FORTHE PEOPLE FOR EDVCATION FOR SCIENCE LIBRARY OF THEAMERICAN MUSEUM OF NATURAL HISTORY Bound A.M.K. NOVA ACTA ACADEMIAE SCIENTIARVM IMPERIALIS PETROPOLITANAE TOMVS VII. s,0fcf*+7H)' PRAECEDIT mSTORIA EIVSDEM ACADEMIAE AD ANNVM MDCCLXXXIX. /4 PETROPOLI TYPIS ACADEMIAE SCIENTIARVM MDCCXail. ^A r/b'fO^O^ O^bMJL X^ T A B L E. HISTOIRE DE L'ACADEMIE IMPERIALE DES SCIENCES, Annee MDCCLXXXIX. HISTOIRE. Pag. Vrolongation du Prix de Mathematique. - • - 3. Vijite de Leurs AlteJJes Imperiales Mejfeigneurs les Grand- Ducs Alexnndre Pawlovitsh & Conftantin Paw- lovitsh, & AJJefnblee extraordinaire. - - 4. Leqons publiques. ----- ibid. Ouvrages academiques imprimes dans le courant de Van- nee. - - - - - 5. Vromotions ----- 6. Morts ------ «7. Receptions -------- 8. Oumages^ Machines & hwentions., Produ&ions de la na- ture & de Part^ Antiquites & Curlofites^ prefen- te's ou communiques a lAcademie - - 9* )( a Pre'cis ^ IV. ^ Pag. Preas de la vie de Monfieur Jacques BernouJU - - 23. EXTRAIT des memoives contenus dans ce VII. Vohime des A&es. - - - - 33. ClaJJe de Mathe'matlque - - - - 35. Clajfe de Pbjjico - Mathematique - - - 47. Chj^e de Phyfiquc - - - - - 52. Clajfe d'AJlronomie - - - - "6^. NOVA ^ V. c# NOVA ACTA ACADEMIAE SCIENTIARVM IMPERIALIS. ToMVS VIL Cum Tabulis XII. aeri iacifis. MATHEMATICA P:ig. LEONH. EVLER. De formulis differeJitiaUbiis ^ quae pcr duas pluresue quantitates inultipUcatae fiant integrabiks. Tab. I. fig. i. - - - 3. Quatuor Theoremata maxitne notatu digna in calculo integrali - - - - - -22. De termino generali ferierum hypergeome-' tricarmn - -----42 De iterata integratione formularum integra- lium.) dum oliquis exponens pro variabili ajfumitur. 64.. Methodus faci/is inuejtigandi radium ofculi , ex principio maximorum & minimorum petita. Tab. 1. fig. 2. ------- 83. Obferuationes generales circa feries^ quarum termini fccundum finus 'vel cofinus angulorum mul- tiplorum progrediuntur - - - - ^^. De integrationibus maxime memorabUibus ex calculo imaginariorum oriundis - - - gg, Supplcmentum ad Dijfertationem praeceden- /z^~^ d z 5 I — z^ ' cafu quQ ponitur zzizv (cof. Cp -4- / — i. lin. C])) 134. X 3 F. T. %i VI. ^ Tas. ^ p F. T. SCHVBERT. Be proie&ione fphaeroidis ellipticae Gcographica. Dijfcrtatio tertia. Proic&io pariiae fuperficiei telluris. Tab. I. fig. 3. 4. 5. 6. ^-na cnm dnahus Tabulis typis imprejfis - - - i^p NICOL. FVSS. Obferuationes variae circa integratio- ncm aequationum homogenearum rationalium fine variabilium feparatione perficicndam - - - 162 ■ Enodatio dijjicultatis ab lllufl. Eulero in dijfertatione., dc integrationibus memorabilibus ex cal- culo imaginariorum oriundis , Geometris propofitae i^^. PHYSICO - M ATHEMATICA. LEONH. EVLER. De motnentis ivirium refpe&u axis cuiuscunque inuenicndis ; vbi plura infignia fympto- - mata circa binas re&as.^ non in eodem plano fitas., explicantur. Tab. II. fig. i. 2. 3. 4. 5. - ipi. ■ ■ Methodus facilis omnium 'virium momenta rC' fpedtu axis cuiuscunque determinandi. 'iab. III. fig. I. -. 3. 4. 5. - - - - - 205. WOLFG. LOUIS KRAFFT. Analjfe des experiences faites en Rujfe., fur la longueur du pendule h fe- condes.^ ou le rapport de la pefanteur en differen- tes latitudes - - - - - - 215. ALEXIS KONONOV. De motu coni duplicis in altum fponte afcendcntis. Tab. IV. fig. i. 2. 3. 4, 5. 229. PHYSICA. ERIC. LAXMANN. Planta noui generis alpina, Par- naffiae affinis. Tab. V. fig. i. 2. 3. 4. 5. - 241. LAVR. % VII. ^ Pa-. LAVR. CRELL. Commentatio nouae nomendaturae che" mkae condendae^ necejjitatem & leges lu/Irans - 243. BAS. SEWERGUINE. Obfervations mineralogiques- fur quelques montagnes ijolcaniques des environs de Gottingue - - - - - -255.. CASP. FRIED. WOLFF. De tela di6t.a ceUulofa^ oh- feruationes cominuatae: Cutis^fubjianiia fubcutanea^ adeps. Tab. VI. fig. i 11. - - - 278» -/ BASIL. 2VIEW. Biga ^nuraenarum , nouae Species. Muraena fusca & alba. Tab. FII. fig. i. 2. 2.^6, BEN. FR. HERMANN. Notice fur le Schoerl rouge de Sarapoulskoi en Siberie - - - - - 302, BAS. SEWERGUINE. Ejfaj fur les pierres de roche compofees 313. TOB. L0WIT2. Methodus noua acetum concentrandi ^ eiusque acidum ad formam folidam crjjlallinani absque omni mixtione perducendi. Tab. IV.fig. 6. 7. 330. NICOL. 02ERETSK0VSKI. Defcription des mincs de Woetzk., <& Uijioire de leur exploitation - 3 46". PET. SIMON PALLAS. Nouae Species plantarum ., Amjgdalus pedunculata^ Pyrus elaeagrifolia^ Ajlran- tia maxima , Ancifrum ? apetalum. Tab. VIII. IX. X. XI. & XIL ----- 353. ASTRONOMICA. STEPH. ROVMOVSKL Ohferuatio cclipfis Solis An- no 1791 die "i^^pyli, Petropoli habita - - 3^3. WOLFG. LOUIS KRAFFT. Methode a la portee des na-vigaieursy poiir reduire en dijiajue vraie la di- Jiance I&tn vni. ^ Pag. Jfaftce apparente de la Lune au Soleil ^ ou a une etoile fixe - - - - - - 3^5. PETR. IN0CH0D20W. Obferuatio ecUpfis Solaris die ^ifprii. ^"19^ PetropoU in fpecula ajironomica^ Telefcopio Shortii 2I pedum , fa&a. Tab. III, fig' ^' 37S. STEPH. RVMOVSKI. De ecUpfi SoUs Anno 1791 die ^i^pra. PetropoU obferuata - - - - 382. PETRO INOCHODZOW. EcUpfis Lunae partiaUs die i? o'^" 1 79 1 9 PetropoU in fpecula acadeniica , tubo DoUondiano tripedaU^ obferuata - - 388. J. ALB. EULER. Extrait des obfervations meteorologi- ques faites a St. Petersbourg en 1'anne'e 1789 fuivant le nouveau Stile • - - - 39°' HISTOI- HISTOIRE D E L'ACAD£MIE imperiale DES S C I E N C E S. Uijloire de 1-7 89. a HISTOIRE DE UACADI^MIE IMPERIALE DES SCIENCES ANNEE MDCCLXXXIX. L i^Acadcmie avoit propofe pour le Prix de cettc annec une queftion purement mathematique, en demandant: Si les foncf^ions arbitraires, auxquelles on parvient par Tin- tegration des equations a trois & plufieurs variables , reprcfentcnt des courbes ou furfaces quelconques, foit algebriques ou transcendantes , foit mechaniques , dii- continues, ou produites par un mouvement volontaire de la main? ou fi ces fondions renferment feulement des courbes continues reprefcntees par une equatiom algebrique ou transcendante? Le terme du concours avoit et6 fixe au i Septembre^ mais n'ayant pas regu des reponfes entierement fatisfaifantes , rAcademie jugea a propos de remettre Tadjudication de ce Prix jusqu'en 1791 j efperant qu'ils fe trouveroit encore quel- a 2 ques 4 H I S T 0 I R E. qiies Gcometres, qiii voudroient s'cn occiiper & coinmumquer ji rAcademie leurs idees & recherches prufondes. Leurs AltcfTes Imperiaies MeHeigneurs les Grand-Ducs Alexandre Pavvlovitsh & Conftantin Pawlovitsh s'etant fait annoncer pour ^oir l'i\cademie, Madame la l-^rincefle de Dafchkaw convoqua une aflemblee extraordinaire au mardi 4 Septem^- bre, 011 fe rendirent tous les Academiciens & Adjoints. Leurs Aliefles accompagnees des cavaJiers de Leur fuite, apres avoir vifite la Bibiiotheque & le Mufee, fe firent conduire a la falle d'AflIcmblees , ou fe trouverent expofes divcrs Inrtrumens de Phyfique experimentale, dont M. le Prof. KrafFt eut l'honneur de Leur demontrer le mechanisme & rufige. lls y prete- rent la plus grande attention & daigncrent aflifler avec interet aux experiences les plus curieufes qui furent inftituees en Leur prefence. Ils fc retirerent vers 2 heures apres midi, temoig- jiant a Madame la Princefle de Dafchkaw & a toute raflcm- blee Leur fitisfadion de la maniere la plus gracieufe. Mrs. les Academiciens & Confeillers de Cour Kotel- "nikov, Ozeretskovski & Socolof continuerent de donner, pen- dant lcs mois dcte, des cours publics. 1 e premier enltigna les Mathematiques , le fecond la Miueralogie & le troifiea.e la Chymie experimcntale. L'Academie publia vers la fin de cette annee lc prc- inler volume de la tradudion ruflJe de rHifloire naturelle ge- iierale du Comte de BufFon , a laquelle ont travaille Mrs. les Academiciens de la nation , comme il a ete dit dans la par- 'tie hiftorique de ccs Ades pour Tannee 1787. Lcs H I S T O I R E. 5 Les autres ouvrages fcientifiqucs qui ont paru en 1789 fbnt: Nova Ada Academiae Scientiarum Imperialis Petropolita- nae Tom. IV, qui comprend 18 memoires de Mathe- jnatiques & de Phyfique , precedes de rHiftoire dc Tannee i78<^. Tom. V, contenant 21 memoires & rhiftoirc de rannee 1787. Zwo Abhandlungen iiber die Nutritionskraft, welche voti der Kayferlichen Academie der Wifrenfchaften in St. Petersburg den Preis getheilt erhalten haben. Die er- fte von Herrn Hofrath Blumenbach , die zwote von Herrn Profelfor Born. Nebfl: einer fernern Erliiute- rung eben derfelben Materie von C. F. Wolff, der Academie Mitglied. Pag. 63 & 94. in 4. Memoirc fur la nutrition prefente a rAcademie Imperiale des Sciences de St. Petersbourg , pour fervir de re- ponfe a la queftion phyfiologique propofec pour le Prix de 1784- & renvoyee pour la feconde fois a Tan- nee 1788. Ouvrage qui a obtenu racceffit ,• par M. dc Grimaud , Profefleur royal dans rUniverfite de Mede» cine de Montpellier. Pag. 197. in 4. UAOCKaii H c(|)epH'iecKaa TpHroHCMempiii , c'efi - ;\ - dire : Elemens de la Trigonometrie plane ^Sc fpherique, par M. le Confeiller de tour Goilovin , ancien Adjoint de rAcademie, impriines in 4. CoKpanieHie AcmpoHOMiH hah ^BEs^osaKoni^ r. ^e-AaAanAa. Qui efl une traduclion rufle de rabrcge de PAflrono- mie de M. de la Lande,- par M. le Confeiller de Cour GoUovin , impnme en s. a 3 Outre 6 11 I S T O 1 R E. Outre plufieurs ouvrages rufles, hiftoriques & Inflru^ftifs, deftincs a eclairer le public & a etendre la fphcre des connois'» fances utiles & agreables. Deux des eleves Academiques , Mrs. Kononof & Se- wcrgyne , que S. E. Madame la Princeffe de Dafchkaw avoit envoycs a rUniverfite de Gottingue en 1785, pour y achever leurs etudes, revinrent dans le courant de cet ete, munis dcs bons certi- ficats que leur y avoient donnes Mrs. les Profeffeurs dont ils avoient frequente les le^ons. Mrs. les Academiciens furent d'abord charge de les examiner dans les fciences , auxquelles ils fe font voues par preference, ce qui ayant ete fliit de vive voix a la fatisfaflion des examinateurs, ceux - ci leur donnerent enfuite des themes pour compofer des differtations acade* niiques. M. Kononof prefenta en confequence: I. Specimen mathematicum de integratione aequationis difTerentio - differentialis iiJl£lzLiH- ^ z= « « j , tam pcr expreffionem iinitam quam pcr feries afcendentes et descendentes. IT. Solutio problematis analytici: fumto elemento dx conflante , fi fuerit ^+^ — j = Conft. denotantibus ^ fubnormalem, s vero arcum, inuenire relationem inter x et /, atque pro hac relatione adfignare locum geometricum. M. Sewergyne fousmit les deux memoires fuivans: I. Specimen mineralogicum de natura et origine Bafaltis. IT. Specimen chemicum de natura et differentia fahum al- calinorum. Mrs. les examinateurs ayant fait la deffus iin rap- port favorable, Madame la Princefle de Dafchkaw fit recevoir ces H I S T 0 I R E. ^ ucs deiix eleves au nombre des Adjoints de l'Academic ; & nommement: M. Alexis Kononof pour les Matliematiques & M. Bafile Sewergyne pour la Mineralogie. IIs furent introduits en cette qualite dans la feancc Academique le 25 Juin. Sur la propofition de S. E. Madame la Princefle de Dafchkaw fut recu le 19 Juin au nombre des Academi- ciens ordinaires, M. rAdjoint Prederic Tlieodore Schubert, Confeiller tiriilaire & Geographe. II avoit ete nomme Ad- joint pour les Mathcmatiques en i78<5. L'Academie a fiit dans le cours de cette annec quelques pertes , que nous allons indiquer , en commengant par celle d'un Academicien ordinaire, qui Ta affligee le plus. M. Jacqucs Bernoulli , engage a 1'Acadcmie depuis lc 18 Septembre 1786, d'abord en qualite d'Adjoint en Mathe- jnatiques , & recu enfuite au nombre des Academicicns ordi- naires le 27 Septembre 1787, mourut d'un coup d'apopIexie , au moment qu'il fe baigna dans la riviere, le 3 Juillet. II fut fmcerement regrette de Mrs. fes confreres, ainfi que de tous ceux qui Tavoient connu: On va lire ci - apres un precis de fa vie litteraire. Suivent les Affocies externes qui ont termine leur vie dans le courant de cette annee. M. Picrre Lyonet, Secretaire des chiffres, Maitrc des Patentes & Interprete de L. H. P. les Eiats - Generaux dcs Pais - bas, Membre de diverfes Academies. Decede a la Haye le 10 Janvier, age de 81 ans & demi. II avoit ete regu au iiombre des Academiciens externes le 4 Fevrier 17^2. M. 8 H I S T 0 I R E. M. Paul Thiery d'Holbach, Baron d'Hce2e ^ Seigneur de Lende, Walber, Ofteryk dzc. de rAcademie royale des Scicn- ces & Belles - Lettres de Priifle, mourut a Paris le meme lo Janvicr, age de 66 ans. II etoit ne dans lc Palatinat. On lui doit cn grande partie les progres rapides qu'a faits en France, rHiftoire naturelle & la Chymie depuis environ 30 ans , par les tradudions excellentes qu'il fit des meilleurs ouvrages al- lemands qui ont paru dans ces lciences , & qu'ii enrichit dc fes notes judicicufes. 11 fut rcgu au nombre des aflbcies ex- ternes lc 19 Septembrc 1780. M. Pierre Camper, ci - devant ProfeflTeur en Medecinc a Groningue & Membre de diverfes AcadcTnies, mouriit a la. Haye, le 27 Mars, age de 68 ans: il fut re^u au nombre des aflbcics externes lc sp Decembre 1776. L'Academie regut a la propofition de S. E. Madame la Princefl^e de DafchkaAV : Au nombre des Academiciens honoraires : le 7 Sep- tembre , M. Alexandrc Lufchkow , Aflefleur de Colleges & Sous-Bibiiothecaire de Sa Majefte rimperatrice. Au nombre des Aflbcies externes: L) Le 29 Odobre, M. le Dodeur Frederic Guillaumc Hcrfchel a Londres , celebre par fes telefcopes «?c lcs decou- vertes aufli importantes que merveilleufes , qu'il a faites par leur moyen dans la region immenfe des Aftres. H.) Lc ^Novembre, le celebre Benjamin Francklin a Philadelphie ; Mcmbre des principales Academies de l'Euro- pe & fondatcur de cellcs de rAmerique. ou- H I S T O I R E. ^ OUVRAGES, MACHINES ET INVENTIONS, PRODUCTIONS DE LA NATURE ET DE LART, ANTIQUITES ET CURIOSITES, prefentes ou communiques a rAcademie. Annee 1789. I Je Lundi 8 Janvfer. Le Secretafre perpetuel des Conferen- ces academfqiies & Chevalfer Euler a communique de Ja part de S. E. Mr. le Comte Anhalt , Aide de Camp General de Sa Majefte Imperiale , une nouvelle carre deffinee du Goii- yernement de Simbirsk , pour la comparer avec celles de ce Gouvernement qiie PAcademfe poffede. Le 12 Janvfer. S. E. Mr. de Schouvalof, Grand - Chambellan de Sa Majefte a envoye pour la Bibliotheque de TAcademie le VI. Tome des memoires de Pierre le'Grand: /[ijmin Ilempa BeAHKaro. Par M. hvan Golikof. M. Lowitz a prefente & lu un memoire fntereffant fur la concentratfon du vinafgre , qull a pouffee a un degre au- quel aucun chymifte n'efl: parvenu jusqu'ici. Voyes les me- moires de la Clafle phyficale pag. 330. Le 15 Janvfer. M. TAcademicien Bernoulli a prefente de la part de fon frere, M. le Prof Daniel BernouIIi de Bale: Lobrede auf Herrn Daniel BernouUi , aus dem franzofifchen iiber- fctzt und mit Anmerkungen begleitet. 8. Bafel. 1787. Le 2(S Janvier. Le Secretaire a lu une lettre de M. TAcademicien Bode de Berlin , fur la comete de i65i, qu'oli attendoit de retour en 1789, & qui n'a pas paru. Hijloire de i^js^» b Lc \ lo H I S T O I R E. Lc 12 Fevrier. M. Fiifs a lu la lettrc de rcmerci- ment de M. Fries , Chirurglen - Major a Ouftiug veiiki , quc rAcademie a re^u au nombre de fes Correfpondans titres. Le 2. Mars. M. Lowitz a prefente en manufcrit: ^«- zeige einer fiencn fehr mrtbeilhaften Bereitungsart des Viiriol- aethers. Le 5 Mars. Le Secretaire a lu une lettrc tres - gra- cieufe de S. M. le Roi Frederic-Guillaume IL de Prufie, datee de Berlin le 25 Fevricr , qui accufe Ja reception du 3*" Vo- lume des nouveaux Ades, que TAcadcmie Lui avoit fait pre- fenter. Le 9 Mars. le Secretaire .1 remis le Programme publie par TAcademie hollandoife des Scicnces de Haarlem, pour les Prix de Tannee 1788. Eniuite de la part de M. le Dodeur Schaeffer, une notice imprimee du froid extraordinairc qu'il a fiit a Katisbonue aux mois de Decembre & de Jan- vier dernier. Le i6 Mars. Le Secretaire a prcfentc de la part dc la Societe royale des Sciences de Gottingue : le VIIF Tomc des Commentationes Societatis Regiae Scicntianim Gottingeifis. Le 23 Mars. Le Sccretaire a prefcnte de la part dt M. le Prof. Bode de Berlin : Ajlronomifches fahrbuch fiir das Jnhr 1791, nebfl einer Sammhing der neueflcn in der Ajironomie einfchlageuden AbhandUmgcn. Le 30 Mars. Madame la Princeffe de Dafchkaw a en- Toyc de la part de S. E. Mr. le Grand-Chambellan, Je Tome VII des Mcmoires de Pierre le Graud. Voyez ci - deffus au 12 Janvier. Le H I S T O I R E. II Le Secretaire a prefente de la part de la Soclete li- bre cconomique, le VII. Volume de fcs nonveaux memoires : npo^OA^KeHiH mp/^OBi! BOALiiaro aKOHOMiiiecKaro o6uiecmEa, . 11 a lu une relatlon de la chaleur extraordinairc obfcrvee a Lisbonne dans la nuit du 9 au lojanvier nouveuii flile. Cette relation a ete communiquee par S. E. Mr. lc Chevalier d'Horta - Machado, Mlnirtre de S. M. Tres-fidele a la Cour Imperiale de Rudie. Le 16 Avril. M. le Conf. de Cour Lepechin a rapport6, avoir regu pour le jardin botanique diverfes femences cueiUies aux environs d'Ochotzk' & de Kolyma, que le Capltaine Bil- leng avoit envoyees a M. le Chevalier Pallas. Le 23 Avril. Madame la PrincefTe de Dafchkaw a cnvoye de la part de 1'Auteur: Le Nuiton^ Patriote. Discours prononce par M. E. de Bavs^ Avocat poiir k Tiers - etat du Bail' lage & de la liUe de Nuits en Bourgogne. Le 30 Avril. Madame la Princeffe de Dafchkaw a envoye de la part de S. E. M. de Schouvalof : le Tome VIII des Mcmoires de Pierre le Grand. Voyez cl-deffus au 12 Janvler. Le 4 Mai. Le Secretaire a lu une lettre fort Interes- fante de M. le Conf. de Cour Laxmann, datee dTrkoutzk' le 7 Mars , fiir les produdions volcaniques qu'on trouve en Kamt- fchatka & aux environs d'Ochotzk' , dont il envoie quelques echantillons pour le cabinet academique. Le II Mai. Le Secretaire a lu une lettre de M. Te- non, Profeffeur Royal de Pathologie a Paris, datee du 11 Sep- tembre 1788, qui envoie fes ouvrages: i.) Memoires fur les hdpitaux de Paris. Volume in 4. & 2.) Obfer-vatwns fur les obftacles qui s'oppofcnt aiix pro§res de PAnatomie. Avec un me- b 2 moire la H I S T O I R E. moire mnnufcnpt, contcnant dcs dennandes relatlvemcnt aux li6- pitaux de nulades, priant rAcadcmic de vouloir bien chargci: fliiciquHin dc fcs mcmbrcs dc mcttre en margcs lcs rcponfcs, aioutant a fa lettrc cncorc quelqucs qucftions fur lcsqucUcs il fouhaitoit d'ctrc cchiirci. L'Acadcmic en lc rcmcrciant dc fon prcfcnt, lui a fait rcpondre, quc lcs rcnfcigncmens quil demandc n'ctant pas du rcffort dc Mrs. Ics Academiciens, cllc lc rcnvoyoit au Collcgc Impeiial de Mcdccine. Lc 14 Mai. Le Secrctairc a hi unc lcttrc de M. le Conf. dc Cour Laxmann, datcc d'lrkutzk' le 21 Mars, qui com- muniquc cn extrait lcs hautcurs extremes du Baromctrc & du Thcrmomctrc, qu'il a obfcrvces pcndant rhyvcr paffc,&qui cnvoic pour lc cabiiict acadcmiquc un morccau dc lava du plus grand Yolcan dc Kamtfchatka pres du fleuve dc cc nom. Le 25 Mai. Le Sccrctaire a lu une lcttre dc M. van Marum, Dirccf^cur du cabinct dc Phyfiquc & du Mufcum de Tcylcr a Haarlcm, datce du 5 dc Mai, qui cnvoie unc dc- fcription imprimcc dc frottoirs clcdriqucs d'unc nouvcUc con- ftrudion, dont rcffct furpafle dc beaucoup cclul des frottoirs ordinaircs. Le 8 Juin. M. lc Conf. dc Cour Ozcrctskofski a pr6- fent6 dc la part de M. Krcilinin , Corrcfpondant de 1'Acadc- mie i\ Archangel : IIpwroBopt 708O roAa PocciHCKHx:& Apxie- pecBi. 0 Gj^aicaxt TocyAapsi fl,ap^ loanna JJacHAbcBnqa rposnaro c. a d. Jugcmcnt dcs Archcvcqucs Ruffes fur lcs mariagcs du Tfar Jcan Vafilicvitfch cn rannee 7080. Ccttc piccc curieufc fut infcrce dans le Journal acadcmique ruffc; IIobli;i e:KCMic-a- •^iiua. ccmiicHi^. Lc H I S T O I R E. 13 Le I? Juin. Le Sccretaire a Iii une lcttre de S. E. Mr. lc Prince Demetriiis de Gollitzin, Honoraire dc l'/\cade- mie, datee de la Hayc le 29 Janvier , qui envoie, de la part de rAcadcmie Impcriale & Royale des Sciences & Bcllcs- Lettres de Bruxelles, le V. Tome dcs Mcmoircs de cettc Socicte, imprimes in 4. , & de la part dc rediteur: Lefcription pbyfique de la contr^e de la Tauride^ relativement aux trois reg^ nes de la nature. Par M. le Confeiller de Colleges Habfilzl\ tra- duite du Ruffe & enrichie des notcs du tradudeur. 8- La lettre du Prince contient au refte une notice diine guerifoti radicale de diffenteric invctercc , operee par Tapplication de l'air fixci & une dcfcription d'une bclle pierre clartiquc de rAmerique, qui le trouve dans le cabinet du Prince. Le 19 Juin. Lc Sccrctaire a lu unc lettre de M. de Grimaud Prof. Koyal dans runiverfite de Medccine de Mont- pellicr , datce du 3 de Mai, qui s'annonce comme auteur du memoire fran^ois fur la nutrition, auqucl rAcadcmic a donne racceffit. Le 22 Juin. Madame la Princeffe de Dafchkaw a en- voye de la part de M. lc Baron de Hupfch a Cologne, deux cxemplaircs de fa nouvelle decouverte d'une Methode peu co4' teufe , efficace & afjuree , de traiter tous les hommes decedes en apparence., pour les rappeller h la n:ie. 8. imprimcc en frangois & cn allemand. M. le Confciller de Collcgcs Roumovski a communiqu6 & lu unc lettre de M. Gerflncr, Prof. d'Aftronomie a Prague cn Boheme , datce du 24 Mars , qui envoie des correftions , qu'on doit appliqucr aux obfervations d Uranus , pour en de- duire des elemcns plus exacls de fon orbite , entant qu'elle fouffre des perturbations par Tacftion de Saturne & de Jupiter. b 3 Le 14 § H I S T O I R E. Le 25 Jiiin. Le Secretairc a remis de h part de la Societe Royale des Scienccs de Londres : Pbilofophical Trans" aclions of the Rojal Society of Londou. Voh LXXFIII. for the Tcar 17S8. Part. II. II a lii unc lettre de M. de la Lande, datee de Parls lc 8 Juin , qui communique quelques nouveautes aftronomi- ques, & qui annoncc des nouvelles tables de Jupiter & de Sa- turne, calculees par M. de Lambre , qui font beaucoup plus exa(fles que ne font celles , dont les Aftronomes fe font fer- vis jusqulci. Le 9 Juillet. M. rAcademicien T^ouyef a prcfente de Ja part de i'.uucur , M. le Conf. de Cour Toumanski, Cor- refpondant de l'Academie : CoSpaiiie pasHHXB 3aniicoKi) n co- HHHeHie o ;kh3hii h ^^^iHiaxB nempa BeAHKaro. c. a. d. Col- ledion des divers ecrics Si memoires fur la vie & les exploits de Pierre le Grand. Madame !e Princeffe de DafchkaAV a envoye pour le medailler academique, de la part de M. de Kloppmann, Ma- rechal de la Cour de S. A. S. Mfgr. le Duc de Courlande , une medai;Ie qne ce cavalier a fait frapper a la memoire de la prife d^Otfchakov , en honneur de S. A. Mfgr. le Feld- marechal Prince de Potemkin. Le Secretaire a lu une lettre de M. le Confeiller dc Cour Laxmann , datee d'lrkutzk' le 23 Mai , qui communi- que le projct d'un voyage mineralogique qu'il fe propofe de fliire en defcendant la Lena jusqu'a rcmbouchure du Wicim, & allant de la par tcrre le long de la rive dn Wiluc aux montagnes filines & mineralcs de ces contrees. (*) JTc (*) Des obftacles imprevus Tont oblige de remettre ce voyage au printemps prochain. H I S T O I R E. 15 Le 9 Juillet. M. le Conf. de Colleges Pallas a remis de U part de rAcademie des Sciences de Dublin : The Iransactions of.the Irish Academy 1787. Et de la part de 1'auteur , M. le Conf. du College-Superieur des mines Ferber : Drej Briefe mineralogifchcn Inhalts an den Freyherrn von Racknitz, Chur-' fiirjil. Sdchfifchen Kammerherrn gefehrieben. u. f. iv. Le 17 Aoiit. Lc Secretaire a lu une lettrc de M. Ic Comte Gregoire de Razoumovsky , daree de Laufanne le 8 Avril, qui envoie a TAcademie fon Hijioire naturelle dii Jorat & de fes cnvirons^ & cellc des trois lacs de Neujchatel , Morat & Bienne. 2. volumes in 8. imprimes a Laufanne. Madame la Princeffe de Dafchkaw a envoye de la part de rUniverfite Imperiale de Moscou, le discours imprime qui a ete prononce en latin au grand Auditoire, le 30 Juin, par M. Je Prof. Baufe , a I'occa{ion de ranniveriiiire de ravenement de Sa Majefte rimperatrice au throne de toutes les Ruffies. Le Secretaire a prefente la nouvelle edition des /«/?/- tiitiones calcuii differentialis par feu M, Euler fon pere , aug- mentee d'un fupplement fur les fondions inexplicables , qui vient de paroitre a Pavie, fous la diredion de M. Gregoire Fontana, Prof. de Mathematique, & par les foins de M. Fer- dinand Speroni, fon eleve. Le 20 Aout. Le Secretaire a Iii une lettre de M. George Vega, Capitainc & Prof. en Mathematicues au Corps Imperial des Bombardiers, datce de Vienne le i^Juin, lequel envoie tous fes ouvrages qui font : Logarithmifche , trigonometrifche ttnd andere ztim Gebrauch der Mathematik eingerichtete Tafeln und Formeln. Jfien 1783. 8. For- i6 H I S T 0 I R E. Vorlefiingen iihcr die Mathematik. Trois volumes in 8. Wiea 1783- 84 & 88. Practifche Amveifung zum Bombennverfen , viitteljl dazti ein-» gcrichteter Hi/IffstafcL Wien 1787. 8. Berechnung dcr Lange des halben Umkreifes auf 140 Figuren : en manufcript, ainfi que quelques effais fur la conftru- «flion des telescopes achromatiques a plufieurs ocu- laires. Le 24 Aoiit. Le Secrctaire a lu unc lettre de M. le Conf. Prive Loefcli a Anfpach, datee du 24 Avril, qui envoie de la part du College Illuftre de cette ville, divcrs program- mes & panegyriques, que le dit CoIIege a publies en 17S8. Le 27 Aout. Mad. la PrinceflTe de Dafchkaw a en- voye, de la part de M. le Grand - Chambellan, le X'' volume des memoires de Pierre le Grand : ^^^hi^ nempa BeAiiKaro. M. rAcademicien Zouyef a prefente une nouvelle edi- tion corrigee de fon hiftoire naturelle, publiee a Tufage des ecoles nationales. Ha^iepmanie EcmecmBeHHofi Ilcmopiii h. I H n. Et de la part de M. le Conf de Cour Koch : Ten- tamen fccundum & quidem tentamen enucleationis Sphingiim^ im- prime en latin & en rufte. 8. Le 31 Aout. Mad. la Princefle de Dafchkaw a en- voye pour la Bibliotheque academique : Remarques hijloriques & Anecdotes fur la Bajlille. Le 4 Septembre. Aflemblee cxtraordinaire. Voyez ci- deflTus, pag. 4. Le 7 Septembre. Le Secretaire a lu une lettre de M. Bode , datce de Berlin le 27 Aout , qui communique quel- ques nouvelles aftronomiques. Le ri I S T O i R E. 17 Le 10 Septembre. Le Secretaire a lu une lettre dc M. Hemmer, datee de Manheim le 2.6 Juin, qui envoie de la part de la Societe Eledlorale. Ephemerides Socletatis meteorO" logicae Palatinae. Obfer-vationes anni 1787. il a lu une lettre de M. de la Lande, datee dc Paris le zS Aout, contenant des obrervacions aftronomiques , & une lettre de M. le Conf. de Cour Laxmann , datee d'Irkoutzk le 14. JuilJet , qui envoie pour le cabinet :icademique quelques morceaux precieux du fpathe bleu & rofe, du fchorl verd & du zeolithe. Le 17 Septembre. Le Secretaire a prefente, de la part de M. Martin Euler, le Profpedus d'un Didionnaire de Com- merce, qui paroitra foiis le titre : Neiies Handlungs - Lexicon in deiitfchen^ franzofifchen und itaUen'>fchen Riibriken^ fur junge Kauf- leute und Komiorij^en. Le 21 Septembre. M. TAcademicien Zouyef a pre- fente de la part de M. le Conf. de Cour Ambodic, Dodeur & Piof. cn medecine, le 3^ & 4.' volume de fa matiere me- dicale , Bpa^ieGnoe BeujecmBOCAOBie. le 2S Septembre. Le Secretaire a prefente de la part de M. le Conf de Cour Hermann: Verfuch eiuer mineralogi' fch.n Befchreibung des TJralifc^^cn F.rzsebiirges. En deux volu- mes in 8, dedie a Sa Majefte rimperatrice. Le 5 Odobre. M. rAcademiicien Fufs a lu une lett- re dc M. le Baron de PaccalTi, Correfpondant de 1'Academie, d:uee de Vienne le 19 Sepremibre , qui envoie une conftru- (flion geometrique des angles d'un triangle fpherique. Hifloire de 1789. c Le 18 H I S T 0 I R E. Le 12 Odobre. Le Secretaire a lu une lettre de M. le D. Kratzenftein, datee de Copenhngue le 2.6 Septembre, con- cernant la preparation de l'argenr fiilminant. M. Kratzenftein communique fes idees fur le phenomene de fa detonnation. Le refte de la lettre roule fur la perfedion de fa machine vocale, & fur celles de TAbbe Mical a Paris & du D. Miiller a Vienne , qui doivent prononcer «Sc chanter des phrafes en- tieres. Le 15 Odobre. M. le Conf. de Cour Ozeretskovski a prefente de la part de M. Krertinin, une hiftoire de la vii- le de Kolmogor : Ha^epmaHie Ilcmopiii ropoAa XoAMorop:b , avec une ancienne gravnre tres curieule 6z fort rare , con- tenant une diftribution des impots fur le nombre des char- rues : ComHoe nncMO, Cette hiiloire a ete inferee au Calen- drier hiltorique de 1790, & enfuite iniprimee feparement. Le 19 Odobre. Le Secretaire a prefente de la part de rediteur. Pro/pe&us d^unTabkau de la Rujfie^ contenant fa popiiIa'ion, la conJVitution de fon fol^ fes produits naturels^ fon economie ruraJe^ Pexploitation des mines^ fes manufactures ^ fon commerce & fes fi' nances^ par M. le Conf de Cour Hermann. Propofe par voie de foufcription par les libraires Chretien Tornow & Comp. Le 22 0(ftobre. Le Secretaire a lu une lettre de M. le Brigadier de Lorgna, adreffee a feu M. Bernoulli & datee de Verone le 21 Avril. M. de Lorgna y communique fes idecs fur les fondions arbitraires , qui font le fujet de la queftion propofee par 1'Academie pour le Prix de 1790 , & envoie les ouvrages fuivans in 4. Memorie di Matematica & Fifica della Societa Italiana. Tomo IV. Verona 1788. Me- H I S T O I R E. xp Memoires de rAcademie Royale des Sciences de Turin. Annees i-jS6 & 1787, a Turin 1788. Principi di Geagrafia Aftronomico - Geometrica di Anton- Mario Lorgna. Verona 1789« il a lu une lettre de S. E. Mr. le Prince De- metrius de Golitzin, datee d^AfchafFenbourg le 19 Septembre, qui commnnique une lettre que lui a adrelTee M. le D. jenC- fens d'Ofterhout le 28 Avril , contenant un recit detaille de la guerifon radicale d'une diflenterie chronique par des clyrte- res d'air fixe (voyez ci-deffus au 15 Juin). La lettre du Prin- ce contient encore d'autres emplois falutaires de Tair fixe dans des cas defefperes , & furtout fa propriete de diffoudre la pierre. Le 2») Ocflobre. M. le Profeffeur Zouyef a prefente de la part de M. le Conf. de Cour Ambodic , rouvrage dc cet habile medecin fur Tart d'accoucher, divife en cinq parties: HcKycmBO noBHBaALHoe, hak HayKa 0 6a.6R^bQm-b A^Ai, ua nAinb ^acmeii pas^iAeHiiaii. Le 2 Novembre. Le Secretaire a lu une lettre ante- rteure de S. E. Mr. le Prince Demetrius de Golitzin , datec d'Afchaffenbourg le 1 1 Aout, qui envoie plufieurs exemplaires de fes Lettres mineralogiqiies^ adreffees a feu M. Campcr, pour les diftribuer a Mrs. lcs Academiciens. Madame la Princcffe de Dafchkaw fit remcttre de la part de M. le Grand-Chambcllan de Schouvalof le XF volu- rae des Memoires de Pierrc le Grand, & de la part de I'Uni- verfite Imperiale dc Moscou : Catalogus ]e£tionum puhUcarum in Vniverfitate Caefarea Mosquenfi ^ ad annum 1789- Le Secretaire a communique de la part de M. le Conf. Prive Formey, Diredeur de la Claffe de Philofophie & Secre- c 2 tai- 40 H I S T O I R E. tairc perpetuel de rAcademie royale des Sciences 6c Bellcs- Lettres de Prufle a Berlin , lc Programme des Prix propoles par ce^te Acadcmie pour Tannee 1791. Lc 5 Novembre. Le Secretaire a lu une lettre de M. le Conf. de Cour Zimmermann. a Brounswig , datee du 17 Septeoibre, qui envoie : Vojage a la Nitriere naturelle qui fe trome h Molfeta dans la terre de Bari en Pouille^ imprime a Paris ; & quelques exemplaires d'iine annonce des Annales geographiques & ftatirtiques , qu il fe propofc de publier en trois langues, en frangois, en anglois & en .allemand. Le 9 Novembre. M. le Prof. Georgi a rerris de la part de M. le Conf. de Cour Tychfen , Profeffeur a Roftoc : Olai Gerardi Tychfen Vindicario refutationis hifpane fcrip- tae ab anonymis hifpani obje Lettre fur rdafticite (Dans le Journal de Phyfique de TAbbe Rozier fuppl.) Memoire fur la Theorie d'un Tnftrument quon pourroit nommer Machine balliibque (Mem. de lAcad. Royale des Sciences & Belles-lettres de Berlin, annec 1781-) (*) Nous ignorons le titre complet de ces deux difTertations. H r S T 0 I R E. S? ©ebiinfcn ubcr bie '^xa^ct ^axmx mv 6ci) unfern ft^tcbcrnjditi^- feitcn im UiigliKf Sinbrcr S^ioft finbcn ? (Sftufjl, ^eptvagc ju ben neuen ©treltlifcbcn 5injcigen. '^an, 1782). Thefes phyficae. Bafil. 1782. Eflai d'une nouvelle maniere d^envifager les difFerences , ou les fluxions des quantites variables (Mem. des Cor- refp. de TAcad. Royale de Turin, annee 1784- & 85. Tom. I. p. 2). ^cmerfnnQcn anf ciner ?)icife m\ '^icn burd) (Stci)crmarcF , dvain unt) '^iianl, 1785 (3o^. SeinouIIi'!^ 6amm(, furjev 3{cifc5cfcf)r, i6ter SanD> Confiderations hydroflatiques (Nova Ada Helvetica. T. I). 2lnali)tifd)c 5iuf[6fung bie an Ucn Jleroffatcn aniu6ringcn&en ^a(Ifdn'r:: me tetiettcnD (£cipj. ?}?ac!aj. fur reinc u. angcn?. ?0»at^, i ©t, 1786;. Sur le mouvement gyratoire d'uiii corps attache a un fil extenfible. Premier Memoire (Nova Acla Academ. Sc. Imp. Petrop. T. I. pro anno 1783). Sur le mouvement gyratoire, 6cc. Second memoire (Nova Ada T. II. 17 84). Sur le mouvement gyratoire &:c. Troifieme memoire (NoT. Ad. T. 111. 1785). Dilucidationes in Commcntarium Tll. Euleri de idu glandium contra tabulam explofarum (Nov. Acl. T. IV^ i7S<^). Eflfai fur une nouvelle machine hydraulique propre a ele- ver de Teau (Ibidem). Effai 32 H I S T 0 I R E. Efllii theoretique fnr les vibrations des plaques elaftiques - ,. redangulaires & libres (Nov. Ad. T. V. 1787). De niotu progredivo, rotatorio & ofcillatorio duorum cor- porum ope fiii (uper troclileam tranfeuntis coiinexorum ^ (Nov. AA. T. VI. 1788). De motu & reacftione aquae per tubos mobilcs transfluentis (Ibid.) On a aufli de M. Bernoulli une tradudlion allemandc des Memoircs de Philofophie de M. Merian , en deux volu- 'ines. EX- EXTRAIT DES MfiMOIRES CONTENUS DANS CE VOLUME. Mijloire de 17S9. H I S T 0 I R E. 3j CLASSE DE MATHfiMATiaUE. I. De formulis differentialibus, quae per duas pluresue quantitates datas multiplicatae fiant integrabiles. Audore L. EulerOy pag. 3. R ous avons deja eu l'occafion de parler a differentes repri- fes des recherches que feu M. Euler a faites fur les courbes algebriques dont les arcs peuvent etre exprimes par des for- mules integrales donnees. Dans les extraits qui fe trouvent a ia tcte du cinquieme volume des Nouveaux Ades de l'A- cademie, nous avons f:?it rr.eniion de deux Memoires , 011 cet illuftre Geometre a trouve une infinite de courbes algebriques dont les arcs peuvent etre mefures par des arcs paraboliques ou elliptiques, & dans rHiftoire de Tannee fuivante on trouve la notice dim Menioire , oii cet Auteur cberchoit toures les courbes dont les arcs font exprimes par la formule generale — TT" ' ^ P^^ z^xx^ autre beaucoup plus generale: 1'™ — ' ^ -y h V 6tant une fondion des ordonnees, qu'il s'agit de determiner, de maniere quc ces forrrmles expriment Tarc de la courbe in- defini. Mais malgre tous ces heureux eflforts de repandre du jour fur cette nouvelle partie de TAnalyfe, il faut couvenir c 2 qu'on 36 H I S T O I R E. qifon ignore encore jusqiraux premiers principes Tart de re- foudre generalement ces fortes de queftionsj & ce n'eft qu'a force de multiplier de pareilles reclierches qu'on peut efperer d^approfondir cette matiere digne de rattention de tous ies Geometres. Le prefent Memoire nous paroit fort propre a ^clair- cir en plufieurs points cette nouvelle branch.e de calcul , que M. Euler a ete le premier, & presque le feul, a traiter fous Je nom d'Analyfe indeterminee des Infinis: il eft une fuite des Techercbes anterieures de 1'Auteur fur le meme fujet. Car comme le Probleme general de trouver des conrbes algebri- ^ ques dont relement indefini puifle etre cxprime par une for- iTiule*difFcrentie!Ie pre(crite ds^ fe reduit a trouver un angle (P tel que les formules. d s fin.

& la difference 2 (p. La demonfl:ration de ces deux premicrs Tbeoremes efl: fondee fur une reducftion generale tiree de la differentielle des deux formules fin.Cp^fin.XCp «Sc fin.CJ^^cof.XCp. C'efl par des exprefiions femblables & demontrees de la meme maniere que dans les deux derniers Theoremes M. Euler prefente Ics integraies des memes formules /3 j cof. w &/^jfin. oj, ds etant — 3 (J) cof. Cp''"^ de forte que ces c 3 deux 3S H I S T O I R E. deiix Theoremes coirbines peiivent fervir a trouver iine infi- nite de courbes algebriqiies dont les arcs indcflnis font ex- primes par hi meme forn ule integrale /3 Cj) cof. Cp"~' , les deux pren.iers Theoremes ayant fourni une infinite de cour- bes algcbriques, dont les arcs indefinis font — / d CP fin. (})"■"'. Finalement tous les quarre Theoremes combines frayent le chemin a la folution du Problem.e de trouver une infinitc de courbes algebriqucs dont Jes arcs indefinis font exprimes plus generalement par hi forme fd(py(aa fin.Cp^^^-^H-^^cof Cl5'"-') probleme dont la fohition termine ce memoire. Nous ne pouvons pas pafTer fous filence une chofc digne d'etre relevee , c'eft que M. Euler a refolu au §. 20. , pour ainfi dire en pafTant , un Probleme qui Tavoit beaucoup occupe autrefois & dont il avoit defefpere plus d'une tois de trouver la folution. ITT. De termino gencrali ferierum hypergeometricarum. Audore L. Etilero^ pag. 42, Quand on confidere la ferie hypergeometrique fous fa forme la plus generale , c'eft-a-dire celle dont les termes font : Le i^ = <7, — 2^=a(a-hl>), — 3' = « (a + ^) C<7 H- 2 ^) , — ^' :zz a (a -{- i>) (a -h 2 l;) (a -\- 3 h) ; & H I S T O I R E. 35, & en general Le Tf"—a(a-i-b)(a-^-2b)(a-h:ib) [a-{-(n — i)b] il fe prefente une quertion difficile autant que curieufe fur la Yaleur du terme «'"^ , lorsque n eft un nombre fradionnaire , queftion dont M. Euler avoit deja donne une folution dans fon Calcul DifFerentiel, pag. 832, 011 11 a trouve, par la vojc des interpolations, rexpreifion fuivante pour le terme «'"* de la ferie mentionnee : a-i-nb a-i-(n-\-\)b a-*-\ji-^ijb Mais comme la methode , par laquelle il avoit ete conduit i cettc exprelfion, ne lui a paru ni prefentee d'unc maniere affez lumineufe, ni fondee , comnie ce'a devroit etre, fur la nature meme de ces feries , il a tache de fuppleer a ce double de- fauc dans le prefent memoire. La methode que l'Auteur employe ici efl: fondec fur la confideration du terme i"*^ de la ferie hypergeometrique en queftion, i etant un nombrc infiniment grand. Car en partant du tcrme «™', on peut former facilement les termes de Tor- drc «-4-1, «-f-2, «-}-3, & cn general de Tordre « -f- / , cxprimes par le termc «'"'"i & en partant du terme i^' , on peut former fucceffivemcnt les termes i-hi, i-j-2, /"-+-3, & en general ;'-+-«; deforte que pour cet ordrc i-\-n on obtient deux exprcflions qui , comparees entr elles, fourniffent pour lc tcrmc n^" cn queflion un produit d'une infinire de fadeurs dont la loi de progreffion efl: evidente, & dans lequel on pcut donncr a la lettre n tcUe valeur qu'on veut , parce- que dans toutc ropcration il n'y a rien qui doive exclure les fradions , ni memc lcs valeurs irradonnelles , comme l'Auteur fait voir par plufieurs ejtemples. IV. 40 HISTOIRE. IV. De iterata integratione formularum integralium, dum aliquis exponens pro variabili adumitur. Aii(flore L. Eukro^ pag. 64. , Poiir mieiix faifir Tidee de rAutenr, le biit de ce Me- moire , 6c \\ methode dint6grer qui y eft developpee, il fuP- fira de fuivre M. F.uler dans la folution du premier Proble- me , oii il traite la formule la plus fimple /x^"" ' 3 x , dont la valeur prife depuis le terme .v z=: o jusqu^au terme jr m i, efl: ^ , de forte que f x^~ ^ d x ^iz. ^^. Pour la nouvelle inte- gration de cette formule on fuppofe rexpofant 0 variable , & aprcs avoir multiplic par d & on prend de part & d'autre Tin- tegrale de maniere qu'elle evanouiffe en mettant ^ =r a. De cette maniere on a f~fd^ x^ —f^. Mais a caufe de -- ^O j^Ct conftant 6i. fd & x^ — , on aiira l X d X x^ — .v" 7 d rdx x' — .v" 79 J X l X ^ a D'une manicre femblable M. Euler traite plufieurs au- tres formules plus compliquees dont les Integrales font con- nues pour certains tcrmes dintegration determines. V. Methodus facilis inveftigandi radium ofculi, ex principio Maximorum et Minimorum petita. Audore L. Eulero^ pag. 83« Si dim point quelconque Y d'une ligne courbe on tirc la Normale, on fait que chaque point O de cette Normale a la H I S T O l R E. 4.1 la propriete quc Ca diftance au point Y ne difFere point de fa diftan- cc a un autre point infiniment proche de Y, c'eft - a - dire qiie cet- te diftance refte la nieme, quoiqu'on fafte varier le point Y d'une quantite infiniment - petitc. Mais fi ce point O eft Je centrc du cercle ofculateur, rintervalle O Y, ou le rayon ofculateur, refte non feulemcnt invariable pour les premieres differentiel- les , mais il ne changera non plus pour les differentielles fe- condes; d'ou il fuit que tant la premiere que la feconde diffe- rentielle de rexprefllon de rintervalle O Y, ou de fon quarre, doit devenir zero , ce qui fournit deux equations , desquelles on deduit fans difRcuIte rexpreflion connue pour le rayon ofcu- 3 lateur , fgavoir ± ^ -^ P P ^ ^^ jjj^^ Lf. ^ ou x eft Tab- o p "' fciffe & ? le finus de Tangle de courbure. L'Auteur termine ce petit memoire, en deduifant de cette formule plufieurs au- tres, dans la formation desquelles la differentielle ou de Tab- fciffc, ou de rordonnee, ou de Tarc a ete fuppofee conftante. VI. Obfervationes generales circa feries, quarnm termini fe- cundum finus vel cofinus angulorum multiplorum progrediuntur. Audore L. Eiilero^ pag. 87. Comme la fomme de la ferie A -i- B .v -4- C .v* -f- D at^ -^ E jv'^ -I- &c. eft neceffairement une fondion de .v, en defig- nant cette fondion par le caradere A : .v, 6c mettant a la place de X les valeurs p ■=: zo{. (^ -\- y — 1 fln. (J), ^ :=! cof. CP — y — I fin. 0, Hijloire La chaleur moyeaae depiiis le i Mai jusqifau i No- vembre 1789, a ete, en prenant les hauteurs thermomctriques obfervces a 2 heures aprcs midi, dc 13^ degrcs , & en pre- nant celles qui ont ete obfcrvees le matin & le foir , de 9 degres de Reaumur. L'Auteur remarque au refte i.) que rhyver de 178S a 1789 a ete beaucoup plus rude que Thyver moyen , quoi- quil ait ete de 2. jours plus court, & que le plus grand froid n'ait pas ete extraordinairement fort. 2.) Que l'ete de 1789 a etc Tun des plus beaux , quil a ete beaucoup plus chaud que Tete moyen , & que rintervalle entre la prcmiere gelce & la derniere a ete de 5? jours plus Jong que dans lannee moyenne. Bijioire de 1789. k Errata. Errata.' y-ig. 31. Hn. 13. loco cxponentis « — n lege n — 1, , fnb j^ ~ o"l , fab x zz: o"] , •^ '72. — 12. loco j lege , , * — 85. ad marginem loco Fig. 3. lege Fig. 2. — 106. lin. 13. loco "^ lege ^ 'j^ ^ „ -» — 151. — 24. — 0,017,17 lege O5O17417. — 241. ad marginem addc Tab. V. — 243. lin. 3. loco NOMENDATVRAE lege NOMEN- CLATVRAK — — — II. loco ritae lege vitae. — 2^6. lin. 7. loco perluftrans lcgc perluftrantu — 14. — ophtis lege Ophia. — 2^8. — I' — te- lege ter- — n. — xue — yc — 3. — dcfinentibus lege definentibus- • — 7. — pupilliformes — papilliformes« — 14. — parallelium — parallelorum. -— 301. linea vltima loco Dhalberghiana legcDalbcrghiana. . — 3 81. lineavltima — Tab. XIII. lege Tab. III. Fig. '''. p legc 54^. ^^''^.p — 385. — 7- ~- 8.37 — 8.^7. MATHE- MATHEMATICA. }^oua AHa Acad. Imp. Sc, T. FIL DE FORMVLIS DIFFERENTIALIBVS, QVAE PER DVAS PLVRESVE QVANTITATES DA^ TAS MVLTIPLICATAE FIANT INTEGRABILES. Audore I. E F L E R. Conumt. exhlb. die i lul. 1776. §. t. .lam faepius eiusmodi quaeftiones tradlaui, quibus curuac alg€* braicae requiruntur , quarum longitudo per datam formulam integralem exprimatur. Ita nuper (*) infinitas curuas algebraicas mihi quidem affignare licuit, quarum longitudo fiue per arcus Parabolicos , fiue Ellipticos , menfurari queat -, tum vero ctiam plures alias formulas, quibus longitudo curuae exprima- tur, fatis felici fucceflii fum perfcrutatus (**). Interim tamen ex his omnibus concludi debet, eam Analyfeos partem, ad quam huiusmodi quaeftiones funt referendae, minime adhuc effe fatis cxcultam , atque adeo etiamnunc quafi prima principia laterc, vnde huiusmodi quaeftionum folutionem peti oporteat. Pluri- mum igitur ad fines Analyfeos promoucndos conferre putandum eft, fi hoc argumentum Geometrae omni cura vlterius profequi dignabuntur. A 2, §.2. (♦) C. Nov. Adl. Acad. Tom. V. pro Anno 1787- (^*) C. Nov, Ad, Acad. Tom. VI. pro Anno 1788« (4) §. 2.. Quando autem quaeftio proponitur de curuis AI- gebraicis inueniendis , quarum elementum indefinitum formula diffcrentiali quadam praefcripta d s exprimatur, totum negotium eo reducitur, vt angulus quispiam Cp inuefligetur, cx quo hac duae formulae differentiales d s fin. (p et 5 J cof. Cp integrabiles euadant. Quae inueftigatio cum in genere ne fufcipi quidem queat , quacltionem inuerfam accuratius tradafle iuuabit , qua omnes eae formulae differenriales exquiruntur , quae tam per fin. (p quam per cof Cp multiplicatae reddantur integrabiies , cuius refolutio cum nulla amplius laboret difficultate , eam iti latiori fenfu acceptam euoluamus, quo loco formularum fin. (f) et cof (J) aliae quantitates quaecunque proponuntur. Quin etiam iftam quaeftionem ad tres pluresue huiusmodi quantita- tes extendamus. Quanquam autem methodum huiusmodi pro- blemata foluendi iam ante comphires annos adumbraui , qua noua quaedam pars Analyfeos Infinitorum, quam indeterminatam appellare liceat, conftitui eft cenfenda, tamen quoniam hoc ar- gumentum tum nimis generaliter efl tradatum , nunc operae pretium erit id maiori cura propius ad praefens inftitutum ac- commodare. Problema i. Inuejligare omnes formtiJas differentiales , qiiae per datas dtias qitantitates propofitas midtipJicatae reddantur integrabiJes. SolLltlo. §. 3. Defignemus formulam differentialem quaefitam charatftere 3 W , fintque p ct q bini illi multiplicatores dati , quibus haec formula integrabilis reddi debeat; ita vt hae duae formulae intcgrales: /p 5 W etfqdW euadant quantitates al- gebraicae. Denotent igitur P et Q iflas quantitates algcbrai- cas 5 vt fit fpdWz^? et /^ 3 W n: Q, atque hinc duplici mo- co modo fponte elicitur 9 W r= ^^ et a W = ^. Nunc igitur quaeftio perduda eft ad duas quantitates algebraicas P et Q inueftigandas , quarum differentialia inter fe teneant datam ra- tionem vt p : q ^ fiue vt fit ^ ~ ^ . §. 4. Ifta quidem conditio certo refpecflu facillime ad- impleri poteft, ita vt adeo relatio quaecunque inter quantitates Tab. I. P et Q ftatui poffit. Namque fi curua a q ita referat binas Fig. i, quantitates datas p et 9 , vt fumta abfcifta a p ~p ^ applicata p q fiat — 5^ , luper eodem axe conftruatur pro lubitu curua quaecunque A Q, ac fumto in priori curua pundo quocunque y, dudaque chorda aq^ in altera curua capiatur pundum Q, ad quod duda tangens QT iili cordae aq fiat parallela; quo fadlo coordinatae huius alterius curuae A P et P Q exhibebunt ipfas quantitates quaefitas P et Q. Si enim ponamus AP~P ctPQrQ, in triangulo PQT vtique erit PQ:PT = aQ:9P, Cum igitur hoc triangulum fimile fit triangulo^^fl, erit dQ:3P -?'p5 ^u^^ ^ft ^P^^ proportio requifita. §. 5. Verum haec conftrudio, licet facilis ac plana, ad <> inftitutum noftrum parum confert,- propterea quod inuentio pundi Q poftulat refolutionem aequationum cuiusque ordinis , quae tamen neutiquam eft in noftra poteftate. Nam fi natura cur- vae AQ hac tantum aequatione exprimatur: Qiz:aP + pP'-|-vP' liinc fiet i|— a-t-2(3P-|-5vP^ fradlioni -i- aequalis ftatuenda , ita vt quantitas P erni debeat cx hac aequatione ordinis quinti : a -{- z ^V -\- 6 y V^ — ±^ cuius refolutio vtique vires Algebrae fuperat. Multo miiioreni autem difiicultatem ofFendemus , fi aequatio inter P et Q ma- A 3 S^* gis fuerit complicata , in eaquc etiam altiores poteftates ipfius Q occurrant,- quamobrem ad inueniendas quantitates P et Q longe ulia via nobis eft ineunda. §. 6. Cum igitur liaec aequatio refoluenda proponatur ISL-zr-L; "vbi quantitates ^ et ^ vt datae fpedantur : pona- jnus breuitatis gratia -^ = * , vt efle debeat — ^r ; , ideoque 5Q~;3P, quae formula cum integrabilis efle debeat , ob Qr:/f3P per redudiones notiinmas habebimus Q = /P — fPdi; ita vt tantum formula /P d t integrabilis fit reddenda, id quod facillime praeftatur, ponendo /P 3 r r T. Hinc enim fiet P =: il^ vnde, quaecunque fundio algebraica ipfius t pro T accipiatur, femper idoneum valorem pro quantitate P adipifcimur , fcilicet P — ^j ex quo porro elicimus Q — '-Al— T, ficquc plene fatisfadum erit conditioni requifitae: ^:=i ±. zzzt. Sum- to enim elemento d t conftanti , erit d? — ''^ ct aQ — aT-j-m^-aTz=*4*j al ~ at 0 1 vnde manifefto prodit ^^—t, vti requiritur. Eadem autem aequalitas prodiiflet, etiamfi elementum d t non fuiflet conftans affumtum ; tum enim prodiiflct ^p dt 3 i T — ,) r dii „,. V sr -jj^ ci vnde iterum colligitur 2L2-— / , vt ante- ^. 7. Tnuentis autem dual)us quantitatibns P et Q ipfa formula differentialis quaefita d W dupJici modo exprefla ha- betur , fcilicet vel d^W — — vel dW ~ ^, quae autem ne- ceflario ad eandem expreiTionem dediicerc debent; ex vtraque enim coUigitur forc dW ~ fiii-Izzi-Liii . Cum autem hic fit = (7) = fit I =: -^ , erit d t r P^q-qjP . ynde cum fit P z= |I, erit Pzi:— £±il_ , Ynde reperimus -^ p f)f> 9 3 T I ti-p 3p BT p p3T(p 9 ^q — q 3 3 p) pdq — qdp P d q — qdp {p d q — q ^p)^ hincque denique ipfa formula difFerentialis quaefita erit ^ -yy — pdBT . I , i.3p9T p3T{p^c^q-qadp) p dq — q dp p d q — qap [p ^ q — q ^ ^ )» tum autem neceflario fiet,. vti conftituimus fpdW = ?=: ^^''^ et ''■* p d q — q d p •/ * ^p^q — qdp Alia Solutio* §. 8. Quoniam ambo murtiplicatores praefcripti ^ct|lf tequaliter in computum ingrcdi debebant , quod tamen in fo- lutione inuenta ionge fecus euenit, vbi altera harum quantita- tum p longe alia ratione ineft atque altera f , operae pretium erit eiusmodi folutionem tradere, in quam ambae quantitates p tt q pari ratione ingrediantur , ita vt, fada earum permuta- tione, formula pro 3 W inuenta nullam aJterationem pntiatur , quandoquidem haec circumftantia ad elegantiam foiutionis per* tinere eft cenfenda , licet folutio ante inuenta in fe fpedata* quaeftioni pariter perfede fiitisfaciat. §» g^ Maneant igitur in praecedente fGlutrone omnia' cadem vsque ad introdudronem litterae T; et quoniam peri.e- nimus ad hanc aequationem: QrfP— /Pdr, vbi ob t — ± eft d t intllszLlll ^ quae formula denominatorem habet p py ftatuamus f?dt~y-. vt differentiando prodeat P i. f ip d q — q B p) p dv — V dp tt PP fieque (8) ficquc obtlnebimiis p p d 'V T 9 p , pd q — qd p ' ex quo valore porro deducimus f\ , q p d V — V 5 p _____ V ^ Y ' p^ q — qdp "F' quac expreffio redncitur ad hanc: ' /~\ q 3 V — V d q ^ pdq — qd p quac alteri P perfede efl: analoga, dum valor ipfius Q ex P fponte prodit permutatioue litterarum p Gt q ^ folo figno ex- cepto. ^. lo. Cum ieitur inuenerimus p — p^-" — '"^p «er •^ ° p d q — q d p^ *■ difFerentiationcm nancifcimur ^ p {pdq — q :)p){pdav—vidp^ — [p3i-—-v3p)[p3dq—qap) [ptjq — q^jpV quae exprcfTio, fiida euolutione, reducitur ad hanc: "\ p p^Sfipdq — qSp^ — pdvipdSq — qidp^ + pv^dpddq — Sq^dpt '♦ ipdq-qdp)^ Hinc igitur formula differentialis quaefita d W ita exprimetur , vt fit -\ •tKT- div{pdq — q^p) — iv(pddq — qddp)-^v[ipi^q — iq33p) . ip$q~qdp)* * vbi ambae quantitates p ct q manifefto funt permutabiles , fi quidem mutatio fignorum nullum difcrimen afferre eft cenfenda. §. II. Ifta folutio non folum antecedentem fupere- minet infigni elcgantia, fed etiam pariter eft maxime generalis, quandoquidem quantitas v arbitrio noftro penitus relinquitur; ideoque eius loco omnes plane fundiones ipfarum p tt q ac- cipi poffunt. At vcro ifta exprefiio conditiones praefcriptas ita adimplet, vt inde fiat rpdW — ?=z ^^'"-'"Sp gt •'•' p ^ q — 1 '^ P /gdW — Q=z i^^-^^i, ' * ^ p ', Vi fi fiimatur dx-=id scoC.

quae eft integratio completa aequationis propofiiae. §. 25. Denique hic annotane iuuabit , fi 0 denotct angulum, quem curuae cuiufpiam elementum d s cum elemen- to abfcifllie ^ -v conftituir, atque dW exprimat ipfum elemen- tum abfcififae d x , tum fore clementum applicatae d y zzz d x tang. (p — /> 0 W , clementum vero curuac ^ j — D jc lec. (J) ziiqdW^ iinde ergo habebitur ipfa applicata .„ 1; 9 vjin. (|) •^ cof. Cp d Cp ' atquc ipfa curuae longitudo erit s V fin. (p d -v coj. (p r vnde eliminando tcrminum ^— oritur d t 'vzizl tflll — ^fT tdt qnae exprefTio quom.odo fatisfaciat, vidcamus. Primo hinc erit ^ =: l fl±i -4- -^- fT tdt di -J t ^^ 2tt J qnac aequatio denuo difFercntiata dat His ==(17)=== His igitur valoribiis fubftitutis prodit ^-dv — ^-lf^i-^^JTtdt -vdt — ^lriH-i^^fT tdt Summa — Tdt^ prorrus vt ante. SchoIIon. §. 29. Duo priora exempla , quae hic attulimus , in- fignem vfum praeltant in curuarum indole refpedu redifica- tionis exploranda , vti oftendimus ; tertium autem exemplum ideo eft notatu dignum , quod in huiiismodi inueftigrftionibus faepius eiusmodi formulae differentiales occurrunt , quas , per eandem quantitatem tam multiplicatas quam diuifas , reddi oportet integrabiles. Veluti fi in fuperficie cylindri redi prae- ter redas axi parallelas aliae lineae duci debcant , quae fint redificabiles , quaeftio ad inuentionem eiusmodi quantitatis al- eebraicae t reducitur, per quam ifta formula differentialis ,, ^^" — - tam multiplicata quam diuifi integrationem admittat. Poftquam autem plurimum nequicquam in hoc negotio defudaffem , af- feuerare non dubito, nullam plane dari eiusmodi quantitatem r, qua hae duae formulae: , '■^'" , et — ^ fimul fiant inte- ■* y ( I — n v) t V 1 I — 'V v) grabiles. Praeterea vero omnino certum mihi videtur, praeter iimplices poteitates ipfius v nullas alias eius fundiones t dari, unde hae duae formulae differentiales: ^-^ et pi fimul euadant V t V integrabiles. Problema. §. 30. Si formula dtfferentiaJis d W 'vtciinque fuerit com" pofita ex quantitatibus i-ariahilibus p et q (Jnter quas quicJem fer- Noua Acta Acad. Imp. Sc. T. Vll. C ta (18) ta relatio dari offtimltur) defimre quantiatem v ex hac aequatiO" ne dijferentiali ficimdi gradus: ip dq — q a-p)^ ~ * Solutio. Qiiia noiHmiis hanc aequationem integrabilem reddi, fi multiplitetiir tam per p quam per q : haec duplex integratio nobi^ duas fuppcdicat aequationes differentiales primi gradus , quae funt: fpdW = psv — ^sp QtfgdW — 13-"-"^'^^ . •^ ^ p d q — q ■■! p P d q — 1 <^ P qunrum poflerior, duifra in /), fi fubtrahatur a priore dufla in q, praebet fequentcm aequationem: qfpdW — p/q dW — v; ficque innotefcit valor quacfitus quantitatis v^ qui, quoniam gcminam integrationem iiiuohiit , ob duph*cem conftantem ar- bitrariam pro integrali completo aequationis differentio - diffe- rentiahs eft habendus» Problema 2. Imietnre formutam differentialem d JV-, quae per tres quan-' titates variabiles datas p^ q et r muhiphcata jiat integrahilis, Solutio. §. 31. Ponamus haec tria integraha , quae prodire debent , effe i°.fp a W =: P, 2".fq dW = (l, 3°./'- 9 W = R, vnde triphci modo formula differentialis quaefita d W expri- metur 1°. 9 W r=: ^; a°. 3 W = 12,; et 3°. 9 W = i3 p ' [p dr~r^p) dZ~Z{p djr —rddp)- d p [q z — 7.dx ^4. TT 'y d 7 — z^r y _-X£z-za_x ct U_ X c> V — \ j X X ci \ — Y o' X Iinientis autem valoribn.s V et U fimiii habentnr litterae 11 — Vp et « — U/?, ex-quibiis vt ante dctcrminabuntur valo- res P , Q et R , hincquc tandem ipfa formula differcntialis quaefita d W. CoroIIariiim. §• 37- Quoniam litterae V et U duabus conftant par- tibus, altera per Z, altera vero per d 2 affeda, etiam quantita- tes V et // duabus huiusmodi partibus conftabuntj unde earum differeutialia infuper partera fccundo differentiali d d Z affe- dlam continebunt. Huiusmodi ergo tres partes in litteris P, Q et R occurrent , quae cum denuo differentiari debeant , vt formula differentialis d W eliciatur , euidens eil in expreffione 3W differentialia ipfius 2 ad tertium gradum affurgere, unde pro 3 W huiusmodi prodibit expreillo: 3W~A24-Ba2-:-Caa24-D3^2 vbi litteras A, B, C et D pro formulis per euolutionem va- lorum fupra alfignatorum pofuimus. Quibus pracccptis appli- cationi ad cafus particulares non immorari efl: opus. JL C 3 QVA- QVATVOR THEOREMATA MAXIME NOTATV DIGNA IN CALCVLO INTEGRALL Audore I. EV LERO. Conuent. exhib. die i ////. 1776. Theorema Primum. D§. I. eiiotante (p anguliim quemcunque variabilem, fi n ngnificet numerum quemcunque, fiue integrum, fiue fradum , fiue pofiti- iium, fiue negatiuum, tum vero ftatuatur 3 j — ^ cp (fin. C|))"~', fequentes formulae integrales omnes algebraice exhiberi pofl"unt: I. /aifin.(»H-i)(J)=z?i!lll^"fin.«(p. n n. /9/fin.(«-f-3)4):=^^^\fi"-(«-^0^-+--fi"-«^]- «-+-1 ^ llL/ajfin.(«+5)4^ — ^^^^[fin.(«-^4.)Cp-+--Lfin.(«-f-2)Cl) «-+-2 '*■*■* H — L . i.fin.«Cp]. n+i 71 "^ J fin Ct^'' IV./ajfin.(«-4-7)Cpz='lll:^[fin.(«-+-(J)Cj)-^-^^fin.(«H-4.)Cl) w -t- 3 -+-_3 ?-fin.(«-f-2)(])-^-_i- .-L .i-fin.«Cpl. V. (^3) ti-+- ^ H--1 ^fin. («-+-4)(t)-+-_l- . -^ . -Lfin. («-t-2)Ct) n-i-3 i-(-2 ^ Ty T- „^3 n_^2 jj^j \. y T- H-^ . ^ L.i.fin.«Cl)]. n t-3 n-+-2 n-f-i n "^ -* VI. /ajfin.(«+ii)C|) — ^^i^[fin.(«-t-io)Cp^--^fin.(»-4-8)Cp « -f- 5 "'*''* H-_i i-fin.(«-H t' ^ 1 3 2_ _ ^ f-^^^ j^ (^l n-+-4 n-f-3 n-i-2 n-f-i n ' -" Ex quibus concluditur fore generaliter, denotante / numerum integrum pofitiuum quemcunque: fd s cof. (« -+- 2 /■ -f- i) (J) 1=: -L^ cof (p" [fm. (« -f- 2 i) (f) — — i — fin. (« -t- 2 i — 2) (I) -f- — i -i::-!- fin. (« -4- 2 / — ■ 4) (I) n-(-i — I ^ ^~ 71-1-/ — in-f-z — 2 ^ -T^T- — _J LriL- . Jri_ fin. (« -+- 2 / — 6) (I) -+- etc. ] Demonftratio. §. Ti. Ad veritatem huius theorematis demonftrandam confideretur ifta formula: 2 — cof. (p'' iin. X ({), quae difFerentia- ta dat - a2=:3(|)cof.(I)"-^(— «fm.(pfm.X(J) + Xcof.(I)cof.X(f)), quae per redudiones ante adliibitas transformatur in hanc formam : 2 D 2 1= a i [(X - «) cof. (X — I ) (p -f- (X -h «) cof. (A -+- 1) (|) ] D 3 vnde (30) ■vnde iterum per partes integrando nancifcimur 2 Z rr (X — «)/^ J" cof. (X — I ) (p -I- (X -h ;2)/a j co f. (X -f- I ) 0, hincque deducimus iftam integrationem gencralem : /a x cof. (X-4- 1) (p = ^-^ cof. (J)" fin. XCJ) - '^^'/a j cof.(X-i ) Cp. §. 12. Sumamus nunc primo X ~ «, vtpofterius in- tegrale tollatur, ac prodibit fds cof. (« -f- i) Cp ^n -1 cof. Cp'' fln. n (p. Nunc autem porro ponamus X zzz « -f- 2, et forma noftra gene- ralis nobis praebebit /a^cof. (7iH- 3) ^=^ cof (fi^^fin. («-I- 2)(p-_I_/-aj cof. (;;-f-i) (p, ■vbi crgo pofterius integrale iam efl: inuentum. Fiat \lterius X — ;2 H- 4, et habebimus /ajcof. (;z-H 5) (I)-5^cof.(I)"fin. (;;-+-4)(p-_J_/'ajcof. (;;-h 3) (f), quod poftremum integrale itidem iam patet. Sumamus nunc X ~ « -}- <5, et forma generalis dabit /a i cof (;/ -H 7) (|) = -i- cof. (p'^ fin. (« -+- (5) (J) - -L-/ai cof. (;; -f- 5 ) 4). Simili modo fi faciamus Xzz:«-j-8, obtinebimus /a/ cof. («-hp^^pr-L-cof.^p^fin. (;7-^ ^^(p-^^/ajcof (;;-^7)(p. Hocque modo vlterius progrediendo, perpetuo fequentia inte- gralia per praecedentia exprimere licebit. §. 13. Quodfi ergo valores integrales praecedentes in fequentibus fubftituamus , confcquemur irtas integrationes abfo- lutas : I. /a / cof. (;; -j- i) (|) zz: -^- cof (J)" fin. ;; (^. II. /ajcof. (;; 4- 3) (|) zz: J^^ cof.(p" [nn.(«-}-2)(I)— ^fin.«(p]. III. / a j cof. (;; 4- 5) (p — ^ cof. (p" [fin. (;; -}- 4) (J) — -^ fin. (;; -H 2) (1) -|- _1- . L fin. n (I)] . IV. (31) == IV. /a / cof. C« -f- 7) ^ = „-4r3 cof. (p"" [fin. (« -f- 6) 0 — -_? L_.±fin. «Cpl. V. /a J cof. (« 4- 9) Cp ~ _i_ cof. Cp" [fin. C« 4- 8) Cp — _1_ fin. (n-\~6)(b-{- ^- . -3_ fin. (« -|- 4) (f) n-(-3 •'^ n-(-3n-H2 ^ ■-ryT- — — ^ ? — fin.(«-t-2)d)-H— 1 3 l_.J-fin.«Cbl. n-f-3 n-(-2 n-f-i ^ -' ^^ n-f-3 n-i-2 n-j-i n '-' etc. etc. vnde veritas noftri theorematis abunde elucet. Theorema quartum. §. 14. Denotante

T) -J_ T ^ I J n -(- 4 n -t- 3 n -H 2 n -(- Vndc manifcfto patet , fi z denotet numerum quemcunque in- tegrum pofitiuum, fore in genere fd s fin. (;; -j- 2 i -|- i) Cpzr— _J_ cof (p" [cof. (;; -|- 2 /) C|) ~ „^;_, cof (;; -f- 2 i — 2)'^) -f- ^ '~^ cof Cn -h 2 i — 4) cb — '- i^ Lni^ cof (;; -i- 2i~6)(b n -t- i — I n-f-i — 2 n -t- 1 — 3 ^ y ^ + --i '-=1 LLi_.^zi3_cof (;;-H2i— 8)Cl)etc. Demonflratlo. §. 15. Ad hoc theoremji demonftrandum confideretur formula 2 i= cof Cp" cof X Cp, quae differentiata praebet ^ 2 n: — a Cj) cof Cp"-' (;; fin. Cp cof X Cp -f- X cof Cp fin. X Cp), qiiae per notas redudiones reducitur ad hanc formam: 2 3 2=: — ds [(X-h;;) fin. (X-^ ^) (p -+- (X — ;;) fin. (X— i) Cf)], qiiae iterum per partes integrata dat 2 2=: — (X-|-«)/a/fin.(X-+-i)Cl) — (X — «)/ajfin.(X— i)Cl), vnde deducitur ifta integratio generalis : /Dj-fin.(X+i)Cp =— ^cofCl)"cof XCp— 'A-^'/a/fin.(X— i)Cl). §. i<5. Vt membrum integralc poftremum e medio tollatur, capiamus X — ;; et forma generalis dabit fds fin. (;;-i-i) C|) = — i- cof Cp" cof « Cp. Statuamus nunc porro X =; ;; -f- 2 , ac proueiuet fds (33) /a s fin. (» 4- 3) 0 = — ^ cof. 4)" cof. (« -!- 2) (J) — iri7/^^^^n-(«+O0- Fiat porro X — « + 4, vt oriatiir /a s fln. (« + 5) 4) — — -i_ cof. Cf)" cof. (« 4- 4)

, ideoque j ~ Cj) , hoc eft arcui circulari aequalis , tum faciie oftendi poteft, quicunque valor numero / tribuntur, curuas re- fultantes omnes fore circulos , ita vt hoc cafu praeter circu- lum nulla alia curua algebraica fatisficiat , id quod pro cafu i — 3 oftendifle fufficiat. Tum enim erit jf:=/aicof 8 $^ = 4Cof. Cj)(fin. 7CJ)— fin. 5 Cp-l-fin. 3 (J5— fin.Cp) quae (35) quac forma per redudiones abit in hanc: jf zr | Cn. 8 ([>. Tum vero habebitur fimili modo j—/dsfin.8(P--kcof.(^(cof.y(P — cor.sCj^ + cof.sCp — cof.Cp), quae per fimiJes reduftiones praebet j — §(i — cof. 8 0) ideoque | — j' zr f cof. 8 $>. Ex his iam valoribus conjundis manifertum eft fore xx-hQ-yy — /,, quae vtique eft aequatio pro circulo. Eodem modo oftcndi poteft , quicunque valor numero i tribuatur , femper quoque circulum efle proditurum. CoroIIarium 3. §. 20. Cafus quoque, quo « — — ^, omni attentione eft dignus, pro quo curua fimplicifiima erit x=zfBscof.l(b~ i-i- et y cof. Cp r^ r T /K 2 cof. l 0 y=fdsfin.l(p~ — — —3 j y cof. cp ita vt elementum huius curuae futurum fit ds~ — Jf 1, coj. cp Y coj. Cp lam ad angulum CP eliminandum, quoniam eft cof. i (p^ — fin. l (p^ — cof. Cj) habebimus yj — jr jr — 4, fiueyy z=. 4.-^- x x^ quae eft aequa» tio pro Hyperbola aequilatera , fiue re(fiangula. Scholion i. §. 21. Quanquam autem in his quatuor theorematibus infinitae formulae integrabiles funt exhibitae, tamen occurrere poliunt certi cafiis , quibus integralia af?'gnata euadunt incon- grua, atque adeo naturam quantitatum algebraicarum penitus auit- tunt. Tales cafus oriuntur, quoties exponens « \&,i euaneicir, E 2 \el vc\ niimero integro negatiiio fit aeqinilis. Hoc enim cafu fieri potefl;, vt quispiam fador in denominatoribus in nihilum abeaty ideoque ipfi termini in infinitnm excrefccre videntur. EtiamC enim hoc incommodum adjeclione conftantium pariter in- finitarum euitari poflet, tamen ipfi termini inde refultantes non amplius forent algebraici. Ita fi eflet « — o , omnia prorfus integralia ibi exhibita penitus tollerentur. Si autem eflet «=-1, tum tantum primae formulae relinquereutur , fequentes omnes autem euaderent inutiles. Si eflet n ~ — 2, tum binae prio- res formae tantum fubfiftere poflent; folae autem ternae, fi eflTet K ~ — 3, etc. His autem cafibus exceptis, quicunque valores exponenti n tribuantur , fingula theoremata innumerabiles fup- peditant formulas integrabiles. Scholion. §. 2 2. Quemadmodum binis prloribus thecrematibus iam fum vfus ad innumerabiles curuas algebraicas inueniendas, quarum longitudo x hoc valore exprimatur; j- ~/5 (p fin. C|)''"'^i ita etiam bina poflicriora theoremata innumerabilibus curuis al- gebraicis inueniendis inferuire poflfunt , quarum longitudo fit j — /"^CP cof. CP"~'. Etiamfi enim hi duo cafus prorfus inter fe conueniant , fi quidem, loco Cf) fcribendo 90° — Cj), altera for- mula in alteram transforraatur; unde qiiis fiifpicari pofl^et, duo pofteriora theoremata tuto omitti potuifle ; tamiCn hos cafus non tam plane cx prioribus deducere licct, quippe qui verita- tes per fe notatu digniflTimas inuoluerc funt cenfendi. Quin etiam omnia haec quatuor theoremata iundim fumpta viam fternunt ad infinitas curuas algebraicas inueftigandas, quarum longitudo s formula multo magis complicata exprimatur ; ad quod ofl:endendum ante oculos exponamus integrationes gene- rales, ad quas fingula theoremata nos duxerunt. I. (37) L fd Cp fin. 4)"-' fin. (« -+> 2 «• -4- 1) Cj) = ;^ fin. ({i'' [fin. (it-^ii)^ iin.(«-»-2/ — 2)Ct) -t- _-i — .. J_~' lin.(«-4-i— -4.^ (t) ; Lni Lni_ fin. (« -+- 2 / — (J) Cb .-i=i L=i Lzil_ fin. (« -+- 2 i — 8) 0 etc.l nt-/ — 2 n.-1-i.— 3 n-t-2— 4 ^ "/t j II. /a Cp fin. Cp"-' cof. (« -+- 2 i -+- 1) Cp = ^ fin. (J)" [cof (« -+- 2 i) (p H i — cof. (« -+- 2 i— 2) C{) -+- __i i^=-!_ cof. («-f-2 i— 4) Cp -+- — L_ . _izii L=^ cof. (« H- 2 i — 6) Cb -+- — i— . '-' izif L=J_ cof. (« -+- 2 i — 8) Cp etc.] n + 1 — I n + 1 — 2 n +1 — i n-(-t — 4 ^ '^ -« III. / a Cj) cof. Cp"-' cof. (« -+- 2 i -+- 1) Cp» r _i-. cof. Cp" [fin.(« -f- 2 i) C}) — fin. (« -+- 2 i-^ 2) Cb -+- — f — . '-' lin. («-1-2 i— 4) Cb — 1 ^ -^ ~ n-H2 — in-f-i — 2 ^ ^y "^ — . '-' L=^ fin. (« -4- 2 i — 5) Cb — I n-i-z^2 n*-i — 3 ^ -^ ^ i::!^ 1^=^ . i"^-. fin. (« -(- 2 i — 8) CP etc.l I n-ht—^ n-f-z — 3 n-(-z — 4 ^ ^/ -r j IV. fd(p cof Cp''-' fin. («-+-2i-(-i)Cpr--^cof Cp'' [cof(«-H2i) Cp L_cof («+2i--2)Cp-+--^ . -i^cof.(«-+-2i-4) Cp _ . -Lzii i=il- cof. (« -+- 2 i — 6) Cb I n -(- 1 — 2 n -(- / — 3 ^ ^ ' -i=-2_ cof. (« -+- 2 i — 8)

formulam pro- pofitam 'Dd X reddet integrabilem. Gum enim fit p i' d x = dq^ erit Q_p 'vd X — Q^d q; unde quoties formuIa/Q3^ eft inte- grabilis, etiam fador ille Qp formulam propofitam 1; 3 jf red- det integrabilem. Verum perfpicuum eft , hunc cafum toto coelo ==(40 coelo difcrepare n rormulis iilis integralibus , quas in noftris theorematis attulimus. Nam cum formula 5 Cp fin.cp''— ', ducfta in lin. («-f-i) Cp, praebeat integrale i fin. (p" fin. « ($>, hinc ne- mo certe fecundum methodum memoratam reliquos multipli- catores idoneos, qui funt fin. (n-{- 3). (50 §. i5. Ex his inteHigitur, fi loco i finitos accipiamiis valores, errorem hiiius expreiiionis eo fieri minorem, quo ma- ior fumtus fuerit numerus i; quae appropinquatio ad veritatem quo clarius pcrfpici queat, loco i ordine fcribamus numetos i, 2,3,4 cfc. et exprelfiones inde ortas defignemus fignis I , II 5 III , etc. prodibitque I. _i__ (a + b)\ , «-f- n 6 ^ ' ' II. _^ . — -V±-^-, (a-t- 2 l,)\ ni. jz^ • ^ir^r7r& • a-^^X-—b (^ + 3 ^)"- Ty g a-+- b a -^- 1 b a -h 3 b C^_l_^^^'», •*■*• o-+-n 6 * 0-+-IH-I- I) &' o-f-(n. -t-2)& • 0-(-(7H-3)6 ^ ^^T >* etc. Hinc autem porro coHigitur 11. _ a-^b /g -+- 2 ^Y^ l. «-}-(« H-i)^\a-i-^ / III. _ g-4- 2 ^ /g -4- 3 hy^ IL a -i- (fi -^- 2) h \cl -+- 2. bj ' IV. __ fl-t-3^ /a-4-4 A". Hr a -f- (?; -f- 3) ^ \a -^ 3 ^/ etc. etc. Quodfi crgo hoc modo in infinitum progrediamur, peruenlemns ad verum valorem ipfius A : « , qui fequentibus fadoribus in fe inuicem ducendis conftabit, poftquam fcilicet primum fado- rem ad formam fequentium perduxerimus : ^ a /a-hbY a-hb /a-hib^V- a-^2b /a-f-s^V a-^nb\ 0. J a-+-{n-hi)l\a-hb ) a-^(n-h2)b\x-h2.b/ a-^ab fct-h^ ^ Y \a-4-3V a-i-(f2-h2)b \a-(-3 etc. §• 17- (53)=- §. 17. Hoc igitur modo nadi fnmus pro A:« pro- duAum in infinitum excurrens, cuius finguii fadores fecundum legem fatis regularem procedunt ; vbi imprimis obferuari conuenit , fingulos fadores totos, fiue membra, continuo pro- pius ad veritatem accedere, quandoquidem membrum infiiiite- iimum erit a-^(i— i)h / a-hi h Y a -i- (n -i- i — I j Z> \a H- (i — ^) b/ quae expreffio , deletis partibus quae prae infinito euanefcunt, manifefto ad unitatem redigitur. Tum vero iam obferuauimus quantitatem a. penitus arbitrio nollro relinqui, neque inde va- lorem A : n affici, unde quouis cafu eum ita accipere licebit , vt calculus commodior euadat,- quamobrem vtique operae pre- tium erit obferuafie , pro huiusmodi feriebus terminum ge- neralem multo uniuerfaliori forma repraefentari pofle ea, quam initio adduximus , quippe quae ex praefenti nafcitur, ponendo Applicatio huius formae generalis ad cafum 72 = 1, §. 18. Facile intelligitur , expreflionem infinitam pro A : « inuentam imprimis fummum vfum praeftare pofle, quando termini feriei defiderantur , quorum indices funt numeri fradi, quandoquidem termini indicibus integris refpondentes per fe func co>;niti. Quaeramus igitur primo eum noftrae feriei ter- minum , qui indici « ~ | refpondeat , qui ergo per A : l ex- primetur, ita vt fit A:--/a-^/^.^/^.^/^ etc. a-hib a a-hib a-hb a-hib a-i-zb in infinitum. Inuento autem ifto valore fimul facile innotes- cunt omnes termini intermedii a binis contiguis aequidiftantes j erit enim G 3 ^ • ^* (54) qui terminus inter primum a et fecundum a {a -\- b) iriedium intcriacet ; rimiiique modo erit A : ^l — A :l{a -^l b) {a -^l b) qui inter fecundum et tertium medium interiacet. Praeterea vero erit A : 32 = A : K« -+- ' ^) (« -+- i h) {a n- i h) /1 : ^l — A :lia -i-l b) (j2 -hlb) (a -^-i b) {a -^ Ih) etc tctc. Nunc autem liic quaerl folct , quomodo ifta produdla In infi- nitum excurrentia ad expreffiones finitas reuocari conueniat, quandoquidem illa produfla in infinirum extenfa tantum inler- uire pofliint valori ipfius A:| vero proxime inueniendo. Im- primis autem defiderari fialet fpecies quantitatimi transcenden- tium, ad quam ifte A^ilor A : 2 fit referendus, id quod per ea, quae a me pafilm circa huiusmodi produda infiuita lunt expo- fita, haud difficuiter pracllari poterit. Ante omnia autem ne- cefie eft faclores radicales e inedio tolli, quod fit quadratis fu- mendis, unde habcbimus a-hb^ a-hb\- a-^ib/^a-h^by^a-i-^b ^ ' ^ . I r etc. ., ,,, aa a-hb/^a-hb\ ^ ^ {a-^lby- a Ka^ibJ a-hb \a-hib §. 19. Quoniam autem hic h*ttera a ab arbitrio rjos- tro pendet, eam ita accipiamus, vt numerus fadorum in fingu- lis membris imminuatur, quod fiet fumendo azn a; tum enim erit ^/y^.ry,^ c(fl+^) (a-hb)(a-h2b) (a-hzb)(a-i-^b) (a^:ih)(d^4h) *■ ' (^a-hlb)(a-^lb)\a-^lb)(a-^lb) (a-hib)(a^ib)' (a-^lb)(a^ib) ' etc. Vt *== (55) Vt aiitem hind" fradiones partiales ex denominatoribiis tolla- mus , fingulos fadores tam numeratoris quam denominatoris duplicemus, vt prodeat ifta fDrma: / A . I v2 _ _ 2a( g -f-gi) (■' a + g5)(2a+46}i (2 a + 46 )(t a + 6 6 ) ^ ^ -> ~ [".a. r-b)[ia-hb) ' (^ c+ ^ 6 )(2 a +3 6 ) ' (2 0 + 5 b)(2 a + 5 fc ) vbi finguli fidores cuiusque membri pro membro fequenti augmentum capiunt — 2 t. Nunc autem ifta forma facile ad exprefliones finitas reuocarl poterit , per ea. quae paflim (unt explicata» §, 20, Si enim litteris P et Q_ ifiae formulae intc- grales defignenturr quae fcilicet integralia ab x =1: o ad .v — i extendi funt in- telJigenda, oftendi fratflionem ^ iii fequens produdum infini- tum conuerti poffe r ^ P_ q im ^p) ( (jr + w ) ( T?t + jj + w )' (^ + gn)(Tn. + j? + an) ^j^^ 2^ fim-r-iji)* (f + n)iTn+5 + n) ' ip+2n)(m + 5 + 2n) vbi finguli fadores cuiusque memibri continuo quantitate rz ;/ increfcunt; unde ftatim patet, vt ifta forma ad eam, quac no- bis eft propofita , redigatur , fumi debere n zr: 2 b ; tum vero fufficit prima membra vtrinque inter fe aequari, fcilicet q>[m-hp) 2 g (2 a + 2 6)' j) (m.+ g) (Ta + b){i.a + b) id quod fit fumendo q — 2 a ct p zn 2 a -+- b, tum vero m^nb^ quibus valoribus fubftitutis fradio -, duda in «, ipfum valo- rem (A : |)',, quem quaerimus, modo finito exprimet. §. 21« Fa(fla autem fubftitutione modo inuenta , ob "^ =z i fit quae C50 qime intcgralla perpetuo ab x — o ad jf = i funt extendenda, quo fado erit (A ; |/ :=: « L , hincque radice extrada erit ex qua formula ftatim patebit quouis cafu , a quanam quantl- tatum tranfeendentium fpecie valor quaefitus A : 3 pendeat, id quod operae prctium erit nonnulis exemplis illuftrare, Exemplum r. §. 22. Sumatur a = i et ^ — i, vt prodeat ipfa fe- ries hypergeometrica Wallifiana I, I. 2, I. 2. 3, I. 2. 3. 4, I. 2. 3. 4. 5, etc. cuius terminus indici l refpondens pcr A : l defignatus requi- ritur. Per formulam igitur inucntam erit A :^ — //■ /^^^^ :/ ^^^ _. ' ■' V 1 — XX -'v(i — XX) Conftat autem, his intcgralibus ab jf ~ o ad x z^ i cxtenfiSj effe primo /-tI^^:— =1:1 I, tum vero /x X S X I r d X V V[i—xx) ^J V(i-^ X X) Z ' vnde patct fore A : i 1= |/ * = i 1/ TT ; reliqui autem termini intermedii huius feriei erunt A : I3 ~ 2 . i . ■/tt. A • " '^ I 3 5 , / _. ^ A • '•^ ^357.,/ — etc. etc. vnde patet terminum ordine praecedentem , qui refpondet in- dici — l forc A: — § ~ ]/ tt, prorfus vti iam a Wallifio eft obferuatum. Exem- (57) = Exemplum 2. §. 23. Sumatur x _ -r ^^_^ , Ouodfi iam liic loco xx fcribamus jK, habebimus /' •/' ^^ ^ ~lf,^'^^-^ cuius valor ab y — o ad jK zz: I extenfus eft — 2 ; altera vero formula f ~^^ abit in hanc: If — tl — —5.?, His ereo valoribus fubftitutis erit A : I = ■/ — , qui valor etiam a quadratura circuli pendet. Tum autem termini fequentes intermedii erunt: A : I i = 2 / i- , A: 2|=: 2.4/^, . A : 3 I = 2. 4- ^ / ^ 9 A : 4 i zz: 2. 4. 5. 8 / ^ , etc. etc. hincque patet terminum indici — 5 refpondentem Ar— I forc itifinitum. Applicatio pro termino hariim feriertim inueniendo cuius index — l . §. 24. Ponamus igitur hic ^^ — 3, et formula generalis inuenta nobis praebcbit 3 S I A:| = -/a y T/ .~J . ^ etc. a-{-lb a a-^lb a.-^b a-^\b a-\- 2. b Hinc ergo fumendis cubis erit (A :iy = a. _J!l_ . ^. ^-^:^ . ^:^ etc. {a -^\b f a {a -i- ib/ a-^ b Noua Aaa Acad, Imp. Sc.T. Vll, H Jam == (58) === Jam ad fra' — '(a-)-c)iaH-c)ia-f-c) * (a-f-4e)(a-|-4C)(a-H4C) * (a+-7C)(a+7cXa-(-;cJ §. 25. Quoniam hic in quouis membro terni occur- runt fadores, comparationem cum forma pro -?- exhibita im- mediate inftituere non licet. Verum hic binas huiusmodi fradio- nes - et ^ , quarum produdum aequatur formae inuentae, in fubfi- dium vocari oportet ; et quoniam primum noftrum mcmbrum eft zz: a(7(a-t-3 c) bi,^jj autem membra ex multiplicatione la -H c) (O -4- cna -(- c) ' ^ illa orta quatuor producunt fidlores , in fingulis membris tam fupra quam infra nouum fKflorem/ adiungamus, vt in duas partes difcerpi pofllnt, quae pro primo fint —^^ • ^-^^ilitfil- , et nunc vtramque partem cum '^'^~'t^| comparemus. Pro priore autem parte ftatuamus q — a et p ~f^ fietque m -{- p — m -\-f=. a ct m ->t- q z=. m ^ a -z:l a -^ c^ vnde colligitur ;// - c tt f- a — c; tum autem ad fequentia membra progrediendo fiet «r^r. §. 26. Quodfi iam fingula membra noftrae expreftlo- nis in binas huiusmodi partes refoluamus, introducla noua lit- tera / ~ tf — f, quae pariter in fequentibus membris augmen- tum 3 c accipiet , omnes partes priores feorfim confideremus , quarum produdum aequabitur fradioni ~ , eritque ex valori- bus iam erutis , .^"-'-'dx . ^ r ^''■-'dx =J^Zr3l ec Q=/ /(l-A-^^/ ■/(l—JfJC) §. 27. (5P) §. 27. Pro partibus autem pofterioribus in fubfidiuin vocemus fradioncm -|1 , dum etiam litteras minusculas />, q^ £t /// fimili apice notabimus. Hinc igitur comparatio primorum membrorum dabit q'[m'-k-p' ) /( a-4- 3 c » f ' ( m' -I- 5' ) (a-H c)ta-t- c) ' hanc ob rem fumamus q'' zzzf z:z a — c et p'' zz fl -f- (t tum autem erit m^ -\-p^ — n/ ~{-a-^c — a-^- :i c ct m^ -\- q^ :=. m^ -\- a — c rzi a -{- c vtrinque autem fit /;/ — 2 r, tum vero manet vt ante « = 3 r, ex quo nouae iftae formulae ita determinabuntur: P— /iplZliZ et Q^:=/.-imi^. §. 28. Cum igitur fracflio 1- exprimat produdlum om- nium partium priorum, at vero -^ produdum omnium partium pofteriorum , habebimus (A:iy = a-l..^, ideoque ficque ad hunc terminum interpolatum A : § definiendum qua- tuor formulis integralibus opus erit, inter quas in genere nulla relatio perfpicitur : erit enim fada fubftitutionc Y(j-x'y ]/(i-x'') /(i-.Y^^ yxi-x'') vbi meminifle oportet loco litterae b hic fcriptum efle 3 r, ita vt fit r = 3 b. Hanc expreflionem exemplo feriei Wallifianae illuftrafie fufficiat. H 2 Exem- == (6o) = Exemplum. §. 29. Sk fgitiir ^ — I et ^zzi, ideoque <" zn J, ct quatiior formulae intet^rales eruut: =/^."Q=/t-^ /(i-A-/ -j/(i_;,;^ V(i—x) /(i_.v) quae formulae vt ab exponentibus fradis liberentur, ftatuatur *■ ~ J^ critque /(i-y/ *^ /(i-rV >/(l-j3) -^/(x^J^) ex quibus valoribus fit vbi uotetur efle /v^ = j/ §. 30. lam fingulas iftas formulas accuratius euolua- /f) y ad circulum re- duci poteft. Pofito enim '- — z , formula noftra Vii-r) fit fit *^^, tum antem erit j/3=-*'_ et 3/^ = 3/- — ^(^-f-^O hincque d y 9 « a « 5 « 9g "jT Z 1 -t- 2' Z ( 1 -t- 25 ) ' ficque formula noftra fiecn/^ "''^j, cuius integrale ab j/ rz o ad V — I, hoc efl: a 2; =2 o ad 2; =r 00, eft ~ :ir: ' J , fic- 3 fin. 3 TT » ^ * que crit V^ — ^ . At pro P formuIaA — :^^ — ^ — per eandem 1/(1 -jV fubftitutionem ~ z rcducitur ad hanc : r^ULl — f^A^^ cuius integrale eft !I =r ^^7 , vnde fit P z= ^J" . *"^*' 3 /(i-y) €X quo valore porro deducuntur fequentes : " • ' 3 — 3 *-* • 3 • A : 2^ = 5 ^ A : ^ H 3 A : 3| (62) A. *I 4 7 10 A . I • Ja 3 • 3 • 3 *-* • 3 • etc. etc. Hinc autem facile intelligitur quomodo inuedigationcm tra- (Hiari oporteat, fi loco n aliae fradiones proponantur. Conclufio. §. 31. Quemadmodum hic pro ferie a^ a (^a-h ^), a{a-\- b) {a-^2. b)^a {a-^b) (a-k-2 b) (a-h^b)^ etc. terminum indici indefinito n refpondentem A : « ita expreflum inuenimus, vt fit: - a fot-h- b^" a-^b fa-\-i A" A m — a.'' . . ( etc. a -h n b \ ci / a-i-(n-i-i)b\a-hb/ fi loco a alium quemcunque numerum c accipiamus , vt feries fit f,(;(c-h ^), c (c -h b) (c-h 2 ^), c (c -h b) (c -h 2 b) (c -h ti b) etc. ct eius terminum indici « refpondentem defignemus per F : «, tum erit fimili modo „ c /ci-h by c->-b /a-h 2 bY ^ r :n —a'' . etc. c -h n b \ a / c-h(n-hi)u\a-hU/ vbi quidem a alium quemcunque valorem fignificarc poffet atque in prima. Quodfi nunc pofieriorem feriem per priorem diuidamus, nafcetur inde fequens feries : £. of.o -h b) n (a -H- & ) (g H- 2 b) a {0 -h 6)(a-4-i 5)(g -f-3 h) pf_ e'c(c-(-6)'cic-(-fc)(i:-(-2b)'eic-i-fc)(cH-26)ic-H36) atque manifeftum efl: terminum indici « refpondentem fore ^i- i vndc fi vtrinque pro a eundem accipiamus numerum, poteftares exponentis n omncs fe muruo tollent, ita vt pro hac ferie termi- nus generalis, feu indici n refpondens, fit ° "^ -t- " fe) {a -h h) [c -h [n -h- i) b] la -h 2 b) [c -h {n ~h n)^] gj_ 1« -I- )i J") C * [«-t-(n-(- ijfcj (C -+■"*) ' lo-h\n-hi] bj [t-hii>) vbi (^3) vbi ergo interpolatio fine vlla difficultate inftitui poteft. Quiii etiam in genere ipfe hic terminus generalis per fradioncm - commode exprimi poterit, {umendo q ziz a;p irzcim :z2n b; ita vt incrementum fuccefliuum, quod eratw, nunc fit by vnde ambae formulae integrales ita fe habebunt: P = f^I^^ et Q = f "°";^J- r ficque his cafibus femper terminum generalem per binas for- mulas integrales , ideoque modo finito ac determinato, expri- mere licebit , neque interpolatio nouas quadraturas poftulat , quemadmodum in cafibus fupra tradatis vfu venit. DE = (^4) DE ITERATA INTEGRATIONE FORMVLARVM INTEGRALIVM DVM ALIQVIS EXPQNENS PRO VARIABILI ASSVMITVR. Aiidlore L. EFLERO. Comicnt. exhib. die 19 Aug. 1776. ^J um fit fx^ "~ ^ 3 x integrare^ fumto expont Probler ab A- 0 ad X I nte $ i-ar/ai Soluti na I. - j , hanc fon bili. 0. §. I. Quoniam hic de integratione ngitnr , ut ea de- terminetur , integrale ita capi affumamus , lu cvanefcat ccrto cafu , pofito fcilicet ^ = a. Multiplicctur ergo utrinqne per elementum 3 0, et integratione juxta hanc legem inilituta pro parte dextra habebimus /— — /0 — l a — l i. At pro parte finiiira notum eft , hanc integrationem a figno fummatorio / penitus non turbari, et quia jam fola littera 0 pro variabili ha- betur, l^ vero ut conilans fpeclatur , ob x^~'dx=i^x\ habc- binius / CoJ / tang. — . 4a Problema 2* Cum fit^ ivti jam fatis conjlat I (x^ X' ')dx I -f- A-' nb x rr o ad X ~ I TT y fin. i^ hanc aequationem denuo integrare per exponentem 'variabilem & , ita vt integralia evanefcant pofito 0 — a. Solut-io. §• 6. Multiplicando igitur per d ^ et integrando , pro parte dextra, prorfus vt in praecedente problemate, habebimus tang. ^^ I 2 Pro = w d X Pro parte autem finiflra, quia rormula — efl: condans , et I -(- x' cxponens $ in duobus terminis occurrit , pro priore termino habebimus / x^-'d$ — , Ix pro altero vero termino ex §. 3. liabebimus f. „v — (X — I ^v — 9 — r Ix quibus valoribus fubflitutis orietur ifta noua integratio : rdx x^-' — x"^' -i- x'-''-' — x'~^-' rabx=:o1__ /tang. ^ J Jx i-hx' [ad:^— ij'^/ ^ a_n ' Corollarium i. §. 7. Ifta aequatio aliquanto fuccindius ita repraefen- tari potefl:: r dx (x^—x^-^-x^-^-^x"-^) rabx=:o~| _ /tang. ?^ J xTx T^x' |_adjr=:ij ~/ ^ c^ vbi cum fit x''-" — x' ~ ^ ~ jc'" " ~ ^.v^ — x°') , ifla aequatio ita coinmodius per fidores repraefentari poterit : /• dx (j»r^ — a:«)Ci-+-a:'-"^^) rabxrzol __ /tang. ^ J xix i-i-x' ^ L^d.v— ij ~/ a_^ ' tang. 2 » Corollariutn 2. §. 8. Quodfi hic capiamus ^ zri y — a, vt fiat x"^'-^ r r, pro parce dextra erit tang. ''""'''' — cotang. ~ , vnde totum hoc membrum erit 2 / cot. ~ j quare cum pro parte finiftra fador bebimus ,v — a *- ( evadat — 2, vtrinque per 2 dividendo ha- / d X X l X X' X" 1 -h X 'ah X zzz o ad jc — I — / cot. . 2 V Corollarium 3. §. 9. Quodfi fumamus v rz 2 a , vt flat tang. ^=zi, pro parte finiftra fadlor i -h jc' ~ " ~" ^ abit in i-f-jc"""*, dum prior fador a-* — Jf" ita repraefentari poreft: jf* (i — jf°'~*)i vn- de amborum produdum erit ^ (i — jr'*""^*), quamobrem in- tegratio noftra ita fe habebit : J Ix d X I — x'"-'~ 2« X 2 a ab Jif ~ ol ad jf ~ I J / tang. ^ TT 4a Scholion, §. 10. Iftae integrationes eo majorem attentionem me- rcntur , quod in iis tres exponentes a , ^ , v indefiniti occur- runt, quos fmgulos pro lubitu vtcunque determinare Hcet, ita vt iftae formulae multo latius pateant, quam eae quas non ita pridem ex iisdem fundamentis derivavi. Problema 4. Cum /f, fDti jam abunde ejl demonfiratum , /^ V — 9 — 1 3 X X' ab X ad X o i TT y tang. ^-~ ' hatic formulam denuo mtegrare ^ fumto exponente $ varlabili^ ita vt integralia ei:anefcant pofito ^ — a. I 3 So- (70) Solutio. §. II. Quodfi ergo hic per d$ mulnplicemus , pro parte dextra habebimus — '- , quae formula, pofito —=(}), y tang. — * abit in ^^ =: ^-^£l^ , cujus integrale manifefto efl / fin. 0 ; quamobrem confianti debita adjeda, pro parte dextra habebimus /f!„.«j:_/r;n.^ = /^J^' V Pro parte autem finifira , quae ita repraefentetur : rdx .v" — .v^-« J X 1 — jc" ' habebimus / x^d^ = ''- et Ix Ix quibus valoribus fubftitutis orietur fequens aequatio integrata: = o1 7 fin. l^ I ■ / u r dx (a* — x" — x'-" H- .v'-") fab x = ol _ J x/ X 7^x' L^d JT = I J ~ / fm. ^ » vbi iterum tres exponentes indefiniti occurrunt, a, $, y, Corollarium i. §. 12. Cum fit, vti j:im ante obferuauimus , x"-'' — x'~^ = x'-''-^ (x^ — x") , formula noftra commodius ita per facflores exprimi poterit : r dx (x^ — x") (i — .Y^-"-"; fab jf = o~]_ /fin. ^ » vbi = (70 vbi fi riimercmus v ~ ct-\-& ^ membrum finiftrum evanefceret, dextrum autem manifello quoque evanefceret. Corollarium 2. §. 13. Quodfi autem hic fumamus i^ in 2 a, pro dex- tra foret fin. — — i , vnde hoc cafu formula noftra integra- lis erit / dx (.v^ — .V'') (i — x«-^) ■ib X z=z o ad ;r rz: I X l X I — x"'^ quae forma evidenter in hanc contrahitur : / fin. — , za. / J — I dx (i—x" Ix ab jc ~ o ad jr :ii: I ~ / fin. 20. Scholion. §. 14. Has igitur egrcgias integrationes deduximus ex formulis integrahbus jam pridem erufis, quarenus in iis expo- nentes indefiniti occurrunt; qucd fi ergo ahae hujusmodi for- rauhie integrales inluper innotefcerent, eas fimili modo tradare liceret; verum haclenus nullae tales formulae funt inventae quae ad hunc fcopum accommodari pofTunt, quam ob caufam integrationes hic exhibitae fumma attentione Gcometrarum dig- nae funt exiftimandae. gralis Additamentum. §. 15. Cum nuper oftendiflem hujus formulae intc- 'dx (i —x^)(l —x") J Tx I — X" a termino jf — o ad terminum jr ~ i cxtenfae valorem ita cxprimi, vt fit /^, exiftente = C70 P = f^'^'-^_^ et Q= f ^°"^^^ qiiae integralia dcnuo ab jr ~ o ad jf ~ i funt extendenda : manifeftum eft in hac forma generali plerasque integrationes fupra inuentas contineri ; quamobrem cum illis cafibus valores integralium abfolute exprimantur , operae pretium erit i(tam fori: « n gcncralem ad illos cafus applicare , Yt relatio inter binas formulas integrales P et Q inde innotefcat. Problema quidem primum et fecundum huc plane non pertinent. Ex problemate igitur tertio et quarto eos pcrfcrutemur cafus, quos ad formam noftram generalem reuocare licet. Euolutio formuhe integralis fupra §. 8- inuentae / d X x" X l X I -+- Jf V ab jf ~ o ad A" =:: t' ~ / col . 2 V §. i6. Quoniam hic denominator eft i -|- x*, vt is ad formam gcneralem reducatur, multiplicetur fradio fupra et in- fra per i — jr", et formula ilta integralis hanc induet formam : /: X l X I — x^ ' llic ante omnia difpiciendum eft, vter exponentium v — a et a fit major , vnde duos cafus evolvi conveniet , prouti fuerit vei V — a a, hoc ell v' > 2 a. §. 17. Sit igitur primo v << 2 a, feu a > 3 x, atque for- rnula integralis ita repraefentari poterit : r- Ix I—X^" Hinc jam comparatione cum forma generali inftituta manifefto liabebimus a :=:z v — a, i&iizta — v et (T — x, denique«-2/, 2 a, ipfa formuhi geuera- lis mutatis fignis ita debet repraefentari: /: C.v« x'-^)(i —x") . aTT ^-L ^ =: / tang. — _ , X l X 1 A-" " 2. V cui aequationi nunc induamus hanc forrram; x''-'dx (i — jf"-"-") (i — .vO / / X I — .v'^ ^ vnde iam manifcfto habemus /7 — a, b zzz v — aa, cznv^ atque « — 2 )/, vnde deducuntur ifti valores : ^ /• .v^-^^-' d X ^ r jf"-'9jr P — / et O z= / . Sin autem fumamus rzzv — 2a et ^z^v, manente a zz: a et Noua Acla Acad. Imp. Sc. T. VIL K « = (74) n zn 0. V, repcrietur J (i—x-^y—^ J(i—x " - ' a ;c 2 V V V + '^ g §. 20. Cum nunc utrinoue fit /-— /tane;. — ideo- que ^ — tang. ^ , hinc adipifcimur iterum has duas integra- tiones : III. J l/ I — a'^ ' / l/ I — -v' ' ~ aTT tang , 2 V quae quidem conuenit cum priore antecedentium , fiquidem formulae P et Q tantum iiiter fe permutautur ; akera vero intcgratio eft noua, fcilicet rxr r X"--^'—' d X r X' -' dx «TT IV. / : / ~ tang J (i —x^^y-^^^ J (i — x'y_^ "^ 2 / Euolutio formulae integralis §. 9. allatae: , = / tang . _ad A' 1= I J * ^ct J Ix §. 21. Quo haec exprefTio ad formam praefcriptam reducatur , multiphcetur fupra et infra per i— .x''''', vt habea- mus hanc formam : /- /•4« / .V 1 —x'*'^ 4 a quae fponte ad formam generalem reuocatur , fumendo ar^, ^ — 2 a — 2 ^, ^ — 2 a et ;; — 4. a, fi modo fuerit a > ^. Si enim fuerit O^a, aho modo comparatio inltitui debet , vti deinceps videbimus. Ex his autem valoribus conficictur ^^fx-^-^^x^^ r x^-^dx J /(i—jt^"; J Y {i—x^'') vndc (75) •vnde ergo deducitiir V. / — : / 3= tang. / ■/(^i^x''') J ■/(i-x^'') ^^a §. 2 2. Pofllimus etiam valores littcrarum l? ct c inter fe permutare , vtfit^z=:2aet(r— 2« — 2^, manentibus a~& et 7J~4.a; tum autem fiet p — f£ll!ZlAl. et o — Z' ^""'^-y ~~y (l _j^4aAa+_fl ^ ^—7(1 _j^.4a-)a+j9 hincque deducitur redu(flio V I. / —3 : / ^, rz: tan^. — . , quae autem, aeque ac pniecedens, locum non habet , nifi fit §. ?.3. • Quod fi autem ^ fuperet a, aequationem no- flram in aliam formam transfundi oportet, figna Ytrinque mu- tando 5 vnde prodibit rx^''-^-'dx (l — .V^^-"-«)Cl — J^"-«) , 0 TT / . i — l cot . J IX I— x-*°' 4a Hic iam iterum duplex comparatio infiitui potcfi: primo fcili- cet fumamus a ziz 2 a — ^, b ziz 2 ^ — 2a, c zzz 2 a et « ~ 4. a , vnde formamus »/1/(1— .v^«) ^ J >/(i— A-^°'; hincque oritur fcptima relatio haec : VII. f^lZlljL. : f^-'-'-S.r ^ ^„^, Sj. JV(ii—x-*^)J Y(i—x^'') 4a quae manifeflo cum quinta congruit. K 2 ' §• 24. §. 24. Noua autem reducftio obtiiiebitur, fl ftatuamus ^maa et ^~2^ — 2a, maneiitibus a - 2 a — ^ et n ~ ^a; tum igitur erit P — /i ^ et (1=: ~ r^,. Hinc vero colli^itur redudio odnua VIII. / -, : / — — , — cot. J (i — X' '^)3^ ^ (i — x^ ") ^-^ 4 a V. '2a^ ^aa ^ §. 25. Hic aufcm probe notandum efl, quaternas po- fleriores redudiones cx qnatuor prioribus oriri, fi in irtis Jo- co a fcribatur ^, at 2 a loco v, ita vt quatuor polkriores re- dudiones iam in prioribus contineantur; quamobrem fiue qua- tuor priores, fiue porteriores, penitus omittere licebit, ita vt no- bis tantum quatuor relinquantur , intcr quas porro, quoniam tertia non discrepat a prima, tantum tres fupererunt huiusmo- di reduc1:iones, quae quidem ex problemate tertio funt natae. Euolutio formulae integralis §. 12. allatae: r dx (x^ — x'') (i — .v'-^-^) fab Jt- = o1 _ 7 fin. ^ J WT i—x' L^d xz:ij~ / ^-^ ' V §. 26. Ifla exprefno iam congruit cum forma noftra generali, neque idcirco vlteriori transformatione indiget. Hic quidem duo cafiis eircnt dillinguendi, prouti fuerit vel ^>a, vel 0 << a ; verum hac etiam dillindione carere pofTumus , propterea quod binae litterae a et $ intcr fe funt permutabi- les : iis enim permutatis figna vtrinque inuertuntur. Hanc ob cauITam, quoscunque valores habuerint ambae litterae a et ^ , minorem rempcr littera ^, maiorem vero littera a dcfignare li- cebitj vnde aequatio noftra ita repraefentabitur; y == (77) = - J Tx r^' ^ fin. :L? ' V §. 27. Nihilo vero minus duo cafus diftinguendi etiam hic occurrunt, prouti fuerit vel y ^ a -+- ^, vel y<^a-h6. Sit igitur primo v ^ a -f- 0 , et forma expofita manebit inuariata , quae denuo duplicem comparationem cum generali adm.ittit. Primo igitur ftatuamus «=:0, Z^ — a — 0, f~K — a. — ^ et « ~ K, qui valores nobis fuppeditant ficque ex hac euolutione habebimus lequentem redutflionem : dx r x^~' dx fm.i^ . r a:='~' d X r x^- ' J Ci —x")^^ J U — (I - x^) l^ J {1- X') "-^ fin. -Jl §. £8. Secunda nafcetur reductio permutandis litteris b ct r, ita vt fit az:^, ^ — x — a — 0, <; zi; a — 0, et « — v, vnde formantur hae formulae: J (i — x") "-'"^t J (1 —x") '-''-'^ quare fecunda redudio hinc orta erit II fjfZlIlA^- f ^^~'^^ _^i"-V * J (i —x') ^.niiZ^ "7 (i--jfvy.-«+g ~ ^i^;;^ ' V " y qiiae duae redutfliones poftulant vt fit x > a -}- 0. §• 29. Sin autem fuerit v^^a-j-O, ipfa aequationis forma hoc modo immutari debebit : f£ZlZHl (i-AT^""^) (i-A-*+^-0_ /l^ a TT y K 3 ^l>i (78) vbi iterum gemina comparatio inftitiii poteft. Sit igitnr primo a zizv — a, ^~a — ^, f— a-|-^ — v et nzzzv^ vnde ori- untur hae formulae: P ~ -~ , ct Q rz /--i^ ^— . J (i _. xO "-"""^ y (i — x^; ""-""» Hinc igitur concluditur tertia redudio : - r x'-^-'dx r ^'-''-'dx __fin. ?-? ' y §. 30. Dcnique ftatuamus fl — v — a, b — a-\- 6 — v^ ideoque prodire debeat -^ — tang. ^. Pro hoc ergo cafu quatuor folutiones inuentae^^euadent I. p= Af!Z!z:^ et Qzz //^"^^" ; Noua ACta Acad. Imp, S(, T. VIL L II. 82) 2 n. III. P =3 / et Q — / , hiiicque erit -|- ~ tang. ^_^ , Tbi prima et fecunda fonna cum iis quas in praecedente pro- bleniate inuenimus prorfus conueniunti tertia autem forma, ob (i — A-^"j|, fit incongrua , quia inde P et Q in infinitum cx- crefccrcnt ; quarta autcm nouam formam dare \idecur. METHO- = (83) = METHODVS FACILTS INUESTIGx\NDI RADIVM OSCVLI EX PRINCIPIO MAXIMORVM ET MINIMORVM ^ PETITA. AucTtore L. E r L E R 0. Conuent. exhib. die ii Sept. i^jiC*. Problerna. ropofita ciirua quacimque eius radium ofcuVt inuenlre. Solutio. §. I. Sit AY cnrua propofira, aeqiiatioiie quaciinqneTab. I. inter bimis coordinat.is AX — x et XY = y exprefTa , ita vt fig. 3- y fpedari poHit tanqnam certa fandio ipfius x , vnde fiat dy ~pdx; ct quia p denuo certam fundionem ipfius jf defignat, fit porro d p ^q^ X., qnibns pofitis inuefcigari proponitnr ra- dius ofcnli huius cururie in pun-ilo Y, fiue quaeri debet pnn- dum O, cx quo tanquam centro fi defcribatnr circulus per Y tranfiens , hic circulus non folum curnam in Y tangat , fcd etiam commnnem habitnrus fit cnrnaturam, quo cafu is dicitnr - curunm ofcuLui, eiusque radius fub nomine radii ofcnli defig- iiari foler. §. 2. Quodfi ad hanc curnam in Y ducatnr normalis y N , eius qnodlibet pnndnm O hac gaudet proprietate , vt L 2 eiiis = C84) eiiis diftantifl O Y inuariata iraneat, etiamfi piindiim Y per in- terualhim infinite paruum promoueatur. Verum fi pundum O fuerit centrum circuli ofculantis , qnantitas internalli O Y non folum non variabitur , dum per differentialia prima procedi- mus, fed etiam nullam variationem patietur, etiamfi per diffe- rentialia fecnnda procedamusj quamobrem ex hoc ipfo princi- pio hcebit ilhid centrum circuli ofculantis O determinare. §. 3. Hunc in finem ex pnn(flo hoc quaefito O ad axem demittatur perpendicuium O P ac vocentur internaha A P ~/ et P O = ^, eritquc X? ~f — x; et duda axi pa- rallela OQ fiet interuallum QYzirj — ^, atque hinc colligi- tur O Y' :=: (/ — xy -\- (y — g)", cuius ergo ante omnia dif- ferentiale primum debet annihilari, vnde ob d y ziz p d x fiet — 2dx (f — x)~i- zp d X (j — g) m o, fiue — f-{-x-\-p (y — g) = o ; deinde vero etiam huius expreffionis differentialedenuo ad nihilum reuocari debebit, vnde ob d p =z q d x orietur ifta aequatio : d X ~\-y d p -{-p dj — gdp — Oy fiuc i-hq(y — g)-^PP = o, cx qua colligimus §. 4. At vero ex priore aequatione colligitur /zz: jir ^ p (^j — g)^ vbi fi loco g valor modo inuentns fubfiituatur, prodibit/=.Y — p "-+"^^' ; ficque per fola elementa ad cur- uam pertinentia, fcihcet jr, j, p et ^, centrum circuh ofculan- tes O ita determinatur, vt fit AV = x— f-iiJLLL' et P O rr j -f- l±tP quod ergo pundum nullam plane ambiguitatem inuoluit. (85) === §. 5. Innento autem pundlo O longitudo radii orcult nulla amplius laborat difficultate. Ciim enim fit O Q — — PlL±±P^ et O Y — — [i±P±l erit O Y* ~ "-^p*'^ quod cum fit quadratum radii ofcuJi , erit ipfe radius ofculi 3 — ^: [i±PjP)^ ^ quae eft expreffio notiffima radii ofculi. Cum enim 3 lit ^ — ^ , erit radius ofculi —. -h- d x <_LiL?_£J' vbi ambieuitas figni niliil turbat, quia locus pundi O iam antc eft definitus. §. 6. Hinc iam facile formulae vulgares pro radio ofculi dari folitae deduci poilunt. Ac primo quidem cum fit d . * =: r-^^— , , fi ponamus ^ — ;, erit — ^ ?— , zzdu ex quo valore erit radius ofculi ~ — . §. 7. Peinde etiam radius ofcuH per fola differentia- lia tam primi quam fecundi gradus exprimi folet. Cum enim fit /> =: If , erit i-^pp = ^^'^y>', ideoque (i-H/>/>/ = 'if±ti2lf ,• tum vero nullo differentiali pro conftanti fumpto erit dp - ^^^'^y-^y^^JE^ s quibus fubftitutis erit radius ofculi — — i3x'-+'5y^ * dXddy— dyddX §. 8. Sin autem elementum dx pro conftanti accipia- 3 tur, fiet radius ofculi zz (i£l:^>l>= • at fi alterum elementum d X d d y 3 dj conftans affumatur , fiet radius ofculi — — Li^liii->1P . ' d y d d X §. 9. Quodfi porro elementum curuae in computum traliatur , idque vocetur — ^ j-, vt fit 3 / = 3 a-' -j- 5j% erit radius ofculi — ii! , vbi nulium differentiale pro conftaati eft aflfumtum. L 3 §. 10. §. 10. Sin aiitem iftiid elemcntum cnruae ds con- ftans accipere velimus , erit d s d d s :=:z o^ ideoque dxddx -hdy d dj ~ o^ ex qua aequatione fit primo d dj ziz- i^JJj^ , ideoque denominator ille d x d dj -djdd x fiet --^J5I^±^ zzz. — ^J-All . ficque hoc cafu radius ofculi erit =: — -•'^''^. ^. II. Simili modo cum fit ddxzrz—tZJJJ' cric dcnominator dxddy-djddx=z liill^Ji^yl} — ^iii 9^ , • a X o X vnde radius ofculi collioitur ~^^^^^. Hoc modo fumto cle- mento ds confliante duae habebuntur formulae pro radio ofcu- Ji, quae funt — iLp ct i±if . OBSKR- (S7) == OBSERUATIONES GENERALES CIRCA SERIES , QV^ARVM TERMINI SECVNDVM SINVS VEL COSINVS ANGVLORVM MVLTIPLO- RVM PROGREDIVNTVR. Au'^ore L. EF LERO. Comicnt. exhib. dle 6 Mart. i-/-j<5. §. I. ^uodfi huius feriei A -+- B -v -t- C .v .v -+- D .v' -+- etc. fumir.a- tio fuerit cognita, ira vt, quicunque valor Jitterae x tribuatur, eius fumma aiTignari queat , tum etiam femper tam fumma huius feriei: A -+- B cof. C|) 4- C cof. 2 Cp -+- D cof. 3 Cp -f- etc. y^ quam huius : B fin. (J) -4- C i\n. £ Cp -f- D fin. 3 0 •+- E fin. 4 Cp -4- etc. exhiberi poterit. Cum enim fumma primae feriei exprimarur per certam quandam fundionem ipfius a-, quam hoc charaue- re A : .V defignemus, ita vt fit A : .V — A -+- B .V H- C .V .V -+- D .\^ -+- etc' fi ioco X fcribamus tam cof. Cp -4- / — I fin. (p 5 quam cof. $ — i/ — i fin. Cp fum- = (88) == fumma ferierum inde refultantium erit 2 A-+- 2 B cof.Cp-f- 2 C cof. 2 Cp-t- 2 D cof. 3 (J)-4- 2 E cof. 40-4- etc. cuius ergo fumma erit A : (cof. C|) -f- )/ — I fin. Cj)) -4- A : (cof. Cj) — ■/ — i fin. (p); fin autem pofteriorem a priore fubtrahamus, prodibit ifta feries: 2 B /— I fm. Cp-H 2 C /— 1 fm. 2 Cp -4- 2 D /— i fin. 3 Cp -f-2E]/— ifin.^cp etc. cuius ergo fumma erit A : (cof. Cp -4- / — I fin. Cp) — A : (cof. Cj) — / — i fin. C^). §. 2. Quo exprefllones Iias commodiores reddamus , ftatuamus breuitatis gratia cof. Cp -f- ]/ — I fin. Cp = p,- cof Cp — 1/ — I fin.

dzJ} ; cof. 2 Cp — tP±M ; cof. 3(p — ^i±i! ; cof. 4.Cp — f±±^j etc. Praetcrea vero pro finibus habcbitur fin. (b^zP-^i ; fin. 2 Cp = tP^; fin. 3 0 = fp^i etc. quibus conflitutis nancifcimur has duas fummationes: ^ A cof. o Cp-f- B cof. Cp-H C cof. 2 Cp-f- D cof. 3 Cp -+- E cof. 4 Cj)-f- etc' — ^ = P ^^■1 • et Afm. o Cj)-^B fin. C|)-+- C fin. 2 Cp-nD fin. 3 Cj)-!- etc. =r ^^^|^^ §. 3. Sumamus nunc pro ferie principali poteftatem fluamcunque Binomii euolutam, quae eft ita C8P) ita vt hoc cafu fit A : .v =z ( i -+- Ar)"j tnm rero, vt hanc ex- preflioiiem contrahamus , defignemus fingulos coefficientes, vt iam aliquoties fecimus, his cliaraderibus ; (1), (?), (a), ('i), CJ) , ita vt fit (S) = i, (?)=^«, - ^ e ^ I 2 ' /■_n_ •\ _n_ n — i n — g ^ 3 ' I * * * 3 ' etc, vbi obferuaffe iuuabit efle in genere (i) :=: (_ 5_")^ ideoqiie (-J-) nn (— ) = I, Praeterea vero euidens eft, quoties fuerit i vel numerus negatiuus, vel pofitiuus, maior quam «, tum fem- per efle (4-)~o, fiquidem n fuerit numerus integer. His ergo obferuatis habebimus hanc fummationem principalem: (iH-jr)«zz:(S)H-(?)^-^(n^'-^C3)^' + (?)A"^-f-etc. vnde ergo per praecepta modo tradita deriuabimus binas fe- quentes fummationes: (S)cof.o(I)-f-(^;cofCl)H-(f)cof 2Cl)-(-(f)cof 3(p-»-etc. (i_K^j)^-+-(i-+-y) et (^)fin.oCp-4-(?)fin.O-4-(^)fin.2(5)-t-(f)fin.3Cp+etc. ^— —■'"■■" " ■■ • 2 }/ — I Quouis autem cafu, quamquam formulae pro p et q aflumptae funt imaginariae , tamen femper iftas formulas ad valores rea- les reuocare licebit , quemadmodum in fequentibus binis pro- blematibus fumus oftenfuri. Problema i. Propo/ita hac ferle cofimmm : i-4-^cofCp-Hi.!L=Jcof.2Cp-h!i..l=J.ILi:icof.3$-+-etc.=J, Nona ACia Acad, Imp, Sc. T. FlL ' " M iia (90) ita vt per chara^ercs Jlabilitos fit jzz:(S)cor.oCl)H-(?)cof.Cp-f-(5)cof.2Cp + (^-)con3Cl5-+etc. ehis fummam realitcr exprimere. Solutio. §. 4. Cum igitur fit, vt modo vidimus ^_(i-hpyM-(i-+-^ s — __— — — , 2 exiflcnte p-=zcoL(^-\-V — ifm.Cp et q — zo(.(^ — V — ifin.Cf), totum negotium huc redit, vt irta exprcdio pro s exhibita ab imaginariis libcretur; euidens enim elt, fi formuhie (i-hpf- et (^i^qy- aclu euoluantur , tum imaginaria fe fponte effe de- ftrudura , quandoquidem hinc ipfa feries fummanda exoritur; quam ob rem in aliam refokitioncm nobis erit inquirendum , vt fine euolutione adhibita imaginaria c medio tollantur , id quod fequenti modo fieii poterit. §. 5. Cum fitp^rri, formula x -\- p ita exprimi poterit, vt fit i -+-p rr: (/p ^ /^) ]//>, fimilique modo erit -^ 1 -\- q — (\/ p-h- y q) V q.f hisque valoribus introdudis prodi- bit noftra fumma s=:i(iVp-^VqT. 5cof.Cp-+-cof 2Cj)-con3$+cof.4Cl)-hcof 54^Ltc -cof CB 4.cof.JCp-| _cof.2Cp+cQf.3Cp-cof.4Cp-cof.5Cpr''-'°^'^ ideo- (93) cof. '^ idcoque s — ^ — — , vti inuenimus , fiue erit etiam ^ 4 cof. I Cp' ' f cof. (}> 2 1 1 -+- cqy. (J) ) * ^^^' §. 10. Sit nunc « zz — 3, orieturque haec feries in- finita : 1 — 5 cof. (J)-»- 5 cof. 2 (J) — I o cof. 3 Cp -f- 1 5 cof. ^.(p— 2 1 cof. 5 C|) etc. cuius ergo fumma erit — -'-—- • Haec autem expreffio 8 cof. l feriei fumma erit 5 / (3 + - / 3) • Euoliitio cafus quo fi = — i . §. 15. Hinc crgo fequens formabltur feries infinita: i-^cof.Cp-+-^-^^cof.2Cp_^cof.3Cp-4-;-^^J;;cof.4-4)etc. cuius \ cuius crgo fumma erit — oritur haec fummatio : = (95) cof. I Ct) ■j/ 2 coi". i (p Hinc fi fuerit (+>- . X(X-^i1 .... (\-^-9) gj- Cuius crgo feriei fumma eric __ cof. >. 45* Problema 2. Propojita hac ferie finuum ; Ifm. CpH- -1 .l::iifm. 2 C{) -4- « . ILziI . l=i! fin.3 0-f-etc.=/, »ffl i-t pfr characleres fvpra odhibitos fit /3(S ) fm. o Cp-+- ( ^; fin.Cp-j- (1) fin. 2 Cl)-f- (^)fin. 3 CP -+- etc. valorm huius fummae s reaUtrr expiimere. Solutio. §. 17. Qiiodfi hic irerum introducamus litteras p — cof. Cp -h / — I fin. (p et 9 — cof (J) — / — I fin. Cp, quoniam eft p™ — ^" — 2 / — i fin. « Cp>, feries propofita in duas fequentes difcerpetiir •Koi^a Acia AcaU, Inip, Sc, T. VIL N a// = (98) == Vndc manifefto erit ajj/— I —(i-i-p)'^—^ 1-1-^7. §. is. Hic iam iteriim obreniafle iuuabit eflc I -hp=:(Vp-\- V f])V p et \-\-qz^(V p-\-V q)V q - quibus valoribus adhibitis ciit Quoniam igitur eft f^ — q*"^ — 2 /— I fin.Sw^) et / p -I- / 9 = 2 cof. J (|), Iiinc per 2 >/ — i diuidendo prodibit fumma quaefita realiter wxprefla / == 2" col. i 0" fin. l n (J). DE (99) DE INTEGRATIONIBVS JMAXIiME MEMORABILIBVS EX CALCVLO IMAGINARIORVM ORIVNDIS. Audlore L. EF LERO, Conuent. exhib. d. 20 Mart. 1777- c §. I. onfidero Mc i*n generc formiilam differentiiilem qnamcun- que Z 5 s, cuius incegrale l.iltem per log.uithraos ec arcus cir- cuiares exhiliere liceat , quod per charaderem A:s defigno , ita vt fit /Z 3 s - A : s. lam loco z. fcribo qpanrita.em quam- cunque imat;inariam , (cilicet z ~ v -f-j / — i., vndc fundio Z transmutetur in formam M -f N/ — i. Hoc inodo for- ma differentialis euadet (3 Jt -{- D.y / — i)(M-|-N|/ — i), cuius produdi pars realis ergo erit M d x — N dj^ imaginaria vero (N 3 jr -{- M ^ V ) / — i- Tum vero iprum integraJe , quod eft A . (x-\-j ]/ ~ i), transmutari po erit in fimilem for- mam P -f- Q / — i. Quare cum quantira'es reales er ima- ginariae feorfim inter fe conferri debeant, hinc duplex integra- tio oriecur : L P=f(Mdx — -Ndy) ^ IL Q=:/(Na;fH-Maj), N a qunc quae ergo duae formulae femper crunt integrabiles , etiamfi binas variabiles x et j inuoluant. Erit fcilicet per norum in- tcgrabilitatiscriteriumtam(J-|)r-(||), quam (^)-(il^). Vnde intelligitur , ex qualibet formula differentiaii propoTita binas deduci poffe integrationes eo magis notatu dignas et ar- duas , quo magis integrale fuerit complicatum , quam ob rem plures cafus euoluifle operae erit pretium. I. Euolutio formulae difFerentialis s" 3 «. §. 2. Cum igitur fit f z^ d z =z ~ , fi loco z fcri- bamus x-^-y}/ — i, bae poteflateb binomii, in vfum vocando cbarafteres, quibus iam faepius vncias defignaui , euolutae da- (^-H//-i7r;f''-+-(?);f"-'j'l/-i-(l)-v"-'j'/ — (?) A-"- VV— 1 -+- etc. Hinc colligitur fore M-x^^-iDx^^-^yj-^-C^^x^-^r-i^.^x^^-Y-i-Gtc. et Nr^J^jf^-^j-^^^J^^-V-^^r^-v^-V-etc. Simili modo pro forma integralis erit («-t-i)Prx'^^'-(l±^)Jc'*-'jJ'-+-(^)-'^""V _(!Lli)Ar"-0'*-»-etc. («-4-i)Qr(!L^)jrV-(^)^''~V'-+-C^)-^''~"V'-etc. §. 3. His valoribus determinatis, binae integrationes , quas hinc adipifcimur, ita fe babebunt: /*$ dxlx^^-CDx^^-^y^-hCDx^^-^v^-O)'^'""^-^^^^-^ J i-^jia^x^-y-cox^^-^r-^iDx^^-^r-Gtc.] s quac =(101) = quae forma quemadmodum ipfi P aequetur per partes videa- mus. At eft y.Tt-»-I « -+- 1 qnod cum primo termino ("eriei, §. 2. pro P inuentae, conuc*^ nit. Tum vero fumatur II. -/a) x^-^y d X -f Cj) x""-' y df , hinc ex parte priore, fumto j conftantc, oritur integrale -( - ) JJy \ 2 / n — i ex parte vero pofteriore, fumto x conftante, orietur -(j)x^~~^^ , quae duae expreHlones manifefto funt inter fe aeqnales , fcili- cet — — 5 jr""' j y. At vero fecunda pars ipfius P eft quae ob CL^) — ILJ:-' . ? manifcfto fit — ^.v" — 'y/. Sumatur nunc IIL /(?) Jc"- V' ^ Jf -i- il) x''-'^ dj, Hic ex parte priore concluditur integrale — 1- (") v'*~2j''',- ex parte antem pofteriore K^j) x^ — ^j*^ Quoniam igitur eft(^)r: Qjlizl^ hae duae formulae manifefto funt inter fe aequales, et inte^rale erit 4 V 3 > "^^ . > 'I • -^ — • — — • 4 -^ J • Pars tertia autem formulae pro P darae eft — 1_ . (^^) -v"— Vj qua ob ( "-ti ) =: LitJ . ? . ?j:^ . 'L^ manlTefto iUi eft aequa- lis. Simili modo conuenientia fequentium membrorum ipfius P oftendi.ur , fimulque fjcile intelligitur pari modo confenlum formulae Q oftendi poffe. §. 4. Quoties igitur exponens n eft numcrus integer pol iuu'*, veiitas noftrarum formularum manifcfto in oculos in- curri:. Verum fi n fueric ■vel numerus nejjaduus vel fradus , N 3 tuni e= (102) Cnm formuhe pro lirreris M et N, i^^em PetQ, in infinitum excurr^rent ; vnde his cafibiis calculum aiio modo inftrui opor- tet. Scilicet loco x et ^ binas aiias variabiles in calculum in- troduci conueniet, flatuendo /(x x-hyy)-v^ et quaerendo an- gulum Cp, vt fit fang. Cp— -J-; tum autem erit ^ — i? cof. (J) et / ~ 1' fin. Cj), ideoque difFereniiando d X = dv cof. (p — 1- 5 Cp fin. (^ et Bj — dv fin. (p -h c d Cp cof. Cp. His autem pofitis erit (x -^-j y — i/ ~ "^" (cof }i cujiis integrale efl: Atang.z. §. 6. Cum hic fit Z — — : — , pofito i — x ~hj /- i erit Z — ^ . Hic ante omnia denomina.o- rem ab iniaginariis libeniri opci^tet , quod fit numeratorem et denominarorcm multipiicindo per i -+- j; jr —JJ — ^ xy }/— i fietque •y ' j -i- X X — "V^v— ir^vi/ — r U t X ^ — _, _,)' T- .» ^ J. > j» ' ficque erit M — t+xx — yy et N = - - « T (i-i-x x^ yy)' -h^ X X j y l. .... - j j\^-t-4XX yy Hinc igitur pro inregrali P -i- Q ]/ — i impetrabimus p ri^x'xr — v^i.)r«-53cv^3i _» J {.L r- ^ .». — j _ I 4 X X j y r\ r{i-hxx— yy\:)y — ■'-xy^ix . hasque nmbas formulas jam cerco fcimus efie integrabiles. §. 7. Confideremus accuratius denominatorem, qui evol- vitur in hanc formam : {x x -^-Jjf -^ 2. (x x —JJ) -»- i, quae porro reducitur ad (x x -^jj -h 1)" — ■^J J -, q^ae er^o eft produdum ex his duobus fadoribus : (x X -+-JJ -+- I — 2.J) (x X -^JJ -+- I -+- 2j), qui eri.'o f,i(ftores funt x x -f- C j' -4- 1 / et x x -^ (j — i)*. Hanc obrem anibae illae frafliones refolvi po-erunt in binas fraflio- nes , quarum alterius denomina*or fic .v .v -t- (.7 -1- i )* et alte- rius xx-^(j~ \J. Ad hanc refolurionem ficiendam vtamur re:olutlone generali fradlionis ^ in has duas frafliones: L -h |- ,• vbi numerator F reperitur ex formula -, ponendo P =:o; al- ter vero G ex formula -, ponendo Q rz. o. §. 8. Pro formula priori erit (104) j5 =: Ci -*- X X —jj) d X -h 2 xj dy , V z=z X X -i- (j H- i/ et Q — a: .V H- (/ — i)*; qiiamobrem pro priore fracftione |- littera F definiri debet ex fradione c +*^->>)j^-^ "^^^> ror.endo .v .v -+- ( y -t- i / — o. Qiiare cum hinc fit x jr ~ — (j -4- i)% hoc valore tam in nu* n era'ore qnam in denominatore fubftituto , vbi quidem x x occurrit, repcrietur ^' ^^ ' ^ >^^'-^" ^ ^^> — ^ d x^y-i- i)—lxdy, Simili modo pro fractione - nurrerator G definiri dtbet ex hac fradione : "^^^--^->i^ eL_15_2L^ > ponendo xx h- Cj-iY-q^ vnde fit jf .V — — (j — i/, quo valore fubdituto reperitur Q _ ^.x — * — vbi cum denominator fit 1 -i- x^ — :i xyy -+-\/ —1 (^ xxj —y^) , inultiplicetur fupra et infra per 1 -4- x^ — 3 xjj — / — I (3 A- xj—y^) , fietque ^ t+xS — 3x^;y — ■/— i(3a:ji:;> — ji^) I + 2 a: (X a: — 3 j> ^) -H IX jc -t- j y)^ Hinc ergo adipifcimur i-(-2;c(xj: — iyy^ + ixx-^yy)'^ J,^ — isxx y — y^) ^ I -(- 2 X (X X — 3 ^ j) -f- (x X -f- jy ^)^ §. 14. Ex Iiis jam valoribus , fi integrale quaefitum defignemus per P n- Q )/ — i, pro vtraque quantitate P et Q. fequentes obdnemus formulas integrales : p r(i+x^ — 3xyy)dx-i-{3xxy—y^)Sy ^^ ' 1 'i- ti X [X X — 3 y y) t- [X X -t- y y)^ <, r\ r {1 -i- x^ ~ 3 X y y) i y — [3 x x y — y^) d X ^- •' I -t- 2 jc (X X — 3 y y)-h(x X -h y y)^ pro iisdem litteris fequentes vaiores prodibunt: O 2 V = (108) - •' I {j -t- x^ — 3 b b x) S X ^x^xx — jbb)-+-{bb-t-xxp (b^ — 3 b X X) ^ X et o = r ^ ■' I -h - X ( X X — 3 b b ) -t- . b b -{- X X)' qui valores, fi calculus rite inftiniatur, congruere debent. Vc- runtamen femper tutius erit vti formulis principalibns, in quas anibae variabiles x et ^' ingrediuntur , propterea quod fi his polterioribus formuiis vteremur, adiedio conftantis in errorem praecipitare poTet; fi fi:ilicet in prioribiis littera a in polle- rioribus \ero littera b iii conftantem indiiceretur. ' §. i6. Ob has fummas difficultates ergo non parum mirandum eft, valores horum intcgralium nihilo minus reuera exhiberi poiie^ tantum ei:im opus eft , vt in integrali per z expreflb loco z ("cribatur x -{- y Y — i, atque fingula rr.embra in binas fuas partes re.oluantur, alteram realerr, alteram imagi- rariain ; tum enim partes realcs iundim (iimtae dabunt valo» rem ipfius P, partes autem imaginariae valorem ipfius Q. §. 17. Quoniam enim in memorato integrali tantum logarithmi cum arcu circulari occurrunt, (ufficiet duas fequen- tes reducftiones nofie : I. /(^ + ^/-i)z=//(pp-+-99) + >/-iAtang.-|- et II. Atang.(p-^^/-i) = jAtang. ._p___ _^ y^ ^ ti±M±^ ^ Hinc cum prima pars fit g / (i -f- s), pofito ;s = .v -t-jy''— i, erit /(i -^ .V-+-J' /— i)-/]/[(x^xy-hjj' ] -+- /— I A tang.-^-J-j . Pro fecunda parte, quae erat — |/(i — s-j-sz), ob I — Z-hZZ—I—X-^XX—JJ-+-y — l {2XJ—j) confequenter p 1:1.1 — jr-HA-A" — jj et q — 2xj — j, erit (lOp) == l (i -^z-hzz) — ! V [(x X -hjy — xy -i- ^ X x—yj-^ 2 X -h 1 ] -t-y— I Atane;. tlZzU^ .. Denique tertia pars erat — A tang. -^-^ , vbi ergo z X -r- y V — I ^x -Jr- 2 y V — 1 — XX — y y 2 — a 2 — X — y y - i ' (2 — x)^ -+- y y vnde pro luperiori formula erit ^ ^^. — x^-^t-yy " i^i — x^^^-hyy Hinc ergo pro hac pnrte erit Atanp- — ^'*-'At'me 2{2X~xx — yy)[{-:—x)'-i-yylV^ o i — z ^ ' ^'r-—x)*-i-2yy[2--x)^ — 3i2r-x)-xx-i-6xyy<,2 — x) — 12 y y 4 f> f -t-('2— ■)* ' quae exprefTones cum tantopere fint prolixae, in vltima parte litreras p et q retmere maluimus ,• quam ob rem multo minus valores pro P et Q hic exhibemus, cum fufficiat nofle, partes reales iundim fumtas praebere P, imaginarias , per "/ — i di- vifas, Q ,• atque ob hanc caufliim manifeftum efl, cur euolutio adualis fuperiorum formularum non fucceflerit. IV. Euolutio formulae difFerentialis 2™ — • 9 2; z"" cuius integrale paflim euolutum reperitur, fi quidem exponentes m et n fuerint numeri integri. , §» 18. Ex hadenus traditis clare intelligitur , lon^^e aliam viam hic efie ineundam. Statim igitur ftatuamus ;>rri'cof.(p et y-vfm.cp^ ita vt ioco binarum variabilium jt er j' ftatim biiias alias v et (^ in calculum introducamus; tum enim erit I -I- s" — 1 -f- rj^ (cof. n pars vero imaginaria erit v'^-' dv ]/— i fm. m -f- 'y"' + " D Cp / — I cof. (w — «) Cp. §. 20. (III) §. 20. HIs praeparatis, fi formulae noflrae differentla- lis integrale quaefitum ftatuamus — P -}- Q ]/ — i, vtramque partem per fequentes formulas- integrales reales inueniemus expreffam : r^d^-^dv [cof w4)-f-i'"corrw-»)Cl}] -v'^'d'^[{\n.m(^-hrj'^{'\n.(m-n)(^'\ ,2 n I H- 2 c;" cof « cp -(- -z; A)™-^ a-z [fi n . ^«0-f-^'"fi n . C w-«)0] -(-'y™30[cof OT(I)-hi.'"c o f (w-«)0] y j_^2'— I [cof. ;;2Cp fm. (;;/— i) u-h cof. (;;;-«) Cpfm.(/;i-hK—i) wj, cuius loco, vt imaginaria cxtirpemus, feribamus C c -I- D, fiue C cof. co -I:- D 4- ]/ — I C fin. co, Tndc erit /■ • eoj. n (^Jin . [n — i )'s> -+■ cn'. (m — n^i^Jin. [m -t-n — i ] iO) Jm. w ~ tt hinc T-\ coj fTi $/■??!. (2 — T?i ) co -t- cof. ' m Ti ) 0 f;n. ( i — tti — n ) ca' ^ Jin.-UK (115) ==- §. 25» Inuentis ininc valoribtis littefarum A, B, C, D, €i-it numerator nolter quaefitus r — (Aiy-hB) (C v -\-D). Quia autem hic adhuc incft quadratfim v i', eius ioco fcribea- dum reftat 2 i; cof. oo — i, ficque erit valor iuftus f — 2 A C ^ cof. M — A C -{- (A D + B C; ^j -j- B D, Confequenter pars integralis huic fadori reipondens pro va* dabili v erit f '—■ Simili modo pro altcra varia- bili

Jin. ^ i^ y , _f_ 2 o; coj. (p -^- 'v -u f di- !h. D -4- -u ^ 4> co/. 0 -4- -u -u 3 0 -^ 1 -1- 2 X' C3/. (p -t- X' "U vbi formula prior manifefto habet integrale ;' / ( I -+- 2 i- cof. Cj) -I- -y 1' ) •> pofterior vero integrale habct A tang. -^-"^'^^, quemadmodum differentiatio manifeflo declarat, ita vt hic non opus fuerit al- terum angulum w in calculum introducere. Appli* ("7) Applicatio ad formulam difFerentialem -^, vbi I -+- z z OT — I et « — 2. §. 30. Hiinc cafiim iam fupra euoluimus, vbi vidimus, pofito z — X H-j 1/ — I, integrale efle Atang.x-f-j/- I =-i A tang i^ -f- t=il / ^^+;^-^';; . Hinc ergo fi ponamus x :iiz v cof. Cp et j zz: i; fin. Cp, erit pro integrali P -i- Q / — ^ P — — ^ A tang. i^L^^ — I A tang. iJlLi^^ et I 7 r -I- 2 t; /"/n . $ -I- x>^x) "* I — 2 X' j;n.

_, I /" ^i X' ( //i ■ 1) — T ) 4- t; d Cp c-)i 0 ^ ^-Z 1 4-2 'ijia.Cp-t-T; 1; ^■^ i— 2-xj2(i.vp-h'V ^* §. 35. Incipiamus ab euolutione pofierioris valorls Q, Ttpote faciliima , quoniam in vtraque formula numerator ma- nircfto efl dimidium difFerentiale denominatoris , vnde ftatim obtinetur O zr: | /l"^".'^'^'^-^-^-,'^"^ , nui valor prorfus conffruit cum iupra dato. Pro littera P autem notetur efle / tlZ . =: .-^- - A tang. J}il^, ■J 1 — a Tj coj. {ii-it- V V Jin. u> ^ I -t- V coj. w vnde cum noftro cafu pro parte priore fit / ziz cof. $> ; cof. c> iz: — fin. Cp et fin. w ziz cof. Cp j erit / (I20) ==— •^ I 4- 2 r//fi. (}) r- X' v ^* I -f- V jin. Cp ' fi quidem angulus 0 vt conflans tradetur. At vero ex eins varia- bilitate non prodit ahera pars, quae ert f ^SL^^-J^. fed eius loco differentiatio praebet -zZl^lihlizlJl^ , lu hunc erco dis- fenfum accuratius inquiri conueniet. §. 35. Primo quidcm nullum efl: dubium quin diffe- rentiatio formulae A tang. ^"^- ^ ^ praebeat partem priorem j fed idem contingeret, fi conllans quaecunque adiiceretur, quare cum in hac integratione angulus Cp pro conflante fit habitus , ifta conftans vtique adhuc ipiiim angulum (J) continere poteft. Hancobrem in gcnere llatuamus integraie quaefitum eife Atang.,^£i5^-|-/0a(p, ^ cxiflente 0 fundione ipfius Cf), et iam huius formulae differen- tiale, pofito v conftante, erit — V d<^\in.<^ — -v v d^ -f- (T) r) Cb ^ d) S* + -'^'*/''"-4> + *i''^? . I -H2X'j!n. ^-(-xixi ' ' t — ^-jri.Cp — T? -u ^ ' vbi fi fumatur 0 = i, ipfum noftrum dififcrentiale prodit 3$ (I -t-aJ,ffn. V ' cum haec forma a priori tantum in hoc difcrepet, quod angu- lus 4) fit negatiue fumtus, idem difcrimen in integrali introdudum dabit A tang. 2Lr.(^. Sicque completus valor quantiiatis P «ric P — (121) P = I A tang. :iL±>J> 4- ^ A tang. --=^ qui duo arcus in vnum contradi dabunt P zi: ^ A tang. fJL££L^ , qui valor pariter perfede congruit cum fupra dato. Applicatio ad cafum quo m z=z i et « :=: 3 ? fcu formulam differentialem -4^,- §. 38. Qnod fi hic ponatur s zz: cof. CP -»-■/ — i fin.(^ et inregrale inde .refultans ftatuatur /-i-^ — ?-+- Q }/ — i, ex formulis generalibus fupra datis erit p rdv^ coJ.

.'■ 3 01;:: /— I co/. 3 ^) 3/J>l. 3$ ' ' Hinc fi bini fKflores imaginarii numeratoris iu fe invicem du- cantur, rcperietur P S/in. oj r ~ coj. ftj 4^ 3 d)) :;: i^— i//n. (01 -jr 3 )] 3/m. 3 Cp vbi imaginaria non amplius curamus, quoniam, vti fupra vidi- mus, introducendo littcram -c^ ea rurfus toilere licet. §. 41. (123) ^. 41. Niinc aiitem pro S qiiatuor ha^emus valores ad bJnas litteras P et Q deuniendas. Primo enim pro P et elemento d v erit S — cof. Cj) -f- 1;^ cof. 2 Cp, vbi loco v-^ fcriba- mus valorem jam ante ufurpatum — cof. 3 Cf) ^i^ ■/ — i fin. 3 (pj vnde fiet S — cof. (|) — cof. 3 Cp) cof 2 0 :!- / — I fin« 3 4^ cof. 2 Cp =: fin. 3 Cf) (fin. 2 Cj) :+: >/ — i cof. 2 Cj)) , flcque erit valor nofter F zz: I fin. w rfin. 2 Cj^H: /— I cof. 2 C|)) [=Pcof. (ojH;3 Ct)) ^ / — I fin. (00 ^2 3 $>)] ? qui valor pro fignis fupcrioribus erit Y ~—l fin. co [fin. (u -+- Cj)) -h / — i cof. (co h- Cf))], at pro fignis inferioribus prodit F = -I- ^ fin. 0) [fin. (oj — Cp) — / — I cof. (C[) — C^)]. §. 42. Nmic autem neceffe efl: imaginaria hinc fecludi, ad quod efficiendum ftatuamus fin. (w H- c;)) H- / — 1 cof. (u -^- Cf)" =r A •u -4- B zn A cof. w-f-B-f-/— I Afin. oj, vnde manifefto de iucitur p^ co'. loj -t- j)) „j. g — __ cof. (^ cj -)-:!)) j,.i.w Jin u ' ficque habebimus pro priore cafu F =: — I V cof. (w -+- Cp) -i- ^ cof. (2 0) -t- Cp) , pro pofteriore vero A — — - '^^J""-^ et B = '"^, ideoque jm. ui jm. oj ' * F :=: — I ^' cof. (w — Cp) H- J cof. Cp. Verum non opus eft vlrerius progredi , quoniam evolutio ho- rum caiuum fpecialium nobis jam viam fternit ad tormam ge- Q 2 nera- == (124) neralem euolucndam, quam ergo iu fequente problemate pro- fequemur.^ Problema generale. Si ponatur 2; — -z; (cof. (p -f- y'' — i iin. Cf)), inuejligare in-' 2! 21 . I -+- s" ■ Solutio. §. 43. Cum ob valorem iplus z imaginarium intc- grale quaeficum pariter effe debeat i.iuiginariuni, id fiib forma P-hQi/— I compledamur , ica vt P et Q fint quantitates reales, hanc ob rem erit fiita fubftitutione indicata / §. 44. Cum porro fit s — ^y^cof. 0 --(-]/— i fin.Cj)), eric Hinc igitur formula propofita abibit in hanc f c-"" (cof w (p -+- / — I fin. ;// Cp) (iJ^ -f- a Cj) / i) 1 I -+- '-j" (cof. ;; (p -f- / ~ I fin. ;; (p; vbi pro fequente ratiocinio notetur, denominatorem evanefce- re, fi ponatur «y»* — ^f^ — i — ; — — cof. ;; (t) -4- / — I fin. n (p. cq/. n Cp -+- /— i/;n. n (p T- r -r Nunc vero ut denominator ab imaginariis liberetur, fupra et infra muhiplicetur per i -+- v"" (coC. « (J) — / — i fin. « (j); et formula differentiaHs , quam per d V defignemus , erit i;™(cof;;/(I)-f-/-ifin.;;;(I))(^-f-^(^/-i)[rr-f-i-\cof;;(p-/-Tfin.ff(J))] Nu- Numerator autem reduci poreft ad hanc formarn : cujus parres reales et ima^inariae ita a fe invicem fegre^abuu- tur, ut fit pars realis pars vero imaginaria per / — i divifa ^™-'^r[fin.?;/Cl)-i-'z;"/in.(;;/-«;CbH-'z;"*a^(cof.wCj)-Hi;'*cof.(w-»)(p)] §. 4j. Ponamus nunc brevitatis gratia R — cof. w 0 H- -y" cof. (;;; — «; Cp et S — fin. ;;/ (P -h •v^ fin. (m — nj (^ tt an^bae quantita es quaefita^ P et Q per fequentes formulas int.grales exprimenrur : •R c'" — ' ^:y S -."' ^0 =/t et 0 — H-fZLlJ^- J 1 -h 2 ^™ COl. « vp -1- i;- * Totum negoMum ergo huc redit, ut primo denominatoris fa- 6ores rrinomiiiles invefligentur , tum vero ex fin^ulis fraclio- nes partiales eruantur. §. 46. Ponamus igitur denominatoris fa-"orem quem- cunque efe i — 2 1; cof. w -i- 1; 1; , atque necefle erit ut pofiro I — 2 V cof (j} -h V V — o ciam denominator evanefcat, id quod ante jam animadvertimus fieri cafu 1"" ~ — crX « Cp -f- / — I fin. » Cp. At vero cum fit v ~ cof w -t- ■/— i fin. w , eiit hinc 1" — cbf. « oj H- / — I fin. ;; u, vnde mauifeftum eft q& debere cof. « w :^ — cof. n

/;n. (m — nl cj cof. TO 'J — //t. f nt — n — r 1 w co/. m ' — fin.^^^-co)] qui valor pro P duci debet in— -u^Cp, pro Q autem 'm-\-dv. - §. 53. His igitur valoiibus inventis finguli anguli w, quorum numerus eft =«, dabunt totidem partes pro quantita- tibus quaefitis P et Q, fcilicet valor w zn — — (p, exiftente 1'^ ■— ^, dabit p — . i_ rdv[v coj. ^ — coj. ($* — 0)11 — -u 3 (p [vjin. ^ — Jin. (^ — w1] gj. n J i — z V coj ui -h V V ]_ r S V [vJi-T. ^ —Jin.[^ — U))] -^ V d

/m.^ — J?n.(^- w)] ^ 71 ■' I — 2 X) cq/". w -t- 0; 1; Ponatur igitur jyt-,|-g^eo;.^_coj.(^-w)] ^^^^^„6 M COC. ^ l [y/ (1 ~- 2 iV COL (Ji -h w) ] Noua Acla Acad, Imp. Sc, T. Vll, R =/ »_ t^v \v ci''.^ — cr)f. ; ^ — w )] A r coj. ^ — coj. ^ co/. oi) 5 v •' 1 — i f C3j. ui r-i; X) ■" 1 — 2 X' coj. w -t~ rt; — rd V [coj. ( coj. bi — co/.i^ — 0)1] r ^v 'in ^ fin.ii> ficqiie integrale ent — fin. l A tane. '"'/'"'• '^ , ideoque M — cof. ^" / 1/ (i — 2 i; cof. oj -4- i; 1?) — fin. <^ A tang. ^'^:^''"_ , confeqiienter habcbimus V — — "-^- ^' / / (i — 2 c cof. w + -y iO -t--^"- ^ A tang. " f'" '^ i — i OJ. u» §. 5?. Hoc valore ex fola variabilitate ipfTus -y orto, videamus quoinodo cum aiigulo \ariabiii 4) confiitat. Hunc '\\\ finein differentiennis hanc ip(am fornuilam inueuram, ftaruendo folum angulum w variabileir, fiquidem 6 oj zn — d (^, ob an_^u- lum ^ conrtantem, crirque- differentiale . I r — "vd ^jin. u> co^ . ^ -I- t; ■ Cp ci ui — i- )Jin. {r _i^ p-r. 7=, .■>_ r„ ( ' _ f^ ) t; <^ $-j 71 ^ 1 — 2 r co. tj>-t- i; L -^ n '- » - _ , c . . cu r- 'U x' -■ ' quod prorfus conuenit cum fbrma propofita, ita vt iulUis va- lor pro P fit p _ _ oM^ ; ^/j _ 2 ^ cof. U -H -y -y) H-^i^-^ A taiTg. -Uii^ . §. 56". Eodem modo procedamus pro valore Q, fitque ■^^rdv[-vjm.^-'.n.i^-u>)] eritque' M — fin. 4" / / (i — - '^' cof. u -j- 1' *:') =r r d V [■vjii. <• —Jin. ( ^ — uj )] r (x' fji- ^ — coj. u (in. ^\dv J 1—20; CO/. ijj -t- V V 1 — 2'i' CO/. U) -t- 'U x> /> . 3t>co/.^/,n. .2_ — cof. ^ A tang. -"■^JlIhJ^— , •' I — 2 'U CO/. UJ-t-'!;'^ ^' '-'l — V coj. u> ' vnde manifefto colligitur 0 = — ^'"- -^ / / ( I — 2 --^' cof. u -4- V v) - '-2^- < A tang. ^'''''■"- >-. n'^^ ^ 71 ^j — u coj.u quae expreflio variabilitati ipfius 0 etiam eft confentanea. §• 57- (^St) §. $7. Nunc igitur cafum formulne / ^^ -,, quem iam bis fruflra fumus aggrefll, facile expedire licebit. Cum enim hic fit m zz: i et ?; — 3 , pro littera i tres fumi debe- bunt valores i, 3 et 5, vnde pro noftris formuiis integralibus fequentes valores emergunt: i I 3 5 w 6.° — (p i8o° — Cp 300''— (p fin.cj fin.Cdo^-Cp) fin.Cj) -fm.(6o^-t-$) cof. 60 cof. (<5o°-Cp) — cof.C|) cof. (<5o"-f-Cp, < 60^ 180" 300^ fin. ^ V^3 2 0 — ll? 2 cor.<^ I 5 — I I 3 §. 5 8. F,x his iam ternis valoribus tam pro P quam Q ternas partes adipifccmur, quae erunt: Pro P ParsT. - 1 //ri-2ixof.C(?o'-(I))+-L-^'] -h -V A tang. "^ rm. r^oo-cp) Pars II. H-g/|/(i-i-2i-cof Cj)-f-i"i;)-f-o Pars 111. ~ll y\ i-2r,-coC.(6o°-i-(^)-i-vv]-^-J- Atang.^^f^2!±^ . Vbi notaiTe iuuabit partem primam et tertiam ita coniundim exprimi poffe: — 15 /[ I •— 2 1; cof. Cp -I- 2 c; -r ( 5 -I- cof. 2 CP ) — 2 ^'^ cof. 0 -»-1;'*] -H _^_ A tang. '^"^'■'^^'^-'^•"^. 2V3 •-' i— 21) COj. q) — 1) "J Pars I. Pars II. Pro Q^ -^//[i-2^cof.(6o°-Cj))-^H-1Atarit.^^l^r^-, 'urin.(p -f-jAtang. "^"-^^, Pars III. --^-;^//[i--2rjcof.((5o°+Cl))-^'^^i-]-H| At.'ing.-^iii^±-^' ^^ R z Hic == (13-) Hic iternm pnrtes primn et tcr:i;i contnihi pofTcnt, fed prnefta- bit foririulis primo inuentis vti. Hinc iam iftam tradationem fcquenti Theorematc concludemus. Theorema. §. 59. Pofito z — V ( cof. Cj) -h )/ — I fin. Cj)) , fi fta- tuatur f -~^ — P -i- Q |/ — i , hae quantitates P et Q ita exprimentur : r- ,V |/ [ I -2 r cof. (6c°-4))h- c ^^'] -4- J- A tang. " ^'" ';°° ^, P =/-f-3/j/[l-f-2C-COf (|)-+-Z't'J ^_^ / / [ X _ 2 c cof ((5o°^(P >-^.r.r] + ^ A tang. ^-^^^^^) ;--±-//[i-.^cof(6o--cp)^c^c]-iAtang.,:f-;;;-j;^, _H'Atang " ''^ ■ ^ , -L_/ /[1-2 c' cof.(6o°-^(p)-4- 1? c']+^ A tang. -:ii^°-±^ . Corollarium. §. 60. Si ergo fumamus anguhim CP r o, vt fiata;— i;, pro formuhi integrah /j-^;^ — P -f- Q / — i erit: - W / ( I - ^^ ^ •I' --^ ) -+- -f 3 A t a n g. ;i^ ; Pz=<;-+-^//(i-+-c) - ^ / / ( I - ^, + r c) -^ ^ A tang. ^^ — _V / / ( I — 1; -+- "-'i') — •« A tang. 2 V 3 2 01 j_ / / ( I _ -u -4- 1":') -+- 6 A t.ing. :j;^ Sicque erit (^-O^ vti natura rei poftuhit. Nam quia ipfi for- mula integranda eft realis, etiam integrale parteni imaginariam con- = (153) continere neqiiit. Ceterum ipfiim hoc integrale fatis efl: no« tum. Corollarium 2. §. 61, Confideremus etiam cafum quo CPrpo", ideo» quc z :=^ V ]/ — i, et formula integranda erit quantitates vero P et Q ita exprimentur: f-ll y (1 - V ]/ 3 -^ 'v 'V) - ^;, ^ A tang. ^— ^^ ^_|//^i+^/3-+- i r 0 lit 17 — cof w ~ "/ — I fin. w ct v^ — cof. ?; Cp ~ — y' — i iin. '; Cj), crit „ N '^ fin. 0) F — — , 71 1;" lin. n (4) qui valor prorfiis conuenit cum eo qui fupra efl: repertus. Hic igitur tantum opus, efi: , vt loco N fiue R fiue S fubrti- tuatur , indeque forma praefcripta pro ifto numeratore F deri* vetufj in vfum vocando lemma fupra allatum Euolutio fra6lionis Rc^fin.w ^ -y^^fin.wrcof wCb — i^^^cof Tw/— «^^] fiue L -f j . nv^-fm.ri

] 1 • njin.n!p '-—v(in.muic}j.{m—n)'P}-fJin.[m-'i)ijicoJ.[m — ni^ J* Facfla iam euohuione formuldrum iin. (;;;u -f-;;(|)) — fin. ww cof K(:p-4- cof ;;; cofin. «0 et €o(. (;;; — ;;^ (J) — cof ;;; (picoLn(^-+- fin. ;;; (pfin. ;; (p , littera v hic multiplicatur per hanc formam: iin. ;; (p cof. ;;; Cj) cof. ;;; w — fin. ;; Cf) fin. ;;/ (p fin. w w =1 fin. ;; (p cof. (;;/ Cj) -t- w co) , reliqui vero termini , quia ab his tantum in eo differunt \t loco m (a fcribi debcat (;;;~i)w, erunt : — lin. ;; (J) cof. [w (oj h- (J)) — w] iicque pro numeratore quem quaerimus erit F ~ — i v cof. ;;; (o: -h (p) -\- l- cof. [;;; (oj -+- Cj)) — w]. Euolutio fraftionis >S i> fin. M c''^ fin. w [fin. ;;; Cj) — ^'" fin. ^;;; — ;;^ Cj)] ■ w •y'' Im. ;; Cp " ;; -y'^ lin. ;; Cp . §. lo. Hoc cafu erit P v"^'" fin. (0 fin. ;;; cj) -|- -y™ fin. to fin. (m — ??) 0 n fin. ;; C|) Hic igirur eodcm lemmate in fubfidinm vocato erit p — - I X^vjin. m(Pjin. [moj-hn $) — Jin. m(Pjin. [(m — r) w + n (Pll . njin. n $ '■— vjin. [m — n) (Pjm. m w -+-/jfi. (m — n) (pjin. im — i ) w J * vbi per fimilem euolutionem quantitas , qua •v mulriplicatur 9 inuenitur — fin. n (J) fin. [m (« ■+■ C[)J ; reliqua vero pars erit — iin. 7J (P fin. [m (oj -^' C|)) — w] , liinc igitur pro littera S valor qiiaefitus numeratoris erlt F zn — jV fin. m (oj -+- Cp) -h i fm. [m (w -+- (p)) — u]. §. II. Cum igitur fit oj-t- (J) = — , ponamus brcuitatis gratia angulum m (cu -+- Cj)) zi: '^ — <^, atque pro littera R erit Fzr: — i-[^ cof.<-cof,«-.w)] at vero pro S erit F=z — ^[^fm..?-fm.(^-.co)], quibus valoribus inuentis pro denominatorls fa^niore i— ^Tcof.oj ■+-VV partes , ex quibus litterae P ct Q componuntur, per fe- qucntes for: .ulas integrales exprimentur : p i_ r [r coj. ^ — co/. 1 ^ — gj )] 3 -u — -i' 3 Cp [vjin. ^ —Jin. ( <* — cj )] ""~" n ' I — -"v eoj- iij-*--vv T_ r [vjin.^-^jin.[^ — u))] dv + v d(^ [v coj.^ — coJ.[^ — oi)] " """ nJ 1—2V coj. oj -I- "u 'y §. 12. Quoniam hae formulae prorfus conueniunt cuhi iis, quas fupra fumus nadi, et ne figna quidem funt immutata, peculiari integratione non indigemus , fed pro quantitatibus P et Q fequentes habebimus valores integratos : P r - ?"/ii / 1/ (i — 2 i; cof. oj -t- -i; i;) 4-^^ A tang. -J^^iL. et 71'^ ^ n '•' i — v coj, OJ Q--^^IV (i — 2 V cof. w -f- -y i;) — £2/^ A tang. -Hii^Li^ . ^71'^ ' n "^i — V coj. co Tales fcilicet formulae ex fingulis fadoribus denominatorls formae i — 2 v cof. u -f- -y 1? deriuari et in vnam fummam col- ligi debent, vt veri valores pro P et Q obtineantur, vbi tan- tum recordari oportet effe uizi— — (J) et <^ — li^ ,• pro i autem hic numeros pares accipi oportet. S 2 Exem- dz z — = (140) = Exemplum i. §. 13. Sit 7;/ ~ I ct 71 ziz i^ ita vt quacri deheat f2l rr P H- Q^')/ — I? i^ofitd fcilicet z tizv (cof. (p -t- / — i fin. Cp). Qiiia hic ;; rr; i, vnicus A-^alor pro u lociim habet, re- fultans ex / zn Oj eritque ergo w rr —

/(i — 2C' cof. Cj) -+- c 'y) et Q = - A tang. -^ 'j"/'i- tp ) co/. C{> * Exemplum 2. §. 14. .S^/V ;;/ — I ^^ 7; — 2, ideoqiie formula integranda / -14- r= P -4- g^/ — I , po//;o 2; z= i; (cof. Cp -4- / — i fin. Cp). Quia hic efl ^/ — 2, pro o) duos habebimus valores ex 7 zz: 0 ct ?' r= n oriundos, vnde Si i = o, crit w — — Cj) et 4 — o Si i ~ £, erit wriTr-Cpet^' — tt. Hinc igitur ftatim colligeimis (_ i / y' (i _ 2 c; cof. Cf) -H "j 1.') -4- o ^=1 •/ (i -f- 2 c cof. cp -(- 'y c) -{- o. c 4- J A tang. -•'■-'" * O -v coj. Cp ■ Exemplum §. i^. Sit nmic 7;/ — 2 /[n-2njcof.r6o''+Cl))-+-i'i?] + -l A tan8-._:i^/£Lii2!±^ -i/|/ [i-h 21x0^.(60"— Cp) -+-171']-!- ' Atang. r//n.f6oO— $) -f-^Atang. "■•^'"•y,, Q-<;-.-f3V[i-^2"-'Cof.(6oVC|))-+-iv]+|Atang.-^^g±fL ^^ //[ I -{- 2i'cof (6o°-Cp)-+-i;-i7] — I A tang. - '^-^""'•' '°'-^ ^ «■/3 S 3 +'!;coJ.l63°— :p) Exem* (I40 Exemplum 5. §. 17^ Sumatur minc m ~ 2, mancnte n ~ 3, i^t forMla mtegranda fit f ^^-P-i-^Y—i^ pofto s-.i;)-|-|//(n-2i;cor.<:|5-f-'y'y) et 3« ^^Atang...^^'" "^^. z z in fuperiorc diiTertatione §. Q^ + iAtang.;^ Pro altera vero formula /"- 30. et fe:iq. imienimus P — 2 A tane. ^ '"'"'I- ^ et O — - / ^ -4- g i'/m. cp -^- 1; ■» quos autem valores ob arcum circuli hic contradlum potfus ex formulis problematis generalis §. 54. et feqq. deriueirus. Erit (i4-f) === Erit enlm , pofito ibi ?« — i , ;/ — 2 , pro forma integrali: f-AlL^ Vitlor P r= ^ A tang. _!i£^ 4- 1 A tang. -Z£l^ Q— — 2// (i -H -'*- 'i' fin. (|)-4-T -i;) — 2 // (i — 2 i'fin. Cp-f-i; 1;) . Additis crgo binis P et Q per biuarium diuifis prodit pro fojma integrali /- ^^^ valor C ^ V / ( I -+- 2 -.' cof. 4) -K -y •;;) -M A tang. -^^i^4^ *^-'?-y/(i-=^cof.(p^r,.,)_|_|Atang._l^, 5^4//(x + 2i;fin.0 + -^c;)-MAtang.^.,^^ prorfus vti fupra inuenimus. §. 20. Quanquam haec folutio fitis eH: commoda ct fine multis ambngibus ad optatum finem perducit, tamcn aliam hic fubjungam , quae quidern multo ilmpiicior ct breuior, ita tamen efl: comparata, vt ejus bonitas nequidem perfpici queat, atque eatenus tantum adn-itti pofllt, quatenus ad veritatem jam ali- imde cognitam perducit. In eo autem ifla folutio a praecedente fo- lutione recedit, quod prin o denominatorem i — s" ab im,agi- nariis liberare non e(t opus; deinde etiam numerator ita tra- dari poteft , vt quaniitas v inde penitus elidatur , reque per- iriixtio quaiititatum realium pt imaginariarura vllam moram faceHat, Alia iblutio Problematis. §. 21. Cum pofito j: ~ 1; (cof. C|) -f- }/ — i fla. (p) cfla debeat r ~P4-Q/-i, \ —z ilatim - ■ '=== (I40 == ftatim confidero denoininatorls fadorem i — 2 c? cor. u -f- 1? 'y , quo ergo pofito zn o etinni ipfe denominator cuanercere de- bet; inde autem fir v — cof w h- / — i fin. o) , ct cum fit *; — 1; (cof. CP -+-]/— I fin. (p), erit ^n _ ^^n (^^,qP^ „ (J) _^ y' __ I f]i-,, „ (p^, Quare cum fit v^ ~ cof « w h- •/ — i fin. n o), hinc fiet z^ rr cof (7/ w ^- « Cf)) -+-•/— i fin. (;/ 00 -1- ;/ Cp) , qnae exprefilo cum Tnitati debcat efie aequalis , erit cof. (;; 00 -4- ;z Cp) r: I , vnde fit « 00 -f- ;; (J) = / tt , denotante /' nu- merum parem quemqunque, ficque altera pars Y-ifm.^fM-i-n^p) fponte euanefcit. Cum igitur hinc fit n u -nz i 'k — « Cp , erit w z=: — — (p, vndc ;/ diuerfi valores pro w eliciuntur. §. 2 2. Statunmus nunc fradionem partialem ex hoc fiidore oriundam efle =: ■ — , atque vt fupra vidi- I Z V COJ IjJ -i- V V ' '■ *■ mus, ftatui debet x: — ^m-i^^ I --2jrcofw -i-vv X . ^ U ^ • • ^ I — -" vnde ope aquationis v v — 1 v cof w -h i rz: o ide valor F pe- nitus a littcris z Qt. v debet liberari. Quoniam autem hinc fradionis illius tam numerator quam denominator euanefcit , fumtis differentiahbus, ob d . z'' — n z"" ~ ~ n z"" — , quando- quidem in hac reducfr.ione anguli w et Ct) vt conftantcs fpeda- n poflunt , illa fradio induet hanc formam : — - — ^ — . n z^ Quoniam igitur v — cof. oj =3 •/ — i fin. w et ^" — i , erit ifia fradio z= — i^^-^=iJ:Li- , ficque habebimus F =: — l^ s"^-^ a ;2 / - I fiu. oj.' Noua Aaa Acad. Imp. Sc. T. VII . T §.23. §. 23« Ciim nunc, fumto etiam angulo Cp variabili , fic y=iij^-f-a(p/— I, ideoque 71 x n ' Ti ' habebimus F =: — ^^z"^ d V ■/ — I fin. cd + -i- -y 5;'" a Ct) fin. (0 , fiue F zn -L s'" fin. w (c; 9 4) — dv/ — i). Nunc vcro, vti ante euoluimus poteftatem s'', liic firaili modo euoluamus poteftatem s"*, eritque z^ z=: cof. («? oj + w Cp) -i- / — I fin. (w w + vi (p), quo valore introdudo fiet F=-^fin.w(i;3cP— 5i' /— i ) [cof. (w u-t- w 0)-+- ■/— i fin.(;;;co-f-;;;0)] . Cum denique fit oo — — — Cp, erit ;;/ w -+-;;/ Cj) ~ ^?"^, quem ergo angulum fi vocemus - ^^ valor litterae F quacfitus erit F =: -^ fin. oj (i' 3 CP — 9 i; / — i) (cof. ^ -+-]/— i fin. 4*)) quem partiamur in has partes : F iz: -f- -^ 3 "j fin. 0) (fin. ^ — / — i cof. ^) -^-l-rodCp fin. w (cof. ^ + / — I fin. '^) . §. 24. Quia haec exprefilo ex parribus realibus et ima- ginariis conftat, videri pofiet partes reales lumi debere pro va- lore littcrae P, imaginarias pro Q )/ — i ; verum hiiic in cras- fiffimum errorem illaberemur, quemadmodnm ex coliacione cum fuperiore folutione manifeitum eft. Interim tamen obleruaui , ex hac ipfa formula veros valores pro P et Q elici po(fe. Scilicet pro valore ipfius P inueniendo haec tota formula ex realibus et irraginariis permixta in valorem realem transforme- turj tum enim eius feminis pro littera P valcbit. Simili mo- do pro littera Q eandem expreffionem totam in formam fim- plici- (^47) plicirer imaginariam transfimdi oportet , cuius pariter femiflis pro valore litterae Q adhiberi debcbit; fcilicet cum valor ip- fius F coefficientem liabeat 2, ex altera femifli littera P, ex altera vero littera Q formari dcbct. §. 25. Hinc ergo omiffo fi(flore formulam pro F in- ventam primo ad litteram P accomodemus, qui valor cum de- beat effe realis, ftatuatur - A 1; -t- B, et loco v valorem cof. oj -h Y — I fin. (0 fubftituendo habebimus hanc aequationem: (H-j5i'fin.co(fin.4'— 1/— I cof ^)) a /- t» \ / r \ . ^Asr r ry / r V> = Acof 6J-+-B -)- A /— I fin.W. /-i-ii'^(pfin.oj(cof.4-f-/~i Cn.4)| ^ Hinc iam partibus realibus et imaginariis feorfim aequatis pri- mo ex imaginariis elicitur: A fin. cj — ^ fin. w ( — 3 v cof. ^ -j- 1; 3 C|) fin. ^) , vnde fit A =: — s (^ "^ cof. ^ — 17 a 0 fin. ^). Hic iam valor in aequalitate partium realium fubftitutus dabit ^^fin.o) (a^ fin.^-t-^ 9 Cp cof .^; - ^ ^-^ (a -y cof.^-i^ acp fm.^)-i-B vnde colligitur ^ — Id v co(. {^ ~ hi) ^ kv acpfin. ([v fin. < — fin. (<^ — (o)] , ficque ex fadore denominatoris i — ^-ucof oj-)-'z;i; habebimus P — 1 r d-v [V cof. ^ — cof. {^ — 0}) — vd(p [vjin.^ — Jin. (^ — co)] ^ " "^ I — 2 V coj. U -i- V V §. 26. Pro littera Q altera femifils litterae F aequetur Iniic quantitati fimpiiciter imaginariae: (C^y-j-D))/ — i, vn- de exorietur irta aequatio: T 2 -*- (148) === (-(-^'ydCpfin. w(cor.4-4-y — I fin.^;! *^ * ^ -^» Hinc ex p.irtibus realibus concluditur C =r — 1 ( 9 -y fin. ^ -i- i; a Cp cof. O , quo valore fubftituto ex partibus imaginariis haec emerget ae- quatio : —l fiu. u (d V cof. 4 — 'y a 4) fin. <) = - ^^"^- " (d -v fin. ^ -^ -y 3 (^ cof.^)-4-D , vnde eruitur D — ^ 9 c; fin. « — oj) + ^ -y 5 ^ cof. (< — w) . Hinc ergo pro littera Q habemus: F rr — ,i 5 -y [-.' fin. ^ — fin. (^ — co)] — ^-y 9(p[-"jcof. ^ — cof. (^ — oj)] , vnde valor ipfius Q ex fadore i — 2 v cof. ui -+■ v v oriundus erit: f) I fdv [trfin. ^ — Jin. | I 2 1; coj. U -h V V Q —. I r 3 V [vjm.^--jm. (f — (o) ] -t- T 3 $ [x> c3/. ^ — coj. (f — u H §. 27. Quoniam haec fohitio tam egregie cum prae- cedente conuenit , id profcclo cafui fortuito tribui nequit; quam ob rem mihi quidem hacc folutio prorfus finguhiris haud parum in receffu habere videtur, vnde eam Ceon^etris perfcru- tandam proponere non dubito, vt eius foliditatem ex firmis principiis deriuare concntur. DE (i4p) == DE PROIECTIONE SPHAEROIDIS ELLIPTICAE GEOGRAPHICA. Didertatio Tertia. PROIECTIO PARVAE SVPERFICIEI TELLVRIS. Aiiclore F. T. S CHV BERT. Comient. exhib. d. 13 ^ug. 1789- I §. I. nter proiecliones, qvae renfu ftrido fic appellari poflfiint , ad ufum geographicum nulla magis adaptata ell: proiedione (lereo- graphica, de qva in Dilfertatione prima ct feciinda egimus, neqve ulla a!ia datur delineandi methodus , qvae in exhibendo inte- gro hemifphaeriii commodius pofTet in ufum vocari. Figura- rum enim fimilitudo et conftans dirtantiarum menfura minus qvam in cereris proieiflionibus hic perturbatur. Sin autem a ilddo vocis proieciiouis fignificatu paululum recedere iiceat , plures aliae dantur methodi mappas conftruendi, qvibus finguli fines Geo^raphine multo accuratius impetrari polTunt. Qvos qvidem inter fines duo primarii funt , diftantiarum arearumqve una conllans menlura , qvi cum tertio , figurarum fcilicet ia T 3 tel- (^50) tcllurc ct mappa fimilitudine, commode poffunt coniungi. Op- time triplici huic fini fiuisfieri pot>.ft, fi pars telluris proiicien- da tam exi^iua ell, ut tanqvam planum vel fiiltem planum in- curvacum eam confiderare liceat. Eiusmodi proiediones in praxi maximum liabere ufum conftat , unde de iis qvaedara adhuc diflerere conllituimus, initiumqve faciemus a cafu ultimo. §. 2. In tota hacce matcria omnia eo redeunt, ut iu- fta determinetur ratio , qvae in tellure elliptica inter grndus longitudinis ac latitudinis deprehenditur, eademqve in proiedio- ne qvantum fieri poffit confervetur. Gradus qvidem longitudi- ris fine ambagibus inveniri pofTunt , fiq\idem funt in ratione radiorum Parallelorum, qvi in tabula noftra partibus radii Ae- qvatoris expreHi continenrur fub littera j. Q\oad gradus au- Tab. T. tem latitudinis , vulgo fi)let (Fig. 3.) arcus Meridiani BM vel P M ad qvemcunqve latitudinis gradum per integrationem qvaeri , unde fimplice fubtradione habentur finguli iatitudinis gradus. Qvem in finem coordinatae x et y cuicunqve ipfius |3 valori re(ponden'es antea funt determinandae , qvae qvidem methodus non videtur brevidlma. Nonnunq\am feqvens ad- Jiiberi poffet mcthodus , cuius perfeaj, et ^\^.<^ds; ac fi valor elemcn- r ' Jm [3 ' coj [i torum aflumtus fuerit fatis parvus, utramqve difFcrentiam, ncm- pe (^51) pc ^ — d s et d s — ^^ * , fore aeqvalem : qvare fi e. gr. 3 / fit arciis uniiis gradus, vel adhuc minor, eius loco tuto fumi poHe medium arithmeticum inter -J^-^ et -l^^ . Haecce me- thodus non ufu carere videtur , ubi noa integer arcus B M , fed immediate certi qvidam latitudinis gradus defiderantur . Cum itaqve fit (Difl. I. §. 3.) in partibus radii a, 1, — "^ et X z=. '''"gP •^ l/t m^ -)- rang^ ,3) ' mVl.m,^-i-tang^^) : — : , vel X ~ ■^^"''gP • m 1 U -t-w.'' coi-' P) ' mm, ' ponatur •^ y [m^ -i- tang" (P -+- i°)] ' m >/ [i + m^ coi* ((3 -t- i° )] ' tum.qve pofito dy—y — j'\ et d x = x^ — x, invenietur ar- cus unius gradus latitudinis fub latitudine (3 , fi capiatur me- dium ariihmeticum inter ^-j^ et %^p^' Veluti pofito (3 = 45% fit Y(nf -+- tang"- ^) — i, 417305 , proinde J = o, 708*545, et jr — o, 702495. Eft porro /(;;r+ tang' 46°) — i, 4425934; ideoqve j^— 0,696223, jf'' — o, 714904J jt/p = ^' 01756736 . . . i ^p = o, 01726472 . . . ; ct medium arithmeticum —0,01741604...; qvod parum diflfert a valore, qvi in tabulae columna /> reperitur =0,017417. Licet haec methodus in cafibus fpecialibus commodo non ca- reat, tamen in tabulis computandis nimis eft prohxa , etiamfi per evolutionem qvantitatis radicaiis, fi poteftates ipfius (w^— i) altiores negligantur, longe fimph'cior reddatur. Qvod fi con- cedatur, aiia {eit mihi obtulit methodus, qvae integrando ar» cum — (I50 ciim s per folam latitudinem (3 expreffum praebet, qvam, ob cius fimpjMcitatem , in iifu geographico , ubi non fumma opus cft exacftitudine, merito iudico anieferendam. §.3. Si nempe fupra reperta expreflio ipfius / diffe- rentietur , erit ^ — ;;; tang (3 3 (3 dj =3 -J , col - jj )/ (^«' -i- tang' p/ ideoqve ,—-dy w ?) ,3 w 5 (3 ds:=:i^=: fin |3 coP|3 ]/(^m^H-tat)g^^y ]/(;;/ cof-|3-^Iiu-|3/ ;;;5(3 ;;;5(3 r ^ " X r,^-il i-Hi(;;r — i)cof'|3 [i-f-(;;;-— i)cof*p] ^ ^ ^ negleclis nempe poteftatibus ipfius (;;;' — i) alfioribus. Qvo nunc haec expre(rio integrationem admittat , tribuatur eidem haec forma: ds = m d (3 I -h i ( w' — I ) — i (^«' — i; fin^ (3 ct breuitatis caufa ponatur I 4- i ( w- I ) — 5 ^, 1 (»/^ I ) — £ f, Kt fiat 3 j — ,-, "^^''^. „ , et Statuatur 3(3 , y + £jjni3)( y — £j?>i|3 ) 2 5"^-' 6' . £jj;i^ -' 6 — £jiw(3' s — m r ^P ■ =: ^ r /"—il— -f- /•__iiL„ Y. ^'^ — 9c', et j-^iL_ n: D .7, ut fit s = ^-L+l} KTTjlil^ "' 5 — £j.U|i ' 25" Pofito iam fin(3z=L^, ut fit cofj3=_LL_, fiet ('53) fiet integrando , ob 5 > e , ; Arc. cot. t V v y — ? Y{SS — £ £ ) Eft autem 5^ — e e — i , et unde habemus V ~ '2. Arc. cot. I -hjm p Eodem prorfus modo repericur «nzaArc. cot.^^_^^^^p-, ideoqve v-+-«=2Arc.cot.:p^jf-=— 2Arc.tang.(dC0t^). Hinc tandem habemus j — — |i Arc. tang. ( J cot (3) -i- Conft. Conftans adiicienda dependet a puncto, ubi arcus i inci- pit. Qvodfi ab Aeqvatorc incipiamus , formula noftra cafu (3 = 0 evanefcere debet , unde fit Conftans =-i--|^90° vel ^Tt. Sin autem arcus a polo computetur, formula cafu prpo' O 0 evanefcere debet , unde ob cot (3 izi o , etiara Conftans rz: o. Eft itaqve arcus PMr— ^^ .Arc.tang.[cot|3/(i+i(;;r-i))]. y [i-+-i(//r— i;] Arcus autem BMr- ^ ['^-Arc.tang.(cotp/(n-i(»/=-i)))] ; y [ I -+- i ( wf — I j ] qvae autem exprefllo non vera eft , nifi ellipfeos eccentrici- tas tam exigua fit ac in cafu qvem hic contemplamur. Se- qveretur e noftra formula , integrum qvadrantem P B effe Noua A^a Acad. Imp, Sc, T. Vil, V = ^ __ feu eum effe ad qvadrantem circuli, Cuius radius — « , in ratione rz: ;;/ : ■/ ^ "'°^~ ' , qvae itaqve proportio afTumi poteft, fi eliipfis qvam mininne a circulo diP- ferat. Ad mappas conikuendas formula ilta fatis accurata eft: P M =r ^ Arc. tang. (^ cot |3) , in partibus radii a, ubi eft ;;/- i, 0043655 j 5= 1,0055431, et ^r 0,9978377- §. 4. Confideremus iam parvam telluris partem, quae, fi qvoqve fecundum lonjitudinem pnrum exrendererur , ceii phinum fpectari ponTet, fin autem inre§;ram zonam exiguae la- titudinis conrinere debeat , opri.ne confiderari po-ierit ceu fu- perficies conica, qvae deinde in planum evoluta noftram dabit proiedionem, ficqve cum figurarum fnnilitiido, tiim verae lo- corum dirtantiae propemodum retinentur. Sit itaqve (Fig. 4.) pars proiiricnda A B <^ rt-, inter Meridianos A «, B Z», et Faral- lelos A B, « ^, comprehenfii. Parallelus per medium provin- ciae tranfiens fit a j:3, cuius latitudo rz: (3. Rcdeamus nunc ad Fig. 3. ubi fupponitur puncflnm M in Parallelo nofiro a (3 , adeoqve provincia proiicienda confideratur ut fiipcficies coni, cuius vertcx in concurfu T tangentis cum axe. Efl: autemj M T ziz -4^^ , N T = -^/-^ := __2_> , et M T N rii /3, confeqventer M T 1= yyjec(i_ ^,^- ^^ fubl^ituatur ^ m V [a a — y y) V V ^'°' . fiet M T macoje [3 jftae tangentes vel lineae M T in tabula feqvente reperiuntur Tig. 4. fub lirera t. Radio itaqve TM modo reperto defcribatur circulus a [3 , qvi repraefentat Parallelum medium regionis proiiciendae. Nunc praeprimis gradus latitudinis funt deter- minandi. Si nempe in mappa uni gradui Aeqvatoris vel qvin- de- declm milliaribiis geographicis tribuere velimus qvantitatemry, et arcus circuli radio iiio aeqvalis contineat v gradus , ut fit »/— 57,2958 .... , erit radius Aeqvatoris in mappa -a-vy^ atqve fieri oportet M T — „ ,, "!;'^\ — -^^ . lam in tabula qvaeratur qvantitas unius gradus latitudinis fub latitudine p et P — 1° , ubi qvidem numeri in tabula rcperti per df — vy multiplicandi funt , tumqve fiat M N priori et M n pofteriori aeqvalis , atqve per puncfla N, w, e centro T defcribantur cir- culi j eodemqve modo ceteri Paralleli determinantur. Ad Meridianos qvod attinet , qvacratur in tabula unus gradus longitudinis fub latitudine (3, cui in 1/ y dudo aequalis fiat M m ~ ;;/ p., etc. atqve ducantur Meridiani T /«, T fj., etc. Cum gradus Parallelorum fint in ratione radiorum, radius au- tem Paralleli a j3 in Sphaeroide fit ^ 1/ 711.2 _4_ i rino 2 P,\ 7 ny y (m^ H-ifmg^ P) " V y'(m- -l-iar!g= pl Hinc feqvitur, angulum M T ;;; effe — ]^ — ^^ in partibus radii, five in gradibus M T ;;; ~ fin (3 ; unde perfpicitur, an- gulos ad centrum T femper in r.i'ione finuum miinores eflfe iis, q\i per ifl:os repraefentantur. E. gr. pofito [3 zz: 30", angulus, qvi unum gradum longitudinis repraefentat, fit M T w n:: 30'', Ceterum patet, arcus N v ceterorumqve Parallelorum non exade fore eiusdem qvantitatis ac in Sphaeroide ; quae vero differentia haud fenfibilis erit , modo mappa fecundum laritudinem parum extendatur , cum Parallelo medio iufla tri"? buta fit qvantitas. Proieclio aream Sphaeroidis accurate expriinens. §. 5. Sit (Fig. 5.) APC qvadians Sphaeroidis , AC Aeqvator, P B Meridianus per puncium qvodcunqve M, cuius V 2 lati- t=== (156) latitndo = ^, tranfiens, et P D Meridianiis priori infinite pro- pinqvus. Per pundiim M ponarur Parallelus MN et w« ei proximus , eritqve reflangulum M n elementum areae Sphae- roidis — M N. M m. Eft autem M N elementum circuii , cuius radius y — - — ^ "" ° ^ ,^ , et M m elementum ellipfeos P B fub latitudine (3. Qvapropter fi longitudo pundi M appelletur y, erit B D ~ a d y ^ M N = . mady ^ rur mad^ rS «J > feil M N ~ _-J!L£i^LPj!J}L_ et M ;,7 — "^ " "* 3 , . V{m' cop (3 -+-/in» p) ' im» coj^ [3 -+- /ir;^ pp » unde habetur elementum areae M « Zn "i' g' cq/ 8 a (3 c^ 7 m' a' co/P 3(3 3 v (m= coj-= p^/m* (3)»^ [m^ — (m» — i)jju^ (3]»" ' ac fi ponatur 7u'^ — i zz: «", erit im -t- n/m (3 )^ (m — Ti/zn (3)> 4 '- (m-hnjm[3)2 (m—n.Jin^f m ( m -f- 7i/m j3 ) iTrTrir^^^nT^iFi ' Qvo nunc area proiedionis idem habeat difFerentiale , patet primo , longitudinem non efle oportere fundionem latitudinis , qvoniam alioqvin elementum longitudinis feu Paralleli conti- neret 3(3et5y, ideoqvc elementum areae formam ?(3'-i-d(3dy. Hinc feqvirur, longitudinem in proiedione efTc debere zzz Ay, denotante A qvantitatem qvamcunqve conftantem. Poinde om- nes gradus longitudinis fub qvavis latitudinc fiunt aeqvales , ■unde Paralleli non pofliint non effc redac parallelae , ac Me- ridiani redae iis normales aut faltem inter fe parallelae ; ceu viderc eft in Fig. 6. Secundo latitudines ita capi de- bent , ut earum differcntiale fit proportionale elemento ^ • Eft enim (Fig. 6.) M^ N' = A 3 y, et M' »/ — j^-j; , unde, qvia ex hypothefi effc oportet M^«^— C. M« (Fig. 5.), ubi €ft C conftans arbitfaria , neceffe eft ut fit M^ m^— ^ . ^l^ , Cui (157) Cul fini fatisfieret, fi integratione tantum partlculari valor in- veniretur aeqvationi ifti differentiali fatisfaciens. At cum in- tegratio completa liic nuUam moveat difficultaiem , hanc tan- tummodo evolvamus. §. 6. Integrando nempe fit (§. 5.) f Mn-^ r, -' .,-+- - — V-?r,-+-— log.(;«-H«fin a) — ^- Iog.(;;/-«fini3)l 2 ^ m^ — n^/m^ j3 mn & ' m—njin^-'' Huic itaqve qvantitati parenthefi inchifae iatitudines fieri de- bent proportionales. Ceterum cum iam fatis obviae fint ta- bulae logarithmorum naturalium , non opus efl: , logarithmos naturales formulae noftrae in logarithmos Briggianos converte- re. Si tamen logarithmos vulgares introducere veiimus, qvia log. nat. z - (2,302585 . . .) X log. brigg. «, et m n - 0,0939638222 . . j latitudo W Mf in proiedione fic exprimi poteft : Fig. 6. B^M/=C[,^^,.J4^p+(i2,2525085)xlog.brigg.^-;^^ ubi eft »2 z=: 1,0043568 ... J «=: 0,0935553 ... j w^m, 00875269 . . . ; «"11=0,00875269 . . . ; ct G conftans ab arbitrio noftro pendens, qvae itaqve fic po- terit determinari , ut figurae delineatae cum fuperficie teiluris fimiHtudo, qvantum fieri poflit, confervetur. §. 7. Si nempe pundla mappae extrema qvoad longi- tudinem fint A% B% qvoad latitudinem autem B% M' , et A''B'=r'y'', latitudo pundi B^ = j3, pundi M^ — X ,• in tabula qvaeratur arcus Meridiani a latitudine p ad latitudinem X {t^G cxtendens , et arcus Paralleli y graduum fub latitudine p. , fi V 3 [^^ ('58) y. ~ ?:±^ , Prior lit repertus zzip — ^, alter =r vi y ; atqve ex noftra formiihi (§. 6,) latitudines piindorum M'' et B^ in proiedione rcpcrtne fint C. § ct C. e. Qvibus praefuppofitis , cum fit A'B'z=:A.y (§. 5.), fiat /> — ^:viy :=C(.3 — e) :A.y, unde habetur - rr: -^ ~ ^ ; in qva aeqvatione eft -0 numerus tabulae exprimens unum gradum longitudinis fub latitudine __ ^_±J:- ; S — £ invenitur, fi in formula noilra integrali (§. 6.) loco p fnbftituantur fucceffive p et X, atqve prior valor a po- fleriore iubcrahatur ,• p — q babctur , fi in tabula qvaeratur ar- cus Meridiani intcr Aeqvatorcm vel Pohim et latitudinem p , et deinde intcr idem punclum ct latitudinem X interceptus , tum vero a maiorc fubrrahatur minor. Praeterca patet , hic tantum qvaeri rationcm ^- , qvoniam A eft unitas affumta in proiedione (§. 5.) , aeqvaiis uni gradui Aeqvatoris feu qvin- decim miUiaribus geographicis. Area deniqve mappae pofea per C eft dividenda , qvo refultet area telluris per iftam re- praefentata. Si figura tclkiris ftatuatur fphacrica , in aeqvatione in- tegrali fit w/=i,«~o, proinde formula noftra dat: BM-C.fin.j3. §. 8- Conftans menfura , qva locorum dijlantiae per totam mappae extenfionem poftent menfurari , res eft maximi in ufu gcographico momenti. Hypothefi fphacricae telhiris figurae aOiimta, huic fini omnium maxim.e fuisfacere proiedio- nem Dcliilianaw, conftatj neqvc pro hypothcfi elliptica mehor poterit excogitari. Unde , qvomodo ea ad figuram ellipticam fit applicanda, paucis adhuc verbis exponamus. Sit itaqve (Fig. 4.) T n Mcridianus per medium mappae tranficns , qvo in fuos gradus ope tabulae divifo prorfus ut fupra , omnia determinata erunt punda , per qvae Paralleli tranlcunt , qvi uempe funt circuli concentrici circA centrum T, in qvo om- nes nes Meridiani ceu Hneae recflae fe k\terCecint ,* qvod kaqre pundum praeprimis efl determinandum. Qvem in finfrm bini affumanrur Paralleli NB et nb^ a medio et extremis mappae aeqve diltantes , hisqve eadem ad Meridianos tribuatur ratio , qvae in Sphaeroide elliptica obtinet. Qvare efTe debet N v normalis ad Meridianum T n , et qvidem aeqvalis uni gradui longitudinis fub latitudine "K^ n r autem aeqvalis uni gradui longitudinis fub latitudiue j3 , fi nempe X et p fjut latitudines Parallelorum NB et n b. Repertus itaqve fit in tabula arcus Meridiani ab Aeqvatore usqve ad latitudinem >.—p^ ad lati- tudinem |3 autem — ^, unus gradus longitudinis fub latitudine X zz: £, fub latitudine (l z=z^^ et qvantitas uni gradui Aeqvato- ris in mappa tributa ^yi atqve pofito v — 57,2957795 .. , efle oportet N » n: C/» — ^) t"y, « r — J k y, N V ~ e yy. Unde habemus T«:TNrKr:Nv', etT«-TN:TN = «r-Ny:Nv; ideoqve 'T^ •M' N V- ^^ II i M y {p — q) n r — JS y 6 — e ' ^. ct angulus =^--" N T l^ ~ — — • " r— y V 5" — g TN K n p — .j ' Ad mappam totius imperii RufTici conftruendam ftatui poteft (3 zn 53% X — 65°, unde tabula praebet p =31,129499- ^ — 0,954780 j 5 ~ 0,0100402; e zz: 0,00740253 • P — ^ = o^ji^+V^P 5.5 — e — 0,002537^7. Hinc invenitur angulus N T v, qvi uni gradui longitudinis re- fpondet , := 0,0150957 — 51^54^% et T N — 28,09442. y. Diftan* = (i — 16 ^\ §. 9. Nonnulla adhuc mihi dicenda funt de tnbula annexa : qvac qvo clarius intelligantur , recuriendum erit ad Fig. 3. Tabula continet feptendecim columnus, qvibus literae fuperfcriptae idem denotant ac in ipfa Di 'brtarione. Ad fin- gulos latitudinis gradus , qvos columna prinra (j3) refert , re- periuntur in columna fecunda (pO ar.guiu^ ECM, in tertia (;r), qvarta (j), qvinta (s) et fexta (0 h^.eae CN,NM, CM et M T ; in feptima (yi) gradus longituoinis , in ocflava (p) gradus latitudinis , et in nona (s) arcus Mcridiani ab Aeqva- tore ad Panillclum latitudinis ^. Omnes hae lineae in parti- bus radii Aeqvatoris a z=z 1 exprimuntur , fecundum rationem axium theoriae Newtonianae , ubi nempc m — ii| . Cum ve- ro plures Allronomi feqvantur rationem, qvam in calculo fuo adhibuit de la Caille^ h. e. mzrzifg-, non inutile duxi, cadem elementa ex hac qvoqve hypothefi computare. Rcperiuntur ea in columnis , qvae feqvuntur a decima usqve ad decim.am feptimam. In his enim fub titulo corre&iGnis continetur dif* ferentia, qv^ numeri prioruai coiumnarum augendi auc minu- endi (I(JI) cndi fiint (qvod figna h^ coliimnae fuperrcripta indlcant), qvo niimeri rationis 230 : 229 reducantur ad numeros rationi 200 : 199 refpondentes. Totius fere calculi fundamentum mihi fuit radius Paralleli j. Formulis fcilicet in tabuia haccc computanda ufus fum feqventibus perqvam fimplicibus , qva- rum veritas cuivis figuram imam intuenti facile patebit : ^ = ^ ' ^ -ji^f ' ^ - 0,0174.53./. Arcum s fecundum formulam L^^-tnberti computavi : ^- =z w (i — — tane'» X ^^^^ tane^ X — cet.) CO/ A ^ 4-4 ^ 4. 4- 8- 8 "^ '' H- fin 2 oj (iii tang- X -f- ^-^ tang* X -f- cet.) -f- i fin 4 w (3-J tang'* X -h ^^^- tane^ X -+- cet.) ^ ^4. 8 ^ 4- 4. ?. 12 •^ ■' -+- g fin 6 w (^^-^ tang' X -h cet.) -+- etc. in qva efl: co — 90° — |3, et angulus X reperitur per aeqvatio- nem : fin" X zz; 5 (i — -^), qvi angulus cum admodum parvus inveniatur ( circiter 4.° ) , termini valde convergunt. Elemen- tum p ex arcu s ope fimplicis fubtradionis invenitur. NouaA^aAfad.Imp.Sc,T.FlI. X OB- OBSERVATIONES VARIAE CIRCA INTEGRATIONEM AEGIVATIONVM HOMOGENEARVM RATIONALIVM SINE VARIABILIVM SEPARATIONE PERFICIENDAM. Audore NICOLAO FFSS. Conuent. exhib. die ii ¥ehr. 1790. §• I. X eruoluenti nupcr Tomum primum vctcrum noftrac Acadc- miae Commcntariorum pro Anno i7-<5, in oculos mihi inci- debat DifTertatio celeberrimi loliannis Bernoulli , infciipta: Dc integrationibus acquationim (lifercntialium , vbi traditur methodi alicuius fpccimen integrandi fine praeuia feparatione Indetermina- tarum. Sufpicata nffinitate argumenti cum quodam alio, in quo tum temporis occupatus eram , permotus hanc Diflertaiioncm auide, nec fine frudu, licet fpei irritus, perlegi. §. 2. IVIethodus enim , de qua in hac commicntationc fermo eft , tantum fpedat ad nequationes homogencas rationa- les, cuiuscunque ordinis, veluii; I. (153) I. (ax-i-bj)dx-i-(^cx-+-dj)dj zzzo^ II. (ax^-^-lfxj-hcj^^dx-i-^dx^^-i-exj-i-fj^^dyznQ^ III. (a x^-hb x-j-hc xj--i-dj^) d x-^(^e x^-i-fx"'j-i-g xj'-i~hj")dj-o^ et ita porro , pro qimriim integratione infignis ille fui tempo- ris Geometra feqiientem regulam exiiibet. Integrale , inquit , femper talem habcbit formam: (A:-4-aj-7(-x--H(3j7(j^-f-yjy(A--f-dj)^etc. =: C, affumendo fcilicet huiusmodi fadoriim binomialium duo pro aequatione homogenea primi ordinis , tres pro ea fecundi or- dinis, et ita porro. Vnde differentiando prodibit aequatio eius- dem ordinis et tot terminorum quot propofita, adeo \t tot in- fcitui polhnt comparationes inter vtriusque terminorum coeffi- cientes, quae determinabunt affumtos cocfficientes et exponen- tes, ipfimque adeo aequationcm finitam quae defideratur. §. 3. Qui regulam hanc pro integratione aequatio- num homogenearum rationalium , loco citato fine demonftra- tione exhibitam, cum regula Euleriana comparare voluerit, is quidem , quomodo ambne inter fe cohaereant haud difficulrer intelliget; verum quomodo vna et altera harum regularum ex methodo generah, ab llluftri quondam Eulero in Calculo In- tegrali pro omni aequatione homogenea tradita, deriuari queat, non tam facile perfpicitur. Cum igitur inter legendum variae luper inftituenda hac comparatione et fiicihori regulae gene- ralis applicatione fubortae effent obferuationes , non omnino inutile fore duxi, fi eas hic breuiter expofucro. §. 4.. Incipiam hunc in finem a principiis generali- bus pro integratione huiusmodi aequationum flabilitis , qune , "ce Ledori ea aliunde repetere opus fit , ob oculos pofuiffe X z iuua- == (1^4) iuuabit. Sit igitur V d x -h Q_dj = o aequatio homogenea quaecunque , vbi fcilicet litterae P et Q denotent fundiones honogeneas ;; dimenfionum ipfarum .v et j', atque conllat, fi haec aequatio diuidatur per P x H- Qj , eam euadere per fe integrabilcm , hoc eft , per fe integrabilem fore acquationem Kdx-i-Sdyzno, exiftente R = ^-^ et S =z -S-—. . C. 5. Coenito autcm hoc multiplicatore - — '—— , ad ipfum aequationis homogeneae P D .v -h Q 3 y iz: o integrale inuenicndum fequentem Eulerus in Inftiturionibus Calculi inte- gralis Tomo 1. pag. 33S. regulam gencralillimam dedit: „ln- „tcgretur formula /„ ^ "^^ — , fpedando j' \t conftantem , ac ,,determinetur certa ratione, vt euanefcat, verbi gratia, pofito ..xzzzf. Tum, pofito breuitatis caufla - — ?— — — R , funia- ,,tur valor (^), et eadem lege quaeratur integrale/5jr(^-^) , ,, fpedando iterum y vt conftantem; tum erit -_S=_ — /5 .v ( ^^ ) „fundio ipfius j tantum , feu j-_L_ _/a jr (^-^) == Y, at- „que hinc erit integrale quaefitum f-^JJL— -+fY dy — C. §. 5. Videamus nunc quomodo huius regulae ope in- tegratio adualis inftitui, notaque regula pro aequationibus ho- mogeneis rationalibus inde deriuari poffit. Hunc in finem no- tetur diuiforcm P x -h Q j efle formam n -\~ i dimenfionum , ita vt in totidcm fadores fimplices binomiales refolui et fradio V dx per partes integrari queat , ponendo V X -r- i) y "^ '1 — R ~ " .. H- -4— -4- —V- H- etc. T x-i- Q^y X + % y x ■+- ^ y x -h H y vnde igitur integrando , habita fola quantitate x pro variabili, erit f-ll£— = al(x-^-^l,y^-^(3l(x-^-^y)-hyl(x-^^j}-^etc.-hC. Hic auicm, fi fecundam regnlam fupra expofitam, integrale ita ca- capiatur, vt euanefciu pofito x—f^ habebitur §. 7. Tum autem erit ex variabilitate ipfins j: fi^\ — — ct a {ij5 __yj. gf- ^^ y^ ix + %y',^ (X-+-SB3')» i x -h d y ]^ vbi fi conftans D ita determinetur, vt integrale euanefcat po- fito jf — /, erit Hinc fi Ilatuatur — ^— = ^' H- . P^ + ^' -h etc. Pjc4-(^^ j:-(-ai:> xH-55jy x-H(£:y erit fundio illa folius j', littera Y indicata Y — aUf-hiiy^ — ^^^Hif — x) 1 PM/-^-^ :yi— 3?8f/ — X) _j_ gj.^^ (y-<-3l7-tx-r2l j) ' [f~h^yi{x + ^y) §. 8. Haec quidem exprefTio adhuc continet variabi- iem jr, quae autem eliminabitur ftatuendo a^3i:a9(, |3^~|3^, y''zz:'y€, et ita porro, quo fado Y ita exprimetur: Y = "^ -I- ^-^ - H- ^^ -f- etc. vnde porro deducitur /YBj/ = a/(/-4-3(O-+-(3^(/-+-58)0-+-v/(/+^J')-^ctc. Cum igitur vi regulae §. 5. expofitae fit integrnle quaefitum erit a/(j:-F5i)')-f-(3/(;c-H5Bj')-+-y/(jf-^- S — —J^ -4- —P^- -j- ^ + etc. cxiftente a' = ct % (3' = p ^, v" == y €, etc. ob 2r=:/R3x liabebimus Z = a / (jc ^- 5J y) -f- p / (a: -+- 35 j) -H V / (x H- e 7) H- etc. hincque differentiando C^) = — ^— -+- ^'- 4- ^^ + etc. n= S. §. 12. Cum igitur fit (i|) — S, erit ^ = 0) con- fequenter Y quantiras conftans, quam ponamus YrirC, ita vt habeamus V = Z 4- C. At vero ob Rclx -4-5 3^ = 3^ = 0, erit ctiam V quantitas conftans , ideoque ert Z = D. Mani- feftum igitur ell integrale aequationis homogeneae rationalis P 5 A- H- Q dj - c, et quidem complefum, fore /^^A^ = D , integrali ita fumto, vt tantum variabilitatis iplius x ratio ha- beatur. §. 13. Quod fi igitur propofita fuerit aequatio homo- genea rationalis cuiuscunque ordinis, veluti ordinis «, ea vti- que fine praeuia Indeterminatarum feparatione fequenti m.odo integrari poterit. Ponatur in aequatione propofita P 5 .v -f- Q 3 j = o , X et j/ loco 3 x et ^y , quo fadto nafcitur forma n -I- I dim.en^onum P.v-f-QjF, per quam fi primus aequatio- nis terminus, differentiali 3 x affedus, diuidatur et fraclio -p /..^, g-y per partes integretur , habita tantum variabilitatis ipfius x ri- tioiie, prodibit integraie completum aequationis propofitae. §. 14. (i58) = §. 14. Cum igitur inuenerimus /^,j;i^=:a/(x-4-?U')-^(3/Gv-+-23j')+v/(^ + Q:/) + etc. ob/p-^^=:D (§.12.) habebimus a / ( j*r -+- 51 7 ) -+- p / ( -v -f- ^ j ) H- y / (.V -^ e ; • ) -^- e t c . = / A ita \t , fi ad numeros regrediamur , fequens prodeat aequatio intcgralis completa : (a- -f- ^jT (x H- 33 yf (a- 4- G j)'»' etc. = A. Ex huius enim aequationis differcntiatione nafcitur aequatio differentialis propofita P 3 at -f- Q dj :=: o. Quod coefficien- tcs 51, ?5, £, etc. , vt et exponentes a, (3, y, etc. attinet , cos quouis cafu oblato, conceffa fcilicet aequationum algebrai- carum refolutione, determinare licebit. §. 15. Aequatio integralis hoc modo inuenta ea ipfa eft, quam 111. Bernoulli affumferat, quamque quia nulla demon- ftratione indruxit , a pofteriori , vt videtur, et quafi diuinando adeptus eft. Quomodo nunc tam exponentes quam coi'fficien- tcs faciilime definiri queant, in fequentibus fufius explicabimus. Integratio aequationis homogeneae i^ ordinis d X {a X -i- bj) -{- dj (c x -{- ^ r) — O' §. 1(5. Secundum regulam igitur fupra (§. 13.) expo- litam loco dx et dj ponendum eft x et j, atque ob V ~ a X -\- by et (^ — c x ~\- d y habebimus denominatorem V X -\- Q^y :=. a X X -\- {b ~\~ e) X y ^ dyy^ itn Vt fradio noftra fit V i X {ax -^h y^^ix Quod (I(?p) Quod fi igitur ftatuatur a -^ " + ftadm manifeftum efl: fore 2i -f- 5S — ^-±-^ , a ' a.-\-^~ I , vnde pro 21, 5S, a, (3, fequentes valores oriuntur: ■! a ' 5» & --t- c ^^ T^ M & -^ c )" — 4 a d ] ■^ a a ' P== & - g 91 6 — cIiI-/[(fc-t-cP — 4gd] (>5 — 'JJ) -i'li6 r-c)^— 4adj ' a«5 — 6 c — 6 Ih i^ [ ( ^ -*■ c)' — 4 a d ] alS5-31) 2/Hfc-c)^ — 4ad] His ita determinatis aequatio integralis, ex cuius differentiatio- ne propofita aequatio homogenea 'bx{ax-\-by^-\-'by(^Cx-\-dy^ — o^ nafcitur, ira fe habebit: (Jf 4- %yj X (x -\- ^yf — A. §. 17. Ad hoc oftendendum fumantur huius aequatio- nis logarithmi, eritque al (x-h^ y)-h(^I (x-\-?dy)=zl A, . atque fumtis difTierentiahbus prodit x + n y •" x-t-?& y • Hinc autem, fublatis denominatoribus, fequens nafcitur aequa* tio differentialis: Noua Aaa Atad, Imp. Sc. T. VIL Y -♦-« (170) = quae cuin propofita per a diiiifa xdx-h^ydx-{-^xdy-h-^jdj=:zo, coinparata praebct has determinationes : I. a -I- (3 := I , ' ■ 11. a 23 4-^21 = A, III. a2i + [3?5=-^, IV. Ca-f-p)5I^=z4-, cx quibus pro a, ^, 5(, 58 iidem plane valores deducuntur , quos Aipra §. i6. inuenimus. §. i8. Nunc quoque, ob numerum fadorum denomi- natoris determinatum, facilius perfpicietur proprietas illa aequa- tionum homogenearum rationalium fupra §. ii. memorata , quod fit (ii) — S. Cum enim noflro cafu fiat d y ■ 2 rr a / (jr -I- 50') -f- (3 / (.v -f- Sjr) , erit ^ a y x-k-% y ^^ 5c -t- 55 :> ' hoc eft aj __ (-X JM-t-P J8)x-f-(a-l-|3 )a ^ d jy a:\-c -I- ( 3{ -f- 9D ) X > -I- '31 35 j :>- At vero fubftitutis loco a9l-»-p^3, ^in-S, ncc non (a-f-(i)2(33 valoribus modo antc inuentis , fupra et infra per a multipli- cando nancifciraur: / a^ \ c x-\- A y __ c ^ o y' (lxx-^\,h-^c]xy-\-(Xjy ' Vt fupra in genere inuenimus. Inte- == (i70 == Integratio Aequationis homogeneae 2^ ordinis §. 19. Si hic loco dx et dy fcribatur x et jk, denc» minator aequationem fponte integrabilem reddens erit a x' -{- (b -{- d) x^j -1- (^ 'h O «^y^ -r-fy\ ita Yt nunc habeamus V 3 X axx-hlxy + cyy ^ 'y x-f-o^y ax' -i-{b-hd]x^ y -i- [c -h e', x y +j y^ ' Statuatur iam ifta fradio: axx-i-bxy-i-cyy — « 1 W ax'-t-{b-i- d)x^ y-^{c-he)x y"" H-J y^ x H- % y denotante R omnes reliquas fradiones partiales , vnde multi- plicando per x -H ^j habebimus {axx-hbxy-*-cyy){x-h^y) ^ i {^ r^ -\- 5( y) , ax^ -i-{b -h d')x^ y -t-{c -h e)x y^ -hf y^ ^ vnde pofito x — — 2i y , ex parte dextra fola quantitas a rc- manet, e finiftra vero parte tam numerator quam. denominator euanefcunt. Sumantur ergo differentialia more folito, et habi- ta quantitate y pro conftante prodit ifta fracftio; axx-i-bxy-i-cyy-h{x-^-fliy){iax-hby) zaxx-h^^ib-i-d^xy-i-ic-t-e^yy ' quae pofito jc — — ■ ^j praebet ^ a^^ — b^-hc 30 31^ — a(6_+_di2t-t-ic-+-e) Eodem modo porro reperitur quoque Q -—- g ^^ 6 Sg -4- C * 3 a^2 — 2(b-hd)^-i-{c-he)^ — - g £» — 6 g -H c ^ ( 3 a £^ — 2(6-(-d )€-(-(c -t-e) * Cobfficientes autem 2i, 25, C ex fequentibus determinationibus deriuantur: y a S{-»- 2/23-+-?I€4-S3€ — ^ $i 33 € rr X , a ' ex quibus conficitur ifta aequatio: 51^ — ^--ti ?i' -I- f-Lf 2i — -/. rr o, a a a ' cuius ope fi valor litterae 21 rite fuerit determinatus , erit pro reliquis 23 -•(;,/ — ^) -f- |/ [Uw — ?i)'- — -J-] , € - i ( ;;/ — 2( ) :^ / [ U ;,; - 2i / - A ] , exiftente ;;; zz t±.^ tt n ~ L . a a Coefficientibus autem et exponentibus lioc modo dcfinitis, ae- quarionis homogencae rationalis propofitae lecundi ordinis ae- quatio integralis completa erit §. 20. Superfluum foret has integrationes vlrerius pro- fequi: nemo enim non videt quomodo pro fuperior-bus ordi- nibus calculus inftituendus fit. Quoniam autem cardo rei po- tifiimum in determinatione cocfficientium 2i , 33 , £ ^ etc. nec non exponentium a, |3, y, etc. pro quolibet ordine aequatio- num canonicarum verfiitur, formulas, quarum (ubfidio eos pro ordine tertio definire licet, appofuifle hic iuuabit. §. 21. Quod autem ad cocfficientes fpec^at , eorum omnium valores per folum primum 2i determinabuntur, quippe qui ipfe ex hac aequatione biquadratica eruitur: 0 « m a In- (173) Inuentis autem coefficientibus , exponentes fequenti modo de- terminabuntur: a^^—h<^^-4-c% — d 4a215 — 3(& -f-e)2(^ -t- 21C -^j )3t — (d-f-g) ' n a Sg-x — 6 Sga -f- c % — d * 4 a 58* — s (& t- ei 5g2 -(- 2 (c -h/) 55 — (d ■+ S^ ' -, — - ggi — 6g^-^cg — d ' 4« £5 — 3(b .-e)(r-=-f-2(c--t-j-)£ — (d-f-g)' r ag^ — &a^ -l-cX) — d ^ 400 oii-t-e^^O^-Ha^c-t-; )3 — (d-t-g) * §. 2 2. Lex fecundum quam aequationes illae deter- minationi primi cocfficientis 21 ii.feruientes , procedunt , fatis bene perfpicitur: eae enim pro diuerfis ordinibus aequationum homogenearum ita procedunt: I. S(^ — ?_+f 21 H- -£ — o , o a ' II. 21^ — ^-^:^ 2i' -f- 1:11-' 2i — ^ =r o , a a a ' III. 2J^ — *--t? 21^ + ^^ 21' — ^s 21 -I- -^ — o , a a a a ' IV. 21' — ^^ 21* -i- l=Li 21' — ^-^ 21' -+- l^ 21 — - r 0. a a a a a et ita porro. §. 23. Minus manifefta eft lex, fecundum quam pri- mi exponentes a in fingulis ordinibus procedunt. Inuenera- mus enim: Pro ordine I. a =z . ^ - " !». , . . . - II. a ~ g a^ — z» 2t -<- c 3 a 2t= — 2 (6 -(- (i) 31 -1- (C -K ?) ' _ . _ _ IJ^J^ „ a 313 — .^ 31' -t- c jj{ — d 4 a 31' — j 1 6 -H e I 31^ -I- 2 l c -1- j ) 31 — ( d -H g ) * vbi primus a lege in reliquis pcrfpicua excipiendus videtur. Verum fi hunc primum ipfius a valorem ita repraefcntemus : a — o 31 — & 2a31 — a{31-(-95)' tum ob 21 + ^=:^ habebimus az= °^~L ,♦ N""<^ Y 3 igi- igitur lex progrefHonis valoriim a pro omnibus ordinibus lu* culenter perfpicitur. Eft enim : Pro ordine I. ct — ^_^„;J"-/^^ ^ , TT a%'~b^J + e - - III. az= a3i3_6 2p -(-c9l— i 4a2l'-3(6-He)51^-l-a(c-t-/)2l-ti-t-g) ' ct ita porro. §. 24. Ceferum circa hanc integrandi methodum ad- liuc in genere notandum eft, fi inter fadorei) illos denomina- toris aequationem propofitam integrabilem reddentis, duo plu- resue fuerint aequales , tum ea cautela effe vtcndum, quae in Calculo Integrali ab Eulero eft propofita. Quin etiam, fi fafto- res imaginarii prodierint, bini coniundi dabunt fac"torem trino- mialem , vnde fradio parrialis formabitur , cuius integrale noii folum logarithmos, fed etiam arcus circulares compledetur. ENO- (175) == ENODATIO DIFFICVLTATIS AB 111. EVLERO IN DISSERTATIONR DE INTEGRATIONIBVS MEMORABILIBVS EX CALCVLO IMAGINARIORVM ORIVNDIS GEOMETRIS PROPOSITAE. Audore - NICOLAOFFSS. Coniient. exhlb. dle i8 Nov. ^"190. §. I. alor formulae integralis / — qiiomodo iniieitigari debeat, fi z denotet qiiantitatem realem, iam pridem a fummo iioftro Eulero in Tomo primo Inrtitutionum Caiculi Integralis , poftea vero, methodo magis direda, in Tomo XIX. Nouorum Commentariorum fuit ortenfum. Quemadmodum autem haec in- tegratio inllituenda fir, fi variabilis z fuerit quantitas imaginaria cuaecunque, demum ex disfertatione in titulo commemorata difci- mus. Eximia fane funt, dignaque tanti "viri, artificia calculi qui- bus in tradandis huiusmodi formulis vfus eft Eulerusj imprim.is /^™ — ' 3 s ^^^ 5 in fupplemento tradita, I — s" fummam attentionem meretur , ob plurimas diilicultates fclici- ter fuperatas, multoque magis propter difficultatcs, quas cek- berrimus audor aliis fuperandas reliquit, %, 2, (176) == §. 2. Duplicem autem Eulerus viam ingrefTus eft, ad integrale modo didae formulae perueniendi, quarum poftrema potidimum nobis occafionem aperuit obferuationes nonnullas laudatae diflertationi fubnecflere. Quoniam enim lecunda me* thodus, fimplicitare calculorum priori longe anteferenda, prin- cipiis innititur non latis firmiter, vt ipfe auclor fatetur , ftabi- litis, non omnino fuperfluum erit cam accuratiori examini fub- iicere, variaque dubia, quibus haec folutio adhuc obnoxia eft, pro viribus diluere. Ceterum , quamuis in expofitione prioris methodi varia compendia calculi exhibere poflem: tamen a re- pedtione principiorum , quibus innidtur, merito abftineo; ani- mo enim corum, qui praecedcntem differtationem attente per- legerunt, omnia momenta, quibus pro fcopo noftro indigemus, non infixa effe non poflunt ; qui autem iilam diflertationem non legerunt , etiam dilucidationes noftras parum curabunt. In genere igitur, ad om.nia fequcntia benc intelligenda fufiiciet meminifle, Imlerum form.ulam pnipofitam in vtraque folutione in fradiones partiales decompofuilfe huius formae: ^l — - — , 1 * I — 2 X' COJ . CO -f- U 'U ' infegrale vero, ex vnaquaque harum fradionum oriundum, quo- niam, ob s — a; ( cof Cp -f- / — ifin. Cj)), ex partibus realibus et imaginariis conflatum efl^e debet, ita indicafle: P-+-Q)/— i, atque pro P et Q fequentes adeptum efle \aIores: F = '"-^ A tane. ^' ^'^- " — '"-f-^ l V (i — 2 v cof. w -+- -u t) , n ^ I — j. coj.cj n ' ^ ' ' O ziz— "■^•^ A tanc '"''"■'" —^i^li/ (i — 2 'i? cof w-(-'yi7), denotante ^ angulum conftanrem '"^'', i numerum parem quem- cunque, minorem quam 2 «, et tt duos angulos redos. §. 3. Hoc igitur modo totum integrale cuiusque frac- tionis partialis P H- Q / — i ex quatuor partibus , duobus ni- mirum rcalibus , totidemque imaginariis erit compofitumi ve- rum haud difficuker numerus menibrorum ad femifl^em redu- citur, (177) citur, quae redudlio, tam ob maiorem exprefHonis inde reful- tantis fmipJicitatem quam ob vfum, quem nobis in fequentibus praeftare poterit, heic explicari meretur. Cum igitur ex ele« mentis calculi integralis nouerimus effe: ponatur t — '"■^"'•" , atque ob i? — cof. co -|- •/ — ifin. co, (V. Praec. diff. §. 4- fupplendam reliquiflet ; nec adum egifl*e, neque nimium mihi fumfifle videar , fi , verbis Euleri fupra allatis impulfus , dilucidationes , quas vberius folutionum illarum examen mihi fubminiftrauit, heic expoluero. §. 8. Primo igitur valorem in poftrema folutione pro nu- meratore F inuentum immediate ex prima folutione deriuabo , fimulque rationem partitionis illius diuinando erutae, perfpicuam faciam. Tum vero fentehtiam illam Euleri §. 5. fupplementi al- latam, quod in exprefllone ipfius F partes reales pro d p^ ima- ginarias vero pro dqy' — i fumere non hceat, examinabo, et oftendam, quomodo valores inde emergentes tradari debeant, vt folutionem cum Euleriana conuenientem fuppeditent. De- nique nouam folutionem in medium proferam, vtramque for- mulam / .21 __ compledentem , quae non foium ex prin- cipiis folidiflime demonftratis fit deriuata, fed etiam per calcu- Z 2 los — = (i8o) == los nec difficiles neque prolixos ad eandem integralis formam perducat , in quam lupra §. 3. integrale ab Euiero inuentum contraximus. §. 9. Quod iam primum noftrum inftitutum attinet , fi in exprenionibus illis pro dp et dq fupra §. ^. allatis, ex priore rolutione depromtis , poll \incula loco v lcribamus eius valorem cof. w -f- |/ — i fin. w , tum vero finus et cofnuis anguli ^ — tj in fimplices angulorum <^ et w finus et cofuius euoluamus, eae fequentem formam induent : ^ lin. w (fin. ^ — ]/ - I cof 0 'E^ fin. w (cof. (^ H- )/ - I fin. 0 ^ fin. 03 (cof <>; H- / _ I fin. 0 ^? fin. oj (fin. ^ - ]/ - I cof 0 quarum polkrior, fi in /— i ducatnr, praebet _ C+ ^ fin. w (fin. ^-Y-i cof 0 ^^V-^^ l^y^jp fin. oj (cof. <-+-/-! fin. 0 cui fi prior praecedencium addatur , pro F fequens enafcitiir valor : , ^ ^ C-4- l^ fin. w (fin. <:- /- 1 cof 0 ^ = ^^-^^^^-' = ^-.4rfin.a.(cor.^^y-ifin.O qni cum illo , quem Eulerus in fecunda folutione invcnerat , prorfus congruit. Ex hac transformatione fimul ratio perfpi- citur, curEuIerus, dum integrale priori folutioni prorfus con- fentaneum quaercbat , et vtramque partem d p tt d q feorfim tradabat, alteram femiffem ipfius F pro a p, alteram vero, per /— I diuifam , pro dq fumere debuerit. (^uamquam autem hoc modo ratio partitionis illius ab Eulero fadae , fuis bene intelligitur : tameu eius folutio fccunda , vt ipfiusmet verbis lo- ==(181)=== loquar , ifta eft comparata , vt eius bonitas nequidem perfpicl queat , a!que eatenus tantuid valeat , quatenus ad veritatem iam aliunde cognitam perdueat. §. lo. Nunc ad fecundum propofitum nos confera- mus et oftendamus, contra lententiam Euleri, in fecunda eius folutione nihil impedire, quo minus ex valore pro F invento realia pro dp^ imaginaria vero pro d q }/ — i depromantur. Fiat igitur haec partitio maxime naturalis, prodibitque dp — ^'^ . d -v fin. w -}- L££Li . r^ a (p fin. co dq— 'J!^ . ^' a 0 fin. w — ^-^ . d v fin. co vnde , ob (:^-{-(^ — '~^ ideoque D (p — — ^ w partes integra- lis quaefiti erunt p ■i.Jin. ^ r 3 T '»7. o) 2 eoj. ^ f v 5 uijin. oi ~~ 71 ^ 1 a i; COj . O) -f- U 1» 1 -^ I = 'V COj. ti -i- V 'U f~\ "Jin. ^ r t; J O) '?' ' . co 2 coj. ^ f -^ t ''?n (J ^ """ 71 "'1 — ■! V coj . {li -^ w n •' i — a-wtoj.w-i-vu* Quodfi iam hic integralia r dv fin. tx> j^ r vdwjin.ta •^ 1 — z 'V coj . Ui -t- V V -^ i — 2t; coJ. u) -i- V tj ita caperentur, vt icilicet in priore formula tantum variabilita- tis ipfius 17 , in altera vero folius w teneatur ratio , vtique ad fohitionem valde erroneam perduceremur. Cum enimj modo dida ratione inteerando, facile inueniatur fore : r d vjin. o) ^ fang. '"i'"- ^ "' I — 2 1; co/". w -f- x» -y ' ^' 1 — vcoj.tti f !Liii!ilje — — //(i_ 2i;cof. oj^-yo') hinc porro coUigitur P — ^-/^-^-i A tang. •"/"•". — L£2t/ / 1/ (i — 2 i? cof. w -4- c c?) 71 <-> I— x'coj.ui n ' ^ Q--L££L^ A tang. ■ ^'^"-^ — ^J±i /1/(1 — 21; cof. u-+- i7i?) qui valores exade duplo maiores funt iilisj quos Euierus per priorem methodum inuenerat. Z 3 §• ^'' (182) §. II. Hic autem probe tenendum efl: in fingula qua- que formularum integrulium, ad quas modo peruenimus, vtri- usque variabilis rationem habendam efle , fi vera folutio defi- deretur. Ad quam igitur eliciendam lumatur diflferentiale tain arcus quam logarithmi, et cum fiaC d • A tanff. •"./'"■ ^ 3 vjin. m — v dui[v — coj. ui) O' I — 1} COj. 0) I — Z V COj. -i- V V ' Iihic fequitur fore C d'^'jii-i>i A fjjnp- vjin.u i r v3u{v — coJ. u1 •^ 1^2 V coJ.()i-i-vv ^' I — u coj. iji ■^ I — -".: co r__v±^jiju^ — r//(i-2^'cof.co-f-^"y)— /. ^-y I (■ — col. cu) ; 1-' coj. c*j -t- f V quibus valoribus fubftitutis pro P nafcitur ifta cxprefiio : r ^Jm.^ p^ tane. '"S'^-^ I g.f'1. $• /' 'u3ui(i> — co/"cj) p ) n ^' I — ■vco/. w 71 -^ 1 — .! u coj.co-i- W )— "-^/i/(i — 2^cof.co-4-'z;iO-j-i£g[://' ^ ^" ^' - '^^^ '■^' . . L 71'^ ^ 7l-'l — iV coj. w -*- i^ i> Cum autem fit ^Jin.^ f vdiojin.w ___ icoj.^ r dvjin.a 71 •' 1 — 2 x; CJ/.OJ-t- 1."U 71 ■' l — 1 V COj.LJ-^-W ^ ob fin. w . •/ — I ~ 1; — cof. w , erit r\ -/ _ -Jin.^ f Tdcojr — cof.h)') icof.^ r 3v{v — co/.(j) ^ ' 71 'i — aojcoj.uj-f-ra) 7t •' i — ivcoj.iji-^w quo valore priori addito termini figno integrationis affedi fe mutuo deftruent prodibitque integrale quaefitum Ph-Q/— I— ^-/MAtang. '^'^"•^. — =-^i//(i— a-ycof.w-Hi":;) ^' 71 ° I— •UCOJ.UJ 71 ' ^ ^ quod cum integrali pcr priorem methodum ab auflore eruto , fupra §. 3. a nobis fimphficato, prorfus convenit. §. 12. Hoc igitur modo fententia illa 111. Faileri , §. 24. fupplementi prolara , quae mihi ftatim maxime parado- xa et cum principiis Calculi Jmaginariorum nequaquam con- cilianda, erat vifa, nunc penitus euertitur. Interim autem fii- tendum eft, hanc methodum, etiamfi ad veram folutionem fn- tis CiS3) tis commode perducat, eodem tamen fere laborare incommo- do j quod Eulerus , fecunda fua folutione parum ipfc, vt fci- mus, contentus, in ea reprehendit, eo nimirum, quod, nifi ve- rum integrale iam aliunde innotuiffet, haec methodus vix, ac ne vix quidem fuccedere potuifTet. Tranfeamus igitur ad no- uam noftram foiutionem , quae ab hoc vitio plane immunis eft. Integratio formulae r I exiftente z ~ v {qoL (^ -\- Y — i fin.cf)). §. 13» Statuatur formula differentialis % .tn. — I dz dZ -1-R I it s X -— 1 V cof. 0) -+- i; v denotante R omnes reliquas fradiones partiales, i*n quas il- lam formulair. refoluere licet, fadaque multiplicatione per i — i V cof. 00 -+- 'u 1? habebitur ^m. ' 5 s Ci — 2 17 cof. w-t-'z;i7)^^ „, _ . 1 i - d Z H- R (l—IVQOi.bi+w) vnde pofito i — 2 i; cof. o) -+- 1; er — o , hoc efl: ; H- y -''i fin. < tum vero, quoniam i ^^ c" — o , ideoque z^ zrz^ ly his fub- ftitutis erit a Z rr £^^:i±2::^^ [2 5 1' r^' — cof u) -H ri 1; 9 w fin. (0 ] qui valor fequenti modo repracfentetur : , ijiru^ j-^ ^ ^_ n (^cQ _ cof. w) -h 1' 3 u )/— 1 fin. w] ^ ^ — |_ L_4/ [3 o; (17 _ cof. w) -1- 1; 5 fa) fin. wj . Eft vcro (■-j — cof. oa) / — I = — fin. to et ]/ — I . fin. w — «y — cof. u quibus fubftitutis imaginaria crunt cxpulfa, prodibitque C-+- ?J"'^-^[3i;fin.u — i?3w(i' — cof 00)] ^^~ }— iliii k' a w fin. w -h 3 1; (<:'•- cof w)] . Quod fi iam integrale fradionis illius , _ , ^ ^^^- v-i. ■« ^^"^^^ ^ defienetur , erit V Y" — • t^fin-J^ a S coj. { n n exiftenribus ■n rSvJin.u — V d u {v — coj. o: > -' I — 21; coj. U -h V V COj. ItJ -t- V V rt rv d ixijin. . Ve. Verum fi pro hac formula tam diftantiam v C]uam an- gulum Cp in genere pcr calculum deflnire \elinuis , in formu- las analyticas tantopere intricatas deiabimur, vt vix quicquam indc ad vfum meclianicum concludi queat. Cum aurcm elec- tio pundi V ab arbitrio noltro pendeat, id ita afTumerc licet, vt plcraeque difficultates memoratae euanefcant, quod eueniet, fi pundum V ibi accipiatur , vbi dillantia inter binas redas A2. tt a z ( quas ambas in infinitum extendi concipere con- uenit ) fit minima. Hanc conditionem igitur introducentes to- tam momentorum inuefiigationem infiituamus , er more apud Geometras recepto pioccdamus; vbi, quae proprie ad Mecha- nicam (pedant, ab iis quae ad Geometriam lunt referenda, di- ftinguamuSi Theorema geometrlcum. Tab, IT. ^, I. Si recla M m fiicrit minima di/laniia inter binas ^^ ^' re&as A Z ct a z ^ ea ad vtramque erit normalis ^ iia it tam angiihis A M m qiiam anguhts a m M fit reitus. Demonftmtio, §. 1. Si enim anguhis Mmz non efTct re^us, perpen- diculurh M /;, ex M in rcdam «- s demiffum, minus foret quam M w/, contra hypothefin. Simili modo, - venta etiam hac forma repraefentari potefl:: V/(^H — rG)4-V^(t^F — fl;H)-hV/?(«G~- ^F), -vbi eaedcm formulae occiirrunt, quas modo pro momentis ^, O, 9i dedimus, quibus ergo fubftitutis momentum refpedu axis az erit /^^ -}- g Cl -h ^ 3v , vbi non amplius neque pofitio , neque ipfa vis foUicitans V in calculum ingreditur, vnde fe- qucns Theorema maximi momenti nancifcimur. Theorema mechanlcum. §. 33. A quibuscunque viribus corpus circa 'X^o.ra a z mobile foliicitetur, fi earum virium momenta refpecT:u axium fl/, a g^ ah fuerint ^>, Cl, !){, tum momentum refpecftu axis propofiti az erit /'^ H- jg- O -|- /' ^v, vbi f, ^, h^ denotant co- jfinus angulorum f a s, g a z^ h a z. Veritas huius Theorema- tis iam penitus efl: euifta in Problemate praecedcnte. Hic au- tem obfeiuiifle iuuabit terna illa momenta ^% Cl- "^X in eundem fenfnm tendcre debere. Scilicet fi momentum ^ pro axe af tendat in pliigam g/?, tum bina reliqua momenta tendere de- bent in plagas h f et f ^, fiue fecundum ordinem harum litte- rarum, in plagam f g h^ atque in eandem plagam etiam verget momentum pro axe a z inuentum. Ac fi quodpiam horum momentorum ^, O , ?K, in plagam contrariam vergat , id in calculo negatiue erit accipiendum. Corollarium i. §. 34- Hinc ergo etiam ifta infignfs verltas deducitur: Quaecimque vires refpe6iu ternorum axhim af^ ag., ah.) inter fe normalium cadem praehcnt momenta , eacdem pro quouis axe obli- quo a z paria momcnta generabunt. C c 2 Corol- Corollarium 2, ' §. 35. Momenta igitiir Tirium pro ternis axibiis inter fe normalibiis cockm prorfus modo componi poffiint, quo \i- res fimpliccs componi folent. Si enim pundo a applicatae fuerint vircs P, Q, R, fccundum dircdiones <7/, a g^ a h^ ex iis componitur \is fccundum dircdionem fls— /P-f-gQ-+-^R , c]uac cgrcgia harmonia maxima attcntione digna cft ccnfenda, atquc in vniucrGim Mechnnicam hinc non contemnenda incrc- mcnta redundare poffunt. ME- === (205) ==» METHODVS FACILIS OMNIVM VIRIVM MOMENTA RESPECTV AXIS CVIVSCVNQVE DETERMINANDI. Audore L. E V L E R 0. Conuent. exhib. dle 14 Aug. 17S0. i3oIutio Problcmatis geometrici, quo inter binas recflas non in eodem plano fitas quaerebatur earum dirtantia minima, deduxit me, per calculos non parum abftrufos, ad infigne Theorema me- chanicum , quod ita commodifiime enunciari poteft: Propofitis r^^^ l^y viribus quibuscunque.^ fi inuenta fuerint earum momenta refpetlu tri- pig, i, um axium a f., a g., a h., inter fe normaHum., quae ftnt ^ rcfpe£hi axis af., O, refpctiu axis ag et fK refpe&u axis ah; tum ab iisdem viribus., refpe(^u axis cuiusuis obliqui a z^ per piinctum a tranfcuntis^ orietur momentum hoc: ^ cof. /<2 2 -h O cof. gaz-\-^ cof. h az ^ fi quidcm tria illa momenta .^ fecundum eundem fenfum ogant., fiue in fenfum f gh fnie in contrarimn f h g. Quae egregia ^'eritas cum ex confideratione geometrica per calculos fatis prolixos deriuata fit, nulhim eft dubium, quin etiam via direda ex prin- cipiis Ilaticis dcduci queat. Poftquam igitur hoc arguraentum C c 3 fol- nz = (206) follicite elTem perfcrutfltus, incidi in \iam fatis planam , quae iiie ad hanc veritatem perduxit, et quae fimul mihi ficilem me- thodum aperuit omnium virium momenta refpcctu axis cuius- cunque determinandi. Theorema. '^^^- ni. §. I. Ouaccimquc fis fi/erit prcpojita ^ ea fewpcr in tres • alias rcfolui potcjf quarnm dircctiones cadant in plana f a g^ g' « N haf^ quac fcilicct plana per tcrnos axcs af^ ag^ ah^ inter fe norma/es detcrminantiir. Demonftratio. §. 2. Tn quacunque diredione vis propofita ngat , ea producatur, doncc phmum fag ahcnbi in O traiiciat, in quo ergo pundo vis O Z appHcata concipi potclt. Haec igitur \is OZ refokii poterit in duas, quarum vna cadat in ipfum pla- num fag^ altera vero, quae fit O />, ad hoc plannm fit per- pendicuLaris. Hoc modo iam nadi fumus vnam \im , cuius diredio in pLinum /a^ cadit,- quare ortendendum eft, quomodo altera vis 0/>, quae fit p, in duas nouas refohii pofht , qua- rum diredioncs cadant in phm f a h et g a h. §. 3. Ad hoc praeftandum concipiatur in ipfo puncfio a fecundum direcflioncm a h applicata vis illi p aequah's et pa- rallela , quae quia tranfit per ipfum punclum a nulhim gignit momentum refpedu vlhus axis per pundum a dudi, ideoque in computo nioirentorum pcrinde cft, fiue haec noua vis ad- fit, fiue abfit. Concipiamus igitur hanc nouam vim acefle, et du(fla reda O ,neque pro axe «/, ncque pro axe ah nullum momentum generabit, fed tota impendetur ad mom.entum circa axem ag producendum. Eodemque modo vis cuius diredia in planum g a h cadit, circa rolum axem a f momentum ge» iierabit.. Froblema, §. 6. Si fola acJfit i-iSy cuius direCtio in planum f a g cadet.) eiiisque momentum refpe&u axis a h fuerit cognitum ~ 91 , eiusdem vis momentum rejpetiu axis cuiuscunque obliqui a z, pari-^ tev per puncium a tranfeumis ^ inuefligare. Solu- Fig. ^. C20S) == Solutio. "^^- ^^'- §. 7. Pro fitu huius axis az definiendo ponnmus cof. f a z =/, cof. g a z ^r. g., cof. h a z :zz h^ atquc euidens eft fora ff~\-gg-\-hh^=zi. lam quaecunque fit vis propofita, cuius diredio in planum fag incidir , eam fcmper relbluere licet in duas, quarum altera in ip(um axem a f incidat, nltera vero ad eum fit normaiis, quarum illa in hoc negotio penitus negligi poted, hanc vero per recf^am xy referie licet, quac fi ponatur =: ^' , eius momentum re peru axis a h erit zz: v a x ., quod cum dcuir = ?)v, erit v.ax-fK, et quia haric vim fe- cundrm direcftionem x y vrgere a^Vumimus, momentum !K aget in fenfum j 5 , fuie, fecundum ordinem Jitterarum, in lenium §. 8. lam vt in huius vis xv-V rromentum refpedlu axis az inquiramus, pundum 7 ibi fumatur, vbi perpendiculum yz ipfi diredioni propofitae az in z occurrat. Tum vero du- catur etiam reda a y^ atque vis i!la x y = i; rcfoluatur lecun- dum diredliones y a et y t ad cam normali , quariiin ilia per pundum a tranfiens nihil confert ad n-iOmentum quod quaeri- mus. Quod fi ergo ponamus angulum fayzn:^., crit vis in diredione t y vrgens = -v cof <^, quac fola in axem a z agere eft concipienda. Vt iam huius vis moirentum refpecfai axis a z indagemus, ex y nd a z normaliter ducamus recTtim y .r, cu- ius quantitatem definire debemus. Vbi notetur angulum y df s efTe complementum an^uli haz., cuius cofmum pofuimus - h^ ficque erit fin. y a z :z:z h., ideoque perrendiculum j J zz ay. h. Ouarc cum fic a y :=z -^^, eritj s zz: O X coj.i ' ^ C0J.4 §. y. Quia igitur diredio vis follicitantis ty -'C qo(.^ normalis eil ad planum yaz., in eoque reda y s normalis ad a z, huius vis m.omcntum refpcdu axis az eric —vcoC.i^^.ys (209 > zrzv.a.x.h. Qimre cum produdum iv . a x aequetur momen- to propofito ?K , irtud momentum refpedu axis az cdt ^ /^ , quod manifefto etiam in fenfum f g h vergit. Corollariam. §. lo. Simili modo cum par fit ratio virium quarum dirediones cadunt in plana fah et g a h^ non opus efl: totum nuiocinium, quo hic vfi fumus, ad eas applicare, fed per fo- km translationem, fecundum ordinem litterarum /, £-, ^, pro- cedentem, earum momenta refpeclu axis az expcdite ailignari poterunt. Corollarium 2. §. II. Quoniam igitur hic a vi cuius diresflio in pla- v^wm f a g cadit incepimus , vno gradu pro.rediendo periie- niemus ad planum g a h ., et vis in hoc plano agens momen- tum generabit refpedu axis a/, quod ergo fi ponamus — ^p, ex eo refuitabit pro axc az momentum -ziz^f Ac fi porro vno gradu progrediamur, incidemus in planum h a f., ct vis in hoc planum agens fi refp^du axis a g producat momentum — O, ex eo obtinebitur pro axe az momentum. Q o-, hincque iam fponte fluit dcmonftratio Thcoremaiis fupra iniao memorari. Theorema. §. 12. Vvopofitis viribus quibusciinque ^ fi inuenla ficrint earim momcnta., rcfpeclu trium axium a f^ a g^ a h^ inter fc nor- maUum^ qiiae fim '^ refpectu axis a /, O refpeCtu axis a g et % refpedu axis a h ; tum ab iisdcm i-iribus refpectu axis cuiiisuis obli- qui az^ per punctum a tranfeurJis ., orictur momentum '$> coLfa z -f- O cof. gaz-^-^^x cof h a z^ ftue etiam ^ f-i- O^ g -\-di b. Noua Acta Acad. Imp. S(. T. VIL D d De- (210) Demonftratio. §. 13. Cum omnes vires in rernas' alias refoluere li- ceat, quarum dirediones incidant in plana f a g^ g a b^ h a j\ ex earumque prima nafcatur momentum circa folum axem a h ^ quod fit — 3v j ex fecunda vero momentum circa folum axem fl/, quod fit^,- ex tertia vero cirra folum axemfif^, quod fit Cl; in his tribus momentib totus cffedus virium follicitantium conftare eft ccnfendus. Quod fi iam pro axe propofito a z ftatuamus cof./a z:=zif^ cof. g a z :=! g^ cof h a z :=. h ; rr.odo vidimus ex momento TH oriri pro axc a z momentum fH ^, tum vero ex momento '^, refpedu axis a z^ momentum ^/ et ex momento O, rclpedu axis ^'^'C^^.O 8 6 "00,0 Le (a) Nov. Comment. T. VII. p. 514 & 519. Qiiant au Pendule C , voyes Nov. Comment. T. XIV. Partie 2de p. 25. Qyant a rhor- loge artronomique D , pai reduit le ncmbre de ies olciHations , faites dans une revolution des fixes , a celui qui repond a 24 heures du tems moyen. (b) Nov. Comment. T. XI. p. 474. Ciiiant au Pendule fimple B, ies quatre expenences alieguees dans l'endroit cite s'accordent par- faitement a indiquer, que la difiference d'un degre dans la tempe- rature , en produit une de o, 6 dans le nombre d'olcillations de ce Pendule en 24 heures du temps moyen. Or le nombre d*os- cillations ayant ete de 86461,6 pour 15°, on le trouve de 86466,7 pour 6', 5. (c) Nov. Comment. T. VII. p. 465 & 490. (^iant au Pendule A ; il a fait en 24 heures du temps moyen 98936,0; 98944,0 & 98957,0 oicillations a -f 13 ,5;4 6 , 5 & - 6 ,0 de temperature. Donc la variation d'un degre dans la tempcrature, en produit une de 1,1451,08 & 1,04, ou en prenant le milieu, de 1,08 dans ie nombre d'olciUations de ce Pendule eu un jour lolaire moyeh. Le rapport des quarres des nombres d^ofcillations qu'ml Pendule de meme longueur a faites en tems egaux & a la meme temperature en differens endroits. donne le rnpport des gravites dont il y etoit follicite, & comme les longueurs des Pendules ifochrones font en railbn de ces gravites; il eft aife de calculer par la Table precedente le rapport de la longueur d'un Pendule fimple a fecondes pour un endroit quelconque de ces experiences, a la longueur d'un Pendule ifoehrone pour un autre ehoifi comme terme de comparaifbn, la temperature etant fuppofee la meme. Pofant donc la longueur du Pendu- le a fecondes pour Paris ~ tt i on obtient les refultats pre- fentes dans la Table fuivante : E e 2 Loii- Pareillement le Pendule fimple B y a fait dans le meme interval- le de temps 86504,4586509,85 & 86514,6 ofcillations a -^-14°, 5; + 7', o & -I-2', o de t«mperature5 ce qui donne 0,7250,965 & o, 81, ou en prenant le milieu , o, 83 pour la difference dans le nombre d'ofcillations due a la variation d'un degre dans^la tem- perature5 cette differenee a ete trouvee cy deffus (remarque b) de 0,605 on peut donc fans aucune erreur fenlible, ia fixer a 0,7. C'eft de ces nombres que je me fuis fervi dans la redudlion des experiences a une meme temperature^ favoir de i, 08 pour le Pendule A, & de 0,7 pour le Pendule B. (d) Nov. Comment. T. VII. p. 466 & 490. (e) Ibid. p. 468 & 495. (f) Ibid. p. 451 & 480. (g) Ibid. p. 449 & 475. T. XIV. Partie 2de p."-8 & T. VII. p. 519, (h) Ibid. T. XVI. p. 583. (i) Ibid. T. XIV. Partie 2de p. 31. (k) Ibid. T. XVI. p. 573, 581 & 583. (220) -■■ Longueurs du Pendule a fecondes telles qu'on les trou- ve par des experiences Latit. bor. I. II. m. IV. V. VI. vn. Vlll. IX. X. XT. 51° 6^ I 5 8° 15^- o 5 8° 22'. 7 5 8° 23'. o 59° -6^ 4. 59 5^ • 4- 54° 33^6- 67° 4^5. A<;° 52''. 5. faites avec le ■a vergede rr-etal 1,000020. 7r. 1,000730. TT. I,000806. TT. I,OC0820. TT. 1,000837. TT. 1,000997. TT. 1,001012. TT. 1,001430.7:. 1,001350. -n. 1,001476. TT. I.OCI7VO. 7r. s Pendules afiltre^-fin I ,c (-o -9-,-. 7r- 1,001 208. TT. 1,001310. 71. 1,001352. 7r. 1,0013 26. TT. 1,001553. 7r. 1,002153. T. Lieii et date de '('■•vbfirv. Stien^iiisK. 1761 Arensbourg. 1757 Pernau. Dorpat. Reval. Petersbourg. 1757 i7<^9 1749 Xrchangcl. (I) 1769 i^onoi. ^1^9 K< la. 1769 Allrono- mes. Roumo sky Grifchow. Maller. Crifchow. Roumovsky^ Mallet. Rourrovsky. On remarque ici d'abord , que les longueurs du Pen- du!e a fecondes deduires des experiences du Pendule a fil , font lenfiblement plus fortes que celles qu'on trouve par des experiences du Pendule a verge de metal. Ces differences ctant toujours en meme fens ; elles fembient tenir a quelquc point de la thcorie dont on n"a peut-ctre pas encore tenu compte dans ces fortes d'experiences. Soit fous la latitude 1= X la longueur du Pendule a fecondes z= x, & la latirude de Paris = L = 48° 50. 2. Les accroiflemiens de la longueur du Pendule depuis TEquateur vers (1) Comme dans la Table precedente il n'y a point d'experience fai- te a Paris & correfpondante a celle d'Archangel; i'ai exprime le Pendule d'Archangel d'abord par celui de Kola, & enluite par celui de Faris. = (221) Vers le P6!e 6tarit fuppofes proporMonels aux quarres des fi- nus des latitudes, on obtient d'abord :^ — 7rrr:»[rin.X' — fin.L']:z=«.rin.CX-HL).(X-L) oii le nombre ;z eft le coefficient conflant qui change la pro- portionalite- en egalite & qui doit etre decermine par des ex- periences. Soit pour cet eifet «rrra.Tr, & l'equation ^l^ =. a . fin. (X ^ L) . fin. (X — L) ■appHquee aux expericnces precedentes donne les refultats fuivans : Valeurs de a. 'eiul. 1 veige Pend. a fil I. o, ooo> 130. 0, 007541 2. II. 0, 0046694. 0, 0077269. III. 0, 0050917. 0, 008 i75<5. IV. 0, 0052673. 0, 0086847- V. 0, 0047904. 0, 0075891- VI. 0, 0054687. 0,0085175- VII. 0, 0055504. VIII. 0, oo-rS^-p. IX. c, 0054280. X. 0, 0052432. XI. 0, 0059008. 0, 0070975. Prenant le milien de toutes les va- leurs que donne le Pendule a verge de metal, on a Ou bien, cn exclumt la i*"^ & la 8™% De meme prenant le milieu de cel- les que donne le Pendule a fil, on a E e 3 a ~ 0,0050696'. a ~ 0,0052677, a — 050079189' Vo- Voyons d'abord , quelle eft de ces deux valeurs cellc qui doit ecre adoptee preferablement. Pofant la longueur du Pendule a fecondes fous l^Equa- teur z^p; requation precedente , pour le cas X — o, donne rallongen.ent du Pendule depuis TEquateur jusqu'a Paris 7r — p z::: a Trfin. L" zz: 0,5 ^d^yy. a TT. Or la longueur du Pendule equinoxial determinee avec tant dc foin par les Academiciens frangois doit , fans doure , autant approcher de la veritable, qu'il cft permis de Tefperer dans ce genre de recherches ; toute reducfiion faite au Niveau de la mer & a 10° de chaleur, elle doit etre fixee a 439, 17S lig- nes du pied fran^ois (mj. Mr. Ja Lande, dans les Memoires de TAcademie de Paris pour lannee 1785 a f.it de nouvelles recherches fur la veritable lont,ueur du Pendule de Parisj il la (m) M. Bougueur dit dans fon ouvrage fur la figure de la Terre p. 338 que la longueur du Pendule cquinoxial telle qu elle reful- te ininiediatenient de l'experience iaite au niveau de la mer, eft de 439, 07 lignes & que le thermomctre de Reaumur fe main- tient a Quito a 14 ou 15 dedres pendruit toute rannec. (Pag. 33 du difcours qui fe trouve a la tete de cet ouvrage). Au niveau de la mer la chaleur etoit plus forte qu a QLuto, & une regle de fer acqucrroit o, 15 Hgnes de nouvelle extenlion fur 6 pieds de longueur, lodquon la tranfportoit de QLiito au bord de la mer. Doiic la regle de fer, qui etant a la temperature du niveau de la mer, indiquoit 439, 07 iign. pour la longueiir du Pendule equi- noxial, en auroit indique 439,148 lignes, (i elle avoit ete a la temperature de Qiiito c'eil a dire a 14' ^; donc la longueur du Pendule equinoxial au mveau de la mer & a la temperature de 14=5 ell de 439,148 lign. Or M. Bougueur dit pag. 339, que yg, de ligne repondoient fur la longueur du Pendule a 3 degres du thermometre; donc il faut y ajoiiter encore o, 03 lignes, ce qui donne 449, 178 lignes pour la longueur du Pendule equino- xial au niveau de la mer & a lo^ de temperature. (223) ' la fixe de plufieures manieres a 4.4.0,53 lignes , a la meme temperarure; de faco-i que tt — p rr 1, 352. lign. Or la pre- miere des deux vaieurs de a que nous venons de trouver , donne pour ce meme allongement 1,315, & !a feconde 1,977. lignes. Ces deux quantites different entre elles de /0 d'une lignei mais la premicre ne differe que de i^, de cel e qui doit etre regardee comme la plus approchante de la verite, au Jieu que la feconde s'en cloigne de plus de 1%. II femble donc, que la valeur de a tiree du Pendule a fil ne s'accorde nullement avec deux experiences dont rautenticite eft gene- ralement reconnue. Adoprant donc la valeur de a telle que la donnent les experiences des Pendules a verge de metal , on a jc =: TT [i +0, 005 2677 fin. (X -H L) fin. (X — L) ] & puisque TT (i — o, 0052677. fin. ].-) —p — 439, 178. lignes; & TT = 44.0, 53 lignes,- on obtient la longueur du Pendule a fecondes fous une iatirude quelconque = X & a 10° du ther- raometre de Reaumur , teJe qu'elle refulte des experiences faites en RuHle Jf ~ [439, 178 H- 2, 3 21. fin. X'] lignes du pied frangois. Cette expredlon, qui jusqu'a quelques centiemes de ligne pres reprefente toutes les experiences du Pendule fiites en Huiie, s'accorde aufll parfiirement avec deux autres que Mr. I.a Lande , dans le M^n.oire cire , regarde comme les plus ex- acftes i°.) celle de Graham, par la quelle on trouve a 10° de temperature la longueur du Pendule a Londres de 440, 58 lignes de Fnince & 2°.) celle , qu'a fnite Mr. Lyons fous !a lantude boreale de 79°. 50^, h plus forre , ou l'on ait jamais obferve le Pendule , &■ qui en donne ponr ce<" e hititnde la longueur de 441, 3b lign. Or rexpreiiioii prccedente doi- e l'allOw- f ^ '^ A ^ rallongement du Pendule depuis 1'Equateur jusqu'a Londres de I, 4-2. lignes, & jusqu'a la latitude de robfervation de Mr. Lyons de 2, 25 lignes , & confequemment les longueurs des deux Pendules de 440, 59 lign. & de 4+1, 42 lign. de (orte, que les refultats de la formule ne s'eloignent de ceux des obfervations, que d'un centieme de ligne pour Londre & de quatre centiemes pour celle de Mr. Lyons. L'exprenion generale, que nous venons de trouver, de la longueur du Pendule a iecondes fous une latitude quclcon- que ~ X , nous donne auffi a connoitre raugmcntation de la pefanteur depuis lEquafeur jufqu'au Paiallcle de la meme la- titude; car foit la pefanteur oquatorienne — g, la pefanteur polaire ~ G & j egal a celle qui a lieu fous la latitude rn: A ; comme les pefanteurs font proportionclles aux lon- gueurs des Pendules ifochrones , on a Y = ^ ^' -^ 4177778 • ^"- ^'^ =^ ^ (' -^ °' 005 2848. fin. X") &, en faifant X — 90% G =11 i, 0052848. g. II eft connu , que pour rcquilibre d'un Ellipfoide ho- inogene de revolution la pefinfeur en un point quelconque de la furface doit etre en raifon de la normale au meme point. Soit donc le rayon de rEqua'eur — A i le demi-axe de la Terre ~B; la pefanteur fous la latitude X, :^"j', & celle fous la laiitude L, mZ; & foit pour abreger , ■— J?' — K% on au- ra par la theorie de TEIlipfe y — 2.^/ ^'^^^/ If ^I . Appli- quant cette formule aux pefanteurs fous TEquateur & fous le Pole , on a Z = ^ pour le cas L — o , dz y zn Q pour le cas X — 90^; ce qui donne G ~ g- . ")/ (i n- K'') & confequem.- ment 1, 005 2848 =1/ (i -+- K^) — ^; de fiicon que renfem- ble de toutes les experiences rapportees cy - deflus donne , dans (225) dans la fuppofition de la Terre elliptique homogene , lc rap- port des deux axes B : A =: I : I, 0052848 = 230 : 231, 21. & rapplatiflement de la Terrre iz: ^— — ^55 . Pour appliquer la meme formule a chacune de ces cxp^riences apart , & les pefiinteurs etant proportionelles aux longueurs des Pendules ifochrones , on a / : Z =: x : tt pour le cas L =: 4.8° 5^. 2 j «Sc confequemment .v = tt . |/'_t£iilil"^ d'ou , en faifint x — m . ir , on tire K" — ""'"' . Puisque donc la quantite ;« efl: donnee immediatement par les experiences precedentes , avec la latitude correfpondante X ; chacune de ces experiences peut etre employee pour deter- miner le rapport des axes ,• ce calcul m'a donne les refultats fuivans : Par Texper. de B: A 1 1. 11. III. IV. V. VI. VII. VIII. IX. X. XI. Selenginsk Arensbourg Pernau Dorpat Keval St. Petersbourg Archangel Ponoi Kola 230 . 230 , I 2 231 , 07 : 231 , 17 231 , 19 231,10 : 231 , 25 231 , 27 231 , 80 231 , 25 231 , 20 231 , 36 En prenant le milieu de tous ces rapports on a - B : A Noua A&a Acad. hnp. Sc. T. VIL ■— 230 : 251 , 16, F f Ou (225) 3 Ou bien en exclunnt la i^' & h 8™'^ experience - - - - 6:^=^:230:231,21 & ce dernier rapport s'accorde pnrfaitement avec celui quc nous avons rrouve phr le mpport de la pefanteur Ibus rEqua- teur a celie fous le Pole ^ 11 donc rapplatiflement —1^3. Or on fait, que dans la fuppofition de la Terre ellip- tique homogene ce rapport doit etre neceflairement celui de 230:231, & rapplatifl^ement 13,, do fagon , qu'il fliut renon- cer ou a la figure elliptique de la Tcrre, ou bien a riiypothefe de la denfite uniforme de fes couches interieures. Appliquons donc aux experiences precedentes le theore- me de Mr. Clairaut, du quel aufli Mr. La Lande, dans le Me- moire citc, fe fcrt pour calculer rapplatiflement de la Terre. En vertu de ce theoreme il y a , dans toutes les hypothefes les plus vrai - femblables qn'on puifle faire fur la denfite des parties interieures de la Tcrre , entre rapplatiflTement de la Terre heterogene & raugmentation totale de la pefmteur de lEquateur au Pole , une liaifon telle que la fomme de ces deux quantites egale le double applatiflement de la Terre ho- mogene , qui efl; neceflliirement 155 ; de fagon , quon a "^ ~" " -f- ^-^^ := 113 ~ o, 00 8595(5. Or nous avons trouvc cy - def- o fus -izz£ — o, 0052848 ; d'ou I'on trouve I'applatiflrement de la Terre heterogene A:=:J ~ o, 00341 os 2/3 Ce refultat s'accorde tres bien avec celui, qu'on trou- ve par un theoreme qu'a dcmontre Mr. de la Place dans les Memoires de TAcad. de Paris pour 1783 , en vertu du quel le rapport de raugmentation totale de la pefanteur a la pefan- = (227) pefanteur moyenne, ajotite a rellipticite de la Terre, cft egal a cinq fois la moitie du rapport de la force centrifLige a k pefanteur fous l'Equateur, rapport qui, comme Ton fait, eft jIj . Or les experiences precedentes iious donnent G — g = o, 0052848. g et ^-±^ — I, 0025424. g de fagon, qu'on a o, 0052708 4- ~^ — o, 008^505 j d'ou Ton trouve rapplatiffement de la Terre t^ — o, 0033797 =: .\r . Or tel eft auffi precifement l'applatiflement qui refultc de la mefure des degres terreftres ; par celle des 6 degres qui s'accordent le mieux le Pere Boscovich le fixe a 257 . Les conclufions que les experiences du Pendule faites cn Ruffie m'ont fournies, contribuent donc a confirmer la re- marque de Mr. La Lande dans Tendroit cite, que, quand on renonce a rhomogeneite de la Terre , la theorie , les expe- riences du Pendule & la mefure des degres terreftres , entre les refultats des quelles on a toujours trouve de fenfibles differences , s'accordent a indiquer pour la Terre le memc appIatilTement. Je finis ce Memoire par 1'expofe des longueurs abfo- lues du Pendule a fecondes pour les endroits des experien- ces , avec les refultats de la formule qui a fervi de bafe .1 ces recherches : F f 2 Lon- (228) Longueurs dii Pcndule a fecondes en lignes du pied fran^ois. a Latit. bor. Par. 1'obferv. Parlecalc Tifference. Selcnginsk. 51° 6 . I 440, 540. 440, 575 H- 0, 035. Arensbourg. 5 8° 15^. 0. 440, 852. 440, 847 — 0, 005. Pernau. 5 8° 22^. 7 440, 8 85. 440, 852 — 0, 033. Dorpat. 5 8° 23^0 440? 892. 440, 852 — 0, 040. Reval. 59° 26^. 4 . 440, 899. ^^O"» 890 . 0, 009. Petersbourg. 59° 5 6^4 ■ 44O5 972. 440, 908 — 0, 064. Archangel. 64° 33^ 6 • 441, 125. 441, 052 — 0, 073. Ponoi. 67° 4'- 5 . 441, 180. 441, 148 . —0,032. Koh. 6S°5 2'. 5 441-) 319. 44I1 234 . -4- 0, 085. DE == (229) DE MOTV CONI DVPLICIS IN ALTVM SPONTE ASCENDENTIS. Audore A, KONONOFF. Coniient. exhib. ^.13 lan. 1^91. c §• r. 'onum duplicem ex duobus conis recTtis , quorum bafes coniundae funt , compolltum , atque duobus planis angulum formantibus et leni-^er in altum afcendentibus , impofitiim, fua fponte afcendere omnibus iam notum eft. Motus huiusmo- di coni , a multis Phyficorum iam exploratus, a nemine , quantum fcio , ad amulfim determinatus eft. Et ipfe Celeb. Georg. Wolffgang. Krafft, vir de republica litteraria bene me- ritus , in differtatione fua tomo fexto nouorum Commenta- riorum Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae fub titulo : Explicatio experifnenti paradoxi de afccnfu coni dupUcis in alium fpontaneo inferta , neque de viribus conum ad afcen- dendum follicitantibus , neque de duplici eius motu fatis ac- curate commemorat, fed omnis eius opera eo tendit, vt often- dat, afcenfum huius coni effe apparentem, atque centrum eius - F f 3 gra- == (230) graiiitatis inter afcendendiim reiiera defcendere feu continio propins ad horizonteni accedere. Cum autem plena huius inotus cognitio non nifi per detcrminationem virium follici- tantium carumque effeclus comparari queat , operae pretium efle arbitror , vt tam has vires , quam motum coni progrefll- vum ac gyratorium determinem. Tab.IV. §. 2. Sit itaque ADBE (fig. i.) fedio coni du- plicis , ex duobus conis redtis et aequalibus A D B et A E B compofiti , quae per axin eius D E tranfit. Ponamus porro huiusmodi conum eflTe homogeneum , et hinc eius centrum grauitatis in centro C , bafis com.munis conorum A D B et AEB fitum. Sint quoque bac et cad (fig. 2.) duo illa pla- na inclinata , inter fe aequah'a , quibus duplex conus impo- iiitur. Angulus b a c ^ qucm longitudincs horum planorum , ac et bc^ inter fe conflituunt , fit z^ 2. y^; ita vt dimidium eius , id efl anguhis haf^ feu caj intra b a^ feu c a 0,1 per- pendicuhim ex a m c b demifl\im comprehenfus , fit -ziz. v]. Anguhis incHnationis planorum ad horizontem dicatur 0. §. 3. Quando conus duplex planis inclinatis b a c tX. c a d fuperimponitur , tunc vnusquisque conorum A D B et AEB (fig. I.) , prout omne corpus tornatum , tangit planum inclinatum, cui incumbit , in vnico modo pundo , ita vt lon- gitudines planorum a c et b c fint tangentes earum curuarum , quae orientur ex fedionibus conorum, fadis per plana verticalia, per ipfiis longitudines tranfeuntia. Vcrum cum femiapertura pla- norum b a c tt c a d^ id ett. angulus •>], minor fit angulo, quem latera conorum A D B et A E B cum radio C B eformant , id eft minor angulo D B E, feu EBC; et cum porro duplex conus ilUs planis ita fuperimponi foleat, vt eius centium gra- vita- — = (230 == vitatis C reperiatiir in plano verticali per flr/tranfeunte,- hinc, ex feflionibus conicis neceiiario fequitur, memoratas curvas efle EI- liptes, in vtroque cono aequales, atque adeo longitudines pla- norum effe tangentes Ellipfium. Itaque, fumto C in figura 3. pro centro grauitatis coni duplicis , in diftantia perpendiculari CN a linea af fito , F vero pro eo axis coni pundo , quod verfatur in plano verticali per ac tranfeunte, ponamusHLMN efl^e eam Eilipfin, ex interfeflione coni cum plano verticali, per ac du(fto, oriundam , quam linea a c ^ in hoc coni fitu , tangit. Huius Ellipfis centrum fit K, axis maior HM, dimidium ve- ro minoris axis K L. H M eft cum a c parallela , K L \ ero ad a c perpendicularis et tranfit per pundum contadus coni ad planum ac^ atque aequalis efl: lineae CN, ac F G ex pundo ¥ in a c perpendiculariter demiflae. Cum angulus caffit i=z>], erit H M =:■ " " f^ ■ <^ '^ ' " t- — F C ) co/-. y| . D L' . coj. q^ — C ii^ Jin. rf- ' K L — C B ( n C -^ F C ) co/. VI j^ p l^ — . C BMHC — FOAn.yi D C* coj. Y[^ — C B^ .Jin. yy' * Cum porro NGzziFCi hinc aNzizl^^^. Jm. n §• 4. His conflitutis , veniamus ad determinandum motum coni mixtum. Quia centrum grauitatis coni in plano verticali , per af tranfeunte moueri fliatuimus , referamus mo- tum eius ad diredrices V Q et Q/ inter fe normales , atque ftatnamus V C efl^e fpatium ab eo, tempore r, motu a quietd inchoato, confedum. Sit iam maflTa idemque"pondus coni du- plicis zz: 2 P. Quia ex hac parte duplex conus in pundo L fuftinetur , filt 11 prefllo , qua ille plano innititur , atque vicif- fini fim fecimdiim dire(flionem L K vrgetur ,• fridio vero in pun- (flo contadiis L fe exerens, fit — d 11. §. 5. Cum centrum grauitatis coni in medio axis fi- tum aflumamus , licet nobis vim P , dimidio totius coni pon- deris aequalem in pundo F applicatam atque deorfum verti- caliter nitentem concipere. Quare refoluta hac vi P fecundum direcftiones F G et F M , orientur ex liac coni parte quatuor vires eum ad motum follicitantcs , nempe vis fecundum F G — P. cof (p ,• vis fecundum F M z= P fin. Cp ; vis fecundum L K iz: n ; et \is fecundum L C == ? IT ; atque totidem pares vires liabebimus etiam ex altera huius coni parte. Cum aii- tem dirediones virium P fni. (t) conilituant inter fe angulum 1=12 7]; atque talem etiam angulum forment dirediones vi- rium (5 n a friclione natarum, intlituta compofitione orietur ex illis viribus media \is = 2 cof ->].?. fin. (p , cuius diredlio tranfibit per centrum C atque cum a N erit parallcla ; ex his autem obtinebimus mediam vini — 2 col^. >i c^ 11, cuius diredio verfabitur in ipfi a N. Vires autem P cof Cp atque n fuppedi- tant nobis vim fecundum C N := 2 P cof Cp, atquc vim 2 TI, cuius direclio efl: ipfi C N parallela , atque dircdioni prioris vis oppofita. Quare applicatis omnibus his viribus ad ipfum ccntrum grauitatis C , habebimus duas vires conum ad mo- tum progrcnivum follicirantes , nempe vim fecundum C N ~ 2 (P cof CP — IT) atque \im fecundum QN=: 2cof >i(5n~Pfm. Cp). ,:. Vnde fumto elemento temporis d t conftante , determinatio motus progrefllui continebitur his duabus acquationibus. L tslL22L±zJLlill = — D D C N. IL ^ecoJ-y))dl^ — D ^ Q N. Vbi f^i...'nijt (233) ass Vbi Httera g denotat altitudinem, per quam graiie primo mi- «uto fecundo libere delabitur. Quod fi nunc pro C N atquc <2N fubftituamus veros earum valores (§• sO? obtinebimus tg{VcoS.<^-^U)dt^ co/. /iCB 5 5 F C ■ p ■/ ( i' C^ coj. 7)2— C ^'-Jin. 71=' ) ' 2gcof.Yi(yn— P/in. cP)3t* coj. Y) ^^Y Q, P Jin- A Ex quibus aequationibus pro determinando valore II elicitur haec aequatio (P cof. 4) - n) y (D C' cof. -vi' - C B^- fm. -v]') — (5 n — P fin., Cp) fm. 7] . coC >) C B qua euoluta obtinebimus rj P Win . $ • /'n. y) ■ cor. -^ C B 4- cof. (? V ( D C co/. y)' — C B^ /;n. y)" )] ■ ■"" '- SJin. "0 coj. y\ C B ^- ■/( D C ^ co/. yi= — C S'^ Jin. y)' ) quo valore iterum in fecunda aequatione difFerentiali loco 11 fubftituto , habebimus -s ~j -p p ; g 3 '"//n. v)( y cof.—Jin. (^^VViC^ cof. -^» — C B' r/n. y)^ ) ijiii. ,iCOj.riCSf+Vi.dJ.L'^ coj. ,f — i^ h^^jin.ri^) Vnde, fumto A pro quantitate conftante, atque inftituta integra- tione, obtinebitur p p gt^Jin. Y](Jeo/. Cp— /m.. His enodatis , ponamus iam conum duplicem , -elapfo tcmpore r, gyrari circa axem principalem F C celeritate angulari y, in fenfum LHML (fig. 3.); fitque momentum inertiae eius refpedu huius axis z=z 2 P k k. Quia diredlioues virium n cof. v) P fin. (J) atque 2 P cof (f) per centrum inertiae tranfeunt, momenta earum refpec^u axis gyrationis euanefcunt. Noua Aaa Acad. Imp. Sc. T. VIL G g Mo- (234) Momenta autcm virium i cof. ■>) J 11 atqiie 2 IT ka ernnt com-. parata, vt momentum vis 1 cof. -vi 5 11 fit — 1 cof. ■>] S 11 C N ; momentum autem vis 2 11 fit —z cof. v) 11 F K. Vnde fumma horum momcntorum erit zzr 2 cof >! 11 (5 C N — F K). Quare incrementum celeritatis angularis ^ a hoc momento virium tempufculo bt produdlum erit a y — 4gcqr.yin(yCN-FK)9t ^ (-^j^ ^^^^ fj^ ^ ^ 2 P fe fe ;^ p XT p ir 5 C B ( D C — F C ) cq/. y) C B'' (D C — F C)/;n. ti erit ^ vj 4g3tco/.yinCBiDC-FC)Pco/.Yiy(nC'cof.Yi'-CB'/m.yi')-CB/;n.yil *^ ^ a P fe fe ( l) L = co/. ri" — B C^Jm. yj» ) ^- quae acquatio integrata praebet, y. 4gf co/.YinC B. I'C [yco/. 0^(0 C^co/.yi^ — CB" /m.yi') — CB/tn. y]J " ■ Tp fe fe (DC^ coj. /1» — C B'ji'i. i^) ^ 4gcor.inCB [y co/. yi yiDC co/. o'-C B»/yn.yi')-C B/m. ril f af FC ^ ' ' 2 P fe fe ^U C^ coj. o^ — C ii^Jm. y]*) Verum eft Corollarium I. §. 7. Quia QN labente temporc continuo crefcit , CN vero continuo diminuiturj palam exinde efle poteft, cen- trum grauitatis C inter afcenfum coni reuera defcendere, atque hunc aicenfum non verum , (ed apparentem efle. Quare fi reda VC eousque producatur, donec redae af occurrat in punclo quodam g, erit V^ fpatium, quod centrum grauitatis coni pcrcurrit. Corol- (235) Corollariiim 2. §, 8. Ex valore ordinatae C N patct, pro afcenfu co- ni duplicis non id folum requiri , \t interfedio perpendiculi F^ (fig. 3.) cum longitudine plani ac cadat fupra pundum contacflus L , fed etiam vt tangens anguli inclinationis plano- rum fit minor exponente fridionis ?: fi ergo 5 zzz ^ , vi lui- ius conditionis angulus (p minor efle debet , quam is", s^^i in hypothefi autem ^■r=:\ minor, quam 14-^2^. Corollarium 5. §. p. VC (fig.3.) -/[(VQ-CNy-f-NQ^l'. At efl: Q]U _— gt^coJ.y)[S coj. (p ~Jin. Cp ) y ( D C co/. Yi» — C B Vin. ■>)' ) J//«. /] co/. •/) C B + y ( D C^" co/. >]^ — C B V"l- ^* ) ' fada igitur fubfiitutione prodibit ■y n — - g i^ co/. yf ( g- cq/. (J) — Jin. 0) D C 67«n. ») co/. r) C B 4- y iD C» co/. ,)=' — C BV«- vi' ) * Corollarium 4. §. 10. Cum duplex conus eousque nfcendat , donec fiat C N ^ o, erit itaquc quadratum temporis totius afcenfus (DC — k)\S m- n coJ.y\ C B -4- ■/ ( D C^ cof. v)" — C B^Jin. rj' ) ] gjin. Y) ( J coj. $ —Jin.] ViDC^ cqf. Yf—C B^Jin. yi") Sjiu. .) coj. ^ C B -f- y (D C coj. yf — C B=J/n. yf) ' r N C B 1 D C — \ ) co/. ri ^ y CD C coj. yf — C i^-^jin.yf) g /- S Jin. Y) coj. Y) C B J/zn. 0 cq/. y) C 15 -(- ■( (D C-= coj. y)^ — C BVn. 71») ' -17- p . g t^ 5' n C cof. -/1" 5" jiTJ. ■/) coj. 7) C B -i- t ( D L= co/. y)= — C B^ J;fi. rf ) ' Corollarium 6. §. 12. Si plana , fuper quae conus inccdit , fumantur inter fe parallela, crit fin. -vi — o , atque hinc Q N =1 ^ r (5 cof Cp — fin. Cp) i p vr CB{ DC — A ) . ^ ^^ DC ' Y Cz=igf-{^ cof Cp — fin. Cp) ; W 2:)g f( DC — X)S n lo g U' ( D C — A ) to/ (|) 3P.CB.DC 3CB.DC * Scholion I. §. 13. Omncs illae aequationes , quibus motus cotii progrefiivus ;// c gyratorius continerur , ctfi rantum ad du- plicem conum , ex duobus conis recftis et aequalibus compo- fitum, rcferuiVtnr, fiicili tamen negotio ad irotum coni, ex duo- bus conis truncatis compofiti, accomodari poffunt. Pofito enim A ;;/ B y A (fig. 4.) effc fedionem coni duph'cis , ex duobus conis truncatis AwB et B ^ A compofiti, omnia quae de vi- ribus duplicem conum primae fpeciei foHicitantibus ftatuimus , ad hunc etiam appHcari poteruntj ita vt pro accomodan- dis — = (237) === dis illis nequationibiis ad inotum huiusmodi coni nihil ah'nd requiratur, nifi vt in iis loco DC rnbftituatur — -^iH^ — .. Quii lubftitutiorie reuera inftituta , obtinebimus has aequationes : Q-Rj g t ^ c-ij. VI ( S coj. (p —Jm. (J) 1 V [C m^ co/. Y)^ — (C B — m n )^Jin. /)»] S jiri. 7) coj. 0 l C B — m n )-+-■/[ C m- co/. ti* — (C B — m nfjin- rf'] > f~i TVT [C B (C m — A) -t- A m 7i] co/. y] ^ ^^ ■/ [C m^ co/. /i^ — iC ¥— m upjzn. /)^] g f'/?i. ■/) co/-. -y) ( 5' coj. 0 — rin. t|) ) ( C B — n m ) 6 JM. /) coj. y) ( C B — m n ) -i- ■/ [C m^ co/. yf — ( c ii—m n )'Jtn.y\'] ' ij 4g f co/.-on[CB(Cm— A ) -L m n Al [y cj/.-py [Cm^^cjf.vi^— (CB— nt ?! l'/n.Y)'] -(CB— mn )/w.>i1 2l'fe fe ^Cm^co/. y)=— (CB — 7ttn)2Jm. r)='J ' ^^g''?^^ CB-mn //n.Yjcnf -0171 h'coJ.<$—Jin -:P)[6co/.->)i/rCT?i.'co'.y)'— ( CE— Tnn )'//n.Yi']— (CB— mn )//n.v)] i.^.^kk 6 m.,]co/.>)LCB— mri)-^-T'LCm'co/.-/i^— iCB— mii )-j:n.ri^)Jy'[Cm-coj.ri=—(CB— 7/771. )'J"i-y)^J 9 \bi iV kk defignat momentum inertiae coni duphcis refpedu axis gyrationis m q. Ex his vero aequationibus, pofito C B r o , determinabitnr etiam motus coni duphcis , ex duobus conis redis , non bafi- bus tamen, fed verticibus fuis coniundis, qualem conum (fig. 5.) exhibet. Pro hoc cono erit itaque : Q •\T g t^ coj. Y) (5" coj. 0 —Jin.

' ( C 771^ coj. r)^ — m n'' Jin. rf) — 6 Jin. v) coj. r\m n 1 A m n co/. v) ""^ l/( C m» coj. /)2 — m nV>i- r)" ) ' y — . gp g f co/. Y) II . .'^ [5' co/. y) ■/( C m^ co/. v)^ — mn^Jin. v)' ) -4- m n//n. v]] 3 P-m n (C m^ coj. y)^ — //i n^jin. y)^ ) _^. 2og' (3//n. y^ cqf. Y) n (5' cof. 0 —Jin. (^ ) [5 co/. ■/)V\C m^ cq/.y)'— m n^/in. y)" ) -h m n f/?t. y]] 9 imn [v'tCm»co/. /)'' — mi^//n.>]2) — S/m.-zicoj. Y)mnJ ■/(Cm=' co/. y)^ — m Ti^j/n. ris' ) * Ex valore ordinatae CN facile perfpicitur conum, ex duo- bus conis redis, verticibus fuis coniunc^^is, compofitum, atque planis inchnatis bac et cad (fig. 2.) impofitum , non appa- renter , fed reuera afcendere , dummodo quantitates 5 cof. 0 — fin. (p atque / ( C w" cof ->]" — /;/ ;r fin. yf) — 5 fin. y] cof. y) fint fimul aut pofitiuae, aut negatiuae. PHY- y P H Y S I c A; PLANTA NOVI GENERIS ALPINA; PARNASSIAE AFFINIS. Audore E. L A X M A N N. Conuent. exhib. die 5 06toh. 1789- iv. .adix perennis, fimplex, praemorni, circa medium fibrofa, ad caulem gemmofa. 'Polia radicalia, oualia, integerrima, quinque-neruiaj bi- na rarius terna, petiolata , petiolis brcuiora. CauVis vnicus, rarifllme plures, fpithamalis, ercdiuscu- lus, angulatus, flore vnico terminatus, foliolo in medio ouato amplexicauli. Fig. i. Calycis perianthium pentaphylhim , foliolis lanceolatis patentibus. Fig. 2. Corolla pentapetala, vnguibus eredis, longitudine caly- cisj Limbis ouatis, integerrimis, patentiffimis. Fig. 3. Noua Aaa Acad. Imp. Sc. Tom. VIL H h Necia" 35 (24-0 Ne&aria quinqiie germen cingentia, ereda, breuia, tri- fida, laciniis aequalibus fubglandulofis. Fig. 5. Stamimmi filamenta quinque, fubulata, patentia, neiflariis duplo longioraj Anthera ereda. Fig. 4. PiJliUi germen ouatum, ftyius breuis, ftigma fimplex. Characfler genericus itaque in calyce pentaphyllo , co- rolla pentapetala, et ne^lariis quinque trifidis ?onfitUt. COM- COMMENTATIO NOVAE NOMENDATVRAE CHEMICAE CONDENDAE NECESSITATEM ET LEGES LVSTRANS. Audore LAVRENTIO CRELLIO. Conuent. exhib. die 24. Mai. 1790. Q, .uanta fint eniolumenta, quae ex lingua copioflori et locu- pletiori, eademque im.mutabili, nec non ad certas quasdam lo- quendi normas atque leges difpofita, capiuntur, ipfo communi ritae vfu edodus , nem.o multo minus literarum peritus erit , qui dubitet. Conftat enim , nos vnicuique , eiusdem linguae focietate nobiscum coniundo, cogitata, mentisque noftrae fenfa tam diftincfle, clare, pleneque, quam ipfi ea mente concepimus, impertiri, atque explicare, ficque eum modo in opiniones no- ftras adducere, modo optatis noftris voluntatem eius nos pofle reddere conformem. Quodfi vero ex eiusmodi lingua, omni- bus numeris abfoluta, in vita quam vocant communi, commo- da percipiuntur adeo praeclara; quos quaefo frudus ad artium, fcientiarumque ftudium inde redundaturos efle arbitreris, fi quae mente conceperas ipfe, adeo accurate et diftinfle exprimere e^ cum aliis communicare potueris, vt ii, quibuscum colloqueris, H h 2 fen- fententiam tuam ftarim ndfequantur, penirusqiie intelli^^ant, dum- inodo veiba arque vocabula, quibus vfus fuerat, auribus rede perceperant. Inter omnes vero artes atque (cicntijs, talis, qua- lem modo defcripfimus lingua Jocuples, arque rignificarionibus fingulorum vocabulorum lemel fimcilis adllrida, ci maxin e ne- ceflaria ert, qnae frgent, ecquidem etiam a termi- nologiae huiusquc vfitatae audtoribus, modo aliter et nifi forte paullo liberius loquutus fuero. adhuc melius atque diligentius obferuatam effe contendere aufim. Hos quidem non minus ac illos ad vnum eundcmque fcopum, nodo diuerfis viis, tendere videbis, dummodo attenderis ad ea, quae iam fequuntur. Nimirum nomen aliquod tum potifilmum perpetuum , atque immutabile dici meretur, vbi iis rerum afFedionibus fu- perftrudam eft, quae mutationi haud obnoxiae, ideoque ex re- rum natura arque indole reperirae funt. lam vero , quamuis naturam alicuius rei tam ratiociniis quam experientia, vel vtro» que veri indagandi (ubfidio adhibito, cognofci poffe, inter om- nes fatis conftet; in denominationibus tamen rerum materiali- um, ex attributis , (quae ex indole rerum ipfa deduda, fem- per et perpetuo illis competunt, ) repetendisj eiusmodi t.antum attri- (.50 == attrlbutorum rationem habendam efTe exiftimauerim, quae fola experientia duce cognofcuntur , quippe quae in tanta internae corporum naturae obfcuritate vnice confulenda videtur. Haec autem experienria , quae ad rei alicuius nomen , (indoli eius conueniens) fingendum requiritur non nifi piira fitj i. e. foU apperceptioni , ope fenfuum fadae , innitatur neceffe efl:,- nam experientiae mixtae, praeter fenfuum afFeclionem, etiam ratio- cinium fubeft; id quod falfum efle fubeft, vel, quia ambiguam, minusque redam ratiocinandi methodum adhibueramus,- vel , quia ideae iftae , quae fubfunt ratiocinationi , erroneae erant , parrim quia iamiam cognitarum notionum ambitum totum non vndiqiiaque circum fpexeramus, partim quia, quibus hucusque gau- debamus, corre£iione indigere poffunt, quae inuenta futura fup- peditabunt. Quodfi igitur, certa quaedam praecepta fecuti, in- concuftae verborum ftabilitali confulere volumus; nulia alia no- mina rebus imponenda videntur , qnam quae ipfi rei naturae fola experientia pura cognitae, fiiperftrucfla, ideoqiie fuapte na- tnra (fenfus noftros vno folum modo afficiente,) femper reti- neri poffunti vel ipfo fyftemate (fiue puraram et mixtaram ex- perientiarum, axiomatum et hj^pothefium coordinatione, ) quan- tumuis mutato. Tantum vero abeft, vt in ratiociniorum tanta pro ratione notionum atque inuentionum accedentium diuerfi- tate , denominationes his ipfis ratiociniis fuperftrudae , omni virorum dodlorum pofteritati arrideant, vt ne omnibus quidem coaevis idoneae videri pofilnt. (*) lam (*) Qiiam multae atque diuerfae rerum denominationes, quarum aliae aliis praeftare credebantur, prolatae fint, 'ex quo viri dofti nomi- na rerum ad earundem attributa, quae effentialia illis videbantur , accommodanda effe ftatuerunt, teftem habemus experientiam. Sic breui temporis fpatio , praeter illuftres Galliae chemicos, cel. Gn- doiin (^Animaduerf. in nov. nomenciat. chem. method. Aboae 1788) ceL lam terminologiae chemicae hiicusque vfitatae au<^ores in nouis rerum nominibus fingendis , id ante omnia egerunt , vt ea rerum attributa , quae in fenfus incurrunt inueftigarent , inuertigatisque vel nomen iam vfitatum, vel recens excogitan- dum adaptarent. Sic e. g. acidum vitrioli dicirur illud, quod cum terra calcaria coniundum, gypfiim, (cet. ) acidum fluoris vero id, quod eidem terrae admixtum, fluorem mineralem ef- ficit. lam vero , cum terram calcaream eam efle , quae igni vehementiori expofita, aqua afFufa efferueficit, et in eadem re- foluitur, cet. , inter omnes fatis conflet; nomina ifta , a certis hisce atque indubitatis euentibus repetita , etiam phme perlpi- cua, et rei naturam plane exprimentia, nuUique mutationi (ub- ie' (-<^4) ■ ■' ' - «■•inologiii etiam diemica redi loquendi arbitrium ad eum de- ferendum cfle, nullies dubitauerim. Et flc quidem vtrnmque , de qu.i fupra fermo erat ^ rerum adpellandarum rationem confidcranti mihi prior, ex qua bafes , (quippe quae plura exhibere poffiint compofita , quam acida), forma fubtlantiui exprimuntur, potior efle videtur. Si cnim, c. g. combinationes, quas cuprum cuin omnibus acidis, llilibus alcalinis, neutris, mediisque, oleis, nec non cum ful- fure, arfenico aliisque metallis inire poflit, in nientcm diligen- tius reuoces , longe maiorem ex eo compofitorum numerum dcprebendes, quamfi eadem fpedaueris, quae acidum quod li- bet figilhuim cum rebus aliis , quae eiusmodi conjundionem admittunr, inirc potcll. Quarc cum res eae, quae acidis tam- quam bafes fubfunt, pluribus notionibus formandis anlam prae- bent, (quia pluribus fnbftantiis lungi poflunt) quam acida, me- thodus etiam ca , quam b. BcrgmamiHS in defignandis rebus compofitis fequutus eft, mihi quidem retinenda \idetur. OB,^ER- (255) OBSERVATIONS MINERALOGIGLUES SUR QyELQIJES MONTAGNES VOLCANIQUES DES ENVIRONS DE GOTTINGUE. Par BASILE SEmB.GUINE. Prefente a PAcademk le s Juillet. 1790- V^haque contree a fes particularites, ^c en fliit de Mineralo- gie , ce ne Ibnt que les obfervations fliites fur difFerens en- droits & fur les differentes produdions du regne mineral , qui nous mettent en etat de fixer des verires generales. Car en efFet, ce ne font que les fliits, qui doivent fervir de bafe a chaque Theorie quelconque, & non ces vaines chimeres , que nous nous formons nous mem.es , ou que nous adoptons mal a propos des autres. Notre fiecle, fi riche en projedeurs, en Theorirtes , en fliifeurs de Syftcmes dc. en fournit des exemples nombreux, & chaque fcavant judicieux appercevra bicntot toure la foibleffe d'une Theorie , toute fois qu'elle fcra fondee fur ces dernieres, quelque brillante qu'elle paroiffe au premier coup d'oeil. Ce neft donc pas en vain, qu'on les diftingue ;i prefent de celles qui ont un fondement plus foH- de, par un nom bien propre en effet, celui de Romans d'Hiftoire Noua Aaa Acad. Imp. Si. T. VIL L 1 «atu- == (2(55) I ► natnrelle. Cependant il y en a de ces genies profonds , qui bien loin de s^anuifer i ces jeux de norre propre phantafie , contemplent la Nature dans la Nature meme, «5c ne deduirent les caufes, que des faics qu'elle leur prefente. Tel etoit Mr. Ferber(*J, membre de notre Academie & celebre Mineralogilte de notre fiecle , mais qu'une mort trop rapide nous a enleve fitot. Sa gloire eft generaie , & le zele avec le quel il par- courut les pays etran^ers en faveur de la Mineralogie, eft re- fpede par tout le Monde. Ni les rochcrs eicarpes , ni les fom.bres forcts, abandonnecs fouvent aux miferables, qui vivent de la proye de leurs prochains, ni les vagues affreufes des mers ecumantes, rien narretoit fon cours, & tout cela aux depens de fes propres frais. Toute 1'Alkmagnc, 1'Angleterrc, I'l;alie, une partie de la France & de la Suifle &c. Tont vii conten.- pler la Nature dans Tendroit meme , 6c qui ne connoit ies fruits, qu'il nous cn apporta, qui ne fcait, combien la Mine- ralogie , la Metallurgie , & meme la Phyfique en gcncral en a profitee? Rien n'echappoit a fon adivite & (bn gcnie pcnet- rant , & comme il n'epargnoit aucune depenfe , il per^a des cndroits, dont lacces etoit defendu pour tant d'autres. C'eft par ces moyens quil parvint a nous donner ies detaiis des Apennins, des montagnes de Derbyichire & autres en Angle- terre, de celles de la Hongrie, de l'Autriche, de la Bohemie, du Bas-Rhin, d'une partie de la France dcc. &c. & c'eft lui, qui nous demontra par des fiits non equivoques la regularite, que des chaines de m.ontagnes affedcnt, lorsqu'e'les traverfent des grandes re^ions. Mais ce n'eft pas la rendroit, ou je me puis- (■*) Cette differtation ayant ete lue juflement a 1'arrivee de la nou- velle de la mort de ce celebre Mineralogifle, lauteur a cru devoir faire cette digrefTion, pour donner place a cette foible exprellion de leihme qu'oii lui doit. — = (267) === puifTe trop etendre fur un objet, fi digne d^ailleurs d'etre prc- lente dans tout fon luftre. Je n'ai voulu , que temoigner mes reconnoiffances pour les fruits , que j'ai eu le bonheur de ti- rer de fes ecrits , fans Tavoir connu perfonnellement. Je re- viens maintenant au but, que je me fuis propofe. Ces montagnes fituees a une lieue & demie de la vil- le de Gottingiie , pres d'un petlt endroit nomme Dransfeld , font du nombre de celles , qui nous montrent dans un tres petit efpace de lieu, les produits de la Nature les plus difFe- rens. Des Bafaltes, des Laues, des Petrifications & bien d'aut- res encore fous des formes les plus differentes font les corps, que Ton y trouve presque a chaque pas. Cependant les monta- gues memorables, que j'ai obfervees, ne font qu'au nombre de trois, dont je vai donner ici la defcription ; (*) c'eft le Drans- berg, le Sefebeutel & rOchfenberg, toutes rrois fituees pres du village deja mentionne fur la chauffee entre Gottingue & la petite vilie nommee Miinden. Dransberg. C'eft une montagne conique & ifolee , qui eft fituec tout pres de Dransfeld, a la main gauche de la chauffec. Elle L 1 2 eft (*) Le celebre Mr. de Luc ''dans fes lettres phyfiques &moralesfur rhomnie &c. adrefTees a fa Majefle la Reine de la grande Bre- tagne) , & Mr. le Dodleur Brandis de Hildesheim (©ottdiaHUci* 5}^iUiavH/ 4- 3afH'aanq. i. (gt i78v) en ont deja donne la defcrip- tion, mais comme j'y trouve plufieurs chofes tout a fait omifes, & autrement decrites , que je ne les ai trouvees depuis , ces montagnes m'ont parues meriter detre decrites encore une fois. efl: difficile i\ monter, dc elle eft compofee de BaHilte, qne I'on eti exploite poiir paver les chaiiflees. La pliipart de cc Bafalte pre- fente des prismes a 3 — 4. pans quelquefois des pyramides, ou des coins, ou dcs doubles piramides 6c des boules. Les pans des prismes font inegaux i il y en a, qui font larges d'une de- mi aune, & d'autres fculcment dc dcux pouces. Jai mcme obfer- ve, quc lc Pafalte en gcncral y elt de deux fortes, 1 un affcde toujours une forme prismatiquc , lautre n'a qu'une figurc in- dcterminee, au quel apparticnnent, felon moi , mcme les Ba- laltcs en piramides & en coins, qui font generalem.ent entaf- fes parmi cc dcrnier. /^u rcfle cc B:ifal:e de figurc indeter- minee n'occupoit que les endioits plus procbes dc Ja furface de la Montagnc , tandis que les Balaltes reguliers ren.plif- folent 1'intcricur mcme de la ^'ontagne dc formoient des grands prismes , donc les pans avoient quclquefois une aune & demie de largcur. Ces prismes etoient diviies Tun de l'autrc dans une direclion un peu inclinee a Thorizon , & il y avoit des articulations loi^gues d'une aune , mais toujours , autant que je Tai pu rcmarqner , plancs par les dcux furfaces. Les boules etoient tres petites , ordinairement de la groffeur d'un oeuf de pi eon, ou quclqucfois un pcu plus grandcs. On m'a anure, qu'on lcs trouvoit ordinairement dans les jointures des prismes & qu'elles etoient arrangces 1'une aupres de Jautre cn forme du Paternofter des Moines. Quant a moi, je ne les ai vues, qu'cparfcs qa & la fur le fol de la carriere. Les interftices des prismes de Bafalte etoient remplis d'argille melee de Sable, &: de couleur brune roufl^itrc. Elie fert meme toujours d'enveIoppe au Balalte & s'en degage en- fin en maniere d'ecorce. Lc Lc fommet de la montagne etoit couYert de terreaii , qui avoit jusqu'a 2 pouces depaiiieur. Le pied eft garni en plus grande partie du bois de hetre (Fagus filvatica;. Lc fol de la carrierc etoit couvert de lave poreufe jau- natrc qiii eto't presquc entierement decompofee & tendre au point de s^et^rener entre les doigts. Mais ce qui rend cette montagne bien remarquablc cncorc, ce font des grands blocs d'une (brte de pierre quar- zeufe epars ^a & la iur les fancs de la m.ontagne & dont je parlerai plus bas. Le pied de la montagne etoit couvert de labie quarzeu<, & plus loin il y .i\oit des coucbes minces de pierre a chaux, contenant des Trochites. Le rommet avoit la torn;e d'un plateau, couvert de gazon. Sefebeutel. Celle ci efl: pofce presque vis a vis de la premiere , de cette cote du village. La carriere d'oii l'on tiroit le Bafal- te etoit tout au {bmmiet de la montagne ; mais le Bafalte y etoit deia prefque entiirement enleve, & ne reprefentoit plus ces belles colonnes, que Mr. le D. Brandis decrivit autrefois,- (*) on n'y trouvoit, que la la^e bieu Ure , qui fervoit de ba-» fe au Bafalre. Cetre lave me fembloit prefenter deux varie- tes difFcrenres, car elle etoit entierement compacle plus haut, & la couche inferieur etoit crevadee de petits trous , rem- plis fouvent dune matiere jaune luifante , dont je parlerai plus bas. Au refle cette montagne efl bien large ^' contient des couches calcaires melees de Trochites a fon pied. Meme L 1 3 tout (*) 0. ©6rtiii3. 9:}^asQjin, 4. 3vil;rfl. i. ^t, p. 143. (270) tout lefpace entre ces deiix montagnes contient de ces cou- ches calcaires parfemees de debris roiiles de pierres calcaires, de Bafaltes , de Quartz, etc. Ochfenberg. La montagne d'Ochfenberg , qui eft fituee a la main droite de la chaudee, pres du viilage nomrre Ochfenfeld, en eft plus eloignee. Mais c'etoit toujours le Bafalte, qui conftitu- oit fa principale mafle, dont on ne pouvoit cepenciant pas deter- miner la pofition, parceque la carriere d'oii l'on le tiroit etoit toute comblee de debris de pierres que Pon en avoit deta- chees. Ceux cependant que j'y ai trouves n'avoient pas cette figure de prismes regulicrs , mais paroilfoient plii- tot en mafles pius ou moins rondes irregulieres. Entre autres fy ai trouve du Bafalte blcuatrc , mais il eft: nire , & le Bafalte avoit ici ordinairement la mcme couleur de brun noiratre , que cchii des montagnes precedentes. On trouvoir au pied de la montagne des couches de pierre calcaire & du cote du (ud il y avoit ces remarqua- bles blocs de Pierre de corne eparfc ca & la , & mcme par tout le chemin , qui mene vers cette montagne , dont je parlcrai plus bas. Du cote de Teft il y avoit vis a vis de cet- te montagne , une autre petite monta:',ne nommce Bourg, qui affedait parfaitement une figure conique, & contcnoit audi dii Bafalte. Une vallee profonde, oii Ton trouve un petit village nomme Bourg , les divife. Au refte la lave que jai trouvee parmi les blocs de Bafalte, etoit de trois fortes, que je vais decrire bientot. De- C^70 Defcription des differentes efpeces de pierres trouvees aux envii'ons du village de Dransfeld. 1.) Lave poreiife bleiidtre parfemee de petits points de couleur d^oran^e tres friable. 2.) Lave compade bleuatre, parfemee de petits points blancsj un peu plus diire, que la precedente. 3.) Lave poreufe grife avec des points blancs tres friable. Toutes les trois d'Ochfenberg. 4.) Lave decompofee en une Argille jaunatre, de Dransberg. 5.) Lave poreufe bleuatre pleine de paillettes luifan- tes , fpathiques & jaunatrcs. — Tres remarquable en efFet ; car comment ces petits fpaths ont ils ete formes ? Eft ce dans le tems meme, que la Lave etoit encore fluide, ou apres fon refroidiffement ? Dans plufieurs trous de la lave je n'ai trouve fouvent qu'une terre friable jaune. Mais cette terre eft ellc un refidu de quelque fubftance cryftalline decompofee , ou eft ce la fubftance mieme , dou ces cryftaux ont ete formes ? ou encore cette tene n'eft eile pas un refidu de quelque fub- flance vitrifiee, que Teau & Tair diflout apres , & depofe en- fin en ces petites m.afles fpathiques ? Quant a moi , je ferai tente de fouferire a cette derniere conjecture, car la friabilite & la porofite de la lave prouve, que Teau a bien pu la penet- rer, ainfi que, felon moi , toute fois que Teau n'a pu la pe- netrer, la terre refta inalteree ou s'en degagea meme, en lais- lant les trous vuides qu'elle occupoit auparavant. 6.) Bafalte contenant une fubftance blanche probable- irent vitrifiee par le feu de volcans , & qui donne des etin- celies avec le briquet. 7.) 7.) Bafliltes en petites boules contenant une fubflance verte vitrifice & qui le decompofe. 8.) Badiltc noir inegal , & luifant duns Tendroit de la fradure. 9.) Differentes varietes de Bafalte , contenant des vi- trifications noires , vertes , rouges , ou blanches, en forme de points, de grains, ou de l:rmellcs 6:c. 10.) Bafalte de couleur brun fonce , contenant de pe- tits cryftaux dc couleur jaune vcrdatre & en forme daiguil- les. Ces cryllaux ont ete formics probablement par la voye feche. Cependant il fluit, ce me fembie, dillinguer deux fortes de ces crUlaux dans les produ(f.ions volcaniques, lcs uns, qui font vraiment des produits du fcu, & d'autres, qui fe fbrment par une diffolution reiteree par la vove hun.ide, apres le re- froidiflement de la lave, comme je l'ai dit au N". 5. II.) Suivant la face extcrieure jy ai trouve des pris- mes, dcs pjramides, des coins & dcs bonles. Au rede le Ba- falte avoit toutes les proprietes, que les Naturaliftes qui Tont confiderc cn Italie ou au Bas - Rhin lui attribuent. 12.) Cres de coiileur roiigeatre, avec des paillettes de Mica blanc. Les petits grains de fable fcmbJent ctre lies en- femble par une ochre ferrugineufe. II donne du feu avec lc briquet, qui en dctache en meme tems qiiclques parties friab- les. Au pied de Dransberg. 13.) Gres, que les acides attaquent avec effervefcence, pour preuve, qu'il contient des parties calcaires. 14.) Sablc blanc & tres fin. Au pied de Dransberg;. '50 (^73) 150 Gres brun rougeatre dont la face exterleiir eft unie & un peu luifante , &. comme fa coiileur eft de bruii rougeatre, il imite par la aflez bien riiematite. Pres de Drans- berg. D'ailleurs on le connoit fous le nom de Bafaltc rouge. 16.) Grcs blanc & d'un tiffu tres fin , qui au lieu d'avoir la fice ordinaire de grcs, a une furface unie & egaie, comme s'il y etoit demivitrifie. Au pied de Dransberg. 17.) Des grands blocs de pierre quartzeufe, compacfle & luifante , de couleur blanche , jaune ou rougeatre. Les differens degres d^ folidite & d'eclat de cette pierre , ainfi- que fi face entieiVet les circonftances du lieu ont engage quel- ques Naturaliltes de regnrder ces blocs comme des gres vit- rifies par le feu des volcans. ((Bbttinc|. 50»ag. 4. ^al)VQ, 1. 9» ab apice roftri ad medium oculum - — — 4. ad nares - - - — — 4. ad angulos oris - - — — 7. maxillae fuperioris ad muham - - — i. 3. ii.ferioiis ad angulos oris - — — 6, ad apertur. branch. — i. 6, Altitudo ridus didudis mandibulis - - — — 5« Diftantia inter oculos - - - - — — Sl. inter nares ------ — _-i«. Latitudo maxillae fuperioris ad oculos - - — —6. Altitudo roftri ad oculos maxillis claufis - — — 3J, Latitudo capi'is maxima - - - - — — . g. Altitudo eiusdem fumma - - • • — — 7» P p a Cif == (300) == ped. poll. lin. Circumferentia capitis ad niicham - - - — 2. — Latitudo maxillae inferioris ad oculos - - — — 4. ad angulos oris - — — 6. Ab apice maxillae inferioris ad anum - - i. i. 3. Ab ano ad extimum apicem caudae - - _ 5. g. Ab apice roltri ad exordium pinnae dorf. - — 11. 3. Altirudo caudae infra anum - - - . _ — 7. CrafTities in eodem loco -----__ 5. Circumferentia trunci vbique aequalis - - — 2. i. Apercura ani per longitudinem et transuerfim - — — 2|. Apertura branchialis ---- - __2. Defcriptio. Corpus cylindricum, nudum, cute alba glnberrima tedum, cxtremitate altera ouato - depreffa, altera compreflb - Janceolata. Capttt ouato - oblongum , a fummo vertice ad roftrum defcen- dens , infra planum , craifitie reliquo corpori acquale. Ricfus oris transuerfus , mediocris. Rojlrum breue, decJiue, obtufius- culumi maxillis fubplagio -plateis, labiatis, inaequalibus, fupe- riore Jongiore; labiis^ fuperiore furfum, inferiore quafi dupli- cato deorfum reflexis , carnofis , craniiisculis, intus ordine pa- pillarum curanearum ceu dentibus circumdatis. Dentes in vtra- que maxilla et paiato plurium ordinum , minimi , accrofi, ae- quales, in palato obiufiores, fixi. Lingua intcgra, carnofa, ob- tufiuscula, libera, glabra, palaro vaginaaj Palatum fornicatum, in medio glabrum. , lateribus maxillis paralielis eleuatis , denti- culatis. Nares fupra ociilos diftincftae, ouales, furfum patentes, folitariae, paruae. Oculi in anteriore capitis parte fiue ad ba- fin roftri fub ipfis naribus fiti, mediocres, conuexiusculi, nigri, fubrotundi j orbita ouali, cute communi tedi, puptlla argentea (30i) minima niditantes. Apertura branchialis vnica, fub gula in for- mam ferri equini formata , membrana brancliiali per integram gulam expanfa fere operta. Gula plana. Thorax^ Dorfian^ la- tera^ abdomen teretia. Linea lateralis recla, ad caput eleuatior, caetcrum per totum corpus media, laeuiflima. Amis fub cau- da, a capite remotidlmus, femilunaris, amplus, patulus. Cauda cathetoplatea, cufpidata, apterygia, limbo verfus extremitatem exiliffimo alata. ^inna dorfalis membranacea fub extremum dorfi inchoans ad apicem caudae fit euidentior, in apice vero cum fubcaudali confluendo fere euanefcit. Pimia fubcaudalis longe ab ano incipit pariter cutanea, magis vifibilis euadit ad extre- mi-arem caudae, longe tamen minor altitudine, quam dorfalis. Ambo fpecimina proftant in coliedione Dhalberghiaua. P p 3 NO' == (302) === NOTICE SUR LE SCHOERL ROUGE DE SARAPOULSKOI EN SIBERIE. Par Mr. HEKMANN. P Prefente a la Conference le 2 Let^embrc^ ^19^' Introclu£lion hiftoriquc. armi les Schoerls , dont il y a beaucoup d^efpeces en Si- berie, celui de couleur rouge, nouveliement decou^ ert, eit fans doure un des plus rares; il eft tout difFcrent de celui en tres petites aiguilles d'une couleur rouge itre tirant fur le verd , qu'on y trouve deja depuis quclques annees, ce qui hii a me- rite le nom de Schoerl capiliairei (Haardein, BoAOccarniiKT.) ces aiguilles ninces traverfent en direcf^.ion difFerente ou le Criftal de roche ou un Quarz gras aflbz trinsparent, mais le Schoerl qui efl; le fujet de ce Mcmoire, eft d'une au're elpece. Ce Schoerl ne fe trouve, n ce que je fache, dans au- cun pays de rEurope. II me manque prefenrement la plus grande partie de mes livres; je fuis donc hors d'etat, de con- fulfer la - defliis la plupart des auteurs mineralogiques. Dans ceux dont je me vois pourvu, je ne trouve rien d'une efpece pareille. Mr. ferber p. ex. parle d'un fofril roiige de la Suiffe (303) Siii^e qii'on y a^.oit decouvert il y a quelqne tems; mais il le compare au Schoerl capillaire de Catherinebourg (*); il efl: donc difFerent de celui de Sarapoulskoi. En Hongrie 11 y a auin un Schoerl ronge , quelquuns pretendent pourtant , que Ceft un Hiacinthe; des autres , par ex. Mr. Hofmaa croient, qu'il doit etre range au grenat (**). Le tourmalin d'un brun jaunatre de lisle de Zeilon, qul a une couleur de cramoifin en le vovant a travers des flices, & dont parle Mr. Karften dans le Mufeum Leskianum, n^eft furement non plus de refpece du Schoerl de Sarapoulskoi (***). Mr. Gmelln dans Je fyfteme miineralogique de Linnee parle d'un Schoerl rouge de Glatz en Silefie , & d'un aurre de couleur de rubis , qui fe trouve dans les Laves du Vefuve , & dans les montagnes de Schladming en Stirie (****). je ne connois pas celui de la Siiefie; mais les Schoerls dans les Laves ne peuvent pas erre compares au notre , & celui de Schladming n'efl qu'un Schoerl capillaire. 11 me femble donc , que notre Schoerl rouge, s'il n'efl: pas unique, eft pourtant tres - rare. On le rencontre dans le Gouvernement de Perme au cercle d'AIapaefsk, 12 verfles de la Slobode de Mourfinsk aux en^irons du village de Sarapoulskoi fur la pente orientale d'une montagne ifolee, dont la hauteur ne furpaffe pas 50 toi- fes de Ruffie (Ca^KCHb); & qui a cependant une grande circon- fe- (*) Drey Briefe mineralogifchen Innhalts, p. i\. (**) Bergmannifches Journal, mois Avril, 1789, pag. 388. — L'Aca- demie a requ de la part de fon Directeur S. Exc. Madame la Princeffe de Dafchkav un echantillon de Schoerl rouge d'Hon- grie; eft - ce qu'il eft de la meme efpece que le notre ? Hiih de l'Acad. p. Tannee 1789, p. 39. ^<***) Vol. I. pag. 78. (****) Vol. II. pag. 13X. =— = (304) == l^rence , de forte , qiron la monte fort comrrodement. La pierre dont cette montugne eft compofee, condlte en Granit, ce qu^oQ peut voir en plufieurs endroits , oii elle n'e{l pas couverte de la terre vegetale (Damm.erde). Ce Granit eft d'un grain afTez fin, confiftant en Feldfpath , Quarz & Mica; le Feldfpath y predomine. Sur cette montagne il n'y a qu'un feul endroit, ou Ton exploite le Schoerl rouge; on remarque ici un filon de Feldfpath de repailfcur dHine jusqu'a 3 Archi- iies. Celui - ci efl: d une couleur rougeatre, tirant fur la cou- leur de chair; il eft rempli de Quarz en forme des pyrami- des, des grains & des feuilles, dont la couleur ert d'un rouge brunatre; en outre il contient parci parla quelque' criftaux de Schoerl noir (fchwarzer Srangenfchoerl) & du Mica jaune. Celui - ci nentre guere dans fa compofitionj il fe trouve pour la plupart dans lcs Salbandes , c'eft - ;^ - dire entre le filon & la roche, de la quelle confifle la montagne entiere. Le Feld- fpath prcdomine fi fort dans le fiion , quon le rencontre en mafles trcs - confiderables , qui fe cafl*ent cn grands morceaux rhomboidales feuilletes, dont quelqu'uns jouenf, quand ils font tailles & polis , la couleur de nacre de perles. Le Quarz y inele eft tres - curieux; non fculement il affede la cryftallifa- tion pyramidale a 4. & a 6 pans fans prisme, il prefente aufli des figures , lesquelles , quand le Feldfpath eft taille dans un certain fens, reflemblent a des lettres hebraiques. Le Schoerl noir y eft disperfe irrcgulierement, tantot en grouppes tantot en colonnes ifolees. II fe trouve quelquefois avec le Schoerl rouge dans le m.eme endroit. C'eft un payfan, qui a trouve par hazard en 1789 les premiers echantillons de ce Schoerl rouge. II les a vendus i un marchand de mineraux , duquel Mr. le Con te de Golov- kin lcb a achetes pour une fonime fort confiderable. Je Jes ai vus (305) == ^ vus pour la premiere fois dans fon riclie cabinet. Lorsque jc vifitois, il y a quelque tems, le lieu meme ou l'on exploitc ce follile curieux , j'y ai trouve quantite d'endroits ou Toa a fouille dans Ja terre vegetale (Dammerde)j car ce n'eft pas dans la roche meme, c'eft - a - dire dans le Granit ou dans fon filon, qu'on l'a trouve ; au contraire on ne rencontre le Schoerl rouge, que dans cette terre vegetale , laqueile pour- tant doit fon exiftence au Granit & pour la plupart au Feld- fpath decompofe. La couche de cette terre a bien repaifleur d'ii jusqu'a 2 archines & plus. Elle confifte en argille rou- geatre , melee d'une quantite des fragmens de Feldfpath , de Quarz & de Mica; & c'eft dans ce melange que fe trouve notre Schoerl rouge, tantot en criftaux ifoles, tantot & pour la plupdrt en grouppes , qui reffemblent a des bouquets en rayons excentriques. Ces circonftances demontrent fuffifam- ment, qu'il doit fon»exiftence au filon de Feldfpath, dans les fentes & cavites duquel il s'eft forme, ainfi , que fa couleur, laquelle femble deriver du Quarz rougedtre, dont le Feldfpath eft mele , ou plutot tous les deux doivent leur couleur , du moins en partie, au meme principe colorant. Par la decompofition du Granit & de fon filon , les grouppes de Schoerl , comme beaucoup moins deftrudibles , en tomboient, & fe confervent dans la terre vegetale, oii el- les fe trouvent aujourd'hui difperfees. Cette fuppofition ac- quiert encore plus de vraifemblance, quand on confidcre, quc j'ai vu des echantillons du Schoerl rouge avec du Feldfpath adherent encore non - decompofe. — Ce Schoerl rouge n'eft pas a la verite fi cher a preient , comme il Ta ete au com- mencement a Moscou, 011 Ton a paye pour une petitc grouppe 200 a 300 roubles; mais il eft encore beaucoup plus chcr , que toutes les autres pierres de Siberie. On n'a trouve qu'u* Noua A£ia AcaU. Imp, Sc, T. yu. Q q ne (306) ne petite ejuantite des echnntillons , & a prefent il conte tine peiue infinie, de trouver un morceau fur le lieu meine. Defcription de fon exterieur. • r.) Pour la plupart notre Scboerl eft de couleur de rofe foncee, quelquefois tirant fur le brun rougeatre ou cou- leur de framboife. Les pieces taillces ont toujours une cou- leur rouge plus foncce , fi I'on laiffe tomber la lumiere fur el!es; mais contre la lumiere pour fordinaire eiles paroiflent de couleur de rofe ou de riibis balais , pourvii que la pierre ue foit pas trop epaiffe. 2.) II ne fe trouve qu'en criftaux; ceux-ci reprcfentent poiir la plupart des aiguilles minces, reunies en bouquets ou fiiiffeaux coniformes , precifcment comme on trouve quelque- fois Je Schoerl verd & blanc (giuner und weiffer Strablfchorl). Les echantillons dune groffeur p. e. d'un ou deux pouces confiflent a Tordinaire en 3, 5, jusqu'a 8 bouqucts , plantes Tun fur Tautre en diffcrente direcftion. On trouve auffi des bouquets ifoles, dont les crifiaux font communenent un peu plus epais. De cette efpece efl rcchantillon que J\ai rhon- neur de prefenter a TAcademie, joint a ce Memoire. 3.) Pour I'ordinaire les criflaux de notre Schoerl font petits , furtout ceux , qui fe font reunis cn grouppes. II efl rare de les trouver d'une epaiffeur, qui cxccde celle dun quart de pouce. J'en ai vu a la verite un crifkl d'une epaiffeur pres- que d'un demi-pouce; mais il confiftoit des plufieurs petits criflaux, qui fe font fi parfaitement reunis, qu'a peine on pou- voit remarquer les points de leur reunion. De plus, ce cri- ftal etoit canelle fur la furfice, de forte, qu'on ne pouvoit pas com- == (307) = compter le nombre de fes fiices; il reprefentoit parfaitement bien une colonne ronde,- il me paroit neanmoins , que notre Schoerl afFede la criftallifiition d'un prisme tantot a 4., tantoC a 6 pans, avec des pyramides obtufes a 3 faces. 4.) 11 efl: fort curieux, que, quoique l'on ne puifie pas bien diftinguer dans les faisceaux de notre Schoerl la figure de fes crilbux , ceux - ci font pourtant tous pointus affez re- gulierement; mais ce font presque toujours plufieurs aiguilles tres minces , qui fe font reunies , pour former une pyramide obrufe & folide, tantot a 3, ce qui eft le cas le plus ordinaire, & quelquefois a cinq facettes. Le Schoerl noir fe rrouve fou- Tent de la meme flicon. En general notre Schoerl rouge a beaucoup de reflemblance avec celui-Ia, furtout a l'gard des criftaux ifoles d'une epaiffeur un pcu plus confiderable. Ou- tre ceia j'ai vu un criftal de ce Schoerl rouge d'une grofleur k peu pres d'un demi - pouce , canelle fur la furface & plante fur un criftal de Schoerl noir, de maniere, que les deux cou- leurs , la rouge & la noire , fe perdoient infenfiblement Tune dans l'autre. 5.) II n'eft pas moins remarquable , qu'une aiguille mince n'ait presque jamais la pointe reguliere; ce font tou- jours plufieurs petits prismes, qui fe font reunis pour former a la pointe une pyramide de la configuration fusdite; mais les criftaux ifoles ne font jamais pointus de cette fligon , autant que j'en ai vu. lls font tronques nets, precifement comme les aigues marines de Nertfchinsk. Cependant il y a quel- ques uns, dont la coupe prefente trois facettes fort etroites , de maniere, qu'il en refulte une pyramide a 3 faces tres ob- tufes, dont le fommet eft coupe presque a fa bafe. Qq a 6.) == (308) 6.) Les criftaux de notre Schoerl font luifants fur leur furface & pour la plupart tres - luifants ; de meme que la caflure, Jaquelle, fi Ton cafle lc criftal en deux, eft toujours fort luifante & plutot grainuleufe que feuilletee; mais sil eft cafle en deux par fa longueur , la caffure fe prcfente eii ai- guilles. Un faisceau entier montre dans fa calfure a peu pres la figure des vergettes. 7.) Communement ces criftaux fe caflent en mor- ceaux d'une figure non - determinee, dont les pointes font fort tranchantes , excepte les criftaux iloles , qu'on peut cafler en colonnes tres courtes, car on voit que ces criftaux font pro- duits par des lames minces pofees Tune fur 1'autre , precifc- ment comme dans les Schoerls noirs & dans les aigues ma- rines de Nertfchinsk. 8.) D'ailleurs notre Schoerl eft pour la plupart de- mi - transparenr, & presque jamais tout nct; il a quantite des fifliires & des fentes. Je n\ii pas encorc vu aucutt criftal, qui auroit ete tout-a-faic net. Cependant les pierres taillees minces font aflez transparentes , du moins vers les pointcs , quoique jamais pures. Ces memes fiflTures font aulfi la caufe, que la lumiere fe refracfle en tombant fnr la pierre , & pro- duit un beau jeu de couleur dlris , qu'on remarque dang quelques pierres taillees. ElTais chymiques. I.) La pefanteur fpecifique de ndtrc Schoerl rouge eft de 2875 a 1000. 2.) II fait feu avec le briquet fort vivement; mais fes pointes tranchantes s'en caflTent un peu. 3.) (309) 3.) II eft dur & ne cede guere a aucune pierre , excepte le diamant. Sa durete lurpaffe celle des Amethyftes, ^des criftaux de roche , & meme quelquetois celle des aigues marines de Nertfchinsk. II eft pourtant un peu fra^ile , & difficile a travailier, quoique les criftaux un peu plus nets font fort denfes. 4.) II coupc le verre , mais pas fi bien comme le diamant. 5.) Etant reduit en poudre , celle - ci a la couleur de rofe p;ile. «5. ) Sans addition d'un fondant il eft infufible au Cha- lumeau , ne decrepite pas , & ne donne point de marques de phosphorescence en jettant h poudre fur des charbons brulauts. 7.) Dans un feu continue quelque tems il devient premierement bleu:itre , puis bhinc & tout - a - fait opaque & beaucoup phis fragile, qu'il n'etoit auparavant, de forte, qu'on le peut ecrafer parmi les doigts. 8.) Je Tai voulu fondre dans un creufet fans addi- tion d'un fondant; il a perdu au commencement fa couleur , & eft devenu tout blanc & opaque; puis il crevoit en pre- nant beaucoup plus de volume , quil n'avoit dans fon etat naturel. La friabilite , quil a acquife en meme tems , eft fi confidernble , qu'il tombe presque au moindre choc dans une poudre blanche. 11 n'y entre pas en fufion; mais dans le feu leplus violent d'une forge je l'ai fondu en un verre blanc, demitrans- parent, & fi dure, qu'il fait feu avec le briquet. En y me- lant du Borax ou du fel microcosmique, la fufion dans ce feu fe fait plus aifement, mais toujours en continuant le travail quel- ques heures, & pouflfant la chaleur au plus haut degre poftlble. Qq 3 pO ' == (310) == p.) L'acidc nitreux, ^ lo.) L'acide marin, V , •. r i • -r i II.) L'acide vitrioiique, h^.f P^^/"'* "'' "' ^"'' ^" i^.) L'eau regale, y"'^;^"^ ^ans leur etat na- 13.) L'acidedephosphore,(^"^"'^^' "\ ^,''' le"r Poudre 14.) L'acide de fucre, Von - calcinee ou calcinee. 15.) L'acide de tartre, ^ 16.) En ajoutant a l'acide nitreux, marin & vitriolique, dc ralcali mineral, ) , , ^ ^ de l'aicali vesetal, ( ^'^ P^"'^'' "' ^""''^'^ ^"*^"^ de 1'alcali volatil , ) changcment. 17.) La lefllve de Talcali phlogiftique (Blutlauge) don- noit d la verite avec lacide nitreux , dans lequel il y avoit de Ia poudre non - calcmce de norre Schoerl , un precipite bleu, lequtl, etant bien calcinc, ert attirable par raimnnt; mais ces particules de fer ne provienent furement pas du Schoerl , celui - ci n'ayant rien perdu ni dc fa couleur, ni de fon poids,- c'eft (^ins doute de la lefiive , la quelle , comme on fait , ne peut jamais etre tout - a - fait purifiee du fer. 18.) Lorsque la poudre eft bien calcinec, il fe fond au chalumeau, mais imparfaitement, avcc le borax, le fel mi- crocosmique & l'alcali mineral, dans une boule blanchatre, dans laquelle on remarque quantite de petites taches d'une couleur d'email blanc. 19.) Enfin pour reconnoitre les parties conftituantes de n6rre Schocrl, j'en ai prepare ure liqucur filicieufc. j'ai pris 100 grains du Schoerl, reduits cn poudre tres - fine, & ai j'y mele 200 grains d'alcali mineral. On a mis ce melange dans un creufet , dans lequel je Tai bien calcine. La mafTe pren- noic une couleur rougeatre tirant fur le bleu; j'y foupcoroit donc donc un peu de manganefe (Braunftein) , quoique par la trl- turation elle devenoit blanchdtre tirant fur le gris. J'ai pris une partie de la folution, produite par le procede fuivant, & en y ajoutant de l'acide marin, on remarquoit quelque legere odeur de l'acide dephlogiftique; ce qui fe precipitoit & ce qui reftoit dans le filtre , etoit digere dans une lefTive de ralcali cauftique & puis bien feche,- j'en ai recu a peinc 2 grains de manganefe. £0.) Lorsque j'ai diflbut la maflfe calcinee dans Teau diftillee, il fe developpoit quelques petites bouJes d'acide fixe; la folution etoit presque incoloree, un peu tirant fur le rou- geatre. L'ayant echaufFee & mife en repos pendant quelques jours, il fe precipiroit une poudrC blanche indiflblubie & in- attaquable par tous les acides, qui pefoit 39 grains. 21.) On meloit avec cette folution de l'eau regalc jusqu'a ce que raicali etoit fature; on Ta filtre , ce qu'il y avoit dans le filtre (apres Tavoir bien feche & calcine) etoit une poudre blanche tres - fine, qui pcfoit 8 grains. Elle avoit de meme comme la poudre fusmentionee , toute la propriete de la terre quarzeufe, 22.) J'ai ajoute au gele qui fe produifoit de cette folution , de 1'acide vitriolique , par lequel j'ai recu une tres petite quantite de Selenite. Pour precipiter la terre d'alun laquelle s'y pouvoit trouver , on ajoutoit de la terre du {t\ d'epfom , & pour feparer celle - ci , je Tai fature avec I'alcali mineral. Pour feparer la terre calcaire du Selenite & celle de l'Alun, je les ai fait bouillir chacun dans unc leffive alca- line, puis je les ai bien feches. 23.) == (314) 23«) P^r tous ces procedes (eti deduifant la terrc du fel d'epfom) j'ai re^u : Terre filicieufe ou quarzeufe - - - 47 grains. Terre d'Alun ou terre art^ileufe - - 28 Terre du fel d'epfom ou terre de ferpentine 10 Terre calcaire ------ «7 Manganefe -------2 5)4- Perte -------- 6 100 grams. Je n'ai donc rien trouve de ferj il faut dire cependant, que j'ai employc dans mes effais les morceaux les plus purs que je poffedois. Si j'avois pris des criftaux d'une couleur foncce , comme ils le font pour la plupart , peut - etre j'7 aurois trouve auffi du fer. ESSAY (313) E S S A Y SUR LES PIERRES DE ROCHE COMPOSEES. Par BASILE SEJVERGUINE, Partie premiere. Prefente h PAcademie le zo Janv. i-j9i< o. §. L Introdu6lion. utre l'avant:ige , qui amene la vraye connoiflance des , pierres de roche (compofees) dans Pufage economique, dit , le celebre Mineralogilte de Suede, les mineurs & les ama- , teurs de la geographie fouterraine en attendent un tout dif^ , ferent avec le tems. C;ir ils efperent qu'a force d'obferva- , tions , ils pourront decider fi elles font toutes egaiement , importantes, fi elles contiennent quelques metaux, & quelles , fortes de mines elles renfcrment j fi d'autres qui fe rencon- , trent par tout y font impropres ; quelles font celles parmi ., elles , qui peuvcnt fervir de ce qu'on apelle enveloppe en „ Allemand /albande^ pour couvrir les autres efpeces ainfi que Noua A&a Acad. Imp. Se. T. VII. R r „les =^ C3I4) == 5, les filons des mincs. S'ils ne peuvent pns tirer des confe- 5, quences generales de leurs oblervaLions ils comptent pour- ,, tant en fonder de particulicres pour certaines contrees , & 5, cette pretention a ete confirmee, comme etant bien appuyee 5, par rexperience en plufieurs endroits &c. ,, ( Eflay d'une nouvclle Mineralogic, rEdifion fran^aifc par M. Drcux le fils a Paris 1771. p- 35-0 Ce n'eft cepcndant que depuis peu de tems que Ton a commicnce dc Jes diftinguer avec plus d'attention. Jusques la on ccll contcntc de nous dire , que tellc ou telie elpece pierre elt une pierre de roclie compo- fee , & on nous cita des denominations que quelques auteurs en avoient donnees bien ou mal tout egal. Les noms de gra- nit & de Porphyre font ceux, fous Jcs queJs on comprit la plupart des pierres de roclie compofees. Je crois que je n'au- rai pas befoin d'en citer les exempies. La pJupart des Mine- ralogiftes les connoitront trop pour que j'aye befoin de ni'c- tendre Ja dcfllis. Les MineraJogiiks luedois femblent etre les premiers qui sen occuperent le plus ferieufement, & qui s'en firent une etude plus particulierc. Ceux de la Suiffe la pour- fuivirent de nos jours avec le plus d"ardeur. Du tems dc Linnaeus , dc Wallerius & mcme de Cronfiedt qui font du nombre dcs premiers, on ne s'occnpoit que d'en citer les plus remarquabies , &" cncore s'embarafla - t - on peu de Jeurs par- ties conftituantes. On ne les cita, que pour quelque propriete exterieure remarquable, telle que la fiiculrc de rendre un fon clair , quand on les frappe par quelque corps dur &c. Oti leur donna des noms particuliers a caufe de ces proprietes difFerentes, quoique les parties conilituantes reftoient toujours les memes. De Ja vient , que des pierres de roche compo- fees , qui quant a leurs parties contUtuantes etoient presque les mcmcs , avoicnt des noms differents , & d'autres qui dif^ feroicnt totalement rune de l'autre par leurs parties conrtitu- antes C3'0 Sntes n\ivoient qu'iin feul nom commun. Les noms de Tri- torium , Roerofienfe & Mareftranden(e d'un cote , & ceux de Granit & de Porphyre de l'autre prouvent , ce me femble , fuffifamment les deux cas cltes. Wallerius alla cependant plus ioin & les confidera plus attentivement. Les Allemands ne firent depuis que de lcs rediger fous des fyftemes. Les Mineralogiftes francois & italiens ne s'oc- cupent depuis un tems que de Tetude des volcans. Ce ne font que ceux de la Suifle, & puis les RuflTes & les Anglois, qni s'en firent une etude plus pariiculiere. Surtout le nom du celebre Mr. de Sauflure a Geneve fera pour cec egard comm.e pour bien d'autres longtems grave dans la mcmoirc des vrais amateurs de la Science. Cependant les progres de cette etude ont ete toujours tres lents. Parmi les modernes Tamiour pour les Theories a remporte fur celle de definir les corps naturels plus exadement. On vifite quelque carriere , on contemple Tentier, 6Pti ?l. ^ ^Berner , 58frgnfabemie ^^fpfffor ; unb id^m b«r S3crfll)aufun(l «nb ^lmtalcQk ju grerjberg. ©reeOen 1787. (323) pour bafc de definition & de claffification des corps naturels, des proprietes qui n'exiftent pas dans ies corps memes, quellc idee pourra - t - on fe faire par exemple de fon Granit & du Gneufs, & comment les diltinguer l'un de Tautre. Le Granir, dit il, efl: une roche compofee de Feidfpatli, Quartz & Mica (a la page 7.)' J-e Gneufs en e(l compofe aufTi ( a la page 8.) . Tous les deux contiennent du Mica la moindre partie (a la page 7. & S-)* Le Gneufs differe du Granic en ce qu'il eft fchifteux & fibreux. Mais le Mica etant en fi peu de cuian- tite , qui lui croira que cette pierre foit ichifteufe & fibreufe, car le Quartz & le Feldfpath ne prennent fiirement par cette forme, du moins dans leur etat natucl. Mais encore fi mc- me ce cas exiltait reellement, les parties condiaiantes etant les memes & a peu de chofe pres dans la mcme proportion, je vois peu de raifons pour les trainer fune de Tautre. Ni meme le permette leur formation probable , car felon raveu meme de Mr. rinfpedeur Werner , il y a des Gneuss qui font d'un age encore plus fuperieur que quelques Granits. (a la page 10.) Mais la maniere, dont il s'y eft pris, la plus plaifante c'eft qu'il ajoute (a la page 9.): Que le Gneuss fe diftingue encore du Granit , en ce que le premier contient quelque fois des Grenats , & le dernier n'en contient que tres varcment. J'apelle mainterant au tribunal de tous les minera- logiftes , fi c'eft une diftindion vraiment phiiofophique , ou fi elle puiffe etre de quelque utilite dans la Science ? Car J"'i/ n^cn contient que trfs rarement il en comient pourtant queJque fois. Je pourrai dire le meme de fon Porphyre & de foii Mandellkin (p. 12. & 13.). Car n'eft ce point . furement iiommer une pierre deux fois , que de placer la combinaifoa S s 2 dc de I'argiIIe endiircie aA^ec h Hornblende & entre les Porphy- xes (*) & entre les Mandelileins (**) Scc. Cependant eft ce une faiite, dont les mineralogiftes de Freyberg ne fbnt guere cxempts. Er men;e je n.e relibuviens de Mr. Karften C^**) ci'avoir ete content de definir le Horn- fcliiefcr de Mr. AYerner , que c'etoit unc pierre noire avec des veines de Quartz. Mr. rinfpectcur Werner nous a donne une clanifica- tion des pierres de rociie en general tant homogenes cjue com- pofees , mais il 1 a trop abregee pour rimportance de Ja ma- tiere & a omis plufieurs, qui devroit y e*re infcrees neceflai- rement , comme le Trap 6^c. 11 Ics a rane,ees d'apres leur formation probable 6c Jes a divifees en Kbches prim.itiies, fe- condaires, volcaniques & accidentelles. Mais combicn ccs for- tes de clafiifications contribuent peu a la vraye connoiflTance des corps naturels , prouve fuffifammcnt l'hil\oire du Baialte , car n'en deplaife a Mr. rinfpedeur Werner, fa formation par la voye humide efl: encore tres loin de I'cvidence requife. Et toujonrs ces clafhfications & definitiont refleront infuffilan- tes, fi clles n'auront pas un fondement plus (blide. Les pro- babilites & les conjedures ne le pourront jamais etre. Ce- pen- ^ I ' - . -■ I... -■- . I ■ . -...., -_.■ — — ■ — .— ' ^ (*) A rendroit cite p. 12. ©if btilelyt oiiS cincr ^aupfmnf??, tie cntm» tev rcrbarrcrcr Ibon , ^jfpiS/ fiovnlTcin, otcr aiicb $U'd)|Tein, iinb itt n>fld}a- gd^fpat, Qiiarj iiub ^ortiblcn6c .ic. cinacmcngc finD. (**) A 1'endroit cite p. 13. QTJanbcl)lcin. 1)icfcr ifl cinc gcmcnqfc ©cBirgg^ (irt, bie cine cigne ©cflcinart, nifld)e cin rcrbarfctrr vEbon ^ii fei)ti fc[)cinf. — & plus bas dit-il jumcilcn finb anfi) nod) ^ornblcn&c "J^vi' fiallcn in pc eingcfpi?!igt. (**») Voyez, .*^-5pfnct'5 "^^laga^iti jur 9?aturfuntie -^cIiJCticnS; itim Soiit), pag. 243. === (325) === pendant elles ont autant d'empire fur les Mineralogiftes de nos jours qu'elles font meme la matiere principale , dont ils de- duifent les definifions comir.e c'efl: encore le cas dans Mr. rinfpedeur Werner. Les montagnes , dit il (a ia page 5.) qui confiftent des pierres de roche primitives font les plus agees, 3c portent toutes les fignes (donc le BafUte audl) de la formanon par la loje huvhde. Mais efl ce une dcfinition? Pour moi, j'en fais dapres cette definition. autant que je fa- vois auparavant. Les proprietes qu'il remarque apres, qu'elles font ou homiogenes ou compofees, ne font plus fuffifantes, car meme les n.ontagnes de troilleme formation le pourront etre. Mais lorsque (a la page 6.) il ajoute, qu'il y ait des roches primitives, ou une par'ie fait la made principale de la roche, dans ia quelle les autres efpeces font difperfces & ifolces , je compris a peine s'il y parle des pierres de roche primitives , ou des Gres &: des Poudingues. Et cependant veut - on qu'on ajoute foi a ces Mineralogirtes & cenfure fi on n'efl: pas de leur fentiment. Mais voila ce que fait i'autorite, & voiia enfin ou nous y fommes. Plus un naturalifle eft devenu ceiebre , tSc plus on le doit examiiner , afin de n'etre ebloui par l'eclat de la gloire. Meme, dirai je, que raffertion ( a la page 7.) que le Mica fe transforme dans la fteatire ne m,'eft point du tout pas probable, car les metamorphofes ne font encore guere prouvees dans la Nature. En un mot, pour avouer netterrent, avec Tauteur des lettres mineralogiques citees, plus on etud-e les ecrits des Mi- neralogiftes, & moins on y voit clairi plus on defire de s'en former des idces nettes & preciles , & plus on y trouve de desordre & de confuiion; l'un afferte ce que Pautre nie. Et la caufe principale, c'eft que les definitions lont inexades, les denominations vaguesj & les fyftemes chancellants. $i les Mi- S s 3 neia^ neralogides auroient fuivi la route que 1'illuftre chevalier deLIii- nce a trncee, la fcience en aiiroit profite. Car quoiqu^on dife, Mr. de Linnee etoit le methodille le plus folide & le pliis ri/ou- reux qui puiffent etre. C'clt fur tout dans le choix des ca- raderes que Ton devroit agir le plus rigoureufement, & alors la pluspart des difputes cefleroient & tous feroient d^accord. Pour preuves encore de ce que fai avance ferviront les exemples fuivants. Wallerius ajouta des noms a des pierres qui les avoi- fent dcja, & confondit plufieurs efpeces de Mr. de Linnee avec les fiennes comme le Saxiim tinnitans avec fon Trap , & le Saxiim tritorium avec fon Saxum molare &c. Mr. Haydinguer a melc avec le vrai Cranit Ic Saxum morenfe & fatifccns de Linnce , ainfi que le Saxum jornacnm avec le Saxum molare de Wallerius , & a\ec le Saxum alpi- nuni ou tinnitans de Linnee. Le Gneiss de Mr. Havdineuer eft autre chofe que le Gneiss de Mr. Werner , & le Gneiss de Mr. Werner pres- que le meme que le Granit. Mr. Werner a confondu le Porphyre avec le Saxum fibiricufu de Linnee & avec le Saxum metaUifirum Bornii Sc meme avec la combinaifon de la pierre de corne avec le Mi- ca. Mr. Haydinguer a ete plus exacle dans la definition du -Porphyre. Le Nom de Trap eft en general tres vague. Le Saxum metalliferum Borni efl: a pcu de chofe pres le meme que le Gneiss , du moins fuivant la defcription de Mr. Haydineuer. OtJ (3^7) On ne fait pas jusqu'a prefent bien ce qu'efl: le Por« phyrfchiefer & le Topasfcls de Mr. Werner &c. §. IV. Claffification des pierres de roche compofees. J'ai doiine pius haut la definition generale des pierres de roche compolees. J'en fait nnaintenant 4. grandes fedions & je les divife en pierres de roche coir.pofees criftallines, en pierres de roche non criftallines , en pierres de roche conglutinees & en pier- res de roches volcaniques. Les pierres de roche connpofees criftaHines font celles, oi\ du moins une partie eft vrainicnt criftalline , & dont Ics parties conftituantes ne font lices enfemble par aucun ciment. Les pierres de roche compofees non criftallines font celles , ou aucune partie conftituante eft criftiilline , mais ce- pendant fans aucun ciment au(h bien que dans les premieres. Les pierres de roche compofees conglutinces font cel* les, dont les parties conftituantes tant criftaliines que non, font lices enfemble par quelque cinicnt , & fy comprend tant les breiches, les poudingues , que meine les gres , car meme ces derniers, autant que j'ai pu obferver, contiennent toujours un ciment plus ou moins vifible. Les cas, ou ils n'en contien- nent point font tres rares. Et comme ii y en a fiirement des matieres differem- ment alterees par le feu fouterrein, qui prefentent quelque fois aulf! des pierres de roche compofees, j'en ferai la 4. fedion. Mais comme malgre les nombreufes decouvertes , que lon a fiiites la deffus , perfonne n'a ercore developpe leurs proprie- tes d'une maniere qu'on les puifle reconnoitre en tous lieux & en tous cas , il eft imporrible d'en donner une definitiop ex- (3^8) cxaifte. On pourroit bieii dire en general qiie ces matieres Ibnt plus ou moins fufibles , & (ouvent menie attiiublcs par Taimant , trouces ou vitreufes par dedans , cependant ces ca- raclcres font, comme on voit, bien tres infufiif;intes. AuHl en parlerai je plus en dctail dans Ja feconde partie de cet Efiiiy fur les pierres de roche compoiees. Pour le Bafilte j'avouc , que je ne puis encore etre d'avis avec Mr. rinfpedeur Werner. Je foulviite pour cct egard qu il nous vcuille donner une defcription exacfie de fon Bafalre, tant fiiivant fes qualites exterieurs que fuivant fes pro- prictes chimiqucs. §. V. - \ - Claflification des pierres de roche coinpofees criftallines. Je n'ai pris pour b:ife de ma ciafTification que lcurs par- ties conlliruantcs, ^ fy ai coiifidere tant kur narure, que ieur nombre. Mes raiCons pour cela ionf i.) Que d'apres Taveu de presque tous les miiicralogides & fuivant la faine raifon ce iie font que les partics conf^ituantcs , qui font la diiferencc reclle entre lcs corps du regne mineral. 2.) Que d'apres les obferviHons , que ion a faites jusqu'a prefent , tant que les parties confiituantes changent, meme la nature entiere des mon- tagnes qu'e]les formicnt , <5c mcme la nature des mineraux qu'elles contiennent, changent auffi. 3.) Que la connoiffarcc, que nous en aurons fera plns folide , fi iious cn confiderons les parties conftituantes , que fi nous n'en confiderons que la forme exterieure, qui vnrie beaucoup fuivant les cas, & cnfin 4.) Que je n'ai voulu avoir pour bafe de' clafffication & dc definition que des caracfleres , qui exiftent reellcment dans la maffe des corps, dont il s'agit. » Jc == (3=9) Je dlftribue donc toutes les pierres de roclie compo- fees cryftiillines en leurs clafTcs , ordres, genres & efpeces, & j^ii fuivi a cet egard en quelque maniere la methode du ce- lcbre Mr. de Kirwan. Les parties conflituantes les plus dominantes feront l'i- dee de mes clafles , 6c les parties conftituantes , qui quant a la quantite occupe une feconde place feront mes ordres. J'ai fixe les genres fuivant leur nombre. Mais comme les parties conflituantes d'une clafle peuvent encore ctre de differente na- ture j'ai diftribue les genres en leurs familles, auxquelles fuc- ccdent enfin les efpeces. Les dilferentes formes exterieures feront felon moi les varietes. Mais en meme tems dois je remarquer, que je ne con- fidere ces pierres que tant qu'elles font pierres, & non com- me des pierres qui; conflitucnt les montagnes, & c'efl: ce que les commcn^ans & meme les mineralogiftes cn general doivent connoitre avant que d'entreprendre de fixer la nature dcs montagnes. Chacun pourra fixer apres les quelles d'entre elles for- ment les montagnes primitives ou fecondaires ^cc. Car en fait de theorie, la chofe principale c'efl de connoitre bien les corps dont il s'agit. Pour la nature des parties conftituantes jc fai fixce d'apres les experiences des plus habiles chimiflesj cependant il fc peut bien , que je nVy fois tromp6 , & fi quelqu'un la trouve autrement, je fuis tout pret a corriger mes fautes. Noua Acta Acad. Imp, Sc, T. VIL T t ME- == (330) METHODVS NOVA ACETVM CONCENTRANDL EIVSQVE ACIDVM AD FORMAM SOLIDAM CRYSTALLJNAM ABSQVE OMNl MIXTIONE rEKDVCENDI. Aiidore TOBIA LOIflTZ. Comicm. exhib. dk jo ¥cbr. 1791. P §. I. oftqiiam per tres iam annos , tentaminibiis infHtiitis qiiam copioiiiTirais, dctcgcndae meliori accfiim concentiandi metliodo omnem opcram dcdi, eamqne inprimis ex frigoris in hoc nci- dum effcdUj obtinere allaboraui : contigit mihi tandem , cffe tam felici, tales vt inuenirem enchcirefcs, quibus fumma accti concentratio cffici queat, acidoque ipiius forma adeo cryihlli- na conciliari quam pulcherrima. §. 2. lam quidem II. Comcs de Lauragais acetum ra- dicale forma cryftallina ex aerugine obtinuit, ex cuius deftil- Jatione, quae vltima obtinetur aceti radicalis pars, eam in cry- ftallos concrefcere vidit magnas, laminolas fpiculifque fimiles, hanc- (331) hancqiie ipflim obreruationcm Marchio de Courtcnvaux repe- tito teiitamine comprobauit. Ncquc tamen cadcm omnium dc iflarum cryftallorum natura opinio ; cas pro accto glaciali ha- buit cl. Durandc ; 11. de Courtcnuaux pro compofito qiiodam ex acido vegetabili et principio phlogiftico ; cl. dcnique Lcon- hardi pro (ale mctaliico , fimili albo lali illi mctallico , quod acido aceti ct cupro conftat, quodquc, obCcruante cel. de La- fon, fub finem dcftiilationis accti radicalis, autfo igne, adfur- git. (lOJagucr^ d;em. ?[B5rtei-Dud) lUerfcjt J?on ^xw, £con§ftvt)i, 3 ^- diiierlus non nihil in aceto giaciali , ita , vt , quod in calore 125 graduum liquefcit, glaciale acetum , non nifl in calore 132" vel 135° graduum in cryflallos abeat. V) Aceti glacialis volumen cryftallifatione mirum in mo- dum diminuitur , parsque folida liquidae non fuperna- tat , cuius contrarium fieri in aquae congelatione no- vimus. §. 27. Sunt etiam nonnulla aceto glaciali plane pro- pria cryftallilationis phaenomena : ct) Elegantifllma eorum ea proprie^ate nituntur , qua aci- dum hoc in vitro claufo detentum , et certo grndu refrigeratum , non nifi vitri concud 01 e er jiberi a ris r aditu in cryftallos abit (§. 25. a). Quo in cafu, pra vario aceti refrigerationis gradu fequentia apparent phoenomena varia. ci) Sub debili refrigeratione ingens tenuifl^morum friargu- lorum aequilaierorum per omnem aceti niaffam linc inde natantium conia, quae omnes co'ores prismaticos exhibent, confpicitur. Accidit quoque hoc cafu, rarif- fime (343) = fime' tamen, vt omnes hic delineatae figurne regulares cum pulcherrimo colorum prismaticorum lu(u fimul conrpiciantur. Fi.'urae hae cryrtallinae fub ipib ortuTab. IV, admodum paruae breui tamen poft tempore lenfim fen^ — fig- 7« fimque vitri fundum petentes ad dclineatam magnitu- dinem excrefcunt. /3) Prorfus aliter res fe habet , fi paulo maior fit aceti refrigeratio , nuiK figurae , niui fimillimae , ftellatae quinque et fex radiis diltindae apparent , quae leniter vitri fundum petunt, hibentesque, fuaviffima oculorum voluptate , volumine crefcunt. y') Maior fi ab initio fiat refrigeratio , globofo - radiatae figurae delabuntur in fundum , quae ocyllime volumi- ne augentur. 5) Exfpedato autem vltimo refrigerationis punt^o, liquor, aperto vitro, per omnem, quanta eft, maffam momen- to coagulatur. Pulcherrima haec cryftallifationis phoenomena aeftiuo etiam tempore produci poflunt , fi vitrura acetum giaciaie continens, glaciei aqua mixtae ad collum vsque immergatur. h) Elegans quoque phoenomenon confpiciendum fe prae- bet, acetum glaciale aquae congelantis ftigori fi expo- nitur ; tum breui tempore poft coaguiationem ipfius , in lateribus partis fuperiojfis vitri multitudo lamella- tum micantium nec non flammularum fplendentium coloresque prismaticos referentium adparet, id quod in vitri vacua parte fingulare offerr fpedaculum. Flam- jtnulae hae adeo tenues interdum funt, vt propter per- fedi- (344-) == fedirnmam pelluciditatcm non nili certa ociili pofitione percipi queant. f) Si vitrum quatrangulare , aceto glaciali cryftallilato fe- miplenum , ita ad hypocaufti feneftram coliocatur , vt latere vno feneftram immediate attingat , tum acetum, pro vario inter externam et intcrnam temperiem dif- crimine, intcr 14.5 et 130 gradus caloris nunc ex par- te liquefcit, nunc denuo coagulatur, idque ea ratione, vt in illa, feneftram quae attingit, vitri partc coagula- tum femper acetum, in aucrfa vero ad fundum vsque liquidum maiicat. Sicque pars liquida, in partem vitri fcncftrac contiguam camque frigidiorem, fenfim fenfim- que in altum arccndit, ibidemque coagulatur et, elap- fo aliquot hcbdomadum interuallo , alteram dimidiam calidiorem vitri partem ad fundum vsque vacuam pror- fus et ficcam relinquit ita, vt id vitri Intus, cui nunc cmnis aceri niafTii femipellucida muri ad inftar adiacet, antc cryftallinitionem fundum \itri fuilfe diceres. ^) Vehemcnti frigore hiemali cx hypocaufto calido ace- tum liquidum aeri libero in virro claufo expofitum , per aliquot tcmpus liquiditatis ftatum conferuat , mox per omnem niaftam fuam in albiflimam quafi niuem moiiiento coalefcit. e) Vt autem acetum glaciale leni et regulari tranfitu in cryllallos concrefcat , nccefte eft , vt acctum hoc iam- iam coagulatum manuum travaux a la mine de WoL-tzk. La chan- cellerie y envoya trois officiers, M. M. Gladkow, Schurlin & Ivlordhaus ; ils arriverent a 'VVoetzk le 28 de Mai , & Irouvant la miniere pleine d'eau, ils la firent pomper avec des -inachines manucles ; on y travnilloit trois mois entiers , jus- '<)u*au s d'0(f^obre , & quand Jc puits fut vuide , on re- commenga cl'entailler la mine au cifeau & au marteau, & dans refpace de trois (emaines on obtint par le lavage 63 gros d'ori mais en meme tems on en retira i livrc 2Sk gros "en morceaux. Cet heureux lucces fit renaitre refperance, & 'le college des mines , au lieu de pompes manuelles , aux- ^uelles 80 homm.es etoient deftines , ordonna de conrtruire «ne machine a elever les eaux par le moyen des chevaux. Dans l'e(pace d'un an la machine etoit achevee i elle a cou- tt 74.9 roubles 29^ fials. Avec toutes les peines cependant, qu'on fe donnoit pour tirer plus d'or de cette n.ine, on n'en obtint peiidant dix ans ^ quatre mois, que 2 poudes 39 livres, 48 gros, & nomme- irent pendant les deux derniers n;ois de Tannee 1772 , 3 'livres 86| gros , en i^-'^, lo livres 63 gros , en i^^^, 10 'livres 92^ gros , en 1775, lO livres 35 gros , en 177^9 18 •li\res 3S4 gros , en 1779, 14- livres 91^ gros , en 1780, 17 Jjivres 75^ gros , en 1781 , 2. Iivres 66^ gros , en 1782, 4 «livres 2s| gros , en 1783, pendant deux mois de travail, 451 gros. Mais dans ces memes annees on a aufTi fondu du cuivre -2 46 pouds 22 livres. Tout ce gain a coute a la couron- ♦ne 59197 roubles 2o| fols. 11 merit€ des X . . . , la dillance vraie chercliee ) deuxAftres. £oiC (3^8) Soit aufTi H . . . . la difference des haiiteurs vraies des centres, calculees d'apres les hauteurs obfervees & to . . . . un angle tcl, que ^ cor. haut. vraic du centre (T col. w rz: o, 5001343. ^. col. iuuit. appar. du centreC^ Cela etant, on trouve la diftance vraie cherchee de la maniere fuivantc : I.) Ajoutes cnfemble Ics (Inus vcrfes des trois angles H, d^H-co 6f d — w, 2.) Ajoutes cnfemble les finus verfes des deux angles ; -h oj & t — w, 3.) Prenncs la differcnce de ces dcux fommes. 4.) Cctte differcnce lera le finus verfe de la didance vraie cherchee. Demonftratioii. Soit Tangle forme au Zcnirh par Ics cercles verticaux paffants par les centres des deux Alhes ou la diffcrence de leurs Azimuts =: Z. J^^efignons pour abrcger , les hauteurs apparentes des centres de la Lunc & du Solcll ou de rEtoile fixe par [H^C] ^ [H fl O] , & leurs hauteurs vraies par [H-uC] & [H'i'G], & nous aurons, par Ics principes con- nus de la Trigonometrie fpherique pour la rcfolution d'un triangle dont les trois cotes font donnes, fin. liti . fn. t=± fin. aZY — "- ^ > ^ ^ cof.[HtfC]- col.[HflOj & auffi fin. (i zy cof.[HvC] .cof [Hi'Oj d'oii d'ou l'on obticnt lEqimtion: fin. ^^iliiJ . fin. ^nii = fm. ^i . fin. ^--1 . S^HJ^ . :omh^] . 2 2 2 2 CQj.[Hac] coj". [Hao] Or puisque par leffet combine de l:i refradlion & de la pa- rallaxe fur les hauteurs de la Lune & du Soleil, & par celui de la feule refradion fur la hauteur de lEtoile, on a [H V a > [H « a & confequemment ^|{|^; < i , & [H -z; G] << [H rt G] & confequemment Ifj^^^H] > i & <2, ' il y aura toujours deux angles s & j tels que '^my^^ — cof z & ££Li^ — 2. cof y , de figon que fin. l±^ . fln. ^-H — 2. cof 2; . cof r . fln. i±^ . fin. In^. Or on voit d'abord, que Ton peut, fans aucun prejudice a la precifion du calcul , prendre ici lc cof j pour une quantite conftante, car ibit qu'il s^agiffe du Soleil loit d'une Etoile fixe, cet angle ne varie que de i s fec. environ , entre lcs limitcs [H fl G] = o & [HaG] — 5°; il devient abfolument conflant favoirj := 59° 59^ 27'^, desque rAfhe a plus de 10° de hau- teur. On fait que les obfervations des hauteurs moindres quc 5", font elles memes tres - incertaines a caufe de 1'incon- ftance de la refradion, & quc Ton ne s'en fert que dans les cas de necefftej mais il ert facile aufTi de fe convaincre par le calcul, que meme pour de pareils cas , la fuppofition que nous venons de fiire no fuiroit affeder fenfiblement le der- nier refultat. Pofant donc J — 59° 59' 27^' & cof ;' z=z o, 5001343 , j'introduis un nouvel angle co tel, que COf W ZZ: O, SOC,f\A'^, .cqf.[H-u<:] ' ^ "^^^ co/. [Hac] ' JSloua Aaa Acad. hnp, Sc. Tom, VIL A a a pour = (370) poiir avoir I'Equation fm.^«.fin.^-Hi=2.cor.w.fin.i±i.fin.i=i£ 2 2 2 a qui etant developpce (*) donne fin. (i X/=fin. (l H/-f- 2 cof. co[fin. (ld/-fin. df/] — fin. (l H/ — l cof. (d-h oj; — I cof. (d—w) H-sCOf. (;-f-CO)-(-icof. (; — W) ou bien fin. vers. X^z fin. vers. H -•- fin. vers (d-h w) -t- fin. vers (d—tS) — fin. \ers(f-i-w) — fin.vers(f — w) ainfi qu'il a ete dit dans la folution du Probleme. Precis des Tablcs qu'il faut fournir au Navigateur pour remploi de certe mcthode. 4.) Sous ce titre il ne([ queftion d'aucune table qui neceflliire dans Temploi de cette methode lefl: cgalement aufii dans dautres operations du calcul nautique, par exemple, pour reduire les hauteurs obfervces des bords des attres en hau- teurs vraies de leurs ccntres ; tclles font les tables des dia- rretres des afires , de la refiaction en difFcrentes hauteurs, de la paralhixc de hauteur dn Soleil, & de celie dc la Lune en rauon oe fii parallaxe horizontale, & d'autres (*); il ne !>'agit ici (*) Les theorcmes trigonoinetriijues dont on a belbin dans cette transfonnation, font les fuivans : fin. (a-\-b) . fin. («- l>) = fin. a- — fin. b" 0. cof. fl.cof. Z/~ cof. {a— b) -f- cof. (a-\-b) 2. fin. a m I — col'. 2 a 2. fin. ^^ i.) ■ :=: I — cof. a ~ fin. vers. a. (**) Toutes ces tables fe trouvent dans le livre: Tabler reqnifite to be tijed with tlie Ni tical Ep'ntr„erii jor ;nd''ng tht latit d and lon- ghude at Jiuj jiub.ijc/ud bij order oj t.it com., ijfwiurs u/ L^vgiiude, (3-70 id qiie de celles qui font particiilieres a ma m6thode, & il ay en a que deux ; i) La Table des Sinus verfes. Elle fe trouve de minute en minute & jufqn'a 90 dcgres d.ins le rccueil des tablcs mathematiques de SherM^n ; il faudroit donner a cette table une plus grande etendue, en allant de 10 en 10 fecondes & au moins iusqua a isc degres. Comme les tables de Callet donnent dans une fem- blable etendue, les finus & les cofinus des angles jus- qu'a 90 de^res ; la confirudion diine parcilie table des fuius verfes n'a plus aucune difficulte, puisqu'ou a generalement i\\\. vers ^ ~ I — cof a & fm. vers {^q> -f- c)^ — i -f- lin. a ou bicn auiTi fm. vers (90 -^ ay zzi 1 — fin. vers (90 — d^f cette table etant conflruite jusqu^i i8o°, on aura aulTi les finus vcrfes de tous les angles plus grands que i8o°, puisque fin. vers (i 80 -+- <2)° rz: fin. vers (i 80 — ay. c) La Tahle des ongks w pour chaque hauteur apparente du centre de la Lune & pour chaque ^'aleur de fa para/Iaxe horifontale. 11 femble d'abord qi;e la conftrudion de cette table ne pourroit manqucr d'etre aifes penible ; ?■ mais il fuffit d'en faire un petit elfai, pour fe convain- cre qu'elle efl: egalement facile & expeditive, parceque la plus grande variation de 1'angle co ne va qu'a un pent nombre de minutes, de fagon qu'on pourroir fi- cilement & en peu de tems donner a cette table xmQ A a a 2 eten- = (37=) = ^tendue qui diTpcnferoir le Navigateur de tout embar- rns de la double cntree »?c de la double intcrpolaiion. Pour rendre cela plus cl.iir , je me contente d^expofcr ici les valeurs de cet anglc en degres & minutes, cal- culecs pour la parallaxe horizontalc moyenne de la (T— 57^30"' & de 10 en 10 degres de hauteur ap- parcnte de fon centrc : HaC OJ 50° o; lO^ 60° 5' 60° 24.^ 20° 60° lO^ 60° 60° 2 8'' 3C^ 60° 16^ 70° 6u° 30^ 40- 60° 20' 1 8o° 60° 31° Type du Calcul 5.) Obfervation: on a trouve par robfervation , la di- ftance apparente du centre de la Lune a une Etoile fixe — 51° 28^ 35''^ i la bauteur apparente du centre de la Lune — i2°3o^o'S & cellc de 1'EtoiIe =r: 24.^ 48' o''' ,• la Paralla- xe horizontale de la Lune etant alors zn s^ ^s'^- On de- mande la diftance vraie dc leurs centres. I) Formation des 5 Argumens : Haut. app. des Centr. Ref.&Par. +5o'42". — 2' 3". Haut.vraies des Centr. La Table des m donne pour ce cas C i2'3o'o'' *_ 24^48 '0" C=i3 20'42" *_24^45'57" Diff. — ii"25'i5" H Arg.I ai Ord~ Som. — Diff — 60' 6' 10" 5i°28'35" iii"34'45"Arg.II 8^37-35"Arg.III w— 60'' 6'io" i— 12^18' 0" Som.— 72^24^10" Arg.IV Diff.— 47 48'io"Arg.V Diff. — 12 i8'o" t II) (373) II) Calcnl de la diftance vraic La Table des flnus veiTes donne pour |les nombr.l rArg. 11 1 98008. II113677865. - - - III ii3i?6. poLir les nombr.n^ , „ - , . , ,i rr,|-7 — 7-z-!iCe nombre 3729083 repond dans Arff.lV 6076763. :, . T- 1 1 > I, 1 o ■ - - V 3283153.1 "^^"^^ ^^ ^ ^^"^le 51 9 '51" :: • — niii rlonr- pfV la f1 i fl-q n r-/» t-i-i;^! Somme Somme 13988009- 10259916, 13988999- La Difter.de ccsdeuxSom.eft! 3729033. qui donc eft la diftance vraiej |cherchee du centre de la Lune a ;l'Etoile. Le refulrat de ce calciil ne di"fFere en rien de celui qu'on trouue par Tapplication immediate des regles de la Tri- gonometrie Ipherique. Avantages de cette Methode 6.) Quil me foit permis de donner ici un petlt ap- pcrgu des avantages quil me femble rencontrer dans Temploi de ma methode : i) Elle eft rigouYcufe. Tiree des principes exads de la Trigonometrie , elle n'admet aucune pofition qui ne foit rigoureufement vraie. On m^objcdera peut-etre la variabilite, quoique tres-petite, de ranglej, que j\u pris pour une qunntite conftante ; mais il eft vifible , que Pefprit de la methode ne depend en aucune ma- nicre de cette fuppofition, parceque quelle grande me- me que feroit la variabilite de cet angle , il y auroit cependant toujours un angle cu tel que cof co — cof )• . cof. z. Or il arrive avantageufement , que cet angle eft: reel- lement conftant , desque la hauteur du Soleil ou de rEtoile furpaffe 10 degres & que fa variabilite totale A a a 3 cntre CstO entre i & lo degres de hauteur de l'Aftre nc va qu'i environ i8 fecondes. Rien n'empeche de profiter de cettc circonrtance pour faciliter la conftrudion de la table dcs angles w ; & pour eloigner dans le dernier cas, ou dailleurs les obfervations memes fonc tres-in- certaines, tout Ibupc^on d une erreur fenfible c]ui pour- roit refultcr de cette fuppofition lur la determination de la didance vraie des Aftres, on pourroit facilen.ent conrtruire une autrc tablv des w, applicable aux cas oii la hauteur du Soleil ou de TEtoile feroit moindre que 10 degres. 2) Cette methode ert fiire , c"cfl: a dire , elle ccarte pius qu'aucune autre , tout ce qui pourroit occafionncr ure meprife de la part du calculateur. On ny rencontre aucune diftindion des cas , aucune quantite tan*6t po- fitivc, tantot negative, les finus verfes des angies font conflamment pofitifs; la marchc du calcul efl roujours la meme , de facon quon pourroit fournir au Na^iga- teur des Typcs imprimes du calcul , dans Icsquel il n'auroit qu'a inferer les nombrcs tires immcdiatement de lobfervation & des tablcs. 3) Ccttc methode peut , fans doute , etre ccnfec nc pas excedcr la portee du moius de la plupart des Ajb-onomes marjns. EIIc nc fuppofe au Navigateur aucune con- noiflance dcs Logarithmcs, ni des ligncs trigonoiretri- qucs, ni meme des fracftions decimales ; il peut meme ignorer qu'efl ce quc c'eft qu'un finus verfc; ce n'efl pas abfolument de meme dans les methodes ou il entre dcs finus ou dcs cofinus , on ne pourroit point s'en fervir fiins connoitre les fens de ces lignes , Iorsqu'eI- les devicnnent negatives, ce qui n'arrive jamais aux fi- nus (375) niis verfes des angles. Enfin tout le calciii fe fait par les operations les plus elementaires de rArithme- tique. 7.) Je ne dois cependint pas paffer fous filence un ^quivoque qui , dans un cerrain cas , pourroit fe prefenter dans lemploi de cette metl-!ode, quoiQue l'on verra facilement qu'il ne tient qu'au calculateur des Ephemerides nautiques , de Teloigner ablolument. Le linus verfe de 1'angle (180 — a) eft aulfi celui de (i8o-*-fl/ ou ce qui revient au meme , le finus verfe de Tangle (360 — aj" eft auffi celui de rantle de a". Or par 1'efFet combme de la refraclion & de la parallaxe, ia diftance vraie de deiix aftres eft en certains cas plus gran- de, en d'autres moindre, qnc ieur diftance apparente. Si donc ia diftance appareufe approche tres-pres de iSo°, ou fi elle les furpafTe tres-peu ; il peut arriver que la diftance vraie qui repond a cette diftance apparente , foit dans le premier cas, plus grande que i8c°, t<. dans le fecond, mioindre que 180°, & le Navigateur ne trouve dans la methode aucune indication, fi le finus verfe de la diftance vraie qu il vient de trouver , app;irtient au plus petit ou au plus grand de ces deux angles. Or il ert vifible , que le Navi^ateur eft a i'abri de cet equi- ■\oque & de ia m.eprife quil pourroit occafionncr, fi dans ies Ephcmerides nautiques on n'indique pour etre comparees 4 la I une, que de telles Etoiles dont la diftance vraie a la Lu- ne n'approche pas aiors a un degre pres de i8o°. S) Je termine ce Memoire par Texpofe de deux au- rres transformations dont eft fubceptible la regle tiree imme- diatement des principes de la Tri^onometrie fjpherique. L'£quation fondamentale U. ^ . fin. 2LzJi — o . cof. z . cof. j . fin. i±l . fin. i=^ fe == (37«^) = fe rediilt a celle cy ; ! -h coC. (t -h ti) ~coC.(d-^t() -^co{\(t-u) ^coC. (d-U) -t-COl. (;-l-1.') — COf. (tf-(-':)| -H cof. (t — c) — cof (d—v) _ en faifant, pour abrcger, z — / — ?/ & ;2 -^y — v. Or comme les f gnes dont ces cofinns font afTedles , changent desque leurs angles furpaflent 90^ ; pour les en rendre independants , cette Jiquation fe peut mettre fous la forme fuivante : _(fin.L±Ll7.4-(f,n. d -4- 11^2^ -(fin.'.ii:Jf/--4-(fin.±=U7i — (fin. '-ii:^/ -+- (fm. ^T (fin.Lizl7^(fin.^)^ ou bien , pour que tous \qs termes devicnnent additifs , fous cclle cy : • 4-f-2.(fin.|X)^ II fluidroit donc, pour remploi de cette methode , fournir au Navigateur des tables qui donnent Jes angles s & 7, & en- core des tables des quarres des finus & des cofinus. Pour le difpenfer de la derni6re, on pourroit introduire un nouvel ar- giiment en faifant 150° -h ?::::: Tj moyennaut quoi on obtient pour (377) == poiir le quarre du llnus de la moitie de la dillance vraie cherchee rEquation fuivante : 2.(fin.iH/ -v(fio.I^'7 .(n:n.l-±Jf7-f-(fin.I^^)"- 0"--f-(fin.L-:_^)^ ^ Par des procedcs feinblables on peut mettre aufli la feconde Equation fondamentale fin. ^^il? . fin. ?::p5 = 2. cof. w. fin. £:tf . fin.£zLf fous la forme fuivante : 2 -+- (fin. i X/— (fm. i H)"- -+- (fin. ^f -h (fin. ^")^ -+ (fin. I^- V -+- (fi"- — ^T"- L'une & Tautre de ces deux methodes , offrent Jes memes avantages que nous avons reconnus a celle ou il n'entre que des finus verfes; a i'exception de ce qu^elles demandent quel- ques operations arithmetiques de plus ; c'eft par cette raifon que la methode des finus verfes que je viens de propofer , me paroit meriter la preference fur iune & Tautre. V Nosa ACla Acai. Imp. Sc. T. ril. B b b OBSER- == (378) OBSERVATIO ECLIPSIS SOLARIS DIE Vi?r';z: i7Pi PETROPOLI IN SPECVLA ASTRONO- MICA, TELESCOPIO SCHORTII 2I PEDVM, FACTA a P. INOCHODZOir. Conitent. exhib. dlc is Maii^ 1791« X- ro obferimnda inftanti eclipfi Solis inqiiifiui in ftatum pen- duli pcr altitudines Solis conefpondentes , diebus 19, i^ ac 24. Martii , quadrante SifToniano bipedali captas , motumque ipfius aequabilcm reperi , et exinde redudionem momentorum obferuatorum ad tempus verum iurto modo applicui. Variae Iioc dic confpKiebantur in difco Solis maculac , quarum pofi- tioncm rccH^am tempore obfcruationis delineaui et in adpofita figura cxhibui. Appropinquante initio edipfeos oculum a tubo non re- inoucns , partemque limbi folaris , vbi deliquium incipere de- bebat , in medio tubi retinens animaduerti primum contadus limborum Solis ac Lunae momentum trans nubes tenues hora pomerediana ii, 56^, 30^'' temp. veri , ita vt verum initium vix viio 5 aiu ad fummum duobus fcrupuhs fecundis citius , quam . hic (379) hic afllgnatum , contingere potuifle arbitror. Margo diTci lii* naris in folem iam ingrefli aliquantum afper mihi videbatur. Breui pofthac nubes denfae folem tegunt et obferuationem con- tinuare obftanti deinde circa medium eclipfis per nubes rario- res et fub finem coelo fliuente fequentes obleruationes infti- tuere licuit. Macula c Luna tegitur - - s''- 55^ 48^^ T. V* Tota delitefcit - - - - 3« 55« 58. Macula d incipit mergi - - ^. i. 34. Tota immerfa - - - . 4. 2. 4.7. Porro quadrantis ope appulfus limborum SoHs et Lu- nae atque cornuum ad fila micrometrica horizontale ac verd- caie fequentem in modum a me notati. Oferuatio I, tubo in altitudine 19°- ^n^- Limbus Solis inferior ad fil. horiz. - /^!^. 7^. 17'^'' T. V. Cornu apparenter fuperius ad fil. vertic. 7. 37. Limbus Lunae ad fil. horiz. - - 8. n. Cornu fuperius ad fil. horiz. - - 8. 22. inferius ad fil. vert. - - 8. 48. Limbus Lunae ad fil. vert. - '9-9' Limbus Solis fequens ad fil. vert. - 4. 9. 52. Obferuatio 11 , tubo in altitudine i8°. 17^. Limbus Solis inferior ad fil. horiz. - 4. 11. 32. Cornu fuperius ad fil. vert. - - 11. 42. Lin bus Lunae ad fil. horiz. - - 12. 39. Cornu fuperius ad fil. horiz. - - 13. 4. inferius ad fil. vert. - - 13. 22. Limbus Solis fequens ad fil. vert. - 4. 14. 2. B b b 2 Ob- =— = (380) == Obferuatio III, tubo in altitudine 15^ 37^ Limbiis Solis iiiferior ad fil. horiz. - 4.^.30''. 6'^ T. V. Idem ad fil. vertic. - - - - 30. 22. Cornu praecedens ad fil. vert. - - 30. 29. Limbus Lunae ad fil. horiz. - - 31. 56. Cornu fequens ad fil. vert. - - 32. 40. Limbus Solis fequens ad fil. vcrt. - 4. 32. 53. His tribus obferuatibnibus appiilfiium , partim ob nu- beculas , partim ob cradltiem filorum , vix certitudinem vniiis temporis fecundi inefle fateor^ Mox nnbcs denfiores prneterfngiunt , quibus dlfperfi's emerfiones macularum et finem eclipfis dido telefcopio obfer- vavi. Macula e appnrct _ _ _ • c prodit - - _ / enadit _ - - d emer^it _ _ _ tota emerla _ _ - Finis eclipfis certus Hinc diiratio totius eclipfis Et medium ex initio et fine Obferuatio hnec initium eclipfis fesquiminuto primo ci- tius, et finem duobus minutis primis cum 26 fecundis tardius exhibuit , adeoque duratio et quantitas obfcurationis paulo maior fuit , ac calculus ephemeridum promifit. Fe- 5'. 5- 7- 44. 34- T. V. ma 12. 14. - 13- 7- dub, » 5- 21. 26. 24. 56. 4- 8. 58. (381)== FeHciores nos fuimiis circa hanc Luminarium coniun- dionem, quam circa proximam eorundem oppofitioncm j Comia cum Liifiae phno femel orbe coiffent. Nam expedatum die /g Aprilis deliquium Lunae , cu- ius finis videri liic loci potuiiVet, nubila coeli facies obreruarc impediuitj votique nos impotes fecit laboranti fuccurrere Piioc- bae; -------at Ipfa dies alios alio dedit ordine Luna Felices operum. Vate Virgilio canente. Schema macularum in Sole tempore eclipfeos con- fpedarum videatur Tab. XIIL **• Bbb 3 ^P- ===: CSSO I r DE ECLIPSI SOLIS ANNO 1791 DIE Viy;.' PETROPOLl OBSERVATA; Aiidlore STEPHANO KVMOVSKI. Conucnt. exJ^ib. dk i Decetnbr. 1791. P raeter obferuationem Petropoli habitam reiiocaui nd calcu- lum obreruationes huius eclipfis Parifiis et Palermae inftitutas ; nullae enim aliae praeter has ad manus meas peruenerunt. Initium. Finis. Parifiis o'' 33^42^^ /.i;. 3* i7^-37^^ 3 ?• 'y.' Palermae 2. 7. o. 3. 56. 5. Petropoli 2. 56. 27. 5. 21. 27. Elementa ex Tabulis aftronomicis Londini Anno 1770 editis Eclipfin hanc fped:antia. Tempore medio Grenouicenfi - 2^ 10'' 56'^, Longitudo Glis media - - 11° 50^29'''' Longifudo Glis vera - - 13. 4.5. 4.0 IVIotus horarius Glis - - « 2. 27, $ u Diameter Glis - - - 16. i, 8 Longitudo 2) vera - - 14.. 25. 22, 6 La- (383) Latltudo 3 Bor. Parall. 3 aequatorea l Diameter 3 - - Motus horarius 3 in Longit. ------ in Latit. Parall. 3 — parall. O 40^.57^^8 54- 49? 9 14. 55, I 10. !■;. 9 O ^•47, 54- 365 4. Affumta ratione diametri aequatoris ad axem telluris 230 : 229 computaui pro qualibet obferuatione reliqua ele- menta Eclipfim fpedantia , cuiusmodi funt Longitudo et Lati- tudo Lunae, parallaxis eiusdem in Longitudinem et in Latitu- dinem, nec non diameter Lunae apparens, ac obtinui - Parifiis pro initiu pro fine Palerm. pro initio pro fine Petrop. pro initio pro fine Lon^it. 13 -33 .20,1 14- 55- SS^ I3-58. 6,1 14- 53. 3,8 13. 48. 4O5S 15. 1.5454 Latit. Parall. 3 Long. 45^.45",^ 1181, 8 38. 9, 1 2395, 7 43. 275 - 1963, 0 3 8. 245 9 2762, 6 44- 195 6 21 15, 2 37' 3^5 0 2571,6 Parall. Latit. ^930,5 1481,3 1106,7 855,7 ^034,2 i93A5<5 Diam. 3 app. 905, 4 902, 5 905, 6 902, o 901, 5 8975 8 Vnde denotante 5 corredlione fummae femidiametro- rum Solis et Lunae, y Latitudinis Lunae, et ix Parallaxis ae- quatoreae pro tempore coniuni^ionis fequentes orientur ex- prefilones. ~ t ■+■ 2,39 5 — 1,04 y — 0.005 TT — 2,39 J -+- 1,03/ — 2.039 ^ -H 4,78 5 — 2,*^7./ -+- I. 96 7: i: o -t- 3,62 5— 2,91 J — O. 31 TT — 3,43 <^ -^- 2,6^.K — 2. 70 TT -+-7,05 ^ — 5,57 j -+- I. i9 7r = o Pe- Parifiis ex initio 0^52''. 2''^ ex fine o. 50. 47 Hinc. L 75 Palerm. ex initio i. 36. 20, 5 ex fine i. 34. 25 n. 115 == (384) == Petrop. ex initio a^^s''.^^^^ -f- 2.29 5. — 0.75 j/ — o. 177: ex fine 2.. 43. 5. _ 2.19 5 -+- 0.38 j — i. 5x tt III. 22. -f- 4.4.S 5 — 1.14J' H- I. 34 7r=o Conferenti nequationes fimiles fiicile patebit eas ita eflc companuas, vt nuUi valores i.donei pro ^,j' et tt afiignari que- ant , qni fatisfaciant faltem proxime omnibns tribus aequatio- nibus. Ex variis afironomorum difquifitionibus conftat valo- rem ipfius 5 contineri intra limices — 4 et — 5 et ipfius t: intra — i. et — 3. Verum cum in aequationibus finalibus cocfficientes ipfius t: fint fiuis exigui , fiatuere Jicebit tt — o , atque fi ponatur 5 = — 4, aequatio I. dabit y — ^^^^^^, aequa- tio II. j — 15^-1 ct III. j ~ 4'' ; quodfi ponatur 5 = — 5 ex aequatione I. fn j =: 24^^, ex acquatione II. j nz i^ et ex aequatione III. j' ~ — o^\^. Similis discrepantia prodit , fi ipfi 7r tribnatnr aliquis vaior intra limites — i et — 3 con- tentus. Vnde concludcre licet aeqnationes prolatas non fnfli- cere ad definiendam corredionem Latitndinis Lunae, et in ob- feruationes vel initii vel finis crrores quosdam irrepfilfe. De fine faltem a me obferuato non aeque certns fum ac de ini- tio ; obferuatus enim ille eft Sole tenui nube inquinato et 10 circitcr gradus fnpra liorizontem elcuato ; vnde fiicile contin- gere potuit, vt in momento hoc error aliquot minutorum fe- cundorum fnerit commifliis. Pofl initium Eclipfis ad medium vsque Sol vt plurimuni etfi tennibus , diflinde tamen limbum illius confpicicndi prae- pcdientibus tegebatur nubibus ,• circa medium vero coelo fe- reno micrometro obiediuo tnbo Dollondiano tripcdali adaptato fuper partes lucidas fequentes mihi obferuationes inflituerc licuit. I. C3S5) Pars lucid. 9 9 3 8^9 30, 9. 26, o I. 4» 3^1 ^'\ t. V II. 4. 8. J2 III. 4 12. 18 Vt hinc de Latitudine Lnnae iudicium aliquod ferrl queat , computatis pro his momends Parallaxibus Lunae et Diametro apparrente obtinui 3^12^^. I. V II. 4 8. 12 III. 4. 12 18 Pars Latit. • ucid. 1) y -as^^^ 4-i'-i3",8 :>. 30, 4 40. 59, 8 9. 26, 0 40. 50, 4 Parall. Lat. 32^.36^2 32. 32, 3 32. 29, 3 Diam. 3 899,9 899, 7 899, 6 Dift. Centr. 8^.17^ 8. 28. 3 8. 23. 8 Pro reducenda diftantia centrorum obferuata ad mini- mam, dans pro initio ac fine Eclipfis Parallaxibus Lunae Lon- gitudinis et Latitudinis , nec non Diametro iJiius apparcnte compuraui primum momentum medii tranfitus apparentis, ac reperi ilhid incidifle in 4^. 9^^. i''^ t. v. pro quo reperitur Lati- tudo Lunae ji^o\ sY\l et Parallaxis in Latitudinem ^^i^ '^^^^i; hinc Latitudo apparens fit S''. 25'^'', 5 — 505% 5. Dein dato motu horario Lunae in orbita appaiente et diftantia centrorum ex obferuatione defamta fucile deducirur pro qunlibet obier- uatione minima centrorum diftantia. Calculo perado prodiit Pars lu- Diftant. Diftant. cida Centr. min. I. 4*. 3^12-^ 9^.3 8^9 8^37^,0 8^.16^^,5 11. 4. 8. 12. 9- 30, 4 8. 28, 3 8. iS, 0 IIL 4. 12. 18. 9. 2 & depuis lc I Decembre 1788 jusquau i Avril 1789 — i^^.^", 3. III. Pour Tete de 1789: depuis le i Mai jusqu'au I Novembre zz: 124.°, 2, & depuis le i Juin jusquau i Odo- bre =z 120% i. Depuis le i Novembrc 1788 jusqu'au i Mai 1789 , ce qui fait un intervalle de i8i jours d'hyver , le froid ob- ferve aux heures du matin & du foir a furpaflTe 190 degres en 14 jours, 130 degres en 38 jours, 170 degres en^^jours 160 degrcs en 120 jours & 150 degres en 164 jours: il y avoicnt donc 17 jours ou il n'a gele point du tout. Enfuitc dans ce meme intervalle de 1 8 1 jours , le froid obferve a 2, heures apres midi a ete en i58 jours plus petit que 180, en 145 jours plus petit que 170, en 105 jours plus petit que 160 & en 52 jours plus petit que 150: c'eft a dire, il a de- gele en 52 apres midis, & parmi ceux - ci il y avoient 17, ou la chaleur a furpaffe 140, & 3 011 elle a furpaffe 130 degres. Enfuite depuis le i Mai jusqu'au i Novembre 17S9 , ce qui fait un intervalle de 184 jours d'ete,- la chaleur ob-» fervee a 2 heures apres - midi a furpafle en 7 jours iio de-» gres , en 6$ jours 120 degrcs, cn 134 jours 130 degres & en 173 jours 140 degrcs. Mais aux heures du matin & du foir, la chaleur a ete phis petite que 130 en 108 jours, plus pctitc que 140 cn 42 jours Sc plus petite que 150 degres ea ' 9 jours: QU bicn il a gcle en 9 nuits. Noua Acia Acad. Imp, Se, T. VIL E e e Ljl (402) La premlere gclee de Thyver dc 1788 a 1789 a etc obfcrvee le 13 Odobre 1788, & la dernicre le 5 Mai 1789: rintervalle entre ces deux epoqucs cft de 204. jours. Enfiiite depuis cette dernicre gclee du 5 Mai jusqu':ui as Septembie 1789,011 il a recommcnce a geler, fc font ecoules i^^jours. Cependant cette gelee du 28 Septembre n'a ete quc paflagere, & il y a cu depuis encore plufieurs jours d'etc afles chauds; Ics gelees continues n'ont commence que le 19 Odo- bre, de forte que lintcrvalle de rete depuis la derniere a ia premiere gelee feroit, cn donnant rexclufion au feul 2S Sep- tembre, de 168 jours. On voit par ce refumc: i.') Que Thyver de 1788 a 1789 a ete beaucoup plus rude que rhyver moyen , mais qu'il a ete de 2 jours plus court. 2.) Que Tete de 1789 a ete l'un des plus beaux ; qu'il a cte beaucoup plus chaud que Tete moyen, & que rintervallc entre la derniere & la pre- miere gelee, fi lon exccpte la feule journee du 28 Septembre, a ete de 9 jours plus long quc dans runnee moyenne. III. = (403) == III. Vent. I.) Tableaii general de la force & de la diredion des ventSj pour chaque mois de Tanncc 1789. Mois. Calme jours. Vent doux jours 21 17' 15 18 8 12 15 M IC 18 21 17 I8<5 ■Vent fort jours. Vent tres fort jours. 1 I 1 c 4 I I I n c ■J I iC Nord. jours. 0 0 0 0 0 0 I 0 0 0 4 5 NE. Efl. jours. 2 10 8 4 5 3 1 1 7 1 1 5 5 I SE. Sud. SOu. jours. 5 4 6 4 4 0 2 0 5 7 17 Oueft. jours. NOu. jours. jours. 5 I 6 6 8 1 1 I 8 4 I I 0 jours. 3 5 5 2 2 3 3 5 6 n 3 I jours. 13 8 9 8 rt 0 I I 13 6 2 67 Jauv. Fevr. Mars Avril Mai Juin Juillet Aoiit Sept. Od. Nov. Dec. 2 3 6 6 4 8 9 12 5 4 I I 7 1 9 6 15 9 6 4 13 9 5 I 2 102 1 0 0 3 5 4 10 7 8 4 3 2 0 0 0 I 5 I I I 0 I I 3 Annee 1789- 1. II. 61 12 5^ 7- 40 59 47 16 Depuis le i Nov. 1786 jusquau i Mai 1789 — i8i. joursl 33 10. 37 / A 29 36 21 55 26 6 ^ Uepuio le i Mai 1789 jusqu';iu i Novembre — i84Jours 42 77 56 9I 3 33 4^ 21 21 17 38 9 • E e e 2 2.) (404.) ' 2.) Rapport de la force des vents & des quatre plages : tirc du Tableau preceuent pour chaque mois de raiinee 1789. Mois. Degre de Force. Kapp. Nord des c R(l 6 uatrc Sud 17 plages. Oueft. 5 Janvier 258 3 Fevrier 260 I ^3 I 2 ^ Mars 258 3 13 13 fy Avril 220 3 8 I 2 7 Mai 361 7 10 5 9 Juin 253 7 1 1 6 5 Juillet 229 0 13 4 12 Aout 206 5 13 5 8 Septembre 310 r» 16 4 8 Odobre 246 I 6 n 7 Novembre 290 5 7 1 1 7 Decembre 293 6 0 IIS 1 1 117 2 Annee 1789- 265 45 85 Depuis le I Nov. 17 8 8 jus( nrau I Mai I 7bi Hyver de 1788 a 89 24<5 19 60 78 24 Depuis le I Maij usqu'ai 1 I Nov. 1 7b9 51 Ete de 1789 2^7 22 70 41 3.) = (405) Diredion 3. ) Enumeration detaillee des jours de grand vent. Jours & Mois. Nombre ISofu. NE. Eft. SE. Sud. SOu. Oueft. NOu. Diredlion Le 2-. 23 Novetiibie & le i Decembre Le II — 13 Mars, le 30 Avril, le i. 2. 21 — 24. 27. 28 Mai,.le 11 — 13. 17 Juin, le 5 — 7. 10 Aodt, le 27 Sept. & le 19 Odobre - - Le 17. 26 Fevrier, le 14. 15. 16. 19 Mars, le 16 Avril, le 6. 25 Mai, le 21. 22. 26juiIIet, le 31 Aout, & le I. 7 — 10 Septembre - - Le 3 Janv. Ic 25 Fevr. le 17. 18 Mars, le 9 Avril, le 4. 27 Juin, le 2. 19. 20. Sept. & le 30 Dec. Le 2. 19 Janv. le 11. 15. 16 Fevrier, le 28 Mars, le 7 Mai, le 23. 24 Juin, le 3 Juillet, le i — 6. 30 0(ftobre, & le 7 Novembre - - - Le 20. 21. 26. 27 Janvier, le 19. 20 Fevr., le 13. 28 Avril, le 8. n. 1 2 Mai, le 28juin, le 9 Juillet, Ic 31 Odobre, le 2. 17. 25 Nov. &: le 4. 7. 8. 14. 15. 20. 23. 25. 28. 29 Decenbre Le 3. 9. 1 3 Mai, le 1 5 Juin, le 1 2. 1 5 Juillet, le 4. 5. 1 1 — T4 Sept. & le 26. 27 Novembre - jLe^Janv. le 26AvriI, le 14. soMai, 6cle ^^Dec. En tout je lours 22 18 II 18 27 14 5 Nord. NE. SE. SOu. Oueft. Parmi ces vents fe trouvoient etre les plus violens, ceux 118 Nombrc de jours. du 22 & 23 Novembre - - - - _ du 22. 23 Mai, & du 6 Aout - - - du 18 Mars & 4 Juin - - du 21 Janv. 20 Fevr. 1 1 Mai, 9 Juillet & 23 Dec. du 13 Maij 12. 13 Septembre & 27 Novembre - 5 4 Somme des jours orageux 16 L'et§ L'ete de 17S9 a donc ete plus veiiteiix que 1'hyvcr de 178S ii 1789. Le mois le pliis vcnteux eft celui de Mai ; & le plus calme, cclui d^Aoiit. Lcs vents dominans de toute Tannee fe trouvent etrc ceux de rEfl: & du Sud: le premier a furtout dominc en ete, dc celui du Sud cn hyver. IV. Atmorpherc. Mois. Janvier Fevrier Mars Avril Mai Juin Juillet Aoiit Septem. Odobre Novem. Decem. Annee 1789- Cie leiein jours. 7 6 1 1 10 13 14 19 14 7 9 o 3 113 couvert jours 14 I I 10 8 3 4 5 4 9 10 19 18 115 Brouillard jours. 3 1 1 6 3 3 I 9 13 6 4 I 3 63 Pluie. forte petite lours. )ours. I I O 6 6 9 5 9 I 2 8 10 10 N e i g e. forte lours. petite lours, 6 7 8 4 8 8 Depuis le i Nov. 1788 jusqu'au i Mai 17S0. Hyver de 1788 a 1789- 53 68 42 Depuis le i Mai jusguau i iNovcmbre 1789- Ete de 1789. 7^ 35 36 Le == (407) Le nombre des jours fereins & celiil des brouillards a donc ete en 1789 confiderablement pliis grand que dans Tannee moyenne: mais le nombre des jours de pluie & de neige a ete plus petic, & meme le premier de 11, & lc fe- cond de 24. moindre, que dans rannee moyenne. II grela le 24. Juin, le 14 Aout, & le 30 Odobre. II neigea pour la derniere fois le 14. Avril & il re- commenca a neiger le i Novembre , apres un intervaile de 200 jours, qui ell de 41 jours plus long que Tintervalle mo- yen. L'annee 1788, la premiere neige tomba le 17 Septem- bre, de forte que pour Thyver de 1788 a 1789, rintervallc en- tre la premiere & la derniere neige ait ete de 178 jours, de 28 jours plus grand que le nombre moyen. II y eut 8 orages complets , le 1 1 Mai , le 2.6. 30 Juin, le 9. 10 Juillet, le 14. i^ Aoiit & le 2 Septembre. II tonna de loin le 27 Avril, le 15 Mai, le 24 Juin, le ^^Juil- let, le 26 & 27 Aout. II fit des eclairs de nuit le 3 Avril & le I Septembre. Le nombre des Aurores boreales obfervees fut 15, dont 8 furent confiderables,- favoir celles du 27. 28 Mars, du 19. 24 Aoiit, du 19. 24 Odobre, du 14. & 30 Novembre. Les autres 7 moins brillantes furent remarquces le a Avril, 21 Aout, 16 Septembre , 11. 18. -o Odobre , & 21 Novembre. En Janvicr fut obferve le 14 matia un parhelie d'une lumiere fort vive & le 11 un parafelene. La == C408) La Neva debacla le 30 Avril, apres avoir cte couver- te de glace pcndant Thyver de 1788 a 1789 de 164. jours , de 21 jours plus grand que le moyen intervalle entre la prife Sc la debacle. Barometre pendant cettc debaclc £8, 28 a cs, 08 pouces. Thermometre de Delislc de 14.4. a 132. Vent de NE, ciel couvert, brouillard & neige. La riviere nc cha- ria fes glaces que lc 30 Avril & le i Mai. Les glaces du Ladoga parurent dans la nuit du 5 Ji 7 Mai, & la riviere en charia encore le 8 5 rnais en petite quantite. Le 24 Novembre matin fe formerent les prcmicres glaces, que le grand froid quil fit, augmenta confiderablemcnt: de forte qu'on fut oblige d'ecarter les pontons deja a 11 hcu- res avant midi. Enfin lc Icndemain 25 Novembre au foir , la Neva fe trouvant tout a fliit couverte de glaces, elle fc gcla par un froid de 175 degres : Barometre 28. 31. ciel ferein , vent d'Oueft. L'Intervalle entre la debacle & la prife a donc ete en 1789, de 209 jours par confequent de 1 3 jours moin- dre que dans rannee moyenne. 0!'a JciaAcaJ. SclTr^er.Peirov.Tom. W.IaS.I. %. 3 . \ 1b J^ra.S. ^ BD C m n W N-' J^ro. S. K y>' Nora Achi AcaJ. Sc.Imver.Pebxrn.ToTn. W Tai.I. Tiff 3 . Im.S. A. B D C m n' M k' 4cad. Sc Jmjt}er.Pefropo/. Tom. lirihSjr. JVhraJcfa JcaJ Sc Imjrier Tefy-o^ff/ Tom- J2r7a/'jr. \Ma JcaJ Sc. Imf/r: re&.yyo/ Ibm.J^TT.Tal.m. Y G T) o H y tr / •%. J^ / / ^ 'Q , / / I / B / A — :-/ F C Or JVora Jc/,1 .J,:J S,-. Im/',-;: JW?:yM>/ 2im KHmJ m A ^lf- ^>(? t^ / TaS /f ^ct , ^caP . Jc . Tmp. T^cl^vp, 75 ^n ,Tjr 2a.6.V. -^v^ . ^■1^-fa . ^icaff . Jh.Imp. Rtrvp. TbTt .VJT 7a6. 'V. V>> / \ :yi^ yva .Acbz ^cad. Sc. Iinp.Fetrov.Tom YJI. Tai>. YI. Mva ^cCti ^-Lad. Sc. Imp.Tetroj: Tor» . MT. Ta^. VI. Fw. 1. I %i"f :' n- C , >/po/. Torn. m.TaS M J-M. Q.Jfuzaena a/Sa . M >ra Jda Acad. Imv. Sc.Feizop. Tom W.TaS . IM. Nora Acta AcaJ. Imp ^c.Pch^^y. Tcm W.IaS. IW. ■~yifni/qc&zA^ur — 1 , J ■ I r- 10 -^ ■■ ■ ' ' ^U.Jhnf JJoj:>a.^ct£L^cad. Jmp.Sc.-FeTtop.To7n. WI.Tah IX. Jl^>^ ^ctz ^ca(/. Imp. ScFeTtop. Tom . W/.TaI> IX. jiTra/adauiJ- z>i'in/A2cit/<7fa ^ i yo/lJ^^-r? JVoi^a^ta ^a?, Jhz^. ScJ'^rr£?/f.Tc>^nrVir.Ta}. JC . JV^ei^a^-^/T^ca?. Jhi^ SrT^^^p/P.rennar.Tai. JC . ' ■ -^^// ■ .P^/'A.r. JO Z2 Nova Jcta Jcad. Ivrp. Sc. Fetzop. Tom. VII.Tcib M. .-^^ NovaJcta Acad. Imp. So. Tetzop. Tom. VII. Tab XI. ,y?7//. CP^.f 2- . ^r/z^. Zttz^ . \Jc. .2yi?vp . 7^7?i L T5^. 7h^. J