Pesos rwr rnnt unen dare ries eere ier T- " D Pon n NOVA ACTA ACADEMIAE SCIENTIARVM IMPERIALIS PETROPOLITANAE. d EO PSOIX. PRAECEDIT HISTORIA EIVSDEM ACADEMIAE AD ANNVM MDCCXCI. PETROPOLI TYPIS ACADEMIAE SCIENTIARVM MDCCXCVY. EncEELcnceenueaanocccc ccce eee ea Ru unceccacccue TA. B.L.E. HISTOIRE DE L/ACADEMIE IMPERIALE DES SCIENCES. Année MDCCXCI. Avec VII Planches. HISTOIRE. Prix propofé par l'Académie. | - Epargne d'un fond perpétuel pour Bob des NS aux perjonnes, qui ou par vieilleffe, ou par ma- ladie ne font plus en etat de fervir l'Académie. AALcquifition: d'une. colletlion de minéraux. | -. ^- - -Pecons, publgués: 2o me cma tss whwWR VT Ouvrages publiés par l'dcadémie. - -« - - - Augmentations €9 Gratifications. — - - - - Morts. - * E a A h n " Receptions. - V Mk H i r CR ME Ouvrages, machines €9 inventions , produ£tions. de la nature €? de l'art, antiquités Taf curiofités, Per fentés ou communiqués à l'Académie. — - Extrait d'une lettre de S. E. Monfieur le Prince m metrius de Yl ur datée de la ddl le 15 Février. - - Rapport de M. Lowitz , relativement « d lu MM tion des terres, pre[ente à l'Académie le 6 Suin. X 2 —— Vo — Extrait d'une lettre de M. de Boghd Commen- dant de la fortereffe de DBiysW, duns le Gouver- nement de pi emite datéee du r2 Novembre 1790. z ; F 2) Pag. 34- Rapport de M. Lowitz, rélstipenent à la terre nitreu- fe des environs de Biysk, proa à l'Acadé- mie le 28 ril. . 35. Farietás acipenferis fiellati 9s rara, defripta, ub J. Lepechin. ' JBHBbE - ibid. SVPPLEMENT. — Mémoires. preferiti à Pod E Imperiale. des Sciences par des Savans étran- —— gers C5 approuvés dans fes Alfemblées. - - 89. Détermination de la. démi - circonférence d'un cercle , "Y dont le diamétre eft — r ,.exprimée en. 140 figures décimales. "Par M. Géorge Vega. | - 41. Traite d'une methode nouvelle C9 infaillible d'e[faier l'or €? l'argent. Par M. le Baron de ho^ PORHEab, UBRO NOI - - - - di uM. Recherches fur les équations aux différences BUR : du premier ordre à trois variables, lorsque ces differences ne font us linéaires. Par M. Jean Trembley. - ? z $8. Defcriptio caenopteridis. Autlore Catol? Petro ''hun- berg." "Tap. D. ^E BT o CHEM ede raa SPIRI TUN EXTRAIT des mémoires contenus dans ce volume. Claffe Mathématique €9 jin A E 165. Claffe de Phyfique. — - - 186. Claffe J4ftronomique €9 Méténrologique : UE 7 - EDT. NOVA — V. — NOVA ACTA ACADEMIAE SCIENTIARVM IMPERIALIS. . Touvs IX. Cum VI. Tabulis aeri incifis. MATHEMATICA ET PHYSICO-MATHEMATICA. LEONH. EVLER. De fingulari genere quaeftionum Pag. Diophantearum €» methodo maxime recondita eas re[oluendi. : 4 cp NS à 1 5. —— —— De radicibus aquationis infinitae "2 oc oscmors xcci t e 19 —— —— Exercitatio analytica, vbi imprimis feriei Tuaxime generalis fummatio traditur. "lab. I. fig. 16g z - - - - - E * c Z1 —— —— Dilucidationes fuper. formulis, quibus finus €9 cofinus angulorum multiplorum exprimi fo- lent, vbi funul ingentes difficultates diluuntur. 54. ——- -—— JBDe infignibus proprietatibus formularum integralium praeter binas variabiles etiam. ea- rum differentialia (UAR que ordinis invol- ventium. - - - - 81. —— —— Gpecimen m abf fimae hac x contentae. « -* 98. formula / PRBPIIESON E Se tU (1 -- x) y (2 e x— x) —— —- [tegratio formulae differentialis maxime irrationalis , quam. tamen per logarithmos € arcus circulares expedire licet. —- . - IIB.. —— ——- Ewolutio formulae integralis VOEUPNIC UA C NEROES per. logarithihos (x 22) y (1 -- 62 z--z*) & arcus circulares. - - - - 12". X 5 LE- —— OV]. ÉÁÉÉ .LEONH. EVLER. Problema geometricum, quo inter omnes ellipfes, quae per data quatuor puntla traduci po[funt, ea' quaeritur , quae habet are- am minimam. "Tab.l. fig. 2. 3. 4. 5. Tab. II. fe T I TT TERNI eS - - —— —— Solutio problematis maxime Ec quo inter omnes ellipfes , quae circa datum trian- gulum circumcribi poJunt , ea quaeritur , cu- ius area. fit omnium minima. "Tab. IL dig. 3. 4 5. 6. E 5 : : — —— De centro fummilitudinis. '"Yab. III.et IV. F. T. SCHVBERT. . Problemata e methodo tengen- tium inuerfa. 'Tab. V. - - : —— —— Solutio dubii circa p oe .Curua- nim. Tab. VI. gr. "ac LE NICOL. FVSS. Olferuationes circa feries quibus finus. et cofinus angulorum. mg cpiepu pipa bs lent. - W. L. KRAFFT. De LINK TTS fotos pendulo- rum, dum arcus datae amplitudinis cuiuscun- | que- de[cribunt,;, "l'ab. "VE fis 9. 6,7. cs NICOL. FVSS. Solutio quaeftiomis, quot modis poly- gonum n laterum in polygona m laterum, per diagonales refolui quaeat. — - - : —— —- 4X la défcente d'um corps P un plan incliné, dont une extrémité eft appuyée [ur un fond élaflique, - Tab. YLfe. 5. 8.9» PHYSICA. C. F. WOLFF. . De ordine fibrarum mujcularium cor- dis, Differtatio X- De fitrato fecundo fibrarum ventriculi finiftri. Pars e Huc peitinent T'a- Pag. 152. 146. 154. 166. 190. 205. 225. 243. 252, bulae bulae decem de oidine fibrarum cordis, prae- cedentibus voluminibus Adorum infertae. — - TOB. LOWITZ.. . Tentamina. de nitri crudi. per Car« bones depuratione. —- BASIL. SEWERGIN. sene cornei. omeltfi noua ecies. - TOB. LOWITZ. ExMitboctd noua: «c eryfillifationem alcalium caufticorum: fpe&antia. — - L T. KOEEREVTER. — Defcriptio pleükóntgbrig fifi | et pa[feris Linnaei, hiftorico-anatomica. - . - ASTRONOMICA ET METEOROLOGICA. W.L. KRAFFT. Effai de perfe&ionner une métho- de de trouver jur mer Dd latitude Brogrdphigie d. vaillegu... m som er NE Le COMTE DE BRÜHL. Mémoire j^ la: différence: en longitude. des: obfervatoires. de: Paris €9 de: Greenwich, avec les obfervations d'ok. elle a ete deduite ,- €9 une critique raifonnee de' celle: que M. le Général - Major Roy & conclue de fes opérations géodefiques. - — - B J. ALB. EULER: Extrait des UEHalmr idtm. giques. faites à St. Peétersbourg en. 1391. d'a« gres le^ noureswjülgj. | — 0-7 0. 00 —— Réjumé des obfervations: méliéórologiques: faites à St. Pétersbourg depuis 1772 jusqu 1792, comprennant un intervalle de- vingt ans.- GC Pag. 221. 353.. 363. 372. 393:- ER-- -— VII]. — ERRATA. Pag. 116. lin. antepen. loco a 1-0" lege « -A- b, —— 122. lin. 3. in denom: loco (9 lege 56, | Avis au Relieur. 5. xr pv | Les fept planches marquées par les lettres A. .-B. C. D. E. F. G, appar- tiennent à la partie hiftorique & doivent .étre .placées aprés la page 198. ou à la fin de 1a feuille c c. Les fix autres planches 'Tab. I. II. HI. IV. V. VI. feront mifes à la fin de tout l'ouvrage: pag. 441. N S3erít an ben 23udbinber. i; Sie fiben mit ben $Budjftaben A. B.C. D. E. F unb G. boyid)nete Stupfee- Aoafefn géfóren au bem Diftorifdjen &peif,- urb merben ju Gnbe befWet. ben, Gite 198, eingebunben, oUer gleid) nad) bem fatte c c. fDie fedjs dibere mit Tab. L. IL III IV. V iiri VI. 'begeidpnete Stupfec « &afea eber au. Gnbe veà gane: SBerfs, Cite 447. HISTOF HISTOIRE DE L'ACADÉMIE IMPERIALE DES SCIENCES Hifioire de r49r. a inb hd 'nburbchneti Mum ay PM " $2 p p teh Ep n HISTOIRE DE L'ACADÉMIE IMPÉRIALE DES SCIENCES ANNÉE MDCCXCI. E uu ayant propofé dans fon affemblée publique du 4. Décembre 1788, pour fujet du prix de cent ducats d'Hol- lande, la queftion de la nature de la fubfiance colorante (*), elle n'a recu qu'un petit nombre de pieces fur ce d dé- fignées comme il fuit No. 1, Abhandlung über den QGrundftoff der farbenden , Subftanzen; avec la dévife; Znalyfis chemica, notio- nem corporis difiindlam, fynthefis clariffumam reddit: regu le 19 Aoüt, 1789. No. ?. Verfuüch einer Beantwortung der Preisfrage der Kayferlichen Akademie der Wiffenfchaften in St. Petersburg für das Jahr 1790: Von der fárbenden Subftanz: avec la dévife: Die Jfahrheit ift mein Ziel: regu le 4 Février, 1790. | a 2 | No. n & (). Nova Ada Acad. Sc. Imp. Tom. VI. Hifloire pag. 28. 4. H-l5POPdS No. 5. Ueber den Urfprung der Farben, das eigene We- fen und die Beftandtheile derfelben: avec ia dé- vife: Ex duobus fit tertium C9 omnia: xrequ le 6 Mars, 1790. No. 4. Un mémoire allemand, regu le r9 Avril 1790, qui n'a pas pu étre admis au concours, l'auteur s'étant nommé , en fignant fon mémoire: Zfmbro- fius Zichler, der praktifchen Fürbekunft Meifier. No. 5. Mémoire allemand regu le 25 Novembre :i79o, avec la dévife: Scire decet nec fcire fatis, tentare neceffum corpora naturae cau[fas tibrare latentes. Le. terme du concours ayant été échu le : Décem- bre 1791, ces mémoires ont été foigneufement examines, fuüivant lufage, par des membres de la Claffe de Phyfique nommés pour commiffaires à cet effet, qui là deffus dans une féance tenue le zo Février ont déclaré d'un confente- ment unanime, que le prix ne pouvoit pas étre adjugé, mais quil falloit renvoyer la quefüion aux années fuivantes. En effet, quoiquil y ait quelques bons mémoires parmi les füsmentionnés, il n'y en a aucun qui fatisfaffe pleinc- ment aux défirs de l'Académie. Celui que l'Académie a juge le plus digne d'attention eft lé No. 1. | On y trouve de belles expériences analytiques , mais desquelles on ne fauroit encore tirer des conclufions certaincs fur la nature de la fübfítance colorante. . L'Académie a pareillement fort approuvé diveifes propofitions contentes dans la piece No. ^. mais elle ne les a trouvé appuyées fur aucune expérien- ce fpécifique & certaine; car celles qu'on y cite comme pouvant tenir lieu de démonfiration, fe rapportent plus aux pro- U HISTOIRE. $ procédés de lart de la teintare, qu'à l'explication de la nature des couleurs chymiques. Par ces raifons, l'Académie a jugé à propos de pu- blier encore la meme queftion, íous les conditions ordinai- res, mais pour en faciliter la folution , elle en a changé lexpofé de la maniere fuivante. Jisquà préfenr les chymiftes n'ont pu déterminer ex- adement à quelle claffe des corps naturels on doit rappor- ter la matiere colorante , ou en général la fubftance qu'on rencontre plus ou moins dans toutes les couleurs chymiques, defgnées par le nom de Pigmenta, & dans presque tous les corps des trois rp de la nature, en plus grande ou en moindre quantité, & qui eft pourtant une fübftance qui, par fa nature, dillére entiérement du corps qui en eft imbibé: car elle peut en étre féparée & extraite en diverfes manie- res, & préfentée dans fa pureté originaire, comme une fub- ftance à part tout -a -fait finguliere, qui ainfi extraite peut étie employée à teindre d'autres corps, principalement dans la pràtique de l'art de la teinture. L'Académie donc, pour bien déterminer la claffe, à laquelle toutes les matiéres propres à teindre appartiennent, pour fuffifamment établir & définir avec précifion les genres, sil en exifte, de toutes les couleurs. chymiques ou pigmens, propofe les queftions fuivantes. - I Démontrer par des raifons folides & par des ar £gumens inconteítables, quelles font, entre les couleurs chy- miques, les plus fimples, ou les primitives, & quelles font 8 3 i les 6 | HISTOIRE les couleurs fécondaires , produites par des diverfes combi- naifons des couleurs primitives*? Il. Déterminer par des expériences analytiques , & sil fe peut, par des expériences fynthétiques, claires & non compliquées, quels font, en général, les principes conftitu- tifs des couleurs chymiques, fimples ou primitives, & quel- les font les principales différences elffentielles qui fe trou- vent entr'elles? III. Examiner par rapport au regne de la nature, d'oü font prifes les couleurs chymiques, en quoi elles diffé- rent des couleurs femblables prifes d'un autre regne, fi c'eft dans tout le genre, ou fi c'eft dans la feule efpéce? Au dernier cas l'Académie fouhaite que toutes les couleurs connues, tirées des trois regnes de la nature, foient rédui- tes dans un ordre fyftématique , en rapportant chacune à des genres certains, & en ayant égard à leur mélange chymique? L'Académie attendra la folution de ce probléme jus- qu'à la fin de l'année, & prononcera fon jugement en 1795. Il n'eft pas befoin de répéter ici les conditions ordinaires requifes dans l'envoi des pieces, on les trouve détaillées dans tous les programmes que l'Académie publie annuelle- ment, & dont plufieurs ont déja été inférés dans les volu- mes précédens de fes Aes. Madame la Princeffe de Dafchkaw ayant par fon économie épargné une fomme trés confidérable, elle fapplia 5. M. l'Impératrice de vouloir bien lui accorder la permis- fion d'en placer au Lombard un fond perpétuel de trente mille roubles, dont elle propofe d'employer les intéréts en faveur HISTOIRE j faveur des Serviteurs les plus affidüs de l'Académie, en leui donnant des penfions, quand, ou-'par vieilleffe ou par des maladies, ils ne feront. plus en état de fervir: Que ces pen- fions ne foyent accordées qu'aux perfonnes qui ont joui de 400 roubles de gage ou moins, & qui ont fervi l'Acadé- iie 3o ans ou plus: enfin que la fomme totale des inté- réts du fond perpétuel foit diftribuée entre 22 tels penfion- "naires, dont deux recevront riso roubles, deux autres r20, deüx 9o, quatre 7c, quatre 5o, quatre 4o & encore quatre 35 roubles chacun par an. S. M. l'Impératrice en approuvant gracieufement ce plan, y fit la réponfe füivante: Kauaruus Kamepuna Pouauosna. Msib upeacmasaennaro omb zacb AoKAaAa o6b 2kououmueckolt cyw- Mb uo JZgaepamopckoii Xkaaeuin Haykb, rzHAumb Me cb y A0BOAPb- cinBieyb, unio cmapauieub u noneue- Hiewb saumub yMHoxeua oHas3 AO HlaKorO KoAH*ecmBa, dio A4ocula- II04HO He IHOAbKO Ha oÓbIKHOBeH- Hble pacxoABI, HO H Kb cocmasBae- Hip Kanumaaa, omb koero npu- 6biAb Moxemb nHasuauena Óbimb Hà neHCcim AIOA3Mb. Kkomopbie mnpo- AoAXaa mnpu AKaaewMiu AoArospe- mauHyimo (6esnopouuyp CAyxX6y, no cmapocuu m 6oAbsuawb npu- HyxAeHbi 6yaymb ocmaguuib oHytr, Bb cabacmsie uero omAaBas cnpa- EeAAHMBOCUIB pesHuocmHEIMb mpy- AaMb samuwb m Ao6pomy no uacmmu pawb ssb5peuHoit xossücmmey, mno- geAb$raewb maMb, urepeoec; nib na- Princeffe Cathérine Ro- manovna. Par le rapport que vous NOUS avez préfenté fur la fomme économique de l'A- cadémie Impériale des Scien- ces, NOUS voyons avec plai- firj que par votre zéle & vos foins, elle eft accrue à une telle quantité, qu'elle.eft fuff- fante non feulement pour les dépenfes ordinaires, mais en- core pour en former un fond, dont les intéréts peuvent etre employés à des penfions aux perfonnes qui, aprés avoir fer- vi long-temps & affidument l'Académie, feront obligées la quitter ou par vieilleffe oa par des maladies. En vertu de $ H ES T OLRE AmuuExb Dxonowmueckuxb aenerb, omiambh Bb sbunoü Kanmmaab rb AoM6apab mpmmuamb umbicaub py- 6^eit, cb nonyacutegb ycimanoBAen- Hbxb nasmu nponenumosb; 67:0p06, cuxb mponeumHbxb Aemerb nme ynompe6Aasmb HH Hà WHO HHOE, kakb eangcmzenHo Hà HeHCIOHBI mpemie, neHcioHHylo CyMMy, CO- ciamAsIOgtyro mbicauy namb comb py6aei pasabazumb Ha ABAIIHAIH Ha ABa UeAoBRbkKa, a HMAHHO: AsyMb mo cmy mno mammAecamm pyOaeit, agywub no cmy uo ABam. gammu py6Aeit, asywb mno AeBaHo- cmy py6aci, uemsipemb mo cemm- Aecanmm py6aeit, uembipewb mo namuaecamu pyGaei, wembpewb No copoky py6ael, m ueimbpewb no mpummamm mno namu pyÓaeii; cEigsepHiO£ , Kb moayuenin mnen- ciosa usb cei cyuwwbr He wmorymb uoAarambcsa mb, Komopbie cb pbiure gembpexb comb py6aelt «anoBanbe uwm$iomb; muocuniynaliimie xe Ha nenciomb .X0JXBBbI BBICA y KHITID Il pH Akaaegim inpuinnamp Amb. Ilpe- 6bpaegb Bb npouewb mzawb 6Aaro- CRAOHHBI. HamomauugoMb moJmaucauo cobemnseuuow- Ed HMIIEPA- TOPCRATO BEAHMECTBA DY&ROIO HAKO: ERATEPHHA. de quoi, en rendant juftice à vos peines foigneufes & à la bonne économie dans ladmi- niftration qu'on vous a confiée, NOUS ordonnons :.) Qu'on dépofe au Lombard en fond perpétuel les trente mille rou- bles de la fomme économique exiftente, pour en retirer les intéréts de 5 p. C..fixés. . 7.) Qu'on n'employe ces intéréts à autre chofe que pour des penfions. 3.| Que la fomme de ces penfions, qui eft de 1500 Roubles, foit diftribuée entre 22 perfonnes, dont deux enauront chacune 1 5o roubles, deux chacune r2o roubles , deux chacune 9o roubles, qua- ture chacune 70 roubles, qua- tre chacune 50 roubles, quatre chacune 4o roubles & encore quatre chacune 35 roubles. 4.) Que ceux qui recoivent plus de 4ocroubles d'appointemens ne peuvent point afpirer à ces penfions, & que tous ces penfionnaires doivent avoir fervi l'Académie trente ans. L'orginal eft figné CATHÉRINE. à St. Pétersbourg, le 2r Mars, 179r TTD HISTOIRE " Le cabinet minéralogique de l'Académie a été con. fidérablement augmenté cette année-ci par lemplette que Madame la Princeffe de Dafchkaw a faite d'une colledion choifiee de. minéraux que M, le Confeiller de Cour Bafile Ghwoftof avoit apportée de Sibérie. Mis. le Confeiller de Cour Ozeretskovski, le Surintendant des mines de Reno- vance & l'Académicien Sewergyne ayant été chargés de re- cevoir cette collection, d'apres un catalogue, & de la faire transporter au Mufée, ils rapportérent à la íéance académi- que du ro Septembre, qu'elle contenoit 130 minérais d'or, 350 d'argent, 534 de cuivre, 3o2 de plomb, & en outre un grand nombre de doublettes en cinq caiffes, dont le ca- talogue n'a pas encore été fait. Les autres acquifitions moins confidérables que l'A- cadémie a faites dans le cours de cette année fe trouvent indiquées ci- aprés dans l'extrait de fes régiftres. Mis. les Académiciens & Confeillers de Cour Kotel- nikof, Ozeretskovski & Sokolof ont continué de donner, pen- dant les mois d'été, des cours publics en langue ruffe. Le premier, M. Kotelnikof, a enfeigné les mathématiques, le fecond, M. Ozeretskovski Llhiftoire naturelle, & le troifie- me, M. Socolof, la chymie expérimentale. L'Académie à publié dans le courant de cette an- née les ouvrages fuivans:; , Mémoire fur la nature des fondions arbitraires. Par M. Arbogafít, qui a remporté le Prix propofé par l'Académie en 172587. Hifioire de 179r. b De HISTOIRE. De fundionibus arbitrariis Calculi integralis. Differtatio quae Acad. Imp. Sc. Judicio fubmiffa proximos - praemio honores tulit. Aud. Antonio de Lorgna. Relation des voyages de M. le Confeiller de Cour Oze- retskovski aux environs des lacs de Ladoga & d'Onega: Ilymemecmisie r. Aragewmka Osepenkosckaro Ilo osepaMmb JAa4oxckowy m OnHexckouy. Le feptieme volume dé l'ancienne Bibliotheque ruffe: Ilpoaooxenuie apesuei Poccinckoi Du6Aioemux. Le feptieme volume des annales du R. P. Nicon: Pycx- az AB$monucb no HukoHoBckoMgy cnHcky. Le feptieme volume de la colleQion des articles divers, qui ont été imprimés dans les différentes fortes d'almanachs que l'Académie publie: Co6pauie co- uuHeHil BBÓpaHHEHXP 1435 MÉ$CANOCAOBOBB Ha pas- Hble IOABI. : Le fixieme & le feptieme Tome de lHiftoie de Ruffie par le Prince de Stscherbatov: MHcmopia —pocciit- cKaA Oil» Apesnblunuxb BpeMeHs. Hiftoire de la ville d'Archangel: Kpamxaz mcmopia o ro- poab ApxaHreAbCKOM?P. Et plufieurs autres ouvrages & tradudions pour lin- ftrudion & lutülité de la nation. Le 31 Madame 1a Princeffe de Dafchkaw augmenta les appointemens de Mrs. les Adjoints Kononof, Sewergyne & Zacharef, de quarante roubles roubles par an à chacun. M. DPDUBTUODNAET . II M. l'Adjoint Sewergyne ayant fait & publié une tra- du&ion ruffe de la Minéralogie de M. Kirwan, Madame 1a Princeffe de Dafchkaw lui a fait obtenir de Sa Majefté l'mpératrice une belle tabatiere d'or avec cent ducats de recompenfe, L'Académie perdit en cette année cinq affociés, que nous allons indiquer ici fuivant lordre chíonologique, dans lequel ils font morts. M. Jofeph Gártner Dodeur en Medécine & ancien membre de l'Académie, qui l'avoit engagé en 1768 pour la partie de lhiftoire naturelle: il quitta l'Académie. en 1775 & fe rétira en fa patrie , qui eft le Duché de Wür- temberg, oü aprés avoir vecu en vrai Philofophe il décé- da à Calb le 3 de Juin dans la 59* année de fon àge. M. Ignace de Bom, Gentil-homme du St. Empire Romain & Confeiller aduel des mines & de monnoyes de Leurs Majeftés Impériale & Royale à Vienne. 1l fut requ aü nombre des Afífociés externes le 29 Décembre 1:756, & ib mourut à Vienne le r3 Juillet, dans fa 49* année. S. A. Mhsgr. le Prince Potemkin- l'awritfcheski, Ma- rechal-Général, Senateur, Commandeur en Chef de la Ca- vallerie légére, réguliere & inéguliere, de la Flotte fur la mer noire, Préfident du Collége de Guerre, Gouverneur- Général de Cathérinoslaw, de la Tauride & de Charkow. Aide-de-camp Général de Sa Majéfte l'Impératrice, Chef du Corps des Chevaliers - Gardes & du Régiment de Cu- raffers de Cathérinoslaw, Lieutenant- Colonel du Régiment de la Garde de Preobragenski, Chambellan a&Quel, Infpec- b 2 teur 12 HISTOIRKE teur Général de l'Armée, Diredeur du Gymnafe pour les étrangers de la confeffion Grécque & de l'ancien Ajfenal de Moscou. Commandeur Grand- Croix de l'o:de militaire de St. Géorge & Chevalier des oxdies de St. Andxé, St. Alexandre-Nevski, St. Vladimer de la i'* Claffe, de l'Aigle noir de Pruífe, de l'Aigle blanc & de St. Stanislaus de Po- logne, de l'ordre royal Danois de l'Elephant, de S^ Anne de Holftein &c. L'Académie le recut au nombre de fes Ho- noraires le 29 Décembre 1776 & il mourut le 5 Odobre en route entre Jaffy & Otfchakov. M. Henri Fréderic Delius, DoOGeur en Médecine. No- ble du St. Empire & Comte Palatin. Préfident de l'Aca- démie Impériale des Curieux de la Nature, Confeiller Privé & Médecin de S. M. Impériale & Royale, Profeffeur ordi- naire en Médecine à Erlangen. 1l fut recu au nombre des Externes le 3 de Mars de cette année & mourut le 1i Oe tobre à Erlangen dans fa 72 année. M. Alexandre Karamylíchef, Confeiller de Colléges & Diredeur de la Banque d'affignations à Irkoutzk', Che- valier de l'orde de St. Vladimir de la 4* Claffe. L'Acadé- mie le recut au nombre de fes Correfpondans regnicoles en 7779 le 21 Juin. Il mourut le 22 Novembze. Le 3 de Mars. L'Académie recut à la propofition de S. E. Madame la Princeffe Dafchkaw. Áu nombre des Affociés externes: 1 ML. le Baron Jofeph de Mohrenheim, Dodeur en Mé- decine & Chirurgie, Confeiller de Cour, Operateur & HISTOIRE 13 & Oculitte de Sa Majéfti l'Impératrice & Médecin accoucheur de Son teffe Impériale Madame le Grande - Ducheffe Marie Fedorovna. IL. M. Henri Fréderic Delius, Do&eur en médecine: mort huit mois aprés fa réception. Voyez ci-deffus. Le 22 Aoüt, l'Académie recut conformement à la propofition de Madame 1a Princeffe de Dafchkaw | au nom- bre de fes Correfpondans étrangers. III. M. Antoine Hyacinthe d'Àraujo, Profeffeur de lan- gues à Lisbonne: Et enfin le 2o Odobre. IV. M. Arbogaft, Profeffeur de Mathématiques & Prin- cipal du Collége d'Arüillerie à Strasbourg: pareil- lement au nombre des Correfpondans étrangers. AM Üt d dor TK 8 OUVRAGES, MACHINES ET INVENTIONS, PRODUCTIONS DE LA NATURE ET DE LART, ANTIQUITÉS ET CURIOSITES, préfentés ou. communiqués à l'Académie, l'année. r79r. I e ro Janvier. M. le Confeiller de Cour Ozeretskovski ^ a préfenté un exemplaire relié de mauwaabnzis ocHosa- uis Ecmecmpeuuoik Hcmopiu, qui eft une tradudion ruffe quil a faite de l'Hiftoire naturelle de M. Leske, avec des changemens & des addiuons; imprimée en deux volumes in $" avec un volume de figures enluminees. —— —— Le méme a communiqué l'extrait d'une lettre de M. Boghdanof, Commandant de la fortereffe de Biysk dans le Gouvernement de Kolyvan, datée du x2 Novem- bre 1790, qui donne une notice de la terre nitreufe qui fe trouve dans ces contrées & de la maniere dont fe fer- vent les Calmouques pour la raffiner. & en préparer de la poudre à canon. Voyez ci-aprés. Le rs Janvier. M. l'Adjoint Lowitz a prefenté Zífn- zeige eines neuen Mittels PV'affer auf Seereifen vor dem Fer- derben zw bewahren, und. faules JVa[fer wieder trinkbar zu machen, 23 pages in $"', que la Société libre économique a fait imprimer, pour répandre cette connoiffance utile & importante dans le public. MM S HISTOIRE. 15 S. A. Madame 1a Princeffe de Dafchkaw, dirigeant lAcadémie, ayant défiré que Mrs. les Académiciens lui indi- uaffent le moyen de conftruire quelque part à l'Académie : un établiffement ftable, pour pouvoir y obferver réguliere- ment les variations de la déclinaifon de l'aiguille aiman- tée: obfervations qu'on avoit négligé de faire déja depuis plufieurs années, parce qu'anciennement on avoit trouvé que ces variations étoient infenfibles ou presque nulles , Mrs. les Académiciens réfolurent de répondre à Madame la Princeffe que le moyen le plas fimple de parvenir à ce but feroit d'établir hors d'une croifée de la maifon académique, oü le Secrétaire M. Jean Albert Euler de- meure, une table de marbre, foutenue par des confoles de pierre qui entrent en partie dans la muuaille, & de tirer fur cette table une ligne méridienne, pour y appliquer lin- ftrument de déclinaifon, en faifant attention de ny emplo- yer point de fer & d'éloigner méme tout le fer qui fe trouve dans le voifinage de la fenétre, en la gamiffant des chas- fis & des véroux de cuivre, pourqu'on fut für que rien d'étranger ne puiffe influer fur la marche de l'aiguille ai- mantée: que toutes ces précautions bien obfervées le Se- crétaire qui également eft charge de faire les obfervations météorologiques, pourra faire auífi celles de la déclinai- fon magnétique. Madame 1a Princeffe de Dafchkaw Anm approuvé ce projet, elle en ordonna lexécution. Le 1:5 Janvier. M. le Prof. Géorgi a lu une lettre de M. le Prof. 'lTychfen à M. le Confeiller d'Etàt Baron d'Afch datée de Góttingue le 1 OGobre :29c. M. Tych- fen ayant publié commentationes de orientalibus in Biblio- theca regia Gottingenfw ad[ervatis, défire d'obtenir auffi de lAca- £6 HISTOIRE l'Académie une défcription des monnoies orientales qui fe trouvent dans le cabinet Impérial L'Académie en fit rap- port à Madame la Princeffe de Dafchkaw, & M. Tychfen eut pour réponfe quil devoit s'addreffer dire&ement à In tendant de ce cabinet, Le 20 Janvier Le Secrétaire a préfenté de la part de lauteur M. le Baron de Wife, Grand-Maitre de la mai- fon da feu Prince Charles de Saxe à Dresde: Théorie de la divifion harmonique des cordes vibrantes, ^ Ouvrage ma- nufcrit dédié au féreniffüine Eledleur de Saxe. Le 24 Janvier M. l'Académicien Zouyef a donné pour le Mufée académique un échantillon de la pierre dont font conftruits les catacombes à Kiew, & du Sable blanc qui s'y trouve en couches; il y a auffi joint un plan gravé de ces catacombes, pour fervir au journal des voyages du défunt Académicien Güldenftádt: oà il en eft fait mention. Le 25 Janvier. Le méme a remis pour étre confer- vé dans l'Herbier académique, un exemplaire du Lycopo- dium -ilopecuroides de Mohilev dans la huffie blanche. Le 51: Janvier. M, l'Adjoint Kononof a remis un extrait en langue ruffe d'un imprime anglois de M. Church- man intitulé; Jm Explanation of the Magnetic 4ftlas or variation chart. Philadelphia 1790, que Madame ]a Princeffe avoit communiqué à Mis, les Académiciens, pendant les dernieres vacances, pour lexaminer & en rapporter leur fen. timent, M, Churchman y donne des tables & expofe une méthode de déterminer, pour un temps propofé & un lieu jene quelconque, la déclinaifon de laiguille magnétique, I HISTOIRE 17 Il s'agiffoit donc d'examiner fi cet écrit ne fatisfait pas à la queftion que Madame la Princeffe avoit choifie pour le prx académique de 1593. & fi par conféquent il ne rend pasla publication de cette quettion faperflue* Mrs. les A- cadémiciens répondirent, qu'ayant trouvé que le mouve- ment périodique des deux poles magnétiques de la Terre, fur lequel íont dreffés les tables & la carte magnétique de M. Churchman, n'eft fondé que fur des obfervations faites en 1657 & 1790, & que ce mouvement en a méme été déterminé par un calcul fort léger & fujet à caution, leur avis unanime étoit que la méthode de M. Churchman ne peut point obliger l'Académie à fupprimer fa queftion; enforte que rien ne doit plus empecher la publication du nouveau Programme :des prix. Le 5 Février. M.]le Confeiller de Colléges & Che- valier Pallas a rappoité qu'il :a remis à .M. le Confeiller de (Cour Lepechin pour le jardin botanique ;jplufieurs femen- tes que lui avoit :données M. 1e Confeiller «de Cour Lax- mann, nouvellement .arrivé .d'Irkoutzk". M. le Prof. Wolff là fait voir un monftre humain, dont le vifage eft imparfait, ainfi que les extrémités. M. le Confeiller d'État Baron d'Afch ayant recu nouvellement ce monftre de 'Toula, le lui.a remis pour étre confervé au .Mufée académique. M. le Prof 'Géorgi a remis pour la Bibliotheque la '*ontinuation des Annales chymiques de M. Crell: Crells chymi[che znnalen A. 1580, Vol. II. A. r79c. Vol. L Bey- trüge zu den Annalen, :des I. Bandes 2 und. 36 Stück, pour lesquelles l'Académie a foufcrit. Hiftoire de r79r. C Le 18 HISTOIRE. Le 1o Février. M. l'ÀAdjoint Lowitz a expofé une phiole de fon acide de vinaigre concentré jusqu'à la cry- ftallifation. — Voyez fon mémoire inféré au VII Volume des nouveaux Ades pag. 33c. : |j M. le Prof. Géorgi a remis pour la Bibliotheque aca- démique: Beobachtungen über die Harzgebirge von Georg Otto Sigismund Lafius, Konigl. Grofsbrittanifchen Ingenieur- Lieutenant. II Theile in 8^; avec une carte pétrographi- que des montagnes du Harz, füpérieurement bien gravée. Le Secrétaire a remis & diftribué le nouveau pro- gramme des Prix propofés par l'Académie pour les années 1792 & 1793. Le 3 Mars. M. lAdjoint Lowitz a remis pour la Bibliotheque académique, un exemplaire de la tradudion ruffe que la Société libre économique a publiée de fa mé- thode de rendre potable leau croupie, & de conferver celle qui ne l'eeft pas. encore: llokasanie Hosaro cpe4cmsa Kakb BOAy Bb Bpewa IymelecmBcHHa4 NH. Im. Le Secrétaire a préfenté de la part de M. l'Acadé- micien Bode de Berlin deux exemplaires de fes éphémeri- des aftronomiques pour l'année 179*, publiés en allemand, dont l'un a été remis à la Bibliotheque & l'autre à l'Ob- fervatoire aftronomique. Le 5; Mars. Le Secrétaire a Iu une lettre de S. M. le Roi Fréderic Guillaume II. de Pruffe, datée de Bein du 23 Février, qui remercie l'Académie dans des termes trés FA d- HISTOIRE. 19 gracieux, de l'envoi quelle Lui a fait du Tome VI* des nouveaux Ades. Le méme a lu une lettre de S. E. Mr. le Prince Demetrius de Golitzin, Honoraire de l'Académie, datée de la Haye le r5 Février, qui communique les découvertes les plus nouvelles faités en Chymie, telles que la fonte de la Platina en régule, obtenue fans addition en 3 heure: de méme que celle de la Molybdene, du Tunftein, & de la Manganefe, également en régule, par le charbon pur & fans flux: enfuite la redudion de la terre pefante , du fel d'Epfom & de la terre calcaire, en régules métal liques, operées par Mrs. huprecht & 'Tordy. Voyez ci - apres. Pag 51. — Le 1o Mars. M. le Confeiller de Cour Ozeretskovs- ki a remis un échantillon du nitre raffiné, dont il a été fait mention ci deffüs le ro Janvier. : Le r4 Mars. S. A. Madame 1a Princeffe Dafchkaw a envoyé par ordre de S. M. l'Impératrice une grande & précieufe piece de bois pétrifié & agathifé qu'on a trouvée dans le Gouvernement de Perme & dont $a Majeíté fait préfent au cabinet académique. Le Secrétaire a expofé de la part de M. le Confeil- ler de Cour Hermann pour étre dépofé au cabinet acadé- mique, un coral entier pétrifié dans une pierre calcaire , quil a trouvée dans les montagnes d'Oural à une hauteur affés confidérable. M. le Confeiller de Cour Ozeretskovski a préfenté de la part de M, Kreftinin, Correfpondant penfionaire de , c2 ;, lAca- 20 HISTOIRE l'Académie à Archangel, une hiftoire de la ville d'Archan- gel raccourcie d'aprés les remarques que lui avoient four- nies Mrs, les Académiciens: Kpamxas ucmopis o ropoa$ Ap- xaureAbckoMws, imprimée feparément in $vo. Le 2$ Mars. M, L'Adjoint Lowitz a repété & fait voir à l'Académie les nouvelles expériences de M. Weftrumb fur linflammation des demi- métaux & de l'efprit du fel ammoniac cauftique dans l'acide du íel déphlogifté. M. Lowitz employa le Régule d'Antimoine & le Cinnabre , & ces expériences réuffirent à la fatisfadlion de tous les Aca- démiciens. Le 5: Mars. M. le Confeiller de Cour Ozeretskovs- ki a communiqué & lu une lettre de M. Boghdanof, Pire- mier Major & Commandant de Biysk , ville dans le Gou- vernement de Kolyvan, qui envoie des échantillons des trois efpeces de fel qu'on trouve dans ces contrées. L'étendue eft environ de deux verftes, dont la furface eft couverte d'un fel de Sibérie trés blanc & clair, au deífous fe trouve une couche de terre limoneufe & argilleufe épaiffe de 4 veríchocs & fous celle-ci une autre d'un fel femblable à la glace & dont l'épaiffeur furpaffe une archine. La troifieme efpéce de fel eft moins pur. Le 25 Avril M, le Confeiller de Cour Ozeretskovs- ki a préfenté L) de la part de M, Fomin, Négociant & DireBeur des , . ' ^ 2 y- of écoles publiques à Archangel, pour étre inféré dans les Hosst1 exewufbcauubua couuuenia, une deuxieme continuation de fon hiftoire des animaux marins de la HISTOIR E. 23 la mer blanche: Ilpoaoa:xenuie ons Hcmopmueckaro 0 MODCKHX'b 3Bbpaxs H pbi6axs. Cette continuation contient la défcription des baleines & de leur péche. IL) De la part de M. Kreftinin,; pour la Bibliotheque ancienne ruffe une copie de l'Oucafe du Tsar Alexei Michailovitz, qui. défend. l'ufage du Tabac. Le 28 AvriL. Le: Secrétaire a. lu: une lettre de M. Martinovich Profeffeur à. Leopol & datée du :o Avril. M. Martinovitfch envoie: pour étre inféré dans les Ades: Differta- tio de nonnullis infignioribus. circuli. proprietatibus , & défixe d'étre agrée par l'Académie au. nombre de fes affociés étran: ger. Comme cette Diffextation. contient la réfutation d'une prétendue quadrature: de. cercle, & que d'ailleurs on ny trouve aucune propofition nouvelle: & remarquable du cer- cle, comme le titre paroit le. promettre, la lettre de M. Mar- tinovitfch refta fans réponfe, & fon mémoire fut mis de rebut, Le » Mai Le Secrétaire a lu une lettre de M. Bo- de, Académicien de Berlin, datée du 29 Avril, qui contient diverfes nouveautés aftronomiques. Le 5 Mai. Le Secrétaire a préfenté de la part de M. Comparetti , Profeffeur à Padoue: Otfervationes anatomi- cae de aure interna comparata. 4to Patavii 1789. .M. l'Académicien Fufs a préfenté & lu le Sommaire des obfervations météorologiques de l'année paffée faites à Ouftiug véliki par M, le Chirurgien Major Fries, Correfpon-- dant de l'Académie, Cc 3 M.. 22 HISTOIRKE. M. le Confeiller de Colleges & Chevalier Pallas a remis de la part de l'auteur, pour étre dépofé à la Biblio- theque académique: 4u&arium ad. Floram Pedemontanam , "Auctore Carolo Zllionio. Le 12 Mai, M. lAdjoint Lowitz a annoncé préala- blement, qu'il a trouvé moyen de décompofer le vinaigre concentré glacial en deux acides trés différens entr'eux dans leur fübftance, dont lun fe cryftallife, & l'autre, qui ne le fait pas, attire à foi lhumidité de lair. ll fe propofe de pouffer cette recherche plus en détail & d'en rapporter à l'Académie les réfultats. En attendant, ayant appris par les papiers publics que M. Weftrumb ait le premier découvert une pareille décompofition de l'acide végétal en acides phos- phorique & aérien, fans en avoir indiqué cependant la mé- thode de procéder, il a cru ne devoir pas différer de com- muniquer fa découverte à l'Académie, pour qu'elle la faffe enrégi(trer dans fon Journal M. le Prof. Fufs a piéfenté, pour étre dépofé à la Bibliotheque académique, fes Lecons d'Algébre à l'ufage du Corps Impérial des Cadets nobles, tirées des élémens d'Al- gébre de feu M. Euler & imprimées au dit Corps, in svo. —— —— Le méme a remis de la part de M. le Chirargien Major fries, pour étre confervé au cabinet d'Hi- ftoire naturelle une oye monftrueufe ayant quatre páttes. Le 19 Mai . M. 1e Prof . Kraff& a prefenté de la part de M. Pasquich, Profeffeur des Mathématiques à Peft en Hongrie deux mémoires manufcripts intitulés le premier: Suc- cinda expofitio elementorum calculi fublimioris & l'autre: Ent- wurff einer neuen. Exponential Rechnung. Le HISTOIRE 25 Le 26 Mai. Madame la Princeffe de Dafchkaw a envoyé de la part de lauteur, pour étre dépofé ala: Bi. bliotheque académique : Dijfertation Jur le Thermométre de Réaumur par M. Gau[fen, des ;4cademies de Montpellier , Touloufe, Stockholm C9c. un volume in $vo imprimé à Bé. Ziers 1789. Le 6 Juin. M. lAdjoint Lowitz a rapporté qu'il:a effayé de vérifier la découverte de quelqués chymiftes, qui prétendent avoir trouvé des vrais régules métalliques dans plufieurs terres: qu'il a choifi celle du fel d'Epfom, qui fui- vant cette nouvelle découverte en dévoit contenir, mais que layant foumis à un examen Ícrupuleux, il ny a trouvé le moindre veftige métallique, quil croit en conféquence pou- voir foutenir avec vraifemblence, que tous ces grains de ré- gule que les nouveaux chymiítes ont obtenus ne font que des particules du fer phosphorique qui avoient été intime- ment liées avec la matiere du creufet & qui enfuite en ont été détàchées par la véhémence du feu. Voyez ci-apxés. Pag. 52. Le 15 Juin. Le Secrétaire a lu une lettxe de M. van Marum , datée de Harlem le 29 Mai , qui envoie un exemplaire de fa lettre à M. Jean Ingenhoufíz, Médecin du Corps de S. M. l'Empereur Romain, contenant la déícrip- tion d'une machine élédrique, d'une conftruclion toute nou- velle & fort fimple qui réunit plufieurs avantages [fur les machines ordinaires, avec trois planches de figures. M. van Marum emploie principalement un méchanisme nouveau & ingénieux pour faire communiquer le condu&eur ifolé tan- tot avec la furface du verre frotté ce qui donne une élédri- cité pofitive , tantót avec le frottoir, qui le rend negative- ment éledrique. Le 22. HISTOIRE Le r3 Juin. Le Secrétaire a remis lannonce d'un ouvrage de M. le Secrétaire Provincial Ahnert à Dorpat, intitulé: Grundfütze der Macht und. Glückfeligkeit der Staa- ten in Rückficht auf .Reichthum und .Bevülherung , propofé par fouscription. Le 4 Juillet. Le Secrétaire a lu une lettre de M. le Brigadier de Lorgna, datée de Verone le 24 Mai, qui s'annonce comme Auteur du mémoire fur les fonQions arbi- traires qui a obtenu les honneurs de l'acceffit. |Ce mémoire fe trouve imprimé à la fuite de la piece vildorieufe fur le méme fujet envoyé par M. le Profeffeur Arbogatt. Le 6 Juillet. 1e Secrétaire a lu une lettre de M. de la Lande, datée de Paris le 20 Juin, qui rapporte .di- verfes nouveautés littéraires. Le ir Juillet. Le Secrétaire a préfenté de la part de lIntendant des mines, Lieutenant Colonel & Chevalier de Renovanz, pour étre dépofé .au cabinet académique, fept pieces de minéraux des monts Altai, «que l'Académie ne pofféde pas encore, avec une notice de leur contenu & leur lieu natal. M. lAcadémicien 'Géorgi a remis pour la Bibliothe- que la Continuation des annales cchymiques du 'Confeiller des mines Crell favoir: Crells chemifche 7fnnalen «dernier fe- meftre de 1790. les deux premiers mois de r791, & la 4* partie du 4* volume des Supplemens: Beytrüge zu den A4n- nalen. .Le 18 Aoüt, S. E. Mr. le Comte Jwan Czernifchef, Amiral & Vice- Préfident du Collége de lAmirauté , a en- i voyé HISTOIRE. 2s voyé pour le Cabinet d'Hiftoire naturelle une variété rare de Cespra (Sevriouga, Zccipenfer ftellatus), avec une petite notice que M. le Comte a recu du Capitaine de la flotte Impériale, M. le Général Major Schiskin à Aftrachan, oüà ce poiffon a été pris. "Voiez ci-aprés pag. 35. M. le Prof Géorgi a remis de la part de M. le Con- feiller d'Etat & Chevalier Kelchen, Chirurgien du Corps de S. M. lImpératrice , quelques ornemens antiques en cuivre jaune, trouvés fous terre, à Droftenhof, en Livonie, dans le cercle de Venden, avec le fquelette d'un homme extraordi- nairement grand. L'Académie a regu ce préfent avec re- mercimens & l'a fait dépofer dans fon cabinet de curiofités, Le 22 Aoüt. M. le Confeiller de Cour Inohodzof a préfenté la continuation de ía défcription des villes & du Gouvernement de Wologhda: Ilpoaooxenie onucagis ropoA0B5 Boaoroackaro Haw$cimmmwecmsa, qui a été inférée dans le Calendrier hiftorique de 1792. Le Secrétàire a lu une lettre de M. le Prof. Wilke, datée de Stockholm le 175 Juin, qui envoie de la part de lAcadémie Royale des Sciences de Stockholm, dont il eft le Secrétaire, les mémoires de cette Académie depuis 1788 jusquau premier trimeftre de 1791 inclufivement: Kongl. Vetenskap ;4cademiens nya Handlingar. Tom. IX. X. XI. Ce préfent a été requ avec reconnoiffance & dépofé à la Bibliotheque académique. Le 25 Aoüt. La Chancellerie a envoyé pour la Bi- bliothéque académique, de la part de l'Univerfité Impériale de Moscou, les discours qui y ont été prononcés à locca- Hiftoire de r79r. d fion 26 HISTOIR SE. fion de l'anniverfaire de Sa Majefté Impériale au throne le 22 Juin.. Le premier de ces discours a pour titre: Cao- 320 o HauaAb mH ycnb$xax» Haykb, mH Bb oco6óeunmocimu Ecnie- cmseuHol Hcomopin c. à d. Discours fur lorigine & les pro- grés des Sciences & de l'hiftoire naturelle en particulier; par M. Antonski, Prof. d'Hiftoire naturelle. Le fecond: 2e KEle&ricitatis in. Medicina dignitate; par M. Pfaehler, Dodeuxr en Medécine. Le r Septembre. M. le Confeiller de Cour Socolof a remis pour étre inféré au Calendrier hiftorique de 1792. Omucauie ropH UekonaH ca Kumaickoi rpauunb: c. à d. De- fcription du mont 'líchekon fur la frontiere de la Chine. M. le Confeiller de Cour Ozeretskovski a remis pour le Cabinet des Curiofités quelques feuilles d'un papier à écrire, fait d'une efpéce de conferve ou byffe, qui furnage en grande quantité à la furface des eaux, & qu'un habitant de l'obolsk a employée avec fucces pour en fabriquer du pa- pier, efpérant de pouvoir en faire encore qui foit d une meil- leuxe qualite. : .Le,s Septembre. Le Secrétaire a préfenté de la part du Collége Illuftre à Anfpach quatre discours qui y ont été prononcés à. des occafions folemnelles enc 1789 & 179c. Ueber. einige Jorzige der óffentlichen. und. befonders wiffen- fehaftlichen. vor der blos hüuslichen. Erziehung, von Hrn Mar- tini. IL. Obfervationes miscellae in Herodotum. Aug. Degen. III. Ueber die Conftru£ions- Lehre im Allgemeinen, von Hrn. Glandorff. YV. Ueber dem Karakter des jungern Plinius, von drn. Scháfer. Ces discours ont été dépofés à. la Bibliothé- que du Gymnafe académique. DL". Le HISTOIRE | P Le $ Septembre. Leé méme a remis le Programme des prix propofés parla Société Hollandoife des fciences, éta- blie à Harlem, pour l'année 1791, qui lui avoit été, adreffé par M. van der Aa, Secrétaire de cette Société. .Le 12s Septembre. Le Secxétaire a préfenté de la part de l'auteur, M, Jean-Jerome Schroeter, Grand Baillif de Lilienthal prés de Bremen: Selenotopographifche Frag- mente zur genauen Kenntnifs der Mondfláche , im 4to, avec 43 planches fapérieurement bien gravées.. Cet ouvráge a été accueilli avec remercimens & dépofé à la Bibliothéque académique. M. le Confeiller de. Colléges Roumovski a lu une lettre de .M. Piazzi, Aítronome à Palermo en Sicile, datée, dü.20o Juin, qui entame un commerce littéraire, qu'il s'offre d'entretenir avec l'Académie, en lui communiquant une no- tice de fon obfervatoire aftronomique & des. inftrumens qui, y font, ainíi que des dernieres obfervations qu'il y a faites. Le ro Septembre. Madame la Princeffe de Dafch- kaw à envoyé avec le catalogue, une' colledion de 22 di- verfes pieces venues du Japon, qui avoient été piéfentées à l'Impératrice & dont Sa Majefte a trés-gracieufement fait préfent au Cabinet de cutiofités de l'Académie. Cette cob ledion confifte en dix livres manuferits, en deüx écritoires, une fonnétte, un évantail, un gobelet, une efpéce de rofaire,' une affignation , & cinq diverfes fortes de monnoyes d'or ; d'argent & de cuivre, - Le Scárétaire a remis une continuation du Journal allemand publié à Berlin par le libraire M. Nicolai. 4ll- d 2 ge 28 HISTOIRE. gemoeine . deut[che Bibliothek 94, bis roo Band incl | 4nhang zu dem 53 bis 86 Band 4te Zotheilung, en tout 15 volumes. Le 29 Septembre. Le Secrétaire a préfenté & diftri- bué de la part de S. E. Mr. le Prince Demetrius de Go- litzin, réfident à la Haye, plufieurs exemplaires de fes let- tres far quelques objets de Minéralogie, addreffées à Mrs. les Profeffears Pierre Camper & George Forfter, pour fervir de feconde partie à celle dont il a été fait mention ci-deffus le ; Mars. Le 6 O8obre. Madame la Princeffe de Dafchkaw a envoyé par ordre de Sa Majefté l'Impératrice, pour étre dé- pofé à la Bibliotheque de l'Académie, les deux ouvrages proprement réliés füivans, 1. z4dami Franc. Kollarii ad Pe- tri Lambecii Commentariorum de ugufta Bibliotheca Caef. Vindobonenfws libros FIII, Supplementorum liber primus poft- humus. Vindobonae r790 , in folio. Ll era felicitas, fwe fundamentum omnis religionis. ^ Graece €9 latine. Authore «thanafio. Petri de Pfalida Sfoanninenf: ex Epiro. Tom. I. Viennae 1791. in &vo. | Le ro Od8obre. M. le Confeiller de Cour Ozerets- kovski a communiqué une lettre fort intereffante , que lui venoit d'adreffer M. Kreftinin, citoien d'Archangel fur les anciens contrads de ventes & de propriétés de Tene du XIV fiecle, dont il lui envoie fept en original. Cette let- ire a été inférée dans le Journal académique ruffe: Hosmz Exewm$cmanHa coussmeuiu, & les contraüs originaux ont en- fuite été dépofés à la Bibliothéque de l'Académie. M. le Sous-Intendant du Mufée académique Buffe a envoyé un catalogue de plufieurs objets d'hiftoire naturelle HISTOIRE 29 & d'autres. curiofités, venues de Portugal, que Sa Majefté a ordonné de faire transporter à l'Académie pour y étre dépefées. Le »o O&8obre. Madame la Princeffe de Dafchkaw a envoyé pour la Bibliothéque académique un volume relié in 4to & intitalé Znalyfis aequationum ; "Auttore Guill. Hales, - D. Coll. A. Trinitatis Dublin. Socio. Le 24 O8obre. Madame ]la Princeffe de Dafchkaw a fait expofer une. plante aquatique qui croit aux environs de St. Pétersbourg , & que plufieurs Phyficiens ont crü n'é- tre pas indigéne. —C'eft Uva pruniformis Lin. dont M. le Prof. Géorgi fait mention dans fa défcription de St. Péters- bourg & de fes environs, au Tome Il. pag. 523, de la 1*'* édition en allemand. M. le Confeiller de Cour Kotelnikof a fait voir un embryon d'un élephant confervé dans de l'efprit de vin, que Madame la Princeffe de Dafchkav venoit d'acheter pour le Cabinet de l'Académie. . Le Secrétaire a lu une lettre de M. Jules de Boja- monti à Spalatro en Dalmatie, qui envoie l'éloge du célé- bre Abbé Boscowich, affocié externe mort en 1787. Le 7 Novembre. Madame 1a Princeffe de Dafchkaw a envoyé pour la Bibliotheque académique le r. Tome de la tradudion ruffe de lami des enfans par M. Weiífe: A&m- ckoli Co6ecbAaHHÉ». M. l'Adjint Sewergyne a préfenté, pour étre dépofé à la Bibliotheque académique, fa traduüion ruffe de la mi- d 3 néra- 4o HISTOIREÉE. nér alogie de Kirwan en deux volumes in $. pour laquelle Madame la Princeffe de Dafchkav lui a fait obtenir de Sa Majefté l'Impératrice une boéte d'or avec cent Ducats. Le r5 Novembre. Madame la Princeíffe de Dafch- kaw a envoyé de la part de S. E. Mr. le Comte Anhalt, Chef du Corps Impérial des nobles Cadets de Tere, un livre en Seize rélié & intitulé: La Salle de recréation , ow Tableau de ce qui fe trouve dans la Salle de recréation du quatrieme C5 cinquieme ge du Corps Impérial des Cadets Gentilhommes. Le r.Décembre. Le Secrétaire a remis une feuille imprimée, contenant les Obfervations meteorologiques faites d . l'Obfervatoire royal de Paris en fanvier 1791 par M. Fontenai. Le. 5 Décembre. M. le Profeffeur Géorgi.a remis une feconde continuation des Annales chymiques de M. Crell, favoir: Crells chemi[che Znnalen vom Sahr 1791. 3 bis 8 Stück, & Beytrüge zu den fnnalen. V. Bandes r. Stüch. Voyez ci-deíffus au rz Juillet. Le s Décembre. M. le Profeffeur Krafft a fait: voir deux microscopes de linvention de M. le Confeiller d'Etat aduel & Chevalier Aepinus, dont il demontra toutes les parties. L'un a été fabriqué à Londres & l'autre à St. Pé- tersbourg fous la diredion de lInventeur. Le 15 Décembre. M. le Profeffeur Zouyef a remis, pour éte imprimé à l'Académie, une tradu&lion ruffe de la défcription. de Groenlande par le Miffionaire Egedé: Omm- cauie TpemaaHais counuHeH. I. EireA0M», MauccionepoMs. n EHmHckomous Tpeuaanainm. | | ^ E HISTOIRE T | Le ro Décembre. Le Secrétaire a lu une lettre de M. d'Ralinski Confeiller d'Ambaffade de. Sa. Majefté l'Im- pératrice à Naples, qui envoie, de la part de l'Auteur M. de Gioeni, Chevalier de Malthe, un volume in $vo 1élié & intitulé: Saggio di Litologia V'e[uviana, dedicato à S. M. la Regina delle due Sicilie. Napoli 1790. Ce préfent a été regu avec remercimens & enrégiftré pour étre dépofé à la Bibliothéque académique. Le Secrétaire a préfenté de la part de l'Auteur M, Fontenai: Obfervations météorologiques faites à l'Obfervatoire royal de Paris en Juillet 1791. L'Académie a recu dans le courant de cette année les obfervations météorologiques faites à Moscou, que M. le Confeiller de Cour & Chevalier Stritter lui envoie régulie- rement chaque mois, ainfi que celles que. M. le Confeiller de Cour Hermann a faites à Pyfchminsk dans le Gouver- nement de Perme, & M.1e Chirurgien Major ,Friés mine véliki dans le. Gouvernement de Velegbde. Extreit d'une lettre de S. E. Monfieur le Prince Deme- trius de Golitzin, datée de la Haye le 15 Février. Voici, M. des evénemens qui vont peut-étre chan- ger toutes nos idées fur la Chymie, la Minéralogie &c. Le Comte de Sickingen, que vous devez conncitre par fes: bel- les recherches für la Platine, me mande, & M. G. Forfter me le confirme, qu'on-a. fondu 19. la. Platine: en régule en i d'heure, favs addition, »?. de méme 1a Molybdene; le 'T'un- ftein & la. Manganefe, également en 1egule; par le. charbon pur $2 HISTOIR E. pur fans flux. Et 59. on a reduit en régule bien évidem- ment métallique, la terre péfante, la terre du fel d'Epfom, & la terre à chaux ou calcaire. Tout ceci s'eft paffé à Vienne & à Chemnitz en Hongrie, oà Mrs. de Ruprecht & 'Ton- dy ont opéré ces miracles. ]l y a eu des disputes au fujet des régules tirés des terres élémentaires. M. Savarefiy pen- fionnaire du Roi de Naples à Chemnitz prétendoit méme qu'on pouvoit en tirer également du charbon de bois, fans addition quelconque: il affuroit en avoir déja fait l'expé- rence. Áuffi M. Klaproth a tout de fuite annoncé cette nouvelle par une lettre qu'il a fait imprimer en latin: mais on m'affure que M. de Ruprecht vient de vérifier, ou plü- tót de repéter fon expérience fur le charbon de bois en préfence de M. Savarefi, & qu'elle n'a nullement réuffi: au lieu que celle fur les terres calcaire, talqueufe, magnéfiene & argileufe pures réuffit parfaitement, & M. Weftrumb , Chymifte & Apoticaire à Hameln l'a repétée publiquement. I] n'y a donc pas de tere, & tout eft métallique fur notre globe. Cette découverte eft analogue aux idées des Chymiftes francois: M. Lavoifier l'avoit méme piédite. M. de Born l'admet comme une chofe füre dans le quatrie- me tome de fa nouvelle Minéralegie intitulée: Défcription du cabinet de M. de Raab. Mr. Repport de M. Lowitz, relativement à.la métallifation des terres, préfenté à l'Académie le 6 Juin. J'ait fait le mois paffé des expériences nombreufes & trés variées fur la métallifation des terres primitives, qui eft en vogue depuis quelque temps & qui ménace la Chy- mie HISTOIRE ü mie & lhiftoire naturelle d'une revolation extraordinaire ; jai choifi dans cette intention principalement la terre tal- queufe, (magnefia alba) que j'ai fousmife au feu le plus fort dans des creufets bien chargés de charbon en poudre mélé avec de l'huile de chanvre, ou avec de l'huile de corne de cerf épaiff-. Mais je n'avois pas de meilleur fuccés que Mrs. Weftrumb , Klaproth , Oóttling & beaucoup d'autres chymiftes célébres l'ont eu en dernier lieu, n'y ayant trouvé le moindre indice de métallifation operée. Comme ces Chymiftes ont proüvé tout nouvellement par de nombreufes expériences, que les régules métalliques, qui ont égaré Mrs. Ruprecht & TTondi, ne pouvoient étre autre chofe, que du fer phosphorique, il ne fera pas inutile de faire mention ici d'un cas femblable que j'ai eu déja de- puis quelques années. | Je pris un nouveau creufet de Heffe, je le couvris de fer battu, qui n'a pas été enduit d'étain, & qui fut un peu enrouillé, pour y réduire en charbon le refte piceux de la defiillation de l'huile animale de Dippel. L'opération finie pendant laquelle le feu avoit été augmenté jusqu'à la candescence du creufet, je trouvai en retirant le charbon animal, avec le plus grand étonnement au fond du creufet & à fes parois, plufieurs petits grains métalliques luifans & attachés fortement au creufet. Voici donc un exemple frappant d'une métallifation apparente produite méme fans addition de terre primitive quelconque , qu'on peut cependant expliquer trés aifément par la richeffe de l'huile de corne de cerf en acide phosphorique & par les particules de fer qui fe trouvent dans le creufet. Hiftoire de rT9r. e Ex- "S HISTOLRE Extrait d'une lettre de M. de Boghdanof, Commendant de la forterefíe de Biysk' dans le Gouvernement de Kolyvan: datée du :2 Novembre 179c. On trouve de la terre nitreufe en plufieurs endroits du Gouvernement de Kolyvan, & particulierement. piés de la riviére Katoune à 150 verítes de Biysk' au pied des montagnes, oü il y a des grandes efpaces de terrein cou- vertes de terre nitreufe. Quant au bois, il y en a beau- coup fur ces montagnes, à la diftance de deux verftes de la riviere Katoune, par laquelle on peut aifément trans- porter le falpétre préparé, dans le fleuve Obe qui n'eft éloigné de Biysk' que de 13 verítes: cependant comme la Katoune a des cataraües, cette transportation ne peut a- voir lieu que pendant les inondations du printemps. Pax terre on peut le tranfporter en tout temps jusqu'a Tobolsk, mais alors le transport d'un P es de falpétre couteroit un rouble. Les Calmouques employent cette terre nitreufe à la fabrique de leur poudre à canon: ils la cuifent dans des chaudrons de fer de fonte, quils couvrent avec de la toile, . à laquelle s'attache le falpétre pendant la co&dion: aprés lavoir óté de la toile, ils le mélent avec du fouffre & des charbons: ils mettent enfuite ce mélange dans un fac de cuire qu'ils. placent fur une groffe planche en lui donnant plufieurs coups de bàton jusquà ce que le mélange de- vienne ménü, aprés quoi ils le rétirent du fac & le remet- tent dans un chaudron de fer, oü ils le réduifent avec de leau à une pàte, qu'ils broyent avec des crins de cheval dans une écuelle ou chaudron,. pour la transformer en pé- tts grains ou globules, qu'ils féchent enfin au Soleil. Rap- HISTOIRE b Rapport de M. Lowitz rélativement à la terre nitreufe des environs de Biysk', préfenté à l'Académie le 28 Avril. Aprés un examen foigneux du falpétre envoyé du Gouvernement de Kolyvan, je trouve que r20 parties de ce falpétre ne contiennent de fels hétérogenes qu'une par- tie compofée de chaux uni ,à l'acide nitreux & marin, & d'un tant foit peu de matiere exiradive, qui donne à ce falpétre la couleur jeaunatre & fàle; laquelle cependant il. perd. entiérement. à la. premiere dépuration par la cry- ftallifation.. Il fuit de cette analyfe que ce falpétre eft dune bonté excellente, & qu'on en peut ürer un grand profit, furtout, fi au. commencement on agit avec toutes les précautions réquifes dans fon exploitation & dépuration., emer mnc d — Warietas acipenferis ftellati oppido rara defcripta, ! | ab I. Lepechin. Acipenferis ftellati, maris Nigri et Cafpii civis, qui flumina quoque in haec maria influentia intrat, primus mentionem fecit' comes Marfili (a), quem excripfit Klei- nius (b); poftea beatus Güldeníftaedt (c), fub nomine uiviali rutheno Sevriugae ipfum -propofuit; celeberrimus vero Pallas fatis accuratam et omnibus numeris abfolutam | We de- cess o Auk certas We ide ete Miu e MM diia Ecce ddl. Wisi n - (à) Op. Dannb. T. IV. p. 55. Tab. 2. (5) Hiftoria pifcium. Miff. IV. p. 15. No. 5. (c) Novor. comment. Petropol. T. XVI. p. 533. Tab. A; 56 HISTOIRKE defcriptionem dedit (d). Egomet ipfe defcriptionem con- cinnare effigiem que ipfius fieri curaui (e). Aft anno 1791 ab excellentiffimo viro, Dno. Schifch- kin, praefedo claffis Aftrachanenfis, miffae erant exuviae acipenferis capti in mari Cafpio ad oftium fluminis Embae, qualem nunquam, vt exellentíffimus vir affirmat, vifum a pifcatoribus fuiffe. | Verum habitus externus, externa que conformatio, veram, fed valde degenerem fpeciem scien feris Stellati effe .facile perfuadent. Nam caput fubtetragonum, produQdum in roftrum vl- tra fpithamae longitudinem, vti in acipenfere ftellato, fed cathaphrad&um offe duro, afperrimo, irregulariter fulcato, tuberculato, eminentiis mucronatis armato. Latera roftri cin&a funt offibus craffioribus, ad quorum medium vtrinque prominent apophyfes tres offeae, durae, planae, retro fpec- tantes, margine fcindente, apice fere omnes bidentatae, ad vnum pollicem longae, dimidium que fere pollicem latae, fuperior vero finis terminatur, ad inftar proceffus mamillaris, tuberibus inaequalibus, apice denticulato-ferratis. — Inter oculorum orbitas reperitur excrefcentia offea, ad formam vnguis eleuata, xetro hamata «eiusdem formae; vtrinque ad initium. opercularum branchialium extant officula emi- nentia bina, íed fortiora, apice dentata, in fincipite vero &es tales prominentiae obfervantur, ad aperturam autem branchiarum. modo duae. Branchiarum opercula teda funt offe ftellato, hifpi- do, medio protubeuente. — Inde corpus a branchiis fenfim fenfim- (d) Itiner. Part. I. p. 465. No. 20. (e) Itinerar. Part. l. p. 255. I: X. f. 1 et 2. HISTOIRE 37 fenfimque attenuatur, et pro more fpeciei pentaedrum. [In dorfo ex regione, quae initio pinnarum pedoralium refpon- det, vsque ad radicem pinnae dorfalis reperiuntur officula, fÍcutiformia, oblongo-rotundata, maiora 42 pollices in peri- pheria habentia, dorfo carinata, definentia in apophyfes of- feas, firmas, roftratas, valde acuminatas, quarum mediae fortiores 12 pollicem longae, numero r2. Ante pinnas pe&orales vtrinque fita funt duo offa trapezoidea, medio in crenam elevata, fine fuperiori in den- tem firmum, hamatum definentia, afpero-fulcata. Inde ab angulo fuperior aperturae branchiarum v- trinque per latera vsque ad divifuram caudae decurrunt officula numero 4o, pariter fcutiformia, terminata proceffi- bus firmis 12 pollicis longis, fed gracilioribus , aduncis , quorum medii per marginum interiorem, quatuor vero prio. res ad apices denticulato -ferrati, reliqui magnitudine de- crefcunt. In ventre, fere a parte inferiori radicis pinnarum pec torahlum vsque ad pinnas ventrales, eiusdem formae fita funt officala duplici ferie, numero vndecim , quorum primum par minimum, proceffu. fimplici, acuto; quartum, quintum; fextum, feptimum, oQavum et nonum multo fortius, quo- rum proceffus adunci ri pollicem longi, iriferior margine denticulato -ferrati. ! Longitudo pifcis ab apice roftri ad caudae extre- mum, fecundum dorfum menfurata 4 ped. et ir poll pe- dis anglicani; fecundum vero ventrem 4 ped. et *5 poll. Cutis per totum corpus fquammis crenatis, albidis, inordi- e 9 nate 38 HISmOODBE. nate. difperfis , hic inde aculeatis afpenximum. Ceterum fitus oris, et cirrorum, conformatio pinparem caudae que, vti in acipenfere ftellato. Defcnptio haec'ífi conferatur cum defcriptione Aci- penfens Stellati ficile patebit pifcem noftrum veram, fed valde degenerem fpeciem Acipenferis Stellati conftiture , quem et icone Tab. A. ideo exprimi caravi, ne. cui. in animum veniat novam exinde creandi fpeciem, vti Klei- nius íecit, qui vsque ad decem Ífpecies Acipenferis, fed valde confufe, recenfet, et celeberrimus Gmelinus, fecutus beatum Güldenftaedt, in noviíffima editione fyftematis Linnae- ani (a) introducit, quamvis ipfe dubius,. tanquaàm novam fpeciem Schypa (redius Schip. muns). cognominatam. | Sed uunsr reperiuntur tam in fpecie Acipenferis Sturionis, quam acipenferis Hlufonis, vt celeberrimus. Pallas monet (b), ita. vocantur ob roftrum magis produ&um et. gracile, me- ramque varietatem, minime vero fpeciem conftituunt. .Huc quoque referendae funt omnes illae varietatas, quae piíca- toribus füb nomine Coftera veniunt, et reperiuntur non mo- do in Ífpecie Sturionis, fed etiam inter Acipenferes Ru- thenos, funt que purae varietates, vti rede idem celeber- rimus Pallas affirmat. .Ad quas: varietates et nunc defcrip- tum pifcem referendum effe nullus affirmare rubito. ; (a) T. IL. part. 3. p. 1484. (b) Itiner. 'T. I. pag. 131. (c) Ibid. p. 132. SVP- SVPPLEMENT. MÉMOIRES préfentés. à. l'Académie Impériale deg Sciences par des favans étrangers & approuvés dans fes Affemblées. "iar af "i D EE EA ÓÓMÓMM—À—À DÉTERMINATION DE LA DEMI- CIRCONFERENCE DUN CERCLE, DONT LE DIAMETRE EST — :, EXPRIMÉE EN 140 FIGURES DÉCIMALES. | Par M. GÉORGE VEGA. Préfenté à LAcadémie le 20 "oüt, 1789. Ee croit pouvoir fe dispenfer d'inférer ici tout le calcul long & pénible par lequel lauteur eft parvenu à la valeur de -, ou de la demi- circontérence d'un cercle dont le diamétre eft — 1; il fuffit de transcrire ici la double Íéxe infinie dont il s'eft fervi pour cet objet, & qui eft (*) ydp — —ÓÀ ——M————————————————————————«À . (*) Ces deux féries font extrémement convergentes , mais tant les numérateurs que les dénominateurs des fractions qui les compo- fent, font des nombres peu commodes pour le calcul. Feu M. Euler a donné, dans un mémoire que nous inférerons au volu- me X de nos Actes, une double férie qui, à la vérité, n'eft pas fi convergente que celles de M. le Major Vega, mais dont la loi de progreffion eft bien plus évidente & qui, étant beaucoup plus commodes, abrégeroient infiniment le travail à celui qui s'en fer- viroit pour calculer la valeur de z. Voici cette double férie: s EUM ccr d 3013 2( I4 2.4( 144 Y) 2.4.6( 144 y "3x69 ! ^ S (150999) BM ET, 252 (100000 ) ^ &c.] Í Hiftoire de r79r. amos HJi.S T-OlR.E. l 5 26 7 heentrmerge ie 6 "—8* -r- 2 fa $9.8 2r &c. [ E [9] 19 5 M AGIT Mr ce ERBE SR ou les lettres à, b, c, d, &c. A, B, C D, &c. bec les fractions fuivantes: Q — 3S AL — ium dra u* "ET c ie Du f s 2 p: i d j D -— E &c. &c. D'oü lauteur a calculé la valeur fuivante pour t WDULILS. 1x459 . 26535 -B9753; | 83279. 50288 . 41971 20899. 86280. 34825. 25846. -69399. 58209 .74944.59230. 78164. :93OUNS o 34.211 26433. 37510. o6286. $2148.09651.93:2823.06647 09384. 44767.215886.1175533. £238. La double férie, d'apiés laquelle cette valeur a été trou- vée, eft démontrée au fecond volume des lecons de Mathé. matiques du méme auteur (^), ainfi que dans fes tables logarithimiques. En déterminant les trois dernieres figures décimales, qui fuivent la 140^, l'auteur n'a point eu égard au refte quil (*) QG. Vega Vorlefungen über die Mathematik. Seite 203. » HISTOIRE 43 quil faudroit y additioner, s'il avoit pouffé la. précifion en- core aux figures r44- & fuivantes: mais à-ce defaut il y a ajouté un reíte par eftime, de forte que méme ces trois der- nieres figures ne fauroient dilférer de la vérité que de quel- ques unités. , En comparant cette valeur de 7 avec celle qu'on trouve déja en plufieurs ouvrages exprimée jusqu'à 127 figures décimales, on obfervera, que celle de lauteur n'en difffBre qu'en deux endroits, favoir à la 113* & à la 123* figures. Celle là au lieu de 3 eft ici 8, & celle-ci au lieu de 6 eit ici 4. Mais comme l'auteur a refait fes cal- culs à diveríes xreprifes, il eft .trós perfüaadé que la figure 115"* dans l'ancienne valeur ne peut étre qu'une faute d'impreífion qui s'eft propagée d'un ouvrage à l'autre, d'au- tant plus que toutes les figures fuivantes s'accordent par- faitement dans lune & lautre valeur. Or la r27* figure étant la derniere de l'ancienne valeur, on n'y fauroit comp- ter au jufte, auffi peu que des trois dernieres figures de la préfente valeur qui va jusqu'à la 143 figure décimale, & que l'auteur a par cette raifon transpercées. L'Auteur finit par donner encore une nouvelle ex- preffion pour la valeur de 7, dont la huitieme parte eít egale à l'agregat des trois féries fuivantes : 5. z A SB 265 (orem 36r y. 451 E -4- &c.) 9. II 13.15 17.19 CONES AFLHIINANRTE RENE —1.(564- id 4-£ f 4- E h 4- £ k-4- &c.) oü les lettres A, B, C, &c. a, 6, c, &c. marquent les fractions fuivantes r2 Au HISTOIRE 4 — $ N Ü — 9 A b 90 — 9a "Ja0r SES Le ues ub C — ax d-——— 7 624X oi EE 62 1x &c. TRAI. HISTOLRE 45 TRAITE D'UNE MÉTHODE NOUVELLE ET INFAILLIBLE, D'ESSAÍER L'OR ET L'ARGENT: Par M. Charles Baron de Meidinger. Préfenté à, l'Académie le 23 Suin, 1794. ———M ÁÁÉ— A, Obfervations préliminaires für l'ancienne facon d'effaier. bass... méthode d'effaier, outre les divers défauts dans la manipulation & le méchanisme, a encore les défauts po- liüques fuivants: 4. Si plufieurs Officiers des monnoies ou effaieurs font les effais d'une méme fonte, ou de la méme maffe d'or ou d'argent , rarement ils fe trouveront d'accord: l'un aura plus ou moins de fin que l'autre; par là ou l'hotel des monnoles fouffre, ou le public. BR Les principes de la fabrication des monnoies font donc incertains & chaque état manque de fureté dans le commerce & dans le cours du change. f 3 ^ C 46 HISTOILIRE C. De là nait une méfiance mutuelle entre les états commercans & des plaintes continuelles de part & we o fur le peu de. jufteffe- des efpéces; | /TTN D. Les officiers des: monnoies ignorans ou de mau- vaife. foi, qui.fe foucient peu. de la, jufteífe des. efpéces dans le commerce ,. font- les feuls, qui profitent de: ces. désordres au préjudice des honnétes gens. E. Cette. incertitude de. l'art. d'effaier;fait que ceux qui livrent l'or & l'argent aux hótels des monnoies, fe re- tirent des endroits, oü ils trouvent la plus grande incerti- tude des eflais, & fe tournent Vers ceux; ou ils trouvent le mieux leur compte & oü les effais leur paroiffent plus fürs. F. Cette méme incertitude de l'art d'effaier fait qu'infenfiblement. le- commerce & le change tournent au pxe- judice d'une nation, puisquil eft inconteftable , que la va- leur intrinféque des monnoies, c'eft à dire la quantité réell d'or & d'axgent qu'elles. contiennent, eft la méfure cond de là. valeur de toutes les produGions de la nature & dé. làrt: or comment s'affurera-t- on de cet appréciateur cont. mun, fi lart d'effaier eft hors d'état de le fixer? 3 G. Un- exemple. va éclaircit. ce^ que j'ai avancé: Suppofons. que. dans un état il y a. 3c: millions: de- florins en pieces.de. 2o kreutfers en circulation. — Les loix ordon-. nent, que ces piéces foient monnoiées:à 14..florins pour: un marc de poids, & que le titre en foit 9 lots & 6 grains. (7) . Que, (*) Le plus haut titre eft en. Allemagne de 16-lots, & le lot- fe di^ vife en 18 grains. HISTOLRE. " Que trois effajeurs opévent iion la méthode ancienne 'pour déterminer la valeur intrinfeque .& -par conféquent le fin de;ces monnoies. Jean trouvera dans íon opération que le marc eft de 9 lots & 4 grains; Titius trouvera 9 lots & 5 grains, & Sempronius le jugera à 9 lots & * grains. 'Tous ont travaillé de leur mieux & felon leur devoir. Aprés le calcul fait du. premier refultat, Een de mil- lions ne produiroient que 29 millions & 64^,95-1 florins , par conféquent toute cette quantité d'éfpéces | perdroit 357,1452$ florins; felon le réfultat du fecond les 3c millions ne addis. que 29 millions 82:,42$3 florins, la perte feroit donc de 1 73,5 713 florins. —— du troifieme feroit monter le tout à 5o millions 175,5712 florins, il y auroit par là 175,571; florins de plus fur le "ial H. Que conclure de cette différence, qui dans une fabrication annuelle fe monte à plufieurs milliers de florins au désavantage de l'état, & qui rend le commerce de lor & de largent fi périlleux , méme pour les livranciers? fi non que des trois operations il n'y en a qu'une, qui foit ju- fte, & peat - étre aucune. ll eft certain , qu'elles font tou- tes trois incertaines, parcequ'elles ne font pas faites fur une régle ou échelle infaillible , mais fimplement felon la rou- tine fautive, qui eft en vogue s & gm ne D nupel qu'une fureté purement idéale. 7. Par la nouvelle méthode d'effaier toute incerti- tude ceífe, parceque chaque effaieur a pour réele une échelle de comparaifon, avec laquelle il opére, & qui lui procure toute la certitude: mathématique & phyfique , Ccom- mé nous allons le faire voir. PRE- 48 HISTOIRE POR REC de la nouvelle méthode infaillible , d'eflaier l'or & largent par le moien d'une écheile de comparaifon. CHAPITRE I. De largent fin ou à 16 lots (*); comment on le con- noít, & qu'il ne fouffre aucune diminution par l'action du feu. $. r. On ignore encore aujourd'bui dans les hótels des monnoies : 1.) Comment on connoit l'argent pur ou de r6 lots. Les chymiítes & métallurgiftes trouvent une ues grande diffi- (*) Il faut, pour bien comprendre toute la fuite de cet ouvrage, fe former une idée juíte de la divifion de nos poids & de la déno- mination du titre de nos efpéces. Les poids fe réduifent au. mare, qui eft de 16 lots, le lot à 4 quintel, le quintel à 4 déniers, par conféquent le marc a 256 déniers. Le dénier eft divifé en 256 parties, delà la divi- fion du marc eft de 65,556 parties, qui fuffhfent pour déterminer & péfer les moindres mafíes avec toute la précifion imaginable , moiennant une balance jufte & fenfible. Pour les effaieurs, foit des efpéces, foit de l'or & de l'argent, le dénier eft établi pour un marc en petit, qui à l'inftar du vrai marc eft divifé en 16 lots; & comme le lot a 18 grains , on abandonne la divifion ultérieure du marc pour les effas, & on divife ce lot en petit, ou des effaieurs, en 18 parties, qu'on nom- mie grains, qui font les memes pour l'or comme pour l'argent. Parlà le dénier ou marc en petit pour les effaieurs contient 16 lots, chaque lot de 18 grains, cela fait en tout 288 grains m e HISTOIRE d difficulté à repondre. a cette queftion , quoiqu 'en elle méme elle foit tres facile. $. ». Ils difent communement , que l'argent pur ou de 16 Lots eft celui, qui felon la maniere de calculer en Allemagne laiffe fur la coupelle 15 Lots & 16 Grains ou quelques chofe de plus; par ou ils prétendent , qu aya 2 Grains de cuivre ou d'autre matiere impure qui reftent, & qu'on ne peut lui oter, ou du moins que trés difficile- ment & à grands fraix. $. 5. Les officiers des hótels dés monnoies, de mé- me que les métallurgiftes & chimiftes font ^.) dans la prévention, que par l'aüion du feu dans les effais, de méme que par la fonte de l'argent, il fe vo- latilife, ou fe confumme une partie du métal, qui en oc- cafionne le déchet. $. 4. Ils prétendent,. que l'argent contient tou- jours une certaine humidite, & quil n'a ni la fixité ni la matüarité de lor. Pour prouver cette affertion erronée , ils allegaent, que toutes fois qu'on remet un argent dé- ja coupellé fur la coupelle ou feul ou avec le plomb, il y a toujours un déchet d'un grain & méme plus, ce qui n'arri- ———————— A "X—— !— —À——————— Áo — Á— — — LY le marc en petit. La méme chofe eft pour or fin, dont le marc pefant eft evalué à 24 Carats, chaque Carat à 12 "Grains , cela fait de méme 288 Grains. Le fin de l'argent eít evalué felon les Lots & Grains, com- me L'or felon les Carats & Grains. —L'argent le plus fin eft au tire de 16 Lots, au lieu qu'en rrance il eft à ro Leniers. Moiennant cette connoiffance il fera facile de faire tous les rap- ports de l'un à l'autre. Hifioire de r91. g T | HA48 TOLRE. n'arive pas avec lor, qui ne perd rien ou presque rien par les operations repétées; il a par confequent plus de fixité & de maturité que l'argent. v. $. «*. "Toutes ces opinions font fauffes & fondées far des préventions dangereufes, comme on le verra ci-aprés. $. €. Lorsque l'argent eft au plus fin ou à 16 Lots, il ne perd plas la moindre chofe par le feu, à quel degré quon le pouffe. Si l'argent au contraire eft mélé avec du cuivre, ou s'il eft en minerais, il eft hors de doute, que par le départ du cuivre ou d'autres matieres impures , qui lui font unies, il fe perd une partie confiderable d'argent, qui eft volatilifee par l'adion du feu; mais jamais l'argent fin ne fe confamme au feu. $. 7. Pour lever la premiere prevention fur la facon de connoitre largent fin à 16 Lots & la faire comprendre facilement à chacun, il faut faire attention à ce qui fuit. $. 8$. Prenez de l'argent purgé de tout cuivre, plomb ou autre matiere hétérogene, foit par le moien de l'eau forte ou de la coupelle. "Tout le monde confiderera cet argent pour. trés fin, & on levaluera à 15 Lots & 16 grains & quelque chofe de plus. Pafífez un marc en petit de cet ar- gent par la coupelle foit en une foit en deux, moitié par moitié, donnez à vos coupelles le degré de feu convenable; loperation aiant été bien faite, vous trouverez vos deux boutons de 1:5 Lots & 1:6 grains. $. c. Réduifez vos deux coupelles par la facon or- dinaire de lart, vous y trouverez précilement les 2 grains dar- HISTOIRE 5I d'argent fin, qui étant ajoutés au produit de l'operation pré- cédente vous donneront exa&ement r6 Lots; par confequent le marc entier d'argent fin, dont rien ne s'eft confummé par le fea, ni volaulifé felon les préjugés. $. rc. Si apres avoir trouvé fur les coupelles les 15 Lots & 1:6 grains, la réduldion donne moins que : grains, c'eft une marque que l'argent qu'on jugeoit fin de 16 Lots avant cette operation, n'étoit pas tel. $. rr. Si par les differens degrés du feu il arrive, que le marc ou les » demi-marcs que j'ai paffés par la coupelle, produifent plus ou moins de r5 Lots & 16 grains, on trouvera de méme par la réda(lion des coupelles plus ou moins de deux grains, ce qui fait, qu'ajoutant les pro- duits des deux operations, on aura le marc d'argent fin tel, quon lavoit pefé pour le mettre far la coupelle. ! e. $. 1». Tout ce que je viens de dire doit tor jos fe rencontrer exadement, fíinon, on peut conclure avec toute affarance ,, que l'argent n'eft pas fincoa de 16 Lots, mais. quil contient encore des matieres étrangeres & impures. $. 1*3. On comprend, fans que je le dife, que, pour les operations il faut avoir une balance exaüe, des poids bien divifés, & preter toute l'attention en péfant. ll faut de plus avoir du plomb, qui ne contienne abfolumeit pas d'argent, tel que celui de Villach en Carinthie. $. r4. Quant au 2* point ou prévention, qre l'ar- gent fin fe volatihfe & fe confumme par l'adion du feu; le conuaire fe prouve par les operations & les vcerités, que je Hs viens 52 HISTOIRE viens d'alleguer, puisque dans le feu le plus adif de L'ope- ration de coupeller l'arzent fin, ren ne fe perd; le déchet qu'on trouve, étant reparé par la réduüion de la coupelle , qui rend exaQdement ce qu'elle en avoit pris. $. rs. IL s'en fuit donc, & la confequence paroit né- ceffaire , que l'argent le plus fin ou de 16 Lots ne fouffre aucune diminution dans le feu le plus concentré & continué. $. 16. Je fcai, que le fameux Tíchirnhaus a produit des effets furprenants par le moien de fes verres cauftiques, avec lesquels il a prétendu détruire les, métaux les plus précieux; mais ces experiences purement chimiques n'en- trent nullement dans nos arrangemens , dont le but unique tend au bien public & à une bonne manipulation dans la docimafie. f. rz. Les experiences faites par l'académie des Sciences de Paris fur cette matiere font trop connués pour les rapporter ici; elles prouvent, comme il a été prouvé par d'autres, que largent le plus fin de 16 Lots ne perd rien de fon poids dans le feu de fufion le plus concentré & continué. 9. 18. "Toutes ces verités, qu'on peut à tout mo- ment démontrer par lexperience, prouvent confequemment, que l'argent le plus fin n'a pas plus d'humidité, ni moins de maturité que lor; donc lun & lautre chacun. dans fon éfpéce, font également mürs & parfaits, & que les Alchimi- ftes n'en prouveront jamais.le contraire. CHA- HISTOIRE 53 CHAPITRE II. De l'echelle de comparaifon, dont on fait ufage dans la nouvelle méthode d'effaier, & com- ment on la compofe. : f. 1. On vient de voir, quil y a de l'argent à 16 Lots, & que par la rédudion de la coupelle on eft convain- cu fans le moindre doute, qu'il exifte; c'eft précifement cet argent de r6 Lots de fin, qui doit étre emploié à former lechelle de comparaifon, dont on fait ufage dans la nou- velle docimafie. $. 2. On fe fert donc de l'argent le plus fin pour compofer lechelle de comparaifon, comme nous venons de le dire, c'eft a dire d'un argent, qui aiant paffé par la cou- pelle felon la méthode ufitée, donne :i5 Lots & 1:6 grains, lesquels , avec les deux grains, qui proviennent de la xé- duQion de la coupelle , font enfemble 1:6 Lots ou un marc d'argent le plus fin. $. s. Cet argent le plus fin, qui porte la dénomi- nation de 15 Lots 16 grains, doit étre mélé felon l'art avec un cuivre pur & duüile, réduit en lames trés minces, bien nettoiées, felon le titre des différentes monnoies ordonné par la loi. On jette cette maífe en lingots ou en grenailles , qu'on conferve pour l'ufage futur. Par là l'echelle de com- paraifon (*) eft faite & prete à 6tre peíée & divifée felon le poids des eífaieurs. $. 4. Pour xendre la chofe plus claire , je fuppofe , que quelqu'un voulut faire des echelles de comparaifon avec Í £3 I5 (*) On pourroit auffi nommer l'echelle de Comparaifon un Zitrome- ire, c'elt a dire la méfure du vrai titre de l'argent & des éfpéces . monnoiées. 54. HISTOIRE. i5 lots (ou rs demies onces) d'argent fin, pour effaier nos ecus de convention, qui font à 15 lots o grains de fin, felon la divifion reque du Marc à 65, 556 parties: il pour- ra avec cette maífe faire 1144 effais, fans perdre la moin- dre chofe de fon argent fin, qui ne fe confamme jamais au feu. | $. s. Ce calcul fe fait par la régle d'alliage & celle de trois, en fe fervant de la divifion du Denier ou du Marc divifé en 65, 556 parties, tel quil a été établi ici en 1763 à linftar de la divifion du poids de Cologne. r5 Lots $6 grains d'argent fin. 2 Lots rio grains de cuivie pur. r5 Lots 16 grains de malfe. Je dis: Si 15 lots 16 idus d'argent fin me donnent une maífe de 1 marc i lot 3 quintel & ^ deniers de maffe au titie de r3 lots & 6 grains, que iier Ri au méme iue. 15 lots & 6 grains? Facit r5 lots. Si rs lots & r1r6 grains donne 1r marc rz lot 3 quintel 2 deniers, combien donneront » lots 1o grains ? Facit 2 lots 3 quintel & 2 deniers de cuivre, Jaurai par là une maffe de 1 marc 1 lot 3 quintel & » deniers, qui fera précifement au titre demandé de r3 lots 6 grains, & qui fe montrera telle íur 1a coupelle ; elle me donnera donc une echelle de comparaifon trés jufte pour nos Thalers. $. 6. HISTOIRE. 55 $. 6. De: cette: facon on fe forme des echelles de 'comparaifon ou des Titrometres pour toutes les éfpéces de différens alois, &- on peut faire cette operation en telle quantité, qu'on le trouve à propos, foit en grand foit en peut; puisque par la divifion du denier on peut avoir toute la jufteffe, que la meilleure balance peut indiquer, quand méme il y auroit des fradions. f$. 7. De cette maffe d'argent allié avec le cuivre on prend felon le poids d'effaieurs autant demis marcs, quon le trouve à propos; afin de les avoir pets, & ne pas étre obligé de faire cette operation à chaque effai, qui furviendroit. Ce demi-marc d'effaieur ne senveloppe pas comme de coutume dans du papier blanc, mais on le met dans un papier rouge, bleu, ou d'une autre couleur, afin de ne pas fe tromper, lorsqu'il s'agit de le mettre fur la coupelle. J'ai coutume d'envelopper tous mes affais dans une quantité convenable de plomb laminé ou battu, mince comme du papier, en y ajoutant une marque, pour de- figner, que c'eft un echelle de comparaifon. : C'ft la meilleure méthode de preparer les effais , en donnant un figne diftindif à ceux, qui doivent fervir d'echelle. j CHAPITRE III. Des coupelles pour la nouvelle méthode d'effaier , & comment on doit les faire. f. r. Les coupelles ordinaires, dont on fe fert com- munement pour effair l'or & l'argent, ne font pas d'ufage dans la nouvelle méthode; on en emploie d'autres, qui fe font $6 HISTOIRE font de la méme matiere, mais d'une ftruQure differente , qui jusqu'à préfent n'ont pas été connués. | $.25. ly a deux fortes de ces coupelles; l'une eft compofée de trois petites ecuelles formées d'une feule piece circulaire, dont les cavités font pareilles à celles des coupelles ordinaires. Cette éfpéce eft deftinée à ceux, qui font peu au fait de l'art d'effaier, & qui ne favent ni di- ger le feu, ni les régles de la Docimafie, comme nous le dirons plus bas. Voyez 'lab. IL fig. v. Comme ces trois cavités forment par leur emplacement un Triangle, j'ai donné le méme nom à cette forte de coupelle. —J'appelle- rai donc dans la fuite la maniere de fe fervir de ces cou- pelles: effaier en triangle avec l'echelle de comparaifon. $. 5. Je nomme l'autre forte de coupelles, longues, parceque les trois cavités font placées fur une mémes ligne lune à coté de l'autre, comme on peut le voir 'Tab. I. fis. u. Celles-ci conviennent aux perfonnes bien inftruites dans l'art d'effaier, & qui favent par confequent diiger le feu. Lorsqu'on les mettra en oeuvre, on dira: effaier dans les coupelles longues avec l'echelle de comparaifon. $. 4. Les effais de méme que l'echelle pefés avec toute la jufteffe requife fe mettent felon l'art chacun fepa- rément dans les cavités de ces coupelles, on les fait paf. fer felon la maniere ufitée, en donnant froid & chaud fe- lon la convenance, & fur tout chaud à léclair, dont nous parlerons bientot plus au long. $. 5. Si Fon fe fert des coupelles triangulaires, o doit marquer la cavité, qui doit recevoir lechelle de com- parai- HISTOLRE. 55 paraifon, foit par une egratignure de coté ot une marque avec la mine de plomb, afin de ne pas fe tromper foit en ly. placant foit en la retirant. | Quant aux. coupelles lon- gues om n'a pas befoin de cette: precaution, parceque celle du milieu eít toujours deítinée à recevoir cette echelle de comparaifon. $. 6. Lune & l'autre éfpéce des coupelles mention- nées ci - deffous . font également bonnes, on les fait de la atióre ufitée de 2 parties, de. cendres de bois & une par tie de cendre, d'os calcinés & bien purifiés. par le lavage; ou d'os calcinés feulement &.fans claire. .]l ne faut pas les frapper comme de coutume avec un maillet , qui occa- fionne une. difference entre les coupelles , qui tantót font plus, t tantot moins ferrées ; mais les mettre fous une preffe, qui d'un feul coup de main fait les trois coupelles à la fois dans une forme, dont le deífein eft Tab. I. fig. r. ode MBA S2 comprendra facilement , que le ferrement de la preífe étant égal pour les trois coupelles qui tiennent enfemble, elles doivént étre auff compaüdes les unes que les autres; d'autant plus que la partie infedeure & la fu- perieare P3 linftrument s'uniffent avec toute la jufteffe pos- fible, par quoi une cavité eft auffi ferrée que l'autre, & par conféquent l'une ne peut pas plus attirer d'argent que l'au- tre, ni plus de plomb, qu'on fuppofa par tout du méme poids & proportionné à l'argent: quant méme on fe ferviroit d'une coupelle triangulaire, & que le feu fe trouveroit in- égal dans le fourneau d'effai, & le tout feioit negligé, com- mé nous le prouverons plus bas. (Cet article du feu eft dans Yancienne méthode d'es. faier le. principal, le:.plus:difficile,; & fans échelle de com- Hiftoire de 1791. h pa- $8 HISTOIRE. paraifon, on peut dire, qu'il eft impoffible; puisque la mou- fle n'eft pas par tout d'égal épaiffeur que les charbons, l'áir & confequemment l'adion du feu ne font jamais dans une parfaite égalité , on ne peut donc pas avoir une certitude: mathématique des. opérations. $. $. La preffe a cet avantage far le maillet, que les coupelles en font plus ferrées que celles qui avoient été frappées; & quoique les nouvelles avec le méme degré, de chaad que les anciennes, boivent la méme quantité d'argent ; il y a cependant cette différence, que dans les nouvelles qui font plus compa8es,; les boutons de fin fe détachent mieux que dans les anciennes, & rarement il y refte de la matióre des coupelles ou de la litarge attachée: par oü on fait fouvent valoir le plomb pour de l'argent dans l'ancien- ne méthode. " ps PUE perfonne , qui n'eft pas faffifamment au fait de la dirediod du feu & de la facon d'effaier, peut par le moien des coupelles triangulaires faire les operations avec une entiére certitude; malis ceux, qui font au fait d'enüre- tenir une égalité de chaleur dans le fourneau d'effai & dans la moufle, trouveront. plus de facilité à fe fervir des cou- pelles longues. Ic. Ces coupelles longues étant de méme ma- üére. & faciles de la méme facon que les triangulaires, doi- vent produire les.mémes effets. On les place à l'ordinaire fous la moufle, en obfervant le méme regime du feu felon la convenance. On porte dans la cavité du milieu l'echelle de comparaion, &'dans les deux autres les: effais; on con- duit le.feu Íelon.laxt. Pau: qouscfeninil Hel tout dans le bain ' "con- HISTOIR.E. $9 convenable , & enfin on donne le chaud pour l'éclair; on détache enfuite les boutons dans le chaud, & par là toute Toperation eft achevée & parfaite , fi on. a obfervé tout ce que jai dit jusqu'ici, & que je détaillerai encore dans la fuite. $. 11. Comme par tout , ou l'on fait des effais , on .eft convaincu, que par le plus ou le moins de chaud les coupelles boivent plus ou moins d'argent (Voyez Chap. I. f$. 5.) & que felon. ce que nous avons demontie, l'argent fin ne fe confuümme ni fe diminué dans le feu, il ne feroit pas à propos d'introduire. dans un hótel des monnoies, à l'ex- clufion des. autres, des coupelles, qui ne boiroient point du tout d'argent, parceque dans ce cas tout effaieur , qui exa- mineroit les éfpéces d'un tel hótel felon la. methode ufitée, & qui n'emploieroit pas d'echelle de comparailon , les juge- roit certainement d'un mauvais alol à proportion, que fa coupelle boiroit du fin. ll étoit par confequent indispen- fable dans cette nouvelle méthode, d'emploier la méme ma- tiere pour la conftrudion des coupelles;. c'eft à -dire des cendres de bois & des os bien calcinés & purifiés par le lavage, & de faire ufage d'un plomb pür ou du moins ex- adement effaié, comme on fait par tout. CHAPITRE IV. - Des fourneaux d'effa , des moufles & de lappareil. $. 1. Quoiqu'on - puiffe fe fervir des fourneaux & des moufles ordinaires pour faire les effais avec lechelle de comparaifon, foit qu'on emploie. les coupelles en tiiarglcs, ou les longues; jen ai cependant imaginé d'autres, qui font repréfentés "lab. Il. fig b. c. d. Comme ces nouvelles foi- ies de fourneaux & de moufles dépenfent moins de chaibon, ! h:2 & 6o HISTOÓTIR f. & donnent plüs d'agiément & de facilité dans les operations; ils pourroient avec un grand avantage pour les hótels des monnoies étre fubftitaés à ceux qui font en vogue, puis- qu'ils ne coutent pas plus que les ordinaires tant pour les fabriquerque pour les entretenir. (. ». . Ces fourmeaux & moufles s'écartent confidéra- blement de la ftru&ure ordinaire , comme on peut le voir par les deffeins "Tab. II. Ils font tant exterieurement qu'in- tereurement d'une figure ronde, qui convient mieux à la diredion du feu de charbon. Le foürneau a les mémes pro- portions, que celui de Mr. Cramer, mais il eft en ceci plus commode, qu'il eft brifé doublement par deux charniéres c. d. dont l'une feit pour y placer la moufle, & l'autre pour .y mettre le charbon; Qn place fur le haut un tuyau e, qui augmente confiderablement le degré de chaud. Je nomme mes fourneaux des fourneaux ronds & les'moufles des mou- fles pointués pour les diftinguer de ceux qui jusqu'à prefent ont été en vogue. $. s. La bafe des moufles doit étre auffi unie, qüe font les coupelles longües, afin que l'air ne puiffe patfer par deffous, par oü il fe trouveroit une inégalité de chaud, qui occafionneroit une précipitation ou rétard dans lun ou lautre effai. Pour prévenir tout inconvenient , je fais faire cette baáfe féparément de la moufle, & lui donne plus d'e- paiffeur, afinque par le moien d'une lime ou pierre de grais je puiffe enlever toutes les inégalités, & la placer horifon- talement: par cet expédient les cotipelles longues fe ptá- cent far le fond de là moufle fans laiffer aucun inteifüice ; & les inconveniens fusmentionnés font levés. | $. 4 HISTOIRE : 6i — $4. Lat de la nouvelle méthode d'effaier, lors. qu'on emploie ces coupelles en trangle, confifte en ceci , que lorsque les effais & lechelle de comparaifon font pla- cés dans les cavités, la coupelle. ne refte pas en repos fous la moufle , comme il fe pratique aujourd'hui, & qu'on n 'eft pas obligé de la pouffer plus avant ou la retirer, pour mo- derer le chaud ou le froid; celle-ci au contraire tourne continuellement far fon centre fixe, par oü les effais ont tous les degrés de chaud & de froid requis à la perfedion de loperation. - $. s. Pour produire ce mouvement , lorsqu'on veut opérer avec toute la commodité , on fe fert d'une machine trés fimple, telle par exemple qu'un. tourne broche , qu'on applique fous l'atre du fourneau d'effai, Voyez Tab. II. fig. y. 7$. 6. Uie barre de fer , qui descend perpendiculai- rement de la coupelle triangulaire au travers de la moufle, du fond du fourneau & de làtre, eft mife en mouvement par la machine fusmentionnée; cette bare paífe dans un tuyau de tole affermi au fond du fourneau, «& garni d'ar- £ile extérieurement pour le concerver contre l'adion du feu. Oaand la machine eft montée, cette barre tourne au gres de l'o operateur ou plas vite ou plus lentement, felon quil lache la detente. | $. 7. Comme cette barre doit tourner fans aucune fecouffe , qui dérangeroit infailliblement l'operation, on con- coit, que ce mouvement.ne doit pas étre- 'communiqüé à la barre par des rouages , mais par une vis fans fin, ou par quelque ieffort ou 'enfin par des cordons. hs$ $. 8. 62 HISTOIRE. f. 9. Le haut de la barre qui paffe le fond de la moufle, eít fait en quarné, fur lequel s'adapte une plaque ronde de terre cuite avec un rébord Tab. Il. fig. Kk. par le moien d'un trou quaré, qui convient à la barre. Sur cette plaque on pofe la coupelle triangulaire avec les effais, & on fait tourner le tout fans aucune fecouffe trés lentement. Par ce moien les eífais recoivent une égalité de chaud & de froid; ils doivent par confequent produire les. mémes boutons refpedivement au fin de l'argent, qu'on effaie, quand méme l'peration finiroit plutot avec l'un qu'avec lauue, $. 9. Je donne le nom de fupport à cette plaque, dont on trouvera la figure & l'ufage expliqué à la fulye de Cci ouvrage, " $«-x1o. Quiconque n'aimeroit pas avoir cette machi- ne fous l'àtre du fourneau à elfaier, peut operer avec toute la jafteffe poffible en faifant tourner à la main la: coupelle trangulaire, foit en donnant au fapport un axe rond, qui traverfe fimplement le fond de la moufle, foit en affermis- fant à:la barre fous le.fourneau une roue de fer ou de lai- ton, par le moien de laquelle.on. puiffe, faire tourner le fap- port. Voyez Tab. L fig. »». | Mais dans l'un & l'autre cas on eft obligé de préter attention à faire ce qu'une fimple machine executeroit, comme d anive dans les Guias avec le tourne - broche, ae : .$. 11... Il convient de iépeter ici ce que j'ai déja dit plus haut, que cette facon d'effaier avec le triangle n'eft que pour les perfonnes, qui re favent, ou qui ne veulent pas fe donner la peine de diriger le feu, .Ceux au contrai- Y€s IZSTOILHB/E 65 &: qui font au fait des bffals ordinaires, & qui connoiffent la diredion du feu felon les régles d'une bonne docimafie , trouveront les coupelles longues plus commodes , & régar- deront les triangulaires avec les fagons de les faire tourner, comme des chofes füperflués. | | CHAPITRE V. . Des chofes quil faut obferver dans l'operation des eflais. n I, | dt deiqtii on veut effaier, on commencé par met: tre le feu au fourneau felon la maniere accoutumée , aprés avoir placé les coupelles foit les triangulaires fur leur fup- port, foit les longues fons la mouíle; & pour mettre le tout au degré de chaud requis, on place un gros charbon à l'em- bouchure du fourneau; lorsque le fourneau & la moufle ont acquis le degré , qu'on fouhaite , on tire'la coupelle trian- &ulaire jusqu'à lembouchure du fourneau, on y place les effais & l'echelle de comparaifon, & on la remet fur le fup- . port, aprés quoi on le fait tourner lentement, [oit par la machine expliquée, foit à la main, comme il a été dit pa haut. Chap.: TV.'$. "1o. : f. ». Onant aux coupelles longues, lorsqu'on y a ms les effais avec lechelle de comparaifon, *lles . reftent immobiles fous la moufle felon l'ancienne méthode; l'effaieur les traite comme il feroit avec une fimple , felon que lart Ld. les circonftances l'exigent. J I: 4e Lomque les effais font bién fondus & circulent,' eet ES que l'effaieur doit obferver; s'ils ont trop chaud ou trop froid; fi l'o iid fe fait dans les coupelles longues; quant 64 HSISTOLIRE. quant aux triangulaires , on les fait tourner 1éguliexement, 2; 3. Ou 4 fois dans une minute. $. 4. Si les effais ont trop chaud, on óte le char. bon de lembouchure , pour donner accés à l'air, & les. ra- fraichir jusqu'au tems, oà le bouton veut former fon éclair, quon augmente déréchef le chaud. $. 5. Si en ótant le charbon de lembouchure on n'obtenoit pas le froid qu'on fouhaite, on peut moderer la chaleur en fermant les portes du cendrier & le couvercle du fourneau, ou bien on place devant la coupelle un mors ceau froid d'un vieux creufet taillé de la figure marquée, Tab. II. fig. 1. Par ces moiens on peut moderer le feu comme on le juge à propos. $. 6. Si le contraire arrive, c'eft - à - dire, qu'on fcit obligé d'augmenter le degré de chaleur, foit que dans lo. peration il manque, foit que les effais aillent à leur fin & foient prets à faire l'éclair, dans ce cas on donne plus d'ou- verture aux portes du cendrier , on ouvre le couvercle du fourneau, on retire la pierre à moderer la chaleur, & on met un charbon ardent dans lembouchure de la moufle, & méme devant, s'il eft neceffaire, Enfin on emploie tous les moiens, que doivent connoitre tous les effaieurs , qui font au fait de l'ancienne méthode. $. 7. Il eft bon d'obferver, qu'avec, mes foumneaux. ronds, dont j'ai fait mention au Chap. IV. $. r. on peut donner ious les degrés :de chaud & de. froid. requis en fer- mant ou ouvrant la porte du cendrier , & le. couvercle; par, ce moien les coupelles longues peuvent 1efier en place. & iS les HISTOIRE- 65 les triangulaires [e dirigent par le feul mouvement retardé ou accceleie, $. s. Pendant l'operation on trouvera ce qu'on a fouhaité & cherché jusqu'à prefent, c'eft-a- dire, que les trois effais dont l'un. eft l'echelle de comparaifon,, & les deux autres de la méme qualité d'argent, feront. cómme trois.etoi- les dans une paifaite égalité, par confequent aucun. n'au- ra plus de. chaud ni de froid, que. les autres... Comme. cette parfaite égalité eft le, ciet d'oeuvre dans l'art d'effaier,. & que la juíteffe de l'operation en dépend; ; ll convient non. fealement, que tous les trois entrent enfemble en fufion, & pour cela on retire les coupelles à. l'embouchure de la moufle pour y placer les effais, afin que lun ne travaille platóot que l'autre; mais ils doivent de méme finir & faire léclair en méme tems. -S'il arrive, qu'un ou l'autre. fimffe quelques moments plutot ou plus tard, cela n'eft d'aucune confequence ; ceft une marque , quil y, avoit un peu plus ou. moins de plomb dans lun que dans lautre, ce qui pro-. vient de ce qu'en ne pefe pas le plomb aux balances d'es- fais, mais à des balances plus groffiéres, qui n'annoncent. or- dinairement pas les moindres parties. $. 9... Si loperation a ete. telle, Dr n'aie obfervé aucun défaut, qui oblige à la iépeter, & que léclair foit paffé dans le degré de chaud convenable, on laiffe la ccou- pelle encore quelques moments à fa place, apres avoir Oté le charbon de l'embouchure, par oü elle eft un peu rafiai- chie; le tout étant figé, on la retire à l'embouchure par le moien des pinces, & avec linftrument convenable on deéta- che les boutons encore tout chauds, qui par ce moien fe féparent parfaitement de la coupelle. Dans cet état on les pefe, & on les compare avec l'echelle de comparaifon. Hiftoire de 179r. i $. 1o. 66 HISTOIRE: $. rc. On commence par pefer l'echelle de compa- raifon, pour étre affuré, fi elle annonce le titre, qu'elle doit avoir, & qu'on lui avoit donné pour fervir de comparaifon aux elfais, avec lesquels on la paffé par la coupelle. $. 1r. Si par exemple on eífaie nos écus de con- vention, & qué lechelle de comparaifon aie donné fur la. coupelle 13 lots & 6 grains, on a ume certitude phyfique, que, fi les effais fe trouvent exadement en équilibre fur la balance, ils annonceront le jüfte titre de ces écus, foit quil réponde à celui de sbipgeitat foit qu'il en différe. CHAPITRE VI. Obfervations phyfiques, qui démontrent la certitude de la nouvelle méthode d'eflaier. $. r. Pour fe convaincre de la certitude phyfique de cette nouvelle méthode, il n'eft pas befoin de poffeder | la pratique de l'art d'effaier; les lumieres feules de la rai- fon fuffifent, & les principes fuivans démontrent , qu'en la fuüivant on doit trouver infailiblement le jufte titre des efpéces. Car a.) On a les coupelles de la méme matiére, pres- íces avec la méme force , par confequent elles font de la méme texture interieure & de la méme bonte. 6.j On fe fert du méme plomb, dont on s'eft affuré par des épreuves réiterées & dont on emploie à chaque effai la méme quantité, comme dans l'ancienne méthode. Cc.) On a pour chaque forte d'effai une echelle de comparaifon ürés jufte; on a donc un temoin fidele, qui par le HISTOIRE 64 "de moien d'une bonne balance dénonce avec toute la pre- cifion poffible le titre des éfpéces établi par les loix. Enfin d.) Si les coupelles longues s'adaptent bien fur le fond de la moufle, on obtient par le moien des fourneaux ronds & des moufles pointués une circulaüon uniforme du feu, ce qui arrive auffi en faifant tourner les ccoupelles tii- angulaires. Cette nouvelle méthode reunit par confequent toutes les conditions fi longtems. defirées , qui faffifent pour *écarter les doutes dans les operations faites fur les mémes fujets & dans le méme tems, $. 2. Il eft demontié tant en théorie qu'en pratique, que le feu, foit celui des raions folaires, foit celui de char- bons , lorsqu il eft poufié au méme degré & qu'on lui pré- fente les mémes matiéres dans les mémes circonftances & dans le méme tems, produit neceffairement les mémes effets. Il en eft de meme de la nouvelle méthode d'effaier; toutes les chofes & circonftances füsmentionnées fe rencontrant par- faitement, il eft impoffible, que les effets ne Ííoient les mémes datis les effais de l'argent aux yeux les plus per- cants de l'effaieur le plus fcrupuleux, foit qu'il opere dans les coupelles longues, foit dans les triangulaires. $. 5. Si donc il eft certain tant en "Théone qu'en pratique, qu'une malífe d'argent bien fondué & régulierement alliée & melée convenablement, comme on doit le faire dans les hótels des monnoies, donne la méme quantité de fin tast en lingots qu'en éfpéces monnoiées, lorsqu'on la paffe par la coupelle felon la nouvelle méthode, perfonne ne pourra raifonnablement douter, que leffet ne doive étre le Me fi l'échelle de proportion a été bien faite, c'eft à dire q i 2 que 68 HI ST O I-R E. que le méme bouton de fin doit fe réproduire, puisque les circonítances font les mémes, foit qu'on faffe ufage des c cou- pelles longues ou triangulaires. CHAPITRE VII. Différentes obfervations, qui appartiennent à la nouvelle méthode d'effaier. . r. , Nous avons dit plus haut, que loperation "des eífais étant finie, le fin de l'echelle de comparaifon , qui avoit été compofée felon le titre des monnoies à ef- faier, devoit fe rétrouver fur la balance, & que les deux effais à coté devoient 6tre égaux; par là on eft convain- cu, que les boutons des eífais doivent toujours correfpon- "dre au titre des éfpéces, & qu'ils ne peuvent les annon- cer ni moindres ni meilleures, de forte que fi méme on donnoit à 1ioo effaieurs différens, qui íe fuffent préparé pour leur ufage une echelle de comparaifon felon le $..3. du chapitre II. un morceau de la méme malfe à effaier, leurs opérations donneroient toutes le méme. réfultat. $. 2». S'il arnrive, que l'echelle de comparaifon .ne donne pas par exemple pour les écus de convention 153 lots 6 grains, l'effaieur eft affuré, que le degré de chaud a été trop fort, ou trop faible, & que par conféquent. il a manqué. Si l'echelle de comparaifon a plus. de 1:53 lots 6 grains, on reconnoit felon la regle générale, que l'effai n'a pas eu le chaud requis, & qu'en confequence le bou- ton contient encore du cuivre ou du plomb; fi au contraire lechelle a moins de 15 lots & 6 grains, ceít une marque, que le chaud a été trop confidérable, & quil eft entré top HISTOITE EL -trop:de fin dans la. coupelle, ce. qui obligera l'artifte' à- étu- .dier le feu, ^& à;prendre fes précautions. Cependant ; ces idéfauts^ne mettront aucun. obítacle à la jufteffe. des opera- | «tions faites felon-la.: ,;nouvelle: méthode d'effaier, comme | nous Je dirons.aux $« 7« Si;&:fuivants de ce chapitre. sol vr s5 j lla . MET Quoque. "on la nouvelle méthode d'effaier le plus ou le moins qui refte fur la coupelle ne faffe aucun -obítacle; i il. convient : 'cependant d'étre .affez au fait; de l'art, pour connoitre;cg. gui a.pu occafionner ces différences, & ;que.lartifte foit.en. état de rendre. raifon. de. tout ce qui Té Ate dns. fes. Fenipulétiqus. Lu &q oup ub psi Dméd avons fait voir daus le I'" chap. au $. 44.que- l'argent fin.ne. fe confummoit pas dans le feu; fi .donc Jil ,anmive;-quil refte. une- fois. fur la. coupelle plus de . fin, qune. autre. c'eft le.plus ou le moins de chaleur, qui Aa fait, quil en eft entré plus ou moins dans la coupelle. Une chaleur plus concentrée & plus forte, dilate plus les pores de la coupelle, rend le plomb & l'argent plus flui- des,.& par. conféquent | plus;'propres à fe précipiter dans la coupelle-par,leur;propre poids; voila la vraie caufe & aucune. autre, -que' des -artiftes ignorants pourroient alle- Buer, pourquoi un effai, qui a eü. plas chaud, «fe trouve avoir; 1,2. &; méme. plufieurs grains de moins qu'un autre, guis n'a; pás à. le méme degré. .de chaud. aliorco$! .5 ccn ( 9 e» supfanse 281i mi lgn' un veut s'affurer de la verité dua fait;:qu'il place-dans le-fourneau bien echauffé 3 effais du méme:-titre, .par exemple de 15 lots 6 grains, lun der rere; Fautre; Loperation finie on txouvera que leffai, qui a eà-le.- ;plus de.chaud. (c' Hop en arriere). pefera . moins, Uup que 70 HISTOIRE que le fecond, & celui-ci nioins, que le 5"^, qui fera plus péfant, par ce qu'il a eü moins chaud. Par' là on aura trois fortes de titre pour une feule éfpéce. Qu'on faf- fe la rédudion de chaque coupelle féparément & qu'on a- joute à chaque effai ce que la fédu&dion aura produit, on verra avec étonnement, que chaque effai fera de 13 lots 6 grains, u9L bb i 2s & $. 6. Comme eft toujours «ha : felon les régles de lart que chaque effai de différent aloj demánde un dilfé. rent degié de chaleur; on volt clairement, que par la méthode ordinaire, oü l'on n'a point d'echelle de comparai- fon, ni des coupelles longues ou triangulaires, il eft im- poffible à detérminer le titre des éfpéces; au lieu que par la nouvelle méthode, par'le moien de l'chelle de' compá- raifon avec les coupelles longues ou uiangulaires, ^en ob- fervant légalité du feu, le plus oa moins de fin, qui refte fur les coupelles , n'empéche nuHemcfit ho: Warjon wis jufte du titre des éfpéces, | 09 epid 109809 € 21;^qu69 " 4)» e510Q $92 Cet pourquoi , — on eft dmeé de fon-e- chelle de comparaifon;on m'eft jamais obligé dé répeter T'o- peration, fion ne veut, quoique l'echélle n'annonce pas le ütre requis p. e. de 13 lots 6 grains. pour nos ecus; pourvü que les deux autres effais à icoté* foient eégàaux fur la balance (on fappofe que le tout a €té pefésau' plus jufte & que l'égalité du feu a été obfervé) fi p.e. l'echelle ne donnoit que :3 lots 5 grains, aü lieu de 6 &' que les deux autres effais fuffent égaux en toüt, on conclaeroit fa- cilement fans calcul, quil manque un grain . .à l'echelle; & comme les autres effais ont été dans lé méme degré de chaud, avec une égale quM kd méme: plomb, iler fuit : | qu'il HIN STOTRES 7I qu'il. doit manquer de ménieà chacun uf grain, & áu con- traire fi l'echelle de comparaifon annonce 13 lots 7 grains plus ou moins par rapport au défaut de chalear, il eft certain que les autres eifais, s'ils font d'ailleurs égaux en- tre eux, doivent avoir la méme augmentation de poids à proportion de l'echelle de comparaifon, felon l'axiome: les; chofes qui [ont égales à une troifieme, [ont égales entre elles. r | " ^ "$& g. Jajoterai ici pour furcroit de fureté les ex- períences , que j'ai faites fur un écu, que les effaieurs fe- lon la méthode ancienne avoient déclarée de r3 lots ; gains. : silo 9t T ) M5 i | P ; E .Je:fis la premiere operation dans une coupelle tzi- angulaire avec lechelle de comparaifon fans faire atten- tion au degré de chaleur; les 3 effais finirent presque au méme infítant, les deux eífais de l'éfpéce étoient de poids égaux. . Je troüvai l'échelle de comparaifon de r2 lots i4 grains, & les effais de 12 lots 173 grains. -^; De méme que l'echelle, pat le trop de chaud, a perdu 7 grains, il en fuit, que les effais, qui ont été traités de méme, doivent étre diminués de la méme quan- tité, en ajoutant à chacun le méme déchet, qui s'eft fait à l'echelle; j'ai trouvé que l'éfpéce monnoice étoit au ütre de 15 lots 62 grains & non 13 lots 5 grains, comme on lavoit décidé à lhótel des monnoies. $. 9. Jt HISTOIRE-. $. 9. La. feconde- experience : fut - faite dans. une. .coupelle longue avec. un degré de. feu;tiés concenté,. —— L'echelle de comparaifon : donna r2 lots 15$ grains, &'les effais égaux entre eux, donnerent 12 lots r61 grains. Il manque à l'echelle de comparaifon 8I grains, qui | ont été abforbés par la coupelle à caufe du trop de chaud; il en eft donc arrivé de inéme aux effais, & leur ajoutant cé déchet, il produira r3 lots 6; grains comme au para- vant. i | ! i $. ro. La troifieme operation fe fit dans une cou-' pelle triangulaire avec plus d'atiention au degré de cha- leur. L'echelle de comparaifon donna x3 lots 61 grains, & les effais étant égaux entre eux donnerent r5 lots 71 grains; ainfi l'echelle aiant rétenu 1 grain de matiére é- trangere , on-doit étre affur&, que les effais font dans le méme cas; fi donc on óte de part & d'autre ce qu'ils ont: rétenu d'étranger, il reftera 13 lots 62 grains pour le vrai titre. $. 1r. Enfin je fis la 4* experience dans une cou- pelle longue en dirigeant le feu avec toute l'att^ntion pof- fible, dont lechelle de comparaifon fut la preuve, puis- qu'elle donna pour refultat précifement 1:3 lots 6 grains, & les effais, qui s'étoient trouvés égaux, donnerent 153 lots. 62. grains. " | | On voit par ces procedés, avec quelle proportion & jufteffe on peut operer par ma nouvelle méthode, foit quil HISTOIRBE 43 quil xefte plas ou moins fur la coupelle, pourvü qu'on aie peíé jufte. & qu'on obferve les régles établies. $. 12. Apres toutes ces experiences je réduifis tou- tes les coupelles, dont j'avois fait ufage dans mes opera- tions, & ajoutant à chaque effai ce qui fe trouvoit dans fa coupelle, je fus convaincu, que la méme proportion de plus ou moins, qui s'étoit trouvé dans l'echelle de compa- raifon, fe rencontroit parfaitement dans les eífais. De là une preuve füurabondante, que cette nouvelle méthode eft infaillible pour annoncer le vrai titre, & qu'elle eft le vrai. point mathématique de l'art d'effaier. CHAPITRE VIII. Des précautions à prendre dans cette nouvelle manipu- lation tant par ceux, qui ont la direction des hótels des monnoies, que par les marchands, qui livrent les matiéres. f. r. Ces echelles de comparaifon pourroient, pour plus d'exaüitude & pour obvier aux inconveniens & aux dé- tours des officiers des hótels des monnoies, étre fabriquées ou préparées fous les yeux des dire&deurs de l'hótel géné- ral des monnoies, felon que nous avons dit au chapitre II. 8. 35. & delà étre éparties en lingots aux hótels fubalter- nes avec le plomb & les coupelles. $. ». Si on donne à chaque hótel des monnoies 10 marcs de maffe pour les echelles de comparaifon, il y au- ra de quoi faire 51:20 épreuves foit des éfpéces, foit de Jifioire de 179r. k l'ar- 44 HISTOIRE. l'argent en fonte ; cela fuffira certainement pour quelques années, les hótels porteront cette maífe à compte, on fera la rédu&ion des coupelles à fon tems, & par là rien ne fera perdu. f. s. A légard du blanchiment des monnoies, on donne un peu plus de cuivre dans lalliage des différentes éfpéces , cela n'entre en aucune confidération par rapport a l'echelle de comparaifon, d'autant plus, que ce peu de cuivre ne demande aucun autre traitement dans le feu. Il en eft de méme, fi on veut eífaier de l'argent, qui à la pierre de touche a un lot de plus ou moins de fin que l'echelle, cela ne peut faire de variation fenfible dans le degié du feu; on choifit lechelle, qui approche le plus du titre qu'on: veut effaier, on donne le méme plomb à lechelle, que les effais demandent, on met lune & l'au- tie dans la méme coupelle, on traite le tout felon l'art, les tüangulaues par le mouvement circulaire, & les lon- gues par un bain égal, par ce moien on obtiendra le ré- fultat tres jufte. $. 4. Si à limitation des touchaux on forme des echelles de comparaifon depuis r jusqu'a r6 lots, ou fim- Aplement :de;2454. 6.,8, L0. 12. 14, & 416. lots, OB pourra -effaier trés - exaCement toutes fortes d'argent, fans courir aucun risque de faire le moindre tort ni à l'état, ni aux particuliers, quand méme l'argent feroient plus ou moins. fin, que l'echelle; pourvü qu'on aie pU ce que nous avons dit. .CHA- HISTOIR E. 5 CHAPITRE IX. Des effáis de l'or avec l'echelle de comparaifon. 6. r. Pour effaier lor avec une echelle de compa- raifon, l'operation eft plus facile. Par.exemple fi on veut effaier des ducats, & former la dite echelle, on prend de lor à 24 carats, qui a paffé par l'antimoine, & de l'ar- gent le plus fin; fur 23 carats & 8 grains d'or, on met trois fois autant d'argent, on les fait fondre enfemble, & on a de quoi faire des echelles de comparaifon, & le tout eft preparé pour la-quartation. De cette maífe on fe forme d'avance des demis-maircs d'effaieurs à volonté für le poids de carat, on les roule felon lart en cornets, en leur fai- fant un pli pour les diftinguer des autres effais, & de la forte on les conferve pour l'afage. $. ^». Lorsqu'il s'agit de faire l'effai d'an ducat & quon a préparé les cornets, on met dans le méme matras les deux effais & l'echelle de comparaifon, on leur donne -la méme eau forte pour tous, on les place fur un peu de charbon, pour mettre l'eau forte en aGion, enfin on les traite également felon les régles de l'art. L'operation finie on lave les effais, on les seche, & on les íait recuire , aprés quoi on 1 s péfe. L'echelle de comparaifon doit pe- fer les ?3 carats & $8 grains, & les deux autres, aiant été touvés d'égal poids fur la balance à effaier, doiuent an- noncer au plus jufte le titre du ducat. $. *. On connoit avec toute la fureté poffible par . cette manipulation, fi les effais des ducats s'accordent avec lechelle de comparaifon, ou sls font de meilleur.ou de NUS ur moin- 936 HISTOIRE moindre aloi, en confequence de quoi on peut avec certi- tude juger de la qualité des éfpéces à monnoler, & conrri- ger les défauts, s'il s'en eft commis dans l'alliage. $. 4. L'effet de la quartation eft, que les cornets dans tous les effais de lor doivent refter entiers felon les régles établies généralement, & ne doivent pas étre déchi- rés par leau forte, ni réduits en éfpéce de chaux, felon les prétentions de quelques effaieurs. — Pour éviter ces. in- convenients, on emploie de leau íorte, qui ne foit pas trop adive, fans cependant étre trop foible, mais convena- blement temperée; il faut de plus effaier par un or fin, quelle augmentation peuvent occafionner les impuretés de leau forte, qui proviennent foit de la diftillation, foit de la précipitation, afin de la rétrancher des effais. $. 5. "Toutes les autres préparations pour faire tous les effais différens avec l'echelle de cormparaifon fe com- prendront aifement par les régles générales, qu'on en a données; il ne s'agit donc que de répéter: que pour former chaque echelle de comparaifon, il faut emploier l'or & l'ar- gent les plus fins, comme nous lavons dit au $. 3.- du chap. II. & au $. x. du chap. IX. CONCLUSION. Raifons, qui ont engagé l'auteur à étre précis, & à donner fi peu d'etendué à fon Mémoire. ri. Je crois avoir fuffifamment éclairci & démontré la nouvelle méthode d'effaier; je l'ai fait, je l'avoue, par des propofitions courtes & fuccintes; mais comme j'ai écrit, pour dou- HISTOIRE - donner un ufage pratique de cette méthode à des officiers des hótels des monnoies & à des eífaieurs de profeffion , il auroit été inutile, de m'etendre fur les régles & la prati- que de lancienne métbode, qui leur font d'ailleurs trés connués. 2. Si quelques uns, foit effaieurs, officiers des mon- noies, ou métallurgiftes rencontrent des difficultés dans cet expofé, dont ils fouhaiteroient avoir des éclairciffemens, je moffre de fatisfaire tous ceux, qui me voudront communi- quer leurs doutes. 3. C'eft en confidération de ceux, qui pourroient fe former quelques doutes, ou rencontrer quelques paffages, qui leur paroitroient obfcurs, que je joins ici des remar- ques, qui pourront lever une grande paitie des difficultés , qui pourroient fe préfenter. Rémarques particulieres, qui peuvent fervir de fupple- ments & d'eclairciffements à Ja nouvelle méthode d'effaier. 1. Pour la fureté du public & du trefor royal, on eft accoutumé d'avoir dans tous les hótels des monnoies en Allemagne deux perfonnes, qui font les mémes effais , afin quil y ait un contióle. Dans certains endroits, par exemple à Vienne en Autriche, oü on a remarqué la grande incertitude & varieté dans les effais felon la métho- de ufitée jusqu'à prefent, & par confequent le danger, que le public courre détre trompé, au lieu de deux effaieurs, on en a mis trois, qui font les effais de la méme mafíe feparément; fi ces trois ne font pas d'accord dans leur pro- k 3 duit , 78 HISTOIRE. duit, on prend une moienne proportionelle , qu'on établit pour le vrai titre de la maífe effaiée; mais qui ne voit qu'un ou deux ou meme que tous les trois peuvent fe tromper; jofe méme avancer, que tous les trois fe trompent, paice- quils opérent fans echelle de comparaifon, puisqu'en bonne phyfique i eft impoffible de déterminer la moindre propor- tion dans un corps fans un point de comparaifon, . chofe go Íe rencontre dans ma nouvelle méthode d'effaier. 2. Si felon la nouvelle méthode deux effaieurs ont opére avec la méme echelle de comparaifon, & que ces echelles fojient en parfaite égalité apres loperation, que les effais de chacun Ífoient égaux, mais que nonobftant cela il fe trouve une différence entre les effais de l'un & de lautre, quoiqu'ils aient eü les mémes poids deffaieurs , il faut conclure, que la différence, quoiqu'imperceptible , provient de ce quen fondant les métaux erfemble, on ne les a pas molé convenablement, ou que les effais de lun ont été détachés des coupelles trop refroidies, par oü il eft reíité de la litarge at'achée aux boutons, ou un peu du fond de la coupelle, défauts faciles à bust dans la manipulauon. ! 3. Si les echelles de comparaifon de deux effaieurs annoncent le méme titre p. e. de 1:5 lots 6 grains, & que les eíffais de l'un & de l'autre foient égaux & correfpondent de méme, ceit une marque certaine, que tous les deux ont opere avec le méme degré de feu, & qu'il ne seit commis aucune faute. 4. Afin que deux effaieurs obtiennent le méme pro- duit tant des echelles de comparaifon que des autres ef- fais, HISTOIRE J9 fais, en fappofant, que les matieres d'alliage ont été bien melées dans la fonte: il ne s'agit, que de donner le mé- me plomb tant en qualité qu'en quaniité, d'operer dans les mémes coupelles, d'obferver le méme degié de feu con- venable tant pour la circulation que pour l'eclai. — Tou- .tes.ces conditions fe rencontrent dans la nouvelle méthode d'effaier en obfervant ce que nous en avons dit. Qmnand méme les effais de deux effaieurs ne fe rencontreroient pas parfaitement égal entre eux, ils feront toujours en propor- lion avec les echelles. 5. Si trois effais d'une méme maffe, qui ont été traités dans une triple coupelle, font parfaitement égaux, tout le monde conviendra que ces trois effais font de mé- me titre. Il en eft par confequent de méme, fi deux ef- fais placés avec l'echelle de comparaifon font p. e. de r3 lots 6 grains, fe trouvent égaux entre eux, & ne montrent de fin que 15 lots 5£ grains, il eft certain, que les maffes dont on a pris les eífais, font du méme titre annoncé, puisque ces effais on eü le m?me feu & le méme traite- ment que l'echelle de comparaifon. - 6. Comme un marc d'argent fin ou de 16]1ots perd fur la coupelle 2» grains, lorsque le feu a été bien dirigé , & que felon le $. $. du LI. chap. l'argent ne fe confumme pas par ladion du feu; il s'en fuit, qu'un argent de 15 lots.6 grains doit perdre 1:2 grain de fin, & que par con- fequent un écu, qui laiffera fur la coupelle 13 lots 6 grains, doit avoir de fin 13 lots 72 grains. ll eft a remarquer, que tout ce qui entre dans la coupelle, n'a jusqu'a prefent pas été porté en compte, ni m méme $0 | HISTOIHR E. méme confideré dans les éftimations qu'on a faites de l'ar- gent, quoique cet argent exifta reéllement, & qu'il auroit dà étre compris dans la maífe, qui circule dans un Ktàt. Cette obfervation merite. la plus grande attention, & de- viendra de la plus grande importance, lorsqu'il fera que- fion d'établir un pied de monnoies, ou de faire. une con- vention à ce fujet. 7. Si par conféquent dans une evaluation des éfpéces par les effais de l'ancienne méthode fans echelle de com- paraifon,. on avoit voulu favoir à jufte, fi un écus p. e. étoit au titre de 13 lots 6 grains, en cas que la coupelle ne l'annongat pas, il auroit fallu faire la rédu&Gion de la coupelle, par oü on auroit été convaincu, fi elle avoit pris plus ou moins de 12 grain, & delà on auroit pü por- ter un jugement certain, & fixer.le vrai titre de chaque éfpece déterminé par les loix; cette piécaution auroit pré- venu ou arrfété toutes les difficultés & les difputes, qui ont été occafionées par la différence des effais, fi des ef- faieurs de bonne íoi avoient fcü emploier cet expédient , & que les legislateurs euffent établi leurs loix des ava- luations fur ce principe. 8. Si on objede, que de cet argent, qu'on tire de la xédudion de la coupelle, il s'en perd derechef une par- lie, je repondrai, que la perte eft fi peu confiderable, qu'- aucune balance ne peut la marquer; puisque " d'une maf- T de 13 lots 6 grains la coupelle s boit 12 grain, ce 3 grain ne perdra de fa mafíc que ;; d'un grain, quanti- ié qui n'eft certainement d'aucune confidération. On HISTOIRhE $1 On voit par cela que plus le poids d'effaieur & la maífe à effaier font petits, moins il fe perd de l'argent dans la coupelle. 1l ne faut cependant pas, que ce poids foit fi petit, que fa moindre partie, qui eft 1 de grain, qu'on a coutume d'annoncer & de porter en ligne de comp- te dans les eífais, ne puiffe étre marquee par une bonue - balance d'eífaieur. o. Pour prévenir toutes difputes avec les officiers des hótels des monnoies, qui prétendent, que le blanchi- ment attaque certaines éfpéces plus que les autres, & fe procurer les eífais tels qu'ils ont été faits du creufet mé- me, lorsque toute la 'maífe avec l'alliage étoit en fonte , il faut avec la lime en lever la furface des maffes à ef- .faier, afin d'en Óter tous les effets du blanchiment, & de reconnoitre, fi l'alliage en a été bien fait. rc. Pour obtenir un bon mélange, il faut avoir un bon fourneau & fondre la maffe à un feu couvert, & lorsque le tout eft dans un bain parfait, il faut avant de couler la matiere & méme en la coulant la remuer de haut en bas & de bas en haut avec une cuilliere, ou encore mieux avec un inftrument de fer, fait exprés, Tab B. fip. z.; par ce moien l'argent & le cuivre, qui s'uniffent auffi parfaitement que le vin & l'eau, formeront une maffe homogéne & bien melée. 11. La mauvaife manipulation dans l'art d'effaier , qui a été pratiquée jusqu'à préfent, a donné occafion de croire, que le defaut provenoit de la fonte, & que le cui- . vre & l'argent ne s'uniffoient pas affez intimement, méme Hifioire de 1791. [ en 82 HISTOIRE en les rémuant dans le bain, & que par coníéquent il fe trouvoit une inégalité dans les lingots. Cette. prévention ne peut plus avoir lieu, fi on em- ploie la nouvelle manipulation, & qu'on veuille obferver les régles que nous avons préfcrites. Il faudroit une ter- rible négligence ou malverfation dans la fonte, fi entre les lingots, qui viennent du méme creufet, il fe trouvoit une différence. d'un quart de p 1^. Comme le pouce cube d'argent fin péfe. I3 nis 1 quintel " denier, & pareil cube de cuivre pür ir lots 2 quintel » deniers, ces deux métaux ne font pas extré- mement différens en gravité fpécifique, felon que l'hydros- tatique le démontre; il n'eft par conféquent pas poffible , que ces deux métaux presque homogénes ne s'uniffent trés intimement dans une fonte réguliere pour peu qu'on les méle. L'adion de couler la maffe en lingots ne peu pas l'alterer, comme quelques uns fe l'imaginent, puisque tou- te la maffe efi fuffamment couverte de pouffiere de char- bon, qui la garantit de l'air extérieur. | 13. Plufieurs effaieurs ont le préjugé, que les ef- fais, qui ont été traités avec moins de chaud, retiennent plus de plomb que ceux, qui ont efífuiés un degré de chaleur plus confidérable. La rédu&ion de la coupelle les turera de leur erreur & les convainquera du contraire. I] eft certain, que le moins de chaud fait que la coupelle boit moins de fin, que lorsque le degré de feu eft plus/fort; la raifon de ceci eft, que dans un feu plus concentré le plomb & l'argent deviennent plus fluides & (o5 par HISTOLILIREÉE. 83 par là plus propres à entrer dans la coupelle, qui par con- fequent de fon coté eft plus dilatée, ^ Voyez le $. 4. du VIL Chap. 14. La litarge & le fond de la coupelle, qui re- ftent attachés aux boutons, qui n'ont pas été nettoiés avec foin, font fouvent la caufe, que les effais font annonces différemment de ce qu'ils font en effet. Si lon détache les boutons dans un degré de chaud convenable, on levera tous ces obítacles, & on ne rejettera plus la faute fur la fonte, $. 9. chap. V. 15. Les coupelles foit longues, foit triangulaires " dont on veut faire ufage, doivent etre non feulement pref- fées également, comme nous l'avons dit;. mais elles doi- vent étre aífez vielles & íéches, felon l'ufage ordinaire, pour les empecher de fe fendre dans la chaleur, & donner la facilité de détacher les boutons. 16. Lorsque les coupelles faites par la preffe ont seché pendant 8$ jours, on peut les emploier en cas de beíoin; mais en régle elles doivent étre faites d'un mois bien fechées à lair, qui les rend fermes & bonnes. Pa- reiles coupelles fe conferveront plufieurs années dans le méme état fans fe gater ni s'alterer en aucune fagon. I7. Les effais fe détachent dans le chaud parfai- tement des coupelles, lorsqu'elles fort fuffifamment feches & vielles, comme il a été dit au chap. V. au contraire h les coupelles font nouvellement faites, il arrive fouvent, quon ne peut détacher le bouton qu'en brifant la cou- pelle. | l2 $ :$5 8 ou HOUSTOIIRE 18. Pour m'affarer de la vérité de ce que je viens d'avancer, j'ai place des coupelles longues & triangulaires à lonfice du fourneau pour les fecher; j'en ai placé fous la moafle avant d'allumer le fourneau pour la méme raifon; je les ai peu à peu mis, en chaleur pour fervir aux effais, lelon les regles; toutes les.cavités fe font remplis de cre- vaífes; je m'en fuis fervi cependant, mais je n'ai pu en dé- tacher les boutons que txés difficilement, & ils avoient re- tenu beaucoup du fond de la coupelle. . Les eífais quoi- quapprochant de la vérité, n'étoient pas juftes; il eít donc demontré par la pratique, que, fi on veut effaier avec ju- fteffe, on ne doit jamais emploier des coupelles, qu'elles ne foient entierement privées de toute humidité par l'adion de l'air. r9. Nous avons dit dés le commencement de cet ouvrage , que felon l'ancienne. méthode les eífais ne corre- fpondoient pas, d'ou il réfultoit de grands inconvenients. Une des raifons, qui occafionnent ces défauts eft la bouche trop refferrée de la plus part des fourneaux d'effaieur; cela empeche qu'on ne puiífe régler le courrant de l'air felon les differentes variations de latmosphere, afin que la litarge puiffe fe former convenablement à l'argent qu'on effaie. 2c. Lorsque la bouche d'un fourneau d'effaieur eft plus grande à proportion de fa ftru&ure & de fa grandeur, tels que font mes fourneaux ronds, & que les moufles ont des fouspiraux plus élargis $. ». chap. IV., & qu'enfin entre le fond de la moufle & la partie antérieure du fourneau on laiffe une rainure pour donner paffage à la chaleur, qui vient du cendrer, on verra que la litarge fe formera en quan- HISTOIRE. 55 quantité fuffifante méme dans un grand degré de chaud, & par ce moien l'artifte réuffira à fouhait dans fon opération. Explication des figures. g. L'àtre, far lequel eft pofé le fourneau à effaier. "Tab. B. b. Le fourneau d'effai, qui eft garni en & C. c. & en d. de charnieres pour renverfer toute la partie fupérieure , afin de mettre la moufle en place, & de fournir le charbon par le haut. e. Le tuyau pour augmenter la chaleur. f. Le couvercle, pour faire ralentir le feu aprés avoir óté le tuyau. g. Les couliffes du cendrier, qui fervent auffi à modérer la chaleur. h. Une coupelle longue placée à l'entrée avec l'echelle de comparaifon & les deux effais. i. La moufle pointué, k. Le fapport des coupelles triangulaires. l. Pierre pour moderer la chaleur des effais. m. La plaque de fer garnie de petits creux pour y mettre les effais, qu'on détache des coupelles. n. Le fer pour détacher les boutons des coupelles. o. La pince, pour manier les coupelles triangulaires. p. La pince, pour mettre les effais fur les coupelles. q. Un fer crochu pour diriger les coupelles longues. l 5 r. 86 HISTOIRE r. La prefíe pour faire les coupelles fur une plaque de fer, qui ne fe préte pas. Lorsque les coupelles ont été bien prefíées, & qu'on veut les tirer du moule, on óte du fond tout ce qui deborde le moule, avec un couteau: on met un morceau de fentre fur le moule xenverfé, enfuite on y place la plaque, & par le moien de la méme preffe on fait fortir la coupelle du moule, s. Les moules des coupelles triangulaires & t. Les moules des coupelles longues faits de laiton — & bien polis en dedans. u. Une coupelle longue. v. Une coupelle triangulaire. W. La plaque ronde pour faire tourner le fupport des cou- pelles triangulaires, qui x. Íe termine en pointe & repofe fur fon centre avec toute la jufteffe poffible. ^ Cette plaque doit deborder le fourneau , pour que lar:tifte puiffe la faire tourner commodement foit avec les pinces foit avec la main. y. Machine, pour faire tourner la plaque. 1l eft trés libre à chacun de s'en fervir ou non; il s'agit fimplement qu'on faffe tourner cette plaque d'un mouvement doux & qu'elle foit fixe fur fon centre. $&. Le fer pour remuer l'argent & le cuivre fondus dans le creufet. Si on veut par un méchanisme appliqué au deffus du creufet faire mouvoir ce fer de haut en bas & de bas en haut, avant de couler la maffe en lingots, on fera alfure , que le cuivre & laxgent fe- ront iz. Le HISTOIRE $y ront intimement mélés & formeront une maffe ho. mogéne. Tuyau de tole ou de terre placé dans le milieu du fourneau d'effai, par lequel paffe la barre, qui porte le fapport des coupelles triangulaires. 1l touche presque au fond de la moufle, pour empécher, qu'au- cun charbon ou cendre n'aréte le mouvement de la machine. Si ce tujau eít de tole, on l'enduit d'ar- gile, pour le garantir de ladion du feu. RE. át HISTOIRE | RECHERCHES SUR LES ÉQUATIONS AUX DIFFERENCES PARTIELLES DU PREMIER ORDRE À TROIS VARIABLES, LORSQUE CES DIFFÉRENCES NE SONT QUE LINÉAIRES. Par — M. gEAN TREMBLETY. Préfenté à l'Académie le 3 Sfuillet 1794. L. fujet que je me propofe de traiter dans ce mémoire, eft depuis longtems l'objet des recherches des plus grands géo- métres. M. de la Grange a donné dans les mémoires de Berlin pour l'année 1785 une méthode génerale, par laquel- le il a réduit l'intégration d'une équation aux différences partielles , à celle de deux équations aux différences ordi- naires. Si ce but étoit rempli, on auroit obtenu, comme il le remarque fort bien, tout ce qu'on peut défirer dans le calcul intégral aux différences partielles. Mais nous ver- rons que ces équations font d'une nature finguliere , & ne peuvent devenir fusceptibles d'intégration que par des aiti- fices fouvent auffi difficiles à trouver que la folution méme que lon cberche. M.de la Grange n'en rapporte qu'un feul exemple, mais cet exemple eft trop fimple pour donner une idée des difficultés de la méthode. Ainfi le mémoire de M. H'LSTOIR E 89 M. de la Grange, quoique renfermant des recherches fubli- mes, comme tout ce qui fort de la plume de ce grand Géo- métre, laiffe encore quelque chofe à défirer für cette ma- tiere. Ces confidérations nront engagé à remanier ce fujet , à expofer quelques idées propres à développer les difficul- tés quil renferme, & les reffources qu'on peut efpérer de FAnalyfe pour les furmonter. Je íens que je ne puis que bégayer aprés qu'un fi grand homme a parlé, mais dans les Íciences exaües, fans poffeder le génie des inventeurs, il eft toujours poffible d'ajouter quelque chofe à la ícience , & de fournir à des efprits plus relevés les moyens de pénetrer plus avant. $. r. Soit l'équation génerale du premier degré P (22) 43- O(2. )TR-oe, P, O, R étant des ibutlións quelconques de x, y, z. Soit lintégrale complette de cette équation Xp — F:2, V & c étant des fonQdions de x, PE & F: indiquant une fon&lion arbitraire. On confidére ici z comme une fondion dex & ys & l'on a par conféquent 9z —($2)0x-r (22) Gs is ce qui donne en différentiant l'intégrale d'abord relative- ment à x, enfíuite relativement à y, les deux équations fuivantes: (23) 4- 03) (22) — (29) 4- 9) G2] P: (23) 4- 93) (22) 2122) -- Q3) G5] F': 6. en Mus B gu 4o Éliminant de ces deux équations F/:(, & reduifant au méme dénominateurs, on obtient &Hitoire de r49r. m (I 90 HISTOIRE - 2G: 2-3 ») 21652) 92) G3) ex TOI -(32) 85) - 32 G2 — e On a,en comparant cette áquation avec l'équation propofée Qral CHORUS 2, B^ 9p NE R12 09— (23) (39 P (23)09)— GD G3 r Ces valeurs foodaffelit les desx équations faivantes P (23) ^O (2 22)— [jui peaks P (15) Q (33) — R (99) — o Si l'on peut trouver les intégrales particulieres de l'une de ces deux équations, on aura lintégrale complette de l'équa- tion propofée. Car Q & x ne different point en nature , ce qui refulte de la forme de lintégrale complette , qu'on peut repréfenter ainfi, F:((,X,) — c. Ainfi en, cherchant les intégrales particulieres de l'une de ces deux équations, on doit trouver les deux quantités (p & v. Il refulte de là un théoreme affez remarquable, c'eft que la folution com- plette d'une équation aux différences partielles à trois va- rables, dépend de la folution particuliere d'une équation aux di/férences partielles à quatre variables, dans laquelle la quantité inconnue manque, & ou il ne fe trouve que fes differentielles. $8. Bepienoge io up 02)29- 2 (32)— 4 (2) — Soit OD — a, une Piera EQ de cette équation n e étant une conítante, on aura 20 BISTOIRE 91 30 — (22) -- (82) 52 2- 2) 33 La comparaifon de ces deux équations donne d'oü refültent les deux équations Poz--Hox-o,Qj0x-*-P29yc- e, ou POoz--ROxrx-o,Q0z--Ro0yc-co. Ce font les deux équations que trouve M. de la Grange dans le memoire cité , & de lintégration desquelles il fait dépendre la folation du probléme. Mais il eft évident que ces équations ne peuvent sntégrer dans l'état oü elles fe trouvent, puisquelles ne conüennent chacune que deux différentielles & trois inconnues. Il faudroit donc les com- biner de maniere qu'il en refultat une ou deux équations qui renfermaífent les trois différentielles , & dont l'intégra- tion donnat les quantités t, V. —C'eft un nouveau proble- me qui n'eft pas moins difficile que le premier, comme on peut s'en convaincre par les confidérations fuivantes. $. 3$. Les équations que nous venons de trouver, 0z--R9*—o0, 0z-p-t22-0, deviennent en y fubftituant les valeurs du $. r. & redui- fant au méme dénominateur, 1(59) (32) — (23) 32)12 s — (2) (39) — (29) (39)12 2 o; (33) (32) — (39) (33)12 s -- [(33) (29) — (29) (29)] 2 y - e. La premiere peut fe mettre fous cette forme en divifant tout par ày , m 2 Q wp 92 HEIS TOODA E Qs - CD tQ9)2s- G9 o31- 528 e Mais di (32) 2 x -- (22) 92 — — (29) 8 y. Subftituant cette valeur dans l'équation précedente, on a (52) 9x a- (23) 0 y -- (33) 22 — e; dont l'intégrale eft «p — (. La feconde équation devient en divifant tout par Ox, T | Q3) - G2 tex ay e (93)2 2] - (09) 2 99) 8 2o. Gs) E 9 di (33)8y -- (23)82 — — (23)2 x, ce qui donne en fubftituant cette valeur, (35) 9x d- (3$) 2y -- (322) 92 — o, dont lintégrale eft Q — a. L'on voit donc que pour tirer de la premiere des deux équations, une équation intégrable dont lintégrale donne wp, il faudroit connoitre la valeur de 9C, & réciproquement pour tirer de la feconde des deux equations une équation intégrale dont l'intégrale donne (Q, il faudroit connoitre la valeur de 9p. Mais lon ne con- noit ni C, ni v/, ainfi le Probléme général refte encore à réfoudre, Or $. 4. Les confidérations que nous venons d'expofer nous font d'abord découvrir un cas tiés général oü les équa- tions propofées peuvent nous conduire à lintégration défi- 1€e;,c'eft celui oü l'une des deux quantités Q, ;, par exem- ple Q, eft une fonüdion de x & y feulement, fans z. Alors l'équation Poy — QO0x-—o, deviendra intégrable, parce qu'el- HISTOIRE m qu'elle ne contiendra plus de z, comme i^ vais le faire voir. Cette équaiion d'apres les valeurs du y . devient [(29) (29) — (22) (22)] o — E(2*) (23) — (23) (292 e. Maintenant fi nous faifons (33) SERT t'dduatión deviendra (55) (3) 2r -- G3) G3) 2$ — e. ou en diff par (2*), (25) 9y -- (33) 2 3 — e, équation qui ne contient plus de z, & dont lintégrale eft (Q — es. Cette équation n'eít pas toujours immédiatement intégrable , parcequil peut y avoir quelque fadeur com- mun qui ait disparu, comme nous le verrons plus bas, mais on pourra toujours retrouver ce fa&deur par les méthodes connues pour les équations différentielles ordinaires. — Ainfi, intégrant par les méthodes ordinaires l'équation. P 0 y — Qox-—-o,. on aua Q--a, & par conféquent Qy —— Mais dans ce cas là, l'équation P 0z 4- R 0 x — o, devien- dra par le $. 5, (29)0x — 5 qd $)0 x 4- (23) 82 — c. Or on connoit la quantité 0 y qui lui eft équivalente, on a (23)9 x 4- (29) 2 y -- (33) 3s — o, dont lintégrale fera 4p — (3. Mais cette méthode qui ex- pofée abfítraitement paroit fort fimple, rencontre plufieurs dificuliés dans fon exécution, & c'eft ce quil faut déve- lopper. m 3 $. 5. 94. PPSUPDOITEE $. s. La premiere difficulté qui fe piéfente , c'eft quil peut avoir disparu un faüdeur commun à toute l'équa- tion, enforte que l'équation Poz--R0x--o, fe trouvant déja divifée par ce fadeur ne contient pas tous fes termes & par conféquent n'eft pas fusceptible des fubftitutions pré- Ícrites. Pour remédier à cet inconvenient, je démontrerai les deux théoremes fuivans. Le premier eft que ce fa&deur qui divife toute l'équation eft néceffairement une fonüion de x & de y feulement, fans z. Pour le prouver, reprenons l'équation | Cuni cre ; LT —(5 2 GS) — e Soit p le falüleur commun à toute l'équation, s'il contenoit le quantité z, on auroit en faifant p — o, (22)22 4- Q5) y -- 22) 9 — o Or p étant divifeur dé A doit divifer la quantité (33) ($5) — (32 (32 c'eít à dire, que Die po, & par conféquent 0p-c. on aura auffi (3:2(25) — 3498) Exe: Mais dans ce cas on a 24/28 e TAA E QX-(9)- car (Q dh une fonQion de x & y feulement, on a mE grin sies donc * ls ADR : PX ot Donc HISTOIHRE 935 Donc lorsque p — 0, 9p —c, lon a- (23)2 x 4- (63) 0 y — o. Ainfi en tirant de l'équation 9 p — o , ou (0 (G2)20x--(25)oy 4- (32) 92 — e. la valeur de Q0 y —-— e 3E x -6 Qig.S & la fubítituant duse l'équation (33)2x4- ($3)0y — o, on aura l'équation (4) (25) 29) Q)12 — (22) 93) 2 — 5; qui doit devenir — o, lorsque p — o, il faut donc que le . terme qui contient QUE eft — o, donc (52) — o, donc p ett une fonüion de x & y feulement, fans z. $. 6. Le fecond théoreme que j'ai à expofer eft que ce fadeur p commun à toute l'équation eft néceffairement un fadeur de ^. Pour le prouver, je dis que ce fadeur doit divifer (2*), car s'il ne divifoit pas (?*) il faudroit quil divifat 3 qais (2;) & (29), & dés lors il feroit un fadeur de Q. Si donc (A)—p V^, on aura xp — p V/ —-q, X/ étant — f// 9z, & par coníéquent affedé de z dans tous fes termes, & q étant une fondion de x & y, fans z. On aura donc ($2 — GE) - v GD-- G2» (55) — P GY) - v G2) 4- G2). ge HISTOIRE & la quantité (33) (82) — G2) G2); deviendra p) G3) -GY) G9)1 v (32) G9) - 05) G21 - (22) (22) — (23) (22 La quantité PLGEZ)05 —(G7) G9)1 eft évidemment divifible par P les deux quantités VA ETE (MES (c as $), doivent étre iE baiécient divifibles par p, puisque la premiere eft affedée de z dans tous fes termes, & que l'autre ne con- tent point de z. Donc W^ LG2) G9) — (y 3) eft divifible par p, mais cu la fappofition V// n'eft pas divifible par ul donc ($3) 85) — (35) (82) M p. M étant un fdiiona Ld Me A qui n'a pas p au dénomi- pateur. Mais l'intégrale de cette équation eft — F: p p, x étant un fatleur qui ne contient pas p, que nous allons déterminer. On a en différentiant E) G5) — G2) G2)1- p EG2) G3) — G3 GDJI29; donc ($2) 85) — G2) GD) E — (25) (92) — 5) (331: ce dernier MESE contient néceffairement p puisque. p n'eft pas un fadeur de p, ainfi en faifant cu—À HISTOIRE $5 — X [(25) (32 9) — (2: 5) G3) 1— M, ona ($1 )) s 2)— (22) (29) 5 M p équation diffézentielle propofée : donc. p eft un fadeur de (d. $. 7. Puis donc que nous connoiífons , nous con- noitrons néceffairement le fa&eur p, par lequel il faut mul- tiplier l'équation pour pouvoir procéder, puisquil n'y a qu'à effayer fucceffivement les divers fadeurs de Q, ce qui remédie à la difficulté que nous avions propofée. Les au- tres difficultés roulent principalement fur les termes qui peuvent avoir disparu, mais la méthode des indéterminées, & lobfervation que (^ peut étre regardé .comme conftant dans lintégration, fuffifent pour les fürmonter, comme on va le voir par les exemples qui éclairciront cette méthode. $. $. Soit l'équation ryc()—r(2)-—xyc-2xy—8X'yc—y*yc-o. L'équation Pàg — E donne rycoóy—xóx-o, dou lon tire D— $--yyc, ay —— Q2. L'équation P9z--R0x-— o, donne xycoóz-(zyc-2xy—sxyc—yyyc)ox-o, ou en divifant par (29) — y c, róz--zór--2329*.— 330 —y y Ox — o, ou en fubftituant au lieu de 2 fa valeur — x9y, Ee um EN Ni P NEqX25— dont lintégrale eft xz —xy?— x!— wv. Li intégrale com- plette de l'équation eft donc xXz—xy?—3q5-—F:(x--yy c). Hiftoire de r79r. n | $. 9. 9 HISTOIRE $. 9. Soit l'équation (z—25) G2) --(62—a5) 82) —5— e L'équation P 0 y — Q.0x — o, donne (x — 2 y) 0y—(2x—3y)9x-o, d'oü l'on tire | Q-—(x—yyee-»,0y-— mIDUDM | Léquation Paüz4-R0x-—o, donne (x—2y)0z —z0x-o, ou àz — 227 — o, en divifant par (35 ) Comme cette forme ne préte à aucune fubftitution, je vois qu'il a disparu un faüeur, je multiplie par x — y, fadeur de (D, d'apres le ihéoreme expofé ci-deffus, & j'ai t xli WE om E yzox-— (x —y)2z zx Bpobiete) PRO ou pour pouvoir faire la fübftitation de la valeur de 9y z(9x—37))9x z (x — HE (r-.)92-— t9 Mp OE (r—y)20z—z0y--z0xrx—0, équation dont lintégrale eft z(x —y)-—— wv. intégrale complette eft donc (x—y)z-—F:(x—ype-». $. 10. Soit l'équation (x 4-y) (52) — (x —5)(52) — 3 — o. L'équation P 0 y — Q2x — o, donne (x43-y)9y-4-(x—y)ox-o, d'oü lon tire e 2 — A1c.tang.4. E. cooxME $ y (2 4-y2) e£ PUB , (99) nay Yixx4- 3)? ab- HISTOIRE 09 abftrattion faite de la quantité exponentielle, qui affe&e tous les termes de l'équation. L'équation P2z--R0x-— o, donne (x4-y)92 — z0x--o, ou en divifant par (33), Qzy(rx--yy)—22zr0222'-—0. Or- XJ E3l. 2i) (8 9) 9 oy — X d- y j Comme la forme a&duelle ne préte à aucune fubftitution, je multiple par y/ (x x 4- y y), fadeur de (C, & jai 0z(xz--yy)— 5 — o. Or X --»y zr4-yy-(-)y)z—x—y) Subfiituant cette valeur dans l'équation, j'obtiens "ugs x 1-35) — gos ybpm.p reo, ou mettant pour —— fa valeur — 90 y , Oüz(xrx--yy)—zxóxr—zyoy-o dont lintégrale eft Y (x2 ES V L'ntegrale complette eft donc -Arc.tang... Y x x -- y) k 1 $. rr. Soit l'équation * 4y (uy x x) 2) - ex (n2) G5) (299 y* 42 37)2-6. L'équation P 0y —Q2z-co, donne 4g? 0y -- 4 3x3 0 x —o, d'ou lon tire Q — x! ar y, 02) m4 y^ 9y ——S83- L'équation P0z-I- R0 x — o, donne 4 Y? (a y 4-23) 02 — (12 x y!—4aax)z0x-o, n 2 ou 100 HISTOIR E. ou en divifant par (?* 2)» (UL yos Sab 3?— )0r—o, ou en mettant pour mie fa valeur à y, (2 2- 0)92 —3 zX?;0r—-azoóy-co, dont 1 mnicgae eft — w^ Lintégrle complette eft donc 5. Re (x 4-y. Dy - x3 $. 12. Soit l'équation (ss? — xy! e a5 ac a?) (33) 4- (3 o3 x y -- y? — o? a? — a? y?) 35) |—(6 di xy?--2 y$— 2 a9x?y —2 9 y? -- 8 3 y? — 14 3? y^ | 4- 8 x. y? 4- 2 a333) z — o. L'équation P 2? y — Q0 x — o, donne (423y?— 5 xy *--452-03x?) 0 y — (83 xy —?—2a?x?—2^ y?) 0 x —0 , d'ou l'on tire p — (ài x 4- y*) ERE qui donne (35 2) emR—Huatedat e (x — y)? & Qy —inrytp o eie ay ox 4 x2 93 — 1x y* 4- 4 y5 4- o3 x? j L'équation Po z--Rox-— o, donne (428 y — 7 x y*-- 4.5 23- a3) 0z — [6 o3 x y? -1- 2 y$— 2 o3 y — 2.85 y? -- 8 c y? — 1432 y*--8xy5-1- 2o??]z0x — 6, ou en divifant par (39 n (x—y) 2z (6o3xy22-2y5—2033* y 20$y3-- 8x3 y3—1 432y2-830y52-20*x7)zOx. — . e —PM die EEREREUSDGUASU MU. I TNSPS ENECESCOS OU WD ou HISTOIRE 101 MES 20 2 y (33 x y 4- 95 — a3 x? — a3 y2) (e — 9290 x Bur —uo 1a euam L2 9x(4x* )8—1x 55$ 455 -- a$x?)x — )P0* — o6. ou 4x253-—'1x y*-4-4 y5-r03 x? / ku bits (x—yy2az—(2yoy--2x90x)(r—yyz-—o,ou Q0z—(2y0y —2xàóx)z—o; équation dont l'intégrale eft ze poe NIDImteerale complette eft donc x. 2 Minden ORT OSE CST uH EM $. 15. Soit l'équation y(ez--y)Y($3)--x(22-—y)(32)--21-- xz yz — o. Epis Poy-—O0£--:o, donné y9y —1 9T — 0» d'on l'on tire Q— y y — xx, (29) — 2y, 0y —53*. L'é quation Poz--BRox-—o, donne y(2243-y)92z--(zz--xz--yz)ox-—o0, ou en divifant par (23 Ys (2 z 4- y) 0 --(*7 -- 5 2 2) 0 x — o. Je fubfitue pour *5* fa valeur, Oy & j'ai 2z--y)0zg4-584290x--z0y o. Cette équation n'étant pas intégrable, je la multiplie par un des fatüeurs de Q, par exemple, par r-- y, & j'ai (xy)(22-y)02--55577220x -(z2--y2)0x --(rz--yz)oycco & en fubfüituant toujours pour *2* fa valeur 0 y, jobtiens (x--y) (22--y)90z4- (zz- 2y22-x2)0y--(zz--y2z)0x-0, equation dont lintégrale eft (22 --yz)(x-ry)- v. n 3 L'in- 109 HISTOIRARE L'intégrale complette eft donc (z2--y z) (em y)—F:(rx—yy) .Si javois multiplié léquation par x — y, elle feroit de. venue (x— y) (22 y) 92 — *2* (zz - y z) — (22 a- y z) ox —-(r—y)z2oy-o, ou en fuübfüituant pour 527 fa valeur ? y , j'obtiens (x—y)(sz--y)2oz-(zz-—-rz))oy-—(zz--yz)?xr-o, «equation dont lintégrale eft tI—— — w. L'intégrale com- lette elt donc Lu ccREiUpm:c-—y3): 43 rp intégrale qui revient évidemment au méme que la précé. dente, puisque au lieu de F:(xr— yy) je puis mettre duci), alope, jai (sz 37 y z) (3-7 y) Fi (vx —yy), comme ci-deífüs. 'loutes les fois donc que (b - dY Q^, qv, €^ étant des faüeurs quelconques, & que (Y rend l'équa- tion integrable, Q/ la rendra aufi intégrable, ce qui fe dé. duit immédiatement de ce que l'on peut multiplier xp par ane fonüion quelconque de ( fans changer l'intégrale. X x— $. 14. Soit l'équation zy()—y(sz-2y)02)—(62--55)g— o.- T1'équation P 0y — Q2 x— o, donne X0y--(s4-3y)0omzco; d'oü l'on tire Q—ax (ry), GD)-—a, Qyc——8tr:nQgl —(3d-22)0r. Le. HISTOIRE. rog L'équation P 0z--R9x-—o, donne zy2z—(6x--5y)29x—0, ou en divifant par (22), yüs . 6202. 39EOT — GO oW x Md cx » 335 8i(a 4-22) 0. — 2225 — 0, ou ijs pia rta, équation intégrable dont lintégrale eft ?^* —. Linté- grale complette eft donc 27* — F : a? (x -- y). $. rs. Soit l'équation («x 4- 8y) (22) - (v 22-352 (55) — 3 — e- Léquation Poy —Q0ox—o, donne Q—(y-2-qzy^" (y4-pxy-. en faifant pour abréger pex uebeei ue EE EE, —&—8-r y [i —39)24- 48 y) Wess urrjei-b-w »i sm "o emo - b —7 Y[(«—9?-4-48'vl ? donc (33)-[2y - (p--3) x-- (p-9)B'z1 c q3)" (yp) — [parceque p --q E p—q E uuu eiui cae (p—4)B'—*$-$Gz-8y) oam" cp) ü4 QiILLM 0 x. L'équation Pàz - Rx — o, donne (ax - 8y) 2 20x - 0, ou en divifant par. (?2), 20z (y4-qx)' (y4-px) " — —92z0x (y 4- [f in B eifiet 7. Ó zóx —Qg ] Bx x 3») q x) (y —- p x) c aU vs T OMIENSEN Y í Comme cette forme n'eft pas fufceptible de fabftitution, je multiple par y --px fadeur de (, & jai (y 4- 104. HISTOIRnRK. (y -i- px)o0z — 52212552) — o. Pour pouvoir fübftituer la valeur ——(yxrx-$y29gs-:; : oye je fais .(y2- px) ——. A x- By C(yx--55)' ax--Qy a«zx-r-8» ax--8y ? A, B, C étant.des conftantes indéterminées, je tire delà (A-4-Cy-r-p)x--(B--C38--1)y —0, ce qui donne les deux équations, A -- C y -I- p — o, B Có-- 1 — o, ÜUn'the del3* E- HS(Aeeem sj un, dore 3Btec- 49-528 —Y ^y . Notre équation devient donc, , (Aó8 4a-pàó —y)y : [ues m EP (y r)luos ] axM-By.. "de mc iR S -J-(y --pX)83z-—o, ou en mettant pour ?*(Y*-$ 2 (4 valeur 9.y, ÁÀ x -L- Wu RE (A E j x IIT UR cdd SM (———À—— "Wu un a. - Ie jen TEC c px) 0z — c. Or pour que cette équation devienne intégrable, il faut que les texmes.affelés.de 0x & Oy foyent un multiple de la différentielle de y 4- px: il faut donc que A-d-p.— zoy y T Mas ut A'yx-r-(*5$6--pg$-y)»y — » *'y (a x -- 8 y) d ard cette derniere équation donne Ay xz--(A3-rpà—y)y —pup y (sx-- By), ou A y —ap py; AO p. pà —'y —y p B y, donc A arupcbBbY RS, MESE ICCESKIZM Ding: HISTOIRE. 10$ [a — $ — Y (« — 932 -— 4B YT [x 35 Y (tc 8 * Epey Mu EMO c EHEL MM 48 — [a 4-$ — Y. (4 —9 2 4- 4 Gy] [e 4-9 d- Y ( — 8 2-4- 4 Q y] Donc satt fc Se y—p35— —bzr-ye-ftlIain plv uoifiIifng zr. [Hen papam -m rc [-8ciüagb seri [2-8 -- V (a — Cp -- 4 Gy], — peiYtlite*8" pae 0e y (ay By. T ENUREU EPNETLETONEWET IS os dcum ((a—5 dmi [a 2 6—v/( (0932474 By 1] [2-9 4- V((a—8 2-4 (^ 2--4 y Tu -9 28 —— MÀ EONTETEOEECHTTYM ——— —— Ew. A-—ukp, Veneti scenqup e L'équa- iion devient donc, ppor—BXz9x-d-Wkz0y--(y--px)oz—o,ou «Xy (y --px)oz-- p z(y--p2x)—o, équation dont lintégrale eft (y -4- p x)' z — V. V'intégrale complette eft donc (yr pzx)z-—F:(y-pzy "(y-axy--. Si lon avoit multiplié l'équation par y -4-q x, on auroit eu MH LÁ / (y--qx)z-—F:(y-cpxy "(yoa-qx)*, ayant ; !T—CTCETTVIRCCUCCREYU On peut de ces deux valeurs de X, en tirer une troifiéme de la mariere fuivante: foit j — z ^, V/- zw /^*. Je. fais V — zA/" p^", Les deux premieres expreffüons me donnent / Miftoire de 1791. o Py 106 IPTST TOTHE'E 3») —Rwu/-—o; Po(217) --Qv»(57-) —R v — C. Sa troifieme expreífion donnera PmN/ZL (29) Om v^ (37) Ryu v4 A Pas (3)--Qn V/ (5) i Subftituant dans la troifiome équation les valeurs tirées des deux premieres, on aura 7-1i- 7 — r — o. L'on voit HN E ' B que l'une des deux quantités x n refte indéterminée. Faifant m — n, on aura m — Ts V LIz( Wy. Or * I— ——(a-r-),. donc dece CN Donc l'intégrale complette fera, Trx) «s [y-px)(y--qx) UP g— —F:iy-eqryt fi t. Cette valeur fervira dans le cas oü le radical deviendroit imaginaire. Dans ce cas on évitera auffi les imaginaires . dans la forme de (D, en intégrant par les arcs de cercle, au lieu d'intégrer par les logarithmes. $. 16. Soit ER zx(i))-FXyGlb my. L'équation Poe Peu donne D—I— £i, ce qui D LE) donne (2$)-- -z;, Oy-220x. L'équation POz -R0x—o, donne xr de nic jio gio ou en divifant par (35), rryyoz — n xy5.0 X. 0.:/ Gomme'cette "fornire ne piéte à aucune fubfüitution, je multiplie. l'équation par pen ce qui me donne, rzax HIS'TOIRE. 107 zryyOoz(L—i)—nxyy29x-J-ny!ox-o, ou yy92(5—i)—20z-4-220x-o, ou en fübfütuant 9 y pour 220 x, on aura Dunog(.-— x) 250g rmt XS, Du SET XE C9 o. Mais comme on a, Z—1i-—- — 6, & que Ó eft fuppofé conftant, puisque l'on e à Q-—-o, cette équation eft intégrable , & l'on a, j —(5 —2)2-nl2-.. Lntégrale complette eft donc (I—1)z4-ni2—F; (o eye I7. Soit l'équation zr($2)—ty(i)cvyy-—e L'équation OMEN ee donne" — x3, denc (55) — x, Qy-:—-29*. 'équation POóz-Rox—o, donne rx2z --yy20x-o, ou en divifant par (23), Tiu p uo Era, En multipliant cette. équation par un fadeur de (, elle n'en deviendroit pas plus fufceptible d'intégration. — Mais il faut confidérer que puisque lon fuppofe 0 -—-o, on peut ajouter à cette équation un multiple quelconque de 9Q fans la changer. Or 0op-zxoy--y9?x. Donc xOy -d-y 0x — 0, ou jOO Uum ee o, ou NUR EAD s fet ; 3 étant un coéfficient conftant. L'équation fera donc cà0z-r-(m-r-1)22?*-- my 9 y — o, ou. J | 9 gy — Hu e. equation qui eft évidemment intégrable en faifant m —— 7. 0 2 On 108 HISTOIREÉE. ; On a alors V —z — ??. ;L'intégrale complette eft donc Z0 pus: 18. Soit l'équation v($32)--y (35) —n Y. (xx -i- yy) 2mo-' Fieguation P 24 — oos d o, donne (—7., donc (35) x — 5 9y-—?:*. L'équaüon P2z-4-ROx-o, donne .goóz—nOzy (xx--yy)-o, ou divifant par ( 22) yy9z—*229* V(yy-1-y.y)— 0, ou mox (Ex--yy)]— yy Tos Dra Y(&x-p yd 7 9» ou nxoóx 209.0 fir-iedtey on y Gosekaeyu a uf ou en fübftituant pour 2?* fa valeur 9 y, enis E — Oo P dus Y (xx -c y) *. dont lintégrale eft z— n y (x x -Iyy) v. T'intágrale complette eft donc z—ny (xx-4-yy)-— ime 19. L'équation AQ Ex yck-a cy $5 GS —(22y- 23*-- 23? yz) ($5) - 4x y-- 2a? y dezg?32 2 qt 4m rap ytz— o. L'équation P 0 y — Q0 x — o, donne — x x--y-y, donc (32) 2g 9y — —*27. L'équaüon Poz--R0x-—o,. donne: HISTOIRE. 109 donne (2 2.4.2 x!y-- 2xy^2)0z (xy: QIPICEEAS EE CHEN dr qoo- Oy ou en divifant par (33), (yeah exy2)22-- (22a? 2- yf — t2 aat 2xy2)90x-0, ou en fubítituant pour EE. fa valeur, on a (y3-X--xyz)oz--zoy —(axa*tzsyvw—2»2xy*—2:xyzjoóx-o, equation qu'on rend intégrable en la divifant par x? -- y z, & dont lintégrale eft L (X? yz)--*z-—2x-—w. L'intégrale complette eft donc L (a -- y z)e- xz—33-F:(xx-yy) $. 20. Soit l'équation (^ —y2— 1) (s zy — x —85*) (32) [use —jy 5— 1) (ea? — s a*y y) 25 5) — x y ex? —4 x! 4322-33? z — 43) yg-- ga2y?z. —3axys-epy'—sxyz-—3y95-355 — 8 y^--2yz-—y*z--y?$*-— o. L'équation P2 y — Q2 x — o, donne (p — (x — y) (x*-- y3); donc (5)— Qi -2:yy-——385, Dr xis (4 x3 —32x? y -4- y2)9x 50 «3 —2x y 3-32 Os L'équátion P 0:z4-R 0. — o,. donne | (f —yz—31i)(exy—ax—3 y?) 9z - (xz — X3 y—a4 a 2-4 322-33? z — 4X yz--3x'y'z—3a*yz o 2xy*—sxyz —3)58)^2—3)7-- 2 yz —y*z--y*z") 0x — o, 9 3 ou IIO HISTOIR E. ou en divifant par (22), o jode x3z—x8 y— edo de mood a diede i (y "b 1)0z--( y Su. MEETS ER E —- 9m 2xy2.—0x792—5253 -35?2—3)?-- ro n) 0y-—-c RENEEIM (e EV c X EM ET Ta qu SE La fubftitution de 29y au lieu de fa valeur ne reüffiffant pas, je multiplie toute l'équation par x — y fadeur de Q(, & jai Jb OM IEMGTATI X352 — x3 y * 4-4 x3 y-—'1x3 y2?-— 5x? yt (x—y) (^ —yz—1)0s-- An p mEM)or TOU esc. me eu m du e e TOUDE LEUR TE x3 — 9 x y 4-3 y? TUWHBNIU E 358 —2 )? 2 -- y* s — 322 4- x4 z—x9* y —4x4--4x4 22 4-3 x3 z — 4x4yz -«-( x3 — 9 x y--3 92 LMMM)ox 302. 12/9 26 081g oou? c acu y eoo S eni dea e euch) chap —dis wd qum RI AT C noe esce READ ptt e Maintenant il s'agít de reduire le terme affeüé de Ox à cette forme, M M N (4 x3 — 8 x? y-- 52) — M(X8—9x-1-39* )-- N(433—322 2-92). X3—9x y--3 52 93 —— D x yu S3 2 Il s'agit donc de trouver les formes des termes qui. en- trent dass M & N. Or pour trouver M, il fuffit de di- vifer le numérateur du terme affedé de.cx par x! —2xy --3 y^, en n'ayant égard qu'à la forme des termes & nul- lement aux .rcoéfficiens, & mettant enfuite devant chaque terme nn coéfficlent indéterminé, je trouve | M — az--rxy-yyzc—-)y --—uyaéyumawyzxxrz. Je divife, de méme le numérateur en quefítion par 4 x? — 83?^y-L-y?, pour trouver N, & jai N-Ar--BrzueGrystz--DrzugEXry-Ey —Gyz--Hysz-Iz Il ne faut pas craindre de prendre des termes inutiles : parceque l'opération donnera: leurs coéffigdiens égaux à ze- ; IO. IPS" T'O'I"R"E IIZ r. Cela pofé appellant Z le numérateur, j'ai l'équation M(x!—2ry-c3y)-N(49-—5x5y-y)—2Z-o, & fabftituant les valeurs on a, gaty-yayz oy? - £x y? evacSy*z 4-4xx9z — 2 ay x — ay xy ^u — 20x y* -4E -—53D —^: --4G -4H -—a 2 --D --E -I ^ —I —3B —3C 3 --5 —8 —3 E, : -5H -38 ^ —- —24 xy?z?—owxy?z--3'y y! 24-30 y*2- 5e y)-- 5 y?2?- 3 yz y?z-- 4A x* --B ET —3 -39 —F —G -—H o 36 —4 --I —I ncc NEL --I —2 C-4Bx'z--4Cxiyzc-4Dx'z-4Ex!'y—sFxy—5Gxyz d- 4. — 4. -- I —5À —2 3 4-H pc —2 4. —3Hzy'z—sIx'yz-r-Ary* —8 — 5 — 3 [s LH — 2€ Ouduedeloa az-a,: 8 ——-— 1, y 1. 0m——1,6——1, é.——0, 46-70, xX-—:-—r; Iu nd Io RE-—o,E—0,G-:, HRUOUSITIUM. ] L'équation devient donc, o 1 " gyeonoy qa) (y (neu yg—--x9—9» 94 ( iMi ) (x y)?z x3 — 2x y-4-3 2 oc (zy y^z—2yz—yz xr) Inu 0X 0; ou en fübftituant 9 y au lieu de (4 x8 — 3 x2 y -4- y2) : n —z»535 0. 0n obtient, — Qf y e 1) y) 22. -H-(2y— z—xry*'z—ryz—y$eczday "(s —xzd-y&—Jydxyo—yy)a-e, équation dont lintégrale eft L(y — 2) —4 (x.— y) 4A- y 2 4- x. L'intégrale. complette eft done L(2z5) -- y z 4- x — F:(x— y) -- y). ur. $: 2r. La méthode que nous venons d'expofer, ne. peut, comme mous l'avons. dejà remarqué, s'appliquer au. cas ou vj & ( font des fonüions de xc, y &x. Mutat donc employer d'autres principes, fi lon veut effayer de réfoudre le probléme général. Cette recherche eft- fans doute une des plus difficiles que puilfe. entreprendre l'Ana- lyfe. Je vais expofer- avec autant de fimplicité qu'il me fera pollible les idées qui fe font préfentées à moi fur cet objet, & la méthode qui en refulte. — Cette méthode ne préfente gueres d'autres difficultés que fa. longueur, je ne la donne cependant que comme un effai qui pourra enga- ger les Géométres à faire de nouveaux efforts pour pous- fer une branche auffi importante de l'Analyfe, de- laquelle. dépend 1a folution d'un grand nombre de problémes phyfiques. . $. 22, Nous avons trouvé ci-defíüs l'équation P(33)-- 009) —R GPs sn c foit. D — ^^, 0 & Y ^ étant des fon&üons. quelconques de x, y, z, l'équation deviendra, Q^[p(99)--o(793 R9) 4-6 [P (22) - Q(39) — R (397)] e; j donc HTSTOTRHRE. II5 donc p(29^)4- Q (39) — R (29) — c, lorsque Q/ — o. Cette propriété eft commune à tous les fadeurs de ( & peut fervir à les diftüinguer. De plus fi lon à une quantité de la forme - D-- p, *» & p étant des fondions quelconques de x, y, z, on aura Q. Ur D — 5) Qa.-cTO--p9 HP 9. (mr D a- —IP (22) À- 065) — KR (G2)1 cO [P 2) -- Q2) — 8 (32)] -i- P (22) -- Q (35) — R (37 — (en fuppofant Q — o) P (2)--Q(25) — R 22), quantité qui deviendra — o, fi p — c. . Mettant donc de- vant chaque terme de la quantité 7 Q-- p un coéfficient indéterminé, l'équation a.v e 9.(mrQ-—-51. a-(m O -—— py 3 — combinée avec l'équation * Ó-- p — o, donnera p — c, & déteiminera les coéfficiens de (D & de -. La quantité fe reduira alors à «(p ou à 1«---1(Q. Mettant devant cha- cun de ces termes un coéfficient indéterminé, on a alm 4- 8lO, & l'on obtient l'équation ERE D ODE) e 7)1]s $ (P(32) - 0(05) — & 62)1— e. Or comme on a P 95)--0($) — n 95) e, on a B indéterminé & &—o, ce qui donne enfin la quan- - Hifioire de 1791. p tité II4 HrIST.OrELB 6E. tité (D que l'on cherche. Quelque foit le nombre des fac- teurs de 7 Q, le procédé eft le méme. Tout cela | s'éclair- cira par les exemples, que je rapporterai plus bas. $. 23. Il s'agit donc d'arriver à quelque quantité de la forme 7 Q4- p, ou du moins à une quanti'é qui puilfe prendre. cette forme par le moyen des coéfficiens indéter- minés que lon mét devant chaque terme, ou à la forme cQ -- p, (Y étant un fadlBeur de Q. Or il refulte de ce que nous avons dit dans le $. précedent, que P (297) hi Q(3 5] NE lorsque Q/ — o, donc 0 aq ant CERIS ko UT Rr M étant un fa&eur qiistesdiudd Donc D S ner bol nah poer ( iy Cette quantité eft de Ia forme 7 -- p. La méme chofe peut fe dire de 7- & par conféquent de ?2—* ou de ?*9--5, QUiG r.c ONE e ji à quelque terme de qQ a difpara, on remarquera que 0.9 -—pk0QY--», xy &v étant des fonce ns de ay» 25/0x : ec EI vum 2-)22 9 9E um o - 2 — (2? DENS (a9. m x (39) - M d, donc 9 LE eft encore de la Fen 7T Q'-—- p, & l'on en peut dire autant de toutes les autres fonüions que je viens de rapporter. — La méme chofe a lieu pour 00.9 & pour toutes les diífférentielles des ordres ultérieurs. ^ Cha: cune HJ OIB SE. 335 cune de ces différentielles reproduifant de nouvelles fonfions, les termes de Q' qui ont disparu dans quelques unes, fe reproduiront dans les autres, & l'on parviendra ainfi à une quantité de la forme 7 QY - p. Au refte, je ne traite en- core ici que du cas oüà (Q & wj ne renferment point de quan- tités exponentielles ou logarithmiques: nous verrons enfuiie comment il faut traiter ce cas. $. 24. Soit, par exemple, l'équation r—zz)2)- (— y 9 (55) t 1 — 22 — e La quantité P-4- O-- R. donne en mettant un coéfficient indéterminé devant chaque terme EE cC Dy 2o Hb ys ce qui donne (22) c Bz--C, (25 2)— A--Dz, (39i Ba 4- Dyc- a Maintenant l'équation P(22)--Q(29) — R 32) — e, donne Byz--Cy—Brvzz—Czrz-Azx-Dyzze-sFzi—2Fz-o, —A —D ^B -D —b «D ou (C — D) y -- (D— C) xz -- (4 — B) x -- (B— A)yz -2FEz2-—2Fz-—o. Combinant cette équation avec l'équation en (, je tire de ces deux équations la valeur de Xa) C2ExS— 2 due J-(C Dh y —-Ay—Dyz—E—Fzz Z1. (€ —D)zs$-B-A 7 9ct* Tec EHE E | ce qui donne u ps B IIÓ HISTOIRE B(B -Ayyz--2BFz'—2» BF z^—B(C-D)yz-- e C Ez? --D(C—D) -F(B—A)-C(B—A) --F(C-D) --A(C—D) --D(B—AÀ) —2CFz--C(C—D)y--E(B—A) — c. --E(C- D) -A(B—A) On tire de là F—o, E—0, A— B, C — D, donc Q—A(y--x2z)-2-C(x-4yz). A & C reftant indéterminées, jai par cela méme les deux valeurs de (p & xy. Faifant A — o, jai V — x-- yz, fai- fant B — o, jai D — y -- xz. Lintégrale complette eft donc X-—yz-zE:i(y-mz) 9. 25. Soit l'équation (ay 2—282—8y*—82x)(32) -( y€-—az-c-wyyuyxe-2 V3 ABER: La combinaifon P 2a- O-- R. ne donnant rien, je différentie une des quantités, R par exemple , & j'ai abítraGion faite A gH eD OU exe ria s 0». | T1 — 9z des coéfficiens, $5 — y $5 -- 222 TEE (en mettant pour 22 fa valeur — 5, & pour ?2 fa valeur 2, reduifant au méme . dénominateur, & faifant abftra&ion des fignes) Y^ y z-czzu-xLEaEy x. Je fais donc Q—Ajyz--Byz-Cz-Drz-Ez--Fy?--Gzr, ce qui donne (3$) — Dz--G, (33)— 2Àyz-Bza-:Fy, 80 —. A 4.2 , ()—AJy*—-By-e-2:Cz-Dzr--E he HBrsTOQIRE 117 L'équaátion P (72) 4- Q (29) — R (22 — o, donnera donc 22Dyz^ —28Dz —8Dy^z—8Dxz--2a4Gyz—2»98Gz—2Gy^—8Gx -4yÁA —£ryB —yB o —yB —4yF -gE —2a4A -—aB --gA --gD —2saF —4yC -2»£C —2yB -BB ; —2yE --2ry À y)z4- 2^ Axyy z2- 2^y Ey5a- 2j Foy —o. —2yÀ —eyD Combinant cette équation avec l'équation en D, on aura les deux valeurs de y — (£x A 4- 4 y C —2a4 D—4'y A) y 22 H-(28 D—2'/y B-4-4 B —20C)22 opum CBz—G--(2YA—?2yD)yz--2yF» a4- D—Q A-r-'y B) 52 z-4-( 2.4. F—2.« G—4/'y F— B--2/y E) » z4-(29 G—Q E) 24-8 G 52—29''y F 58 BT. y Bz —8 G-r-(2'Y & —2'y D) y 24-2/y F y Eo eT BEUPBEXOPECESPBRMVBOT Trini Dz-4-G T ce qui donne en développant & ne calculant d'abord que les termes qui contiennent y?, F — c: enfuite calculant les termes qui contiennent y^, on a G — o. On a aQGuellement (2x A4-4'yC—92a D—4/y AYyz24-(20 D —2'y Ba-« B—20C)22--(BD—9 A-- y B) 5? z c'yB z-3-(2yA—?2'yD)»z E (2yE—(QByyz—QgEz—— Ay?—By—Cz—E 'yjBz4-(29yA—2yD)y9 . D ki On a donc em développant (24A-- 4C —22D—4y A)Dyz^-(2£D—2»B--a3B—28C)Dz? --(ED-GA--y B)Dy?z-- (2 E-GB)Dyz-pgEDz--A(2^A—2* D)y?z-o. --y AB | -yB*^ --.BE -—(zyA—2yD0)B — «E(zyA-2,D) P3 Le 11$ HISTOILRIXE Le dernier terme denne A — D, ou A — o. Dans la pre- miere füppofi!ion, le premier terme donne C — D, le fecond terme donne B — 6, le troifieme terme devient identique- ment nul, le quatrieme terme donne E — c, & le cinquieme devient identiquement nul. On a donc D- A (y*z « 2?-- xz). Dans la feconde füppofition, le premier terme donne y C — aD, le troifieme terme donne 8 D — y B, le fecond ter- me donne « B — 8 C, le quatrieme & le cinquieme termes deviennent identiquement nuls, ainfi E refte indéterminé , & l'on a D—*, | — t5 donc D —-—L(eZ—Byzuyxrz)g-Ez; ce fadeur fe divife en deux autres, az--( y--yx4 E, & z, jai donc trois falleurs qui fatisfont à l'équation ac 99$ oO P359) 5e Q5) T OB(Slbemes favoir y^--z--x, ez-- By --'yzx--E, & z. Je fais Q-—a'l(y?2-22-x)2-8'l(az2- Gy 4- y x - E) - y 12, a/, Q/, 'y/, étant des coéfficiens indéterminés. J'ai donc Qs ves a^ B' (2)— hee v 1 &£&--Q y-r-yzxa-E ? ED ENA ub: La (5 2) DU o-rP LEN unn wu De ? 2d UR UNT [714 Pa ry? ub ax sE Ts E L'équation P(39)-- G(5?) —R (92) 2565 donne dori 20o/ yy —2a/( z—2o' Q y?—o' Bx-- 2a^y y? 2a- 20^ y xy c4Xy co —2 a0 — 2a ny (———— y —-2c-t HISTOIR E. 119 RET ond --crf'ayyx —2(8yz —g8yvy —c By —2Qg'«y -p8y -—-B8Bv --EBv tB UM --p'af 'a --Qy--yrx-LE Le numérateur dont le dénominateur eft az--(8y--yx--E s'évanouit, je puis donc faire D — a z -- 8 y - y x 4- E. En reduifant les deux autres termes au méme dénominateur , on a 2c | uua ur pu ed gy*— gs -i-2o/ f in --2 a Y€Y — o —y'y -YB--YB8 Y B-—ryy —s2Y'y d'oü lon tire à^ — y/, donc p — y?z--z^--xz, & linté- grale complette fera yz-z-e-xrz—F:(azcQycyxaE). DR URN cancum ede med (9r Oo, $. 26. Soit l'équation | (a3 xz — ay x?z — ay x? y -- ao x? y) (35) --(* By x y?z—2 ay x yz—898 y?z--a3y z--BO x y $?- a0x27) (55) --B3 y 22-28 22-2 y xy x "cay 27-0 y 35 y 1-80 x27 99 127-0. ! On pourroit faire o — P--OQ--R, mais on abrégera en fai- fant — P, c'eft à dire Q-—XArz--Briz-Cy--Doiy; d'oü l'on tire en fabítituant les valeurs dans l'équation P (55) 2- Q(32) — R G2) o, & combinant l'équation qui en refultera, avéc l'équation en Q, A -—C-—o,B-—y,D.—39,ce.qui donne z(yy--32)—oc, Ou 12-0, y(y--óz-o. On 120 HISTOIRE On trouve encore A-D-zc, BzC & x?*(xy--2)-0, ou xy--z-0.. On fera enfuite D — OQ, c'eft à dire Q—A'/xryiz--B'/xyz-C'y?z-D'yz-E xyz-Fxz. On trouve en faifant la meme fubftitution & la méme com- binaifon AC -rBUORLYIE ox y z(xz4y)ou Ich Aur eA E On fait enfin (D — R, c'eft à dire Q—A"yz--B'z---C"xryz ?,. D" —- E" yz —^-PÜUXZ-G"xz, on trouve en opérant de méme -Dp'ECDUESpe-Y COGNI IE. RET E ce qui donne | ryz(«r--Bz)-—o,ouar--Bz-—o. Je fais maintenant Q-—Al(xy--)--Bl(«zx--£2)--Cl(xz-y) —Dl(yy--9z2)-Elx-Fly-Glis, & je trouve —HFIlGlIo Ac-B;C-—D donc 2x Ee x z-- QzAT 2 QUULIE A & C reftant indétetfodsds: je fais cL 4d (D.siz x$--y "EDTUNC SEU? y y-3-62? & lintégrale complette fera ey dom .( xmy ) ddp A ELE "VNyy*ron/' Jai fupprimé ici le détail du calcul qui n'a d'autre diff culté que fa longueur, anon but dans ce-mémoire étant uni- que- HISTOIRE. 12r quement de faire appercevoir diftindement la méthode. Au refte fi l'on s'étoit. borné à la valeur de P qui eft, abftrac- tion faite des coéfficiens, xz -X^z--x'y--x^y, on auroit eu en différentiant, z 292 2 30 29 y 2) o Z--2X2--3Xy-c-2Xy--X abe UM Buc ag Y ETENO ou en fubítituant les valears de 22, EP tirées des équa- tios Poy —Qox-o,P0z--R0ox--o, reduifant au méme dénominateur, & mettant un coéfficient indéterminé devant chaque terme, Q—Axz-bBrz-Cryz-Dozyz-Exz -Fair'yz-Gy9y--Haty-Iriy-Kzx'yz -Lxyze-Mzxyze-eNx'Z-sSxYysz, C—-Txyz-axryz-e-bai yz£ecxumedxuz-—exiz . Cette forme contient les quatre fadeurs qui doivent entrer dans lintégrale: en ne confervant que B & C, & faifant B—C,onaB»rz(ry--z), ce qui donne le fa&eur Xxy--z; en ne confervant que D & E & faifant D — E, on a Da?z(xz--y) ce qui donne le fadeur xz--y; en ue confervant que B & D, faifant D —y, B —6$, on a Xz(yy--9z), ce qui donne le fadeur y y -- 62; en ne Benlervant que "€ &'b, & fiint C — 5, b — Q8, on a X yz(zxr--82z),. ce qui donne le fadeur « x--8z. La difficulté ne confifte donc, comme je lai dit, que dans la longueur du calcul. ]lI y a plufieurs artifices propres à l'abréger dans les cas particuliers, mais je ne puis les dé- tailler ici, je le ferai peut -étre ailleurs. $. 27. Je paffe maintenant au cas oü les quantités ( & w/ renferment des quantités exponentielles ou logarith- miques: je fais «p — x e", (b — (^ e*, ou ce qui revient Hiftoire de r79r. q au 122 HISTOIRE po wm au méme, Vj —l N/" -- N/, z LO -- 05 w^, NV. o^, Q* étant des fonüions quelconques de x, y, z. On aura en dire ces valeurs: -—GL)0T)— in Mice à e Les s 2-067962 aW HOS Eee av y (ese dprap^t (eX) Ge pu ^02); Q—(G7)G7)— (597) (487) up DAL Ee GG 2] rop [Gy Qa) — iy NONE eii ci. —Qres UE R —($7)G7 — (3 ye) Lh o^ (ec) s GIN 3n LAS V) 92^ — $^) (31 e v^ ye) — (23) 221. Ces formules nous montrent que lon peut trouver les quan- utés p^ & QY/ par les mémes moyens qui nous ont donné V & Q dans le cas précédent. En effet on a P ($e) Q5) — RIS, )em Mh P (29^) 4- Q (29^) — R(295y- Nr qe; M' & M" étant des fa&eurs quelconques. En fuppofant donc p^ — o, on aura RB ^)--Q*)— R(277)—o, & en faifant Q/ — o, on aura P2) - Q9) — R (397) 67 ainfi ainfi le procédé fera le méme que celui que nous avons détaillé ci- deffus. La difficulté confifte donc uniquement à trouver les quantités p/ & (, c'eft ce dont nous allons nous occuper. $. 22. Je dis que le Probléme eft réfolu, fi connois- fant D" & wv//, on parvient à mettre P, O, R fous la for- me que je leur ai donnée dans le $. précedent: ou en divifant par MON L^. fi lon pert avoir ces quantités fous la forme v^) (a7) - (os ?)G2). Qu) Gr) Eu e Prol ds MR a Y 307v (0X EM rer oh ay (e *)-G») 2); am £)g9)-(GE)G) , GX)69)-G*)02) gu t UV q" 39^ (a GO GU 39r 65069- 8565; -Godp-open , eoap-qpan qx Np 30^ Y(3V') . 9v ed tun, 152) (9) 9$) Q) G2); on fera vy — al wv" --810"7-- M, «a & Q étant des coeff- ciens indéterminés, & M étant une íonüion de x, y, z quil sagit de déterminer. On a donc Loue 9; E] Ed ) D] d V^ RANTS. d a(pot jt (5 z) 2? g3 PEN 124... 2009.) MAU Lu T a 4^ (3) — D had PC. a- ) zx EP a Y^ cO UE T Subftituant toutes ces valeurs dans l'équation P(Sspr18 (55) ING penod & égalant (roast à zero les quantités qui ont le mé- me dénominateur, on trouverd que toutes les formules oü M n'entre pas deviennent identiquement nulles, ce font cel- les qui ont. pour dénominateurs, (^ xp"?, xp7?, Q/? Xp^, "2, Les quatre autres, c'eft à dire celles qui ont pour dénomi- nateurs les quantités (p^, vU", (^, x, donnent les qua- ire équations fuivantes , L3) (357) — (357) (322) 1 (S ELE) Q2 — C) 282)13 4- E(37) (28) — (59) 8221 (* cs (6) G8) G9) — « 4) 87) G9) «6650 (2) — a (227) (29^) (29^) 4- a (97) (32 zm « (93) (38^) (9v) -- e ex )62)— e 3^) (2*7) (29) eS 6005 — e G^) (37) ae) He GG 3) 862) GE) G9) e; [590408 T)— (9) ees LG ^) (a9) — (3357) (5221 35 jp j^) 25) — (29^ $93 (25 i HISTOIRE. 125 -I- a (27) (29) (39) — s (2i ys V) (2) 4a (597) 6 — a (2* v) (v) ) (32) --« (G2) (35 G9) —« ($2) G3 68) e; [897 G9) — Ge Go 1a --L( E Gz)— [M 20)1G3 -- EG) (9X — (88) (99 2216: Lg 3 $^) x) 9 )—8 (29 s^ (9) (29) -4- g (297) (99) (4) — e (G9) (2) (387 4- 8 (3357) (32) (32) — g 29") (99)) (99) — o; [(22) G2) — G2) G2)1 (23 -- L(3*) (29) — (29) ($9) Qm --(65)G95)—GX)G2)1G0)—e — -« Trois de ces équations fuffifent pour obtenir les valeurs (23), (32). (52) , & l'on trouve ; ( 2) —«Gf)28 GT). (33) S a (0) 4- g ($9); (3) «(9 -- p G8), & ces valeurs fatisfont à la quatreme équation. Le calcul na point de diffculté, & lon peut s'affurer de fa jufteffe — en fubftituant dans ces quatre équations les valeurs de (2:25 (35). ($2). On aura donc V maly/ e gl aea o 60, puisque lon obtient en intégrant M — a Y 2 BdY. Or « & (9 reftant indéterminés donnent les deux valeurs de wp | g 3 — 126 M HISTOIRRE & (; en faifant 8 — c, on a Xp — aL NV/" «- a x//; en faifant &—o, on a Q— BLdY' -- e (Y, Donc l'intégrale complette fera Lp x- y — F: (L^ —- Q*), cela s'éclaircira par les exemples que nous rapporterons plus bas. $. 2o. "Tout dépend donc de mettre les quantités P,OQ, R fous la form A--BQ"--Cwuw"^--DqQ"w^, EC B, C, D étant des fonttions de x, y, z quil s'agit di déterminer. La forme de ces fonBüions s'appercevra aifément, & en mettant devant chaque terme un coéfficient indeéter- mine, on trouvera la valeur des termes. Si quelques uns de ces coéfficiens reftent indétermines, ou que la forme foit mal choifie, dans le premier cas, les équations qui ont pour dénominateur (p ?, X,7?, (7? p^, (^"?, & qui doivent étre identiquement nulles, détermineront les coéfficiens; dans le fecond cas, tous les termes de ces équations ne s'éva- nouiffant pas, on verra comment il faut corriger la forme & quels termes ont doit y ajouter. Si les équations qui doi- vent étre identiquement nulles, laiffoient encore des coéfh- ciens indéterminés, les conditions d'intégrabilité, ou la qua- uieme équation de celles qui contiennent (57), (25). (52). les détermineroient. | Au refte la dé!ermination dis formes Á, B,C,D el faciltée! patüvele Eouogorapon que l'on conuoit, lonvont À z (9) (307) — (or E YT «y pout Pg^& de méme pour O, R. Et tái rédt oe den quantités (D^ 2 W^ eft plus facile que dans le cas précédent, parceque les quantités, P, O, R les contiennent presque toujours, & quil eft rarement béfoin de descendre aux différentielles. $. 3c. Soit l'équation Iy 4-2x2^2- x y? 2-3 y 2$ 2- y? ruth qeyseupp Js p gui -—Xyz--3X2--3xyz'--xry'z-xz—x'-—2xyz—xyt a—À Hg/S XO JI R E. 12*5 —2ry'y-—yz—xy-—2ry'u—2yy-—xz—sixys —gyz-—2ry*z] (3) SU or NEU EIE hrs 9 622 yz —yz—3X3—ry'2—3y2-—yz](: 25) --I--232y--2xy?z--y--23?y?-- 2x y)z-4 x 5-- 2 X! y & --2x5y?3!3—3 — X z—2xyz-—ax'yz-—:»syz-o. Je trouve par la méthode expofée ci-deffus , 7^ -—rc-yz, (Q^ — y 4A- xz, ce qui donne ()-—:. Gr) (97) - 20-) oz, (07) — 2, (37) — Donc pour la quantité P, on aura À —y —rz--B(y-tr-22)-- C (x y 2) SB UU v zcpmy vp. En commencant la divifion de P par xyz--y*z--a*z--*y; & mettant devant chaque terme du quotient un coéfficient indéterminée, je wouve D —a--87-ryy*--Sy-ex-r-dx*--wyt, & je marque dans la valeur de P les termes qui refultent de là. Divifant les termes qui reftent par y z 4- x,je trou- ve C-—^' z -4- gx. pne les termes qui reftent par Xz--y,je trouve B — a" z -- Q" y -A- y". 'Tous les termes étant epuifés, je compare cette valeur de P avec la valeur donnée dans l'équation, & j'ai Bxyz c—yry r0 xy*--ca* y - C35 y -- wx y? 2-- 0.3? z:4- Q y? 2? —3 M: E de meh s ; —3 cy 128 HISTOIRE. 4-y y*z--9 y!z--cxy?z--6x yz dl z^--ax*z-4- x*st —I —1I Y -—3 duy. -02^yz4-cx'z--0xiaxtum£-—Qxrxyz--yxyz—e—ixyMm 4-2 4-1 4-2 —3 —It 4-2 --à/ | (ox X yz dy xia Q oaxyeao xz--a yz yz 4- I ^-I / --I —-a^ ^ —9 -4- I | | —2 4- (7 y? a- "^ y a (^ o5 y t Any 0 2- c y? — o. PA uh eec --I 4-2 am E | Je txe de là a — «eco, cg) ZI (ame, me p/-—-15f(g o9 a E ka. xu mun d donne des valeurs contradidoires , favoir 0 — — 2, 8 — rz, le terme ^ xy?z divifé par y z donne xyz, j'ajoute donc a C le terme 5' ryz, le terme n z divifé par y z donne ?, jajoute donc à C le terme »/ y?, & je trouve alors ^ um y/—1zco, 0--à/--2-coc. Ainfi 2 refte indéterminé , & lon a y/—1-—-8, 0^— — $ —2. Jai donc reduit P à cette forme, en divifant tout par (^ X", Lade. y—xz y—z (I—93)52--322—x3—(2--3)x yz Jo—eeysovsn t Pxy&t VES HpesyBej- dC oy - EE s 51. Maintenant pour la quantité O, on aura Seo) 2e )— (20)(29 yo x — yz. Je. fais donc Q-—x-—»yz-r-B(y--xz)--C(x-- yz) --D(xy-r-3z-4-y?*z4-xy2), on HISTOIRE 159 en mettant devant chaque terme du quotient un coéfficient indéterminé. Dans la divifion de Q par xy -r-3?z-ry?z -- ry z,je trouve D — axy. Divifant les termes qui re- flent par xz-1-y, je trouve B — «". Divifant les termes qui reftent par y z -- x, je trouve C - 8 Zi -- y y? z - ó x? y. Tous les termes étant épuifés, je compare cette valeur de Q avec la valeur donnée dans l'équation, & j'ai a3? y? ax y?z - ax?y z-- ax? y? 2? — x-- ( x25 a- y x y?z -A —2 r—- Dau (r7 2 -d-I-d-3 Jia -- a3 y -- y z - B y z*- oy y? 2 -- 0 a? y? e a" y i i" xz th (—2 —ÁHdU[-- 3 -d- I come I^ —I fo JS PUO HE IA, m d ga ea p mm o d. m D, oq —— I, J'ai donc reduit Q à cette forme, en divifant tout par Q^ V^" rn c — 2y-— 3 — 52 Q———— án UM a airy. (€ »2)(y m xz) PESCE: yud€3 f. 5^. Enfin pour la quantité R, on aura A-—(GTG5)-— GE)GT)-—1:—22 Je fais | R—:—zz-r-B(y--x2)4- € (x 4- y z) -4-D(xrxy--aiz--yz--ryz). En commengant la divifion de R par xy--a?z--y?z--xys?, je trouve D — a 4- 8 x -- y xy. ETMRRT les termes qui reftent par x.z-l1.y, je trouve B — a Divifant les termes qui reftent par yz--z, je trouve vu zw yu heus les termes étant épuifés, je. compare cette valeur de R avec 1a valeur donnée dans l'équation, & j'ai Hifiore de 1791. Y uie "55 HISTOIRE qure welia-dodquo Mur yv DEM NN -- a dio IL Es 4-2 -- ry x2 y? 2 ty x y? z ty 3 y ety o y? ae o y! e a" y iubo — Sidi € dei Tm -4-Q''XZz--1-742 "s xr. mEIORTÁ-COS E Je tire de ^a o; wo $75, NS mde donne des valeurs contradidoires, favoir 8 — 2, 8 —— — rz, le terme x y?z divifé par y z donne xy, j'ajoute donc à C la valeur G^ xy; le terme 3?^y z? divifé par y z donne x?z, jajute donc à C le terme ,/ x?z. Mlltipliant donc G^xy --v/a?z par x--yz, & ne confervant que les termes af fedlés de (3, jobtiens, j gx y--8rxy'z--g8xiz--grxyz ud s el X - r cep oM el p -I- g -- "a -L- Y ce qui donne Q-4- /— » — o, 8 -- y/ 4- 1 — o, donc f — 2— (8, y/ —— x — (8, & Q refte indéterminée. J'ai donc reduit R. à cette forme en divifant tout par (^ w/^, R35i3 71v DR mc QUESHEEUE-UVINS Jesi E ü (x ym)(y-cXz) x-3-»2 yo-xs -d-Bro-szy. $. 35. Je fais maintenant y —al(x--yz)2-gl(y--2zz)--M, a/ (j^ étant des coéfficiens indéterminés, & M une fontion de x, y, z quil s'agit de déterminer. J'ai donc d D zzvi EI -- (25 3)» y-*«s* Op - HISTOIHREÉE. 141 (3) — zz EL UG. E rz (X $)-— m EE z M ca vu -($z Subítituant ces valeurs dans lé bes de condition ay 9v R(83v) — P (23) -- Q3) — R (23) o, les termes divifés par (y -- : zy donnent l'équation B'(x —3))^2--3 g—p'a?z Copier a —g —8g'-- g'(1 4-8) 2- 2 g' —£(-&) ce qui donne 8 — 3 — o. Maintenant les équations qui ont pour dénominateurs (^ Xp"?, 4p7?, qY^?Ap"7, QY7? dévien- dront identiquement nulles, & les quatre autres, c'eft à dire celles qui ont pour dénominateur Q" w^, w^, Q^, r don- neront les quatre équations fuivantes Ur x3) (5) -- (xy) 59 G7 22) G1 -1- a/ y?-1- 3 a z? — a EY dli xyz—324 fa — nal ry" -4-a' y? z 4- e yz — Q/zz 4-8 — ^ x — 0; (y — z) (23) 4- (225) — (25 -- a y? 4- 3 a4 Tm 3?— 2a yz -a-2a/xyz —2a' xy?-o; (y? "a" —1 2 1*J3( 7 - (25 y —y*z—s2) (25 —(iay—is— uy) 93)-- 92-73 f? — Ba? —REys-Lig xynzBuy--o; (^ra —aàaà—2yz) (32)9-2xy(25) —2xy (2) — e Multipliant la feconde équation par 2 xy & la retranchant de la quatrieme, on a | . (^ -raz —6—z2ys—sry-r-2:xysz)( —22o/ xy(y?--322— 32 — 2 yz — 2 x y? -H- 2 x y z) — 6; ce qui donne ( 27) — 2e xy. Subftituant cette valeur dans r2 les 132 HISTOIRE. les deux premieres. équations, on a | i fan (27) 4281 £ E860 295 pg? — piifyex — o; (o y 3) (29) — ( — 322) Q) 4 y? H7 s a? — a/ X! — 2 a^ X y --a X*yz— 5a z-r-w yz 4-8 y z-—( zt-- -—(x-o. Multipliant la premiere de ces équations par 1 — zz, & la retranchant de la feconde, on a | (cy src) wea atyuo m uRiogtg —— 2yYgÓ t-2y2*y22—2p72] -— fg Cyz- p Umsiaimentb ce qui donne (3)es g^ a^a po b aty s Subftituant cette valeur, on troüve ($2) f -- «' y?-- 3 a z", donc M — «^ (a2 y e y*z $3) (y 2), :ce qui fatisfait aux quatre équations. Donc Vea d(xeyz)-gül(y--xz) — a (x y-ey zu) yz). Les coéfficiens o/, Q/ reftant indéterminés & indépendans l'un de lautre, om a en faMant 8^.—*0, w^ — r, V —l(x-yz)-—xXy--y^z--2, & en faifant ^ — 1, a'.— o, | Q—l(y-rxz)- yz. Donc lintégrale complette fera ryaeo TU weteemEEEP-Uwzet $. 34- HISTOIRE d $34. Soit l'équation [2xyz--22'z--2xyz'—1Xx qu esa yz—cxi-x yz 1 (3* -[szxce4X'yzccry'ne-omieiXyFY xy Mm$y ?-—e.rxyz-—6357-—-2y9--2xz —2zyzi—2yz]($:)e2mzxz--2rxxz5 i cay Eeeityoe xy^z —x:—3x-s:-—o. Je trónve par la méthode actam ci-deffus 4p" —3?^-e yz, Q/^-r,ce qui donne (yim Dg e qur yy (18) — 1, Q9) o, (297) mo. Donc icd we Ge P, on aura e) — QGE)GE)-o je fais aid P—Bzr--C(r--yz)-Bsx(axuyz). En commengant la divifion de- P- par xy z^-- X, & mettant devant chaque terme du quotient un coéfficient indétermi- né, je trouve D.- a xz. Dans les termes qui xeftent je mem trouve point qui foyent divifibles par y z?-- 32, je fais donc C — o. Je divife les termes reftans par x, & jai B: — a" y z-- (8^ zi y" 4-9)" 2ys Tous les termes étant épuifés, je compare cette valeur de P avec la valeur donnée dans: l'équation ,. & j'at a" x y z--B/x zy" x zy z--ox ox ys? (xc uegxyr — 2 — $. -- Y a- X -H- Eod-IL —2. —92 ce qui donne m e 25 (icem I; dms 2, y, LM j í E a II. g. Icsa,ny^-——t,y | "8 — Ya 134 HISTOIRE. Jai donc; en divifant tout par (Q/w// reduit P à cette forme PN — 25z2--953—22—9x*5 b. I cu T AES Sisi ig $. ji Maintenant pour la quantité O , on aura — (2:7) (357) — (23) (287) — — 2 y z. Je fais d Q-—-—2yz--Bx--C (x5 -ysz)-Dx (xay). En commengant la divifion de O par xyz*'--x* ona D —e«z--8y--yx. Divifant les termes qui reftent par yz)--x?, je trouve C —«'/z. Divifant les termes qui re- Ítent par x, j'ai B — o" x -- Q" x y z A- y" y? z -A- 9" y z 4 6" xz. "ous les termes étant épuifés, je compare cette valeur de Q avec la valeur donnée dans l'équation, & j'ai — 2. y z.4- a^ 3? - (^ X? y zm i np x y? z 2 0 x y z2- a a2 z 4- o y z? 20 —2 5 —4 —2 -- 2 4-6 4-2 iU p eU Eu or ERNE EUN -^-2 --2 —1 —1 —2 —2 Je tire de là T TN usi dL MEL E NAE E cub i S & cna — 4». 'Y — 2,07 ———2,a«-—-— 2, kl nm pens dna a Ime, ERIL—E. DIE J'ai donc en divifant tout par (^ XJ, reduit Q à cette forme QQ -—.— 2y2 EUN Lid o 50 acri Bleari Ac MR 2z UoxdNEUS &(X2 -- y z2) X? -- y z2 E m Soa xa $. 36. HISTOIRE. 155 A $6. Enfin pour E v Ge) R, on Lass Eo (e e xe: curb dgi Je fais R——z--Bzr--C(x-r-yr)--Dox(x-r-yz). En commengant la divifion de R par xy z --xje trouve D-«y--( x. Divifant les termes qui reftent par yz x^, je trouve C — o. Divifant les termes qui reftent par x, je trouve ! B — o" x -- g" x x -A- y x: -- 97 x Tous les termes étant épuifés, je compare cette valeur de R avec la valeur donnée dans léquation, & j'ai — z' 4- a" x^ a- ("^ ac z. ay" xz -- 0" x5-ax!y--axyz p-e | "EI --9 ^-—IX ^ —I 4- ^ 4 2 2 4- ( xc* 4- —r! i fete de là a" — 2, Q" — 2, y/—-—1,0"-—53, 4-1; B — :. J'ai donc reduit en divifant tout par (Q^ V^, R à cette. forme R—-— zz d-?ES eee w—i-bEX--y. X (22 4- y z?) x2--z2 Jobferverai qu'au lieu de faire C — o, jaurois pu faire C — «4 -- 8 x--y/ x, la fuite du calcul fait voir laquelle de ces deux fappofitions doit avoir lieu, en faifant v-eal(x--yz)-4- G8 lx-4-M, ce qui me donne fo d Em o a^ x TÉ -F- (093); «x2? -r- yz2 (i DCN a EN IER SUE (23 yum «euis m edes L'équa- $56 HISTOIRE L'équation qui a pour dénominateur (x^--y z') ne devient pas idenüiquement nulle, je fais donc C — «' 4- P" x -- y x^, ce qui me donne dans l'équation les termes | a! 3! -A- a y z -- f x? -- IV x y z* -4- vy x* 2 ny a y z. I] faudroit par conféquent changer B, & je vois tout de fuite qu'en faifant B2 x--2zxz-z£-r-a«" 33-4" yz, lon doit.avoir Qx4-Qxz?—22 4-7 x2 -4- Q"" y x2 a^ A- "^ x -- ty^x? — 0x-pFOox22—922—4m55^ x? -r- yz x x2-- yz : ce qui donne | 2 x4 o x2 —xX4 ig a ^^ gc ET Bg" xyz-- a y Z 4-y/ x* e es -1 -—-8 4- g" 4- a -- g ce qui donne af llq/cre,na d8-b4 EOM CEU E d'oü lon tire Aes IV V Ao caa IV à A oS 7m e e un al donc f HI E .2x-2x22—22—(3--81x?—9/y22 | "x | ES a (a2 4r y z2) x2 --.z2 * "L $. 57. Subfütuant maintenant les valeurs dans l'équation 2 z ày — P 99) -- o (9) — R (25) e, les termes divifés par (x! -- y z)) donnent 40 Xyz4-4a xzi—2a xg — 40 X y 2-40 xy2i — 4. — 4. Era -2a/ (38^) —4 —2a xyz-—odyg. " --2a/Q 2o Em ce HISTOIRE. 157 ce' qui donne G'" — — x. Maintenant les équations qui ont pour dénominateur a adul e xaO. D Nils devien- dront identiquement nulles & les quatre autres, c'eft à dire celles qui ont pour dénominateur w^ d ^. ^7, 1,. dor neront (22--2y2—2xy*—22)(05 2 aM --E(azyz4d-2y z4-2*— MEE s ALTES —(2xzz--yzz--2x-—2x- -—2)(5; -LE4a xz-—s2a x --2arz--«y---2io£z CO ru c dea N- d ue eto QN AS / / —syz())-ezz()oecE€--:8ys—cEmyt — (/2z—2«27--2a«xyms—o, 9M nir Pn ml cas) ex Q3) ic Ps Fimo, M OMN LLLA (2x— x) (33)--(3x--y 23) (55) -(» 062) —e La troifieme équation multipliée par y & retranchée de la feconde donne (22— xy)QU)--g/(22—22y2—22-4-zy) —a' (225 —2xyz)-—o, ce qui donne (22) (x—22)--2 6t; cette valeur fubftituaée dans la troifieme équation donne 25)— 8 (1—2)--« €, & ces deux valeurs fuübftituées dans la quatrieme équation donnent 21) gx —2xy)d «(2x y), ces trois valeurs fatisfont à la premiere equation, & o/, (? reftent indéterminés: on tire de là Hifioire de r79r. S M 138 HISTOIRE. M — ' (x - y--z—xr-—xry-—2zz)-«o' (xrr--ry--zr), pi — a l(x?a-y $)-- g/ lx -- (jl (s- px —ryu ribs ge) eX (xx-ery-rzt) FawWant.à/-—— r2 0,18 v zl A — X*-- X y--22, Paiant. e; zcuAB t7 2 p—ir-x-y-z—rxrx—xrxy—zt L'intégrale complette fera donc (a^ y 2) g'*c*3o*z — EF: me X TU En failant a/ — (/, on auroit eu Q-—Il(x-ryzz) -—-ry-z, & alors lintégrale auroit eu cette forme (a? ce e fPyertiqoccasi giri drip Eu) prtserem, $.3s8. Si V" & (Y contiennent plufieurs fadleurs, enforte que Xp — w^ V, on trouvera chacun de ces fa- Geurs par la méthode qui a donné ci-deffus xj; car puis- que "d rm Eo POS E R (2—-) — o, lorsque ip^ — c, on aura dans ce voii venen) nim] lorsque, x NY z— e; JFaifant:«/ A — 6, on, aura P (2*7 )d- Q (33 Jv R (227) — c, Vue V^ -— oc. On trouvera donc tous les fa&eurs de /^, Q" par la méme méthole: mais s'il y en a plufieurs, ^ S "n de favoir quels feront les fadeurs qui appartien- dront HJISTOIIStXIE. 159 dront à ^, & quels feront ceux qui appartiendront à qq. Un fimple tatonnement feroit long & faftidieux: voici une méthode direde pour parvenir au. méme but. $. 39. L'équation p E: Q peut fe mettre fous cette forme Aj -- BD — F:(A/v-- B' Q), A', B étant des conítantes quelconques, & l'équation diffcrenteelle qui en refültera fera la méme à cela piés, qu'elle fera toute multipliée par A B/— A'B. On pourra donc faire entrer dans la valeur de X" & (Q^ tous les fadeurs trouvés par le $. précedent, en les affedant de coéfficiens indéterminés difféÉrens; enfuite on fera p —4//4-M, D—Q"—-M, & fubftituant ces valeurs dans l'équation différentielle, on au- ra la forme des quantités P, O, R, & l'on procédera com- me ci-deffus. Je vais éclaircir ceci par des exemples. $. 4o. Soit l'équation (vem--2vmy*--erz—c0xzy-2xyz—scxyr) 22) —(uTy--24ys? —2v3?y--vTxy--2xyzi—ocx yz) 53) --Mez-d-erz-r-24y?z-f-2x:y*z— 2x" y*— o. Je trouve tout de fuite, x, y, £, pour les faüeurs de w^, Q". -Je fais donc pu uoce Q-—atdlxr--gly--ydz--WM, ce qui donne GD-icGD Gi RR "esp. 039—831 (22s 140 HISTOLRE. (3) z £-- QR), 93) 2E-- 0E), G3) - Z- E- On aura donc p—(0202-— [ 22) vEZETY Y Q3)- -y QN) q660 — BAG y yw o (odd oed ^ Qi-—(9y(239)4—(5- ?) 99) m exe Y (2) -v G2), «GE) Q9 z "d. 4299) (838 9s. (235 48); — (2*5) 22) — Q3) (3: EN «(t «E)—« (m) g G-—eGm) xi X -4- (23 :)GZ —($21G- Je ferai donc Ls à ' —achash. D. -Xer.taer, Rv A^ p^ C^ - / R—£- EHSTIDS ou en reduifant tout au méme dénominateur, P —x(A--By--Cz--Dyz,, O — y (A^ -- B/r4-C/z4- D' xz), R — z (A" 4- B" y 4- C" x 4- D" x y). Main- HISTOIREÉE. 141 -Maintenant pour trouver D, je dive P par xy, & j'ai D-—azy--Qz- Je divife pour. trouver C les termes qui réftent.par xz, & jai C — «^. . Pour trouver B, je divife les termes. qui reftent par xy, & jai B — «^ y 4- g".. Je prens pour A les termes reftans divifés par x, & jai AÀ-—a. Sübftituant ces valeurs dans celle de P, & la «€omparant avec celle qui eft donnée dans l'équation, j'ai & -- a^ y? -- B y a- a" z -- a^ y x a- (9 y z? pine cA E sEEOU DU — 2 -- Eau donne m-— »$, 4 —£Rv, [N — T.xuEI e, a zi, p/— — 2, donc puUweea]yrye sy I DES 2 J pmo, $. 41. «Je continue: & pour trouver D', je divite Q. par ryz, & jai D' — 2/ x (3 z. , Pour trouver C, je di- vife les termes reftans par yz, jai C — a^" z. Pour trou- ver B, je divife les termes reftans par xz y, & jai DB'—— e^ x4- G^". Pour trover A^, je divife: les termes. reftans par y & jai A^— v. Subftituant ces valeurs dans celle de Q, & la comparant avec celle qui. eft donnée dans l'équation, jai. | & ao^" y3*- g^ x 4 a" -4-wWaXz-prsTbP oc ": —WkT4a2yY —T —2MW 2 — 52 i bu ce qui donne" à/—"p vy a^ mc 2y, Q7 IT, w7lIirb, « — ——2,^Ex'2y done — ET, LIB (m QR a — c "rs z- Xx *-9*7——-23. / - 20$ 42. Enfin pour trouver D^, je divife R par xyz, & jaàà D'-2'x--8/y. Pour trouver C^, je divife les ter- mes reftans par rz & jai C/ — 4". Pour trouver B^, s 3 je 142 HISTOIRE je divife les termes reftans par yz, & jai B/— «" y. Pour trouver À^,je divife les termes reftans par z, j'ai A" — a. Subftituant ces valeurs dans celle de R , &.comparant cette derniere avec celle qui eft donnée dans l'équation, j'ai a u- a" y? a- a" yx a of ipM —EKRe—?Mx. —?e 2 — 2 ce qui donne ug i e Mei Pt dim Ep — donc R-Et-?52 -E: aL $-L2*——2. X y x » )- $. 48. Jai donc obtenu ces trois valeurs, pc; 2—T- $e 2y —27, QQIETS4TULMTUt-2z-—25, Bac Sub 2y—2. Je fais maintenant *« ize ib Aprtieri aso ador ee qui donne, G3)i-Qm ge»o2re-0m. 090-z£t-025. Subftituant ces valeurs dans Re a P (25) -- Q(33).— R Q3) —e, & faifant autant d'é équations différentes qu'il y a de déno- minateurs differens, jai les équations fuivantes; L Ave-Bi&vr—Cpe—o, II. A(2vy—7)—*Cpky - p v(57) —0, HL Ae—2Bpz—pe(27)—0, IV. A(sy —22) 2 2 (25 )- 2g (22 Ed —did NW. HISTOIRE 143 V. C(a&—2 y) - (2 vy — G8) e (v2v2) (99) e, VI. B(r—2vx)— € eg e »e($7) o, VH. BE r2) e (ON) (8) 6, | VIII. Gy-22)82)-—€ 1.— 2x) (55 4x (e g— 2 y) (39) — c. La VI. équation donne (3) — € teen, La II equation donne (33) 322 -- 802025 La lli* équation done (227) — $737. J'ai donc ()- SER, ve (39) ich y La, (22 — EM. Mais on a par P rs e Lat ity in léquation I. UI ii - DI i donc (9.9 ur 2) LL. 2B) --& oM 2B ES T» n "T tie G )— e donc | lur 7A TE: | ? VAM Ro EM Ces valeurs fatisfont à toutes les autres équations, On a donc V —APz-Bly-e(L-?710zc(x-yczi) TL Ge y*e-z). Si je fais A — 1, B— o, jai yclixerizeibreyi. | | cU Q— ize» -Si je fais A, — o, B — 1, j'ai Q—ly--lzei (X --y x), on (6 LI Y L Bar a2 Donc l'intégrale complette eft Yzg'UrEtRIEg:y gr errem $. 44. 144. HISTOIHBRE. .$. 44. Soit l'équation (xx-xz-3xy-xyz-Xry--zyb--yz) -(yz-zryz-yz—zy—yy)(51).: c EZ 2z7--201y7--2yZ--21.3--rz c—2X yz-ryz-c-ry*z-y*z--yz-—o. Je trouve x--y, x--z, y, t, pour les faüdeurs de w^, (Q^. ]le fais donc | vy -—al(z-y)aQ bD(x4-z)-y ly 3 Iz-- M, i -- a Lx y)- B g L(x--z)y/ly--Yiz--M, ce qui donne (me eR pr Y Ee aiu (33) — 2E -- Q8), B —iL di | (22 p Edi (9) — xi à IT -(Gm On aura donc | |^ wegp—a(f* ,u48—aY | *($2)— e (27) —(x-y)x-z) (x—y)* YintaG (xy y) y y 8—vg y yr y* 3 v G3 - v 6s (x - z)y PLE X ,8G—g Gr). 3025) Q3) x--z z QM) QM) | OM) M) Oy | Oz 02 Oy HISTOIRE 143 ap —^a'g Md or B (Sz). 23 — a3 (y) (o1) rz (x2-y)z gy-gs vQx)-sQu) «eoe (x-- z)z Z Xy oM "(37 cer MC 1). qu qe) e) es Xx ey — uy «(2-7 a' (27 a Q — a (r-y)y WEISS ay BENMMCLZI ED ,LEv- py , 6GO- eG» | v'e9- ven (r2)y x--z y -4- (93) (93) — (22) (29). Je fais donc d'apiés ces formes Es 1p sinum Beabg€.-x:;:5 P OG 5i£oFT acie ue —N UN (9 2r y) d- z) ix4-y)E — x--y (x47 2)y 2 y xc4-z zz 5 pa A^ P^ [od p^ E/ r^ G^ LT ———————-4 ——uU-——— 4 ————— U-—-- / es (2 4- y)(2 a7 2) Xd-2 (x4 y)2 (x4-2)2 z ees ec t Ho I^ ^^ /7 /)/ "4 4 (24-9) » xy (x47 9)(x4- 2) (x-4-2)y x4-z » ou en reduifant tout au méme dénominateur, P—Ayz-J-B(x--z) y 4- C (xA- z) y z 4- D(x4- y) -i- E (x 4- y) (x -- 2) a- F (x a- y) (x 4- 2)2 "5G (z t3) z-r- Hicd-y) (o 2)y. A- (x 4-y)(x--2)y2; Qm A! y x -r- B (x - y) y z 2- C' (x 4 z) y -- D' (x-- y) y D -- E/ (xy) (x2) y -- F'(x-z) y 2 - G'(v--y) y LH! (x y)(x--2)y2; | Hifloire de IT79I. Y'a Mieres ciem 146 HISTOIRE R — A" (x z)z--B'(x--z)yz-C'yz -- D/ (x - y) s -- E" (x y) y E^ (z7-y) (z--2)2 4 G^ (x & y) (z-- 2) y s. Pour avoir L je divife P par (x--y)(r--2)yz, & ne trou- vant dans P aucun produit de quatre dimenfions, je fais 1— c. Pour avoir H , je divife P par X y-r-ryz--ry4-y'z, & je trouve H — «a. 1l ne refte dans P aucun autre terme de trois dimenfions, je fais donc G — F — o. Pour avoir E, je divife les termes reftans par x"--xz--cry--yz, & yai E — «. Tous les termes étant épuifés , & n'ayant point trouvés de termes paralleles à PAZ je prens le terme À yz & jai A — «^, cela reduit P à la forme: P — a" y z - of (x - y) (ac 9- z) 2- e (x - y) (x 2 z) y- Comparant cette valeur avec celle de l'équation, j'ai a^ y za Xx --a xz--axy-axy--axcxyz 4- a^ —Y —1 —I ' —I — I e 2 --ay*--ay uic — I SENS ce qui donne o/ — 1, a — rz, o — — r$, donc — i i I buzRibcwepm d$ lo 45. Pour avoir H/, je divife Q par X ys rye p Py my ult & ne trouvant dans Q aucun produit de quatre dimen- fions, je fais H'/— o. . Pour avoir G^, je divife O par x yz --y?z, & je trouve G' — e. IL ne refte dans Q. aucun autre terme de trois dimenfions, je fais donc E/— F' — : : UE HisTOLBRE 143 B/— 0. Pour avoir D', je divife les termes xeftans par y--jy^, & je trouve D' — a. Il ne refte d'autre terme que yz, je fais A/zca", C'-—o, cela reduit Q à la forme, | — a" y z - af (x &- y) y À- a (x - y)y 2. Comparant cette valeur avec celle de l'équation, j'ai LA / / | od — a y*-arxyz--ayz a^ yz xy * EM — I (cO 4- I — I — I ce qui donne a" — x, a/— — x, a —1, donc MS I TONES LE I Qo -— (X A7 y)Ux d- 2) fum Y aec f. 46. Pour avoir G^ je divife R par Y'yze-ryz--ryz-yze, je trouve G^ — e. Pour avoir F^, je divife les termes reftans par à?z--x2?--r yz--y z & jai F^ — «. ll ne refte plus de termes de trois dimenfions, je fais donc B^— D" — E^ — 0o. Pour trouver C^, je divife les termes res- tans par y z, & jai C^ — a", Pour trouver A^, je divife les termes reftans par xz-i-7?, & jai A" — «^. — Ainfi R eft reduit à cette forme, RE a" (x - z) z H- oA y 2 -- o (x y) (x2- 2)2 -- a (x —- y) (x 4- z (y 7. Comparant cette valeur avec celle de l'équation, j'ai a xz--a" zz-4-c^yz--«Xz--acxz---earytz —1 — 1 4r — 1I — 1 — 2 -1- alV (—yg-axyzcaxyz-aoxy*z-aytz — 2 —I —I —1i e ESI eer ut | | te " ce 148 HISTOIRE. ce qui donne a//— i, «/^—--—31, «-—-1; o' donne des valeurs contraditloires, - je fais donc B" — 4", parce quil eft affelé du terme xyz, & je trouve a/— 1, al* 21, donc LN DA REC INMINMM NM I. $. 47. Jai donc les trois formes défirées, & faifant vy -—al(xy)-g8l(x-z)-yly-óslz, jobtiens, Sow 9" (3X ?)9E ee m 5s c E (33) zz Xa e »- E» Sue A ji u . Subftituant ces valgo dans l'équation P(7)--0(55) —- R(£)ee, on a autant d'équations différentes qu'il y a de dénomina- teurs, & l'on a ainfi les équations fuivantes, fans compter ecells qui déviennent identiquement nulles; l. a — à — o» II. DA wa g—(55)— IV. «— -- (32 M) i4 gm —(15)—o, V. 8 — (33) — o, VI. QE) Ca a équation donne «— 9, la 2^ donne — y, la 5* donne (55)— 8. la s* donne (27)-3, la 6* donne (22) — o, & ces valeurs fatisfont à la 4': jai donc M — ax-L-f ys donc V —al(x-y)a gl(x--z)- gly--alz--ax--gy. En faifant 8 — o, me 1,^ on a vy — l(x 4- y) 2À- 0z 4- x. En faifat « — o, — 1, on a D—l(x--z)-- ly 4- y: donc lintégrale complette eft | (c-r y)ge —F : (cm 2)y e $- 4$. HISTOIRE 149 $. 48. hos 'équation OX yz aq?*u d asty e ba! yiii a a P irap Z —23y £16) -- [3xy$— 3 2?y5— 4 32 y? 32 — 3? y z* -I- 8 x y? zi — y! — y*2* --rxyiz--xyz-—2»**y5-—^a4x yZ--4x iy -iox'y zo 2:3 y!z4-2:25y'z3-229y^zx:]($7) (cp ax$— X y'z—3xyn—8uxrxyz-y*j y? — xytz — xz —2x*y?z--4x3y?z4 23 yfPg-— 2x yz — 2x yz*—29*5yg! — o. On trouve d'abord, que x — o, y —0, z—o, font les fac- teurs de Q/, V, ce qui donneroit Apzalz--81ly--ylizr--M, Q-—elx--gly--ylz-4-M, d'ou lon tire G)-£-GD. G)0-5-G».G )—I*-GD (3 Sci. di Sci» (33) c Y. (2), ce qui donne BR YP PE Durs EAE DEI 8 (2) A5 j s ib a -Gnen-enem, Levy sx) Q2) v Gyr) Q-— Ted edu 2 EL o5 t3 nx 150 HISTOIR E. UN ow aM / aM. egh— B, «Qu MEO :)-8Q8) - do 4- Qn) Qe) — $2 M5 Je fais donc Comme la forme de P, OQ, R rendroit le tatonnement affez long; je remarque, & c'eft pour cela que j'ai choifi cet exemple, que fi M & M' ont des dénominateurs, eníorte que M — -— 3 M —is en reduifant P, O, HR au méme dénominateur, une partie des termes fera multipliée par p^ qd, une autre par p?, une autre par q?, & une autre en fera exemte, enforte qu'on pourra toujours mettre P, O, R fous ces formes PApqg-dEp-—LUg--5. .Qzapq--Uvp--cgq--di, R —etp'q ag puyq-ày Or lYinfpedion des premiers termes de P, O, R montre tout de fuite, qu'ils peuvent renfermer le quarré (x -—2xy-c-y)('u-22y27-o), je fais donc P-A'(x—yY( -4ysBin—yyaC (2) D. Q—o' (x —yy (zy (x—yy c (y* - zy d, R—« (v—yY (^T y--g(a—yy v (^er y 9. On trouvera fans aucune difficulté les valeurs de A'/, B^, C, D', o, V, c, d/, «^, B, *y/, 9, en füivant la méme mé- c 3 thode HISTOIRE -— thode que ci-deffus. Comme jai détaillé cette méthode dans les f. précédens. & qu'elle ne renferme qu'un ufage trés fimple de la méthode des indéterminées, je ne m'y areéte- rai pas. Le réfultat donnera 2 PG-—yyo -£9y-—z:(y x29 x—yy —(xz-cry)(y'-z)--2xiyz-—2:xryz-2xyz —2xX'yg —2xyz-—2xy'z, Q—-(x—yy -Yy-Gyv—4x£—:xy)(x—y) (xy ^2) (f x) o- 2a yi! aai — amy? —cxXyze-ixymx-—oxysz, R-—(r-y)Qr-z)—C dos Fdw Pu: maie ( E) --oirym-aixy z-crry's —2xy yz —o.xy 'z—2X y2. Maintenant, comme on a P-A--By--Cz--Dys, Q-——a--bx--cz--dxz, HEU BIpeLoDy spA & quil ne faut' pas toucher aux quarés (x—y), (yz y, je ferai A—(x—y)y (es) , B —(A'x'y--B'yz)(x—yy--C'z(y--zy, C—A" y'z(x—yy --B'"xr(y --zy, D--2r'z—2x'y-e2ax y --2x3£€—2xyz-—2xyz B o e xYesssuos b— (e ex b y) (x yy - (y d' z) (f v; € — (a"! y* z -- b" af z) (x — yy -- c! x (^ a- zy, d-—»sxXyyz—syuz—oyuW--ixyé-ixyxX—coxy, o — 152 HISTOIRE a—(s—yyo -zy, | Ba xy (x—yy (Bev n) xy y — (ax y-g"0yz)(r-—yy-vy'zr(y--zy, —o2y z--exX yz-2ym—ix-£5-—oxyz—2*2. Je fais maintenant V -aldx-d-Qly--912z, ce qui donne . (33)z £2- GR. G3) — £2 G5)» G2 — £2 G2) & reprenant les trois valeurs —Xu-RE£UB, Q-—.*--—---—--rd, R-—£Ét-4-2I-c$, l'équation de condition P(33)--0 G3) — R (32) — e» donne en égalant féparement à zero les termes qui ont le méme dénominateur, les équations fuivantes L Ao --a( —aó —o. I. A (29) -- b/ — gaz & III. a (29) — y à 4- B &/ zz. IV. C o e ga (28) -X o. V. Da -- e (23) — (38) — e. VI BG) cb — 555 — c. VII. C (93) — £ (22) - d &' — e. VIII. D (29) 4- d (25) — (22) — e. HLSTOIRE xi On a par les valeurs ci- deffus, À — a —— a, la premie- re équation donne donc ó/—-a^— Q/. En fubftituant ces valeurs dans les autres, on obtient H (uy ..0- mg III. (33) c D Lun IV. (39) 6 v 4-4 V. c(27) — vy (G)--Da'—o; vL. B(S) Eb 89) 3 (& — v) o; VII. C 23) — g (23) - d — o; "VIII. D (2 2) Wi er PR ; (3m) —e. Subftitaant les valeurs de (23), ( $5)» ( 2") dans les qua- "re autres équations, on obtient 1 : (cB—c'y —'yC-- AD) — 4. V. —Á—M m5 (BB-o-bB—b'y—AS)a (by—Bb—B--AS3)oQ/7——&a«. Ee Pu UN Lo; : lica: 6 Bor De Audauaeo SL. T (D8-oa-dB—dy—S$C),7 (d'y—Db—npD8—c0)o57—q« VIII, CRUS a uEXELES pe. L'équation V devient en y mettant les valeurs, & faifant pour abréger, (x — y — p?, (y?.-- Z2 — q, 2x'zp'q —2x*!ypq-4-23*y?pq^--2x*23p5q—2xxyzpq EN B EB oU OA o EERWS S BLcoU TA yb" gl cV T5 p c't al pv - E BV g" —2 ^ zy*zp'q 2 AY a lg*ys aci Bg y? 2? pt EM e at —gV! gl VIVI VI Sy PA Nr VI A VI a A. Bg Avi a : Hifioire al ITOI. u 54. HTISTOIRE 4- AY bV! x*y z p*2- BYb 13? y 33 p*- CY c1 x? at Bis vp -- gn M! — gt T ID? yt -—- DY aV y? zip? d? - D' c"! xzq* — C" y VI yygt us dio C" E E-— o. Les termes 2 sd UR pq & esq ds q* qui reftent feuls m'en- gagent à ajouter à B, D'zq?, & à C, C" y q?*, ce qui com- plette le tableau précédent, rm je üre mu — "akt BV — BÉ— (crt c't —QA,VI — — AVI — rr o, gu uet gt — a v Qv BV, D. e ce qui nous donne B —a" (P y t y £p 4a- C" (xm 2) q5 C-——c(r—y)g5 c— — aq (y^z— 2 2) y cav y-yv)p. Maintenant l'équation VII donne —2ryzpq -syzpq--syrpq—ixypq 28 AVE cd E G* deut y" -— BM gy — pav —ixyvTpqeclayyqde-B'au£pq "Ph: Dd & ENLbV jg y ui But ax ; 4- BV C xy qfa- B" d" xxqt— B" c y^gt — B" d" y xq* 4- BV! Y à Bt, v pg T. —p" y -- aV! aV x y zp NA a ty? zp*-— EL d'ou lon tire HISTOILHRE 15$ a* 0, dY ——y'.c —-—f(Y sSU— 8o" 3 y c" o d, ce qui donne b —a* (rz a xy)p crc (yz), B-— c (yoz)q- L'équation VI donne B(4- b) — by — A38 — 0, ou a Cx m y UNT 4-2 u— 4-2 —a'ce x yzpq —a"c'yzpg-a'cyzpq —o. — 2 —2 —— On tire de la aY! c" — — se, aY C" — — 2, ce qui rentre dans les déterminations précédentes. l'équation VIII, en fuppo- fant «^, f/, indépendans l'un de lautre, donne les deux équations d E v6 uni (B Td y) "noctu o ty E F3 (82-5) —4 Poli d'ou lon tire en éliminant D — Cy—Bc-ccy d — C8--C5-cec Lu B8--Bb—by?^ $ B -4-Bb—5by? fi l'on fubftitue dans ces équations les valeurs trouvées ci- deffus, on les trouve identüques. J'ai donc en reprenant les equations Il, III, IV, J- 3d LUE LIBL TUR em seid oe (4 b ma ox/ — (x — yP (5? 4- zy | uec of ndi. opo guine es a - MY. C" (rez), sy Qs). — Wero ipe eaim Rc Uf otosd. de TM at NOE: & we rg. 25 7749 s icd peus d'oü 156 HISTOIRE d'oh l'on tire en faifant c" — CV, av! — a, usum TE ETE) zWLUE a gua a (en faifant c" — 1, «Y — — 2) a^ ( y 3- 2) yc. PORE e cea , donc Vs eB ly e (i — prete eon, En faifant g/ — 0, o^ — 1, on a ds Nae». En faifant &/—: o, 8/—: X, 00 4 x2 --z3 quecisbeyrEmR- z donc lintégrale complette eft Dur Xx? -L-z£ 4E. Xz7ex—»-—F: 2 $. 49. J'ai choifá ce dernier exemple affez compli- qué, pour qu'il fat plus aifé d'appercevoir les difficultes & les reffources de la méthode. L'on voit que toute la diffi- culté confifte à mettre les quantités, P, Q, R fous une certaine forme qui eft indiquée par la nature méme de lé- quation; enforte que le nombre des effais eft limite, & peut etre diminué par divers moyens. Cetie méthode paroit donc mériter l'attention des Géométres, d'autant plus que le fujet eft d'une extréme difficulté, & n'a point encore été traité d'une maniere détaillée. On s'eft borné à des exemples fi fimples, quils ne pouvolent donner une idée des difficultés de la matiere & de l'imperfedion des folutions connues. C'eft un inconvenient qui fe préfente fouvent, & qui fait que plufieurs théories qui paroiffent générales n'ont que peu ou point d'utilité. mil beeeccem cuu DE- HISTOIRE — DESCRIPTIO: CAENOPTERIDIS AuGore Car. Petr. Thunberg, Conuentui exhib. die r6 Otfob... 1 794. mE OM Inc cc mel Gau plantae ,. ex ordine Filicum , eo tempore novum , fub nomine Caenopteridis , defcripfit Anno 1582, in Adis Academ. Imperial. Scient. Petropolitanae celeberrimus Piro- feffor Bergius, eiusque fpecies tres notas reddidit , fcilicet furcatam, rutaefoliam et viviparam. Poft hoc tempus plures innotuerunt diftindi huius generis fpecies , certe pulcherri- mae, quas deícriptas et depidas: cum. orbe erudito commu- nicare operae pretium duxi, fimul cum obfíervationibus non- nullis de fpeciebus antea notis. Caenopteris vivipara deteda fuit im Infula Mauritii et Bourbon a Domin. Commer[onio; furcata vero et rutaefo- lia a me colledae fuerunt in Promontorio bonae fpei Africes. Docuerunt autem obfervationes circa plura a me: colleda fpecimina, has duas a Bergio conítitutas fpecies revera non nif unicam effe, aetate variantem et plus minus diffedam, ut adiunda a me tabula Caen. furcatae fatis monftrat, pin- nis inferioribus magis compofitis , fuperioribus fenfum magis magisque fmplicibus. | ü 3 Prae- 158 HISTOIRE Praeter hasce, aliam quoque fpeciem nuper dedit pidam et defcriptam Celeberr Smith, in Iconibus Planta- xum, nimirum rhizophyllam , ex infula Dominica Americes ornundam. Hisce addi fequentes poffunt fpecies, nempe C. flacci- da, odontites, auriculata, Japonica et cicutaria. Charater genericus ante datus fuit in Attis Acad. Imper. Scient. Petropol. "lom. VI. Part. ]]. p. 248, et fequent. $8. C. C. C C. C e tO Species funt, quae fequuntur: flaccida: fronde pinnata: pinnis lanceolatis fer- ratis. | rhizophylla: fronde bipinnata, apice radicante: pi»nulis ovatis, infimis bi-et trifidis. . odontites: fronde bipinnatifida: pinnulis lanceo- latis acutis inferne fiffis. auriculata: fronde bipinnatifida: pinnulis lanceo- latis obtufis, infimis bifido-auriculatis. ; furcata: fronde tripinnatifida, apice bipinnatifida: pinnulis lanceolatis obtufis fparfe bi- partitis. . Cicutaria: fronde tripinnatifida: pinnulis lanceo- latis faepiffime bifidis. . vVivipara: fronde tripinnata: pinnulis filiformibus. . japonica: fronde tripinnata, apice pinnata: pinnus lis lanceolatis acutis incifis integrisque. De- I, HISTOIRE 159 Deícriptio fpecierum: C. flaccida "Tab. D. fig. zx. 2. Frons fimpliciter pinnáta ; debilis , ereda, glabra, fpithamaea usque pedalis vel ultra, Pinnae fubpetiolatae, alternae, diftichae, erectae, lan- ceolatae , acuminatae, ferratae, marginatae: fru&ificantes incifae, apice integrae , lineam latae, digitales. Stipes inferne flexuofus, compreffus, C. rhizophylla. Smith Icon. Plantar. ante non edi- tdr. Fafcic 2. Tab. $c. C. odontites, "Tab. E. fig. r. Fyons bipinnatifida, ereQa, glabra, bipedalis. Pinnae petiolatae, diftindiae, lanceolatae, acuminatae, erelae, palmares, Pinnulae feffhles, obverfae, diftichae, alternae, acu- tae, integrae, infimis nonnullis fifüs , ungui- culares. Stipes bafi flexuofus , femiteres , fubfulcatus, fuperne compreffus. C. auriculata. Tab. E. fig. 2. Darea. Ju[fieu Ordin. natur. pag. r5. Frons bipinnatifida , fummo apice pinnatifida, hinc inde vivipara et radicans, f[flexuofa, ereda, glabra, fpithamaea.- Pinnae rarius oppofitae , faepius alternae , breviffime petiolatae, ovatae, obtüíae, incifae , horizon- tales vel reflexae , unguiculares usque polli- cares, Pin- 160 HISTOIRE Pinnulae feffiles, lanceolatae, obtufae, integrae, excepta infima bafeos.e latere fuperiori bifida et au- riculata, lineam, longae. Stipes femiteres, fulcatus, C. furcata. . Tab. F. fig. 1. Caenopteris furcata et rutaefolia. — AGor. Petropol. "Tom. "VII. P. if. Tab. VI. fig. I. eL 9$. Crefcit in Capitis bonae fpei fylvis , vt in Hauteni- quas et Grootvaders - bofch. Frons longe ftipitata, prope radicem Íquamofa, ere&a, glabra, fpithamaea, vsque pedalis. — Sunior, quae C. furcata Bergii, bipinnatifida, apice tantum pinnatifida; adultior tripinnatifida. Pinnae petiolatae, alternae, diftiche patentes, incur- vato-ereQae, pollicares, usque digitales. Pinnulae fübpetiolatae, alternae, patulae, unguicula- res; terminales fimplices, lanceolatae, integrae; mediae bifidae; inferiores pinnatifidae: laciniis integris, infimis bifidis. Süipes compreffus. C. cicutaria. "Tab. F. fig. ». et Tab. G. fig. x: Afplenium cicutarium — Sjvartz Prodrom. p. 130. Filix pinnulis cuftatis Plum. Amer. 16. Tab. »s. fip. À. minus bona. mutae murarnrae accedens filicula non ramofa minima Sloan. h. 1. o2. "Tab. 5». fig. 5. mala et iu- nions plantae. Crefcit in umbrofis calcareis Jamaicae. Frons HISTOIRE 16r Frons longe ftipitata, flexuofo - ereda, glabra, tripin- natifida, apice fimplicior, pedalis. Pinnae oblongae , acuminatae , patenti - ereQae, digi- tales. Pinnulae Yanceolatae , apice integrae, medio bifidae, bafi trifidae, laete virentes, femilineam longae. Frudificationes fubmarginales , verfus bafin pinnula- rum folitariae, oblongae, e nervo medio exe- untes, membranula fcariofa tedae, ferrugineae. Stipes fufcus, femiteres, fulcatus, nigricans. Rachis communis fufca, teres, apice planiufcula, fub- inde, fed xarius, radicans; partiales planiores, marginatae. Media haec eft inter Caenopterides et 44/plenia, quo duo Genera combinare videtur. 7. C. vivipara. A&. Petropol, Tom. VI. P. II. Tab. VII. fig. 3. Acroftichum viviparum. Linn. Syftem. vegetab. XIV. pag. 93c. Suppl. p. 444. 8. C. japonica. Tab. G. fig. s. Trichomanes japonicum. Thunberg Flor. Japonic. p. 340. Linn. Syft. veg. XIV. p. 941. . Sfaponenfibus dicitur Simobi. Crefcit locis montofis in Infulis Niponiac. Frons quadripinnatifida, apicem verfus fenfim fimpli- cior, flexuofa , eredla, laxa apice cernuo, fpi- thamaea vel paulo ultra. Hifteire de r79r. | x Pin- m UNE HISTOIRE Pinnae petiolatae, alternae, inferiores frondi fimiles et magis compofitae, fuperiores fenfim fimpli- ciores, audae, palmares. Pinnulae ovato-lanceolatae, inferne attenuatae, bifi- dae et trifidae, audae. Stipes fulcatus. Petioli capillares, flexuofi. Figurae omnes funt magnitudine naturali : Tab. D. fig. x. C. flaccida, florens. —— fig. ». C. flaccida, fterilis. Tab. E. fig. 1. C. odontites. —— fig. ». C. auriculata. Tàb. F. fig. x. C. furcata. —— fig. ». C. cicutaria: A. fpecimen exiguum. DB. pinna florens. Tab. G..fig. 1. C. cicutaria, fpecimen majus. Tab. G. fig, ». C. japonica. EXTRAIT DES MÉMOIRES CONTENUS DANS CE VOLUME. "HISTOIR.E. T CLASSE MATHÉMATIQUE ET PHYSICO - MATHÉMATIQUE. n. I. De fingulari genere quaeftionum Diophantearum et me- thodo maxime recondita eas refoluendi. Auüore L. Eulero, pag. 3. BC NL que toutes les puiffances des nombres de 1a for- me aàü&-i-nbb font toujours des nombres d'une forme fem- blable xx-1-nyy;ilfe préfente ici un nouveau genre de queftions indéterminées, pour la refolution desquelles l'Ana- lyfe de Diophante n'offre aucun fecouxrs, favoir: d'affigner de toutes ces puiffances des nombres de la forme aa--nbb celles , dans lesquelles ou x ou y obtienne la plus petite valeur? C'eft de ce probléme qu'on trouve la folution dans le mémoire préfent; & cette folution eft d'autant plus re- marquable , qu'ellé eft fondée uniquement fur la confidéra- tion des fadüeurs imaginaires du binome aa-- nb b & fat des calculs purement trigonométriques. Cette courte notice fuffira pour infpirer aux amateurs de recherches de cette nature la curiofité de lire le mémoire méme. x 3 I. x 66 HISTOIRE II. De radicibus aequationis infinitae: acis x2 x^ LM Q—I- ABI) | xGCLINA-eZp 3) 7 ——3; 8€ AuGore L. Eulero, pag. 19. Cette équation infinie préfente le phénomene fingu- lier, que pour les cas n — 1, n—2 & n— 3, toutes les racines, dont le nombre eft infini, font réelles, au lieu qu'el- les deviennent toutes imaginaires, dés que le nombre n fur- paffe 5. | Quant aux racines réelles de cette équation, il eft facile. de les trouver pour les trois cas mentionnés n — rz, n--2&nr-csa; car elles forment dans chacun une pro- greffion arithmétique, dont la différence eft 7 pour les deux premiers cas, & 2 - pour le troifieme. Mais quand il s'a- git de chercher les racines pour des valeurs fratüionnaires de n, plus petits que ^, la formule qui exprime la fomme de la férie propofée dE tellement compliquée & rans- cendante, qu'il eft impoffible de reconnoitre les cas ou elle sévanouit, ll ne refte donc, pour trouver les racines, d'au- ire moyen que lapproximation, & c'eft à ce moyen que M. Euler a recours , en cherchant, par la méthode des féries recurrentes , inventée par Daniel Bernoulli , la plus petute racine de l'équation propofée, pour les cas n —;,n—i& jew pour lesquels 1l touve 1— 05,909; r-—0, 6875 | X —95,572. Comme pour les cas n — 1, n— 2» & n— 5$ toutes les racines de l'équation propofée peuvent étre exprimées d'une maniere fi finple par -, l'auteur avoit cru qu'il en feroit de méme pour les cas oü n eft une fradion quelcon- 5 que HISTOIHREÉE. 167 que moindre que 3; & que dans les cas ou n eft un nom- bre entier plus grand que 5 , les racines imaginaires de l'é- quation feroient me étre anii dans un rapport fimple avec la quadrature du cercle. Mais un examen plus rigoureux des racines trouvées pour les valeurs n —2, n—i,n xxjd n — 4 a détruit cette opinion. Au refte, quoique cette recherche eüt été infruQtueufe, elle offre quelques fineffes de calcul qui doivent donner de lintérét à ce petit mémoire. IIT. Exercitatio analytica, vbi imprimis feriei maxime generalis fummiatio traditur. AuGore L. Eulero, pag. 4r: Le développement de la formule qui exprime l'arc indéfini de 'Hyperbole équilatére par l'amplitude, & la con- fidération du cas oà l'amplitude devient 45 degrés, avolent conduit lauteur de ce mémoire à cette fommation remar. quable: i deem T. 15. s UAR 1:15:2079 E T. 5. 9.13 — &c. E 1. 1.dI 1.1f 15 7. iX. I5. 19 Pour mieux s'affurer de la vérité de cette fommation, M, Euler met Em I yt LN T. xu -L T35LE yb S &c. 1.II - d id II. 15 & il trouve que 22 — 7-0, —. — x^, equation qui donne — i 4 9x "Ed cs iy (x — xy feit. ud de forte qu'en mettant x — 1 on a effeüivement s — I. Par 168 H"TI:S TO IR EZ Par des opérations femblables à celles qui lont con- duit à cette fommation, l'auteur trouve auffi la fommation füivante beaucoup plus générale: S8 (2 3-0) 2(a3-0)(23-20) — & b ' b(b-i$) bib cms oai eon "nU ESSE e Enfin M. Euler rapporte à cette ottafioá la fommation fuivante beaucoup plus générale encore que r précédente: a b ] b —— BÓ Lys P3 deccm mem "eg $5 Meu 0: qui eft vraye, quelles que foyent les valeurs de a, b, c, I. rst. & 06, & quel que foit le nombre des texmes de cette férie, Il en donne deux démonftrations différentes, qui lont déduites des principes de l'Algébre commune, & n'ont, par conféquent, rien de commun avec la démonftration de la fommation précédente. IV. Dilucidationes fuper formulis, quibus finus & cofinus angulorum multiplorum exprimi folent; vbi fimul ingentes difficultates diluuntur. Audore L. Eulero, pag. 54. Les éclairciffemens que feu M. Euler donne dans ce Mémoire, concernent les feries, qui expriment par les puis- fances décroiffantes du cofinus de l'angle fimple Q, le finus & le cofinus de l'angle multiple n. Il fait voir que ces expreffions, telles quil les avoit données autrefois dans fon Introdudion à l'Analyfe des infiniment petits, ne font vrayes à la rigueur que pour les cas, oü. n eft un nombre entier pofitif , ^R que méme dans ces cas il faille, pour rendre les expreffions conformes à la vérité, rejetter tous les termes qui HISTOIRE. 169 qui contiennent les cofinus de l'angle (^ dans le dénomina. teur, quoique les féries ne fe terminent nulle part. Aprés avoir montré ces imperfedions dans plufieurs exemples, M. Euler remonte à leur fource. 1l fait voir d'ou proviennent ces écarts de la wérité, en montrant que les Íéries mentionnées ne donnent pas l'expreffion complette du finus & du cofinus de l'angle multiple n Q; mais qu'il faut joindre à chacune une feconde férie, & que les termes de cette feconde férie détruifent dans chaque cas déterminé les termes fuperflus de la premiere. Pour montrer lexiftence de cette double férie, M. Eu- ler met cof.(- z & co. n p- s; de forte que 0p-—. & noQ -——.:.-. d'oü lon tire cette équation diffé- rentielle dé (i:—22)-nnozéíi--ss), qui différenciée , en fuppofant Oz vonfant, méne à cette équation différentielle du fecond degré: QOs(r—zz)—z0zoós--nnsoz.r.-o. En mettant donc SLAZ—Bz2-—?--C2-—*-— &c. l'équation tantót rapportée fera transformée en une férie dont le premier terme eft (nn —22)z^, qui devient zéro, en mettant A— --n. On a donc deux valeurs pour l'expofant ^, qui étant fabftituées, la valeur s — cof. n (D fera exprimée par une double férie, l'une provenant de la valeur A---n, lautre de la valeur A — — n, c'eft- à - dixe i zd Mr — Bz e CO TE ^ (-3iz"—1$5z27"—?--Gz "^ — Og "-6-- &c. S" Hifioire de r791. y La 1o HISTOIRE. La premiere férie, apiés avoir déterminé comme il faut les coéfficiens A, B, C, &c. fe trouve étre la méme que l'au- teur avoit donnée feule autrefois pour la valeur de cof. n Q. Quant à la feconde fére, M. Euler fait voir qu'elle détruit effedivement tous les termes qui rendoient la premiere in- exaüe dans les cas ci-deffus mentionnés. C'et de la móme maniére que l'auteur traite auff lexpreffion pour le finus de n O, en faifant voir que les mémes imperfeQdions, provenans de la méme fource, peuvent etre levées par une femblable corredion. , M. De infignibus proprietatibus formularum integralium praeter binas variabiles etiam earum differentia- lia cuiuscunque ordinis inuoluentium. AuQore L. Eulero, pag. 81. Soit Z une fonQion à deux variables x & y feule- ment, mais qui renferme , outre ces deux variables auff leurs différentielles d'un ordre quelconque, fi l'on dégage eette fondion des différentielles , en mettant 0 y — px, Qpi-xid 03m,:0:9 zznoua; dr zt Om&c.fa difcrentielle fera Q0Z--Vox,V V étant une fon&Gion de X, y, p» q» r, &c. dé- nia de Z, favoir ZG DUMP TUM C SUAE PLRDEA De là il fuit que fi V marque une NS d telle qu'on vient de dire, la formule différentielle V 9 x fera toujours intégra- ble, quoique x & y fuífent entiérement indépendantes l'une de lautre, au lieu que fi pour V on prenoit une autre fon- HISTOIRE. — fonflion des variables 3X, y, p. q,r, &c., l'intégration na fauroit avoir lien , à moins qu'il n'y eüt une ceitaine rela- tion entre les variables x & y. Cela remarqué M. Euler fait voir dans une fuite de TThéorémes que fi la formule V ox eít intégrable, toutes les formules fuivantes 0 x(2—), 9 x($-), 0 r(27), 9x (57 0x(3Y), 2x (22), àx(p9*), àx ror. , Og[32E M, qe 297 .], 0x(227), &c. Qoxoq 2 oyop | Q yo le feront auíffi, & qu'en général toutes les fois que V 0 x ad- met lintégration, la formule RU p 8 eV ess esie. V — 0x" 2 y? 9 p* à q? &c. fera pareillement. integrable. Àu refte on trouve dans ce mémoire une nouvelle démonftration du critére general & connu de lintégrabilité de la. formule V 2x, qui ne différe pas beaucoup de celle, que feu M. Lexell en avoit donnée dans les nouveaux commentaires de l'Académie. Pg VI. Specimen integrationis abftrufiffimae hac formula UTPUq WA UM n ono retibe: (xx) V (2x2 —1) Audore L. Eulero, pag. 98. C'eft par le moyen de deux méthodes entiérement differentes que M. Euler eft parvemu à rendre la formule y2 irra- 152 HISTOIRE imationelle propofée rationelle & à trouver fon intégrale ex- primée par des logarithmes & des arcs de cercle. Dans la premiere méthode il fe fert des fubftitutions fuivantes : $222J7—5, 4 f senda Vie Baba chi) n — 13-52 & q — 5 moyennant Ksqgelies la formule propoíée fe trouve trans- formée en deux, MA 3 24 op. 4 o — p^ 563€ TR E * 2— x dont l'intégration n'eft fujette à aucune difficulté, Dans la feconde méthode il met y (2xx—1)-e,ce qui transforme la formule propofée en 2y2 q— A 2 T y (I—6$5)v,1--6*) p dont la feconde partie eft déja ETUR Pour dégager la premiere du Spes radical, l'auteur met Ee —x E us & elle devient f.9—. Cette feconde méthode ayant conduit à une intégrale d'une forme différente de celle que la premiere méthode avoit fournie, M. Euler fait paffer celle-ci par quelques transformations qui démontrent le parfait accord des deux réfultats. La feconde méthode a fur la premiere le grand avan- tage, de pouvoir étre mife en ufage pour raméner à la ra- tionalité d'autres formules irrationnelles beaucoup plus g&- nérales. C'eft ainfi que la formule 9r(t ect nin. (r—2)/ (aa —1) peut HISTOIREÉE. 173 peut étre transformée en - Lans nio Min. p.p 1 — g^ 25 moyennant les fabítitutions. PR L(2a*—1)—e& $c Méme 1à. formule: beaucoup plus. genérale qui credis (a4 b x") [(a 4- b x? — b^ x^" 15 peut étre rendue rationelle par les fübftitutions 2(a4-bx)—Ux-gt& Tct Ces profondes: recherches, dont le titre de ce mé: moire:n'anonce pas toute limportance,. rempliffent un vuide trés confidérable dans l'intégration des formules différentiel- les irrationelles. VIT.. Integratio formulae cuiusdam differentialis maxime irra- tionalis, quam tamen per logarithmos & arcus circulares expedire licet. AuGore. L. Eulero, pag. 118.. La formule irationelle qui íait. le fujet de: ce mé- moire eft oz(r—zzy (1 -- 11)y (1x4- 6zz-t- 2*)? y38 & i74 | HISTOIR E. & la méthode dont l'auteur fe fert pour la rendre ration- nelle & pour trouver fon intégrale convient avec la pre- miere des deux méthodes du mémoire précédent. —Car les 4 mémes fubfütutions y (x-1- 6z:-1- 3) £3 w,| EX zm pj z—* —q, tansforment la formule propofée en *^?9?? — XIII Ayant trouvé l'intégrale de la formule piropofée, - M. Euler cherche auffi celle de 0z(r--zzy UTUDANUEGTUORCOUULGNERCCOHRCORCI TESRCAUTTERCRO 139 (:—z2) y (1 — 622-1 zy qu'on obtient en écrivant zy/— x à la place de 2, de forte que toute lintégrale eft repréfentée fous une forme imaginaire qu'il eft facile de raméner à la réalité. — Cette feconde intégration eft d'autant plus remarquable qu'il pa- rit impofüble d'y parvenir par une voye direde. VIII. - Euolutio formulae integralis 3 9 z (5 4- z 2) (1 -- 22) y (1 -d- 6zz-L- z* per logarithmos et arcus circulares. AuGore L. Eulero, pag. 127. Les transformations que M. Euler fait fubir à cette formule, pour la rendre rationelle différent de celles dont il a fait ufage dans les deux mémoires précédens. 1l met z —1—7^, & la formule propofee fe change en EE i» HISTOIRE. 175 s Ox 5 x'oc 24 5 UU Eos C PEREET. IP TETON P * (x — a) Y (x a x?) (x — 3x) y (1 7x?) x Et en mettant dans la premiere ;—— ——— — t, & dans y (x a- 2) lautre r-- x'— u^, on aura à la place de la formule i] D propofée ces deux à intégrer 3 4 3 ; 4 at I. ungau s aman 2— us? qui étant rationnelles, la principale difficulté qui s'oppe- foit à lintégration, elt levée. IX. Problema geometricum, quo inter omnes Ellipfes, quae per data quatuor puncta traduci poffunt, ea quae- ritur quae habeat aream minimam. Audore L. Eulero, pag. 132. Feu M. Euler avoit déja refolu dans le fecond fe- meftre des Ades de l'Académie pour l'année 1780, le pro- bléme de trouver la plus petite des Ellipfes qu'on peut circonfcrire à un Parallelogramme re&angle donné. ^ Mais il avoue de n'avoir pas ofé tenter la folution du probléme genéral énoncé dans le titre de ce mémoire, à caufe du £rand nombre d'élémens qu'il faut introduire dans le cal- cul & qui lui paroiffoient dévoir méner à des formules in- extricables. Le préfent mémoire contient une íolution com- plette & tiés facile de cette queftion intéreffante. En 196 HISTOIR.EÉE. En prolongeant les deux cótés oppofés du quadrila- tere, Tormé par la jonQion des quatre points donnés, jus- qu'à leur rencontre, l'auteur prend les abíciffes x fur l'une de ces deux lignes depuis leur point d'interfedion, & les ordonnées y paralléles à l'autre; & comme l'équation gé- nérale pour les lignes du fecond "ordre eft Ax? -e2:Bry-Cy-2:Dzrz-2Ey--F-—o, il détermine tous les coéfficiens, excepté B, par la condi- tion que la courbe doit paífer par les quatre points don- nés. Enfuite il cherche l'expreffon pour la furface entiere de l'ellipfe, qui eft déterminée par les quantités A, B, C, D, E, F & par lobliquité des ordonnées. Cette expretfi- on dévant .étre un Minimum, fa différentielle égalée. à zé- ro, en regardant la feule B comme variable, méne à une équation du troifiéme degré, qui.a toujours, pour le moins, une racine réelle, '& qui donne par corníéquent la valeur de B, moyennant quoi le Probléme eft parfaitement réfolu. Quant aux deux autres valeurs que B obtient, lorsque l'é- quation cubique a rois racines réelles, l'auteur laiffe a d'autres d'examiner, ce qu'elles fignifient. M. Euler fait l'apptication de cette folution genéra- le au. cas, oi: les quatre points donnés forment un Parallé- logramme, & à la fin au cas qu'il avoit déja traité autre- fois, ou le Parallélogramme eft retlangle, & il obtient une folution parfaitement conforme à:celle qui fe trouve dans les Ades de l'Académie pour Lan 178o. Part. IL. page 4. HISTOIRE 197 X. Solutio problematis maxime curiofi, quo inter omnes Ellipfes, quae circa datum triangulum circumícri- bi poffunt, ea quaeritur, cuius area fit omnium minima. : AÀuBore L. Eulero, pag. 146. En reprenant léquation générale pour les fe&Gions coniques rapportée dans l'extrait précédent, on trouve pour le cas préfent F— 0o, D— —1Aa, E—-——ICc, oà a & c font deux cotés du triangle donné, dont l'un eft pris pour l'axe des abíciffes & l'autre pour l'axe des ordonnées. L'expreffion de la furface entiere de l'Ellipfe circonfcrite à ce triangle, en nommant lobliquité des ordonnées o, fera ji AACaa--ACCcc—XBCac ZU o eer) (A C — B B) ce qui doit étre un Minimum. ^ Cette condition ayant été remplie, on a B—iy AC, A—cc & C—aa. 3 2 Aprés avoir fuftitué toutes ces valeurs tant dans l'équation de la courbe que dans l'expreffion de fa furface entiere, l'auteur parvient à démontrer les propriétés fuivan- tes trés rémarquables: 19.) La furface entiere de la plus petite Ellipfe circonfcrite à un triangle donné eft à la fur- face de ce triangle comme 4. eft à 3 y/s. :9) Le centre de cette Ellipfe tombe dans le centre de gravité du tiian- £le. 3?) Les tangentes de l'Ellipfe tirées par les angles du triangle font paralléles aux cotés oppofés du triangle. Ces deux dernieres propriétés fourniffent un moyen facile Hiftoire de r'79r. Z de 198 E UsqTdd-iuwE de circonfcrire à un triangle donné PEDES dont la farface elt.-la: wifi be. poffible. 7 XI. De centro fimilitudinis. Audore L. Eulero, pag. 154. Deux figures femblables dont deux cotés homologues font A B & a b, étant tracées für un méme plan, il y au- ra toujours dans ce plan un point Cl qui fe rapportera íemblablement à lune & à l'autre figure, c'eft-à-dire un point tel que les figares TA B & lab foyent femblables. C'eft. ce point T que M. Kuler appelle ici le centre de fi- militade, en montrant dans ce mémoire comment il faut déterminer ce point dans chaque cas. Ce Probléme paroit appartenir à Ia a Perfpedive, en- tant que, l'image d'un objet quelconque ayant été tracé, on veut connoitre le point, oü il faut fe placer pour voir les parties homologues de l'objet & de fon image fous- des angles. égaux. | Car c'eft ce. méme point que. l'auteur a nommé ici centre de fimilitude, & qu'il enfeigne à déter- miner, quelle que foit Ia pofition de l'objet & de fon image. Un Probléme de Géométrie qui facilite cette recher- che & dont M. Euler donne une triés belle conftrudlion, iermine ce mémoire; favoir: 'lrois points A, B, C, étant donnés dans un méme plan, trouver un quatriéme point O dans ce plan, tel que les triangles AO B & BOC Ío- yent femblables. *- 4 HISTOIREÉE. 179 XII. | (Um Problemata e methodo tangentium inverfa. Audore F. T. Schubert, pag. 166. Aprés avoir confidéré quelques propriétés des cour- bes paraboliques & hyperboliques, l'auteur fe propofe le Probléme de chercher les courbes dans lesquelles le rayon ofculateur eft partout égal à la normale. Il en trouve deux folutions, felon que ces deux lignes tombent du méme co- té de la courbe, ou à des cotés oppofés. Le premier cas appartient évidemment au cercle, mais lautre donne une courbe tranfcendente dont la nature eít définie par cette equation entre deux coordonnées orthogonales, x & y: 29 6 - 67, € étant le nombre dont le logarithme hyper- bolique eft égal à l'unité. | Cette courbe a deux branches qui s'étendent a Vinfini, & un diamétre qui la. divife en deux parties égales, à peu prés comme la Parabole, Elle a plufieurs propriétés remarquables , comme les fuivantes. On trouve Q0Oy 0* y gy, 2 x^ Era Gus pesa creniiaedm: ai amy die -- plgjusr qup DaBACI SI ag codo 37; - baa uir s : -- &c. & à yis BY uua aO x? x? UEM RET NE EC goig 3 [ Or Ox! QOagh'"ti dius 2. gn igo ali On trouve fa reQification & quadrature par une conftruc- tion géometrique- toate- fimple, pourvu que l'on foit en é- tat de décrire la courbe. ^ Enfin.elle. peut. étre. regardée comme un cercle negatif: car on parvient.à elle en' don- zz nant 180 HISTOIRE. nant au rayon ofculateur du cercle une valeur négative ou oppofée à la normale; & fa re&ification eft donnée par le nombre e, c'eft à dire par les logarithmes réels, tandis que les arcs circulaires peuvent étre exprimés par des lo- garithmes imaginaires; enfin l'aire eft égale à l'arc multi- plié par une conítante, comme dans le cercle. ATIT. Solutio dubii circa rectificationem curvarum. Autore F. T. Schubert, pag. ri9o. Toutes les courbes, dans lesquelles le rayon veGeur mené d'un point fixe à un point de la courbe quelconque eft égal au rayon ofculateur de la courbe dans ce méme point, ont cette propriété, qu'elles peuvent étre reGifiées alegébraiquement. Mais puisque le cercle fatisfait évidem- ment à ce probléme, on pourroit en conclure que le cer- cle peut é6tre reQifié. ^ M. Schubert tàche de réfoudre cette difficulté ou ce paradoxe de la maniere fuivante. Aprés avoir remarqué, que les problémes de cette efpéce ne font réfolus pour la plüpart qu'en introduifant ou fub- füituant de nouvelles quantités inconnues, que cette mé- thode demande une précaution extraordinaire & des recher- ches raifonnées, fi telle fubftitution s'accorde bien avec la nature du probléme ou non? & qu'en cas qu'elle foit en contradidion avec la nature du probléme, il n'eft pas éton- nant que la folution, fondée fur des fuppofitions contradi- Goires, entraine des abfurdités: l'auteur fait voir, que tou- tes les méthodes par lesquelles on eft parvenu à la reGi- fication des courbes dont il eft queftion, font fondées fur des HISTOIRE 181 des fübftitritions. & éliminations qui ne fauroient étre ap. pliquées au cercle, parcequ'elles contredifent ouvertement à la nature de cette courbe. XIV.. Obfíeruationes circa feries, quibus finus et cofinus angu- lorum multiplorum exprimi folent. Au&ore Nicolao Fufs, pag. 205. La méthode que M. Euler a employée dans le mé- moire No. IV. pour corriger les Ííéries qui expriment le fi- nus & le cofinus de l'angle multiple n & dont nous a- vons donné le précis ci-deffus page 168. ayant paru à M. Fufs trop indirede, fon intention dans le mémoire préfent eft de trouver les mémes. doubles féries que feu M. Euler avoit données dans le mémoire mentionné par une voye plus direde, ce qui paroit étre d'autant plüs utile que dans la méthode de M. Euler la détermination des conftantes introduites par la double. intégration eft fondée fur la va- leur infinie d'un cofinus. ML Fus mes .eof; Q — y & fim — x, .enfuite. p y--Y(yy—1) & q y— Uber ub a pour: avoir cof. n — P. a A n ad i 27 oli $»—Yyí(yy- — X. Il transforme les.puiffances p", q", a : & i en féries felon les puiffances defcendantes de y; & aprés avoir déterminé les coéfficiens, il trouve les mé- 23 mes 182 HISTOIRE mes expreffions que M. Euler avoit données dans le mé. moire cité. L'Auteur donne enfuite la démonftration de deux autres féries, dont les termes montent, l'une felon les puis- fances paires, & lautre felon les puiffances impaires de la tangente de l'angle fimple, & qui expriment, la premiere le cofinus & l'autre le finus de l'angle multiple, eh dédui- fant de ces deux expreffions plufieurs fommations remar- quables. XV. De tempore ofcillationis Pendulorum, dum arcus datae amplitudinis cuiuscunque defcribunt. Audore JJ. L. Krafft, pag. 225. Les expériences fur le tems d'ofcillation des pendu- les fimples d'une longueur donnée fervent de bafe à des recherches également importantes & pour lAftronomie & pour la Géographie mathématique; le calcul de ce tems n'a pas la moindre difficulté dés qu'on eft en droit de con- fidérer les ofcillations comme infiniment pctites, mais il n'eft point permis de faire toujours une pareille fuppofi- tion. Dans ces fortes de recherches, méme dans la pra- tique de l'horlogerie, il y a des cas, oü il faut nécef- fairement tenir compte de l'amplitude des ofcillations, & par conféquent il importe en général, de pouvoir deéter- miner le tems qu'un. pendule emploie à parcourir un aic d'une amplitude donnée qeulconque; mais non feulement ce Probléme eft intéreffant dans fon application, ou d'ail i leurs HISTOIRE. 185 Jeurs il ne s'agit ordinairement que d'affés petites ampli. tudes; il l'eft auff par les difficultés de la folution qu'on y rencontre lorsqu'il eft queftion des ofcillations d'une gran- de amplitude & quil en faut déterminer le tems avec un certain degré de précifion. M. Euler en a donné une [lolution. dans les Ajes de l'Académie pour l'an 1777; mais à laveu méme de fon illuftre auteur, elle laiffe encore bien de chofes à défirer; non feulement pour la trouver, il falloit paffer par des fom- mations trés-compliquées des, féries infinies, & avoir re cours à des artifices particuliers du calcul infinitefimal ; la folution méme: eft encore donnée par une férie. 3ifitile ; qui n'eft pas trés-convergente & dont les termes fuivent une loi de progreffion,fi abítraite, quil n'y a pas moyen de la continuer feulement jusqu'au quatriéme terme, ni .d'en abréger le calcul par aucune voye analytique. M. Krafft expofe dans ce mémoire une folution du méme Probléme, à la quelle il eft parvenu par des pro- cédés aífés fimples.& qui a l'avantage de donner le tems de l'ofcillation par une férie infinie dont la loi de progres- fion eft fi évidente quon peut la continuer à volonté à un auff -grand nombre de termes qu'on voudra, & qui eft en méme tems fort convergente, au point, que tout au plus quatre ou cinq termes fufhfent pour donner le tems * l'ofcillation avec 1a v iitingt d'une partie milljeme d'une conde... : PRO HISTOIRE XVI. Solutio quaeftionis quot modis Polygonum n laterum in Polygona m. laterum per diagonales refolui queat. AuGore /Vicolao Fufs, pag. 243. Quand il s'agit de décompofer un Polygone de n co- tés par des diagonales en Polygones de m cotés, le nombre n doit étre de la forme im —(21i— 2), i étant un nom- bre entier pofitif qui indique le nombre de mgones dont le Polygone de im — (2 i — 2) cotés fera compofe. En mettant le nombre des réfolutions d'un ngone en yngones. | ' Pour le mgone der —mr4em -—2)8om — B —— (sm-——4)gone —C —— (&m-—6)gone —D Pour le [(i —3)m —(2 i i— 8)]gone — W —-—— T(i—9)m —(21—'6)|gone — X —— [(17-1)m —(»t-—!xyl gone — Y —— [im-—— (2i — 2)] gone —Der M. Fufs trouve par une énumeration facile Z —URLECU[sAY--2BX--2CW--&c.] nombre qui eft le cojfficient du terme xr'— dans le poly- nome r--Á r-r-Boi--Ci--Dax'------Zx élévé à la puiffance m — z. XVII. IETISIEOIWMUE t$4 XVII. De la déscente d'un corps fur un plan incliné, dont une extrémité eft appuyée fur un fond élaftique. Par M. JVicolas Fufs, pag. 252. L'extrémité élevée d'un plan incliné repofe fur un fond élaítique, & l'autre extrémité eft garnie d'une char- niere fixée dans un point du plan horizontal qui lui fert d'appuy, áfin que le plan incliné íoit mobile autour de ce point. En chargeant l'extrémité élevée d'un poids qui la faffe baiffer, ce poids étant abandonné aux effe!s de fa pefanteur, déscendra, en gliffant fur le plan incline, -qui fe relévera, à mefure lue le corps déscend, par la force du reffort. qui eft fuppofée agir en raifon inverfe de fa longueur. . C'eft la nature de ce mouvement du plan & du corps que M. Fufs s'eft propofé de déterminer dans ce mémoire. La: folution complette de ce Probléme eft contenue dans deux équations différentielles du fecond degré qui ne renferment que deux variables, favoir linclinaifon du plan, & l'éfpace que le corps a encore à parcourir fur le plan incliné. Mais ces équations étant de nature à fe refufer à lintégration , M. Fufs a recours à, l'approximation, en exa- minant les phénoménes de ce double mouvement dans un cas déterminé, Au ÜDr Hifioire de x'79r. | aa CLAS. 156 HISTOIRE CLASSE DE PHYSIQUE. I. E De Ordine fibrarum muscularium cordis. Differtatio X. De ítrato fecundo fibrarum ventriculi finiftri, Pars lil. AuGore C. F. IVolf, pag. 271. DI pourfuüivant fes recherches , expofe fpécialement le troiüeme ordre de la feconde couche des fibres du. ven-: tricule gauche du coeur 1l fait voir leur origine.& di- redion à la furface fapérieure du ventricule , iainfi que les fibres entrelaffées de la méme farface, fes colonnes & fais. ceaux charnus, furtout celui qui eft analogue au parcou rant plus mince, enfin le faisceau annulaire à la mémce fur- face fupérieure : Enfuite il décrit le progrés des fibres du troifieme ordre à la fürface inférieure du ventricule, fes in. fertions :'& variétés: il fait voir la différence confidérable entre la couche extérieure: & la feconde du troifieme ordre, qui nonobítaut ne trouble en aucune maniere lanalogie :en- te les deux couches des fibres du troifieme ordre, ^ À :quoi il fait fuccéder la .défcription du quatrieme ordre des fibres du fillon, les faisceaux terminals fupérieur & moyen, favoir ceux qui s'étendent jusqu'à la pointe du coeur. À la fin il rapporte les différentes produ&lions des faisceaux terminals diftribués par les différentes couches. Toutes ces obferva- tions font illuftrées pas des figures deffinées d'apiés nature par l'auteur méme, avec le plus grand foin & la plus fcru- puleufe exaditude. M. Wolff auffi grand Phyfiologue qu'ha- bile HISTOLRE. 187 bile anatomifte s'eft immortalifé entrautres par cet ouvrage excellement approfondi, oà il a repandu tant de nouvelles lumiéres touchant le merveilleux méchanisme du coeur humain. TI. Tentamina de nitri crudi per carbones depuratione. AuGore Tob. Lowitz, pag. 290. Comme la dépuration du falpétre crud eft un objet tés important, il valoit bien la peine d'éffaier, fi la force dépurative & décolorante des charbons, que M. Lowitz à découverte & dont il a trouvé les effets fi avantageux en tant d'autres cas, puiffe auffi étre employée avec fuccés à l'égard de ce fel. Les refultats des expériences que M. le Prof Gadolin en Suede & lui ont faites fur cet objet, fatis- firent pleinement leur attente. —C'eit à dire, ils trouverent quaucun moyen dépuratif dont on s'eft fervi jusqu'ici pour raffiner le falpétre, ni méme l'aalun, n'agit avec autant de force que les charbons de bois bien pillés. Quoique l'alun diminue la couleur brune rougeatre de la folution du fal- pétre crud, il n'eft cependant pas en état de la détruire entiérement quelque quantité qu'on en employe, tandis que le feul charbon y étant mélé en une quantité requife, en óte fi complettement la couleur, que cette folution en dé- vient tout de fuite auffi claire & exempte de couleur que Yeau des puits la plus pure. Voi-ci en abrégé ce que mo. ire Académicien a trouve. Une partie de charbon en poudre jointe à ro par tes dune folution de nitre crad , produit la décoloration de la lefüve au méme degré que l'alun, aa 2 Une 188 IS 'T.O TRE Une partie de charbon en poudre cuite une feule fois avec cinq parties de falpetre crud, donne déja à 1a pre- miere cryftallifation un falpétre parfaitement blanc. Mais lavantage devient encore plus frappant, quand on prend avec le charbon en poudre un peu d'lun, par ecque alors on n'a béfoin que de peu de charbon en pou- dre. Suivant les nombreufes expériences de notre auteur la proportion la plus avantageufe eft de 5 à xo parties de - charbon. en. poudre & 2 parties d'alun fur roo parties de falpetre crud. Comme la dépuration s'opére en ce cas-ci fubitement dans le moment méme du mélange, il ne faut diffoudre le falpetre que dans autant d'eau quil fuffit pour que le tout fe cryftallife aprés la premiere cuite & la fil- tration. achevée. | | / III. Lapidis cornei lamellofi nova fpecies. Audore Bafil. Sewergin, pag. 307. Comme les Minéralogues n'étoient pas d'accord fur la nature de la fuübftance qui fait l'objet de cette differta- tion, l'auteur jugea à propos de lexaminer de plus prés, pour en fixer les caraldéres & déterminer exaüement la claffe & l'efpéce auxquelles cette pierre puiffe appartenir dans le fyftéme du regne minéral — Cette fubítance nouvelle "vient des environs du lac de Baikal, ce qui lui a auff fait donner entr'autres le nom de Baikalite. Suivant l'ana- lyfe chymique qui en a. été fourni à l'auteur par M. le Prof. Lowitz fon confrére, ellé contient 44 parties de terre fili- ceufe, 30 de terre talcqueufe, 20 de teme calcaire & 6 de juge! EMEN cx HISTOIRE :189 chaux de fer, par cent. '"loutes ces propriétés chymiques jointes à fes qualités extérieures portent enfin noire auteur à croire, que la pierre en queftion eft une efpéce de Horn- blende, quil défigne par le nom de Hornblende prisma- tique. IV. Experimenta nova cryftallifationem alcalium caufticorum fpectantia. - Audore Tob. Lowitz, pag. 511. Jusqu'à préfent on a presque généralement douté de 1a faculté des fels alcalis cauftiques de fe cryftallifer. M. Lowitz a cependant trouvé que ces fels donnent des cryftaux ires xéguliers & bien exprimés, lorsqu'ils font traités fans l'ai- de de l'efpit de vin, par la feule évaporation opérée avec - précaution par la leíffive cauftique. parfaitement privée de Xout air fixe. Par cette folution & cryftallifation repétée de ce fel, on obtient enfin des beaux cryftaux blancs , qui diffous de nouveau dans de leau donnent une leffive par- faitement claire & trés cauftique , ce que l'on n'a pu obte- mir jusqu'à préfent en aucune maniere: elle eft par préférence recommandable dans les épreuves chymiques qui doivent étre faite avec une grande exaditude. .L'alcali . végétal produit dans le froid des cryftaux olaédres , & dans la chaleur de trés grand:cryfíaux iétrae- dies en tablettes. i L'alcali, minéral donne auffi des tables tétraédres mais à coins émouffés. La cryftallifation de cet alcali eft fu- aa 3 Jette -— HISTOIRtE. jette à un peu plus de difficalté que celle de l'alcali vé. gétal & ne peut s'opérer qu'en hyver, và que fes cryftaux fe fondept dans leür propre eau de cryftallifation. par la fnoindre temperature natürelle. Méme lalcali cauftique volatil, c'eft à dire, l'efprit de falmiac le plus fort préparé avec de la chaux, paífe par le moyen du íroid aztificiel en une maífe cryftalline. V. Defcriptio Pleurone&ctoris Flefi & Pafferis Linnei hiftorico anatomica. Au&ore Sof. Theophil. Koelreuter, pag. 327. La défcrption des parties externes de cette efpece de poiffons nommée turbot ou plie, a été faite d'aprés un exem- plaire gélé & feche. La figure, fi l'on en retranche le mufftle & la queue eft ovale, le corps rmiéme eft tiós plat, & les deux yeux fe trouvent places fur la furface droite. —L'au- tear donne les méfures exates de toutes fes parties & en décrit les couleurs & les proportions. Il paffe enfuaite à la défcription anatomique ou des parties internes du poiffon , & il la fait fuivre des obfervations faites fur fix autres pleu- tonctles trans$poirtés gélés d'Archangel à St. Pétersbourg dont quatre étoient laités ou des màles, & deux oeuvés ou des femelles: trois en avoient les yeux placés fur la furface droi'e & les trois autres fur la [furface gauche. L'auteur avoit auffi recu en meme temps plufieurs poiffons de cette efpéce de lisle Oefel connus fous le nom de Curlündi[che DButten de lun & lautre fexe, ayant les uns leurs yeux e für la farface droite, les autres fur la furface gauche, & aprés les avoir examinés * compaiés avec les plies d'Ar- chan- HISTOIRE foI changel , jl a trouvé que. malgré la différence confidérable qu 'on y remarque , ils appartiennent tous quant aux caraüe- res effentiels à une feule & méme eípéce du fyftéme de la nature. CLAS 192 | H^I'ST O'IR!E CLASSEASTRONOMIQUE METÉOROLOGIQUE. L Effay de perfe&ionner une méthode de trouver fur mer la latitude géographique du vaiffeau. Par M, JP. L. Kraft, pag. 353. |P y a, comme on le fcait, plufieurs manieres différentes de déterminer fur mer la latitude géographique du vailffeau, & il en eft une, qui l'emporte peut-étre fur toutes les au- tres par la facilité des obfervations qu'elle demande, & qui à cet égard eft plus propre qu'aucune des autres, à la prati- que des marins. Dans l'emploi de cette méthode il ne s'agit que de prendre deux hauteurs d'un aftre dont la déclinai- lon foit connue, & d'obferver le tems qui s'écoule entre el- les; ces obfervations ne font point, comme celles des hau- teurs méridiennes , bornées à des inftans déierminés, elles ne fuppofent point qu'on en connoiffe le tems vrai, & elles permettent à l'obfervateur la commodité de mcttre d'avance fon fedeur de Hadley à la hauteur quil fe propofe de pren- dre. Les deux hauteurs de l'aftre & le tems qui s'eft écou- lé entre elles, étant eonnus par lobfervation , la trigono- métrie fphérique enfeigne les regles d'en conclure la lau- tude .geographique du lieu de l'obfervation; mais ce calcul ett HI£$TOIRE 195 eft trop compliqué pour étre propre à la pratique de la marine, & fujet à trop de précaution pour écarter toute mé- prife dangercufe de la part du marinier. llya long- -tems, que M. Douwes a établi dans ce calcul un procédé fort in- génieux à cet égard, qui en abrége & facilite confidérable- ment les opérations; aufi cette méthode de M. Douwes eft-elle tirés en vogue dans la marine angloife & hollandoife; mais elle eft fujette à deux inconveniens; d'abord pourque le re- fultat en foit für, il faut que plufieurs conditions différen- tes aient eu lieu dans les tems oü l'on prend les hauteurs de l'afire; or quant à l'état du ciel, il n'eft pas toujours au pouvoir du marinier de les iemulir. Enfuite pour que lapplication de la regle de M. Douwes íoit promte & ex- péditive , il faut que le marin connoiffe déja la latutude de fon vaiffeau à un certain degré de précifion; or il peut fou- vent fe trouver dans le cas de ne la connoitre que tiés - groffie- rement; & enfin cette regle n'eft qu'une approximation à la vérité. M. Krafft préfente donc dans ce mémoire une autre folution de cet important Probléme nautique, qui eft ri- goureufe & auffi facile dans la prátique que celle de M. Douwes; ; qui a de plus l'avantage d'étre plus générale, n'étant bornée à aucune condition & ne démandant qu'une con- noiffance préalable bien peu priécif? de la latitude du vais- feau, & qui par conféquent doit mériter à cet égard l'at- tention des mariniers ; au moins dans les cas oü la [8 de M. Douwes ne fexoit pas d'une application auíli füre & expéditive quil eft à défirer, j Hifioire de 1191. b b li 194. HISTOTIR-EÉE. II. : Mémoire fur la différence en longitude des obfervatoi- res de Paris & de Greenwich, avec les obferva- tions d'ou elle a été déduite, & une critique rai- fonnée de celle que M. le Général - Major Roy a conclue de fes opérations géodéfiques. : "Par M. le Comte de Brühl, pag. 563. L'auteur rapporte d'abord les obfervations- qu'il a faites à la fin de 1785 à Paris avec un excellent chrono- métre d'Emery, & il trouve la différence en longitude entre Greenwich & Paris de 9, 19", 4o de temps: enfuite il ex- pofe les obfervations de M. Méchain faites avec le chronométre de M. le Préfident de Saron, qui donne cette longitude de 9^, 19^", 75. Ces refultats compares avec la longitude que M. le Genéral- Major Roy a déduite de fes opérations géodéfiques donne une différence en défaut de o, 77 fecondes. Or en com- parant les obfervations faites pour déterminer la longitude des obfervatoires à Richmond & à Highboury avec les détermi- nations de M. le Général- Major Roy, M. Ie Comte de Brühl trouve une différence en excés, pour le premier endroit de o^, 22 & pour le fecond de o^, 77, d'ou ii foupconne que ces discordances proviennent des réfratlions terreftres , dont les effets trés variables ont influé fur la chaine des trian- gles, qui lient la bafe méfurée par M. le Général: ce qui le fait conclure que lemploi des chronométres pour perfe&ion- ner la Géographie doit étre préferé aux opérations géodéfi- ques tant à légard de la précifion qu'à celui de la durée du temps & des foins fatigans qu'elles démandent. M. le Com- te de Brühl communique à la fin de fon mémoire intéreffant quelques obfervations de la chévre au deffus & au deffous EE. | du HISTOÓPRÉE 195 v» Pole, d'oà il deduit la latitude. de fon obfervatoire de 519. 36. 9^, 535, qui s'accorde à 44; de feconde prés avec celle qu'il avoit conclue de fes obfervations de. - oss at fée: enfin la quantité de la réfradion à environ 49. 30^ de hauteur, quil a trouvé le 25 Juin de y7/. o^,4*5. Barom. 30. 90. T'hermom. 6c? & le 28 Juin de 6*. 46^, 51. Barom. 29. 75. Therm. 6cI, dont l'accord avec les tables de Bradley & de Maskelyne offrent une nouvelle confirmation de l'ex- atditude avec laquelle ces célébres aftronomes ont conftruit leurs tables. TIT. Extrait des Obfervations météorologiques faites à St. Pétersbourg, en 1791 d'aprés le nouveau ftile. Par M. 3. A4. Euler, pag. 372. La plus grande hauteur du Barométre 28.90 pouces de France, le 2$ Février. Sa plus petite hauteur 26. 96 le 29 Novembre. Sa hauteur moyenne 28. 086. Le plus grand froid n'a été que de r2I degrés de Réaumur, le ; & le 22 Décembre. La plus grande chaleur 22i dégrés le r5 Juin. Le froid moyen pendent l'hyver de 1790 à 1791,a été depuis le 1 Novembre jusquau xr Mai, de 3i d. & depuis le 1 Décembre jusquau 1: Ávril de 41 degrés, ce qui pour St. Pétersbourg eft un hyver. extraordinaire- ment doux. bb 2z La 196 HISTOIRE La chaleur moyenne pendant l'été de 179r, a été depuis le 1 Mai jusqu'au 1 Novembre de :: degrés depuis le 1 Juin jusqu'au 1 OGobre — de 152 degxés. Il y a eu en 1791, 88 jours de calme, r5o jours de vent médiocre, 98 jours de vent fort & 9 jours de vent trés fort. Enfuite 65 jours de ciel entiérement ferein, 124. jours de ciel entiérement couvert, ii4 jours de pluie, 93 jours de neige, 11 jours de grele, & 14 orages. L'auteur n'a obfervé pendant toute cette année aucune aurore boréale. La riviere Néva debacla le 2o Avril & elle fat reprile en trois fois, le 8 Novembre, le 15 Novembre & le 6 Décem- bre. Ce qui eft un phénoméne dont on n'a pas eu d'ex- emple jusqu'ici, IV. Réfumé des obfervations météorologiques faites: à- St. Pétersbourg, depuis 1772 jusqu'à 1792 compren nant un intervalle de vingt ans. Par M. 3. A4. Euler, pag. 393. Ce mémoire eft intéreffant, mais il n'eft gueres fufcep- tible dextrait. Les amateurs de la Météorologie aimeront mieux le lire en entier dans les Ades mémes. L'Auteur apr's avoir décrit fes inftramens, lear expofiiion & la méthode quil a chofie d'annoter fes obfervations & d'en déduire des conclufions, expofe d'abord féparement l'état météorologique moyen pour chaque mois de l'année: l'état météorologique moyen pour l'année entiere, qu'il fait fuivre 1.) de celui pour les fix mois d'été depuis le 1 Mai jusquau :r Novembre comprenant un intervalle de 184jours, enfuite 2.) de celui ENS pour HISTOIR E. 197 pour les fix mois d'hyver depuis le x Novembre d'une an- née jusqu'au 1 Mai de l'année fuivante, comprenant un in- tervalle de 1:8: jours: oü fe trouvent enfin jointes les ob- fervations far la premiere & derniere gelée, fur la pre- miere & derniere neige, & finalement fur la prife & la dé- bacle de la Néva. L'auteur ayant pendant limpreffion de ce mémoire refait une partie de fes calculs pour vingt autres années depuis 1:775 jusqu'à r594 inclufivement, il a trouvé les refultats fuivans qui s'accordent aífés bien avec ceux de fon mémoire, & qui par conféquent en en confirmant la jufteffe méritent d'étre rapportés ici, ls ne regardent que le froid & la chaleur. IL Le nombre moyen des jours oü il géle continuellement eft de 111 à II2 pour l'année complette, depuis le 1 Janvier jus- qu'au 31 Décembre inclufivement: ce nombre eft de ico en hyver, ou depuis la prife de la riviere en au- tomne jusquà fon debacle au printems prochain, qui pour les vingt années 1775 — 1:794 donne un intervalle moyen de 1:45 jours. Parmi ces ioo jours de gelée continuelle, on peut compter 46 oü le froid furpaffe rzo degrés de Délisle, ou 10; degrés de Réaumur Enfin de 11 à I2 en été, depuis la débacle de la riviere au printems jusqu'à fa reprife en automne, ce qui pour les vingt années fusdites fait un intervalle moyen de 218 jours. ': Hiftoire de 1191. cc II. 198 HISTOIRKÉ Il. Le nombre moyen des jours, oü il ne géle que le ma- tin óu le foir;, & oü il degéle à midi, eft pour les mémes intervalles de 59 à 6o pour l'année complette, de 35 en hyver & de 25 à 26 en été lII. Le nombre moyen des jours oà il ne géle point du tout, eft encore pour les mémes intervalles, de 194 à 195 pour lannée complette, de 14 en hyver, & de 180 en été, Parmi ces 180 jours, oü il ne géle point du tout, il y a 120 oü la chaleur furpaffe 130 degrés de Délisle, qui font 1o; degrés de chaleur d'apres Réaumur. MATHEMATICA. ET PHYSICO-MATHEMATICA. JVoua. zyftla Acad. Imp. Scient. Tom. IX. Y "ccu - Lea a n Ac a ^ ye DE SINGVLARI GENERE QVAESTIONVM DIOPHANTEARVM ET METHODO MAXIME RECONDITA EAS RESOLVENDI. Audore Ese Ed Q. ———— UNUM MR Ésil LL 00] Conuenlul exhibit die r3 lanuar. 1744. Tox. IN ua eft omnes poteftates numerorum huius formae: a & --nbb femper eífe fimilis formae, fcilicet x x--nyy; vn- de fi proponatur numerus N —aa-r-nbb, eius poteftas quaecunque N* femper exprimi poterit per talem formulam: N^—rr--nyy, vbi pro fingulis poteftatibus numeri N iam xr quam y certos valores fortientur. Erit enim N? — (aa —nb0by -- n (2a b); IN9.— (a? — 35 ioc ib:39941I-un(s d'a bici wi b3y; N*— (a*à — 6naabb--nnb?--n(«a3b —4naU)y; vnde lex progreffionis iam fatis elucet, et facile poteftates» quovsque lubuerit , conünuan poterunt, ope huius Lemma- tis, quod fi fuerit T. WE IN.czS MÀ Lo em— N-—aa--nbb et M-ccc--n920o femper fit MN (ac-—nb0P 4 n (a9-- 6c). $. 2. Cum igitur, fi fuerit N —aa -1- nb b, omnes eius poteftates eandem habeant formam, ita vt fit N^--X --ny y, nouum genus quaefüonum, quas hic tradare infti- tui in hoc confifüt, vt eae poteftates ipfius N inueftigen- tur, in quibus vel numerus x vel y euadat minimus, feu ipü vnitati aequalis. Ouoniam enim hi numer nunquam euaneícunt, in integris etiam minorem valorem quam rz xe- cipere non poterunt; manifeftum autem eft in methodo Dio- phantea nullam repernu viam huiusmodi quaeftiones refol- vendi. $. 3. Ono indoles huiusmodi quaeftionum clarius percipiatur, confideremus omnes poteftates binarii, quae fem- per in hac forma xrx--*5yy contineri deprehenduntur, fi modo pro prima et fecunda poteftate etiam fradiones admit- tantur, fi quidem habebitur | 2 6 d- mo et 4 sop altiores vero poteftates omnes in integris tali forma exhi beii poffunt, quemadmodum ex fequentibus exemplis elucet: Q9. TIE SEU (1)*, CErPg. qe Ceqi nS $*—— 10 — Germ Cr) "engo decli CD res n $^ 92:504 (ug n erao M Sem 2 — 64 — y -- (3). ergo gon INO jo gy 2 x 128 (rr) ch 7 (0$ iergoda «3 xrset ones DRE 256 -ca(QM do (s) «erga D etu s. Succ Ho r— (L4) mn MEISDUE I D$ EL a 2I mos —,(31j - (93 eI20 m — Q1, et i e Vbi ———— —— 5 Vbi imprimis moneri oportet, in his refolationibus pro x et y alios numeros non eíle admittendos , nifi qui inter fe fint pumi, fi quidem numer compofiü nulla difficultate labo- rant; namque fi in genere fuent N' — xx--ny y, erit quo- que N^*? —(Nxy-r-n(Nyyf, hanc ob caufam hic perpe- tuo numeros x et y inter íe primos aífumi conueniet. $. 4.. Ouodfi ergo in cafu allato 2?^— xx--*5yy quantitas y debeat effe minima, ea manifeíto vnitati debet effe aequalis, ideoque quaeftio huc reducitur, quinam nu- mer pro x accipl queant, vt formula x2-*5 exhibeat po- teftatem binani. Ex exemplis autem fuperioribus patet, id fieu»cafibus T —.3, €x X5, X: rr, dehinc autem alius ca- fus non occurrit, vsque ad x— 1$8:, hinc enim prodit (181)? --5 —2D, ficque requintur methodus hos cafüs a prion in- veftigendi. His praemiffis vis fequenus problematis haud difüculter perfpicietur. Problema generale. Si fuerit N — aa--nbb, eas inueftigare poteftates iphus N , quibus fiat N^ — xx-r-n, quo cafu viique valor ipfjwus y in formula generali x x --ny y euadit omnium mi- nimus. Solutio. $. 5. Hic plurimum iuuabit, formulam aa -r-nbb in fuos fadores imaginorios refoluiffe, quippe quae refolutio iam fummum vfum in Analyfi praeftitit; erit igitur IN E (ar by miae by -n, vnde quaelibet poteftas in genere hoc modo expiimetur: Diissfau ps oy) ast boy) Talium autem fornmularum poteftates femper fimili ratione ÁÀ 3 ex- 6 exprumuntur, vnde fi fuerit (a -1- b y, — n)" — A -- BY — n, erit (y — b y — n) — A — B y —n, hincque fa&ia multipli- catione habebitur N^ — A? -- n B?; ficque quaeftio huc redit, quibusnam cafibus valor litterae B vnitaü euadat aequalis; quodfi forte fieri nequeat, ii faltem cafus quaerantur, qui- bus littera B. minimum accipiet valorem. $. 6. Quo autem boc minimum litterae B perícru- tan queamus, recurramus ad formulam notiffimam imagina- riorum, cui vniuerfa theoria angulorum plerumque innititur, fcilicet cof. D-- y — x. fin. $j quippe cuius omnes poteftates funili modo exprimi poffunt, cum fit (cof. p -- y — x fin. Q)^ — cof. A p 4- y — x fin. A Q. Hunc in finem ftatuamus à -- b y — n — p (cof. D -- y — 1 fin. 4) atque effe oportebit « — p cof. G; by n— pfin., vnde colligitur tang. D — *"*., hincque porro in. — Send et Coh«D et E Y (aa -r-nbb) y(aa43-nbb) Inuento autem angulo (Q^ fador ille realis p colligitur fore — V (aa--nbb) Quare cum fit N —aa--nbb,quae ratur angulus D, vt fit tang. b mand fiue fin. p — 7. et cof. — N et quia tum erit p — y N, ifta transformatio nobis praebet (a. -4- b y/ — n) zz y N (cof. O -4- y/ — 1 fin. Q), ideoque etiam a — b y — n — y N (cof. (p — y — x fin. Q). $.7. His iam formulis introduüis erit poteftas quae- cunque ipfius N, Ícilicet N? — 0g — A à N^ — N? (cof. A 4-y/—1 fin.AQ). N? (cof. A p — y/ — x fin. Q5, vnde falda euolutione prodit aequatio identica N^ — N*. At vero fi ponamus, vti fecimus, N^ — (A -- By —n) (A—B y —n), litterae À et B ita definientur, hi fit N? fin. Ao Du d .eof; A Duet. Bisacr Mii b as hincque erit N^ — A? -4- n E". $. $. Cum igitur ii cafus quaerantur, quibus lit- tera D minimum forüitur valorem, quaeftio huc redit, vt pro A ii inuefügentur numer integri, quibus haec formula ^ he N? fin. à yn eueniet, fi fin. A minimum valorem accipiet, quod vti que eueniret, fi angulus AQ fieret vel 7, vel 27, vel 87, vel 47, eic. vel in genere iz denotante i numerum quemcunque integrum, 7 vero angulum duobus redis aequa- lem, tum enim adeo prodiret fin. Ap — o, ideoque etiam B — o. Ononiam autem plerumque angulus Q cum peri- pheria circuli eft incommenfurabilis, fieri nequit, vt euadat AQ-im. In eos igitur cafus inquirere debemus, quibus an- gulus A quam minime difcrepet ab i7. Quodfi enim fu- erit AQ — i7-l-0, denotante e angulum valde paruum, tum vtique exit fin. A —--fin.c. His ergo cafibus formula NP fin. A minimum adipiícatur valorem, quod manifefto noftra B — vtique eo minorem accipiet valorem, quo minor fuerit angulus o; vbi quidem probe perpendi oportet, quando A fuerit numerus fatis magnus, tum valo- rem litterae B vnitatem excedere poffe, etiamfi angulus « fuerit me—— QU —À fuerit quam minimus. Interim tamen perfpicuum eft, hac methodo omnes valores exponentis A prodire debere; qui- bus littera B minimos adipiícitur valores, etiamfi non omnes fint — 1, fimul vero hoc modo omnes cafus, agi fit Bie, 1, certe reperiri debere. $. o. Cum igitur proxime effe oporteat A —im proxime quoque erit 5 — 5$. Quamobrem fi methodo iam fa- tis nota omnes fradiones quaerantur, quae proxime accedant ad fradüionem g, harum fradionem numeratores dabunt valo- res exponentis ^, denominatores vero ipfius i; et quo accu- "T ratius iftae fracliones cum fractione T conuenient, eo mino- res valores pro littera B refultabunt , quorum omnium mi- nimi erunt ii, quibus fit B — r. Exemplum :. $. ro. Euoluamus fecundum haec praecepta cafum; quo d — 1; b-—-z etn--2, ita vt numerus nofter propo- fitus fit N — s, atque 3^ — A?-1- 2» B^, ficque eae poteftates ternarni inueftizari debeant, quibus fiat 5^ — A? -1- », quod euenit cafu B — rz. Praeterea vero fimul eos cafus inuefti- gemus, quibus B fit numerus fatis paruus, veluti 2 vel 4, vel 5 etc., propterea quod cafus B — 3 hinc excluduntur. Hic quidem ftatim ifti cafus fe offerunt: 5! — (x)? -- 2; 3?— G)--2; vnde quaeritur, an tales cafus etiam in maioribus poteftatibus exiftant. | $. rr. Cum igitur fit a—15; b-1 et n—-2; quaeri oportet angulum (, vt fit tang. D — y/ 2, ideoque [ tang. Ó —10,1505150, vnde colligitur D— 549, 44/,8/, 10, quem angu- lum in minuta fecunda conuertamus, m facilius eum cum 7 comparare queamus, eritque D — 197048^, 19. Quare cum fit 3 rm — 9 — « — 648000^, erit fraQio noftra refoluenda 2-7. 9104819 » cuius numerator per denominatorem diuidatur, tum vero refiduum dabit diuiforem. pro fequente diuifione, in qua praecedens diuifor fiet diaidendus, hocque modo eaedem operationes in- ftituantar,; quibus vulgo maximus communis diuifor quaeri folet, vbi imprimis quoti ex fingulis diuifionibus oriundi fol- licite notentur: | |.5685545 154 ond itcm 3 17056629|59114457|3 /889163|264819c| 5685543|2- |. 142884978| 529658016 s) 759511313212| | 889163|1 .03804. 313212 |4. 997] 9458 | cuert? S35 8931| — 75264|13. 210|477| —— 6837|1 WP o: UVTT09 ud ra 210|53 39 I71|I 3|18 39|2 I$ 36|6 Me 3| $. 12. lam ex his quotis ordine dispofitis formentur more folito fradiones , dum continuo tam numeratores quam denominatores per indices faprafcriptos multiplicantur et praecedentes adduntur, prouti hic videre licet: .- JVoua «ila Acad. Imp. Scient. Tom. IX. B d M 8555 24 765; DibiME 30185: gto DS li. S. IO. 93. T1495. II. 832. 68971. 89583 02 I2? 32 12 34352 52925 9535 D01025 OAI* iae enim fradiones continuo propius ad ipfam fraCüonem propofitam -- accedent; vbi imprimis notari oportet, quod eae fraüiones, quae maioribus indicibus refpondent, caeteris paribus, quam minime a veritate aberrent. Has igitur fratio- nes, quousque licuerit, percurramus. Prima quidem 1 fta- tim dat A— zr, vnde fit 5! — (1)? «- 2. Secunda fiadio 3 prae- bet ^—53, vnde fit 5? — 5?-- 2, quae ergo, aeque ac prima, exa quaefito fatisfacit, propterea quod indices 3 et 3 iam fatis funt notabiles. Ex tertia vero fraCdione 7L" oritur A- 1o, eriüque 379 -— Rocío — Alas B. vbriforet B—o et A — 9, quam refolutionem autem hic reiicimus. At vero mox patet effe 59049 — (241)?2- 2 (22), vbi igitur eft B — 2», neque autem-hic valor tam paruus eft quam defideratur; cuius rei ratio eft, quod index fuprafcriptus » non fatis eft magnus. Idem autem. ifte valor pro B inuentus ex ipfis formule nO- MN iv ? fin. A (D ftris elici poteft. Cum enim inuenerimus | B— N zh ; n ob JA — ai NB p ——oeuWP 545 44/8", r9 9 MEE À o — reas 34m ; 21^, 0o]9^. hinc auferendo 35609, erit A (p — 185, 21^, 22/ — qm -|- 59, 21^, 22; eX quo angulo calculus fequen- tü modo p pe: logarithmos inftituatur: l fin. Ao-—o, 10735310 l 55 — 2,38560635 Summa — 1i, 4929373 ó Subtr. 1 y» — 0, 1505150 LB —3:5,,3424282935 qrga D -—5:. Quin — Tq —— ; A Quin etiam ex noftris formulis valor litterae. A — N? cof. ^ (à definiri poteft hoc modo: ij | cof. A — 9, 9964108 l 55 — 2,53856063 | A — 2,53820171, ergo 'À — $. r5. Simili modo euoluamus fequentem fradionem $3, quae, quia refpondet indici fatis magno 6, promittit no- Ben lolitionem. Hic igitur erit À— 25, vnde colligitur Muda 85554, 97 2h ) AUD E eue quoties fieri poteft. à. —. 1789; 55^, 8^ — m5, 4^, 52/^, vnde litterae A et B fequenti modo T l cof. X (D.— 9, 99992726 | 1 fin. X (D — 8, 2757219 93 93 | N? — 5, 4868944. ] N? — 5,4868944. lA — 5,4868220| Summa — s, 7626163 ideoque À — 3506773 ly 2 —0,1505150 | B — 5, 6121013 ideoque B — 4093. Hinc ergo fit 33 — (306773)?-1- 2 (4093 , vbi igitur valor litterae B. valde prodit magnus, etiamfi index 6 fit fatis no- tabilis. Hinc igitur iam tuto concludi poteft, ex fequenti- bus fradionibus multo adhuc maiores valores pro B effe pro- dituros, quos adeo hac methodo, ob infufficientiam tabula- rum logarithmicarum definire iidad licebit. B2» Ex- To — Exemplum :. $. 14. Quoniam omnes poteftates binarii, vti vidi: mus, in forma rr-i-ny y conünentur, quaeramus eas po teftates, pro quibus valor ipfius y fit quam minimus, atque adeo vnitati aequalis. Ilic ergo erit N — 2; n — 7; tum vero y — 1 et b — i, vnde ergo quaeri debet angulus Q, vt fiat tang. f — y ,.ideoque tang (—.16, 4225490, confequenter ipfe angulus Q- 699, 17" A 67. Quare fi po- namus 2^ — A?-- 5 B^, erit ots à EN: À — 2? cof. AD et pz dsn a. y $. 15. Vt iam valoripfius B prodeat quam minimus, in eos cafus inquirere debemus, quibus finus anguli ^ (D mi- nimus euadit. 'lotam ergo negotium redit ad, euolutionem fratlionis g cui fra&lio - proxime debet effe acqualis. At vero in minutis pound) habebimus — 249462/ 67, ita vt ob 7— 648000" euolui oporteat hanc fradionem: 5.— LE vnde fequentes quoti orientur: 2, 1, 1,2, 16,6, 1, 2, 7, 1, 6, 1,9, 11,2, ex quibus fequentes fradiones conünuo propius ad verum valorem accedentes formantur: - e. . . 65 . . . UP IÓ 6; LM PI 5. 3» om. I29I. I5(4 0? D D 2» 52 E225. 4912 Bi9* Ex harum fradionum Henn: fiatim prodeunt cafus .notiffi- mi, wem ex quarta fit à — s, vnde colligitur A O — 2 T — X155 .eb(atmauex: quo angulo litterae. À. et B hunc.in modum dexiuanic | | jm l cof. l. cof. AQ — 5, 9577885 1f. A0 — 5, 3689448 l NB — c, y52 5750 I.N? — 0,7525550 1A —0,7403635 | Summa — o, 1215193 : ideoque A — 5,5. ^ |. ] y^ 2 6, 4225490 l B — 9, 6989703 | | ideoque. ioa MNT M vnde fequitur fore sss cal D. Y 4-5 (I9, ideoque per 4 multi- plicando erit. 2 — (11 iy £s 9 (1). $. 16. Quinta autem fradio P hic eft memorabilis , quia habet indicem 1o, ideoque valde pavaum valorem E B poihecenr Sit igitur X — 13 5: eritque; 15 (D — 9005, 5o", 14^, 71, fiue binis redis , quoties fieri . poteft, fubdutis, erit 15 Q — o^, 50^, 14^ ^71, vnde litterae À et B fequenti nodo definientur: l cof. A s, 9999536 | Lfin. sc 8, 1648107 l T — 1,9566949 [ 2 — — I,9566949 l À —1,9566485 |, Summa — 8», 1215056 A c0 $: mulu o: quapasisiquo . ves ] Lo d l B — 9,69$9566 ^ adeoque B — c, 49999 Rr MP vnde fequitur fore 2 — (9c1) -- 5 (I, fiue per 4 multipli- €ando erit 2Pb — (181)?-- 7 (1); vbi valor ipfius B tam paruus prodiit, jue index refpondens 16 eft praemagnus. Ij. Hinc iam falis intelligitur , ex fequentibus frationibus tales cafus, quibus B fiat vel i. vel rz, refultare non polfe, nifi indices fuprafcripti adhuc multo fuerint ma- B3 io- Imm l4 se iores , quod cum non, eueniat, fatis tuto afürmare licet, in maioribus poteftatibus binarii nullas amplius occurrere, quae fint formae A? -L- 7, Oaod quo facilius perfpiciatur, confide- remus fequentem fradionem ?P7, indici 6 fubícriptam, vnde 6t X——215.., Hine cum fiti 13 (.— 9909 50,14, 31. et 2004D.— 138599, »/ 14^, erit 213 (D — 1447595, 52^, 28^, 1, vnde totam peripheriam, quadragies fumtam, faübtrahendo re- manet 213 Q — 3599, 52/, 28", 71, cuius complementum ad totam peripheriam eft o?, 7, 317, 29. Calculus ergo ita fe habebit ; cof. 218 z— 9,9999990 |Ífin. 213 D z—. 7, 3400396 25 2Is l22 -—$2,0596943 |] 23 —32,059694$5 ] A — 42,0596933 Summa — 39, 3997339 D y/ 5 —— 0,4225490 l B — 58, 9771849 $ :s. Hinc igitur patet hoc cafu numerum À ex 5iginta tribus figuris conftare, quas ergo ex tabulis ne qui- dem reperire licet; at vero alter numerus B, etiamfi refpedi- ve fit mjnimus, hic tamen adhuc vsque ad 29 figuras £xcurít, quae ergo pariter per tabulas inueniri neque- unt; cuius rej ratio in eo manifefto eft fita, qued pote- ftas 2? tam enormiter magna euafit; ex quo perfpicuum eft, multo minus in altioribus poteftatibus minores valores pro B exfpedari poffe. Iis igitur miífis aliud problema huic affine fübiungamus, quo ii cafus quaeruntur, quibus littera AÀ minimum fortitur valorem, Pio- Problema. Si fuerit .N — a a 3- nb b, quoniam omnes eius pote- fiates. N^ eandem. formam. £-1- n B^ accipiunt ,. inueftigare eas polefiales , pro quibus lillera 24 minimum adipifcalur va- lorem. Solutio. $. 19. Hoc problema fimili ratione, ac praecedens, refolui poterit. Qaaeratur fcilicet angulus t. vt fit tang. o es iir, vnde erit vt ante i Nina y n Quare vt littera & minimum acquirat valoretn , neceffe éft vt cof. A euadat Pun id quod eueniet, fi fiat E AQ-g; vel E vel 27 etc. ideoque generaliter A(D- 97-77 —— — gis. kí DEN Pu z: vnde debet effe proxime ALILSULL.q hue. —$ pur men A-—N?cof AQ et B — $. 2c. "Totum etgo negotium huc redit, vt ómnés fratliones quaerantur ipfi 5 proxime aequales, quemadmo- dum iam fecimus pro dapidoie problemate; at vero ex his fraüdionibus eae tantum hic adhiberi poterunt , quarum nu- meratores fint numeri pares, P MATUTHS vero impares; ac fi talis fratlio occurrat, quae fit - ee fumi oportebit A—f; tum enim, ob cof. AQ minimum , numérus Á mini- mum valorem obtinebit, qui ergo erit vel 1 vel etiam vni- tate maior, quando fcilicet minores valores locum habere nequeunt; contra vero euidens eft his cafibus alterum nu- inerum B maximum effe adepturum valorem. $. 21. I6 m $. 21, Applicemüs hoc ad binos cafus fupra trada- tos, ac primo quidem pro priore erat N — 3, a — 1, b — z et n—2, vnde prodiit tang. em y 2 et. (D— 549; 44^, 8, hinc autem fradiones ipfi 5 proxime aequales repertae funt: 95 0» 29:65 15 s jn I3, I, IT2.5-. 10:293 149, T?I5-11030 926580002 08895988 02 I2. 32, 12 4523 522. 9532 901623 OT0AL 3 inter quas occurrit fraétio. nuimeratorem parem habens P, vn- defit 55 ideoque poteftas 3? — 243, quae manifefto eft Q--2í(rr), 1ta vt hic fit A zxst et Biz uius quos valo- i etiam formulae fupra datae praebent, Cum enum fit A-5, ert AQ — 2795405495, 95, fiue;A (D— 23 AC ^, 955 fiue eius complementum- ad 18c9, 869, 19^, 19", 05 , vnde calculus ita fe habet; dd i co, A — €, 8071973 | fin à — 9. 9991044 5 e M |] 37 — r, 1928082 ^ "TPg* —' rj3928035 PA —co00oQs5 Summa — I, 1919078 jdecque TES: Li 2 — OSi5O0515Q Ml 1, 0413928 | ideoque B — 11, $. 22, HaGenus quidem tantum fraQiones principa- les ipfi d proxime aequales exhibuimus, dantur vero etiam huiusmodi fradiones minus principales, quae oriuntur ex in- dicibus fuprafcriptis , fi vnitate vel minuantur vel augean- tur. Cum enim indices fint quoti ex diuifione oriundi, facile intelligitur, vbi quotus fuerit — 9, ibi quoque fumi potuiffe fiue 9 —1 fiue 9-- 1. Hoc obferuato fabfcribamus feriei il- larum fradionum principalium etiam minus principales, fe- quenü modo: 35 390852725116; "^1; I. 5: IO. 9S 148. Q^ .I? 3 "n 45 3 2. QUE NEHME 85. I^ 225 423 385 4d gs 39... TOF xs! b 43: 3037: 552. Hic igitur occurrunt numeratores pares ? et 4, vnde fit vel A—1, vel A— 5; priore cafu eft 3! — (1)?-- 2 (1)?; al- tero vero 5? — (1 » --2(2) ficque vtroque cafu A — rz, quod quidem tantum euenit in fradionibus initialibus. $. 23. Simili modo pro altero cafu, dro erat ex n-*7; &-letbc-l, prodiit angulus (p — 699, 15^, 42^ / de et fradio 7. dederat. quotos 2, 1, 1, 2,716, 6, 1, vnde fequentes formantur fradiones tam principales, quam minus puucpates: CANDE T TE E E 13:99.) 55 I. 8. I2 323 3c Mrisis viles LH E305 33/5 vnde numeratores pares praebent vel — rz, vel À — 4, vel A-9. Ex primo valoreA- 1 fit 21-(1)-- 7 (If, fiue 2?-(1)? --7(1). Ex fecundo valore fit »*— (1? -- 5 (2), fiue 2$—(1)? --7(3). 'leriio habemus A — 9, pro quo cafu calculum noftrum inftituamus, et ob A(p— 62395, 39/, 247,03 — 3 t "i- 835, 39^, 24, 03, erit L l cof. A DES — 9, 04330774. | I fin. qe 9, 99755329 IN— 1, 3546550 ] N2 — 1,5546350 l| A —0,3979424 | Summa — r1, 3519679 ideoque A — 2,5 ly 5 — 0, 4225490 l| B —0,9294189 ideoque B — 8, 5. - 4Voua Zf&a 44cad. Imp. Scient. Tom. IX. C fic —— T yo mem— ficque erit 2? — (2)? 4- 5 (7)?, fiue per 4 multiplicando erit 2H —(5)?-- 5 (15)? Atque hinc tuto concludere licet, pro maioribus exponentibus ^ valores litterae A continuo mul- to malores effe proditaros. Caeterum quia hic calculi ge- nus prorfus fingulare occurrit, fperamus hanc fpeculationem Geometris non effe displicituram, DE DE RADICIBVS AEQVA'TIONISINFINITAE C ESSPMMJCRSDI CE C SOMIT Audore L. EVLERO. Conuentui exhibit die 16 lanuar. 1777. $. r. I. hac aequatione generali fingulare phaenomenon fe con- templandum offert, quod cafibus, quibus eft vel n- rz, vel n —2, veln-—-:5, ea habeat omnes fuas radices infinitas reales, quas adeo aífignare licet; ftatim autem ac numerus n ternarium fuperat, omnes eius radices fiant imaginariae. Si enim ponamus n — zr, vt prodeat ifta aequatio: o-——r-—*X* BIGGER). MITESSTA. Spbo: ONU X ROI ——À t quoniam huius feriei fumma eít cof. x , omnes eius radices fequenti modo progredientur: T XÉT, x, It, nup etc. quae erg» progreffionem arithmeticam conftituunt, cuius dif- ferentia: — gata vi, fi quaepiam radix fuerit x—r, etiam radix futura fit x — r 2- 7. ei | $2: a—— A Looncmccd f. ». Confideremus nunc etiam cafum quo n2, et aequatio propofita: 6 $ —L——I-—— deem —— "CU eec T — etc. 2 Z1 PER NOU 7) Opus 9 quae feries duda in x exhibet valorem fin. x, hincque vti- que euancícet omnibus cafibus , quibus fin. x — c, excepto folo cafa x-o, (nam quia feriei fumma eft E $- call Ecco eius fumma erit — D. vnde omnes radices frs aequatio- nis erunt: TCU, -—27,-087,-0747,- 3-57, ctc. quae pariter progreffionem arithmeticam conftituunt, cuius differentia — 7, ita vt, fi quaepiam radix fuent x-—r, etiam radix futura fit x — r-- 7,Íolo cafu excepto quo fie- zeb qo : $. 3. Statuamus nunc etiam n — 3; vt prodeat ifta aequatio : opened z : 9 decem 22 jnb35te et quoniam eft ——I—I VOX SORT LS ed epe cof. x I.2.3. 4 P ME euidens eft feriei Mou fummam effe 2:1—97*', quae ergo formula, quoties euanefcit, praebebit radicem iftius ae: quationis. Hoc autem euenit, quoties litterae x lequentes valores tribuuntur: -H- 27, -- 47, — 67, — 8 7, -- IO 7, etc. ideoque in genere 2-2 i7, denotante i numerum integrum quemcunque, fi modo excipiatur cafus i— 0o, fiquidem pofito x — o fit E — 1. Hoc igitur cafu radices ip- fius x etiam progreffionem arithmeticam confüituunt, fed cu- ius differentia non amplius eft c, fed 2 7. $. 4. a—— Op $. 4. Hinc igitur concludere licet, numerum omnium radicum huius poftremae aequationis duplo effe minorem quam in binis cafibus antecedentibus, ex quo ftatui poffe videtur in hoc poftremo cafa binas radices in vnam coale- fcere. Nouimus autem ex Analyfi perpetuo binas radices aequationum inter fe euadere aequales in ipfis limitibus in- ter radices reales et imaginanas; vnde iam ratio intelligi poteft, cur, fi litterae n maiores valores quam 3 tribuantur, omnes radices fubito fiant imaginariae. $..5. Quod quo clarius appareat, fumamus n — 4, vt iam aequatio habeatur x x x4 x6 O-Lc—I1-—-— ——— -l- etc. 4.5 4. 5. 0. d 4...9 €t quoniam eft fin. x — x — .7.-F —— — etc. I. 2. 3 qu — fin. x) * manifeftum eft, iftius ferie propofitae fummam fore 5'* -: Conítat autem femper effe x fin x, ita vt ifta expreffio plane nunquam fieri poffit — o, ne cafu quidem excepto xo, Interim tamen quia ifta expreffio reuera euanefcit, fumto x — -, hinc vna faltem radix realis ftatui poffe vi- detur, fiquidem quantitates infinitas admittere velimus. $. 6. Hinc iam pro certo affirmari poffe videtur, ae- quationem generalem propofitam femper habituram effe in- finitas radices reales tam pofitiuas quam negatiuas, quando numerus n ternandum non fuperauerit ; fimul ac vero maior lernario accipiatur, tum fubito omnes plane radices abitu- ras effe in imaginarias. Interim tamen nulla methodus ad- huc patet, cuius. ope omnes illas radices reales affignare liceret, praeter cafus iam memoratos, quibus eft vel n — », G 34. : vel vel nm -— 2, weln-5. "Quod -fienim pro n aecipidtnr - fradio quaecunque minor quam 3, formula fummam feriei propofitae exprimens tantopere fit transcendens et inüricata, vt nullo modo cafus, quibus euaneícit, elici queant. $. 7. Quae difficultates quo «clarius perfpiciantur ; inueftipemus generatim fummam .[eriei propofitae, quam fta- $ | tuamus — — —., vt fiat 2 4$ Lai ———É—————— et. n (n -- X) n (n4- 1) (n.4- 2) (9-3) cuius valorem quo facilius indagare queamus , ftatuamus poro $— x"—1—— z, vt fit ql x3 xt 4 Imm lll ll wc LI E Le rc M EAE n (n4- 1) n....(na-3) n....(n4-5) quae aequatio bis differentiata, fumto elemento 9x con- ftante, praebet 0 0 Dp MER At ePi , pt par A(n2o-1) mn....(n4-5) quamobrem habebimus 337 -1-z — x"—1, ficque totum nego- tium huc redit, vt ifta aequatio differentialis fecundi gradus refoluatur. $.$. Hanc iam aequationem attentius confideranti facile patebit eam integrabilem duplici modo reddi, fi íci- licet vel per 0 x cof. x vel per 0 x fin. x multiplicetu. Cum enim per reduQiones confuetas fit DU — 9 cof. x -i- f à z fin. m tum vero fà z fin. x — z fin. x — fz 9 x cof. x, — efi fore — 23 w—— fore: Jaaser* — fs x cof. x — $2 cof. x -- z fin, x. Ex quo perfpicuum: eft, fi noftra aequatio in 0 x cof. x: du- catur et. integretur, prodire: hanc: aequationem:: 2 cof. x 4- z fin. x: — f x" 1 0 x cof. x, huius: enim: differentiatio. manifefto: ad: aequationem: propo- fitam. deducit. | $..9.. Eodem; modo cum: fit: foacm — E 2 Em: x—f0zcobc, tum vero fo z. hr z; cof. x -4- f z:0 x fin... hinc^ colligitur ioo fin..3-4- f 2:0 x fin; x: — 2 fin.x—zcofx; ita: vt. aequatio: noftra im Oxfin.x: duda: et. integrata. fiat 35 fin. x-— z:cof.x-— [x^ — F0 x fin.x,, huius: enim: différentiatio: itidem adi aequationem: propofitam perducit. $. 10.. Onamquam: autem: hae aequationes: tantum fint. differentiales. primi: gradus, tamen,. quoniam: duas: fumus affecuti;,, ex: earum: combinatione,.fine. vlteriori: integratione,. valorem: ipfius. z. elicere? poterimus.. Si enim: a: priore. ae quatione: per: fin..x: multiplicata;. fubtrahamus. pofteriorem in cof. x: düdam;. ftatim: colligitur: fore: z—: lin.x[azx—P0xeofr-— eol xfa"-U0 x fin. x, ficque z: per binas: formulas: integrales: determinatur, in. qui- bus: binae: conftantes: arbitrariae- per: integrationes: ingreffae contineri: funt: cenfendae ;; vnde: fi: ambo» integralia: ita. acci- piamus,, vt. euanefcant: pofito x — o,. integrale completum ita €x- | | 24. exhibebitur : z—fin.x fx" —10xcof x--A fin. x—cof. x /x* —1 0x fin. x—B cof. x. Cum iam fit ql x3 dank — — ————— € ————————- — eic. n(n--1)-'mnm:.(- 3) ne (no 5) euidens eft fumto x—o fieri z—o, fi modo fuerit n-- 17 o, id quod femper füpponere licet, quandoquidem etiam ipíe numerus n nihilo maior aíffumi debet. Ponamus igitur, ad conftantes determinandas, x — o, et quia etiam fit z — o, prodibit o — — B, ideoque B — o. Pro altera autem con- Ítante A definienda contemplemur feriem valorem ipfius 92 exprimentem , quae eft Ü€* Un ni. c) DIR MB quae pariter euanefcit pofito x — o, fi modo fuerit n 2 o. At fi aequatio integralis completa differentietur, ob B — o reperietur: Sac Acof. 204- cof. x fx" —0xcof. x fin.xfx"— 1 àxfin.z. Quare cum ambae formulae integrales euanefcant pofito X xiO051490b 2 — c, hinc. fiet o — A, ideoque etiam Conftans ,Ac-co. Sicque formula integralis ad noftrum cafum ac-. commodata erit z — fin. x fx" — 10x cof. x — cof. xfi 12zfin. -dE fi modo ambo integralia ita capiantur, vt euanefcant pofito x —o. "Tum vero pro ipfa feriei propofitae fumma erit $—*X'"-I——z, quae per x"—! diuifa dabit ipfam fummam ferie propofitae. 6. 11. I—— 25 tz f. 11." Cum igitur quaeftio noftra. in' eo verfetur, vt pro quouis numero n valores ipfius x aífignentur , quibus noftra feries LEM 1 ES : x6 [ z n(n-c-1) ' . (14- 3) 7 .(n-E$6) etc. euanefcat, id quod euenit, inn fuerit $—0, refolutio hu: ius aequationis: q^—! — fin. x f 3^ — 0x: cof. x — cof. zfa^—i OrÍn.x omnes dabit radices quaefitas 3. $. rz. Euidens autem eft, refolutionem huius aequa- tionis vires Analyfeos aeque fuperare atque ipíam quaeftio- nem propofitam , excepüs iis folis cafibus , quos. iam fupra euoluimus, qui funt n — 1, » —2 €t n — 3; vnde operae pretium erit folutionem modo inuentam ad hos cafus appli- care. Sit igitur primo n-:, ideoque x' 7-31, et formula integralis prior dabit / 9 x cof x — fin. x, pofterior vero f? x fin. x — 1 — cof. xz, quibus valoribus fubftitutis aequatio noftra erit ri — fin. x? — cof. x -4- cof. à? — 1 — cof. x, ideoque cof x — c, vti per fe eft manifeftum. $13. Pro cafu fecundo fit n — 2, ideoque: x" 71-7 x, et formula integralis prior dabit f[x2xcof. x — x fin.x s füacent x--xfn x--cofx— 1, occae Vero CfX9tfn x ycof pla cot x— —gxcof. x-- fin.x ; quibus valoribus fubftitutis aequatio noftra fit x — fin. x?-- xcof. 3? — fin. x —x—fin.z , ideoque fin. — o, prorfus vti fupra habuimus. Noua Za zdcad. Imp. Scient. Tom. IX. D $. 14. c. — 2 —À . r4. Pro cafü tertio faciamus n—7$, vt fit. x*7I-xz, et formula integralis prior dabit | f[xx90xcofx—xxín x--2zxcof x— 5 fn.x, pofterior vero praebet "fxxoxfnx--—zczxxcofxr--2xfnx-a2cohr—o, quibus inuentis aequatio noftra pro hoc cafu erit x2x-—xxfn. x? 2xfimn.xcof x —2 fin. 322- 2 cof. x --xrxcof.a?— 2 xfin.x cof. x — 2 cof. 22, fiue xx--xx—2--2cofx, ficque effe oportet 1 —cof. x —0; prorfus vti fupra iam notauimus. $. 15. "Talis reduQio autem fuccedit, quoties n fue-. rt numerus integer pofitiuus , ad quod oftendendum fit ad-. huc n — 4 et x' ! — y, ac prior formula integralis dabit fx? 9xcof. x — x fin.x—sfxxorfnzx, fiue [x3 8x cof. xx — x? fin. x - 3 x xcof. x— 6 x fin. x— 6 cof. x-- 6; pofterior vero inn TS CAPIT fX 9xfin.x zz—x*cof x 3fxx2xcofx, fiue fx? 9x fin. x —— x? cof. x--3 xxín.x--6xcof.x—6Í1n.z,.- ex quibus conficitur «4 x3— xjfn.x?4-g xix fin. x cof. x — 6 x fin. 3?—6 xfin. x cof. x6 fin.z -- x? cof. 3x2— 3 x x fin. x cof. x — 6 x cof. x?-- 6 x fin. cof. x y. fiue x3— x— 6 x--6[íin.r, ita vt effe debeat x—Ífn.x-o proífus vt fupra. Huiusmodi autem expreffiones pro cafibus . quibus n eft numerus integer, facillime ex notiffimis feriebus ipfius fin. x et cof. x deriuare licet. d LI $. 16. Qnoniam igitur fatis certi fumus, cafibus qui- bus n4 3 aequationem propofitam "infinitas habere radices: ! 4 Ü | | Ied- "TNT reales, maxime optandum effet, vt etiam iftae radices, quan- do n non eft numerus integer, aíffignar poffent; veram in hoc, negotio vires Analyfeos deficiunt, atque nos contentos effe oportet, fi modo has radices vero proxime exhibere va- Jeamus. Confideremus igitur cafum m — $, et aequatio no. fta hanc induet formam: : LENT 4xx I6 x^ e LS LII-—**2? — M —— xr EC. 9 L3 T. 575^ t TYY.W IP gue fiue pofito breuitatis gratia 4 x x — " ^p refoluenda erit oz unEB. T pam. E 7$. etc. vbi ii ipfius: z B c Fou : dili huius fe- xiei nihilo aequalem reddant. | $. 17. Hic primum notaffe iuuabit, quoties fuerit 2-33 für feriei femper effe pofitiuam, et quidem ma- lorem quam £, minorem vero quam 2. Nam fi feries habea- E :—alpb5- cd —264-etc. uns omnes termini 1, d, b, c, d, etc. continuo decrefcant, notum eft, fi ponatur I—Q—»;r1 nidi at Ap. I1—530--3050-—c-—y; etc. tam fummam fore — I-- 2--6-- L-- etc Vnde fi tantum duo primi termini fumantür ; fumma maior erit quam 1 qu -—3?—*. Ex quo perfpicuum eft, noftram feriem nihilo 4 aequalem fieri non poffe, nifi fit 22 3. Hanc ob rem ae- quatio-noítra ita repraefentetur:^ ^ ^" cs, uECENIE D pee LI CHE OR MUSS ——. 35 P Um ' 3. ( ài dis 1.9 E * 9e ji s etc.) $. 18. Onod fi iam fuerit z 2 s. 7, in hac poftiéma ferie omnes sur continuo decrefcunt, ideoque eius fumma proxime erit 3 — i "ES: Ponamus igitur, vt fradiones eui- lentur, ;— — NM d et habebimus hanc aequationem: PE, D 2 [n Eum err ET 28 — MÀ y—205—v——35v(3—7)- ky c |o 12 - hinc ergo erit E — 5v— vv, fiue —2 —vv-—5v. Adda. mus vtrinque $ et habebimus 2 — £ — (» —3), vnde ex- Xtrada radice in fra&dionibus decimalibus erit v — 3 — -- x, 580, cuius minor valor praebet v—0, 120. Hinc ergo erit 1—4,20-4ZX:X, vnde porro erit 213—2,05, ideoque x— 1,025. Hunc autem valorem a vero multum aberrare mox videbi- mus, fi rem accuratius definire velimus. $. 19. In hunc finem autem commode adhiberi po- terit methodus Celeb. Bernoullii, radicem minimam huius- modi aequationum per feriem recurrentem definiendi. Si enim in genere habeatur huiusmodi aequato: I-—a44-—-zz--yzi-e.5tc. indeque formetur feries recurrens ex ícala relationis a, — £, --^y, —9, etc. quae fit. 1, A, B, C, D, E, etc. ita vt fit EB; B-——^«AÀ-—g; ! Jes C-—aB-—A--y; à D-—aC—gB-4-yA—53; ' etc. A B tum fequentes fradiones -L, J-, 5, —., etc. continuo pro- pius ad verum valorem ipfius z accedunt, vnde patet hac methodo noftram aequationem in genere refolui poffe. $2 : Cum igitur pro nofto cafu, quo n —1 et 4Xx-2,ht | t^ qr Bic. 1 ar I : i DAEGN. cuia cR. - eC. - b 8* 8 g$ 5,1? Y 8. 5. 1. 9. II? D gm. i in fra&dionibus decimalibus erit. À — 0,533533; —MÀ 05 m B—0;11111 — 0,600952 — €, 10156, C — 0, 03386 — 0, 00313 -]- c, ooo1o — 6, 0380s, vlterius progredi foret fuperflauum. — Hinc fraüiones continue propius ad z accedentes erunt: IL. $235s0p,,.IL/2 — 2372581, .'III.-$ £7 35291. $. 2r. Sin autem vlterius progredi velimus, reperiemus D — 0, 01029 — 0, 000937 — 6, 00952 hinc ergo quartus valor pro z erit — —3,3c4; vnde fatis tuto concludere poffumus, verum valorem ipfius z effe tan- tillo maiorem, quamobrem fumamus z — 3,51. et cum fit -4-4xx, extrada radice erit 21—1,819, ideoque x-0,909. $. 2». Satis audader igitur affirmare poffumus, cafu quo n-i minimam noftrae aequationis radicem effe x—0,909, quae ergo notabiliter minor eft quam pro cafu n — x, vbi erat minima radix x —$2 — 1,531; attamen maior eft quam huius femiffii: Videamus igitur, quamnam rationem hi duo numen o,909 et 1,57: inter fe proxime teneant. Diuida- mus ergo maiorem per minorem, et continuo per refiduum praecedentem diuiforem, et quoti refultantes erunt ordine JEX d. 20503 4452,84 Umm frattiones ies cna propius ad ve- rum accedentes funt 9, 1, 1, 2, 2, I. Hinc colligimus nu- merum inuentum c,909 fe habere ad Z7 vti rr: re, fiue fa- tis prope vt 4 ad 7, quae ratio cum fatis exaüde accedat ad rationem ri:y/3, hinc fuspicar merito licet, verum va- — CUm Jorem ipfius x effe x — 3y4' $. 25. Quo autem certiores reddamur circa hanc fus- picionem, euoluamus fimili modo alium cafum, quo n — 1, examinaturi, num minimus valor ipfius x etiam ad tam fim- D 3 plicem ; gos SAN plicem formam reduci queat. "Tum autem, pofito breuitatis gata 16 xx —z, aequatio refoluenda erit D— 65^ pe E. IE etc. cuius radix minima vt methodo Bernoulliana inueftigetur, ert.a—1. 8— L5 'Y-— L£uuu» Vnde fenes recurrens in fradionibus decimalibus erit A —!c, 2000006; B — 0, 0400000 — €,0013094. — 0,0582906, C — 6, 0076581 — 0,0003419 -l- €,0000048 2 0,007321C, D — 6, 0014642 — 0,0000655 -1- 0,0000010 2 0,0015997. Hinc ergo fradiones continuo propius ad fradionem z ap- propinquantes erunt | l-z—- 4, D000.,]1L $.— 9 2nac. Pi q — E o. IV..z.—.4».2304- Vnde patet fatis tuto concludi poffe z — 5,2305 — 16 x x, hinc extrada radice fit 435 2,2870, ideoque xz0,5717. $. 25. , Vt iam exploremus, vtrum ifte valor pro x inuentus fimplicem quandam teneat rationem ad 7, id. com- modius in quadratis dispicietur, quaerendo valorem 77, cu- ius logarithmus eft — 1:,4798764, cui refpendet numerus 30,191; vnde fufpicad licet verum valorem fortaffe effe sos5o0g itacXxo fb gu m. ideoque q ———. At vero nu- merus 5c fatis eft notatu dignus et fufpicionem noftram ideo augere videtur, quod in omnibus huiusmodi cafibus radi- ces x fatis commode per peripheriam circuli 7 repraefen- tare liceat. "Operae preuum igitur ert adhuc alios cafus huius generis examinaffe. $. 26. cem 5I c—— 726. Sumamus igitur n — I, et pofito 9 y x —z, aequatio refoluenda erit o-z— P— CV LpeR e vnde fit a —l, g-—.-L. Y-— ue )-— uu etc. Hinc termini feriei recurrentis erunt À — 6,2500000, B — 6,0625000 — c, 0035714 — €,058928$6, C —0,01475321 — 0, 0008928 2- €,0000172 — 0,01538565 D — 0,0034641 — c, 0002105 24- 0,0000043 — 6,003259. Hinc igitur pro z oriuntur fequentes valores: Ig$ — 4,0000; BHEI-aleged- IL 2-592958; IV. x — 4,2532; vnde tuto ftatuere licet z — 4, 2534. f. 27. Cum igitur fit z— 9x, erit 32::— 2,0624, ideoque x — 0,6855. At pro ratione huius numeri ad pe- rpheram circuli c detegenda confideretur fradio 77, cue ius logarithmus eft — r,3198060, ideoque 77 — 20,883 qui numerus ita eft comparatus, vt omnem fpem euertat , quempiam ordinem in his valoribus detegendi, qui ergo ad quantitates magis uranfcendentes erunt referendi. $. 28. Ex his ENTE patet, quo minor fradio pro n accipiatur, eo promptius feriem recurrentem dare ve run valorem ipfius z, ita vt fufficiat. ftatuiffe z— y, fi modó modo fuerit » 4L —Statuamus igitur in genere n —I, et pofito vv xx —z aequatio noftra erit 9e -2 23 E o————— 2d LL ose e Erde rdi EERRRS n e I--v (I-a-vY)iI-3-2v)]L--3v) . (I-3-v).... I-27- 5v)? TUI — [A . vnde fit Qu — IY? BeEH td Tam hincque NE CESUPYG Gr SE 7 Quia igitur a — A, erit B-—aA— tim elicitur AU (1x 2») (1 - 2») (12- 8») B (12») (1—3») — (1) (1 -i- ») (x 4- 2v) (1 — 5») y A erras , fiue ge 4Y-d- 6vv $. 20. Cum igitur fit z —vvxaz, erit ^ —— (Ic v)y(Id-2v)(I-4-3»v) TP 9 y3 (2 3- 3 v) ex quo valore manifeftum eft fieri non poffe vt fradio 77 praebeat numerum integrum , quemadmodum fumus fufpi- cati, fed potius valores ipfius x ad altiora genera quanti- tatum tranfcendentium effe referendos; quemadmodum etiam valores ipfius feriei, cafibus quibus n eft numerus fradus, quantitates tranfcendentes altioris ordinis inuoluunt. . $. 3o. Quando autem numerus n non eft fradio tam parua, vti hic affüumfimus, atque adeo fin fuperet vni- tatem, ferem recurrentem ad multo plures terminos conti- nuari neceffe erit. Quod quo clarius perfpiciatur, euolua- mus cafum quo 2 — 3, qui eft extremus, qui adhuc radi- ces reales implicat, quarum minimam nouimus effe x- 27. Cum igitir aequatio noftrá, pofito x x —z, fit ! 0 -— ideoque habebimus — I —— zi SLE Ay BY Ed ERIT TEE 47-4 qaaa OSEOSIG 7 etc. vnde in fratdüonibus decimalibus termini fíericl recurrentis poft primum, qui eft — 1, erunt À — 0,0833333, B — c,0069444. — 0,002753 — 0,0041667, E — C,0003472 — 0,00025315 -1- 0,0000496 — 0,0001653 D — 06,0000138 — c,oooor16 t : i —— 0,0000058 -|- €,0000041 — 0,0000005 E -——0,0000005 —0,0000004 D Z-0$0000002 —0,0000000 0000008. $ 51. His terminis inuentis fradiones pro numero 2. erunt fequentes: ! «- P5,0660 RV ow p.i S rz 98400, Hox — 2000 ^A $ —P 519,335, EL n - ec 25,206 maxime incerta. Ononiam autem conítat reuera efíe z — Xx — 4 77, verus valor erit z — 39; 478. Valores igitureinuenti nimis lente ad veritatem accedunt, ita vt hoc modo, etiamfi calculus ad plures terminos continuetur, nunquam fatis prope vcrum valorem inuenire licuiffet, $. 352; Quoniam autem,cafus m — 4 eft extremus éorum qui radicem realemi admittunt, neceffe eft vt pro omribus cafibus, quibus n s, valores ex [ferie recurrente formati non folum non conuergant, fed adeo diuergant. In- JVoua ZG zdcad. Imp. Scient. Tom. IX. E. term iernim tamen, quoniam cafibus, quibus n erat numerus in- teger, omnes radices tam concinne per quadraturam circuli exhibere licuit, fufpicari poterimus , fi modo n fuerit nume- rus integer, etiam radices imaginarias per circulum fortaffe exhiberi poffe, id quod vnico cafu E nale non erit alienum, propterea quod nulla via patet fadores trinomia- les inueftigandi. $. 53. | Euoluamus igitur cafum quo 5 — 4 et ae- quatio eaoluenda. haec: DET e m T. L——.-- etc. 4. TERES 6. 1 "TÉ AM quam ad hanc fimpliciorem formam reuocari fupra vidimus: x —[i.x, cui aequationi cum manifefto nulla radix rea- lis fatisfaciat, omnes autem quantitates imaginariae in for- ma aà-4-by —1 comprehendi queant, ftatuamus x — «4 -- by — 1, et quaeftio huc redit, quomodo etiam fin. x per talem formam exprimi poffit. Ad hoc praeftandum confugiamus ad formulas exponentiales, quibus efi UAE i I owesdidiens finm pim Ry aad Cum igitur fit ge vd — gr —Iroonh d es aM ent HUge Dae € viciffim erit e*Y —!— cof. a -1- y — x fin.a et g 99g gw. 2f S. quibus valoribus fubftitutis colligimus fore cof. a (e^ — e**) -- y — 1 fin. a (e7* -- e*5) 2y —21 fix — $. 34 $5 —— $. 34. Cum igitur per hypothefin effe debeat fin.x — pfg-by--—i, ert »sy/—fimix-29gy-——:-—2b, quae ergo expreffio fuperiori debet effe aequalis, id quod fieri nequit, nifi partes reales et imaginariae feorfim inter fe aequentur, vnde fequentes duae aequationes emergunt: 2 afin. a (e^* -- e^) et 2 b — cof. a (e* ^ —e-*), vnde concludimus Hinc autem primo eliminare poterimus fin.a et cof a: ad- ditis enim quadratis prodit Pio 4bb 4. Q Q án Rey Deinde etiam quantitates exponentiales eliminar poffunt. Cum enim fit p. b —b — 9a NES eot E— gin. a et e DM i fübtrahatur quadratum pofterioris aequationis a quadrato pubs ac.mimanebit r-— 5 .— 2'-, vnde fit b b:— Jmm. a? cof. c? a d cot. à? — cof. aà?; ex priore autem quantitas a per al teram b definiri poffet hoc modo: v. bb (d H- ey diaz (9 dp. gines ADD ARP 978 4 ( ) (eh 5er y $. 5s. Ex binis autem formulis primo inuentis , 2b a : quae erant: cof. qa — ——— ——, et fin. à — 4————3» intel- e'-—-g- ey-1-.£ ligitur, eas non mutari, etiamfi loco b fcribatar — b; de- inde vero etiam nulla variatio oritur, etiamfi loco a Íícri- batur — a; vnde fi fuerit x — a -- b y — 1, fimul tres alii E 2 valo- valores imaginari locum habebunt, qui omnes in hac for- ma dupliciter ambigua continentur: x — --a by — rz. $. 56. Sufficiet igitur folos valores pofitiuos pro. a confideraffe, ac primo quidem patet, hinc omnes angulos excludi, quorum vel finus vel cofinus eft negatiuus; JOE nulli alii relinquuntur, nifi-qui continentur in hac forma: 2i7-1-2, exiftente à — oc^, denotanté i numerum integrum quemcunque. Ex cafu quidem i -—— o ftatim fe prodit ca- fus q o et b-«e; "qui autem infiitato noftro eft alienus, vnde nobis a cafu i — 1 erit inchoandum, ponendo gH 27--|-a, ficque aequationes noftrae erunt e'—e vbi cum fit 47-1- 2^ 2-12, multo magis formula e" ipn füperare debet numerum r^, vnde b notabiliter maius effe debet quam ., ac fortaffe non multum a ternario differt. Tum autem ob e^? 1^ ex priori formula certe erit cof. «22 «1; vnde fequitur angulum » excedere debere 6c9; quamobrem ponamus «-9c9—c,fiue a- m—co, etiam noftrae : 2b T —20 aequationes erunt fin.o—— ,—— ——, et cof. « — NU BP - 1 risen g^ 13g Quaeruntur igitur valores litterarum e et b, vt his amba- bus aequationibus fatisfat; verum ad hoc nulla alia via patet, nifi vt tentando continuo propius ad earum valores progrediamur. $. 357. Ne autem formulae exponentiales uu cal- culum perturbent, ftatuamus e? — n, vt fit e-? — 1; tum autem, toganthmis hyperbolicis fumendis, erit b- 1n. Quo igitur d scs igitar logarithmis vulgaribus vti queamus , fiet b — 2,3025$509 Ln; quippe qui numerus eft logarithmus —— denarii , vnde ex numero n facile colligitur b. per logarithmos, cum fit Lb — Lln --0c,3622156. iuc vero fimul patet, fi nu-- merus? exiguum capiat incrementum /n, tum incrementum litterae b futurum effe zr 4^ , et fi accuraüus defideremus hoc incrementum, erit inibi 7. 9 n? gas. EI i geein 3 n3 etc. $. 39. Quod autem. ad angulum «c attinet, fi eum in minutis fecundis expreffum habeamus, quorum numerus fit N, tum idem angulus » in partibus radii expreffus re- perietur , fi ad LN addatur ifte logarithmus | conítans 4, 08557495 numerus enim refpondens dabit quaefitum. $. 39. Nunc tentamen incipiamus, ponendo n — 20, vnde primo quaeramus b hoc modo: hu ccansorosL LT-n — 0,142873, add. 0,53622156, Lb. —.0,4765629, ergo b — 2, 9957. Cum iam prior aequatio fit fin. o — p 50 IU H : I ] Ex pro priore erit 5 — ; — 19,950, eiusque fe- n -—-m miff8 — 9,9750, vnde colligimus líin. 9 — 9. 4775900, E 3 ergo ergo angulus & — 159.2$8/, ideoque in minutis fecundis. 6 — 62880/^, confequenter in partibus radii « — c, 30485. Hinc pro altera aequatione habebitur lcof.o — 9,9794991. Pro parte, dextra vero eft primo numerator 5 x — 2 9 — 15,098216, eiusque logarithmus —:1,1789256, at denomi- nator erit n--;—-2c,05c, vnde logarithmus partis dex- trae erit 0, $768112, qui minis eft paruus; vnde concludi- mus denominatorem minorem eífe debere, ideoque n « 20. $. 4o. 'lribuamus igitur numero n minorem valo- rem, puta r8, atque totum calculum in fequenti fchemate adiiciamus: HIS ] —160 19—. 15.0128 ln I, 2559795]. I4 GO419200| 1, 2022085 lin | €,0987379| €,0806699| c,0800125 add. C, 5622156| c, 5622156| c,5622156 Lb €O,4609535| €C,:428855| C,4422281 I €,95555 C, 06250 C, 06276 n——i|17 94444 |15,95750 |15, 87057 n--iij18,05555 |16,06250. 3115,99699 [2b | c,7619835! C,7489155| c, 7432581 bx] 1, 2589300, 1I,2024202| I,2005925 i — lfin.o| 1,5080535| $,5414953 | 9, 5426656 189, 477 209, 29" "daga. 67 67620 93329 73506 LN 4» 83009752| 4,8652225| 4, 8665228 add. | 4,6855749| 4,6855759| 4.6855749 9» 55979741 925518977 9, 5156501 Q 0, 32783 €C,8554*7 Oo, 356345 ? C6, 65566 €, 71094. C, 71274. 2 (9 C, 65566 O, 71094. Oy 7342514. 5m 1:,70796 |15,70796. |15,70796 57- —20 |I5,052930 I4,99702 ,14,99522 l(s T—2 c) I,1770029| 1,1790050| r, 1759529 L(n- i 1,2565975| 1,2058I31I| 1,2040138 ds Middle 019519054] 95979 19-9 ..9$:971 9391 cof. 6,9762321| 9,9719642| 99718186 error —À — 35 said (Sp. tis C, OO0OI205 -- $. 4r. In prima ergo columna error prodiit —0,055226*7, En calis 2c exat.— €,1026879, vnde conclufimus va- lorem ipfias n adhuc effe nimis magnum, ideoque fecundam columnam adiunximus, ponendo nm — 16. At ex fecunda colamna prodiit error — c,0017723; quare cum prima columna dediífet errorem — c, 05522672, et differentia €,0534544. orta fit ex differentia hypothefum ^, fiat vt 5345:2 — 1775:., 66, et tanta fratlione numerus n — 16 diminui debebit. Ponatur ergo pro tertia columna m — 15,9332, fiatque calculus vt in prioribus, atque error inde refultans reuera pro nihilo haberi poteít, ita vt iam certi imus ele à — 7.49761 et b — 2; 3684«. - 47. Inuentis igitar litteris a et b nulla ratio fimplex inter eas deprehenditur, neque vero etiam ad peri- phenam 7 notabilem rationem tenent. Confideremus au- iem tem ipfum fadorem trinomialem, ex quo haec radix imagi- naria eft nata, qui eft yy--2ay--aa--bb, et ex valoribus inuentis reperitur à à --bb— 63,87821, qui numerus cum neque infigni proprietate gaudeat, neque etiam ad 7 * rationem teneat fimplicem, omnis fpes eua- nefcit, fatdores trinomiales aequationis propofitae fimplici modo exprimendi, qui ergo etiam fine dubio altiores quan- titates tranfcendentes inuoluunt. Interim tamen confido, tradauüonem huius argumenti; in quo nonnulla egregia ar- tifcia occurrunt, Oeometnüs non effe displicituram. EX- EXERCITATIO ANALYTICA; VBI IMPRIMIS SERIEI MAXIME GENERALIS SVMMATIO TRADITVR. Au&ore L EFVLERO. Conuentui exhib. die 3 Febr. r774. $5 d. E. nuper oftendiffem, naturam linearum curuarum maxi- Tab. I. me adaequate per relationem inter ipfum curuae arcum P& t eiusque amplitudinem exprimi poffe, in mentem mihi venit, hanc rationem ad hyperbolam aequilateram, hac aequatione expreffan: y y — xx: —:, accommodare. Sit igitur C B axis huius hyperbolae, pundum C eius centrum et À ver tex, voceturque femiaxis C A — x. lam pro punüQo curuae quocunque M, duda applicata M P, vocetur abíciffa CP-x et applicata P M — y, eritque y — y (xx—1). Sit porro reda C V huius hyperbolae affymptota, cum axe angulum femiredum conftituens, vnde produda applicata PM vsque ad affymptotam in S, erit PS —— CP — x et CS8— xy z- $. 2. Vocetur nunc infuper arcus hyperbolae A M- s, et duda ad curuam normali MN, vocetur amplitudo ar- cus A M, feu angulusAN M-(. Cum nunc fit y2y-x0c, IVoua z4da 44cad. Imp. Scient. Tom. IX. F erit erit fübnormalis PN-x-CP, hincque tang. op-2. » rte D, ; vnde per amplitudinem quantitas x ita exprimetur, vt fit TxrclbLIGGes s a—dBoqued — VAS , €x quo colligitur fore cof. Q2 — jm. Qs Ox-—99: ( cof. in. 9 D — fin. Q cof. 2 ) — 9 Q fin. o cof. 2 Q Y co. 2 UT "eyN-9QQ y 65.90 . Que» pw x . Quoniam itu eft. $7 — fin. D, erit 0.5 — ie ideoque D AEDYT ; quae eft aequatio differentialis inter ar. cum curuae s eiusque amplitudinem Q. $. 3. Quo nunc facilius longitudinem arcus s per eius amplitadinep (Q exprimere valeamus , ftatuamus pe: z E —- aàzcofV.20--z9o0 i.20 $— vui$? eritque 9 $ — —-— : vnde quantitatem z ex hac aequatione elici oportebit: 0Q—o0zcof2d0--z90q0fín.»d, pro cuius integratione fingamus hanc feriem : z — A fin. 2 (D 4- B fin. 6 —4- C fin. 1o $-r- etc. Calculum enim tentanti mox patebit angulos per 4 Qo con- tinuo augeri debere. Quoniam igitur. effe debet I $$ cof. 2p--zfin.2d0, habebimus primo Bo Eros cola 2 5 -- 6 Bcof. 6 -- xo C cof. i MEN vnde cum in genere fit cof. 2 (eof. n p —Icof. (n— 2) D--Icof. (n- 2) b , erit: $$ € cof. 2 (D —— A 2- A cof. 4. (p 2- 5 Bof. 8 p2- 5 C cof. 12 --35B tur --9D Simili modo cum fit fin. $ fn. n (p — 1 caf. (n — 2) 6 — I cof. (n -- 2) D, repe- ae— 4g ine reperietur 5 | zlin. 2(p—21A —IA cof. 4(p—IBcof 8b —IC cof. 12b à I I i etc. his igitur feriebus coniunQis prodibit fequens aequatio : 1 —1A--(IA--1B)cof4(0--(iB--U C)coLs 4- (C —- EZD)cof. 12 p-- (£D -- P E) cof. 16^ etc. $. 4. Aequalitate igitur rite conftituta fequentes colligentur coéfficientium determinationes : A-2, B-——1A, C——£B, D—-—£C, E—-—5D, etc. quibus valoribus fubftitutis nanciscemur hinc valorem: z —A (fin. 2 p—1fin. 6 --I.i fn 1oQ-—1.[.f5fn. 14. -- etc.) exiftente A — 2, quae feries pro euanefcente amplitudine (D praebet z — o, ideoque etiam s — c, vti natura rei poftulat. Quod fi autem curua in infinitum producatur, quoniam tum €urua cum afífymptota confunditur, fiet amplitudo (p — 45, vnde ob fin.» Q— r, fin. 6(p- — x, fin. 10 p—-- r, fin. 14 D Lz— 1, et ita porro, pro hoc cafa valor ipfius z erit: — I Ex R.$.,9 T x3 9»13 Z—A( I c*gtgdpudpbi tüjI'u) st etc.) cuius feriei fumma manifefto eft finita, nihilo tamen minus ipfe arcus s fiet vtique infinite magnus, quemadmodum eui- D. LA z —— (9 398 dens eft ex aequatione s — a mI ob cof. 2 - cof. 9o SS f. s. Referat nunc in figura pundum E terminum infinite remotum in hyperbola, cui in affymptota refpondeat undu j -- e or 4 "m s NM. Ha vt totus arcus AE x Yari8 exiftente 20 — 990'; tum igitur, cum fit in affymptota fpatium indefinitum CSzcxyos— V - », fado nO (zz 459, erit longitudo 2 in- infinita C V — .——,.. Conftat autem differentiam inter curuaam A M E et redam C V effe finitam , quandoquidem , curua À E manifefto eft minor quam reda C V, at[fi ex A in^ C V ducatur perpendicularis A D] maior quam reda V D. Sit igitur. CV —AE--A, vbi iuihcit 239 A effe quan- titatem finitam. Hinc igitur erit yurz$ 4. ideoque z — 1 — A y cof. 2 D, confequenter, ob y cof. 2 (—o, erit cmd ex quo hon m fummam feriei pro z inuentae , T (Q — 459, praecife vnitati effe aequalem ; vnde per j mult- plicando habebimus | | I 9 — S | Id-ru-15 gd a (q5-71- etC. — 5, ablata igitur vtrinque vnitate erit I--1.4 p--1. E. 2. -4- etc. — I, II * 15 quae sé. mihi eo magis memorabilis eft vifa , , quod aon memini, eam vsquam confignatam inueniffe. EUM Co PE igitur certior fierem de fummationis hu. | jus veritate, eam fequenti modo mihi familiari fum. perícru- tatus. Pono $£—Àix'--i.g tecvcecg i: BXP-r- etc. ita vt pofito x '— x ARN Joe refultet. — Hinc ergo eit differenüando: | Sc MeL UE, dado l4 9: —— 05 -4.5xD--i.d.93x*--r etc. Deinde vero cum fit CE - ni ILL I 9 13 x.c—34X i p iub v d-eic ert itidem differentiando I succ rae iA gi 9I i 12 3.0. lcimX'-i 9x 1g ors x?- etc. quae feries, duda in x et a priore ferie Se eed ablata, relin- quit u— 40 mM quit 9: — diDo- ts E n5, figque habetur aequatio. finita , ox 9 x ex qua valorem E. $ erul oportet. on | $. 7. Fa&a igitur euolutione dedudi fumus ad hanc aequationem differentialem: 0s—ax'0s--2x5s0xy —a$ 0x. Diuidatur haec aequatio per s(z — x^) , vt prodeat CHIC LM ME ir E E $1I— x4)? cuius aequationis membrum | PIS fponte eft integrabile. Integrale enim eft 5 ls—1 Du I TIT. vnde aequatio hoc modo referatur: ug d EE . eir EP cr Manebit. igitur haec aequatio integrabilis, fi multiplicetur per ———7;. quo pado fimul membrum dextrum integrauo- nem admittet. Sic enim erit x$o-c r SEU r vGceyd d vum 3 2 (1 — a) quae aequatio, pofito breuitatis gratia .————- — v; induet hanc formam: s d.lhs--o205r: TUUM on E 3 5 | (1—axp vnde ergo colligitur v— $ f x$oc- ^ YyG-2) xd RC — 46 $. 8. Facile autem patet hanc poftremam formam integrationem algebraice non admittere. Interim tamen haec redudio ad formam limpliciorem cum fucceffu adiehen po- terit. Ponatur fcilicet ?) AE EAE uo J xr?xr ———————— d gÍI————s jure y[:—2)' [X ir zy et fumtis differentialibus erit 450X .. $0 v TOT aeu pBxrox (—» VET B NT nA quae aequatio per (i Lap iria praebet y -—(3a--g8)rz O45, vnde patet capi debere a-31-(8—-— 1 et 34-1- 8—0, ficque ent a—i et 8—— i£. adi pado fiet 250x 30.0. fae: — y TyücP V arsi pe—iyo-nf t. $. 9. Quanquam autem hic poftremum integrale 73*. expedi nequit: tamen facile perfpicitur, iftud in- tegrale, cafü x— 1, finitum valorem effe habiturum, id quod ad praefens noftrum inftitutum fufficit. Sit igitur ifte valor . : x x E] x 2d. - PAD » A finitus formulae f 7*7. — A , et aequatio inuenta, pofito X — r, dabit s — 1, quae eft ea ipfa fumma, quam nobis praecedens fummatio fuppeditauit. $. 1c. $. ro. Similis igitur operatio nos ad plures alias fümmationes huiusmodi ferierum magis generalium perdu- eere valebit, vnde fequens Problema 1uscipiamus: Problema. Inuenire sca npe feriei in pcd excurrenlis: "boo 'b-cé^ br 26 Solutio. $. rr. Statuamus igitur vt ante ONU HE a a-4-6 «b --6 & &--0 a-3-068 .b-r-96 bd ECOLE M I io scprUbeeue m 0 6 cuius ergo valor quaeritur cafa x — 1. Nunc vero haec feries ditfferentiata dabit 9:—az' !-34.(a-6)x EE: ! (2-20) 3 *2471.. etc, Iam ipfa feries propofita ducatur in ge C^. erntque GQ—b-4-Ó &,— 4 42--Ó |, a G-H-0A.0--9) ,, a. &--Ó. a--20 24-30 . quae etiam differentiata praebet: I a—b--0 .— a 44-0—I 2 08-6 auucodp ur io.x 5-25 (24-0) x "gir 4- etc. quae feries du&a in x'—* et a faüperiore fübtra&a deftruet omnes terminos poft primum; eritque du oq YE Um : LT : De gi Proud rob y x EUM quae ergo eft aequatio finita, vnde incognitam s erui oportet, $. 1». Faüa igitur euolutione deducimur ad hanc aequationem differentialem: 9s(r—2) —(a—b-r- sah 10x ax? !2x, quam per $(r — x") diuidamus , vt obtineamus DE: 0s (a—b--0a—10x ax—!20x i xo 3 riu Labbe S vbi prioris membri integrale eft. | bs--R—i(r:— 6), fue bou) i ]s ——2—tp(r—azx). Mox enim videbimus fummam feriei finitam non effe, nifi fit b 24-9. Hanc ob rem ftatuamus (1—a) * vt membrum finiftrum fit 0.l v, et aequatio erit Mt ac M s(r—2 s(a q^ quae per v multiplicata euadet integrabilis; prodit enim v.O0.lv x9» — BE iE , . (1 — x)? cuius integrale eft [ ace E pu er cited (1—3) 3 ' (1i—2x)*5- $. r5. Ponamus prediis guia $5. — ww fL b — n$9--a-1-9, fiue ab —06—n$,ficque aequatio no ftra ent p -12y TT AY maf aye Ego tts, Iam adhibeamus redu&ionem fupra vfurpatam, ponendo — 49 — y*'-'0-x ot xb —? — EE unc -rgl——s:s (1—2xyW — H2 vnde fada euolutione prodit Et. abcr m uoteltosa abc Ey. oG-s)o doy Uo G-wy quae aequatio, duda in (1 — 3)" * , praebet: "ab-7: — [a (b. — 6) a- 8] x* 7*7 * — [a (b — 9) —n «6-- g] x*—*, vnde fequitur fumi debere « — 5 et 8— — ?—'. Hinc " 0 igitur aequatio noftra x, per (1 — x^)" multiplicata, dabit e—i pj 2045 Zo NU WUrI- DLE Mgoee dde $ 25 ( E (i — xy n $. 14. Quod autem hic ad poftremum membrum at- tinet, eti fummatio inftitul equi. tamen, quia in differen- tiali habetur denominator (1 — a*)', certum eft, in integrali, fi-exhiberi poffet, denominatorem tantum fore (x — x?) ^", quippe cuius poteftas vnitate minor eli quam praecedentis. Hinc tuto affumere licebit, hoc integrale tantum habere Q (1 6n Ey. contineri denominatorem ri — 3^; quo valore fabftituto ha- bebimus: UM * bid Ve NOTES) sd ire s)0. formam vbi noffe fufficiet in O. non amplius $. 15. Inuenta iam fumma feriel generalis t. inde fummam feriei propofitae eliciemus, fi faciamus x — 1; ium autem prodibit s — -, ita vt formula incognita O pror- fus e calculo excefferit. Quoniam igitur breuitatis gratia Noua 4a Z4cad. Imp. Scient. Tom. IX. G po- $0 —temme- pofuimus n — 5—7—^*, erit fumma noftrae feriei — P——; vnde deducimus fequens Theorema. Quodfi E'Opo EE fuerit. ifta. feries. infinita :. a a 4- 6 a 4-306 a--20 Lok E r'/x3 pi.g 5686 eius fumma. femper. erit. — ,—5—7,; vnde fequitur, nifi fuerit bt-d-3-6, hanc feriem fummam finitam nón habere , Jed fo re infinitam. - $16. Cum igitur ifta fammatio latiffime pateat , notaffe jüuabit , in ea contineri feries maxime cognitas , quae fcilicet ex euolutione binomii nafcuntur. Si enim pe- "teftatem binomialem (r — "n euoluamus, ac fuerit: b - a, "d formabitar feries: TEN » — (1: moon cai s app uia Hinc iBtur d. fi mm Y —c 1, orietur ifta ee Mon err ME a b —a a b—2a 2b—a ^ —a | IL—-L---Re—ERMGa UP etc. quae egregie conuenit cum noftro iue Si enim niultiplicemus Del 7, Het , B zia p|ms but p ete, veg 5 a — bos hoe ehe peto, Si haec feries cum. noftra generali comparetur, quod nobis erat a, hic eft b — a, quod nobis erat b, hic eft a b, àt quod. nobis erat 0, hic eft b. Vnde cum fumma fuiffet .—— — , piaefenti cafu fumma erit ? —^, id quod pulcherrime congruit. $91». $. rz. Onin etiam .fumma affignari poterit ferierum inulto magis generalium, in quibus adeo innumerabiles lit- terae arbitrariae occurrunt, quemadmodum in fequente Theo: remate plenius fum oftenfurus. 'Theorema generale. Si litterae a, b, c, d, elc. cum 9 pro lubitu numeros quoscunque denotenL, huius progresfionis, fiue. in. infinitum. ex- currentis, fiue alicubi terminatae : E—a rns dx Tine nm (pua t ete. fumma femper eft. 2 Hanc veritatem neutiquam methodo fupra adhibita per Analyfin Infinitorum oftendere licet; at vero ex princi- püs Algebrae communis geminam demonftrationem fum tra- diturus: priore fcilicet ex ipfa fummae expreffione —- feriem propofitam deriuare docebo, altera vero ex sihdecibuc ip- fius feriei eius fummam. - | - Demonftratio prior. $. 1s. Ifta demonftratio per fequentes Codi deratioe nes planiffimas dr Ponatur fcilicet: GRE, tal En Eh S dD P. —g -, eritque p— — Qj Ip. .£ — 5 -p i 2, eritque q — $2, 0 4 — p v — dq 1I 4. —3 2e j» eritque r — ;*5, etc. T" modo quovsque libuerit procedere licet. -$»19. Quod fi iam ftatim in ipfa littera p fabfifta- m we jm us, habebimus hanc aequationem: (gx i xus cer. Pc" : G 2 Sin t— $0 m TN. : . . : ] :2 AL $ , e Sin autem in littera q fubfiftamus , quia 5 z-f.-- TEST "n erit qe VA Er) DDESERTCKAC t Sin autem demum in r fubfiftamus erit: | CERE iaa CORE Lor et ita porro. Vnde patet iftam fummationem femper locum habere, ad quotcunque terminos progreíffio continuetur, id quod adeo in infinitum valebit. Id tantum hic eft monen- dum, quoniam poftremus terminus a forma reliquorum ali- quantillum discrepat, terminum infinitefimum hic plane non in cenfum venire. Nam, quia omnes fíaüores numeratoris minores fant fa&oribus denominatoris , euidens eft, valorem . termini infinitefimi prorfus euanefcere. Altera demonftratio. $. 20. Hic igitur ipfam feriem tanquam datam fpe&e- mus atque in eius fummam, quae fit — s, inquiramus. Ad. hoc fingulorum terminorum faüores poftremos in duas partes discerpamus, fequenti modo: ]. 2 — 39 .—. 9? d rk a (b--0)à? o B i CUNETE bc Tr. €e4-6 — $$ (c 0)6? o (o.—^65. 4 ^ed HT. 44 - w (d3-0)$? $. 2o. Quod fi iam hos valores introducamus, loco . euiusque fadors vltimi finguli termini noftrae feriei in binas partes diuidentur, quas fequenti modo fibi inuicem fubfcri- bamus: $6 — — € 4 b SGAM BT "pEUY SU N tts Uu ' * . etc TN "qa P" b cd T (5-ceé —b-Eé'(ex90 5862-0 ' (4-09 vbi euidens eft quemlibet terminum negatiuum a fequenti pofitiuo deftrui, ita'vt tandem primus pofitiuus et vltimus negatiuus relinquantur. Quodfíi autem haec feries in infi nitam continuetur, modo obferuauimus , terminum vltimum negatiuum in nihilum abire, propterea quod eius numera- tor infinities minor erit quam denominator; quo notato tota a famma manifefto redigitur ad s — $. I] [nc] lel n $. 2». Hanc vltimam fummationem iam olim in ad- verfadis meis confignatam reperio: non autem memini, eius mentionem vnquam publice feciffe. In commercio quidem epiftolico quod iam ante quadraginta annos cum lll. Gold- bachio beatae mem. colui, plurima huc pertinentia occurrunt, quamobrem non dubito, quin Qeometrae, hanc euolutionem benigne fint accepturi G 3 DILV- DILVCIDATIONES , . SVPER FORMVLIS,; Jis | OVIBVS i SINVS ET COSINVS ANGVLORVM MVLTIPLORVM EXPRIMI SOLENT, - VBI SIMVL INGENTES DIFFICVLTATES DILVVNTVR. Au&ore L. EFLERO. '' Conuentui exhib. die 6 Mart. r777. $.1.. Dorotito angulo quocünque (, íi eius cofinus vocetur — X, vt fit 2 cof. (p — x, conftat tam finus quam co- finus angulorum multiplorum conftituere progreffionem re- currentem , cuius fcala relationis eft x, — 1 ; erit enim fin. (n 4- 1) O — x fin. n — fin. (n — 1) 6, eof. (n -1- 1) Q — x cof. n — cof. (n — 1) . Incipiamus a pofteriori formula, et quoniam dupla cofi- nuum. eandem legem feruant, hinc fequens tabula con- fruatur: 2 cof. ^ d " e cof. opes a'€of. zx D-—:r, 2cof2ip—xx—2, 2xeoLa(D-—x 9 2cof. 4D —x* —4xz--2, e cof. 5 b — x5 -—5x! —57, scof6dQo-ax5 —64' -- o9xx—25,. 2, Gol. (D E! sedgi bol4deNS DTDTOSY, 2cofsgi—ax* —sx$ -I-sox* — 16 xx--2,. 2cofg(p—3x? —9ox' 24x —3o2z? --9z, etc. LO: a $. 2. In his formulis mánifefum eft primos termi- nos effe: poteftates ipfius x eiusdem exponentis, cuius mul- tiplum proponitur; hinc vero exponentes continuo binario decrefcere; tum vero figna terminorum .alternari ; - praete- rea vero coéfficiens fecundi termini femper aequalis eft ipfi. multiplo; quod autem ad fequentes coéfficientes attinet, lex, qua 'progrediuntur, ita fe habet, vti fequens forma oftendit: z cof. npo o 3m s n(n—4)(n—5s)x"—$ E... X4 2.55 Q$. € -n(n—sXn—eyn—)—* n(n-6)(n—5)(n-8)(n-9)*-* aper EU o cu vtiritil« 4 sar. 92 , welnuje cuius formulae fummus eft vfus in cofinibus angulorum multiplorum quantumuis magnorum expedite aflfignandis. Veluti fi proponatur duodecuplum. anguly Qu MM ftatim. obtinetur fequens expreffio: I 2 cof. 2 cof. 12 (Dp zc x? — r2 x? -- 54. x5 — 1x2 35 -- 105 x! — 56 xx-1 2, cuius veritas facile comprobatur, cum fit 2 cof. 12 (p — (2 cof. 6 DP — ». $. s. Ouanquam autem haec formula maximum praeftat vfum in multiplicatione angulorum, tamen fecun- dum rigorem geometricum neutiquam affirmari poteft, eam generaliter veritati effe confentaneam, quandoquidem pluri- bus cafibus maxime a veritate recedit. Quodfi enim. fu- mamus n — o, ifta formula praebet 2 cof. o. — 1, cum tamen eius valor fit 2. Multo magis formula aberrare de- prehenditur, fi indici n valores negatiui tribuantur: pofi- to enim n — — 1, inde prodiret uoo PR P E I 42 2 cof. cb ueboem 7 gn cingn mas eos. in infinitum, quae expreffio manifefto eft falfiffima, cum fit 2e -——qQ-—2cLbmD2-3 illius vero feriei fumma — 2 — y (^7 — 1), quae igitur plurnmum a veritate difcrepat , ficque aberratio formulae inuentae pro omnibus numeris negatiuis clariffime in ocu- los incurrit. $. 4. Non folum autem haec formula pro numeris negatiuis fallit, fed etiam pro pofitiuis, fiquidem tota expreffio euoluatur, fumto enim n — ri, hinc nancifcemur iftam feriem: 2cofQL—x—l—u45—£-—i$-—2-— etc. quae ergo omnibus terminis poft primum fequentibus a ve- ritate recedit: vera autem fumma huius expreífionis eft x Era 2 a— 97 m 2 4- y (8 1). Simili modo pro cafu n —2 ifta formula praebet RU —tro ilunssc4$ 1058 by am 7605 vbi duo tantum primi termini veritati funt conformes, fe- quentes omnes vero faperflui atque adeo veritati contraril. Hinc igitur intelligitur formulam illam pro 2 cof nd da- tam, fiquidem in infinitum continuetur, femper in imma- nes errores praecipitare; ficque omnis eius vfus tantum reftringitur ad numeros integros pofitiuos, vbi infuper ca- veri debet, ne feres vltra terminos integros continuetur, quandoquidem nulli termini, vbi x in denominatores in- greditur, locum habere poffunt. $. 5. Quod autem ad numeros fra&os attinet, nul- lo plane modo ifta feries cum veritate conciliard fe pati- tur. Quodfi enim ponamus n —;, ifta formula nobis prae- bebit : I — I 5 ime Ox CM T aco iD dg E— iyi aux cTupeyx 7006 Cum vero fit | I Lui v erEcof: io oca t9 [p — 5:959 — yox, eut 2cof5i — y(2-- x), quae autem expreffio in ic- rem conuerfa ab illa plurimum differt, cum fit ? Y (x4-2)-2Y X--7i— ;zya——3xzyx — €U€ Ex his iam manifeftum eft fornulam inuentam, non obfítan- te fummo eius vfu, nullo modo tanquam veritati confenta- neam admitti poffe; vnde haec quaeítio maximi momenti nafcitur: cur ifta formula a veritate ita aberret, vt certis tamen cafibus ad veritatem perducat? Noua Ada 44cad. Imp. Scient. Tom. IX. H f.16. $. 6. Idem prorfus euenit in formula generali pro finibus angulorum multiplorum tradi folita. Si enim pona- mus 2Ííin.Q — y, quoniam etiamnunc eadem ícala relatio- nis x,— 1 valet, finus angulorum multiplorum fequenti modo progredientur: 2 fh. o e 2 fin... x (Des yn, 2ifuaeQzsyeuas 2fin. Spy (xx — 1), ZUOIML Du yq E ?ün. 5 -—JY Ub amu S REE I. 2fin 6p—y(x— 424 sz), 2fin.. 5; Qoy(x$— 5a*-- 6xx— 1), 2finn 8Dp—y(x'— 6x --10 x!— 4x), . 2[fin 9 —y(x?— 4236-I-15 x'— 10 x x 4- 1), 2din 10D — y(3—— 8&zi-I-21/ m" 22 MEM etc. etc. : Hic fcilicet y ab x ita pendet, vt fit y — y (4 — xx). $. 7. Contemplatio harum formularum fimili modo vt ante pro angulo indefinito n( fequentem fuppeditabit formulam generalem: — "m—i ^ (n"—2) 4^"—3 (n —3)(n —4) 4m—3 2. fin. n (D e y (x ERSTES X owe sue mue Lu (n — AY — 5) (n — 6 4n —7 (n — 5)(n —6 (n —7)(n —8) 4n—9 2 Dat. ENIMY x o 2 (E 3. 4 x : Hacosarm scele es SEM PY. Eete Y I. 2. 3. 4. " Haec autem formula cum veritate confiftere nequit, nifi ita reftringatur, vt primo tantum ad numeros integros pofiti- vos pro n affumendos applicetur; deinde vt termini non vlte- — $0 — vlterius continuentur, quam quoad ad exponentes negati- vos ipfius X po Ita füumendo n.— r2 hinc repe- rietur: 2Ífin 12— y (x^. — 102? 2-36 x! —56 x? 4-35 x5 — 62). $. 8. Cum igitur ambae iítae formulae generales tam pro finibus, quam cofinibus angulorum multiplorum dari folitae tam enormiter a veritate diffentiant, hinc quae- Ítio nafcitur maximi momenti: quomodo hi errores. euitari atque eiusmodi feries erui debeant, quae cum veritate per- petuo, atque omnibus plane cafibus perfede confentiant ? Tales igitur feries ex ipfis Analyfeos principiis hic inuo- ftigare confütui. Vocabo igitur cof. p — z et cof. no zog et in feriem per poteftates ipfius z. procedentem inquiram, quae verum valorem ipfius $5 exhibeat, quicunque numeri, fiue pofitiui, fiue nui fiue integri , fiue fradi pro n. fubftituantur. | iai hi. Jn Ems . $. 9. Cum igitur fit z —cof., erit: 0 — gat UN S fimilique modo, cum fit s — cof. nO, ert n 0 — —ÀÀ wuEUeQquibir dore 9: — ,79* —, "Haec vero eadem y 8 — ss) Mts m aequatio prodiiffet, fi litterae z et s defignaffent finus an- gulorum| ( et nO; fi enim altera finum, altera cofinum fignificaffet, prodiiffet E fom yu z.: Hanc obrem fi quadrata fumamus, haec aequatio: ec 5.5 DHnes ilas varietates in fe compledetur. ^ Confideremus igitur banc aequationem differentialem: 9s(1—zz)—nn20z(x-— ss), ex qua quo commodius feries pro s erui queat, eam de- nuo differentiemus, fuümto elemento Oz conftante, ficque H 2s nan- nancifcemur hanc aequationem differentialem fecundi gradus: QOÀs(r—zz)—z0z0s--nnsog?—o; quae latiffimo fenfu omnia in fe compleditur, quae tam circa finus quam cofinus angulorum multiplorum defidera- r poffunt Hanc igitur aequationem omni cura pertrade- mus, ac primo quidem fine vllo refpeQdu ad dodiinam an- gulorum. - | Problema :. Propofita, aequalione differentiali fecundi gradus QOos(1—zz)—z0z0ós--nnsoz-o, eius inlegrale complelum per duplicem | integrationem | inue- ftigare. | Solutio. LL $. ro. Hic ftatim patet, hanc aequationem inte- grabilem fieri, fi ducatur inos; mulüplicetur igitur in 20$ et integrale erit 9s$(1—zz)--nnssoz —Coz. | Ex hac aequatione deducimus $2 — 3255:6—77:9, quae for- que D NS mula .iia,repraefemietür. 94d 232 0 0g LC ILL, ex qua eruitur: Qs "—— o2 * WingssRESUO) uy eR Cum igitur fit- oz — Meg zum i2Yy (2 1)] et os UE hi: E [Lg —ilnsuy(nnss C)1]. noftra aequatio erit il[ns- y (nnss— C)] — l[z - Y (2 — 1) - 1D. Multiplicemus per n et ad numeros afcendendo réperiemus ns-- y (nnss — C) —Diz-r- y (zz — JT. 5. Tt. 61 $. r1. Qio nunc hinc valorem ipfius $ eraamus , ponamus breuitatis gratia: n $-i- y (nnss—C)—QO-—ns, vtt Q — D [z4- y (z z — 1)]', eritque y (nnss— C) OQ —ns, vnde elicitur: (im Est m fios Quodfi iam forma conftantium arbitrariarum immutetur, va- lor integralis completas quantitatis 5 per variabilem z ita concinne exprimi poterit : s—f[z--V (zz—31)r!2-glz4- Y (sz — x)T, quae forma etiam hoc modo exhiben potelt: &—fiz-4-Yy (zz—31)r 4-gl[z — y (zz — 1)T- Alia folutio fuccinctior. $. x2.. Ouanquam hic integrale completum quaeri- mus, tamen fufficiet bina integralia particularia inueftigas- fe. Quoniam enim in aequatione propofita variabilis s vbi- que vnicam tantam habet dimenfionem, fi ei fatisfaciant valores s — p et s—q, etiam fatisfaciet valor $ — p -t- q» atque adeo in genere s — f p 4- g q, denotantibus litteris f et g conftantes quascanque. Hoc obferuato negligatur con- . . E .* . . T4 ftans in prima integratione adieda, eritque 0 s? — t5 97, : diss ———— LIES 1 : ideoque ** — ,7277— , hincque porro fit $ — [z4- y (zz — x)T". $. 15. Quia in aequationem differentialem tantum quadratum ; ingreditur, cuius radix aeque eft — 71 ac -- n, integrale quoque particulare erit s—[z4-y (2z — 1) —[z —Yy (22 — 1)], H 3 fic- 62 ficque duo habemus integralia particularia, per litteras p et q defignata, ex iis igitur conllatur iftud integrale com- pletum: szcffz--y (zz—2x)r--glz —y (zz—21)]- Problema 2. Eiusdem aequationis differentialis fecundi gradus: QOs(1—z22)—20205-3-nnsoz-—o, integrale completum per feriem infinitam exprimere, cuius termini per pote[tates ur z defcendendo progrediantur. Solutio. $. 14. Ouaerimus igitur pro valore litterae s fe- rem, cuius finguli termini fint poteftates ipfius z, qua- ram exponentes continuo decrefcant. Ex ipfa autem aequa- tionis propofitae forma facile concludere licet, iftos expo- nentes continuo binario diminui debere, propterea quod in hac aequatione variabilis z cum fuo differentiali 0z in fingulis terminis vel nullam, vel duas habet dimenfiones ; vnde fi primus terminus contineat poteftatem z ^. fequentes termini poteftates z^ ^?; z^-—*; z^— 5; etc. continebunt, ita vt feries, quam quaerimus, talem fit habitura formam: S-——A -—Be-—-02-—*5—Dz-—56a4Ez^—9—R3-?34- etc. vbi ergo totum negotium huc redit, vt valores fingulorum coéfficientium rite determinemus. $. 1:5. Ante omnia autem hic inueftigari oportet primum exponentem A, a quo haec feries fit incipienda , qui ita comparatus effe debet, vt fada fubftitutione coéf- ficientes primi termini fponte fe deftruant. Ad iftum ex- ponentem inueniendum fufficiet tantum duos terminos prio- res 65 res confideraífe, fcilicet s — A z^ — B z^—?, quae fubftitutio quo facilius fieri qüeat; ipfam aequationem propofitam, per Q3? diuidendo, 1ta referamus: Is) z29gos [2] 99i — £509t — 595 -- nn $— 0, et cum iam fit n. ics TR 9:cAARU —(—2)Bz—7? et A yid z 93; — A(A4—1)Az 2—(4—2)06 —3)Bz T fada fubftitutione fien debebit: —2A( —1)A2^ 2 ( — 1)A z^—? —2AAz 4 (4—:)(—3)Bz—? T -nnAz -(A—: )Bz-? NOT —nnBz -? Hic ergo ante omnia coéfficiens primi termini À 2^ ii eps aequalis ftatui debet, ficque fiet —4 (à — 1) —À-- nn — ideoque XA — nn, vnde duo valores pro ^ obtinentur, Kcili. cet vel A—--n vel A —nm. f$. 16. Quoniam igitur pro ^ geminum nadi fumus valorem , hinc pro quantitate s duas eruemus feries infini- tas, quae iundim fumtae valorem integralem completum. expriment, namque verus ifte valor ita exhibebitur: d- Az'—Bz'-—--Cz"-t—Dz'-5--Ez'-?--etc. CU J-EUEE "Be r2 gu 7n7 14-07-6397 7^—8 " . etc, et quoniam fada fubftitutione pro vtraque ferie coéfficientes primorum terminorum A z"' et 2|z^" fponte fe tollunt, binae litterae A et 9| non determinabuntur, fed penitus arbitrio noftro relinquentur, ideoque vicem gerent binarum conítan- tuum, quae per duplicem integrationem ingredi funt cenfen- dae. 64. dae, Euidens porro eft vtramque hanc feriem feorfim inue- ftigari poffe; vnde folutio noftra duabus conítabit partibus ]. Inueftigatio feriei prioris g—Az—Bz—?--Cz :—Dz- 5--Ez'-5--etc. $. 17. Quo commodius huius feriei coéfficientes de- terminemus , aequationem propofitam mutatis fignis ita re- praefentemus: —— €ezàos .90os zs rj bot "See FI OMM n'ms Ep et cum fit S2-nAz —(n— 2)Bz^—3--(n- 4)C z^ ——(n-6)Dz" —' etc. et 99: -n(n—1)A2" —?-(n-2)(n-3) Bz" —*--(n-4) (n-5) Cz" etc. ordinetur fubftitutio fequenti modo: 2232:—n(n—1)A z"—(n-2)(n-3) Bz" ?-- (n-4)(n-5) Cz" —* etc- à zs ET — (n) (n-1)A z—?-- (n-2)(n-3) Bz" —* etc. did nÀÁz—. (n—2)Bz'-?4- (n-4)C z"—* etc. -nns- —nn Az" nnBz'-—?— nnCz-—*etc. —(n—2YBz'—-?--(n-4PCz'—'—(n-6yDz"—9) . Domi aab — nnC -- nnD Cete —n(n-1) A^ (n—2)(n—3) B— (n—4) (n—5)C $. 18. Nunc igitur quemlibet coéfficientem per fuum antecedentem fatis concinne determinare licebit ; ert enim ERE EDI r- Re 9. 9 (n — x) an 2 —— (n—292)(n —3)B —— (n —*n(n—3)B —.(n—3)B. UC TUnn—(n—4? ^ 492(n—2) ^ —— CM. — Ó$ —— D-u-—S0—52€— (o—40—3€. nn—(n-—6p2 - I2 (n — 3) : A — (n—6)( —1)D — (n—6)n—1)D. nn—(n—sSs$P? ^- 16(72 — 4) 2 — (1 —8)(n—9)E am — 5) etc. etc. Hinc igitur omnes coéfficientes per primum AÀ fequenti mc- do NC cnninantur: : BETA: d:3 C —5m 2A; ) Nr. Muri XXe : À; — touc inca MA 4. 8. 12. I6 tee iis eun8) A etc. 4. 8. I2. I6. 20 ficque prior feries valorem ipfius s exhibens erit: i-is M d adis reegtfute 4. 8 428. I2 Tn —5)n—6)(n—41)421— 8 setate E wi pte») II. Inucftigatio feriei pofterioris. 2127" —- 252777? Eg7" 7^ Ou" 64 Cz." -9— Sz "72 etc. $. 1o. Determinatio coéfficientium huius feriei fimili prorfus modo inítitui poteft, quo praecedentem elicuimus, neque tamen opus eft omnes operationes hic repetere; nam quia totum difcrimen harum duarum ferierum in folo figno numeri n confiftit, quo ipfa aequatio propofita non afficitur, fingularum litterarum Germanicarum valores immediate ex Latinis deriuare licebit, fi modo in iis loco n» fcribatur — n, ficque obtinebimus: me se PH g- s tenen 3; 4NVoua A&a koc Tmp. Scil Tom. IX. I €— S Jl, T NÉ ——— (V — -L 0m Om 6 7)9f. de TCHEUNE C LUCA Qy oc Sc MUBSGDUTPSEN USC OUR HM LN etc. 4. 8. I2- 16. 22 20. Ex his ergo valor integralis completus quan- ütatis s ex duabus fequentibus feriebus infinitis componetur: -, o nene—2 4 n(n—3)49n—4. n(n—4)n—5)5n1—6., ped A(z—iz 0X 1a ete.) 4-9 (z^ - 2277 724-7 f3gnert e rA Sri — —— LUN gh t 4. 8 4. 8. 12 Problema 3. Quoniam. valorem completum ipfius s duplici modo ex- pre[fum inuenimus, allerum fcilicel per duplicem inlegrationem in problemate i. allerum per duas feries infinitas in. proble- male 2. confianles arbitrarias ita. delerminare , vt duae illae expre[fiones inter fe confentiant. Solutio. $. 2r. In problemate primo binas conftantes arbi- trarias per litteras f et g defignauimus, vbi inuenimus hunc valorem: s—f(z-—-yIzz—zs]ly-g(z--yizz— 11) in praecedente vero problemate per binas feries infinitas inuenimus effe: Lp regente ite ne NO --3(z "--igotoo- fO y tod er - DM Pz 7-634 etc.) vbi binae conftantes arbitrariae in litteris À et 9| continen- tur. Quaeritur ergo, quomodo has litteras A et 9| per ' etg definiri oporteat , vt hae duae expreffiones inter fe confen- tientes reddantur? f. 22. Perpetuo autem, quoties de conftantibus ar- bitrarüs definiendis quaeftio mouetur, ad cafum quempiam Ípecialem eft refpiciendum , quo valor per feriem expreffus euadat cognitus, quandoquidem, íi conftantes vmnico cafui fpe- 65 me fpeciali fatisfaciunt, eorum valor rite erit determinatus. Hanc ob rem difpiciamus, an non quispiam cafus fpecialis detur, quo bini valores innotefcant. ^Confideremus igitur primam formam finitam, ac manifeftum quidem eft, ibi cafum z — o in hunc finem adhiberi non poffe, propterea quod ifte valor ad imaginaria rediret. Deinde vero etiam binae feries, pofito Z — c, partim terminis euanefcenübus, partim infinitis con- ftabunt; ficque ex hoc cafu nihil plane concludi potett. $. 23. Cafus autem z — x aliquid polliceri videtur; tum enim prior forma finita praebebit s — f -— g ; at vero pofito z — 1 ambae feres nihilo minus in infinitum excur- runt, ita vt earum valores nobis neutiquam euadant cogniti ; quamobrem eiusmodi cafu nobis erit opus, quo binae feries inuentae definant in infinitum excurrere , et omnes termini prae primis quafi euanefcant, ita vt terminos tantum pri- mos confideraffe fufficiat. Manifeftum autem eft in vtraque ferie prae primo termino fequentes omnes effe euanituros , fi iph z valor infinite magnus tribuatur. Statuamus igitur $ — oo, atque ex binis feriebus valor ipfius s pro hoc cafü 3l n Enc! y f. 24. Faciamus igitar etiam in priori forma finita z — oo, et cum hoc cafu fit y/ (zz —1)— oo, valor ipfius s hinc orietur: $ — f (2 es) -i- g (2 09)" — a" f o^ -- 8 — ! 27 exo quam ergo expreffionem cum ante inuenta, quae erat À oo" FA oo . congruere oportet, atque manifefto fequitur, hoc fieri, fi ftatuamus A — 2" f et 9( —.$ " 2 53 I 2 $. 55. u—— 608 m $. 2:5. .Quodfi igitur valor completus finitus fuerit yg Oy qoa TEE UP DoD. paagussp enn: idem valor per duas fequentes feries iunüim fumtas expri- metur: fri gp-ios i RB Ire Pal NR 8- TL I n(n4- 3 | ——— d —.L————— BIIARNEREES INNÜORPCAUPY XTTIRCA . pe I (2 Y NE: I.2 (: zy — etc Problema 4. Si z denolet cofinum cuiuspiam anguli O, vt fit z — cof. , inuefligare [eries pro cofinu anguli ncupli n Q. Solutio. $. 26. Supra vidimus, fi fuerit z — cof. P, ac voce- tur cof. n (D — s, tum relationem inter s et z per eam ipfam aequationem differentio - differentialem exprimi, quam hade- nus tra&dauimus (vid. $. 9.). Neceffe igitur eft vt valor quae- fitus cof. n (O in fuperioribus expreffionibus, tam in finita, quam in infinita contineatur, totamque negotium huc redit, vt binae conftantes f et g rite pro hoc cafu definiantur. At vero pro expreffione finita, ob z — cof. D et y (zz —1) — y — x fin. o habebimus 8 — f (cof. D-- y/ — 1 fin. D)" -- g (cof. (p9- V — 1 fin. D)". Conftat autem effe (cof. D -i- Y — 1 fin. Q)' — cof. n o -4- y — x fin. D et (cof. O -i- Y — x fin. D)7" — cof. n p — y — x fin.n (D, ficeque habebimus | : $ — (f -- g) co£É n b -- (f — g) V — 1 fin. n b, quamobrem, vt prodeat s— cof. n Q, ftatui oportet f-g-I. $. 27 21 3 — - 27. Nunc igitur cognitis binis litteris f et g, qui- bus euadit s — cof. n , etiam ambas illas feries infinitas ex- hibere poterimus, quibus coniunüis idem valor cof.n( ex- primatur. Scilicet cum fit f[f-gzl;mulüplicemus vtrinque per 2, atque impetrabimus: (zy —?.. (s gy 2.4 003) i (e zy) -*-— etc. 2 cof. n D — 4 T Me o Tope n n(n-4-3) | E : A recie rt, a ci: etc. DEA GN M qnm: I. 2 (o) ud vbi eft z — cof. C. Hinc fi, vti initio fecimus, vocemus x— 2 cof. Q, vt fit^» z — x, vera expreffio pro cof. n D erit: m Hj px R03) qa—s ij E uS. 2cof.np—«4 i t QU I a niu-3) (vum us ieethil skr este mna 2x 1 X I.2 x $. 58. Omnes igitur defedus , quos fupra circa for- mulam pro cof. n( tradi folitam. recenfuimus, inde originem traxere, quod. pofterior feries, quae poteftates ipfius x in de- nominatoribus exhibet, neglegi folet: ea autem adieda per- petuo pulcherrimus confenfus cum veritate deprehendetur , quoscunque etiam mumeros pro n, fiue pofitiuos, fiue nega- tiuos, fiue integros fiue frados accipiamus. Ita fi ponamus n — o, hinc ftatim confequimur 2 cof. o -2. Deinde cum fit cof. — n — cof. n Q, haec conuenientia ftatim ex prae- fente forma elucet, quippe quae eadem manet, etiamíi loco n Ícrbatur — n. $. 29. Examinemus nunc etiam aliquot cafus fim- pliciores, ac primo quidem fumamus n — x reperieturque: I 5 2 cof. r Y 9 5 14 40 QUEE MMC ARCANO TN: 2 cof. (o m e 23 i d jh Ps — 45 A noL Lp ne pium -- —*. 4- etc x x3 «x5 x? x? II vbi feries pofterior manifefto terminos fuperfluos prioris tol. lit, ita vt prodeat 2 cof.(p— x. Ponamus etiam n — 2 ac reperiemus : I 2 5 14 49 XX—2————————-—4 c5 € LI— T" &x xt x6 x8 x10 zd bb o 2 cof. 2 (p — ii -Xxx—oc. «6 Hid. S. erc. xS x1IO Q3 —s qy2a- RI 43 22:9 — 99 L etc E: x3 x x? 29 ES - 2col. gb za Ub. hono ds x -3. "HERE doses es $. sc. Ex his exemplis fatis manifeftum eft quoties numerus n fuerit integer pofitiuus , tum omnes terminos , quos fupra tanquam inutiles reiicere iuffimus , hic fponte per feriem pofteriorem auferri. | Praeterea vero hic nullum dubium fupereffe poteft, quin etiam pro omnibus numeris fradis loco n aíffumtis veritas fit proditura. Sit enim n — I ac fiet: : UP ELLE SUE 5 EY or I i T 71 : Yx Qxxysmx eus» cU hae duae autem feries permixtae eam ipfam feriem produ- cunt, quam fupra $. 5. indicauimus. 'lheorema. : | I olies n eft numerus integer pofiiuus, lum omnes termini puc prieris ferie a ferie pofteriore deftruuntur , ita vt tantum. remaneant termini integri prioris ferie, quibus adeo valor ipfhus 2 cof-n ( exprimetur. h Qs —À arp Demonftratio. $. 51. Contemplemur accuratius priorem feriem a termino x" incipientem , in qua cum figna -- et — alter- nentur, ne hinc fequens ratiocinium turbetur, hanc fenem hoc modo repraefentemus: CEU Eee que eum mM q-9. etc. Nunc autem breuitatis gratia fingulos hos coéfficientes fe- quentibus charaderibus defignemus: | x*—[n— 2]x* —?— [n — 4] x" —*— [n - 6] x" — 5— [n - 8] x" ^ * — ete. ficque erit [n— 2]— 5; —— 3—). [n —4] — ———; c 61-——m(4—-n-—-1. [n— 6] — 2 8—7 — —À TE E ——mn(5—n)(6 —n1)(1—7n). Eri E EE d I. Q. : 4. 5 $. 32. Hinc ergo in genere, fi poteftatis x"—?* co- éfficientem per — [n — 2 i] defignemus, erit [n — 2 ij esie suc mu opcm omues spere -s(9i- rm) I. 9. 3. 4. i Scilicet ifta C compofita erit ex i fadbribus, quorum pri- mus femper eft ?; fecundus £7 —7; tertius SNOW. quar- tus — — done perueniatur ad vltimum, qui eft 2/— —"; vnde patet fadorem quemlibet intermedium indici A refpon- dentem fore 1--^—'—*, fi modo fuerit 4 4 1; tum vero fumto ^ -—i prodibit fador vltimus ?'—7—*. "Hoc ergo modo pro qualibet. poteftate 3" ——?', eius, coéfficientem , quem per [n —2i] defignamus, facile exhibere licebit. Ita poteftatis x"--2 coéfficiens erit [n — 20] —nür—n)9—n)(3—n)(14—n)05 —n)(16—n)07—)8— 109) 6 2 5 4. 5. 6. T. CR 10717 vnde gj? mmm vnde patet, quoties n fuerit numerus integer, fiue rr, fiue 2, fiue r3, vsque ad r9, iftum coéfficientem femper fore —o,atque hoc adeo in genere eueniet, quando n fuerit nu- merus integer, vel i-- 1, vel i--2, vel i-1- 5, vsque ad 2j-— 1, | $. 53. Sumamus nunc i-7, quae pofitio ergo locum habere nequit, nifi n fit numerus integer, quandoquidem ma- nifeftum eft loco ; alios numeros praeter integros accipi non poffe. Hoc igitur modo obtinebitur coéfficiens poteftatis x". quem defignamus per — [— n], as ut [dese —- OmU So «D OL EOMIOS T3. 05 n—I CSNCUE SU pira is cuius vcpecm ds valor manifefto eft — 1 , lta vt terminus . ——À I , Li L " hinc natus fit — z, x7" — — — , qui terminus primum in x fradis occurrit. Si enim capiatur ; nm, vt tamen fit n— 21 numerus negatiuus, coéfficientes, vt fupra vidimus, erunt — o, namque fümto ji — n — 1, iam fador fecundus euanefcit ; fumto autem i—n-—2, terüus euanefcit; quartus deinde fi ;—n-—3 et ita porro, ficque omnes termini hunc prae- cedentes erunt integri, . . I $. 34. Quaeramus nunc etiam terminos hunc: —-— 2 fequentes , ac pro fecundo erit i — n -i- 1, vnde poteftatis —^-—? coéfficiens erit NH n- ge 719. 327 0 AER. [EU , epos "MRUOWCNEST C YE IQEENUDS TRQIGET pm —— CX S n "ROOM GUNETNMEDEN (pi qc? modo pro tertio termino fit i— n-1- 2, et poteftatis x" * co&fficiens erit 3:4. 57 L0:13 ita vt poteftatum negatiuarum fecunda fit — — Gt Por ov CE de E EN e 75-23-3 — . ,ní(n-r3) ———— 5 Jar ous BUR UNE EC OMSIIO T 1. 9. Sit Sit nunc i— n--5, ac poteftatis x^" —6 coefficiens erit T. mi. LH 4. 5. '6. . (nd 5) — n (1 H- 4) (n 4 5) 10.73. 4 : ES 1:0: 9 : Eodem modo euidens eft poteftatis x7 " —? coéfficientem fore- 9). 5$. 6. 1. 8 0.0 o s (fH- T) —— nn -d- 5)(mH- 6) (m d- T) ED IZ UE D 02 VL WAUOSOESU 1. 9.3. 4 1 $. 55. Ex his igitur manifeftum eft terminos frados,. ad quos prima feries perducit, fore LtOAR x. B(u$)i30 s M(n--a(n--5) — 1 - etc. E. Atq (S - sr dd I. 9. $3 ete Cum igitur altera feries pro 2 cof. n (b adiicienda fit UE dc uspai fa nac. detalle ea o: tci MM 98 CE MAT aus Eoo t4 3.2. 3 * nunc firmiter a nobis eít euidum, omnes terminos fratos prioris feriei per feriem pofteriorem penitus tolli, ita vt ex ferie priore termini tantum integri relinquantur, quibus va- lor ipfius 2 cof. n exprimatur. Ex ipfa autem demonftra- tione apparet, hanc deftruclionem locum habere non poffe, nifi exponens n fuerit numerus integer. Pro exponentibus igitur fradis ambas illas feries in infinitum continuari opor- tet, quippe quae iuncim fumtae demum valorem pro 2cof.n exhibebunt; ficque omnia funt perfpicua, quae initio circa neceffaiias reftridiones formulae pro cofinibus datae funt tradita. $..36. Hic autem imprimis notaffe iuuabit, valorem vtriusque feriei feorfim fumtae reuera effe imaginarium. Vidimus enim priorem feriem natam effe ex euolutione for- mulae [z 4- V (zz — 1)]', pofteriorem vero ex euolutione hu- ius: [z — Y (zz — 1)]", pofito z—- cof. p; tum autem prior for- mula transformatur in hanc: cof.nO--y —z1íin.n(Q, po- Noua za Acad. Imp. Scient. Tom. IX. K fte- fterior vero in hanc: cof. n 5 — y — x fin. n D, quanám vtza- que manifefto eft imaginaria , earam tamen fumma praebet 2cof.n(; fin autem pofteriorem a priore auferamus , relin- quetur 2 y — x fin. nO, cui formulae ergo aequaretur diife- rentia noftrarum ferierum ; vnde patet finum anguli multipli n( hoc modo per feries realiter exprimi non poffe, cui in- commodo autem remedium afferemus in fequente problemate. Problema ;. - Propofita, aequatione differentio - differentiali QOs(zz—1)--z0z0s—nnsOz--o, fi ponatur s — v y (zz — 1), valorem huius quantibqfes v per feriem PTS Solutio. 4 $. 57. Quod ad expreffionem finitam huius quanti- tatis v attinet, ea fponte patet ex valore finito pro ipfa quantitate s inuento, cum fit vy(zz—i)-—fi[z--vy(zz—1)l"—&glIz—y (zz—)T-. Nunc autem nobis propofitum eft valorem ipfius v per eius- modi feriem inueftigare , cuius termini etiam per poteftates ipfius z pariter defcendentes progrediantur, quam ergo feriem ex ipfa aequatione propofita deduci oportet , poftquam fci- licet loco s valor v y (zz — 1) fuerit introduGus. $. 58. Ono autem hanc fubftitutionem facilius fa- cere queamus, fumamus logarithmos | s — Lv -- 1l (zz — 1), vnde differentiando nancifcimur T mcam o d-z L- 9s , quae ae- quatio denuo differentiata . praebet: : TITSTEMR DE 1 mA? Q22 | 0220922? Gus vv Zz-——i (— (&2—1ipB* | lam de— | —À lam addatur vtrinque - QuuEc 9và- Toamgmdt y, mmo $5 v7* v (£$-—1) TT oa atque obtinebimus Qd. — 92.0 v oz? . | mzoz? 2zo9zov Tmidb AME DNE D 0L a Qjs-—83d30v.| 220sz9v X -. de? HNEU GI -9 i ims ($2—1pP^ $. 39. Aequato autem propofita per $ diuifa fit 925 (zz — 1) 4- £23* — nn 0g —0, eaque fada fubftitutione induet fequentem formam: 93" (qu 329299 V, RAT. E 292 (2:5 1) 4- 1527— (nn —1)202 —o, quae duda in 57, dabit 29 ON 1a $23 | x RR PAN 32s (ng — 1) Jc 1523 —v (nn —1) 6; atque ex hac aequatione feriem' defideratam pro v elici oportebit, $. 4o. Hic igitur iterum ante omnia primum termi- num inueftipare debemus, quem in finem ftatuamus v — Az'--Bz-?--Cz'-*etc. et cum fit | it 9» —AAzN-!- (4 — 2) Bz^-* etc. | 3a —A0— iA Q0 3)Bz^-* ^- etc. fada fubftitutione orietur fequens aequalitas: o z—A(A— 1) Az^-- (A — 2) (a — 3) Bz^-? ^ etc. "i s A(X— 1) Az^—? — etc. 5A AÀ z^ -1- 3 (14 — 2) Bz^-? ^ etc. —(nn—1)Az— (nn— 1) B z^ —? — etc. Vt nunc prima poteftas z^ fponte tollatur, neceffe cft vt K 2 : Gt mem— o Ó— fit X(4 —1)-2-8^ —nn-4- 1 —o, fiue (4 -- 1 —nn—0; hincque duo valores pro ^ reperiuntur: A-—n—1 etA-n—zi; vnde fequitur pro valore completo ipfius v exprimendo re- quiri duas feries infinitas, quas fequenti modo referamus: Az'——Bz'-—--Cz-—-—Dz-'-r-Ez'—?-—. ete, 2 opp 1— —$95z 7 -€z 7 —Q9y "—7--€2—7— — etc. quarum autem fufficiet priorem determinaffe, quoniam po- fterior inde nafcitur, fcribendo — n loco n; quamobrem ha- bebimus vt fequitur: ) v—Az'—'—Bz-3i2Cz—:-—Dz-—Z24Ez-?- etc. 92-(n—1)Az'7?—(n—3)Bz —^*-(n—5)Cz —5— etc. 23*-(n—1)(n—2)Az" —*—(n—3)(n—4)Bz" —5 ^- etc. 9 x? $. 4r, Fiat nunc fubftitutio in MES UR terminis no fiae aequationis fequenti modo: g—1 q^—3 g^—5 2299? -(n-1)(n- 2) A —(n- 3)(n- 4)B-- (n- 5) (n- 6) C —ete. —»- — (n-1)(n- 2) A - (n— 3) (n - 4) B—etc. f52*—- Ss(n-:1)A— — s(n-3)B— — s(n-5)C-—etc. nnvz— nnÁa4- nnB-— nn C--etc. HE IM Ac B-- C —etc. —.m 4(n-1)B— 8 (n—-2)C etc. —(n-1)(n—-2)A --(n—3)(n— 4) B—etc. f. 4». Cum nunc fingularum poteftatum coéfficien- tes fe deftruere debeant, per primum A, qui arbitrio noftro relinquitur, fequentes omnes hoc modo determinabuntur: En e— $$ o — -—2) e B-U-?A; CUL B-IU-0-9A; 8 (n — 4. 8 — (n —5)j(n— 6) — (n—4)mn— 5n — 6) D — I2 (n — 3) C 4. 8. I2 À; EIG-—22«—9 — (n —5)(n —6)(n—7")(n—8) I6 (n — 4) D — 4. 8. 12. 16 A; etc. ficque prior feries pro quantitate » erit Az E oic Aged t Agr —— efe. $. 45. Ex hac autem ferie altera fponte eruitur, fi modo loco A ícribamus 9Í et — n loco n, vnde valor com- pletus ipfius » binis fequentibus feriebus exprimetur: q Aat. dis-e9on- 9a ino 75s etc.) v- 4 4. 8 P ici mod eh i auagid Lo ue P Wl 4-. etc.) 4 4. 8 $. 44. Nunc autem fupereft, vt iftam formam per feries inuentam cum forma finita vy (z—zi)-f[z--y (xz— x) --gIz-- Y (zz —1)]7 "T concordem reddamus, quem in finem tribuamus ipfi z valo- rem infinite magnum, quandoquidem hoc modo in binis fe rebus prae terminis primis omnes fequentes euanefcunt, ita vt hinc fit » — A z^—7'--9/27"—'; at vero ex forma fini- L7 ta, ob y (zz—1)—z, erit vz—f(2z)' --g(2z)-", ideoque ei. ie . qua forma cum illa comparata euidens.eft fumi debere A — 2 "duet d os 2" K 3 Pro- —— 0$ Problema 6. Propofito angulo quocunque (D inuenire formam gene- ralem. pro finibus angulorum quorumuis multiplorum. Solutio. $. 45. Statuatur vt ante z—cof. OC, eritque y (zz — 1)-: 4- y/—xfin.Q, hincque porro [z -- Y (zz — 1) — co. n P -- y — x fin.n o et [z — y/ (zz — 1)]' — cof. n p — y — x fin. n Q. Nunc igitur ex forma finita habebimus $—vy — x fin. (Q—f (cof. n D-- y — x fin.n $) -4- g(cof. n p — y — x fin.nQ). Faciamus iam f — 1 et g — — 1, ac prodibit S——Dy——1hm (Que Pupils cct ficque erit 2 fin. n p — v fin. Q^. $. 46. Cum nunc fit f — 1 et g — — z, erit À — o" T . . dS et 9|— — — , vnde pro v binas fequentes feries nanciíci- p Inur: E futt Duomo (azy' actin Surat (2 z)'—5— etc. — a(2 goi a Hm (aja. o ADEM E (2 2) de Ponamus.nunc, vt fupra fecimus, x — 2 cof. (D, vt 2z — x, tum vero infuper y — » fin. , et quoniam inuenimus 2 fin.n (p — fih. — sey, tantum opus eft feries fuperiores pro v in- ventas per iy mulüplicare, hocque modo fequentem expres- fionem generalem pro finibus angulorum mulüplorum obti- nebimus: 2 fin. JN ! [x*—:- —UIEHy3$-0—00—0 x" —5 — etc.] inae Ta — : is haecque expreffio M ren erit confentanea, Deis valo- res litterae n tribuantur, fiue pofitiui fiue negatiui, fiue in- tegri fiue fradi; vnde patet formulam initio datam hoc de- fedu laborare, quod ibi feries pofterior eft omiffa. Primo autem ftatim patet, fi n — o, vtique prodire 2» fin. n D — o, propterea quod finguli termini binarum ferierum fe mutuo tollunt; deinde etiam clarum eft, pro numeris negatuuis n [finus etiam negatiuos prodire, 9 | $. 47. Euoluamus nunc etiam aliquot cafus pro nu- meris integris, ac primo quidem fit n — 1, eritque -X esf ae I3 -- etc] ILE rust ce as í ficque binis feriebus iundis fiet 2íin.(p— y. Sit nunc gy 2, entque inso Sit nunc etiam n — $, eritque —y (nsgistujp s — y(x—o-- X. $2 5-3 e etc.) —y. uidkes 15 "e 3 — etc. A xx—1--0--i--3--2p 4-2 2fin.30— x : —y Duc uM -9*. 3- etc. x4 ote) ) 3 -- etc.) E ideoque 2ífin.3 p — y (xx— 1). Bon db etiam n 45 eritque y (3$ —2z-2-0o0--2 SEIEN 2ti.a4 (b — ia —y (2 9 -5 ?--etc) Q^ ideoque 2 fin. 4 p — y (x? — 2 x). $. 48. $1," w---— [— (BO em—À $..48. Ex his exemplis iam fatis elacet, pofterio- rem feriem in priori omnes terminos fralds deftruere, ita vt fufficiat ex priore ferie folos terminos integros fumfiffe, quoties fcilicet numerus n fuerit integer; hocque adeo fa- cile in genere fimili modo demonftrari poffet, quo vfi fumus pro cofinibus, fuperifluumque foret fimilem demonftrationem hic adornare. Caeterum in hac euolutione fingulare phae- nomenon fe exerit, quod non parum fufpedum videri queat, in eo confiftens , quod ad confenfum ferierum infinitarum cum valore integrali finito ftabiliendum, vfi fumus cafu quo £z — oo,quae pofitio inftituto noftro, quo loco z cofinum an- guli affumimus, maxime aduerfatur. "Verum fi perpendamus iftum confenfum in genere effe conftitutum, fine vllo refpedu habito ad applicationem angulorum, omnia dubia fponte euanefcere debent, imprimis cum iam pleniffimus coníenfus cum veritate luculanter eluceícat. DE | SI mm——— DE INSIGNIBVS PROPRIETATIBVS FORMVLARVM INTEGRALIVM PRAETER BINAS VARIABILES ETIAM EARVM DIF- FERENTIALIA CVIVSCVNOVE ORDINIS INVOLVENTIVM, Audore L BR)!ETLTLRO 'Conuentui exhibit. die ro Mart. r777. 6. (Ti Si Z fuerit fun&io quaecunque, non folum binas variabiles x et y, fed etiam earum differentialia cuiuscunque ordinis inuoluens, ea faltem a fpecie differentialium liberari poteft ope fequentium pofitionum: ày—p0x; op-q0x; Oq-ro0x; Ór—502x;05-—-tOx;etc. tum enim his valoribus fubfti- tutis quantitas Z, fi fuerit finita,, euadet funQio quantita- tum finitarum x, y, p, qd, r, $, t, etc. lta fi fuerit PEN GL runi A ^ OóxóOoy—0y202x quae eft. formula notiffima pro radio ofculi, ob 9y —p2x €t 0ó0y.—p220x--0pOx—pOOxrx--qOx, pnmo nu. ANoua 7d z4cad. Imp. Scient. Tom. IX. L mera. 3 2 — O0 - : merator hanc induet formam: Oax?(r-L-p py, deinde vero denominator euadet — q0 x^, ficque ifta quantitas erit 3 z — (1-2 pPpy q $. 2. Ouodfi nunc talis funtio Z differentietur, eius differentiale ex tot conftabit partibus, quot in ea infunt litterarum x, y, p» Q» ?, $, €tc., ideoque tali forma ex- piimetur: 0Z — M0x 4- Noy -- POp -- Q9q 2- R?or 4- S0s — etc. Hic autem, ne multitudo litteraram M, N, P, Q, R, etc. in calculo moleftiam creet, eas, quoniam omnes pendent a natura funQionis Z, per fequentes charaderes vfu iam fa- o Uum repraefentabo: M — (22); N — (32); P -—(55) — (8 25 R — (832); S — ($2); etc. hocque "modo, nullas v: "peregrinas ludus erit 9 Z —09x(32)-- 0 y (32) 4- 9 p ($2) 4- 9 q (32) etc. ac fi porro loco differentialium 2 y, iip: 0g, 0r, etc. va- Jores fupra aífignatos adhibeamus, prodibit 9 Z-—20x(82)-p9x($- :yiqà s (Ey 23 Qiydó0ii $. : Hinc ergo fi ftatuamus: — ($5) zc P (85) 4-4 (85) c r (22) t ete- quae erit quantitas (uiid hádben ue certa fantlio ipfarum €, ys p» q. r, etc. ab indole fundionis Z pendens, erit E V d, ideoque integrando Z —/V 02x, in qua in- tegratione- omnes litterae x, y, p, q, r, etc. tanquam va- rabiles infunt. Vbi pum notetur, fi V fuerit talis "ad T | 1o, —— $5 o——— &io, qualem defcripfimus, tum formulam differentialem V 20x femper integrationem admittere, etiamfi binae varia- biles x et y nullo modo a fe inuicem pendeant, cum con- tra, fi loco V alia quaecunque funüdio quantitatum x, y, p» q. r. etc. acciperetur, integratio locum habere non pos- fet, nifi certa quaedam relatio inter binas variabiles x et y Katueretur, .$. 4.. His conftitutis cum fit V — (82) o- p (55) 4- 4 (32) 4 r ($2) 4 ete. perpendamus valores differentiales ipfius V, qui oriuntur, fi vel fola quantitas x, vel fola y, vel fola p, vel fola q, etc. pro variabili habeatur, quos valores fimili ratione per hos charaderes: (97); ($5); (2 J5 (57 ); etc. defignemus. Ac primo quidem fi fola quantitas x vt variabilis tradetur, iisdem charaderibus adhibendis reperietur: (52) — G2 - P (235) -q (225) -- r (222)-5 (335) — etc. vbi fcilicet, vti iam fatis eft vfu receptum, formula (227 indicat, funtlionem Z bis differentiandam effe, fola x pro varabili affumta; at formula .( 3:57,) indicat, funtlionem Z etiam bis ita effe differentiandam, vt in altera differentia- tone fola quantitas x, in altera vero fola y variabilis fu- matur. Demonftratum autem eft eundem valorem prodire , fiue in prima operatione x, in fecunda vero y, fiue inuer- fo modo, in prima y in altera vero x variabilis ftatuatur ; quod idem etiam de reliquis formulis duplicem differentia- üonem innuentibus eft tenendum. $. 5. Si iam in hac poftrema expreffione valorem Uno littera T defignemus, hinc fiet ($22 $$ ; tum ve- r L 5 YO YO (227) — — xD (33 crit 3255) — 255 etc. bidg? formulis introduüis (33) — (32) 4- p (35) - 4 (G5) - r 1) 4- etc. At vero fi quantitas ifta T per Ac A ee omnium lit terarum. x, y» p» q» r,» etc. differentietur, erit, vt fupra iam vidimus, cius differenüale plenum: , M 2a (22) - pàz (22) e qà x (23) r3 a (22) «etc. vnde mod fore 0'T — 0x 2» ita vt ys rn ht —(32)-f0x($5 Hinc ipis, MO (odkugel v Or integrationem | admittat , femper etiam hanc formulam: 92 x(27), integrationem effe admiffuram; quam proprietatem BUE "TT heoremate r. refera- mus. Si fuerit f V 9x — Z, tum etiam femper erit [2x ($2) — ($2). fiue od ovy (s) $. 6. Nunc quantitatis V id confideremus differen- uale, quod ex fola variabili y enafcitur, ac reperietur: [- 5] 35)-7 -— facris 325)-t p( 2r 325 )-t q [iidot r (227. Llosa: ) 7h etc. vnde fi hic ponamus ( iy pq, eS (35) G2 P3) 4 (32) 7 (2) e ete- hinc igitur vt fapra patet fore 9x($7)—9 T —02.($7) ex quo integrando erit fat c— $$ cM f2xGi)—T-—(G$b vnde deducitur fequens. ditióóy oma 2. Si eni. [V 32 — 7, tum femper erit [2s Q3) - Q2), fiue 2s (23) 2. (25). $. 7. Progrediamur autem vlterius, et differenuale ipfius V, ex fola variabilitate bar: p oriundum, contem- plemur, ac reperiemus cJugaz 33Z 32Z 322 35) — OE RS p (222) - q (227 r (232) s ete e G Hinc iam fi ponamus EI: —Tus:ent 0) — G2 -»G; Der; $)trG uti vnde ergo fequitur fore | quod nobis fuppeditat iftud "'heorema 3. Si fuerit f V 9 xx — Z , tum etiam femper erit [255 G9) t [95 G3)» fue àx(*) —oz(22)— à (25 $. 8. Sumta nunc fola quantitate q pro variabili fimili cni orietur Rura 332 3232. 33Z Us ' 22 j L 3 vnde — Q6 — vnde fi hic ponatur (27) — T,, erit ($2) an (31) 4p (52) ^q (35) (22) -r- etc. 4- e ficque per 9 x multiplicando fiet | 2x (2Y) — 2 T-- 0 x (22). Hinc orietur iftud 'Theorema quartum: Si fuerit f'V 9 x — Z, tum femper. erit f?x 35) — (32) - f 2 x (82). fiue 9x($7)—92x(37 — 2. ($2). $. 9. Sumatur iam fola quantitas r pro variabili ac prodibit (7) — GE) PG) a Gs) 922 z --r (225) E ete. -- (52); vnde fi ponatur ( 22 )-——T, exit QX) — (02) - p 22) -- q (22) - r (22) - e. -- (22). Hinc igitur vt fupra patet fore : | 9x($7)—9 T-r2x(27), ficque orietur fequens 'Theorema quintum: Si fuerit f V 0x — Z, tum etiam femper. erit [2x (32) — (G3) - f2 x (22), fiue 0x($7)— 0x (35) — 2. (22 j .. S xe. Haec iam ita fant manifefta, vt füperfluum foret ifta theoremata vlterius profequi. Ante autem quam repetitas differentiationes profequamur, haec theoremata no- bis — D — bis inferuire poffunt, ad criterium illud generale demon- ftrandum, quo primus oftendi formulam / V 0x femper ad- mittere integrationem , quoties fuerit: o —($7) — 3:9. (37 ;) a8 991) 33 9* GT) FEHIPXOE ji ete $. 11. Ad hanc autem regulam demonftrandam, po- fito [V 0x — Z, per gradus progrediamur, prouti fundio Z continuo plures continet litterarum x, y, p, q, r, etc. Ac primo quidem contineat fundio Z tantum binas variabiles x et y, exclufis omnibus differentialibus, ita vt fit (2; 20: ($5 — 0; (32) — V, etc. — Hinc iam ex theoremate tertio erit (27) — (32), theorema autem fecundum nobis praebet 2 x ($5) — — (27 5) Cum igitur inde fit (27) — ($7), hoc valore fabftituto fiet 0x($5)— à rt Y), ideoque per 2 T dieiidphdo orietur haec aequatio: o — ($2) — 35 9. (25 prorfus vt heres meum M tulit Quoniam enim ex Z litterae p, q, r, etc. excluduntur, ob 09 Z — V 0x fundio V neque litteram q, neque r, naque $, etc. continere po- teft, vnde etiam formulae G 25)» ($2); ete. euanefcunt. el $. 12. Contineat nunc fun&io Z, praeter litteras x et y, etiam p, vnde ob 0Z — VOàx et 0p —q0x, quan- titas V etiamnunc q inuoluet, fequentes vero litterae r, s, t, etc. excludentur. Cum igitur iam fit (27 )— o multo- E magis ($2) — 0; (22)— 0; etc. theorema quartum nobis —À 00 nobis praebebit: à x( $2)— ox (25 E m, vnde fit (9- E (5). qui valor in tertio üheoremate fub- ftitutus dap vnde ergo etit eZ — 2 2. (27 93. Ur qui valor in itotintde B GHdà fabfüitutus praebet: 1 E] à x (5. 2) ($7 — 359 9 ($2): vnde uil pulus us noftrum criterium PORE qa) — x 3 (97). 9 (o $ x5. Inuoluat nunc funüio Z etiam litteram q, et quantitas V etiamnunc continebit litteram r, ob óq— rox: fequentes vero inde excludentur. Cum igitur fit 2 2 3E OD, q 8 theorema quintum nobis praebet 0x(2Y)— 9 x($2)— o, vnde fit (52) —( 3v)» qui valor in theoremate quaa fub- Ítitutus fupodita£ hanc aequationem: 2a (23) — 2x (2) — 2. Q3), vnde colligitur: Q2-09—452: Sabftituatur hic Soon in ihesidth dfe tertio, fietque ox($ —2x(35) —9. (5; — 3509. (53): vnde fit Q2) 2 Q3) — 42. Q3) 555 Q2; qui valor in fecundo theoremate fubftitutus praebet hanc aequatipieim E o4) QA AEAJ "up S 9v do.(97 (Gb ——— . Q x2 9 x3 QT $. r4. Hoc igitur modo criterium fupra memoratum, quod primum ex contemplatione maximorum et minimorum, - via maxime indireda, concluferam , omni rigore eft demon- Ítratum; atque haec demonítraüuo non multum difcrepat ab ea, quam fagaciffimus noiter Profeffor Lexell exhibuit, (No- or. Commentar.. Acad. Scientiar. Petropol. 'l'omo XV. pag. 127). Nunc igitur formulas differentiales fupra ex fundione Z dedu&as per vlteriores differentiationes euoluamus, quan- doquidem hinc innumerabilia alia theoremata, iis quae de- dimus fimilia, deriuar polfunt. Quupus eer pue MUT ne ue td $. rs. Sumamus primo [folam x pro MM ac fada diíferentiatione prodibit G2) — G2) -e p 3552 -- 4 G3) 9 r G2) -t ete vbi fi ftataamus gam 2m erit 927) — G3. 4- p 65) 2- a ($2 4- 7 (92) 2 etc. 9 x? vnde manifefto erit Qp(297)— — oT -— — Ó. (287), atque hinc Mo fequens theorema: Si. fuerit f V 0 x — Z, tum femper erit [9x Q2) — C22» fiue 0x (952) — 9. 022). $. 16. Sumatur nunc pro eadem formula fola J^ pro variabili, ac reperietur Ioua 44a z4cad. Imp. Scient. Tom. IX. M 00V 9oV 03 Z 93 Z 93 Z 22557 PERRA Pss pe vbi fi ftatuamus (297-) — T, erit pur m 1) p (22 DII EE 1) etc. vnde manifefto erit 98v |— Ed 392 3 og ges T c dn Es ficque adepti fumus fequens theorema: * Si. fuerit f V 0 x — Z, tum femper erit [2x(225;) — (22-7), Jfalg.a x ( 38.) 9 n Q0xo)y **9x95/* i 715255) * ett. f. 1z. At fiíola p variabilis capiatur, tum erit — mL Z QoZ dxoy^ Hinc ergo fi ponatur ks 3255) — T. ,; ét 99V |— 99Z 0x(j327)—09T-r2x($5. -): hincque formatur fequens theorema: Si fuerit f V 9 x — Z, tum femper erit [2x (325) — (225) -- fox (227), fue ox 9oVv D] — or(25 —9z(y25)-0.(g2. c $. 18. Sit nunc fola littera q variabilis, eritque Q9oV Y—( 9 ; PF rera pM quU 3234) * ete. a 990Z ) 8px hinc ue fi ponatur (35; Dra ;)7— T. erit Qr(j97)— EU Tu. ox (225) ? hincque formatur fequens theorema: Si 01 m— Si fuerit f 7 0 x — Z, tum femper erit fx (233.) — (325) 4- f x (232.) , fiue 99V. J99Z|——^4 23292 ox Pan Ox(j5—)— Q. 3994 Euolutio formulae 9VY—( 232Z 99Z Q92oZ EA : Goss npe igpss re roy no ete per vlteriorem differentiationem. $. 19. Hanc euolutionem iam multo concinnius ab- foluere licebit. Cum enim forma propofita ita repraefentar poffit, vt fit ox( $2) — — 9.(8 2), fingulas -differentiationes in hac forma Wo poterimus. Ita fi fola x variabilis fumatur, erit 9 x ( ew yeetos (327); quod iam eft theorema 5. praecedentis euolutionis. Simili modo fi fola y variabi- lis fumatur, prodibit 9x (227) —0.(222), quod eft nouum theorema ad hanc eB BELOnem dept vnde fit f 0 x ($ o — (3*2). Hinc patet fi fuerit f/'V 0 x — Z, tum ier M 3av — (32aZ 5 pt ive nis Sed fo 0x(927)—(322). At fifola p variabilis accipiatur, tum quadam ix m opus eft, quoniam hoc cafu nou erit 0x (327-) — 0 AER 34 fed. infuper aliquod membrum accedet. Quoniam enim formula 2.(97) euoluta continet partem pO2x(3?2), huius CHR praebet 2x (227), quod ergo ded adiici oportet, ita vt fit Ch S 33Z 332 9x(y)-o9.( 959p )--2x(922), confequenter fumtis integralibus erit Qa AGE (nasz 222 [2x(327) — (3555) -/ 9 x (322), ficque integratio formulae fa x(22-) infuper inuoluit for- mulam integralem 9n 0x (227). M 2 $. 20. eme— () D | . 26. Sumatur nunc fola q pro variabili, et quia formula 9. (37 Z 5) continet terminum q à x (z e ;)» variabilitas ipfius q prodücet terminum Qx (755), lcge orietur ifta 9aV Y—— 93Z 92Z 227) 9. (72) 2-9 € (327. ; Eodem modo patet fi fola littera r variabilis accipiatur, tum fore Qoav UR 90237 QoZ 2x(327)—9. (05) 592 (575:)- Ac fi fola s variabilis accipiatur, tum erit Do, QE Y 3c 2232 0r(37) — 9. ost I5 0x(j73: ficque porro aequatio: : Euolutio formulae jl x 322) p R2 )-- q ( m -4-r Jem ) -r etc. (22 ?) quae reducitur ad hanc formam: 2x (23) 2. (22) 4- 0x (22). $. 2r. Onodfi hic vel fola x vel fola y variabilis accipiatur, haec forma fimpliciter differentiata ad quaefitum perducit: priori fcilicet cafu prodit 99V | — 922 332 0x($357)-—9.(25)- 9x os PUERUM vero erit 0x(j5 s? (9525:). 0-0 19 z haecque duae formulae iam ante prodierunt. f$. 22. Sin autem littera p variabilis ftatuatur, quo- niam formula 9.($7) conr partem -p o x (.297.), huius 9 yop differentiatio we 0x(327 : ex reliquis membris oriunda , sabes. addi debet; hoc ergo modo prodibit ifta aequalitas: 0x 93 2a (933) 2. (33) -- 22 x (222), vnde intelligitur ob 9 p?, quod in prima formula occurrit, pottremum terminum duplicari debere. "l'heorematibus autem hinc deducendis non immoramur, quandoquidem deinceps theoremata multo generaliora producere licebit. 1 25. Sumamus nunc folam q vaudabilem, et quo- niam in formula 9. (3 e 2) euoluta occurrit terminus cu ee NA ex hoc per diutucu unns nafcitur terminus o x(Sp7 : Hinc ergo fada tota differenüatione perueniemus ad dian ,aequationem: 0x($327)—09.(227)-2-92(227.) 4-0 (237), vbi patet, ob bina elementa 9p et 2 infuper duos termi- nos adiici oportere, id quod etiam eueniet, fi fola r pro va- riabili Ananas nam quia formula 9. (22) continet terminum rox(29— 25,» €x hoc per dilibuit iibi prodibit 9 x ( v quem ad reliquas partes infuper adiici oportet; loce mo- do impetrabimus hanc aequationem: dogm ce 99 922 922 prior sun E du du 2720 id i4 Ap a9 : vbi iterum ob elementa 9 p €t 9r duo membra accefferunt. | Euolutio formulae (2) — G7) P6222) - (227) -r (222) ete. (27), quae feni eft ad hanc: 0x(5)-—29.(2)4-9x(5:)- $9. ^4. Si hic vel x vel y folum variabile capiatur, nihil in uUo CAM de nouo accedit, eritque cafu priore c 3) — —9. Gs 2 un E: (3595 M 3 po e— QAO pofteriore vero cafu o 0x(j2)-2. TD axaete d In reliquis autem differentiationibus elementum 0 p fuüppe- ditat, praeter differentiationem folitam, infuper membrum 9x(297), at vero elementum àq producit 9 x (227); ele- mentum pormn Or producit 0 x($ va E eura du vero praebet 9: (277) etc. quibus abis dtultls obtinebuntur fe- quentes aequationes : re I 2x (33V) —2.(222) 4-25 (222) 4-2. (332.), 3p34 3p34 E y I. 0x (577) —0. (T2) 29x (227), IL 0x(327)—0.(3275) 2-02 (227) - 0 1 (227), IV. 9x (329) — 2. (382) 4- 9 (222) 4- 2. (222). f. 25. Ex his iam abunde perfpicitur, perpetuo, quo- ies vel fola x, vel fola y variabilis accipitur, differentiatio- nem more confueto inftitui debere, nihilque infuper effe ad- ilciendum; Ífin autem reliquae litterae p, q, r, s, etc. va- rabiles accipiantur, tum pro quolibet elemento fiue 9p, fiue 0q, fiue 9r, etc. praeterea vnum nouum terminum ac- cedere debere. Hinc igitur pro folis elementis 0x et Oy iam fequens theorema latiffime patens conftitui poteft: Theorema generale :r. Si E [/ 9x-—Z, tum femper erit pas (Qz5Y [rie Z dia! 237) ox* oy? Euo- 95 —— Euolutio harum formularum, fi fola p. pro voriabili accipiatur. $. 26. Quemadmodum iam vidimus, cum fit 0x($7 —2.($2) a- 0x ($2), tum fore PRORA ERN (237) 4- ; gr 202), ita fi porro dilkorcuticiadae ex [ola variabilitate ipfius p prodibit: Prope vy--9.(9:2y-1:30m(297. y, 10 9 p3 FEX OPE IF. 2x 25) 7 9 (3) a- 49 1 (5255); HI. 9x(Z1)—09.(9i)--5 M eREE vnde generaliter habebimus oY V oZ 9Y Z ; 4S[.—— y-— t cin 0g ume "(eg eM jsp) Bcc inus fequens "Theorema generale ». Si fuerit f V 0 x — Z, tum femper erit P tuae P Ra: hal A// fà ( ort8-vz j| (, S RRENETLABP. UHEPSCTURRNORUBNS 0x^2y/0p') Now oylop Y àv ay trap $. 27. Quodfi iam vlterius quantitas O. pro varia- bili fumatur, et differentiatio continuo repetatur, inueftiga- uonem fequenti modo fufcipiamus. Quoniam elementa 0x €t o , jen turbant, proficiífcamur a formula fupra inuenta: ((5)7 Ó Dy ;5)*Y? "735: vnde m—À Q6 vnde variabilitas folius q primo dabit: Qr [^ eov as( Pons 7 ) Óx CODENBS oras) 7 Q: 0 p*àq a 9 yop*-—'90q 3 oY-t EZ uc Cms f. 28. Quodfi iam hanc formam vlterius fecundum àq differentiemus, perueniemus ad hanc aequationem: QY--2W Ai ow auc $ydrdibg 2s (2 y. (rs) vo ao) "(s id apraq) "Y TASyopr-tog Agua: | wider] et denuo differentiando prodibit: - | or*3Vy C A)-eY Qr *37 ) ox C XX m ers «(2555)7 Q: preda - Qpi*0g CHR 3 N i haecque fufficiunt ad Hsc UR d -4-50x 'Theorema generale 3. Si fuerit [V 0 x — Z, tum femper erit: 278r Y 87V ort PB Ye j^ i. je "gy? VC c * oy? 9p! oq" Q8 YS 7. » QrtB-YS 7 SEN liia 3 " * 0x*0y*Qp'**t*og — --yf2x $. 29. $. 2o. lam pluribus ambagibus opus non erit ad fequens theorema generaliffimum conftituendum: Theorema generaliffimum. Si fuerit f 720 x — Z, tum femper. erit ort 8 v6 eB V ses Qr 8e y $t RO p ub n *QyBop*'oq! or 0s? Gora *Qy*op'oqi or ost 323 QrtBtYcP$a- EZ ) y Po apr paras Qut 8- Y*6:e(7 ) Ug Env ac x p Ei. meos 0x*0y?opY*'0q?— 0r ost Qr tB Yyc-5 rà ) ox'oy?op*oq *'Or —' os Qr t8 vrbe ) prs] E EMCOS Ue MAGRATEIVE NE HB ON po mera -- ef ox JVoua Z4&ia Acad. Imp. Scient. Tom. IX. N SPE- — OR —À SPECIMEN INTEGRATIONIS ABSTRVSISSIMAE HAC FORMVLA n 4-x) y (2a — 1), CONTENTA E. AuGore L. EF hERO. Conuentui exhib. die 26 Mart. i771. P IMCIS (3oranam haec formula non adeo complicata videtur, tamen non dubito affeuerare, vix quemquam fore, qui, poftquam omni cura et fagacitate eius refolutionem fuerit aggreffus, tandem non agnofcere debeat, fe oleum et ope- ram perdidiffe. — Facile quidem foret iftam formnlam a fi . . . . LI Cl fud D 12 gno radicali biquadratico liberare. ponendo 2 x x — as" E DS t vnde fieret »(- «X — 1)— y 2-3 tum autem. foret. — ICA HE o — .2t9tyvy9 wig» ideoque Óx —— L3 et un TAG. E VIDET AO Pre wt—1)Yy2 » quibus fubfütutis formula propofita abit in hanc: 23t 2t 2.0 sgeY2it-ci—y2!" iia | Haec- Caec formula autem ita eft comparata, vt dubitem, eius integrale vllo alio modo erui poffe, nifi per praecedentem formam regrediendo, atque omnes operationes inftitaendo, quas hic fum expofiturus, quae tandem, praeter omnem expeQationem, ad integrale per logarithmos et arcus circu- Jares expreffum perducent. $. 2. Praecipua fubftitutio, qua via ad refolutio- nem fternetur, in hoc confiftit, vt ponam x L2 ; tum enim erit 2 x x — iuis URN , vnde fit j ILy£6yyur. gxp—i- — A Ó: : — JD yt 1 9X — 99» deinde vero erit 1-j-y —22——, hincque 7. — 7254. Quamobrem fi ipfam formulam propofitam per V d. E mus, enit fada hae 4ubftitutione- d Tm B yi — & yoy v2d EG WE AIU Uc mau it p (y y-- 1) Y (y — 6y y 4-3) 2 Bus: Verüm ne haec fomula tra&ari poteft, nifi DE Vi uin ; poni enim oportet y — z y — 1; »onatur iita Sepa Ms EU sf : 2c D) gZ SM (1 — zz) y (z' À- 6 zzi -i- 1) quam iam fingulari illa methodo, cuius aliquot fpecimina non ita pridem dedi, tradare licebit. Pono igitur br. gr. L4 ! j rae: -d-622-1-2') — v, vt formula refoluenda fit zo Jim indeque poro V— — E Z, ad. quam formulam refoluendam 2 intro- a-———A-X T OO — introduco duas nouas variabiles p et q, ftatuendo p — 15-5 et d — ——^, vnde ftaüm fit 4 4 — 2-1- 192 z 1-9 25 porq t cc $. 4. Praeterea vero ex binis formulis affumtis erit primo p--q— 2$ et p—q —?*, vnde colligitar z — ?—15. finc differentiando e q —— 2(49?—b2934) 1 —Ü€ xit wo E , vb loco p-i- q Ícribamus valorem 2, fietque. |. ,. 35 — vt (9p vinpod); Erg | poro vero habebimus 1 — zz — pqvv.. His valoribus fubítitutis erit ut : Z ipu pav. quae formula, pofito loco v valore UM $ abit in hanc: — — 90P—f)094)——2a 3 F] Lift le für cg perta. $. 5. Fada ergo euolutione Hoitibagui- E. ra qd; iai 40Z—p--àq— 122—221. Cum autem fit p*-- q*— 2, ge pí-2—q et hinc op— II 9q — ... 13905. : P i1, fimilique modo * 2-55 hincque col ligitur: L1 P-—— 4*04 94 et — $94 -— propt b 9 — qi 2— 5? j 2962 quocirca nancifcimur 4- Ó 7gu-—- z 7) or jest 99 i ficque bore ad ner E neis differentiales, in qui- bus binae variabiles p et q a fe inuicem funt feparatae, cB pn pU " habebimus fequentem expreffionem : i 9 q ; vnde — IOI e vnde jam manifeftum eft valorem Z per logarithmos et arcus einculares exprimi polfe. ' y. $. 6. Ponamus enim p—ry 2, vt fiat — c——————À 4 wá e. LI Conftat autem effe apu JEELME ;Atang.r; EY—rA7- 4 hincque adeo erit HEP. 5 Ys hg Qro ,A tang. P. — P 4- 94 y2 buc p 2. 25 yz quod cum fimili modo fe habeat cum altera mong f; 24. - " reperimus tandem esie PR iE .Aang, P. 3 $. 23 y2—p. 4. 23 | ya TENE oss TM $.25 ^ y2— 4. E ps vbi tantum opus eft loco p et q valores affumtos - reftitue- ze, qui funt p — —— et q — -—5. $. 7. Cum. iam ipfum integrale quaefitum fit V — — 25.2, erit nunc : | " N 3 Àj D E atque fi loco p et q fcribantur valores affienati, prodibit 4 4 d d Ercna hec : vys--r-—z e Ap 4H T. D ÉASRE NESSSTUIIIU py2—x-—£ vyz—i--z I-|-z db —$jAtang ru cPe 5 À tang. , 4 4 vy2a vy Hic primum obferuo, ambos arcus circulares commode in vnum.contrahi poffe ope formulae A tang. a -1- A tang. b — A tang. Luo quo fado erit 4 4 Vl AMUIBSSNM ni SEMEN UER UE net y Übuwe ansenueup UA I ccm gamme vyz—1i-—z vy2z—ri-zr. 4 2opys —$ A tang. vVvyz—I--ZzZz $. $. Simili modo etiam logarithmos tam numeta- torum quam denominatorum in vnum contrahere licet, .'e- ritque. 4 4 E " l[v y 2 4- 1 - ] -- 0l [v y 2 -À- 3 —2] — lH I(v y2 2- 3 —z z], L[v y'a — I—7] -l[v y'2 — 1 4- 2] —l[(vy2—j—zzu, hinc- — IOQi m—e hincque habebimus fequentem formam: -3 Er oys-esfe m Lio Qo 2vys (v y'a—1p —z2 vvy2z—ri--zz Vbi notetur effe y— y (1 d- 652 -- 2), $. 9. Nunc vlterius. regrediamur,. et quia. pofaimus. y —*y — I, fiet nunc j conu dd et iam erit vs—y(r—6yy--y), hincque per y integrale quaefitum hoc modo exprimetur: yeusjpererdcerr ipdpuiivve s. (ys —iy-ery ier it $. 1c. Quoniam igitur pofueramus x — ?7—, erit y y —4x-1-8, eratque 4 4 ! y (azrz-aijlly E2eb»5t— ze z^ [8 eo vnde fit vy -— y (2: — 1), quibus valoribus fubftitutis integrale quaefitum erit 4 [y (xx — 1)-3- 1 H- 4 x H- 8 4 [sy (2 rx— 1r) — 1P-4-4x--3 4. Y (2 2 5 — 1) £y (2xz—1)—4x—4 Yl-i -—;Atang. Fada puse 104 medinm Fada autem euolutione reperietur: yi 7, r-d-x-Py(2xx—21)-- y (ax — i) — 4 —— —— À— À— — | ce E xzz—1:)— y (2z3— 1) —Àx rev Go mars ovo PIN V(akwx--i) Ec quae expreffio etiam ita referri poteft: vli JixikYGsii—)—YGzz- i) pdo8 dame noc Y Ge ad y (» zz — 1) r--x —y(»xxz— r1) Hunc igitur valorem operae pretium erit per fequens iem rema in medium proferre. -- 5 À tang. Theorema. Propofita hac formula. differential : 0x (r-ez)y (aa x — 1) eius integrale fequenti modo per logarithmos et arcus circu-- lares exprimetur : 5 V-prgpieiguw QU ny er. 1 I--x--y (2xx—1)4-Y(2xx— a) I à y (2x — 1) | e tang. PUES Ctm ls VACIN Pom A iy Coxol- ue— pO mmm Corollarium :. Hinc ergo fi loco x fcribamus — x, erit | e acr 0x ;jI—ÓEcy(2xx—1:)—y(2x2—3i) E 1) y (2 yx—1i)'. : 1—x4-y (2xx—1) Bas cce) 4 à yY(2xx—1) . Corollarium 2». Hae integrationes eo magis funt notatu dignae, quod formulam differentialem non generaliorem admittant. Ita haec formula differentialis: PADEARIP LS Acad — ——— integra- (xb a2) Y (Bx x — 1) tionem haud admittit, nifi cafibus a — -- x. et B2, vel generalius, nifi fuerit 8—-2 2 «a. $. rr. Ipfam autem formulam noftram integralem pluribus modis transformare licet, vt fignum radicale biqua- draticum elidatur. | Commodiífime hoc praeftabitur, ponen- do y (2zx — 1)— 5, vnde fit 2x x— r-Ls*, confequen- — 4,/123-s* : — $30syY2 M ter y — y 7, hincque 29x— 22:*2 , quo valore fub ftituto erit MEE f 9ssos " [Y224-Y 1 a-sS)] Y (za- s? cuius ergo formulae integrale erit N — : Y2--Y(1--s4)--ss Y 0—sYy9o Y243-Y(13-s434-5s5Y24-s y2 E Y2 -- 5 À tang. VTTYGG GL --54)— ss y 9* ANoua Ada, J4cad. Imp. Scient. Tom. IX. O f. 32. ed ro6 eer . 1*5. Haec aatem formula fi fupra et infra mul- liplicetur per y/2— y (14-5) ita in duas partes. difcer- petur, vt. fit MES ossosY2 L--—Me sos " emo ee I—54^* Cum igitur fit | ;9) QiS $.. es Y Li i DEAS I--$4. rays 12-55? ent Qs:sos LJ :-s N ficque prodibit ifta aequatio memorabilis : Qssosvyo —1:]1-s [oS —$L LX — A tang. $ , 1]Y24Y(i-csfj)(s—rsY2 , ETE: pun | Y 24- Y (1 4- 55) 3- (sei- 1)5 Y 2 ün-. Á. tang. Y24-Y (14-:4)—55 y 2? vbi notaffe iuuabit effe A tang, 5 — 2 A tang. DIES . I1—SS$ Verum fi has partes coniungere vellemus, in formulas fere inextricabiles illaberemur. . Olim autem, cum huiusmodi formulas tradaffem, 1am incidi in hanc integrationem: ssos — RE 4 a ot out ERR S. , |"sY2 . [— vB 1—53 j;7; ^ Ang. pru vnde pro noftro cafu fit OssQsv2 —r]gsy2--Y(1--s9) x i; $419 311f leere 1—ss 5; A tang. Luo cuius expreífionis confenfus cum ante inuenta, propter ra- dicalium complicationem , minus facile peifpici potett. Alia Refolutio. Formulae propofitae V — 7 ox ———————. (14-2) y (2 32 — 1) $. 15. Vtamur hic fubfítitutione modo memorata 4 y(2xx—1)-— s, vt fit x — y —, atque iam vidimus fo1- formulam noftram hoc modo exptimi: Qssos EN 9ssos-yo UAE 2485, V f eoevnu ] V (z4-s4) —f EV Tsh , —s4* Cum igitur iftud dui duabus conftet partibus, id hoc modo repraefentemus: V — 2 y2.M — 2 N, ita vt fit ENS ssos ssos M —f—3 vm et N— [23 vbi pofterior pars nullam habet difficultatem. Cum enim fit E eLOY Y I Hi d DESERT ERE Me EREIQEIC o2*'r-rss? erit x EZi-$-i$ I —il1—$Atang.s, I f. 14. Pro priore vero parte, quae exigit maiorem fagacitatem, ponamus 7——* — t y2, eritque differentiando poosu jam r. vnde fit S S Y (X ^- s4) osg-— "db ss di ngarur qo I1 —5s4 quo valore fubftituto erit aM. s89:Y2. (1— 54)? Cum iam.fit y/ (x 4-5) — st y2, exit 1 --sf— 2 sstt et denuo quadrando r-1-25*--5? — 45*'t*, hinc aultferatur vtrinque 4 s* fietque 1-—— 255-5 — 4st (— 1) (a — sty, quo valore fuübítituto erit — —Joít IE ot 9M —i B —— iy . . j D ot - ideoque tota pars prior 2 y/2. M — :9—. $..2:5. Cum nunc fit Er ME CAps E. [2-—9" xy H-ií imn d erit ifta pars O 2 2 y2. à y2. M — 1I 5E-I- E A tàng; t; hincque pro t reftituto valore t — *7—9, erit —r:7]s5VY2-c-YV(xd- 54) LM, 2y2.M ilL vgAtang tu confequenter valor integralis quaefitus erit —1] sY 2--Y (1 4- s4) Y (1. 2- 54) V il S HERI s ckaerl --iA tang. Le: —$lL -- Atang.s. (. 16. Eft vero Y [s y2- y (1 4- 5$] — Vd lccasl Hae oe D y xA r 2 ENS UIS UR 2: * eodem modo: y ls y2—y(1-55] — yu m-[i—ysueulimy-—i hincque ergo prior logarithmus: 1] sY2-d-Yy (1 4 s4) 4" sy2—wv ua sn? iransmutatur in hanc formam: Y[sY9-- (1 —ss9)Y —1] --Y [sY9—(1—ss)Y —1)- 2 Y[sY2-2- 1—ss)y —1] —Y [s V2 — (1 — $$) y — 1]? quae forma porro reducitur ad hanc: 1 ILoxc Ladrcteem (P——s)y 7 [F- vbi imaginarum in denominatore non turbat, quoniam ad. dita conftante | y — x tollitur, ita vt habeamus iftam partem logarithmicam : Iia uvocRGras l[ipertaesg sxoitcsUGiest 1—ss mE D (I-- s)? $. rz. Par modo etiam àmbos arcus circulares in vnum contrahere licebit, hoc modo: Ponatur A tan DT -—Atan , eritque & &;1 q —uu p y (£ -4- 54) —— PA tang. T -— A tang. u. Erit igitur 10-059 — .2*— , vnde colligitux ulI-im:Y22-55 PU GÉUFLISSM) 7 ficeque ambo arcus erunt: 1—5Y2-4-ss Hec. resY29-Ess--sY(tu-s4) ^ A tang 5c A anges — A Tang yup o Sy. $. 1x8. Etfi autem talibus reduQionibus calculus inrationalium non mediocriter illuftratur, tamen formulae non euadunt fimpliciores; ideoque iis, quas immediate in- 4 venimus, vtamur, vbi, quia pofuüimus y/ (2x x — 1) — s, commode litteram s loco huius formulae in calculo retine- re poterimus. "lantum igitur loco y/(r--5*) eius valorem, qui eft x y/2, fcribamus, vnde fiet integrale quaefitum; V ilie —ibLL-sAtang. 2-1 A tang. s. $. ro. Quoniam vero quantitatem conftantem quam- cunque adiicere licet, loco l(s — x) fcribamus 1 (x — s), et quia A tang. * — go? — A tang. 7, habebimus: dicm ]23 —£i]L35 —$ A tang. 5. -1- A tang. s. H 4 x—s 1—S Ouod fi vero in forma, quam prior folutio fappeditauerat, 4 etiam loco y (2 x x — 1) fcribamus s, ea erit: ——1] x-d-x--s5s—s iL s rj E I-d-X-F$5--5 -i- 8 À tang. 1-d-x—535? quae forma maxime a praecedente diícrepare videtur, quia nulli adeo communes fadores deprehenduntur. Interim ta- men egregie inter fe conueniunt, ad quod oftendendum fin- gulans dexteritas in calculo irrationalium requiritur. O 3 De- —— [IO sen Demonftratio confenfus harum duarum formularum: —I I-c-x--ss—S pL Eg À tang. M ct —ib f —jbLE—$Atang.2-l-tang. s. X —S . $.2o. Quoniam logarithmi et arcus circulares nul. lo modo inter fe comparari patiuntur, neceffe eft, vt vtrin- que tam logarithmi quam arcus inter fe feorfim aequentur. Incipiamus igitur a logarithmis, et oftendendum eft fore: I-- X d-$$ —5 — x--s "TNT um Icd-x-J4-55--3 x—s3s D1—S$ fiue (x —s)(r-d-x-C-ss—$:) — 2 Ia. (€«-s)(r-I-* 3 $$- 35) X -1-5 $. 2r. Euoluamus nunc tam numeratorem quam denominatorem prioris fradionis, ac numcerator abibit in hanc formam : — $(r--ss)—25sr--ss-r- x(r--5s)-- xz, quae porro, ob x x — ——*, abit in hanc: — s(x 4-55) —25x--5ss-- x(x 4-55) 47 E (1 4- 5; vbi termini folam s continentes funt: — s(1x-4-55)-1- 55-7; (1 2 s) — — s(r-4-5s)--i(xr-4-ssy, — 4-3 (14-55) (1 — sy; termini vero litteram x continentes funt: ——2SX-cEX( ss 5. ficeque numerator ad hanc formam eft redu&us: i (x — sy (2 x -- x 4-55). $. 22. , $22. Simili modo denominatorem trademus; eritque fada euolutione s(r--5s)-Md-25x--5s5-I-x(r--5s5)-- xx, vbi termini folam s continentes funt s(r2-55)--55--2(1--5*) e(t 2-55)-- (12-55 —Bi(raess)ri-sy; termini vero litteram x continentes erunt 25x--x(x--55s)— x(x--5y, ideoque denominator hanc induit formam : 5 (1 2- s (2 x2- 1--s s). Cum igitur numerator et denominator habeat communem fadorem z(2x--:1--55), pars finiftra noftrae aequationis fit ITE — 2[—:, vü poltulabatur. $. 23. Supereft igitur, vt etiam aequalitatem inter arcus circulares demonítremus , hoc eit vt fit 5A tang. ——:—— — A tang. s — 5 A tang. —-. Transferamus hunc in finem Atang.-—- in alteram partem, et cum fit À tang. a -- A tang. b — À tang. haec aequatio proueniet : RA, A tang t: Lo SA tang. s. X-d-xx—ssx—sS At vero, fi loco x x fcribatar valor z (x -4- s*), denominator. euadet (1 — s s) [;(x — $5) H- x], numerator vero: s(22--1—5ss)—e2s[z(x—55)2- x], ficque adeft fador communis 2(x — $5) -o- x, quo fublato fiet À tang. : DER —2 Átang. s. Sicque perfeda aequalitas rigide eft eft demonftrata, quia notum eít reuera effe 2 A tang. s — À tang. —?* | . l1—ss $. 24. Manifeftum eft, in vniuerfa hac traQatione plura occurrere artificia analytica minime obuia et comu- nia, quam ob cauffam confido iftam fpeculationem Geome- trs non fore ingratam. lmprimis autem mihi maxime no- tatu dignum videtur, quod fimili modo, quo pofteriorem re- folutionem adornauimus , etiam iíta formula diliferentialis multo latius patens: Of repe ms A EH Ober inp Me (x —2x") V (2 x*— 1) ad integrabilitatem per logarithmos et arcus circuláres re- duci poteft, ad quod oftendendum [fequens problema ad- iungamus. Problema. Hanc formulam differentialem: ox (1 DR : d (1 —a)WA (a a? —3) ad. rationalitatem perducere. 0UW.-— Solutio. on $. 25. Ponatur breuitatis gratia L^" (2x" — 1) — s, vt fit 234"-—1:-L-s*"et I— s^ I-— X^ -—qX*—.9"I————-; : 2. ) vnde — pa) mm vnde forma propofita hoc modo repraefentari poteft: oV Erro n LA. $(x"* — 2") quae in has partes discerpatur: ox MS 9 £5 9 1 mM. eb 0N, s(x"* — s") s(x* — sg") ita vt fit 0 V — 0M —9 N. Cum autem fit » x" — 1 4- $?*, erit differentiando 3"—' 9 x — 52"—' 9 s, ideoque BN auouucd: EIS EU quibus fubititutis erit g^—29 0M ———————A PI et xc —* ) xL. quu ag. mum tes Mes ay — cus NAZI I-— Sg ? quae ' pofterior forma iam eft rationalis, ita vt fola oM onebis; ,txadanda. relinquatur. 495 . 35di AE UN 26. zd igitur x — st, eritque differentiando Qx—sot-r-tós. Cum autem fupra inuenerimus dut ams s go K 02 " élit | ar (rocas BAR-d)—2 fB- "AN. vnde fit aei. Uy sot Ww S—tU z quo valore fubftituto fit " Noua Zfda Acad. Imp. Scient. Tom. IX. P oM boli T—t qn—t 3M — 5 t ot quU: (x^ Lab. $2 n (s" s. t") quae forma porro reducetur ad hanc: ot oM. —z ————ÀÀMÀ (t" $3" 3 Cum autem fit 2 x" — 2s t'— I 4-52", erit j ("— "poet: J vnde fit " | ot . | n—2 )Y -— ot 2s 0s Zo £57 £245 f. ?7. Hoc igitur modo formulam propofitam ad duas alias ab irrationalitate prorfus liberatas perduximus , qua- rum integratio nulla amplius laborat difficultate et mani- fefto per logarithmos et arcus circulares abfolui poteft. Quo autem haec integrationis operatio , fi inftituere lubet, faci- ot I-g£? 5 ad pofteriorem formam reducemus , quod fit ope huius fub- fütutionis: t —1; fit enim hinc ' |—; lius et vno quafi idu perfici queat, priorem partem | n. Y. "T4 Bn La et QN LE uu w^ ideoque DES GL ut 9g MER E SED à ———— 5 E^" I—uw" juo — 115 -— quo notato erit NI w^ 9u $a. yIj——T-—:[——ágá. x—u E -$. 28. Simili modo etiam traQdari poffunt fequentes formulae integrales multo latius patentes: I CTORVENLLINF UT TE (a ba" Jy (a--ab&* ) ox Hf .————M————— — : (a-- bx") y (aa-- 3ab x" 4-5 bba?7) "n ECRIRE Itn iefiiann (a2-b x") V (à? -- 4 a ab x" 4- 6a b b x2" - 4.3 33 7) Iv ox : ^ (aba W "N 5a3bx"4-xcaabba? "--x o ab*x? "a- 5. b*x* ") quae omnes, ponendo quantitatem irrationalem denominato- ris — $, tum vero x— st, ad rationalitatem perducuntur pronis RHSREPAEORGR per logarithmos et arcus circulares LE E $. 29. Quo hoc exemplo illufiretur, fümatur LE gf abiorisob LORI t oe dine Goss (a--bz2) V (a) £a ab Gab bate z^) et cum effe debeat y (&: 4- d-4aabzz-L6obbat-z- Ua) ms et x — $t, exit Pa Pc -—À LI g^ i í op VrESESPÉL. V (à d- 4nabzzdo6abUs Ea laf) et differentiando Qx(ad--5aabxx--5abbx*--bx).. AH iN BID ITT TWEITS "GDOoNC Tiger 7$ Bhe t aodapap ps ($--4aabxmcua6dbUxt ada c có RU. 0 x (a 4- b x xy otzE zt ——5» ideoque (à32-4aab xx--6abbzx*o- 4 0 x*)5. 355 —t(P - 4aabzz- Gabbatoc aUas) (a--bxxy quo valore fübfütuto fit 9m lcu ooi nd s$9t (G3 5xxfA4 (ac b xx? : Eh x89f ; fiue 29V —4——,.. Eh ver piedi! 4-4aab22x- -6abbaf-—4 bae ttn PETS, vnde fit (a Ap b x x)! 8X b a5, quo fubftituto. prodit de- "nique 0 V — eua i T igitur forma iam eft rationalis. . 50. Quin etiam haec formula adhuc géneralior ope fimilium fubftitationem ad rationalitatem perduci ideo- que integrari . poteft: AS yv — y"—' 9x (a 4- b x^) [(a 37 b x)^ — t^ x^v quod ita oftenditur. Ponatur (a-t- d drm Uz me —s5, vi habeatur , QVE. Ue did n ! . 0 d $52 ) (a 4- b x") s* ha i.m € v Pona- e— 117 REX Ponatur porro — —t eritque crave?:ma P» Tu 9 uc , X Q--b5x Porro cum fit 2; — 9* — 97, ob j" iuil-ipe xicriA bat i)yos 5 . (a4-b xy —b x ot PE [— LY d (a 4- b at — 1 x Su t € (a. -- b x") — b^ x^^ aom E CELE n 2 m nu , fiue — - (a -bry-—:. ox jt t Ca Ugetit0g9t (a--ba py quo valore fübftituto prodit ot x^ "qm ot pP Pee E vnde fit dE uo T Au Eft. vero t Ui. as A T, A gAn (a -- b yj m $5 qu T uem Ü', vnde fit dissi t" nA t^—9t e(r-L-b tf" a SUN I Miro igitur "bns etiam hanc.pofteriorem formulam genera- lifümam ad rationalitatem perduximus, quae reduüio ideo notatu. maxime digna mihi vifa eft, quod'tales fubftitu- tiones fingularem. dexteritatem et Cid artificia calculi re- qeimqns, | Tus ; | ' , "on | CP Ne -——— T1 8 INTEGRATIO FORMVLAE DIFFERENTIALIS MAXIME IRRATIONALIS, QVAM TAMEN PER LOGARITHMOS ET ARCVS CIRCVLARES EXPEDIRE LICET. AuGore L. EVLERO. Conuentui exhib. die 26 Mart. x717. Problema. P ropofita hac formula differentiali: decime. -- soimdLi anii (1 4-2 z) y (x 4-6 zz 4A- z*y eius integrale, per logarithmos et arcus circulares . expre[fum , inuenire. Solutio. f. x. Ponatur breuitatis gratia V (x unb £-- 2*)—v, vt formula propofita fit 9 V — pxnclj? etnunc loco z binae vauabiles p etq in calculum introducantur, ponendo p-—7— et q — —75, eritque p'-4-q* — 2 ideoque p? 0p -- q? 0 q — o. Porro a—— pDIOQ s— Porro vero erit p-1-q — 2. et p.—q-——77,. hincque fiet $—9— v, exiltante 0 z—- Ei $3-4 3-4 f. 2. €um igitur fit 2 —?—4, erit oz —*22*—920, | p? vbi ob p-- q — 2- erit 0z —s up (bg bg 0q). ^ Deinde vero, quia eft 0p — — £51, erit qQp— poq— —?33. Simili modo, pofito 0q — — £727, erit q0p —p0q— x propterea quod p*-1-gq* — ?; ficque elementum 2z duplici modo, fcilicet per 9p et per oq habebimus expreffum, erit- que primo 9 z — — TA , tum vero 0 z — 2722. , quam duplicem expreffionem per 0 z — vv 0o repraefentemus, exi- ftente vel 9o — TU soil Qu—--9P. $. 5. Deinde vero ob r-r-z—pv et I—4--qv erit 1 —zz--pqvv, ideoque (1—zz)- pq; ficque numerator noftrae formulae erit Ooz(r— zz) -—:$ p pqqo«. Pro denominatore autem habebimus 1i-i-zz —j(pp--qq)vv, ita vt iam totus denominator fit 1»? (p p -- q q) , quocirca ipfa formula noftra propofita ita repraefentabitur: QV —2v2?f$4499 — — 4ppaqoo CINE RUN (P--qiPP-c-aqY Multiplicemus autem porro fupra et infra per p — q, vt prodeat ifta forma: | QVIiitb—pbbqque uo Pm u- —ÀÀ31 C nunc numerator ex duabus partibus conftat, ytramque feorfim euoluamus. Pars igitur prior, quae eft [EHN , fi loco 2€ valorem priorem fupra datum fcii- ML. fcilicet Qu - E cA ext — Ti ai quamobrem me— [ OC) s——Ha fi hic in denominatore pro p fcribamus eius valorem 2— q, ifta pars erit per folam variabilem q ita exprefía: —222 22423, Simili modo altera noftrae formulae pars — Ec s fi loco à fcribamus valorem -- ??, induet hanc formam: E. Hic igitur loco q* fcribatur 2—p*, ac pars ifta iam per fo- lam variabilem p exprimetur, fietque — -1- ???9? Li, confe- quenter ipfa formula propofita redu&a eft ad has partes: — 2?b0p$. 249494 o y — 1—$* rg? quae non folum funt rationales, fed etiam binas variabiles p €t q penitus feparatas inuoluunt. f$. s. Ad integrale igitar inueniendum notetur effe 2 bI I EGLI ee spe cT r x dod erit di partis integrale 2ppop — f 29b ..f 9? —I]ri-c?.. cR He de $$ z abes — A tang. p , eodemque modo altera pars erit [23223 —glI—1— A tang. q, q-— 24 I quamobrem totum integrale quaefitum erit — NES gl tb — gl 1—-1-L- A tang. q — A tang, p 430) Adi $. 6. Reftituamus nunc loco p et q valores affum- tos, Ícilicet.p — —— eL. q — *—7, eritque niriooiIqitialMt — I]v-c-I-c2 I39v--ri—2z tang V zzgl f21t5—3l2 ves t A Ang ien EE£4 vbi cum fit T —b À tang. a — À tang. b — A tang. —T erit A tang. oc UPMMEN Ur rog EL quf 2vz. vVU--I-—zzZz. Deinde etiam logarithmi. inuicem combinari PoRfapP. et e fultabit. i | A7 (v4-IJ-z)(v—IJ-28)».. A tano... 292 |^. , t od rs P OEII IA À tang. 772——. : n Quin a— [2I mM Quin etiam vtile erit logarithmos hoc modo iterum fepara- re, vt fit v-d-Id-2 | IJv—I--z 2v —ÍELER-SHIpLImi— A ing. zia $. 7 Haüenus conftantem per integrationem adden- dam negleximus; eam igitur nunc ita definiamus, vt pofito z — o ipfum integrale V euanefcat. Hunc in finem conia- deremus z Ere minimum, etquia v — (x 4-6 zz 4- 5, erit v im r--izz; euidens autem eft huius particulae mi- nimae 2zz ratiaheti tantum in pofteriore logarithmo effe habendam, quoniam in eo occurrit v — r. Hoc igitur va- lore fubftituto erit nunc noftrum integrale 2 34 rfi 355 wy / 2252-5 — A tang. r 225— 2—2 DelLu f. s. Hic iam quia z eft quantitas minima, erit e — 2; alter vero logarithmus erit 2blL vbi loco conftantis adiici debet |— 1, vt haec altera pars fiat RP cuius; valor erit $2, ita vt ambo logarithmi Laert Sou —— beant 2z. Deinde vero ex arcu circulari fit. A tang. .———. — AÀtang.z — z,ita vt tota formula praebeat V ——2z-—z — z, qui valor cum formula propofita egregie confpirat ; pofito enim z infinite paruo habetur 9 V — 0z, ideoque V — z. $ o. QOrmoniam igitur conftans addenda reperta eft L— 1, jin füperiod exprellione loco l(v-— x —z) fcribamus l(x--z—r), vi iam totum integrale rite determinatum fit: AI "3r I SM ENTE 202 9 Voas e ITE RUUNEESER ang. I-rvv-—zz25? qui valor euanefcit fumto z — c. AVoua Ada. Acad. Imp. Scient. Tom. IX. Q. Pro- Problema 2. Propofita hac formula. differentiali : V. LLL e 4 (r—22) Y (1 — £a 2-2 26) eius integrale per logarithmos et arcus circulares inueftigare: solutio. $. 1c. Solutio huius. problematis vix aliter erui pof- fe videtur, nifi ex praecedente folutione deriuetur. —Confi- deremus igitur formulam priors problematis hac ratione j PE 2 ! Ébiruek - cni. ME o ay G nsn Yin o —G c s (kr FEE 6a Y ta debita immutatione pofitoque » e d-6yy-4-y*)-—wu, integrale ita erit expreffum: —17]uv-3-I-4-y Eg W— ES 2 ^ 2» Uii -c—i lm - À tang xii xepraefentatam : ^f. 1x1. In hac forma ponamus y — z y — 1, et fta- tuamus formulam radicalem hinc natam V (1— 622 4-3) v, quo fado erit Ulf. MEL Ad uhmi (1—z2)y (1 —6zz-Lzy vnde patet effe U — V y/ — 1, ita vt inuento valore U eruatur valor quaefitus. V — ;9-,— — U. y — 1. Pofito autem. y — z y — x et loco u fcripto v, integrale U acci- piet hanc formam: U- —— 0g m — rgpvogd-r--£vY-—r I]v7—I--2Y—r.. 2vz2Y-—I U-E-DU—DEGPDELESTUS ÁAiang, 72— — sz. Totum igitur negotium huc redit, vt ifti logarithmi imagi- nari cum arcu imaginario ad realitatem reducantur, id quod fequenti modo commodiffime perficietur. $. 12. In fubfidium vocetur iftud Lemma fatis no- tum: la2-by —: —Il(aa--bb5)-- y —1 Atang.? , vbi ergo, fi loco b fcribamus — b, erit | lg, —b5y —z1 —il(ae--bb)— y —:Atang.?. quae fórma a praecedente fubtrada nobis dat aJj-by- —r1i .— b DIL -:yfc-—iAÀtang 7. atque fi hic faciamus b — c y/ — rz, crit D EY iÁtang. 5471, || &2-€ hincque viciffim ey — Y. I scu cuc CE 11^ n ec LE gpuo-- ry me i : À tang z ay £z: E Ib 0—— $. 13. am pro priore logarithmo imaginario erit Q —v--1 et b —z, vnde habebimus: ?--I--ZY-—I-— z hong gperg vH dto Adtangs oos Pro altero vero logarithmo erit a—v— et b—z, hincque ]*- seio sen s E UN Gatto. : v—I—ZzYy-—X US Denique pro arcu erit c—— 2 z et q — vU--1--£2, Vn- de colligitur: Quid ap Ra eri (D E m» E Axes ops xc eR cri quibus valoribus fübftitutis erit Q ^ nns I24 —— id ^ ! si NE - U-y-— 1 Aun, ;— -- I r-r-(v-4-2)» —iy-— Dii, qui valor du&us in — y — 1 praebet ipfum valorem quae- hitum: MT I-J-(v-4-2»* V TE quae expreffio, arcubus in vnum contiadis a transmutatur in hanc: NM-cIDIUCE £5 Atan rU ETAT . I-J-(70-3-2)? SET. scr Cy" $. x4. Haec folutio eo magis eft notatu digna, quod per imaginaria eft traduda, atque adeo nulla via pa- tere videtur eam direde inueniendi. Fortaffe autem fi for- ma integralis inuenta probe perpendatur, inde methodus excogitare poterit, cuius ope fine fubfidio imaginariorum ifta folutio direde elici queat, hocque argumentum vtique dignum videtur, in quo Geometrae fagacitatem fuam exer ceant. $. rs. At vero, quoniam nulla via patet, integra- le pofterioris "formulae direde inueniendi, operae pretium erit rurfus ex aequatione integrali differentialem propofi- tam elicere, vifari, num forfan haec operatio nobis inferuire poffit, aliam refolutionem detegendi, quam per imaginaria progrediendo, quem in finem fequens problema coronidis loco adiungamus. | Problema. Inuenire differentiale huius ewprejfionis: — IJ]I--2z--vvo—9vz 272 Nc-ohi c aeos À tang. ——77 75» 4 exiflente v — y (x —6zz — z*). Solu- oae 125 M—— Solutio. $. 16. Ponatur 2707 —— ; oo* i--22-r-v-v Pp et eritque ; EDI [f Vx desc a Atang.q, vnde fit differentiando: EN T IIANGTCIT Eft vero ? —— 9?vàgz(r—z22-J3-vv)--220v|(I4-2 $— vv) à p — (I4-zz-^-vvyp? TEES OR P — 9vgz(r—22--vv)4-920 v(I--z22--vv ime (I-c-9sz—vvo? H eae. I--9z2--9vv--z4—9vovozz-4v^4 Deinde 1 RBBeEEI— nbl EGRE fiue ob »* — 1 — 6 zz -- z*, erit mud. e m gt tem are pacc m) Ecllppees (I-3-2 2-1 vv)? 2^ B ideni modo R2 — 2(I—722)(I-——2z-——vwv) "ODE T UMBSEWAWRS V quibus fubftitutis fit o0V— »vcQZ(I—Z2--vv)—zgv(ri-d-22z—vv) ZgaA (I—22)(I—22-7v«v) vO92!I—22--vv)—20v(Id-zz-rvv) (I— 22)(I—£z-—'v-v) p f$. rz. Reducatur haec expreíffo ad eundem deno- minatorem: E (x—zz)[(x — zz —275]— 42z2(1—z2), fietque Q V -—.—2795[I-—922»?—5]—20v[(X—cvP--(I-d-vvp-—9224) 4Zz(I—2z) -Haec forma porro reducitur ad hanc: ME TaUupec-pet Dre Ed. M 2(i—22) quae fi fupra et infra per 7? multiplicetux, ob Q 5 [erum — [0 6 v —1-—— 627-1 z' et $0vr——5202--2:0g—202(z2—3). abibit in fcquentem tormam: —— 1,90z2(I—6223-243)—92(z2s—53)1—525) dise (I— z&)v3 : A qua euoluta prodit denique god. Oz(ri--zzy ; 3 (1 —z2)y(x—62zz--zy Haec igitur formula cum propofita formula differentiali fu-. perioris problematis prorfus conuenit, ita vt certi fimus hu- ius formulae integrale reuera elfe uartrzcor- Db Usu KEIN etiamfi non pateat, quomodo hoc integrale methodo direda elici queat. EVO- EVOLVTIO LN LAE INTEGRALIS f 0z(5--z2) (14-22) Y (x -4- 6 zz -4- z?) PER LOGARITHMOS ET ARCVS CIRCVLARES. Audore L. EFLERO. (C6 NN du dicm SUUS as LULNNCUN aÓLL cL AH APT OÀ Conuentui exhib. die, 26. Mart. 1777. AES 15 eoisror facte | Tu V idetur hoc 8 ilis alio modo fieri poffe . nifi fatnatur C" Z—LX. Hinc autem fiet ^ 2909 - et 84-22 — 2(X—X-J-xx)—— 2(I--2x3) Óz—u— I-d-2z Ii-2--x (I-2-x)(I24- &*)?- tum vero 4 —— 8(I-- x4) 1 I--622z-1-Z — tr—cá5-» ideoque 4 TREE "unu y quibus fubítitutis formula propofita Beo hanc formam: f 2x(r--x) RO d :— 3? y (1 da) vii $. 2. c— [ON — $. ». Difcerpamus iftam formam in has duas partes: PER) dti wv fit: I UNA 3 hu e ME. ox n Ka mUr. gu (r.— xy -r x) (x — ax) y ( -pat) quas feorfim euoluamus. Pro priore quidem parte itatuamus ERAN vt fit PI gON Ad tum autem fiet Y (1 Aa) lg vini cop issus q*-— 940g; q —yf-- 129. de. ica I—1 Ax " I—14 2 . 4. —- ergo modo probibit P IER ii At pro altera parte Q. ponatur mm x at "vt fiat y (1-4- 3?) — u et x? 9x — wu; vnde deducitur: "Pues [L9 á o —— yA? ficque totum negotium ad formulas he oxoe E reduttum. ^ $. 5. Quo nunc has rer s Bride dius tratlare queamus, pro priore ponamus t — Pas, hocque modo erit ya poi fb. Nuné ver-eft —'2-— 32:5. AR ru p* T NM NK 7T * a I—p$4^ ^ 2'ri—$9$ 2*1--pp? vnde ht. PNPUHGI PIT "ea cüsiynda. 1 H tm ru Op 2 ya Á —BRD 2y2 LER p- . ideoque integrando: j m— [.0 0) t I-- I à p— — hm VD Pour —.— A tang. p, 4y2 2y2 ficeque erit pars prior: » I I--p 86s pr b/ L2) Aag p. x Vbi notetur effe pc t yz, porro vero t — « ,; et | Y (x 4- x) quoniam pofuimus z — LE, erit xy —2-—7, ficque tota haec pars prior integralis quaefiti per z exprimi poterit. $. 4. Pro altera parte O ponatur u—q y 2, Ret que Q-—.' f9499. wWuync vero, eft n i. E Val deg 44 — I1 I NITE. 2 r I—4* ?2' I—44 2'1--434^ vnde fiet 42394 —1 N C BMN Og. — TI d:9- T DEL ee zy B pealilo — iA tang. q. Hoc ergo modo inii QU : /]— — : AÀ tang. q. 4y2 amm 2y2 confequenter ipfa altera pars integralis erit * 240 — HI — EU . porro vero u — "26 4- x*), denique vero, Vbr ef in vt vidi ms cam mus, eft x — Mom Noua 241a cad. Imp. Scient. Tom. IX. R $..5. 3 u— 50 — d TA HIS - Quoniam. igitar omnes ifti valores funt cogni- jus formae propofitae integrale quacfitum erit / s92(5-r*2) Nr JEES EIER. SHE a G-ri9YG-reau e E) A ^ | i- A tang. p — A tang. q, de notetur effe . p ERN v —— p- et q— y (1 4-62 z 4-27). Losses I & 6. His ergo valoribus fubftitutis noftrum inte- grale erit os Vc6zs E os : y (r-a6zzoai) 1l V --6zz V) 1 E—Yy(r-6zz2u) ic LVIEL | ^ A tang. —.— À tang. y (x 4- 62s 354). V(ai 6222 z) Vbi notetur ambos - arcus circulares ita in vnum colligi poffe, vt prodeat z— r— Y (x-6z2--z) 2 y (1 4- 6z 4- z/) Ambo autem NaHEM ita in vnum colligi poterunt; À tang. m /(1--62z--2)-H-2 —1--Y (1-62 2?) zy(r--62z1-2)—z-4-r—Y (r2-6zz--25) $. 7 $. 7. Haec adhuc commodius exprimi. poterunt. Si Ld enim breuitatis gratia ^ ponamus y ( I--6zz-L ES —v, pars logarithmica noftri integralis erit I]v2*-c-z—I--vv —I]üuzvyzs—14 2). Z UZ—2--E— vv 2 (v—1)(9*—IX-—v) altera vero pars circularis eft. D tang. cigar er minia S40: R2 PRO- —Ü coe IHPROBEEMA! | GEOMETRICYM;, QVO INTER OMNES ELLIPSES, QVAE PER DATA QVA- - TVOR PVNCTA TRADVCI POSSVNT, KA QVAERI- TVR, QVAE HABET AREAM MINIMAM. Au&ore L. EJILERO. Conuentui exhib. die 4 Sept. r7717. — m LU huius problematis , quo quatuor pun&a in angulis parallelogrammi redanguli conftituta affümuntur, iam olim folatam dedi; verum problema generale tum temporis ad- gredi non füm aufus, propter ingentem quantitatum nume- rum , quae in calculum introduci deberent, vnde formulae analyticae penitus inextricabiles orirentur: quamobrem Geo- metris haud ingratum fore fpero, fi hic folutionem fatis fuc- cindam iftius Problematis difficillimi tradidero. $. ». Primo igitur quatuor pun&a data ita dispofita effe debent, vt per ea faltem vnam ellipfin ducere liceat , id quod euenit, quando quodlibet iftorum pundorum extra uiangulum per terna reliqua formatum incidit. Statim ve- tO ue vnica ellipfis per haec punda duci poteít, iam faüs D I3 ——— fatis conftat fimul. quoque infinitas alias traduci poffe, inter quas ergo noftrum problema. iubet. eam - protein $4 cuius area omnium fit minima. $. 5. Sint igitur Al, Bj C, D; quatuor illa punda , per quae ellipfes tranfire oporteat. Agatur per bina quaeuis pun&a A et B linea reda O A B, pro axe habenda, cui reda, per bina reliqua. panda C et'D dü&a, occurrat in pundo O, vbi initium abfíciffarum conftitnamus. Applicatas vero hic non more folito axi O A B normales;. fed alten diredioni . OCD parallelas ftatuamus; fcilicet fi vocetur abfciffa O X - x, applicata ei refpondens XY —)y femper redaé O CD pa- rallela eft comcipienda. ' Vocetür ergo ifte. angulus obliqui- tatis AO C —o, et quoniam quatuor pünda A; B, C, D, funt data, vocemus eorum diftantias a punQdo O vt fequi-: uu: OA —a; QB —b;.O.C z3o;er OD zc d, vnde ftatim tam ipfa latera quam diagonales per haec quatuor pun&a tranfeuntes exprimere poterimus. Primo enim erit AB.- b—a etCD-d—c; tum vero erunt reQae in figura non expreffae: A C Y (cc 3- a.a — 2a c cof Q) s. À D — y (a. a 2- d d. — 2 a.d. cof. «), BC-—y(bb--cc—2bccof.«), BD —y (bb--dd —2bdcof.«). Caeterum hic obferuetur perinde: effe; per- quaenam datorum pun&orum axis traducatur, dummodo diredio applicatarum per duo reliqua punda tranfeat; quod notaffe 1uuabit, quan- do forte redlae A B'et CD, fuerinit inter fe parallelae; tum enim axem per panda A i D Sus SUE duci conueniet. ? (j $. 4. Quià. nünc-curuas per quatuor punfa As Di. "Tab. I. C,.D, ducendas.ellipfes effe oportet; aequatio inter coord? 02; R 3 na- — p). —Q natas OX — x et X Y — y hac forma repraefentetur: Axzr-sBxry--Cyy--2Dzrzc2zEy-F—o; in qua ergo primo litterae A et C eodem figno debent effe affedae; praeterea vero earum produtdum A C maiüs effe debet, quam B B, quia alioquin. curuae in hac aequatione contentae forent hyperbolae. | Vt nunc iftam aequationem generalem ad ftatum propofitum aaccommodemus , ftatnamus primo y — c, vnde aequatio abibit in hanc formam: Axx4- 2Dx--F-—o, quae ergo praebere debet bina punta in axe pofita, fcilicet A et B, pro quorum illo fit x — a, pro hoc vero y — b, quae ergo effe. debent radices illius aequationis Axx4-2Dz4-F--o; quamobrem ftatuamus Axx-4-2 Lac anii Partie maire doit da .vnde fiet A-—m;D-— mteeb) et F — m a b. $. s. Ponamus nunc fimili modo abfciffam € HO vnde aequatio euadit C y y 3-2 Ey 4- F— c, cuius ra- dices dare debent punda C et D, fiue eius radices effe de- bent y — c et y — d ; quamobrem ftatuatur: Cyy-rz Ey--F zn(y—c)(y — d), vnde fit | E E-I-—-e243)etF-ncd. Ante vero inuencramus F — ma b, qui valores vt congru- ant, capiatar m — cd et n — ab; quocirca aequatio ge- neralis quatuor data punda compledetur, fi fiat: Ae, 4; "bac 2 Ec ab(62-d) et -Ei-abed; | ita vt iam omnes litterae, EE fint determinatae. Hoc ergo G—á I5. cm— ergo 1modo littera: B. indeterminata relinquitur, ac pro va- ris valoribus innumerabiles nafcentur ellipfes per eadem quatuor punda A, B, C, D tranfeuntes, dummodo: acci- piatur BB-Z A C.. Si enim. fameretar B B — A C, curua foret. parabola, fiue ellipfis infinite longa, cuius ergo area etiam foret infinita, quamobrem quaeftio propofita ad mi- nimam aream adítnungitur. Sin autem adeo: effet BB AC curuae forent hyperbolae, ideoque a noftro: problemate ex- eur. $. 6. Odaeramus nunc applicatam X Y. Manifes- tum autem eft .cuilibet abfciffaa C X — x geminam appli- catam réfpondere debere X Y et X Y^, quandoquidem ifta Tab. I. applicata curuam fecabit in duobus pundis- Y et Y/; quae P$ 5 ergo applicatae erunt radices igoceepd ue noftrae generalis, .- cuius refolutio dabit Mg MiTGRA niRibL vr olnpioat 2. penes —— HpüuevuisPuvo eT Lg rn? quorum Hr valorum alter dabit applicatam X Y alter vero applicatam .X Y^, ita vt fit: - Xy ts E—Bx— vV[(E--Bx? —ACzox-—2CDx—FC] ——o n E E Eo CUP sisiihe A Y/— — E— Bx-c-Y ((E2H- Bx -—ACxx—92CDx-—FC] € $. 7. Quia nunc ambo pun&a Y et Y/ fita fint. in ellipf per pun&a A, B, C, D tranfeunte, interuallum Y Y^ intra ellipfin continebitur. Quare cum fit Y Y/ — X Y/ — X Y, erit iftud interuallum: v Y Y/--— 2Y[(E-c-Bx?—ACxx—2CDz-—FC] C Ouod fi iam illi applicatae ducatur proxima cy y/, ea a oer remota eft interuallo x» (duda fcilicet ex x in X Y 'Tab. I. Fig. 4. -— o 1.56 X Y perpendiculati xv, quae ob Xx— 02x et angulum rXv-—-o, ert rv-—-0xf[i.ce) per quod fi interuallum Y Y' multiplicetur, orietur elementum areae Y Y/y y/, quod ergo erit | Ls: myT]qEJBx*—ACxrx—2CDzrz—FCL cuius ergo integrale, per totam ellipfin extenfum , dabit totam aream ellipfis quam confideramus. $. $. Ononiam quadratura ellipfis pendet a quadra- tura circuli, hoc integrale commodiffime inueniemus, fi rem ad circalum referamus. | Confideremus igitur circulum, cu- ius radius fit ar — r, ideoque eius area — c rr, in quo capiatur elementum, analogum Y' y'y Y, ad quod ex centro a ducatur normalis aT — t, erutque Y Y — 2 y (rr —tt1), ideoque. elementum areae. Y Y y/y — e0ty (r r —L1t). Hinc difcimus, fi integrale per totam figuram extendatur, fore f20ty (rr —t0) — mrr, vnde fi vtrinque per n mul- liplicemus, erit T | f[29tvV(nnrr —nntt) zzznrr, eodemque modo f2m93iy (nnrr —nntt)-smnrr. $. 9. Quo nunc hanc formam ad noftrum inftitutum accommodemus, füumamus £ — x 4- f, eritque f2m3xy[nnrr —nn(x4-fy] --mnrr, hincque ; | f2m939xfi.oy[nnrr —nn(x--ff]—mmnrr fin.c. Tantum igitur fupereft, vt iftam fornulam ad noftrum cafum accommodemus, id quod fiet fumendo m — £, deinde vero nnrr nnrr—nn(xff — (E--Bxf —ACxx—2CDx—FC, quae aequatio euoluta ita fe habebit: nnrr —nnff—-2*nnfx—nnxx mr — EE—FC--2(BE—CD)x--(BB—AC)xx, Hinc patet effe debere 19) nn — AC— BB, ideoque n —y(AC—BB); 29) effe debet nnf —CD — BE, mUHHe pus J'UNCIO hebelle- eit vt Bat Se EE—EFC rrcff-B5EBREL, vbi fi valores inuentos fübftituamus, prodibit : E ENIM RI bECTAEC DO Td o8 AC—BB? fiue Fr ——CCDD—2"CDE-ACEE . CF d VES (AC—BBp AC—BB His valoribus inuentis area tota noftrae ellipfis debet effe —mcTmnrrfn.o, vnde fada fubítitutione obtinebitur fe- quens expreffio: Tp ;,CDD-2sBDE-AEE)fino 7 Fíün.o (A C — BB? V(&C— BB) quae area etiam hoc modo exhiberi poteft: CDD--AEE—^2BDE 7 fin. 9 (DA. c ULIDAL — (A C — BB? Haec expreffio ideo maxime eft notatu digna, quod eius ope omnium ellipfium, areae totae fatis expedite affignari- pof- funt ex fola aequatione inter coordinatas, fiue eae fint rc- üangulae fiue obliquangulae. Ita fi habeatur aequatio no- üffima pro ellipü: ffxx--ggyy--ffgg; inter coordi- Aoua Ada Acad. Imp. Scient. Tom. IX. S natas VOS) s-——— [5 O sm natas reQangulas, erit primo fin. 6 — 1; tum vero A— f f; B—o € vs D-ojBHE-o Rc fe a. vnde tota area huius ellipfis per regulam noftram enti mf. $. 10. Quoniam igitur hoc modo omnium ellipfiunt per data quatuor punda A, B, C, D, tranfeuntium areae innotefcunt, tantum fupereft, vt inter omnes has areas mi- nima inueftigetur. Quare cum praeter litteram B reliquae omnes per quatuor data punda fÍimnt determinatae, fiqui- dem inuenimus effe A — cd; C — ab; » D — — cd (a -- 5); 2E-—-—-ab(c--d) et F—abcd: quaeftio huc redit, vt quaeratur valor litterae B, qui formulam modo inuentam reddat omnium minimam, fiue vt, pofito breuitatis gratia CDD--AEEC--A, haec formula: A—2BDE;: FE [2r (Ac Bpp^ Y(AC—BB minima efficiatur. $. 1r. Tra&detur ergo littera B tanquam variabilis, huiusque expreffionis differentiale nihilo aequale ftatuatur, vnde naícetur fequens aequatio: * SDE BF — | aB(A-2BDE) (AC— BB? (AC—BB?. (AC—BBj quae duda in (A C — B Bj producet hanc aequationem: ». —23ACDE--3CDDB—4DEBB--FB -2-3AEEB ! i — ACFB $. x2 — [$50 m— . 12. Ecce ergo tota folutio problematis propo- fiti perduda eft ad refolutionem aequationis cubicae, quae cum femper habeat radicem realem, certum eft, quomodo- cunque quatuor pun&a fuerint difpofita, femper vnam el- lipin affignari poffe per quatuor illa punda tranfeuntem , culus area omnium fit minima, pro qua aequatio inter co- ordinatas x et y exhiberi poterit, fi modo loco B radix ex illa aequatione cubica oriunda fubftituatur. Quodfi for- te eueniat vt aequatio illa cubica tres admittat radices reales, totidem quoque folutiones locum habebunt, qua- rum autem indolem aliis perfcrutandam relinquo. APPLICATIO huius folutionis ad cafum, quo ellipfis minima dato pa- ralldogrammo circumfcribenda quaeritur. $. x5. | Cum hic latera oppofita fint inter fe paral- lela, neutrum eorum pro axe accipi conuenit; quamobrem alteram diagonalem pro axe fumamus, alteri vero applica- tas parallelas ftatuamus. — Sit igitar AD BC fparallelo- grammum propofitum, cuius diagonales AB et C D fe mu- iuo in O interfecent, vocentuique A O — B O — a et CO--OD c, angulus vero AOC — €. Quibus pofi- üs ponatur abfciffa quaecunque, fuper diagonali A B a pundo O fumta, O X — x, eique applicata refpondens, al. tern diagonali C D parallela, XY — y, fitque aequatio re- lauonem inter x et y exprimens: Axr--2:Bxrxy--Cyy-H-2Dr--2Ey-J4-F-—o, atque fupra $. o. vidimus aream ellipfis effe S2 q fin. ? Tab. I. Fig. 5. CDD--AEE-—-2»BDE 7c fin. 0 —— ——————— (A C — B Bj CyGc-BE) $. r4. Áccommodemus igitur iftam aequationem ge- neralem ad cafam propofitum, ac primo quidem manifeftum eft, applicatam y euanefcere debere in puntüs A ct B, pro quibus fit x — -i- a et x— — a, vnde onuntur hae duae. acquationes : Aaa--2Dae--F-o et Aau—2Da--F--o, vnde fequitur effe F — — A aa et D— 0o. Deinde pofito x —o, fieri debet tam. y — -- c quam y — — c, vnde ori- untur hac duae ;aequationes: Cce-I-2RÀc-I-B-—0 et (ro mIE; perm eo hincque fit F-—Ccc et E — c. Cum igitur effe debeat Aca —Ccc,1umi conuentet A —c6ct.e. GC —H ag. iid Wt fii F — —aacc, ideoque aequatio pro curua noftra erit €crr-g-2Bzxy-raayy--aacc-o. $. 15. Hinc ergo area ifüus ellpfis hoc modo ex- primetur: -7—2—77-, quae omnium fit minima fumto — c. Sit igitur B — o, atque pro ellipü. omnium mini- ma habebimus hànc aequationém: CC aj) lw a guy -— wa ole t8 cuius area erit — va cfin. 6. Vbi notetur aream hüius pa- radelogrammi effe — 2a cfin. 6, ita vt area ellipfis fe ha- beat ad aream parallelogrammi vt mc ad 2». js x6, $. 16. Apparet ergo huius ellipfis centrunr cadere in ipfam pundum O, atque ambas diagonales A B et CD eius fore diametros coniungatos, fub angulo obliquitatis AOCC--? inuicem inclinatos; ex quo fequitur tangentes in pungis A et B diametro C D effe parallelas, tangentes vero in pundis C et D parallelas diametro A B, . vnde haec curua facile defcribitur. Ouodfi angulus 0 fuerit redus, parallelogrammum abit in rhombum, cuius diagonales AB et CDD erunt axes principales ellipfis. $. 17. Sin autem ambae diagonales AB et CD füe- rint inter fe aequales, manente angulo 6 obliquo, paralle- logrammum noftrum abit in redangulum; huncque cafam iam olim fam contemplatus, ellipfinque minimam determi- naui tali redtangulo circumfcribendam, quae em quoque cum praefenti egregie conuenit. $18. Videamus nunc etiam quomodo axes princi- pales ellipfis. inuentae in genere definir oporteat.. Pofitis ergo coordinatis O X — x et X Y — y, exiítente angulo À X Y — é, inuenimus hanc aequationem: : €cxx-L-aayy- —-aacc--c. Ponamus nunc O F effe femiaxem principalem huius ellip- fis, inclinatam ad ream OA fab angulo AOF — (b, et re- feramus pundum ellipfis Y ad iftum axem O F, per coor- dinatas orthogonales O x — X et rY — Y. Quem in finem ex x ducamus prioribus coordinaus parallelas xu et ii aique in trnangulo O xt erit angulus Oxt—6-—0;.i tiangulo vero xu Y, ob angulam O xu-— Q, erit Juba yxY —9o9—(, et angulus x Yu uo cim anguli 6€ — Q, tum vero angulus xu Y -— S 5 $. Ig. a—— [AO m $. rg. lam refolutio horum triangulorum praebet: —— X fin. (6 — QD) fin.Q. Ot-— nomm pi feas jm.8 ? poro vero Y cof. (0 — (QD) —— Y.cof. wicm.— Md i vnde per X et Y priores coordinatae x et y ita determi. nantur, vt fit CI. (4 — Q) — Y cof. (0 — t) X fin. -Y cof. ie fin. 0 et Xy — Jin. au (9 qui valores in aequatione: Cccxr--aayy--aacc, fubftituti producunt inter X et Y hanc aequationem: cc X:X fin. (0—D)^— 2 cc X Y fin. (06—0) cof. (0—() -- cc Y Y cof. (0 — --aaXXfin.Q? —2aaXY fin. m 9) ez aaccfin.i 2- à à Y Y cof. Q? In hac igitur aequatione, quia ad axem principalem refer- tur, ante omnia termini continentes X Y íe mutuo deftrue- re debent, vnde fit c c fin. (0 — QD) cof. (0 — (D) — a a fin. b cof. b, ex qua aequatione angulum ( eruere licet. Cum enim fit a afin. 2 p— ccfin. (20 — 2 ()— ccfin. 2 6 cof. - —cccof. 26 fin. 2 (p, per fin. 2 diuidendo habebimus: GG —ccfíim.26cof. 2(p—cccof. 2 0, hincque fiet aa-—-cccof.290. cof. 20 € c fin. 2 0 ? vnde duplex valor pro angulo Q elicitur, pro vtriusque axis principalis pofitione. $. 29. — 14$ e—mÀ f. 2o. Sublato iam termino X Y aequatio nofira erit XX[ccfin.(0 —dOyf --aafin.Q?]2? " Dv vilh t 03 DP ab en q?] (maecefini : vnde ambo femiaxes principales, qui fint f et g, fequenti modo definientur: Th aacc fin.0? et al pem aacc fin. 02 7 € c fin, (9 — Q2 47 a a Jin. Q2 / PUR 9s rrunp ficque erit ztRG cc fin. ( — Oy -2-a a fin. Q*? et £218 —cccof. (0 — Dy -2- aa cof. (?, 88 vnde ob iam inuentum angulum (Q ambo femiaxes princi- pales f et g determinari poterunt. $. 21. Si duae pofítremae aequalitates addantur, orietur ifta aequatio: a a c c fin. 0? (ff--£g&g) cte --ü0d0, fiue ff--gg — ua-r-cc ÍÍ&8B ^ «accfm.9 "^ — Deinde vero fi in prioris aequationis fit —ccfin. (0 — Df -I- a a fin. q, : a a Jin. (D cof. D r membro dextro loco cc Ícribatur valor 77 S m? , prodi bit haec aequatio: c Cjfin.92 —— — Jm. (P cof. QD fin. ? fin. (9 — QD) -L- fin. q* SC DET. cejf.0—dQ — jin. QD [cof. D fin. (09 — D) 4- fin. p cof. (60 — 03] — jin. Q 6.0 7 es UII UT €9J.(6 — 0)? ficque erit t5: — — yr Tum vero fi in alterius ae- quationis mU LI cccof(0— Q)-4-aa cof Q*. * mem- D membro dextro. loco à a ícribatur valor 22/55—9!e*100—9) Jin. QD coJ. E prodibit haec aequatio: | TT temet a a[in.8?. — cof, (9 — oy E (d —290 Q1 cof. (4 — Q9 cof. $ o Jin. à nem cg [fin. (P cof.(0—D)--cof.p fin.((—)] z t«v be SIE -e teu alli... m $. 22. Nunc binae poftremae aequalitates in fe in- vicem du&ae dabunt TIECOT — r, ideoque ffeggzzuacclhnX confequenter f eg —acfin.0, in qua aequatione continetur in- fignis illa proprietas, qua parallelogrammum circa binos dia- metros coniugatos defcriptum aequale perhibetur. paralle: logrammo circa axes principales deícripto. Cum deinde fupra inuenerimus ££-5& — —7—--*—, quoniam modo vidi- aacc mus effe aa--ccfin. ? — ff gg, hinc refultat altera princi palis proprietas, qua eft aa--cc — ff 2- gg, fcilicet in omni ellpfi fammae quadratorum duorum. diametrorum | femper aequales funt fummae quadratorum axium principalium. (. 23. . Applicemus haec ad cafum redangulorum iam dudum tradatum, pro quo eft c — a, atque pro fita axium principalium nunc habebitur ifta aequatio; cof. 2 p m asretat, vnde colligitur — I-r-cof.90 zpe I-- cof. 29 E e Enn E ESSE T Rec APER — Mami xem E cof $ Y2(L4-co.20). - y 2 Conftat autem effe y -—2:2*:22 5-cof. (5 vnde — TupS — vnde fit vel 2 —9, ideoque D— I6; vel 2p — -7-- 6, ideoque ( — 9o?-- £9. Hinc igitur patet alterum axem Tab. rr. principalem O F angulum A O C — 6 bifecare, alterumque Fig 2 OG, huic normalem, angulum BOC bifecare. Deinde vero SUL eon f£-—c«afm.0 etff--ggz»ouwd; - vnde colligimus: (f -- gp — 2 aa (x -- fin.0) — 4aa cof. (459 —I0y, ideoque erit f-A-g-—2acof. (459 — 10). Simili modo habebitur: (f—gy -—2aa(xr:—fin.0)— 4aafin.(459 —t0yf, confequenter f—&g-— 2 afin. (459 — £0), quocirca habebimus | xx f — a [cof. (459 — 10) 2- fin. (459— 10)] — acof.E0.y/2, fimilique modo | : .& — a [cof. (459— 10) — fin. (459— 1 0)] — a fin. I0. y/2; qui valores manifefto fatisfaciunt; fit enim fg-aafi.9 et ff --gg—2aa, haecqüe folutio perfeüe congruit cum ea quami olim de- deram. Noua 4a cad. Imp, Scent Tom. IX. — T S0. — 146 —— SOLVTIO PROBLEMATIS MAXIME CVRIOSI, . QVO INTER OMNES ELLIPSES, QVAE CIRCA DATVM TRIANGVLVM CIRCVMSCRIBI POSSVNT, EA QVAERITVR, CVIVS AREA SIT OMNIVM MINIMA. . AuQore L. EVLERO. 1 Conuentui exhibit. die 4 Sept. r7. $. 1. Dosaun hoc problema. pluribus modis iam olim fruftra tentaffem, nuper tandem incidi in methodum prorfus fingularem eius folutionem inueftigandi, quae eo magis eft notatu digna, quod ad conítrudionem valde fimplicem et facilem perducat. Vfus fcilicet füm eadem methodo, qua nuper inter omnes cellipfes, quas per data quatuor punda traducere licet, eam afflignare docui, quae minimam habeat aream, vnde praecipua calculi fubfidia ex illa differtatio- ne fum petiturus. "Tab. II. jo. Sit igitur AB C tuiangulum propofitum, cu- Fig 3. ius angulum ad B vocemus — e, bina autem latera hunc | angu- 147 angulum formantia vocemus B A — a et BC — c, ita vt fit tertium latus: AC — y (aa-3-cc—2ac cof. «); praeterea vero notaffe iuuabit aream huius trianguli effe —ZIucfímn.e. Videbimus autem femper aream minimae el- lipfis, per terna punda A, B, C, tranfeuntis, certam te- nere rationem ad aream huius trianguli, quippe quae ra- tio reperietur vt 4 7 ad 3 y 3. $..5. Sit Y pun&dum quodcunque in ellipfi quae- fita, cuius fitam definiamus per binas coordinatas obliquan- gulas binis lateribus B A et B C parallelas; quamobrem, du&a reda X Y, lateri BC parallela, vocemus has cooidi- natas BX — x et XY — y, quarum relatio exprimatur per hanc aequationem generalifimam fecundi ordinis: — - Arxr-c-2Bzry-Cyy-c-2Dzr--2Ey-F-—o, atque in differtatione memorata, vbi quatuor pun&da fum contemplatus, oftendi totam aream huius ellipfis effe: — m fin.o COLANT VC-EE) ( (AC BBP V(AC—BB).. vbi more folito 7 denotat peripheriam circuli, cuius dia- MIGUER '"£— 1, $. 4. Ante omnia igitur iftam formam generalem ad cafum noftri trianguli accommodemus. Ac primo quidem cum fümto x — o pro ipfo pundo B fiat quoque y — o, manifeftum eft ftatui debere F—0, vnde area fuperior iam fimplicius exprimetur. Deinde cum pro pundo A fit x—a €t y — o, aequatio generalis dabit A a a -31- 2 Da — o, vnde fit ? D-- — A a. Tertio vero pro pundo C erit x—o | | jWE- et ——— M Io ne ————- et. y.—c, vnde fit Ccc-- 2E c— o, ideoque 2» E— — Cc. Aequatio igitur generalis, ad cafum propofitum accommo- data, erit Axzr-c-2Bxrxy--Cyy—Aax—Ccy-o quae ergo omnes plane ellipfes compleGitur, quae per data iria punda A', B, C traduci poffunt; in qua aequatione ergo adhuc infunt tres litterae indefinitae, fcilicet A , B et C. $. s. Has igitur litteras ita determinari oportet, vt area ellipfis omnium minima reddatur ^ Cum igitur fit zo; D-—c—£iAa et E— —iCc, area ellipfis ex for- mula generali füpra data ita exprimetur: uitae (A C — B By vbi ergo litteras A, B, C ita definiri oportet, vt ifta ex- preíffo omnium euadat minima; vnde patet duplicem inue-: Íügationem minimi inftitui debere. $. 6. Quo iftam formulam ad calculum propius ac- commodemus, ftatuamus primo B — cof. QC y/ A C, vt fiat AC-—BB-—A C fin. [?, ideoque 3 (AC—BBy-—AChfn.(*yvAC, quo valore introdudo area cellipfis fiet TAGEEOCEERn coacta : fn.Q3iyAC ^ - Nunc ad imationalitatem penitus tollendam fiat C — A s s, vt fit / AC — As, hocque modo area noftra erit —imÍín.u Y &6-F cess da Ds pad amfn e(t P et quaeftio iam huc redit, quemadmodum quantitatem s et SPUECUM NH ENBASS) I4.9 et angulum ( determinari oporteat, vt valor huius expres- fionis ; LTIids «5049. omnium minimus reddatur? $. 7. Ponamus angulo Q iam datum effe valorem debitum; ita vt fola quantitas s inueftigari debeat, qua ifti formulae minimus valor concilietur; in qua ergo inueftiga- tione angulus Q vt conítans, fola autem s vt variabilis erit confideranda, ficque minima reddi debebit haec expreffio: 4qa--ccss—2acscofJ. Q —- aa--cecss 2 à c cof. (o ———Ó—Á—————— —— —— Ó——M t . $ s s cuius pars poftrema iam eft conftans, vnde tantum haec formula: ** -4- cc5, ad minimum perduci debet, cuius ergo differentiale nihilo aequatam praebet hanc aequationem: CCc$$—ag-—o, vnde colligitur sz—. Erat autem $57. , ideoque fumi debet 7 — 77. Quoniam igitur in aequatione noftra fola ratio inter litteras A et C fpedatur, fumamus A -—cc et C —aa, hocque modo iam adimpleuimus vnam minimi conditionem. $. 8. Loco A et C ícribamus iftos valores inuentos, atque area ellipfis, ex parte iam minima reddita, erit $7 fin.o(2250-, 9.9) —bmracfin.e(L55:*). Tantum igitur angulus (D ita definiendus reftat, vt formu- la o m minima euadat. Cum autem fit fin. Q? — 1 — cof. Q7, ifta formula Lun transmutatur in hanc: OSUt ur cuius ergo fradionis denominatorem maximum reddi oportet; eius autem differentiatio hanc dat aequationem: cof. (p ^- cof. Q? — fin. d? — o, fiue cof. D-i- 2 cof. (? — 1 — o, quae mani- fefto refoluitur in hos faGores: (1 ^- cof. D) (2 cof. p — 1) — o, vnde duae fequuntur folutiones: altera 1 -- cof. Q — c, quae T3 au- m——X [50 c autem redderet formulam fin. p(xr -4- cof p) — o, ideoque maximum non foret; quare altera folutio locum habebit , quae dat 2cof.p— 1 —o, vnde fit cof (p —£, hincque fin. Q — "3, fcilicet ipfe angulus foret — 6o gr. b $. 9. Nunc igitur conditioni praefcriptae penitus ía.. tisfecimus, et iam area ellipfis hoc modo exprimetur: ?7777-9. quae eft minima inter omnes ellipfes , quas per tria data pun&da traducere licet. Cum igitur area trianguli ABC fit iacfin.o, euidens eft aream minimae ellipfis quaefitae fe habere ad aream trianguli vt 4:3 y/ 3, prorfus vt iam fupra commemorauimus. Haec autem ratio proxime vera in numeris eft vt 2,41840:1r, vnde fequentes fraüiones continuo propius ad veritatem accedent: | O15. IB. pL 2NEDO S OT 2 10S 13.25.53 83093)432 s* $. rc. Ouaeramus nunc etiam ipfam aequationem pro curua inuenta, et quia füumfimus A — cc et C —aa, hinc reperiemus litteram B, ex pofitione B — cof. p y/ A C, vnde ob cof. —$ erit B — £a c, quo valore fubftituto ae- quatio pro ellipfi omnium minima erit: ccrx--acxrxy--aayy-——accx—aacy-o, vnde pro qualibet abíciffa x gemina applicata y definiri poteít, reperietur enim: —— qc—cx-d-v(aa--92ax-—Ssxx) TORO AAT AUI E T ME qui valor concinnius ita exprimitur : quas tix cy sae ml, Sie Re CES E, Ex hac aequatione primo patet abíciffam x nunquam maio- rem fieri poffe quam a, negatiue autem abfíciffa.non vltra I 30 3 — [0] ig crefcere poteft. Sumto autem finiftrorfum B D — Ia , Tab. 1t. fiet applicata D E —2c—$ BC, atque in hoc pun&o E bini Fig. 4. valores ipfius y coalefcunt, ficque reda D E curuam in pun&o E tanget. Quodíi iam ducatur reda A E, latus B C fecans in F, ob triangula fimilia erit AD: DE — AB: BF, vnde prodit BF —ic—iBOC, ita vt reda AFE latus BC bi- fecet. Porro vero quia BD eft tertia pars ipfius B A, erit quoque EF tertia pars ipfius A F, vnde facillime pundum E defignatur. $. rr. Quodfi porro faciamus x — a, ob radicale eua- nefcens ambo valores ipfius y quoque coalefcunt, vtroque exiftente — o, fiue duda A « ipfi B C parallela et infinite parua, erit etiam a punQdum in curua, ideoque reda A« curuam tanget in À, quae cum fit parallela tangenti D E, fequitur redam A E effe diametrum ellipfis, cuius ergo centrum in eius medium O incidet. Cum igitur fit F E— :iAF, centrum ellipfis cadet in punttum O , fumta A O — ZAF, fiue FO—4A F. Ifte igitur diameter omnes ordina- tas lateri B C parallelas bifecabit. Praeterea vero quia terna punüa inter fe permutare licet, fimili modo reda BG, latus A C bifecans, quin etiam reda C H, latus B A bife- cans,fíe mutuo in eodem pundo O fecabunt. Notum autem eft hoc modo centrum grauitatis trianguli determinari, vnde ifta infignis proprietas elucet: Quod centrum ellipfis omnium minimae, per terna pun&a 44, DB,C, ducendae, in ipfum cen- trum grauitatis trianguli 44, B, C, incidat; vnde cum prae- terea non folum dentur terna pun&da A, B, C, fed etiam tan- gentes in his punGis, quippe quae lateribus oppofitis funt parallelae, ex proprietatibus cognitis fedionum conicarum facillime iíta ellipfis quaefita conftrui poterit. (uxo. a—— Oo ne $. r». Euoluamus aliquot cafus. Ac primo quidem Tab. I. fit triangulum A BC aequilaterum, ideoque c — a et angu- Fig. 5. Fig. 6. lus e — 60?, cuius finus — A atque aequatio pro ellipfi minima ert rzx--xrxy--yy--ax-—afy--9, ipfa vero area huius minimae ellipfis erit — i-aaà. Facile autem intelligitur, hoc cafa ellipfin fore circulum triangulo circum- fcriptum. Ex aequatione autem hoc ita oftendi poteft: Sit Y pundum in ellipfi, vnde lateri B C agatur parallela Y X, vt fit BX — x et XY — y; tum vero producatur re&a B G, latus A C bifecans in G, in quam ex Y ducatur normalis Y' T; vocetarque B T — t et T Y —u. Prodücatur T Y, do- nec lateri B C. produdo occurrat in V; tum vero etiam aga- tur reda XS ipfi AC parallela, eritque BS —XS—x IY OVIOIRHEHIPEDItetang S V — XO — y "Tdéoque" 101 -—Y-rP7oHhncdue 0D -anbputum CBG —so enr BT-—— t-——r3(x--y) et T V —i(xr--y). Hinc auferatur Y V — Ger relinquejur T Y — u -—i(y——3). $. rag. Ex aequationibus his inuentis erit primo x Ub NE T cr PE uii x--y-—u Ct y —Jq — eu. XnBde colligitur X—27, Obs E A --u, quibus valoribus fubftitutis orietur aequatio inter coordinatas redangulas t et u, quae erit tt- wwe cO, fiue wu —-r** —tt, quae manifefto eft pro circulo, cuius radius — —. Cum igi tar fit reda BG — 2 ert B G ad illum radium vt 5:2, ideoque centrum circuli cadit in O, ita vt fit BO — $ B G. $ r4. Sit nunc triangulum A BC ifosceles et B C — BA--a--c,angulum vero ad B, qui erat o, nunc ftatua-. mus &— 2 6, ita vt, ducta reda B G T, latus A C bifecante in id- que e—— 155 c——À que normali, fit angulus C B G—/ Iam ponatur vt ante BT-—t et T Y —u, exiftente BX — x et X Y —y; tum compleatur parallelogrammum X S V Y, eritque B S — x,-et NS—rfüné-YV. Cum iam fit SV ——XY —y, erit B V — x-r-y, hincque BT — t — (x 4- y) cof. 0 et T V —(x -4- y) fin. 9. Hinc auferatur Y V — 2 xfin.6, ac remanebit T Y uy )n.. Quare cum habeamus L erunt coordinatae eique n — LU Sume 2 cof. Uu Uy zu mma i" qui valores fubftituti MEOS: inter coordinatas orthogo- nales hanc aequationem: ST DNE LM E 4 cof 62 REI 4 fin. 92 cof. €of. 0 7 — ms9s fiue ——4atifi.02 3t! fin. 02 lider cof. à cof. 62 sie patet applicatam u euanefcere tam cafu t —o quam cafu t —2$acof 0, quae quantitas ergo dabit axem princi- palem ellipfis a qui fii BI —$acof 6€. Quare cum fit BG —acof.06, ent BI - 3 BG, ficque centrum incidet in O , exi- ftente BO-OIZ2BG. Quodü iam fumamus t- BO -?acof.0, valor ipfius u dabit femiaxem coniugatum , qui fit OK, erntque OK —2*/7**, femjaxis vero alter erat BO — OI c-c$acof.0, vnde prodit afea huius ellipfis: —— 4Taafim.0cof.Ü —— oamaafin.co -ocBO0rOduptt D oL quae perfede congruit cum forma generali. Noua Aa. Acad. Imp. Scient, Tom. IX. V DE — p — | DE 3 CENTRO SIMILITVDINIS- AuGore L. EVLERO. Conuentui exhib. die 23 OGob. r7717. $. r. Tab. 159 habeantur duae figurae fimiles in eodem plano defcrip- lig. [Le tae, quarum maioris quodpiam latus fit A B, minoris vero latus refpondens a b, femper dabitur in eodem plano certum pundum DL, quod ad vtramque figuram fimiliter referatur, ita vt figarae TA B et l'ab fint inter fe fimiles, hocque pundum FP appelletur centrum fimilitudinis binarum figu- rarum fimilium propofitarum , quod ergo quomodo quouis cafa inueniri queat , hic inueftigemus. . Primo igitur patet iftud pundum LP ita fitum effe debere, vt du&is redis l'A et l'a anguli TA B et lab fint inter fe aequales; déinde vt fit TA:T'a—AB:ab, hoc eít in ratione laterum ho- mologorum, quam rationem indicemus per À:a. fa 5. Hic quidem ftatim patet, fi latera homologa . AB et a b fuerint inter fe parallela, tum centrum fimilitu- dinis facillime affignari poffe, cum femper reperiatur in in- - terfedione redarum A a et Bb. — Quodfi enim fuerit a b pa- Li ral- a— qo m rallela ipfi A B, produdis redis A a et Bb vsque ad concur: fam DL, triangula ABT et ab Dl manifefto funt inter fe fimi- lia. Pari modo fe res habet, quando latera homologa in plagas contrarias porriguntur, veluü in figura 3., vbi cen- Tab. trum fimilitudinis inter ambas figuras cadit. $. s. Sin autem latera A B et « b non fuerint inter fe parallela, producantur ea ad mutuum concurfum in O, fa- cientes inter fe angulum A O a, ac manifeftum eft bina quae- wis alia latera homologa fub pari angulo inuicem inclinari; vnde fequitur, fi per pun&a O, À, a, ducatur circulus OA a, tum omnia punB&a O in peripberiam huius circuli incidere debere, quia omnes anguli arcni A infiftentes funt inter fe aequales. $. 4. Deinde etiam peifpicuum eft centrum fimili- tudinis l' in eadem circuli peripheria reperiri debere. Cum enim redae T A et ia tanquam latera homologa fpe&ari queant, eae inter fe quoque angulum A T a ipfi A O a aequa- lem conítituent; quamobrem totum negotium huc redit, vt in peripheria id pundum FP reperiatur, vt dudis redis T A et La fiat LTA:Tao—4À:a. Hunc in finem duda xeda Aa ita fecetur in pundo A, vt fit AA:aA-—A:a; et quia requiritur vt fit DA:D6— A A:a4A , fequitur rcedam T A angulum AT-a bifecare , ideoque eam produdam etiam ar- cum A a eífe bifeduram in o. $. s. His perpenfis deducitur ifta conftrudio geo- metrica: Primo fcilicet arcus A a bifecetur in pun&o c, chorda vero Á a ita fecetur in pundo A, vt fit AA:aA —Z A : a, quo faüio per punQa v et A producatur reda o A T, peri- pheriam circuli fecans in pun&o I, eritque iftud pundum TP LAM cen- nt, Fig. 3. ds IMMER 156 TOS eps centrum fimilitudinis quaefitum. | Ex hac enim conftrudione fponte patet cffe TA: P«e— A ÀA:Aa—AÀ:a. Deinde quo. que euidens eft has redas T' A et la ad latera A B et ab aequaliter inclinari, propterea quod anguli O AT et Oa F funt inter fe aequales, vtpote eidem arcui O T. infiftentes.: $. 6. Quemadmodum hic centrum fimilitudinis T de- terminauimus ex pundis homologis A eta, eorum loco etiam vfurpari poffent punda homologa B et b, quae ad pundum. concurfus O pariter referuntur.: Hic ergo defcribi oportuiffet circulus O Bb; et quoniam centrum T etiam in peripheria huius circuli reperirn debet, neceffe eft, vt hic circulus prae- cedentem in ipfo pun&o TL interfecet. Cum igitur hi duo cir: culi per idem pundum O tranfeant, eorum altera interíedio neceffario cadet in pundum I, hoc eft in centrum fimilitu- diis imer '* 7. Idem quoque centrum fimilitudinis locum ha- bebit, etiamfi ambae figurae propofitae non fuerint planae; fed fuper eodem plano fimiles habeant prominentias , dum- modo bafes talium fimilium corporum in eodem plano fue- rint conftitutae. Vnde intelligitur, fi per bina quaeuis punda homologa talium corporum et centrum fimilitudinis produ- eatur planum , fecundum quod ambo corpora fecentur , tum etiam ambas eorum fediones inter: fe fimiles effe futuras. Hinc intelligere licet, quomodocunque duo corpora fimilia fuerint pofita, femper quoque exhiberi poffe centrum fimili- tudinis, quod fcilicet ad ambo corpora fimili modo referatur, id quod per fequentem calculum oftendi poteft. "Tab. HI. | $. 8. Sint A et a duo pun&a homologa quaecunque Fig. , duorum corporum. fimilium, —— quae planum tabulae tran- fixe eux tjr crm fire concipiatur; in quo plano maioris corporis concipiatur latus: quoduis' AB, cui refpondens homologum in minori corpore & b in alio quodam plano fit. fitum , quod planum tabulae interfecet fecundum redam ai, cuius inclinatio fit — 6. Iam ex pundo b ad planum,tabulae demittatur per- pendiculum b 8, tum vero ex (9 ad a i ducatur normalis ( b, iunQisque pundis bet b reda b 5, angulus b b 8 metietur incli- nationem plani —0; tum vero notetur effe A B:a b — NUNT, exifiente À — -——. Iam in ipfo plano tabulae ftatuatur angulus BAI-—bai,et ex B agatur ad AI nor- malis B 3, eruntque punda 25 et b quoque homologa, pe- rinde ac B et b. $. oc. Nunc vocemus pro maiori figura À 25 2 A et $3 B — B; pro minore vero figura ab — a et 5 b — b, erit- que ob fimilitudinem A —2 a et B —2 b; tum vero in tri- angulo bb habebitur b 8— bfin.0 et b g— b cof. 0. His pofitis producantur redae ia et. lA ad concurfum vsque in O, et cum centrum fimilitudinis quaefitum TI' in fublimi re- peratur, ex eo ad planum.tabulae demittatur perpendi- culum Ll Y, ex pundo Y vero ad vtramque redam AO et & O agantur normales Y X et Y x, ponanturque AX — X EL'EY —rotB verg gu ebay y. apfum-vero perpendiculum Yr vocetur -z. His pofitis fi vocentur in- terualla AO—f et a O— g, angulus vero AO a — o; ob Ox-—g-—z, facile patet fore: A X — X — f — (g — x) cof. o — y fin. o. et X Y — Y — (g — x) fin. o — y cof. o, V 3 vnde —À 198 e— vnde intelligitur quomodo litterae X et Y per x et y de- terminentur. | $..1o. Nunc igitur oftendi debet, dari eiusmodi 22 L, quod ad tema punQa A, B, $8 fimili modo re- feratur, atque ad punÜa g, b, b, fiue vt ht TA —aT a; LT2933—2ArbetrB-arb; tn nancifcimur ternas aequa- tiones, ex quibus ternas quoque incognitas X, y et z deter- minari oportebit; quae aequationes fequenti modo expri- mentur: l LTA?—X?- Y? - —ÓP? (à? a- y? - 22), II. r2 —(X--^ay Si he aide —c-yy--2]; IIL. TB?—(X--2af (Y —2Abp-- z:— X [(x- a 2- ( y 4- b cof. ey -- (z—b fin.ty ]. $. xx. Harum aequationum prima ergo dat X?-4- Y? -- z2 — AAxm--AAy y-d-AAzz, quae ab aequatione fecunda fubtralda relinquit 220X--AAaq-—-22?ax--235au, ideoque X —2x. "Tum vero fecunda aequatio a teitia fub- trada relinquit: — 2 XbY -41-A3bb— 225b ycof. 0 —2232bzfin.0-1-AAbb, ex n aequatione colligitur —A(zn.$-— wy cof. 0). ie ergo modo tota inueftigatio reduGa 'eft ad tres aequa- tiones ternas variabiles x, y et z ünuoluentes , vnde ipfíae litterae a et b excefferunt, quemadmodum rei natura poftu- lat, propterea quod centrum fimilitudinis T aequali modo ad omnia latera homologa referri debet. Interim tamen iftae tres aequationes nimis funt complicatae ( praecipue fi "T MM —. 1509 X et Y valores füpra datos fubftituere vellemus) quam vt hinc litterae x, y et z adu determinar queant. $. 12. Quin etiam iftum calculum. ideo in.medium adduximus , vt oftenderemus , quomodocunque bina corpora fumilia fuerint dispofita, femper dari eiusmodi pundum FL, quod àd ambo aequaliter refezctur. Hoc autem demonftrata aliam methodum inire conuenit, ipfum fimilitudinis centrum determinandi, inde petendam, quod omnes binorum corporum fediones, per bina punda homologa et centrum fimilitudinis fadae, femper fint figurae inter íe fimiles. $. x*.. Concipiatur igitur planum quodcunque per Tib. Irt; bina punda homologa A et a tranfiens, et dabitur aliud Fig. 6. planum, per eadem punüa A et c tranfiens, in quo infaper ipfam centrum fimihtudinis PU erit fitum, ita vt interfetlio futura fit reda A a." Ad hoc pun&um inueftigandum alia duo punda homologa, veluti B et b, extra hoc planum fita, quae- r debent, quae cum re&da A a in eodem plano fint conftituta, fiue vt quatuor punda A,a, B, b in idem planum incidant, quae inueftigatio in genere. inftituenda haud exiguas am- bages poftularet. $. 14. Has autem ambages euitabimus, fi pun&um Fig. 7. B ita accipiamus, vt in ipfam redam A a. incidat, tum au- iem pundum homologum cadat in b, vnde ad planum ta- bulae demittatur perpendiculum b 8, etex 8, ad redtlam Aa produdam, normalis 8 6. Hoc enim modo quaterna punda A, B.et a, b certe in eodem plano erunt. fita ,, quandoquidem hoc planum tabulam interfecat fecundum redam Aa, ad eamque inclinatar füb angulo b5 9, quocirca in ipfo hoc plano neceffario reperiri debebit centrum fimilitudinis quae- ftum, "Tab. IIT. Fig. 8. "Tab. IV. Fig. 1. -— I 60 ———— fitum, quippe quod iam fine vlla difficultate ope methodi initio explicatae promtiffhime inueniri poterit. $. 15. Problema quod hadenus trafánimus, ad fcien- tiam Perfpediuam referendum videtur, quandoquidem fi effi- gies cuiuspiam obiedi accurate fuerit elaborata, plurimum intererit eum locum aífignare, vnde fi tam ipfum obiedum, quam effigies. afpicietur, omnes partes homologae fub aequa- libus angulis fint appariturae. fte fcilicet locus in eo pundo: reperietur, quod centrum fmnlitudinis - vocauimus, $. 16. cu ex iis, quae fupra funt allata, iftud cen- trum fimilitudinis femper facile affignari poterit, quomodo- cunque tam obiedum quam effigies fuerint dispofitae. Sta- tm enim confiderentur duo punda homologa À et a, quo- "xum illud A in ipfo obiedo, hoc vero a in effigie fit affum- tum; tum duGa reda A a tanquam ad ipfam obiedum per- ünens fpeldetur; in effigie autem ex pundo a fimilis reda educatur a «4, quae fcilicet ad effigiem pari modo referatur, quo reda A a ad ipfum obiedum refertur. Quo fado primo tenendum eft, centrum fimilitudinis quaefitum femper reperiri in plano, quod his duabus redis A a et a4, fiue tribus pundis A, a, « determinatur, eiusque locum ita definiri de- bere, vt fimili modo ad vtramque redam A a et a a refera- tur, cuius ergo inuentio ex fequenti problemate erit petenda. . . Problema geometricum. Datis tribus puntlis 4, B, C, in plano tabulae vicim- que fitis, inuenire in eodem. plano puntium. O, vt duis re&is A B, BC, OC, OB et O A, ambo triangula O.4 B et OBC inter fe fiant fimilia, fiue vt euadant anguli 4O B — B OC, 044 B —OBC c OBA-OCE. So- IÓI Solutio. f. r7. Produüa reda A B in D ponatur angulus CBD -, qui ergo datur; tum vero vocetur angulus O A B — (D, qui adeo erit incognitus ; quia autem ei aequalis effe debet angulus O B C, erit angulas O B D — Q -- £j qui cum fit externus refpedu trianguli A O B, erit angulus A O B - 5, ideoque datus, cui ergo etiam aequalis erit angulus BO C; ex qua conditione ipfum pundum O haud difficulter de- terminabitur. $. 18. Cum igitur triangulum A O B ita fit compa- ratum , vt eius angulus AO B — 0, ex elementis conftat , fuper bafi A B innumera eiusmodi triangula conftitui poffe, quorum anguli verticales A O B omnes eiusdem fint magni- tudinis 6, fiquidem omnes ifti anguli in peripheria certi cir- culi, fuper bafi A B defcripti, reperiuntur. Huius igitur cir- culi centrum alicubi erit in reda M N, ex rede A B pundo medio M perpendiculariter ereda; vnde fi centrum fuerit in I, neceífe eft vt angulus ad centrum A LB aequetur duplo anguli ^, ideoque erit eius femifffs BIM —, ideoque an- gulus, M BI— 9c? —0; ex quo manifeftum eft fore angu- ium C BI redum, fiue redam BI ita effe ducendam, vt ad redam CB fat normalis, hocque modo innotefcet centrum circuli quaefiti I; atque adeo, ifto circulo defcripto, centrum fimilitudinis quaefitum O alicubi in peripheria huius cir culi erit fitum. $. xo. Simili modo fi altera reda BC bifecetur in m, ad eamque ftataatur normalis mn, faper hac rea BC euam defcribi poterit circulus, ad cuius peripheriam onines angul bafi BC infiftentes fint quoque — 6, huiusque circuli centrum erit in punGo i, ita vt fit angulus Bimc-0; vnde ÁVoua. 4a Acad. Imp. Scient. Tom. IX. X pa "Tab. IV. Fig. 2. patet iftam red&am B i effe ad B A normalem. Cum igitur, de- ícripto centro i circulo per punda C et B tranfeunte, in eius perpheria pariter fitum fit pundum quaefitam O , euidens eit iftid pundum fitam fore in interfedione amborum cir- culorum memoratorui. $, 2o. Haec autem multo faciliora reddi poffunt hoc modo. Ad reQdam B A ex A erigatur perpendiculum À E, redae BI produdae occurens in E, eritque IE- BI- AI, ideoque pundum E in circulo, atque adeo reda BE erit diameter iftius circuli. Simili modo fi ex altera parte ex C ad BC erigatur perpendiculum C F, occurrens redae Bi produdae in F,erit quoque i F —— Bi-- C i, ideoque D F erit diameter huius alterius circuli. Quare fi fuper diametris B E et BF duo circuli conftruantur, eorum interfedio O dabit centrum fimilitudinis quaefitum O. $. 2r. Conftruamus nouam figuram, omiffis lineis fa- perfluis, ac primo quidem ex puntüis A et C ad reas BA et BC erigamus perpendiculares Á E et CF, quae xeis BE et BE,ipfis BC et BA normaliter iunGlis, occurrant in pundis E et F; tum vero fuper his redis B E et B F tan- quam diametri conftru&i intelligantur bini circuli , qui fe mutuo in pun&o O interfecent, eritque iftud pun&dum O piimo in femicirculo fuper reda B E exítrudo , ideoque an- gulus BO E redus; deinde vero idem pundum O quoque erit in femicirculo fuper reda BF exftrudo, unde quoque angulus B OF erit pariter retus; ex quo manifeftum eft ambas re&as EO et FO in diredum effe fitas. Quocirca duda reda EF, in ea pun&um O reperietur, fi in eam ex pundo B demittatur perpendiculum B O; unde fequens con- fuudio facillima dexiuatur. Con- 165 Conftructio problematis propofiti. i f. 22. Ex tribus datis pundis A, B et C educan- tur reae, quae ad binas rectas A B et B C fint normales, quarum interfediones dabunt duo punda E et F; tum ve- io in dudam EF ex B demittatur perpendiculum BO, ertque pundum O centrum fimilitudinis quaefitum , ita vt du&dis retis O A et OC, ambo triangula AO B et BOC inter fe fatura fint fimilia. Demonítratio huius conftruCtionis. $. 23. Primo notandum eft quadrilaterum A EOB effe circulo infcriptum, ex cuius natura fequitur fore angu- log ADE -AOE, EAO — EDO, BAO — B EO, AEB — AOB. Deinde eodem modo quadrilaterrum BOFC eft circulo infcriptum , vnde fequentes angulorum aequali- tates prodeunt: BOC —BFC, CBF—COF, OBF— OCF, BCO-—EBFO. $. 24. His notatis primo demonftrad poterit effe tiangulum AO B fimile triangulo EB F. Primo enim eft angulus BAO —FEB (per $ praeced.); deinde eft angu- lus AOB—AEB, qui eft complementum anguli A D E, fed anguli EB F complementum eft idem angulus A B E, vnde fequitur fore angdlum AOB —EBF; vnde fponte fequitur fore tertium angulum A B O — E F B. . $. 25. Eodem modo oftendi poteft effe ABOCc AEBF Primo enim eft angulus BCO — BF O; deinde eft BOC — BFOC, cui, ob BE ipfi CF parallelam, aequalis eft alternus EB FF, ficque erit angulus BOC — EBF, vnde | NE etiam. — 64. etiam tertii anguli OB C et BEF erunt pariter aequales. Quare cum ambo triangula A O B et BOC fimilia fint ei- dem tüangulo E BF, neceffe eft vt quoque fint finiles in ter iG Q.^E. D. $. 26. Notaffe auteni quoque iuuabit cafum, quo pundum O extra redam E F cadit, veluti in figura 5. Mic Tab. IV. vt ante -quadrilaterum A B O E eft circalo infcriptum; de- Fig. 5 inde vero euidens eft quadilaterum B F O C adeo. in fe- micirculo, fuper diametro BF defícripto, ineffe; vndo demon- ftratio conftruttiionis vt ante: deriuar poterit, qua ofktende- tur ambo triangula AO D et BOC fimilia effe triangulo Fig 44, E BF, ideoque etiam fimilia inter fe. Praeterea quoque notar meretur cafus quo ambae redae A B et BC funt inter fe normales; tum enim manifeftum eft punda E et F in ipfos terminos "A; et C incidere, vnde iundla hypothenu- fa EE fiue AC, fi in eam ex B demittatur perpendiculum BO, erit pundum O centrum fimilitudinis quaefitum, fi- quidem triangula AO B et BOC manifefto funt fimilia tam inter fe quam tertio A B C. f$. 25. Denique etiam cafum, quo reda BC ad AB fab angulo acuto inclinatur, confiderari conuenit, quippe fig 5. quo ambo perpendicula AE et BF in plagas contrarias cadunt, veluti in adieda figura cernere licet, vbi pundum O intra angulum A BC ita cadet, vt triangula A O D et BOC inter fe fiant fimilia: femper enim quoque fumilia erunt triangulo E B F. $.28. Interim tamen vnicus cafus occurrit, cui ifta folutio aduerfari videtur, qui contingit,: quando retta A D cum BC in diredum iacet; propterea quod ambo punda —— 1605 & E et F in infinitum remoueantur, ita vt praecedens con. fuudio hic plane adhibenr nequeat. Statim autem perfpi- cuum eft, hoc cafu *centrum fimilitudinis O neceffario in re« &am A BC producam incidere debere, ita vt fiat AO:BO — BO:CO. Ad hoc ergo pundum inueniendum vocemus A'B-——a,;BC-cet BO 3; 6pqrtet ergo effe a--z:z — z:z —c, vnde fit z — ^7^-, ideoque A O — -*^-, qui valor fequenti modo commode conftruitur. In A redae A B fub angulo quocunque iungatur reda Ab — A B — a, quae fecetur in c ita, vt bc — BC —c, du&aque reda cB ei agatur parallela reda b OO, cuius inteifedio cum reda pro pofita A B oftendet pundum quaefitum O. X 3 PRO- — I60 — PROBLEMATA E METHODO TANGENTIVM INVERSA. AuGore I TSSCHPDBERT Conuenlui exhib. die r8 Odob. r790. $. r. lurimae curvarum proprietates fine calculo infinitefima- li aut plane non, aut non absque multis ambagibus eruuntur. Eiusmodi funt quadratura, reQificatio, normales, inprimis autem tangentes, quas ad. inveniendas calculus differenualis primum ab inventoribus fuit adhibitus: unde et ipfas differentiandi regulas methodum tangentium appel- larunt; eodemque iure nomen methodi tangentium inver[/ae univerfo calculo integrali tribui poffet. ^ Proprie tamen fub hac denominatione ea tantum problemata comprehendun- tur, ubi ex datis relationibus areae, vel arcus, vel tan- gentis, etc. ipfa curva eft quaerenda: quod quidem fine integratione, eaque interdum faepius repetita, fieri nequit. Huiusmodi problemata omni attentione funt digna: faepe- numero paradoxon ex iis naíci videtur; nonnunquam ae- quatio integralis refultat impoffibilis, cum tamen ipfum pue problema nullam involvere videretur contradidionem. Ma- xime autem ea inferviunt examini inftitaendo, utrum certa proprietas, quam alicui curvae competere aliunde iam con- ftat, huic curvae foli fit propria, an vero pluribus fit com- munis. Atque hic mihi finis eft propofitus in hac disqui- finione, quam tamen ultra fediones conicas hac vice non extendam. Priusquam autem rem ipíam aggrediar, non- nulla mihi videntur praemonenda. Dantur curvarum func- tiones, quae a fitu coordinatarum minime dependent, fed in quovis curvae pundo aedem manent, quomodocunque axis vel initium abfíciffarum varietur: veluti radius ofculi. Dantur aliae, quae diverfos induunt valores, prout coordi- natae mutantur: tales funt tangens, fubtangens, norma- lis, aliaeque fere omnes. — Quodfi itaque e. gr. nonnifi ra- dii curvedinis in problemate fit mentio, aequatio quae re- fultat integralis erit generalis ad eam curvam, quae pro- blemati fatisfacit. Sin autem relatio quaedam detur in- ter radium ofculi et tangentem, vel normalem, etc. haud fufficit ipfam curvam noffe, fed etiam fitum axis abfíciffa- rum et ordinatarum noffe oportet; unde integrale non po- terit effe aequatio generalis, fed talis, quae curvae natu- ram pro certo coordinatarum fitu exprimit. | Algebra enim quaeftioni perfede fatisfacere debet. "Quare cum hifce cafi- bus problema non curvae duntaxat naturam, fed coordina- tarum quoque fitum quaerat, etiam hoc aequatio integra- lis determinare debet: id quod infra circuli exemplum cla- rius oftendet. (9. Sit A M Parabola, in qua AP—x, PM—y; parameter — p, fubtangens P T — t, fubnormalis PN —u, atque erit generatim in omni curva t — i, — 29», et in parabola y y — p x. Cum itaque confiet, in parabola efíe Fig. 2. effe t — ^ v, inquiramus, num aliis curvis eadem compe. tat proprietas. "Effe itaque debet 29* —mg, five. 225 — 95. unde fit integrando 21y —Ix--C, feu 3*-— ax, quae eft aequatio ad parabolam, abíciffs in axe a vertice cap- tis: unde patet, folam parabolam hac proprietate gaudere. Neque haec relatio in ulla curva adeffe poteft, fi abícis- fae non a vertice A, fed ab alio quopiam pundo a com- putentur, ut nempe fubtangens aequetur duplo abfíciffae, five PT—22aP. Quicunque enim valor conftanti C tr buatur, erit y? — eg'*-*'" — m e*, [guae eft déquasoad pde tabolam, cuius latus redum — e^, abíciffis a vertice fumtis. Ponamus iam in genere t— mx —2?*, h. e. n2 2 Le, proinde y" -—c-az, quae eft aequatio ad parabolam mti gradus. Relatio itaque t — 2» x parabolae Apollonia- nae elit propria, haec autem t — mx nonnifi parabolae mti gradus competit. Pofito m — I, ent E -—— ig etu cmugg ;.qgmee iterum eft pro parabola Apolloniana, abfciffis fumtis a ver- tice axi normalibus. Appellatis nempe AP — x, PM—y, ett 23^—— py, PT-—rL "Ef autem At — AXy-—TPUN du fequenter ob. aequalitatem tiiangulonoum A Tt, P'TM, P'T--TA,4eu TL-——-r, Um reque Quando m eft numerus quicunque fradus — ^, in- venitur y"—-arz', quae aequatio parabolam repraefentat "-ü gradus, fi 2 v; fin autem j& -— v, permutatis coordi- natis curva eft parabola -ti gradus. Unde perfpicimus, parabolas ratione huius proprietatis in claffes poffe difpefci. Curva namque parabolica eft mti gradus, íi in ea fit fub- tangens — m x. Reftat 169 pecmomImA, Reftat cafus, quo litera m feu *- valorem induit ne- "v" : I j PME satüvum, ita vt fit — —a x", feu a x' y" — 1: quod indi- cat curvam hyperbolicam, coordinatis fecundum afymptotas Nupus. Pofilo e. gr." m — — 1, AP-—c,;, PM-—y, eit Fig. 3. xy — C, proinde x 0y — — y 0x, unde fequitur — pr lI—, fou Pp AD. quae eft proprctas ilyperbolae notiffima. —Perfpicimus ita- que, proprietatem hanc omnibus curvis hyperbolicis effe communem: fi nempe abfíciffae x in una afymptota fuman- tur, applicatae autem alteri afymptotae parallelae, femper effe fabzangonteu. ad abíciffam in ratione conítante, pror- fus ut in curvis parabolicis; modo notetur, in hyperbolis fubtangentei] et abíciffam fibi effe oppofitas. Ouamobrem pro omnibus curvis parabolicis aequa- tio generalis eft: t — mx, et pro hyperbolicis: t——mzx. $. 5. Alia propretas parabolae notiffima eft haec: . u — jp, feu generatim 22? — C, unde invenitur j^ — &r--C, quae ergo relatio foli parabolae Apollonianae competit. Pofito autem u — 22» — a? x, eft y^—a'x*« C, quae aequatio aut hyperbolae aut duabus redis convenit. Pofito enim C — o, fit (y--ax)(y —oax)— 0o. Ceterum patet, fi in genere fit u — a x", prodituras effe innumeras curvas pro diverfo valore literae ;m et conftantis adicüae. Quare his non diutius immoror. $. 4. Inteicedit in parabola inter fummam fubtan- gentis et fübnormalis atque normalem ipfam relatio admo- dum fimplex. Scilicet fi per quodvis parabolae punQum Fi. :. M ducatur tangens M' T atque normalis M N, .capiantur- 4Voua, 4a /4cad. Imp. Scient. Tom. IX. Y que que abfciffae 'TN — 2, ordinatae N M — v, reperitur ae- quatio 7? — az, perfede fimilis ei, quae parabolae natu- ram exprimit per coordinatas orthogonales ad axem rela- tas Eft enim TN:NM-—-NM:PN, h.e. ??—uz. Quare cum in parabola fit y — 233 conftans, erit $?— a z. Quae aequatio coniunüa cum generali omnibus curvis com petenti, v? — uz, praebet y — a, feu fubnormalem con- ftantem. Vnde viciffim fequitur, hanc aequationem V-0z, foli parabolae competere ( y 3.), eiusque naturam non mi- nus definire quam iftam, y? — a x. $. 5. Cum area parabolae Apollonianae aequalis fit beffi redanguli ex abfciffa et ordinata, facile patet, eandem relationem nulli alii curvae competere poffe. Sin autem generaliter ponamus aream feu fy9x-zxy.h e yox-t(xoy--y0x) Yeperietur (tc MURUR cePMCTUES vel £93 — P Me integrando y" — a 3x" —". Unde patet, curvam quaefitam eífe parabolici geners, fi n? m, hyperbolici, fi mz n, et redam axi parallelam, fi m — n. — Pofito m — 2, n— 3; ontur aequatio ad parabolam Apollonianam: y? — ax. $. 6. Infignibus parabolae proprietatibus merito haec annumeratur, quae ob ufum fuum in Catoptricis eft notifüma: fi ex quovis curvae pundo M ducatur eda MF ad focum parabolae, aliaque Mn axi parallela, binae iftae lineae aequaliter ad tangentem TMt inclinantur, five ett FM T—nMt. Inquiramus iam generatim, utrum plu- res dentur curvae, in quibus punQum quoddam fixum F poffit affignari, ex quo fi ad quodcunque curvae pundum M ducatur reda, aliaque reda axi parallela per punüum eU a-—Á Tuy T E M, ut binae iftae lineae aequaliter ad curvae tangentem in M inclinentur. Quem in finem pono A F — f, ut fit TF—TP-—AP--AF-—t—zcx-4-f. Quare cum fit tM 5 — M T N, requiritur ut fit MF-—TF-t—zx-rf. Eft autem KUME-y(y^ PP y P —2fx-f). et t — ??*, unde fequitur: y -x—sc:fx-f[cle—iefiyt. Hinc reperitur yi(0y?—2933)--2xyO0x0y—cfy9r0y-o,feu | y(2y? —229)-- 2 (x —f)8x0y o. Ponatur 9y — pO x, ut fiat y (P — 1) H- 2 (s— f) p — o, feu y fe, unde differentiando nafcitur 2p(1i—14?)0x $— 2 mv ; Qy tbc DI gPer—por. Hinc nanciícimur 2 (x—f) (1-- p) 9p— p2x(p* — 1) — px (pf 1) (^1). Unde concluditur aut p?-- 1 — o, quod praeberet valorem ipfius p impoffibilem, aut 2(x—f)?p-—p(p— :)22, h. e. 35.— Zui5. et integrando Ls — f) — lx 4 p) --1( — p) — a Ep 4- La. Proinde c drerit AN feu Y 2 unde Fig. 4 | x : : unde invenitur 0 y — i s atque iterum integran- do, y —b--2y a(a —f--x), five (y — bf — 4a (xr a —f) quae aequatio docet, hanc proprietatem nonnifi parabolae Apollonianae competere. ! $. 7». Ouemadmodum parabola uno, fic hyperbola atque ellipfis binis praeditae funt focis, quae proprietas num aliis quoque curvis competat, iam inquiramus. Piae- monendum autem videtur, me nonnifi de foco proprie fic dido hic loqui, qualis in Opticis confideratur. Radii nem- pe ex alterultro foco in curvam incidentes ita refleduntur, ut vel in altero foco concilientur (quo cafu focus phyficus Ellipfin dat); vel ut fada reflexione omnes radii ex altero foco egreffi videantur (quo cafa focus geometricus feu vir- tualis Hyperbolam praebet). ^ Ambo cafus generatim fub . uno facile comprehenduntur. . Sint curvae A M bini foci F et G, per pundum quodvis M transeat tangens T t. Re- quiritur itaque, vt redae a pun&o M ad binos focos duc- tae tangentem T't fub aequalibus angulis fecent, íeu ut fii TMF—tM G, quod de ellipfe et hyperbola valere conftat; modo notetur, fi G ad alteram punüi F partem cadat, fore T MF — TM G. Eadem vero relatio, quo u- tumque cafum compledatur, generaliter fic enunciatur. Eft fin. T MF — ——7 T7, et in tMOG-fündgWI- Ic MIRI quapropter effe oportet 7 — 27. Nuncupatis iam AP-z, PM-—y, AF-—f, AG g, cum fit fubtangens | P'T pae 22 , habemus | TF—PT-—AP--AF-2—:5»xf2»; eodemque modo TG-—292£1—»9»--22» — $i. Praeterea eft MF —y (PN - PE)— y (y? -a* —2f x a f*), et MG-—y(y*4-»x -—2gzr-4-£g). Aequatio itaque propofita eft yox—x20y--foy-——590x—x9y--g89" Y [5? 4- (€ —j Y] Y [2 2- (x —g?] ? quae eft integranda. — Quem in finem reddatur ea homoge- nea, ponendo x — f —u, et x— g— v, atque in parte aequationis priore fubftituatur 0x-Ou, in pofteriore 0x—ov, eritque | Qou—ugogy-—— yov-—voy Y OP rf uM LAM adm] [ Pofito infuper u — p y, v — qy, ut fit Qu — pOy -- yop; óv—qoy-r-yo2oq, ert | Qu—poy-——0v—40) "6:4 209. E 2 99d YV(I3-p2?) — vuioqn? Y(X3a-$2?) Yix3a-42)? . PEZ pres oq 1 1 ; . ideoque yuü-2 7 ync.8» Cuius integrale eft: - Mp Y (x a0 p) —1e-r 1g 2m y (1 2-8]; five D p- y (x 4- p?) —cq--cy (1 4- $2). Quodfi nunc reftituantur valores p-—2, qc 3? fiet u J- y (f? --w) — cev-4-cy (y$2-22), - quare cum fit u — x —f,v-—x-—g,habemus . Y Uf (—fY1— e Y D? (x— ay] — (c—2)xf—-c&- Sumtüis quadratis fit | | | Ya ^. EN) (& ac 1) 0? o7 $9) — 2 (f-- à) z -- f*-- et —2cy [y? 4- (x — f? D? 4- (x— gl —[c—2c--1)? -- 2 (f—cg) (c—1) x - f*-- € g —2cfg, feu 2cy D - (x — fY1 D^ 4- (2— &)1 — (8-1) --2cx*—2c(f--g)r--2cfg. Sumantur denuo quadrata, atque legitimis fatis redu&ioni- bus et divifione per y? inftitata, reperitur: (— 1f y? a- 4c (c —1P a32— 4c(c— xy (f2- g)x o 4 cf g (C -- 1) — 4 c (f i g?) — o. Hinc iam, patet, problemati nonnií lineas fecundi ordinis vel fe&iones conicas fatisfacere. Quo nunc cónítans airbi- traxia c determinetur, abíciffae a vertice curvae computen- tur, vt cafu x — o fit quoque y —0o: tum quoniam in ae. quatione integrali u-3-y (y? --w)-cv»--cy (y? 2-9) effe nequit c — o, in ultima aequatione habemus: fgc—(F--g)e-fg-o, unde refultat —j?--8? ,. f*-2-2[í?g2--g*5* «— — f$ --g?-b(f—1) I 2fg jay t 4j? g? 1)— 2fg Una itaque radix eft c — £, altera c — f Pro priore ae- quatio noftra eft: (g? —f2» 4E(g—f? 49. 4£(E-- fg —f* EL y 4 Cad 4? NUIORESOS . O0 xo, feu dividendo per £—/*, (g A- fP y? -B- 4f gx? —4fg(f42-g) x — c. Cum in hac aequatione literae f et g eodem prorfus modo contineantur, ad eandem quoque expzeffionem perveniffemus,. "n fi — 91» 59 "— fi alteram fubftituiffemus radicem c — I. Quamobrem haec eft aequatio generalis curvarum focis praeditarum , abfciffis a vertice captis, in qua ellipfs, hyperbola. et parabola continentus. In ellipfe fi axis transverfus dicatur 2a, com- iugatus 2 b, eft fza—y (?$—W), gza-- y (?—V), f--g22a, fgzt?, vnde aequatio noftra fit 4.0? y? -- 40 3? —8ab* xo, h. e. y?—2' y — "32, quae eft notiffima illa aequatio ad ellipfin. In hyperbola eft f-V (d 9)—a, gz—y (à - V) —a, f --gz—2a, fg-— V", et aequatio noftra: 402y* —4l3?—8 00? x—o, h. e. y? zc?Ey.-5 gt, uti requiritur. !n parabola eft g — co, unde aequatio no- ftra abit in hanc: g?y? — 4f g?x — o, feu y? — 4f x, ubi eft 4f latus redum parabolae , quod e natura parabolae conftat. In circulo denique eft f — g — a, proinde aequa- tio noftra: 4 a^ y?-- 4a? 3? —8a/x—o,[íceu y?—209x—XX, quemadmodum elfe debebat, $. $9. Si circuli diameter pro axe abfciffarum affu- matur, in quovis pundo normalis eft aequalis ipfi circuli radio; qui fimul eft radius ofculi; unde duae oriuntur pro- prietates circuli principales , nempe. 1.) quod radius ofculi eft confians, et 2.) quod normalis ubique radio ofculi eft ae- qualis. Si iam methodo inverfa examen inftituamus , qui- busnam curvis duae iftae proprietates competant, videbimus, poíteriorem fine priore effe non poffe. Pro priore dicamus arcum — 5, ut pofito 0x conftante fit radius ofculi vel 3530 7 05 atque pofito 0y —p2ox, erit ers oou e ideo- a— [i4 m—Ó ideoque aequatio propofita: 3 ccr C—— 105 — 9 x(r--ppy —a0p, feu 0X — zum Quo nunc irtionalitas tollatur, ftatuamus 1 -- p* — p?z?, unde fit A OPUS —2027 - 2 p——————5)9p————À:.irep—- - y (z—1) (z2—3iy a4 quibus valoribus fubftitutis habemus 0 x — —22*, et inte- grando xy — —-Lb, ubi fi reftituatur eX Wig doen ope » P e tva) 5 Hinc reperitur P-——T—Qu—3B].. 2s proinde —— (x—B5uygae--— à y uy pute]? cuius integrale eft y —c— y [aà? — (x — by], feu (y —cy e —(x—by; quae eft aequatio ad circulum generalis, cuius radius — Q, diftantia axis abfciffataum a centro — c, initii abfciffarum a centro — b. Solus itaque circulus ita eft comparatus, ut radius ofculi fit conftans: quod per fe patet. $. o. Confideretur iam cafus, ubi normalis aequatur radio ofculi. Cum igitur normalis fit — 297 , effe oportet 9 0s-—— -—20s3 CN 2 he MN EE feu pofito 0 x conftante, et Qy-—pox, yop--—02oz(t--pp): ubi — I7 — vbi fi fubftituatur 9 x — 2 , nanciícimur t f 2f , vnde fit integrando Ly —la-—El(x--pp), h. e. Y-—vurPae Sine ulteriore integratione hinc iam concludere licet, rela- tionem propofitam [íoli circulo competere. Cum enim fit V (1 4- p p) — $i, ex aequaüone noltra differentiali per pri- LI LI 1 n a E mam integrationem reperta, y y (1 -- pp) — a, feu 2?* — a, fequitur, in curva quaefita normalem 29* effe conftantem. Unde ob aequalitatem normalis et radii ofculi concluditur , radium ofculi effe conftantem, quod cum foli circulo propri- um fit ($. $.), prima iam integratio nos docuit, curvam quaefitam nonnifi circulum effe. Nihil itaque fupereft, nifi ut ulterior integratio firum axis determinet. ^ Cum autem propofita relatio, quod nempe normalis ubique radio fit ae- qualis, in circulo contingere nequeat, nifi axis abíciffarum per centrum tranfeat, a priori jam aequationem integralem determinare licet; erit fcilicet aequatio , quae circuli natu- ram definit, quando axis abíciffarum per centrum tranfit. Idem ipfa integrauo docet. Per aequationem enim modo reper- tam eft — Y(a?— 52) —— 99» — | oy aaew ns cu T ad QT SS zuiÉgnt cuius integrale eft y-b-—y(a--y?), h. e. (x — by — a? — y?, feu y? — a? — (x — b, quae eft aequatio ad circulum radii a, abfciffis in diametro captis. i $. xo. Quemadmodum in expreffione generali radii curvedinis fignum (—) indicat, curvam verfus axem effe ANoua 4a Z4cad. Imp. Scient. Tom. IX. Z con- concavam, [feu radium ofculi atque normalem ad eandem curvae partem cadere, ita haec aequatio: 295 — S pro- cul dubio fignificat, radium ofculi normalemque effe quidem aequales, fed ad oppofitas partes cadere, h. e. curvam ver- fus axem efle convexam. Operae pretium videtur, in na- turam illius curvae íollertius inquirere, cui haec proprietas cum circulo eft communis, quod radius ofculi ubique nor- mali fit aequalis fed oppofitus. .Curvam refultare videbimus transcendentem infignibus proprietatibus affedam; res quo- que per fe eft notatu digna, idem problema ad curvam per- ducere omnium fimpliciffimam, fi curva verfus axem fit con- cava, ad curvam autem transcendentem , fi curva verfus axem fit convexa. ir. Eft itaque aequatio propofita: y 00 y — 0 85, [cu pohto 07" — po qm ed eye oye irem eden) y29p-or(i-r-p)———R-, unde fit 299 — ?9??., et integrando y l--rppo Ly —la-HIl(r--pp),h. e. y —ay (x p p)- linc porro habetur EPNUR 2 .——q2) — E a cuius integrale eft ae dbsstz*d ESSA E mE o m m & 2 x Y aa ea? ) Vnde porro habetur x—65 x—b eu lcu c supe —— denotante nempe e baíin logarithmorum naturalium, ideoque Mele cad xb 3 que «"--—2gyge «u-pg os; vnde € ÀÀ—— 179 — vnde oritur " Y —b b—x y-ia(e* --e * ). Cum univeifalitati nihil detradetur, (i una conítantium de- terminetur, ponamus g — ri, atque habebimus hanc aequa tionem : e* —b -L e? -— OO y L—————————— . 2 Determinemus nunc alteram conftantem b ita, ut aequatio- nis forma reddatur quam fimplicifüima. Quem in finem no- tetur, cafu x —--oo fier] y — -l- co , nunquam autem fieri poffe y — o, feu curvam axi nunquam occurrere. poffe, vn- de e cid debet valor quidam ipfius x finitus, ad quem y cft Minimum, qui reperitar ponendo x—b b—x e zb Og CS ox 2 x —b-b-——x,ífeu x— b. Ad utramque huius puni partem in aequalibus diftantiis ordinatae y eundem habent valorem. Pofito enim x-b--c, c — € md pc hit yEESGUS S. ac pofito x — b — c, e yt .t, o ut ante. Affumamus itaque hoc punQdum , ubi x — b, pro initio abfciffartum, quem in finem loco x — b poni debet X, ut fequentem nancifcamur aequationem: y — ———-—, quae n | in feriem infinitam M - praebet feriem illam notiffimam: y-——r--f.-d-—2—--lx;£.5; 1 06b -Uen In hac igitur aequatione, valori x — -- c, idem valor ipfius y icfpondet; pofito x — o, fit y — 1 — a, qui minimus va- Z2 lor [. em 180 GCOCESUCSWWEB lor eft applicatarum y. Sive autem ponatur x -——-1 co, five x— —oo, utroque cafu fit y — -1- eo. — Cuicunque tandem valori ipfius x, five pofitivo, five negativo, unicus ipfius y valor refpondet, isque fémper realis. Quodfi itaque ex initio abfciffarum erigatur normalis ad axem, ea erit curvae diameter, unde jam curvae figuram clare cognofcere Fig. 5. licet. Sit DB axis, C iniüum abfíciffarum , atque ere&a normali C A — a, eaque pro unitate affumta, erit À curvae vertex, a quo puncto inde ad utramque diametri CA E par- tem curva binis ramis A M, A N, in infinitum excurrit. 1^. Captis iam abfciffis in diametro C E, ut po- fito CE — x, EM — y, aequatio fupra ($. 11.) reperta fiat y —ix-cy (o — 1)], (pofito nempe a — CA-—r, e& m — o); cuicunque ipfius x valori unicus modo valor ipfius y realis refpondere poffet videri, cum tamen revera binos adeffe debere valores reales eosque aequales, per fuperiora conftet. Dubium hoc penitus evanefícet, fi fequentia obfer- varimus. Cum fit x-3-y (x -—1)— T € — yix? —I)? €rit quoque | y zz—l[x—y (32 — 13) EM. (Hic enim valor ipfius y femper eft pofitivus, ob g——y (zxt— 1) —4d-uie4 uz. | qude feries valde convergens ob x1, [emper unitate eft minor). Verum ob ambiguitatem figni radicalis prior ipfius y valor proprie eft — -- L[x -- y (aX? — 1)], pariterque po- 8x3 fterior y — — L[x-- y (a? — 1)], vhde düplex ordinatae y valor hac aéquatione continetur: y zc --L[x-- y ( g^ 1)]; "ubi eft EM m— [T em EM--Ix--y(3—3)]—-—1[x—y(x?—2)], et EN -—-l[x--y (2 —1)] —--I[x—y (x? — 1)], quos binos valores aequales effe fed oppofitos, cuivis patet. Veritas horum ratiociniorum ex ipfa integratione patet (f. 11.), cuius ope noftram aequationem nai fumus, in qua utrum- vis fignum -- radici praeponere licebat. Peifpicuum quo- que eít, five ftatuatur x-—l[y--y(y?—21)], five z—lly—Y (f —*)» euncem pro y valorem refultare. | Eft enim Gc EY Qo ips REN vnde fumendis quadratis utroque cafu reperitur y — 4 — 5. , 2 h. e. eidem valor ipfius y, nempe B M et DN duplex ab- fciffae x valor refpondet, puta CB-I[y-v(y&E—1). et CDL ge —EMer feu permutatis coordinatis , ad eandem abfciffam C E — x; duplex ordinata y pertinet, EM —I[x-- y (3? — x)], et EN-I[x—y (3xà—1)] 2 —I[x 4 y (32 — 1)], vnde femper EN — — EM, feu C E eft curvae diameter, Ceterum patet, fi x Z:, y femper fore impoffibilem. Pofito Bubem rz —— 1, it y —l1—:0. QCafü x-- eo, pró figno (4-) eft EM — -- 12 c» — -4- eo, pro figno (—) autem eft EM-—-—lo--4-o; eodem modo eft EN-I-Llozc-c,et N 2 ET] $S6s-s—-do. Z5 Am- D— [Do mm Ambo itaque rami in infinitum excurrunt, fed ordinata EM eft infinitum ordinis inferioris quam abfciffa, unde et cur- vae noftrae figura Parabolici generis eífe videtur. Sin au- tem x valorem induit negativum, ob y (3? — :) Z x, y fem- per fit impoffibilis. Idem quoque ex aequaüone priore *-Lg à s : yo 2 — 7 ..fequitar, ubi y — B M nunquam negativum P2 " recipere poteft valorem: unde viciffim concludere licet , nu- merorum negativorum logarithmos effe imaginarios. $. 15. Redeamus nunc ad aequationem priorem in- ter-CB x et BM—y, quae erat y Hinc pofito 0x conftante, continua differentiatione reperitur Q ye mpu ar prgnyscitere gr Disi" a. IT. Bus OT ESTNE Qi y i0 EPE- 6 CXQO Y^ o x 2 oc Eodemque modo invenitur d'y. 00y. MiQUg Dy geroy Qx dd 7/95 x v ct generatim g 2d rim E EOS LU NE dU ct Quar I.2 1.2:5.4. LE 2E quete n x^ -- zt -1- cct. oup Las tuam 1.2.5 1. 2.9. 4-5 Pofito itaque x — o, eft 22 zio SE vmeli- 1, unde hoc ca- fü y eft Minimum, ut iam fupra vidimus. Cum praeterea fit. pz Q ci e *—.--g-?*. ccc »Acb p--— — à ox 2 4. uti i- on n - 0 DT oy 3 I-il-p^-—— Ly", et .—— ——u————y, kf i - " 0x xg 7 vnde habemus ^9? — y? — r-L- p?, fiue ] Q x LOggeseto xiUnmoPeezg wy — 3n deeqine s 3195 ci ug 5143 9x Q 9 y Qxaoy Q x Qxooy h. e. normalis — radio ofculi negative fumto, quemadmo- dum requiritur. $. 14. Inter infignes huius curvae proprietates haec merito eft referenda, quod eius quadratura et redüficatio geo- metrice poffit affignari, conceffa nempe curvae conftru&dtione, et quod una ab altera dependeat. Siquidem enim fupra ($. 13.) invenimus : 4- p — y^, inde fit 0s— xy (1p?) LlÍly0z; h.e. elementum areae y ox aequatur elemento arcus 0s dudo in lineam pro unitate affümtam , quae erat AG a. Hft taque. y.0x7:a0 5 . Cum igitur area A CBM et arcus AM ambo evanefcant cafü x — o, nulla conftans adiicitur, eritque ACBM —A C. A M:. unde patet , quo pago quadratura pendeat a reGificatione et vice verfa. Utra- que vero feorfim fic reperitar. | Cum fit ($. 13.) y-55, habemus y 0x — a0 5s — 0p, ideoque arcus ACBM.: TM NM d aree ARM LLEE ATA umb? sxu—c[LQ.72 Wt. .AC TT 2 Dud&a itaque per verticem À reda axi parallela Ay, in ea capiatur À m — ubt ok , atque pofito x — C B, erit Am 2, — Cb arcui A M, et redangulum C A mb — areae AC BM; unde fi auferatur. pars communis Ca, exit. Bmm- AaM. Quodfi infuper fiat a: x — y : C 6, feu C gx y, erit re- angulum Cy — xy reüangdo CM, et Bji—a E. Quare I84. Quare cum fit Bim — Aa M, fequitur b. — areae AM E. Bifeaa denique a V in M^, et du&a chorda A M, erit redan- gulum b y/— fegmento A M inter arcum et chordam in- tercepto. Quoniam in problematis folutione ($. 1c.) e cir- culo nafcebatur curva noftra, radio negativo accepto, ifta curva tanquam circulus negativus poteft confiderari , quod etiam cum quadratura convenit. Quemadmodum enim fedo- res in circulo arcui in dimidium radii dudo aequantur, ita hic area extra curvam defcripta ACBM arcui AM in conftantem A C, cuius duplum etiam pro radio curvae af- fumere licet ($. 19.), du&o reperitur aequalis: et quemad- modum curvae noftrae quadratura et redificatio a numero e fh. e. a logarithmis realibus numerorum pofitivorum dependet, fic eadem elementa in circulo logarithmis imaginarnis ex- primere licet. $. 15. Dudo radio vedore C M, exit fedoris ACM area -ACBM CBMaiU T8 omy mU ere; Congm. 2 2 Haec expreffio cafu x — 2 fit negativa, ideoque pro minore quodam ipfius x valore iam evanefcit, quod indicat, radium vedorem C M, nifi fit curvae tangens, illam bis effe fecatu- rum, quem cafum Pig. 6. ob oculos ponit. Ibi, quoniam fegmentum DEM eft pars trianguli CPM — 2*2, non au tem areae ACPM, utique fieri poteft CPM —ACPM, Óf; nempe DEM — ACD; fin aatem DEM-ACD, erit quoque CPM-ACP M. Noftra igitur aequatione fedor ACD propre invenitur, qui abfciffae C B refpondet. Sin autem ifte fedor ad abfciffam CP referatur, cui radius CDM non minus refpondet, per aequationem noftram obtinemus "'ACD-—DEM, quae igitur expreffio evanefcere immo ne- gativum induere. poteft valorem. Unde non inutile erit ex- pres- . 185 & preffionem quaere. fegmenti DEM, cui abíciffaa CB — 6 et C P — c refpondent. $. 16. Ex $. r4. habemus À P Mono mna ps? | D aod et AC BD — —— — - , proinde c —e675- b E DBPME-USI Eua 2 Cum praeterea fit c ^» oC US GP igo puis 2 4 b —b bebe" , nancifcimur T CBD-—— C& -d-6€6 ^ 0—be be? - 4 : ,ande area D B P M E fubtrada relinquet fegmentum Cu UE cou MM Ce wa abi iu.) s M d DBPMD — ? « : 4 Sin autem triangulum C BD auferatur ab area ACBD, . e" (2 — b) — e-* (2 4- b) refiduum erit A C D — ——— — vnde cafu | | D:E M — A C D effe oportet e^ (c.— 2) 4- e^ * (c-4- 2) — 6, quod euam reperitur, [íi expreffionem pro fe&ore fupra ex —29)€. (Rodi) 2 M ($. 15.) inventam nihilo aequa- lem ponamus. Habetur hinc Lo34I-- Ix Jen I—IxX Noua. Aha "Acad. Imp. Scient. Tom. IX. Aa unde 5 — ISO unde fit inus xr-—iz--3.-Lc E Bet five 73. 23 5.25 Eod x4 x6 ELM RC UU oie ; ficque reperitur circiter x — 1,9150094. Tunc enim eft si OE 6, 064028; proinde pxB- — 9.8300€84:, at Ex ex 2x — 58,8500188. Prio hoc sena valore ipfius x eft DEM-ACD, ideoque AGAM CPM-—*2— 5,519805; ob y — 3.46714; atque angulus A CD, cuius tangens E a reperitutic— 2.50.5 4 8^. n $. 17. Cum radius vedor CM curvae bis occurrat in D et M, crefcente angulo ACD, linea CM tandem fen debet curvae tangens, atque pundum contadus N fic invenitur. Si tangens tN' T axi occurrat in pundo T, erit PT 2x bwer yox CUN 27M e57 ein oy Éf.e € x quae expreffio evanefcit, quando x e&^* — x — e?* — 1 — o, h.e. e * — t T, five 2x — [2—1, vnde effe oportet x2 2. Sine gravi errore fumi poteft x— 3,2; vnde fit LEp— Il. et[11—2,3979; qui valor haud multum deficit a 2x —2,4. Pofito itaque CO — 1,2; tangens tN T. per centrum C tanfit. Quare. cum fit E fie .8204 54s et £5 -L0,9013043; cit L, Tii eg b? LE ym———— — 1, 8106548, et x — r,c:; unde ob tanggA C D — ES fiet angulus ACDEZ:343595 225 97 f. rs. pe] 187 $. 18$. Du&a adhuc NR normali ad tangentem 'T't, erit fübnormalis , i "QncIx— idostaede RUM 0o menm à ox T6 4 quae fit — -- co, cafu x — --oo, ac evanefcit cafu x —o, h.e. in vertice A. His fi iungantur formulae $. r4. erit QR-—ys,five a:y — s:OQR. Quare cum erat Q'T —293£— 7, habemus y TR—2i i y 0352- .——. 9$ 9X —— "ys ——— —À MM AO——— ——— —— e Normalis ipfa atque radius ofculi eft 4x —4xX 2x —5 —y(QB'-4-ON? — desieer Ta I e ecd -) ! 1 4- (m iy(et*-a4 8*-— 6-- 4 g7?* i. g-7*?), Quare cum quantitas figno radicali aifeda fit — (gie —QGry. reperitur radius ofculi N Z vel normalis N R — y y, quod breviore via inde reperitur, quod fit 0s — y fpa do y. x ESI [t ri. f24.], vnde hb NZ-jQg5.-yye NRI yy, Qxgoy feu radius ofculi et normalis femper Hs tertia proportionalis ad lineam CA — xz, et ordinatam y. Quare cum femper quoque ht OT .;OBIw,ifquti CA:OT-OR:NR,.et fi capiatur OS—- 1 —-CA,etSNV- ob sCent Q'VA NS unde fequitur OV - OR, ideoque ob RN'T — 9c? — SN V, puntüum S inter Q et TT cadere debet, feu effe oportet "i X15 quod etiam ex ipfa formula derivatur OT-— g sfr pi GcU E 3 Àa^2? ubi or d I88 e—— ubi numerator femper maior denominatore. Eadem expres- fio fit infinita, fi x —0, quoniam in vertice .À tangens axi parallela; at cafü x — o, ea fit — r. Unitas igitur eft limes, ad quem fabtangens continuo appropinquat, quem autem nunquam attingit. Ceterum quia O T —e fi x- o, eademque parum unitatem excedit, fi x mediocrem habet aps concluditur : fübtangentem mox 'fere efle conttan- tem. P ER fi X—5, reperitur fuübtangens E By Ro -Exdekmeri et cafu x — 4, fabtangens eft 8 —€ I — 1, 00064. gre Cum denique cafu x — oo fiat normalis NR — y? — co, erit quoque radius ofculi infinitas, feu curvae rami tan- dem cum linea reda axi C A parallela confunduntur. $. xo. Supra (f. r4.) iam obfervatum fuit, lineam CA-—-a tanquam dimidium radii curvae poffe confiderari. Quodfi itaque in axe C A capiatur Cc — C A, et per pundüum c ducatur perpendicularis, in qua fümantur ab- Íciffae c E, ad quodvis curvae pundum M habemus PRACT NU HAE Wis We ir 2 2 Bifeda itaque CB in pundo b, vt fit Cb-jz, eftt bm 3 (Uie Dur proinde EM — 26 m?, et BM — 2b m? — 1, quae infignis ordinatarum relatio methodum praebet cur- vam conftruendi fimpliciffimam, fiquidem femper eft EM quarta proportonalis ad C A, b m et 2 b m. i ! Nova — 50 m Nova hinc etiam nafcitur methodus admodum fim- plex curvam reüificandi ideoque et quadrandi ($. 14.) Ni- miram fi dato pundo m quaeratur arcus À m, ducatur AD abícifüs C B, et m d ordinatis AC parallela, tumque ca- pta d D — Ad atque duda BM axi AC parallela, bifece- tur DB ing, atque circulo fuper Mg defcripto erit De— arcu A. Pofito enim C B— x, ett ec —x 2 DM—BM—;.—9-ke —*—(6—e?y 2 2 2 Ee Verum ob Ad —x, eft arcus Am-LL— ($. 14.), vnde fequitur DM-——24Am?, five Ia: Am — Am:DM; h. e. A eft media proportionalis inter Dg et DM, five A m — D e. ol Àas SO. m 190 — SOLUTIO DUBII EIEUUR m UA RECTIFICATIONEM CURVARUM. Amine PDT.SCHUBERTL - Conuenlui exhib. die 30 lun. r79r. $n tpe in Analyfi evenit, vt ad Problematis folutionem vel incognitarum definitionem perveniri nequeat nifi novis introdudis incognitis et ope fubftitutionum, - quibus calculus fimplificatur. Immo haec idonearum fubftitutio- num eledio, unde calculus reddatur quam fimpliciífimus , res eft, in qua Analyftae ingenium optime difcernitur: ne- que vero magis in hoc negotio iudicio vacare quis potue- rt, quo omnes excludantur fubftitutiones, quas Problema- tis natura refpuit. Et hic mihi quidem fons effe videtur, unde plurima nafcuntur Paradoxain Analyfi obvia. Profedo non mirum videri debet, fi ex praemiffis , quae rei naturae non funt confentanea, elicitur conclufio Paradoxon vel contradi- &ionem involvens ; neque id Analyfeos defedtum, fed potius per- fedionem indicare eft cenfendum. Quare haud inutilem fufci- peret laborem, qui eiusmodi Paradoxa colligeret, eorumque caufam indagaret, quae inde plerumque cft petenda, quod Analyfta ad calculum nimis attentus, minus inquifiverit , : an,quae calculus fupponit, cum rei natura confentiant. In- ter ter eiusmodi Paradoxa dubium illud merito eft referendum, quod. circa redificationem curvarum oritur, quae ita funt comparatae, ut pundum quodpiam fixum in iis poffit affig- .nar, e quo fi ad quodvis curvae pundum ducatur radius vetlor, haec linea ubique fit aequalis radio curvaturae in eodem pundo. Speciali examini curvas iftas fubiecit Cel. Dn. Fufs in JNov. 44d. J4cad. Pelrop. Tom. IV. pag. ro4. füq. plurimasque infignes earum proprietates expofuit, ubi autem rem multo generalius aggreffus, dubium illud quo pado fit folvendum, obiter tantam monuit (loc. cit. pag. II5.) Quamobrem haud inutile mihi videtur, Paradoxon hoc peculiariter enucleare, cum infigne exemplum praebe- at, quo, quae ab initio diximus, optime illuftrantur. $. 2. Sit curva CM m ita comparata, ut pun&dum Ts, vi, quoddam A fixum poffit affignari, ex quo ubicunque duca- Fig r. tur radius vedor À M, idem radio ofculi M R fit aequalis. Omnes curvae, quibus haec relatio competit, id habent fingulare, quod algebraice fant redificabiles. — lisdem au- tem curvis annumerandus effe videtur circulus circa cen- trum A quovis radio deícriptus, femper ícilicet exiftente A M radio ofculi h. e. radio circuli aequali; unde circuli redificabilitas calculo ifta affirmari videtur. ^ Quod dubium quo plenarie tollatur, primum curvae naturam per radios e pundo fixo dudos exprimamus, unde calculus longe fim- plicior reddetur. Neque vero ceterae curvas definiendi me- thodi funt omittendae, ne quis obiiciat una forfan metho- do redificationem obtinen generaliorem quam altera. f. 3. Sit itaque A B axis a quo capiantur anguli BAM — x, diftantiie AM — y; fit m pundum proximum, et Mj. arcus circuli radio AM defciipti: eritque MAmc- 2x, My Myc-yox,my-—o0y,et Mm-— y (0y*-- y?02?) z—05, pofito nempe arcu curvae — s. Duüis iam mnormalibus ad curvam in M, m, in punBo BR fibi invicem occurrentibus , ert MR radius curvaturae, pofitoque angudlo MRm. —20(, erit Mm--9295—MHR.0qd. Quare cum per hypothefin fit MR — y, hanc pro curva aequationem habemus: 0sccy(0y*--y?282)—yod. Pofito angulo, fub quo radius ver et radius ofculi fe in- vicem fecant, fea AM R — wv, vt fiat Am HR — p 4-0 wv, ert in triangulis A MO, Rn O, angulus externus AOR-qv--0x-iv-24-92wv--260, unde fequitur 0 — 0x — 9v». Eft autem angulus mMy-—999-—0Mpy-—, ideoque tang. 5 — ES , et .cof. Np — UM ; unde reperitur 9. tang. Vj — 29539] 3 22, pofito nempe 2 x conítante; proinde 0 vp — 0. tang. vp . cof? 4p — 9x92 229. Nancifcimur hinc z- a- — üx(0s2— y33y--2 3) — 3x(205?-2-)520x?*— 500»). op-ox 0v — daz 7 o 8*9 7T 93g E294 T we et aequatio ad curvam haec eft: Ces Tn 942 — 98x(295*-- 953x^ — 99! . D s— IW Dg. dy or)cygqca s Bst RES E unde porro fit 3 ' (2y^-- y? ox p-y0ax(s0y y 2x —yo002y) quae pofito 0 y — p 0x, abit in fequentem 3 | àx(p^-- y? —y(2p?0x--y'0ox—yop), five 3 0 y (ph - y? zy (2p 9y -- y*2y —ypOp), ob 0x 22. Quae -— [05 m——— ; Quae aequatio cum fit homogenea, fubftituatar p-cuy,ut fit Op-uOy-i-yOu, ac aequatio noftra ita transformabitur: 3 0y (P -- xp — 2w20y--0y—w2y —uy2u, unde fit Qy — —"ugu W^ (u?-I-XVDYqu2 E X)- X]l2 cuius integrale per logarithmos reperitur ce ugry (ueri DEI CU DES ^ Yy(u?4-I)—1 — Y(p »)—9 Habemus itaque y? — (y — a) y (p? 4- y?), et per quadrata, 9 g*(24—aa) mom Quapropter cum erat onse oai! (pP -p- ysya iy dese on, b fabftituendo o QV E $2 — »vY(2ay-—-aa) — 98)» : 0$— v 3252— 5 aC integrando ; QICUS 9 ——ub dnb IPM EUN $. 4. Hanc fi expreffonem ad circulum applicare velimus, novimus, propofitam. relationem aequalitatis inter radium redorem A M radiumque curvedinis B M in circulo non obtinere, nifi fit pundum A centrum circuli, feu y conftans; unde etiam expreífio arcus indefiniü s valorem haberet conftantem, quod eft abfurdum. Ipfa igitur aequa- tio integralis. docet, circulum hac methodo integrar non poíffe; unde vero tantum abeft ut dubium folvatur,. ut potius inde maiorem vim recipiat. Si enim revera iíta ex calculo fequatur abfürditas, arcum fcilicet circuli perpetuo eiusdem effe magnitudinis, calculus fine dubio erroris erit Noua, Ada, Acad. Imp. Scient. Tom. IX. B b ac- — 194 acufandus, quare dubii huius folutio altius eft petenda. Oftendi nempe oportet, curvis ifta methodo reüificatis cir- culum non comprehendi. (c. Y aa —— ay(u?--rT Conftans a ope aequations y — LT LT ($5.3 facile determinatur. Cum enim in circulo y fit conftans , h. e.p—o,etuy-—-o, bhabeémpas cham y — o, ft qual tatem radicalem affirmative fumamus; at a — 2 y, fi eam negative accipiamus. Prior valor dat E yY(29y—a) — gc—b-pIrnj—9 Lb-4-ee; pofterior autem s — b; quod utrumque eft abfurdum. $. 5. An vero inde generatim concludere liceat, circulum omnino non effe redificabilem, decidere non au- fm. Videmur equidem fic ratiocinari poffe: Pro omnibus curvis, quibus propofita relatio una cum circulo competit, calculus praebet exprefüonem arcus algebraicam, quae au- tem ita eft comparata, ut pro folo circulo abfurdi quid in- de naícatur; unde féqui videtur, expreffionem arcus circu- laris algebraicam effe abfurdam, h. e. circulum algebraice *éüificari omnino non poffe. uod vero cum a fcopo no- ftro fit ahenum, inquiramus potius, quomodo calculus ipfe doceat, formulam pro elemento arcus Ós inventam non pof fe integrari, fi curva fit circulus, h. e. fi y fit conftans. Dubium enim, dequo hic agitur, in eo confiftit, quod cal- culus nofter in genere affirmet, omnes curvas ifta proprie- tate praeditas effe redificabiles,. nihilo tamen minus circu- lüs, cui ifta proprietas aeque competit, redüificari nequeat, quod calculo contradicere videtur. Quod dubium penitus tolletur, fi oftenderimus, calculo ipfo circulum excludi, feu quod eodem redit, circulum fub illis curvis non com- pre u— gg prehendi, quae Problemati fübiiciuntur. Si nempe. demon- firatum fuerit, integrationem certam conditionem neceffario. requirere, quae in circulo fubfiftere nequit, exceptio a cir culo petita calculo minime contradicit. Hoc. etenim cafu non omnes iítas curvas generaliter effe retüficabiles calcu- lus declarat, íed eas tantum, in quibus haec conditio. lo- cum habet, ideoque ipfe circulum excludit. | Idem vero dubium aliter adhuc confiderar poteft ^ Cum enim circuli ime&ificabilitas (ut ita dicere liceat) vix unquam rigorofe fuerit demonftrata, e Problemate noftro inferre quis poffet, infignem hanc quaeftionem tandem affirmative effe deciden- dam, fi nempe conftaret, circulum fub integrali generali vere contineri. Huic autem conclufioni iam fupra. occurri- mus monendo, calculum ad circulum relatam abfíurdi quid involvere, ideoque quaefwtionem negatüve potius decidere. Sed haec obiter: nunc methodum integrandi denuo confi- deremus, quo pateat, quasnam conditiones integratio, Í[i- quidem fuccedere debeat, fupponat. $. 6. A fequentibus egreffi fumus aequationibus - às—y (0?-1I- y? 9x?) , quae in omnibus omnino curvis locum: habet; altera vero Q$— y0Q, iis curvis eft propria, quae Problemati fatis- faciunt. lam vero ad generalem harum curvarum reGifica- biltatem demonftrandam, unde nec circulus excluderetur , opus effet, ut formulae y 9 integrabilitas in quovis cafu oftenderetur. Id vero fieri non potuit: fed ope duplicis ae- quationis pro Os, h. e. binos ipfius 0s valores y (82y?2-y?382?) et y 0p aequando, novam pro os nadi fumus aequationem homo: £euneam, in qua variabiles feparare licuit. Integrabilitas Bb 2 ita- 196 itaque formulae 95s comparatione duplicis iftius aequatio- nis nititur, unde procul dubio illae curvae excluduntur , in quibus eiusmodi comparatio locum habere nequit, velu- ti fi dnae iftae aequationes non effent diverfae fed identi- cae: id quod in circulo contingit. Altera enim aequatio e 'Tuango M Am, fuit petita, altera e Triangulo MR, quae duo tdiangula in circulo coincidunt, cuius A et R eft centrim; unde fubfidiam, quo ad integrandam formu- lam ^s ufi fumus, in circulo adhiberi nequit. ldem et ip- fae formulae docent." Aequatio enim 3 (2y?-- y?0x p yOx(205y5--y*0a*—y20y), quae integrationis erat fundamentum, cafu 9 y — o, feu y conftante, fit identica, utraque ícilicet expreffio abit in hanc y?0 x*. Abfurditas itaque, quam in aequaüone. inte- grali ad circulum relata deprehendimus, inde eft orta, quod integrale fübftitutione eft inventum, quae circuli na- turae contradicit. Quare fi integrale fine ifta fubftitutione quaeratur, abfardum continere non poterit. Elementum ar- cus integravimus ope fubftitutionis p — MM, quae in circule locum non .habet.: ubi, pi: 6. ; Quare fr curva CM ft cirulus, in unica aequatione 05— y 0, feu quae cum illa eft identica, Os y ges Peu em. acquiefcere oportet. ^ Pofterior, ob y conftantem, praebet s— xy, quae eft aequatio circuli elementaris et quadra- turam circuli füpponit. Altera aequatio 0s — y 0p, ob 0D -—0x-—-0Ow, et y conftantem, praebet s — yx — yv, feu quoniam in circulo wp evaneícit, s — x y, ut ante. $. 7. COftendimus itaque, ex ipío calculo fequi, omnes curvas, quarum radius ofcali radio ve&ori ubique eit un eft aequalis, effe reGificabiles, eo tantum cafu excepto, quo radius ofculi et ve&dor eft conftans, h. e. circulo ex- cepto, ideoque omnium curvarum fimplifima; quod para- doxon fequenti exemplo optime illuftrar videtur. Una ex calculi integralis elementis propofitio haec eft; dank: fs àz—L. pb TE unde autem unicum cafum excipiendum effe conftat, nem- pe n-—-— :, quoniam integrale formulae ?* feu [x eft tranfcendens, quamvis formula generali enuncietur alge- braicum. — Quae autem fi ad cafum iftum fpecialem appli- B Guam Us d d ful bf caretur,: 1ioret z — gy — 0e, unde eadem retu taret abiur- . * l ditas ac in Problemate noftro, valorem nempe /?* effe con- fÍtantem — oo, quicunque variabili x tribuatur valor. | Ne- mo vero calculum hinc effe vituperandum cenfuit, cum. ta- men hic eadem fere ratio calculum ad hunc cafum applr care prohibeat, ac in Problemate noftro. Propofitio enim xt —di Nar" vois uu HEUTE inde demonftratur, quod fit Q0. 3" * * — (n 4- 1) 3" 9 x, quae autem aequatio fit identica, cafu n— — 1. "Tunc enim eft Tuer. Ideoque: g re Oen b E o, ergo ae- quatio haec: o— c, unde nil concludere licet. $. 4. Quod hic oftendimus locum habere, fi curvae natura per radios e pundo fixo dudos exprimatur, idem et evenit, fi coordinatae Ííint orthogonales. Pofito nempe AP —x,PM —y, habemus radium ofculi CONES —g90s3. o M MOREM A, he. —225 c y (ut--y2); Qxoo)y ' Bb $5 unde Fig. -— I08 ze unde pofito Q.y — pOx, 0p.—q 0x, fit 3 (i-r pp) -—-—Xxlil-tx) quae fubftitutis y —ux,q--—, abit in. hanc: (x-- ppf ——*-y ( 2-uu), unde oritur 0 — — y C7". Eft autem QycuQOx--zourpdox, et üpnp-cqurxear, E priore reperitur 25 — $t, ex altera 25 — ??, quibus aequatis nancifcimur — (p—u)3po. QrabppM dye du NC Y gu gw confequenter " (x 47 p pF 9u — (u — p)2 p. Y (1 3- uu). Haec eft aequatio ifta differentialis , cuius magnus. Eulerus in Calc. Integr. Pol. Il. pag. 66. [qq. folutionem | docuit. Ibidem autem monet, folutionem eius non patere, mifi an- guli introducantur , quod bene eft notandum. — Aliam eius- dem folutionem admodum ingeniofam dedit Cel. Fufs (loc. cit. pag. 107. fqq.) , quam tamen non minus ad iftos angu- los debuit revocare. Pofito itaque p— tang D, u- tang w, .ent — 299 E Du Op—uga OUI s y (r--p)-—3s» Y (07 v)—u i Lei — rr: (9 — 9) | u D -— cof a coj f ? ! et aequatio noftra: : 9o — 9 0$ [in (o — 0) 2 cof? cof ^ coffwocoj3( ? fiue 0o z-oQfn(»—Q), quae X9) seem quae ita poterit repraefentari: — -—9u-— 90) Ó o BEUE-- aua cuius integrale eft: Qu peitcmm-Dusqny-c fuiase cof (o — QD) I—jin(w-—dQ? unde reperitur fin (o — Q) — €—399—t, ét cof(u-— Q) — -20—9 ; "o fed dE («4 —Q»? 41 Habetur hinc 8x .— 3u —. -—Owe[f$ — —2o0c. x p$—u coojfn(o—Q) cou vnde ob cof — cof (b cof (u — d) — fin (b fin (o — (Q) nancifcimur ! die —— — 9 O cof [(a — QD)? 2- 1] Sz — 8(a—d$ej$—jfind[i«—Qor»—rl? cuius expreffionis numerator cum fit differentiale denomina- toris, Ber ugue T integrando deducitur — 2(a-—(Q 0) cof -i- fin 6 — (a — 0) fin Eft ANA Qx —-—b23d0cofo[(a — OY 4- 11, et Uacccoqy CbuEIP)— 2$ — —b0d0[(u—dy- 1]; proinde dis | b(a—Q arcus 4$ —— c—bdo-r-*6- : $. o. Haec arcus expreffio circuli quadraturam fup- ponere videtur, quoniam angulum (D continet, cuius tangens p datur; verum haec expreffio circularis facile ad algebrai- cam reducitur, Erat nempe tang. ys —(Q)-— MILLS feu —X D00 €— o — (D -1- Arc. tang. E ICs 1 proinde . tang 9 — eus Qe Em — 2(a- 0) tang --(a-QD-: EU 138 CeFE ngo — 2(a-0)-[(a-b)-1]tangO ... 2(a— Q)fin o-- [(a— (y — 1] cof o -. 2(a—GJ)cofb —[(a—d0J —1]finQ ' unde ob tang o — u — 2-, et zb [ (&— 0) cot — [o — 0? — 1] fin Q1; Midiy" — 2 (a — €) fin 4- [(a — f — 1] cof Q. sumtis eisque quadratis , fit E23 m 4 (a — Qf 2 (a — 0)! — * (a — 0 2- zs [(a oy -raip feu pofito V (rz4d-yy) 22. (a—oy — tz. unde reperitur a—p-—y*z,etbb-ab—y(bz—b), ficque aequatio ad arcum fupra inventa ec uu ci abit in fequentem $-cc—ab-- y (bz—bb)--1y cts à —c——ab--30-By(g—b), five dle gib is e quae expreffio cum ea, quam fupra (f. 5.) invenimus, CIE, A (4^ -4- 2) Y (9 z — a/) cri uM MER I DE; ' pror- s— QD Op m— prorfus convenit, fi ponamus 2 b — a, et c— -- ab —V -tIaw. $. rc. Hic ftatim abfurditas refultat fimilis ei, quam in priore methodo deprehendimus. Relatio enim propofita in circulo locum habere nequit, nifi abfciffae a centro in diametro capiantur, ut nempe fit radius ofculi M R — y (x?4-5?). Cam itaque fit Ls q-—— pc ek PADS UI d Tl ox [r7 axle reperitur (Fig. 3.) Ó—Mmy—RMP, et o —MRPE. Conftantem c, quae nonnifi initium arcus s arbitrio noftro relidum definit, femper ponere licet — o , unde fit -—0--i(a— 9). Iam vero pofito x — o, quo cafu y — PM cum radio R A coincidens in arcum A M eft normalis, angulus Q^ evanefcit, dum o fit angulo re&o aequalis, unde aequatio degrade prior q/.— — EE. 9U. abit in hanc: a—-2-oo, quo valore fubftituto fit arcus s — 2a? b, h. e. arcus ubique va- lorem habet conftantem et quidem infinitum , quae abfur- ditas cum ca prorfus convenit, quam methodo priore ($..4.) ac in exemplo ($. 7.) allegato deprehendimus. Idem ctiam fequitur e formulis fin (s — Q) — (€—2» —1, et cof (o —() — -2:5—9 (S. 8.) (a— op? --r (a— (d (e«— 0$? --r quarum prior, cafu o — 9c? et Q—o, fieri dob sip altera autem evanefcere, quod utrumque praebet a — oo. Unde concludere licet , hanc integrandi methodum ope an- gulorum etc locum Hálere ion poffe, ubi fit & —(- 9c9. Noua Ala. Acad. Imp. Scient. Tom. IX. € c $. 1r. e———— 202 emu . $. rr. Quo autem obieGioni occurramus, hoc nonnifi in fingulis circuli pundlis , puta iis, ubi angulus M RP redo fit aequalis, contingere, ideoque generalem circuli redi- ficationem nihilo minus calculo ifto probari, rem follertius examinemus. Unica elementum arcus 2$ integrandi me- hodus in eo confiftebat, quod in aequatione differentiali ES hatr p-tang GO, et u — tang o, quare nonnifi ea- rum curvarum redificabilitas eft demonftrata, in quibus haec fabftitutio fieri poteft, minime autem eiusmodi curvarum , quae hanc fubítitutionem refpuunt, h. e. ubi ternae iftae aequationes | p-—tang, uzctangs, et 3 (1 --ppP2ouzz(u—p)2py (1 2-uu), fimul locum habere nequeunt: id quod in circulo evenire facile patet. His enim valoribus loco p et u in poftrema aeqnatione fubftitutis, ea abit in fequentem: Q0ozoQfin(»—Q), uii iam fupra invenimus. Verum in cil eft o- MRP, €t D- R MP, unde femper eft o-- Q- 9c9, five às EN Quare effe oportet .0 p — 0 D fin (e —() , h. e. fin (o —G) — — r1, five e — D — 2769; quae PUO cum priore 0 4- D — oc? coniunlla praeberet u — 18c9, et (D — — 969, quod eft. abfürdum; et tota ifta fubftitutio in circulo adhi- ber nequit, fiquidem o et ( fupponuntur effe variabiles , non confítantes, et hac variabilitate tctum integrationis arti- ficium nititur. Unde patet, neque fub curvis, quarum reCificabilitas hac altera methodo fuit demonftrata, iet ono chende N $ r2, Breviter adhuc cafum confideremus, ubi cur vae natura per redas e punüo fixo dudas atque normales Fig 4 ad curvae tangeniem exprimitur Sit itaque AM — x, AT -— m—. OD m— A'T-y,;.et relatio propofita haec;.R M zz A.M... Pofitg angulo A M R x wet. M p ad A M, A nm, normali, exit A m. R zz vp 2-0 vp, M qozz y (0.8? 9 2); atque p — M A T, idéoque tang yj — "e, cof p £x 3: ét —ÀÓx(199x-—-x9 2.tang v — AEST j unde fit 9 vj — cof* p 0. tang p —— 222—225. Quare cum fit Eoi AL HUNPACR MN e et ecd LAS 2— 9x? M A m — E — Y (905 enar heri iMm zz Ir habemus T | LÀ (283 Vilags enn i geaieb- eagh i Ly (9 — 932) — 338 555 | y (x23—2y? ae aequatio quomodo 'integrari poffit; nifi y (95? :— 2 a?) eliminetur, non video. (Cum autem fit jp — 9c9— e M es ent o2 tang Vj — Y (0 s2-—9.x2)? quare cum fuprá invenimus tang VI YA g PASEO qsáncifcimur | y (2$ 2 — TOR dus LP : quo valore in aequatione Papte fabítituto habemus M CÓ n x0Qp-3s— jS GERE aed Nerum ex aequatione os -—gQoyq3222292x o NPAEAE I PPP ue Qo ax? UT EI fit dias Y (x — 32) 2 6 quo valore priori pro 9 s modo invento aequato, fequitur à0q-—-9y, ety——0-F-y$ quae" proprietas fimpliciffima om- nibus curvis relatione propofita affe&is propria notatu maxi- me eft digna. Praeterea inde habemus y (xà —33*)—Y (2ax—aa), proinde ce: xoc " Ó$— Y(2ax—aa)? cuius integrale eft : s arcus EET TEPMMENCONCUEA I 0 à óad0 $. 15. Quoniam in circulo pun&a A et R in cen- trum cadere debent, atque ipfe radius A M feu R M ubique tangenti normaliter infiftit , h. e. lineae A M et A T coin- cidunt: pro hocce cafu habemus x — y, feu a — o, unde arcus indefinitus s ewe ià induit conftantem , nempe b -L- (2a (2aj Eb 2d eo; 6 a? unde circulum ifta methodo retlificari non poffe perfpicimus. Ipfo quoque calculo circulum iam excludi facile patet. In- tegratio ideo fuccedebat , quod anguli M A T et m M y. re- periebantur aequales, unde ope trianguli M A T quantita- tem irrationalem y/(2052?— 2923?) eliminare licebat. In cir culo autem, quemadmodum iam vidimus, triangulum MA'T prorfus evanefcit, unde neque hanc eliminationem neque redificationem in circulo locum habere, ipfe calculus abun- de docet. OR- llli: o5 anie OBSERVATIONES CIRCA SERIES QVIBVS SINVSET COSINVS ANGVLORVM MVLTIPLORVM EXPRIMI SOLENT. Audore NICOLAO FFSS. Conuenlui exhib. die r7 Nov. r79r. f. 1. pe onn in IntroduQione fua in Analyfin Infinitorum ; primus , ni fallor, fequentes dedit feries pro finu et cofinu anguli multipli cuiuscunque: fin.np—x[(2y)—— A 2)yerine moo —2(ayys Ln — 4) (5 — 5) (a— 6 e E NE uos "tg (ay) ?-- etc.] cof. nO -—il(zyy—ti(sy)-—2?24- EE X2 yy—* —RHSU (2 yy—52- etc.] denotante x finum et y cofinum anguli fimplicis Q. — Ha- rum expreffhonum, ex natura ferierum recurrentium, ope fca- lae relationis » y, — 1, deriuatarum , ampliffimus eft vfus in angulorum multiplorum quantumuis magnorum finubus C c 3 et m— $06 e et cofinubus expedité alfignandis. Imt&íim tamen nemo infi ciabitur, his feriebus varia incommoda iure obiici poffe. Primo enim eae merde iiidhiüioni imhitintus, légitime quidem, at ex cafibus fpecialifhmis, ope fcalae relationis formatis, petitae. 29) Earim lex progréfüohis nof ita eff pérfpichà , vt for ma fererum memoriae inhacreat et in promtu fit dum requi- ritür. ^89. Karim vfas refiriigttur ad "nüntérós tahtán ánte- gros et pofitivos litterae m tribuendos. 4?.) Eas vlterius con- ünuare non licet, quant quóad exponens ipfius y fiat ne- gatiuus , ita vt Ordres termini litteram y in denominatore habentes reiiciendi fint, cuius tamen regulae rátio, cum fe- res nunquam. abrumpantur, minime perfpicitur. 59.) Igitur omnibus plane: :cafibüs ;:; nifi. illáà regula ftride obferuetur, feries illae à veritate maxime recedent; quemadmodum, le- villima fada applicatione, cuique patebit. $. e. Hae imperfedioites fagacitatem immortalis fe- rierum illarum vt et vniuerfi calculi finuum audoris 1inimni- "me effugere, vt qui non folum, vnde .füémütata incohm originem dücant, infigni quo pollebat ihgérnii acumine dé- texit, fed etiam iis corrigendis imültümi operae dedit; in Differtatiode: Dilueidationes- uper - fortis quibus [uius et 'cofinus angulorum. multiplorum. exprimi folent, etc. vbi often- dit feries illas pro fina atque cofinu anguli multipli da- tas, fupra imitio mémordtas, 1íon fufficere: ad. veros eorum valores exprimendos, fed cum vtraque infuper aliam con- iuügendam elfe feriem, cuius termini y in denominatore ha- beant; quaéque ominibus cafibus, quibus m eft numerus in- A6ber-pofitimus, terminos illos, quos reiicere iubet regula , ponte. deftrüat; pro cafibus autem , quibus n eft numerus frádus, fiue etiam ntmerus integer negatiuus, cum [eriebus illis ——— 207 illis in infinitum excurrentibus coniundim finum et cofinum angali n Q reuera exhibeant. Hae [feres geminatae ita fe habent: (iy Rs fme xv ' I na2-2 I (o aora) Y xi iati 7 MMC: d (yy (appetat a) (yy 7! ete Brink nd n (n.2- 3) 9i air ES OPE RT CROY MERI A19. ed STILE (ap) «i: (8By)"t? I.2 (2 yy -*4 cof.n pz z $. 3. Methodus, qua Eulerus vfus eft in indagandis his feriebus: pro finu et cofinu anguli n Q, fequenti. funda- mento innititur. Pofito cof. (Q — y et cof. n — s, erit — 1. gnntl. Ei. mi Qs 9 -— Yu—»2) s n -— IL confequenter 9 s? ese 3s o is Y VE Dies o yifiue,0 s (x1—9 y) nm0g^ (x — 5) vnde- denuo aiféxeditiànido ; fumto fcilicet 9 y conftante , fe- quens oritur aequatio LIP fecundi gradus: : $$ —yy)— 95 nns-—0j vnde fi haec feries eds £I A By5x*4Cy | ris BaeC*- e ee et.ferierum. inde pro $22, yy S). y$i.nnms nafcentium Veg feorfim M aequentur , ftatim ex primo termino y^ refaltat haec conditio: nn — A (A — 1) — 4À- o, quae dupli- cem praebet valorem pro exponente 2: fit enim tani A—-4-n, quam. Az—n, ita yt pro s. duplex emergat feries, fcilicet: —— - d $c : (ga defin : (2yy75 I etc. — elc. pumm-—— (OD ——— (Az --Bz'7?--Cz'—*--Dz'—$-- etc. $48 cc la ANNAM... : P q^ c2 g^ 4 ze 2 CMS qui valor, coéfficientibus rite definitis, in ipfam illam feriem geminatam abit, quam fupra pro cof. n( attulimus. Simili plane modo altera eruitur feries geminata pro fin. n Q. $. 4. Emendatis hoc modo binis illis feriebus fimplicibus, quibus vulgo finus et cofinus anguli n Q exprimi folent, omnia incommoda fapra memorata ($. 1.) folo fecundo excepto, penitus tolluntur, et circa veritatem harum expreffionum nul- lum amplius dubium fupereffe poteft. Interim tamen ipfa methodus, qua celeberrimus auüor vfus eft, nimis longe repetita videtur, vt quae adeo duplicem integrationem ae- quationis differentio- differentialis requirat. Potiffüimum au- tem in hoc negotio determinatio binarum confítantium per duplicem integrationem ingreffarum haud parum fagacitatis pottulat, et, quoniam ex confideratione valoris infiniti ip- fius y (quod hic cofinum denotat) eft deduQa, primo intui- tu, vt ipfe audor monet, faspeda videtur. Hanc ob rem ali- am methodum magis diredlam, easdem feries inueftigandi, ten- tare volui, quod quomodo fuccefferit , ex fequentibus pro- blematibus , Geometrarum iudicio permiífis, patebit. Problema :. $. s. Exifiente p — y --yV(yy-—r), poteftatem p" in feriem conuertere fecundum potefiates ipfius y progre- dientem. Solutio. Ponatur breuitatis gratia y/ (y y — 1) — v, ita vt fit p' —(íy--vy,et fi, vtiam aliquoties fadum eft, coéfficien- ies —* [d 209 [-——— HÀ tes poteftatis n"^* binomii charaderibus Ia. [35 02)5 ett. defignemus , fada euolutione erit p —Ert1y eI" a —PIuU-» a- etc. et fi poteftates impares ipfius ? pariter euoluantur, habes bimus Dd car DUET ell cp I9 "ous x *ILEIAL cete. dii car AFP EE Veg ipu imi tient» ote etc. etc. quibus fubfüitutis poteftas quaefita p" fequenti ferie expril- metur : p'-—Ay*—By—?--Cyr-*— D y* — $6 -1- etc. cuius coéfficientes A, B, C, D, etc. erunt A-c 1 [2] [3] — [$1 [51 9- [2] —- etc. | B rm - $2] 80181 - [2] $[3] etc. e T.I ; S62 au : ; C- £IDeIDnm-eimpe-iip et —- N59 pra St EE ye 6.4.2 T Dp zT [Hl—2n Pe ES id [2] etc. —.— LI.3.5 [pn 3117.3 [23] | 5.3. -Ipm; 1-5-3.I [mn re. 2. 17 NIETO IER MC. DS [3] 24685] gveibil t eto etc, etc. vbi igitur totam megotium co redit, vt harum ferierum - fummae imueftigentur et coéfficientium A, B, C, D, etc. valores finite exprimantur. Hunc in finem pono 4Voua 44a. Acad. Imp. Scient. Tom. IX. Dd X X jn ans X/ —u)0.X, 7s X^ — s Ue Xx XT" mau xo etc. et fala euolutione erit Xe Ü"rie[tpe-t42]02- [2199 e 23 dene ER xlesceciue fae em MC X" ——$xülz-—zilslb£iiüle- 2l -etc. x ec reli. -imu VUERHICESI net XY —-PIUDIeiIgk- ESL ee elc. etc. vbi ftatim manifeftum eft, pofito x — 1 fore K--ADXGS BN NS DIEI Porro erit per expreffiones finitas X ETIN (x -- Ex); X LI 5 (x -4- xy — 1, n—2 NU t (1 in (nx—22—1); 4 2 X"— L— (1 DEUM "Iisgestee en) (nai —225—3) - (n—)(1--3))], N etc. Pur Sumto autem xci fict 1.9 , S ESR —— nin 4)(n— 5) "1 —6"' XU D—tiE:TRUSíS s PI — n(n—5i(n-—6)(n-—' 1—8^7 X -—E-— IT WENMEEENDI qa "m " ctc. etc. quibus fubftitutis feries quaefita erit P — (yy iy tru yy-. Ku! g UE TM o3) (2 y)'—54- etc. I2.3 Corollarium. $. 6. Quod fi binomium q— y — y (y y — x), ad poteftatem » eleuatum, in talem feriem, fecundum potefta- ies n, n — 2, n — 4, etc. ipfius y progredientem, conuer- iere velimus, id facillime praeftabitur, fi notetur effe corp PEFMCCUMATNIN] CI Nu d— F*Yi3-23) — 1? ideoque q' — p—". 'Tantam igitur opus eft in ferie fupe- rore exponentem n negatiue capere, quo fato fiet mpl E mar n (n - 3) I EE o asus rx eL X Gy iGyytt t xa (yy n (n -- 4) (n 4- 5) I RE ruUE alg M ayyte | Problema 2. $. "e Exiftente pu Y(yy— 1) et y (yy—1)—», expre[fJionem 1 in f[eriem | conuertere | fecundum — potefiates n — 1; 1 — 3, n — s, etc. ipfius y progredientem. [ d'a 5 O. Cum fit. ^* | plÉ. |: nce [tete ki. à i-e ete. U v I - 3 fi loco 2, v, 7^, v, ctc. valores fubftitaantur per y expres- fi, prodibit huiusmodi feries: É —Ay By R6 ic Dam rir m cuius coéfficientes A, B, C, D, etc. fequentibus feriebus exprimuntur: Ac-- ox 96 [1] eI$b IS] edil IDEE. zt $ qob&Lad gs eee SI s eg eMe OU ga vlz« Ub absit eal tele f EINE ——iÍi 4- E PANE "E aloczzlsl- etc. E— IE-ESULHADemUg ee. etc. etc. Quo nunc hos, coéfficientes commodiffime "definire queamus, ftatuamus X.yz—fzuru, X, —;529:$5 X,-—i9 X,-—Hdu9.-—, Xy — 3a I etc hincque euoluendo erit per feries: NES 215 X c aeree. -I:s --etc. X, 2e La ds eds teo 2 [2] a 5 $12] x? 9- etc. ZEE: zazueui2los eoxlbalifisa diii 4l odictor tel, cc c ls EYES NU —— s RUEDA ps 2 Ht ERIS ] 2- etc. 4 cour a9: 7 D EGO 3B S.I.I.3 pnl IX z lI. jet ati bi com Load stfr- . Xi 2.4.6.8 "x7 9.4.6.8 [5 duse 0:4.6:8 ail js etc etc. ctc. ita vt pofito x — 1 habeamus X- Agar EVI QU s D, etc. Porro erit per expreffiones finitas. — X -(ri-xy, S mD—Tr6 302 6 a) NE 2'wx n—92 X eee) WA TIE " CP NO etc. etc. Pofito autem x — r, inuenitur P tudo dicendi d P SN ——Àn--2 -— 9 NE. x 27v — — (n — 3) )(n —4) T —4- AY SEEN, cz EXE s r (2 £ X — Dp — 220—530 —56 152—257 : gw RRSEFUES CC SMNEN , etc. etc. quibus fübftitutis feries quaefita fequenti modo fé' habebit: P E (pci o n (yy BUT (nz —z— s [nz — 42 2) (ni 2) (11) x (1x1; , Bii pau) (a 6) (iyy—!.p ete, *'0.:9 Ü Dd 3 Co 214. Corollarium. $. $5. Sin autem, pofito q—— y —y (yy —1) ex- preffionem T7 etiam in huiusmodi feriem transformare veli- 2p mus, quoniam, vt fupra $. 6. vidimus, eft q" — p-", fum- to exponente n negatiuo habebimus: q' a RE ma» 1 a Q8) (n 4-4) I 2p "WEE (yy t t (zy)? : Ilop ( (2yy s (n 2- 4) (n —- 5) (n —- 6) I m x. M9 Ug. 39 '(2yy sd d$ Problema 5. $. o. Quicunque numerus pro n accipiatur , inuenire tam pro finu quar: pro cofinu anguli nO feries fecundum po- tefiates cofinus anguli fimplicis «D. defcendentes. Solutio. Ponatur y — cof. D et x — fin. O, ita vt fit v—y(yy—1)-—xX*y-, eritque | p — cof. D -t- y — x fin. D; q — cof. D — y — x fin. D, confequenter TM 2 | pizzcof.nQ-r- y — 1 fin.n $, d" — cof. n p — y — 1 fi. nO, vnde ftatim. colligitur: cof. cof. n —P iudi [oJ c- fn.n Qm PL xq), 2y-—x1 2v Hinc fi loco p", q', B ; UST feries illae*$4181.5, 6, 5.8, 2p 20v inuentae fubítituantur, erit pr er D E CUR s n4) (n—5)(n— 6) (2y)—7 -- na 1.2 15 fin.n p-x UESTRE EE (n)(n-—4) 1 (G7 a GT ei Gyym — (na4)(n-5) (n--6) 1 SEA To 57 8 «09 uale ea! ey en m9 yy io n(n—a4) (n — 5) (2) Jissspisete- T 15. cof.n pz 1 Ai I n T n (n -4- 5) I (09)! dot JA. duatea sc(op)ttt n(n--4)(n-3-5) z | auge Mia inane Dh guis: (yy eic. quae funt eae ipfae feries geminatae, quas Eulerus in lau- data Diifertatione per longe aliam methodum inuenit. Corol- Corollariutm. $. 1o. Cum fit fn. n díse EUR) et cof n p m P E a 2v 2 feries autem initio ex Introdudione Euler in Analyfin In- "oy finitorum excerptae, tantum fint: prima — Mas ($. 7.); alte- 2v 7 TL ra —P puc manifeftum eft, a priore fubtrahi debere dish 2z T, ad alteram vero addi 9, quo verus valor ipfius fin. n D et 2 cof, n G obtineatur. Scholion. $. rr. Cum hae expreffiones immediate ex euolu- üone binomiü [y--y (yy — x)]' fint deriuatae, euidens eft eas generaliter veras effe debere, quicunque valor expo- nenti n. tribuatur; vnde etiam pro iis cafibus valere de- bent, quos excladebant feries in Introdudione in Analyfin Infinitorum exhibitae et fupra $. r. relatae, quae tantum pro numeris integris pofitiuis ipfi n tributis adhiberi pote- rant, pro quibus cafibus fi adhibeantur feries geminatae modo demonfítratae, altera feries, vt Eulerus ofiendit, terminos fuperfluos alterius deftruit. Nemo autem non videt, has no- vas exprefüones valde effe incommodas, et fi vfum fpedare velimus, cum feriebus afcendentibus minime comparar pof fe, quas Eulerus in Introdudione, pag. rog et 2098. pro fin nQ dederat. Interim tamen et hae feries nulla demon- ftratione ftride fic dida funt munitae. Maxime igitur mi- randum eft, hunc infignem Geometram neque in Introdudio- ne FE ne, neque alibi, quotiescunque de multiplicatione et diui- fione angulorum egerit, alias feries huic fcopo magis ac- commodatas, legeque magis perfpicua procedentes, in me- dium protuliffe, cuiusmodi varias excogitare licet facilli- mae indaginis, quibusque adeo demonftrandis prima calculi angulorum principia fufficiunt, quemadmodum, vt vnicum fpecimen afferam, ex fequente 'Theoremate patebit. | Theorema. $. rz. Denotante (Q angulum et n numerum quem- cunque, femper erit | fin.n$ —.cof. D ( --[$1tg. 5 — [5] tg. D? - [211g D— etc), cof. nb — cof. ^ (x—[211g. (?-- [2] tg. D * —[2]tg. C etc), vbi charaderes [$2], [3]. [$1]. etc. denotant coéfficientes n"^* potefiatis binomii. Demonftratio. Ponatur fin. Q? -- cof. (? — p q, ita vt fit p — cof. O 4- y. — x fin. D, $-— co. Q- y —r fin.iD., eritque, vti ex elementis Calculi finuum conftat, p' — cof. n O-1- y — 1 fin. n $, q" — cof. n o — y — 3 fin. n D, vnde fequitur fore: e p" d SNAM fin.n ae m rem cM cof. n o — ELS 2 Noua 24a Acad. Imp. Scient. Tom. IX. Ee Hinc -— OTIO Hinc fi loco p et q quantitates angulares reftüituantur, ob p" — cof. Q" (x -- Y — 1 tang, Oy, | q* — cof. Q" (x — y — x tang. OD)", habebimus finn D [(z4- V — 1 tang. )' — (1 — y — 1 tang.) ]; cof, eed [(x4-y — 1 tang. C)" 4- (1 — y — 1 tang. D)" ]. Fada iam euolutione binomiorum reperietur: TRUE tang. D)'-2 1 -- [2] V —1 tang. D—[2]tang. ? —[5]1Y — x tang. Q* -- [2]tang. D*-- [2] y/ — 1 tang. QD? — etc. (1 — y —1tang. D) Z1 —[Hy/ — 1 tang. b —[2]tang. (? --[3]V — 1tang. D5-- [2] tang. D* — [2] V — 1 tang. Q5 — etc. quibus fubftitutis pro finu et cofinu anguli multipli n Q fe- quentes emergunt feries femper verae et fecundum legem valde .fimplicem progredientes: fin.nD-cof. Q^ [[2]tang. b —[5]tang. ?--[? ] tang. Q— etc. ] cof. n cof. D" [ x —[ jns " --[;]tang. i [2]tang. o^ etc.]. 9 Corollarium 1. $. 13. Quod fi^ hicliterae( dárec fiue — tri- buantur 1, 2, 3, 4, etc. fequentes inde refultabunt relatio- es: » Pro finubus: fin. Q—cof.D.tang. D, fin. 2 (p— cof. Q?. 2tang. (o, fin. 3 D — cof. ? (5 tang. D— tang. D?), fin. 4(5 — cof. Q* (4 tang. D — 4tang. (?) , fin. a— DIO. mS fin. 5 p—cof. Q' (s tang. 5— 1otang. (-- tang. QJ) à fin. 60 — cof. Q^ (6tang.0— 2o tang. Q5 -- 6tang. 0) ; etc etc. Pro cofinubus : cof. /3—— cof. D, cof. 2 p — cof. QC? (x — tang. (?) , cof. 5 p — cof. (? (x — s tang. Q(?) , cof. 4.(p— cof. * (x — 6tang. Q? -- tang. D?) cof. 5 D—cof. D! (x — 10tang. Q?-- 5 tang.) , cof. 6 p — cof. Qé(x — 1 5 tang. Q^ 2- 15 tang. D! —tang. 5) ; etc. cto .. quarum veritatem per notiffimas angulorum proprietates fa- cile examinare et demonftrare licet. Corollarium 2». $. r4. Cum autem, pofito fin. D — x, cof. (D — y, fit dier Le ; expreffiones modo datas in fequen- ies transformare licet: Bin. Q-x | cef... (yr fi. 2p-x.2y. cof. 2(pz2y?— 1 finQ-x(4y?—1) cof. 5 D-4yi—5 y fin.5b-x(r6y'—12y*--1) | cofsQ-1i6yj—20y32-5y fin.6D-x(32 5 —265?4-6y) | cof. 632 y5—48y*a- 18 y^—1 etc. etc. fin. £-x(83?—4y) | cof. 4D 8 y*— 8 y?-- 1 : Ee2 quae 220 quae cum notiffimis finuum atque cofinuum angulorum »2(, 3 C, 4 Q, etc. expreffionibus perfede congruunt. Ex quo intelligitar, ope harum ferierum, aeque expedite ac per vfi- tatas, finum et cofinum anguli multpli quantumuis magni exprimi poffe per finum et cofinum anguli fimplicis Q. Corollarium 5. $. rs. Cum feries in Theoremate exhibitae pro nu- meris integris pofitiuis ipfius n femper abrumpantur, fecus ac euenit in feriebus initio allatis , eae exatle verae funt; pro numeris autem integris negatiuis, vt et pro frallis, eae in infinitum. vsque extendentur; et ex .natura poteítatum binomii 1am fcimus, feries etiam his cafibus omnibus veras effe debere. Examinemus aliquot cafus, tribuendo primo multiplicatori 5 valorem negatiuum, puta — 1, eritque i, [z1-. D2leur, De. 45], 12] vnde habebimus ! fin. —. » s [ tang. Q— tang. Q? 2- tang. D, — tang. $' - etc.] cof. — xiglbr— tang. Q? -- tang. D* — tang. Q6 -- etc.] hincque per cof. multiplicando prodit tang. D — tang. Q?--tang. QD — tang. Q!-- etc, 45:2? , 1 —tang. (? -- tang. D* — tang. Q6 2- tang. Q? - etc. — Uum : quarum ferierum geometricarum veritas per fe eft manifefta. Pofito enim: s—tang. p— tang. Q5 2- tang. 5 — tang. D'-- etc. erit stang. (? — tang. Q^ — tang. (* -- tang. $' — etc. , vnde fit s(r- tang. Q?) — tang. D, ideoque 5— 729, hinc- 22I hincque porro deducitur — 1 — tang. Q?-- tang. ' — tang. Qé-- etc, — Ete7.29 , S tang. Quod fi nunc loco ( fucceffiue fcribatur 2 d «» refulta- bunt feries notiffimae: I— r--1-—rI-|-: —r-l-etc. — I, 2.— 3 19:30 4- 8E.— 046. d. 6t6. 225 I— $--8— si dc &— mic €. — i Corollarium 4. $. 16. Sumatur etiam n — — 2, et cum fit Iz] Sla eietemendir d emite ine 015 5 et ita porro, orientur fequentes expreffiones: fin. 2 p- x g; L2 tang. (D— 4 tang. Q34- 6 tang. (— 8 tang. (D'^-etc.] cof.2p- —E [1-3 tang. (74-5 tang.('—7 tang.(6—9 tang. (*--etc.] vnde fequentes fummationes deriuare licet: 1 — 2 tang. (? 4- 5 tang. * — 4 tang. Dé 4- etc. — cof. (p*, 1—5tang.Q? 4-5 tang. D*— 7 tang. D 2- etc. —cof. Q? cof. 2 (p, quarum pofterior in priorem abit, fi diuidatur per 1 — tang. Q? — Sr. Prions autem veritas ita facillime demonftratur: Sit eius fumma 5$ — 1 — 2 tang. Q? - 5 tang. D! — 4 tang. Q6 ^- etc. erit multiplicando per tang. Q? s tang. Q? — tang. Q? — 2 tang. (* ^- 3 tang. (6 — etc. hinc addendo $ (1 4- tang. 7?) Z x — tang. (? -- tang. * — tang. (-- etc. ideoque ! $ (r-1- tang. Q?) — 1-29, "e bof, (D* , ergo s — cof. (f. Ee 5 Quod s fiue — ner Quod fi iam hic angulo ( fucceffiue iig valores 7, prodibunt hae feries: pelo ash aant. te 7 d I—3i-L-i— 4 --à-- aed ele E x —2-b437 47 6 3-pie m, I—-3--5—7-3-9—1r1--etc. — o 25 2 X — 2.9 -1- 3. 8? — 4. 8! H- 5. 3* — ete. —— £ , I— 3.3-1-5. 5? — 9. 3? -- 9. 3* — etc, — — 6 I^ 82? quarum veritatem facile variis modis demonftrare licet, Verbi gratia pro binis poftremis ponatur: $—21-—2.3--83.8? —4.83? 2- 5. 3* — 6.5? 2- etc, eritque 35$—1.53—2.8?-- 5. 33 — 4. 3* -- 5. 5? — etc. hincque | addendo 4i irse Kel gro d 4- 5* — 35 2- etc. cuius fumma notiffima eft 45 —1, ideoque s — i. vero pro vltima ftatuatur — 1 — 3.8 -- 5. 5? — 3. 35 -- 9. 55 — etc. ; eritque I14-5t—12-1.5 — 5. 5? 2- 5. 5? — 9. 5^ 2- etc. hincque addendo I-4d-4t222—2.85-24-2.53? — 2. 3? 2- 2. 55 — etc. fiue : | LT 832 9*-— 352-85— etc. — i, vnde fit t — — £. Tum Corol- — O0 Q0 — Corollarium 5. f. 17. Ponamus nunc in ferebus generalibus pro finu et cofinu anguli n inuentis angulum Q — 7, eritque fin. ^ — — [1 [1 1 — L1 [51 — ete T. DX " cot. 7 — — [1—[2]2- [2] — E21] - [2] - [5] te. ]7 4 PEL ita vt fequentium ferierum ex vnciis poteftatum binomii formatarum fummas affignare valeamus: [11 — [31 - [gem E 51 o ] — etc. — 22" fin, LT tote us po TC gp III-et z2* co—, quarum porro fumma et differentia ad fíequentes perducit feries omnes plane vncias continentes: ! I :--[2]—[2] — [2] [2]9- [3] — L2] — ete. 27" (cof. ^ fin.*7) I nebipeloi--1 851; II Iz I4 eic.— 22" (cof. * — fin. *7). Corollarium 6. $. 18. Statuatur angulus (Q — 2, erit 7-1 Rm 5 [/ n 2rmn Lu fin, T CU1— 8 D 2- s? D] — 8? C1] - ete] in n' 5 * n QU ETE "n eof. A —$- [1—3[2]-- 3? [31— 3? [2] - etc] et mu 224, —— et pofito ( —7 prodibit n' I incer zs HL GI e HD iT -eete eo, 5 — Iri ]—35l21— 8 ls ]--£ [51 — ete.] vnde iterum haud inelegantes proprietates vnciarum dedu- cere licet. DE a—— 24 DE "TEMPORE OSCILLATIONIS PENDVLORVM. DVM ARCVS DATAE AMPLITVDINIS :CVIV SCVNQVE -DESCRIBVNT. ZAuGore JV. LL. KRAFFT. «Conuentui :exhib. «die /3r 'Otfobr. 1793. 8. x. Á rgumentum de :quo "hic agere *conftitai, Tl]. Enlerus fuo more, id eft, fummo .Analyfeos .acumine iam perfcrutatus eft (*). Poft Euleri autem :meffem fpicilegia "vt tentarem., disquifitiones *meae «de iPenduli fimplicis "fingula "minuta 'fe- cunda ofcillantis "longitudine 'in «diuerfis «Imperii *Ru [fici locis obferuata. (**.) occafionem mihi "praebuerunt ; *et laboris non plane fruftranei fpem *ea inprimis : :attulere, quae Tll. Vir .in- dicauit in fua ipfius methodo etiamnum eu poffe; pro ampliffimis enim «ofcillationibus 'non "nifi *per 'ferierum 'fum- mationes admodum ntricátas 'et : fingularia *calculi et inte- grandi artificia ;poftulantes :temporis «determinatione "potitus eft, (*] "id. Ada Acad. Petrop. 'pro anno 1777. Pars poller. 'p. 159. (*) Vid. Nov. Ada Acad. Petrop. "Tom "VII. p. 215. ANoua A4da Acad. Imp. Scient. Tom. IX. Ff uem 22ó eft, neque ipía ifta folutio ad ofcillationes mediocriter am- plas applican poteft, cum ferie contineatur conuergente qui- dem illa, fed quae tam abftrufa lege progreditur, vt quarti iam termini determinatio, ipío-illuftri ;Viro iudice, calculos nimis intricatos poftulet, nec vllum pateat artificium ana- lyticum ," quo ifte labor fübleuari poffet. Quae igitur cum fequerer veftigia; conügit, vt totius Problematis folutionem haud parum planiorem inuenire mihl liceret; 19.) enim fe- rerum fummatione quidem, fed fatis facili illa et confuetis integrandi methodis perficienda opus effe deprehendi; :9.) folutionum quas reperi, illa quoque, quàe amplioribus ofcil- lationibus accommodata eft, Ííerie exprimitur conuergente , cuius adeo manifefta lex eft, vt eam absque omni opera, quovsque libuerit, continuare liceat. Cum qualescunque iftae meditationes meae ad pleniorem enodationem egregii huius et difücilluni argument mechanici aliquid conferre poffe videantur: eas hic fuccinde et ad differtationem Eulerianam fpicilegii ad inftar exponere mihi propofitum eft. . Lemmata ex doctrina ferierum petita. i ia. $. e. Denotent a, Q,'y, ctc. vncias Binomii (1—2x). ? in feriem euoluti, vt fit $35. guess — ES Y P etc. due ex lis compofitae rA infinitae: OE PITOE eva e ie 15. oou Diteri er -Lz deiode. SEnddÁ v-ié--ie-i£-.......-s^ ó--ic-riZ--iw-. B ues uud Cis ao sio Malo oie eer coo zem 1n etc. etc. ert ent erit quoque oup cipds tq icd s 3.1999 Iogmithime M -... 285.9 . m, — ea [Jogteer] Up coauilunm re. tnos r8 GL logo ies] 8 Cop A ME ESTO $7 —mglog. que punt I1] etc. etc. Etfi fortaffe fümmationes iftae propofitarum ferierum iam aliunde conftant, neque etiam methodus, qua in iis inueni- endis vfus fum, difficulter ex principiis calculi integralis repetitur; eam tamen vt breuiter fubiüngerem , ordo tra&ta- tionis poftulare videbatur. | Demonftratio. .$. 8. Sernebus propofitis fequentes tribuantur formae generales charalderibus Z4, 2/, Z//, etc. defignatae: $ ar-d-iga?-J-iyx-4Iióx*--..... EID px--iysx-ió6x'--ic:x!-4- "ns- Poe sumnidb2 E Eur jr qe err pe NE Tr ter m p zusenden dba MA cuim CU ita, vt pofito x — 1 fiat Tg Ey cgo ERU. etc, Cum igitur fit à T3 3 d- a x -- a£ -4- y 3? 2 etc. c(r—zx): differentiando et pro a, P: ty etc. fabftituendo valores. nu- mericos, colligitur: d. 2. u. C MMCEGEESERNEMGUMH LIT OF SOPEETES MISIT UFU 2b I. US m "even xy(I-—o) nem z " decia 9x eed D MAC nd Ff 6.9 — 00 — 6:0 E mm 5,0 R6, 9 — 5.. —6,9* uA AM *o«x4 tor 94 * i, LAE "x? eEtc.. Ex: principiis: Bust calculi integralis conftat effe in "u : A — 1 / xvm 2X— n 6f inr-g ctm ey oq —2(6—33/* B o come Uemmate- hoc: in: vfüm- vocato. et: pofito- breuitatis.. cauffa I;-- y (1 — x) — 2 X, habebitur. integrando: : a— ENG 2.2 id GX—rYu-s—Xx 7 e. Qs Est UU 4x 3.2/— — "EIRSWALXI]u « — W.xs^ 6) Sess d. eei is omo ue, Ed cR d x j x «?|L4- YiL—x)). «2 4x. $41.X3" ei. qui: valores. cum- pofito. x— o adeoque-X — r- euanefcere debeant; fequentia habentur .integralia. completa: : 2,2/— 1. £ —— EL, A Um AXoII-EG 4- X); ' Ue E d z/xrirtAG P M) qu en s X*y, 24-.. X3 dbeeidan, methodo: ad 'differentialia :0 ZI, 0 XV, etc; progre: diendo,. quae. bieuitatis gratia hic. praetermifi. reperi: 8. XlY — 9. E// z— 1—X (x - 9 X--5 X22-3 X). 96 X9 10.XY — 9. XIV — 1—X (x --4 Xe 9 X?2- 14 X? - 14. X; 98, X5 etc... vbi ———— 200 m— vbi coéfficientes: numerici manifefto ad genus ferierum per: IGI tinent ,. quas commode colle&liuas vo- I2: 27 cant,. cum: finguli ex fummis coéffi- I--3-2-5-2-5 cientium : feriei: proxime: praecedentis I2-4--9--1I4--14- formentür, vltimo bis repetito; ita, vt iftae aequationes ,.. quovsque- libuerit ,, continuari queant. Cum.iam fit 9. X — (ao xyxe.e..)jox-—-3t— 9r XY(I-x) x UT pERA-Y(ECTx-)]*1b—xy-- Xx 2 integrale: ita-fumtünr;. vt:cafu :x: — o adeoque X — 1 eua- nefcat, dat 2 — — 2 Log. X ;.: qua: fumma! inuenta, etiam reliquae: 27, ..2,..etc- innotefcunt ,.. hincque pro diuerfis va- loribus- quantitatis: variabilis::x: variae" feries notatu dignae füummari. poffunt:.. His: autem fuümmationibus hic immorari a propofito- noftro: alienum foret ,.. cum. hic tantum: de ferie- bus--5 ,..5 ,-.5^,. etc; ,.. in: quas';iftae" pofito" x — r abeunt , quaeftio fit.. Pofito- itaque: x-1 hincque: X-1, reperimus 25/^ —1.5 —rz2.a hincque ob. s: :— Log.4, erit. quoque P — 8.57 -—- 2. 5^ a(Log.a-- 1) | 65 —5, s — PA Buy s^-g(Log.4--1--I) etc... de. vnde fuperiorum: Lemmatum:veritas: demonftratur.. - Expreffio differentialis pro: tempore defcenfus: Penduli per arcum. circularem.- amplitadinis: cuiüscunque. $- 4. . Dato Pendulo' vtcunque "compofito,. circa axem A 'fcillationes: fuas peragente, fit: centrum ofcillationis eius in B'hüiusque centri ab axe füspenfionis A diftantia, fiue Penduli: fimplicis: ifochroni. longitudo. A B.— b... Penduli hu- Tab. VL - Fig. 5. - Ff5. ius ^ ius fit maxima a fita verticali A B:excurfio B AG —4Z, et elapfoó tempore — t peruenerit id ex G in Z, defcripto arcu circulari G Z — s. '' Circulo:ex centro. À et radio: A B —'b defcripto, in eius diametro verticali b B capiantur ex ver- tice coordinatae órthogonales pundo Z refpondentes b P — x et PZ-cy; entque y?—-(2b6— x).x et0s zc 9*5... Duda ex G linea hornzontalhl GDF pofitaque altitudine DB-zh, vtfit bDz26—h et. h—b(x—cof. 2)z2b. fin.527; ert celertati quam acquifiuit Pendulum in punGo Z, debita alutudo D.P — x —2b-1-h; quare fi haec. celeritas pona- PUT OP CE Des D y [& (x — 2b--h)], denotante g altü- tudinemj per quam grauia primo minuto fecundo ex quiete libere delabuntur. Hisce pofitis conftat ex principiis me- chanicis, effe tempus defcenfus Penduli per arcum G Z, id- que in minutis fecundis expreffum E — f?2 — gue I yaw— ELI integrali ita fumto, vt-pro x — b D —2b-—-h euanefcat; quod igitur integrale, fi ad x — 2 b extendatur, dabit tem- pus defcenfus Penduli per arcum G B — Z, fiue tempus di- midiae ofcillationis; quare pofito integrae ofcillationis per arcum CENE gue tempore -——-. ent 2 Ni ox E: wid | —Xp V(25—x).x.(x—26--h)' ad xz26 it ex cuius formulae differentialis integratione , duplici modo infütuta, bina fequentia obtinui theoremata: Theorema :. Pro mediocri amplitudine ofcillationis vsque ad. 180^. $. s. Si Penduli fimplicis, cuius longitudo — b, fit maxima a fitu NEIN excuifio fiue dimidia amplitudo ofcil- ofcillationis — Z, ct ponatur m — —— : ; erit tempus vnius: integrae ofcillationis. in minutis fecundis expreffum T-m-[r:-- T2 * Lm i25 Ow 9-IIy946 LL... AE crt i" 4.4 4. 4. 8. 8. I2. I2 m A denotante 7 ME S Meban ciruli cuius radius — r.- Demonftratio. . Conftat ex elementis calculi integralis, effe | T-—É—ncm — s.Árc.fn. y £—2? 7, Pofito duplo hoc arcu — Q, vt fit vur-xa-Henc 0 "GIIb pm» —h.cof. 1d». b Sit breuitatis gratia m — — bebitur. ul » et per notas redudiones ha- c eum tor. (s vbi ob D fin. 15, erit 4E ZPuIo coge cof. r—cobZ | cem yim gage: v aud Subfüitutis his valoribus erit - T-ytm—.— TT ee integrali ita Em vi pro.(D—o euanelcat et, ad. (—18c? nm — extendatur. Quodfi iam- quantitas: radicalis (x —mcof.) * in feriem A 2- B.cof. D -- C . cof. 2 p -- etc. , fecundum cofi- nus multiplorum anguli ( progredientem euoluatur; erit integrando 'T — 2. A. y €—"*, propterea quod , praeter 2g pumum integralis terminum, reliqui omnes vtpote fini- bus iftorum angulorum affedi, pro vtroque cafa ( — o et Q — :i8c? euanefcunt. Cognitum vero eft ex principiis ana- e ; PIU lyti- gem 40 e lyticis, effe FO T.3 LI 4 Y. 3. 5. T. 9. 1I 6 " b AX L2. Qm LIP UM nb LL mae Ur i-eétc. erit ergo GT zI--[(rdlI1m - €. €*.0 o)Y €$2.q. | e d. Corollaria. '$. 6. '"Theoremati huic fequentia addimus Corollaria: LL) Si Penduli a fitu -verticali excurfio fuerit infinite ;parua et integrae ofcillationis ;infinite paruae ponatur tem- pus — 0; .ob angulum Z infinite paruum hincque quanti- tatem jn prae .vnitate eeuanefcentem .erit À — 1, hincque vti conftat, O — 1. y; . .Subfütuto hoc valore erit in genere T T-e(r--iim--lIILim'4..2.)y(:2m; -quae feries adeo conuergit ,-vt, fi amplitudo integrae ofcil- lationis ad femicirculum vsque .excrefcat, -quo.cafu fit Z —9o? .et m —$, non tamen mifi tribus ;eius «terminis opus fit ad "tempus ofcillationis .cum .praecifione vnius partis millefimae minuti fecundi oi aci «erit 'fcilicet —— I-4R3,I142b3.57 d 29 à e ^9 .4.4.8.8 .91/7 Y 3 vnde fi 'hoc :Pendulum .ofcillationes ;infinite paruas fingulis minutis fecundis abfoluat, vt fit O9 — x :fecund; pro eodem Pendulo, .dum integra .ofcillatione i180 -gradus peicuniit, erit tempus «cuiusque ofcillationis — 1,189. Sec. 4 14,02210— 1,1800; Á TL.) Facile (ünc :concludere licet, feriem noftram ita conuergere , vt pro «ofcillationibns :valde paruis.absque vllo errore fenfibili fit | T- queso uw ICI TUTPE Ita, Ita, exempli cauffa, D. de Maupertuis, in opusculo de Fi- ura Terrae obferuationem recenfet, qua reperit, Pendulum quod integra ofcillatione arcum | 59. o* percurrit , ifta ofcilla- tionis amplitudine 19. 20/ aula, tempore vnius diei medii, 32^ vel 4^ plus quam priori cafu, retardaffe (*). , Formula noftra dat priori cafu T — 1,0000428. O; pofteriori T — 1, 0000894. O ; differentia — o, 0000466. O per 86400 mul- tiplicata dat 4, 02.0; vnde Pendulum fi oícillationes infr- nite paruas fingulis minutis fecundis abíoluit, pofteriori ca- fu vtique 4 Sec. plus, quam priori, retardare debuit. IIL) In vfu pra&ico ofcillationis amplitudo commo- dius cordae eam fubtendentis longitudine quam arcus gra- duatione menfuratur, cui vt accomodemus formulam noftram, ponamus in data a pundo fuspenfionis A diftantia verticali quacunque^À-0- d, fixam effe regulam horizontalem Mo NE vi et faper ea integrae ofcillationis F A G — 2 £ reperiri cor- Fig. 6. dam mn —oc, vt fit c — 2 d. tang. ; vnde fi c fuerit quan- titas valde parua, erit cof. £ — x — £7; hincque 9) 2 Uu e o co T-E. y ( zii) 34 ae) Si ergo habeatur Pendulum ofcillationes reapfe infinite par- vas fingulis minutis fecandis peragens, vt fit O — 15 facile hinc computabitur huius Penduli retardatio diurna inde oriunda, quod ofcillationes non fint nifi minimae et tantum quaf; infinite paruae; erit enim haec retardatio diurna — 86400. —— fecundorum;..quae expreffio vt ad'praxin maxime accommiodetür, cum diftantia regulae horizontalis Din " Ki5€4 ODUDOSDL5 IH ; a p md . (*) .Vid. Acta Acad. Petr. pro anno 1777, Pars pofler. pag. ur. AVoua 4a zdcad. Imp. Scient. Tom. IX. .G.g — M DSL Ó— M a pun&o fufpenfionis fit arbitraria, capiatur ea ita, vt fit 64. d? — 86400 , adeoque d — 56,74; vnde fi fuerit d — 536,74 poll. — 3 ped. o poll. 9 lin. et amplitudinis :corda in--c.poll erit retardatio Penduli diurna —-c?. fecund. id quod perfede confentit cum iis, quae Le Paute docet in tradatu.fuo de arte horologica. IV.) Cum fit r —cofé —in.veif.Z; erit r--m " : — i—JRm. vi hincque o (cca ALIM eM I -- 1 fin. verf. Z À y (x Di ( 8 )» quam expreffionem dedit lll. Dan. Bernoulli in fpecimine philofophico de compenfationibus horologicis (*). V.) Si Penduli a fitu verticali digreffio fuerit maxi- ma poffibilis, id eft, dimidiae circuli peripheriae aequalis , quo cafuü Pendulum in fitu verticali furfum fumto pofitum in aequilibrio fubfiftere debere per fe manifeftum eft; erit é 2809 et m-1i; vnde fk — 1.3 I. 3. 5. 1 I. 3. 5. 7. 9. Ir. Tz-e(G--IPPIDTtiekexnU. y Serei autem huius patet fummam infinitam effe, cum cafa m — ri formula noftra differentialis in hanc — e a m y (1 — cof. D tun. Ipye abeat, cuius integrale — — ya. Log; tang.1, pro termino integrationis Q —o fit infinitum. Tempus itaque ofcilla- tionis hoc cafu fit infinitum, adeoque Pendulum a fitu ver- | ti- (*) Vid, Acta Acad. Petrop, l. c. — 055 —mÀ ticali vsque ad r8o? digreffum poft tempus infinitum ofcil- lationem peraget, id eft, plane non ofcillabit. VI.) Quantumuis autem conuergat feries noftra; ta- men fi amplitudo ofcillationis integrae praegrandis eft et femicirculum notabiliter excedit; etiam ifta feries nimis lente conuergit, quam vt tempus ofcillationis inde faltem proxime definire liceat. Eiusmodi autem ofcillationibus praegrandis amplitudinis, atque adeo ad integram circuli peripheriam prope accedentibus accommodatum eít fequens theorema. Theorema ». Pro ofcillationis amplitudine quantumuis magna. $. 7. Si Penduli fimplicis cuius longitudo — b, fit maxima a fitu. verticali excurfio fiue dimidia amplitudo ofcillationis — Z, et ponatur À — cof. 1Z; erit tempus vnius ofcillationis integrae in minutis fecundis expreffum: T 2-(M. Log. hyp.;-—N P? —O Àj — P À5— QR — etc.) y*7; exiftente M — 1 -L- o? R? -L- (? K* -1I- 7 M6 4-0? R8 AI LLuu. SN c—a(x—2), | O —g(* 552r a— 8), ply(Ui--t]-8—vYy), Q — 8 (L3 -- f$ p RT py —3), etc. » cuius ergo feriei lex ita regularis eít, vt quovsque libuerit conünuan poffit. * 3 m Gga De- sd - 256 Ms st ne Demonftratio. à; f$. e$. Conftat ex elementis calculi integralis, effe / Z2: — 2. À1c. fin. y 5 Pofito itaque / 3; — cof. u; adeoque Auc. fin. y 1 niin ben ent vpEEIT— 20u, et ipiiudiad &of. n. Sit breuitatis cauffa BR —Jq "b OD HE S b. fin: 125, ha- beatur k — cof 1Z, eique | " x —2b--h—z2b(cof.u? — R?). Subftitatis his valoribus habebitur ($. 4.) "n — y y *- f. T Jas Le SEM. d Ai cof. — kh.) , integrali ita nons vt cafa cof. u — & fiue u — IZ euane- Ífcat et ad cof. u — 1 fiue u — o extendatur. Sit iam [———— — U adeoque "5 nil. y 22; aique differentiale 0 U ita repraefentare licet, vt fit D DU Qu.Ín.u cof. u . y (1 — a) — cof. u?). Produ&o radicali denominatoris in feriem. euoluto, erit: 0'O 9d. pr "* [A-3- B(cof. u? cu E —X C (cof. u* -- MXN -- D(cof. v -- --^ E cof. 2s) exiftente A-— i-o naP EUER el etc, — M. B —a-1-a ( K2 -- Q y k* --y 9 k$-1- etc. —u— 237 Ruseemesrviu C — 842-a*y E? 4- 88 K* -41-7y c Á64- etc. D zy-r-a Rr ::k*--y £k -- etc. etc. Eft vero pro iftis terminis integrationis [9?u.75 2 — Log. hyp. A, et | f-2u Re | cot ihe E jsuis c Col. u^ vnde colligitur U —M.1og. hyp. k — B(r — E)—iC(x—HRA) —ID( — I5) — etc. Eft autem dcib-etD.o eeeOÉmümipxeiya...... -—-(8--iy-15--...)aP —(y-—P-cie-...)8HM /4- etc. x em et B«iCE- pA Exe ne —a-(i-a)gh? —-(i-Ia--g)yk . - (I--ía2-i84-y)5A$: -r eic. Subfütitutis his valoribus , habebitur U.—M.log. hyp. & — s — (s! — 1)a E? ARAS tas OR" Edi ein Seen )y — ("y 48-171) cT "6E. | Gg.s fiue, fiue, per Lemmata $. 2. praemifía, U — M. log. hyp. $-- a (1— a) E -- G(L—8 -- a — 8) &* coy (e EST e B — vy) K5 efe, Ínuento hoc valore U, cum fuerit T——U.y s erit — (M.1log. hyp. —N —O EK — P IB —...)y?* q. e. d. Corollaria. $. 9. "Theoremati huic fequentia addimus Cool. laxa : i). 5 ofcillationis infinite paruae ponatur tempus — 0; ob GO -——-.y P''egt'imn genere 2g 2 — £e (M.log.. — N E — OR — P M — eic) vbi quantitatum M, N, O, etc. valores numerici reperi- untur fequentes: Mzzria-a o, 25000 . À? -- 0, 14063 ; k* -- oy S KS -- 0, 05475 . À* 2- etc. N' Eo, asobe; D — o; 976365;; P5*6, volg; Q — 0, 09488; etc. IL) Exprefüonem hanc pro tempore ofcillationis in- ventam patet eo magis conuergere, quo maior fuerit ofcil- lationis amplitudo, eamque, fi Penduli a fitu verticali ex- curfio fuerit maxima poffibilis, id eft, dimidiae circuli pe- ripheriae aequalis, ob Z — 18o? adeoque k — o, praebere, vti fieri debere vidimus, T — «. III.) m——- 239 m—mÀ IIL) Etfi autem, quo minor fuerit ofcillationis am- plitudo, minus conuergit ifta feries: tamen, euamfi Pen- duli a fita verticali excurfio tantum 9o graduum fuerit , ea adhuc ita conuergit, vt praeter terminum, logarithmi- cum non nifi quatuor eius terminis opus fit ad tempus os- cillationis cum praecifione vnius partis millefimae minuti fecundi inueniendum. Pro ampliffimis autem ofcillationi- bus terminus logarithmicus fufficit, ita, vt, fi Pendulum integra ofcillatione arcum defcribat integra peripheria cir culi parum minorem, absque omni ermore fen(ibili habcatux T —90.-7.1og.£. .. ]V.) Cum logarithmus hic occumens hyperbolicus lit, ob log. hyp. x — 2, 3025851. log. tabul.x et ob « — 3.141592 habebitur, pofito breuitatis gratia, 4A — 1,46587 -1- 0, 356647 . kl? -I- 0, 20614. k* -- 0, 14315 . 5 -- 0, 10960 . À? -]- etc. fequens expreffio calculo numerico accommodata : T x9 (A.leg.tab, $ — 0, 15915 . 4? — 0, 10445 . À* — 0, 0966* . kó — 0, 06040 . k8 — etc. ex qua igitur fequens Problema alioquin | difficillimum re- loluere licet : W ! Pro- [.—— —2 240 c R— Problema. | $ 1o. Si Pendulum fimplex , cuius longitudo — b, integra ofcillatione arcum percurrat quantumuis magnum, de- finire tempus ofcillationis eius. Solutio. S 1, Quaeratur ofcillationis Penduli infinite paruae ; - b tempus aio ee | 2.) Ex data ofcillationis amplitudine — 2 quae- ratur valor &— cofiZ; ope cuius definiatur quantitas A ex aequatione modo data A — 1,465847 -- 0, 36644 . ? etc. quae ob valorem ipfius k valde paruum vehementer con- vergit, ita, vt plerumque tres vel quatuor eius terminos fumfiffe fufficiat. —'l'um vero integrae olcillationis erit tem- pus quaefitum T 29 e qo OL J90X5.AÀ- — 0, I0445 . À* — 0, 0366* . kó — 0,06040 . A? —- etc. Exemplum 1. $. 1r. Si Pendulum integra ofcillatione femiperi- pheriam circuli percurrat; erit 2 Z — 18c?, adeoque | fi c0f 4,59 88oE 5 | hincque fumtis quinque feriei pro valore ipfius A datae terminis ,, A — 1, 72537. vnde habebitur d.2m'O iini. uY so coda 29841 — 05, 07957) — 1 180.0; | — 0, 0261II | vt M ——— O$, 00958 — 0,0087" quod plane congruit cum eo, quod fupra $. 6. inuenimus. Exemplum 2: $. 12: Si Pendulum integra ofcillatione arcum 3550 graduum percurrat; erit 2 4 — 350?; adeoque R— COL SEE 907. 99D, 045601944 hincque, cum binos priores feriei pro A datae terminos fumfiffe hic fufficiat, A — 1,4665*5; vnde habebitur T —909.4.1og.tab. £ — 2, 877. O, negledis reliquis terminis, qui ne vnicam quidem partem amillefimam ipfius O efficiunt. Exemplum 5. $. 15. Si Pendulum integra ofcillatione arcum 558 graduum percurrat; erit 2 7 —:358?, adeoque k — cof. 899. 3o". — 0, 0084265! hincque, cum terminum ipfius A abfolutum hic fumfiífe fufficiat, A-.— 1, 46587; vnde habebitur T —90.4A.log.tab. z — 5, 9oo O. reliquis terminis ob eandem, ac in praecedente exemplo; rationem negleüis. us nj Noua 44a Acad. Imp. Scient Tom. IX. Hh $z& y a-— Q0 RR $. 14. Quodfi igitur «hoc Pendulum tale eft, vt os- cillationés infinite paruas fingulis minutisfecundis peragat; ob O — 1'fec. erit i i Pro amplitudine || Tempus ofcillationis ofcillationis. eiusdem Penduli.. I80 graduum | 1,180 fecund. 350 *. vaptaflis; P» 977 7 7 - Qes spur. Me de E EC D a quibus ofcillationum. temporibus «ea, . quae methodo 1j. Euler in allegata differtatione expofita inueniuntur, plane. nihil differunt, etfi^ea, quae ibi pro duobus pofterioribus exemplis "fignantur, haud mediocriter maiora funt. aum— (QA) mmt SOLVTIO GQVAESTIONIS, QVOT MODIS POLYGONVM z LATERVM IN POLYGONA zm LATERVM, PER DIAGONALES RESOLVI QVEAT. Audore' NICOLAO FVSS. Gonuent! cebib. die 9 Sept. 1193. ; $. I. | IE litteris a E Pfaff Helmftadio die 15" menfis proxime faperioris ad me datis, quibus acutiffimus ifte Geometra plura infignia inuenta, integrationem potiffimum formularum differentialium irrationalium. fpeGantia, beneuole mecum communicare voluit, mentio quoque fit Problema- tis: quot modis ngonum in mgona per diagonales refol- vere liceat? cuius folutionem generalem fe confecutum fi- gnificabat CLP quaerendo ex me, num mihi; praeter cafum m — 35 folutio aliqua. huius quaeftionis jinnotuerit. Cum igitur, praeter hunc cafum memoratum, olim a Seg- nero in Tomo VII. nouorum Commentariorum tra&datum, nulla mihi innotuerit folutio huius Problematis maxime cu- Hofi, abftinere non potui, quominus . ipfe, quomodo inuefti- gatio ifta im genere fufcipienda fit, tentarem. | Methodum a me adhibitam, conatuumque meorum fucceffus hic exhi- bere conftitui. Hh 2 d ek a— $44. RÀ $. ». Propofitum igitar fit Polygonum n laterum ; per diagonales, vtcunque, fiue ex eodem angulo, fiue ex diuerfis angulis dudas, in Polygona m laterum. diuiden- dam; atque ftatim intelligitur, certam relationem inter nu- meros m et n fubfiftere debere, quo diuifio fuccedat, ita vt, quomodocunque ea inftituatur, nulla figura remaneat , cuius numerus laterum minor fuerit quam m. Ex hac e- nim conditione, manifefto fequitur, litteram n alios valÜres recipere non poffe, praeter m, 2 m — 2, 3 —4, 4m—6, 5m — 10, et in genere im —(-i— 2), denotante i nu- merum quemcunque integrum pofitiuum; qui fcihcet nu- meri progreffionem arithmetücam confítituunt, cuius termini crefcunt differentia n — 2. Si enim Polygono cuicuaque mgonum iungatur, bina latera contigua in diagonalem ab- eunt, et laterum noui Polygoni ex hac coniun(ione orti numerus tantum increfcit numero m — 2. $..5. Examinemus nunc accuratius, feriem. horum Polygonorum 2,—2,.3m —4, 4-6, 5m-—8... . .- im -—(2i 2) laterum, atque ante omnia videamus quot diagonales ad cuiuslibet refolutionem in mgona re- quirantur. Perfpicuum autem eft ad (» m — z)gonum in duo mgona diuidendum vnica tantum diagonali opus effe ; duabus vero pro refolutione (3 m — 4)goni in tria mgona; tribus porro pro refolutione (4 » — 6)goni in quatuor mgona. Atque in genere i — 1 diagonales requirentur ad [im-—(2i-—2)]gonum in i mgona refoluendum. Perinde autem eft, fiue hae diagonales ex vno eodemque angulo, fiue ex diuerfis angulis educantur, eorum numerus femper ert i — i. $1 enim i mgona inuicem iungantur, i — I laterum paria i — 1 diagonales efficiunt, et Polygoni, ex. i illis mgonis compofiü, numerus laterum erit im—2(1—1), yu 1equiitur. E. A— 0045 —m $. 4. Praemiffis his obferuationibus, nulla difficulta- te obnoxiis, difpiciamus quot diuerfis modis in Polygono propofito im - ( i —2) laterum i — x diagonales ita du- cere liceat, vt Polygonum in i mgona diuidatur. llunc in finem vocetur ifie refolutionum numerus. Pro m---gono — A, --2m—2---—-B, "19m-4*55z22C, 4m—6---—D, Li Li T Pro [( — 3) m — (2i — 8)] gono — W; --[(2—2)m—(2i—6)]--- —X, -- [( —1)m—(2i—4)]--- — Y, uinplinidin( aipisoo y]ieocsn a1 oz9Z,, inftituaturque primo enumeratio pro Polygoni propofiti an- gulo quolibet A. Ex hoc igitur angulo À manifefto, duas: diagonales educere licet, a quarum vtraque Polygonum ita diuiditur, vt ex vna parte reperiatur mgonum, ex altera vero [(2 — 3) m — (i— 4)]gonum, quorum illud, per hy- pothefin, A modis, hoc vero Y modis diuerfis in mgona. refolui poterit, ita vt hoc modo 2 A Y refolutionum modi. onantur Tum vero ex eodem angulo A duplici modo dia« gonalis ita educi poterit, vt ad vnam eius partem repe- ratur (» m — 2)-gonum, ad alteram vero [(i — 2)m — ( i—5)]-gonum, quorum illud B modis, hoc vero X mo- dis refolutionem in gona admittit, vnde 2 BX refolu- tiones nafcuntur. Ex eodem porro angulo itidem duplici modo diagonalem ducere licet, ita vt ab vtraque Polygo- E UEMES ST num — 52S num im duo fecetür, (3i$-4)gonum, nimimm, C refolutio- Bé$, et [(i —3) m — (2i— 8)]* gónum, W refolutiones admit- tens; vnde sCW refolutionés prodeunt. Hoc modo progre- diendó tandem; fi i fuerit nufnherus impar, peruenietur ad par medium diagonalium; m gontum mediüm incladens, et refolutionum numerus hinc oriundus per duplum produdtum ex duabus litteris ordine fequentibus, véluti 2 M N, expri- metur. Sin autem i fuerit numerus par, petruenieiur tan- dem ad vnicam diagonalem mediam, Polygonürmi propofitum in duo [1im — (i — 2)]gona fecantem, quorum fi. vtrumque M refolutiones permittere ftatuatur, numerus refolutionum hinc oriundorum erit M^, ita vt, vbi produdum ex binis valoum A, B, C, D, ---- W, X, Y, abeat in quadra- tum, hoc quadratum femel fümendum, fiue coéfficiens 2 delendus fit, | : I $. 5. Quod fi nunc ho$ omnes refolutionum modos in vnam fummam colligamus, numerus omnium omnino .re- folutionuii, quas confideratio folius anguli À fuppeditat , *í SURE Hi ; p 7 ità expiimetur:' | ide 2ÀY-4-2BX--2C€W -- 2 DV 4- etc. | Qquorüm terminorum numerus erit í, quando i eft nuníerus par — véro, quoties i füerit numerus impar. Hic igitur humerus fi ducatur in numerum angulorum, tum vero, fé fingulae diagonales bis ih computum veniant, per bina- Tidi) diuidàtur, prodibit numerus omnium modorum ex hac enuineratione ortundóruüm ita expreffus: im(i-2)G AX--»BX--2CW.2DV- eic.) Hie autem probe notanduin eft, in ifta enümeratione omes ias ;— 3 diagonales, quae ad fingulas refolutiones Poly- ma goni goni propofii in mgona requiruntur, vnamquamque feor- fim, in computum dudam fuiffe, cum omnibus fuis combi- nationibus; ita vt finguli refolutionis modi i —1 vicibus in numero illo. inuento contineantur. Fada igitur diuifione per i— 1, verus numerus omnium refolutionum inter fe di- verforum erit ZIULUU—?(2AY--2:BX--2CW.--:D'V ete.) $. 6. '"Tubuamus nunc litterae i fucceffiue valores? 1,2, 5,4, memores eorum quae fupra circa valores pa-. res imparesque numeri i obferuata funt. ^ Poftremae autem. denominationes fupra $. 4. introduQae pro variis ipfius i valoribus fequentes fubibunt mutationes : SI i--c1, Z4 abit in A, (4 abit in D Z abit in C ; SI 3, ^r. - -B(. qi X---.^X: | Z abit in D LOCO ORE 63. 1 s SI izc.2, etc. etc. quibus notatis, xiteque fubftitutis, expreffio noftra genera- lis pro numero refolutionum Polygoni indefiniü nm, fiue im —(2i— 2) laterum, in mgona, in $. praecedente in- venta, fequentes nobis fubminittrat, pro variüs Polygonis, refo- — à D — yefoluendis in mgona, valores litterarum A5 D, C, D, eté& quibus refolutionum numeros indicauimus: —— ü Pro m---gono A —r, -«(2m— 2)--- B— (m — 1) A*, -« (sm— 4)--CumÓB. 2AÀAB, ?&(4m- 6) --- D — *2—5 (2 AC -- B); po (5 n -— 8)--.E-:7—* (2 AD--2BC) « & (6m — 10)---F — $"—P9 (2 AE -- 2 BD —- C), & «(7m— 10) ---G — 12-2 (2 AF -- 2BE-- 2 C D); dE (8 m — 14)---H — $5 (2A G ;BF--2CE--D, :-(9m—16)-.. I— 92 5 (4A H -- 2BG -- 2 CF -- 2DE); etc. etc. | quorum igitur valorum, lege perfpicua progredientiur ; quisque per praecedentes determinatur. $. 7. Subfidio harum expreffionum, concinnitate in hoc argumento inexpedata praeditarum, facile erit tabulam condere, quae pro variis ipfius m valoribus numerum re- folutionum ngoni in mgona numerice exhibeat, : Ta- Polygona refoluenda. n 2m — 2 2 E 4 Ht 6 5m—— 8 6 m, — 10 7 m — 12 8 m — 14 onm — 16 m 2m-— 2 3m-— 4 4m -- 6 5m--—- 8 6 m — 10 2n mo E B wl pe—— 004.00 — TO BE VEA exhibens numerum refolutionum [i m — (2 i — 2)]goni in mgona, ab i— r vsque ad i— ro. Polygona m —3 85 285 2530 23751 231886]|- SSgodurs 23950355 m -——a 51 506 5481 62852 749398 9203634. || 23950355! 115607310 Noua Zfila. Acad. Imp. Scient. Tom. IX. refoluentia. m -—s I 4- 22 I4O 969 420732 5562260 m -—-58 I J vi $19 IO472 141778 1997688 28989675 I i 4303216553 | Additamentum. .$&. $. Confideretur hoc Polynomium indefinitum: 14A r-EBroLOx--Da -01n.2 2r. cuius poteftatem (m — 1)" ponamus À 4- Bx -- € 2 2- D x? -L- E x* -1- etc. | Dabitur enim vtique eiusmodi relatio inter coéfficientes A; B, C, D, etc. vt haec aequalitas locum habere queat. Quaeramus igitur iftam relationem, quod, vti conftat, fa- cilhime praeftabitur, fumendo differentialia logarithmica , quibus inter fe aequatis reperietur ME os B -—On-—-1)4&, C ——'AB, D—*7—'AC-r-*—— E, E-—7—*AD-rFt— BC, QOFIULPAE--)USAD-L—C, 6 6 etc. etc. Fr, : primum autem coéfficientem A vnitati effe aequalem ipfa pofiio (r-- Ax-J- Ba?4- C x? -- etc.)^ ^ * — A--Bx-rCax-4-D ax -retc., ftatuendo x — 0, declarat Hae determinationes cum iis quas fupra $. s. inuenimus, perfede congruunt. Hinc igi- tur intelligitur, numerum refolutionum [im — (2i — 2)]- goni in mgona effe coéfficientem poteftatis x'^7 in Poly- nomio ad —II — HB ad poteftatem m —: eleuato; quae proprietas egregie con- venit cum principiis in dodrina de Combinationibus ftabi- litis, quibus folutionem noftram Problematis propofiti fta- tim. fuperftruere licuiffet, nifi methodus fupra adhibita, euidentia aeque ac breuitate longe praeftantiffima, quafi fponte fe obtuliffet. — Interim tamen hunc confenfum obfer- vaffe intereft, étiamíi folutio noftra tali confirmatione mi- nime egeat. | ; " j e T i ie» — 090 z&n—— ! ect : LA DESCENTE DUN CORPS SUR UN PLAN INCLINÉ DONT UNE EXTRÉMITÉ EST .APPUYÉE SUR UN FOND ÉLASTIQUE, Par NICOLAS FUSS. Préfenté à l'Académie le 23 Décembre, 1793. $. 1. E. voyant des enfans s'amufer à faire gliffer des livres fur une planche, dont ils avoient appuyé une extrémité fur le couffin d'une chaife à refforts , il m'eft venu lidée d'examiner le mouvement d'un corps affez pefant, pour faire céder, d'une maniere fenfible, le fond élaftique au poids, de forte que l'extrémité élevée du plan incliné fe baiffe au commencement & fe reléve à mefure que le corps descend. | f. 2. Je confidére pour cet effet un plan incliné T V. AB-a, qui eft mobile autour du point B, & qui repofe US T (ur un reffort C E, fixé verticalement en C, à une diftance arbitraire du point B, que nous nommerons cependant BC- b, quoiqu'elle forte dans la fuite du calcul. Je fuppofe que à le Eu— 0505 — MÀ le plan A B, en fe .baiffant & en fe relevant, puiffe gliffer librentent fur lextremité .E du xeffort, & que celui-ci gar- de.conítamment fa pofition verticale (*). Je fuppofe de plus que le corps qu'on veut faire descendre ppéfe P livres & que.ce poids placé.en A faffe baiffer le plan incliné AB de maniére que langle d'inclinaifon foit A B C — a, & par conféquent la longueur .du reffort dans cette pofition initia- ]e —jb tag. a. ! i $. 3. Ayant établi de cette facon l'état initial, je Tab. VI, fuppole que le corps P foit descendu ap:iés t fecondes de Fig. 8. tems, en vertu de fa pefanteur, du point A jusqu'en P; & que le plan A B fe foit relevé de maniere que l'angle A BCc-q, de forte que la longueur du reflort foit 2b tag. (p. Je nomme pour la pofition préfente du plan: .- T BP-oBXIxeJGP- de forte que qp—— v coL XP; "y 1-fm; 1. Jindique la prefüon que le corps exerce en P fur le plan AB par la lettre II & le frottement par AIL oà A eft une fradion dont la valeur dépend du degré d'afpérité ou du tiffu des furfaces du plan & du poids, & qui doit étre dé- *erminée dans chaque cas par des expériences. Iis $. 4. (C3. Yavois commencé par fuppofer le reffort attaché par un bout à l'extré- mité 4 du plan incliné & par l'autre bout au point D du plan. hori- zontal D B, à la diflance B D — B A5 mais voyant que le calcul devien- droit plus (imple en concevant le reffort perpendiculaire à D.B & libre en E, jai préféré cette fuppofition. ^ Pour éviter que le reffort ne puiffe s'é- carter de la pofition verticale, & pour fe dispenfer des recherches diffi- ciles que cet écart rendroit néceffaires, on n'a qu'à le fuppofer enchaífé dans un tuyau cylindrique planté verticalement. $. 4. li y a donc, outre la propre pefanteur, encore deux autres forces qui agiffent fur le corps P, favoir: la preffion, qui agit dans la diredion P O, perpendiculaire au plan A B, donne, par la réadion une force felon P R — II, & le frottement donne felon la: dire&ion P A une force —AII. En décompofant ces deux forces felon la direQdion horizon- iale B X & felon la diredion verticale XP, il en réfulte en tout cinq forces qui agiífent fur le corps P, favoir: | Une force felon P T — II fin. $; o9, m. a s c DÉTICSDCOL T Vos om c. PS NIPcol d » a.m X cS Y» IN XD WR ec mu mes E. X Les principes de Mécanique nous fourniffent donc les deux équations fuivantes: À L 2225 — AIL cof. 6 — II fin. (b; / IL. 2222 — AI fin. D -1- II cof. (p — P; £ étant la hauteur de laquelle un corps tombe librement dans la premiere feconde de fa chüte, & lélément du tems oft une quantité conftante. $. s. Pour l'accélération angulaire du plan incliné; je fuppofe fon poids — M , concentré dans le milieu O de la droite A B, & je mets le moment d'inertie - MR. Soit O la force initiale du reffott , capable de réfifter au poids M du plan incliné & au corps P placé en A, & qui faffe équilibre avec ces deux forces dans ]la pofition initiale ABC-a; & parce que les momens de ces forces font: igMcofo, a Pcofa & b O, il faadra que — ; b O —IaM cof. a -1- a. P cof. a, ; dol — 255 — d'oü l'on obtient la force initiale du reffort Q — *.7* , en mettant pour abréger 1 M -1- P — R. $. 6. En fuppofant donc que 1a force du reffort foit en raifon inverfe de fa longueur, on trouvera la force qui aura lorsque le corps fera parvenu en P, a deir Lg £*J^-^ & fon moment — ——7*5*, qui tend à augmenter g.O tag. langle Q. Le poids M, dide far le point O dans la diredion verticale, donne un moment — 1 a M cof. D, tendant à diminuer l'accélération angulaire, ce. qui eft auffi l'effet de la preffion IJ, dont le moment eft —vII. 'lous ces mo- mens de force nous fourniffent une troifiéme équation qui eft: UE Eod LITRAME i t i $. 7. Ces trois Üadatioas différentielles du fecond degré renferment la folution complette de notre Probléme , qui eft achevée, quant à fa partie phyfique. Ce qui nous refte à faire eft du reffort de' l'Analyfe qui ne nous aban- donne que trop fouvent dans des recherches de cette nature. Nous allons voir jusqu'à quel point nous pouvons compter fur fes fecours dans le cas préfent. $. 8$. Commencons par faire fortir du calcul la pres- fion II qui nous eft inconnue. Pour cct effet nous ferons les combinaifons fuivantes: In 1.) IL cof. -4- H. fin. ; 29.) IL cof. b — I. fin. $. La premiere combinaifon donne P (99 x cof. D -1- 9 0 » fin. $) —— , eai o2 m9) — AL — P fin. $; 1 a— OD m— & la feconde fournit: oaycL0 298) TT. eof d 2g9í? Qr comme x-—vcof. O et y —víin. D, on aura àx —oOvoof.p—v2QOfin.$;. Qy—O9vfin. -a-v0Qcof.(; 00x—2Ovcof.(p—20v0Qfin.D—v0(? cof..b—v29fin.ds 90y—O90vfin.D--20v0Qcof..bD—v0Q?fin. D--va0Q cot. donc en fübftituant. ces. dernieres valeurs: Q0xcof(Q--90929yfin.D—900v—vo0qQ?, 90ycof o —dOoxfíin.D—20v20Q--voaq, de maniere que Ad Pn QcpEr9-— uo 2g9i? T P(23v930O4-v330)" II — P cof. Q--*522274 297 En comparant ces deux valeurs, il em réfulte Péquatitói fuivante dégagée de la preffion: IL. 00v—v0Q?—220v0—2v00O-2g0t'(^ cof. (5 —fin.Q). $. o. Voici donc une équation différentielle du fe- cond degré à deux variables v et (p feulement; car Ot eft conftant, par fuppofition. — Pour. obtenir encore une telle équation, cherchons »II de la troifieme équation ($. 6.) , & nous aurons y Ip test —iaMcof.p —Er. Or il y a auffi en vertu. du f. précédent vII—Prcof(--?922233 09999), En mettant égales ces.deux. valeurs. de. À II, il en. réfulte fette équation: | II. Exe ju; au ovoavoQ-— 2got? mop x LL RO — (Fa n'4-v)cof. $1; dans laquelle ; —7* & f — a (5n 4 1) fin. a. $. xo. Le Probléme eft donc reduit à préfent à la réfolution des deux équations différentielles du: fecond de- gió I et Il; d'oü il s'agit de déduire, par une double in- tégration , les valeurs de v & de q. Mais ici l'Analyfe nous laiffe en défaut. Méme en renongant à une folution général le & complette, & négligeant le frottement, le Pro- bléme eft encore. au deífus des forces aQuelles du' Calcul intégral; cependant c'eft le feul cas particulier qu'on puis- fe imaginer pour fimplifier les équations, & encore ne fim- pliüe-til que la premiere, deforte qu'on ne gagne rien par !a fuppofition du frottement nul. Du moins toutes les tentazjves que j'ai faites pour réfoudre les deux équations rapportées ont été infrudueufes. $. rx. Si nous voulons donc connoitre, avec quel- que affürance, la nature du mouvement en quefton, il ne nous refte, pour fatisfaire cette curiofité, d'autre reffource que lapproximation; & pour cet effet l'Analyfe nous pré- fente, en dédommagement de ce qu'elle nous refufe direde- nient, différens moyens, un peu pénibles, à la verité , mais fürs & fatisfaifans, autant qu'on peut le défirer. Nous en allons employer un qui eft affez d'ufage dans de paireils Cas, dont voici le fondement. - $. 1». Mettons la viteffe progreffive $c & la: viteffe angulaire du plan dem — 4, & füppofons connus pour: un tems de t fecondes, les élémens z, Z, v & (; &en in- Noua. Ada. Z4cad. Imp. Scient. Tom. IX. K k diquant ERSEIIDENCeUEDIS 258 diquant ces mémes élémens, pour le tems t -1- 0f, par les caraléres z/, £/, v/ & (Y, nous aurons 5-5 DNO K. —— C se m Po v —v--ov--v--z09t; Q/—dbo-r-oo0-—o0-2-Zot. En fubftituant donc ces valeurs dans nos deux équations differentio - differentielles I & II, elles deviendront L *"-t-—vQ-E2Azj-J-AvílLi-Erg(AcofQ—fn() I. : — — SER S d Uv Loos 86 abis v) cof. v] — AES & la prion II fera exprimée ainfi: —Pcof. o -- T (2z4-r vti 3. $. 13. Par la feconde équation on détermine la va- leur de c" & cette valeur étant fubftituée dans la pre- miere, on aura auffi € ;; En prenant donc pour 0t um intervalle de tems affez petit, par exemple 2t — ifec. ou. bien, ot—ifec. lorsque les variations des élémens font trop confidérables, moyennant les quatre valeurs z, " v ^ (Q, connues pour le tems de t fecondes, on pourra détermi- ner ces mémes élémens z/, 4^, v, Q pour le tems t-r- 0t. Ainfi les valeurs z, Z, v, (D étant connues pour le com- mencement, on pourra déterminer fucceffivement ces mémes €lémens pour le tems de 1,2, 5^ etc. ou bien pour le tems de i. $» $5» 5 etc. fecondes écoulées depuis le commen- cement du mouvement. Et de cette maniere on connoitra trés approchamment le mouvement du corps & celui du plan incliné en quefüion. CAL- — "90 — CALCULS pour un cas détermine. V. 14. Comme nos formules ne contiennent pas les poids P & M, mais feulement leur rapport n, nous les laifferons indéterminés, en mettant fimplement P — M. Ouant aux mefíures de longueur nous prendrons pour uni- té le pied dont x6 conftituent la hauteur, de laquelle un corps tombe librement dans la premiere feconde de fa cháó- E Soit donc s ——310, 4 — 12, puis «4 — 309 & A—L'& nous aurons n — r, kk iaa 48 & f—9. En fubfti- tuant ces valeurs, nous aurons £e o9 uep9. -— (6-- 2) cof. D] — 2255; PON 48 -1- v v mes ud NE iz2--2$f-7í-r 32 (icof Q — fin. d), II — P [cof. f -i£ $ (222 31-9 .57-5)]. | $. 15. Commengons donc à préfent par la confidéra- tion de l'état initial, & fachant que pour le tems t--o - ilya eibi fee eb. ps 3. 05 309:. ces quatre élémens nous fourniffent e —$— -m 05 rtm 9, 0718; II z0,8660.P. De là nous tirons les élémens pour le tems fuivant EL 6-5) £ —7——9,07418.0t, pEEp-I-zot-r:2, Q'—0O0-4-Z93t- 309 Kk 25 $. 16. pem—— 060 num— $. 16. Prenons donc 9t— $, & les quatre élémens pour le tems t — 5; feront zl0,g2-— 0,009128: prz 19. Qe 300. En faifant d de ces valeurs, nous trouverons come Cl- deffus : dic qus ops icum] 05 —25 lk. acp cue os II. z-0, 8660. P; de forte que les quatre élémens pour le tems juvant t-j-0t feront "or m — 05 Z —— 0,907418 —9,0718. 2t v/ — 12,00000 — 0, 90718 . 0 t; pz son —..— $ x5. Mettons derechef 2t — 1, & nous aurens pour le tems t — 55 4 ——0; £z: — 15481445 v-Ex 11,9098 5 (D-——:307; valeurs desquelles on tire | - s Enea DIES oq VN m 9.0824; IL 201402879048: par conféquent il.y aura pour le tems fuivant t-1- Ot: ( —0--0,013824.0t; Z/ — — 1, 8144 — 9,0324. . 0t; v/ — 11,9093 — 1, $8144.. 015 Qs 5o^ $. 18. —— 0 I 4$. 18. :En mettant ici 2.4£— 5, on aura ;pour le items t— £5 £ —— 0, 001922455 vL 11,9259; (00 0$— 2,7176; «D — 30; & de là on déduit les valeurs E um — 0504109; o -— 8.958tf, II —0,8808.P, d'oü réfultent pour le tems fuivant les élémens ^ — 0,001324 -1- 0, 04109 . 0 £5 z/ — — 2,7196 — 8,9531.0t; v/— 11,7249 — 2, 7176. 0t; Q/— 309-170, 001324. 0 t. $. 1g. En donnant donc à 9t la valeu D,ily a pour le tems t— $: & 2090054385 ^ p£- II, 45061; z — — 8,6129; (p —39, I. Or ces nouvelles valeurs nous donnent $$ TC —0,08589; VL 8,8899; Ilo zm 0, 8955 .D, par conféquent les élémens pour le tems fuivant fexónt: É( —*. 070094398 -1-6,0959.0 t; — — 3,6129 — 8,8399. 0t, 7 3. 11,4561 — 5,6129. 0t, 309,2 -1- 0,005433 . 0 t. Kk s — 262 mcr f$. 2c. Mettons encore 9t — 5, & nous aurons pour le tems t — 5: 6 — 0, 01402; v — 11,0948; $— —45449695*- M noD, a T. Par le moyen de ces valeurs on obtient: E O, I53152; SES 8, 70298; p EP Om 050,9142. D. Pour le tems fuivant t-1- 0t on aura donc: O, o1402 -- 0, 15132. 0t; — 45 4969 — 8, 70298 . 01; II,0948 — 4,4969 . Ot; | 809, 277 -1- 0, 01402 . 0 t. DENIED $. 2r. En continuant ces opérations jusqu'à ce'que v devienne affez petit, on pourra fixer, moyennant l'équa- tion v/ —v--z9àt, la valeur quil faudra donner à Ot, pour que / devienne zéro, & déterminer ainfi, affez ap- prochamment, le tems de la deícente totale, &les élémens pour linftant oü le corps quitte le plan. ll feroit inutile de meitre ici ious ces détails de calcul: Nous nous con- tenterons d'en raffembler les réfultats dans la table fuivan- te, qui repréfente affez bien le mouvement du corps & du plan incliné, depuis le commencement jusqu'à l'époque mentionnée, T A- TABLE 265 repréfentant le mouvement du corps & du plan inclinc. — |o —— | €— 0| —— | ——— t B5' Oo] 468 O, Xoh6, 0," 29]. 113 0, 30| 2, o, 40| 3» 9o, 50| 45 o, 60| 5; 0, ,70| 6, o, 8o0| 7; 0, 90| 7» I, OO| $8; db iod MUTO I, 20|I0, I, 30|t11, r. 40] I9, E» 50] £45 I, 6O|16, 1,606]|18, f. 25. 005 OIA4. 029 O53 090 142 216 317 452 628 854. 150 441 653! OoO000 Q HM VoME Ep OM UlH C21 OQ b OM O A ui Qo 34 "M e O ^o - 5 8 87 o, 87 88 89 91 ST 96 II: P ncc mnc lassesconc e Um La premiere colonne de cette table indique le tems écoulé depuis le moment oü le corps a commencé à fe mettre en mouvement , de dixiéme en dixiéme de fe- conde ; jusqu'à linftant ou le corps quitte le plan incliné, c'eft-à-dire jusquau tems £ — rz, 676 fecondes. grefhive ài corps. $. . La feconde colonne marque la viteffe pro- Elle nous fait voir, en pieds dont 16 €x- | | expriment la hauteur, de laquelle un «corps tombe libre. ment pendant la premiere feconde de fa chüte, combien de pieds le corps parcourrot, par un mouvement uniforme, avec la vi- teffe qu'il a acquife dans ce point, dans une feconde de tems. Nous voyons par les nombres de cette colonne que le mou- vement du corps eft à trés peu prés uniformément accéléré jusquà lepoque t —.6, 8o: fecondes , & que l'accélération, qui eft allée tant foit peu en diminuant, jusqu'à cette épo- que, oüà elle eft la plus petite, commence à devenir de plus en plus grande , de forte qu'au moment ou le corps quitte le plan, fa viteífe eft 2o fois plus grande qu'elle a été au commencement. $. 24. La troifiéme colonne repréfente la viteffe gy- ratoire ou angulaire du plan incliné, exprimée dans les mémes pieds. On voit que cette viteffe eft presque imper- ceptible dans les premieres époques, mais un 'elle commence a croitre rapidement dés le tems t — o, 80^, jusqu'à ce qu'à la fin elle eft de 1,65 & partant presque la ri^ partie de la viteffe progreffive. | $. 25. La quatréme colonne contient l'efpace du plan incliné que le corps doit encore parcourir, efpace qui s'évanouit lorsque t — 1, 676, ce qui eft par conféquent le tems de la descente totale. $. 26. La cinquiéme colonne montre l'accroiffement fücceffif de l'angle d'inclinaifon du plen qui fe reléve à me- fure que le corps descend. On voit que cet accroiffement, imperceptible au commencement, ne devient bien fenfible que vers le tems t — 0, 80^; qu'à compter de cette époque le plan fe reléve de plus en plus rapidement, & qu'au mo-: ment gamme D mmm ment oü le corps quitte le plan, l'inclinaifon devient 6c^, 47/, C'eft- à- dire plus de deux fois plüs grande qu'elle etoit au commencement. Soit Q langle que le plan fait avec l'horifon, avant qu'on y a placé le poids P, ou bien, aprés que .ce: poids: a' quitté le plan & que le poids de celui-ci s'eft mis en équilibre avec la force du reffort, & il eft évi- dent E R:IM-—tag.Q:tag.e, donc tag. — 2*7 *, & partant. pour le cas préfent tag. 8— 3 tag. 599, c'eft- à- dire (8 — 6c*.. II n'eft pas étonnant que le plan, avec la viteffe: qu'il. a. acquife, outrepaffe ce ter- me oc.9, & que fon inclinaifon foit devenue un peu plus grande. Mais des que le plan. fera rentré dans l'état d'é- quilibre , fon inclinaifon fera ,; comme. nous venons: de voir, de 6c? feulement. $. 27. La fixiéme colonne indique le rapport qui fabfifte entre la preílhon du corps & fon poids. Elle nous fait voir que pour les premieres époques la preffion eft égale au poids multiplié par le cofinus de l'inclinaifon , comme cela a lieu lorsque celle-ci ne change pas; que la preffon S'accroit lentement jusqu'à l'époque t — o, 90^, ou elle. eft la plus grande; que de cette époque elle décroit rapide- ment jusqu'au tems ft-—1.49, ou elle s'évanouit ; enfin qu'aprés ce tems elle devient négative , ceft-à- dire qu'au liea que le corps a exercé jusques là une preffion contre le plan, c'eft à préfent le plan qui preffe contre le corps, en fuivant, avec un mouvement plus accéléré, celui-ci qui a obtenu une tendance à .éloigner du plan. On voit bien que c'eft à peu prés le méme phénoméne qu'on obferve auffi dans la descente d'un corps fur la convexité d'une ligne ANVoua Za Acad. Imp. Scient. Tom. IX. L1 cour- "Tab. VI. Fig. 9. — Q6 6 courbe, la partie de la preífion qui eft engendrée par la force centrfuge devenant négative dans ce cas & par con- féquent toute la preílion négative, dés que cette partie fur-- paífe la force normale contraire & pofitive. C'eft ainfi que pour le quart de cercle la preffon devient négative, dés que le corps a parcouru un arc de 489, iz*. f. 28- Tous les changemens remarquables que les élémens de notre table fubiffent, arrivent, comme nous avons déjà obfervé, à l'époque t — o, go fecondes environ, ce qui eft à trés peu prés la moitié du tems de la descente totale du corps. Ces phénoménes font dans une liaifon étroite avec la figure de la courbe que le corps décrit dans fon iouvement. Cette courbe eft compofée de deux portions , dont l'une EM eft convexe & l'autre M B concave vers 1a ligne horifontale C B, le point de flexion contraire M re- pondant à peu prés au tems t— r,10, comme on peut voir par les angles de courbure P T X — v, que nous rap- porterons dans la table fuivante, avec les eoordonnées B X —x, XP—y, & leurs différentielles , calculées pour les mémes époques qui ont été établies ci-deffus, & pour les- quelles nous avons déterminé les élémens de la iable pré- cedente : e | TABLE qui repréfente les coordonnées, leurs différences, & l'angle de courbure de la courbe décrité par le corps. pn———— nic nn —————— t x Y ox oy V o, xo| 1o, 392|6, ooo[o, o78|0, 045|399, o o, 20|10, 314|5, 955|0, 157|O, O9gt1|29, 58 O, 30/10, 157,5, 864,0, 23710, 135/29, 39 0, 404 9, zh 729]|9, sr I88|29, ? oO, 50| 9, 583|5, 541|C, 375|C0, 199|28, 2 o, 60| 9, 208/5, 342,0, 480|0, 244|26, 59 o, 70j| 8, 728/5, o98 |o, 562|o, 270125 , 38 o, 80| 8, 166|4, 828|0, 649|o0, 292|24, 13 9, 90| 7, 517|4, 536|0, 736.0, 312|22, 55 I, OO| 6, 781|4, 224|O, 826|0, 333]|21, 59 I, IO| 5, 955/83, 891|0, 914|O, 365|21 , 46 £, 90] 5, O4IT3; ES DOOTO, AT9129.,. 44. I, 30| 4, O41|3, 107 |I, O74|O, 514|25 , 33 I, 40| 2, 967|2, 593 |1, 117|0, 674|831, 8 I, 5O0| rz, 850|1, 919|TI, O95|O, 934|40O,» 29 1, 60| o, E 985|0, 755409; di 32 I,676| o, ooo[o, ooo | Ll2a PHY. PHYSICA. | DE ORDINE : FIBRARVM MVSCVLARIVM CORDIS- Differtatio. X. DE STRATO SECVNDO FIBRARVM VENTRICVLI SINISTRI. Pars IIL. AudGore: C. F. IPVOLFEK Conuentui exhib. die 7 junii. 1792. Ordo fibrarum tertius (Tab. VII. E; 28. 38. 39. Tab. IX. X. II. 6. IO. r5.). Eius ortus et diretio in fuperiori | ventriculi [uperficie.. & fibrarum. tertius ftrati fecundi, in quo defcribendo fubfüti, fedem. originis in crena, ab eius principio ad regio- nen feme oon enema nem radiatam vsque a), habet. In hoc quidem corde et in iis omnibus, quibus conus arteriofus folutus eft, ipfam regio- nem pontis haec fedes accurate compleditur, vt quam par- tem ventriculi conus tegit, eam fibrae occupent ordinis fe- cundi b). Vbi vero, quemadmodum folitum fere eft, conus margine fuo finiftro crenae adnatus exiftit, hanc partem, cono vicinam , ventriculi , quam et ipfa crena tunc percur- rit, fedes originis pro ordine fibrarum tertio occupat ; vt prorfus a. principio crenae ad finem regionis pontis, fiue ad radiatae regionis initiam vsque , haec fedes originis. fe ex- tendat. Hinc ortae fibrae ordinis tertii aliquanto magis, quam funiculi oblique verfus marginem ventriculi defcen- dunt, vt barum tamen fit, quo differant ab illis. Primo quidem in fedibus nonnullis fatis manifefto hoc du&u obli- quo ex crena egrediuntur c); mox tamen f[flexae propius de-- nuo ad transverfüm accedunt d), eoque verfus marginem continuant. In vniuerfum analogo funiculorum du&u in hac fuperior füperficie ferantur et multo transuerfo, quam lon- gitudinali dudui propiores funt. Eius fibrae interpofitae in fuperficie eadem. (Lab. ILL... I8 —99-))- Quamprimum hae fibrae ex crena oriuntur, notabi- lis earum portio fe maxime, in hoc corde quidem, a reli- quis diftinguit. Iftae ex vno quafi punBo, ex ipfo princi- pio cremae inter. füniculorum. et reliquarum huius ordinis fibrarum . ortam,. in. hoc. corde. oriuntur e), indeque late fe verfus a) ab. VII E. sg. b) 'Tab. VIL. B, F. £) - Tab. VIL. 36. Hn i. d). Tab. VIL, 32.. 55, e) Tab. VIE E verfus marginem dispergunt a). In aliis cordibus ex ipfis reliquis ordinis tertii fibris prodire potius et verfus funicu- ]los fe extendere vidi. At hoc conftans effe videtur, vt in- ter funiculos caeterasque Ííolitas tertii ordinis fibras conti- neantur, neque in communi fede ortus ad crenam propriam partem fibi vindicent b), neque ad ftriam, fedem communém infertüonis c). "Vt prorfus ergo a funiculis et caeteris fibris . includantur. Quare et interpofitae hae fibrae nominari poffe videntur Miro quidem du&u in hoc corde ortuque in va- ris fedibus et progreffu apparent. Ormiuntur aliae ab aliis et fub alias fe recipiunt d). Alibi fimplices fibrae aut fi brilae fuper fasciculos fibraram oblique tranfire, eosque ob- ducere videntur e). In vniuerfam fibrillas conneQentes po- tius, quam folitus fibras referunt. Verum in nullo alio corde hanc fingularem ftraduram reperi. Etiam, vbi ad inferiorem fuperficiem perueniunt in ipfo hoc corde, folitam hae fibrae fabricam recipiant f). Interpofitae fibrae ipfae fatis con- ftantes effe videntur. Eius funiculi et fasciculi craffiores, imprimis, qui procurrenti analogus minori (Tab. VII. 38. 39.), annularis fasci- culus, in eadem fuperiori [uperficie. Tum diftinüi a reliquis fibris funiculi quoque, craffi- tie et eminentia infignes , in media parte magnae lataeque fas- 8) 'Tab. VII 28. 32. b) "Tab. VIL E. £) "ab IX. x. 4 z. d) "Tab. VIL. 29. 3o. &) "Fab. WIR. 55. 32. f) 'Esb, XXX az. y. Noua Zf&a Acad. Imp. Scient. Tom. IX. Mm fasciae huius, quam tertius ordo febrarum efficit, frequentius apparere folent. "l'res vel quatuor eorum in cordibus non- nullis numeraui, qui, diredione eadem du&uque eodem cum caeteris fibris progrediendo, craffitie tamen et latitudine di- fündi, annulorum fere, ventriculum ambientium, faciem prae fe ferebant. [n alis craffiores etiam fasciculos fibrarum col- ledarum , fimili modo per fuperiorem ventriculi fuperficiem produdos, et circa marginem flexos, quibus margo inaequa- lis efficiebatur, obferuaui. Vtrorumque analogi in hoc quo- que corde fasciculi occurrunt , dum.in media parte fasciae, imprimis funiculi a) , ad finem eius b) craffiores fasciculi fe maxime diftinguunt. | Ex hisce tamen conftantiffimus ille magnus cralfasque fasciculus eft, qui vltimas huius ordinis fibras continet, quique analogus procurrenti minori fasciculo ftrati externi hunc ordinem tertium a quarto diftinguit , quemque ob figuram et fitum transuerfum annularem potius in hoc fecundo ftrato vocare conuenit. líte in hoc corde quidem ad radiatam regionem duabus portionibus ex crena oritur, quarum altera inferior c) funiculum continuata pro- ducit, altera fuperior, vel pofterior d), in ternam tenuem quafi fübtendineam fibram inferta priori portioni, vel fasci- culo annulari produGo ipfi potius, fe adiungit. Sparfis his fibris colleclis, magisque et magis compadis, conformiter cae- teris fibris flexus fasciculus in craffum eminentem annulum denique, tribus infignibus funiculis in hoc corde conftantem, abit e), qui marginem maxime in hac regione cingit , fub quem quarti ordinis fibrae manifeftius, quam vllibi fe reci- piunt. mugitus uM w dudar. i o. ODE OT ENNNEE 8) "Tab. VIL 55, b) "Tab. VII. 355. 39. c) Tab. Vil. 38. dj "Tab. VIL 37. «) Tab. Vll. 39. 40. — $45 — piunt. a). Deftruda enim tenerrima collulofa, quam dicunt, fabftantia, qua fubiedis fibris fafciculus adhaeret, eleuari proífus hic poteft; vt fafciculo etiam integro, vti quarti ordinis fibrae fub illum fe recipiant, vti adícendant, obfer. vari poflit. Hic fane infigni craffitie non modo fafciculus et fitu et vfu, fed ipfa figura quoque fimillimus eft procur- renti minori fafciculo ftrati externi; quamuis haud adeo manifeftum, maior analogum, in hoc ftrato fecundo inue- nias. LE V FiUrarum ordinis tertii in inferiori ventriculi fuperficie progre[fus. Vbi ad marginem fibrae pervenere, ílexaeque infe- riorem nunc intrant fuperficiem, b) aliam prorfus, magis- que determinatam formam induunt. Quae magis obliquae fibris ordinis fecundi in fuperiori fuperficie fuerant, multo nunc transverfo dudui propiores iisdem c) in inferiori in- veniuntur; partim quod ipfae ad hunc dudum magis acce- dunt, partim quod füniculi ordinis fecundi multo magis quam in fuperficie fuperiori oblique defcendunt. Interpo- fitae, quae quidem haud minus in inferiori, quam in fupe- riori fuperficie a caeteris fibris fe diftinguunt, aliquam ob- liquitatem adhuc retinent. d). | Caeterae omnes omnino transverfim per totam inferiorem fuperficiem ad ftriam vs. que progrediuntur. e) lliae ergo redo dudu obliquo et pa- M m 2 ralle- Lo —— &) 'Yab. VII. 4o. b) 'Tab. IX. x, 4. 1r. €) 'Tab. IX, p. x. d) Yab. IXo X. Am; £) Tab. IX. 4. 11. 6. r5- —— 246 rallelae prorfus inter fe mutuo cito ad funiculos ordinis fe- cundi, dudu magis obliquo progreffos, a) attingunt, b) fub eosque Íe recipiunt: primae fub eos, quae proximae iis funt; tum fucceíffliue et ceterae ad vltimas vsque remotiffi- masque ab illis c). Ita cmnes interpofitae cum vltimo fu- niculorum, quem fe fub praecedentes in medio fere per in- feriorem fuperficiem itinere d) recipere dixi, conüngunt; caeterae ordinis tertii fibrae, e) paucis exceptis, ad ftriam vsque progrediuntur. lítae in varias quidem faíciolas in- feriorem faüperficiem intrando in hoc corde diuifae apparent,. quarum poftrema f) caeteris latior elegantiorque memorabi- lis eft. Prima earum g) anguftior ad eos funiculos ordinis praecedentis fe applicat, h) qui ad ftriam vsque tranfeunt. Secunda i) latior fub illam anguftiorem fibris fuis fe reci- pit, quibusdam ad ítriam peruenit. 'l'exia k) onguftiffima ad ftriam vsque procurrit. /). Quarta tandem 77) latior ea eft, quam dilatatus in hac inferior fuperficie fafciculus procurrens minor, vel annularis potius, qui craffi cylindri- ci annuli inftar in fuperiori marginem imprimis circumde- derat, n) producit. — Haec prope marginem in hac inferiori quoque à) 'Tab. IX. b) 'Tab. IX. £ ) Eabb. Nx: d) Tab. IX. €) Tab, IX. f) Tab. Ix. g) Tab. IX. h) Tab. IX. i) Tab. Ix. K) Tab. IX. 7. 1) Tab. IX. 9. 21) 'Tab. IX. 8. rr. 5) Tab. VI, 39. 40. «D E dcs ur ^ E "M quoque fuperficie anguítior, fenfim inde fibras fuas expan- dit in egregiamque planam latamque et omnino transuer fam fafciam a) abit. Infertio (Tab. IX. x. z..6. rO. I2. I5.). Inferuntur fibrae ordinis tertii in ftriam ea ratione, vt fibrae interpofitae quidem illam non attingant, fed ad ordinem praecedentem íe applicent fub eamque fe recipi- ant; b)quae mediam huius ordinis partem occupant fibrae, poft interpofitas fequentes, c) ad procurrentem breuem vs- que, et quae eum fafciculum ipfum efficiunt, d) ftriam ip- fam petant. Priores fcilicet portionem fua infertione occu- pant anteriorem partis mediae ftiiae. e). ^ Fibrae reíolutae fafciculi procurrentis tertiae partis ftriae portionem pofte- rorem. nancifcuntur; f) vt fola exigua anterior huius par- tis portio pro fibris nonnullis ordinis quarti fuperfit g). l'arietates. Non in omnibus quidem cordibus adeo exade, ex- preffae hae fibrae earumque variae proprietates, quam in hoc corde inueniuntur. Attamen quoad ortum, progreffum et du&um et infertionem non modo vbique conueniunt, fed caetera quoque, quae notaui, maximam partem in fingu- lis, quae hadenus vidi, cordibus eadem obferuata funt. Mm 3 Con- MH MÀ —— a —————— — e 8) Tab. IX. xo. 15. 12, 15. D) Tab. IX. x. z. t) Tab. 1X. 4. 8. d) Tab. IX, 8. i. t) Tab. IX. 6. 9. xo. I5. f) Tab. IX. x. s. £g) Yab. IX, 17. 18. 298 — Conftanter latam et infignem, craffioribus annulis cin&dam , fibrisque fadam parum obliquis, et diftindam a reliquis fi- bris fafciam in faperiori fuperficie efficiunt. —Conftanter pro- currens funiculus infignis terminat hunc ordinem diftinguit- que ab ordine quarto. Conftanter interpofitae quoque fi- brae, aut manifefta veftigia tamen earum, in cordibus ob- feruantur; vt in tres partes hunc ordinem, in interpofitas, in fibras medias, et in funiculum procurrentem diuidere li- ceat. Hoc folum nonnullis in cordibus occurrit, vt eodem fere obliquitatis gradu cum ordine fecundo in inferiori ven- triculi fuperficie progredientes fibrae interpofitae minus a- perte, quam in hoc corde fub fecundum ordinem fe recipi- ant. At demergunt fe tunc tamen fibrae iftae in iisdem confiniis inter fecundum et tertium ordinem vna cum vlti- mis fibris fecundi ordinis ipfis eo fere modo, quo in hoc corde vltimi funiculi ordinis fecundi, dum cum interpofitis contingunt, fe demergunt a). Differentià in fignis inter firati externi et fecundi ordinem tertium. Adeo infigniter hic tertius ordo fibrarum in ftrato fecundo a tertio externi ftrati differt, vt primo intuitu fi- militudo aut analogia inter vtrumque vix appareat. Vter- que a crena quidem, a parte eius media oritur b). Funi- culo procurrente infigni vterque terminatur. c). Tum ob- lique ille in externo ftrato fibris fuis verfus marginem ven- triculi progreditur; vt fedem apici multo propiorem ad mar- d) Tab. IX. z. y. b) Tab. VII. E. 358. Tab. IV. D. 85. &) 'ab. VIL. 57. 38. 39. "Tab, IV. 85, 84. 85. 8T. marginem, quam prope crenam occupet. a). In ftrato fe- cundo adeo transuerfali duQui propinquus eft, vt parum fit, quo differat fitu in margine atque ad crenam, mifi vt fibris ob interpofitas difperfis maiorem marginis, quam cre- nae partem occupet. b). Hadenus fatis fimilem ergo vter- que tertius ordo fe atque analogum omnino praebet. Nunc vero ad marginem ipfum ille c) in ftrato externo termina- tur funiculo procurrente maior, fibris ordinis tertii prae- tenfo..d). In ftrato fecundo contra flexus fibris fuis circa marginem, e) inferiorem ingreditur fuperficiem , f) totamque eam, ad ftriam vsque progrediendo, percurrit. g). Non in- ferit fe ille quidem in ftrato externo, neque applicat fe, terminatus omnino, ad procurrentem maiorem, fed recipit fe potius fub eum. Verum, vti parallelae fere fibrae pro- currenti ipfi, A) haud longe fub eo progreffae vix inferio- rem tamen fuperficiem ventriculi intrare videntur. A folo diuerfo du&u fibrarum ergo infignis haec differentia ordinis iertil in vtroque irato pendet. Quae enim parum tantum ad marginem vsque fibrae in vtroque ftrato differebant, in margine ipfo longe a fe mutuo difcedunt. . Flexae exter- nae nunc apicem verfus ab inferiod prorfus fuperficie auer- tuntur. j. Fibrae in ftrato fecundo reda pergunt, iníerio- rem ingrediuntur, ad ftriam vsque continuant. Qua 4) Tab. IV. D. 85. 87. 88. b) 'Tab. Vll. E. 58. 28. 40. £) "Tab. IV. 77. 78. 82. d) 'Tab. lV. 73 74. 74. £) 'Tab. Vll. 28. 34. 39. f) VTab. IX. x. 4. ix £g) Tab. IX. 6. 10. x5. h) Tab. IV, 77. 18. S. $) Tab. IV, 77. 18. 280 Qua tamen nullo modo analogia inter ordinem vtrumque turbatur. Caeterum infigni hac diiferentia analogia tamen et fimilitudo inter vtrumque ordinem tertium minime deletur. Ouod maxime enim fingulare in ftrato externo tertium or- dinem diftinguit, fibrarum ordinis fub funiculum procurren- tem maiorem et fub ordinem fecundum receptio, a) id ma- nifefto in ftrato fecundo quoque obferuatur, vbi interpofitae fibrae fimili modo fub ordinem fecundum fe recipiunt b); modo vt reliquae tertii ordinis fibrae ftriam permittantur. c) Neque alia tandem ratione tertius in vtroque, exter- no ac fecundo, ftrato differt ordo, quam ipfe fecundus et primus ordo in his ftatis differebant. — Nimirum a folo di- verfo duQdu fibrarum in ftrato vtroque, quo, vbi ad margi- nem ventriculi peruenere fibrae ordinis tertii, apicem ver- fus fleduntur in ftrato externo, reda ad ftriam pergunt in fecundo ftrato, infignis illa differentia pependerat. Htiamfi enim nullus procurrens maior funiculus viam fibris tertii ordi- nis in ftrato externo praecluderet ; nihilominus hae tamen api- cem verfus tendendo inferiorem minime ingrederentur ventri- culi faperficiem, eundemque prorfas et dudtum et fitum, quo nunc fe diftingaunt, haberent. Iam fimili modo etiam fecundus ordo in vtroque ftrato du&u fibrarum differt, modo vt maxi- ma fibrarum ftrati externi flexio non in fuperiori iuxta margi- nem fuperficie et in margine ipfo, fed in hoc margine parum, partimque in inferiori fuperficie proxime ad marginem fiat. d). Fibrae enim ordinis fecundi in ftrato externo, vbi ad mar- a) Tab. IV. 77. 78. S. b) Baby dXX. z. y c) Tab. IX. 10. 15. 12. t5. d) Tab. Vl. 13. 14. 16, 24. L 28I marginem perueniunt, continuo apicem verfus. fled&untur , a) aliaeque in margine ipfo, b) aliae in inferiori fuperficie iuxta marginem ea ratione decurrunt, vt pro longitudinali- bus fere fibris haberi queant;c) haud aliter ac fibrae ordinis tertii in ftrato externo, quibus illae vbique fere parallelae feruntur, procedunt. d). . Fibrae ordinis fecundi in ftrato fecundo contra reda fuper marginem tranfeunt, inferiorem ingrediuntur fuperficiem et ftriam verfus decurrunt, in quam inferuntur, e) pariter atque tertii ordinis fibrae in hoc fe- cundo ftrato ad firiam procedunt; f) modo vt fere transuer- fim hae, illae magis oblique progrediantur. Simili ergo modo fibrae ordinis terti atque fecundi ordinis fibrae fe in ftrato fecundo ad eorundem ordinum fibras in externo ftra- to habent; atque analogia inter vtrumque ftratum in vno aeque atque in altero fibrarum ordine manifefta elt. Ordo quartus fibrarum (Tab. VII. 40. 4r. 42. 44. 4T. 50. | l. 45. 40. Tub. IX. rr. r9. 20. 16. r7. 18. 23. 24.). Ordo denique quartus dire&ione non modo fibrarum, fed fede ventriculi quoque, quam occupant fibrae, a caete- ris hactenus didis ordinibus fe diftinguit. ^ Aut oblique or- dinum praecedentium fibrae defcendebant apicem verfus, aut fi quam maxime ab externis differebant, transuerfim | pro- ————————»J———— '—————— 4) Tab lV. 46. 47. 48. 50, 6t. 62. To. 7I. b) Tab. IV. 71. 106. 70. 62. 106. €) Tab. VÍ. 15. 14. 58. 63. d) Tab. lV. 75. 77. 78. 82. e) Tab, IX; Box. $9.3. f) Tab. IX. x. 4, i z, 1o. 15. * JVoua 24&a "4cad. Imp. Scient. Tom. 1X. jM n progrediebantur. Fibrae ordinis quarti omnino oblique ver- fus bafin adílcendunt. a). Neque vlla ex variis, quibus ordo conftat, faíciis eft, cuius fibrae ab eo du&u adícen- dente declinarent. Regio circa apicem ventriculi, quam fibrae ordinis quarti occupant, quamque efficiunt in ítrato fecundo, et figura et magnitudinis ratione a polterioribus regionibus differt. —Funiculus enim annular in vtraque ventriculi fuperficie, maxime tamen in fuperiori prope mar- ginem adeo prae fequantibus ordinis quafti fafciis, quae fub ilum fe recipiunt, eminet, b) vt plus carnis in hac fede, quam in caeteris regionibus ablatum effe videatur. Hinc angufítior ventriculus in proxima hac fub annulari funiculo fede efficitur. c) Cui tamen; cum nihil omnino demtum fit in apice ipfo, vbi iidem adhuc fafciculi terminales appa- rent, d) qui in ftrato externo ventriculo apicem effecerant; e) cylindrica potius nunc in hoc ftrato fecundo, quam co- noidea, quae.in externo erat, f) figura ventriculi circa api- cem parti enafcitur; g) vt figura pariter ac magnitudinis ratione haec !fedes fibrarum ordinis quarti eaque ventriculi pars, quam ipfam: in ftrato fecundo iftae fibrae efficiunt, a caeteris eius partibus caeterorumque ordinum fedibus dilfe- rat. Haud iufto plus tamen carnis, aut quidquam praeter fimplex ftratum externum remotum in ea fede effe, vel in- de iam patet, quod faíciculi terminales ipfi, qui et in ex- terno a) 'Tab. Vl. 42, 43. Tab. 1X, 16. 17. b) 'Tab. Vll. 38. 39. 40. £) Tab. Vll, 45. 40. 45. d) Tab. VII. 5o, 52. &) Tab. IV. 105, 104. f) Tab. IV, R, T. E, &) Tab, Vll. 4o. 42. 45.44. 41. 4$- u—- 08$ — terno ftrato iam apparuerant a), fibris fuis continuatis b) hanc fedem occupant, fub funiculumque annularem fe reci- piunt. Non poffunt enim aliae, mif; quae ex ipfis ftrati externi fasciculis continuantur, fibrae fub externo ftrato con- üguae fuiffe, quae, fi quidquam praeter ftratam externum remotum effet, neceffario remotae ipfae effent. Verum ita fasciculus quidem procurrens breuis in ftrato externo fitus eft, vt principio fuo latiori et planiori c) principio plano pariter et lato annularis fasciculi d) incumbat, craffiori cy- lindrica cauda contra e) apicem verfus deícendens, ipfam foueam , annulari fasciculo in ftrato fecundo produ&am /), repleat. Sic craífhus ftratum externum, fed fimplex tamen, excauatae regioni circa apicem impofitum, aequalem :ventri- culi faperficiem externam, fimulque figuram conoideam ven- Uiculo in apicis regione efficit, quae eo Íítrato exuta cylin- drica potius et anguftior eft. Ortus fibrarum. ordinis quarti a crena. ( Tab. VII. 41. 42. 44. F-) Oritur ordo quartus fibrarum ab vltima paite crenae, quae radiatae ventriculi regioni in ftrato externo refpondet £); deinde a fuperiori et medio fasciculo terminali hy. n varas autem hic ordo fascias fibrarum diftindus eft. Earum Nne duae, a) Tab. 1V, 99. 103. 104. b) Tab. VIL 47. 4$. 40, £t) Tab. IV. 85. 85. $4. d) 'Tab. VIT. 37. 58. £) Tab, IV, 87. f) Tab. VII. 40, 45. £J) Tab, VII. 41. 44. F, A .) Tab. VII, 47. 5o, : zs 284 duae , 'ertàe a crena, in ipfa faperiori iam fifde tii termi- nantur a), neque ad inferiorem perueniunt. Tertia à crena pariter orta, b) , in inferiorem trànfit füperficiem c); vnaquc cum quarta d), a fasciculo orta terminali fuperiori, fingu- larem in hac inferiori fuperficie fasciam efficit e), quam ob fibras, radiatim disperfas, flabellatam fasciam dixeris. Quin- ta deniqué , a terminali fasciculo medio füborta f), pariter flexa fuper marginem ventriculi , inferioremque ingreffa - fu- perüciem , aliam fimiliter flabellatam , fed minorem , fasciam. éfficit g). Prima et fecunda quarti ordinis fascia ,' quae in faperiori fuperficie terminantur, deinde et tértia, quae quar: tàe accedit, cum eaque flabellatam fasciam maiorem in in- feriori fuperficie producit, folito modo a crena oriuntur h). Quarta autem ipfa et quinta fingulari ratione, illa a fupe- rori i), haec a medio terminalis fasciculo A), originem ducunt. A fasciculo terminali fuperiori. Fasciculus terminalis fuperior /), quemadmodum in faperioribus defcriptum eft, ex inferiori fuperficie oritur m). . Cras- mcm p m 8) Tab. VII. 41, 42. 45. &) Tab, VIL. 44. 40. 45. t£) Tab. VIL 40. 45. d) 'Tab. VII, 45. 47. 48. &) 'Tab, IX. 11, 14. t9. 16. 17. IS. f) Tab, VIT. 5o. 48. J. £) Tab. IX. 19. 20. 22. h) Tab. VII. 4r, 42, 44, j) Tab. VII. 47. k) Tab. VIL. 5o, |) Tab. IV. 99. 100, $5) Tab. VI, 8. 10r. : — 285 » , - Craffüs: inde et ventricofus musculus fuper ftriae extremita- tem d) in fuperiorem fe fleüit fuperficiem 5),.fimulque in varias portiones ; quafi in ftrata diuerfa , fablimiora profun- dioraque , - hac ratione fecedit , vt quo funt füblimiora fiue exteriora Íítrata , eo fe magis fle&ant finiftrorfum , eo contra minus, quo fant profundiora, feu interiora. "Tria faltem, nifi plüra, in fuperiori terminali fasciculo ftrata dantur, quorum füblimius ergo, maxime flexum c), dum tranfit adfcendendo in faperiorem fuperficiem , continuo magis magisque fledi pergit, du&umque tandem fubit transuerfalem d), quo ver- fus apicem ventriculi finiftri, feu centrum focorum e), pro- greditur, infertam faa vnciformi extremitate f) in extremita- tem vnciformem procurrentis füniculi breuis g) eum fascicu- lum efficit, qui , cam folus in ítrato externo appareret h), piofundioribus terminalis fasciculi portionibus | abfconditis , tanquam vnica continuatio fasciculi terminalis fuperioris in ftrato externo confiderabatur| Media portio i), quae di&a fublimiori, vbi in fuperiorem füperficiem fasciculus termina- lis adfcendit ,. tegitur, minus quam fublimior fe fledit. Sic parum curata: haec, dum illa transuerfim ad centrum fo- corum progreditur, oblique adícendit , a fublimiori fecedit. Nn 3 ^ Reci- I—————————— —————— ÁO OO OEQEESSA.1. 2042,55) AAEUEMAULí!ANLA AULA ULLLOUOó €) Tab. VI. ror, b) Tab. IV. 99. 3 £) Tab. IV, 99. roo, 4) Tab, IV. too. £) Tab. IV. 102. f) Tab IV. roo. &) Tab. IV, ror, h) "Tab. IV. 99. 100, 3) Tab. VII. 45. 48, 47. 49. —À à&6 — Recipit fe hac ratione füb radiatas fibras ftrati externi a), tranfitque in ftratum fecundum, in quo quartam , fuperius didam, fasciam b) ordinis quarti fibrarum efficit. "Tertia de- nique profundior portio c), a media, dum terminalis fasci- culus in fuperiorem fuperficiem tranfit, teda, minus quam media flexa d), fub hanc e) et fub caeteras fimul fecundi ftrati fascias oblique, adfcendendo tertium fibrarum ftratum Angxeditupg "t | A medio. | | Onuarta igitur fascia ordinis quarti in ftrato fecundo a portione media terminalis fasciculi fuperioris originem du- cit. Fascia quinta ,fimili fere modo a. medio, fasciculo ter- minali oritur Hic pariter ex inferior ventriculi fuperficie produ&us f ), craffus. pariter circa ftriae extremitatem flexus, et in füperiorem adícendens ;fuperficiem : g) ,, duabus tantum, fibi mutuo incumbentibus ,' ftratis ,. fiue portionibus .À) , .in quas flexione diícedit , conftat. . Karum fublimior, quae; in ftrato , externo apparet. i), minus aliquantum. quam. fuperic- ris fasciculi terminalis. fublimior portio flexa, fub.eam.À) fe recipit et fub caeteras extermi ftrati fibras radiatas, ftratum- : que .&) Tab, IV. 96. 97. 98. b) 'Tab, VII. 45. 47. 48. so£) Tab. VII. 49 a. . d) Tab. Vil. 49 a, £) Tab, Vll. 49. f) Tab. IX. E. £) Tab, Vll, 5o. h) 'Tab, Vll, 5:1. $1 a. $) Tab. IV, 103, k) Tab, IV. 99. 100. 287 ——— que fecundum ingreditur a), vbi fasciam illam quintam et vltimam fibrarum ordinis quarti producit b). Portio profun- dior c), a fablimiori maximam partem teda, minus etiam quam haec flexa, abícondita fere in fecundo vti in externo ftrato manet, tertiumque ftratum ingreditur. , Fasciculorum terminalium variae produGiones, per varia firata diftributae. Sic per plura ftrata ergo fasciculi terminales, qui in externo iam apparent, diuerfis illis produ&ionibus fuis di- ftribuuntur, et ad plura efficienda ftrata contribuunt. | Qui- libet eoram parte crafhor et fimplice d), qua oritur, dein- de variis in quas diícedit produdionibus flabelliformibus e), fibi mutuo fuperfiratis , poftea varie flexis ,, eaque ratione diuergentibus , conftat. Quilibet , . craffori fua. et fimplice parte, quafi manubrio flagelli, ex inferiori in fuperiorem ventriculi fuperficiem iranfit, vbi primum, dum varie. fledi incipit, in varias fuas produdüiones .flabelliformes ' difcedit. Singuli manubriis fuis in ftrato externo apparent, eiusque partem , inter apicem. ventriculi et Ítriae crenaeque finem contentam, efficiunt; produdionibus fuis interiora ftrata in- grediuntur. Tres eiusmodi flabelliforines- portiones fuperior producit, quarum fublimiorem , additam. vltimis fibris radia- ue tis r————S————————ÁUÀ dá A————— ———— oia a) Tab. Vll. 5o. 51. b) 'Yab. VII. 5:1. 48. J. €) Tab. VIL 5o. 51 a, d) "Tab. IV. 99. 103. 104. £) Superior. Tab. IV, 99 roo. Tab. VII. 47. 49. 4*. 48. Medius: Tab. IV. 103. Tab. VII. co. 43. J. 51. Tab. Vll. sra, Tab, X, . 3» 35. 39. Inferior: Tab. lV, 104. Tab. Vll. 52. Tab. X. 45.46. 39. —— 298 ——Rm tis a), externo ftrato tradit. — Media fub illam fublimem ; et fub radiatas fibras ftrati externi fimul contiguas,. adícen- dit, ftiratamque fecundum ingreditur, fasciae in eo tertiae b) ordinis quarti hanc mediam fuam flabelliformem . portionem. c) addendo. Profunda tandem portio d) fub mediam, proxi- me, et fub tertiam fimul caeterasque ítrati fecundi fascias adícendit , tertiumque. ftratum ingreditur, fasciis eius fe ad- iungendo. Fasciculus terminalis medius in duas tantummo- do portiones flabellatas difpescitur. Hic folo manubrio fuo ad ftratum externum 'contrbuit e), fublimiori portione f) fub füblimem terminalis fasciculi fuperioris g) et fub radia- tas externi ftrati fibras h) fe recipit, ftratamqne continuo fecundum ingreditur, mediae portioni flabellatae i) fasciculi fuperioris hanc fuam fublimiorem A) adiungendo. ^ Profun- da l]) fub fublimi m) et fab caeteris fecundi ftrau fasciis, ad quas et füblimis pertinet 7), adícendit , et tertium ingre- ditur ftratum, cuius fe fasciis adiungit o). Denique inferior fasciculus terminalis p) fimplex eft, foloque manubrio cras- , fiori et flabelliformi fua expanfione latiori conftat. Eodem - 8) Tab. IV. 99. 1oo, | | b) Tab. Vll, 44. 40. 45. £) Tab. Vll. 47. 49. 45. 48 d) Tab. Vll. 49 a. €) Tab. IV. 163. f) Tab. Vll 5r, 48... g) Tab. IV. 99. 100. Á) 'Tab.:1V. 96, roo. i) Tab, Vll, 49. 45. 48» k k) Tab. Vll, 5r. 4g. J. l8 |) 'Tab. Vll, 5o. 51a. qm) 'Tab. Vll, 51, *:) Tab. Vll. J. 48. 45. 40. 0) Tab, X. 35. 34. 59. p) Ab. lV, 104. 289 e ifte manubrio fno in externo a) primum, deinde et in fe- cundo ftrato b) apparet. Verum in externo, dum fub fubli- miori portione faperioris fasciculi terminalis fub caeterisque ftrati externi fibris radiatis c) fe abfcondit, non fub eos tan- tum et fab ftratam externum, fed fab fübiimiorem fimul fas- ciculi terminalis medii flabelliformem portionem d) quoque ct fub caeteras ftrati fecundi, ad qucd illa pertinet, fascias fibrasque e) fe recipit, et adiungens fe profundae medii hu- ius fasciculi terminalis portioni f) in tertium vna cum ea ingreditar firatam fibrarum , ad quod folum ille fasciculus ierminalis inferior hac vnica fua produione flabelliformi g) contribuit; dum, vti externo, fic et fecundo ftrato , folum manubrium faum praebet. Haec ergo completa ftru&dura eft fasciculorum terminalium, fingularumque partium eorum, qui, ficut in ftrato externo nonnifi manubria fua, folus fu- perior füblimiorem praeterea portionem, oftenderant, tanquam fimplices fasciculi in illa externi ftrati defcriptione confide- rati, nec nifi quatenus in eo ftrato apparebant , quatenus ad illud efficiendum contribuebant, deícripti funt. r———————————ÓÁ——M— — Á— —'—— É—À—À— (€ cC — i ÀÓÀ a) 'Tab..1V, 104. b) "lab, Vll. 57. €) Tab. lV. 1o». 96. 87. d) Tab, Vll. sr, 48. J. £) lab. Vil. 48. 40. f. Tab..Vll; 50; $1 :a. &£) lab. X, 45. 46. 39. Noua Aa Acad. Imp. Scient. Tom. IX. — O0 0 'TEN- m— 290 TENTAMINA DE NITRI CRVDI PER CARBONES DEPVRATIONE. Autore / TOB. LOWITZ. à EI Conuenlui exhib. die 29 Nov. 1192. (Ur Profeffor Gadolin Academiae Stockholmienfis mem- brum, nitri. crudi per carbones depurandi haud mediocri cum facceffü tentamina inftituit, quae eiusdem Academiae Com- mentaris inferta funt. Illuftr. Societatis oeconomicae hic Pe- tropoli florentis monitu et confilio incitatus , complura eo- dem de argumento pericula inftitui, quae cum lll. Acade- mia Scientiarum communicare, eo magis officii mei efle pu- to, quo propior nexu cum iis experimentis cohaerent, quae de vi carbonum dephlogifticatxice a me inuenta expofui. $. r. Nitrum ex tera nitraria prima poft elixiuia- tionem cryftallifatione obtentum, non falibus modo hetero- geneis, fed partibus etiam piuguibus ita femper inquinatum eit, vt eo, quo eft, crudo ftatu et impuro vfui inferuire nulli queat. Partes pingues , etiamíi difcefferis ab eo, quod fua jam sque) OT mmm íam in nitro praefentia noceant, faliam quoque alienorum feparationi vehementer obítant, quam ob cauffam eas a niu feparari maxime interelt. $. s. Deftruendis vel fegregandis e nitro pinguibus partibus varia chemici hucusque additamenta adhibuerunt: e. g. Alumen, Sanguinem bouinum , Acetum , Vinum, Vri- nam, Tartarum etc. quorum efficaciffimum procul dubio Alu- men eft, cuius additionem Cel. Bergmannus fuafit, eiusdem- que quantitatem ad eam nitri depurandi in ratione 35 ad roo ftabiliuit. Prima quidem fronte , ob.acidi vitrioli ad nitrum ex alumine acceíffum, noua hinc nitri inquinatio per- timefcenda effe videtur, quam vero chemicorum plurimi longe minus, quam eom ex pinguibus. partibus oriundam, effe no- ciuam, arbitrantur. ; , .$& 5. Ex compluribus meis de vi carbonum dephlo- giftüicatrice inftüitutis hucusque obferuationibus , carbones in niti quoque depuratione praeftare non nihil poffe, facilis erat fufpicio; et reuera ego quidem iam a tribus abhinc annis nitri ordinarii venalis depurationem optimo cum fuc- ceffu ita plerumque inftituere affüeui, vt folutionem eius- dem feruidam, ad cryftallifationis pundum reda&tam, per fac- cum linteum carbonum puluere femiplenum transcolarem ; neque tamen, quae fit carbonum in nitrum crudum efficien- tia, experimentis adhuc exploraueram. ! $. 4. In tentaminibus meis ex propofito nitrum, val- dc impurumr adhibui, quod aqua folutum colore fe admodum. fufco, cereuifiae domefticae ad inftar, induit. Ante vero, quam cum ipfis carbonibus tentamina adgrederer, qua vi vfitatiores hucusque depurandi modi in nitrum hoc gaude- Oo 2 rent, — 292 Ber rent, vt experirer, non alienum duxi, idque eo confilio, vt eifedtuum varietates €o certius dignofci a fÍe inuicem et di- iudicari poffent. | EXPEAR. I. Nit noftu libras duas ponderis medicinalis in aquae purae libris fex fuper igne diffolui, et filtratam folutionem admodum fafcam, ad cryftallifandum repofui. Ortae poft re- frigerationem cryftalli flanuo adhuc imbutae colore fuerunt, quo vt prorfus liberarentur, duabus adhuc nouis earundem folutionibus et cryfiallifationibus opus erat; quo docente ex- perimento, nitrum noftrum, vt finc vllo additamento per- fette albam reddatur, ter repetendas in aqua folutiones et cryftallifationes poftulat. EXPER. IT. Ebullienti folationi duarum nitri crudi vnciarum fo- Iutionem 2o collae pifcium granorum admiícui. Nulla inde in folationis colore mutatio fubfecuta ett; obtentaeque po- ftea cryftalli ds, quas priori cryftallifatione antecedentis ten- taminis obtinui, perparum modo albiores fuerunt. Hinc col- la pifcium non nifi eo in nitrum crudum effedu pollet, vt, quae alias fola filtratione fegregarr poffünt, quisquilias in materiam fpumofam , fimplici defpumatione facile a liquore feparandam, conuertat. Quae vero partes pingues folutioni nitri crudi, falaa eiusdem pelluciditate, colorem fufcum in- ducunt, in eas glutinofi huius additamenti nullus plane effedus eft. EXPER, IIT. Solutioni rooo granorum nitri crudi im 8 aquae vn- €lis, 50 Sa aluminis. puluerifati admifcui (*). Exorieba- tur —- y Haec ea, quam Cl. Bergmannus fuafis; mifcendorum proportio efi. — 41293 tur inde ftatim fpuma alba. Neque filtratum lixiuium, co- lorem multo, quam ante, dilutiorem fed vino potius flauo aemulum referebat. | Concreuerunt tamen polt refrigeratio- nem fatis albae cryftalli, quae vero, vt omni colore prorfus liberarentur iteratam depurationem requirebant. EXPER. IV. Vt viderem, an addita maion aluminis quantitate fo- lutio nitri priuari forfan colore fao poffet, ebullienti duarum nitri vnciarum Íolutioni aluminis puluerifati wnciam inte- gram partitis portionibus admifcui, neque tamen permagna hac aluminis quantitate effedum vel tantillum optabiliorem obtinuit; folutio enim eundem, quem in antecedente experi- mento, colorem flauum induebat. EXPER. V- Similem quidem prorfus coloris fufci diminutionent obferuaui, dum rooo nitri crudi granis non nifi $ Aluminis adderem; neque tamen vllo modo obtinere mihi licuit, vt tradata hac ratione folutio filtrum limpida tranfiret , quae nunquam non turbida aliqnantum chartem bibulam per- meauit. EXPER. VI. In colorem flauum f[olutionis eius nitri flaui, quod in primo tentamine ex prima cryftallifatione, fine vllo addita- nuo , obünui, alumen ne minimum quidem eífedum. ex- eruit. $. s. Comprobatur tentaminibus his (Exp. 3.— 6.). aluminis vim in partes nitri pingues, licet fatis fit efficax, iis tamen plane omnibus e nitro expellendis imparem effe, Qo 3. quo VSPTNNQES quo fit, vt fufpicar liceat, partes has. pingues, nitrum in- quinantes , non vnius omnes naturae effe, alias alumini quam facillime obedire, aliasque eidem prorfus refiftere. Omnes enim fi fimiles inter fe eíffent, au&a adiiciendi alu- minis copia, [folutionis colorem magis magisque diminui, quin prorfus deleri, neceffe effet. $. 6. Obtenta hoc modo praeuia cognitione, quomo- do vfitatifümae hadenus depurandi methodi in nitrum no- ftrum crudum fe gerant, alumen inprimis, adhibendorum huic fini additamentorum efficaciffinum ; ipfa cum carboni- bus tentamina adgreífus fum. EXPER. VII. Nitri crudi vncias 24 in :o aquae libris diflolui; xe- frigerataeque huic folutioni 6 carbonum pulueris vncias ad- mifcui, quo fado, liquoris fufcus color ftatim in illum dilute flauum abiit, qui vino Rhenano proprius eft. Poftero et tertio die dcus miftelae iteratis vicibus duas fubinde pul- veris carbonum vncias fapperaddidi; hoc modo folutionis color magis paulatim magisque dilutus euafit, neque tamen, nifi quarto die, additis füummatim 2o pulueris carbonum vn- clis, prorfus difparuit. Filtratus hic liquor, inftar aquae limpidus, ad cryftallifationis punQum redaQus, pulcherrimas albiffüüimasque nitri cryftallos fuppeditauit. EXPER. VIII. In praecedente experimento nulium.a calore fubfi- dium petii; fciendi vero cupidus, quaenam auxiliante calo- re, hac in re carbonum vis effet , nitri crudi vnciis fex in aquae libris duabus folutis, fesqui vncias carbonum pulue- rs inter coquendum adieci, folutionemque feruidam adhuc filtra- Freperre cci 295 L————À filtraui; furrexerünt ex ea nitri cryftalli albiffimae. Color lixiuii fufcus eodem gradu fuit diminutus, quo id absque caloris adminiculo per aequalem carbonum portionem acci- dit, filtratio autem eiusdem longe facilius citiusque fucceffit. Calidae nitri cum carbonibus tradationis in eo praecipua vtilitas cernitur, quod aquae copiam non debeas impendere, ea maiorem, qua opus eft, vt refrigerefcente folutione, poft filtrationem nitrum 1tatim in cryftallos concrefcere valeat ; quo ipfo etiam fit, vt longiori euaporatione fuperfedere pror- fus poffis. EXPER. IX. Ebullienti 6 nitri crudi vnciarum in duabus aquae libris folutioni fesqui vncias carbonum pulueris admifcui, omniaque ad perfedam ficcitatem vsque euaporaui, quo fado, iterum duodecim aquae vncias addidi, feruidamque folutio- nem ítatim poftea filtraui. Colorem folutionis huius, multo licet difficiliore hac et longiore traQdatione, eo, qui in ante- cedente experimento exftitit, parum dilutiorem vidi. EXPER. X. : Quatuor nitri crudi vnciarum folutionji;, 5 carbonum pulueris vncias inter coquendum addi neceffe fuit, vt omni eolore liberata, aquae inftar, prorfus limpida euaderet. f. 7. Ex feptimo et decimo tentamine liquet, om- nibus particulis pinguibus perfede deftruendis, frigida tra- Qatione, 5 carbonum pulueris ad fex nitri crudi partes fuf- ficere: calida vero traQüatione, 4 nitri crudi 5 carbonum puluens partes poftulari, ita, vt primo afpeQu, frigida ca- lidae manipulationi anteponenda effe videatur. At con- ta fugida traüatio id incommodi habet, vt frigida folutio ab se— 006 &b exigua licet carbonum copia filtratu tamen quam diff- cillima fit; dum hoc in cafu per filtra vel denfiffüima tur- bidus femper liquor et nigrefcente colore tranfit; quae mo- leftia in altero cafu locum plane non obtinet, modo miftio- nis cotlio vel vnica tantum ebullitio in auxilium vocetur. - $. €. Nitrum. depurandum fi colore exui prorfus omni opus effet: nulla hoc in negotio carbonum vtilitas foret, ob nimiam, quae addi deberet, eorundem copiam, in- primis fi magna effet nitri depurandi quantitas. Summo autem hoc perfedionis gradu cum non opus effe videatur, et labor füccedere etiam poffit, fi folationis color ex parte tantum et ad certam vsque gradum diluatur; operam dedi, vt minimam, quae depurationi fafficeret , carbonum pulue- ris quantitatem experimentis explorarem. Atque haec ten- tamina ita inftitul omnia, vt mille nitri crudi grana, ad- dita alia atque alia cabonum pulueris quantitate, cum 8 aquae purae vnciis ad fex vnciarum remanentiam coque- rem, filtratasque folutiones, quo oriundas a carbonum pul- vere ipfarum mutationes comparare melius inter fe pofífem, in vafculis vitreis aeque amplis alteram iuxta alteram col- locarem, et obtentas ex fingulis cryftallos fuper charta bi- bula ficcatas, experimenti numero fignarem, EXPER. XL Carbonum pulueris grana 50 in folutionis colore vifi- bilem eifedum fere nullum exferebant ; cryftallos tamen, etfi non plane albas, iis tamen, quae absque" vllo additamento obtinentur, praeftantiores obtinul. Exper. EXPER. XII. Carbonum pulueris grana 1oo coloris diminutionem fatis iam in folutione confpicuam, cryftallosque iis, quae aluminis auxilio. prodire folent , aemulas (Exper. 3.) effi- ciebant. EXPER. XIIT. Carbonum pulueris grana r20, colorem folutionis quod attinet, fimilem prorfus effedum producebant. EXPER. XIV. Carbonum pulueris "grana 1:50. folutioni eum, qui vino Rhenano proprius eft, colorem flauum, quem et alu- men ipfi conciliat, conciliabant. Cryftallos vero, hoc in experimento, puriores affecutus fum. | EXPER. XV. Grana 200. pulueris carbonum folutioni colorem praecedente dilutiorem conciliabant, cryftallique concreue- runt. plane albae. | : EXPER. XVI. Additis 250 granis pulueris carbonum, liquorem ob- tinui etiam praecedente puriorem; cryftallisque potitus fum albiffimis et puriffimis. | $. 9. Teftantibus his experiments, vna carbonum pars 5 nitri noftri crudi partibus addenda minima eorundem quan- titas eft, qua nitrum ita a partibus pinguibus liberari pof- fit, vt e folutione etfi colore non penitus liberata, cryftalli fatis tamen albae fecedant (Exper. 15.). At hanc quoque carbonum quantitatem baud. inficior non effe exiguam, im- AVoua Ada Acad. Imp. Scient. Tom. IX. Pp mo — 298 m——À mo tantam, vt vtilitatis hoc in negotio a carbonum vfu éxfpetlandae- fpem prope omnem auferre videatur. At vero in experimentis his, vti fupra iam monui, ex propofito vfus fum nitro crudo quam maxime impuro; vnde certo collige- re licet, fore, vt nitri minus inquinati depuratio, minore etiam carbonum copia füccedat; vti etiam reapfe Cl. Ga- dolino eam fucceffiffe, infra videbimus. Vnam carbonum partem decem nitri crudi partibus addi fufficiet, fi eo, quem alias alumen producit, effedu contenti effe velimus. Atque haec carbonum ad nitrum ra- üo tunc inprimis conueniret, fi nitrum tanta falium. hete- rogeneorum quantitate effet inquinatum, vt pro feparandis lis nihilominus reiteratae codiones et recryftallifationes re- quirerentur. : Ceterum ex omnibus hucusque defcriptis tentamini- bus videre eft, carbones, modo iufta quantitate applicen- tur, vim exferere ea aluminis longe maiorem. $. 1c. Poftquam, quae fit carbonum et aluminis fe- paratim adhibitorum in partes nitri pingues efficacia, vi- diffem ; quid coniunüim valeant, explorare conftitul: per- inultis enim iam antiquioribus meis tentaminibus edodus compertum mihi habeo, carbones in partes phlogifucas , praefente quodam acido, longe maior, quam per fe, agere efficacia ; conftat vero, alumen vitriolico acido abundare. Atque hunc in.finem fequentia tentamina inftituere. operae pretium mihi vifum elt. EXPER. XVI. | Carbonum pulueris xr80, aluminis 30, nitri crudi 1000 grana, in 8 aquae purae vnclis vnica ebullitione fo- utio- lutionem fuppeditabant, limpiditatem quod attinet, non ea tantum, quae alias vno aluminis adminiculo producitur , fed ea etiam, quam 250 granis carbonum pulueris obtinui, longe praeftanüorem, cryftallosque inde obtinui fplendidiffi- me albas, vt pulchritudine iis adeo praecellere viderentur, quas (Exper. 7.) ex folutione, colore fuo, vnius carbonum pulueris ope; oncle liberata, nadus fum. Succeffu hoc optatiffimo incitatus fequentibus expe- rimentis meliorem mifcendorum rationem determinare , fus- cepi. EXPER. XVIII. Carbonum pulueris 180, aluminis 5, et nitri crudi rooo grana vnica ebullitione folutionem largiebantar tur- bidam nec nifi nigrefcente colore filtra tranfeuntem ; id quod additi aluminis quantitate nimis exigua effici, pluribus ten- taminibus compertum mihi habeo; additis enim adhuc 30 carbonum pulueris granis, liquorem magis euam turbari vi- di; additis vero eidem folutioni turbidae 5 adhuc aluminis granis, liquor, vti in priori experimento, prorfus pelluci* dus filtrum facillime pertranfit. EXPER. XIX. Carbonum pulueris 6o, Aluminis 30 grana folutio- ni rooo granorum fnitri Ondi^ fimilem prorfus, ac in 16^? experimento, quo eidem huic nitri copiae 250 grana carbo- num pulueris admiícui, colorem conciliabant. EXPER. XX. "kbonun pulueris 120, Aluminis 15 grana folutio- nem €i 17"^ tentaminis fimilem largiebantur. Pinuss. EX- EXPER. XXI. Carbonum pulueris 5o et aluminis 4 ranis itidem fatis limpida potitus fum folátione. EXPER. XXI. Carbonum pulueris 1co et Aluminis ro granis prio- re limpidiorem folutionem obtinui. EXPER. XXII. Carbonum pulueris 5o et aluminis 20 grama-antece- denti fimilem producebant folutionem. EXPER. XXIV. -Grana roo :carbonum pulueris et 20 /Alumimis gra- na limpidiorem adhuc reddebant folutionem. EXPER. XXV. Grana 200 carbonum pulueris et so grana aluminis folutionem omrmis fere coloris expertem fuppeditauerunt. EXPER. XXVI. Carbonum pulueris grana 300 cum 2o Aluminis granis limpidifüinam. aquae ad inftar folutionem largieban- "tur. Omnibus his tentaminibus (Exper. 15-26.) mnitu cryftallos affecutus fum elegantiffimas prorfusque albas , quarum praeftantia prae iis, quae vno vel carbonum vel aluminis auxilio obtinentur, facillime dignofci potuit. Caeterum tentamina haec fequentia docent: 1.) Alu- eee QI Ame 1.) Aluminis adminiculo neceffaria carbonum copia mul. to minor eft, hincque totius operationis labor, fiqui- dem mifcendorum accumulatio inde diminuitur, in- figniter fublevatur. | 2.) Pro adüciendi aluminis copia maiore minor carbonum quantitas requiritur. 8.) Secundum tentamina 23 et 24. mifcendorum ea mihi - proportio optima videtur, qua roo nitri crudi parti- bus duae aluminis et 5 vel 10 adeo carbonum par- tes adduntur; qua fcilicet proportione nitrum fatis purum albiffnumque obtinetur. 4.) Addita nimis parua aluminis quantitate, nigrefcit fo- lutio, idque eo magis quo maior additur carbonum copia, cui quidem malo, nifi aluminis aliquantu- Aum adhuc adiiciatur, (Exper. 1:8.) medelam afferre non licet. $. rr. Ex omnibus hac in differtatione recenfitis tentaminibus carbonum inm nitro crudo depurando vtilitas luculenter fatis elacefcit; dubitarique non poteít, quin eo- xum applicatio etiam in nitri coloris, vbi magnae eius quantitates depurandae fünt, locum felici cum fucceffu fit habitura. Notandum tamen et id eft, quod hoc in cafu fingudlan quadam filtri difpofitione opus fit; quia additus nitro carbonum puluis haudquaquam in fpumam abit, ne- que ideo officio fuo fundus fimplici defpumatione a lixivio feparari poteft; qua tamen noua operatione, in depurando nitro crudo haGenus faperaacua, nitri codores non eft quod a carbonum vfu deter;eantur. lam enim additus folutioni Pp 3 Ccar- $55 EINE. carbonum puluis id infigne commodum affert, vt liquor fa- linus eius auxilio absque vlla moleftia per filtra lintea in- fra acuminata quam citifüime et plane limpidus tranfeat. | $. 12. Magnae nitü crudi quantitatis depuratio ; me quidem fentiente , fequenti modo fufcipienda effe vide- tur: Nitrum cum debita carbonum pulueris quantitate vna ingeratar in ahenum: Miftioni non nifi ea aquae copia fu- perfundatur, qua opus eft, vt folutio ftatim poft primam ebullitionem ad cryftallifationis pundum redeat; iam enim carbones tanta in partes nitri pingues celeritate agunt, vt continuata coQione hac in operatione opus non fit; ftatim ac liquor, foluto nitro, probe ebullit, filtratio fufcipiatur , filtratusque latex in accommodatis huic fini vafis ad cry- ftallifandum reponatur. Superftes in filtris carbonum pul- vis, ne quid nitri pereat, fedulo elixivietur, quod lixivium valde tenue aquae fimplicis loco ad foluendum aliud ni- tum crudum proximae depuratjoni deftinatum opportune adhiberi poteft, ! $. x3. Si cui forte artifici debita huic operationi carbonum quantitas nimis magna atque hanc ob caufíam vtilitatis a carbonibus hoc in negotio exfpedandae fpes nulla videatur: alumen fimul in auxilium vocari haud erit alie- 'num, quod quidem additamentum, mea fententia , non vs- que adeo nociuum eft, vt nonnullis vifum fuit, 'lum enim carbonum copia longe minor fcopo fufficiet , quae vero hoc in cafü non nifi nitri folutioni cam alumine ab initio ei iam addito fimul ebullienti addi debet, quam cautelam fe- quentem ob cauífam neceffariam effe, duco: De- Determinata carbonum quantitas non nifi certam par- tium nitri pinguium copiam deftruere vel abforbere poteft, quandoquidem partibus pinguibus iamiam faturati carbones in alias agere non polfunt. |Alumen porro in certas tan- tum, carboues in omnes plane partes pingues vim fuam de- ftrudiricem exferunt ($. 5.); modo fufficiente addiü fuerint quantitate ($. 6. Exper. 7.). Atque hinc fit, vt carbonum puluis, fi nitro intempeftiue addatur, vno quafi impetu om- nes obuias fibi partes pingues aggrediatur, hincque ad fa- turationis punüum ante reducatur, quam eas partes pingues, in quas aluminis nulla vis eft, penitus deftruxerit; fi con- ira tunc demum, quando alumen officio fuo penitus iam funüum eft, adiiciatur carbonum puluis; fuperftites ab alu- minis vi partes pingues vi fua adhuc illibata et integra aggrediatur neceffe eft. $. 14. Cum niti crudi aliae atque aliae fpecies alia quoque atque alia partium pinguium copia inquinentur: debitam pulueris carbonum adiiciendi quantitatem praeuiis in parua dofi inftituendis tentaminibus explorar neceffe eft. Neque minus neceífe eft, fi magna nitri quantitas depuran- da fit, tentari ante, quam folutionis filtratio fufcipiatur, exi- guam lixiuii portionem , fatisne iam depurata fit, nec ne, quo in cafu maion vel aluminis vel carbonum copia ad- denda opus eft (Exper. r8.). $. rs. Carbonum puluerem ipfum quod attinet, mo- nendum eft, operationem non nifi pulueris ope ex carboni- bus, quam fieri poteft, optime exuftis praeparati fuccedere; praeterea multum quoque intereft, fintne fubtiliffime an cras- fiori tantum modo in puluerem redaüdi carbones, quorum. puor cafu, in ratione audae fuperficiel, augetur quoque im par- partes pingues efficacia; adde, quod hanc ipfam ob cauffam, quo fubtilior puluis eft, eo minore eiusdem quantitate ad deftruendam certam partium pinguium copiam opus fit. $. 16. Infigne laboris compendium et inde profici- fcitur,. fi nitrum crudum admodum impurum ante, quam eiusdem per carbones depuratio inftituatur, aqua frigida abluatur a partibus pinguibus et heterogeneo -falinis ei ex- terne tantum adhaerentibus. $. r7. Praeter defcripta hac in differtatione tenta: mina, permulta etiam alia inftitui. Sic e. g. fufcam nitri crudi folutionem, in paruas portiones aequales partitam, va- ris cum acidis, vitriolico, nitrofo, falino, aqua regia, porro cum magnefia vitrarorum tam pura quam acidis mixta; cum magnefia et alumine etc. tradaui. Docuerunt me qui- dem haec tentamina, acida, vitriolicum inprimis, fimili fere, quo alumen modo, folutionis colorem diminuere; placuit mihi etiam magnefii cum aliquot olei vitrioli guttis mixti effedus. Sed aliis ex tentaminibus comparatiuis fimul inftitutis certo certius mihi perfaafum habeo, carbonum puluerem ceteris additamenus plane omnibus palmam praeripere. $. r$. Aluminis in partes nitri crudi pingues vim fequenti modo explicar poffe exiftimo: Alumen acido quo abundat vitrolico praefentia in nitro crudo falia terrea ag- greditur; atque hinc expulfa ex iis acida nitri et falis aquam regiam conftitaunt, et vi fua dephlogiftcatrice par- tes pingues ex parte deftruunt. $. ro. Quae in praecedentibus differui, hic fumma- lim obtutui expofuiffe non erit alienum: 1.) Ni- Du— OO mmm 1.) Nirum erdum fi absque vllo additamento depurad debeat; ad minimum ternis folutionibus et cryttallie fationibus (Exper. x.) opus eft. 2.) Alumen infignem quidem in partes nitri pingues ef- fedum exfert, vna tamen co&Uione nitrum efficeré album neutiquam valet. (Eper. 3. 4. 5.). 5.) Vnius aluminis abundantiffime licet additi auxilio, nun: quam tamen folutioni omnis color demitur. (Exper. 4.). 4.) Vna carbonum pulueris pars ro nitri crudi partibus addita, fimilem prorfus, ac alumen, effedum prae- ftat (Exper. r:.). 5.) Vna carbonum pulueris parte 5 nitri crudi partibus addita, vna codione albas nitri cryftallos confecutus fum (Exper. 15.). . 6) Carbonum pulueris 5 partes 6 nitri crudi partibus additae folutionem fuppeditant coloris plane omnis expertem (Exper. 7.). 7.) Carbonum puluis et alamen,fi nitro depurando binae hae fubftantiae iundim adhibeantur, in partes pin- ges longe maiori efficacia, quam earum vtraque fe- paratim, agunt (Exper. 17.) .:$.) Carbonum efficacia augetur pro maiori addita alumi- nis quantitate. 9.) Nimis parua aluminis copia largiori carbonum addita, liquorem nigrefcentem praebet, cui moleftiae adden- da maior aluminis quantitate mederi licet ( Ex- per. r8.) JVoua, Ada. dcad. Imp. Scient. Tom. IX. OQ q 1o.) 506 £0.) Duabus aluminis et 30 carbonum pulueris pa:rtibus, folutio. 100. nitri noftri crudi partium omnem pror- fus colorem exuit. (Exper. 26.). 11.) Duabus aluminis et 5 vel adeo ro carbonum parti- bus, roo. nitrü crudi partibus additis, folutionem non prorfus quidem limpidam, fed nitrum tamen ex ea album plane et fplendidiffüünum confecutus fum (Exper. 23. 24.). 12.) Aluminis in locum, vitriolicum acidum, fi nitro cum carbonibus fimul additur, fuccedere poteft ($. 17.) 'lTentaminibus meis ad finem iam perdudis , Clar. Prof Gadolini eodem de argumento tentamina, annalibus chemicis Cl. Crellii inferta, legere mihi contigit; *) Clmo Gadolino proceffus hic cam carbonum pulueris copia longe minor, ac mihi quidem, fucceífüit, ita vt ex nitri crudi li- bra vna auxiliantibus ro tantam carbonum pulueris drach- mis albas prorfus cryítallos effet confecutus; et folutioni quatuor carbonum vnciis colorem plane omnem demi poffe deprehenderet; ex quo facilior fuceffu videre eft, nitrum crudum Clmi, Gadolini partibus pinguibus multo, quam quidem id, quo ego víus fum paucioribus inquinatum fu- iffe. Atque nunc quidem dubii propemodum nihil fuper- eft, quin carbonum puluis in niti crudi depuratione ma- gna quoque quantitate infituenda, egregium vfum allatu- rus fit, eumque certiorem et commodiorem, fi aluminis cum carbonibus connubio operatio perficiatur. L A- * Gell domi(d)e 9fnnalen xzgx, 95. x. €. 518. LAPIDIS CORNEI LAMELLOSI NOVA SPECIES AuGore BASIL. SEIWERGIN. Conuentui exhib. die 23 Maii r793. 2 f. I. ] ji: a Confil. aulic. Laxmanno nuper iuxta litus Baika- lnienfis lacus detedi atque mufaeo noftro academico im- pertiti indoles ne adhucdum quidem ita denudata eft, vt nobis nullus de ea fcrupulus fuperfit; quae me praefertim cau- fa ad curatiorem omnium eius charaderifticarum notarum proprietatumque contemplationem impulit, vt eo tutius ei locum in fyftemate mineralogico affignare poffimus. Prima illius frufta circiter anno r790 innotuerunt. Bionanser haec memorabilis lapidum fpecies nünc in Íquamofo, nunc vero in romboidali fpatho calcareo flaues- cente occurrit, atque ei plerumque arde iun&a eft, qui praeterea. micam continet vel famellofam, pyramidalem vel romboidalem, magnitudinis I, r, » ct plurium pollicum,; nonnunquam. elegantiffinam drufae formam praebentem. (ig Iam Iam inde ab initio haec lapidum ípecies nota erat fub nomine Schoerli; mox eam Corneum lamellofum cryftal- lifatum, nuncupare folebant; denique vero nouo eam nomi- ne Daikhalitae quidam e mineralogis BRofficis defignarunt. Quod nomen ei maxime conueniat, nunc follicite disquiren- dum eít, expofius primo notis eius ac proprietatibus. Notas mihi externas, nifi me omnia fallunt, fequentes in illo lapide obferuare licuit: Color eft grifeo -viridefcens vel oliuafceus; figura plerumque regularis columnaris 4 ad 7 vs- que lateribus inordinatis terminata (cryftallo 7 lateribus in- ftruda plerumque 4 latera prae aliis latiora praebente); cry- ftallus columnaris interdum pyramidata; fuperficies colam- . narum laeuis, rarifime per longitudinem ftriata; fuperficies ad inftar vitri fplendens, interne vero non nifi aegre, et quafi pinguedine obdu&a fit, nitens; textura angulofo-conchoidea, confufa atque rimis tenui(íhmis interfeda; in fragmenta me-: diocriter fcindentia figurae indeterminatae dehilcit; omnino non diaphanus eft, vel in tenuiffmis tantum particulis ali- quot radios transmittit; cultro xafilis, colore a rafura . ex albo cinereo; vitrum tamen fÍcindit ac chalybe percuffus fcintüillas quamuis fparfim prouocat; communiter non valde eft compadus et linguae non adhaeret. Cryfítalli eius foli- tariae, velforma Drufae coardata, paruae, ad longitudinem 2 pollicum et latitudinem 1 pollicis et amplius nonnum- quam adcrefcentes. Grauitas fpecifica ad aquam eft vti 3200: 10oc. Cum acidis ipfemet propria natura atque vi non ef- feruefcit, attamen hoc ob quasdam admixtas ei fortuito at- que occultis eius rimis inclufas particulas calcareas non- numquam fieri polle, libens concedo. Igne Igne rubefcit et audo illius gradu per fe funditur et in vitrum abit compaQdum coloris ex viridi nigrefcentis. Per analyfiu chemicam a clariff. Profeffore Lowitz cum ea inftitutam mihique benigne impertitam in centena- ria eius maífa latent 44 partes terrae filiceae, 30 terrae talcofae (magnefialis), 20 calcareae et 6 calcis ferri vf: - Inde patet 1.) eum peculiare nomen Baikalitae neu- tiquam mereri, cum nec vllis proprietatibus peculiaribus, nec ignotis hucusque partibus confütutiuis gaudeat, atque optandum eft, vt nomen illud omnino obliuioni daretur, nil enim adeo mineralogiae nocuum eft, quam noua fine vlla vrgente neceffitate data nomina. 2.) Ad fchoerlum referri eum non poífe, cum neque duritie, neque nitore, neque extrin- fecus, dum frangitur, nedum partibus confüitutiuis fchoerlo fimilis fit, verus enum fchoerlus cultro non eft rafilis, in íratiura vitri inftar fplendet, ac ne vnum quidem ego Íchoerlum inter illos, quos celeberrimi viri Wiegleb a) De Sauffure b) Bergmann c), Bindheim d), Kirwan e), Klap- roh et Herrmann examinarunt, inuenio, cui ficu hac in fpecie pars argillofa prorfus deeffet. Contra vero, meo iudicio, potiori iure fpecies haec corneus lamellofus columnaris (&ulenfórmige foomblenbe , cmoA6- Oqs ue- 2) Cemifcbe 9fnnalen r. 8. 1. Cot. pag. 21. 1775. — 1. $5. 3. Cit. pag. 246. SSeptráge ju ben cfemifiben 9fnnalen, 1, $8. 4. t, 1786, pag, 2r, b) Voyages Tom, II. Bafaltes acerofus. | s) Opufcula Vol. III. pag. aor. 4) Cibriften oer. Geellfcb. Soaturforfth. Sreunbe. 3. &0. C. 452. q—— $IO me wemas porosaz 6Aemga) nominari poteft, nam et colore et nitore et duritie atque tam in fradurae loco, quam parti- bus conftitutiuis fimilibus iis praedita eft, quibus corneus lamellofus ($»mblenbe) faepiffime gaudet, quoniam per ana- lyfin chemicam a cel. Viegleb cum vero corneo lamellofo inftitutam, hic perinde ac noftra fpecies terrae filiceae gra- nà 49, calcareae 20, talcofae 21, et calcem ferri continet. eU Sq. j 4i C uoa ri "EXPERIMENTA NOVA CRYSTALLISATIONEM ALCALIVM CAVSTICORVM SPECTANTIA. Autore | TOBI.A LOWITZ. LC NENEEUE SE u. unu e IN s Conuentui exhib. die 30 Maii. r793. $. r. A... cauftica in cryftallos abire poffe, omnes hucus- que periuffimi quoque chemici plane negauerunt. Cl. D. Dehne anno 1777 primus inuenit , alcali vegetabile caufti- cum cum. alcohole vini tra&atum, in cryftallos coire a). Poftea et Cel. Bertholet obferuationis a. Cel. Dehne factae infcius , dum fpiritum vini fuper alcali caufticum deftilla- tione abftraxiffet, eandem cryftallifationem | obferuauit 5). Duorum horum virorum peritifümorum obferuationibus non obftantibus, ad hodiernum vsque diem ceteri chemicorum claníffimi, fitne ea vera alcali cauftici cryftallifatio, nondum extra omnem dubitationis aleam effe pofitum arbitrantur, fiqui- us —— a ——— M — ———— M M——á 8) Differtaio de tinclura antimonii acri concentrata. 1779.- Edit. fecunda. 1784. b) Memoire de l'Academie royale des Sciences a Paris pour 1783. p. 408— un et Crella. chemifthe ?Imnalen 1786, $8. 2, C, zu. unb 1789. Ss I, » $42. fiquidem ea vel acidi a&rei vel aliarum. quarumdam parti: um heterogenearum acceífui adícribi poffe videatur. Neque dubia haec, fi rem probe perpendimus, exigui momenti funt, notifimum enim eft, fpiritum vini ab alcali cauftico deftrui, neque minus conftat, deftrutionem chemicam fine acceffu cuiusdam partis conftitutiuae corporis deftruendi ad ipfum corpus deftruens accidere nullam; cum itaque alcali cau- íüci cryftallifatio non nifi fpiritus vini ope hucusque fuc- ceffiffet: nullo modo vituperandi fant, qui cryftallifabilita- tem huius falis adhuc in dubium vocauerunt, quia fpiritus vini deftruüi partem quandam ad alcah acceffffe iure per- timefcere debuerunt Atque huius ipfius rei cauffa Cl. Richter docuit, alcalia fixa cauftica via ordinaria haudquaquam cryftallos formare poffe a); Cl. Gren cryftallifabilitatem eorum prorfas negat b); ipfe peritiffimus Wieglebius experimentis Bertho- letianis labem nonnullam ineffe perfuafum fibi habet c); affirmante Cl. Gmelin alcali fixum caufticum in cryftailos coire nequit d); docente Cl. Succov lixiuium caufticum, fi euaporatur, nullas prorfus cryftallos format e); aliisque cla- rífimoram chemicorum de hoc argumento fententiis hic ex- ponendis eo lubentius fuüperfedeo , quo magis eae, quas at- tuli, oftendunt, alcalium caufticorum cryftallifabilitatem ma- gui hucusque tenebris inuolutam fuiffe, T b. Á 0) SRicbter8 fefrbud) ber Gemie. 179r. S. 280. b) Grven$. Cyftematiftbes SDanbbud) ber €Demie. 1787. S. r. S. 259. £) Cfieglebs Gefcbidbte bes CiBadbstBums in Der Gfemic in ber neuerm Git. 1701,:$5.. 0, (5, 219; 4) Gmelins. Girunbríf ber allgemeinen. femie. 1789. S. $42. £) Ciuceops Sinfangégrünbe Dep bfonpm. fecbuiftben Cfemie. 1784. $- 520. m— $15) ——— $. 2». Salium omniumque eorum proprietatum cognitio ma- ximi certe in omni chemia momenti eft: et quotiescunque proprietatem. corporis caiusdam nouam detegimus; fperare iure licet,fore, vt inde vtilitas aliqua fit redundatura; quia vix ac ne vix quidem vlla datur corporum proprietas, quae applicationem vtilem admittat plane nullam; id quod om- nium minime in corporibus fimplicibus , qualia acida funt et alcalia, obtinet. Haec fi probe perpendimus, occafionem, corporum nouas propretates detegendi, praetermittere nul- lam oportet: faepiffime enim accidit, vt ex detedla quadam proprietate , initio momenti quamuis parui vifa, poftea ta- men infignis vtilitas redundauerit. Cum ex aliquo iam tempore cum falibus generatim fpedatis: varia permultaque fuícepiffem tentamina; fieri non potuit; quin de alcalibus quoque caufticis et inprimis de cryftallifatione ipforum meditarer; neque enim mihi quid- quam magis in votis erat, quam vt certiffimam huius rei 1. i obtinerem. 08. 8. Lixiuium caufticum, expulfis euaporatione om-- nibus partibus aquofis, lente refrügeratum , in maffam foli- dam comnuertitur, quae in fradura fua ftrudturam cryftallinam ittiatam exhibet. Hoc non modo phaenomenon intuens, fed inprimis etiam fupra laudatas Clariffimorum Dehne et Ber- tholet obfermationes perpendens ita fenfi, vt nullus plane duübitarem , alcalia fixa cauftica per fe quoque , id eft fine vlla additione, in cryftallos coire poffe. $. 4. At vero huius xrei praecipua in eo potiffimum difficultas cermitur, quod lixiuia cauftica, licet ab initio praeparatüonis ipforum .aére fixo quam perfediffime liberata JVoua da Acad. Imp. SScient. Tom. 1X. Rr fue- QlI4 —— fuerint; tamen inter euaporationem ad debitam fpiffitudinem vsque, infignem acidi aéris quantitatem ex aére atmofphae- rico de nouo attrahunt; alia quoque huius rei difficultas infigni horam falium liquefcendi , id eft, aéris. humiditatem attrahendi facultate nititur; quibus tamen omnibus non ob- ftantibus, experimentis meis eo vsque perueni, vt alcalium caufticorum .cryftallifatio aeque fere facile , ac ea aliorum felisa icmmpex mihi nunc fuccedat. | $. 5. Prma hac de re tentamina cum pens vege- tabili fequenti modo fufcepi. Ex 2o. alcali vegetabilis depurati libris modo. con- fueto cam calce viua lixiuium caufticum praeparaui Lixi- viam hoc in aheno coQione ad cuticulam vsque euaporaul.' Poft lentam .refrgerationem multitudo in eo oriebatur cry- itallorum alcali aérati. Lixiuium fuperftes per faccum lin- team a didis cryftallis. feparatum, fecundae evaporationi ad. cuticulam vsque fübiedum fimiles adhuc fed pauciores cry- ftallos fuppeditauit. Lixiuuum hoc nunc admodum turbi- dum, vt depuraretur, in lagena probe claufa per aliquot dies quieti expofui; feparatis omnibus fordibus, liquorem. clarum quidem illam fed valde fuüfci coloris, a fedimento nigrefcen- te caute decantatum denuo euaporationi in. vafe vitreo fub- iecl. Apparente cuticula falina, ftatim ignem rémoui; at- tamen, ne fabito frigefceret , liquorem per noOBem in arenae balneo reliqui. Praeterlapfa node liquorem maxima ex par- te in cryftallos duplicis indolis et formae concretum depre- hendi, quarum alterae cum acidis efferuefcentiam , alterae nullam excitabant: illis prifmatica, his vero forma fuit qua- trangularis lamellofa. Ceterum lamellofae hae cryítalli ve- rum alcali caufticum fiftentes, tam magnitudine quam m T u- $15 [eiserqumién] luciditate nec non quantitate longe praecellebant illis aci- dum aéreum compleGentibus. Haerens inter cryftallos lixi- vium, tepidum adhuc aliquantum, decantaui, et in vitro charta probe obturato in locum quietum frigidumque repo- fui. Per nychthemeron circiter fesqui librae in eo adhuc concreuerunt cryftallorum aére fixo plane carentium , fed formae ab ea priorum prorfus diuerfae, ita vt fingulae cry- ftalli iguram oGaédri fifterent, fed miro modo apicibus py- -yamidum .cohaererent; . quamlibet diceres cryftallum fefe inferere aut potius abie infigni parte binorum fuorum cacuminum in cacumina contiguarum adnatarumue , feriem- que earam nexu continuo perticam exhibere , in medio e craffioribus compofitam cryftallis , verfus apices in minores -gradatim definentem. Decantato liquore fuperttite , cryftal- los has cum prioribus coniunüim parca aqua pura diffolui, atque folutionem turbidam fed longe, quam antea, minus coloratam , feparatis particulis liquorem turbantibus , denuo .euaporationi ad cuticulam vsque lento arenae igne fubieci. Refrügerato liquore, in cucurbitae fundo cryftallifationem prifmaticam nitro fimilem alcali aératum exhibentem depre- hendi. Cryftallis his e lixiuio exemtis , iterata euaporatio- ne, poft lentam in arena refrigerationem admodum lingula- rem pulcherrümamque cryftallorum alcali cauftici puriffimi concretionem obtinui, inque alcali aérati ne vefiigium qui- dem vllum deprehendi. Apparuere videlicet pellucidiffimae "laminae, lamellis glaciei fimiles, quae reperiri folent , dum aquae. füperficies frigore adítringitur; didae lamellae notata quam digniffimae funt, ob eximiam magnitudinem, qua aliis . cryftallis praecellunt, ab vno enim cucurbitae pariete ad op- pofitum vsque fefe extendunt, aliae fundo. vafis impofitae ad fuperficiem liquoris affurgunt; aliae per alias quafi non in- terruptae tranfeunt earumque copia mutua marginum cohae- pum ren- 516 zm ientia vafcula format fatis ara; vt claufus in illis liquor effluere nequeat, vafe vtcunque inclinato, quin inuerío, et agitato, nifi vi perforentur ifta vaícula f[luidoque iis contento exitus paretur; non raro duas liquoris vncias ea continere vidi. Mirificae hae cryftalli a fuperftite lixiuio ftudiofe feparatae et parua aquae copia quam citiffime ab- lutae, purifünuum exhibebant alcali caufticum ne. hilum quidem aéris fixi continens, feparatus ab ifüs cryftallis li- quor in locum frigidum deportatus oQaedricas iterum lar- giebatur crylítallos. His tentaminibus multoties iteratis, compertum. mi- hi habeo, lamellofas alcali cauítici cryttallos femper nafci, dum cryftallifatio in calore, pyramidales vero dum in fu- gore conüngit. f. 6. Cryftallifationis huius phaenomena demonftra- re videntar, aérem fixum ex aére atmofphaerico euapora- tionis tempore lixiuio cauftico denuo fefe mifcentem, etfi per totam lixiuii mafífam folutionis cauffa aequabiliter dif- funditur, non tamen nifi determinatam alcali copiam, fuae proportionalem, ligare; hancque alcali partem aératam , quae vtique fal exhibet ab ipío alcali cauftico toto coelo diuerfum, lixivio ad cryftallifationis puntdtum redaüo, a re- liqua alcali cauftici parte aére fixo non imbuta fecedere et in proprias prorfus concrefcere cryftallos, quae a ceteris fimul concrefcentibus cryftallis purum alcali caufticum. ex- hibentibus tam forma quam proprietatibus longe diícrepant. Si lixiuium caufticum inter euaporandum largam aéris fixi copiam attraxit, tum, modo: euaporatio caute inftituatur , in prima cryftallifatione non nifi vnicum alcali aératum in cryftallos coit; quia hoc fal maiorem aquae ífolutionis quan- tta- — I EA titatem poftulat, quam alcali caufticum; poft fecundum li. xiuii a prioribus cryftallis. aératis decantati euaporationem non raro cryftalli alcali aérati et non aérati mixtae com- crefcunt; tertia. demum cryftallorum concretione vnicum obe tinetur alcali cauíticum. $. . Monendum quoque eft, cryftallorum horum de: purationem, ne interea denuo acidum aéreum attrahant , omnium optime fequenti modo inftitui poffe: Cryftalli di- ae vnica lotione a lixiuio flauo iis adhaérente liberatae , pauca aqua foluantur, folatioque euaporetur ad cryftallifa- tionis pundum vsque, quo fado, lixiuium calidum adhuc vitro anguftioris orificil operculo claudendo infundatur et in locum temperatum quiete deponatur: ortis cryftallis, li- xiuium fuperftes in aliud vitrum decantetur. —"lransfufio- nes hae poft quamcunque cryftallorum concretionem tam diu repetantur,vsque dum nullae amplius cryftalli concres- cant, id quod tunc demum contingit, quando liquor maxi- mo iam frigord expofitus fuerit; ex quo videre eft, huic cryftallifandi methodo inprimis hyemale tempus fauere. Hocce modo cryftalli odaediricae in vitrorum fundo quam pulcerrimo ferierum ordine, apicibus inter fe inuicem ne- Xae concrescunt. Humiditas poft fuperftitis liquoris decan- tationem cryftallis adhuc adhaerens vt guttatim defluat , aénsque et humores et acidum. aéreum fecum vehentis vt interim arceatur, quantum fieri poteft, acceffus omnis, vi- trorum fal continentium orificia charta foraminulis perfora- ta obturentur, aliisque vitris cylindricis inuerfa immittan- tur: fimul ac nihil iam liquoris in vitra fuppofita defluit ; cryftalli albiffinae pauciffima quantum fieri poteft aquae deftillatae copia foluantur. Solutionesque initio turbidae vel ladescentes in vnum vitrum probe obturandum confun- Rr 3 dam: DEG RSEUNREEEMOGE 518 dantur et quieti relinquantur, vsque dum liquor lenta for- dium feparatione clarus prorfus euadat, quo fado, limpi- dus liquor a fedimento caute in aliud vitrum decantetur. Hocce modo puriffinum nec non concentriatiffimum et aquae ad inftar limpidiffimum habebis lixiuium caufticum , quo, quantum equidem memini, nemo chemicorum hucusque po- titus fuit, $. 8. Proprietates cryftallorum alcali vegetabilis cauftici quod attinet; eae potiffimum funt fequentes: 1.) Ácido nitri immeríae cryítalli absque vllo efferuescen- tiae motu initio in fuperficie albefcunt, deinde cum calore placide diffoluuntur. 2.) Cryftalli probe depuratae, in aqua folutae folutio- nem limpidifüinam absque vllo colore fuppeditant. 5. Quinque aquae frigidae partes r8 cryftallorum horum partes recipiunt. 4.) Spiritus vini reGificatiffimus , absque caloris admini- culo, cryftallorum harum quantitatem, fuae aequa- lem, libentiffime diffoluit. Spiritui iam faturato fi plures addas cryftallos, in liquorem quidem. foluun- tur eae, fed qui fundum occupat, absque vllo cum fupernatante folutione faturata «connubio. Solutio haec fpirituofa initio prorfus limpida pededentim ma- gis magisque flauefcit et per aliquot tempus e ru- bro colore in fufcum abit, id quod euidentiffüme. al-. cali cauftici vim deftruüricem, qua in fpiritum agit, demonftrat. s.) Na- 5.) Naphtha vitrioli harum cryftallorum plane nihil reci- pit; abeunt eae in liquorem naphthae fundum occu- pantem. 6.) Aéri libero expofitae cryftalli humorem auidiffime at- trahentes breui deliquefcunt. 7.) OGaédricae cryfítalli , licet in probe claufis vitris as- feruentur, minimo tamen calore naturali liquefiunt ; lamellofae vero, ob parciorem cryftallifationis aquam, in probe claufis vitris permanentes funt. 8.) Odlaédricae cryftalli 43 aquae cryftallifationis partes in centenario continent. 9.) Pulfa cryftallifationis aqua , in tigillo igne fufae, la- |» idem caufticum albiffimi coloris largiuntur. 10.) OGaédricae cryftalli, dum aqua foluuntur, infigne gig- nunt frigus; dum e contrario lamellofae calorem pro- ducunt: quae fingularis proprietas, mea quidem fen- tentia, maiori aquae cryítallifationis quantitate, qua »priores cryftalli prae lamellofis gaudent, nititur; conftat enim , lapidem caufticum , omnis aquae ex- pertem, cum aqua fatis magnum calorem excitare. rr.) Inter omnes alcali vegetabilis cauftici cryftallifati proprietates memoratu digniffima haec eft, quod in puluerem reda&ae noftrae cryftalli cum niue recente et ficco commiftae prae omnibus hucusque notis me- diis frigus artificiale producentibus longe vehemen- tffimum frigus excitant, ita vt eius ope mercurius vivus eiusque adeo magna quantitas et in ipfo con- claui calefado quam facillime coagulari queat, quod experimentum cum i2 mercuri vivi libris mihi füc- ceffit, ceffit, quas in vnam maffam folidam congelaui, id- que in conclaui cuius temperies i28 graduum fcalae Des lIslianae erat. Maximum quod hucusque huius fa- lis ope excitaui frigus 225 graduum fuit: fed fpero, fore, vt, accedente infuper intenfo frigore hyemali, frigoris artificialis gradum ifto, quem dixi, etiam maiorem producere mihi liceat. 12.) Cryftalli hae in puluerem redaQae et cum fale Glau- ber contrito mixtae in conclaui tepido frigus 165 graduum excitant. $..9. "Tentaminibus meis cum alcali fixo vegetabili ad finem perdudis, alcali minerale adgreffus fum ; cuius qui- dem cryftallifationem .ea alcali vegetabilis faciliorem effe , fortaffe fufpicari liceret; rem tamen aliter fe habere, egomet ipfe vidi. Libras fex fodae depuratae ope calcis vivae modo confueto aére fixo omni penitus liberaui, ita vt obtentum inde lixiuium caufticum vllius cum acidis effervefcentiae ne veftigium oftenderet. Lixiuio hoc in vafe vitreo ad rema- nentiam fex circiter librarum euaporato , fuperficies omnis cryftallina fefe :cuticula induit; qua vifa, omnia, vt lente refrigefcerent, in arena dereliqui : neque tamen polt refrige- rationem, praeter exiguam fedimenti falini puluerulenti quan- titatem, vllae apparuerunt cryftalli, hocque fedimentum non minus quam .cuticula ifta, .acidis exploratum alcali aérati indolem prodidit. Latex decantatus inter euaporandum fimi- lem formauit :cuticulam cum ;acidis efferuefcentem , et poft refrigerationem fimile quoque fedimentum dedit puluerulen- tum. Omnia haec toties vfu wenerunt, quoties feparatum a cuti- — Qa mmm cuticula et fedimento lixiuium nouae expofui euaporationi , ita vt poft aliquot hebdomadum interuallum , inftante iam hyéme, non nifi duae lixiuii librae remanferint. Atque nunc lixiuium frigori 167 graduum expofitum per omnem fére maffam fuam in cryftallos prismaticas, purum alcali caufti- cum, cum acidis non efferuefcens, referentes, abiit: fed cry- ftallos has, quamuis lixiuium fuperftes in frigore ab iis de- cantauerim , leuiffimo tamen hypocaufü calore quam citiffi- me liquefiern vidi. Hicce liquor denuo aliquantulum eua- poratus frigorique expofitus in conünuam folidam concreuit maífam falinam ftriatam. "Totius maffae huius aliquam par- tem feparatim in loco frigido afferuaui, reliquam, addita perparua aquae quantitate , calore modico diffolui , folutio- nemque temperiei modice frigidae expofui; tum tepidae ad- huc addidi aliquantulum aíferuatae in loco frigido maffae folidae , cuius in fuperficie breui poft tempore cryftalli in- choabant formar, et praeterlapfis aliquot horis non fine vo- luptate magnas et perpulcras alcali mineralis cauftici cry- ftallos confecutus fum , referentes quadrata tabellaria angu- lis detruncatis. Cryftalli hae hyemali tantum tempore ha- beri poffunt; quia a minimo iam calore naturali, 130 ni- mirum graduum, liquefiunt. In conclaui calefado per to- tam fuperfilem vndique puluere albo obducuntur, ac fi fa- tefcerent; dum intus fane in liquorem transmutantur, qui quidem exitum fibi parat et effluit, fed didi tegumenti for- mam integram atque illaefam finit effe ita, vt tandem te- gumentum cryftallus caua nuncupan queat, quod cetero- quin nihil nifi alcali aératum eft. $. 1o. Si quis fcifcitan vellet, vnde fiat, vt alcali minerale aératum, alias quam facillime in cryftallos magnas concrefcens , hoc in cafu non nifi pulueris et cuticulae for- AVoua zfQa z4cad. Imp. Scient. Tom. 1X. 95s ma — EIDZCDXOLUGEUTER 522 ma a lixiuio cauftico feparetur; fcito hocce phaenomenon mea opinione ita explicandum effe: conftat, fodam aératam inter cryftallifandum multum cryftallifationis aquae recipere ; nouimus quoque, partes falinas fodae aératae aquam iftam non nifi admodum leuiter retinere ita, vt eam in aere li- -bero faa fponte amittat, indeque fatefcentiam fodae cryftal- Jifatae prouenire; íoda vero caultica tam auida eft aquae , vt eam non ex aére tantum ambiente attrahat, fed. aliis etiam Ífalibus eripiat. Cum porro fal omne ad formandas -cryftallos certam aquae quantitatem , fine qua in cryftallos coire nequit, exigat; facile perfpicitur, partes alcalinas a&- ratas in lixiuio cauftico contentas nullo modo in cryftallos .abire poffe; quia concentratum iam iam lixiuium caufticum .aquam, qua ad cryftallifationem opus eft, acceffu ad partes aératas pertinaciter prohibet; quo fit, vt pars alcalina a&- .yata, quae cryftallifationis aqua potiri nequit, non nifi pul- -veris et cuticulae forma a lixiuio cauftico fecedere queat; et reuera fi puluis hic et cuticula, a lixiuio cauftico fepa- .rati , aqua pura foluuntur, [íolutioque ad cryftallifationis pundum euaporatur; tum demum poft refrigerationem : in -confuetas alcali mineralis aérati cryftallos concrefcunt. f. 11. Haud alienum erit, fadi cuiusdam in fodae depuratione non raro accidentis mentionem facere, cuius ra- o e fupra didis ($. 1c.) intelledu facilis eft. 4 Saepe nimirum , dum [íodae Hifpanicae depuratio- nem fufcepiffem , accidit, quod vtique aegre non ferre non potui, vt lixidiam eiusdem nullo modo cryftallos formaret ; fed inter euaporandum continuo cuticula falina fe indueret, quae, cum euaporationi impedimento fit, perpetuo vi rumpi et in fundum detrudi vel eximi debuerit. In lixiuio vero, : poft poft didam. cuticulae formationem. frigori expofito, nullae cryftalli concrefcunt, licet euaporatio fere ad ficcitatem vs- que continuata fuerit. ^ Hocce in cafu nihil aliud fupereft: medii, quam vt cuticulam hanc ítudiofe et patienter colli- gas, vsque dum latex valde caufíticus et impurus remaneat; quo fado, colledum hoc fal, cuticulae forma a lixiuio fe- paratum et ftatim aqua frigida ablutum [foluendo, euapo- rando, et refrigerando in confuetas denique alcali minera- lis depurati cryftallos concrefcet. | Huius phaenomini ratio diu me fugit; nunc vero, tentaminibus meis, iisque quae in antecedente paragrapho dixi, eam in praefente in foda parte cauftica latere edodus fum. | f. r2. E digreffione hac ad alcali mineralis cauftici cryftallifationem regredior. Cryftallifatio haec, vti ex de- Ícripto tentamine ($. 9.) vidimus, maiori difficultati fubieda eft, quam ea alcal vegetabilis; neque etiam, nifi frigidiori tempore füccedit; inueni fcilicet,, eam ad minimum tempe- riem r4o graduum poftulare; nec in calidiore temperatura, praeter maffam continuam fítriatam, artificio vllo cryftallos regulares obtinere potui. Licet permultum temporis tentaminibus hiíce impen- dere fuerim coa&us: attamen cognito nunc totius rei artifi- cio, longe breviori fpatio omne hoc negotium abíolui po- teft. j Lixivium nimirum alcali cauftici mineralis coQione. continua eousque euaporetur, et cuticula, quam dixi, fali- na interea fubinde rumpatur, donec guttula exemta corpo- ique cuidam frigido impofita penitus coaguletur; quo vifo, lixiuium a fale aérato ad fundum colledo colatione | fepa- Ss 2 retur, cA nb, qiiem. retur, et aliqua eiusdem pars frigori exponatur, reliqua vero eaque maior pars admodum parua aquae quantitate diluatur, iuftaeque temperiei exponatur, et antequam peni- tus frigefcat, addatur ei portiuncula coagulatae loco frigi- do maífae falinae, quae, cum facile fieri poffit, vt foluatur, noua femper addenda eft, donec in fuperficie eiusdem ini- tiam formationis cryftallorum cernatur. Decantatum poftea a cryítallis lixiuium, addita denuo maffae falinae portione aliqua, frigori priore maiori exponatur; haecque omnia to- ties repetantur, donec nullae iam cryftalli oriantur, id quod. tum demum accidit, quando lixiuium fucceffiue quam ma- ximo frigori expofitum füerit. $. r^. Alcalium caufticorum cryftallifatio hanc im- primis vtilitatem affert, vt eius vnius ope falia haec ftatu quam puriffimo exhiberi queant, non ab omni tantum aé- re fixo, fed ab omnibus etiam aliis heterogeniis particulis liberata, quibus lixiuia cauftica ordinario modo parata fem- per inquinata effe, conftat; cum enim lixiuia haec euapo- ratione ad certum concentrationis gradum redada nunquam non admodum fufco colore fe induant; noftra alcalia reite- ratis cryftallifationibus depurata, parca aqua foluta, folu- tionem concentratifüomam ad inftar aquae limpidiffimam , omnis coloris prorfus expertem, et cum acidis ne minimum quidem efferuefcentem fuppeditant. Cum menfítruorum et reagentium chemicorum puritas in experimentis et inuefti- gationibus chemicis inítituendis fummi fane moment fit; non dubito, alcalium caufticorum cryftallifandi facultatem , tentaminibus hac in diífertatione relatis extra omnem du- bitationis aleam pofitam chemicis ideo quoque acceptam et gratam fore, quia praeftantiffimam eamque vnicam falium. horum depurandorum methodum affert. | $. 14. pe——— 325 Eee] $. 14. De alcali volatili cauftico reftat, vt verba quoque faciam. ^ Notum eft, omnes chemicos cryftallifandi facultatem huic fali vno ore plane denegare et liquorem hunc frigore nullo conftingi poffe, affeuerare. ^ Cryftallifa- tionem huius falis via ordinaria nullo modo fieri poffe, re- vera dubitari nequit; fiquidem eximia illius volatilitas nec eiusdem cum aqua cohaefio, fine qua fubftantia haec non nifi fub aéris forma fubfiftere poteft, impedimenta vix fu- peranda huic negotio opponunt. Cum vero caloris mate- ra in genere princeps liquiditatis corporum et volatilitatis caulfa fit; quem elfedaum artificiale fügus hac in re fit produdurum,. experiendum effe, putaui, idque eo magis cum alcali vegetabile caufticum cryftallifatum cum niue mixtum , teftantibus permultis meis tentaminibus, prae omnibus aliis hucusque.cognitis mediis, frigus artificiale producat intenfiffünum ($. 8. n. 11.). Hoc fine quam for- tiffidum paraui fpirtum falis armoniaci caufticum , qui cum acidis ne minimam excitauit efferuefcentiam ; duas hu- ius fpiritus alcalini vncias in vitro cylindrico, di&ae mis- Uoni frigoris 225 graduum genetrci immerfi et breui tem- pore omnis hic liquor penitus congelatus eft, ad inftar fo: lutonis fpermatis coeti in oleo therebinthinae. $. 1s. Haud diffiteor, me initio valde haéfiffe du- bium, coagulatio haec fitne partium aquearum congelatio- ni, an falinarum cryftallifationi adícribenda : attamen quae obferuaui fequentia vltimae potius opinioni fauere videban- tur: I.) Coagulatae huius maffae odor propemodum nullus fuit: at vero, fi partes tantum aqueae congelatae fuiffent; tum neceffario odor partium falinarum con- centratione augeri debuiffet. $s38 2.) 2.) Inter liquefcendum vltimae. particulae. nondum lique: fadae fundum liquoris petebant, |ÁAt vero in glacie contrarium obtinere conftat. 3. Coagulum hoc maffam cryftallinam quafi cellulofam refert, culus interftitia liquor non coagulatus occu- pat: at vero hicce liquor, fi a parte folida fepare- tur, debiliors effe odoris, quam ipfe fpiritus ante cryftallifationem, deprehenditur. $. 16. Cum hac de re plura fufcepiffem tentamina eo imprimis fine, vt tam minimum frigoris gradüm quo coagulatio haec fieri poffit, quam et regelationis temperi- em inuenirem; miratus fane fum, cum viderem, cryftallifa- tionem hanc frigore fuccedere longe minore, quam egomet ipfe pataui; fucceífit enim mihi coagulatio haec in frigore 190 graduum, quam primum vero früugus ad :$5 gradus vsque diminuitur, tum coagulum hoc iterum penitus liques- €it; quibus obfíeruationibus teftantibus hic Petropoli hye- mali tempore in ipfo adeo naturali atmofphaerae frigore fpidtus falis ammoniaci cauftici cryftallifatio fieri poteft. Atque nunc experientiis hac in differtatione expo- ítis certo certius conuidi fumus, omnia, quae habemus, tria alcalia, cauftica perinde ac aérata, propria fub -cry- fallorum forma exhiberi poffe; qua in re equidem gaudeo; me tentaminibus hifce meis, alcalia nempe fixa quod atti- net, obferuationes Clariffinorum Dehne et Bertholet peni- ie confirmaffe, qui quippe priores huius rei inuentores unt, | 1 E Lo S—— DESCRIPTIO PLEVRONECT. FLESI ET PASSERIS LINN. HISTORICO - ANATOMICA. AuGore I T. KOELREF TER. Conuentui exhib. die r7 April. 1194. m haec partium externarum ad pifcem exficcatum Lot apnd et congelatum fada eft: oculis a latere dextro. i Mts "Totum corpus, quod cathetoplateum valde ac ad- margines attenuatum eft, figuram exhibet ouato-oblongam, fi maxillas et caudam demas, quibus vtraque huius higu- rae extremitas nimis acuta redderetur. Caput parvum, lateraliter compreffum. | Os furfum flexum; apertura oris modica. | Oculi magni, exítantes, fi- bique adeo vicini, vt margo oculi dextn fuperior ab. eo- dem margine. finifti. vix 17^ fit remotus. — Foramina nari- um. duo vtrinque: Nares dextrae inter oculos et maxillae faperioris marginem dextrum Ppofitae, fituque anteriores , magisque. ad latus pofita funt, quam eae finifiri lateris ; Illae, dextri fcil lateris, ante oculos difponunfur ita, vt fo- ramen FIREGIESRGGeW) 5328 ramen pofücum orbitae margini faperiori oculi dextri feu in- ferioris contigaum, magis vero remotum fit ab orbitae mar- gine finiftri oculi feu fuperioris. Idem foramen paullo am- plius antico, membranula latiod ac obtufa obtentum eft, quae a latere oculi dextri ipfi apponitur. Foramen anti- cum poítico anguftius, eodemque fitu fuperius, confpicitur in fummitate tubuli membranofi, breuis ac verfus oculum Now inclinati. Interftiüum inter duo haec foramina ^ exaequat; diftantia antici a margine maxillae fuperio- rs 23^. Nares finifirae in foueola albida, quam pinnae dorfi principium refpicit, difopofitae funt. Foucola ifta ma- lae offi imprefla videtur, ob .colorem album, quo infignitur, iam ad latus finiftrum referenda. Foramen pofticum maius, membranula eodem modo, .quo fimile dextri lateris, breuio- rz tamen telum, ac foueae m exterior pofteriorique contiguum: anticum in diftantia r^^ a poftico :oblique an- trorfum .et introrfum fitum, .capitis fere medio refpondet , ftrudura ab illo dextri lateris non multum Aabludens, ac a maxillae fuperioris margine 5^ diftans. Hinc patet, na- res finifti lateris fitu effe pofteriores, quam «dextrae, ma- gisque remotas ab oris extremo. Apertura oris obliqua parum ac dextrorfum intorta. Dentium ordo in vtraque maxilla vnicus, breuiffimorum , minimorum ac obtuforum. .In limbo maxillae vtriusque fi- niftro plures maioresque dentes deprehendi, quam in dex- tro; In hoc enim, cum fuperiori, tum inferiori feptem aut odo numeraui, non continua, fed interrupta faepius ferie fe inuicem excipientes; in illo autem quindecim, fibi con- üguos. Ore claufo, mandibula inferior fuperiore paullo longior, ore aperto autem antroifum exporreüa, eandem longitudine notabiliter fuperat. Dex- Dextrum pifcis latus vndique ex oliuaceo-fufco ni- grcans, et quodammodo maculatum feu nebudofam. ^ Color pinnaram in eodem latere e bruno-fuícus, cui hinc et in- de, praefertim in pinna dorf, caudae et ani, maculae mae fores e brüno-rufae immixtae funt. —Siniftrum latus totum album, eodemque colore etiam piuna petloralis et ventra- Yis eiusdem lateris notatae; zeliquae pinnae in eodem tau £um pallidiores, quam in oppofito, Caput ipfum duabus tríibusue maioribus laminis os- feis munitum eít, quae ad formandum branchiarum opercu- ium fuam inter fe conferunt fymbolam. ^ Lefcribam prius earam formam et ftruduram, prout in dextro latere occur- xit: Interftitium fatis notabile inter oculos et marginem pri- iae laminae interiorem replet mufculus validus, fine du- bio mouendo branchiarum operculo inferuiens. Prima haec jamina circa füpremam capitis regionem, quae ibidem os- fea ac tuberculata eft, tenui principio, defcendendo latior fit, et arcuato flexu antrorfum da&a ad. bafin maxillae in- feror finitur. Superficies eius verrucis plurimis, 6r cir citer, offeis, denticulatis, afperis obfita; de quibus in feq; plura. | Margini huius laminae externo iungitur fecunda pinnae pedorali ex adaerfo oppofita, faperne latior, ac pri- mum pinnae ped. radium verfus produ&a, iaferne angulti- er; inferorem huius partem excipit tertia lamina, lato principio orta, fenfim vero angüítior fada, fub prima ad maxillae inferioris bafin finem fuum agnofcit. Margo fecun- dae laminae externus quoad maximam partem arcuatus, et margini externo tertiae, pariter arcuato, fitu parallelus - eft. Monendum tamen, laminam fecundam diuidi poffe in daas difünQas, id quod in finiftro pifcis latere melius di: fünguitur, fc. in füperiorem, fubtriangularem, angulo infe- Noua 44a Zdcad. Imp. Scient. Tom. IX. Tt riori — $50 — riori caeteris acutior, et in inferiorem, oblongam, angulum fuperioris acuminatum excipientem; fic tres laminae, prae- ter illam primam. anticam, ipfis contiguam, proprie opercu- Jum branch. conftituunt. Prima feu fuprema lamina verru- cas obtinuit circiter 23 , per ipfius medium difpofitas; fe- cunda circiter 25, iis minores, quarum pleraeque iuxta mar- inem externum collocatae; tertia circiter 27 , circa ipfius bafin congreftas, exhibet. AÀb oculi fuperioris margine poftico iugum offeum tuberculatum et imegulare retrorfum excurrit verfus lineam longitudinalem; tubercula eius laeuia funt. Margo huius iugi inferior ac anterior mufculi illius validi parti fapremae, de quo füpra dixi, limites ponit. Ab extremitate iugi an- teriore .defcendit, et fab oculo dextro arcuatim infleditur du&us quidam, lineae longitudinalis veluti partem reprae- fentans, ac ad narium dextrum marginem inferiorem. vsque excurrens. Spatium inter hunc du&um et marginem oirbi- tae vtriusque pofticum fere triangulare, et 20. circ. verrucis maioribus obfitum eft. ^ Kiusmodi verrucae quoque per fu- perficiem mufculi validi fparfae. videntur, quarum numerus ad 42. circ. accedit; plures earum ad inferiora mufculi, po- ne oculum dextrum, aggregatae, reliquae vero in eius mar- gine diftributae funt. ! Cutis corporis in vniuerfum glabra. Squamae innu- merae, minimae , fubrotundae , vel etiam oblongae, cuti fir miter inhaerent, et leuiter concauae apparent. Diameter maiorum vix I^/ exaequat. Praeterea hae Íquamae non vbique fibi contiguae, fed faepius in aliquali diftantia a fe inuicem remotae, quod inprimis circa pinnae doifalis ini- iium videre licet. Inter Inter extremitatem iugi pofteriorem et principium lineae longitudinalis occurrit officulum longum, oblique de- orfum ac retrorfum extenfüm, cuius maxima latitudo lineae longitudine ac extremitati iugi oppofita eft; circa hoc inci- pit ipfa linea longitudin. in excurfu fere redo retrorfum et pa- rum oblique furfam ad 8/^/ vsque, vbi mox infleditur deor- fum ad 42^ vsque, ibidemque obliteratur; in diftantia 4/ vero ab hac flexura iterum prodit, ad s" leuiter furfum arcuata, dein autem redo tramite, nec amplius interrupta , ad extremitatem radiorum pinnae caudae vsque pergit, hanc ipfam pinnam in duas partes aequales diuidens. Proxime tam fupra quam infra lineam longitudina- lem verrucae offeae denticulatae exftant, quarum numerus verfus lineae huius principium augetur, circa quod, et qui- dem infra eandem , 26 circ. in areola quadam coaceruatae funt: quarum anteriores omnium facile maximas habebis, Ííc. 11/7 longas; huiusmodi verrucae vero caudam verfus non tantum numero decrefcunt, fed interrupta etam ipfarum fe- ries eft, immo in diftantia x^, 5/^ ab extremitate corporis carnofa ad anteriora lineae longitudinalis earum plane nul. lum eft veftigium. ^ Verrucas has non nifi fquamas eleua- tas, et ad formam mutatas effe, ex iis, quae in medio cor- pore obtinent, vbi copiofiffimae ac fibi contiguae funt, vix quisquam perfpiciet , ex iis vero potiffimum, quae extremi- tatem corporis occupant, facile conuincetur; harum nempe margines 'exade funt denticulati, medium vero ipfarum lae- ve omnino eft, quippe quae conformatio fquamarum formam optime refert. | Principium lineae longitudin. a margine dorfi feu a bafi pinnae dorfi 1^, 21^", in linea reQ&a vero deorfum a mar- Tt2e gine —— $32 —— gine abdominis, pone piunas ventrales, 2^, 4"^; eadem circa marimam corporis latitadinem, Me ipfius alteram fiexuirata minorem, a bafi pinnae doifü:1i/, $^^, in linea reda vero deorfum ad baíin pinnae ani feu marginem abdominis ,z^, gf ; aft caudam verfus, retro pinnam dorfi et ani, ab vtio- que corporis margine aequaliter fere diftat eadem. Notandae quoque funt, antequam finifti lateris. hae bitum referamus, verrucae, circa bafin radiorum pinnae dorfi et ani, dorfi et abdominis margini innatac , quarum vnica vt plurimum bafibus duorum pinnae radiorum interponitur. In margine dorfái earum primam confpexi inter radium i2 et 13, vltimam vero inter radium 49 et 5c. n margine abdominis autem primae, eaeque quaternae, inter radium 3 ct 4, vltima inter radium 55 et 36. Quod ad magnitudi- nem earum attinet, fi lineam, fecundum quam ad vtramque pinnam diftributae funt, in quatuor partes aequales diuidas, in primam cadent illae mediae magnitudinis , in fecundam maximae, in tertiam iterum mediae, in quartam vero mini- mae; harumque denticuli etiam manifefte retroifam fpe&lant; Caeterum quoque, fed rarias , verfas anteriora pinnae dorfi verrucae interdum binae, verfas anteriora pinnae ani femel quaternae, fcilic. inter 3 et 4 radium inter 4 et 5, acinter 5 et 6 bis femel binae mihi vifae; fic quoque fubinde, fed rarius, accidit, vt eiasmodi verruca ipfi radii cuiusdam ra- dici impofita fit, id quod circa anteriora marginis dorfr ani- máàdueirtere licuit; .ita et officulo, pinnae ani radio primo adftanti, duae eiusmodi accretae. ^ Verrucae pariter, circiter 27 in regione pinnae pet. inferius difperfae , ita et pone clauiculam ex oppofito laminae offeae operculi branchiar. proprie fic didi fecundae $ circiter inter bafin radii primi pinnae ventralis et fummitatem fterni vero circiter 27 in E? m——— 055 — faperficie fere triangulari aggregatae. Harum omnium mag. nitudo cum iis, quae in capite occurrunt, eadem ett. Ab angulo iugi capitis offei taübercutati pofteriore , eodemque fuperiore veftigium quoddam lineae longitudinalis feu fimile quid apparet, verfus radium pinnae dorfi quartam fere reda furfum ac antrorfum du&ae, longitudine 8".. Haec funt omnia, quae in dextro latere fefe offerunt. momenta ; tranfeundum nunc erit adea fwiftri lateris. In diftantia 5"/ a. margine narium finiftro poftico, ex antica iugi finiftri parte, prodit arcus quafi catenulatus, cu- ius conuexitas mufcalam validum, concauitas furfum iugum verfus fpedat, finis vero ad narium finiftrum marginem infe- riorem eft. Coriefpondet hic arcus illi dextri lateris, "nec. ab hoc differt, nifi quod craffior ac redior fit. In toto hoc capitis latere, nec fupra mufculum validum, nec fuper tres. operculi branchiar. laminas, verrucae vsquam occurrunt. Ex oppofito autem laminae operculi branchiar. fecandae partis fuperioris duae eiusmodi , inferioris tres , infra pinnam ped. totidem, fupra lineae longitudinalis principium fex, infra idem 28 circiter apparent: quarum anteriores maiores funt, ac fibi inuicem proxime adítant. Ad marginem doríi; inter radium pinnae 22 et 23 prima, et inter radium 29 et 3o vltima verruca obuenit; ita margini àbdominis inter radium pinnae 9 et ro prima, inter 15 et 16 vltima; quotquot tamen in hoc latere confpiciuntur verrucae, omnes fere minores, pla- niores, breuioribus que denticulis armatae funt, quam illae dexti lateris. . iE | Linea longitudinalis a principio ftatim leuiter afcen- dit, ad 1^, ro^ fui excurfus leuiorem arcum effoxmando, | 4 $4 ab- abhinc autem in linea reda ad extremitatem radiorum pin- nae caudae vsque procedit. Veftigium illud lineolae fpu- rae, ab angulo iugi offei fuperiore verfus quartum radium pinnae dorfi duQüae, eodem plane modo fe habet, vt in op- pofito latere. Pinnae pe&. radiorum ro, quorum rz. 2. ó et ro fim- plices funt, caeteri vero extremitatem verfus ramofi. Pri- mus eorum longitudine 9//, fecundus 1^", 31/7, tertius et quartus parum longiores, reliquis ex ordine iterum decre- Ícentibus; vltimus 7/7 longus. Bafis harum pinnarum cadit ex parte in angulum operculi branchiarum fuperiorem , et 351// lata eft. Pinna dorfi radiorum 58, marginem dorfi fere totum occupans, Ífi extremum corporis excipias. Principium eius fita quodammodo obliquum: tres etenim primi radii finiftror- fum magis fpedant, quam reliqui; cutis quoque, quae a pri- mi radii latere finiftro producitur, ad marginem narium fini- ftrum inferiorem defcendit. Differunt radii huius pinnae 1.) ratione diredionis, 2.) magnitudinis , 3.) forma: Quod ad diredionem attinet, a primo :ad 32 retrorfum , fequentes omnes magis antroffum fpe&ant; quo fit, vt radii, fummam pinnae altitudinem conftituentes bafibus fuis diuergant, api- cibus vero conuergant. Quod ad magnitudinem: a primo ad 52 radium longitudine ex ordine increfcunt, vti fequen- tes omnes ex ordine iterum decrefícunt. Longitudo primi 4^7/, trigefimi fecundi r^, »/"^; Quod ad formam: primo — 24, €t 44.— 58 arcuati funt, hi antrorfum, illi retrorfum; 25 — 43 fere reGi. Pinnae Pinnae ventrales radiorum 6, omnes fimplices. Lon- gitudo pinnae io^, ]atitudo ad bafin 21//; primus ra- dius longitudine 8^; fecundus tertio, qui longiffimus eft, pau- lo breuior, reliqui ex ordine breuiores; vltimus 5/^ longus. Ipfae hae pinnae fitu parum anteriores funt peoralibus. * Pinna ani radiorum 4r, marginem abdominis quoad maximam partem occupans. Primi radii bafi appofitum eft officulum oblongum , cuius extremitas antica leuiter acumi- nata ac prominula. | hadius : — 175 longitudine increfcunt, fequentes ex ordine iterum decrefcunt. Longitudo radii lon- gilimi 1,27 . Quae fupra de diredione , magnitudine et forma radiorum pinnae dorfi dixi, de hac quoque valent. Apices radiorum et pinnae dorfi et pinnae caudae vltra membranam, qua inter fe conneQduntur, eminent. Pinna caudae radiorum. 18. ad extremitatem fere ae- qualis: radii enim intermedii perparum longiores reliquis ; duo primi vtrinque caeteris notabiliter breuiores; 1— 3 vtrinque fimplices, caeteri-omnes ramofi. Linea longitudinalis inter 9. et 1c. radium decurrens caudae pinnam in duas aequales diuidit partes. Partes internae. Ob fuperficiem abdominis minimam, quae inter pin- nas ventrales et anum eft, infpiciendi ventris interiora lo- cus non datur commodus; hinc in latere finiftro, inter lineam longitudinalem et pinnam ani, cutem fecundum longitudi- nem, et a pinnis ventralibus furfum verfas pedorales, ean- dem in transuerfum diffecare ratum habui, inprimis cum ibidem latera feu hypochondria corporis mollia tadu depre- hendiffem: quo fado, duo potiffimum in confpedum prodi- bant bant vifcera, hepar fc. et vteri cornu finiftrum, fed, quod dolui,: contenta abdominis putredine iam valde corrapta erant. Hepar fub pinnis pertoralibus oblique transuerfim extenfüm, magnum ac planiusculum, cuidas pars fuperior latior fub lineae longitudinalis , curaatüra delitefcit, inferior autem, eaque anguftior, pinnas ventrales ac fternum refpicit. Margo eius antérior finuatus, pofterior quodammodo arcu- atus. vifceris huius. figuram fere reniformem effingunt. Vteri cornu finifttum hepatis margini pofteriori contiguum eft, in eoque loco fummam habet amplitudinem; fitum obtinet longitudinalem, extremitate fua pofteriore PIGONMIEHM radii 27 pinnae ani attingens, a cuius fine 1^, 4^'. adhuc diftat. Latitudine fenfim decrefcit ab extremitate antica verfus po- ftüicam. Pars ouarii antica latior fuper aliquam inteftino- rum conuolutionem extenfa, in ipfa proprie fic di&a abdo- minis cauitate fita eft, poftica vero, eaque longior, inter . coftas inferiores ac radios offeos collocata. Superficies eius inferior colorem oftendit fubteítaceum, et confiftentiam of fert multo folidiorem, quam fuperior, fibrisque mufculaii bus longitodinglibus inftruda effe videtur, Exceptis duabus iftis cauitatibus, quae vteri cornu bus repletae funt, abdomen ipfum, offeo fepimento deftitu- tum, contraria plane fe habet ratione, quam in aliis pifci- bus; eft enim in transuerfum quafi difpofitam, qualem quo- que fitum inteftina potiffimum affedant; ita autem fe habet eius amplitudo: perpendiculariter fc. menfurata, feu a fpi- na dorfi ad inferiorem corporis marginem, vel anum vsque, 2^, 4/ , in medio autem transuerfim, a bafi pinnae ped. ad "prid et maximum radium offeum, 1^, s^, fumperne tamen circa renes et diaphragma, vbi paulio latior et pro- fundior eft, 1,8". Lien e güfeo-nigricans, oblongus, fub- Corne — 2337 conuexus, 5// longus, 31^ latus, inteftini tradui amplio- ri, forfan colo, incumbit. Mefenterium fpinae dorfi primo- que forti radio adnatum, abdomen Ííecundum corporis lon- gitudinem in duas partes diuidit, quo mediante fepto mem- membranaceo fit, vt ouaria a fe inuicem feparata fint, nec ambo fimul in confpedum veniant, nifi idem feptum diffe- &um vel disraptum fuerit; anterior ac inferior tamen vnius ovari pars, quam vaginam appellare liceat, circa primum radium oífeum validum alterius ovarl-.paàrti inferior conti- 1a eft, ac eidem in diftantia aliquot linearum ab orificio externo fefe iungit, vnicum abhinc amplum, aft breuem canalem feu ouidutdtlum communem efíformando. Peritoneum in finiftro hypochondrio in nigrum ver- gens, in dextro vere nigricans. Vefica vrinaria ampla, 1^, 5/" longa, 3 — 4. lata, fabcylindrica, inter peritonei duplicaturam repofita eft, fa- cie poftica radium primum validum, ariitica inteftinum re- Gam refpiciente. Situs eius obliquus: fcil. fundus radio offeo propior, quam ipfius pars inferior. X Colorem cftendit hinc & inde argenteum; Pars eius inferior inter extremita- tem vtriusque ouaril anteriorem ac inferiorem decurrit, et circa ipfius finem anguftior fada, in vrethram definit ad dextrum latus deflexam, cuius orificium in apice papillae extra corpus prominulae confpicitur. Veficula fellis, bile turgida, fübglobofa, magnitudi- ne nucis auellanae maioris, coloris fabargentei, in dutlum cyfticum brevem, aft fatis largum terminatur. x ANóua 44a Z4cad. Imp. Scient. Tom. IX. Vv In- —— 998 e—— Inteftina in gyros feu conuolutiones varie inflexa. "Totus ipforum tradus, a mefenterio folutus, ac reda exten- fus, a. fümmo ventriculi ad anum vsque 1:i/, 2^ circiter emetitur. Appendices binae, conicae, :1/^longae, a prin- cipio ventriculi, quod ;^/^ fab diaphragmate incipit, oif diftant, et ex aduerfo fibi oppofitae funt. ^Ventriculus a principio fenfim ampliatus, iterumque coardatus ad pylo- rum. Latitudo eius ad principium 6^, in medio 9^"/, ac ad finem 4$". Longitudo oefophagi fub diaphragmate 5^. Subftantia huius ab illa ventriculi, poft vtriusque dif ledionem facile a fe inuicem diftinguenda: fcil. oefophagus albidior eft, ac rugas longe minores magisque re&das often- dit, quam ventriculus, cuius rugae pariter quidem longi- tudinales, fed tortuofiores ac per oblique transuerfas inter fe iundae funt. In ventriculo, praeter mucum vel fmeg- ma quoddam, nil reperi. Exitus huius in duodenum lar. gus: plica etenim ifta circularis, quae pylori valuulam conftituit, latitudine :i^/ haud fuperat. Proxime fub hac valuula patent appendicum caecarum lumina, quorum al- terum du&us cholidochi oftiolum comitatur. Inteftina, prae- cipue duodenum, fmegmate craffo, particulis terreis alben- tibus mixto referta , ac fubinde contrada, fubinde etiam ampliata fpeQantur. In diítantia 2^ ab ano inteftini rei füperficiei internae appofita eft valuula circularis, pylori ili non abfimilis. Inteftinum redum extremitatem verfus fenfim ampliatur, et fphinüdere ad anum fatis patulum ter- minatur Anus, fcil. oftium redi, ob marginem externum albicantem, ad finiftrum potius latus referendus effe vide- tur, quam ad dextrum. Stru&ura nec inteftinorum, neque appendicum manifefte glandulofa, fed membranofa pouus ac tenuis. nm Benes Renes nigricantes ad caput per interpofitos binos mufículos, ad mouenda tubercula, palato fupremo immería , deftinatos, diuiduntur, in aliquali vero diftantia infra ho- rum mufículorum principium coniundi in vnum corpus, fpi- nam doxíi, cui fecundum longitudinem adnati funt, fequun- tur, hinc autem fub angulo fere redo inflexi, iuxta pri- mum validum radium offeum defcendunt, ac in vreterum terminantur, de quo, an fimplex, an duplex fit, nihil cer- ti ftatuere poffum, praeterquam quod veficam verfus de- fcendat, eiusque fundo ouato inferatur. . Membrana branchioftega officulis feptem arcuatis fuleitur, quorum duo vel tria fuperiora magis teretia et anguítiora funt fequentibus, quae omnino plana dici me- rentur: Primum omnium minime arcuatum; quatuor fupe- nriora bafibus fuis proxime fibi inuicem iunda, reliqua ve- 1:0 ad ri^ a fe inuicem remota fant; omnia tamen eidem ofi infiftunt: hinc feptimum officulum radiat:im ab Artedo pro diftindo habitum, ex numero officulorum membranae branchioftegae nullo modo excludendum. ^ Bianchiae vtrin- que quatuor, radiis fanguiferis fimplicibus, feu vnica tan- tum radiorum ferie conftrudae funt, circa quos notandum, quod margini femicirculi offei externo ac interno alterna- tim propiores fint; id quod etiam inde elucet, quod in eo- dem latere vnius radii vel laminae fanguiferae margo ni- gricans, alterius pallidus eft. Singulare quid et hoc eft, quod hiatus parallelogrammus, 55^ longus, r^^ latus, po- ne quartam branchiarum in gulam pateat, ac dentium fe- rebus in gula diípofitis opponatur, cum in caeteris pifci- bus fpinofis quamplurimis haec regio membrana vndique clauía fit. ys Hs "YNva Pala- — Gaa4O Palatum laeue: huius faciei pofticae, extremitati fe- micirculi primi pofterioris oppofitae, adnafcitur vtrinque fe- ries radiorum fanguiferorum, branchias fuccenturiatas quafi menuens. Pone palatum ad initum gulae fuperne duo collocata fant tubercula, quorum fingulum ex tribus den- tium feriebus mobilibus, arcuatis, fituque obliquis, compo- nitur. Prima, feu antica feries decem conftat dentibus, fe- cunda feu intermedia tredecim (in altero tantum 1:2), ac tertia decem (in altero vero 1:) componebatur. Dentes hi parui, obtufiusculi, et quoad magnitudinem ac formam il- lis ons. confimiles. Magnitudine tamen ac fitu ipfi inter fe differunt ita, vt eorum maiores ad interiora, minores ad exteriora collocentur; conuexitas autem harum ferierum pa- latum refpicit. Hisce tuberculis maioribus inferne, ad ini- tium gulae, duo alia, fed minora, correfpondent tubercula dentata, extremitatibus fuis anterioribus latioribusque con- niuentibus , polterioribus anguftioribusque late diuergenti- bus. Figuram haec habent valde oblongam, ac extrorfum parum inflexa funt; hinc margo eorum interior notabiliter conuexus, exterior parum concauus apparet. Singulum pariter ex tribus dentium feriebus, communi et fixa bafi gaudentibus, formatur, quorum anteriores, inprimis inti- mae feriei, ceteris maiores funt; ambo haec tubercula non ita firmiter inter fe cohaerent, quin vnum íine altero mo- veri poffit. Longitudo eorum 4^/, latitudo maxima fupra edium 13// eft. Latus vtriusque tuberculi externum cum latere femicirculi offei quarti interno parallelum eft, ean- demque obferuat diredionem; ac fi hiatum parallelogram- mum, de quo fupra dixi, a gula adfpicias,. latus cuiusuis tuberculi externum et femicirculi internum parietes | eius effe deprehendes. mReftant adhuc quaedam dicenda de mus- caulis, haec tubercula mouentibus: maximi horum funt illi ww duo, —— 041 duo, quorum principium in, primis vertebris; infertio au- tem fub tuberculorum gulae fuperiorum parte inferiore quae- renda; latitudo eorum 3/7, longitudo i^ circiter eft: ho- rum aGione tubercula retrorfum, fimulque parum introrfum ducuntur. | Praeter hos alius adeft transuerfus, iis fubftra- tus, tenuis, 3 — 4// latus, qui a fuperficie vnius tubercu- li inferiore ad illam alterius expanditur; munus huius in eo videtur coníiftere, vt tubercula ad íe inuicem adducat. Excipit quoque fingalum tuberculorum inferiorum validum, fed. breuem mufculum, valdeque rubentem, qui ad margi- nem clauiculae internum lata bafi oritur, tendine fuo au- tem parti cuiusuis tüberculi anterior ac exterior inferitur; hicque illud retrorfum et oblique extrorfum trahit. Ante hunc alius conicus, a margine clauiculae interno oriundus, reda transuerfim extenditur, fuoque tendine eandem fere cum prior infertionem patitur; hicque tuberculum extror- fum vero trahuntur eadem a fibris gulae longitudinalibus. Aculei, in concauo femicirculorum branchialium mar- gine confpiciendi, breues, fabftantiae offeo-caxtilagineae , mobiles ac molles funt; eorumque numerus in primo bran- chiarum femicirculo ad x2, in feq. ad 7; — $8 accedit. Lingua fubteres, antice fatis libera, 5^ longa, offi- culo tunicis obdudo conftat, excepto apice, qui mollis eft, ac fitu naturali a mandibulae inferioris extremo aliquot li- neas adhuc diftat. Aculeus ifte, qui ad principium pinnae ani cermi- jur, ac pinnas ventrales refpicit, bréuis, pellucidus ac ali- quantulum incurdatus eft, néc, mifi retrada antea cute , . quae eius apicem praeputii inftar circumdat, facile in ocu- Vv3 : los — 42 — los cadit. Si, difciffa cute, vlterius eum profequaris, ap- paret, € extremitatem radii illius validi offei, cuius qoem faepe iam fada eft, in eundem terminari. Officula duo auditus maxima, fibi non ex affe fimi- lia, latere plano, quafi ex circulis cochleato extrorfum , latere conuexo, longitudinaliter finuato-carinato, introrfam fpedante. Vertebrae 55. Menfura. Poll. ] Lin. Longitudo tota , 1c. ab oris extremo ad apices radior. pinnae caudae longiorum - -| :«^.| si^. — —— ab oris extremo ad extremitatem cor- poris fqduamofam - - "oixo* gridioBfsL dais Ab oris extremo ad oculi medium - - -|— | si^. — — -—- ad princip. pinn. ped. - -| 2^| 5^. — — — — pinn vent « -| ^| s/. — — — — pinn dof .- .-[—| s^. —À — — — pinn. ani - - b LR en Longitudo pinn. ped. - - . - inch uk shiios MAGNI TENUES esae, un : : deci MERE — — -—- doif. fcil. ad radicem in linea reda, H à : ^ "A 1", Abe I. ar. ATE fs : : 4 : PANT — 5. -—. Caudae ..- - s ^. ginge ER. a Ab oris extremo ad narium foramen 1| 2^ — -— —- ad marginem oculi anticum -| — | s^". — — -— ad angulum fuperior opeic. | branch - - 2| 27. 5E pM 343 [ore P Poll. | Lin. Diameter orbitae oculi fecundum corporis longit.| — | /7. S o m —"l-dwmempendicular .--. — | si^. Ab extremo maxillae fuperior. ad princip. li- —n- n Ld i cuf B Diftantia inter principium primi radii pinnae ped. et primum radium pinnae ventr. oblique antrorfum ' menfu- lata "- Ü jd y L eat "p, — —— -—— principium vltimi radii pinnae dorfi et principium pinnae caudae| — | 9". — — -—— prmum radium pinnae ventr. et primum radium pinnae ani -| i^. — — -—- vltimum radium pinnae ani et primum radium pinnae caudae -| — 11^. Latitudo horizont. (pifce fc. eredo horizontali- ter determinata) ad primum ra- dium pinnae dofi - - -|—]| sz" Te 1; Hasuiradianeiliüm. Corporis: s | — 1o". — — —- ad principium pinnae caudae-| — | »1/^. Latitudo perpendic. (pifce fc. lateri incumbente) per medium oculoum .- - [| x^.| 4"". — — — perangulum fuper. operc. branch. 8^. — — —- parum ante corpors medium| (pinnis exclufis) - - e^ — -—- .— in medio inter pinn. caudae | et vltimum pinnae dorfi ra- . dium - 3 - Loos s Y^. — | —- -- ad principium pinnae caudae-| — ry, Interftitium inter primos radios vtriusque pinn. vent. - - - e p— | cL — — -— puncipium pinn. ventr. etanum| — | 5^. ——— $44 Obferuationes. in fex aliis Pleurone&. Flef; indiuiduis, congelatis, Zrchan- gelopoli Petropolin allatis, quorum tria in dextro, a« . totidem in finiftro latere erant oculata. A. LI diorum pinn. caudae longiorum *5^.,5/^7. Latitudo Mas. Longitudo tota ab oris extremo ad apiees ra- maxima 2^,10/^. Latus dextrum ex cinereo et fus- co mixti coloris. Maculae in pinn. dorf. 9, ani, et caudae 5 ferrugineae. Pinn. dorf. rad. 57. pe&. ro. ventral. 6, ani 40, caudae r8. Operculi branch. laminae omnes, vt et mufculus validus, pone ocu- los confpiciendus, area item magna pone pinn. ped. area triangularis ante pinn. ventr. linea longit. v- trinque, praefertim circa ipfius principium, radio- rum pinnae dorf et ani omnium bafíes, verrucis ob- fita. Latera corporis tam fupra, quam infra lineam longitud. areola parua fupra pinnam ventr. vt .et pinna caudae omnino glabrae. Dexter ani limbus ftriis fufcis transuerfis diftindus. Latus finifirum , al bidum, maculisque tribus quatuor ve fubteftaceis fpar- fis notatum. Verrucae huius lateris minores, quam alterius, ad principium lineae longitud. plurimae , fenfim numero diminutae, circa pinn. dorf. et ani, vt in aduerío latere, folitariae ; feries quoque verru- carum paruularum, 2*5 numero circiter, offis, quod a pinnae peQ. bafi defcendit, duttum fequitur. Hinc maxima huius lateris pars laeuis. ^ Arcus catenula- tus quafi, quem fupra tetigi, ab antico narium fo- ramine ad. anticam iugi offei partem duGus, ex oftio- lis odo diftantibus conftat. Proxime fupra huius iu- FA gon (oco 545 me——UM—— € | gi pare anteriore quatuor alia oftiola, fed iftis mi- nora, Vt et quinque vel fex eiusmodi in lamina ar- cuata prima, immediate pone muículum validum dif- pofita, 'obfcuriora licet; nec non decem vel duode- cim fimilia. in maxilla inferiore , quae omnia: nil ni- fi du&iuum: muciferorum: lumina: effe videntur. Dei tium in vtriusque^maxillae parte alba, íc. finiftra, plures, magis que: conferti, quam: im altera. Laües oblongae, in varios lobós diuifae, /albicantes, nec "vltra radium. validum offeunv extenfae. N*. II. Mas. Longitudo tota etc. 9^, 5/". Latitudo maxima 5^, 2^, . Latus dextrum. ex rufefcente grifeo, cine- reo füfco' que mixti coloris. Maculae in pinna dorfi "C 7 xr, anb, $, et cáudae ro variae magnitudinis, fer- " rugineae. Pinna dorfi radiorum 56. pet. ro. ventr. ^ . (6 ani 39, caudae r8. Verrucae capitis, abdominis, ^ 'Hneae longitud. pauciores, quam in N9. Ll. Mufculus — "validus capitis pauciffimis tantum inftrudtus; caete- rum glabritie cum: praecedenti conuenit. Latus fui- firum, totàm- fere glabrum, verrucisque pauciffimis tantum inftrudum. — Maculae fübteftaceae quatuor, ^''pallidae ac. obfoletae. | Oftiola in: axed^ caténulato ^s'€irca iugum offeumsàác in lamina prima paüciora , ^;7voquam in N9. I. minus que: difcemibilia..;Limbus ani - -carnofus dexter prae «eo finiftri- lateris prominet, ftriis que nonnullis transuerfim notatus eft; hinc ani ori- ficium. in finiftrum. potius latus cadit, quam in ab- dominis medium»; id quod in omnibus: obferuare li- cet.. De reliquo: cum N^.. I. conuenit. | Noua, Ada, Acad. Imp. Scient. Tom. IX. Xx. N?. —— $46 e N5, III. Foemina. Longitudo tota etc. 8^, 5. . Latitudo maxima 3^, 41^. — Latus dextrum , maximam par- tem: cinereo - liuidum, lituris fufcis fapra lineam lon- gitudinalem haud paucis variegatum, infra eandem fer- ruginei coloris hinc et inde veftigia. Maculae in pinna dorfi-6, ani 5 (vna cum aliis quibusdam pal- lide nigricantibus) et caudae 10, variae magnitudi- nis; ferrugineae. | Pinna dorfi radiorum , 55. pe. xo. .ventr. 6. ani 40. caudae i8. Latus finiftrum, ratio- ne verrucarum ex affe conuenit cum N?. II. inftruc- tum tamen eft praeterea pauciffimis quibusdam fub pinna pe&. Arcus catenulati decem funt oftia; proxi- me fupra iugum offeum tria. quatuor ve; in lamina prima nouem circiter. Dentes in vtriusque maxillae parte alba manifefto plures, magis que conferti, quam in parte obfcura, feu dextra; íorfan, quia fub man- ducatione, vel ex alia etiam caufa, in hoc latere fa- cilius excidunt; inhaerent enim, alueolis. fuis fatis laxe, adeo vt plerumque: vacillantes;.deprehendantur. Maculae fubteftaceae 9 circiter, fpaifae; plures ea- rum fapra lineam longitud. capiti. vicinae. N9, IV. | Foemina. Longitudo: tota étc..5^,:1/", .. .Latitu- .do maxima »^, rii/^ Latus fiifirum; ex xüfefcente grfeum , cinereo-liuido colore intériixto;. fufcisque maculis, in centro obfcure ferrugineis, nótatum. Ma- culae in: pinna dorfi 12, paulo maiores, magis que faturatae, quam in dextro latere oculatis; fimiles 5. in pinna ani, et/7 in pinna ;caudae. Pinna dorfi ra- diorum 54. peG. ro. ventr. 6. ani 856. caudae r8. Apertura oris obliqua parum, ac finiftrorfam intorta. Verrucae in laminis capitis et circa iugum io : ds | m fat copiofae, pauciores tamen, quam in N?. I. dextro latere. Mufculus validus iiscaret. |Verrucarum vna feries fupra lineam longitud. infra eam. plures, inpri- mis circa lineae initium. Area; pone pinnam ped. lata, verrucis copiofis, paucioribus licet, quam N^?. I. ac areola tiiangularis ante. pinnam ventralem huic íÍc. N9. L' numero aequalibus infítrudae. Quae ad pinnarum dorfi ac. ani baíin occurrunt, pariter vt in N9. I. Reliqua omnia glabra. Latus. dextrum album, immaculatum. Verrucae r5; inter tertium pinnae ani yxadium et decimum odauum; item r7 eiusmudi inter decimum nonum pinnae dorfi radium et trigefimum quartum, Linea longitudinalis. vltra tertiam fui .de- curfus partem verrucis obfita ; fapra;; paucis^ infra pluribus. Verrucae etiam , licet pauciffimae , infra pinnae pe8. bafin, ac in .clauicula feu fterno armato. Reliqua omnia glabra... Oftia oblonga. ad.areus ca- ' tenulati curuaturám conuexam inatransuerfum pofita: s 105 fupra iugum ioffeum 6;. in lamina prima 7, ac. !5 59 «in maxillae infenoris ambitu. 16. :/ De reliquo a cae- "tens haud diuerfum; : oigonrt ^N*. V. | Mas. - Longitudo: tota: etc. .8^, 10^ . Latitudo »—- maxima. 3",.32^.. Latus :finiftrum ex xufefcente gri- eo, fufco et cinereo maculatum. ^ Maculae. pinnae .- dorfi 8, ani 4, caudae $ foliti; coloris atque. figurae. 7" ^ Pinna dorfi radiorum 55. pe8. ac. ventr9$*6; ani 39. .' caudae r8.. Verrucae radiorum pinnae dori, 1 — 8 (€t 44.— 55, dta et radiorum; pinnae ani, 29 —39. ba- — - fes dis deftitutae. :;:;/Caput :verrucis; fat«copiofis- obíi- tum, nec mufculo valido excepto; vt. et- circa lineam longitudinalem quarta;eaque extrema eius parte, excep- XXx2 t45, 348 ta; carundemque haud jpaucae in. area magna infra ;pinnam ped. in que alia ante pinnam ventralem tri- angulari. - Reliqua' cum caeteris conueniunt. Latus 'dextrum album , maculis: txibus.fparfis, fufcis, Ver- racae ad pindie dorfi bafin;, a. »o ad 30 radium, ac ad pinnam ": a 5-ad.ró.radium. Ab initio lineae longitud. ad 1:2 poll. vsque, folito. numero; fub pin- nae pea. bafi meold parua ,^verrucofa;; ytreb verru- carum [feries in offe arcuato: feu. clauicula , ;/a fape- rioribus inferiora verfus fenfim au&darum.. ^de xeliquo cum inc nn omnia Dradenn a VIg: Más ::: óculis pariter finiftris ; quoad . omnia a ^na? NSW; non multam dabludemse; «re3igq ento 4:18 ! ) Tm " iud n1 » Ttf ail Eodem fese béugponé: tried ciidiisicde (rtamsqiie fexus, tàm dicc ; quam iniftre 'oculatorum 'copia quoque ad me transmiffa eft ex Infula Oefelia; fub momine Gurlóueiibe Sut- tà, .qui;j"non obftante hac ipfa differentia Ànotàbili , quoad punüa effentialiá.fumimam tamen ;: vt fupra deforipti, inter fe oftendebant conuenientiam , nec, quoad formam. corporis externam , configurationem oris, fitum ac diftantiam, quam inter fe.feruant oculi, fitum formam que pinnarum , ; earün- demque radiorum mumerum , verrucarum , . modo .copiefiorum, modo rariorum j^ difpofitionem, lineaeque longitud. :diredio- nem etc.' ab iis ipfis vlla ratione differebant; | hinc , Pleuro- nedem Flefum ;atque Pafferem Linn. nullo habito aefpe&u , vel ad latas oculatum ;, fiue: id.in dextro fit, fiue in fini- ftro ,; vel-ad. fexum , /cum^vterque -in «quouis latere -oculatis aeque-occurrat; ad;vnam eandemque fpeciem àm &yft. Nat. réferri debere;^ adeaque "et -ordine «et fpecie :a-fe innicem male feaag absque magno: Mes meta jftatueze licebit. And dem modo fe habeat res in omnibus aliis huius generis fpe- ciebus, deiudicent naturae fcrutatores, marium accolae. [ta quidem videtur in Zippoglo[fo, qui oculis finiftris , quamli- bet rarius, variare a Linnaeo dicitar, ac in Plateffa, quam a latere finiftro oculatam ex Willougb. citat Kleinius. In- differentia habitus in hoc pifcium coetu, ac omnis fymme- triae negleGio, rariffimo, immo fere vnico Naturae exemplo, philofophica perfcrutatione digniffima certe effet, eiusque ratio in eorum vitae genere forte quaerenda. Num hic ex fpeciali naturae lege, ad procreandam fobolem, diffimilia ne- ceffario ac quouis adu femper, non aequilateris indiuidua vtriusque fexus requiruntur? Ita certe ex habitu concluden- dum, immo id coitionis modus, pifcibus alias folemnis, vti- que fic poftulat. Xx ASTRO- «24 UN hi: TIT S. 1 "WM AAA AJ 2 j f bar Jas DEA -ointuvI oisudfo io ET : At E d oii 17: JABENCAT A nf -on ern mm ve & DIU j L i 2 HN ASTRONOMICA. ESSAI DE PERFECTIONNER UNE MÉTHODE DE TROUVER SUR MER LA LATITUDE GÉOGRAPHIQUE DU VAISSEAU. Par M. KAAFF T. Préfenté à l'Académie le r3 O&obre, 1794. P armi les diverfes obfervations qu'on peut faire fur Mer pour trouver la latitude géographique du Vaiffeau, il n'en eft point de plus facile ni de plus propre à l'ufage de la Marine, que de prendre hors du Méridien deux hauteurs d'un Afítre dont la declinaifon foit connue , & d'obferver le tems qui s'ecoule entre elles; mais il eft à regretter, que le Marinier ne rencontre plus autant de facilité dans le cal- cul quil eft enfuite obligé de faire, pour conclure d'une pa- reille obfervation la véritable latitude de fon Vailíeau. Ce calcul eft accompagné de deux fortes de difficul- tés: d'abord il eft affes compliqué en lui méme, foit qu'on . Noua Aa Acad. Imp. Scient. Tom. IX. ny y 354 y fuive les principes direds de la "lrigonometrie fphérique, ou toute autre méthode analytique y :rélative connue jus- qu'à préfent (^), & puis, comme ce calcul fait connoitre deux latitudes différentes qui s'accordent également avec l'obfervation, c'eft au Marinier de fcavoir en diftinguer celle fous la quelle fon Vaiffeau fe trouve effedivement. Malgré cela, comme il eft bien permis de fuppofer que la latitude du Vaiffeau foit connue d'ailleurs à quelque chofe prés, au point que le Navigateur ne puiffe guerre fe meprendre dans le discernement des deux latitudes que lui donne ce cal- cul; cette méthode ne laiffe pas d'étre d'une grande utilité pour la Marine; il ne s'agit que d'en fimplifier le calcul & de laccommoder à la pratique des Mariniers. On connoit le procedé ingénieux que Mr. Douwes a établi à cet égard dans l'application de cette. méthode & qui eft à jufte titre fort en vogue dans la Marine angloife & hollandoife. Si la regle de Mr. Douwes laiffe encore quel- que chofe à regretter; c'eft peut-étre 1?) que, pour l'ap- plication fure de cette regle, il faut que plufieurs conditions différentes aient eu lieu dans les tems de l'obfervation &. quil n'eft pas toujours par l'état du ciel dans le pouvoir du Marinier de les remplir (**) :?) que, pour lapplication promte & expeditive de cette regle, il faut que le Marinier. connoiffe deja la latitude du Vaiffeau avec unm certain point de précifion. 2i Ayant (*) Mrs Kaeftner & Schubert oit donné des folutions analytiques de ce Probléme; le premier dans le recueil de fes Mémoires aftro- nomiques, le fecond dans les Ephemerides de Mr. Bode 1790. (**7 Voyes, Tables requifite to be ufed with the Nautical Ephemeris 2de Edition pag. i6 de l'Explication. " CK— 055 e—m Ayant trouvé pour cet important Probléme de Dl'A- ftronomique nautique une folution, qui eft rigoureufe & auffi facile dans l'application que celle de Mr. Douwes, & qui femble avoir l'avantage .9) d'étre. plus générale, n'étant bor- née à aucune pareille condition & :?) de ne demander, au moins dans la plupart des cas, qu'une connoiffance préalable trés-peu précife de la latitude du Vaiffeau, pourvü cepen- dant que le Navigateur fache, fi elle eft boréale ou aultra- - : jai cru en devoir faire un court expofé dans ce Mémoi- , puisqu 'elle pourroit peut-étre mériter à cet égard l'at- poa des Mariniers , au moins dans les càs oü la regle de Mr. Douwes ne fexoit pas d'une application abfolument [üre ou aufífi expeditive qu'il eft à deéfirer. Probléme. La declinaifon, & deux hauteurs d'un Aftre prifes hors du Méridien, & le tems qui s'eft ecoulé entre ces deux hauteurs, étant donnés, trouver la latitude géographique "M lieu de lobfervation. Soit Soit pour abreger da Biplinafion de l'Aftre —gd | E —A la petite — la grande -H le tems qui s'eft ecoulé en- des deux hauteurs) Jin. H E b— B ire les deux hauteurs, ex- primé en arc de Cexcle.—6 la latitude cherchée - —1l Solution. ' Ll) Quon cherche trois angles o, f, & *y par les équa- tions fuivantes & fans tenir compte, fi Ja declinai- fon eft boréale ou auftrale: Yy 2 fin. me— o tm fin. « — Á fin.10.cof. d .. tang. d tang. Q GrH fin; y ze: B. cof. 8 cof. a. cof. I0.cof. d' IL) Qu'on prenne la fomme des deux angles Q & y; & leur différence en otant le petit du plus grand. Soit lear fomme — X & leur différence — A. Alors 1) S1 la declinaifon de lAftre & la latitude cher- chée font du méme nom; cherchés deux ]latitu- des par les équations fin. 1 — cof. a. cof. A & fin. | — — cof. a. cof. X. L'une ou lautre fera la vraie latitude du lieu de lobfíervation. Si la declinaifon de l'Aftre & la latitude cher- chée font de différens noms; cherchés deux lati- tudes par les équations fin. | — cof. a. cof, Zi & fin. | — — cof. a .cof. A: L'une ou l'autre fera la vraie latitude du lieu de l'obfervation, Demonftration. Soient pour les deux hauteurs de l'Aftre 5. & H les deux angles horaires correfpondans T & t, desquels on ne connoit par l'obfervation que la différence 'T — t — 6, de forte que T —t-1- 0. Par la refolution de l'un & de lau- ire des deux triangles qui fe terminent au Póle, au Zenith & & à l'Aftre, & dont les trois cotés, en fappofant que 1a 1la- tituade du lieu & la declinaifon de l'Aftre foient du méme nom, font les complemens de la latitade, de la declinaifon & de la hauteur de l'Aftre, on obtient par les principes de la 'll'rigonometrie fpherique & en prenant la declinaifon pour conftante, les equations fuivantes: L fin. H — fin. d. fin. 1 — Jin. b — fin. d . fin. 1 cof. t — cj.d.cofJ.] & cof. (t (ii 0) Tr cof. d . cof. 1 ? ce qui donne . cof. d. cof. 1 [cof. t — cof. (£-1- 0)] — 2 A, ou bien par une transformation connüe, cof. d . cof. 1. fin. 10. fin. (t -1- 10) — A. Puisque donc la quantité À ne peut point augmenter au de là de fin.0.cof d; il y aura toujours un angle « tel, que À — fin. £6. cof. d. fin. à, & confequemment fin. a fin. (t -- 10) — in ( HESS ) cof. 1 t — Arc. fin. 2:2. PRI I0; donc cof. ! et cof. 10. y/ (cof. o? — fin. P) -- fin. 10.fin.a . cof. l Cette expreffon étant egalée à celle que ncus avons trou- vée cy-deffus pour le méme angle; on obtient l'equation cof. 10. y (cof. a? — fin. ^) 4- tang. d . fin.l ES IZTE- EA PEE I T 7— eof. d Gün.I0.fmn.a, qui à caufe de fin. I6. cof. d.. fin. « — A, fe réduit à celle-cy cof. 50 . / (cof. a^ — fin. P) -- tang. d . fin. L— Z5, de la quelle il s'agit de tirer la valeur du finus de la la- ütude cherchée par les quantités données a, B, d & €. Yys Po- cof. pm —— 78 — Pofons pour cet effet tang. d cof. 0 & nous aurons — tang. (. & fin. | — cof. a . cof. z, "B -- fin. z -l- tang. fe DE. esee n0 RT. ou bien E B . cof. 8 - fin. z . cof. 8. fin. 8. col. —— cof. a. col. 16 . cof, d pofant donc B.cof. G PROCEDE: on a fin. (B 5 z) — — fin.yy, ou bien auffi fin. [18c9 — (8 -- y] — fin.yy; d'oü lon tire les valeurs fuivantes de l'angle z : z — E (B— y) et z — -c [189 — (B y)1- Donc fi nous defignons la fomme des angles 8 & y par X leur différence par A, nous avons cof. z — cof. A & cof z — — cof. £, & conféquemment fin. 1 — cof. a. cof A & Bop cu cu NE Or. ce calcul a été fait dans la fuppofition, que la décli- naifon de l'Aftre & la latitude du lieuífoient du méme nom. Si elles font de différens noms; il eít clair que dans le - dernier réfultat il n'y a d'autre changement à faire, que de prendre la déclinaifon de l'Aftre & conféquemment auffi l'angle 8 negativement; moyennant quoi on a pour ce cas-là fin.l zz cof a. cof. 3; & fin. Lz— — cof. & cof. A; —— BD. ae. Corol, 259 m—mÀ Corollaires. 1.) Si l'Aftre fe trouve dans l'Equateur; on aura B — c, & A—Z--4.. Ayant donc trouvé les deux an- gles « & vy par les équations : fin.a— à dus s Po 1n. i 0 cof. a. cof. 10 on aura pour trouver les deux latitades qui s'ac cordent avec l'bfíervation, les équations fin.1 — cof. a cof. y & fin. | — — cof. & cof. »y; les deux lati- tudes font égales, l'une boréale, lautre auftrale. 2.) Notre folation du Probléme s'applique auffi au cas des hauteurs corréf/pondantes, c'eft à- dire au cas oü H — À; ce qui préfente une pratique ti6s-commode aux Aftronoms - Géographes voyageurs, - Type du Calcul. Pour éclaircir la pratique de notre méthode par quel- ques exemples; choifilons ceux que Mr. Maskelyne à cal- culés d'apres la méthode de Mr. Douwes dans les Tables requifite to be ufed with the Nautical Ephemeris. 2^* Edit. pag. 17. : Exemple :. La declinaifon du Soleil étant 269. 41^. o^, Boreale, on a obfervé fous une region boréale deux hauteurs vraies . du centre du Soleil 689. 30^, o^. & 519. 9/. o^., & le tems ecoulé :entre .elles c^, 56^. 137, On demande la latitude géographique du lieu de obfervation: -—— J M - [i ! Elé- — 60 ——À Elémens du Calcul. Hi xs h x —nn.iT - fiai Différ. — Somme — LDter-A-- iSomme .- B — "a I0 en tems — £9 en Cercle — L. cof. d. -— Lo ünl6-c- 719. 39 io/^; 689. 30^. o^, O, 9463677. Oo, 9394176. O, 015950I I, 8767853 O, 0079750 C, 9383926 S08, 43^, 0^. oP. 28/. 6^, Te iav 9, 9710655| 9, 0875632 L. cof. 20 — 9, 9967254 L. fin. 16 cof. d — 9, 0586287 Lcof. 29, 60f. d — 9, 9677999| | Calcul des angles a, G €9 vy. L. Á, — 7, 90193047 L. fin. 10. cof. d — 9,05862843 L. fin. 4 — 8,8431020 —— b, 59. 44^ L. tang. d — 9,5769585 L. cof. i 6 — 9.9967254 L. tang. 8 — 95802331 B — £09, 49. 3 5" L. B— 99723857 L. cof. 8 — 9; 9706546 L. Numerat — 9,9430403 L. cof. « — 9,9989430 L. cof. 16. cof. d — 9.967790c9 L. Denominat. — 9,9667253539 L. fin. y — 9,9763064. MEET E LAE PT APA Calcul de la Latitude. Différence entre Q & »y DN ao9, get m^ L. cof. à — 9, 9989430. L. cof. 4 — 9,:8042502, 4- L, fin, 1. — 9, 80319325. 2- Ll z59*.554/.55^. Bor. Somme de 8 & y S, E—9uUe A. ED —— L. | cof.«—-95, 9989450. L. — cof! X z5ii8, 5582190. 4- E24. UHncoTt- £, 5571620, 4- ——— S n Il — $61 Il fuffit donc, que le Navigateur fache d'ailleurs que la latitude de fon vaiffeau furpaffe 29. 4^. 2^., ;pour étre aífuré «qu'elle eft 595. 97^. 55^. Bar. Exemple ». La déclinaifon du Soleil étant 209. o^. o". Auftrale, on a obfervé dans une region boréale deux hauteurs. vraies .du centre du Soleil 159. 15/. 07. & 199.41/.0^, & le tems ecoulé entre elles 1^. On demande 1a latitude géographique du lieu de l'obfervation. 'Elémens du. Calcul. ;Caleul des «angles ie, € vy. — — L. A — 8,3100068 de Cu [9] / // T H — 1:99. 41^. L. fin. I6 cof. d — 9,0886835 h/— 199.84. o5 fin.H — :0,3368214 IL. fin. «&:z— :9,22x32993 fin. h — 052959859 am 35594/.85". DDifférenee — 0,040835 5 l.tang.d — 9,5610659 .Somme .— 0,65280*75 L.cof.i16$ — 9,996268 ?"IDiffér. — A — 0,0204177 IL.tang.;g — 955647975 z Somme — B — 0,3164035 (sx B093g^;guü". Ü —589- 0 94 L B — 955002415 ;? en tems — o 3o". 3n L.cof. 8 — 9,9725464. E uud eu. 1^ p, Numerat.-- 9,472789 L. cof. d. — 9.9729858$ r3 "tedio L. cof. « — 9,9938979 E. COPEDUEIISTTIT. eof 19 cot-d —— 692 L.cofi0 — 9,9962686 ^ '? qe Sc E Rd L: fin. 16: cof. d — 9,0886835 |L- Denominat. — 9,96315253 L. cof. 20. cof.d. — 9,9692544. L.fin.y — 29,50965356 tym 189.514, $07. ^Noua Za Acad. Imp. Scient. Tom. IX. rA Cal- — 562 Calcul de la. Latitude. Différence entre (9 & yy Somme de 9 & y 4«— 19, x86 s Edd m. $5 a4 L. cof«—:9,9938979. | | L.cof. a — 9,9938979. L.—cof. A — 9, 9998891. — L. cof. i — 9, 8905644. 4- '"L finl2c9,9937579. — L- fn ob - 9, 8842623. 4- ] — 809.19". 53^". Auftr. L|z—75e*5 d, aV; Bor. I] fafft donc, que le Navigateur fache d'ailleurs qu'il eft dans l'Hemifphére boréal, E etre. affuré bue la latitude de fon vaiffeau eft 5c9. o. 4^. Bor. Les latitudes que nous venons de trouver pour ces deux exemples, s'accordent parfaitement avec celles que 'Mr. Maskelyne a trouvées par la regle de Mr. Douwes, dans l'application de la quelle au [fecond exemple Mr. Maskelyne a fuppofé que la latitude étoit déja connue à 4o minutes prés au lieu que dans la pratique de notre re- gle il fuffifoit pour cet exemple de ícavoir généralement qu'elle eft boréale. ME- recie 363 MEMOIRE fur, la. différence en. Longitude des Obfervatoires de Pa- ris & de Greenwich, avec les obfervations d'oü elle a été déduite, & une critique raifonnée de celle que le Général - Major Roy a conclue de fes Opérations géodéfiques. Har B M. le Comte de Brühl. Préfenté à l'Académie le 26 Sanvier 1195. pts par Paris vers la fin de 1585 & poffédant encore alors un excellent chronométre d'Emery, dont j'ai été dépouillé environ fept ans aprés par une bande de filoux en fortant en plein jour de l'hótel de M. lé Duc de Marl- borough, . je tàchai de profiter de cette occafion pour dé- terminer la diiférence des méridiens entre deux des plus célébres obfervatoires de PEurope. .J arrivai à Paris le 13 Novembre & le furlendemain je paffai à lobfervatoire, oü Pobligeante prévénance de M. Méchain me fournit tous les moyens quil me falloit pour cet objet. Je donnerai ici les obfervations, qui s'y rapportent, dans le plus grand détail, parceque ce- n'eft que par une expofition ample & fidéle qu'on peut écarter les doutes raifonnables des juges éclairés, & obtenir leur fuffrage à la fuite d'un examen ré- flechi des preuves qu'on foumet à leur jugement. Zz2 .An- meg edaMus Année 1785. Mois Nov. 15. o*.5:i/. o^,o Temps indiqué par la Pendule de. M. Méchain. — 9$. II,6 accélération de la Pendule. O. 48. 48,4 Temps moyen. 5 O0. 36. 8,0 Temps marqué par le chronomé- tre à l'inftant de la comparaifon. O. I2. 40,4 fon retard au méridien de l'ob- fervatoire. Nov. 23. o. 9. o,o "Temps à la Pendule. — s$* 8,92 fon accélération o. (6.51,08 Temps moyen. 23. 54.10,60 idem marqué parle chronométre O. 1I2.40,48 Íon retard. O. I2.40,40 idem le 15. 0,08 fomme de fon retard en 8 jours: par conféquent — O,or fon retard diurne. | Déc. $5 0o. 2. 47,6 Rétard au méridien de mon ob- fervatoire Doverftreet à Londres. O6, 12,40,6 idem pour Paris à l'nftant du i midi vrai (a). 9.53.0 dilférence des méridiens.' — 83,6 longitude de mon obfervatoire | à l'Oueft de Greenwich. 9.19,4. différence en longitude entre Greenwich & Paris, Ob-. (a) Car 12; 4o0",48 retard pour le jour de la derniere obfervation de Paris 4- 0^,12 fomme du retard journalier en 12 jours — 12^. 40". Obfervations de M. Méchain avec le chronométre du Pré(dent de Saron. 1787. à Londres, Nov, 22 4- 2,88) accélération moyenne. 25 I,9I 774 Déc, 2» 2,1 DEO 93. 3 2,9 -1- 3,25 accélération diurne par à Paris. Déc, i1 -4- 5/,2) variation moyenne, I2 1,8 : 2. 13 4,0 -- 4» | ar MC amni 1787. un milieu des moyennes, Le 4 Déc. accélération du chronométre Le 11 Déc. au méridien de Greenwich ro/. 6^,4 idem . de Pans | x. 9,5. 8. 56,90. 3 . Pour 5.jours, fomme de fon accélération -- 22,85. Différence. en longitude La méme par moi -9« 19575. "n " 9. 19,40. La méme parun milieu desdeux 9. 19,575 La méme felon le Général Roy (*) 9. 18,803 Différence de la fienne en défaut - 04772. Si le réfultat moyen tiré de mes obfervations & de celles de M. Méchain eft exad, celui de M. Roy eft in- A29 con- E NEU nus rn S asRÓÁRÓ————— —. (*) Transadions philofophiques pour l'année 1790. e——— AG om conteftablement trop foible. M. Méchain penfa d'abord que cela venoit de Plhypothéfe pour l'applatiffement de la terre , que le Général a employée dans la rédudion de fes , triangles, & JA les, calcula fur le rapport de 229. à 250, d'oà il tira, 9". 20^ ^--. Cette explication feroit la véritable, fi la longitude des lieux fitués à lOueft de Greenwich que M. Roy a déterminée par fes opérations trigonométri- ques, en y employant la méme hypothéfe dont il s'étoit fervi pour la longitude de Paris, étoit auffi trop foible pro- portionnellement à leur diftance. Mais comme on le ver- ra bientót par le tableau fuivant, fes conclufions pour ces lieux différent à trés peu prés autant en excés des mien- nes, que la fienne pour Paris eft en défaut de la nótre; circonftance qui vient encore à l'aappuy de notre déter- mination., Obfervations pour déterminer la longitude de l'obfervatoire du Roi de la Grande- Brétagne à Richmont, & de celuy de M. Aubert à Highboury. ^ . Pour obtenir la premiere de ces déterminations, jai eu recours aux bontés de M. ]le Duc de Marlborough, qui ayant un obfervatoire à Sionhill à une petite diftance de Richmond, s'y eft fouvent transporté avec. un excellent chronométre, Année Année 17935. Mois Juin xc. $^ 29^. o^, 30544 8. 29. 305 44- (a) 8.30.12,44 42,0 4- 33.6 I. 15,6 - 1,5 I, I4,I I, 14,82 0,72 ^ 3 67 "Temps à la Pendule fidérale du Duc. fon retard, . Temps fidéral am méridien de de Sionhill, Idem de Doverftreet différence des méridiens (b). longitude de Doverftreet., - - longitude de Sionhill, Richmond à VEft de Sionhill par les obfervations du Duc. longitude de Richmond, Idem. par le Général Roy. Différence en excés. Année (a) La comparaifon fut faite avec le premier des trois gardetemps de Mudge, (voyés les rapport du comité de la Chambre baffe) en- viron 3 heures aprés l'obfervation du paffage du O qui m'avoit donné 3'. 6",36. pour fon avance & 1,2. pour fon accélération diurne. (b) En 1789. le réfultat moyen de quatre procédés femblables avec des chronométres avoit donné 41", 91, le plus fort étant 42", 1 & le plus foible 41^, 76. Année Ánnée 1793. . Mois. Juin 16, 8^5o/, o/,o Temps que marquoitia Pendule de M. Aubert, — 9,13, 1 fon accélération, 8.47. 46, 9 Temps fidéral au méridien de Highbury. 8. 47.55, 9 ldem - - - (de Doverftreet II, O différence des méridiens. 33, 6 longitude de Doverftreet. 22, 6 longitude de Highbury. 25,37 la méme par le Général Roy. o,77 différence en exces. "Voilà donc dés: discordances :des réfültats de ce fa- vant avec les miens en fens-oppofé, celles pour deux lieux à l'Oueft étant en excés, à tiés péu prés autant que celle, qui fe rencontre entre fa détermination & la mienne pour Paris à LEft de Greenwich, eft en défaut. Or sil m'eft permis de prétendre à quelque confiance dans mes conclu- fions, il.s'enfuit.que le Général a ;placé Greenwich trop à TEft d'environ o^, 75 en temps ou 1 1^. 5. Gn arc (LL erreur eft.bien legere & ne .mériteroit pas qu'on la relévat, fi l'appareil dispendieux , lhabileté reconnue des opéra- . teurs, l'immenfe travail auquel ils fe font livrés, la perfedion d'un nouvel inftrüment que le célébre 'Rámsden 'a conftruit exprés pour leurs obfervations , & enfin le büt de lier par ]à les obfervatoires de Greenwich &'de Paris, ny atta- choient une importance particuliere. Je —] 509 Je foupconne que cette erreur provient des réfradions terreftres ,, dont. les effets. trés variables ont influé fur la chaine des triangles, qui lient fa bale mefurée dans la plai- ne de la Bruyere de Hounslow à l'obfervatoire de Green- wich. Cet inconvenient inféparable d'opérations géodéfiques, en excluera peutétre pour toujours cétte précifion à laquelle on afpire. Les fecours que fournit l'aftronomie pour le per- fedionnement de la géographie conduifent (comme les exem- ples allegués le prouvent) avec plus de facilité & de prom- titude à des réfuültats beaucoup plus certains, & depuis que les inftrumens pour la méfüre du temps ont été portés par le célébre Mudge à un degré de perfedion dont on ne les croyoit pas fusceptibles, un feul obfervateur pourra faire plus de bonne befogne en un an, que plufíieurs n'en expédie- roient en plufieurs années par des opérations géodefiques. Loin donc de borner lufage de ces excellentes machines à la navigation, oü fans contredit elles peuvent rendre de bons fervices, mais pour laquelle elles ne font pas indis- penfables, c'eft au perfedionnement de la géographie quil importeroit fartout de les employer. Jai l'honneur de préfenter à l'Académie quelques obfervations de la Chévre au deffus & au deffous du Pole, avec les déduüions que j'en ai faites & pour la latitude de mon obfervatoire & pour la quantité de la réfratlion à environ. ;?, 3o^ de hauteur. ANoua Acla Acad. Imp. Scient. Tom. IX. — A aa 1794. Expo eum 1794. 25 Juin. Face dd cerclé à Pl'Eft. Bar. 30, 9. "Therm. P | hes obfervée au deffous du Pole 49, 29^. 30^, 25 Réfradion aQuelle Ui Cu) VO 4.22. 29.- 35 28 Juin. Face du cercle à l'Oueft. Bar. 29, 75. we ck y. Hauteur obfervée au deffous du Pole 49. 28*. ,25 Réfradion aduelle | - - - - — 6. d 9o 7. 21. 48, 85 leur fomme - 14. 44. 12, $70 Hauteur vraie 4. 22. (6, 535 27 Juin. Face du cercle à l'Eft. Barom. 31, 2. ''herm. 699, 5. Hauteur obfervée au defífus du Pole 849. 9/.29^,0o . Réfradin .- - - re jydNG 84. 9. 23, 15 28 Juin. Face du Ectiales à l'Oueft. Bar. 56, 7. Tout. Eid Hauteur obfervée, au deffus du Pole ^ 84?. 1o/, 17^, Réfadion . - - - toi ffl i Sd... 10,51 5:6 2E leur fomme — 168. 19. 34, 56 Moitié ou hauteur vraie (d) $84. 9. 47, 18 fon fupplement 95. 50. 12, 82 Hauteur vraie au deffous du Pole — 7. 22. 6, 55 BSbmue X PEOHEDOLOL D" Posta e ePeS c Y. Dont la moitié donne la latitude 91? 96^ 9,5585 Qui n'eft que de o^, o6 plus forte que celle que j'ai con- clué des obfervations de l'année paffée, que j'employerai aux mémes obfervations pour en déduire la réfradion a&uelle dans les hauteurs obfervées de l'étoile au delfous du Pole. Com- m—À Qd m Complément de (a) - 59,50/.12/,82 vraie diftance au Zénit 38. 23. 50, 46 Colatitude 44.14. 8, 38 Diftance au Pole de l'étoile 51.36. 9, 54 Latitude de l'obfervatoire 9. 22. 6, 26 vraie hauteur de l'étoile fous le Pole 49.2 2/.6//,26 (*) Le 2*5 Juin. 29.29/, 6^",73 hauteur obfervée & le 28 Juin 45.28.55, 73 4. .0, 43 - -. réfraüions aduelles - - 6, 46, 51 4. 0, 90 - - miéfradions de cy deffus - - — 6.45, 9o 'enexcéso, 435 - - différences - - en défaut ^ o, óz Je me fuis fervi des réfradions moyennes de Bradley & de la XXIII. des tables de Maskelyne dans les corredi- . ons pour le Barométre. —D'auffi légéres différences en fens oppofé offrent une nouvelle confirmation de Jl'exaüitude avec laquelle le premier de ces célébres aftronomes a con- ftruit fa table, qM —— mm —À— —— Á— —ham—— À———À—— ——ÀÜiÀ A t (*) Voicy comment j'ai obtenu ces deux quantités. J'ai fouftrait. de 4^. 22'. 29", 35 — q?. 21'. 43^, 35, j'ai enfuite pris la moitie de leur différence, ce qui m'a donné 23" pour l'erreur de la ligne de foy. Le méme procédé pour les obfervations au deffus du Pole dé- pouillées de l'effet de la réfraction m'a donné 24", o3, & le moyen arithmetique des deux erreurs — 23".52; c'eft celui que j'ai ap- pliqué à chacune des deux obfervations fous le Pole. Aaa? EX. m (3572) —— EXT RAI" DES OBSERVATIONS MÉTÉOROLOGIGUES FAITES À ST. PÉTERSBOURG EN MDCCXCI. - .: D'aprés le nouveau Stile. Préfenté d Académie le rz Mai 1193. I. Barométre. I.) Les hauteurs extremes, la variation, le milieu. .& la hauteur moyenne du Barométre pour chaque mois de l'année ri79r. Au plus haut Au plus bas Varia-j Milieu Cem . Mois. tion. moyenne P. cent.| jour & heure |P. cent! jour & heure | cent. |P. cent. P. mill. Janvier |28-42|le 2à gh.m.|27.27]le26à 4h.m.|115 |27.84|27.956 . Février i28.90|le28à 5h.s.|27.2s|le xà oh.m.|162 |28.09|28.1772|- iMars 28.77 |le26àr2h.m.27.22]e 5à 3h.s.|155 127.99.28.151 Avril 28.65!le 5à gh.m.27.77lerrà sh.m.| 86 |28.20|28.157 Mai 28.52|le rà 6h.m.|27.52|le 35à 4h.m.'160 28.02|28.07*7] | Juin 28.56 |le '5àroch.m.|27.46|lercà 4h.s.|rro |28.01|28.0f41 Juillet ||28.33|le22àrih.m.2*5.68|ler1à xh.s.| 65 |28.00|28.087 Aofit 28.57 |lerzzàrrh.m.2s. 571e3cà gh.s. 160.|28.07|28.251 Septembr. 28.74.,le25àr2h.m.|27. .38]le: sà 7h.m.|156 |28.06/|28.053 Odobre [28.73 |le29à shis j9-. -491e22à 6h.m.|124 |28.1 1|28.123 Novembr. 28. 58 |lez4à 9h.s. |26.96]e29à 6h.m.|162 [25.77|2 7.970 Décembr.|28.59'le22à 4h.s. 27.19lle 9à sh.s. [140 |27.89|28.049 — foxdsecessu d epe LANES m. fignifie matin ou avant-midi & s. foir ou aprés-midi. mee— 3739 c 2. Nombre des jours, auxquels la hauteur du Barométre a furpaffé quelques. divifions principales de l'échelle, avec la hauteur qui. répond à.la moitié du mois. Au delfas de Biden. Bios | "wiois 25. 80| 2*7. 90| 28. OO|28. 10/28. 2O|au deffus de [o C ojours.h. jours.h. jours.h. jours.h. jours.h. Pouces. mill. Janvier 2I. I8|19. Ol|I7. 8|I13. 18! 8. O0||28. 065 Février| 20. z2|18. O|r6. z8|16. o|r4. 21,28. 255 " |Mars BO |8|239 ole1. I5l'18.' 9|I2. 15| 28. I40 Avul 29. I2| 26. I2 I7. 9|I2. 15| 28. 136 Mai 28. 3|26.- 0 X4: 18| 9. 3| 28- 69r " [Juin 23. f2|21. 5 rr. r8|:5. ^o| 28. o29 * |Juillet i 18|24: ; 6j. I9. O|II. 9| 28. I55 Aoüt (||50. o|29. 9 22. I2| I8. 21|| 28. 280. CM 21. 2I|IS- 49 I$. O|I2. 9| 28. IOO Oüobr. | 24. $8|22. 18 16. i5|I3.. 3|| 28: 124 "INovbr. | 21. z8/18. 3 9. 8| 8. 9l| 27. 967 Décbr. || 22. 1$8| 2r. 21 16. 21|i1. r5| 28. OSO 182ijours Annee |! - ! Pon : | dits o|au deffus 295, 18|269, c|a227, o|ror, 5 ILgI. rm | de28,115 du 1 Nov. " 9c£ jours doge REANEOM 126, 612 6i "1, rg 14U delfus au : Mai ác | | ? 3| 95» | 35 UN de X791. |! | 28.121 | du 1 Mai | VOABEESAS E : ST TO E jours: aurNov.|s55, 9|r41,21|1r6, 21| 99, 15| 69, 21]| qu I791I. D P "Toric T [s Aaas$ La m—— Q74- — La plus grande élévation du mercure dans le Baro. métre — 28.90 pouces de France, le 28 Février à 3 heures aprés-midi. '"lhermométre de Délisle 1564., ciel ferein & vent du SE, La plus petite élévation — 26, 96, le 29 Novembre à 6 heures du matin. 'lhermométre 152^, ciel couveit, neige, pluie & vent de L'Eft. La varnation totale — 1,94. & le milieu arithme- üque — 27, 93. La hauteur moyenne, c'eft à dire la fomme de tou- tes les hauteurs obíervées, divifée par le nombre des ob- Íervations. IL pour toute l'année — 28,086. IL. pour Thyver de 1790, ou depuis le 1 Novembre 1790 jusquau 1 Mai r7gx — 28.081. III. pour l'été de 1791, ou pour lefpace de Vili du i Mai jusquau ri Novembre 1791 — 28.101: un peu plus. grande que celle de lhyver, ce qui eft contraire à ce qu'on obferve ordinairement. La hauteur moyenne du Barométre a été la plus grande en Aoüt, & la plus petite en Janvier: & la difié- rence eft — 0,295 pouces, ou de 3 lignes & demi. 3J) —— (375) —— 5.) Variations confidérables & fubites. i "Temps .|p;m. Barométr. Diff&r. 'Therm- Verit: : . "[jour. heure. |heur. Pouc. di i5 degrés. ( Atmofphére. 25. Oo.mj, 2$. - depu oy 156 SOu. ff. |c.couv. enfuite neige & pluie.) 125. n5. 7 29. 25 148 |SOu. . |beauc.denceige.c.en part. fer.] E. O. ID. 29. 27 152 SE. C. couvert, neige. : i ; o». I lcalme. : 12e. 5 o.m DA 28 jm 45 17 c. couvert, neige ls... m. 28. 55 162 |calme. ciel couvert. D. 0m. 28. 5*7 158 |calme. clel couvert. ME o9 nh 27. 84| | 154. |NOu. c.couv. enfüite neige & vent'j 7.m 27. 82]. Ae 148 |Ou. fort. jplaie, ciel couvert. | 6... | 3? 25. $2|: 59|160 |Oueft. '^ |c. en partie ferein. . ro. m.| *? |e8.. 41 * ?9|162 |calme. : | jbrouillard, enfuite c. ferein. Lon. S. 28. 32 Mm I52 |SK. forti* | C: couvert , SU hud .^ 8.m.| 2 |eg. 27 ?|zsr Ou. ff c. couvert, enfuite ferein. o. m. 27. 44. : 155 |Nord. c. couv. ur peu de neige. | o. m.| 49 28. 29 5 r65 |Noid. c. en partie ferein. 12.m.|: 1|28. 29 do 156 |NOu. Cc. couvert & neige. 9. m.| ^! |z5. 43 PREZZ NOu. fort.|c. en partie couvert. 11.5. | 39 27. 14| . "7| x67 |Nord. lc. ferein. 9. $ 28. I4 ISO |calme. ciel couvert. IS — (61 : j : LOG 3. S 28. 53 145 |Oueft. ciel en partie ferein. 12.1. 27. 58|,. 148 NN. fort. c.couv.neige,entuite c.fereim «Poe. 28. O9 ?* x60 Nord. ciel en partie. ferein. 6. m. 28. 07|, q.| 152 Sud. ciel couvert. 128. 74 154 |SE. Iciel ferein. 3.) Va- — (5376) e— 3.) Variations confidérables & fubites. Diff. Baro E Différ- Therm. : Tem Mos jour deni heur. Ou E TOD do degrés. Be P.oRREHiN,, 8p STU n 141 |NOu. fort. Mal | 2. 12. m. ER 27. 97 n 135 iNOu. fort. 3.4 12.m ou. dm I47 |NE. fort. I4. (6.m. PA caue qn M 136 Ou. fort. D4. l2. 24. 63 154. |Ov. fort. 20. (6.m. 9s 45] 1539|Qu fort. à "PRAC 30590 ato 24. go[. 4? 14.2 Oueft. ' [Sept. CHE Se Us Qc TRE: I0 MOPNUNTT p 5 m. i 27. 62 zn 145 Oueft. 4 O.m., 28. x. Mss 146 |Oueft. 2 597 v7 Xi. y5 28. 60| | | 150 calme. 25. 3:2. Ill. 28. 74| ^| x41 |SOu. 19. 2 28. 18 ISO! INE. —6 2I. T9 27. 54. 4 145 |Sud fort. OG. y" Ss. COPS o|?T- 991,6, 149 SOu. 26. 12.9. | 2^ |og. 54. (à 154 j|Noid. 2. 9.m.|,, |?8- deii I55s |NOu. $9. 9^8. 8. 117119 5:4 85 155 |Ou. fort. EI. 28. 149 |NE. Nov. I?. IO. 2^ 2$. $4] 25 162 | Eft. id. 19. 45158. 9o| ^|rsoj|Oueft 25 x2,m 28. 57 155 Ouett. 25. I2.S$ 28. 37| « 156 |SE. fort. 26. I2.8 25... ^ rso|SE. ff. ————————— | —M —— —Ó Ilo UNTEN eren iciel ferein. - ciel en partie ferein. ciel couv.pluie, neige, giele| ciel couv. & un peu de pluie; | |ciel couvert. | DEEVRRCUNXT E DCIT N REIS ; "NOSE: | c. couvert, pluie. | . | c. en partie couvert. - | beaucoup de, pluie, c. couv; c. en partie couveirt , plug ciel ferein. c. fereir. pae PE ! c. ferein, enfuite nuages. | c. couvert, neige & pluie neige, giele, c. en part. cou ciel ferein. ^—- c. ferein, enfuite couvert, c. couvert, neige. c. couvert, pluie & neig&] c.ferein,enfuite couv.& neig Cc. couvert. | | ] c. couvert. c. couvert, enfuite neige. pluie, ciel couvert. 9.) Va-3 r | | | | ——— (377) — 3)o Y ariations confidérables & fubites... Temps. Diff. Tarométr, Diff. l'Therm. is. Pouc. 2 uet Sa jour. heure. |heur. 3pO| zog. .| degrés. 27. 82 Du zz I5 19h53 &j 153 |Eft. 152 |K. mpl 54 Ef. I49 Ii dot: * 53 159 iNOu. —— Vent, 150 Oueft. 156 E. Ou. 170 |E. fort. 170 |E. fort. '* Atmofphére, RUM neige, c. en purum couvert. |Cc. couvert. [ciel couvert. C. couvert, . neige. -* [é- coüvert. C. couvert, enfuite neige. neige,'c. couvert. Cc. en partie couvert. Cc. couvert & neige. c. en partie ferein. c.en partie fer. enfuite neige, —I05 ' grele. —- 4148 |SE. ff. . |pluie & ciel couvert. 155 |Oueft. beaucoup de neige, c. en -- 63| partie couvert. I55 |Sud Cc. couvert neige. is á 153 |Nord. neige, c. couvert. 4*| 157 |calme. c. en partie couvert. 172 |SE. c. en partie couvert. p 7 154. Eft. jneige & ciel couvert. Le figne — indique les defcentes, & -i- les montées. ff. marque un vent trés fort. Voua. z4&a, Z4cad. Imp. Scient. Tom. IX. Bbb Les E" Les Bem les plus confidérables ont été faivant ce tableau de 14; pouces ou de 12! lignes en 29 heures, le 5 Févruer; encore de.rià pouces en 56 heures, le 5 Dé- cembre; & de rg Nep en 2*5 heures le 25 Janvier. Les montées n'ont point été auffi fubites & confidé- rables. La plus forte eft de 75 pouces, ou de rii lignes en 42 heures, le 5 Décembre: enfuite de 2* pouces, ou de rci lignes en 48 heures, le 5 Février. .En général les variations les plus confidérables tombent en hyver dans les premiers & le dernier mois de l'année. — $79 — JI. -"Thermométre. x:) Hauteurs extómes; leur différence, & l'état. moyen du froid & de la chaleur pant chaque moils;de lan- née 1791. Hauteurs TI . .,|Etat moyen. Au. plus bas . Au plus haut. Li" Froid |Chaleur De- T De || moyen. | moyen. gré. | jour & heure. | gré | jour & heure. |Degré| Degré. | Degré. ||r62 le2ràóh.mzi47|le26àsh.s|15 |15556|152,3 169 le xo a 6h.mir46 le x6 à 2h.s| 23 Ls 152,0 le róàh.s. 122 L3 a mr44 ales 3&xjs 28 |16031|150,5 160 de 4àó6h.m|z22|]le25 à2h.s|38 |150,2 139,6 156|le 4 à 6 h. mi125 |le zgà2h.s 81 |I4455 | 36,5 108 |le 15 Na his 54 i I21,9 II2 L B du. 23 |1:29,2|120,7 m le25àroh.s le 3 & le 19 E , d € Is : 155 le25 à6h.m 122 [A 3EW got r.|159|le18 à6h. m|r31 le z2à 5 h.s | 167 le 7 àoh.s|[z42|le x9 à 2h.s | Mie RA da Vie oie le22 àgh.m legàó6h.m 132,5 |I285,3 $1 |I40574 132,6 28 |148,5|142,7 25 |15458|150,8 | 25. 15854| 15453 i141 |le24à 6h. bibi | Dans les deux colonnes de l'état moyen, la quatrie- me figure. feparce du nombre des degrés par une virgule, marque des dixiemes parties d'un degré de Délisle. h. m. indique que c'eft l'heure du matin; ou avant midi & h.s. fignifie l'heure de l'apés midi ou du foir. Bbb 2 2.) ni 280 PTIULsemet uas 2.) Nombre des jouis, auxquels le fioid & la chaleur ont furpaffé quelques divifions prihcipales du Thermo- métre de Délisle. | Le froid a été plus|La chaleur a été plus grand que grande que Mois. 170 I6O|t50|I4O|I3O|IIO|I2O 180140 150|r6o jours. jours. jours. jours. jours. jours. jours. jours. jours. jours. jours. Janv. | | 2,389,331 31; | | | [| 8 8: Févr. | 16| 26| 28 Mars 2| I4| 31| 31 Avrl J I8! 29| Mai | | 10| 20 Juin 2 Tuillet | | [Aoót | 2 Sept. 5| 14 [OGobr. as ay|- Nov. 8| 24| 30 : JDéc. 31^ 8] 3X) 3T Bis . 28| 65|146|| . 3| 54 105|154]135 I$4 On .On voit par ces tableaux qu'il n'y a pas eu des grands froids dans toute l'année: cependant il a-gélé en 188 jours, qui font plus que la moitié de l'année. | L'hyver de 1790 à 1791 a été extraordinairement, & méme beaucoup plus doux que celui de 1789 à 1790: mais lété de 1791 a été plus chaud & plus agréable que celui qui lui.a L'Mecede. Le AUT grand froid n'a été que de 1759, qui répon- dent à 12; degrés de froid d'apres là divifion de Raf, on la oEfexvé en deux jóurs: le 7 Décembre à 6 heures du matin: Barométre 28, 45 , ciel ferein & vent de Tl'Eft fort: enfuite le 2» Décembre à 9 heures avant- midi, Ba- rométre 28. 52. calme, bíouillard , eníuite ciel ferein orné d'un parhélie. ! La plus grande chàáleur de 108?, ou de 22] degrés d'apres Réaumur, à été obíervée le r$ Juin à 2 heures aprés midi. Baromeétre 28. 14. calme parfait & ciel ferein. La difiésenen entre ces deux extiémes — 659 de Dé- lisle qui font 342 degrés de. Réaumur. | Le froid moyen, oü la fomme de toutes les hauteurs thermométriques obfervées à 6 heufes du matin & à 1o heu- xes du foir, divifée par lé nombre des obfervations, pie trouve dans la cinquieme colonne de la premiere table, été le plus grand en Février & en Mars, & 1e plus eur en Juillet. Sa valeur eft -) pour toute lannée — 1459. SI qi répond à I * de- gré de chaleur d'aprés. le thermométre de Réaumur. 2.) pour lhyver de 1:790 à 1791, ce froid moyeh a été depuis le x Novembre 1790 jusquau xr Mai r791 -rg6945.& depuis le x Décembre 1590 jusqu'au I 1 Avril 1791 — 1575, o. bbb 3-) 982 —— 9.) pour l'été de ing. depuis le. 1 Mai jasqu' au r No- vembre ——/1359,8 .^& depuis le 1: Juin jusqu'au r. OGobre..— 133. 4, :qui répondent à 6,5 &/8,2'de- grés de chaleur de Réaumur. De méme la chaleur moyenne, par laquelle je com- - prend la fomme de toutes les hauteurs thermométriques ob- ífervées à 2 heures aprés midi, divifée. par le nombre des obfervations, & qu'on trouve à la derniere colonne de la premiere table, eft la plus grande en Juillet , & la ees petite en Décembre. On la trouve H 1.) pour toute irdbbé zs Im9o9,i ". cgi ilc: 5: deg de Réaumur. 2.) pour lété de 179:, depuis le x Mai jusqu 'au 1 No- vembre — :12995,6, & depuis le r Juin jusqu'au r OGobre. — 124, 6,. qui répondent. à 10, 9.4. L9, 6. degrés de Reaumur. 3.) pour l'hyver de 1790 à 1791 , depuis le r Novem: bre 1790 jusqu'au 1 Mai' 1791 — 1499, 5 ou de eu degré de chaleur. de Réaumur, & depuis le r.Dé- cembre 1790 jusqu'au r Avril 1791. — 151,6, ou. de o, 8 degré de froid de Réaumur. - Le nombre des jours, oü il a aclé continuellement a été 1.) dans toute l'année. — 99. 2.) pendant lhyver de.1790 à r79r, depuis le x No- vembre 1790 jusquau i Mai 129r — r:oo. 3-) pendant l'été de 1791; il a gélé en »8 jours, mais parmi eux, il ny a eu qu'un feul, favoir le 4 Mai, oh la gelée a été continuelle. v Le Le nombre des jours enfin, ou il n'a gélé point du tout, a été | | I.) dans toute l'année — 177. 2.) pendant l'hyver du. 1 November 1790 au x Mai 1791 Eo Q I ( 3.) pendant l'été du 1. Mai au x Nov. E79H L 159. L'intervalle entre la premiere gelée du 25 Septembre de lannée 1790 & la derniere gelée du x: Mai r79: eft de 226 jours, cette derniere. gelée fut à 6 heures du matin .de i52. degrés de Delisle; .Barométre 28, 34, vent du NOu. ciel íerein. ! Il recommenga à géler le. 25 Septembre matin. "Ther- mométre r55, Barométre 28,68, ciel ferein & calme. L'in- tXervalle entre la derniere gelée du x1 Mai & cette premie- re n'eft donc que de 155 jours. . 5.) Enumeration détaillée des froids, obfervés pen- dant lhyver de.1790 à 1791, ou depuis le 1 No- vembre 1790 jusqu'au r Mai 179r, ce qui fait un intervalle de 181 jours. .« . . Le froid a furpafíé 150 degrés de Délisle en 2 jours le 12 & 2x Mars. Le froid a été entre ; Lil I60 & r70|Le 7..8. 12. 13. 14. 29.30 Novembre, le r. I4. 20.:21.:28, 29. Décembre, -le 20 21: Janvier, le 6. 7. 8. 10. 14.13 — 26. 28 Fé- vcr, le 1925 8292r41 xà. 395380. 22. 25. 26..27. Mars & le 4 Avril - - 7 - | 44 150 jours. nu one jours. 150 & x6o)Le 1 — 6. 9. xo. x1. 15. 16. 17. 19. 20. 21.| 25. 26. 2*5. 28 Novembre, le 2.5 — 13. I5 — 19. 22 — 27. 50.31 Déc. le 1 — 19.| 22. — 25. 27 — 31 Janvier, le x — 5. g. 1 1.| 13. 15. 27 Févr, le 3 — 7. 10. 13. i39 24.25.28 — 31 Mars, & le 1... 3. 5: 6. 8. 9. 11 — 19. 3o Avril - € .-- -[Ifk p Énumeration détaillée des chaleurs óbíePqéds pen- dant l'été de, 1791, c'eft à dire depuis le 1 Mai jusquau r Novembre 1791, ce qui fait un inter- valle de 184 jours. La chaleux a furpaffé rro degrés de Delisle em 3 jours, le nLS.31644 Jüin, Xa chaleur a été entre - Ii» ]jours. 120 & 1ro|Le 8. 9. 15. 14. 18. 19. 21. 28 Juin , le:;4. $.. I3 — 18. 22. 23. 24. 27 — 31 Juillet, &le I, 2. 5,8. 18.19. 2I ÁOllt - 80:7 4] 31 150 r i20|Le r8. 19. 20.24. 25 Mai, le ». 4. lig. IO. II, 12, 20. 22 — 25. 29. 50 Juin , le'1. ». 3. 6 — 12. 19. 2C. 21. 25. 26 Juillet; le 4 — 7.9 — 13. 20. 22, 24 — 31 Aoüt &le I—$8.12.138.14 Septembre - - - - | 7I I40 & 130|Le 2. 7. 11 — 17. 21. 22. 23. 26 — 31 Mai, N - le rx. 5 Juin, le 25 Aoüt, le 9. xc. 11. | d. 26 — 29 Septembre, &. le x. 4.| - 7-—14.22.:28.24. Odobre - - - - -| 49 go & 140 Le. 1. 3.5. 6. 8. 9. 10 Mai , le 23. 24. 25. 30 Sept..& le 2. 5. 5. 6. pieds 25 — 2X -Ogobre /- - eor s - e. .| 29 wie 55 II. Vent. 1.) Tableau général de la force & de la diredion des vents, pour chaque mois de l'année 1791. BNEXCITZGTTUELICNG R7 TT PEOMGEUEDPROUGESISTSIUEGUANGSCEyITHUNU TRO ARFUATISURS GIF MGDECH SODCRSE NRATUS NORTE GENS NNPNPCCFCNIURERUHIESO USO TERMES SÜD. Vent s Vent |Vent| , « NOu. Calme dota fasi e Nord.| NE. | Eft. | SE. | Sud. | SOu. |Cueft. Mois. || —————:—— I — [— |: Jours. Jours. pus jus Jours.| jours. Jae Jours.| Jours.| jours.| jours. Jours. Janv. o| rs| 15] x| o| o| 2| 16 p ionwodp ime Bevr | 104 x:6| 3|] efl óÓ| ol^B" 15| "4q41 5] 2 Mar | ir[.9| r9 $0] 601 o|^kT $6 3 84 5] 6 Avril er ass ors r|--$" 1]! $41$4 7| 6 Mai sig d: s:gri 6jce| Rl. spuMM o| 4 Juin £o( e| Zoll 130. | dAl*45| 4| 3]'59x*zxo] o EuHet| ril eh fo! X5 Gj| u4|*^9]| ixr| 3o 93] 2 Aoüt di iz xeh.ol|| r| i| Y«W qp oPD9€| rg] 2 Sept. 5| ij] xl &/| o] lol|voé]| i| ssgb5O :5| 4 Odob $| x18] 5p Ol 3. i41 * *&] joyjcsrapvros si 2 Nov A14. 6| 5") $l fo|tee]l LéjemepxB] -|.5 Déc £i am 94 9l. I Il ^O] N9 Bonn M -7]|.: Année queo OT um m HESLRMEUD M TNI 88|170| 98| 9| 17| 19| 49| 57| 41| 5O |100| 32 ——— I—— |———|———— d —————— du 1 Mai. à NI au 1 Nov. 1791.|| 48| 76] 571]. 3]. .5] 77| 19| 9 JVova, 4a cad. Imp. Scient. Tom. IX. C cE 2.) 7.) Rapport de la force des' vents & des quatre plages: tiré du Tableau précédent. pour chaque mois de lannée 179r. MILES Rapp.des quatre plage j Mois. IDegré de | Force. | Nord | Eft |Sud |Oueft.] Janvier 316 o.|ro [r3 Février ||. 178 XLI DES Mars 24.8 9, | m ELS Avril 210 G^] 4116 Mai 274 & | 65116 Juin 255 I s Juillet 248 s dde is Aoüt | 256 7 |76 lg Septembre! 257 2 pe" HW OGobre 20*7 GI5s15 Novembre; 257 2/14» 1! 7 Décembre|| 242 2 [1x4 | 7 No IS CNRUE IRR | DNA ER Sri d e ti ui ine du r Nov. | | I790. au|: Mai| )24*, | g&. 48 I79I. du 1: Mai au r Nov.| 246 20 [52 I79I. i Le mois de Janvier fe trouve étre le plus venteux . de lannée, & ceux de Février, d'Odobre & d'Avril les plus calmes. La force des vents a été presque égale en hyver & en été, . Le vent dominant eft toujours celui de l'Oueft pour toute l'année, ainfi que pour l'été de 1791: Mais pour lhyver précédent. du x Novembre 1790 jusqu'au 1 Mai 1791 ce fut celui du Sud qui a dominé le plus, "* Ccco 3.) Direc- tion. I Énumeration détaillée des vents forts. Jours &. Mois. Nord. |Le xx. 8 Mars, & le 4 Maàà - - - Eit. Le |5. 13. 14 Mai, le 19. 25 Juillet, & le 28. 30 Aoüt - FN UIT 17 Janvier, le 22 Mars, le 20. 21 Oc- tobre,. le 5. 6. 16 Novembre, & le 3. 4. 8. I4 Décembre - - - - - - - 4« 5. 7. 8.49. 10. 18. 81 Janyaer, de. 5. 5o Mars, le 15. 19 Juin, le 5 DE & le 26 Novembre - - - : I2. I4. I5. 24 Janvier, le 23 Nas le 19 Mai, le 2x Juin, le 5. 15. 22 Sep- tembre, le 7 Odobre, le 18 & r9 No- vembre - - - - -o ss 25. 26 Janvier, le r2 Février, le 4 Mars, le-zo. xr Avril, le 8. 23 Mai, le rr. 12.22.25 Juin, le 25 Juillet, le 4.5.8 Aoüt, le 18. 21 Septembre, le 25 Oc- tobre, le 1o Novembre & le 15 Décembr. 25 us dni le 16 Février, le 5. x6. 1*5 Mars, le 28 Avril, le 9. 25. 27; Mai, le x. 2. 3. 30 Juin, le 6. is S.II. I2. 28.531 Juillet, le 1o. r7. 21 Aoüt, le 8. 10. 13. I4. I5. 20 B enBE. le 24 O&obre & le 3 Novembre - - - io Mars, le 16. 350 Avril, le rz. » Mai, & le 9r Nour "ore eT NEM Nombre de jours. L—AAAA— —— 3: T7« 32. 6. Somme | 107 jours Parmi Parmi ces ro5 jours de vent fort, ont été les plus orageux, ceux du 8 & r4 Décembre - - - - Diredion Eft nombre des jours 2. du 5 Juilet & du 26 Novembre - ^» - . MNMNE- . 5 Hor Jgin & :s Novembre "s 4 o. Bud. x02] du 25 Janvier, 4Mars & 25 Maà- - - -SOu.- --- 8. Somme des jours 9. Ccc 5 IV. At —M—À V. Atmofpheére. | Ciel. | Pluie. Neige. pss nuages. | couvert, | Brouillard | forte | petite | forte | petite —— dE[———— | L————— 4$ ————— | ——— | oe: E cá ——— 6 ———— 4$ ————— $———— d$ ———— | Janvier I 5 25 o 3 3 II Ie vrier 6 9 13 IO Nn I IO Mars. 9| 16 6 4 2 I5 IA vril. gi oxb ó r "i 1 8 iMai S NE. II o 6.1 12. 6 "Juin. 6 MUS o Oo -" |I2 Juillet I$ I5 3 3 6 4. Aoüt I2 I5 4- io 5 8 Septembre | 5 I5 I2 2 a. | OA Odlobre 4. jog IO 4. 5 3 6 Novembre DU E 19 5 3 8 I I5 Decembre I I2 I$ 4- 4- 4 IS au 1 Maij ?7 ?9 as VHS I791. du 1 Maiau IrNovembr.| 41 | 103 40 | U a1| 53 o d bd 1795. Le Le nombre des jours entierement [fereins a encore été trés petit dans le cours de cette annéc, & le nembrc des jours de ciel entierement couvert fort confidérable. Ce pendant les fix mois d'Eté depuis le r Mai jusqu'au 1 No- vembre, qui comprennent un intervalle de r84 jours, omt eu feuls 41r jours de ciel entierement ferein, & 40 jours feulement de ciel entierement couvert. | Auíli le nombre des jours de pluie a été cette année-ci confidérablement plus petit que l'année 179o. La derniere neige tomba le rio de Mai, & il recommenga à neiger le 16 Odobre, ainfi apres un intervalle de 159 jours. II tomba de la gréle en tr jours, le zr. r2 Avril, le 3. 4. 8$. 31 Mai, le r5 Juin, le 5 Juillet, le xo Sep- ilembre, le 16 Novembre & Ie 8 Décembre. Le nombre des Orages monte à 14; le 26 Avril, le 9.17.18. 21. 30 Juin, le 5. r5. 18. 24 Juillet, le 3 Aoüt, le 5. s Septembre & Ie r3 OGobre. La pluspart de ces orages ont été trés foibles,le tonnere ne s'étant fait enten: dre que de t:és-loin. Ceux du r$ Juin & du 24 Juillet ont cependant été les plus forts. : La Néva débacla le 2o Avril au foir, aprés avoir été gelée pendant 146 jours. Cette débacle fe fit dans une temperature dé r4: à r45 degrés de Délisle. —Baxo- metre 27,85 à 27,94. "Vent de lOueft, ciel couvert. La rviere ne charia des glaces que jusqu'au 24 du méme mois 3 de forte que les ponts de communication ont pu étre remis de bonne heure. ,Le 6 Novembre reparurent les prémiers glacons, & la riviere en fat prife en txois fois confécutives, ce qui fat un phénoméne, dont on ma point eu d'exemple jusqu'ici. ES —-—A 392 L) Le 8 matin, 202 jours aprés la débacle, la ri- viere fut prife pendant un froid de 165 degiés, Barométre 28.06, calme & ciel en partie ferein: on la paffa à pieds déja le 9 à fon embouchure. Mais apres un dégel de 148 degrés, les glacons fe remirent en mouvement & la riviere les charia en grande quantité, jusqu'à la nuit du 12 au rs, oü IL) la Neva fut reprife pour la feconde fois. "Ther- mométre 163?, Barométre 28. 54. ciel en partie ferein, vent de l'Ef. On paffa la riviere à pieds le 14 matin, mais cet état ne dura qu'une heure & les glaces repartirent encore le méme r4 avant-midi, pendant un froid de r5: degrés, Barométre 28.08, vent du Sud, & ciel couvert. La Neva charia enfuite des glaces en tiés grande abon- dance le 15, 16, 22, 25 Novembre, jusqu'au 6 Décembre. Enfin IIL) 229 jours aprés la débacle du 20 Avril, la Neva fut & refta prife le 6 Décembre avant-midi, par un froid de 150 degrés de Délisle, Barométre 28.1c. vent du NOu, ciel ferein. RÉSUMÉ DES OBSERVATIONS MÉTÉOROLOGIQUES faites à St. Pétersbourg depuis 1772 jusqua I792. comprennant un intervalle de vingt ans. Par 9. Zlbert Euler. Préfenté à l'Académie le 16 Mai r793. l y a fix ans, que j'eus l'honneur de préfenter à l'Àca- démie un effai fur létat météorologique moyen de St. Pétersbourg, tel que je l'avois dédait de mes propres obfer- vations faites pendant quatorze années confíécutives. (*) Mais comme cet intervalle de temps, qui ne comprend pas encore un cycle lunaire, me parut trop court pour donner des conclufions précifes & fatisfaifantes, je promis de revenir fur ce fajet & de refaire mes calculs, dés que j'au- rois amaífé une fuite plus grande & fuffifante d'années mé- téorologiques. Je m'en acquitte aujourd'hui aprés avoir commencé la vingtunieme année de mes obfervations, fai- tes fans interruption, d'apiés une méme méthode, avec les memes inftrumens & presque au méme endroit. Car quoi- que a — a M a € ÓÀ— ———— (*) Nova A&à Acad. Imp. Sc. Petrop. Tom. IV. ad annum 1786. pag. 322. IVoua. 4a 44cad. Imp. Scient. Tom. IX. Ddd 394 que j'aie pendant ce temps délogé deux fois, la fituation de la demeure que j'ai occupée n'a jamais différée affés .de celle que j'avois quittée, pour avoir pu occafioner une difference fenfible dans les obfervations: au refte j'ai eu foin de choifir dans chaque habitation que j'allois prendre le méme emplacement pour mes inítrumens. La conftru&ion de ces inftrumens eft tiés fimple, & leur nombre n'eft pas grand. Le Barométre eft un tuyau de verre, d'une ligne & demie de diamétre, fermé à l'un des bouts & rempli de mercure bien purifié, il eft vextica- lement plongé par l'autre bout dans un vafe fuffifamment fpacieux , rempli du méme fluide. ^ L'Echelle depuis la furface inférieure du mercure dans le vafe eft divifée en pouces de Paris, & chaque pouce eít fousdivifé en vingt parties égales: de forte qu'on peut fans difficulté eftimer la hauteur du mercure dans le tuyeau à une centiéme par tie de pouce prés. Dans mes annotations ces centiémes parties font féparées par une virgule des pouces entieres , dont le nombre varie à St. Pétersbourg de 25. à ?9. Ainfi dans mes tableaux barométriques 28,537 marque une hau- teur de 28 pouces & 37 centiemes , ou 2847 31 5 pouces de Pa- rs. Ce Barométre fe trouve placé à une 3ycrdetiidite de 3o à 40 pieds au deffus du niveau de la Neva, à une diftance de trois verftes environ de fon embouchure ies le golfe de Finlande. Les 'llhérmométres à mercure, dont je me fers , font gradués d'aprés la méthode de Délisle adoptée de notre Aca- démie depuis plus de íoixante ans: o marque le degré de chaleur de leau bouillante, :le Barométre étant à 28 pouces de Paris, & r5o eft le degré de la congélation natu- relle — dg 5 — relle de leau diftillée ou pure: léchelle s'étend par con- féquent de haut en bas, les degres de chaleur font expri- més. par des nombres plus petits, & ceux de gelées par des nombres plus grands que 150. Jai toujours eu foin de placer mes Thermométres à lair libre, vers le Nord, dans un lieu, oü les rayons folaires ne peuvent les frap- pér ni diretement ni par réflexion. — Au refte j'ai toujours eu des Barométres & des 'lThermométres en referve, parfai- tement d'accord & correfpondans avec ceux dont je me fers dans mes annotations, pour pouvoir, en cas d'accident, les remettre à leur place, fans que par l'endommagement d'un inftrument, mes obfervations fuffent interrompues. Quant à la diredtion. & à la force des vents, je me fuis contenté d'une eftime: ayant toujours eu devant mes fenétres tant en hyver, qu'en été, des girandoles fort élé- vées, qui marquent avec affés de précifon la plage d'oü venoit le vent &la force avec laquelle il fouffloit: au refte je n'ai diftingué que les huit plages principales Nord, NE, Eft, SE, Sud, SOu, Oueft & NOu, & quatre degrés de force , le rau. un vent doux, un vent fort & un vent trés - fort. Ordinairement ji fait mes annotations trois fois par jour, à 6 ou 5 heures matin, à 2 heures apres midi & à 1o ou ri heures du foir. Ala fin de chaque mois, c'eft à dire d'aprés le nou- veau ftile, jai tiré de mes obfervations les conclufions fui- vantes. .L La plus grande hauteur du Barométre , avec les circonftances qui l'ont accompagné. - Ddd 2 Sa —Á 396 Sa plus petite hauteur. La différence entre ces deux hauteurs extrémes, que je nomme la variation barométrique totale. Le milieu arithmétique entre ces mémes hauteurs, quon trouve en ajoutant la demi- variation à la plus pe- tite hauteur, ou ce qui revient au méme, en lótant de la plus grande hauteur. ! La hauteur moyenne, que je trouve en ajoutant em- femble toutes les hauteurs obfervées & en divifant cette fomme par le nombre des obfervations ; Ce qui donne pour la plüpart un réfultat trés différent du milieu arithmé- lique. | Enfuite je fais le dénombrement des jours o la hau- teur du Barométre a furpaffé quelques divifions principales de fon échelle, & nommément z5,8c. 25,9c. 28,0c. 2t,10 & 28,20 pouces. Enfin je tire de ces derniers nombres par ume in- terpolation, la hauteur, que le Barométre a furpafíée pen- dant le demi-mois; qui diffíére encore le plus fouvent de la hauteur moyenne. Il. Quant au Thermométre je diftingue pour chaque jour le terme le plus bas, du terme le plus haut: je nomme celui-là qui ordinairement s'obferve aux heures du matin & du foir, le degré du froid, & celui-ci le degré de la cha- leur, qui eft donc le point le plus haut oà le Thermomé- ie parvient dans la journée, ce qui arrive pour la plus part à 2 heures aprés miüdi. À la fin de chaque mois, je tire de ces obfervations thermométriques.. digo Le [ Le degré du plus grand froid, avec les circonftances qui l'ont accompagne. Le degré de la plus grande chaleur. La différence entre ces deux temperatures extremes. Le froid moyen, que je trouve en ajoutant enfemble les dégrés du 'Thermométre obfervés aux heures da matin ou du foir, & en divifant cette fomme par le nombre des obfervations. La chaleur moyenne, que jobtiens de méme en a- joutant enfemble les degrés du Thermométre obíervés à 2 heures apiés midi, & en divifant cette fomme par le nom- bre des jours. Enfuite je fais encore pour chaque mois le dénom- brement des jours, oü le froid & la chaleur ont furpaffé quelques divifions principales de l'échelle du Thermométre. III. Ayant diíribué ls force des wénis «m quatre claffes (*) & leur diredion en huit plages, je ramaffe en fommes les nombres des jours , oü la force des vents a été de chaque claffe féparée , & oü fa diredion s'eft trouvée de telle ou telle plage, d'oü je tire pour chaque mois la force moyenne des vents &le rapport de leur plages principales. Ddd 3 IV. (9 En marquant le calme par 10o, le vent médiocre par 200, le vent fort par 4oo & le vent le plus violant par $00. — $98 — IV. Enfin quant à l'Atmofphére, & à la conftitution du ciel, jai additioné de méme dans une fomme le nombre des jours, oü le ciel a été entiérement ferein, le nombre de. ceux, ou le ciel s'eft trouvé parfémé de nuages, de ceux, : ou le ciel a été entiérement couvert, de ceux oü il-y-a eu de brouillards, de pluies, de neiges, d'orages, &c. &c. À la fin de chaque année j'ai tiré ces mémes con- clufions pour toute l'année: enfin en partageant les douze mois en fix mois d'hyver depuis le 1 Novemibre jusqu'au i Mai fuivant, qui comprennent un intervalle de 181 ou 182 jours, felon que l'année eft biffextileeu commüne; & en fix mois d'été depuis le 1 Mai jusqu au r Novembre, qui com- prennent un intervalle de 184 jours, je tire encore pour chacun de ces deux femeftres féparement les mémes con- clufions indiquées ci-deffus. Aprés ces préliminaires, qui ont été d'autant plus néceffaires, que cet expofé ne doit contenir que des fim- ples réfultats tirés de mes obfervations météorologiques, je commence par ceux que m'ont fournis les obfervations faites en chaque mois. e— $99 ——3 WS UTR Slanvier. B ar ometre. 1.) La plus grande hauteur a été 29, II en I775 le 255 28,24 en 1774 le 3o La valeur moyenne 28, 700 (*). 2.) La plus petite ,hauteur 26,98 en 1773 le 1r» & en 1774 le 19 27,58 en 1783 le 5 La valeur moyenne 27, 273. 5.) La. variation moyenne 1,452 & le milieu — 27,988. 4.) La hauteur moyenne a été 28,33 en 1777 & 27,76 en 1582. La hauteur moyenne de vingt ans 28, 067. II. Thermométre. : 1.)- Le. plus grand froid, 203 en 1775 le 29 & en 1782 le s. : 162 en r791i le 21. la valeur moyenne 1919,35 c'eft à dire 1914; degré. 2.) Le moindre froid a été 1459 en 1390 le 13 155 en 1772 le x & 19, & en 1776 le 31. la valeur moyenne :48$?, 4. A 2:23 (*) Oü fe trouvent 3 figures aprés la virgule, elles fignifient des par- ties miliémes. — A400 —À 3.) Le froid moyen aux heures du matin & du foir 1820 en 1783 I56 en I79I la valeur moyenne r*c?, r. 4.) Le froid moyen à » heures aptis midi 152? en r39r 174 en 1783 la valeur moyenne 1659, r. 5.) Le froid obfervé aux heures du matin & du foir a été dans ces vingt mois de Janvier plus grand que r5? en 318 jours I50 en 618. jours 6,) La chaleur obfervée à 2 heures aprés midi a été dans ces vingt Janviers plus grande que 150? en 44. jours. Comme le mois de Janvier comprend dans vingt années, 6^o jours, & que 1i5c? eft le terme de la congélation naturelle de l'eau, il fuit de ces derniers réfultats, que dans ces vingt années il ny a eu au mois de Janvier que deux jours ou il n'a gelé point du tout & 576 jours, ou il a gelé continuellement III. Vent. I. Il y a eu dans ces vingt années, au mois de Janvier 62 jours calmes $10 gsaae-t 3ro jours de vent médiocte. - " x82 jours de vent fort. 66 jours de vent trés fort. 2.) Le rapport de la force des vents eft, en prenant la valeur moyenne — 3153. | $.) Le rapport des quatre plages principales Nord : Eft : Sud : Oueft eft comme 172 : I38 : I40O : 1370. sir 4.) Le vent à foufflé dans ces vingt années du Nord en 96 jours du NE en 64 — de l'Et en 72 — du SE en 66 — . du Sud en 68 — du SOu en 80 — de l'Oueft en 86. — du NOu en$88 — IV. Atmosphére. ll y a eu dans ces vingt années, au mois de Janvier 116 jours de ciel entiérement ferein 206 jours de ciel parfémé de nuages, ou en paitie ferein 298 jours de ciel entiérement couvert 42 jours de brouillard 26 jours de pluie 244 jours de neige 55 aurores boréales. 4Voua "Aa Acad. Imp. Scient. Tom. IX. Eec En En divifant tous.ces nombres par 20, on obtient les va- leurs moyennes des dits jours au mois de Janvier, comme je les ai inférées dans les tables à la fin de ce mémoire. | Feorier. I. Barométre, 1.) La plus grande hauteur 28.98 en 1780 le 9. 28.28 en 1776 le i1. La valeur moyenne 28.671. 2.) La plus petite hauteur 26. 95 en 1779 le r9. 2". 77; €n 1773 le 25. La valeur moyenne 27. 230. 5.) La variation moyenne 1. 441. & le milieu 27.950. 4.) La hauteur moyenne 28.34 en 1r773- 24.78 en 1746. Sa valeur en vingt ans 28.037. II. Thermométre. 1.) Le plus grand froid 208 en 1772 le 12 169 en r79r le 1o La valeur moyenne 1899, *. 2.) Le moindre: froid I4I em 1779 le 26 I5I en r773 le 15, 20 & 2r. La valeur moyenne 146, 2. me— 405 RR 3.) Le froid moyen aux heures du matin & du foir I81 en 1772 156 en 1756 La valeur moyenne 1659, 6. 4.) Le froid moyen à 2 heures aprés midi I5O en I1*756 168 en r772 & 1782. La valeur moyenne i599, 9. 5.) Le froid obfervé aux heures du matin & du foir a été dans ces vingt mois de Février plus grand que 170 en 222 jours I5O en 548 jours. 6. La chaleur obfervée à 2» heures aprés midi a été dans ces vingt mémes mois plus grand que r50 en 134 jours. Comme le mois de Février comprend dans ce vingt an- nées, dont 6 ont été des biffextiles, 566 jours, il fuit, que dans vingt années il y a eu 18 jours, qu'il n'a gelé point du tout, & 426 jours de gelée continuelle. II[. Vent. 1.) Il y a eà dans ces vingt années au mois de Février 526 jours de calme | 270 jours de vent médiocre 175 jours de vent fort 45 jours de vent tüxés fort. 2.) Le rapport de la force des vents eft, en prenant la valeur moyenne —— 294. Eee2 3.) e 404 3.) Le vent a fouffülé dans.ces vingt mois de Février du Nord en ro» jonrs du NE — 56. — de l'Et — .53 : du SE — $6 du Sud — 33i du SOu — 64 del'Oueft — . 78 ,& du NOu — .66 IEEE 4.) Le rapport des quatre plages principales Nord : Eft : Sud : Oueft. comme 164 ; II8: I£I1 ;. 143. » IV. Atmosphére. | Il y a eu dans ces vingt années, au mois de Février rri2 jours de ciel entiérement ferein. 197 jours de ciel en partie ferein. 257 jours de ciel entiérement couvert. :iIT jcurs de brouilla:id. 36 jours de pluie.: 221 jours de neige. 38 aurores bo:réales. | Mar s. I. Barometre. | 1.) La plus grande hauteur 29.09 en r79o le 28. 28.20 en 1784 le 29. La valeur moyenne 28. 596. 7.) La plus petite hauteur 27.07 en 1773 le r*. 27.81 en i789 le rg. La valeur moyenne 27. 354. 5.) La variation moyenne r.242 & le milieu 247.975. 4.) La hauteur moyenne en 1788 - - - 28.58. en I780 - - - 27.74. en vingt ans - - - - 28.034. JL Thermométre. 1. Le plas grand froid 200 en 17585 le 3. I72 en i391 le r2. La valeur moyenne r821, 3. ?.) Le moindre froid r5» en ry2 le 25 &en 1786 le 29. 146 en 1785 le 8. La valeur moyenne ri4c?, 4. 3.) Le froid moyen aux heures du matin & du foir 175^ en 1785 156 en r779. La valeur moyenne 1644. 0. 4.) Le froid moyen à 2 heures aprés midi 148" en 1775, 1779 & 1587 159 en 1785 & 1789. La valeur moyenne 152^ 5. Eee 3 5.) 4.06 5.) Le froid obfervé aux heures du matin & du foir a été dans ces vingt années au mois de Mars plus grand que 150^ en 159 jours ISO en 556. jours. 6.) La chaleur obfervée à 2 heures aprés-midi a été dans ces mémes vingt mois plus grande que 150^ en 2653 jours. Comme le mois de Mars comprend en vingt an- nées 620 jours, il fuit qu'il y en eut 44, oü il n'a gelé point du tout & 557 de gelée continuelle. IIl. Vent. r1.) Il y a eu au mois de Mars pendant ces vingt ans. Óior jours de calme. 301 jours de vent médiocre. 178 jours de vent fort & 4o jours de vent trés fort. 2.) La force des vents eft, en prenant la valeur moyenne I SA 3.) Le vent a fouflé dans ces vingt années au mois de Mars | du Nord - - - en ro»? jours. du NE - - - - (Ór de Ef -"-"» -« 98 du 5I du Sud - - - - 58 du SOu- - - - 58 de l'Oueít - - - 95 & du NOu. - -« - 93 Un Lm LEITET I 4-) m— A0 ÉÓ 4.) Le rapport des quatre plages principales: Nord : Eft : Sud. : Oueft comme. . p R$qer deg4u dog s :182. | | w. Atmofphére. Il y a eu au mois de Mars dans ces vingt années: 193 jours de ciel entierement ferein. 233 jours de ciel en partie ferein. 194. jours de ciel entiérement couvert. 81 jours de brouillaid. 38 jour de pluie. 237 jours de neige. 4 jours oü il a grélé. . 56 Aurores boréales. i Orage. "ril. l. Barométre: P. 1.) La: plus grande hauteur 28.9I em 1790 le r. 28.31 em 1772 le 14. La valeur moyenne 28,603. 2.) La: plus: petite hauteur 27.05 em 1779 le 16. 27.90 en 1743 le. 30. La valeur moyenne 27,472. 5.) La variation moyenne r, 128 & le milieu. 28,056. 4-) La hauteur moyenne 28.57 em 1773. 2227.75 em 1779. Sa: valeur em vingt ans: 28,093. II. 408 1L 'Thermomstre. 1.) Le plus grand froid. 176^ e en 1776 le zr, en 1755 le », en r*$81 d 3 & en 1383 le. * Ir55 €n.i773 le r. La valeur moyenne 1667, ». 2.) Le moindre. froid r2ri4 en 1578 le 25. I538 en ri79o le 3o. La valeur moyenne ri28$7, 8. 3.) Le froid moyen aux heures du matin & du foir r62^ en r790. Ij47 ($€n 1778. La valeur moyenne zr524, 9. 4.) Le froid moyen à 2» heures aprés midi. 136^ en 1773, 1784 & 1786. 149 €n 1790. La valeur moyenne r4zi?, 2 5.) La froid obfervé aux heures du matin & du foir a été dans ces vingt années au mois d'Aviil plus grand que 150^ en 10 jours. 150 en 372 jours. 6.) La chaleur obfervée à 2» heures aprés midi dans Ces vingt années a furpafíé 1504. en 40, jours 150 6€n.528 jours. Le m— 409 u— Le mois d'Avrl comprenant en vingt années 6oo jours, il y a eu 22$ jours, oü il n'a gelé point du tout & 72 jours de gelée continuelle. III. Vent. ! I.) l1 y a eu au mois d'Avril pendant les vingt ans 142 jours de calme parfait. 288 jours de vent médiocre. 133 jours de vent fort. 57 jours de vent trés fort. 2.) La valeur moyenne de la force des vents — 258 8.) Le vent a foufflé pendant ces vingt années du Nord - - - - en 104 jours. du NE. -/9.* * -. *"$ de l'ERÉE - 4 77754 du SE -;« -2-2 » ,A43X du Sud - - - - -* 63 du SOu. - - - - - |683 de l'Oueft - - -:- 7r du NOu. - - - - - z2$8. HII 4.) Le rapport des quatre plages principales: Nord : Eft : Sud : Oueft. comme 204 : II4 : II$5 : I1Ó*. IV. Atmofphére. Il y a eu au mois d'Avril dans ce vingt années 218 jours de ciel entiérement ferein. 260 jours de ciel en partie ferein. ANoua, 4f&a 44cad. Imp. Scient. Tom. IX. Ft: 322 p 4IO CURRENT 122 jours de ciel couvert. 41 jours de brouillaid. I4Oo jours de pluie. II9 jours de neige. 8 jours de giéle. 65 Aurores boréales. .5 Orages. Mai. I. Barometre. 1.) La plus grande hauteur 25970 en 1774 lé'rt; 28,23 €n 1780 le 14. la valeur moyenne 28. 479. 2.) La plus petite hauteur 25, 395 en- 15:75. le. 15. 28,08 en 1789 le r2 & r3. la valeur moyenne 27. 621r. 5.) La variation moyenne o, 858. & le milieu 28. 05c. 4) La hauteur moyenne 28,32 em 1789. 27,86 en 1:785. Sa valeur en vingt ans 28. roc. II. Thermom&tre. 1.) Le plus grand froid 158^ en r784 le rr A d49"en r599 le 2. 4. 9. r8. la valeur moyenne r52^.1r. 2.) La. plas grande chaleur 1io6^en 1784 le rr. 126 €nD 1985 le r5. La valeur moyenne i17". ». 9.) Le froid moyen aux heures du matin & du foir 148^ en 1788. 156 en 1754. La valeur moyenne 141^. *. 4.) La chaleur moyenne à ^? heures aprés midi 125^en 1774 & 17$7. I37 €n I784. La valeur moyenne 13c*. 9; s.) Le froid obfervé aux heures du matin & du foir à €té dans ces vingt années au mois de Mai Uplus grand que 15c^ en 65 jours. 6.) La chaleur obfervée Y » heures aprés midi a farpaf- íó 130^en 268 jours. 150 en 620 jours. F ff 2. Le 4I2 ERTLLIEENDR) Le mois de Mai comprenant en vingt années 620 jours, il y a eu 555 jours oü il n'y a eu point de gelées, & aucun jour de gelée continuelle. III. Vent. 1.) Dans cet intervalle de vingt ans, il y a eu au mois de Mai. 130 jours de calme «dcs 242 jours de vent médiocre. 200 jours de vent fort & 48 jours de vent triés fort. 2.) La valeur moyenne de la force des vents — 29c. 9.) Le vent a foufflé pendant ces vingt années. du Nord - - - -en 653 jours. du NE. - - - -en 99r de Eft - - - -en 752 du SE - - - -en 42 du Sud - - - -en 5; du SOu - - - -en 55 de l'Oueft. - - - en rzr$ du NOu - - - - en rz24 PESSME 4.) Le xapport des quatre plages principales: - Nord : Eft : Sud : Oueft. comme. XT4O 2358 : 104. 208. IV. Atmofpheére.- ]l y a eu au mois de Mai dans cet intervalle de vingt ans: 202 202 jours de ciel entiérement ferein. 507 jours de ciel parfémé de nuages. iri jours de ciel couvert. . 56 jours de brouillard. 262 jours de pluie. 37 jours de neige. 17 jours de giéle. 12 Aurores boréales & 28 Orages. gluin. I. Barométre. r) La plus grande hauteur 28.61 en 1775 le rr. 2Rox" 6h i780,.le 5o. La valeur moyenne 28.594. 9$.) La plus petite hauteur 27.23 en 15780 le 5. 27.8*7 en 1588 le »35/ La valeur moyenne 27. 6or. 3.) La variation moyenne c, 793 & le milieu 27.997. 4.) La hauteur moyenne 28.15 en 1789. 27. 85 €n 15385. Sa valeur en vingt ans 28.O0r5, F ff 53 N II. Thermoméetre. | 1,) La moindre chaleur r145^en 1575 le 3 & en 1779 le ». r533 en .p985 leitbo uk. 6; La valeur moyenne 142^, 5. 2.) La plus grande chaleur 105^en 17875 le r5. 1I" 6n 1850 Je H^. La valeur moyenne 111^, ». 3.) La chaleur moyenne aux heures du matin & du foir. 157^ en 17377. I28 €nh X774. La valeur moyenne 132^, s. 4.) La chaleur moyenne à 2 heures aprés midi 115^en 17837. 127 €n 1785. La valeur moyenne. 122^, s. .5.) Le mois de Juin a été entiérement exempt de gelée 6.) La chaleur obfervée à 2 heures apiés midi a furpaffé 150^en 524 jours. 150 en Ó6oo jours. Il y a donc eu pendant ces vingt ans 76 jours oü la chaleur au mois de Juin a été moindre que d 130^ III. Vent. 1.) ly a eu au mois de Juin, dans lintervalle de vingt ans. 137 157 jours de calme. 257 jours de vent médiocre. 178 jours de vent fort. 48 jours de vent trés fort. 415 —— 2.) La valeur moyenne de la force des vents — 284. 5.) Le vent a foufflé au mois de Juin, pendant linter valle de vingt ans. du Nod - »« - - du NE . de Ll'Eft da SK. du Sud du SOu - - - - de l'Oueft - - - du NOu. - -.«. - 4.) Le rapport des quatre plages principales Sud : Oueft comme 208. Nord I39 IV. Atmofphére. Jl y a eu au mois 215 jours 285 jours IO2 jours 20 jours 252 jours 4. jours 5 jours de de de de de oü il a neigé. i il eft tombé de Ia giéle. Y ou 61 orages. Eft 164: 89 - - m LI - - - - de Juin en vingt années en en en en en en en en 49 jours. ga. IO04. —— ET erra ^r Herr EUN WEEYRET zs RRETEATÀ OOV ciel entierement ferein. ciel en partie ferein. ciel entiérement couvert. brouillard. pluie. jfuil- 416 Juillet. ]. Barométre. 1, La plus grande hauteur 28.54 en 1774 le 237. 27.89 en r779 le 9. La valeur moyenne 28,5305. 2, La plus petite hauteur 25.21 en 1785 le r1». 27.97 en i789 le rir. La valeur moyenne 27,585. 5.) La variation moyenne c, 72c. & le milieu 27,945. 4.) La hauteur moyenne 28,21 en 1789. 29451659 "em go. La valeur moyenne 27,987. II, Thermométre. I,)) La moindre chaleur 158^ en 1780 le 5, en 1482 le 23. 24. 25. & en 1790 le 6, 126 en 1789 le 26 & 31. La valeur moyenne t34^, 4. 2.) La plus grande chaleur. 100^ en 1588 le 18. ILS .enii5299 Je. 37. La valeur moyenne rio5? 5. Ih 3.) a— A qp —— 5.) La chaleur moyenne aux heures du matin & du foi;, 1524 en 1777. I235 n 1789. La valeur moyenne r247, 9. 4.) La chaleur moyenne à 2 heures aprés midi II2 en I772 & 1788. I24 €n 1782 & 179c. La valeur moyenne 117^, 5 E 4 - . . : " 6.) La chaleur obfervée à » heures aprés midi a furpaffé 130^ en 608 jours. - Pendant ces vingt ans, il n'y a donc eu que I2 jours, oü la chaleur au mois de Juillet a été moindre que 1307 III. Vent. 1.) Au mois de Juillet, il y a eu pendant cet intervalle de vingt ans 165 jours de calme. 266 jours de vent médiocre. 155 jours de vent fort. 54. jours de vent tiés-fort. 2.) La valeur moyenne de la force des vents eft pour ce mols-ci — 255. 3.) Le vent a foufflé pendant ces vingt ans au mois de Juillet JVoua Zfda. /4cad. Imp. Scient. Tom. IX. Gzgg du [oo ———— Án du Nord du NE - de lEfít - du SE - du Sud - du SOu - de l'Oueft du NOu - L.] LJ] 418 peri - - €en 49 jours. Susan y. anl O loses Muss c nef Me TEE 4.) Le rapport des quatre plages principales Nod : Ef Sud : Oueft. comme IJ9 : X89 201808 : 2-4. IV. Atmofphére. Il y a eu au mois de Juillet pendant ces vingt années : 209 jours de 315 jours de 98 jours de 46 jours de 311 jours de — point de neige. 9 jours de gxéle; 99 orages. I. Barométre. ciel entierement ferein. ciel en partie ferein. ciel entiérement couvert. brouillard, pluie. "Aot. 1.) La plus grande hauteur 28.62 en 1775 le 9- 28.12 em 1779 le r'. La valeur moyenne 28, 387. — A l9 — 2.) La plus petite hauteur 25.28 en 1778 le 13. 27.98 en r789 le 5; & le 8$. La valeur moyenne 27, 625. 3.) La variation moyenne o, 762 & le milieu 28, 006. 4.) La hauteur moyenne 28.29 en 1775 & 1589. 24. 86 en. 1385. La valeur moyenne de vingt ans 28, 060. Il Thermométre, 1.) La moindre chaleur 145^ en 1778 le 29 & en 1790 le 2$. 151 en 1789 le. 16. 19. 20. La valeur moyenne 1394, 1. 2.) La plus grande chaleur 105^ en 1775 le roc. 118 en 157890 le ;. La valeur moyenne 1117^,0 3.) La chaleur moyenne aux heures du matin & du foir. I35 8H £797. | 127 €n 1775, 1784 & 1789. La valeur moyenne en vingt ans 13o^, 3. 4.) La chaleur moyenne à 2 heures aprés midi. Goss 115 & — 4,20 e 115^ en rg75. 126 en 1775 & 1:790. La valeur moyenne en vingt ans 120^, 5; 5.) * - - - E - . » " - - 6.) La chaleur obfervée à » heures aprés midi a furpaffé 130^ en 596 jours: & comme le mois d'Aoüt comprend en vingt ans 620 jours, il y en eut 24, 0u la chaleur a été moindre que 130^. III. Vent. 1. Il y a eu au mois d'Aoüt dans l'efpace de vingt ans 159 jours de calme parfait. 271 jours de vent médiocre. 159 jours de vent fort. 31 jours de vent urés-fort. 2.) La valeur moyenne de la force des vents 259. 5.) Le vent a foufflé pendant ces vingt années au mois d'Aoót du Nord - - - en $592 jours. du NE - - - - - 536 — de 'Et - - - - - 103 — E du SE. «* - - - - 55 — du Sud - » - - - 48 — du SOu- - - - - 81 — de l'Oueft - - - - 150 —— du NOu. *« - » -* 49 — 4-) 421 ee—— 4.) Le rapport des quatre plages principales Nord : Eft : Sud : Oueft comme io- $ S70 ? rx6 sd5v, IV. Atmofphére. AÀu mois d'Aoüt ont été annoté pendant vingt ans. 189 jours de ciel entiérement ferein. 5325 jours de ciel en partie ferein. 104. jours de ciel entiérement couvert. 47 jours de brouillard. ur ai 299 jours de pluie. - - point de neige. 9 jours de gxiéle. 24 Aurores boréales. 68 Orages. Septembre. ]. Barométre 1.) La plus grande hauteur 28. 74 eh r791 le 25; 28.29 en r776 le 25. La valeur moyenne 28, 481. 2.) La plus petite hauteur 27.22 en 1785 le 26. 27.88 en r735 le 2x. La valeur moyenne 27, 525. $.) La variation moyenne o, 956 & le milieu 28, 005. Ggg 3 4) 422 oid 4.) La hauteur moyenne 28.28 en 1774 & 1:788. 27. 76 en. 1739. La valeur moyenne de vingt ans 28,055. II. Thermométre. 1.) La moindre chaleur 155^ en 1790 le 2$. 142 n 175755 le »5. La valeur moyenne 1484, 3. 2.) La plus grande chaleur 108^ en r588 le r. 1590 &€n r790 le 16. La valeur moyenne r12c/, ». 3.) La chaleur moyenne aux heures du matin & du foir 1435. 6n 29455 154 €n I775 & 1581. La valeur moyenne en vingt ans 1587, . 4.) La chaleur moyenne à 2 heures aprés midi 124^ en 1595 & 1788. 135 en 1790. La valeur moyenne 1294, 6. 5.) Le froid obfervé aux heures du matin & du foir. a été plus grand que 150^ en r6 jours. 6.) sm— 423 e ——— à 6.) La chaleur obfervée à » heures aprés "m a furpafté 130^ en 324 jours. ISO en 6oo jours Comme donc le mois de Septembre comprend en vingt années 60oo jours, il y en avoit 584, ou il n'a gelé point du tout, & 276, oü la chaleur a été moindre que 130^. / III. Vent. 1.) Dans cet intervalle de vingt ans, le mois de Sep- tembre contenoit 120 jours de calme parfait. 258 jours de vent médiocre. 154 jours de vent fort. 45 jours de vent trés -fort. 2.) La. valeur moyenne: de la force des vents — 284. 3.) Ee vent a foufflé Cum ces vingt ans, au mois de Septembre ; du Noid - - - -en 56 jours. du NE - - - - - 54 de Et - - - - - 68 du SE 0-7 - 0-49 du Sud - - - - - ys du SOu - - - - - .86 de l'Oueft - - - - 1850 du NOu - - - - - 84 TIE — 4 RR 4.) Le rapport des quatre plages principales. Nord : Eft : Sud. : Oueft. comme I29 7 IIB8 : I£g206| (i5. JV. Atmofphére. Au mois de Septembre ont.été annoté dans linterval le de ces vingt ans 1537 jours de ciel entiérement ferein. 509 jours de ciel en partie ferein. 154. jours de ciel entierement couvert. 29 jours de brouillaid. $505 jours de pluie. 9 jours de neige. 15 jours de giéle. 77 aurores boréales. 13 Orages. Octobre. ]. Barométre. 1.) La plus grande hauteur 28.83 en 1773 le 9. 28.32 en 1782 le 26. La valeur moyenne 28,5874 2. La plus petite hauteur j 26.86 en 1778 le 26. 27.97 en r789 le 30. La valeur moyenne 27,3504 5-) m—— 0p 9.) La variation moyenne 1, 237. & le milieu 27, 968. 4.) La hauteur moyenne / 28.48 en 1789. 27. 74. en 1778. La valeur moyenne en vingt ans 29,078. II. Thermométre. 1.) Le plus grand fioid 168^en 1:588 le 23. I51 en 1772 le »r. La valeur moyenne 156^, 6, 2,) La plus grande chaleur 116^ en 1372 le r. 138 en r784 le 20, 29 & en 1785 le 25: La valeur moyenne 12$^, 3. $.) La chaleur wi ia aux heures du matin & du foir 152^ emn 1778. I40 en 1775. La valeur moyenne de vingt ans r464, 5. 4.) La chaleur moyenne à 2 heures apiés midi 1357 en 1772, 1775 & 1789. 147 €n 1780. La valeur moyenne r4o^, «s. : $.) Le froid obfervé aux heures du. matin & du foir a été plus grand que 150^ en 184 jours. | AVoua z4dia 4cad. Imp. Scient. Tom. LX. Hhh 6.) edipi. AD. ciemenm 3 6.) La chaleur obici ? heures aprés midi a furpaffé 13c^ en 43 jours, & elle a été plus grande que 150^ en 596 jours. -Donc le. mois d'Odobre .com- prenant en vingt années 6260 jours, il y en avoient 436, oü il n'a gelé point du tout, & 24 jours de gelée continuelle. IIL Vent. . 1i.) Dans ces vingt ans le mois d'Odobre s'eft trouvé con- tenir ] 1 * $9 jours de calme parfait. 298 jours de vent médiocre. 183 jours de vent fort. 50 joers de vent trés fort. 2.) La valeur moyenne de la force des vents — 293. 3.) La diredion du vent a été du Nord - - - -en 69 jours. du NE Uem m m. £9 de l'Et - - - - - 59 du SE. - - - - - 43 du Sud » A '* uu EO du SOu - - - - - 106 de LOnett, -. "e reg du NOu- »^'- «nw. 55 4.) Le rapport des quatre plages principales Nord : Eft : Sud : Ouelft. comme 1I35.5 IQA4 v €*94m 20g. IV. Atmofphere. Le mois d'OGobre s'eft trouvé contenir dans * ws de vingt ans GEEERS 9o 5o jours de ciel entiérement ferein. 259 jours de ciel paríémé de nuages. 271 jours de ciel entiérement couvert. 95 jours de brouillaid. 265 jours de pluie. 98 jours de. neige. 1: jours de giéle. 46 Aurores boiécales. 3 Orages. | Novembre. I. Barométre. 1. La plus grande hauteur 28,93 en 1786 le 26. 23,4: en 1r772'"le rs. La valeur moyenne. 28. 671. 2.) La plus petite hauteur 26,92 en 1778 le 24. 27,97 en:i793'le z & 2, La valeur moyenne 27. 374. - 8.) La variation moyenne r, 297. & le milieu 28. 022. 4.) La hauteur moyenne | 28,43 €n 1773. 27,85 €n 1779. La valeur moyenne en vingt ans 28.083. II. Thermométre. 1.) Le plus grand froid : 185^ en 1774 le r9 155 en 1772 le rg & en 1581 le 21 & 26. Hhh 2 La La valeur moyenne r71*. 5, 2.) La plus grande chaleur 134^en 1772 le 9. I49 €n 1786 le 3. La valeur moyenne 14c^. 8. 3.) Le froid moyen aux heures du matin & du foir 171^ en 1774. i46 " en 19992. | La valeur moyenne en vingt ens r52^, 9. t 4.) Le froid moyen à » heures apiés midi. 142^ en 1772. 164 €n 1774. | La valeur moyenne en vingt ans 1917.6, 5.) Le froid obfervé aux heures du matin & du foir a furpaffé 120^ en 54 jours. I5O en 436 jours. 6.) La chaleur obfervée à 2 heures aprés midi a été plus grande que 150^ en 306 jours. Comme le mois de Novembre contient 6oo jours en vingt ans, & que 150^ eft le terme de la con- gélation de l'eau, il fuit, que dans ces dernieres vingt années il y a eu 294 jours, oü il a gelé continuellement & 164 jours, oü il n'a gelé point du tout. III. Vent. 1.) Dans ces vingt ans, il y a eu au mois de Novembre III — 200 — irr jours de calme parfait 290 jours de vent médiocre 155 jours de vent fort & 44. jours de vent ués fort.. 2.) La valeur moyenne.de la force des vents — 274. 3.) Le vent a foufflé du Nord - - -:-en 50 jours. du NE. - - -* -en 42 — de 'EÉt - - - - en 105 —— du SÉ. - - - - en 90 — du Sud - - - - en r11 — du SOu- - - - en 83 — de l'Oueft - - - en 6o —— du NOu. - - - - en 534 —— 4.) Le rapport des quatre plages principales Nord : Eft : Sud : Oueft, comme 99 : 169 : 199 : I133. IV. Atmofphéere. Dans ces vingt années il y a eu au mois de No- vembre. 65 jours de ciel entiérement ferein. 190 jours de ciel paríémé de nuages 343 jours de ciel entiérement couvert. $4. jours de brouillaid. 156 jours de pluie. 281 jours de neige. 4 jours de giéle. 29 Aurores boréales & 2? Otages. Hhh 3 De- E— 4390 zm Décembre, I. Baromeétre. 1.) La plus grande hauteur 29. 21 en 1774 le 8. 28.37 en 1778 le r«. La. valeur moyenne de vingt ans 28,695. 2.) La plus petite hauteur 26.8 en 1784 le. 4. 2:2, 65, 61.1 757. l6, 1 5. La valeur moyenne 27, 257. 5.) La variation moyenne r, 458. & le milieu 2*7, 966. 4.) La hauteur moyenne 28. 44 €n I*785. 27.65 €n I778. La valeur moyenne 26$, 063. II. Thermométre. I.) Le plus grand froid j 20r en 1581 le 31. 172 en r776 le $g. La valeur moyenne de vingt ans 182^, 5. 2.) Le moindre froid I42 en 1589 le 2$. I56 en 1788 le 8. - La valeur moyenne i444, ». ' 3.) Le froid moyen aux heures du matin & du foir rgi?^ m— AOI itt 1:81? én 1788. - ? 156 en 13772, 1789, 1790. La valeur moyenne en vingt ans 1647,0 4.) Le fioid moyen à ? heures apiés midi 151^ en 1789. I74 6n,1788.- La valeur moyenne en vingt ans 158^. s. 5.) Le froid obfervé aux heures du matin & du foir a farpaffe 175^en 166 jours. 150 en Ó16 jours. 6.) La chaleur obfervée à 2 heures aprés midi à furpaffé 150^ en r24 jour. Par conféquent comme le mois de Décembre contient 620 jours en vingt ans, il p en a eu 496 de gelée continuelle, & 4 ou v n'a gelé point du tout. III. Vent. 1.) Dans ces vingt ans, il y a eu au mois de Décembre $5 jours de calme parfait. 298 jours de vent médiocre. 187 jours de vent fort & ? 52 jours de vent tiés foit. 2.) La valeur moyenne de la force des vents — 297. . 8.) Le vent a foufflé pendant vingt ans en Décembre du Nord - - - - en 83 jours. du NE SONUS o en 46 —— mume— D de lU'Et - - - - en 68 jours. du SE - - - - en 38 — du Sud - - - - en 53 — du SOu- - - - en 99 — de l'Oueft - - - en $3 — du NOu - a L] 3 Le] p NU oo 4.) Le rapport des quatre plages principales: Nord : Eft : Sud : Oueft, comme. I49 ; I$3O : 165 ; 1*6. IV. Atmofphére. Dans ces vingt années il y a eu au mois de Décembre 74. jours de ciel entiérement ferein, 231 jours de cjel paríémé de nuages. 515 jours de ciel entiérement couvert. 93 jours de brouillaxd, 58 jours de pluie. 267 jours de neige. 2 jours de gréle. 25 Auxores boreéales. Pour repréfenter ces conclufions en raccourci, joins ici les tables fuivantes: je —— án. -—— A533 L État moyen du Barométre pour chaque mois de Jl'aunée, Au plus|Au plus|| Varia- Mil | Hauteur haut. bas. tion. d lib enne. : y Mos. P. milliémes | P. milliémes||P. milliémes | P. milli&mes| P. milliémes Janvier 28. 700 | 27. 277 | 15423 | ?*7,988 ||28. 067 Février 28. 631 | 27. 230 | I, 44.I 27,950 128. 0543 Mars 28. 596 | 27. 354 || 1,242 | 27,975 | 28. 034 Avril 28.560902] 2*3. 472]| £,rz51 28,036 ||28. 093 Mai 28. 4439 | 27. 621], 0,858 28,050 [| 28, 1oco Juin 28. 394. | 27.601 ]| 0,793 | 27,997 ||28. 017 Juillet ^ ||28. 305 | 27. 585 | 0, 720 | 27,945 |27- 987 lAoüt 28. 387 | 27. 625 || 6,762. | 28,006 ||28. o60o ISeptembre| 28, 481 | 27, 525 || 0,956 | 28,008 ||28. 055 Odlobre 28. 587 | 27. 350] 1,233 | 27,968 |[28. 078 |Novembre 28.1691 B2". 334] *1, 295 2810do 28, O83 "Décembre | 28. 695 127. 237]. 1,458 ! 27,966 |28. 063 S Noua 2dcla. Acad. Imp. Scient. Tom. IX. lii li. — Qt m—Á IL. Etat moyen du Thermomeétre pour chaque mois de l'année. 2 ed -dow : - " eR o mU E z P oO'g rv 5 5 ^ ed 2 wd So lo | SBPo isi o 0.0 p - dc J EE -1- eSau| 2A28|l23225s|3258. A | i olGBaXl' onm louwez£zlil'os5 ':BsSiagTvV|E.3|RBS e TREE C49 7 MEXÁ- E s pi p Bw. Qu e "n "gj mBuol-usuua "mr Eo F gal 20 |l9g5S S|ovomumu- I m — -—- , a c o2 &zs3imosdau|w?tB5. ee i13 o) | d Oo -ES i -p— * "a4 BS nulo |o": E: p [7 : e - [S057 : Mois | pre paco E | 7 degré. | degré. ' degré. | degré. ;jours. jours. jours. jours. Janvier ||19!,3 14854 17c, 1| 165, 1 | 16 | 31 2. Février 189,7 | 146,2 167,6 | 159,0| 1x | 25 | 3. Mars 181,3| 140,4 |164,0| 155,5 8 | 29 | I3 Avul 166,21228,8 [1252501 141, 2 o | 19 2 | 26 Mai 152,1|117,2 |141, 7 | 130,9 3|15| 51 Juin :42,5]|131,2[137,5] 222,5 26 | 30 Juillet 154,4 | 107,5 |127,9 | 117, 7 80 | 31 Aoüt :39,1| 111,0] 1504,93] £20, 5 50 | 31 Septembre| 148,5|120,2,158,7|129,6 1 | 16 , 30 O8obre 156,6|128,5| 146,5 | 140,5 9 2 | 30 Novembre| 171,5 |140,8| 156,1]|151,6]| 3 | 22 I5 Décembre / 82,5 | 1347, 2| 164,0| 158,5 $ 151 | 6 IIL. Force & direction des vents pour chaque mois de l'année moyenne. Nombre moyen 1 9 | Rapport des quatre des jours de 8 plages principales. e| |jg|^8 9 Sio .g 1. * |*'O & "EE ED a ] & à 5iaglalsgig. SÍololz c IF T2WSITT uo o Sud. | Oueft. L3 19] 9] 31 313 . 140 | 170 4|13| 91 2| 294 ] 141 | 1:43 5 15] 9| 2] 284 123 | 182 74|14| 7| 2] 258 4| II5 | 165 94 412! Io! 2| 290 | 104 208 17]o19]| 3! 284 89 | 208 8]:5| 8] 21 255 ! 98 | 214 81124 5 I] 259 ] 116 227 6 1131 91 2] 284 | 142 1 2rs 4|15| 9| 3| 293 194 RP ?09 Novembre || 6 |x4| 8| 2] 274 199 | 155 41151 9| 31 297 1165 | 1576 Iii IV. I oddndasrsiieÀ 456 cr s — IV. Érat moyen du ciel & de l'atmofphere pour chaque mois. Nombre moyen des jours de r -r-| m L A | re MEN S 5 AEN EC CN UE? E |g3lsh Bd TEE iz[g28/ |^ | : B Ba | Mou E: S&SI SO jours |jours | jours | Janvier | 6 | 10 | 15 | 4 "im LIT Février 6 9| 15| 6 2 | zr Mars £o.] ix l0| 4 2. | x2 Avril I1 13 6 4 7 6 Mai io | r5 6 8 11.35 2 Juin II I4. 5 1 15 -— Juillet IO | 16 & 52a! X5 o Aofit 9.d 1y:b i$ | 4 | zsalb o Septembre] *4 | zs $ 4| 35 — Od8obre FBDRERUPETISUIUENM 5 Novembre | 5 | xo | 15 | 4 6 | x1 Décembre." 5 | I2.| t6 5 ^ | 183 GEMEUUDIEUDV TRU MICTUEREVUDETUCHURUTMAUSIENDAVURATGEPTNDUOIEMR RUE E TATENTSCONRUUKT NU ERU MGE; État toy seed État météorologique moyen pour toute l'Année. v ] Barométre. na La plus grande hauteur annuelle 29, 2x a été obfer- vée en 1774 le s Décembre, & elle n'a été que de 28,68 en 1585 le 22 Janvier: elle tombe ' toujours dans un des mois d'hyver, & fa valeur moyenne eft 28,921. 2. La plus petite hauteur annuelle 26,758 a été obfer vée en 1784 le 4 Décembre: elle a été plus gran- de en toutes les autres années & méme de 2*.22 en r781 le 24 Juillet aint. que le 23 OdGobre, & en 1787 le 3 Mars. Sa valeur moyenne eft 27,019. 5.) La variation totale dans ces vingt années — 2,43 |! & le milieu arithmétique 27, 995. 4.) La varation annuelle moyenne — :,902 & le mi- lieu arithmétique entre les valeurs moyennes des . deux hauteurs extrémes 27, 970. 5.) La hauteur moyenne déduite de toutes les M diis faites en ces vingt années 28,052. 6.) La: hauteur barométrique annuelle a été. a) au deffus de 27,90 . .318 jours en 1789. 174 jours en 1779. La valeur moyenne de ce nombre de jours eft 257. b) au deíffus de 28,00 288 jours en 1789. I31 jours en 1779. la valeur moyenne de ce nombre de jours eft 212. lii 3 | c.) LA m—— A) m c.) au deffus de 28, xo 246 jours en 1*789. . $8 jours en 1779. La valeur moyenne de ce nombre de jours eft 162. 7. La hauteur du Barométre s'eft trouvée dans linter- valle de ces vingt années, dix ans au deffus de 25,050, qui approche de tiés prés de la hauteur moyenne (..). | IIl. Thermométre. | l i. Le plus grand froid dans ces vingt années a été ob- fervée en 1772 le 15 Février de 208 degrés de Dé- lisle, La valeur moyenne du plus grand froid annuel eft de 195^,6, qui répondent à :41 degrés de Réaumur. 2.) La plus grande chaleur a été dans cet intervalle de vingt ans, de ioo degrés, en 1788 le 1$ Juillet. La valeur moyenne de la.plus grande chaleur annu- elle eft de 106*,6, qui répondent à 254 degrés de Réaumur 3.) Le froid moyen aux heurés du matin & du foir a été en 1556 de 152^ & en 1791 de 145^. Sa valeur moyenne eft de 149^, . 4) La chaleur moyenne à 2 heures aprés midi, a été en 1753 de :i5$^ & en 1382 de 144^. Sa valeur moyenne eft de 141^, c. 5.) Le nombre de jours oü le froid a furpafíé r50^ de Délisle a été en 1586 de 68 & en 1591 feulement j de ca—— 40 de s. Ce nombre a été dans lintervalle de nos vingt années de 938, & par conféquent. fa valeur moyenne pour une année de 46 jours. . Enfuité le nombre de jours c ou le froid a farpaffé 1507, c'eft à dire, le terme de la congelation naturelle de leau, a été en 1786 de riy; & em i372 de 144. Dans lintervallé de vingt ans, ce nombre eft 3428 & par conféquent fa valeur mega pour une année 171. 6. Le nombre de jours oü la chaleur a furpafíé 1504 de Délisle a été de 138 en 1773 & de 9i feulement en 1785. Dans lintervalle de vingt ans, ce nom- bre eft 24c6, .d'oà lon conclud ía.valeur moyenne pour une année i20 jours. Enfuite le nombre de jours oà la, pii a furpaffé le terme de la congélation naturelle de leau, a été en r779 de 269 & en 1582 de 237. Dans notre intervalle de vingt ans, ce nombre a été trouvé 5054, d'ou lon tire fa valeur moyenne - pour une année 2559. 4.) D'oà Yon peut. conclure que dans l'année moyenne | y a, 112 jours de gelée continuelle 59 jours oü il géle feulement le matin. ou le foir. & 194 jours oü il ne géle point du tout; mais dont 120 feulement avancent & favorifent la végéta- tion. n). —— ALO ÓÓÉÉ IIJ. Vent. i.) Le nombre des jours calmes a été pendant nos vingt années — 1573. | Ainfi fa valeur moyenne pour une année — 69. 2.) Le nombre des jours de vent médiocre pendant ces vingt ans — 3329. Ainfi fa valeur moyenne pour une année — 166. 5. Le nombre des jours de vent fort pendant ce méme intervalle — 2060. Ainfi fa valeur moyenne pour une année — rog. -4.) Le nombre des jours de vent trés-fort pendant ces T9 Sidbt 8nnées ' ——"545, " D'ou la valeur moyenne pour une année — 2". 5.) La force des vents — 28*. Le nombre 200 expri mant un vent médiocre & le nombre 800 un vent extraordinairement véhement. 6.) Le Rapport des quatre plages principales Nord : Eft : Sud : Oueft. comme I45 : I40 : 156 : 187. cid De forte que le vent dominant eft pour St. Pétersbourg celui de l'Ouefi, & le vent de Sud celui qui fouffle 1e moins. IV. Atmofphere, 1) Le nombre des jours de ciel entierement ferein a été en ces vingt ans — 1820. Ainfi D-29534 Ainfi fa valeur moyenne pour une année — or: 2.) Le nombre des jours oü le ciel eft en partie ferein, a été dans cet intervalle de tems — 3117. D'oü l'on a fa valeur moyenne pour une année- — 156. 3.) Le nombre des jours de ciel entiérement couvert, dans ce méme intervalle de vingt années — 2369. Par conféquent fa valeur moyenne pour une année —s 8. 4-) Le nombre des brouillards en vingt années — 865. Ainfi fa valeur moyenne en un an — 43. 5.) Le nombre des jours de pluie — 2130. Sa valeur moyenne pour une année — 1o. 6.) Le nombre des jours de neige — 1467. Sa valeur moyenne en une année — 53. Ad 7.) Il y a eu de la giéle tombée en vingt ans — 86: Ainfi en un an — 2. $.) Nombre des aurores boréales obfervées en vingt ans. À. 1972 1792 ce Eg Ce nombre pour un an — 21 à a». 9.) Nombre des orages en ces vingt années — 251. Ce qui fait en un an — 13 à 14. Noua 44a 44cad. Imp. Scient. Tom. IX. Kkk 1c.) 1c.) Le nombre. «des aurores boréales a été le plus grand en 1774 ou on en a obfervé 45; elles ont encore été tiés fléquentes en 1586, oà leur nombre monte à 45; elles ort été d'autant plus rares: dans les. cinq dernieres années. Leur nombre alloit de 1772 à 19776 - - - à 1933 de 1777; à 1581 - - - à 142 de 1782 à 1786 - - - à rro dé i987 à 1991 9 - * 4,50 ainfi elles ont diminué confidérablement les cinq derniéres annees. 11.) Les orages ont été les plus fréquens en 1786, oü on en a compté 18, enfuite en 1774 & 1787, ou leur nombre montoit à 17 & en 1772, 1781 & 1789 oü il y en avoit 16. "On n'a compté que 6 ora- ges en 1790, 7 orages en 1772 & 1775, & 8$ orages en 1778. Etát météorologique moyen pour les fix mois dété, Mai, Juin, Juillet, Aoüt, Septembre & Octobre, comprenant un intervalle. de :$4 jours. I. Barométre. La hauteur moyenne du Barométre 28, 049. II. Thermométre. La chaleur moyenne à 2 heures apiés midi — 1265,9 La — 44) o — La chaleur moyenne aux heures du matin & du foir —— RT II. Vent. . Nombre moyen des jours de calme - - -« - - 40 vent médiocre - .- 58 à 79 vent fort - - « - 52 à 55 vent tiés fort - - - 12 à 18 Rapport des quatre plages principales: 'Nord : Eft : Sud : Oueft. comme Xog 147 i I24 ; 219. IV. Atmofphére. Nombre moyen des.jours de ciel entierement ferein - - - $5. ciel parfémé de nuages - - 9o. ciel entierement couvert - - - 42. brouilaid - - - - - - - i15 à z8. plus 2. « co s co EL 89. ncime Me re e «feel iw ww DI im a. 8 zréle" » ose me. ms APR CH Orages - - - - 3: - ta L] LJ IS3 à I4. aurges boréales - * -* - * & Kkk 2 État État météorologique moyen pour les fix 'mois d'hyver Novembre, Décembre, Janvier, Février, Mars & Avril, comprenant un intervalle de r$: jours. I. Baromeétre. La hauteur moyenne du DBarométre — 28, 063. II. Thermométre. Le froid moyen aux heures du matin & du foir — 1627,5. Le frd moyen à 2 heures aprés midi — 154^, 3. III. Vent. Nombre moyen des jours de calme. - - - - - - 28 à 29 vent médiocre - - - $85 à ss. vent fork «iUe! cei ei 5058.83. vent tiés-fort - .- .- 14 à 15. Rapport des quatre plages principales Nord : Eft : Sud : Oueft comme 161.: i134 .::143 : 302. IV. Atmosphere. Nombre moyen des jours de ciel entiérement ferein — 39. ciel parfémé de nuages 66. ciel entiérement couvert 76 à 437. brouil- broullad '- ^ - .- 23$ à 26. pluie 4 9/50 Ne fiw skr À 25. nose Nets muld 2:66 ' grele .- NO. etus s aurores boréales - - i3 à rz4. orages en cinq ans - 2. Obfervations fur la premiere & derniere gelée. 1. Epoques extremes de la derniere gelée au printemps. au plustót, le r2 Avril, en 1773. au plus tard, le 23 Mai, en r772. 2.) Epoques extrémes de la premiere gelée en automne. au plustót, le r9 Septembre, en 1785. au plus tard, le 350 OGobre, en 1575 & 1587. 5.) Epoque moyenne de la derniere gelée au printemps ! le 6 Mai. 4.) Epoque moyenne de la premiere gelée en automne le 8 Odobre. 5.) Intervalle moyen entre la premiere & la derniere gelée, qu'on peut appellerla durée moyenne de lhy- ver, en y comprennant lautomne & le printemps m olo Jotne 6.) Intervalle moyen entre la derniere & la premiere gelée, ou durée moyenne de l'été décidé - 155 jours. | qd k.3 Ob- — 46 RÀ Obfervations fur la premiere & derniere neige. 1. Epoques extrémes de-la derniere neige au printemps au plustót, le r5 Mars, eri 1754. au plus tard, le r2.Juin, en 157590. 2. Epoques extiémes de la premiere neige en automne au plustót, le 4 Septembre, en 1782. au plus tard, le 5 Novembre, en 1775. 5.) Epoque moyenne de la derniere neige en printemps, le 8 Mai. 4. Epoque moyenne de la premiere neige en automne | le 12 Odobre. 5.) Intervalle de l'hyver moyen entre la premiere & la derniere neige —- 20$ jours. 6.) Intervalle de l'été moyen entre la derniere & la: pre- gmüererneige —— r5 jours. Obfervations fur la prife & la débacle de la Néva-(*). 1, Epoques extrémes de la débacle au printemps au plustót, le » Avril, en 1725. au plus tard, le 7; Mai, en 1759 & 17425. e.) (*) Les réfultats qui fuivent ici,font tirés d'une fuite non interrompue d'obfervations faites depuis l'an 718, telle qu'on la trouve inferée dans notre almanach, aprés l'avoir réduite au nouveau flile. — áo 2.) Epoques extrémes de la prife en automne au plus tót, le 3x Odobre, en 1769. au plus tard, le 23 Décembre, en 1:772. 2) Epoque moyenne de la débacle au printemps le sr Sv 4) Epoque moyenne de la prife en automne le 25 Novembre. 5.) L'Intervalle moyen entre la débacle & la prife, qu'on pourroit appeller la durée moyenne de l'été, en y comprennant le printemps & l'automne, eft de 218 jours. 6.) L'Intervalle moyen entre la prife & la débacle, ou la durée moyenne de l'hyver décidé, eft de 147 jours. 4.) On peut donc compter pour St. Pétersbourg I55 jours d'été, c'eft à dire oü i| ne gele point du tout, & 1457 jours d'hyver, ou il gele continuellement, enfin 63 jours de printemps & d'automne, oü .il gele feu» lement pendant les nuits (*). (*) Ces nombres paroiffent donner des réfultats differens de ceux qu'on trouve pour l'année entiere pag. 430, à l'article 7; mais il faut obferver, qu'on n'a compté ici que les jours d'été qui fe trou- vent entre la débacle de la riviere & fa prife. T & $^ pri B DP ih Mc «b. engerodu sub at Tacit h Pi aep esi EY t £o E ey LE pex dz flo Dauiotuwt - istic P" 2 eB. NI due xi cud s ea di. do 7o isa 2 ed. Imp. Jc. febropot. Zom. IX. Th. f. Move. Meta dead. Amp. yc. Pelrapot. Tom. IX. Tub. 1. MI 29 777 Aie Ag 17 AND Y Jw. Jehraved. Zóm. 2X .ZAa6.Z. -Nowa. eda rend. duo. Mong. Petropat. Zorn ZX Zu. RARE: | Mano oh rou Jc. ap. ebropod. Pope IX Fad Zr. — "Misa Meta Mead c mp. Zetropot. Jor IX Fad Z7. n m.6 4 AA e m. Z - ue.d. q. eft i y wee mp. Jetropod. Zorn. ZX. a6. I. Ju. 2. o JWova» "tta. Mead." o. Imp. Jeeropot. Tom. IX. Tab. Jg. Reid e: fw: 7 AN | Dim | ea. Je. mop J'etrupot. Zbz;.Zt.T556.F. Moa t dad So ip Petropot. om. IX. P6 F^ | Acca cao S5. Imp. etropot. Jom. IX. Tab. VI. "Noud- Acta. ead. Se. Imp. Petrapot, Tor. TX. Tab. vi 7m. QGyloirno Jo UC o ofeoedernae your Jnmnzee 494.785 4. ] Jairo de Jo cfeaedemiegpaour Uzn2ec4R92 Tub A. Í EE Czstocee a C deademee pouz. Cenmnez A79. Tob. B. | "i iim em nma pom ied] imm mm EET SRAMPDEEEEDETE peuc Tannez 1721 T24 B. du) S: i Hizchutnuinegacr m pu i zn t^ we Viene Jürtatre de C oteademis peur annee 1791. Za. €. Q dena E io ME Jac du Su —M ML sien Hisoize de. LAcadérie. pour £ arare JI zh D. | Caenoyite ru fhceida Qazenoptezz? | feLaccida: fecilia à d 4 NT. VERS i dcademie pour Üamnee ITO Tab E, — ; i LU I à i ' EE ; ij intip s n || m. | n | a - | l i i 1 L n í y V Caenopterz; auriculata E . 3 —— euim m a, d * eotoire de f Acad£mze pour l'année 1891 Tab E. | ; | i 1 ] XS | d Jl SS Í H j | j j í * - | 9» i Csenopterz: euricutaza. A791. E al ! ! D(istoire: We, P Azademiz pour /hnnee. 1791. Jab, Y. * Gen opt. erie Ofeularza Caenapterts r 2» 291 Ta6 Q. Qe ? abre four Á — mp ) ] wr S cA ostorze. at FP dean four Dannce. 1794 Tad. & - SUN D SAN RS c NINE 7 M Nae ar y'—99 m SMSENS 0E uz 5 V i SUI "A S 4. Z Nu NOSSA EET *h pM SA Y N SOS E V ER 2 (S?) AS p 4 f Ne Nw V ANS: BE S A PERRO NA Caenoptered ED ] E IS loce RAP L MÉSUCRA PIS i h^ » a " e A VE - Mr. * * [s rnm ate d d n e m t Vuelo eum um Lj) eget e C etu Nati atat end : ERE TEE Irra IA La$4n , MUT eR tes ". MEET et M6 iie S "Cc etin trier da Pa PONES ACA et EDD yri (he c Te A Es E E Metodi am enini E MU m IIT yer er dna Lo Aq an Pn P i trn vr ie PRI rdv rete Mun 3 n Ee ree PcE METUS TUM " Y - ^ "t ve Mele Ix de edes Fi Ps Ind TU] dor rue Pd AA ven otv