke stimmen nun in den Winkeln und in den Begrenzungs- linien, demnach in allen zwölf Mafszahlen und im Kern überein, aber sind gestaltlich doch vollkommen voneinander verschieden. Man kann sich auf dieselbe Weise aus jedem beliebigen Viereck ohne umlaufende Seiten Vier- ecke der bezeichneten Art verschaffen. Ns Re ‚w vi. 16H hd 2 bar ER ire R ron. I Novradcta dcad.C.1.C.G. Nat. Cur. Vol. XCI. Tab.L Die Fig. I-# sind auch im Text. JShlenburg : Kreisbogenvierecke . Taf: 1. Nora Acta Acad. C1. (.6.Nat.Cur. Vol. ACI, Tab I. Lith.Anst.v. Paul Schindler,Leipzig. Jhlenburg : Kreisbogenrierecke . Taf. 2. Nora Acta Acad.C.1.C.G.Nat.Cur. Vol. XCI. = | | | Jhlenburg : Kreisbogenvierecke . Taf. 3. Nora Acta Acad.C.1.C.6.Nat.Cur. Vol.XCIH. Jhlenburg : Kreisbogenriereche . Taf. #. Tab.Y. Nova Acta dcad.(.1.C.6. Nat. Cur. Vol. XC1. Kern erster Art. | u Kern. dritter Art. Jhlenburg : Kreisbogenvierecke . Taf. 5. NOVA ACTA. Abh. der Kaiserl. Leop.-Carol. Deutschen Akademie der Naturforscher. Band XCI. Nr. 2. Die Helliekeit des klaren Himmels und die Beleuchtung durch Sonne, Himmel und Rückstrahlung. Fortsetzung und Schluß. Von Dr. Christian Wiener +, herausgegeben von Dr. H. Wiener, Dr. O. Wiener und Dr. W. Möbius. HALLE. 1909. Druck von Ehrhardt Karras, Halle a.S. Für die Akademie in Kommission bei Wilh. Engelmann in Leipzig. KT AVON Ne atmabanlk wmlsshnt Korn deugenE imalnit ab ARE ET Aa h dsıkech, NM + EFT N Vorwort der Herausgeber. Den Anfang des vorliegenden Werkes bildet die Nr. 1 des Bandes LXXIII der Nova Acta vom Jahre 1900. Die Herausgeber bedauern aulser- ordentlich, dafs so lange Zeit verstrichen ist, bevor der Schluß zum Druck gegeben werden konnte. Zwar lag das Manuskript, wie schon im Vorwort der ersten Veröffentlichung erwähnt wurde, im wesentlichen druckfertig vor. Die Hauptarbeit, die noch zu bewältigen war, bestand in der Fertigstellung der Figuren. Vom Verfasser selbst waren die Zeichnungen für die Dar- stellung der Helliskeitsverteilung auf der Kugel und zwei Zeichnungen zur Helliskeitsverteilung am Himmel in Bleistift ausgeführt worden. Diese brauchten nur ausgezogen zu werden. Alle anderen Figuren aber mulsten erst neu angefertigt werden. Ferner lag eine Hauptschwierigkeit in der geeigneten Ausführung der getonten Figuren, welche am Schlusse des Werkes wiedergegeben sind. Endlich hätten wir gern den Wunsch des Verfassers erfüllt, dafs auch noch die Helligkeitsverteilung am Himmel für die Fälle berechnet würde, dafs die Sonne im Horizont und dafs sie im Zenit steht. Etwa die Hälfte dieser Arbeit war vom Verfasser selbst geleistet worden. Inzwischen aber wurden die beiden Söhne des Verfassers, welche die Herausgabe der ersten Hälfte allein besorgt hatten, durch ihre eigene berufliche Tätigkeit so sehr in Anspruch genommen, dafs die Fertigstellung der Drucklegung auf unabsehbare Zeit vertagt erschien. Unter diesen Umständen sahen sie sich veranlafst, eine weitere Kraft zu suchen, welche die Hauptarbeit übernehmen konnte. Dazu fand sich in dankenswerter Weise Herr Dr. W. Möbius bereit, welcher durch: seine Untersuchungen über die T'heorie des Regenbogens den ganzen in Frage stehenden Aufgaben ar IV Chr. Wiener. bereits näher getreten war. So hat denn Herr Dr. W. Möbius sowohl die Fertigstellung der Berechnung der Himmelshelligkeit für den Fall, dafs die Sonne im Horizont steht, übernommen, wie die völlige Neuberechnung, für den Fall, dafs sie im Zenit steht, dann eine Berechnung des Abstandes der hellsten Stelle am Himmel von der Sonne und dieser Helligkeit selbst mit den vom Verfasser benutzten Konstanten, ferner die vollständige Fertig- stellung sämtlicher Figuren einschliefslich der getonten; er hat im Texte die für den zweiten und dritten Fall der Sonnenstellung erforderlichen Er- gänzungen — Abschnitt 175 bis einschliefslich 177 — vorgenommen, ferner die Erklärung zu den getonten Figuren — Abschnitt 211 —, sich an der Durchsicht der Korrekturen beteiligt und nach der inzwischen über den Gegenstand erschienenen neuen Literatur Ausschau gehalten. Ihm ist also im wesentlichen die Fertigstellung der nunmehr erscheinenden Teile des Werkes zu verdanken. Hermann Wiener hat sich im wesentlichen auf die Prüfung der Figuren vor der Drucklegung beschränkt, Otto Wiener auf die Leitung der ganzen Arbeit und die Teilnahme an der Korrektur. Wenn nun auch die Fertigstellung des ganzen Werkes etwa erst 15!/; Jahre nach dem Tode des Verfassers erfolgt ist, so freuen die Heraus- geber sich doch, annehmen zu dürfen, dafs sie möglichst im Sinne des Verfassers hat geschehen können, den vor seinem Tode die Sorge bewegte, ob diese Arbeit überhaupt würde von anderen ausgeführt werden können. Die Annahme, dafs das Werk inzwischen veraltet sein könnte, trifft zum Glück nicht zu. Zwar ist das Regenbogenproblem inzwischen wesentlich gefördert worden; aber es sind uns andere Versuche, als die des Verfassers, die Helligkeit des Himmels aus gewissen Konstanten zu berechnen, nicht bekannt geworden. Auch die Zahl der Beobachtungen der Himmelshelligkeit ist nur gering. Abgesehen von den Beobachtungen Leonhard Webers, von denen bereits im Vorwort des ersten Teils gesprochen wurde, und seiner Schüler scheinen keine neuen umfassenden Beobachtungen vorzuliegen. Versuche, die Helligkeit einer Kugel, welche gleichzeitig von der Sonne, dem Himmel und dem Bodenreflex beleuchtet wird, theoretisch abzuleiten, sind uns aufser denen des Verfassers auch keine bekannt geworden. Das Ergebnis dieser Berechnungen ist immerhin beachtenswert. Wenn man die getonten Bilder am Schlusse der Arbeit betrachtet, so fällt ihre plastische Die Helligkeit des klaren Himmels. V Wirkung und die täuschende Nachahmung der Kugelform auf und es tritt damit zum ersten Mal neben die herkömmlichen schematischen Darstellungen eine solche, welche den tatsächlichen Verhältnissen durch die Berücksichtigung der Beleuchtung durch den Himmel, den Boden und den gegenseitigen Reflex genau Rechnung trägt. Zum Schlusse sei noch auf einige Ergebnisse der T'heorie der Himmels- helligkeit aufmerksam gemacht, welche von jedem bei klarem Himmel nach- geprüft werden können und in den Figuren 100a und 108a (Taf. 1) Aus- druck gefunden haben. Bei hochstehender Sonne nimmt die Helliskeit des Himmels, wenn man sich mit dem Blick von der Sonne entfernt, selbst- verständlich ab und erreicht im Sonnenvertikaldurchmesser im Abstand von 70° bis 90° ein Minimum; nach dem Horizont nimmt die Helligkeit wieder zu, weil dort das von stärkeren Luftschichten zerstreute Licht in das Auge geworfen wird — nur kann, wo eine starke Rauchentwicklung stattfindet, wie in Städten, unmittelbar am Horizont die Lichtstärke wieder abnehmen. Steht die Sonne im Horizont, so tritt, wenn man am Horizont den Blick von der Sonne entfernt, der Sonne gegenüber wieder ein Maximum auf — verursacht durch den diffus gewordenen Regenbogen, der eine halbkreis- förmige Helliskeitsvermehrung der Sonne gegenüber bedingt. Es treten deshalb zwischen Sonne und Gegenpunkt der Sonne Minima der Helligkeiten auf, die etwa um 100° von der Sonne entfernt liegen. Eine weitere Eigen- tümlichkeit, die man bei klarem Sonnenuntergang häufig beobachten kann und auch in Fig. 108a wiedergegeben ist, besteht darin, dafs die hellste Stelle nicht unmittelbar bei, sondern über der Sonne liest. Diese Erscheinung ist dadurch bedingt, dafs bei zunehmenden Zenitdistanzen von den wachsenden Dicken der Atmosphäre mehr Licht absorbiert wird, als durch den Zuwachs des von den hinzukommenden Schichten ausgehenden Lichtes ausgeglichen werden kann. Umgekehrt kann, wenn die Sonne etwa 10° bis 30° über dem Horizont steht, die hellste Stelle des Himmels einige Grad unter der Sonne liegen. Dies Ergebnis, das W. Möbius aus der Theorie des Ver- fassers ableitete — Abschnitt 177 — ist auf die vermehrte Atmosphären- schichtdicke beim Horizont zurückzuführen. Als auffällig seien noch erwähnt die grofsen Werte der Helligkeits- verhältnisse, welche der Verfasser für verschiedene Stellen des Himmels VI Chr. Wiener. Die Helligkeit des klaren Himmels. gefunden hat (s. ersten Teil S. 9, Nova Acta Bd. LXXII). Die unmittelbar gemessenen Extremwerte ergaben ein Verhältnis von 153:1. Da diese die hellste und dunkelste Stelle des Himmels noch nicht genau enthielten, so fand der Verfasser unter Ausgleich der Messungsfehler durch Extrapolieren das Verhältnis der hellsten zur dunkelsten Stelle gleich 240:1. Die Zahlen der anderen Beobachter fallen wesentlich kleiner aus. Das grölste Verhältnis, das uns in der Literatur begegnete, war 30:1, wie es aus der unten zitierten Abhandlung von W. Schramm hervorgeht. Es ist nun zuzugeben, dals die vom Verfasser benutzten Apparate aufserordentlich einfacher Natur waren und keine grolse Genauigkeit verbürgen konnten. Wir glauben aber trotzdem nicht, dafs dem Verfasser wesentliche Fehler untergelaufen sind. Es ist möglich, dafs die anderen Beobachter bedeutend gröfsere Himmelsflächen zur Beobachtung benutzten, während das vom Verfasser benutzte Gesichtsfeld nur einen Durchmesser von 2,5° gehabt hat. Es ist ferner zu beachten, dals die Helligkeitsverhältnisse wesentlich von dem Feuchtigkeits- und Staubgehalt der Atmosphäre abhängen und mit ihm grolsen Schwankungen ausgesetzt sind. Es sei deshalb hier noch mitgeteilt, dafs Otto Wiener mit einem nach seinen Angaben angefertigten Himmelsphotometer am 12. September 1907 um die Mittagszeit in Leipzig bei sehr klarem gänzlich wolkenfreiem Himmel, einer Temperatur von 21° ©. im Schatten und 27% Feuchtigkeit ein Helligkeits- verhältnis von rund 300:1 für die hellste und dunkelste Stelle am Himmel ge- funden hat. Der benutzte Gesichtswinkel der Photometerrohre betrug etwa 3°. Jedenfalls sind in dieser Hinsicht noch weitere Messungen unter ver- schiedenen Verhältnissen erwünscht; und nachdem der Verfasser die Haupt- schwierigkeit, welche einer theoretischen Behandlung der Himmelshelliskeit entgegensteht, beseitigt hat und dadurch auch die Beobachtungen der Himmels- helligkeit an Wert gewonnen haben, ist zu hoffen, dafs dieses Gebiet von jetzt ab mit mehr Nachdruck in Angriff genommen wird. Dabei empfiehlt es sich zunächst, eine breitere Grundlage von Beobachtungen über die Ver- teilung der Helligkeit am Himmel zu schaffen für verschiedene Farben, bei verschiedenen Sonnenhöhen, bei verschiedenem Feuchtigkeitsgehalt der Atmosphäre und in verschiedenen Meereshöhen des Beobachters. Die Herausgeber. Einige wichtige Arbeiten auf dem Gebiete der vorliegenden Untersuchungen. I. Zur Theorie des Regenbogens. M. Pernter: Meteorologische Optik. 1902 —1909. Willy Möbius: Zur Theorie des Regenbogens und ihrer experimentellen Prüfung. Bd. 30 der Abh. d. mathem. phys. Klasse der Königl. Sächs. Ges. der Wissenschaften. 8. 104. 1907. Dort auch umfangreiche Literaturangaben über den vorliegenden Gegenstand. P. Debye: Der Lichtdruck auf Kugeln von beliebigem Material. Inaugural-Dissertation, München. Ann.d. Physik. Bd. 30. 8.57. 1909. II. Zur Helligkeit des Himmels und der Sonne. H. Wild: Photometrische Bestimmung des diffusen Himmelslichtes. Bulletin de l’Academie de St. Petersbourg. Bd. 21. S. 312. 1876 und Bd. 23. 8.290. 1877. W. de W. Abney: Transmission of Sunlight through the Earth’s Atmosphere. Auszug: Proc. Roy. Soe. 51. S. 444. 1892. W. Trabert: Diffuse Reflexion und Absorption der Sonnenstrahlen in der ‚Atmosphäre. Met. Zs. 10. 8.425. 1893. L. Weber: Die Beleuchtung. Handbuch der Hygiene, herausgegeben von Th. Weyl. 4. Bd. 8.37 u. ff. 1896. Chr. Jensen: Beiträge zur Photometrie des Himmels. Inaugural-Dissertation, Kiel 1898, Q. Majorana: On the Relative Luminous Intensities of Sun and Sky. Phil. Mag. (5) 1. 8.555. 1901. W. Schramm: Ueber die Verteilung des Lichtes in der Atmosphäre. Inaugural-Dissertation. Kiel 1901. M. Pernter: Meteorologische Optik. 1902—.1909. K. Kähler: Flächenstärke des Himmels und Beleuchtungsstärke in Räumen. Met. Zs. 25, S. 52. 1908. ; W. H. Piekering: Das Himmelslicht in verschiedenen Höhen. Ann. Astron. Observ. Harvard Coll. 61. 8.41. 1908. Inhaltsverzeichnis. Seite Vorwort der Herausgeber. . . . a Einige wichtige Arbeiten auf dem Gebiete det Gonliegenden Untersdchunken AUS IEIIELE SVEN Inhalte: EB | ae Ara Ran ee D.C Übersicht der ieuzen, Üeanellen end Gleichungen SHE EP ee er A RERTRET nanle RSV Dritte Abteilung. Die Lichtzerstreuung durch die ganze Atmosphäre und die theo- retische Ermittlung der Helligkeit des klaren Himmels. OSRDeSADFEabe m.) ze ea cr ren te ee en Bee ol I. Physikalische Grundlagen. 130. Abnahme der Luftdichte mit zunehmender Höhe . . . A ee 131. Abnahme der Dichte des Wasserdampfes mit zunehmender Höhe en ney fer) 1782 132. Lichtschwächung eines Gestirnes, das im Zenit steht . . . . HulgSa 133. Dieke der auf gleichförmige Dichte zurückgeführten Tuftschicht in ensieter Richtung . . 33 134. Dieke der auf eleichfönnige Dichte zuenckgeführten Wesserdampfschieht, in ge- neister Richtung. . . a lc 492 135. Einfluls der Strahlenbrechung und Hortselsune zu Nr. 134 EEE orte A 136. "Tiehtschwächung geneist eintallender. Strahlen rn a nn Il. Die allgemeinen Formeln zur Bestimmung der Himmelshelligkeit. 1. Die durch unmittelbare Sonnenbestrahlung- hervorgebrachte Helligkeit des klaren Himmels 4}. Ion Bezeichnungen undWElilfstormeln ee 96 133 Wiaiheitkder£Helliekeit!- 4. Slak e ELaN n Neuesaksaiiige 498 139. Integration für H,. . . . ne es lee et 299, 140. Grenze des Wasser- und Hirdnnstes en ee ON Nova Acta XCI. Nr.2 X Chr. Wiener. Seite 2. Die durch Beleuchtung der Atmosphäre durch sich selbst hervorgebrachte 141. 142. 143. 144. 145. 146. 147. Himmelshelligkeit (,). Helligkeit der Atmosphäre in einer gewissen Sehrichtung, hervorgebracht durch die nach oben gerichteten Luftkegel von übereinstimmender Richtung Helligkeit der Atmosphäre in einer gewissen Sehrichtung, hervorgebracht durch die nach unten gerichteten Luftkegel von übereinstimmender Richtung Bestimmung der Werte dH, im Falle ihrer scheinbaren Unbestimmtheit Werte von dH, für besondere einfache Fälle Darstellung von dH, durch Reihen . Bestimmung der Zerstreuungskoöffizienten ö Integration des Ausdrucks für die Reflexhelligkeit dH, über den ganzen re- flektierenden Himmel : Die unendlich vielfache Zurückwerfung . . Himmelsbelligkeit Z,. Die Helligkeit des Bodens, herrührend von unmittelbarer Sonnenbestrahlung . Angenäherte Bestimmung der durch die Atmosphäre hervorgebrachten Helligkeit des Bodens h Reflexbeleuchtung des Ench Anzeh den: Boden : Gesamthelligkeit des Himmels . Ill. Zahlenmäfsige Berechnung der Helligkeit des Himmels. 1. Berechnung von 4.. Ausgewählte Punkte des Himmels Annahme über den Ort der Sonne } : 2 (Fortsetzung zu 153.) Weitere Punkte des Bine ih Abi über ad Zustand der Atmosphäre . Berechnung der Formeln Helligkeitskurven für H, Die Hellegleichen des Himmels für m, Die flächentreue Projektion . Die Hellegleichen- 4, in ächentrener Projektion 2. Berechnung von (H,). Ausgewählte Punkte des Himmels Ausrechnung der Formeln Helligkeitskurven für 43 Hellegleichen für HM, . Wirkung der mehrfaehen und Rerulıch vielfachen Rückstrahluik Helligkeitenulz7o)l 2. =. vun ln. en. v2 0, TERRRERE Saure 106 111 113 ılılz 118 120 120 124 . Die durch Beleuchtung der Atmosphäre durch den Boden hervorgebrachte 125 126 135 138 138 138 139 139 140 140 141 143 144 147 150 151 151 153 167. 168. 169. 170. Irak 172. 173. 174. 175. 176. 177. Zweiter Teil.- 178. 79: 180. 181. 182. Die Helligkeit des klaren Himmels. 3. Berechnung von A,. Wahl der Winkelzwischenräume für die Rechnung . Integration nach & mit der Simpsonschen Regel Integration nach » durch Flächenberechnung Ergebnisse Das ER allungsveimögen A de Boden: ind die Werte H, 4. Die Gesamthelligkeit H. Die Helligkeitskurven entlang der Vertikalkreise Die Helligkeitskurven entlang der Horizontalkreise Die Hellegleichen des klaren Himmels . Helligkeit des Himmels für den Fall, dafs die A im on ent Helligkeit des Himmels für den Fall, dafs die Sonne im Zenit steht Die grölsten Werte von H, und ihre Lage bei verschiedenen Zenitdistanzen der Sonne Himmel und die Rückstrahlung von Körpern. Erster Abschnitt. Die Beleuchtung durch die Sonne. ‚Beleuchtung der Kugel, ihre Ben cnene ses und ihre Lichtgleichen Die Helliskeit und die Hellegleichen Beobachtungen, bei Gyps über die Art der Lichtzeratronnne, Hellegleichen der Gypskugel bei Lichteinfall in der gebräuchlichen Richlung Hellegleichen der Gypskugel bei grolsem Ein- und Ausfallswinkel des Lichtes . Zweiter Abschnitt. XI Seite 153 154 155 157 157 160 161 161 164 171 176 Die Beleuchtung durch die Sonne, den klaren 181 183 184 188 191 Die Beleuchtung des Bodens und der Kugel und die gleichzeitige Beleuchtung 183. 184. 185. 186. 187. 188. 189. der Kugel durch die Sonne und die Atmosphäre. Beleuchtungsstärke des Bodens, bestimmt durch Projektion der Hellegleichen auf die Bodenfläche . : Beleuchtungsstärke einer Beliebisen Ebene Die Kurven der Beleuchtungsstärke für verschiedene Eionen Die zur Himmelsbeleuchtung gehörige Fläche der Beleuchtungsstärke Die Lichtgleichen der Kugel, hervorgebracht durch den klaren Himmel Die Lichtgleichen des Bodens in der Nähe der auf ihm liegenden Kugel, hervor- gebracht durch den Himmel allein £ Die Lichtgleichen der Kugel, hervorgebracht durch) die eleichzeitige Beleuchiuns durch die Sonne und die Atmosphäre b* 194 198 203 204 205 209 214 Xu Chr. Wiener. Seite Dritter Abschnitt. Die gegenseitige Rückstrahlung zwischen dem Boden und der Kugel und die gleichzeitige Beleuchtung der Kugel durch die Sonne, die Atmosphäre und den Boden. 190. Die Lichtgleichen des Bodens, hervorgebracht durch die auf ihm liegende Kugel, wenn sie durch die Sonne und den Himmel beleuchtet ist und das Rück- strahlungsvermögen A — 0,7 besitzt . . . 219 191. Die Vereinigung der auf dem Boden erzeugten Dil ehe en die En durch die Atmosphäre und durch die Rückstrahlung der durch Sonne und Atmosphäre beleuchteten auf dem Boden aufliegenden Kugel vom Rück- strahlungsvermögen A — 0,7. . . 233 192. Die Beleuchtung der hoch über dem Boden landen el Ankch die Rück- strahlung des Bodens aliein, wenn dessen De A gleich OyaundSgleich20,1z7st. 272 235 193. Die gleichzeitige Beleuchtung der Kusel Eh die Sonne, "die Atmoapikee ed den fernliegenden Boden, wenn dessen Rückstrahlungsvermögen A gleich 0,7 und gleich O1 ist. . . - 238 194. Die Beleuchtung der auf dem Boden anfliewenden Kaeel Aireh "die Ruckeirehlune des Bodens allein, wenn dessen Rückstrahlungsvermögen A gleich 0,7 und gleich O-Iejsters.: 241 195. Die gleichzeitige Belkabhlung Her. auf äbın Borlen Aufliogenden Kugel Bureh "die Sonne, die Atmosphäre und den Boden, wenn dessen Rückstrahlungs- vermögen A gleich 0,7 ist . . . 253 196. Die gleichzeitige Beleuchtung der auf dein Boden anfikegänden Kiel änkeh "die Sonne, die - Atmosphäre und den Boden, wenn dessen Rückstrahlungs- vermögen A gleich O1 ist . . . . 40 ITENEEE 25 197. Die wiederholte Rückstrahlung zwischen Böen ia Kusel. Be: 256 198. Aus den bisher gezeichneten Projektionen der Lichtgleichen der Kugel anf ir Symmetrieebene wird ihr Grundrils und Aufrifs abgeleitet, letzterer auf einer zur Symmetrieebene unter 450 geneigten Vertikalebene . . . . 2... 258 Dritter Teil. Nachahmung der Helligkeit durch Tuschlagen. 199. Unmöglichkeit der Nachbildung der wirklichen Helliskeiten . . . 2. 2. ...265 200. Nachahmung der Unterscheidbarkeit verschiedener Ba Das Webersche Gesetzi .» .. . 267 201. Empfindungseinheit, Erupfndungstsike nd ihre Abhängigkeit von nat Helligkeit oder dem Reize. . . RA U EEE A RER 65 202. Nachahmung der Helligkeit afıch osolBagen SE ae 203. Helligkeit %, welehe durch »-faches Auflegen des Grunatbne efretäht Wi. .. 213 204. Logarithmische Beziehung zwischen der Helligkeit % und der Anzahl » der Nuschlagen . + > „+ =... 20. MEBSHEREN EIER RN ADELS 27 Die Helligkeit des klaren Himmels. Wahl der Stärke des Grundtones. Beziehung zwischen der Verdünnung v ae Aatees amd ae Zahl ar Töne t zur Wiedererreichung der Dunkelheit des Grundtones . > Beziehung zwischen der Helligkeit A und der Anzahl n der Ten Ren : Tuschen des Bildes bei gleichförmiger Abstufung der Helligkeit . Zusammenhang zwischen der Anzahl » der Tuschlagen, der En indungndtärkene e und der Helliskeit h . i Die Hellegleichen der Kugel und des Boden nach, Bleichfornteet Abstafune aa Empfindungsstärken und der Anzahl der Tuschlagen Über die Herstellung der getonten Figuren xl Seite 277 278 280 280 282 285 289 ‚lncasıitt APIatLz) and. oh tits { res Aa dnisoft - P “ E . sl ie . ab Ilut.- ab bar ramasi IR E N GE iR N. GER teilt ankamen UNTIEF sh Sale FE RB. RESTTERTEST AN Chr. Wiener. Übersicht der Figuren. Die Helligkeit des klaren Himmels. XV Figur | Seite 82 88 oil 93 96 9 98 107 112 126 128 130 131 134 135 141 142 143 145 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 100 101 102 103 104 105 106 107 Figur Seite | Figur | 146 148 149 150 151 156 157 \ 160 | 162 | 163 a| Taf.l 165 166 167 168 168 170 172 Übersicht der Tabellen. = | Tabelle) Seite Tabelle Seite 61 62 63 92 EB) 170 171 171 [add 186-187 190 192 197 DD D nm wm © RB oO ®©0o0 wm m DD \) D Seite Figur | Seite | Figur | Seite | Figur | Seite 108 | 173 | 125 | 205 | 143 | 227 | ı61 | 252 108a| Taf.l | 126 | 206 | 144 | 228 | 162 | 253 109 | ı74 | 127 | 207 | 145 | 229 | 163 | 355 110 | 175 | ı28 | 208 | 146 | 231 | 164 | 259 1110 Sirene 1290 | 72095 107 oa | 1652 oo 112 | ı8s1 | 130 | 210 | 1a8 | 232 | 166 | 271 1132 | .4822|.131°0| 210% 121495 102348 167 1 044 114 | 188 | 132 | 212 | 150 | 235 | 168 | Taf.2 115 | 189 | 133 | 212 | 151 | 236 | 169a| Taf.3 116 | 191 | 134 | 214 | 152 | 238 | 1696 Taf.4 10, 19 1355 22:16) 61538 5259217005 5285 118201937 ea6E oT a ot | Taf.2 1192, 196. are 2a 5a zo ar 120 | 198 | ıs8 | 221 | 156 | 246 | 173 | 288 1210 | 11990 | E39 2220 et OT Ei 2839 1225 720021, 1200 2232 e15su 7.2290 i5E 0230 123 | 204 | 141 | 224 | 159 | 250 | 1762| Taf,5 124 | 204 | 142 | 225 | 160 | 251 1766 Taf.6 | Übersicht der Gleichungen. Gleichung | Seite | Gleichung | Seite | Gleichung | Seite 62 82 75 117 88 123 63 83 76 117 89 | 124 64 85 77 117 90 124 65 90 78 117 91 124 66 95 79 118 92 124 Ba 00) 80 118 93 138 68 100 81 122 94 138 632 on 82 122 95 275 Bo et 83 122 96 277 70 113 84 -122 97 278 71 115 85 123 98 279 72 116 86 123 99 | 282 73 116 Sun 103 100 | 283 74 116 NEIERERIE u = EEE NE DR I a ra vd re pr ; . ee e | sa ns a Dritte Abteilung. Die Lichtzerstreuung durch die ganze Atmosphäre und die theoretische Ermittelung der Helligkeit des klaren Himmels. 129. Die Aufgabe. Auf S. 13f. (unter 1. u. 2.) Bd. LXXII der „Nova Acta“ wurde gezeigt, dals die Wirkung der Atmosphäre auf einen durch- sehenden Lichtstrahl fast ausschliefslich durch die Lichtzerstreuung durch Wassertropfen, Eiskristalle und Staubteile hervorgebracht wird. Die unmittel- bare Erwärmung der Luft bei der Durchstrahlung können wir (vgl. S. 18, Bd. LXXIII der „Nova Acta“) als unerheblich beiseite lassen, da die Erwärmung der Luft durch die Sonnenstrahlen wesentlich durch Vermittlung der erwärmten Erde stattfindet. Wir werden daher nur den Energieverlust der Strahlen durch jene Zerstreuung als wesentlich betrachten. Es kommt nun zunächst darauf an, die Wirkung einer ganzen Luftschicht auf einen durchgehenden Lichtstrahl zu bestimmen. I. Physikalische Grundlagen. 130. Abnahme der Luftdichte mit zunehmender Höhe. Wir müssen zur Lösung der gestellten Aufgabe zuerst die Abnahme der Luftdichte und besonders der Wasserdampfdichte mit zunehmender Höhe über dem Boden ins Auge fassen. Sei an irgend einer Stelle 4 einer Luftsäule bei einer "Temperatur von 0° der Barometerstand 5b Meter, die Dichtigkeit der reinen Luft 6, die des Quecksilbers q, unter der Dichtigkeit das Gewicht von 1 cbm in kg verstanden, so ist die Höhe h einer Luftsäule von der gleichförmigen Dichtigkeit d, welche über A denselben Barometerstand b hervorbriugen würde, die zur se Nova Acta XUl. Nr. 2. 11 82 Chr. Wiener. [2] und da die Dichtigkeit der Luft, bei dem Barometerstand von 0,76 m, ds — 1,295 kg, bei dem Barometerstand db daher d — 1,293 (6: 0,76) kg, und da q = 13596 kg ist, so ergibt sich h = 0,76-13596:1,293 = 0,76-10515 — 7991 m. Es ist also 5 aus dem Ausdrucke für h ausgetreten, oder die Höhe h ist unabhängig von der Lage des Ausgangspunktes A, der sich also nicht an dem Meeresspiegel befinden muls; h —= 7991 m bedeutet # an stets die Höhe einer Luftsäule von der gleichförmigen Dichte 6 u des Ausgangspunktes A. Bestimmen wir nun das Gesetz der Abnahme der Luft- ” dichtigkeit mit zunehmender Höhe. Sei diese Dichtigkeit in %|% einer Höhe von x Metern über dem Ausgangspunkte A = 6, 4 sei dö ihre Abnahme bei einem Steigen um d., so ist, da die Veränderung dd mit dem Gewichte der durchschrittenen Luft- )„„Z, säule im Verhältnis steht, und da zu einer Abnahme von d DHL: Fig. 72. um d, das Gewicht d.h gehört, 00:05 = o0dm:o,h, 00 Od = Ode oder dd Er dx On h Durch Integration erhält man IcHdr— er +6, h oder da für 2 —=0, d=6,, lo 6 — % SLR DELTEn: (0) Tee, ur era mann za id TR (62) wobei e (= 2,718...) die Basis der natürlichen Logarithmen. Hiernach würde bei unbegrenzter Gültigkeit des Mariotteschen Gesetzes erst für z—= ©, d—0 werden. 131. Abnahme def Dichte des Wasserdampfes mit zu- nehmender Höhe. Ersetzt man bei ungeändertem Barometerstand b die atmosphärische Luft durch Wasserdampf, so ist zu beachten, dafs dessen [3] Die Helligkeit des klaren Himmels. 130—131. 85 Dichte 0,623 von derjenigen der Luft ist. Wenn er daher für sich eine Atmosphäre wie die Luft bildete, eine sogenannte Daltonsche Atmosphäre, in welcher die Spannung stets um das Gewicht der durchstiegenen Dampf- säule abnähme, so wäre die Höhe der Dampfsäule von der gleichförmigen Dichte, wie die am Ausgangspunkt A, welche der Dampfsäule von ab- nehmender Dichte das Gleichgewicht hielte, ha — 1991820,623,m —19,8305mE, und es würde die Formel gelten d‘ 4 x ni er Be oT Da, wobei d,‘ die Dichtigkeit des Dampfes am Anfangspunkt A und d‘ diejenige in der Höhe x über A wäre. Der Wasserdampf bildet aber in der Luft nicht eine Daltonsche Atmosphäre,') sondern seine Dichte nimmt mit der Höhe rascher ab, als es in einer solchen stattfände. Man erhält nach Hann aus den Beobachtungen vielmehr d‘ x x x = ON ET = INT BR (63) Die wirkliche Dampfsäule ist also so schwer wie eine Dampfsäule von der gleichförmigen Dichte, wie die wirkliche Dampfdichte am Ausgangs- punkte, und der Höhe h‘ — 2830 m, also 12830 : 2830 — 4,53 oder etwa 4; mal so leicht als die Daltonsche Dampfsäule. — Es folgt aus der Formel (62), dafs die Luftdichte auf 5 und ;; derjenigen vom Ausgangs- punkte A sinkt, wenn man von diesem auf die Höhe von (x =) 5540 und 18400 m steigt; dagegen folgt aus (65), dafs die Dampfdichte auf 3 und ihrer Anfangsdichte sinkt, wenn man um 1962 und 6516 m steigt. Diese Abweichung der Dampfatmosphäre von der Daltonschen kann auch so ausgedrückt werden, dafs in einer lotrechten Dampfsäule der Unter- schied der Gewichte der über zwei verschiedenen Stellen stehenden Säulen nicht gleich dem Gewichte der zwischen diesen Stellen eingeschlossenen 1) Hann, Die Abnahme des Wasserdampfgehaltes der Atmosphäre mit zunehmender Höhe. (Ztsch. d. östr. Gesellsch. der Meteorologie, Bd. 9, 1874, S. 193.) 11* 84 Chr. Wiener. [4] Dampfsäule, sondern 4,53 mal so grols ist; und hieraus folgt, dafs gar kein Gleichgewicht stattfindet, sondern ein beständiges Aufsteigen des Dampfes. Es ist dies auch leicht erklärlich; denn auf dem Boden wird durch be- ständige Verdunstung stets neuer Dampf erzeugt, während der in der Höhe als Regen und Eis wieder dem Boden zugeführt wird. Mit zunehmender Höhe kann wegen der abnehmenden Temperatur gar nicht derselbe ver- hältnismälsige Anteil des gesamten atmosphärischen Druckes durch Wasser- dampf hervorgebracht werden, wie an tieferen Punkten, weil dieser Anteil bald die abnehmende Sättigungsspannung überschreitet. Setzen wir wirklich, der eben gemachten Annahme entsprechend, dd: di = — 453 ddr: do h“, wobei h‘' — 12830 m, d.h‘ das Gewicht der Daltonschen Dampfsäule von der Dichtiskeit 6,‘ am Anfangspunkte, so ergibt sich dd‘ de. dx 2% dx DE 12850-453202 202330% d‘ x x — ei 5s30r — Keen o)y wie die oben angegebene Erfahrungsformel aussagt. 132. Lichtschwächung eines Gestirns, das im Zenit steht. Bei unseren Untersuchungen kommt es aber nicht auf das gasförmige Wasser des Dampfes, sondern auf das flüssige und feste in den 'Tröpfehen und Kriställchen an. Hier können nun die mannigfachsten und wechselndsten Verhältnisse herrschen, wie die Haufwolken der Tropfen und die Cirrus- wolken der Kristalle zeigen. Unter diesem Wechsel wird man mittleren Verhältnissen nahe kommen, wenn man den Gehalt der Luft an Tröpfchen und Eiskriställchen, d.h. an Wasser, mit dem Gehalt an Wasserdampf in Verhältnis setzt. Ferner werde angenommen, dals mit diesem auch die Menge des zerstreuten Lichtes, also auch die Schwächung des durchgehenden Lichtstrahls im Verhältnis steht. Es wird dadurch zugleich vorausgesetzt, dals die Grölse der 'Tröpfehen und Kriställchen sich nicht ändert; denn da von der Grölse der Oberfläche die Menge des zerstreuten Lichtes abhängt, so ändert sich nur unter dieser Voraussetzung der Rauminhalt und die Oberfläche in demselben Verhältnis. [5] Die Helligkeit des klaren Himmels. 131—132. 35 Sei, wie früher, Z die Lichtstärke des einfallenden Sonnenstrahles an der äulseren Grenze der Atmosphäre, ! an einem inneren Punkte der- selben, falle der Strahl zunächst lotrecht zur Erdoberfläche ein, und sei d/ die Liehtverminderung bei dem Durchschreiten der Höhe dx, so ist dl pro- portional mit /, mit dx und, nach unseren Annahmen, mit der Dichte ö‘ des Damptes, so dals di — kldxd‘ , worin % eine Konstante Führt man hierin den Wert von d‘ aus G]. 63 ein, so erhält man ıl 2 Br 7 dalolen woraus el = hole, BA Zwischen den Grenzen = x (!=|) und 2=x (=L), wird, wenn man Kilo; — € Sean l N X 4 le; — ce M— —ce 283%. (64) I a, = ee eat, 1 we eo = Ib, Das c ändert sich mit 6, d. i. mit dem Wassergehalt am Anfangs- punkte der Messung der Höhen x, und da es noch die Konstante k, eine Erfahrungszahl, enthält, so ist es eine mit d,' wechselnde Gröfse, aber eine Konstante der Formel. Nun fand Bouguer') durch Messungen der Stärke des Mondlichtes in zwei verschiedenen FHöhen des Mondes über dem Horizent in der Nacht des 23. Nov. 1725 an der Küste des mittelländischen Meeres in Frankreich die Stärke eines lotrecht einfallenden Lichtstrahles durch den Durchgang durch die Atmosphäre von 1 zu 0,8123 geschwächt. Lambert’) dagegen fand am 17. Mai 1756 in Chur in der Schweiz, dessen Meereshöhe 580 m beträgt, durch Vergleichung der Ablesungen an 1) Bouguer, traite d’optique (1760), S. 332. 2) Lambert, photometria (1760) S 886. Lambert, Pyrometrie (1779) S 283. [In E. Andings deutscher Übersetzung bei Ostwalds Klassikern Nr. 32, 8.71. Die Herausgeber.) 86 Chr. Wiener. [6] zwei Thermometern, deren eines den Sonnenstrahlen bei wechselnder Sonnen- höhe ausgesetzt war, während das andere im Schatten lag, dafs die Schwächung der Strahlen der im Zenit stehenden Sonne durch die Atmosphäre im Ver- hältnis von 1 zu 0,59 stattfand, also viel stärker, als nach Bouguer. Dabei ist aber zu beachten, dafs ein Unterschied für Licht- und für Wärmestrahlen bestehen kann, dafs ferner Lambert für ein Weingeist- und für ein Queck- silberthermometer, welche dem Sonnenlichte ausgesetzt waren, Unterschiede von 1 bis zu 4° Reaumur fand, dals seine verschiedenen Beobachtungen Unregelmälsigkeiten zeigten, und dals er für seine Berechnung die regel- mälsigsten auswählte. Ferner fand Seidel') durch seine sehr mannigfaltigen Vergleichungen der Helligkeiten von Sternen in wechselnden Zenitdistanzen, unter Zugrunde- legung der Laplaceschen Formel für die Abhängigkeit der Liehtschwächung von der Zenitdistanz, als wahrscheinlichsten Wert der Lichtschwächung durch die Atmosphäre für die im Zenit stehende Sonne bei dem Barometerstande von 0,760 m die Zahl 0,7942. Diesen Wert kann man auch berechnen aus der Tabelle Seidels (S. 581 der ersten unten zitierten Abhandlung) für die verhältnismäfsigen Lichtschwächungen in verschiedenen Zenitdistanzen und aus den später hier bestimmten Dicken der durchlaufenen Dunstschicht unter Benutzung je zweier Wertepaare für zwei Zenitdistanzen; und zwar findet man für jene Liehtschwächung des im Zenit stehenden Gestirns durch die Atmosphäre unter Benutzung der wahren Zenitdistanzen von 0 und 60°, den Wert 0,797, Dee 7gs, De a er Hier liegt die Grenze der Seidelschen Tabelle. Man sieht also, dafs die obige Seidelsche Zahl 0,7942 und diese wechselnden Zahlen gut mit 1) Seidel, Untersuchungen über die gegenseitigen Helligkeiten der Fixsterne 1. Gröfse und über die Extinktion des Lichtes in der Atmosphäre. München 1852. (Abh.d.k. bayr. Akad. d. Wiss. 2. C1., 6. Bd., 3. Abt., S. 539.) Seidel. Resultate photometrischer Messungen an 208 der vorzüglichsten Fixsterne. München 1862. (Bayr. Akad. d. Wiss. 2. C1., 9. Bd., 3. Abt.) [7 Die Helligkeit des klaren Himmels. 132. 87 der von Bouguer 0,8123, übereinstimmen; nur für die grölste Zenitdistanz von 86° liefern die Sternbeobachtungen eine merklich gröfsere Durch- . sichtigkeit. Bei Tage wird dieser Unterschied geringer sein, da in der Nacht der Horizont weniger dunstig ist als bei Tage, indem er bei Tage durch die zunehmende Wasserverdunstung stets trüber wird, infolge dessen auch die Sonne stets matt unter-, oft aber strahlend aufgeht. Entsprechend hat Müller aus seinen Sternbeobachtungen in Potsdam und auf Grund der Laplaceschen Formel jene Zahl zu 0,825 abgeleitet. Wir können daher die Zahl von Bouguer (0,812), die nahe in der Mitte zwischen denen von Seidel und Müller steht, beibehalten. Die von Lambert muls wohl, wie schon Seidel‘) bemerkte, wegen der andersartigen Grundlage und der daher rührenden grolsen Abweichung von den anderen Zahlen ganz ausgeschlossen werden. Für die Zahl 0,512 folgt nun L ce, 7 —ale 2 ( 0,812 Man erhält daraus nach Gl. 64 für ee Al) I 2, d, 4, 5, Be ,0:81257 109262. 0972709900996 520:33 3: Für die gleichförmig dicht gedachte Dunstatmosphäre von der Höhe h‘ = 2830 m wird in der letzten Gleichung für dl das d‘ unveränderlich — 6d,', daher dl — kldaede — ende; daraus ergibt sich durch Integration zwischen den Grenzen = 4, I —L Bde rel, A) = h' c L — 0. ad oder 18 I n lb OR, L worausur 7 —0,ıl—L, SS 1) Seidel, a. a. O., 1852, S. 619, Anm. Fig. 73. 85 Chr. Wiener. [8] wie oben. Es wird also durch die wirkliche und durch die gleichförmig dicht . gedachte Dunstatmosphäre von gleicher Masse bei dem lotrecht ein- fallenden Lichtstrahle dieselbe Abschwächung hervorgebracht, was aber auch unmittelbar einleuchtet, da die Lichtschwächung durch ein Element mit d‘dx, also mit seiner Dunstmasse proportional gesetzt wurde. 133. Dicke der auf gleichförmige Dichte zurückgeführten Luftschicht in geneigter Richtung. strahlen über, welche geneigt einfallen, und wollen zuerst die Länge einer Wir gehen nun zu den Licht- Luftsäule oder die Dieke der Luftschicht berechnen, welche, von der gleich- förmigen Dichte, wie am Ausgangspunkt, dieselbe Luftmenge enthielte, wie die Luftsäule von abnehmender Dichte. Sei nun A/ der Mittelpunkt der Erde, A ein Punkt auf der Erd- oberfläche, (A ein in A einfallender Sonnenstrahl, BAU —= £ die Zenitdistanz der Sonne, und sei in der Höhe AB = x eine mit der nik Erdoberfläche konzentrische Luftschicht von der Dicke vera, dx gelegt, welche von dem Strahle AC bei C in der ZER en Dicke dy geschnitten werde, so herrscht in dieser RN y ges n e, so herrscht in 2% \ I Schicht die gleiehförmige Luftdichte d. Ersetzt man I a die Luftsäule von der Länge dy und der Dichte 6 durch eine solche von gleicher Luftmasse, aber von | der Dichte d,, wie bei A, so hat diese nur eine Länge FA’ dy', und es ist dann unter Beachtung der Gl. (62) Fig. 73 ) en dy — dy - ——Ehjiemsune Um nun ,y durch x auszudrücken, fällen wir MD 1 AC; dann ist im rechtwinkligen Dreieck DOM (a =H2r7}608:6)2 — (FE 2)2—r728in2&, daher Y—\n2 603826 1 Pro 72086 (+ 2)d dy — - Vr2 eos?5-+2r2 + 22 Es x — 3h‘ (S. 87) die Lichtschwächung durch die oberhalb liegenden Luft- schichten nur 0,01 beträgt, dann aber x: r — 3-2830 : 6370000 — 1: 750 ist. kann aber x gegen r vernachlässigt werden, da schon für [?] Die Helligkeit des klaren Himmels. 132—133. 59 Führt man den dadurch vereinfachten Ausdruck für dy in den obigen für dy' ein, so erhält man Um diesen Ausdruck zu integrieren, entwickle man den Nenner in einer Reihe; es ist aber 1 17 DEN 1 10 SEN: RE TRIET Cose ( +) ı mE ( Droee 2 ie en) -—) = Diese Reihe ist für kleine Zenitdistanzen £ konvergent und kann einfach durch das erste Glied (1:cosZ) ersetzt werden. So rechnete Lambert,') erstreckte seine Rechnung aber auch nur bis &<—= 80°. Bouguer’) dagegen entwickelte für den besonderen Wert <= 90° eine neue und brauchbare Reihe und berechnete mittelst des hierfür gewonnenen Ergebnisses auf eine angenäherte Weise, die er aber nicht angab, auch die Dieken der Luft- schichten für die anderen Zenitdistanzen. Und so werden wir es im wesent- lichen auch machen. Wir setzen also zunächst &—= 90° und erhalten dafür Durch Integration zwischen den Grenzen 0 und ® erhält man für ,' die ganze Länge b, der gleichförmig dichten Luftschicht von derselben Masse, wie die wirkliche Luftschicht: = \yz fe z de Dieses Integral ist ein bekanntes bestimmtes, auf dessen gebräuchliche Form es zurückgeführt wird, wenn man setzt Z— 2%, daher Ya=tyh, dar — oONGat. de DD Vhdt. V® 1) Lambert, photometria, 8. 397. 2) Bouguer, trait& d’optique, 8. 332. Nova Acta XCI. Nr. 2. 12 90 Chr. Wiener. [10] Hierdurch wird [o, ©) Be: m is De vorn fe dt = V2rh:yx, (65) e/o und da der mittlere Erdhalbmesser r — 6370000 m und h — 7991 m, so ist b, = 0,886 Y2rh — 0,886-319100 m — 282800 m. Da /2rn die Länge von 5b wäre, welche durch eine mit der Erde kon- zentrischen Kugelfläche von der Höhe h über dem Meeresspiegel abgeschnitten würde, so ist nach unserer Formel das wahre d, nur etwa 0,89 mal so grols. Ferner findet man das Verhältnis bi a 35,4. Hiermit sind die Längen der gleichförmig dichten Luftsäulen, h für die lotrechte und 5, für die wagrechte Richtung, oder für die Zenitdistanzen £ 1) Folgendes ist die gebräuchliche Herleitung von es) —ie J f. dt. 0 Durch Änderung des Buchstabens erhält man auch * [@) a I fe da. eo ee: — u? : — (+ u) _ Daher ae dt e du = e dtdu. e/o e/y eo vo Setzt man « — tv, folglich du — tdv, so hat man wegen Übereinstimmung der Grenzen . ei alen® fa f: a eo eo 0 ZEN E) 1 It — — /: tdt BA+n)’ (} x 1 iv» — !(aretgso — arctg0) = +7, on Se Nun ist aber DS | ® daher De — und Hz [11] Die Helligkeit des klaren Himmels. 133. 91 von O0 und 90° bestimmt. Für andere Zenitdistanzen erhält man Reihen, die anfangs divergent, erst später und zwar schwach konvergent werden. Würde man alle diese Längen von A aus auf den zugehörigen Richtungen auftragen, so würden die zweiten Endpunkte dieser Längen eine Umdrehungsfläche mit der Lotlinie AH als Achse bilden, welche ihren Scheitel in 7 hätte, wenn 44 — h ist, und welche durch den Parallel- kreis des Punktes 5 der Horizontalen AB ginge, wenn AB = b, gemacht wird. Bei der verhältnis- mälsig geringen Ausdehnung dieses Flächenstückes kann man ohne beachtenswerten Fehler dieses Flächenstück durch eine Kugel ersetzen, welche durch 7 und jenen Kreis von B geht, deren Halbmesser daher bi? zT - 9 ah r, r-0,7854 — 5005000 m 2 ist, wobei der vorher bestimmte Ausdruck für d, benutzt wurde. Man sieht, dals der Wert von r, unabhängig von h ist. Um nun für beliebige Zenitdistanzen HAC —= & die Länge AC = b der durchlaufenen Luftsäule von gleichförmiger Dichtigkeit zu berechnen, denkt man sich dieselbe um A gedreht, bis C in die Horizontale 7 nach D gelangt und dadurch das kleinere Azimut HAD —= Z, annimmt, und be- stimmt den kleinen Drehungswinkel OAD —= 5—L. Zieht man zu dem Ende DE| HA bis zum Kreisbogen HB, dann EF|| AB bis CD, so ist OF gegen OD zu vernachlässigen, und man erhält ea (0)220 = 730) 2 UN) Da, na AUDI Er, 200) = ne, ID — JENDR 8 Pin — Inu 22 EBD, DE Sin.6,,,s0 ist h?tg2L, h m —— = gt u un - = ' [2 2 2r, sinl; cost, ar, tg Sı 0,0007987 tg {£, Hiernach erhält man für GE 020 40 60 70 80 [6%5) 883°20' 8840’ = Be aa ara ae A er a 12 Tab. 61. 92 Chr. Wiener. [12] Berechnet man noch einige Werte mehr, als die hier angegebenen, so er- hält man leicht durch Einschaltung auch zu den Ausgangswerten von & die von &—{&, von &, und hieraus endlich die Werte von bu AQ, — Am — hy eosiar. Danach ist die Tabelle 61 berechnet. Tabelle 61. Reduzierte Zenitdistanzen Z, (ohne Berücksichtigung der Strahlenbrecehung) und Längen 5b der gleichförmig dichten Luftsäulen in Metern. Wirkliche Zenitdistanz & 00° | 100° 200 | 300 ° 400 | 500 600 208 le ON a 0 2 1‘ 2' 2' 3 Alonsoa ze Reduzierte Zenitdistanz {, 0° 100 [1905929058 39058) 49057° | 59055‘ | 69053 Länge der Luftsäulen b 7991 8110 | 8500 9220 10420 12410 | 15920 23220 Wirkliche Zenitdistanz & 750 809 820 349 860 880 890 909 ET ET Re ur bar 1195 25‘ 34‘ 4‘ 10 12° 10372 Reduzierte Zenitdistanz (, |74050‘79045‘81041‘ 83035" 85026‘ 87006’ 87048‘ | 88023’ Länge der Luftsäulen b 30590 | 44940 55280 72100 100350 157900 208300 | 282792 134. Dicke der auf gleichförmige Dichte zurückgeführten Wasserdampfschicht in geneigter Richtung. Wir haben nun auch die entsprechenden Längen der Dunstsäulen von der gleichförmigen Dichte 6,, wie bei A, notwendig, und erhalten diese als AB —= b,' und 40 = b‘, wenn wir in den vorhergehenden Ausdrücken nur h — 7991 m durch h‘ = 2850 m ersetzen, weil die Formel (62) für 4: d, in die (65) für d‘: 6,‘ übergeht, wenn man h durch h‘ ersetzt. Wir erhalten daher aus (65) bi‘ = Varhiyr — 168280 m, bi‘ h‘ — 59,5. 5003000 m. . IT PR Dagegen bleibt r, = m ungeändert [13] Die Helligkeit des klaren Himmels. 133—135. 93 155. Einflufs der Strahlenbrechung und Fortsetzung zu Xr. 134. Zur Bestimmung der geneigten Längen d’ ist ein neuer Umstand, die Refraktion der Lichtstrahlen, in Betracht zu ziehen. Der Lichtstrahl beschreibt innerhalb der Atmosphäre wegen deren zunehmender Dichte eine krumme, nahezu kreisförmige Linie OA, und die wahre Zentdistanz ist um den Refraktionswinkel o größser als die scheinbare £, also =c-+oe. Die >< Weglänge d' — AC innerhalb der Atmosphäre ist dann nahezu so grols, wie wenn sich der Licht- strahl geradlinig mit der mittleren Zenitdistanz S++e durch die Dunstatmosphäre bewegte. Man darf nämlich bei der Kleinheit von e den Bogen durch die zugehörige Sehne ersetzen, und dieser kommt die Zenitdistanz &++o zu. Die zu der scheinbaren Zenitdistanz gehörigen Werte o der Refraktion wurden aus den von Bessel aufgestellten Tabellen entnommen, aus welchen einige Zahlen für mittlere Verhältnisse (bei 9,5°C und 751,5 mm Barometerstand) in Tab. 62 angegeben sind. (oe ist nahezu mit der Tangente der scheinbaren Zenitdistanz proportional; sie nimmt etwas langsamer zu.) Zu C+to ist dann die zugehörige redu- zierte Zenitdistanz &, zu ermitteln. Unsere Formeln liefern aber umgekehrt zu den gegebenen Werten von &, diejenigen der Differenz, indem 4‘ Ge, 8 MER Ein Tabelle 62. Mittlere Refraktion o für die scheinbare Zenitdistanz £. 3 09 20° 409 609 70° 800 850 380 909 0 0” SD 48“ 1% 40” 9 37" 5 16 y 47" 18° ick 34‘ 54” Daraus ergibt sich +0; und der zu diesem Werte als Zenitdistanz gehörige Wert der Refraktion o, den jene Tabelle liefert, gilt für kleine Z auch für 5 selbst. Bei grölseren Werten von 5 (nahezu 90°) gelangt man durch eine oder zwei Annäherungen zu £ und o. Aus einer solchen Tabelle Fig. 75. Tab. 62. 94 Chr. Wiener. [14] kann man dann durch Einschaltung die zu angenommenen £ gehörigen Werte von £, ermitteln und daraus berechnen ba Nlcosten. Tab. 63. Die so berechneten Werte sind in der Tabelle 65 eingetragen und diese ist bis zu £ = 91° fortgesetzt, weil dieser Wert für Standpunkte auf Bergen Bedeutung besitzt. Tabelle 63. & scheinbare Zenitdistanzen. &, reduzierte Zenitdistanzen unter Berücksichtigung der Strahlenbrechung. b' Länge der gleichförmig diehten von dem Lichtstrahle durchlaufenen Dunstsäule in Metern, l,: L Verhältnis der Lichtstärke /, der Sonnenstrahlen an der Erdoberfläche zu derjenigen Z an der äufseren Grenze der Dunstsäule. E 00 100 200 300 400 500 | 550 600 ee 0) 54 11“ 17“ 25 35“ 434 51“ 2, 00 90 59° 55 190 5949“ 29059'43“ 390 5935 490 5995" 54059'17“ 590 59/09“ b‘ 2830 2870 3020 3277 3700 4400 4922 5645 l,:L| 0,8120 | 0,8097 | 0,8011 0,7865 0,7617 | 0,7241 | 0,6963 |, 0,6604 ö 659 709 all 720 730 740 750 760 5%, 1535 17202 1' 25% 17515 1376; 1’ 44“ 1752“ 2' 00“ 1640 58°57 690 58'40 700 58'35°71058'29“ 7205823“ 730 58‘°16“ 74058‘08“| 75058°00“ b‘ 6670 3260 3690 9140 9650 10220 10920 11650 :L| 0,6126 0,5455 0,5291 0,5111 0,4923 0,4721 0,4487 0,4243 01790 80" 810 820 830 840 C 770 78 Fa 2.102 aan Bau are 31 394 44 134 4 584 & |76057°50% 770 57°40% 780 57'25“ 790 57°09“ 800 56'48“ 81056'21“ 82055'47“ 830 55/02“ vb’ | 12520 | 13540 | 14780 , 16200 17920 | 20140 23000 26750 0,3981 | 0,3698 | 03381 | 0,3034 | 0,2679 | 0,2283 | 0,1851 | 0,1406 5 8501860 870 1. 890 890 900 910 -&| 601% ı 7a3“ | 10'354 | 1615 | 26/51“ | 5140“ | 1098.36“ ct, 1840 53'59% 850 52'17%86049'25“87043‘45“ 880 33/09“ 89008‘20%| 890 31124“ “| 31860 | 39400 | 51050 | 71400 | 112100 | 188200 | 340500 0,000000 | 0,000000 989 | 000014 l,:L| 0,0966 0,0555 . 0,02333 | 0,00528 0,000264 136. Lichtschwächung geneigt einfallender Strahlen. Mittelst der Werte von Db‘ können wir nun auch die Lichtschwächung der geneigt [15] Die Helligkeit des klaren Himmels. 135—136. 95 einfallenden Sonnenstrahlen berechnen. Sei auf AC, für einen Zwischen- Fig. 75. punkt #&, AB = Z, so ist nach S. 85 (Nr. 132), wenn man x und dx durch z und dz ersetzt, di — kldzd.. Da nun in der gleichförmig dichten Dunstschicht 6‘ unveränderlich — 6“, und da kh'd,' = ec (8. 55), so wird dl @; m „42 und dies mit der unteren Grenze 2 | 05 u Damteomier, cıbt S I @ er & , l a), m ® 2) . log 77 = m (2 b'), 7% (66) IB Voewi:de lie ndaher: el: @-, log a San b Da h‘ — 2830 m, so erhält man für c = 0,208, log | _ _0,0000735 Bi g JG, TEE an L) oder N log 7 — 900003192. Nach dieser letzten Formel ist die letzte Reihe der Tab. 63 berechnet. II. Die allgemeinen Formeln zur Bestimmung der Himmelshelligkeit. Wir schreiten jetzt zur Lösung der Aufgabe, die Helliskeit des Himmels in irgend einer Sehrichtung von einem Punkte 4 aus, der auf der Erdoberfläche oder über derselben liegen mag, zu bestimmen. Der Hauptteil dieser Helliskeit wird durch unmittelbare Beleuchtung durch die Sonne hervorgebracht, kleinere Teile durch Reflex aus der Luft und vom Boden. Bestimmen wir zuerst jenen Hauptteil. Fig. 76. 96 Chr. Wiener. [16] 1. Die durch unmittelbare Sonnenbestrahlung hervorgebrachte Helligkeit des klaren Himmels A,. 137. Bezeichnungen und Hilfsformeln. Wir ersetzen die Dunstatmosphäre von abnehmender Dichte durch eine solche von der gleichförmigen Dickte 6,‘ des Dunstes am Ausgangspunkte A; die Höhe derselben über A ist AYH = h‘. Wir denken uns dieselbe durch eine horizontale Ebene HE begrenzt und dabei die Zenitdistanz £ durch die reduzierte Zenitdistanz £, ersetzt, indem dadurch die durchlaufenen Wege, somit auch die Lichtzerstreuung nicht verändert werden. Es sei nun £ und Z, die wahre und die IE e # . reduzierte Zenitdistanz des betrachteten Ortes 5% Fl | ' am Himmel, o a, Ben an AO der Sehstrahl von der Zenitdistanz Z, ee SER e : N N A Ä 27 U B CAD eine kleine Sehstrahlenpyramide, in DS : x r N t » : deren Innerem sich bei © eine Dunstmasse von der horizontalen Grundfläche CD —= f‘ und der Höhe dr, also dem Inhalte f'dx befindet, Fig. 76. x = AB die Höhe von C über A, 2—= AU—=x:c0s{, der Abstand desC von A, f der senkrechte Schnitt jener Sehstrahlenpyramide im Abstande 1 yoncA, so daß’? — 7 0084 :72, 6, co, die wahre und die reduzierte Zenitdistanz der Sonne, EC ein auf © nach der reduzierten Zenitdistanz co, auffallender Sonnenstrahl, L, ! die Lichtstärken der auf /* auffallenden Sonnenstrahlen bezw. vor ihrem Eintritt bei # in die Atmosphäre und bei ihrer Ankunft in €. ! erhält man aus Gl. (66) (S. 95), worin b’—z — CE der Fig. 75, gleich dem schon durchlaufenen Weg in der gleichförmigen Dunstatmosphäre — EC der Fig. 76 oder = (h'—x):cos o,, so dals Ferner ist !f' coso, die Menge des auf /‘ auffallenden Lichtes; sodann ist nach dem Ausdrucke für d! (S. 85) die Menge des beim Durchschreiten des [17] Die Helligkeit des klaren Himmels. 137. 97 Dunstelementes von der gleichförmigen Dichte d“ — 6,‘ und von der Höhe dx, also bei der Weglänge dx:coso, verlorenen, d. i. zerstreuten Lichtes dx — k.lf' eos 6) -—— cos 6, du = iR dx; dieser Verlust ergibt sich nur abhängig von der Masse f"dxd,‘, aber nicht von der Form des durchschrittenen Dunstes, wie vorauszusehen war. i, %, % bezeichnen ferner das Verhältnis bezw. im allgemeinen (), für Wassertropfen (%), für Eiskristalle (,), der Lichtmenge, welche in einem Dunstelemente /'dx in der Richtung CA nach dem Auge auf die Flächen- ‘ als Mittelpunkt mit dem Halbmesser Eins beschriebenen Kugel geworfen wird, zu der Gesamtmenge des vom Elemente zerstreuten Lichtes. Dieses Verhältnis hängt ab von 9%, dem Ablenkungswinkel der ausfallenden von den einfallenden Lichtstrahlen und wird als 2, und als 2, aus der Tab. 60 entnommen. Tab. 60. einheit der um f « sei das Azimut des Ortes © des betrachteten Punktes am Himmel, oder des Ortes © (Fig. 76) des Dunstelementes f'dx, d.i. der Winkel der durch die Lotlinie "' — AH und die Sonne gelegten halben Ebene und der durch ‘ und den Himmelspunkt gehenden halben Ebene, wobei « von der Sonne aus nach beiden Seiten von O bis 180° gezählt wird. Es ist c08p — 60806 c0o8{ +8inosinLcos«. Denn sind S, 0, H (Fig. 77) die Stellen der Sonne, des betrachteten Himmels- Fig. 77. ortes und des Zenites an der Himmelskugel, so sind in dem sphärischen Dreiecke HS = oc, HO =, xSHO —=a, SO = g. Dabei wäre es am ge- nauesten, die um die halben Refraktionswinkel vermehrten scheinbaren Zenitdistanzen zu nehmen; wir sehen aber davon ab, weil die Wirkung auf ? meist geringfügig ist und höchstens die Stellen der Maximalwirkungen um ein klein wenig verschoben werden. cL e h'eos&, ist nach Gl. 66 das Verhältnis der Licht- schwächung auf dem Wege CA, d. i. das Verhältnis der Stärke des von f'dx zerstreuten und nach dem Durchschreiten des Dunstes auf dem Wege CA —= x:cosZ&, in A anlangenden Lichtes, zu derjenigen Stärke, welche dies Licht bei A hätte, wenn der Weg dunstfrei wäre. Nova Acta XCI. Nr.2. 13 Fig. 7 98 Chr. Wiener. [18] dH, und H, seien die Helligkeiten, unter welchen in 4 bezw. das Dunstelement f'dxz und die ganze Dunstmasse erscheint, welche in dem jenes Element aus A projizierenden und die ganze Atmosphäre durchragenden Kegel (AD enthalten ist; 9, © (%, %) sind dabei unveränderlich. 138. Einheit der Helligkeit. Als Einheit der zu ermittelnden Helligkeit wollen wir diejenige annehmen, unter welcher die Oberfläche eines festen Körpers von dem Rückstrahlungsvermögen Eins (Albedo A = 1) erschiene, welche von der Sonne mit der aulserhalb der Atmosphäre herrschenden Lichtstärke Z senkrecht beschienen würde. Da sich nun die Helligkeiten zweier verschiedenen Flächen, welche in demselben Sehstrahlen- kegel eingeschlossen sind, verhalten wie die Lichtmengen, welche sie auf die Flächeneinheit werfen, die bei dem Auge in A (Fig. 78) senkrecht zu dem nach der Fläche gerichteten Sehstrahle CA aufgestellt ist, so müssen wir die Lichtmenge bestimmen, welche jene feste Fläche f‘ des festen Körpers (bei ©) auf diese Flächeneinheit bei A senden würde. Geschieht die Ausstrahlung nach \ / dem Lambertschen Gesetze, wie wir annehmen, | 910, so empfängt von dem Elemente /’ der betrachteten > BD: 7 Fläche irgend ein Element f" einer Kugel, die Fig. en aus /' als Mittelpunkt mit dem Halbmesser 1 beschrieben ist, die Lichtmenge Lf’c' cosa-f“, wobei Zf‘ die von f* empfangene Lichtmenge bedeutet, c‘ eine von dem Zerstreuungsvermögen abhängige Unveränderliche, « den Ausfallswinkel aus /‘, oder den Winkel der Geraden ff“ oder Ü4 mit der Normalen zu f“. f" cos« ist aber auch die Projektion f“ von f“ auf die Ebene von f‘. Die gesamte von f‘ ausgestrahlte und auf die oberhalb der Ebene von f* stehende Halbkugel zerstreute Lichtmenge ist daher SER I nfern Ze Ibeer da jene Projektion der Halbkugel gleich der Fläche x des gröfsten Kreises ist. Diese ausgestrahlte Lichtmenge ist aber wegen 4 — 1 gleich der auf- genommenen Lichtmenge Lf‘, so dals fee fe I [19] Die Helligkeit des klaren Himmels. 137—139. 99 und dafs die von f" empfangene Lichtmenge — Lf'cosaf":r. Daher ist die von der Flächeneinheit (f" — 1) bei A (im Abstande z) unter ebenfalls senkrechter Bestrahlung empfangene Lichtmenge, unter Beachtung, dals icose32 (9396) 139. Integration für 77,. Nun kann die von dem Dunstelement f'dx in 4 hervorgebrachte Helligkeit dH, bestimmt werden. Es ist nämlich die Lichtstärke /! der bei f' anlangenden Sonnenstrahlen durch den Aus- druck der S. 97 bestimmt; die Menge des durch das Dunstelement f’dx zerstreuten Lichtes ist dann (S. 97) (ec: h‘)I!f'dx; davon würde auf die Flächen- einheit bei 4 die verhältnismälsige Menge 7: 2° geworfen, wenn der Zwischen- raum luftleer wäre; wegen der Dunstwirkung der Zwischenschicht erhält diese Lichtmenge den Faktor en: En a und die so erhaltene Liehtmenge muls durch das eben erhaltene Zf:x ge- teilt werden, damit man die durch die angenommene Einheit gemessene Helligkeit dH, erhält. Sie ist daher a) 8 h ® dH, = Le Meoso, fr dee Mrcosc, m woraus, da f = f' cos &:2?, ee c c= ( 1 1 = > eTaSa ee ae : h’ eos £&, 2 22 = Bildet man hiervon zunächst das unbestimmte Integral, so erhält man 2 c ı [4 1 IEmERN eri = h uhr Duke EM —---— — —- elesch eh nr cos C h’ cos £, B% Mae 1 . ST c08 6, cos £, > W—x 2 C0S 0, e|- = re = — _—- Ir c0s0, " hücos 5) +6. 608 0, — 608[, Ist nun ? konstant durch die ganze Atmosphäre, sind also nur Wassertropfen oder Eiskristalle vorhanden, so kann man unmittelbar das Integral zwischen 1) Vgl. Chr. Wiener, Lehrbuch der darstellenden Geometrie, Bd. I (1884), S. 399. I: oO 100 Chr. Wiener. [20] den Grenzen 2 —= (0 und x = h‘ nehmen und erhält für das ? von einer einzigen Bedeutung & CHEN H, = ai — — — |\e c084 —e cos )- (67) c08 0, — Cos{, Sind aber in der unteren Schicht von x = 0 bis x = h, Tropfen vorhanden, so dals hier i — i, herrscht, dagegen in der oberen Schicht von z—h, bs 2e—h' Kristalle mit =, so muls das Integral in den zweierlei Grenzen einzeln genommen werden. Dabei ist zu beachten, dals c stets dasselbe ist, indem wir die Stärke der Lichtzerstreuung oder der Lichtschwächung der Sonnenstrahlen nicht von der Form des Wassers ab- hängig angenommen haben, da diese Verhältnisse bei demselben Wasser- bezw. Eisgehalt der Luft mit der wechselnden Gröfse der einzelnen Tropfen oder Kristalle aufs mannigfachste wechseln können. Die S. 85 angeführten Messungen von Bouguer und Lambert haben wohl bei gleichzeitigem Vor- handensein von Tropfen und Kristallen stattgefunden, da das vollständige Verschwinden der Tropfen wegen der oft stattfindenden Überkältung der Tropfen unter den Gefrierpunkt schon eine Temperatur merklich unter 0° voraussetzt. Nimmt man demgemäls den Wert des obigen Integrals A, als A,‘ zwischen :z = 0 und x =h, bei ? = 1, so erhält man / 4 \ } : cos 0, =, (* z ee nr JEke = ach ent —e h'coso, hecosüh) te cosa |; 1 608, ‘ und ebenso erhält man das Integral 7,“ zwischen = h, und x =h bern, cos 6, FE ($ ( W"— ho R ho — > Er [3 Zu; 7 u Dr DEI gung - = I ET 2 h'cosoh Aeosä)|- 608 6, — cos{; L Daher ist die ganze durch unmittelbare Sonnenbeleuchtung hervorgebrachte Helliskeit 4, = H,' + H,“, oder cos6 N ee al ee ho _1 Jalı = 1 I; E 080, — € ? ((i =) COS 0, a h‘ ee) / e No 1 ho 1 c +% Pr i ((' ri 7) COS 0, u ee —2 08 |) » (68) [21] Die Helligkeit des klaren Himmels. 139 —140. 101 Setzt man nun die Grenze von Wasser und Eis in die obere Grenze der Atmosphäre, wobei A, — h‘ und wobei i, verschwindet, so entsteht aus dieser Gleichung die Gleichung (67) mit ©—= i, und setzt man sie in die untere Grenze, also h, — 0, wo dann i verschwindet, so erhält man die Gleichung (67) mit Ü = }.. Der Ausdruck (68) für 4, wird unbestimmt für & — o, oder &, — o,, indem dann i (0) H, ice wird, wobei der Zähler Z gleich dem Ausdrucke in der geschwungenen Klammer, und N = c0so, — cos{, ist. Man erhält den bestimmten Wert dureh Differentiation nach Z&,, nämlich dZ:d& H, — 7 608 0, IN: dd, 6 Es ist aber dZ hs sinie, (1-2) ur ee) x Sn Eye Se 4 — 1 [7 0 re N > , ET (4 —) € 1 6082, e \ h') coso, NH! cosüı) + DO CHE COS; dN 8 — sin & dd, == Führt man Z£, = o, ein, so erhält man ce € RAD Äh \ ho Eh = & er os ha tn (1 ||. 68‘ I cos 6, SEN > h‘ >) 140. Grenze des Wasser- und Eisdunstes. Um in diesen Formeln die Werte von h, einsetzen zu können, für welche :, in :, über- geht, d. i. die Grenze des Wasser- und Eisdunstes, müssen wir das Gesetz der Abnahme der Temperatur mit wachsender Höhe kennen. Dieser Zu- sammenhang ist sehr wechselnd, manchmal steigt sogar die Temperatur mit wachsender Höhe. Häufig rechnet man auf 100 m Steigung 1° © Temperatur- abnahme. Dies gilt nahezu an der Erdoberfläche, mit wachsenden Höhen wird die T’emperaturabnahme geringer; bei wachsenden Höhen an Bergen ist die Abnahme langsamer als in freier Luft, wie die Luftfahrten zeigen; ferner zur Mittagszeit rascher als abends. Sehr ausgedehnte Beobachtungen hat Glaisher in seinen Luftfahrten in England gemacht (mitgeteilt in den 102 Chr. Wiener. [22] Reports of Brit. Association, 1862, 1863, 1864), auf welche ich mich im folgenden wesentlich stützen werde.') Bezeichnet man mit x, b, t die Höhe eines Punktes über dem Meeres- spiegel, den Barometerstand (reduziert auf 0° des Quecksilbers), die Luft- temperatur in Grad Celsius, mit 0, b, t, diese Gröfsen am Meerespiegel, und mit D’ — 0, t‘, die den Werten b und t entsprechenden Grölsen an der Grenze der Atmosphäre, so gilt nach einer von Mendeleef’) aufgestellten Formel b Wei Sr Z & Lt), 0 wonach die Gesamtzunahme der 'T’emperatur (t,—t‘) von der oberen bis zur unteren Grenze der Atmosphäre bei dem Durchschreiten dieser Höhen pro- portional mit dem Luftdrucke D zunimmt. Diese Regel stimmt hinreichend gut für diese an sich so sehr schwankenden Beziehungen mit den Beobachtungen Glaishers überein, und es kommt nur darauf an, die Konstanten in der Gleichung zu bestimmen. Da der Zusammenhang von Höhe x und Luft- druck db von der Lufttemperatur abhängt, müssen wir für den Meeresspiegel eine bestimmte T’emperatur annehmen. Es sei die in den Sommermonaten bei uns geltende von 20° 0, so dals t, = 20 wird. Für mittlere Verhältnisse in Deutschland gilt die Formel für baro- metrische Höhenberechnung ob, | De: x — 18516 log r 6 + 0.003674 + ) Setzt man darin 5, = 760 mm, #, = 20°, und nach den Tabellen von Glaisher für x. — 3353 m die Lufttemperatur t = 0,22°, so liefert die Formel d — 518,5 mm. Setzt man diese Werte in der obigen Formel für t ein, so erhält man t' = —42,3° Die äulsersten Zahlen von z = 5182 m, t = —6,61° liefern 5 — 419,8 mm und t' = —39,4°. Dagegen hat Mendeleet 36° und Rykatschef’) hat aus seiner Luftschiffahrt bei Petersburg in geringeren für diese Temperatur an der Grenze der Atmosphäre t' — 1) Entnommen aus: Sohncke, Ursprung der Gewitterelektrizität, 1885, S.4; und aus van Bebber, Lehrbuch der Meteorologie, 1890, S. 54. 2) Vgl. Mendeleef, Archive des sciences phys., Geneve, 1376. Entnommen aus van Bebber a.a. O., S. 52. 3) van Bebber a.a. O., S. 52. [23] Die Helligkeit des klaren Himmels. 140. 103 Höhen £' schwankend zwischen —41,1° und —43,8° gefunden. Da es uns gerade auf die Grenze zwischen Wasser und Eis ankommt (t — 0), wollen wir die hierfür gefundene Zahl — 42,3° oder rund — 42° annehmen,') so dafs b wo 5 in Millimetern anzugeben ist. Für t, = 20° wird t—= —42 + 0,0816 - D. Hieraus ergibt sich # — 0 bei db = 5l4mm und x = 3260 m. In dieser Höhe befindet sich unter diesen Umständen die Isothermenfläche Null’) Es ist noch zu beachten, dafs Nebel wft aus Wassertröpfehen be- stehen, auch wenn die 'l’emperatur weit unter 0° steht, indem dann keine optische Erscheinung auf die Eisform in den Nebeln hinweist,’) und es ist dies erklärlich, da bekannt ist, dals Wasser bis auf — 10°C abgekühlt werden kann, ohne zu gefrieren. Es wird deswegen oft, namentlich bei aufsteigendem Luftstrom, der die Wassertröpfehen aufwärts führt, die Eis- grenze höher als die Nullisothermenfläche liegen. In der Tabelle 64 sind die für uns wesentlichen Verhältnisse für Tab. 64. verschiedene Höhen über dem Meeresspiegel angegeben. Die erste Zeile enthält diese Höhen in Metern; die zweite enthält die Barometerstände in mm, aus z berechnet nach der Formel der Seite 102, worin der untere Barometerstand d, = 760 mm, die Temperatur des unteren Punktes t, — 20°, die des oberen t — 0°, also 4 (t,+t) = 10° gesetzt ist, da t — 0° für uns besonders wichtig ist. Wir erhalten mittlere Verhältnisse für den Sommer. Die Formel gestaltet sich dann so: log b — 2,881 — 0,0000521-@. Die dritte Zeile enthält die 'T’emperaturen t, gewonnen aus den Gleichungen oben auf dieser Seite. Es ergab sich dort b = —42+ 760 (&, + 42), 1) [Diese Zahl braucht nur die Konstante in der nicht für kleine Werte von b geltenden Formel zu bedeuten, nicht aber in Wirklichkeit die fragwürdige Temperatur an der Grenze der Atmosphäre. Die Genauigkeit dieser Zahl, die man vielleicht jetzt etwas anders annehmen würde, genügt hier vollkommen. Die Herausgeber.] 2) Sohncke, a.a. 0, 8.6. 3) van Bebber, a.a.0., 8. 171. 104 was für {, = 20 wurde Chr. Wiener. [24 t—= — 42 + 0,0816 b. Für t = 0 erhielt man die Höhe der Isothermenfläche Null gleich 3260 m, wie es aber auch durch eine Einschaltung in der Tabelle folgt. Dies gilt aber nur für die Anfangstemperatur t, — 20°, also für die Verhältnisse des Sommers. Bei ganz kleinen Änderungen der Anfangstemperatur um 1 oder 2° könnte man ohne beträchtlichen Fehler alle Gröfsen t der dritten Reihe um gleich viel verändern; aber bald würde der Fehler sehr bemerkbar. Z. b. bei t, = 15° würde man bei Verminderung aller t um 5 durch ver- gibt aber dann hältnismälsige Einschaltung bei t= 0, x = 2322 m finden. Die Formel t = —42 + 0.0755, — 560 mm und x — 2531 m folgt, also um 209 m mehr. woraus für t —= (0, b Tabelle 64. Höhe, Barometerstand, Dunstdruck, Temperatur. © Höhe über dem Meeresspiegel, m. en b Barometerstand, mm. it Temperatur, OÖ. Höhe in der gleichförmigen Luftschicht, m. Verhältnis der Dunstspannung zu der- jenigen am Meerespiegel. \t Abnahme von ? bei 100 m Steigung. x“ Höhe in der gleichförmigen Dunstschicht, m. 1 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 b 760 716 675 636 999 564 Sal 500 471 t 20 16,4 13,0 9,8 6,8 4,0 1,3 —12 | —3,6 At 0,74 0,70 0,66 0,62 | 059,.| 055: | 052 | 049 |. 046 2 0 465 897 1305 1693 2060 2405 2732 3040 dd, 1 0,3453 | 0,7129 0,6026 0,5082 0,4295 | 0,3622 0,3062 | 0,2582 1 0 446 821 1135 1397 1616 1801 1960 2098 x 4500 5000 3500 6000 6500 7000 7500 8000 [6,°) b 444 418 394 371 349 329 310 292 0) t ne 79 9,8 skrler, a ee At 0,43 0,41 0,39 0,36 0,34 0,32 0,30 0,29 2% 3327 3600 3858 4090 4312 4526 4730 4925 7992 d':0d‘, | 0,2183 | 0,1841 0,1556 0,1312 0,1109 0,0935 0,0791 0,0667 0 a 2218 2321 2408 2482 2540 2586 2621 2645 2830 [25] Die Helligkeit des klaren Himmels. 140. 105 Die vierte Zeile gibt die Abnahme der Temperatur bei 100 m Steigung. Durch Differentiation der Gleichung für t erhält man db lt = (+ 22), dt = 26, % +42) was für &, — 20 zu dt = 0,0816 db wird. Es ist also die T'emperatur- abnahme mit der Druckabnahme der Luft proportional, wie ja bei Auf- stellung der Formel angenommen wurde Durch Differentiation der Formel für die barometrische Höhenberechnung (S. 102) erhält man aber de — — 18516 ( + 0,003674 °F .) a wobei mod. — log. e — 0,4543. Diese Gleichung mit der obigen zur Elimi- nation von 5 benutzt, gibt die Beziehung zwischen dt und dx. Setzt man hierin 5 (t£+1t,) = 10, so erhält man, ohne die Allgemeingültiskeit wesentlich zu beschränken, db de — 83410 7, Dies in die obige allgemeine Formel von dt eingeführt, gibt dt = —0,000000158 (to +42) bad. Setzt man hierin t, = 20 und dz = 100 m, so erhält man die Abnahme At der Temperatur bei 100 m Steigung und der Anfangstemperatur von 20° At = —0,000981-b, und hiernach ist die vierte Zeile der Tabelle berechnet. Man hätte es auch aus den Differenzen der dritten Zeile und Nehmen des Mittels erhalten können. Die fünfte Zeile gibt die zu den x gehörigen Höhen x“ in der gleich- förmig dichten Luftschieht an, welche bei der Höhe von 7991 m der wirk- lichen Luftsäule das Gleichgewicht hält. Da die Höhen der überlagernden Luftsäulen mit dem Barometerstande proportional, so ist ee Ti e » Ber — Nl% 7160)" Die sechste Zeile gibt das Verhältnis der Dunstspannung d‘ in der Höhe x über dem Meeresspiegel zu derjenigen d,' bei x —= (0, an Stellen, Nova Acta XCI. Nr. 2. 14 106 Chr. Wiener. [26] an welchen die Luftspannung = d —b und = d, — b, — 760 ist. Nun gelten die Gleichungen 62 (S. 82) und 63 (S. 85) N N TE ee und aus diesen folgt ydinct Ins 18.0 aaa uf Eon m Sn, 0850. 5 Hiermit ist die sechste Zeile berechnet. Daraus sind die Höhen x“ der Dunstsäulen (in der siebenten Zeile) berechnet, welche, von der gleichförmigen Dichte 4,‘ wie am Meeresspiegel, der wirklichen Dunstsäule von der Höhe x das Gleichgewicht halten, nach der Formel u u mu 2830, (1 5) : Man wird nach den Bemerkungen auf S. 102 und 103 bei der vorhin gemachten Annahme für den Sommer mit 20° Temperatur an der Bodenfläche die Lufttemperatur an der Eisgrenze bei etwa — 10° annehmen dürfen. Und da nach Beobachtungen in Upsala') die Gipfel der Kumulostratuswolken (welche aus Wasser gebildet sind), bis zu 5970 m stiegen, die Cirrus- (Eiswolken) aber nicht unter 4970 m sanken, so darf man als bezeichnend für einen Sommertag die Eisgrenze in der Höhe x von 5500 m annehmen, der nach Tab. 64 eine Temperatur von — 9,3” entspricht, so dals h, — 2400 m wäre. 2. Die durch Beleuchtung der Atmosphäre durch sich selbst hervorgebrachte Himmelshelligkeit (A,). 141. Helligkeit der Atmosphäre in einer gewissen Seh- richtung, hervorgebracht durch die nach oben gerichteten Luft- kegel von übereinstimmender Richtung. Die Atmosphäre wird nun nicht nur unmittelbar durch die Sonne beleuchtet, sondern jeder Teil auch durch die anderen Teile der Atmosphäre und durch den Boden. Be- stimmen wir zuerst die Wirkung der Atmosphäre. Dabei müssen wir die !) Van Bebber, Lehrbuch der Meteorologie, 1890, S. 180. Vgl. Meteorol. Zeitschr. 1887, S. 73 und 252. [27] Die Helligkeit des klaren Himmels. 140—141. 107 Beleuchtung eines Luftteilchens von der höher als das Teilchen liegenden Atmosphäre (Fig. 79) getrennt behandeln von der Beleuchtung durch die tiefer liegende Atmosphäre (Fig. 80). Verfolgen wir zunächst den ersten Fall. Es werde dabei hier, wie im zweiten Falle, zunächst die Beleuchtung bestimmt, welche der von dem Beobachtungspunkte A ausgehende Dunst- kegel 4/, von einem anderen Dunstkegel C’f von unveränderlicher Richtung erhält. Gelten, entsprechend wie früher, für den Kegel Af, die Bezeichnungen fı (Querschnitt im Abstande von 1m H 2 ee h von 4), und £, (reduzierte Zenitdistanz), werde sein Element f'dx (im Abstande 4AC=2z) von dem Dunstkegel Cf: be- Ba nie: leuchtet, der im allgemeinen mit AC nicht So = in derselben Vertikalebene liegt, dessen N un senkrechter Querschnitt im Abstande von 1m von Ü gleich f, dessen Zenitdistanz — © und dessen reduzierte Zenitdistanz — o, sei, und werde dessen Element f dx! (im Abstand CD=u von 0) von den Sonnenstrahlen DE bei der reduzierten Zenitdistanz c, beleuchtet, Fig. 79. seien ferner die Bodenhöhen von C und D bezw. x und x‘, so erhält man folgende Ausdrücke Es ist die Lichtstärke des bei D ankommenden Sonnenlichtes (S. 87) ec ce hi—x! ©) = ber ED _ a TE oo > Ferner ist die Lichtmenge, welche auf das Flächenelement f“ fällt, von dem Dunstelemente f" dx‘ in der Richtung DC zerstreut und auf die senkrecht bestrahlte Flächeneinheit im Abstande 1 von D geworfen wird (vgl. S. 97) Ka (b) — (a) f“ cos o, bee: DR wobei :' der Zerstreuungskoäffizient ist, welcher bei der in D stattfindenden Ablenkung g‘ dem Wasserdunste (?, nach Tab. 60) oder dem Eisdunste (?; nach Tab. 60) zukommt. 14* 108 Chr. Wiener. [25] Sodann ist die Liehtmenge, welche von der Lichtmenge (5) auf das Flächenelement /* fällt nach der Schwächung beim Durchlaufen des Weges DO = u = (2&'—x) : 608 o, (c) — (b) e h coso Führt man hierin die Werte von (5) und (a) ein und beachtet, dals f' = fw: coso,, so erhält man SEE ie EEE, () = Le’ W coso f „ da-v.ffe W coso, h en h’ SEE c 6x je B IB j — OT C0S0, CoS e ie Tele h! \cosw, CoSO,) vdx. h Intesriert man diesen Ausdruck zwischen den Grenzen x’ —= r und fo} x‘ — h‘, wobei x unveränderlich, so erhält man die von dem ganzen Dunst- kegel Üf auf das Flächenelement f* geworfene Lichtmenge. Dabei ist aber zu unterscheiden, ob die Grenze des Wasser- und Eisdunstes (in der Höhe %,) innerhalb x und h‘ liegt, oder unterhalb x, d.h. ob xh, ist. Es sei zuerst 1. <.,n,;%' Wert :,‘ für Eisdunst, und für x’ x den Wert i,' für Wasser- den dunst, so dafs das Inteeral (Ad) von (c) in zwei Teilen zu nehmen ist, und 2 {e) \ ’ es wird, indem man (d) im ersten Falle mit (d)‘, im zweiten mit (d)' be- 7 b2 \ zeichnet, h' an (er LE ae (d —= Le w\eoso, cos 5 Ta nv) e h \coso . ) da‘ no ho Sa Be | Sr e N \ecoso, se aa ” x [a h' Ar \ age 4 BR, il —elme nes, an Sr 2 1 1 080) COSG, a ui. 5 ae a ae . zu £ 0, Cosa, e h’ \eosw, coso, | | 2 DEREN ULS.K 2 (1 w 22: = h \eoso, TR —e lose oa) : [29] Die Helligkeit des klaren Himmels. 141. 109 2. Für «>h, ist @=%', und es wird dann das Integral h’ c ( h' N c CH 1 1 (d)“ = Le m\eoso, cos a) Tui m e NH \coso, Beet) 2° dx: eB | h' z ye o —l — Le h'\coso, cos 5) nie a | 1 1 A 6) 1 1 : 9 zu Be 2 PN 19° E sw, c0sa,) —® h'\eoso, coso, | e Von dieser Lichtmenge (d), welche auf das Flächenelement f* fällt, wird aber durch das Dunstelement /"dx zerstreut und in der Richtung gegen A auf die senkrecht bestrahlte Flächeneinheit im Abstande von I m von (Ü geworfen, wenn der Zerstreuungskoöffizient für die Ablenkung 9 in C gleich © ist, und zwar 2, für Wasser (Tab. 60) und :, für Eis (Tab. 60), dee @ =) coso, h“ 28 daher fällt nach der Lichtschwächung durch den Weg 2 — x: cosC{, senk- recht auf die Flächeneinheit bei A die Lichtmenge 1 Er c x N=Oze Woost- Die Helligkeit, welche hierdurch in A erzeugt wird, erhält man durch Teilung durch Lf\:x. Dadurch wird als Einheit der Helligkeit die Hellig- keit einer Fläche von dem Rückstrahlungsvermögen 1 eingeführt, welche von der Sonne an der äulseren Grenze der Atmosphäre senkrecht bestrahlt würde. Denn die Fläche f, dieser Oberfläche würde die Lichtmenge Lfi empfangen und zerstreuen und auf die in einem Abstande 1 senkrecht segenübergestellte Flächeneinheit die Lichtmenge Lfi:rx werfen (S. 99). Bezeichnet man nun mit 4, und 4," die Helligkeiten im Luftkegel A/,, welche von dem oberhalb oder dem unterhalb ‘jedes Teilchens des Kegels Afı liegenden Teile der ganzen Atmosphäre herrühren, so rühren die Differentiale hiervon, (H,’ und dH,y, nur von den Kegeln Of der Atmo- sphäre her, welche parallel zu CD gerichtet sind und alle die gleiche 110 Chr. Wiener. [30] Öffnung oder Weite f besitzen. Die Differentiale hiervon, oder d(d H,°) und d(dH,‘) rühren nur von dem Elemente f"dx des betrachteten Kegels Af, her. Man erhält daher durch Teilung des (f) durch Lf\:x, und unter Beachtung, daß fi = f' eos&4 : 2’, Rz" N DR cosie, N) % BE N ee dld.Ese)— oo Ro idxze MR cosa- d (d H,°) = oder Integriert man nun diesen Ausdruck zwischen den Grenzen x — 0 und x — h‘, so erhält man die Helligkeit dA,, welche von dem Dunst- kegel A/‘ in A vermittelst seiner Beleuchtung aus der Atmosphäre durch die Dunstkegel von der Richtung und der Öffnung des Kegels Of hervor- gebracht wird. Auch hier müssen wir jene beiden durch die Eisgrenze hervorgebrachten Abschnitte unterscheiden und erhalten daher I oh.(d) (dnız a) CH 1 (—1) - £ Rn — 3 ET 086 h' ! c0sL, cos, 1 1 un dHy — af c0S 9, c0S 6, h o en) | rn ni ho ( 1 or 1 a ( 1 # 1 5 No ( 1 t 2 ı . da ie h' \coso, coso,) + % (e c0s0, usa) —E h' \eoso, cos )| e p \ 5 1 1 x \ a 1 1 2ER ee .£ h' \eos {&, ae h' \eos{, nn Setzt man nun - = — — DE — — I — 55, C05 9, cos 0, ' cos &, 08 6; cosQ, cos @, 1 1 1 1 1 1 S fr ho i OR < 1 (—1) _— en 9° = et e rn Ss e ‘ on = N cost, com Ss wer IE A ho . Dan ho u ho + lea en) Lau (ati) nl 1) (er), N Are Rt; ) 2 = ho ho 38 e 080 - ng 2 — Be pe nn COS 0, [ie ER (e sg | ' coslı cos; $ | ho h a Ze er el le m—1)—irz(e ta). u t | [31] Die Helligkeit des klaren Himmels. 141—-142. 111 2 Kuga. ((d) — (dm Bist h' Er re, & 1 —1) BE 1 1 IH: =; — hy —— nn - ne N — E —— ) 2 a h‘ at cos [af cos ©; 1 ER EI cos wı COS 9, 080, 6085 In h' eos BE Une" Rp A ee .e "mWleosth csoa/)de— fe h'\cos&, coso, “| No = ) „EC ..,e coso, (—1) “D h' (—1) N ER EIN casa, Ei |, 03,2 UV) a h eosl, cos, 5 | CU hl 1) —.ct Bor | — — = — —£ hr Gr | [6 = —— —es ho h OS e [77 e ee oe al Er ne — af —— LOSICEE le‘ ee u tl EEE GE, et cosc ecoso,s| u ö | Hieraus ergibt sich die ganze Helligkeit dA, — dH," +dH,;,“ des Himmels, welche in der Richtung 40 durch alle Dunstkegel aus der Richtung CD des Himmels und von der Ofinung (Üf hervorgebracht wird. Es wird, wenn wir, was für die spätere Integration wichtig ist, die Produkte der i untereinander als gemeinschaftliche Faktoren vor Klammern setzen und beachten, dals s+ u = t ist, An BE 1 ll „Ro RN al Bo dk, — scfie COSG, - —— nr .e ta In” +7(1-e Op eosl, cosm, Ss | ho ho ho > c 2 er es — OT +4 AL Dante me—e De Io +e h’ a ‚ho ho re i io‘ E (Er w*) ar le rtet)]. (69) 142. Helligkeit der Atmosphäre in einer gewissen Seh- richtung, hervorgebracht durch die nach unten gerichteten Luft- kegel von übereinstimmender Richtung. Für die Beleuchtung der Luft durch die tiefer liegenden Luftteilchen ist der Vorgang in Fig. 80 Fig. so. dargestellt, deren Bezeichnungen mit denen der Fig. 79 übereinstimmen. Man bemerkt, dals der Winkel », stumpf geworden ist. Die Entwicklung schliefst sich an die frühere an. Die Ausdrücke der Seite 107 u. f. für 112 (a), (b), (ec) erhalten ganz die Chr. Wiener, [32] frühere Form. In (c) muls x’—.r negativ werden; dies wird aber durch das Vorzeichen des Kosinus des stumpfen Winkels &, ohne Änderung des Ausdrucks bewirkt. Die Querschnitte f’ coso, und f" = fw: cos o, müssen beide positiv sein, daher mulsten die Vorzeichen von cos m, beide umgekehrt werden; es heben sich aber bei der Multiplikation beide cos », auf. 3ei der Integration von (c) müssen ebenfalls zwei Fälle unterschieden werden. 1l, x — 0 und x = x zu nehmen und für ® Für 2h, wird von 2 = 0 bis 27h, mit ür vonaz hebıe x — :r mit ö,' integriert. Man erhält dann ho j a h’ X e Fe 1 2 1 (d)“ — Le” H\coso, coso) ff m \ e W \euso, eosa)-da “ 0 x Q 2" ) 1 | + ef e ‘W (en nn eos,» ho le RAN) OBEN ee — Le h' \coso, COS ©, tr 1 1 \ e h' \cos w, COS 6, —Ht COS ©, cos 6, De 1 Kino.) ee ee ie h' \cosw, cos zu) —e& hr“ ker © ss.) ; In dem Ausdrucke (e) S. 109 ist die vom Licht durchschrittene Weg- länge dx : cos, jedenfalls positiv zu nehmen; da aber alle x, x‘, dx, da‘ [33] Die Helligkeit des klaren Himmels. 142—143. 8 nach oben positiv gezählt werden, und cos o, negativ ist, muls hier — cos o, gesetzt werden. Man hat dann dem dA,‘ das negative Zeichen vorzusetzen. Bei der Integration sind wieder die beiden Fälle zu unterscheiden; man erhält in ihnen dA,“ mit ©, und dA,“ mit ;,. Es wird CE: 1 (—1) un dH5* — —ıf — tı ü —— e z a Eco 1 4 C08®; 608 0, No | c® ( 14 1 a 1 ge | 8’ @bRE IE h'\cos&ı cosa) — € h’\cos&, coso, | eo r x a. h h Ber 1 e 080, lı : win) ll am | — EU — | —@ h‘ = | Al eo Inc cos{, C0S@, Ss lt v W A G CHR 1 (—1) SUCH ash = — la ——— ee 2 7 ?cosıcoso 1 1 ae 080, 080, h‘ 1 (ao dx Ex lo cos @, (e h' \eosw, €oso, 1) “ ho rn ln 1 SZ a us Al „ro u ad + | e h'\cosG c0sa) ——e h’\cos&t eosm)e n \cosw, coso, — = : h h e e Coso Ol wer BERLLLO — fi - [z } 1 (e er, ” (‘ Cs, cos &; cosw,-s |“ h No h Sl ee Bor 1 = ee ee te AE (e ale ” ar (e Sue we e | - U Indem wir, entsprechend wie bei H,’, diese beiden Ausdrücke addieren, erhalten wir NR 1 ul. E00 eo 1 ra, 6 dH,“ — fe c0S0, - RER 7 (e wi) +r(1-e | cos &ı cos 9, S \ el eu Pop eRcH, eu _ + % DET —e e he nh" te —e h' r ho h h = ee ee IR al en 2 al cz [9 mager 2 eu. [0 ) AL 5 (e @ u, s £ (70) 143. Bestimmung der Werte d ZH; im Falle ihrer schein- baren Unbestimmtheit. Die gewonnenen Ausdrücke für dH, und dA, werden unbestimmt, indem sie die Form % annehmen oder Glieder solcher Nova Acta XCI. Nr.2. 15 114 Chr. Wiener. [34] Form erhalten, wenn zwei von den drei Gröfsen o,, &, ®, gleich werden und in der Nähe der Gleichheit werden die Ergebnisse unsicher. Es ist daher in dieser und auch in anderer Beziehung zweckmäfsig, jene Grölsen, wenn man sie auch nur nahezu gleich machen mülste, ganz gleich zu setzen, und die bestimmten Werte zu ermitteln. 1. Setzen wir ©, — o,, so wird (Gl. 69, S. 111) ce Fe ET ann c08C, C0S@,-S 1) denn es war gesetzt worden 1 1 1 1 1 1 rer a Mr — 7 Sr, 080, 6080,’ CORIETMNCOSIoL 0 Cosic cost daher wird für , =, s=(0, t=u; und wenn wir den Zähler und Nenner des letzten Bruches in obigem Ausdruck mit Z und N bezeichnen, also setzen, so wird Z, d. i. der in geschweifter Klammer der Gl. (69) ein- geschlossene Ausdruck, wie man sich leicht überzeugt, — 0, und ebenso wird NE 0alsorrr = DEN} Um den bestimmten Wert zu erhalten, differenzieren wir Z und N in ihren ursprünglichen Formen nach &,. Zunächst ist ds sin @; dt du sin ©, do, co?’ do, do, cos? Sodann erhalten wir aus Gl. (69) dzZ sin © 2 u lo 1 ho ho — { ir|eire w + 2le met u do, u cos? | [35] Die Helligkeit des klaren Himmels. 143. 115 dN _ sine, Andererseits wird I — Kr do, 08 0, Setzt man in diesen Ausdrücken &, — so, also s—=(, u—t, so wird nach einigen Vereinfachungen ua e coso, dZ eo8&ı dN? G ho ee |; ale (eer'—ı)+ei| = DW c08 &, 6080, L \ 3 m ho + 4% 1 -2)lı-e..80)] l: h le oder Fr h ho, el ra h a +b%' ‚(le Giger, w)+efi-)e Ga! | 0 (71) Lt / v J | Setzt man nun in diesem Ausdrucke & — 6,, so wird, wie man leicht erkennt, wieder dH;’ unbestimmt. Zur Ermittlung des bestimmten Wertes haben wir hier zweimalige Differentiation von Zähler und Nenner nach &, nötig. Dabei muls aber aus dem Zählerausdruck der Divisor t einzelner Glieder entfernt werden. Wir setzen daher [4 e coso, Z IH, — I ER = eso N’ und dabei y = IE Recon DEN Z = t.cosL, ee: ( m mac 9 cosQ,\® IN b2-cos2 =, — (1-2) 08 0, Wir erhalten dann dt _ sind, deteoss) _ sind, le 0 ae > casa» dZ ey] SRG li ho\ sinL, BALON, N he dc, == (A (A [eu TR —+ 608 1ar mem 60820, e h sın Sı (e h —1 [; ] 7 hi : h En cosL, kN li ne er, Bin, ho u, > = c BELIE fr % = a ram 6 olelı n) h‘ eos2£, h Noas? 1 h‘ EIER h (7 r 5 h a ) ho u, cosL, ho N En sin &, N 9% ESEL E — — —(l — _—— f] Eee — || (@ D Fa» e(i ale nl a i Ta n ”) b si hr. a e Eee + cosZ, en (e Demon ae. z cos?L&,) \ hi F dN _ 5 (3 sin &, dd, ( c080,) 608 6, 116 Chr. Wiener. [36] Man erkennt leicht, dafs sowohl dZ:dg, als dN:d&, für 4 = © Null wird. Die zweite Differentiation liefert nun einen sehr ausgedehnten Ausdruck von d’Z:dc?, den wir nicht anführen wollen. Setzt man in ihm und in dem einfachen Ausdrucke von d’N:d£&?, & = co, so erhält man c ER COS 0, d2Z c080; dN?’ er RN Eat 30 No m ho\? dH3° — af € COS 9, ji 2 (%) +Uu% 2 5) + 13 13 ( 7) Ir (72) 2 cos? 0, dH,! = af oder In ähnlicher Weise erhält man in den anderen Fällen der schein- baren Unbestimmtheit die bestimmten Werte. Doch wollen wir die Rechnungen selbst hier nicht durchführen, sondern nur die Endergebnisse angeben. Für & — o, erhält man nach einmaliger Differentiation der Gleichung (69) nach &,, ce ho 7 AH,’ — afe coso, 1 L |; l2(e 3) +3] 08 6, c0s@, S | h‘ N! — 93 BE Aa — 063 BE To +1, er —e e Par ilsr2 —e Tue . Ze —cs$ eh, ho | + (>45) [s (e e h‘ re ap | . (73) Es kann nun auch für die Bestrahlung von unten, oder für dH,, ı = 0, werden, wodurch dH, unbestimmt wird; der bestimmte Wert er- Dr gibt sich dann gleich © h ne: 1 1. ee ho Eh — AT Oo ——— — ir | =(e 1 — 0 dB, =f 8 os Co5m S 9 I“ L Sa W | BEE, — cu a, -L tl—entte w’+i1te —e h‘ | t ho “ Hai (leer 1) +1 )]|) . (74) / Setzt man nun auch ®©, —= o,, was aber nur für dH;’ möglich ist, so wird der Ausdruck (75) dH,’ — 0:0. Der bestimmte Wert wird wieder erst durch zweimalige Differentiation gewonnen, wobei man wieder .— Ei = ei 6080 de, — nf —— — I = f c80 N’ YA ==Saasen Be, A [37] Die Helligkeit des klaren Himmels. 143 —144. 117 setzt. Man erhält dadurch wieder den Ausdruck (72), welcher ja schon für ©, = & = 0, geltend gefunden wurde. Endlich wird der allgemeine Ausdruck (69) für dH;' gleich 0:0 für ©, — &. Wir erhalten dann durch Differentiation nach {, zuletzt cos? : re 10%, Bao} PER dH, — afe cosa — _ ; 1. |-(1-—e N —eaer m s | s h i Setzt man hierin aulserdem &, — o,, so erhält man nach zweimaliger Differentiation abermals den Ausdruck (72). 144. Werte von dA; für besondere einfache Fälle. Besondere Vereinfachungen erfahren die Ausdrücke für & — 90° oder © —= 90°; dann wird. 6 oder ©; — 89°8 cos’& oder ’coso, — 0015126, 1E.c0osc oder 1:coso@; = 66,1, daher e =, oder e a unmerklich klein. GEGI)Flierert fire 90, SUCHT 1 EI IE N Ku So —— ıls—> un dB: len cose: cosC, 608m, S 9 len” % El: on Los u 7 e WB | . (76) el: 1 TORE RR Ba nee = ey Be i ONE ee il BLAROR 5 dH,;! —nfe coso, cost coso, t K ı E 1 | tun c u |) (77) Wird aber in Gl. (69) © —= 90°, so erhält man TC 1 DI eo. Ro N) 7 2080, — au ee Dee D ! nei end D dB; 2 ar cos S M ln one ( Be ) jo .,\ ho | ala er Haitle els+ u), | : I; ho ho == laly E Gun —e[s Ar *)) -L 1 lerne =) 3 (78) 118 Chr. Wiener. [38] Wird dabei aulserdem &, — o,, so erhält man aus Gl. (75) e n ne anfe-2]+awt+awle(ı—%)-2]H00 08 6, cos s$ | 5 Setzt man endlich & —= »® = 9%", so erhält man aus Gl. (75) c BES u fe eoe) a. (80) cos? m, S? 145. Darstellung von dH:; durch Reihen. Die Unbestimmtheiten kann man durch Reihenentwieklungen vermeiden, und die Unsicherheiten in der Nähe der Unbestimmtheit werden dadurch gleichfalls vermieden. Ich habe daher auch diesen Weg versucht, ihn aber wieder verlassen, weil er nicht so gut fördert, wie der andere, und weil die Unsicherheiten vermieden werden durch eine zweckmälsige Klammerbildung mit Heraussetzungen der 7, was auch der Integration wegen geboten ist, und durch passende Wahl der Zenitdistanzen. Doch will ich wenigstens die Ergebnisse der Reihen- entwicklung anführen. Beachtet man, dafs 1 le 1 un 1 = x » n n—1) s'"2 + In yyt am: a: cosl, Cos@; " in! \ 1-2 - 2 i 2 Mn—1) (n = (n—3) EEE ER u] 1-2-3 ES) +3‘ >23; n (m — m) Ss" + ® ee 1) (m —n?) sr u Ar Ze er Er ) Pr) srÄiwW2 +... +n(Ma—”) | 208 Vz! 38 12% 1,‘ N, n! an FU] + 7°) Sa + ron (n—2) — nn? E 27°) sn=3 u‘ IF en N 3)— nn Han) sw? +... 2.3 n—1 9) Din a In—2 | es nn + Rn 2), ur + In rn) 7) ur > Ebenso erhält man aus G]. (70) I SERMCHE c? |; = nT “| In—2 (n- Zi) (N— >), un—3 gt a — ——— ul Dr — | (n—1) Wr? + — - n—3 5 d.H; nfe coso, ce | een ) EB DEAD ns A = : a = 1-2-3 a oo re < 1 5 n (n—1 + (>) %° >=, N £ (n— 7") ur? AL 2 ) (mM? — 7") us! n (n—1) (Rn — 2) 0) n In—4 «12 n— __n\ ein—2 + 3 (N? — 7") w 2 or 7") S | AL > n — 2 | ana + n®) wir? iz I +2?) ws‘ nn z x 2) (Ha nn an) see + — (a — nn" -e (n— 2) 7") u s'n—3 4 (i—nn7! + (n—1) 7") | A Man sieht, dafs man den Ausdruck für H,“ aus demjenigen für 4," erhält, wenn man s. und u gegenseitig vertauscht, 2,2,‘ durch ,.,' und vor der geschweiften Klammer coso®, durch (— cos o,) ersetzt. Für die Ge- nauigkeit der Ausführungen würde es ausreichen bis zun — 2 und 3, höchstens noch bis zu n = 4 zu gehen. Fig. 79 u. 80. 120 Chr. Wiener. [40] 146. Bestimmung der Zerstreuungskoeffizienten ö©. Durch die Formeln für dA, und dH,' ist nun die Helligkeit bestimmt, welche einem Punkte des Himmels von der Zenitdistanz © und dem ‚Azimute « gegen die durch die Sonne gelegte halbe Vertikalebene von einem Flächen- elemente f des Himmels durch einmalige Lichtzurückwerfung zukommt, wenn f die Zenitdistanz © und das Azimut «' gegen dieselbe halbe Vertikal- ebene besitzt. Dabei finden nun an den beiden Punkten der Ablenkung des Lichtes, bei D und Ü, gewisse Ablenkungen g‘ und statt, und von El diesen hängen die Zerstreuungskoöffizienten und i ab. Bei D ist die Ablenkung g‘ der Bogen der Himmelskugel zwischen dem Sonnenpunkte von der Zenitdistanz o und dem Orte des Flächenelementes / von der Zenit- distanz », wobei das zwischenliegende Azimut «a ist. Daher ist c0S p — 6086 C08@ + Sin 6 sin @ cos a’. Die Ablenkung 9 bei © ist der Bogen der Himmelskugel zwischen f und dem betrachteten Orte des Himmels, dessen Zenitdistanz £ ist; der zwischen- liegende Unterschied der Azimute ist aber «—«‘, so dafs c0o8SYp — 608 @ cos{ + sin sinL cos(a’ —a). Dabei ergibt sich das Vorzeichen von «— « als ohne Einfluls. Die Tabelle 60 liefert dann die zu g‘ gehörigen Zerstreuungskoöffizienten für Wasser und Eis z‘ und ,, und die zu 9 gehörigen :, und :,, und diese sind in die Formeln für dH, und dH,* einzusetzen, so dafs diese nach den schon fest- gesetzten Werten von c, h‘, h, (s. S. 101 ff.) berechnet werden können. 147. Integration des Ausdruckes für die Reflexhelligkeit AH: über den ganzen reflektierenden Himmel. Nun müssen wir die Integration von dH, nach f über den ganzen Himmel vornehmen, für dH, über die obere Halbkugel, für dH," über die untere. f ist aber durch © und « festgelegt. Wir mülsten für eine wirkliche Integration die © und © als Funktionen von ® und « einführen und dann nach © und a‘ in- tegrieren. Dies ist aber unmöglich, da schon die Abhängigkeit des g und g' von © und a‘ verwickelt, aber die von © und ” von 9 und g‘ nur durch eine Tabelle (60) gegeben ist. Wir hatten nun bei einer ersten Durch- führung die obere halbe Himmelskugel in 30, die untere in zwölf Teile f 41] Die Helligkeit des klaren Himmels. 146 — 147. 121 geteilt, die wir da kleiner machten, wo sich © und @ rascher änderten, hatten für jedes solche f einen als mittleren geschätzten Wert von ö und gleichförmig gelten lassen, danach die Werte von dH, und dA," berechnet und diese addiert. Es befriediste uns dies aber nicht; und da wir auch wegen Verbesserung der Tabelle 60 eine neue Rechnung nötig hatten, so führten wir diese auf dem Wege der mechanischen Quadratur aus, ent- sprechend wie in anderen Fällen. Wir sehen demnach f als das Element der Himmelskugel an, welches einerseits von zwei horizontalen Kreisen begrenzt ist, deren Zenitdistanzen o und @+.do sind, und andererseits von zwei vertikalen grölsten Kreisen von den Azimuten gegen die Sonne «a und @'+de‘. Der erste Kreis hat den Halbmesser sin ©, und es ist daher f = sinodode!. Führt man diesen Ausdruck in die früher gewonnenen Ausdrücke von dH, und dH, ein, so ist dann die doppelte Integration durchzuführen, und zwar nach a’ entlang des ganzen Horizontalkreises, also von « — 0 bis « = 2x, und nach o» bei dA, von © = (0 bis © = x:2, und bei dA, von o—x:2 bis © = x. Dabei tritt aber hervor, dafs in jenen Gleichungen die reduzierten Zenitdistanzen ©, an die Stelle der ® getreten sind. Um Übereinstimmung zu erreichen, ersetzen wir in dem Ausdrucke für f eben- falls © durch o,; dies bringt in dem Werte von sin © keinen bemerkbaren Unterschied hervor. Denn der Unterschied zwischen © und ®, ist nur merklich in der Nähe von z:2 oder 90°; bei © = 90° ist &; = 89° 8%; sin 90° — 1, sin 89°8' — 0,99988; also ist der Unterschied der sinus un- merklich. Ebenso schreiben wir do, statt do, damit die Integration ordnungs- mälsig angedeutet ist. In Wahrheit bleiben aber die Elemente do bestehen; und bei der auszuführenden mechanischen Quadratur nehmen wir wirklich o —0 und o—x:2 als Abszissen der Grenzpunkte Wir führen nun die erste Integration mit unveränderlichem ©, nach «‘ aus, wobei nur die 9, 9 und 4 © dann aus den Gleichungen (69) und (70) die allgemeinen Formeln: sich ändern, und dann die zweite nach ©. Wir erhalten Nova Acta XCI. Nr. 2. 16 122 Chr. Wiener. [42] c 21, 27 = = 7] h h h e 080 2 tg 0 le ee ge, rg 1 0 spe. Hr—r en fie . "lä(e ce )+7(1-e en ] frei 1, Yo 27 1 ho ho , ho a al e m ee it 7 ı% e/o Ir h h . She ehe; Speer IND a. en A E (e et Nr ) are E (e em Le e .i fee: ii! ; (81) =) ec TU 2 — [ “ ho h u e 3080 tg © 1 ee 1 ge Be Ins—r Ey? 2 | iE (e mr ı) + 7 (1 RT | few > 97 eu ? 27 1 Dt, ho ‚ho j 1 ho +4: A ee er He en ere| de! » it, e’o 27 ho h hi 7 Q 1 Be 2 NEN /aER 2 = “ + F De : re ORTE ) 45 ze ee | fi) (82) eo Für ®, = o, erhalten wir aus Gl. (71) den folgenden Ausdruck, wobei zu bemerken, dals hier nur die Integration nach «‘, nicht aber die nach o, ausgeführt wird, weil ©, gleich dem unveränderlichen o, gesetzt wurde. ce ; 27 E Ce Coso tg.a 1 a ho ARr On ar Sam do, - 7 iE (e ı) +c | fer u‘ 27 ; Mon. KU Flte se +\o (1%) (1-e **)| da’ iz‘ 4) az ho ho + E (e TR W ) +c (i — 1) EIETE IM | fa ir i (83) Für 5 = o, = o, erhalten wir aus Gl. (72) c 2n 27 — 9 “ C COS GO C> | ho 5 ee ho ho SIR NEL = ie = do, to) Ne de - u +2 — |1— — da’ »i,‘ 2 cos & a FEN Er 7 ı% S e/ u 0 27 Ro\: , Se + (14) fe KO (84) [43] Die Helligkeit des klaren Himmels. 147. 123 Für & co; erhalten wir aus Gl. (73) und (74) St ce TU DIT =— nu h e 2 end h KR ra do; = IE\ wt—ı)ten] f“ urn : 0 eo 27% 1 es Ron es 0 dr —e ”e w”+i1-+te —e h’ da’ «ii, 9 0 h fen Be Lone h Se + E (e nm ı) +e (1 = few: 1 (85) ; e/ e TU 27 07 Ge te Inn? 2,00 h RR IE = an fin _ (E (e m ı) + en da’ ii,‘ So N i In 1 27 ‚ 1 m ho — zn ho aa —e Wer Spizelelem et —e sw) de’ -ifi, 77 e/ ITe ho ] + E re -1)+e(1-2%)| fe (86) eo) Für ©, — 5, erhalten wir aus Gl. (75) e j ’ 2 e cosa 10) il ee 2%: Ye B dH,’ — x Er z do, m IE (i—. mw ‘)—egre £ m ® da! ii‘ 1 N) 2 hs ER, —ıC$ 9.0 € 7% E PT —0 | de!» Ei," e 1) 27 1 or: — cs [B —.es or | 2 iR —@ —cl1—32)e \ Landen: (87) ; {) Für 5 — 90° erhalten wir aus Gl]. (76) 270 zes NR: r Er ir ee do, Sei | Seit Ok Ania da! ii‘ r cos L, slle. @ {1} = {> 0 ee —es \ N 7 7 e h —(@ da “U AR (88) E eo B 16* 124 Chr. Wiener. [44] Für £ = 90° und zugleich &, = o, erhalten wir aus G]. (77) ce f 277 277 00 e e0so, 7 tg 0, h Bl: ei : Ro TI nee za dH,ı —a re do, | Ger deu. + ci 1x de oe (89) zu ) e/0 Für © — 90° erhalten wir aus Gl. (78) c 2n = hi h e {9} tg. © ale Se 1 et Be dH’ =x# Ze L do, 2 8 Oo 2.7 (NR Te de’! »ii‘ cosZ, s u t 20 27 ho ho +ileelbe+ nr) Di 2 da‘ » ij, u\ Lan] 27 [ No \ ho 7 . 1 —. Noil'g ? 1 er Bi AB: AL F (e et ml [s Ar M )) A r (e c 2 | fü a! \ (90) u =. “ Für © = 90° und aulserdem Z, —= o, erhalten wir aus Gl. (79) [2 an 2 e C0S0o tg © Ni il 5 MR 1 5 ZN dH!’=n Z do, — 20 e— —- = dei + = da » io‘ cos &, Saar Ss = j u) e/ vo 7 [9-1 fread on Endlich für © = ® = 90° erhalten wir aus Gl. (80) c In e cos0 tSo MM dH,'!=x —ı de; — WO de (92) cos 5; Sz u) Alle diese Integrationen werden durch mechanische Quadratur aus- geführt werden müssen. 148. Die unendlich vielfache Zurückwerfung. Die Helligkeit H, ist nun durch einmalige Zurückwerfung des Sonnenlichtes hervorgebracht. Das Licht wird aber ein zweites, ein drittes Mal und so unendlich oft zurückgeworfen und vermehrt so immer wieder die Helligkeit bis zu (43). Wir werden diese später bei der zahlenmälsigen Rechnung auf einfachere [#5] Die Helligkeit des klaren Himmels. 147—149. 125 Weise, wie wir 7, selbst ermittelten, aber doch, wie wir glauben, mit einem hinreichenden Grade von Genauigkeit bestimmen, und finden, dals für jeden Punkt des Himmels (,) in einem unveränderlichen Verhältnis zu 4, steht ((#,) = 1,414 3,3). 3. Die durch Beleuchtung der Atmosphäre durch den Boden hervorgebrachte Himmelshelligkeit A,;. Wir haben nun zuletzt die ganze Helligkeit des Himmels zu bestimmen, welche durch die Rückstrahlung des Bodens hervorgebracht wird. Dieselbe ist in gewöhnlichen Verhältnissen unerheblich, wenn nämlich der Boden aus Ackererde, dunklen Steinen oder Pflanzen gebildet ist. Auch das Meer wird keine srolse Wirkung hervorbringen. Denn nach den Beobachtungen von Bouguer'!) wirft eine ebene Wasserfläche bei den Ein- fallswinkeln (Zenitdistanzen der Sonne) von .0, 40, 70, 80, 895° von dem einfallenden Licht der Reihe nach 0,018; 0,022; 0,145; 0,333; 0,721 spiegelnd zurück (Zahlen, die man auch aus den Fresnelschen Formeln erhalten könnte). Also würde nur bei sehr tiefem Sonnenstande eine stärkere Wirkung eintreten. Bei bewegter See werden die gespiegelten Sonnenstrahlen nach allen Richtungen zerstreut, bilden aber doch nur einen geringen Teil des auf das Meer auffallenden Lichtes. Gröfser aber ist die Wirkung von Schnee und Eis; denn es erkannten Südpolfahrer die Richtung nach dem Eise hin, das noch nicht sichtbar war, an der grölseren Helligkeit des Himmels. Also auch diese Wirkung trat nur bei grofsem Einfallswinkel ein. 149. Die Helligkeit des Bodens, herrührend von unmittel- barer Sonnenbestrahlung. Das Licht nun, das der Boden empfängt und dann zurückstrahlt, rührt teils unmittelbar von der Sonne, teils mittelbar von dem atmosphärischen Luftdunste her. Das Sonnenlicht, das bei dem Eintritt in die Atmosphäre die Stärke L besitzt, gelangt nach dem Durch- schreiten derselben nur noch mit der Stärke /, auf den Boden, deren von ) Bouguer, traite d’optique, 1760, 8. 136. Fig. 81. 126 Chr. Wiener. [46] der Zenitdistanz o der Sonne abhängige Gröfse vermittelst /,:Z aus der Tabelle 65 entnommen werden kann. Auf 1 qm des Bodens fällt davon die Lichtmenge U — 7, c0s0 = %L % — : cos ©. 150. Angenäherte Bestimmung der durch die Atmosphäre hervorgebrachten Helligkeit des Bodens. Die nicht auf den Boden gelangende Lichtmenge L—I, wird von dem Dunst der Atmosphäre zer- streut, und zwar ein Teil « (L—/I,) gegen den Boden hin, der Rest gegen den Weltraum. Die Verhältniszahl « wollen wir nun ermitteln. Von der Lichtmenge eines Sonnenstrahles mit dem Einfallswinkel o gegen die Horizontalebene werde durch ein Dunstteilchen © die Liehtmenge ! zerstreut. Von dem Teil dieses zerstreuten N ER no Lichtes, welches die Ablenkung 9 erhält, fällt auf 1 qm von 1m senkrechtem Ab- stande die Lichtmenge !z (Tab. 60) und auf den Ring einer Kugel, die man aus C als Mittelpunkt mit dem Halbmesser von 1 m beschreibt, wenn der Ring die Weite und die Breite dy hat, die Menge !i2x sin gdg. Legt man durch Ü die N B* Horizontalebene CZ, so wird der Teil ED Umab des Ringes abgeschnitten, dessen Licht : gegen den Weltraum zerstreut wird. In der Umlegung DE‘ des Kreises DEB erhält man in DE' (EE' BE) den halben Bogen DE‘ jenes Ringstückes, der durch den Winkel DBE' —y gemessen wird, und es ergibt sich dann die Menge des gegen den Welt- raum zerstreuten Lichtes gleich li 2x singpdg. x wird aber bestimmt durch wel BD= BE'=(Btgy, BE=(CBcoto, daher cosy — BE: BE’ — c0t0:189. A7] Die Helligkeit des klaren Himmels. 149—150. 127 Das durch die Atmosphäre dringende Licht wird in der oberen, der Eisdunstschicht, deren Höhe h‘—h, —= 0,152 h‘ beträgt, unter Geltung des Zerstreuungskoöffizienten ö,, in der unteren, der Wasserdunstschicht, deren Höhe h, = 0,848 h‘ beträgt, unter dem Zerstreuungsko£ffizienten :, zerstreut. Die Liehtmengen, welche in der Eis- und in der Wasserdunstschicht Zer- streut werden, verhalten sich im allgemeinen angenähert wie deren Höhen, also wie 0,152: 0,548. Aber bei grolsen Zenitdistanzen o der Sonne ist die Abweichung doch bemerklich. Nach Gl. 66 (S. 95) ist nämlich, wenn man darin b'’— 2 = (h’—x) : cos o, setzt (s. S. 94), die Stärke des Lichtes, nachdem es in der zu gleichförmiger Dichte zusammengedrückt gedachten Atmosphäre von der Eintrittshöhe h‘ zur Höhe x heruntergegangen ist, Era Ve lb em N) er 5 und die Menge des bis dahin zerstreuten Lichtes L—I!. Daher ist das Ver- hältnis 7 des durch die Eisdunstschicht (x — h,) zerstreuten Lichtes zu dem durch die ganze Atmosphäre zerstreuten, N’—ho BEN et 100 COS 0, N ne m a RI STE ae ze COS 0, Danach findet man, wenn man die reduzierten Zenitdistanzen o, aus Tab. 63 entnimmt, für 0: 30 60 70 SO FE 90 7 — 0,1656 0,1688 0,1796 0,1930 0,238 0,448 0,8732, während das Höhenverhältnis unveränderlich (h’— h,) : h‘ = 0,152 ist. Die Kurve o, 7 ist in Fig. 82 dargestellt. Sie nähert sich der Gestalt Fig. s2. einer gleichseitigen Hyperbel, und man könnte sie, wenn man o in Graden ausdrückt, durch die Gleichung | 0,80 = 0,1568 + 91.192 0 darstellen, deren Unveränderliche vorwiegend aus der Zeichnung entnommen sind. Die obige kleine Tabelle wird aber jede Rechnung überflüssig machen. 128 Chr. Wiener. [48] Nun ergibt sich die Menge des durch die ganze Eisdunstschicht innerhalb irgend eines Ringes y, dp gegen den Weltraum zerstreuten Lichtes, aus der Formel S. 126, worin n 08H man i durch i, und ! durch (L—1,) | ersetzen muls, weil die von der Eis- Fr dunstschicht im ganzen zerstreute il Lichtmenge gleich (L—[,)n ist. Die innerhalb des Ringes 9, dp zerstreute 4, Menge ist also | (L—-I)n%2y sinpdp, 3- . 'e - y und die Menge des für alle g, also im el 8 ganzen von der Eisdunstschicht gegen ia den Weltraum zerstreuten Lichtes 2 0-0? Br I age ae /ST-I)ni2ysiopdg, u Fig. 82. und ebenso die Menge des von der Eisdunstschicht überhaupt, gegen Weltraum und Boden zerstreuten Lichtes, wofür x —=n, 70 SE —I)n%2r sngpdy. () Ebenso erhält man die durch die ganze Wasserdunstschicht gegen den Weltraum zerstreute Liehtmenge TU ST) (1—n)i 2x Sinpdp, und die überhaupt durch sie zerstreute Lichtmenge TU Io L) A—n)i 22 sinpdep. 0 Da i nur tabellarisch und nicht als Funktion von 9 gegeben ist, muls hier mechanische Quadratur angewendet werden. Man erhält dann statt der Integrale Summen, worin man dp durch ein endliches Ay ersetzt. Nehmen wir Ap —= x:180, gleich dem zu einem Grad gehörigen Bogen, so wird das erste Integral ersetzt durch Last snpgAg (Le) (L-W2227%% singAp— (L—1) 5, [49] Die Helligkeit des klaren Himmels. Da aber nur die Verhältnisse in Betracht kommen, stimmenden Faktor (L—/,)r?: 90 weglassen; wir 150. 129 so kann man den überein- erhalten dann TT TU TU Ss sy,» —ip, 2-3 HH — Sy, 0 0) 0 702 TU IT Su = Sa, >>) —= Sys; > — aan a 0 1} worın y = AZ sny, p = mh up, y—-yı ty, U: JE er X De 1 Ye Yıh Yr — Ya, Yy — Yu Ya: TE RT Daraus erhält man das Verhältnis x derjenigen Lichtmenge, welche von den Sonnenstrahlen durch die Atmosphäre gegen den Boden zerstreut wird, zu derjenigen, welche überhaupt zerstreut wird, vl Diese Rechnung haben wir ausgeführt für co — 0, 30, 60, 80°; für = ei von 20° angenommen. Übersicht über diese Rechnung. Bei jedem o haben wir für g Zwischenräume meist Im folgenden kleinen Tabellchen geben wir eine. “60 7 0,1796 €. 8. 127). ® 050 7702 94028110096140: 180% sing 000 087 174 643 9855 643 0 i 4,442') 3,008. 0,760 094 036 060 077 i, 4223 2,789 0,582 100 041 058 071 y 00 215 108 049 029 032 0 00, 0442 W018 Moor 0 y 0,0 259 126 060 036 039 0 2 0,260 534 740 1,0 yı 0,013 015 024 0 y' 0,003 004 005 0 y 0,016 019 029 0 1) Die hier benutzten Werte der ö, und i, stammen aus einem früheren Entwicklungs- zustand des Werkes. Gleichwohl wurden die Ergebnisse der vorliegenden Rechnung unverändert 17 Noya Acta XCI. Nr.2. 130 Chr. Wiener. [50] Die mechanische Quadratur oder die Bildung der X ist nun durch Zeichnung und mit dem Amslerschen Planimeter ausgeführt. Die Kurven Fig. 53. y,o und y'‘,o wurden in gröfserem Malsstabe, als sie in Fig. 83 wieder- gegeben sind, gezeichnet. Die Kurven der vollen Zerstreuung , o stimmen sehr nahe überein. Die Summe erhielt ich.bei allen sehr nahe Yy DET EREL: 2 0861 übereinstimmend DI —28,99E 0=0° während diese vollständig übereinstimmen sollte. Denn die ge- N samte zerstreute Lichtmenge ist stets (L—/,), also muls nach den Formeln von vorhin en ee (L l;) (L I.) 90 l als PN) “al een Br oder a+n=-3r-7,—912 sein, N was als sehr gute Übereinstimmung 4 H—r bezeichnet werden kann. Die Kurven Zu — N . 5 . zur >80 ‘, 6 beginnen bei 9 — 90°—o, weil ’ N 3 90 120° 130 180° Fig. 83. erst von da an Licht gegen den Himmel zerstreut wird, und schliefsen sich bei 9 = 90°+0o an die Kurve y,0o an, weil von daan y:x —=1 ist, oder alles Licht gegen den Himmel zerstreut wird. In der Figur sind die Kurven y'‘,o für 0°, 30°... mit 0‘, 30°... bezeichnet. Die Kurve 90° ist nicht gezeichnet; sie würde von 9 — 0 bis 9 — 180° gehen, und überall 4 TC . zu ® hl . .. wegen x — „ die Ordinaten y' — ;y erhalten. Es ergab sich nun für ar 920: 30° 60° 80? 190° St — 281 284 302 344 „4,50 u —= 0,687 0,684 0,664 0,617 0,500 (W = 0,134 0,731 0,678 0,522 0,500 beibehalten für den vom Verfasser selbst durchgeführten Fall des Sonnenstandes 6 — 540 44', da die genauere Rechnung für die berechnete Gesamthelligkeit des Himmels nur Abweichungen ergaben, welche höchstens 1!/,0/, betrugen. Die später folgenden Tabellen für «, 9 und A, wurden jedoch durch die jeweils richtigen Werte ergänzt. [Die Herausg.] 1) (u) gibt die auf Grund der endgültigen Werte von ö, und i, bereehneten Werte von #. Vgl. Anmerkung S. 129. [51] Die Helligkeit des klaren Himmels. 150. 131 Dabei ist z. B. für 6 — 30%, u = 1-—2,84: 8,99. Ich habe der inneren Übereinstimmung halber das x — 8,99 beibehalten. Durch Einschaltung mit Hilfe der gezeichneten Kurve erhält man folgende Tabelle: a 0. 1022572027 7302774025 50251602 77027°.802 25527522890, u— 0,687 687 686 684 680 674 664 648 617 578 536 500 W034 7134 7133, 731 20 A688 7548 5227500 5027500: Die Kurve hat nahezu die Gestalt eines Hyperbelastes; eine angenäherte Gleichung hätte aber eine ziemlich verwickelte, wenig übersichtliche Gestalt. Man sieht, dafs bei einer Zenitdistanz der Sonne von 6 = Ö bis 70° die von der Atmosphäre gegen den Erdboden zerstreute Lichtmenge u (L—|,) abnehmend gegen 5 der ganzen zerstreuten Lichtmenge ist, dafs sie dann bei weiter zunehmendem o rasch abnimmt, und bei auf- oder untergehender Sonne (s — 90°) gerade 5 derselben beträgt.') Fig. 84. Diese von der Atmosphäre gegen den Boden zerstreute Lichtmenge fällt unter Winkeln von O0 bis 90° auf den Boden, nachdem sie eine Höhe von O0 bis h‘ der gleich dieht gedachten Dunstschicht durchlaufen und dabei eine Schwächung erfahren hat. Bei der Bestimmung dieser Abschwächung genügen aber Abschätzungen. Das durch den Dunst zerstreute Licht ist am dichtesten, wo ? am grölsten ist, also bei der Ablenkung 9 = 0). Am meisten Licht wird bei der Ablenkung 9 zerstreut, für welche sing am gröfsten, und dies ist nach der kleinen Tabelle der S.129 und nach Fig. 83 1) Die mit den endgültigen Werten berechnete Kurve (u) hat eine von der Kurve « abweichende Form, die aber gerade an den abweichenden Stellen durch eine ausreichende Zahl von Punkten sichergestellt wurde. [Die Herausg.] 17* Fig. 84. 132 Chr: Wiener. [52] etwa bei 9 = 6° der Fall. Bei der Zenitdistanz der Sonne o — OÖ ist die mittlere Ablenkung der gegen den Boden zerstreuten Lichtstrahlen etwa bei 9 = 30° und dies ist dann auch (wegen o = 0) ihr mittlerer Einfalls- winkel gegen den Boden, der mit 0‘ bezeichnet sei. Denn in Fig. 83 hat die Fläche der Kurve y,9 für o = 0, genommen zwischen 9 = (0 und 9 — W", ihren Schwerpunkt etwa bei 9 — 30°, wie man beim Ausschneiden und Balanzieren findet. Andererseits ist für o — 90’ die Menge der gegen den Boden zerstreuten Lichtstrahlen durch die Fläche der Kurve © —= 0 zwischen 9 = 0 und 9 = 180” dargestellt, wenn man die Ordinaten halbiert. - Und ihren Schwerpunkt findet man etwa bei g = 65°. Der Lichtkegel von dieser mittleren Ablenkung 9 — 65° bei o = 90° hat aber Einfallswinkel auf den Boden zwischen 65 und 90°, im Mittel etwa 75°, so dafs man o' — 75° etwa als den mittleren Einfallswinkel der zerstreuten Lichtstrahlen bei o — 90° ansehen dürfte. Von o = 0 bis o = 90° wächst also co‘ von 30 bis 75°, so dals man bei gleichförmiger Zunahme annehmen kann 0023002170: “Die im Bereiche der ganzen Atmosphäre gegen den Boden zerstreute Lichtmenge u (L—[,), die wir vorübergehend mit 2 bezeichnen wollen, wird bei dem Durchlaufen der Atmosphäre geschwächt zu A. Die von den Licht- strahlen durchlaufenen Höhen liegen zwischen 0 und h‘, und wir werden uns der Wahrheit genügend annähern, wenn wir als Mittel $%‘, oder die halbe Höhe der gleichförmig dicht angenommenen Dunstschicht als durch- schritten annehmen. Nach Gl. (66), S. 95 ist dann der Logarithmus des Abschwächungsverhältnisses halb so grofs, als bei dem Durchlaufen von 2 Dr: ] lg Z—=!ilg 2, Z—|/.. ee. 2, —j/% Nach Tab. 65 ist aber, für den. Einfallswinkel 0‘ (dort &) = 30), l,: L = 0,7865, für 6‘ —= 75, I,: L —= 0,4487; und daher bei den zugehörigen Zenitdistanzen der Sonne 0 = (0), 4:4 — | 0,7865 — 0,887, und für 6 — 90°, 4:2 = \/ 0,4487 = 0,670. Ein gleichförmiger Übergang wird hergestellt durch ganz h‘, oder 4 n — — 0,8897 —0217 — , ji 0,887 — 0,217 90 [33] Die Helligkeit des klaren Himmels. 150. 153 worin o in Graden auszudrücken ist. Die gegen den Boden zerstreute Lichtmenge 2 — « (L—1,) mufs mit 2:2 vervielfacht werden, um die auf dem Boden anlangende zu erhalten und mit cos 0‘ (o‘ — mittlerer Einfalls- winkel), um die auf 1 qm des Bodens eintreffende anzugeben. Dieselbe ist daher (L—Ll,) u (0,887 — 0,217 ) cos (30% + 0). Wir werden später finden, dafs das durch Dunst zerstreute Sonnen- licht durch abermalige und abermalige Zerstreuung angenähert auf seine 1,414fache Menge erhöht wird, in dem Falle, dafs die Zenitdistanz der Sonne os — 5444‘ ist; und indem wir in Ermangelung weiterer Anhaltspunkte diesen Wert für ein mittleres o allgemein gelten lassen, setzen wir diesen Faktor hinzu. Die Rückwirkung des jedenfalls schwachen Bodenreflexes können wir unbeachtet lassen. Wir erhalten daher die von dem Dunste auf 1 qm des Bodens geworfene Lichtmenge Sa ) cos 80 ++0) = (L—L) v = L#“, " — (L—|,) 1,414 u (os87—o217 90 Er =e- lo n Fügt man das unmittelbare Sonnenlicht (S. 126) zu, Koi = 2 c08 6, so erhält man die gesamte auf 1 qm des Bodens fallende Lichtmenge u = An — 10 Wir werden diese Grölse später genauer ermitteln; zur Ermittlung “ des Bodenreflexes reicht diese Annäherung aus. Die Ergebnisse sind in Tabelle 65 und in Fig. 85 niedergelest. Man sieht, dafs die Bodenbeleuchtung durch unmittelbares Sonnenlicht " — %#L bei o — 0 am grölsten (" = 0,812 L) ist, anfangs langsam, dann rascher abnimmt, bei o — 85° fast unmerklich wird und bei o = 90° ver- schwindet; dafs andererseits die Bodenbeleuchtung durch Luftreflex !'' — 9" L vno=0an (!‘ —= 0,140 L) mit zunehmendem o langsam abnimmt, etwa bei o — 50° am kleinsten wird (0,116), dann wieder steigt bis zu o — 85’ Tab.65 und Fig. 55. 134 Chr. Wiener. [54] (= 0,152) und dann wieder bis o — 90°’ abnimmt (= 0,123). Diese Boden- beleuchtung durch die Atmosphäre 10 9 zo ändert sich also nur wenig mit dem 5 Sonnenstande. Die Gesamtbeleuchtung I: des Bodens L’—=#L hat ihren grölsten Wert bei 6 = 0, wo # —= 0,952 be- trägt; sie ist also fast so grolßs, wie wenn die Atmosphäre gar nicht da wäre, oder die Schwächung des Sonnen- lichtes durch die Atmosphäre wird durch die Reflexbeleuchtung durch die Atmo- sphäre wieder zu ; ersetzt. Die Kurve a0 3 807 a % hat angenähert die Gestalt einer BiEneD: Kosinuslinie, deren Scheitel etwa bei Tabelle 65. Verhältnis $ der Lichtmenge L‘, welche auf 1 qm des Erd- bodens fällt, zu der Stärke L des Sonnenlichtes an der äufseren Grenze der Atmosphäre. 6 — Zenitdistanz der Sonne, % — Anteil des direkten Sonnenlichtes, 9“ — Anteil des Luftreflexes an 9.1!) Die Werte (9“) und (9) wurden aus den Werten (u) (S. 130) berechnet. = — — — == — 6— (0! | 100 | 200 | 300% | 400 | 500 | 600 | 700 | 800 | 85 | 880 | 900 I, | ia | | u — „8 6 0,812 | 799 753 | 681 585 | 466 330 | 187 | 053 | 008 005 000 | | . | | | | we (1 —z)r 0,140 |131|124/|120.117|116|119 | 127|144 152141 | 123 (9) 0,160 153 149 148 150 155 159 | 165 |182 | 209 | 213 | 205 4 — +9" 0,952 |930 877 | 801 702 | 582 | 449 | 314 | 197 | 160 146 | 123 (&) 0,972 |952 | 902 | 829 735 | 621 489 | 352 | 235 217 218 | 205 % nach d. Annäherungs- | | | | | | | formel 0,952 | 930 | 876 793 | 692 |572|449 324 212 163 | 136 | 118 | | | | | | | 1) Die Werte dieser Tabelle wurden so gefunden, dafs zunächst nur die einfache Bestrahlung des Bodens durch den Himmel berechnet und die unendlich vielfache Rück- [55] Die Helligkeit des klaren Himmels. 150—151. 135 — 2°’ und deren Wendepunkt etwa bei 57° liegt. Mittelst dieser aus der Zeichnung entnommenen Zahlen und einer probeweisen Verbesserung habe ich die Gleichung einer sich im Mittel ziemlich gut anschliefsenden Linie aufgestellt, nämlich 9 — 0,475 cos [1,51(0 + 2)] + 0,478, worin o in Graden anzugeben ist. Dieselbe liefert Werte von 9, welche ebenfalls in der Tabelle 65 eingetragen sind. Der Höcker der wirklichen Kurve zwischen 6 — 80° und 90° macht eine wesentlich bessere Überein- stimmung durch eine so einfache Gleichung unmöglich. 151. Reflexbeleuchtung des Himmels durch den Boden. Um nun den Bodenreflex zu bestimmen, betrachten wir wieder den Dunst- kegel Af‘, dessen Raumelement bei CO gleich f'dx ist. Die Fläche f‘ werde vom Boden beleuchtet; BC = x sei die Normale der Bodenfläche. Wir teilen den Boden zweckmälsig in Teile DEE'D', welche durch Kreise DD‘, N EE' mit dem Mittelpunkte 5 und durch Strahlen DE, D'’E' aus B ab- 3< N gegrenzt werden. Der Winkel BED Dies Element empfängt von Sonne und Atmosphäre die gesamte Lichtmenge sv, & DCE —-dv, ZABD =a, x DBD'= da; dann ist der Halb- messer BD — x tgw, seine Zunahme PH ed ten — 0 w.:.Cos- vu und die Fläche des Elementes DEE'D!' (a) = z? da tgw dw : cos? ı. Fig. 86. (b) = (a)L' = (a) 9 L. Sei A das Rückstrahlungsvermögen des Bodens, so ist die vom Bodenelement im ganzen zurückgestrahlte Lichtmenge — (db) A. Mit der strahlung durch die Multiplikation der einfachen Himmelsbeleuchtung mit dem konstanten Faktor 1,414 berücksichtigt wurde. Dieser Faktor gilt indes nur für o — 54044‘. Für 6 — 0 wurde er gleich 1,167, für 6 — 90° gleich 2,607 gefunden, so dafs die richtigen Werte von % für 0 — 0 gleich 0,944, für 6 — 90° gleich 0,378 sich ergaben. [Anm. d. Herausg.] Fig. 86. 136 Chr. Wiener. [56] Zahl A ist aber die Zerstreuung nach jeder Richtung nicht bestimmt; wir werden der Wahrheit am nächsten kommen, wenn wir dem Boden die Eigen- schaft der sogenannten ganz matten oder rauhen Flächen zuüschreiben, welche von allen Seiten betrachtet, gleich hell erscheinen, welche Annahme auch Lambert gemacht hat. Und wirklich ist auch der Boden beinahe stets rauh, und selbst Eis bildet in gröfserer Ausdehnung keine glatten ebenen Flächen; aber auch dann tritt ihre spiegelnde Wirkung nur bei grofsem Einfalls- winkel hervor, ebenso wie bei Wasser. In den Polarländern sind die Eis- blöcke und Schollen unregelmäfsig übereinander getürmt. Auch die Felder frisch gefallenen Schnees haben selten eine grolse ebene Ausdehnung; und auch sie haben keine hervorragend spiegelnde Wirkung, weil der Schnee, obgleich aus Kriställchen gebildet, wegen der Lockerheit der Flocken nicht seine Kristallflächen vorwiegend in der Richtung der Gresamtoberfläche lagert. Erst beim Zusammensintern oder dem Übergang in Eis dürfte die Spiegelung zunehmen. Entsprechend unserer Annahme der Rauhigkeit der Erdoberfläche finden wir auch die Rauhigkeit der Mondoberfläche so grofs, dals der Vollmond sogar an den Rändern heller erscheint, als in seiner Mitte, was bei einer glatten Fläche umgekehrt sein mülste. Diese Um- kehrung erklärt sich übrigens durch die Gebirge des Mondes. Dem entsprechend gewährt das Lambertsche Gesetz die beste An- näherung für den Boden, so dafs von der auf das Bodenelement fallenden Lichtmenge (5) die Menge (b) A: x gegen eine Fläche von I qm ausgestrahlt würde, wenn diese mit dem Boden parallel in einem senkrechten Abstande von 1m aufgestellt wäre. Da aber bei der Ausstrahlung von D gegen f’ bei D der Ausfallswinkel » und bei f' der Einfallswinkel » stattfindet, so erhält die von D ‘gegen Ü gesendete Lichtmenge den Faktor cos w-cos y, da sodann die Entfernung DU —= x: cosw ist, so erhält die übergestrahlte Lichtmenge noch den Faktor 1:(x:cosw)’, und da endlich auf dem Wege DC auch die Lichtschwächung durch die Atmosphäre wirksam ist, so er- gibt sich die von dem Bodenelemente DEE'D' auf f'.geworfene Liehtmenge EEE nen Diese Liehtmenge durchläuft im Dunstelemente f'dx den Weg dx: cos ı; es wird daher von ihr im ganzen die Lichtmenge zerstreut (SV) =] [57] Die Helligkeit des klaren Himmels. 151. 1 (d) = (ce) (da : cos Dr ® Führt man darin alle früheren Ausdrücke ein, so ergibt sich Ba ne! zu ydadpda eT mi cosy- L di) — = AIR We Von dieser Lichtmenge wird ein Teil gegen A geworfen. Dabei ist der Zerstreuungskoöffizient ? mafsgebend, und dieser hängt von dem Ab- lenkungswinkel z—p — 180° — DOA ab, wobei cos — — (e0osw cosC sin » sin © cos a). p U S (N Das Licht lest sodann von Ü bis A den Weg CA — z zurück, so dafs die in A auf 1 qm senkrecht auffallende Liehtmenge den Faktor 1:2? erhält; das Licht erleidet dabei eine Schwächung, die durch einen Potenzfaktor von e ausgedrückt wird, und es erscheint das Element f’ daun in A unter einer Helliskeit dH,; und damit wieder die Helligkeit einer von Z senk- recht beschienenen Fläche von dem Rückstrahlungsvermögen 1 die Helligkeits- einheit bildet, so mu/s die aufgestrahlte Lichtmenge, wie früher (S. 99), durch Li :x = L(f' cos {,:2’): x geteilt werden (siehe f, in Fig. 86), so dafs dh, — (Wine oder, wenn man den Ausdruck von (d) einführt, 1 1 dl — A. KA? sinpidedpdxe- - (6; 7 )h cos & hi’ cos dı Dieser Ausdruck mulßs dreifach integriert werden. Man tut dies am besten zuerst nach x, und zwar zwischen den Grenzen O0 und h, miti=ü, (für Wasser), und zwischen den Grenzen h, und h mit =, (für Eis); dann nach « mit unveränderlichem » zwischen den Grenzen « = 0 und @ — 2x, wobei i, und i, veränderlich sind, und zuletzt nach » zwischen den Grenzen 0 und ı Wir erhalten dann A, = an fü m ho 27 c a ( 1 u 15% a da sin ap) ——— 0 dxze "n'\cosw & D) D RESE 2, | N vV"\cosw cos& e/g N) } „oe [0 077 | ra — 279 25 20 15 10 08 05 04 02 01 0,07 0,05 0,03 0,02 0,01 0,009 1,2 19,0 24,5 90,0 84,0 76,0 68,4 52,0 44,4 Mit diesen Zahlen können wir nun die Hellegleichen des Himmels, soweit sie von der unmittelbaren Sonnenbestrahlung herrühren, für jene an- senommenen Hellegrade 2,5; 2,0 ... verzeichnen. 159. Die flächentreue Projektion. Die Darstellung ist der später notwendigen Flächenbestimmung wegen in äquivalenter oder flächen- treuer Projektion ausgeführt, bei welcher also die Flächenstücke der Abbildung zu den abgebildeten Flächenstücken der Kugel in einem un- veränderlichen Verhältnisse, z. B. in dem Verhältnis 1:1 stehen. Die hier | 20! 0-0? | | | a-165° is | 479° 0° 0,2 | Ta-30° @ -150° | (ea a ee = gie 10. L 0,1 0-45° &=135° | C=90° SOME TONT -457 90° | OT a-600 a=-129° 05. | Ü- 900 2007 0° FF 95° go OT La=ıe @-105° k C- 90 2 =75° pe a =180° 01, @&=90° VE ge De (HR AB @ eg ge 142 Chr. Wiener. [62] H, H, 01; G=15° MP a0 30 uU 5213657 71802 © 01 — (=30° a= 10| er N 0,5 u 4-15° 7 ü= 0, (=45° ee t a A ge 4135 180 Rn | e- PP er 7 see 27 TE 7777 2 \ \ | 23,57 307 | | | 2301 2,0+ 1,5} 1,5+ 1,0} 1,0+ \ | 0,5) 0,5+ | \ S SE 27); I = 54744 ———— L TE Br. x a@-0° 450 900 en at tt 135° 77500 Fig. 88. 2 [63] Die Helligkeit des klaren Himmels. 159—160. 143 gewählte ist von Lambert!) angegeben und hat Ähnlichkeit mit der stereographischen Projektion. Sie ist in Fig. 89 veranschaulicht. Dem Zenit Z der Kugel entspricht der Punkt Z' in der Abbildung, den hori- zontalen Parallelkreisen /,, %, entsprechen die um Z‘ beschriebenen Kreise ki‘, ky', den (durch Z gehenden) vertikalen Kreisen die durch Z' gehenden Geraden von unveränderten Winkeln. Wegen der verlangten Flächen- gleichheit mufs der Inhalt des Kreises %,‘ gleich dem der Kugelmütze k,Z sein, oder wenn a der Halbmesser der Kugel, r derjenige vom Kreise %,‘, CZ = h die Höhe der Kugelmütze, so ist x —2arıhı, 7 —= \aoR = ZB = 80 sin Ö, wobei £ die Zenitdistanz von % bedeutet. Fig. 89. Für die Abbildung h‘ des Horizontkreises h ist daher r= ZA = ay/2, das Nadir N bildet sich als ein Kreis n‘ vom Halbmesser 2a ab. 160. Die Hellegleichen 7, in flächentreuer Projektion. In dieser Weise ist in Fig. 90 ein Netz von Horizontal- und Vertikalkreisen gezeichnet, in Abständen der £ und der « von 15°; der durch die Sonne gehende Horizontalkreis mit 5 — 54°44‘ ist noch zugefügt. In der linken Hälfte dieses Netzes sind nun unsere von der unmittelbaren Sonnenbestrahlung 1) Lambert. Siehe z. B. Gretschel, Lehrbuch der Kartenprojektion, 1873, S. 151. Fig. 90. 144 Chr. Wiener. [64] herrührenden Hellegleichen eingetragen; in der rechten Hälfte werden später die von einmaligem Luftreflex herrührenden eingetragen werden. Dieses Einzeichnen geschah dadurch, dafs die in der vorstehenden Tabelle und in den anderen ähnlichen angegebenen Punkte eingetragen wurden, und zwar auf den Horizontalkreisen mittelst kreisförmiger Mafsstäbe, auf welchen jedesmal ein Bogen von 15° in 15 Grade geteilt war, und auf den Geraden der Vertikalkreise mittelst eines geraden Malsstabes, auf welchem die Werte 5 2 teilung die einzelnen Grade bezeichnet waren. Die Verbindungslinien der Punkte gleicher Helligkeit bildeten dann die Hellegleichen, wobei kleine von 2a sin 2 von 15° zu 15° aufgetragen und durch gleichförmige Zwischen- Ausgleichungen nach der Stetigkeit stattfanden. Die Figur ergibt nun, dafs die gröfste Helligkeit — 2,79 unmittelbar neben der Sonne, die kleinste — 0,0086 der Sonne gegenüber in einer Zenitdistanz von etwa 34° stattfindet, also in einem Abstande von der Sonne von 54°44' +34 — 88°44', also etwa einem rechten Winkel. Um diese beiden Punkte legen sich nun die geschlossenen Hellegleichen herum, um die Sonne mehr kreisförmig und gegen das Zenit hin sich enger aneinander- schlielsend, also mit schnellerer Abnahme, um den dunkelsten Punkt mehr bohnenförmig. Von den Kurven bei der Sonne berührt zuerst diejenige für 0,3 den Horizont, die weniger hellen stolsen unter Winkeln auf ihn auf. Von den gegenüberstehenden Kurven berührt zuerst diejenige für 0,025 den Horizont etwa bei « = 95°; und die letzte Kurve, die den Horizont nochmals bei « — 180° berührt, ist die für 0,07. Im Horizont ist daher der hellste Punkt unter der Sonne bei « = 0° mit der Helligkeit 0,5; dann nimmt mit wachsendem « die Helligkeit ab, erreicht ihren kleinsten Wert bei a — 95° mit 0,025, und wächst dann wieder bis « = 180° zu 0,07. Im Zenit ist die Helligkeit — 0,02055. 2. Berechnung von (#,). 161. Ausgewählte Punkte des Himmels. Wir gehen nun zur Bestimmung der durch Rückstrahlung der Atmosphäre hervorgebrachten Helligkeit des Himmels über und wählen eine Anzahl von Punkten des Himmels aus, für welche wir diese Bestimmung vornehmen wollen. Es [65] Die Helligkeit des klaren Himmels. 160—161. 145 Hellegleichen des klaren Himmels für den Fall, dafs der Zenitabstand der Sonne o — 54° 44° ist, H, erzeugt durch unmittelbare Sonnenbestrahlung (linke Hälfte der Figur), H, erzeugt durch ein- maligen Luftreflex (rechte Hälfte der Figur). Flächentreue Projektion. Noya Acta XCI, Nr. 2, 2 19 Fig. 91. 146 Chr. Wiener. [66] seien Punkte von den Zenitdistanzen & = 0°, 54°44‘, 90°, und von den Azimuten 0°, 45, 90, 135, 180°, und aufserdem noch für drei Punkte nahe bei der Sonne. Diese Punkte seien mit A, B,.... O0 bezeichnet, und sind in Fig. 91 und durch folgende kleine Tabelle festgelegt: Punkt A B C D E F G H VE IE L M N 0) (@ 00% 540 44° 0 0 — — — — 75 30 54044' a 09 7 a. K ) 2 Bl N) 0 0 225 Bei der Bereehnung der Reflexhelligkeit 4, war nun zu beachten, dafs nur eine einzige Stellung der Sonne betrachtet wurde, dals also oa = 54°44' unveränderlich war. Ferner war für jeden der bezeichneten Punkte A, B, ... « und &£ unveränderlich, und es kamen daher & nur die Werte 0°, 30°, 54°43', 74%58‘, 89°8' Bei jedem dieser Punkte wechselte dann nur für vor. die Stelle des Himmelselementes f, welches Licht zurückwarf, also seine Zenitdistanz © (und ©) und sein Azimut «. Wir nehmen für & die Werte 30, 54°44', 75°, 90°, 105°, 125°16‘ an; die Werte. 0° und 180° waren zu übergehen, weil hierfür tg ©, und die Wirkung des zugehörigen Horizontalkreises Null sind. Die zugehörigen Werte von o, sind 30°, 54°43', 74°58', 89°08', 90°52%,. 105°02’, 125°17.. reduzierten Zenitdistanzen für ® > 90°, d.h. für die von tieferen Schichten Diese letzteren der Atmosphäre herrührenden Reflexe, hätten eigentlich eine ganz besondere Behandlung erfordert, mit Berücksichtigung der Krümmung der Erdober- fläche. Da aber diese Wirkungen überhaupt nicht grofs sind, so war eine solche Untersuchung ohne Belang und wir haben die Werte von ©, an- genommen, welche die früheren zu 180° ergänzen, was auch für die Rechnung eine Vereinfachung bietet. — Die «’ haben wir im allgemeinen von 45 zu 45° angenommen, also = 0°, 45°, 90°, 135°, 180°, 225°, 270°, 315°, 360% und nur an den Stellen der geringsten Ablenkung, also in der Nähe der Sonne oder des betrachteten Punktes des Himmels, A, B..., haben wir der raschen Änderung halber gewöhnlich Zwischenräume von 22!" an- genommen. - [67] Die Helligkeit des klaren Himmels. 161—162. . 147 162. Ausrechnung der Formeln. Zu den Werten von 0, &, ©, wurden nun nach S. 110 die Werte von s, t, w und aus ihnen und den vorhin festgestellten Werten von.c, h,, h‘ wurden die vorkommenden Potenzen von e berechnet, sowie deren Vereinigung zu den Klammerausdrücken der Formeln für #,. Dann mußten die Werte 2m Ic 2Ie 2u M das un, Sde‘ ub, [de tgl, de‘ ty tg 0 v bestimmt werden. Dazu waren die Ablenkungswinkel 9 und 9° notwendig, und diese wurden nach den Formeln der Seite 120 berechnet, und aus diesen ergaben sich die Zerstreuungskoöffizienten 2, %, %, ?, aus Tab. 60 und daraus jene Produkte. In Tab. 67 ist eine solche Rechnung dargestellt für den Punkt €, also für o — 54244! 2 — 52244! a —- 45): 0 — 30% 4 Die Integrale von de'-?' werden nun durch graphische Flächenbestimmung ermittelt. In Fig. 92 sind nach den Werten der Tabelle die drei Kurven mit den Abszissen «‘ und den Ordinaten 4%‘, 4%, %% aufgetragen und die Flächen derselben, bei gröfserem Malsstabe, mittelst des Amslerschen Planimeters ermittelt. Diese Werte sind in Tab. 67 eingetragen. [) Tabelle 67. Berechnung der Produkte @ für Punkt ©. 6 — 54044, C — 54044, a —450, m — 300. a’ N) p p‘ öl, Din | ©) | a en | ln ® 0, 0, ' Io 0, 3, 00 450 | 37054°| 24044°| 109 | 120 | 257 | 192 | 02810 | 02100 | 02305 2240 | 2230| 28043°| 28043°| 184 | 165 | 184 | 165 | 03380 | 03030 | 02720 450 | 00 | 94044:| 370544| 257 | 192 | 109 | 120 | 02810 | 03084 | 02305 900 | 450 | 37054°| 60000‘ 109 | 120 | 028 060 | 00306 | 00654 | 00720 1350 | 900 | 60000‘ | 77049 | 028 060 012 037 | 00034 | 00103 | 00222 1800 | 1350 | 77049‘ 84044 012 | 037 | 012 | 032 | 00014 | 00038 | 00118 2020 | 15730 | 82057°| 82057°| 012 | 033 |, 012 033 | 00014 | 00040 | 00109 2250 | 1800 840444 77049'| 012 032 012 | 037 | 00014 | 00044 | 00118 2700 | 2250 | 77049’ 60000‘) 012 | 037 | 028 | 060 | 00034 | 00072 | 00222 3150 2709 | 600 00° | 370 54° 028 |.060 | 109 | 120 | 00306 | 00336 | 00720 277 | az ö 04925 | 05010 | 05363 [2 ‘ u 192 Tab. 67. Fig. 92. 148 Chr. Wiener. [68] Zur Berechnung von H, dienen hier, weil © = o, die Formeln (85) und (86) S. 123, bei unserem Beispiel © — 30°, die erstere. Mit Benutzung der für s, t, « und der Potenzen von e ermittelten Werte und der soeben für /de‘» ii‘ gewonnenen, erhalten wir daraus tg ©, : T—- ,., — 0,0009. 6) 4 003 a j ‘ / ie ig 002 /a% ) } /} 001 + N /y an Me PR a 2 17 a 77 Se ee Fig. 92 Auf gleiche Weise erhält man aus verschiedenen Formeln für die anderen Werte von ®, oder für die so bestimmten Horizontalkreise des Himmels ihre Einwirkungen 7 auf die Helligkeit des Punktes C o= 30° 5444 75° 90-105. 1253168 T = 0,00092 00600 00324 00207 00057 00007. Zur Integration nach ®, oder zur Bestimmung von TU z TU 2 s tg Sy = jet - "er I fan _— r- H — !do,-T © eo Fig. 93. muls man wieder graphisch verfahren. Wir zeichneten die Kurve © mit den Abseissen © und den Ordinaten 7 und erhielten (bei gröfserem Mafsstabe) mittelst des Amslerschen Planimeters die Fläche der Kurve $ — 0,00782. N Daraus ergab sich dann c m HH m anno cos L, [69] - Die Helligkeit des klaren Himmels. 162. 149 Aus der Kurve D der Fig. 93 sieht man aber, dafs die Einwirkung des Horizontalkreises der Sonne (»o — 54°44‘) weitaus am stärksten ist, wie dann aber noch der Horizont (» — 90°) ein Maximum, aber von geringerer Gröfse hervorbringt. Die Wirkung der tieferen Luftschichten (»o von #:2 bis x) ist gering. Es ist noch die Kurve für den Punkt F eingezeichnet, die eine ähnliche Gestalt wie D besitzt. Sodann die Kurve für den neben n BC CB 90087 | / > | Al N | I D | | T 1 0903. | | \ ! 7 c Era 1175 902R a F1250 "i80° Fig. 93. der Sonne liegenden Punkt B, für welchen die Einwirkungen der benach- barten Horizontalkreise so stark sind, dafs die Ordinaten nur mit ihrer Gröfse eingezeichnet werden konnten. Endlich die Kurve für den zunächst der Sonne (« — 0) liegenden Punkt @ des Horizontes, bei welchem die Wirkung des Horizontkreises am grölsten ist, tiefere Schichten aber nicht bestehen, so dafs die Kurve bei © = x:2 aufhört. Tab. 68. Fig. 94. Fig. 95. Punkt & & H, 150 Chr. Wiener. 163. Helligkeitskurven für 77.. [70] Jene Helligkeiten H,, welche durch einmaligen Reflex des ganzen Himmels hervorgebracht wurden, sind nun für die Punkte A, B,... 0 in der Tabelle 68 eingetragen. Daraus sind die Helligkeitskurven entlang der Horizontalkreise 5 — 54°44' und & — 90° gezeichnet mit den Koordinaten «, H,, und die Helligkeitskurve entlang der Vertikalkreise « = 0° und 180°, 75° und 135°, 90°, mit den Koordinaten £, H,. Tabelle 68. Helligkeit des klaren Himmels, hervorgebracht du rch ein- ) malige Reflexion H,, oder dureh unendlich vielfache Reflexion (H,) der Atmosphäre, bei einer Zenitdistanz o — 54044’ der Sonne, in den Punkten A,B,... und den Azimuten «. des Himmels von den Zenitdistanzen & K 00% 154044 54044'54044154044'154044‘| 90% | 900 909 900° | 900 00 450 90° | 1350 | 1809 09 450 900. | 1350 | 1800 0,00725 25130 02972 00888 00623 00748 17490 08090 02020 02884 04620 0,01025 | 35530 | 04205 01255 00881 01056 24710 | 11430 |02857 04072 06528 | | H, gi \6=54°44° 420+ @ 0,15. \ 6-00. 0,101 N \ EN 0,05 N L © N ER ZI ; Er F a a 7 er 7 135° 180° 750 | 300 54044 00 | 00 122030’ 15340 02664 09830 21680 03764 13890 163 — 165. 151 [71] Die Helligkeit des klaren Himmels. 164. Hellegleichen für 7,. Aus solchen in gröfserem Mals- stabe gezeichneten Kurven sind die « der Punkte der Horizontalkreise und die 5 der Punkte der Vertikalkreise entnommen, in welchen die Helliskeiten Er 025:7.0,2:5017558 01550.05550:0770.0552.0.037.0027 0025 0,003% 0,006; 0,004 herrschen. Diese Punkte wurden wie früher auf die flächen- treue Projektion der Himmelskugel in der rechten Hälfte der Fig. 90 über- tragen, und daraus die Hellegleichen der angegebenen Helliskeiten 4, unter Berücksichtigung der Stetigkeit verzeichnet. Diese Hellegleichen zeigen einen ähnlichen Verlauf, wie diejenigen auf der linken Seite der Fig. 90 922 E33 9251 5 Kae a / af? 001 / &-@ - \& / / | N / 0151 | 0201 | 27T 0051 N 0) = 7890 Le = a er S = rD =, -90° u 25° 0. =B® 900 Fig. 95. für unmittelbare Sonnenbeleuchtung; einem Maximum (0,25) neben der Sonne steht ein Minimum (0,0035) gegenüber in einer Zenitdistanz von etwa 25°, und um beide ziehen sich die Hellegleichen herum. Nur steht bei den Reflexkurven noch ein zweites Minimum (0,154) unter der Sonne in der Zenitdistanz von 75°. 165. Wirkung der mehrfachen und unendlichvielfachen Rückstrahlung. Die Reflexbeleuchtung ist so stark, dafs sie selbst wieder durch wiederholte Lichtzerstreuung eine merkliche zweite Reflexbeleuchtung, und diese wieder eine schwächere dritte, und so ins unendliche hervorbringt. Fig. 90. 152 Chr. Wiener. [72] %s ist des aufserordentlichen Zeitaufwandes wegen unausführbar, den zweiten Reflex so genau zu verfolgen, wie wir es mit dem ersten taten, und noch viel weniger die folgenden. Aber da die Kurven der unmittelbaren und der Reflexbeleuchtung ziemlich gleichartig sind, so können wir sagen, die unmittelbar erzeugte Helligkeit des Himmels erzeugt die zweite, oder die Reflexbeleuchtung, diese auf gleiche Weise die dritte usw. Und wenn die zweite nur mehr die »-fache Lichtmenge der ersten hat, so wird auch die dritte die »-fache Lichtmenge der zweiten besitzen usw. Um diese Ver- hältniszahl » zu ermitteln, bestimmt man in Fig. 90, das eine Mal für den Halbkreis links, das andere Mal für den rechts die Flächenstücke f zwischen zwei aufeinander folgenden Hellegleichen mittelst des Amslerschen Plani- meters, dies sind zugleich wegen der Flächentreue der Abbildung auch die Flächen des Himmels zwischen diesen Linien. Diese Fläche vervielfacht mit dem Mittel zwischen den zwei Grenzhelligkeiten 4, oder H,, gibt die Lichtmenge dieses Flächenstückes, und die Summe dieser Lichtmengen gibt die Lichtmenge einer halben Kreisfläche der Figur, oder der halben über uns stehenden Himmelshalbkugel. So bekamen wir für die unmittelbare Sonnenbeleuchtung SH, f = 0,77154 und für die Reflexbeleuchtung X H,f = 0,22616, daher SH: 0,22616 ea nyoss Sala 0,77154 Es ist also die Lichtmenge und daher auch im Mittel die Helligkeit des ersten Reflexes etwa ;, von der durch unmittelbare Sonnenbestrahlung erhaltenen Helligkeit, ebenso die Helligkeit der zweiten Reflexbeleuchtung 0,2955 von derjenigen der ersten usw., und daher die gesamte durch atmosphärische Rückstrahlung hervorgebrachte Helligkeit (Hs) = H; + 0,2938 Hr, + (0,2938)? H, +... ins Unendl. 1! u u. un gang — Yale Hı ur [73] Die Helligkeit des klaren Himmels. 165 —167. 153 166. Helligkeiten (77). Mit der Zahl 1,414 vervielfachen wir alle erhaltenen Helligkeiten 7, der Punkte A, B,... O und erhalten so die Gesamtreflexhelligkeiten (A,), welche in Tab. 68 zugefügt sind. Mittelst dieser Zahlen (H,) wurden nochmals die Kurven der Figuren 94 und 95 gezeichnet (obgleich man auch die alten Figuren mit neuen Malsstäben hätte benutzen können), aus diesen wurden noch die Helliskeitskurven der Vertikal- kreise « — 15 und 165, 30 und 150, 60 und 120, 75 und 115° abgeleitet, die kleinen Unstetigkeiten derselben ausgeglichen und daraus die Hellickeiten des gesamten Luftreflexes (4,) für alle Punkte des Himmels in Abständen nach £ und « von 15° abgemessen und in Tab. 69 eingetragen. Tabelle 69. Helligkeiten (H,) am Himmel, hervorgebracht durch die un- endlich vielfache Zurückwerfung des Sonnenlichtes durch die Atmosphäre. Tab. 69. 0082 2158 309 450 | 609 759 | 900 105% | 1200 | 1350) 150% | 11650 01025 01025 01025 01025 01025 01025 01025 01025 01025 01025 01025 | 01025 01950 01790 01516 01450 | 01290 01140 01038 00920 00840 00750 00700 00635 03764 03100 02830 02125 | 01700 01320 01081 | 00872 | 00736 | 00630 00585 | 00550 18000 ' 17200 05770 03225 | 02256 01564 01165 00872 00748 | 00710 00695 00680 35530 23850 | 08260 04205 02700 01800 01255 | 00930 00850 | 00881 00930 | 01000 32250 23970 09600 | 04875. 02990 01964 | 01495 | 01010 | 00970 01025 | 01085 01231 21680 23900 14140 | 07100 04180 | 02620 01660 | 01464 01476 01760 02200 02570, 24710 23700 19480 11430 | 06340 03950 02857 | 02600 03100 | 04072 | 05100 06100 | | | 3. Berechnung von A.. 167. Wahl der Winkelzwischenräume für die Rechnung. Wir schreiten nun zur Berechnung der durch die Rückstrahlung des Bodens hervorgebrachten Helligkeit 4, des Himmels (nach G1. 93 S. 138) durch mechanische Quadratur, wie dort schon angegeben, und zwar zuerst nach c und dann nach » (s. Fig. 86). Für die Stellen des Himmels, deren Hellig- keiten H, wir berechnen wollen, genügt es, die Zenitdistanzen & — 0, 225, 45, 67;, 825, 90° anzunehmen. Der Wert 825° ergab sich als notwendig Noya ActaXIC. Nr. 2. 20 180° 01025 00636 00508 00670 01056 01570 02810 06528 154 Chr. Wiener. [74] zur Berücksichtigung, weil hier eine rasche Änderung des 4, stattfindet. Die Stellung der Sonne hat auf A, nur Einflufs durch die wechselnde Helligkeit, welche sie dem Boden erteilt, also nur durch 9, sonst aber keinen, da Rauhigkeit des Bodens oder gleichförmige Lichtzerstreuung durch den- selben angenommen werden mulste. Die Hellegleichen des Bodenreflexes sind also Horizontalkreise. Unterschiede zwischen & und &, zu machen, ist in unserem Falle nicht von Belang, selbst wenn diese Winkel 90° und 89° $‘ sind. Für die Winkel « und » genügen Abstände von 223°, so dafs wir für » die Werte 22;, 45, 67; annehmen, für a: 0, 225, 45,.... 1572, 180°. Die Werte » — 0 oder 90° fallen aus, weil sie den Ausdruck für HZ, zu Null machen. 168. Integration nach « mit der Simpsonschen Regel. Wir lassen « nur von O0 bis 180° oder x zunehmen, und verdoppeln das In- tegral, da hier 2n 7 /da-ü — 2 /da-i. B Wir berechnen zuerst die zu den verschiedenen Werten von £, w und « gehörigen Werte von 9 nach der Formel für cos 9 auf S. 137, welcher Wert sich nicht ändert, wenn Z und » ihre Werte vertauschen, ermitteln dann die zu den erhaltenen 9 gehörigen Werte von 7, und i, nach Tab. 60 und bestimmen endlich die zu einem unveränderlichen Z und ı gehörigen Werte 27 Ir Sdei, und Sdei, 0 durch mechanische Quadratur. Führen wir als Beispiel die Rechnung für a Aa 1675 Kann Klier ist & g cn 18 09 157030‘ 0.032 0,023 223 150.49 030 022 45 137.03 025 020 675 121.20 016 018 90 105.42 012 018 1124 91.09 oll 028 135 78.56 012 037 1573 70.37 015 045 150 67.30 018 050 In Sde-i 0,1142 0,1770 v [75] Die Helliskeit des klaren Himmels. 167—169. 155 Bezeichnet man nämlich die aufeinander folgenden Glieder der Reihe der ?, oder der :, mit &,, ds, ... 4, So ist nach der Simpsonschen Regel, weil acht Intervalle da sind, der mittlere Wert der «a —= ss +4 +2 +4, + 2a, +4, + 2a, + 4a + ay). Die Summen der « in der Klammer ergeben sich aber für die angeführte Reihe der ?, — 0,436 und für die der «, — 0,675, daher ist DIT o : 0,436 ao = .— — ZZ 042% fi % 23n 24 4 e IT ron 0,675 ao, — Aro-— = — Med. fe (2 N 24 0,1770 169. Integration nach y durch Flächenberechnung. Diese Werte müssen nun für die 6-3 — 18 Verbindungen der sechs gewählten Werte von £ mit den dreien der » berechnet werden, wobei aber wegen der Vertauschbarkeit von £ und w in Bezug auf 9, i, i,, sich drei Werte wiederholen. Setzt man nun in der Formel (93) (S. 138) sin 1 II | 1 Se )] . = _ Be 7 = ; - l cost; 1 | W \cosy cosc 1, da 0 + — cospw cosL, F B ho t=2 San . ( 1 m 1 D | Ar @ h’ \cos y " cos a) mie \cosıp ° cosc % Ei 3 0 TU m — 49 (ün:y. e/o so mu[s man zuerst in dem Ausdrucke von y die Werte der eckigen Klammern und des vor der geschweiften Klammer stehenden Faktors für die bezeichneten 18 Fälle berechnen. Man erhält aber dann so dals 20* Fig. 96. a — 0° Di Ms 45 675 y = 0,01229 01710 01117 ae on 45 675 y = 0,01464 03130 054530 Das Integral Chr. Wiener. [76] 225 45 22; 45 675 225 45 675 225 01689 01505 01198 02006 02210 82; 90 225 45 675 225 45 673 02420 07060 16600 03440 11100 33300. a / d w .Yy 0 mu/s nun durch mechanische @Quadratur bestimmt werden. Man zeichnet zu dem Ende die sechs Kurven », y für die unveränderlichen £. Dieselben sind in Fig. 96 verkleinert wiedergegeben. Man bestimmt dann für jede 4 Q FR / url q30 / \ a / C-90° 025 / | 020 / a ae / % az y % \ | / / od ga us \ \ | F \| a RBEE Ca \ ar Sn N iR [=45° ni I rs _\ yz 2 457 675 u 2 Kurve die von ihr und der Abszissenachse begrenzte Fläche; und diese auf die richtigen Einheiten gebracht, gibt das Integral an. Man beachtet, [77] Die Helligkeit des klaren Himmels. 169 —171. 157 dafs aus Tab. 65 durch Einschaltung für o = 54°44' das 9 — 0,515 be- stimmt ist, und erhält dann für A=1 gel 225 45 673 825 I90 für:u - 901042 01845 02278 04470 11800 21890 H,‘ — 0,00848 00953 01174 02306 06095 11300 170. Ergebnisse. Daraus ergibt sich die Kurve £, H,' in Fig. 97 Fig. 97. für A —= 1. Man sieht, dafs der Bodenreflex selbst bei vollem Rückstrahlungs- vermögen des Bodens (4 — 1) sehr klein ist, am schwächsten im Zenit mit H, — 0,00848, dals er anfangs langsam, dann rascher gegen den Horizont hin steigt und hier mit 0,11500 seinen gröfsten Wert erreicht. H, für A=-1 Fig. 97. 171. Das Rückstrahlungsvermögen A des Bodens und die Werte H43;. In Wahrheit ist aber A meist viel kleiner als Eins. Ich Tab. 70. 158 Chr. Wiener. [78] will einige Zahlen nach Zöllner!) anführen und zwei von mir gefundene zufügen: Rückstrahlungsvermögen A. Frisch gefallener Schnee 0,78 Gegossener Gyps 0,72 Weilser Sandstein 0,24 Tonmergel 0,16 Quarz, Porphyr 0,11 Feuchte Ackererde 0,08 Dunkler Syenit 0,08 mattes tief-schwarzes Papier 0,02 Die Zahlen für Gyps und schwarzes Papier sind die vom Verfasser herrührenden. Man wird für unsere Gegenden etwa A —= 0,1 annehmen können, also für A, nur 0,1 der oben angegebenen Werte gelten lassen. Für Schneefelder, die selten ebene gleichförmige Flächen bilden, wird man A doch merklich kleiner als 0,78, vielleicht 0,5 annehmen dürfen, für Eis- felder der Polargegenden, die oft aus unregelmälsig aufeinander geschobenen Blöcken bestehen, noch kleiner. Da sich die Eisfelder aber den Polfahrern durch einen hellen Schein am Himmel ankündigen (Eisblink), so kann dies, da nach der obigen Tabelle 4, selbst bei A= 1 noch klein ist, nicht durch Lichtzerstreuung einer matten Fläche, sondern nur durch Spiegelung bei grolsen Ein- und Ausfallswinkeln geschehen. Damit aber das vom Eis gespiegelte Licht auch von der Atmosphäre in gröfserer Menge ins Auge geworfen wird, müssen auch die Zerstreuungskoöffizienten ?, und ?, grols, daher die Lichtablenkung % nicht gröfser als 25° sein (s. Tab. 60). Daher können entfernte Eisfelder nur durch einen Schein am Himmel von höchstens 25° Höhe über dem Horizont bemerkt werden, nahe nur in einer Höhe bis zu 13°. Aus der Fig. 97 sind die Werte der H, für A = 0,1 abgeleitet und in Tab. 70 eingetragen. 1) Zöllner, Photometrische Untersuchungen, 1865, 8. 273. [79] Die Helligkeit des klaren Himmels. 171. 159 Tabelle 70. Helligkeiten 4, am Himmel, hervorgebracht durch die Zurück- werfung des Sonnenlichtes durch die Bodenfläche bei dessen Zurückstrahlungsvermögen A=O\1. | ak IT | BET REN EEE a 1500 73008 5052 on 70 or 0,00085 00091 | 00101 00117 | 00144 00168 00343 | 01180 Zenitdistanz H, 4. Die Gesamthelligkeit H. Nun berechnen wir die Gesamthelligkeit an den verschiedenen Stellen des Himmels nach Gl. (94) (S. 138) H=H+(A)+B nach den Tabellen 66, 69, 70 und erhalten so die Tlabelle 71 über die H. maps Nach dieser Tabelle wurden Helligkeitskurven gezeichnet und aus diesen wurden einige Zahlen (10) der Tabelle um weniges geändert, um bessere Stetigkeit herzustellen. Tabelle 71. Gesamthelligkeit H des Himmels, hervorgebracht durch un- mittelbare Sonnenbestrahlung 4, durch Luftrückstrahlung (#,) und Bodenrückstrahlung A,, für Punkte des Himmels vom Azimut « (gegen die Sonne) und der Zenitdistanz £. | T I | Ei — 09 150 300 45° 609 | 750 90% | 1050 | 1200| 1350 | 150% | 165° | 180° 5 | 0, | | | | 0° [0,03165 0,03165|03165 03165 03165 ‚03165 03165 03165 03165 03165 03165 03165 03165 15° |0,07041 '0,06691 05907 05191 ‚04301 03646 03154 02699 02365 02069 01959 01836 01790 30° |0,17735 0,15371 11694 08446 05763 04000 03056 02277 01875 01637 01575 01490 01471 450 |1,60617 0,76517 22367 11902 06923 04341 02902 02140 01790 01760 01735 01703 01686 54044'|3,14674 1,3394 28404 13749 07404 04500 02939 02298 02064 02000 [02103 02227 02283 600 |3,00018 1,26628 29768 |14563 07708 04677 03100 02458 02278 02333 |02477 02656 02863 75° |0,75323 0,59893 33683 17315 09568 05787 04024 03607 03670 04103 04929 05671 06047 90° |0,56890 0,51330 37610 21700 112165 08040 06697 06700 |07680 |09890 12160 13890 | 14568 | | | | | | 160 Chr. Wiener. [80] 172. Die Helligkeitskurven entlang der Vertikalkreise. Es wurden die sieben Kurven H, & mit unveränderlichem « gezeichnet, d. h. die Helligkeitslinien für sieben Vertikalebenen; dabei bilden die für a — 0 Dr Pr 210 + gg Fig. 98. und « = 180°, für « = 15 und « — 165° usw. zusammenhängenden Linien. Fig.9s. Davon sind die für « = 0°, 180°; 30°, 150°; 60°, 120°; 90° in Fig. 98 in kleinerem Malsstabe wiedergegeben. Die Kurven für « = 0 und für 30° steigen so hoch an, dafs ein Teil mit ; 4 angegeben werden mulste. Die wichtigste dieser Kurven ist diejenige für « —= (0 und = 180°. Sie zeigt bei « — 0" [81] Die Helligkeit des klaren Himmels. 172—174. 161 für 5—= 90° einen kleinsten Wert 47 = 0,56890, steigt dann rasch und erreicht bei &< — 54°44' oder bei der Sonne den grölsten Wert H —= 3,14674, sinkt dann noch rascher, zeigt bei & — 0, oder im Zenit, 7 = 0,03165, sinkt dann bei « = 180° noch mehr bis zu HZ — 0,01470 bei & = 32°, und steigt dann wieder bis zum Horizont (£ = W°) zu H — 0,14568. In dieser Vertikalebene liegt die grölste und kleinste am Himmel vorkommende Helligkeit, neben der Sonne 3,14675 und gegenüber in einem Winkelabstande von 54°44' + 32° — 86°44' die kleinste — 0,01470; die grölste ist daher 214 mal so grols als die kleinste. — Die nicht hier angegebene Kurve für « — 15 und 165° zeigt eine ähnliche Gestalt; ihr Maximum ist ebenfalls bei 5 = 54°44° oder nahe dabei mit 4 = 1,45394,. Die Kurve « = 30 und 150° fällt dagegen von & = 90° mit H —= 0,57610 beständig über das Zenit hinaus, erreicht ein Minimum etwa bei £ = 34° mit H etwa = 0,01570 und steigt dann wieder bis & = 90° zu ZH = 0,12160. Ähnlich verlaufen auch die übrigen Kurven, nur mit stets abnehmenden Schwankungen. Die letzte für « — 90° verläuft meist nahezu parallel zur Abszissenachse. Sie Hana a 902257 0.066 97, 5nkebi sn 60 ZUR NN und behält diesen Wert fast unveräudert bis zum Zenite bei. 173. Die Helligkeitskurven entlang der Horizontalkreise. Ebenso wurden die sieben Kurven «, H entlang der Horizontalkreise, oder mit unveränderlicher Zenitdistanz 5 gezeichnet; fünf davon sind in ver- kleinertem Mafsstabe in Fig. 99 wiedergegeben. Auch hier mulsten mariche Fig. 99. Stücke mit 5 H gezeichnet werden. Die wichtigste ist die durch die Sonne (mit & = 54°44‘) geleste. Sie liefert den grölsten Wert von H (= 3,14674) bei «—=0, sinkt dann zu H — 0,02000 bei « = 135°, und steigt dann wieder etwas zu H = 0,02283 bei « = 180°. Mit der Entfernung des Horizontalkreises von der Sonne nimmt die Schwankung ab. Für 5 — 0’ gilt ja nur die eine Helliskeit 7 — 0,03165. In dem Horizont (3 = 90°) herrscht die gröfste Helligkeit unter der Sonne (x —= 0°) mit HZ — 0,56890, nimmt dann ab, erreicht ihr Minimum etwa bei « — 97° mit H etwa — 0,066, und steigt dann wieder gegenüber der Sonne (« = 180°) zu H — 0,14568. 174. Die Hellegleichen des klaren Himmels. Aus diesen beiderlei scharf gezeichneten Helliskeitskurven wurden nun die Linien Nova Acta XCI, Nr. 2. 21 Fig. 100. 162 Chr. Wiener. [82] gleicher Helligkeit oder die Hellegleichen des klaren Himmels hergeleitet und in Fig. 100 in der schon früher angewendeten flächentreuen Projektion dargestellt. Es geschah dies für die Helligkeiten ZH = 3,0; 2,5; 2,0; 1,5; 1,0; 0,8; 0,6; 0,4; 0,2; 0,1; 0,08; 0,06; 0,04; 0,02. Zu dem Ende wurden Fig. 99. aus den Kurven entlang der Vertikalkreise die 5 abgelesen, in denen jene Helligkeiten herrschten, und aus den Kurven entlang der Horizontalkreise die «, wo jene H herrschten. Diese Punkte wurden in das Netz der geradlinig abgebildeten Vertikalkreise, und der durch konzentrische Kreise dargestellten Horizontalkreise eingetragen, und die Punkte von gleichem 4 verbunden. [83] Die Helligkeit des klaren Himmels. 174. 163 Fig. 100. Hellegleichen des klaren Himmels für den Zenitabstand der Sonne von 54044". Gesamthelligkeit Z, erzeugt durch unmittelbare Sonnenbestrahlung, Luft- und Bodenreflex. Flächentreue Projektion. 21* 164 Chr. Wiener. [84] Die Figur zeigt, dafs die Linien stärkster Helligkeit sich kreisartig um die Sonne, die Linien schwächster Helligkeit sich horizontal in die Länge gestreckt um den der Sonne gegenüberliegenden dunkelsten Punkt herumziehen. Die hellsten Linien sind oberhalb der Sonne dichter zusammen- gedrängt als unterhalb. Während die erste HZ — 3,0 hat, berührt diejenige mit H — 0,569 den Horizont; die noch schwächeren stofsen auf den Horizont auf. Die länglichen Linien der schwächeren Helligkeit berühren den Hori- zont nicht zuerst in dem der Sonne gegenüberstehenden Punkte; vielmehr berührt die Linie mit 7 — 0,066 den Horizont beiderseits bei « = 97°, wo der Horizont seine grölste Dunkelheit besitzt. Der Sonne gegenüber herrscht am Horizont die gröfsere Helligkeit 0,1457, so dafs dort über dem Horizont ein hellerer Bogen lagert. 175. Helligkeit des Himmels für den Fall, dafs die Sonne im Horizont steht. Für 7, wurden die Stellen des Himmels im gegen- seitigen Abstande von 15° nach Azimut « und Zenitdistanz & beibehalten. Aulserdem wurde #4, noch berechnet für die Punkte der Horizontalkreise & = 865° und 5 = 825° in der Nähe der Sonne, wieder mit den Abständen Tab. 72. von 15° nach «. Die berechneten Werte von X, sind in Tabelle 72 eingetragen Tabelle 72. Helligkeit 4, des Himmels, hervorgebracht durch unmittelbare Sonnenbestrahlung, für den Fall, dafs die Sonne im Horizont steht. RER | | Penn, a= 02 150 300 AS 60) zo | elo)! 105° 120° | 1350 | 150° | 1650 | 1800 & 0, | | | | | 0° 00054 | 00054 | 00054 | 00054 | 00054 | 00054 | 00054 | 00054 00054 00054 00054 | 00054 00054 15° 00070 , 00069 | 00069 | 00065 | 00062 | 00061 | 00055 | 00053 00056 00054 | 00054 | 00053 00053 309 00142 ' 00135 ' 00117 | 00094 | 00074 | 00067 00059 | 00059 00057 ' 00063 |, 00066 00070 , 00070 45° 00365 | 00320 | 00240 | 00168 | 00110 | 00081 | 00071 | 00068 | 00075 00083 | 00101 | 00105 |, 00120 60° 01086 | 00925 00580 | 00301 , 00170 | 00106 00086 00090 00099 00128 | 00158 00181 00187 75) 08290 | 05011 | 01220 | 00528 | 00248 | 00133 . 00108 | 00109 00139 | 00194 | 00243 ‚00267 , 00275 82° 30° | 22580 05830 | 01300 ı 00550 | 00227 | 00102 | 00088 00099 00134 ' 00194 | 00246 | 00279 | 00289 86% 15° | 14470 | 04048 | 00718 | 00267 | 00078 00022 00026 ' 00042 | 00065 | 00105 00136 | 00152 , 00157 900 00016 | 00005 | 00001 | 00001 ale? 00000 | 00000 00000 |, 00000 | 00000 | 00000 ' 00000 , 00000 | | | | | | | | | [85] Die Helligkeit des klaren Himmel. 174—175. 165 und danach sind die in Fig. 101 und 102 verkleinert wiedergegebenen Kurven &5H, und «a, H, gezeichnet. Die Kurve 5 —= 90° der Fig. 102 verläuft so nahe der «-Achse, dafs sie nicht von dieser getrennt gezeichnet werden konnte. Sie wurde daher weggelassen. Zur genaueren Bestimmung der Form der Kurven in der Nähe der steilen Maxima wurden die 7, noch für vier weitere Punkte des Himmels berechnet: für « = 0, & = 81° ist | a 2 | j i 008 | 1} || \a=0° I & =166° | E-900 gt ge 900 a1öl o1 NE 30° @ / > a-160° 6=9 02 =487 ° 2900 I} 910 g0l, &-46° & -135° -95 35° 0° 45° 7 900 001; g.60 Ren 008 | au 0, A 0° = wi, a-ı & -108° Cs gg ip \ & = 180° 991 90° E=90° 35% 077 7-30 07=90% C0 0 eo a 008 Fig. 101. Er = Ve, ie a 0 5 ir, Vale ae WR, = 2, 0,2225 und für « — 4’30', 5 — 82° 30‘, 0,2024. Nach diesen Kurven wiederum wurden in Fig. 105 die Hellegleichen gezeichnet für A, = 0,2; 0,18; 0,15; 0,1; 0,07; 0,05; 0,03; 0,01; 0,008; 0,006; 0,004; 0,002; 0,001; 0,0008; 0,0006. Die Punkte, für die H, berechnet wurde, finden sich nebst den für H, berechneten Werten in T'’ab. 73. Nach diesen Werten sind die Helligkeits- Fig. 101 und 102 Fig. 103. Rabaıg: 166 Chr. Wiener. [86] Tabelle 73. Helligkeit des Himmels, hervorgebracht durch einmalige Reflexion A,, oder durch unendlich vielfache Reflexion (H,) der Atmosphäre, in den Punkten A,B,... des Himmels, für den Fall, dafs die Sonne im Horizont steht. Pa Du | r | € | EN o' 5 | oe | as0 | a50 | a50 | as0 | 450 | 900 | 900 | 90° | 900 | oo | 750 | 750 [82050° E | 00 | as0 | 900 | 1350 | 180° | 00 | 450 | 900 | 1350 | 1800 | 00 | 450 | on 0, I | | | | | | | H, [00033 nic re 00085 | 02250 | 00532 | 00119 00120 00143 | 03060 I 04400 (H,) |00086 00388 00438 00263/00182 00222 05870 | 01387 | 00310 | 00313 | 00373 | 07980 | 02216 , 11470 4, 4, 091 5 001, 2 C=15° t 6-45 a = —— gg 135° — 350 001, &=30° re &=60° 6° +5 Riem ich) gay 008 h | \ | 020, 004 \ | ES 6-75° 018, ab 0182| I} 010, | 008| 008 | 004 , | x = 82° 30’ &=86°15’ U Tg gg go LEE ep Die Helligkeit des klaren Himmels. 175. 167 Inn [0 0) | mo Fig. 103. Hellegleichen des klaren Himmels für den Fall, dafs die Sonne im Horizont steht, H, erzeugt durch unmittelbare Sonnenbestrahlung (rechte Hälfte der Figur), H, erzeugt durch einmaligen Luftreflex (linke Hälfte der Figur). Flächentreue Projektion. 168 Chr. Wiener. [88] Fig. 10. kurven entlang der Horizontalkreise £ — 45° und 5 = 90° (Fig. 104) und Fig. 105. der Vertikalkreise « —= 0° und 180°, 45° und 135°, 90° (Fig. 105) gezeichnet. Fig. 103. Nach diesen sind in Fig. 103 die Hellegleichen gezeichnet für H, — 0,04; 0,02; 0,01; 0,008; 0,006; 0,004; 0,002; 0,0015; 0,0014; 0,00115; 0,001; 0,0009; 0,0008; 0,0006; 0,0003. 0005: KG=ABR I E 2 in © Tan ’ 2 —- a e 0° 485° 80° 135° 180? Fig. 104. Fig. 105. Bestimmt man nun aus den Hellegleichen für 7, und H, den Faktor, mit dem Z, multipliziert werden mufs, um das, die unendlichvielfache Rück- strahlung berücksichtigende (A4,) zu erhalten, so gewinnt man den Wert 2,607 statt 1,414 in Nr. 165. Mit 2,607 wurden alle für 4, berechneten Werte multipliziert und mit den so erhaltenen Werten (4,), die der Tab. 73 beigefügt sind, wie in Nr. 166 die Kurven £,(4,) und «, (H,) gezeichnet. [89] Die Helligkeit des klaren Himmels. 175. 169 Aus diesen wurden dann die Helligkeiten des gesamten Luftreflexes (A,) entnommen für alle Punkte des Himmels, für die 7, berechnet worden war, und in Tab. 74 eingetragen. Tabelle 74. Helliskeiten (4,) hervorgebracht durch die vielfache am Himmel, unendlich Zurückwerfung des Sonnenlichtes dureh die Atmosphäre, für den Fall, dafs die Sonne im Horizont steht. Tab. 74. 25) 90° 105%) 120° 150° 16522 51802 0, | | | 00086 00086 00105 00185 00388 01060 07980 11470 08780 05870 00107 00193 \ 00407 ‚01040 ' 06600 09600 ı 08300 04890 00086 ‚00111 ı 00200 ‚00440 ' 00966 03640 04140 03810 03030 00086 ‚00114 | 00201 00438 00857 02216 02060 ' 01905 01387 00086 |, 00086 ‚00112 00104 00200 00196 ‚00404 00335 00718 | 00486 00908 00528 00893 | 00517 00857 00502 ‚00680 00435 ‚00086 ‚00104 00185 00263 00313 00322 00316 00312 00310 00086 00103 00160 ‚00218 00246 | 00260 ‚00264 ‚00265 ‚00265 00086 ‚00098 ‚00141 00190 00240 00276 00277 00277 00264 | , 00086 00096 00128 00182 00243 00264 ‚00289 ‚00303 ‚00313 | ‚00086 ‚00096 00128 00183 00250 ‚00314 ‚00343 00353 00357 ‚00086 ‚00100 ‚00150 | 00212 00277 00338 00367 00375 00376 Der neu gefundene Wert 2,607 wurde nun auch der Berechnung ' 00086 ‚00104 00156 00229 ‚00314 00360 00375 , 00383 ‚00385 von #, zugrunde gelegt. Er ergibt, für o = 90°, 9 — 9“ — 0,378 (Tab.65)” statt 0,205 bei Benutzung des Wertes 1,414. 9 ist aber die einzige Grölse in H,, die mit o veränderlich ist, und zwar tritt sie nach Formel (95) als vervielfältigender Faktor des von o unabhängigen Integrals auf. Da nun, in Nr. 170, $ — 0,515 gesetzt ist, so erhalten wir die neuen 4,, wenn wir in Tab. 70 alle Werte mit nn -. multiplizieren. Die Ergebnisse sind in Tab. 75 eingetragen, wobei die beiden in Tab. 70 fehlenden Werte mit Hilfe einer kleinen Kurve eingeschaltet wurden. Die Kombination der Tabellen 72, 74 und 75 nach Gleichung (94) ergibt die Gesamthelligkeiten 4 der Tab. 76. Nach dieser Tabelle wurden 1) Hier wurde natürlich die Zeile (9) verwendet. Nova Acta XCI: Nr. 2, Tab. 75. Tab. 76. Fig. 106 u. 107. 170 Chr. Wiener. [90] die Kurven 5, H und «a, H gezeichnet, von denen die für « — 0°, 180°; 30%7 150276029120=790° Hund’ für 5 ='30°;76047821302 28671599 0.uTEr- kleinert in Fig. 106 und 107 wiedergegeben sind, und nach diesen endlich Tabelle 75. Helligkeiten 4, am Himmel, hervorgebracht durch Boden- reflex, für den Fall, dafs die Sonne im Horizont steht. Zenitdistanz & [0 15° 30° 450 60° 750 | 829 30'| 860 15°) 90° h | ’ | | H; en 00067 00075 | 00086 an 00252, 00414 00566 | 00829 H 0085! Hase 9030: | | "70 0025! ie 0020 | @&=130° | \ . | 0010 2 ı @&=-150° // ) / 7% 5% F LIE \ LE 0005 x N :.80° N GC =.90% 7 7:060% 799° 6° 309 60° =g0° [91] Die Helligkeit des klaren Himmels. 175—176. 171 sind in Fig. 108 die Hellegleichen gezeichnet für 7 — 0,35; 0,3; 0,25; 0,2; Fig. 108. 0155.0770.07:7.0,05520.0357. 0.017222 0,0822 0.00872.0.0055 70.005.000; 0,003; 0,0025. Tabelle 76. Gesamthelligkeit HZ des Himmels für den Fall, dafs die Sonne im Horizont steht. | | | | a | o0 | 150 | 300 | 450 | 600 | 750 | 900 | 1050 | 1200 | 1350 | 1500 | 165% | 1800 | = | | | L — _ 0, | | | | 202 00202 | 00202 00202 | 00202 00202 | 00202 | 00202 | 00202 00202 00202 | 00202 | 00202 1a 00242 | 00243 | 00247 | 00246 | 00241 | 00232 | 00226 00223 00221 | 00217 | 00217 | 00220 | 00224 30° 00402 00403 | 00393 | 00370 ‚00349 | 00342 | 00319 00294 | 00273 , 00266 00269 | 00295 | 00301 45° 00839 ' 00813 00766 | 00692 00600 | 00502 , 00420 | 00372 | 00351 | 00351 00370 | 00403 | 00435 60° 02269 | 02088 01669 01281 01011 | 00715 | 00522 00459 | 00462 | 00496 | 00531 | 00581 | 00624 75° 16522 09873 | 05012 02996 01408 | 09913 | 00682 | 00621 | 00655 00710 | 00809 | 00859 | 00887 820 30‘ | 34464 | 15904 05854 03024 01534 | 01033 | 00818 00777 | 00824 00897 | 01003 | 01060 | 01078 86° 15‘ | 23366 ' 12914 05094 | 02738 | 01520 | 01090 | 00904 | 00873 00908 00974 01055 01093 01106 90° 06715 05724 03860 02217 01509 | 01264 01139 01094 01106 | 01142 01186 01205 01214 | | | | | | | | I I 176. Helligkeit des Himmels für den Fall, dafs die Sonne im Zenit steht. Für so = 0° wird die Helligkeit dieselbe für alle Punkte eines und desselben Horizontalkreises; das Azimut a fällt hier ganz weg. Tabelle 77. Helligkeit des Himmels für den Fall, dafs die Sonne im Zenit steht, hervorgebracht durch unmittelbare Einwirkung der, Sonne H,, durch einmealnssennliukezenkex 275, dunchrun- endlichvielfache Rückstrahlung der Atmosphäre (4,), durch Bodenreflex H,; Gesamthelligkeit 4. | | “ | = 0° 40 00 10° 15° 300 450 60° 750 90° H, |1.87400, 1,72000, 1,39700. 1,10700 | 52200 | 10100 | 05000 | 03200 | 02500 | 02800 H, |0,05480 0,05330 | 0,04790 | 0,04280 03370 | 01630 | 01016 | 00819 | 01200 | 02600 (H,) | 0,06540 | 0,06370 | 0,05710 | 0,05110| 04020 | 01940 01212 | 00977 | 01430 ' 03100 H; |\0,00156 0,00158 |0,00161 0,00164 00167 00188 00216 00309 | 00631 | 02078 H 1,941 1,785 ‚1,456 1,1597 | 5639 |1223 |0643 | 0449 | 0456 | 0798 29* Tab. 77. Fig. 109. wurde gezeichnet, sie ist in Fig. 109 verkleinert wiedergegeben. Fig. 109. der Atmosphäre kann man hier ohne die Hellegleichen finden. nur für die Zenitdistanzen 0°, 15°, 30°, 60°, 90° berechnet. 172 Chr. Wiener. [92] Die Hellegleichen werden Horizontalkreise und es ist nicht mehr nötig, sie zu zeichnen. AH, wurde berechnet für alle in Tab. 77 angegebenen Zenit- distanzen, welche die Ergebnisse der Rechnung enthält. Die Kurve LH, H, wurde H a, \ = 82030’ 10 | \ 0030. \ FR | \# | Bars 0020} \n \ \N \ \ N 90° \ N Sell \\ N ——g I 0010 ! \\ - ’ | \ \ \ 90° \ \ I m + \ I o NN \ Ih N IR 4008. \ Der a 000 I Fey Re ae a-00 306 60° "90 Br 180° Fig. 107. Die zu Tab. 77 noch fehlenden Werte wurden mittelst der Kurve £, A, (Fig. 109) eingeschaltet. Das Verhältnis der unendlichvielfachen zu der einfachen Rückstrahlung Stellt nämlich sinZd£de ein Flächenelement der Himmelskugel vom Halbmesser Eins dar, [93] Die Helligkeit des klaren Himmels. 176. 173 Fig. 108. Hellegleichen des klaren Himmels für den Fall, dafs die Sonne im Horizont steht. Gesamthelligkeit ZH, erzeugt durch unmittelbare Sonnenbestrahlung, Luft- und Bodenreflex. Flächentreue Projektion. Tab. 77. 174 Chr. Wiener. [94] so braucht man nur das Verhältnis der beiden über alle Elemente der Himmelskugel zu erstreckenden Summen X A, sinödctde und 2A, sing d&d« zu bilden und mit diesem in die Formel für (A,) auf S. 152 einzugehen. Dieses Verhältnis findet man, da H, und H, von « nicht abhängen und die HA 4 0,8: 06: | 6-90 Te de TA 159 0° Fig. 109. Summierung nach « daher überflüssig wird, indem man nach Tab. 77 die Kurven £, A, sin£ und £ H, sin£ zeichnet und mit dem Planimeter ausmilst. Diese Kurven sind hier nicht wiedergegeben. Es ergibt sich schliefslich (H,) = 1,192 H,. Die Werte (H,) sind dann in Tab. 77 eingetragen, die [95] Die Helligkeit des klaren Himmels. 176. 175 Werte H, für die Rückstrahlung des Bodens findet man unter Zugrunde- lesung des durch Einsetzen der Zahl 1,192 statt 1,414 sich ergebenden + — 0,947 (Tab. 65)” durch Multiplikation aller Werte der "Tab. 70 mit 0,947 & . 9 B 7 © —_ „ und Ergänzung mittelst einer kleinen Kurve an den Stellen, wo diese zT / 38-7 or 49 30° 75° © Fig. 110. = 809 759 Tabelle Lücken aufweist. Auch die Werte A, sind in Tab. 77 eingetragen. Endlich werden die Werte 4 für die Gesamthelligkeit nach Gleichung (94) berechnet. Zum Schlusse ist nach diesen Werten A die Kurve £, 4 (Fig. 110) Fig. 110. 1) Hier wurde wie auf 8. 169 die Zeile (9) der Tabelle verwendet. 176 Chr. Wiener. [96] gezeichnet, die hier zugleich die Stelle der Hellegleichenfiguren 100 und 108 vertritt. 177. Die gröfsten Werte von 77, und ihre Lage bei ver- schiedenen Zenitdistanzen der Sonne. Wie die Tabellen 66 und 72 und die Figuren 87 und 101 zeigen, liegen die gröfsten Werte der durch unmittelbare Sonnenbestrahlung erzeugten Helligkeit 7, in dem durch die Sonne gehenden Vertikalkreise, und zwar nicht genau an dem jeweiligen Orte der Sonne. Bezeichnen wir den grölsten Wert, den F, auf einer solchen Ha ° 1 I FE Er na Zune 7; Fig. 111. Kurve annimmt, mit 7, und die Lage dieses Maximums, also den zugehörigen Wert von £, mit £, so ist der Ausdruck &—o in der Kurve « = 0" der Fig. 87 positiv, in Fig. 101 dagegen negativ. Es ist nun von Interesse, zu erfahren, welche Werte die Ausdrücke &—o und H, der Reihe nach annehmen, wenn o alle Werte von 0° bis 90° durchläuft. Zu diesem Zwecke wurden die in der Nähe der Maxima liegenden Teile der Kurven «—= 0, den Figuren 57 und 101 entsprechend, auch noch für einige andere Werte von o berechnet und gezeichnet und aus den Zeichnungen die Werte von [97] Die Helligkeit des klaren Himmels. 176—177. 177 H, und &—o entnommen. Die Ergebnisse dieser Zeichnungen und der Kurven « — 0° der Figuren 87 und 101 sowie der Kurve Z, H, der Fig. 109 sind in Tab. 78 eingetragen. Nach dieser Tabelle wurden die Kurven o, IEL, und o, (<—0) gezeichnet, welche in Fig. 111 verkleinert wiedergegeben sind. Tabelle 78. Gröfste Werte 4, welche die unmittelbare Sonnenbestrahlung 7, für ein bestimmtes o annimmt, und Unterschiede I—-o der Zenit- abstände der Werte ZH, und der Sonne, für verschiedene Werte von o. | 6 00 540 44° | 6 79 | 800 850 | 900 = 1 | Koreseı] | H, 1,874 2,830 | 3,385 | 1333 | 4230 | 2,536 | 0,230 6 0) +1,55 +3,10 | + 5,10 +3,20 | 040 | 7,00 Nova Acta XCI. Nr. 2. 23 Tab. 78. Fig. 111. Zweiter Teil. Die Beleuchtung durch die Sonne, den klaren Himmel und die Rückstrahlung von Körpern. Erster Abschnitt. Die Beleuchtung durch die Sonne. Ist Z die Lichtmenge, welche die Sonne bei senkrechter Bestrahlung auf eine Fläche von 1 qm schickt, und e der Einfallswinkel für irgend eine beleuchtete Fläche, so ist Bi Drcosie die Beleuchtungsstärke dieser Fläche. Nimmt man nun Z als Einheit dieser Beleuchtungs- oder Lichtstärken, setzt also ZL = 1, so ist 5. 03% Man erhält daher auf einer krummen Fläche eine Linie von der gleichförmigen Beleuchtungsstärke B — cose oder die Lichtgleiche oder Isophote cose, als diejenige Linie, für welche an jeder Stelle derselbe Einfallswinkel & herrscht. Da es nun hier durchaus nicht auf die Verschiedenartiskeit des Verhaltens verschiedener Flächen, sondern nur auf das Eigentümliche der Beleuchtung ankommt, so werden wir als beleuchtete krumme Fläche die einfachste, dabei aber die für uns lehrreichste Fläche, die Kugel betrachten. 178. Beleuchtung der Kugel, ihre Beleuchtungsstärke und ihre Lichtgleichen. Ist Fig. 112 die Projektion der Kugel auf die durch Fig. 112. den Lichtstrahl ! gehende Vertikalebene, so herrscht die gröfste Lichtstärke 1 an der Stelle 1‘, wo der dem Lichte zugekehrte Halbmesser M 1: die Oberfläche trifft, also e —= 0 ist, und die Licht- stärke 0 da, wo 2 — 90°’ ist, wo also die Licht- strahlen die Oberfläche berühren, d. i. an der Licht- und Eigenschattengrenze, also an dem gröfsten Kreise, dessen Ebene senkrecht auf dem Lichtstrahle steht. Fig. 112. Fig. 113. 182 Chr. Wiener. [102] Teilt man nun den Halbmesser M 1’ in zehn, oder in der Figur nur in fünf gleiche Teile und legt durch die Teilungspunkte Ebenen senkrecht zu dem Lichtstrahle, so schneiden diese Ebenen die Kugel in Parallelkreisen, welche die Lichtgleichen 2, ‘4, ‘6, 8 von den Lichtstärken 0,2; 0,4; 0,6; 0,5 sind. Denn entlang eines solchen Parallelkreises bilden die Flächen- normalen oder Kugelhalbmesser gleiche Winkel mit dem Lichtstrahl /, und Fig. 113 Die Hellegleichen der Gypskugel, durch Sonnenbeleuchtung allein hervorgebracht. Die eingeklammerten Zahlen und gestrichelten Kurven gelten für ganz matte Oberflächen (Magnesiumoxyd) A = 1. Die nicht eingeklammerten Zahlen und die ausgezogenen Kurven gelten für Gyp.. A = 1. der Kosinus derselben ist gleich einem jener Abschnitte auf dem Halb- messer M 1‘, also gleich einer jener angegebenen Lichtstärken. In Fig. 113 ist die Projektion der Kugel auf die Horizontalebene gezeichnet, unter Beibehaltung des Lichtstrahls mit der angenommenen Zenitdistanz o — 54°44‘. Die Lichtgleichen, denen noch die von der Licht- stärke 0,9 zugefügt ist, erscheinen als ähnliche parallele Ellipsen, welche [103] Die Helligkeit des klaren Himmels. 178—179. 183 gestrichelt gezeichnet und mit eingeklammerten Zahlen (0), (2)... (9) (1) bezeichnet sind. Der Aufrils oder die Projektion auf eine Vertikalebene, welche den Winkel von 45° mit der Vertikalebene des Lichtstrahls bildet, gibt be- kanntlich den Lichtstrahl ebenfalls unter 45° gegen die Projektionsachse geneigt und stimmt daher mit dem Grundrifs der Fig. 113 vollständig überein. Bei dem in richtiger Weise zusammengefügten Grund- und Aufrils, wobei die Projektionsachsen einen Winkel von 45° mit dem Grund- und Aufrils des Lichtstrahls bilden, stehen diese beiden aufeinander senkrecht. Es ist dies die gebräuchliche Darstellung der Lichtgleichen der Kugel. 179. Die Helligkeit und die Hellegleichen. Mit der Be- leuchtungsstärke einer Fläche ist ihre Helligkeit proportional. Die auf- fallende Lichtmenge, multipliziert mit dem Rückstrahlungsvermögen oder der Weilse 4 (albedo), gibt die zerstreute Lichtmenge. Die Werte von 4, die stets kleiner als 1 sind, sind auf S. 158 für einige Stoffe an- gegeben. Mit A ist die Helligkeit ebenfalls proportional. Aufserdem hängt sie aber noch von der Richtung des zerstreuten Lichtes, oder von der Richtung ab, in welcher man die Oberfläche betrachtet. Ganz matt oder rauh nennt man eine Oberfläche, wenn ein solcher Einfluls nicht besteht. Und es gibt solche Oberflächen, wie Herr Angström durch seine Versuche über die Zerstreuung der strahlenden Wärme gezeigt hat.) Man kann eine solche Fläche herstellen durch einen Überzug mit dem feinen Niederschlag von Magnesiumoxyd. Derselbe ist amorph oder unkristallinisch und darin liegt wohl der Grund des Mangels einer Spiegelung. So fand er bei einem Einfallswinkel e — 40° und einem Ausfallswinkel « — 60° die Menge der zurückgeworfenen Wärme — 16,4; 15,6; 17,5, je nachdem die Ausfallsebene mit der Einfallsebene den Winkel (das Azimut) von 0°, 180° oder 90° bildete. Und selbst bei dem Ausfallswinkel von 80° war die zurückgestrahlte Wärmemenge 6,0 oder 5,6, je nachdem das Azimut 0 oder 180° betrug. Das sind also kaum merkbare Unterschiede, während 1) K. Angström, Über die Diffusion der strahlenden Wärme von ebenen Flächen. Wied. Ann. d. Phys. u. Chem. N.F. Bd. 26, 1885, 8. 264. 184 Chr. Wiener. [104] bei Gyps, der kristallinisch ist, die Unterschiede, wie wir bald sehen werden, sehr bedeutend sind. Wird nun bei ganz matten Oberflächen A = 1 angenommen, was aber nie ganz erreicht werden kann, so ist die Helligkeit H' nur von der Beleuchtungsstärke abhängig. Und da wir die Helligkeit gleich Eins ge- setzt haben, wenn B — 1 ist, so ist in den anderen Fällen bei A = 1 auch EN Nbı —Neoste. Dann fallen die Linien gleicher Helligkeit mit denen gleicher Licht- stärke oder die Hellegleichen oder Isophengen mit den Lichtgleichen oder Isophoten zusammen. Dies ist der gewöhnlich angenommene Fall; dann bezeichnen die eingeklammerten Zahlen der Fig. 113 auch die Helle- gleichen der Kugel. Die meisten matten Körperoberflächen zerstreuen aber das auffallende Licht nach den verschiedenen Richtungen in verschiedener Stärke, was meist daher rührt, dals die Rauhigkeiten von wechselnden kleinen ebenen Flächenstückchen oder Facetten begrenzt sind, welche spiegelnd wirken. Die grölste Summe dieser Flächenstückchen liest in der Richtung der sesamtoberfläche und es liegen um so weniger in einer anderen Richtung, je gröfser deren Winkel mit der Gesamtoberfläche. Dadurch tritt neben der Licht zerstreuenden eine spiegelnde Wirkung der Oberfläche ein, die um so grölser wird, je grölser der Einfallswinkel des beleuchtenden Strahles. Die Art der Lichtzerstreuung wechselt mit der Körperoberfläche und kann nur durch Beobachtung bei jeder Art von Stoff und Beschaffenheit der Oberfläche ermittelt werden. 150. Beobachtungen bei Gyps über die Art der Licht- zerstreuung. Ich habe solche Beobachtungen bei gegossenem Gyps angestellt, der kristallinisch ist, d. h. aus lauter kleinen Kriställchen besteht, welche nach allen Seiten spiegeln. Sie sind in einer Festschrift und in Wiedemanns Annalen!) veröffentlicht, und ich will die Ergebnisse, nach denen wir nachher konstruieren wollen, hier im Auszug zusammenstellen. 1) Chr. Wiener, Die Zerstreuung des Lichtes durch matte Oberflächen. Festgabe v. d. Techn. Hochsch. i. Karlsruhe zum Jubiläum der 40 jährigen Regierung S. K. H. des Grolsh. Friedrich von Baden, Druck der G. Braunschen Hofbuchdruckerei, 1892, 8.145 und in Wiedemanns Annalen d. Phys. u. Chem. N. F. Bd. 47, 1892, S. 638. [105] Die Helligkeit des klaren Himmels. 179—180. 185 Der Einfallswinkel e und der Ausfallswinkel « sind die Winkel, welche der auf einen Punkt der Oberfläche fallende Lichtstrahl und der nach demselben Punkte gerichtete Sehstrahl mit der Flächennormale in diesem Punkte bilden; » ist der Neigungswinkel der Einfalls- und der Ausfallsebene, und zwar der Winkel, welchen die durch die Flächennormale begrenzten und den Lichtstrahl oder den Sehstrahl enthaltenden Halbebenen miteinander bilden. Dieser Winkel wird von O0 bis 180° gezählt; er heilse das Azimut. Die Helligkeit 7 hängt im allgemeinen weit vorwiegend von e ab und ist nahezu — eose. Aber sie ist auch vom Ausfallswinkel beein- fulst und wird im allgemeinen um so kleiner, je grölser der Ausfallswinkel, oder je mehr die Sehrichtung von der Normalen abweicht und in streifendes Sehen übergeht. Der Einflufs des Azimuts macht sich besonders geltend, wenn es nahezu 180° wird, wenn also der .ausfallende Strahl gerade auf der entgegengesetzten Seite der Flächennormale liegt wie der einfallende. Besonders wenn der ausfallende Strahl sich dem von der allgemeinen Ober- fläche gespiegelten nähert, wird die Helligkeit wesentlich grölser als cos s, und zwar um so mehr, je grölser e und dann auch @ wird. Es tritt dann ein förmliches Spiegeln ein. Es wurden nun die Helliskeiten 7 für wechselnde Ein-, Ausfalls- winkel und Azimute (s, «, v) gemessen, die Ergebnisse nach der Stetigkeit ausgeglichen und in den folgenden Figuren und Tabellen zusammengestellt. Als Einheit der Helliskeit diente diejenige, welche eine senkrecht beleuchtete und betrachtete Fläche zeigte =«—=0(). Bei den Versuchen wurden zwei gleiche ebene Gypsplatten angewendet, welche durch zwei möglichst gleich gehaltene Stearinkerzen beleuchtet wurden in einer durch Schirme voneinander unabhängig gehaltenen Weise. Die eine Platte wurde bei wechselnden Winkeln &, «, » von ihrem Lichte stets aus dem Abstande I m beleuchtet, die andere wurde stets senkrecht beleuchtet und betrachtet, und durch Annähern oder Entfernen ihres Lichtes wurden die Helliskeiten beider Flächen gleich gemacht. War dann der Abstand dieses Lichtes von seiner Platte = r, so war die Helliskeit beider Platten 7 = 1:7’; und so war zu einer bestimmten durch Messung der Winkel erhaltenen Gruppe von & a, v das H ermittelt. Nova Acta XCI. Nr. 2. 24 Tab. 79. Fig. 114. 186 Chr. Wiener. [106] Die Tabelle 79 gibt diese Helligkeiten, die in Abteilungen von unveränderlichem e mit den beiden Eingängen « und » zusammengestellt sind. Für jede Abteilung sind die Werte coss der Beleuchtungsstärken angegeben, welche für ganz matte Flächen zugleich die Helliskeiten 7 sein würden. Die Abweichungen der H von cose sind also die Wirkung der teilweisen Spiegelung. Andererseits kann man das Gesetz der Lichtzerstreuung anschaulich machen durch die Helligkeitsflächen. Man erhält eine solche, wenn wan bei festliegendem einfallenden Strahle, also bei unveränderlichem z, auf jedem von dem betrachteten Flächenelemente aus gezogenen ausfallenden Strahle die in seiner Richtung erscheinende Helligkeit 7 aufträgt und durch die Endpunkte dieser Strecken eine Fläche legt. In den angeführten Ab- handlungen sind photographische Abbildungen der Modelle solcher Flächen enthalten; die Fig. 114 gibt die Vertikalschnitte durch diese Flächen für v» — 0 und 180°, also für die in einer Ebene liegende Ein- und Ausfallsebene. Tabelle 79. Helligkeiten Z für die Einfallswinkel e, die Ausfallswinkel « und die Azimute ». « 00 | 150 300 450 60° 750 | g230 | 8640 | 900 | END 1,00 | 0,99 0,98 0,96 0,93 0,76 0,65 0,62 0,59 er lH Zeosrer 0.97: &.— 300, eos e==10.87, »=on 300 | 60° | [84 | Imz | 1 a |v—=0° 30° | 60% | 90° | 120°) 1500) 180 90° | 120° 1500| 1809 0, | 0, 0° 90212930229022905290229021290 0° 76 | 16 | :16.2761.76 762 E76 15° Se ol Eat oe aeg 150 77 | 70 Tr ale 30° 9393ER 931932793217 9371793. 309 80 | 80 1.79 | 79 | 79 | 78 | 78 450 9471,93:,1792711 922 9251.93, |.94 45" 82 | 82 | 81 | 80 | 81.| 83 | 86 600 91 | 90 | ss | 89 | 90 | 91 | 92 60° Ze ker || Tel) ike) | el El 15° BSR TA oe Tor ba 1700783 750 6071680 a 2 Te 83 sa4N| 62 | 63 | 63 | 63 | 63 | 165. | 68 8230| 53 | 61 | 64 | 64 | 65 | 67 | 73 865075952602] 7612 17615161 | 62 | 64 8650| 50 | 57 | 61 | 62:|.62 | 64. | 69 90° 562510 25821559717595156021760 909 48 | 53 | 58 | 58 | 58 | 60 , 64 [107] Die Helligkeit des klaren Himmels. SAH, eosE — 0 TE € — 5144‘, cos e = 0,58. 187 | | | | & |»=0%| 300 | 60% | 90° | 1209 1509) 1800 a v0) ' 90% 1200 1500 1800 | 0, 00 | .62 |62 |62 62 |62 |62 62 0° | 52 52 |52:|52 | 52 150 | 62 |e2 | 62 |62 62 \6ı | 60 150 | 51 51 50 |50 49 so | 63 |63 |63 |e3 |e2 |62 | 30° | 51 50 |50 49 49 450 | 63 163 | 63 |63 |63 | 66 87 45° | 50 52 |52 |54 |65 60° | 60 63 | 64 |65 |66 | 74 | 94 60% | 48 54 |55 |62 | 97 750 | 50 |58 | 62 |.63.| 64 |67 | 2 750 | 42 54 |56 61 |7ı 8240| 44 |53 59 |60 61 |65 | 69 8240| 37 53 |56 61 | 67 8640| 42 |49 |57 | 58 |59 | 64 |68 8640| 34 52 55 |61 66 90° | a0 |46 |55 |56 ı 58 | 62 | 67 900 | 32 51 |55 |61 | 65 € — 60°, cos &e = 0,50. En cosrek —10206: @ |v=0%| 30%602| 90" | 120° 150" 180° DT A Ar AZ AR Aa ar 150 | 46 a6 [46 |46 [45 |44 43 300 | 45 |45 |45 |44 43 4342 450 | a3 |44 |46 46 46 48 | 52 60° | 41 |45 |48 |48 |49 |55 | 98 75% | 37. |43 | 48 |49 |52 | 58 | 70 7205 7487 729215321590 165 8640| 32 |37 |47 |49 |53 | 60 | 64 135 |47 |48 |53 |60 | 63 | [0,o) 8 \ o [Sb] [34] 1% je>} & (>) = DD [0'°) 8 [e}1 Be el a \v=0° 0, 0° 24 15° 23 30° 22 45° 2]! 60° 21 752 22 | Di 8670| 19 909 16 31 32 | 90° 1200 1509 1800 | | 24 | 24 |0,24 | 23 | 23) (0,22 22 | 21 |0,20 23 | 24 |0,24 26 30 0,42 ı 31 | 38 2,04 33 |43 |280 35 | 45 11.80 36 | 47 |1,40 EI 38640 cosıa 0.078 22 | 35 |2,60 « |v=0° 30° 60° | 90° 120° 1500| 180° = 90° 1200 150° 150° | | \ | 0, | | | , | | Os 13, 13) 13 15. | 1320,13 OR 0,0000 102 K00R 15° | 13° 13 | 18°) 13 | 13 13 Jos 1 o7 |oz \oz | 007 30° | 12 la2| 12 | 12 | 11 | 11 [o,11 30° | 06 | 06 06 06 | 0,06 Fo a} 1230,12 45% | 05 | 08 05 |05 0,06 60% | 10 | 12 |13 | 13 | 14 | 16 |0,22 0205| 07,02 |0o8 | 0,11 75° | 12 12 |15 |16 |ı6 | 25 |1,90 75° | 06 09 | 10 | 12 | 1,30 8220| 11.112 |16 |17 |18 | 29 5,00 823°| 06 09 | 10 | 15 |14,00 862.10 42, | 17 \ 18 | 20 [3221521 864° | 05 09 11 16 1440 90 | os u |ı7 90° | 04 09 |ıı | 18 14,00 | 18 | 24* Fig. 115. 188 Chr. Wiener. [108] Diese Helligkeitsflächen wären für ganz matte Flächen oder nach dem Lambertschen Gesetze Halbkugeln vom Halbmesser cos e. Bei dem Gyps weichen sie etwas nach innen von diesen Kugeln zurück, wie die Figuren zeigen, haben aber in der Richtung der allgemeinen Spiegelung Ausbuchtungen, die um so grölser werden, je grölser & ist. E= 823° 72.02 ’ 180° Bene Be FT Pay an —— pe N, \ Wer Ze A: a 8034 EST, S S a FR ne — ——— 1851. Hellegleichen der Gypskugel bei Lichteinfall in der gebräuchlichen Richtung. Auf dieser Grundlage kann nun die Hellig- keit der Gypskugel durch ihre Hellegleichen dargestellt werden. Bei Parallelbeleuchtung und Parallelprojektion, insbesondere bei senkrechter Projektion, ist die Richtung der Lichtstrahlen und der Sehstrahlen unver- änderlich. Sei M der Mittelpunkt der Gypskugel, ML der einfallende Sonnenstrahl, MZ der projizierende Strahl, schneiden diese die Kugeloberfläche in L und Z, sei P ein beliebiger Punkt der Kugel, dessen Helligkeit be- stimmt werden soll, so ist LMP =: der Einfallswinkel, ZUP = « der Ausfallswinkel, und der Winkel der Ebenen dieser Winkel an der Kante MP das Azimut ». In dem sphärischen Dreiecke LZP ist LP=a, ZP=a, X LPZ =». Der Winkel ZML oder Bogen ZL sei = o, es ist der Winkel der Lichtstrahlen mit den projizierenden Strahlen. Bei einer Grundrifszeichnung ist MZ lotrecht und o die Zenitdistanz der Sonne. [109] Die Helligkeit des klaren Himmels. 180—181. 189 Es erscheint nun zweckmälsig, die Punkte ? auf Parallelkreisen mit Z als Pol zu wählen, die dann auch in der Projektion als Kreise erscheinen; diese haben einen unveränderlichen Ausfallswinkel «, und die Punkte P sind dann durch die Winkel LZZP = v festgelegt, die sich in der Projektion ungeändert abbilden. Dann ist o, a, w gegeben, und daraus folgt c08E — 6086 cusa + Sino sin« cos, sin» — sin y _. » erscheint hier zweideutig zwischen 0 und 180°, kann aber meist durch die Stetigkeit der Zahlen bestimmt werden. Andernfalls kann » durch eotg », also eindeutig, unmittelbar aus o, «, w erhalten werden. | | portional geschehen; in der Nähe der Spiegelungs- / punkte mus man aber ein kleines Kurvenstück aus den Zahlen der Tabelle (etwa auf quadriertem Papier) Se zeichnen. Hat man so die Helligkeiten H für eine Anzahl von Punkten des gewählten Kreises be- Hie:t15. Zu &, «, v sucht man dann durch dreifache Einschaltung aus der Tab. 79 das YH. Zweckmälsig wählt man für « die in der Tabelle vorkommenden Werte, wodurch nur eine zweifache Einschaltung notwendig ist. Meist kann die Einschaltung pro- stimmt, so ermittelt man wie früher durch Verzeichnung der Helligkeits- kurve entlang des Parallelkreises die Punkte desselben von den Helligskeiten der angenommenen Stufen und zeichnet dann durch die gleichhellen Punkte der verschiedenen Kreise die Hellegleichen. Wir wollen nun zuerst die Hellegleichen für die gebräuchliche Annahme mit der Zenitdistanz der Sonne o — 54" 44' für den Grundrifs der Kugel bestimmen und in Fig. 113 eintragen, worin die Lichtgleichen schon gestrichelt verzeichnet sind. Man erhält durch eine leichte tabellarische Rechnung die in Tab. 30 eingetragenen Ergebnisse. Hiernach zeichnet man die Kurven der Hellegleichen mit den Ordinaten 4 für die Horizontalkreise « — 15°, 30°, 54° 44', 60°, 90° mit den Abszissen » und für den durch die Sonne gehenden Vertikalkreis (p = » — 0 und 180°) mit den Abszissen « und bestimmt danach auf dem ersteren die », auf dem letzteren die «, welche zu den gewählten Abstufungen der Helliskeiten gehören. Dieselben sind: Fig. 113. Tab. 80. Fig. 116. 190 Chr. Wiener. [110] TE 5072 0,4 0,6 08009 Na — 123° 52° 30° 132% 9a Sara rt: 54° 44' agent 100% 34,5° 17° 60° 975 735 38% 32,5° 14° 90° 1,0: 565% v (u — 81° 71,52. 64! Ol 88.0293 Sr 180° 23° gP Tabelle 80. Berechnung der Helligkeiten auf der Gypskugel für 6 — 5444". a| 00 | 150 | | 300 IBavaa: | soo | 900 : —. Zu zu ._——_____._ 5 v| & |» | a | & v 2 & | Dia uleser | War a & DI NEL | Do 1° 77 To. Teumkleoiaafaaf ana von 1m, este ee 00154044’ 1800| 52 |39044° 1800 | 66 |24044°180° 81 12019'81053 94 5016 0° ‚93 35016.) 0% 45 309 | 42.16 1142.42 64 | 31.34 128.50 | 77| 24.13 | 82.18 | 83 |25.27 71.16 | 81 | 45.00 135.10 47 600 48.28 1109.36 59|45.25 97.41|63| 48.10 71.27 | 6049.59 67.04 59| 65.55 |50.37 38 90° 56.09 | 79.251 50 60.08 | 70.13| 45 | 70.33 | 59.53 | 32 |73.12 [58.26 | 28 90.00 154.41 (0) 120° 63-11 52.17 41 72.54 | 47.39 25] 90.00 | 44.55 | O | 150" 68.02 26.06 | 34 81.43 | 24.20, 13 | | 180% 6944| 0 |31|8444|) 0 |10 | Diese Punkte trägt man mittels der » oder « auf die Horizontalkreise Fig. 113. oder auf den (geradlinig erscheinenden) Sonnenvertikalkreis in der Fig. 113 über und verbindet die Punkte gleicher Helligkeit 7. Man erhält so die ausgezogenen Hellegleichen 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 0,9. Die erste 0,2 kann von Der hellste Punkt mit HZ —= 0,94 fällt sichtlich mit demjenigen 7 —1 für die ganz derjenigen der ganz matten Fläche kaum unterschieden werden. Die neuen Hellegleichen zu denselben 4 Sie sind in der Projektion anscheinend Ellipsen von etwas grölserer Exzentrizität matte Oberfläche zusammen. rücken daher von den früheren aus gegen den hellsten Punkt vor. als die früheren. Bildet man in der gebräuchlichen Weise den Grundrils und Aufrifs, in denen der Lichtstrahl 45° mit der Projektionsachse bildet, so sind beide [111] Die Helligkeit des klaren Himmels. 181—182. ap Bilder kongruent mit demjenigen der Fig. 113, indem in beiden der Winkel des Lichtstrahles mit der Richtung der Projizierenden einen Winkel von 54°44' bildet. Jedoch bilden die Liebtgleichen im Grund- und Aufrifs nicht die Projektionen derselben Linien an der körperlichen -Kugel, da an einem Punkte der Kugel zwar e für Grund- und Aufrifs derselbe, « und », und daher auch #7 verschieden sind. Sind dagegen im Grund- und Aufrils die Winkel des Lichtstrahls gegen die Projektionsachse verschieden, so werden Grund- und Aufrils der Hellegleichen verschieden. Man bemerkt aus der Zeichnung, dafs man bei der gebräuchlichen Annahme über die Stellung der Sonne keinen auffallenden Fehler begeht, wenn man die Gypskugel wie ganz matt betrachtet. See oe. Pe EX ZEE 20° ? 80 90 A| ZH 10! 230 u N N 3 EIN \ 161 0 N \ 6 H N er N N _N “ a6: N 22 U \ NS u — N SL 047 BEN NS 08} l > EN D a I US He a es 04 \ en \ Sggo r N vb 30 ep 90° " 120° 1507 "180° V- Fig. 116. Fig. 117. 152. Hellegleichen der Gypskugel bei grofsem Ein- und Ausfallswinkel des Lichtes. Anders ist es aber bei einer Stellung der Sonne, bei welcher grofse Ein- und Ausfallswinkel e und « auftreten und daher eine auffallende Spiegelung emtritt. Daher habe ich noch den Fall untersucht, in welchem der Sonnen- und der Seh- oder Projektions- strahl einen Winkel von o — 150° miteinander bilden. Die Formeln der S. 189 liefern dann die Tabelle 81. Dabei muls Tab. sı. die Einschaltung der Helliskeiten bei grolser Spiegelung sorgfältig mit Hilfe der Figuren 114 und mit anderen gezeichneten Kurven ausgeführt und 192 später doch noch nach der Stetigkeit ausgeglichen werden. Chr. Wiener. [112] Aus dieser Tabelle sind wieder die Helliskeitskurven für die Parallelkreise und für Fig. 117. Punkte der gewählten [04 65° 70° a) 80° 90° I) | 180° | H — v— VD Helligkeiten ermittelt: 0,2 12° 37° 47 0 63° 82° 64,7° 02 06 08 10 31° a7 23° 175° 37° 32° 975° 235° 15,5° 3,50 56,5° 495° 42° 34,0° 72° 40,5° 65,9° 67° 68° 68,99 71° 74° 86,5° 84° 80° 76,4 Tabelle 81. den Lichtstrahlenmeridian in Fig. 117 abgeleitet und aus diesen sind die 3erechnung der Helligkeiten auf der Gypskugel für o = 150° « |60% | 65% | 200 | 750 | 800 | 900 —- Ä ae nn rn een. | n| E v n| € 2 „| E v Ei @ v | | 0, EA } Beni; 0° 1909 180° [0° 85° [180° |24180° | 180° |1,28|75° | 1800 204 70° | 1800 |1,48|60° | 1800 63 300 | 88.31 165.31 06]83.37 165.28 0,44| 78.45 165.13 0,68 73.59 164.55 |1,10|64.21| 163.53 | 62 60" | | 89.05 154.21 0,03 84.33) 154.13 | 0,26) 75.31) 153.27 49 759 | | | 82.34 150.55 38 8325 | | | 86.16 150.16 18 909 | | | 90.00, 150.00 0 Fig. 118. In Fig. 118 ist nun die Projektion der Kugel dargestellt. Der Sonnen- meridian ist dabei aufrecht gestellt. Der gröfste Teil der Kugel erscheint im Schatten; die kleine Achse der Ellipse, welche die Eigenschattengrenze darstellt, ist — cos o — cos 150° — — 0,866, wenn der Kugelhalbmesser — 1; sie ist dem negativen Vorzeichen zufolge der Lichtquelle zugewendet. Auf die gezeichneten Parallelkreise sind nach der obigen Tabelle die Punkte der Hellegleichen übertragen und durch ihre Verbindung die Hellegleichen gezeichnet. Dieselben sind für H = 2,0; 1,5; 1,0; 0,8; 0,6 [113] Die Helligkeit des klaren Himmels. 182. 193 sichelförmigs; für 7 —= 0,4; 0,2 schliefsen sie sich ellipsenähnlich der Schattengrenze an. Die Lichtgleichen, das sind auch die Hellegleichen bei ganz matter Oberfläche, würden sich als Ellipsen der Schattengrenze an- schliefsen und von ihnen würden nur die für 0,2 und 0,4 sichtbar sein. Ich habe sie in der Figur nicht eingetragen. Man sieht also, dals in dem aulsergewöhnlichen Falle von o — 150° bei dem Gypse eine sehr merkliche Spiegelung auftritt. N ; Y, t N / VW, / 7 7, NY, U} / N, Die Hellegleichen der Gypskugel, hervorgebracht durch die Sonne allein, wenn der Sonnenstrahl und der Sehstrahl einen Winkel von 150° miteinander bilden (A = 1). Nova Actı XCI. Nr. 2 25 194 Chr. Wiener. [114] Zweiter Abschnitt. Die Beleuchtung des Bodens und der Kugel und die gleichzeitige Beleuchtung der Kugel durch die Sonne und die Atmosphäre. 153. Beleuchtungsstärke des Bodens, bestimmt durch Pro- jektion der Hellegleichen auf die Bodenfläche. Ein Quadratmeter einer Fläche, welche an der äufseren Grenze der Atmosphäre senkrecht von der Sonne bestrahlt wird, empfängt von ihr die Lichtmenge L. Besitzt sie das Rückstrahlungsvermögen A = 1, so ist ihre Helligkeit diejenige, welche wir als Einheit der Helligkeit angenommen haben. Diese Fläche strahlt auf ein zweites Quadratmeter, welches mit ihr parallel in einem senkrechten Abstande — 1m aufgestellt wird, die Lichtmenge Z:x') über. Ein anderes (Quadratmeter, welches die Helligkeit 7 besitzt, strahlt unter gleichen Ver- hältnissen die Lichtmenge ZH. L:x über. Daher strahlt ein Flächenelement f des Himmels, das im Abstande Eins gemessen wird, welches die Helligkeit 7 besitzt, auf 1 qm einer Ebene bei dem Einfallswinkel e des Lichtes gegen diese Ebene die Lichtmenge B=LH.froose.. über, welche die Beleuchtungsstärke bildet. Die durch die Einheit der Sonnenlichtmenge mittels Rückstrahlung durch das Himmelselement f hervorgebrachte Beleuchtungsstärke ist dann : das ist zugleich die Helligkeit der Fläche, wenn sie das Rückstrahlungs- vermögen A —= 1 besitzt. Die durch den ganzen Himmel erzeugte Helligkeit oder die durch ihn von der Sonnenlichteinheit hervorgebrachte Beleuchtungs- stärke’) ist dann 1 il bE— ES (BEER) — SE He coS 2 S Hr een n I 1) Dies folgt aus einer einfachen Überlegung, die z. B. ausgeführt ist auf 8. 398 in des Verfassers Lehrbuch der darstellenden Geometrie, Bd. I, 1884. [D.H.] 2) In dem vom Verfasser hinterlassenen Manuskript findet sich ein Hinweis darauf, dals er schwankte, ob er die hier berechnete Gröfse als Helligkeit mit ı oder als Beleuchtungs- stärke mit b bezeichnen wollte. Ihre Gröfse bleibt dieselbe, so lange die beleuchtete Fläche ganz matt ist und das Rückstrahlungsvermögen A — 1 besitzt. Die erste Annahme ist in [115] Die Helligkeit des klaren Himmels. 183. 195 Darin ist f' = fcose die senkrechte Projektion von f auf die beleuchtete Ebene. Die Beleuchtungsstärke db, die durch den ganzen Himmel auf der Ebene hervorgebracht wird, erhält man daher, wenn man die Summe der Produkte der Projektionen f‘ der Flächenelemente des Himmels in ihre Helligkeiten 7 durch x teilt. Um diese Summe zu erhalten, projiziert man die Hellesleichen des Himmels auf die Ebene, bestimmt, etwa mittels des Amslerschen Planimeters, die Gröfse der Flächenstreifen zwischen zwei benachbarten Hellegleichen, multipliziert diese Fläche mit der mittleren Helligkeit des Streifens, gewöhnlich dem Mittel zwischen den Helligkeiten der begrenzenden Hellegleichen, und nimmt die Summe dieser Produkte. Dies habe ich nun zuerst für die horizontale Bodenfläche aus- geführt. Es wurden, nur in der einen der beiden symmetrischen Hälften, die senkrechten Projektionen der um 15° voneinander entfernten Vertikal- kreise, das sind durch die Projektion des Zenites gehende gerade Linien, gezeichnet, sodann die- Projektionen der Horizontalkreise von den Zenit- distanzen Z£ in Abständen von 15°, das sind um die Zenitprojektion ge- zogene Kreise vom Halbmesser sing, und in dieses Netz wurden aus der flächentreuen Projektion (Fig. 100) die Hellegleichen des Himmels über- tragen, indem man ihre Schnittpunkte mit den Linien des gezeichneten Netzes durch Einschaltung übertrug. Die Berechnung wurde dann in der Weise der Tabelle 82 ausgeführt. Die erste aufrechte Reihe gibt die Helligkeit der von der Planimeterspitze umfahrenen Hellegleichen an; die zweite die Ablesung, welche mit dem Inhalt den noch folgenden Teilen des Werkes stets, die zweite meist gemacht worden. Hätte man, wie das im vorigen Abschnitt geschehen ist, teilweise Spiegelung der Fläche zulassen wollen, so hätte berücksichtigt werden müssen, dafs bei einer gegebenen Sehrichtung jedes Element des Himmels sich in einem anderen Punkte der Kugel gespiegelt hätte. Die Gröfse b wäre dann gar nicht in Betracht gekommen, vielmehr hätte ohne weiteres die Helligkeit h ge- bildet werden müssen, welche nicht blofs eine Funktion der Himmelshelligkeiten, sondern auch noch eine verwickelte und in geschlossener Form gleichfalls nicht vorliegende Funktion des Ein- und Ausfallswinkels gewesen wäre. Auf eine so verwickelte Betrachtung einzugehen, hatte aber der Verfasser keinen Anlafs, weil die Helligkeit jeder IIimmelsstelle aufserordentlich viel kleiner ist als die der Sonne und deshalb nur die bereits behandelte Spiegelung der Sonne merklich ins Gewicht fällt. Für die Klarheit der Darstellung erscheint es aber auf alle Fälle zweckmälsiger, die hier betrachtete Gröfse als Beleuchtungsstärke und nicht als Helligkeit zu bezeichnen. [D. H.] 95* Fig. 119. Tab. 82. 196 Chr. Wiener. [116] der umfahrenen Fläche proportional ist; die dritte den Unterschied zweier aufeinander folgenden Ablesungen, proportional mit dem Inhalt des zwischen den Hellegleichen enthaltenen Flächenstreifs; die vierte die Gröfse dieses Flächenstreifs, bezogen auf die grölste Kreisfläche der Himmelskugel vom Senkrechte Projektion der Hellegleichen des Himmels auf die horizontale Ebene 5 = 0, für den Fall, dals der Zenitabstand der Sonne 54°44‘ beträgt. : Halbmesser Eins als Einheit, erhalten aus jenem Unterschied durch Ver- vielfachung mit der erprobten Verhältniszahl 0,001985. Die Summe sollte 3,1416 — x sein, hat sich aber — 3,1966 ergeben. Daher wurde in der fünften Reihe eine Verbesserung der Flächen zu f' vorgenommen, so dafs die Summe — x wurde. Diese Verbesserung war hier zufällig auffallend grols; sie war: sonst meist so klein, dafs sie ganz unterbleiben konnte. Später wurde jene Verhältniszahl durch Verstellung am Planimeter genau [117] Die Helligkeit des klaren Himmels. 183. 197 auf 0,002 gebracht, wenn, wie hier, nur die eine Hälfte der symmetrischen Figur umfahren wurde Wurde aber die ganze Figur umfahren, so war die Zahl 0,001, oder die Zahlen der Differenz gaben sogleich auch die Fläche an. Die sechste Reihe enthält die mittleren Helligkeiten 4 der Streifen f‘, die siebente die Produkte f' H, oder die Lichtmenge der Streifen. Ihre Summe ergibt sich — 0,48635. Daher ist 5 = 0,48635 : x = 0,0547. Tabelle 82. Bereehnung der Beleuchtungsstärke db der horizontalen Ebene, hervorgebracht durch den klaren Himmel. Helligkeits- Ablesung | Unterschied Fläche | Verbesserte Mittlere Lichtmenge kurve Fläche f Helligkeit 7 TAI, 0.02 349 349 0,6920 0,6807 0,0165 0,01 1) 0,04 842 493 0,9780 0,9610 0,03 0,02885 0.06 1023 181 0,3590 0,3523 0,05 0,01765 0.08 1148 125 0,2480 0,2441 0,069 0,01687 01 67+9 76 0,1508 0,1483 0.09 0,01338 02 150.5-+1 15153 0,3507 0,3443 0,15 0,05170 04 83. 83 0,1644 0,1616 0,3 0,04857 0,6 19 42 0,0833 0.0821 0,5 0,04115 n. es 0,0406 0,0398 0,7 0,02793 10 56 9,5 0.0188 0,0185 0,9 0,01672 5 9 541 35 0,0694 0,0680 1.5 0,10230 30 65 14,5 0,0287 0,0283 2,9 0,07075 i 0,0129 0,0126 il 0,03920 0,48635 Vergleichen wir diese durch den klaren Himmel auf dem Boden hervorgebrachte Beleuchtungsstärke 5b — 0,1547 mit der durch die Sonne unmittelbar hervorgebrachten d. Nach Tab. 63 wird das Licht der in der angenommenen Zenitdistanz o — 54° 44' stehenden Sonne beim Durehgang durch die Atmosphäre auf 0,6978 seiner ursprünglichen Stärke vermindert; daher ist die durch die Sonne unmittelbar her- vorgebrachte Beleuchtungsstärke des Bodens 5b‘ — 0,6978 - cos o — 0,6978 - 0,5774 — 0,4029. Die gesamte Beleuchtungsstärke des Bodens ist daher b + b' —= 0,1547 + 0,4029 — 0,5576. Fig. 120. 198 Chr. Wiener. [118] Die durch unmittelbare Sonnenbeleuchtung hervor- gebrachte Beleuchtungsstärke ist daher 0,4029 :0,1547 — 2,6 mal so gro[s als die durch den klaren Himmel bewirkte. b Aulserdem ist — 0,72: a ee, 0,722, DE: 0,278, Be DR: b+b oder die Sonne unmittelbar trägt 72%, der klare Himmel 28° zur gesamten Beleuchtungsstärke des Bodens bei. Es ist noch bemerkenswert, dafs die durch die Sonne und die Atmosphäre erhaltene Beleuchtungsstärke 0,5576 des Bodens nur um weniges kleiner ist, als die durch die Sonne allein erteilte, wenn das Sonnenlicht durch die Atmosphäre nicht geschwächt würde, oder um weniges kleiner als 1 cos o — 0,5774. Es zeigt dies, dafs bei dieser höheren Stellung der Sonne das durch die Atmosphäre zerstreute Sonnenlicht fast alles doch auf den Boden gelangt, also weniges in den Weltraum zurückgeworfen wird, wie es ja den früheren Erörterungen (S. 134) entspricht. 184. Beleuchtungsstärke einer beliebigen Ebene. Gehen wir nun zur Bestimmung der Beleuchtungsstärke anderer Ebenen als der horizontalen über. Eine beliebige ebene Körperoberfläche denken wir uns bestimmt durch ihre aus dem Körper heraus gerichtete Normale und diese durch den Ort, den sie auf der Himmelskugel trifft. Dieser Ort wird aber festgelegt durch seine Zenitdistanz £, welche von O0 bis 180° gezählt wird, und sein Azimut «, welches von der Sonne an nach beiden Seiten hin von 0 bis 180° geht. Die beiden Seiten sind in Bezug auf die Himmelshelligkeit symmetrisch. Jene beliebige Ebene und die Horizontalebene schneiden sich in einer Geraden AMA,, einem Durchmesser der Himmelskugel, deren Halbmesser wir — 1 setzen. Die durch AA, abgegrenzte obere Hälfte ABA, der Ebene und je eine Hälfte der Horizontalebene ‘ schliefsen zwei Keilräume ein und zwei Stücke der Himmelskugel. Derjenige Teil ABA,CA des Himmels, welcher von jener Flächennormalen UN Fig. 120. (in N) getroffen wird, beleuchtet die betrachtete [119] Die Helligkeit des klaren Himmels. 183—184. 199 Ebene; wir müssen ihn daher auf unsere Ebene senkrecht projizieren. Der Halbkreis ABA, projiziert sich in sich selbst, der Halbhreis ACA, in die halbe nicht eingezeichnete Ellipse AC’A,. Es seien in der Horizontal- und der geneigten Ebene MC und MB die auf MA senkrechten Halbmesser, so liegt die Projektion C‘' des C auf die geneigte Ebene in der Geraden MB, und MC’ ist die kleine Halbachse jener Ellipse. Ist ferner Z das Zenit, Fig. 121. Senkrechte Projektion der Hellegleichen des Himmels auf eine Ebene, deren Flächennormale die Zenitdistanz 5 und das Azimut « besitzt, für die vier Fälle: & = 60°. « = 0% 5 = 60%, « —= 180°; gem gel Beh ee NEN. daher Bogen ZN —= £, Z' die Projektion von Z auf die Ebene ABA,, so liegt Z’ auf MB, und es ist offenbar MC' = ZZ' = cos. Auf diese Weise ist in Fig. 121 ABA,0'A die Projektion des be- leuchtenden Himmels für £ — 60°, und die Ergänzung AB,A,0'A zum Halb- kreis ist diejenige für © = 120°; ebenso in Fig. 122 für & = 30 und 150°. Fig. 121. Fig. 122. Fig. 120. 200 Chr. Wiener. [120] In diese Figuren müssen wir nun die Projektionen des Netzes von grölsten Vertikal- und von Horizontalkreisen eintragen, welches wir schon bisher benutzt haben, worin diese Kreise in Winkelabständen von 15° gelegt sind. Eine Vertikalebene ZDF sei durch ihre Normale MP, die in der Horizontalebene liegt, bestimmt. Der Winkel der beiden Vertikal- ebenen ZDF und ZMA wird durch den Winkel 8 = 0,MP ihrer beiden (=150% &=30° Fig. 122. Senkrechte Projektion der Hellegleichen des Himmels auf eine Ebene, deren Flächennormale die Zenit- distanz & und das Azimut « besitzt, für die zwei Fälle: 5 = 30%, « = 30°; 5 —= 150%, « — 30°. Normalen MP und MO, gemessen und bildet den Azimutunterschied der beiden Vertikalebenen. Der Vertikalkreis ZDF projiziert sich auf die schiefe Ebene ABA, als Ellipse, deren grofse Halbachse die Schnittlinie MD — 1 beider Ebenen bildet; die kleine Achse 2b liest in der Linie MP‘, wenn P‘ die senkrechte Projektion von P auf die Ebene ABA,, und es ist b= P'P, ebenso wie MC’ = Z'Z war. Zieht man aber PR 1 MA, so [121] Die Helligkeit des klaren Himmels. 184. 201 ist RP=cosß, wel x AMP = 90°—8. Ferner ist auch PR MA, SSPRR. —_ &, daher n = Je2 = un ) am Der Winkel 4,MP' —= y ist aber bestimmt durch ne RP‘ cos p cosQ SD RE EB — cotß cosß. Dabei ist also y der Winkel, den die kleine Achse der (elliptischen) Projektion eines Vertikalkreises mit dem Grenzdurchmesser AA, bildet und P'P die Grölse dieser kleinen Halbaxe. Wir haben nun folgende Lagen der schiefen Ebene gewählt, bestimmt durch die Zenitdistanzen ihrer Normale £ — 0, 30, 60, 90, 120, 150, 180°, und durch deren Azimute « gegen die Sonne von denselben Gröfsen. Dies sind 5-7+2— 37 Lagen, da für &—0 und — 180° das Azimut un- bestimmt ist, oder dieselbe Ebene alle Azimute besitzt. Für jede Ebene zeichnen wir das Netz der Vertikal- und der Horizontalkreise des Himmels in Abständen von 15°. Für die Vertikalkreise ist dann bei jeder Lage der schiefen Ebene % der Reihe nach 0, 15, 30, 45, 60, 75, 90° nach positivem und nach negativem Sinne Dadurch werden die Werte von y und b & Br WON 150 30° 45° 60° Q»2 90° 3028 70N290° TosA15 0960 26° 34° 32054220 b 0,500 0,483 0,433 0,3535 0,2500 0,1294 0 0070908, BSAD FAZ 3 10299; 38, 0 b 0,866 0,837 0,750 0,611 0,433 0,2245 0 IOTeE 0 b 1 0,966 0,866 0,707 0,500 0,2588 0 Die Horizontalkreise bilden sich als Ellipsen ab, ähnlich und parallel zu der in Fig. 120 nicht ausgeführten Abbildung AC’A, des Horizont- kreises ACA,. Ihre Mittelpunkte liegen auf MZ', in Entfernungen von M gleich MZ' . cos£' — sind. cos‘, wenn £' die -Zenitdistanz des Horizontal- kreises. Diese Abstände sind daher für Noya ActaXIC. Nr. 2. 26 Fig. 121. Tab. 83. 202 Chr. Wiener. [122] ch 30° 45° 54044: 60° 752.908 3020866. .0,835 0750. 0,611. ‚0,500. 20 Asse 0 2255080 60° 0500 0483 0,433 0,3535 0,2887 02500 01294 0 90° 1 0,966, 0,866 , -0,707 0577 70500. 0er Die grolsen Achsen der Ellipsen sind für alle Z dieselben = sin £. Auf diese Weise sind die Netze der Kreise abgebildet. Im all- gemeinen umfalst der Vollkreis einer beleuchteten Ebene, wie schon erwähnt, zwei Fälle, nämlich den von 5 und 180°—-2. Für a=0( und = 180° jedoch sind die Abbildungen der Hellegleichen symmetrisch in Bezug auf einen Durchmesser, so dafs man nur die eine Hälfte zu verzeichnen braucht. Dann dient ein Netz im Vollkreise für vier Fälle; so die Fig. 121 für ER, — 60° 2, 0,7 20ER SV), 270 Mol ec Ma In die Netze werden nun aus Fig. 100 die Hellegleichen des Himmels übertragen, indem man ihre Schnittpunkte mit den Bogen der Netzlinien durch proportionale Teilung überträgt. Indem man einen und denselben Schnittpunkt auf mehrere Netze sogleich hintereinander überträgt, läfst sich dies mittels des Rechenschiebers und seines Millimetermalsstabes sehr leicht ausführen. Nun bestimmt man in der Weise, wie sie vorhin für die Horizontal- ebene angegeben wurde, mittels des Amslerschen Planimeters die Grölsen der Flächenstreifen zwischen zwei benachbarten Lichtgleichen, multipliziert sie mit der mittleren Helligkeit der Streifen, addiert die Produkte, teilt die Summe durch x, so ist dies die Beleuchtungsstärke der betrachteten Ebene; und auch ihre Helligkeit, wenn sie vollkommen rauh wäre und das Rück- strahlungsvermögen A — 1 besälse. Die erhaltenen Zahlen sind in Tab. 83 eingetragen. Es sei dabei nochmals bemerkt, dafs dabei Verbesserungen der Flächen f‘ nicht mehr nötig waren, wie in Tab. 82, da ihre Summe nie mehr so viel von x = 3,1416 abwich, wie dort. Einige Zahlen dieser Tabelle 83 sind nicht die unmittelbar durch die Messungen erhaltenen, sondern die ein wenig nach dem Gesetze der Stetigkeit durch die sogleich zu erklärenden Kurven verbesserten. Die unmittelbar erhaltenen sind in der folgenden kleinen Tabelle gegeben. [1123] Die Helligkeit des klaren Himmels. 184—183. 203 & es 20R 150° 180° 60° 0,03087 0,02915 90° 0,02194 0,02222 120° 0,01414 0,01383 150° 0,00513 0,00521 0,00560 Tabelle 83. Beleuchtungsstärke, hervorgebracht auf einer Körperober- fläche durch die Atmosphäre, wenn « und £ das Azimut und dressZemitdistanzı der aus (deme Körper heraus serichteten Flächennormale sind. So 00 300 bog 22900 a | Sa et 0° | 0,15470 | 015470 | 0.158470 | 015470 | 0,15470 | 0,15470 | 0,15470 30° | 0,25250 | 0,23670 | 0,19800 | 0,14600 | 0,09595 | 0,06530 | 0,05680 60° | 0.,27900 | 0,25500 | 0,18480 | 0,10250 | 0,04360 | 0,03180 0,03030 900 | 0,24500 | 0,20680 | 0,13370 | 0,04670 | 002561 | 0,02160 | 0,02140 120° | 0,14520 | 0,11770 | 0,06070 | 0,02200 | 0,01408 | 0,01383 | 0,01380 150° | 0.03400 | 0,02516 | 0,01352 | 0,00627 | 0,00605 | 0,00602 0,00600 1800 0 0% Lo) ao oo 0 | | | 185. Die Kurven der Beleuchtungsstärke für verschiedene Ebenen. Die Ergebnisse sind in den Figuren 123 und 124 durch Kurven dargestellt. Die Ordinaten sind jedesmal die Beleuchtungsstärken, die Abszissen sind in Fig. 123 die Zenitdistanzen Z, in Fig. 124 die Azimute «. In Fig. 123 sind die Kurven entlang der Vertikalkreise für die paarweise ineinander übergehenden unveränderlichen Azimute « — 0° und 180°, 30° und 150°, 60° und 120°, 90° gezeichnet. Man bemerkt, dafs bei « —= 0° die Beleuchtungsstärke am grölsten ist mit H = 0,2793 bei £ = 58°, also nahe bei der Zenitdistanz der Sonne o— 54°44'. Es sagt dies, dals eine Ebene am stärksten von der Atmo- sphäre beleuchtet ist, wenn sie nahezu senkrecht auf dem Sonnenstrahle steht, obgleich hier ungefähr ein Drittel des Himmels nicht mehr mitwirkt, natürlich ein wenig heller Teil. 26* Fig. 123 und 124. Fig. 125. B I 030: 330} 204 Chr. Wiener. [124] Für « = 30° und 150° sind die Beleuchtungsstärken nicht viel schwächer als bei « = 0° und 180°. Alle Kurven gehen bei 5 = 0° durch denselben Punkt, indem die hierdurch bezeichnete horizontale Ebene in allen Kurven einbegriffen ist. In Fig. 124 sind die Kurven entlang der horizontalen Himmelskreise, Ps also für unveränderliche Zenitdistanz & dargestellt. Die Kurve 5 = 60° zeigt die gröfste Ordinate 4 —= 0,2790, fast die überhaupt grölste vor- kommende, welche für £ = 58° mit H = 0,2795 stattfindet. Die HZ nehmen von «= 0° bis 180° stetig ab, mit Ausnahme natürlich von & = 0° und 180° wo H konstant — 0,1543 und = ist; es gilt dies für die nach oben oder nach unten freie horizontale Ebene. B Fig. 124. 186. Die zur Himmelsbeleuchtung gehörige Fläche der Beleuchtungsstärke. Ferner kann man den Inhalt der Tabelle 83 durch eine Fläche der Beleuchtungsstärke darstellen, indem man auf den aus einem Punkte gezogenen Flächennormalen die Beleuchtungsstärken, das sind auch die Helligskeiten #/ dieser Flächen, wenn sie ganz matt sind und das Rückstrahlungsvermögen A — 1 besitzen, aufträgt. In Fig. 125 sind die [125] Die Helligkeit des klaren Himmels. 185—187. 205 Normalsehnitte dieser Fläche, also Schnitte mit unveränderlichem «, gezeichnet; es ist dies die Darstellung der Fig. 123, übertragen aus den rechtwinkligen in Polarkoordinaten. Diese Normalschnitte sind kreisähnliche Figuren, von den '/; bis !/; unter der Horizontalebene liegt, und welche noch nach der Seite der stumpfen Winkel « einen abwärts gerichteten Höcker besitzen. Fig. 125. Vertikalscehnitte durch die Beleuchtungsfläche der Beleuchtung durch den klaren Himmel bei den Neigungen der Vertikalebenen gegen die durch die Sonne gehende Vertikalebene von « = 0°, 30°, 60°, 90°, 120°, 150°, 180°, 187. Die Lichtgleichen der Kugel, hervorgebracht durch den klaren Himmel. Mittels der Figuren 123 und 124 können nun Lichtgleichen der Kugel, hervorgebracht durch den klaren Himmel, ge- zeichnet werden. Es geschieht dies ebenso, wie es für die Hellegleichen des Himmels geschah. Durch die Horizontalen für H — 0,005; 0,01; 0,02; 0,03; 0,04; 0,06; 0,08; ... 0,26 in Zwischenräumen von 0,02 in der Fig. 123 werden die £ der Punkte der gezeichneten vertikalen grölsten Kreise der Kugel ermittelt, in welchen jene bestimmten Beleuchtungsstärken herrschen; und ebenso aus der Fig. 124 die « der entsprechenden Punkte auf den ge- zeichneten Horizontalkreisen. Diese werden nun in dem Grundrils der Fig. 126. Fig. 127. Fig. 128. 206 Chr. ‚Wiener. [126] Kugel auf jene Kreise übertragen, und durch die Punkte gleicher Beleuchtungs- stärke die Lichtgleichen gezogen. So ist in Fig. 126 der Grundrifs des oberen, und in Fig. 127 derjenige des unteren Teiles der Kugel dargestellt. Aus diesen Figuren ist die Fig. 128 abgeleitet, d.i. die Projektion der Lichtgleichen auf die vertikale Symmetrieebene, welche durch die Sonne DU 2795 Ye, WS SIE Eh ——_ I SITE &=0° Fig. 126. Lichtgleichen der Kugel, durch die Atmosphäre allein hervorgebracht. Grundrifs, oberer Teil der Kugel. geht. Es sind hier nur die Punkte auf die als gerade erscheinenden Horizontalkreise und auf den Umrils, letzteres unmittelbar aus der Tab. 83 übertragen. Die Kurven erscheinen meist wenig von der Geraden ab- weichend, so dals ihre Gesetzmälsigkeit am deutlichsten in dieser Projektion erkannt werden kann. Es können daher auch hier am besten Verbesserungen auf Grund der Stetigkeit vorgenommen und in Fig. 126 und 127 übertragen [127] Die Helligkeit des klaren Himmels. 187. 207 werden; doch waren nur zwei unerhebliche notwendig. Diese fast geraden Linien erscheinen nahezu senkrecht auf dem Sonnenstrahle; die Lichtgleichen selbst sind daher nahezu Kreise, die mit den Lichtgleichen der unmittel- baren Sonnenbeleuchtung nahezu gleich laufen. Erst bei ganz geringer Beleuchtungsstärke, von etwa 0,04 an, beugen sie von jener Richtung ab _ Fig. 127. Lichtgleichen der Kugel, durch die Atmosphäre allein hervorgebracht. Grundrils, unterer Teil der Kugel. und gestalten sich gebogen fächerförmig und legen sich um den tiefsten Punkt der Kugel, von der Helligkeit 0, herum. Aus der Fig. 128 unmittelbar, ohne Zuhilfenahme von Fig. 126 und 127 wurde dann die Projektion der Lichtgleichen auf eine Vertikalebene übertragen, welche mit der Ebene der Fig. 128, der durch die Sonne gehenden Vertikalebene, einen Winkel von 45° bildet. Fig. 129 ist die Fig. 129. Fig. 130. 208 Chr. Wiener. [128] Projektion des vorderen, Fig. 130 die des hinteren Teiles der Kugel; es ist dies die in den technischen Zeichnungen übliche Stellung der Aufrils- ebene gegen die Sonne. Das Übertragen der Punkte geschah nur auf den Horizontalkreisen, die als Gerade erscheinen, und konnte aus Fig. 128 in 129 und 130 leicht mit dem Handzirkel allein ausgeführt werden mittels Fig. 128. Lichtgleichen der Kugel, durch die Atmosphäre allein hervorgebracht. Projektion auf die durch die Sonne gehende vertikale Symmetrieebene. eines festen Winkels von 45° und einiger festen konzentrischen Viertels- kreise, deren Halbmesser gleich denjenigen jener horizontalen Kreise, multi- pliziert mit cos 45° — 0,707, waren. Die Kurven, als Projektionen kreis- artiger Kurven, sind ellipsenartig; nur diejenigen von geringer Helligkeit weichen merklich davon ab. [129] Die Helligkeit des klaren Himmels. 187 —-188. 209 188. Die Lichtgleichen des Bodens in der Nähe der auf ihm liegenden Kugel, hervorgebracht durch den Himmel allein. Wir haben die Beleuchtungsstärke bestimmt, welche auf dem Boden durch den klaren Himmel hervorgebracht wird. Die Kugel aber, die wir auf dem Boden in dem Punkte 4 (Fig. 131) aufgelagert denken, hält in ihrer Nähe einen Fig. 131. Fig. 129. Lichtgleichen der Kugel, durch die Atmosphäre allein hervorgebracht. Projektion auf die zur Symmetrieebene um 45° geneigte Vertikalebene. (Vordere Seite.) beträchtlichen Teil des Himmelslichtes ab. Um nun an einem benachbarten Punkte P des Bodens die vom Himmel hervorgebrachte Beleuchtungsstärke zu ermitteln, legen wir aus P als Spitze einen (Umdrehungs)-Kegel be- rührend an die Kugel, welcher dann den Boden entlang PA berührt. Derselbe schneidet aus der Himmelskugel einen Kreis aus, dessen Inneres die Stelle P nicht beleuchtet. Nova Acta XCl. Nr.2. 27 210 Chr. Wiener. [150] Um den Halbmesser dieses Kreises zu bestimmen, bezeichnen wir in Fig. 131, welche den Schnitt einer durch PA gelegten Vertikalebene mit der Kugel und dem Boden darstellt, den Halbmesser MA der Kugel mit r, den Abstand AP mit «, den Winkel APM mit z, dann ist eotgy = x:r. Der Halbmesser des Berührungskreises ist dann (A = x sin y. Fig. 130. Lichtgleichen der Kugel, durch die Atmosphäre allein hervorgebracht. Projektion auf die zur Symmetrieebene unter 45° geneigte Vertikalebene. (Hintere Seite.) Zur Bestimmung der Beleuchtungsstärke des Bodens müssen wir aber die Himmelskugel mit ihren Hellegleichen und mit dem ausgeschnittenen Kreise auf den Boden projizieren. Nehmen wir PA — x als Halbmesser der Himmelskugel und als Einheit für diese Projektion, so wird jener Berührungs- kreis zugleich der ausgeschnittene Kreis, und sein Halbmesser ist gleich CA sing: [131] Die Helligkeit des klaren Himmels. 188. 211 Die Projektion dieses Kreises auf die Bodenfläche ist aber eine Ellipse, C'A'D‘, deren grolse Halbachse a CHE VA sind; und deren kleine Halbachse hi (ee Milo = mr Fig. 131. Eine solche Ellipse verzeichnet man nun, schneidet sie aus dem Papier aus und deckt sie auf die mit dem Halbmesser — 1 verzeichnete Horizontal- projektion der Himmelshalbkugel, so dafs sie in einem Scheitel ihrer kleinen Achse den begrenzenden Horizontalkreis dieser Halbkugel in dem Auflager- punkt A der Kugel berührt. Die Ellipse deckt dann den nicht beleuchtenden Teil des Himmels zu, und von dem Reste bestimmt man, wie vorher, mittels Planimeter und tabellarischer Rechnung die erzeugte Helligkeit. Ist die Ellipse klein (bei grolsem x), so deckt man besser den äulseren Teil derselben 27* 212 Chr. Wiener. [132] zu, bestimmt die durch den inneren Teil erzeugte Helligkeit des Bodens in P und zählt diese von der durch den ganzen Himmel hervorgebrachten Helligkeit, die wir (S. 197) — 0,15470 gefunden haben, ab. Ich habe nun die Punkte ? in den Abständen &:r = 0,25; 05; 1, 2, 3, 4, 5, 6 gewählt und unter den Azimuten « — 0, 45, 90, 135, 180°, wobei « wieder den Winkel von AP mit der Projektion des vom Kugel- mittelpunkte M gegen die Sonne gerichteten Strahles bedeutet. Es ergab sich dabei für ve eher 0.25 0,5 il 2 b) 4 5 6 % 15°58'- 63.26 45200: 26°34' 18226: 14%02/ 1171979728; 06 sin ya 0970,75 894=7707 447 3162 2425 1962 1645 br>—sinz .0,9242778007 2500 200 1000 0588 0385 0371 Die Ergebnisse für die Beleuchtungsstärken sind in Tab. 84 nieder- 2. gelegt. Mittels dieser Tabelle wurden nun die Lichtkurven («:r), H für . unveränderliche @« und die Kurven «, H für unveränderliche (x: r) gezeichnet. Die ersten Kurven zeigen, dafs bei x — (0, oder in dem Auflagerpunkt, die Lichtstärke Null stattfindet, dafs diese mit wachsendem x steigt, besonders rasch auf der Sonnenseite (« — 0), und dafs alle Kurven mit wachsendem x sich der Asymptote mit der vollen Beleuchtungsstärke H = 0,15470 nähern. Nach diesen werden die Punkte bestimmt, welche den Lichtgleichen von den gewählten Lichtstärken 0,02; 0,04; ... 0,14; 0,15 angehören; aus nn Bee = Fig. 132. [135] Die Helligkeit des klaren Himmels. 188. 213 der ersten Figur die z:r für bestimmte «, aus der zweiten die « für be- stimmte x:r. Diese Punkte wurden in Fig. 134 eingetragen, die ersten auf den Geraden «@ = 0°, 45°, ... 180°, die zweiten auf den Kreisen x: r — 0,25; 0,5; 1... 5. Durch diese Punkte wurden dann die Lichtgleichen- von den gewählten Lichtstärken gezogen, wobei aber zu bemerken ist, dafs die Punkte auf den Kreisen keine grolse Genauigkeit besitzen, da die Kurven der Fig. 133 aus nur wenigen Punkten verzeichnet wurden; sie wurden daher auch fast nicht berücksichtigt. Tabelle 84. Beleuchtungsstärke, hervorgebracht vom klaren Himmel in einem Punkte ? des Bodens in der Nähe einer Kugel vom Halbmesser r, wenn der Abstand AP vom Auflagerpunkt A der Kugel =x, und wenn das Azimut von P gegen die durch die Sonne seleote Mertikalebene — aist. 2:r @ 0% 450 90° 1350 | 180% 0.25 | 0.003791 | 0,02658 | 0,01194 | 0,00566 | 0,00488 0,5 0,12760 | 0,11800 | 0.05193 | 0.01605 | 0,01018 1 014610 | 014540 | 0,13552 | 0,04150 | 0,02160 2 | 0,15163 | 015213 | 0,15122 | 0,13542 | 0,05370 3 | 0,15316 | 015348 | 0,1542 0,14922 | 0,11220 4 | 015390 | 0,15406 | 0,15411 | 0,15219 | 0,14209 5 | | | | 0,14935 6 | | ' 0,15203 Diese Lichtgleichen des Bodens in der Nähe der Kugel, hervor- gebracht durch die alleinige Beleuchtung durch den Himmel haben eiförmige Gestalten, die sich um den Auflagerpunkt A der Kugel, ähnlich wie um einen gemeinschaftlichen Brennpunkt herumlagern. Auf der Seite der Sonne liegen sie dicht beisammen, auf der entgegengesetzten weiter auseinander; ihr spitzes Ende ist der Sonne zugekehrt. Der Umrifs der Kugel ist zu- gefügt; er zeigt, dafs auf der Sonnenseite in einem Abstande 2 — r mit H = 0,14610 fast schon die gröfste Bodenlichtstärke 0,15470 erreicht ist, Fig. 134. 214 Chr. Wiener. [134] während auf der von der Sonne abgewendeten Seite die gleiche Stärke erst etwa bei x — 4,3 erreicht wird. Es ist auch noch die Schlagschattengrenze der Kugel eingezeichnet, eine Ellipse, deren Mittelpunkt C, wobei AC=r-tgo = 1414.r, wenn die Zenitdistanz der Sonne o — 54°44‘, deren grolse Halbachse = r : cos o — 1,74r, und deren kleine Halbachse = r. Die Lichtgleichen innerhalb Fig. 134. Lichtgleichen des Bodens, hervorgebracht durch die alleinige Wirkung des Himmels, in der Nähe der bei A aufgelagerten Kugel. dieser Schattenellipse sind fast vollständig die wirklich eintretenden Licht- gleichen; denn sie werden nur sehr wenig durch den Reflex der selbst im Eigenschatten befindlichen Kugelhälfte geändert. 1859. Die Lichtgleichen der Kugel, hervorgebracht durch die gleichzeitige Beleuchtung durch die Sonne und die Atmo- sphäre. Wir kommen nun zur Aufgabe, die Lichtgleichen der Kugel zu [135] Die Helligkeit des klaren Himmels. 188—189. 21 bestimmen, welche bei der gleichzeitigen Bestrahlung durch die Sonne und durch den Himmel entstehen. Verzeichnen wir zuerst an der Projektion der Kugel auf die durch die Sonne gehende Vertikalebene, in Fig. 135 die durch die Sonne hervorgebrachten Lichtgleichen. Das durch die Atmosphäre geschwächte Sonnenlicht hat nur noch die Stärke 0,6978 (S. 197), und dies Fig. 135. Die Lichtgleichen der Kugel, hervorgebraeht durch gleichzeitige Einwirkung der Sonne und der Atmosphäre. ist auch die Beleuchtungsstärke der Kugel am Endpunkte Z des der Sonne zugewendeten Halbmessers ML. An einem anderen Punkte ? der Kugel (in der Figur nicht angegeben), wo der Einfallswinkel der Sonenstrahlen & ist, ist die Beleuchtungsstärke d — 0,6978 - cose. Bezeichnet man die Pro- jektion von ? auf ML mit P', so ist cos = MP':MP= MP':ML, daher MP‘ en NE ML’ u 0,6978 b = 0,6978 - — b.1,433 ML. Fig. 135. Fig. 136. 216 Chr. Wiener. [136] Die zu den Beleuchtungsstärken d = 0,1; 0,2; ... gehörigen Punkte P' erhält man daher, wenn man auf ML über L hinaus die Strecke ML’ — 1,433 ML aufträgt, und sie in zehn gleiche Teile teilt, zu M die Zahl O schreibt, wobei dann bei Z die Zahl 0,6978 stehen würde. Dann zieht man durch die auf der begrenzten Strecke ML liegenden Teilungspunkte Senkrechte zu ML, und diese geraden Linien stellen die kreisförmigen Lichtgleichen der Kugel von den Beleuchtungsstärken 0; 0,1; 0,2... 0,6 vor; sie sind in der Figur gezeichnet und mit eingeklammerten Zahlen bezeichnet. Die durch die alleinige Wirkung der Atmosphäre hervorgebrachten Lichtgleichen sind in übereinstimmender Projektion in Fig. 128 dargestellt, und es handelt sich nun darum, aus beiderlei Linien die durch beiderlei Ursachen hervorgebrachten Lichtgleichen herzustellen. Zu dem Ende mufs man aus beiderlei Figuren für übereinstimmende Linien der Kugel die Beleuchtungskurven herstellen und ihre Ördinaten mit demselben Fufspunkt zusammenfügen. Es schien mir am einfachsten, als Linien der Kugel horizontale Kreise zu wählen, die in unseren Pro- jektionen als horizontale Gerade erscheinen; dieselben wurden für die Zenitdistanzen & —= 15°, 30°, 45°... 165° gezeichnet. Als Abszissen wurden dann nicht die Kreise selbst, sondern ihre geradlinigen Projektionen an- genommen, ihre Schnittpunkte mit den Lichtgleichen (0), (0,1), (0,2) ... der Fig. 135 übertragen und in ihnen die Ordinaten von jenen Gröfsen (0), (0,1), (0,2) mit irgend einem Malsstabe (demjenigen eines quadrierten Papieres) aufgetragen. Die Endpunkte dieser Ordinaten wurden verbunden, und die Verbindungslinien sind die Beleuchtungskurven für die Sonnenbeleuchtung. In Fig. 136 sind diese Kurven für & — 15°, 45°, 90° mit 15‘, 45‘, 90° be- zeichnet, angegeben. Die übereinstimmende Beleuchtungskurve für die atmosphärische Beleuchtung wurde dann sogleich auf die ersteren Kurven summierend auf- gesetzt, indem man auf dem übereinstimmenden Horizontalkreise der Fig. 128 die Abszisse bis zu einer Lichtgleiche mafs, den Punkt der verzeichneten (ersteren) Beleuchtungskurve von dieser Abszisse bemerkte, in ihm eine addierende Ordinate gleich der Beleuchtungsstärke jener Lichtgleiche der Fig. 128 zufügte und dann die Endpunkte verband. Die so erhaltenen Kurven waren ebenfalls fast geradlinig; sie sind mit 15, 45, 90 bezeichnet. [137] Die Helligkeit des klaren Himmels. 189. 217 Dann mafls man an dieser Summenkurve die Abszisse der Punkte von den Helligkeiten 0; 0,1; 0,2 ..., und übertrug sie in die Fig. 135. Man erhielt durch Verbindung der gleichbezifterten Punkte die Lichtgleichen für die gleichzeitige Sonnen- und atmosphärische Beleuchtung. In der beschatteten Hälfte der Kugel bestehen sie ausschliefslich aus den Lichtgleichen der atmosphärischen Einwirkung; in der beleuchteten Hälfte aber sind es in dieser Darstellung fast gerade Linien, die an ihrem oberen Ende etwas der Sonne zugebogen, an ihrem unteren etwas von ihr abgebogen sind. Auf der Kugel sind es also fast Kreise. Der hellste Punkt der Kugel liegt zwischen den beiden hellsten 30- Punkten der einzelnen Beleuchtungen, oo Ne und diese liegen sehr nahe zusammen. N Derjenige der Sonnenbeleuchtung hat RE nn die Zenitdistanz o — 5444 undde AN N Beleuchtungsstärke 0,6978; derjenige 06. N N der atmosphärischen Beleuchtung hat , RN Ss a N die Zenitdistanz etwa = 575" und | NN N die Beleuchtungsstärke 0,2795. Der 7 N N hellste Punkt der gemeinschaftlichen 03- N N Beleuchtung hat die Zenitdistanz von 021 i IR N etwa 55°42' (die Lichtgleichen der b3 IS N atmosphärischen Beleuchtung haben a \ NS srölsere Abstände, als die der Sonnen- Ian — 3 Fig. 1806. beleuchtung) und eine Beleuchtungs- ö stärke nahe gleich der Summe von jenen oder 0,9773. Sie ist also fast gleich 1, d.h. so grols wie die durch das ungeschwächte Sonnenlicht hervor- gebrachte, wie wir ähnliches für die Bodenbeleuchtung fanden (S. 118). Die Licht- und Schattengrenze der Sonnenbeleuchtung ist der auf den Sonnenstrahlen senkrechte gröfste Kreis; er wird, zwar nicht mathe- matisch genau, aber doch so weit die Genauigkeit der Zeichnung reicht, zur Lichtgleichen 0,05. Die Lichtgleiche 0,05 der atmosphärischen Be- leuehtung (Fig. 128) liegt ganz nahe diesem grölsten Kreis und wird durch die hier schwache Sonnenbeleuchtung etwas von der Sonne weggerückt, so Noya Acta XCI. Nr. 2. 28 218 ' Chr. Wiener. [138] dals sie fast genau in jenen gröfsten Kreis gelangt. Die Liehtgleichen auf der Sonnenseite haben in dieser Projektion fast gleiche Abstände; gegen die Mitte M der Kugel hin werden sie ganz wenig grölser. Die Richtung dieser Projektionen der Lichtgleichen ist fast senkrecht auf ML; gegen L hin werden sie ganz wenig steiler gegen die Horizontalebene. Es zeigt sich daher das überraschende Ergebnis, dafs auf der durch die Sonne beleuchteten Kugelhälfte die gebräuchliche Darstellung der Licht- gleichen fast richtig ist, obgleich dabei gar keine Rücksicht auf die Atmo- sphäre genommen wird, weder auf ihre Lichtschwächung des Sonnenlichtes, noch auf die Beleuchtung durch sie, dafs sich also beiderlei Wirkungen fast aufheben. Nur an der Licht- und Schattengrenze ist die Wirkung merklich. Man erhält nun sehr nahe richtige Lichtgleichen, wenn man, auf dem der Sonne zugewendeten Kugelhalbmesser ML, bei L die Beleuchtungs- stärke 1, bei M 0,05 anschreibt, ML in 95 gleiche Teile teilt, den halben Teil bei M anträgt, und dann die Zahlen 0,05; 0,1; 0,2; 0,9; 1,0 anschreibt, und durch die Teilpunkte senkrechte Gerade zu ML zieht; sie sind die Projektionen der angenähert kreisförmigen Lichtgleichen. Im Schatten wurden die Lichtgleichen oft ebenfalls als Kreise an- gegeben, symmetrisch zu denen auf der Sonnenseite in Bezug auf die Ebene der Eigenschattengrenze, und dabei wurde der der Sonne gegenüberstehende Punkt als hellster angenommen und die Dunkelheit unmittelbar hinter der Eigenschattengrenze am stärksten. Man dachte sich dabei den sogenannten atmosphärischen Strahl, der die Beleuchtung durch die Atmosphäre ersetzen sollte, als dem Sonnenstrahl gerade entgegengesetzt gerichtet. Das zeigt sich nun, soweit aulser der Sonne nur noch die Atmosphäre beleuchtend wirkt, als unrichtig. Die Beleuchtungsstärke im Schattenteil nimmt von der Eigenschattengrenze an ab und ist am Auflagerpunkt am Boden am schwächsten = 0. Die wirklichen Verhältnisse ermitteln wir aber erst durch Berücksichtigung der Rückstrahlung des Bodens, die wir alsbald bestimmen werden. [139] Die Helligkeit des klaren Himmels. 189—190. 219 Dritter Absehnitt. Die gegenseitige Rückstrahlung zwischen dem Boden und der Kugel und die gleichzeitige Beleuchtung der Kugel dureh die Sonne, die Atmosphäre und den Boden. 190. Die Lichtgleichen des Bodens, hervorgebracht durch die auf ihm liegende Kugel, wenn sie durch die Sonne und den Himmel beleuchtet ist und das Rückstrahlungsvermögen A = 0,7 besitzt. Wir bestimmen zunächst die Beleuchtung des Bodens durch Rück- strahlung der auf ihm aufliegenden Kugel. Wenn ein mattes Flächenelement f eine Ebene PA bei P beleuchtet, so sendet es ebenso viel Licht auf die Flächeneinheit bei ?, wie das matte Flächenelement 7, welches die Projektion von f aus dem Punkte P? auf eine Kugel ist, die man aus 7 als Mittelpunkt mit dem Halbmesser 1 beschreibt, vorausgesetzt, dafs f und f‘ dieselbe Beleuchtungsstärke d und dasselbe Rückstrahlungsvermögen A besitzen. Die durch f oder f‘ auf der Flächeneinheit bei ? er- zeugte Beleuchtungsstärke ist dann Een Alec IT b‘ wenn = der Einfallswinkel des Lichtes auf PA. Nun ist aber 7 0058 = ji" gleich der Projektion von f' auf die Ebene PA. Daher ) ba Er b-A. IT b' ist also ebenso grofs, wie wenn die Fläche f“ der Fläche PA bei P im senkrechten Abstande 1 gerade gegenübergestellt würde und die Beleuchtungs- stärke 5 und das Rückstrahlungsvermögen A besälse. Um daher die Beleuchtungsstärke b' zu bestimmen, welche auf der Flächeneinheit bei P durch eine matte Oberfläche hervorgebracht wird, deren Lichtgleichen gegeben sind, projiziere man diese Lichtgleichen aus P auf eine um 7 als Mittelpunkt beschriebene Kugel vom Halbmesser Eins, 98% Fig. 137. Fig. 131. 220 Chr. Wiener. [140] projiziere diese Linien von der Kugel auf die Ebene des Flächenelementes f, bestimme (mittels des Planimeters) die Flächengröfse der Streifen zwischen zwei aufeinander folgenden Lichtgleichen dieser letzteren Projektionen, multipliziere jede solche Streifgröße mit der zugehörigen mittleren Be- leuchtungsstärke jener matten Fläche, nehme die Summe dieser Produkte, teile sie durch x und vervielfache sie mit dem Rückstrahlungsvermögen A jener matten Fläche, so ist dies die Beleuchtungsstärke der Flächeneinheit bei P. Um dies Verfahren auf die Bestimmung der Beleuchtungsstärke des Bodens bei P, hervorgebracht durch Rückstrahlung der auf dem Boden bei A aufgelagerten Kugel, anzuwenden, beschreiben wir wie vorhin S. 209 aus P an die Kugel den berührenden Kegel, welcher ihn entlang des Kreises vom Halbmesser C4 berührt. Es fällt dann Licht von dem Teile der Kugel nach P, welcher von diesem Kreise begrenzt und P zugekehrt ist. Dann sollten wir aus P als Mittelpunkt eine Kugel mit dem Halb- messer Eins beschreiben; statt dessen wählen wir den veränderlichen Halb- messer PA —= x; und wenn wir den unveränderlichen Kugelhalbmesser MA=r-—]1 setzen, so erhalten wir auf der mit jenem Halbmesser x be- schriebenen Kugel Längen, die im Verhältnis x: r, und Flächen, die im Verhältnis (x: r)’ zu großs sind. Wir müssen daher die Ergebnisse wieder mit (r: x)’ vervielfachen. Auf diese Kugel PA projizieren wir nun den Berührungskreis CA mit den in seinem Innern liegenden Lichtgleichen der Kugel MA und diese Projektionen dann auf die Bodenfläche PA. Der Berührungskreis OA liegt aber schon auf der Kugel PA, projiziert sich also in sich selbst; auf die Bodenfläche projiziert er sich dann in die Ellipse C'4'D‘ (Fig. 131), von der wir schon vorhin (S. 211) gesehen haben, dafs ihre grofse Halb- achse fürn — 1 CD'= CA siny, und deren kleine — CA nr ist. Die Werte dieser Achsen für die verschiedenen Werte von &:r sind auf S. 212 angegeben, und wir müssen die gleichen Ellipsen wie dort zeichnen. In diese Ellipsen müssen nun die zweimal projizierten Lichtgleichen unserer Kugel eingetragen werden. Wir betrachteten die Kugel vorerst nur von der Sonne und der Atmosphäre beleuchtet und bilden uns daher eine neue Figur mit den hierdurch erzeugten Lichtgleichen in Fig. 138 durch Übertragen aus Fig. 135, welche die Projektion auf die durch den [141] Kugelmittelpunkt M und die Sonne gehende Vertikalebene enthält. Die Helligkeit des klaren Himmels. 190. wa! Die Punkte P des Bodens legen wir wieder fest durch ihren Abstand AP —= x vom Auflagerpunkt 4 der Kugel und durch das Azimut « von AP, d.h. den Winkel des 4P mit der Projektion des Strahles aus A gegen die Sonne. Konstruktion der Hilfsfiguren zur Bestimmung der Bestrahlungsstärke auf dem Boden, erzeugt durch Ellipse, in Fig. 139 mit AB bezeichnet, mit ihren zweifach projizierten In Fig. 138 zeigt sich dann das 7? der Fig. 131 m P,, wobei AP, = r ist, der Berührungskreis auf der Kugel zeigt sich als die Gerade AB,, die Halbachsen der Ellipse in Fig. 159 sind (522122427, — 452), sin. 0,107 und“sin?. 0,3: Einige Punkte’ der Liehtgleichen auf der Ellipse der Fig. 139 erhält Lichtgleichen der Kugel zeichnen. man, indem man eine Lichtgleiche der Fig. 158 mit der Geraden AB, = die Rückstrablung von der Kugel. EL Wir wollen zunächst e—= 1 = r und «= 0 wählen und dafür jene Fig. 139. Fig. 140. 222 Chr. Wiener. [142] schneidet, den senkrechten Abstand des Schnittpunktes von der Geraden AM in den Zirkel nimmt und auf der Ellipse der Fig. 139 die beiden Punkte bestimmt, welche denselben Abstand von der Ellipsentangente in A besitzen, wobei der Punkt A der Fig. 159 dem Punkte A der Fig. 138 zugeordnet ist. Weitere Punkte auf der Linie AD der kleinen Achse der Ellipse in Fig. 139 erhält man, indem man die Punkte der Lichtgleichen in Fig. 138, welche auf dem Kugelumrils AB, liegen, aus P, auf den Kreis projiziert, welcher aus P, durch A und D, gelegt ist, die Abstände der Projektions- punkte von AN milst und sie auf der Geraden AB der Fig. 139 von A aus aufträgt. Wegen der Symmetrie der Figur 139 in Bezug auf AB und A ee Fig. 139. Hilfsfigur zur Bestimmung der Beleuchtungsstärke in einem Punkte des Bodens vom Azimut « und der Entfernung x vom Auflagerpunkt der Kugel. Der Kugelhalbmesser ist r — 1. wegen des einfachen Verlaufs der Kurven konnte ich mich mit den drei angegebenen Punkten für jede Kurve begnügen, zumal da noch die Tan- senten in denselben gegeben waren. Die Figur 140 für x = 1, « = 180° wird übereinstimmend kon- struiert, indem P, und B, an die Stelle von P, und DB, treten. Es treten hier nur die Lichtgleichen 0,01 und 0,005 auf, bezeichnet mit -01 und 005. Da aber die ‘01 eine verwickeltere Gestalt besitzt, wurden aulser jenen dreien noch einige Punkte konstruiert, und zwar auf folgende Weise. Ein Punkt © der ‘01 muls auf die aus ?/, als Mittelpunkt durch A und B, gelegte Kugel aus P, nach ©“ projiziert und dann C“ senkrecht [145] Die Helligkeit des klaren Himmels. 190. 223 auf die Bodenfläche nach CC" projiziert werden. C' im Fig. 140 ist dann ein Punkt der aus ‘01 der Fig. 135 zu erhaltenden Kurve 01 der Fig. 140. Man überträgt zuerst den Punkt € der Kurve 01 in Fig..138 in Fig. 140 nach €. Er liegt auf dem durch C gelegten Horizontalkreise der Kugel, dessen Halbmesser gleich dem Abstande des D von AM (Fig. 138) und dessen Projektion auf die Bodenfläche in Fig. 140 der aus 4 mit jenem Halbmesser = AD der Fig. 140) beschriebene Kreis ist. Auf ihm liest der Punkt © (Fig. 140) so, dafs sein Abstand von der Ellipsentangente 47 in 4 (Fig. 140) gleich dem Abstand des © in Fig. 138 von AM ist. Die durch © und die Lotrechte P,B, (Fig. 138) gelegte Vertikalebene schneidet nz Sg / N c | j Ir N | 7 NS | > ee = Dep er @& =180° 4 Fig. 140. Vgl. Fig. 139. die Bodenfläche in BC (Fig. 140) und die aus P, durch A geleste Kugel in einem Kreise vom Haibmesser P,A (Fig. 138) = BA (Fig. 140). Legt man diese Vertikalebene in Fig. 140 um BC um, so kommt Ü nach C‘, wenn CC‘ 1 BC und gleich dem Abstande des C von AP, in Fig. 158, jener Kreis in den aus B mit 5A als Halbmesser beschriebenen Kreis. Nun projiziert man C' aus D auf diesen Kreis nach ©‘ und dann C" auf BC senkrecht nach C’" (CC 1 BC), so ist C'' ein weiterer Punkt der Kurve ‘OL der Fig. 140. Für ce=1 und « = 90° erhält man die Fig. 141. 7? gelangt nach P, (in A der Fig. 138), der Berührungskreis des aus P, an die Kugel gelegten berührenden Kegels erscheint in Fig. 138 als Ellipse mit der Fig. 141. 224 Chr. Wiener. [144] kleinen Achse AB, (d. i. auch RM) —=1 und der grofsen Achse — 2 — 1,414 und projiziert sich auf die Bodenfläche in eine mit dieser Ellipse gleiche Ellipse, den Umrifs der Fig. 141. Die Punkte der Lichtgleichen auf dem Berührungs- oder Grenzkreise werden aus Fig. 138 in Fig. 141 übertragen, indem in beiden Figuren die Abstände dieser Punkte von den Tangenten der Ellipsen in A gleich sind, d.i. auch von A selbst. Dabei erscheint aber in Fig. 141 das rechts, was in Fig. 138 links erscheint, da man den Boden von oben, also den Grenzkreis beidesmal von entgegen- gesetzten Seiten betrachtet. 03 ‘04 B 1 \ E a \ = I SL rt DEN De Fig. 141. Vgl. Fig. 139. Die Punkte der Geraden AB, der Fig. 138 gelangen auf die Gerade AB der Fig. 141; man zieht durch den Punkt einer Lichtgleiche der Fig. 138 eine Senkrechte zu AM bis zum Umrils der Kugel, projiziert diesen Punkt aus P, auf den aus P, durch A und 5, gezogenen Viertelskreis und über- trägt den Abstand dieser Projektion von AM in die Fig. 141 auf die Gerade AB als Abstand von A. Die allgemeinen Punkte werden im wesentlichen wie vorher gefunden. So bestimmt man den von dem Punkte E der Kurve '03 in Fig. 138 her- rührenden Punkt E‘“ in Fig. 141, indem man den Horizontalkreis des E von einem Halbmesser gleich dem Abstand des Punktes # von AM in Fig. 135 als Kreis aus 4 m Fig. 141 zeichnet, darauf E im richtigen Abstande von AB bestimmt, nämlich gleich dem Abstande des Punktes & [145] Die Helligkeit des klaren Himmels. 190. 225 in Fig. 138 von AM, BE zieht, darauf senkrecht die Strecke EE‘, welche man gleich dem Abstand des Punktes EZ in Fig. 158 von AP, macht, das BE‘ mit dem aus B mit dem Halbmesser 1 —= BA beschriebenen Kreise in E“ schneidet und E“ senkrecht auf BE nach E“' projiziert. Sodann wurde die entsprechende Konstruktion für den Punkt P, mit z—=1, «a—=45° ausgeführt. P, zeist sich in Fig. 138 auf AP, im Abstand von 4 gleich AP, = cos 45° — 0,707, der zu P, gehörige Berührungskreis auf der Kugel zeigt sich als Ellipse AB,, deren Mittelpunkt in der Mitte von P,M liegt, deren grolse Halbachse senkrecht zu P,M liegt und gleich 0,707 ist, deren kleine Halbachse in ?,M liegt und —= 0,107 - 3 — 0,3535 Vgl. Fig. 139. ist, weil die räumliche Linie M P, mit der Projektionsebene einen Winkel bildet, dessen sinus gleich > ist. Diese Ellipse berührt in A und dem dazu in Bezug auf PA,M symmetrischen Punkte den Umrifs der Kugel, und die Gerade MB, im Punkte B,, wobei MB, = 0,707. Diese Ellipse AD, gibt in der Projektion auf die Bodenfläche wieder eine Ellipse, wie die anderen für x —= 1 und ist in Fig. 142 dargestellt. Die Schnittpunkte der Lichtgleieben mit dieser Grenzellipse überträgt man aus Fig. 138 in Fig. 142, indem man ihre Abstände von der Ellipsen- tangente AT (Fig. 142) gleich ihren Abständen von AP, (Fig. 138) macht, was deshalb richtig ist, weil die Neigung der Ebene der Ellipse mit der Bodenfläche 45° beträgt. Noya Acta XCI. Nr.2. 29 Fig. 142. 226 Chr. Wiener. [146] Die Punkte auf der Geraden AB in Fig. 142 rühren von den Punkten der Viertelsellipse AD, in Fig. 138 her, welche den Schnitt der Ebene MAP, mit der Kugel darstellt. Einen solchen Punkt der Viertelsellipse AB, führt man durch Drehung um AM um 45° in den Kugelumrils, den Viertels- kreis AB, über, projiziert den dadurch mit übergeführten Punkt aus P, auf den aus P, durch A und B, geführten Viertelskreis, milst den Abstand dieser Projektion von der Strecke AM und überträgt ihn in der Fig. 142 auf die Gerade AB von A aus. Der allgemeine Punkt einer Kurve, so @“' von 05, wird aus @ so gefunden. Man ziehe AH in Fig. 142, so das TAH = 45°, beschreibe mit dem Halbmesser des Horizontalkreises von @ einen Kreis aus A in Fig. 142, bestimme darauf @, so dafs der Abstand @ (AH) = Abst. @ (AM) der Fig. 138, ziehe (Fig. 142) G@' 1 BG und G@G' = Abst. @. (AP,) der Fig. 138, projiziere in Fig. 142 @‘ aus 5 auf den aus B mit dem Halbmesser 1 = BA beschriebenen Kreis nach @“ und projiziere @* auf BG nach @'“. Da sich die Beleuchtungsstärken bei « = 90 und 180° klein und nicht mehr sehr verschieden und der Verlauf der Kurven durch die anderen « schon ziemlich gesichert ergaben, konnte man die besondere Untersuchung für « — 135° entbehren. Für andere x treten wieder die in Fig. 131 dar- gestellten Verhältnisse ein, wonach der Winkel des Strahles PM gegen die Bodenfläche = APM = xy ist. Wir wollen aber hier der Einfachheit der Konstruktion halber stets MA —= r als Halbmesser der Himmelskugel und als Einheit annehmen, statt das wechselnde £ = AP, wie es in Wahr- heit notwendig wäre. Dadurch erhalten wir die Fläche des Berührungs- kreises (A und seiner Projektion 0'4'D‘, x” mal zu grofs und müssen das Ergebnis durch x? teilen. Es wird aber ety—xr:r—z, der Halbmesser des Berührungskreises und die grofse Halbachse jeder (elliptischen) Projektion desselben GA cosIya ei c03yy2 die kleine Halbachse seiner Projektion auf eine auf x senkrechte Ebene hl 09 epR27%, die kleine Halbachse seiner Projektion auf die Bodenfläche [147] Die Helligkeit des klaren Himmels. 190. 227 b DA CA' cos,y. siny, — 6082 4.20, dann ergibt sich folgende kleine Tabelle: Pre WS ll 2 3 4 5 a 405220..45200; 26° 34! 18° 26’ 02T a VAT 0,707 0,594 0,949 0,970 0,981 b2 20,200 0,500 0,800 0,900 0,940 0,962 be 20400 0,500 0,400 0,300 0,235 0,192 Es wurden nur mehr « — 0°, 90° und 180° betrachtet. Für x = 0,5 kam dann“. der Bunkt2 der Reihesnache meRıeglOSs nach Aero Die Berührungskreise erscheinen in dieser Figur als die Gerade AB‘, die Ellipse AD‘, und die Gerade AB‘,, und ihre Projektionen auf die Bodenfläche als gleiche Ellipsen, deren eine in Fig. 143 für « = 90° ge- Fig. 143. zeichnet ist. Die Messungs- und Rechnungsergebnisse mufsten dabei durch x” geteilt, d. h. mit 4 vervielfacht werden. Sodann wurden die Konstruktionen für © — 2 und 3 ausgeführt. Fig. 144 zeigt das Ergebnis für © —= 2, «a—= 0", Fig. 145 dasjenige für Fig. 144 2 — 3, «= 0°. Die Ergebnisse bei der ersten Figur wurden durch 4, die Wi 1®- der zweiten durch 9 geteilt. Die Konstruktionen müssen gegen vorher einige Verallgemeinerungen erfahren. In Fig. 145 für 2 = 0,5, & = 90 zeigt sich P auf? AB in dem Abstande 2a» —0V5. Eim’Bunktider Grenzellipse AB‘, der Fig. 138 wird übertragen, indem man durch ihn eine Parallele zu AP, zieht, sie mit der Geraden A B'‘, (oder A B',) schneidet, den Abstand des Schnittpunktes von AM milst und den Punkt auf der Umrilsellipse der Fig. 143 bestimmt, welcher den gleichen Abstand von der Ellipsentangente AT besitzt. Vgl. Fig, 139. Halber Mafsstab von Aus einem Punkte der Mittelgeraden Fig. 139. AB‘, in Fig. 138 erhält man einen Punkt der Geraden AB in Fig. 143, indem man aus dem ersteren Punkte eine Senkrechte zu AM bis zum Umrifs der Kugel zieht, diesen Punkt des Umrisses aus P', auf den aus 29% Fig. 143. 225 Chr. Wiener. [148] P', durch A und B‘, gezogenen Kreis projiziert, den Abstand dieser Pro- jektion von AM milst und dem entsprechenden Punkt auf AB in Fig. 143 den gleichen Abstand von A gibt. Einen allgemeinen Punkt / der Kurve ‘01 in Fig. 135 überträgt man in die Fig. 143, indem man mit dem Halbmesser des durch 7 gehenden horizontalen Kugelkreises dessen Projektion auf die Bodenfläche als Kreis aus 4 durch / zieht, (Abstand des Punktes X von AM in Fig. 138 über- tragen in A/ der Fig. 143) auf diesem Kreise / bestimmt, so dafs der Abstand des Punktes / von AB in Fig. 143 gleich ist dem Abstande des Punktes 7 Fig. 144.1) Vgl. Fig. 139. Doppelter Malsstab von Fig. 139. a von AM in Fig. 138, dann die Vertikalebene von PI/ umlegt, dabei in Fig. 143 IT senkrecht P/ und gleich dem Abstand des 7 von AP, in Fig. 135 macht, 7‘ in Fig. 143 auf den aus P durch A (mit dem Halb- messer x — 0,5) gezogenen Kreis nach /" projiziert und dann 7" senkrecht auf P/ nach 7“; dies ist dann ein Punkt der Kurve °01. In gleichartiger Weise sind die Konstruktionen für = 2 und 3 ausgeführt, wobei wegen weit entfernt liegender Punkte eine Erweiterung der Zeichenfläche notwendig war. Mittels dieser Zeichnungen wurden nun die Beleuchtungsstärken in den verschiedenen Punkten ? der Bodenfläche, hervorgebracht durch die Rückstrahlung der Kugel, berechnet. Es wurden mittels des Planimeters die Inhalte der einzelnen Flächenstreifen zwischen den Lichtgleichen !) Die beiden Kurven :005 und :7 fallen nahezu mit dem Umfang der Ellipse zu- sammen und sind bei der Wiedergabe nicht getrennt zum Vorschein gekommen. |[D. H.] [149] Die Helligkeit des klaren Himmels. 190. 229 bestimmt, jeder mit der ihm zukommenden mittleren Beleuchtungsstärke auf der Kugel vervielfacht und die Summe der Produkte gebildet. So erhielt man z. B. für x = 2, «= W* (Fig. 144), die Summe jener Flächenstreifen — 1,1135, während sie (nach Tab. S. 227) = x-a-b — 3,14. 0,894 - 0,4 — 1,1240 sein sollte; diese Abweichung kann unbeachtet bleiben. Dann | erhielt man die Summe jener Produkte in die mittleren Beleuchtungsstärken — 0,12467. Soon | G — Ze : 3, Fig. 145. Vgl. Fig. 139. Dreifacher Malsstab von Fig. 139. Diese Zahl mulste für x — 2 durch 2° geteilt, dann auch mit z — 3,14 geteilt und endlich mit dem Rückstrahlungsvermögen 4 der Kugel, das wir — 0,7 annahmen, vervielfacht werden. So erhielt man (vgl. S. 219, wo nur noch der Divisor 4 hinzukommt): 0,7 3,144 b' — 0,12467 — 0,00697 als Beleuchtungsstärke. Die Ergebnisse sind in der Tabelle 85 zusammengestellt, worin nur die Zahlen für x = 4 und x =5 und dabei für « — 0, 90, 180° auf ein- fachere angenäherte Weise erhalten wurden. Die Gestalten der Lichtgleichen ändern sich bei grolsem x nur wenig, so dals die im Punkte 7? hervor- gebrachte Bestrahlungsstärke nur noch von der Grölse der Ellipsen, d. i. vom Produkte ihrer Halbachsen abhängt. Für dasselbe « stehen daher diese Stärken für £ — 3, 4, 5 im Verhältnis (s. die Tabelle der S. 227) von 0,900 » 0,300 5 = 90300, 0,940 - 0.235 ee 3 nu 0,0138, VD Zap) 5-5 Tab. 85. Fig. 146. Fig. 147. 230 Chr. Wiener. [150] Tabelle 85. Beleuchtungsstärke, hervorgebracht durch die von der Sonne und dem Himmel beleuchtete Kugel von dem Rückstrahlungs- vermögen A= 0,7, auf dem Boden, auf dem sie aufliegt, im Punkte P, der wie in der vorigen Tabelle durch x und z be stimmt ist. | f | | z:r |a—= 0 450 son) 1802 0,5 0,01940 | 0,00375 | 0,00298 1 0,07255 0,04118 | 0,00733 | 0,00292 2 0,03602 0,00696 | 0,00111 3 0,01476 | 0,00377 | 0,00047 4 0,00630 0,00170 | 0,00021 5 0,00300 0,00081 0,00010 Vervielfacht man daher die Zahlen für £ — 3 mit 0,0138 : 0,0500 — 0,460 und 0,00759 : 0,0300 — 0,246, so erhält man die Beleuchtungsstärken für De 0° 90° 180° x = A 000679 0,00174 0,00022 x=5 0,00363 0,00093 0,00012 Ich hatte nun diese Zahlen vorher auf eine etwas andere, aber nicht so gute Weise bestimmt und die in Tabelle 85 eingetragenen Zahlen er- halten. Weil ich mit diesen die weiteren Konstruktionen durchgeführt hatte, die Änderungen durch die etwas verbesserten Zahlen aber kaum merklich sein würden, so behalte ich die Zahlen der Tabelle bei. Mit diesen Zahlen wurden nun die Kurven der Beleuchtungsstärken gezeichnet und zwar in Fig. 146 diejenigen für die unveränderlichen « — 0", 45°, 90°, 135°, 180°, zum Teil mit zehnfachen Ordinaten, in Fig. 147 diejenigen mit den unveränderlichen x —= 0,5; 1; 2; 3; 4; 5. Die für « — 135° und teilweise für « = 45° in Fig. 146 wurden mit Hilfe der Fig. 147 hergestellt. Aus diesen Kurven wurden, wie schon öfter, für die bestimmten « die x und für die bestimmten x die « bestimmt, wo die Beleuchtungsstärken die Gröfsen 0,001; 0,002; 0,003; 0,004; 0,005; 0,01; 0,02; ... 0,07 an- [151] ‘Die Helligkeit des klaren Himmels. 190. 231 nahmen, und daraus wurden die Lichtgleichen des Bodens gezeichnet. In Fig. 148 sind aus dem Auflagerpunkt A der Kugel die Geraden mit jenen Azimuten « und die Kreise mit jenen Halbmessern x gezeichnet, darauf wurden jene Punkte aufgetragen und durch ihre Verbindung die Licht- gleichen hergestellt. B=) Fig. 146. Fig. 147. Man bemerkt, dafs der hellste Punkt mit der Beleuchtungsstärke b7 — 0,077 bei «a — V und x — 1,15 stattfindet, der dunkelste mit 57 — 0 an der Auflagerstelle A. Aulserdem herrscht in den unendlich fernen Punkten die Beleuchtungsstärke db = 0. Um jenen hellsten Punkt ziehen sich die Linien grölserer Helligkeit in anfangs kreisförmigen, dann mehr bohnen- förmigen Linien herum, um den dunkelsten die Linien kleinerer Helliskeit in ellipsenähnlichen Gestalten. Beiderlei Kurven streben gegeneinander und stofsen dann zusammen in der Kurve db‘ — 0,0035 mit einem Doppelpunkt Fig. 108. 232 Chr. Wiener. [152] und ohne Wendepunkt, in ihrem weiteren Umfang eine kleinere geschlossene Fläche abgrenzend. Das ganze Innere ist dadurch in eine kleine ellipsenähnliche Fläche geteilt, welche den dunkelsten Punkt enthält und in eine sichelförmige mit dem hellsten Punkt. Diese Gestalt wird nun von Kurven umschlossen, die Fig. 148. Beleuchtung des Bodens durch Rückstrahlung der Kugel von der Weilse A = 0,7. sich stets erweitern, anfangs eine bohnenförmige, dann eine ellipsenartige Gestalt besitzen und sich so gegen das Unendliche mit d#° — 0 erweitern. Denkt man sich die Lichtgleichen als Höhenkurven einer Fläche, so stellt der Doppelpunkt einen Sattelpunkt der Fläche dar. In ihm erreicht 2‘ einen grölsten Wert, wenn man auf « = 180° hinschreitet, einen kleinsten Wert, wenn man auf dem Kreise x = 0,0035 hinschreitet. [153] Die Helligkeit des klaren Himmels. 190—191. 233 191. Die Vereinigung der auf dem Boden erzeugten Be- leuchtung durch die Sonne, durch die Atmosphäre und dureh die Rückstrahlung der durch Sonne und Atmosphäre beleuchteten, auf dem Boden aufliegenden Kugel vom Rückstrahlungsvermögen A=0,i. Die Beleuchtung des Bodens durch die Sonne allein beträgt b' = 0,4029 (S. 197). Von ihr ist nur die elliptische Schlagschattenfläche der Kugel ausgenommen, welche von der Sonne kein Licht empfängt. Die Beleuchtung des Bodens durch den Himmel in der Nähe der auf ihm aufliegenden Kugel ist durch die Lichtgleichen der Fig. 134 dargestellt; sie ist an der Auflagerstelle 4 gleich OÖ und nähert sich mit der Entfernung von 4 asymptotisch der Beleuchtungsstärke 5 = 0,1547. Die Beleuchtung des Bodens durch die Rückstrahlung der Kugel, wenn diese nur von Sonne und Himmel beleuchtet wird, ist in Fig. 148 dargestellt. Um diese drei Beleuchtungen zu vereinigen, fügen wir die aus den Beleuchtungskurven zu entnehmenden Beleuchtungsstärken für unveränder- liche Azimute « und die für unveränderliche Abstände x zusammen. Für unveränderliche « sind in Fig. 149 Kurven A, x für Luftbeleuchtung aus Fig. 149. Fig. 132 übertragen und mit 0‘, 45°... 180‘ bezeichnet. Darauf aufgesetzt sind die Ordinaten der Kurven für die Kugelrückstrahlung aus Fig. 146, und dadurch sind die Summenkurven 0,45, ... 180 gewonnen. Diese Kurven geben die Beleuchtungsstärken in dem Schlagschatten der Kugel an. In dem übrigen Teil müssen alle Ordinaten um 5' — 0,4029 vermehrt werden; und man erhält die x der Punkte der gesuchten Lichtgleichen, welche die bestimmten Beleuchtungsstärken 0,45; 0,50;... besitzen, indem man Parallele zur x-Achse zieht in den Abständen 0,45—0,4029 —= 0,0471; 0,50—.0,4029 — 0,0971... wie es in der Figur geschehen ist. In gleicher Weise ist die Fig. 150. für unveränderliche x hergestellt Fig. 150. aus den Figuren 133 und 147. Aus beiden Figuren 149 und 150 sind nun die x für unveränderliche «, und die « für unveränderliche x abgelesen, in denen die Beleuchtungsstärke 0,01; 0,02; .... 0,56 ist, die Punkte sind in Fig. 151 auf Strahlen aus 4 und auf Kreisen um A aufgetragen und durch Fig. - or jr Verbindung gleichbezifferter Punkte die Lichtgleichen gezeichnet. Nova Acta XCI. Nr.2. a 30 254 Chr. Wiener. [154] Doch sei bemerkt, dafs die Punkte der Geraden die unverrückbaren sind und dafs bei eintretenden Unstetigkeiten die Punkte der Kreise ver- bessert werden müssen, weil die Kurven der Fig. 150 aus wenigeren Punkten gezeichnet und bei schroffen Übergängen unsicher sind. Die Stetigkeit in den Lichtgleichen der Fig. 151 ist hier mehr mafsgebend als die in den Beleuchtungskurven der Fig. 150. Diese Lichtgleichen der Fig. 151 haben in und aufserhalb des Schlag- schattens ganz getrennte Gestalten, die nicht ineinander übergehen. Im Schatten sind die durch die Atmosphäre allein hervorgebrachten Lichtgleichen der Fig. 134 durch die hier so sehr schwache Rückstrahlung der Kugel kaum geändert. Im sonnenbeleuchteten Teil des Bodens aber sind die Licht- gleichen der atmosphärischen Beleuchtung durch die gleichförmige Sonnen- bestrahlung in ihren Gestalten nicht geändert, wohl aber in den diesen Kurven zugehörigen Beleuchtungsstärken; aufserdem sind sie aber durch die hier erhebliche Rückstrahlung der Kugel in ihrer Gestaltung geändert [155] Die Helligkeit des klaren Himmels. 191—192. 235 und den Kurven der Fig. 148 nahe geführt. Man muls in dieser Figur nur den Doppelpunkt der einen Lichtgleichen in gerader Linie von A hinweg in das Unendliche rücken, so erhält man die Kurven der Fig. 151. Die Kurven legen, sich in ellipsenartigen Gestalten um den dunkelsten Punkt mit der Lichtstärke d — 0, den Auflagerpunkt A herum; diese er- weitern sich, um A gleichsam als Brennpunkt, bis sie bei d — 0,5576 eine a-r + +81 me tt 7387' 180° Fig. 150. parabelartige Gestalt annehmen. Der hellste Punkt dagegen mit 5b —= 0,628 liegt auf der Sonnenseite der Kugel bei « = 0 und in einem Abstande von A gleich x— 1,21. Um ihn legen sich die Lichtgleichen erst ellipsenartig, dann bohnengestaltig herum, bis sie in die unendlich ferne Kurve und in jene parabelartige Linie übergehen. 192. Die Beleuchtung der hoch über dem Boden schweben- den Kugel durch die Rückstrahlung des Bodens allein, wenn dessen Kückstrahlungsvermögen 4 gleich 0,7 und gleich 0,1 ist. Es soll unterschieden werden, ob die Kugel hoch über dem Boden schwebt, oder auf ihm aufliegt. Der erste Fall soll zunächst behandelt und dabei 30* 2 o « 6 Chr. Wiener. [156] der Abstand der Kugel vom Boden so grofs vorausgesetzt werden, dals ihr Schlagschatten auf dem Boden keinen merkbaren Einflufs auf die Rück- strahlung des Bodens auf die Kugel ausübt. Die durch diese Rückstrahlung hervorgebrachten Lichtgleichen auf der Kugel sind dann horizontale Kreise. \Sz Fig. 151. Die Lichtgleichen des Bodens bei der Beleuchtung durch Sonne, Atmosphäre und Rückstrahlung der Kugel, deren A = 0,7. In grolser Entfernung von der Kugel beträgt die Beleuchtung des Bodens durch die Sonne 0,4029, durch den Himmel 0,1547, durch Sonne und Himmel zusammen 0,5576. Es sei die Beleuchtungsstärke des Bodens durch Sonne und Atmo- sphäre — b (= 0,5576, 8.198), es sei A das Rückstrahlungsvermögen des Bodens, das wir — 0,7 annehmen wollen, und es sei £ die Zenitdistanz der auf einem Punkt der Kugel nach aulsen gezogenen Normalen der Kugel. Der Teil des Bodens, der das Kugelelement an diesem Punkte beleuchtet, ist zwischen [1157] Die Helligkeit des klaren Himmels. 192. 237 der von dem Punkte nach dem Äufseren der Kugel gelegten halben Horizontal- ebene und der nach unten gelegten halben Berührungsebene eingeschlossen und schneidet aus einer um den Punkt als Mittelpunkt gelegten Kugel vom Halbmesser Eins ein Kugelzweieck aus, dessen Projektion auf die Be- rührungsebene zu der Projektion der Halbkugel auf dieselbe Ebene im Verhältnis von (l—cos £):2 steht. Die hierdurch auf dem Kugelelement hervorgebrachte Beleuchtungsstärke ist daher Umgekehrt gehört zu einer bestimmten Beleuchtungsstärke 5b‘ ein /, bestimmt durch er b' LOSE — EN! —919516' Man erhält dann die stärkste Beleuchtung im Betrage von b‘ = 2.0,19516 — 0,5903 = 5. A = 0,5576 - 0,7 bei & = 180° also ‘an der tiefsten Stelle der Kugel, und die schwächsten mit d’ —= 0 bei & —= 0, oder an der höchsten Stelle. Aufserdem aber erhält man für b' = 0,3903 0,35 0,30 0,25 0208 0515582.0510,2.005220025 2001 0,00 — = - = + + + + + + — —1 0,7940 5377 2814 0251 2312 4875 7438 8976 9488 1,0000 cos£ zZ 1802002714122342 1222322 106221 9132 776238260249 22105722.6209182252.0200; Die horizontalen Kreise dieser Lichtgleichen sind in Fig. 152 als Fig. 152. horizontale Gerade dargestellt. Da aber die Veränderungen der cos Z mit denen von 5‘ proportional sind, so erhält man die Lichtgleichen am ein- fachsten, indem man für d' — 0,55 vom Mittelpunkt der Kugel nach unten 0,7940 des Halbmessers aufträgt, und für die Abstufungen des b‘ von 0,05, den Abstand des Endpunktes jener Strecke vom höchsten Punkt (= 1,7940) in sieben gleiche Teile teilt und durch die Teilungspunkte die horizontalen Geraden lest. Ebenso erhält man diese Lichtgleichen für A —= 0,1, d. i. den siebenten Teil von vorher, wenn wir den vorher mit 0,55 bezeichneten Horizontal- kreis mit 0,05 bezeichnen, die. Vertikale zwischen ihm und dem höchsten Punkt der Kugel in fünf gleiche Teile teilen und durch die Teeilungspunkte Fig. 153. 238 Chr. Wiener. [158] die Ebenen der Horizontalkreise von den Lichtstärken 0,04; 0,03; 0,02; 0,01 legen. Es ist dies in Fig. 153 ausgeführt. 193. Die gleichzeitige Beleuchtung der Kugel durch die Sonne, die Atmosphäre und den fernliegenden Boden, wenn dessen Rückstrahlungsvermögen gleich 0,7% und gleich 0,1 ist. Die Beleuchtung durch Sonne und Atmosphäre ist in Fig. 135, die durch Fig. 152. Lichtgleichen der Kugel, die hoch über dem Boden schwebt, hervorgebracht dureh gleichzeitige Ein- wirkung von Sonne, Himmel und Boden, dessen A = 0,7. Die horizontalen Linien sind die durch den Boden allein hervorgebrachten Lichtgleichen. den fernliegenden Boden in Fig. 152 durch die Lichtgleichen dargestellt. Die Vereinigung der drei Beleuchtungsarten führte ich vorwiegend mittels eines Pauspapiers aus, auf welches ich die gerade erscheinenden Lichtgleichen der Fig. 152 übertrug, indem ich diese Pause auf Fig. 135 auflegte. In [159] Die Helligkeit des klaren Himmels. 192—193. 239 den Schnittpunkten der Lichtgleichen von ganzen Zehnteln der Einheit er- saben sich Punkte wieder von solchen ganzzahligen Zehnteln. Auf den geradlinigen Lichtgleichen der Bodenrückstrahlung mit halben Zehnteln in Fig. 152 konnten Punkte der Lichtgleichen der dreifachen Beleuchtung mit ganzen Zehnteln erhalten werden, in der sonnenbeschienenen Kugelhälfte durch Halbierung der Zwischenräume, weil diese wenig veränderlich sind. Fig. 153. Lichtgleichen der Kugel, die hoch über dem Boden schwebt, hervorgebracht durch gleichzeitige Ein- wirkung von Sonne, Himmel und Boden, dessen A = 0,!. Die horizontalen Linien sind die durch den Boden allein hervorgebrachten Lichtgleichen. In dem Schattenteil wurden lotrechte Hilfsgeraden hereingelegt und auf ihnen die Ordinaten der beiderseitigen Lichtstärken übereinander gelagert und dadurch in der bisherigen Weise Punkte der gesuchten Lichtgleichen bestimmt. Das Ergebnis sind die stärker gezeichneten Lichtgleichen in Fig. 152. Der hellste Punkt mit der Beleuchtungsstärke 1,085 liegt in Fig. 153. 240 Chr. Wiener. [160] der vertikalen Durchmesserebene, welche durelı die Sonne geht, in einer Zenitdistanz & —= 65;°, während die Zenitdistanz der Sonne 54° 44' beträgt. Die Lichtgleichen in der sonnenbeschienenen Kugelhälfte haben die Be- leuchtungsstärken 1,0; 0,9; 0,8;... 0,1; sie sind fast Kreise, die in dieser Zeichnung fast in ihrer ganzen Erstreckung als gerade Linien erscheinen, die nahezu senkrecht auf dem nach dem hellsten Punkte laufenden Halb- messer stehen und deren Abstände mit der Entfernung vom hellsten Punkte ein wenig zunehmen. Es stofsen die Linien 0,4; 0,3; 0,2; 0,1 unter Winkeln von etwa 12° gegen die Schattengrenze. Hier biegen sie etwa rechtwinklig von der Schattengrenze ab, nähern sich etwas der Horizontalen, bleiben aber doch noch schwach abwärts gerichtet, dadurch bildet sich der dunkelste Punkt mit der Lichtstärke 0,085 ganz wenig unterhalb des obersten Punktes der Schattengrenze. Der oberste Punkt der Kugel hat die Lichtstärke 0,5576, nur von Sonne und Atmosphäre herrührend, der unterste 0,3903, nur durch die Bodenrückstrahlung erzeugt. Für den Fall, dafs das Rückstrahlungsvermögen des Bodens A — 0,1 ist, wurde in gleicher Weise die Gesamtbeleuchtung durch Sonne, Atmo- sphäre und Boden in Fig. 153 dargestellt. Der Verlauf der Lichtgleichen im sonnenbeschienenen Teile ist ähnlich wie vorher. Nur hat der licht- stärkste Punkt nur die Lichtstärke 0,992 statt 1,085; dann folgen die Lichtgleichen dichter gedrängt; an der Grenze der Sonnenbeleuchtung herrscht die nahezu gleichförmige Beleuchtung von etwa 0,07. Auf der Schattenseite ändert sich aber ganz die Eigentümlichkeit der Kurven. Im vertikalen Halbkreise « = 180° treten zwei Minima der Lichtstärke 5b ein; das eine bei & = 56° mit 5 — 0,0447, das andere bei 5 = 180°, also im tiefsten Punkte mit 5 = 0,0558. Um diese Punkte lagern sich die Licht- gleichen mit zunehmender Stärke, bis sie mit einem Maximum von 5 = 0,058 bei © = 145° zusammenstolsen und hier in einem Doppelpunkte sich zu einer zusammenhängenden Kurve vereinigen. Man sieht, dafs der ganze Schattenteil der Kugel eine wenig wechselnde Lichtstärke besitzt, die nur zwischen 0,0447 und 0,07 schwankt. [161] Die Helligkeit des klaren Himmels. 193 —194. 241 194. Die Beleuchtung der auf dem Boden aufliegenden Kugel durch die Rückstrahlung des Bodens allein, wenn dessen Rückstrahlungsvermögen A gleich 0, und gleich 0,1 ist. Wir legen die Lichtgleichen des Bodens zugrunde, welche durch die Sonne, die Atmosphäre und durch die Rückstrahlung der durch Sonne und Atmo- sphäre beleuchteten Kugel, deren Rückstrahlungsvermögen == 0,7 ist, hervor- gebracht werden und welche in Fig. 151 dargestellt sind. Diese Figur wurde in eine gleiche abgebildet, um an ihr die Konstruktionen auszu- führen, und hiervon ist in Fig. 154 ein kleiner Teil wiedergegeben. Fig. 154. Es sei A der Auflagerpunkt der Kugel, « ihr Umrifs, und es seien A-0, A-45, A-90, A-135, A180 die Projektionen der durch A gelegten halben Vertikalebenen, von denen die erste durch die Sonne geht, die anderen aber die Azimute « — 45°, 90°, 135°, 180° besitzen. Es soll nun der Punkt P der Kugel vom Azimute « und der Zenitdistanz seiner aus der Kugel heraus gerichteten Kugelnormale £ betrachtet werden. Der Teil der Bodenfläche, welcher Licht auf diesen Punkt ? sendet, ist zwischen der durch P? gehenden, die Kugel nicht schneidenden halben Nova Acta XCI. Nr. 2, 31 Fig. 154. Fig. 155. Fig. 154. Fig. 155. 242 Chr. Wiener. [162] Horizontalebene und der abwärts gerichteten halben Berührungsebene der Kugel in P eingeschlossen. Beide halbe Ebenen schliefsen den Winkel Z ein und schneiden auf einer von P aus als Mittelpunkt gelegten Kugel vom Halbmesser Eins ein Kugelzweieck aus, dessen Projektion auf jene Berührungsebene von einem Halbkreise (in der Berührungsebene) und einer halben Ellipse begrenzt ist, welche den begrenzenden Durchmesser jenes Halbkreises zur grofsen Achse hat, und deren kleine Halbachse gleich cosZ ist. Die Fläche dieses Zweiecks ist a (1—.cos L). Es kommt nun darauf an, die Lichtgleichen des Bodens aus P auf diese Kugel zu projizieren und diese Projektionen wieder senkrecht auf die Berührungsebene der Kugel in ? zu projizieren. Als Punkte der Kugel wurden nun diejenigen von den angegebenen Werten von « und von den Werten &— 45°, 90°, 135° gewählt. Für <—=0 und 180° wird kein Licht zurückgestrahlt. Zur Erklärung dieser Konstruktion wurde in Fig. 154 und 155 «—=45° und 5=45° und 135° gewählt. Diese beiden Werte von & gehören insofern zusammen, als sich jene beiden Zweiecke zum Vollkreis ergänzen. Dreht man den in der Vertikalebene A - 45 liegenden gröfsten Kreis der Kugel um seinen horizontaien Durchmesser in eine horizontale Ebene, so projiziert er sich auf die Bodenfläche in jenen Umrifs «, die Horizontal- spur seiner Ebene kommt nach h“, und der Punkt ? mit = 135° kommt nach P“ auf A-90. Daraus ergibt sich die Projektion ?' von P auf A-45 durch Fällung der Senkrechten PP‘ auf 4-45. Die Tangente an u in P“ schneidet die Gerade h‘ in 7“; daher ist die durch 7“ senkrecht zu A-45 gezogene Gerade t die Horizontalspur der Berührungsebene der Kugel in P, und der Schnitt 7 von t mit 4 - 45 ist die wirkliche Horizontal- spur der Kreistangente PT‘ in ihrer ursprünglichen Lage. | In Fig. 155 ist die Berührungsebene der Kugel in 7 dargestellt, P ist der Berührungspunkt, der Halbkreis 77° H, mit dem Grenzdurchmesser HPH, ist der Schnitt jener halben Berührungsebene mit der um P mit dem Halbmesser 1 beschriebenen Kugel, HUH, die halbe Ellipse, die Pro- jektion des Schnittkreises jener halben durch ? gelegten Horizontalebene mit der Kugel auf die Berührungsebene. Dabei sei PT’ senkrecht zu PH, so dals 7‘ die Projektion des 7’ der Fig. 154 auf den Halbkreis ist. Die [1163] Die Helligkeit des klaren Himmels. 194. 243 halbe kleine Achse PU jener Ellipse liegt daher in der Linie PT’ und ist PU= cos 5 — cos 135° = — 0,707, so dafs PU entgegengesetzt wie PT" gerichtet ist. In Fig. 154 ist als Beispiel die Lichtgleiche °57 verzeichnet, und diese wollen wir in der angegebenen Weise zweifach in die :57 der Fig. 155 projizieren. L=135° a=456° => Fig. 155.1) Hilfsfigur zur Bestimmung der durch Bodenreflex hervorgebrachten Beleuchtungsstärke im Punkte (5, «) der Kugel. Wir suchen zuerst die ausgezeichneten Punkte. Die Punkte der Geraden t in Fig. 154 werden in den Halbkreis 47‘ H, der Fig. 155 pro- jiziert. Man erhält in Fig. 155 die Gerade t, wenn man auf PT" (senkrecht zu PH) die Strecke PT — P"T‘“ der Fig. 155 macht und durch 7 die 1) Zu 50 vgl. Anm. S. 228. 31% 244 Chr. Wiener. [164] Gerade t parallel zu PH zieht. In der Fig. 154 ist B ein Punkt der 57 auf t; diesen Punkt überträgt man in Fig. 155 auf t, indem man 7'B der Fig. 154 in TB der Fig. 155 überträgt, dann projiziert man D aus P auf den Halbkreis HT’ H, in B“, welcher Punkt schon selbst in jener Be- rührungsebene liegt, also nicht noch ein zweites Mal projiziert zu werden braucht. Dabei ist die Fig. 155, als in der Berührungsebene der Kugel liegend, von aufsen betrachtet, und von diesem Standpunkte liegt z. B. B in beiden Figuren links von 7. Weitere ausgezeichnete Punkte in Fig. 155 sind die auf dem Grenz- durchmesser HH,. Derselbe ist aber die senkrechte Projektion auf unsere Berührungsebene von dem halben gröfsten Kreise der Kugel vom Mittel- punkt P, dessen Grenzdurchmesser (durch P) parallel t läuft, und dieser Halbkreis ist die Projektion aus P von der Geraden s, worin die Ebene des Halbkreises die Horizontalebene trifft. Dieselbe findet man in Fig. 154, wenn man AP“ mit h“ in 5“ schneidet, und durch S“ die Gerade s parallel zu t zieht. s schneidet A-45 in 8, und von 5 in Fig. 155 gelangt man durch unsere doppelte Projektion nach P. Jenen halben grölsten Kreis, in dessen Ebene P und s liegen, über- trägt man in Fig. 155 in den Halbkreis 47’ H,, wobei P nach P und s nach s kommen, indem man PS" auf PT‘ nach PS aufträgt und durch S die Geraden s parallel zu ZH, zieht. Da aber in unserem Falle PS‘ — P'"T“ ist, so fällt $S in 7 und s in t. Die Gerade s in Fig. 154 enthält den Punkt Ü der Kurve '57. Man überträgt nun SC der Fig. 154 in SC der Fig. 155, projiziert ÖC aus P auf den Halbkreis HT'H, nach C' und C' senkrecht auf HPH, nach 0“. Weitere ausgezeichnete Punkte sind die der beiden sich entsprechen- den Linien A-45 der Fig. 154 und 7’ PU der Fig. 155. Legt man die vertikale Ebene PA -45 der Fig. 154 in die Ebene der Fig. 155 hinein, so dafs jener Berührungspunkt P nach P, die in der Berührungsebene liegende Gerade, welche in Fig. 154 durch die Horizontalprojektion A - 45 und in der Umlegung durch PT" dargestellt ist, nach PT der Fig. 155 gelangt, so kommt die horizontale Gerade, welche in Fig. 154 durch A - 45 und h“ dargestellt ist, in Fig. 155 in die durch 7 geleste Gerade h, wenn der Winkel der Geraden PS mit der Geraden h gleich 180° — 5 — 45° gemacht [165] Die Helligkeit des klaren Himmels. 194. 245 wird; und endlich gelangt der in der Ebene PA .45 liegende Kreis vom Halbmesser 1 in den Kreis HT’. Die Gerade A - 45 der Fig. 154 enthält den Punkt D der Kurve '57, zu welchem der zweifach projizierte Punkt D‘“ der Fig. 155 gefunden werden soll. Man überträgt zu dem Ende 7’D aus Fig. 154 in Fig. 155 auf h nach TD, projiziert D aus P auf den Kreis HT' nach D‘, und D' senkrecht auf PT’ nach D“. Gehen wir nun zur Konstruktion eines allgemeinen Punktes über. E in Fig. 154 sei ein allgemeiner Punkt der Kurve :57. Um diesen aus P auf die Kugel zu projizieren, legen wir eine vertikale Ebene durch ? und Z; sie enthält die Projizierende PP‘ und die Horizontale P'E und schneidet jene Kugel mit dem Mittelpunkte ? in einem gröfsten Kreise. Diese Ebene legen wir in die Ebene der Fig. 155, so dafs P, P‘, P'E nach P, P‘, h gelangen. E gelangt dann in h nach #, wenn man P'E aus Fig. 154 in P'E der Fig. 155 überträgt. Jener Kreis gelangt in den Kreis HT‘, und auf ihn projiziert man X aus P nach EZ‘. Die Tiefe von #£‘ unter der Horizontalebene ist dann die Tiefe von # unter h, und die Horizontalprojektion des räumlichen Punktes #' ist E' auf P'E in Fig. 154, wenn man P'E' in Fig. 154 gleich dem Abstande des Punktes Z‘ von PP' in Fig. 155 macht. Der nun räumlich bestimmte Punkt #° der Kugel mufs dann auf unsere in Fig. 155 abgebildete Berührungsebene projiziert werden. Wir projizieren zuerst den Punkt E‘ der Kugel auf die Vertikalebene AP‘ der Fig. 154 nach E'', indem wir E'E'“ senkrecht auf AP‘ fällen. Bei der Umlegung dieser Vertikalebene um den durch P gehenden horizontalen Durch- messer der Kugel gelangt dann das £'" der Fig. 154 nach E'“' in Fig. 155, und zwar wird E'' in dieser Figur so gefunden, dafs man E' E''' senkrecht zu _ PP‘ legt und E“' einen Abstand von PP' gibt gleich P'E'" der Fig. 154 (d.i. auch gleich dem Abstande des E' von P'P“, so dals wir in Fig. 154 die Linie #'E“' ersparen könnten). Dann projizieren wir E'' auf jene Berührungsebene, die sich bei derselben Umlegung als die Gerade PU dar- stellt, d.h. wir fällen von #‘" eine Senkrechte auf PU; ihr Fufspunkt (nicht angegeben) ist die Projektion von E“. Die Projektion EZ des räumlichen Punktes X‘ liegt aber, wenn wir uns jetzt die Fig. 155 wieder als die durch P gelegte Berührungsebene der Kugel vorstellen, mit dem bestimmten Fulspunkte auf einer Parallelen zu PH, also auf derselben von 246 Chr. Wiener. [166] E'' auf PU gefällten Senkrechten, aber in einem Abstande von PU, welcher gleich dem Abstande in Fig. 154 des E‘ von AP‘ ist. Man sieht, dafs man dabei nur wenige Linien zu ziehen braucht und das meiste mit Zirkel- abstechungen ausführen kann. In derselben Fig. 155 ist auch die zweifache Projektion für « — 45), £— 45" ausgeführt. Sie ist in dem schmalen Zweieck HT,'H,UH enthalten L=90° &=180° | ® Den ı Te a et 57 / 06 r ; er 10 \ rn \ & z h, \ a H' He | Fig. 156. Vgl. Fig. 155. und ergänzt, wie schon bemerkt, unsere Zeichnung von « = 45°, <= 135° zum Vollkreis. Die Punkte und Linien P, T, T‘, t sind durch P,, T,, T',, t, ersetzt. Stellvertretende für S und s treten nicht auf. Auf diese Weise wurden die Konstruktionen ausgeführt für « — 0,45, 90, 135, 180°, jedesmal bei 0&—=45, 90, 135, 157:°. Hiervon seien noch mitgeteilt die Ergebnisse für « = 0°, <= 90° und « = 180°, 5 = %0', [167] Die Helligkeit des klaren Himmels. 194. 247 welche in den zwei Halbkreisen der Fig. 156 vereinigt sind, sowie für a — 45°, = 1573° in der Fig. 157. Die ergänzenden Zeichnungen für 5 — 225° sind als unwesentlich gar nicht ausgeführt worden.') Aus diesen Zeichnungen wurden nun die vom Boden auf die Kugel an den angegebenen Stellen zurückgestrahlten Lichtmengen bestimmt, wie in der früheren Weise. Es wurden mittels des Planimeters die Flächen- [=1573° @=45° Fig. 157. Vgl. Fig. 155. streifen gemessen, jeder mit der mittleren Beleuchtungsstärke des Streifens vervielfacht, die Summe der Produkte genommen, und die Summe durch x — 3,1416 geteilt. Man erhielt dadurch die auf die Kugelstelle vom Boden zurückgestrahlte Lichtmenge für das Rückstrahlungsvermögen des Bodens A=1. Vervielfacht man diese Zahlen mit 0,7; 0,25; 0,1, so erhält man 1) [Die Kurve SS in Fig. 156 u. 157 stellt die Projektion der Eigenschattengrenze der Kugel dar. A. d.H.]. Fig. 156. Fig. 157. Tab. s6. Fig. 158. 248 Chr. Wiener. [168] diese Lichtmenge für diese Werte von A, also für einen Gypsboden, einen Boden von weilsem Sandstein oder von Ackererde. Als Beispiel der Be- rechnung mag der Fall für «—=45°, &—= 135° angegeben werden. Lieht- Ablesung des Fläche Mittlere Lichtmenge gleiche | Planimeters Helligkeit ‚1860 0,530 0,09855 55 186,0 ee = ae Er 100 0,2835 0,557 0.15820 57 sn, 0,5260 0,565 0,29700 ie 2 er 1.3370 0.585 | 0,78400 "60 349,0 ? ö s 0,3490 0,610 0,21300 Die Flächen sind durch Abziehen der aufeinanderfolgenden Ablesungen erhalten. Nur die Fläche zwischen °55 und 56 wurde unter der Beachtung gefunden, dafs die ganze Fläche des kreis-elliptischen Zweiecks — cost 1 + 0,7071 se a Da 2 = 2,6972 — AR ist. Da ich aber mittels des Planimeters schon 2,6815 gefunden und be- nutzt hatte, so kleine Abweichungen aber unterhalb der Fehlergrenze liegen, so änderte ich die Zahlen nicht nachträglich. Es ergab sich daher der 0,1860 — 2,2120 = 0,2835. Die Beleuchtungsstärke wäre daher, wenn A=1 sein könnte, gleich 1,55075 : 3,1416 = 0,49340; sie ist für A—0,17 gleich 0,34538, für A—=0,1 gleich 0,049340. Die so erhaltenen Zahlen sind in Tab. 86 eingetragen. Streifen zwischen ‘55 und '56 gleich 2,6815 Hiernach sind zunächst die Beleuchtungskurven für die üunveränder- lichen Azimute «= 0°, 45°, 90°, 135°, 180° mit den Abszissen £ und den Ordinaten der Beleuchtungsstärken für A — 0,7 nach der Tab. 86 in Fig. 158 gezeichnet, und danach sind in der gewöhnlichen Weise die 5 für die Licht- stärken 35, '30,... 02 auf allen jenen Kurven « ermittelt. Ich hatte auch die Beleuchtungskurven für unveränderliche 5 mit den Abszissen « verzeichnet und daraus die « für jene Lichtstärken °35,... bestimmt, fand diese Zahlen aber wenig brauchbar, weil die Kurven selbst schroffe Übergänge besitzen und daher aus den wenigen Punkten nicht sicher genug verzeichnet werden können. [169] Die Helligkeit des klaren Himmels. 194. 249 Tabelle 86. Beleuchtungsstärke der auf dem Boden aufliegenden Kugel im Punkte ?P vom Azimut.« und der Zenitdistanz £, hervorgebracht durch den Boden, wenn dieser von der Sonne, der Atmosphäre und der durch Sonne und Atmosphäre beleuchteten Kugel vom Rückstrahlungsvermögen 0,7 beleuchtet wird, bei dem Rück- strahlungsvermögen des Bodens 4 — 0,7 und A = O1. A = 017. == ON: | | Eu 0 E50 90 Eauelst‘ c>— 0145 90025135, E1808 (my 45° |0,05754 05729 [05733 05425 05568 90° | 0,20230 20006 |19565 16905 12964 135° |0,35490 34538 29939 | 10766 ‚05285 15750] 0,34440 29582 |07616 01344 01109 45" 0.00822 00818 00819 00775 00767 90° 0,02890 02858 02795 0241001852 135° |0,05070 04934 04277 01538 |00755 15730] 0,04920 ae ‚01088 00192 00158 | | Fig. 158. Aus jenen Werten der & wurden nun die Lichtgleichen auf der Kugel für A —= 0,7 in Fig. 159 gezeichnet, und zwar in der Projektion auf Fig. 159. die durch die Sonne gelegte Vertikalebenee Dabei konnten die Punkte durch die erhaltenen Werte der £ für «=(0) und «= 180° unmittelbar auf dem Umrils aufgetragen werden; für «—=90° wurden sie auf dem Umrifs aufgetragen und die so erhaltenen Punkte auf den vertikalen Durchmesser Nova Acta XCI. Nr. 2. 32 250 Chr. Wiener. [170] des Umrifskreises projiziert; für «—=45" und 135° wurden Punkte von den erhaltenen & zunächst auf dem Umrils aufgetragen, aus ihnen Senkrechte auf den vertikalen Durchmesser gefällt, und die Senkrechten von der Länge s vom Fufspunkte an Auf die Länge s. cos 45° —s. 0,7071 mittels eines gezeichneten Winkels von 45° verkleinert. Durch Verbindung der Punkte gleicher Beleuchtungsstärke erhält man die Lichtgleichen. 6: TG: 180° Fig. 159. Beleuchtung der auf dem Boden aufliegenden Kugel durch Rückstrablung des Bodens. Weilse des Bodens 4 = 0,7. Projektion auf die durch die Sonne gehende Vertikalebene. Fig. 160. Die Kurven sind auch im Grundrifs in Fig. 160 gezeichnet und zwar von unten gesehen, so dafs diejenigen auf der unteren Kugelhälfte aus- gezogen, die auf der oberen Hälfte punktiert sind. Man sieht aus den Fig. 159 und 160, dafs bei der auf dem Boden aufliegenden Kugel durch Rückstrahlung des Bodens keine Beleuchtung [171] Die Helligkeit des klaren Himmels. 194. 251 im Auflagerpunkt und im höchsten Punkt hervorgebracht wird. Die stärkste Beleuchtung tritt im Sonnenmeridian auf der Sonnenseite («= 0) bei € — 148°, also nahe am Boden, mit der Beleuchtungsstärke 5 — 0,376 auf. Um diesen Punkt lagern sich die Lichtgleichen geringerer Stärke anfangs ellipsen-, dann bohnengestaltig. Bei der Kurve 0,134, die in Fig. 160 teilweise gestrichelt angegeben ist, vereinigen sich die beiden zugespitzten Kurventeile in einem Beleuchtung der auf dem Boden aufliegenden Kugel durch Rückstrahlung des Bodens. Weilse des Bodens A — 0,7. Grundrifs. Doppelpunkte bei @—=180° und 5&=96°. Von da an besteht jede Licht- gleiche aus zwei getrennten Ästen, deren einer sich in. ellipsenähnlicher Gestalt um den exzentrisch stehenden tiefsten Punkt von d — 0 herumzieht, deren andere sich in einer Gestalt, die bald von einem horizontalen Kreise nicht mehr zu unterscheiden ist, um den zentrischstehenden höchsten Punkt, ebenfalls von 5—=0, herumzieht. In jenem Punkte « = 180°, &< — 96° findet 32* Fig. 158. Fig. 161. 252 Chr. Wiener. [172] entlang des Meridians ein Maximum, und entlang des Parallelkreises ein Minimum der Beleuchtungsstärke statt. Um auch die Kurven für A = (0,1 zu erhalten, dessen Wert also + des vorigen ist, lege man in der Fig. 158 der Beleuchtungskurven Parallele zu der Achse der £ in den Abständen 7 - 0,01; 7.0,02... und bezeichne Fig. 161. Beleuchtung der auf dem Boden aufliegenden Kugel durch Rückstrahlung des Bodens. Weilse des Bodens 4 = 0,l. Projektion auf die durch die Sonne gehende Vertikalebene. diese mit 0,01; 0,02;... Mittels dieser Linien bestimmt man die & für b—= 0,01; 0,02... bei A=0,1. Und mit diesen Werten verzeichnet man die neuen Lichtgleichen auf der Kugel, die in Fig. 161 wieder in der Pro- jektion auf die Vertikalebene der Sonne dargestellt sind. Es sind Linien, die ganz zur Schar der Lichtgleichen der Fig. 159 gehören und dieselbe Gestaltung haben. Ihr lichtstärkster Punkt ist an derselben Stelle wie [173] Die Helligkeit des klaren Himmels. 194—195. 253 vorher (e—=0, <= 148°), hat aber nur 5 = 0,055; jener Doppelpunkt liegt wieder in «= 180°, &— 96°, und hat 5 = 0,019. 195. Die gleichzeitige Beleuchtung der auf dem Boden aufliegsenden Kugel durch die Sonne, die Atmosphäre und den Boden, wenn dessen Rückstrahlungsvermögen A gleich 0,7 ist. 6502 6| 5 H = 4 Fig. 162. Liehtgleichen der auf dem Boden aufliegenden Kugel, hervorgebracht durch gleichzeitige Einwirkung von Sonne, Himmel und Boden, dessen A = 0,7. Projektion auf die durch die Sonne gehende Vertikalebene. Hierzu werden die Lichtgleichen durch Verbindung derjenigen für die Sonne und die Atmosphäre in Fig. 155 und derjenigen für den Boden in Fig. 159 bei A—=0,7 für den Boden gewonnen. Die Verbindung ist wieder zum Teil durch Pauspapier, zum Teil durch Aufeinandersetzen der Beleuchtungs- kurven geschehen, und das Ergebnis ist in Fig. 162 dargestellt. Fig. 162. Fig. 163. 254 Chr. Wiener. [174] Der liehtstärkste Punkt liegt in dem grölsten Vertikalkreise, dessen Ebene durch die Sonne geht («—=0) bei <= 67° und hat die Beleuchtungs- stärke 5 — 1,081, während die Zenitdistanz der Sonne nur 54°44' beträgt. Um diesen Punkt legen sich Lichtgleichen in Linien, die wenig von Kreisen abweichen, herum. Die Linien 0,5; 0,2; 0,1 stolsen auf die Schattengrenze für die Sonnenbeleuehtung und biegen von da fast rechtwinklig gegen diese Grenze in den Schattenteil ab. In diesem finden in dem Vertikalkreise von «—= 180° zwei Minima und ein Maximum der Lichtstärke statt. Von den ersteren ist das eine nahe bei &= 55° mit 5 = 0,084, das andere im tiefsten Punkt (5=180°) mit 5=0. Das Maximum liegt bei © — 96° mit 5 — 0,134. Um das obere Minimum legen sich Lichtgleichen herum, welche Bruchpunkte in der Schattengrenze besitzen; um das tiefste Minimum lagern sich die Lichtgleichen in ellipsenartigen Gestalten, exzen- trisch gegen diesen tiefsten Punkt. DBeiderlei geschlossene Lichtgleichen sehen ineinander über in der (nicht verzeichneten) Lichtgleichen 0,134, die durch das bezeichnete Lichtmaximum geht und in ihm einen Doppelpunkt besitzt. 196. Die gleichzeitige Beleuchtung der auf dem Boden aufliesenden Kugel durch die Sonne, die Atmosphäre und den Boden, wenn dessen Rückstrahlungsvermögen 4A gleich 0,1 ist. Für das Rückstrahlungsvermögen des Bodens A —= 0,1 ist die Gesamt- beleuchtung der auf dem Boden auflagernden Kugel durch Verbindung der Lichtgleichen in Fig. 135 für Beleuchtung durch die Sonne und die At- mosphäre und derjenigen der Fig. 161 durch die Rückstrahlung des Bodens bestimmt und das Ergebnis in Fig. 165 niedergelegt. Hier findet in dem vertikalen Lichtstrahlenmeridian der Kugel (<—=0" oder 180°) nur ein Maximum und ein Minimum der Lichtstärke statt. Das erstere mit d = 0,9903 ist bei «=0° und 5=57), das zweite mit b=() im Auflagerpunkt = 180°. Um den ersteren Punkt legen sich die Lichtgleichen kreisartig und zentrisch herum, bis etwa zu der Lichtgleichen 0,07, welche die Grenze der Sonnenbeleuchtung bildet. Um den dunkelsten Punkt lagern sich die Lichtgleichen exzentrisch, anfangs ellipsenartig, und [175] Die Helligkeit des klaren Himmels. 195 —196. 255 nehmen dann mehr ausgebauchte, gegen die Sonne hin hohle Gestalten an. An der Sonnenlichtgrenze gehen beiderlei Kurven ineinander über. Man bemerkt den Unterschied der Fig. 162 und 163 bei der Wirkung eines hellen und eines dunklen Bodens. Beim hellen Boden entsteht im vertikalen Meridian hinter der Sonnenschattengrenze bei « —= 180° und £ = 35° Lichtgleichen der auf dem Boden aufliegenden Kugel, hervorgebracht durch gleichzeitige Einwirkung von Sonne, Himmel und Boden, dessen A — 0,1. Projektion auf die durch die Sonne gehende Vertikalebene ein dunkelster Fleck mit 5 — 0,084, es wird dann die Hellickeit nach unten gröfser, erreicht ein Maximum bei 5—= 96° mit 5 = 0,134 und nimmt dann gegen den Auflagerpunkt wieder ab. Bei dunklem Boden entsteht hinter der Sonnenschattengrenze kein dunkelster Fleck, sondern es nimmt die Belligskeit gegen den Auflagerpunkt beständig ab. Der gewöhnlich angebrachte Fig. 135. Fig. 148. Fig. 151. Fig. 159. 256 Chr. Wiener. . [176] dunkle Ring hinter der Sonnenschattengrenze ist also bei hellem Boden durch einen dunklen Fleck zu ersetzen, während bei dunklem Boden gar nichts derartiges auftritt. 19. Die wiederholte Rückstrahlung zwischen Boden und Kugel. Bei der Bestimmung der Beleuchtung des Bodens ist neben der durch die Sonne und die Atmosphäre die durch die Kugel ermittelt, dabei ‚aber die Kugel nur durch Sonne und Atmosphäre beleuchtet gedacht; die später ermittelte Bestrahlung der Kugel durch den Boden ist nicht wieder in ihrer Einwirkung auf die Bodenbeleuchtung und auf die Verstärkung der Bodenstrahlung auf die Kugel untersucht. Wir wollen nun durch Schätzung untersuchen, wie bedeutend wohl bei den stärksten Rückstrahlungs- vermögen der Kugel und des Bodens, nämlich bei A — 0,7, die wir übrigens für die Kugel stets vorausgesetzt haben, jene Wirkung sei, und wir werden finden, dals die grofse Arbeit einer genaueren Bestimmung sich nicht lohnen würde. Die in Fig. 135 dargestellte durch Sonne und Atmosphäre beleuchtete Kugel bringt die in Fig. 148 dargestellte Beleuchtung des Bodens hervor. Diese Beleuchtung, verbunden mit derjenigen durch die Sonne und die Atmosphäre, ist in Fig. 151 dargestellt. Der so beleuchtete Boden für sich bewirkt nun die in Fig. 159 dargestellte Beleuchtung der Kugel. Wir wollen nun durch Vergleichen der durch Sonne und Atmosphäre beleuchteten Kugel (Fig. 135) mit der durch den Boden allein beleuchteten (Fig. 159) abschätzen, wie sich die durch die erstere Kugel hervorgebrachte Boden- beleuchtung (Fig. 148) zu der durch die letztere hervorgebrachte verhalten möchte. Wir fassen nur Punkte in der durch Kugelmittelpunkt und Sonne gehenden Vertikalebene («—=0?° und —= 180°) ins Auge. Fig. 148 zeigt, dals bei «—=0" und <=r, d.h. bei dem Abstand x eines Punktes des Bodens vom Auflagerpunkt A gleich dem Kugelhalb- messer 7, die Beleuchtungsstärke des Bodens etwa 5 — 0,07 ist. Hier mag nun die Wirkung der Kugel nach Fig. 159 ebenso stark sein wie die der Kugel nach Fig. 135; an der Stelle der stärksten Wirkung nämlich, die etwas höher als der Schnittpunkt der Verbindungslinie des betrachteten Bodenpunktes mit dem Mittelpunkt der Kugel liegt, ist die Beleuchtungsstärke [1177] Die Helligkeit des klaren Himmels. 196—197. 257 in beiden Figuren etwa dieselbe, nämlich gleich 0,3. Von da an ist sie in Fig. 135 nach oben, in Fig. 159 nach unten gröfser. Es mag also auch nach Fig. 159 in diesem Punkte (x — 1) auf dem Boden d — 0,07 hervor- gebracht werden. Für den Punkt «—=0, &—0,3.r dürfte die gerade darüberliegende Stelle der Kugel den gröfsten Einfluls auf d haben. Diese Stelle zeigt bei Fig. 135 etwa d = 0,013, bei Fig. 159 etwa 5 = 0,28, also etwa 21 mal so viel. Auf dem Boden (Fig. 148) bringt hier die Kugel der Fig. 135 die Beleuchtungsstärke 5 — 0,01 hervor; also würde die Kugel der Fig. 159 etwa 5 — 0,21 hervorbringen. — Für «=180° und <=r ist auf dem Boden durch die Kugel der Fig. 135 5 — 0,003; durch die Kugel der Fig. 159 dürfte es (0,10 : 0,013) — 8 mal so groß, also etwa db — 0,024 sein. Für «—=180° und = 0,3.» r ist für den Boden durch die Kugel der Fig. 135 d — 0,0012, durch die Kugel der Fig. 159 etwa (0,013 : 0,003) — 4 mal so grols, also 5 = 0,0048. Nun sind aber an diesen vier Stellen des Bodens die bei der Be- stimmung der Bodenrückstrahlung benutzten Lichtstärken nach Fig. 151 der Reihe nach etwa 0,62; 0,48; 0,027; 0,008. Sie würden also gesteigert um die vier ermittelten Gröfsen 0,07; 0,21; 0,024; 0,0048 auf 0,69; 0,69; 0,051; 0,0128. Es würde daher die in Fig. 159 dargestellte Bodenrück- strahlung gesteigert am meisten in der Nähe des Auflagerpunktes und wenig in den höheren Punkten. Wieder bei a=(0 würde die Steigerung jener Zahl bei e—=r von 0,62 auf 0,69 oder um 5, auch die der Kugelbeleuchtung bei &—135° von 0,35 um ; auf 0,39 stattfinden. Durch die Bodenstelle « — 0, z—=0(0,3.r von 0,48 auf 0,69, würde die Beleuchtungsstärke des gerade darüber liegenden Punktes der Kugel in gleichem Verhältnis von 0,28 auf VAUEsteisen Burn a 1E02 72 rzentstehtsausa (& 1359.52 0/05: 50.050.051. 20,027 — 0,0997 für —18 02V 37-77 entsteht, aus 5 20.0159 0:013.20.012820.005 7 0 0218 Es geht daraus hervor, dafs durch die Berücksichtigung der doppelten Rückstrahlung von Kugel und Boden die Beleuchtungsstärken an den sonnen- beleuchteten Stellen nur unmerklich geändert würden, wohl aber die in den Schattenteilen; und zwar auf dem Boden etwa um die Hälfte, auf der Kugel um die Hälfte bis fast zum Ganzen. Es würden also in Fig. 162 die Nova Acta XCI. Nr.2. 33 Fig Fig. . 162. 258 Chr. Wiener. [178] unteren Kurven 0,02; 0,05 und auch noch 0,1 merklich gehoben werden müssen, und bei der noch öfter wiederholten gegenseitigen Rückstrahlung würde sich die Wirkung noch etwas steigern. Also nur wenn diese tiefen Stellen sichtbar sind, würde eine Wirkung der wiederholten Rückstrahlung bemerkbar sein. Diese Stelle ist aber nur sichtbar bei einer Aufrifszeichnung oder einer der Aufrifszeichnung sehr genäherten Abbildung; dann erscheint aber die Hebung der Punkte und Hellegleichen sehr gering und schmal, so dals sie kaum bemerkbar ist. Bei einem Rückstrahlungsvermögen des Bodens A = 0,1 ist aber die Wirkung der wiederholten Rückstrahlung ganz unmerklich. Wir werden sie also ohne merklichen Fehler stets aufser acht lassen dürfen. Nur das eine wollen wir bemerken, dafs bei A des Bodens = 0,7 (Fig. 162) die Helligkeit an einer bemerkbar ausgedehnt erscheinenden Stelle nahe bei dem Auflagerpunkte nicht sehr tief, kaum unter 0,05, sinken dürfte. 1985. Aus den bisher gezeichneten Projektionen der Licht- gleichen der Kugel auf ihre Symmetrieebene wird ihr Grundrifs und Aufrifs abgeleitet, letzterer auf einer zur Symmetrieebene unter 45° geneigten Vertikalebene. Wir haben nun die Lichtgleichen der Kugel für vier Fälle bestimmt und ihre Projektion gezeichnet, und zwar jedesmal auf ihre Symmetrieebene, d.i. auf die durch den Kugel- und den Sonnenmittelpunkt gehende Vertikalebene. Es handelt sich um die vier Fälle: a) die Kugel schwebt hoch über dem Boden, und zwar so hoch, dals ihre Einwirkung auf den Boden unbeachtet bleiben kann; 1. das Rückstrahlungsvermögen des Bodens ist A = 0,7, 2 a = (le b) die Kugel liegt auf dem Boden auf und hat das Rückstrahlungs- vermögen A — 0,7, was so grols ist, dafs ihre Rückstrahlung auf den Boden bemerkbar ist; 3. das Rückstrahlungsvermögen des Bodens ist A = 0,7; Agasta A011: Von diesen vier Fällen sollen nun die zwei letzten, bei denen die Kugel auf dem Boden aufliegt, weiter verfolgt und dabei zunächst die [179] Die Helligkeit des klaren Himmels. 197 —198. 259 Lichtgleichen im Grundrifs und Aufrifs in der gebräuchlichen Weise dar- gestellt werden. Gebräuchlich ist dabei aber eine solche Lage der vertikal stehenden Aufrilsebene, dafs sie mit der ebenfalls vertikalen Symmetrieebene der Lichtgleichen (die durch die Sonne geht) einen Winkel von 45° bilden, wodurch die beiden Projektionen der Sonnenstrahlen Winkel von 45" mit der Schnittlinie der beiden Projektionsebenen, der Projektionsachse, bilden. : N N N " 4 Fig. 164. Lichtgleichen der auf dem Boden uufliegenden Kugel, hervorgebracht durch gleichzeitige Einwirkung von Sonne, Himmel und Boden, dessen A —= 0,7. Aufrils, schiefe Stellung. Aus Fig. 162, für A des Bodens gleich 0,7, bilden wir den Grund- rils in der schiefen, dem Aufrils entsprechenden Stellung, in folgender Weise. Die höheren Lichtgleichen, d.i. von gröfserer Beleuchtungsstärke, erscheinen in Fig. 162 fast geradlinig und nur an dem Ende etwas gebogen; sie sind daher in Fig. 164 fast genau Ellipsen. Wir vervollständigen sie 33* Fig. 162. Fig. 164. Fig. 165. 260 Chr. Wiener. [180] in Fig. 162 zu vollen geraden Sehnen des Umrifskreises, zeichnen die zu- gehörige reine Ellipse in Fig. 164, indem wir die Endpunkte der Sehnen auf die Horizontalebene projizieren und auf die schiefliegende Symmetrie- linie der Fig. 164 übertragen, und damit die kleinen Achsen der Ellipsen erhalten; die grofsen Achsen sind gleich jener geraden Sehne in Fig. 162. Dann kann man die Abweichung von der geraden Sehne leicht als Ab- weichung von der Ellipse angeben. Bei den anderen Lichtgleichen überträgt man einen Punkt aus Fig. 162 in Fig. 164, indem man aus Fig. 162 den Halbmesser des hori- zontalen Kreises der Kugel, auf welchem er liegt, entnimmt und damit den Kreis in Fig. 164 zieht, und indem man den Abstand von dem vertikalen Durchmesser in Fig. 162 als Abstand von demjenigen Durchmesser in Fig. 164 überträgt, der senkrecht auf dem Symmetriedurchmesser steht. Im Aufrifs stellen sich die höheren Lichtgleichen wieder nahezu als Ellipsen dar. Den Mittelpunkt einer solchen erhält man, indem man seine Höhe über der horizontalen Durchmesserebene aus Fig. 162 und seinen Abstand von dem vertikalen Durchmesser des Umrilskreises aus dem vorher gezeichneten Grundrifs (Fig. 164) entnimmt. Die grofse Achse der Ellipse steht senkrecht auf der Verbindungslinie der Abbildung des Mittelpunktes der Kugel mit dem der Ellipse, und ihre Gröfse wird aus Fig. 162 ab- gegriffen. Um die Bestimmungsweise der kleinen Achse anzugeben, wollen wir in Gedanken die Mittelpunkte der Kugel und der Ellipse mit M und E, ihre Grundrifse mit M‘, E‘, ihre Aufrifse mit M', E‘ bezeichnen. Die kleine Achse jener Ellipse im Aufrifs liegt nun in ME“ und wird durch Umlegung der projizierenden Ebene MEM"E" um ME“ in die mit der Aufrilsebene parallele Durchmesserebene der Kugel erhalten. Dabei bleibt M an seiner Stelle M', E kommt nach einem Punkte E‘“', den man erhält, wenn man EEE" 1 ME“ und gleich dem Abstande des E' von dem zur Projektionsachse parallelen Kugeldurchmesser macht, dann könnte man aus E“' eine auf M'E‘' senkrechte und der halben grolsen Achse der Ellipse gleiche Linie zeichnen; ihre Projektion auf M‘ E“ wäre die gesuchte halbe kleine Achse. Einfacher ist es aber, wenn man auf M' E‘“' die halbe grolse Ellipsenachse von M' aus aufträgt; der Abstand ihres zweiten Endpunktes [181] Die Helligkeit des klaren Himmels. 198. 261 von M"'E‘ ist ebenfalls gleich jener halben kleinen Achse. Es ist von Vorteil zu beachten, dafs die Punkte E‘' eine durch M“ gehende schwach sekrümmte Linie bilden. Die übrigen Lichtgleichen werden punktweise übertragen, indem man einen Punkt zuerst in der angegebenen Weise im Grundrifs zeichnet, aus Fig. 165 Liehtgleichen der auf dem Boden aufliegenden Kugel, hervorgebracht durch gleichzeitige Einwirkung von Sonne, Himmel und Boden, dessen A = 0,7. Grundrifls, schiefe Stellung. ihm seinen Abstand von dem zur Projektionsachse senkrechten Durchmesser entninmt und in den Aufrifs überträgt, während der Abstand des Aufrißs- punktes von der horizontalen Durchmesserebene aus Fig. 162 entnommen wird. Dabei ist es ein Vorteil, hauptsächlich die Punkte zu übertragen, welche in den vertikalen Durchmesserebenen der Kugel liegen, die mit der Aufrifsebene die Winkel von 0°, 90°, 45° bilden. Diese schneiden die Kugel 262 Chr. Wiener. Die Helligkeit des klaren Himmels. 198. [182] in gröfsten Kreisen, deren Aufrisse sowohl in Fig. 162, als wie in Fig. 165 als der Umrifs, als der vertikale Durchmesser, oder als Ellipsen erscheinen, deren grolse Achse der vertikale Durchmesser des Umrifskreises bildet und deren kleine Achse gleich jenem Durchmesser mal cos 45° ist. Dabei werden z. B. die Punkte des vertikalen Umrifsdurchmessers der Fig. 162 auf die rechts liegende halbe Ellipse der Fig. 165 übertragen, wobei sich die Abstände von dem horizontalen Umrifsdurchmesser nicht ändern. Dritter Teil. Nachahmung der Helligkeit durch Tuschlagen. 199. Unmöglichkeit der Nachbildung der wirklichen Hellig- keiten. Die Helliekeiten, die in der Natur vorkommen, können wir un- möglich auf dem Bilde wahrheitsgemäfs nachahmen, hauptsächlich weil sie viel zu grols sind. Wir haben als Einheit der Helligkeit diejenige eines nur zu denkenden vollkommen weilsen Körpers (4 — 1) angenommen, welcher an der äufseren Grenze der Atmosphäre senkrecht von der Sonne bestrahlt wird. Eine auf dem Erdboden aufliegende weilse Kugel von A=—0,7 erlangt bei der von uns angenommenen Zenitdistanz der Sonne — 54°44° durch die Sonne, die Atmosphäre und den mit ihr gleich hellen Boden an ihrer hellsten Stelle die Beleuchtungsstärke d — 1,081 und die Ereliekeit 7 —_ 1.081 207 — Orion: Der Himmel dagegen hat neben der Sonne die Helligkeit 3,15; und die Helligkeit der Sonne selbst ist viele tausendmal so grols. Denn wir wissen (S. 194), dals ein Quadratmeter einer von der Sonne senkrecht be- strahlten vollkommen weilsen und matten Körperoberfläche eine in ein Meter Abstand senkrecht gegenübergestellte Fläche nur x = 3,14 mal so schwach beleuchtet, als die Sonne selbst, und wenn jenes Quadratmeter die Hellig- keit der Stelle des Himmels neben der Sonne besäfse, also 3,15, wieder 3,15 mal so stark, also im ganzen fast genau so stark wie die Sonne; also lqm einer Fläche von der Helliskeit des Himmels neben der Sonne, welches der zu beleuchtenden Fläche in Im Entfernung senkrecht gegenübergestellt wäre, würde diese Fläche ebenso stark beleuchten, wie die Sonne selbst. Ein Teil einer solchen beleuchtenden Fläche, welcher in derselben Grölse wie die Sonne erschiene, würde aber nur den 14700sten Teil eines Quadrat- meters einnehmen, und in demselben Verhältnis schwächer beleuchten. Denn der mittlere scheinbare Durchmesser der Sonne ist 32 Minuten, also ihre Gröfse auf der Himmelskugel vom Halbmesser —= Im ist — Noya Acta XCI. Nr. 2. 34 266 Chr. Wiener. [186] (5 . u) nr qm, 2 60-180 14700 die Sonnenscheibe, welche aber dieselbe Helligkeit hervorbringt, wie 1qm des benachbarten Himmels auf der Himmelskugel von im Halbmesser, erscheint daher 14700 mal so hell als dieser, d.h. in der Helligkeit von 3,15 - 14700 — 46300. Dies findet statt an der äufseren Grenze der Atmo- sphäre; an der Erdoberfläche ist ihre Helligkeit bei der angegebenen Stellung auf 0,69 ihrer ursprünglichen Stärke verkleinert, so dafs hier die Sonnen- scheibe nur noch mit der Helligkeit 0,69 - 46300 — 32000 erscheint. Dies kann als die gröfste bei uns vorkommende Helligkeit angesehen werden; als kleinste kann eine solche, welche fast gleich Null ist, vor- kommen, nämlich beim Einblick in einen tiefen Tunnel. Solche Helligkeiten wie 32000 und O0 können aber auf einem Bilde, also durch Farbpigmente nicht nachgeahmt werden. Die weilsen Farbstoffe haben etwa das Rückstrahlungsvermögen 0,7 und würden auf einer senk- recht von der Sonne beschienenen Fläche bei der genannten Schwächung der Sonnenstrahlen die Helligkeit 0,69 - 0,7 — 0,48 zeigen. Lampenschwarz hat. noch das Rückstrahlungsvermögen 0,02 oder mindestens 0,01, würde also im Sonnenschein noch die Helligkeit 0,69 - 0,02 — 0,014 geben. Die Bilder werden aber meist in geschlossenen Räumen aufgestellt und werden nur durch Tageslicht, hauptsächlich die Atmosphäre beleuchtet. Die grölste Beleuchtungsstärke, die durch die ganze Atmosphäre und den unbegrenzten hellen Boden auf einem lotrecht hängenden Bilde hervor- gebracht werden kann, ist nach Fig. 128 und 152 etwa gleich 0,20 + 0,25 — 0,45, dürfte aber in einem geschlossenen Raume selbst mit günstigem Öberlichte kaum ; davon, oder 0,1 betragen. Dann sind jene äufsersten Helligkeiten auf einem Bilde 0,1. 0,7 = 0,07 und 0,1 - 0,02 = 0,002, also weit von der Wirklichkeit, d.h. von 32000 und O entfernt. Man könnte sich nur durch andere Mittel, als durch Farbpigmente, der Wirklichkeit mehr nähern, aber Mittel, die nur bei Panoramen oder auf der Bühne zulässig wären, nämlich durch Öffnungen an den fraglichen Stellen des Bildes, hinter denen etwa elektrisches Licht oder ein Dunkel- raum ‚angebracht wäre. Wir aber sprechen nur von der Färbung des Bildes. [187] - Die Helligkeit des klaren Himmels. 199 — 200. 267 Da stehen die Maler mit Recht davon ab, die volle blendende Sonne zu malen; sie zeigen sie höchstens durch Nebel oder Wolken halb verhüllt. Aber auch die Verhältnisse jener Helligkeiten können nicht nachgebildet werden. Die Sonnenscheibe ist ja 32000 : 3,15 — 10200 mal so hell als der benachbarte Himmel, die hellste weifse Farbe aber nur 0,7 : 0,02 = 35 mal so hell als Lampenschwarz; also kann nie der Sonnenscheibe das wahre Helligkeitsverhältnis gegen den benachbarten Himmel gegeben werden. 200. Nachahmung der Unterscheidbarkeit verschiedener Helligkeiten. Das Webersche Gesetz. Wenn wir nun die Sonnen- scheibe selbst und auch den benachbarten Himmel von dem Bilde aus- schlielsen, so werden die äufsersten vorkommenden Helligkeiten, wie wir vorhin sahen, 0,757 und OÖ sein. Diese und die dazwischenliegenden sollen nun auf dem Papier nachgeahmt werden. Dabei beschränken wir aber unsere Aufgabe dahin, dals wir nieht die Farben, sondern nur die Hellig- keiten nachahmen; und dies wollen wir durch Lagen von Tusch oder Lampenschwarz tun, die wir mit dem Pinsel auftragen. Da wir nun die wirklichen Helligkeiten nicht wiedergeben können, so tritt die Frage auf, wie wir die Nachbildung gestalten sollen. Da dürfte es als das passendste erscheinen, danach zu sireben, dafs wir Stellen, die in Wirklichkeit einen Unterschied in der Helligkeit erkennen lassen, auch im Bilde so färben, dafs ein solcher Unterschied erkennbar ist. Und da die Erkennbarkeit mehr oder weniger deutlich hervortreten kann, so müssen wir die Grenze betrachten, wo der Unterschied gerade noch erkennbar ist. Da findet man denn, dals man Unterschiede in der Helligkeit erst dann erkennt, wenn sie eine gewisse Gröfse erreichen, die mit der Helliskeit der Flächen proportional wächst. Es wird diese Erfahrung durch das Webersche Gesetz') aus- gedrückt, welches sagt, dafs der Unterschied der Helliskeiten zweier Flächen 1) [Zur Kritik des von Fechner formulierten „Weberschen Gesetzes“ vergleiche man E. Hering, Grundzüge der Lehre vom Lichtsinn, Handbuch der Augenheilkunde, I. Teil, XI. Kap. $ 21, S. 91f. Leipzig, Verlag von W. Engelmann 1907. Unter diese Kritik fallen auch die hier gegebenen Entwicklungen. Gleichwohl dürften sie für den vorliegenden prak- tischen Zweck völlig genügen. D. H.] BES 268 Chr. Wiener. [188] erst dann anfängt erkennbar zu werden, wenn er einen gewissen verhältnis- mälsigen Teil von der Helligkeit jeder der beiden Flächen, z. B. ;; der weniger hellen beträgt. Diese Verhältniszahlen sind schwer mit einiger Sicherheit zu be- stimmen, weil der Grad der Deutlichkeit des Unterschiedes eine gewisse _ Willkür zuläfst; außerdem wechseln sie für verschiedene Augen, und sind auch verschiedene für dieselben Augen, je nachdem diese durch die Hellig- keit der Umgebung abgestumpft, oder durch zeitweiliges Zubringen in der Dunkelheit empfindlicher geworden sind. Ich fand bei ganz deutlicher ; ie EL 1 - B e Unterscheidbarkeit jenes Verhältnis „ = „, und bei dem durch zeitweise Fi , 2 B 1 12 5 a Dunkelheit empfindlich gemachten Auge - =, ) Dies galt bei Beleuchtung = a 12 durch eine kleine Benzinflamme von 9mm Höhe. Bei einer Stearinkerze, welche die l4fache Helligkeit des Benzinlichtes hatte, fand ich als untere und unter besonders A e & 1 1 Grenze der Erkennbarkeit des Unterschiedes ah 50; 1 RE: ee 1 günstigen Verhältnissen kann — auf ;., und ;.. heruntergebracht werden. Das Webersche Gesetz gilt aber nur zwischen gewissen Grenzen; bei grofsen Helligkeiten, besonders wenn ein schmerzliches Gefühl, ein Geblendetwerden eintritt, gilt es nieht mehr; die ganze und die halbe Sonnen- scheibe wirken beide schmerzlich und lassen keine Unterscheidung der empfangenen Lichtmengen und der Helligskeiten mehr zu. Ebenso findet eine untere Grenze statt, indem bei sehr geringer Helligkeit die Sichtbarkeit ganz aufhört, was nach dem Weberschen Gesetze nicht stattfinden könnte. So fand ich, wenn die Helligkeit einer Gypsplatte, die von einer Stearin- kerze in Im Abstand senkrecht beleuchtet ist, gleich Eins gesetzt wird, dals die Gypsplatte gerade noch bemerkbar war, wenn in dem ersten der ; = 1 IN. > . . a B e angeführten Fälle (G == 2) ihre Helliskeit 0,0001972 betrug, im zweiten 1 1 Mur N ENCHER 32 R } 5 3 R ( 5) bei 0,000065.°) Uberhaupt scheint bei sehr geringer Helligkeit I) Chr. Wiener, Die Empfindungseinheit zum Messen der Empfindungsstärke. (Wied. Ann. d. Phys. u. Chem., N. F. Bd. 47, 1892, S. 666.) 2) A.a. 0. 8.665 u. 668. [189] Die Helligkeit des klaren Himmels. 200—201. 269 die Empfindlichkeit gegen die Helliskeitsunterschiede ebenso abzunehmen, 5 < 5 q 1 1l 1 wie bei sehr grofser, schmerzender Helligkeit, wenn man das „ — „ oder 5 5 © er R 1 1 N Se . bei dem kleinen Benzinlicht mit dem — — 50 bei dem Stearinlicht vergleicht. 201. Empfindungseinheit, Empfindungsstärke und ihre Ab- hängigkeit von der Helligkeit oder dem Reize. Nun können wir die Begriffe der Empfindungseinheit und. der Empfindungsstärke aufstellen. Wir wollen sagen, die Stärke von zwei Empfindungen ist um eine Einheit, also um die Empfindungseinheit, verschieden, wenn ein Unterschied zwischen ihnen gerade noch empfunden werden kann, und wir wollen diejenige Empfindung selbst Eins nennen, welche gerade noch bemerkt wird, also bei einer Abschwächung verschwindet. Bezeichnen wir die Helligkeit einer Fläche, die einen Reiz auf das Auge ausübt, mit , und die durch sie hervor- gebrachte Empfindungsstärke oder kurz die Empfindung mit e, so wächst sie um 1, wird also zu e+1, wenn die Helligkeit k, entsprechend dem Weberschen Gesetze, um jene mit in dem unveränderlichen Verhältnisse 1 a x 1 1\ 5 „ stehende Größse „Ah wächst, also zu ht.h=h in ) geworden ist, wenn sie also für « —= 12 um ;; wächst, oder ;. von ihrer ursprünglichen VER . 9 = ee Wil : e 2 0 e Stärke wird. Dieses Verhältnis z heilst die Verhältnisschwelle, eine Bezeichnung, die von Fechner!) herrührt, dem überhaupt das Wesentliche der bier gegebenen Entwieklung zu danken ist. Sei die Helligkeit — h,, wenn die Empfindung e—= 1 wird, so hört mit abnehmendem 5 die Empfindung ganz auf. Denkt man sich das Webersche Gesetz noch abwärts fortgesetzt, so mülste die Empfindung e—=() werden erst dann wenn die Helliskeit h zu h, —=s gesunken wäre, m(1+,)=s(i+.) M, während in Wahrheit e schon Null wird, wenn h nur um weniges unter h, derart, dals sinkt. Doch hat Fechner dem so berechneten s eine Bedeutung gegeben 1) Fechner, Elemente der Psychophysik, 1860; zweite unveränderte Aufl. 1889, Bd. 1, S. 244. Fig. 166. 270 Chr. Wiener. [190] und es den Schwellenwert des Reizes genannt.') Wir erhalten nun die Empfindung e—=1 für die Helligkeit h, = s ( +2), dann die Empfindung e—2 für die Helligkeit h, — h, (i SE :) —S (i ä 1) ‚e=3fürh,—h, e ar .) 1\° B 2 =; (i SE .) ‚ und allgemein e=e für [64 == & ( + :)" [64 I 5 — el (1 +1) Ss & und daher oder s log h — log s PD —— — —, log (i SF 2) log i SF .) & [03 Die Empfindungsstärke e ist also eine logarithmische Funktion der Helligkeit oder des Reizes; dieselbe ist in Fig. 166 dargestellt. h = OA ist die Abszissen-, e die Ordinatenachse; die Kurve % stellt den oben er- wähnten Fall mit « = 7 oder genauer — 6,96 und mit s = 0,0001728 dar, und dabei wird I oaasr [4 h und log 50001728 h = 0,0001728 - 1,1437 e— —— — .—. , = 0,0001728 - 1,1437%, e log 1,1437 « Man verzeichnet die Kurve am genauesten nach Berechnungen; ihre öntstehung wird aber am verständlichsten aus der ursprünglichen Anschauung. Nach der unmittelbaren Beobachtung wird eine Fläche gerade bemerkbar, oder es wird e=1 für h, = 0,0001972, daher ist in der Fig. OC —=s und die zugehörige Ordinate e—= 1 gemacht; hier beginnt die Kurve k. Der N . ; 1 Schwellenwert s des Reizes wird dann gefunden durch s (1+2) — h, oder s- 1,1457 — 0,0001972, s = 0,0001728 = 08. Bis nach 5 auf OA denkt I) Fechner, a.a. O., Bd.1, S. 238ff. und Bd. 2, S. 13. Fechner geht von unendlich kleinen Zuwächsen des Reizes und der Empfindungsstärke aus, er nimmt keine bestimmte Empfindungseinheit an, sondern führt eine unbestimmte Konstante ein. [191] Die Helligkeit des klaren Himmels. 201. 271 man sich die Kurve fortgesetzt, was der Annahme entspricht, als gelte das Webersche Gesetz noch unterhalb der Grenze der wirklichen Empfindung. Steigt nun wieder umgekehrt h —=s um 0,1437 seiner Grölse oder steigt OS um SC = 0,1437. OS, so wird hierfür e—=]1. Man erhält aber dies SC, _ wenn man die Linie OB zieht derart, dafs sin AOB = 0,1457, und wenn _ man SC gleich dem Abstand des $ von OB macht. Für e = 2 muls h = 00 | 0 00005 00010 Fig. 166. wieder um 0,1437 - OO vergröfsert werden, was wieder vermittelst OB ge- schieht. Man sieht also, dals die Reize oder die Helligkeiten h eine geo- metrische und die Empfindungsstärken e eine arithmetische Reihe bilden, wie es bei den Koordinaten der logarithmischen Linie stattfindet. Die zweite Kurve %, gilt für den zweiten oben angeführten Fall des durch die Dunkelheit empfindlicher gemachten Auges mit « = 123, 1:« — 0,0811, s = 0,0000612. Wir wollen aber nicht versäumen zuzufügen, dafs der Begriff der Empfindungsstärke unabhängig von dem Bestehen des Weberschen Gesetzes 272 Chr. Wiener. [192] ist. Die Empfindungsstärke einer Helligkeit, oder allgemein eines Reizes, enthält so viel Empfindungseinheiten, als die Anzahl der gerade noch unterscheidbaren Helligkeiten oder Reize beträgt, die man zwischen jene Helligkeit oder jenen Reiz und die Dunkelheit oder die Reizlosigkeit einschalten kann, vermehrt um Eins. Dabei ist es gleichgiltig, in welcher Art von Abhängigkeit der Unterschied zweier aufeinanderfolgenden Reize von der Grölse dieser Reize stehe. 202. Nachahmung der Helligkeit durch Tuschlagen. Wir kommen nun zur Nachahmung der Helliskeiten durch Tuschlagen. Wir hatten dafür (S. 269) als wünschenswertes Ziel aufgestellt, dafs Helligkeiten, die in Wirklichkeit noch unterschieden werden können, auch in der Nach- ahmung noch unterscheidbar sind. Dies wird allerdings in solcher All- gemeinheit nicht immer möglich sein. Denn in Wirklichkeit sind die Helligskeiten meist viel mehr verschieden, als auf dem im Zimmer auf- gestellten Bilde; es werden also in Wirklichkeit zwischen den durch den hellsten und den dunkelsten Ton hervorgebrachten Empfindungen meist viel mehr Empfindungseinheiten eingeschaltet werden können als auf dem Bilde. Wir werden also unsere Forderung dahin beschränken müssen, dafs der Unterschied der Empfindungsstärken für zwei Stellen des wirklichen Gegenstandes zu dem Unterschiede der Empfindungsstärken der entsprechenden Stellen des Bildes in einem unveränderlichen Verhältnisse steht, dafs z. B. dieser Unterschied im Bilde stets halb so grols gemacht wird, als er in der Wirklichkeit ist. Die Nachahmung der Helligkeiten auf dem Bilde wollen wir nun, wie schon bemerkt, durch Tuschlagen vornehmen, indem wir einen schwachen Tuschton, den Grundton herstellen, diesen mit dem Pinsel mehrmals nach jedesmaligem Trocknen auftragen, um so öfter, je geringer die Helligkeit sein soll. Ich habe nun Versuche über die Verminderung der Helligkeit mit zunehmender Anzahl der Tuschlagen angestellt,') die ich im folgenden kurz anführen will. !) Chr. Wiener, Lehrbuch der darstellenden Geometrie, Bd. 1, 1884, $. 408, [193] Die Helligkeit des klaren Himmels. 201—203. 273 203. Helligkeit 7, welche durch ».-faches Auflegen des Grundtons erreicht wird. Ich stellte einen ziemlich dunklen Ton her, verdünnte ihn durch die 49fache Menge von Wasser auf ; und be- trachtete diese Verdünnung als Grundton. Man könnte nun denken, dals man die Stärke des ursprünglichen Tones wieder erreichte, wenn man diesen verdünnten Ton 50 mal übereinander legte. In Wahrheit reichten aber schon 39 Lagen dazu hin. Um nun auch Zwischenstufen der Helligkeiten zu erhalten, bildete ich eine Art von Schraffierung mit jenem starken Tone, indem ich helle Streifen von der Weilse des Papieres und dunkle mit dem starken "Tone nebeneinander legte, und zwar in vier Arten, so nämlich, dafs die hellen 5 Streifen 5, :, > oder ; der Gresamtbreite einnahmen, allgemein die verhältnis- mälsige Breite 5), und die dunklen dann natürlich 5, 3, >, ;, allgemein die verhältnismälsige Breite (1—Ö). Setzen wir nun ohne Rücksicht auf den Wechsel in der Art der Beleuchtung des Bildes die Helligkeit des weilsen Papiers — 1 und diejenige des dunklen Tones gleich h,, vielleicht — 0,01 oder 0,02, und betrachten die Schraffierung aus einer solchen Entfernung, dafs sie als gleichförmiger Ton erscheint, so wird ihre Helligkeit ausgedrückt sein durch h"=b+(M1—b)h,; und nach dieser Formel ergibt sich ie D= 0, 4 5 => m 1, für 7, = 0,01, h = 0,01; 0,208; 0,406; 0,604; 0,802; 1,000, h, = 0,02, h = 0,02; 0,216; 0,412; 0,608; 0,804; 1,000. Man sieht daraus, dafs bei einem kleineren h, das h nahezu mit 5 pro- portional ist. Nun haben wir Streifen gebildet, diese der Reihe nach (0 mal, 1, 2, 3, nmal mit jenem durch Verdünnung erhaltenen Einheitstone überzogen und diese Streifen mit den Schraffierungen verglichen. Wir erhielten dann übereinstimmende Helligkeiten der schraffierten und der gleichförmigen Lagen beio2 Siem. 5 5 Er 0, inde Dein — 0-2 el: Noya ActaXCI. Nr. 2. 35 274 Chr. Wiener. [194] Veranschaulicht man nun dieses Ergebnis durch eine Kurve, indem man als Abszissen die h und als Ordinaten die n aufträgt, so erhält man die Fig. 167. Von h sind zwar die wirklichen Werte unbekannt, weil h, unbekannt ist, aber die Unterschiede der 7 sind mit denen der 5 proportional, also untereinander gleich; es können also die ÖOrdinaten » verzeichnet werden; nur der Anfangspunkt der h bleibt unbestimmt. Die Kurve, die stetig und angenähert durch die Punkte gezeichnet ist, hat das Ansehen einer umgekehrten logarithmischen Linie, wonach n mit dem Logarithmus des reziproken Wertes von h oder von 1: proportional wäre; und da die von Schülern von Monge über das Tuschen aufgestellte Theorie!) ebenfalls zur logarithmischen Linie führt, so wollen wir diese 'T'heorie zugrunde legen. ui | | 20. h- a a 08 70 Fig. 167. 204. Logarithmische Beziehung zwischen der Helligkeit 7 und der Anzahl » der Tuschlagen. Die Theorie geht davon aus, dafs die angeriebene Tuschfarbe aus Wasser mit festen schwebenden Kohle- teilchen besteht, die sich beim Anlegen auf das Papier niederschlagen; dafs ferner die Helligkeit Eins durch das reine, diejenige Null durch das ganz mit Kohle überzogene Papier dargestellt werde (was freilich nicht ganz 1) Journal de l’&cole polyt., cah. I, an III (1795) S. 167: Memoire sur la determination geometrique des tintes dans les dessins. [195] Die Helligkeit des klaren Himmels. 203—204. 205 zutrifft), so dafs die Helligkeit des mit Tuschfarbe bemalten Papiers gleich dem Verhältnis der nicht mit Kohleteilchen bedeckten Papierfläche zu der ganzen. bemalten Papierfläche ist; dafs sodann durch das Auflagern eines Kohleteilchens auf ein anderes die Helligkeit nicht vermindert werde und da/s endlich bei wiederholtem Bemalen sich die Kohleteilchen in verhältnis- mälsig gleicher Menge auf schon bedeckte und auf noch weilse Flächen ablagern. Die letzte Annahme trifft allerdings um so weniger vollkommen zu, je mehr Teilchen schon übereinander gelagert sind, weil dann die neu hinzukommenden Teilchen leichter in die vertieften Stellen des Weils hinabgleiten. | Unter diesen Annahmen werde bei jedem Auflagern des 'Tuschtones von einer weilsen Fläche — 1 stets dieselbe Fläche m von Tuschteilchen bedeckt; daher bleibt nach der ersten Lage die Fläche 1I—m weils; von dieser bleibt nach der zweiten Lage wieder das (1— m)fache, also von der ursprünglichen Flächeneinheit die Fläche (1 — m)’ weils, usw., so dals von der Fläche Eins nach n Lagen (1— m)” weils ist, woraus die Helligkeit h folgt: h = (1—m)*, log h (95) 1:35 log (1— m) = x 1 log 7; oder | m — © 98 I 1— m Hierin sind k = 1:log_- und log ! positive Grölsen, weil <1 und 2 1m N m = 1. s Also: ist wirklich nach dieser Theorie die Anzahl der 'Tuschlagen n mit dem Logarithmus des reziproken Wertes der Helligkeit h proportional. Setzt man nun nach dem Vorhergehenden hR=5b+(1—b)h, und bestimmt die beiden Unveränderlichen % und h, aus den fünf Beobachtungen nach der Methode der kleinsten Quadrate, so erhält man n — — 20,9 log [b + 0,013 1 —b)]. Nach dieser Formel ist die Kurve in Fig. 167 eingezeichnet, die sich den Beobachtungen genügend gut anschliefst. Die Helligkeit des starken unverdünnten Tuschtones, die bei 5=0 und auch mit n = 59 erreicht wurde, betrug also h, = 0,013. Und dies ist der Abstand der 276 Chr. Wiener. [196] Ordinatenachse oder der Asymptote der logarithmischen Linie vom ersten Beobachtungspunkte (n —= 39). Die Beobachtung zeigt aber, dafs die T'heorie und die gegebenen Gleichungen nicht ganz zutreffend sind; denn es sollte h = 0 werden für n — ©, oder es sollte erst nach unendlich vielen Lagen die Helligkeit Null erreicht werden. Dies ist aber zunächst unrichtig, weil auch durch eine noch so dicke Tuschlage (n = ®), welche gar kein Weils mehr durch- scheinen läfst, die Helligkeit Null nicht erreicht wird, da auch voller 'Tusch oder volles Lampenschwarz noch eine gewisse Helligkeit zeigt; sodann aber, weil schon nach einer endlichen Anzahl von Lagen die gröfstmögliche Dunkelheit erreicht ist, indem dann kein Weifs mehr frei bleibt. Es rührt dies, wie schon bemerkt, daher, dals bald die aufeinander gelagerten Tusch- teilchen stärkere Erhöhungen und die weilsen Stellen Vertiefungen bilden, in welche die 'Tuschteilchen vorwiegend hinuntersinken. Wenn ich von einem ganz schwachen Grundtone ausging, der, ein- mal aufgetragen, einen deutlichen Unterschied gegen die weilse Papierfarbe zeigte, und auf ; verdünnt, etwa die Grenze der Erkennbarkeit lieferte, so gab eine 160fache Schicht einen nur noch ganz schwach durchscheinenden Ton, der kaum mehr verstärkt werden konnte, aber erst eine etwa 1000 fache Schicht gab jenen sammetartigen schwarzen Ton, der durch weitere Lagen wirklich nicht mehr verstärkt wird. Ich bemerke dabei, dafs ich diese hohe Anzahl von Lagen nicht einzeln auflegte, sondern dafs ich einen Hilfston anrieb, der so viel lieferte als eine grofse Anzahl der Grundtöne. Da nun aber dieser tiefste T’on als derjenige von der Helligkeit Null statt etwa 0,01 oder 0,02 und tausend Lagen so viel wie unendlich viele selten können, so dürfen wir ohne merkbaren Fehler die Formel (95) 1 n = k log n gelten lassen. In ihr ist immer, was auch der Wert von k se, frh=1,n = 0, d. h. die Formel setzt voraus, dafs die ungeänderte Farbe des Papiers als die Einheit der Helligkeit gilt. Diese Helligkeit kommt aber selten vor. Denn die grölste Beleuchtungsstärke d, die bei einer weilsen matten Fläche vorkommt, wie z. B. bei einer Kugel, die von der Sonne, dem klaren [197] Die Helligkeit des klaren Himmels. 204—205. 277 Himmel und von dem hellen Boden durch Rückstrahlung beleuchtet wird, ist nach Fig. 162 d = 1,081, wobei die Weilse A des Bodens und der Kugel — (0,7 angenommen wurde. Die Helligkeit der Kugel an dieser Stelle ist dann hR=4-5b= 0,7. 1,081 = 0,757. Will man auch bei Ausführung die Weilse des Papiers mit —1 bezeichnen, so mülste man jener hellsten Stelle (der Kugel) die zu k = 0,757 gehörige noch zu bestimmende Anzahl von Tuschlagen geben. Will man aber, was hier gerechtfertigt wäre, jene hellste Stelle des Bildes (hier der Kugel) durch das weilse Papier darstellen, so mülste man alle berechneten Helliskeiten durch die wirkliche Helliskeit dieser Stelle A, (hier = 0,757) teilen, oder die Formel (95) durch n — k log E (96) ersetzen. Es kann ferner vorkommen, dafs man die hellsten ausgedehnten Stellen des Bildes durch das weilse Papier darstellt, dafs aber daneben noch viel hellere kleine Stellen durch Rückstrahlung halb glänzender Flächen hervorgebracht werden. Es kann dann genügen, auch diese Stellen nur durch das weilse Papier nachzuahmen; die Spiegelung wird dann doch durch die enge Begrenzung durch dunklere Flächen zur Vorstellung ge- bracht. — Sodann liefern die Formeln (95) und (9) fürh=0),n—=x. 205. Wahl der Stärke des Grundtons. Da es bei der Be- stimmung der Grenztöone h=1, n=0 und h=0, n= x auf den Wert von %k oder auf die Stärke des Grundtones gar nicht ankommt, so muls dieser aus einer zwischenliegenden Helligkeit h bestimmt werden. Zu dem Ende bildet man irgend einen Tuschton und schreibt ihm in passender Weise eine bestimmte Helligkeit h, zu. Mit der Stärke dieses T'ones nimmt die Farbentiefe oder die Dunkelheit des Bildes zu. Wir haben bei den bald auszuführenden Abbildungen der Kugel den Hintergrund des Aufrisses, welchen wir als eine Stelle des klaren Himmels annehmen, gewählt und wollen dessen Tonstärke willkürlich zum Ausgang annehmen. Da wir die Aufrifsebene unter 45° gegen die durch die Sonne gehende Vertikalebene neigen und die Sonne im Rücken des Beobachters annehmen, so ist diese Stelle des Himmels auf dem Horizont in einem 278 Chr. Wiener. [198] Azimutabstand von 135° von der Sonne gelegen (3 —= 90°, « = 135°). Die Fig. 100 zeigt aber, dafs an dieser Stelle die Helligkeit des klaren Himmels — (0,1 ist. Hierfür habe ich einen ziemlich kräftigen Ton gewählt. 206. Beziehung zwischen der Verdünnung © des Grundtons und der Zahl der Töne t zur Wiedererreichung der Dunkelheit des Grundtons. Wir wollen nun diesen Ton. verdünnen und zunächst erkennen, wie viel: Lagen der Verdünnung oder des Grundtones notwendig sind, um den starken T'on wieder zu erreichen. Da zeigt uns nun die kleine Versuchstabelle (S. 273), dafs, bei der Verdünnung auf 5, 39 Lagen des Grundtones notwendig sind. Bei anderen Versuchen fand ich bei der Verdünnung auf ;; meist acht Lagen als notwendig; und alle diese Versuche scheinen übereinzustimmen. Denn sind zwei Verdünnungen auf die v und die Wfache Menge vorgenommen worden, so scheint es naheliegend, dafs die Anzahl der Töne t und 7, die notwendig sind, um den ursprünglichen Ton wieder zu erhalten, mit der Stärke der Verdünnung v und V in einem unveränderlichen Verhältnisse stehe, oder dafs ae] (97) 39 8 Hier ist das Verhältnis gleich — und nahezu gleich . Streng genommen, dürfte diese Beziehung nicht gelten. Denn ver- dünnt man einen T'on auf das v‘fache und findet, dals t‘ Lagen des ver- dünnten Tones den ersten T'on geben, verdünnt dann den verdünnten Toon nochmals auf das v’fache, also auf das vo" — v'’fache des ursprünglichen Tones, so mülsten, da wieder t‘ Lagen des zweimal verdünnten Tones den einmal verdünnten hervorbringen, t'' —t'.t‘ Lagen des zweimal verdünnten Tones den ursprünglichen erzeugen. Dann wäre aber v" — v‘’, t" —t, also we _ (ey 2“ ar v ” Verdünnt man nun nochmals auf das v’fache, also zum v‘'' — v'’fachen des ursprünglichen Tones, so mülsten t —t‘* Lagen notwendig sein, um den ursprünglichen Ton zu erhalten und es wäre y f 3 ze SIE (2) ’ [199] Die Helligkeit des klaren Himmels. 205— 206. 279 und allgemein, wenn nach m maliger gleicher Verdünnung die Gesamt- verdünnung v und die Anzahl der notwendigen Lagen zur Erreichung des ursprünglichen Tones t£ ist, t ts m DR : DD ON RE ER Ne Mr 2, or Dabei sind V und v beliebige Verdünnungen, da man zu solchen stets von ein und demselben verdünnten Ton v’ aus gelangen kann (Kommensurabilität). Sind nun vo, t, V bekannt, so kann man 7 bestimmen. Es ist dann Ebenso für n, V, T log v — m log. v‘, log logV = n log v‘, 108 7, — n log — log a ne ION ER m legv zur 4 log 5 also gt‘ t logV los — — o ZIOlch Say log v logv Daher sind die Verhältnisse 7’:V und t:v nur gleich bei V = v und sie entfernen sich um so mehr von der Gleichheit, je mehr V und v verschieden Seas Rluns unser zobigessyBeispielisiste25 10 5: 8,2 7, 50:7, daraus ergibt sich m log 50 log 7 — log 0,8 En — ER, T un, = erln. Die Beobachtung hat aber 7’ —= 39 ergeben, so dafs also selbst bei dieser grolsen Verschiedenheit von v und V die Gleichung 7:VY—=t:v keinen erheblichen Fehler zeigt und als gültig angenommen werden darf. Da nun, zuv— 10, t—= 8 gefunden wurde, so wird die Gleichung (98) zu M 8 Termiıg (98) Tab. 87. Fig. 168. Fig. 169. 280 Ohr Wiener [200] 20%. Beziehung zwischen der Helligkeit % und der Anzahl » der Tuschlagen. Ferner ergibt sich nach den Annahmen der $. 278, dafs in der Gleichung (95) zu h = 0,1, n = 8 gehört. Dadurch wird k bestimmt, indem 1 — k 1 — k, ® oe daher 1 — lor =. n 8 log > Hieraus erhält man aber die Tab. 87”. Man bemerkt aus derselben, dafs bei der starken Helligkeit von 1 zu einer Abnahme der Helligkeit um 0,1 nur die Zufügung von ; Grundton, d.i. von einer Verdünnung desselben auf ;, gehört, dals aber bei der schwachen Helligkeit von 0,2 zu derselben Abnahme um 0,1 die Zufügung von 25 Lagen des Grundtones notwendig ist. Tabelle 87. Zusammenhang zwischen der Helligkeit " und der Anzahl n der Tuschlagen. 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, h 2 | 01 | 0,09 N 0) 0,37: 0,78 1,24°|7.1,78°) 242 13.180 74,187) 5,59| 8.00.7837 n angenähert | © 3 3 13 13 25 3 4 53 8 8 0,08 | 0,07 0,06 | 0,05 | 0,04 | 0,03 , 0,02 | 0,01 | 0,005 | | 8,78 9,24 | 9,78 |10,42 | 11,18 | 12,18 | 13,59 | 16,00 18,42 8 94 94.1 10% 12 | 133 16 | 18% n angenähert 208. Tuschen des Bildes bei gleichförmiger Abstufung der Helligkeit. In Fig. 168 ist nun eine Lichtabstufung mit gleichen Stufen der Helligkeit ausgeführt, von 4 = 1,0 bis 0,1 mit der Stufe von 0,1 und dann abwärts bis 0,02 mit der Stufe von 0,01. Die Abstufung nach Tuschlagen rn, die sich hierbei zufolge der letzten Tabelle ergibt, wird dadurch, wie man bemerkt, ganz ungleichförmig. In Fig. 169 ist nach diesem Verfahren die Kugel gemalt, sowohl im Grundrifs samt dem hellen Boden, auf dem sie aufliegt, als im Aufrils mit dem klaren Himmel als Hintergrund, und es sind dabei für die Kugel [201] Die Helligkeit des klaren Himmels. 207—208. 281 und den Boden die Figuren 164 und 151, für die Kugel und den Himmel die Figur 165 benutzt, worin die Lichtgleichen meist nach der gleich- förmigen Abstufung der Beleuchtungsstärke — 0,1 konstruiert wurden. Zur Bestimmung der Anzahl n der Tuschlagen sind nach der vorhergehenden Tab. 87 die Helligkeiten h malsgebend; und diese könnte man aus den Beleuchtungsstärken 5 der Kugel und des Bodens, die durch deren Licht- gleichen angegeben sind, erhalten, indem man die Werte 5 mit der Weilse dieser Oberflächen = 0,7) vervielfachte. Man kann aber auch, da es nur auf die Verhältnisse ankommt, die Helligkeiten durch die Beleuchtungsstärken ersetzen, welche von den Licht- gleichen angegeben werden. Da nun in unserem Bilde für den Himmel die Helliskeit durch eine einzige Zahl, für die Kugel und den Boden die Beleuchtungsstärken durch viele Zahlen angegeben sind, so ist es am ein- fachsten, die Beleuchtungsstärken beizubehalten und die Helligkeit — 0,1 des Himmels in die gleichwertige Beleuchtungsstärke d5 zu verwandeln durch Teilung durch die Weilse A — 0,7 jener Körper; dadurch wird b = 0,1:0,7 — 0,14. Es ist also jene Stelle des Himmels ebenso zu be- handeln, wie wenn sie die Beleuchtungsstärke d — 0,14 besäfse. Dann muls aber der Grundton anders bestimmt werden. Indem man nach Tab. 837 den Tuschton gewählt hat, welcher durch einmaliges Auf- legen die Helliskeit des Himmels % = 0,1 angibt und nachdem wir gefunden, dals dieser Ton auf ;; geschwächt, dann nach 8 maligem Auflegen dieselbe Färbung liefert, müssen wir es jetzt erreichen, dafs der Grundton nur so vielmal aufgelegt werden muls, um jenen Ton des Himmels zu liefern, als die zu 5 — 0,14 gehörige Zahl n der Tab. 87 angibt, wenn man die h durch die b ersetzt. Durch Einschaltung in der Tabelle erhält man aber für h = 0,14, n —= 1. Daher müssen wir jenen gewählten Toon nur auf das 10, d.h. das 9 fache verdünnen, damit diese Verdünnung, als Grundton 7 mal aufgelegt, die ursprünglich gewählte Tonstärke des Himmels liefert. Mit diesem Grundtone malen wir nun, indem wir die Anzahl der Tuschlagen für Kugel und Boden durch die n der Tab. 87 bestimmen, welche zu den h gehören, die den Beleuchtungsstärken b der Lichtgleichen der Figuren 164, 165, 151 gleich sind. Dafs die hellste Stelle der Kugel b — 1,081 statt dem vorausgesetzten 1 besitzt, dürfen wir bei der Gering- Nova Acta XCI. Nr. 2. 36 282 Chr. Wiener. [202] fügigkeit des Unterschiedes übersehen. Mülste es berücksichtigt werden, so mülsten alle 5 der Körper und des Himmels durch 1,081 geteilt werden, wodurch aber die gleiehförmige Abstufung nach 0,1 aufgehoben würde. Es sei noch bemerkt, dals wir die Tuschtöne nicht gleichförmig über die gebildeten Streifen nach deren mittlerer Lichtstärke aufgetragen, sondern durch Verwaschen ineinander übergeführt haben. 209. Zusammenhang zwischen der Anzahl » der Tusch- lagen, der Empfindungsstärke e und der Helligkeit 7. Wir haben zuletzt noch den Zusammenhang zwischen der Anzahl n der Tuschlagen und der Empfindungsstärke e zu ermitteln. Nach S. 270 und 275 ist NE > N = s(1+2) — (1— m)". Daher logh = logs-+ e log ( +2) — n log (1 — m) | r (99) und RSS > (1 u .) | ern en Darin wollen wir die früher bestimmten Werte der Unveränderlichen einführen, und zwar zunächst « — 50 nach 8. 268. Für die Empfindungs- schwelle 1:@« —= 1:50 ist der Schwellenwert s nicht gemessen. Da aber (S. 270) für « = 6,96, 1: «a = 0,1437, das s = 0,0001728, also (1: «):s = 830 war, und andererseits für (S. 271) «=123, 1: «= 0,0811, s = 0,0000612, also (1: «):s = 1320, so könnte man daraus schliefsen, dals mit zunehmen- dem « auch (1: «):s zunimmt, dafs also für «—=50, (l:a):s größer als 1320 sein mülstee. Da aber « zunimmt mit zunehmender Empfindlichkeit des Auges und bei Gewöhnung an Dunkelheit und schwächerer gesamten Beleuchtungsstärke, die beiden ersteren Zahlenreihen aber für das schwache Benzinlicht, die neue Reihe mit «@—=50 bei dem stärkeren Stearinlicht ge- funden wurde, so ist daraus zu schliefsen, dafs bei den Versuchen zu der letzten Reihe die Deutlichkeit der Unterscheidbarkeit geringer angenommen und dadurch ein so grolses « erzielt wurde. Daraus geht hervor, dafs wir [203] Die Helligkeit des klaren Himmels. 208— 209. 283 aus den beiden vorliegenden Messungen nur sehr ungenau auf den Wert von (l:e):s für«—= 50 schliefsen können. Wir wollen uns daher mit dem mittleren der beiden obigen, etwa mit (1: «):s — 1000 begnügen, und für « — 50, s = 0,02 : 1000 —= 0,00002 annehmen.) Zur Aufstellung des Gesetzes, das wir suchen, könnten wir zwar den zahlenmälsigen Wert von s ganz entbehren und auch die Folgerungen für die Anzahl der notwendigen Tuschlagen würden sich zahlenmäfsig nicht ändern; wir wollen aber doch der Anschaulichkeit halber jene Zahl für s - einführen. Wir hatten nun den Grundton derart bestimmt (S. 280), dafs durch 8 Tuschlagen die Helligkeit A — 0,1 erhalten wird; daher ist nach der Gleichung h = (1 — m)” hier 0,1 = (1— m)‘, woraus m —; folgt. Führen wir diese Werte von «, s, m in den obigen Gleichungen (99) ein, so er- halten wir log h = — 4,699 + e - 0,0086 —= —n » 0,125, eh (100) n —= 37,6 — € » 0,0688. Man sieht nun aus den allgemeinen Gleichungen (99) und aus diesen Zahlengleichungen (100), dafs die Zunahme der Anzahln der Tusch- lagen mit der Abnahme der Empfindungsstärke ein unveränder- lichem Verhältnisse steht, dafs also, wenn man n in eine steigende arithmetische Reihe anordnet, die zugehörigen e eine fallende arithmetische Reihe bilden. Die Helliskeiten bilden dabei zufolge Gl. (97) und (100) eine fallende geometrische Reihe. Nach den Gleichungen (100) ist nun die Tabelle 88 berechnet, und nach den Ergebnissen ist die Fig. 170 gezeichnet. Die Anzahlen » der Tuschlagen bilden die Abszissen. Die Abhängigkeit der Empfindungsstärke e wird durch die gerade Linie e dargestellt, woraus ersichtlich, dafs zu gleichen Zunahmen von n gleiche Abnahmen von e gehören. Die Abhängigkeit der Helliskeit von n wird durch die logarithmische Linie h dargestellt, woraus 1) [Die hier zu Grunde zu legenden Versuche hätten streng genommen bei unver- änderter Empfindlichkeit oder „Adaption“ vorgenommen werden müssen. Für das vorliegende praktische Ziel eines sachgemälsen Anlegens der Tuschlagen dürften die obigen Ableitungen aber genügen. D. H.] 36* Tab. 88. Fig. 170. Fig. 171. 284 Chr. Wiener. [204] ersichtlich, dafs, wenn in zwei Fällen n um dieselbe Gröfse wächst, h in demselben Verhältnisse abnimmt; so gehört zu jeder Zunahme des n um 8 eine Abnahme des h auf /; seiner Gröfse. Tabelle 88. Zusammenhang zwischen der Anzahl n der Tuschlagen, der Empfindungsstärke e und der Helligkeit h. 1 ERST a O2 Raben 2 a 6 547 | 533 | 516 503 489 | 474 460 | | 0,125 0,250 | 0,375 | 0,500 | 0,625 | 0,750 | 0,875 | 1,000 | 1,125 1 0,750 0,563 0,422 | 0,316 | 0,237 | 0,178 | 0,133 | 0,100 | 0,075 Ola oe kr aa 13 14 402 | 3 Re) I [ | | | I a a 372 ı 358 | 343 | 329 | 314 | 299 | | | | | | 1,250 | 1,375 | 1,500 | 1,625 | 1,750 | 1,875 | 2,000 | 2,125 | 2,250 | 2,375 0,056 | 0,042 | 0,032 0,024 | 0,018 | 0,013 | 0,0100 0,0075| 0,0056, 0,0042 DD ol Don Eon ge 5 26 256 241 227 212 1987| #183 | 7169 715% u 2,500 | 2,625 | 2,750 | 2,875 3,000 | 3,125 | 3,250 | 3,375 | 3,500 | 3,625 0,0032) 0,0024| 0,0018 0,0013) 0,0010| 0,0007 0,0006. 0,0004, 0,0003) 0,0002 N SUB 32 33 | 34 35 36 37 37,6 e 96 82 67 95 38 a a) 0 log h 3,750 | | | 3,875 | 4,000 4,125 4,250 |4,375 4,500 [4.625 4,200 | 0,0002) 0,0001, 0,0001 0,00007 0,00006 0,00004 0,00003 0,00002 0,00002| In Fig. 171 ist eine Stufenfolge von Tönen mit der gleichförmigen Abstufung um eine Tuschlage ausgeführt und man bemerkt, dafs auch die Abstufung nach Empfindungsstärken gleichförmig erscheint. Nur bei einer grolsen Anzahl » von Lagen wird der Empfindungsunterschied merklich kleiner. Bei sehr grolsen Werten von n nähert er sich der Grenze Null. Ganz anders ist es in Fig. 168 bei gleichförmiger Abstufung der Hellig- keit ". Hier nimmt der Empfindungsunterschied zu bei abnehmendem h; er ist z. B. auffallend grofßs, zwischen = 0,2 und 0,1, gering zwischen h gleich 1 und 0,9, was begreiflich, da im ersten Falle das Verhältnis der h gleich 2, im zweiten nur gleich 1,1 ist. [205] Die Helligkeit des klaren Himmels. 209 —210. 285 210. Die Hellegleichen der Kugel und des Bodens nach gleichförmiger Abstufung der Empfindungsstärken und der An- zahl der Tuschlagen. Nach einer solchen gleichförmigen Abstufung von Empfindungsstärken oder von Tuschlagen wollen wir nun das Tuschen der Kugel ausführen für den Fall, der auf S. 258 unter 4, und in Fig. 163 und 151 behandelt wurde. Die Kugel von der Weilse A —= 0,7 liegt dabei auf dem Boden von der Weilse 0,1 auf. Es wurden dort die Lichtgleichen der Kugel und des Bodens bestimmt; die Helligkeit des Himmels im Hinter- 08 || N | \ | | N 300 | N +06 | | \ | N 200. \ N 94 2. s Narbe S \ n=0 * ne SOSE dt Fig. 170. srund des Aufrisses beträgt wieder 0,1. ‘Wir führen zuerst alle Zahlen auf Helligkeiten zurück. Die Helligkeit einer matten Oberfläche von der Beleuchtungsstärke b und der Weilse A ist aber h = A .b; also ist für die Kugel »—0,7.5, für den Boden h—=0,1-.5b. Die gröfste vorkommende Helligkeit ist die auf der Kugel bei 5 — 0,9903, so dafs hier h, = 0,7 - 0,9903 — 0,69. Diese Stelle wollen wir durch das weilse Papier darstellen, also die Anzahl der Tuschlagen »n = (0 machen. Um nun die Tab. 85 benutzen zu können, müssen wir dieser Stelle die Helligkeit 1 zuschreiben und wir 286 Chr. Wiener. [206] erreichen dies dadurch, dafs wir alle Helligkeiten h mit der soeben erhaltenen Helligkeit dieser Stelle h, = 0,7 - 0,9903 teilen. Die so erhaltenen Hellig- keiten nennen wir die reduzierten h‘, so dals Daher ist für die Kugel 0,7. b b RZ 07.099038 00903, ? S03ch, für den Boden 01-5 b ee ln - = —— . + h' 2 0,7 » 0,9903 7: 0,9903 ° 2 BB für den Himmel / , N RI a 0,7: 0.9903 0,7 - 0,9903 Diese reduzierten Helligkeiten h‘ setzen wir nun an die Stelle der h in Tab. 88, und können daraus die nötige Anzahl n der Tuschlagen er- mitteln. So gehört für den Himmel zu h‘ = 0,144, wie eine Einschaltung zeigt, n — 6,755, d. h. den Ton des Himmels soll man durch 6,755-maliges Auflegen des Grundtones erhalten. Dies würde aber nicht den vollen für diese Stelle des Himmels mit h — 0,1 gewählten Ton liefern, wenn man aus diesem den Grundton durch zehnfaches Verdünnen oder mit v—= 10 her- stellen würde, sondern es wären in diesem Falle t—=8 Lagen notwendig. Nach Gl. 98 muls V so gewählt werden, dals die Anzahl der zu seiner Erreichung notwendigen Lagen 7’ = 6,755 wird, es wird daher a 10’ Fur, Es darf also der für jene Stelle des Himmels gewählte Ton nur auf das 8,44fache verdünnt werden (durch Zusatz der 7,44fachen Wassermenge), um den Grundton zu bilden. Nun bestimmt man für Kugel und Boden die db, welche zu den ganz- zahligen n gehören, indem man aus Tab. 88 die zu diesen n gehörigen h entnimmt, diese h als die reduzierten Helligkeiten h‘ in die obigen Formeln einsetzt und dadurch die 5 erhält. [207] Die Helligkeit des klaren Himmels. 210. 287 So ist z. B. nach der. Tab. fürn =9, h — 0,075 — h‘; daher für die Kugel 5 = 0,9903 - '— 0,074, und für den Boden db = 1 - 0,9903 - h" —= 0,518. Man erhält danach folgende Werte: n ae er | 8 0 Eee b der Kugel | 0,990| 743 | 557 | 418 | 313 | 235 | 176 | 132 | 099 | 074 | 055 BadeskBodens | — |. —oı Zr Segen | 693 | 518 | 385 ji n le 1a a et 15 U alt 18 116) 20 21 b der Kugel | 0,042, 032 024 | 018 | 013 | 0099 | 0074 | 0055 | 0042 0032 | 0024 b des Bodens | 0,294 224 168 126 | 091 | 0693 | 0518 | 0385 | 0294 0224 |0168 Um nun die Hellegleichen der Kugel, abgestuft nach Tuschlagen n, zu erhalten, schaltet man zwischen die in Fig. 163 gezeichneten Licht- Fig. 172. Hellegleichen der Kugel (4 — 0,7), beleuchtet durch Sonne, Atmosphäre und den Boden (A = 0,1), abgestuft nach Tuschlagen n. 288 Chr. Wiener. [208] gleichen der Kugel die Lichtgleichen d ein, welche zu den Zahlen n der Kugel gehören, also zu n = (0, die 5 = 0,990 (der hellste Punkt), zun=1 die 5 = 0,743 usw., und bezeichnet diese mit n—=0, na—=1 usw. Es sind dies dann die Hellegleichen der Kugel, in gleichen Abstufungen der Em- pfindungsstärken und der Tuschlagen, reduziert auf die Helliskeit 1 an der hellsten Stelle, deren wirkliche Helligkeit — h, —= 0,69 ist. Die Ergebnisse Fig. 172. sind in Fig. 172 eingetragen. Diese Einschaltung kann unmittelbar in Fig. 163 Fig. 173. Hellegleichen der Kugel (A — 0,7), beleuchtet durch Sonne, Atmosphäre und Boden (A = 0.1), abgestuft nach Tuschlagen n. Grundrifs. ausgeführt werden, wenn die Lichtgleichen, zwischen denen eingeschaltet werden soll, nahe zusammenstehen und keine sehr verschiedenen Gestalten haben, wie die 0,743 zwischen 0,5 und 0,7. Andere Linien, wie n —= 10 mit 5— 0,055 zwischen 0,1 und 0,05 lassen sich in Fig. 163 nicht gut einschalten, weil diese zu weit von einander entfernt sind. Man benutzt hier zweckmälsig die Figuren 135 und 161, durch deren Zusammensetzung mittels Pauspapiers auch die Fig. 163 hergestellt wurde. Aus Fig. 172 [209] Die Helligkeit des klaren Himmels. 210—211. 289 werden dann nach dem auf S. 260 angegebenen Verfahren der Grundrifs und Aufrils für die gewählten Stellungen der Projektionsebenen abgeleitet. — Ganz entsprechend werden dann die Hellegleichen des Bodens in Fig. 175 durch Einschaltung in der Fig. 151 erhalten, z. B. die Kurve n—=9 mit Fig. 174. Hellegleichen der Kugel (A = 0,7), beleuchtet durch Sonne, Atmosphäre und Boden (A — 0,1), abgestuft nach Tuschlagen n. Auftils. b — 0,518 zwischen 5 = 0,55 und 0,50 der Fig. 151. Nach diesen Figuren kann nun das Tuschen durch vielfaches Auftragen des Grundtones und dabei durch Vergleichen mit der 'Tonreihe (Fig. 171) vorgenommen werden, und so ist mit Verwaschen der Töne die Fig. 176 hergestellt. 211. Über die Herstellung der getonten Figuren.) Die Her- stellung der getonten Figuren zerfiel in zwei Teile: die Herstellung von Mustern und die Wiedergabe dieser Muster im Druck. 1) [Von W. Möbins.] Nova Acta XCI. Nr. 2, 37 Fig. 173. Fig. 174. Fig. 175. Fig. 176. 290 [210] Chr. Wiener. ze A lagsch attengren Se Fig. 175. Hellegleichen des Bodens (A = 0,1), beleuchtet durch Sonne, Atmosphäre und Kugel (4 = 0,7), abgestuft nach Tuschlagen n. [211] Die Helligkeit des klaren Himmels. 211. 291 Bei Herstellung der Muster wurde soweit als möglich nach den im Texte auf S. 280 ff. und 289 gegebenen Anweisungen verfahren. Ganz war dies aber nicht möglich wegen der grofsen Schwierigkeiten, mit welchen die Herstellung einer grölseren ganz gleichmälsig gefärbten Fläche durch Auftragen von Tuschlagen verbunden ist. U.a. ist auf S. 282 und 289 gesagt, dals die Tuschtöne benachbarter, zwischen je zwei Lichtgleichen liegenden Flächenstreifen durch Verwaschen ineinander übergeführt werden sollten. Das liefs sich aber in dieser Weise aus maltechnischen Gründen nicht durchführen, wenn man überhaupt eine, der Tonreihe (Taf. 2) einisermalsen entsprechende Färbung der Flächenstreifen erreichen wollte. Die Figuren 169a und 169b (Taf. 3 u. 4) wurden daher ohne solches Verwaschen hergestellt. Bei den Figuren 176a und 176b (Taf. 5 u. 6) dagegen wurden in den helleren Gebieten, wo die Abstufung um eine ganze Tuschlage grolse Empfindungsunterschiede hervorrufen würde, noch weitere Lichtgleichen eingeschaltet und so die Helligkeit nach Bruch- teilen von Tuschlagen abgestuft. Das dürfte dem Sinne des Textes, der ein Verwaschen der Übergänge zwischen den einzelnen Flächenstreifen fordert, entsprechen. Hätte man bei den Figuren 169a und 169b in gleicher Weise verfahren wollen, so würden sie von den Figuren 176a und 176b im Grunde nicht mehr verschieden sein, weil ja bei weiterer Vermehrung der Anzahl der Flächenstreifen beide Verfahren, die Abstufung der Helliskeit nach gleichen Helliskeitsstufen und nach Tuschlagen, derselben Grenze zustreben, nämlich dem stetigen Übergange von der hellsten bis zur dunkelsten Stelle. Die Wiedergabe dieser Muster im Druck geschah nach dem Autotypie- verfahren. Die Öliches wurden von der Firma Dr. Trenkler & Co. in Leipzig hergestellt. Hätte man dazu die Muster unmittelbar verwenden wollen, so wäre der Druck sehr wenig schön ausgefallen, da schon die Muster keine ganz gleichmälsige Helligkeit der einzelnen Flächenstreifen aufwiesen und beim Photographieren alle Unregelmäfsigkeiten noch stärker hervortraten. Es wurden daher nach dem Spritzverfahren Kopieen der Muster hergestellt, die viel gleichmälsiger als diese ausfielen, und erst diese Kopieen wurden zur Herstellung der Cliches verwandt. Bei den Kopieen der Figuren 176a und 176b wurde der Übergang von der hellsten bis zur 37+ 292 Chr. Wiener. Die Helligkeit des klaren Himmels. 211. [212] dunkelsten Stelle stetig gemacht, bei Fig. 169a und 169b aber nicht, aus dem oben schon angegebenen Grunde. Bei diesem verwickelten Verfahren mufste natürlich auf eine völlig genaue Wiedergabe aller Helligkeitsstufen gemäls der Tonreihe verzichtet werden. Es wurde vielmehr von einem Vergleichen mit der Tonreihe ganz abgesehen, und nur die Helligkeitsunterschiede der einzelnen Teile jeder Kopie wurden mit den entsprechenden des Musters nach Augenmals in möglichst gute Übereinstimmung gebracht; im übrigen aber wurde eine gute Plastizität der Kugel verlangt, welche den getuschten Originalen in hohem Mafse zukam. Dafs eine solche erreicht ist, davon kann man sich bei Betrachtung der Figur aus einiger Entfernung überzeugen. Zum Schlusse ist noch zu bemerken, dafs die Figuren 100 und 108, welche die Hellegleichen des klaren Himmels in flächentreuer Projektion für Zenitabstände der Sonne von 54° 44‘ und 90° darstellen, ebenfalls in Tusche angelegt und als Fig. 100a und 108a (Taf. 1) im Blaudruck wieder- geeeben wurden. Die Figuren 100 und 108 zeigen, dafs in der der Sonne gegenüberliegenden Hälfte des Himmels die Helligkeit nach dem Horizont zu wieder zunimmt. Die Zunahme ist aber verhältnismälsig so gering, dals sie bei genauer Einhaltung der richtigen Helligkeitswerte in dem getuschten Bilde kaum noch zu sehen gewesen wäre. Um den gewünschten Eindruck trotzdem hervorzurufen, wurde, schon bei der Herstellung der Muster, die Helligkeit der der Sonne abgewandten Hälfte des Himmels nach dem Horizonte hin etwas übertrieben. Nova Acta Acad. C. L. C. G. Nat. Cur. Vol. XCıi. Tab. VI. Fig. 108a. 100a. ie. Chr. Wiener: Die Helligkeit des klaren Himmels. Taf. 1. Tab. VII. Nova Acta Acad. C. L. C. G. Nat. Cur. Vol. XC1. u uoaspp/Isn] yavu Amjsosgv “ay14uo] "III 4 elle ala Lee |) ee] a fa TR ee y uonoyosmpad y9vu A/nj7saögn WyoA1uo] "SOLL “II | 20‘0 | 200 | 900 | <00 | 900 | 200 | 800 600 | ro | co | eo | vo | () go | [9p} ji Ma792: Chr. Wiener: Die Helligkeit des klaren Himmels. Nova Acta Acad. C. L. C. G. Nat. Cur. Vol. XC1. Tab. VII. oe, 109. o- L. Chr. Wiener: Die Helligkeit des klaren Himmels. Taf. 3. "7691. Tab. IX. Nova Acta Acad. C. L. C. G. Nat. Cur. Vol. XC1. | | Taf. 4. mmels. z Chr. Wiener: Die Helliekeit des klaren H, Nova Acta Acad. C. L. C. G. Nat. Cur. Vol. XCI. Tab. X. 176a. ig. Chr. Wiener: Die Helligkeit des klaren Himmels. Taf. 5. Nova Acta Acad. C. L. C. G. Nat. Cur. Vol. XCI. Chr. Wiener: Die Helligkeit des klaren Himmels. Taf. 6. NONAZFNEITER. Abh. der Kaiserl. Leop. Carol. Deutschen Akademie der Naturforscher. Band XCI. Nr. 3. Beiträge zur Kenntnis der südamerikanischen Dipterenfauna auf Grund der Sammelergebnisse einer Reise in Chile, Peru und Bolivia, ausgeführt in den Jahren 1902—1904 von W. Schnuse. HALLE. 1909. Druck von Ehrhardt Karras, Halle a.S. Für die Akademie in Kommission bei Wilh. Engelmann in Leipzig. D= der vorliegenden Empididenarbeit und den später folgen sollenden Bearbeitungen weiterer Dipterenfamilien zugrunde liegende Material setzt sich aus zwei grölseren Sammlungen zusammen. Herr Otto Garlepp, der in Entomologenkreisen wohlbekannte und geschätzte Sammler, mein früherer Begleiter und Reiseführer auf meiner südamerikanischen Reise, hat in dankenswerter Weise sein von ihm zusammengebrachtes Dipterenmaterial mir zur Bearbeitung überlassen. Zwar ist seine Sammlung zum grölsten Teile an den gleichen Orten und zu denselben Zeiten wie die meinige ent- standen und zeigt darum eine gewisse Übereinstimmung mit ihr; dennoch bildet sie eine nicht unerhebliche Erweiterung und Ergänzung der meinigen. Nach meiner Rückkehr ist Herr Garlepp bemüht gewesen, das vorhandene, schon umfangreiche Material durch weitere Sammeltätigkeit auch an auf unserer gemeinsamen heise nicht berührten Orten und durch Zusendung seiner Ausbeute fortgesetzt zu vermehren. Es drängt mich, ihm auch an dieser Stelle dafür meinen verbindlichsten Dank auszusprechen. Wie für die Familie der Empididen Herr Professor M. Bezzi-Turin, so haben sich zur Bearbeitung bereit erklärt für die Fam. der Anthomyiden Herr Prof. P. Stein-Treptow, für die Fam. der Asiliden Herr Prof. Dr. F. Hermann-Erlangen, für die Fam. der Notacanthen Herr Dr. K. Kertesz- Budapest, während die Bearbeitung der Syrphiden ich selbst übernommen habe. Aus der grolsen Familie der acalyptraten Museiden hat die kleine Gruppe der Milichinen Herr Baurat Th. Becker-Liegnitz bereits bearbeitet (Ann. Mus. Hung. 1907)” und die Gruppe der Pterocallinen Herr Professor F. Hendel-Wien (Deutsche Entomol. Zeitschr. 1909, Beiheft). Den genannten Herren sage ich für ihre grofse Mühewaltung meinen herzlichsten Dank. Wenngleich das zur Verfügung stehende Material als beträchtlich umfangreich bezeichnet werden kann, so bin ich weit entfernt, es als er- schöpfend zu betrachten. Dazu ist das besammelte Gebiet zu ausgedehnt 1) Die Gruppe der Chloropiden ist gegenwärtig in Bearbeitung. 38* 296 M. Bezzi, Beiträge zur Kenntnis der südamerikanischen Dipterenfauna. [4] (reicht es doch von der Magellanstralse im Süden bis zur Mündung des Pachitea — etwa 9° s. Br. — nach Norden, und in vertikaler Ausdehnung von der Meeresküste bis über 5000 m Erhebung in den Kordilleren), und die Sammelstellen sind über das weite Gebiet nur verhältnismäfsig spärlich verstreut. An einzelnen Orten konnte nur kurze Zeit, wenig Tage, ja nur Stunden, gesammelt werden, während an anderen Orten die Sammelzeit sich auf Wochen und Monate erstreckte. In der folgenden Zusammenstellung der Fundorte beruhen die Höhen- angaben in den Fällen, wo eine gemessene Höhe nicht zu ermitteln war, auf vergleichender Schätzung. Chile. Magelllan-Stralse, | Ense, Punta Arenas, | Corral, desgl. Coronel, desgl. Concepeion, 150 m. Talcahuano, Seeküste. Valparaiso, desgl. und geringe Erhebung. Quillota 1000 m. Santiago, 2200 m. Coquimbo, Seeküste. Caldera, desgl. Taltal, desgl. Antofagasta, desgl. Iquique, desgl. Arica, desgl. Taena, 600 m. Palea, 3000—3500 m. Peru. Mollendo, Seeküste bis 100 m. Arequipa, 2300—2500 m. Titicaca-See, 3850 — 4500 m. Juliaca, 4000 m. Sieuani, 3500 m. Calca, 2900 m. Larestal, von 4000—800 m. Rosalina, 3 a) 9m: Umahuankiali, 500 m. Meshagua, 350 m. Unini, 300 m. Ucayalifl.. 300 m. Pachiteamündung, 150 m. Puerto Bermudes, | 300 m. Pichisfl., J Puerto Yessup, | 5 Pichisfl., rom: Piehisweg, 300—700 m. Chanchamayo, La Merced, Eu: Tarma, 3000 m. Oroya 3700—4000 m. Lima-Barranca, Seeküste. Cuzco, 3500 m. Urubamba, 2800 m. Ollantaytambo 2700 m. Bolivia. Titioacn See, 550. As00ım Guaqui, J La Paz, 3700 m. Sorata, 2300 m. Kordillere, 4000—5000 m. Mapiri, a 100m: San Carlos, 800—1200 m. Sarampioni, 700 m. San Antonio 1000 m. Chimate, 650 m. San Ernesto, 800 m. Lorenzopata 2000— 2500 m. Weiflser Hirsch b. Dresden, im Oktober 1909. Wilhelm Schnuse. Fam. Empididae. Bearbeitet von Professor M. Bezzi-Turin. Mit 1 Tafel. Eingegangen bei der Akademie am 14. September 1908. Die reiche Sammlung von Empididen, welche Herr W. Schnuse aus Südamerika zusammengebracht hat, bereichert unsere Kenntnis dieser Familie mit vielen interessanten Neuigkeiten und einigen wichtigen Tat- sachen. Recht bemerklich ist das Auftreten von einer reichen Gebirgsfauna in den Kordilleren, welche nicht sehr verschieden von derjenigen unserer europäischen Alpen ist, besonders durch die sehr vielen Ahamphomyia-Arten. Die Eigentümlichkeit der Fauna ist in den vielen Akelara-ähnlichen Formen zu finden; Herr W. Scehnuse hat aber auch echte Hilara-Arten in den Gebirgen entdeckt. Der Sammlung des Herrn W. Schnuse habe ich auch einige Arten aus Chile beigefügt, welche mir von Herrn Professor Dr. Hermann gegeben worden sind. Beiden genannten Herren sage ich meinen besten Dank. Die bis jetzt bekannten südamerikanischen Empididen-Gattungen, mit Einschlufs der hier als neu beschriebenen, sind mit Hilfe folgender Tabelle zu unterscheiden: 1. Vorderhüften sehr verlängert, so lang als die verdickten, unten stacheligen Schenkel 2. — Vorderhüften immer kürzer als die gewöhnlich nieht verdickten Schenkel 3. 2. Dritte Längsader einfach Chelipoda Macg. — Dritte Längsader gegabelt Hemerodromia Meig.') 1) A. Anal- und Diskoidalzelle offen Microdromia Big. — Analzelle vollständig B. B. Zweite Hinterrandzelle gestielt; Diskoidalzelle vollständig Hemerodromia s. str. — Zweite Hinterrandzelle nicht gestielt (& C. Diskoidalzelle mit der zweiten Basalzelle verschmolzen Neoplasta Coquill. Diskoidalzelle von der zweiten Basalzelle getrennt Oladodromia Bezzi. 300 M. Bezzi, [8] Diskoidalzelle fehlend 4. Diskoidalzelle vorhanden 10. Dritte Längsader gegabelt "Ceratomerus Phil.') Dritte Längsader einfach 5. Analzelle mehr oder weniger deutlich 6. Analzelle gänzlich fehlend 7: Mittelschenkel einfach; Analzelle überall vollständig und kaum kürzer als die zweite Basalzelle Bicellaria Macg. Mittelschenkel verdickt; Analzelle unten unvollständig und viel kürzer als die zweite Basalzelle Tachydromia Meig. Fühlerborste etwas rückenständig *Phoneutisea Loew. Fühlerborste deutlich endständig 8. Analquerader vorhanden Tachypeza Meig.”) Analquerader ganz fehlend % Vorderschenkel verdickt; Flügel gewöhnlich mit dunkeln Binden Tachista Loew. Vorderschenkel in der Regel nicht verdickt; Flügel nicht gebändert Drapetis Meig. 10. Analzelle länger als die davorliegende zweite Basalzelle; wenn gleichlang oder etwas kürzer, ist der obere Apikalwinkel derselben immer stumpf 11. — Analzelle kürzer als die zweite Basalzelle und ihr oberer Vorderwinkel spitz 10} 11. Dritte Flügellängsader gegabelt 12: — Dritte Flügellängsader einfach 16. 12. Flügellappen nicht vortretend; Rückenschild wenig. gewölbt 13. — Flügellappen entwickelt; Rückenschild buckelig gewölbt 14. 13. Rüssel kurz; zweite Basalzelle am Grunde viel kürzer als die erste, d.h. mehr von der Flügelwurzel entfernt Olinocera Meig. — Rüssel etwas verlängert, nach hinten gerichtet; zweite Basalzelle am Grunde nicht verkürzt Dipsomyia nov. gen. !) Die mir nur nach den Beschreibungen bekannten Gattungen sind mit einem * bezeichnet. 2) Diese Gattung ist bis jetzt in Südamerika nicht beobachtet worden. — Schwarzi Coquill. ist eine Tachista. Beiträge zur Kenntnis der südamerikanischen Dipterenfauna. 301 Drittes Fühlerglied in einen endständigen Griffel allmählich verschmälert; zweite Flügellängsader vor ihrem Ende rechtwinklig gekniet *Homalocnemis Phil. Drittes Fühlerglied mit einer endständigen dünnen Borste; zweite Flügel- längsader am Ende nicht gekniet 1) Vorderast der dritten Längsader in die Costa einmündend Brachystoma Meig. Vorderast der dritten Längsader mit der zweiten Längsader verbunden Blepharoprocta Loew. Dritte Längsader bei der Flügelwurzel entspringend Syneches Walk. Dritte Längsader bei der Flügelmitte entspringend 17% Drittes Fühlerglied sehr verbreitert und oben abgerundet Öerathybos nov. gen. Drittes Fühlerglied von der gewöhnlichen kegelförmigen Gestalt 18. Hinterschenkel aufserordentlich verdickt und unten gezähnt Lactistomyia Mel. Hinterschenkel minder verdickt und unten stachelig Hryybos Meig. Drittes Fühlerglied mit einer langen Endborste; Rüssel immer kurz und Metapleuren immer nackt; Rückenschild bucklig sewölbt und glänzend; dritte Längsader einfach 20. Drittes Fühlerglied mit kurzem Endgriffel; Rückenschild wenig gewölbt 23. Drittes Fühlerglied kurz eiförmig, mit scheinbar rückenständiger End- borste Ocydromia Meig. Drittes Fühlerglied verlängert kegelförmig, mit genau endständiger Borste 2ule Hinterschenkel stark verdickt *Scelolabes Phil. Hinterschenkel nicht verdickt 22. Fühlerborste dünn, nackt; Analquerader vollständig Leptopeza Maeg. Fühlerborste diek, kurz behaart; Analquerader nur oben vorhanden Hoplopeza nov. gen. Metapleuren nackt 24. Metapleuren beborstet oder behaart 32. Dritte Längsader einfach 25. Dritte Längsader gegabelt 26. Nova Acta XCI. Nr.3. 39 302 M. Bezzi, [10] 25. Ursprungsstelle der dritten Längsader nahe an die Wurzelquerader gerückt, zweite Längsader bedeutend lang; Rüssel kurz, selten etwas vorstehend Microphorus Macq. — Ursprungsstelle der dritten Längsader von der Wurzelquerader ent- fernt, die zweite Längsader etwas kürzer; Rüssel vorstehend, so lang als der Kopf Atrichopleura nov. gen. 26. Rüssel ziemlich diek, horizontal abstehend; Fühlerendgriffel diek und kurz Iteaphila Zett. (+ Sphicosa Phil.) — KRüssel senkrecht; Fühlergriffel mehr verlängert 27. 27. Vorderast der ersten Längsader in die Costa einmündend Hilara Meig. — Hilfsader vor der Costa gebrochen, diese nicht berührend 28. 28. Erste Flügellängsader der ganzen Länge nach dicht behaart; Rüssel so lang wie der Kopf Phleboctena nov. gen.') — Erste Flügellängsader ganz nackt 29. 29. Augen bei dem Männchen breit getrennt 30. — Augen bei dem Männchen zusammenstolsend 31. 30. Hinterschenkel einfach und so lang wie die entsprechenden Schienen . Hilarempis Bezzi. — Hinterschenkel verdickt und bedeutend länger als die entsprechenden Schienen E Haplomera Maeq.’) 3l. Fühlergriffel kürzer als die Fühler; Rüssel so lang wie der Kopf Amvictoides nov. gen. — Fünhlergriffel länger als die Fühler: Rüssel ganz kurz, nicht vorstehend Apaloenemis Phil. 32. Dritte Längsader einfach Rhamphomyta Meig. — Dritte Längsader gegabelt 33. 33. Erstes Fühlerglied kurz; Rückenschild in der Mitte beborstet; metallische Färbung nicht vorhanden Empis L.’) — Erstes Fühlerglied verlängert; Rückenschild ziemlich kahl; Körper metallisch gefärbt Lamprempis Wheel. et Mel. 1) Die Gattungen *Hesperempis und *Torens, Melander, sind durch die gänzlich fehlenden Thoraxborsten zu ‚unterscheiden. 2) Obdie Augen beim Männchen getrennt oder zusammenstofsend sind, ist noch zweifelhaft. 3) Die Gattung *Deuteragonista Philippi scheint nur durch den dreigliedrigen Fühler- griffel verschieden. 11] Beiträge zur Kenntnis der südamerikanischen Dipterenfauna. 303 1. Cerathybos nov. gen. Notis omnibus corporis pedum alorumque cum gen. Hiybos eonvenit, differt antennarum articulo tertio maxime dilatato, semieireulari; tibiis anticis intus prope basin dente valido praeditis: proboscide perpendieulari, immo retro inelinati. Diese neue Gattung hat ganz das Aussehen eines gewöhnlichen Hybos, mit kleinem, gestieltem Kopfe und kurzen ziemlich breiten Flügeln; das verbreiterte dritte Fühlerglied, die gezähnten Vorderschienen und die Stellung des Rüssels unterscheidet sie sogleich von allen andern Hybotinen. Die Stellung des Rüssels ist leider eine für diese Gruppe so ungewöhnliche, dafs ich zweifle, dafs dieselbe natürlich sein könne, vielmehr nur durch einen Zufall verursacht ist. Die Augen stofsen über und unter den Fühlern eng zusammen; das dritte Fühlerglied hat ganz die Gestalt eines Halbkreises; der T'horax- rücken ist ziemlich gewölbt und hat nur an den Seiten Borsten; das Schildehen zeigt an dem Hinterrande viele Borsten; die Hinterschenkel sind wie gewöhnlich verdickt und unten mit vielen starken Borsten bewehtt, welche aber nicht über Beulen stehen. Der Ursprung der dritten Längs- ader befindet sich nahe der Flügelmitte; die vierte Längsader ist in ihrem letzten Teile nach oben gerichtet, so dafs die erste Hinterrandzelle am Ende etwas verschmälert ist. 1. Cerathybos Schnusei n.sp. 2 (Tab. Fig. 1). Niger, nitidissimus, thoracis dorso cyaneo-virescenti, antennis halteribusque nigris, proboscide tarsis femorumque posticorum medietate apicali luteis, alis dilute fuscis, margine antico obscuriore. Long. corp. mm 5%, alar. mm 4!).. Ein einziges Exemplar aus Peru, Unini, Ucayaliflußs, 31. X. 03, 300 m. Der Kopf ist sehr klein und deutlich gestielt, fast gänzlich von den Augen gebildet; diese sind rund, lang zusammenstolsend, mit grolsen Feldern, die oberen etwas gröfser als die unteren; Taster klein, schwarz; Rüssel ziemlich grols, so lang als der Kopf; Hinterkopf schwarz, mit dunkelgrauem 39% 304 M. Bezzi, [12] Tomente und längeren schwarzen Haaren oben und am Rande; Ocellenhöcker ziemlich klein; drittes Fühlerglied oben am Ende deutlich kurz behaart und mit einer feinen, langen Endborste. Thoraxrücken stark glänzend, mit deutlichem Metallschimmer, mit kurzen dunkeln Haaren und schwarzen Borsten an den Seiten; Schildehen glänzend schwarz. Hinterleib walzen- förmig, glänzend schwarz, mit ziemlich langen Haaren, welche am Grunde weils, oben und am Ende dunkel sind; Legeröhre mit schwarzen langen Lamellehen. Beine ziemlich haarig, aber ohne längere Borsten; Hüften und Schienen schwarz glänzend; Schenkel schwarz, gegen das Ende zu gelb, besonders bei den hinteren; Tarsen ganz gelb, an der Spitze schwarz, die hinteren breiter geschwärzt; die Vorderschienen sind an der Aulsenseite mit kurzen dichten Haaren befranst, der kurze aber starke Zahn steht auf dem vorderen Viertel; die Mittelbeine sind schwächer als die vorderen und die Mittelschienen sind ungezähnt; die Hinterschenkel sind nicht sehr- ver- dickt, ziemlich lang, unten mit zwei Reihen von starken schwarzen Borsten; Hinterschienen bedeutend kürzer als die Schenkel, etwas gebogen, an beiden Enden schmal gelb, an der Aufsenseite mit wenigen gleichweit entfernt stehenden Haaren. Flügel ziemlich verdunkelt, ohne deutlichen Randfleck; sie sind an der Basis nicht verbreitert, und die Costa ist mit kurzen Haaren dicht besetzt; die dritte Längsader ist in ihrem Verlaufe ganz gerade. 2. Hybos Meig. Die bis jetzt bekannten neotropischen Arten dieser Gattung lassen sich nach folgender Tabelle unterscheiden. 1. Flügel mit erweiterter Randzelle 2. — Flügel mit nicht erweiterter Randzelle 6. 2. Flügel mit gedörnelter Costa *spinicosta W. et M.!) — Flügel mit nur behaarter Costa 3. 3. Thoraxrücken blau 4. — Thoraxrücken schwarz 5. 1) In dieser wie in den folgenden Tabellen sind die mir in natura nicht bekannten Arten mit einem Stern bezeichnet. 17 18. Beiträge zur Kenntnis der südamerikanischen Dipterenfauna. 305 Thoraxrücken gestriemt; Mittelschienen gelb; Flügel gleich verdunkelt; kleinere Art “integer Walk. Thoraxrücken ungestriemt; Mittelschienen dunkel; Flügel mit glasheller Spitze; grölsere Art eurypterus n. sp. Hinterleib mit kupferfarbigen Reflexen; Flügel an der Spitze glashell "dimidiatus Walk. Hinterleib schwarz; Flügel an der Spitze verdunkelt latipennis n. sp. Flügel am Grunde geschwärzt 7. Flügel am Grunde nicht geschwärzt 12. Thoraxrücken blau 8. Thoraxrücken schwarz 10. Flügel ohne Stigmatiealflleck prlostformis n. Ss. Flügel mit deutlichem Stigmaticalfleck % Vorderschienen schwarz pilosus Schin. Vorderschienen gelb “electus Mel. Beine ganz gelb 1% Beine gelb und schwarz triplex Walk. Thoraxrücken erzfarbig *sequens Mel. Thoraxrücken schwarz *crassipes Fahr. Flügel angeraucht "piceus Wied. Flügel nicht angeraucht ıt3: Thoraxrücken glänzend, ohne 'T'oment 14. Thoraxrücken mit Toment bedeckt ıR7E Beine ganz schwarz; Flügel wasserklar hyalopterus Bezzi. Beine zum Teil gelb; Flügel graulich la: Mittlere Queradern der Flügel dunkel gesäumt *stigmatieus Schin. Mittlere Flügelqueradern nicht verdunkelt 16. Beine schwarz, nur die Tarsen gelb *mellipes W. et M. Beine mit gelben Knien und zum Teil gelben Schienen neotropicus Bezzi. Schwinger weils-gelb 18. Schwinger verdunkelt; Schienen zum Teil gelb luridus n. sp. Schienen ganz schwarz *typicus W. et M. Schienen ganz gelb halteralis n. sp. 306 M. Bezzi, [14] 2. Hybos eurypterus n.sp. J'?. Cyaneus, nitidus, antennis halteribusque nigro-fuseis, pedibus nigro-cyaneis nitidissimis, geniculis postieis tar- sorumque omnium basi luteis, oculis supra et infra longe connexis, antennarum articulo tertio valde elongato, proboscide brevissima fere abscondita, tibiis antieis intus prope basin dente parvo armatis, alis fuseis triente apieali dilutiori, cellula costali valde dilatata, costa prope basin dense fimbriata. Q' femoribus postieis subtus per totam longitudinem spinis validis armatis; genitalibus magnis rotundatis exsertis, apice dentatis. ? femoribus postieis subtus basim versus non spinosis; terebrae lamellis terminalibus longis nigricantibus. Long. corp. mm 5—6, alar. mm 4—5. Zwei Exemplare aus Peru, Pachitea-Mündung, 12. XI. 03, 150 m, und Puerto Bermudes, Pichis-Fluß, 17. XII. 03, 300 m; zwei aus Bolivien, San Carlos, Mapiri, 1.1. 03, 800—1200 m, und San Ernesto, Mapiri, 28. III. 03, 800 m. Eine schöne Art, welche nach der Färbung mit pelosus Schin. ver- wandt zu sein scheint; sie ist aber weit verschieden durch die Flügelform und -färbung, durch das verlängerte dritte Fühlerglied und den ganz kurzen, fast verborgenen Rüssel. Kopf klein, mit schwarzen Haaren; obere Augenfelder deutlich grölser als die unteren; drittes Fühlerglied linear, besonders beim Weibehen stark verlängert, mit sehr langen dünnen Apicalborsten. Thoraxrücken stark gewölbt und sehr glänzend, von dunkelblauer Farbe, mit dichten ziemlich langen, dunkeln Haaren bedeckt, welche hinten immer länger sind, und mit einigen schwarzen Borsten an den Seiten; Schultern stark vor- tretend. Schildchen klein, mit $S—12 Borsten am Rande. Hinterleib walzen- förmig, von reinerer blauer Färbung, mit langen dunkeln Haaren; Genitalien des Männchens stark entwickelt, von kompliziertem Baue, welcher von dem der H. triplex weit verschieden ist; sie sind ziemlich verlängert, aus zwei halbeiförmigen Klappen bestehend, von denen die obere kürzer als die [15] Beiträge zur Kenntnis der südamerikanischen Dipterenfauna. 307 untere ist; am Ende tragen sie einige starke Zähne, besonders die untere. Beine glänzend blauschwarz; die vier vorderen Tarsen sind gelb, mit schwarzer Spitze; an den hinteren Beinen sind die Schienen an beiden Enden gelb und die ziemlich grofsen Metatarsen honiggelb; die vier anderen Schienen und die entsprechenden Tarsen zeigen einige sehr lange Borsten; der Zahn der Vorderschienen ist im ersten Viertel gelegen und sehr klein, aber leicht zu beobachten, obschon viel schwächer als bei Cerathybos Schnuset; die Hinterschenkel sind wie gewöhnlich verdickt, mit zwei Reihen von starken Borsten, von denen einige über kleinen Beulen stehen; die Hinter- schienen sind kurz, fast gerade und ziemlich stark, und zeigen oben an der Wurzel eine lange Borste. Flügel sehr breit, stark verdunkelt, mit deutlichem, verlängertem Stigmaticalfleck; dritte Längsader etwas gebogen, vierte in ihrem letzten Teile gegen die dritte aufgerichtet; Costa stark ge- bogen, gegen die Wurzel dicht behaart. 3. Hybos latipennis n. sp. 2. Niger, nitidus, antennis halteribus pedibusque conco- loribus, geniculis postieis tarsorumque omnium basi luteis, thoracis dorso longe piloso, oculis supra et infra cohaerentibus, antennarum articulo tertio brevi, tibiis antieis basi intus dente parvo armatis, proboscide brevi, alis fuscis mediedate apieali dilutiori, cellula costali valde dilatata, costa breviter fimbriata. O' femoribus postieis brevibus subtus per totam longi- tudinem spinosis; genitalibus rotundalis apice dentatis. ? femoribus posticis elongatis apicem versus non Spi- nosis; terebrae lamellis nigricantibus. Long. corp. mm 3'a—4'i,, alar. mm 3—4. Vier Exemplare aus Bolivien, San Carlos, Mapiri, 5.1.03, 800-1200 m, Sarampioni, Mapiri, 14. III. 03, 700 m, San Ernesto, Mapiri, 20.—21. III. 03, 800 m, zwei Exemplare aus Peru, Chanchamayo, 9.—15. I, 04, 800 m. Eine mit der vorigen nahe verwandte Art, besonders durch die Gestalt der Flügel und der Genitalien, durch die Färbung der Beine usw., aber kleiner, schwarz, mit kürzeren Flügeln und längerer Behaarung auf 308 M. Bezzi, [16] dem Thoraxrücken. Die Fühler sind bedeutend kürzer, mit lang eiförmigem dritten Gliede; der Rüssel ist kurz, aber etwas länger als bei der vorigen Art. 'Thoraxrücken stark gewölbt, mit langen weilslichen Haaren ganz bedeckt, die Haare selbst im hinteren Teile länger; Schildehen mit 6—8 aufrechten schwarzen Borsten, die zwei mittleren länger und stärker. Hinter- leib mit langen weißlichen Haaren; die männlichen Genitalien sind etwas kleiner, aber von derselben Gestalt wie bei der vorigen Art. Beine wie beim vorigen gefärbt und behaart; die Hinterschenkel sind verhältnismäßig kürzer und dicker, besonders beim Männchen; auch bei dieser Art ist der hinterste Metatarsus gröfser und intensiver gelb gefärbt; Hinterschienen stark, leicht gebogen. Flügel wie bei eurypterus, der hellere Apicalteil gröfser; dritte und vierte Längsader in ihrem letzten Teil ziemlich parallel; Stigmaticalfleck wenig deutlich. 4. Hybos ptilosiformis n. sp. 2. Cyaneus, nitidus, antennis halteribus pedibusque nigris, geniculis postieis tarsorumque omnium basi luteis oculis supra et infra connexis, antennarum articulo tertio brevissimo pro- boscide brevi, tibiis antieis intus basi non dentatis, alis hya- linis, basi late infuscatis, macula stigmatica omnino nulla, cellula eostali non dilatata. Long. corp. mm 3',—4, alar. mm 3—3!.. Zwei Exemplare aus Peru, Unini, Ucayalifluls, 20. X. 03, 300 m, und Chanchamayo, 15. I. 04, 800 m. Durch den kurzen Rüssel nähert sich diese Art den beiden vorher- gehenden, zeigt aber ganz schmale Flügel, kürzeres drittes Fühlerglied und nicht gezähnte Vorderschienen. Wahrscheinlich gehört diese Art zu der Gruppe von triplex, aber ohne Kenntnis des Männchens läfst sich das nicht entscheiden. Kopf von gewöhnlichem Baue; drittes Fühlerglied kurz eiförmig. Thoraxrücken gewölbt, mit vorstehenden Schulterbeulen, mit weilslichen mittellangen nicht dichten Haaren; Schildehen am Hinterrande mit 4—6 Borsten, von denen die mittleren stärker sind. Hinterleib von dunklerer 17] Beiträge zur Kenntnis der südamerikanischen Dipterenfauna. 309 Farbe, weilslich behaart; Legeröhre lang, mit schwärzlichen Endlamellen. Beine wie bei den vorhergehenden Arten gefärbt und gestaltet; die vorderen Schienen sind bisweilen etwas heller und zeigen keine Spur des Basal- zahnes. Die Flügel sind schmal und lang, wasserklar, nur im Basaldrittel geschwärzt; dritte Längsader gerade, vierte im letzten Teile etwas zur dritten konvergierend. 5. Hybos pilosus Schin., Novara Dipt., 202.1. (1861); Bezzi, Annal. Mus. nat. hung., III. 425. 1. (1905). Drei Exemplare aus Bolivien, San Carlos, Mapiri, 3. I. 035, 800—1200 m, San Ernesto, Mapiri, 20.—24. III. 03, 800 m. Eine ziemlich veränderliche Art, welche noch nicht genau bekannt ist; die Thoraxhaare sind immer dunkler als in Schiners Beschreibung an- gegeben ist. 6. Hybos triplex Walk., List Dipt. brit. Mus., III. 486. (1849), mit den anderen Arten: duplex, purpureus und subjectus; Osten-Sack., Cat. Dipt. N. Amer., 2.ed., 99 et 240. (1878); Coquill.,. Proc. U. S. nat, Mus. XVIM. 457. (1895), XXH. 251. (1900) und Proe. ent. Soc. Wash., V. 264. [Zuhrybos] (1903) mit den Arten purpwreus und subjectus; Wheel. et Mel., Biol. centr. amer., I. 373. 3. (1901) und Mel., Trans. amer. entom. Soe., XXVIM. 248. t. VIL. f£. 79—81. (1902) mit den Varietäten: Baker:, duplex, Loewi, purpureus, Smithi, subjectus, tabascensis, triplex und yucatanus; Aldr., Cat. N. Amer. Dipt.. 319. (1905). Fünf Exemplare beider Geschlechter aus Bolivia, Sarampioni, Mapiri, 28.1. 03, 700 m und aus Peru, Meshagua, Urubambaflufßs, 11. X. 03, 350 m, Pachitea- Mündung, 150 m, 6. XI. 03, Puerto Bermudes, 9. XII. 03, 300 m, Chanchamayo, 15.1. 04, 800 m. Ein Männchen aus Unini, Ucayalifluß, 300 m, 20.X.03, zeigt dünnere Hinterschenkel und etwas verschiedene Genitalien; wahrscheinlich einer eigenen Art; angehörend. Diese, wie es scheint, durch ganz Amerika verbreitete Art bedarf einer Revision. Sie ist aufserordentlich veränderlich; es sind aber sicher verschiedene, noch nicht erkannte Arten darunter. Die Vorderschienen sind am Grunde innen gezähnt. Nova Acta XCI. Nr. 3, 40 310 M. Bezzi, [18] 7. Hybos neotropicus Bezzi, Ann. Mus. nat. hung., III. 426. 3. (1905). Ein Weibehen aus Bolivien, San Carlos, Mapiri, I. 03, S00—1200 m. Diese Art scheint mit mellipes sehr nahe verwandt zu sein. 8.0 Hnbosı halteralis'n.sp.. 2. Niger, nitidiusculus, thoracis dorso cinereo-tomentoso setis dorso centralibus duabus validis, halteribus albicantibus, pedibus nigris tibiis tarsisque luteis, alis cinereo-hyalinis, cellula costali non dilatata, macula stigmatica elongata dilute fuseca, nervis tertio et quarto apicem versus parallelis. Long. corp. mm 3'/,, alar. mm 3%. Ein Weibchen aus Bolivien, Kordilleren, 4—5000 m, 24. XI. 02. Eine Art von gewöhnlichem Baue und Färbung, weiche durch die weifslichen Schwinger und die ganz gelben vorderen Schienen von den ähnlichen zu unterscheiden ist; ganz eigentümlich sind die zwei starken Borsten auf dem Thoraxrücken. Augen über den Fühlern zusammenstofsend, unten stark genähert; drittes Fühlerglied kurz eiförmig; Taster schwarz. Thorax mit hellen Haaren an den Seiten; die zwei starken Dorsozentral- borsten stehen hinter der Mitte; Schildehen mit zwei starken Randborsten. Hinterleib schwarz, mit ziemlich langen hellen Haaren. Beine von gewöhn- licher Gestalt; der Zahn am Grunde der Vorderschienen ist wenig deutlich; Mittelschienen an der Aufsenseite mit drei langen Borsten in einer Reihe. Die vier vorderen Metatarsen zeigen einige lange Borsten; an allen Tarsen sind die Endglieder geschwärzt; die Hinterschienen sind in der Mitte ver- dunkelt; Hinterschenkel nicht sehr verdickt, mit starken schwarzen Borsten, welche bis zur Basis reichen. Flügel wie gewöhnlich, mit kurz bewimpertem Vorderrande. 9. Hybos luridus n. sp. 02. Niger, nitidus, thoracis dorso cinereo-tomentoso setis majoribus nullis, halteribus nigricantibus, pedibus nigris, tarsorum tibiarumque posticarum basi luteis, alis cinereo- hyalinis, cellula costali non dilatata, macula stigmatica brevi fusca, nervis tertio et quarto apicem versus parallelis. 19] Beiträge zur Kenntnis der südamerikanischen Dipterenfauna. sll en o' genitalibus magnis nigris nitidis forficatis apice dentatis. | ? terebra elongata, lamellis terminalibus fuseis. Long. corp. mm 3!,—4, alar. mm 31, —3?/ı. Vier Exemplare aus Bolivien, Lorenzopata, Mapiri, 2000— 2500 m, 24. IV.—4. V. 03. Eine gewöhnliche Art, welche an die nearktischen Slossonae Coquill. erinnert. Augen oben verschmolzen, unten stark genähert; drittes Fühlerglied kurz eiförmig mit langer Borste. Thoraxrücken grau bestäubt, mit langen Haaren auf der Mitte und längeren Borsten am Rande; Schildchen mit zwei starken Borsten. Hinterleib glänzend schwarz, mit weilslichen Haaren. Beine glänzend schwarz, mit den gewöhnlichen längeren Haaren an den vorderen und mittleren Schienen und Metatarsen; zuweilen auch die Mittel- schienen an der Wurzel schmal gelb; Zahn der Vorderschienen wenig deutlich. Genitalien des Männchens ziemlich grofs, kompliziert, an die von triplee erinnernd. Flügel wie gewöhnlich, mit kurz bewimperter Randader. 3. Lactistomyia Melander. Diese Gattung ist von der vorhergehenden nur durch stärkeren Körperbau, kürzere und dickere Hinterschenkel (die Hinterschienen daher verhältnismäfsig weniger kurz als bei Hybos), welche unten stark gezähnt sind, zu unterscheiden. Körperfärbung mehr erzfarbig. Es ist wahrscheinlich, dafs einige oben erwähnte Hybos-Arten, wie seguens und piceus, zu dieser Gattung gehören. Vielleicht auch ist diese Gruppe nur als Untergattung von Hybos zu betrachten, wie Harpamerus Brig. von Syneches Walk. 1. Flügel mehr oder weniger verdunkelt 2. — Flügel wasserklar, ohne Stigmaticalfleck hyalına n. sp. 2. Flügel gleichmäfsig verdunkelt “insolita Mel. — Flügel gegen die Spitze heller seyrata n. Sp. 40* 312 M. Bezzi, 120] 10. Lactistomyia hyalina n. sp. ®. Nigra, luteo-pilosa, halteribus nigricantibus, antennarum articulo tertio elongato, pedibus quatuor anterioribus obseure luteis postieis nigris nitidis, tibiis postieis extus canalieulatis, alis hyalinis, macula stigmatica nulla, nervis tertio et quarto apicem versus convergentibus. ? terebra elongata valde angusta. Long. corp. mm 6, absque terebra; alar. mm 5l].. Ein Exemplar aus Peru, Puerto Bermudes, Pichisflußs, 300 m, 13. XII. 03. Eine ziemlich grofse Art, mit sehr starken Hinterbeinen. Augen oben zusammenstolsend, unten stark genähert; Fühler ganz schwarz, mit verlängertem dritten Fühlergliede, dreimal so lang als breit; Taster lang und dünn, schwarz; Rüssel lang, dunkel gelb. Rückenschild stark gewölbt, mit gelblichen kurzen Haaren ganz bedeckt, nur an den Seiten mit schwarzen Borsten; Schildchen klein, am Rande mit 10 Borsten. Hinterleib schwarz glänzend, mit ziemlich langen helleren Haaren; Legeröhre ganz schmal, 1'!; mm lang, hell behaart. Die vier vorderen Beine sind dunkelgelb, mit schwarzen Hüften und an der Basis geschwärzten Schenkeln; die Tarsen sind stark verdunkelt; Schienen und Tarsen sind ziemlich stark, aber kurz, beborstet. Hinterbeine sehr kräftig und glänzend schwarz, nur die Spitze der Schenkel, die Knien und die Metatarsen unten rötlich; die sehr breiten Schienen sind gebogen, an der Aufsenseite mit gleichweit entfernt stehenden kurzen Haaren; Hinterschenkel stark verdickt, aber ganz gerade, oben dicht schwarz behaart, unten mit zwei Reihen starker Beulen, auf welchen die kurzen schwarzen Borsten stehen, die innere Reihe nur an der Spitze vor- handen; Hintertarsen sehr kurz. Flügel wie gewöhnlich, mit dicht und kurz bewimpertem Vorderrande. 11. Lactistomyia serrata n.sp. J' 2. Nigra, tomento aenescenti laeviter adspersa, luteo pilosa, halteribus nigricantibus, antennarum articulo tertio b#evi, pedibus ut in praecedenti posticis tamen dilutioribus, alis [21] Beiträge zur Kenntnis der südamerikanischen Dipterenfauna. 313 fuseis apicem versus hyalinis vel dilute fuscis, macula stig- matica fusciore, nervis tertio et quarto convergentibus. o' genitalibus magnis rotundatis, longe pilosis, lobo supero apicem versus pilis rufis incurvis penicillato. ? terebra angusta elongata. Long. corp. mm 51, —6!/,, alar. mm 5—6. Einige Exemplare beider Geschlechter aus Peru: drei typische von der Pachitea-Mündung, 150 m, 3.—20. XI. 03; ein unausgefärbtes Weibchen aus Unini, Ucayalitlus, 300 m, 20.X. 03; und ein wahrscheinlich nicht hierher gehörendes Weibchen aus Tarma, 3000 m, 29. I. 04. Der vorigen Art sehr ähnlich. Die Augen sind sehr grofs und rund, in der Mitte mit deutlicher horizontaler Naht; drittes Fühlerglied oval, nur zweimal so lang als breit. Thorax wie bei der vorigen; Schildchen mit nur zwei Randborsten, Hinterleib schwarz, nicht glänzend, mit helleren Haaren. Beine ganz wie bei der vorigen, aber heller gefärbt, die Hinter- schenkel zuweilen ganz braunrot. Flügel bei dem Männchen dunkler als bei dem Weibchen; Stigmaticalfleck länglich oval, immer deutlich. 4. Syneches Walker. Diese Gattung scheint in Südamerika reich vertreten zu sein. In meinem Kataloge von 1905 habe ich folgende Arten als Hybos angeführt, welche dagegen ganz sicher zu dieser Gattung gehören: curvipes, luteus, quadricinectus und ruficollis. Die kleineren Arten, welche einen aulser- ordentlich hohen Thoraxrücken besitzen, wie mein pyramidatus, scheinen der Gattung Parahybos Kert. ganz nahe zu stehen; leider scheint mir, dafs diese Gattung nicht haltbar sei, da die Stellung der Fühlerborste bald apical, bald subapical bei den nahe verwandten Arten ist. 1. Thoraxrücken äußerst hoch gewölbt, fast kegelförmig, hinten mit einer mittleren Furche, und immer schwarz gefärbt 2. — Thoraxrücken nicht kegelförmig gewölbt, hinten kaum eingedrückt, ohne mittlere Furche, und meistens gelb gefärbt 4. 2. Flügel graulich 3% — Flügel dunkel gelblich obeliscus n. Sp. 314 M. Bezzi, [22] 3. Flügel ohne Stigmaticalfleck; Hinterschienen gelb mit kaum angedeutetem dunklem Ringe; hintere Metatarsen gelb pyramidatus Bezzi. — Stigmaticalfleck vorhanden, gelb, an der Basis dunkel; Hinterschienen mit breitem, schwarzem Ringe; hintere Metatarsen verdunkelt annulipes n. sp. 4. Hinterleib mit vier weilsen Binden; sehr grolse Statur (9 —10 mm) *quadrieinctus Fabr.') — Hinterleib ohne weilse Binden D. 5. Hinterschenkel verdickt; Thoraxrücken gelb; Stigmaticallleck nur am Grunde verdunkelt; 7—8 mm lang *curvipes Fabr.”) — Hinterschenkel nicht oder kaum verdickt 6. 6. Stigmaticalfleck doppelt; Thoraxrücken gewölbt, braun, hinten mit breiter Eindrückung; drittes. Fühlerglied gelb stigmaticalis n. Sp. — Stigmaticalfleck einfach; 'T'horaxrücken weniger gewölbt, hinten mit kaum deutlichem Eindruck 78 7. Flügel wasserklar, mit kurzem scharf begrenztem Stigmaticalfleck; Thoraxrücken schwarz oder dunkel 8. — Flügel oft verdunkelt, wenigstens gegen die Spitze, mit verlängertem, mehr oder weniger deutlichem Stigmaticalleck 3. 8. Hüften gelb; Stigmaticalfleck viereckig. *quadrangularıs Wheel. et Mel. — Hintere Hüften schwarz; Stigmaticalfleck die ganze Spitze der Rand- zelle ausfüllend, und daher halbkreisförmig repletus n. sp. 9. Flügel ohne Stigmaticalfleck; Thoraxrücken gelb, Beine honiggelb. "Iuteus Wied. —— Stigmaticalfleck deutlich 10. 10. Thoraxrücken gelb, mit schwarzer hervortretender Zeichnung; drittes Fühlerglied beinahe weiß. dichrous n. Sp. — Thoraxrücken gelb oder dunkel, ohne schwarze Zeichnung; drittes Fühlerglied gelb oder verdunkelt 11, 11. Thoraxrücken verdunkelt; drittes Fühlerglied verdunkelt; letztes Bein- paar ganz schwarzbraun; grölsere Statur. fuscescens n. Sp. I) Diese Art gehört wahrscheinlich zur Brachystoma- Gruppe. 2) Trotz der verdiekten Schenkel ist diese Art, nach der von Wiedemann gegebenen Figur, ein Syneches. [23] Beiträge zur Kenntnis der südamerikanischen Dipterenfauna. 315 — Thoraxrücken gelb; drittes Fühlerglied gelb: letztes Beinpaar gelb; kleinere Statur 12. 12. Flügel hyalin; Hinterleib glänzend schwarz. *ruficollis Wied. — Flügel verdunkelt; Hinterleib mit gelber Wurzel phaeopterus Bezzi. 12. Syneches obeliscus n. sp. J'. Ater, opacus, antennis halteribus femoribusque nigris, tibiis tarsisque luteis partim nigris, antennarum articulo tertio rotundato, thoracis dorso maxime convexo pyramidato, alis fusco lutescentibus, macula stigmatica obsoleta, cellula dis- ceoidali parva in medio alae, nervis tertio et quarto parallelis. Long. corp. mm 3—3!l,, alar. mm 21, —3!jı. Drei Exemplare aus Bolivien, Lorenzopata, Mapiri, 2000-— 2500 m, 24. IV. —11. V. 03, und eins aus Peru, Chanchamayo, 800 m, 15.1. 04. Eine kleine Art, welche mit der folgenden sehr nahe verwandt, aber durch Flügel- und Bein-Färbung leicht zu unterscheiden ist. Diese und die zwei folgenden Arten bilden eine natürliche Gruppe, welche mit der Gattung Parahybos den gesamten Habitus und die Form des dritten Fühler- gliedes gemein hat; die Fühlerborste ist aber apical und die Hinterschenkel zeigen unten einige Borsten. Da diese Art mit der Beschreibung meiner pyramıdatus übereinstimmt, seien hier nur die Unterscheidungsmerkmale gegeben. Rüssel gelblich; Ocellarborsten lang, dünn. Schienen manchmal sehr breit geschwärzt, be- sonders die vorderen, und die hinteren gegen die Mitte; Tarsen am Ende geschwärzt; Hinterschenkel dünn, unten mit einigen längeren Borsten. Flügel ohne deutlichen Stigmaticalfleck, an dessen Platze ein verwaschener gelber Schatten zu bemerken ist. 13. Syneches pyramidatus Bezzi, Ann. Mus. nation. Hungar., III. 428. 5. (1905.) Vier Exemplare beider Geschlechter aus Peru, Chanchamayo, 800 m, 15. I. 04, und Tarma, 3000 m, 19.1. 04. Stimmt ganz gut mit den Exemplaren von 1905, gleichfalls aus Peru. Die Tarsen sind an der Spitze geschwärzt; die Vorderschienen sind deutlich 316 M. Bezzi, [24] verdickt. Das noch nicht beschriebene Weibchen stimmt mit dem Männchen gänzlich; die Legeröhre ist ziemlich dick, mit langen schwarzen Apical- lamellehen. 14. Syneches annulipes n. sp. Q'. Duabus praecedentibus iterum simillimus, differt meta- tarso postico infuseato tibiisque posticis in medio late nigro annulatis, alis einereo hyalinis vix levissime infuscatis, macula stigmatica diffusa lutea, basi nubecula fusca distincta. Long. corp. mm 2',, alar. mm. 2. Ein einziges Männchen aus Bolivien, San Carlos, Mapiri, 800—1200 m, IV. 03. Etwas kleiner als die zwei vorhergehenden Arten. Die Vorder- und Hinterschienen zeigen breite schwarze Ringe. Die Flügelfärbung steht in der Mitte zwischen den beiden andern Arten; sie ist nämlich nieht so rein glashell wie bei pyramidatus, aber sehr viel weniger dunkel als bei obeliscus; ganz eigentümlich ist der dunkle Schatten am Ende der Randzelle, welcher den gelben Stigmaticalfleck berührt; deshalb ist das Randmal bei dieser Art mehr hervortretend als bei den beiden vorhergehenden Arten. 15. Syneches stigmaticalis n. sp. 92. Niger, nitidiuseulus, cinereo-tomentosus, antennis halte- ribusque luteo-fusceis, pedibus pallide luteis postieis tamen infuscatis, femoribus posticis graeilibus at subtus setis validis armatis, thoracis dorso valde convexo, antennarum articulo tertio breviter ovato, alis cinereo hyalinis macula stigmatica dupliei nigrofusca, nervis tertio et quarto parallelis. Long. corp. mm 3—3!h, alar. mm 3—3!!. Eine Anzahl von Exemplaren beider Geschlechter aus Bolivien, San Carlos, Mapiri, 800—1200 m, 21.1. 03 und Sarampioni, Mapiri, 700 m, 24.— 26. 1. 03. Eine ziemlich zarte Art, wegen des hochgewölbten Thoraxrückens mit der vorigen verwandt; sie scheint bei simplex Walk. zu stehen, zeigt aber einen braunglänzenden Thoraxrücken und hellere Beine. [25] Beiträge zur Kenntnis der südamerikanischen Dipterenfauna. 317 Rüssel gelb; Fühler gelblich, oft verdunkelt, mit kurz eiförmigem dritten Gliede, welches oben in der Mitte ein Haar trägt und mit einer sehr langen etwas präapicalen Borste endigt. T'horaxrücken ziemlich glänzend, bis vornhin behaart, mit schwarzen und starken Seiten- und Hinterborsten; die hintere Eindrückung ist etwas furchenförmig; die Humeral- und Präscutellarschwielen sind gelblich. Schildehen graugelblich, am Rande mit langen Borsten, die zwei mittleren stärker als die übrigen. Schüppchen und Schwinger gelblich, diese oft verdunkelt. Hinterleib ver- längert, nicht glänzend, ziemlich lang hell behaart; Genitalien des Männchens klein, spitzig, schwarz; Endlamellchen der Legeröhre schwärzlich. Beine behaart und mit vereinzelten längeren Borsten; die Hüften und die vier vorderen Beine sind gelb, nur die Tarsen an der Spitze geschwärzt; Spitzen- hälfte der Hinterschenkel, Hinterschienen und Hintertarsen schwärzlich, die Wurzel der Schienen und die Einschnitte der Tarsen schmal gelb, Hinter- schienen gegen die Mitte mit einer längeren Borste. Flügel normal, etwas graulich, mit dunkeln Adern und zwei Randmalflecken, ein großer an der Basis und ein kleiner an der Spitze. 16. Symeches repletus n. sp. ?. Niger, nitidiusculus, antennis halteribusque fuseis, pedi- bus luteis posticorum coxis trochanteribus femorum tibiarum- que apieibus nigris, tibiis intermediis setis duobus longissimis praeditis, femoribus posticis setis validis longis subtus armatis, alis cinereo-hyalinis, macula stigmatica magna semicirculari nigro-fusca cellulae marginalis apicem omnino replente, nervis tertio et quarto parallelis. Long. corp. mm 3!h, alar. mm 3ll.. Ein Exemplar aus Peru, Puerto Bermudes, Pichisfluls, 300m, XI. 03. Eine schöne Art, welche mit guadrangularis Wheel. et Mel. nahe verwandt zu sein scheint; wegen der zwei langen Borsten der Mittelschienen ist auch die Art mit meinem $. dichaetophorus aus Indien und Neu-Guinea verwandt. Augen oben flach, mit äufserst grofsen Feldern; Fühler schwärzlich, mit kurzeiförmigem, oben einborstigem drittem Gliede und langer Endborste; Nova Acta XCI. Nr.3. 4 318 M. Bezzi, [26] Rüssel gelb. Thorax ziemlich hoch gewölbt, glänzend, mit schwächerem dunkelgrauem 'T’omente und bis vornhin mit kurzen dunkeln Haaren, an den Seiten mit stärkeren Borsten; Schildchen am Rande mit einigen Borsten, die mittleren stärker und länger. Schüppchen geiblich, lang hell behaart. Hinterleib lang und dünn, schwarz und ziemlich stark glänzend, am Bauche ‚gelblich, hell behaart; Legeröhre am Ende stumpf, mit ziemlich verborgenen dunklen Apicallamellchen. Beine behaart, die vier vorderen ganz gelb, nur die mittleren Hüften schwärzlich; von den zwei langen Borsten der Mittel- schienen steht die eine an der Vorder- und die andere etwas kürzere an der Innenseite; die Hinterschenkel sind kaum verdickt, aber unten mit sehr starken schwarzen Borsten bewaffnet; Spitzenhälfte der hinteren Schenkel und Spitzendritteil der Hinterschienen schwarz, letztere am Ende etwas keulenförmig verdickt; Hintertarsen ganz gelb. Flügel mit dunkeln Adern, an der äufsersten Spitze mit einem dunkeln Schatten. 17. Syneches dichrous n. sp. Q'. Luteus, nitidus, thoracis dorso in parte antica abdomine- que nigris, antennis nigricantibus articulo tertio albido, hal- terum clava fusca, pedibus pallide luteis tibiis anticis et postieis femoribusque posticis nigricantibus, tibiis intermediis longe-setosis, femoribus postieis subtus setis non validis sed distinctis praeditis, alis griseo-hyalinis, circa maculam stig- maticam elongatam fuscam late infuscatis, nervis tertio et quarto parallelis. Long. corp. mm 4—5, alar. mm 4—5. Zwei Exemplare aus Bolivien, San Antonio, Mapiri, 1000 m, 19. bis 22. II. 03. Mit meiner phaeopterus nahe verwandt, aber deutlich verschieden durch die Färbung und die beborsteten Hinterschenkel. Augen oben weniger flach als bei den vorhergehenden und mit ver- hältnismälsig kleineren Feldern; Rüssel gelb, Taster schwärzlich; Fühler von eigentümlicher Färbung, indem die Basalglieder fast schwarz und die End- glieder beinahe weils sind; drittes Fühlerglied kurz eiförmig, oben in der Mitte mit einem langen Haare und mit sehr langer feiner Endborste. [27] Beiträge zur Kenntnis der südamerikanischen Dipterenfauna. 319 Thoraxrücken glänzend, wenig gewölbt, bis vorn behaart, hinten und an den Seiten mit langen schwarzen Borsten, dunkelgelb, vorn breit schwarz, Pleuren hellgelb ungefleckt; Schildehen glänzend braunschwarz, am Rande mit langen Haaren und Borsten. Schüppchen gelb, hell bewimpert. Hinter- leib schwarz, nicht glänzend, ziemlich lang hell behaart, am Bauche und an den Seiten gelb. Beine samt den Hüften hellgelb; Vorderschienen deutlich verdickt, schwärzlich; Mittelschienen ganz gelb, aufser den zwei längeren Borsten wie bei den vorhergehenden, noch mit einigen anderen langen Borsten in der Spitzenhälfte; Hinterschenkel kaum verdickt, nur an der Wurzel gelb, unten mit einigen deutlichen Borsten; Hinterschienen ganz schwarz; Vordertarsen ganz, Hintertarsen an der Spitze geschwärzt. Flügel mit dunkeln Adern und breiter Randzelle; der dunkle Spitzenfleck liegt unter dem Randmale und erstreckt sich zuweilen bis über die vierte Längs- ader, ist aber unten sehr blafs. 18. Symeches fuscescens n. sp. 2. Nigro-fusceus, opacus, halteribus concoloribus, pedibus quatuor anterioribus obscure rufescentibus, duobus postieis omnino nigris, antennis luride fuseis, thoracis dorso parum eonvexo, tibiis intermediis setis longissimis nullis, femoribus postieis non incrassatis subtus setis parvis sed distinctis, metatarso postico paullo inerassato, alis diluto fuscis ad cos- tam et apicem versus paullo saturatius, macula stigmatica nigricante angusta elongata, nervis tertio et quarto parallelis Long. corp. mm 7 (cum terebra), alar. mm 6. Ein einziges, ziemlich schlecht erhaltenes und fett gewordenes Exemplar aus Bolivien, Sarampioni, Mapiri, 700 m, I. 03. Eine grolse Art, welche wegen der dunkeln Färbung und den schwarzen Hinterbeinen von den anderen verschieden ist. Augen ganz schwarzbraun, die oberen Felder nicht sehr grols; drittes Fühlerglied ziemlich abgerundet, mit sehr langer feiner Endborste und den gewöhnlichen Haaren oben in der Mitte; Küssel gelb, Taster lang und grofs, schwärzlichgrau, mit langen schwarzen Borsten. T'horaxrücken wenig gewölbt, kurz behaart, hinten und am Rande mit schwarzen Borsten; Pleuren 41* 320 M. Bezzi, [28] braunschwarz, glänzend, mit gelblichen Flecken an den Suturen; Schildchen braunschwarz, unten gelblich, mit vielen langen schwarzen Borsten am Rande. Hinterleib schwarz, etwas glänzend, ziemlich lang und hell be- haart; Bauch gelblich, mit längeren feinen Borsten an den Einschnitten; Legeröhre stumpf, lang, mit ganz verborgenen Lamellchen. Schüppchen schmutzig gelb, schwarzgerandet und dunkel bewimpert. Beine stark, mit nicht verdickten Hinterschenkeln, welche unten einige kurze schwarze Borsten zeigen; hintere Beine ganz schwarz, mit am Einde keulenförmig verdiekten Schienen und etwas verdickten Metatarsen; Vorderschenkel und Vorderschienen ziemlich stark, erstere aulsen und gegen die Spitze dunkel- gelb, letztere ganz schwärzlich; Mittelbeine zarter als die andern, ihre Schienen mit einigen aber nicht sehr langen Borsten, die Tarsen gelb, am Ende geschwärzt. Flügel deutlich angeraucht, am Vorderrande und gegen die Spitze intensiver, mit schwarzen Adern; Randzelle schmal; Axillarwinkel lang bewimpert. 5. Rhamphomvyia Meig. Diese Gattung scheint auch in Südamerika reich vertreten zu sein. Merkwürdigerweise hat Philippi nur eine Art beschrieben; dieses ist vielleicht der Tatsache zuzuschreiben, dafs er die Gebirge nicht besammelt hat, und wahrscheinlich sind die meisten Arten, wie bei uns, dort beschränkt. Keine der von mir im Jahre 1905 beschriebenen acht Arten findet sich in der Sammlung von Herrn Schnuse, welche dagegen mehr als 15 neue Formen enthält. Auch die südamerikanischen Rhamphomyia-Arten, wie diejenigen der andern Weltteile, zeigen eine Menge von eigentümlichen und an- sehnlichen Merkmalen, welche sehr oft mit einem starken Geschlechts- dimorphismus verbunden sind. Besondere Merkmale dieser neotropischen Formen sind die oft auftretende dunkle Flügelzeichnung und die blauen Metallfarben des Hinterleibes. - Unter den beschriebenen Arten sind einige natürliche Formenkreise zu erkennen, von welchen ich bei der Beschreibung der Arten sprechen werde. Hier gebe ich eine Bestimmungstabelle aller bis jetzt bekannten Arten, mit der Bemerkung, dals dieselbe sehr ungenügend ist, da zu viele Arten nur in einem einzigen Geschlechte bekannt sind. 1%) 8% SI Beiträge zur Kenntnis der südamerikanischen Dipterenfauna. 321 Flügel mit deutlicher schwärzlieher Zeichnung, d.h. mit einer Binde am Vorderrande oder an der Spitze, oder in der Mitte gebändert oder gefleckt 2. Flügel ohne deutliche Zeichnung, d. h. entweder ganz hyalin, oder wenn am Vorderrande oder an der Spitze dunkel getrübt, die innere Grenze der Verdunkelung nicht scharf begrenzt 3 Flügel auch in der Mitte mit dunkeln Binden oder Flecken 3. Flügel nur am. Vorderrande oder an der Spitze mit dunkler Binde 5. Vierte Längsader abgekürzt und mit einem schwarzen runden Fleck auf ihrem Ende; Beine 2 nicht gefiedert "umbilicata Loew. 2. Vierte Längsader vollständig und ohne schwarzen Fleck; Beine ? ge- fiedert 4. Flügel mit sehr breiter Vorderrandbinde und zwei breiten Mittelbinden über den Queradern; Hinterleib glänzend schwarz; nur die vier hinteren Beine gefiedert pietipennis n. sp. ?. Flügel ohne Vorderrandbinde, mit breit geschwärzter Spitze und einer Binde über der hinteren Querader; Hinterleib glänzend blau; alle Beine 2 z. T. gefiedert perpwulchra n. sp. ?. Rückenschild ockerbraun bis rotgelb 6. Rückenschild schwarz 7. Rückenschild und Hinterleib ockerbraun; Flügel nur an der Spitze mit bogenförmiger Binde *ferruginea F., Wied.? Rückenschild rotgelb, Hinterleib schwarz; Flügel mit vollständiger Vorderrandbinde von der Wurzel bis zur Spitze; Beine ? nicht gefiedert. dolichoptera n. sp. Q' ?. Rückenschild und Hinterleib glänzend schwarz 8. Rückenschild mit ziemlich diehtem weilgrauem Toomente bedeckt; Hinterleib mit bläulichem Glanze; Beine ? nicht gefiedert arcucincta n.sp. 2. Flügel mit vollständiger Vorderrandbinde; Hinterschenkel fast ganz schwarz nur an der Wurzel gelb; Beine ? ungefiedert limbipennis n.sp. Q' 2. Flügel nur an der Spitze mit bogenförmiger Binde; Hinterschenkel fast ganz gelb, nur an der Spitze schwarz apicalis n. sp. Q'. Thorax ganz, oder an den Seiten gelbrot 10. 322 11. 12. 18. 29: M. Bezzi, [30] Thorax ganz schwarz 13. Rückenschild mit schwarzen Längsstriemen; Flügel am Hinterrande gelblich "nigriventris Macgq. Q'. Rückenschild ohne Längsstriemen; Flügel am Vorderrande und an der Spitze deutlich und oft breit verdunkelt; Beine ? immer ungefiedert 11. Drittes Fühlerglied ziemlich kahl macerrima n.sp. O2. Drittes Fühlerglied deutlich behaart 12. Rückenschild ganz rotgelb; Hintertarsen silberweifs mit schwarzem Endgliede argyrotarsis n. Sp. 2. Rückenschild in der Mitte mehr oder weniger geschwärzt; Hintertarsen gleichmälsig schwärzlich grallatrix n. sp. J'?. Rückenschild mit silberglänzendem Tomente dicht bedeckt; Hinterleib immer metallisch blau 14. Rückenschild ohne silberglänzendes Toment 20. Mittlere Metatarsen sehr stark verdickt boliviana Bezzi J'. Mittlere Metatarsen einfach 15: Beine gelb; Schienen lang und dicht behaart villosipes Bezzi Q'. Beine schwarz; Schienen nicht besonders behaart 16. Flügel milchweils galictodes n. sp. Q'. Flügel graulich 14; Das silberglänzende Toment des Rückenschildes erstreckt sich auf die Pleuren, die Hüften und die Hinterleibswurzel *cyanogaster Wheel. et Mel. <'. Das Toment ist auf den Rücken beschränkt; Pleuren und Hüften schwarz 18. Schildehen mit acht Borsten am Rande; grölsere Art (3,5 mm) leucophenga Bezzi J'. Schildehen mit nur vier Borsten; kleinere Art (höchstens 2,5 mm) 19. Rüssel länger als Kopf und Brust zusammen; hintere Querader in der Mitte gekniet micrargyra n.sp. Q'. Rüssel höchstens von Kopflänge; hintere Querader ganz gerade argyrina n.sp. Q". Flügel mit einigen abnorm erweiterten Zellen 21. Flügel ohne erweiterte Zellen 22. 189) [&) [80 [ex Beiträge zur Kenntnis der südamerikanischen Dipterenfauna. 323 Nur die Discoidalzelle bis an den Flügelrand erweitert pulchriventris Bezzi ?. Diseoidal-, hintere Basal- und Analzellen bis an den Flügelrand er- weitert monstrosa n. sp. ?. Erstes Glied der Vordertarsen nicht deutlich verdickt 23. Erstes Glied der Vordertarsen deutlich verdickt *tephrodes Phil.?') Schwinger weils oder gelblich 24. Schwinger braun oder schwarz 26. Vorder- und Hintertarsen z. T. weils; Flügel weils mit abgekürzter, vierter Längsader | "umbilicata Loew. ? (ungulata Loew.). Tarsen nicht weiß; Flügel graulich mit vollständiger vierter Längs- ader 25. Flügel ohne Stigmaticalfleck; Thoraxstriemen und Hinterleib ins grün- liche ziehend *olteca Wheel. et Mel. <'. Flügel mit deutlichem Randfleck; Thorax und Hinterleib ganz schwarz- grau; Beine ? nicht gefiedert carenifera n. sp. O2. Beine gefiedert; Flügel kurz, abgerundet; Hinterleib etwas bläulich glänzend rotundipennis Bezzi ?. Beine nicht gefiedert; Flügel nicht besonders kurz 27. Hinterschienen mit besonderen ansehnlichen Anhängen; Hinterleib blau *furcifera Wheel. et Mel. 0' 2. Hinterschienen einfach 28. Mittelmetatarsen oben an der Spitze mit langem zahnartigen Fortsatze; Hinterleib mit geringem metallblauem Glanze tympanica n. sp. Q.. Mittelmetatarsen ohne solchen Fortsatz 29. Mittelschienen an der Spitze breit verdickt und lang behaart; Hinter- leib mit blaugrünem Glanze 30. Mittelschienen einfach 31. Mittelmetatarsen unten borstig abdominalis Bezzi O'. Mittelmetatarsen unten ohne Borsten penicillata n. sp. Q'. Drittes Fühlerglied ziemlich kurz; Hinterleib metallisch blaugrünlich pulchriventris Bezzi Q'. 1) Ganz wahrscheinlich gehört diese Art zu meiner neuen Gattung Atrichopleura, welche von Rhamphomyia dureh die nackten Metapleuren zu unterscheiden ist. 324 M. Bezzi, [32] — Drittes Fühlerglied stark verlängert; Hinterleib schwarz, unten und am Grunde gelblich 32. 32. Discoidalzelle vorn zugespitzt dolichocera Bezzi J'. — Discoidalzelle vorn stumpf orthoneura Bezzi Q'. 19. Rhamphomyia argyrotarsis n.sp. ? (Taf. Fig. 2). Graeilis, rufo-lutescens, nitida, capite pyriformi nigro, abdomine praeter basin nigro-caerulescente, antennis halteri- busque fuseis, pedibus elongatis luteis tibiis posticis nigris tarsisque posticis albis articulo ultimo nigro, metatarso postico compresso dilatato, alis valde elongatis basi cuneatis alula et lobo alari nullis, cellulae analis angulo supero minusacuto, einereo-hyalinis margine antico apiceque late infuscatis. ? terebra basi dilatata, inflata, apice acuta, lamellis terminalibus angustis, pedibus non pennatis. Long. corp. mm 4'/;, alar. mm 5%. Ein einziges Weibchen aus Bolivien, San Carlos, Mapiri, 800 bis 1200 m, 1. 03. Diese wunderschöne Art hat mit der folgenden die abweichende Form der Analzelle gemein; in der Gestalt des Kopfes erinnert sie an unsere Empis-Arten der Gruppe der stercorea L. Das dritte Fühlerglied ist ge- brochen; nach dem gesamten Habitus gehört die Art aber sicher in dieselbe Gruppe, wie die folgende. Kopf schwarz, glänzend, mit stark entwickeltem Hinterkopfe, welcher in der Mitte eine Querreihe von schwarzen Borsten trägt; Stirn ziemlich schmal, Augen rund, unter den Fühlern stark genähert; zwei starke schwarze Ocellenborsten; Rüssel länger als der Kopf, gelb, mit schwärzlicher Lippe; Taster klein, schwärzlich. Fühler schmutzig blafs, mit ziemlich verlängertem ersten Gliede; der vorhandene Teil des dritten Gliedes schwärzlich. Thorax ganz rotgelb glänzend, mit stark entwickeltem, vorn schwarzbeborstetem Halse; auf dem kahlen Rücken fünf Paare ziemlich langer schwarzer Dorso- centralborsten; auch die Seitenborsten sind ganz schwarz; Achrosticalborsten gänzlich fehlend; Metapleuren mit vier bis fünf schwarzen Borsten. Schildchen klein, nackt, mit vier schwarzen Randborsten, die seitlichen kürzer; Metanotum [33] Beiträge zur Kenntnis der südamerikanischen Dipterenfauna. 325 dunkel gelb, stark glänzend. Hinterleib ziemlich kahl, glänzend, an der Wurzel und am Bauche gelb, vom dritten Ringe an blauschwarz. Lege- röhre von ansehnlicher Form, schwarz, dunkel behaart, am Grunde sehr srols und aufgeblasen, am Ende zugespitzt, mit schmalen dunkeln Apical- lamellen. Beine sehr verlängert, besonders die hinteren, kurz behaart, nur die Hinterschienen mit längeren Borsten; die Hüften und die vier vorderen Beine sind ganz gelb, Schienen und Tarsen sehr verblasst und das letzte Tarsenglied etwas verdunkelt; Trochanteren unten mit schwarzen Fleckchen; Hinterschenkel gelb, allmählich verdickt. an der Spitze schwärzlich; Hinter- schienen auch allmählich verdickt, schwarz, vor dem Ende mit zwei hinter- einander stehenden aufrechten schwarzen Borsten; Hintertarsen weils, nur das letzte Glied tiefschwarz, kurz und dicht silberweils behaart; hinterer Metatarsus erweitert, von der Seite her zusammengedrückt, so lang wie die drei folgenden Ringe zusammen. Flügel sehr lang und ziemlich breit, an der Spitze abgerundet, am Grunde stark verschmälert und ohne Flügellappen; Vorderrand kurz, Hinterrand ziemlich lang bewimpert; dritte Längsader tiefer schwarz, gerade, etwas nach der Flügelspitze mündend, an der Ver- bindungsstelle mit der zweiten schwielenförmig verdiekt; Discoidalzelle sehr lang ©) nicht erreichend; die die Analzelle vorn schliefsende Querader steht mit der vorn stumpf, ziemlich breit; sechste Längsader blafs, den Flügelrand vorhergehenden nicht in derselben Linie, sondern ist zu dem Flügelhinter- rand steil gestellt. Verdunkelung des Vorderrandes und der Spitze ziemlich breit, aber innen ohne scharfe Grenzen; Randzelle an der Spitze breit, aber ohne deutlichen Randmalfleck. Anmerkung. Ich habe diese Art etwas ausführlicher beschrieben, weil sie mit den folgenden in einer natürlichen Gruppe steht, welche mit unseren Arten der Gruppe hybotina Zett. und sphenoptera Loew. viel Gemein- sames hat. Die von mir 1905 beschriebene dolichocera und orthoneura ge- hören vielleicht zu dieser Gruppe, zu welcher wahrscheinlich auch ferru- ginea F. gehört. Die Kennzeichen der Gruppe sind folgende: zarter Körperbau, sehr verlängerte Beine und drittes Fühlerglied und lange an der Basis keil- förmige Flügel, ohne Flügellappen. Die hierher gehörenden südamerikanischen Arten sind folgenderweise zu unterscheiden: Noya Acta XCI. Nr.3. 42 326 M. Bezzi, [34] a) Die die Analzelle vorn schliefsende Querader mit der vorhergehenden nicht in gleicher Linie, zu dem Flügelrande steil gestellt b) — Die Analquerader in gleicher Linie mit der vorhergehenden, dem Flügel- rande parallel c) b) Hintere Tarsen weils, mit verbreitertem Metatarsus argyrotarsıs n. Sp. — Hintere Tarsen schwarz, mit nicht verbreitertem Metatarsus grallatrix n. sp. ec) Drittes Fühlerglied ziemlich kahl; Flügel ohne Zeichnung Be) — Drittes Fühlerglied behaart; Flügel mit Zeichnung f) d) Rückenschild ganz schwarz; Genitalien J' klein e) — KRückenschild an den Seiten gelb; Genitalien oft grols macerrima n. Sp. e) Discoidalzelle vorn zugespitzt dolichocera Bezzi. — Discoidalzelle vorn stumpf orthoneura Bezzi. f) Flügel mit einer breiten Vorderrandsbinde und zwei breiten Binden auf der Mitte; Beine 2 gefiedert pictipennis n. SP. — Flügel ohne mittlere Binden 8) g) Thorax gelbrot, höchstens in der Mitte verdunkelt; Beine 2 gefiedert dolichoptera n. SP. — Thorax ganz schwarz h) h) Flügel mit Vorderrandsbinde; Hinterschenkel schwarz, mit gelber Wurzel limbipennis n. sp. — Flügel nur an der Spitze mit bogenförmiger Binde; Hinterschenkel gelb, mit schwarzer Spitze apicalis n. Sp. 20. Rhamphomyia grallatrix n.s.0'?. Gracilis, nigra, nitida, thoraecis lateribus rufescentibus, antennarum articulo tertio valde elongato et distincte piloso, pedibus luteis tarsis tibiisque posterioribus nigris, metatarso postico non dilatato, halteribus fuscis, alis elongatis basi cuneatis alula et lobo alari nullis, cinereo hyalinis fuscedine marginali et apicali quam in praecedenti minus lato, cellulae analis angulo supero minus acuto. J' oculis approximatis, thoracis dorso nigro, genitalibus maximis erectis nigro pilosis. [35] Beiträge zur Kenntnis der südamerikanischen Dipterenfauna. 327 ? oeulis remotiuseulis, thoraecis dorso rufescente, terebra magna inflata apice acuta lamellis terminalibus angustis elon- gatis, pedibus non pennatis. Long. corp. mm 3!,—4!/;, alar. mm 4!).. Einige Exemplare aus Bolivien, San Carlos, Mapiri, 700 m, 21. II. bis 30. III. 03. Kopf ganz wie bei der vorhergehenden, aber kürzer, birnförmig; Fühler ganz schwarz, drittes Glied außerordentlich verlängert, allmählich verdünnt, ziemlich lang behaart, an der Spitze mit kurzem spitzigen Griffel. Rückenschild oben beim Männchen dunkler als beim Weibchen gefärbt, von Gestalt und Beborstung ganz wie bei der vorhergehenden Art. Hinterleib ganz schwarz, zuweilen der Bauch an der Wurzel gelb, mit wenig deutlicher Metallfärbung; Genitalien 9' sehr groß, aufrecht, viel höher als der Hinter- leib, vorn oben mit zwei seitlichen spitzen Zähnen und einem unpaarigen vorstehendem Anhange; Legeröhre ganz wie bei argyrotarsıs. Beine wie bei derselben, die Hinterschenkel an der Spitze geschwärzt; Hinterschienen an der Spitze gleich mit einem kurzen rotgelben Borstenkamme. Flügel ganz wie bei argyrotarsıs, aber mit schmälerer Verdunkelung; beim Q' länger und schmäler als beim ®. 21. Rhamphonyia macerrima n. sp. O' 2. Graeilis, nigra, nitida, thoraeis lateribus abdominisque basi et ventre rufescentibus, antennarum articulo tertio valde elongato, vix piloso, pedibus pilosis luteis tarsis tantum nigris, metatarso postico non dilatato, halteribus fuscis, alis elongatis basi euneatis, cinereo hyalinis ad marginem anticum paullo infuscatis, cellulae analis angulo supero acutissimo. J' oceulis approximatis, thoracis dorso nigro, genitalibus magnis erectis nigropilosis. 2 oeulis remotiuseulis, thoracis dorso rufescente, terebra basi inflata lamellis terminalibus longissimis angustis, pedibus non pennatis. Long. corp. mm 3! —3!/, alar. mm 31. —4!).. Einige Exemplare aus Bolivien, Sarampioui, Mapiri, 700m, 16.—25. 11.03. 19* 328 M. Bezzi, [36] Eine der vorhergehenden ganz ähnliche Art, besonders wegen des nackten dritten Fühlergliedes verschieden. Kopf mehr gerundet; Fühler ganz schwarz, mit allmählich verdünntem, ganz kurz behaartem dritten Gliede. Grenitalien des Männchens wie bei der vorhergehenden, aber vorn oben ohne den unpaarigen vorspringenden mittleren Anhang. Beine mehr behaart, mit ganz gelben, nur an der Spitze geschwärzten Hinterschienen, welche hinten mehrere längere Borsten tragen und einen vorspringenden apicalen Borstenkamm besitzen. Flügel ganz wie bei den andern Arten, am Vorderrande nur wenig getrübt und mit ganz gewöhnlicher Analzelle. 22. Rhamphomyia dolichoptera n. sp. O'?. Gracilis, nigra, nitida, thoracis lateribus rufis, anten- narum articulo tertio valde elongato et distinete piloso, pedi- bus luteis tarsis tibiis posterioribus femoribus postieis praeter basin nigris, metatarso postico non dilatato supra setas 1—2 longas erectas gerente, halteribus luride albicantibus, alis elongatissimis basi ceuneatis, hyalinis ad marginem anticum et apicem vitta fusca ornatis, cellula anali forma solita. J' oeulis approximatis, thoracis disco nigro, genitalibus magnis erectis, vitta marginali alarum versus apicem tantum manifesta. ? oculis remotiusceulis, thoracis disco rufo, tibiis postieis retro breviter fusco pennatis, vitta fusca marginali alarum et basi incipiente terebra basi inflata lamelli apicalibus lon- gissimis. Long. corp. mm 3°?/ı—4';, alar. min. 4, —5t}. Einige Exemplare aus Bolivien, San Carlos, Mapiri, S00—1200 m, 6.—10.1. 03 und Sarampioni, Mapiri, 700 m, 16. III. 03. Eine durch äufserst lange Flügel und weifsliche Schwinger aus- gezeichnete Art, welche den vorhergehenden sehr nahe steht; die hier sehr langen Borsten auf den hinteren Metatarsen sind auch bei macerrima und grallatrix vorhanden, aber nicht so deutlich. Kopf etwas lang birnenförmig; drittes Fühlerglied wie bei grallatrix. Hinterschienen mit mehreren langen [37] Beiträge zur Kenntnis der südamerikanischen Dipterenfauna. 329 Borsten. Flügel außerordentlich lang, an der Wurzel sehr schmal. Männ- liche Genitalien etwa wie bei macerrima. 23. Rhamphomyia limbipennis n. sp. O2. Minus gracilis, omnino nigra, nitida, antennarum articulo tertio valde elongato et piloso, halteribus albidis, pedibus pallide luteis tarsis tibiis femoribusque posticis praeter basin nigris, metatarso postico non dilatato supra setam longam erectam gerente, abdomine distincte setoso, alis minus elongatis alula nulla lobo alaritamen paullo manifesto, cellula discoidali quam in praecedentibus breviore, omnino hyalinis margine antico toto apiceque anguste nigricante vittatis. J' oculis approximatis, genitalibus magnis erectis nigro- pilosis. ? oceulis remotiusceulis pedibus non pennatis, terebra basi inflata lamellis terminalibus longissimis. Long. corp. mm 3! —4, alar. mm 4—4!},. Viele Exemplare aus Peru, Puerto Bermudes, Pichisflus, 300 m, 8.—10. XI. 03, Unini, Ucayalifluls, 300 m, 20. X. 03 und Pachitea-Mündung, 150 m, 8. XI. 03; auch aus Bolivien, San Carlos und Sarampioni, Mapiri, 700—1200 m, 21. 1.—24. II. 03. Von den andern Arten durch etwas kürzere und stärkere Statur unterschieden, sowie durch den deutlich beborsteten Hinterleib und die etwas vortretenden Flügellappen. Kopf mehr abgerundet; Thoraxbeborstung länger, auch die Metapleuralborsten sind länger und zahlreicher. Hinterleib beim Männchen mit längeren Borsten an den Einschnitten; Bau der Genitalien ungefähr wie bei den andern Arten. Alle Hüften und Vorderschenkel bleichgelb; Schienen schwarz, nur die vorderen an der Wurzel gelb; Hinter- schienen hinten mit längeren Borsten. Flügel etwas kürzer als bei den andern Arten, mit deutlich hervortretenden aber sehr kleinen Flügellappen; Axillarwinkel daher deutlich vorhanden, aber sehr breit offen; die Vorder- randbinde schmäler und dunkler als bei den andern Arten, nur gegen die Spitze etwas verbreitert; Analzelle von gewöhnlicher Form. 330 M. Bezzi, [38] 24. Rhamphomyva apicalis n. sp. C.. Parva, minus graeilis, omnino nigra, nitida, antennarum articulo tertio valde elongato et piloso, pedibus pallide luteis tarsis femorumque posticorum apice extremo tibiisque posticis nigris, metatarso postico simpliei supra seta erecta praedito, alis elongatis basi cuneata, alula et lobo alari omnino nullis einereo-hyalinis area apicali fusco ornatis. Q' oculis minus approximatis, genitalibus magnis erectis nigropilosis. Long. corp. mm 2'/, alar. mm 3. Ein einziges Exemplar aus Peru, Puerto Yessup, Pichisfluls, 300 m, XI. 03. Eine kleine Art, mit der vorigen nahe verwandt, aber mit längerem drittem Fühlergliede, helleren Beinen, minder beborstetem Hinterleibe, keil- förmigen nur an der Spitze gebänderten Flügeln. Hinterschienen hinten mit einigen längeren Borsten, und an der Spitze mit zahnförmig vortretendem Borstenkamme. Die Schwinger sind gebrochen, scheinen aber bleich zu sein. Metapleuralborsten lang, nur 2—3, ziemlich hell gefärbt. 25. Rhamphomyia pretipennis n. sp. 2. Minus graeilis, nigra, nitida, thorace tamen toto rufo, antennarum articulo tertio elongato distincte piloso, pedibus luteis tarsis omnibus femoribus tibiisque postieis nigricantibus, metatarso postico simplici supra unisetoso, alis minus elongatis alula nulla lobo alari tamen paullulo distincto, nervo tertio longitudinali in medio supraincurvo, hyalinis, basi limbo antico late vittisque duobus latis intermediis fuseis. ? oculis remotiusculis, terebra basi angusta non inflata lamellisterminalibuslongis, femoribusintermediistibiis femori- busque posticis utrinque longe fusco pennatis. Long. corp. mm 4, alar. mm 4. Ein einziges Weibchen aus Bolivien, San Carlos, Mapiri, 800—1200 m, 8. 1. 03. [39] Beiträge zur Kenntnis der südamerikanischen Dipterenfauna. 331 Eine prächtige Art, mit ziemlich kurzen breit gebänderten Flügeln und breit gefiederten Hinterbeinen. Kopf ziemlich abgerundet; drittes Fühler- glied ziemlich lang behaart. Schwinger schmutzig gelb, etwas verdunkelt. Hinterleib ganz und gar glänzend schwarz, ziemlich kahl, mit schmaler Legeröhre. Die Befiederung der hinteren Beine ist sehr breit; Hinterschienen breit, aufsen gerinnelt, hinten mit drei langen feinen Borsten hintereinander. Sehr eigentümlich ist die Einbuchtung der dritten Flügellängsader, welche ganz unter dem Stisma liegt und nach oben gerichtet ist. Die breite Flügelrandbinde ist unten bis zur dritten Längsader ausgedehnt und geht in der Nähe der Spitze über dieselbe sogar hinaus; an der Wurzel ist nur die Spitze der zweiten Basalzelle hyalin; die erste Flügelbinde ist kurz, über der kleinen Querader liegend, und kaum über die sechste Längsader reichend; die zweite liegt über der hinteren Querader und geht bis zum Hinterrande. Discoidalzelle lang, dreieckig, vorn ganz stumpf; Analzelle wie gewöhnlich. Anmerkung. Herr Schnuse hat aus derselben Lokalität das Männchen einer Ahamphomnia-Art mitgebracht, welche zu dieser Gruppe gehört; sie zeichnet sich durch ganz glashelle Flügel und verschieden langbehaarte Genitalien aus. Leider fehlt dem einzigen Exemplar der Kopf. 26. Rhamphomyia arcucincta n.sp. ?. Nigra, thoraeis dorso einereo-micante, abdomine obscure caerulescente nitido, halteribus albidis, antennarum articulo tertio paullo elongato, metapleuris albopilosis, pedibus nigri- cantibus femorum basiobscurelutescente, alisbrevibushyalinis, macula stigmatica et area apicali fuscis, angulo axillari valde aperto, cellula discoidali magna nervos duos primos praeter basin decolores emittente. ? oeulis remotiusculis, terebra basi non inflata, pedibus non pennatis. Long. corp. mm 3!/, alar. mm 3. Drei Weibehen aus Bolivien, Sarampioni, Mapiri, 700 m, 11. bis 31. III. 03. 332 M. Bezzi, [40] Diese Art scheint eine Verbindung darzustellen zwischen der vorher- gehenden und der folgenden Gruppe, das unbekannte Männchen hat ganz wahrscheinlich einen silberglänzenden Thoraxrücken. Kopf abgerundet; drittes Fühlerglied doppelt so lang als die zwei ersten Glieder zusammen. Riückenschild, aufser den Dorsozentral- und den Seitenborsten ganz nackt; Schildchen ohne Borsten am Rande (vielleicht nur abgebrochen). Hinterleib kurz, hell behaart. Beine schwarz, etwas gelb durchscheinend, weil die Exemplare unreif sind; sie sind ganz kurz behaart und einfach. Flügel viel kürzer als bei der vorhergehenden Gruppe, am Rande kürzer gewimpert und nicht keilförmig; die Flügellappen deutlich, aber sehr kurz, der Axillarwinkel daher sehr stumpf; dritte Längsader ganz serade an der Flügelspitze mündend; Randmalfleck schmal und lang, dunkel- braun, sehr deutlich; Apikalbogen sehr kurz, zwischen den Enden an zweiter und dritter Längsader gelegen; Analzelle von gewöhnlicher Gestalt; sechste Längsader abgekürzt, die zwei vorderen aus der Discoidalzelle entspringenden Adern ganz blals. 27. Rhamphomyia galactodes n. sp. Q'. Nigra thoracis dorso cano-micante, abdomine violaceo nitente, halteribus pedibusque nigricantibus, setis metapleu- ralibus nigris, alis lacteis macula stigmatica nulla, nervis pallidis costa nigra pone nervi primi finem distineteincrassata, cellula discoidali mediocri in medio alae, lobo alari magno angulo axillari recto. J' oeulis approximatis, genitalibus parvis celausis nigro- fusecis. Long. corp. mm 3'!/, alar. mm 3').. Ein einziges Männchen aus Bolivien, Kordillere, 4000—5000 m, 24. XII. 02. Kopf rund, ziemlich lang, schwarz beborstet; Rüssel von Kopflänge, gelb; Fühler ganz schwarz, drittes Glied ziemlich kurz, mit langem End- griffel. Thorax schwarz, auf dem Rücken mit diehtem weilsgrauem Tomente bedeckt; aufser den langen schwarzen Dorsozentral- und Seitenborsten ganz [+1] Beiträge zur Kenntnis der südamerikanischen Dipterenfauna. 338 nackt; Schildehen weilsgrau, mit vier sehr langen Borsten am Rande. Hinterleib flach, stark metallisch, ziemlich lang, dunkel behaart; Bauch sehwarzgrau; Genitalien unten etwas vortretend. Beine ganz schwarz, kurz behaart und mit längeren Borsten; Hinterschienen keulenförmig verdickt, hinterer Metatarsus etwas verdickt und beborstet. Flügel milchweils, bei dieser Gattung von gewöhnlicher Gestalt; Discoidalzelle ganz stumpf, gegen die Flügelmitte einmündend; sechste Längsader sehr abgekürzt; dritte Längsader gerade, an der Flügelspitze mündend. Anmerkung. Mit dieser Art beginnt ein natürlicher Formenkreis, welcher durch den silberweils bestäubten 'Thoraxrücken und den blauen Hinterleib ausgezeichnet ist. Aufser der durch weilse Schwinger und bleiche Metapleuralborsten ausgezeichneten arcucincta, gehören zu derselben noch die von Wheeler und Melander beschriebenen cyanogaster und die von mir in 1905 erwähnten boliviana, villosipes und leucophenga, welche alle schwarze Schwinger und schwarze Metapleuralborsten besitzen. Hier sind aus dieser Gruppe die neuen Arten galactodes, micrargyra und argyrina beschrieben. 28. Rhamphomyia micragyra n. sp. Q'. Parva, nigra, thoracis dorso argenteo micante, abdomine violaceo nitente, pedibus halteribusque nigricantibus, anten- narum articulo tertio brevi, haustello eapito thoraceque simul sumptis longiore, alis einereo-hyalinis, macula stigmatica nulla, nervis fusconigris, cellula discoidali mediocri in medio alae, nervo transverso postico in medio flexo interdum iutus breviter appendiculato. Jg oeulis valde approximatis, genitalibus parvis inferne prominentibus. Long. corp. mm 2—2!;,, alar. mm 21h—3. Vier Exemplare aus Peru, Tarma, 3000 m, 29. I. 04. Eine kleine schöne Art, welche durch den aulserordentlich langen Rüssel und die Gestalt der hinteren Querader sehr ausgezeichnet ist. Kopf rund; der sehr lange Rüssel schwärzlich; Fühler ganz schwarz, mit kurzem drittem Gliede. Rückenschild an den Seiten tiefschwarz, mit schwarzen Noya Acta XCI. Nr. 3. 43 334 M. Bezzi, [42] Metapleuralborsten. Beine ganz schwärzlich; die Hinterschienen und hinteren Metatarsen mit ziemlich langen Haaren. Flügellappen hervortretend, Axillar- winkel rechtwinklig; die Randader ist bei der Mündung der ersten Längs- ader etwas verdickt; die Querader, welche die Discoidalzelle aufsen begrenzt, ist in der Mitte nach innen stark gebogen, fast gekniekt, und trägt zuweilen an der Knickungsstelle innen einen kurzen Anhang: die zwei vorderen aus der Discoidalzelle entspringenden Adern sehr blals; sechste Längsader abgekürzt. 29. Rhamphomyia argyrına n. sp. cQ. Praecedenti simillima at distineta genieulis lutescentibus, haustello capitis tantum longitudinem aequante, macula stig- matica fusca distineta, et nervo transverso cellulam discoi- dalem extus limitante omnino recto. Long. corp. mm 2—-2'!), alar. mm. 21, —2!). Ein Exemplar aus Bolivien, Sarampioni, Mapiri, 700 m, 7. III. 03, und ein anderes aus Peru, mit micrargyra an demselben Orte und zu gleicher Zeit gefangen. Eine der vorhergehenden äufserst ähnliche Art, durch die gelblichen Knien, den kurzen Rüssel und die nicht gebogene hintere Querader sicher verschieden. Die Discoidalzelle ist kleiner und vorn ganz stumpf; Rand- malfleck schmal verlängert aber deutlich. Anmerkung. Aus Bolivien, Lorenzopata, Mapiri, 2000--2500 m, 26. IV. 03, hat Herr Schnuse ein unausgefärbtes Männchen mitgebracht, welches vielleicht zu dieser Art gehört, es ist aber gröfser, und zeigt ein scheinbar verschiedenes Hypopygium. 30. Rhamphomyia perpulchra n. sp. Q'?. Nigra nitida, abdomine violaceo, autennis brevibus pedibusque luteis tarsis anticis femorum posticorumtibiarumque anticarum et posticarum artieulis singulis basi luteis halteribus nigris, brevibus cinereo-hyalinis, macula stigmatica elongata distineta, apice vittaque ad nervum transversum posticum fuseis, cellula diseoidali magna apice recta. [43] Beiträge zur Kenntnis der südamerikanischen Dipterenfauna. 335 O' oeulis connexis, tibiis intermediis inflatis clavae- formibus quam femoribus suis valde brevioribus, genitalibus perparvis vix prominentibus. ? oculis remotiuseulis, tarsis anticis extus, femoribus mediis et posticis supra tibiisque posticis retro late .nigro- pennatis, cellula discoidali quam in mare latiori angulo infero fere usque ad alarum marginem producta. Long. corp. mm 4!h, alar. mm 4. Ein Pärchen aus Bolivien, Lorenzopata, Mapiri, 2000-2500 m, eVE03% Eine prachtvolle Art, welche im Habitus und Färbung etwas an die Lamprempis-Arten erinnert; eine ziemliche Verwandtschaft scheint mit meiner pulchriventris vorhanden zu sein. Kopf abgerundet, hinten ziemlich lang schwarz beborstet; Rüssel länger als der Kopf, gelb, mit schwärzlichen Lippen; Taster schwarz, be- borstet; Fühler kurz, ganz gelb, nur in der Mitte etwas verdunkelt, drittes Glied ganz kurz, kegelförmig, mit ziemlich diekem und kurzem schwärz- lichem Griffel. Rückenschild gewölbt, auf dem Rücken kaum etwas grau bereift, aulser den langen schwarzen gewöhnlichen Borsten ganz nackt; Metapleuralborsten lang, schwarz. Schildchen mit vier Randborsten, die mittleren länger und gekreuzt. Schüppchen schwärzlich; Schwinger grols, tiefschwarz. Hinterleib schön blau glänzend; Bauch schwarz, am Grunde gelblich; Genitalien klein, schwarz, Behaarung sparsam, dunkel, nur am Grunde vorhanden; Hinterleib des Weibchens gebrochen. Beine samt den Hüften von glänzend gelber Färbung, Spitze der Hinterschenkel (zuweilen auch der vorderen), Spitze der Vorder- und Hinterschienen, und die ganzen Vordertarsen schwarz; Behaarung der Beine ziemlich kurz, mit einzelnen längeren Borsten; nur die sehr auffallend verdiekten und kurzen Mittel- schienen länger behaart; Befiederung der Hinterschienen sehr lang. Flügel- zeichnung nicht sehr dunkel aber deutlich, auch die Queradern an der Spitze der Anal- und zweiten Basalzelle aufsen dunkel gesäumt, dritte Längsader etwas gebogen, an der Flügelspitze selbst mündend; Discoidalzelle breit, am Ende ganz gerade; sechste Längsader abgekürzt; Flügellappen stark 43* 336 M. Bezzi, [44] vortretend, Flügelrand nur sehr kurz gewimpert; Analzelle von gewöhnlicher Form. Flügel verhältnismäfsig kurz; Axillarwinkel ziemlich spitz. Anmerkung. Diese Art, nebst den zwei hier folgenden neuen Arten, und mit furcifera Wheel. et Mel., pulchriventris und abdominalis Bezzi, gehört zu einer neotropischen Gruppe, welche durch die metallische blaue Färbung des Hinterleibes ausgezeichnet ist; die meisten bekannten Weibchen zeigen erweiterte Discoidalzellen und gefiederte Beine, und die Männchen besitzen ganz ausgezeichnete Mittel- oder Hinterbeine und kleine Genitalien. 31. Rhamphomyra penicillata n. sp. Q'. Nigra, parum nitida, abdomine cyanescente, antennis pedibusquenigris, tibiis basi anguste femoribusque postiecis basi late luteis, metatarso intermedio subtus non setigero, halteribus nigrieantibus, alis elongatis einereo-hyalinis praeter maculam stigmaticam elongatam fuscam immaculatis, cellula discoidali parva in medio alae. go crassatis pilisque fuscis longis penieillatis, genitalibus parvis, oculis connexis, tibiis intermediis incurvis apice in- peni erasso lutescenti supra prominulo. Long. corp. mm 3!),, alar. mm 4!. Ein einziges Männchen aus Bolivien, Kordillere, 4000 — 5000 m, 24. XII. 02. Eine mit meiner abdominalis verwandte Art, aber durch die an der Wurzel breit gelben Hinterschenkel und die unten nicht beborsteten Mittelmetatarsen sicher verschieden. Rüssel etwas länger als der Kopf, mit schwarzen Lippen; Taster schwarz, groß, ziemlich nackt; Fühler kurz, drittes Glied mit diekem End- griffel. Thorax etwas grau bereift, so dafs nicht sehr deutliche schwarz- glänzende Längsstriemen erscheinen, die seitlichen mit den Dorsozentral- borsten; Schildchen vierborstig; Pleuren grau, mit dunkeln, an der Spitze helleren feinen Metapleuralborsten. Hinterleib mit heller Behaarung und dunkeln Borsten, Bauch und Genitalien schwarz. Beine ziemlich lang behaart; Mittelschienen so lang als die Schenkel, in der Mitte nach aufsen sebogen, an der Spitze plötzlich und stark verdickt, und dort mit langen [45] Beiträge zur Kenntnis der südamerikanischen Dipterenfauna. 337 rauhen Haaren pinselförmig behaart; die Tarsen oben mit vielen langen Haarborsten. Flügel ziemlich lang und schmal mit kleiner Discoidalzelle und gelblichen Adern; Axillarwinkel recht. 32. Rhamphomyra tympanica n. sp. Q'. Nigra, parum nitida, abdomine obscure cyanescente, antennis halteribusque nigris, pedibus pallide luteis tibiis tarsis femorumque posticorum apice infuscatis, alis immaecu- latis paullo fuscis, macula stigmatica elongata fusciori, cellula diseoidali parva ante alae medium terminata. I’ oeulis connexis, pedibus postieis dense villosis, meta- tarso intermedio supra ad apicem in dentem longum apice setigerum producto, genitalibus parvis, peni tamen libero longissimo arcuato nigro, membranam albidam opacam gerente. Long. corp. mm 3—-3!/, alar. mm 3!/,—3!h. Zwei Exemplare aus Bolivien, Sarampioni, Mapiri, 700 m, 16.—31. III. 03. Eine sehr ausgezeichnete Art, mit ganz eigentümlichen Genitalien. Kopf rund; Rüssel von Kopflänge; drittes Fühlerglied schmal, in einen ziemlich dünnen Griffel allmählich verdünnt. Rückenschild schwarz- grau, ohne deutliche Striemen, der breite Eindruck vor dem Schildehen ziemlich dieht hellgrau bereift; Borsten lang und stark; Pleuren schwärz- lich, Metapleuralborsten schwarz und stark. Schildchen vierborstig. Hinter- leib mit dunkler Behaarung. Genitalien nicht eigentlich grols, aber wegen der langen schwarzen Fäden sehr grofs erscheinend; Faden nur an der Spitze frei, schön rundlich gebogen, mit einer weilsen Membran, welche den ganzen Raum zwischen Faden und Hypopygium ausfüllt. Beine ziemlich dicht behaart, besonders die hinteren; Hinterschienen und Hintertarsen mit besonders langen Haaren; Zahn am Ende der Mittelmetatarsen so lang wie das vorletzte Tarsenglied, am Ende mit einer langen Borste; die Mitteltarsen sind heller gefärbt als die übrigen Taarsen. Flügel mit dunkeln Adern und auffallend kleiner Discoidalzelle, Flügellappen stark vortretend, Axillarwinkel recht; Flügelvorderrand an der Wurzel ziemlich lang und weitläufig be- wimpert; dritte Flügellängsader gerade, etwas vor der Flügelspitze mündend. 338 M. Bezzi, [46] 33. Rhamphomyia carenifera n.sp. Q'?. Nigro-cinerascens, nitidula antennis nigris, pedibus fuscis, halteribus albis, haustello erasso capite paullo breviore, alis elongatis hyalinis immaculatis, macula stigmatica elongata fusca, cellula discoidali parva. go" genitalibus magnis compressis subtus carinatis. [0) 2 oculis late remotis, metatarso antico simpliei, femoribus oculis connexis, metatarso antico paullo inerassato, postieis extus breviter dense villosis. Long. corp. mm 31), alar. mm 4!}.. Ein Pärchen aus Chile, Corral an der Seeküste, 7. IX. 02. Eine etwas isoliert stehende Art, deren männliche Genitalien an Pachymeria erinnern; das verdickte erste Vordertarsenglied beim Männchen hat die Art mit tephrodes Phil. gemein. Kopf rund, hinten schwarz beborstet; Stirn des Weibchens grau, sehr viel breiter als bei den vorhergehenden Arten, vorn an den Seiten mit einigen kurzen Borsten; drittes Fühlerglied ziemlich lang kegelförmig, mit kurzem Enderiffel. "Thorax auf dem Rücken schwarz, ziemlich glänzend, hinten und an den Seiten dunkelgrau bereift, ohne deutliche Striemen; Metapleuralborsten schwarz; Schildehen mit sechs Randborsten, die mittleren etwas länger und gekreuzt. Hinterleib schwarzgrau, nicht glänzend, beim Männchen ziemlich lang, hell behaart. Männliche Genitalien so lang wie der Hinterleib, von der Seite stark zusammengedrückt, unten hervorragend; Legeröhre am Grunde nicht aufgeblasen, Endlamellchen ziemlich lang. Beine einfach, dunkelgefärbt, etwas gelb durchscheinend; Behaarung der Hinterschenkel kurz und dicht, aber nicht schuppenförmig. Flügel hyalin, beim Weibchen auf der Wurzelhälfte etwas grau getrübt; Flügelrand sehr kurz bewimpert; dritte Längsader gerade, etwas vor der Flügelspitze mündend; Flügellappen stark vortretend, Axillarwinkel recht; Discoidalzelle kurz, aber oben vorn verlängert. Anmerkung. Ein aus Chile, Concepeion, 10. IX. 02 stammendes Weibchen scheint mit dieser Art nahe verwandt zu sein und zeigt eine sehr breite Stirn; die Beine sind aber tief schwarz und die Hinterschenkel nicht dicht behaart. [47] Beiträge zur Kenntnis der südamerikanischen Dipterenfauna. 339 34. Rhamphomyia monstrosa n. sp.) 2 (Taf. Fig. 3). Nigra, nitidula, haustello valde elongato, pedibus halteri- busque fuseis, antennis nigris brevibus stylo brevissimo, setis metapleuralibus brevibus nigris, alis elongatis hyalinis im- maculatis, macula stigmatica nulla, lobo alari vix distincto. ? oeulis remotiusculis, terebra anguste elongata tibiis postieis intus brevissime ciliato-pennatis, cellulis discoidali, basali seeunda et anali usque ad marginem posticum alae dila- tatis, nervo transverso postico eximie intus angulatim flexo. angulo ipso intus appendiculato. Long. corp. mm 2!/,, alar. mm 3Y.. Ein einziges nicht gut erhaltenes Exemplar aus Peru, T’arma. 3000 m, 19. I. 04. Das Tierchen ist ziemlich kahl, ohne Borsten, diese sind aber vielleicht ausgefallen. Kopf rund; Rüssel bedeutend länger als Kopf und Brust zusammen, schwarz. Rückenschild glänzend schwarz, ohne Zeichnung. Beine etwas gelblich durchscheinend, die Hinterschienen verbreitert, innen sehr kurz bewimpert. Flügel schmal und lang, mit dunkleren Adern, um die zwei vorderen aus der Discoidalzelle entspringenden Adern ganz blals; Flügelrand äufserst kurz bewimpert; dritte Längsader gerade, an der Spitze mündend; Flügellappen kaum entwickelt, Axillarwinkel breit stumpf, Flügel aber an der Basis nicht keilförmie. Anmerkung. Aus Bolivien, Sarampioni, Mapiri, 700 m, 13. III. 03 in der Sammlung ein Weibchen mit horizontal vorstehendem Rüssel (viel- leicht nur zufällig), welches mit unserer europäischen umbripennis Meig. sehr nahe verwandt ist. 1) Es sei hier erinnert, dafs auch beim Weibchen der aus Sibirien stammenden Rh. diversipenmis Becker, Act. Soc. Sei. Fenn., XXVI. 19. 18. t. 1£f. 14—17 (1900), die zweite Basalzelle abnorm erweitert ist. 340 M. Bezzi, [48] 6. Lamprempis Wheel. et Mel. Ich nehme hier diese für die neotropische Fauna eigentümliche Gattung in dem Sinne wie ich sie 1905 begrenzt habe. Die bekannten Arten lassen sich in folgender Weise auseinander halten. 1. Flügel stark verdunkelt, beinahe schwarz; (Fühler schwarz, mit be- wimperten Wurzelgliedern und weilslichem Endgriffel; Pleuren schwarz ; Beine schwarz mit gelben Vorderschenkeln und breiten gelben Ringen vor der Spitze der Hinterschenkel; vorderer Metatarsus verdickt) "superba Loew Q'. — Flügel hyalin oder gelblich 2. 2. Flügel mit deutlicher schwärzlicher Zeichnung 3. — Flügel ganz ohne Zeichnung 5. 3. Flügel mit schwärzlicher Wurzel und Vorderrandbinde; eine über- zählige Querader gegen die Mitte der ersten Hinterrandzelle; (Basal- glieder der Fühler gelblich, drittes Fühlerglied schwarz eiförmig mit gleichlangem Griffel; Pleuren schwarz; Beine gelb und schwarz, srölstenteils gefiedert; vierte und fünfte Längsader gegen die Spitze hin verschwindend "violacea Loew J'. — Nur die Queradern dunkel gesäumt; keine überzählige Querader vor- handen 4. 4. Drittes Fühlerglied linear, verlängert mit sehr kurzem Griffel; Beine gelb, gröfstenteils gefiedert: Hinterschenkel in der Mitte mit besonderen Anhängen; Körper metallisch gefärbt tuberifera Bezzi O' ?. — Drittes Fühlerglied kurz, nicht linear; Rückenschild mit vier samt- schwarzen Längsstriemen; Hinterschenkel einfach ; Körper vorherrschend schwarz gefärbt "Columbi Schin. 2. 5. Beine ganz gelb, wenigstens die Schenkel 6. — Schenkel oder Schienen zum Teil schwarz gefärbt; Fühler immer schwarz 10. 6. Hüften gelb de — Hüften schwarz 8. 7. Schildchen mit vielen (10) Randborsten; (Fühler an der Wurzel gelb, [49] Beiträge zur Kenntnis der südamerikanischen Dipterenfauna. 341 mit lanzenförmigem drittem Gliede und kurzem Griffel; vordere Meta- tarsen verdickt; Weibchen mit gefiederten Hinterschienen und Hinter- schenkeln) *setigera Coquill. I 2. Schildchen mit zwei Borsten; (Pleuren schwarz; Fühler gelb) "viridis Coquill. I". Beine einfach, nicht gefiedert; (Fühler schwarz, mit linearem dritten Gliede und sehr kurzem Griffel; Rückenschild ungestriemt) gemmea Bezzi 9" Beine gefiedert 9) Fühler schwarz; (drittes Fühlerglied linear, lang mit kurzem Griffel; vordere aus der Discoidalzelle entspringende Ader nach oben gebogen; Rückenschild etwas gestriemt) *diaphorina O©.S8. 2. Fühler gelb; (drittes Fühlerglied kurz, mit subapicalem Griffel; vordere aus der Discoidalzelle entspringende Ader nach oben gebogen) "“dolichopodina Schin.') 2. Beine einfach il, Beine gefiedert oder gewimpert 13. Hintere Metatarsen unten mit einem starken Zahn oder ausgerandet; Flügel gelblich 12. Hintere Metatarsen ganz einfach; Flügel wasserklar suavis Loew. ?. Hintere Schenkel und Schienen ohne besondere Anhänge; Hintermeta- tarsus unten ausgerandet und an der Wurzel mit einem Haarschopfe *benigna ©. 8. d". Hintere Schenkel und Schienen mit besonderen Anhängen; Hintermeta- tarsus unten stark gezähnt *chichimeca Wheel. et Mel. Q'. Drittes Fühlerglied eiförmig mit ebenso langem Griffel "cyanea Bell. 2. Drittes Fühlerglied linear, verlängert, mit viel kürzerem Griffel 14. Tarsen weils, an den vier vorderen Metatarsen und allen Endgliedern schwarz calopoda Bezzi O' 2. — Tarsen ganz gelb oder braun 15. 1) Über diese Art bin ich im Zweifel, da bei ihr die charakteristische Metallfärbung der echten Lamprempis fehlt; sie scheint mit meiner Empis lueidilabris nahe verwandt zu sein; Schiner sagt aber ausdrücklich, dafs der Rückenschild ganz kahl ist. Noya Acta XCI. Nr.3. 44 342 M. Bezzi, [50] 15. Vordermetatarsus kaum verdickt; Beine schwarz "benigna O.S8. 2. — Vordermetatarsus deutlich verdickt; die vier vorderen Schienen gelb "chichimeca Wheel. et Mel. 2. 35. Lamprempis gemmea Bezzi, Ann. Mus. nat. Hungar., III. 438. 16. (1905). Ein einziges Weibchen aus Bolivien, San Carlos, Mapiri, 700—1200 m, 8.1.03: das typische Stück stammt gleichfalls aus Bolivien. Das noch nicht beschriebene Weibchen stimmt mit dem Männchen ziemlich gut. Augen unter den Fühlern getrennt; Färbung mehr in das blaue ziehend; Rückenschild und Schildchen ganz kahl (weil minder gut erhalten); Beine, besonders die hinteren, etwas mehr behaart. Hinterleib abgeflacht, sehr breit und äulfserst stark glänzend; Legeröhre ganz kurz, nur unten vorstehend, mit ziemlich langen schwarzen Apikallamellen. 36. Lamprempis suavis Loew, Berl. entom. Zeitschr., XII. 33. 56. [Empis] (1869); Wheel. et Mel., Biol. Centr. amer., I. 368. 6. [Empis] (1901); Mel., Trans. amer. entom. Soc, XXVIII. 280. (1902); Aldrich, Cat. N. A. Dipt., 327. (1905). Eimige Weibchen aus Bolivien, San Carlos, Mapiri, 800 m, 1.03, Sarampioni. Mapiri, 700 m, III. 03 und S. Ernesto, Mapiri, 800 m, III. 03. Stimmt ganz gut mit der Beschreibung, und ist im ganzen Habitus von der vorhergehenden nicht sehr verschieden. Leider sagt Loew. gar nichts von der eigentümlichen Form der Fühler, welche von denen der typischen Lamprempis-Arten meist verschieden sind: die ersten Glieder sind nicht bewimpert, das dritte ist kurz und ziemlich breit eiförmig, mit etwas präapikalem Griffel. Nach Melander sind die Fühler bei cyanea Bell. ähnlich gebaut. . Empis L. Die vielen südamerikanischen Arten dieser Gattung lassen sich folgenderweise unterscheiden: leider gehören einige derselben wahrscheinlich zu andern Gattungen. [51] 1%) Beiträge zur Kenntnis der südamerikanischen Dipterenfauna. 343 Arten von vorherrschend gelber Färbung, d. h. Rückenschild und Hinter- leib mindestens an den Seiten gelb; Beine immer gelb') 2. Schwarze Arten, höchstens mit ganz beschränkten gelben Teilen; Beine öfters schwarz, wenigstens zum Teile?) ® Thorax und Hinterleib oben gleichmäßig grau, an den Seiten und unten gelb. Flügel mit schwärzlicher Wurzel und Randzelle; grofse Art “cotoxanthus Blanch. Thorax und Hinterleib ganz oder vorherrschend gelb oder rot 3. Randmalfleck grols, rundlich,; Spitzenquerader ganz steil; Rückenschild glänzend rubida Wheel. et Mel. Randmalfleck klein, verlängert, oft wenig deutlich; Spitzenquerader schief; Rückenschild nicht glänzend A. Rückenschild nicht deutlich gestriemt; Flügel am Vorderrande gelblich 5. Rückenschild mit vier dunkleren Längsstriemen; Flügel hyalin; Beine immer ungefiedert 6. Rückenschild in der Mitte etwas verdunkelt; Beine nicht gefiedert Walkeri nom. noY.’) Rückenschild in der Mitte gelb, hinten weifslich bereift; Beine ? ge- fiedert induta n. Sp. Fühler mit schwarzer Spitze; Flügel ganz hyalin "micans Schin. Fühler ganz gelb; Flügel am Vorderrande etwas verdunkelt N. Stirn mit schwärzlicher Mittelstrieme; ein grünes Fleckehen unter den Fühlern "quadrivittata F. Lynch. Stirn in der Mitte ungestriemt 8. Hinterschenkel ohne schwarze Borsten *"varians Big. Hinterschenkel mit schwarzen Borsten "villosula Big. Flügel deutlich gefleckt; Spitzenquerader immer steil 10. Flügel nicht deutlich gefleckt 12. 1) Es ist recht bemerklich, dafs keine dieser Arten in den Verwandtschaftskreis unserer stercorea gehört. 2) E.poecila Phil., mit rotem Thoraxrücken, ist in dieser Abteilung zu finden; auch E. thermophila Wied. ist z. T. gelb gefärbt. 3) Ich wähle diesen Namen für Empis fulwa Walker 1837 nee Macquart 1823. 44* 344 18. 19: Art M. Bezzi, [52] Vierte Längsader abgekürzt und gegen die Spitze unten mit einem überzähligen Aste "spiloptera Wied. (= picta Loew.) Vierte Längsader einfach und vollständig bil, Rückenschild mit wenig deutlichen Längsstriemen; Fühler schwarz; Flügelzeichnung minder deutlich; nur ein wenig verdunkelter Wisch über den Queradern; Hinterschenkel dick pachymerina Schin. Rückenschild mit samtschwarzen Längsstriemen; Fühler an der Wurzel gelb; Flügelzeichnung intensiver; Hinterschenkel nicht dick lucidilabris Bezzi.') Flügel schwärzlich, oder wenigstens sehr dunkel getrübt?) 13. Flügel wasserklar, graulich oder kaum angeraucht 24. Sehr grofse (12—14mm) Art, mit rotem 'IT'horax und blauem Hinter- leibe poecıla Phil. Mittelgrofse oder kleine (nicht über 10 mm) nicht so gefärbte Arten 14. Körperform lang und dünn; Beine gelb, sehr lang, mit lang behaarten Vorder- und Hintertarsen; Schwinger gelb "macrorrhyncha Phil. Körper und Beine nicht besonders verlängert; Schwinger gewöhnlich schwarz 15. Flügel breit, abgerundet, an der Wurzel heller "bicolor Bell. 2. Flügel nicht besonders breit, gleichmälsig geschwärzt, oder an der Spitze heller 16. Hinterleib an der Wurzel gelb; Beine gefiedert "pegasus O. 8. Hinterleib ganz schwarz 17. Ziemlich grofse (”—10 mm) Art; schwarze Flügelfärbung gegen die Spitze auf eine Säumung der Längsadern beschränkt “atra Wied. kleinere (höchstens 6 mm) Arten, mit gleichmälsig geschwärzten Flügeln 18. Schwinger gelb 19. Schwinger schwarz 20. Thoraxrücken zwischen den Längsstriemen glänzend, Flügel ziemlich abgerundet liodes n. sp. 1) Wie oben bei Lamprempis gesagt, ist wahrscheinlich Columbi Schin. mit dieser zu vereinigen. ?) Bei einigen Arten sind die Flügel nur im weiblichen Geschlechte geschwärzt. Beiträge zur Kenntnis der südamerikanischen Dipterenfauna. 345 Thoraxrücken ohne glänzende Striemen; Flügel verlängert "anthracina Big. Fühler an der Wurzel gelb; Flügel schmal und lang angustipennis n.Ssp. Fühler ganz schwarz 21. Beine zum Teil gelb "montezuma W. et M. Beine ganz schwarz, oder mit gelben Knien 22. Vierte Längsader abgekürzt "totipennis Bell. Alle Längsadern vollständig 23. Vordere Tarsen einfach, Hinterleib dunkel behaart *vieina F. Lynch. Vordere Tarsen verdickt, Hinterleib gelblich behaart "Tugens Phil. Schwinger schwarz oder verdunkelt 25 Schwinger weilslich oder hell 34. Körperfärbung metallisch ambigua Bezzi. Körper ohne Metallglanz . 26. Vierte Längsader abgekürzt “dolorosa W. et M.') Vierte Längsader vollständig 27. Fühler ganz schwarz 28. Fühler mit gelber Wurzel 31. Beine schwarz 29. Beine gelb, mit an der Wurzel schwarzen Schenkeln; Spitzenquerader steil "azteca W. et M. Beine gefiedert “finbrıa Walk. Beine nicht gefiedert 30. Beine stark behaart "bicolor Bell. I". Beine wenig behaart "xochitl W. et M. Bauch an der Seite gefiedert penniventris n. Sp. Bauch nicht gefiedert 32. Vordere Metatarsen einfach; Beine gelb; Hinterschienen an der Spitze verdickt; Bauch gelb, in der Mitte mit einem zahnartigen Fortsatze chiragra n. sp. Vordere Metatarsen verdiekt; Beine zum Teil schwarz mit geringelten Tarsen; gröfsere Statur 35 1) Die Schwingerfärbung ist bei dieser Art nicht angegeben; vielleicht ist die Art mit totipennis identisch. 37. 38. 39. M. Bezzi, [54] Schenkel gelb; Rüssel gelb “annulipes W. et M. Schenkel schwarz; Rüssel schwarz atrıfemur W. et M. Beine ganz gelb, mindestens die vier vorderen 35. Beine ganz oder zum grölsten Teil schwarz 43. Hinterleib samtschwarz, mit breiter silberweilser Binde am vierten und fünften Ringe argyrozona Phil.') Hinterleib anders gefärbt 36. Beine dicht behaart, besonders die vier vorderen Schienen und Tarsen durch die Behaarung wie verdickt erscheinend; Mittelschienen an der Spitze mit einigen Dörnchen gekrönt Landbecki Phil.') Beine anders gebaut 37. Thoraxrücken mit zwei weilslichen Längsstriemen, an den Seiten hell- gefärbt, beim Weibchen sogar gelblich; Hinterleib mehr oder weniger gelb “thermophrla Wied. Nicht so gefärbte Arten 38. Hinterleib unten oder an der Wurzel gelb 39. Hinterleib ganz schwarz 40. Fühler schwarz; Rückenschild mit vier Längsstriemen; Beine kurz und dick *“ochropus Phil. Fühler an der Wurzel rötlich; Rückenschild ohne deutliche Längs- striemen; Beine verlängert; Genitalien 9’ oben gedornt spinifera n. Sp. Flügel wasserklar, mit gelblichen Adern "flavinervis Phil. Flügel graulich oder etwas angeraucht, mit dunkeln Adern 41. Vordermetatarsus verdickt; Flügel hellgrau "antaretica Walk. Vordermetatarsus einfach; Flügel dunkelgrau 42. Rüssel schwarz; Hinterschenkel verdickt "pachymera Maceq. Rüssel gelb; Beine nicht verdickt *valdiviana Phil. Beine zum Teil gelb 44. Beine ganz schwarz 52. Schildehen hinten gelb; Hinterleib an der Spitze gelb "dumetorum Phil. Keine gelben Teile vorhanden 45. !) Bei dieser Art ist die Färbung der Schwinger nicht angegeben. 50. Beiträge zur Kenntnis der südamerikanischen Dipterenfauna. 347 Hinterschenkel verdickt und unten 'sedornt 46. Hinterschenkel einfach, unten ungedornt 47. Schenkel schwarz mit gelber Spitze *lobalis T’'homs. Schenkel gelb, mit breitem schwarzem Ringe "“annulata Phil. Thoraxrücken ohne deutliche Längsstriemen 48. Thoraxrücken mit drei Längsstriemen 49. Rüssel kurz *"pachystoma Phil. Rüssel lang *coxalis 'T'homs. Schenkel schwarz 50. Schenkel mehr oder weniger gelbrot al. Metatarsus der mittleren Beine, Hinterschienen und Spitze der hinteren Schenkel rotgelb polita Maeq. Nur die Hinterschienen und die hinteren Metatarsen der Wurzel rotgelb *collina Phil.) Schenkel an der Spitze verdunkelt; Genitalien 9' grofs und lang behaart "macrura Big. Nur die Vorderschenkel an der Spitze geschwärzt; männliche Genitalien klein uruguayensis F. Lynch. Rückenschild nicht gestriemt 58. Rückenschild mit vier Striemen 54. Acrostichalborsten vorhanden; Tarsen unten deutlich borstig gracilipes Phil. Acrostichalborsten fehlend; Tarsen unten nicht borstig bullata Bezzi. Thoraxseiten mit breiten grauen Flecken; Hinterleib des Weibchens an der Spitze gelb "varvabilis Big’) Anders gefärbte Arten 55 Prothorakalstigma schwarz; Stirn des Weibehens mit vielen Borsten; Acrostichalborsten deutlich vorhanden und lang micropyga Bezzi. Prothorakalstigma weils, Stirn des Weibchens mit wenigen Borsten; Acrostichalborsten kurz und ziemlich undeutlich leuwcostigma n. Sp. 1) Diese Art ist ganz wahrscheinlich mit der vorhergehenden zusammenfallend. 2) Diese Art scheint mit dwmetorum Phil. nahe verwandt zu sein. 348 M. Bezzi, [56] 37. Empis rubida Wheel. et Mel., Biol. centr. amer., 1. 368. 7. (1901); Mel., Trans. amer. entom. Soc., XX VII. 302. t. IX. f. 121 (1902). Zwei weibliche Exemplare aus Bolivien, S. Carlos, Mapiri, 800 — 1200 m, 21.1. 023. Eine leicht kenntliche kleine Art, welche mit der Beschreibung ganz gut übereinstimmt; die Tarsen sind nur an der Spitze schwarz. Rücken- schild mit kurzen gelben Borsten; die wenigen Metapleuralborsten gleich- falls gelb; Axillarwinkel nicht vertieft, rechtwinklig. Eine Verwandtschaft mit den Lamprempis-Arten ist offenbar vorhanden. 38. Empis induta n. sp. 2. Omnino lutea, opaca, nigrosetosa, thoracis dorso postice paullo albo-pruinoso, capite nigro, antennis, halteribus pedi- busque luteis, haustello corporis longitudinem fere aequante, alis latis luteo-hyalinis praesertim ad marginem anticum dis- tinete lutescentibus, macula stigmatica elongata pallidissime lutea, nervis luteis, nervo transverso apicali brevi incurvo, cellula discoidali parva trapezoidali. vena sexta usque ad alae marginem producta, angulo axillari acuto haud profunde ineiso. ? oculis remotiusculis, terebra brevissima vix prominenti, femoribus tibiisque postieis longe nigropennatis. Long. corp. mm 4!/,, alar. mm 4/". Ein einziges Weibchen aus Peru, Puerto Bermudes, Pichisfluls, 300 m, 14. XII. 03. Diese Art unterscheidet sich von den andern gelb gefärbten Arten besonders durch die lang gefiederten Beine; sie scheint mit unserer euro- päischen dispar Scholtz verwandt zu sein, und zeigt auch die Kennzeichen der Gruppe nigricans. Kopf rundlich, ganz schwarz, nur die Stirn an den Seiten grau- gelblich, hinten lang schwarz beborstet; Mundrand schwarz glänzend; Fühler ganz gelb, nur der Griffel schwarz, drittes Glied kurz kegelförmig; Rüssel äufserst lan g, oben gelb, unten und an der Spitze schwarz. Rücken- schild ganz gelb, glanzlos, hinten vor dem Schildchen zart weils bereift; [57] Beiträge zur Kenntnis der südamerikanischen Dipterenfauna. 349 auf den Pleuren kommen einige wenig deutliche schwärzliche Flecken vor; Prothorakalstigma gelb und schwarz gerandet; Acrostichalborsten ziemlich lang, zweireihig; Metapleuralborsten schwarz und dicht. Schildchen gelb, abgerundet, ziemlich gewölbt, mit vier schwarzen Borsten am Rande. Schüppchen ziemlich grofs, gelb, schwarz gewimpert. Hinterleib kurz und breit, ganz gelb mit undeutlichen dunklen seitlichen Flecken, etwas glänzend, schwarz behaart und beborstet. Beine ganz gelb, kurz schwarz behaart, mit wenigen längeren Borsten; an den Mittelbeinen zeigen die Schenkel nur an der Spitze wenige untere breite Fiedern, die Schienen sind dagegen der ganzen Länge nach aulsen lang gefiedert; an den Hinterbeinen sind die Schenkel unten der ganzen Länge nach gefiedert, die Schienen aufsen der ganzen Länge nach und innen an der Wurzel gefiedert; hintere Meta- tarsen oben in der Mitte mit einer langen Borste. Flügel ziemlich breit und deutlich gelb besonders am Vorderrande; dritte Längsader ganz gerade, etwas vor der Flügelspitze mündend. Anmerkung. In der Sammlung von Prof. Hermann findet sich ein nicht gut erhaltenes Weibchen aus Chile, Ooncepeion, IX. 06, deren Fühler abgebrochen sind. Dasselbe gehört zu einer neuen Art bei micans Schin., mit ganz schwarzem Kopfe; Rüssel kurz und diek; Beine nicht gefiedert. 39. Empris lucidilabris Bezzi, Ann. Mus. nation. hung., III. 440. 18. (1905). Zwei Weibchen aus Peru, Chanchamayo, 800 m, 11—12, I, 04; die Origimalexemplare stammten gleichfalls aus Peru (Callanga). Dieses ist das noch nicht beschriebene Weibchen; es stimmt gut mit dem Männchen ; die Zwischenräume zwischen den samtschwarzen Striemen des Rückenschildes sind deutlich glänzend; Beine sehr dicht und lang schwarz bewimpert, aber nicht eigentlich gefiedert; Hinterschienen und Hinter- metatarsen mit einzelnen sehr langen Borsten. Flügelzeichnung viel deut- lieher, die Queradern sind breit dunkel gesäumt, so dafs zwei schwärzliche Binden auf der Flügelmitte hervortreten; Flügelspitze breit verdunkelt. Die Art scheint mit EZ. columbi Schin., nur im weiblichen Geschlechte bekannt, sehr viele Verwandtschaft zu haben; ist aber bedeutend grölser, Noya Acta XCI. Nr.3. 45 350 M. Bezzi, [58] und zeigt lange Acrostichal- und Dorsozentralborsten. Eine Verwandtschaft mit den Lamprempis-Arten ist auch hier nicht zu verkennen. 40. Empis poecila Phil., Verh. zool. bot. Ges., XV. 753. 6. (1865). Ein Exemplar dieser riesigen wunderschönen Art aus Chile findet sich in der Sammlung von Prof. Hermann. Zu der ziemlich ausführlichen Beschreibung Philippis habe ich nur folgendes hinzuzufügen. Augen 0’ zusammenstolsend, oben und unten mit ziemlich gleichen Feldern; Taster grofs und kurz, schwarz behaart; Hinter- kopf hell behaart. Rückenschild oben ohne deutliche Borsten; Metapleuren weils behaart, ohne Borsten; Schildehen klein, mit vielen sehr feinen Borsten am Rande. Hüften mit langen weilsen Haaren; Beine ganz kurz schwarz behaart, ohne längere Borsten. Hypopygium schwarz, klein, ganz ge- schlossen, abgerundet. Dritte Flügellängsader nach dem Ursprung des Vorderastes nach unten gerichtet, so dafs sie ziemlich weit hinter der Flügel- spitze mündet; Spitzenquerader kurz, gerade, schief gelegen; Discoidalzelle ziemlich lang, an der Spitze etwas nach unten gekrümmt; Analzelle ganz schmal; sechste Längsader vollständig: Axillarwinkel wenig tief, rechtwinklig. An der Wurzel der Discoidalzelle bemerkt man ein ganz kleines weilsliches Fleckchen. trapezförmig, die zwei aus ihr vorn entspringenden Adern Hilfsader in die Costa einmündend.') 41. Empis liodes n. sp. ?. Nigra, opaca thorace vittis tribus longitudinalibus atris interstitiis nitentibus, antennis nigris, pedibus rufescentibus postieis tamen infuscatis, halteribus obsceure lutescentibus haustello capite bilongiore, alis nigrofuseis dilatatis, cellula discoidali parva, nervis omnibus integris, nervo transverso apicali brevi ineurvo, angulo axillari recto haud profundo. ? oeulis remotiuseulis, terebra brevi retracta, femoribus tibiisque posterioribus longe fusco-pennatis. !) Wegen der nicht beborsteten (nur behaarten) Metapleuren und dem nicht vor der Costa gebrochenen Vorderast der ersten Längsader steht diese Art in der Gattung Empis ziemlich isoliert; leider ist das einzige Exemplar nicht gut erhalten. [53] Beiträge zur Kenntnis der südamerikanischen Dipterenfauna. sol Long. corp. mm 4'h, alar. mm 4°. Ein einziges Weibchen aus Peru, Puerto Bermudes, Pichisflufs, 300 m, 11. XII. 03. Eine kleine Art, welche zu dem Verwandtschaftskreise unserer chioptera gehört; die schwarzglänzenden Interstitien zwischen den 'T'horax- striemen sind recht bemerklich, sonst ist die Art von pennipes oder pennaria nicht weit verschieden. Kopf ganz schwarz, hinten mit ziemlich langen schwarzen Borsten; Rüssel gelb; drittes Fühlerglied kurz kegelförmig, mit ziemlich langem dickem Griffel; Stirnseiten nur vorn mit einigen kurzen Börstehen. Thorax ganz schwarz und glanzlos, nur die Interstitien glänzend; Borsten ziemlich lang, Acrostichalen gänzlich fehlend; Metapleuralborsten schwarz, lang und dicht; Schildehen mit vier langen Borsten, die mittleren länger und gekreuzt. Hinterleib dick, am Ende stumpf, schwarz, glanzlos, sparsam schwarz be- haart. Die vier vorderen Beine und alle Tarsen lichtgelb wie die Vorder- hüften; an den Mittelbeinen sind die Schenkel oben sehr kurz, unten lang gefiedert, und die Schienen aufsen der ganzen Länge nach und innen an der Wurzel gefiedert; an den Hinterbeinen die Schenkel oben kurz, unten lang, die Schienen innen und aufsen lang gefiedert, an der Innenseite sind beide gegen die Spitze zu ungefiedert; alle Metatarsen dünn, etwas beborstet. Flügel fast abgerundet und gleichmäfsig geschwärzt; dritte Längsader gegen die Spitze zu etwas nach unten gerichtet; die vordere aus der Discoidal- zelle entspringende Ader ganz gerade; Randmalfleck kaum angedeutet. 42. Empis angustipennis n. sp. ?. Nigra, opaca, thorace vittis tribus atris longitudinalibus vix distinetis, antennarum artieulis basalibus luteis, pedibus obscure lutescentibus metatarso antico dilatato tibiisque om- nibus eximie setosis, halteribus fusco-nigris, haustello eapite thoraceque longiore, alis fuseis longis valde angustatis, nervis omnibus integris, cellula submarginali secunda perparva, an- gulo axillari acuto. 45° Sb) bi 80) M. Bezzi, [60] 2 oculis remotis, fronte lateribus distinete setosa dimidio antico cinereo-canescente, terebra exserta infra mueronata lamellis apiealibus longis nigris, pedibus non pennatis. Long. corp. mm 5—5'%;, alar. mm 51, —6. Drei Weibchen aus Peru, Umahuankiali, Urubambaflufs, 500 m, 15.—19. IX. 03. Eine durch schmale lange Flügel ausgezeichnete Art, welche bei atrıfemur W. et M. zu stehen scheint. Kopf ganz schwarz, am Scheitel und in der Gegend der Ocellen slänzend, sonst glanzlos; Stirn breit, an den Seiten mit einer Reihe von vier bis fünf nach vorn gebosener Börstchen, vorn über dem Fühler weils- grau; Rüssel gelb; drittes Fühlerglied ganz schwarz, schmal kegelförmig, mit dickem Griffel; Hinterkopf mit vielen ziemlich starken Borsten. T'horax ganz schwarz, glanzlos, undeutlich dreistriemig, an den Schulterschwielen und san den Seiten vor dem Schildehen schmal rötlich; oben mit langen Borsten. Die Acrostichalen kurz aber deutlich; Pleuren nackt, dunkelgrau bereift, Metapleuralborsten schwarz, sehr lang; Rückenschild oben schwarz, unten rötlich, mit vier Randborsten, die mittleren stärker und gekreuzt. Hinterleib schwarz, an den Seiten grauweifslich bereift, zugespitzt, ziemlich lang und schwarz behaart und beborstet. Beine samt den Hüften ‚sehr dunkel rötlich, nur die Vorderschenkel etwas heller; die Schenkel sind ziemlich kahl, nur die hinteren oben ziemlich dicht kurz behaart und aulsen gegen die Spitze zu mit zwei bis drei Borsten; die Schienen dagegen, besonders die hinteren, sind aufsen und hinten mit vielen starken aufrechten Borsten bewaffnet; auch die Tarsen sind ziemlich stark beborstet. Flügel auffallend schmal, gleichmäfsig schwarz getrübt, mit undeutlichem Rand- malfleck; dritte Längsader gerade vor der Flügelspitze einmündend und ihr Vorderast schief und ganz kurz, so dafs die zweite Submarginalzelle auffallend klein ist; Discoidalzelle auf der Mitte der Flügel mündend; die zwei vorderen aus ihr entspringenden Queradern lang, gerade und parallel. 43. Empis penniventris n. sp. ?. Nigra, nitida, leviter cinereo-pollinosa, thoracis dorso non vittato, pedibus halteribusque nigricantibus, antennarum [61] Beiträge zur Kenntnis der südamerikanischen Dipterenfauna. 355 articulis basalibus luteis, alis purissime hyalinis, nervis luteis, macula stigmatica pallide lutescenti, nervo apicali transverso recto fere perpendieulari, angulo axillari recto. 2 oceulis remotiuseulis, terebra retracta, abdominis mar- gine laterali metatarsisque anticis et postiecis supra longe nigro-pennatis. Long. corp. mm 3!h, alar. mm 3!).. Ein einziges Weibehen aus Peru, Chanchamayo, 800 m, 11.1. 04. Eine Art aus der Gruppe der chioptera, wegen der gefiederten Bauch- seiten sehr eigentümlich. Stirn schwarz glänzend, vorn über den Fühlern weilsgrau, an den Seiten nicht beborstet, nur ganz vorn mit einigen Härchen; drittes Fühler- glied fehlend; Rüssel gelb, von Thhoraxlänge. Rückenschild glänzend, zart weilsgrau bereift, mit langen schwarzen Borsten und deutlichen Acrostichalen; Metapleuralborsten lang, schwarz; Schildchen vierborstig. Hinterleib schwarz glänzend, zart weilslich bereift, ziemlich nackt, an den Seiten unten mit schwarzen Fiedern. Beine ganz schwarz, nur etwas gelb durchscheinend, behaart und beborstet; eine eigentliche Befiederung ist aber nur an den Vorder- und Hintermetatarsen zu beobachten; vorderer Metatarsus nicht verbreitert. Flügel mit vollständigen, gelblichen Längsadern, die dritte gerade und vor der Spitze mündend; die zwei vorderen aus der Discoidalzelle ent- springenden Adern nicht parallel, etwas gebogen, divergierend; zweite Sub- marginalzelle klein. 44. Empis chiragra n. sp. Q'. Nigra, nitidiuseula, antennarum artieulis basalibus pedi- bus ventregue luteis, halteribus nigricantibus, haustello capite thoraceque simul sumptis longiore, alis cinereo-hyalinis, macula stigmatica elongata pallide-fuseca, nervis omnibus integris lutescentibus, vena transversa apicali brevi paullo obliqua, cellula diseoidali parva, angulo axillari aeuto. g' oculis connexis, ventre in medio dentato genitalibus parvis peni abscondito, tibiis posticis apice clavatis et den- 354 M. Bezzi, | [62] tatis, metatarso postico basi subtus apophysi parva lamelli- formi lutea semilunari instructo. Long. corp. mm 3! —3!/, alar. mm 3°, ——4. Zwei Exemplare aus Peru, Larestal, 1000 —2000 m, 10. VII. 03; sie sind ölig geworden. Eine Art aus der Gruppe chioptera, mit eigentümlichen Hinterbeinen und gezähntem Bauche. Rüssel gelb mit schwarzen Lippen; Fühler kurz, drittes Glied fast abgerundet oder sehr kurz eiförmig, schwarz, mit diekem Griffel. Rücken- schild oben mit kurzen Borsten; Metapleuralborsten schwarz; Schildchen mit nur zwei apikalen gekreuzten Randborsten. Hinterleib am Bauche licht gelb, am Grunde etwas dunkelgelb durchscheinend, dunkler behaart; Bauch nach der Mitte mit einem starken mittleren Zahne; Hypopygium klein, die obere Seitenlamelle armförmig, der Faden nicht hervortretend. Beine gelb samt den Hüften, nur die Tarsen verdunkelt; hintere Trochanteren mit einer stumpfen Tuberkel; die Behaarung ist kurz und längere Borsten fehlen fast gänzlich; Vordermetatarsen nicht verbreitert; Hinterschienen am Ende verdickt, vor der Spitze oben gezähnt und mit längeren Haaren, auch unten vor der Spitze steht eine schwarze längere Borste; hinterer Meta- tarsus dünn, an der Wurzel mit einer kleinen abgerundeten licht gelben Lamelle. Dritte Flügellängsader etwas nach unten gerichtet, mit der vierten parallel laufend. 45. Empis spinifera n. sp. Q'. Nigra, nitidiuscula, thoracis dorso non vittato, anten- narum articulis basalibus ventre pedibusque luteis, coxis tamen tarsis tibiisque posticis nigricantibus, halteribusalbidis, haustello eapitethoraceque longiore, alis ex lutescenti hyalinis levissime infuscatis, nervis fuscis, sexto apicem versus spurio interdum evanescente, macula stigmatica elongata pallide fusca, angulo axillari acuto. J' oculis eonnexis, genitalibus parvis, peni clauso supra ad basin processu valido dentiformi retro incurvo praeditis, tibiis postieis dilatatis longe setosis. [63] Beiträge zur Kenntnis der südamerikanischen Dipterenfauna. 355 Long. corp. mm 41, —5, alar. mm 4!h. Zwei Exemplare aus Peru, Larestal, 2000— 3000 m, 9.—10. VIII. 03. Eine gleichfalls in der Gruppe der chioptera stehende Art, im Habitus an unsere rufiventris Meig. erinnnernd; von der vorigen, in deren Gesell- schaft sie zu leben scheint, weit verschieden. Rüssel gelb; drittes Fühlerglied kurz, mit dieckem Griffel. Rücken- schild oben glänzend, an den Pleuren dichter grau bestäubt, die Borsten ziemlich lang und alle schwarz, auch die der Metapleuren; Schildchen grau, zweiborstig. Hinterleib am Bauche hell-, an der Wurzel dunkelgelb durch- scheinend, mit ziemlich langen schwarzen Haaren und Borsten; Genitalien klein, lang behaart, geschlossen, oben am Grunde mit einem starken nach vorn gerichteten zahnartigen Fortsatze. Beine ziemlich lang behaart, mit einfachen Tarsen; die vier vorderen sind gelb, die einzelnen Tarsenglieder am Ende geschwärzt; Hinterbeine länger uud stärker, verdunkelt, nur die Schenkel in der Wurzelhälfte licht gelb; Hinterschienen dicht behaart und aufsen mit vielen langen Borsten. Dritte Flügellängsader gerade, ihr Vorder- ast kurz und etwas schief; Discoidalzelle klein; sechste Längsader wie abgekürzt erscheinend. 46. Empis polita Macq., Dipt. exot. I. (2) 162 (278), 7. (1839); Blanch. ap. Gay, Hist. fis., VII. 373 (1852); Phil., Verh. zool. bot. Ges., XV. 753 (1865). Viele Exemplare beiderlei Geschlechts aus Chile, Valparaiso, 12. bis 13. IX. 02 und Quillota, 1000 m, 20.— 21. IX. 02. Stimmt gut mit der Beschreibung; nur die Beinfärbung scheint etwas veränderlich zu sein; daher E. collina Phil. wahrscheinlich keine selbständige Art darstellt. Augen beim ©' zusammenstofsend, beim 2 ziemlich breit getrennt, die Stirn an den Seiten beborstet. Drittes Fühlerglied verlängert. Acrostichal- und Dorsocentralborsten lang und fein, mehrreihig; Metapleural- borsten dicht, schwarz; Prothoracalstigma schwarz; Schildchen am Rande mit vier bis sechs Borsten. Hinterleib mit langen schwarzen Borsten und Haaren; Laterallamellen des Hypopygiums vorn zugespitzt, dreieckig, Faden sehr diek, gelb mit schwarzer Spitze, vorstehend; Legeröhre dick walzen- förmig, mit kurzen Endlamellchen. Beine des Männchens ziemlich lang 356 M. Bezzi, [64] beborstet, besonders die Mittel- und Hinterschienen; hintere Metatarsen unten beborstet; Beine des 2 nicht gefiedert, ziemlich nackt, Borsten der Schienen kurz. Dritte Flügellängsader an der Spitze nach unten gerichtet; Discoidal- zelle klein; sechste Längsader an der Spitze etwas verschwindend; Axillar- winkel spitzig. Beim Weibchen ist an den Hinterbeinen die gelbe Färbung mehr ausgebreitet als bei dem Männchen; die hinteren Hüften sind in beiden Geschlechtern ziemlich grofs, wie aufgeschwollen. 47. Empis gracilipes Phil., Verh. zool. bot. Ges., XV. 755. 13. (1865). Ein Pärchen aus Bolivien, Kordillere, 4000 — 5000 m, 24. XII. 02. Stimmt ziemlich gut mit der kurzen Beschreibung und gehört sicher in denselben Verwandschaftskreis wie die vorigen. Die Hinterschenkel sind sehr verlängert; Rückenschild nicht deutlich gestriemt. Die Art scheint meiner bullata nahe zu stehen. Augen beim 0’ zusammenstolsend, beim ? breit getrennt, Stirn an den Seiten beborstet; Rüssel ein wenig länger als der Kopf, schwarz; Fühler lang, drittes Glied sehr stark verlängert, mit ganz kurzem Griffel. T'horaxborsten sehr lang, alle schwarz; Prothoracalstigma schwarz; Schildchen vierborstig. Hinterleib an den Einschnitten mit langen Borsten, am Ende beim Männchen etwas angeschwollen; Genitalien 9' mittelgrofs, mit sehr dicken kurzen schwarzen Fäden; Hinterleib beim ? am Ende breit stumpf, so dals die dünne, unten geschwielte Legeröhre plötzlich hervorragt. Beine ganz schwarz und in beiden Geschlechtern ganz einfach; Mittel- und Hinter- schienen ziemlich lang beborstet; hintere Metatarsen unten borstlich. Flügel ziemlich lang und schmal, etwas graulich verdunkelt, besonders beim %; Spitzenquerader. sehr schief; Discoidalzelle klein; sechste Längsader voll- ständig; Axillarwinkel spitzig. 48. Empis leucostigma n. sp. ?. Nigrocinerascens, opaca, thoracis dorso vittis quatuor aequedistantibus nigris, antennis pedibusque omnino nigris, halteribus albidis stigmate prothoracis albo, alis elongatis dilute-fuseis, macula stigmatica vix distinceto, cellula sub- [65] Beiträge zur Kenntnis der südamerikanischen Dipterenfauna. 397 marginali secunda perparva, nervo sexto integro, angulo axillari acuto. ? fronte parum lata lateribus parum setosa, terebra brevi basi lata lamellis apicalibus longissimis, pedibus simplicibus. Long. corp. mm 5!;, alar. mm 6)}).. Ein einziges Weibchen aus Peru, Cuzco, 3500 m, 8. IV. 05. Diese Art steht offenbar mit den zwei vorhergehenden in derselben Gruppe, und ist mit meiner micropyga nahe verwandt; von allen verwandten unterscheidet sie sich durch das weilse Prothoracalstigma. Stirn ziemlich schmal, an den Seiten mit wenigen Borsten; drittes Fühlerglied verlängert und zugespitzt, mit kurzem Griffel; Taster schwarz; Rüssel so lang wie Kopf und Thorax zusammen, gelb. Die mittleren schwarzen Striemen des Rückenschildes sind sehr deutlich, die äufseren breiter und wenig deutlich; Acrostichal- und Dorsocentralborsten kurz, auf den grauen Striemen stehend; Metapleuralborsten schwarz. Schildehen mit vier längeren Randborsten, dazwischen einige kürzere. Schüppchen gelblich. Hinterleib nur sehr wenig schwarz behaart, an der Spitze allmählich ver- dünnt; Legeröhre kurz, breit, unten mit einer Tuberkel, mit sehr langen Apikallamellchen, Beine lang, ziemlich kahl, nur die vier hinteren Schienen mit einigen Dorsten; Metatarsen borstig. Flügel sehr lang; dritte Längsader an der Spitze nach unten geneigt, ihr Vorderast sehr kurz und ziemlich steil; Discoidalzelle klein, etwas vor der Flügelmitte mündend; Vorderrand- zelle an der Spitze verdunkelt. 8. Atrichopleura noV. genus. Generi Ramphomyia prima vista simillimum, at setis meta- pleuralibus nullis mox dignoscendum. Notis reliquis vero cum genere Hilarempis convenit, apud quod in systemate locandum. Diese neue Gattung scheint wohl auf den ersten Blick gleich der Gattung Ramphomyia zu sein; die Metapleuralborsten fehlen jedoch gänzlich. Hilfsader vor der Randader abgebrochen; Rüssel kurz, gewöhnlich nicht länger als der Kopf; Borsten deutlich vorhanden. Der Habitus und die Gestalt der männlichen Genitalien ganz wie bei der Gattung Hilarempis, Nova Acta XCJ. Nr.3. 46 358 M. Bezzi, [66] bei welcher sie einzureihen ist. Augen in beiden Geschlechtern getrennt, Stirn an den Seiten beborstet, Beine einfach, beim Weibchen ohne längere Borsten; Flügelrandader den ganzen Flügel umlaufend. Als typische Art ist die unten beschriebene A. Schnusei zu betrachten. Die vier von Herrn Schnuse entdeckten Arten lassen sich wie folgt unter- scheiden. 1. Körper kurz und stark; Flügel kurz und breit; Beine schwarz oder grau, höchstens mit gelben Knien 2. — Körper verlängert, zart; Bauch gelbdurchscheinend; Flügel lang und schmal; Beine gelb - 3. 2. Rückenschild glänzend schwarz, ohne Striemen; Rüssel deutlich nach hinten gekrümmt; Beine ganz schwarz nitida n. Sp. — Rückenschild grau, mit dunklen Striemen; Rüssel gerade; Beine grau mit gelben Knien crassa .n. sp. 3. Gesicht behaart; Hüften hellgelb; die vier vorderen Beine beim Männchen lang behaart hirtipes n. sp. — Gesicht nackt; Hüften grau, mehr oder weniger verdunkelt; vordere Beine beim Männchen kürzer behaart ’ Schnuser n. sp. 49. Atrichopleura nitida n. sp. 01%. Nigra, nitidissima antennis pedibusque concoloribus pal- pis luteis halteribus luride albidis, capite retro et abdomine albopilosis, haustello valido capite aequilongo retro distinete ineurvo, pedibusbreviterpilosis setisnullis, aliscinereo hyalinis corpore aequilongis, macula stigmatica elongata fusca, nervo sexto spurio abbreviato, angulo axillari recto. o'genitalibus compressissupraincurvis, metatarsisantieis paullo incrassatis. ? terebra brevi retracta lamellis parvis, metatarsis sim- plieibus. Long. corp. mm 2'!,—3, alar. mm 2',—3. Einige Exemplare beider Geschlechter aus Peru, Sicuani, 3500 m, 8.—9. VI. 03. [67] Beiträge zur Kenntnis der südamerikanischen Dipterenfauna. 359 Ganz vom Aussehen einer Arlara aus der Gruppe der kleinen schwarzglänzenden Arten, aber mit gebrochener Hilfsader und einfacher dritter Längsader. Stirn in beiden Geschlechtern ungefähr von gleicher Breite, an den Seiten und oben mit schwarzen kurzen Borsten; Gesicht nackt; Hinterkopf oben schwarz beborstet, unten und an den Seiten weils behaart; Rüssel dick, zugespitzt, ganz schwarz, etwas stark nach hinten gekrümmt; drittes Fühlerglied lang, kegelförmig, mit diekem Griffel, welcher am Ende eine kleine Borste trägt. 'Thoraxrücken, Meso- und Sternopleuren sehr stark glänzend; Dorsocentralborsten kurz, Seitenborsten lang, alle schwarz; Schildehen mit vier Borsten, die mittleren gekreuzt. Schüppchen schmutzigbraun, weils behaart. Hinterleib stark glänzend, weils behaart, ohne Borsten; männliche Genitalien ganz wie bei Hilara. Beine kurz und stark, ziemlich dicht und kurz weils behaart, ohne alle Borsten, von glänzender schwarzer Färbung. Flügel verhältnismäßig kurz und breit, mit stark auf- tretenden Flügellappen; dritte Längsader an der Spitze etwas nach unten geneigt; alle Längsadern schwärzlich, nur am Grunde gelblich, sechste ganz verschwindend; Discoidalzelle ziemlich klein, trapezoidal, auf der Mitte der Flügel. 50. Atrichopleura crassa n. sp. O2. Ex einereo cana, thoracis dorso vittis quatuor longitu- dinalibus fuscis, oculis in utroque sexu late remotis, haustello capiti cireciter aequilongo, antennis pedibusque nigris genieulis luteis, palpis magnis halteribusque luteo-albidis, alis hyalinis macula stigmatica elongata dilutissime lutea, nervo longitu- dinali primo apice distincte dilatato, nervo tertio longe ab alae radice oriente, lobo alari valde prominenti. Jg abdomine segmentorum basi tantum atra, genitalibus magnis nigris adpressis. ? abdomine atro unicolore apice tantum cinereo, terebra brevi exserta lamellis terminalibus elongatis. Long. corp. mm 2'!h—2°/,, alar. mm 2',—23).. Ein Pärchen aus Chile, Quillota, 1000 m, 20. IX. 02. 46* 360 M. Bezzi, [68] Eine weilsgraue Art, von ziemlich gedrungenem Körperbaue, welche wegen der grolsen weifslichen Taster besonders ausgezeichnet ist; im Habitus steht sie von einigen Microphorus-Arten nicht weit entfernt. Hinterkopf oben mit einigen schwarzen Borsten, unten dicht weils behaart; Ocellarborsten stark, weit entfernt; Stirnseiten mit einigen kurzen Börstchen; Fühler ganz schwarz, die Basalglieder ganz kurz und beinahe nackt, das dritte Glied lang, kegelförmig; Endgriffel ziemlich dünn, kürzer als das dritte Glied, mit kurzer Endborste; Taster keulenförmig verdickt, sparsam behaart; Rüssel gerade, zugespitzt, schwarz, mit schwärzlichen Lippen. Rückenschild oben mit schwarzen Börstchen, die acrostichalen zweireihig, hinten fehlend; zwei Paare von gröfseren hinteren Dorsocentralen und eine Reihe von kürzeren vorderen; Pleuren hellgrau mit schwarzen Stigmen, ganz nackt. Schildehen mit vier Randborsten, die mittleren stärker aber nicht gekreuzt. Schüppchen weilsgelb, hell behaart. Hinterleib mit sparsamer kurzer heller Behaarung; männliche Genitalien grols, kurz gestielt, nach oben gebogen, hinten gekielt, oben glänzend schwarz. Beine ganz schwarz- grau mit hellgelben Knien; sie sind kurz flaumig, ohne längere Borsten ; beim Männchen ist der vordere Metatarsus ein wenig verdickt. Flügel ganz glashell; Hilfsader weit vor der Costa mündend; dritte Längsader gerade, vor ihrer Mündung etwas nach unten gebogen; sechste Längsader ab- gekürzt und verschwindend; Axillarwinkel recht; Flügeladern an der Wurzel gelb; Costa an der Wurzel mit langer Borste; die schwielenartige Er- weiterung der ersten Längsader gelb; Ursprungsstelle der dritten Längsader weit hinter der oberen Wurzelquerader. Anmerkung. Diese Art hat gewifs viele Ähnlichkeit mit denjenigen Microphorus-Arten, welche weilsgrau gefärbt sind und in beiden Geschlechtern getrennte Augen besitzen, wie z. B. truncatus Loew. Mit der vorigen Art nitida bildet sie eine Gruppe von Arten, welche von der folgenden Gruppe besonders durch kürzere gedrungenere Statur verschieden ist; von den echten Mecrophorus-Arten unterscheiden sie sich wegen des längeren Rüssels, der etwas verdickten vorderen Metatarsen des Männchens und der Ursprungs- stelle der dritten Längsader, welche von der Flügelwurzel entfernt ist; die zweite Längsader ist verhältnismäfsig kürzer als bei Microphorus. Bei [69] Beiträge zur Kenntnis der südamerikanischen Dipterenfauna. sl M. rostellatus Loew und verwandten ist der Rüssel immer viel kürzer als bei diesen Atrichopleura-Arten. Von den bisher beschriebenen südamerikanischen Microphorus-Arten, scheint palliatus Coquill. eine echte Art zu sein; scapuliferus und semifulvus Bigot sind dagegen ohne Zweifel nicht hierher gehörend, über ihre Stellung zu urteilen scheint mir aber unmöglich. 51. Atrichopleura hürtipes n. sp. ©' 2. Griseo-fusca, opacula, antennis nigris, palpis halteri- busque nigrofuscis, pedibus cum coxis luteis tarsis nigri- cantibus, abdomine basi et subtus lutescente, haustello capiti aequilongo recto, frontis lateribus setis longis praeditis, facie barbata, alis angustis corpore valde longioribus, griseo-fusces- eentibus, macula stigmatica vix ulla, nervo sexto abbreviato, angulo axillari late obtuso. OS tibiis metatarsisque quatuor anterioribuslonge villosis, senitalibus compressis supra incurvis apice spinigeris. 2 pedibus non villosis, terebra erassa exserta, lamellis apicalibus elongatis. Long. corp. mm 3—3!h,, alar. mm 4—4!)». Einire Exemplare aus Peru, Larestal, 2000—4000 m, 9. VII. 03 und Rosalina, Urubambaflufs, 24. VII. 03. Eine mit der vorigen zwar verwandte Art, aber weit verschieden durch die schmalen und langen Flügel, die beborsteten Beine und Hinterleib und den nicht gekrümmten Rüssel. Stirn in beiden Geschlechtern gleich breit, an den Seiten mit langen Borsten; Gesicht unter den Fühlern deutlich behaart; Rüssel stark, zugespitzt, schwarz, ganz gerade; Taster grols und nach oben gebogen; Lippen kurz und diek, am Ende verbreitert. Drittes Fühlerglied ganz wie bei der vorigen Art. Thoraxrücken dunkelgrau, etwas glänzend, mit undeutlichen Striemen; Acrostichal- und Dorsocentral- borsten ziemlich dicht und lang; Schildchen mit sechs langen Borsten, die mittleren gekreuzt. Schüppchen bräunlich, lang dunkel behaart. Hinterleib lang, hell behaart, bei dem Männchen mit langen dunkeln Borsten an den 362 M. Bezzi, [70] Einschnitten. Grenitalien etwa wie bei den vorigen, am Ende oben mit einem glänzend schwarzen kleinen Zahne. Beine ganz gelb, nur die Hinter- schienen und Tlarsen schwärzlich, beim Weibchen ziemlich kahl, beim Männchen lang behaart; die Hinterschienen aufsen mit langen gleichentfernten Borsten; Vordermetatarsus kurz, ziemlich wenig verdiekt. Flügel schmal und lang, und deutlich verdunkelt; Flügelgeäder aber wie bei der vorigen, nur die sechste Längsader deutlicher; Flügellappen weniger vortretend, Axillar- winkel daher viel breiter offen. 52. Atrichopleura Schnusei n.sp. 9’? (Taf. Fig. 4). Praecedenti simillima at paullo minor etabunde distineta facie non barbata, coxis in utroque sexu nigricantibus, alis griseo-hyalinis macula stigmatica fusca elongata distincta, pedibus anterioribus maris minus villosis metatarsoque antico paullo erassiori. Long. corp. mm 3—5'/,, alar. mm 4—4!/,. Sehr viele Exemplare beider Geschlechter aus Peru, Valparaiso, 12. IX. 02 und Cuzco, 3400 m, III. 05. Mit der vorigen sehr nahe verwandt. Gesicht unter den Fühlern ganz nackt. Thorax und Schildchenborsten etwas in das gelbliche ziehend; Hinterleib des Männchens minder behaart und mit kürzeren Borsten an den Einschnitten; Genitalien etwas kleiner. 9. Hiülarempis Bezzi.) Herr Schnuse hat in Südamerika auch echte Hilara-Arten gefunden, und daher dürften vielleicht nicht alle die Arten, welche ich 1905 in meiner Gattung eingereiht habe, zu derselben wirklich gehören; nach !) Kürzlich hat Herr J. Brethes aus Buenos Aires in seiner Arbeit „Dipteros € Hime- nöpteros de Mendoza, Annal. d. Mus. nac. de Buenos Aires, XIX. 1909“ p. 92 eine neue Gattung Heterempis, mit der neuen Art H. mendozana, beschrieben. Die neue Gattung unterscheidet sich von Hilarempis nur durch den verdickten Metatarsus der Vorderbeine beim Männchen; ich zweifle sehr an ihrer Selbständigkeit, da es echte Hilarempis- Arten mit deutlich ver- dickten Vordermetatarsen gibt. [71] Beiträge zur Kenntnis der südamerikanischen Dipterenfauna. 363 Philippis kurzen Beschreibungen ist auch sehr schwierig zu entziffern, ob man es mit Zmpis- oder Hilarempis-Arten zu tun hat. Ich gebe hier folgende Tabelle für die echten und für die südamerikanischen, nur wahr- scheinlich echten Ailarempıs- Arten. 1. Alle Schenkel unten mit dornartigen Borsten und die vorderen deutlich verdickt; Schwinger weils 2. — Schenkel unten unbewaffnet, höchstens die hinteren mit wenigen Borsten, die vorderen nicht verdickt 3% 2. Vordermetatarsus gelb, nur wenig verdickt; kleinere Art; die vier vorderen Schienen innen nackt spinulosa Phil. — Vordermetatarsus schwarz, ziemlich verdickt; gröfsere Art; die vier vorderen Schienen innen gedörnelt spinosan. sp. 3. Gelbe Arten; Fühler an der Wurzel immer gelb; Schwinger hell 4. — Graue oder schwarze Arten 6. 4. Rückenschild ganz gelb, ungestriemt "pallida Phil. — Rückenschild mit schwärzlichen Striemen B): 5. Rückenschild mit drei schwarzen Striemen; Stirn mit breiter schwarzer Binde; Hinterleib nur unten gelb; Flügel verdunkelt “Philippi nom. noy.') — Rückenschild mit einer schwarzbraunen Längsstrieme; Hinterleib gelb mit schwarzer Spitze; Flügel hyalin, am Vorderrande gelblich “ochracea Big. 6. Wurzelglieder der Fühler gelb; Rückenschild mit vier schwärzlichen Längsstriemen 7. — Fühler ganz schwarz oder braun 10. 7. Hinterleib auf dem zweiten und dritten Ringe mit silberner Binde; erste Flügellängsader am Ende schwielenförmig erweitert *argyrozona Phil. — Hinterleib ohne silberne Binden; erste Längsader am Ende nicht schwielig 8. 1) Ich wähle diesen neuen Namen für Empis fulva Phil. 1865 nee Macq. nec Walk. 1837. 364 10. M. Bezzi, [72] Vordere Metatarsen beim Männchen mit einer besonderen Borste "vanellus Schin. Vordere Metatarsen ohne solche Borste D Flügel hyalin, ohne braungesäumte Adern *“dumieola Phil. Flügel graulich, mit braungesäumter hinterer Querader xanthocera Bezzi. Erste Flügellängsader am Ende schwielenförmig erweitert; Hinterleib mit zwei silberglänzenden schmalen Binden; grofse Art bieingulata n. sp. Hinterleib ohne silberglänzende Binden dl. Hinterschenkel und Hinterschienen verdickt und behaart *brachystoma Phil. Hinterbeine nicht besonders gebaut mr Schwinger schwarz oder stark veraunkelt 12. Schwinger weils, gelblich oder schmutzigbraun 18. Rückenschild samtschwarz mit breiter, hinten erweiterter weilsgrauer Mittelstrieme; Schildchen weilsgrau; Beine schwärz, mit gelben Knien elegans n. Sp. Nicht so gefärbte Arten 14. Rückenschild grau, mit deutlichen dunkleren Längsstriemen carinata n. Sp. Rückenschild schwarz, ohne deutliche Striemen 115) Flügel deutlich verdunkelt 16. Flügel kaum graulich Ir: Schenkel oben schwarz, die hinteren mit ziemlich langen schwarzen Haaren *holosericea Thoms. Schenkel gelblich, die hinteren fast nackt "magellanica Big. Randmalfleck deutlich "brachyrrhyncha 'Thoms. Randmalfleck fehlend; drittes Fühlerglied an der Wurzel erweitert *laticornis Big. T['horaxrücken rostbraun mit zwei weilslichen Längsstriemen; Beine gelblich nudifacıes Bezzi. Thoraxrücken schwarz oder grau mit vier braunen oder grauen Längs- striemen 1%. [73] Beiträge zur Kenntnis der südamerikanischen Dipterenfauna. 365 19. Thoraxrücken schwarz, vorn mit grauen Striemen; Vorderbeine dicht behaart "grisewentris Phil. — Vorderbeine nicht besonders behaart 20. 20. Graue Art mit etwas verdiekten Hinterschenkeln, nur 3 mm lang *tephrodes Phil. — Dunklere, gewöhnlich gröfsere. Arten mit nicht verdiekten Hinter- schenkeln Zul. 21. Hinterleib silberglänzend; Hüften hell, gelblich argentifera n. sp. — Hinterleib nicht silberglänzend; Hüften grau, dunkel 22. 22. Schenkel gelb, oben mehr oder weniger verdunkelt, wie die Schienen; Hypopygium kielförmig "macrocera Big. — Schenkel schwärzlichgrau, an der Wurzel und Spitze gelb 23. 23. Schienen nackt; Gesicht dieht und lang behaart; Schildchen mit vielen Randborsten (mehr als zehn) polychaeta Bezzi. — Schienen beborstet: Schildehen mit nur vier Randborsten 24. 24. Gesicht nackt; Schildchen, aufser den vier Randborsten, ganz nackt; Hypopygsium kielförmig gymmaspis n. Sp. — Gesicht etwas behaart; Schildchen, aufser den vier gröfseren Rand- borsten, mit einigen anderen kleineren; Hypopygium nicht gekielt barbatula n. sp. 53. Hilarempis spinulosa Phil., Verh. zool. bot. Ges., XV. 757. 20. |Empis] (1865). Ein Pärchen in der Sammlung von Prof. Hermann, aus Chile, Con- cepcion, 1904. Stimmt ziemlich gut mit der Beschreibung und ist mit der folgenden sehr nahe verwandt. Sechste Längsader kurz und schwach. 54. Hilarempis spinosa n. sp. Cd". Ex griseo canescens, fronte thoracisque vittis quatuor longitudinalibus atris, abdomine vitta media lata longitu- dinali rubiginosa, antennis coxis femoribusque nigris, tibiis palpisque luteis, halteribus albicantibus femoribus antieis Nova Acta XCI. Nr. 3. 47 366 M. Bezzi, [74] distinete incrassatis omnibus subtus valide spinosis, tibiis quatuor anterioribusintus spinulosis, alis pure hyalinis, macula stigmatica elongata lutescenti, nervo sexto valido vix abbre- viato, angulo axillari recto. o' genitalibus parvis superis compressis. Long. corp. mm 6'/, alar: mm 7. Ein Männchen in der Sammlung von Prof. Hermann, aus Chile, Fermas, Tolhuaca, III. 1907. Stirn ziemlich breit, an den Seiten beborstet; Gesicht grau, nackt; Fühler grauschwarz, mit verlängertem dritten Gliede, und sehr kurzem diekem Griffel, welcher ein kurzes Börstchen am Ende trägt; Hinterkopf oben dicht schwarz beborstet unten weils behaart; Taster lang, keulenförmig, aufrecht, weils behaart; Rüssel gerade, länger als der Kopf, gelb mit ganz kurzen dieken schwärzlichen Lippen. Rückenschild mit zwei hinten ab- gekürzten samtschwarzen Längsstriemen, die seitlichen Striemen sind vorn abgekürzt, breit und mehr fleckenförmig; hinten vor dem Schildchen ein dreieckiger weilsgrauer Fleck; in der Mitte ganz kurz und sparsam behaart, mit ziemlich undeutlichen Acrostichalen und Dorsocentralen; am Halse jeder- seits eine starke Borste, Praesutural und Supraalarborsten stark, sowie ein Paar starker Borsten vor dem Schildchen; Pleuren ganz nackt, nur vorn mit helleren Haaren. Schildehen weilsgrau, mit vier starken Randborsten, die mittleren nicht gekreuzt. Schüppchen gelblich, weils bewimpert. Hinter- leib weilsgrau, auch am Bauch, ziemlich lang hell behaart, ohne Borsten. Männliche Genitalien von Heilara-Typus, oben mit einigen ziemlich langen schwarzen Haaren, an der Spitze schwarz glänzend. Beine kurz und stark, die vorderen Schenkel mehr, die mittleren wenig, die hinteren gar nicht verdickt; sie sind ziemlich lang hell behaart, und an den Schenkeln unten mit starken schwarzen Borsten bewaffnet; die Spitze aller Schenkel schmal gelblich; Vordertarsen ganz schwarz mit ziemlich verdicktem Metatarsus; mittlere Tarsen an der Wurzel, hintere aufser der Spitze gelb; Hinter- schienen aulsen mit einigen kurzen Borsten, innen ganz ohne Dornen. Flügel ziemlich lang, mit schwarzen Adern, am Grunde gelblich; Vorderast der dritten Längsader ziemlich lang und schief; Discoidalzelle mittelmäßig über die Flügelmitte hinausreichend; Analzelle ziemlich breit; Flügellappen [75] Beiträge zur Kenntnis der südamerikanischen Dipterenfauna. 367 rechtwinklig vortretend; Randader oben an der Wurzel mit einer langen sehwarzen Borste. 55. Hilarempis zanthocera Bezzi, Ann. Mus. nation. hung., III. 444. 21. (1905). Ein Weibchen aus Peru, Pichisweg, 300—700 m, I. 04; das Origimal- stück stammt gleichfalls aus Peru (Callanga). Das noch nicht beschriebene Weibchen stimmt mit dem Männchen gut überein, die Flügel sind etwas kürzer und breiter, die Discoidalzelle dreieckig, vorn stumpf; Stirn an den Seiten deutlich beborstet; Hinterleib silberglänzend, oben und unten ganz schwarz, nur mit schmalen gelben Hinterrandsäumen, welche am Bauche nach deutlicher sind; Legeröhre kurz und schmal, mit lanzenförmigen kleinen dunklen Apicallamellen. Randader ohne Basalborste. 56. Hilarempis bicingulata n. sp. Q'. Atra, lateribus einerascens, thoracis dorso indistincte vittato, abdomine crasso eylindrico luteo piloso segmentis quarto et quinto argenteo-limbatis, ventre luteo, antennis pedi- busque nigris, halteribus lutescentibus, alis dilute fuseis, macula stigmatica nigricante, nervo primo apice calloso, sexto valido abbreviato, angulo axillari recto. 9 genitalibus perparvis carinatis apice nigrospinosis; metatarso antico valde incrassato. Long. corp. mm 9—10, alar. mm 8', —9!).. Zwei Exemplare aus Chile, in der Sammlung von Prof. Hermann, Corral, III. 04. Eine prachtvolle, sehr grofse Art, welche durch die am Ende schwielenförmig erweiterte erste Flügellängsader mit argyrozona Phil. gewils verwandt ist; die Hinterleibszeichnung ist auch ähnlich, argyrozona hat aber an der Wurzel gelbe Fühler. Stirn samtschwarz, an den Seiten lang behaart; Gesicht grau, nackt; Hinterkopf grau, oben schwarz unten gelblich behaart; Fühler ganz schwarz, 47* 368 M. Bezzi, [76] mit schmalem verlängertem dritten Gliede, Griffel dünn, mit ganz kleiner Endborste; Taster gelb, am Ende oft verdunkelt, lang, oben gebogen, sehr lang gelblich behaart; Rüssel von Kopflänge, mit schwarzen Lippen. Rückenschild oben schwarz, an den Seiten und an den Pleuren grau; auf dem Rücken drei wenig deutliche schwarze Längsstriemen, die seitlichen vorn verkürzt; vorn über den Schultern weilsgraue Schillerflecken; Seiten- borsten lang und stark; Acrostichal- und Dorsocentralhaare dicht und ziemlich lang, mehrreihig. Schildehen schwarz, mit grauem Rande, auf welchem etwa 10 lange Borsten stehen. Schüppehen dunkelgelb mit gelb- lichen Wimpern. Hinterleib groß, samtschwarz, die Einschnitte weifslich, aber nur An vierten und fünften Ringe mit silberglänzenden schmalen voll- ständigen Binden; an den Einschnitten sind auch einige schwarze Borsten, sonst ist die Behaarung lang und gelblich, besonders an der Wurzel; Bauch durchsichtig gelb, Genitalien auffallend klein. Beine ziemlich lang dunkel behaart und deutlich beborstet, die Vorderschienen dieht behaart, die Mittel- schienen am Ende vielborstig; sie sind ganz schwarz, zuweilen Schenkel und Schienen an der Wurzel schmal gelb durchscheinend. Flügel mehr oder weniger dunkel getrübt, Randader an der Wurzel mit langer Borste, Discoidalzelle über die Flügelmitte hinausreichend, vorn oben verlängert, Vorderast der dritten Längsader ziemlich kurz, schief; alle Flügeladern schwarz, auch an der Wurzel. 57. Hilarempis elegans n. sp. Q. Cinerea, thoracis dorso atra lateribus vittaque media lata retro latiorialbo-canescentibus, abdomine, cano-micante, palpis antennis halteribusque nigro-fuseis, pedibus nigris geniculis anguste rufescentibus, facie sub antennas longe pilosa, alis cinereo-hyalinis, macula stigmatica nulla, nervo transverso apicali valde obliquo, sexto tenui non abbreviato, angulo axillari recto. O' genitalibus nigris mediocribus ereetisinferne carinatis; metatarso antico modice incrassato. Long. corp. mm 6!/, alar. mm 6?).. [77] Beiträge zur Kenntnis der südamerikanischen Dipterenfauna. 369 Ein einziges Männchen aus Peru, Tarma, 3000 m, 19. I. 04. Eine zierliehe schöne Art, mit eigentümlicher T'horaxzeichnung, und unten beborsteten Hinterschenkeln. Stirn samtschwarz, an den Seiten ziemlich lang behaart; Hinterkopf grauschwarz, an den Seiten weilslich, oben schwarz unten hell behaart; Gesicht grau, ziemlich lang behaart; Fühler ganz schwarz, von gewöhnlicher Gestalt, grau bestäubt; Rüssel etwa von Kopflänge, mit ganz kurzen bräunlichen Lippen. Thoraxrücken mit ziemlich langen mehrreihigen und dichten Acrostichal- und Dorsocentral- haaren; Seitenborsten stark; Pleuren grau, nackt, mit schwärzlichen Stigmen; Schildehen mit acht längeren Randborsten, die mittleren entfernt, nicht sekreuzt. Hinterleib silberschimmernd, längs der Mittellinie breit verdunkelt, an der Wurzel ziemlich lang hell behaart. Beine grau bestäubt, kurz behaart und mit ganz kurzen Borsten an den Schienen und auf der Unter- seite der hinteren Schenkel; Vordermetatarsus ziemlich dicht behaart. Schüppchen gelblich, weils behaart. Flügel etwas schmal, erste Längsader am Ende ziemlich verdickt und tief schwarz, aber kein eigentlicher Rand- malfleck vorhanden; Discoidalzelle ziemlich klein; Adern schwarz, nur an der Wurzel schmal gelb; Randader an der Wurzel ohne längere Borste. Vorderschenkel nicht verdickt. 58. Hilarempis carinata n. sp. 2. Cinerea, thoracis dorso vittis quatuor fuseis externis ab- breviatis minus distinetis, palpis antennisque nigro fuseis, pedibus nigro fuseis tibiis metatarsisque longesetosis, halteri- bus fuscescentibus, facie et scutello praeter setas quatuor marginales nudis, alis elongatis cinereo-hyalinis, macula stig- matica nulla, nervo transverso apicali breviter obliquo saepe fraeto atque partim nullo, nervo sexto spurio apice abbreviato, angulo axillari late obtuso. g' eribus, subtus et extus carina elevata translueida praeditis. metatarso antico valde incrassato, genitalibus medio- ? brevius pilosa, metatarsis antieis simplicibus, terebra retracta lamellis terminalibus lanceolatis nigro fuseis. Long. corp. mm 3'!h—4, alar. mm 4", —5, 370 M. Bezzi, [78] Drei Exemplare aus Bolivien, Cordillere, 40900— 5000 m, 24. XII. 04. Eine wenig auffallende Art, deren Genitalien an die von Pachymeria erinnern; merkwürdigerweise ist die Spitzenquerader bei einem Exemplare in beiden Flügeln, bei einem anderen auf dem linken Flügel gebrochen und zum Teil fehlend. Stirn grau, in beiden Geschlechtern gleich breit, an den Seiten ziem- lich lang beborstet; Gesicht ganz nackt; Rüssel so lang wie der Kopf, gerade, schwarz, mit kurzer dieker schwarzer Lippe; drittes Fühlerglied an der Wurzel ziemlich verbreitert; Rückenschild ziemlich lang behaart, mit mehrreihigen Haarborsten; die Seitenstriemen sind fleckenförmig und wenig deutlich; Pleuren nackt, mit weilslichen Stigmen. Mittlere Schildehenborsten an ‘der Spitze etwas gekreuzt. Hinterleib grauweifs schimmernd, ziemlich lang hell behaart. Beine bei dem Männchen viel länger beborstet als bei dem Weibehen; Vorder- und Mittelschienen an der Spitze mit einigen sehr langen Borsten; Vordermetatarsen ziemlich nackt, oben mit einigen langen Borsten; hintere Metatarsen oben mit einigen sehr langen Borsten. Rand- ader an der Wurzel mit einer sehr langen Borste; erste Längsader am Ende etwas verdickt und tief schwarz; Adern ziemlich hell; Flügeilappen weniger vortretend. 59. Hilarempis gymnaspis n. sp. ©'. Praecedenti notis omnibus simillima at distineta statura majori, halteribus albidis, pedibus minus longe setosis tibiis luteis, metatarsis antieis vix incrassatis, abdomine obseure einereo vitta fusca longitudinaliinterdum distincta, antennarum articulo tertio basi non dilatato, alarum angulo axillari recto, senitalibus carina minus elevata atque opaca nigricante. Long. corp. mm 5—5'h, alar. mm 6—6!};. Zwei Männchen aus Peru, Cuzco, 3500 m, IIL—IV. 05. Stirn an den Seiten sehr lang behaart, Gesicht ganz nackt. Auch die Metatarsen rötlich. Die mittleren Randborsten des Schildchens sind nicht gekreuzt, nur am Ende etwas konvergierend. Flügellappen stark vortretend; Vorderast der dritten Längsader immer vollständig, sechste Längsader verschwindend. Schenkel an der Spitze rötlichgelb. [79] Beiträge zur Kenntnis der südamerikanischen Dipterenfauna. : ByPi 60. Hilarempis barbatula n. sp. C". Cinerea, thoraeis dorso vittis quatuor longitudinalibus fuscis externis maculiformibus minus distinctis, antennis nigr.o einereis, palpis lutescentibus, halteribus albidis, facie distinete pilosa, scutello praeter setas quatuor majores setulasnonnullas breviores marginales gerente, alis cinereo-hyalinis, macula stigmatica elongati dilute fusca, nervo transverso apicali valde obliquo interdum fraeto, nervo sexto abbreviato, angulo axillari recto vel vix obtuso. go" nigris carina postica fere nulla. metatarso antico simpliei, genitalibus parvis ereetis Long. corp. mm 4—4!/,, alar. mm 4! —4°ı. Einige Exemplare aus Peru, Oroya, 3700—4000 m, 21. I. 04. Auch diese Art ist mit den zwei vorhergehenden sehr nahe verwandt, und zeigt alle Merkmale wie diese; unterscheidet sich aber durch das be- haarte Gesicht und Schildehen. Die Beine sind wie bei gymnaspis gefärbt, die Schenkel oft an beiden Enden breiter rötlichgelb, und wie bei dieser behaart; es fehlen auch hier die längeren Borsten der carinata. Hinterleib in der Mitte schwärzlich, an den Seiten hellgrau. Genitalien klein und weniger gekielt. Drittes Fühlerglied an der Wurzel nicht erweitert. Es ist merkwürdig, dafs auch bei dieser Art, wie bei carinata, die Spitzen- querader zuweilen gebrochen ist; bei einem Exemplar fehlt sie auf einem Flügel gänzlich. 61. Hilarempis argentifera n. sp. 2. Tribus praecedentibusiterum simillima, facie seutelioque praeter setas marginalesnudis, halteribus pallide luteis, alarıum macula elongata stigmatica fusca distincta, nervo transverso apicali valde obliquo basi anguste decolori, nervo sexto ab- breviato, angulo axillari obtuso, at pedibus cum coxis omnino luteseentibus, tarsis tantum fuseis, distineta. ?2 abdomine toto argenteo micante, terebra exserto elon- gata nigro-fusca, lamellis apicalibus lanceolatis. Long. corp. mm 5! (cum terebra), alar. mm 5}/.. 372 M. Bezzi, [80] Ein Weibchen aus Chile, Quillota, 1000 m, 20. IX. 02. Diese Art ist gewils mit den drei vorhergehenden nahe verwandt, kann aber unmöglich das Weibchen einer derselben sein; auch das Vaterland ist verschieden. Die Art scheint mit Haplomera argentea Phil., gleichfalls aus Chile, die Färbung des Hinterleibes gemein zu haben, zeigt aber ein- fache Hinterschenkel, lange Hinterschienen und beborstete Beine. Stirn an den Seiten kurz beborstet; drittes Fühlerglied an der Wurzel etwas breit. Die Hüften sind deutlich gelb, die hinteren zuweilen aufsen etwas graulich; Beine ganz kurz behaart, die vier hinteren Schienen mit deutlichen, wenn auch nicht langen schwarzen Borsten. Die lange Borste an der Wurzel der Costa ist auch bei dieser wie bei der vorigen vorhanden; erste Längs- ader am Ende deutlich verdickt; Spitzenquerader an ihrer Wurzel kurz ver- blafst. Flügellappen ziemlich vortretend; der Axillarwinkel nur wenig stumpf. Anmerkung 1, Die vier vorhergehenden Arten bilden einen natür- lichen Verwandtschaftskreis, zu welchem auch macrocera Bigot aus Chile zu gehören scheint. Anmerkung 2. Aus Chile, Corral, 7. IX. 02, hat Herr Schnuse auch ein Weibchen einer kleinen neuen Art dieser Gattung mitgebracht, welche helle Taster, Schwinger und Beine zeigt, sowie einen grauen un- gestriemten Thoraxrücken und glashelle Flügel mit sehr stumpfem Axillar- winkel und wenig vortretenden Flügellappen. 10. Haplomera Maeg. Wie ich diese Gattung 1905 begrenzt habe, ist es schwierig fest- zustellen, ob alle in ihr untergebrachten Arten zu derselben auch wirklich gehören. Der Charakter der versteckten, nicht verlängerten Legeröhre findet sich bei der hier angeführten Art nicht. Gute Charaktere bleiben: die Nacktheit der Beine, die geringe Entwickelung der 'Thoraxborsten und die Verlängerung des dritten Fühlergliedes. 7oreus Melander') scheint eine verwandte Gattung zu sein, zeigt aber gar keine Thoracalborsten, kürzere Fühler, nicht verdickte Hinterschenkel und viel längeren Rüssel. Die Art 1) Entomological News, 1906, 376, fig. 0. [51] Beiträge zur Kenntnis der südamerikanischen Dipterenfauna. 319 brachystoma Phil., welche ich 1905 hierher gebracht hatte, scheint besser bei Ailarempis zu stehen, ungeachtet der verdickten Hinterschenkel. Nu- dipes Macq., welche ich 1905 bei Empis gelassen hatte, ist sicher bei Haplomera wegen der nackten Beine, Fühlerform etc. einzureihen. Zweifel- haft scheinen mir dagegen die Arten modesta und obscwrata Phil., weil die Beine als ziemlich behaart beschrieben sind; die meisten Merkmale sind aber denen der Gattung Haplomera entsprechend. Einige der von Philippi beschriebenen chilenischen Arten scheinen wegen der sehr kleinen Statur auffallend zu sein. Die echten und die wahrscheinlichen Haplomera-Arten lassen sich wie folgt unterscheiden: 1. Beine schwarz | 2. — Beine hell 4. 2. Schwarz glänzend, ohne deutliche T'horaxstriemen; Beine ziemlich behaart *"obscurata Phil. — Grau; Thoraxrücken mit vier deutlichen Längsstriemen; Beine kaum flaumhaarig &% 3. Hinterleib schwärzlich, mit weilslichen Einschnitten "Gayi Macg. — Hinterleib grau, mit schwarzen Hinterrandsäumen der Ringe "nudipes Macao. 4. Beine ziemlich behaart; Flügel dunkel getrübt "modesta Phil. — Beine höchstens flaumhaarig Ö- 5. Flügel angeraucht; Gesicht silberglänzend; Schwinger- graulich "obscuripenmis Phil. — Flügel hyalin oder höchstens graulich; Schwinger gelblich 6. 6. Hinterleib silberglänzend; Thoraxrücken gestriemt “argentata Phil. — Hinterleib nicht silberglänzend 7, 7. 'T'horaxrücken nicht gestriemt a — Thoraxrücken mit deutlichen Längsstriemen 11. 8. Hinterschenkel sehr stark verdiekt und länger als der Hinterleib; mittlere Schenkel deutlich verdickt "rubripes Phil. — Hinterschenkel minder stark verdiekt und kürzer als der Hinterleib 7. Nova Acta XCI. Nr.3. 48 374 M. Bezzi, [82] 9. Thoraxrücken glänzend erzfarbig; Hinterschenkel mit dunklem Ringe “brachygastra Phil. — T'horaxrücken nicht glänzend; Hinterschenkel ganz gelb 10. 10. Tarsen schwärzlich “fulvipes Phil. — Tarsen nur an der Spitze geschwärzt gymmopoda Bezzi. 11. Sehwinger schmutzig dunkelgelb; Spitzenquerader sehr schief liegend; Hinterleib grauweils notogramma Bezzi. — Schwinger hellgelb; Spitzenquerader minder schief: Hinterleib in der Mitte schwärzlich an den Seiten grauweils oder mit weilsgelben Hinter- randsäumen chilensis n. sp. 62. Haplomera chilensis n. sp. I 2. Cinerea, thoracis dorso vittis quatuor longitudinalibus fuseis externis abbreviatis, facie pilosa palpis halteribusque albicantibus, ventre luteo translucido, pedibus nudis luteis, femoribus posticis modice incrassatis quam tibiis longioribus, alis hyalinis macula elongata stigmatica fusca distincta, nervo sexto abbreviato, angulo axillari late aperto. O' tarsis nigroannulatis metatarso antico paulluloincras- sato, abdomine cano vitta lata media longitudinali fusca, geni- talibus parvis acutis erectis. ? tarsis simplieibus, abdomine nigro fusco limbo postico segmentorum lutescenti, terebra elongata exserta lamellis api- calibus elongatis. Long. ecorp. mm 4!,—5, alar. mm 4—4!).. Viele Exemplare beider Geschlechter aus Chile, Valparaiso, 12. IX. 02, Concepeion, 150 m, 10. IX. 02 und die meisten aus Quillota, 1000 m, 20—22. IX. 02. Eine wenig auffallende Art, welche mit keiner der von Philippi be- schriebenen Art übereinstimmt; sie scheint in Chile von der Meeresküste bis 1000 m häufig zu sein. Stirn grau, in beiden Geschlechtern gleich breit, an den Seiten kurz behaart; Gesicht grau, deutlich behaart; Hinterkopf grau, mit wenigen, oben [83] Beiträge zur Kenntnis der südamerikanischen Dipterenfauna. 375 dunkleren unten helleren Haaren; Fühler lang, aufgestreckt. schwarzgrau, an der Wurzel etwas heller; drittes Glied verlängert, mit ganz kurzem Griffel; Taster grols, aufgebogen, hellgelb, wenig behaart; Rüssel länger als der Kopf, dunkelgelb oder schwärzlich, glänzend, mit dunkeln Lippen. Rückenschild glanzlos, hellgrau, mit hervortretenden dunkeln etwas glänzen- den Striemen; die mittleren sind schmal, vollständig, ziemlich entfernt von einander; die seitlichen sind breiter und vorn stark abgekürzt; Rücken mit ganz kurzen Haaren, die Acrostichalen deutlich zweireihig; Humeralborsten fehlend; an den Seiten vor der Flügelwurzel eine starke schwarze Borste; Pleuren grau, ganz nackt, mit weisen Stigmen. Schildehen grau, mit vier kurzen Randborsten. Schüppchen hellgelb, weils bewimpert. Hinterleib ziemlich lang und schmal, sparsam hell behaart, in beiden Geschlechtern verschieden gefärbt; beim Weibchen der Bauch manchmal aufgeblasen. Beine samt den Hüften ganz lichtgelb; an den Trochanteren und an den unteren Spitzen der Schenkel bemerkt man kleine schwarze Flecken; die Schenkel zuweilen oben verdunkelt; Tarsen schwärzlich, beim Männchen deutlich geringelt, d.h. die Glieder schwarz am Grunde schmal hellgelb; sie sind kurz flaumig, an den Mittelschenkeln etwas länger behaart; hintere Schenkel bei beiden Geschlechtern deutlich verdickt. Flügel beim Weibehen etwas breiter als beim Männchen, mit schwärzlichen an der Wurzel gelben Adern; Randader die Flügel umlaufend, an der Wurzel ohne die lange Borste der meisten Hilarempis-Arten; dritte Längsader am Ende etwas nach unten geneigt, ihr Vorderast ziemlich lang aber nicht sehr schief; Discoidalzelle verhältnismälsig klein; Flügellappen nur wenig vortretend, Axillarwinkel daher breit stumpf. 11. Hilara Meig. Die Auffindung von echten Ailara-Arten in Südamerika steht im Widerspruch mit dem von mir 1905 Gesagten; wahrscheinlich sind die Arten auf die Gebirge beschränkt. Es ist recht bemerklich, dafs die zwei ersten der unten beschriebenen Arten, welche eine ganz besonders starke sechste Längsader besitzen, alle die Kennzeichen der Haplomera-Arten (die gebrochene Hilfsader ausgeschlossen) zeigen. Eine besondere Gattung hier- 48* 376 M. Bezzi, [84] auf zu gründen scheint aber verfrüht, da auch bei den echten Hhrlarempis die Gestalt der sechsten Längsader sehr veränderlich ist. Die fünf echten Hilara-Arten, welche Herr Schnuse in Südamerika entdeckt hat, lassen sich wie folgt unterscheiden. 1. Sechste Längsader sehr stark und lang; Rüssel ziemlich dünn, länger als der Kopf; Hinterschenkel etwas verdickt, bedeutend länger als die entsprechenden Schienen 2. — Sechste Längsader kurz und verschwindend; hüssel kurz und dick; Hinterschenkel weder verdiekt noch verlängert 3. 2. Thoraxrücken fast nackt; Beine kurz behaart, die Schienen gleichmälsig kurz flaumig aberrans n. Sp. — Thoraxrücken behaart; Beine länger behaart; die Schienen mit längeren feinen Borsten abnormis n. Sp. 3. Schwinger schwarz; T'horaxrücken schwarz, nicht gestriemt irritans n. sp. — Schwinger hell; 'Thoraxrücken grau, mit deutlichen dunkeln Längs- striemen 4. 4. Grölsere Art; Beine heller, die vorderen dicht behaart; Pleuren an der Flügelwurzel und die Schulterschwielen gelblich perplexa n. sp. — Kleinere Art; Beine dunkler, die vorderen minder behaart; Rücken- schild ohne gelbliche Flecken perturbans n. sp. 63. Hilara aberrans n. sp. Q' (Taf. Fig. 5). Ex olivaceo fusca, lateribus cinerascens, thoraeis dorso vittis duabus longitudinalibus distantibus postice abbreviatis atris, antennis palpis halteribus pedibusque nigris, facie con- vexa pilosa, haustello capite fere bilongiore, antennis porrectis articulo ultimo lineari elongato, pedibus breviter pilosis, femoribus postieis paullo incrassatis tibiis distinetelongioribus, alis elongatis griseo-fuscescentibus, macula stigmatica vix di- stineta, nervis omnino nigris, transverso apicali valde obliquo, sexto valido apice paullo abbreviato, angulo axillari late obtuso. [85] Beiträge zur Kenntnis der südamerikanischen Dipterenfauna. 317 oO’ metatarso antico eylindrico elongato non distincte in- erassato, genitalibus pediformibus erectis apice dentatis. Long. corp mm 5}, alar. mm 7. Ein Exemplar aus Bolivien, Mapiri, Cordillere, 3000 m, 12. V. 03. Eine schöne interessante Art, welche von dem gewöhnlichen Aklara- Typus abweicht und ganz das Aussehen einer Haplomera besitzt; die Hilfs- ader ist aber ganz vollständig und mündet regelmälsig in die Costa. Stirn samtschwarz, vorn etwas schmäler, an den Seiten kurz be- haart; Gesicht ganz behaart, unter den Fühlern etwas vorstehend, in der unteren Hälfte in der Mitte vertieft und dort dunkelgrau, sonst samtschwarz; Fühler schmal und lang, mit ziemlich langem Griffel, welcher am Ende eine kurze Borste trägt; Basalglieder der Fühler nur kurz und sparsam behaart; Taster grols, keulenförmig, kurz behaart; Rüssel ganz schwarz glänzend, mit schwärzlichen kurzen Lippen; Hinterkopf grau, ziemlich vorstehend, am unteren Augenrande schmal weilslich, kurz schwarz behaart, unten mit einigen längeren Haarborsten; Ocellarborsten fehlend, oder nieht länger als die anderen Haare. T'horaxrücken auf der Mitte ganz kurz und gleichmälsig behaart, ohne Schulterborste; eine einzige Borste an der Seite, vor der Flügelwurzel; Pleuren grau, nackt, mit schwarzen Stigmen. Schildchen grau, am hinteren Rande mit acht kurzen Borsten, die mittleren gekreuzt. Schüppchen schwärzlich und schwarz bewimpert. Hinterleib einfarbig, kurz schwarz behaart; sechster Ring oben länger und dichter behaart; Genitalien ziemlich grols, grau, kurz schwarz behaart, ganz geschlossen. Beine ganz schwarz, dunkelgrau bereift, gleichmälsig kurz behaart, ohne Borsten; nur an der Spitze der Hinterschenkel bemerkt man einige längere Haare. Flügel schmal und lang, besonders gegen die Wurzel schwärzlich getrübt; die Rand- ader umläuft den ganzen Rand der Flügel, und zeigt an seiner Wurzel gar keine lange Borste; dritte Längsader nach der Gabelung etwas stark nach unten ceneigt; Discoidalzelle ziemlich klein, trapezförmig, in der Mitte der Flügel; Flügellappen nur sehr wenig vortretend; Flügelwurzel ganz schwarz. 64. Hilara abnormis n. sp. Q". Praecedenti simillima at certe distineta statura minori, thoraeis dorso longius piloso vittisque atris obsoletioribus, 378 M. Bezzi, [86] halteribus fuseis non nigris, pedibus longius hirtis etintibiarum latere externo setis longioribus distinetis praeditis, metatarso antico in mare basi distincte incrassato, femorum posticorum apice distinete rufescente. Long. corp. mm 4, alar. mm 5. Ein Exemplar aus Peru, Öhanchamayo, 800 m, 12. 1. 04. Mit der vorigen nahe verwandt; auch die Genitalien sind ähnlich gebaut, mit den vier oberen Stacheln länger und frei und der Penis an der Spitze gekrümmt. Die Hinterschenkel sind verhältnismäfsig gröfser, an der Spitze deutlich rötlich. Schüppehen dunkel gelblich. Flügel gleichmäßig dunkel getrübt, an der Wurzel nicht dunkler; sechste Längsader noch länger als bei den vorigen, nur ein wenig vor dem Flügelrande abgekürzt. 65. Hilara irritans n.sp. O2. Nigra, tomento obscure ceinereo adspersa, palpis antennis halteribus pedibusque nigris, thoraeis dorso non distincte vit- tato, metatarsis antieis in utroque sexuincrassatis, alis griseo- fuscescentibus, macula stigmatica dilute fusca, nervo auxiliari interdum ante costam fracto, sexto spurio abbreviato. O' pedibus antieis pilis brevibus crebre hirtis, genitalibus parvis erectis. ? pedibus antieis nudiusculis, terebra elongata lamellis terminalibus rectis. Long. corp. mm 3—3'h,, alar. mm 3! — 3°. Einige Exemplare aus Chile, Quillota, 1000 m, 20. IX. 02. Eine kleine Art, bei welcher die Hilfsader bisweilen vor der Costa mündet; der ganze Habitus ist aber mit dem unserer Arten aus der Gruppe femorella Zett. übereinstimmend. Auch der Vorderast der dritten Längsader ist zuweilen an der Wurzel unterbrochen. Ganz merkwürdigerweise sind die Vordermetatarsen auch beim Weibchen stark verdickt. Stirn in beiden Geschlechtern gleich breit, an den Seiten ziemlich lang beborstet; Gesicht behaart; oben am Augenhinterrande stehen einige sehr lange vorn gebogene Borsten; Fühler ziemlich kurz, mit kurzem dieken Griffel; Rüssel dick, so lang wie der Kopf. Rückenschild undeutlich [87] Beiträge zur Kenntnis der südamerikanischen Dipterenfauna. 379 gestriemt, mit kurzen mehrreihigen Acrostichal- und Dorsocentralhaaren; Schildehen mit sechs bis acht Borsten am Rande, die mittleren stärker und gekreuzt. Schüppchen schwärzlich und mit schwarzen Wimpern. Hinterleib kurz und sparsam dunkel behaart, ohne Zeichnung. Beine ganz schwarz. kurz behaart, ohne längere Borsten, auch an den Hinterschienen; Hinter- schenkel nicht verdickt, so lang wie die Schienen; Vordermetatarsus auch beim Weibchen stark verdiekt. Flügel ganz normal; an der Wurzel der Randader ist eine lange Haarborste vorhanden; dritte Längsader nach der Gabelung nur wenig nach unten geneigt; Flügellappen deutlich vortretend, Axillarwinkel recht. 66. Hilara perplexa n.sp. O' 2. Cinerea, thoracis dorso vittis duabus longitudinalibus fuseis, humeris et pleuris ad alarum radicem anguste lutes- centibus, antennarum basi pedibusque obscure rufescentibus, halteribus albidis, alis cinereo-hyalinis, macula stigmatica dilute fusca, nervo sexto spurio abbreviato. O' pedibus antieis hirsutis metatarsis incrassatis, geni- talibus parvis erectis. ? pedibus antieis nudiuseulis metatarsis simplieibus, terebra brevi retracta. D. Drei Exemplare aus Peru, Laresthal, 2000—4000 m, 7—10. VII. 03. Eine echte Hilara, von unseren Arten aus der Gruppe der inter- Long. corp. mm 3! —4, alar. mm 4! stineta Fall. nicht weit verschieden. Fühler ziemlich lang, mit langem Griffel; Gesicht behaart; Seiten der Stirn und oberer Augenbinterrand mit sehr langen Borsten; Taster grofs, gelblich, mit langen hellen Haaren; Rüssel so lang wie der Kopf. T'horax- rücken ziemlich lang behaart; Pleuren nackt, mit weilsen Stigmen. Schildehen mit vier langen Randborsten, die mittleren gekreuzt. Schüppchen gelblich, weils bewimpert. Hinterleib ziemlich lang hell behaart, an der Wurzel und am Bauche zuweilen gelblich durehscheinend. Beine zuweilen ganz rötlich, zuweilen verdunkelt, beim Männchen ziemlich lang behaart. Flügel lang 380 M. Bezzi, [88] und schmal; dritte Längsader ziemlich gerade; Flügellappen vortretend, Axillarwinkel recht. 67. Hilara perturbans n.sp. J'?. Praecedenti simillima at distineta statura paullo minori, antennarum basi non lutescente, palpis pedibusque nigro- cinereis, thoracis maculis luteis nullis pedibusque anticis maris minus hirtis. Long. corp. mm 2!— 3, alar. mm 3! —4!h. Viele Exemplare beider Geschlechter aus Chile, Palca, 3000-3500 m, 16-20. X. 02, und Peru, Cuzeo, 3500 m, 10. VIL 05. Eine der vorigen sehr ähnliche Art, welche aber gewöhnlich ein wenig kleiner und dunkler gefärbt ist. Hinterschenkel unten mit kurzen schwarzen Börstehen dicht besetzt. Männliche Genitalien sehr klein, der Penis an der Spitze hervorragend. Hinterleib ganz schwarzgrau, unten nicht gelb durchscheinend. Flügel glashell, mit verschwindender sechster Längsader. 12. Amictoides NOV. gen. Ich gründe diese neue Gattung auf Hilara? breviwentris Phil., Verh. zool. bot. Ges., XV. 762. 5. (1865), welche ich 1905 in der Gattung Apaloc- nemis untergebracht hatte, weil bei der Beschreibung die zusammensto/senden Augen des Männchen erwähnt sind. Das Tier erinnert an die Bombyliiden- gattung Amictus, daher der Name. Von der nahe verwandten Apalocnemis Phil., wie ich dieselbe 1905 verstanden habe, unterscheidet sich die neue Gattnng besonders wegen des langen kegelförmigen dritten Fühlergliedes, dessen Griffel kürzer als das Glied ist; aufserdem ist der Rüssel länger, etwa so lang wie der Kopf, nicht ganz kurz und versteckt; die Borsten sind weniger entwickelt und der Habitus ist verschieden. 68. Amictoides breviventris Phil., Verh. zool. bot. Ges, XV. 762. 5. [? Hilara) (1865); Bezzi, Ann. Mus. nation. Hung., III. 444. [Apaloc- nemis]) (1905) (Taf. Fig. 6). [89] Beiträge zur Kenntnis der südamerikanischen Dipterenfauna. 381 Ein Männchen aus Chile, Concepeion, 1903, m der Sammlung von Prof. Dr. Hermann. Zur ziemlich ausführlichen Beschreibung : Philippis habe ich nur folgendes beizufügen: Das dritte Fühlerglied ist deutlich geschwärzt, aber nicht eigentlich schwarz und an der Wurzel gelb; die Basalglieder sind ziemlich kahl; Taster gelb, hell behaart; Augen eng zusammenstolsend, die oberen und vorderen Felder viel gröfser als die unteren und hinteren; Ocellenhöcker ziemlich grols, Hinterkopf grau, schwarz beborstet. "Thorax ohne starke Humeralborsten; Acrostichalhaare ganz kurz und vielreihig; Dorsocentral- borsten vorn kurz, mehr haarförmig, hinten länger, schwarz; Seitenborsten stark; Pleuren gelblich grau, ganz nackt, mit gelblichen Stigmen. Schildehen an der Spitze mit zwei langen gekreuzten Borsten und an den Seiten mit einigen viel kürzeren Borsten. Metanotum grau. Schüppchen weilslich, hell behaart. Hinterleib ganz gelb, oben grau schimmernd, mit hellen Haaren und schwarzen Borsten an den Einschnitten; Genitalien braungelb, sanz klein, aufrecht, geschlossen. Metatarsus der Vorderbeine etwas ver- dickt; Schienen aufsen mit ziemlich langen schwarzen Borsten, alle Hüften gelb. Flügel ohne deutlichen Randmalfleck; Hilfsader vor der Costa mündend; Randader nach der Mündung der dritten Längsader verdünnt; dritte Längsader nach dem Ursprung des Vorderastes etwas nach unten geneigt, ihr Vorderast schief aber ziemlich kurz; Discoidalzelle klein; sechste Längsader stark abgekürzt; Flügellappen stark vortretend, Axillar- winkel spitz; Randader an der Wurzel mit einer langen schwarzen Borste. 13. Phleboctena noV. gen. Cum genere praecedenti notis antennarum, alarum et proboseidis omnino convenit, at ab illo ut ab omnibus Empidi- darum generibus vena longitudinali prima per totam longi- tudinem distinete pilosa mox dignoscendum. Diese neue Gattung stimmt im ganzen Habitus mit der vorigen voll- kommen überein: Rüssel- und Fühlerbildung, Rückenschildbeborstung, Noya Acta XCI. Nr. 3. 49 382 M. Bezzi, [90] Kahlheit der Pleuren, Kürze des Hinterleibes, Einfachheit der Beine; Flügel- geäder ganz wie bei dieser; die der ganzen Länge nach kurz, aber deutlich behaarte erste Längsader unterscheidet jedoch die Gattung von allem andern. Die typische Art hat mit Amictoides breviventris Phil. grofse Ähnlichkeit; sie zeigt ziemlich schmal getrennte Augen und scheint daher ein Weibchen zu sein; über das Geschlecht des einzigen untersuchten Exemplares bin ich aber im Zweifel, wie unten noch gesagt wird. 69. Phleboctena lutea n.sp. % (?) (Taf. Fig. 7, 8). Ex luteo rufescens, abdomine cano-micante, thoracis dorso vittis duabus longitudinalibus fuseis, antennis halteribus pedi- busque pallide luteis, femoribus quatuor posterioribus subtus apicem versus setis brevibus, nigris. praeditis, alis hyalinis, macula stigmatica dilute lutea, nervo transverso apicali valde obliquo, sexto abbreviato, angulo axillari paullo acuto. ? oculis anguste remotis, metatarso antico simpliei, geni- talibus retractis. Long. corp. mm 6, alar. mm 7!).. Ein einziges Exemplar aus Chile, Cordilleras, Rancagua, XIl. 1903, in der Sammlung von Prof. Dr. Hermann. Ganz und gar gelb, auf dem T’'horax ins rötliche ziehend; Hinterleib zart weils schimmernd. Hinterkopf gelb, schwarz beborstet; Ocellenhöcker grols, mit zwei Borsten; Stirn ziemlich schmal, an den Seiten mit wenigen kurzen hellen Haarborsten; Untergesicht kurz, breiter als die Stirn, am Mundrande etwas vorgezogen; Taster gelb, hell behaart; Rüssel stark, so lang wie der Kopf, glänzend gelb, mit dieken und kurzen gelben Lippen; Fühler ganz gelb, die Basalglieder ziemlich kurz und beinahe nackt; drittes Glied verlängert kegelförmig, nur an der äufsersten Spitze schwarz, mit schwarzem ziemlich dünnem Griffel, welcher etwas kürzer als das Glied ist. Thorax grols und stark, auf dem Rücken kurz behaart, nur hinten und an den Seiten mit langen schwarzen Borsten; Pleuren ganz kahl. Schildchen klein, mit vier langen Randborsten; Metanotum rotgelb. Schüppchen weils- gelb, hell bewimpert. Hinterleib kurz, stumpf, kurz schwarz behaart, ohne [91] Beiträge zur Kenntnis der südamerikanischen Dipterenfauna. 385 alle Zeichnung. Der letzte Ring ist nach hinten offen, und die Genitalien sind in demselben ganz und gar versteckt; es ist daher schwierig zu sehen, ob man es mit einem aulserordentlich kleinen männlichen Haltorgane, oder mit einer ganz stumpfen und kurzen Legeröhre zu tun hat. Beine samt den Hüften ganz gelb, auch die Tarsen am Ende nicht gebräunt; sie sind äulserst kurz behaart, und zeigen kurze schwarze Borsten nur an den Hüften und an den vier hinteren Schenkeln und Schienen. Flügel lang und breit, mit gelblichen Adern; Costa gelb, an der Wurzel mit einer schwarzen Borste, nach der Mündung der dritten Längsader dünner; Hilfs- ader weit vor der Costa mündend; dritte Längsader nach dem Ursprung des Vorderastes stark nach unten geneigt, hier der Vorderast sehr schief liegend, beinahe horizontal; Discoidalzelle grofs; Flügellappen stark vor- tretend. 14. Apalocnemis Philippi. In dieser Gattung belasse ich die Arten, welche im männlichen Ge- schlechte zusammenstolsende Augen besitzen, deren Metapleuren nackt sind, deren drittes Fühlerglied kurz ist und einen langen Griffel trägt und deren vüssel in der Mundöffnung verborgen ist. Diese Arten sind aufserdem ziemlich lang und dicht beborstet. Sehr wahrscheinlich stimmt diese Gattung mit Gloma Meig. gänzlich überein. Die drei Arten lassen sich wie folgt unterscheiden. 1. Flügel bunt; Körperfärbung rötlichgelb, mit besonderer Zeichnung variegata Bezzi. — Flügel nicht gefleckt; Körperfärbung schwarzgrau 2. 2. Randmalfleck undeutlich; Hinterleib schwarz *obscura Phil. — hRandmalfleck deutlich vorhanden; Hinterleib schwarz, mit weilsen Ringen cingulata n. sp. (0. Apalocnemis cingulata n.sp. 9' ? (Taf. Fig. 9). Ex nigro einerascens, opaca, setis longis nigris hirta, thoraeis dorso vittistribus, latis, longitudinalibus, atris, abdomine cano, basi vittisque transversis latis ad basin segmentorumatris, 49* 384 M. Bezzi, [92] antennis nigris, articulo tertio brevi, rotundato, seta longa cras- siuseula terminato, palpis halteribusque luteis, pedibus nigris, femorum apice, tibiis tarsorumque basi luteis, alis cinereo- hyalinis praeter maculam stigmaticam elongatam, fuscam, im- maculatis, nervo transverso apicali valde obliquo. J' oculis connexis, genitalibus parvis, vix prominentibus. ? oculis late remotis, terebra brevi, valida, apice spinigera. Long. corp. mm 3—3!", alar. mm 4—-4!},. Zwei Pärchen aus Peru, Sicuani, 3500 m, 17.—20. V1. 03 und Cuzeo, 3500 m, 5. VII. 05, und aus Bolivien, La Paz, 3700 m, 8. XII. 02. Eine sehr schöne Art, welche bei obscura Phil. zu stehen scheint. Kopf sehr lang schwarz behaart, besonders unten und beim Männchen; drittes Fühlerglied kugelig, deutlich behaart, Griffel etwa zweimal so lang als die ganzen Fühler; Rüssel schwarz, kurz, stumpf, fleischig, ganz ver- borgen. hückenschild mit langen Borsten, auch die Acrostichalen lang; ein Büschel von Humeralborsten; Pleuren schwärzlichgrau, ganz nackt, mit schwarzen Stigmen. Schildchen dunkelgrau, an der Wurzel sammtschwarz, mit vielen aufrechten RKandborsten, die mittleren ‘gekreuzt. Schüppchen gelblich, hell bewimpert. Hinterleib mit hervortretender Zeichnung; auf den hinteren grauen Teilen der Ringe steht eine Reihe langer schwarzer Borsten. Männliche Genitalien klein, aufrecht, wenig vorstehend, schwarz, an der Spitze gelblich, oben mit zwei schwarzen und schwarzbehaarten kurzen Anhängen; Legeröhre schwarz, unten gelb, an der Spitze mit einigen starken gelben Dornen. Beine kurz behaart, nur die Schenkel beim Männchen an den unteren Seiten mit langen schwarzen Haarborsten; beim Weibchen die Schenkel fast ganz gelb, nur in der Mitte gebräunt. Flügel etwas graugelblich tingiert, mit gelblichen Adern; Hilfsader lang, vollständig, der ersten Längsader sehr nahe gerückt; Gabel der dritten Längsader schmal und spitz; Discoidalzelle grofs; sechste Längsader abgekürzt; Flügellappen stark vortretend, Axillarwinkel ein rechter; Costa um den ganzen Flügel laufend, an der Wurzel mit einer langen Borste; Vorrandzelle deutlich erweitert. [93] Beiträge zur Kenntnis der südamerikanischen Dipterenfauna. 385 15. Hoplopeza nov. gen. Apud Leptopezam Maeg. loecandum, stylo antennarum breviter et dense piloso, pedibus posticis armatis atque nervo transverso, cellulam analem extus limitante subtus interrupto, distinetum. Diese neue Gattung steht bei Leptopeza Maeq., und zeigt ein stark verlängertes drittes Fühlerglied, mit endständiger dicker Borste; Rüssel kurz, wenig vorstehend; Augen oben und unter den Fühlern zusammenstolsend (beim Weibchen ?), nackt; Rückenschild nur wenig gewölbt; Hinterschienen am Ende mit langen Dornen bewaffnet; Hintermetatarsus oben stark gedörnelt. Flügel schmal, gegen die Basis hin keilförmig verschmälert, ohne Flügel- lappen; Discoidalzelle lang, nur zwei Adern zum Flügelrande sendend; untere Hälfte der Analquerader gänzlich fehlend. 71. Hoplopeza chloropa n. sp. ©' (Taf. Fig. 10, 11, 12). Nigra, nitida, pleuris einereo-canis, palpis antennarum basi halteribusque lutescentibus, segmentorum abdominalium basi late lutea, pedibus ex luteo viridibus, praesertim postiecis, femorum posticorum annulo medio, tibiis postieis tarsorumque omnium artieulis ultimis nigris, alis cinereo-hyalinis, macula stigmatica nulla, cellulae praemarginalis apice extremo nigri- cante infuscato. g' oeulis supra et infra antennas connexis, tibiis antieis intus pilis pallidis longissimis fimbriatis, tibiis postieis apice spinis aliquibus armatis, quarum infera longissima calcariformi ineurva, metatarso postico supra spinulis cerassis, brevibus, erectis serrulato, genitalibus parvis, rotundatis, setas sex nigras, validas, spiniformes, in serie transversa positas, subtus gerentibus. Long. corp. mm 5, alar. mm 4'). Ein einziges Männchen aus Peru, Larestal, 1000— 2000, 10. VII. 03. Eine sehr ausgezeichnete Art, deren grüne Beine besonders auf- fallend sind. 386 M. Bezzi, [94] Kopf rund, glänzend schwarz, nackt, nur am Hinterkopfe mit einigen kurzen Borsten; Ocellarborsten klein; Basalglieder der Fühler kurz, gelblich, ziemlich nackt; drittes Glied verlängert, schmal kegelförmig, schwärzlich; Endborste etwas länger als die Fühler, durch die anliegende deutliche Be- haarung ziemlich diek erscheinend; Rüssel diek, kurz, gelb, mit kleinen weilsgelben rundlichen Tastern. hückenschild schwarz, stark glänzend, oben scheinbar nackt, nur an den Seiten und hinten mit einigen Borsten; Pleuren weifslich grau, nur die Sternopleuren schwarzglänzend. Schildchen schwarz, grau bereift, mit zwei am Einde gekreuzten Randborsten. Schüppchen gelblich, mit sehr langen hellen Wimpern. Hinterleib lang. walzenförmig, nach unten gebogen; er ist glänzend schwarz, die Basalhälfte aller Ringe aber durchsichtig gelb; nur an der Wurzel sind einige helle Haare vor- handen; Genitalien ziemlich klein, rundlich, nach hinten klaffend; sehr auf- fallend sind die sechs unteren Borsten. Hüften ganz grünlich gelb; Schenkel und Schienen mit einigen längeren hellen Haaren; Hinterschenkel vor der Spitze aulsen mit einer schwarzen starken Borste; die helle Behaarung an der Innenseite der Vorderschienen, besonders am Grunde, sehr lang; Hinter- schienen an der Spitze aufsen mit vier starken schwarzen Borsten, deren unterste viel länger als die andere ist, spornförmig und etwas gebogen; sehr auffallend ist die mittelere Reihe von kurzen starken Dörnchen, welche auf der oberen Seite der hinteren Metatarsen sich befindet. Die grüne Farbe der Beine ist besonders an den Mittelschienen und an den Hinterschenkeln auffallend; die Vorderbeine sind mehr gelblich. Flügel etwa wie bei Lep- topeza sphenoptera Loew; Vorderrandzelle sehr schmal; Ursprungsstelle der dritten Längsader liest nahe der Mitte der Flügel; beide Basalzellen sehr lang, aufsen erweitert; Analzelle viel kürzer als die davorliegende zweite Basalzelle; sechste Längsader lang und vollständig, nur an der Spitze etwas verschwindend. Die vorhandene obere Hälfte der Analquerader ist stark und schwarz. 16. Clinocera Meig. Subgen. Heleodromia Halid. Von dieser reichen Gattung waren bisher aus Südamerika keine Arten bekannt: Herr Schnuse hat eine Art mitgebracht, welche zur Untergattung [95] Beiträge zur Kenntnis der südamerikanischen Dipterenfauna. 387 Heleodromia Hal. gehört. Herr Coquillett hat in Proc. ent. Wash, V, p- 250—251 (1903) nachgewiesen, dals Heleodromia Hal. 1833 nach der typischen Art mit Seiodromia Halid. 1840 zusammenfällt; für die in Rede stehende Untergattung würde daher der Name Hydrodromia Macq. 1835 zu brauchen sein. 12. Clinocera (Heleodromria) ditaeniata n.sp. 2 O' (Taf. Fig. 15). Fusco-olivacea, lateribus infra caesia, thoracis dorso vittis duabus longitudinalibus atris, approximatis, retro abbre- viatis, antennishalteribusquenigris, pedibusfuseis, coxisfemori- busque rufoluteis, alis griseo-hyalinis, macula stigmatica nulla, nervis transversis omnibus late fusco limbatis, cellulis sub- marginalibus tribus. O' coxis basi late grisescentibus, genitalibus parvis, acu- minatjs, peni clauso. 2? coxis basi vix grisescentibus, terebra brevi, lata, ad- pressa, lamellis terminalibus parvis crassis. Long. corp. mm 2!» —3, alar. mm 4. Ein Pärchen aus Bolivien, La Paz, 3700 m, 3.—7. XI. 02. Diese Art unterscheidet sich von allen Heleodromia-Arten durch die scharf hervortretenden Längsstriemen des Rückenschildes. Sie steht der südeuropäischen CI. bivittata Loew aufserordentlich nahe, besonders wegen der drei Unterrandzellen; diese letzte Art zeigt jedoch ganz braune Beine und ungefleckte Flügel. Hinterkopf graubläulich, oben mit einigen schwarzen Borsten, unten beinahe nackt; Stirn dunkelgrau, mit langen Ocellarborsten; Gesicht nackt, dunkelgrau, an den Seiten schmal graubläulich; Rüssel kurz und dick, mit nicht vorstehendem Hypopharynx; Taster kurz, breit, schwärzlich; Backen schmal; Fühler kurz, nackt, drittes Glied abgerundet, mit langer, gebogener, dieker Endborste. Rückenschild ganz nackt, ohne Acrostichalbörstchen; fünf gleich entfernte Paare von starken Dorsocentralborsten; die zwei samt- schwarzen Längsstriemen sind ziemlich breit und verschwinden etwas nach der Thoraxmitte zu; Schildchen ganz nackt, mit nur zwei Randborsten. 388 M. Bezzi, [96] Flügelwurzel und Schüppehen schmutzig rötlich gelb, letztere mit wenigen dunklen Haaren. Hinterleib ganz dunkelgrau, an den Seiten und unten etwas heller, beinahe nackt; männliche Genitalien klein zugespitzt, grau. Beine kurz dunkel behaart, ohne längere Borsten, nur die Vorderschenkel in der Spitzenhälfte unten mit einigen feinen Borsten ; Pulvillen und Empodium lang und weißs. Flügel schmal und lang, mit auch an der Wurzel dunklen Adern; dritte Längsader ganz gerade, ihr Vorderast lang und parallel laufend, an der Wurzel etwas spitzwinklig; die überzählige Querader, welche diesen Vorderast mit der zweiten Längsader verbindet, ist ziemlich steil; Discoidal- zelle vorne ziemlich stumpf, die zwei vorderen aus ihr entspringenden Adern an der Basis breit getrennt; sechste Längsader deutlich vorhanden, an der Spitze abgekürzt; Flügellappen nicht vortretend. 1. Dipsomyia nov. gen. Diese neue Gattung vereinigt die Charaktere der Clinoceren mit denen der Empididen aus der Gruppe von Hilarempis. Der ganze Habitus und Gestalt der Fühler mit kurzem abgerundeten dritten Gliede und langer Borste sind ganz wie bei Olinocera; in dieser Gruppe steht sie bei Philolutra Mik wegen der Acrostichalbörstchen, des behaarten Schildchens und des Flügelgeäders; leider ist der Randmalfleck nicht vorhanden. Sie unterscheidet sich aber von allen Clinoceren durch den verlängerten Rüssel, welcher nach hinten gerichtet und ungefähr so lang wie der Kopf ist. Die Ursprungs- stelle der vierten Längsader liegt der Flügelwurzel viel näher als bei den echten Clinoceren; die zweite Basalzelle ist daher am Grunde nicht ver- kürzt. Die Analzelle ist dagegen wie bei C linocera, d.h. nach aufsen ab- gerundet und nur wenig kürzer als die zweite Basalzelle. Die Hauptmerk- male der neuen Gattung sind aus folgender Diagnose zu ersehen: Caput rotundatum. Genae angustae. Facies nuda. Setae ocellares longissimae, basi distantes. Antennae breves, articulo tertio brevissimo, rotundato-conico, seta crassa antennis bilon- giore. Palpimagni, exserti, perpendiculares. Haustellum eras- sum, retro inclinatum, capitis longitudinem eirciter aequante. Thoracis dorsum parum convexum, setis dorsocentralibus usque [97] Beiträge zur Kenntnis der südamerikanischen Dipterenfauna. 389 ad marginem anticum validis, setulis acrostichalibus distinctis biseriatis. Metapleurae nudae. Scutellum praeter setas margi- nales pilis plurimis eiliatum. Pedes simplices, coxisanticisnon elongatis, femoribus anticis distinete incrassatis, basi subtus spinigeris. Pulvilli parvi sed distincti. Alae angustae elon- gatae, nervo costali per totum alae marginem excurrente, nervo auxiliari ante costam desinente, tertio furcato, quarto prope alae basin oriente, sexto spurio vix distinguendo. Cellula dis- eoidalis nervos tres emittens; cellula analis extus rotundata, quam cellula basali secunda paullo brevior. Lobus alaris paul- lulo prominens, angulus axillaris obtusissimus. 13. Dipsomyia spinifera n.sp. ? (Taf. Fig. 14). Cinerea, opaca, palpis antennisque nigris, halteribus luteo-albidis, pedibus nigris, griseo-tomentosis, femorum apice geniculisque luteis, femoribus anticis subtus ima basi setis tribus nigris, in serie transversa positis, armatis, abdomine brevi supra incurvato, alis cinereo-hyalinis, omnino immaeculatis. ?terebrabrevissima, lamellisapicalibuscrassisrotundatis. Long. corp. mm 2!/, alar. mm 4. Ein einziges Weibchen aus Chile, Quillota, 1000 m, 22. IX. 02. Kopf hellgrau, oben und hinten mit schwarzen kurzen Borsten, unten mit dichten weilslichen Haaren; Stirn breit, nackt, vorn etwas schmäler; Gesicht nackt, in der Mitte gewölbt; Taster großs, grau bereift, mit dichten hellen Haaren; Rüssel schwarz, am Ende stumpf. Rückenschild undeutlich Sestriemt; zwischen den längeren Dorsocentralborsten sind kürzere Haar- borsten vorhanden; Schildehen mit nur zwei stärkeren schwarzen Rand- borsten. Schüppchen gelblich, mit wenigen kurzen hellen Wimperhaaren. Metanotum grofs, grau, nackt, gewölbt. Hinterleib ganz kurz, weil stark nach oben gekrümmt (immer?), mit wenigen Haaren, welche unten an der Spitze etwas dichter sind. Beine kurz behaart, nur die Schienen mit etwas längeren Haaren; die Vorderhüften sind viermal kürzer als die deutlich verdiekten Vorderschenkel; Vorderschienen an der Innenseite mit kurzen 50 Noya Acta XCI. Nr.23. 390 M. Bezzi, [98] gleichen Börstehen kammartig besetzt. Vorderhüften vorn mit einigen starken aufrechten schwarzen Borsten. Dritte Längsader nach der Gabelung etwas nach unten geneigt, ihr Vorderast kurz, schief, einen sehr spitzen Winkel bildend; Discoidalzelle oben nach vorn gezogen, die zwei oberen Längsadern an der Wurzel voneinander entfernt; Ursprungsstelle der vierten Längsader genau unter der oberen Wurzelquerader stehend; sechste Längs- ader beinahe gänzlich fehlend. Anmerkung. Die nach hinten gerichtete Stellung des Rüssels ist vielleicht nur zufällig; wahrscheinlich steht er im Leben senkrecht, wie die Stellung der Taster vermuten lälst. 15. Hemerodromia Meigen. Ich nehme hier diese Gattung in dem von mir 1905 begründeten Sinne. Die vielen bisher bekannten neotropischen Arten lassen sich in folgender Weise unterscheiden. 1. Anal- und Discoidalzelle beide offen; vierte Längsader gegabelt (Miero- dromia) 2. — Analzelle immer vollständig; Discoidalzelle aulsen immer geschlossen 4. 2. Rückenschild glänzend schwarz "defessa Will. — KRückenschild in der Mitte oder an den Seiten gelbrot 3. 3. Schildchen rot "bivittata Phil. — Schildehen schwarz mesomelaena n. Sp. 4. Zweite Hinterrandzelle lang gestielt; Discoidalzelle vollständig (Hemero- dromia) "pallida Phil.') — Zweite Hinterrandzelle in der Regel nicht gestielt; wenn aber gestielt, dann ist der Stiel sehr kurz und immer kürzer als die Gabel D: 5. Discoidalzelle mit der zweiten Basalzelle verschmolzen; zweite Flüsel- längsader auffallend kurz (Neoplasta) 6. ) Es ist möglich, dals diese Art keine echte Hemerodromia s. strictu ist; ganz wahr- scheinlich ist sie dann eine Cladodromia-Art, mit ausnahmsweise kurz gestielter zweiter Hinterrandzelle, wie es bei einigen Individuen der hier beschriebenen fuscimana und pluri- vittata manchmal vorkommt. Philippi sagt einfach: alarum cellula postica secunda petiolata. [99] Beiträge zur Kenntnis der südamerikanischen Dipterenfauna. Bol — Discoidalzelle vollständig von der zweiten Basalzelle durch eine Quer- ader getrennt (Oladodromia) 9) 6. Rückenschild ganz schwarz, ohne roten Schulterfleck semilugens Phil. — NRüceckenschild schwarz, mit breiten roten Schulterflecken Tl 7. Hinterschenkel unten in der Mitte mit einem schwarzen Fleck femoralis n. sp. — Hinterschenkel ganz gelb 8. 8. Männliche Genitalien geschlossen, ohne hervortretenden Faden "scapularis Loew — Männliche Genitalien klaffend, mit hervortretendem Faden "mexicana Mel. 9. Fühler ganz schwarz, oder nur an der Wurzel gelb 10. — Fühler ganz gelb ld, 10. Vorderhüften und Vorderschenkel schwarz, oder mehr oder weniger ver- dunkelt 17: — Vorderhüften und Vorderschenkel ganz gelb 18, 11. Rückenschild nicht deutlich gestriemt und ziemlich kahl vinca Bezzi. — Kückenschild gestriemt und behaart 12. 12. Basalglieder der Fühler hellgelb; Vorderschenkel schwarz nigrimana Phil. — Basalglieder der Fühler dunkelgelb; Vorderschenkel kaum verdunkelt fuseimana n. sp. 13. Rückenschild nicht gestriemt *“Navipes Phil. — Rückenschild dentlich gestriemt 14. 14. Rückenschild mit nur einer bis auf das Schildchen reichenden Längs- strieme; Basalglieder der Fühler bräunlich cama Bezzi. — Rückenschild mit einigen Längsstriemen, welche das Schildchen nicht berühren; Basalglieder der Fühler gelb plurivittata n. sp. 15. Rückenschild grau 16. — Rückenschild zum Teil gelb 18. 16. Rückenschild nieht gestriemt "pallida Phil.') — Rückenschild gestriemt 1E20 nahe diese Art hier wiederholt, wegen des in der vorhergehenden Note Gesagten. 50* 392 M. Bezzi, [100] 17. Rückenschild mit einer einzigen Längsstrieme; Randmalfleck dunkel *"pratineola Phil. — Rückenschild mit mehreren Längsstriemen; Randmalfleck kaum deutlich bolivvana n. sp. 18. Mesonotum gelb, ohne schwarze Längsstriemen; Schildehen gelb "bicolor Phil. — Mesonotum rot mit schwarzer Längsstrieme; Schildchen schwarz "“analis 'Thoms. 74. Hemerodromia (Microdromia) mesomelaenan.sp.? (Taf. Fig. 15). Rufo-lutescens, opaca, capite vitta lata longitudinali, thoracis abdominisque dorso scutello et metanoto nigro-fuseis, antennis pedibusque pallidissime lutescentibus, alis hyalinis absque macula stigmatica, nervi quarti furca quam furca tertii longiore, nervo sexto nullo. ? terebra brevissima obtusa. Long. corp. mm 2'/,, alar. mm 3. Ein einziges nicht gut erhaltenes Weibchen aus Peru, Tarma, 3000 m, 19. 1. 04. Kopf ziemlich plattgedrückt, mit ausgepolstertem Hinterkopfe, ganz schwarz, grau bereift, Gesicht und Augenränder weilslich schimmernd; die Augen sind quer eiförmig, grünlich, vorn mit eröfseren Feldern, unter den Fühlern zusammenstolsend; Fühler ganz kurz, nackt, das dritte Glied eiförmig, vorn kurz zugespitzt, weilsschimmernd; Rüssel dünn, gelb, etwa so lang wie die Höhe des Kopfes, mit breiten gelben Lippen; Taster verborgen. Der ganze Kopf ist nackt, nur an der Stirne und im Gesicht sind einige kurze zarte weilse Haare vorhanden. Rückenschild ziemlich lang, nackt, ohne alle Borsten; die schwarzgraue Längsstrieme ist vorn so breit wie der Hals, hinten wie das Schildchen; dieses ganz nackt und unbeborstet; Meta- notum breit, gewölbt. Hinterleib nackt, etwas kürzer als der Rückenschild; Legeröhre kurz und stumpf. Schüppchen ganz kurz und nackt; Schwinger abgebrochen. Beine samt den Hüften ganz hellgelb, nur die Tarsen an der äulsersten Spitze gebräunt; Vorderhüften so lang wie die Vorderschenkel, diese verdickt, nackt, an der Wurzel unten mit zwei langen Haarborsten [101] Beiträge zur Kenntnis der südamerikanischen Dipterenfauna. 393 und nach der Mitte hin ganz kurz schwarz gedörnelt; Vorderschienen kurz, schwach gebogen, am Ende innen mit einem Dorn, an der innern Seite kurz beborstet. Flügel mit dieker gelber Costa; Vorderart der dritten Längsader nur wenig schief; zweite und dritte Längsader an der Wurzel dick, schwarz; vordere Querader etwas vor der Mitte der zweiten Basalzelle; fünfte Längsader an der Wurzel dick und verdunkelt; Analzelle gänzlich fehlend. 75. Hemerodromia (Neoplasta) semilugens Phil., Verh. zool. bot. Ges., XV. 766. 2. (1865). Ein Pärchen aus Chile, Palea, 3000-3500 m, 19—20, X. 02. Sie stimmt gut mit der kurzen Beschreibung Philippis überein; beim Weibchen ist der Hinterleib wie bei der Art scapularıs Loew gefärbt, das heilst gelblich, mit schwarzer Spitze. Ich habe 1905 diese Art in der Unter- gattung Cladodromia gelassen, da nach Philippis Beschreibungen eine Neo- plasta zu erkennen unmöglich ist; es ist daher wahrscheinlich, dafs auch andere Arten zu dieser Untergattung gehören. Kopf ziemlich rund; Fühler dunkler als Philippi angibt; Rücken- schild glänzend schwarz, mit deutlichen Borsten an der Flügelwurzel; Schwinger weilslich. Männliche Genitalien abgerundet, der dicke dunkel- selbe Faden hinten etwas hervorragend; Legeröhre sehr lang, säbelförmig, gelb mit schwarzer Spitze. Die Hüften sind beim Männchen dunkler als beim Weibchen; die hinteren Schenkel sind in der Spitzenhälfte etwas ver- dunkelt; Vorderschenkel länger als die Vorderhüften, unten undeutlich ge- dörnelt; Vorderschienen nur wenig kürzer als ihre Schenkel. Flügel glas- hell, mit gelben Adern, ohne handmalfleck; Vorderast der dritten Längsader viel kürzer als die untere, wenig schief; Discoidalzelle lang; sechste Längs- ader deutlich, aber verschwindend. 76. Hemerodromia (Neoplasta) femoralis n. sp. Q'. Nigra nitida, abdomine lurido-opaco, scapulis macula lata, rufa ornatis, proboscide, antennis, halteribus pedibusque pallide luteis, tarsorum artieulis duobus apicalibus femorumque posticorum macula lata, infera, paullo post medium nigris, alis 394 M. Bezzi, [102] hyalinis, basi lutescentibus, macula stigmatica nulla, in medio post nervum transversum anteriorem nubecula fusca, indeter- minata, ornatis, nervo sexto spurio. J' genitalibus parvis elausis, nigris, supra appendieibus duabus brevibus praeditis. Long. corp. mm 2'/,, alar. mm 3. Ein Exemplar aus Peru, Tarma, 3000 m, 19. 1. 04. Diese Art scheint mit scapularıs Loew nahe verwandt zu sein: sie ist besonders wegen der schwarzen Flecke der Hinterschenkel verschieden. Augen unter den Fühlern stark genähert, aber nicht zusammen- stolsend; Gesicht weils schimmernd, kurz behaart. Seitenborsten des T'horax zart, gelblich; Schüppchen gelb, mit einigen hellen Wimpern. Schildehen und Metanotum ganz schwarz. Hinterleib schmutzig braun; Genitalien behaart. Vorderhüften kürzer als die Schenkel, diese wenig verdiekt und unten ohne schwarze Dörnchen; Vorderschienen ziemlich lang; die Hinter- schienen sind an der Wurzel an der Aulsenseite etwas geschwärzt. Die helle Behaarung der Beine ist ziemlich entwickelt. Flügel wie bei der vorhergehenden Art; die Discoidalzelle schmal nnd lang. 77. Hemerodromia (Cladodromta) nigrimana Phil., Verh. zool. bot. Ges, XV. 467.12.. (1865). Zwei Männchen aus Chile, Calca, 2900—3000 m, 16—20. X. 02. Stimmt mit der Beschreibung sehr gut. Die Fühler sind schwärzlich mit gelber Wurzel; Rüssel schwärzlich; Augen unten stark genähert, das schmale Gesicht grau. Ocellar- und Seitenborsten des "Thorax ziemlich stark, schwarz; Schildchen mit zwei gekreuzten und aufrechten Apiealrand- borsten. Alle Hüften schwarz; Vorderschenkel stark verdickt, unten ge- dörnelt, länger als die Hüften; Vorderschienen kurz.. Flügel ziemlich breit, mit deutlichem Randmalfleck; zweite Längsader deutlich länger als bei den Neoplasta-Arten. 78. Hemerodromia (Cladodromia) fuscimana n. sp. O' ?. Grisea, opaca, abdomine nigro-fusco, thoracis dorso distinete pilosulo vittisque quinque longitudinalibus fusecis [103] Beiträge zur Kenntnis der südamerikanischen Dipterenfauna. 395 quarum duabus intermediis angustioribus, antennis fuseis, basi obseure lutescentibus, halteribus luridis, pedibus luteis, femo- ribus anticis valde inerassatis, paullo infuscatis, alis cinereo- hyalinis, macula stigmatica dilute fuscescenti, cellula posteriori secunda basi interdum brevissime petiolata. 4 Ö [0) 2 terebra elongata, crassiuscula, lamellis terminalibus senitalibus parvis rotundatis, clausis breviter pilosis. angustis, fuscis. Long. corp. mm 2:/»—3, alar. mm 21, —3!.. Einige Exemplare aus Peru, Larestal, 3000 — 4000 m, 8. VIII. 03 und Cuzco, 3500 m, 6. IV.— 12. VI. 03. Diese Art steht der vorhergehenden sehr nahe, unterscheidet sich aber dureh die Vorderschenkel, die nicht schwarz, sondern höchstens etwas verdunkelt und durch die Basalglieder der Fühler, die sehr dunkel, oft schwärzlich sind. Von meiner inca unterscheidet sie sich durch das gestriemte und kurz behaarte Rückenschild. Die zweite Hinterrandzelle ist in der Regel an der Wurzel mehr oder weniger breiter; bei einem Exem- plare ist sie ganz kurz gestielt. Sehr verschieden in Gestalt von der der echten Hemerodromia s. str.-Arten. Gesicht weilsschimmernd, zart behaart, verhältnismäßig breit; drittes Fühlerglied ziemlich breit; Rüssel schwärzlich; Ocellarborsten stark. Rückenschild in der Mitte kurz behaart, an den Seiten mit starken schwarzen Borsten; Schildehen mit zwei Randborsten. Hinter- leib grauschwarz, am Bauche zuweilen beim Weibchen schmutzig gelb. Beine gelb, nur die Spitze der Tıarsen nnd die Hüften zum Teil verdunkelt; Vorderschenkel wie bei der vorigen Art, unten mit ziemlich langen Borsten, ganz gelb oder höchstens an der Wurzel etwas verdunkelt. Flügel mit dem gewöhnlichen Oladodromia-Geäder; die Analzelle hat auch am unteren Rande eine dicke Ader, die sechste Längsader ist aber nach der Analquerader verschwindend. 79. Hemerodromia (Cladodromia) plurivittata n. sp. ? (Taf. Fig. 16). Cinerea, opaca, thoracis dorso vittis quinque longitudina-, libus fuscis, media rubiginosa, scutello einereo, immaeculato, abdomine nigro-fusco, antennis fuscis, basi laete luteis, halteri- 396 M. Bezzi, [104] bus luridis, pedibus luteis, coxis quatuor posterioribus tarso- rumque articulis terminalibus infuscatis, alis hyalinis absque macula stigmaticali, cellula secunda posteriori basi interdum brevissime petiolata. ? terebra crassa, nigra, nitida, lamellis terminalibus elongatis. Long. corp. mm 3—3!/,, alar. mm 3—3!).. Einige Exemplare aus Peru, Arequipa, 2300— 2500 m, 14.—15. XI. 02 und Cuzeco, 3500 m, 1. VL.—5. VII. 05. Von der vorigen Art, mit welcher sie nahe verwandt ist, unterscheidet sie sich durch die an der Wurzel lichtgelben Fühler, die ganz gelben Vorderschenkel und die glashellen Flügel, welche keinen Stigmaticalfleck besitzen. Von meiner cana unterscheidet sie sich durch die lichtgelben Basalglieder der Fühler, das graue Schildchen und die fünf Längsstriemen des Rückenschildes. Bemerkenswert ist, dals auch bei einem Exemplare die Anomalie der gestielten zweiten Hinterrandzelle zu beobachten ist. Augen unter den Fühlern schmal getrennt. Rückenschild in der Mitte kurz behaart; von den Längsstriemen ist die mittlere deutlicher her- vortretend und von roströtlicher Farbe. Die Vorderschenkel sind ganz wie bei der vorhergehenden Art, aber mit den Hüften ganz gelb; Flügelgeäder ganz wie bei der vorigen. o 50. Hemerodromia (Uladodromia) boliviana n. sp. O' 2. Praecedenti simillima at distineta, antennis totis luteis, vittarum longitudinalium thoracis media cinerea non rubiginosa et alarum macula stigmatica paullo distineta quamvis dilu- tissima. J' genitalibus erectis. nigris, pilosis superne bilobatis. Long. corp. mm 2!1,—3, alar. mm 2? —3. Ein Pärchen aus Bolivien, Titicacasee, Gnaqui, 3850 — 4500 m. Mit der vorhergehenden nahe verwandt, von allen durch die lichtere Färbung des dritten Fühlergliedes verschieden. Auch die Körperfärbung ist mehr heller grau; Hinterleib weniger dunkel; die vier hinteren Hüften in das Gelbliche ziehend, grau bereift. Beim Weibchen ist das dritte Fühler- glied oben etwas verdunkelt. Flügelgeäder ganz wie bei den andern Arten. [105] Beiträge zur Kenntnis der südamerikanischen Dipterenfauna. 897 19. Drapetis Meig. Aus dem von Herrn Schnuse aus Südamerika zusammengebrachten Materiale geht hervor, dafs meine 1904 errichtete Untergattung Ütenodrapetis in der neotropischen Fauna vorkommt. Es ist leider schwierig zu ent- scheiden, welche der von den Autoren unter Drapetis beschriebenen Arten zu meiner Untergattung gehören können; nach meiner Ansicht sind es die Arten valdivviana Phil. und apicis Will. Die Art obscuripennis Phil. scheint von den übrigen wegen der sehr kurzen ersten Basalzelle verschieden; vielleicht gehört sie nicht in diese Gattung. Die bis jetzt bekannten neo- tropischen Arten lassen sich wie folgt unterscheiden. 1. Rückenschild gelb 2. — Rückenschild schwarz 3% 2. Schildehen gelb; Flügel ziemlich kurz und am Rande nicht lang ge- wimpert flavida Will. — Schildehen schwarz; Flügel sehr lang, mit lang bewimpertem Rande eiliatocosta Bezzi. 3. Vordere Basalzelle aufserordentlich kurz; gröfsere Art (A4—5 mm) mit dunkeln Flügeln "obscuripenmis Phil. — Vordere Basalzelle von gewöhnlicher Länge 4. 4. Schenkel schwarz, auch die vorderen, welche wenigstens an der Wurzel breit schwarz sind; Hinterschienen in der Mitte an der inneren Seite mit einer langen Borste bewaffnet armipes .n.sp. — Schenkel gelb, oder wenigstens die vorderen stets ganz gelb D% 5. Flügelrandader zwischen den Enden der ersten und zweiten Längsader deutlich verdickt, und der ganzen Länge nach lang bewimpert 6. — Flügelrandader nicht verdickt und nicht besonders lang bewimpert 7. 6. Flügel hyalin "valdiwiana Phil. — Flügel dunkel getrübt; beide Basalzellen in Länge untereinander wenig verschieden "apieis Will. 7. Beine ganz und gar gelb 8. — Hintere Schenkel mehr oder weniger geschwärzt 3). 8. Dritte und vierte Längsader divergierend divergens Loew. — Dritte und vierte Längsader parallel gilvipes Loew. Nova Acta XCI. Nr.3. öl 398 M. Bezzi, [106] 9. Zarte Art, mit langen und lang bewimperten Flügeln; Rückenschild stark glänzend, ohne weilsliche Pubescenz; Sporn der hinteren Schienen kurz; Hinterschienen mit einem einzigen langen Haare monochaeta n. sp. — Stärker gebaute Arten, deren Flügel kürzer und nicht besonders lang sewimpert sind; Rückenschild nicht glänzend, mit weifslicher Pubes- cenz 10. 10. Fühler ganz dunkel; Hinterleib schwarz; Hinterschienen mit kurzem Sporne "femoralis W. et M. — Fühler gelb; Hiuterleib mit schwarzer Binde; Hinterschienen mit sehr langem Sporne fortis n. sp. 81. Drapetis (Drapetis) flavida Will., Trans. entom. Soc. Lond., 1896, 508. 2. tav. Xl. fig. 86 und 86a. (p. 441 zanthopoda, errat.!) (1896); Coquill., Proc. U. S. nat. Mus., XXII. 251. [Tachydromia] (1900); Wheel. et Mel., Biol. centr. amer., 1. 376. 2. (1901); Meland., Trans. amer. ent. Soe., XXVII. 213. (1902); Coquill., Proc. entom. Soc. Wash., V. 265. [Tachydromia) (1903); Bezzi, Wien. entom. Zeit, XXI 144. [Tachista fulvida, errat.!) (1904); Aldr., Cat. N. A. Dipt., 311. (1905). Ein Weibchen aus Peru, Meshagua, Urubambafluls, 350 m, 9. X. 03. Stimmt sehr gut mit der Beschreibung; nur der Hinterleib ist beinahe ganz schwarz gefärbt. Recht bemerklich die lange und dieke Legeröhre. Die Art ist eine echte Drapetis und nicht eine Tachista (Tachydromia) wie Herr Coquillett will. In meinem Verzeichnis der Drapetis-Arten, 1904, habe ich durch ein Versehen die Art fulrda Will. anstatt flavida genannt. 82. Drapetis (Drapetis) armipes n. sp. 2 (Taf. Fig. 18). Nigra, omnino nitida, antennis pedibusque concoloribus, femorum anticorum apice tibiisque obseure rufescentibus, tibiis postieis apophysi apicali fere nulla, intus in medio seta spini- formi, elongata, armatis, palpis halteribusque albidis, alis non elongatis, einereo-hyalinis, immaculatis, nervis tertio et quarto parallelis, sexto nullo, cellula basali secunda quam prima ses- quilongiore. [107] Beiträge zur Kenntnis der südamerikanischen Dipterenfauna. 399 [o) ? terebra crassa elongata. Long. corp. mm 2!/,, alar. mm 2. Ein Weibehen aus Chile, Taena, 600 m, 22. X. 02. Diese schwarze, glänzende Art, ist besonders auffallend wegen der dunklen Färbung der Beine, und der starken dornartigen inneren Borste der Hinterschienen. Sie scheint bei wnipila Loew (nitida Meland.) zu stehen; nach der von Melander gegebenen Figur (Trans. amer. entom. Soc, XXVIH. tav. V. fig. 14) sind aber die Hinterschienen ganz verschieden. Fühler ganz schwarz, mit kurz eiförmigem dritten Gliede und nackter: Endborste; die ziemlich starken Ocellar- und Verticalborsten sind schwarz. Thorax ziemlich kurz, mit heller Pubescenz und schwarzen Borsten; auch die zwei langen Borsten des Schildehens sind schwarz; Mesopleuren nackt, stark glänzend. Hinterleib ganz schwarz, oben glänzend, unten dunkel, überall kurz hell behaart; Legeröhre ziemlich aufrecht. Hüften ganz schwarz; Vorderschenkel stark verdickt, an der Spitze ziemlich breit röt- lich; Hinterschenkel ganz schwarz, vor der Spitze an der Aufsenseite mit zwei Borsten; Vorder- und Mittelschenkel mit starker vorderer Präapical- borste; alle Schienen dunkelrot, die vorderen mit langer Präapicalborste, die hinteren an der Aulsenseite ohne besondere Haare; die dornartige Borste an der Innenseite der Hinterschienen sehr auffallend, gegen die Schiene gerückt; Hintermetatarsus an der Unterseite dicht goldfarbig behaart. Die Beine sind überall kurz weils flaumig und mit gleichmälsigen Haaren besetzt. Flügel graulich, mit dunklen Längsadern, welche gegen den Vorderrand hin ziemlich nahe gerückt sind; zweiter Abschnitt der Randader fast so lang wie der dritte; Flügelvorderrand äufserst kurz behaart; zweite Basalzelle bedeutend kürzer als bei den folgenden Arten. 83. Drapetis (Drapetis) fortis n. sp. 2. Robusta, nigra, nitida, albopubescens, abdomine praeter sesmentum tertium luride lutescenti, antennis brevibus, fuseis, basi rufis, seta terminali pilosula, palpis halteribusque albidis, pedibus rufescentibus, coxis femorumque basi luteis, tibiis tar- sisque fuscescentibus, femorum posticorum fascia lata, prae- apicali, nigra, tibiis postieisintus apophysiapicalilonga, acuta, olr 400 M. Bezzi, [108] nigra praeditis, alis non elongatis, griseo-hyalinis, immaculatis, nervis crassis, fuscis, dimidio basali quarti decolore, tertio et quarto extus subparallelis vellevissime convergentibus, eellula basali seeunda prima duplo longiori. ? terebra brevi, erassa, retraecta. Long. corp. mm 5, alar. mm 3!lı. Ein Weibchen aus Peru, Puerto Bermudes, Pichisflufs, 300 m, 14. XI. 03. Eine grofse Art, welche bei femoralis W. et M. zu stehen scheint. Augen über und unter den Fühlern zusammenstofsend; Ocellar- und Verticalborsten lang, gelblich; Hinterkopf schwarz, oben und unten mit ziemlich langen Haaren: drittes Fühlerglied schwärzlich, kurz keselförmig, mit langer, deutlich behaarter Endborste; Rüssel gelb, mit schwarzer Spitze; Taster grols, gelblichweils, hell behaart. Kückenschild glänzend schwarz, auf dem Rücken mit ziemlich langer weilslicher Behaarung, auf den Meso- pleuren ganz kahl; die ziemlich langen Seiten- und Hinterborsten, sowie die zwei Borsten des Schildchens, in das gelbliche ziehend. Hinterleib hell behaart, das dritte Glied bindenartig, schwarz; Bauch ganz rotgelblich. Beine stark, mit ziemlich langer heller Behaarung, ohne längere Haare oder Borsten; Vorderscherkel stark verdickt; Anhang der Hinterschienen sehr stark auftretend, spornartig. Flügelvorderrand kurz bewimpert; zweiter Ab- schnitt der Randader viel kürzer als der dritte, aber etwas länger als der vierte; von der sechsten Längsader ist nur eine ganz schwache Spur vor- handen; auch die beiden Queradern sind, wie die Basalhälfte der vierten Längsader, hell. S4. Drapetis (Ütenodrapetis) ciliatocosta Bezzi, Ann. Mus. nat. hung,., 112355239, Kıe.6, (1904), Tafiakiesd Sin Männchen aus Bolivien, Bellavista, Mapiri, 1200 m, 29. XI. 02. Die Auffindung dieser australischen Art in Südamerika ist sehr interessant; gewils handelt es sich, wie in ähnlichen Fällen, um eine Art, welche von dem Manne weit verbreitet worden ist. Das einzige Exemplar stimmt in allen Merkmalen mit meiner Beschreibung überein; die Vorder- schienen zeigen am Grunde innen eine sehr lange Borste, von welcher in [109] Beiträge zur Kenntnis der südamerikanischen Dipterenfauna. 401 der Beschreibung nichts zu lesen ist; vielleicht waren bei den damals unter- suchten Exemplaren die Schienen gegen die Schenkel gelegt, wie das oft der Fall ist. Nach der Färbung erinnert diese Art an flavida Will. 85. Drapetis (Otenodrapetis) monochaeta n. sp. 6. Nigra, thoracis dorso nitidissimo, pube albida fere nulla, abdominis basi ventre pedibusque luteis, femorum posticorum apice infuscato, tibiis postieis fuseis, extus pilo unico, longoin medio praeditis, alis elongatis immaeculatis, margine antico ciliato, nervis tertio et quarto parallelis. Ei 9 genitalibus parvis, rotundatis nigris. 2 terebra brevi, basi lata. Long. corp. mm 1", alar. mm 2°). Ein Pärchen aus Peru, Umahuankiali, Urubambafluß, 500 m, 21, VIIL—18. IX. 03. Diese Art erinnert sehr auffallend an meine gracikis, 1904, aus N. Guinea; unterscheidet sich jedoch durch den kürzeren Hinterleib und die mehr oder weniger verdunkelten Hinterbeine, deren Schienen nur ein einziges mittleres Haar tragen.') Fühler abgebrochen, die Basalglieder schwarz; Taster weilslich, breit; Rüssel ziemlich vorstehend; Kopfborsten gelblich. Rückenschild stark glänzend; mit kaum wahrnehmbarer weilser Pubescenz; Borsten schwärzlich, ebenso die zwei sehr langen Hinterborsten des Schildehens. Hinterleib weilslich, beim Weibchen nur in der Mitte, beim Männchen in der Spitzen- hälfte dunkelschwarz. Alle Tarsen verdunkelt; Apicalanhänge der Hinter- schienen ganz kurz. Flügel graulich, mit dunkelgelben Adern; eine kaum bemerkbare Spur der sechsten Längsader vorhanden; untere Basalzelle doppelt so lang wie die vordere; zweiter Abschnitt der Randader viel kürzer als der dritte. !) In meiner Arbeit von 1904 (Ann. Mus. nat. hung., II) ist auf S. 354, Zeile 3 von unten, nach dem Worte dietro das Komma zu streichen. 402 M. Bezzi, [110] 20. Tachydromia Meigen. Diese Gattung ist bei den nordamerikanischen Dipterologen immer unter dem Namen Platypalpus zu finden. Die bis jetzt bekannten süd- amerikanischen Arten lassen sich wie folgt unterscheiden: 1. Rückenschild rot, wenigstens an den Seiten 2. — hRückenschild ganz schwarz 3) 2. Rückenschild ganz rot 3 — KRückenschild nur an den Seiten rot "caligata Mel. 3. Fühler ganz gelb "sanguinea F. Lynch.') — Letztes Fühlerglied schwarz 4. 4. Gelbliche Art, mit auf der Oberseite schwärzlichem Hinterleibe "testacea Phil.) — Rötliche Art, mit ganz schwarzem Hinterleibe *Paulseni Phil. 5. Drittes Fühlerglied und Fühlergriffel dicht behaart; Flügel gegen die Mitte mit einem schwärzlichen Flecke "pietipennis n. Sp. — Fühlergriffel nackt, Flügel ungefleckt 6. 6. Hüften und Schenkel alle gelb chilensis Phil. — Hüften und Schenkel alle, oder zum Teil schwarz Le 7. Schwinger tief schwarz, vordere Hüften gelb, mittlere Schenkel aulser- ordentlich stark verdickt. eumeran.Ssp. — Schwinger weils, oder schmutzig gelb 8. 8. Vorderhüften und Vorderschenkel gelb annularis n. Sp. — Vorderhüften und Vorderschenkel schwarz 3 9. Erste Flügellängsader am Ende schwielenförmig erweitert Pluto Mel. — Erste Längsader am Ende nicht erweitert. Proserpina n. Sp. 86. Tachydromia pietipennis n.sp. & (?) (Taf. Fig. 19). Nigra, nitidissima, antennis basi lutescentibus, articulo tertio et stylo breviter dense plumatis, nigris, pedibus omnino 1) Diese Art erinnert wegen des schwarzen Schildchens an meine Drapetis ciliato- costa; die Mittelschenkel sind aber als verdickt und unten gedornt beschrieben. 2) Die Art Bacis Walk. ist von Coquillet und Melander der Gattung Tachypeza zugeschrieben; ich vermute aber, dafs diese Art nichts anderes als Drapetis flavida Will. ist. [111] Beiträge zur Kenntnis der südamerikanischen Dipterenfauna. 403 pallide luteis, femorum posticorum dimidio apicalitamennigro, femoribus intermediis crassis, subtus nigerospinulosis, alis hya- linis elongatis, basi cuneatis, lobo alari non prominenti, in medio ad nervos transversos macula fusca lata exornatis. Long. corp. mm 1?°/,, alar. mm 2!.. Zwei nicht gut erhaltene Exemplare aus Peru, Tarma, 3000 m, 19. I. 04. Eine ganz eigentümliche Art mit gefleckten Flügel und behaartem Fühlergriffel; sie zeigt die Flüselform von Symballophthalmus, hat aber verdickte Mittelschenkel und getrennte Augen. Kopf ganz glänzend schwarz, auch die schmale Stirn, die kurzen Borsten und die wenigen Haare gleichfalls schwarz; das dritte Fühlerglied ist kegelförmig und scheinbar nicht verlängert; es ist aber schwierig zu sehen, wo das Glied endigt und wo der Griffel beginnt, da beide dicht und ziemlich lang behaart sind, der Komplex ist sehr lang, über zweimal so lang als der Kopf: Rüssel und Taster schwarz; Rückenschild stark glänzend, auf dem Rücken kurz behaart, hinten und an den Seiten mit etwas längeren hellen Haarborsten; das Schildchen zeigt in der Mitte einen vertieften Quer- streifen. Die Schwinger sind gebrochen, der Stiel ist gelblich. Hinterleib kurz, ganz glänzend schwarz, kurz behaart, am Ende etwas beschädigt, so dafs es unmöglich ist, das Geschlecht mit Sicherheit zu erkennen. Beine samt den Hüften ganz gelb und hell behaart; die schwarze Spitzenhälfte der Hinterschienen sehr auffallend; Mittelschenkel ziemlich stark verdickt, unten mit einer Reihe von langen Wimperhaaren; Mittelschienen kurz, gebogen, an der Spitze beinahe ungedornt. Flügelrand ziemlich lang be- wimpert; Flügeladern gelblich, die .dritte und vierte parallel laufend; die zwei Basalzellen gleich lang. 87. Tachydromia chilensis Phil., Verh. zool. bot. Ges., XV. 767.1. (1865). Viele Exemplare beider Geschlechter aus Chile, wo die Art weit verbreitert zu sein scheint; die Exemplare stammen aus Coronel an der See, 9. IX. 02, Concepeion, 150 m, 10. IX. 02 und Quillota, 1000 m, 20. IX. 02. Ich glaube, dafs diese Art mit der von Philippi beschriebenen zusammenfällt, da ich kein Merkmal finde, das der kurzen Beschreibung 404 M. Bezzi, [112] Philippis widerspricht. In der Beschreibung ist aber pectore im Sinne von thorace zu nehmen; der Rückenschild scheint in der Tat erzfarbig wegen des dichten Toments. Das dritte Fühlerglied ist kurz kegelförmig; Taster gelblich; Kopf- und Thoraxborsten ziemlich lang und schwarz; Hinterleib glänzend schwarz, sparsam hell behaart; männliche Genitalien kolbig, ab- gerundet, schwarz; Sternopleuren glänzend, ohne Toment; die vier hinteren Hüften schwarz; Mittelschenkel stark verdickt, unten kurz schwarz ge- dörnelt; Mittelschienen an der Spitze mit ganz kurzem Dorne; Flügel ganz glashell, erste Längsader am Ende etwas schwielenförmig erweitert, dritte und vierte nach aulsen parallel; Flügellappen vortretend. 88. Tachydromia eumera n.sp. Q. Nigra, ubique nitida, antennarum basi pedibus antieis totis, tibiarum quatuor posteriorum dimidio apicali tarsisque praeter apicem luteis, femoribus intermediis maxime incrassatis, tibiarum intermediarum calcariapicali valido, halteribus niger- rimis. alis hyalinis, immaculatis, nervo primo ad apicem non calloso, tertio et quarto extrinsecus parallelis. Long. corp. mm 1'/, alar. mm 2. Ein Männchen aus Peru, Tarna, 3000 m, 19.1. 04. Eine kleine, kurze, breite, sehr starke Art. Stirn ziemlich schmal; die Borsten und Haare sind kurz und schwarz; Rüssel ziemlich lang; Taster klein, schwärzlich; von den Fühlern sind nur die gelben Basal- glieder vorhanden. Rückenschild ohne 'T'oment, kurz behaart; längere Borsten fehlend oder abgefallen. Hinterleib kurz und stumpf, sparsam hell behaart; Genitalien ganz klein, zugespitzt. Die vorderen Beine sind ganz gelb, auch die Hüften, nur die äufserste Spitze der Tlarsen schwarz; die vier hinteren Beine sind dagegen schwarz, mit den in der Diagnose angegebenen gelben Stellen; Mittelschenkel unten gedörnelt. Flügel ganz normal, die Adern gelblich, an der Wurzel etwas verdunkelt; beide Basalzellen gleich lang, aber ziemlich kurz. 89 Tachydromia annulariıs n. sp. 2. Nigra, nitida, antennis nigris, basi fuseis, articulo tertio elongato, pubescente, halteribus albidis, pedibus luteo-rufis, [113] Beiträge zur Kenntnis der südamerikanischen Dipterenfauna. 405 femorum quatuor posteriorum annulo lato intermedio nigro, alis hyalinis immaculatis, nervo primo ad apicem paullulo calloso, dilatato, tertio et quarto extrinsecus parallelis. Long. corp. mm 2, alar. mm 2!h. Ein Weibehen aus Peru, Cuzco, 3500 m, 17. VI. 03. Eine gewöhnliche, stark glänzende Art, mit besonderer Färbung der Beine. Obere Kopfborsten ziemlich lang, schwarz; Unterrand des Kopfes mit hellen Haaren; drittes Fühlerglied ziemlich lang, kegelförmig, deutlich behaart, Fühlergriffel dagegen nackt; Taster klein, weiflslich. Rückenschild kurz behaart, mit langen Seitenborsten; Schildehen mit zwei langen Hinter- borsten. Hinterleib ziemlich lang, breit, sparsam behaart; Legeröhre kurz, zylindrisch, mit ziemlich langen dunklen Apicallamellchen. Die vorderen Beine sind samt den Hüften ganz gelb Mittel- und Hinterschenkel schwarz, an beiden Enden gelb; Mittelschenkel mäfsig verdickt, unten schwarz ge- dörnelt; Mittelschienen am Ende mit kurzem Dorn. Die Tarsen sind am Ende verdunkelt. Flügel ganz normal; die Verdickung der Costa am Ende der ersten Längsader klein, gelb, nicht vortretend; beide Basalzellen von gleicher Länge. 90. Tachydromia Proserpina n. sp. O2. Nigra, nitida, tomento obsceure cinereo in thoracis dorso levissime adspersa, antennis nigris, articulo tertio elongato, pubescenti, halteribus luride albidis, pedibus nigris, femorum apice tibiarum tarsorumque basi plus minusve lutescentibus, alis cinereo-hyalinis immaculatis, nervis fuseis, eallositate costali ad exitum nervi primi parva ac minime prominenti, cellula basali secunda quam prima plerumque paullulo breviori. 9 genitalibus rotundato-oblongis nigris elausis. ? terebra brevi, lamellis apicalibus longissimis, fuseis. Long. corp. mm 1?/,—2!/,, alar. mm 2!,—3. Einige Exemplare beider Geschlechter aus Peru, Cuzco, 3500 m, ‚ 17. III. —6.IV.05 und aus Bolivien, Öordillere, 4000-5000 m, 14. V. 03. Noya Acta XCI. Nr.3. 52 406 M. Bezzi, Beiträge zur Kenntnis der südamerikanischen Dipterenfauna. [114] Die Art steht der Pluto Mel. nahe, unterscheidet sich aber wegen der kleineren Costalschwiele und der Länge der Basalzellen. Kopf- und tiickenschildborsten schwarz und ziemlich lang; Taster verdunkelt: Schildehen mit zwei Borsten; an den Seiten sind die Sternopleuren stark glänzend, ohne alle Bereifung. Hinterleib breit und lang, sparsam behaart. Beine in der Färbung ziemlich veränderlich; bei einigen Exemplaren sind die Schenkel am Ende breiter und die Schienen fast ganz gelb, bei andern sind die hinteren Schenkel ganz schwarz, und die Schienen fast ganz verdunkelt: an den hinteren Taarsen ist zuweilen nur der Metatarsus an der Wurzel schmal gelblich; Mittelschenkel mittelmäfßsig verdickt, Mittelschienen am Ende mit kleinem Dorne. Flügel ganz von gewöhnlicher Gestalt; die mittlere Verdiekung der Costa klein und nicht vortretend; dritte und vierte Längsader aulsen parallel laufend; die zwei Queradern, welche die beiden Basalzellen vorn abschliefsen, sind nur selten in gleicher Linie wie bei den meisten Arten, sondern häufiger steht die untere Querader etwas vor der oberen, während Melander bei seiner Figur der Pluto (Trans. amer. entom. Soc. XXVIII, 1902, tav. VI, fig. 39) das Gegenteil darstellt. Errata.: . 300, Z. 11 statt Phoneutisea lies Phoneutisca. „ 302. Die Noten 1), 2) und 5) sind resp. zu den Gattungen Atrichopleura, Phleboctena und Amictoides zu legen. „ 322, 2. 19 statt galictodes lies galactodes. „ 334, Z. 30 vor brevibus schalte ein alis. „ 341. Die Note 1) ist auf die Art Columbi zu beziehen. „ 997, 2.25 statt prima vista lies primo visu. a Anmerkung. Da diese Arbeit schon Ende 1907 abgeschlossen war, so war es mir unmöglich, die Meigenschen Namen Noeza, Atalanta und Coryneta für Hybos, Olinocera und Tachydromia brauchen zu können. M. Bezzi. or IV x Nora Acta Acad.C.1.C.G. Nat.Cur. Vol. XCl. Tab. del Lith.Anst.v.Paul Schindler, Leipzig. UND OZZU EI, mpididae. x "Leopold, Car. | j \ Ve 9% 190 a ll 100185068 AMNH LIBRARY Ba an mm > are